格子めぐり
北海道大学 大学院理学研究科

松本圭司

September 19, 2004
Abstract
我々の身の回りにはいろいろな格子があり、人知れず生活の役に立っている。この講演では数学的な格子の定義を与え、基本的な性質を解説する。理解を深めるために、いろいろな格子をコンピューター画像や模型を利用して紹介する。そして格子理論と深くかかわる玉詰問題、接玉問題、玉覆問題についてふれる。数多くの未解決問題が残っているこれらの問題に関するエピソードや現在までの研究の歴史を紹介する。

1

格子の定義

d 個の実数の組 X = (x1 , . . . , xd ) たちの集合 Rd で、以下のような１次結合と距離が定義されているものを d 次元ユークリッド空間という。
aX + bY = (axp 1 + by1 , . . . , axd + byd )(x1 − y1 )2 + · · · + (xd − yd )2||X − Y || =ここで X = (x1 , . . . , xd ), Y = (y1 , . . . , yd ) ∈ Rd , a, b ∈ R とする。
２次元ユークリッド空間 R2 は座標平面のことであり、３次元ユークリッ
ド空間 R3 は座標空間のことである。４次元ユークリッド空間 R4 は集合的には
R4 = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) | x1 , x2 , x3 , x4 ∈ R}であり、第４の座標がある。
定義 1 r 個の Rd の元

E1 = (e11 , . . . , e1d ),E2 = (e21 , . . . , e2d ),..
.
Er = (er1 , . . . , erd ),をとり、E1 , . . . , Er たちの整数係数の１次結合全体の集合

L = {n1 E1 + · · · + nr Er | n1 , . . . , nr ∈ Z} ⊂ Rd
を格子という。
いろいろな格子やそれらの性質を紹介する。

1

22 次元格子

２次元平面 R2 の原点 O = (0, 0) と２点

A = (a1 , a2 ),B = (b1 , b2 )が一直線上にないとする。
定義 2 集合

L = {m(a1 , a2 ) + n(b1 , b2 ) ∈ R2 | m, n ∈ Z}
を２次元格子という。
集合

H = {u(a1 , a2 ) + v(b1 , b2 ) | 0 ≤ u, v ≤ 1}をこの格子 L の基本平行四辺形といい、その面積を格子 L の行列式といいdet(L) で表す。

Bb¤¤bb¤¤¤基本平行四辺形 ¤¤¤¤b¤b¤­ρ ªOA¤bbbb

原点 O と O 以外の格子の点 P との最短距離の半分

ρ=1min ||P − O||
2 P ∈L−{O}をこの格子 L の詰め込み半径という。格子 L の点 P を中心とする合同な円たちを描くとき、互いに交わらないようになる最大半径が格子 L の詰め込み半径である。
R2 の点 X に対し、X に最も近い格子 L の点 P との距離

min ||XP ||P ∈L

を点 X と格子 L との距離という。点 X と格子 L との距離が最大となる R2の点 X を L の最深穴といい、その最大距離 R をこの格子 L の被覆半径という。格子 L の点 P を中心とする合同な円たちを描くとき、それらの円たちで平面 R2 が覆われる最小半径が格子 L の被覆半径である。
格子 L の点 P に対し、平面 R2 の点 X で P と X との距離が格子 L のP 以外の任意の点 Q と X との距離以下となるものの集合

NP = {X ∈ R2 | ||X − P || ≤ ||X − Q||, for P 6= ∀ Q ∈ L}
2B
Xr bPpbp
pp p
Xと L との距離pppp
pppppp ½p½
p p XXXpppp p XX
½ ppppp p p ppp pp NO (原点の近隣域)
pbp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p ppppppbppppp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pb
AR ppppp Op p p p ppppppp½
XX ppp p½pp
最深穴pXpp XX½ ppppppp
pp ppppppbp
bpbp p ppbppp

を P の近隣域という。
中心 P の円で近隣域 NP に含まれるものの最大半径が詰め込み半径で、近隣域 NP を含むものの最小半径が被覆半径である。
また、格子 L の点 P と Q に対し、近隣域 NP と近隣域 NQ とは合同で、R2 は NP たちで覆われる。
例 1 (正方格子)

A = (1, 0), B = (0, 1)
として得られる格子

L = {(m, n) ∈ R2 | m, n ∈ Z}
は正方格子と呼ばれる。
6bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb-正方格子
例 2 (六角格子)√1 3)
A = (1, 0), B = ( ,2 2として得られる格子√13L = {(m + n,n) ∈ R2 | m, n ∈ Z}
22は六角格子と呼ばれる。

