J. Plasma Fusion Res. Vol.92, No.10 (2016)７
４１‐７４２

講座

画像再構成とパターン認識の数理
Mathematics for Image Reconstruction and Pattern Recognition

１．プラズマのイメージング計測
1. Imaging Diagnostics for Plasma
大舘

暁

OHDACHI Satoshi
核融合科学研究所（原稿受付：２
０
１
６年６月２
３日）

１．
１ なぜイメージング計測か？

い．このため，積分された信号から，プラズマ中の局所値

核融合プラズマの挙動が，核融合研究が始まったときにを推定する手法が必要となる．この問題が見かけよりもは想定されていたよりはるかに複雑であることは，多くの研るかに厄介であることは，これまでプラズマ・核融合学会

究者が同意するところだと思う．プラズマ中の少数の計測誌に掲載されてきた一連の岩間尚文氏の解説［１‐３］で強調

点での測定では，プラズマの複雑な挙動をとらえるのにはされてきたことであり，今回の講座でも逆変換の手法の最不十分であることがわかってきて，より高い空間分解能，

新の発展について解説していただく．数理的に難しい内容

より高速な計測を求めて研究開発が進んできた．このようを，初学者や私のような実験家にもわかりやすく説明してに，より高次元の計測が求められるなかで，なぜ２次元のほしいという無理なお願いに対して，素晴らしい内容の画像を想起されるイメージング計測という概念が広く使わ「画像再構成の数理的基礎」（本講座第２章）を用意していれるのだろうか．私見では，人間が外界を認識する手段がただいた．

２次元の計測装置である「眼」であるため，情報を２次元

１．
２ 今後の講座の展開

的に表示することが人間にとって最もわかりやすく，人間のパターン認識力を活かせる手段であるということだと考本講座では新しい数理的手法の紹介と，新しいイメージ

える．そのためもあって，プラズマの２次元イメージを取ング計測技術についての記事とを用意している．画像再構得できる様々な手法，マイクロ波から可視光，X 線，ガン成とは逆問題の解法と言い換えることができる．最近開発

マ線に至るまで多くのエネルギー領域でのプラズマの２次された新しい逆変換手法の一つである一般化特異値分解を元的な放射をとらえる計測器が開発されてきた．２次元計使った手法と，それを使った接線方向からの観測データの測が重要であるもう一つの理由は，磁場を使って閉じ込め

逆変換について Oak Ridge National Laboratory（ORNL）のられたプラズマは磁場に垂直方向の移動が制限されるためAndreas Wingen 氏の解説記事が１１月号以降に予定されてに，ある断面での画像，例えば環状の閉じ込め装置のポロいる．逆変換の手法の中には，互いに直交したパターン

イダル断面の断層像を推定できれば，プラズマの特徴のか（基底）を使って展開する方法がよく用いられる．任意の形なりの部分を抽出できるということである．

状を持った領域の基底を生成できるラプラシアン固有関数

それではプラズマの２次元画像を見るということは，日法が UC Davis の斉藤直樹氏により紹介される（１２月号）．

常の「見る」という行為と同じだろうか．通常我々が物体直交基底と非常に関係の深いアダマール変換を使った新しを眼で見るときにはその不透明な表面をみて形状や動きをい計測手法について帝京大学の荒川弘之氏より解説いただ

判断している．しかし，プラズマは多くのエネルギー領域

く（１２月号）．画像が得られた後，そこから更に物理的に意で透明であり，計測器の信号はプラズマ中の特定の領域

味のある対象を選別する必要がある．これを計算機におい（例えば視線上）からの信号の重ね合わせであることが多て実現することを目的とした理論・技術が パターン認識

National Institute for Fusion Science, Toki, GIFU 509-5292, Japanauthor’s e-mail: ohdachi@nifs.ac.jp

７４１!2016 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.10 October 2016

である．パターン認識とは識別問題である，という立場か理を駆使して計算により画像のブレやボケを取り除く技術

ら情報数理を用いた研究が大きく進展している．このパとも関連する．

ターン認識の最近の手法についての解説が九州大学の内田

参考文献

誠一氏により行われる（１１月号）．
新しいイメージング計測技術としては，波面センサーを［１］岩間尚文：核融合研究 68, 586 (1992).
［２］岩間尚文：プラズマ・核融合学会誌 74, 1310 (1998).
［３］岩間尚文，大舘 暁：プラズマ・核融合学会誌 82, 399(2006).

つかって密度揺動の二次的な構造を再構成する新しい計測法についての紹介が核融合科学研究所の秋山毅氏より行われる予定である（１２月号）．本講座で紹介する新しい技法
はコンピュテーショナルフォトグラフィと呼ばれる情報数!!!!!!!!!!!!!!!!!!

だち

さとし

大 舘

おお

暁

核融合科学研究所・ヘリカル研究部・高密度プラズマ物理研究系．専門は磁場閉じ込
めプラズマの MHD 不安定性，イメージン
グ技法を使った揺動解析．最近，インドでキールティムカと呼ばれている顔しかない幻獣に興味をひかれ，見つけたら写真を撮っています．インドや東南アジアの寺院の屋根の上や門の上などにはよく置かれています．日本の鬼瓦の元になったという人もいて，この幻獣のイメージがどんなふうにインドから日本に伝搬してきたのか，いろいろ想像して楽しんでいます．

!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

７４２

J. Plasma Fusion Res. Vol.92, No.10 (2016)７
４３‐７６２

講座 画像再構成とパターン認識の数理

２．画像再構成の数理的基礎
2. Mathematical Basics of Image Reconstruction
岩 間 尚 文，大 舘

暁１）

IWAMA Naofumi and OHDACHI Satoshi１）
１）

核融合科学研究所（原稿受付：２
０
１
６年６月３日）画像の再構成ないし画像の逆問題をテーマにして，その数理の基礎を解説する．観測を表わす物理の関係式
から出発して，観測データにうまく一致する物体画像は何かと方程式を立てる．その解を求めるとき，解が満たすべき一般的な制約を与えて観測不足を補い，得られる画像を改善する．そもそもの問題の立て方から始まって，
Tikhonov 正則化を軸にし，ART・SIRT から最尤推定・ベイズ推定・圧縮センシングのような最新の研究まで，その本質的なところに目を据えながら全体を概観する．核融合研究のプラズマ撮像を主たる実例に取り上げつつ，他分野のイメージングにおける魅力的な理論と応用を紹介する．
Keywords:
inverse problem, image reconstruction, Tikhonov, nonlinear constraint, Bayse, l1 norm, modeling２．
１ はじめににして解く．観測が的（まと）を射て精確であるほど，か最近，数理情報の分野において，イメージング（撮像）のつ，加えた数理の制約が合理的であるほど，方程式路線のための逆問題の数理解析がめざましく発展している．医強さがものになり，計測の逆問題は成功に近づく．出発点

療・生体・材料から地球・宇宙まで，物の情報を画像としの ART から最近の圧縮センシングまで，逆問題の数理全て得る要求がますます高まるなかで，外部から観測して内般をそのような観点でまとめてみたい．

部を求める数理科学である．線積分の計測から波動を利用

この解説において，核融合研究におけるデータ少数条件

する計測まで研究対象は大きく広がり，論文誌も豊富にのコンピュータ・トモグラフィ（CT）計測を実例に取り上なった．圧縮センシングと称する新しい計算法が大流行

げ，最小２乗法を中心に据える．逆問題研究が計算の舞台

し，パターン認識への輸出まである．研究が進むとともに，に上がった時期に先頭を走った経過もあるし，何よりも線数理の存在が後景から前景に出て，この１０年，画像のため

積分型 CT は観測不足の効果が明確でわかりやすく，数理の情報処理は著しく前進した．

の本質を理解するのに都合がよい．最小２乗法は線形代数

この進歩を既存の物理計測に取り込もう，また，この進や統計学の考え方を入れやすいし，いまも新しい試みが登歩を見たときどんな計測の原理を思いつくかというとき，場している．これまで本学会誌に掲載された関連の解説

あまりにも豊富な逆問題論文のなかに何が数理の本質であ［１‐３］と重複を避けつつ，しかし逆問題の基本から改めてるか，物理研究者が見通しよく理解することが大切であ

書いて，周辺分野の進んだ実例に目を向けながら，今日的る．本講座の最初に，そもそも逆問題とは何であるか？

で新鮮な画像再構成の入門的かつ概観的な解説としたい．

物理計測に対してどのように考えると，数理の逆問題に到

核融合研究の計測ひいては科学計測への一つの跳躍台とな達するか？

れば幸いである．

そして，それをどのように解くか？

はどう意味であるか？

解くと物理計測の現場と数理研究の最前線のあいだに立って，両者を橋渡しする理解を物理研究者

２．
２ 逆問題とは何かのなかにつくりたい．この理解の前進が数理研究の発展を

２．
２．
１ 物理観測の関係式から数理の逆問題へうながすに違いないし，物理計測の発展の力になるに違い

イメージング逆問題は計測の数理物理である．何か未知ない．

の物体（object）がある．その様子を知るために，私たちはこの意図をもって入門的な解説を書こうというとき，全物体から出てくるものを観測する．ときに，物体に何かを体を貫く一つの重要な観点がある．逆問題は，観測された当てて返ってくるものを観測する．この受動的・能動的な事実に見合う物体は何かと方程式を立てる．本来，方程式

観測のいずれにしろ，図１のように物体から出てくるものは強い．しかし，式および未知数の数に係わる観測の本来を検出器で受ける．この図は，検出器は一つの観測値を出的な事情から方程式の解が不定になる．一般には悪条件に力するつもりで書いている．このとき，私たちは物体からなる．そこで，数理の制約を加えて解を一意化し，良条件

この観測値が生まれる物理の関係を数式に書く．物理の考
author’s e-mail: iwama.naofumi@gmail.com

７４３!2016 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.10 October 2016

!
!%$
!%$
!$
! )!
'
&!%"(#!
#!

（１）

この式は，物理量の空間分布 '!%$に関数)#!
!%$が掛かっ!
#!$が生ずることて空間積分された結果，位置 !に観測量 (#!
!%$は!
を表わしている．! は物体の存在領域であり，)#
物理的な考察から既知とする．この関係式をもとにして，!%$を求める方程式に!$が与えられて未知関数 '#右辺の (#

図１

切り替えたとき，これを第１種フレドホルム型積分方程式!%$の１次項の積分であるという意味で#という．左辺が '物体 （f r’ ）と観測量 g（r）．

線形な方程式である．左辺を関数 '!%$の積分変換と考え#察から得られる理論関係式である．物体は３次元でもよてもよい．フーリエ変換や Radon 変換はこの積分が特にきい．各検出器の出力に寄与する物体の領域が１点のみにな

れいに書ける場合である．広く物理量の計測はこの形に書る計測もあるが，しばしば物体を通過する直線や遠くほどけることが多い．自分が取り組む計測はどうか，考えてみ広がる円錐状とか，ときに物体全体にわたることがある．

ることである．左辺が非線形になったときも，線形問題のこのとき物理関係式は，空間変数に関する物理量の積分に解法を足場にして解決法を考えることが多い．
非線形になる例を一つあげよう．人体・コンクリートのなる．時間信号を観測する場合であれば，時間変数に関すような誘電体に電磁波が減衰しつつ侵入するとき，その散る積分も加わり得る．
そして，観測者たる私たちは，この関係式を用いて，得乱波を観測して複素誘電率の空間分布を求める画像計測をられた観測値に合致する未知物理量を求めたい．得られた考える（図２）．誘電率をスカラーとし，角周波数 "の正弦値に合致する何かを求めるのであるから方程式である．す

的な時間変化を想定して複素振幅に注目すると，物体からなわち，物理の関係式が方程式に切り替わる．物体から観散乱される波の電場 "(%#!$は物体内部の電場 "#!%$とグ

測値が生ずる関係式を順方向とすれば，方程式を解いて物

リーン関数 ##!
!%$を用いて，!

体の未知量を求める作業は逆方向である．この逆方向の作業を行う数理問題を「逆問題（inverse problem）」と言う．

!
!%$
!$
!%$
!%$
"(%#
!
%#
"#
&!%，
"! ##

正確に言えば「積分の逆問題」である．

!%$
!%$
%#
"*##
!*$#

!

このとき，求めるものが画像（物理量の空間分布）であ（２）れば，この作業を一般には画像の復元（recovery）と言い，と書ける．ここで *，*$は物体内部と背景における波数で，積分によって低い空間次元に退化した観測量から元の画像!%$はコントラスト関数と呼ばれる．物体内部の電場%#を復元するときに再構成（reconstruction）と言う．断層（２）式は本来的!%$は未知関数 %#!%$に依存するので，"#像・３次元全体像に係わるトモグラフィ・ホログラフィに 非 線 形 な 方 程 式 で あ る が，Born 近 似 の も と には，画像解析として見れば再構成である．再生（restora-（入射電場）とすれば線形になる．電磁波
!%$
!%$
"#
""&'%#tion）は，現在では，空間次元が変わることなくボケ・歪み

散乱を利用するトモグラフィ・ホログラフィの基本関係式を受けたときの復元を意味する言葉に落ち着いたように思

である．
さ て，
（１）式 に 戻 ろ う．い く つ か の 点 !"!
+ （+"われる．復元が最も広い言葉であろう．

!
!
$）における観測値 (#"#&!
!
+ $を得たとき，この観測２．
２．
２ 逆問題の定式化‐観測への合理的な一致‐データから '!%$を求めたい．各 !
#+ において次の関係が成

前節では，「物理の観測」を「数理の逆問題」に持ち込む
手順を抽象的に書いた．ことは本質的に数理物理である．

立する．

この逆問題を解くとき，「情報の数理」とも呼ぶべきもの
!
!
$）（３）
#
&!
（+""
!
!%$
!
!%$
! )#
'
&!%"(##+!
+$がはいる．なぜ「情報」という言葉がここにはいるか？

!

観測は，計測が原理的に正しくても，検出器の数・方向など観測の範囲に制限がある．また，測定精度は常に較正
不足と雑音に制限される．物体に対する観測が不足し精度があやしいと，積分で表された物理関係式を方程式に切り替えて解くとき，解を明確に決められない．明確に決められないとは，観測の方向が少し変わるとか測定誤差がはいるとかすると 求まる解が大きく変わるなる

不安定な撮像に物理研究者として確実な判断ができない という意

味である．慎重に確実なところに留まりたければ，ぼんやりした画像を解とするしかない．
この直感的なことが実際にどうなのか，もう少し具体的に見てみよう．物理関係式が次の場合を考える．
図２７４４

誘電体による電磁波散乱の観測．

Lecture Note

2. Mathematical Basics of Image Reconstruction

N. Iwama and S. Ohdachi（５ ）式は何となく，ベクト ル !は ベ ク ト ル "よ り 長 い
この関係から解析的に %#'&を求めることは一般にむずか%（従って行列 " は横に長い）かのように書いた．線形方程

しい．観測点がバラバラであれば尚更である．しかし，コ式（５）において，式の数は観測値の数 #，未知数の数はンピュータによる計算が身近になった現在では，左辺の積

画素数 $ である．物体を外部から観測する画像計測で分を積和に近似する．

は，検出器を置く空間は物体が占める空間よりも空間次元が低い．３次元物体とそれを囲む球面，２次元物体とそれ

$

'
'
'
!
!
# ）
"
(!
#
#
#
#
' '%
%
##
%
%
(!
( &（ ("!
)&
)&
) "&
)"!
（４）

を囲む円周のたぐいである．物体に対して実現したい分解
能にふさわしく検出器を詰めて配置したとき，検出器数# は画素数 $より少ないのが普通である．そして，観測に

'
（)"!
ここで，#
!
!
$）は領域 ! を適当に分割した離
"
(!
)
'
は画素値，
散点であり，%$は画素数である．分割の仕#&%)努力のいる計測では観測欠損がさらに加わる．核融合研究

方は，逆問題に取り組むものが選ぶ．等分割することが多であると思いがちであるが，実はその前に，このような本の計測では観測窓の制限が強いので，そのために # #$いが，そうでなくてもよい．

質的な事情があることに注意しよう．
２．
２．
３ 解に与える制約‐観測と先験的な知識‐

こうして得られた（４）式は線形方程式（１次の連立方程式）である．行列表示を使えば次のように書ける．

一般に線形方程式は，式数が少ないと傾向として
件

"!""，
!
'!! '!" (%%'"! '"" (
""%
%)
)
#
'#! '#" (

(
(
(

（５）
!"
%
! "
!
&
%&
!
'!$
%%
%& &
"&
&
&
%
% "&
'"$ &
&
%
&５ ）
&
)&
，""%
，!"%
&
%)（
%&
# $
)&
$
%)&
#$
&
#
'#$
%
$

悪条

になる．そもそも，観測は解の画像が満たすべき制約を与える．いまの場合，一つの観測値が一つの式を与える．

"

観測が多いほど式が増えて解はそれだけ確かになる．方程式の悪条件とは，観測の "および "のわずかな摂動によって，解の画像 !が左右されやすいという意味である．そのようなとき，方程式は悪条件とか不良設定とか言われる．
どれほど大きく左右されるか，観測値数の多い # $$のときであれば，係数行列 " の特異値を使った評価がある

'
'
'
#
#
#
#
##
%
%
(!
) "%
( "&
(&
ただし，'() "'%
，&
と置
)&
)，%
)&

［４］．観 測 値 数 # が 小 さ い ほ ど，悪 条 件 が 一 般 に 強 まいた． !は画素値 %) を成分とする言わば画像ベクトル，"

る．式不足（# "$）となれば，解はそもそも不定である．

は観測値 &( を成分とする言わばデータベクトル，係数行

もう少し数式を見てみよう．与えられた "に 対し て

列 " は !から "を生ずる計測の物理を表わし，線積分型"!""を 満 た す !が あ る と き，"%!!!'&""を 満 た すCT では投影行列と呼ばれる．!のなかの %)の並べ方は，２!'は "!'"!すなわち「観測に現れない !'」である＊（!

次元画像であれば辞書（テレビ）式に画面の左上（ %!）からは成分がすべて０のベクトル）．観測の数が減れば，その右下（ %$）へ，３次元画像であればさらに奥行きを加えて，ような見えない !'が増える（解の自由度が増す）．端的な走査するのが普通である．また，線形代数学では，特に断例として，線積分型の疎データ CT についてこの事情をらない限り，ベクトルは成分を縦に並べて，列が１つだけ

図３に示した．解の画像は視線上以外で制約を受けないの行列として扱う．行列は列ベクトルや行ベクトルを束ねし，関係 "%!!!'&""からして物体 !及び !'の存在領域たものと見なすと考えやすい．

（非ゼロ成分の番号）はもっと広く重なってもよいから，解さて，得られた観測データ "に対して，（５）式を解この画像全体が歪むことが許される．偽の像（アーチファク

う．（１）式および（３）式の左辺が畳み込みやフーリエ積

ト）も生まれる．これは物理計測の誤りをもたらす．

分で，観測点 #( が相当に整っていれば，フーリエ変換を利このような線形方程式の悪条件は，最小２乗法にも持ち用した解法を考えるし，フーリエ変換の不確定性から分解能を評価できるかも知れない．しかし，観測点に欠損があり疎（スパース）であれば，そうは行かない．フーリエ積分の場合（フーリエ逆問題），観測データ "がフーリエ空間の原点周辺に限られているとき，その外側を０と置いて逆フーリエ変換するよりも，逆問題解法は高分解能をもたらす．この現象を特に超分解と言う．観測されなかった部分に０値を入れたり内挿・外挿したりせず，得られた観測値のみに合致する解をさがす方程式路線の強みが，観測欠損が大きいときに現われる．その強みをものにするには，方程式（５）を解かねばならない．
ここに重要なことがある．物体を外部から観測して内部図３を求める逆問題においては，観測欠損が特になくても，本質的に，観測が不足する傾向になることに注意しよう．
＊ このような !'すべての集合を線形作用素 " の零空間と言う．

７４５

線積分型の疎データ CT．ベクトル f 及び f’ の成分が非ゼロの領域を示した．視線が減るほど情報のない領域が拡大
し，観測がもたらす制約が減る．

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.10 October 2016

込まれる．連立方程式（５）の左右両辺の差の２乗和を求め#と書ける．二つのベクトル "!および "
ると，&
"!!"&

の差 "!!"は成分同士の差を成分とするベクトルで，その#ノルムの２乗を &と書いた．与えられた観測データ ""&#に対して，&
を最小にする !は新しい線形方程式"!!"&（正規方程式）
!#"%"
"%"%
$

（６）

の解である［５］．"% は行列 " の転置である．" の要素が複素数であれば "% は複素転置になるが，ここでは簡単のため，実数部・虚数部への分解を想定して実数問題とする．

図４

さて，この方程式の係数行列 "%" は正方で，式の数が未知数の数 $ と同じになったが，むしろ，ますます悪条件

線積分型 CT：理想的な線積分であれば，画素値 fn が 交わりの長さ hmn の重みで観測値 gm に貢献する．３次元の場合も同様．一般に hmn の評価は物理的考察による．

である［４］．特に観測数不足の # !$ のときは，行列式が０となり（ランク落ち），やはり解不定である．式数はまっない ()* が多く，まったく視線が通らなければ第 *列のすとうになったものの，係数行列の内実が伴わない．

べての ()* が０である．

このように観測が不十分で解不定になった悪条件な方程係数行列 "の内容をこのように横と縦に分析すると，再式に対して，解の画像を確かにし，撮像の性能を上げるに

構成法の選択や再構成画像の分析などに大いに役立つ．畳は，何らかの観測を増やす（独立性の高いかつ精度の良い

み込みの逆問題であれば，" は循環行列的になる．フーリ

式を増やす）のが最善である．しかし，そこに限界があれ

エ変換の逆問題であれば，" は sin/cos の要素でびっしりば，方程式を解く机上の作業において，解が満たすべき合と詰まる．観測欠損があれば，横方向に式が抜ける．逆問

理的な制約を数理において加えるしかない．この操作を

題の多様性がここにあると言ってもよい．

「解の正則化（regularization）」と言う．解を正しいところ

それでは，（６）式の右辺 "%"について考えてみよう．

に抑え込むという意味である．数理の操作であるから，転置して縦長になった "% と短いベクトル "の積は，求め「情報」という言葉を使いたくなる．しかしそのとき，物理

る画像 !と同じ次元のベクトルになるから，"%"はめざす的に分かっていること（物理の知識）を制約に取り込めば，

物体領域 ! の一つの画像である．この画像 "%"の第 *解はそれだけ良くなるに違いない．どんな試みがなされて画素はきたか，どんな可能性があるか，核融合研究を中心に「解

#

"%"%
$
)*'
)
*# ! (

への制約」という観点から見てみよう．

)#"

２．
２．
４ 方程式をよく見る‐解法の出発点‐と書ける．" は転置されているので，()* の左の添え字

本論に入る前に，方程式を解くからにはその準備とし%%て，係数行列 "（および " "）と（６）式の右辺 " "の様)（" の列方向）についての和である．項 ()*'
) は，観測子を見ておこう．

値') から第 *画素への 貢献度 ()*"に応じた見返りである．す べ て の 観 測 値 か ら の 見 返 り の 和 が $
"%"%
*であ

まず，（５）式および（５ ）式の第 ) 行を横に見ると，る．結局，画像 "%"は$") #! ()*&*

各観測値を貢献度に応じて領域!に再分配 して得られる「ひとまずの画像」である．「ひ*#"とまず」と言うからには，この画像がしばしば画像再構成となる．この式は 観測値 ') が物体からどのように生じたの出発点になる．図４の線積分型 CT であれば，投影値

第 *画 素 か ら ')') を視線上の各画素に対して長さ ()* に応じて再分配すである．線積分型 CT であれば，図４のようる．本来のアナログ処理では視線上への一様分配である．

に，第 ) 視 線（積 分 路）が 通 過 し た 画 素 に 対 し て の み

この作業をすべての投影値について行うと，"%"が得ら()* は０でない値（"!）を取り，他のすべての画素に対しれる．この再分配の作業は 逆投影（back-projection） とて ()* #!である．よって，" の各行は要素の大部分が０

呼ばれる．

か

を表し て い る．" の 要 素 ()* はへの貢献度である．物体の画素数は２次元・３次元的に多いが，１本

この逆投影画像 "%"がどんな風であるか，大型ヘリカの視線が通る画素の数はいつも１次元的で少ない．特に３ル装置 LHD の３次元 CT［６，７］における実例を見てみよう．

次元 CT の "は０要素の比率が非常に大きい大規模な行列

図５のように４台のボロメータを配置してプラズマからのとなる．行列 "%" も同様である（０要素の比率は減る）．

放射を受けたとき，プラズマのヘリカルな周期性・対称性

さて今度は，係数行列の要素を縦方向（列方向）に見てを仮定すれば，トーラス全周の 1/20 の部分（トロイダル角

みよう．" の第 *列を見ると， 第 *画素に各々の観測が１８°の区間）にすべての視線を集めた撮像システムに仮想

どんな ()*をもって及んでいるか がわかる．線積分型 CT

的に変換できる．この困難な作業を乗り越え，かつ，放射であれば，第 *画素に多くの視線が通るとき第 *列に０で受信の物理を考慮して，係数行列 " が評価された．CT
７４６

Lecture Note

2. Mathematical Basics of Image Reconstruction

図６
図５

核融合科学研究所の大型ヘリカル装置 LHD における３次元
CT のカメラ配置：ピラミッドビーム型ボロメータ４台を
上下（U，
L）
・外（O）
・接線（T）
方向からのぞく観測窓に設置［７］．

N. Iwama and S. Ohdachi

LHD プ ラ ズ マ の（上）理 論 計 算 に よ る 放 射 強 度 分 布 fo
（ファントム）および（下）その逆投影画像 H Tg．いずれ
も，３次元画像を３つのトロイダル角 "におけるポロイダ
ル断面像で表示．左がトーラス内側［８］．

いずれにしろ，!$ は積分をほどく方向の "の再分配であり，画像再構成の出発点となる．この理解は非常に役立のシミュレーションに用いる原画像 !
" をファントムと呼つ．最小二乗法であれば，簡単な積和計算で再分配画像

ぶが，いま，プラズマの平衡状態における理論画像（図６（６）式を解けばよいのであるが，!$"を求めておいて，（上））を !
" としよう．その投影 !!
" を求めると測定誤差方程式が解不定ではままならない．このことを確認して，のない正確な投影データ "になる．それを再分配して得ら本論に入ろう．以下，特に断らなければ " !#（解不定）とれる逆投影画像 !$ $!!
"%を図６（下）に示した．投影値

し，また，正則化の対象を最小２乗法に限定する．" ##を視線上に再分配したので，視線が集中するところに画像であるが悪条件のとき，また，最小２乗法ではなく（１）式

強度が高い．例えば，水平断面（""17.5°）の右端に見られの成立をめざすときも，考え方は基本的に同じである．

る明るい部分は，ピンホール（扇のかなめ）の近くで視線が集中するためである．相手の物体 !
" は，同図（上）に示

２．
３ 消極的制約から積極的制約へされたように，断面が楕円的で表面が明るいヘリカルな筒２．
３．
１ 一般的な弱い制約（反復解法）

である．逆投影画像の歪みを計算で取り除いて，物体画像

線形方程式!!""を解こうというとき，ガウスやヤコビを正しく復元することが，最小２乗法を採用したときの数に始まる線形方程式の反復解法のなかで ART（Kaczmarz

理解析の課題になる．この課題を，測定誤差のある環境に法）が独特の位置を占めている．Herman ら［９］が直接にはおいて，こなさなければならない．

電子顕微鏡 CT のためにこれを考案したとき，連立方程式

医用 CT において，平行ビーム投影を角度欠損なく観測の一つの式の残差 %!!%& !$& を見ては更新を進める簡単

する全周観測であれば，逆投影画像 !$"はおとなしく等なアイデアなのに，なぜか高速に収束する．その理由が間方的にぼけた画像になる．そこで，医用 CT の標準計算法もなく分かった．ポーランドの数学者 S. Kaczmarz が１
９３７

FBP（Filtered Back-Projection，フィルタ補正逆投影）法

年に重要な証明を行っていた．

はどうするかと言うと，各方向の平行ビーム投影を高周波

ここで一つ注意したいのは，線形方程式を反復法で解く

フィルタに掛けて先に鮮明化してから逆投影したとき，とき，解不定であれば，図７のように初期解 !$!%と更新方!$"が真の画像に近くなるよう高周波フィルタをうまく法によって収束先が異なることである．ART は，初期解設計する．小型コンピュータが未発達な時期に，この再構
成法が Radon 変換の関係式から考案された．電子顕微鏡
CT では，試料の回転角が常に一部欠けるため，!$"は一定の特徴ある歪みをもつ．そこで，歪みをよく消すべく高周波フィルタを修正する．この試みを WBP（Weighted
Back-Projection）と言う．
電波望遠鏡においては，!$"は dirty map と呼ばれる汚い天体画像である．汚くても，アンテナ配置で決まる特別な点広がり関数と天体画像の畳み込みなので，天体画像が点光源の集まりであれば，点光源の候補を見つけては点広がり関数の分だけ差し引いていくと，汚かった画像が結構
きれいになる．この方法をクリーン法と呼んでいる．実際

図７的に考えた再構成法である．
７４７

解不定な線形方程式の解更新．

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.10 October 2016

（画素値がすべて０の一様画像）から出発して，連!$!%#!

!!"†"

立方程式のなかの一つの式に注目しては，付録!のような（８）を解とする．この "†を一般逆行列と言う． 行列の正規直解 更 新 を 行 う．Kaczmarz に よ れ ば，こ の と き，各 式"!%$( が表す超平面への垂線の足に最短距離で移行( #"

交展開 と書いたのは，特異値分解（SVD）のことである．

することを繰り返して，"!#"の解 !のうちノルム (!(（８）式において，短い $ 次元ベクトル "を長い % 次元ベ##最小（すなわち (最小）のものに収束する．(
はベク
!(
!(

クトル !に変換するからには，"†は縦に長い%×$ 行列でトル !の成分の２乗和（全画素値の２乗和）である．ARTある．特異値分解がなされた上は，（８）式の行列計算１回のように「係数行列 " の１行」に注目しては解更新を繰りだけで直接に解が求まる．こうして得られる画像 !は，正返すのを，一般に Row-action 型反復と言う．並列処理に利#規方程式（６）の解のうち (最小のものである［４］．SVD!(

用できる可能性がある［１０］．

および "†の内容については，付録"および付録（$‐８）式

ART は核融合研究においても，慣性核融合の３次元放を参照されたい．
２．
３．
３ 制約の強めと調整（制約つきの最小化）

射型 CT などに早くから使われた．最近では補償光学望遠
鏡において，大気乱流の実時間 CT にからむ高速計算研究

以上の逆問題解法では，式不足で解不定な線形方程式にに取り上げられている［１１］．物体の時間発展を追跡すると対して，結果的に，言わば消極的にノルム最小の解が得ら

き，直前の時刻における再構成画像を初期解 !$!%に用いれれる．これに対して，観測データと合理的に一致することば計算量は下がるが，Kaczmarz 定理が初期解 !$!%#!をを要求しつつ，始めからノルム最小化を制約として与え，前提とするからには，あくまでも「やってみて十分良けれ制約に付ける重みを調整する積極策がある．
「合理的な一ば」のアイデアである．また，求める画像が本来的に非負致」を最小２乗当てはめ（fitting）の意味に捉えるとき，値のとき，反復解法では一般に，解の更新において負値がTikhonov 正則化が逆問題の標準解法とも言える地位を占出れば０に置き換える操作を挿入できる．これも，収束性める．

が大きく損なわれない限りでの便宜的な操作である．大き#Tikhonov 正則化は，「残差２乗和 (
がある値に
"!!"(

な負値が出ては０と置き直すいたずらな繰り返しに落ち込#等しい」を要求して，この制約のもとにノルム２乗 (!(んで，不自然な画像に終われば失敗である．

が最小になる !を解とする．そのためには，ラグランジュ

最小２乗法に移ろう．SIRT［９］は，正規方程式
（６）にお

関数

いて，すべての式の残差 "& $"!"!$'%%を同時に考慮して，
$
'""%

!

$
'%

&

$
'%

"!"! %#! "%" $

#
#
!%
"!!"(
#$
!!(
"(
#$(

（７）

（９）

を !に関して最小化すればよい（付録#）．ここで，!はあのタイプの解更新を行う（付録!）．%（"!）は緩和係数でとの発展を考えて導入した演算子（正方行列）で，ひとまある．もはや Row-action ではなく，また，ART の更新方向

ず !##（単位行列）とする．逆問題ではこのように，未定を平均化した方向への更新になる．電子顕微鏡 CT では現

乗数 $（"!）を第１項に付ける習慣で，$を正則化パラ

在でも，ART とともに標準的な解法として使われている．

#
はペナルティ関数と呼ばれメータと言う． !の関数 (!!(初期解と緩和係数 %が適切であれば，(!(ないしその変形

る．
（９）式の #$!%は凸関数（下に凸）であり，#$!%を最小（重み付きノルム）を最小化する解に収束する．

にする !が存在する．（６）式の導出と同様に，#$!%を !

ART，SIRT どちらにしても，逆問題を表わす元の線形方程式あるいは正規方程式について，試みの解（再構成画の各成分で微分して０と置けば，関係式像）を想定しては順方向計算で残差を求め，残差が減少す!#"&"$!&!""&"%$

る方向に解を更新する．この操作をうまく繰り返したと（１０）

き，結果的に，ノルム最小の再構成画像に到達する．

が得られる．!##であれば，!&!##である．（６）式と比２．
３．
２ 一般的な弱い制約（直接解法）

較すれば，（１０）式は 拡張された正規方程式 である．この解は，$!&! が入ったせいで今度は逆行列が存在して反復解法は，非線形問題を含めて何にでも使えるので便利のように見えるが，不明瞭なものが残る．再構成画像が

!" &
!#$
" "
$!&!""&"%

反復回数やパラメータ設定によって微妙に変わるし，収束（１１）しないこともある．計算１回でずばりと直接に解が得られ!"が，再分配画像 "&"と書ける．逆行列 $$!&!""&"%

るのであれば，その方がよい．

の歪みやぼけをうまく取り除く演算子になれば成功である．

（５）式の線形方程式 "!#"において，画素数 % を観測!"
を特異
ここで，（１１）式の !を !
$ と書こう．いま，"!

値数 $ にまで下げて係数行列 " を正方行列にすれば，逆値分解（SVD）して生成される特異値&&( 'および２つの正行列 "!"を用いて !#"!""が解である．測定誤差も含め

規直交系 &#( '$( 'を用いると， !
!&$ は美しい有限級数にて "に忠実な解である．しかし，画素数をまっとうに多く書ける［２］．

すれ ば，" は 横 に長 い の で 逆 行 列 は 存 在 し な い．そ こ$"!
#( % !"$!
! $( ，$%$ # ! )( $&((#"で，行列 " を正規直交展開して無意味な先を切り捨て，縦長の逆行列"†をつくって

７４８（１２）

Lecture Note

&% %
%&
#

2. Mathematical Basics of Image Reconstruction

N. Iwama and S. Ohdachi

ちて，悪条件の強さを表わす条件数（最大特異値 &"と最小

"
#
&%
""%"

特異値 &$ の比）が１０１９と非常に大きい．投影データ "に白（１２ ）色雑音を加えているので，"のスペクトル係数%"!
#% &は同

ここで，%"!
#% &は "と #% の内積である．この式は，よく図（中）のように %#2,000 の高周波域では雑音が支配的知られた「畳み込みに対するフーリエ変換の解」に対応

で，絶対値のレベルはほぼ一定である．これを大幅に小ささせて 理 解 で き る．ど う い う 意 味 か と 言 う と，&% %%&くなった &% で割ったのが特異空間の解だから，この高周

"!
#% &
"
&% はスカラーだから，右辺はこれを係数とする画%波域において雑音増幅が大きく起こる．分子 %"!
#% &と分像 !!"$% の重ね合わせ（線形和）になっている．というこ

母 &% とどちらが速く減衰するか，その競争関係で雑音増

，'
とは，'
#% (
!!"$% (はそれぞれ観測データ "と画像 !

幅の強い弱いが決まる．この実例では，何もしなければ再の基底系で，%"!
#% &"&% はフーリエ空間における解に対応

構成画像は破壊されるだろう．しかし幸いなことに，このする．SVD で生 成 さ れ た 新 し い 空 間 を こ こ で

特 異空

とき図９（上）のように，&% が &% に負けずに落ちるので，

間 と呼ぶとすれば，%
"!
#% &
"
&% は特異空間における解で逆変換のスペクトル係数は図９（下）のように周波数の増あり，（１２）式の右辺は特異空間から実空間への逆変換では

加とともにおとなしく減衰する．その結果，再構成画像

ないか．特異値 &% を降順（&"$&#$*$&$ ）に並べると，０のように一応の姿に落ち着く．
!
$ は図１
信号処理では，この種の &% を周波数窓（window）と呼!"経験的に，% の増加とともに基底 ! $% ，#% は低周波か
ら高周波に変わる．このとき，&% %%&は 周波数番号 %ぶことがある．（１２ ）式において，&% %%&の分母を見ればの関数として減少するから，&% %%&は高周波成分を削り落わかるように，正則化パラメータ %（#!）を増加させるほと す 低 域 フ ィ ル タ の 役 割 を 果 た す．!##で あ れ ば

ど削り落としは強まる．%を増加させると，そもそも（９）!"! $% (も正規直交系である．このようなフーリエ変換的'式のラグランジュ関数 $%!&の最小化において第１項に重な解が#きが置かれるから，残差２乗和 )
の大きい解
"!%
%&
!")

任意の線形逆問題について見つかったのだから（雑音を含むデータ "から離れた解）が得られるだろう．こ素晴らしい．
!"

それでは，再構成画像 !
% がどん$ を構成する基底 ! $の直感的な理解は，&% %%&による削り取りが強まることでな画像かを見ておこう．実例を図８に示した．低周波から説明できる（付録Ⅳ）．%を減少させれば逆である．Tik-

高 周 波 に 変 化 す る こ れ ら 基 底 の 画 像 に，係 数 &% %%&honov 正則化の定式化において「残差２乗和がある値に等

"!
#% &
"
&% を付けて重ね合わせると !
%$ になる．正値（黄）しい」ことを要求したが，%値の調整はこの「ある値」の調から負値（青）の間を振れているから，これらを重ね合わ整である．%値の選択には，最小 GCV 規準が有効 で あせた画像 !
$ は負値を取り得る．また，係数のなかの内積る．GCV（Generalized Cross Validation）は !
$ の "への近"!
#% &は正負になり得る．この係数が付いた基底画像の%接度（忠実さ）を予測理論的に評価する統計学的な量であ

正負値がうまく重なり合って，非負値のプラズマ画像を求る［３］．

めるとき，負値がほとんど出なければ成功である．
さて，&% %%&に注目して，（１２）式の級数展開が方程式の悪条件にいかに対抗するか，実例を見て考えよう．!##
として，図５，６の３次元 CT に適用したとき，展開係数の様子を図９に，再構成された画像 !
０に示した．図９$を図１（上）を見ると，特異値 !% は %#2,800 あたりから大きく落

図９
図８

基底画像の実例：プリンストン大学球状トカマク NSTX
（m ＝ 1, 2, …, 64）
装置の接線方向からの２次元 CT．C −1vm
を左上から右下へ辞書的に表示．C にラプラシアン演算子
を使用．

７４９

LHD の３次元 CT（M ＝ 3,196，N ＝ 16,188）のための数値シミュレーション．Tikhonov 解の（上）特異値 &m と Tikhonov 窓 wm，（中）投影データのスペクトル係数（g, um），（下）再構成画像 f T のスペクトル係数．最初の番号 m ＝ 1
での値を１に規格化した相対表示．GCV 最小の %値を採用［７］．

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.10 October 2016

し，Tikhonov 正則化の重要な観点は，解に対する制約を積極的に取り込むことであった．そこで，画像が滑らかなとき，画像の各点で空 間 微 分 を 取 る 演 算 子 !
［１７］を 用 い#て，画像全体にわたる２乗和 'が最小になるものを採!!'用する．!を実際の計算に取り込んだD.L. Phillipsの名を冠して呼ぶこともある［２，３］．
（９）式のラグランジュ関数からすると，考えを切り替え#て，「画像の滑らかさの評価 'がある値に等しい」と
!!'
#
き，'
最小の !（観測データ "に最も忠実な画像
"!!"'

図１
０ 図９（下）のスペクトル係数から得られる LHD プラズマの３次元再構成画像 f T：図６と同じトロイダル角 $におけるポロイダル断面像で表示．負値は黒の底打ちで表示［６］．

!）を採用す る」と 考 え て も 同 じ で あ る．!##に 戻 る#と，望遠鏡画像であればノルム２乗 '（全光量）がある!'#値としたとき，'最小の画像 !を求めると考える"!!"'

