分子動力学法の基礎
第１版 更訂 A

古明地勇人
Fundamentals of Molecular Dynamics Simulation
Edition 1 Revision A
Yuto Komeiji

CBI E-book series No. 6https://cbi-society.org/home/pub_ebook.html
ISBN 978-4-910628-06-6

更新履歴・第 1 版
・第１版

2023 年 8 月 1 日
更訂 A

2024 年 1 月 26 日

全体の目次
序

i
概要

i

対象読者

i

構成

ii

引用方法

ii

執筆経緯

ii

謝辞

iii

注記 1：図、表、疑似コード、数式の番号iii

注記 2：文献引用iv

注記 3：付録iv

注記 4：数学記号iv

注記 5：外国語の専門用語と人名v

注記 6：MD シミュレーションと分子グラフィクスソフトv

注記 7：疑似コードの形式

vi

序の文献

vi

分子動力学法関連の教科書

vii[1] 分子モデリングとシミュレーション

vii[2] 量子化学

ix[3] 物理学ix[4] プログラミング言語と数値計算

x第1章

分子動力学法の概要

1

1.1. 分子動力学法の定義

1

1.2. 分子動力学法の分類

2

1.3. 分子動力学法の歴史

5

1.4. 分子動力学法のアルゴリズム

8

第 1 章のまとめ

10

第 1 章の参考文献

10

第2章

分子動力学法のための多体系の古典力学

142.1. N 体系

142.2. ニュートンの法則と重ね合わせの原理

15

2.3. 保存則

17

2.4. 重心運動の分離

21

2.5. ハミルトン形式

22

2.6. 時間反転対称性

252.7. シンプレクティック性

26

2.8. 位相空間とリウヴィル方程式

292.9. ハミルトン系の力学のまとめ

36

2.10. 非ハミルトン系の力学

37

第 2 章のまとめ

42

付録 2A1.

作用反作用の弱法則と角運動量42

付録 2A2.

一般化リウヴィル方程式の変形

45

第 2 章の参考文献
第3章

46

時間積分

48

3.1. 時間積分の定義

49

3.2. 時間積分アルゴリズムの打切り誤差とエネルギー保存

50

3.3. 1 次の時間積分法の導出：オイラー法と修正オイラー法

53

3.4. 2 次の時間積分法の導出：速度ヴェルレ法

55

3.5. オイラー法、修正オイラー法、速度ヴェルレ法の精度

57

3.6. 時間反転対称性

593.7. シンプレクティック性

61

3.8. 指数摂動展開による時間積分法の作成

64

3.9. 指数摂動展開による局所誤差と大域誤差の算出

68

3.10. シンプレクティック法の影のハミルトニアン

69

3.11. 多重時間刻み幅法71

第 3 章のまとめ

73

付録 3A1. 速度ヴェルレ法の実装

74

付録 3A2. 演算子の指数関数に関する公式

78

付録 3A3. 2 次の対称分解

79

付録 3A4. 多重時間刻み幅法の実際

81

第 3 章の参考文献

83

第4章

分子動力学計算のためのモデリング85

4.1. 分子モデル

854.2. 初期構造

92

4.3. 欠損原子の発生

934.4. 境界条件と溶媒

94

4.5. 系の電荷の中和

1014.6. 生体分子のモデリングの実際

102

第 4 章のまとめ

104

付録 4A1.

104

水球の束縛ポテンシャルの問題点

第 4 章の参考文献
第5章

力とポテンシャルの計算（前） 基礎

106
112

5.1. 分子力場

1125.2. 共有結合力（分子内相互作用）

115

5.3. 非共有結合力（分子間相互作用）

119

5.4. 電子状態から見た分子力場

121

第 5 章のまとめ

125

付録 5A1. 結合長の量子力学と古典力学

125[1] 調和振動子の理論（ミクロカノニカル集合）

126[2] 調和振動子の理論（カノニカル集合）

132[3] 分子内共有結合の振動状態の解析

135[4] 自由 MD と拘束 MD の比較

139

付録 5A2. エルミート多項式141

第 5 章の参考文献

141

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

144

6.1.

基本事項

145

6.2.

分子間相互作用の初歩的な計算方法

149

6.2.1. ポテンシャルの形

149

6.2.2. 最近接粒子選択法（周期境界）151

6.2.3. カットオフ法（非周期境界、周期境界）1526.2.4. 直接和（非周期境界、周期境界）

158

6.3.

エワルド法

160

6.3.1.

エワルド法の公式

160

6.3.2.

エワルド法の表面項

162

6.3.3.

エワルド法の精度と計算量

165

6.3.4.

エワルド法の排除原子対の扱い方

169

6.3.5.

エワルド法のプログラム

170

6.3.5.

エワルド法の特徴

171

6.4.

PME 法

172

6.5.

多重極展開法

173

第 6 章のまとめ

183

付録 6A1. 周期系境界条件におけるポテンシャルと力（直接和）183

付録 6A2. 周期系境界条件での角運動量保存則の不成立

186

付録 6A3. カットオフ法の負荷分散

187

付録 6A4. エワルド法の導出

187

付録 6A5. ３次元フーリエ変換

201

第 6 章の参考文献
第7章

エネルギー極小化計算

205
212

7.1. エネルギー極小化（構造最適化）の原理

212

7.2. 最急降下法

214

7.3. 共役勾配法

2157.3. 冷却法

218

7.4. エネルギー極小化法の実例

220

第 7 章のまとめ

221

第 7 章の参考文献

221

第8章

拘束と束縛

223

8.1. 自由度

224

8.2. 部分構造の拘束

229

8.3. 部分構造の束縛

230

8.4. 重心の並進運動の拘束230

8.5. 回転運動の凍結（拘束）232

8.6. 原子間距離の拘束（分子動力学法）: SHAKE/RATTLE 法

234

8.7. 原子間距離の拘束（エネルギー極小化）

243

8.8. 任意の原子間距離の拘束と束縛

251

第 8 章のまとめ

251

付録 8A1. 溶質構造の束縛と拘束の溶媒への影響

251

付録 8A2. 定温アルゴリズムでの重心の運動量

255

第 8 章の参考文献

255

第9章

分子動力学法のための統計熱力学

258

9.1. アンサンブル

258

9.2. 温度262

9.3. 圧力263

第 9 章のまとめ

271

付録

9A1. 温度と運動エネルギーの関係

271

付録

9A2. 圧力とヘルムホルツの自由エネルギーの関係

272

第 9 章の参考文献
第 10 章274

アンサンブル

275

10.1. MD におけるアンサンブル

276

10.2. NVE-MD

278

10.3. NVT-MD

279

10.3.1. 速度スケーリング法

279

10.3.2. ガウスの拘束法280

10.3.3. Berendsen 法

283

10.3.4. Nosé 法

285

10.3.5. Nosé-Hoover (NH) 法

293

10.3.6. Nosé-Hoover Chains (NHC)法

298

10.3.7. NVT-MD まとめと補足

302

10.4. NPHe-MD

303

10.5. NPT-MD

309

10.6. 非ハミルトン力学によるアンサンブルの解析

312

10.6.1. 非ハミルトン力学による解析手順

312

10.6.2. NVE-MD

314

10.6.3. NVT-MD （Gauss の拘束法)

315

10.6.4. NVT-MD （Nosé-Hoover 法)

318

10.6.5. NPT-MD （MTK 法）

323

第 10 章のまとめ

326

付録 10A1. ヤコビ座標327

第 10 章の参考文献

329

第 11 章分子動力学計算の実行

334

11.1. トラジェクトリーの定義

335

11.2. MD 用ソフトウェアパッケージの構成

335

11.3. トラジェクトリー作成の留意点

336

11.4. トラジェクトリー作成 (1) 準備

341

11.5. トラジェクトリー作成 (2) エネルギー極小化

342

11.6. トラジェクトリー作成 (3) 初期温度の設定

342

11.7. トラジェクトリー作成 (4) QD、昇温、本計算

343

11.8. トラジェクトリーの精度と平衡化の基準

344

11.9. トラジェクトリー作成の Tips

346

第 11 章のまとめ

349

付録

11A1. 物質の三態と MD

349

付録

11A2. マクスウェル＝ボルツマン分布の生成351

第 11 章の参考文献
第 12 章353

トラジェクトリーの解析

354

12.1. トラジェクトリー解析の基本

355

12.2. トラジェクトリーの可視化と重ね合わせ

357

12.3. 部分系のエネルギー360

12.4. 根平均自乗変位 -

RMSD

361

12.5. 根平均自乗揺らぎ- RMSF

363

12.6. 分子の概形を示す量 - 回転半径、二体分布関数、溶媒露出面積

36512.7. 分子のドメイン構造 - コンタクトマップ、動的相関図

369

12.8. 生体分子の構造・コンフォーメーション

372

12.9. 溶媒やイオンの拡散 -

375

拡散係数

12.10. 溶媒やイオンの分布 - 動径分布関数、配位数

377

12.11. 集団運動381

12.11.1. NMA と PCA の条件設定

381

12.11.2. 基準振動解析（NMA）

383

12.11.3. 主成分分析（PCA）

391

12.11.4. NMA と PCA の比較

398

12.12. フーリエ解析399

第 12 章のまとめ409

付録 12A1. 拡散係数の理論409

付録 12A2. 実対称行列の対角化415

第 12 章の参考文献

416

第 13 章

番外編：マクスウェル＝ボルツマン分布42413.1. 序424

13.2. マクスウェル＝ボルツマン分布の速度分布42613.3. マクスウェル＝ボルツマン分布の速さと運動エネルギー分布42913.4. 分子動力学シミュレーションによる確認

431

付録 13A1. 関数方程式の解434

付録 13A2. 定積分の公式

435

第 13 章の参考文献

435

あとがき
著者略歴

437
438

序
概要
この本では、分子動力学シミュレーション法（Molecular Dynamics simulation、以下 MD）の方法のうち、基礎的で常識的なものに限り、その原理とアルゴリズムを説明している。主として、古典 MD を中心に記述した。計算対象分子は、生体高分子や有機分子を想定している。MD の入門書と言うよりは、ある程度 MD の経験がある人向けの本である。
本書は、「すでにブラックボックス化した、基本的な方法の原理と中身」の解説が中心である。具体的には、定エネルギー、定温、定圧条件下での分子系の時間発展を記述し、解析するためのアルゴリズムの原理とノウハウを解説する。紹介している論文は、1980-90 年代の古いものが多い。MD の基礎はその頃できたからである。一方、発展的、応用的な技術、たとえば、拡張アンサンブル法、自由エネルギー計算、第一原理 MD、機械学習と MD の融合、などは、必要に応じて言及するにとどめた。実は、筆者自身は、古典 MD をメインに研究していたのは 21 世紀初頭までで、その後は、タンパク質の電子状態にテーマを移してしまったのだが、電子状態計算についても、本書では、ほんの少し触れただけである。これらの発展分野ついては、他にいろいろ解
説書や総説があるから、そちらを読んで欲しい。
基礎だから簡単、というわけではない。むしろ、基礎だからこそ難しい。筆者が大学受験準備で利用した物理の参考書（坂間ら、1981）の前書きに、こんな記述があったのを今でも思い出す。「“基礎的”とはかならずしも“初歩的”を意味しない。一体、何がもっとも基礎的であるか、それをはっきりさせるのはそんなに簡単なことではない。…」
本書においても、筆者の力が及ばず、完全に基礎を突き詰めることはできなかった。どうしても疑問が残る部分、分からなかった部分は、自信がない旨を記述しておいた。それについて、正しい情報等をくださると幸いである。もしかしたら、改定の時に反映できるかも知れない。
対象読者
読者として、MD 計算の多少の経験があり、また、大学の理工系学部レベルの物理学とプログラミング、大学教養レベルの数学、化学、生化学の知識がある人を想定している。
本書が、お役に立てるかも知れない読者は、例えばこんな方々だと思う。
・ブラックボックス化しているアルゴリズムの中身を理解したい人。
・タンパク質や核酸など生体分子の MD 計算を手掛けている人。
i・MD プログラムの開発者。
・実際に MD で研究しているが、細かい技術的なことで引っかかって困っている人。
・計算科学専門のラボではないところで、孤独に MD を用いて研究している人。
一方、あまりお役に立てそうもない方々もいる。
・まったくの MD 初心者→

まずは、何かパッケージソフトのチュートリアルに従って、MD 計算を経験したほうがいい。
・基礎はもう理解していて、最新の方法を学びたい人→

本書ではなく、最新の総説を読んで欲しい。
・忙しい人→

本書は暇人向け。そもそも、school の語源は「余暇」だから、研究はゆったりと行いたいものだが、今や、研究が business になってしまったおかげで、研究者は忙しい人ばかりになってしまった。いいんだか、悪いんだか。
・高校理科や数学の範囲で MD を学びたい方→

ちょっと無理かも。

構成
本書は全部で 13 章から成る。第 1 章で MD の全体像を、第 2-12 章で MD の個々の要
素技術を説明している。ここまでが本編で、第 13 章は番外編である。気になる章だけ読んでもある程度なら理解できるように記述してあるし、引用文献リストも章毎に付
けてある。
引用方法
本書は、CBI 学会のホームページから、どなたでも無料かつ無登録でダウンロード
できる。ただし、著作権は保持しているから、必ず、以下のように著者・書名を明記した上で、クリエイティブ・コモンズ [表示 4.0 国際] ライセンスの範囲内で利用して欲しい。
古明地勇人 (2023)、分子動力学法の基礎、CBI 学会出版
執筆経緯
本書の原型は、筆者が工業技術院・電子技術総合研究所（現・産業技術総合研究所）に入所した 1992 年に、MD のセミナーのために作成したレジメである。このレジ
メは、分子シミュレーションソフト Program for Energetic Analyses ofbioCHemical molecules, PEACH (Komeiji et al. 1997) の開発に合わせて拡張していき、総説として出版し (古明地ら, 2000, 2001）、さらに、1999 年の PEACH ver. 3.0のパッケージ化・公開の際に、インターネット上での配布を開始した（以下、E本）。E 本は、PEACH のバージョンアップの度に内容を改定して行った。最終版は第 7
版である。
ii

さて、プログラム PEACH 自体はあまり使われなかったが、そのドキュメントの E 本
は、割と読まれていたらしい。おかげで、2007 年に要請があり、E 本の内容を改変して書籍の一章として出版することになった（古明地、2010、以下、紙本）。その頃には、PEACH の配布自体を中断していたこともあり、紙本の出版に合わせて、2009 年には E 本の公開を終了した。
そんな経緯で E 本のインターネット配布を終了したのではあるが、今回、完全に新
しく書き直して、電子書籍としてインターネットで出版することにした。というのは、「インターネットで、また公開して下さい」という声を何人からか頂戴したことがある。また、紙面節約のために、紙本から除いてしまった内容も多い。さらに、E本では気楽にいろいろなことを記述していたのだが、紙本はヨソイキの内容になっていて、筆者の本音が伝わりにくい面もあった。だが、何よりも問題なのは、紙本執筆の時点で、筆者の勉強が足りず、あいまいな記述でごまかした部分が多く、のどに刺さった魚の小骨のように気になっていた。おまけに、今見直すとミスプリが多い。
そんなわけで、本書は、直接には、紙本ではなく、E 本の第 7 版を基にしている。
だが、文章も図表も刷新し、章立ても変え、さらに E 本・紙本とは独立に作成・公開していた文書も付け加えた。だから、本書は、紙本はもちろん、E 本とも違う、まったく別の書籍である。必要な人は誰でもすぐ読めるように、また、間違いが見つかれば即座に訂正できるように、無料の電子出版にした。だから、何か、間違いを発見された方は、筆者あてにご連絡くださると幸いである（ykome_research＠
mbr.nifty.com）。
謝辞
本書の執筆にあたり、多くの方々にご助力・ご助言をいただきました。特に、有益なご教示をくださった神戸大学・田中成典教授（第 5 章付録 5A1）、産業技術総合研究所・森下徹也博士（第 10 章）、同・都築誠二博士（第 5 章）、画像を提供くださった慶應義塾大学・山本詠士専任講師（第 4 章）、また、本書の出版をご快諾くださった CBI 学会の小長谷明彦先生に、あつく感謝します。なお、様々な学会、特に CBI 学
会と分子シミュレーション学会がそれぞれ主催する研究会や講習会での情報が、大いに役立ったことを特筆しておきます。もちろん、文責はすべて筆者にあります。
注記 1：図、表、疑似コード、数式の番号
図、表、疑似コード（プログラム）、数式は、(章番号.節番号.数字)という形で番号を付ける。たとえば、第 8 章の 8.3 節の 2 番目ならば、8.3.2 の番号が付く。
図 8.3.1、図 8.3.2、図 8.3.3、....
表 8.3.1、表 8.3.1、表 8.3.3、...
コード 8.3.1、コード 8.3.2、コード 8.3.3、....
iii

数式には、（）を付ける式(8.3.1)、式(8.3.2)、式(8.3.3)、....
なお、該当の節内ならば図 1、表 2、コード 3、式(4)というように、最後の番号だ
けで引用する。だが、節外からは、例えば式(8.3.4)のように、全部の番号で引用する。
注記 2：文献引用
文献は、ハーバード方式（名前＋年号）で引用する。例：Morris (2004)、Tanaka &Sato (2022)、Smith et al. (1999)、中村 (2010)、田中・佐藤（1999）、山田ら(1963)。それぞれの章末に、引用文献を、日本語・外国語の順にリストした。よって、別々の章で、同じ文献を重複してリストすることもある。なお、リスト中には、
可能な限り、文献の DOI、またはそれに代わる URL を併記した。
注記 3：付録
付録は、本文で説明しきれなかった追加情報、例えば、公式の導出方法などを記述した文章を指す。番号は、"章番号 A1,2,3..."と表記する。A は Appendix の頭文字。
例えば、第 3 章の 2 番目の付録は"3A2"と表記する、付録内の引用文献は本文の文献リストに含める。
付録内では図表、コード、数式は以下のように、（付録の番号.数字）と言う形で番号を付ける。
図表、コード：
数式：

図 3A1.1、表 2A2.3、コード 4A2.2(3A2.3)、(5A2.1）

注記 4：数学記号
変数や定数の記号は、可能な限り、一般的に使われているものを採用した。だが、紛らわしいものは、注釈を付けたうえで、この原則を破ることもある。例 1:虚数単位
は i や j ではなく I（i や j は、原子のインデックスに充てるから）。例 2:エンタル
ピーは、H ではなく He（H はハミルトニアンと被るから）。
スカラーは細字のイタリック（斜体）、ベクトル・行列・演算子は太字のローマン（立体）で表す。
スカラー：

a, x, f, A, D

ベクトル・行列・演算子：

a, x, f, A, D

iv

ベクトル a の大きさは、注釈なしで、|a|または a と表示する。ベクトル a と b の内積（スカラー積）は a・b と書く。行列 A の行列式は、注釈を付けた上で、det(A)、または A と表記する。A の転置行列（行と列を入れ替えた行列）はτA と書く。例：
1 4
1 2 3
𝐀=(
) の転置行列は 𝜏𝐀 = (2 5)
4 5 6
3 6
3 次元座標系は、右図に示す右手系を使う。二つのベクトル a と b の外積（ベクトル積）c=a×b
は、右ねじの進む方向で定義する。
質点 i, j 間の相対ベクトル rij は、「j から iへの」ベクトルとして定義する。
𝐫𝑖𝑗 = 𝐫𝑖 − 𝐫𝑗 = (𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 , 𝑦𝑖 − 𝑦𝑗 , 𝑧𝑖 − 𝑧𝑗 )イタリック表記の rij は、i j 間の距離を示す。
222
𝑟𝑖𝑗 = |𝐫𝑖𝑗 | = √𝑥𝑖𝑗
+ 𝑦𝑖𝑗
+ 𝑧𝑖𝑗

力も同様に、j から i に働く力を fij と書く。
物理量の次元は、国際量体系に従い、長さ[L]、質量[M]、時間[T]を使う。一方、単位系は特に統一はせず、必要な場
合は、その都度、説明する。
注記 5：外国語の専門用語と人名
外国語の専門用語と人名は、初出時に「原語発音に近いカタカナ表記」と「原語表記」を示し、その後はカタカナ表記する。例 1：シンプレクティック（Symplectic）。例 2:ヴェルレ（Verlet）法。
長い専門用語の略語は、原則として、本書内の初出時にスペルを示し、その後は略語をそのまま用いる。例：Molecular Dynamics (MD)。ただし、使う頻度が低かった
り、他の用語と被る可能性のある略語は、それぞれの章の適切な場所でスペルを再掲する。
注記 6：MD シミュレーションと分子グラフィクスソフト
本書内で例示されている、MD シミュレーションは、PEACH (Komeiji et al.,1997)、AMBER Tools 15 (Case et al., 2015)、および、自作の簡易プログラムを用いて実行した。また、分子グラフィクスは、UCSF Chimera（Pettersen et al., 2004）
か、その後継ソフトの ChimeraX（Goddard et al., 2018, Pettersen et al., 2021）
を用いて作成した。これら以外のソフトを使った場合は、論文を引用してある。

v

注記 7：疑似コードの形式
本書には、Fortran-like な疑似コードが度々登場する。これらのコードは、そのま
ま動きはしない。それに、形式もばらばらで、統一されていない。たとえば、本文内の数式と違って、スカラーとベクトル・行列をはっきり書き分けてない。だから、配列を f(:)のように書くこともあれば、f とか F とかで記述していることもある。ベク
トル・行列だけでなく、スカラー変数も、イタリックではなくローマンで表記している。コメント文も、!を文頭に付けた場合と、省略した場合が存在している。変数の定
義もさぼったところが多い。
そんなわけで、コードは、単に、アルゴリズムを直感的に理解するためだけのものだと、割り切って欲しい。
序の文献
古明地勇人, 上林正巳, 長嶋雲兵 (2000), J. Chem. Software 6,1-36.
DOI:10.2477/jchemsoft.6.1. 生体分子の分子動力学シミュレーション(1)方法.
古明地勇人, 田島澄恵, 原口誠, 高橋伸幸, 上林正巳, 長嶋雲兵 (2001), J. Chem.
Software 7 (2001): 1-28. DOI:10.2477/jchemsoft.7.1. 生体分子の分子動力学シミュレーション(2) 応用.
古明地勇人 (2007) PEACH による生体分子シミュレーション(1)方法 (2)応用, 産業技術総合研究所.
古明地勇人 (2010) 計算科学講座 6

分子システムの計算科学 -電子と原子の織り成す多体系のシミュレーション- （金田行雄、笹井理生編） pp. 123-259, 共立出版.

第 2 章 分子運動の計算科学.

坂間勇、谷藤祐、山本義隆 (1981) 大学入試

必修物理（上）、駿台受験叢書.

Case, D., A., Berryman, J. T., Betz, R. M., et al. (2015), AMBER 2015,
University of California, San Francisco.
Goddard, T. D., Huang, C. C., Meng, E. C., Pettersen, E. F., Couch, G. S.,
Morris, J. H., Ferrin, T. E. (2018), Prot. Sci. 27, 14-25.
DOI:10.1002/pro.3235. UCSF ChimeraX: Meeting modern challenges invisualization and analysis.
Komeiji, Y., Uebayasi, M., Takata, R., Shimizu, A., Itsukashi, K., Taiji, M.
(1997), J. Comput. Chem. 18, 1546-1563. DOI:10.1002/(SICI)1096987X(199709)18:12<1546::AID-JCC11>3.0.CO;2-I.

Fast and accurate

molecular dynamics simulation of a protein using a special purpose
computer.
Pettersen, E. F., Goddard, T. D., Huang, C. C., Couch, G. S., Greenblatt, D.
viM., Meng, E. C., Ferrin, T. E. (2004), J. Comput. Chem. 25, 1605-162.
DOI:10.1002/jcc.20084.

UCSF Chimera - a visualization system for

exploratory research and analysis.
Pettersen, E. F., Goddard, T. D., Huang, C. C., Meng, E. C., Couch, G. S.,
Croll, T. I., Morris, J. H., Ferrin, T. E. (2021), Prot. Sci. 30, 7082. DOI:10.1002/pro.3943. UCSF ChimeraX: Structure visualization forresearchers, educators, and developers.
分子動力学法関連の教科書
本書と関連のある分野の、重要な教科書類を以下に挙げる。これらのうちいくつかは、本文内で頻繁に引用している。なお、改版を重ねているものは、原則、最新版を載せてある。
[1] 分子モデリングとシミュレーション
上田顯（2003), 分子シミュレーション－古典系から量子系手法まで－、裳華房.
＊

MD の基礎だけでなく、拡張アンサンブルや第一原理 MD などの情報が盛り込まれている。
岡崎進、吉井範行 (2011), コンピュータシミュレーションの基礎第 2 版、化学同人.
＊

MD 法とモンテカルロ（MC）法に関する教科書。方法、応用ともに詳し

く、しかも内容が新しい。
川添良幸、三上益弘、大野かおる (1996), コンピュータシミュレーションによる物質科学、共立.
＊MD と MC の物質科学への応用を概説している。多重局展開法などのわかりやすい説明がある。
神山新一、佐藤明 (2020), 分子動力学シミュレーション（新装版）、朝倉書店.
＊

初版は 1997 年。流体の扱いが詳しい。

田中實、山本良一＊

編(1990), 計算物理学と計算化学、海文堂.

古い解説集ではあるが、今でも示唆に富む内容が多い。特に、第２章「温度・圧力一定条件の分子動力学法」は、故・能勢修一の遺した、数少ない日本語の解説である。
田中成典(2018), 計算分子生物学～物質科学からのアプローチ、内田老鶴圃.

＊

生体分子の計算物理化学的な解析法を概観した教科書。量子化学、古典（全原子）分子動力学、疎視化分子動力学を、実例を挙げて解説している。
長岡正隆(2008), すぐできる分子シミュレーション～ビギナーズマニュアル、講談社.
＊

AMBER ユーザーを対象に、MD のノウハウや原理を解説した入門書。大事vii

なポイントがいくつも挙げてある。
Allen, M. P., Tildesley, D. J. (2017), Computer Simulation of Liquids, 2nded., Oxford Univ. Press, Oxford.
＊

溶液の MD に関する定番の教科書。生体分子シミュレーションは溶液シミュレーションの方法を多く採り入れているため、参考になることが多い。初版は 1987 年だが、その後、30 年を経て第 2 版が出版された。基礎的な部分がしっかりしているのは初版を引き継ぎつつ、最新の成果が盛り込まれている。
Brooks, C. L., Karplus, M., Pettitt, B. M. (1988), Proteins: a theoreticalperspective of dynamics, structure, and thermodynamics, John Wiley &Sons, N. Y.
＊

タンパク質の構造機能に関する解説書。内容はやや古くなったものの、タンパク質への MD や EM の応用について、今でも参考になる記述が多い。
Frenkel, D., Smit, B. (2001), Understanding Molecular Simulation: Fromalgorithms to applications. 2nd ed., Academic Press, S. D.
＊

MC と MD について、統計力学の立場から解説。

Haile, J. M. (1992), Molecular dynamics simulation: Elementary Methods, John
Wiley & Sons, N. Y.
＊

MD の原理、特に誤差解析やミクロカノニカルアンサンブルが詳しい。

Leach, A. R. (2001), Molecular Modelling – Principles and applications,
Second ed.
＊

Prentice Hall, UK.

分子モデリングとシミュレーション一般（MO, MC, MD など）について、原理と計算方法を解説している。
Pfalzner, S., Gibbon, P. (1996), Many-body tree methods in physics, Cambridge
Univ. Press, N. Y.
＊

MD だけでなく、多体問題全般に関する参考書。Tree 法の計算方法が詳しい。
Rapaport, D. C. (1995), The art of molecular dynamics simulation, Cambridge
Univ. Press, UK.
＊

MD の教科書。実践的なアルゴリズムが、分かりやすく説明されている。

MD では珍しく、 Fortran ではなく、C 言語のプログラム例が載っている。
Schlick, T. (2002), Molecular modeling and simulation – an introductory
guide, Springer, N. Y.
＊

生体分子モデリングとシミュレーションに関する教科書。生体分子、ア

ルゴリズム、力場、などについて、詳述されている。

viii

[2] 量子化学
都築誠二 (2015), 有機分子の分子間力、東大出版会.
＊

量子化学的手法により、分子間相互作用を分類し解析したもの。特に、古典分子力場（MM Force Field）の起源を教えてくれる。
米澤貞次郎、永田親義、加藤博史、今村詮、諸熊けい治 (1983), 三訂量子化学入門（上下）、化学同人.
＊

量子化学の原理と応用を、網羅的に、詳しく解説したもの。

Szabo, A., Ostlund, N. S. (1996), Modern Quantum Chemistry, Second ed.,
Dover, NY.
＊

量子化学の、大学院生向け標準的教科書。初版の和訳あり（大野、阪井、望月訳、1988、新しい量子化学

上下、東大出版会）。

[3] 物理学
小出昭一郎 (2017), 解析力学 (物理入門コース 新装版)、東大出版会.
＊

解析力学を初心者向けにやさしく解説した本。1983 年初版のロングセラーである。
小島和夫・越智健二 (2003), 化学系のための統計熱力学、培風館.
＊

化学専攻者向けの統計熱力学の入門書。例として、あちこちで分子が登場するので、対象系のイメージが湧きやすい。
田崎晴明 (2000), 熱力学、培風館.
田崎清明 (2008), 統計力学 I, II、培風館.
＊

田崎の熱力学と統計力学は、新しい視点で書かれた教科書である。高度だが、示唆に富む記述が多い。
並木美喜雄 (1991), 解析力学、丸善.
＊

大学院生向けの解析力学の教科書。

広江克彦、Eman の物理学、https://eman-physics.net/.
＊

物理学を掘り下げて記述した、人気のホームページ。

Evans, D. J., Morris, G. P. (1990), Statistical mechanics of nonequilibrium
liquids, Academic Press, London.
＊

統計力学の教科書。拘束法による定温アルゴリズムの原理が詳しい。

Goldstein, H., Poole, C. P., Safko, J. L. (2002), Classical Mechanics (3rded.), Addison-Wesley, Boston.
＊

古典力学の、上級者向け教科書。和訳あり（矢野、江沢、淵崎訳, 2006,

古典力学

原著第 3 版 上下、吉岡書店）。

Tuckerman, M. E. (2010), Statistical mechanics: theory and molecularsimulation, Oxford Univ. Press.
ix＊

題名の通り、分子シミュレーションを念頭に置いた、統計力学の教科書。特に、非ハミルトン系の力学が詳しく、本書でも、ずいぶん参照した。
[4] プログラミング言語と数値計算
牛島省 (2020), 数値計算のための Fortran90/95 プログラミング入門 第 2 版、森北出
版.
松本敏郎、野老山貴行(2022), みんなの Fortran、名古屋大学出版会.
＊

この二冊は Fortran の最新の教科書。並列計算法も載っている。

森正武 (1987), FORTRAN77 数値計算プログラミング＊

増補版、岩波.

FORTRAN77 による数値計算の古い教科書だが、今でも通用する手法が多い。なお、「スーパーコンピューター用には、FORTRAN77 のプログラミングス
タイルが一番チューニングしやすい」という話を、あちこちで耳にする。
Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., Flannery, B. P. (2007),
Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, Third Edition,
Cambridge Univ. Press, Cambridge.
＊

数値計算アルゴリズムのバイブル的存在。

x

第1章

分子動力学法の概要

第 1 章 分子動力学法の概要
分子動力学法は、分子を対象とした、計算機シミュレーション法の一種で、すでに半世紀以上の歴史を持っている。ここでは、全体の序として、分子動力学法の定義、分類、歴史、アルゴリズムを、ざっと説明することにする。

内容
第1章

分子動力学法の概要

1

1.1. 分子動力学法の定義 ..................................................1
1.2. 分子動力学法の分類 ..................................................2
1.3. 分子動力学法の歴史 ..................................................5
1.4. 分子動力学法のアルゴリズム ..........................................8
第 1 章のまとめ .......................................................... 10
第 1 章の参考文献 ........................................................10
1.1. 分子動力学法の定義
分子動力学法（Molecular dynamics simulation, 以下 MD）は、1957 年に初めて論文が発表されて以来（Alder & Wainwright, 1957）、さまざまに拡張されていったので、一言で定義するのは難しい。だが、さしあたって、次のように、ゆるく定義しておく。
「分子系の動的時間発展を、古典力学か量子力学、または両方に基づいた運動方程式
を数値的に解いて、模擬実験（シミュレーション）する計算手法」
MOLECULAR dynamics だから、当然、分子に関する計算方法である。だが、単に分子と言うよりも、「分子集合体」あるいは「物質」と思えばよい。また、molecular
DYNAMICS だから、分子の動きを計算する方法である。さらに、古典力学か量子力学
か、あるいはその両方に基づいていることも重要である。最後に、通常、紙と鉛筆では解けない対象相手の計算だから、計算機で数値的に解く、というのも定義に入れておくべきだろう。

1第1章

分子動力学法の概要

1.2. 分子動力学法の分類と MD 法を定義したけれども、MD 法はさまざまに分類され、名前もいろいろで、混乱も多い。
ここでは、ひとつの試みとして、計算対象とする分子モデルに応じて、ざっくり四つに分類しておく。例として、図 1 のメタノール分子を計算対象とすることにしよう。メタノールは、C 原子一つ、O 原子一つ、H 原子四つの、合計 6 原子で構成されている。この分子をモデル化してみる。
まず、一番詳細なモデルは、原子の原子核とそれを取り巻く電子を、すべて量子力学的に扱うモデルだろう。このモデル(A)を使った MD は、総称で「量子分子動力学法（Quantum molecular dynamics, QMD)」と呼ばれることが多い。正確に、「核量子全電子分子動力学」などと呼んでみたいところだが、残念ながら、一般には通じないだ
ろう。なお、核を量子力学で扱うと言っても、質量が軽い、量子効果が顕著な水素だけ量子論で扱って、他の重い原子は古典論で扱うこともある。

図 1.2. 1 分子モデルによる MD 法の分類。メタノール分子(CH3OH)を例に、MD 法を四つに分類した。(A)と(B)では、電子雲は薄黄色。また、(A)の原子核が薄くぼやけているのは量子論で扱うことを示し、一方、(B)の原子核がはっきり
黒いのは古典論で扱うことを示している。(C)は個々の原子すべてを球で表現。
一方、(D)では、CH3-はひと塊の大きい球で近似している。

2

第1章

分子動力学法の概要

近似を一段上げると、原子核を量子力学ではなく古典力学で近似し、電子だけを量子論で扱うモデル(B)になる。このモデルに基づいた MD 法を、第一原理分子動力学(First principles molecular dynamics, FPMD1)、あるいは、非経験的分子動力学(abinitio molecular dynamics, AIMD)と呼ぶ2。またまた、筆者の造語では、「核古典全電子分子動力学」と呼びたいところだ。「全電子分子動力学(All electron MD)」ならば、稀ではあるが、耳にする。ところで、電子を量子論で扱うと言っても、非経験的方法ではなく半経験的な電子状態計算を使う場合、FPMD/AIMD と呼んで良いのか、というような問題もあったりするが、あまり気にしてもしょうがない。名称はともかく、FPMD/AIMD では、Born-Oppenheimer 近似を用いて、原子核と電子の動きを分離して計算する。
ところで、本書では、これ以降は、AIMD ではなく FPMD の呼称を用いることにする。というのは、AIMD では、「人工知能 AI を使った MD のことですか?