3

6bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb-bb

六角格子
正方格子では行列式は 1、 近隣域 NP は１辺の長さが 1 の正方形で、詰め込み半径が 21 , 被覆半径が √12 である。
√六角格子では行列式は 23 、近隣域 NP は１辺の長さが √13 の正六角形で、詰め込み半径が 12 , 被覆半径が √13 である。

正方格子と六角格子に対する基本平行四辺形と近隣域格子と関係する古来からの有名な問題がある。

4

問題 1 (円覆問題) ２次元平面を合同な円たちで最も経済的に覆い尽くす手段を見つけよ。
問題 2 (円詰問題) ２次元平面に合同な円たちを最も密に詰め込む手段を見つけよ。
実は [円覆問題] と [円詰問題] はかなりの難問であった。これらの問題の難しさを解説した論文もある。
[円覆問題] が解決したのは 1939 年で R. Kershner による。[円詰問題] が解決したのは 1940 年で L. Fejes による。
いずれも円の中心を六角格子の点に配置すれば良い。六角格子がいかに優れているかは、正方格子と比べてみればよくわかる。

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正方格子と六角格子による円覆

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正方格子と六角格子による円詰

2.13 次元格子

３次元空間 R3 内の原点 O = (0, 0, 0) と３点

A = (a1 , a2 , a3 ),B = (b1 , b2 , b3 ),が一つの平面上にのらないとする。

6C = (c1 , c2 , c3 )

定義 3 集合

L = {lA + mB + nC ∈ R3 | l, m, n ∈ Z}

を３次元格子という。
３次元格子に対しても２次元格子と同様に、行列式、詰め込み半径、被覆半径、近隣域、等が定義される。
例 3 (立方格子)

A = (1, 0, 0),

B = (0, 1, 0),

C = (0, 0, 1)として得られる格子を立方格子という。

L = {(n1 , n2 , n3 ) ∈ R3 | n1 , n2 , n3 ∈ Z} = Z3となっている。この格子の行列式は 1 である。詰め込み半径は 21 で、被覆√半径は 23 である。近隣域は一辺の長さが１の立方体である。

立方格子とその近隣域の Stereographic Figures
立方格子を用いてパズルを作った。合同な立方体５個の面どうしを貼りあせて得られる立体は全部で２９通りある。２９は素数なのでこれらを全て用いて直方体は作れないが、余分があったり欠落していたりする直方体は構成できる。

7

パズルの構成例
高校の化学で習う光学異性体は、３次元空間内では一般に鏡に映して得られる物体はもとの物体の平行移動と回転では実現できないことから生じる。
このパズルにより、その事情を遊びながら実感することができる。
この講演の最後にクイズを出して、正解者から１名、参加者全員から１名を抽選で選びこのパズルを進呈した。
例 4 (体心立方格子)

A = (2, 0, 0),

B = (0, 2, 0),

C = (1, 1, 1)

として得られる格子を体心立方格子という。体心立方格子はL = {(n1 , n2 , n3 ) ∈ Z3 | n1 + n2 , n2 + n3 , n3 + n1 は偶数 }となっている。立方格子にその近隣域の頂点を加えて得られる格子を２倍に拡大したものとみなすことができる。この格子の行列式は4 である。詰め込√√35
み半径は 2 で、被覆半径は 2 である。
体心立方格子の近隣域は正８面体の頂点を切り落とした立体で、境界面は８枚の正６角形と６枚の正方形からなる。 ３次元空間がこの立体ですきまなく覆われることも見て確認してほしい。

8体心立方格子の近隣域の Stereographic Figures

体心立方格子の近隣域による３次元空間の被覆問題 3 (玉覆問題) ３次元空間を合同な球たちで最も経済的に覆い尽くす手段を見つけよ。
体心立方格子の点に球の中心を配置する手段が現在知られているなかで、一番経済的な手段である。私の知る限りそうであることの証明は未だ存在しない。
例 5 (面心立方格子)

A = (2, 0, 0), B = (1, 1, 0), C = (0, 1, 1)
として得られる格子を面心立方格子という。面心立方格子は以下のような集合となる。
L = {(n1 , n2 , n3 ) ∈ Z3 | n1 + n2 + n3 は偶数 }.