図１０の再構成画像を図６（下）の逆投影画像 "%"と比べと，物理的に理解しやすい．

!"を施した結果，エッジ領域に強ると，逆演算 %##""%"&それはともかく，線積分型 CT において ! にラプラシア#

い放射をもつ理論画像に近づいている．ノルム２乗 '!'ン演算子を使うと，特に基底!!"$& が著しく滑らかになっの最小化だけでは正則化が弱く，正負に振動するアーチて，滑らかなプラズマ画像の再構成に非常に有利になる．

ファクトが再構成画像に残るが，それでも，放射崩壊が雑音や観測欠損に対して大幅に強くなる．ただし，空間分トーラス内側から成長し，赤外線放射分布が中央部に集ま解能は落ちる傾向になる［６］．この演算子 ! の導入だけでる崩壊の過程が実験的に観察された．難関を乗り越えて得なく，Tikhonov 型の正則化は工夫次第で色々と変形できられた最初の３次元 CT である．

る．線形であるだけに変形は容易である．例えば，最大エントロピー法の空間分解能を上げるための Preblur［１８］を

雑音増幅を高周波域の削り落としで対抗するという思想
は，Wiener フィルタに始まる逆問題の基本である．Wie-(
取り込みたければ，!#"'$ !（"'$：移動平均の演算子）

ner フィルタにおけるフーリエ基底系が SVD で生成されるを（９）式に代入して，!(について解けばよい．分解能を上げる領域を指定すべく，行列 "'$の要素を工夫する余地も基底系に変わったと思えばよい．

ある．

ここで一つ補足しよう．以上のように，Tikhonov 解における正則化が '%#&による高周波成分の削り取りであるか

ラプラシアン演算子 ! を用いた再構成の一例を図１１，１２

ら に は，'%#&を ス テ ッ プ 関 数 '& #"（"$&$$%），に示す．図１１（上）のように，LHD プラズマをトーラス接#!
（$% "&$$）にして切り落としても，実用的に良い

線方向から望遠鏡でのぞいて，視線に沿って積分された２かも知れない．これを Truncated SVD（TSVD）法と言う．

次元画像を得るとき，１ポロイダル断面での放射強度分布

"!
#& &
%
$&
!
)(*& # !
%&&#"を計算で復元する．プラズマがトロイダル方向にヘリカル

$%

（１３）

な周期性を持つと仮定すると，１つの視線（直線の積分路）
は１ポロイダル断面上の曲がった積分路と等価になる．あ

このとき，正則化のパラメータは項数 $% である．$% を特る高ベータ値のプラズマ平衡状態に対して，理論計算で得異値が０に落ちる直前の番号にしたのが，実は（８）式の一
般逆行列の解である（付録!）．また，微分演算子!を用いるときへの拡張が太陽観測のために着想され，数理的に検討された［１４］．最近の核融合研究では，磁気センサーの信号から磁場および渦電流の空間分布を推定するのに TSVD法が用いられ，最適な打ち切り項数 $% が実験的に探られている［１５］．
TSVD 法は（１３）式のように最初の $% 個の項だけを用いるが， 係数行列 "の特異値分解（SVD） は，基底・特異値のすべてを求めなければならない．もしも，SVD の代わ
りにQR分解を使えば，使用する最初の $%個だけを計算す
る本当の打ち切りになるので，" が変化し，" の分解を何度も行うときには効率的である．ただし，再構成に用いる
基底系が SVD による基底系とは異なる
［１６］．
２．
３．
４ 物理情報としての滑らかさの制約
ここで，逆問題の原点に戻ろう．線形方程式は解不定で#あった．解一意化の制約「ノルム２乗 '（画素値２乗和）!'

図１
１ LHD プラズマの接線方向 CT：真空紫外線望遠鏡の（上）実空間および（下）ポロイダル断面に射影された視線配置．
緑線は磁気面を表わす［１９］．

最小」は，数学的に好都合であるし，これくらいなら一般性があって許されよう，という程度の理解であろう．しか７５０

Lecture Note

2. Mathematical Basics of Image Reconstruction

N. Iwama and S. Ohdachi

性ある分解を行う．P.C. Hansen［２１，２２］は GSVD を逆問題に取り込むとともに，$値を最適化する方法（L-curve）
を考案した．前述のように，$は #$"%の左右の項のバランスを調整するパラメータである．その $値を変えて再構成像""と$を縦軸・横軸に"%を求めたとき，$
!"% &
""
%&
%&
&
#!#

取ってグラフをつくると，L 字形の曲線になる．その折れ
曲がり点の $値が最適とする理論である．赤池情報量規準（AIC）や GCV と同様に，数理解析の良さを残差を見て判断せよ という考えである．なお，G. Wahba は（９）式の第２項に係数 !
!
# を付けて GCV を導いた．Hansen が再定義した GCV は，Wahba の GCV の # 倍になることに注意
されたい．
核融合研究において，GSVD がトーラス接線方向［２３］ならびにポロイダル断面内の２方向［２４］に設置されたピン
ホールカメラによるCT撮像に使用された．"!!!の特異値
分解とは用いる基底系が異なるが，最小化するラグラン
ジュ関数は同じであるから，正則化パラメータ $が同じ値であれば再構成画像 は 同 じ で あ る．GSVD 自 体 は す でに，電子サイクロトロン加熱に係わる多チャンネル信号の

図１
２ LHD プラズマ揺動の（上）ファントム，（下）６％の雑音を加えた投影データから得た再構成画像．揺動だから負値がある．図中の m はポロイダルモード数［１９］．

分析に巧みに使われたことがある［２５］．GSVD について
は，本講座の第３章で詳しく扱われる．
以上，２．
３．
２節の一般逆行列から本節の GSVD にいたるられた視線の配置を図１１（下）に示す．結局，この平面に直接解法 で は，解 "は観測データ #に関して線形であ

おいて，この曲がった視線パターンによる投影データからる．したがって，"の成分は負値を取り得るので，本来的に２次元画像を再構成する CT と等価になる．数値シミュ

非負の画像には不利であるが，観測系の弱点が正直に現れレーションを行った一つの結果を図１２に示す．磁気面にるので装置の設定・較正（すなわち "と #に弱点があると沿った方向に１０周期の揺らぎを想定したファントム，およきの補正）において便利でもある．また，ひとたび行列分

び，（１２）式で得られた再構成画像である．# "$（データ

解をしてしまえば，#の交換に対して計算は高速である．

多数）に設定されてはいるが，交差する積分路のない下部

２．
３．
５ 非線形な制約（値・位置・滑らかさの制約）

領域で再構成がうまくいかない．正則化項を C TC と画面全放射強度の空間分布のように，画像が物理的に非負であ体に一律に与えた再構成法の限界である．それでも，磁場れば，方程式の解にそのよう制約を加えた方がよい．一般

容器に形があり理論計算が進歩したには画素値の上下限がわかっていることもあり得る．この

らでは最近の核融合研究なの特徴ある画像の逆問題である．

ような制約を加えると，最小２乗問題は非線形になり，計

ここで，トーラス接線方向からのプラズマ撮像について

算は反復アルゴリズムにならざるを得ない．

一つ補足すると，Nguyen van yen ら［２０］は，トカマクの接Hopfield ニューラルネット法［２６］は，（９）式の #$"%に

線 方 向 か ら 得 た 普 通 の 可 視 光 カ メ ラ 画 像 に 対 し て，

対して，解更新するなかで負になった画素値 &'を正値に押

Wavelet-Vaguelette 多重度解析を用いて，# #$で観測欠し上げる非線形な単調増加関数を計算のなかにひそませ損のない画像再生的な復元を行っている．

る．ニューラルネットでは普通，ニューロン出力値（画素さて，Tikhonov 型の正則化について，核融合研究におけ値）に上界のある sigmoid 関数を用いるが，正値制約だける最近の前進は一般特異値分解（GSVD）の導入である．

のときは馬・竹田［２７］が導入した skimmer 関数の方が合微分演算子 ! を用いるとき，従来の解法は "!!!を特異値

理的である．

!!

は ! の逆行列である．しかし微分演算の行

Hopfield 再構成の実例を図１３に示す．電子顕微鏡 CT は

列 ! は線形方程式 !$#!
（!は定数ベクトル）が悪条件で平行ビームカメラによる線積分型 CT であるが，試料回転あるという意味で扱いにくい行列である．画素数が多くなの都合から平行ビームの方向角に±２０°ほどの欠損がある．

ると，!!!が求まらなくなる．コレスキー分解を利用して

図１３の上段において，画面全体にわたって電子線が水平方難を避ける手だてもあるが［６］，GSVD はもう一つの可能向に欠けている．逆投影 "%#の再分配がこの方向に欠け性を与える．

る結果，SIRT の再構成では円環が歪み，円環の外側に向け分解する．!

いま，（９）式のラグランジュ関数を
"
"
"%
""!#&
#$
$!!"!"!!&"&#&て扇状にアーチファクトが広がる．２．
２．
４節の WBP 法で述べた「一定の特徴ある歪み」の現れである．Hopfield 法の（１４）再構成ではこれが大幅に消えて，分解能も上がっている．

!!
"と書けば，$ !と "，0と #が対等の位置を占める．GSVD

解不定な正規方程式に対して，ノルム最小の解が結果的・は，このようなノルム２乗和のために，" および ! に対称

消極的に得られる SIRT に対して，滑らかさの制約を積極
７５１

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.10 October 2016

ここで一つ注意しよう．このように非負値制約を加えた
とき，単に負の画素値が０に押し上がるだけではない．線
積分型 CT であれば，積分路に沿った画素値の和が観測値にうまく一致する画像を求める．したがって，正の観測値に対して，正負値の和が一致した画像と比べると，非負値だけの和が観測値に一致する画像は大きな正値も消える．
明暗の振れ幅が減って，画像全体が落ちつく．画像の再構
成に大局的な変化が起こる．
#
やエントロピーにもう一つ注意すると，ノルム２乗 (!(よる正則化は，隣接する画素値のあいだの変化率を考慮し#ていない．(（(（１５）式の第１項にし!() の２乗和）にしろ

図１
３ 電子顕微鏡 CT の投影角欠損を想定した２次元再構成の数
値シミュレーション（ファントムは円環）：SIRT 法と Hopfield 法の再構成画像（平面表示と立体表示）［２
８］．

ろ，画面全体にわたる画素値の総和的な量に過ぎない．
「平均値からの変動が少ないほど関数が小さい」という凸関数の性質（Jensen 不等式）に頼って い る．そのため，!##の Tikhonov 正則化と MEM は，正値制約の効果を除的に与えつつ正値化を加えた著しい効果である．ここでけば，正則化の程度（分解能と信頼度）に大して差はない．

は，投影データに雑音を加えない場合の結果を示した．

#
最小は，画面全体にわたる「画素値の分散」最小に近!((レーザーを使った位相トモグラフィ［２９］にも電子顕微鏡

いように思われる．
#
こ れ に 対 し て，微 分 演 算 子 ! を 用 い た (
最小化!!(

CT と同じタイプの観測欠損がある．

は，隣接画素の変化を直接に評価するので，正則化は強い．

一 方，最 大 エ ン ト ロ ピ ー 法（MEM）は，（９）式 の#を対数のはいった非線形関!'において，第１項の("&!!(核融合研究では，この正則化項をさらに数に置き換えて次式とし，画素値 () を正値化する．

［画像 (#'の空間微分］２
&
#'
(
&

%

#
!'
"!!"(
"&
%(
##) (
)$
)"(
)#"

（１５）

の空間積分に置き換える手法が線積分型 CT のために考案

言わば，負エントロピーの最小化である．Tikhonov 正則化

され，関数の形式的な対応からとの関係を見るために，（１５）式の "&!'を !の各成分で微小化 と呼ばれる［３］．プラズマの CT 撮像では，プラズマ

分して０と置くと，
$
#
""$
%(
"
'
"#' ) ((""&"!#"&"
&
# %
""$
%(
%

中心から離れた周辺部で積分路が少なく，強い正則化が必となる．!##のときの（１０）式と比較されたい．この等式なり，解更新のなかに便宜的な正値化の手だてを挿入できを満たす (を求めるために，ニュートン法を素直に適用し，

る．

!'
&

フィッシャー情報量の最要になる．そして，その領域でおとなしく (
#'
&
%!となる
のであれば，これを正則化項の分母に取り込んで，周辺領域で解の抑えを強化できる．分母に (#'が入ってラグラン&ジュ関数は非線形になるので，求解は反復アルゴリズムに"'&初期解 ! を値１の一様画像とすると，次の解 ! はトカマク装置において，Odstrcil ら［３１］は上式における#'の微分（gradient）を磁気面に沿う方向に設定する試(&!"!&"'#!"##""&"" "&"#みを行った．Gao ら［３２］は微分をラプラシアンに拡張するとともに，MEM におけるのと同様な近似 GCV を導入して#としたときの Tikとなる．これは，正則化パラメータを #!

#値の最適化を行った．

honov 解（!##）である． !&!'の値がネイピア数 'であれ

２．
３．
６ モデル関数の強い制約

ば 1/2 は消えるので，Tikhonov 解であることが重要であ

もしも求める画像がある型の関数になっていると予見でる．値１（または '）が求める画像の平均値からいかに離れきれば，その知識を持ち込むに越したことはない．その関ていようと，次の反復解は Tikhonov解になる．画像の負値数（関数モデル）の線形変換が観測データにうまく最小２を消す作業がここから始まる［３０］．この最小化計算におい乗近似するよう，モデルの未知パラメータを決定すればよて，変数の数 %（画素数）をデータ数 $（$%）に減らし

い［３３］．そうすることで，多数の画素値を未知数とする悪て解を求める効率的なニュートン法手順が，核融合研究に条件な線形方程式が，少数のパラメータを未知数とする小おいて考案された．また，最小 GCV 規準の拡張も試みられ

規模な問題に変わり，良条件で解ける可能性がある．

た．GCV の分母に含まれる影響（influence）行列に再構成

馬・竹田［２７］はニューラルネット（多層パーセプトロ

画像を入れる近似である［３］．

ン）を使って，人工衛星による電離層の透過型 CT に画期

なお，Hopfield 法にしろ MEM にしろ "&!'最小の解は一的な成功を得たが，この方法も本質的にある種の非線形な意になっているから，図７とは違って，初期解の与え方は級数モデル当てはめになっている［３４，
３５］．地表に平行な局所最小の問題を除いて重要でなくなる．

積分路を欠いた観測条件において，どのような基底の重ね
７５２

Lecture Note

2. Mathematical Basics of Image Reconstruction

は１次元問題に帰着する．関数モデルの当てはめに匹敵す

合わせかという観点の分析があってよいように思われる．
さて， 線形な逆問題

N. Iwama and S. Ohdachi

る解への強い制約である．

の線形性を維持する関数モデルの代表は，係数を未知パラメータとする級数展開である．

なお，電子顕微鏡の単粒子解析（ウィルス粒子１個のCT

いま，求める物体の画像 #)%の重ね合わせ#)%を基底 *$1$再構成）において，粒子の投影画像を集める労力を減らす'#)

ために，粒子の３次元構造を表わす球ベッセル展開が使わ)#%#%#! )1*$
1$

れている．項数は１，０００前後で，投影像の SN 比は低い．老

（１６）

1#!

舗の核融合系にとって注目に値するが，AIC がなぜか使わで表わしたとする．)1 は展開係数，'#は項数である．このれていない［３７］．

級数表現を（１）式の #)%に代入すれば，$

２．
４ 新しい制約がもたらす可能性

'#

)

)

)

#
#%
#%
#%
!
*
+#
#" /$
（１７）
，!1$
#%
#%
.$
#! )1!1$
1$
1#!

２．
４．
１ 参照画像との距離最小化#

核融合装置のプラズマについて，近年は理論シミュレーとなる．これは観測量 .$#%の級数展開であり，*
#)%の線
1$

ションが著しく進歩した．画像はほぼこれくらいだという形変換 !1$#%が基底になっている．線積分型 CT では，基見通しがあれば，その知識を解の制約に取り込みたいもの)底*#%の投影 !1$#%が投影の基底になる．そして，あり
1$である．一つの方法として，未知画像と理論画像の距離をがたいことに，係数 )1 は #%の両者に共通であ#)%と "$$"
考え，観測データに対して ($!!"(#ある値 という条

る．この便利な関係を使うと，画像の再構成は簡単である．

件のもとに，距離最小の解を採用しよう．参照すべきもの（１７）式の級数が観測データにうまく合うように )1（1#という意味で理論画像を !
,()と書き，距離にあたるものを)!
!
'#）を決めたら，（１６）式に用いて画像 !
"
*!
#%が求ま
$

!
!
+$
!
,
()%とすると，ラグランジュ関数はる．離散化した計算でも同じである．物体画像に適した基

"
!%
!
!
$!!"(
"$
!
"(
##+$
,
()%

底系を使えば項数 '# が小さくて済むから，)1 を決める正規方程式は小規模になる．

（１８）となる．理論に引っ張られ過ぎないよう，#値をうまく調

線積分型 CT の Cormack 級数展開は，&
#)%
#%
!&
!1$
*
'
'
1$

整する．理論画像にぼかしの幅を持たせるとか，１ビットともに直交基底系であることで知られる．基底系が完備で画像に変換して !
!
!!
$,()にするのも一案であろう．+,()%

あれば「どんな画像でも項数を増やせば」という一般性のとして，ユークリッド距離の２乗ある強さが得られるが，どうせ有限な項数 '# で打ち切る

"
!
!
!!!
+$$
!
"$
#(
(
, "#%
,
()%
,
()%

から，実のところ，完備性は本当には必要でない．
線積分型 CT では，基底の台（support）が広く，かつ，少（１９）とか Kullback-Leibler（KL）距離ない項数で済むのであれば，級数展開法はまとまった観測

'
1
!
!
+%&$
!
+
#! 1*
,
()%
,
1#!
,
()
!
1

欠損に際立って強い．核融合の磁場閉じ込め研究において，ピンホールカメラがわずか２〜３方向の限られた観測（１９ ）では，標準解法の FBP 法は見るからに使えないし，ARTとかを思いつく．分母に ,を入れたのは， !#!
,()のときでは正則化が弱すぎてアーチファクトに悩まされる．観測

!
!
!
+%&$
,
()%を最小にするためである．

の精度からして最小２乗法の導入は当然として，どうした（１９）式の +$$を用いるとき，"$!
!
!%最小の解は Tik!
,
()%

らよいか？

honov 解の簡単な拡張になる．演算子 " を付けた表現を書

これがプラズマ CT 計測の出発点であった．

そして，プラズマの周辺部で０に減衰するフーリエ・ベッ

けば，

セル展開が採用され，AIC による最適化が先進的に導入さ

!! (
!
"!$!
$ $
#"(""$($%
"!
' #$
,
()%
,
()

れた［３６］．基底の様子が文献［３］に図示されている．

（２０）（１１）式にが解となる（付録!）． !
,()#!と置けば，上式は定義域が円の基底系を用いると，プラズマ領域が非円形のとき，それを覆うだけの円を画像領域とすれば，項数帰着する．ここで，$!
,()は参照画像 !
,()の観測量（線積分'# が増える．そのために正規方程式が悪条件になれば，正型 CT であれば投影像）であることに注意しよう．
（２０）式

規方程式に Tikhonov 正則化を加えるのもよい．しかし，は，これを差し引いた観測データ "!$!
,()から再構成を行

もっと有効と思えるのは，磁気面座標の空間で再構成する

い，得られた画像に !
,()を加えればよいことを意味する．

ことであろう．このとき，実空間で直線の積分路が，再構ということは，（１２）式に照らして，ただちに次の級数表現

成を行う空間において曲線になる．図１１（下）のようなもが得られる．

のである．断面が非円形だからと言って，直交２方向カメ&"!$!
$0 % !!
!
$
,
()
!
#%
" %0 "!
' # ! 2$
,
()
$
0
0#!

ラだけの撮像において，画素値をそのまま未知数とする風潮には疑問を感ずる．

（２１）

また，（４）式のように積分を積和で近似するとき，画素

ここで，$"!!の特異値分解と 2$#%は（１２）式と同じであ値が等しいことが自明な画素を一つに合体すれば，未知数

る．GCV の表式も変わらない．" に微分演算子を用いてもの数が減り，すべての解法において有利になる．特に磁気よい．GSVD および Hopfield 法に !
,()を入れる拡張も，同面に沿って画素値が一定とみなして良ければ，画像再構成

じように考えればよい．
７５３

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.10 October 2016

他方，（１９ ）式の KL 距離 '%&$"!".
)*%は，エントロピー

$
,%
!
!
#）を求める．こ#+!
間の比 '.
""$,%%
#*
$
."
.（.#"

か ら 相 互 エ ン ト ロ ピ ー へ の 拡 張 に 相 当 す る． ".
)*をの比を成分とするベクトル !$,%と，成分がすべて１となっ

（/#"
)
"
(
!
!
$）の一様画像とすれば MEM に帰
#
+!
.
)*
!
/ #"

&
& $
,%
たベクトル !
(の逆投影画像 " ! および " !
(を求める．

着する．核融合研究では，JT60-U トカマクにおいて，ELM

これら二つの逆投影画像における画素値の比雑音でデータ欠損の生じたフーリエ分光（１次元フーリエ$%'/, #$"& !$,%%"&!
$!
!
$）（２５ ）#+!
(%/"/ （/#"

逆問題）で効果を上げた［３０］．CT 撮像についても文 献［１８］で試されているが，当時と比べて理論計算は著しく進を !$,%の対角要素とする．（２５）式の乗算更新からすると，歩した．距離の取り込みは，観測の制限から起こる情報の

!%
$
+./，*
. すべてが非負の逆問題であれば，初期解 " のす不足を理論で補うための有望な方法のように思われる．

べての成分を非負に設定すると，画素値はおのずと非負にまた，電波望遠鏡の画像再構成において，MEM が高い

なる．統計学的考察から，非負値制約を満たす再構成法が分解能や広がった天体のための良い特性があるものの，再一つ得られた．

構成画像の信頼性（安定性）においてクリーン法に及ばな"%は非線形関数であるから，その最小化において#'&$いとされて久しい．とすれば，クリーン法の再構成画像を式不足による悪条件が解不定という明確な形を取らない．

".
)*とするのも一案であろう．

しかし，悪条件から自由であるとは思えない．観測欠損の２．
４．
２ 最尤推定大きい逆問題においてどんな再構成特性となるか？

藤沢

ものごとの理解を統計学に拡張しよう．ある観測データ

ら［３９］は，４方向の平行ビームカメラを用いたプラズマ乱#が得られたとき，生起確率最大のものが得られたと考え流の光放射 CT に用いている．他のいくつかの再構成法とてみる．フィッシャーが考案した最尤推定である．画像逆比較した例としては，T. Craciunescu ら［４０］による大型装問題について考えてみよう．未知画像が "であるという条

置 JET の中性子放射型 CT への適用がある．論文には，直件のもとで，""の各成分に対して，例えば互いに独立な正交２方向のピンホールカメラ配置において，数種類の数値

規性の測定誤差が加わって #が生起したとする．誤差の平ファントムに対する再構成画像が示されている．非負値制

均値を０，分散を (#とすると，その条件付き確率は約を与えた再構成像には安定性が感じられる．しかし，再構成法の法則性に照らした分析がいま一つ見えない．Tik-

#
""%
*
. !$
" )/- !(
.)
#&
"%
%$
#$
!
"
#
(
#
.#"%
&(#
#
#

" )/-! " # "##! #' !" '"
(
#
&(#
*#

honov 正則化については，分解能不足になるファントムがあり，また，データ数が # #"$と少ないから GCV が働かないとも述べている．こういうときは，高番号の基底がど（２２）んな画像か，残差の様子はどうか，踏み込んで調べたいもと書ける．これを尤度（likelihood）と言う．両辺の対数をのである．電離層の波動観測において，わずか # #$の画取って，得られた観測データ #を固定して +
#&
"%を最大
,%$

像逆問題で GCV がきれいに働いた経験が筆者（岩間）には#にする "は何かと考えると，'の最小化すなわち最""!#'ある．少ない基底でも物体をよく表現できて

小２乗法に帰着する．

的になれば計数測定であれば，カウント数 *""%. が期待値 $. のポ#の最小化と対応している．と"%の最小化は '
#'&$
""!#'

あれば，#'&$"%に正則化の項を取り付けてみたくなる．例#.

ということではなかろうか．

そ れ は と も か く，（２２）式 と（２３）式 の 尤 度 を 見 れ ば，

アソン分布に従うと考えると，条件付き確率は" "" * )/- ""
#&
"%
%$
#$
(
$ %
(
!$ %
.)
.)
.
.#"*

残差が雑音

（２３）

えば，前節の距離を導入して，
"%
"%
"
"
$$
!
"#'&$
#%'$
.
)*%

となる．この対数の最大化は（２６）を最小化するという類いである．医用 CT ではこれが本格

#

"%
#'&$
""%
""%
,$
## (
$
.+
. !*
.)

（２４）

的に取り上げられ，後述の " ノルム化を含めて，大規模画を最小化する "を求めることに帰着する．期待値最大化と［４１，４２］．健康な人体画像を ".
)*に用いて，画像の質を上げいう言葉も使われる．ここでも，観測データが得られた具ると同時に病変検出に効果を上げるといった使い方がされ体的な値 *!
!
#）に固定されていることに注#+!
. （.#"ている．

意されたい．

２．
４．
３ ベイズ推定への拡張.#"像のための反復アルゴリズムが精力的に開発されている（２４）式の #'&$"%は "の凸関数である．その最小点を求

最尤推定を考えたからには，もう一歩進もう．素直な考めるために，解を乗法的に更新する反復アルゴリズムが，えとして，観測データ #が与えられたとき，未知画像 "X 線 CT が実用化しさらに SPECT/PET が期待された時期は何であるか？

に考案された［３８］：これが最大になる "を求めてはどうか？

"$,""%#!$,%"$,%

ベイズ定理を使うと，前節で扱った %$#&"%と次式でつながる．

（２５）

ここで，!$,%は対角行列である．線積分型 CT の言葉を使$,%

この確率は条件付き確率 %$"&#%である．

"&
#%
%$
#

$
,%

うと，投影データ #と " の投影 "" との対応する成分
７５４

#&
"%
"%
%$
%$
#%
%$

（２７）

Lecture Note

2. Mathematical Basics of Image Reconstruction

ベイズ推定論では，$%!&を事前確率，$%!'"&を事後確率と言う．観測データ "が生起する前および後の !の生起確

N. Iwama and S. Ohdachiの事情に答える努力がなされた．
以上のベイズ定理を介した最尤推定から事後確率最大率という意味である．この定理は，具体的な "が生起した化へことによって，観測者にとって画像 !の生起確率が変わる［４３，
４４］．２．
３．
５節のフィッシャー情報量最小化のところでことを表現している．

述べたように，核融合研究の CT 撮像では，領域周辺部にの拡張について，最近，興味深い論文が出ている

さて，この事後確率 $%!'"&が最大になる !を求めるとおいて正則化（平滑化）を強める必要がある．Li ら［４３］にき，分母の $%"&は !と無関係な定数である．そして，仮に従 っ て，（２９）式 の 事 前 確 率 を 拡 張 し，画 像 値 '*（*#!&を !によらない定数，すなわち，先験的な知識がまっ$%!
!
#）が共分散行列 %! の # 次元正規分布"#,!

たくなくてどんな画像も等確率で生起すると見なせば，!'"&の最大化$%は前節の"'!&の最大化 （最尤推
$%

!&
$%
#

定）に帰着する．言い換えれば，$%!'"&の最大化による!の推定は，右辺の分子の右端に $%!&が付いただけ最尤推

"!
"
% !"
!!!
0,!
!!
! %
"
'(& %! %
'(&
#
""
# '
#"
#
%!'
)&
#
'
%
（３１）

定の拡張である．確率 $%!&は，観測を行う前から，「物体で生起するものと見なそう．%! の %(!
)&要素は，２つの画

画像 !がそもそも !である確率」であるから，ここに物理

素値 '( および '
)がともに生起すると考えたときの共分散の知識を入れる可能性を感ずる．

（相関）である．特定の第 (画素に注目したとき，第
&%
(
!
)
&

いま，観測データに正規性の測定誤差が加わっていると)画素がこの画素から離れるとともに，&%(!
)&がガウス関し て，$%!&に（２２）式 を 用 い，（２７）式 の 両 辺 の 対 数 を"'数で減衰するものとする．簡単のために等方的に減衰する

取って符号を変えると，次式が得られる．

として，減衰の特徴的な長さを (( としよう．そして，第(画素が積分路不足（情報不足）の領域にあれば (( 値を大

" "!
#
!'
"&
!&
*$%
*$%
+*.
/
!)
#!)
" #(
!"(
"&
． （２
８）
*
#

きく設定し，積分路が多い領域では ((値を小さく設定すると，領域に応じた画像平滑化が得られるのではないか．

ここで$%!&が !に依らない定数であれば，右辺の最小化はそのように考えた（３１）式の事前確率 $%!&と（２２）式の条

最小二乗法であり，解は不定であった．このとき，（９）式

件 付 き 確 率 $%"'!&を（２７）式 の 分 子 に 用 い て，こ のに始まるラグランジュ関数の文脈からすると，右辺の初項!'"&を最大にする !を求めると，次式が得られる（付録$%!&は正則化の項ではないか．
*$%
!)

!）．

実際，$%
!&が参照画像 !
'(の周りの正規分布であると見

!" %
!"
!%
"!"!
!&
*#%!
" %
#%
""%"&
"!
'(&
'(

なして，

（３２）

ここで，左辺のベクトル !は，右辺の *#%!に含まれる未知

#

" '
" !
#
#
!&
$%
$ # '0,!
!!
#'0,!
! #%
! #(
*!'
'(
'(("
!
*&"
*!
*!
#
#
*#"
（２９）

パラメータ ((と *#（観測データ "の正規性誤差の２乗平均値）をまとめて便宜的に表したもので，敢 え て 書 け ば&である．上式を（２０）式の Tikhonov
(#!
($!
*#*
!#)
("!
,!
!"
正則化の解 !と比べると，正則化
項の '!%! が *#%!
%を（２８）式の右辺に用いると，に置き換わって い る． !
% を こ の よ う に 拡 張 し た 上 で，

" "!
" !
#
#
!'
"&
+*.
/
*$%
!!
( !"(
"&
!)
# #(
.
'(("
*#
#
*!
#

!"
に含まれる !をうまく決めれば，再構成画像 !%!&*#%!

が求まることになる．

となる．よって，この !)!'"&の最小化（$%
!'
"&の最大
*$%

それでは，!をどう決めるか？

Li らは !の最尤推定を#を 正 則 化 パ ラ メ ー タ と す る Tikhonov化）は，'#*#"*!

採用する．すなわち，観測データ "に正規性の誤差が加正則化である．また，同様にして，$%!&をラプラス分布わったとし，（２２）式右辺の !に !%!&を代入すれば，尤度
"'
!%
"'
$%
!&
!&は
&すなわち $%

#

#
!&
$%
'
$ # '0,!
!+'
"
*!'
'(
!
*'
*!
*#"

（３０）
"'
$%
!&
#

$"
# #

と見なせば，後述の )*!
" ノルム正則化になり，'## *"が正則化パラメータになる．

" '0,! " " ! ! #("! #( !" % &
*
)*#
$#

（３３）

となる．よって，これが最大になるよう!
（空間的に非一様

勢いづいて，もっと言えば，エントロピーを exp の肩にな相関距離 ((（(#"!
!
#）および *#）を決める．実際#,!

乗せたものを事前確率 $%!&と形式的に見なせば，最大エの計算では，この $%"'!&の最大化に共役勾配法を用い，ントロピー法（MEM）にもなる．こんなことは 形式論に!"((，*#を更新するなかで，*#%!
""%"をコレスキー分解と思うとそうでもない．Ertl ら［１８］はこのベイズして得られる行列を用いて，正規乱数を画像 !%!&に再分推定論から，MEM における正則化パラメータの決定法を配して共分散を評価する手続きを入れているように見え考えた．GCV の近似を使うのとは別の試みである．観測欠

る．計算は十分に高速とのことである．

過ぎる

損の大きいプラズマ CT 撮像では，残差の２乗平均値を検Li らの計算結果を図１４，１５に示す．図１４（左）の視線配

出器雑音の２乗平均値よりも小さくする（観測データに近置（すなわち投影行列 #）において，ファントムの投影にづける）方がプラズマの形がよく出る傾向が見られる．こ乱数を加えて作成した投影データ "に対して，最尤推定で７５５

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.10 October 2016とする．
（１６）式の級数モデルの離散表現である．このとき，（２２）式の &$
#&
"%は
#&
"%
&$
"

%

!
! # ! ) #! "$(&!
!# - -'"
! "'
"
&
"
-"!
%&
("

（３５）

となる．右端の #"において，演算子（行列）# の線形性を用いた．#!- は基底 !-$$%の離散表現である．パラメー
タ )-（-"!
!
!
%#）および &"を !で表わすと，未知ベ"*!
ク ト ル "が 未 知 の !に 集 約 さ れ て い る か ら，上 式 の#&"%は &$#&&$!%と書いてよい．そして，（３５）式を見ればすぐわかるように，&$#&!%の !に関する最大化は )- の最

図１
４ Max-Planck 研究所のステラレータ装置 W7-AS の軟 X 線放射型 CT：（左）ポロイダル断面に設置されたピンホールカ
メラ８台の視線配置，（右）求められた平滑化パラメータ 1/$k の空間分布［４３］．

小２乗推定に帰着し，残差の２乗平均値が &"の推定値になる．赤池は（３４）式のような級数モデルに限ることなく，モデル一般に関して，データ数 $ ) # の漸近的な量として決定された !
"$+ の位置分布を図１４（右）に示す．平滑化がモデルの良さを表わす規準（AIC）を発見した．Li らのベプラズマ中央部で弱く，周辺部で強くなるよう決定されたイズ再構成法において，正規分布の共分散 *$
+
!
,
%を含む

ことがわかる．Tikhonov 正則化において，平滑化の強さが（３２）式が級数モデルに相当し，（３３）式の最大化が最小２乗

位置によって変わる画期的な拡張である．この平滑化パラ推定に相当する．AIC による最適化に当たるものがない．

メータ分布に対応する再構成画像が図１５（左）に示されてLi らは，久しぶりに，統計学の基礎の上に新しい再構成

いる．同図（右）の MEM の画像と比べると，周辺部にお法を提案している．彼らが参考にした原典から「非定常ガ

いて安定化している．例えば大半径 '"1.9 m の断面を見る

ウス過程」が名称に使われ，かつ，論文は難解に書かれてと，物理計測として有意義なだけ改善されている．この効いる．以上の解説が，CT 計測の実績を踏まえた，誤りのな

果は実験データについても確認された．この再構成法を図い紹介であれば幸いである．

１１，１２の接線方向投影からの再構成にすぐにでも使ってみ

ベイズ理論は，道を発見する一つの思考法である．下川

たくなるし，２方向カメラ配置のような強い観測欠損に対ら［４６］は脳の３次元拡散光 CT において，多階層に拡張ししてどこまで強いか確かめたくなる．

たベイズ定理を用いて独自の試みを行った．拡散光 CT の

" !!
この再構成においては，"'$%"!と置かれた．&#" を最

視線は，脳の表面のある位置から別の位置に達する曲線で

尤 推 定 で 決 め た と あ れ ば，（３２）式 の Tikhonov 的 な 解ある．そのため，脳の表面付近に視線が集まる．このとき"$!%は線形であるから，再構成画像は負値を取り得る．

Tikhonov 解では，奥に位置するはずの活動部位が図１６（b）

Tikhonov 正則化において，"(" を共分散行列の逆行列のように脳の表面に浮き上がる．視線が多いのにその走り!!
に置き換えること自体は，すでに２００２年頃，補償光学#"

方に偏りがあって，逆投影の再分配が効いているのであろ望遠鏡の Shack-Hartman 波面センサーの逆問題に導入さうか．このアーチファクトが生まれる領域で正則化を強め

れ，Kolmogorov の大気乱流理論にもとづく共分散行列がると，同図（c）のように活動部位は下がる．さらに，多階［４５］．その解法が，プラズマ CT#" に使われてきている層のベイズ定理から正則化の重み付けに工夫を加えて，２

撮像の事情に合わせて拡張されたことになる．

つの活動部位の分離に成功した．Li らと同じ方向性をもっここで，級数展開法における赤池理論を振り返ってみよう．物体の画像 "を基底画像 !- の重ね合わせ%#""# )-!-

（３４）

-"!

