除法写像と代数的整閉性の関係について
村

目

次

1 序

H OrdnungとIdeal群を生成系にもつIdea1系

1 Ordnung2 1dea1系

3例（PrUfer環など）
皿 IdealのDivisorenoperation

1 ldealquotient

2 Divisorenoperation
3 Divisorisches Ideal系の束半群
IV Borewicz‑Safareviごの写像

1 素元分解半群
2 Borewicz‑SafareviδのDivisor

3 除法写像とNoetherの整閉性
V Artinの整閉性
1 可換整域の整閉性
2 非可換環におけるArtinの整閉性

VI非可換環の除法写像
1 除法写像の条件
2 除法理論の一意性

vr除法写像とOrdnungの整閉性
1 除法写像とArtinの整閉性
一 109 一田憲太郎

徳山大学論叢第33号

2 PrUfer環の三山性
3 逆の問題

4 除法写像とOrdnungの極大性

V皿半群の除法理論除法山群

1 2っのGalois対
2 半群のv‑idealと除法理論

3 束半群における除法類群

1 序

可換整域においてBorewicz‑Safarevi6による除法理論（Abk． B‑S一除法理論）がなりたてば，この忌詞がNoetherの意味で整閉になることはよく知られている。またGanzes Idea1に関する極大条件があれば，この逆がな
りたつことも分っている。この事実はB・・S一除法理論における除法写像がNoetherの意味の整閉性に対応することを示している。そこで自然にArtinの意味の整閉性一それはNoetherのそれより強い に対応する除法写
像は何か'というThemaが考えられ，かって筆者は，非可換系の立場から，
これについて研究した［M］。

この小論の主な目的は［M］において得られた結果の一部を改良することと，その後新しく得られた結果を［M］のFortsetzungとして手取り早く報告することである。

第II，皿の2っの章で最小限の準備と以後の章で基本的な役を演ずる
Divisorについて述べ，第IV章でこの序文の冒頭で述べた事実を簡潔に示した。第V，VI， V皿の3っの章がこの小論の主要部で， Artinの整閉性をIdealの型で詳しく述べて，除法写像との対応を考察した。
最後の第三章について説明する前に，少し述べておきたいことは：一般に，乗法的Idea1論も含めて，乗法的な代数理論を半群などの純粋に乗法的な代数系の上で構成する試みは大体1920年代から'30年代にかけてArnold，
110 一

1990年6月 村田憲太郎：除法写像と代数的整閉性の関係について

Clifford， Lorenzen等によって創められ現在に至っている。その間， Ljapin，
Clifford‑Preston， Grtizerなどの専門書がソ連，米国，西欧などで発刊され，今や非常に多くの研究書，さらにSemigroup：Forum'（Springer）と銘打った専門雑誌も刊行された。とくに最近Weinert著作の，半群論の商域に関する総合報告（springer）では筆者による論文：on the Quotient‑semigroupof a Noncommutative Semigroup（1950）がその後の発展の原点になっていることを示している。

現今，日本人も込めて，多くの人がこの方向の研究を進めているが，この小論の最後の章はこれに沿うものである。それを具体的にいえば，この小論の第W章までの主要結果を半群へ拡張したのであるが，それをv‑ldeal系に依って試みた。もちろんこのような拡張が半群への唯一のものではないけ
れどもひ一Idea1系に依った理由は，半群が商半群（quotient‑semigroup；

QuotientenhalbgrupPe）をもつ場合には， Idea1の逆Idea1のまた逆Ideal
がはじめのIdealに回帰するv‑ldea1系がわれわれの理論にとって適正規模であるという理由（それを述べると長くなる！）があるからである。なお，Galois対の節をはじあに置いたのは，ひ一Idealを簡潔に扱うための工夫である。最後の節で

除法類群'なるもの（Divisorenklassengruppeとでも呼ぼうか）を導入しておいたが，これについては今後研究を進めたい。

最近の情報数学における半群論の位置は高く，その進展は，わが国の研究者の活発な寄与も含めて，目覚ましいものがある。半群のIdea1論も近い将
来この方面で重視されるであろう。

ll Ordnungと1deal群を生成系にもつldeal系

必ずしも可換でない環を単に環という。環Rは単位元1をもつものとし，Rの部分環は1を含むものだけを扱うことにする。

111

徳山大学論叢第33号

1 Ordnung
環Rの部分環0が次の条件をみたすとき，0をRのOrdnungという。

（1）Rの各元xに対してαx∈0，xβ∈0となる0に含まれる非零因子
α，βが存在する。

（2）0の非零因子はRにおいて逆元をもつ。
したがって，Rの単群をu（R）とかけば，0の非零因子の全部はu（R）∩0である。そしてRの任意の元xは
x ＝＝ aa ＝ bB‑i， a， bE O； a， BE u（R） fi Oのようにかくことができるから，Rは0のu（R）∩0による商環になっている。

いま条件（1）を強くして下の条件を考える。

（1、）Rの各元xに対してαOx⊆0， xOβ⊆0なる0の非零因子α，βが存在する。

条件（1、）と（2）をみたす部分環0をRの

b‑Ordnung）

beschrtinkte Ordnung（Abk．

という。0がOrdnungであるというのは， Rのどの元もu（R）∩0の適当な元で左からも右からも分母が払えることを意味し，0がb‑Ordnungというのは， Rのどの元xについても，その左整元倍のすべて
Oooが一斉に左から分母が払え，また右側についても同様であることを意味している。

Rの2っのOrdnung O、，0、に対して
a，02Bi g Oi， a20iB2 g 02
なる元α1，α、，β1，β、∈u（R）が存在するとき，0、と0、とは対等であるという。このとき，α1，β，∈u（R）∩01；α、，β、∈u（R）∩0、とすることができる。互いに対等なOrdnungの全部の族の中で集合として極大なものがあれば，それを

Maximalordnung（Abk． m‑Ordnung）

Ord4ungがb‑Ordnungであれば，それを一 112 一mb‑Ordnungという。m‑という。

1990年6月 村田憲太郎：除法写像と代数的整閉性の関係について

2 1dea1系
0をRのOrdnungとする。 Rの部分集合Aが次の3条件をみたすとき，
AをRの0左ldea1という。

（1）Aは0左加群である。
（2）Aはω（R）の元を少なくとも1っ含む。

（3）Aλ⊆0なる元λ∈u（R）がある。
この元λはu（R）∩0の元として採用できる。

0右ldea1に定義できる。Aが0左かっ0右Idea1のとき，これを
単に

ldeal

という。A2⊆AなるIdealを

ganzなIdealを

gebrochenes Ideal

も全く平行的0‑ldealganzes Ideal

またはという。Nichtという。0に含まれるIdealはganzであるが逆は必ずしも正しくない。今後Idea1の全部をHで表わし，0に含まれるIdealの全部を∬で表わす。条件（2）によってNullだけの集合はIdealから除外されていることを注意しておく。

さて，われわれが対象とするのは次の条件をみたす環である。それは1に対する条件で，∬は下の4条件をみたす部分集合Eをもつ：（1。）EはIdeal積に関して閉じている。

（2。）EのIdealはHの中で可逆である。つまりA∈Eに対して次のよ
うなA'がある。

AAノーA'A・・O， A'∈H

（30）1の各Ideal・AはEにぞくするいくつかの（有限個または無限個）

Idealの和集合で生成される：A‑sup｛1＞1N∈A｝。ただしA⊆E。
（4。）llの各Ideal XはEにぞくするIdea1を適当にとってXの左から，また右から乗じて0に含まれる。つまり1の元にすることができる。よって下のようなA，，B、がある：
X‑A，B，ノーB，ノA、，A，∈1，B、∈E（

一 113 一＝1，2）

徳山大学論叢第33号

3 例（PrUfer環など）（a）0を可換整域とし，Rをその商体とする。零のみから成るIdealを除いて，0に関するすべてのIdealの集合，その中で0に含まれるすべてのIdealの集合，さらにその中でHauptidea1の全部の集合をそれぞれH， L Eとすれば（1。）〜（4。）をみたす。この場合0はRのb‑Ordnungである。

（b）O＝・Z（全有理整数環），R＝Q（有理数体）， H＝｛Zα1α∈Q，α≒0｝，1＝｛Zα1α∈Z，α≒0｝，E＝1とすれば（1。）〜（4。）をみたす。

（c）一般に環0において，任意の元α∈0に対してα0＝Obなる元b∈0が存在するものとする。このときα＝ub， b一αvだからα＝uαv，b‑ubvところでuα∈α0（両側Idea1）であるからuα＝α8，よってα ＝＝

αsv。したがってαが左簡約元であれば1‑svであるからvは右単元である。同様にαが右簡約元であればuは左単元である。ここで用語上右左，が交錯したが，それは本質的なことではない。さて0の二元（零以外）がすべて左右簡約元であるとき，その全体0＼｛0｝を分母系とする商体ができる。それをRとする。Rにおける0に関するIdealの全体をH，そのうち0に含まれるもの全体をL さらにそのうち〈α〉＝α0‑0α（α≒0）
なるものの全体をEとすれば条件（1。）〜（4。）をみたす。この場合0はb‑Ordnungである。

