The Axiom for Concaviﬁable Preference in View
of Alt’s Theory
細矢祐誉
中央大学

October 30, 2022

細矢祐誉 (中央大学)

Concaviﬁability and Alt’s Theory

October 30, 2022

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研究の経緯（１）
今回の研究は、Alt (1936) に始まるアルトの効用理論の話である。
アルトは、X 2 の部分集合 ≿ と X 4 の部分集合 ≥ のペアについて、(x, y) ∈≿⇔ u(x) ≥ u(y),(x, y, z, w) ∈≥⇔ u(x) − u(y) ≥ u(z) − u(w)を満たす関数 u : X → R の存在条件を考え、いくつかの公理の下でその存在を（当時としてはかなり厳密に）証明した。彼の使っていた公理は多かったが、時代を考えればその当時では非常に先進的な結果だったと思われる。また現代的にも、ある種の基数性を持つ効用関数の理論として、興味深い結果である。

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研究の経緯（２）アルト自身は X について特に仮定を明示していないのだが、証明を見る限り Rn の連結部分集合であると思われる。その後、KLST(1971) はアルトの結果を抽象的な集合 X に拡張した。彼らはアルトが Rn の位相を用いて証明していることを、最初から公理として組み込むことで、位相のない空間での表現定理を導出している。
しかし技術的にはアルトの証明から進化しているとは言えない。
一方で、Shapley (1975) はこの文脈について研究を深め、公理の数をドラスティックに減らすことに成功している。彼はアルトの公理のうち３つだけが実質的に必要であり、残りの公理はすべてそれら３つから導出できることを証明した。ところが、このシャプレーの結果については X についての仮定が書かれていない。にもかかわらず、明らかに X はなにか条件がないと彼の証明は通らない。

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研究の経緯（３）Miyake (2016) はシャプレーの結果について、「X は R の凸集合である」ときの証明であると考えている。精査した限り、確かに X
が R の凸集合であればシャプレーの証明は通る。しかしシャプ
レー自身は X に対する仮定を明示していないため、本当にそうなのかがよくわからない。そもそもシャプレーの論文は Discussion
Paper であるため、どの程度文脈上で知られているかもよくわからない。
今回の研究では、シャプレーの結果を X がどのような仮定を満たせば再現できるかについて精査し、X が「可分かつ弧状連結なハ
ウスドルフ位相空間」であれば証明が通ることを確認した。しかし問題は、上記のような事情によってこの結果が「新しい結果」と見なされるかどうかが不透明なことであった。

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研究の経緯（４）そこで、アルトの効用が凹関数や狭義凹関数になるための条件、および微分可能になるための条件を導出し、これらを加えて一本の論文としたのがこの論文である。
現状用いられる大半のサミュエルソン＝バーグソン型社会的厚生関数は狭義準凹であり、したがってもしアルトの効用関数が凹関数であるのならば、「同じ効用関数を持つ二人」はなるべく似た状態にした方が厚生は増大する。一方で凹関数でないならば、「同じ効用関数を持つ二人」をあえて違う状態にすることで厚生が増大する可能性がある。このように、凹であるかどうかだけでも、倫理規範についてなにか言えることがあるのではないかというのが、上記の結果を付け加える意義があると考えた根本的な理由である。

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研究の経緯、余談（１）

なお、通常の効用理論でも、≿ を表現する効用関数の中に凹関数が存在する条件は難しく、Kannai (1977) は必要十分条件を３つ導出しているが、いずれも解釈が困難である。Monteiro (2010) は
R2+ 上の選好で、無差別曲線が直線になるクラスの中で、凹関数で表現できないものの存在を論じている。このように凹表現可能性というのは通常の文脈ではかなり難しいのだが、アルトの効用理論の中では、凹表現可能性は（強さはともかく）解釈が非常に容易な条件で記述することができる。この意味で、通常の凹表現可能性の理論的にも少し新しい意味を持つ結果であるのではないかと思われる。

