(ｵ ﾝ ﾗ ｲ ﾝ)ISSN 2432-1036(冊子版)ISSN 0286-116X

都城工業高等専門学校

研

究

報

第 57 号

令和５(2023)年１月

告

目

次

研究論文編
○On p-adic Dedekind-Rademacher sums attached to Dirichlet characters････････････････････小塚和人･･･････1○大規模MIMO におけるBP 信号検出に対応した
カオス暗号へのテント写像の適用･･････････････････････････････迫田和之・谷口莉菜･･････10○多値変調に対応する大規模MIMO におけるBP 信号検出の検討･････････････迫田和之・湯之前翔大････16*************************************************************************************************************

研 究 論 文 編

都城工業高等専門学校研究報告第 57 号（2023）－1－

On p-adic Dedekind-Rademacher sums attached to Dirichlet characters
KOZUKA Kazuhito1(Accepted September 30, 2022)

Abstract The purpose of this paper is to generalize the author’s preceding work on the construction of ap-adic analytic function interpolating the Dedekind sums attached to Dirichlet characters and the calculation of
the radius of convergence of the function We define the generalized Dedekind-Rademacher sums by making useof Dirichlet characters and deduce an expression of the sums by the generalized Euler numbers. Applying theexpression, we construct a p-adic analytic function interpolating the generalized Dedekind-Rademacher sums.
The function is expressed as a linear combination of some p-adic functions interpolating the Euler numbers.
The main result is the explicit expression of the radius of convergence of the function. Except for some special
cases, the result is an analogue to the one for the Kubota-Leopoldt p-adic L-function, which interpolates thegeneralized Bernoulli numbers p-adically and plays an important role in the Iwasawa theory for cyclotomic
fields.
Keywords [p-adic interpolation, Dedekind sums, Dirichlet character]

1

Introduction
For any real number x, we denote by [x] the greatest integer not exceeding x, put {x} = x − [x] and define{x} − 1 if x is not an integer.
2((x)) =
0
if x is an integer.

For positive integers h and k, the classical Dedekind sum s(h, k) is defined bys(h, k) =∑ (( λ ))(( hλ ))λ mod k

k

k

.

(1)

The sum first appeared in Dedekind’s study on the transformation properties of the η-function (η(z) =∏eπiz/12 n≥1 (1 − e2πinz )) under the modular group and in the case of gcd{h, k} = 1 Dedekind showed thefollowing reciprocity formula1) :12hk{s(h, k) + s(k, h)} = h2 − 3hk + k 2 + 1.

(2)

Generalizations of Dedekind sums and their reciprocity formulas have been studied extensively with manymethods.
For each non-negative integer n, let Bn and Bn (X) be the nth Bernoulli number and polynomial respectively, and defineB̃n (x) = Bn ({x}).
——————————————–——————————————————————————
1 Department of General Education, National Institute of Technology(KOSEN), Miyakonojo College

－2－

小塚和人

As a generalization of s(h, k), Apostol defined the nth higher-order Dedekind sum as∑sn (h, k) =B̃1

λ mod k( λ ) ( hλ )
B̃n
k
k

(3)

and he generalized the formula (2) asnn(n + 1) (hk sn (h, k) + h ksn (k, h)) = nBn+1 +

n+1
∑(

)
n+1
(−k)n+1−j hj Bn+1−j Bj
j

j=0

(4)

for positive integers h and k with gcd{h, k} = 1 and odd n.
As a natural generalization of (3), we can definesm,n (h, k) =∑B̃m

λ mod k( λ ) ( hλ )
B̃n
k
k

(5)

for non-negative integers m and n. Further for real numbers α and β, we extend the sum (5) as
(
)
(
(
)
)
∑
λ+β
h(λ + β)
h k
B̃m
Sm,n
=
B̃n
−α ,
k
k
α β

(6)

λ mod kwhich is often called the Dedekind-Rademacher sum. The reciprocity formula for (6) is studied by Rademacher and Carlitz3∼5) .
In addition to the reciprocity formulas, Rosen and Snyder constructed a p-adic interpolating function
for the sums (3)6) . The function is an analogue of the well known Kubota-Leopoldt p-adic L-function
which interpolates the generalized Bernoulli numbers and plays an important role in the Iwasawa theory for
cyclotomic fields. Later, Snyder generalized the construction slightly and deduced a p-adic version of thereciprocity formula (4)7) . Further Kudo constructed a p-adic interpolating function for the sums (5) anddeduced many properties8,9) . For the p-adic function constructed by Kudo, the author studied the explicit
value of the radius of convergence 10) . Besides, by generalizing the sums (5) by means of Dirichlet characters,
the author constructed a p-adic interpolating function for the sums and deduced the value of the radius ofconvergence11) .
The purpose of this paper is to extend the study of the paper11) . We generalize the sums (6) by Dirichlet
characters, construct a p-adic interpolating function and deduce the value of the radius of convergence.
Throughout the paper, we denote by Q, Z and N, the rational number field, the ring of integers of Q
and the set of positive integers, respectively as usual, and denote the set of non-negative integers by N̄.

2

Definition of Dedekind sums attached to Dirichlet characters

As in the introduction, let Bn and Bn (X) be the nth Bernoulli numbers and polynomial, respectively,
defined by
∞
∞
∑
∑
tn
tetX
tn
t
=
B
and
=
B
(X)
n
n
et − 1n!
et − 1n!
n=0

n=0

and define B̃n (x) = Bn ({x}).
For any primitive Dirichlet character χ, we denote by fχ the conductor of χ and denote by Iχ the ringof rational numbers of which the denominators are relatively prime to fχ . For any x ∈ Iχ we can define thevalue χ(x) by multiplicativity. We define the twisted Bernoulli function B̃n,χ (x) attached to χ byfχ −1

∑ χ({x} + ρ)te({x}+ρ)tρ=0

ef χ t − 1

=

∞
∑
n=0

B̃n,χ (x)tnn!

On p-adic Dedekind-Rademacher sums attached to Dirichlet charactersor equivalently(∑

B̃n,χ (x) = fχn−1

χ(x + ρ)B̃nρ mod fχ

x+ρ
fχ

－3－

)
.

Let χ and ψ be primitive Dirichlet characters, m, n ∈ N̄, h, k ∈ N and α, β ∈ Iχ ∩ Iψ . We define thegeneralized Dedekind sums attached to χ and ψ by
(
)
(
)
(
)
∑
λ+β
h(λ + β)h kS(m,χ),(n,ψ)
=
B̃m,χ
B̃n,ψ
−α .
(7)
k
k
α β
λ mod k3

Expression by Euler numbers
For a parameter u, we define the n th modified Euler numbers En (u) for n ∈ Z with n ≥ −1 by9)∞u
E−1 (u) ∑
tn
=
+
E
(u)
.
n
et − utn!
n=0Note that E−1 (u) ̸= 0 only if u = 1. We put ñ = max{n, 1} for n ∈ N̄. Then we have ñEn−1 (1) = Bn for
n ∈ N̄. It is known that for any λ ∈ Z, c, k, n ∈ N and for any kth root of unity ξ, we have12)
( )
∑
λ
n
k B̃n
= ñ
En−1 (ζ)ζ λ ,
(8)
k
k
ζ =1

ñEn−1 (ξ) = k n−1∑

B̃nj mod k

and

∑

( )
j
ξ −j
k

En (uη) = cn+1 En (uc ).

(9)

(10)

η c =1

For a primitive Dirichlet character χ, we define the numbers En,χ (u) (a modification of the generalized
Euler number13) ) byfχ −1∞
∑ χ(ρ)ufχ −ρ eρt
E−1,χ (u) ∑
tn
=
+
E
(u)
.
n,χ
t
n!
efχ t − ufχ
ρ=0

n=0

Note that E−1,χ (u) ̸= 0 only if u is a primitive fχ th root of unity. Note also that ñEn−1,χ (1) = Bn,χ for∑fχ −1n ∈ N̄. Let ζχ be an arbitrarily chosen primitive fχ th root of unity and put τ (χ, ζχ ) = ρ=0χ(ρ)ζχ ρ , theGauss sum attached to χ and ζχ . Then
fχ −1

fχ −1

∑ χ(ρ)ufχ −ρ eit
ρ=0efχ t − ufχτ (χ, ζχ ) ∑ χ−1 (ρ)ζχ ρ u,fχ
et − ζχ ρ u=

ρ=0which implies,
En,χ (u) =τ (χ, ζχ )
fχ

∑

(
)
χ−1 (ρ)En ζχ ρ u .

(11)

ρ mod fχHence if gcd{k, fχ } = 1, as generalizations of (8), (9) and (10), we deduce that
( )
∑
λ
n
χ(k)k B̃n,χ
= ñ
En−1,χ (ζ)ζ λ ,
k
k

(12)

ζ =1

ñEn−1,χ (ξ) = χ(k)kn−1∑
j mod k

( )
j
B̃n,χ
ξ −j
k

(13)

－4－

小塚和人

and

∑

En,χ (uη) = χ(c)cn+1 En,χ (uc ).