図１
６ 拡散光トモグラフィの３次元再構成：（a）
送受信点の配置とファントム，（b）
Tikhonov 解（C =I ），（c）
C を視線の多い領域で強い正則化を与える対角行列に変更した再構成
像，（d）
ベイズ理論から分解能を改善した再構成像．脳表面へのある種のマッピング（topography）が緑色で示され
ている［４
６］
．

図１
５ W7‐AS プラズマの再構成画像：（左）新しいベイズ再構成法，（右）最大エントロピー法［４
３］
．

７５６

Lecture Note

2. Mathematical Basics of Image Reconstruction

N. Iwama and S. Ohdachi

た研究である．

立つことが期待される［５２，５３］．フーリエ逆問題の大きな２．
４．
４ 圧縮センシング

研究対象は医用 MRI であるが，圧縮センシングによって撮
影時間や磁場勾配が楽になる．電子顕微鏡 CT においても，

ART および Tikhonov 正則化の原点にもどろう．解不定の 方 程 式 "!#"お よ び 最 小２乗 法 の 正 規 方 程 式

撮像対象が固体材料であれば成功し た［４９，５４］．工藤ら!#"%"に対して，合理的な解を発見するために，"%"&%［４９］の場合，TV 最小化を用いて，１２０枚は必要になる試料

#
#
ないし (
の最小化
消極的にしろ，積極的にしろ，(!(!!(

回転の撮影数を 1/10 に減らしてなお，従来よりも鮮明な再を求めてきた．

構成画像を得ている．顕微鏡技術として素晴らしい成果でここでベクトルのノルム ("(は成分の２乗和の平方根である．生物対象の場合は，氷包理された試料の表面・回転ある．ベクトル !であれば，
$

"#
#

$

その他に係わる投影データの較正に課題が残るように見え

)#"

る．

"#
#

#
#
!(
'
(
#!# '
)'"
)" #!# ')#"（３６）

核融合研究においても，現象によって，また，放射受信に波長分解を入れれば，例えば図６（上）のようにプラズマである．これを (#ノルムと言う．これに対して
$

!(
'
(
)'
"## '

画像は疎であり得る．また，注目すべきものとして，画像の点広がり関数が非一様で不明なとき，係数行列 "を推定
し つ つ 画 像 !を 再 生 す る 逆 問 題 を Blind Deconvolution

（３７）

)#"

（BD）と言うが，!推定と " 推定の両側に ("ノルム正則化!(と定義される ("を (" ノルムと言う．ラグランジュ関数を取り込む研究がある［５５］．Wiener フィルタを使い L-curve!&において，正則化項の ($%#ノルムを (" ノルムに置き換も使った BD の成功例として，文献［５６］は (
#ノルムの範囲

えた解法がめざましく登場している．
（１９）式の &$%
!
!
!
'
%&&

であるが教育的である．限られた範囲であっても，測定系の " を推定できるとすれば，物理計測として見逃せない．

も上式に応じて変わる．

２．
４．
５ 大規模線形方程式の高速解法

滑らかさを要求して微分演算を用いるのであれば，画像#&の例えば勾配（gradient）$'#&の大きさを (
'
%
%
" ノルム

30 m 望遠鏡計画では，未知数１２，０００個の逆問題計算をで表わし，画素全部にわたる総和を取る．第 )画素での偏1 ms で実行する高速計算が求められる．一般の逆問題でも微分の値を '
*
!
)， '
+
!
) と表わせば

画像が３次元になれば，係数行列 " が大規模になる．２次

$

#
#
# "#
#%
'
*
!
)!'
+
!
)&

元 CT でも，時間変化するプラズマの時間軸を加えた３次（３８）

元再構成を行えば大規模になる．このとき，線積分型 CT)#"のように " が疎（要素の大部分が０値）であれば，０要素となるが，これに正則化パラメータ %をつけて正則化項にの積和を省略すれば，計算は格段に効率的になる［５７］．疎用いる．偏微分は隣接画素値の差で近似する．この試みはな " を特異値分解（SVD）して，正規直交ベクトルが詰

Rudin ら［４７］に始まり，Total Variation（TV）の最小化とまった密な行列に変換するのは，数値計算として矛盾があ命名された．

る．" が疎な線形逆問題に有効な反復アルゴリズムが本格

このような (" ノルムを用いると，暗い背景のなかに狭い的に研究されている．特にKrylov部分空間を用いる計算法
は，例えば図１７のように際立って高速である．

物体がある疎（スパース）な画像に対して，再構成の分解能が上がる．画像が疎で一定の条件が満たされれば，たとこの蓄積を生かして，(#ノルム正則化のための高速な反え観測数不足（# "$）であっても画像を正しく復元でき

復計算ソフトウェアが最近，整備された．この反復計算にる，あるいは高い確率で復元できるという一連の定理がおいて，低過ぎる画素値を適当な値に置き換える簡単な制

D.L. Donoho，E.J. Candes らによって証明された．ちょうど１０年前のことである．(" ノルム（更に (!ノルム）を正則化に用いる再構成法を総称して圧縮センシングと言う．画像をスパースにする変換を入れて定式化すると，応用対象が広がる．ノルムの変更がなぜ高性能をもたらすかについて，基礎的な解説がいくつかある［４８‐５０］．
(!&は非線形である．（３７）式の (!(" ノルムを用いた $%"は原点で微分できない．$%!&最小化の解更新において，正しい解への収束を保証する代理関数とか，０に近い画素値を０と置くしきい値関数を入れた高速な反復アルゴリズムが研究されている．"!#"の正則化では線形計画法が使われる．
この圧縮センシングの応用研究がいま，まさに盛りである．最近では，電波望遠鏡の画像再構成（２次元フーリエ

図１
７ ある最小２乗問題に対する収束の速さ：他の解法と比べて，Krylov 部分空間を用いる新しい解法（左下）は残差が急速に減少する［５８］．

逆問題）に持ち込まれ［５１］，さらに超長基線干渉計について最初の成功が得られ，地球サイズの電波望遠鏡計画に役
７５７

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.10 October 2016２．
５ 計測の前進とともに限を入れただけで，画素値の高い方が自動的に下がり画像
全体が落ちつく非線形な現象がおもしろく観察された．

以上，解に与える制約という観点で，Tikhonov 正則化を

MEM による正値化と同様な現象が，Tikhonov 正則化でも軸に再構成法の発展をあとづけ，これからの発展性を見起こる［５９］．また，直接解法を含めて，&#数理の高い蓄積た．しかし逆問題の魅力・多様性・発展の原動力は，そもを生かした一連の優れたアルゴリズム研究がなされている

そも（１）式のような観測の関係式を現実の物理計測のなか［６０，６１］．現在の逆問題研究は，圧縮センシングがすべてでに見出すところにある．

はない．

観測の関係式が分かると，逆問題の基本を踏まえて工夫

２．
４．
６ ラプラシアン固有関数

するところに多様な解法研究が生まれる．前節までに取り級数展開法についても，新しい重要な研究動向がある．

上げてきた解法がすべてではない．積分方程式を直接に解斎藤［６２］による，「任意の境界を持つ領域」を定義域とすいて，波源の位置や正弦波のパラメータを得る方向の研究

る正規直交系（ラプラシアン固有関数系）の生成である．

は重要である［６５，６６］．また，"$$%の $に制約を与えつどの程度に任意な領域かというと，地図の上で４つの大き

つ %の欠損部を推定して漸近的に解に至る POCS 法［６７］な島と小さないくつもの島からなる日本列島の土地（入りがあるし，画面の一部を詳細に再構成する Local トモグラ

組んだ海岸線の内側）でもよい．海岸線において，ディリ

フィへの取り組みがある．そして，いわゆる Interior 問題

クレやノイマンの境界条件が使える．２．
３．
６節において，級に対する微分逆投影法［６８］は，逆問題における観測欠損へ

数展開法は大きな観測欠損に強い，定義域が円になるようの攻めとして本質的に重要なものを提起している．医用

磁気面座標を使ってはどうか，と書いた．最近の核融合研

CTのための諸解法の最も体系的な解説が文献［４２］にある．

究におけるヘリカルな形状やエッジを含む３次元の磁気容非線形な（２）式を用いるマイクロ波散乱 CT では，解に対器を考えると，これまで望めなかった可能性を感ずる．体する電磁波伝搬のシミュレーション（FDTD 解析）を行っ系的な解説が斎藤［６２］にある．また，本講座の第６章で斎ては解を更新する反復法が追求されている［６９，７０］．

藤氏自身による解説がなされる．

他方，実験・観測の側からは，例えばベクトルトモグラ

２．
４．
７ 辞書‐パターン認識との融合‐

フィのように，産業計測としても重要な新しい CT 技法が

正規直交展開の係数の並びは画像のスペクトルであるか

実験室プラズマの計測研究から生まれる［７１］．また，重力ら，ラプラシアン固有関数系は使い方によって画像のパレンズ現象を用いる質量密度分布推定とか，プラズマ波動

ターン認識にも使える．パターン認識と言えば，辞書（dic-を用いる日震学の CT では，理論物理の考察から（１）式のtionary）と呼ばれる新しい手法が登場している．簡単に言ような関係式を導くところに高度な研究がある．補償光学

うと，多数の典型画像 #$を列ベクトルにもつ横に長い辞書

望遠鏡においては，レーザーガイド星を用いる波面補償の行列 !$ をつくる．#$に係数 #$を付けた線形結合（重ね合トモグラフィック計算に，解への制約として風速推定を加わせ画像）は次のように書ける．
!"
#"
"
!
&
%
#
%#&
%&
&
%
%#&
!$"$#
$' #$#$$#" ## # # #
%&
%& $
##$

える研究が進んでいる［７２］．ミュー粒子を用いる火山等のトモグラフィは最近のトピックスである．図１８に日震学の成果の一つを示す．物理科学，そして生体イメージングか（３９）ら産業計測の非破壊試験まで，計測の課題に応じて解法をかみ合わせ，新たに工夫して，画像逆問題の研究は豊富に#発展しつつある．

ここで，"は #$を成分とする列ベクトルで，上式の右辺は（３４）式の右辺と同じ形である．そこで，一つの画像 $が２．
６ おわりに#入ったとき，「残差２乗和 ($!!$"( がある値に等しい」

逆問題解法は観測データに対して方程式を立てる ．

を要求して，&"(!ノルム (!が最小となるよう係数ベクトル"を決める．形式的にラグランジュ関数を書けば
#
!
"(
"&
"(
!$"!$(
#$'
!%
$"(
， (
!"(
!$' '
$

（４０）

であるが，("($の個数 と特に定義する．
!を ０でない #その最小化の結果，端的に一つの #%になれば，画像 $は明
るさ違いの #% であったと認識できる．一つにならなくても，画像 $の分類（clustering）に使えるだろう．項数が少なくて済むという意味で高圧縮にするために，画面を部分画面に分割し，特異値分解を使うなど，辞書をつくる学習の手順が開発されている．そして，良い辞書ができたら，
画像再構成の基底系に使えるだろう．逆問題解法とパター

図１
８ 太陽観測衛星「ひので」のデータから再構成された黒点内部の様子：音速（摂動分）の３次元空間分布の鉛直断面．
日震波 CT では３次元流れ場も推定される．「ひので」が黒
点スケールの高分解を可能にした［７３］．

ン認識の融合である［６３，
６４］．

７５８

Lecture Note

2. Mathematical Basics of Image Reconstruction

N. Iwama and S. Ohdachi

観測結果に合理的に一致する解を得るために，観測の物理（す な わ ち 誘 電 率）の３次 元 の 姿 そ の も の を 求 め"""!

を考慮した方程式を立てる．そして，観測不足のために式る．また，物体表面からの反射を利用する合成開口レーダが不足して解が不定になったとき，また，独立性の高い観（SAR）も，各時刻における表面の３次元的な形状そのも測が不足するために式数はあっても解が悪条件になったとのを求める．ホログラフィおよび SAR では，一方向からのき，合理的な制約を与えて解を改善する．この路線は，医観測であっても，入射波の周波数を変えて奥行き情報を得

用 CT の FBP 法に対する ART の優位性から始まって今日る．いずれにしても，求まるものは，ある時刻における物のめざましい成果まで，解に与える制約を積極化し改善す体の姿そのものである．その姿を計算で求めるとき，逆問ることによって，成功を勝ち取ってきた．そういう観点で題解法が活躍している．

一つの論を通してみた．論の流れを図１９に示した．発展史

プラズマにおいても，電磁波の正常波モードについては的にまとめた図になっている．今日の目で見れば，ベイズ

ヘルムホルツ波動方程式が成り立つ．同時に，固体と比べ推定論から全体を語ることもできるだろう．
「結果から原て密度が桁はずれに低いので，普通の入射波パワーでは観因を探る数学」と言うこともできる．格好の入門書として測されるものが限られる．電磁波の協同散乱の理論［７５］

文献［７４］を紹介したい．

は，個々の電子による散乱から出発しながら，パワーの期

最後に，プラズマの電磁波計測に目を向けよう．核融合

待値 !!
!!
""をゴールと見なして，式の運びを急ぎ過ぎるの磁場閉じ込め研究において，プラズマの動的な挙動と異ものを感ずる．期待値を取るまえのところに，プラズマ計

常輸送は大きなテーマである．レーザー光やマイクロ波を測を革新する

かぎが隠れているのではなかろうか．

用いて，動的構造因子 !!
!!
""の測定がなされてきた．周知のように，!!
"!!
!
$""は電子密度の揺らぎ #"!
"のパワー

謝

辞

!
スペクトル．#
!!
#"!
""
%
%
$であるが，これは期待値を取ら

自然科学研究機構・新分野創成センターのもとに開催された強度的な量であり，複素量 #"!
!!
""の位相は消えていれた「画像逆問題の数理解析研究会」が国内外の優れた研る．言い換えれば，プラズマの瞬時的な姿が消えている．

究者との交流の場になり，本稿を書くにあたって非常に役

この電磁波計測の基本が築かれた頃は，高速なプラズマ現立った．参加された諸氏に厚く謝意を表します．

象のための信号の時間サンプリングはできなかった．検出器も事実上ひとつであった．しかし現在では，検出器は面

参考文献に集積され，信号の並列サンプリングができている．驚く［１］岩間尚文：核融合研究 68, 586 (1992).
［２］岩間尚文：プラズマ・核融合学会誌 74, 1310 (1998).
［３］岩間尚文，大舘 暁：プラズマ・核融合学会誌 82, 399(2006).
［４］中川 徹，小柳義夫：最小二乗法による実験データ解析（東大出版会，１９８２）．
［５］金 谷 健 一：こ れ な ら 分 か る 最 適 化 計 算（共 立 出 版，
２
０
０
５）
．
［６］佐野竜一：総研大物理科学研究科博士論文，２
０
１
５年３
月．
［７］R. Sano, B.J. Peterson et al., Rev. Sci. Instrum. 87, 053502(2016).
［８］M. Teranishi et al., Ann. Rep. NIFS 2011-2012, p. 155.
［９］G.T. Herman et al., Comput. Biol. Med. 6, 273 (1976).
［１０］Y. Censor et al., Parallel Optimization-Theory, Algorithms,
and Applications- (Oxford Univ. Press, Oxford, 1997).
［１１］R. Ramlau et al., Inverse Problems 28, 095004 (2012).
［１２］O.N. Strand, SIAM J. Num. Anal. 11, 798 (1974).
［１３］C.L. Byrne: Applied Iterative Methods (A K Peters, Wellesley, 2008).
［１４］P.C. Hansen, T. Sekii et al., SIAM J. Sci. Statist. Comput.
13, 1142 (1992).
［１５］M. Itagaki et al., Plasma Phys. Control. Fusion 53, 105007(2011); ibid., 54, 125003 (2012).
［１６］岩間尚文 他：大同工大紀要 42, 93 (2006).
［１７］杉原正顯 他：線形計算の数理（岩波書店，２
０
０
９）
．
［１
８］K. Ertl, W. von Linden et al., Nucl. Fusion 36, 1477 (1996).
［１９］T. Ming, S. Ohdachi et al., Plasma Fusion Res. 6, 2406120(2011).
［２０］R. Nguyen van yen et al., Nucl. Fusion 52, 013005 (2012).
［２
１］P.C. Hansen, SIAM Review 34, 561 (1992).
［２２］P.C. Hansen, Rank-deficient and Discrete Ill-posed Problems

べき進歩である．このとき，目標を !!
!!
""に限定すれば，
多チャンネル信号のデータからすぐ に 相 互 ス ペ クトル"!!
!
""を求めておいて，位置の差ベクトル "についてフーリエ変換することになる．このとき!!
"!
""の"に欠損があれば，逆問題解法を使えばよい．しかし !!
"!
""は既に，揺らぎの位相を消す

期待値の操作を施してしまった量である．
一方，マイクロ波によるトモグラフィ・ホログラフィは（２）式のグリーン関数表現に基づいて，各時刻における

図１
９ 解に与える制約．

７５９

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.10 October 2016

(SIAM, Philadelphia, 1998); ibid., Discrete Inverse Problems-Insight and Algorithms- (SIAM, Philadelphia, 2010).
［２３］A. Wingen et al., J. Comp. Phys. 289, 83 (2015).
［２４］J. Bielecki et al., Rev. Sci. Instrum. 86, 093505 (2015).
［２５］A. Manini et al., Nucl. Fusion 43, 490 (2003).
［２６］N. Iwama et al., J. Plasma Fusion Res. SERIES 8, 691 (2009).
［２７］馬笑峰，竹田辰興：プラズマ・核融合学会 誌 82, 287(2006).
［２８］寺西大，村田和義 他：private communication.
［２９］S. Tomioka et al., Proc. SPIE 9401, 94010J (2015).
［３０］A. Isayama et al., Jpn J. Appl. Phys. 42, 5787 (2003).
［３１］M. Odstrcil et al., Nucl. Instrum. Meth. Phys. Res. A 686,
156 (2012).
［３２］J.M. Gao, Y. Liu et al., Rev. Sci. Instrum. 84, 093503 (2013).
［３３］例えば H. Tanabe et al., Nucl. Fusion 53, 093027 (2013).
［３４］寺西大 他：FAN2010, S5-1-4, Paper No. 95 (2010).
［３５］N. Iwama, M. Teranishi et al., Ann. Rep. NIFS 2009-2010,
p. 178.
［３６］Y. Nagayama, J. Applied Phys. 62, 2702 (1987).
［３７］J. Lee, P. Doerschuk et al., IEEE Trans. Image Process.
16, 2865 (2007).
［３８］L.A. Shepp et al., IEEE Trans. Med. Imag. 1, 113 (1982).
［３９］A. Fujisawa et al., Plasma Phys. Control. Fusion 58, 025005(2016).
［４０］T. Craciunescu et al., Nucl. Instrum. Methods Phys. Res.
A 601, 374 (2009).
［４１］E.A. Rashed and H. Kudo, Phy. Med. Biol. 57, 2039 (2012).
［４２］工藤博幸：医用工学ハンドブック（日本医用画像工学会，２０１２）第２章．
［４３］D. Li et al., Rev. Sci. Instrum. 84, 083506 (2013).
［４４］D. Li, Y. Liu et al., Nucl. Fusion 56, 036012 (2016).
［４５］B.L. Ellerbroek et al., Inverse Problems 25, 063001 (2009).
［４６］T. Shimokawa et al., Optics Express 20, 20427 (2012).
［４７］L.R. Rudin et al., Physica D 60, 259 (1992).
８］田中利幸：IECIE Fundamentals Rev. 4, 39 (2010).
［４［４９］工藤博幸 他：顕微鏡 51, 48 (2016).
［５０］山内結子編集：特集 スパースモデリングの発展‐基礎から応用まで‐，電子情報通信学会誌 99, 369 (2016).
［５１］F. Li, T.J. Cornwell et al., A&A 528, A31 (2011).
［５２］本間希樹：電子情報通信学会誌 99, 400 (2016).
［５３］S. Ikeda et al., Publ. Astron. Soc. Japan 68, 45 (2016).
［５４］R. Leary et al., Ultramicroscopy 131, 70 (2013).
［５５］野島優輔，韓先花，陳延偉：信学技報 115, 77 (2015).
［５６］Y.X. Tu, A. Wernsdörfer, S. Honda et al., IEEE Trans. Biomed. Eng. 44, 1102 (1997).
［５７］二宮市三 編：数値計算のわざ（共立出版，２
０
０
６）
．
［５
８］K. Morikuni and K. Hayami, SIAM J. Matrix Anal. Appl.
34, 1 (2013).
［５９］N. Iwama,Y. Hosoda,K. Abe, K. Morikuni et al., Ann. Rep.
NIFS 213-2014, p. 465.
［６０］L. Reihel, http://www.math.kent.edu/reichel/publications.html［６１］J.G. Nagy, http://www.mathcs.emory.edu/nagy/research/pubs.html［６２］斎藤直樹：https://www.math.ucdavis.edu/saito/lapeig/［６３］中静真：数理解析研究所講究録 1743, 65 (2011).
［６４］岩 本 佑 太 郎，韓 先 花 他：電 子 情 報 通 信 学 会 論 文 誌
J98-D, 1312 (2015).
［６５］T. Nara, Math. Problems in Eng. 2013, 413980 (2013).

［６６］S. Ando et al., IEEE Trans. Signal Process. 37, 3317 (2009).
［６７］塩谷浩之 他：計測と制御 50, 332 (2011).
［６８］H. Kudo et al., Phys. Med. Biol. 53, 2207 (2008).
［６９］J.E. Johnson, T. Takenaka et al., IEEE Trans. Biomed.
Eng. 56, 2232 (2009).
［７０］T. Takenaka and T. Moriyama, Optics Lett. 37, 3432
(2012).
［７１］H. Tanabe et al., Plasma Fusion Res. 8, 240588 (2013).
［７２］大野良人：東北大理学研究科博士論文，２
０
１
６年３月，
http://www.astr.tohoku.ac.jp/%7Eakiyama/［７３］J. Zhao, A.G. Kosovichev, and T. Sekii, Astrophys. J. 708,
304 (2010).
［７４］上村豊：逆問題の考え方（講談社，２
０
１
４）
．
［７
５］宮本健郎：核融合のためのプラズマ物理（岩波書店，
１
９
７
６）
．

付録 I ART，SIRT の解更新
ART（Algebraic Reconstruction Technique）は，線積分型 CT における（１）式をいきなり（５）式のように離散化す
る解法という意味で採用された，今日では総称的に過ぎる名称である．SIRT（Simultaneous Iterative Reconstruction
Technique）とともに，線形方程式 "!#"に対して，次の特定の反復解法を指す．
第 '回目の解 !$'%に加える修正項を $!とする．
!$$""%#!$'%"$!

（I‐１）[i]ART の Row-action 更新：!$!%#!
$!#
ここで

（I‐２）
$
'%

"! %
%
( !$
(
#(
#( &
&

!
!
#）
#
'!
（(#"

（I‐３）

#( は " の第 ( 行ベクトルの転置である．第 (式の残差 %"!$'%%()( !$( を求め，その行における係数 &の比率を考慮して !$'%の各画素値に分配する．Kaczmarz
定理は上式によるが，実際には $!に緩和係数を付ける．この分配を独立性の高い式（検出器）の番号 ( を選びつつ行
うと，収束が速い．また，一つの行 ( について更新したとき，新しい !$'%をすぐに次の行 (""の更新に用いれば加速される．画素数の多い画像の再構成では，このような調整が効果的になる．
[ii] SIRT の同時更新：
文献［９］によれば!$!%#!%!""$"（I‐４）"!"!$$%%$!#!%!""$ $（I‐
５）とする．!% は正値の対角要素を持つ対角行列である．線積
分型 CT であれば，逆投影画像 "$"から出発して，視線の多く通る画素ほど小さく重み付けるある行列 !% を用いると，&!%""#!&最小の解に収束する．数理系ではこの種の解法を Landweber 反復法と言 う．!%!"を 単 な る 緩 和 係 数 %（#!）とし，初期解を !とすることが多い．このとき，%値が係数行列 " に関係するある条件を満たせば一般逆行列の解 "†"に収束する［１２，１３］．付録の（!‐１）式における
７６０

Lecture Note

2. Mathematical Basics of Image Reconstruction!"（重み付き最小２乗法の重み行列）と違って，上式の%"付録"$)!"は %( の左に付くことに注意されたい．

N. Iwama and S. Ohdachi

Tikhonov 正則化における観測と制約（９）式のラグランジュ関数 $%!&は，解への制約と観測との関係を考えるとき，都合のよい形になっている．物体

行列 H の特異値分解と切り捨てに対して新しい観測値が得られると，不定な解に対する制

行列 !の特異値分解 !$)%*( は，図!−１に示すよう約が増える．いま，新しい行ベクトル #( による観測値に，%を 対 角 化 す る と 同 時 に 二 つ の 正 規 直 交 系 )$#の最小化を制（ #と !の内積）を得て，%
0$#(!
0!#(!&

，*$'
%. %
&/%
.$"
!
!
&&
/$"
!
!
'&
#
#
'
-!
(
-!
(を 生 成 す

約に加えると，ラグランジュ関数は新しい未定乗数 'を

(
(
る．%,
%-および &,&-はベクトル間の内積であるのに対し(て，%.&. は !と同じ &#' 行列である．仮に行列をその

使って，

付録!

まま画像と見なし， 画像の内積

を

#
#
#
!&
0!#(!&
%!!")
$%
#!)
"'%
")
$&)

対応する画素値の（!‐１）(
積の総和 とすれば，!の最後の級数表現は %.&.
を基底となる．このと き，'#(!と '0を 行 列 % と ベ ク ト ル "!の正規直交展開である．この関係を利用のどこかの行（例えば最下行）にそれぞれ組み込めば，上とする 画像した画像や多チャンネル信号の特徴抽出が核融合研究でも式は早くからなされてきた．自然科学のなかで先頭を走る部類##!&%,!!",)
$%
#!)
")
$&)

であったように思う．一般逆行列において「先を切り捨て（!‐２）

る」とは，この級数表現において，特異値 *. が事実上の０の形に書ける．このとき，'は重み付き最小２乗法の重みになった先の項を切り捨てることである．

付けと等価になって，第２項に組み込まれる．逆に（９）式!を係数行列とする線形方程式において，最大特異値との % および "（既存の観測）の一部を取り出して第１項に*& を条件数と言う．κが大きいほ
最小特異値の比κ$*""移すこともできる．観測はすなわち解に制約を与え，良いど方程式は悪条件である．正規方程式（６）のように !(!

観測は解を改善する．

を 係 数 行 列 と す る と き，!$)%*( を 用 い る と !(!
%(%&*( となる．図に示された %からすると，%(%
$*%

付録#

Tikhonov 解の性質(
（１２）式において，内積 %"!
%. &は "(%. または %.
"と書

#
# #
は *"
!
*#!
*&
!
!
!
!を対角要素とする ' 次対角行列で-!
-!

ある．これを行列 !(!の固有値分解と言う．固有値（対角ける．内積はスカラーだから，ベクトル #!"&. の右に移し要素）は #の特異値 *. の２乗であり，番号 & より先は理て "をくくり出せば，論的 に は０で あ る（ラ ン ク 落 ち）
．よ っ て，正 規 方程式

&

(
!
"
# 1. %&&" #!"&.%.
"
$ $!
*.
.$"

（６）は元の方程式 %!$"よりも悪条件である．行列 !
が縦に長いときは，図において ) が大きく，* が小さく（"‐１）

となる．この表式を（１１）式と比較すれば，大括弧の中がなって，%の右側の０部が下側に移る．

!" (% に等しいことが分かる．また，再構&#(#"%(%&%

成画像 !
#!"&. (を用いた有限級数になる一方，$が基底系'
観測データ "は正規直交系 '%. (を用いた次の有限級数になる．
&"$ # %
"!
%. &
%.

（"‐２）

.$"

そして，低域フィルタ1. %&&によって削り捨てられた部分
&

"!%!
"!
%. &
%.
&&
"!1. %+%$$ # *.$"（"‐３）

が残差である．この表現から，Parseval 公式を思い出しつ
つ，ただちに残差２乗和の表現
&

#
#
#（"‐
４）
"!
%. &
&&
%!
&&
(#%
"!1. %
$)
)
$# *
+
%
$!"

図!‐
１ 横に長い M ×N 行列 A の特異値分解．

.$"

が得られる．（１２ ）式から，この (#%&&は &とともに単調に増加する．すなわち，正則化を強めるほど，再構成画像がデータから離れる．この単調性は，実際のデータ処理において，計算が誤りなくなされたかの検定に役立つ．
また一般に，線形逆問題では，（１６）‐（１７）式のように，解の基底 +$,&の線形変換が観測データの基底 "/%$&にな/%るが，Tikhonov 正則化では
７６１

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.10 October 2016"%!!!&, &$&,%, （,$!
!
!
$）
"
-!

である．最後の表現は，縦に大幅に長くなった新しい "（!‐５）

および $に関する最小２乗法に相当する．縦長になったかが成り立つ．線積分型 CT の言葉で言えば，求める画像のら解は一意になる．（６）式と照合すれば，上式の #%#&を基底となる画像 !!!&, の投影が投影の基底 %, になる．

最小化するための正規方程式はただちに&, は %, のノルムを１にする規格化の係数である．!$#

$
" '
" ' "
#$"!"" #"!"""!"" #"!"" ##*()% ! % !#
% ! % !

，'のとき，この一対の基底系'%, (がそれぞれ正規!!!&, (
直 交 系 で あ る．こ の 性 質 は，Radon 逆 問 題 に お け る（"‐４）

Cormack 級数展開に匹敵する．Tikhonov 正則化においてと書ける．縦に積み上げた行列・ベクトルの転置と積がどは， 任意

うなるか手元で確認すれば，上式はの線形逆問題に対して，項数が有限の範囲で完備性がある．

#$"'$"%!'!#%!'!""'"&%*()

ここで，-%%&をステップ関数に置き換えて TSVD 法に移ると，（!‐１）式および（Ⅳ‐３）式に対応する表現と書き下せる．右辺を少し整理して，逆行列を両辺の左から掛けると，（２０）式が得られる．

$

#
'
#
$
& ! !!!&, %,%&%'$ $$
,
,$!&

$

$!"#
&%'$ $ &

$!
%, &
%,
%

,$$#"!

（"‐５）

（!‐６）

付録"

ベイズ理論による正則化の一般式

Li ら［４３］は，ベイズ定理を使って Tikhonov 解を
（３２）式
（!‐７）

のように拡張したが，論文には重み付き最小２乗法を取りが得られる．このとき !$#と置き，$# を特異値が０に落込んだ式を書いている．（２２）式の &%$)#&において，各

ちる直前の番号にすると， #&%'$ が一般逆行列の解になる"
データ *, に加わる互いに独立な正規性誤差の分散を &,とすれば，（!‐６）式を（８）式と照合して，一般逆行列 "†"とする．このとき，&%を対角要素とする$)#&はこれら &,は対角行列 $$ をもつ多次元正規分布になる．その 結果，（３２）式は次式のように一般化される．

$#! & %'
$&
, ,
,
,$!&

"†

（!‐８）

!! ' !!
!!
#%
$!"#
!&
$#
" $$ %$%""'$$"&
"#
*
()&
*
()

（#‐１）

と書けるはずである．適当な教科書で確かめられたい．右'は縦長の %#$ 行列である．一般逆行列の解は辺の &,%,!!
に入るのは，重み付き最小２乗法
ここで，"' の右に $$Tikhonov 型の解のなかで最も正則化が弱い．

を用いるときの普通の表現である．対角行列の逆行列は，

付録! 微分演算子・参照画像を入れた Tikhonov 解"
対角要素をそれぞれ逆数にするだけであるから，&,の小さいデータ *, に大きな重みが付く．重み付き最小２乗法を!!
やめて $$ $&"#と置くと，$$$&!"#であるから，上式はラグランジュ関数
"
"
#&
#!#
"#!$*
#%
!%
*
"*
$%*
*
()&

!! '
!!
#%
$!"#
!&
" %
$#
$&!"%
"&!""'"&
"#
*
()&
*
()

（"‐１）

（#‐２）

"
最小
を最小化する #を求めよう．この最小化は，*"#!$*化の正規方程式（６）を踏まえれば，簡単な書き換えで得らとなる．右辺の左端の &!"をすぐ右の括弧のなかに組み込れる．

め ば，上 式 は（３２）式 に 帰 着 す る．Li ら は，（#‐１）式 の"ベクトル !のノルム*!*の定 義から，*
!*
!!
!&
$%
$!'!

#%
!&を導いた上で，実際の実験データ処理では重み付きが成り立つ．二つのベクトル !，"を縦に積み上げたベク

最小２乗法を使わず，さらに #*()$!としている．

トルについて，次の関係がある．

再構成画像を非負値にしたければ，ポアソン分布についてベイズ推定論を立てるのも方法であろう．
（"‐２）

!
!
" !
!
!
!
"
$ !
! ! "
! "#!$
!$!
!
#&
#
#%
$!
!
$
%
"
#
"
#
!"
"
!
!
!%!""!%
!
!
"
"
% !#
#!#
*
()
% !
!
*
()&!
（"‐３）

!!!!!!!!!!!!!!

よって，

いわ

ま

なお

ふみ

岩 間 尚 文!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

１
９
７
２年名古屋大学博士課程修了（工学）．
同大学の助手・助教授を経て，富山県立大学・大学院の創設ならびに大同大学情報学部の新設に加わる．NINS 新分野創成セン
ターのイメージングサイエンス創成に貢献し，現在は核融合科学研究所の共同研究員として働いている．夏になれば，自由が得られるのがうれしい．

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

! !
"
!! !
!
!$+
!
!' "' ,$& (""& )"
"#
"#
!
!
"
" + + + +７６２

J. Plasma Fusion Res. Vol.92, No.11 (2016)８３９‐８４９講座 画像再構成とパターン認識の数理

３．パターン認識入門〜人工知能の基盤技術
3. Pattern Recognition and Image Informatics
内田誠一
UCHIDA Seiichi
九州大学大学院システム情報科学研究院（原稿受付：２
０
１
６年６月２
３日）

パターン認識とは，画像などのメディアデータおよび各種センサ信号を対象として，それらの分類および類似性解析の根幹を担う技術である．計算機科学の分野では，人工知能の中心的課題の一つとして非常に活発な研究がなされている．本章では，パターン認識の基本的な考え方を平易かつ直感的に論ずる．また，パターン認識の根幹課題である「識別」について，最近傍識法，サポートベクトルマシン（SVM），ディープニューラルネット
ワーク（DNN）という代表的な３つの手法の概要を紹介する．
Keywords:
Pattern recognition, classification, feature extraction, nearest neighbor, support vector machine, deep neural networks

３．
１ はじめに実である．本稿の読者は今まさに文字を読んでいる．すな

パターン認識とは，「人間の持つ多様な認識機能」を計

わちこれは各文字（画像）がどの文字種であるかを逐次認算機において実現することを目的とした理論・技術であ識していることになる．実はその前に，どこに文字がある

る．「そもそも『認識』とは何か」という議論は古くギリかという検出問題（画像の一部が文字か文字でないかを分

シャ哲学からの命題にもなっているが，本稿の範囲では類する問題に相当）や，文字行から各文字に「切り出す」処「これは何ですか？」という問いに答える分類技術と思っ理もやっている．そのことを意識しながら本稿を読んでいて差し支えない．例えば，バスが写った画像を計算機に入る読者はいないと思われる．一方，計算機にとってこれは力して「これはバスです」と答えさせるタスクがパターン

難問中の難問である．実際，認識のために「ここに１文字認識（この例の場合は画像認識）である．なお，認識は知がある」と切り出すためには，その前に「その黒画素の塊

能の重要な機能であるため，パターン認識はいわゆる人工が１文字である」と認識しなくてはならない．したがって知能の一分野と位置付けられている．

パターン認識は，切り出しと認識という，いわゆる「卵とプラズマ研究の分野でのパターン認識応用としては，画

鶏の問題」を内包しているのである．紙面上の文字はまだ像認識を連想するのではないだろうか．プラズマのイメー

簡単なほうである．我々が日々目にしている情景は実にジング計測ではプラズマを様々な手法で画像化する．この様々な物体で構成されており，それらを個々に切り出しなためイメージ画像から物理法則を抽出する際に，パターン認識の技法は非常に有用なツールになると考えられる．また画像だけでなく，物理現象の様々な測定値もやはりパターンとみなすことができる，それらを分類したり，同一視したりする場合には，本章で述べる方法が利用できる．
パターン認識が扱う問題を形式的に定義すると以下のようになる：「入力されたパターン !が，事前に設定された! 個のクラス（分類先）のうちのどの１つに属するかを決定する」．パターンという用語はデータと読み替えたほうが分かりやすいかもしれない．冒頭の例では，パターン !
が画像であり，! 個のクラスが認識したい物体（Visual object）の種類の集合である．この様子を図１に示す．左側が入力パターン !の例であり，右側がクラスである．
パターン認識の興味深い点は，「人間にはほとんど無意
図１

識にできるのに，計算機には非常に難問である」という事

パターン認識の目的（画像認識の場合）．

Graduate School and Faculty of Information Science and Electrcal Engineering, Kyushu University, FUKUOKA 819-0395, Japanauthor’s e-mail: uchida@ait.kyushu-u.ac.jp

８３９!2016 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.11 November 2016

がら認識する技術は，現在でもやはり難問として君臨してディープニューラルネットワークのように個別の手法についる．

いても，それらの重要性から，良質の入門書が近年多数発

難問とはいえ，計算機によるパターン認識が実応用され刊されている．

るケースはますます増えている．ハガキの郵便番号認識，

本誌においても今年５月号に， 核融合プラズマ研究に

バーコードリーダ，デジカメの顔検出，指紋照合などは，おけるデータマイニングの活用 という小特集が組まれて実用化されて久しい．昨今では，これらに加えて，スマーいる．同特集の文献［５］においては，パターン認識を含めたトフォンの音声入力，画像検索（画像をクエリとした検様々な解説がなされていて参考になる．同文献に比べて，

索），自動運転，家庭用ロボットなどが挙げられる．これら

本稿は特にパターン認識にフォーカスし，その基本となる

いわゆる人工知能として喧伝されている実用技術の多く「考え方」に重点を置いて解説したものである．

は，最近の劇的な認識精度向上により初めて実用化に至っ

３．
２ パターン認識の問題設定たものである．
こうした認識精度向上の背後には，次の三つの理由が存パターン認識は，「入力されたパターン !が，事前に設在する．すなわち，第一に大規模なデータセットの整備，定された!個のクラスのうちのどの１つに属するかを決定

第二にディープニューラルネットワークのような複雑な認する」問題である．このシンプルな問題でも，何を認識対識手法の開発，そして第三にオープンサイエンス，である．

象とするか（３．
２．
１節），その場合のクラスは何か（３．
２．
２

オープンサイエンスの考え方により，これら大規模データ節），パターン!をどのように表現するか（３．
２．
３節），どのと認識手法のソースコードが「誰でもダウンロードしてすようにクラスに割り当てるか（３．
２．
４節）といった，バリ

ぐに使える」ようになっている．こうして参入障壁が低く

エーションがある．さらに実際にパターン認識システムをなったことで，パターン認識研究は今後しばらく加速度的

実装して性能評価までする場合には，どのようなデータをな進歩を遂げるものと予想されている．

準備する必要があるか（３．
２．
５節），またどのように認識手

本稿の主目的は，パターン認識の基本的な考え方を平易法を評価するか（３．
２．
６節），といった課題もある．人工知

かつ直感的に論ずることにある．したがって具体的なソフ能が喧伝され，「何もかも自動にできる」ように誤解されトウエアやライブラリの使い方といったハウツーについてがちであるが，実際にはこのように事前に考えなくてはなは論じないし，数式を用いた手法の詳細解説についても割らないことは結構ある．再考や試行錯誤など泥臭い作業も愛する．本稿で興味を持った読者は，必要と思われる手法

往々にして必要になる．

について，Web や専門書を当たっていただければ幸いあ以下，図２に従って，最初に考えるべきことから順に，

る．そういう場合に，本稿で述べた基本的考え方が役に立どのようにパターン認識問題を設定していくかを解説す

つことを願うばかりである．なお，本稿は完全なる初学者

る．その後次節以降にて，実際の問題の解き方について解を対象としており，物理学や数学のエキスパートである本

説する．

誌の読者には，極めて冗長に思われる個所も多いと思われ

３．
２．
１ 対象とするパターン〜何を認識するか？

る．専門分野の違う筆者による解説ということでご容赦い

最初に考えるべきことは，当然ながら，「何を認識する

ただきたい．またパターン認識の中心的役割を果たす識別か」すなわち対象の設定である．３．
１章で述べた実応用例か

法に つ い て は，最 近 傍 識 法，サ ポ ー ト ベク ト ル マ シ ン

らもわかるように，パターン認識の対象には実に様々なも（SVM），ディープニューラルネットワーク（DNN）というのがある．画像や音声といったメディアデータ，行動デー

代表的な３手法について各々章を設け，極力平易に解説しタ，人流や交通流データ，気象観測データ，文書データ，体た．

重・身長・血圧のようなバイタルデータもある．物理実験

パターン認識についてさらに学びたい読者は，入門書とで得られる測定データも対象となりうるであろう．詳細にして定評のある［１］や，より実用的な入門書として［２］など

見ればさらにバリエーションは多い．実際，画像だけを取がある．さらに体系的に学びたい場合は，バイブルとされり上げても，さらに多様なものがある．顔画像，文字画像，る［３，４］を 勧 め る．後 述 の サ ポ ー ト ベ ク ト ル マ シ ン や

航空写真や衛星画像，情景画像，監視画像，人物画像，物

図２

パターン認識の問題設定．

８４０

Lecture Note

3. Pattern Recognition and Image Informatics

S. Uchida体画像（例えば商品画像），虹彩・指紋・掌静脈，そして動て，! 個の（すなわち離散有限個の）クラスに分類するこ

画像といった具合である．

とを目的としたパターン認識というよりは，一種の回帰問

３．
２．
２ クラスの設定〜何に認識するか？

題として扱うほうが自然であろう．
３．
２．
３ 特徴抽出〜パターンを表現する

次に考えるべきことは，パターンを「何に認識するか」
すなわち分類先としてのクラスの設定である．対象とする

ここまで「何を何に認識するか」という目的を定めたのパターンとクラスが定まれば，まずはパターン認識問題ので，次は内側に入って「どのように認識するか」を考える

目的が定まることになる．

ことになる．この「内側」で最初に考えるべきことは，特冒頭で述べたように，パターン認識では ! 個のクラスを徴抽出（feature extraction）と呼ばれる作業である．これ「事前に」設定しておく必要がある．性別認識の場合，男とはパターンをどう表現するかという問題である．簡単な作

女の２クラスとなる．手書き数字認識の場合， ０ から業に見えるかもしれないが，実は認識性能を左右する非常

９ までの１０クラスである．同じ文字認識でも漢字認識とに重要な鍵となる．

なると数千のクラスとなる．図１の例では，乗り物の種別

３．
２．
３．
１ 特徴ベクトルがクラスとなっている．音声認識では，数十クラスの音素

最も一般的なパターンの表現形態は，複数の数値の組す（およそ単一の発音記号に対応するレベル）が最初の認識

なわちベクトル表現である．これは「特徴ベクトル」と呼対象である．ただしそれだけで終わることはなく，次に一ばれる．例えば，風邪をひいているかいないかを認識する

連の音素の認識結果を組み合わせて単語を認識する．さら場合は，各人を（体温，咳の回数）の２次元ベクトルもしに一連の単語の認識結果を組み合わせて文を認識する場合

くは（体温，咳の回数，喉の赤さ）の３次元特徴ベクトルもある．

で表現することが考えられる．高血圧か否かを推定する場
合なら，血圧値という１次元ベクトルすなわちスカラーで以上のことからわかるように，パターン認識では事前に表現してもよいだろう．

設定されたクラス以外の認識結果を与えることはできない．人間であれば，想定外の入力についても「なんとなく画像のようなメディアデータは，高次元ベクトルとなる想像で」認識できるのとは対照的である．なお，「事前にことが多い．例えば１００×１００画素からなるグレースケール

想定されたどのクラスでもない」という !!!番目のクラ

画像ならば，１００×１００＝１万個の画素値（各画素の明るさ）スを設定することもある．これは棄却（リジェクト）と呼があるので，それらすべてを列挙したベクトル（ビットばれる．無理にいずれかのクラスに認識してしまうより

マップ特徴と呼ばれる）は１万次元となる．通常我々が生は，「わからない」と答えてほしい場合には有効である．

きる物理空間内の１点が高々数次元の低次元ベクトルで表問題によっては，クラスの設定そのものが自明でないこ現されるのに対し，パターン認識では非常に高次元なベクともある．例えば感情認識をする場合，我々の様々な感情

トルが現れることも珍しくない．

を有限のクラスで表現する必要がある．マウスや線虫など

注意すべきは，多くの場合，次元の異なるパターンを同の生物の行動様態を認識する場合も，妥当なクラスを事前一の認識手法では扱えない点である．例えば５０×５０画像はに確定できないだろう．こうした場合は，次のようなボト