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研究の経緯、余談（２）レフェリーに言われて知った研究として Wakker (1988) というものがあり、こちらも３つの公理からアルトの効用関数の存在を導出している。しかし、その証明はかなり疑わしく、少なくとも自分には解読できなかった。一方、彼の結果が正しかったとすれば、彼は可分で連結なハウスドルフ位相空間で議論しているので、弧状連結性を除去できることになる。しかし、公理の強弱で言うなら
ば彼の reversal property と continuity の二つの公理からシャプレーの３公理が全部導出できるため、concatenation axiom という彼の公理は（少なくとも弧状連結性の下で）不要である。このように、合っていたとしても彼の結果は本論文の結果を含意しないという意味で、本論文の結果は彼の結果と独立であると考えられる。

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アルトの表現理論（１）以下、X はなんらかの集合であるとする。アルトの効用理論は、
X 上の四項関係 ≥ を用いて議論される。この四項関係 ≥ を本研究
では「アルト機構」と呼ぶことにする。ただし、≥ がアルト機構と呼ばれるときには、それが X 2 上の弱順序であることを常に要請する。
(x, y, z, w) ∈≥ は「y から x への変化による改善の方が、w から zへの変化による改善よりも『強い』」という、改善の強度を表す。
これを用いて、通常の選好関係に当たる次の X 上の二項関係 ≿ が定義される。

≿= {(x, y) ∈ X 2 |(x, y, y, y) ∈≥}.

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Concaviﬁability and Alt’s Theory(1)

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アルトの効用理論（２）実数値関数 u : X → R がアルト機構 ≥ を表現するとは、以下の条件(x, y, z, w) ∈≥⇔ u(x) − u(y) ≥ u(z) − u(w)(2)
が成り立つことを言う。アルト機構の表現関数においては
u(x) − u(y) は y から x への状態の変化による改善の強さを表す数値となっている。この場合、(x, y) ∈≿⇔ u(x) ≥ u(y)(3)

となっているため、アルト機構の表現関数は自動的に (1) で定義される ≿ を表現する効用関数になっている。

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アルト機構の書き方

いつものように、(x, y) ∈≿ の代わりに x ≿ y と書く。x ≿ y かつ
y ̸≿ x のときは x ≻ y と、また x ≿ y かつ y ≿ x のときは x ∼ y と書く。一方で、(x, y, z, w) ∈≥ の方は、[x, y] ≥ [z, w] と略記することにする。[x, y] ≥ [z, w] かつ [z, w] ≥ [x, y] であることは、[x, y] = [z, w] と書く。また [x, y] ≥ [z, w] かつ [x, y] ̸= [z, w] である
ことは [x, y] > [z, w] と書く。

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整合性公理（１）

いくつかの公理を紹介していく。

整合性公理
アルト機構 ≥ が整合性公理を満たすとは、任意の x, y, z ∈ X に対して、
x ≿ y ⇔ [x, z] ≥ [y, z]が成り立つことを言う。

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整合性公理（２）整合性公理は読み方が少し難しい公理である。まず、ある z に対して [x, z] ≥ [y, z] だとすると、整合性公理から x ≿ y である。次に、x ≿ y だとすると、任意の z に対して [x, z] ≥ [y, z] である。このように、整合性公理は対称形の公理のように見えて、少し非対称に見える性質を持つため、証明で用いるときに混乱の元になることがある。
上記の考察から、整合性公理があると、ある z に対して
[x, z] ≥ [y, z] ならばすべての w に対して [x, w] ≥ [y, w] である、という帰結が得られる。

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整合性公理（３）整合性公理の下では、(1) で定義された ≿ は弱順序になる。たとえば完備性を示すには、x ̸≿ y ならば [x, y] ̸≥ [y, y] なので、≥ の完備性から [y, y] ≥ [x, y] で、これに整合性公理を適用することで[y, x] ≥ [x, x] を得るため、y ≿ x が得られる。
推移性については、x ≿ y かつ y ≿ z ならば、まず後者から[y, z] ≥ [z, z] である。一方、前者から [x, y] ≥ [y, y] を得るので、これに整合性公理を適用すると [x, z] ≥ [y, z] が得られる。よって、≥ の推移性から [x, z] ≥ [z, z] を得て、x ≿ z となる。