（d）環RのOrdnung OがPr茸fer環のとき，すなわち0の有限生成Ideal
がすべて可逆であるとき，HをすべてのIdea1，1を0に含まれるIdealの全体，Eを0に含まれる有限生成Idealの全体とすれば，条件（10）〜（4。）をみたす。

この章の参考文献：［J］，［M‑R］，［R］。

皿 IdealのDivisorenoperation

Krull環（可換）における整数論的Ideal論ではdivisorisches Idea1が重要である。それはIdeal・Aを含むHauptidea1全部の共通分がAと一致する
一 114 一1990年6月 村田憲太郎：除法写像と代数的整閉性の関係について
Idealである。

この章では条件（1。）〜（4。）をみたす環（非可換）においてHauptidea1

系の代りに前の章で考えたEから生成されるIdeal系をとって， Kru11環の場合をわれわれの非可換環に拡張し，次章以下への準備とする。

1 ldealquotient

この章ではRを前述のEをもつ環とする。半群Hの中で考えてEとE'から生成される半群は群である。それをg（E）で表わす。g（E）はHの束構造を引き継ぐとは限らない。

σをHにぞくする任意のIdealとすれば， C＝AB'（A∈1， B∈E）のよ

うに表わされるが，このAはEの適当な部分集合AによってA＝sup｛1＞1N∈A｝のように書くことができる。したがって0はg（E）の部分集合｛NB／11＞∈A｝の集合和によって生成される。

任意の2っのIdeal A， B∈Hに対して（A ： B）i ＝ ｛oo ER1 xB gA｝（A ： B）， 一＝ ｛xER1 Bx gA｝

をそれぞれAのBによる

左商

，

右商

という。これらはともにIdealである。以下しばらく席戸についてのべるが，それらの結果は全く平行的に右商に対してもなりたつ。

まずA∈H，B∈g（E）に対して（A ： B）， ＝ ABi

がなりたつ。ただしBノはBの逆元である。まず（A：B）1＝sup｛ClC∈A｝

なるA⊆g（E）がある。するとCB⊆AであるからC⊆ABノ。したがって（A：B）1⊆ABノである。つぎにAB'B＝AO＝AであるからABノ⊆（A：．B）1となり上記の等式が証明された。したがってとくに一 115 一

徳山大学論叢第33号（O： B）t＝B'， BE g（E）

がなりたつ。

つぎに任意のIdeal A∈Hに対してA⊆σなるσ∈g（E）が存在することを示そう。まずA＝．ん．B'（，ん∈1， B∈E）のように表わされる。よってA⊆Bノ。したがって．Bノ＝Cとすればよい。

2 Divisorenoperation

前の節でのべたことから次のようなHからそれ自身へのOperationを定義することができる：
Abdiv（A） 一＝ n｛CE g（E） iAg C｝

これをDivisorenoperation

sorisches Idea1という。div（A）＝AなるIdeal。Aを，簡単のためdiv‑Idealdivi‑という。これについて次の3っの性質があることは明白である。
（1） Agdiv（A）（2） A g div（B） ＝〉 div（A） g div（B）（3） AEg（E） ＝〉 div（A）＝A

A∈Hがdiv‑Idea1であれば，任意のB∈Hに対して（A：B）tもdiv‑
Idealである。それはなぜかというと，適当なB⊆g（E）に対してB＝sup｛NI1＞∈B｝とかける。またdiv（A）＝∩｛0∈g（E）IA⊆c｝であるから（A ： B）i ＝ （div（A） ： B）i

一 （（n｛CE g（E） 1Ag C｝） ： sup｛NINE B｝），

一n｛（C： N），IAg C， NE B｝＝∩｛αv／1A⊆c， N∈B｝
1；｝ n｛ME g（E） i （A ： B），g M｝

2 （A ： B），

一 116 一1990年6月 村田憲太郎：除法写像と代数的整閉性の関係についてしたがって（A：．B）t＝∩｛M∈g（E）1（A：B）1⊆M｝＝div（（A：B）、）である。

またっぎの等式がなりたつ：任意のAに対してdiv（A） ＝ （O： （O： A），），

これを証明するため．4⊆NなるNと…8（E）をとれば（0：A）1⊇（0：N）1＝N'であるから（0：（0：A）1）1⊆（0：2＞ノ）＝（Ni）ノ＝1＞（O ： （O ： A），）， gl div（A）

つぎにA＝sup｛M∈A｝， A⊆g（E），とかけるから
Mノ＝（0：M）1⊇（0：A）l
M ＝＝ （O： M'），＝ （O： （O： M），），g （O： （O： A）t＞i

したがってA⊆（o：（o：A）1），div（A）⊆（o：（o：A）1）となる。これで証明された。
この結果を用いて（o：div（A））1＝（o：（o：（o：A）t）1）t＝div（o：A）t⊇（o：A）Jまた（o：div（A））1⊆（o：A）1は当然である。よって次の等式がなりたつ：（0 ： div（A））， ＝ （O ： A），

そこでdiv（div（A））＝（0：（0：div（A））t）t＝（0：（0：A）t）1＝div（A）。

つまり次の巾等性がなりたつ。
div（div（A）） 一 div（A）

以上は左回についてばかりのべたが，全く平行的に右商についても上記の諸性質は正しい。さてここで左下と右商の関係として

117 一

第33号

徳山大学論叢（O：A）i一（O：A）．

が任意のA∈πに対して成立する。それはN∈g（E）に対して下の関係があることから明白。

ハ14⊆0⇔A⊆1Vノ⇔A2＞⊆0
ついで，任意のA，B∈Hに対して下の等式がなりたつ。
div（AB） 一 div（div（A）．B） 一 div（A．div（B）） ＝＝ div（div（A）div（B））

これを示すため，まず左商のみの関係式から（o：div（AB））1一（o：AB）1＝（（o：B）1：A）t＝（（o：div（B）t）：A）1＝（o：．A・div（B））1であるから
div（AB） 一＝ div（div（AB）） ＝ （O ： （O ： div（AB））i）i ＝ （O ： （O ： AB）i）i ＝（O ： （（O ： B）， ： A，）， ＝ （O ： （（O ： div B）， ： A），）， ＝ （O ： （O ： A．div（B）），），

一div（．4 div（B））したがってdiv（AB）＝div（A div（B））である。今度は右商を用いてdiv（AB）＝div（div（A）・B）が示されるからdiv（AB）＝div（div（A）div（B））も示される。

ついで，div（Σ1．．，．ん）⊆div（Σ7‑1div（Ai））⊆div（div（Σ』A）十…十div（Σ』A））＝div（divΣ7‑iAi））＝div（Σ7‑1A）。よってdiv（Σ』A）＝div（Σ7。1div（A））が示された。

3 Divisorisches ldeal系の束半群

任意のIdeal・A， B∈Hに対して
A＊B： ＝＝ div（AB）

によりVerknUpfungssymbol＊

plikationという用語を用いる。

，＊一Produktを定義する。＊を乗法と見て＊一Multi‑

前節の末尾でした計算と同じようにして，次の等式を確かめることができる。

一 118 一1990年6月 村田憲太郎：除法写像と代数二二閉性の関係について

div（sup｛A E 17｝） ＊ div（B） ＝ div（sup｛div（A） ＊ div（B） 1 A E 17｝）
div（B） ＊ div（sup｛A E 17｝） ＝ div div（B） ＊ sup｛div（A） 1 A E 17｝）

div‑Idea1の全体は｛div（A）IA∈H｝と一致していることは前節のdiv（div（A））一div（A）より明らかである。一般にllの部分集合uに対して｛div（A）1A∈u｝をdiv（u）と略記すればdiv‑Idea1の全体はdiv（丑）とかくことができる。

以上述べてきたことをまとめて次の定理を得る。

定理1 div（A）≦div（B）をdiv（B）⊆div（A）によって定義すれば（div（H），≦，＊）は束半群を作る。H／〜をA〜B⇔div（A）＝div（B）によって定義し，各Klasse K（A）， K（．B），…の間に順序と積をK（A）⊆K（B）⇔
div（A）≦div（B）；K（A）。K（B）一K（div（AB））によって定義すれば（div（H）， S， ＊） ＝一v （H／・

一， ；， o）

がなりたつ。これは条件完備な束半群としてのIsomorphismusである。

IV Borewicz‑Safarevi6の写像

Borewicz‑Safarevi6のDivisorentheorieは［B‑S］の第3章でのべてあるが，それに必要な写像に付与する条件は余分なものを含んでいるのでこの章ではそれを削除してのべる。そしてそのDivisorentheorieとNoetherの意
味の口汚性との関係をのべて次章以後への準備とする。

1 二元分解半群
Dを単位元eをもつ可換半群とする。Dの元α， bに対してa・＝ bcなる元。∈Dが存在するときbをaの約元（Teiler）αをbの倍元（viel‑

faches）という。なお．0の晶群はeのみよりなるものとする。したがって一 119 一

第33号

徳山大学論叢
同伴
き，pを

なる概念は
素元

全等

となる。元pがeとp以外の約元をもたないとという。

可換半群Dが次の3条件をみたすとき，Dを西元分解半群という。

（1）Dは素元をもつ。その全部の集合を記号P（jD）で表わす。

（2）Dの各元aは有限個の素元の積として表わされる：a‑Pi…Pn（n≧0），Pi∈．P（D）。ただしa＝e⇔n＝0とする。
（3）上記の分解a‑p1…p、は積の可換性を度外においで一意的である。