3

」と誤解さ

れるおそれがあるからである。
（A）の核量子 MD と（B）の全電子 MD を合わせて、Quantum mechanics (QM)に基づいた MD 法、「QM-MD」と総称することもある。ともあれ、(A)(B)の名称による区別は
限りなくあいまいなので、論文の方法のところに計算方法を詳述する必要がある。
モデルの精度をさらに下げると、(C)のように、原子核と電子をまとめて、球にしてしまう。いわば、原子を「帯電したゴムまり」として扱うわけだ。分子系の原子すべてを扱うので、全原子分子動力学法（All atom MD）と呼ぶ。今日、何の注釈もなく「MD」と言うときは、この全原子 MD を指すことが多いようだ。また、古典力学に基づいて解くので、古典 MD（Classical MD）とも呼ぶ。ただし、古典 MD という言葉自体
は、文脈により様々な意味になるので、注意が必要 4。より正確には、全原子古典 MDと表現するのがベストかも知れない。なお、分子計算の分野において、「分子を、量1First Principles というように、複数形にする。とある先生によると「第一原理はひとつじゃないから」なんだそうな。
2

筆者のおおざっぱな印象では、物理系の人は FPMD を、化学系の人は AIMD を使うことが多いようである。あるいは、電子状態計算に密度汎関数法を使うときは FPMD が、分子軌道法を使う
ときは AIMD が使われがちな気もする。でも気のせいかも知れない。ところで、ここでは、FPMDと AIMD を総称として挙げたが、Car-Parrinello MD (CPMD)の固有名詞として用いることもある
ので、注意が必要。
3

人工知能を使った力場は、AI 力場ではなく、ML 力場と呼ばれることが多いようだ。

4

大昔、1980 年代、Classical MD は、定温や定圧でない、定エネルギーMD（NVE-MD）のことを指していた。また、21 世紀の現在、図 1A の量子 MD の専門家が、Classical MD と言うときには、大抵、図 1B の、核を古典的に扱った FPMD のことを指すようである。かくして、時代により、立場により、用語は変わる。

3

第1章

分子動力学法の概要

子力学的ではなく、力のパラメーターを使って、古典力学で扱う」ことを、Molecular
Mechanics (MM)、つまり分子力学と呼ぶ5。この文脈に沿えば、図１C は、MM-MD とも呼ばれる。
全原子計算よりもさらにモデルを粗くする、つまり、(D)ようにいくつかの原子をまとめたり、溶媒に連続体近似を導入したりして MD 計算を行うときは、総称として、粗視化分子動力学（Coarse grain(ed) MD、CGMD）と呼ぶ。図 1 の例では、CH3-をひとまとめにしている。タンパク質では、アミノ酸残基をひとまとめにしたり、溶媒では、分子を三つぐらいまとめたり、と言った粗視化が使われる。また、以前よく使われていた、融合原子モデル（United atom model、水素と重い原子をひとまとめにして扱う）を用いた計算も、CGMD の一種である。
(A)→ (D)の順にモデルの精度が悪くなるのだから、一番精度のいい（A）の核量子 MD だけあれば

図 1.2 2 QM/MM 法の概念

いいじゃん、と言いたいところだが、当然、精度と計算時間はトレードオフの関係にある。精度が上がれば、桁違いに計算時間が掛かるのが常である（図 1 下部）。だから、対象と目的と使える計
算資源を考慮して、どの MD 法を使うか、判断する必要がある。
MD は、電子計算機の能力の向上に応じて発展して行った。だから、大雑把には、図1D の粗視化 MD から始まって、D→C→B→A と高精度の方法が開発されて来たのである。ただし、高精度の方法に低精度の方法が駆逐されたわけではない。むしろ、それぞれの方法が融合していく方向にある。例えば、分子系の一部に図１AB の量子力学的モデルを適用し、残りは図 1CD の古典力学的なモデルを使う方法は Quantum
mechanics/molecular mechanics (QM/MM)と呼ばれ（図 2）、広く使われている。
QM/MM 法を使って MD を行う場合は QM/MM-MD 法と呼ぶ6。
以上、MD 法を、分子モデルに基づいて、不完全ではあるが分類してみた。一口に「MD」と言っても、様々な精度のモデルに基づいていることがわかるだろう。この分類を頭に入れたうえで、MD 法の歴史を見てみよう。

5「量子力学だって力学 Mechanics です！」なのだが、分子計算業界では、量子力学的計算ではなく、力場パラメーターを使った古典力学的計算のことを分子力学（MM）と呼ぶことになっている。
6

QM/MM 法のように、様々な時間空間領域に、いろいろな物理学的原理（この場合、量子力学と古典力学）を当てはめて解析する方法を、総称して、Multi-scale physics と呼ぶ。

4

第1章

分子動力学法の概要

1.3. 分子動力学法の歴史
MD 法の歴史を表 1 にまとめてみた。筆者の専門の生体分子とその関連分野に偏っているが、ご勘弁願いたい。ただし、生体分子以外でも、1957 年の世界初の剛体球の MDや 2002 年の氷生成の MD など、生体分子の MD にも大きな影響を与えた研究は挙げてある。また、MD 法ではなくても、関係の深い計算科学的手法は載せてある。

表 1.3.1 分子動力学法と関連技術の歴史（生体分子中心）
年

内容

文献

1957

世界初の MD 計算、剛体球の相転移（Alder

Alder & Wainwright (1957)

転移）
1960 代分子力場の開発、CFF 力場など

後半

Scott & Sheraga (1966)
Lifson & Warshel (1968)1973

メタン生成の化学反応シミュレーション

Wang & Karplus (1973)

1976

QM/MM 法Warshel & Levitt (1976)

1977

世界初のタンパク質の MD、トリプシン阻害

McCammon et al. (1977)

タンパク質（BPTI）の真空中の MD
1977

Umbrella sampling

Torrie & Valleau (1977)

1980 頃

生体分子専用プログラムパッケージと力場

Van Gunsteren & Berendsenの公開（GROMOS, AMBER, CHARMM）(1987)、Weiner & Kollman(1981)、Brooks et al.
(1983)

1980 頃MD 専用計算機 (Delft MD processor)

Bakker (1988)

1980 代定圧・定温アルゴリズム

Andersen (1980),

前半

Parrinello & Rahman(1980), Nosé (1984)

1983

DNA の真空中の MD

Levitt (1983)

1984

MD/自由エネルギー摂動法の、タンパク質-

Tembe & McCammon (1984)

リガンド設計への応用
1985

第一原理 MD（CPMD）

Car & Parrinello (1985)1986

周期的な Explicit water 中のタンパク質のWong & McCammon (1986)

MD
1990 代多重極展開や Particle mesh Ewald 法など

Saito (1992)

前半

で、静電力を正確に計算したタンパク質・Darden et al. (1993)

核酸の MD
5

第1章

分子動力学法の概要

1994

量子 MD 法（PIMD）

Cao & Voth (1994)

1990 代第２世代の生体分子力場の開発(AMBER94,

Cornell et al. (1995)

中盤

CHARMM22 など)

MacKerell et al. (1998)

1996

水中の DNA の A↔B 構造転移の MD

Yang & Pettit (1996)
Cheatham & Kollman (1996)

1990 代マルチカノニカル法、レプリカ交換法な

Nakajima et al. (1997)後半

ど、拡張アンサンブル法の MD への導入

Sugita & Okamoto (1999)

1999

生体分子の ab initio 全電子状態計算（FMO

Kitaura et al. (1999)法）

Nakano et al. (2000)

2002

水→氷

相転移のシミュレーション

2007

CPMD と機械学習の結合

Matsumoto et al. (2002)
Behler & Parrinello(2007)

2008

MD 専用計算機 ANTON

Shaw et al. (2008)2011

水中のタンパク質のフォールディング MD

L.-Larson et al. (2011)（ANTON）
2015 頃2018

ウィルス、バクテリア細胞質など、超巨大

Ando et al. (2014)

系の MM-MD

Isseki et al. (2016)

機械学習によるタンパク質の構造予測

Jumper et al. (2021)（AlphaFold）
生体分子関連の最初の動きとして、1960 年代に、生体分子の力場の先祖にあたる、
有機分子系の力場パラメーターが開発された。Lifson らの Consistent force field（CFF）は、特に有名である。また、この頃、エネルギー極小化や MD 用のパッケージ
プログラムの原型が作られていた。
それらの下地に立って、1977 年の世界初のタンパク質の MD 計算がなされたわけである。これは、58 アミノ酸残基の牛膵臓トリプシン阻害タンパク質（Bovinepancreatic Trypsin inhibitor, BPTI）を真空中で 8.8 ps 間シミュレーションしたもので、計算科学業界にインパクトを与えたそうである。それから、数年以内に、
GROMOS、AMBER、CHARMM などの、生体分子のモデリングとシミュレーションのための、ソフトウェアパッケージが力場パラメーターと合わせて公開され、広く使われるようになった。これらのパッケージにより、生体分子の計算が普及した。
1980 年代前半は、定圧や定温アルゴリズム、つまり、アンサンブル（統計集合）作
成方法の基礎が築かれた。これらの方法は、生体分子に限らず、様々な物質系に適用可能で、改良されつつ、今日でも広く使われている。
1980 年代のタンパク質の MD は、通常、タンパク質は United model、つまり図1.2.1D の疎視化モデルで扱い、静電相互作用をカットオフして行うのが普通だった。
6

第1章

分子動力学法の概要

溶媒環境は、真空か、不完全な連続体溶媒か、あるいは、部分的に Explicit water で覆うかだけで、表現していた。だが、こういったモデルの問題点が次第に明るみに出るようになり、1990 年代には、全原子モデル（図 1.2.1C）を対象に力場が一新され、溶媒水も全原子を陽に扱った Explicit water で生体分子全体を覆うことが一般化し、静電相互作用の高速で高精度な計算方法も実用化された。関連して、2002 年には、水の凍結の MD も成功した。
一方、フォールディングを初めとする、生体分子の長時間ダイナミクスは、通常のカノニカルアンサンブルで追うことは簡単ではない。DNA の構造転移のシミュレーシ
ョンは 1990 年代後半に成功したが、タンパク質では、限定的な成功例しかなかった。
その問題を克服するために、2000 年前後に、マルチカノニカルアンサンブルやレプリ
カ交換法などの拡張アンサンブル法が MD に導入された。これらにより、小さなタンパ
ク質のフォールディングなどが、次第に可能になっていった。拡張アンサンブル法
は、力場パラメーターセットの評価にも有用である。
だが、通常のカノニカルアンサンブルでも、長時間の計算ができれば、フォールデ
ィングや分子認識をシミュレーション可能なはずである。それは、MD 専用計算機
ANTON の登場で実現した。MD のアルゴリズムの全体、または一部を専用ハード化して高速化する、というアイデアは、1980 年頃の、Delft MD processor が嚆矢だろう。
その後、MD-GRAPE など、さまざまな MD 専用計算機が開発されたが、2008 年の ANTONのインパクトは強烈だった。それまでは、水和タンパク質の MD の計算時間は最高でも数 100 ns 程度だったのを、一挙にミリ秒以上にまで上げてしまい、カノニカル MD では無理だと思われていたフォールディングのシミュレーションに成功してしまったのである。フォールディングだけでなく、タンパク質のリガンド（基質）結合などの長時間かかる現象の解析にも成功し、「普通のサイズのタンパク質の MM-MD は、ANTONとかち合ったら、おしまい」という状況である。そこで、ANTON を使えない研究者
は、QM-MD や QM/MM-MD など電子状態計算を含んだ方法に走ったり、あるいは MM-MD の対象をウィルスなど超巨大系に移したりしている。また、普通のサイズの分子系を研究対象にするときは、疎視化 MD や拡張アンサンブル法でサンプリング効率を上げている。ANTON ショックと呼んでもいい、業界の再編が起こったわけである。
ところで、タンパク質の多くは低分子の基質を結合して働く。そのため、特に、薬剤設計やタンパク質工学への応用のため、タンパク質に強く結合する基質の設計や、あるいは特定の基質をより強く結合するタンパク質の変異体の設計に、MD が広く用いられている。そのような計算の祖先は、1970 年代後半にまず Monte Carlo 法（MC 法）に、次いで MD にも導入された Umbrella sampling 法や、1980 年代半ばに MD に導入された、自由エネルギー摂動法である。これらの方法や類似法は、改良されつつ、今日でも、薬剤設計の現場などで広く使われている。
以上は古典力学に基づいた計算だが、一方、量子力学で電子状態を計算して行う
7

第1章

分子動力学法の概要

FPMD も、1973 年の化学反応シミュレーションあたりを皮切りに発展している。特に、1985 年の Car-Parrinello MD (CPMD)が代表的な FPMD 法である。QM/MM 法も 1976 年に初めて報告され、QM/MM-MD 法など、さまざまに発展して、今日に至る。一方、FPMD の生体分子への適用はまだ限られているが、1999 年に Kitaura らが開発した Fragment
molecular orbital (FMO)法によりタンパク質+溶媒水系などの巨大系の第一原理電子状態計算が可能になった。FMO 以外にも、類似のフラグメント法による、巨大系に適した、量子化学計算手法がいくつか開発されている。これらを MD に応用することで、
水和タンパク質の FPMD も可能になりつつある。
さらに、原子核まで量子論で扱う量子 MD には、1994 年の経路積分分子動力学法（Path Integral Molecular Dynamics、PIMD）など、様々な方法が発表されている。
生体分子丸ごとの適用はまだ難しいが、今後の発展が期待される。最も軽い原子核であるプロトンの移動は、生体反応の基礎だからだ。
最後に、機械学習（Machine learning、ML）、より広くは人工知能（Artificial
intelligence, AI）と MD の結合についても触れておく。21 世紀に入って、ニューラ
ルネット（Neural network）を超多層化した深層学習（Deep learning）の出現により、AI は飛躍的に高性能になり、社会のあちこちで情報革命を起こしている。それに伴い、MD、とくに FPMD を機械学習で高速化するという試みが、表に挙げた Behler &Parrinello (2007)を始めとして、数多くなされている（ML 力場）。また、2018 年のAlphaFold の出現は、深層学習を使ってタンパク質の構造予測の精度を革命的に向上させた。2020 年の AlphaFold2 では、最終的には AMBER 力場を用いたエネルギー極小化計算で構造を精密化している。MD と AI の融合は、MD の方法論の分野では、2020 年
代の現在、最もホットなテーマと呼んで良い。
以上、生体分子を中心に、MD と関連技術の歴史を駆け足で紹介した。さらに端折ると、「MD 法の基本的な手法は、20 世紀中にほぼ出揃い、それらを基に、計算機の進歩に応じて、21 世紀に爆発的に応用が広まり、2020 年代の現在は、MD と AI の融合が注目されている」と言ったところだろう。
1.4. 分子動力学法のアルゴリズム
ここでは、古典 MD のアルゴリズムの概略を説明する（図 1）。このアルゴリズム
は、大雑把には、物質の種類には依らない。四角で示した計算機に、(A)初期構造（分子の構成原子の座標）を作って入力し、(B)個々の原子の速度を発生し、(C)入力しておいた力場定数と座標を用いて原子に掛かる力を計算し、(D)時間刻み（time step）h
後の座標と速度を求め、(E)必要に応じて温度や圧力を制御する。(B)-(E)のステップを設定した回数だけ繰り返すと、構成原子の座標と速度、またそれらの関数のエネル
ギーなどの時刻毎の値が得られる。この、各原子の三次元座標と速度の時々刻々のデ8

第1章

分子動力学法の概要

ータをトラジェクトリー（trajectory、軌跡7）と呼ぶ。(F)では、トラジェクトリー
を画像処理・統計処理して、その物質の構
造や物性などについて解析を行う。

図 1.4. 1 分子動力学法の概要

図 1 に示した MD の手続きを、そのまま、擬似コードに直してみた。この
コード 1 は、MD プログラムの基本骨格を示している。つまり、初期座標を入力して、速度を発生させ、時間積分
ループをぐるぐる回して、座標 r と速
度 v の時々刻々の変化を出力するわけである。なお、(E)の温度圧力制御は省略した。また、(F)の解析は、出力された r や v を別のプログラムで後処理する作業であるため、この疑似コー
ド 1 には含まれていない。第 3 章以降
は、図 1 に示した、MD の計算過程それぞれの原理と方法について、詳しく説明する。
コード 1 で、calfor というサブルーチンを呼んでいるが、本書を通じで、calfor は「力とポテンシャルエネルギーを計算する」サブルーチンを指すことにする。
本書では、原則として、系の原子数を N、個々の原子ｉの座標、速度、運動量、質量は、ri、 vi、 pi、 mi で表すことにする。また、時刻は t、時間刻み幅は h と表記する8。だが、例外も多い。紛らわしい場合は、その度に定義を与えることにする。
コード 1.4.1: 極めて簡単な MD プログラム
CALL calR(r)!

原子の初期座標 r を読み込む

CALL genV(v)!

原子の初期速度 v を発生する

t = 0

!

時刻 t の初期化

DO istep = 1, nstep

7!

時間積分ループ（オイラー法、第 3 章参照）

CALL calfor(r, f)!

座標 r に対する力 f を計算する

t = t + h

!

時刻の更新

r = r + v*h

!

座標の更新

トラジェクトリーは、運動する質点が、初等力学では座標空間で、解析力学では位相空間（座標と運動量）で、描く模様を言う。だが、MD 業界では、MD の一時出力の座標と速度の時々
刻々のデータセットをまとめて、トラジェクトリーと呼ぶ。
8

時間刻みはΔt で表すことも多いのだが、2 文字で長いので、本書では、原則 h と表記する。プランク定数 h と混同しないように。

9

第1章

v = v + f/m*h

!

速度の更新

CALL writeRV(r,v)!

座標と速度を出力する

分子動力学法の概要

END DO
第 1 章のまとめ
MD 法は、古典力学か量子力学、あるいはその両方に基づいて、分子の時間発展を計算機で数値的にシミュレーションを行う方法である。1950 年代に開発され、その後、さまざまに発展して、今日にいたっている。MD 法の分類方法はさまざまだが、例えば、使う分子モデルと力学によって分類されることが多い。MD 法は、初期構造入力、力の計算、時間積分、トラジェクトリーの解析からなる。次章以降は、MD 法が基づく力学や、アルゴリズムの要素技術の説明を行うことにする。

第 1 章の参考文献
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10

第1章

分子動力学法の概要

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11

第1章

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12

第1章

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分子動力学法の概要

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13

第2章

分子動力学法のための多体系の古典力学

第 2 章 分子動力学法のための多体系の古典力学
古典分子動力学では、N 多体系を、古典力学（＝ニュートン力学、ハミルトン力学）に基づき運動方程式を解いてシミュレーションする。そこで、N 多体系の古典力学のさわり
だけまとめておく。厳密な議論ではないし、天下り的に式を導入したところも多い。な
お、最後に、ハミルトン力学の枠をはみ出る
非ハミルトン力学も、少しだけ紹介する。
本章は、おもに、並木(1991)、Goldstein et al.(2002)、Tuckerman (2010)、小出（2017）の教科書を参考に作成した。

内容
第2章

分子動力学法のための多体系の古典力学 14

2.1. N 体系 ............................................................. 14
2.2. ニュートンの法則と重ね合わせの原理 .................................15
2.3. 保存則............................................................. 172.4. 重心運動の分離 .....................................................21
2.5. ハミルトン形式 .....................................................222.6. 時間反転対称性 .....................................................25
2.7. シンプレクティック性 ...............................................26
2.8. 位相空間とリウヴィル方程式 .........................................29
2.9. ハミルトン系の力学のまとめ .........................................36
2.10. 非ハミルトン系の力学 ..............................................37
第 2 章のまとめ .......................................................... 42
付録 2A1.

作用反作用の弱法則と角運動量..................................42

付録 2A2.

一般化リウヴィル方程式の変形..................................45

第 2 章の参考文献 ........................................................46

2.1. N 体系
まず、MD 計算の対象となる N 体系（N-body system）を定義しておく。N 体系は、
14

第2章

分子動力学法のための多体系の古典力学

i=1,..,N の区別できる質点の集まりである(図 1)1。N多体系と呼ぶこともある。個々の質点 i に関する物理量は、質量 mi、3 次元座標 ri、速度 vi、運動量 pi と記述する。時間は t と表記する。vi、pi は次の式で定義す
る。
𝐯𝑖 ≡

𝑑𝒓𝑖
𝑑𝑡

𝐩𝑖 ≡ 𝑚𝑖 𝐯𝑖(2.1.1)

図 2.1. 1 Ｎ体系。質点だから、本来大きさはない。
だが、区別できる別の粒子、ということを示すた
め、大きさを変えて表示した。

(2.1.2)

また、N 体系の全質量 mG は以下で定義する。
𝑚𝐺 ≡ ∑𝑁
𝑖=1 𝑚𝑖(2.1.3)

これらを使って、系の重心の座標 rG、速度 vG、運動量pG を定義する。
𝐫𝐺 ≡1∑𝑁 𝑚 𝐫𝑚𝐺 𝑖=1 𝑖 𝑖(2.1.4)𝐯𝐺 ≡1∑𝑁 𝑚 𝐯
𝑚𝐺 𝑖=1 𝑖 𝑖(2.1.5)𝐩𝐺 ≡ 𝑚𝐺 𝐯𝐺(2.1.6)以降では、ここで定義した系の古典力学的扱いを述べる。
2.2. ニュートンの法則と重ね合わせの原理
まずは、おなじみの、ニュートン（Newton）の三法則と重ね合わせの原理を復習しておく。
[1] 第 1 法則

(慣性の法則）外力を受けない質点は等速直線運動を行う。
この法則は、数学的には第 2 法則に含有されてしまうが、むしろ、慣性座標系の存在を主張していると解釈するのが良い。つまり「外力がないと、物体が等速直線運動
するような座標系があります。で、その座標系を舞台に、話を展開します」という宣言であると解すべき。

1

統計力学で通常扱うのは、区別できない同種粒子の集合である。だが、MD 計算では、原子にすべてインデックスが振ってあり、区別がつく。例えば、タンパク質などの構成原子は、「何番目のアミノ酸の側鎖の酸素にくっついた水素原子」というようにしっかり区別されている。
対象とする原子や分子も別種である。というわけで、ここでは、取りあえず、区別できる質点の集合について、議論することにする。

15

第2章

[2] 第 2 法則

分子動力学法のための多体系の古典力学(運動方程式）

質量 m の質点の座標 r の時間変化は、質点に働く力 f を用いて、次の、時間に関す
る２階の微分方程式で記述される。
𝑚

𝑑2 𝐫
=𝐟
𝑑𝑡 2

(2.2.1)

この形の運動方程式をニュートン形式と呼ぶ。
右辺の f が 0 ならば、
𝑚

𝑑2 𝐫
=0
𝑑𝑡 2

つまり、
𝑚

𝑑𝐯
=0
𝑑𝑡

(2.2.2)となって、力 f が掛らない場合は、質点は等速運動（速度 v が時間変化しない）を続けることになる。先に、第 2 法則は、数学的には第 1 法則を包含する、と述べた所以である。
[3] 第 3 法則

(作用反作用の法則）

質点 j が別の質点 i に対し力 fij を及ぼすとき、質点 i がｊに及ぼす力 fji の間には式(3)の関係が成り立つ。つまり大きさが同じで向きが反対になる。これを「作用反作用の弱法則」と呼図 2.2. 1 作用反作用の法則ぶ。
𝐟𝑖𝑗 = −𝐟𝑗𝑖

(2.2.3)

さらに、通常は、力が、質点 ij の相対位置べクトル rij=ri-rjに平行である。つまり、aij を aij= aji を満たすスカラーとすると、式(4)の関係が成り立つ。この関係を「作用反作用の強法則」と呼ぶ。式(3)と(4)を見比べれば自明のように、強法則は弱法則を含む。
𝐟𝑖𝑗 = −𝐟𝑗𝑖 = 𝑎𝑖𝑗 𝐫𝑖𝑗(2.2.4)

われわれが古典 MD の対象とする系では、通常、強法則が成り立つと思ってよい。なお、強法則が成り立たない場合の議論は、付録 2A1 を読んで欲しい。
ニュートンの三法則には入っていないが、次の原理も重要である。

16

第2章

分子動力学法のための多体系の古典力学[4] 力の重ね合わせの原理
質点に二つ以上の力 fa, fb, fc,...が働くとき、質点はその和が働いたときと同様に振舞う。つまり、質点に働く力 f は、以下である。
𝐟 = 𝐟 𝑎 + 𝐟 𝑏 + 𝐟 𝑐 +. ..

(2.2.5)

この原理を使えば、ある質点に掛る力は、様々な力のベクトルを足し合わせば計算できる

図 2.2. 2 重ね合わせの原理ことになる。実際、MD ではこの原理で力を計算している。
以上の基本原理を使えば、次節で紹介するように、保存則を導くことができる。保存則は、MD のプログラム開発のデバッグの指標である。
2.3. 保存則
前節で紹介した力の法則を使えば、外力が掛らない質点系での運動量保存則、角運動量保存則、加えて力が保存力の場合のエネルギー保存則の、三つの保存則を導くことができる。一般的に、保存則とは、ある物理量 A の時間 t による変化がないことを言う。A はスカラーでもベクトルでも構わない。数学的には、以下の形に書ける。
𝑑𝐴
=0
𝑑𝑡

(2.3.1)

よって、物理量Ａが保存するかどうかは、時間ｔで微分して０になるかどうか確かめればよい。
[1] 運動量保存則
系の全運動量 p は、外力が掛らない場合は保存する。p は、個々の質点の pi(2.1.2) の合計で定義するが、これは、以下で示すように、重心の運動量 pG (2.1.6)と同じである。（式(2.1.5),(2.1.6)を使って変形）。
𝑁𝐩 ≡ ∑𝑁𝑖=1 𝐩𝑖 = ∑𝑖=1 𝑚𝑖 𝐯𝑖 = 𝑚𝐺

1
∑𝑁 𝑚 𝐯 = 𝑚𝐺 𝐯𝐺 ≡ 𝐩𝐺
𝑚𝐺 𝑖=1 𝑖 𝑖

とりあえず、式 (2.1.1)の運動方程式を N 体系の連立方程式に拡張し、重心運動の方程式を作る。
𝑚1

𝑑2
𝐫 = 𝐟1
𝑑𝑡 2 1

...

17

第2章

𝑚𝑖

分子動力学法のための多体系の古典力学

𝑑2
𝐫 = 𝐟𝑖𝑑𝑡 2 𝑖...
𝑚𝑁

𝑑2
𝐫 = 𝐟𝑁𝑑𝑡 2 𝑁(2.3.2)

さて、(2)式の右辺の力を、内力（N 体系の内部からの力）fiin と、外力（それ以外の力）fiex とに分解する。
𝐟𝑖 = 𝐟𝑖𝑖𝑛 + 𝐟𝑖𝑒𝑥

(2.3.3)

内力が 2 体力だけだとすれば、
𝑖𝑛𝑒𝑥𝐟𝑖 = ∑𝑁𝑗≠𝑖 𝐟𝑖𝑗 + 𝐟𝑖

(2.3.4)

そして、(2)の左辺 LHS と右辺 RHS をそれぞれ足し合わせると、
𝐿𝐻𝑆 = ∑𝑁
𝑖=1 𝑚𝑖

𝑑2
𝑑2
𝑑2
𝑑2𝐫
𝐫𝑖 = 2 ∑𝑁𝑚𝑖 𝒓𝑖 = 2 𝑚𝐺 𝐫𝐺 = 𝑚𝐺 2𝐺
𝑖=1
2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡

(∵ (2.1.3)(2.1.4))

𝑖𝑛
𝑒𝑥
𝑁
𝑁
𝑖𝑛
𝑁
𝑒𝑥 (∵
𝑅𝐻𝑆 = ∑𝑁
(2.3.4))𝑖=1(𝐟𝑖 + 𝐟𝑖 ) = ∑𝑖=1 ∑𝑗≠𝑖 𝐟𝑖𝑗 + ∑𝑖=1 𝐟𝑖

ここで、右辺の二重和は、すべての ij の組を足し合わせるわけだから、作用反作用の弱法則(2.2.3)により、0 になるので、外力だけが残る。よって、重心の運動方程式は以下の通り。
𝑚𝐺

𝑑 2 𝐫𝐺𝑒𝑥= ∑𝑁
𝑖=1 𝐟𝑖𝑑𝑡 2(2.3.5)これはもちろん、式(2.1.5)(2.1.6)を使って、以下のように書いてもよい。
𝑑𝐩𝐺
𝑒𝑥
= ∑𝑁
𝑖=1 𝐟𝑖𝑑𝑡(2.3.5)’以下、外力が働かない、つまり fexi=0 の条件の、孤立系を考える。このとき、(5)’の右辺は 0 になるので
𝑑𝐩𝐺
=0
𝑑𝑡

(2.3.6)である。つまり、重心の運動量 pG が保存する。これが運動量保存則である。なお、ここでは力が 2 体力の和で書ける場合のみについて証明したが、運動量保存則は 3 体
力、4 体力等の場合でも成り立つ。つまり、内力だけが作用していて、外力が掛らな
い系では一般に成り立つ。
NVE-MD（定エネルギーMD、第 10 章参照）では外力が掛らない系を扱うので、重心速度は変化しないはず。よって、MD プログラムのデバックでは、重心速度が保存するかどうかを調べる2。運動量は、孤立境界条件だけでなく、周期境界条件でも保存する。

2

重心速度の保存は、デバッグ時にチェックするが、実際の MD 計算では、ステップ毎に強制的に重心速度を０にしてしまうことが多い。詳細は第 8 章参照。

18

第2章

分子動力学法のための多体系の古典力学[2] 角運動量保存則
空間のある固定された原点 O の周りの、質点 i の角運動量 Li を、以下の式で定義する。ただし、×は外積（ベクトル積）。
(2.3.7)

𝐋𝑖 = 𝐫𝑖 × 𝐩𝑖

この系の全角運動量 L は、Li の和として、次式で定義される。
𝑁
𝐋 = ∑𝑁𝑖=1 𝐫𝑖 × 𝐩𝑖 = ∑𝑖=1 𝑚𝑖 𝐫𝑖 × 𝐯𝑖

(2.3.8)(8)の時間微分を求める。
𝑑𝐋
𝑑𝑡

=

𝑑
𝑑𝑡

𝑁
∑𝑁
𝑖=1 𝐫𝑖 × 𝐩𝑖 = ∑𝑖=1 𝑚𝑖𝑑𝐫𝑖𝑑𝑡

× 𝐯𝑖 + ∑𝑁
𝑖=1 𝑚𝑖 𝐫𝑖 ×

𝑑𝐯i
𝑑𝑡

右辺第 1 項は、dri/dt=vi なので、平行なベクトル同士の外積となって 0。さらに、運動方程式(2.1.1)を代入したあと、外力と内力に分けると、
𝑑𝐋
𝑁
𝑒𝑥
𝑁
𝑖𝑛
= ∑𝑁
𝑖=1 𝐫𝑖 × 𝐟𝑖 = ∑𝑖=1 𝐫𝑖 × (𝐟𝑖 + ∑𝑗≠𝑖 𝐟𝑖𝑗 )𝑑𝑡(∵ (2.3.4))

𝑒𝑥
𝑁
𝑁
𝑖𝑛
= ∑𝑁
𝑖=1 𝐫𝑖 × 𝐟𝑖 + ∑𝑖=1 𝒓𝑖 × ∑𝑗≠𝑖 𝐟𝑖𝑗(2.3.9)以下、外力が全く掛っていない系での角運動量保存則を証明する。この場合、すべての i について fiex=0が成り立つから、第１項は消えて、

𝑑𝐋
𝑁
𝑖𝑛
𝑁
𝑁
𝑖𝑛
= ∑𝑁
𝑖=1 𝐫𝑖 × ∑𝑗≠𝑖 𝐟𝑖𝑗 = ∑𝑖=1 ∑𝑗≠𝑖 𝐫𝑖 × 𝐟𝑖𝑗
𝑑𝑡になる。ここで、作用反作用の強法則(2.2.4)を使うと、
𝑑𝐋
𝑑𝑡

𝑁
= ∑𝑁
𝑖=1 ∑𝑗≠𝑖 𝐫𝑖 × 𝑎𝑖𝑗 𝐫𝑖𝑗となるが、もちろん、aij=aji である。さらに変形し、ri x ri = 0 を使うと、
𝑑𝐋
𝑁
𝑁
𝑁
= ∑𝑁
𝑖=1 ∑𝑗≠𝑖 𝑎𝑖𝑗 𝐫𝑖 × (𝐫𝑖 − 𝐫𝑗 ) = − ∑𝑖=1 ∑𝑗≠𝑖 𝑎𝑖𝑗 𝐫𝑖 × 𝐫𝑗
𝑑𝑡

この二重和は、i,j のすべての組についての和であるので、
𝑎𝑖𝑗 𝐫𝑖 × 𝐫𝑗 = −𝑎𝑖𝑗 𝐫𝑗 × 𝐫𝑖を満たす項が一組づつ存在して、互いに打ち消しあう。よって、二重和は 0 になる。
つまり、
𝑑𝐋
=0
𝑑𝑡

(2.3.10)

まとめると、孤立系において、作用反作用の強法則が成り立つならば、角運動量保存則が成立する（弱法則しか成り立たない場合は不成立→章末の付録 2A2 参照）。な
お、NVE-MD では、角運動量保存則は、孤立(非周期)境界条件では成り立つが、周期境界条件では成り立たない（第 6 章の付録 6A2 を参照）。
19

第2章

分子動力学法のための多体系の古典力学[3] エネルギー保存則
エネルギー保存則は、物理学のあらゆる局面に現れる重要な法則だが、NVE-MD の場
合は、「力学的エネルギー保存則」が成り立つことになる。つまり、孤立系では、運動エネルギーK とポテンシャルエネルギーU の合計の力学的エネルギーE が保存する。
運動エネルギーK は、以下のように定義する。K は、座標 r に陽に依存しない、速度vi (あるいは運動量 pi、i=1,..,N)の関数である。
𝐾 ≡ ∑𝑁
𝑖=1

𝑚𝑖 𝑣𝑖2
2

= ∑𝑁
𝑖=1

𝑝𝑖2

(2.3.10)2𝑚𝑖

一方、ポテンシャルエネルギーU は、本来は、力 f の線積分が経路に依存しないことの数学的要請として定義する。が、面倒なので、ここでは、天下り的にポテンシャル

U(r1,..,rN)を与えて、その座標微分として保存力 f を定義することにする。
𝐟𝑖 ≡ −𝛁𝑖 𝑈 = −

𝜕𝑈
𝜕𝑈
𝜕𝑈
𝜕𝑈
= (− , −
,− )
𝜕𝐫𝑖
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑦𝑖
𝜕𝑧𝑖

(2.3.11)

MD で使う力は、通常は、式(11)の形の保存力である。なお、定温 MD などで摩擦力に似た、速度依存の力を使う場合があるが、その場合は、当然、全力学的エネルギーE
は保存しない（ただし、別の仮想的な保存エネルギーを持つアルゴリズムもある、詳
しくは第 10 章）。
さて、全エネルギーE は(2.3.12)

𝐸 =𝐾+𝑈で定義するわけだが、E が保存することを時間 t で微分して確かめておく。運動エネ
ルギーK を時間で微分すれば、
2

𝑚𝑖 𝑣𝑖
𝑑𝐾
𝑑
= ∑𝑁
𝑖=1
𝑑𝑡
𝑑𝑡
2

= ∑𝑁
𝑖=1 𝐯𝑖 • 𝑚𝑖

𝑑𝒗𝑖
= ∑𝑁
𝑖=1 𝐯𝑖 • 𝐟𝑖
𝑑𝑡(∵ (2.2.1))

一方、ポテンシャル U を時間微分すると𝑑𝑈
𝜕𝑈 𝑑𝒓𝑖𝑁= ∑𝑁
𝑖=1 𝜕𝒓 • 𝑑𝑡 = − ∑𝑖=1 𝐟𝑖 • 𝐯𝑖
𝑑𝑡𝑖(∵ (11), (2.1.1))

両方を足し合わせれば、
𝑑𝐸
=0
𝑑𝑡

(2.3.13)となって、力学的エネルギー保存則が証明された。この関係は、NVE-MD では、孤立境
界条件はもちろん、周期境界条件でも成立する。よって、MD プログラムのデバッグや精度検証の基本になる。
以上、外力が掛らない孤立系における、運動量保存則、角運動量保存則、エネルギ
ー保存則の三つを紹介した。なお、ネーターの定理によると、系に一つ対称性があればそれに対応する保存量が一つ存在する (Noether, 1915）。運動量は「空間の並進対
20

第2章

分子動力学法のための多体系の古典力学

称性」、角運動量は「空間の回転対称性」、エネルギーは「時間反転対称性」に対応する保存量である。
2.4. 重心運動の分離
2.1 節の終りで、系の重心に関する量をいくつか定義した。
𝑚𝐺 ≡ ∑𝑁
𝑖=1 𝑚𝑖(再 2.1.3)

1∑𝑁 𝑚 𝐫𝑚𝐺 𝑖=1 𝑖 𝑖(再 2.1.4)

1∑𝑁 𝑚 𝐯𝐯𝐺 ≡𝑚𝐺 𝑖=1 𝑖 𝑖(再 2.1.5)

𝐩𝐺 ≡ 𝑚𝐺 𝐯𝐺(再 2.1.6）

𝐫𝐺 ≡図 2.4. 1 重心系

これらを使って、多体系の運動を重心運動と重心回りの運動に分離する。第 8 章で詳しく説明するが、MD では通常、重心運動を０にする、つまり、pG=0（vG=0 でも同じ）にして計算することが多い。その準備である。
今まで扱ってきたＮ体系は、任意の慣性系の任意の固定点 O を原点に取った座標で記述してきた（図 1)。これを、重心座標 rG からの相対座標に変換し、そこで、運動量やエネルギーがどうなるか調べる。まず、前節の議論のように、質点 i に掛かる力 fi
を、質点間相互作用と外力に分けると（fi= fi in+ fi ext）、重心に掛かる力は外力の和で表されるので、
𝑒𝑥𝑡
𝐟𝐺 ≡ ∑𝑁
𝑖=1 𝐟𝒊(2.4.1)重心の運動方程式は、(2.3.5)の力の表記だけ変えて、
𝑚𝐺

𝑑 2 𝐫𝐺= 𝐟𝐺
𝑑𝑡 2(2.4.2)と書ける。次に、質点 i の重心からの相対座標（図１の r'i）を𝐫𝑖′ ≡ 𝐫𝑖 − 𝐫𝐺

(2.4.3)と定義する。その相対速度と運動量を、それぞれ
𝐯𝑖′ ≡

𝑑𝐫𝑖′
𝑑𝑡

𝐩′𝑖 ≡ 𝑚𝑖 𝐯𝑖′(2.4.4)と定義すれば、簡単な計算から、
𝐯𝑖′ = 𝐯𝑖 − 𝐯𝐺
𝐩′𝑖 = 𝐩𝑖 −

𝑚𝑖
𝐩
𝑚𝐺 𝐺

′
0 = ∑𝑁𝑖=1 𝐩𝑖(2.4.5)(2.4.6)(2.4.7)21

第2章

分子動力学法のための多体系の古典力学が導ける。重心系での質点 i の運動方程式は、
𝐟𝑖′ ≡ 𝐟𝑖 −

𝑚𝑖
𝐟
𝑚𝐺 𝐺

(2.4.8)と定義すれば、𝑚𝑖𝑑 2 𝐫𝑖′
𝑑𝑡 2

= 𝐟𝑖′

(2.4.9)と書ける。さらに、運動エネルギーK (2.3.10)は、
𝐾 = ∑𝑁
𝑖=1

𝑝𝑖′2
2𝑚𝑖

+

2
𝑝𝐺

(2.4.10)2𝑚𝐺になることも、簡単な計算で導ける。つまり、運動エネルギーは、重心系で運動と重心運動によるものの二つに、分離できる。
前述のように、MD では重心運動を止める、つまり pG=0 という条件で計算することが多いので、そのときは運動エネルギーは式(4)右辺の第 1 項、つまり重心系での速度によるものだけを計算することになる。また、その時は、式(8)は、fi'=fi になる。
なお、重心運動を分離する変換方法として、別にヤコビ変換という方法があり、これは第 10 章でのアンサンブルの議論のときに使われる。詳細は、付録 10A1 を参照のこと。
2.5. ハミルトン形式
ここでは 2.2 節で導入したニュートン形式の運動方程式をハミルトン（Hamilton）
形式に書き直し、古典力学系の重要な性質である、時間反転対称性とシンプレクティ
ック性を紹介する。通常は、ニュートン形式
ジェ形式→

