三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(対流物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

２．対流物質移動
２．１ 境膜モデル①濃度分布

流体塊の移動とともに物質が輸送される物質移動機構を対流物質移動という。たとえば、角砂糖を水中で撹拌溶解させるような、固液間での物質移動を考える。流体本体側では、流体の混合が良好であり、物質が迅速かつ均一に伝わるため、定常条件下では濃度分布は存在せず、溶質濃度一定とみなすことができる。一方、固体近傍では、流体の流れに乱れが無く、層流状態にあることから、分子拡散にしたがって溶質が輸送される。分子拡散の推進力は濃度差であるため、固体近傍では濃度変化が生じるとともに、物質移動抵抗が発生する。対流物質移動抵抗のすべてが集約された仮想的な領域を境膜という。固体近傍における実際の濃度変化は曲線的だが、境膜の概念を用いると濃度変化を近似的に直線で表せるため、取り扱いが容易になる。
流体中の拡散成分 A が断面積 S [m2]、厚み Δz [m]の微小空間を定常拡散する場合の物質収支式を導く。
S z

0

CA
t

NA z z S NA z z

NA z z NA z z

CA
t

z

z

dNA
dz

0

dN A
dz

Δz

dCA
dz

0

NA

DAB

dCA
dz

C1

…(2.1.5)

CA C1z C2…(2.1.1)

zS

0…(2.1.2)

N A ( z Δz) N A ( z )0( z Δz) z

lim

CA
z

lim

Δz

N A z z Δz

0

NA z zΔz…(2.1.3)…(2.1.4)…(2.1.6)

境界条件 z=0 のとき CA=CAi(界面)、z=δ(境膜厚み)のとき CA=CAb(流体本体)を満たす濃度分布式は、次式のように導かれる。

C2 CAi…(2.1.7)

CAb C1CAi…(2.1.8)

C1 (CAb CAi )…(2.1.9)

CA (CAb CAi )(z ) CAi
CA CAiCAb CAiz…(2.1.10)…(2.1.11)

境膜内の濃度分布は、直線で表される。
②物質移動流束 境膜内の等モル相互拡散流束は、次式のように表される。
yA2 )

kG ( pA1

pA2 )kC (CA1 CA2 ) [mol/(m2･s)]（気相内拡散） N A

k y ( yA1

（液相内拡散） NA

kx (xA1 xA2 ) kL (CA1 CA2 ) [mol/(m2･s)] …(2.1.13)

1…(2.1.12)

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kC

DAB PT DAB CT[mol/(m 2･s)]
RT
DAB[mol/(m 2･s･Pa)]
RT
DAB
[m/s]

ky

kG CT RT

ky
kG

kx
kL
kx

DL CavDL

kC CT [mol/(m 2･s)][mol/(m 2･s)][m/s]

k L CavkL( 1 M av,1 ) ( 2 M av,2 )2[mol/(m 2･s)]

境膜内の一方拡散流束は、次式のように表される。
yA2 )

kG ( pA1

pA2 )kC (CA1 CA2 ) [mol/(m2･s)]（気相内拡散） N A

k y ( yA1

（液相内拡散） NA

kx (xA1 xA2 ) kL (CA1 CA2 ) [mol/(m2･s)]ky

DAB PT
RT yB,lmkG

DAB PT[mol/(m2･s･Pa)]
RT pB,lm

kC

DABCT
DAB
[m/s]
[m/s]
CB,lm

ky

kG CT RTkx

DL CavDL Cav[mol/(m 2･s)][mol/(m 2･s)]
xB,lm

kL

DL Cav
DL
[m/s]
[m/s]
CB,lm

kx

k L Cav…(2.1.14)…(2.1.15)

DABCT
DABCT
[mol/(m2･s)][mol/(m2･s)]
yB,lm
DAB
[mol/(m2･s･Pa)]
RT

kCCT [mol/(m2･s)]kL( 1 M av,1 ) ( 2 M av,2 )2[mol/(m 2･s)]

表 2.1.1 定常状態における２成分系の境膜物質移動流束
等モル相互拡散
気相
内拡
散

yA2 )

ky

NA kG ( pA1 pA2 )kG

NA kC (CA1 CA2 )

kC

NA

ky

k y ( yA1

kG CT RTDAB PT
RT
DAB
RT
DAB

一方拡散

DABCT

kC CT

yA2 )

ky

DAB PT
RT yB,lm

NA kG ( pA1 pA2 )kG

DAB PT
RT pB,lm

NA kC (CA1 CA2 )

kC

DABCT
CB,lm

NA

ky

2

k y ( yA1

kG CT RT

kC CT

DAB CTyB,lm

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液相
内拡
散

NA

kx ( xA1 xA2 )kx

NA kL (CA1 CA2 )

kL

kx

kLCav

DLCav

kx ( xA1 xA2 )kx

DL CavxB,lm

NA kL (CA1 CA2 )kL

DL Cav
CB,lm

NA

DL

kL [( 1 M av,1 ) ( 2 M av,2 )] 2

kx

kLCav

kL [( 1 M av,1 ) ( 2 M av,2 )] 2

２．２ 境膜物質移動係数①次元解析 境膜物質移動係数 k は、流動状態(u)、流体特性(ρ, μ)、輸送物性(D)、装置寸法や固体粒径(L)などの影響を受ける。工学的には、これらの影響因子を無次元化した関係式を導いてこれを推算式の基本構造とし、式中のべき乗や比例定数を実験的に求める。次元解析を用いて推算式の基本構造を導く。
物質移動係数(k)、流動状態(u)、流体特性(ρ, μ)、輸送物性(D)、代表径(L)の関係は、次式で表される。
k=KuaρbμcDdLe …(2.2.1)
ただし、D は拡散係数[m2/s]、K は定数[－]、L は代表径(管径、槽径、粒径)[m]、u は流速[m/s]、ρ は流体
密度[kg/m3]、μ は流体粘度[Pa･s]。
与式の単位を M(質量)、L(長さ)、T(時間)の次元に置き換える。
k [m/s]=[LT－1] …(2.2.2)
ua [m/s]a=[LT－1]ab－3 b…(2.2.3)－3 b

ρ [kg･m ] =[ML ]…(2.2.4)

μc [Pa･s]c=[(N/m2)･s]c =[{(kg･m/s2)/m2}･s]c =[kg･m－1･s－1]c=[ML－1T－1]cdD[m2/s]d=[L2T－1]d

Le [m]e=[L]e…(2.2.5)…(2.2.6)…(2.2.7)

質量(M)の項について両辺を比較する。
0=b＋c …(2.2.8)
長さ(L)の項について両辺を比較する。
1=a－3b－c＋2d＋e …(2.2.9)
時間(T)の項について両辺を比較する。
－1=－a－c－d …(2.2.10)
全因子数(a～e の 5 個)から数式の数(上の 3 式)を引いた因子数(5－3=2 個)を定数とみなして固定する。aと b を定数とみなすと、残りの c, d, e は、次式のように導かれる。
c は、質量(M)の式より導く。
c=－b …(2.2.11)
d は、時間(T)の式より導く。
d=1－a－c=1－a－(－b)=1－a＋b …(2.2.12)
e は、長さ(L)の式より導く。
e=1－a＋3b＋c－2d=1－a＋3b＋(－b)－2(1－a＋b)=1－a＋3b－b－2＋2a－2b=－1＋a …(2.2.13)
与式に代入して各項のべき乗を整理する。
k=Kuaρbμ－bD1－a+bL－1+a…(2.2.14)
3

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k=K(Lu/D)a(Dρ/μ)b(D/L)…(2.2.15)a－bk=K[(Luρ/μ)(μ/ρD)] (μ/ρD) (D/L)
kL/D=K(Luρ/μ)a(μ/ρD)a－b
Sh

KRe Sc…(2.2.17)

kL
, Re
D

Sh

…(2.2.16)

Luρ
, Sc
μ

μ
D

…(2.2.18)

D②シャーウッド数 シャーウッド数 Sh は、①分子拡散流束に対する相対的な対流物質移動流束(対流物
質移動と分子拡散が同時に起こっている条件下での無次元一方拡散流束）、②濃度境膜厚みに対する相対的な代表長さ(管径、粒径、装置長)を表す。

kC LpB,lm

対流物質移動流束
気相分子拡散流束

kG ΔpA(DAB PT RTLpB,lm )ΔpA

対流物質移動流束
気相分子拡散流束

kCΔCA(DABCT LCB,lm )ΔCAkC LCB,lm

対流物質移動流束
液相分子拡散流束

kL ΔCA(DLCav LCB,lm )ΔCAkL LCB,lm

対流物質移動流束
分子拡散流束kΔ C(D L )ΔC

代表長さ
濃度境膜厚み

L

L

D k

Sh

kL
D

kC L
DAB

DAB PTDABCTDLCavSh (希薄条件 pB,lm/PT≒1)…(2.2.19)

kC L
DAB

Sh

(希薄条件 CB,lm/CT≒1)

kL L
DL

Sh

(希薄条件 CB,lm/Cav≒1) …(2.2.21)…(2.2.20)(一般式) …(2.2.22)

Sh…(2.2.23)

シャーウッド数の代表値は、気相内拡散の場合で代表長さ L の 1000 倍程度(Sh=kCL/DAB=10 － 2L/10 －5=1000L)、液相内拡散の場合で１万倍程度(Sh=k L/D =10－5L/10－9=10000L)である。
L
L③シュミット数 シュミット数 Sc は、①物質の輸送能力に対する運動量の輸送能力(物質移動と運動量移動が同時に起こっている条件下での)、②速度境界層厚みに対する濃度境界層厚みの比、を表す。
運動量の輸送能力
物質の輸送能力