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整合性公理（４）

最後に、もし u が ≥ を表現していれば、整合性公理は単に

u(x) ≥ u(y) ⇔ u(x) − u(z) ≥ u(y) − u(z)という意味なので、自動的に成り立つ。よって、整合性公理は表
現関数 u の存在の必要条件の一つであることがわかる。

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交差公理（１）

次の公理は、整合性公理よりは少し解釈が難しい。

交差公理
アルト機構 ≥ が交差公理を満たすとは、任意の x, y, z, w ∈ X に対して、
[x, y] = [z, w] ⇒ [x, z] = [y, w]が成り立つことを言う。

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交差公理（２）
交差公理があると、次のことがわかる。まず、≥ は弱順序であるから、[x, y] = [x, y] である。これに交差公理を適用すると、[x, x] = [y, y] を得る。つまり、交差公理の下で「変化しない」こと
は常に同程度の強度である。一方、整合性公理の下では、x ∼ y であるならば [x, z] = [y, z] であるが、これに交差公理を適用すると[x, y] = [z, z] が得られるので、「無差別なものに変える」ことと「変化しない」ことも同程度の強度である。
また、= は対称的な関係だから、交差公理からただちに[x, y] = [z, w] ⇒ [w, y] = [z, x]という関係も得られる。

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交差公理（３）

最後に、もし u が ≥ を表現していれば、交差公理は単に

u(x) − u(y) = u(z) − u(w) ⇒ u(x) − u(z) = u(y) − u(w)という関係であり、これもまた当然成り立つ。よって交差公理も、表現関数 u の存在の必要条件の一つである。

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連続性公理最後の公理のためには、X が位相空間である必要がある。

連続性公理
アルト機構 ≥ が連続性公理を満たすとは、≥ が X 4 の直積位相において閉であることを言う。
もしアルト機構を表現する連続関数 u が存在すれば、≥= {(x, y, z, w) ∈ X 4 |u(x) + u(w) − u(y) − u(z) ≥ 0}であるから、連続性公理は明らかに成り立つ。また、≥ が閉集合であれば当然、(1) 式で定義された ≿ も閉集合になる。

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表現関数の存在定理

以下の結果が我々の表現定理である。

定理１
X は可分で弧状連結なハウスドルフ位相空間とする。このとき、
X 上のアルト機構 ≥ が整合性公理、交差公理、連続性公理を満たすことと、それを表現する連続関数 u : X → R が存在することは同値である。さらに、それは正アフィン変換を除いて一意である。
この定理の証明では一箇所だけ X の連結性ではなく、弧状連結性が必要になる場所がある。よって、ドブリューの効用関数の存在定理よりも、X に対する要求が強くなっている。

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技術的な補足
この定理を使うに当たって、以下の補題が必要である 1 。

補題
v : X → R は (3) 式を満たす定数関数ではない連続関数とし、D はv(x) が 2ik の形になるような x の集合とする。このとき、任意のx ∈ X に対して、x ∼ x′ となるある x′ ∈ X と、x′ に収束する D 上の点列 (xn ) が存在する。さらに、x が v の最大点でなければ、
v(xn ) > v(x) を満たすように (xn ) を取ることができ、また逆に xが v の最小点でなければ、v(xn ) < v(x) を満たすように (xn ) を取ることができる。
この補題の証明に X の弧状連結性がどうしても必要なため、定理
１は弧状連結でないと証明できない。逆に言うと、この補題が連結な位相空間で成り立つならば、定理１の弧状連結性は連結性に弱められる。
1

後の証明セクションの補題６である。
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20 / 56一般化されたゴッセンの第一法則（１）以降、X は線形位相空間の凸集合とする。アルトの表現関数が凹関数であるための条件を述べよう。