ハミルトン形式→

一般化座標の導入→

ラグランの順で論を進めていくのだが、ここでは思いっきり議論を端折り、天下り式にハミルトン形式を導入することにする。
[1] ハミルトニアンと正準方程式
ハミルトニアン（Hamiltonian、以下 H）とは、要するに系の全エネルギーE(2.3.12)を、一般化座標 r1,..,一般化運動量 p1,..の関数として表現したものである
3。ここで、2.1 節で定義した N 体系について、x,y,z 成分をばらして、番号をつけなおしておく。。
3𝑁 → 𝑛3

一般化座標は r ではなく q と表記するのが普通。だが、MD では、通常、三次元直交座標（デカルト座標）r を扱うので、本書では、一般化座標も r と記述することにする。なお、q は座標ではなく、電荷を表記するのに使う。

22

第2章

分子動力学法のための多体系の古典力学

𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 , . . . , 𝑥𝑁 , 𝑦𝑁 , 𝑧𝑁 → 𝑟1 , 𝑟2 , 𝑟3 , . . . , 𝑟𝑛−2 , 𝑟𝑛−1, 𝑟𝑛
𝑝𝑥 1 , 𝑝𝑦 , 𝑝𝑧 1 , . . . , 𝑝𝑥 𝑁 , 𝑝𝑦 , 𝑝𝑧𝑁 → 𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3 , . . . , 𝑝𝑛−2 , 𝑝𝑛−1, 𝑝𝑛
1𝑁𝑚1 , 𝑚1 , 𝑚1 , . . . , 𝑚𝑁 , 𝑚𝑁 , 𝑚𝑁 → 𝑚1 , 𝑚2 , 𝑚3 , . . . , 𝑚𝑛−2 , 𝑚𝑛−1, 𝑚𝑛
すると、H は次の形に書ける。
𝐻(𝑟1 , . . . , 𝑟𝑛 , 𝑝1 , . . . , 𝑝𝑛 ) = ∑𝑛𝑖=1

𝑝𝑖2
2𝑚𝑖

+ 𝑈(𝑟1 , . . . , 𝑟𝑛 )(2.5.1)

このハミルトニアン H を用いて、ニュートンの運動方程式(2.1)を書き直すと以下になる。これをハミルトンの正準方程式 (Canonical equation)と呼ぶ。
𝑑𝑟𝑖
𝜕𝐻 𝑑𝑝𝑖𝜕𝐻=,= − (𝑖 = 1, . . , 𝑛)𝑑𝑡
𝜕𝑝𝑖 𝑑𝑡𝜕𝑟𝑖(2.5.2)この方程式がニュートンの運動方程式と等価なのは、右辺を書き下せばわかる。つま
り、
𝑑𝑟𝑖
𝑝 𝑑𝑝
𝜕𝑈
= 𝑖 , 𝑖 = − (𝑖 = 1, . . , 𝑛)
𝑑𝑡
𝑚𝑖 𝑑𝑡
𝜕𝑟𝑖

(2.5.3)

で、式(3)は、運動量と速度の関係、およびニュートンの運動方程式そのものである。
では、ニュートン形式とハミルトン形式の何が違うかというと、前者は座標（n 個の変数）に関する２階の微分方程式なのに対し、後者は座標と運動量（2n 個の変数）に関する 1 階の微分方程式になっていることである。MD は、座標と運動量（速度）を時間積分して求めるので、後者の形のほうが、アルゴリズムが導出しやすい。それだ
けでなく、理論的な扱いは、ハミルトン形式のほうが楽である。
次に、ハミルトンの正準方程式(2)が成り立つ場合、式(1)のハミルトニアン H が保存量になることを証明しておく。ここでは、H が t に陽に依存しない場合を扱うので、その時間微分は p,r の微分のみの関数である。よって、
𝑑𝐻(𝑟1 ,...,𝑟𝑛 ,𝑝1 ,...,𝑝𝑛 )𝜕𝐻 𝑑𝑟𝑖𝜕𝐻 𝑑𝑝𝑖= ∑𝑛𝑖=1 (+)
𝑑𝑡
𝜕𝑟𝑖 𝑑𝑡𝜕𝑝𝑖 𝑑𝑡= ∑𝑛𝑖=1 (

𝜕𝐻 𝜕𝐻
𝜕𝐻 𝜕𝐻
−
)
𝜕𝑟𝑖 𝜕𝑝𝑖𝜕𝑝𝑖 𝜕𝑟𝑖(∵ (2)) = 0(2.5.4)である。つまり、H は時間変化しない、保存量であることが示された。
[2] ポアソンのカッコ式
正準方程式(2)から派生して、ポアソンのカッコ式の定義と、それを使った重要な関係を紹介しておく。この関係は、あとで、MD のシンプレクティック積分法を導出する
ときなどに使う。p, r, t の関数である、二つの力学変数 u(p,r,t)と v(p,r,t)について、次式で定義される量をポアソンのカッコ式と呼ぶ。
{𝑢, 𝑣} = ∑𝑛𝑖=1 (𝜕𝑢 𝜕𝑣
𝜕𝑟𝑖 𝜕𝑝𝑖−𝜕𝑢 𝜕𝑣
𝜕𝑝𝑖 𝜕𝑟𝑖)(2.5.5)23

第2章

分子動力学法のための多体系の古典力学

このカッコ式を使うと、ある物理量 F が p,r,t の関数であるとき、その時間微分は以下の式で計算できる。
𝑑𝐹
𝑑𝑡

=

𝜕𝐹
𝜕𝑡

(2.5.6)+ {𝐹, 𝐻}

特に、F が t に陽に依存しない場合は、𝑑𝐹= {𝐹, 𝐻}𝑑𝑡

(2.5.7)

関係(6)(7)は、正準方程式(2)を用いれば簡単に導ける。また、関係(4)、つまりエネ
ルギー保存則は、式(7)で F=H と置いた特殊例にあたる。
[3] リウヴィル演算子と時間発展演算子
ここでは、MD の時間積分アルゴリズム導出で必要になる、リウヴィル演算子(Liouville operator、Liouvillian)とそれから派生する時間発展演算子(Propagator)を説明する。以下の式でリウヴィル演算子 DＨを定義する4。
𝐃𝐻 ≡ ∑𝑛𝑖=1 (

𝜕𝐻 𝜕
𝜕𝐻 𝜕
−
)
𝜕𝑝𝑖 𝜕𝑟𝑖𝜕𝑟𝑖 𝜕𝑝𝑖(2.5.8)

リウヴィル演算子の定義から、𝐃𝐻 𝐹 = {𝐹, 𝐻}
だから、(7)は𝑑𝐹= 𝐃𝐻 𝐹𝑑𝑡(2.5.9)と書き直せる。DH が時間に陽に依存しないときは、これは形式的に解けて、𝐹(𝑡0 + 𝑡) = 𝑒𝑥𝑝(𝑡𝐃𝐻 ) 𝐹(𝑡0 )(2.5.10)と書ける。あるいは、時間発展演算子、つまり時刻を t だけ進める演算子 G(t)を以下のように定義すれば、

4

リウヴィル演算子は、本書では DH と記述するが、一般的には、虚数単位 i を用いて、iL と書

かれることも多い。というのは、Tuckerman (2010)の 3.10 節によると、演算子 exp(iLt)が、量子力学に頻出する時間発展演算子 exp(-iHt/ℏ)に良く似た振る舞いをするからなのだという。しかし、古典力学で MD のアルゴリズムを導出する場合は、虚数単位 i が関わってくること̂ としているので、これに合わせよはないし、誤解を生みやすい。並木(1991)は、i は使わず、𝐋
うかとも思ったが、^を書くのが煩雑。だが、単に L にしてしまうと、ラグランジアンや角運動量と紛らわしい。そこで、本書では、能勢(2006)に従い、DH と表記することにしたわけ。添え字の H は、ここではハミルトニアンを示している。だが、文脈により、別の記号を使って別の物理量を示すこともある。

24

第2章

分子動力学法のための多体系の古典力学(2.5.11)𝐹(𝑡0 + 𝑡) = 𝐆(𝑡)𝐹(𝑡0 )G(t)は、(10)の右辺の演算子部分にあたる。つまり、時間発展演算子は、リウヴィル
演算子を使って、(2.5.12)𝐆(𝑡) = 𝑒𝑥𝑝(𝑡𝐃𝐻 )と書くことができる。

時間発展演算子(12)は、いずれ、MD の時間積分アルゴリズムを導出する際に、大いに利用することになる（第 3 章）。
2.6. 時間反転対称性
古典力学系（ハミルトン系）の重要な性質の一つに、時間反転対称性（time reversibility, time reverse symmetry)があ

図 2.6. 1 時間
反転対称性る。単に時間対称性と呼ぶこともある。
時間反転対称性とは、ポテンシャルエネルギーによる保存力
に従って運動している質点に対し、ある時刻にその速度（運動量）を反転させると(p →-p)、今まで通ってきた軌跡を、まっ
たくそのままに通って元に戻ることを言う。言わば、映画の逆回しのような軌跡をたどる、という性質である。たとえば、弾むボールを地面に落とすと、空気抵抗がなく完全弾性衝突ならば、跳ね返ったあと、同じ軌跡を描くだろう（図 1）5。この例
では地面に衝突したときに、速度が反転するわけである。
以下、時間反転対称性を、まず、ニュートン形式で示しておく。ここで、扱う保存
力 f は、時間 t には陽に依存せず、座標 r のみの関数である。ニュートンの運動方程式(2.2.1)が𝑚

𝑑 2 𝐫(𝑡)= 𝐟(𝐫(𝑡))𝑑𝑡 2（再 2.2.1）

ra(t)を一つの解として持つとき、つまり、
𝑚𝑑 2 𝒓𝑎 (𝑡)= 𝐟(𝐫𝑎 (𝑡))𝑑𝑡 2

(2.6.2)であるとき、時間反転した
𝐫𝑏 (𝑡) = 𝐫𝑎 (−𝑡)(2.6.3)も(2.2.1)の解になることを示せばよい。そこで、rb(t)を(2.2.1)の左辺に代入してみる。

5

保存力以外の力（例えば摩擦力など）では、時間反転対称性は成り立たない。

25

第2章

𝑚

分子動力学法のための多体系の古典力学

𝑑 2 𝒓𝑏 (𝑡)𝑑 2 𝒓 (−𝑡)𝑑 𝑑𝒓𝑎 (−𝑡)= 𝑚 𝑎 2 (∵ (3)) = 𝑚
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡

ここで、t=-τとおくと、=𝑚𝑑 𝑑𝒓𝑎 (τ)
𝑑 𝑑𝜏 𝑑𝒓𝑎 (𝜏)𝑑 𝑑𝒓𝑎 (𝜏)
=𝑚
= −𝑚
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝜏
𝑑𝑡 𝑑𝜏

= −𝑚

𝑑𝜏 𝑑 𝑑𝒓𝑎 (𝜏)𝑑 2 𝒓 (𝜏)= 𝑚 𝑎2 = 𝐟(𝐫𝑎 (𝜏)) (∵ (2))
𝑑𝑡 𝑑𝜏 𝑑𝜏𝑑𝜏

= 𝐟(𝐫𝑎 (−𝑡)) = 𝐟(𝐫𝑏 (𝑡))つまり、rb(t)も、運動方程式(2.2.1)の解であることが、まずは、ニュートン形式で証明された。
ついでに、ハミルトン形式でも証明しておこう。ハミルトン形式で議論する場合
は、変換の前後でハミルトニアンが変わらない場合は、この変換に対称性があるという（並木、1991）。時間反転による変換 ra→rb、pa→pb は、
rb=ra
pb=-paであり、変換前のハミルトニアンは𝐻𝑎 (𝐫𝑎 , 𝐩𝑎 ) =𝐩2𝑎+ 𝑈(𝐫𝑎 )2𝑚であるが、変換後のハミルトニアン Hb(rb,pb)は、
𝐻𝑏 (𝐫𝑏 , 𝐩𝑏 ) =𝐩2𝑏2𝑚+ 𝑈(𝐫𝑏 ) =(−𝐩𝒂 )22𝑚+ 𝑈(𝐫𝑎 ) =𝐩2𝑎+ 𝑈(𝐫𝑎 ) = 𝐻𝑎 (𝐫𝑎 , 𝐩𝑎 )2𝑚であるから、変換前のハミルトニアン Ha(ra,pa)と一致する。よって、時間反転変換は対称性がある。
というわけで、保存力場では、運動方程式の一つの解が得られた場合、それを時間反転した運動も、運動方程式の解になることが、ニュートン形式でもハミルトン形式
でも示された。これを時間反転対称性と呼ぶ。MD の時間積分は、通常、この時間反転対称性を満たすアルゴリズムを用いる。
2.7. シンプレクティック性
時間反転対称性と並ぶ、古典力学系のもうひとつの重要な性質、シンプレクティッ
ク性（symplecticness、symplecticity）6を説明する。MD においては、この性質を満

6symplecticness を無理に訳せば、「斜交性」とでもなるのだろうけれど、少なくとも MD や物理学の文献で使われているのを見たことがない。どの文献でも「シンプレクティック性」を使っている。

26

第2章

分子動力学法のための多体系の古典力学

たす時間積分アルゴリズムは、そうでないアルゴリズムに比べて、長時間に渡ってエネルギーが安定に保存することが知られている。なお、本節は、特に Goldstein etal. (2002) に依っている。
以下では、ハミルトンの運動方程式(2.5.2)の帰結として、「シンプレクティック条件」を導く。シンプレクティック条件とは、正準変数 x を別の正準変数 X に変換した
場合、変換後もハミルトン形式の運動方程式を満たすための条件である。式を追うのが面倒ならば、式(12)のシンプレクティック条件だけを確認するだけで構わない。
まず、ハミルトンの運動方程式の解(r1,..., rn ,p1, ..., pn)をまとめて位相と呼び、x と書く。また、x の張る空間を位相空間と呼ぶ（詳細は、2.8 節）。この x は一般化座標と運動量の組であるが、本節の文脈では「正準変数」と呼ぶ。
𝑟1
:
𝑟
𝐱= 𝑛
(2.7.1)𝑝1:(𝑝𝑛 )これを用いて、ハミルトンの運動方程式(2.5.2)を書き直すと、
𝜕𝐻
𝑑𝑟1
𝜕𝑝1
𝑑𝑡
:
:
0
𝜕𝐻
𝑑𝑟𝑛
.
𝑑𝐱
𝜕𝑝
𝑛
0
= 𝑑𝑡 =
=
−1
𝑑𝑝1
𝜕𝐻
𝑑𝑡
−
.
𝑑𝑡
𝜕𝑟1
(0
:
:
𝑑𝑝𝑛
𝜕𝐻
( 𝑑𝑡 ) (− 𝜕𝑟 )
𝑛

. 0
. .
. 0
. 0
.
.
. −1

1
.
0
0
.
0

.
.
.
.
.
.

𝜕𝐻
𝜕𝑟1
:
0
𝜕𝐻
.
𝜕𝑟𝑛
1
0
𝜕𝐻
.
𝜕𝑝1
0)
:
𝜕𝐻
(𝜕𝑝𝑛 )

略記して、
𝑑𝐱
𝜕𝐻
=𝐌
𝑑𝑡
𝜕𝐱

(2.7.2)

ただし、
𝐌=(

𝐎 𝐈
)
−𝐈 𝐎

(2.7.3)

ここで、x を、R1,..,Rn, P1, .., Pn を成分とする X に変数変換する。つまり、

𝑅1
𝑟1
:
:
𝑅𝑛
𝐱 = 𝑟𝑛 ↦ 𝚾 =
𝑝1
𝑃1
:
:
(𝑝𝑛 )
( 𝑃𝑛 )(2.7.4)27

第2章

分子動力学法のための多体系の古典力学という変換をする。以下、p1, ..., pn などは p とまとめて表記する。つまり𝑟𝑅
𝐱 = (𝑝 ) ↦ 𝚾 = ( )𝑃(2.7.4')

それでは、シンプレクティック条件を導いてみる。まず、X の時間微分から始め
る。
𝜕𝑅 𝑑𝑟
𝜕𝑅 𝑑𝑝
𝑑𝑅
+
𝑑𝚾
𝜕𝑟 𝑑𝑡
𝜕𝑝 𝑑𝑡
𝑑𝑡
= (𝑑𝑃) = (𝜕𝑃 𝑑𝑟 𝜕𝑃 𝑑𝑝)
𝑑𝑡
+
𝑑𝑡
𝜕𝑟 𝑑𝑡
𝜕𝑝 𝑑𝑡

(2.7.5)x→X の変換のヤコビ行列（Jacobian matrix）J を以下で定義すると、
𝜕𝑅𝜕𝚾𝜕𝑟𝐉 ≡ = (𝜕𝑃
𝜕𝐱
𝜕𝑟

𝜕𝑅
𝜕𝑝
)
𝜕𝑃
𝜕𝑝

(2.7.6)(5)は、以下のようにすっきり書ける。
𝑑𝚾
𝑑𝐱
=𝐉
𝑑𝑡
𝑑𝑡

(2.7.7)(7)の右辺に (2)を代入すると、
𝑑𝚾
𝜕𝐻
= 𝐉𝐌
𝑑𝑡
𝜕𝐱

(2.7.8)

ここで、H を、R と P の関数とみなすと、
𝜕𝐻(𝑅,𝑃)
𝜕𝐻 𝜕𝑅
𝜕𝐻 𝜕𝑃
𝜕𝑅
+
𝜕𝐻
𝜕𝑟
𝜕𝑅 𝜕𝑟
𝜕𝑃 𝜕𝑟
𝜕𝑟
= (𝜕𝐻(𝑅,𝑃)) = (𝜕𝐻 𝜕𝑅 𝜕𝐻 𝜕𝑃) = (𝜕𝑅
𝜕𝐱
+
𝜕𝑅 𝜕𝑝
𝜕𝑃 𝜕𝑝
𝜕𝑝
𝜕𝑝

𝜕𝑃
𝜕𝐻
𝜕𝑟
𝜕𝑅
𝜏 𝜕𝐻
𝜕𝑃) (𝜕𝐻) = 𝐉 𝜕𝐗
𝜕𝑝
𝜕𝑃

(2.7.9)と書ける。ただし、τJ は、J の転置行列。(9)を使えば、(8)は、𝑑𝚾𝜕𝐻= 𝐉𝐌 𝜏𝐉
𝑑𝑡
𝜕𝚾(2.7.10)と変形できる。さて、正準変換の場合は、(10)が(2)と同じ形、つまり、
𝑑𝚾
𝑑𝑡

=𝐌

𝜕𝐻
𝜕𝚾

(2.7.11)にならなければいけない。よって、(10)と(11)を見比べれば、𝐉𝐌 𝜏𝐉 = 𝐌が成り立つ。あるいは、
τ

𝐉𝐌𝐉 = 𝐌

(2.7.12)と変形しても同値。これをシンプレクティック条件と呼ぶ。
なお、J の行列式 det(J)≡J、すなわちヤコビアン（Jacobian）の絶対値は、|𝐽| = 1

(2.7.13)になることも簡単な計算で確かめられる。式(13)は、位相空間内での任意の閉空間の
28

第2章

分子動力学法のための多体系の古典力学

体積がこの変換によって保存されることを示す（体積保存、詳しくは次節のリウヴィルの定理の項参照）。ただし、シンプレクティック性(12)は体積保存(13)よりも強い条件である。
また、二つのシンプレクティック変換のヤコビ行列を J1, J2 とすれば、それぞれ(12)を満たすから、その積の J1J2 に関しては、
𝜏(𝐉1 𝐉2 )𝐌(𝐉1 𝐉2 ) = 𝜏𝐉2 𝜏𝐉1 𝐌𝐉1 𝐉2 = 𝜏𝐉2 𝐌𝐉2 = 𝐌(2.7.14)となるので、やはり、シンプレクティックである。つまり、シンプレクティック変換を繰り返してもシンプレクティック変換になる。
以上まとめると、x→X が正準変換ならば、式(12)が成り立つ。これを「シンプレク
ティック条件」と呼ぶ。シンプレクティックな変換を繰り返しても、やはりシンプレ
クティックになる。シンプレクティック変換は、次章での、MD の時間積分アルゴリズ
ムの導出時に活躍することになる。
（ここまでで、次章「時間積分」のための力学の解説は終わったので、以下は飛ばして、次章に行っても構わない）。
2.8. 位相空間とリウヴィル方程式
これ以降は、統計力学の基礎的内容なので、第 9 章「分子動力学法のための統計熱力学」と第 10 章「アンサンブル」の準備になる。具体的には、リウヴィルの定理、圧縮性、位相空間分布関数、リウヴィル方程式の説明をする。一方、これらのハミルトン系の性質は、2.10 節の非ハミルトン系ではそのままでは成り立たず、変更を加える
必要が出てくる。逆に、非ハミルトン系を構築するためには、前提としてハミルトン系を理解する必要がある。
[1] 位相空間

図 2.8. 1 位相空間内の流線の例

2.5-2.7 節のハミルトン形式の説明では、N 体系の一般化座標と運動量をまとめて 2n （n=3N）個の独立変数として扱った。この 2n 次元の空間を、位相空間（Phase space）と呼んだ。位相空間は、座標と運動量が一体になっている空間だから、実在しない、観念的な空間である。なお、座標だけの空間は座標空間または配位空間（Configurational space）と呼び、運動量だけの空間は運動量空間（Momentum space）と呼ぶ。
29

第2章

分子動力学法のための多体系の古典力学

ある時刻におけるハミルトンの正準方程式 (2.5.2)の解 x=(r1,...,rn, p1,...,pn)(2.7.1) は、この位相空間の中の一点として表すことができる。この点のことを「代表点」と呼ぶ。この代表点は、系の N 個の質点の運動全てを表現していることにな
る。x は正準方程式（運動方程式）に従って、時々刻々移動するが、その流線は、系のハミルトニアンを H(x)、エネルギーを E0（初期条件 x0 で決まる一定値）と置けば、𝐻(𝐱) = 𝐸0(2.8.1)の超平面（等エネルギー面）上に制限される。2n 次元の空間の図示は難しいので、1個の質点の 1 次元運動に関して、位相空間を例示してみよう（図 1）。x の流線を青の線で示すと、等速直線運動ならば r によらず p が一定値だから直線（図 1A）、調和振動ならば楕円になる（図 1B）。
古典力学では、初期条件（初期速度と座標）により、その後の運動は一意的に決まる、という大前提がある。この条件の帰結として、位相空間では、例えば図 2A のように、複数の流線が交わることはない。なぜか？

仮に、図 2B のように、複数の流線が交わったとしよう。その交点（黒丸）では、p も r も同じ値である。そこから、左右に二つの流線が出ていくという

図 2.8. 2 位相空間での複数の流線ことは、同じ初期条件から、別々の運動が始まることになってしまう。これはあり得ない。よって、位相空間で、別々の流線が交わることは決してないのである。
なお、座標 r だけの座標空間や運動量 p だけの運動量空間では、別々の運動の流線が交わったり重なったりすることがあるので、混同しないこと。
[2] 位相空間の非圧縮性

ハミルトン系については、「位相空間の非圧縮性(Phase space
incompressibility) 」という性質がある（以下、特に、Tuckerman, 2010 に依っている）。ハミルトンの正準方程式(2.5.2)を使うと
𝐱̇ = (𝑟̇1 … 𝑟̇𝑛 , 𝑝̇1 … 𝑝̇𝑛 ) = (

𝜕𝐻
𝜕𝐻
𝜕𝐻
𝜕𝐻
,…,
,− ,…,− )
𝜕𝑝1
𝜕𝑝𝑛
𝜕𝑟1
𝜕𝑟𝑛

(2.8.2)である。H は x の関数で、それを x の要素で微分したものも x の関数であるから、式(2)は、位相空間の「速度」𝐱̇ が「位置」x の関数であることを示しており
𝐱̇ = 𝐱̇ (𝐱)(2.8.3)

この式(3)は、(2)式による運動が、流体力学でいう「流れ場」に相当することを示唆
30

第2章

分子動力学法のための多体系の古典力学

する。つまり、位置により、その流体の速度が決まっている、ということ。位相空間
を流体とみなしたときの圧縮性κ（Compressibility)は、x を時間微分したベクトルを𝐱̇ を使って、∇𝐱 ∙ 𝐱̇ と定義される。このκは、(2)のハミルトンの運動方程式を使えば、
𝜅 ≡ ∇𝐱 ∙ 𝐱̇ = ∑𝑛𝑖=1 (

𝜕2𝐻
𝜕2𝐻
−
)=0
𝜕𝑟𝑖 𝜕𝑝𝑖𝜕𝑝𝑖 𝜕𝑟𝑖(2.8.4)で０になる。このようにハミルトン系では位相空間は圧縮されない、つまり、非圧縮性を持つ。一方、第 2.10 節の非ハミルトン系では、圧縮される、つまり、(4)が 0 にならない例が出てくる。
[3] リウヴィルの定理
位相空間の体積保存、すなわちリウヴィルの定理については 2.7 節で簡単に触れたが、ここで詳

図 2.8. 3 位相空間の体積保存

細に説明する。リウヴィルの定理（位相空間の体積保存）とは、「x で張られる位相空間内の任意の閉領域Γの体
積をΩ、x→X の正準変換後の領域Γ'の体積をΩ'と置くと、
𝛺 = 𝛺′(2.8.5)になること」と定義できる。ただし、ΩとΩ'は、積分の形で書けば、次式で定義される。
𝛺 = ∫𝐱∈ 𝛤 𝑑 𝐱, 𝛺′ = ∫𝐗∈ 𝛤′ 𝑑 𝐗(2.8.6)あるいは、この定理は、(6)式の体積素片が保存されるという条件でも表される。
𝑑𝐗 = 𝑑𝐱(2.8.7)

この式(7)を、2.7 節の延長で簡単に証明してみよう。変数変換前後の積分の体積素片の関係は、変換のヤコビアン J=det(J)の絶対値|J|を使えば、(2.8.8)𝑑𝐗 = |𝐽|𝑑𝐱である（多変数積分の変数変換の数学公式をそのまま使う）。念のため、(8)を書き下
せば
𝑑𝑋1 𝑑𝑋2 … 𝑑𝑋2𝑛 = |𝜕(𝑋1 ,𝑋2,…,𝑋2𝑛 )|𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 … 𝑑𝑥2𝑛
𝜕(𝑥1 ,𝑥2 ,…,𝑥2𝑛 )(2.8.9)である。一方、シンプレクティク条件(2.7.12)において、行列 M の行列式を M と書く
いて、両辺の行列式を取れば、これも数学の公式より、
31

第2章

分子動力学法のための多体系の古典力学

𝐽2 𝑀 = 𝑀
よって、|𝐽| = 1であるから、(8)に代入すれば(再 2.8.7)

𝑑𝐗 = 𝑑𝐱が導かれる。つまり、正準変換前後で体積素片に変化はなく、よって、任意の閉空間の体積は保存される。以上、リウヴィルの定理を簡単に証明できたのは、2.7 節でシンプレクティック条件(2.7.12)という、体積保存よりも強い条件を導いておいて、それを使って証明したからである。
だが、圧縮性κ(4)とリウヴィルの定理の関係を示しておきたいので、以下では、Tuckerman (2010)に倣って、(2.7.12)を直接には使わずに、もう一度(7)を導き、その過程で、圧縮性κとの関係を示しておくことにする。
今までは、一般化座標と運動量を合わせた、位相空間座標の代表点を x、X と書いて、x→X の正準変換を議論してきた。だが、今後扱う変換は、要するに運動方程式を解いて x から時刻 t 後の X を求める、ということであるので、従来の x を x0, X を xtと記述することにする。もちろん、この変換が「時間変化」だとすぐわかるように表示し直しただけである。
あらためて、正準変換 x0→xt のヤコビ行列 J は、行列式は J=det(J)、また要素はJij=∂xti/∂x0j である。以下では、J の時間変化を調べてみる。行列式に関する公式に
より
𝑑𝐽
𝑑
𝑑
= 𝑑𝑒 𝑡(𝐉) = 𝑒𝑥𝑝(𝑇𝑟(𝑙𝑛(𝐽)))
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡

が成り立つ。ただし、Tr はトレース（対角項の和）を示す。
これをさらに変形すると、
𝑑𝐉
𝑑𝑡= 𝑒𝑥𝑝(𝑇𝑟(𝑙𝑛(𝐽))) 𝑇𝑟 ( 𝐉 −1 ) = 𝐽 ∑𝑖,𝑗 (𝑑𝐽𝑖𝑗 −1
𝐽 𝑗𝑖 ) = #𝑑𝑡になる。ここで、
𝑑𝐽𝑖𝑗
𝑑𝑡

=

𝑑 𝜕𝑥𝑡𝑖𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑗

=

0

𝜕𝑥𝑡𝑖̇
𝑗

𝜕𝑥0

一方、J-1 は J の逆行列である。これは逆変換、つまり xt →x0 のヤコビ行列だから、
−1
𝐽𝑗𝑖
=

𝑗

𝜕𝑥0
𝜕𝑥𝑡𝑖

これらを#に代入して、微分の連鎖律を適用すると𝑗# = 𝐽 ∑𝑖,𝑗 (𝜕𝑥𝑡𝑖̇ 𝜕𝑥0

𝑗
𝜕𝑥0

𝜕𝑥𝑡𝑖

) = 𝐽 ∑𝑖

𝜕𝑥𝑡𝑖̇
𝜕𝑥𝑡𝑖

= 𝐽∇𝐱𝑡 ∙ 𝐱 𝑡̇

結局、以下の関係が得られる。
32

第2章

𝑑𝐽
= 𝐽∇𝐱𝑡 ∙ 𝐱 𝑡̇𝑑𝑡

分子動力学法のための多体系の古典力学(2.8.10)

この(10)の右辺の∇𝐱𝑡 ∙ 𝐱 𝑡̇ 、どっかで見たような、と思えば、式(4)の圧縮性κなのである。そして、ハミルトン系ではκは 0 だから、結局
𝑑𝐽
=0
𝑑𝑡

(2.8.11)で正準変換のヤコビアンは時間変化しない一定値であることがわかる。さらに、t=0
では、xt=x0 で恒等変換だから、ヤコビアンは 1。そして、時間変化しないので、永遠に
𝐽=1(2.8.12)である。かくして、体積保存が、𝑑𝐱 𝒕 = 𝑑𝐱 𝟎

(2.8.13、ただし 2.8.7 の記法を変えただけ)

この方法でも証明されたわけである。加えて、圧縮性κが 0 であるので、体積が保存されることも明らかになった。それはそうだ「圧縮されなきゃ、体積は同じでしょ」ということ。流体力学と対応してるわけ。
[4] 位相空間分布関数とリウヴィル方程式
ハミルトン系の力学の説明の最後に、統計力学の予習をすることにする。
すでに説明したように、初期条件（座標と速度）x0 を与えれば、運動状態の代表点
x は、2n 次元の位相空間の中を正準方程式に従って移動していく。代表点の一つの流線は一つの初期状態に対応し、二つの流線が交わることはない。だから、位相空間の領域は、異なる初期条件から出発した、様々な代表点の集合（アンサンブル）と考えられる。そこで、位相空間に確率の概念を導入する。つまり、位相空間のある領域に代表点が存在する確率を設定する。
初期条件を与えれば、その後の運動は一意に決定されるのに、なぜ、確率を導入する必要があるのだろうか。その理由は、対象の質点系として、1 個や 2 個ではなく、
例えばアヴォガドロ数 6×1023 個ぐらいからなる巨大系を考えているからである。この様な系では、初期条件を知ることができない。わかるのは、平均と揺らぎだけである。そういった状況なので、確率的な記述が必要になる。
代表点の位相空間内の存在確率を記述する確率密度分布関数、こと、「位相空間分
布関数（Phase space distribution function、あるいは、Ensemble distributionfunction）」は以下のように定義される。時刻 t で、代表点が位相空間の領域Γに存在する確率を Pt(Γ)とする。位相空間内のある一点 x=(r1,...,rn, p1,...,pn)を含む微小領域 dx=dr1...drndp1...dpn に着目する。そのときその微小領域に代表点が存在する
確率 Pt(dx)は、微小体積に比例するだろう。つまり、

33

第2章

𝑃𝑡 (𝑑𝐱) = φ(𝐱, 𝑡)𝑑𝐱

分子動力学法のための多体系の古典力学(2.8.14)であるが、この比例係数φ(x,t)を位相空間分布関数と呼ぶ。
φ(x,t)には、次のような性質がある。まず、φ(x,t)は確率密度分布関数なので、一般の確率密度分布関数が持つ以下の性質を持つ。
φ(𝐱, 𝑡) ≥ 0∞∫−∞ φ(𝐱, 𝑡)𝐝𝐱 = 1(2.8.15)(2.8.16)(16)は、正規化（規格化）条件と呼ばれる。さらに、座標と運動量、つまり位相 x の関数である任意の物理量 F(x)の、時刻 t における平均値は∞< 𝐹 >𝑡 = ∫−∞ 𝐹(𝐱)φ(𝐱, 𝑡)𝐝𝐱

(2.8.17)で計算できる。式(17)において、x、つまり r1,..., p1,...は単なる積分変数であって、時刻 t で変化する力学変数ではない。力学系の時間変化は、F(x)ではなく、φ(x,t)で記述されることに注意（並木、1991)。
ここで、ハミルトン系におけるφ(x,t)が満たすべき方程式、「リウヴィル方程式」
を求めてみる7。以下では、微小空間内の各点が時間 t に沿って移動すると考えるので、代表点は xt と書く。すると、この微小空間内で質点の生成も消滅も起こらないか
ら、確率保存則により、
𝑃𝑡 (𝑑𝐱) = φ(𝐱 𝒕 , 𝑡)𝑑𝐱 𝒕 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡(2.8.18)になるはずである。ところが、リウヴィルの定理(13)により、微小空間の体積 dxt は一定だから、φも一定でなければならない。
φ(𝐱 𝑡 , 𝑡) = φ(𝐱 0 , 0)(2.8.19)

よって、(18)は、次にように書ける。
φ(𝐱 𝑡 , 𝑡)𝑑𝐱 𝒕 = φ(𝐱 0 , 0)𝑑𝐱 07(2.8.20)

この方程式の導き方には、位相空間の局所系とともに移動する運動座標系を使う「ラグランジェ流」と、位相空間内に固定された小領域への物質の流入を調べる「オイラー流」の二つの見方がある。結果は最終的には同じになるが、本書では、並木(1990)や Tuckerman (2010)に倣って、ラグランジェ流を紹介した。この方法なら、リウヴィルの定理（体積保存）を直接使える、という利点がある。

34

第2章

分子動力学法のための多体系の古典力学

また、φが一定だから、その時間微分は０である。
𝜕φ
𝜕φ
𝑑
𝑑𝐱 𝜕φ
φ(𝐱 𝒕 , 𝑡) =+ 𝒕∙=
+ 𝐱 𝒕̇ ∙ 𝛁𝐱𝒕 φ = 0𝑑𝑡
𝜕𝑡𝑑𝑡 𝜕𝐱𝒕𝜕𝑡(2.8.21)

この式(21)が、φ(xt,t)が満たすべき方程式（リウヴィル方程式）である。方程式(21)を別の形で表現してみよう。
𝐱 𝒕̇ ∙ 𝛁𝐱𝒕 φ = ∑𝑛𝑖=1 (𝑟𝑖̇

𝜕φ
𝜕𝑟𝑖

+ 𝑝𝑖̇

𝜕φ
𝜕𝑝𝑖

)

ハミルトンの正準方程式(2.5.2)を代入し、ポアソン括弧(2.5.5)を使うと
𝜕φ 𝜕𝐻= ∑𝑛𝑖=1 (𝜕𝑟𝑖 𝜕𝑝𝑖−𝜕φ 𝜕𝐻
𝜕𝑝𝑖 𝜕𝑟𝑖) = {φ, 𝐻}なので、(21)に戻せば、リウヴィル方程式は次のように表記できる。
𝜕φ𝜕𝑡

(2.8.22)+ {φ, 𝐻} = 0

あるいは、リウヴィル演算子 DH(2.5.8)を使って、
𝜕φ𝜕𝑡− 𝐃𝐻 φ = 0(2.8.23)と書くこともできる。式(21)、(22)、(23)は、表記方法が違うだけで、等価だから、目的に応じてわかりやすいものを使えばよい。
以上の議論は、ハミルトン系であれば、熱平衡かどうかにかかわらず成り立つ。以下では、熱平衡状態に限定して、リウヴィル方程式を解いて、φがどういう関数になるか調べてみる。物理量 F(x)の時刻 t での位相平均<F>t は式(17)で表される。熱平衡
下では、物理量の期待値は時刻 t によらず一定になるので、式（17）は∞< 𝐹 >= ∫−∞ 𝐹(𝐱)φ(𝐱, 𝑡)𝐝𝐱 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡(2.8.24)