濃度境界層厚み
速度境界層厚み

D

D

D

C

(U x D )lM(U x )m…(2.2.24)

Sc
n

D

Sc n

…(2.2.25)

運動量の輸送能力に相当する動粘度 ν は、流体内部で発生する応力の伝わりやすさを表す。値が大きい
ほど遠くの静止流体をいち早く動かすことができる。
シュミット数の代表値は、気相内拡散の場合で 1 程度(Sc=ν/DAB=10－5/10－5=1)、液相内拡散の場合で 1000程度(Sc=ν/DL=10－6/10－9=1000)である。

２．３ 無次元数
物質移動論で重要となる無次元数を以下に整理する。
シャーウッド数 Sh(=kL/D)は、分子拡散流束(=(D/L) C)に対する対流物質移動流束(=k C)の比で定義
され、対流物質移動と分子拡散が同時に起こる条件下での相対的な対流物質移動性能を表す。
シュミット数 Sc(=ν/D)は、速度境界層厚み(=δM∝(VL/ν)m)に対する濃度境界層厚み(=δC∝(VL/D)l)の比4

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で定義され、物質移動と運動量移動が同時に起こる条件下での相対的な運動量移動性能を表す。
レイノルズ数 Re(=LV/ν)は、粘性力(τA∝(μV/L)L2=μVL)に対する慣性力(ma=m(V/t)=mV/(L/V)=mV2/L∝(ρL3)V2/L=ρL2V2)の比で定義され、流体の流動状態を表す。
フルード数 Fr(=V2/gL)は、重力(mg∝ρL3g)に対する慣性力(ρL2V2)の比で定義され、渦流の形状や寸法(発達の程度)を表す。
ぺクレ数 Pe(=LV/D)は、拡散速度に対する移流速度の比で定義され、相対的な対流物質移動量を表す。レイノルズ数とシュミット数の積で表される(Pe=Re･Sc)。
ウェーバー数 We(=ρLV2/σ)は、界面張力(σL)に対する慣性力(ρL2V2)の比で定義され、気泡や液滴の形
状や寸法(分裂の程度)を表す。
ボンド数 Bo(=ρgL2/σ)は、界面張力(σL)に対する浮力(ρL3g)の比で定義され、気泡や液滴の寸法を表す。
ガリレイ数 Ga(=gL3/ν2)は、粘性力に対する重力の比で定義される。

２．４ 模型よりの物質移動①円管よりの物質移動 垂直円管の内壁を流れる液膜と管内を流れるガスを接触させて吸収・放散を行う場合に相当する。いずれも対流伝熱における推算式と類似する。
気相系と液相系の層流域に対しては、次式がある。[文献 1]Sh

1.86 Re1/ 3 Sc 1/ 3

D
L

1/ 3

Sh

kD
,Re
D

Du

, Sc

D

(10<Re<2000) …(2.4.1)

気相系の乱流域に対しては、Gilliland and Sherwood の式がある。[文献 2]
Sh

0.023 Re 0.83 Sc 0.44

Sh

kC DpB,lm

DAB PT(2000<Re<35000) …(2.4.2)

液相系の乱流域に対しては、Linton and Sherwood の式がある。[文献 3]Sh

0.023 Re 0.83 Sc1/3

Sh

kL D
DL

(2000<Re<35000) …(2.4.3)

ただし、D は管内径[m]、L は管長[m]。

【計算例(円管よりの物質移動)】
垂直円管(内径 20 mm, 管長 2000 mm)の内壁に水を膜状で流しておき、12 vol%アンモニアガス(密度 1.14kg/m3, 粘度 18.5 μPa･s)を平均流速 3 m/s で向流に流して 1 気圧 40℃の条件下で液膜に吸収させる。管出口側のアンモニアガス濃度が 1 vol%のとき、ガス側境膜物質移動係数 kG [mol/(m2･s･Pa)]、物質移動流束
NA [mmol/(m2･s)]、物質移動速度 WA [mmol/s]を求めよ。ただし、空気中におけるアンモニアの気相拡散係数は 2.4×10－5 m2/s である。
ν=μ/ρ=18.5×10－6/1.14=1.6228×10－5 m2/s
Re=Duρ/μ=Du/ν=(0.020)(3)/(1.6228×10－5)=3697.3
Sc=ν/DAB=1.6228×10－5/2.4×10－5 =0.67616
Sh=0.023Re0.83Sc0.44=(0.023)(3697.3)0.83(0.67616)0.44=17.713
yA1=nA1/nT=(pVA1/RT)/(pVT/RT)=VA1/VT=0.12
5

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yA2=nA2/nT=(pVA2/RT)/(pVT/RT)=VA2/VT=0.01
pA1=PTyA1=(1)atm(0.12)=0.12 atm
pA2=PTyA2=(1)atm(0.01)=0.01 atm
pB1=PT－pA1=1－0.12=0.88 atm
pB2=PT－pA2=1－0.01=0.99 atm
pB,lm=(pB1－pB2)/ln(pB1/pB2)=(0.88－0.99)/ln(0.88/0.99)=0.93392 atm
kC=ShDABPT/(DpB,lm)=(17.713)(2.4×10－5)(1)/[(0.020)(0.93392)]=0.022759 m/s
kG=kC/RT=(0.022759)/[(8.314)(313.15)]=8.7415×10－6≒8.74×10－6 mol/(m2･s･Pa)
NA=kG(pA1－pA2)=(8.7415×10－6)(0.12－0.01)atm(101325)Pa/atm=0.097430 mol/(m2･s)≒97.4 mmol/(m2･s)
AT=2π(D/2)L=2π(0.020/2)(2.00)=0.04π m2
WA=NAAT=(0.097430)(0.04π)=0.012243 mol/s≒12.2 mmol/s②平板よりの物質移動 溶媒に可溶または昇華性のある板状粒子をそれと平行に流れる流体中に溶解・昇華させる、あるいは可溶性または揮発性物質を平板に塗布してそれと平行に流れる流体中に溶解・蒸発させる場合に相当する。
気相系に対しては、Sherwood and Pigford の式がある。[文献 4]
Sh

0.664 ReL1/ 2 Sc1/3

Sh

kC L
,ReL
DAB

Lu

Sh

0.0365 ReL 0.8 Sc1/3

Sh

kC L
,ReL
DAB

Lu

, Sc

DAB

, Sc

DAB

(ReL<2×105) …(2.4.4)(ReL>2×105) …(2.4.5)

液相系に対しては、Litt and Friedlander(フリードレンダー)の式がある。[文献 5]Sh

0.99 ReL1/2 Sc1/3

Sh

kL L
,ReL
DL

Lu

, Sc

DL

(600<ReL<5×105) …(2.4.6)

ただし、L は流れ方向に対する平板の代表長さ[m]。

【計算例(平板よりの物質移動)】
薄い平板状の固体ナフタレン(分子量 128, 10 cm 四方)を純粋な空気中(密度 1.29 kg/m3, 粘度 16.0 μPa･s)に
1 気圧 0℃の条件下で昇華させる。平板に対して平行に流れる空気の平均流速が 3.5 m/s のとき、ガス側
境膜物質移動係数 kG [μmol/(m2･s･Pa)]、物質移動流束 NA [μmol/(m2･s)]、物質移動速度 WA [μg/s]を求めよ。
ただし、固体ナフタレンの昇華圧は 0.786 Pa(希薄条件)、空気中におけるナフタレンの気相拡散係数は0.51×10－5 m2/s である。昇華に伴う固体ナフタレンの減少量は、十分に小さいものとする。
ν=μ/ρ=16.0×10－6/1.29=1.2403×10－5 m2/s
ReL=Luρ/μ=Lu/ν=(0.10)(3.5)/(1.2403×10－5)=28218
Sc=ν/DAB=1.2403×10－5/0.51×10－5=2.4319
Sh=0.664ReL1/2Sc1/3=(0.664)(28218)1/2(2.4319)1/3=149.99
pB,lm≒1 atm (希薄条件)
kC=ShDABPT/(DpB,lm)=ShDABPT/(LpB,lm)=(149.99)(0.51×10－5)(1)/[(0.10)(1)]=0.0076494 m/s
kG=kC/RT=(0.0076494)/[(8.314)(273.15)]=3.3683×10－6 mol/(m2･s･Pa)≒3.37 μmol/(m2･s･Pa)
6

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(対流物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

NA=kG(pA1－pA2)=(3.3683)(0.786－0)=2.6474 μmol/(m2･s)≒2.65 μmol/(m2･s)
S=L2=(0.10)2=0.010 m2
WA=NASMA=(2.6474)(0.010)(128)=3.3886 μg/s≒3.39 μg/s
③単一球よりの物質移動 溶媒に可溶または揮発性のある球状粒子が流体中にさらされて溶解・昇華する場合に相当する。
気相系の層流域に対しては、Frössling(フレスリング)の式がある。[文献 6]
Sh

2

kC dp

Sh

0.552 Re1/ 2 Sc1/3

DAB

dpu

,Re

, Sc

(1<Re<500) …(2.4.7)