一般化されたゴッセンの第一法則
アルト機構 ≥ が一般化されたゴッセンの第一法則を満たすとは、任意の x, y ∈ X に対して、z = 12 (x + y) としたとき、[z, x] ≥ [y, z]が成り立つことを言う。もし、x ̸= y の時には常に[z, x] > [y, z]が成り立つならば、この機構は一般化された強いゴッセンの第一法則を満たすと言う。
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21 / 56一般化されたゴッセンの第一法則（２）
X が Rn+ である場合を考え、y = x + 2aei であるとしよう（ei は第i 単位ベクトル）。このとき、z = x + aei であるため、表現関数をu としたとき、一般化されたゴッセンの第一法則は
u(x1 , ..., xi + a, ..., xn ) − u(x1 , ..., xi , ..., xn )≥ u(x1 , ..., xi + 2a, ..., xn ) − u(x1 , ..., xi + a, ..., xn )という意味になる。もし u が微分できれば、平均値の定理から、こ∂u
れは概ね、偏微分 ∂x(x) が非増加である、という事実に対応する。
i
もちろん「強い」方を仮定すれば、偏微分が減少的であること、つまり「限界効用の逓減」を意味し、これが古典的なゴッセンの第一法則である。したがって我々の「一般化されたゴッセンの第一法則」は、ゴッセンの第一法則を少し強めたものであると言える。
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22 / 56一般化されたゴッセンの第一法則（３）一般化されたゴッセンの第一法則は、以下の条件と同値である：
x, x + 2v ∈ X ならば、

[x + v, x] ≥ [x + 2v, x + v]
が必ず成り立つ。v を改善の方向と見た場合、最初に v だけ改善した場合の改善強度は、そこからまた v だけ改善した場合の改善強度よりも高くなければならない。つまり、改善方向を一定として改善しようとすると、改善効率がだんだん悪くなっていくのである。
これが一般化されたゴッセンの第一法則の経済学的な含意である。

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凹表現定理以下の結果が最も重要な定理である。

定理２
X はハウスドルフ線形位相空間内の可分な凸集合で、X 上のアルト機構 ≥ を表現する連続な関数 u : X → R が存在するとする。このとき、この関数が凹であるための必要十分条件は、一般化されたゴッセンの第一法則である。また、この関数が狭義凹であるための必要十分条件は、一般化された強いゴッセンの第一法則である。
こうして、アルト機構の凹表現の公理化が成功した。

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24 / 56微分可能性（１）ゴッセンの第一法則は限界効用を用いているため、限界効用が定義できる可能性、つまり微分可能性について議論しておこう。以降では X は Rn+ とする。

単調性
アルト機構 ≥ が単調であるとは、x ≫ y ならば x ≻ y となることを言う。

ドブリューの滑らかさ
アルト機構 ≥ がドブリューの意味で滑らかであるとは、無差別関係 ∼ のグラフと (Rn++ )2 の共通部分が 2n − 1 次元の C 1 級多様体であることを言う。

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25 / 56微分可能性（２）線分の滑らかさアルト機構 ≥ が単調で、かつそれを表現する連続な効用関数 u が存在するとし、e = (1, 1, ..., 1) とする。このとき、0 < a < b ならば必ず f (a, b) > 0 が存在して、[f (a, b)e, (b − a)e] = [(b + a)e, f (a, b)e]が成り立つ。このとき、この機構が線分の意味で滑らかであるとは、以下の極限評価が常に成り立つことを言う：

b − f (a, b)
= 0.
a↓0
a

lim

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26 / 56微分可能性（３）定理３
X は Rn+ で、X 上のアルト機構 ≥ を表現する連続で凹な関数 u が存在し、またこれは単調であるとする。このとき、u が Rn++ 上で
C 1 かつ非退化であるための必要十分条件は、それがドブリューの意味と線分の意味両方で滑らかであることである。
弱順序 ≿ が連続、単調で、かつドブリューの意味で滑らかであれ
ば、≿ を表現する C 1 で非退化な (3) を満たす関数が存在する。しかしここではアルト機構を表現する関数の滑らかさであるため、線分の意味での滑らかさという追加条件が必要となる。

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技術的な補足（１）

実のところ、凹でない u に対しては定理３が成り立つかどうかは不明である。定理３の証明には、u から構成した g(a) = u(ae) が凹であることを使っているからである。また、u が C 2 であるため∂uの必要十分条件も現状ではまだわかっていない。 ∂xが凹とは限らi
ないため、定理３で用いた技術がそのまま使えないのである。