２５００次元ベクトルとなるので，１００×１００画像と一緒に扱う

ムアップな方針でクラスを設定する方法が考えられる．まことはできない．したがって，大きさの異なる画像を扱う

ずパターン（データ）を大量に集める．次に，それらを似場合には，事前に拡大縮小処理を行って同一の大きさ（すたものどうしを集めて幾つかのグループに分ける（いわゆなわち次元数）にしておく必要がある．

るクラスタリング）．そして最後に各グループについて，関連して，系列データ，特に時系列データからの特徴抽そこに属するパターン群に適したクラス名をつければよ

出も単純ではない．各時刻の特徴が "次元のベクトルであい．グループ分けには，k‐平均法［５］などのクラスタリン

り，系列長が # で一定ならば，全体を１つの ""# 次元ベグ法が利用できる．ただしこの方針でも，いくつのグルークトルと見なせる．これをそのまま特徴ベクトルにはせプに分けるかは自明ではないので，試行錯誤が必要になる

ず，文献［６］のように周波数解析を行い，低周波数のスペク場合もあるだろう．

トルを改めて特徴ベクトルとしてもよい．いずれにせよ，

やや特殊な形態として，１クラスだけを仮定する場合も実際には，系列長 #が一定しない場合のほうが多い点が問ある．異常認識はその例である．異常認識では，どんな異題になる．この場合，上記のサイズの違う画像を扱う場合

常が起こるかが事前にわからないことが多い．そこで，計と同様，長さが強制的に # となるように正規化する（もし算機には「正常なケース」だけを教えて認識できるように

くは打ち切る）方法が最も単純である．また系列の順序情しておき，正常と認識できなければ異常と判断するという報を放棄し，# 個の " 次元ベクトルの集合と見なし，#対応が採られる．結果的に正常・異常の区別をしているの

個中どのようなベクトルが何回出現しているかをヒストグ

で２クラス認識とも言えるが，その原理から１クラス認識

ラム表現する方法もある．一方，後述する最近傍法の枠組と呼ばれることが多い．

みならば，系列長の異なるパターンであっても，それらのもう一つの特殊な形態として，顔画像からの年齢認識や間に距離（もしくは類似度）さえ計算できれば識別可能で画像内の対象計数のように，クラスが数値・数量で表されあるので，特徴抽出の段階では次元を統一する必要はな

る状況がある．これは，入力パターン !に対して適切な数

い．実際，音声認識やジェスチャ認識の多くはこの方法に値%∈!を返す関数 %#$$!%を決定する問題である．従っ依っている．
８４１

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.11 November 2016

３．
２．
３．
２ 特徴空間３．
２．
３．
４ 特徴が一意でないこと

各パターンを !次元のベクトルで表現できれば，１つのここで，「パターンの特徴表現は一意ではない」というパターンは !次元空間の１点と見ることができる．この空事実を今一度確認しておきたい．先述の例では，風邪を認間のことを（! 次元）「特徴空間」と呼ぶ．先の（体温，咳識するために（体温，咳の回数） もしくは （体温，咳のの回数）の特徴の場合，各人は２次元空間の１点になる．

回数，喉の赤さ）とした．これ以外にも，体温のみを特徴

同様に，１００×１００画像ならば，図３上側に示すように，１としてもよいし，血糖値を加えてもよい．さらに，奇異に万次元特徴空間の１点として表される．このような高次元

見えるかもしれないが，（体温，咳の回数，体温×咳の回

空間に違和感を覚える読者も多いかもしれない．しかし，数）や（体温，咳の回数×体温，咳の回数×体温×体温）でパターンの分布（３．
２．
３．
３項）や識別手法を理解するうえもよい１．このように「特徴はこれにすべし」という絶対的で，非常に便利なので，是非慣れていただきたい．

な決まりはない．実際，極端な例ではあるが，風邪を認識

３．
２．
３．
３ パターンの分布するために，身長を使っても，形式的には何の問題もない．

今，" 個のパターンを準備したとすると，それらの特徴

画像についても，多種多様な特徴表現が存在する．図３

空間において "個の点群となる．もしそれらが同一クラス

は画像の特徴表現の例である．上段は最も基本的なビットのパターンの集合ならば，互いに類似した特徴を持つだろ

マップ特徴である．先述したように，１００×１００画像が１万うから，ベクトルとしても類似したものとなり，結果的に次元の特徴ベクトルとして表現されている．いわゆるフィ

特徴空間において密集した点群になるだろう．さらに異なルタリング処理により，画像をぼかしたり，ノイズ除去をるクラスのパターン集合を準備したなら，それらは先の点行ったり，逆にエッジ（明るさが急激に変化する個所）を群から離れたところに，やはり密集した点群を成すであろう．

強調したりすると，画像の大きさは変わらないために次元

この密集の様子すなわち「パターンの分布」を把握でき数は変わらず１万であるが，パターンの分布の様子は大きれば，認識精度の予測が可能になる．例えば，２つのクラ

く変わることになる．したがってこのような画像加工も一ス A と B を仮定し，各クラスのパターン分布が正規分布種の特徴抽出と言える．さらに図３下段のように，抜本的だったとする．その平均はそのクラスの最も平均的なパに異なる表現形式もある．これは画素値ヒストグラム特徴

ターンであり，それに類似したパターンが頻出することにであり，画像中に画素値（明るさ）i の画素の個数を列挙しなる．分散はそのクラスに属するパターンの変動の大きさてできたベクトルである．グレースケール画像の多くはに相当する．もし２クラスの平均が近ければ，分布がオー

２５６段階の明るさで表現されているので，この特徴ベクト

バーラップしている可能性が高い．分散が大きければなおルは２５６次元となる．

さらである．この分布がオーバーラップしている部分は，

このように特徴表現が変われば，特徴空間の次元が変わ

要するにクラス A でも B でもありうるわけで，区別がつかる．その変わり方は時に劇的ですらある．上記の画像の例

ない部分であり，したがって原理的に正しく認識できない

では１万次元空間と２５６次元空間である．空間の大きさは部分である．よって，この A，B の２クラス認識問題は難

次元数のべき乗なので，単に「約４０倍」と言うだけでは済しいということになる．逆に２分布が離れていれば容易でまない差異がある．
さらに重要なことは，特徴表現が変われば，パターンの

あろう．

図３

特徴ベクトルと特徴空間．

１ この「最初からある特徴を組み合わせて別の（より高次元の）特徴を作る」という考え方は，パターン認識において重要なテクニックの一つである．形式的には，原特徴ベクトル !に対しベクトル値関数 #!
!"を作用させていることになる．本稿では詳述できないが，パターン認識において「カーネル」という用語が出てくれば，このテクニックが暗に使われていることが多い．

８４２

Lecture Note

3. Pattern Recognition and Image Informatics

S. Uchida

分布も変わる点である．特に，分布が変われば，３．
２．
３．
３で

正しく把握できず，単に（" 次元空間の線形部分空間であ述べたように，オーバーラップの状況も変わる点に注意さる）超平面上にあるように誤解してしまう．

れたい．各人を身長という１次元特徴だけで表現したと

これは，いわゆる「次元の呪い［６］」と呼ばれる状況でき，風邪クラスと健康クラスの２クラスは大いにオーバーある．特徴空間の体積は，パターンの次元 " に対して指数ラップするだろう．一方，同じ１次元でも体温のほうがよ

関数的すなわち爆発的に増加する．この広漠なる空間に少りオーバーラップが少ないだろうし，（体温，咳の回数）

数の点群しかなければ，分布が把握できず，その状態で認の２次元にすればさらにオーバーラップは少ないだろう．

識規則を設定しても，十分な認識精度が得られない可能性

オーバーラップの度合いはそのまま認識精度に影響する．

が高い．先の（体温，咳の回数）と（体温，咳の回数，喉以上より，特徴表現が認識性能を左右する非常に重要な鍵の赤さ）についても，パターン数が少なければ，前者のほとなることがわかる．

うが高い認識精度を達成する可能性すらある．また，画像

３．
２．
３．
５ どのような特徴が望ましいのか？

を１万次元で表すと，相当量のパターンがなければ，それ

パターン認識の困難さの一つは，各認識タスクについらの分布を正しく把握できないことになる．

て，どのような特徴が最適なのか，自明ではないという点

３．
２．
３．
６ 望ましい特徴をどう見出すのか？

である．上に述べたように一意でないので，様々に考えう

ここまでの議論を受け，読者は，「結局，望ましい特徴

る特徴表現の中から，何とかして望ましいものを見出す必をどうやって見出すのか？」と疑問に思うだろう．「特徴要がある．ここでどのような特徴が望ましいのであろう

抽出に王道なし」という言葉があるように，残念ながら，か？

この問題に対する絶対的な方法を存在しない．ただし，無一般には以下の３つの性質を満たすものである．

１．クラスが違えば大きく異なる．

策というわけでもない．具体的な対処法は次の通りであ

２．同じクラスであれば，多少異なるパターンであってる．

も類似する．

１．対象とするパターンの性質をよく見て，経験的に３．次元が低い．

（すなわち職人技で）決める（ヒューリスティクス）

第一の性質は自明であろう．風邪クラスの人と健康クラ２．なるべく多くの特徴を一旦列挙しておいて，その中スの人で，身長はそう変わらないだろうが，体温は大きくから有効そうなものだけを選択する（特徴選択）

変わるだろうから，後者のほうが望ましい．
「分布の平均３．なるべく多くの特徴を一旦列挙しておいて，それらが各クラスで大きく異なる特徴」と言ってもよいだろう．

から良さそうな特徴を合成する（低次元部分空間）
４．すべてを機械学習の枠組みに任せる．

その言い方を借りれば，第二の性質は，「各クラスの分布の分散が小さくなる特徴」となる．これは，同じクラスに

紙数の都合上，各対処法について詳述はできないが，機械属するならば，個々のパターン間の差異に鋭敏に反応する学習による特徴抽出の方法については，３．
５章でその一例

ことなく，なるべく似たような特徴になってほしい，といを述べる．特徴選択については，利用する特徴を試行錯誤

う意味である．そうすれば結果的に各クラスはコンパクトしながら徐々に増やしていく方法（山登り法）が最も単純な分布となり，オーバーラップは減るだろう．

である．要するに加えて性能が上がる特徴を選択する方法

困ったことに，この第一と第二の性質は矛盾した要請とである．より洗練された方法である Random Forest や決定なっている．第一の性質を「パターンの差異に対して敏木（"C4.5 が代表的な構成アルゴリズム）に関する解説を感」，第二の性質を「パターンの差異に対して不感」と言い当たっていただきたい．低次元部分空間については，主成

直せば，その矛盾がより明確になる．ただし，全く絶望的分分析（PCA）と強く関連する部分空間法［１］や Fisherというわけでもない．すなわち，前者は「クラス間の差の線形判別法［１］が基本である．

異」，後者は「クラス内の差異」という違いがある．従っ

３．
２．
４ パターンのクラスを決定する〜パターンの識別て，我々が為すべきは，クラス内で起こりそうな差異には

特徴抽出が終われば，いよいよ「パターン !が ! 個のク

不感でクラス間の差異には敏感な特徴を見出すことにな

ラスのうちのどの一つに属するか」を決定することになる．

る．この処理を（狭義の）パターン認識と呼ぶこともある

第三の性質「次元が低い」は，要するに，限られたパターが，本稿ではより明確にすべく「識別」（classification）とンでは，高次元空間内のパターン分布を把握できないこと呼ぶ．この決定規則すなわち !∈!D から $∈［１，
!］への写

２

に起因した要請である ．先に認識精度を確保するために像は，識別器（classifier）と呼ばれる．

はパターンの分布の把握が重要であると述べた．我々は無図４は特徴空間による識別の様子である．このように特限にパターンを準備することができないので，有限の #徴空間は，識別境界（classification boundary）と呼ばれる個のパターンから，分布を推定する必要がある．ここで，クラス間境界により分断される．入力 !のクラスは，分断パターンの次元 " が # より大きければ，必ず # 個のデーされた領域のいずれに入るかによって定まる．また同図にタは超平面上に分布するように見えてしまう．
（例えば２

示しているように，識別器は学習パターン（後述するよう次元空間の２点は必ず直線上にあり，３次元空間の３点はに「例題」）を用いることで学習すなわち設計される．そし必ず平面上にある．
）したがって，真の分布が非常に複雑てその識別器により識別境界が与えられることになる．

であっても，パターン数 # が少なければ，その真の分布をパターン認識研究の長い歴史の中で，実に様々な識別手

２ 本誌記事［５］で触れられている「過学習」も本質的には同じ原因で生じている．

８４３

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.11 November 2016

うべきお手本が多いほうがよいわけである．その一方で，学習パターン数 ! が数万，数十万となると，それぞれに正解クラスを付与するのも大変になるし，そもそも集めること自体が困難な場合も多い４．
３．
２．
５．
２ テストパターン
構築したパターン認識システムの性能を評価する場合，
学習パターンとは別のパターン集合を準備する必要があ
る．これはテストパターンと呼ばれ，それらをどのぐらい正しく認識できるかによって，識別性能を評価する．このため，テストパターンについても，学習パターン同様，正解クラスがわかっている必要がある．また，正しい精度評
価のためには，やはりなるべく多くのテストパターンが必
図４

要になる．

識別器の学習と利用．

３．
２．
５．
３ 学習パターンとテストパターンの関係法が提案されてきた．
「いろいろな識別手法があるようだ

正しい精度評価のためには，学習パターンとテストパが，自分の課題に対して一体どれを使えばいいのか？」―

ターンを混ぜないほうがよい．すなわち，評価に用いるテ

実は各課題に対してどの識別手法を選ぶかは中々の難問

ストパターンを，識別器設計用の学習パターンとして利用

である．準備可能な学習パターンの量，対象の分布の複雑してはならない．簡単に言えば，混ぜてしまうと「カンニさ，クラス数，実装の手間など，様々な要因によって選択ング」になってしまう．例えば３．
３章で述べる最近傍法の場

すべき認識手法も変わってくる．

合，学習パターンをそのままテストパターンとして用いる

本稿では，互いに性質が大きく異なり，かつ代表的な次と，すべてのテストパターンは１００％精度で正しく認識での３つの手法について解説する．

きてしまう．これは決して歓迎すべき状態ではない．すな・最近傍法（３．
３章）．．．長所：原理が非常に単純．学習パ

わち，本当に未知のパターンに対する評価になっていない

ターン（後述）が多ければ，高い認識性能が見込める．

ので，現実的な状況での精度評価になっていない．

・サポートベクトルマシン（SVM）（３．
４章）．．．長所：学習

一方，学習パターンとテストパターンが大きく異なる分パターンが少ない場合に有効．識別に真に必要な学習パ

布を持っても，妥当な精度評価にはならない．例えば，A

ターンだけを自動選択するので，効率的．

国で集めた顔画像を学習パターンとして顔認識システムを・ディープニューラルネットワーク（DNN）（３．
５章）．．．

構築し，その精度評価を B 国民でやると，精度は過少評価

長所：学習パターンが十分あれば，非常に高い認識性能されるだろう．やはり同一の国に住む別の人の顔を使うべが得られる．

きであろう．

３．
２．
５ 学習パターンとテストパターン

３．
２．
５．
４ パターンが少ない場合の対処法

３．
２．
５．
１ 学習パターンもし少数の学習パターンしか集まらない場合，高い識別ある認識課題に対して，実際に特徴を設計したり識別器

性能を望むのは難しくなる．３．
２．
３．
５項で述べた「次元の呪を設計したりするためには，何らかの「例題」が必要であい」の問題も発生し，パターンの分布が把握できなくなるる．ここで例題とは，「このパターン !なら，このクラスためである．とはいえ，物理や生物などサイエンスの分野"に認識してほしい」という，事前に正解クラスが分かっでは，実験コストもあり，パターンを大量に集めることがているパターンのことである．これを学習パターンと呼難しいケースも多いと思われる．もちろん，認識率が多少ぶ．手書き数字認識ならば，複数人に依頼して書いても低くても客観的な評価としては十分な場合もあるだろう．

らった ０ から ９ の画像が学習パターンとなる．! 個のしかし，やはり高い認識率が必要な場合もあるだろう．

!

#

!

学習パターンの集合を#!!
! $と表す ．各学習パ
!!
%!
%!

パターンが少ない状況に対する万能薬は存在しない

ターン に 正 解 が付 随 し て い る こ と を 明 示 し た け れ ば，が，３．
４章で述べる SVM は，少数学習データでも比較的良

!#!
!!!
!!!
!
!
"!"
"#"
"! "
%!
!
%!
!
$と表してもよい．これら#!

好な識別性能を与える手法である．また例えば手元にある

学習パターンをできる限り正しく認識できるように（すな

学習パターンから人工的にパターンを生成することは，

#

３

#

わち ! の写像結果が " となるように），特徴抽出や識別データ拡張（data augmentation）とも呼ばれ，工学の分野

器を構築することになる．

（特に DNN を使う際に）でよく行われる．画像認識の場合，一般に，学習パターンは多ければ多いほど良い．先述の学習パターンの画像を上下左右に反転させたり，数画素ず

通り，学習パターンは「例題」であるから，なるべく見習

らしたり，回転させたりすると，学習パターンを相当数増

３ 本稿では下添え字がベクトルの何番目の要素かを表すため，上添え字により何番目の学習パターンかを表す．べき乗と混乱しないよう注意されたい．
４ ただし最近では Crowd Sourcing と呼ばれる方法で，大量の学習データが集められている．これは，インターネット上に正解クラスを付与してほしいパターンを置いておき，実際に付与してくれた人に謝礼等の報償を払うシステムである．Amazon Mechanical Turk がその代表格である．

８４４

Lecture Note

3. Pattern Recognition and Image Informatics

S. Uchidaと述べたように，最近傍法は最も基本的かつ初歩的なパやせる．
精度評価の際に，学習・テストパターンの両方を合わせ

タ ー ン 認 識 の 原 理 で あ る．い ま # 個 の 学 習 パ タ ー ンても少数しかない場合もある．この場合，パターン集合の使い方を工夫することで，極力妥当な精度評価を行える!!!
!&!
!# $があったとする．最近傍法とは，その名#*!
*!
の通り，入力 !に最も近い学習パターン !&のクラスを識別［１］．例えば交叉検定法（cross-validation）では，まず全パ結果とする方法である．より形式的には，$#
!!!&(
%&(

ターン集合を "個の部分集合に分割する．そしてその部分を与える !& のクラスに識別する．ここで (*(はベクトル集合のうちの１つを除いた "!!個分を学習パターン集合
として識別器を構築し，その除いた１つをテストパターンのノルムである．ユークリッドノルムであれば，(!!!&'は入力 !と学習パターン !&のユークリッド距離である．こ集合として評価を行う．評価に用いる部分集合を変えながのため，最近傍法は最短距離法とも呼ばれる．

ら，同様の評価を "回繰り返し，得られた L 個の評価値を

図５（a）は最近傍法による識別の様子である．ここでは，平均することで，最終的な評価値と見なす．

各クラスに１つの学習パターンが与えられた状況での，

３．
２．
６ 評価指標ユークリッドノルムによる識別を示している．同図で入力構築したパターン認識システムを性能評価する際，最も代!への最近傍は"Car"のクラスの学習パターンなので，入力表的な指標は「認識率」（recognition rate）である．要する!は"Car"に識別される．このように，入力 !があるクラスに，すべてのテストパターンのうち，正しく識別されたもに識別されたのは，最近傍の学習パターンがそのクラスにのの割合である．

属していたことに因る．したがって同パターンを観察すれより詳細な評価が必要な場合，混同行列（confusion ma-

ば識別の理由を容易かつ直感的に理解できる．この点は後trix）も便利である．例えば病気の診断の場合，健康な人を述する他の手法にはない長所である．

病気と誤認識した場合と，病人を健康と誤認識した場合と最近傍法によるクラス間の識別境界は，同図（a）に示す

では，同じ誤認識であっても後者のほうが深刻である．こように，隣接する学習パターン間の垂直二等分線（正確にのように誤認識毎に重要度が異なる場合は，認識率というは超平面）で構成される．このことは，垂直二等分線がそ単一指標よりも詳細な評価が必要になる．混同行列は，ク

れら学習パターンからの等距離点の集合であることから理ラス $を $)に誤認識した個数を $行 $)列の 要 素 とした解できる．全学習パターンとして見ると，学習パターンの!"! 行列である．どのクラスに誤認識が多いかだけでな

位置を母点として特徴空間をボロノイ分割したことに相当

く，どのクラスがどのクラスに間違いやすいかもわかる．

する．
以上のように !と !&の距離を測る代わりに，近さすなわ

理想的な識別器ならば，混同行列が対角行列になる．
認識に要する時間すなわち計算量を評価指標とする場合

ち類似度を測る方法もある．この場合，内積%!!
!&&もしくもある．後述の最近傍認識の場合，一般にデータ数を増やはそれを正規化した %
!!
!&&
!((
!&(が利用される．後者"(

せば増やすほど認識率は向上する．その一方で計算量が膨は２つのベクトル !と !&がなす角度 #に関する "&'#に等大になり，実用に供するのが難しくなる．

しいので，コサイン類似度とも呼ばれる．
３．
３．
２ 最近傍法と学習データ数

３．
３ 最近傍法によるパターン認識

もし学習パターンが十分にあり，かつ計算量が多くても

３．
３．
１ 最近傍法の原理

構わない場合，最近傍法は単純ながら強力な認識手法になりうる．図５（b）は同図（a）から学習パターンが増えた状況

先に３．
２．
４節で「
『わかりやすさ優先』ならば最近傍法」を表している．１クラスあたり多数の学習パターンが与えられたことで，複雑で正確な識別境界が得られる．この図の例では，入力 !は"Truck"に識別されることになり，結局（a）の状況で"Car"に識別されたのは誤りだったことになる．
ただし，学習パターンが増えると，その中にアウトライア（outlier）が含まれるリスクも増える．アウトライアとは観測ノイズ等の影響で，本来のクラス分布から離れたところに（往々にして孤立的に）存在するパターンを指す．
図５（c）
は，アウトライアによる悪影響の様子である．このように入力 !はただ一つのアウトライアにより誤識別に転じる可能性がある．さらに悪いことに，同図では，アウト
ライアのクラスに誤識別される領域が右側に広がっていることも示している．
３．
３．
３ 最近傍法の拡張
最近傍法は非常に単純な方法であるため，拡張性も高
図５

い．例えば，先のアウトライアについては，%近傍法［１］に最近傍法．（a）
学習パターンが少数の場合．（b）
多数の場
合．（c）
アウトライアの影響．（d）
k‐近傍法（k ＝ 3）．

拡張することで解決できる．これは，最近傍だけでなく上
８４５

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.11 November 2016

位 '個の近傍パターンを求め，それらの多数決でクラスを用 い て 識 別 を 行 う．具 体 的 に は，入 力 "に つ い て決定する方法である．図５（d）はその様子である．近傍数"'"'"!であればクラス２&&#!であればクラス１に，&&'#$とすることで，アウトライアの悪影響を回避できてに識別する．このように，SVM は基本的に２クラス識別いることがわかる．'近傍法は単純な拡張ながら非常に強（すなわち !##）を対象としている．なお &&
"'
#!がクラ

力な方法である．ただし近傍数 'の設定については絶対的

ス間の境界となる．

な指標はなく，試行錯誤的に定める必要がある．

SVM の 最 も 簡 単 な 場 合 は「線 形 SVM」と 呼 ば れ，

他の拡張として，ユークリッド距離以外の距離の利用が"'&&#!$""%と表される．要するに傾き !，切片 %の考えられる．具体的には，絶対値距離（L1 距離，マンハッ（超）平 面 で あ る．こ の 場 合，識 別 境 界 はタン距離とも呼ばれる）やマハラノビス距離［１］が挙げら"'&&#!$""%#!であるから，やはり線形である．２次$れる．後者は &"!"('"!"('と表される．これは，! !"&元特徴であれば，その２次元特徴空間（平面）を真っすぐ"( を平均とし，Σ を共分散行列とする（" 次元）正規分布

な直線で分断することになり，３次元特徴であれば平面でを考えたとき，その分布の広がり方に比例した距離となっ分断することになる．要するに真っすぐな包丁で特徴空間ている．

をクラス１と２に分けているイメージである．
特徴ベクトル "が１次元の場合（例えば血圧だけから高

３．
２．
３．
１項で触れたように，距離を工夫することで，長さが一定しない系列パターンの認識にも利用できる．具体的

血圧か否かを決める場合）はさらに簡単で，&&
"'
#!""%

には，編集距離（edit distance）もしくはほぼそれと等価なという直線となる．ここで傾き !，切片 %の値は事前にわDP マッチング距離［７］を使えば，"と "(の系列長が違った

かっていないので，学習パターン (""!
"(!
"# )を使っ*!
*!

としても，両者間の距離を計算できるため，最近傍法が適て設定する必要がある．その際の制約条件は，"( がクラス用可能となる．

１に属するのなら &&"('#!"("%%"となり，クラス２な３．
３．
４ 最近傍法の高速化

ら &&
"('
#!"("%$!"とする５．（図６では，△で表され先述の通り，最近傍法による識別精度は，学習パターン

たクラス１のパターンの箇所については，直線 &&"'が１

数 #の影響を直接受ける．そして一般に#が大きいほど精より上を通ってほしい，ということになる．
）すべての学度は良くなる．ただし，最近傍パターンを見つけるための習パターン "( についてこの条件を満たせば，先の「入力計算量は #に比例するため，#が数百万といったオーダー"について &&"'"'#!であればクラス１に，&&"!であれになると，計算量を低減させて高速化を図る必要が生じばクラス２に識別」が（少なくとも学習パターンについてる．

は）実現することになる．

高速化の第一の方針は，学習パターンのうち，不要なパSVM の原理の面白い点の一つは，以上の条件を満たす

ターンを除外する方法である．図５（b）の識別境界を見る! と %の値を，最適化の枠組みで求めているこ とであと，その構成に影響しているのはクラス境界付近のパターる．具体的には傾き ! を最小化する問題を解く．この様子

ンだけであり，それ以外の影響はないことがわかる．すなを図６に示す．全部の学習パターンについて条件制約を満わちクラス境界以外のパターンを除外しても識別境界は変た す 範 囲 で 傾 き を 最 小 化 す る６と，最 終 的 に は 図 中 のわらず，結果的に識別性能も変わらない．実際には，高次"Optimal solution"が識別関数として求まる．これ以上傾き元の特徴空間において，どの学習パターンがクラス境界にを最小化しようとすると，制約条件が満たせなくなる点にあるかは自明ではない．そこで Condensing や Editing と呼注意されたい．

ばれる手法［８］が伝統的に使われている．

３．
４．
２ サポートベクトルマシンの長所

高速化の第二の方針では，真に最近傍のパターンを見つ

こうして得られた識別関数について重要な点は次の２つ

けなくてもよいと考える．近似最近傍探索（Approximateの性質である．

Nearest Neighbor，ANN）とも呼ばれ，k-d tree のような空

１．識別境界がクラス１と２の分布の間隙の中央を通過している．

間分割に基づく方法［８］が代表的である．他にもハッシュ２．全部で ##%個の学習パターンのうち，識別関数の構関数に基づく方法（特に Locality Sensitive Hashing，LSH）

成に寄与しているのは，クラス境界に面している２個がある［９］．

だけである．

３．
４ サポートベクトルマシン

この第一の性質こそが SVM の識別性能を高めている理

３．
４．
１ サポートベクトルマシンの原理

由である．どちらかのクラスのパターン分布辺縁付近ぎり

SVM も非常によく用いられる識別器の一つである．そぎりではなく，両方のクラスからもできる限り遠いところの原理は，最近傍法と大きく異なる．具体的には，最近傍に識別境界があることを意味する．学習パターンを分離識

法では学習パターン "( をそのまま使っていたのに対し，別するだけの意味であれば，識別境界が中央にある必要はSVM では学習パターンを使って「識別関数 &&」なるも"'ない．しかし，認識システムの実際の使用状況を考えると，のをあらかじめ構成しておき，その識別関数 &&"'のみを

学習パターンよりもより曖昧すなわち他のクラスに混同さ５ これら不等式制約において，%"や $!"の代わりに %$や $!$としても結果は変わらない．ここで $は任意の正数である．
６ 図６の例における学習パターンは完全に２分割できるので，すべての制約条件を満たす解がある．しかし２クラスのパターン
が境界付近時入り混じると，このような解は存在しなくなる．次節３．
４．
２においてこうした場合の対処法について述べる．

８４６

Lecture Note

3. Pattern Recognition and Image Informatics

S. Uchida

たすことは不可能になる．したがって SVM は構築できな
いことになってしまう．
そこで開発されたのがソフトマージンである．要するに，「制約は絶対満たさなくてもいいが，もし満たせな
かったら，満たせなかっただけペナルティを与える」という考え方である．一種の緩和であり，SVM としては # と"の最適化に加えて，ペナルティの最小化も同時に解くこ
とになる．
３．
４．
３．
２ カーネルによる非線形化
３．
４．
１節で述べた線形 SVM では，識別境界も真っすぐになる．しかし分布が複雑に入り組んでいる場合は，真っす
ぐな境界で２クラスを正しく分断できるとは限らない．ソフトマージンで対処してもよいが，もう一つの考え方は
図６

SVM の非線形化である．包丁の比喩を用いるならば，線形SVM の原理．

SVM が真っすぐな包丁であったのに対し，非線形な SVM
ならば曲がった包丁で特徴空間を二分できる．

れそうなパターンが入力されうる．識別境界を中央に置くことで，こうしたパターンが誤識別されるリスクを最小化

SVM の非線形化の方法は少々トリッキーである．基本

できる．こうような（学習パターン以外の）入力に対してとなる考え方は，パターンの高次元化である．すなわち $も高い識別性能を維持することを「汎化」（generalization）

そのままではなく，それを高次元化した ""$#を考える．例と呼ぶ．

!
"
えば $!"
について ""
と３次元
$"!
$##
$#!
$"$##
$#
$"!
!"

第二の性質は，SVM の効率の良さを示している．３．
３．
４

化することを考える．これにより，元の２次元の特徴空間

節でも述べたように，識別に重要なのはクラス分布の中央では線形 SVM で識別できなかった場合でも，３次元の空付近ではなく，むしろ境界付近の（曖昧な）パターンであ間では線形識別できる可能性が上がる８．このように識別る．図６からもわかるように，SVM が自動的に選択し利用関数側を複雑にせずに，識別される側を高次元化により識するのはまさにこうした境界付近の少数のパターンであ別されやすくする．さらに SVM では高次元化により増え

７

る ．識別関数がこの少数のパターンだけで構築されるとる計算量を抑えるために，カーネルトリックという巧妙ないうことは，識別時にはその程度のパターンの情報だけが方法を利用している，

利用され，他のパターンは不要ということになる．

３．
４．
３．
３ 多クラス化SVM は，以上の２つの性質により，比較的少数の学習パ

SVM は基本的に２クラス認識問題用であるため，多クターンでも効率的にクラス間境界を捉える能力および汎化ラスを扱う場合には工夫が必要となる．最もよく用いられ能力を併せ持っていることがわかる．この点が，少ない学るのが 1-vs-others という方式である．具体的には，「クラ

習パターンでも高い識別精度を達成できるという SVM のス #とそれ以外」という２クラス用 SVM をすべての #∈!

強みを生んでいる．

について準備しておく．そして，入力 $をそれら ! 個の３．
４．
３ サポートベクトルマシンの拡張

SVM で識別し，最も高い識別関数値を与えたクラス #に識SVM について，次の３つの拡張法についてその概要を別する．他には，総当たり型の 1-vs-1 方式や，最初から多述べる．第一にソフトマージン（完全に分離できない場合クラスを前提として提案された「多クラス SVM」があるを許す），第二に非線形化（すなわち識別境界を非直線が，1-vs-others が利用されることが多い．

に），そして第三に多クラス化である．いずれも概念的な記述に留める．数式を含めた詳細については，専門書（例３．
５ ディープニューラルネットワーク

えば［２，１０］）をご覧いただきたい．その際，本稿での直感

３．
５．
１ 古くて新しいディープニューラルネットワーク

的な議論が役に立つことを願う．

「ディープラーニング」「深層学習」などの呼称で，昨今

３．
４．
３．
１ ソフトマージン

では人工知能の代名詞とされているディープニューラル

先述の通り，基本的な SVM では，「$% がクラス１ならネットワーク（DNN）を最後に紹介したい．DNN はパター%

$ #は１以上，クラス２なら−１以下」を絶対的な制約$"

ン認識にも利用できる．そして，DNN の一形態である畳み条件として # と "を求めていた．しかし，図６のいずれか

込みニューラルネットワーク（Convolutional neural net-の〇と）が入れ替わったとしたら，こうした制約条件を満

works，CNN）は，画像認識において従来を大きく上回る

７ 特徴空間が高次元になると，境界を構成するパターンの割合は，一般に増加する．したがってこの利点は多少弱まることになるが，それでもできる限り境界を選択しようとする SVM の方針は有効である．なお境界の割合が多くなる理由は，「次元の呪い」の副次的効果として起こる「球面集中現象［１，６］」と呼ばれるもので，要するにすべてのパターン間が似たような距離になる状
況である．
"
"
"
"
と $#!"
がクラス１，$$!"と $%!"
がクラス２の場合，元の２次元空間では直線で二分８ 例えば $"!"
!!
!#
"!
"#
"!
!#
!!
"#
できないが，この "による３次元空間なら平面で二分可能となる．

８４７

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.11 November 2016

図７

DNN の概要．

性能を達成し，昨年（特定の認識課題ではあるが）人間のすなわち２ベクトル "と !の内積であることがわかる．以

画像認識能力を超えたという報告もなされている．

下に述べるように内積には二つの意味がある．この事実

実は DNN の考え方は古い．実際，CNN の原型であるネが，同形式のニューロンを複数組み合わせることで，パオコグニトロン［１１］はすでに１９７９年に発表されている．そターン認識が実現することの原理を与えている．

れが再度注目されている理由は大きく二つある．第一は大

３．
５．
２．
２ 内積の機能（１）：特徴抽出量の学習パターンが入手可能になった点である．今や学習

内積 !""は，２ベクトル "と ! の方向が似ているほど

パターン数 N は時としてトータル数万〜百万のオーダーで内積値は大きくなる．要するに "と ! の類似度である．こ

利用可能であり，それが DNN を構成する大量のパラメー

こでこの「! に対する類似度」が，"の特徴の一つとなりタの学習を可能にしている．第二は数々の細かな工夫であ２．
３．
１では，風邪かどうかを認識うる点は重要である９．３．

る．例えば，従前はニューラルネットワークの構造を大規するために，各人を（体温，咳の回数）の２次元特徴で表模化（正確には深層化）すると，学習が思ったように進ます例を述べた．この体温も咳の回数も，その人を観察するないという問題（Vanishing gradient と呼ばれる）があった

ことで得られる特徴である．一方，その人が「患者 A や健が，最近の DNN/CNN では解決が図られている，

常者 B に似ている」の程度も２次元特徴になりうる．前者

３．
５．
２ ディープニューラルネッワークの基本的考え方

を絶対的な特徴と呼べば，後者は相対的な特徴と言えよ

最近 DNN/CNN については解説書が数多く出版されてう．内積はまさにこの相対的な特徴である．ここで基準といる［１２，１３］．以下では，それら解説書よりもさらに平易なする !を図７（c）のように !個#!!!
!! $考えた場合，そ%!

解説を試みる．

れらとの ! 個の内積値が得られ，それらは "を表現する! 次元ベクトルと考えることができる．

３．
５．
２．
１ ニューロンのモデルと内積

３．
５．
２．
３ 内積の機能（２）：識別関数

DNN や CNN に限らず，およそニューラルネットワークと名がつく数理モデルは，図７（a）に示す「ニューロン」を

今 一 度，３．
４．
１節 で 述 べ た 線 形 識 別 関 数 を 見 る と，組み合わせたものである．数式的には %#"$!""!#$"$#
であり，SVM のところ（３．
４．
１節）で述べた線形識別関数"$%#"!""!#の正負で "の識別結果が与えられるようになっていた．ここでも #を無視すると，ベクトル "と !

との違いは，わずかに非線形関数 $が最後に施されているの内積となっている．すなわち内積は，特徴抽出だけでなか否かである．各ニューロンについて，その ! と #を適切

く，識別の機能も持っていることがわかる．

に定めることをニューラルネットの「学習」と呼ぶ．

３．
５．
２．
４ 内積に次ぐ内積〜多層ニューラルネットワーク

ここで理解を容易にするために $と #を無視すると，パターン認識の基本構成が特徴抽出→識別であったこと"

図７（b）が得られる．これからニューロンの本質は ! "を思い出せば，３．
５．
２．
２項で特徴抽出したのちに，３．
５．
２．
３９ 本文では非線形関数 $を無視したが，一般に $は，類似度の大きくなりすぎ，もしくは小さくなりすぎを抑制する機能を持つ．
単純な機能であるが，これがなければ図７（d）は本当に内積すなわち線形演算だけからなるネットワークとなり，ニューロンが数多くあっても，結果的に単一のニューロン（内積）に帰着してしまう．

８４８

Lecture Note

3. Pattern Recognition and Image Informatics

S. Uchida

項で識別すれば，内積だけでパターン認識が完成することを行い，どのような識別方法を用いればよいか，よくわかがわかる．図７（d）はその全体像である．混乱を避けるたらない」というご意見もあろうかと思われる．残念ながら，めに同図では識別時の内積対象を #で表している．この全

パターン認識には万能薬がない．すなわち，３．
２．
３．
６をはじ

体像，いわゆる多 層 ニ ュ ー ラ ル ネ ッ ト ワ ー ク も しくはめ，本章の随所で述べたように，課題の性質に応じた設計

multi-layer perceptron と呼ばれるものである．１９９０年代にが必要になってくる．このため，その性質を見抜く経験も「ニューロ」ブームを起こしたのがこの形式である．

必要だろうし，さらに試行錯誤も必要になるであろう１０．

学習パターン #に対して正しい識別結果が得られるよう本章では画像認識を例として多用したが，その前段階とに!
"!!
"" "および !というパラメータ集合を「学習」す#!

して必要となる画像情報処理については全く触れていなる必要がある．本稿ではその詳細まで論じられないが，誤い．もし画像情報処理についての概要が必要であれば，本差逆伝搬法が一般に用いられる．これは一種の勾配法であ章と同じように極力平易に書いた解説［１４］をご覧いただけり，識別誤りが少なくなる方向にこれらパラメータ集合をれば幸いである．

修正する方法である．勾配法に共通する弱点として局所解

本記事の執筆にあたり、応用力学研究所の稲垣教授に有への収束があるが，ニューラルネットワークでも同様のリ益なコメントをいただきました．ここに感謝の意を表しまスクが存在する．

す．

３．
５．
２．
５ 深層化のメリット
DNN とは，図７（e）のように，前記の多層パーセプトロ

参考文献

ンの特徴抽出層を何重にも増やして深層化したものであ［１］石井健一郎 他：わかりやすいパターン認識（オーム
社，１
９
９
８）
．
［２］荒木雅弘：フリーソフトではじめる機械学習入門（森
北出版，２
０
１
４）
．
［３］R.O. Duda et al., Pattern Classification (2nd Edition), (WileyInterscience, 2000)（邦訳：パターン識別）（アドコム・
メディア，２００
１）．
［４］C. Bishop, Pattern Recognition and Machine Learning,(Springer, 2006)（邦訳：パターン認識と機械学習，上・
下）
（丸善，２
０
１
４）
）
．
［５］前田新一：プラズマ・核融合学会誌 92, 334 (2016).
［６］宝珍輝尚 他：プラズマ・核融合学会誌 92, 347 (2016).
［７］内田誠一：電子情報通信学会技術研究報 rpPRMU2006166 (2006).
［８］和田俊和：情報処理 46, 912 (2005).
［９］古賀久志：IEICE Fundamentals Review 7, 256 (2013).
［１０］竹内一郎，烏山昌幸：サポートベクトルマシン（講談
社，２
０
１
５）
．
［１
１］福島邦彦：電子通信学会論文誌 J62-A, 658 (1979).
［１２］岡谷貴之：深層学習（講談社，２
０
１
５）
．
［１
３］山下隆義：イラストで学ぶディープラーニング（講談
社，２
０
１
６）
．
［１
４］S. Uchida, Development Growth and Differentiation 55,
Issue 4, 523 (2013).