DAB

気相系の層流域および乱流域に対しては、Geankoplis(ギアンコプリス)の式がある。[文献 7]
Sh

2

kC dp

Sh

0.552 Re 0.53 Sc1/3

dpu

,Re

DAB

, Sc

(1<Re<48000) …(2.4.8)DAB

液相系の層流域に対しては、Garner and Suckling の式がある。[文献 8]
Sh2

0.9 5 R e 1/ 2 Sc 1/ 3

kL d p

Sh

DL

dp u

,Re

, Sc

DL

(2<Re<2000) …(2.4.9)

液相系の乱流域に対しては、Steinberger and Treybal の式がある。[文献 9]Sh0.347 R e 0 .62 Sc 1/ 3Sh

kL d p

DL

,Re

dp u

, Sc

(2000<Re<17000) …(2.4.10)

DL

自然対流の場合は、気相系と液相系に対する Steinberger and Treybal の式がある。[文献 9]
Sh

Sh0

Sh0

Sh0

0.347( Re Sc1/ 2 )0.62

2 0.569(Gr Sc )

Sh

0.25

Gr

1/3

0.244

2 0.0254(Gr Sc ) Sc

kdp

D

d pu

,Re

dp3 gΔD(Gr･Sc<108)

2

Gr

, Sc

dp3 gΔ(2<Re<3000, 0.6<Sc<3200)…(2.4.12)(Gr･Sc>108)2…(2.4.11)…(2.4.13)【計算例(単一球よりの物質移動)】
球状の固体ナフタレン(分子量 128, 粒子径 20 mm)を純粋な空気中(密度 1.13 kg/m3, 粘度 19.3 μPa･s)に 1
気圧 45℃の条件下で昇華させる。空気の平均流速が 0.3 m/s のとき、強制対流条件におけるガス側境膜
物質移動係数 kG [μmol/(m2･s･Pa)]、物質移動流束 NA [μmol/(m2･s)]、物質移動速度 WA [μg/s]を求めよ。ただし、固体ナフタレンの昇華圧は 0.55 mmHg(希薄条件)、空気中におけるナフタレンの気相拡散係数は7

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0.69×10－5 m2/s である。昇華に伴う固体ナフタレンの減少量は、十分に小さいものとする。
ν=μ/ρ=19.3×10－6/1.13=1.7079×10－5 m2/s
Re=dpuρ/μ=dpu/ν=(0.020)(0.3)/(1.7079×10－5)=351.30
Sc=ν/DAB=1.7079×10－5/0.69×10－5=2.4752
Sh=2+0.552Re1/2Sc1/3=2+(0.552)(351.30)1/2(2.4752)1/3=15.995
pB,lm≒1 atm (希薄条件)
kC=ShDABPT/(DpB,lm)=(15.995)(0.69×10－5)(1)/[(0.020)(1)]=0.0055182 m/s
kG=kC/RT=(0.0055182)/[(8.314)(318.15)]=2.0861×10－6 mol/(m2･s･Pa)≒2.09 μmol/(m2･s･Pa)
NA=kG(pA1－pA2)=(2.0861)(0.55－0)mmHg(1/760)atm/mmHg(101325)Pa/atm=152.96 μmol/(m2･s)≒153 μmol/(m2･s)
S=4π(dp/2)2=4π(0.020/2)2=4×10－4π m2
WA=NASMA=(152.96)(4×10－4π)(128)=24.603 μg/s≒24.6 μg/s
④粒子群よりの物質移動 溶解性または昇華性のある固体粒子群、あるいは揮発性物質をしみこませた
固体粒子群を固定層または流動層として流体中にさらす場合に相当する。
気相系の固定層と流動層に対する相関式として、Chu らの式がある。[文献 10]J

5.7 Re 0.78

(1<Re<30)J

1.77 Re 0.44

(30<Re<10000)

J

St M Sc 2/3 =
J

dpG

Sh
,Re
Re Sc1/3

St M Sc 2/3 =(1…(2.4.14)

)
dpG

Sh
,Re
Re Sc1/3(1…(2.4.15))

ただし、G は質量流速[kg/(m2･s)](=ρu)、StM は物質移動におけるスタントン数。
粒子層内の空隙率 ε [－]は、次式より求める。
Vb

Vp
Vb

1

Wp
p AL

…(2.4.16)

ただし、A は粒子層断面積[m2]、L は粒子層高[m]、Vb は粒子層体積[m3]、Vp は粒子体積[m3]。
Chu らの式は、空隙率 ε が 1 に漸近するにつれて計算の精度が悪くなる点に課題がある。この点を改善
した固定層と流動層に対する相関式として、白井の式がある。[文献 11]Sh20.75 Rep1/ 2 Sc1/ 3 (2<ReSc2/3<2×105)

Sh

kdp

D

,Re

d pu

, Sc

D

…(2.4.17)

液相系の固定層に対する相関式として、Carberry の式がある。液相吸着でよく用いられる。[文献 12]
J

1.15

Rep

0.78

J

StM Sc2/3 =

dp u

Sh
,Rep
Re Sc1/3, Sc…(2.4.18)

D

気相系と液相系の固定層に対する相関式として、若尾・船造(ふなつくり)の式がある。[文献 13]
Sh

2 1.1Rep 0.6 Sc1/ 3(3<Re<10000)

Sh

kdp

D

,Rep

dp u

, Sc

充填層体積あたりの粒子表面積 a [m2/m3-bed]は、次式より求める。
8D…(2.4.19)

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(対流物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

a

Sp
Vb

Sp
Vp (1

Sdp

)

2

(1

Vdp

)
3

6(1
cdp

)

…(2.4.20)

ただし、dp は粒子径[m]、Vb は粒子層体積[m3]、Sp は粒子表面積[m2]、Vp は粒子体積[m3]、ε は粒子層内の空隙率[－]、 c はカルマンの形状係数(球のとき 1)。
【計算例(粒子群よりの物質移動)】
球状の固体ナフタレンからなる粒子充填層(分子量 128, 粒子径 10 mm)に 1 気圧 45℃の空気(密度 1.13kg/m3, 粘度 19.3 μPa･s)を空塔速度 0.02 m/s で流し、固定層(空隙率 0.3, 層高 500 mm, 塔径 50 mm)の状態
でナフタレンを昇華させる。ガス側境膜物質移動係数 kG [μmol/(m2･s･Pa)]、物質移動速度 NA [μmol/s]を求めよ。ただし、固体ナフタレンの昇華圧は 0.55 mmHg(希薄条件)、空気中におけるナフタレンの気相拡散係数は 0.69×10－5 m2/s である。昇華に伴う固体ナフタレンの減少量は、十分に小さいものとする。
(Chu らの式)ν=μ/ρ=19.3×10－6/1.13=1.7079×10－5 m2/s
Re=dpG/μ(1－ε)=dpuρ/μ(1－ε)=dpu/ν(1－ε)=(0.010)(0.02)/[(1.7079×10－5)(1－0.3)]=16.728
Sc=ν/DAB=1.7079×10－5/0.69×10－5=2.4752
JD(=Sh/ReSc1/3)=5.7Re－0.78=(5.7)(16.728)－0.78=0.63326
Sh=JDReSc1/3=(0.63326)(16.728)(2.4752)1/3=14.329
pB,lm≒1 atm (希薄条件)
kC=ShDABPT/(dppB,lm)=(14.329)(0.69×10－5)(1)/[(0.010)(1)]=0.0098870 m/s
kG=kC/RT=(0.0098870)/[(8.314)(318.15)]=3.7378×10－6 mol/(m2･s･Pa)≒3.74 μmol/(m2･s･Pa)
a=6(1－ε)/ cdp=(6)(1－0.3)/[(1)(0.010)]=420 m2/m3-bed
NV=kGa(pA1－pA2)=(3.7378×10－6)(420)(0.55－0)mmHg(1/760)atm/mmHg(101325)Pa/atm=0.11511 mol/(m3･s)
Vb=π(DT/2)2Z=π(0.05/2)2(0.5)=0.00098174 m3
NA=NVVb=(0.11511)(0.00098174)=0.00011300 mol/(m3･s)≒113 μmol/s(白井の式)ν=μ/ρ=19.3×10－6/1.13=1.7079×10－5 m2/s
Re=dpuρ/μ=dpu/ν=(0.010)(0.02)/(1.7079×10－5)=11.710
Sc=ν/DAB=1.7079×10－5/0.69×10－5=2.4752
εSh=2+0.75Re1/2Sc1/3=2+(0.75)(11.710)1/2(2.4752)1/3=5.4717
Sh=(εSh)/ε=5.4717/0.3=18.239
pB,lm≒1 atm (希薄条件)
kC=ShDABPT/(dppB,lm)=(18.239)(0.69×10－5)(1)/[(0.010)(1)]=0.012584 m/s
kG=kC/RT=(0.012584)/[(8.314)(318.15)]=4.7574×10－6 mol/(m2･s･Pa)≒4.76 μmol/(m2･s･Pa)
a=6(1－ε)/ cdp=(6)(1－0.3)/[(1)(0.010)]=420 m2/m3-bed
NV=kGa(pA1－pA2)=(4.7574×10－6)(420)(0.55－0)mmHg(1/760)atm/mmHg(101325)Pa/atm=0.14651 mol/(m2･s)
Vb=π(DT/2)2Z=π(0.05/2)2(0.5)=0.00098174 m3
NA=NVVb=(0.14651)(0.00098174)=0.00014383 mol/(m3･s)≒144 μmol/s(若尾・船造の式)ν=μ/ρ=19.3×10－6/1.13=1.7079×10－5 m2/s
Re=dpuρ/μ=dpu/ν=(0.010)(0.02)/(1.7079×10－5)=11.710
Sc=ν/DAB=1.7079×10－5/0.69×10－5=2.4752
9

