宇宙論的２次摂動による重力波の生成

高橋慶太郎
京都大学基礎物理学研究所
２００７年６月１日＠東工大概要
１、宇宙論的摂動の２次の効果による重力波の生成
２、２次摂動によって小スケールのゆらぎを探りたい
hep-th/0703290
・市來浄輿（RESCEU）
・P. Steinhardt (Princeton)
・D. Baumann (Princeton)

目次
１、宇宙論的摂動：１次
２、宇宙論的摂動：２次３、重力波の生成
４、２次摂動で初期宇宙を探る

１、宇宙論的摂動：１次宇宙論的摂動
摂動 ＝ 一様等方からのずれ
・インフレーションで量子的に生成→ 密度ゆらぎ・重力波
・その後、線形に発展→ ＣＭＢ・構造形成

宇宙背景放射宇宙背景放射の温度に１０万分の１のゆらぎ

精密宇宙論の始まり
WMAP

ゆらぎの時系列
大きさ
horizon scale

comoving scalefrozen inhorizonexithorizon
entry

physical process
・音波振動
・シルク減衰・重力波生成・磁場生成

generation

インフレーション

放射優勢

時間

ゆらぎの定式化（Ⅰ）
登場人物と解くべき方程式●インフレーション中のゆらぎの生成・インフラトン曲がった時空での量子ゆらぎ
・重力●インフレーション後の発展
・光子
一般相対論的ボルツマン方程式
・ニュートリノ・バリオン
一般相対論的流体方程式
・ダークマター・重力これらを線形化して解く

ゆらぎの定式化（Ⅱ）
一様等方な背景ゆらぎ

摂動展開

１次と２次以降
ではだいぶ性質が異なる。

ゆらぎの分解
全ての摂動量をスカラー、ベクトル、テンソルに分解
スカラー
イメージ

観測量
ＣＭＢ
大きさ（１次）ベクトルテンソル

重力ポテンシャル
速度ポテンシャル

渦度

重力波
粘性・非等方圧力

密度ゆらぎ
Ｔ・Ｅ

磁場
Ｔ・Ｅ・Ｂ

重力波
Ｔ・Ｅ・Ｂ

-5～１０～０

1/2～ｒ ×スカラー-5＜１０１次摂動（Ⅰ）
計量の摂動（conformal Newtonian gauge）流体の方も分解できる・速度→ （スカラー）＋（ベクトル）・非等方ストレス → （スカラー）＋（ベクトル）＋（テンソル）１次摂動（Ⅱ）
３つのパートの方程式は独立になる

例：スカラーの方程式
ベクトル・テンソルから１次で足のない量は作れない×１次摂動論の成果：ＣＭＢ
宇宙背景放射のゆらぎの観測→ １０個程度のパラメータで２０００個のデータを説明１次摂動論の成果：銀河分布
銀河の分布関数を観測～ バリオンゆらぎのスペクトル～ ダークマターゆらぎのスペクトル

インフレーション・摂動論
共に観測的に検証された。
M. Tegmarkゆらぎに関する情報・スケール
10Mpc ～ 10Gpc
・ゆらぎの大きさ-5
δ～2×10・スペクトル
ほぼスケール不変
0.95 < n < 1.05
-0.1 < dn/dlnk < 0.1
・重力波
r < 0.1Tegmark &Zaldarriaga, 2002

宇宙論的摂動１次のまとめ理論
・一様等方からのずれに関して摂動・インフレーションで量子的に生成・一般相対論＋ボルツマン方程式＋流体方程式
・スカラー、ベクトル、テンソルに分解
観測
・ＣＭＢ、銀河分布・・・
・スカラーはかなり観測できた・ベクトルは無し
・テンソルは上限だけ

２、宇宙論的摂動：２次２次摂動のmotivation
なんで２次を考えるか？
△より精密に → 今のところ１次で十分精密○１次では現れない効果
・B mode（１次のテンソルがなければ）・non Gaussianity
・磁場・重力波◎１次をよりよく知る計量の２次摂動
計量の２次摂動