(14)

η c =1

For g ∈ N, let J(g) denote an arbitrarily fixed complete set of representatives of the residue class group
Z/gZ. For g1 , · · · gm , we put J(g1 , · · · , gm ) = J(g1 ) × · · · × J(gm ). For c ∈ N with c > 1, we denote by Vc
the set of non-trivial cth roots of unity. As for the expression of the sums (7) by the Euler numbers, wehave the following.
Proposition 3.1. Let χ and ψ be primitive Dirichlet characters and let h, k ∈ N. Let α, β ∈ Iχ ∩ Iψ andexpress α = a/d and β = b/d with d ∈ N, a, b ∈ Z. We suppose that gcd{h, k} = gcd{kd, fχ fψ } = 1. Let ζkd
d and ζ = ζ k . Then we havedenote an arbitrarily chosen primitive kdth root of unity and put ζk = ζkddkd((χψ)(kd)(kd)m+n S(m,χ),(n,ψ)×)τ (ψ, ζψ )h k
= m̃ñ
fψ
α β∑−hi+kj1
i+kj2 bj1 −ai+j2 (hb−ka))ζkd. (15))En−1 (ζψρ ζkd
ψ −1 (ρ)Em−1,χ (ζkd(i,j1 ,j2 ,ρ)∈J(k,d,d,fψ )Further if c ∈ N with c ≡ 1 (mod fψ kd) and c > 1, then((c − 1)(χψ)(kd)(kd)
n

m+n

)
τ (ψ, ζψ )h k
= m̃ñ
fψ
α β∑
bj −ai+j2 (hb−ka)−hi+kj1
i+kj2
ψ −1 (ρ)Em−1,χ (ζkd
)En−1 (ζψρ ζkdη)ζkd1. (16)

S(m,χ),(n,ψ)∑×(i,j1 ,j2 ,ρ)∈J(k,d,d,fψ ) η∈Vc

Proof. We see from (12) that(m

χ(kd)(kd) B̃m,χ

λ+β
k

)

(
m

λd + bkd)= χ(kd)(kd) B̃m,χ
∑−hi1 +kj1 (−hi1 +kj1 )(λd+k)= m̃
Em−1,χ (ζkd)ζkd
(i1 ,j1 )∈J(k,d)

and

(
n

ψ(kd)(kd) B̃m,ψh(λ + β)
−α
k

)

(
n

hλd + hb − kakd)= ψ(kd)(kd) B̃n,ψ
∑i2 +kj2 (i2 +kj2 )(h(λd+b)−ka)= ñ
En−1,ψ (ζkd)ζkd.
(i2 ,j2 )∈J(k,d)∑
h(−i +i )(λd+b)= k or 0 according as i1 = i2 or i1 ̸= i2 . Hence
Note that for i1 , i2 ∈ J(k) we have λ∈J(k) ζkd 1 2
by (7) and (11), we obtain (15). In addition, applying (14), we also obtain (16).

4p-adic interpolation

Let p be a prime number. If p ≥ 3, we put eo = p − 1 and q = p. If p = 2, we put e0 = 2 and q = 4. In
this section we construct a p-adic interpolating function for the sums (7).
As usual, we denote by Qp , Zp and Cp the rational p-adic number field, the ring of integers of Qp andthe completion of the algebraic closure of Qp , respectively. Let | |p denote the p-adic valuation of Cp
normalized by |p|p = 1/p. For any u ∈ Cp × with |1 − up |p ≥ 1, the Koblitz measure Mu on Zp is defined by
n
(
)
up −ν
Mu ν + pn Zp =1 − upn

－5－

On p-adic Dedekind-Rademacher sums attached to Dirichlet charactersfor any n, ν ∈ N̄ with 0 ≤ ν ≤ pn − 1 and we have∫∫nx dMu (x) = En (u) and

Z×
p

Zp

xn dMu (x) = En (u) − pn En (up ).

Let ωp denote the Teichmüller character for p and put ⟨x⟩ = x/ωp (x) for x ∈ Z×
p . We put∫⟨x⟩s dMu (x) for s ∈ Zp ,Gp (s, u) =

(17)

Z×
p

which is the p-adic Γ-transform for the measure Mu and satisfies an interpolating property such as
Gp (n, u) = En,ωp−n (u) − pn En,ωp−n (up )(18)

for n ∈ N̄.
As in Proposition 3.1, let χ and ψ be primitive Dirichlet characters and let h, k ∈ N. Let α, β ∈ Iχ ∩ Iψand express α = a/d and β = b/d with d ∈ N, a, b ∈ Z. We suppose that gcd{h, k} = gcd{kd, fχ fψ } =gcd{p, kdfχ fψ } = 1. In addition, we choose and fix integers c, p′ ∈ N with c ≡ 1 (mod qkdfψ ), c > 1 andpp′ ≡ 1 (mod kdfψ ). For each m ∈ N̄, we set
(
c
Tp,m

(
s, χ, ψ :

h k
α β

))

τ (ψ, ζψ )
fψ
∑
×

= m̃k

∑

bj −ai+j2 (hb−ka)−hi +kj1
Em−1,χ (ζkd
)ζd 1

i+kj2
Gp (s, ζkd
η). (19)(i,j1 ,j2 )∈J(k,d,d) η∈Vc

Then by Proposition 3.1 and (18), we deduce that
(
c
Tp,m

(
n − 1, χ, ψ :

h k
α β

))
= m̃ñk(cn − 1)(χψ)(kd)(kd)m+n(×(S(m,χ),(n,ψ)

h k
α β

)

(
− ψ −1 pn S(m,χ),(n,ψ)

p′ h kp′ α βfor any n ∈ N with n ≡ 1 (mod e0 ). Now we define
(
(
))
(
(
))
1
h k
h k
c
T
s, χ, ψ :,Sp,m s, χ, ψ :=m̃k(cs − 1)(χψ)(kd)(kd)m d < d >s p,m
α β
α β

))

(20)

which is independent of the choice of c. Then we obtain the following.
Theorem 4.1. We have the interpolating property such as
(
(
))
(
(
)
(
))
′h k
h k
h
k
p
Sp,m n − 1, χ, ψ := ñk n S(m,χ),(n,ψ)− ψ −1 (p)pn S(m,χ),(n,ψ)α βα βp′ α βfor any n ∈ N with n ≡ 1 (mod e0 ).
5Radius of convergence
By (17), the function Gp (s, u) is expanded at any s0 ∈ Zp as
Gp (s, u) =

∞
∑
n=0

cn,u,s0 (s − s0 )n

(21)

－6－

小塚和人

with

1
cn,u,s0 =
n!

∫
Z×
p

(logp < x >)n < x >s0 dMu (x).

Hence we can enlarge the domain of definition of the function Gp (s, u) from Zp to the set of s ∈ Cp forwhich(the right-handside of (21) converges. For the same reason, the domain of definition of the function())
h kSp,m s, χ, ψ :can be enlarged. Let rm (χ, ψ, h, k, α, β : s0 ) denote the radius of convergence of
α β
(
(
))
h k
the expansion of Sp,m s, χ, ψ :at s0 ∈ Zp . In order to study the value, we first recall the mainα βresult of Section 3 of the paper10) .
Let I be a finite set and consider functions
×
U : I → C×p and A : I → Cp .

For each i ∈ I, put U (i) = ui and A(i) = αi and suppose that |1 − upi |p ≥ 1 for all i ∈ I. We put∑
αi Gp (s, ui )Gp (s : U, A) =i∈I

and denote by r(U, A : s0 ) the radius of convergence of Gp (s : U, A) at s0 ∈ Zp . Let I+ = {i ∈ I||ui |p < 1},
I− = {i ∈ I||ui |p > 1} and I0 = {i ∈ I||ui |p = 1}. For each n ∈ N, we put
Nn = {µ ∈ N| gcd{µ, p} = 1, | < µ > −1|p = |q|p |p|n−1}.
p
If there exists an integer n ∈ N such that either
∑
∑
∑
−|µ
αi uµi −αi u−µ≠0orαi (uµi − ui ) ̸= 0
i
i∈I+

i∈I−

i∈I0

holds for some µ ∈ Nn , we denote the minimum of such n by n(U, A). Otherwise we put n(U, A) = ∞.
Then we have10)1
 p−1 −n(U,A)+1 −1
|q|p
|p|p
if n(U, A) ̸= ∞.
r(U, A : s0 ) =(22)
∞
if n(U, A) = ∞.
(

(

(

h k
Now we put r Sp,m s; χ, ψ
α βfollowing subsets of Q :

))

)
: s0

= rm (χ, ψ, h, k, α, β : s0 ) for s0 ∈ Zp . Further, we introduce

Bm,χ = {x ∈ Q|B̃m,χ (x) = 0} and Cm,χ (ε, A) = {x ∈ Q|B̃m,χ (A + x) − εB̃m,χ (A − x) = 0} for A ∈ Q.
The main result is the following.
Theorem 5.1. Let h′ ∈ Z be an arbitrary integer such that hh′ ≡ 1 (mod k).
(1) If 2(hβ − kα) ∈/ Z, then
1
|p| p−1 |q|−1 if λ + β ∈/ Bn,χ for some λ ∈ Z.
ppkrm (χ, ψ, h, k, α, β : s0 ) =∞otherwise.
(2) If 2(hβ − kα) ∈ Z, thenrm (χ, ψ, h, k, α, β : s0 )

(
)
′
1
β − h′ (hβ − kα)|p|pp−1 |q|−1 if −h (hβ − kα) + λ ∈/ Cn,χ ψ(−1),
for some λ ∈ Z.
p
k
k
=

∞
otherwise.