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(対流物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

Sh=2+1.1Re0.6Sc1/3=2+(1.1)(11.710)0.6(2.4752)1/3=8.5122
pB,lm≒1 atm (希薄条件)
kC=ShDABPT/(dppB,lm)=(8.5122)(0.69×10－5)(1)/[(0.010)(1)]=0.0058734 m/s
kG=kC/RT=(0.0058734)/[(8.314)(318.15)]=2.2204×10－6 mol/(m2･s･Pa)≒2.22 μmol/(m2･s･Pa)
a=6(1－ε)/ cdp=(6)(1－0.3)/[(1)(0.010)]=420 m2/m3-bed
NV=kGa(pA1－pA2)=(2.2204×10－6)(420)(0.55－0)mmHg(1/760)atm/mmHg(101325)Pa/atm=0.068382 mol/(m2･s)
Vb=π(DT/2)2Z=π(0.05/2)2(0.5)=0.00098174 m3
NA=NVVb=(0.068382)(0.00098174)=6.7133×10－5 mol/(m3･s)≒67.1 μmol/s

２．５①境膜物質移動流束

気液間物質移動ガス吸収に相当する。二重境膜モデルでは、ガス相と液相が接触した瞬間に溶解平衡状態が実現され、両相で十分に発達した濃度勾配が瞬時に形成されるものと仮定する。[文献 14]
ガス相側(G)の溶質が液相側(L)へ一方拡散しており、両相は溶解平衡状態にあるものとする。このとき、各相の物質移動流束 NA [mol/(m2･s)]は、次式で表される。
ガス相(G) ： NAG = kG(pA－pAi) = kGPT(yA－yAi)= ky(yA－yAi)…(2.5.1)： NAL = kL(CAi－CA) = kLCT(xAi－xA)= kx(xAi－xA)…(2.5.2)

液相(L)ただし、CA は溶質濃度[mol/m3]、CT は全モル濃度[mol/m3]、PT は全圧[Pa]、pA は溶質の分圧[Pa]、kG, kL,
kx, ky は境膜物質移動係数、xA, yA は溶質のモル分率[－]。添え字 G はガス相、L は液相、i は界面。
定常状態における物質移動流束は、ガス側と液側とで等しい。
NA = NAG = NAL …(2.5.3)
NAG と NAL のいずれを用いても NA を求めることができるが、気液界面における pAi, CAi, yAi, xAi の測定が困難である。これらを含まない式にするには、溶解平衡の関係式を用いる。
希薄溶液の場合は、溶解平衡の条件下において Henry の法則が成り立つ。
ガス相(G) ： pA=HCA*…(2.5.4)

または

yA=mxA*…(2.5.5)界面(i)： pAi=HCAi…(2.5.6)または

yAi=mxAi…(2.5.7)

液相(L)： CA=(1/H)pA*…(2.5.8)またはxA=(1/m)yA*…(2.5.9)

ただし、H [Pa/(mol/m3)]と m [－]は Henry 定数(H=(PT/CT)m)。
②ガス側総括物質移動流束
NA
kG

pA

HN A
kL

H (CAi

NA
kG

HN A
kL

1
kG

H
NA
kL

pAi

分圧基準の場合は、次式のように導かれる。

[NA = kG(pA－pAi)] …(2.5.10)

ガス（G）

CA )

pA, yA

界面（i）

液（L）

kG

( pA

[NA = kL(CAi－CA)] …(2.5.11)
pAi )H (CAiCA )CAi, xAi…(2.5.12)

pAi, yAi
( pA

pAi )

H (C AiCA )ky…(2.5.13)

10

kL
kx

CA, xA

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(対流物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

NA
NA
NA

NA

( pA

pAi ) H (CAi
1 kG H k L( pA

HCAi ) H [CAi (1 H ) pA *]1 kG H k L
1

1 kG

( pA

pA *)

p A *)

1KG

H kL

K G ( pA

CA )…(2.5.14)[pAi=HCAi, CA=(1/H)pA*]…(2.5.15)…(2.5.16)
1
kG

H
kL

…(2.5.17)

ただし、KG は分圧基準のガス側総括物質移動係数[mol/(m2･s･Pa)]。
容量係数を用いる場合は、両辺に気液接触面積 a [m2/m3]を乗じる。
NV

K G a ( pA1
KG a

p A *)

1

H
kL a

kG a

…(2.5.18)

ただし、KGa は分圧基準のガス側総括容量係数[mol/(m3･s･Pa)]、kGa は分圧基準のガス側境膜容量係数[mol/(m3･s･Pa)]、kLa は分圧基準の液側境膜容量係数[mol/(m3･s･Pa)]、NV は体積物質移動速度[mol/(m3･s)]。
モル分率基準の場合は、次式のように導かれる。
NAkyy A－ y Ai

mN A
kxm( xAi－xA )[NA = ky(yA－yAi)] …(2.5.19)[NA = kx(xAi－xA)] …(2.5.20)

NA
ky

mN A
kx

1
ky

m
NA
kx

( yA－yAi ) m( xAi－xA )NA( y A－ y Ai )1 kym ( xAi－ xA )
m kx

NA

( y A－ mxAi ) m[ x Ai－ (1 m ) y A *]1 ky m kx

NANA( y A－ y Ai )

1
1 ky

m kx

K y ( yA…(2.5.22)…(2.5.23)[yAi=mxAi, xA=(1/m)yA*]…(2.5.24)…(2.5.25)( y A－ y A *)yA *)…(2.5.21)m ( x Ai－ xA )

1
Ky

1
ky

m
kx

…(2.5.26)

ただし、Ky はモル分率基準のガス側総括物質移動係数[mol/(m2･s)]。
容量係数を用いる場合は、両辺に気液接触面積 a [m2/m3]を乗じる。
NV

K y a( yA

yA *)

1
Kya

1
ky a

m
kx a

…(2.5.27)

11

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(対流物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

ただし、Kya はモル分率基準のガス側総括容量係数[mol/(m3･s)]、kxa はモル分率基準の液側境膜容量係数[mol/(m3･s)]、kya はモル分率基準のガス側境膜容量係数[mol/(m3･s)]、NV は体積物質移動速度[mol/(m3･s)]。
③液側総括物質移動流束 モル濃度基準の場合は、次式のように導かれる。

NA
kL

CAi

CA

[NA = kL(CAi－CA)]

NA
HkG

pA

pAi

[NA = kG(pA－pAi)] …(2.5.29)

NA
kL

NA
Hk G

(C Ai

CA )

1
kL

1
NA
HkG

NA
NA
NA

NA

H

pA

…(2.5.28)

p Ai…(2.5.30)

H

pA(CAi CA )pAi…(2.5.31)

H

(C Ai

C A ) ( pA pAi ) H…(2.5.32)
1 k L 1 Hk G(CAiCA ) ( HCA * HCAi ) H
1 k L 1 HkG

1 kL

1(CA * CA )1 HkG…(2.5.34)

1KL

K L (C A * C A )[pA=HCA*, pAi=HCAi] …(2.5.33)

1
kL

1
HkG

…(2.5.35)

ただし、KL はモル濃度基準の液側総括物質移動係数[m/s]。
容量係数を用いる場合は、両辺に気液接触面積 a [m2/m3]を乗じる。
NV

1
KLa

K L a (C A * C A )1

1
Hk G akL a…(2.5.36)

ただし、KLa はモル濃度基準の液側総括容量係数[1/s]、kGa はモル濃度基準のガス側境膜容量係数[mol/(m3･s･Pa)]、kLa はモル濃度基準の液側境膜容量係数[1/s]、NV は体積物質移動速度[mol/(m3･s)]。
モル分率基準の場合は、次式のように導かれる。

NAkx

xAi－xANA
mk yy A－ y Ai
m

NA
kx

NA
mk y

1
kx

1
NA
mk y

NA

( xAi－ xA ) ( y A－ y Ai ) m
1 k x 1 mk y

[NA = kx(xAi－xA)] …(2.5.37)[NA = ky(yA－yAi)] …(2.5.38)( x Ai－ x A )y A－ y Aim( xAi－xA )…(2.5.39)

yA－yAim…(2.5.40)…(2.5.41)

12

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(対流物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

NA
NA

NA

( xAi－ xA ) ( mx A * － mxAi ) m
1 k x 1 mk y
1 kx

1
( xA * － xA )1 mk yK x ( xA * xA )1
Kx…(2.5.42)…(2.5.43)

1
kx

1
mk y

…(2.5.44)

ただし、Kx はモル分率基準の液側総括物質移動係数[mol/(m2･s)]。
容量係数を用いる場合は、両辺に気液接触面積 a [m2/m3]を乗じる。
NA

K x a ( xA * xA )

1
Kx a

1
kx a

1
mk y a…(2.5.45)