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技術的な補足（２）
アルトの効用は、ＡＬＥＰの代替・補完と言われる概念と密接に関係している。財 i が財 j に対してＡＬＥＰの意味で代替的であるとは、∂ 2u(x) < 0(4)
∂xj ∂xiが成り立つこととして定義される。別の言い方をすると、財 j の消費量の増加が財 i の魅力を削ぐ場合に、i は j に対して代替的とするのが、ＡＬＥＰの定義である。
この定義は von Auspitz and Lieben (1889) に始まり、Edgeworth(1897) と Pareto (1906) も論じているが、経済学の中で序数的効用の理論が支配的になるにつれて姿を消していった概念である。しかし、アルトの効用はこの定義の解釈にぴったりな効用理論なので、これについてＡＬＥＰの代替・補完を議論することには意味がある。
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技術的な補足（３）しかしながら、(4) が定義できるためには u は二階微分可能でなければならない。C 1 の凹関数はほとんどすべての点で二階微分可能である（アレクサンドロフの定理）が、これを「すべての点」に改良できるための条件が欲しい。しかし、前のスライドで議論したように、現状ではこの問題は未解決である。

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第二整合性
以下、定理１の証明を念のために記しておく。まず、以下の性質
は公理ではなく、先に紹介した３公理から出てくる結果であるが、名前をつけておいた方が後々便利である。

第二整合性
任意の x, y, z ∈ X に対して、x ≿ y ⇔ [z, y] ≥ [z, x]が成り立つ。
定理の証明には、この性質がどうしても必要である。したがって
まず定理の証明は、この結果を証明するところから始まる。（今回は、ややこしいので割愛）
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第一の補題（１）
第二整合性を証明する過程で出てくる次の補題は、証明が簡単なので示してみよう。これは今後も繰り返し何度も使う。

補題１
もし[x1 , y] ≥ [z, w] ≥ [x2 , y]であるとすれば、ある x3 ∈ X が存在して、[x3 , y] = [z, w]が成り立つ。さらに x1 ≿ x3 ≿ x2 である。x4 も同じ条件を満たしているとすれば、x3 ∼ x4 である。

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第一の補題（２）
補題１の証明のために、まずU = {x ∈ X|[x, y] ≥ [z, w]}, D = {x ∈ X|[z, w] ≥ [x, y]}と定義する。連続性から、U も D も閉集合であり、また
x1 ∈ U, x2 ∈ D なので、二つとも非空である。よって X の連結性から、x3 ∈ U ∩ D が存在しなければならない。このとき明らかに[x3 , y] = [z, w]である。整合性公理から x1 ≿ x3 ≿ x2 であり、またもし[x4 , y] = [z, w] ならば、

[x3 , y] = [x4 , y]
であり、よって整合性公理から x3 ∼ x4 である。以上で証明が完成した。
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第二の補題整合性の代わりに第二整合性を用いることによって、以下の補題は補題１とまったく同様に示せる。証明はほぼ一緒なので省略する。

補題２
もし[y, x2 ] ≥ [z, w] ≥ [y, x1 ]であれば、ある x3 ∈ X に対して

[y, x3 ] = [z, w]が成り立つ。さらに x1 ≿ x3 ≿ x2 であり、また x4 も同じ性質を持っていたとすれば、x3 ∼ x4 である。

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第三の補題（１）

次の補題も簡単に示せるので、示してみたい。

補題３x ≻ z であるとすれば、[x, y] = [y, z]を満たす y ∈ X が存在し、x ≻ y ≻ z である。もし y ′ も同じ条件を満たしていたとすれば y ∼ y ′ である。
補題１、２と同様、この証明にも、X の連結性が用いられる。

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第三の補題（２）まず、

U = {w ∈ X|[w, z] ≥ [x, w]}, D = {w ∈ X|[x, w] ≥ [w, z]}と定義すると、これらは共に閉集合であり、また x ∈ U かつz ∈ D なので、両方非空である。したがって y ∈ U ∩ D が存在しなければならない。明らかに[x, y] = [y, z]である。ここで y ′ ≻ y ならば[y ′ , z] > [y, z] = [x, y] > [x, y ′ ]であり、y ≻ y ′ ならば[x, y ′ ] > [x, y] = [y, z] > [y ′ , z]なので、[x, y ′ ] = [y ′ , z] ならば y ∼ y ′ でしかあり得ない。
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第三の補題（３）