素元分解半群はその定義からその半群としての構造はP（1））のMtichtig‑

keit＃P（D）によって定まる。つまり2っの素元分解半群D，， D、に対して＃P（D，）＝＃P（D、）であればD1とD、は同型である。その同型対応の個数
はP（Dl）の置換の個数だけある。

素元分解半群には自然に束の構造を入れることができる：2っの元a，bそれぞれの子守分解に現われる平戸の全部をPi，…，Pmとし，同じ素干をPotenzとして， a， bについてそれぞれPotenzproduktの形にまとめると：
α＝，P蜜（1）…P訂吊）， θ（i）≧0

ゐrP｛（1）…P蕎肌）， ！（i）≧0

ただし同じiについてe（i）も！（i）も0にはならない。いま

順序

≦を，

すべてのiについてθ（i）≧f（i）のときa≦bによって定義すればDはこの順序によって束になる。結と交は次によって与えられる。
αVbrP野in（θ（1）・ノ（1））…P濃in（e（m）・ノ（隅））a A b ＝ ppax （e （i）if（i）） ． ． ．p：ax （e （m），f（m））

一般に負でない3つの整数e，f， gについてmin（e，ノ）＋g‑min（e＋g，ノ＋g）

であり，maxについても同様であるから（D，≦，・）は束半群である。またmax（min（e， f），g）＿min（max（e， g）， max（！， g））（maxとminを取り代えてもよい）であるから束（D，≦）は分配束である。
一 120 一1990年6月 村田憲太郎：除法写像と代数二項閉性の関係について

いま，さらに（jD，・）から自由Abe1群を作れば，つまりP（D）から自由

Abe1群を生成させればこの群G（D）は束群になり，そのKegel（integralerTei1）は（D，≦）と一致する。このように自由Abe1群ができるのは．0が自由半群であるからである。そうしてG（D）は各州元pから生成される無限巡回群〈p＞の制限直積に他ならない。そしてG（．o）における順序はjDにおける順序と同じようにすればよい。

この束群ではaト＞a'1はDualautomorphismusになっている。とくにa，bが共にDの元で共通の素因子をもたないときはa〈b＝abであるから

e≦a，e≦bかっa〈b＝eなる任意の2元a，bに対してはaVb＝ab
がなりたつ。

2 Borewicz‑Safarevi6のDivisor
Oを可換四域とし0＊＝・ O＼｛0｝とおく。O＊は零因子をもたないから乗法半群である。Dを前節でのべた素元分解半群とする。 O＊からDの中への，半群としてのHomomorphismus
φ：α→．0；αト・φ（α）

が次の3条件をみたすとき，φをBorewicz‑Safareviδの写像（Abk． B‑S一写像）という。

（d1）α， b∈0＊に対してφ（α）がφ（b）の倍元であればαはbの国元である。

（d、）各d∈Dに対して有限個のα1，…，αn∈0＊が存在してφ（α1）V…
Vφ（α。）＝・ dである。（nはdによって変る）（d、）d∈Dの倍元となるφ（x）の全部のx∈0＊を△（d）とかく：△（の＝｛oc∈O'1φ（x）≦d｝。このとき△（a）＝△（b）⇒a＝bである。

以後Dの元を0＊（または0）のDivisorという。一般にはDの元が0＊の元の像になっていない。とくに0＊の元の像になっているものをHaupt‑
divisorという。e ・＝ ￠（1。）をEinheits‑divisorという。0＊の元α， bが同伴
一 121 一

徳山大学論叢第33号であるための必十条件はφ（α）一φ（b）である。また0の単三u（0）＝｛x∈O'1φ（x）＝e｝である。

条件（d1）について：もしφ（α）一φ（b）cなる。∈Dがあればα＝bcなる。∈O'があるからφ（α）＝φ（bc）＝φ （b）φ（c）である。そこでさきにのべた群G（D）の中で考えれば。＝φ（c）となり。はHauptdivisorである。しかしφ（0つ一｛φ（α）la∈0＊｝の中だけではたとえば2元のg．g． T．；h．g． V．などは存在するとは限らないのでHauptdivisorのみの除法

理論は成立するとは言い難い。しかし0＊に対して．0とφが見付かれば，O＊における除法理論が展開できるから，Drittensystem（0＊，φ，D）によって0の除法理論を表示して差支えない。この意味で記号（0＊，φ，D）そのものをDivisorentheorieと呼ぶ習慣である（［B‑S］，［Mコ）。

［B‑S］においては上記の条件（d、）は違った形のものになっている。それは（dの φ（α），φ（b）がdを鍔元にもてば，φ（α±b）もdを開元にもつ。

である。この条件については後にもっと一般的な立場で考察することになろう。

Borewicz‑Safareviδによれば（0＊，φ1， D，），（0＊，φ、， D、）を2っの任意の除法理論とすればσ：D、→．0、なるIsomorphismが存在して，σによってD，のHauptdivisorにはD、のHauptdivisorが対応する。すなわちσ。φ1＝
φ2がなりたつ。つまりO＊
o'

D，一D，
a
の除法理論は上のようなIsomorphismusの範囲で一意的に定まるというのである。

B‑S」写像はその定義から0の零とことなる1っのHauptidea1を1っの一 122 一1990年6月 村田憲太郎：除法写像と代数的整閉性の関係について

Divisor（Hauptdivisor）に写すから，0の零でないすべてのIdea1ノ（0）からDへのEpimorphismusにverlagernすることができる。そのときHaupt‑
idea1の像がHauptdivisorになっているのである。ノ（0）は束半群で上のEpimorphismusはノて0）からDへの束半群としての対応を与えている。これは0のすべてのgebrochenes Idealの作る束半群から束群G（D）への束半群としてのEpimorphismusにまでverlangernできる。この事実を踏まえて，
後にB‑S一写像を非可換環の場合に一般化する。

0に含まれる，零でない，Hauptidealの全部を彫（0），0の商体Kの中で考えてgebrochenes Idealの全体をノ（0）とする。上述の事実をschema‑tisierenしておく。

0苅呪㌍￠（O'）一D‑G（D）
3 除法写像とNoetherの整閉性
この節でも0を可換整域とし，Kをその商体とする。

0＊がB‑S一写像をもてば，すなわち0において除法理論がなりたてば，0はKにおいて
Noetherの意味で整閉である。この節の目的はこの事実の証明をして後章への準備とすることである。

いまKの元tに対して0の元α1，…，αnが存在して下の等式がなりたつとする：
tn ＝ an＋a．一！t＋，・． ＋ait

一iもしtが0に含まれないとするとt一αb‑1；α，b∈0＊においてbはαの下元でない。そこでφ：0＊→1）；cト・φ（c）を与えられたB‑S一写像とするとφ（b）はφ（α）の約元でない（（d1）による）。いまφ（α），φ（b）の素元分

解を
123 一

徳山大学論叢第33号

φ（α）一pr（1）…pk（m），θ（の≧0
φ（b）一P｛（1）…P憂肌）， ノ（i）≧0としたとき，少なくとも1っのiについてe（i）〈！（i）となる。よって
pr（'）＋1はφ（b）の約元になる。そこでtの関係式から得られる次のル

απ＝Σ．απ＿んα彪わπ一舟

h＝0を用いてHauptidealに写せば下のようになる：
ハけ〈α〉・⊆Σ〈α。＿h＞〈α＞h〈b＞n‑h⊆Σ〈α＞h〈b＞n‑h
k＝O

h＝0

ただしく〉はHauptidealの記号である。この式の左の包含関係は一般に〈ΣCh＞⊆Σ〈Ch＞より，また右の包含関係はα。一、∈0＊（k‑0，…，卜1）より分る。すでに前節でのべておいたように，φ（c）一φ（〈c＞）でありφはノt（0）からjDへの束半群としてのEpimorphismusであるから，上の包含関係をφで写して下の不等式を得る：
ほ ユφ（α）n≦〉φ（α）々φ（b）π一院

h＝0
この右辺の各項の素因子PiのExponentはそれぞれe（i）h＋（e（i）＋1）（n‑h）＝e（i）n＋（n‑k）より小さくはない。k＝0，1，…，n‑1として，これらのうちで最小なものはe（）n＋1であるからφ（α）「cはp7伽＋1を約元としてもつ。ところがφ（α）πは

キッカリ

μ伽を約元としている。このことは矛盾である。

このようにすでに分っている結果［B‑S；Kap皿］をIdeal束の言葉で改良したのは後の章でのべる非可換環の場合に適合させるためである。
この章の参考文献：［B‑S］，［M］。

一 124 一1990年6月 村田憲太郎：除法写像と代数的整閉性の関係について

V Artinの整閉性

この章では可換地域の場合と，Eの条件（1。）〜（4。）をみたす非可換環の場合についてArtinの整閉性を考察する。

1 可換母野の整閉性
0を可換整域とし，Kをその胴体とする。 Kの1っの元tをとって，そのすべての正ベキ：tn（n‑1，2，…）が一斉に1つの元（α（≒0）で分母が払えるなら，tははじめから0の元である；換言すればeigentlichなK元はどれをとってもそのすべての正ベキを1っの元（≒0）で分母を払うことができないというのがArtinの整閉性である。再度かけば
a｛tlnE N｝ g O， a ij O ＝〉 tE O