ただし、Kxa はモル分率基準の液側総括容量係数[mol/(m3･s)]、kxa はモル分率基準の液側境膜容量係数[mol/(m3･s)]、kya はモル分率基準のガス側境膜容量係数[mol/(m3･s)]、NV は体積物質移動速度[mol/(m3･s)]。
【計算例(気液間物質移動)】
空気－水系における溶質(A)の溶解平衡は、y=1.4x で表される。空気相本体の溶質濃度 8 mol%と水相本体の溶質濃度 2 mol%、モル分率基準のガス側境膜物質移動係数 2.0 mol/(m2･s)と液側境膜物質移動係数
1.4 mol/(m2･s)のとき、気液界面におけるガス側と液側の溶質モル分率[－]、ガス側と液側の総括物質移動係数[mol/(m2･s)]、物質移動流束[mmol/(m2･s)]、総括抵抗に対するガス側抵抗および液側抵抗の占める割合[%]を求めよ。
NA=ky(yA－yAi)=kx(xAi－xA)(2.0)(0.08－yAi)=(1.4)(xAi－0.02)
0.16－2.0yAi=1.4xAi－0.028
1.4xAi +2.0yAi=0.188
0.7xAi +yAi=0.094
0.7xAi +1.4xAi=0.094 (溶解平衡 yi=1.4xi)
xAi=0.044761≒0.0448
yAi=1.4xi=(1.4)(0.044761)=0.062665≒0.0627
1/Ky=1/ky+m/kx=(1/2.0)+(1.4/1.4)=1.5
Ky=0.66666 mol/(m2･s)≒0.667 mol/(m2･s)
1/Kx=1/kx+1/mky=(1/1.4)+[1/(1.4)(2.0)]=1.0714
Kx=0.93335 mol/(m2･s)≒0.933 mol/(m2･s)
NA=Ky(yA－yA*)=Ky(yA－mxA)=(0.66666)[0.08－(1.4)(0.02)]=0.034666 mol/(m2･s)≒34.7 mmol/(m2･s)[別解]NA=ky(yA－yAi)=(2.0)(0.08－0.062665)=0.034670 mol/(m2･s)≒34.7 mmol/(m2･s)[別解]NA=Kx(xA*－xA)=Kx(yA/m－xA)=(0.93335)[(0.08/1.4)－0.02]=0.034667 mol/(m2･s)≒34.7 mmol/(m2･s)[別解]NA=kx(xAi－xA)=(1.4)(0.044761－0.02)=0.034665 mol/(m2･s)≒34.7 mmol/(m2･s)
RG=(1/ky)/(1/Ky)=(1/2.0)/1.5=0.33333≒0.333(33%)
13三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(対流物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

RL=(1/kx)/(1/Kx)=(1/1.4)/1.0714=0.66668≒0.667(67%)

２．６

液相間物質移動①境膜物質移動流束 液液抽出に相当する。抽料相(原料相)(R)は抽質(溶質)と希釈剤(溶媒)の混合溶液からなり、抽剤相(E)は純粋な抽剤(抽出剤)からなる。多回抽出や多段抽出の場合は、抽残相(R)と抽出相(E)が 2 回目(2 段目)以降の抽料相(R)と抽剤相(E)に相当する。抽料相(R)と抽剤相(E)には、分散相(D)または連続相(C)のいずれかが対応する。
抽料相側(R)の抽質が抽剤相側(E)へ一方拡散しており、両相は液液平衡状態にあるものとする。このとき、各相の物質移動流束 NA [mol/(m2･s)]は、次式で表される。
抽料相(R)： NAR = kR(CR－CRi) = kRCTR(xR－xRi) = kxR(xR－xRi) …(2.6.1)
抽剤相(E)： NAE = kE(CEi－CE) = kECTE(xEi－xE) = kxE(xEi－xE) …(2.6.2)
ただし、C は抽質濃度[mol/m3]、k はモル濃度基準の境膜物質移動係数[m/s]、kx はモル分率基準の境膜物
質移動係数[mol/(m2･s)]、添え字 E は抽剤相、R は抽料相、i は界面。
定常状態における物質移動流束は、抽料相と抽剤相とで等しい。
NA = NAR = NAE …(2.6.3)
NAR と NAE のいずれを用いても NA を求めることができるが、液液界面における CRi, CEi, xRi, xEi の測定が困難である。これらを含まない式にするには、液液平衡の関係式を用いる。
希薄溶液の場合は、液液平衡の条件下において次式が成り立つ。
抽料相(R) ： CR=mCE*…(2.6.4)

または

yR=mxE*…(2.6.5)： CRi=mCEi…(2.6.6)または

yRi=mxEi…(2.6.7)…(2.6.8)

または

xE=(1/m)xE*…(2.6.9)

界面(i)

抽剤相(E) ： CE=(1/m)CR*

ただし、C*は飽和抽質濃度[mol/m3]、m は分配係数[－]。(CR=(1/m)CE*で定義する場合もある。)②抽料相側総括物質移動流束 モル濃度基準の場合は、次式のように導かれる。
NA
kR
mN A
kE

CR

m (CEi

NA
kR

mN A
kE

1
kR

m
NA
kE

NA
NA
NA

(C R

[NA = kR(CR－CRi)] …(2.6.10)

CRi[NA = kE(CEi－CE)] …(2.6.11)

CE )
(C R

CRi ) m (CEi

(CR

CRi )
1 kR

CE )

CRi ) m(CEim (CEi
m kE

CE )

CE )

…(2.6.12)

抽料相
(R)
CR

界面(i)
kR

kE

抽剤相
(E)

CEi

…(2.6.13)…(2.6.14)(C R

mCEi ) m[CEi (1 m)CR *]1 kR m kE

CR
1 kR

CR *
m kE

CRi
[CRi=mCEi, CE=(1/m)CR*]…(2.6.16)
14…(2.6.15)

CE三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(対流物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

NA

K OR ( C R

1K OR

C R *)

1kR

mkE…(2.6.17)

ただし、KOR はモル濃度基準の抽料相側総括物質移動係数[m/s]。
容量係数を用いる場合は、両辺に液液接触面積 a [m2/m3]を乗じる。
NV

K OR a (C R

C R *)

1

1

KOR a

kR a

m
kE a

…(2.6.18)

ただし、KORa はモル濃度基準の抽料相側総括容量係数[1/s]、kEa はモル濃度基準の抽料相側境膜容量係数[1/s]、kRa はモル濃度基準の抽出相側境膜容量係数[1/s]、NV は体積物質移動速度[mol/(m3･s)]。
モル分率基準についても同様の手順で導かれる。(記号のみ変更すればよい。)
NA

K xR ( xR

1
K xR

xR *)

1
kxR

m
kxE

…(2.6.19)

ただし、KxR はモル分率基準の抽料相側総括物質移動係数[mol/(m2･s)]。
容量係数を用いる場合は、両辺に液液接触面積 a [m2/m3]を乗じる。
NV

K xR a ( x R

1
K xR ax R *)

1
kxR a

m
kxE a

…(2.6.20)

ただし、KxRa はモル分率基準の抽料相側総括容量係数[mol/(m3･s)]、kxEa はモル分率基準の抽料相側境膜
容量係数[mol/(m2･s)]、kxRa はモル分率基準の抽出相側境膜容量係数[mol/(m2･s)]、NV は体積物質移動速度[mol/(m3･s)]。
③抽剤相側総括物質移動流束 モル濃度基準の場合は、次式のように導かれる。
NA
mkR

CR

CRi

NA
kE

CEi

NA
mk R

NA
kE

1
mkR

1
NA
kE

NA

[NA = kR(CR－CRi)] …(2.6.21)

m

(C R

CE

[NA = kE(CEi－CE)] …(2.6.22)

CR

CRi

(CEi

CE )

…(2.6.23)

CRi
m

(CEi

CE )

m

CR

CRi )/m (CEi
1 ( mkR ) 1 k E

CE )…(2.6.24)…(2.6.25)

NA( mC E * mCEi )/m (CEi
1 ( mk R ) 1 k E

CE )

NA

CE * CE1 (mk R ) 1 k E…(2.6.27)

NA

K OE ( C E * C E )

1
K OE

1
mkR

[CR=mCE*, CRi=mCEi]

1kE…(2.6.26)…(2.6.28)

ただし、KOE はモル濃度基準の抽剤相側総括物質移動係数[m/s]。
容量係数を用いる場合は、両辺に液液接触界面積 a [m2/m3]を乗じる。

15

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(対流物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

NV

1

K OE a ( C E * C E )

1
mkR a

K OE a1kE a…(2.6.29)

ただし、KOEa はモル濃度基準の抽剤相側総括容量係数[1/s]、kEa はモル濃度基準の抽剤相側境膜容量係数[1/s]、kRa はモル濃度基準の抽剤相側境膜容量係数[1/s]、NV は体積物質移動速度[mol/(m3･s)]。
モル分率基準についても同様の手順で導かれる。
NA

K xE ( x E * x E )

1
K xE

1
mkxR

1
kxE

…(2.6.30)

ただし、KxE はモル分率基準の抽剤相側総括物質移動係数[mol/(m2･s)]。
容量係数を用いる場合は、両辺に液液接触面積 a [m2/m3]を乗じる。
NV

K xE a ( xE * xE )1
K xE a1
mkxR a1
kxE a…(2.6.31)

ただし、KxEa はモル分率基準の抽剤相側総括容量係数[mol/(m3･s)]、kxEa はモル分率基準の抽剤相側境膜
容量係数[mol/(m3･s)]、kxRa はモル分率基準の抽剤相側境膜容量係数[mol/(m3･s)]、NV は体積物質移動速度[mol/(m3･s)]。

２．７

気固間および固液間物質移動①吸着 工学的な物理吸着過程は、(1)流体境膜内拡散、(2)粒子内拡散、(3)表面吸着の直列モデルで表される。一般に、表面吸着は迅速であることから、境膜内拡散と粒子内拡散が律速となる。固液界面の両側に流体境膜と固体境膜の仮想的な二重境膜モデルを適用する。
流体側(F)の溶質が吸着剤粒子側(P)へ一方拡散しており、両相は吸着平衡状態にあるものとする。各相の平均吸着速度 NV [mol/(m3･s)]は、次式で表される。
NVf = kfa(C－Ci) …(2.7.1)