最後に、仮に y ≿ x ならば y ≻ z なので、[y, z] ≥ [x, z] > [x, y] = [y, z]となって矛盾が生じる。よって x ≻ y でなければならない。同様にして y ≻ z もわかるので、これで補題３の証明が完全に完成した。

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第四の補題（１）
補題４x ≻ y であり、z ≻ x であるとすれば、ある有限列 a0 , a1 , ..., ak が存在して、
a0 = y, a1 = x, [ai+1 , ai ] = [ai+2 , ai+1 ] for all i,z ≿ ak , [a1 , a0 ] > [z, ak ]が成り立つ。同様に y ≻ w であればある有限列 a1 , a0 , a−1 , ..., a−kが存在して、

a0 = y, a1 = x, [ai+1 , ai ] = [ai+2 , ai+1 ] for all i,a−k ≿ w, [a1 , a0 ] > [a−k , w]が成り立つ。
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第四の補題（２）
第四の補題の証明は複雑なので省略する。これはアルトなどは公理として置いていたものである。重要なことは、この補題の持つ意味である。これは、「x と y の効用差と比べて、z と x の効用差は無限大ではない」という意味を持っている。具体的に言うと、
それは k より小さくなければならない。y の効用が 0 で x の効用が1 なら、ai の効用は i にならなければならず、したがって z の効用
は k + 1 より小さくなければならないのである。（ak+1 が存在するかどうかはわからない。これは後で議論する際に問題になる）
なお、この補題の証明には、Debreu (1954) による効用関数の存在定理を用いる。したがってここで X のハウスドルフ性、可分性、連結性、および ≿ の閉性を用いている。

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鍵となる集合の生成（１）ここで、すべての x, y に対して x ∼ y であれば、すべてのx, y, z, w に対して [x, y] = [z, w] であることが言えるので、定数関数、そしてそれだけが ≥ を表現することがわかり、証明が終わる。
そこで、以降では少なくとも一組、x∗ ≻ y ∗ となる x∗ , y ∗ の存在を仮定して、そこから議論を始める。
以降、帰納的に Dk という集合を定義していく。まず
a00 = y ∗ , a01 = x∗ とする。a0i が存在するとき、[x, a0i ] ≥ [a01 , a00 ] とな
る x があれば、補題１から、[a0i+1 , a0i ] = [a01 , a00 ] となる a0i+1 が存在する。もしそのような x がなければ、a0i+1 は定義しない。
同様に a0−i が存在するとき、[a0−i , x] ≥ [a01 , a00 ] となる x があれば、補題２から、[a0−i , a0−i−1 ] = [a01 , a00 ] となる a0−i−1 が存在する。そのような x がなければ、a0−i−1 は定義しない。
D0 はこうして定義された a0i をすべて集めてできた集合とする。
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鍵となる集合の生成（２）次に、k = k ∗ まで Dk = (aki ) という可算集合が定まっていて、すべての i, j に対して [aki+1 , aki ] = [akj+1 , akj ] であり、また aki = ak+12iが成り立っていると仮定しよう。Dk∗ +1 を定義したい。まず、∗∗∗∗
ak2i +1 は aki として定義する。次に、aki と aki+1 が定義されている
とき、補題３から
∗

∗

∗

∗

+1
+1 k
[ak2i+1], ai ] = [aki+1 , ak2i+1∗+1を満たす ak2i+1が存在するので、それをひとつ取る 2 。

後で述べるが、我々は効用を、aki の効用が 2ik になるように作ろうとしている。
2

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鍵となる集合の生成（３）∗∗いま、aki は存在するが aki+1 は存在しない状況を考えよう。もし∗∗∗[x, aki ] ≥ [ak1 +1 , ak0 +1 ] となる x が存在するならば、補題１から
∗ +1
∗
∗
∗
k∗ +1
[ak2i+1, aki ] = [ak1 +1 , ak0 +1 ] となる a2i+1が存在するので、それを取∗ +1る。そのような x が存在しなければ、ak2i+1
は定義しない。また
k∗ +1
k∗ +1
a2i+1 が定義されているとき、a2i+2 に該当するものは存在しない：∗
もしそのようなものがあれば、aki+1 が定義できてしまい、当初の仮定に矛盾するからである。
∗∗
同様に、aki は定義されているが aki−1 が定義されていないときも類∗似の処理を行う。aki +1 をすべて集めてできる集合を Dk∗ +1 とすれば、これは先ほどの仮定をすべて満たす。D = ∪k Dk と定義する。