ただしNはすべての正整数の集合である。この条件で注目すべきことは，Noetherの整閉と違って，加法が関与していないことである。

ここで念のため，Artinの整閉性をもたない実例を挙げておこう。有理数
体Qに・，／ 「tiを添加した体Q（〉⊂百）においてZ［》＝吾］（Zは有理整数環）

はOrdnungであるがこれはArtinの整閉性をもたない。たとえばt＝一S＋SV＝9はZ［V＝9］の元ではないがすべてのn∈Nに対して2・tn∈
Z［〉'＝否コである。

つぎにArtinの整閉性からNoetherの整閉性が導かれることも見ておこう：Kの元tがtn＝αn＋α。．it＋…＋α1tn

1，αi∈0，をみたしているとする。

αt'∈0（i＝0，1，…，n‑1）なる元α∈0ホをとることができるからαtn∈0。引きつづいてαtn＋1∈0，…。よって0がArtinの意味で整閉であればt∈0となる。
Noetherの意味の整閉性からArtinの整閉性は導かれないらしいが，もし0のIdea1に関してTeilerkettensatzがあれば，これが導かれる。
一 125 一

徳山大学論叢第33号

0⊆0ノ⊆Kなる部分環（明らかにOrdnung）0ノに対してα0ノ⊆0なるα（≒0）があれば0＝0'であるとき，0はArtinの三三性をもち，またその逆も正しい：いま0がArtinの整閉性をもっとする。0'の任意の元tに対して｛αtnln∈N｝⊆α0ノ⊆0。よってt∈0，0'⊆0，0ノー0である。逆に｛αtIn∈N｝⊆0，α≒0，とする0とtから生成される部分環を0'とすれば0⊆0ノで0ノの任意の元はΣiα、ti，αi∈0であるからα0ノ⊆0である。よって0ノ＝0，t∈0である。
次の3条件は同値である：（a1） 0はArtinの整閉性をみたす。
（a2） ATn E O （n 一一 1， 2， …）， A ie （O） ＝〉 T g O

ただしA，TはIdealでA⊆0としてよい。
（a3） 〈a＞〈t＞ngO （n ＝1，2，…）， aiFO D 〈t＞gO

ただしα∈0＊としてよい。

2 非可換環におけるArtinの整閉性
この節ではR・を第2章でのべた環とし，H，LE等の記号はそのまま踏襲する。

0をRのOrdnungとして次の条件を考える。ただし以下において，α tN∈0は，Nを全自然数として，すべてのn∈Nに対してα・tn∈0

味する。CT「v⊆0等についても同様である。

（Au） at

E O； aE u（R）， tER 〉 tE O

（Aの tα∈0；α∈u（R），t∈R⇒t∈0（A，i） CTN gO； C， TE H ＝〉 Tg O
（A，，） TNC g O； C， TE H ＝） Tg 0

（A3i） MTrv gO； ME E， TE H ＝〉 Tg O

（A，，） TrvMgO；MEE， TEH 〉 TgO（A4i） OaO． （OtO十 O）｛！ O； aE u（R ）， tE R ＝〉 tE O

一 126 一を意1990年6月 村田憲太郎：除法写像と代数的戸閉性の関係について（A4r） （OtO十〇）．OaOgO；aEu（R）， tER ＝〉 tEO

上記のα∈u（R）はα∈u（R）∩0で置きかえてもよいし，またσ∈HについてはC∈1としてもよい。以下h＝1またはk＝rとして，（Aih）⇒（A2h）である。また（A1，）⇒（A4，），（A、h）⇒（A，，）でもある。0は必ずしもb‑Ordnungではないので（A、h）における0α0，0tO＋0はIdealではない。したがって（A、h）⇒（A・k）は一般には成立しない。また（A、h）⇒（A，h）も一般には成立しない。しかしここで次が成立する：

補題1 （A、t），（A、，），（A、J），（A、r）は同値である。

証明 （A、1）がなりたつとする。M∈C，．M∈EなるMを任意にとると．MTN⊆0よってT「v⊆M'O ＝Mノ（Mの逆元）したがってTN．M⊆0であるが，このようなM全部の和集合が0であることからCT「v‑T「VCとなる。
よって（A、t）⇒（A、r）。他の部分も上記の中で示されている。

0が（A、h）（i ＝： 2，3）をみたすとき，0はArtinのIdea1型整閉性をもっという。つぎに0がb‑Ordnungの場合を考える。

補題2 0がb‑Ordnungのときは次がなりたつ：（A1∂⇔（Alr），（A、h）
O（A4h） （le ＝ 1， r）o

証明 （Au）を仮定する。古惚∈0，β∈u（R），とすればtN∈0β一1。そこでα0β一1⊆0となるα∈u（R）がとれるからαtN∈α0β一1⊆0。したがってt∈0となり（A1，）が導かれた。全く対称的に（A、，）⇒（A1、）である。つぎに（A3h）⇒（A、h）は自明である。その逆を示すため，（A、t）を仮定渉る：．MTN⊆0， M∈E， T∈Hとする。α∈M∩a（R）を固定し，t∈Tを任意にとる。0α0・（OtO＋0）n⊆M（（OtO）n＋（OtO）u‑1＋…＋0）
一 127 一

徳山大学論叢

第33号⊆M（Tn＋Tn‑1＋…＋0）一、MTn＋MTn‑1＋…＋M⊆0がすべてのn∈Nについてなりたつ。よってt∈0，T⊆0であるから（A3t）が導かれた。
（Aの⇒（A3．）についても同様である（証明終）。

つぎにOrdnung Oについ：て（b'） xyEO ＝〉 xOygO
がなりたつとする。x，：y共に0の元ならこれは当然であるが， x，yのうち少なくとも一方が0元でないときは一般にはなりたたない。すぐ判ることは（b＊）がなりたてばαOα一1⊆0，α0＝0α，α∈…u（R），であり，このときもちろん0はb‑Ordnungになる。（b＊）がなりたつとき0を

b＊一〇rdnungということにすると下の補題は明らかである。

補題3 0がb＊一〇rdnungのとき8個の条件（A、h）（i＝1，2，3，4；k ＝＝1，r）は同値である。

証明 b＊一〇rdnungはb‑Ordnungであるから（A、h）（i＝1，2，3，4；h・＝1，r）の6条件は互いに同値である。（A、h）⇒（A，，）（h‑1， r）を示せばよい。いま（A，，）を仮定する。αtn∈0が任意のn∈！Vについてなりたつとすれば0α0（0＋0）n⊆0が（b＊）を用いて示される。よって（0α0）・（（OtO）n＋一（OtO）n‑i＋…＋（Oto）＋0）⊆0である。すなわち（0α0）（OtO＋0）n⊆0よってt∈0となる。（A、，）⇒（Alr）も同様である。あとは前の補題によって明らかである（証明終）。

この節の終りに次の定理を証明する：

定理1 b‑Ordnung Oがm‑Ordnungであるための必十条件は0が（Al、）（i＝2，3，4；h＝1，r）のうちのどれか1個をみたすことである。すなわち

0がArtinのIdea1型整閉性をもつことである。
一 128 一1990年6月 村田憲太郎：除法写像と代数的整閉性の関係について

証明 0〈をRのOrdnungで0〈⊆0かっα0〈β⊆0なるα，β∈u（R）∩0が存在するものとする。α一10λ⊆0なるλ∈u（R）∩0をとることができるから0〈βλ⊆0である。00〈＝0〈は明らかであるから0〈は左Idealである。またこれと左右対称に考えれば0〈は右Idea1でもある。そこ

でC⊆0α0，N∈0β0であるC， N∈Eをとれば次のようになる：
cow g oa ooAoBo g oa oABo g ooo ＝ o，oA g c'oN' ＝ c'N' ．． （Nc）'， OANC g O

したがってIdeal O〈に対して（0〈）n（NC）⊆0がすべてのn∈Nについてなりたつ。ここで条件（A、r）を仮定すれば0〈⊆0となり0〈＝0でなくてはならない。すなわち0はm‑Ordnungである。つぎに逆の証明のため

TNA⊆0とする。ここにA， T∈llである。いま0とTとで生成される部分環を0＞Tとするとα∈u（R）によって（OVT）α⊆0だから0＞Tは0と対等である。0はm‑OrdnungであるからOVT＝0したがってT⊆0となり目的を達した（証明終）。

ここで以上のべた事実をSchemaにしておく：

rb7

琶1：：〈一＝1：：：二こ1：1｝

x ．／
b
v

b

O： m‑Ordnung←b→は0がb‑Ordnungの場合，一b＊→は0が条件（b＊）をみたす場
合を示す。

この章の文献：［W］。

一 129 一

徳山大学論叢第33号

VI非可換環の除法写像

この章では第3章と第5章の後半で準備したことを踏まえて，第4章の結果を非可換環の場合に拡張する。除法写像によるBildは，要するにRを乗法的Ideal論の場とするためのMusterstUckとしてRの全ganzes Idealをそこに写し出すのであるから，非可換環の場合といえども可換な素元分解半群とするのである。