よって、その時間微分は 0。
𝑑𝑑𝑡∞< 𝐹 >= ∫−∞ 𝐹(𝐱) (𝜕φ(𝐱,𝑡)𝜕𝑡) 𝑑𝐱 = 0(2.8.25)𝐱

式(25)が任意の物理量 F(x)に対して成立するには、
𝜕φ(𝐱,𝑡)

(

𝜕𝑡

) =0

(2.8.26)𝐱であれば必要十分、つまり、φが時刻 t に陽には依存しなければよい。その場合、リウヴィル方程式(22)は、{φ, 𝐻} = 0(2.8.27)という形になる。方程式(27)の一般解は、φ(x)が、ハミルトニアン H(x)の任意の関
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第2章

分子動力学法のための多体系の古典力学

数 f(H(x))に比例する形になる。さらに、式(16)を満たすべく、正規化すれば、
1𝑍(2.8.28)

𝑍 = ∫ 𝑓(𝐻(𝐱))𝑑𝐱(2.8.29)

φ(𝐱) = 𝑓(𝐻(𝐱))ただし、この正規化定数 Z は、分配関数(partition function）または状態和（state sum)と呼ばれる。
別の面からφ(x)を考えると、x の時間発展を与える運動方程式（正準方程式
2.5.2）に、時間に依存しない保存量（拘束条件）が nc 個ある場合は、その保存量（例えばハミルトニアン＝全エネルギー）をΛk(x)、その値をλk とすれば、デルタ関数δ()を使って、
𝑛𝑐φ(𝐱) = ∏𝑘=1
𝛿(𝛬𝑘 (𝐱) − 𝜆𝑘 )(2.8.30)となる（規格化定数は省いた形）。つまり、x は拘束を満たす範囲の超平面上のみに存在する。この関係は MD の定温・定圧アルゴリズム導出で重要になる。
2.9. ハミルトン系の力学のまとめ
以上、本書で紹介する MD のアルゴリズム導出に必要なハミルトン系の性質を説明した。ここで、次節の非ハミルトン系の前段階として、2.5-7 で説明したハミルトン系の力学を、省略してしまった部分も含めて、Tuckerman et al. (1999) に倣って、もう一度、駆け足でまとめてみる。
質点系の位相（一般化座標と運動量）の代表点 x の時間発展は、ハミルトニアン

H(x)から導かれる正準方程式(2.5.2)で記述されるが、この運動方程式は
𝐱̇ = 𝐀(𝐱)(2.9.1)という形に書ける。ただし、A(x)=A(r,p)={∂H/∂p, -∂H/∂r}。また、A(x)に t は陽に入っていないのに注意。位相空間の圧縮性κは０、つまり、位相空間を流体だと考えると、伸縮しない。
𝜅 ≡ ∇𝐱 ∙ 𝐱̇ =0(再 2.8.4)

関連して、リウヴィルの定理により、時刻 0 に位相空間 x0 に dx0 の微小体積を占めている代表点が、(1)に従って時刻 t に xt に移っても占める体積 dxt は不変である。
𝑑𝐱 𝒕 = 𝑑𝐱 𝟎

(再 2.8.13）

この関係が成り立つとき、dx は位相空間の「不変測度（invariant measure)」であると言う。体積不変が成り立つとき、位相空間分布関数φ(x,t)は保存され、時間変化しない。よって、

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第2章

分子動力学法のための多体系の古典力学

φ(𝐱 𝑡 , 𝑡)𝑑𝐱 𝒕 = φ(𝐱 0 , 0)𝑑𝐱 0(再 2.8.20)が成り立つ。また、φは以下のリウヴィル方程式を満たす。
𝑑φ
𝑑𝑡

=

𝜕φ
𝜕𝑡

+ 𝐱 𝒕̇ ∙ 𝛁𝐱𝒕 φ = 0(再 2.8.21)

運動方程式(1)が、nc 個の保存量（拘束条件）を持つ場合は、𝑛𝑐φ(x) = ∏𝑘=1
𝛿(𝛬𝑘 (𝐱) − 𝜆𝑘 )(再 2.8.30)と表すことができる。
熱平衡条件下では、系の分配関数は𝑍 = ∫ 𝜙(𝐱)𝑑𝐱(2.9.2)で表され、任意の物理量 F(x)の位相平均は1< 𝐹 >= ∫ 𝐹(𝐱)φ(𝐱)𝑑𝐱𝑍(2.9.3)で計算できる。MD で得られるのは、時間平均𝐹̅ だが、
1 𝜏𝐹̅ = lim ∫ 𝐹(𝐱(𝑡)) 𝑑𝑡
𝜏→∞ 𝑡(2.9.4)

エルゴード仮説が成り立つ場合は、両者は一致する。
𝐹̅ =< 𝐹 >(2.9.5)以上を確認した上で、次節の非ハミルトン系に移ることにする。
2.10. 非ハミルトン系の力学
前節までは、通常の古典力学＝ハミルトン系を扱った。だが、第 10 章「アンサンブ
ル」で紹介する MD のアルゴリズムは、ハミルトン系ではなく、非ハミルトン系（nonHamiltonian system）を仮定して作られるものが多い。というのは定温や定圧条件
は、“架空の”熱浴やピストンを使って表現するため、ハミルトン系の力学では記述できないことが多いからである。非ハミルトン系では、2.1-2.8 で説明した公式は、
通常、そのままでは適用できない。そこで、非ハミルトン系の扱いを知っておく必要がある。
前節までのハミルトン系に関する理論は、解析力学の教科書ならば、表現方法や論の組み立ては違うにせよ、どれにでも載っている。だが、本節で紹介する非ハミルトン系の理論は、Mark E. Tuckerman、Glenn Martyna、およびその共同研究者たちが整理・体系化したものなので、彼らの論文や教科書を読まないとその全貌がつかめない

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第2章

分子動力学法のための多体系の古典力学（Tuckerman et al, 1999, 2001, 2006, 2010、他)8。果たして筆者が正しく理解しているかどうか、いささか心許ないが、彼らの非ハミルトン系の理論を、できる範囲で説明することにする9。基礎となるハミルトン系の性質は 2.9 にまとめておいたから、
以下の説明では、それが非ハミルトン系で、どう変更、拡張されるか、に重点を置いて記述する。
[1] 運動方程式と圧縮性
非ハミルトン系では、ハミルトニアンは存在しないから、「ハミルトニアンから正準方程式＝運動方程式を導く」というわけにはいかない。「はじめに運動方程式あり
き」なのである。
まずは、ハミルトン系の(2.9.1)に対応して、非ハミルトン系の運動方程式を次のように書く。ξは、(2.9.1)の A(x)と違い、x だけでなく t にも陽に依存しているのに注意。ξは、少なくとも 1 階は微分可能な連続ベクトル関数、という以外には何の条件
や制約は入れずに議論する。
(2.10.1)

𝐱̇ = 𝛏(𝐱, 𝑡)

式(1)の運動方程式を解いて実現される位相空間の圧縮性κは、x と t の両方に依存する。また、(2.8.4)とは違って、非ハミルトン系では、一般的には、0 にならない（ただし、例外的に、0 になる場合もある。）(2.10.2)

𝜅(𝐱, 𝑡) ≡ ∇𝐱 ∙ 𝐱̇ = ∇𝐱 ∙ 𝛏(𝐱, 𝑡)

かくして、非ハミルトン系の位相空間は膨れたり縮んだりする。つまり、「歪んで」いる。ハミルトン系の位相空間が一様なのとは違う。これが以降の議論の基礎になる。
[2] 一般化されたリウヴィルの定理
非ハミルトン系で x0→xt へと変換するときのヤコビ行列を J、その行列式をＪとす
れば、ハミルトン系と同様に次式(2.8.10 改)が成り立つ。
𝑑𝐽= 𝐽∇𝐱𝑡 ∙ 𝐱 𝑡̇ = 𝜅(𝐱, 𝑡)𝐽𝑑𝑡

8(2.10.3)

非ハミルトン系の研究は、もっと前からいろいろあるそうなのだが、筆者にはとても先行研究を紹介する力はない。Tuckerman たちの論文の引用文献を参照して欲しい。
9

実のところ、非ハミルトン系の力学は、愚鈍な筆者にとっては難しすぎるので、本書に入れるつもりはなかった。Tuckerman たちの論文や教科書を斜め読みすると、見慣れない数式の羅列に加えて、「Lee algebra（リー代数）」だの「Riemannian manifold（リーマン多様体）」などというオソロシイ用語まで出てくる。しかし、第 10 章の定温定圧アルゴリズムの解説を書いているうちに、避けて通れないことを悟ったので、腹をくくって解説を試みることにした。

38

第2章

分子動力学法のための多体系の古典力学

だが、非ハミルトン系では、(2)式の説明の通り、圧縮性κは０ではないので、J=1 にはならない。よって、リウヴィルの定理（体積保存）dx0=dxt (2.8.13)は成り立たない。
しかし、リウヴィルの定理は、以下のように一般化することができる。位相空間 xと変換のヤコビアン J に、時刻 t の関数だとわかるように t の添え字を付ける。式(3)は𝑑𝐽𝑡= 𝜅(𝐱 𝒕 , 𝑡)𝑑𝑡
𝐽𝑡

だから、これを積分すると、
𝑡ln(𝐽𝑡 ) − ln (𝐽0 ) = ∫0 𝜅(𝐱 𝒕 , 𝑡)𝑑𝜏J0 は、時刻 0→0 のヤコビアンだから 1 である。また、関数 w(xt,t)を𝑡

𝑤(𝐱 𝒕 , 𝑡) ≡ ∫0 𝜅(𝐱 𝝉 , 𝜏)𝑑𝜏

(2.10.4)と定義すれば、ln(𝐽𝑡 ) = 𝑤(𝐱 𝑡 , 𝑡) − 𝑤(𝐱 0 , 0)
よって、変換のヤコビアンは𝐽𝑡 = 𝑒𝑥𝑝[𝑤(𝐱 𝑡 , 𝑡) − 𝑤(𝐱 0 , 0)](2.10.5)になる。この式より Jt>0 がわかる。さて、2.8 節で示した通り、位相空間の体積は以下の式で時間発展するので、𝑑𝐱 𝒕 = 𝐽𝑡 𝑑𝐱 𝟎

(2.8.8 改)である。ここに、(5)式を代入して整理すれば、次の「一般化されたリウヴィルの定理」が得られる。
𝑒𝑥𝑝(−𝑤(𝐱 𝑡 , 𝑡))𝑑𝐱 𝑡 = 𝑒𝑥𝑝(−𝑤(𝐱 0 , 0))𝑑𝐱 0(2.10.6)

この定理は、非ハミルトン系では、単純な体積 dx ではなく、「重み付けされた体積」exp(-w(x,t))dx が不変測度であることを示している。式(6)の w が 0 のとき、つまり、圧縮性κが 0 のときには、(6)は、「リウヴィルの定理 dx0=dxt」に戻る。というわけで、(6)は、ハミルトン系の体積保存則を、非ハミルトン系で位相空間が歪んでいる場合に、拡張した形になっている。
[3] 一般化されたリウヴィル方程式
さて、ここまででも、うんざりするほど抽象的で難しいのに、これ以降はリーマン幾何学が出てきて、さらにややこしくなる。が、できるだけさらりと済ますことにす
る。

39

第2章

分子動力学法のための多体系の古典力学

ハミルトン系で体積が保存される、ということは、ハミルトン系の位相は「まっすぐ図 2.10. 1 位相空間。A のユークリッド空間は平坦だが、B の非ユークリッド空間は歪んでる。

で一様で平坦な空間＝ユーク
リッド空間（図 1A）」10を移動していることを示す。翻って、非ハミルトン系の式(6)は、位相 x が、「歪んだ空間＝非ユークリッド空間」を動き回っていることを示している。そこで、歪んだ空間（図1B)の記述に、リーマン幾何学を使う11。
式(6)の重み exp(-w(xt,t))は、リーマン幾何学で"metric determinant factor 位相
空間計量（√𝑔(𝐱 𝑡 , 𝑡)）12"と呼ばれる量とみなせる。
𝑒𝑥𝑝(−𝑤(𝐱 𝑡 , 𝑡)) = √𝑔(𝐱 𝑡 , 𝑡)

(2.10.7)

ただし、g(xt,t)は、計量テンソル（metric tensor）g(xt,t)の行列式である。テンソ
ル g(x0,0)がこの位相空間の幾何を決める計量テンソルとすると、テンソル g(xt,t)は、g(x0,0)から x0→xt の変換により得られる。変換のヤコビアン(5)は、𝐽𝑡 =√𝑔(𝐱0 ,0)(2.10.8)√𝑔(𝐱𝑡 ,𝑡)と表せる。また、一般化されたリウヴィルの定理(6)は、√𝑔(𝐱 𝑡 , 𝑡)𝑑𝐱 𝑡 = √𝑔(𝐱 0 , 0)𝑑𝐱 0(2.10.9)とも書ける。
この位相空間において、リウヴィル方程式
𝜕φ
𝜕𝑡+ 𝐱 𝒕̇ ∙ 𝛁𝐱𝒕 φ = 0(再 2.8.21)

は、結論だけ書くと10

感覚的な表現で申し訳ないが、言わんとすることはわかっていただけると思う。

11という、解釈が正確なのかどうかあんまり自信がないけれど...

12少なくとも本書では、g(xt,t)という量の自乗根だからどうのこうの、などと深く考えずに、単に √𝑔(𝐱 𝑡 , 𝑡)で一つの関数を表す記号だと思っておけば十分である。√𝑔(𝐱 𝑡 , 𝑡)は、空間の歪み具合を示す量であり、1 から遠い値を取るほど空間が歪んでいる、と説明しておけば、当たらずといえども遠からず、かな、多分。

40

第2章

𝜕(φ√𝑔)
𝜕𝑡

分子動力学法のための多体系の古典力学(2.10.10)+ 𝛁𝐱 ∙ (φ√𝑔𝐱̇ ) = 0という形に拡張できる（導出は複雑なので、Tuckerman et al., 1999 の原著を参照）。式(10)を「一般化されたリウヴィル方程式」と呼ぶ。この式は、平衡、非平衡に関わらず成立する。ハミルトン系の場合は、√𝑔=1 かつ𝛁𝐱 ∙ 𝐱̇ = 0なので、これらを代入すれば (10)は(2.8.21)に戻る。つまり(10)はハミルトン系のリウヴィル方程式を包含している。
式(10)から式(1)(3)(7)(8)を使って、√𝑔を消すと、次の関係が得られる（証明は、付録 2A2）。
𝑑𝜙(𝐱,𝑡)𝑑𝑡=

𝜕𝜙(𝐱,𝑡)𝜕𝑡+ 𝛏(𝐱, 𝑡) ∙ ∇𝐱 𝜙(𝐱, 𝑡) = 0(2.10.11)

式(11)は、ハミルトン系と同様に、非ハミルトン系でもφ(x,t)が保存される、つまり時間変化しないという、重要な結論を示す。式(11)と (9)から、以下の関係が得られるが、(2.10.12)𝜙(𝐱 0 , 0)√𝑔(𝐱 0 , 0)𝑑𝐱 0 = 𝜙(𝐱 𝑡 , 𝑡)√𝑔(𝐱 𝑡 , 𝑡)𝑑𝐱 𝑡

これは、ハミルトン系のφ(𝐱 𝑡 , 𝑡)𝑑𝐱 𝒕 = φ(𝐱 0 , 0)𝑑𝐱 0 (2.8.20)を拡張したものである。

[4] 熱平衡での位相空間分布関数
以上は、平衡、非平衡に関わらず成り立つ議論だった。これ以降は、熱平衡条件下での議論を行う。
熱平衡下では、φも√𝑔も時刻 t に陽に依存しないから、(12)は、
𝜙(𝐱 𝑡 )√𝑔(𝐱 𝑡 )𝑑𝐱 𝑡 = 𝜙(𝐱 0 )√𝑔(𝐱 0 )𝑑𝐱 0(2.10.13)と書ける。時刻に陽には依存しないため、非ハミルトン系でも、ハミルトン系と同様に、任意の時刻に、物理量の位相平均を求めることができる。非ハミルトン系の出発点になった運動方程式(2.10.1)も、熱平衡下では、陽な時刻依存性がなくなるので、(2.10.14)

𝐱̇ = 𝛏(𝐱)そして、一般化リウヴィル方程式(11)は、
𝛏(𝐱) ∙ ∇𝐱 𝜙(𝐱) = 0(2.10.15)と簡単になる。だが、これだけでは、位相空間分布関数φ(x)を求めることはできない。ハミルトン系では、(2.8.22)みたいにポアソンのカッコ式を使い、(2.8.28)の形でφを求めることができるけれど、非ハミルトン系では、一般的にはできない。というのは、そもそもハミルトニアン H がないのだから。
では、どうやってφを求めるか？

と言うと、ハミルトン系と同様に保存量を使ってφを表すことが可能である。つまり、運動方程式(14)により、次の nc 個の量が保存（拘束）されるとする。
41

第2章

分子動力学法のための多体系の古典力学(2.10.16)

𝛬𝑘 (𝒙) = 𝜆𝑘 (𝑘 = 1, … , 𝑛𝑐 )

熱平衡下において、位相 x は、条件(16)の範囲に等確率で出現する。つまり、𝑛𝑐φ(𝐱) = ∏𝑘=1
𝛿(𝛬𝑘 (𝐱) − 𝜆𝑘 )(2.10.17)と表すことができる（正規化していない表現）。このとき、分配関数は𝑛𝑐
𝑍 = ∫ 𝜙(𝐱)√𝑔(𝐱)𝑑𝐱 = ∫ ∏𝑘=1
𝛿(𝛬𝑘 (𝐱) − 𝜆𝑘 ) √𝑔(𝐱)𝑑𝐱(2.10.18)で計算する。ハミルトン系 (2.9.2)の dx ではなく、非ハミルトン系の不変測度√𝑔(x)𝑑xで積分している。第 10 章では、式(18)を使って、様々な方法のアンサンブルの種類を導くことになる。
以上、非ハミルトン系の概略を示した。MD への応用については、第 10 章で紹介する。
第 2 章のまとめ
MD の基礎となる古典力学を、駆け足で復習した。運動方程式は、ニュートン形式、
ラグランジュ形式、ハミルトン形式があるが、MD のアルゴリズム導出には、ハミルト
ン形式が便利である。外力が掛らない力学系では、運動量、角運動量、エネルギーが保存するが、これらの保存則は MD プログラムの精度検証に用いられる。古典力学系の持つ特質のうち、特に時間反転対称性とシンプレクティック性の二つは、MD の時間積
分アルゴリズム導出の際に重要視される。さらに、古典力学のハミルトン系を拡張した非ハミルトン系は、定温や定圧 MD の理論的基礎となる。本章の内容は、第 3 章「時間積分」、第 9 章「分子動力学法のための統計熱力学」、第 10 章「アンサンブル」で頻繁に再訪することになる。

付録 2A1. 作用反作用の弱法則と角運動量
この付録は、MD とは関係ないから、暇つぶしに読んでいた

図 2A1. 1 作用
反作用の弱法則しかなりたたない例

だければ結構である。
本文 2.3 節で、外力が掛らない孤立系で、作用反作用の「強」法則が成り立つ場合は、角運動量が保存することを紹介した。では、作用反作用の「弱」法則しか成り立たない場合
は、どうなるか？

以下では、例を上げて、弱法則の場合は、一般には角運動量が保存しないことを示す。
具体的には、xy 平面に拘束された、質量 m の質点 ij の間に、ベクトル rij に平行ではなく、直角に力が働く場合を例に
42

第2章

分子動力学法のための多体系の古典力学取る。自然界にこのようなへそ曲がりの力があるかどうかは、ここでは問わない。話を簡単にするため、物理量は無次元化しておく。質点の座標を
𝒓𝑖 = (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ), 𝒓𝑗 = (𝑥𝑗 , 𝑦𝑗 )とおく。運動量 pi、pj は、速度と一致する。
この系のポテンシャルエネルギーU を以下で定義する。
𝑈(𝒓𝑖 , 𝒓𝑖 ) = (𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 )(𝑦𝑖 − 𝑦𝑗 )(= 𝑥𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗 )(2A.1)

このとき、質点に掛る力は、
𝐟𝑖 = (−
𝐟𝑗 = (−

𝜕𝑈
𝜕𝑈, − ) = (−𝑦𝑖𝑗 , −𝑥𝑖𝑗 )
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑦𝑖
𝜕𝑈
𝜕𝑥𝑗

,−

𝜕𝑈
𝜕𝑦𝑗

(2A1.2)) = (𝑦𝑖𝑗 , 𝑥𝑖𝑗 )となるが、外力が掛っていないから、それぞれの力は、相互に及ぼす内力である。つまり、
𝐟𝑖 = 𝐟𝑖𝑗 , 𝐟𝑗 = 𝐟𝑗𝑖(2A1.3)よって、
𝐟𝑖𝑗 = −𝐟𝑗𝑖 = (−𝑦𝑖𝑗 , −𝑥𝑖𝑗 )(2A1.4)を満たすので、作用反作用の弱法則を満たすのは明らか。だが、rij に平行ではないので、強法則は満たさない。この例では、平行ではなく直角になっている。
さて、二つの質点の運動方程式は以下の通り。
𝑑𝒓𝑖𝑑𝐯= 𝐯𝑖 , 𝑚 i = 𝐟𝑖
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝒓𝑗
𝑑𝑡

= 𝐯𝑗 , 𝑚

𝑑𝐯𝑗
𝑑𝑡

= 𝐟𝑗

(2A1.5)

これをもとに、角運動量を時間微分してみる。2.3 節の通り途中まで変形すれば𝑑𝑳= 𝐫𝑖 × 𝐟𝑖𝑗 + 𝐫𝑗 × 𝐟𝑗𝑖 = 𝐫𝑖 × 𝐟𝑖𝑗 − 𝐫𝑗 × 𝐟𝑖𝑗 = (𝐫𝑖 − 𝐫𝑗 ) × 𝐟𝑖𝑗 = −𝐫𝑖𝑗 × 𝐟𝑖𝑗
𝑑𝑡(2A1.6)

2.3 節では、この時点で、強法則の fij=arij を使って０にしたわけである。だが、今回の例では、弱法則しか成り立たないので、(6)は０にならない。つまり、角運動量は保存しない。
せっかくだから、(1)の形のポテンシャル下の運動はどうなるかを、調べてみる。2体系なので、重心運動と相対運動に分けることができ、相対座標 rij の方程式は以下（重心は、等速直線運動なので略）。計算を簡単にするために、m=2 にすれば、換算
質量はμ=1 になるから、相対座標 rij の運動方程式は、。
𝑑 2 𝐫𝑖𝑗
𝑑𝑡 2

= 𝐟𝑖𝑗

これを書き下せば
43

第2章

𝑑 2 𝑥𝑖𝑗
𝑑𝑡 2
𝑑 2 𝑦𝑖𝑗
𝑑𝑡 2= −𝑦𝑖𝑗(2A1.7)= −𝑥𝑖𝑗(2A1.8)

分子動力学法のための多体系の古典力学

図 2A1. 2 U = xijyij
U=Xij*Yij20

この相対座標で式(1)のポテンシャル U を図示す

15
4
3

10

2

ると、図 2 のような、双曲放物面になる。これを

5

1
0
-1

0
-4
-5

見ただけでわかるように、このポテンシャル面の

-3

-2

-15

運動は、初期条件に大きく依存する、不安定な挙

-2
-1

0

-3
1

Xij

-10

2

3

-4
4

Yij

-20

動を示すはず。
さて、(7)をさらに時間で２回微分して、さらに(8)を使えば、
𝑑 4 𝑥𝑖𝑗
𝑑𝑡 4(2A1.9)= 𝑥𝑖𝑗

式(9)の一般解は、a, b, c, d を初期値依存の任意定数として、
𝑥𝑖𝑗 (𝑡) = 𝑎𝑒 𝑡 + 𝑏𝑒 −𝑡 + 𝑐 𝑠𝑖𝑛 𝑡 + 𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝑡(2A1.10)

一方、yij は、(2A.10)を(2A.7)に代入して解けば、
𝑦𝑖𝑗 (𝑡) = −𝑎𝑒 𝑡 − 𝑏𝑒 −𝑡 + 𝑐 𝑠𝑖𝑛 𝑡 + 𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝑡(2A1.11)速度は(10,11)を微分して
𝑣 𝑥 𝑖𝑗 (𝑡) = 𝑎𝑒 𝑡 − 𝑏𝑒 −𝑡 + 𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑡 − 𝑑 𝑠𝑖𝑛 𝑡(2A1.12)𝑣𝑦(2A1.13)𝑖𝑗(𝑡) = −𝑎𝑒 𝑡 + 𝑏𝑒 −𝑡 + 𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑡 − 𝑑 𝑠𝑖𝑛 𝑡

a, b, c, d の任意定数は、(10)-(13)の４つの初期値によって決まる。
念のため、エネルギー保存則が成り立つことをチェックしておく。換算質量μ=1 な
ので、運動エネルギーは，K=1/2(vxij2+ vyij2)だから、全エネルギーE は、K と U を足し
て、
1
2

2

2

𝐸 = 𝐾 + 𝑈 = (𝑣 𝑥 𝑖𝑗 + 𝑣 𝑦 𝑖𝑗 ) + 𝑥𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗 =… = −4𝑎𝑏 + 𝑐 2 + 𝑑 2となることがわかり、これは、時間 t によらない定数だから、エネルギー保存則が成り立っている。
さて、問題の発端の角運動量 L を調べる。重心を原点に取った角運動量を計算して
みる。
1
2

1
2

1
2

𝐋 = 𝐫𝑖 × 𝐩𝑖 + 𝐫𝑗 × 𝐩𝑗 = 𝐫𝑖𝑗 × 𝐩𝑖 − 𝐫𝑖𝑗 × 𝐩𝑗 = 𝐫𝑖𝑗 × (𝐩𝑖 − 𝐩𝑗 ) =𝑚𝐫 × 𝒗𝑖𝑗
2 𝑖𝑗

ここでは xy 平面に限定した運動なので、L の z 成分のみが値を持つ。それは、𝐿𝑧 =𝑚(𝑦𝑖𝑗 𝑣 𝑥 𝑖𝑗 − 𝑥𝑖𝑗 𝑣 𝑦 𝑖𝑗 ) =. ..
2
𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

4

4

4

4

= 2√2 (𝑎𝑒 𝑡 (𝑐 𝑠𝑖𝑛 (𝑡 − ) + 𝑑 𝑠𝑖𝑛 (𝑡 + )) + 𝑏𝑒 −𝑡 (−𝑐 𝑠𝑖𝑛 (𝑡 + ) + 𝑑 𝑠𝑖𝑛 (𝑡 − )))
44

第2章

分子動力学法のための多体系の古典力学という形になる。これは、当然時間変化をする。というわけで、この力に関する限り
は、角運動量は保存しない。
以上、作用反作用の弱法則しか成り立たない、たとえば保存力(1)のような場合、角運動量が保存しないことを示した。
この例は、数学的な遊びで、多分、こんな運動はないのだろう。というのは、有馬・大槻(1991)「角運動量保存則」によれば、角運動量保存則は、マクロでもミクロでも成り立つ、きわめて基本的で普遍的な保存則なのだそうだ。
現実に、作用反作用の法則や角運動量の保存が、一見、成り立たなくなるのは、電磁気学の分野である。Goldstein et al. (2002) の教科書によると、ビオ＝サヴァールの法則に従って相互作用する電荷の間では、作用反作用の法則は強弱とも成り立たず、運動量も各運動量もそのままの形では、保存しない。だが、場の運動量や各運動量まで考慮すれば保存するという。
ともあれ、MD とは直接関係ないが、お遊び的に調べてみたわけ。
付録 2A2. 一般化リウヴィル方程式の変形
この付録では、本文の一般化リウヴィル方程式
𝜕(𝜙(𝐱,𝑡)√𝑔(𝐱,𝑡))𝜕𝑡+ 𝛁𝐱 ∙ (𝜙(𝐱, 𝑡)√𝑔(𝐱, 𝑡)𝐱̇ ) = 0(再 2.10.10)から、√𝑔を消して、以下の関係を導く。
𝑑𝜙(𝐱,𝑡)𝜕𝜙(𝐱,𝑡)=+ 𝛏(𝐱, 𝑡) ∙ ∇𝐱 𝜙(𝐱, 𝑡) = 0
𝑑𝑡𝜕𝑡(再 2.10.11)

その際に、𝐱̇ = 𝛏(𝐱, 𝑡)(再 2.10.1)

𝜅(𝐱, 𝑡) ≡ ∇𝐱 ∙ 𝐱̇ = ∇𝐱 ∙ 𝛏(𝐱, 𝑡)(再 2.10.2)

𝑑𝐽= 𝐽∇𝐱𝑡 ∙ 𝐱 𝑡̇ = 𝜅(𝐱, 𝑡)𝐽𝑑𝑡(再 2.10.3)

𝐽𝑡 =√𝑔(𝐱0 ,0)

(再 2.10.8)√𝑔(𝐱𝑡 ,𝑡)を使う。
まず、式(2.10.8)を時間微分すると、
𝜕√𝑔(𝐱𝑡 ,𝑡)𝑑𝐽𝑡√𝑔(𝐱0 ,0) 𝑑√𝑔(𝐱𝑡 ,𝑡)√𝑔(𝐱0 ,0)𝑑𝐱=−=−
+ (𝛁𝐱 √𝑔(𝐱 𝑡 , 𝑡)) ∙ 𝑡 )
2
2(
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝜕𝑡
𝑑𝑡
(√𝑔(𝐱 ,𝑡))(√𝑔(𝐱 ,𝑡))𝑡𝑡であるが、これを、式(2.10.3)と見比べ、(2.10.8)を使って√𝑔(𝐱 0 , 0)を消して整理す
ると、

45

第2章

𝑑√𝑔(𝐱𝑡 ,𝑡)𝑑𝑡

分子動力学法のための多体系の古典力学(2A2.1)= −√𝑔(𝐱 𝑡 , 𝑡)𝜅(𝐱 𝑡 , 𝑡)という単純な関係が得られる。
これ以降、初期位相 x0 と時刻 0 は表舞台から消えるので、煩雑さを避けるため、∇xは∇と書き、変数 x（=xt)と t は必要なとき以外は略す。
以下、式(1)を使って、(2.10.10)から√𝑔を消す。式(2.10.10)の第 1 項は、
𝜕(𝜙√𝑔)𝜕 𝑔
𝜕𝜙= 𝜙 √ + √𝑔
𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑡

第 2 項は𝛁 ∙ (𝜙√𝑔𝐱̇ ) = (𝜙√𝑔𝛁 + 𝜙𝛁√𝑔 + √𝑔𝛁𝜙) ∙ 𝐱̇
= 𝜙√𝑔𝛁 ∙ 𝐱̇ + 𝜙(𝛁√𝑔) ∙ 𝐱̇ + √𝑔(𝛁𝜙) ∙ 𝐱̇ = 𝜙√𝑔𝜅 + 𝜙(𝛁√𝑔) ∙ 𝐱̇ + √𝑔(𝛁𝜙) ∙ 𝐱̇
ただし、 (2.10.2)を使った。第１項と第 2 項を足して、式(2.10.10)は(2)を使って変
形すると、
𝜕 𝑔

𝜕𝜙

0 = 𝜙 √ + √𝑔 + 𝜙√𝑔𝜅 + 𝜙(𝛁√𝑔) ∙ 𝐱̇ + √𝑔(𝛁𝜙) ∙ 𝐱̇
𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝜙

= √𝑔 [
= √𝑔

𝜕𝑡

𝜕 𝑔

+ (𝛁𝜙) ∙ 𝐱̇] + √𝑔𝜙𝜅 + 𝜙 [ √ + (𝛁√𝑔) ∙ 𝐱̇]
𝜕𝑡

𝑑𝜙
𝑑 𝑔
𝑑𝜙
𝑑𝜙
+ √𝑔𝜙𝜅 + 𝜙 √ = √𝑔 + √𝑔𝜙𝜅 + 𝜙(−√𝑔𝜅) = √𝑔
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡

となる。ここで、√𝑔は 0 でないので、dφ/dt=0 である。よって、目的の関係
0=

𝑑𝜙(𝐱,𝑡)𝜕𝜙(𝐱,𝑡)(=+ 𝛏(𝐱, 𝑡) ∙ ∇𝐱 𝜙(𝐱, 𝑡))𝑑𝑡
𝜕𝑡(2.10.11)が得られる。

第 2 章の参考文献
有馬朗人、大槻義彦 (1991), 角運動量保存則、東大出版会.
小出昭一郎 (2017), 解析力学、岩波書店．
並木美喜雄 (1991)，解析力学、丸善出版.
能勢修一（日向裕幸編）(2006), 分子動力学シミュレーション・数値積分法、慶應義塾大学理工学部.
http://www.phys.keio.ac.jp/guidance/labs/riron/pdf/nosenote1.pdf
Goldstein, H., Poole, C. P., Safko, J. L. (2002), Classical Mechanics (3rded.), Addison-Wesley, Boston.
Noether, E. (1918), Nachr. v. d. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, pp. 235-257.
46

第2章

DOI:10.1080/00411457108231446.

分子動力学法のための多体系の古典力学

Invariante Variationsproblems(Invariant variation problems).
Tuckerman, M. E. (2010), Statistical Mechnics: Theory and Molecular
Simulation, Oxfortd Univ. Press., Oxford.
Tuckerman, M. E., Alejandre, J., López-Rendón, R., L Jochim, A. L., Martyna,
G. J. (2006), J. Phys. A.: Math. Gen. 39, 5629-5651.
DOI:10.1063/1.463940. A Liouville-operator derived measurepreserving integrator for molecular dynamics simulations in theisothermal–isobaric ensemble.
Tuckerman, M. E., Berne, B. J., Martyna, G. J. (1992), J. Chem. Phys.

97,

1990-2001. DOI: 10.1063/1.463137. Reversible multiple time scale
molecular dynamics.
Tuckerman, M. E., Liu, Y., Ciccotti, G., Martyna, G. J. (2001), J. Chem.
Phys. 115, 1678-1702. DOI: 10.1063/1.1378321. Non-Hamiltonianmolecular dynamics: Generalizing Hamiltonian phase space principles
to non-Hamiltonian systems.
Tuckerman, M. E., Mundy, C. J., Martyna, G. J. (1999), Europhys. Lett. 45,
149-155. DOI:10.1209/epl/i1999-00139-0.

On the classical statisticalmechanics of non-Hamiltonian systems.