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第五の補題

補題５x ≻ y とすれば、x ≻ z ≻ y となるような z ∈ D が存在する。
直観的には、これは補題４の逆である。補題４は要するに、「ある改善が他の改善よりも無限に大きいことはない」という主張だったが、逆に補題５は、「ある改善が他の改善よりも無限に小さいことはない」という主張を意味している。
この証明も非常に複雑なので省略する。

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効用関数の構成（１）

さて、効用関数を作ろう。最初に D′ = {x ∈ X|∃z ∈ D s.t. z ∼ x}と定義する。x ∈ D′ に対して、z ∼ x となる z ∈ D を取って、
z = aki であるとき、v(x) = 2ik と定める。この定義は k に依らず一
意的に定まり、したがって v は D′ 上で定義された実数値関数である。
D′ 上に限定すれば、v が ≥ を表現しているということを示そう。
示さなければいけないのは以下の式である。

[x, y] ≥ [z, w] ⇔ v(x) − v(y) ≥ v(z) − v(w).

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効用関数の構成（２）まず、x, y, z, w ∈ D′ を任意に取ると、x ∼ x′ , y ∼ y ′ , z ∼ z ′ , w ∼ w′ となる x′ , y ′ , z ′ , w′ ∈ D が存在する。k を十分大きく取れば x′ = akix , y ′ = akiy , z ′ = akiz , w ′ = akiw となるような ix , iy , iz , iw が存在する。
もし、v(x) − v(y) ≥ v(z) − v(w)が成り立っているとすれば、これはix − iy ≥ iz − iwを意味する。もし ix − iy ≥ 0 ≥ iz − iw ならば[x, y] ≥ [y, y] = [z, z] ≥ [z, w]となる。
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効用関数の構成（３）もし ix − iy ≥ iz − iw ≥ 0 であれば、i∗ = min{iy , iw } に対して、
aki∗ +ix −iy と aki∗ +iz −iw は共に存在し、そして簡単に示せるように、[x, y] = [aki∗ +ix −iy , aki∗ ] ≥ [aki∗ +iz −iw , aki∗ ] = [z, w]となる。0 ≥ ix − iy ≥ iz − iw のときも同様なので、結局我々はv(x) − v(y) ≥ v(z) − v(w) ⇒ [x, y] ≥ [z, w]
を示したことになる。
この推論をほとんど同様に繰り返すことで、

v(x) − v(y) > v(z) − v(w) ⇒ [x, y] > [z, w]も示せる。よって我々の主張は正しく、v は D′ 上では ≥ を表現する関数になっている。
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効用関数の構成（４）以上の結果を X 全体に拡張するために、まず v の定義域を X 全体に拡張しなければならない。x が ≿ の最大元でない場合、

v(x) = inf{v(z)|z ∈ D, z ≿ x}とすれば、また x が ≿ の最小元でない場合、

v(x) = sup{v(z)|z ∈ D, x ≿ z}とすればよい。この v の二つが両方とも定義できる場合に一致す
ることは簡単に示せる。

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効用関数の構成（５）この v : X → R について、まずはx ≿ y ⇔ v(x) ≥ v(y)を示そう。これは以下と同値である。

x ≿ y ⇒ v(x) ≥ v(y), x ≻ y ⇒ v(x) > v(y).
前者については、定義を考えれば成り立つことは明らかである。後者は、x ≻ y ならば補題５から x ≻ z ≻ y となる z ∈ D が存在する
ので、成り立つ。よってこの主張については正しいことがわかる。