この章を通してRを前と同様に（1。）〜（4。）をみたすIdeal系Eをもつ環とする。記号HrJ I， g（E）， u（R）などは前と同様とする。とくにDは素元分解半群とし，P（D）をその素元の全体とする。P（D）から生成される自由Abe1群G（jD）は束群になり，そのKegelはDである。

1 除法写像の条件
まず除法写像に付加する条件についてのべる：φ：1→D；Aト・φ（A）

を束半群としてのHomomorphismus（中へのまたは上への）とするとき，次の6条件は同値である：（Pl）各p∈P（D）に対してE，，…，Em∈Eが存在してp一φ（E，）V…Vφ（En）である。

（p、）各d∈Dに対してE，，…，En∈Eが存在してd 一＝φ（El）V…V
φ（En）である。

（p3）E（d）＝｛E∈Elφ（E）≦d｝は空でなくてd＝sup｛φ（E）IE∈
E（d）｝である。

（p、）各d∈Dに対してE（d）が空でなくてE（d，） ＝ E（d，） ＝〉 d， ＝ d2（p，）各d∈Dに対してE（d）が空でなくてE（d）一E（p） ＝〉 d‑p（p、）各p∈P（D）に対してE（P）が空でなくてp‑sup｛φ（E）1φ（E）
一 130 一1990年6月 村田憲太郎：除法写像と代数的整閉性の関係について≦P｝である。

これらが同値であることの証明であるが，まず（p1）⇒（p、）：d＝Pi…Pm，Pi∈P（D）とすれば（p1）によってp＝V滝91φ（E，，）， Eih∈Eであるから

d＝〉￡al‑1…V愛i詔一1φ（Eih（1）…Emh （m））， Elh）…Emh（m）∈Eである。（P2）⇒（p3）：仮定よりd＝φ（E1）V…〉φ（En）≦sup｛φ（E）IE∈E（d）｝であるがこの右辺はdより下にあるから（p3）がなりたつ。（p3）⇒（p、）：E（d，）＝
E（d、）と仮定するとd，＝sup｛φ（E）IE∈E（d，）｝＝sup｛φ（E）IE∈E（d、）｝＝d、である。（p、）⇒（p、）：これは自明である。（p，）⇒（p、）：d‑sup｛φ（E）1φ（E）≦p｝とおく。d≦pであるからE（d）⊆E（p）である。またφ（E）≦pであればφ（E）≦dであるからE（p）⊆E（d）である。よってE（p）＝E（の。仮定よりp＝dとなる。（p、）⇒（Pi）：E（p）に含まれる任意有限個のE，（i‑1，…，n）に対して，つねにφ（E，）V…Vφ（E。）〈

pとする。すると（p、）を仮定しているのであるからE（p）は無限集合でなくてはならない。だからE。＋1∈E（p）が存在してφ（E，）〉…Vφ（En）＜
φ（E1）V…Vφ（E。・i）〈p。 Dにおいては元についてTeilerkettensatzがな

りたつので，これは矛盾である。これで6条件が同値であることが証明された。この条件は次に定義する除法写像に必要なものであるが，それはEに依存した有限条件を与えるものである。このことは（Pl）または（p、）によって知られる。ここで除法写像の定義を次のように与える。

定義 束半群としてのHomomorphismusφ：1→D；、4ト・φ（A）が次の2条件をみたすときこれをOrdnung OのEによる

左除法写像

という。

（D）条件（Pi），…，（p、）のうちのどれかをみたす。したがってどれもみたす。

（D∂E，F∈Eに対してφ（E）≦φ（F）であればE‑CFなるC∈1
が存在する。

この条件（D，）の

E‑CF

を

E＝Fσ

で置きかえた条件を（Dr）とし，一 131 一

第33号

徳山大学論叢（D）（Dr）ををみたすφを0のEによる

右除法写像

という。

左または右除法写像によって左または右除法理論が構成される。それは
1，E，φ，Dによって決定されるので（LE，φ，D）Jまたは（1，E，φ，D）rなる記号を用いて表わす。1の代りに0を用いることもある。D元をといい，φの像になるD元を

Hauptdivisor

Divisorという。

2 除法理論の一意性
この節では第3章第2節の後半でのべたB‑S一除法理論の一意性をわれわれの場合に拡張してその証明をのべる。もちろんこの節でのべる証明はそのままB‑S一除法理論の場合に当てはめることができる。印象を強くするため
次のような形でのべる：

定理2 環RのOrdnung Oにおいて4条件（1。）〜（4。）をみたすIdea1系

Eがあるとする。0に関するEによる左除法理論が成立するものとし，（LE，φ1，D，）1，（1， E，φ、，」D、）1を任意の2っの左除法理論とすれば

f： D， 一D，， fo ￠i＝ ￠2なる束半群としてのIsomorphismusが存在する。

証明 1）まず各p∈jp（D、）に対してE（q）⊆E（p）をみたすq∈
P（D、）が存在することを証明する。もしこのことを否定すれば，あるp∈．P（．01）が存在して，いかなるq∈P（D、）に対してもE（g）⊆E（p）とならない。そこでA∈E（p）なるIdeal・Aをとり，これをφ、で写してφ、（A）

一9i…qn， qi∈P（D、）をその素元分解とする。するとどのqiについても
E（q、）はE（p）に含まれないからB，∈E（q、）であるが，E（p）には含まれないIdea1．B、が存在する。すると次がなりたつ：￠2（Bi） ｛；1 sup｛￠2（F） 1 17 E E（qi）｝ ＝＝ qi，

一 132 一1990年6月 村田憲太郎：除法写像と代数的遠望性の関係について￠，（n，B，） ＝ n， ￠，（B，） g ll，q， ＝ ￠，（A）

したがって定義の（D）によって

n，B，一一CA， CEE
なるIdeal Oが存在する。よって次の関係がなりたつ：n， ￠，（B，） 一 ￠（ll，B，） 一一 ￠，（C） ￠，（A）g ￠i（A） g sup｛￠，（E） IEE E（p）｝ ＝p

したがってφ1（B）≦PなるBがある。よってB，∈E（P）となる。これは矛盾である。それと全く対称的に考えて，P（D、）の元qに対してE（pノ）⊆E（q）なるpノ∈P（D，）が存在する。

2）つぎに上のpとp'は同じであることを証明しよう。まずE（pp'）はE（pノ）の中にreinに含まれる（前節の（p、）を用いる）。したがってφ1（F）≦pノであるがφ1（F）はpp'の下にないようなF∈Eが存在する。ここでかりにpとp'が同じでないと仮定するとφ1（F）≦p〈p'＝pp'となる：このことはφ1（F）≦pによって示されるが，それはE（pノ）⊆E（q）⊆E（p）

によって保証される。これは矛盾。よってp＝p'。よってもちろんE（p）
一E（q）となることが判った。

3）上記の結果E（p）一E（g）なるgはpに対して一意的に定まるから！：P（D，）→P（D，）；．Pトー〉￠＝：！（P）

なる写像が定まる。D、（i 一＝ 1，2）がいずれも素噺分解半群であるから！を！：Dl→D・；d ・・ Hipiト！（d）一n・！（Pi）

によって束半群としてのIsomorphismusにまで拡大することができる。

4）ノ・φ1＝φ、を証明する：A∈1としてφ1（A）∈D，のpにおけるExponentをhとする。 E（p2）はE（p）に真に含まれているからB∈1，
一 133 一

徳山大学論叢

第33号

φ1（B）＝・ paで，α≦pでないBをとることができる。したがってE（ah）には含まれるがE（pah）には含まれないIdeal Uをとることができる。明らかにφ、（σ）はノ（p）の下にない。
￠i（AU） ＝＝ ￠i（A）￠i（U） 〈一一 phah＝＝ （pa）h ＝ ￠i（B）h＝ ￠i（Bh）であるから，（D，）によってAU＝CBhなるC∈1が存在する。これをφ、で写して￠2（A） ￠，（ U） ＝ ￠，（C） ￠，（B）h

一方においてφ、（B）≦！（p）でφ、（σ）はノ（p）の下にないからφ、（A）≦！（p）kとなる。これと全く対称的に考えればkがφ1（A）のpにおけるExponentであるための三十条件はφ、（A）の！（p）におけるExponentがhであることである。これによって！。φ、＝φ、であることが証明された。
上記ではφ1，φ、を共に左除法写像として証明したが，全く同じようにφ1，