る．したがって，DNN といえども内積演算が基本である．
では何重にもすることでどのような効果があるだろうか？
先に述べたように，内積による特徴抽出では，元々 ! 次元
ベクトルの #を !
"!!
"" "との内積により "次元ベクト#!
ルに変換していることに相当する．要するに !次元空間をK 次元空間に（非線形）変換していることになる．空間が変換されれば分布が変わる．したがって深層化の目的は，直感的に言えば，何回も空間変換を施すことで混在して分離しにくいところを少しずつ「ほぐして」分離しやすくすることにある．もちろん，よく「ほぐれる」ように各層の"!!
"" "を決めてやる必要があり，その問題は先述のよ!
#!
うに誤差逆伝搬法で解かれる．

３．
６ まとめ
本章では，パターン認識の基本的な流れと，その中心となる識別手法を３種類紹介した．パターン認識の具体的課
題を扱う際，「まず何を考えなくてはならず，そして実際に解く際には多くの選択肢がある」ことを感じていただけ
れば幸いである．その一方で，概念的な説明が多かったた
めに，「自分の課題について，結局，どのような特徴抽出!!!!!!!!!!!!!!!!!

うち

だ

せい

いち

内 田 誠 一!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

１９
９
０ 九大・工・電子卒．１
９９２同大学院修士課程（情報）了．セコム株式会社勤務を経て，現在，同大学院システム情報科学研
究院情報知能工学部門教授．博士（工学）．
画像パターン・時系列パターンの解析・認識に関する研究に従事．最近はバイオイメージ・インフォマティクスなど分野を越えた協働研究を積極的 に 実 施 中．２
００
７IAPR/ICDARBest PaperAward，２００９電子情報通信学会論文賞，２０
１
６デー
タサイエンスアワード他受賞．

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

１０ 必要あれば，著者までご遠慮なくご質問いただきたい．

８４９

J. Plasma Fusion Res. Vol.92, No.12 (2016)９０４‐９１１

講座 画像再構成とパターン認識の数理

４．ラプラシアン固有関数とその画像データ解析への応用
4. Laplacian Eigenfunctions and Their Application to Image Data Analysis
斎藤直樹
SAITO Naoki
カリフォルニア大学デイヴィス校数学科（原稿受付：２
０
１
６年８月２
６日）

本章では，ユークリッド空間上の領域で定義されたラプラス作用素，およびそれと可換な積分作用素の固有値・固有関数の基礎，またそれらの画像データ解析への応用，特に脳の海馬の形状認識，およびラプラシアン固
有関数といわゆる「患者対応基底関数」との関係について考察する．
Keywords:
eigenvalues and eigenfunctions of Laplace operators, integral operators commuting with Laplacians,boundary value problems, Fourier analysis, image analysis, shape recognition#
リエ正弦関数系,
%'
)#
(
(
)*
+
% (,
'("，斉次ノイマン境界条件

４．
１ 始めに（フーリエ解析について）
読者もすでに充分ご承知のことと思われるが，数学・物

6
6
(
&
!+
*
"&
*
+
"! の 場 合 は，フ ー リ エ 余 弦 関 数 系

理・工学等の分野におけるフーリエ級数・変換の重要性・

"
#
%'
)#
(
*,*
&,
+
,
% (%
'("，が適している．ところが，与えら
4(

普遍性はどこに帰着するのであろうか？

筆者は，
「与え

れた関数・データが，予めこれらの境界条件を満たしていられた関数やデータを既知の基本的な関数を用いて分解るとは限らない．一般には，むしろそのような境界条件をし，それらの線形結合（あるいは積分）として元の関数や満たしている方が稀であると言える．その場合，無理に上データを表すことができる」という性質であると考えてい記の正規直交系を使うと，何が起こるであろうか？

る．ここにいう「既知の基本的な関数」とは，もちろん，のフーリエ基底を例にとって考えよう．与えられた関数

様々な周波数のサイン（正弦）・コサイン（余弦）関数のこ

のフー
&
)+
"
(
!+
*
(!*
+で，&
*
)
"&
*
+と仮定しよう．すると，&とである．与えられている関数やデータを解析するにあた

リエ基底関数による展開係数は，り，その定義域や台に注意することは，常に重要である．

通常

(

"
， '(#，)+%&'!#%(')#(&)
$
*
+
" #&
'*
4(!

例 え ば，一 次 元 の 連 続 関 数 &)+が，長 さ (の 閉 区 間
*
"$
!
(
!
"2
3で定義されているとしよう．一般に "上で定義された関数を考察・解析するには，"上の自乗可積分空間

で与えられる．この場合，,&%+'*'(#のサイズの減衰が非

#
##*
"
"5!01
$
+
",&$
&
)+
&
&)"%-を 考 え，そ
*
0
"$"
1
"0
#$
をその展
こにおける正規直交基底 ,$''("を使い，関数 &常に遅くなってしまう．さらに詳しく言うと，'5 #%開係数列 ,
)+
$'*
&
&
!
$'/
)+
%
$
&)*
+
".
""
"&
'*
'("（この数列（Gibbs Phenomenon）が生じる［３‐５］．これは，与えられ"+に 属 す る）を 使って，は，自乗総和可能列の 空 間 &#*た関数 &が周期境界条件を満たさないため，&自体は "上で

のとき，0
%
&
#
'0
"
+
0
$$*
0
+となる上，いわゆるギブズ現象
'*

&
)+
&
$'*
)+として表せば，&の様々な性質を，*$! '("%+'*

連続関数であっても， &の周期的拡張は不連続関数となる

数列 ,
%
&
+
'*
'("を調べることにより解析することができからである．なぜ展開係数のサイズの減衰が遅いとまずいる．詳細は［１‐５］等を参照されたい．ここで問題になるののか？

が，どのような ##*"+の正規直交基底を用いるかというこ

有限項で打ち切る必要があるからであり，設定されたレベとである．

ルの近似誤差を得るためには，減衰が速い展開級数の方

もし &
)+
"
"
*
(!*
+
'##*
+が周期 (の周期関数とみなすこ

それは，実用上，関数の正規直交系による展開は，が，減衰の遅いものよりもより少数の項で打ち切ることがとができれば，すなわち &
(
)+
!+
*
"&
*
+であるならば， &*できるからである．以上のことは，たとえ &)+が "上で非*の !*$+へ の 周 期 的 拡 張 を 考 え る こ と が で き"+か ら !*

常に滑らかな，すなわち !% *"+に属する関数であっても，る．この場合，最も自然で便利な ##*"+の正規直交基底は，

&
(
!+
*
)
"&
*
+である限り，そのフーリエ展開係数のサイズの"4(フーリエ基底 , '-+*
%(
'
)#
(
#
+
'(!である．また，境界条件

減衰は$*が"上で単に連続な場合と変らない．な
#
'0
"
0
+と &

が斉次ディリクレ境界条件 &
(
!+
*
"&
*
+
"!の場合は，フー

お，&をフーリエ余弦関
"
(
!+
(!*
+で &
*
)
"&
*
+であっても，&

Department of Mathematics, University of California, One Shields Avenue, Davis, CA 95616 USA
author’s e-mail: saito@math.ucdavis.edu

９０４!2016 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion ResearchLecture Note

4. Laplacian Eigenfunctions and Their Application to Image Data Analysis

N. Saito

数 で 展 開 す る と，そ の 展 開 係 数 の サ イ ズ の 減 衰 は，‐軸 に つ い て 偶 対 称 に$'"'#(と な る．こ れ は， &を +
"
*%*
!
!
(
!+まで拡張し，その結果得られた *
!(
!(
+上での関
数をさらに周期 #(で実軸上全体に周期的拡張した関数を考えると，それは !'"(に属し，その周期 #(のフーリエ基底展開と元の "上での関数 &のフーリエ余弦展開が一致するからである．また，このことが，JPEG 画像圧縮規格［６］で離散コサイン変換（DCT）が採用されている大きな一因であることを指摘しておく（DCTの様々なタイプや性質については，［７］の一読をお薦めする）．データ解析における（a）
原画像データ（b）
背景（c）
目・鼻・口以外（d）
目・鼻・口

境界条件の重要性についてのさらに詳しい解説，特に，与えられたデータが上記のような通常の境界条件を満たさないときは，どのようにフーリエ解析を進めればよいかについては，［８‐１０］とそこでの参考文献を参照されたい．
さて，このようなフーリエ基底が，##'"(上での正規直
交基底として自然に現れるのは，なぜであろうか？

それは，"上での簡単な物理的な問題を考えると明確になる．
例えば，"を針金とみなしたときの熱の拡散を記述する熱方程式や "を弦とみなしたときの振動を記述する波動方程
式の初期値・境界値問題を考えよう．すると，これらの問

図１

題を変数分離法で解くときに現れる空間変数 *%"に依存

顔の画像データのイラストレーション．

する成分)'*(が，次の２階常微分方程式の境界値問題で記述され，境界条件が，周期的／斉次ディリクレ／斉次ノイ

ムホルツの偏微分方程式による境界値・固有値問題に一般

マンの場合，フーリエ基底／正弦関数系／余弦関数系がそ

化される：
!
!(
!(
)'
$%
，
# !#'
%
$!
" ))
(
$
%
# (&))($$!
$

れぞれ解となっていることがわかる：
!
,
,
*(
)'
*(
$%
，
# !) '
# )'
(
!(
$)'
(
"
)
(
!
'
(
$)
'
(
$!
#
,
# ),'
(
!(
$) '
(
$!
$

*%'
!
(
!
(
;
周期条件の場合；
斉次ディリクレ条件の場合；
斉次ノイマン条件の場合．

!%$;
斉次ディリクレ条件の場合；
斉次ノイマン条件の場合．
（２）

#

#

"

%

( "."($(
ここで，#%
であり，"% 上でのラプラス作用
*#
(
*#

（１）

素あるいはラプラシアンと呼ばれる二階の偏微分作用素でなお，上記の境界値問題はいわゆる正則スツルム・リゥ

ある．また，(&))$ における，領域の外側($ は，領域境界 (ヴ ィ ル 型 境 界 値 問 題（regular Sturm-Liouville boundaryに向いた法線微分 !'，!%($ のことである．こ
!(
!(
#
&)'

value problem）の最も単純なケースである．一般に，正則

こで，周期的境界条件は，$ が矩形領域のときしか意味を#スツルム・リゥヴィル型境界値問題の解集合は # '"(上のもたないことを注意しておく．

正規直交基底系を形成するという事実はよく知られている$ が矩形領域の場合は，一次元のフーリエ正弦・余弦関［１１‐１３］．ここで，'番目の固有値 %'は，周期的境界条件の数のテンソル積が（２）の解となり，##'$(の正規直交系に

#

場合は，'
''"
(
#
(， '%!；斉次ディリクレ条件の場合は，なることは容易に理解されよう．しかしそれ以外の場合

#

#
，
!
!
#
- ；斉次ノイマン条件の場合は，'
''"
(
''"
(
'
(，'$"
(

は，どうであろうか？

'$!
!
!
"
- ，となることが容易にわかる．このとき，固有3位球面，" 上の偏長楕円体の場合，（２）式にそれぞれ適値に区間 "の情報が反映されている，すなわち，固有値が切な座標変換・変数分離を行った後の境界値問題の固有関

区間長 )
"
)
$(に依存することを注意しておく．

数解は，数理物理でしばしば現れるベッセル関数，球面調

以上，与えらた関数・データが一次元上の長さ (の区間和関数，偏長楕円体関数となることが知られている［１４‐"で与えられている場合を考察したが，%次元上の一般の

１８］．
それでは，一般形状の $%"% の場合は，どうであろう

開領域 $%"%，%$#!
!
$- ，のときは，どのような状況になるであろうか？

$ が"2 上の単位円板，"3 上の単か？

例として，画像データが図１のイラス

もしも，（２）のように境界条件がはっきり指定されトレーションのような場合を考えよう．このとき，背景のている場合ならば，大きく分けて二つのアプローチを考え部分だけのデータを解析したい，あるいは，目・鼻・口以ることができる．一つは，（２）を有限要素法（FEM）など

外の顔の皮膚の部分のデータのみ，あるいは目の部分のを用いて離散化して近似解を求める方法［１９‐２１］，もう一

データのみを解析したいとすると，従来の二次元空間におつは，グリーン関数［１４‐１８］を用いて積分方程式に変換し，けるフーリエ正弦・余弦関数系では，歯が立たない．

さらにそれを離散化して近似解を求める方法
［２２，
２３］であ

一般形状の $%"% 上では，（１）式は以下のようなヘルる．前者は，疎（スパース）な線形方程式・固有値問題を
９０５

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.12 December 2016
"!$
# /
!!"/
# +
$!",
,$
$

解くことに帰着し，計算速度は速いがそのシステムの条件
数が大きくなる．一方，後者の条件数は一般的には低く，$$".

数値解析上安定して計算できるものの，密な線形方程式・+
上式で ,$ #は%$ における単位球の表面積，/
#
/は通
$&"
",
+
$#

固有値問題になるため，計算速度は遅くなる．また，上記

常のユークリッドノルムを表す．ここで，（３）式を積分核に述べた特殊な形状（円板・球など）の場合以外の一般形とする積分作用素" #""+',',を以下のように定
0 ""+
義する：

"
$#

状の有界領域においてディリクレあるいはノイマン境界条
件を満たすグリーン関数を構成することは難しい．また，

"

',
)" +
!,
!"
",
",
%
#
$"， %
+
$" !+
+
.
"%

どちらの手法にしても境界条件を明確に指定する必要があ'る．しかしながら，数理物理の境界値・固有値問題を解く（４）

するとこの"について次の定理が成り立つ．

のではなく，領域上で観測された関数・データを解析するのが目的であるならば，上述したように，その関数・デー定理２．
２（［２４］）．（４）式で定義された積分作用素"はラプタがディリクレあるいはノイマン境界条件を最初から満たラシアン!$!%と可換である．その共通の固有関数 .は，していることは稀である．したがって，これらの従来の手

以下の「非局所的」な境界条件を満たす：

法と異なる手法の開発が重要となる．

! !
!"
",
",
",
" !+
-*.+
$'
+
$! .+
,
"
'
)

４．
２ ラプラシアンと可換な積分作用素
筆者は，前節で述べた動機から，一般形状領域上で関

'．
!"
",
",
",
.+
$'
+
")*" -*!+， !)（５）

数・データが与えられたとき，境界条件を最初から陽に指'定しなくても済むようなラプラシアン固有関数の構成法お)

ここで，pv はそれに続く広 義 積 分 の コ ー シ ー の 主 値，

よびその数値解法を提案した［２４］．ここでは，その概要に' における面積要素を表す．
",は境界上の点 ")$'+

ついて述べる．
ラシアンのような微分作用素を直接扱う解法よりも，数値ここで注意しておくが，積分作用素"の固有関数を求めるには，（５）式の境界条件を気にする必要は全くない．こ的 に は 安 定 し て い る［２２，２３］．こ こ で，ラ プ ラ シ ア ン

れが微分作用素!の固有関数を!から直接求めるときとの!#$!%を直接扱うことに伴う困難を克服するための鍵

大きな違いの一つである．

となるのは，それと可換な積分作用素"，すなわち"!＝!"を満たすような"を探すことである．なぜならそのよ

系２．
３．定理２．
２における"，!の共通の固有関数 .+!,は領うな"を見付けることができれば，以下の定理によって，

域 'の外部に自然に拡張でき，以下の偏微分方程式を満た"の固有関数と!の固有関数が一致するので，!の固有関数を直接!を解析することによって求める必要がなくなる

す：

前節でも述べたが，積分作用素を用いた解法の方がラプ

!
(
.
!%.$%
"
０
%
$

からである．
"

定理２．
１（［２５，p．
６３］）．"と!を交換可能な二つの " +
',

!)';
!)%$!
'，

また，.，-*.ともに，領域内部から外部へ境界 ' を跨いの作用素とし，そのうちの一つは重複度が有限な固有値をで連続である．さらに，/!/!,は次の漸近
0 ( のとき，.+持つと仮定する．そのとき，"と!はその固有値に対応す式を満たす：

る固有関数を共有する．すなわち，!.$(.と".$).

それでは，!$!%で事前に境界条件を設定したくない

!
"!$
!!$
const #$"の場合；
!/
!/
"#+
/
, $*
/
!,
.+
$%
"
!!
const
$
$"の場合．
!
!
&
'
#
/
/
"#+
/
/
,
%
$

とき，"としてどのようなものを考えればよいであろう

系２．
４（［２４］）．（４）式 で 定 義 さ れ た 積 分 作 用 素"はか？ グリーン関数をその核とするグリーン作用素#は，境界値問題の偏微分作用素の逆作用素であり，当然その偏""+',上でのコンパクトな自己共役作用素であり，したがって（３）式で定義されたその積分核 !+!"",は以下のよ

微分作用素と可換である．しかしながら，上述したように，

うに固有関数展開される：となる .)""+',が存在する．

画像データ解析では，境界'上でデータの値が０（ディリ

(

.
!"
",
!,
",
!+
.&+
'! )&.&+

クレ条件）になったり，法線微分が０（ノイマン条件）に&$!

なったりするとは限らず，またそのような境界条件を満た"
さらに .&.
',の正規直交基底を成す．
&)$は " +すグリーン関数を構成するのも難しい．そこで，以下のよ
うな，ラプラシアンの基本解（自由空間におけるグリーン関数とも呼ばれる）を考える．
! !
(!)/
$$!;
# !"/
#
#
!"
",
!+
#
$" ! !&!!"/ $$";
(%/
+
# "
#
#
$

注意２．
５．（３），（４）式で定義される積分作用素の固有値を大きい順に )!&)"&2 とし，それに対応する固有関数
を .&，&$!
２により"""
1 としよう．そのとき，.&は定理２．
!%.&$(&.&と境界条件（５）を満たすが，このヘルムホルツ方程式の固有値は逆に小さい順 (!%("%2 になってい

（３）
９０６

Lecture Note

4. Laplacian Eigenfunctions and Their Application to Image Data Analysis

N. Saito!"
ることを注意しておく．実際，&'$''という関係がある．

４．
３ 積分作用素の離散化とラプラシアン固有関数の数値計算法
さて，コンピュータ上で取り扱う都合上，ほとんどすべての画像データは離散化されているのが現状である．それに対応するために，（３）式の積分核と（４）式の積分作用素
を離散化する必要がある．まず，対象となる一般形状領域%&"$ は，" 個 の 互 い に 素 な 微 小 矩 形 領 域 (%&&"$，&$"""，の集合で近似されるものと仮定する（正確に
-"

（a）!1

!11
（b）

!101
（c）

!1001
（d）

いえば，% も 各 (%&も 開 集 合 で あ る か ら，&'$'の と き(%&%(%'$○／で，%$%"(%&ということである）．ここ&$"で，(%&の 中 心 点 を "&&"$，そ の 体 積 を )&&"＋，&$"""，と表す．さらに観測された離散画像データは，-"" 次元のベクトル !&"" として与えられ，その &番目のデータ点 !+"*の(%&の中心での値&,は連続画像データ %)（あるいは (%&上での %の平均値）としてサンプルさ"&*%)れたものと仮定しよう．これらの仮定の元で，（４）式の積分作用素の固有値問題!($'(を以下のような簡単な数値積分で近似する：

図２

"

"
".
-"
，&$"
"&"
"'*
"&*
"'*
! !)
()
)'$'()

図１c の黒い部分を % としたときの可換積分作用素の固有ベクトルの例．

る．これは，上述したようにラプラシアンの基本解に他な'$"上式を行列・ベクトル表示すると!!$'!と簡単に表すこらず，Greengard-Rokhlin の提案した高速多重極法（Fastとができる．ここで，!$)
，
"&"
"'*
!&'*
&""#"，!&"''
$)'!)
T& "
"&*で あ る．一 般 に は，!'(""(" * " ，(&'
$)
$()
-"

Multipole Method; FMM）
［２８，２９］を使用することにより，(%&の大きさ・体積を &に依存させる，すなわち大きさのを基にしてランチョス法に代表される反復解法
［２６，
２７］を

行列・ベクトルの積 !!を高速に計算できる．そしてこれ違う微小矩形集合によって%を近似することも考えられる

使 え ば，(個 の 固 有 値・固 有 ベ ク ト ル の 計 算 量 はが，ここでは簡単のため，(%&，&$""" は，すべて同-"一形状の微小矩形であると仮定する．すると，重み )'は

#)
")
(")
*("*
*のレベルまで下げることができる．詳し
くは，［３０］を参照されたい．

'に依存しないので，! が対称行列となることがわかる．
口以外の部分を領域 %とした場合の，可換積分作用素の固４．
４ ラプラシアン固有関数の医用画像データ解
析への応用

有関数を実際に計算してみよう．まず，図１c のフレーム

この節では，前節で述べた可換積分作用素から導出され全体の矩形を，簡単のため，+
"
"
!
",
!
",と仮定し，これ#+たラプラシアン固有関数の画像データ解析への応用とし""&%を横方向を "!%縦方向を "#%，すなわち，"!%#"#%$"$て，脳の MRI 画像から抽出された海馬の形状識別について

個の微小矩形集合に分割する．各微小矩形を添字 &，'をの Faisal Beg と 彼 の グ ル ー プ の 研 究 結 果［３１］を 概 説 す

#
#
"!%#"
"#%
使 っ て (%&'と 表 す．そ の 面 積 は (*#(+$"

る．ここでの領域形状の解析は，ラプラシアン固有関数そで，中 心 座 標 は )
，&$"
"
"!%，
-"
&
!
")
'
!
%*
%*
)
!!
(*
!!
(+*

のものを使う応用ではなく，ラプラシアン固有値を使った

ここで，以上の手法の例として，図１c の顔の目・鼻・'$"""#%である．次に，このフレーム全体を覆う微小-"ものであることを注意しておく．もちろん，海馬上で何か

矩形集合のうち，% と共通部分をもつものを取り出す．こ

計測データ（例えば，拡散テンソル画像（DTI）で使われるの場合は，その共通部分の微小矩形の数は "$&"%##個であ水分子の拡散運動の異方性情報など）があれば，ラプラシ

"
"
%###&
%##の行列 !を計算し，そる．以上の情報を基に，&

アン固有関数を使って，そのデータのスペクトル解析を行の固有ベクトルを計算する．図２は，そのうちの四つの固うことができるが，この節では取り扱わない．

有ベクトルを表示したものである．図２から，顔の輪郭やラプラシアン固有値を使った形状解析は，［３１］以前にも目・鼻・口の近傍に固有関数のエネルギーが集中していな

行われており，例えば，有限差分法（FDM）を用いて二次

いこと，また固有値が大きくなるにつれて固有関数の波数

元領域のラプラシアン固有値系列を計算し，固有値の比かが高くなっていることがわかる．

らなる特徴ベクトルを構成して，植物の葉などの認識をさて，一般に "#" の密行列の固有値・固有ベクトルを行った研究［３２，３３］，また "Shape-DNA" の名のもとで，多計算するには，#)［２６，２７］．したがっ"#*の手間がかかる様体上で定義されたラプラシアン（ラプラス・ベルトラミ$て，" が大きい場合（例えば "$"!）は，高速数値解法を作用素と呼ばれる）の固有値系列をFEMにより計算し，そ使う方が望ましい．ここで，（３）式の積分核が重要になれを特徴ベクトルとして形状解析を提案した論文［２０］，さ９０７

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.12 December 2016

らにそれを応用して脳の尾状核の形状認識を行った研究

出・推定する分野は，スペクトル幾何学と呼ばれており，［２１］などがあげられる．これらの著者も指摘しているよう

レイリー卿の「部屋で響く倍音からその部屋の体積を推定に，医用画像データを含む多くの画像データを解析するにする」問題，ゾンマーフェルトとローレンツの黒体輻射問あたり，境界条件を陽に設定しない方が望ましい．特に題に対するワイルの回答，カッツの「太鼓の形を叩いた音

ディリクレ境界条件は，医用画像データの場合，物理的にから推定する」問題など，歴史的にも大変興味深い．詳し

非現実的であり，第１節で述べたようなギブズ現象も起くは，優れた解説［３４，３５］および浦川の著作
［１９，
３６，
３７］を

こってしまう．ところが，FDM や FEM では，境界条件を参照されたい．
Beg らは［３１］において，以下のような手法を用いて，CN陽に設定しなければならない．したがって，可換積分作用

被検者と DAT 患者の海馬の形状識別実験を行った．

素を使えば，この難点をかわすことができるのである．
Beg らの研究の目的は，海馬（人間の長期記憶と空間学

１．$個の可換積分作用素の固有値("$+$($を各海馬

習能力において重要な役割を果す）の形状情報を使って，．
につき計算（Beg らは $"'''と設定した）

アルツハイマー型の軽度認知障害のある患者（mild de-

２．各海馬につき，固有値の比からなる次のような特徴

mentia of the Alzheimer type; DAT）と認知的に正常な被験ベクトルの計算：者（Cognitively Normal; CN）とを識別できるかどうかを考( (( T+!$" %!$!"．
! #!$!
(" ("("察することである．データとしては，１８人のDAT患者と２６人の CN 被 験 者 の 左 脳 の 海 馬 部 分 に 相 当 す る ボ ク セ ル（voxel）を 3D の MRI 画像から抽出したものを用いた．海（６）

３．主 成 分 分 析（Principal Component Analysis; PCA

馬 部 分 の ボ ク セ ル 数 は 個 人 個 人 に よ っ て 異 な る が，

例えば［３８，Sec．
３．
４．
１，Sec．
１４．
５．
１］などを参照のこ!
!
"#!!!"!""&!!!の範囲である．図３に一人の CN 被験と）により特徴次元を $!"から $*に圧縮（Beg ら

者と一人の DAT 患者の海馬とそれを領域とした可換積分

は $*""%と設定した）．

作用素の（つまりラプラシアンの）固有関数 !#，!$の計算

４．Leave-one-out 交差検証（Cross-Validation; CV）とサ

結果を示す．海馬自体の色（緑・薄紫）は，CN 被験者とポ ー ト ベ ク タ ー マ シ ン（Support Vector Machine;

DAT 患者の違いを示す人工的な色である．これらの 3D

SVM 例えば［３８，Chap．
１２］および本講座第３章の内の海馬の中央で輪切りにしたときのラプラシアン固有関数

田による解説などを参照のこと）を使った識別結果の値の分布（正値から負値に行くに従って黄→赤→白といの計算．

うグラデーションである）を輪切り面と平行な平面に投射している．ラプラシアン固有関数自体は，領域自体を自然

ここで注意２．
５を考慮すると，ラプラシアン固有値 (
'#)
"###$

に分割するのにも使われる．これは，著名なクーラントのTを使うことにより，（６）式は，&となる．この
'"#
'#!
'"#
'$'
+!

節 領 域 定 理（The Courant Nodal Domain Theorem）［１５，

特徴ベクトルはもともと［３２］で植物の葉の形状分類に使わSec．
６．
６］に基づいている．図３でも，!#，!$の節（零交差

れたが，これが形状認識において有効なのは，以下の理由

曲線）が海馬をそれぞれ２つ，３つの領域に自然に分割しによる．

ていることがわかる．

まず，合同な二つの領域におけるラプラシアン固有値がさて，与えられた領域 % 上のラプラシアンの固有値を（したがって可換積分作用素の固有値も）一致することは使って，% の幾何学的情報（体積，表面積など）およびト

簡単にわかるが，ラプラシアン固有値の比はさらに次のよ

ポロジカルな情報（穴がいくつ空いているかなど）を抽うなスケール不変性をもつ：%' (#&&%'&%' '"&%' (#&'"&，"""&%' '#&%' ("&%' ("&&%''#&
ここで，&% は領域 % を等方的に &倍に拡大（&$"）ある
いは縮小（!"&""）した領域を表す．すなわち，（６）式のような固有値の比からなる特徴ベクトルは，形状の合同
変換およびスケール変換に関して不変の形状特徴を表して（a）
CN 被験者：!2（b）
DAT 患者：!2いる．
Beg らの実験結果は，以下の通りである：精度（accuracy）77.3％；感度（sensitivity）66.6％；特異度（specificity）84.6％．これらは，それぞれ，正しい識別結果を得た人数の割合；DAT と正しく識別された患者の真の DAT 患者に対する割合；そして CN と正しく識別された被験者の真の CN 被験者に対する割合を示す．Beg らは他にも三つの（c）
CN 被験者：!3
図３（d）
DAT 患者：!3

方法でこれらの数値を計算し，比較したところ，（６）式をある CN 被験者と DAT 患者の海馬におけるラプラシアン固有関数の例．

使った上記の手法は，精度で２番目，感度で３番目，特異度で１番目という結果を得た．詳しくは，［３１］を参照され
９０８

Lecture Note

4. Laplacian Eigenfunctions and Their Application to Image Data Analysis

たい．

N. Saito! "+!')'+" の場合；
# 1
&1
)
!& 3
&
4
%" & !
#
それ以外の場合．
$０

最後に，可換積分作用素の固有値・固有関数は，この節に述べた海馬の画像データ解析以外にも，気候変動モデル［３９］や人間の目の画像の特徴解析［２４］など，様々な分野でまず，この !& を & 上の画像データの直流（DC）成分を表

応用されていることを指摘しておく．

す基底ベクトルとして保存する．これは，「& 上の観測４．
５ 患者対応基底関数との関係

データの直流成分はその平均値に比例するので保存しておここでは，Winters らが提案した，いわゆる「患者対応基きたい」という，画像データ解析の実践者からの要請であ底関数」（patient-specific basis functions）［４０］とラプラシア

る［４０］．")を & に含まれるサンプル点での値のみに打ちン固有関数との関係について考察する．

切ったベクトル，すなわちまず，「患者対応基底関数」について概説しておこう．

T!& +")&
")3
"
!& 3
$4
")3
$4
!& 3
"4
"4
$
6"
$
.
%-

元々 Winters らの目的は，乳房のマイクロ波イメージング

T

+!4
+"4
"3
"3
"
")
"
"
"
!
!
!$（７）
%#!
6"
6" )
6"
&1
&1
!
!
&1
&1

において，Region Of Interest（ROI，または関心領域とも呼ばれる）の部分のイメージングを高速化するというものであった．その基になるアイデアは，「各 ROI 上の画像デー
タを個人個人の患者に対応・適応した少数の基底関数を用!& +""1%3
61!& +"$ 4*! $#$
を第 )列とする 行 列 "& &いて近似する」というものである．これは，各 ROI におけを定義し，さらに，!$ 上での一次元部分空間 span /!& 0る観測値をボクセルの集合上でのサンプルとして表現するの直交補空間を考え，"& のそこへの射影を考える：のに比べ，「効率的」であると考えられる．もちろん，ここ

T
.& &
"
"&，
#
%$ !!
&!
&.

で「効率的」というのは，そのような基底関数をどれくら（８）

い速く計算できるか，また，*&$.個の基底関数を使っ$ここで，#$ は! 上の単位行列である．なお，"& の各列ベクて，どの程度の近似を得られるのかに強く依存する．さて，

トルは，（７）式からもわかるように，&の外 側に対 応 する要.& .
素はすべて０であるから，,
"
&1
"& .
'
*)'
*)%,
""%1
!

［４０］には直接的には書かれていないが，「患者対応基底関数」を計算するということは，本質的には，ROI 上で観測.& の各列ベクトルはもちろん !& と直交しているとなる．"

されたデータの自己相関関数が ROI 上に制限された正規分が，列ベクトル同士は直交していない．したがって，これ布であると仮定し，そこでのカルーネン・ロェーヴ変換

らの列ベクトルの張る線型空間の正規直交基底を求めるた.& の特異値分解（Singular Value Decomposition;
めに，"１の基底を求めることと等（Karhunen-Loève Transform; KLT ）.& %%%&T を計算する（なお，特異値分解は様々な
SVD）"

価である．
以下，簡単のため，一次元モデルを例にとって，詳しく応用問題において非常に重要な役割を果す；詳しくは見て行こう（実際，［４０］での三次元モデルは一次元モデル［２６，２７］などを参照されたい）．ここで，元々のイメージンのテンソル積として求められている）．第１節と同じく，

グ・システムとの関係を見てみよう．#上の全画像データ#&"!
"4とし，ROI として &)#を考える．まず，#を%3"*!$ が !"%!という線型方程式系を満たすものとす$ 個の長さ ,,%1
#
#
$%"
#
$ の等部分区間に分解し，その1る．ここで !*!+#$ はイメージング・システムを表す行，)%"
中心座標を ,"
$ と表す．ここで以
5"
)
#
#.
%!"
,,
)&

列，!*!+ は観測データであり，この線型方程式系から下のような ,%,
)を中心にもつガウス関数を定義する：
'
,1
(.
&
%
)-

"を求めるというプロセスがイメージングであるとしよう．上記の直流成分ベクトルと最初の*!"個の左特異ベク#,!," (-+ ).
,*#.
!!
# "，
#
(
#
'(
%#

トルを使って $#*の行列 %* を %* &
!&"%"
*!".
&
"&
%3
4
と 定 義 す る．こ こ で，%*T%* %#* と な る こ と，ま た，!
%$,,と 設 定 さ れ て お り，'［４０］で は (%!
,1
(.と
)-

*$1
&1
!の範囲の *は考える必要はないことを注意してお',1(.は充分な重なりをもつことがわかる．ここで，"")く．Winters 等はこの %* の列ベクトルを「患者対応基底関第 )列 が，ガ ウ ス 関 数 '(.を サ ン プ ル 点 /
,
$1
"'('$
)(0

数」と呼び，画像データ "をこれら *個の基底ベクトルを. と 近 似 し， ". *!* を 線 型 方 程 式 系
用 い て， "(%*"

Tとで離散化したベクトル ")&
'
,
(.
"
'
,
(.
%6"
.
"1
$1
))-

*

*

なるような行列 "*! $#$ を定義する．さらに，ROI を. %!から求めることを提案した［４０］．この手法の
!%*"
*

#
"
,
#
&%,
#
#.
)#とする #の開部分区間と仮
+!!,,
+"",,

数値的精度と計算効率は，この *項の「患者対応基底関数」.2というトレードオによる近似誤差2
&1
'1
"!%*"
!.
#と *

る が，そ の 中 に 含 ま れ て い る サ ン プ ル 点 の 数 は，

フ・パラメータに強く依存していることが理解されよう．
.& の SVD を再考しよう．左特異行列 %ここで，行列 "定しよう．ここで & の区間長は 1&1+"!+!"".
,,であ
%-

*

&1
1
%+"!+!""である．&の（離散的）指示関数ベクト!&
ル !& *!$ を以下のように定義する：

T
.&
.&"
は，明かに "%%%%#という固有値問題の解であり，

こ れ は，% の 列 ベ ク ト ル が，標 本 自 己 共 分 散 行 列 が" . .T$ "&"& の場合の KLT 基底をなすことを示している．対１ 離散的な定常確率過程の場合は，KLT と上述した PCA は等価であるが，確率過程の解析においては，KLT という用語の方がよく使用される．

９０９

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.12 December 2016"

T
応する標本自己相関行列は $ !"!"
であり，これはすなわ

ち，「患者対応基底関数系」とは，「" 内のサンプル点 '
%
を"
!
"(
(
" #"
!の等確率でランダムに選び，!
%を生成する」という!$ 上の定常確率過程を対角化する基底であることを意味している．
さらに，この確率過程の各標本ベクトル !" #"%は，ガウス関数を平行移動した後，その台を "上のみに制限したものであるから，これを対角化するような基底ベクトルは，（a）
患者対応基底（b）
離散サイン変換基底（c）
離散コサイン変換基底（d）
ラプラシアン固有関数" 上の離散サイン変換（DST）の基底ベクトルであることがわかる（このようなランダムな平行移動を基にした定常確率過程の KLT 基底については，［４１，Sec．
１．
１０］も参照のこと）．さらに正確にいうと，DST の基底ベクトルを直流成分ベクトル !" と正規直交化するように変換したものということができる．この状況を明示するために，$"#!"，&!"""，&"""%"，("($"，として実際に数値計算を!""行った．その結果および他の基底関数と比較を図４に示す．

図４

ここで「患者対応基底関数」とラプラシアン固有関数のそれぞれの長所・短所についての筆者の考えを述べたい．
まず，「患者対応基底関数」についてであるが，その長所"＝［0.0475，0.9525］⊂ I＝［0，1］のときの様々な基底ベ
クトル．それぞれの基底のうち，最低周波数に対応するものから５番目に低い周波数に対応するものまでを表示している．

としては，" 上の直流成分ベクトル !" を含むことがあげられる．短所としては，図４a からもわかるように，直流成

ところである．

分ベクトル以外の患者対応基底ベクトルはディリクレ境界
条件を満たすことを強要されるため，１）ROI の境界 #"４．
６ 終わりに近傍の画像特徴を近似するのに効率的ではないというこ

本論文では，主に，ラプラシアン固有関数と境界条件のと；２）ギブズ現象が起こること；そして３）
複雑な 3D の重要性；ラプラス作用素と可換な積分作用素によって，境形状をしてる ROI の場合に，一次元の患者対応基底ベクト

界条件を陽に設定しなくても，ラプラシアン固有関数を計

ルのテンソル積を使用するのは効果的ではない，というこ

算することができる筆者の［２４］の手法；Beg らによるそのとがあげられる．これに対して，（交換可能な積分作用素

海馬の形状分析への応用［３１］；そして，ラプラシアン固有から得られる）ラプラシアン固有関数の長所は，#"近傍の関数と Winters らの「患者対応基底関数」［４０］との関係，に画像特徴を近似するのにより効率的であること，また複雑ついて述べた．

な 3D 形状の ROI の場合にも積分核が（３）式なので，領域頁数制限の関係上，曲率のある領域（多様体）上におけ

内のサンプル点（ボクセルの中心点）間の距離さえわかれるラプラシアン固有関数，すなわちラプラス・ベルトラミ

ば，計算できることがあげられる．短所は，直流成分ベク

作用素の固有関数については，解説できなかった．詳しくトルを含んでいないことである．しかし，この短所は，比は，［３７，
４３，
４４］等を参照されたい．また，最近特に注目さ較的簡単に克服できる．積分核を離散化した行列 #を直接れているグラフ上でのラプラシアン固有関数とその応用に対角化するかわりに，（８）式と同じように，)
!" 'の
(&
'&
T
直交補空間への写像 $"# を構成し，その固有ベ
$ !!
"!
"%

つ い て も，残 念 な が ら 解 説 で き な か っ た．詳 し く は，
［３６，
４３，
４５，
４６］等を参照していただければ幸いである．

クトル系に直流成分ベクトルを含めればよいのである．

謝以上の長所・短所，および第１節で述べた DCT の長所

辞を考慮 す る と，比較 的 単 純 な３D 形 状 の ROI の 場 合 に

本研究は，アメリカ合衆国海軍研究局（Office of Naval

は，領域に適応した離散コサイン変換基底のテンソル積のResearch）からのグラント N00014-12-1-0177，N00014-16-

使用を推薦できる：直流成分ベクトルも含んでいる上，高1-2255，およびアメリカ国立科学財団（National Science

速フーリエ変換を用いることにより計算効率も良いからでFoundation）からのグラント DMS‐１４１８７７９の支援を受けある．また，DCT（正確に言えば，DCT Type II［７］）は，

た．サイモン・フレイザー大学の Faisal Beg 教授には，図第１節でも述べたように，JPEG 画像圧縮規格に採用され３の本論文での使用を快諾していただいた．また本論文ているのみならず，定常確率過程が単純マルコフ過程の極は，２０１３年９月４日に行った筆者の核融合科学研究所・総限の（すなわち，隣接したサンプル点でのデータの相関が合研究大学院大学における夏季集中講義を元にしている．

１に近づく）場合の KLT 基底にもなっていることを指摘

この講義の開催をオーガナイズしていただいた長山好夫先しておきたい［４２］．ただし上記に述べたように，ROI が複生，「患者対応基底関数」とラプラシアン固有関数の関係

雑な 3D の形状の場合の一次元基底関数のテンソル積に関についての研究を示唆していただいた岩間尚文先生，そしする問題は依然として残る．さらなる比較研究が待たれるて原稿の閲読をされ有益なコメントをいただいた大舘暁先
９１０

Lecture Note

4. Laplacian Eigenfunctions and Their Application to Image Data Analysis

N. Saito［２３］R. Kress, Linear Integral Equations, Vol. 82 of Applied
Mathematical Sciences. 3rd edition (Springer-Verlag,

生と九州大学の稲垣滋先生に感謝いたします．

2014).
［２４］N. Saito, Appl. Comput. Harm. Anal. 25, 68 (2008).
［２５］B. Friedman, Principles and Techniques of Applied Mathematics (JohnWiley & Sons, Inc., 1956. Republished by
Dover Publications, Inc. in 1990).