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効用関数の構成（６）今度は、v の連続性を示す。このためには、半直線] − ∞, a], [a, +∞[ の逆像が閉集合であればよい。しかし、
a ∈] inf v, sup v[ だった場合、

v −1 ([a, +∞[) = X \ ∪y∈D:v(y)<a {z ∈ X|y ≻ z},v −1 (] − ∞, a]) = X \ ∪y∈D:v(y)>a {z ∈ X|z ≻ y},と書けるので、これらは明らかに閉集合である。a ∈]/ inf v, sup v[のときの例外処理は簡単なので省略する。よって v は連続である。
X は連結であるから、v(X) は凸集合であることに注意。

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効用関数の構成（７）我々の証明の目標は[x, y] ≥ [z, w] ⇔ v(x) − v(y) ≥ v(z) − v(w)である。これは次のふたつの主張が示せればよい。

v(x) − v(y) ≥ v(z) − v(w) ⇒ [x, y] ≥ [z, w],v(x) − v(y) > v(z) − v(w) ⇒ [x, y] > [z, w].
まず、前者の主張が正しければ、後者の主張も正しいことを示そう。前者が正しいとし、v(x) − v(y) > v(z) − v(w) とする。このとき、x が v の最小点でないか、y が v の最大点でないかのどちらかが成り立たなければならない。x が最小元でなければ、x ≻ x′ かつv(x′ ) − v(y) ≥ v(z) − v(w) となる x′ ∈ D が存在するので、[x, y] > [x′ , y] ≥ [z, w]となって正しいことがわかる。y が最大元でない場合も同様である。
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第六の補題

補題６
任意の x ∈ X に対して、v(x) = v(x′ ) となる x′ ∈ X と、
limn→∞ xn = x′ となる D′ の点列 (xn ) が存在する。しかも x が vの最大元でないなら、v(xn ) > v(x′ ) が常に成り立つとしてよく、
また x が v の最小元でないなら、v(xn ) < v(x′ ) が常に成り立つとしてよい。
この証明は省略するが、この定理の証明でここでのみ、X の連結性ではなく、弧状連結性が必要になる。

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第六の補題の帰結（１）v(x) − v(y) ≥ v(z) − v(w) が成り立っていることを仮定する。y とz が両方とも v の最小点であれば、[x, y] ≥ [x, w] ≥ [z, w]となる。また x と w が両方とも v の最大点であれば、[x, y] ≥ [z, y] ≥ [z, w]となる。したがって、以下で [x, y] ≥ [z, w] を示そうとするときには、x と w のどちらかは v の最大点ではないということ、および yと z のどちらかは v の最小点ではないということを仮定してよい。
以下では x が v の最大点ではなく、y が v の最小点でない場合だけを扱うが、残りの場合の証明もまったく同様に行える。
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第六の補題の帰結（２）
補題にある x′ , y ′ , z ′ , w ′ と D′ 上の点列 (xn ), (yn ), (zn ), (wn ) を取ってくる。この際、x は v の最大点でないので、v(xn ) > v(x) が常に成り立つことを仮定してよい。また y は v の最小点ではないので、
v(yn ) < v(y) が常に成り立つことを仮定してよい。すると次が常に成り立つ。
v(xn ) − v(yn ) > v(z) − v(w).
したがってある増加関数 k : N → N が存在して、v(xn ) − v(yn ) > v(zk(n) ) − v(wk(n) )でなければならない。これはすでに示したように[xn , yn ] > [zk(n) , wk(n) ]を意味する。
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第六の補題の帰結（３）

したがって連続性から、[x, y] = [x′ , y ′ ] ≥ [z ′ , w′ ] = [z, w]となって、言いたいことが示せた。以上で v が ≥ を表現していることの証明が終わった。

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一意性
最後に、w が連続で、≥ を表現しているとする。このとき、先ほどの証明で使った x∗ と y ∗ を取り、

u(x) =

w(x) − w(y ∗ )w(x∗ ) − w(y ∗ )と定義する。このとき、任意の x ∈ D′ に対しては、明らかに
u(x) = v(x) である。一般の x ∈ X に対しては、補題６から、x と同じ効用水準を持つ x+ と、そこに収束する D′ の点列 (xn ) が存在するので、u と v の連続性から、やはり u(x) = v(x) である。したがって、w は v の正アフィン変換でしかあり得ない。以上で、すべての主張の完成した。

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Thank you for your attention.

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