流体相(F)：

粒子相(P)： NVp = ksaρp(qi－qm) …(2.7.2) ※線形推進力近似
ただし、a は充填層体積あたりの粒子表面積[m2/m3-bed]、C は溶質濃度[mol/m3]、kf は流体側境膜物質移
動係数[m/s]、ks は粒子側境膜物質移動係数[m/s]、q は吸着量[mol/kg]、ρp はみかけの粒子密度[kg/m3]、添え字 f は流体相、i は界面、m は平均、p は粒子相。
定常状態における物質移動流束は、流体相と粒子相とで等しい。
NV = NVf = NVp (=ρb(∂qm/∂t))…(2.7.3)

ただし、ρb はかさ密度(充填密度)[kg/m3-bed]。
NVf と NVp のいずれを用いても NV を求めることができるが、界面における Ci と qi の測定が困難である。
これらを含まない式にするには、吸着平衡の関係式を用いる。直線平衡を仮定する。
C=(1/β)q*…(2.7.4)

界面(i)： Ci=(1/β)qi…(2.7.5)

粒子相(P)：

qm=βC*…(2.7.6)

流体相(F) ：ただし、β は吸着係数[m3/kg]であり、直線平衡の場合は定数になる。
各相の物質移動流束式を変形する。

16

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(対流物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

NV
kf a

[NV = kfa(C－Ci)] …(2.7.7)

C Ci

NV
ks a pqi

qm[NVp = ksaρp(qi－qm)]…(2.7.8)

辺々加えると、総括物質移動流束の式が得られる。
NV
kf a

NV
ks a p

qi

Ci )

qm

(C C i ) ( qi qm )1 k f a 1 ks a p

NV

C

NV
NV

(C

(1 ) qi qi
1 k f a 1 ks a

K F a (CC *)…(2.7.9)…(2.7.10)
C*[Ci=(1/β)qi, qm=βC*] …(2.7.11)

p

1
KFa

1
kf a

1
ks a p…(2.7.12)

ただし、KF はモル濃度基準の総括物質移動係数[m/s]。
充填層体積あたりの粒子表面積 a [m2/m3-bed]は、次式のようにして導かれる。
a

Sp
Vb

Sp

Sdp

Vp (1

)

2

(1

Vdp

)

6(1

3

)

cdp

…(2.7.13)

ただし、dp は粒子径[m]、Vb は粒子層体積[m3]、Sp は粒子表面積[m2]、Vp は粒子体積[m3]、ε は粒子層内の空隙率[－]、 c はカルマンの形状係数(球のとき 1)。
②晶析 工学的な結晶成長過程は、流体境膜内拡散と結晶表面拡散(表面集積)の直列モデルで表される。
流体相(F)の溶質が結晶相(C)へ一方拡散しており、両相は固液平衡状態にあるものとする。各相の質量基
準物質移動流束(質量成長速度)Rm [kg/(m2･s)]は、次式で表される。
Rmf = kd(C－Ci) …(2.7.14)

流体相(F)：

結晶相(C)： Rmc = kr(Ci－C*)r…(2.7.15)

ただし、C は質量基準の溶質濃度[kg/m3]、C*は溶解度[kg/m3]、kd は物質移動係数[m/s]、kr は表面集積速度係数[m/s]、r は定数。
定常状態における物質移動流束は、流体相と結晶相とで等しい。
Rm = Rmf = Rmc…(2.7.16)

各相の物質移動流束式を変形する。r=1 を仮定する。
Rm
kd

C

Ci

…(2.7.17)

Rm
kr

Ci

C*

…(2.7.18)

辺々加えると、総括物質移動流束の式が得られる。
Rm

K G (C

C *)

1
KG

1
kd

1
kr

…(2.7.19)

ただし、KG は総括物質移動係数[m/s]。
実験的には、濃度差のべき乗で整理される。
17

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(対流物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

Rm

K G (C C*) g…(2.7.20)

ただし、g は定数(=1～2)。
③膜分離 工学的な膜透過過程は、(1)原料側の流体境膜内拡散、(2)膜内拡散、(3)透過側の流体境膜内拡
散の直列モデルで表される。原料側流体(F)の溶質が多孔質膜(M)を介して透過側流体(P)へ一方拡散しており、定常状態にあるものとする。各相の物質移動流束 NA [mol/(m2･s)]は、次式で表される。
原料相(F)：

NAf = kmf(pAF－pAFi) …(2.7.21)

膜相(M)：

NAm = (Pm/δm)(pAFi－pAPi) = km(pAFi－pAPi)

透過相(P)：

NAp = kmp(pAPi－pAP) …(2.7.23)…(2.7.22)

定常状態における物質移動流束は、各相で等しい。
NA = NAf = NAm = NAp…(2.7.24)

各相の物質移動流束式を変形する。
NA
kmf

pAF

pAFi

…(2.7.25)

NA
km

pAFi

pAPi

…(2.7.26)

NA
k mp

pAPi

p AP

…(2.7.27)

辺々加えると、総括物質移動流束の式が得られる。
NA

K M ( pAF

p AP )

1
KM

1
k mf

m

Pm

1
k mp

…(2.7.28)

ただし、KF は分圧基準の総括物質移動係数[mol/(m2･s･Pa)]。
無孔質膜の場合は、溶解拡散モデルにしたがうことから、膜内の推進力は濃度差で表される。膜の両側で Henry 型の溶解平衡式を適用する。
原料相(F)： NAf = kmf(pAF－pAFi) …(2.7.29)
膜相(M)：

NAm = (Dm/δm)(CAFi－CAPi) = (DmSm/δm)(pAFi－pAPi) = km(pAFi－pAPi) [Pm≡DmSm]…(2.7.30)

透過相(P)： NAp = kmp(pAPi－pAP) …(2.7.31)
ただし、Dm は膜内拡散係数[m2/s]、Sm は溶解度係数[mol/(m3･Pa)](=C/p)。
辺々加えると、上式と同じ総括物質移動流束の式が得られる。

２．８ 非定常物質移動①浸透説

二重境膜モデルでは気相と液相が接触した瞬間に濃度勾配が十分に発達することを前提にしているため、たとえば通気撹拌操作のような気泡の滞留時間が短いプロセスではとくに液相側において無理がある。ここでは気液間での物質移動を非定常拡散プロセスとして扱い、物質移動係数ならびに物質移動流束は、気液界面の接触時間に依存するものと考える。[文献 15]
流体中の拡散成分 A が断面積 S [m2]、厚み Δz [m]の微小空間を非定常拡散する場合の物質収支式を導く。対流項を考慮しない場合の物質移動流束、すなわち Fick の法則を用いると、Fick の第二法則の式が18

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(対流物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

導かれる。
S z

CA
t

NA z z S NA z z

CAt

NA z zCAtNAz

NA z zz…(2.8.2)

z

CA
DAB
t

NA
z

N A ( z Δz) N A ( z )0( z Δz) z

lim

Δz

2

CA
z2

…(2.8.1)

zS

NA

DAB

CA
z

lim

Δz

N A z z Δz

NA z z…(2.8.3)Δz0…(2.8.4)

濃度項を無次元濃度 C* [－]で表す。
C*
DAB
t

2

C*
z2

C*

CA CAbCAi CAb…(2.8.5)

C*は時間 t と位置 z の関数 c(η)で表されるが、η の関数形が不明である。ここでは、η=αztβ と置く。
c(

2

)

DAB

t

c(
2

)

C*

z

c(

),

…(2.8.6)zt

左辺は、次式のように導かれる。
d c
d
t

c

t

zt

1d c

d c
t d

d

…(2.8.7)

右辺は、次式のように導かれる。
2

z

c
2

dc
z d z

c

z

z

dc
d

t

t

z

dc
d

t

( t )2

2

d2 c
d 2

z

d2 c
d 2

…(2.8.8)

もとの式に代入する。

dc
DAB
t d
z

d2 c
d 2

2

d2 c

…(2.8.9)d 2

z2 d c0
DABt d…(2.8.10)

上式が η のみの関数で表されるような定数 α と β を決める。ここでは、α=(4DAB)－1/2, β=－1/2 と置く。

d2 c 1 z2 1 d c
0
d 2 2 DABt d

d2 c
d

2

d2 c
d

2

1
4DAB

1 2 1d c
(4 )
0
2
d
2

dc
0
d

c(

,

1
,
2

z
2 DABt…(2.8.11)…(2.8.12))

CA CAb,CAi CAbz
2 DABt…(2.8.13)

19

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(対流物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

df
d

2 f

1
df
f

f

e

2

2

C1

C1

eC1 e

d c
d

C2e

c(

) C2

…(2.8.14)…(2.8.15)

2 d

ln f

dc
d

f

0

…(2.8.16)

22…(2.8.17)…(2.8.18)
2

0

2

C2e

e d

C3

…(2.8.19)

境界条件 η=0(z=0)のとき c=1(CA=CAi)を用いると C3=1。境界条件 η=∞(z=∞)のとき c=0(CA=CAb)を用いると、拡散成分 A に関する無次元濃度分布式が導かれる。

0 C2

2

0

1

…(2.8.20)

1

C2
0
c(

e d

) 1

e

2
2

2

0

d

2
0

e

2

e d

…(2.8.21)

2…(2.8.22)d

CA CAbz
1 erf
CAi CAb2 DABtc()