参考文献［１］新井仁之：フーリエ解析学 講座 数学の考え方第１７巻（朝倉書店，２００３）．
［２］黒田成俊：関数解析 共立数学講座第１５巻（共立出版，
１９８０）．
［３］H. Dym and H.P. McKean, Fourier Series and Integrals(Academic Press, 1972).
［４］G.B. Folland, Fourier Analysis and Its Applications (Amer.
Math. Soc., Providence, RI, 2009).
［５］M.A. Pinsky, Introduction to Fourier Analysis and Wavelets(Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2009).
［６］W.B. Pennebaker and J. L. Mitchell, JPEG Still Image Data
Compression Standard (Van Nostrand Reinhold, 1993).
［７］G. Strang, SIAM Rev. 41, 135 (1999).
［８］N. Saito and J.-F. Remy, Appl. Comput. Harm. Anal. 20,
41 (2006).
［９］K. Yamatani and N. Saito, IEEE Trans. Image Process 15,3672 (2006).
［１０］斎藤直樹：ウェーブレットによる画像処理，薩 摩 順
吉・大石進一・杉原正顕（編）；応用数理ハンドブッ
ク，５
１
２（朝倉書店，２
０
１
３）
．
［１
１］吉田耕作：積分方程式論第２版（岩波書店，２
０
０
１）
．
［１
２］池部晃生：数理物理の固有値問題，離散スペクトル，数
理解析とその周辺第１５巻（産業図書，１
９
７
６）
．
［１
３］小谷眞一，俣野 博：微分方程式と固有関数展開（岩波
書店，２
０
０
６）
．
［１
４］寺沢寛一：自然科学者のための数学概論増訂版（岩波
書店，１
９
８
３）
．
［１
５］R. Courant and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics,
Vol. I (Wiley-Interscience, New York, 1953. Wiley Classics
Edition published in 1989).
［１６］R. Courant and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics,
Vol. II (Wiley-Interscience, New York, 1962. Wiley Classics Edition published in 1989).
［１７］P.M. Morse and H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics, Part I (McGraw-Hill, Inc., 1953. Republished by Feshbach Publishing in 2005).
［１８］P.M. Morse and H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics, Part II (McGraw-Hill, Inc., 1953. Republished by Feshbach Publishing in 2005).
［１９］浦川 肇：ラプラシアンの幾何と有限要素法 朝倉数学大系第３巻（朝倉書店，２
０
０
９）
．
［２
０］M. Reuter et al., Computer-Aided Des. 38, 342 (2006).
［２１］M. Niethammer et al., Global medical shape analysis using
the Laplace-Beltrami spectrum. In N. Ayache et al., editors,
Medical Image Computing and Computer-Assisted
Intervention--- MICCAI 2007, Part I, Vol. 4791 of Lecture
Notes in Computer Science, pp. 850-857 (Springer, 2007).
［２２］K.E. Atkinson, The Numerical Solution of Integral Equationsof the Second Kind, Vol. 4 of CambridgeMonographs on
Applied and Computational Mathematics (Cambridge
Univ. Press, 1997).

［２６］G.H. Golub and C.F. Van Loan, Matrix Computations, 4thedition (The Johns Hopkins Univ. Press, 2013).
［２７］L.N. Trefethen and D. Bau, III. Numerical Linear Algebra(SIAM, 1997).
［２８］V. Rokhlin, J. Comput. Phys. 60, 187 (1985).
［２９］L. Greengard and V. Rokhlin, J. Comput. Phys. 73, 325(1987).
［３０］X. Xue, On a Fast Algorithm for Computing the Laplacian Eigenpairs via Commuting Integral Operators. PhD
thesis, Dept. Math., Univ. California, Davis (2007).
［３１］M.F. Beg et al., Stat. Methods Med. Res. 22, 439 (2013).
［３２］M.A. Khabou et al., Pattern Recognition 40, 141 (2007).
［３３］M.B.H. Rhouma et al., Shape recognition based on eigenvalues of the Laplacian. In P.W. Hawkes, editor, Advances in
Imaging and Electron Physics, Vol. 167, chapter 3, pp. 185254 (Academic Press, 2011).
［３４］W. Arendt et al., Weyl’s law: Spectral properties of the Laplacian in mathematical physics, In W. Arendt and W.P.
Schleich, editors, Mathematical Analysis of Evolution, Information, and Complexity, chapter 1, pp. 1-71 (Wiley-VCH
Verlag, 2009).
［３５］D.S. Grebenkov and B.-T. Nguyen, SIAM Rev. 55, 601(2013).
［３
６］浦川 肇：ラプラス作用 素 と ネ ッ ト ワ ー ク（裳 華 房，
１
９
９
６）
．
［３
７］浦川 肇：スペクトル幾何 数学の輝き第３巻（共立出
５）
．
版，２
０
１
［３
８］T. Hastie et al., The Elements of Statistical Learning: Data
Mining, Inference, and Prediction, 2nd edition (SpringerVerlag, 2009).
［３９］T. DelSole and M.K. Tippett, J. Climate 28, 7420 (2015).
［４０］D.W. Winters et al., IEEE Trans. Medical Imaging 28, 969(2009).
［４１］Y. Meyer, Oscillating Patterns in Image Processing and Nonlinear Evolution Equations, Vol. 22 of University Lecture
Series (Amer. Math. Soc. Providence, RI, 2001).
［４２］R.J. Clarke, IEE Proceedings, Part F, 128, 359 (1981).
［４３］浦川 肇：応用数理 12, 29 (2002).
［４４］S. Rosenberg, The Laplacian on a Riemannian Manifold, Vol.
31 of London Mathematical Society Student Texts (Cambridge
Univ. Press, 1997).
［４５］斎藤直樹：応用数理 25, 6 (2015).
［４６］J. Irion and N. Saito, Applied and computational harmonic
analysis on graphs and networks. In M. Papadakis et al., De
Ville, editors, Wavelets and Sparsity XVI, Proc. SPIE9597,
2015. Paper # 95971F.

９１１

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.12 December 2016!!

講座執筆者紹介

""
はっ

とり

まさ

ゆき

服 部 雅 之

第４章
さい

とう

なお

き

自然科学研究機構基礎生物学研究所（２０１３年〜）研究員．補償光学を中心に，光学に関する研究を続けている．早稲田大学理工学部 助手
（１
９
９
８年〜）
，通信総合研究所 研究員（２００１年〜，現，情報通信研究機構），自然科学研究機構国立天文台研
究員（２
０
０
３年〜）
．近年は，すばる望遠鏡の補償光学系に携わったのち，生物の研究所で光学顕微鏡用の補償光学の研究を本格的に進めている．

斎 藤 直 樹１９
８
２年東京大学工学部計数工学科卒業．１
９
８
４
年同大学大学院工学系研究科計数工学専攻修士課程修了．１
９
８
４‐
８
６年日本シュルンベルジェ
!．１
９
８
６
‐
９
７年シュルンベルジェードル研究所（米・コネティカット州）．１
９
９
４年イェール大学大学院 数 学科・応用数学博士課程修了．Ph.D．１
９
９
７年‐
２
０
０
１年カリフォル
ニア大学デイヴィス校数学科准教授．２００１年同校教授，現在に至る．応用・計算調和解析の研究に従事．趣味は多種の楽器演奏．https://plus.google.com/+NaokiSaitoMathMusic も参照し
て下さい．

たま

やま

つよ

し

秋 山 毅 志核融合科学研究所 准教授．色々と興味はあるのですが，ここ最近は主にレーザーを使った計測器の開発・設計をしています．核融合研の共同研究や，自然科学研究機構の分野間連携研究プロジェクト，日米協力，ITER など，様々な先生方と一緒に仕事をさせていただく機会が増えました．技術面でもマネジメントの面でも，いつも目からウロコのことばかりで，共同研究や分野間交流の重要性を実感しております．
の

ゆたか

早 野

はや

裕

よう

すけ

基礎生物学研究所 助教．２
００５年京都大学大学
院生命科学研究科博士課程修了．専門は発生生物学で，「細胞の運命がいつ，どのように変わるか？」という疑問を，主に植物の受精や幹細胞化に着目して解明しようとしている．細胞の運命が変わる瞬間を精細に観察するために，様々な光学系を顕微鏡に取り入れようと勉強中．

第５．
１章
あき

だ

玉 田 洋 介

第５．
２章
あら

かわ

ひろ

ゆき

荒 川 弘 之帝京大学福岡医療技術学部診療放射線学科 助
教．現 在 は プ ラ ズ マ 乱 流・計 測 の 研 究 と 共に，医療用 CT の被ばく減少・画質改善へ向けた研究も行っています．別の分野では，研究に対してアプローチの仕方が異なっていたり，一歩も二歩も進んだ手法が用いられていたりしていろいろと勉強になります．様々な分野の研究手法を取り入れながら新しい研究を進めていけたらと日々考えています．

自然科学研究機構国立天文台先端技術セ ン
ター・准教授．専門は補償光学，光学赤外線天文観測装置の研究開発．近年は補償光学をさらに発展させ，生体ライブイメージング，プラ
ズマ計測などへの応用にも挑戦している．

９２２

J. Plasma Fusion Res. Vol.92, No.12 (2016)９１２‐９１６

講座 画像再構成とパターン認識の数理

５．新たな計測へ
5. Prospect for New Diagnostics

５．
１ 波面センサーによる密度揺動計測
5.1 Electron Density Fluctuation Measurements with a Wavefront Sensor
秋 山 毅 志， 早 野裕１）， 服 部 雅 之２）， 玉 田 洋 介２）

AKIYAMA Tsuyoshi, HAYANO Yutaka１）, HATTORI Masayuki２）and TAMADA Yosuke２）
核融合科学研究所，１）国立天文台，２）基礎生物学研究所（原稿受付：２
０
１
６年８月２
２日）

光の波面の再構成法と，そのプラズマ計測への応用について述べる．波面センサーの一つであるシャックハ
ルトマン波面センサーは，光の波面（等位相面）を集光スポット位置の変化として２次元検出するセンサーである．元々，望遠鏡の解像度を向上させる波面補償光学で開発が進められた機器であるが，近年ではプラズマの電子密度・揺動計測手法に適用が開始されている．本講座ではその波面センサーの原理とこれまでの適用例を紹介しつつ，プラズマの電子密度・密度揺動計測の試みを解説する．
Keywords:
Wavefront sensor, telescope, microscope, plasma, fluctuation measurement５．
１．
１ はじめに果を挙げている．

プラズマの屈折率は電子密度に依存するため，プラズマ

本稿では，プラズマ分野では比較的目新しい技術であ中を透過するレーザー光の位相速度は電子密度によって変る，波面センサーの原理と現在の利用例について紹介す化する．それを利用したのが干渉法による電子密度計測でる．更に，現在筆者らが進めているプラズマの揺動計測手

あり，プラズマ内，及び外を透過したレーザー光（それぞ

法としての試みについても紹介する．

れ，探査光，参照光）の間に生じた位相変化から電子密度を評価する．ここで用いられる光検出器は，電磁波の位相５．
１．
２ 波面計測の原理

を直接検出することができないため，位相変化を強度変化

５．
１．
２．
１ 波面センサー

等に変換して検出を行う．例えば，電子密度干渉計測で最光の波面形状を測定する波面センサーには，シャックハも初歩的なホモダイン干渉計は，探査波と参照波を重ね合

ルトマン波面センサー，波面曲率センサー，ピラミッドセ

わせ，それによって生じる強度（コントラスト）変化からンサーなどがある［２］．ここでは，最も広く用いられている位相の変化を評価する．電子密度揺動計測手法の一つであシャックハルトマン波面センサーについて原理を紹介する．

る位相コントラスト法［１］は，電子密度揺動で散乱されたシャックハルトマン波面センサーは，CCD や CMOS な

１次光と，非散乱成分であるゼロ次光との間に，位相差板

どの撮像素子とその前面に配置したマイクロレンズアレイ

を用いて位相差を与え，位相変化を強度変化に変換して揺からなる．観測対象からの光の波面が歪みの無い平面波で動成分の検出を行っている．

あった場合，図１に示すように撮像面にはマイクロレンズ

本講座で紹介するシャックハルトマン波面センサー［２］アレイの形状に応じた等間隔の集光スポット（ハルトマン

は，観測光波面（等位相面）の２次元形状を強度分布変化

スポット）が形成される．観測対象物，若しくは何らかのとして測定する．後述のように，波面センサーは元々大型擾乱によってレーザー光断面に位相変化が生じて波面が乱望遠鏡にて空気揺らぎによる解像度の低下を解決するためれた場合，各レンズアレイに対する光束の入射方向が変わの「補償光学」［３，４］の構成要素として開発が進められ，大るため，ハルトマンスポット位置は不規則になる．この位

きな進歩を果たした技術である．その後，波面センサーは置の変化より，入射波面形状の情報を得ることができる．

眼の収差測定に適用され［５］，現在実際の医療現場で使用

５．
１．
２．
２ 波面再構成

されている．また，近年では生体の顕微鏡観察のライブイ

前述のハルトマンスポットの位置情報から，以下のようメージング［６］に取り入れられ，解像度の改善に大きな成にして波面を再構成することができる［４］．ゼルニケ多項corresponding author’s address: National Institute of Natural Science, National Institute for Fusion Science, Toki, GIFU 509-5292, Japancorresponding author’s e-mail: takiyama@nifs.ac.jp

９１２!2016 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion ResearchLecture Note

5.1 Electron Density Fluctuation Measurements with a Wavefront Sensor

T. Akiyama et al.

で与えられる．式（１）を式（２）に代入し，ゼルニケ係数%. を最小二乗法で求めることにより，波面を再構成することができる．
５．
１．
２．
３ プラズマの電子密度評価
プラズマ計測に波面計測を適用し，電子密度を評価する
場合は，以下のような簡易的な波面再構成手法も利用できる．これは，電子密度計測では計測系が持つ各種の収差の大きさを定量化することは重要ではなく，プラズマの有無
での相対的な波面の変化を求めれば良いためである．図３に示すように，レンズ直径（ここではレンズ間隔と同じ）を &，入射光の波長を %とする．)番目のレンズアレイにおいて，プラズマが無い場合の等位相面に対する位相差を"$)と置くと，ハルトマンスポットの変位との関係は，
% "$)
"/
)"(
& &
#

（３）

となる［８］．これより，+番目のレンズアレイ位置における位相差 $+ は，
+

図１

+

&&
$+ "! "$)"! # "/
(
% )
)""
)""

シャックハルトマン波面センサーの測定原理．

（４）と与えられ，プラズマによって生じた位相変化は，ハルト式 $.- #"!
#$を用いて，入射等位相面 !#"!
#$を近似的に.

マンスポットの位置の変位量として求めることができる．
プラズマによる位相変化 $は，

)

#*
!) #*
!)
$) #
"!
#$

!#
"!
#$
"! ! %))"!*"!

（１）$"と表現する．ゼルニケ多項式は光学分野でよく用いられる

'#
,
&&
#%".
&#
%
!-&%

（５）

直交多項式であり，図２［７］に示すような関数形で，各項がで与えられるため，位置変化から算出した位相変化より，収差に対応する．例えば，$!!は平面波，$"!"，$"" は波面の電子密度が評価できる．また，後述の通り，電子密度の揺傾き成分，$#!#，$##は非点収差成分，$$!"，$$" はコマ様収

らぎは，ハルトマンスポット位置の揺らぎとなって観測さ差，$%#は球面収差など，ザイデルの収差に良く対応していれる．

る．
ハルトマンスポットの変位を #，マイクロレンズ
"/
!
"0$

５．
１．
３ 波面計測の利用例の焦点距離を (とすると，波面と位置ずれの関係は'!#"!
#$ "/，
"
(
'
"

図２

'
!#
"!
#$ "0
"
(
'
#

５．
１．
３．
１ 大型天体望遠鏡
夜空の星が瞬いて見えるのは，大気の揺らぎによって天（２）体からの光の波面が乱されるためである．天体はほぼ無限遠に存在する上に宇宙空間は擾乱がないため，大気圏に到

ゼルニケ多項式の３次元表示［７］
．

図３

９１３

ハルトマンスポットの変位と位相変化の関係．

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.12 December 2016

達する光の波面はほぼ平面波とみなせる．一方，地上の大に成功している．その一例が図５であり，補償光学系に

気は空間的に温度や密度，大気圧にムラがあり，これらはよって二重連星を分離することに成功している［９］．

屈折率の不均一性をもたらす．大気圏に到達した平面波

５．
１．
３．
２ 細胞のライブイメージング計測

は，大気中を伝播することで，屈折率の不均一性によって「ライブイメージング」とは，蛍光タンパク質などを標屈折が生じたり，等位相面に乱れが生じたりすることにな的とし，細胞を生きたまま顕微鏡で観察する技術である．

る．

組織を加工して対象物のみ観察する従来のイメージングと望遠鏡は口径を大きくすればするほど解像度が上がるた

異なり，ライブイメージング観測では図６に示すように蛍め，これまで大口径化が進められてきた．しかし，地上の光体（ここでは葉緑体）からの光は様々な構造体を通過す

望遠鏡の実際の解像度は，回折限界で決まる値よりも低る．それぞれの細胞内小器官は，異なる屈折率を持つため，

く，これは大気揺らぎによる波面乱れが原因である．等位

位相変化の不均一性や境界で屈折が生じる．また，細胞内相面である波面に乱れがある場合，点光源からの光は回折に存在する微小な油滴や多糖などはより高次の光の乱れを限界で決まるスポットに収束せず，広がりと歪みを持つこ引き起こす．このように，大気揺らぎによる望遠鏡での解とになる．したがって，実際の望遠鏡の解像度は大気によ像度低下と同様に，細胞内構造体は顕微鏡の解像度の劣化

る波面乱れが決めている．マウナケア山など高山の上に建をもたらす．

設されている．すばる望遠鏡をはじめとする大型望遠鏡

この課題に対して玉田，早野，服部らは，自然科学研究

は，大気揺らぎの影響の少ない立地を選んでいる．しかし，機構の「若手研究者による分野間連携研究プロジェクト」

それでも波面乱れの影響は大きい．そこで考案されたのを通し，大型望遠鏡で開発した補償光学を元に顕微鏡に合は，大気によって乱された波面を平面波に戻す「補償光学」

わせた独自の工夫を加えて応用し，解像度の向上を図っ

であり，その概念図を図４に示す［９］．補償光学は，先にた．図７に示すように，補償光学を動作させた場合は蛍光

述べた波面形状を測定する波面センサー，乱れた波面形状タンパク質で標識した細胞核の境界が鮮明になり，またクを補正する可変形鏡，及び両者を繋ぐ帰還制御装置からなロマチン（染色質）と呼ばれるDNAとタンパク質の複合体

る．可変形鏡は薄いミラー面の裏側に取り付けた多数のアの構造に起因するスペックルが明瞭に観察できるようにクチュエーターにより，ミラー表面形状を任意に変えるこなった［１１］．補償光学顕微鏡では観測対象物からの光が微とができる特殊なミラーである．望遠鏡に入射した光を波弱であるため，微弱光に対する波面センサーの検出感度向面センサーへ分岐し，制御装置で乱れた波面形状の再構成上が課題の一つとなっている［４］．

とそれを平面に戻すための最適ミラー表面形状を演算す
る．その信号を元に実時間で可変形鏡の形状を変え，波面の乱れを補正している．すばる望遠鏡では２０００年より補償光学系の運用を開始し［１０］，これまで大幅な解像度の改善

図４

補償光学系を導入した大型望遠鏡［９］
．

９１４

図５

補償光学系の有無による星像の改善例（二重星 HR 1852）．
左：補償光学を動作させていないとき，右：補償光学が動作しているとき［９］．

図６細胞の顕微鏡観察での光線屈折．細胞下部から対物レンズに伸びる点線は，光が乱れなく対物レンズに入射した場合の光線，実線は光が細胞内小器官によって乱された場合の光線の模式図をそれぞれ示す．

Lecture Note

図７5.1 Electron Density Fluctuation Measurements with a Wavefront Sensor

T. Akiyama et al.

補償光学有り無しでの細胞核の蛍光像．

５．
１．
３．
３ 眼球の収差の測定
近視や乱視は眼の収差によって引き起こされ，その補正には古くからメガネやコンタクトレンズが使われている．
これに対し，屈折矯正手術とは眼の収差を手術的に矯正する方法であり，LASIC（レーシック）として広く知られる
図９ようになった．最近では，図８のように眼の収差を予め測定し，その収差を最小にするよう矯正手術するのに波面セ

波面センサーによるアークプラズマの電子密度計測の光学
系［１
３］
．

ンサーが利用されている．

５．
１．
４ プラズマ計測への適用
５．
１．
４．
１ アークプラズマ計測
大電流遮断器では機械的な遮断を行った後も，発生するアーク放電によって電流遮断ができない場合があるため，ガス吹き付け等による消弧が行われている．そのアークプ
ラズマの消弧過程では電子密度が重要な寄与を果たしていると考えられており，効果的な消弧手法の開発には電子密度の測定が必要とされている［１２］．遮断器での電子密度計
測では，高電圧放電であるために静電プローブの利用は難しい．また，再現性の無い過渡的なプラズマであることから，計測位置が定点であるトムソン散乱計測は限定的な使用になる．一方，波面計測による電子密度は非接触計測であり，プラズマの発生領域よりレーザー光を十分広げておくことで，放電経路が放電毎，また時間的に変化しても計測が可能である［８］．
図９に波面センサーを用いたアークプラズマの電子密度計測の光学系を示す［１３］．大気中の放電の場合，計測される位相変化は式（５）にイオン密度及び中性粒子密度の寄与が加わる．ただし，それらは電子密度項と違って波長依存

図１０ 波面センサーによるアークプラズマの２次元電子密度分
布．空気の吹きつけ（a）
無し，（b）有り［１３］．

が無いため，図９のように２波長同時計測によって，波長依存のある電子密度成分を非波長依存成分から分離して評価することができる．また，遮断器でガスによる点弧，消弧特性を研究する上で，中性粒子密度がわかることも有益である（イオン密度の寄与は十分小さい）．図１０に波面センサーで計測した，ギャップ間に発生したアークプラズマの２次元電子密度分布を示す．消弧を効果的にするために空気の吹きつけの有無を比較すると，空気吹き付けをした
場合はプラズマ径が細くなる様子を捉えることに成功して
いる．
５．
１．
４．
２ プラズマ揺動計測
図８

波面センサーを用いた眼の収差測定［７］．

プラズマの揺動はエネルギーの散逸を引き起こし，核融
９１５Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.12 December 2016

合プラズマでは高温高密度化を妨げる要因となっている．
古くから揺動の物理機構の理解のため，様々な揺動計測法が開発されてきた．自然科学研究機構「若手研究者による分野間連携研究プロジェクト」により，筆者らの研究グ
ループは波面センサーによる電子密度揺動計測を提案している．波面センサーによる電子密度計測は，前章５．
１．
４．
１のアークプラズマ計測で既に実証済みである．揺らぎ計測という点では，大型望遠鏡で大気揺らぎの計測・補正で実績があり，位相変動をもたらす媒質が大気かプラズマかの違いだけである．波面センサーによる電子密度揺動計測は，他の手法であれば複雑な光学系，変調技術を要するのに対し，前章５．
１．
４．
１と同様に非常にシンプルな光学系で揺動

図１
１ 波面センサーを用いたプラズマの密度揺動計測の光学系と，密度揺動によるハルトマンスポットの変化．

の情報を得られることが利点である．レーザー光軸に沿った線積分情報であるものの，カメラ計測により，容易に電子密度揺動の２次元像が得られる点でも，波面センサーにンサーは，探査光の位相変化を集光スポットの位置・形状

よる密度揺動計測は有益である．

変化に変換して計測するもので，プラズマの電子密度，及密度揺動の周波数は数 kHz から MHz 程度であるのに対

びその揺動の２次元計測法として大きな可能性を有してい

し，CCD または MOS を使う波面センサーのフレームレー

る．波面計測はプラズマ計測手法として適用が始まったば

トは kHz 程度しかなく，そのままでは周波数の高い揺動計

かりであり，現状ではセンサーの最適化が十分ではない．

測は難しい．これらの撮像素子では，各ピクセルに入射し現在，稲田らや筆者らによってプラズマ計測のために様々たフォトンが露光時間中に積算される．そのため，揺動周な改良が行われており，今後，分野横断的な協力の下，セ

期数より十分長い露光時間をとることで，その間のハルト

ンサー性能の向上とその応用研究が期待される．

マンスポットの微小かつ高周波の位置変動が各ピクセルに強度情報として蓄積され，図１１に示すようにハルトマンス

謝辞

ポット径の広がりとして現れる．つまり，密度揺動が大き

本節を執筆するにあたり，波面計測によるアーク放電プ

いとハルトマンスポット径が大きくなり，スポット径の広ラズマの電子密度計測について，埼玉大学の稲田優貴博士

がりに相当する２次のモーメントをハルトマンスポット毎と議論し，大変有益な情報，コメントをいただきました．

に評価することで，フレームレートより高速の密度揺動で心より感謝申し上げます．本節で扱った顕微鏡観察への補も揺動振幅の二乗平均平方根に近い値を得ることができ

償光学導入，及びプラズマ電子密度揺動計測は，自然科学

る．このように，波面センサーは，探査光の位相揺らぎを研究機構「若手研究者による分野間連携研究プロジェク

強度変化，とりわけハルトマンスポット「形状」から測定

ト」，及び九州大学応用力学研究所共同研究の支援によるし，２次元的な電子密度揺動分布が得られる可能性を持つ．

ものです．

現 在，九 州 大 学 応用 力 学 研 究 所 の 直 線 プ ラ ズ マ装置
PANTA にて，原理実証実験を進めている．波面センサー

参考文献

を構成する撮像素子，及びレンズアレイの帯域は，近赤外［１］K. Tanaka et al., Rev. Sci. Instrum. 79, 10E702 (2008).
［２］Jose Luis Santos and Faramarz Farahi, Handbook of optical sensors (CRC Press, 2014).
［３］家 正則：光学 22, 408 (1993).
［４］服部雅之，早野 裕：光学 44, 370-378 (2015).
［５］広原陽子 他：VISION 13, No.2, 99-105, 2001.
［６］T. Murata et al., Nat. Commun. 4, 1967 (2013).
［７］http://www.lasik.gr.jp/old/update2/main.html［８］福地哲生 他：電気学会論文 A 122, 11 (2002).
［９］国立天文台提供：http://subarutelescope.org/Pressrelease/2002/01/16/j̲index.html［１０］http://subarutelescope.org/Pressrelease/2000/12/02/j̲index.html［１１］玉田洋介：光学 44, 384 (2015).
［１２］Y. Yokomizu et al., J. Phys. D: Appl. Phys. 22, 129 (1989).
［１３］Y. Inada et al., J. Phys. D: Appl. Phys. 47, 325204 (2014).

領域までであるため，光源レーザーには波長 1064 nm のYAG レーザー，若しくは 635 nm の半導体レーザーを用いている．PANTA 装置で予想される波面の変動は，概ね波長の 1/700 程度であるのに対し，市販の波面センサーの感
度は 1/100 程度である．そのため，波面分解能の向上が課題であり，プラズマ計測に合わせた撮像素子，及びレンズ
アレイの最適化を進めている．

５．
１．
５ まとめと展望
補償光学の重要な構成素子である波面センサーは，すばるをはじめとする大型望遠鏡や顕微鏡観察での解像度向上
のみならず，現在では医療用途など様々な分野で適用が進められている．これに伴って，市販の波面センサーも増え，性能も年々向上してきている．シャックハルトマン波面セ

９１６

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.12 December 2016!!

講座執筆者紹介

""
はっ

とり

まさ

ゆき

服 部 雅 之

第４章
さい

とう

なお

き

自然科学研究機構基礎生物学研究所（２０１３年〜）研究員．補償光学を中心に，光学に関する研究を続けている．早稲田大学理工学部 助手
（１
９
９
８年〜）
，通信総合研究所 研究員（２００１年〜，現，情報通信研究機構），自然科学研究機構国立天文台研
究員（２
０
０
３年〜）
．近年は，すばる望遠鏡の補償光学系に携わったのち，生物の研究所で光学顕微鏡用の補償光学の研究を本格的に進めている．

斎 藤 直 樹１９
８
２年東京大学工学部計数工学科卒業．１
９
８
４
年同大学大学院工学系研究科計数工学専攻修士課程修了．１
９
８
４‐
８
６年日本シュルンベルジェ
!．１
９
８
６
‐
９
７年シュルンベルジェードル研究所（米・コネティカット州）．１
９
９
４年イェール大学大学院 数 学科・応用数学博士課程修了．Ph.D．１
９
９
７年‐
２
０
０
１年カリフォル
ニア大学デイヴィス校数学科准教授．２００１年同校教授，現在に至る．応用・計算調和解析の研究に従事．趣味は多種の楽器演奏．https://plus.google.com/+NaokiSaitoMathMusic も参照し
て下さい．

たま

やま

つよ

し

秋 山 毅 志核融合科学研究所 准教授．色々と興味はあるのですが，ここ最近は主にレーザーを使った計測器の開発・設計をしています．核融合研の共同研究や，自然科学研究機構の分野間連携研究プロジェクト，日米協力，ITER など，様々な先生方と一緒に仕事をさせていただく機会が増えました．技術面でもマネジメントの面でも，いつも目からウロコのことばかりで，共同研究や分野間交流の重要性を実感しております．
の

ゆたか

早 野

はや

裕

よう

すけ

基礎生物学研究所 助教．２
００５年京都大学大学
院生命科学研究科博士課程修了．専門は発生生物学で，「細胞の運命がいつ，どのように変わるか？」という疑問を，主に植物の受精や幹細胞化に着目して解明しようとしている．細胞の運命が変わる瞬間を精細に観察するために，様々な光学系を顕微鏡に取り入れようと勉強中．

第５．
１章
あき

だ

玉 田 洋 介

第５．
２章
あら

かわ

ひろ

ゆき

荒 川 弘 之帝京大学福岡医療技術学部診療放射線学科 助
教．現 在 は プ ラ ズ マ 乱 流・計 測 の 研 究 と 共に，医療用 CT の被ばく減少・画質改善へ向けた研究も行っています．別の分野では，研究に対してアプローチの仕方が異なっていたり，一歩も二歩も進んだ手法が用いられていたりしていろいろと勉強になります．様々な分野の研究手法を取り入れながら新しい研究を進めていけたらと日々考えています．

自然科学研究機構国立天文台先端技術セ ン
ター・准教授．専門は補償光学，光学赤外線天文観測装置の研究開発．近年は補償光学をさらに発展させ，生体ライブイメージング，プラ
ズマ計測などへの応用にも挑戦している．

９２２

J. Plasma Fusion Res. Vol.92, No.12 (2016)９
１７‐９２１

講座 画像再構成とパターン認識の数理

５．新たな計測へ
5. Prospect for New Diagnostics

５．
２ アダマール変換光学系による空間分布計測
5.2 Spatial Structure Measurement by Hadamard Transform Optics
荒川弘之
ARAKAWA Hiroyuki
帝京大学福岡医療技術学部診療放射線学科（原稿受付：２
０
１
６年８月５日）アダマール変換光学系を用いた空間分布計測について解説を行う．アダマール変換光学系は，空間分布計測を行う場合に，幾何学的，時間的な制約がある場合に有用な手法である．前半において，アダマール行列を基礎としたアダマール変換光学系を用いる，１次元空間分布及び２次元空間分布（画像）の再構成手法の考え方を説明する．後半では，具体的な応用例として，アダマール変換光学系をレーザー誘起蛍光法（LIF）へ応用した手法を紹介する．
Keywords:
Hadamard transform, spatial structure, 2D measurement, laser induced fluorescence５．
２．
１ はじめに

５．
２．
２ アダマール変換光学系
５．
２．
２．
１ アダマール変換とは磁化プラズマ中の構造形成機構解明や，産業分野においてプラズマを用いて制作される製品の質を高める為に，プ

アダマール変換光学系を説明する前に，アダマール変換

ラズマ中の不均一性の計測を行うことが必要である．測定について簡単に概要を説明しておこう［２］．アダマール変が必要とされるパラメータは様々であるが，微弱光の検出

換は， アダマール行列が必要とされる場合には，S/N（信号とノイズの強度比率）にアダマール行列の性質とその例を示す．

が悪くならざるを得ない．S/N を改善するには時間方向やアダマール行列（H 行列と呼ぶ）は，を用いた行列演算を示す．以下

空間方向に積分する必要がある．条件付平均法［１］や，ロッ（１）正方行列で，クインアンプは強力なツールであり，S/N の改善が可能で（２）H 行列の要素は＋１か‐１かのいずれか，ある．しかし，これらの方法は，長時間の計測が必要であ（３）任意の２つの行ベクトルは，すべて直交する，るという弱点がある．統計誤差のみを考慮した場合，例えという特徴がある．

ば１０倍 S/N を改善しようとすると，単純計算で１００倍の時

H 行列の次数が１次，２次，４次，８次の例を以下に示間が必要である．この方法では，空間構造を１点ずつ測る

す（−は，−１を示す．）．

場合，実験の効率が著しく低くなってしまう．
本稿においては，微弱光の検出を行う必要のある分野において，しばしば用いられる，アダマール変換を基礎とした光計測手法‐アダマール変換光学系‐について，その基本とプラズマ計測への応用を紹介する．アダマール変換光学系では，光の透過と遮断を行う規則的な

マスク

を用

いて，効率的に空間分布計測を行うことができる．この手法は符号化開口法の一種であり，本稿では，その基礎的な，１次元空間分布及び２次元空間分布（画像）の再構成

!!"#
!$

（１）

! !
!""!
"
! !!

（２）

$
#
! ! ! !
(''
! ! ! !((!#"'('
! ! ! !&%
! ! ! !

（３）

手法の考え方を説明する．プラズマへの応用例としては，レーザー誘起蛍光法（LIF）への応用を紹介する．
Department of Radiological Technology, Faculty of Fukuoka Medical Technology, Teikyo University, Omuta, FUKUOKA 836-8505, Japanauthor’s e-mail: arakawa@fmt.teikyo-u.ac.jp

９１７!2016 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.12 December 2016$#
" " " " " " " "(''" ! " ! " ! " !(
(
'
(
'
'
" " ! ! " " ! !((''" ! ! " " ! ! "(
(
'
!&"'
(
(
'
"
"
"
"
!
!
!
!
(
'
(
'
(
'
"
"
"
"
!
!
!
!
(
'
'
" " ! ! ! ! " "(&%" ! ! " ! " " !

マールマスクの１つを用いた例を示した．比較のため，
図２（b）にアダマールマスクを用いずに，ある一点のみ光が透過するようなマスクを用いた光計測の例を示す．図２（a）と（b）の大きな違いは，光の強度がマスクに均一に照射（４）されると仮定すると，検出される光の量が４倍になっていることである．これは，アダマール変換が通常の方法より
も S/N が良くなることの要因となっている．S/N 改善に関して，詳しくは５．
２．
２．
４節で示す．
図２（a）の光学系を数式により表現する．元の求めたい&の H 行列を作成することが次数 &の H 行列を用いて，#% 点の空間分布を "% とし，% 種類のアダマールマスク

できる．

#% を用いて計測した計測値を !
% とすると，!& !&!#& "!
"!& !!&

!
% "#
%"
%

（５）

（９）

と表すことができる．例えば，式（８）の７次のアダマール&次のアダマール行列を!&とすると，エルミート行列かマスクを用いて７点の空間構造を得たい場合，図１で示し

つユニタリ行列であり，!&!&$ "!&$!& "&"& を満たすた７種類のそれぞれのアダマールマスクを用いて光計測を（"&は&次の単位行列である）．このアダマール行列が特徴行う必要がある．アダマールマスクを用いた光の計測で的な性質を持っている為に，アダマール行列を用いる行列は，マスクで透過される光が 重ね合わされて いるため，演算であるアダマール変換は，それ自身，無線通信の一種

そのままでは求めたい空間構造は得られない．このため，である CDMA（符号分割多元接続，Code Division Multiple

一連のアダマールマスクを用いて得られた計測値により元

Access），画像圧縮などの身の回りの技術として広く用いの空間構造を再構成する．再構成は，（９）式より，#% のられている．これらの詳細は専門書を参照されたい［２］．

逆行列 #%!"を用いて，

５．
２．
２．
２ アダマール変換光学系"% "#%!"!
%

本節ではアダマール変換を用いたアダマール変換光学系（１０）の原 理 を 示 す［３］．ア ダ マ ー ル 変 換 光 学系 に お い て は，とすることで再構成できる．これが，アダマール変換光学

S 行列という H 行列から求めた行列を用いる．&!"次のを用いた分布計測の基本である．

S 行列を，&次の H 行列を用いて作ることができる．作り方は，&次の H 行列の１行目と１列目を削除し，要素の＋１を０へ，−１を１へ変換する．この操作で２，４，８次の H 行列から作った１，３，７次の S 行列を以下に示す．
#""#
"$
$
#
" ! "
(
'
#$"%
&
! " "

（６）

（７）

" " !
$
#
" ! " ! " ! "('('! " " ! ! " "('('" " ! ! " " !
(
'
(
'
(
'
#%"'
! ! ! " " " "
(
(
'
(
'
"
!
"
"
!
"
!
(
'
(
'
! " " " " ! !
&%" " ! " ! ! "

図１

式（８）
で示した７次の S 行列を用いたアダマールマスク［４］．白い部分が光の透過（１），黒い部分が光の遮蔽（０）
を示
す．

図２

光の空間構造を計測する際の（a）
アダマールマスクを用いた光検出体系．（b）
空間１点ずつ光検出を行う体系．

（８）

S 行列により マスク （アダマールマスクと呼ぶ）を作成することで光計測へ適用する．アダマールマスクは，
S 行列の列を一列ずつに分け，１は光を透過し，０は光を遮蔽する様に作成される．例として７次の S 行列を用いた
１次元のアダマールマスクを図１に示す［４］．
アダマールマスクを計測したい（空間構造を持つ）光と検出器の間に置くことで，光が透過される部分のみの値が重ね合わされて計測される．図２（a）に，７次のアダ
９１８Lecture Note

5.2 Spatial Structure Measurement by Hadamard Transform Optics

５．
２．
２．
３ アダマール変換光学系による２次元分布計測

H. Arakawa

６×７の他，その転置行列である６３×１，２１×３，７×６

前節では１次元の空間分布を得るためのアダマール変換といった組み合わせも可能である．しかし，この場合，２を行ったが，２次元の空間分布（画像）を得るためのアダ

次元分布計測を得るために，原理的には６３回もアダマール

マール変換の説明を行う［３］．とは言え，２次元の空間分

マスクの入れ替えが必要になる．このため，他分野におい布を得る場合も１次元の場合とほぼ同じである．計測手法ては，アダマール変換を用いた２次元分布計測の場合は，も，１次元配列の場合（図２）と同じく，アダマールマス

マスクの入れ替えに Spatial Light Modulator（SLM）と呼クを通して，一つの計測器でそれを検出するということをばれる液晶技術を用いたマスクを用い，電気的に高速なマ行う．１次元分布計測との違いは，アダマールマスクの並

スクの入れ替えを可能とした方法がしばしば適用されていべ方だけである．

る［５］．

図３に２次元分布を得る為の，アダマールマスクの作成

ここまでは，アダマールマスクを通して，一つの計測器

順序を示す．図３（a）は，１５次の S 行列を示している．図３で計測する場合を考えた．一つの計測器のみを用いるアダ（a）の中の１５行目を取り出して，アダマールマスクとした

マール変換光学系においては，計測点が多くなるにつれものが，図３（b）である．図３（c）は，図３（b）を用いて作成て，マスクの入れ替えで多数の計測が必要となる．このた

した，３×５のアダマールマスクである．作成方法として，め，アダマールマスクと複数の計測器の組み合わせで２次

図３（b）のアダマールマスクを３つに分割し，それぞれを

元計測を効率化させる場合も考えてみる．例えば，２次元（i），（ii），（iii）とする．その後，縦に並べることによっ検出で，４つしか計測器が得られなかった場合（４画素数て，マスクを作っている．２次元分布を得る際には，その分）において，もっと沢山の計測点（画素数）‐例えば，６０

他の S 行列の行においてもそれぞれアダマールマスクを作

点‐がほしい場合，計測器にそれぞれ１５次のアダマールマ

成し，すべてのアダマールマスクを入れ替えて計測するこスクを用いることができれば，１５回のアダマールマスクのとで得られる．よってこの場合は，１５回マスクの入れ替え入れ替えで，６０画素（４計測器×１５次のアダマールマスク）が必要である．

の２次元分布（画像）の計測が可能である．
５．
２．
２．
４ アダマール変換光学系による S/N の改善

より高次の S 行列を用いた二次元分布計測手法を考えてみよう．例えば６４次の H 行列から作られた，６３次の S 行列

ここでは，アダマール変換光学系を用いることの利点ので考えてみると，分布の分割数として，種々な組み合わせ一つである S/N の改善の原理について説明する．簡単のたが 可能と な る．分 割 の や り 方 と し て，１×６３や３×２１，

め，空間構造３点を計測する場合を考える［３］．
まず，空間構造３点を一点ずつ計測する方法を考える．
（##１，２，３），計元の求めたい３点（真値）の分布を ##(測値を !
（##１，２，３）とすると，#!!(## ""
# " " "
(
###""
"!
#
#
#!(## ""
$ $ $ $