47

第3章

時間積分

第 3 章 時間積分
第１章では MD 法の概略と分類をし、第 2章では MD 法の基礎となる古典力学の理論的枠組みを紹介した。これ以降は、MD 法の
個々の要素について解説していく。
この第 3 章では、時間積分のアルゴリズムに関して解析する。時間積分とは、第 2 章で説明した運動方程式を解いて、系の時間発展をシミュレーションすることを言う。
時間積分アルゴリズムの導出には、いくつか方法があるが、まず、単純なテイラー展開でオイラー法と速度ヴェルレ法を導出する。速度ヴェルレ法は、ハミルトン系の満たすべき「時間反転対称性」と「シンプレクティック性」（第 2 章）の二つの性質を兼ねた時間積分アルゴリズムの中で、一番簡単なものである。さらに、テイラー展開ではなく、指数摂動展開を用いて、時間反転対象性とシンプレクティック性を同時に満たす時間積分法の導出方法を紹介する。
速度ヴェルレ法も、指数摂動展開で導出できることを示し、それをさらに、多重時間刻み法に拡張する。
本章では、MD の基本である、定エネルギーMD（ミクロカノニカル MD、 NVE-MD）での時間積分アルゴリズムを取り扱う。基礎となるのは第 2 章の 2.1-2.7 節のニュートン（ハミルトン）力学である。定温・定圧条件の時間積分については、本章ではな
く、第 10 章で解説する。

内容
第3章

時間積分

48

3.1. 時間積分の定義 .....................................................49
3.2. 時間積分アルゴリズムの打切り誤差とエネルギー保存 ...................50
3.3. 1 次の時間積分法の導出：オイラー法と修正オイラー法 ..................53
3.4. 2 次の時間積分法の導出：速度ヴェルレ法 .............................. 55
3.5. オイラー法、修正オイラー法、速度ヴェルレ法の精度 ...................57
3.6. 時間反転対称性 .....................................................59
3.7. シンプレクティック性 ...............................................61
3.8. 指数摂動展開による時間積分法の作成 .................................64
3.9. 指数摂動展開による局所誤差と大域誤差の算出 .........................68
48

第3章

時間積分

3.10. シンプレクティック法の影のハミルトニアン .......................... 69
3.11. 多重時間刻み幅法 ..................................................71
第 3 章のまとめ .......................................................... 73
付録 3A1. 速度ヴェルレ法の実装 ..........................................74
付録 3A2. 演算子の指数関数に関する公式...................................78
付録 3A3. 2 次の対称分解 .................................................79
付録 3A4. 多重時間刻み幅法の実際 ........................................81
第 3 章の参考文献 ........................................................83

3.1. 時間積分の定義
時間積分（time integration）は、第１章で定義したように、運動方程式を解く部
分である。つまり、ある時刻 t で座標 r(t), 運動量 p(t)の質点が、時間刻み h だけ移動した後に、r(t+h), p(t+h)の値を計算するためのアルゴリズムのことを言う(図1）。時間積分アルゴリズムが満たすべき性質として、古典力学の要請を満たすこと（エネルギーなどの保存則、時間反転対称性、シンプレクティク性、第 2 章参照）、
長時間に渡り安定であること、実装が容易であること、などが挙げられる。これらを考慮しながら、議論を進めることにする。
本章の議論は、１次元１質点系について行う。時間積分に関する理論的考察は、3 次元 N 体系でなくても図 3.1.1 時間積分充分だからである。よって、ここでは、座標 r、運動量1p、力 f のように、1 次元スカラ―表示して議論する。議論の出発点は、ハミルトンの運動方程式、式(2.5.2)をさらに簡略化した式である。
𝑑𝑟
𝑝
=
𝑑𝑡
𝑚

1

(3.1.1)

運動量 p の代わりに速度 v=p/m で議論しても良いのだが、やはり、理論的な扱いは p のほうがやりやすいので、この章でも p を使うことにする。だが、実用的な MD プログラムでは、変数として、速度 v が使われるので、本書を通じて、原則として、疑似コードは速度で示すことに
する。

49

第3章

𝑑𝑝
=𝑓
𝑑𝑡

時間積分

(3.1.2)

この章でのベンチマーク計算は、次のポテンシャル U で定義され

図 3.1. 2 時間積分。筆者の高校生向け資料

る、質量 m=１の一次元調和振動子

より。

を使うことにする。
1
2

𝑈 = 𝑟2(3.1.3)

なお、本章で扱う力 f は、座標 r の関数で、運動量 p には直接は依存しないこととする。だから、時刻 t の力 f(t)は、f(r(t))である。力が直接 p に依存する場合は、第 8 章など
で、その例を示すことにする。
おまけとして、筆者が高校生向けに作った MD の資料から、運動方程式の解き方のスライドを挙げておく（図 2）。ばね振り子を対象に、長い時間 t を短い時間Δt（本書ではh)に分けて、運動方程式を解いて、それを繰り返す、というように説明している。細かいことはともかく、
少なくとも、概念的には、これが MDの時間積分である。
3.2. 時間積分アルゴリズムの打切り誤差とエネルギー保存
MD 計算ではさまざまな誤差が生ずる。MD の誤差は、計算機の精度に依存するもの（丸め誤差）、力の計算アルゴリズムに依存するもの、そして、時間積分アルゴリズ
ムに依存するもの、の三つに大別できる。本節では、三つ目の「時間積分による誤差」について、Haile (1992) に倣って説明する。まず、打切り誤差を定義し、次にエネルギー保存性の指標を示し、最後に両者の関係を論ずる。
[1] 打切り誤差
MD では、r と p を有限の時間ステップ h で積分していくわけだから、h に依存する
数値誤差が発生する。テイラー展開で書くなら、r(t+h) と p(t+h) を r(t)と p(t)か
50

第3章

時間積分

ら計算する場合、式(1)(2)のようにすべての項を足し合わせれば、少なくともアルゴ
リズムに起因する誤差はないはずである。
𝑟(𝑡 + ℎ) = ∑∞𝑖=0ℎ𝑛 𝑑 𝑛 𝑟(𝑡)𝑛! 𝑑𝑡 𝑛(3.2.1)𝑝(𝑡 + ℎ) = ∑∞𝑖=0ℎ𝑛 𝑑 𝑛 𝑝(𝑡)𝑛! 𝑑𝑡 𝑛(3.2.2)だが、MD を行う場合は、有限の数の項しか計算できないので、高次項は無視することになる。その結果生ずる誤差を、打切り誤差(truncation error)と呼ぶ。座標と速度の打切り誤差が O(hn+1)の時間積分アルゴリズムを、「n 次の（精度の）アルゴリズ
ム」と呼ぶ。たとえば、後で紹介する、オイラー法と修正オイラー法は 1 次、速度ヴ
ェルレ法は 2 次のアルゴリズムである。座標と速度で、打切り誤差のオーダーが違う方法も存在するが、本書では省略する。いずれにせよ、最終的なエネルギーの誤差
は、誤差のオーダーが小さい方に足を引っ張られる。
[2] エネルギーのずれ
定エネルギー条件での時間積分アルゴリズムは、基本的にはエネルギー保存則をどの程度満たすかで、その性能を評価する。つまり、運動エネルギーとポテンシャルエ
ネルギーの和の全エネルギーE が保存されるかどうかが、アルゴリズムの判断基準になる。そのために、エネルギーの値のずれの指標として、以下で定義するエネルギーの根平均二乗変位(root mean square deviation)、RMSD(E)を計算する。
1
𝑀

2
𝑅𝑀𝑆𝐷(𝐸) = √ ∑𝑀
𝑖=1(𝐸𝑖 − 𝐸0 )(3.2.3)

ただし、M は MD の時間ステップ数、E0 は第０ステップのエネルギー、Ei は第 i ステッ
プのエネルギーである。つまり、RMSD(E)は、初期エネルギーからの平均的なずれを表している。なお、E0の代わりに、全ステップの平均 EA から揺らぎの、

図 3.2.1 エネルギーの時間
変化とゆらぎの概念

root mean square fluctuation (RMSF(E))を使うこともある。つまり
1
𝑀

2
𝑅𝑀𝑆𝐹(𝐸) = √ ∑𝑀
𝑖=1(𝐸𝑖 − 𝐸𝐴 )(3.2.4)

ここで、EA は全ステップの平均エネルギー、
𝐸𝐴 =

1 𝑀
∑ 𝐸
𝑀 𝑖=1 𝑖(3.2.5)である(図 1）。両者の関係は、簡単な計算から{𝑅𝑀𝑆𝐷(𝐸)}2 − {𝑅𝑀𝑆𝐹(𝐸)}2 = (𝐸0 − 𝐸𝐴 )2(3.2.6)であるとわかる。当然、RMSD(E)≧RMSF(E)である。
51

第3章

時間積分

RMSD(E)と RMSF(E)のどちらを使っても、積分アルゴリズムの評価に関しては本質的な差はない。だが、議論をする場合は、どちらかに統一することが必要なので、本章では、RMSD(E)を使うことにする。
[3] 打切り誤差とエネルギーのずれの関係

n 次の精度、つまり O(hn+1)の誤差を持つ時間積分アルゴリズムで MD を行うと、RMSD(E)は、高々O(hn)である。この関係を、以下で証明する。
MD の全時間をτ、全ステップ数を M と置けば、
𝑀=

𝜏ℎ(3.2.7)である。MD のエネルギーE は r と p の関数だから、1 ステップ間の座標と速度の微小変化を用いて、𝛥𝐸 ≈𝜕𝐸
𝜕𝐸
𝛥𝑟 + 𝛥𝑝𝜕𝑟𝜕𝑝と近似できる。さて、この微小変化を、MD のステップ j から j+1 での変化とする。n次のアルゴリズムならば、𝛥𝑟𝑗 ∝ ℎ𝑛+1 , 𝛥𝑝𝑗 ∝ ℎ𝑛+1だから、適当な定数 Aj を使って、𝛥𝐸𝑗 ≤ 𝐴𝑗 ℎ𝑛+1

(3.2.8)となる。なお、座標と速度が別々の次数を持つ場合は、小さい方を n とすればよい。
(8)は 1 ステップあたりの誤差だが、これを、局所誤差（Local Error）と呼ぶ。ここ
で見たように、エネルギーの局所誤差は、積分のアルゴリズムの誤差のオーダーと一致する。
さて、第 i ステップと第 0 ステップの差の自乗は、(8)を使って、
2(𝐸𝑖 − 𝐸0 )2 = (𝛥𝐸𝑖 + 𝛥𝐸𝑖−1 +. . . +𝛥𝐸1 )2 ≤ (∑𝑖𝑗=1 𝐴𝑗 ℎ𝑛+1 ) = (ℎ𝑛+1 ∑𝑖𝑗=1 𝐴𝑗 )= ℎ2𝑛+2 (∑𝑖𝑗=1 𝐴𝑗 )22

ここで、全ての Aj の絶対値の最大値を A とすれば、
2(∑𝑖𝑗=1 𝐴𝑗 ) = ∑𝑖𝑗=1 ∑𝑖𝑘=1 𝐴𝑗 𝐴𝑘 ≤ ∑𝑖𝑗=1 ∑𝑖𝑘=1 𝐴𝐴 = 𝑖 2 𝐴2だから、結局は(𝐸𝑖 − 𝐸0 )2 ≤ 𝑖 2 ℎ2𝑛+2 𝐴2である。よって、これを i=1,M について足し合わし、二乗和の公式
2∑𝑀𝑖=1 𝑖 =

𝑀(𝑀+1)(2𝑀+1)
6を使い、さらに M の低次項を無視すれば、
52

第3章

時間積分

𝑀3
3

2
2𝑛+2 𝐴2 ∑𝑀 𝑖 2 ≈ ℎ 2𝑛+2 𝐴2∑𝑀
𝑖=1(𝐸𝑖 − 𝐸0 ) ≤ ℎ𝑖=1になる。これを、RMSD(E)の定義式(3)に代入し、さらに(7)を代入すれば、
1
𝑀2
2𝑛+2 𝐴2𝑅𝑀𝑆𝐷(𝐸) = √ ∑𝑀
𝑖=1(𝐸𝑖 − 𝐸0 ) ≤ √ℎ=𝑀3𝐴𝑀ℎ𝑛+1=
3√3

𝐴 𝜏 𝑛+1
𝐴𝜏
ℎ
= ℎ𝑛
√3 ℎ
√3

となる。つまり、
𝑅𝑀𝑆𝐷(𝐸) = 𝑂(ℎ𝑛 )(3.2.9)が証明できた。
式(3)の RMSD(E)を大域誤差（Global error）と呼ぶ。このように、エネルギーの大域誤差は、局所誤差に比べてオーダーが一つ下がる。
式(9)の関係は、この後に続く節で説明するように、時間積分をはじめ MD のアルゴ
リズムの精度の評価に有用である。なお、局所誤差と大域誤差は、別の方法でも導出できる（3.9 節参照）。
3.3. 1 次の時間積分法の導出：オイラー法と修正オイラー法
準備が整ったところで、まずは、テイラー展開を使ってオイラー法と修正オイラー法という１次の時間積分アルゴリズムを導出することにする。
[1] オイラー法
まずはオイラー法から。式(3.2.1)(3.2.2)を n の 1 次まで展開する。
𝑟(𝑡 + ℎ) = 𝑟(𝑡) +𝑑𝑟(𝑡)ℎ + 𝑂(ℎ2 )𝑑𝑡(3.3.1)𝑝(𝑡 + ℎ) = 𝑝(𝑡) +𝑑𝑝(𝑡)ℎ + 𝑂(ℎ2 )𝑑𝑡(3.3.2)(1)に運動方程式 (3.1.1) を、(2)に (3.1.2)を代入すれば
𝑝(𝑡)ℎ + 𝑂(ℎ2 )𝑚(3.3.3a)𝑝(𝑡 + ℎ) = 𝑝(𝑡) + 𝑓(𝑡)ℎ + 𝑂(ℎ2 )(3.3.3b)𝑟(𝑡 + ℎ) = 𝑟(𝑡) +になる。式(3ab)から、O(h2)の部分を削ってしまったものが、オイラー法である。式から、これが１次の精度を持つことは自明。
[2] 修正オイラー法
次にオイラー法を少し変更した修正オイラー法（modified Euler method）を導出す
53

第3章

時間積分

る。修正オイラー法では、座標部分は、オイラー法の式(3a)と同じである。速度部分
は、まず f(t+h)もテイラー展開すると、
𝑓(𝑡 + ℎ) = 𝑓(𝑡) + 𝑂(ℎ)
になるが、これは当然
𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡 + ℎ) + 𝑂(ℎ)
と同じである。これを式（3b）に代入すれば、
𝑝(𝑡 + ℎ) = 𝑝(𝑡) + {𝑓(𝑡 + ℎ) + 𝑂(ℎ)}ℎ + 𝑂(ℎ2 ) = 𝑝(𝑡) + 𝑓(𝑡 + ℎ)ℎ + 𝑂(ℎ2 )である。まとめて、修正オイラー法の式は、
𝑟(𝑡 + ℎ) = 𝑟(𝑡) +𝑝(𝑡)ℎ + 𝑂(ℎ2 )𝑚(3.3.4a)𝑝(𝑡 + ℎ) = 𝑝(𝑡) + 𝑓(𝑡 + ℎ)ℎ + 𝑂(ℎ2 )(3.3.4b)になる。オイラー法との違いは、速度の更新に使う力が f(t)ではなく f(t+h)であるだ
けで、精度も１次のままである。では、これがなぜ修正になるのか、という答はシン
プレクティック性の議論まで待って欲しい。

図 3. 3.1 オイラー法の時間積分

オイラー法と修正オイラー法を理解するための図 1 を載せてみた。式(3a)と(4a)のどちらの座標 r でも、時間刻
み h の間を等速直線運動として近似しているのがわかる。これでは、精度が悪いだろうことは想像がつく。次節で紹介する 2 次の方法は、等速運動ではなく、等加速度運動として近似することで、精度を上げている。
[3] オイラー法と修正オイラー法の疑似コード
最後に、オイラー法と修正オイラー法の疑似コード例を挙げる。r0 と p0 は初期座標と初期運動量で、計算に先立って設定される。冒頭で述べたように、力 f は座標 r の関数だから、r を更新したらば、すぐサブルーチン calfor を使って f とポテンシャル

U を計算しなおす必要がある。ステップの終わりに、サブルーチン wrene を使って、運動量 p とポテンシャル U から全エネルギーE を計算し、出力する。
オイラー法や修正オイラー法などの１次の方法は、現在、実用的に使われることはない。だが、直観的に理解しやすいことと、時間積分の理論の説明に便利であるため紹介した。次節では、実用性の高い２次の方法を紹介する。

54

第3章

コード 3.3.1 オイラー法

コード 3.3.2 修正オイラー法

r= r0; p = p0r = r0; p = p0

DO i = 1, M

DO i = 1, M

CALL calfor(r,f,U)r = r +p/m *hr = r + p/m *h

CALL calfor(r,f,U)

p = p + f*h

p = p + f*h

END DO

時間積分

END DO

3.4. 2 次の時間積分法の導出：速度ヴェルレ法
この節では、またテイラー展開を使って、今度は 2 次の時間積分法の代表的な方法の、速度ヴェルレ法（Velocity Verlet method、Swope et al., 1982）2を導出してみる。
オイラー法と違い、r と p を n の 2 次まで展開し、さらに力 f を 1 次まで展開する
と、
𝑑𝑟(𝑡)

1 𝑑 2 𝑟(𝑡)ℎ2 + 𝑂(ℎ3 )(3.4.1)𝑝(𝑡 + ℎ) = 𝑝(𝑡) +𝑑𝑝(𝑡)
1 𝑑 2 𝑝(𝑡) 2ℎ+ℎ + 𝑂(ℎ3 )𝑑𝑡
2 𝑑𝑡 2(3.4.2)𝑓(𝑡 + ℎ) = 𝑓(𝑡) +𝑑𝑓(𝑡)ℎ + 𝑂(ℎ2 )𝑑𝑡(3.4.3)𝑟(𝑡 + ℎ) = 𝑟(𝑡) +𝑑𝑡ℎ+

2 𝑑𝑡 2となる。まず座標(1)に運動方程式 (3.1.1)(3.1.2)を代入すれば
𝑟(𝑡 + ℎ) = 𝑟(𝑡) +𝑝(𝑡)
1 𝑓(𝑡) 2ℎ+ℎ + 𝑂(ℎ3 )𝑚2 𝑚である。これは 3 次以上の高次項を無視すれば、等加速度運動の式そのものである。
次に、式(2)の運動量だが、d2p(t)/dt2 は、式(5)を df(t)/dt について解けば
𝑑𝑓(𝑡)
𝑑𝑡

=

𝑓(𝑡+ℎ)−𝑓(𝑡)ℎ+ 𝑂(ℎ)

だから、式 (3.1.2)の dp/dt=f を使えば𝑑 2 𝑝(𝑡)𝑑 𝑑𝑝(𝑡)𝑑𝑓(𝑡)𝑓(𝑡+ℎ)−𝑓(𝑡)= ()==+ 𝑂(ℎ)
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
ℎ

である。これと、dp/dt=f を (2)に代入すれば、運動量は2

実は、速度ヴェルレ法と等価な方法に、何もつかない「ヴェルレ法（Verlet, 1967）」や「蛙飛び法（Leap frog method, Hockney, 1970）」もあるが、ここでは、省略する。

55

第3章

時間積分

1 𝑓(𝑡+ℎ)−𝑓(𝑡)+ 𝑂(ℎ)) ℎ2 + 𝑂(ℎ3 )2ℎ𝑝(𝑡 + ℎ) = 𝑝(𝑡) + 𝑓(𝑡)ℎ + (= 𝑝(𝑡) +𝑓(𝑡 + ℎ) + 𝑓(𝑡)ℎ + 𝑂(ℎ3 )2と変形できる。誤差は O(h3)なので、速度ヴェルレ法では、座標も速度も 2 次の精度を持つ 3。
座標と運動量をまとめて、速度ヴェルレ法の更新公式は以下になる。オイラー法、
修正オイラー法と比較すると、速度ヴェルレ法では、座標部分は等速運動ではなく「等加速度運動」で近似して精度を上げ、運動量部分では力（加速度）は時刻 t とt+h の値の平均値を用いて精度を上げていることになる。
𝑟(𝑡 + ℎ) = 𝑟(𝑡) +𝑝(𝑡 + ℎ) = 𝑝(𝑡) +𝑝(𝑡)
1 𝑓(𝑡) 2ℎ+ℎ + 𝑂(ℎ3 )𝑚
2 𝑚(3.4.4a)𝑓(𝑡+ℎ)+𝑓(𝑡)(3.4.4b)2ℎ + 𝑂(ℎ3 )式(4)の速度ヴェルレ法の実装アルゴリズムには、いくつかの変形が知られているが、以下のアルゴリズムが、プログラムが読みやすく、しかも精度も良い（付録 3A1を参照）。まず中間点の t+h/2 での運動量を以下のように定義する。
ℎ
2

𝑝 (𝑡 + ) = 𝑝(𝑡) +

𝑓(𝑡)
ℎ
2

(3.4.5a)すると、式(4)は、O(h3)の誤差を省くと、次のように書ける。
ℎ

𝑟(𝑡 + ℎ) = 𝑟(𝑡) +𝑝(𝑡+2 )𝑚ℎ2

𝑝(𝑡 + ℎ) = 𝑝 (𝑡 + ) +ℎ(3.4.5b)𝑓(𝑡+ℎ)ℎ
2(3.4.5c)式(5abc)を使うと速度ヴェルレ法のコードは、以下のようなシンプルなものになる。
コード 3.4.1 速度ヴェルレ法
r= r0; p = p0
DO i = 1, M
P = p + f*h/2
r = r + p/m *h
CALL calfor(r,f,U)

3

式(3.4.4b)の誤差を無視すると h の項までしかないので、「座標は 1 次の精度」だと勘違いしがちだが、2 次の精度なので、注意。誤差が h の 3 乗だから、精度は誤差よりもひとつ低い 2次になるわけである。

56

第3章

時間積分

p= p + f *h/2
END DO
3.5. オイラー法、修正オイラー法、速度ヴェルレ法の精度
以上、3.3 節で 1 次の方法のオイラー法と修正オイラー法、3.4 節で 2 次の方法の速度ヴェルレ法を紹介した。ここでは、3.2 節の大局誤差 RMSD(E)（式 3.2.3）を指標に、それぞれの方法の精度を議論することにする。
[1] エネルギー保存
まず、それぞれの方法でのエネルギーの時間変１次元調和振動子で、すべて倍精度計算である

図 3.5.1 時間積分アルゴリズ
ムによるエネルギーの時間変化(64 bit、10 進法で約 14 桁)。初期運動量と座標の違い化を見てみよう。対象は、式(3.1.3)の質量 1 のをそれぞれ１（つまり全エネルギーE は１）、時間は 20 に設定した。この調和振動の周期は 2π
だから、ほぼ 3 周期分の長さになる。時間刻みは

h=0.01 なので、1 周期の約 1/600 の設定である。
さて、MD 計算を実行すると、オイラー法はエネルギーが一方的に単調増加、修正オイラー法は振動するが概ね一定、速度ヴェルレ法は、このグラフのスケールでは完全に保存されるという結果になった（図 1）。2 次の速度ヴェルレ法が他の二つより高精度なのは当然に思える。
だが、同じ 1 次の方法のオイラー法と修正オイラー法は、なぜこんなにふるまいが違うのかは、3.7 節で議論する。
[2] エネルギーの大局誤差と時間刻みの関係
次に、大局誤差 RMSD(E)と時間刻み幅 h との関係を見てみる（図 2）。計算方法は、
先と同じだが、h=10-7 - 100 の間で、1 桁づつ変えて計算している。また、先と同様に、すべて、倍精度で計算を行ったが、速度ヴェルレ法は、力だけ、倍精度（64bit、10 進法で約 14 桁）と単精度（32 bit、10 進法で約 7 桁）の両方で計算し、結果を比較した。
式(3.12)の関係は、両辺の対数を取れば、𝑙𝑜𝑔(𝑅𝑀𝑆𝐷(𝐸)) ∝ 𝑛 𝑙𝑜𝑔 ℎ(3.5.1)57

第3章と書けるので、h と RMSD(E)の両対数プロットは直線になり、その傾きは時間積分
アルゴリズムの次数 n に一致するはずで

時間積分

図 3.5.2 h-RMSD(E)両対数プロットある。関係式(1)の視点からグラフを見てみると、ほぼ理論通りになっている。
つまり、1 次のオイラー法と修正オイラー法は傾き 1 に、2 次の速度ヴェルレ法は 2 になっている。だが、h が小さいところと大きいところで、この関係が崩れている。それは次のように説明できる。
まず、オイラー法の値が、h=1 で直線を大きく外れる点だが、これは、時間積分が破綻していることを示している。関
係(1)は、あくまで時間積分が正しく行われていることが前提になっているわけで、シミュレーションが明後日の方向を向くぐらい精度が悪化すると、成り立たなくなる。周期 6.3 の運動を h=1 でシミュレーションするには、オイラー法は精度や安定性が悪すぎるということである。一方、修正オイラー法と速度ヴェルレ法は、h=1でも直線に乗っていて、オイラー法よりも安定である。
翻って、速度ヴェルレ法は、倍精度では h=10-6 以下、単精度では 10-5 以下では直線から外れる。これは、計算機の精度の限界による丸め誤差に起因している。当然、倍精度よりも単精度計算のほうが悪くなるわけである。また、このテスト計算では、丸め誤差だけが原因だが、MD 一般では力の計算のアルゴリズムに起因する誤差で生ずることもある。要するに、時間ステップが小さくて直線に乗らない部分は、時間積分ア
ルゴリズム自体の問題ではなく、計算機の精度や力の計算アルゴリズムなど、さまざ
まな外部要因による誤差が見えた結果、ということになる。
[3] まとめと補足
以上、三つのアルゴリズムを例に、精度や安定性の議論を行った。この中では、やはり、2 次の速度ヴェルレ法が精度も安定性も桁違いによい。1 次のオイラー法と修正
オイラー法はどちらも精度は落ちるが、前者は安定性が悪いのに対し、後者は良い。
なお、時間刻みを大きくしすぎると、積分アルゴリズムが破綻する。また小さくし過ぎると、積分アルゴリズム起因の打切り誤差だけでなく、丸め誤差など別の誤差が入ってくる。
ひとつ大事な補足をしておく。それは、「精度や安定性が悪い MD アルゴリズムで
58

第3章

時間積分

も、全てが悪いわけではない」ということである。たとえば、オイラー法の MD 計算
で、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーもプロットしてみる（図 3）。これを見ると、少なくとも、「運動エネルギーとポテ

図 3.5.3 オイラー法の運動(Ekin)、ポテンシャル

ンシャルエネルギーが、（Epot)、全（Etot)エネルギー変化

周期 π/2 で交互に変化する」ことは、再現できている。このように、精度が悪いアルゴリズムでも、正しく再現できる現象もあるのだ。結局、シミュレーションの結果が正しいかどうかは、研究者の判断に掛っている。
アルゴリズムの優劣だけで白黒つけることはできない 4。
と書いておいて、矛盾はするけれど、どうせなら、精度や安定性の良いアルゴリズ
ムを使うに越したことはない。次節以降では、特に安定性に重要な、時間反転対称性とシンプレクティク性を満たす時間積分アルゴリズムについて、詳しく議論する。
時間積分についての表面的な議論は、ここまでで充分で、「要するに、速度ヴェルレ法が良い方法なのですね」とだけ理解して次章に行っても構わない。次節からの時
間反転対称性やシンプレクティック性、さらに指数摂動展開の話は、MD ユーザー全員が知る必要はない気がする。けれども、MD プログラムの開発者は、たぶん、知っておいたほうがいいと思う。
3.6. 時間反転対称性
時間反転対称性（時間対称性、time reversibility、time reverse symmetry）は、
すでに第 2 章の 2.6 節で説明した通り、古典力学系（ハミルトン系）の重要な性質の一つで、保存力での質点運動は、ある時点で速度を反転すると、同じ軌跡を通って、

4

MD の時間積分の場合には、理論的な背景もわかっていて、保存量という指標もあるから、ア

ルゴリズムの優劣を付けることができる。だが、他の分野を見渡せば、優劣のつけにくいシミュレーションや統計の方法は多い。そのような場合は、慎重な研究者は、さまざまな方法を試して、それらが一致して出す結果がもっともらしい、と推測するようだ。

59

第3章

時間積分

元に戻ることを言う。MD の時間積分アルゴリズムは、通常は時間対称性を満たすものを使う。以下では、先に示した三つのアルゴリズムのうち、オイラー法と修正オイラー法は時間対称性を満たさないが、速度ヴェルレ法は満たすことを示す。
議論をわかりやすくするために、第 2 章で導入した、
時間発展演算子 G(h)を使うことにする（式 2.5.12）。これは、座標 r(t)を時間 h だけ進めて r(t+h)にする演算子

図 3.6.1 時間発展演
算子と時間反転対称性

である（図 1）。つまり、
𝑟(𝑡 + ℎ) ≡ 𝐆(ℎ)𝑟(𝑡)(3.6.1)で定義されるわけだが、アルゴリズムに時間対称性があれば、r(t)G(h)で時間を h だけ進めて G(-h)で h 戻せば r(t)に戻るはずだし、一方、対称性がない場合は r(t)からずれてしまう（図 1）。だから、𝐆(−ℎ)𝐆(ℎ)𝑟(𝑡) = 𝑟(𝑡)ならば積分アルゴリズムに時間対称性があるし、𝐆(−ℎ)𝐆(ℎ)𝑟(𝑡) ≠ 𝑟(𝑡)ならば非対称である。
[1] オイラー法
上に述べた判断基準で、まずはオイラー法の時間対称性を調べてみよう。オイラー法の時間発展演算は𝐆(ℎ)𝑟(𝑡) = 𝑟(𝑡) +

𝑝(𝑡)
ℎ
𝑚

であるので、𝐆(−ℎ)𝐆(ℎ)𝑟(𝑡) = 𝐆(−ℎ)𝑟(𝑡 + ℎ) = 𝑟(𝑡 + ℎ) −𝑝(𝑡+ℎ)ℎ𝑚

ここで、r(t+h)に式(3.3.3a)、p(t+h)に式(3.3.3b)から O(h2)を抜いた部分を代入すれば、= 𝑟(𝑡) +(𝑝(𝑡)+𝑓(𝑡)ℎ)𝑝(𝑡)𝑓(𝑡) 2ℎ−ℎ = 𝑟(𝑡) −ℎ ≠ 𝑟(𝑡)𝑚𝑚𝑚つまり、もとの座標 r(t)には戻らないので、非対称である。
[2] 修正オイラー法
同様に、修正オイラー法は、式 (3.3.4ab)を使うと𝐆(−ℎ)𝐆(ℎ)𝑟(𝑡) = 𝑟(𝑡) −𝑓(𝑡+ℎ) 2ℎ ≠ 𝑟(𝑡)𝑚となるから、やはり非対称である。
60

第3章

時間積分

[3] 速度ヴェルレ法
最後に、速度ヴェルレ法は、式(3.4.4ab)を使って、𝐆(−ℎ)𝐆(ℎ)𝑟(𝑡) = 𝐆(−ℎ)𝑟(𝑡 + ℎ) = 𝑟(𝑡 + ℎ) −𝑓(𝑡+ℎ)+𝑓(𝑡)= 𝑟(𝑡) +(𝑝(𝑡)+𝑝(𝑡)𝑓(𝑡) 2
2
ℎ+
ℎ −
𝑚
2𝑚
𝑚

ℎ)

ℎ−

𝑝(𝑡+ℎ)
𝑓(𝑡+ℎ) 2ℎ−ℎ𝑚2𝑚𝑓(𝑡+ℎ) 2ℎ = 𝑟(𝑡)2𝑚となって、これは元の座標に戻るから、対称である。
以上、オイラー法と修正オイラー法は非対称、速度ヴェルレ法は対称だとわかったわけである。速度ヴェルレ法が時間対称性を満たすのは良いとして、両方とも非対称なオイラー法と修正オイラー法に、なぜ、図 3.5.1/2 のような差があるのかは、まだわからない。次節以降のシンプレクティック性の議論が必要になる。
3.7. シンプレクティック性
古典力学系で成り立つシンプレクティック性（symplecticness, symplecticity、第2 章 2.7 節）は、時間積分アルゴリズムの安定性に重要な性質である。本節では、シンプレクティック性を満たすアルゴリズムがなぜ安定なのか議論する。
今まで、積分アルゴリズムの安定性という言葉を漠然と使ってきたが、これからは、「エネルギーが揺らいでも元に戻る性質」のことを安定性と呼ぶことにする。図3.5.1 のオイラー法と修正オイラー法のグラフを比べるとわかりやすい。どちらのア
ルゴリズムも精度は 1 次で同じだが、オイラー法はエネルギーの値が徐々にずれて行くのに対し、修正オイラー法は初期値の周りを揺らぐだけである。つまり、修正オイ
ラー法のほうが安定性が高い。実は、この安定性の違いは、修正オイラー法はシンプ
レクティックだが、オイラー法はそうでないことに起因している。
まず、2.7 節のシンプレクティック性を復習し、オイラー法、修正オイラー法、速度ヴェルレ法がシンプレクティックか否かを確かめることにする。シンプレクティッ
ク性は、ハミルトン方程式の解𝑟𝒙 = (𝑝 )(再 2.5.3)

を
𝑅
𝜲=( )
𝑃
に正準変換するときに、
τ

𝐉𝐌𝐉 = 𝐌

(3.7.1) (=再 2.5.14)
61

第3章

時間積分

が成立することを言う。ただし、J は x から X への変換のヤコビ行列で、
𝜕𝑅𝜕𝚾𝜕𝑟
𝐉 ≡ = (𝜕𝑃
𝜕𝐱
𝜕𝑟

𝜕𝑅
𝜕𝑝
)
𝜕𝑃
𝜕𝑝

(3.7.2) (=再 2.5.8)

Mは
𝐌=(

0 1
)
−1 0

(3.7.3) (=再 2.5.5）で定義される正方行列である（p, r, P, R が 1 次元の場合）。
さて、定エネルギーの NVE-MD の t から t+h への時間積分過程は、ハミルトン系であるから、正準変換、つまりシンプレクティックであるはず。だが、時間積分アルゴリ
ズムによっては、それを満たさない。そこで、例によって、オイラー法、修正オイラー法、速度ヴェルレ法それぞれについて、シンプレクティック性を調べてみる。
[1] オイラー法
式(3.3.3ab)は、以下の関係になる。ただし、f(t)は、時刻 t の座標 r の関数だか
ら、f(r)であることに注意。
𝑅=𝑟+𝑝ℎ、𝑃 = 𝑝 + 𝑓(𝑟)ℎ𝑚

それぞれを、p と r で偏微分すると、ヤコビ行列 J は、
1
𝐉=( ′𝑓 (𝑟)ℎℎ/𝑚)
1(3.7.4)になるので、
τ

1
𝐉𝐌𝐉 = (ℎ/𝑚=(

1𝑓 ′ (𝑟)ℎ
0 1
)(
)( ′
1
−1 0 𝑓 (𝑟)ℎ0
−1 + 𝑓 ′ (𝑟)ℎ2 /𝑚

ℎ/𝑚
)
1

1 − 𝑓 ′ (𝑟)ℎ2 /𝑚)≠𝐌0というわけで、関係(1)を満たさない。よって、オイラー法はシンプレクティックではない。
[2] 修正オイラー法
式 (3.3.3ab)より、以下の関係になる。f(t+h)は f(R)であることに注意。
𝑅=𝑟+

𝑝
ℎ
𝑚

𝑃 = 𝑝 + 𝑓(𝑅)ℎ
すると、ヤコビ行列 J は、
1
ℎ/𝑚
𝐉=( ′
)
𝑓 (𝑅)ℎ 1 + 𝑓 ′ (𝑅)ℎ2 /𝑚(3.7.5)

になる。
62

第3章

τ

1
𝐉𝐌𝐉 = (
ℎ/𝑚

=(

0
−1

𝑓 ′ (𝑅)ℎ0)(′
2
1 + 𝑓 (𝑅)ℎ /𝑚 −1

1
1
)( ′
(𝑅)ℎ
0 𝑓

時間積分

ℎ/𝑚
)
1 + 𝑓 ′ (𝑅)ℎ2 /𝑚

1
)=𝐌
0

となって、関係(1)を満たすので、修正オイラー法はシンプレクティックである。
[3] 速度ヴェルレ法
速度ヴェルレ法のシンプレクティック性は、ちょっと計算が面倒だが、修正オイラー法と全く同じように証明できる。式(3.4.4ab)から O(h3)の誤差の部分を抜いて書き変えると、以下の関係になる。
𝑅=𝑟+
𝑃=𝑝+

𝑝
𝑓(𝑟) 2ℎ+ℎ𝑚
2𝑚𝑓(𝑟)+𝑓(𝑅)2ℎ

これを p,r で偏微分すると、ヤコビ行列 J は、𝐉 = (ℎ2

1+ℎ2 𝑓′ (𝑟)

ℎ

2𝑚

𝑚
)
ℎ2 𝑓′(𝑅)1+2𝑚{𝑓 ′ (𝑟) + 𝑓 ′ (𝑅) (1 +ℎ2 𝑓′ (𝑟)2𝑚)}

(3.7.6)である。これも、ちまちま計算すれば、関係(1)を満たすことがわかるので（暇つぶしにお試しあれ）、速度ヴェルレ法
はシンプレクティックである。

図 3.7.1 シンプレ
クティック法では、Ｈは、H*という「見えない鉄棒」につかまって移動しているよ
うなものである。

以上、オイラー法はシンプレクティックではなく、修正
オイラー法と速度ヴェルレ法はシンプレクティックであることを示した。シンプレクティックな時間積分法を、総称として、シンプレクティック積分法（Symplectic
integrator）と呼ぶ。
なぜ、シンプレクティック積分法は安定なのか？

最初に、答を書いてしまおう。シンプレクティック積分法には、「影のハミルトニアン(Shadow Hamiltonian、以下 H *と表記)」と呼ばれる量が存在し、それは、打切り誤差があっても 100％保存する。影のハミルトニアン H *と本物のハミルトニアン H、つまりエネルギーとの間には、h のべき乗の差しかない。よって、全エネルギーは、揺らいでも影のハミルトニアンから大きくずれないため、安定なのである(図 1)。詳しくは、3.10 節で扱う。

63

第3章

時間積分

3.8. 指数摂動展開による時間積分法の作成
前節までは、テイラー展開に基づいて、オイラー法、修正オイラー法、速度ヴェルレ法の三つの時間積分法を導出し、それらの誤差と物理学的性質（時間反転対称性とシンプレクティック性）を議論した。だが、時間反転対象性とシンプレクティック性の両方を満たす積分法を、行き当たりばったりではなく、狙って作成するにはどうしたらいいのか。これは、テイラー展開を基礎に置いた方法ではできないが、本節で説明する指数摂動展開（トロッター展開）を使えば可能になる。さらに、指数摂動展開
で、多重時間刻み幅法も導出できるし（3.11 節）、また、様々なアンサンブルの導出も可能になる（第 10 章）。
本節では、指数摂動展開を用いて、前節までの議論を組み立てなおす。議論の基礎
は、第 2 章の古典力学、特に 2.5-2.7 節の解析力学に置く。
以下、式(2.5.3)のハミルトン方程式を 1 次元にして議論する。
𝑝(𝑡)𝐱(𝑡) = ()
𝑞(𝑡)(3.8.1)x の時間発展は、式(2.5.11) で F=x とおき、また、時間発展演算子は G(h)=exp(hDH)だから、𝐱(𝑡 + ℎ) = 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐃𝐻 )𝐱(𝑡)(3.8.2)と表記できる。本節では、この式(2)を積分するが主題である。だが、式(2)はそのま
までは積分できないので、演算子 exp(hDH)を、積分できる演算子の積に分解したい。
そのための準備を行う。
まずは、指数摂動展開と、関連する数学的な定義や公式を並べておく。式(2)では特に説明なく、exp(hDH)と書いたが、演算子の指数関数をきちんと定義しよう。A を演算子とすると、その指数関数を、𝑒𝑥𝑝(𝐀) ≡ ∑∞
𝑛=0

𝐀𝑛
𝑛!