φ、を右除法写像としてもよい。なお，この一意性はEを固定しての話であるからEを変えれば変る。
この章の参考文献：［M］。

皿 除法写像とOrdnungの整閉性

この章でもRを環とし0をRのOrdnungとする。記号1， E， H等は以前と同じで，Eについては4条件（1。）〜（4。）を仮定している。

1 除法写像とArtinの整閉性
まず次の定理を証明するが，注目すべき点は0はb‑Ordnungでなくてもよいことである。

一 134 一1990年6月 村田憲太郎：除法写像と代数的整閉性の関係について

定理3 0をRのOrdnungとする。0のEによる左除法写像が存在すれば，0はArtinのIdeal型整閉性をもつ。右除法写像が存在する場合も同様である。

証明 φ：1→D；Aト〉φ（A）をEによる左除法写像とする。Dから生成される自由Abel群をG（D）とし，φをHからG（D）へ延長する：σ一AM'， A∈1， M∈E，をHの任意のIdea1として￠（C）：＝一 ￠（A）￠（M）一iによってφ（0）を定義する。するとこれはCの表示には関係ない，つまりwohldefinitivである。その理由：C＝ BIVノ， B∈L！＞∈E，を同じσの表示とするときφ（σ）＝φ（B）φ（N）一1とするのであるからG（D）においてφ（A）φ（M）一1＝φ（B）・φ（N）一'が成立していることを見ればよい。そのた
あにφ（A）φ（M）一1，φ（B）φ（N）一1をreduziertにしておけばφ（A）φ（N）＝＝φ（B）φ（M）の両辺をそれぞれの素元分解したとき，φ（A）の素元因子とφ（B）のそれとは重複度もこめて全く一致し，φ（N）とφ（M）についても同様であることから保証される。

そこで（A、t）を示すためATn⊆0（n＝1，2，…）， A， T∈Hとする。A
∈1として差支えない。いまφ（A），φ（のの分解をそれぞれ
φ（A）＝pl（1）…pf（∂9鼻曾1）…9訂肌）， e（i）＞0φ（T）＝P｛（1）…P｛（'），P∫5i＋1）…P｛ω， ！（ノ）≧0とする。ここにPl，…，Prは両者に共通に現われる二元の全部とする。そこ
でφ（AT） ＝φ（A）・φ（T）nの素元分解におけるExponentを見ればe（h）＋nf（k） ＝〉 O （k‑1， …， r）

nf（1） I O （1‑r＋1， ・一， n）である。したがって！（8）≧0（s＝1，…，r，r＋1，…，n）となりφ（T）≦
一 135 一

徳山大学論叢第33号

φ（0）＝1，φ（T）∈Dとなる。ところでT＝AMノ， A∈1， M∈EとかけるからA＝TM，φ（A）＝φ（TM）＝φ（T）φ（M）となる。したがって，φが左除法写像であることからA一（MとなるC∈1が存在する。よって
TM一（M， T‑Cとなり（A、1）がなりたつ。右除法写像が存在する場合も同様に（A，r）がなりたつ。（A、1）と（A、，）とは同値であることは第5章でのべてある（証明終）。

2 PrUfer環の整閉性
種々の環についてEの選び方は様々なものが考えられる。いま非可換な環についても1っのOrdnung Oについてganzes Idealで有限生成なものは（その商環において）逆Idea1をもつ場合，この環（0またはその商環）を，可換環の場合と同様に，

PrUfer環ということにする。するとPr丘fer環においては任意のIdeal（両側）は有限生成なIdea1の和集合としてかけることは明白である。よって次の定理がなり立つ：

定理4 環RのOrdnung OをPrtiferとする。有限生成なganzes Idea1
全部の集合をFとする。全ganzes Idealの集合1のFによる左除法写像が存在すれば，0はArtinのIdea1型整閉性をもつ。右除法写像が存在する場合も同様である。

この定理の証明は定理3よりほとんど問題はない。ただFがわれわれの4条件（1。）〜（4。）をみたしているかどうかということを確認すればよい。そしてそれはいずれも易しいが，とくに（2。）はPr菰fer環の定義にすぎない。

補題4 u（R）∩0の元αに対して次の2条件は同値である。
（1）α0〒0βなる元β∈u（R）が存在する。
（2）α0＝0αである。

一 136 一1990年6月 村田憲太郎：除法写像と代数三七閉性の関係について証明 （2）⇒（1）は自明である。（1）⇒（2）を示す：α＝αβなるα∈0がある。

またβ＝αbなるb∈0があるからα・・ααb。α∈0βだからαα∈0β＝α0。よってαα＝ααノなるαt∈0がある。したがってα＝αα'b，αノa≠P．。同様にしてβ＝αわノβなるb'∈0がありαb' ＝＝1恥よってα，b共に0の単元である。とくにαが単元であることから0α＝0αβ＝0β＝α0である。

定理5 環RのOrdnung Oについて次がなりたつと仮定する。
（1）任意のα∈0∩u（R）に対してαO ・＝ Oα（2）任意のganzes ldeal AはU｛0α「α∈A∩u（R）｝によって生成される。

このとき0の｛0α1α∈u（R）∩0｝＝：Tによる除法写像があれば0はArtinのIdea1型整閉である。

定理6 環RのOrdnung Oが（両側Idealに関して）Hauptidealringであるとき，その全HauptidealをT：＝｛0α＝αOIα∈u（R）∩0｝とおく。

0のTによる除法写像が存在すれば，0はArtinのIdeal型整閉である。

上記の定理5，6は定理4の系として得られる。
RのOrdnung OがHauptordnungであるとす'る。 u（R）＝R＼｛0｝で，λ∈u（R）⇒λ一10λ⊆0とする。また次のようにおく：
G： ＝ ｛OZIZ E u（R）｝
E： 一＝ ｛Oala E u（R）n O｝
C： ＝ ｛OaBa‑iB‑ila，B．Ei u（R）｝
G／C： ＝ ｛K（OZ）：Klasse mit OZ｝

D： ＝ ｛K（Oa）1aE u（R） n O｝

このときσ。：E→D；Oαドφ（0α）一K（0α）は左また右除法写像にな
一 137 一

第33号

徳山大学論叢るか否か。また上記のEを0＼｛0｝と取りかえた写像をσ。とするときこれも左または右除法写像になるか否か。もし0が可換整合の場合は上のDはEと一致してσE，σ・は共に除法写像になる。とくにσ。は第3章でのべた
B‑S一写像である。これらのことは後に論述する予定である。なお上記可換整域の場合の実例としてはZ（全有理整数）、の場合があり，もちろん（A，h）
・（k＝1，r）の意味でArtinの整閉性があることは明白である。

3 逆の問題
この章の第1節における定理3の逆が一般に成立するか否かは不明であるが，ある極大条件のもとでは逆も正しいことが判る：

定理7 RのOrdnungを0とし条件（1。）〜（4。）をみたすEの存在を仮定する。div（1）；｛div（A）IA∈1｝においてTeilerkettensatzがあるとき，0がArtinのIdeal型整閉であれば，1のEによる除法写像が存在する。それは本質的にはdiv：'→div（1）；．Aト・div（A）によって与えられる。

証明 まず定理1でのべたdiv（H）が＊に関して群をつくることを証明する。いまdiv（B）を任意のdivisorisches Idea1とする。σ∈1を適当にとってA：＝div（B）・c⊆oとする。（o：A）1⊇oであるからdiv（A）＝（o：（o：A）1）1⊆（o：o），＝o。よってdiv（B）＊c∈div（1）。したがってdiv（のの元が＊に関して逆元をもっことを示せば十分である。そこで更めてdiv（A）∈div（1）としdiv（A）・（o：div（A））⊆σなる。∈g（E）をとる（存在については第3章第1節参照）。すると次の関係がなりたつ：
Cノ・div（A）・（O ．：div（A））⊆0ノ・σ＝O

C'．div（A） g （O ： （O ： div（A））t）t ＝＝ div（div（A））＝ div（A）
div（A） gl C． div（A）， div（A） g C． div（A） g C2．div（A）

一 138 一1990年6月 村田憲太郎：除法写像と代数的整閉性の関係について

これをつづけてdiv（A）⊆びdiv（A）となる。したがってM⊆div（A）なる任意のM∈EについてM⊆cdiv（A）⊆（c1）n・．M⊆div（A）⊆oがす

べてのn∈Nについてなりたつ。よってぴ⊆0となり0⊆σである。
このことから
Og n｛CE E 1 C？ div（A）．（O ： div（A））i｝＝ div（div（A）．（O ： div（A）），） g div O＝ O

したがって次の等式を得る：
div（A） ＊ （O ： div（A））t ＝ O

すなわち（o：div（A））1が＊に関してdiv（A）の逆元である。よってはじあに用意しておいたことから（div（H），＊）は群である。 div（H）は定理1

によって包含関係による順序に関して束であり束半群でもあるから難聴になる。そして条件完備であるから群として可換である（［F］のV，Theorem
18を参照）。ところがdiv（1）は， Teilerkettensatzによって，素元分解半群である。積はもちろん＊である。そこで

div ： 1．div（1） ； A F一〉 div（A）

が除法写像であることを示せば，定理2によって，本質的にはこれ以外の1のdiv（E）＝＝Eによる除法写像は存在しない。まず写像としてのdivは束半群としてのHomomorphismusを与えることは明白であるから第6章で与えた定義の2条件（D），（Dl）一（D，）が成立していることを示せばよい。（D）
として（p，）（第6章）の成立を示す。E（div（A））一｛σ∈Elc‑div（A）＊
1）fifr irgendeines Idea1 D∈div（1）｝とすればdiv（A）＝sup｛0∈E（div（A））｝であるから，E（div（A））＝E（div（B））であればdiv（A） 一 sup｛CE E（div（A））｝ ＝ sup｛CE E（div（B））｝ 一 div（B）である。すなわち（p、）が示された。つぎに，div（c）＝div（A）＊div（D）；
一 139 一