２次摂動では２つの意味でmode mixingがある。
なので面白く、複雑になる。

mode mixing ①
２次スカラーの方程式

２次のスカラーは１次のベクトル・テンソルから作ることができる → mode mixing!!
逆に、２次のベクトル・テンソルのソース項には１次のスカラー（の積）が存在する

ただし純粋に２次の量同士は混合しない

方程式の構造（雰囲気）Ⅰ

Nakamura, 2007

計量の展開
アインシュタインテンソルの展開
テイラー展開アインシュタイン方程式（真空）方程式の構造（雰囲気）Ⅱ
各オーダーのアインシュタイン方程式

テイラー展開１次→ 同じ構造

テイラー展開２次→ ソース項

例：テンソル・純２次は分離
・２つの１次の量の積が２次の源になるmode mixing ② (I)
２次スカラーの方程式
これをフーリエ変換する

mode mixing ② (II)あるスケールの２次摂動のソースとしてあらゆるスケールの１次摂動が効いてくる→ mode mixing!!

宇宙論的摂動２次のまとめ●１次では現れない効果
・B mode・non Gaussianity
・磁場・重力波●mode mixing
・スカラー、ベクトル、テンソル（純２次は分離される）・フーリエ波数●今日のお話・重力波 → ２次摂動論の単純な応用
・磁場→ ２次摂動論＋α３、重力波の生成

重力波の生成とにかく物が動けば重力波が出る・binary
天体起源
・超新星爆発・ＧＲＢ
４重極公式
・cosmic string・相転移時のバブル
宇宙論的・preheating＋・初期宇宙量子論的重力波スペクトル� gwpulsar

BBN-5LISA

LIGO-10CMB

相転移
preheating-15inflation
BBO-20-1810Gpc
3K-10100pc
1MeV-50100AU 30万km
100GeV

cyclicPBB
53km

10 log f(Hz)波長1510 GeV

ゆらぎによる重力波生成のイメージ①

重力波

ゆらぎゆらぎ

４重極公式的な理解で（たぶん）ＯＫ。

ゆらぎによる重力波生成のイメージ②
作用の摂動展開

スカラー・スカラー・テンソル結合
スカラー
重力波
スカラー

２次の重力波スペクトル・１次スカラーがスケール不変だと観測は絶望的・大スケールでは初期宇宙モデル・パラメータによらない（インフレーション・cyclic・PBB）・１次重力波より大きくなる場合もある� gw-5-10CMB
BBO-15inflation
2nd order

cyclic, PBB-20-1810Gpc-10100pc-50100AU 30万km

53km

10 log f(Hz)波長これまでの研究
Mollerach, Harariand & Matarrese (2004)
・２次ベクトルとテンソルからのＢ偏光・matter dominantだけ� gw-5-10Ananda, Clarkson & Wands (2006)
・radiation dominant期の重力波
CMB
Baumann, Ichiki, Steinhardt & KT (2007)
・全てを統一的に・スペクトルの解釈・非等方ストレスを含めた定式化-15-20-1810Gpc-10100pc-50100AU 30万km

53km

10 log f(Hz)波長

注意
量子的生成と古典的生成は独立な現象
量子的生成

古典的生成

時期

inflation

RD (subhorizon)