CA CAb,CAi CAb2erf( )z
2 DABt…(2.8.23)

2

0

e d

ただし、erf は誤差関数、添え字の b は液本体における値、i は気液界面における値。
ある気液接触時間 t における瞬間の物質移動流束 NA(t)は、上式を用いて次式のように導かれる。

NA (t)DAB

NA (t )DAB

NA (t)NA (t)NA (t)

DAB

DAB

DAB

CA
z z0

z

z

z

z

…(2.8.24)z

CAb (CAi CAb ) 1 erf

CAb (CAi CAb )

CAi

CAi

2

2

2 DABt…(2.8.25)
z 0
2(CAi CAb ) e dz(CAi CAb ) 2 DABt edzz(CAi CAb ) 2 DABt e0z 0z 2 DABt d

02…(2.8.26)

0z 2 DABtdz…(2.8.27)
z 0

1
2 DABt20dz…(2.8.28)
z 0

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(対流物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

NA (t)

DAB

z

z

1

CAi

DABt
1

NA (t )DAB 0

NA (t)DAB(CAi CAb )t

DABt

NA (t) kL (CAi CAb )(CAi CAb ) 2 DABt ez 2 DABt

0dz…(2.8.29)
z 0…(2.8.30)(CAi CAb )…(2.8.31)

kL

DAB
t

…(2.8.32)

ただし、kL はある気液接触時間 t における瞬間の物質移動係数[m/s]。
気液接触時間 t=0～t における平均の物質移動速度 NA,av [mol/(m2･s)]は、次式のように導かれる。

NA,av

1 t DAB(CAi CAb )dt
t 0
t

NA,av

t 1
1 DAB
(CAi CAb )
dt
0 t
t

NA,av

1 DAB
t 0.5 1
(CAi CAb )
0
t
0.5 1

NA,av

1 DAB
(CAi CAb )(2 t )t

DAB(CAi CAb )t

NA,av 2

NA,av

kL,av (CAi CAb )…(2.8.33)…(2.8.34)…(2.8.35)…(2.8.36)…(2.8.37)

kL,av 2DAB
t…(2.8.38)

ただし、kL,av は気液接触時間 t=0～t における平均の物質移動係数[m/s]。
[補足]

I2
I2

0

2

e

2
2

e y dy

IxIy
2
0

d

2

0

e r rdrdの導出 [文献 16]

e (x

2

y2 )

dxdy

Ix

2

e x dx, I y…(2.8.40)

212

e y dy…(2.8.39)

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(対流物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成xr cos , y

r sin

x
x
x y
r
dxdy det
d rd
y
y
r
r
[cos ( r cos ) ( r sin ) sin ]drd
( r cos 2
2

I2

0

2

0
2

e
e

2

d

0

I

r sin 2 )drd

e r rdr

d

rd rd
2
2
e r
0
2

2

2

d

x y
d rd
r

0

e r rdr(0 1)…(2.8.41)…(2.8.42)

e

2

2

d

2

0

e

2

d

…(2.8.43)②表面更新説 二重境膜モデルでは気液界面に乱れは生じないとしているが、実際にはかく乱されており、流体本体側の新鮮な流体塊と常に交換が起こっているものと考える[文献 17]。ただし、気液接触面の全体で一斉に更新が起こるのではなく、ある時間で表面更新が起こる接触面もあれば起こらない接触面も存在する。表面更新されてからの経過時間を年令 τ [s]と呼ぶことにして、接触面積あたりの表面更新速度を s [m2/(m2･s)]、表面年齢分布関数をdds[－]とするとき、次式が成り立つ。

…(2.8.44)

se s

0

d

1

…(2.8.45)

定常状態における物質移動流束 NA は、次式のように導かれる。

NA
NA

CA
d
z

…(2.8.46)

DABs (CAi CAb )…(2.8.47)

0DAB

NA kL(CAi CAb )

kL

DABs

…(2.8.48)

気液接触が短時間のうちに行われる場合は、浸透説のように非定常拡散プロセスとして扱う必要がある[文献 18]。ある気液接触時間 t における瞬間の物質移動流束 NA(t) [mol/(m2･s)]は、次式で与えられる。

NA (t)

DABs (CAi CAb )

e st
st

erf st…(2.8.49)

気液接触時間 t=0～t における平均の物質移動速度 NA,av [mol/(m2･s)]は、次式のように導かれる。

NA,av

1 t
e st
DABs (CAi CAb )erf st dt
t 0st…(2.8.50)

22

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(対流物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

NA,av

DAB
e st 1 2st(CAi CAb )erf stt
2 st…(2.8.51)

参考文献[1] J. Welty, C.E. Wicks, G.L. Rorrer, R.E. Wilson; Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer, 5th Ed.,
Wiley (2007) p.581[2] E.R. Gilliland and T.K. Sherwood; Ind. Eng. Chem., 26 (1934) 516-523[3] W.H. Linton and T.K. Sherwood; Chem. Eng. Progr., 46 (1950) 258-264[4] T.K. Sherwood, R.L. Pigford and C.R. Wilke; Mass Transfer, McGraw-Hill (1975)[5] M. Litt and S.K. Friedlander; AIChE J., 5, 483-485 (1959)[6] N. Frössling; Nils, Gerland Beitr. Geophys., 52, 170 (1938)[7] C.J. Geankoplis; Mass Transport Phenomena, Ohio State University Bookstores (1972)[8] F.H. Garner and R.D. Suckling; AIChE J., 4, 114-124 (1958)[9] W.L. Steinberger and R.E. Treybal; AIChE J., 6, 227-232 (1960)[10] J.C. Chu, J. Kalil and W.A. Wetteroth; Chem. Eng. Prog., 49 (1953)141-149[11] 白井; 最近の化学工学 1952 年, 丸善, p.52 (1952)[12] J.J. Carberry; AIChE J., 6 (1960)460-463[13] N. Wakao and T. Funazukuri; Chem. Eng. Sci., 33 (1978)1375-1384[14] W.K. Lewis and W.G. Whitman; Ind. Eng. Chem., 16, 1215-1220 (1924)[15] R. Higbie; Trans. AIChE J., 31, 365-389 (1935)[16] 小川 浩平, 吉川 史郎, 黒田 千秋; 化学工学のための数学, 数理工学社 (2007) p.60
[17] P.V. Danckwerts; Ind. Eng. Chem., 43, 1460-1467 (1951)[18] 只木 禎力, 前田 四郎; 化学工学, 27, 66-73 (1963)23三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(対流物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

問題(1) 【円管よりの物質移動】
垂直円管(内径 40 mm, 管長 4000 mm)の内壁に水を膜状で流しておき、8 vol%の亜硫酸ガス(密度 1.8 kg/m3, 粘度 17.8 μPa･s)を平均流速 1.5 m/s で向流に流して 1 気圧 20℃の条件下で液膜に吸収させる。管出口側の亜硫酸ガス濃度が 1 vol%のとき、ガス側境膜物質移動係数 kG[mmol/(m2･s･Pa)]、物質移動流束 NA [mmol/(m2･s)]、物質移動速度 WA [mmol/s]を求めよ。ただし、空気中における亜硫酸ガスの気相拡散係数は 1.2×10－5 m2/s である。
(2) 【平板よりの物質移動】薄い平板状の固体ナフタレン(分子量 128, 30 cm 四方)を純粋な空気中(密度1.29 kg/m3, 粘度 16.0 μPa･s)に 1 気圧 0℃の条件下で昇華させる。平板に対して平行に流れる空気の平均流速が 10 m/s のとき、ガス側境膜物質移動係数 kG [μmol/(m2･s･Pa)]、物質移動流束 NA [μmol/(m2･s)]、物質移動速度 WA [μg/s]を求めよ。ただし、固体ナフタレンの昇華圧は 0.786 Pa(希薄条件)、空気中におけるナフタレンの気相拡散係数は 0.51×10－5 m2/s である。昇華に伴う固体ナフタレンの減少
量は、十分に小さいものとする。
(3) 【単一球よりの物質移動】球状の固体ナフタレン(分子量 128, 粒子径 40 mm)を純粋な空気中(密度1.13 kg/m3, 粘度 19.3 μPa･s)に 1 気圧 45℃の条件下で昇華させる。空気の平均流速が 1 m/s のとき、強制対流条件におけるガス側境膜物質移動係数 kG [μmol/(m2･s･Pa)]、
物質移動流束 NA [μmol/(m2･s)]、
物質移動速度 WA [μg/s]を求めよ。ただし、固体ナフタレンの昇華圧は 0.55 mmHg(希薄条件)、空気中におけるナフタレンの気相拡散係数は 0.69×10－5 m2/s である。昇華に伴う固体ナフタレンの減少
量は、十分に小さいものとする。
(4) 【粒子群よりの物質移動】球状の固体ナフタレンからなる粒子充填層(分子量 128, 粒子径 15 mm)に
1 気圧 45℃の空気(密度 1.13 kg/m3, 粘度 19.3 μPa･s)を空塔速度 0.15 m/s で流し、流動層(空隙率 0.45,
層高 750 mm, 塔径 50 mm)の状態でナフタレンを昇華させる。ガス側境膜物質移動係数 kG [μmol/(m2･s･Pa)]、物質移動流束 NA [μmol/(m2･s)]を求めよ。ただし、固体ナフタレンの昇華圧は 0.55 mmHg(希薄条件)、空気中におけるナフタレンの気相拡散係数は 0.69×10－5 m2/s である。昇華に伴う固体ナフ
タレンの減少量は、十分に小さいものとする。
(5) 【気液間物質移動】空気－水系における溶質(A)の溶解平衡は、y=2.5x で表される。空気相本体の溶質濃度 5 mol%と水相本体の溶質濃度 1 mol%、モル分率基準のガス側境膜物質移動係数 4.0 mol/(m2･s)と液側境膜物質移動係数 2.0 mol/(m2･s)のとき、気液界面におけるガス側と液側の溶質モル分率[－]、
ガス側と液側の総括物質移動係数[mol/(m2･s)]、物質移動流束[mmol/(m2･s)]、総括抵抗に対するガス側抵抗および液側抵抗の占める割合[%]を求めよ。