On p-adic Dedekind-Rademacher sums attached to Dirichlet characters－7－

Proof.
By (19)(20), it is suﬃcient(to prove(the assertion
for
(
( and
))
))
h k
h k
c
Tp,m
s, χ, ψ :instead of Sp,m s, χ, ψ :. We put I = J(fψ ) × J(k) × J(d) × Vc . Forα βα βeach (ρ, i, j2 , η) ∈ I, we put∑
i+kj2−hi+kj1 bj1 −ai+j2 (hb−ka)u(ρ, i, j2 , η) = ζψρ ζkd
η and α(ρ, i, j2 , η) =
ψ −1 (ρ)Em−1,χ (ζkd)ζd.
j1 ∈J(d)Then by (19), we see that
(
c
Tp,m

(

h k
s; χ, ψ
α β

))

∑

=

α(ρ, i, j2 , η)Gp (s, u(ρ, i, j2 , η)).

(ρ,i,j2 ,η)∈I

Note that |u(ρ, i, j2 , η)|p = 1 for all (ρ, i, j2 , η) ∈ I. For µ ∈ N, we put∑α(ρ, i, j2 , η)(u(ρ, i, j2 , η)µ − u(ρ, i, j2 , η)−µ )F(µ) =(ρ,i,j2 ,η)∈I

∑

=

∑

bj −ai+j2 (hb−ka)−hi+kdψ −1 (ρ)Em−1,χ (ζkd)ζd 1

(ρ,i,j2 ,η)∈I j1 ∈J(d)i+kj2 µi+kj2 −µ×((ζψρ ζkdη) − (ζψρ ζkdη) ).

∑Note that ρ∈J(fψ ) ψ −1 (ρ)ζψ±ρµ = ψ(±µ)τ (ψ −1 , ζψ ). For any x ∈ Q, put Φ(x) = 1 or Φ(x) = 0 according
as x ∈ Z or x ∈/ Z. Then)((µ)∑ j (hb−ka) ±kj µ∑hb − ka ± µ
2
±µ
2
d.
c − 1 and
ζd
ζkd
=Φ
η =Φ
c
d
j2 ∈J(d)η∈JcFurther for any r1 , r2 ∈ Cp , let us write r1 ∼ r2 if r1 = r2 r for some r ∈ C×
p . Then we can express∑

F(µ) ∼ ψ(µ)−hi+kj1
Em−1,χ (ζkd)(i,j1 )∈J(k)×J(d)

(
(
)
(
))
hb − ka + µ
hb − ka − µiµ−iµΦ− ψ(−1)ζkd
Φ
.
× ζdbj1 −ai ζkddd

Applying (13) we also deduce that∑

F(µ) ∼ ψ(µ)

∑

B̃m,χ

(τ )

(i,j1 )∈J(k)×J(d) τ ∈J(kd)kd× ζdbj1 −aiNote that∑(hi−kj1 )τ

ζkd

)
))
(
(
(
hb − ka − µ
hb − ka + µ−iµiµ− ψ(−1)ζkd Φ
.
ζkd Φ
d
d

∑
(b−τ )j1−kj1 τ bj1
ζd = j1 ∈J(d) ζd= Φ((b − d)/τ )d. Hence
j1 ∈J(d) ζkd

F(µ) ∼ ψ(µ)∑∑

i∈J(k) τ ∈J(k)

(
B̃m,χ

b + τd
kd

)

(
(
)
(
))
hb − ka + µ
hb − ka − µ(hb−ka+µ+hτ d)i(hb−ka−µ+hτ d)i× ζkdΦ− ψ(−1)ζkd
Φ
.
d
d

－8－

小塚和人

If hb − ka ± µ ̸≡ 0 (mod d), then F(µ) = 0. If hb − ka + µ ≡ 0 (mod d), we can express hb − ka + µ = τ1 dfor some τ1 ∈ Z. In addition, if 2(hb − ka) ̸≡ 0 (mod d), then hb − ka − µ = 2(hb − ka) − τ1 d ̸≡ 0 (mod d)
and we see that
(
)
(
)
∑ ∑
b + τdβ − h′ τ1(τ1 +hτ )iF(µ) ∼ ψ(µ)
B̃m,χζk
∼ ψ(µ)B̃m,χ.
kd
ki∈J(k) τ ∈J(k)If (λ1 + β)/k ∈/ Bm,χ for some λ1 ∈ Z, then by the assumption gcd{fψ p, kd} = 1 there is an integer µ1 ∈ N1
satisfying µ1 ≡ −hλ1 d − hk + ka (mod kd) and gcd{µ1 , fψ } = 1. For such µ1 , we have)(
λ1 + β.
F(µ1 ) ∼ B̃m,χk
1

This implies F(µ1 ) ̸= 0 and by (22), we conclude that rm (χ, ψ, h, k, α, β : s0 ) = |p|pp−1 |q|−1p . On the other
hand if (λ + β)/k ∈ Bm,χ for all λ ∈ Z, considering the case of hb − ka − µ ≡ 0 (mod d) in the same way,
we see that F(µ) = 0 for all µ ∈ N. Hence we conclude that rm (χ, ψ, h, k, α, β : s0 ) = ∞.
Finally let us consider the case of 2(hb − ka) ≡ 0 (mod d). In this case if hb − ka + µ ≡ 0 (mod d), we
can express hb − ka + µ = τ1 d and hb − ka − µ = 2(hb − ka) − τ1 d for some τ1 ∈ Z and
(
)
))
(
(
β − 2h′ (hβ − kα) + h′ τ1
β − h′ τ1− ψ(−1)B̃m,χ
F(µ) ∼ ψ(µ) B̃m,χ
k
k
(
(
)
β − h′ (hβ − kα) −h′ (hβ − kα) + h′ τ1∼ ψ(µ) B̃m,χ
+
k
k
(
))
β − h′ (hβ − kα) −h′ (hβ − kα) + h′ τ1−ψ(−1)B̃m,χ−.
kk
Hence in the similar way as in the case of 2(hb − ka) ̸≡ 0 (mod d), we obtain our assertion. This completes
the proof.
If χ is trivial, making use of some fundamental properties of Bernoulli numbers and polynomials, we candeduce more explicit results as the following.
Corollary 5.2. If χ is trivial. we have1rm (χ, ψ, h, k, α, β : s0 ) = |p|pp−1 |q|−1pexcept for the following cases :1+ Z.
2
Case 2: 2(hβ − kα) ∈/ Z, m ≡ 1 (mod 2) with m ≥ 3, k ≤ 2, β ∈ Z.
Case 3: 2(hβ − kα) ∈ Z, ψ(−1) = 1, k = 1.
Case 4: 2(hβ − kα) ∈ Z, ψ(−1) = 1, k = 2, m ≥ 2, hβ − kα ∈ Z.
1Case 5: 2(hβ − kα) ∈ Z, ψ(−1) = 1, k = 2, m ≥ 2, hβ − kα, β ∈ + Z.
2
Case 6: 2(hβ − kα) ∈ Z, ψ(−1) = 1, k = 2, m ≡ 1 (mod 2) with m ≥ 3, β ∈ Z.
Case 7: 2(hβ − kα) ∈ Z, ψ(−1) = 1, k ≥ 3, m ≡ 0 (mod 2), 2α, 2β ∈ Z.
1Case 8: 2(hβ − kα) ∈ Z, ψ(−1) = −1, k = 1, m = 1, β ∈ + Z.
2
Case 9: 2(hβ − kα) ∈ Z, ψ(−1) = −1, k = 1, m ≡ 1 (mod 2) with m ≥ 3, 2β ∈ Z.
1Case 10: 2(hβ − kα) ∈ Z, ψ(−1) = −1, k = 2, m = 1, 2α ∈ Z, β ∈ + Z.
2
Case 11: 2(hβ − kα) ∈ Z, ψ(−1) = −1, k = 2, m ≡ 1 (mod 2) with m ≥ 3, 2α, 2β ∈ Z.
Case 12: 2(hβ − kα) ∈ Z, ψ(−1) = −1, k = 2, m ≡ 1 (mod 2) with m ≥ 3, 2α ∈ 21 + Z, β ∈ Z.
Case 1: 2(hβ − kα) ∈/ Z, m ≡ 1 (mod 2), k = 1, β ∈On p-adic Dedekind-Rademacher sums attached to Dirichlet characters－9－Case 13: 2(hβ − kα) ∈ Z, ψ(−1) = −1, k ≥ 3, m = 1, 2α, 2β ∈ Z.
Case 14: 2(hβ − kα) ∈ Z, ψ(−1) = −1, k ≥ 3, m ≡ 1 (mod 2) with m ≥ 3, 2α, β ∈ Z.
In these exceptional cases, we have
(
Sp,m

(

h k
s; χ, ψα β))=0(identically).