（１１）となる．ここで，"（##１，２，３）は，それぞれの計測#(%のエラーである．求めたい値 ##の予測値 #
#は，
(
(
!#
%
#!
"
# "
(
(
%
"#
##!
#
(
##
% #!(
$ $ $

（１２）

となる．
ここで，予測値と真値との差は，
(
%
#
##"
#
#!#

（１３）

となるが，平均操作によって，エラーは０に向かっていくと仮定すると，
(

%
!&
#
#!
#'
#!#

（１４）

と表される．さらに，エラーはそれぞれ独立で，かつ大きさはどれも同じであると仮定して，予測値と真値との差の二乗平均（分散）を下記の様におくことにする．
(

#
%
!&
#
#"#
$
#%'
#!#

図３ （a）
１
５次の S 行列，（b）
１
５行目の S 行列を用いた１×１５の１次元アダマールマスク．（c）
３×５の２次元アダマールマ
スク．

（１５）

次に，空間分布計測を３次の S 行列を用いた場合につい９１９Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.12 December 2016て，どの程度ノイズが改善されるか考えてみる．

う方が良い．

S3 の ア ダ マ ー ル マ ス ク を 用 い た 場 合 の，計 測 値 "#（ ##1，2，3）をそれぞれ示すと，
!" #$
"$$""
"
"
# "
$#"$$""""####" #$ "$
""
"
#
$
$ $

５．
２．
３ アダマール変換光学系の応用
５．
２．
３．
１ HLIF（Hadamard Laser Induced Fluorescence）法
アダマール変換光学系のプラズマ計測への応用例とし（１６）て，著者らが開発したレーザー誘起蛍光（LIF : Laser Induced Fluorescence）法へ適用した手法‐HLIF（Hadamardとなる．ここで，"（ ##1，2，3）は，それぞれの計測のエ#&ラーである．求めたい値 $#の予測値 $#は，エラーの大きLaser Induced Fluorescence）法‐を 紹 介 す る［４］．LIF 法

さがわからないので，"##!として上式を解くと，するレーザー光を照射し，得られた蛍光のドップラーシフ

!
""
&
!"""&
#$
"# %
# " # $
#
#
"
&
!"
"$
"""
#""
$&
"# %
#
#
#
""
&
#$
""!"&
"# %
# " # $$

は，プラズマ中の原子・分子の特定順位の励起波長に相当
トとドップラー広がりを計測することで，局所的なプラズ
マ流れと温度の絶対値を見積もることができる［６，７］．蛍光の発光量は，プラズマ密度に依存するため，原理的に微弱な光となってしまう．このため，通常の LIF 法において（１７）は，空間分布計測を行う場合，分布の別の場所を計測する
ために，レーザー光軸や受光レンズ位置等を変更する必要がある．このため，手動でこれを行う場合，位置分解能はとなり，エラーの分散は，式（１４）の仮定と式（１５）の分散

せいぜい数 mm である［８］．一方，微弱光検出器である，光## を用いて，
$
#
&
!'
$
%
# ##
#&(
#!$
%

電子増倍管を多数並べた光電子増倍管アレイ等の１次元または２次元計測装置が近年の技術進歩によって制作が可能になった［９］．光電子増倍管アレイを用いることで，計測分（１８）解能を上げることができる．しかし，計測点の数と位置分となる．よって，一点計測を行う場合よりも，分散が小さ

解能は，検出器の数とそのサイズに依存してしまう．また，

くなっている（エラーが小さくなっている）．ことがわか検出器の費用が高くなってしまう．HLIF 法を用いることる．

で，１つの検出器であっても，空間分布を効率的に計測す

これを一般化すると［３］，エラーの分散（二乗平均）は，ることができる可能性がある．

次数 %に対して，% ## %##
%
$
#
%
%""&
%

HLIF 法の具体的な適用として，直線磁化プラズマ発生
装 置 を 想 定 し た．例 え ば，九 州 大 学 に あ る LMD-U や
PANTA［１０］では，直径約 10 cm，長さ約 4 m の円柱状アル（１９）

ゴンプラズマを RF 波（7 MHz，3 kW），磁場約 0.1 T で生となり，次数が大きくなるほど，分散は小さくなる．よっ成している．典型的な電子密度は約 1018 m−3，電子温度はて，S/N は以下のファクターで大きくなることがわかる．

約 3 eV である．これに HLIF を適用したイオン温度分布計%"" )%$##%)

測体系を図４に示す．HLIF 法は，LIF 光の受光系に，アダマールマスクを追加したものになる．LIF 法は，周波数掃（２０）

引可変 レ ー ザ ー，レ ー ザ ー 光 伝 送 光 学 系（レ ン ズ・ミ

式（２０）より，アダマール変換光学系は，その計測点数が多ラー），受光光学系（レンズ・ミラー），光検出器（光電子

くなるほど，それを１点１点個別に計測する場合よりも増倍管，最近では SiPM），データ収集システムなどが必要

S/N がよくなる手法であることがわかる．

である．ここでは，$ 点の分布計測を行うと仮定する．

一方，多点同時計測可能な計測器を用いることができる

レーザー光軸上の励起光は受光レンズとアダマールマスク（その検出器の数やサイズが目的の計測の要求を満たす）

を通って検出器で受光される．HLIF法では，$点の分布を場合を考えてみよう．アダマール変換光学系は，その計測点数の数だけマスクを入れ替える必要があるが，同時計測
できる計測器は一度にまとめて計測することができる．例
えば，n 点の空間構造を計測するために，%回の計測を行うことを想定する．この場合，アダマール変換光学系は，マスクを変えながら合計 %回計測するが，多点同時計測では，%回同じ体系で計測する．この場合，多点同時計測の
S/N 改善は，)%で良くなる一方，アダマール変換光学系では式（２０）より，S/N 改善は )%!
#に留まる．よって多点同時計測を行ったほうが S/N は良いことになる．このた
図４

め，空間的・金銭的に多点同時計測が可能であれば，アダマール変換光学系を用いる手法よりも，多点同時計測を行
９２０

HLIF（Hadamard Laser Induced Fluorescence）法の計測
体系［４］．

Lecture Note

5.2 Spatial Structure Measurement by Hadamard Transform Optics

H. Arakawa

行う場合，アダマールマスクを " 個用い，マスクを入れ替えながら計測する（マスクの例は図１を参照）．
一方 LIF 法はレーザ ー 波 長 を 掃 引 す る 必 要 が あるので，レーザーの波長ごとに光検出を行う必要がある．このため，計測の数としては，マスクの数 " と，レーザーの波
長掃引数 !により，"!!個の異なったデータから " 点の蛍光強度分布を得ることができる（図５（a））．特定の波長ごとに逆変換（式（１０））を用いることで，それぞれの径方向位置での発光強度分布を得ることができる（図５（b））．蛍光強度分布が得られれば，そのドップラーシフトとドップ
ラー広がりから，プラズマの速度と温度の情報を得ることができる．
本計測手法の特徴として，光学系を動かさずに，アダマールマスクを入れ替えるだけで温度（または速度）分布
計測が可能な点である．このため，実験の効率と再現性が著しく向上する．また，前節で示した通り，通常の一点ず
つ計測を行う方法と比べてS/Nは式（２０）に示すように改善するという利点がある．一方，前節で示した通り，多点の計測器を用いる場合，その検出器の数やサイズが目的の計測の要求を満たすものであれば，HLIF 法よりもノイズや効率の面で，優れた方法である．HLIF 法は，検出器の数や
図５ （a）HLIF 法を用いたアダマールマスクごと，レーザー波長ごとの発光強度．（b）
それぞれの径方向位置のレーザー波
長ごとの蛍光強度分布．

サイズに制約がある際や，多点の計測器が準備できないよ
うな場合において有用な手法である．
５．
２．
３．
２ HLIF 法を用いた２次元分布計測
HLIF 法を用いた別の応用例を示す．レーザー光をシート状にした体系にすることで，２次元分布の計測を行うことができる．大気圧条件下における中性流体の LIF 計測においては，既に行われている方法であるが，大抵の場合，
プラズマ密度は中性流体の密度よりも著しく低いので，発光強度が弱くシート状のレーザーで発光強度を計測することは困難であった．しかし，HLIF法を用いた２次元分布計

図６測においては，式（２０）により多点になるほど S/N の向上が可能であるので，シート状のレーザーを用いることで，２シート状レーザーを用いた，（a）
磁場に垂直な面での周方向流れ（温度）の径方向分布と（b）
磁場に平行な流れ（温度）の計測手法［４］．

次元分布計測を適用できる可能性がある．図６に，シート状のレーザーを用いた，磁場に垂直な面での周方向流れ（温度）の径方向分布（図６（a））と磁場に平行な流れ（温参考文献度）の計測手法（図６（b））を示す．

［１］H. Arakawa et al., Plasma Phys. Control. Fusion 51,
085001 (2009).
［２］喜安善市：アダマール行列とその応用（電子情報通信
学会，２
０
０
０）
．
［３］M. Harwit and N.J. Sloane. Hadamard Transform Optics(Academic Press, London 1979).
［４］H. Arakawa et al., Plasma Fusion Res. 10, 1201085 (2015).
［５］J. Gourlay et al., Opt. Lett. 18.20 1745 (1993).
［６］R.A. Stern and J.A. Johnson. Phys. Rev. Lett. 34, 1548
(1975).
［７］F. Anderegg et al., Phys. Rev. Lett. 57, 329 (1986).
［８］E. Scime et al., Phys. Plasmas, 14, 043505 (2007).
［９］M. Blacksell et al., Rev. Sci. Instrum. 79, 10F506 (2008).
［１０］H. Arakawa et al., Sci. Rep. 6, 33371 (2016).

５．
２．
４ おわりにアダマール変換を基礎とした，アダマール変換光学系の概要と，それを用いた LIF への応用例を示した．アダマー
ル変換光学系を用いることで，空間構造を一点ずつ計測するような体系より S/N を良くすることができる．また，検出器を動かさずにアダマールマスクのみを変更することで空間構造を得ることができるため，空間分解能の高分解能化や，計測の効率化が行える非常に有用な手法であると考えられる．
本稿は，科研費（JP15H02335）ならびに，九州大学応用力学研究所共同研究の支援を得た．ここに謝意を表す．

９２１

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.92, No.12 December 2016!!

講座執筆者紹介

""
はっ

とり

まさ

ゆき

服 部 雅 之

第４章
さい

とう

なお

き

自然科学研究機構基礎生物学研究所（２０１３年〜）研究員．補償光学を中心に，光学に関する研究を続けている．早稲田大学理工学部 助手
（１
９
９
８年〜）
，通信総合研究所 研究員（２００１年〜，現，情報通信研究機構），自然科学研究機構国立天文台研
究員（２
０
０
３年〜）
．近年は，すばる望遠鏡の補償光学系に携わったのち，生物の研究所で光学顕微鏡用の補償光学の研究を本格的に進めている．

斎 藤 直 樹１９
８
２年東京大学工学部計数工学科卒業．１
９
８
４
年同大学大学院工学系研究科計数工学専攻修士課程修了．１
９
８
４‐
８
６年日本シュルンベルジェ
!．１
９
８
６
‐
９
７年シュルンベルジェードル研究所（米・コネティカット州）．１
９
９
４年イェール大学大学院 数 学科・応用数学博士課程修了．Ph.D．１
９
９
７年‐
２
０
０
１年カリフォル
ニア大学デイヴィス校数学科准教授．２００１年同校教授，現在に至る．応用・計算調和解析の研究に従事．趣味は多種の楽器演奏．https://plus.google.com/+NaokiSaitoMathMusic も参照し
て下さい．

たま

やま

つよ

し

秋 山 毅 志核融合科学研究所 准教授．色々と興味はあるのですが，ここ最近は主にレーザーを使った計測器の開発・設計をしています．核融合研の共同研究や，自然科学研究機構の分野間連携研究プロジェクト，日米協力，ITER など，様々な先生方と一緒に仕事をさせていただく機会が増えました．技術面でもマネジメントの面でも，いつも目からウロコのことばかりで，共同研究や分野間交流の重要性を実感しております．
の

ゆたか

早 野

はや

裕

よう

すけ

基礎生物学研究所 助教．２
００５年京都大学大学
院生命科学研究科博士課程修了．専門は発生生物学で，「細胞の運命がいつ，どのように変わるか？」という疑問を，主に植物の受精や幹細胞化に着目して解明しようとしている．細胞の運命が変わる瞬間を精細に観察するために，様々な光学系を顕微鏡に取り入れようと勉強中．

第５．
１章
あき

だ

玉 田 洋 介

第５．
２章
あら

かわ

ひろ

ゆき

荒 川 弘 之帝京大学福岡医療技術学部診療放射線学科 助
教．現 在 は プ ラ ズ マ 乱 流・計 測 の 研 究 と 共に，医療用 CT の被ばく減少・画質改善へ向けた研究も行っています．別の分野では，研究に対してアプローチの仕方が異なっていたり，一歩も二歩も進んだ手法が用いられていたりしていろいろと勉強になります．様々な分野の研究手法を取り入れながら新しい研究を進めていけたらと日々考えています．

自然科学研究機構国立天文台先端技術セ ン
ター・准教授．専門は補償光学，光学赤外線天文観測装置の研究開発．近年は補償光学をさらに発展させ，生体ライブイメージング，プラ
ズマ計測などへの応用にも挑戦している．

９２２

J. Plasma Fusion Res. Vol.93, No.2 (2017)９
１‐１０４

講座 画像再構成とパターン認識の数理

６．トカマクにおける軟 X 線データの正則化
6. Regularization of Soft-X-Ray Data in a Tokamak Application
ANDREAS Wingen
Oak Ridge National Laboratory（原稿受付：２
０
１
６年１
２月７日）

接線カメラや軟 X 線（SXR）
検出器アレイで観測する線積分イメージからポロイダル断面上の局所 X線放射イ
メージを得るため，DIII-D トカマクにてイメージの逆変換スキームを開発した．逆問題は一般的に非適切（ill-posed）であるから，本スキームでは Tikhonov 正則化を用いる．Tikhonov 正則化では一般化特異値分解（GSVD）を用いて自由正則化パラメータに依存する解を求める．ここで，正則化パラメータの選択が問題となる．最適な正則化パラメータを選択する L カーブ法について概説する．代表的なテストデータを用い，逆変換ス
キームの特性，逆変換の精度，正則化の強度，イメージの解像度，を研究した．SXR アレイは線形逆問題における代表的な劣決定系（under-determined case）であり，一方，接線カメラは優決定系（over-determined case）である．劣決定系は情報が不足しているにも関わらず粗いが適正なイメージに，優決定系は高精細なイメージに変換できることがわかった．
Keywords:
regularization, inversion, soft X-ray, Tikhonov, L-curve６．
１ はじめにメージに変換される．このシステムは RMP に対するプラコンピュータトモグラフィ法は多くの分野，医療，非破ズマの応答［１３］による構造変化を測ろうとするものであ

壊材料試験，地球物理学，大気研究で使われ，核融合プラる．異なるエネルギーフィルタを用いれば異なる場所からズマにも応用されている［１，２］．どれも線積分のような非の放射を区別することができる．H-mode ペデスタル［１４］

局所的計測に対して数学的演算を行い放射率や吸収といっの急峻な勾配領域にて 5 cm に至るヘリカル変位があるこ

た局所物理量を見積もる点が共通している．核融合研究でとが，SXR を対象としたシミュレーション統合計測（syn-は，トカマク［３］やステラレータでのプラズマコアからのthetic diagnostic）でわかった［１５］．計測データを解釈す

軟 X 線検出に長い歴史（例えば MHD の検出［４］，磁気島のる際，線積分されたイメージの逆変換という非適切問題の診断［５］，不純物密度の解析［６］）がある．多くのトモグラ安定解を得るのに Tikhonov 正則化を用いた［１６］．

フィ法が用いられたが，空間分解能や検出器間の感度較正

次節ではTikhonov正則化について概説し，GSVDを用いに制限があった［７］．歴史的には接線イメージの方が空間て正則解を求める．GSVD を用いた手法は文献［１０］で開発

分解能は良かったが，３次元磁力線構造上での線積分イ

され，文献［４，５］のように適用された手法と等価であるが，メージであり，解釈は自明ではなく，Tikhonov 正則化法

本手法は側面拘束演算子による直接逆変換を必要としな［１０］のようなより高度な逆変換法［８，９］が必要である．

い．最適正則化パラメータ同様，この側面拘束（side con-

ここでは DIII-D トカマク
［１１］について考える．ポロイダ

straint）についても議論する．Tikhonov 正則化は劣決定系

ル断面全体をカバーするアレイによる線積分 SXR 計測は同様優決定系を扱うことができる．劣決定系については

プラズマコアにおける巨視的なスケールの構造を検出する

６．
３で SXR ア レ イ を 例 に 議 論 し，優 決 定 系 に つ い て はために用い，接線イメージングシステムはエッジの揺動を

SXRIS への適用を６．
４で示す．両者とも解析的テストイ

見る．Tikhonov 正則化の必要条件を決定し，特にイメージメージに対して正則化を行い，逆変換の品質と解像度につング計測に関して高精細で高品質な逆変換を探すアルゴリ

いて研究した．６．
５では逆変換法の結果についてまとめた．

ズムを開発した．精細さと品質は乱れたプラズマ周辺部に

６．
２ 高精細逆変換法への数学的アプローチ

現れると予測される微弱（信号雑音比小さい）で微細な構造の同定と特徴付けに必要である．DIII-D の軟 X 線イメー

３次元SXR放射体積を数学的に#!#%#&#'個の領域に分

ジングシステム（SXRIS［１２］）は接線カメラであり，プラける．それぞれの領域は大きさ !$!の立方体である．放射

ズマエッジ領域の線積分した軟 X 線放射を測る．X 線はピ

体積の片面に SXR を記録する検出器をおく．検出器はカメ

ンホール光学によりシンチレータ上に集光され，可視光イラであり，" ピクセルの２次元イメージ，又は " コードのOak Ridge National Laboratory, Oak Ridge, TN 37831, USA※本原稿の英文原本は，p.９８〜１０４に掲載されています．

author’s e-mail: wingen@fusion.gat.com

９１!2017 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.93, No.2 February 2017

アレイを返す．ピクセル，又はアレイコードは一つの視線

$$%
#%
&&&(
%+
%
'*

に対応し，視線上の全ての放射体積からの放射を記録す

%$%
!%
&&&(
$+
%
'*

る．図１に系のセットアップを示す．それぞれの体積領域（４）における放射 "（)!3）と線積分放射の間の関係は，カメラ（)!%#%）は正規直行行 列，そしてここで "（)!$#%），#の場合，イメージ 平面 上 の そ れ ぞ れ の ピ ク セ ル の値を（)!%#%）は非特異行列，&(，&($%+$+は )!%#% 対
%
'*
%
'*

$

'
（)! ）とすると，以下の線形方程式で与えられる．
#%"&'

角行列であり，（１）!')"'-')+'"

ここで !は幾何変換 $#%行列であり，詳細は６．
４で議論す"(("(-((+(!
%$%
%"$$%
$&"
+．

る．

（５）
（６）

とすると比
A．Tikhonov 正則化アプローチ

)"
&
-%
， "&"
"&
("

式（１）において，$#%，即ち系は優決定問題とする．こ
の系の解は
#%
"!',
%
,
'*(
+,
，
!&%
&

（７）

は行列対*
#!
!+の 一 般 特 異 値 で あ る．!&"% の 場 合，（２）

GSVD は標準の SVD となる．
文献［１０］では正則解は行列 #%!!"の標準SVDを用いてで与えられるが，不適切問題である．正則化はこのような不適切問題（悪条件行列 #に関連している．即ち，#の行表される．一方で式（４）の定義より，

はほぼ線形従属であり，したがって #は特異である）の安#%!!"&$%
%$，
#+
&(
%
'*
%

定解を見つける良く知られた手法である．不適切問題の解（８）は一般的に微小摂動（数値的丸め誤差を含む）に非常に敏

これは文献での定義と同一である．したがって，ここでの感である．#の直接逆変換や標準的手法による "の直接計正則解は #%!!"の標準 SVD を用いた解と等価である．違算はかなり不適切な解を生む．悪条件行列 #を #から求め

いはGSVD法では演算子!の直接逆変換を必要としない点

た良条件行列に置き換えることは必ずしも意味ある解を導である．GSVD を用いてくとは限らない．正則化は微小誤差揺らぎに対する解の安

'$，
!&$%

定性を与える．そこで，本講座では Tikhonov正則化スキーム［１７‐１９］を適用し，以下を解く．
!
!
!#
' !
!
"!"
"
,
'*(
+!
" #%
' &%
$#
!
，
!%
'
" !
&
!
'

"$，
&&&!"%（９）を定義し，以下のフィルタ係数を持つ正則解を探す．
$# '#
%
%
"
#!
#$ " #*#%'!
"&& #&"(
，
)# &
#

（３）

# ""
ここで ,
(,
&'
&*
+#はユークリッドノルムで 'は自由正"（１０）

ここでフィルタ係数 !
)は以下で与えられる

則化パラメータであり，側面拘束 *(
!%
'
"!"$+
+,
,を制御
*

#
#
)#
&
#
!
#& #
# #& #)#"' (# &"'#．
#する．%$は解の事前仮定であり，０（即ち仮定なし）または想定した局所放射分布（これは解を強制する）である．

（１１）

C．側面拘束の選択

本講座では事前仮定は行わない．

（)!%#%）は側面拘束を表す演算子である．実際の非適!

B．一般特異値分解
一般特異値分解を用いて式（３）を解く，

切最小化問題の意味ある解を探すのに必要である．数値的には，式（３）にて '&!を用いれば式（２）を満たす最小解"!が得られる．しかし，非適切問題では "!は典型的には
図８（a）のように非常に振動するか，真の解から非常に遠くなる．側面拘束は指定境界で得られた最小解に従い，連続解を強制し，あるいは問題特有の特性を確保する．もし考慮する問題に明らかな側面拘束が無い場合，! にはしば
しば単位行列 "+ やラプラス演算子のような微分演算子が使われる．!&"+ の場合，側面拘束は解のノルムを小さくし，解の有界性を確保する．一方で微分演算子の場合，側面拘束は勾配を制限し，あるレベルで解のスムース性を確保する．
DIII-D 放電での SXR 放射の場合，プラズマの内部で強

図１

く，外部では弱い（あるいは０），そして強い勾配が周辺に

線積分 SXR 放射計測のセットアップ．カメラピクセルから出たいくつかの視線（コード）はピンホールを通り多くのゾーンに分割した放射領域を通り抜ける．

ある，と考えられる．したがって解及びその勾配（一次の空間微分）を制限したくはない．一方で解の雑音的フラグ
９２

Lecture Note

6. Regularization of Soft-X-Ray Data in a Tokamak Application

W. Andreas

メンテーションのような高周波数揺動成分は抑えたい．このため，解が十分に滑らかであることを確保するようラプ
ラシアン演算子（２次の空間微分）を用いる．この時 (は解，'&!
の 滑 ら かさを制 御 する．%
!
*&!"，
.!
$'!
%(+
*
'
!
(&%
（c）における格子の放射領域（領域の(&!
!
*'!"を図６.!
大きさは全次元で &とする）とすると，ラプラス演算子は２次の有限差分法により
#
#
#
,$
%
%
%
"
&（
*
",'
+
１２）
""!
!"!
"""%
!"+
'
!
(&*
'
("%
'
(!%
'
!
("%
'
!
(
'
!
(

と近似され，)&(!
*!"を用いて *#*行#*&"'&!
.!
!)!) &!% !)!)'"&" !)!)'* &"

（１３）

&

（式（１３）以外では !&!）を定義する．グリッド内部では Cの要素は明確に定義されているが，境界では !!!!"のよう

図２

典型的な L カーブ．

な要素は存在しないため，定義が明確ではない．したがって更なる %'!
(の境界条件が必要である．非周期的な場合，以半ノルムは増加する．ここで L カーブコーナーの定位によ

下の二つの選択がある．

る最適正則パラメータを決定する．L カーブを視覚的に評

１．ディリクレ境界条件：*$'!
%(+がグリッドの外であれ価する以外に，２つの典型的な L カーブコーナーの数値的ば%．! は '，(が共に０から *!"の間で式（１３）'!
(&!

定位法がある．L カーブコーナーでは L カーブの曲率で与えられる．
２．フォンノイマン境界条件：境界で!の１次の微分は0.1

κ&

次 微 分 の 対 称 有 限 差 分 を 用 い る と，%
"!
!"!
(&%
(，

)+
'--*
，
# $"
)+
""'-*
*
+#

（１６）

%
"である．この場合，!の各要素は１ではなく
!"&%
'
!
'
!

は 極 大 と な り，ま た，コ ー ナ ー で は 原 点 か ら の 距 離２にセットされる．
以下ではディリクレ境界条件を用いる．

##$) "' が極小になる．両者から得られた点は一致しなけ
ればならないが，'は隠れた 自 由 ス ケ ー ル パ ラ メ ー タ

D．正則パラメータの選択#)&!を含むので，実際はそうとは限らない．式（３）に対しパラメータ (は正則化の 強さ ，即ち !によって与えらて，２つの定位を，それぞれ１，２とインデックスをつけ，れる式（２）の解の制限に関する側面拘束の重みを決定する．(&!で解%(は正則化されておらず，典型的な非適切問#題のように残差 ,が非常に小さいにもかかわら
"%
!
,
(!#

ず，高周波数成分が減衰しない．一方，(が非常に大きいと!"&#!#，#("&(#"

%
"&%
#.
(!
(!

ある解ではなくなる．最適な (を見つけることが肝要であ

（１７）
（１８）

（１９）

一方，式（１４），（１５）より，

るがそれは自明では無い．最適な正則化パラメータを見積
もるいくつかの手法が文献に見られる［２０］．ここでは L)"&)#，

カーブ基準を適用する［２１］．
与えられた正則化パラメータ (と Tikhonov 法により得

'
'
"&#
#．

（２０）

したがって，両条件式を用いて最大曲率を与える点と最小た正則解 %( に関して残差ノルムと半ノルムを定義する．

距離を与える点が一致するように #を決定する．対応する)は 最 適 正 則 化 パ ラ メ ー タ を 与 え る．経 験 的 に #は#$'!*'+'
#
"%
)#&,
!
,
&(%# *"(!#'&"! #
&
"(#
'

（１４）

#
$'!*'+'
!%
' &,
!
&
*
,&# *
' #
(!! +
# "．
'&"!
&
"(
'

（１５）

$ #

+
"&+
#，

とすると明らかに残差が大きくなり %( はもはや実際の問題において意味の

#

$
$
，
%
&%
"
#

""&"#，

!,
",
#*
#,
+
(#*
,
+のように，即ち，両行列のフロベニウス
ノルムが同程度の大きさになるように調整される．
E．イメージ逆変換の定量化実施した正則化スキームをテストし定量化するため，解最適な正則化パラメータ (を決定する一つの方法は，図２

析的テストイメージを用いる．テストイメージは実際の放のように様々な (に対して半ノルムを残差ノルムに対して電で見られると期待される構造を持つ．テストは以下のよ両対数軸でプロットすることである．でき上がる曲線は典うに行う．

型的な L 字 形であるため，L カーブと呼ぶ．演算の最適点

step1． ポロイダル断面上の２次元局所放射イメージを解析的に生成し，数値的にベクトル !
!とする．

は L カーブのコーナーである．その点は問題を解くこととstep2． 幾 何 変 換 "を 求 め，線 積 分 テ ス ト SXR 放 射

側面拘束の最も良いトレードオフを与える．(の増加は正

#&"%
!
!を得る．

則化のレベルを上げる，即ち，ラプラス演算子では解を過度に滑らかにし，残差ノルムは急激に増加する．一方で (step3． Tikhonov 正則化により局所放射 !
(を再構築し，Lの減少は正則化レベルを下げ，解はよりノイジーになり，

カーブを通じて最適正則パラメータ(()*を決定する．
９３

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.93, No.2 February 2017

step4． 正則解 "!と比較し，逆変換のクオリティを# を!

細構造を有している．幾何変換行列 !を使って，テスト放定量化する．メジャーとして性能指数（figure of

射強度イメージから線積分値を得るために，放射強度イ()*

メージをグリッドの解像度まで落とす必要がある．図４

merit）をゾーン格子内で
"
%'& "

"
#
!$
# !"
，
"
$
$
!
()*

（a）は解像度を落とした放射強度イメージとなる．すべての微細構造はこの段階で失われている．

（２１）

図４（a）の局所放射分布を用いて，step 2 に従い線積分テで定義する．この!
%'& は厳密解に対する正則解の相対誤差

ストデータが構築される．こうして得られたデータに対し（％）である．

て Tikhonov 正則化を適用することは，真の極小化の問題ではない．それは，図４は逆問題の厳密解だからである．

６．
３ トモグラフィ計測のための軟X線アレイ計測の逆変換

テストをより現実的なものにするために，線積分された信号に対して最大で１％のランダムノイズを加える．Thik-

Tikhonov 正則化は，!!"の条件数不足（劣決定問題）

onov 正則化を，この「ノイジー」なデータセットに対してな場合にも対応できる．典型的な例として，ポロイダル断適用し，最適な正則化パラメータを持つ局所放射イメージ

面上でプラズマからの放射を角度の異なる複数の視線で積を決定する．結果を図４（b）に示す．放射分布が中心で分して計測する軟 X 線アレイのセットを考える．個々のアピークしているというような，プラズマ全体での特徴はよ

レイは広いエリアをカバーし，同じ領域を異なるアレイがく再現されている．しかし，プラズマの形状と，より細か同時に観測するようなタイプである．ここでは，１６本の視な構造は，解像度を落とした放射分布に比べてもやや不鮮線を持つ４つのアレイの場合を取り上げる．総計６４本の視明になっている．性能指数は 23.3％ であり，かなり大きな線が相互に交差していることになる．アレイの構成を図３

相対誤差と言える．この理由は明らかで，７７４の格子点の（b）に示す．破線が視線を示し，等高線が軟X線の局所的なデータを再現するのに６４個のデータしか使えないからであ放射強度を示す．放射ゾーンは二次元格子状に配列されてり，局所放射イメージの細部を再現するには十分なデータ

全断面をカバーする．ここではゾーンを正方形にとっていではないからである．この結果はノイズを除去してもあまる．図３（a）は 典 型 的 な グ リ ッ ド を「テ ス ト SX 放 射 強り改善せず，ノイズを加えると悪化する．正則化パラメー度」上に示したものである．グリッドのサイズは 7 cm であタを減少または増加させると，画像はばらばらになるか，

り，１８×４３＝７７４個の放射ゾーンを意味する．解像度はずい

またはよりぼやけてしまい，性能指数は悪化する．このこ

ぶん荒く思えるが，""$$"はこれでも !"#"の１０倍に達とについては，次節での優決定系での試行の時に詳しく議していて，かなりの条件数不足といえる．

論する．

テスト放射強度は，摂動磁場が加えられてわずかに３次グリッドの分解能を変化させることは，潜在的には逆変元化した DIII-D の平衡をもとにした磁場のトポロジーを換の品質に影響を与える．解像度を減少させると，系は幾使って作られた．放射強度は同一の磁気面上で一定であり分劣決定系ではなくなるが，同時に，解像度を落とした分

コアで極値をとって，周辺に向かって減少させている．プ
ラズマのセパラトリックスより外では放射強度は０にしている．図３で示されたテスト放射強度は解像度が高く，微図３

図４ （a）
ゾーン格子の分解能までダウンサンプリングしたテス
ト放射イメージ，（b）
逆変換して再構築した放射イメー
ジ．最 適 正 則 パ ラ メ ー タ は #= 1.73 で 性 能 指 数 標 は!FOM = 23.3%．

局所テスト放射イメージ．（a）
ゾーン格子，（b）
視線コード，を重ねた．

９４

Lecture Note

6. Regularization of Soft-X-Ray Data in a Tokamak Application

W. Andreas

布は荒く扱い難い．解像度を増加させると，系はより劣決放射は磁気面上で一定の仮定する必要は無いことを注記す

定系となり，解がバラバラにならないためにはより強い正る．図６（c）に示すように，視線上の各点を接平面に投影す則化が必要となるため，像はよりぼやけてしまう．図５にる（曲線は視線の接平面へのトロイダル投影を示す），そ

解像度に対する性能指数を示す．ここで )& "#)"
$であり，してその各点から磁力線を接平面まで追跡する．この磁力!
)& ""#を使っている．明
固定されたアスペクト比 $")#"

線に沿ったトレースは図中に短い線として示されている．

瞭な極小値が )& "!%の時にあり，それは図４の解像度

これらのトレースと，接平面との交点が対応する放射ゾー（)"$$#）に対応している．

ン（ハイライトした正方形）を与える．この手法によって，放射領域を，接平面上の)")")#個の矩形領域に分割され

６．
４ トカマクの接線からの二次元 SX 放射強度像の逆変換

た２次元領域へと次元を落とすことができる．解像度は矩トカマクの局所的な軟 X 線放射強度分布を図１で示した

リッドは下部では容器の壁に，両側では規格化ポロイダル

ような軟 X 線カメラの計測で決定したい．実際の配置図はフラックス $"!
!
!のスクレープオフ領域に，さらに，最もトカマクを上から見た図６（a）に示される．ピンホールは上部の視線によって上部を制約されている．

形領域の一辺の長さで '""'#"%となる．放射ゾーング

外壁上に存在し，灰色のエリアで示されるカメラの視野は幾何変換行列または !行列は各列ごとに構築される．各

トカマクを接線方向にとらえている．局所放射分布に対し列は一つの視線，つまり一つの画素に対応する．一方各行て意味のある統計量を得るためには，放射体積を互いに異はそれぞれの放射ゾーンに対応している．一つの視線は間なった角度を持つ十分に多い数の視線が貫く必要がある．

隔 '*で離散化される．十分は統計精度を得るために '*はピクセルの数は，グリッドの数よりも十分多い (#)であ'"より小さくする必要がある．&番目の視線上の点に対しる必要がある．すなわちこれは典型的な優決定系の例であて，対応する放射ゾーングリッド 'が平衡磁力線をたどっる．放射体積は三次元的であり，ピクセルは二次元的でて存在してるとき，!&'"!&'!!となるように幾何行列の要あって，同時に (#)の条件を保ち，無理のない解像度を素の値が増加される．幾何行列は疎行列であることに注意

達成しようとするとその計算は大変困難なものになる．トする必要がある．

カマクでは，平衡磁場の磁力線のヘリカル対称性という仮定を用いることができる．
図６（b）は DIII-D のポロイダル断面で，セパラトリック
スと，複数の磁気面が示されている．磁気面はトロイダル方向に対称だが，磁力線はヘリカル形状である．カメラの視野は灰色の領域をカバーしており，カメラの視線の中心が×で示されている．ヘリカルな磁力線の対称性を生かす
ため，我々は，軟 X 線の放射強度は図６（c）の磁力線トレー
スに示すような磁力線に沿って一定であるという基本的な仮定を用いる．ここでトレースの長さは磁力線にそって 0m から 1.2 m に及ぶ．熱速度をもつ電子は磁力線に沿って移動し［２２］，磁力線平行方向の輸送は垂直方向に比べて十分大きいため，標準的な軸対称を仮定する平衡配位の下では磁気面上で電子密度と電子温度が一定と考えられるため，この仮定は軟 X 線領域では妥当である．ここでは SXR

図５

図６ （a）
トカマクのトップビュー．灰色の領域はピンホールによるビューコーンを示し，それを横切る直線は光軸の接平面を示す．（b）
DIII-D における接平面のプラズマポロイダ
ル断面．灰色の円領域はカメラの視界を示す．セパラトリ
クストと磁気面も示す．（c）
カメラの視界の拡大図．曲線
は視線のトロイダル写像であり，視線上のいくつかの点か
ら磁力線を接平面まで追跡している．対応する接平面上の放射ゾーンを四角で強調している．軌跡のトロイダル写像
はその四角と曲線を結ぶ短い線である．

最適正則パラメータによる逆変換の性能指数のゾーン格子の分解能依存性．灰色は生データであり，黒線はスムージ
ングしたものである．

９５

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.93, No.2 February 2017

A．テストイメージの構築とその特徴に，２次元の放射強度分布を単純な移動平均フィルタに代表的なテストイメージを作るために，典型的な DIII-D

よって平滑化する．この手続きによって作られたテストイの磁場配位を用いた．この配位は軸対称の平衡磁場に加えメージは文献［１５］のテストイメージに近いものである．

て，小さな非軸対称な摂動成分を持ち，軟 X 線放射強度は逆変換の step 1 と 2 の結果を図７に示す．イメージは幾

磁力線侵入長構造を経験的に示す ""$#で与えた．さら何行列がカバーする放射領域によって制約されている．
図７（a）は制作したテストイメージ "!である．テスト放射
強度は実際の実験で観測したいいくつかの特徴を備えている．最も典型的な特徴は，プラズマからの放射が０以上の値をとることである．プラズマの大部分の放射分布は以下に示すような巨視的構造を持っている．放射強度のピーク
は周辺部にあり，コアに向かって減少したのち，コア部で再度増加する．巨視的構造の上にいくつかの微細構造が摂動磁場によって生じている．一つは，ローブ構造と呼ばれるプラズマの境界の変形で，セパラトリックスの下隅の容器内壁まで伸びている．プラズマエッジの内側には，放射強度が強いいくつかの小さな領域， 島 ，が見られる．テスト放射強度からの放射強度の線積分値を求めたものを
図７（b）に示す．テスト放射イメージの特徴の多くは，線積分の結果見えにくくなる．線積分イメージは円形の検出領域に限られている上に，その中も容器内壁によって制約されている．センターポストは図６（b）の左側の垂直の内壁として見えるが，線積分イメージでも垂直方向の切断面として明瞭に観測される．第４章の残りでは図７（b）
を線積分テスト SXR 放射とし，Thikonov 正則化を行う．
B．正則化パラメータ #の効果
逆変換の手法と正則化されたイメージの質と逆変換の成否は，いくつものパラメータに依存している．最も明白なものは，もちろん正則化パラメータ #である．幾何変換行
列 !を使って直接的に線積分イメージ "を得たのだか（１）の厳密解となる．逆変換手
ら，テストイメージ !
!は式法の有効性を検証するために，小さなレベルのホワイトノ
イズ（最大信号の２％）を加え，実際に式（２）で与えられる最小化問題として逆変換を行う．
図８は三つの正則化パラメータ #に対応する正則解を示す．最初に示すのは強い未正則解（#!!
!
"）解（図８（a））
で，高い周波数の振動とフラグメンテーションを示してい

図７ （a）
テスト放射イメージ，（b）（a）
から作成した SXR カメラ
で見た線積分された放射イメージ．

図８

る．次には L-Curve を使った最適正則解（#!#!
$）で（図８，（c）
図７（b）に２％のノイズを与えたイメージを Tikhonov 正則化した．（a）#＝ 0.69（最適値）#＝ 178．
#＝ 0.2，（b）

９６

Lecture Note

6. Regularization of Soft-X-Ray Data in a Tokamak Application

W. Andreas

した．線積分イメージは容易に得られ，我々の手法を使って逆変換された，劣／優決定系での解が検討されたが，軟X 線アレイは前者の例であり，SXRIS カメラは後者の例となる．
軟 X 製アレイの場合では，逆変換は情報量不足の影響を受けた．Tikhonov 正則化法により逆変換イメージを生成できた．分解能は悪かったが，プラズマの大部分での放射強度を再現し，プラズマコアでのピークも再現できた．テスト放射強度と逆変換との間の相対誤差はアレイの視線数の１０倍程度の格子データを仮定した場合に最小となった．
図９ （a）
L カーブ．３つの点は図８（a）‐（c）の解に対応する．（b）
性能指数の正則パラメータ依存性．

SXRIS カメラの場合には，テスト放射イメージと良い一致を示す逆変換が得られた．プラズマコアに近い画像の最上部ではアーティファクトが現れた．逆変換イメージには（b）），テスト放射強度と良い一致を示している．プラズマ

二つの誤差源があった．多数の視線が交差するグリッドの中心部のみならず，周辺のローブ構造や，磁気島についと，少数の視線が交差するグリッドが共在する．それぞれても再現されている．ただしコア部であるイメージの最上の放射ゾーンを貫く視線の数として定義された精度は，幾部ではテスト放射強度と，逆変換されたイメージに違いが何学的配置と関連し，したがって逆変換スキームの一つの見られる．これは 正 則 化 に よ っ て 生 じ た 仮 想 的 な構造特性である．上部の境界はカバーする視線が少なく，精度（アーティファクト）である．これは，システマティックにが制限された．二つ目のエラーの原因は低い信号・エラー現れるもので，事前情報なしには回避することができな比である．詳細と，実際のデータに基づく逆変換について

い．イメージの上限は視線がカバーするゾーンの制限から

は文献［２３］で議論されている．

生じており，イメージの下部とは異なり，当該ゾーンを通

（訳：大舘

暁，稲垣

滋）

過する視線が非常に少なく，不確定性が大きくなっているためである．図８（c）は強い過正則解であり，平滑化が効き

謝過ぎていて，プラズマ領域のすべての微細構造が消えてし

辞本研究は米国 Department of Energy Under DE-AC‐
０５‐

まっている．

００R２
２７２５.によってサポートされた．

対応するLカーブを図９（a）に示す．理論的な予測値である図２ほどはっきりした形状を示してはいないが，６．
２の

参考文献

D 節で示したアルゴリズムは L カーブのコーナーを的確に［１］G. Fuchs et al., Plasma Phys. Control. Fusion 36, 307 (1994).
［２］M. Anton et al., Plasma Phys. Control. Fusion 38, 1849
(1996).
［３］J. Wesson, Tokamaks (Clarendon Press, Oxford, 2004).
［４］S. Ohdachi et al., Plasma Fusion Res. 2, S1016 (2007).
［５］S. Ohdachi et al., Plasma Sci. Technol. 8, 45 (2006).
［６］L.C. Ingesson et al., Nucl. Fusion 38, 1675 (1998).
［７］L.C. Ingesson et al., Fusion Sci. Technol. 53, 528 (2008).
［８］S.H. Lee et al., Current Appl. Phys. 10, 893 (2010).
［９］J. Mlynar et al., Fusion Sci. Technol. 58, 733 (2010).
［１０］N. Iwama et al., Appl. Phys. Lett. 54, 502 (1989).
［１１］J.L. Luxon, Nucl. Fusion 38, 614 (2002).
［１２］M.W. Shafer et al., Rev. Sci. Instrum. 81, 10E534 (2010).
［１３］J.-K. Park et al., Phys Plasmas 16, 056115 (2009).
［１４］S.-I. Itoh and K. Itoh, Nucl. Fusion 29, 1031 (1989).
［１５］A.Wingen et al., Nucl. Fusion 54, 064007 (2014).
［１６］M.W. Shafer et al., Plasma Fusion Res. 6, 2402041 (2011).
［１７］A.N. Tikhonov and V.Y. Arsenin, Solutions of ill-posed
problems (Wiley, New York, 1977).
［１８］G.H. Golub et al., SIAM J. MATRIX ANAL. APPL 21, 185(1997).
［１９］P.C. Hansen, Numer. Algorithms 6, 1 (1994).
［２０］G.H. Golub, U. von Matt, Tikhonov regularization for large
scale problems (Scientific Computing, Springer, 1997).
［２１］P.C. Hansen et al., IAM J. Sci. Comput. 14, 1487 (1993).
［２２］A. Wingen et al., Phys Plasmas 21, 012509 (2014).
［２３］A. Wingen et al., J. Comput. Phys. 289, 83 (2015).