(3.8.3)と定義する。この演算子について、以下(4a-e)の公式が成り立つ。ただし、y は任意の変数、a と b は定数、c(y)と f(y)は y の任意の関数である（証明は付録 3A2）。この公式集は、具体的に MD の時間積分アルゴリズムを作るときにも必要である。
𝑒𝑥𝑝 (𝑏𝜕)𝑎 = 𝑎𝜕𝑦(3.8.4a)𝑒𝑥𝑝 (𝑏𝜕) 𝑐(𝑦) = 𝑐(𝑦 + 𝑏)
𝜕𝑦(3.8.4b)𝑒𝑥𝑝 (𝑏𝜕) 𝑦 = 𝑐 −1 (𝑐(𝑦) + 𝑏)
𝜕𝑐(𝑦)(3.8.4c)64

第3章

𝑒𝑥𝑝 (𝑏𝜕) 𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑐 −1 (𝑐(𝑦) + 𝑏))𝜕𝑐(𝑦)𝑒𝑥𝑝 (𝑎𝑦

時間積分(3.8.4d)𝜕) 𝑦 = 𝑦 𝑒𝑥𝑝(𝑎)𝜕𝑦(3.8.4e)

さて、A, B を一般的には非可換な演算子とし、x を変数とすると、以下の公式が成り立つ。これを、指数摂動展開と呼ぶ。
𝑒𝑥𝑝(𝑥(𝐀 + 𝐁)) = ∏𝑘𝑖=1(𝑒𝑥𝑝(𝑐𝑖 𝑥𝐀)𝑒𝑥𝑝(𝑑𝑖 𝑥𝐁)) + 𝑂(𝑥 𝑛+1 )(3.8.5)

公式(5)は、誤差が n+1 次だから、n 次の精度の展開である。ci と di は展開係数。kと n の関係は自明ではない。(5)から、１次の精度の公式(6)や、2 次の精度の公式(7)を導くことができる。導き方は、付録 3A3 を参照。特に（7）は、「2 次の対称分解」と呼ばれる。
𝑒𝑥𝑝(𝑥(𝐀 + 𝐁)) = 𝑒𝑥𝑝(𝑥𝐀)𝑒𝑥𝑝(𝑥𝐁) + 𝑂(𝑥 2 )𝑥2(3.8.6)𝑥2𝑒𝑥𝑝(𝑥(𝐀 + 𝐁)) = 𝑒𝑥𝑝 ( 𝐀) 𝑒𝑥𝑝(𝑥𝐁)𝑒𝑥𝑝 ( 𝐀) + 𝑂(𝑥 3 )(3.8.7)式 (2)の DH は、前章で定義されたリウヴィル演算子であるが、𝐃𝐻 ≡ ∑𝑛𝑖=1 (𝜕𝐻 𝜕𝜕𝑝𝑖 𝜕𝑟𝑖−𝜕𝐻 𝜕𝜕𝑟𝑖 𝜕𝑝𝑖(再 2.5.8))

これを、運動エネルギー部分 DK とポテンシャルエネルギー部分 DU に分解する。DH を、本章で扱っている、時間に依存しないポテンシャル下での 1 次元運動のハミルトニア
ン
𝐻(𝑝, 𝑞) =𝑝2+ 𝑈(𝑟)
2𝑚(3.8.8)について書き下すと以下、
𝐃𝐻 =

𝑝 𝜕
𝜕
+ 𝑓(𝑟)𝑚 𝜕𝑟
𝜕𝑝(3.8.9)

ただし、f(r)=-∂U/∂r、つまり力である。(9)の右辺の第１項、第 2 項を別々に定義
する。
𝐃𝐾 =

𝑝 𝜕
𝑚 𝜕𝑟

𝐃𝑈 = 𝑓(𝑟)(3.8.10)𝜕𝜕𝑝(3.8.11)

DK、DU による時間発展演算子 GK(h), GU(h)は、ともにシンプレクティックであることをを示す。3.7 節と同様の議論で、公式(4)(5)を使うと、GK(h)による時間発展は、𝑟𝑟𝑟𝑟 + ℎ𝑝⁄𝑚
𝑝 𝜕𝑅( ) = 𝐆𝐾 (ℎ) (𝑝) = 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐃𝐾 ) (𝑝) = 𝑒𝑥𝑝 (ℎ) (𝑝) = (
)
𝑚 𝜕𝑟
𝑝
𝑃
であるが、この変換のヤコビ行列 J（3.7.5）は
65

第3章

𝐉=(

1
0

時間積分

𝑡⁄𝑚
)
1

で、これは、(3.7.2)を満たすので、シンプレクティックである。同様に、GU(h)による時間発展は、𝑟𝑟𝑟𝑟
𝜕𝑅( ) = 𝐺𝑈 (ℎ) (𝑝) = 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐃𝑈 ) (𝑝) = 𝑒𝑥𝑝 (ℎ(𝑟) ) (𝑝) = (𝑝 + ℎ𝑓(𝑟))
𝜕𝑝
𝑃
なので、
1
𝐉 = ( ′ (𝑟)
ℎ𝑓

0
)
1

で、これもシンプレクティック条件を満たす。なお、前章の式(2.7.13）の通り、一般に、シンプレクティックな変換を繰り返してもシンプレクティックになる。だから、DK と DU を組み合わせて使った時間発展演算もシンプレクティックになる。これが以下の議論の肝である。式(5)に x=h、 A=DK、B=DU を入れると、時間発展演算子は、
𝐆(ℎ) = 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐃𝐻 ) = ∏𝑘𝑖=1(𝑒𝑥𝑝(𝑐𝑖 ℎ𝐃𝑈 )𝑒𝑥𝑝(𝑑𝑖 ℎ𝐃𝐾 )) + 𝑂 (ℎｎ+1 )(3.8.12)と書くことができる。左辺第１項を G*(h)と置くと𝐆∗ (ℎ) = ∏𝑘𝑖=1(𝑒𝑥𝑝(𝑐𝑖 ℎ𝐃𝑈 )𝑒𝑥𝑝(𝑑𝑖 ℎ𝐃𝐾 ))(3.8.13)

これが、n 次のシンプレクティック積分法の一般式になる。
と、準備が終わったところで、
𝐱(𝑡 + ℎ) = 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐃𝐻 )𝐱(𝑡)(再 3.8.2)

を解いて MD のシンプレクティックな時間積分アルゴリズムを導出する。まずは、公式(7)を使い、時間反転対称性は後回しで、シンプレクティック性だけを議論する。式(2)の時間発展演算子を、式(7)を使って分解すると、
𝐆(ℎ) ≡ 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐃𝐻 ) = 𝑒𝑥𝑝(ℎ(𝐃𝑈 + 𝐃𝐾 )) = 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐃𝑈 )𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐃𝐾 ) + 𝑂(ℎ2 ) (3.8.14)
この式の O(h2)を無視した演算子
𝐆∗ (ℎ) ≡ 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐃𝑈 )𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐃𝐾 )(3.8.15)

は、DU と DH による時間発展を組み合わせたものだからシンプレクティックで、1 次の精度を持つ。時間発展演算子(15)を使えば、時刻 t→t+h への時間発展はexp(hDK)で座標を更新: r + hp/m → r
新しい r に対して力 f(r)を計算

exp(hDU)で運動量を更新: p + hf(r) → pというアルゴリズムで計算される。これは、コード 3.3.2 の修正オイラー法そのものである。一方、DU と DH を逆にした演算子
𝐆∗ (ℎ) ≡ 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐃𝐾 )𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐃𝑈 )
66

第3章

時間積分

を使ったアルゴリズム

exp(hDU)で運動量を更新: p + hf(r) → p
exp(hDK)で座標を更新: r + hp/m → r
新しい r に対して力 f(r)を計算
も、シンプレクティックで、修正オイラー法と同様に安定である。ちょっと考えれば、どっちもやってることは全く同じだと、わかるだろう。
さて、このようにシンプレクティック性を満たす積分法は式（6）を使えば作れるのであるが、シンプレクティック性に加えて、時間対称性も満たす積分法は式(7)を使って作成する。式(2)の時間発展演算子を式(7)で分解すれば、
𝐆(ℎ) ≡ 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐃𝐻 ) = 𝑒𝑥𝑝(ℎ(𝐃𝑈 + 𝐃𝐾 ))
ｈ

ｈ

２

２

= 𝑒𝑥𝑝 ( 𝐃𝑈 ) 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐃𝐾 )𝑒𝑥𝑝 ( 𝐃𝑈 ) + 𝑂(ℎ3 )(3.8.16)であるので、高次の誤差 O(h3)を無視した G*(h)は、
ｈ

ｈ

２

２

𝐆∗ (ℎ) ≡ 𝑒𝑥𝑝 ( 𝐃𝑈 ) 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐃𝐾 )𝑒𝑥𝑝 ( 𝐃𝑈 )(3.8.17)h の２次の精度を持ち、シンプレクティックで、かつ、演算子が左右対称に並んでいるので、時間対称性も満たしている。演算子 (17)を使った積分アルゴリズムは、

exp(h/2 DU)で運動量を更新: p + h/2 f(r) → p
exp(hDK)で座標を更新: r + hp/m → r
新しい r に対して力 f(r)を計算

exp(h/2 DU)で運動量を更新: p + h/2 f(r) → pになり、これは、コード 3.4.1 の速度ヴェルレ法そのものである。
以上、指数摂動展開を用いれば、シンプレクティック性と時間対称性を満たす時間積分法を、系統的に作成できることを示した。修正オイラー法は 1 次のシンプレクテ
ィック法（時間対称ではない）、速度ヴェルレ法は 2 次のシンプレクティックかつ時間対称な積分法であることが、前節までのテイラー展開を用いた方法と違って、見通し良く議論できることが分かった。指数摂動展開を使えば、4 次以上のシンプレクテ
ィックかつ時間対称な積分法を作成することも可能である（McLachlan & Atena,
1992; 吉田, 1995; 鈴木, 2000、など）。
次節以降では、さらに指数摂動展開を用いて、MD の時間積分の様々の面について、議論を進める。

67

第3章

時間積分

3.9. 指数摂動展開による局所誤差と大域誤差の算出
少し立ち止まって、指数摂動展開を用いて、MD の時間積分の全体像を復習しておこう。具体的には、3.2 節で議論した、局所誤差と大域誤差を求め直してみる。
復習すると、MD 法、より正確には定エネルギー（ミクロカノニカル）MD 法とは、時刻０の位相を、τまで積分すること、つまり、式(1)を積分することである。
(3.9.1)𝐱(𝑡) = 𝑒𝑥𝑝(𝑡𝐃𝐻 )𝐱(0)

MD では、長時間τの積分を行うために、時図 3.9.1 時間の分割

間を短い時間刻み h 毎に分割して積分する。分
割数 M は M=τ/h である（図 1）。MD は式(1)の時間発展演算子を𝑀𝜏𝑀

𝑒𝑥𝑝(𝑡𝐃𝐻 ) = (𝑒𝑥𝑝 ( 𝐃𝐻 ))(3.9.2)と変換することに対応する(式(2)は恒等式）。右辺の評価には、式(3.8.6)と(3.8.7)
の発展形
𝑥
𝑀

𝑥
𝑀

𝑀

𝑒𝑥𝑝(𝑥(𝐀 + 𝐁)) = (𝑒𝑥𝑝 ( 𝐀) 𝑒𝑥𝑝 ( 𝐁)) + 𝑂 (𝑒𝑥𝑝(𝑥(𝐀 + 𝐁)) = (𝑒𝑥𝑝 (𝑥2)
𝑀(3.9.3)

𝑀
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥 3
𝐀) 𝑒𝑥𝑝 ( 𝐁) 𝑒𝑥𝑝 ( 𝐀)) + 𝑂 ( 2 )
2𝑀
𝑀
2𝑀
𝑀

(3.9.4)を使う（(2)を使えば簡単に導ける）。
式(3)(4)に、A=DU, B=DK, x=τ, x/M=h を代入すると、
𝑀(3.9.5)𝑒𝑥𝑝(𝜏(𝐃𝐾 + 𝐃𝑈 )) = (𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐃𝑈 )𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐃𝐾 )) + 𝑂(𝜏ℎ)
ℎ
2

ℎ
2

𝑀

𝑒𝑥𝑝(𝜏(𝐃𝐾 + 𝐃𝑈 )) = (𝑒𝑥𝑝 ( 𝐃𝑈 ) 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐃𝐾 )𝑒𝑥𝑝 ( 𝐃𝑈 )) + 𝑂(𝜏ℎ2 )(3.9.6)式(5)の右辺を読み下すと、exp(hDU)exp(hDK)は、修正オイラー法(3.8.14)の時間発展演算子だから、MD のシミュレーション時間τが一定の場合は、「修正オイラー法でステップを M 回重ねてシミュレーションすると、座標と速度の誤差は O(h)」になる。同様に、式(4) は、exp(h/2DU)exp(hDK)exp(h/2DU)は速度ヴェルレ法（3.8.15）だから、「速度ヴェルレ法でステップを M 回重ねてシミュレーションすると、座標と速度の誤差は O(h2)」である。
この結果は、1 ステップあたりの局所誤差が、それぞれ O(h2)と O(h3)で、一方、MD
68

第3章

時間積分

のステップを重ねた結果の大域誤差は、オーダーが 1 つ落ちて O(h)と O(h2)になることを示している。つまり、3.2 節の結果と一致する。3.2 節の面倒な議論に比べると、
指数摂動展開を使えば、見通しがよくなることがわかるだろう5。
3.10. シンプレクティック法の影のハミルトニアン
3.7 節で、シンプレクティック積分法が安定な理由は、影のハミルトニアンというのが存在するからだ、ということにちょっとだけ触れておいた。本節では、指数摂動
展開を使って、この件を掘り下げる。いくつかの資料を参考にしたが、中でも、陰山(2014)が分かりやすかったので、本節の記述は、これに倣っている。
3.7 節では、影のハミルトニアン H*は、打ち切り誤差があっても 100％保存する、と書いた。これを式で表してみる。式(3.8.14)の、n 次のシンプレクティック積分法の時間発展演算子 G*(h)は、次式のように、本物の G(h)に対して、O(hn+1)の誤差を持つ。
𝐆(ℎ) = 𝐆∗ (ℎ) + 𝑂 (ℎｎ+1 )だから、G*(h)を使って MD 計算をしても、ハミルトニアン H は 100%保存するわけではない。しかし、シンプレクティック積分法については、次の式(1)を満たす、影のハミ
ルトニアン H *の存在があることがわかっている。ここで、DH*は、H *に対応するリウヴ
ィル演算子である。
𝐆∗ (ℎ) ≡ 𝑒𝑥𝑝 (ℎ𝐃𝐻∗ ) = ∏𝑘𝑖=1(𝑒𝑥𝑝(𝑐𝑖 ℎ𝐃𝑈 )𝑒𝑥𝑝(𝑑𝑖 ℎ𝐃𝐾 ))(3.10.1)

式(1)は、近似式ではなく、厳密な式であるのに注意。G*(h)を使って MD を行えば、H*は、H と違って 100％保存するはずである。

H *の存在が保証されている、まではいいのだが、H *はどんな形をしているのか、H *と H の関係は？

一般論は原著論文に任せて（McLachlan & Atela, 1992）、本節では、1 次の修正オイラー法についてのみ、H *を求めて、感じをつかむだけで逃げることにする。
以下では、Baker-Campbell-Housedorff、通称 BCH 公式を使う。一般的には交換不可能な演算子 X, Y について、次の式(2)を満たす演算子 Z は、
𝑒𝑥𝑝(𝐗)𝑒𝑥𝑝(𝐘) = 𝑒𝑥𝑝(𝐙)(3.10.2)

6式(3)で与えられる 。

5

なんて、本当は指数摂動展開に慣れてないと言えないんだけど。筆者など、この方法の数学に慣れてないもんで、どこかで落とし穴に落ちそうでひやひやしている。
6

BCH 公式自体はあちこちに採録されているので、証明略。原著は 1900 年前後に出版されたよ

うだ。Wikipedia 英語版も参照。微分演算子にも正方行列にも、同様に成り立つ。

69

第3章

1
2

𝐙 = 𝐗 + 𝐘 + [𝐗, 𝐘] +1
1
[𝐗 − 𝐘, [𝐗, 𝐘]] − [𝐘, [𝐗, [𝐗, 𝐘]]] + ⋯
12
24

時間積分

(3.10.3)

ただし、[𝐗, 𝐘] ≡ 𝐗𝐘 − 𝐘𝐗
1 次のシンプレクティック法である修正オイラー法の時間発展演算子は、
𝐆∗ (ℎ) ≡ 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐃𝑈 )𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐃𝐾 ) = 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐃𝐻∗ )(再 3.8.14）

このとき、BCH 公式で、A=hDK, Y=hDU, Z=hDH*と置けば、
12ℎ𝐃𝐻∗ = ℎ𝐃𝐾 + ℎ𝐃𝑈 + [ℎ𝐃𝐾 , ℎ𝐃𝑈 ] +
−

ℎ3
24

1
[ℎ𝐃𝐾 − ℎ𝐃𝑈 , [ℎ𝐃𝐾 , ℎ𝐃𝑈 ]]12[ℎ𝐃𝑈 , [ℎ𝐃𝐾 , [ℎ𝑫𝐾 , ℎ𝐃𝑈 ]]] + ⋯h を外に出し、DK+DU=DH を使って、整理すると、= ℎ𝐃𝐻 +ℎ2ℎ3
ℎ4
[𝐃𝐾 , 𝐃𝑈 ] + [𝐃𝐾 − 𝐃𝑈 , [𝐃𝐾 , 𝐃𝑈 ]] −[𝐃 , [𝐃𝐾 , [𝐃𝐾 , 𝐃𝑈 ]]] + ⋯
2
12
24 𝑈

である。つまり、影のハミルトニアン H*のリウヴィル演算子は、
ℎ

ℎ2

2

12

𝐃𝐻∗ = 𝐃𝐻 + [𝐃𝐾 , 𝐃𝑈 ] +[𝐃𝐾 − 𝐃𝑈 , [𝐃𝐾 , 𝐃𝑈 ]] −ℎ3
24

[𝐃𝑈 , [𝐃𝐾 , [𝐃𝐾 , 𝐃𝑈 ]]] + ⋯(3.10.4)*の形をしている。この DH*から、H を以下のようにして、求める。
今までは、リウヴィル演算子を DＨ (H はハミルトニアンを示す添え字)と記述してきたが、この節でだけ、次のように、少し記法を変えることにする（数学的にわかりやすくするためだけ）。位相(p, r)の関数 f と y について、ポアソンカッコ式｛｝を使って、演算子 D を定義する。
𝐃(𝑓)𝑔 ≡ {𝑔, 𝑓} =

𝜕𝑔 𝜕𝑓
𝜕𝑓 𝜕𝑔
−
𝜕𝑟 𝜕𝑝
𝜕𝑟 𝜕𝑝

(3.10.5)(5)は、もちろん、f=H にすれば、今までの定義(2.5.8)と一致する。次の二つの公式が成り立つ（導出は省略、(6)は簡単、(7)はちょとめんどい）。
𝐃(𝑓 + 𝑔)𝑦 = 𝐃(𝑓)𝑦 + 𝐃(𝑔)𝑦(3.10.6){𝐃(𝑓), 𝐃(𝑔)} = 𝐃({ 𝑔, 𝑓})(3.10.7)

さらに、簡便にするために、次の表記を使う。
𝛼 ≡ {𝑈, 𝐾}(3.10.8)

さて、 (4)を(5)の記法に直し、ℎℎ2
𝐃(𝐻 ∗ ) = 𝐃(𝐻) + [𝐃(𝐾), 𝐃(𝑈)] + [𝐃(𝐾) − 𝐃(𝑈), [𝐃(𝐾), 𝐃(𝑈)]] −
2
12
−

ℎ3
24

[𝐃(𝑈), [𝐃(𝐾), [𝐃(𝐾), 𝐃(𝑈)]]] + ⋯
70

第3章

時間積分

以下、(8)を適宜代入し、(6)(7)を使って変形すると
ℎ
2

ℎ2
ℎ3
[𝐃(𝐾 − 𝑈), 𝐃(𝛼)] − [𝐃(𝑈), [𝐃(𝐾), 𝐃(𝛼)]] + ⋯
12
24

ℎ
2

ℎ2
ℎ3
𝐃({𝛼, 𝐾 − 𝑈}) − 𝐃({{𝛼, 𝐾}, 𝑈}) + ⋯1224= 𝐃(𝐻) + 𝐃(𝛼) += 𝐃(𝐻) + 𝐃(𝛼) +ℎ2= 𝐃 (𝐻 + 𝛼 +ℎ2ℎ3{𝛼, 𝐾 − 𝑈} − {{𝛼, 𝐾}, 𝑈} + ⋯ )12
24(3.10.9)というわけで、式(9)の()内が影のハミルトニアン H *であること、ℎ2𝐻∗ = 𝐻 + 𝛼 +ℎ2{𝛼, 𝑈 − 𝐾} + 𝑂(ℎ3 )12(3.10.10)が導けたわけ。H *は、MD を行っても、打ち切り誤差の影響を全く受けず、100％保存される。一方、本物のハミルトニアン H は、打ち切り誤差の影響を受けるものの、H *とはｈのオーダーの誤差しかない。この誤差は蓄積しないので、MD のステップが進んでも、H は一定の値（H *）の周りを揺らぐだけで、大きくずれはしないのである。
以上、１次のシンプレクティック法の修正オイラー法について、影のハミルトニア
ンを求めてみた。n 次の場合も H *は存在し、H と H *の差は、高々、hn のオーダーであることがわかっている7。指数摂動法を使えば、こんな議論もできるわけだ。
3.11. 多重時間刻み幅法
最後に、多重時間刻み幅法（Multiple time step/scale method、総称して MTS）という、重要な方法を紹介して、この章を締めくくることにする。ここでも指数摂動展開を使う。MTS 法とは、力の種類に応じて、時間の刻み幅 h を変えて、高速化する方法である。
本書で扱っている生体分子や有機分子系では、何種類もの力を計算する必要がある（第 5 章）。その場合、h は、最速の運動に合わさなければいけない。具体的には、
最速の運動は水素原子の伸縮振動で、その周期は 10-20 fs ぐらいである。だから、hは 2 桁下の 0.1-0.5 fs にする必要がある。一方、静電力や Lennard-Jones 力などの非共有結合力はもっとゆっくり変化するから、1-2 fs 程度の時間刻み幅でも十分。さらに長距離の静電力（エワルド法の波数空間や、多重極子展開の遠方の寄与など）は、4
fs 程度でも問題はない。おまけに、非共有結合力は、MD で最も計算時間が掛かるホッ
トスポットだったりする。つまるところ、一律に、h=0.1-0.5 fs を使うのは不経済で、別々の種類の力には、それに合った h を使いたい。こうして、複数の時間刻み hを使う MTS 法が考え出された。しかし、1980 年代までに提案された MTS 法は、時間反7

申し訳ないが、筆者自身で確かめたわけではない。悪しからず。

71

第3章

時間積分

転対称性が満たされないなどの問題があり、不安定だった8。
だが、幸いなことに、1990 年頃、Tuckerman らよって提唱された、Reference
system propagator algorithm (RESPA)により、時間反転対称でシンプレクティック
な、安定性の高い MTS アルゴリズムを作ることができるようになった。Tuckerman た
ちは、RESPA に関する論文を、アルゴリズムや計算対象を変えて、何本も出しているが、以下では、一番実用性が高い、reversible RESPA (rRESPA, Tuckerman et al.,1992) 9に絞って紹介する。
rRESPA による MTS 法の導出は、まず力 f を ff、fs（fast, slow）の二種類に分けることから始める（理論上は何種類に分けても構わないが、実用上は、二種類か三種類が多い）。力が速い、遅い、というのは、要するに力の変化が速いか遅いかを示している。力が、硬い、柔らかい、と言い換えてもいいだろう。
𝑓 = 𝑓𝑓 + 𝑓𝑠
それぞれに対して、hf、hｓの時間刻みを与える。ただし、L を整数として、ℎ𝑠 = 𝐿ℎ𝑓
つまり、遅い力 fs については、hs の長い時間刻み幅を使うが、早い力 ff には、その1/L の短い刻み幅 hf と使う、ということ。これらを使うと、MTS 用のリウヴィル演算
子は
𝐃𝐻 =

𝑝 𝜕
𝜕
+ (𝑓𝑓 + 𝑓𝑠 ) ≡ 𝐃𝐾 + 𝐃𝑓 + 𝐃𝑠𝑚 𝜕𝑟𝜕𝑝

(3.11.1)となる。今までの DU を Df+Ds に置き換えたわけ。この DH のもとに、対象分子系を hs（つまり長いほうの時間刻み幅）時間発展させる演算子は、
𝐆(ℎ𝑠 ) = 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝑠 𝐃𝐻 ) = 𝑒𝑥𝑝 (ℎ𝑠 (𝐃𝐾 + 𝐃𝑓 + 𝐃𝑠 )) = 𝑒𝑥𝑝 (ℎ𝑠 𝐃𝑠 + ℎ𝑠 (𝐃𝑓 + 𝐃𝐾 ))式(3.8.7)を使えば、= 𝑒𝑥𝑝 (ℎ𝑠ℎ𝑠𝐃𝑠 ) 𝑒𝑥𝑝 (ℎ𝑠 (𝐃𝑓 + 𝐃𝐾 )) 𝑒𝑥𝑝 ( 𝐃𝑠 ) + 𝑂(ℎ𝑠3 )2
2
真ん中の演算子 exp(hs(Df+DK))に、式(3.9.4)を適用し、

hf=Lhf を使うとℎ
2

= 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑠 𝐃𝑠 ) {(𝑒𝑥𝑝 (

8

ℎ𝑓
2

𝐃𝑓 ) 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝑓 𝐃𝐾 )𝑒𝑥𝑝 (

ℎ𝑓
2

𝐿

ℎ3
𝐿

ℎ
2

𝐃𝑓 )) + 𝑂 ( 2𝑠 )} 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑠 𝐃𝑠 ) + 𝑂(ℎ𝑠3 )実は、筆者自身も、きわめて原始的な MTS アルゴリズムを論文にしたことがある(Komeiji etal., 1991)。今となっては、あんまり価値はないけど。
9

最近は Verlet-I/rRESPA と呼ばれることが多い。それは、Grubmüller ら (1991)が開発した

Verlet-I/II も、速度 verlet 法を MTS 用に拡張した方法だから等価、という判断らしい。ただし、指数摂動公式を使って、系統的にアルゴリズムを作成できるのは rRESPA の方式である。

72

第3章

ℎ

ℎ𝑓

2

2

= 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑠 𝐃𝑠 ) (𝑒𝑥𝑝 (𝐃𝑓 ) 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝑓 𝐃𝐾 )𝑒𝑥𝑝 (

ℎ𝑓
2

𝐿

時間積分

ℎ

𝐃𝑓 )) 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑠 𝐃𝑠 ) + 𝑂(ℎ𝑠3 )2というわけで、rRESPA による MTS アルゴリズムの時間発展演算子 G*(hs)は、𝐆∗ (ℎ𝑠 )ℎ2= 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑠 𝐃𝑠 ) (𝑒𝑥𝑝 (ℎ𝑓2𝐃𝑓 ) 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝑓 𝐃𝐾 )𝑒𝑥𝑝 (

ℎ𝑓
2

𝐿

ℎ
2

𝐃𝑓 )) 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑠 𝐃𝑠 )(3.11.2)になる。このアルゴリズムを MD プログラムにすると以下になる。なお、hs を M ステッ
プだけ行っている。
コード 3.10.1 rRESPA
DO i = 1, M
p = p + hs/2 * fs
DO j = 1, L

p = p + hf/2 * ffr = r + hf * p
CALL calfor (ff)

! 速い力の計算

p = p + hf/2 * ff
END DOCALL calfor (fs)！

遅い力の計算p = p + hs/2 * fs
END DO
このコードの DO ループを見ればわかるように、遅い力 fs は１ステップに 1 回だけ、速い力 fh は L 回更新している。この方法により、一律 hh を与える場合に比べて、計算精度をさほど犠牲にせずに、計算速度を数倍にできる。また、これもコードから明らかなように、L=1（つまり hf = hs）とおけば、普通の速度ヴェルレ法になる。
rRESPA が速度ヴェルレ法の拡張と言われる所以である。
時間刻み幅 hh と hｓは、計算対象や力場パラメーターにより変わり得るので、テスト計算をして設定する。なお、付録 3A4 に、そのような、MTS の条件設定の一例を挙げておいた。
第 3 章のまとめ
MD において、分子の時間発展をシミュレーションするための時間積分アルゴリズムについて解説した。
前半では、ハミルトン形式の運動方程式に、テイラー展開を用いて、時間積分アル
73

第3章

時間積分

ゴリズムをいくつか導出し、誤差や物理的性質に関して議論した。そして、2 次の精度の時間積分アルゴリズムである、速度ヴェルレ法が、時間反転対称性とシンプレク
ティック性を満たす、安定な方法であることを示した。
後半では指数摂動展開を導入して、時間積分の誤差や物理的性質について、より見
通し良く議論を行い、特に、時間反転対称性とシンプレクティック性の両方を満たす
積分アルゴリズムの系統的作成方法を紹介した。速度ヴェルレ法も、指数摂動展開で導出可能である。最後に、速度ヴェルレ法を多重時間刻み幅法に拡張する方法、
rRESPA を紹介した。
本章では、孤立系のミクロカノニカル（定エネルギー）MD における、時間積分法を論じた。ここでの議論は、定温や定圧 MD の方法作成の基礎となる（第 10 章）。

付録 3A1. 速度ヴェルレ法の実装
速度ヴェルレ法は MD 法で広く使われている時間積分法で、実装アルゴリズムにはい
くつか変法が知られている。だが、結局、3.4 節で紹介したシンプルなアルゴリズム
が、ベストの選択であることを示す。
以下、今回調べた 3 種類のアルゴリズムを紹介する。アルゴリズム 1,2,3 と、プログラムがだんだん複雑になっていく。だが、どれも数学的に等価であり、数値誤差さえなければ全く同じ結果を与えるはずである。
[1] アルゴリズム 1
このアルゴリズムは、プログラムが最もシンプルで分かりやすい。ステップ N-1 とステップ N の間に、ステップ N-1/2 の速度 vN-1/2 を計算するのがみそ。これは、実は、
RESPA の方法で、すんなり導けるアルゴリズムでもある。
以下、i を任意のステップ数のインデックスとして、ri, vi, fi は、それぞれ第 i ス
テップの座標、速度、力を示す。
𝑣𝑁−1 = 𝑣𝑁−1 +2ℎ𝑓2𝑚 𝑁−1

𝑟𝑁 = 𝑟𝑁−1 + ℎ𝑣𝑁−12𝑣𝑁 = 𝑣𝑁−1 +
2

ℎ
𝑓
2𝑚 𝑁

(3A1.1)

擬似コードは以下。ただし、calfor(r,f)は、座標 r を入力して力 f を返すサブルー
チン。
74

第3章

時間積分

コード 3A1.1 速度ヴェルレ法アルゴリズム１

r=r0
v=v0
CALL calfor(r,f)
DO i = 1, Nstep
v= v + f/(2m)*hr = r + v*h
CALL calfor(r,f)
v= v + f/(2m)*h
END DO[2] アルゴリズム 2
Swope & Andersen (1982) の速度ヴェルレ法の原報のアルゴリズム。テイラー展開
を自然に用いると、このアルゴリズムになる。
𝑟𝑁 = 𝑟𝑁 + ℎ𝑣𝑁−1 +𝑣𝑁 = 𝑣𝑁−1 +ℎ2𝑓2𝑚 𝑁−1ℎ(𝑓+ 𝑓𝑁 )
2𝑚 𝑁−1(3A1.2)

コードは以下。変数に f_old （前ステップの力）が加わる。
コード 3A1.2 速度ヴェルレ法アルゴリズム 2

r=r0
v=v0
CALL calfor(r,f)
DO i = 1, Nstep
r = r + h*v + f/(2m)*h**2
f_old = f
CALL calfor(r,f)
v= v + (f+f_old)/(2m)*h
END DO[3] アルゴリズム 3
このアルゴリズムは、いくつかの教科書に採録されているが（神谷ら、2009、岡崎・吉井、2011）、誰が始めたのかは、残念ながら、今回調べた限りでは判明しなかった。式(2)では、h と h2 が掛る項の値の大きさが違い過ぎるため、桁落ちが起こりや
75

第3章

時間積分

すい。そこで、力 f と速度 v を別々に足し合わせている。このとき、第 N ステップの速度と座標は以下の式で計算できる。
𝑟𝑁 = 𝑟0 + ℎ ∑𝑁
𝑖=1 𝑣𝑖−1 +𝑣𝑁 = 𝑣0 +ℎ2 𝑁∑ 𝑓2𝑚 𝑖=1 𝑖−1ℎℎ 𝑓 −𝑓∑𝑁 (𝑓 + 𝑓𝑖 ) = 𝑣0 + ( 𝑖 0 + ∑𝑁
𝑖=1 𝑓𝑖−1 )2𝑚 𝑖=1 𝑖−1𝑚
2(3A1.3)

この式で積分するプログラムでは、各ステップの v と f を足し合わせた変数 v_sum と
f_sum が必要になる。
コード 3A1.3 速度ヴェルレ法アルゴリズム 3

r=r0
v=v0
CALL calfor(r,f)
v_sum = v0
f_sum = f0
DO i = 1, Nstep
r = r0 + h*v_sum + f_sum/(2m)*h**2
CALL calfor(r,f)
v= v0 + h/m*((f-f0)/2 + f_sum)
v_sum = v_sum + v
f_sum = f_sum + f
END DO
上記のアルゴリズム 1-3 を、以下の周期 T=1 の単振動に対して適用し、精度を試験した。
𝑈 = 𝜛2𝑟2, 𝜛 = √2𝜋
2

(3A1.4)シミュレーション時間 100T を、時間刻みを h=10-5 T から 0.1T に振って MD を行い、全エネルギーの初期値からのずれ RMSD(Etot)（3.5.1）と h の関係を調べた。Fortranのプログラムを用いたが、実数を、倍精度（15 桁）および単精度(7 桁)とで計算し比較した。
その結果、倍精度計算では、三つのアルゴリズムは、全く同じに、式(3)を満たす結果を与えた（図 1）。つまり、この系を倍精度で計算する限り、どのアルゴリズムでも、全く同じ精度ということ。

76

第3章

時間積分

今日、MD などの数値計算は、倍精度かそれ以上で行うのが標準なので、「どれ使っても同じ」という結論で終わりにしてしまっても構わないのではあ

図 3A1. 1 h-RMSD(Etot)プロット 倍精度る。だが、アルゴリズ
ム自身の欠点をより厳しい条件で洗い出しておくことも必要である。
そこで、倍精度のときと全く同じプログラ
ムを、実数変数を全て単精度に変えて、同じ試験をしてみた。その結果、単精度計算では、どのアルゴリズムでも精度は倍精度に比べて悪化し、また、三つの間で差が出た(図 2)。
三つとも、h=0.01 以上の場合は理論通りの精度を示している。だが、それ以下では、数値誤差が見えてくる。もっとも、実際

図 3A1. 2 h-RMSD(Etot)プロット 単精度の MD では、最短でも共有結合周期の 1/100 程
度の時間刻みを使い、それ以下ということは滅多にないわけで、実用的にはさして問題にはならない。とは言え、ともかくも、単精度計算では、数値誤差が見えてくる。三つを比較すれば、アルゴリ
ズム 1 と 3 はほぼ同じ振る舞いで、アルゴリ
ズム 2 が有意に精度が悪い、という結果であった。アルゴリズム３は、アルゴリズム２の精度が悪いのを改良するための工夫であるから、当然ではある。では、アルゴリ
ズム２をちょっと変えただけのアルゴリズム１が、アルゴリズム３と同等の精度を持
77

第3章

時間積分

つのは、おそらく、式(1)の中に、h2 に比例する稿がないためだろう。
単精度計算の結果から判断すると、アルゴリズム２は有意に悪いが、アルゴリズム
１と３は、同等である。アルゴリズム１と３の間の優劣は、精度からは決められない。だが、プログラムの単純さ、わかりやすさから言えば、アルゴリズム１がベストの選択である。Simple is best ということらしい。
付録 3A2. 演算子の指数関数に関する公式
次式で定義される演算子の指数関数に関して、𝑒𝑥𝑝(𝐀) ≡ ∑∞𝑛=0

𝐀𝑛

(再 3.8.3)𝑛!