References
1) R.Dedekind; “Erläuterungen zu zwei Fragmenten von Riemann,” Gesammelte Math. Werke, 1, 159-173(1930)
2) T.M.Apostol; “Generalized Dedekind sums and transformation formulae of certain Lambert series,” Duke
Math.J., 17 no.2, 147-157 (1950)
3) H.Rademacher; “Some remarks on certain generalized Dedekind sums,” Acta Arith., 9, 97-105 (1964)
4) L.Carlitz; “Generalized Dedekind sums,” Math.Zeit., 85, 83-90 (1964)
5) L.Carlitz; “A theorem on generalized Dedekind sums,” Acta Arith., 11, 253-260 (1965)
6) K.Rosen, W.Snyder; “p-adic Dedekind sums,” J.Reine Angew. Math., 361, 23-26 (1985)
7) C.Snyder; “p-adic interpolation of Dedekind sums,” Bull. Austral. Math. Soc., 38, 293-301 (1988)
8) A.Kudo; “On p-adic Dedekind sums,” Nagoya Math. J., 144, 155-170 (1996)
9) A.Kudo; “On p-adic Dedekind sums (II),” Mem. Fac. Sci. Kyushu Univ., 45, 245-284 (1991)
10) K.Kozuka; “On linear combinations of p-adic interpolating functions for the Euler numbers,” Kyusyu J.
Math., 54, 403-421 (2000)
11) K.Kozuka; “On a generalization of the higher-order p-adic Dedekind sums,” Research Report of
Miyakonojo National College of Technology, 34, 15-21 (2000)
12) L.Carlitz; “Some theorems on generalized Dedekind sums,” Pacific J. Math., 3, 513-522 (1953)
13) H.Tsumura; “On a p-adic interpolation of the generalized Euler numbers and its applications,” Tokyo
J. Math., 10, 281-293 (1987)
14) K.Shiratani, S.Yamamoto; “On a p-adic interpolating function for the Euler numbers and its derivatives,”
Mem. Fac. Sci. Kyushu Univ., 39, 113-125 (1985)

都城工業高等専門学校研究報告 第 57 号（2023）－10－

大規模 MIMO における BP 信号検出に対応したカオス暗号へのテント写像の適用
迫田和之 1・谷口莉菜

Application of Tent Map to Chaotic Encryption in Massive MIMO Using BP Decoding

SAKODA Kazuyuki1 and TANIGUCHI Rina
(Accepted September 29, 2022)

Abstract In wireless communications, chaotic encryptions at the physical layer provide enhanced
security. Recent study has reported that the chaotic encryption works within a massive MIMO (MultipleInput Multiple-Output) using Belief-Propagation decoding. However, it is pointed out that the chaos
equation used in the previous method is a logistic map, which can be easily incorporated, but is notsuitable for an encryption due to the biased distribution of pseudorandom numbers. A chaotic map thatcan be easily introduced into the previous method is the tent map. The tent map is considered suitablefor cryptography because the distribution of pseudorandom numbers is uniform distribution. In thisstudy, we propose a method to introduce a tent map to chaotic encryption. We numerically evaluate
decoding accuracy, secrecy capacity and computation time of the proposed method. The results suggestthat the proposed method performs as well as or better than the previous method.
Keywords [Chaos, Encryption, Massive MIMO, BP decoding]

１ 序論
近年、PC だけでなく身近な家電もネットワークに繋がることが珍しくなくなっている。それらは無線での接続が主流となりつつあり、無線通信容量の需要は年々拡大している。その傾向に対応した第 5 世代無線
通信サービスにより、莫大な通信量の需要を賄っている。第 5 世代以降の移動無線通信は、大容量かつ多接
続 を 可 能 と す る 大 規 模 MIMO (Multiple Input
Multiple Output)が中核技術である 1～4)。大規模 MIMOは、第 4 世代で用いられている複数の送受信アンテナで構成された MIMO のアンテナ数を、数十～数百本程
度まで増やした通信システムである。送受信アンテナ

数を増加させることで、多接続と大容量の通信容量を可能とする。しかしながら、アンテナ数を増加させると、受信側での信号検出（受信信号から送信信号を推定する技術）における計算量が増加する。特に、MIMOで用いられる一般的な信号検出である最尤推定法（Maximum Likelihood Detection, MLD）は、アンテナ数に対し指数関数的に計算量が増加し、現実的な計算時間での信号検出が困難である 5,6)。この問題を解決する信号検出法として BP (Belief Propagation)法を用いた信号検出、BP 信号検出がある 7～12)。BP 信号
検出は、少ない計算量と符号化を施さなくても低い誤り率（BER, Bit Error Rate）であるため、大規模 MIMO

1 都城工業高等専門学校電気情報工学科 (現 鹿屋体育大学スポーツ情報センター) Department of Electrical and Computer Engineering,
National Institute of Technology(KOSEN), Miyakonojo College (Present address: Information Technology Center for Sports Sciences,
National Institute of Fitness and Sports in Kanoya)

－11－

迫田和之・谷口莉菜

Propagation
channelTransmitter

𝑥⃗

𝐾

…

…

S
/
P

…

Chaos
encoder…

𝑏

HTransmitting
signal

Data

Receiver
Received
signal
P
/
S

𝑦⃗

Joint
BP decoder
and
chaos
decoder

Estimation𝑏

𝐾

Encryption key

Encryption key

Fig.1 Chaotic encryption and BP decoding applied to massive MIMOにより、大規模 MIMO の物理レイヤに暗号化を導入でき、セキュリティの向上が見込める。このカオス暗号で用いられるカオス写像は、ロジスティック写像である。ロジスティック写像は、カオスの特性により、疑似乱数を発生させることができるが、その値がとる頻度分布に偏りが存在する（Fig. 2-1）。その偏りにより、暗号化された信号も偏りのある信号となる。暗号化された信号を盗聴者が解読を試みる場合、一般的には疑似乱数に偏りがないため全てのパターンを探索する必要があり、解読が困難となる。信号に偏りが存在すると、発生頻度の高い値から探索することで解読にかかる時間を短縮しうる可能性がある。そのためロ
ジスティック写像は暗号に適していないという指摘がなされている 19)。
そこで本研究では、カオス暗号に、疑似乱数の頻度
分布に偏りのないテント写像（Fig. 2-2）を導入する手法を提案し、その性能を数値実験により評価する。
2 章では無線通信のシステムモデルと前手法を紹介する。3 章では提案手法を述べる。4 章では提案手法の数値実験結果、5 章では考察とまとめを述べる。

Frequencyの信号検出として注目されている。
一方、様々なものがネットワークにつながることで、通信容量の課題とは別に、セキュリティの向上も求められている。無線通信でセキュリティを向上させるための暗号技術として、上位レイヤを対象とした AES(Advanced Encryption Standard)などが多いが、近年では下位レイヤである物理レイヤで、暗号化を追加する技術が提案されている 13,14)。物理レイヤでの暗号化
は、情報を伝搬する電磁波に指向性を持たせ正規の受信者に電磁波が漏れないようにするビームフォーミ
ング技術や電磁波の位相を乱雑に置き換えて情報を秘匿する技術がある。特に、電磁波の位相をカオス写
像により乱雑に置き換えるカオス暗号は、比較的簡易な回路で構築でき、導入への障壁が小さい 15)。カオス
暗号を MIMO に適応したカオス MIMO は、復号における精度の高さとセキュリティの高さで注目されている
16,17)。しかしながら、カオス MIMO を大規模 MIMO 化す
ると、復号に MLD を用いているため、計算量爆発を起こし、現実的な計算量での復号が困難である。そこで、
カオス MIMO に BP 信号検出を用い大規模 MIMO 化を可能とする手法（Fig.1）が報告されている 18,19)。これ

Fig. 2-1 Frequency
logistic map

distribution

of

the

Fig. 2-2 Frequency distribution of the tent
map

大規模MIMO におけるBP 信号検出に対応したカオス暗号へのテント写像の適用－12－と書ける。なお、ここでの BP 信号検出は前手法 19)にあるカオス暗号に適したものである。

２ システムモデルと前手法
ここではシステムモデルであるカオス暗号及び BP
信号検出を用いた大規模 MIMO のシステムモデルと前手法でのカオス暗号化の手順を紹介する。
２.１ システムモデル
システムモデルは、送信アンテナ数 Nt、受信アンテ
ナ数 Nr の大規模 MIMO 通信方式を考える。送信機は、
カ オ ス 暗 号 器 、 直 並 列 変 換 器 （ Serial Parallel
Conversion, S/P）と送信アンテナで構成され、受信機は、受信アンテナ、並直列変換器（Parallel Serial
Conversion, P/S）と BP 信号検出器で構成される（Fig.
１）。この通信システムは共通鍵暗号方式であり、送信側と受信側で M 個の要素を持つ共通暗号鍵

２.２ 前手法でのカオス暗号
ここでは筆者らの先行研究である前手法 19)での BP
信号検出に適合したカオス暗号について説明する。前手法でのカオス暗号は、カオス MIMO での暗号化を基に、BP 信号検出できるように再構築されている。その詳細については文献 19)を参照されたい。まず、送信側では暗号鍵の要素𝐾 を初期値とし、カオス写像であるロジスティック写像で𝑖 × 𝑙回写像することで、複素変数𝑘= 𝑓 × (Re[𝐾 ]) + 𝑗𝑓 × (Im[𝐾 ])(6)を得る。ここで、𝑓(∙)はロジスティック写像
𝐾⃗ = (𝐾 , 𝐾 , … , 𝐾 )

(1)
(7)

𝑓(𝑧) = 3.91𝑧(1 − 𝑧)を持つ。この鍵を用いて、送信側は暗号化し、受信側は暗号化された信号を復号する。暗号鍵を持っていな
い第三者は受信信号を傍受しても復号が困難である
ため秘匿通信となる。送信データは、Nt 個の送信ビット(2)𝑏⃗ = 𝑏 , 𝑏 , … , 𝑏 ,であり、𝑙は写像回数を決めるパラメータである。さらに、生成された M 個の要素を𝑠 =𝑏 ∈ {0, 1} for 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑁

1
𝑀(Re[𝑘 ] + Im[𝑘 ])∙ exp[8𝜋𝑗(Re[𝑘 ] − Im[𝑘 ])](8)で、カオス暗号器により、送信信号 𝑥⃗ は、
𝑥⃗ = 𝑥 , 𝑥 , ⋯ , 𝑥 ,𝑥 = 𝑥 𝑏 , 𝐾⃗ ,𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑁(3)となる。前手法での暗号化の詳細は 2.2 節、提案手法
での暗号化の詳細は 3 章で述べる。𝑥 を送信シンボルと呼び、送信アンテナに 1 つずつ割り当てられ、同時
刻同周波数で受信アンテナに送信される。電磁波が通る空間中の経路はマルチパスチャネルと呼ばれ、Nr 行
Nt 列の通信路行列𝐇で表される。受信信号𝑦⃗は
𝑦⃗ = 𝐇𝑥⃗ + 𝑛⃗(4)と表せる。ここで 𝑛⃗ は平均 0 で分散𝜎 の白色雑音である。
受信機では、受信信号𝑦⃗から送信データ𝑏⃗を BP 信号
検出で推定する。従って、推定データ𝑏⃗は、𝐇を既知として、𝑦⃗、𝐇と𝐾⃗の関数𝑏⃗ = 𝑏⃗ 𝑦⃗, 𝐇, 𝐾⃗(𝟓)のように加算平均する。最終的に暗号化した送信シン
ボルは、

𝑥 =

⎧ exp 2𝑗tan⎪⎨⎪exp 2𝑗 tan⎩

Im[𝑠 ],
Re[𝑠 ]
Im[𝑠 ]+𝜋Re[𝑠 ]

𝑏 =1
(9)
,

𝑏 =0

である。
３ 提案手法
ここでは、前手法のロジスティック写像をテント写像に置き換えた提案手法でのカオス暗号について述べる。
３.１ 提案手法
提案手法でのカオス暗号は、前手法の式(7)をテン
ト写像

－13－

迫田和之・谷口莉菜

Table 1 Simulation condition

提案手法
Modulation method
Chaotic map
Num. of chaotic map iteration
Size of encryption key
Num. of antennas
ChannelReceive channel state information
Decoding method
Num. of BP iteration𝑔(𝑧) =

2𝑧,

tent

前手法
参考手法 1
Choatic encryption
LogisticHenon
𝑙 = 10𝑀 = 10𝑁 = 𝑁 = 12

参考手法 2
BPSK－－－

i.i.d. Rayleigh fading

Perfect
BP decoding
𝑁 = 20は互いに独立に生成した。これらの数値実験は

𝑧<

(10)

2(1 − 𝑧), 𝑧 ≥に置き換える。提案手法は、これを用いたカオス暗号
を BP 信号検出を用いた大規模 MIMO に導入したものである。
４ 数値実験による評価
提案手法の性能を評価するため、信号検出にかかる計算時間、誤り率とセキュリティ性能について数値実験を行い、前手法、参考手法 1、2 と比較する。
参考手法 1 はカオス写像にエノン写像を用いたもの、
参考手法 2 はカオス暗号を行わず、無線通信で一般的な変調方法の BPSK（Binary Phase Shift Keying）を用いたものである。なお、エノン写像は後述する式(11)で表され、生成される疑似乱数に偏りがない。それらに共通する諸元は Table 1 の通りとした。送信データの要素は等確率で 0 または 1 をとるとし、無作為に生成した。チャネル行列の要素は平均 0、分散 1 の複素ガウス分布C𝑁(0,1)に従う乱数とした。受信信号に含まれる雑音は白色雑音と仮定し、複素ガウス分布
C𝑁(0, 𝜎 )に従う乱数とした。雑音の分散は信号電力と雑音電力の比である SN 比（SNR, Signal to Noise⁄
Ratio）を用いて、𝜎 = 10とした。全ての乱数

MATLAB®で行った。
４.１ 計算時間
4 つの手法での BP 信号検出と暗号の復号にかかる計算時間を比較した結果を Table 2 に示す。それぞれの値は、103 回試行にかかった計算時間を𝑁 = 2の参考
手法 2 で規格化したものである。𝑁 が増えるとどの手法も計算時間が増加する。提案手法と参考手法 1 を比較すると、参考手法 1 の計算時間が長くなった。エノン写像は、
𝑥= 1 − 1.4𝑥 + 𝑧
𝑧= 0.3𝑥(11)で表される 2 変数連立写像であるため、1 変数写像である提案手法よりも計算時間が長くなったと考えられる。提案手法と前手法を比較すると、わずかながら提案手法の計算時間が短くなった。テント写像とロジスティック写像のどちらも 1 変数写像であるが、テント写像では計算に必要な項の数が平均的に少なくなることが要因であると考えられる。暗号化を行う 3 手法の中では、提案手法の計算時間が一番短いことがわかった。なお、暗号化を行わない参考手法 2 の計算時
間が一番短くなることは自明である。

Table 2 Computation time for decoding
𝑵𝐭

2

4

5

8

12

16

24

32

64

Proposed method

1.06

1.15

1.22

1.54

2.07

3.22

5.10

7.46

22.75

Previous method

1.16

1.29

1.38

1.74

2.36

3.62

5.65

8.21

23.81

Method 1(Henon)

2.22

2.44

2.62

3.38

4.75

7.23

11.05

16.14

47.27

Method 2(BPSK)

1

1.01

1.04

1.20

1.52

2.45

3.95

5.89

19.63

大規模MIMO におけるBP 信号検出に対応したカオス暗号へのテント写像の適用

10-1

-2

10

-3

Secrecy capacity [bit/symbol]

10

Proposed method
Previous method
Method1(Henon)
Method2(BPSK)

10-4

10

－14－

-5

0

5

10

15

20

SNR[dB]

Fig. 3 BERs in massive MIMO for proposed
method, previous method, method 1 and 2

Fig. 4 Secrecy capacity in proposed method
and previous method

４.２ 誤り率
ここでは Bit Error Rate(BER)を用いて誤り率（1ビット当りの推定結果が誤る確率）の評価を行う。提案手法、前手法と参考手法 1、2 の BER を比較した結果が Fig.3 である。縦軸を BER、横軸を SNR とし、提案手法をアスタリスク、前手法を円、参考手法 1 を四角、参考手法 2 を三角で表示した。BER は 105 試行の平均値とした。全ての手法で SNR が大きくなると、BER
は徐々に低下しある値に漸近した。BER がある値に漸近する理由は、BP 信号検出特有のものであり、その詳
細は文献 19)を参照されたい。BER の特性は手法間で差がなかった。テント写像を用いることによる BER の増加は起きないことが示唆された。

上限値に近くなり、セキュリティ性能を示す指標となる。しかしながら、カオス写像での疑似乱数の偏りを起因とするセキュリティ性能の優劣をこの指標で示すことができないことに注意されたい。
提案手法と前手法の秘匿容量を比較した結果がFig.4 である。縦軸を秘匿容量、横軸を SNR とし、提案手法をアスタリスク、前手法を円、参考手法 1 を四角、秘匿容量の上限を破線で表示した。秘匿容量は 105
試行の平均値とした。全ての手法で、SNR が大きくなると、秘匿容量が増加し上限値に漸近した。SNR≥10 では、正規受信者に正確に情報を伝達でき、盗聴者には情報が洩れていないことを示しており、秘匿通信が成り立っていると示唆される。一方 SNR<10 では、上限値に届いていないが、盗聴者に情報が漏れているのではなく、ノイズにより正規受信者が正確に信号検出できていないためである。秘匿容量の特性は手法間で差がなかった。そのためテント写像を用いることによる秘匿容量の低下は起きないことが示唆された。

４.３ セキュリティ性能
セキュリティ性能を示す一般的な指標である秘匿
容量を用いて提案手法とその他の手法を比較し評価した。秘匿容量は、
𝐶 =𝐶 −𝐶(12)で与えられる。ここで、𝐶 は正規受信者のチャネル容量で、𝐶 は盗聴者のチャネル容量であり、𝐶 = 𝑞𝑁 [1 + 𝑃 log 𝑃 + (1 − 𝑃 )log (1 − 𝑃 )], (13)𝐶 = 𝑞𝑁 [1 + 𝑃 log 𝑃 + (1 − 𝑃 )log (1 − 𝑃 )] (14)で表される。𝑃 と𝑃 はそれぞれ正規受信者と盗聴者のBER で、𝑞は変調多値数であり、本研究では𝑞 = 1である。チャネル容量は、その値が上限値に近いほど正確に情報が伝わる。つまり、秘匿容量は、正規受信者に正確に情報を伝達し盗聴者に情報が洩れない場合に５ まとめ
本研究では、カオス暗号に、疑似乱数の頻度分布に偏りのないテント写像を導入する手法を提案した。そのカオス暗号を大規模 MIMO に適用して提案手法とし、数値実験により計算時間、誤り率と秘匿容量を評価した。その結果、提案手法の誤り率と秘匿容量は、前手法と比べ、ほとんど差がないことが確かめられた。計
算時間では、わずかながら提案手法の計算時間が短い
ことが確かめられた。これらの点から、提案手法が、前手法の欠点であるロジスティック写像による疑似乱数の偏りを回避し、前手法と同等以上の性能を持つことを示すことができた。今後の課題として、本研究