徳山大学論叢

第33号

σ，D∈E；A∈1とする。もちろんdiv（σ）＝c， div（D）＝Dであるから。＝div（A）＊D， cDノ＝c＊1）'＝div（A）である。 c＝div（A）・Dとなり他の条件も確かめられた。これにより写像divは1のEによる除法写像になっていることが判った（証明終）。

4 除法写像とOrdnungの極大性

これまでのべてきたことから次の一連の結果を得る。以下0はRのOrdnungで4条件（1。）〜（4。）をみたすEの存在を仮定する。

（1）0がb‑Ordnungであるとき，もし∬のEによる左除法写像または右除法写像が存在するならば0はm‑Ordnungである。
これは定理1と定理3によって明白である。

（2）0をmb‑Ordnungとする。 div（1）の元についてTeilerkettensatzがあれば，oにおいて除法理論が成立する。それは本質的には（L E， div， div（1））によって与えられる。

（3）0をPr廿fer環とする。0の∬（第2節を参照）による左除法写像または右除法写像が存在すれば0はm‑Ordnungである。

（4）0を可換整域とし，1を零Idea1以外の整Idealの全部の集合，そのう
ちHauptidealの全部の集合をEとする。0において除法理論（L E，φ，D）

が成立すれば0はNoetherの整閉性をもつ。
これを示すためまず
π：0＊一〇＼｛0｝→D；αトπ（α）一φ（α0）

がB‑S一写像（第4章）を与えることを示せば，あとの部分は［B‑S］Kap．

皿，§3，Satz 1によって明らかである。πは0＊からDへの半群としての一 140 一1990年6月 村田憲太郎：除法写像と代数的整閉性の関係について

Homomorphismusを与えることは明白。そこでもしπ（α）＝π（b）dなるDivisor dがあるとすれば，φ（α0）＝φ（bO）dであるからαO＝bO・Cな

るIdea1σが存在する。このとき適当なUi∈0， Ci∈σによってれれな

α＝ΣbUiCi＝b・ΣUiCi， ΣUiCi∈σ．

i＝l

i＝1

i＝1

となる。つぎにπ（α）≦d，π（b）≦dとすればπ（α＋b）＝φ（（α＋b）0）≦φ（α0）〉φ（わ0）≦d＞d＝dである。また△（d）＝｛α∈O'1π（α）≦d｝とするとき△（d1）＝△（d、）ならばd，＝d、を導くことができる。これでπがB‑S一写像であることが示された。

除法理論と整閉性の関係

以上論述したことから，除法理論と整閉性に関して次のSchemaを得る。

ただし一K→は可換環の場合のImplikation，石ずはdiv‑Idea1について
Teilerkettensatzのもとでの，また一而今はldealについてTeilerkettensatzのもとでのImplikationを示すものとする。

Borewicz‑Safarei6の除法理論（整域）

一K．

←1く一

Noetherの整閉性（diy T）

K K（T）

第6章で導入した除法理論

一→ ArtinのIdeal型整閉性（div T）

K
mb‑Ordnung

141徳山大学論叢第33号

0をRのOrdnungとし（1。）〜（4。）をみたすEがあるものとする。 Hニg（E）となるための三十条件はE＝1である。そしてそのための必十条件
は0に関して次の4条件がなりたつことである。
（a）0はm‑Ordnungである。
（b）1の元についてTeilerkettensatzがある。
（c）Primidealはすべて極大である。

（d）Primidealはdiv（A）一AなるAを含む。
ただし0がb‑Ordnungのときは（d）は不要である。
まず（a）〜（d）を仮定して，div（A）＝div（B）ならA＝Bを示す。 Pを任意のPrimidealとし， P⊇div（A）＝AなるAを分解する：A＝P，＊…＊Pn， div（P，）・≒o， P1…．P。⊆PであるからP，⊆PなるP，がある。よってP＝P、，div（P）ie oである。つぎに任意のB∈1，．B≒oをとればdiv（B）≒oである：もしかりにdiv（B）＝＝oとすれば， div（B）＝P1＊…＊P，⊆P，，div（P，），F o， div（B）⊆P、⊆o， P，一〇となって矛盾である。よって，

B⊆o，div（B）＝oならばB＝o。このことからdiv（A）＝div（B）ならばA＝．Bが導かれる。よってHは乗法群である。
つぎに∬が乗法群であるとする。A∈Hの逆元をA'とかく。またO、（A）＝｛x∈RlxA⊆A｝とかくことにすれば0＝AA'＝Oi（A）AAノニ
Oi（A）0＝Oi（A）。 Oi（A）をAの左Ordnungというが，右のOrdnung
O，（A）も同様に定義できてO，（A）一〇も示される。したがって0はm‑
Ordnungである。すなわち（a）が示された。いまA，⊆A、⊆…， A，∈Lを
Teilerketteとする。 A：＝U匹、A，とおけばA，．A'⊆．A、Aノ⊆…⊆AAノ；

0，U窪1（A，．4ノ）＝（U匹、A）A'＝．A4'＝0よって1．∈A。A'なるnがある。するとAn＝A， An＋1＝A，…となり（b）が示された。つぎにPをPrim‑

idealとし，これが極大でないとするとP⊆A⊆0， P≒A， A≒0なる

IdeaL4が存在する。 B：＝A'PとおくとB⊆A／A‑0でB≒A'A。そしてAB・＝P。しかもA，B共にPには含まれていない。 BがPに含まれていないことについては，もしB＝A／P⊆PとすればA'⊆0，A⊇0と一 142 一1990年6月 村田憲太郎：除法写像と代数的整閉性の関係についてなるからである。これで（c）が示されたb（d）についてはAとしてP自身をとればよい。

0がb‑OrdnungのときA∈1， A≒0なるAに含まれるu（R）の元をαとすれば0α⊇β0なるβ∈u（R）がとれる：Oα一'に対してβ0α一1なる

β∈u（R）∩0をとればよいからである。そこでA＝0β0とおけば（0：0α），＝α一io∈Aノ，0α＝（0：α一io）r⊇A。ところで．4ノ＝（0：A）rである：それは．ん4'一〇よりA'⊆（0：A）rであり他方A（0：A），⊆0＝，ん4'よりA'A（0：A）r⊆A'．ん4'。よって（0：A），⊆．A'したがってA＝

div（A）。このことから（d）は不要となる。
この章の参考文献：［F］，［J］，［L‑M］，［M］。

V皿半群の除法理論，除法類群

この章では半群（非可換）の除法理論と整閉性についてのべる。環を乗法に関する半群と見た場合に，ここで得られた結果は環に対して適用できることはもちろんであるが，それは前の章で得られた結果と深い関係にある。

1 2つのGabis対
一般に1っの集合Mの部分集合の全部のなす集合を9（M）で表わす。
さてSを単位元1，をもつ半群とする。積の可換性は仮定しない。Sの部
分半群Wで次の条件をみたすものを固定する：（1）Wは1，を含む。

（2）WはSのZentrumに含まれる。
（3）Wの各元は左右簡約元である。

このようなWの存在は｛1，｝によって保証されている。また具体例としては，体K上の多元環のOrdnungがKのOrdnungを含むとき，前者をS，後者をWと見立てたものがあり，これは重要な例となっている。
v‑ldealの概念を導入するため次のような写像σ，τ；σノ，τノを定義する：
一 143 一

第33号

徳山大学論叢a ： ．9er（S） 一〉 ．9V（SX W） ； XE ．9V（S）

Xト今σ（X）＝｛（ちλ）∈S×Wlxt‑cλ，∀x∈X｝
T： g（sx w） 一〉 g（s） ； AEg（sx w）

AhT（A）一 ｛N Ei SI yt‑dZ， V（t， Z）E A｝

すると次の性質がある：
Xi gX2 O o（Xi）2 a（X2）A，g A， ＝〉 T（A，） 2 T（A，）

Xg（Too）（X）， a（X） ＝＝ （aoToa）（X）
Ag（aoT）（A）， T（A） ＝＝ （ToooT）（A）

上のσ，τの定義においてxt＝cλの代りにtx・＝λcとし， Nt‑dλの代りにty＝λdとしてそれぞれ2種類の対応を定義することができる。それらをσ'，τノとかくことにする。σノ，τノについても上記の性質をもつ。よって（σ，τ）および（σノ，τノ）はいずれもGalois対（Galoische Zusammen‑hang）になっている。 Sが可換半群であればもちろんこの両者は一致する。

2 半群のv‑ldealと除法理論．AがSの部分集合で次の2条件をみたすとき，これをSの左（右）Idea1という。

（1） SA ＝＝ ｛xalxES， aEA｝gA（AS＝ ｛ax 1xE S， aE A｝ gA）（2）AはWの元を少なくとも1っ含む。
左（右）IdeaL4が条件をみたすとき，これを左（右）v‑ldea1という。