示している．このことは図９（b）に示すように性能指数（式（２１））により検証された．L カーブのコーナーは黒い星で示されているが，その位置は性能指数が極小値を示す位
置と極めて近い．図８（b）は可能な限り最もよい近似解であり，性能指数は 9.8％ となる．この値は加えたノイズからすると無視できない値であるが，それでも，図８（a）と図８（c）の性能指数 25.8％ と21.1％に比べれば十分小さい（ここで，性能指数の計算においてはアーティファクトの現れない，!"!!
!
"に限った）．

６．
５ 結論
検出器アレイを使った計測および SXRIS カメラでの計測から，DIII-D トカマクのポロイダル断面における局所放射強度を逆変換する手法を開発した．逆変換が非適切問題であるために，この手法は Tikhonov の正則化法に基づいたものである．正則化パラメータによらない解を得るために，一般化特異値分解を使った数値的手法を作り上げた．
正則化パラメータは慎重に決定する必要があり，ここでは
我々は L カ ー ブ 法 と い う 手 法 を 使 っ て，残 差 の 最小化と，応用面での制約のバランスがとれた最適化された正規化パラメータを決定している．この逆変換の特徴を調べるために，DIII-D のようなトカマクの真空磁気配位における
軟 X 線放射強度分布を仮定してテスト放射イメージを作成
９７

講座 画像再構成とパターン認識の数理

6. Regularization of Soft-X-Ray Data
in a Tokamak Application
ANDREAS Wingen
Oak Ridge National Laboratory

An image inversion scheme for soft X-ray (SXR) diagnostics at the DIII-D tokamak is developed to obtain thelocal soft X-ray emission at a poloidal cross-section from the spatially line-integrated image taken by either a set of
SXR arrays or a tangential camera. The scheme uses the Tikhonov regularization method since the inversion problem is generally ill-posed. The regularization technique uses the generalized singular value decomposition (GSVD)
to determine a solution that depends on a free regularization parameter. The latter has to be chosen carefully, andthe so called L-curve method to find the optimum regularization parameter is outlined. A representative test image
is used to study the properties of the inversion scheme with respect to inversion accuracy, amount/strength of regularization and image resolution. The SXR arrays thereby represent an under-determined case while the tangential
camera is an over-determined case of the linear inversion problem. It is found that the under-determined case suffers from lack of information but can still return a coarse, but fair image, while the camera data can be well invertedwith high resolution.

6.1 Introduction

The field lines are organized on surfaces of constant poloidal

Methods for computed tomography are used in manymagnetic flux !, so called flux surfaces. All field lines on suchfields like medicine, nondestructive materials testing, geo-

a flux surface wind themselves helically around the torus andphysics, atmospheric research and have also been applied

have a constant ratio of toroidal to poloidal rotations, the so

to magnetically confined fusion plasmas [1,2]. The common

called safety factor q. Typically q is monotonically increasing

characteristic is that many nonlocal measurements, such as

from the center towards the separatrix, which is the lastline integrals, are processed mathematically to estimate local

closed surface that then determines the plasma boundary

physical quantities, such as emissivity or absorption.

and separates the closed field lines inside from the open ones

Fusion has a long history of Soft x-ray (SXR) detectionin the so called scrape-off layer. The flux surface configurationin the plasma core of tokamaks [3] and stellarators to e.g. de-is then toroidally axisymmetric. This symmetry allows totect core MHD modes [4], diagnose core islands [5] or analyze

project volume quantities, like SXR emission, into a single

impurity concentrations [6]. A number of tomography meth-plane, the tangency plane; we will make use of this later inods, which have found applicability to SXR, bolometer, andthe paper. Here we focus on the DIII-D tokamak [11].

other tomography diagnostics in magnetically confined fu-

Line integrated SXR diagnostics are mainly used in thesion plasmas, have been used to various levels of success.

plasma core to detect large scale structures. Here we use a

Those methods have been limited in spatial resolution andset of arrays, that cover a poloidal cross-section as well as/or cross-detector calibrations [7]. Tangential imaging hasa tangential imaging system that views the perturbed toka-

historically given better spatial resolution, but interpreta-

mak plasma edge region. In this work, we determine the re-tion of the images is nontrivial due to the 3-D line-of-sight in-quirements for the Tikhonov regularization and develop an

tegration and requires advanced inversion techniques [8,9],

algorithm to find, especially for the imaging diagnostic, highlike the Tikhonov regularization [10].

-resolution and high-quality inversions. The latter are

A tokamak confines the plasma inside a torus-shaped

needed to identify and characterize features with potentiallyvacuum chamber by a strong magnetic field. The magnetic

low signal to noise and high spatial structure, which are pre-field of a tokamak equilibrium is given by a strong toroidal

dicted by plasma theory to appear in the perturbed plasma

magnetic field and the poloidal field, generated by the strongedge.

toroidal plasma current. The resulting total field is helical in

The soft-X-ray imaging system (SXRIS) [12] at DIII-D

nature; we will exploit this helical property later in the paper.

is a tangential camera that measures the line-integrated SXROak Ridge National Laboratory, Oak Ridge, TN 37831, USA
author’s e-mail: wingen@fusion.gat.com
The Japanese version of this article (including all figures and references) can be found on pages 91-97 of this journal.

９８!2017 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion ResearchLecture Note

6. Regularization of Soft-X-Ray Data in a Tokamak Application

W. Andreas

A. Tikhonov regularization approachemission in the plasma edge region. The system uses pinhole
optics focusing radiation onto a scintillator, which is imaged

In Eq. (1), we use ##$, so the system is overdeter-with visible optics. Is is used to diagnose structural changes

mined. The solution to this system of equations is given by

due to plasma response [13] to externally applied resonant

#%
!!',
$
,
(*)
+,
,
!&&

magnetic perturbations (RMPs). The diagnostic can use dif-&(2)

ferent energy filters to discriminate between different spa-but the problem is ill-posed. Regularization is a welltial regions. Within the steep gradient region of the H-mode

known method to find stable solutions to ill-posed problems

pedestal [14], helical displacements of up to 5 cm, whichof such form, which are associated with an ill-conditioned

change with the poloidal angle are found, which can be mod-matrix #, i.e. the columns of #are nearly linear dependent

eled and explained through a synthetic diagnostic [15]. To in-and therefore #is nearly singular. The solution of an ill-posed

terpret the measured data, the Tikhonov regularization,

problem is in general very sensitive to small perturbations,found to be applicable to the SXRIS [16], is used to obtain sta-

including numerical rounding errors. A direct inversion ofbilized solutions to the ill-posed problem of inverting line-#or a direct calculation of !by standard methods usually

integrated images.

result in highly inaccurate solutions, which are typically no

In the next section we give an overview on the Tik-

way near the "real" solution. Replacing the ill-conditioned

honov regularization method and construct its solution using

matrix # with a well-conditioned matrix, derived from #,the generalized singular value decomposition (GSVD). The

does not necessarily lead to a meaningful solution. Regulari-method using the GSVD is equivalent to the method devel-

zation provides a stabilization of the solution with respect

oped in Ref. 10 and applied in Refs. 4, 5, but does not require

to small error fluctuations. In the following, we apply the Tik-

the direct inversion of the side constraint operator. The side

honov regularization scheme [17-19] and instead solve

constraints as well as the optimum regularization parameter

!
!
!#
' !
!
!
!
!
,
(
*)
+
&&
%
!
,
"
#
"
#
&
!
!%
&
!$ !
&
!
&

is discussed. Tikhonov regularization can address under- as
well as over-determined cases. The former is discussed in(3)Sec. III on the example of SXR arrays, while the latter applies# ""where,(,$'&*+#is the Euclidean norm and &is the free"to the SXRIS setup, shown in Sec. IV. In both cases, we apply

regularization parameter which controls the side constraint

the regularization to an analytic test image and study the in-. $$is an a priori assumption about the so!%
&
!!!$+
*)
+,
,
*

version quality with respect to resolution and regularization.

lution itself, which can either be zero, i.e. no assumption is

The conclusions summarize the inversion method's results.

made (used throughout the paper), or some assumed local
emission distribution within the zones, which is then forced

6.2 Mathematical approach to high resolution inversion

onto the solution.
B. Generalized singular value decomposition

Mathematically, the 3-D volume of SXR emission is di-

To solve Eq. (3), we use the generalized singular value

vided into $&$'$($) emission zones. Each zone is a cube

decomposition (GSVD)

of size !%$ inside the volume. On one side of the volume is

#%
&&')
$%%
#+
&
(*

a detector, which records the SXR emission. Note that later

%%%
!%
&&')
"+
&
(*

on we will reduce the emission volume to 2-D by e.g. exploit-(4)

ing a system symmetry. The detector itself can be a camera,

with the orthonormal matrices !()!##$) and "()!$#$) thewhich returns a 2-D "image" which has # number of pixels,

non-singular matrix #()!$#$) and the diagonal matrices

or just an array of # chords. Each pixel of the image or arraydiag(#) and diag("), both )!$#$ withchord has exactly one line-of-sight and records all emission!'("'-'(+'"

from the volume along its line-of-sight. Figure 1 shows a sche-"('"(-('+(!
#%%
#""%%
"&"
+.

matic sketch of the described setup.
The relation between local emission, the emission ineach zone of the volume, !()!3) and line integrated emission,(6)

Then the ratiosin case of a camera the value at each pixel (literally a camera

("
%
-$
， "&"
"&
'"

pixel) in the image plane, '()!#) is given by the linear equation
#%
!&'

(5)

(7)

are the generalized singular values of the matrix pair(1)

. Note that for !&"#!
!+*+the GSVD becomes the standard

with the geometric transform ##$matrix #, which

SVD.

will be discussed in more detail in Sec. IV.

In Ref. 10, the regularized solution is constructed by using the standard SVD of the Matrix #%!!". By using the defi９９

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.93, No.2 February 2017

trix

nitions in Eq. (4) we find SVD#%!!#&$%
%',
$*
*,
)
+)
%

!(!( &!% !(!('#&# !(!(') &#

(8)

(13)

&

which is identical to the definition in the reference. There-

and zero elsewhere. Inside the grid, the elements of ! arefore, the regularized solution constructed here is equivalent

well defined, but not at the boundary, because elements like!#to the one using the SVD of #%! . The difference is that!"!!#obviously do not exist. So, we have to define additional

the GSVD method does not require the direct inversion ofboundary conditions for the emission $&!
'. There are two com-the operator !!Using the GSVD we define

mon choices for non-periodic cases:

'',
"&$%

#$,
%&&!#%

1. Dirichlet boundary conditions, which set $&!
'&" if(9)#'*is outside the grid. Then ! is given by Eq.(13)"&!
)
with both indices between 0 and )!#.

and find for the regularized solution
#' '$
)
$
&
'$
'# " $+'$'!
&&% '&#*,*' %'2. Von Neumann boundary conditions, which set the firstorder derivative of #to zero at the boundary. Using the(10)

symmetric finite difference for the first-order derivative,
we find that $#. In those cases, the
#!
!#&$
!#!
'&$
&
!
&
!
'and $

with the filter factors
$
$
*'
%
'
$
'& $
$ $& $*'"' (' %"'$.
'respective elements of ! are set to 2 instead of 1.
In the following we use Dirichlet boundary conditions.

(11)

D. Choice of regularization parameter
The parameter 'determines the "strength" of the regu-

C. Choice of side constraint!((!)#)) is an operator which represents the side con-larization, i.e. the weight of the side constraint, which is given

straint. It is a necessary contribution to the actual ill-posedby !, relative to the solution constraint, Eq. (2). For '&"theminimization problem to find a meaningful solution. Numeri-

solution $' is unregularized and therefore, as it is typical forcally, a minimizer #, can be found," of Eq. (2)), using '&"ill-posed problems, undamped with high frequency compo-

but for ill-posed problems it is typically highly oscillatory (see$is very small. Verynents, although the residual +
#%
#
+
'!'

e.g. Fig. 8(a) or far away from the "real" solution. The side con-large values of 'on the other hand lead to #' which are no

straint can keep the obtained minimum solution within speci-

longer meaningful solutions to the actual problem since thefied bounds, can force a continuous solution or can ensure

residual becomes arbitrarily large. It is imperative to find theother problem-specific properties. If there is no other obvi-

optimum regularization parameter, which is a non-trivial

ous side constraint to the considered problem, !is often usedtask. Several methods are known to literature to estimate

as either the identity matrix ".or a derivative operator likethe optimum regularization parameter [20]; here we apply

the Laplace operator. In case of !&". the side constraint

the L-curve criterion [21].

forces the norm of the solution to be small and therefore en-

For a given regularization parameter 'and its regular-sures a bounded solution. A derivative operator on the otherized solution $', as obtained by the Tikhonov method, we

hand limits gradients within the solution and ensures a cer-

define the residual norm.

tain level of smoothness.

$#&!*&+&
$
#%
)$&+
#
+
&'%% )"'!'&&#! $%"'$&In the case of SXR emission in DIII-D discharges, we expect to see high emission from within the plasma, low or evenno emission outside and possibly a steep gradient at the(14)

and the semi-norm

plasma edge. So we neither want to limit the solution itself$#&!*&+&
$ $
!%
&$&+
#
%
)
+&% )
".
& $
'!# *
&&#!
%
"'$
&

nor its gradients, i.e. the first-order spatial derivative. On theother hand, we want to suppress high frequency fluctua-(15)

tions, like a noisy fragmentation, in the solution. So, we use

One method to determine the optimum regularization pa-

the Laplacian operator, the second-order spatial derivative,

rameter 'is to plot the semi-norm versus the residual norm

to ensure that the solution is sufficiently smooth, while 'con-

for various values of 'on a double log scale, as shown by the,trols the amount of smoothness. Let $
",!
#-*
)
,
!
-&$

schematic in Fig. 2. The resulting curve has the typical form!
)(!#, be an emission zone of the grid&&"!
)&!#, '&",!
,!

of an "L", hence the name L-curve. The optimum point of op-

in Fig. 6(c) with the zone size %in both dimensions, then we

eration is at the corner of the L-curve, which is the best tradeapproximate the Laplacian operator by the second order fi-

off between solving the problem and satisfying the side con-nite difference scheme

straint. Increasing 'also increases the level of regularization, i.e. oversmooths the solution in case of a Laplacian opera-

$
$
,"
$
$
$
"
%$(12)
)
",(
*
"#!
!#!
"#"$
!#*
&
!
'&)
&
'"$
&
'!%
&
!
'"$
&
!
'
&
!
'

tor; the residual norm strongly increases. Decreasing 'on

and with (&'!
)!#, we define the )#)Ma#)&"&&",!

the other hand reduces the regularization, i.e. the solution
１００

Lecture Note

6. Regularization of Soft-X-Ray Data in a Tokamak Application

W. Andreas

which is the relative error, given in %, of the regularized so-

becomes more noisy and the semi-norm rises.

lution with respect to the known, exact solution.

Here we use the L-curve to determine the optimum
regularization parameter by localizing the L-curve corner.

6.3 Inversion of tomographic SXR array measurements

Besides assessing the L-curve visually, there are two typicalways of localizing the L-curve corner numerically. First, theTikhonov regularization can treat underdetermined

corner of the L-curve represents a local maximum in the thecases with $"%. A typical example is a set of SXR arrays,

L-curve's curvature, as given by

where multiple view chords measure the line integrated

(*
&--)
κ&
,
# $#
(*
""&-)
)
*#

emission in a poloidal cross section, each under a different(16)angle, so that every array covers a wide area of the cross-and second, at the corner the distance of the L-curve from#section, while chords from different arrays intersect each#the origin !( "& is locally minimal. Both points should coincide, but in a practical application this is not necessarily theother. Here we pick a case of 4 arrays, each consists of 16 view

case because &contains a hidden free scaling parameter

tersect with each other. The array setup is shown in Fig. 3$(&!. Considering two regularizations as given by Eq. (3), in-(b); each of the red lines represent one view chord, while thedexed '1' and '2' respectively, withcolor contours represent local SXR emission for the test case.

$
$
,
%
&%
"
#

""&"#，&"&&#，!"&$!#，$'"&'##

chords. So, the set has a total of $&&%view chords that in-

The emission zones on the other hand are arranged in a 2(17)

D grid, which has to cover the entire cross-section. Here we(18)choose each zone to be square. Figure 3 (a) shows a typicalzone grid layed on top of the local test SXR emission. The

then obviously leads to
%
"&%
#.
'!
'!

shown grid size has a 7 cm resolution, which means the grid(19)

has "(#%$&''%emission zones. This is still a fairly course
resolution, but %is already more than 10 times larger than

From Eqs (14) and (15) we find("&(#, &&"&$#.

$. So the system is highly underdetermined.

(20)

The test emission is constructed from the magnetic to-

Therefore we use both criteria to determine $, so that thepology of a perturbed, weakly 3-D DIII-D equilibrium, by pre-point of maximum curvature coincides with the point of mini-

scribing an emissivity profile and assign emission to mag-mal distance. The corresponding (then gives the optimum

netic flux. The profile itself assumes emission is constant on

regularization parameter. Empirically we find that $scalesa flux surface and is peaked in the core and then falls of to-, i.e. the Frobenius! in such a way that #)
!,
",
$,
*
'#)
,
*

wards the plasma edge. The emission is zero outside of thenorm of both matrices are in the same order of magnitude.

plasma separatrix. The emission shown in Fig. 3 is highly re-

E. Image inversion quantification

solved and includes many fine structures. In order to obtain

To test and quantify the implemented regularization

the line integrated test SXR emission through the geometricscheme, we use an analytic test case. The structures in thetransform " of the arrays, the local emission needs to be

test image reflect features one could expect to see in a real

down sampled to the zone grid resolution. Figure 4(a) showsdischarge application. The test inversion consists of several

the down sampled local emission. Note that all the fine struc-steps:

ture is lost already.

step1. Generate analytically a 2-D image of local emission in

Using the local emission in Fig. 4(a), the line integrated

a poloidal cross-section. This 2-D local emission is nu-

data is constructed following step 2 of the test inversion

merically represented by the vector !
!.

scheme. Applying the Tikhonov regularization to the ob-

step2. Construct the geometric transform "and obtain thetained data set is not a real minimization problem, becauseline integrated test SXR emission #&"%!
!.

the local emission in Fig. 4 is an exact solution of the inverse

step3. Apply the Tikhonov regularization to reconstruct the

problem. So, to make the test problem more realistic, a small

local emission !
'and determine the optimum regulari-amount of white noise is added to the line integrated data

zation parameter ',-.through the L-curve.

set; here we use a random noise of at most 1% of the signal.

step4. Compare the regularized solution !
' with the ana-

The Tikhonov regularization is then applied to the "noisy"

lytic local emission !
!to quantify the quality of the in-data set and the local emission for the optimum regulariza-

version.

tion parameter is calculated. The result is shown in Fig. 4 (b).

,-.

As a measure, a figure of merit or FOM is defined inside theAs you can see, the plasma bulk is fairly recovered, as is thezone gridpeaking of the emission in the core. But the plasma shape

%
+
!,
' !%
,
%
)+* &
%
,
,
!
,-.

and other more detailed features, even of the down sampled
emission, remain somewhat obscure. The figure of merit is

(21)
１０１

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.93, No.2 February 2017at 23.3%, which is a quite significant relative error. The rea-

assumption is reasonable in the SXR emission regime, be-son is quite simple, only a set of 64 data points is available tocause thermal electrons follow field lines quite closely [22]reconstruct local emission at 774 grid points. There is simply

and parallel transport is much larger than perpendicular,

not enough data to recover a more detailed local emission.

while electron density and electron temperature are as-

The result hardly changes by removing the noise but getssumed constant on flux surfaces in standard axisymmetricworse if the noise is increased. Furthermore, the result be-equilibrium reconstructions. Note, that we do not need to as-

comes either more fragmented or more blurred, if the regu-

sume constant SXR emission on flux surfaces here. So, as

larization parameter is de- or increased respectively; theshown in Fig. 6(c), we step along a line-of-sight (the curved

FOM goes up in either case. This will be discussed in moreline is the toroidal projection of it into the tangency plane)

detail for the overdetermined case in the next section.

and trace each point along a magnetic field line towards the

Changing the zone grid resolution can potentially havetangency plane. Such traces are shown by the small lines in

an impact on the inversion quality. If the resolution is de-the figure. The intersections of the various traces with thecreased, the system becomes less underdetermined, but thetangency plane then give the respective emission zones,

down sampled emission becomes more coarse and bulky at

which are represented by the highlighted boxes within thethe same time. If the resolution is increased, the system be-dashed zone grid. By this procedure we can reduce the emis-

comes even more underdetermined, which means moresion volume by one dimension to the 2-D tangency plane,

regularization is required for a not-fragmented result. The

which is divided into a 2-D grid of )")")# square emission

result becomes more blurred instead. Figure 5 shows the fig-zones with resolution %""%+"&= const. The zone grid isure of merit for various zone grid resolutions )" "%)#
$withthereby limited by the vessel wall at the bottom, by the %=1.1!
)" "#$. A clear minimum isa fixed aspect ratio of $")##

scrape-off-layer surface at the left and right and by the up-

found at )" ""&, i.e. )"%%$, the resolution used in Fig. 4.

permost line-of-sight at the top.

6.4 Inversion of tangential 2-D SXR images in tokamaks

row by row, starting out as a row of zeros. Each row repre-

We aim to determine the local SXR emission inside a to-sents one emission zone. A line-of-sight is discretized with

The geometric transform, or !-Matrix, is then built up
sents one line-of-sight, i.e. one pixel, while each column repre-

kamak plasma from SXR camera measurements as sketcheda step size %*which should be smaller than the zone resolu-

by Fig. 1. The actual setup is shown in Fig. 6(a), which is ation %"to get reasonable statistics. For each point along the

top down view of the tokamak cross-section. The pinhole isline-of-sight (the respective emission zone j is located by fol-

located at the outer wall, while the camera views tangentiallylowing an equilibrium field line. Then the value of the emis-

into the torus; the view cone is given by the grey area. To

sion zone '"(is increased by one, i.e. !'("!'(!". Note that

achieve meaningful statistics of local emission we need a suf-

the resulting matrix is sparse in nature.

ficiently high number of different line-of-sights to penetrate

A. Test image development and characterization

the emission volume. This number of pixels should be larger

To create a representative test image, we use a typicalthan the number of zones, i.e. m > n. So, this is a typical exam-magnetic field configuration in DIII-D, consisting of the axi-

ple for the overdetermined case. Since the emission volume

symmetric equilibrium field plus a non-axisymmetric small

is 3-D while the pixel plane is 2-D, maintaining m > n and si-

perturbation field, and assign SXR emission to the field line

multaneously achieving a reasonable resolution of local emis-

penetration depth structure via an empirical emissivity pro-sion can easily become computationally challenging. In a to-file. $#%$Then we smooth the resulting 2-D emission by akamak the helical symmetry of the equilibrium field line con-simple moving average filter. The procedure of creating afiguration can be exploited.

test image is similar to the SXR modeling efforts described

Figure 6(b) shows a poloidal cross-section in DIII-D; it isin Ref. 15.

the tangency plane of the camera's optical axis marked by

The results of the inversion steps 1 and 2 can be seen

the cross. The separatrix and multiple flux surfaces are

in Fig. 7. Figure 7(a) shows the created test image $!. Notegiven, indexed by the poloidal flux which is normalized tothat the image is limited to the emission zones covered by

1 at the separatrix and 0 at the magnetic axis in the plasma

the geometric transform. The test emission shows multiple

center. The flux surface configuration as shown in Fig. 6(b)different features, which we also would like to resolve in ais toroidally axisymmetric but the field lines are helical. The

real discharge application. The most obvious feature is theview cone of the camera covers the grey highlighted area.

plasma bulk, given by any emission greater than zero. The

To make use of the helical field line symmetry, we imply

plasma bulk is characterized by a coarse structure; the emis-

the fundamental assumption that SXR emission is constantsion peaks along the edge, decreases further inwards andalong magnetic field lines for the length of the trace in Fig.

then increases again in the core. On top of the coarse struc-6(c), which is between 0 m and 1.2 m along a field line. Thisture, several different fine-structure features appear due to
１０２

Lecture Note

6. Regularization of Soft-X-Ray Data in a Tokamak Application

W. Andreas

the perturbation. One feature is the boundary shape, show-

IID successfully located the L-curve corner. This is verified

ing several so called lobes, that reach out towards the vesselby the FOM, Eq. (21), as shown in Fig. 9(b). The L-curve cor-wall at the lower corner of the separatrix. Inside the plasmaner, given by the black star marker is also located veryedge small regions of increased emission can be found. Those

closely to the minimum of FOM, which means that the corre-features are created by islands in the magnetic structure.

sponding solution, Fig. 8(b), gives the best possible fit withThe line integrated test emission as obtained from the test

the test image at !
#%$ = 9.8%. This value is not negligible

image is shown in Fig. 7(b). Many of the test image's featuresdue to the applied noise, but still much smaller than theare obscured due to the line integration. Note that the line

FOMs of Figs. 8(a)&(c), which are at 25.8% and 21.1% respec-

integrated image is limited by the circular detection plane,

tively. Note that we limit the FOM calculation to the region

while the emission inside is limited by the vessel wall. The

with !"!!
!
"to exclude the artifacts.

centerpost, which is the vertical wall segment on the left side

6.5 Conclusions

in Fig. 6(b), is clearly visible by the vertical cut-off in the line
integrated emission. For the remainder of Sec. IV, Fig. 7 (b)We developed an image inversion scheme for the SXR

is the starting image "for the Tikhonov regularization.

diagnostics at the DIII-D tokamak, to obtain the local SXR

B. Effect of the regularization parameter $emission at a poloidal cross-section from the spatially line-

The inversion scheme and therefore the quality andintegrated data, either taken by a set of arrays or the SXRIS

success of the regularized image depends on multiple pa-

camera. The scheme is based on the Tikhonov regularization

rameters. The most obvious one is of course the regulariza-

method, since the inversion problem is generally ill-posed.

tion parameter $itself. Since we obtained the line integrated

We constructed a numerical algorithm, using the general-test emission "in the last section (Fig. 7(b)) directly throughized singular value decomposition to determine a solution in

the geometric transform !, the test image !
!is the exact ana-

dependence of a free regularization parameter. The latter

lytic solution to Eq. (1). To study the effectiveness of the in-has to be chosen carefully. Here we applied the L-curve

version scheme in a closer approximation to a practical appli-

method to determine the optimum regularization parame-

cation, we convert the test problem setup to an actual mini-ter, which is the best trade-off between the residual error

mization problem as Eq. (2) by adding a small level of random

and the applied side constraint. To study the properties ofwhite noise to "as a perturbation; here we use 2% of thethe inversion scheme, we first considered a representative

maximum signal.

test image, which was constructed by assigning SXR emis-

Figure 8 shows three different regularized solutions forsion to the simulated vacuum magnetic field structure, typi-

three different regularization amounts $. First, a strongly

cal to DIII-D. Line-integrated data was obtained and subse-

under-regularized solution for v = 0.2 in Fig. 8(a), which isquently inverted by our regularization algorithm. An undercharacterized by high frequency oscillations and fragmenta-- and an over-determined case have been considered; the for-tion. Second, the optimum regularized solution #$ according

mer is represented by SXR arrays while the latter is theto the L-curve criterion for $= 6.9 in Fig. 8(b), which shows

SXRIS camera.

"#$

good agreement with the test image. All features of the origi-

In case of the SXR arrays, the inversion generally suf-

nal test image, which is the exact solution to the regularized

fers from the lack of information. Nevertheless, the Tikhonov

problem, are well reconstructed in #$ , not only the plasma

regularization was able to compute an inverted image that,bulk, but also the lobes and the islands. Only at the very top,

although is course in nature, still fairly reconstructs thein the core region, there are differences between #$ andplasma bulk and the emission peak in the plasma core. It is!
!. These deviations are artifacts of the regularization, whichfound that the relative error between the test image and theare systematic and therefore unavoidable without additional

inversion becomes minimal for a zone resolution that is abouta-priori information. The upper boundary of the emission

10 times larger than the number of chords in the arrays.

"
#$

"
#$

zone grid is defined by the limit of line-of-sight coverage. ThisFor the SXRIS camera, all features were reconstructed

implies that, compared to the lower part of the zone grid, onlywith excellent agreement to the test image. Only at the top

very few line-of-sights intersect with emission zones at theboundary, inside the plasma core region, artifacts appeared.

upper boundary and therefore the uncertainty becomes

The inverted image has two main sources of error. Somelarge in this region; hence artifacts appear. Figure 8(c) gives

emission zones get intersected by many sight-lines, whilea strongly over-regularized solution for $= 178, which isothers only get intersected by few. Precision, defined as theover-smoothed and smears out any structure besides therelative amount of sight-line intersections for each emission

overall plasma bulk itself.

zone, is linked to the geometric setup and therefore a prop-

The corresponding L-curve is shown in Fig. 9(a), whicherty of the inversion scheme. The top boundary suffers fromis not as strongly shaped as suggested by the theoreticalvery low sight-line coverage, which limits the precision. The

curve in Fig. 2. Nevertheless, the algorithm described in Sec.

second source of error is a low signal/noise ratio. More de１０３

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.93, No.2 February 2017tails and the application of the inversion scheme to actual

across it represents the tangency plane of the optical axis.

data can be found in Ref. 23.

(b) The poloidal cross-section of the tangency plane in DIIID. The grey circle represents the area seen by the camera.

Acknowledgment

The cross is the center, where the optical axis intersects.

This work was supported by the US Department of Energy

The separatrix and multiple plasma equilibrium flux sur-under DE-AC05-00OR22725.

faces are shown. (c) A magnification of the area viewed by
the camera, divided into emission zones. The curved line is

Figure Captions

the toroidal projection of a line-of-sight into this poloidal crossFig. 1: Schematic setup for recording line-integrated SXR-section. Various points along the line-of-sight are traced

emission. Several line-of-sights (chords), starting at somealong the magnetic field lines (lines from curved line to high-camera pixels and going through the pinhole, penetrate thelighted boxes), based on their helicity, to the respective emis-

emission volume, which is divided into multiple zones.

sion zones (highlighted boxes) in the tangency plane, which
are then the source of emission along this line-of-sight.

Fig. 2: Schematic of a typical L-curve.
Fig. 7: (a) Test image of local emission, (b) Line integrated
Fig. 3: Local test emission with (a) the zone grid and (b) theemission image as seen by SXR camera. Created from (a).

array chords overlayed.
Fig. 8: Tikhonov regularization of Fig.7(b) with 2% noise
Fig. 4: (a) Local test emission down sampled to zone grid reso-

added. (a) Regularized image for != 0.2. (b) Regularized im-

lution. (b) Inversion result for optimum regularization pa-

age for the optimum regularization parameter != 6.9. (c)rameter != 1.73 and !
!#" = 23.3%.

Regularized image for != 178.

Fig. 5: Figure of Merit of inversions at respective optimum

Fig. 9: (a) The L-curve. The three markers show the position

regularization parameter for various zone grid resolutions.

of solutions [Figs. 8(a)-(c)] on the L-curve. (b) Figure of Merit

Raw (grey) and smoothed (black) data.

evolution for the full range of regularization parameters
used in (a). Again the markers give the FOMs for the solu-

Fig. 6: (a) Schematic top down view of the tokamak. The grey

tions [Figs. 8(a)-(c)].

area shows the view cone of the pinhole camera. The line!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Andreas Wingen
Andreas Wingen graduated from theHeinrich---Heine University Düsseldorf,
HHU, (Düsseldorf, Germany) in 2002 with adiploma in physics and received his PhD in
Plasma Physics in 2006. He then continued working at the HHU
as a postdoctoral research associate. In 2011 Dr. Wingen completed his Habilitation at the HHU and was awarded the titleof Private Lecturer. He then joined Oak Ridge National Laboratory in 2012, first as a postdoctoral research associate and later
as a staff scientist. Dr. Wingen is on long---term assignment at
the DIII---D National Fusion Facility at General Atomics in San
Diego. During his career he primarily focused on effects of applied 3D magnetic perturbation fields in tokamaks. His research is mainly theoretical and numerical, but is always
closely coupled with experimental data. Recent research efforts involve 3D equilibrium reconstruction in tokamaks withapplied perturbation fields.

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

１０４

J. Plasma Fusion Res. Vol.93, No.2 (2017)１
０５‐１０６

講座 画像再構成とパターン認識の数理

７．おわりに
7. Epilogue
大舘

暁

OHDACHI Satoshi
核融合科学研究所（原稿受付：２
０
１
７年１月１
９日）

７．
１ 数理的手法の有効性

７．
２ プラズマ計測への適用

全６回にわたって画像再構成とパターン認識の数理につ本講座第５章ではプラズマのイメージング計測の新たないての講座をお送りしてきた．数理的な基盤をしっかり整アプローチについて紹介されている．秋山毅志氏らの自然備することで，逆変換のプロセスで最大限の情報が引き出科学機構連携チームから大型望遠鏡で用いられている補償

されていることを納得していただければ，講座のまとめ役

光学で利用される波面センサーをプラズマ乱流計測に適用として大変うれしい．

する試み［６］，荒川弘之氏からは符号化開口法の一種であ

逆変換の手法 の な か で 最 も 基 本 的 な 手 法 で あ る Tik-

る符号化アダマール変換分光による空間分解能の向上，にhonov 正則化が，ベイズ推定の結果とみなすこともできる

ついてそれぞれの計測原理が説明された［７］．両者に通ずことは，岩間尚文氏による本講座第２章「２．画像再構成のるのは計算によって解像度を上げる点である．画像再構成

数理的基礎」［１］によって詳しく議論された．このベイズ推の数理や情報学の知見がキーとなっており，コンピュテー

定を使った機械学習，画像認識は，近年大変大きな発展を

ショナルイメージングと呼ばれている．コンピュータトモ

遂げており，本講座シリーズでも内田誠一氏によるパター

グラフィはコンピュテーショナルイメージングの最もよくン認識についての講座第３章「３．パターン認識入門〜人知られている例である．このように計算による分解能の向工知能の基盤技術」［２］で詳説された．解説では，なぜパ上，計算による再構成を前提にする計測手法が今後増えてターン認識技術が急速な発展をとげたかについて，１）大いくと考えられる．

規模なデータセットの整備，２）ディープラーニングのよ

第６章では核融合プラズマでの例として DIII-D で のうな有効な認識手法の開発という理由づけとともに，３）

SXR 計測を用いたコンピュータトモグラフィが紹介されオープンサイエンスによる取り組みがあげられている．たた．Andreas Wingen 氏により，Tikhonov 正則化を用いた

とえば，機械学習を行うライブラリ群は，複数のグループ

線積分計測から局所 SXR 放射イメージの再構成について，

から大規模かつ高度なものが提供されており（tensorflow

逆変換の解像度と精度が評価された．磁力線が螺旋状であ［３］，chainer［４］など），テスト用のデータも公開されていることを利用して，視線がより多くの放射領域を通過するることから機械学習という研究分野に参入する障壁が大変ようにする等，トロイダルプラズマならではの工夫も紹介

低くなっている．激しい競争と，参入の容易さからくる裾された［８］．

野の広がりが，多くのアルゴリズムが試される状況を生

７．
３ コミュニティ形成

み，急速な進歩を生んでいると考えられる．このように画核融合研究のコミュニティにおいては，プラズマ・核融像再構成とパターン認識に関する研究は大変活気を帯びて合学会誌での岩間氏の優れた解説などによって［９］，画像

いる．
逆問題を解く際に関数や行列を互いに直交する要素の線

再構成・逆変換問題をどう取り扱うかについて共通の認識

形結合で書き表すことは，非常に有効な手法である．画像

がこれまでにも形成されてきた．それが現在の活発な研究

逆変換においても，任意の画像を直交する要素で書き表す

状況に結びついている．さらに一歩踏み込んで，データ解ことは重要であり，パターン認識においても，特徴抽出に析用のライブラリの公開や，逆問題解法を試すための実験

使われる技法のベースとなっている．本講座第４章では，データをセットの公開などを行い［１０］，研究をより活性化

斎藤直樹氏により，この正規直交系を任意の形状の領域でしたいと考えている．これまで，本講座で取り上げた画像構築するラプラシアン固有関数について詳しく解説いただ

再構成や，それに隣接する数理的課題について議論する

いた［５］．

ワークショップなどを開催してきたが［１１］，今後も継続して行い，コミュニティの拡大を図っていきたいと考えてい

National Institute for Fusion Science, Toki 509-5292, GIFU Japanauthor’s e-mail: ohdachi@nifs.ac.jp

１０５!201７The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.93, No.2 February 2017［５］斎藤直樹：プラズマ・核融合学会誌 92, 904 (2016).
［６］秋山毅志 他：プラズマ・核融合学会誌 92, 912 (2016).
［７］荒川弘之：プラズマ・核融合学会誌 92, 917 (2016).
［８］A. Wingen：プラズマ・核融合学会誌 93, 91 (2017).
［９］岩間尚文，大舘 暁：プラズマ・核融合学会誌 82, 399(2006).
［１０］既に京都大学の藤井恵介氏のグループは Github 上で種々のライブラリ類の公開を始めている．
［１１］https://workshop.nifs.ac.jp/gazo̲keisoku2015/

る．オープンサイエンスめざした取り組みに協力いただける方にも，我々の試みにぜひ参加をお願いしたい．

参考文献［１］岩間尚文，大舘 暁：プラズマ・核融合学会誌 92, 743(2016).
［２］内田誠一：プラズマ・核融合学会誌 92, 839 (2016).
［３］https://www.tensorflow.org/［４］http://chainer.org!!!!!!!!!!!!!!!!!!

だち

さとし

大 舘

おお

暁

核融合科学研究所・ヘリカル研究部・高密度プラズマ物理研究系．専門は磁場閉じ込
めプラズマの MHD 不安定性，イメージン
グ技法を使った揺動解析．データ解析にRuby を愛用してきたのだけど（拙作のプロットライブリ
リ：https://github.com/ohdachi/ogreplot），最近，機械学習
の人気もあって地位を不動のものにした Python に大差をつけられていて少し悲しいです．私自身も Python に移行する
必要を感じるので，最近は解析プログラムは Python で書くようにしています．

!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

１０６