１次

h1 ～ √rδ

ゼロ

２次

2h2 ～ rδ

2h2 ～ δ量子的 h1 ＜ 古典的 h2となってもおかしくない。

具体的な計算
計量（１次はスカラーだけ）

アインシュタイン方程式のＴＴ成分を抜き出す

射影テンソルアインシュタインテンソル
２次テンソルの波動方程式の部分

２つの１次スカラーの積２次のスカラー・ベクトル等 →射影で消える

エネルギー・運動量テンソル

２つの１次スカラーの積

２次のテンソル→ 消えないが難しいので今回は無視射影で消えるもう一工夫ソースつき波動方程式
１次のスカラーのconstraintより

全てのスカラーは� と� で書ける

２次テンソルの方程式
全て合わせて、知っている１次スカラーをソース項とした波動方程式

計算したいもの重力波のスペクトル方程式の解

すると形式的にはと書ける。では<SS>はどんなものか？

ansemble平均の計算①
ソース項の構造

early universeとlate universeの分離

transfer function：horizonに入ってからの発展
primordial fluctuation：ゆらぎの初期条件
インフレーションでできたゆらぎの統計的情報

ansemble平均の計算②
すると、transfer functionとかいろいろ

ウィックの定理

primordialな部分

ansemble平均の計算③下の式を思い出す

重力波スペクトルの解析的な表式

transfer functionなど
１次摂動論で決まる

これを数値的に積分する

初期宇宙モデルで決まる（観測的にある程度決まっている）

重力ポテンシャルの振る舞い

数値計算によるスペクトル２次の重力波スペクトル
� gw
-5-10

解釈したい
・２つのスケール
・ＣＭＢの制限？
CMB-15inflation
2nd order-20-18
10Gpc-10100pc-50
100AU 30万km

53km

10 log f(Hz)波長スペクトルの解釈

Φ（～Ψ）の時間発展
Φhorizon entry equality time

①const②a-2③const放射優勢

物質優勢①superhorizon～const②放射優勢→音速～光速→ゆらぎは成長できない→Φはdecay③物質優勢→ゆらぎ成長→Φ～const
時間

重力波の振る舞い①ソース項の時間発展
Φhorizon entry equality time

ソース項

重力波

放射優勢

物質優勢

①superhorizon2
時間微分項 ～ H hが卓越
重力波は生成されない②horizon entry2
重力波生成：h ～ S/k③その後しばらく1/aで減衰④最終的にはconstantなソース項に支えられて作られ続ける
h ～ const時間

重力波の振る舞い②equality time

大きさ

現在

小大スケール

放射優勢

物質優勢

時間

重力波の振る舞い③
現在ちょうどconstantな振幅に落ち着くようなcriticalなスケールがある(kc)。
・それより小さなスケールではhorizon entry以来1/aで落ち続けている→ １次の小スケールと同じ振る舞い
・それより大きなスケールではある程度減衰してからconstantに落ち着く→ 大スケールほどあまり減衰せず早くconstantになる→ 大スケールほどΩは大きい(red spectrum)数値計算によるスペクトル（再）kc重力波の振る舞い④
equality time

大きさ

現在

小大スケール

放射優勢

物質優勢時間重力波の振る舞い⑤keqより大きなスケール（物質優勢でhorizonに入る）→ horizonに入って以降全然減衰しない→ 振幅は波長によらない
2

振幅が時間的に一定だとエネルギー密度は1/a で減衰→ バックグラウンドよりゆっくり減衰→ Ωは増加していく→ 先にhorizonに入ればその分Ωは増加→ 大スケールほどΩは小さい(blue spectrum)数値計算によるスペクトル（再々）再結合当時はもっとΩが小さかったのでＣＭＢの制限にかからない

keq

kc

まとめ①

まとめ②
摂動の２次の効果による重力波の生成
・２次ではモード間の混合がある→ １次スカラーから古典的に生成・１次スカラーはすでに観測されている→ ２次重力波は必ず存在する・１次スカラーの性質は大スケールで知っている→ 大スケールの重力波スペクトルはかなり精密
・観測は非常に難しい→ 小スケールで１次スカラーに大きなパワーがあれば可能性はある？

今後の課題
２次の非等方ストレスの効果は？
・１次の非等方ストレスは重力波を数十％減衰させる
・２次は重力波を増幅させるような気がする・・・
・２次のボルツマン方程式を解かねば