－15－

迫田和之・谷口莉菜

ではセキュリティ性能の評価を秘匿容量のみで行ったため、盗聴者の持つ鍵と正規の鍵との近さに対するセキュリティ性能の依存性についても調査し、評価したいと考えている。
参考文献

1) T. L. Marzetta : Noncooperative Cellular Wireless with
Unlimited Numbers of Base Station Antennas, IEEE
Trans. Wireless Commun., Vol.9, pp.3590-3600, 20102) F. Rusek, D. Persson, B. K. Lau, et al. : Scaling Up
MIMO Opportunities and Challenges with Very Large
Arrays, IEEE Signal Process. Mag., Vol.30, pp.40-60,20133) E. Telatar : Capacity of Multi-antenna Gaussian Channels,
European Transactions on Telecommunications, Vol.10,
pp.585-595, 1999
4) L. Lu, G. Y. Li, A. L. Swindlehurst, et al. : An Overview
of Massive MIMO: Benefits and Challenges, IEEE J. Sel.
Topics Signal Process., 8, pp.742-758, 20145) S. Yang, L. Hanzo : Fifty Years of MIMO Detection the
Road to Large-scale MIMOs, IEEE Commun. Surveys
Tuts., 17, pp.1941-1988, 20156) D. Araújo, T. Maksymyuk, A. L. F. Almeida, et al. :Massive MIMO: Survey and Future Research Topics,
IET Commun., 10, pp.1938-1946, 20167) J. Yang, C. Zhang, X. Liang, et al. : Improved Symbolbased Belief Propagation Detection for Large-scale
MIMO, Proc. IEEE Workshop on Signal Processing
Systems, pp.1-6, 20158) W. Fukuda, T. Abiko, T. Nishimura, et al. : Lowcomplexity Detection Based on Belief Propagation in a
Massive MIMO System, Proc. IEEE VehicularTechnology Conf., pp.1-5, 20139) T. Takahashi, S. Ibi, S. Sanpei, et al. : On Normalizationof Matched Filter Belief in GaBP for Large MIMO
detection, Proc. IEEE Vehicular Technology Conf., pp.16, 201610)P. Som, T. Datta, A. Chockalingam, B. S. Rajan, et al. :Improved large-MIMO Detection Based on Damped
Belief Propagation, Proc. IEEE Trans. inf. Theory, pp.15, 201011)J. Yang, W. Song, S. Zhang, et al. : Low-Complexity
Belief Propagation Detection for Correlated Large-Scale
MIMO Systems, J Sign. Process. Syst., 90, pp.585-599,
201812) K. Sakoda, H. Hata and S. Hata : Residue Effect ofParallel Interference Canceller in Belief Propagation
Decoding in Massive MIMO Systems, International
Journal of Electrical and Electronic Engineering &Telecommunications, Vol.9, pp.13-17, No.1, 202013) M. Bloch and J. Barros : Physical-Layer Security,
Cambridge University Press, Cambridge, 201114) L. Dong, Z. Han, A. P. Petropulu and H. V. Poor :Improving Wireless Physical Layer Security via
Cooperating Relays, IEEE Trans. Signal Processing,
Vol.58, No.3, pp.1875-1888, 201015) Y. Shiu, S. Y. Chang, H. Wu, S. C. Huang and H. Chen :Physical Layer Security in Wireless Networks: a
Tutorial, IEEE Wireless Commun., Vol.18, No.2,
pp.66–74, 201116) E. Okamoto : A Chaos MIMO Transmission Scheme for
Channel Coding and Physical-layer Security, IEICE
Trans. Commun., Vol.E95-B, No.4, pp.1384-1392, 201217) E. Okamoto and Y. Inaba : Multilevel Modulated Chaos
MIMO Transmission Scheme with Physical Layer
Security, NOLTA IEICE, Vol.5, No.2, pp.140-156,
201418) K. Sakoda, H. Hata and S. Hata : Chaotic Encryption for
Belief Propagation Decoding in Massive MIMO
Systems, Journal of Communications Technology andElectronics, Vol.65, No.2, pp.172-178, 2020
19) K. Sakoda, H. Hata and S. Hata : Chaotic Encryption for
Massive MIMO using BP decoding, IEICE Trans.
Commum., Vol.J105-B, No.7, pp.535-542, 2022

都城工業高等専門学校研究報告第 57 号（2023）－16－

多値変調に対応する大規模 MIMO における BP 信号検出の検討
迫田和之 1・湯之前翔大 2

Study on Belief Propagation Decoding for Multivalued Modulation in Massive MIMOSAKODA Kazuyuki1 and YUNOMAE Shota 2(Accepted September 27, 2022)

Abstract

A Massive MIMO (Multiple Input Multiple Output) is expected to become the core oftechnology for future large-capacity wireless communication. However, massive MIMO systems

generally experience the explosive increase of the computation time required for decoding. BP
decoding is attracting attention as decoding method in a massive MIMO because of practicalcomputation time. There are several types of BP decoding that will be used for a decoding in a massive
MIMO. The BP decoding (previous method) proposed in our laboratory shows high performance, but does
not support multivalued modulation. Support for multivalued modulation is essential for large-capacity
wireless communication. In this study, we propose a new BP decoding to adapt multivalued modulation.
We numerically evaluate decoding accuracy and channel capacity of the proposed method. The results
suggest that the proposed method achieves the standard criteria for establishing wirelesscommunication in bit error ratio and increases channel capacity.
Keywords [Massive MIMO, BP decoding, Multivalued modulation]

１ 序論
近年、高速・大容量無線移動通信規格である第 5 世
代（5G）サービスが提供され、無線移動通信の大容量化が進んだ。今後は移動通信の主要端末である携帯電話だけに留まらず、家電、自動車や工場の自動操作等といった様々なものがインターネットに接続可能になる Internet Of Things(IoT)の発展は必至である。
それらの機器は無線で接続されることが想定されるため、今後の無線通信は大容量かつ多接続可能な移動通信が条件となる。その条件を満たす中核技術は大規模 Multiple Input Multiple Output(MIMO)である 1,2)。
大規模 MIMO は、これまで数本程度であった MIMO 送受信アンテナを数十～数百本程度に増やすことで、チャネル容量の大容量化を実現するものである 3,4)。しかしながら、送信アンテナ数の増加に比例して送信信号数も増加し、それにより受信側での信号検出（受信信号から送信信号を推定する技術）における計算量が指数関数的に増加するという課題がある 5,6)。この問題を解決するため、MIMO の一般的な信号検出手法である

1 都城工業高等専門学校電気情報工学科(現 鹿屋体育大学スポーツ情報センター) Department of Electrical and Computer Engineering,
National Institute of Technology(KOSEN), Miyakonojo College (Present address: Information Technology Center for Sports Sciences,
National Institute of Fitness and Sports in Kanoya)
2 富士アイティ株式会社情報制御システム本部産業ソリューション事業部環境ソリューション部計測システム課 Instruments Control
System Section, Industry Solution Division, Environment Solution Department, Fuji IT Co. Ltd.

－17－

迫田和之・湯之前翔大Transmitter

Received
signal
…
…

…

S
/
P

…

modulation𝑥⃗

Receiver

H

Transmitting
signalTransmitted
data𝑏

Propagation
channel𝑦⃗P/
S

EstimationBP
decoder𝑏

Fig. 1 Massive MIMO overview
最尤推定法（Maximum Likelihood Detection, MLD）の計算量を削減する手法や繰り返し計算を用いた手法 等が提案されている 7,8) 。 中でも、確率伝播法（Belief Propagation, BP）を用いた繰り返し計算手
法、以下 BP 信号検出は、高い推定精度と少ない計算量により、注目を集めている 9～13)。BP 信号検出には大きく分けて 2 種類あり、1 つは信号検出に BP 法を適用した最初の手法であり、通信容量を増加させる多値変調への適応 14)や推定精度を向上させる改良 11,12)が行われ、5G の信号検出の主流となりつつあるものである 9～14)。もう 1 つは、当研究室で考案された手法で（以下、前手法）15)、今後の改良が期待されるものである。
この 2 つの大きな違いは、繰り返し計算の際に算出する残留干渉成分と呼ばれるものの分散の計算方法である。この違いにより、繰り返し計算途中の推定値の振る舞いが大きく変わることが報告されている。両手法の振る舞いに大きな違いはあるが、推定精度と計算量は同程度である。しかしながら、前手法は、多値変調への対応や推定精度を向上させる改良は未だ行われていない。特に、必要な通信容量は年を追う毎に増加する一方であるため、通信容量の増加が見込める多値変調への対応は急務である。そこで本研究では、2値変調(Binary Phase Shift Keying, BPSK)の信号検
出にしか対応していない前手法を、多値変調の 1 つである Quadrate Phase Shift Keying(QPSK)の信号検出に対応できる手法に改良し提案する。その提案手法の誤り率と通信容量を数値実験により評価する。2 章では、無線通信のシステムモデルと前手法を紹介する。
3 章では、提案手法を述べる。4 章では提案手法の数値実験結果、5 章では考察とまとめを述べる。