以下の 5 つの公式を証明する。

𝑒𝑥𝑝 (𝑏𝜕)𝑎 = 𝑎𝜕𝑦(再 3.8.4a)

𝑒𝑥𝑝 (𝑏𝜕) 𝑐(𝑦) = 𝑐(𝑦 + 𝑏)
𝜕𝑦

(再 3.8.4b)

𝑒𝑥𝑝 (𝑏𝜕) 𝑦 = 𝑐 −1 (𝑐(𝑦) + 𝑏)
𝜕𝑐(𝑦)(再 3.8.4c)

𝑒𝑥𝑝 (𝑏𝜕) 𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑐 −1 (𝑐(𝑦) + 𝑏))
𝜕𝑐(𝑦)(再 3.8.4d)𝜕𝑒𝑥𝑝 (𝑎𝑦 𝜕𝑦) 𝑦 = 𝑦 𝑒𝑥𝑝(𝑎)(再 3.8.4e)

公式(3.8.4a)は公式(3.8.4b)で c(x)=a とおけば導けるので省略して、式(3.8.4b)を証明する。右辺を y の周りにテイラー展開すると𝑐(𝑦 + 𝑏) = 𝑐(𝑦) += (1 +𝑏 𝜕𝑐(𝑦)𝑏2 𝜕 2 𝑐(𝑦)𝑏3 𝜕 3 𝑐(𝑦)
+
+
+⋯
2
1! 𝜕𝑦
2! 𝜕𝑦
3! 𝜕𝑦 3

𝑏 𝜕
𝑏2 𝜕2
𝑏3 𝜕3
𝜕
+
+
+ ⋯ ) 𝑐(𝑦) = 𝑒𝑥𝑝 (𝑏 ) 𝑐(𝑦)
2
1! 𝜕𝑦
2! 𝜕𝑦
3! 𝜕𝑦 3𝜕𝑦(3.8.4b)となって、左辺になるので、証明終わり。
公式 (c)は(d)で f(y)=y とおいた特殊例なので、(d)を証明する。c(y)=z と置くと、y=c-1(z)になるので、𝑒𝑥𝑝 (𝑏𝜕𝜕) 𝑓(𝑦) = 𝑒𝑥𝑝 (𝑏 ) 𝑓(𝑐 −1 (𝑧)) =∗
𝜕𝑐(𝑦)
𝜕𝑧

公式(b)の y に z、c(y)に f(c-1(z))を代入すると= 𝑓(𝑐 −1 (𝑧 + 𝑏)) = 𝑓(𝑐 −1 (𝑐(𝑦) + 𝑏))(3.8.4c)
78

第3章

時間積分

が証明された。
最後に、公式(e)。
𝑒𝑥𝑝 (𝑎𝑦𝜕𝜕𝑦) 𝑦 = ∑∞
𝑛=0

1
𝑛!

(𝑎𝑦

𝜕
𝜕𝑦

𝑛

) 𝑦 ≡ 𝑓0 (𝑦) + 𝑓1 (𝑦) + 𝑓2 (𝑦) + … + 𝑓𝑛 (𝑦) + ⋯と置くと、n=0 では
𝑓0 (𝑦) =1𝜕 0(𝑎𝑦 ) 𝑦 = 𝑦0!
𝜕𝑦であり、また、n>1 では
𝑓𝑛 (𝑦) =1 𝑎𝑦𝜕 𝑛1𝑎𝑦𝜕𝑎𝑦𝜕 𝑛−1
1 𝑎𝑦𝜕
1𝑎𝑦𝜕 𝑛−1
𝑎𝑦 𝜕
[
] 𝑦=
[
][
]
𝑦= [
]
[
]
𝑦=
𝑓 (𝑦)
𝑛! 𝜕𝑦
𝑛×(𝑛−1)! 𝜕𝑦𝜕𝑦𝑛 𝜕𝑦 (𝑛−1)! 𝜕𝑦𝑛 𝜕𝑦 𝑛−1の漸化式が成り立つので、
𝑓1 (𝑦) =𝑎𝑦 𝜕
𝜕(𝑓 (𝑦)) = 𝑎𝑦 (𝑦) = 𝑎𝑦
1 𝜕𝑦 0𝜕𝑦𝑓2 (𝑦) =

𝑎𝑦 𝜕
𝑎𝑦 𝜕
𝑎2
(𝑎𝑦) = 𝑦(𝑓1 (𝑦)) =
2 𝜕𝑦
2 𝜕𝑦
2∙1

𝑓3 (𝑦) =𝑎𝑦 𝜕𝑎𝑦 𝜕 𝑎2𝑎3(𝑓2 (𝑦)) =( 𝑦) =𝑦
3 𝜕𝑦
3 𝜕𝑦 2∙1
3∙2∙1...
𝑓𝑛 (𝑦) = ⋯ =

𝑎𝑛
𝑦
𝑛!

よって、
𝑒𝑥𝑝 (𝑎𝑦𝜕𝑎𝑛) 𝑦 = ∑∞
𝑦 = 𝑦 𝑒𝑥𝑝(𝑎)
𝑛=0
𝜕𝑦
𝑛!

(3.8.4e)が証明された。
付録 3A3. 2 次の対称分解
ここでは、指数摂動展開のうち、速度ヴェルレ法を導くための、２次の対称分解公式(3.8.7)を導出する。
𝑥
2

𝑥
2

𝑒𝑥𝑝(𝑥(𝐀 + 𝐁)) = 𝑒𝑥𝑝 ( 𝐀) 𝑒𝑥𝑝(𝑥𝐁)𝑒𝑥𝑝 ( 𝐀) + 𝑂(𝑥 3 )(再 3.8.7)

理論物理や計算科学でトロッター展開とか指数摂動展開とか呼ばれる公式は、いろいろな形があり、名前もいろいろで、どれが基礎でそれをどう変形すればどうなる、とか、判断が難しい。ここでは、特に Tuckerman (2010)、上田(2003)、吉田(1995)、鈴木 (2000)などを参考に、筆者自身が一番わかりやすいと思える方法で議論
79

第3章

時間積分

を展開してみた。
まず、本文の式(3.8.5)は、鈴木(2000)で指数摂動展開と呼んでいるので、それに従った。
𝑒𝑥𝑝(𝑥(𝐀 + 𝐁)) = ∏𝑘𝑖=1(𝑒𝑥𝑝(𝑐𝑖 𝑥𝐀)𝑒𝑥𝑝(𝑑𝑖 𝑥𝐁)) + 𝑂(𝑥 𝑛+1 )(再 3.8.5)

この式の両辺をテイラー展開して、同類項を比較して、右辺の ci, di の係数を求める。
まずは、n=1 の、１次の展開式を作成する。（3.8.5）の左辺を定義通りに 2 次まで展開すると、𝑒𝑥𝑝(𝑥(𝐀 + 𝐁)) = 1 + 𝑥(𝐀 + 𝐁) += 1 + 𝑥(𝐀 + 𝐁) +𝑥2
(𝐀 + 𝐁)2 + 𝑂(𝑥 3 )2

𝑥2(𝐀𝟐 + 𝐀𝐁 + 𝐁𝐀 + 𝐁 𝟐 ) + 𝑂(𝑥 3 )2(3A3.1)である。また、右辺を k=1 で書き下すと、∏𝑘𝑖=1(𝑒𝑥𝑝(𝑐𝑖 𝑥𝐀)𝑒𝑥𝑝(𝑑𝑖 𝑥𝐁)) = 𝑒𝑥𝑝(𝑐1 𝑥𝐀)𝑒𝑥𝑝(𝑑1 𝑥𝐁)= (1 + 𝑐1 𝑥𝐀 + 𝑂(𝑥 2 ))(1 + 𝑑1 𝑥𝐁 + 𝑂(𝑥 2 ))= 1 + 𝑥(𝑐1 𝐀 + 𝑑1 𝐁) + 𝑂(𝑥 2 )(3A3.2)式(1)と(2)で、xA と xB の係数を見比べれば、

c1=1, d1=1

(3A3.3)の組が求まる。つまり、n の１次の展開は、𝑒𝑥𝑝(𝑥(𝐀 + 𝐁)) = 𝑒𝑥𝑝(𝑥𝐀)𝑒𝑥𝑝(𝑥𝐁) + 𝑂(𝑥 2 )（再 3.8.6)で、式（3.8.6）が得られた。なお、A,B は別の演算子で、かつ、一般には交換不可能
だから、A と B を逆にした、
𝑒𝑥𝑝(𝑥(𝐀 + 𝐁)) = 𝑒𝑥𝑝(𝑥𝐁)𝑒𝑥𝑝(𝑥𝐀) + 𝑂(𝑥 2 )は、(3.8.6)とは別の、１次の展開になる。
次に、n の２次の展開を求めるため、右辺を k=2 で書き下すと、∏𝑘𝑖=1(𝑒𝑥𝑝(𝑐𝑖 𝑥𝐀)𝑒𝑥𝑝(𝑑𝑖 𝑥𝐁)) = (𝑒𝑥𝑝(𝑐1 𝑥𝐀)𝑒𝑥𝑝(𝑑1 𝑥𝐁))(𝑒𝑥𝑝(𝑐2 𝑥𝐀)𝑒𝑥𝑝(𝑑2 𝑥𝐁))
= (1 + 𝑐1 𝑥𝐀 +𝑥2𝑥2
(𝑐1 𝑥𝐀)2 + 𝑂(𝑥 3 )) (1 + 𝑑1 𝑥𝐁 + (𝑑1 𝑥𝐁)2 + 𝑂(𝑥 3 ))2
2

× (1 + 𝑐2 𝑥𝐀 +𝑥2𝑥2
(𝑐2 𝑥𝐀)2 + 𝑂(𝑥 3 )) (1 + 𝑑2 𝑥𝐁 + (𝑑2 𝑥𝐁)2 + 𝑂(𝑥 3 ))2
2

= (1 + 𝑥(𝑐1 𝐀 + 𝑑1 𝐁) +𝑥2
(𝑐1 𝟐 𝐀𝟐 + 2𝑐1 𝑑1 𝐀𝐁 + 𝑑1 𝟐 𝐁 𝟐 ) + 𝑂(𝑥 3 ))2

× (1 + 𝑥(𝑐2 𝐀 + 𝑑2 𝐁) +𝑥2
(𝑐2 𝟐 𝐀𝟐 + 2𝑐2 𝑑2 𝐀𝐁 + 𝑑2 𝟐 𝐁 𝟐 ) + 𝑂(𝑥 3 ))2

= 1 + 𝑥((𝑐1 + 𝑐2 )𝐀 + (𝑑1 + 𝑑2 )𝐁)

80

第3章

+

時間積分

𝑥2
((𝑐1 + 𝑐2 )𝟐 𝐀𝟐 + 2(𝑐1 𝑑1 + 𝑐1 𝑑2 + 𝑐2 𝑑2 )𝐀𝐁 + 2𝑐2 𝑑1 𝐁𝐀 + (𝑑1 + 𝑑2 )𝟐 𝐁 𝟐 ) + 𝑂(𝑥 3 )2(3A3.4)(1)と(4)の係数を見比べて、重複を除くと、次の四つの式が得られる。

c1+c2 = 1
d1+d2 = 1
𝑐1 𝑑1 + 𝑐1 𝑑2 + 𝑐2 𝑑2 =𝑐2 𝑑1 =

1
2

1
2

(3A3.5)(5)は、未知数が４つ、式が４つなのだが、独立でない式が一つあるので、解は一意的には決まらない。一例を挙げると、 (c1, c2, d1, d2 ) = (1/3, 2/3, 3/4, 1/4)も n の2 次の精度を持つ。だが、時間発展演算子のための公式を作る、という目的があるので、時間対称性を満たすために、左右対称にしたい。そこで、d2=0 にしてしまえば、exp(d2xB)=1 で恒等演算子になる。残りは、c1=c2=1/2、d1=1 になるから、
𝑥

𝑥

2

2

𝑒𝑥𝑝(𝑥(𝐀 + 𝐁)) = 𝑒𝑥𝑝 ( 𝐀) 𝑒𝑥𝑝(𝑥𝐁)𝑒𝑥𝑝 ( 𝐀) + 𝑂(𝑥 3 )(再 3.8.7)となり、「２次の対称分解」が得られる。
より高次の n についての公式も得られているが、ここでは省略する。詳しくは、吉田(1995)などを参照。
なお、上記の議論でわかるように、n の 1 次、2 次、… の展開は、一意には定まらない。係数に関する方程式には、複数の解が存在するからだ。よって、指数摂動展開
を使って「n 次のシンプレクティック積分法」を作る場合、特定の n に限っても、複数のアルゴリズムが存在することになる。
付録 3A4. 多重時間刻み幅法の実際

図 3A4. 1 計算対象

ここでは、参考までに、多重時間刻み幅法の実例を一つ挙げみることにする。対象は、図 1の DNA:タンパク質を箱型の水に入れたものである。また、MTS アルゴリズムとして、double
reversible RESPA (drRESPA)を使った。本文のrRESPA では力を２種類に分けたが、drRESPA では３種類に分ける。具体的には、力を、本文のff と fs に加えて、さらにその中間の力 fｍに分類
し、別々の時間ステップを与える。
81

第3章

時間積分

図 1 の分子モデルは、染色体 SSO7D/SAC7D タンパク質と DNA 複合体。PDB ID 1C8C
(Su et al., 2000) の結晶構造を基に、PEACH_8.5 でモデリングし、Chimera_1.1 で描画したものである。6 つある Na+イオンは、球で表示。一辺 53Å の箱型の水モデルを使い、全原子数 13,666 個である。

表 3A4. 1 力の分類
力の速さ

力の種類

時間刻み

ff

共有結合、結合角、ねじれ角

hf

fm

LJ、エワルド実空間

hmfs

エワルド波数空間hs

この系に働く力を、表 1 のように分類した（力の定義は第 5 章参照）。時間刻みのうち、hf は一番速い水素の伸縮に合わせて、今回は 0.25 fs に固定した。hm と hs は値を適宜振り、平衡化させた構造に対して、合計６種類の MD 計算（MD1-MD6）を 1 ps
流して、エネルギーのずれ RMSD(E)と 1 fs あたりの計算時間を計測した。その結果が、表 2 である。

表 3A4.2 RESPA の試験結果
ジョブ名

時間刻み(fs)

RMSD(E)

計算時間＊
s/fs

hf

hm

hs

kcal/mol

MD1 (基準値)

0.25

0.25

0.25

0.83

7.1

MD2

0.25

0.50

0.50

0.36

3.6

MD3

0.25

1.00

1.00

12

1.8

MD4

0.25

2.00

2.00

9.5

0.94

MD5

0.25

2.00

4.00

10

MD6

0.25

2.00

10.0

0.89
3

1.4 x 100.84

＊ 並列計算ではなく、逐次計算。ソフトは PEACH ver. 8.5 を使用。
MD1 はすべて一律に 0.25 fs で時間積分した結果で、これが基準値（reference）である。MD2-4 は、fm と fs を同じにして、時間刻みを少しずつ上げた結果だが、おもしろいことに 0.5 fs のときは、基準値より少し精度がよくなっている。こういうのは、力の種類による丸め誤差が違うなどの影響などで、しばしば起こる。1 fs になるとさ
すがに、精度は１桁下がるが、2 fs にしても大して変わらない。MD5 と MD6 は、hm=2
fs に固定して、hs を変えて計測したもの。4 fs なら精度は不変だが、10 fs にすると、計算が破綻してしまう。
82

第3章

時間積分

この付録に挙げたのはほんの一例で、計算精度も計算時間も、力場パラメータや対象分子や系の大きさや計算アルゴリズムにより結果は変わる。特に、計算時間は、ここでは逐次計算のデータを出したが、並列計算ではまた違ったくる。だが、生体分子や有機分子系を対象にする場合、普通は MD5 に挙げた程度の条件を使って、計算速度を数倍上げることが多い。

第 3 章の参考文献
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岡崎進、吉井範行(2011)、コンピュータ・シミュレーションの基礎第 2 版、化学同人.
陰山聡(2014)、シンプレクティック積分法について ver. 140110a、神戸大学.
http://www.research.kobe-u.ac.jp/csiviz/members/kageyama/docs/index.ja.html

神谷成敏、肥後順一、福西快文、中村春木(2009)、タンパク質計算科学、共立出版.

鈴木増夫 (2000)、 統計力学、岩波書店.
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Hockney, R. W. (1970), Methods Comput. Phys. 9, 136-210. The potential
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Su, S., Gao, Y. G., Robinson, H., Liaw, Y. C., Edmondson, S. P., Shriver, J.
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83

第3章

時間積分

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Computer experiments on Classical Fluids. I. Thermodynamical
properties of Lennard-Jones Molecules.

84

第4章

分子動力学計算のためのモデリング

第 4 章 分子動力学計算のためのモデリング
本章では、MD の計算対象分子のモデリング法
を説明する。つまり、MD 計算で扱う分子モデ
ル、溶媒、境界条件などを扱う。具体的には、初期構造の作り方を説明することになる。な
お、一口に「構造」と言っているが、ここで言う構造とは、「計算対象分子の全構成原子の三次元座標のデータ」を指す。
おもに、全原子 MD （MM-MD）のためのモデリ
ング法を説明する。だが、かなりの部分は、量子 MD や第一原理 MD にも応用が利くはずである。
第 2，3 章は理論的な話に終始したが、この第 4 章は、現実の分子に対応した、泥臭い話題が多い。実際、MD を始めるときに一番敷居が高いのは、おそらく初期構造のモデリングだろう。

内容
第4章

分子動力学計算のためのモデリング85

4.1. 分子モデル .........................................................85
4.2. 初期構造........................................................... 92
4.3. 欠損原子の発生 .....................................................93
4.4. 境界条件と溶媒 .....................................................94
4.5. 系の電荷の中和 ....................................................101
4.6. 生体分子のモデリングの実際 ........................................102
第 4 章のまとめ ......................................................... 104
付録 4A1.

水球の束縛ポテンシャルの問題点 ............................... 104

第 4 章の参考文献 .......................................................106
4.1. 分子モデル
本節では、生体分子の MD で用いる分子モデルの概要を説明する。第１章で述べたよ
うに、古典 MD（全原子 MD も疎視化 MD も）では、分子を「部分電荷を持った球、すな
わち原子が、バネでつながった」ものである、というようにモデル化して計算する
85

第4章

分子動力学計算のためのモデリング（図 1 左）。一方、 原子間の結合長を拘束1して MD を行えば（図 1 右）、原子が、固い棒でつながったものとし

図 4.1.1 分子モデル：バネ vs 棒て、計算することもできる。バネがいいのか棒がい
いのか、簡単に白黒はつけられない（第 5 章の付録
5A1 を参照）。
以下では、分子モデル
を、ソフトウェア AMBER で標準的に使われている力場（force field, FF）を例にとって説明する。具体的には、ポリペプチド（タンパク質）と核酸は FF14SB（Maieret al., 2015）、糖質は Glycam06（Kirschner et al., 2008）、脂質は Lipid14（Dickson et al., 2014）の各力場を紹介し、それに加えて水やイオンについても
FF14SB で使われているものを中心にいくつか紹介する。なお、「分子モデル」と「力の計算方法」とは表裏一体なので、第 5 章「力とポテンシャルの計算（前）基礎」も参照してほしい。
[1] ポリペプチド（タンパク質）
ポリペプチド(polypeptide)とは、アミノ酸がペプチド結合により重合してできた有機化合物の総称である。ポリペプチドの中で、生物由来のものをタンパク質(蛋白質、
protein)と呼ぶ。AMBER の FF14SB 力場での、タンパク質と核酸の分子モデルは、現行
AMBER 力場の原型の FF94 (Cornell et al., 1995) で採用されたものである。AMBER
力場の力のパラメーター自体はその後改良が加えられているが、モデルの骨格自体は、大きくは変更されずに残っている。
ポリペプチドは、図 2 のような分子モデルで扱われる。棒は原子間の共有結合を示す。なお、一重、二重、三重結合は、表記上は区別していない。C, CA, CH3 などは炭素原子、 H, HH33 などは水素原子である。これは、分子上の位置によって同じ原子でも名前を変えて区別している、ということである。また、○で囲んだ R は、アミノ酸残基（amino acid residue）の側鎖であるので、Gly, Ala, Ser, Glu など、種類に応1

本書では、拘束（constraint）と束縛(restraint)の二つの用語を、Leach (2001) に倣って、次のように使い分ける。「拘束」は、完全に長さを固定してしまうことを言う。一方、「束縛」は、例えばバネのように、平均的にはある長さになるようにするが、固定はせず揺らぎの余地を残すことを言う。拘束の数だけ系の自由度が減るが、束縛しても自由度は減らない（詳細は、第 9 章

拘束と束縛

を参照）。

86

第4章

分子動力学計算のためのモデリング

じて変わる。さらに、側鎖の荷電状態に応じて、それぞれ別のモデルが用意されている。たとえば、AMBER 力場の場合、グルタミン酸では、側鎖解離型モデルは”GLU”、
非解離型モデルは”GLH”という、二つが利用できる。
アミノ末端(Ｎ末)とカルボキシ末端(C 末)も、二種類選ぶことができる。ひとつ

図 4.1. 2 タンパク質のモデル

は、解離した両性イオン型（図 2A）、もうひとつはキャップして中性にしてしまった型（図 2B）である。AMBER 力場では、図 2B のように、N 末はアセチル基、C 末は N メ
チル基でキャップしている。他の方法でキャップしたい場合は、自分で分子モデルと力場パラメーターを作成することが必要になる。
解離型モデルは、溶媒分子をあらわに取り入れてポリペプチドの MD 計算を行う場合に使うことが多い。一方、キャップ型モデルは、真空中での計算に使うことが多い
が、溶媒と一緒に用いることもできる。
[2] ポリヌクレオチド（核酸）ポリヌクレオチド(polynucleotide)とは、ヌクレオチドが重合してできた有機化合物である。ヌクレオチドは、リン酸、ペントース、塩基からなる。核酸(nucleicacid)は、ポリヌクレオチドの一種で、遺伝物質のデオキシリボ核酸(DNA)とリボ核酸(RNA)の総称である。細胞核の中から見つかったので、核酸と名付けられた。これ以降
は、ポリヌクレオチドではなく、核酸と呼ぶことにする。タンパク質と同様、AMBER
87

第4章

分子動力学計算のためのモデリング

FF14SB のモデルを紹介する。
核酸は図 3 のようなポリペプチドのアミノ

図 4. 1.3 核酸のモデル。ここでは、DNA のモデルを挙げている。RNA の場合、H2’2 の代わりに、-O2’-HO’

酸残基に対応するの2 が入る。

モデルで表わされる。

が、ヌクレオチド単位

Nucleotideになる。○で囲んだ

H5T

Base には、ATGC (RNAO5'

なら AUGC)の塩基のどれかが入る。核酸は負の電荷を帯びている

H5'2

1

が、それを中和したモ

で囲み、中和するだけ

C3'

C2'

O3'

H2'2

P
O5'

の量のイオンを入れて

H1'

H3'

O2P

2

O4'

C4'

はない。全原子モデル
なら、Explicit water

H5'1

H4'

デルは、少なくとも現在の AMBER FF14SB に

C5'

H5'2

C5'

H5'1
O4'

H1'

C4'

H3'

C3'

C2'

O3'

H2'2

ある。

H2'1

O1P

H4'

MD を行うのが妥当で

BASE

C1'

BASE

C1'
H2'1

核酸を安定に MD シ
ミュレーションするのは、一般的には、タン
パク質より難しいと言O2Pわれている。上述のよO5'

うに強く負に帯電しているためだろう。

P

H5'2

N

C5'

O1P
H5'1
O4'

H1'

H4'

C4'

H3'

C3'

C2'

（Galindo-Murillo et

O3'

H2'2

al., 2016）、RNA 用

H3T

AMBER 力場では FF14SB
以外に、DNA 用に OL15

BASE

C1'

H2'1

に OL3 力場（Zgarbova et al., 2011, Bergonzo et al., 2015）などが利用できる。
これらの利用も視野に入れると良いだろう。
[3] 糖
糖には、糖質（sugar）、糖鎖（glycan）、炭水化物（carbohydrate）、多糖類
88

第4章

分子動力学計算のためのモデリング（poly-saccharide, oligo-saccharide）など、いろいろな呼び名があり、それぞれニュアンスが違うようだ。ここでは、単糖（mono-saccharide）がグリコシド結合で重合してできた化合物の総称を「糖鎖」、あるいは単純に「糖」と呼ぶことにする。
糖は、歴史的には、タンパク質や核酸ほどは、MD の対象になって来なかった。理由は、糖はエネルギー貯蔵物質としての役割が大きく、あまりその機能に興味が持たれなかったことがある。また、糖鎖は不定形なので、どんな構造を再現できれば MD が成功したと言えるのか、判断が難しいこともあるかも知れない2。
だが、エネルギー貯蔵以外にも糖の様々な生物学的機能が明らかになってきた。それ

図 4.1.4 糖の例（グルコースのβグルコピラノース単位）に伴い、糖の MD 計算への需要も高まってきている。実際、真核生物のタンパク質のほとんどは、糖鎖による修飾を受けており、また、それがタンパク質の機能に重要な役割を果たしている。代表劇な糖鎖の力場、Glycam06 の論
文の序では、糖の役割を次のように紹介している（Kirschner, 2008）：「炭水化物は軸索の成長や経路発探索における認識、血液凝固の阻害、細胞間認識、抗原抗体反応、細胞外マトリックスの構造因子、ポリペプチドの翻訳後または翻訳中の修飾、など、数多くの生物学的役割を負っている。」
Glycam06 力場では、例えば、セルロースならば、図 4 のような分子モデルをつなげて使っている（Maurer and Sax, 2012、で計算されたもの）。これを見ただけでわかるように、一つの単位にも、多くの二面角（ねじれ角、5.2 節[3]）が存在する。
Glycam06 では、数多くの糖のモデル化合物に対して、量子化学計算を行い、その結果にフィットして、力場パラメーターを作っている。
糖鎖の力場は他にもいくつか出ている。糖鎖の力場とトポロジー作成の GUI は Parket al. (2019) に紹介されているので、参照のこと。

2

最近、日本の生体分子シミュレーション学会の若手何人かに「糖の MD とかどう？」と聞いてみると、異口同音に「いやあ、糖はモデリングのハードルが高くて、なかなか手が出せないです」みたいな答が返って来た。確かに、糖のモデリングは面倒そうである。

89

第4章

分子動力学計算のためのモデリング[4] 脂質
生体分子の MD の業界で「脂質」と言えば、大抵は、リン脂質を指す。リン脂質は、細胞膜を形作

図 4. 1.5 リン脂質の部品化

る、脂質二重膜の主要構成分子であり、タンパク質と核酸に次いで、古くから MD による研究対象になってきた。20 世紀の間は、脂質二重膜だけの MD
計算が多かったものの、21 世紀になってから、脂質二重膜に埋め込まれた膜タンパク質の機能・構造解析の計算も増え、それに応じて脂質の力場の重要性も高まっている。
ここでは、AMBER Lipid14 力場を紹介する（Dickson et al., 2014）。Lipid14 は、Lipid11
力場 (Skjevik et al., 2011）の改良版である。
このシリーズの力場は、リン脂質を部分部分でモジュール（部品）化して組み合わせることで、多様な分子種に対応している。より具体的には、リン脂質分子は、二つのテール（tail group）と一つのヘッド（head group) の三つの残基（residue)3からなる（図 5）。この三つを部品として、組みあわせて様々な脂質分子を作るわけである。
リン脂質を並べて生体膜の 3 次元座標を作るには、いくつかモデリングソフトや
Web site があるが、その中で最も使われているのは CHARMM GUI membrane builder であろう。
http://charmm-gui.org
このサイトでは、脂質膜だけでなく、膜タンパ

図 4.1.6 水の 3 点モデル。

ク質を埋め込んだり、水やイオンの発生もできOる。これにより、リアリスティックな、生体膜の初期構造を生成できる。また、ソフト CHARMM
だけでなく、NAMD、AMBER、GROMACS など、他のROH

ソフトウェアの入力ファイルも作成できる。
[5] 水
生体分子シミュレーションでは、通常、溶媒

3

HOH

ROH
H

H
RHH

ここでリン脂質分子を分けたものを「残基（residue)」と呼ぶのは、生化学的には正しくはないと思う。おそらく、アミノ酸残基を「残基」と呼ぶのに合わせただけだろう。

90

第4章

分子動力学計算のためのモデリングとして水分子を用いることが多い。現在使われている分子シミュレーションパッケー
ジでは、いくつかの水分子のモデルから、ユーザーが選んで使うようになっている。
また、ユーザー自身が分子モデルを組んで利用することも可能である。

表 4.1.1. 代表的な３点モデルの水分子のパラメーター
SPC

TIP3P *

Flex SPC

Flex TIPS

ROH (Å)

1.000

0.9572

1.000

0.96

RHH (Å)

1.633

1.5136

1.633

1.518

θHOH (degree)

109.47104.52

109.5

104.5

KHH (kcal/mol/Å2)

-

-

39.90

38.25

-

-

527.1

529.6

Kθ(kcal/mol/radian )

-

-

37.95

34.05

QO (e)-0.820-0.834-0.820-0.800QH (e)

0.410

0.417

0.410

0.400

RO (Å)

1.7766

1.7683

1.7766

1.7825O (kcal/mol)

0.15540.15700.15540.1521

RH (Å)0000H (kcal/mol)

0

0

0

0

KOH (kcal/mol/Å2)2* Jorgensen et al. (1987)のオリジナルのパラメーターではなく、AMBER 力場に入っているパラメーターを載せた。
生体分子の溶媒としての水分子のモデルには、水素原子２つと酸素原子１つの上に部分電荷を置く 3 点モデル（図 6）が使われることが多い。表 1 に、3 点モデルの例として、SPC (Berendsen et al., 1981)、TIP3P (Jorgensen et al., 1987)、Flex
TIPS, Flex SPC (Dang & Pettitt, 1987)のパラメーターをまとめておいた。
図 6 で定義していないパラメーターを定義しておくと、KOH と KHH は結合長の力のパ
ラメーター、Kθは結合角のパラメーター、QO と QH は部分電荷、RO と RH は LennardJones (LJ) 半径、εO とεH は LJ 力の井戸の深さである。SPC と TIP3P には、K*のパラメーターがないが、理由はこれらの二つのモデルは結合長を拘束して使うことが前提になっているからである。一方、Flex SPC と Flex TIPS は、名前の通り柔らかいモデルだから、結合長がバネのように伸縮する。そして、トリッキーだが、共有結合がな
い H-H 間にも結合を設定している。また、ここで使ったすべてのモデルで、水素原子
は LJ 半径が 0 であるのにも、注意して欲しい。
水分子モデルは、まずは、その力場のデフォルトを使えばいい。AMBER や CHARMM 力
91

第4章

分子動力学計算のためのモデリング

場では、TIP3P である（ただし、CHARMM 力場の TIP3P は、原著とは違い、水素原子はLJ 半径を持っている）。
[6] イオン
溶媒中の生体分子の MD では、電荷を中和し、加えてモデルにリアリティをもたせる
ため、金属イオンを含めることが多い。このようなイオンとしては、正電荷なら Na+、
負電荷なら Cl-がよく利用される。目的によっては、、K+、Ca2+、Mg2+なども使われる。
通常、古典 MM-MD では、単原子イオンは、図 7 のよ
うに、+1 とか-1 とかの整数電荷を帯びた球として扱われる。このイオンモデルは、周囲の分子との間の電図 4.1.7 水に浮かんだ
Na+イオン

荷移動を無視しているのが問題であるが、古典 MD で電荷移動を扱うのは難しい。だから、古典 MD でのイオンは、電荷を中和するために入れるだけで、イオンと溶質や溶媒分子との相互作用や微視的構造の詳細な解
析には向かない。イオンと他の分子との相互作用は、
21 世紀の今日では、古典 MM-MD ではなく、FPMD の守備範囲である。
[7] それ以外の分子
以上で紹介した分子は、モデルと力場が用意されているので、ルーチン的に MD の計算対象になる。だが、これらに含まれない分子を扱いたければ、たとえば、General
AMBER Force Field (GAFF, Wang et al., 2004)を使うことが多い。
4.2. 初期構造
生体分子の MD 用の初期構造としては、X 線結晶回折、多次元 NMR、中性子回折、クライオ電子顕微鏡などの実験的方法により求められた、タンパク質や核酸の三次元座標を用いることが多い。これらの座標データは、Protein Data Bank （PDB）に登録されていて、インターネット上の次のアドレスより入手することができる。
http://www.rcsb.org/

オリジナルサイト（言語：英）http://pdbj.org/

日本のミラーサイト（言語：日韓中台英）PDB から得た座標をそのまま MD の入力とすることはあまりなく、通常はモデリングを行ってから MD をはじめる。というのは、PDB の構造データは、結構な数の原子の座
標データが欠けていることが多く、なんらかの方法により、これらの座標を補う必要
92

第4章

分子動力学計算のためのモデリングがあるからである。たとえば、X 線構造解析のデータには通常水素原子の座標は含まれていないし、それ以外の原子でも座標が決定できなかった場合はファイルから座標が抜けている。分解能が低いデータでは、アミノ酸残基単位で座標データが欠けていることが多い。また、最近増えて来たクライオ電子顕微鏡による構造データは、現時
点では、X 線構造解析で得られた構造に比べて分解能が低いことが多く、そのため欠損している座標が多い。よって、次節で説明するように欠損原子の座標のモデリング機能は不可欠である。
4.3. 欠損原子の発生
たいていの MD のパッケージソフトは、水素原子などの、実験的に得られていない原子の座標を発生する機能を持っている。その場合、通常、あらかじめデータベース化しておいた鋳型の構造と、入力された周囲の既知の原子座標を用いて、補っている。
もちろん、ソフトが自動発生させた座標データは全面的に信用できるわけではない。補った原子が多ければ多いほど、原子同士が重なったり、不自然なコンフォーメーションを取る確率が高くなる。したがって、MD の本計算に先立って、補った原子の部分のエネルギー極小化計算（第 7 章）を行って、歪みを除いたほうがよい。
ここでは、PEACH の自動発生機能を、グリシン残基を例にして、説明する。仮に、グリシン残基の HA2 原子の座標を発生させたいとしよう（図 1）。原子の名前は、AMBER 力場に従った(Cornell et al., 1995）。この場合、HA2 原子の前に並んでいる
三つの原子 C, N, CA の既知の座標を使う。図 1 右のよ図 4. 3.1 グリシンのモデル（AMBER 力場）

うに、座標データベースにと足りない原子の発生

は、HA2 原子についてあら
かじめ以下のデータが入っている。距離 CA-HA が

C

N

CA

C

r、角度 N-CA-HA2 がθ、

O

H

HA3

O

ねじれ角 C-N-CA-HA2 が

GLY

φ
θ

C

HA2

N

CA

HA2

r

φ。この(r、θ、φ)の組を「内部座標」と呼ぶ。図 1 で直感的にわかるように、内部座標があれば、C、N、CAの三原子の座標を用いて、HA2 の座標を一意的に決定できる。具体的な数式は、煩雑になるので省略する。
以上の方法だけでは、先頭付近の原子を発生させることができない、という問題点がある。前方に最低三つは座標既知の原子がなければ、新たに原子を発生させることができないからである。例えば、タンパク質やペプチドの場合は、図 2 の○で囲んだ、N 末端付近の四つの水素は発生させることができない。もちろん、N 末端のアミノ
93

第4章

分子動力学計算のためのモデリング酸残基が欠けていた場合は、その残基の原子座標を発生させることも不可能である。
しかも、厄介なことに、先頭付近の残基は揺らぎが大きく位置決定が難しいため、結晶構造データから抜けていることが多い。
しかし、以下のアルゴリズムを用いれば、先頭付近の原子でも自動発生できる。まず、前述のように先頭から順番に後ろまで（タンパク質なら N 末から C 末まで、核酸

図 4.3.2 先頭付近の原子なら 5’末端から 3’末端まで）、足りない原子を補っていく。次に、今度は後ろから先頭に向って、残った原子を発生させていく。この場合は、先頭から発生させるときと違って、データベース中には結合している三原子と内部座標(r、θ、φ)のデータが

H2

H3

HA

N

CA

C

H1

R

O

ない。そこで、あらかじめ作ってある分子データを参照して、発生させたい原子とね
じれ角を形成している、座標既知の原子を三つ選ぶ。さらに、その三原子との内部座
標は、「完全に伸びきった場合」の分子構造に対して、その場で計算して求める。最後に、三原子の三次元座標と求めた内部座標を利用して、通常の方法で、座標を求める。この「前から後ろまで」と「後ろから前まで」のサイクルを、繰り返すことにより、ほとんどの不足原子の座標を生成することができる。しかし、例えば三原子からなる水分子で、酸素原子の座標が既知でも、二つの水素原子の座標を発生させることができない。その場合は、あらかじめデータベースに入れておいた水素原子の座標を、酸素原子に合わせて平行移動することで、発生させる。以上の手続きにより、足りない原子は、かなり自動発生できる。
だが、連続するアミノ酸残基がすっぽり抜けているような場合は、上記程度の機能では対処できない。その場合は、高度なモデリングソフトを使って、例えばホモロジ
ーモデリングなどを行って補う必要がある。今後は、AI による座標の補完が主流になっていくだろう。
4.4. 境界条件と溶媒
ここでは、MD で利用される、境界条件（boundary condition）と溶媒（solvent）
について、説明する。
境界条件には、大別すると、非周期境界と周期境界の二つがある。非周期境界（自由境界、Non-periodic/Free boundary）とは、対象分子系が真空中に孤立しているか、または連続体の中に浮いているような条件である。一方、周期境界（Periodic
boundary）は、対象分子系の虚像（レプリカ、replica/image）が無限に広がっている
条件である。
94

第4章

分子動力学計算のためのモデリング

生体分子の MD では、普通、溶媒としては水が利用される。本節で言う「溶媒モデル」とは、4.1 節で扱った分子モデルではなく、水などの溶媒分子を、どういう形で配置するか、ということをさす。溶媒モデルは、境界条件によってさまざまなものが使われる。
以下では、非周期境界と周期境界それぞれについて、どのような溶媒モデルが利用されているか説明し、最後に、それぞれの比較を行う。
[1] 非周期（自由）境界条件
非周期境界条件では、対象分子系は、真空または連続体の中に孤立して浮かんだ状
態で計算される。図 1 に、四つほど溶媒モデルの例を挙げた。これ以外に、箱型のモデルも使うことも可能ではあるが、こちらは通常、周期境界条件で使う（次節参照）。
簡単なのは、図 1A のように、溶媒分子を陽に採り入れず、溶質分子（タンパク質など）を孤立させて扱うことである。この場合、溶媒を連続体近似することが多い。この様な溶媒モデルを Implicit solvent と呼ぶ。
これ以外の溶媒モデルは、4.1[5]のように、水分子を陽に配置する。これを、Explicit solvent と呼ぶ。
図 1B は、Shell（シェル、殻）と呼ばれていて、溶質分子を溶媒分子の殻で包み込むモデルである。シェルは、溶媒の分子数が少ない割には、悪くはない結果が得られる（Guenot & Kollman, 1992 など）。だが、今日使われることは少ない。
図 1C は、Cap water（キャップ、野球帽のこと）と呼ばれる。指定した原子（または溶質の重心など）を中心にして球状に溶媒を発生させる。溶媒分子
は、軽い束縛力（通常は調和ポテン
シャル）にで球の内部に束縛される。