４、２次摂動で宇宙初期を探る

あたたかい目で見守ってください磁場生成
摂動２次による磁場生成
光子

陽子

クーロン散乱
電場 → 磁場電子
トムソン散乱トムソン散乱は主に電子を押す→ 電場・電流生成（回転成分）→ 磁場生成 (KT et al., 05, 06, 07)磁場の発展方程式
電子・陽子の運動方程式＋Maxwell方程式→ 磁場の発展方程式
スリップ項

vorticityの差

光子の非等方ストレス

磁場は３つのソース項の時間積分
どれも１次では出てこない磁場のスペクトル

Ichiki, KT et al., 2007

磁場の強さ（log B (G))-20-24銀河の種磁場？
～ 10 -27G
100AUでcutoff～ 10 -21 G-28-32-36-40

宇宙論的な磁場の予言～ 10 -30 G

１次のスカラーから生成されるので不定性なし-441Gpc

1Mpc

1kpc

スケール1pc

重力波・磁場のエネルギーの比較
同じ２次でも重力波と磁場でだいぶ違う
amplitude

tight coupling parameter

評価はほぼ正しい基本的なアイデア①
２次の重力波や磁場スペクトルは原始ゆらぎスペクトルに依存→ ・重力波・磁場を観測すれば原始ゆらぎを観測できる
・しかも２次のスペクトルは１次のスペクトルに敏感基本的なアイデア②
ＣＭＢゆらぎ・decouplingのときのsnap shot
・小スケールではSilk dampingでかき消される
磁場・重力波・snap shotの積分・散逸はあまり効かず、小スケールまで磁場はそのまま残る→ 小スケール観測が可能基本的なアイデア③
スカラーのスペクトルは大スケール以外は（理論的にも）どうとでもなれる
一方１次テンソルのスペクトルは必ずredなので１次テンソルよりも２次テンソルの方が面白くなる可能性は高い

アイデアまとめ・２次のスペクトルは１次のスペクトルに敏感
・小スケールの観測が可能
・スカラーのスペクトルは比較的自由

小スケールの１次スカラースペクトルに強い制限を与えることができるかもしれない

観測方法
ではどうやって観測するか？
重力波→ 直接（小スケール）B-mode（大スケール）
どちらもかなり難しい
磁場
Plagaの方法 (Plaga, 1994)
GRB、blazarなど高エネルギー天体からのdelayed photonで非常に弱い磁場を測る-15-20→ B = 10 ～ 10 G
→ 現在のところ最も強力な方法(Ichiki, Inoue & KT, in progress)

Plagaの方法概念図
CMB

赤外線
±γ線
(TeV)

e
対生成

ICγ線
(MeV)

GRB, AGN

磁場γ線(GeV)

timedelay
地球
↓
磁場に依存

ターゲットGRB・AGN～ 50Mpc

AGNの方がやりやすい？
地球

１次スカラースペクトルへの制限
P(k)現在の制限：ＰＢＨ
86

磁場 (10 -20G)

重力波BBODECIGO

420scale invariant

現在の制限：ＣＭＢ・ＬＳＳ-20

51015202530354045 e-folding制限できそうなインフレーションモデル
P(k)smooth hybrid new inflation
Kawasaki et al., 200786

hybrid inflation

420scale invariant-20510152025303540

45 e-folding２次による初期宇宙探索まとめ
・２次スペクトルは１次スペクトルに強く依存
・磁場と重力波はかなり小さなスケールの観測が原理的には可能・Plagaの方法による磁場観測 ～ 数年？
・重力波の直接観測 ～ 数十年？数百年？
こんな小スケールの情報は他では得られないのでやる価値はある（と思う）

結論
１、宇宙論的摂動２次の効果
・重力波の生成・磁場の生成（＋αが必要）
２、２次摂動によって小スケールのゆらぎを探りたい
・スケール不変ではきつい・他では得られない情報

END