２.１ システムモデル
システムモデルは、送信アンテナ数𝑁t 、受信アンテ
ナ数𝑁r の大規模 MIMO 通信方式を考える。送信ビット
は BPSK を用いて電磁波で送りやすい形式に変換され、直並列変換器（Serial Parallel Conversion, S/P）を経て，送信アンテナから受信アンテナに向けて送信される。受信機では、受信アンテナで得られた受信信号を並直列変換器（Parallel Serial Conversion, P/S）に通し、BP 信号検出により送信ビットを推定する
（Fig.
1）。
送信データは、𝑁t 個の送信ビット𝑏⃗ = 𝑏 , 𝑏 , … , 𝑏

ここでは本研究および前手法でのシステムモデル
である大規模 MIMO 通信方式と前手法である BPSK に対応した BP 信号検出を紹介する。

(1)𝑏 ∈ {0, 1} for 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑁
で、送信信号𝑥⃗は、送信データを BPSK で変調し、
𝑥⃗ = 𝑥 , 𝑥 , ⋯ , 𝑥 ,1 (𝑏 = 1)𝑥 =for 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑁−1 (𝑏 = 0)(2)となる。𝑥 は送信シンボルといい、送信信号の 1 要素である。BPSK は位相変調の最も基礎的な手法であり、電磁波の位相を Fig. 2(a)のように 180°ずらすことで𝑏 ∈ {0, 1}を表すことができ、1 送信シンボルに 1 ビ
ットの情報を含む。𝑥⃗の各要素は、送信アンテナに 1 つずつ割り当てられ、同時刻同周波数で受信アンテナに向けて送信される。電磁波が通る空間中の経路はマル
チパスチャネルと呼ばれ、𝑁r 行𝑁t 列の通信路行列𝐇で表される。受信信号𝑦⃗は
𝑦⃗ = 𝐇𝑥⃗ + 𝑛⃗

２ システムモデルと前手法,(3)と表せる。ここで𝑛⃗は平均 0 で分散𝜎 の白色雑音である。
受信機では、受信信号𝑦⃗から送信データ𝑏⃗を BP 信号検出を用いて推定する。従って、推定データ𝑏⃗は、𝐇を既知として、𝑦⃗と𝐇の関数

多値変調に対応する大規模MIMO におけるBP 信号検出の検討

Im

－18－

Im

１

𝑥 𝑏

𝑥 𝑏 =0𝑥 𝑏 =1Re１－１= 1, 𝑏 = 1

－１

𝑥 𝑏

－１

１ 𝑥 𝑏

= 0, 𝑏 = 1

Re１= 0, 𝑏 = 0 －１(a) BPSK𝑥 𝑏= 1, 𝑏 = 0(b) QPSK

Fig. 2 Constellation points of BPSK and QPSK𝑏⃗ = 𝑏⃗(𝑦⃗, 𝐇)(4)であり、BP の繰り返し回数が増えると 1 もしくは-1に収束することが期待される。式(5)は、𝑦と書ける。BPSK に対応した BP 信号検出の詳細は次節
で述べる。

()

𝑅
２.２ BPSK に対応した BP 信号検出
BP 信 号 検 出 は 並 列 干 渉 除 去 （ Parallel
Interference Cancellation, PIC）を用い、繰り返し計算により送信データを推定する。PIC により不必要な送信信号を除去することで、MIMO を Single Input
Multiple Output（SIMO）として見なし、送信データの各ビットを推定可能とする。推定された各ビットの尤度を次の繰り返し計算で PIC に用いることで、徐々に推定された送信データの精度が向上する。以下に BPSKに対応した BP 信号検出である前手法 15)の手順を述べる。
２.２.１ 並列干渉除去
ここでは受信機で受け取った受信信号に PIC を行い
SIMO 化する手順を述べる。受信信号の要素である𝑦 の
𝑥 以外の送信信号を PIC で除去したものを
𝑦

=𝑦 −

ℎ 𝑥

()

,

𝑥

()

= tanh

ℎ

𝑥 −𝑥

()

(8)

()

は残留干渉成分と呼ばれ、レプリカ信号で除去しきれなかった成分である。
２.２.２ LLR
ここでは PIC により着目した送信信号が 1 か-1 であるかを評価する対数尤度比（Log Likelihood Ratio,()

LLR）について述べる。𝑅 を雑音と見なすと、𝑥 の尤
度関数は、
()

𝑥 (𝑏 )()()ℎ 𝑥 + 𝜇 ,𝜎

()

(9)

+𝜎

()

2

(6)
で与えられる。ここでC𝑁(∗ |𝜇, 𝜎 )は平均𝜇で分散𝜎 の()とする。ここで、𝑥 はレプリカ信号であり、𝑙 = 1,2, ⋯()は繰り返し回数である。𝛽 （式（14））については後述する。レプリカ信号は-1≤ 𝑥=

毎に徐々に除去されることを期待する。ここで、𝑅= 𝐶𝑁 𝑦𝛽()と書き直すことができる。式(7)は𝑥 に着目し、それ以外の送信信号はレプリカ信号により BP の繰り返し

(5)

,

(7)

,

Pr 𝑦
()

()

=ℎ 𝑥 +𝑛 +𝑅 ,()≤1 の範囲の連続値()

複素ガウス分布である。式(9)の𝜇 と𝜎

()

は残留干渉

成分の分散と平均で

𝜇

()

= 0,

(10)

－19－

迫田和之・湯之前翔大

𝜎

()

=

ℎ

𝑥 −𝑥

()

(11)
𝜎

,

()

=

ℎ

𝑥

(

)

−𝑥

()

(16)

,

である。式(9)の尤度関数を用いて、対数尤度比（LLR）と設定し，残留干渉成分の分散の代わりに用いる。また、
𝛼

()

= log

Pr 𝑦

()

Pr 𝑦

()

𝑥 (𝑏 = 1)(12)

𝑥 (𝑏 = 0)

BP 繰り返しの初回において𝑥

𝜎

( )

=

()

確率が高く、負であれば𝑥 =-1、つまり𝑏 =0 である
確率が高い。この LLR の情報を次の BP 繰り返しに引
き継ぐため

𝛾

=

(

)

𝛽

𝛼

=𝛾

()

(13)

,

−𝛼

( )

は 1 と-1()(14)

を算出する。式(13)は送信信号𝑥 を評価する LLR を加算したものである。式(14)は次の BP 繰り返しで式(5)に用いる。
２.２.３ BP 繰り返し処理と推定値
PIC を元に式(5)-(12)により LLR を得られる。LLR

(17)

ℎ
,

できる。𝛼 が正であれば𝑥 =1、つまり𝑏 =1 である()=0 とし、𝑥が等確率と仮定し、その疑似残留干渉成分の分散をを算出することで、𝑗番目の受信アンテナで得られた受信信号𝑦 での𝑘番目の送信信号𝑥 を評価することが

()

( )

と設定する。
３ 提案手法
ここでは、多値変調として QPSK の概要とそれに対応した BP 信号検出、以下、提案手法を述べる。
３.１ QPSKQPSK は、送信シンボル𝑥 に 2 ビットの情報を含む変調方式である。Fig. 2(b)のように、電磁波の位相 90°
をずらして、2 ビットの情報を表す。その時の送信データ𝑏⃗は、𝑏⃗ = 𝑏 , 𝑏 , … , 𝑏𝑏 ∈ {0, 1},

()

(18)

,

𝑖 = 1,2, ⋯ , 2𝑁から構成される𝛽 を生成することで次の BP 繰り返()()

し処理へ移る。繰り返し処理により、𝛼 、𝛽 と𝑥が更新され、BP 繰り返しの規定回数𝑁に、送信ビットの推定を

𝑏 =

1,

𝛾

(

0,

𝛾

(

)
)

≥0
<0

()

で、送信信号𝑥⃗は、に到達した際

𝑥 =
(15)

とする。
２.２.４ 残留干渉成分の分散の取り扱い
尤度関数に式(11)で表される残留干渉成分の分散を導入する必要があるが、その中には真の送信信号𝑥が含まれている。これは受信側では知りえない情報であるため、疑似残留干渉成分の分散を他の方法で残留干渉成分の分散を見積もる必要がある。疑似残留干渉
成分の分散を𝑥⃗ = 𝑥 , 𝑥 , ⋯ , 𝑥 ,𝑖𝜋= 1, 𝑏 = 1)
4 (𝑏
⎧ exp
⎪ exp 3𝑖𝜋
= 0, 𝑏 = 1)
4 (𝑏⎨exp 5𝑖𝜋 4 (𝑏= 0, 𝑏 = 0)⎪7𝑖𝜋= 1, 𝑏 = 0)
⎩ exp
4 (𝑏
𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑁

,

(19)

である。BPSK と比べ、1 送信シンボルで送れるビット数が 2 倍になる。
３.２ 提案手法
提案手法は、前手法の LLR やレプリカ信号の生成方
法を QPSK に対応させるものである。ここでは、その方法を述べる。

多値変調に対応する大規模MIMO におけるBP 信号検出の検討－20－

Table 1 Simulation condition
Proposed method

Previous method

QPSK

BPSK

Modulation
Num. of antennas

𝑁 = 𝑁 = 100

Channeli.i.d. Rayleigh fading

Receive channel state information

Perfect

Decoding method

BP decoding

Num. of BP iteration

𝑁

まず、送信シンボルに含まれる第 1 ビットと第 2 ビ
ットのそれぞれの LLR を

𝛼

()
,

= log

Pr 𝑦

()

Re[𝑥 (𝑏

= 1)]

Pr 𝑦

()