9立方格子に各立方体の面の中心を加える得られる格子を２倍に拡大したものとみなすことができる。この格子の行列式は 2 である。詰め込み半径は √12で、被覆半径は 1 である。

面心立方格子の Stereographic Figures
面心立方格子において、原点から最短距離の点は(0, ±1, ±1),(±1, 0, ±1),(±1, ±1, 0)

で１２個ある。上図に現れている多面体は、これらの１２個の格子点を頂点とするものであり、中心にある原点の近隣域とは異なる。原点の近隣域は、これらの１２個の点たちと原点との垂直２等分面により構成される。それは菱形１２面体とよばれる立体で、境界面は１２枚の合同な菱形で、２４本の辺と１４個の頂点ある。３次元空間がこの立体ですきまなく覆われることも見て確認してほしい。

面心立方格子の近隣域の Stereographic Figures10面心立方格子の近隣域による３次元空間の被覆問題 4 (玉詰問題) ３次元空間に合同な球たちを最も密に詰め込む手段を見つけよ。

Kepler が「面心立方格子の点に球の中心を配置する手段がこの問題の１つの答えである」と予想した。

面心立方格子の点に球の中心を配置する玉詰11

この予想は、1997 年に Thomas C. Hales と Samuel P. Ferguson により解かれた。2002 年の ICM (４年に１度開かれる国際数学者会議) で講演されている。文献 [H1],[H2] を参照。
文献 [Ba],[PZ] にあるように、この方面の研究が近年めざましい進歩を遂げている。
問題 5 (接玉問題) 球に合同な球たちをできるだけ多く接するように配置する手段を見つけよ。
接玉問題の答えとして、I. Newton は１２個であると予想した。一方、1694年に D. Gregory は１３個置けるのではないか (Oxford のキリスト教教会にあるノートに記している) と予想した。１３球問題として後世に伝えられた。
面心立方格子において、原点から最短距離の点は１２個あった。これらの１２点に球の中心をおけば、みな原点にある球に接している。この手段以外にも１２個の球が中心にある球に接するように配置する手段はたくさんある。隙間がかなり生じることを確認してほしい。

実はこの問題は１９世紀に１２個であることが証明された。J. Leech が初等的な証明を 1956 年に与えている。その証明は [Ma] に詳しく紹介されている。

2.2４次元格子

4 次元格子に対しても行列式 det(L)、詰め込み半径 ρ、被覆半径 R、近隣域が同様に定義される。
例 6 (４次元立方格子)

E1 = (1, 0, 0, 0),

E2 = (0, 1, 0, 0),12E3 = (0, 0, 1, 0),

E4 = (0, 0, 0, 1)

として得られる格子を４次元立方格子という。

L = {(n1 , n2 , n3 , n4 ) ∈ R4 | n1 , n2 , n3 , n4 ∈ Z} = Z4となっている。この格子の行列式は 1 である。詰め込み半径は 12 で、被覆半径は 1 である。近隣域は一辺の長さが１の４次元立方体である。
４次元立方体は見せることはできないが、その展開図は作成できる。

４次元立方体の展開図
例 7 (D4 型格子)

E1 = (−1, −1, 0, 0), E2 = (1, −1, 0, 0),
E3 = (0, 1, −1, 0), E4 = (0, 0, 1, −1)
として得られる４次元格子を D4 型格子という。D4 型格子はL = {(n1 , n2 , n3 , n4 ) ∈ Z4 | n1 + n2 + n3 + n4 は偶数 }となっている。この格子の行列式は 2 である。詰め込み半径は √12 で、被覆半径は 1 である。
近隣域は境界が２４個の正８面体からなる正２４胞体である。この展開図を紹介する。

13

正２４胞体の展開図
問題 6 (４次元接玉問題) ４次元空間内の球に合同な球たちをできるだけ多く接するように配置する手段を見つけよ。
４次元接玉問題の答えは、24 か 25 であることが知られていたが、最近
O.R. Musin により 24 であることが証明された、 [Mu], [T] を参照。正２４胞体の中心に４次元球を置き正２４胞体の２４個の頂点にその他の４次元球を配置する手段、つまり D4 型格子が４次元接玉問題の答えを与える。
懸賞問題 正２４胞体には何本の辺があるか。
(1) 288 本 (2) 144 本 (3) 96 本 (4) 72 本
ヒント
正２４胞体には正三角形は 96 ある。
計算方法
正２４胞体は正８面体２４個が２つの面で貼り合っている。１つの正８面体には正三角形は８枚あるので8 × 24 ÷ 2 = 96として求められる。

14正解 (3) 96 本
計算方法
正２４胞体は正８面体２４個が貼り合っている。正８面体には辺は１２本あり、１本の辺には３個の正８面体が集まっているので12 × 24 ÷ 3 = 96として求められる。

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