（3） （τoσ）（A）＝A（（τ'oσノ）（A）＝A）

左かっ右Idea1を単に

Idea1，左u一かっ右ひ一Idea1を単にう。これについて次の補題を得る。

一 144 一v‑Idealとい1990年6月 村田憲太郎：除法写像と代数的整閉性の関係について

補題5 任意元α∈Wに対してSα……αSはv‑ldealである。 AをIdealとする。（τ。σ）（A）＝（τ'。σ'）（A）であればAはv‑ldealである。

補題6 X∈y（S），X∩W≒φなるXについて， Xを含むすべてのv‑
Idealの共通分をV（X）とすれば， V（X）はv‑ldealである。

補題7 任意のv‑ldeal・AとBに対して
AoB： ＝ v（AB）

によって積

。

を定義すればv‑ldealの全部の集合Vはこの積と包含関係に関して束半群をつくる。とくにα∈WについてV（〈α〉）＝Sα≡αSであり（Sα）。（Sβ）＝（Sα）（Sβ）＝Sαβ（α，β∈W）となる。よって｛Sα1α∈W｝は積。

に関して半群（V，。）の部分半群である。

以上3つの補題の証明は一々nachprttfenすることができる。これらの補題を用いて次の定理を証明することができるが長くなりすぎるのでここでは実行しない。

定理8 1をSのIdea1の全部とし， T一｛Sα1α∈W｝とおく。1のTによる左除法写像φ、：1→Dが存在すると仮定する。A∈1に対してd（A）＝u｛x∈Ilφ1（X）＝φ（A）｝とすればd（A）＝d（B）⇒V（A）＝V（B）

がなりたつ。またA〜B⇔d（A）＝d（B）によって〜を定義するとき
1／〜が自然な積に関して群をつくるならば次がなりたつ：（1） d（A）一 V（A）

（2） e：D．V； d H＞ e（d） 一 U｛SZ 1 ￠（SA）S d｝

は（D，・，≦）から（V，。，⊆）への束Isomorphismusである。
（3） v＝ eo￠，以上は右についても同様である6
一 145 一

徳山大学論叢

第33号

V＝θ。φ．（φ．は1のTによる右除法写像）でもあるから，1のTによる除法理論は本質的には（LT，v，（V，。））以外には存在しない。とくに（1，・）＝（V，。）となる場合には．0は1個の素元から生成される巡回半群である。

3 束半群における除法類群
著者はすでに［M］において束半群における除法理論をのべたが，そこで発表しなかった除法二二（Divisorklassengruppe）について2，3の結果をのべておく。記号については［M］と同じであるから一々説明しない。

束半群しの部分半群Vによる除法写像φ：L→D；αhφ（α）の条件の一つ：（＊）d∈D⇒ヨXi∈V s． t． d＝V2＿1φ（Xi）

を除去して，代りに次の条件をおく：（＃）d，，d、∈D⇒ヨd，S．t．d，d，一φ（X），d、＞d、一e

このとき次がなりたつ：d∈D⇒ヨoo 1，00、∈Vs．t． d一φ（Xl）Vφ（）c，）

したがって㈲⇒（＊）であるから，このような写像は特殊な除法写像である。

いまDの2元d，，d、に対してd， ￠（x ，） ＝ d， ￠（x ，）， x，， x， E V

なるκ1，0c、があるときd，〜d、として同値を定義すれば，次の定理がなりた
つ：

定理9 D／〜＝｛K（d）1d∈1））は自然な積K（d，）・K（d、）一K（d，d・）に関して群をつくる。その単位元，逆元はそれぞれ下によって与えられる：
単位元：K（e）＝φ（V）＝｛φ（X）lX∈V｝
逆元：K（d）一1＝K（d'），dd＊＝φ（κ）， x∈v

一 146 一1990年6月 村田憲太郎：除法写像と代数的整閉性の関係について証明 φ（x）〜dとする。ただしκ∈V。するとφ（x）φ（．y）＝dφ（z）なるY，2∈Vがあるから，φ（xy）≦φ（z）よってay＝c2なる。∈しがある。したがってd＝：φ（c）∈φ（V）が示される。

つぎにdに対して♂♂＝φ（x），x∈V；dd'一φ（y），．y∈Vとするとd' ￠（N）＝d'ddt＝dノ・dd＊＝dノφ（X）

よって♂〜dt。したがってK（d）一1＝K（d＊）。

定理10 πg∈P（D）を任意に固定する。D／〜の湯元は｛K（π）1π≒π・，π∈P（D）｝にぞくする有限個の元の正ベキの積として表示される。

証明 n≧0を任意に固定した有理整数とする。d。π。＝φ（x）， oc∈Vな

るa。をとってd8とπ。に対してd8d一φ（〉，），y∈V，π。Vd‑eなるdをとるとK（d。）・K（π。）＝K（e）ニK（d。）n・K（d）であるからK（d）＝K（π。）nとなる。そこでD／〜の任意元K≒K（e）をとり，Kの任意元をan8， a＞
π。一eのようにかくとき，このπ。に対して上のようなdをとると次のよ
うになる：

K‑K（aπ8）＝K（α）・K（π。）n＝K（α）・K（の＝K（αのadV z。一e。 adは有限個の素元（≒π。）のべキ積にかけるから，これで定理は証明された。

定理11P（D）の任意有限個の任意の素元πlo），…，πso）を固定しておく。
ただしm＜＃（P（D））とする。D／〜の国元は｛K（π）1π≒πlo）， i‑1，…，m｝にぞくする有限個の元の正ベキ積として表示される。

証明 K∈D／〜，K≒K（e）としてd∈K， a∈K'iとする。 aと。：＝
πio）…π卿とに対し

一 147 一

徳山大学論叢

第33号

ab＝￠（x）， xE V； bVc＝e

なる元b∈Dがとれる。するとK（a）・K（b）＝K（e），K（d）K（a）＝K（e）

よりK（b）＝K（d）一K。そしてb一πfω…π野ωと分解したとき，π≒π￡o），（i＝1，…，r；k＝1，…，m）であってK‑K（π1）n（D…K（π．）n（「）， n（の＞0となる。

定理12（L，V，φ，D）を次の条件をみたす除法理論とする：（1） φ：L→DはEpimorphismusである。
（2）各π∈P（D）に対してπ＝φ（Xl）〉…Vφ（κn）なる元OOi∈Vが存在する。

（3）φ（x）≦φ（）7）；x，y∈Vならばx＝ayなる元。∈しが存在する。
このとき定理11がなりたっための必十条件はφが条件（＃）をみたすことである。

証明 まずd，，d，∈D；d，∈φ（V）でないとする。d∈D，d≒e，d，d＝φω，x∈Vなる．dがある。そこでd＜πなるπを除けば， c∈D， K（d）＝K（c），d，Vc＝eなる。がとれるからK（e）＝K（d，d）＝K（d，）・K（の＝K（d，）・K（c）一K（d，c）すなわちd，c一φ（x）なるx∈vが存在する。そこで定理11の証明のようにすればよい。

逆にP（D）の任意有限個の任意の素元をπ1，…，πmem〈＃（P（D））とする。任意のK（d）に対して，（＃）によって，da一φ（x），）c∈Vなるaがある。そこでb：＝π1…π．とおくと，また（＃）によってab＝φ（N）， N∈V，

bVc＝eなる。∈Dがある。したがってK（a）K（d）＝K（αの＝K（ac）＝K（a）K（c）

一 148 一1990年6月 村田憲太郎：除法写像と代数的整閉性の関係について

よってK（の＝K（c）。そして。はbの素因子π・で割れない（証明終）。

P（D）＝｛π1，…，π隷のときはad＝φ（x）， x∈V， b＞π1…π吊＝eな

るbはすべてのπiに対しbV rri‑e。よってb＝eとなりd＝φ（x）， x∈V。すなわちすべてのDivisorはHauptdivisorである。
以上この節でのべた除法類群の結果は，環の場合にも半群の場合にも適用できる。
（1990年3月1日，於黎杖庵）

文献［B］G．Birkhoff：Lattice theory， Amer． Math． Soc． Colloquium Publ．

V．XXV（Third Edition）（1979）．
り［B‑S］S．1．Borewicz
and I． R． Safareviさ：Zahlentheorie， Mathematische

Reihe Bd．32， Birkhauser Verlag（1966）．

［F］L．Fuchs：Partially ordered algebraic systems， International Seriesof Monographs in Pure and Applied Math． V．28， Pergamon Press（1963）．

［J］N．JacQbson；Theory of rings， Amer． Math． Soc． Math． Surveys V．

2，Providence（1968）．

［L‑M］M．D．1．arsen and P． J． McCarthy：Multiplicative theory ofideals， Pure and Appli♀d Math． V．43， Academic Press（1981）．

［M］K．Murata：Adivisor theory and integrally closed orders， Algebra
Universalis V，16， Birkhtiuser Verlag（1983）．

［M‑R］G．Maury et J． Raynaud：Ordres maximaux au sens de K． Asano，Lecture Note in Math．808， Springer Verlag（1980）．

［R］1．Reiner：Maxima10rders， London Math． Soc． Monographs V．5，
Academic Press（1975）．

［W］B．L． van der Waerden：Algebra II（F廿nfte Auflage d． Moderne
Algebra）Springer Verlag（1967）．
149