24

三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(対流物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成

解答(1) ν=μ/ρ=17.8×10－6/1.8=9.8888×10－6 m2/s
Re=Duρ/μ=Du/ν=(0.040)(1.5)/(9.8888×10－6)=6067.4
Sc=ν/DAB=9.8888×10－6/1.2×10－5=0.82406
Sh=0.023Re0.83Sc0.44=(0.023)(6067.4)0.83(0.82406)0.44=29.150
yA1=nA1/nT=(pVA1/RT)/(pVT/RT)=VA1/VT=0.08
yA2=nA2/nT=(pVA2/RT)/(pVT/RT)=VA2/VT=0.01
pA1=PTyA1=(1)atm(0.08)=0.08 atm
pA2=PTyA2=(1)atm(0.01)=0.01 atm
pB1=PT－pA1=1－0.08=0.92 atm
pB2=PT－pA2=1－0.01=0.99 atm
pB,lm=(pB1－pB2)/ln(pB1/pB2)=(0.92－0.99)/ln(0.92/0.99)=0.95457 atm
kC=ShDABPT/(DpB,lm)=(29.150)(1.2×10－5)(1)/[(0.040)(0.95457)]=0.0091611 m/s
kG=kC/RT=(0.0091611)/[(8.314)(293.15)]=3.7587×10－6 mol/(m2･s･Pa)≒3759 mmol/(m2･s･Pa)
NA=kG(pA1－pA2)=(3758.7)(0.08－0.01)atm(101325)Pa/atm=26.659 mmol/(m2･s)≒26.6 mmol/(m2･s)
AT=2π(D/2)L=2π(0.040/2)(4.00)=0.16π m2
WA=NAAT=(26.659)(0.16π)=13.400 mmol/s≒13.4 mmol/s(2) ν=μ/ρ=16.0×10－6/1.29=1.2403×10－5 m2/s
ReL=Luρ/μ=Lu/ν=(0.30)(10)/(1.2403×10－5)=241876
Sc=ν/DAB=1.2403×10－5/0.51×10－5=2.4319
Sh=0.0365ReL0.8Sc1/3=(0.0365)(241876)0.8(2.4319)1/3=994.98
pB,lm≒1 atm (希薄条件)
kC=ShDABPT/(DpB,lm)=ShDABPT/(LpB,lm)=(994.98)(0.51×10－5)(1)/[(0.30)(1)]=0.016914 m/s
kG=kC/RT=(0.016914)/[(8.314)(273.15)]=7.4479×10－6 mol/(m2･s･Pa)≒7.45 μmol/(m2･s･Pa)
NA=kG(pA1－pA2)=(7.4479)(0.786－0)=2.6474 μmol/(m2･s)≒2.65 μmol/(m2･s)
S=L2=(0.30)2=0.090 m2
WA=NASMA=(2.6474)(0.090)(128)=30.498 μg/s≒30.5 μg/s(3) ν=μ/ρ=19.3×10－6/1.13=1.7079×10－5 m2/s
Re=dpuρ/μ=dpu/ν=(0.040)(1)/(1.7079×10－5)=2342.0
Sc=ν/DAB=1.7079×10－5/0.69×10－5=2.4752
Sh=2+0.552Re0.53Sc1/3=2+(0.552)(2342.0)0.53(2.4752)1/3=47.606
pB,lm≒1 atm (希薄条件)
kC=ShDABPT/(DpB,lm)=(47.606)(0.69×10－5)(1)/[(0.040)(1)]=0.0082120 m/s
kG=kC/RT=(0.0082120)/[(8.314)(318.15)]=3.1046×10－6 mol/(m2･s･Pa)≒3.10 μmol/(m2･s･Pa)
NA=kG(pA1－pA2)=(3.1046)(0.55－0)mmHg(1/760)atm/mmHg(101325)Pa/atm=227.65 μmol/(m2･s)≒228 μmol/(m2･s)
S=4π(dp/2)2=4π(0.040/2)2=16×10－4π m2
WA=NASMA=(227.65)(16×10－4π)(128)=146.46 μg/s≒146 μg/s
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三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(対流物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成(4) (Chu らの式)ν=μ/ρ=19.3×10－6/1.13=1.7079×10－5 m2/s
Re=dpG/μ(1－ε)=dpuρ/μ(1－ε)=dpu/ν(1－ε)=(0.015)(0.15)/[(1.7079×10－5)(1－0.45)]=239.52
Sc=ν/DAB=1.7079×10－5/0.69×10－5=2.4752
JD(=Sh/ReSc1/3)=1.77Re－0.44=(1.77)(239.52)－0.44=0.15887
Sh=JDReSc1/3=(0.15887)(239.52)(2.4752)1/3=51.473
pB,lm≒1 atm (希薄条件)
kC=ShDABPT/(dppB,lm)=(51.473)(0.69×10－5)(1)/[(0.015)(1)]=0.023677 m/s
kG=kC/RT=(0.023677)/[(8.314)(318.15)]=8.9512×10－6 mol/(m2･s･Pa)≒8.95 μmol/(m2･s･Pa)
a=6(1－ε)/ cdp=(6)(1－0.45)/[(1)(0.015)]=220 m2/m3-bed
NV=kGa(pA1－pA2)=(8.9512×10－6)(220)(0.55－0)mmHg(1/760)atm/mmHg(101325)Pa/atm=0.14440 mol/(m2･s)
Vb=π(DT/2)2Z=π(0.05/2)2(0.75)=0.0014726 m3
WA=NVVb=(0.14440)(0.0014726)=0.00021264 mol/s≒213 μmol/s(白井の式)ν=μ/ρ=19.3×10－6/1.13=1.7079×10－5 m2/s
Re=dpuρ/μ=dpu/ν=(0.015)(0.15)/(1.7079×10－5)=131.74
Sc=ν/DAB=1.7079×10－5/0.69×10－5=2.4752
εSh=2+0.75Re1/2Sc1/3=2+(0.75)(131.74)1/2(2.4752)1/3=13.644
Sh=(εSh)/ε=13.644/0.45=30.32
pB,lm≒1 atm (希薄条件)
kC=ShDABPT/(dppB,lm)=(30.32)(0.69×10－5)(1)/[(0.015)(1)]=0.013947 m/s
kG=kC/RT=(0.013947)/[(8.314)(318.15)]=5.2721×10－6 mol/(m2･s･Pa)≒5.27 μmol/(m2･s･Pa)
a=6(1－ε)/ cdp=(6)(1－0.45)/[(1)(0.015)]=220 m2/m3-bed
NV=kGa(pA1－pA2)=(5.2721×10－6)(220)(0.55－0)mmHg(1/760)atm/mmHg(101325)Pa/atm=0.085049 mol/(m2･s)
Vb=π(DT/2)2Z=π(0.05/2)2(0.75)=0.0014726 m3
WA=NVVb=(0.085049)(0.0014726)=0.00012524 mol/s≒125 μmol/s(5) NA=ky(yA－yAi)=kx(xAi－xA)(4.0)(0.05－yAi)=(2.0)(xAi－0.01)
0.20－4.0yAi=2.0xAi－0.02
2.0xAi +4.0yAi=0.22
2.0xAi +(4.0)(2.5)xAi=0.22 (溶解平衡式 yi=2.5xi)
xAi=0.018333≒0.0183
yAi=2.5xi=(2.5)(0.018333)=0.045832≒0.0458
1/Ky=1/ky+m/kx=(1/4.0)+(2.5/2.0)=1.5
Ky=0.66666 mol/(m2･s)≒0.667 mol/(m2･s)
1/Kx=1/kx+1/mky=(1/2.0)+[1/(2.5)(4.0)]=0.6
Kx=1.6666 mol/(m2･s)≒1.67 mol/(m2･s)
NA=Ky(yA－yA*)=Ky(yA－mxA)=(0.66666)[0.05－(2.5)(0.01)]=0.016666 mol/(m2･s)≒16.7 mmol/(m2･s)[別解]NA=ky(yA－yAi)=(4.0)(0.05－0.045832)=0.016672 mol/(m2･s)≒16.7 mmol/(m2･s)[別解]NA=Kx(xA*－xA)=Kx(yA/m－xA)=(1.6666)[(0.05/2.5)－0.01]=0.016666 mol/(m2･s)≒16.7 mmol/(m2･s)
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三上 貴司; 新潟大学晶析工学研究室解説資料「物質移動(対流物質移動)」令和 4 年 10 月 23 日作成[別解]NA=kx(xAi－xA)=(2.0)(0.018333－0.01)=0.016666 mol/(m2･s)≒16.7 mmol/(m2･s)
RG=(1/ky)/(1/Ky)=(1/4.0)/1.5=0.16666≒0.167(16.7%)
RL=(1/kx)/(1/Kx)=(1/2.0)/0.6=0.83333≒0.833(83.3%)

令和 4 年 10 月 23 日作成

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