Re[𝑥 (𝑏= 0)]()𝛼 , = log

,

Pr 𝑦

()

Im[𝑥 (𝑏

= 1)]

Pr 𝑦

()

Im[𝑥 (𝑏

= 0)]

(20)

(21)

= 20

0 または 1 をとるとし、無作為に生成した。チャネル
行列の要素は平均 0、
分散 1 の複素ガウス分布C𝑁(0,1)に従う乱数とした。受信信号に含まれる雑音は白色雑音と仮定し、複素ガウス分布C𝑁(0, 𝜎 )に従う乱数とした。雑音の分散は 1 ビットあたりの信号電力と雑音電力の比である Eb/No を用いて、
𝜎 = 10 / とした。
全ての乱数は互いに独立に生成した。これらの数値実験は MATLAB®で行った。

４.１ 提案手法の誤り率とする。これにより、式(13)、(14)は、
()

(

𝛼

)

()

()

,

()

𝛼 , ,

()

(22)

)

=𝛾 , −𝛼 ,

()

(23)

𝛾, =
(

=𝛾 , −𝛼 , , 𝛽 ,

()

BER

𝛽 ,

()
,

𝛾, =

(

となる。𝛽 ,

𝑥

()

=

)

1
√2

()

(

、𝛽 ,

)

から生成されるレプリカ信号は、
()

tanh

𝛽 ,
2

+

𝑖
√2

()

tanh

𝛽 ,
2

(24)

()

とする。 𝛽 , と 𝛽 , が大きくなると、レプリカ信号
が QPSK の送信信号に近づくことがわかる。前手法は送信シンボル毎に評価していたが、提案手法では送信ビット毎に評価することで、QPSK に対応することが可能である。提案手法は、前手法の式(6)を式(24)に、式(12)を式(20)と(21)に、式(13)と(14)を式(22)と(23)に変更する。
４ 数値実験による評価
提案手法の性能を評価するため、誤り率と通信容量について数値実験を行った。それらに共通する諸元はTable 1 の通りとした。送信データの要素は等確率でFig. 3 BERs in massive MIMO for proposed
method and previous method

本研究では Bit Error Rate(BER)を用いて誤り率の評価を行う。提案手法と前手法の BER を比較した結果
が Fig. 3 である。誤り率を縦軸 BER、横軸 Eb/No とし、提案手法をアスタリスク、前手法を円で無線通信の誤り率の基準値を破線で表示した。提案手法と前手法を比較すると、Eb/No が大きくなるとどちらも BERは低下するが、全ての Eb/No で前手法の BER が低くなった。しかしながら、提案手法の BER は、無線通信の誤り率基準値である BER<10-3 を Eb/No<20 で達成しているため、実用上の問題はないと考えられる。提案手法の BER が増加する原因は、Fig.2 で表される信号点

－21－

迫田和之・湯之前翔大間の距離が前手法に比べ短くなり、ノイズの影響を受けやすくなったためと考えられる。
４.２ 提案手法の通信容量

通信容量において、前手法よりも優れていることを示すことができた。これらの結果から、提案手法が多値変調を基本とする大規模 MIMO での信号検出で有効であるということが示唆された。
今後の課題として、提案手法を QPSK よりもさらに多値変調となる 8 Phase Shift Keying(8PSK)や 16
Quadrature Amplitude Modulation(16QAM)への拡張を考えている。
参考文献

1) T. L. Marzetta : Noncooperative Cellular Wireless with
Unlimited Numbers of Base Station Antennas, IEEE
Trans. Wireless Commun., Vol.9, pp.3590-3600, 20102) F. Rusek, D. Persson, B. K. Lau, et al. : Scaling Up

Fig. 4 Channel capacity in proposed
method and previous method
提案手法の通信容量を前手法と比較し評価した。通信容量は、
C = 𝑞𝑁 [1 + 𝑃 log 𝑃 + (1 − 𝑃 )log (1 − 𝑃 )](25)で与えられる。ここで、𝑞は変調多値数であり BPSK では𝑞 =1、QPSK では𝑞 =2 である。𝑃 は BER である。
提案手法と前手法の通信容量を比較した結果がFig.4 である。縦軸を通信容量、横軸を Eb/No とし、提案手法をアスタリスクで表し、前手法を円で表した。
どちらの手法も Eb/No が大きくなると通信容量が大きくなった。小さい Eb/No の範囲では提案手法よりも前手法の方は通信容量が僅かながら大きいが、Eb/No≥6で提案手法の通信容量が大きくなった。提案手法と前手法の通信容量の上限は、式(24)によると𝑃 =0、つまり１つも誤らなかった場合、それぞれ
200[bit/symbol]と 100[bit/symbol]である。数値実験の結果、Eb/No が大きくなると通信容量は上限に漸近した。Eb/No が十分に大きい環境で、提案手法は前手法に比べ通信容量の面で大きな性能改善が可能であることがわかった。
５ まとめ
本研究では、BPSK の信号検出にしか対応していない
前手法を、多値変調の 1 つである QPSK の信号検出に対応できる手法に改良し提案した。その提案手法の誤り率と通信容量を数値実験により評価した。その結果、誤り率において、無線通信の基準値を達成すること、

MIMO Opportunities and Challenges with Very Large
Arrays, IEEE Signal Process. Mag., Vol.30, pp.40-60,20133) E. Telatar : Capacity of Multi-antenna Gaussian
Channels,
EuropeanTransactions
Telecommunications, Vol.10, pp.585-595, 1999

on4) L. Lu, G. Y. Li, A. L. Swindlehurst, et al. : An Overview
of Massive MIMO: Benefits and Challenges, IEEE J. Sel.
Topics Signal Process., 8, pp.742-758, 20145) S. Yang, L. Hanzo : Fifty Years of MIMO Detection
the Road to Large-scale MIMOs, IEEE Commun.
Surveys Tuts., 17, pp.1941-1988, 20156) D. Araújo, T. Maksymyuk, A. L. F. Almeida, et al. :Massive MIMO: Survey and Future Research Topics,
IET Commun., 10, pp.1938-1946, 20167) T. H. Im, J. Kim and Y. S. Cho : A Low Complexity
QRM-MLD for MIMO Systems, Proc. IEEE VehicularTechnology Conf., pp.2243-2247, 20078) H. Kawai, K. Higuchi, N. Maeda, et al. : Likelihood
Function for QRM-MLD Suitable for Soft-decision
Turbo Decoding and its Performance for OFDM MIMO
Multiplexing in Multipath Fading Channel, IEICE Trans.
Commun., E88-B, pp.47-57, 2005

9) J. Yang, C. Zhang, X. Liang, et al. : Improved Symbolbased Belief Propagation Detection for Large-scale
MIMO, Proc. IEEE Workshop on Signal Processing
Systems, pp.1-6, 201510)W. Fukuda, T. Abiko, T. Nishimura, et al. : Lowcomplexity Detection Based on Belief Propagation in a
Massive MIMO System, Proc. IEEE VehicularTechnology Conf., pp.1-5, 2013

多値変調に対応する大規模MIMO におけるBP 信号検出の検討

11) T. Takahashi, S. Ibi, S. Sanpei, et al. : On Normalizationof Matched Filter Belief in GaBP for Large MIMO
detection, Proc. IEEE Vehicular Technology Conf.,
pp.1-6, 201612) P. Som, T. Datta, A. Chockalingam, B. S. Rajan, et al. :Improved large-MIMO Detection Based on Damped
Belief Propagation, Proc. IEEE Trans. inf. Theory, pp.15, 201013) J. Yang, W. Song, S. Zhang, et al. : Low-Complexity
Belief Propagation Detection for Correlated Large-Scale
MIMO Systems, J Sign. Process. Syst., 90, pp.585-599,
201814) T. Watabe, T. Nishimura, T. Ohgane, et al. : Superposed
16-QAM Signal Detection Using GaBP in a Massive
MIMO System, Proc. APSIPA Annual Summit andConf., pp.1416-1420, 201815) K. Sakoda, H. Hata and S. Hata : Residue Effect ofParallel Interference Canceller in Belief Propagation
Decoding in Massive MIMO Systems, International
Journal of Electrical and Electronic Engineering &Telecommunications, Vol.9, pp.13-17, No.1, 2020－22－

都城工業高等専門学校
研究報告第 57 号
令和 5 年 1 月印刷
令和 5 年 1 月発行
編集兼発行者：独立行政法人国立高等専門学校機構
都城工業高等専門学校
郵便番号：885-8567
所 在 地：宮崎県都城市吉尾町 473 番地の 1
National Institute of Technology(KOSEN), Miyakonojo College
ADDRESS:473-1 Yoshio-cho, Miyakonojo City,
Miyazaki Prefecture, Japan 885-8567
TEL(0986)47-1109
FAX(0986)47-1111

Research Reportof
National Institute of Technology(KOSEN), Miyakonojo College
No.57
2023
Contents

Research Papers;
・On p-adic Dedekind-Rademacher sums attached to Dirichlet characters･･･KOZUKA Kazuhito･･･････1・Application of Tent Map to Chaotic Encryption in Massive MIMO Using BP Decoding･･････SAKODA Kazuyuki, TANIGUCHI Rina･････10

・Study on Belief Propagation Decoding for Multivalued Modulation in Massive MIMO･･･SAKODA Kazuyuki, YUNOMAE Shota･････16***********************************************************************************************