図 4.4.1 自由境界での溶媒モデルの例(A) 真空、(C) キャップ (Cap)または連続体モデル

キャップは、1990 年代前半ぐらいまでは、酵素の反応部位だけを MD シミュレーションしたら、基質と結合部位(B) 殻 (Shell)(D) 液滴 (Droplet)の自由エネルギー計算を行ったりする
場合に、よく使われた。だが、より大きい溶媒モデルが可能となった現在では、ほとんど使用されない。
図 1D は、液滴（Droplet）と呼ばれ、このモデルでは、生体分子は、球でスッポリとおおわれる。液滴とキャップの違いは、溶質分子の全体を覆うか、一部だけ覆うかである。溶媒分子は、キャップと同様に、なんらかの束縛力で、球内に閉じ込められる。溶媒の液滴モデルは、何かの理由で周期境界が使えないときには、今日でも用い
95

第4章

分子動力学計算のためのモデリングられる。
Shell や Droplet 型の溶媒モデルで、溶媒

図 4.4.2 溶媒分子の束縛

分子の蒸発を避るために、MD や EM を行う際に、束縛力を掛けることが必要になる。喩

A. Harmonic restraint

えるならば、「ゴムでできた壁」を作っUて、水が出て行かないようにしているわけRだ。束縛の方法を図 2 に示す。Shell の場合は溶質分子の表面4からの距離が、液滴(キricR
B. Lennard-Jones restraint

5ャップ)の場合は球の中心 からの距離が Rの位置に、壁を置くことにする。ここで、溶媒分子が壁の外、つまり図 2 のグレーゾーンに入った場合、束縛力を掛けて、溶媒rを柔らかく押し戻すようにしておく。こうすれば、溶媒が蒸発することはない。
ここで利用される溶媒分子の束縛力として、例えば、調和型ポテンシャル(Harmonic

図 4.4.3 束縛ポテンシャルの例

restraint、図 3A）や、Lennard-Jones

A. Shell（LJ）型ポテンシャル(Lennard-Jones

B. Droplet

restraint、図 3B）を利用する。まず、調和型
ポテンシャルだが、溶媒分子の構成原子 i に以R

下のポテンシャルを掛ける。ただし、K は力のR定数、ric は、原子 i と束縛中心（Droplet の中
心や最近接原子）の距離、R は上述の壁と束縛中心間の距離、max[x,y]は x と y のうち大きい方の値を取る関数である。
𝑈 = 𝐾(𝑚𝑎𝑥[0, 𝑟𝑖𝑐 − 𝑅])2 (4.4.1)
一方、LJ 型ポテンシャルは、次式の形である。
𝜎 12
𝜎 6− 2( ) ]𝑠𝑠

𝑈 = 𝑐𝜀 [( )(4.4.2)

ただし、
𝑠 = 𝑅 − 𝑟𝑖𝑐 + 𝜎

4(4.4.3)

Shell 型溶媒の場合、溶質分子の表面からの距離とは、「問題の溶媒分子と、それに最も近い溶質分子内原子の間の距離」として定義する。
5

Cap 型（Droplet 型）の溶媒の中心の選び方は、たとえば、(1)の位置、(2) 空間に固定された特定の xyz 座標、そして、(3)Droplet の場合は、(3)溶質分子の中の特定の原子

溶質分子の重心、などがある。

溶質分子の重心を中心に選ぶのが、一番問題がない。

96

第4章

分子動力学計算のためのモデリング

εとσは対象溶媒粒子の力場パラメーター（LJ ポテンシャルの井戸の深さと半径、第5 章 5.3 節）をそのまま用いる。c は力の強さを決める任意定数。このポテンシャル
は、粒子が球の外に出ようとすると急激に押し戻すのに対し、中にいる場合は、ゆるく外側に向けて引っ張られるようになっている。なお、以上の二つと違って、球外の水の影響をポテンシャルに繰り込んでいるポテンシャルもある。有名なのは、Beglov& Roux (1994) によって提案された Spherical solvent boundary potential (SSBP)であろう。詳細は、原報を参照して欲しい。このポテンシャルは、MD ソフトウェア
CHARMM に導入されている。
さて、液滴を使うと、溶媒分子（水）が中心付近に凝集してしま

図 4.4.4 水の凝集と偏りう、という問題点がある。図 4 に模式的に示すように、初期構造で水を球内に万遍なく配置しておいても、MD を行うと、凝集して、偏りができてしまう。時間平均を取ると、
水が、中心は高密度に、端は低密度に分布する、という結果になる。この現象については、系統立てて解析した論文は筆者が調べた範囲では見当たらなかったが、MD の専門家の間では、液滴のアーチファク
トとして、ささやかれていた。原因は、「水を外から引っ張る力がないから」と言われている。特に、式 1 のバネ型の束縛ポテンシャルの場合に顕著である。実は、式(2)の LJ 型ポテンシャルはこの問題を回避するために導入した。LJ 型ならば、内部の水全てに外向きの力が掛かるからである。調和型と LJ 型による水分子の分布の比較だが、筆者自身の内部データとして、調べたことがある（付録 4A1）。結論を書くと、「LJ 型の場合、式(2)の係数 c を 16 ぐらいにすれば、内部への凝集は緩和される。だが、この場合、球の外壁に高い水分子の壁ができるという、別のアーチファクトが生ずる」。つまり、一難去ってまた一難、もぐら叩きである。
というわけで、特別な理由がない限り、非周期境界ではなく、次の周期境界を利用したほうがよい。
[2] 周期境界条件
周期境界条件では、対象分子系（物質）を基本ボックス（実像）の中に入れ、その基本ボックスの複製（虚像 image）を、実像の周囲に、周期的に発生させる。そして、実像内の物質に対して、実像内だけでなく、虚像からの力の寄与も計算する。この方法では、表面が真空に露出しないため、Bulk の溶液の効果を再現できる。今日のMD 計算は、標準的には、周期境界で行われている。

97

第4章

分子動力学計算のためのモデリング

図 5 に周期境界における溶媒モデルを示した（図は 2 次元だが、実際は 3 次元である）。どれも、中央の基本ボックスに溶質と溶媒分子を入れて、その周囲の無限個の虚像からの力の寄与を

図 4.4.5 周期境界条件計算する。溶液中の MDの場合は、(A)の直方体(A) 直方体が最も頻繁に用いられ(B) 斜方体る。(B)の斜方体（平行6 面体）は、固体結晶のMD には必要だが、溶液では不要（ただし、用いて悪いわけではない）。これら以外に、
基本セルの形状として、14 面体（truncated octahedron, Yang et al., 2001 など）や 6 角柱（hexagonal
prism, Harte et al., 1992 など）が、溶媒分子の数を節約できるため、時々用いられる。また、3 次元系に対する 2 次元周期境界条件での MD も開発されている（Kawata
et al., 2002, Yoshii et al., 2020、など）。
このように、周期境界条件と言ってもいろいろあるのだが、通常は直方体を用いる
ので、以下では、「直方体の溶媒モデルを用いた場合の 3 次元周期境界条件」を示すことにする。
周期境界条件での相互作用計算は、最近接粒子法（minimum/minimal image
method/convention, Metropolis et al., 1953）と呼ばれる方法で行うことが多い。
図 6 のように、基本ボックス（実像）内の原子 i に対して、別の原子 j が及ぼす力を計算するとしよう。最近接粒子選択法では、粒子 j の実像と 26 個の虚像 j'（図は 2次元だが、実際は 3 次元）の計 27 個の中から、距離が i に一番近いものを選び（図 6では、j8’）、その”最近接粒子”と i との相互作用だけを計算する。この方法の実装はいくつもの方式が考えられる（Allen & Tildesley, 2017)が、以下に一例を挙げておく。
コード 4.4.1: 周期境界条件での最近接粒子選択法
xij = xi - xj
xij = xiｊ - xbox * ANINT(xij/xbox)

98

第4章

分子動力学計算のためのモデリング

変数 xbox は、基本ボックスの x 方向の辺の長さである。ANINT(w)は Fortran の組み込み関数で、引数 w の小数部分を四捨五入した整数を返す。コ

図 4. 4.6 最近接粒子の選択。ここでは j8’が最近接。

ード 1 では x 成分のみを扱っているが、y 成分、z
成分についても同様の操作を行う。
なお、最近接粒子選択は、近距離力の計算方法である。周期境界での遠距離力の計算方法は、第６章で詳しく説明する。
周期境界で MD を走らせている間に、「分子が箱の外側に出てしまった」場合は、「分子の先頭原子が、箱をはみ出したら、分子全体を箱の逆に移動させる」という方法で対処する（図 7）。この操作を imaging（イメージング）または wrapping（ラッピング）と呼ぶ 6。そのような場合でも、原子毎に最近接粒子を選択して力を計算すれば、連続的に MD を走らせることができる。ただし、長距離力（特に静電相互作用）の場合は、力が不連続になる、という問題が生ずる。この件についての詳しい議論と対処法については、第 6 章で扱う。また、トラジェクトリーの解析の際に、ちょっとした工夫が必要になることもある。こちらは、第 11、12 章を参照。
なお、イメージングしても運動量（線運動量）は保存するが、角運動量は、保存しない。もっとも、イメージングしないときでも、そもそも周期境界では角運動量は保存しない。詳細は、第 6 章の付録 6A2 参照のこと。
[3] 境界条件と溶媒モデルの MD に及ぼす影響
以上、境界条件と溶媒モデルについ図 4.4.7 周期境界での分子の移動（イメージング）て、概説した。ここでは、これらの方法の特徴を比較する。
境界条件に関わらず、溶媒分子を陽に採り入れない場合
は、計算結果に問題が多い（Komeiji et al., 1991, Saito, 1992 など）。よって、「生体分子の安定構造付近のリアルな挙動を解析する」ための all atom MD では、今

6

AMBER のマニュアルでは wrapping を使っている。こぼれ落ちた分子を包む、みたいな意味だ

ろう。

99

第4章

分子動力学計算のためのモデリング

では、行われない。ただし、フォールディングの MD を長時間行う場合は、計算時間の節約のため、溶媒の連続体近似が行われることもある。たとえば、Bursulaya &Karplus (2000)は、陽に水分子を採り入れた場合と、水分子なしで Generalized Born
近似という連続体近似を使った場合での、Betanova タンパク質の自由エネルギー空間を比較し、ほば同様の結果を得たことを報告している。一方、Zhou & Berne (2002),
Zhou (2003)は、似たような計算をβヘアピンで行って、まったく違う結果を報告している。また、Nymeyer & Garcia(2003)は、Generalized Born 近似と溶媒分子を陽に採り入れた場合は、α-へリックスのコンフォーメーション分布に差がでることを報告している。溶媒の連続体近似については、Simonson (2001)、Król(2003)、Feig &Brooks (2004)などに、論文が多く紹介されている。なお、All atom MD ではなく、疎視化 MD では溶媒の連続体近似が良く使われる。
非周期境界で、溶媒分子を直接採り入れる場合は、筆者が知る限り、三つほど問題点がある。その 1：溶媒の表面が真空に露出してしまう (Rapaport, 1995; Frenkel &Smit, 1996)。この表面露出が、水や溶質の構造や運動に及ぼす影響については、筆者の知る限り、系統的な報告はないようである。だが、経験的には、周期境界に較べ
て、溶質分子の揺らぎが小さくなる傾向にある。その 2：すでに述べたように溶媒分子が凝縮してしまう（付録 4A1 参照）。その３：FPMD で電子状態を計算する場合、表面と内部で水の電子状態、たとえば電気双極子などが変わってしまう（Komeiji etal., 2007）。
そんなわけで、非周期境界にはいろいろ問題があるので、周期境界のほうが、“一般的には”良い方法であると言える。
その一方、そもそも周期的に並んでいない分子を周期的に扱うことによる問題点もあるはずである。つまり、周期境界は、溶媒分子が表面に露出するのを避けるためのみに存在意義がある。結晶中ならともかく、溶媒中の分子のふるまいを調べる場合、周期性は不要な存在である。
その周期性の問題点に関しては、以前は論文が数多く発表された。Smith & Pettitt(1996) , Smith et al. (1997)、De Souza & Ornstein (1997), Villarreal &Montich (2005)などは、問題なさそうだとしている。一方、Hünenberger & McCammon(1999)は、周期境界の問題点を、溶媒の連続体近似を用いて理論的に解析し、「溶媒の誘電率が低い場合」「溶質の大きさが基本セルに対して無視できない場合」「溶質の電荷が 0 でない場合」は、周期境界の問題が出てくる、と結論した。同じグループからの続報では(Weber et al., 2000)、溶媒分子を陽わに考慮してα-ヘリックスの安定性を箱の大きさを変えて調べており、「箱が小さすぎるときは、人工的な周期性のせいでα－ヘリックスの安定性が増してしまう」ことを示した。彼らは、さらにKastenholtz & Hünenberger (2004)で、様々な系について、周期境界の影響を詳細に解析している。Higo et al. (1999)は、陽わに溶媒分子を取り入れて、溶媒の壁とタ
100

第4章

分子動力学計算のためのモデリング

ンパク質との最小距離を様々に変えて周期境界条件でタンパク質の MD を行い、結果を比較した。彼らは、タンパク質部分に注目するならば、最小距離が 6Å程度でも問題がないが、溶媒分子の並進拡散を調べるなら 10-12Åが必要、さらにタンパク質の溶媒分子への長距離の影響を調べるにはより大きな箱が必要、と結論した。また、Mark& Nilsson (2002)は、水分子の動径分布関数と拡散係数への箱の大きさの影響を調べた結果、前者はあまり左右されないのに対し、後者は依存性があることを示した。な
お、箱の“形”による結果の変化を調べた論文もある(Wassenaar & Mark, 2005)。
このように、周期境界条件によるアーチファクトは、どの分子のどういう物理量を計算するかに左右される。本来は、「基本セルの大きさを変えて何通りか MD 計算を行
い」「対象とする物理量が変わらないこと確かめて」結論を出すべきである（もっとも、現実には、そこまで計算する余裕がないことが多く、筆者もあまり真面目に検討したことがない）。
まとめると、溶媒モデルと境界条件は、MD と目的と対象により、それぞれ問題点を抱えており、どれがよいと白黒つけることはできない。しかし、一般論を言うと、上記の検討の結果、今日では、溶媒分子（Explicit water）を配置して周期境界を使うのが標準的な選択になっている。
4.5. 系の電荷の中和
MD の対象の物質系は、通常は、電荷を中和するために、0 に設定する。特に、第 6章で詳しく説明するように、周期境界条件で静電相互作用をエワルド法で計算する場
合は、電荷中和は必須である（第 6 章）。一方、非周期境界条件の場合は、絶対必要というわけではないが、やはり中和することが多い。以下に中和方法をいくつか紹介する。
[1] イオンの発生
通常使われる中和方法は、計算対象の溶質分子の電荷をイオンを発生させることである。例えば、溶質のタンパク質が+10 の電荷を帯びているなら、10 個の－イオン、
例えば Cl-を発生させる、ということ。
イオンの発生方法は、プログラムにより違う。例えば、溶質と発生させるイオン間の静電相互作用が最小になるような位置の溶媒分子を選んで、それとイオンを置換して発生させたりする（PEACH はこの方式）。結果として、荷電アミノ酸残基やヌクレ
オチドの近くに発生することが多い。あるいは、乱数を使って全くランダムに配置す
る、デバイ＝ヒュッケル理論に沿って配置する、などの方法もある。
なお、どのように初期配置を置いても、実際に MD を行うと、イオンは一か所にはとどまらない。たとえば、タンパク質の周囲では、荷電残基の近くにイオンが留まるこ
101

第4章

分子動力学計算のためのモデリングとは稀で、平均的には溶質を遠巻きに取り巻くような配置になることが多い。結局、
MD を充分長い時間走らせれば、イオンの初期配置に左右されない結果が得られるはずである。
発生方法はいろいろあるが、ともあれ、イオンを使うのが、一般的な中和方法である。
[2] 溶質分子の電荷の調節
仮に、あるタンパク質が、全体で+2 の電荷を帯びていたとする。その時は、合計-2の電荷をタンパク質のそれぞれの部分電荷に均等に加えれば、電荷を 0 にすることができる。タンパク質の分子量１万につき、電荷の絶対値が 1-2 程度までなら、この方法も使えなくはない（Komeiji et al., 1994）。だが、電荷がこれよりも大きくなると構造が崩れたりするし、そもそも恣意的な方法だから、推奨しない。単に、便法の一つとして紹介しただけで、今日では、この方法を使うことは稀である。
[3] アミノ酸の荷電状態の加減
アミノ酸の中には、側鎖の荷電状態が pH や環境によって変化するものがある（Glu,Asp, His、Arg など）。それを適当にいじって、中和することもできる。もちろん、この方法も恣意的だから、あまり薦めないが、ときには便利なこともある。
4.6. 生体分子のモデリングの実際以上のテクを駆使して、MD の入力構造を作るわけだが、ここでは、all atom の MM-MD のための、タン
パク質や核酸など生体分子のモデリングの例を挙げておく。

図 4.6.1 真空中のタンパ
ク質（BPTI)。PDB ID:
6PTI をそのまま、
Chimera 1.1 で表示。

図１は、生体分子を真空中、または連続体の中に置いただけのものである。1980 年代はこのモデルが主流だったが、今日では、特別な目的以外では、All atom
MM-MD の対象になることは、ほとんどない。
やがて、Wong & McCammon (1986)などを皮切りに、
図 2 のように、生体分子を explicit solvent に浸すことが普通になっていった。溶質の生体分子は、当初は
図 2A のような単量体が多かったが、次第に図 2B のような分子複合体が計算対象になっていった。これらは、大体、数千から数万原子ぐらいの大きさである。

102

第4章

分子動力学計算のためのモデリング

世紀が移り変わる頃には、膜タンパク質も計算対象にな

図 4.6. 2 溶媒中の生体分子。A. 箱型溶媒中のっていった。例として、アクBPTI（PDB ID: 6PTI）。B. 球形溶媒中のDNA/タンパク質複合体（同：1C8C）。イオンは球

アポリン 1（Aquaporin 1、Sui et al., 2001)を、1palmitoyl-2-oleoyl-sn-

で表示。PDB ファイルを元に、PEACH_8.5 でモデリングし、Chimera 1.1 で表示。

glycero-3phosphoethanolamine（POPE）の脂質二重膜に埋め込み、さらに溶媒水とイオンを加えて作成したモデル構造を挙げておく（図 3）。このように、膜タンパク質のモデ
リングは、水溶性タンパク質に比べて格段に複雑だが、モデリング手法や計算機の発達のおかげで、イオンチャネル（Suenaga et al., 1998、Jensen et al., 2010）、ト
ランスポーター（Watanabe et al., 2010）などの、生体膜を通じて重要な生物機能を担うタンパク質も、MD の解析対象になった。また、SARS-CoV-2 ウィルスが 2019 から世間を騒がせているが、そのスパイクタンパク質の MD
では、エンヴェロープ（脂質二重図 4.6.3 溶媒中の膜タンパク質。アクア
ポリン 1/生体膜/イオン/溶媒水。PDB
1J4N を基に VMD でモデリング（画像提供：慶應義塾大学・山本詠士専任講師）。

膜）に、糖鎖で修飾されたタンパク質を差し込んで、水とイオンで取り囲む、という、複雑なモデリングが必要になる（Barros et al.,2020、など）。
さらに、2010 年以降は、ウィルス
や細胞質などの、巨大な分子混雑系の MD 計算もなされるようになった。Andoh et al. (2014) は、水溶
液中のポリオウィルスのカプシド（殻）の 700 万体系の MD を行った
し、Isseki et al. (2016) は、細胞質の中に、タンパク質やら基質分子やら、様々な分子が溶けた、１千万体系を対象としている。
このように、MD の対象が大きく複雑になるにつれ、ソフトのモデリング機能も高度
103

第4章

分子動力学計算のためのモデリング化しつつ、今日に至る。これは、生体分子の MD が、単に個々の分子の物性や構造を調べるツールから、分子集合体が織りなす、「生物学的現象」の解析ツールへと、進化して来たことを反映している。
第 4 章のまとめ
以上、第 4 章では、MD 計算に始めるための準備段階について説明した。古典 MD では、分子を、電荷を持った球（原子）がバネか棒で繋がったものとして、モデル化し計算する。まず、初期構造を PDB などから入手するが、大抵、そのままでは MD 計算を始めることができない。そのため、水素原子など足りない原子や残基をモデリングして発生させる。さらに、溶媒やイオンを加えることも多い。
以上で説明した、入力構造のモデリングは、MD の一連の作業の中でも、特にハードルが高い。逆に、ここをクリアできれば、あとの作業は、比較的スムーズに進むことが多い。

付録 4A1. 水球の束縛ポテンシャルの問題点
孤立系の水球を用いて MD を行うと、球内に水が図 4A１. 1 計算対象の水球

平均的に分布せず、片寄ってしまうことが多い。
それがどの程度が、確かめてみた。具体的には、
水を Harmonic な束縛ポテンシャル（4.4.1）と LJ様のもの(4.4.2)の二つで束縛して、その密度分布を調べた。
Harmonic ポテンシャルの力の定数 K は任意パラメーターであるが、ここでは、0.75 kcal/mol/Å2に固定している。一方、LJ 様ポテンシャルで、εとσは対象粒子の力場パラメーター（LJ の井戸の深さと半径）をそのまま用いる。c は力の強さを決める任意定数。今回は、この c の値をいろいろに変えて、粒子の分布を調べてみた。TIP3P 水の水球（図 1）を対象に、
古典 MD を行い、水の分布を調べた。TIP3P モデルでは、水素は LJ 力を受けない（ε、σともに０）ため、LJ 様束縛は、酸素原子のみに掛かる。

104

第4章

分子動力学計算のためのモデリングMD は、PEACH7.8 を用い、125 個の水を半径 Rc=10Å内に閉じ込め、50 ps の昇温のあと、300K で 1 ns になるまで行った。定温アルゴリズムは Nose-Hoover chains（粒子5 個）、分子形状の拘束は RATTLE、時間刻み幅は 1 fs を用いた。得られたトラジェク
トリーのうち、50-1000 ps 間の 0.1 ps 置きの構造を用いて（計 9500 サンプル）、水
分子の球内の分布を計算した。

図 4A１. 2 水の酸素原子の密度分布。球の中心から距離Åの関数として表示。
2

Normalized Water distribution

1.8

HARMONIC
LJ 1
LJ 2
LJ 4
LJ 6
LJ 8
LJ 16

1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0

1

2

3

4
5
6
7
Distane from the center

8

9

10

11

結果の、Harmonic ポテンシャルならびに LJ ポテンシャル(c=1, 2, 4, 6, 8, 16)を用いたときに、球の中心からの水の密度分布を示す（図 2）。このグラフは平均密度で正規化してあるので、1 以上は高密度、1 以下は低密度と判断される。
Harmonic ポテンシャルの結果は黒の太線だが、これから、球の端から 2Åまでは、有意に密度が低いのがわかる。逆にそれより内側は、わずかに密度が高くなっている。図 4.10 で模式的に示した水の片寄りが、定量的に示されたわけである。ただし、少なくともこの例では、8Å以内の水分布はほぼ一定で、端の影響は少ない。
一方、LJ 様ポテンシャルであるが、グラフからわかるように、c の値が大きくなる
につれ、壁の 10Åにピークが出るのが分かる。c=1-6 までは、9Å以下の分布に影響がなく、Harmonic の場合とほとんど同じである。だが、c が 8 以上になると、ピークが高くなり、結果、9Å付近に谷ができる。c=16 では、境界付近の構造がさらに内側に影響を及ぼし、７Å付近にピークができている。
このように、LJ 様ポテンシャルを使っても、Harmonic ポテンシャルの場合と水分布が大きく変わらないこと、また、c を大きくして LJ ポテンシャルを強くすると、逆に境界付近に水の壁ができて、それが内側に影響を及ぼしてしまうことが分かった。球形の溶媒モデルを使う場合は、考慮されたし。

105

第4章

分子動力学計算のためのモデリング

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Fast multipole method for three-dimensional

systems with periodic boundary condition in two directions.
Zgarbova, M., Otyepka, M., Sponer, J., Mladek, A., Banas, P., Cheatham, T.
110

第4章

分子動力学計算のためのモデリングE., Jurecka, P. (2011), J. Chem. Theory Comput. 7, 2886–2902.
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Zhou, R. (2003), Proteins 53, 148-161. DOI:10.1002/prot.10483.

Free energy

landscape of protein folding in water: explicit vs. implicit solvent.

111

第5章

力とポテンシャルの計算（前） 基礎

第 5 章 力とポテンシャルの計算（前） 基礎
第 5 章と第 6 章では、全原子 MD（古典 MD、MM-MD）に使用される力とポテンシャルの計算方法を説明する。以下、力とポテンシャルを総称して、「相互作用」または単に「力」と呼ぶことにする。この第 5 章
では、分子内・分子間相互作用の力場パラメーターの概要を説明する。次の第 6 章では、計算方法の実装
を、特に非共有結合力（分子間相互作用）を中心に紹介することにする。

内容
第5章

力とポテンシャルの計算（前）基礎

112

5.1. 分子力場.......................................................... 112
5.2. 共有結合力（分子内相互作用） ...................................... 115
5.3. 非共有結合力（分子間相互作用） .................................... 119
5.4. 電子状態から見た分子力場 .......................................... 121
第 5 章のまとめ ......................................................... 125
付録 5A1 結合長の量子力学と古典力学 ..................................... 125[1] 調和振動子の理論（ミクロカノニカル集合） ......................... 126[2] 調和振動子の理論（カノニカル集合） ............................... 132[3] 分子内共有結合の振動状態の解析 ................................... 135[4] 自由 MD と拘束 MD の比較 ........................................... 139
付録 5A2 エルミート多項式 .............................................. 141
第 5 章の参考文献 ....................................................... 141
5.1. 分子力場
すでに何度も述べたように、MD や EM においては、時間ステップ毎に、物質の構成
原子に掛かる力を計算しなければならない。特に、MM-MD では、力を、分子構造（原子座標）の関数として、力の定数（力場パラメーター）を用いて計算する。そのため、毎回電子状態を解いて力を計算する FPMD や QMD に比べて、桁違いに高速である。
MM-MD で利用される力の関数形とパラメーターは、計算対象等により違いがある。中でも、タンパク質や核酸などの生体分子用には、古くから何種類ものパラメーターの
112

第5章

力とポテンシャルの計算（前） 基礎

セット（分子力場, Molecular mechanics force field、 MM-FF、あるいは単に力場、FF）が開発、改良され続けている。「力場」についての総説は、Ponder & Case(2005)、Mackerell (2004)、Cieplak et al.(2009)などを参照。力場パラメーター
は、第 4 章で説明した分子モデルに対してあてはめられる。つまり、例えば、「タンパク質の、あるアミノ酸の主鎖の N 原子の部分電荷は-0.2 とする」みたいに、決まっている。
力場の関数形とパラメーターの値は、種類によって異なるが、本書では、第４章と同様に、AMBER 力場の中の、2019 年時点での最新版 ff14SB（Maier et al., 2015）を例に挙げて説明する。
AMBER 力場では、N 個の原子からなる物質のポテンシャル U(r1, r2, …, rN)を、式(1)で表わす1 。この式と次節以降の説明を、漫画的に表現したので（図 1）、合わせて参照のこと。ただし、式(1)も図 1 も、式中の和の範囲や添え字はかなり省略してい図 5.1.1 MM 用の分子モデルと力場るので、正確なものは次節以降を見てほしい。また、式(1)の力場では、原子の電荷は変化しない、「固定電荷」を使っている。一方、分子の構造変化に応じた電荷分布変化や分極を取り入れた力場は、「分極力場（Polarizable FF）」と総称されるが、それについては 5.4 節で軽く触れるにとどめる。

U(r1, r2, …, rN)= ∑ 𝐾𝑏 (𝑟𝑖𝑗 − 𝑟𝑒𝑞 )12

分子内：結合長 bond

この関数形は、基本的には AMBER ff95 (Cornell et al., 1995)を踏襲している。この AMBER

ff95 は、その後の AMBER 力場の鋳型となった、重要な力場である。

113

第5章

+ ∑ 𝐾𝑎 (𝜃𝑖𝑗𝑘 − 𝜃𝑒𝑞 )2

力とポテンシャルの計算（前） 基礎

分子内：結合角 angle+ ∑ ∑4𝑛=1 𝑉𝑛 (1 + 𝑐𝑜𝑠(𝑛∅ − 𝛾𝑛 ))分子内：ねじれ角 torsion(二面角 dihedral)𝑅𝑖𝑗+ ∑𝑖>𝑗 𝜀𝑖𝑗 ((+ ∑𝑖>𝑗

𝑟𝑖𝑗

12

)

𝑅𝑖𝑗

− 2(

𝑟𝑖𝑗

6

) )

𝑞𝑖 𝑞𝑗

分子間：レナード＝ジョーンズ (LJ)
分子間：静電力 electrostatic𝑟𝑖𝑗(5.1.1)式(1)に出てくる、Kb、req、 Ka、θeq、qi などは、相互作用（力とポテンシャル）の計算時の必要な定数（パラメーター）であるが、この定数の組（パラメーターセット）を「力場」と呼びならわしている。原子に掛かる力は、式(1)のポテンシャルエネ
ルギーを距離微分して求める。
𝐟𝑖 = −𝛁𝑖 𝑈(5.1.2)

本章の残りでは、力場(1)のそれぞれについて、数式を用いて説明する。その際に原子の結合

図 5.1.2. 原子の結合位置

位置（結合距離）を図 2 で定義する。基準とする原子の位置を 1 と定義する。1 と共有結合している原子は 2 の位置、その隣は 3 の位置、その隣は...というように番号を振る。結合位置を使って、共有結合原子対（ペア）は 1-2 原
子対、間に別の原子が一つ入っているペアは 1-3 原子対、二つ入っているペアは 1-4
原子対、以遠ならば 1-5 原子対、と分類することができる。
分子のポテンシャルエネルギー（式 1)の各項のうち、結合長、結合角、ねじれ角
は、共有結合関連の相互作用で、1-2-3-4 の結合位置の原子間のみに適用される。総称で、「共有結合力（bonded interactions）」または「分子内相互作用(intramolecular interactions)」と呼ぶ2。共有結合力の計算コストは、N 体系の場合
は O(N)である。
一方、LJ や静電相互作用は、共有結合とは直接関係ないので、「非共有結合力（nonbonded interactions）」または「分子間相互作用（intermolecularinteractions）」と呼ばれる。共有結合していない分子の原子間はもちろん、同じ分

2

ここでの言葉の使い分けには、文脈により注意が必要。共有結合力というと、単に「結合長」の伸縮ポテンシャル(5.2.1)を示すこともある。一方、分子内力というと、共有結合力だけ
でなく、分子内の LJ や静電力まで含んでしまうこともある。

114

第5章

力とポテンシャルの計算（前） 基礎

子内でも 1-5 以上の距離の原子間に適用される。また、1-4 の位置にある原子間についても、値を小さくした上で、計算される（1-4 非共有結合力、1-4

図 5.1.3 相対ベクトルと相互作用の方向の定義

nonbonded interaction）。非共有結合力は、特に工夫しないで計算すると（naïve implementation）、O(N2)の時間が掛かる。
以下で、ポテンシャルと力に関する数式を説明するにあたり、序の注記 4 から、相対ベクトルと力に関する部分を再掲しておく。質点（この場合は原子）i, j 間の相対ベクトル rij は、図 3 のように「j から i への」ベクト
ルとして定義する。
𝐫𝑖𝑗 = 𝐫𝑖 − 𝐫𝑗 = (𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 , 𝑦𝑖 − 𝑦𝑗 , 𝑧𝑖 − 𝑧𝑗 )イタリック表記の rij は、i j 間の距離を示す。
222
𝑟𝑖𝑗 = |𝐫𝑖𝑗 | = √𝑥𝑖𝑗
+ 𝑦𝑖𝑗
+ 𝑧𝑖𝑗

力も同様に、j から i に働く力を fij と書く3。
以下、それぞれの相互作用について、表式や理論的背景などを説明する。
5.2. 共有結合力（分子内相互作用）[1] 結合長 (bond)
1-2 の位置にある共有結合原子対 i,j 間のポテンシャルは、調和近似をして、結合長をだいたい一定値に保つ。配位結合は、共有結合に近い性質を持つため、同様に計算することが多い。力場

図 5.2. 1 共有結合

パラメーターは平衡核間距離 req と力のバネ定数 Kb である。これらのパラメーターは、実験で得られた分子や振動数から求める
か、または量子化学計算にフィットして求める。
𝑈 = 𝐾𝑏 (𝑟𝑖𝑗 − 𝑟𝑒𝑞 )32(5.2.1)

実は、筆者の前著「分子システムの計算科学第 2 章」では、二つの定義 rij=ri-ri と rij=rｊ-riとを、力の種類によってごちゃまぜにしてしまったことを、本書を書いていて、初めて気が付いた。我ながら、不注意だった。そんなわけで、本書の力の表式のいくつかは、前著と符号が変わっているので、注意して欲しい。

115

第5章

𝐟𝑖 = −𝐟𝑗 = −2𝐾𝑏 (𝑟𝑖𝑗 − 𝑟𝑒𝑞 )𝐫𝑖𝑗

力とポテンシャルの計算（前） 基礎(5.2.2)𝑟𝑖𝑗とあっさり書いてしまったが、常温付近の生体分子や有機分子の共有結合長はバネのように変化するものではなく、ほとんどは、基底状態である。そのせいもあって、結合長は、式(1)のポテンシャルで計算するのではなく、8 章で紹介するアルゴリズムを使って、一定値 req に拘束するほうが普通である。ただし、それで本当にいいのか、と言い出すとなかなか難しい。詳細は、付録 5A1 を参照。
[2] 結合角（angle bending）
1-2-3 の位置にある三つの原子 i,j,k の作る角θに関しては、以下のように調和近似の相互作用を割り当てて、角度を大体一定に保つ。まず、問題の結合角θ（ラジアン）は、
𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝐫𝑖𝑗∙ 𝐫𝑘𝑗

図 5.2.2 結合角𝑟𝑖𝑗 𝑟𝑘𝑗を計算してから、逆余弦関数を使って(Fortran では ACOS 関
数)、𝜃 = 𝐴𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑐𝑜𝑠𝜃)
以下の範囲の主値として求める。
0≤𝜃≤𝜋
ポテンシャルと力は、以下で求める。
𝑈 = 𝐾𝑎 (𝜃 − 𝜃𝑒𝑞 )2𝐟𝑖 = 2𝐾𝑎 (𝜃 − 𝜃𝑒𝑞 )(5.2.3)𝐫𝑘𝑗
𝐫𝑖𝑗
1( − 𝑐𝑜𝑠𝜃 )𝑟𝑖𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑟𝑘𝑗
𝑟𝑖𝑗

𝐟𝑘 = 2𝐾𝑎 (𝜃 − 𝜃𝑒𝑞 )

1

(

𝐫𝑖𝑗

𝑟𝑘𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑟𝑖𝑗− 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝐟𝑗 = −𝐟𝑖 − 𝐟𝑘

𝐫𝑘𝑗
𝑟𝑘𝑗

)

(5.2.4a)(5.2.4b)(5.2.4c)式(4ab)を見ると、sinθが 0 付近、つまり、θが 0 かπ (180°)付近は、力の計算が数値的に不安定になることがわかる。それを回避するために、プログラムに例外処理を設ける必要がある。ただし、この特異点の問題を回避するための公式が開発されている（Swope & Ferguson, 1992）。筆者は実装したことはないが、今からプログラム
開発する方はこちらを試して欲しい。
[3] ねじれ角（二面角）
1-2-3-4 の位置にある四つの原子 i, j, k, l は「ねじれ角（torsion angle）」または「二面角 （dihedral angle）」を形成する、これによる相互作用は、次のように
116

第5章

力とポテンシャルの計算（前） 基礎計算する。

図 5.2.3 ねじれ角

図 3 に、原子 i, j, k, l によって作られるねじれ角Φの定義を示す（このように、二つの平面の為す角なので、二面角とも呼ばれるわけ）。ただし、-π＜Φ≦π（-180°＜Φ≦180°）とする。
この図に従い、原子座標 ri、rj、
rk、rl から、φを計算する。まず、rji と rjk とに垂直なベクトルa1 と、rjk と rlk とに垂直なベクトル a2 を、外積（ベクトル積×）を使って求める。
𝐚1 = 𝐫𝑗𝑖 × 𝐫𝑗𝑘
𝐚2 = 𝐫𝑗𝑘 × 𝐫𝑙𝑘
a1 と a2 は、それぞれ、二つの平面の、規格化していない法線ベクトルである。よって、φは a1 と a2 のなす角だから、𝐚 ∙𝐚𝑐𝑜𝑠𝜙 = 1 2
𝑎1 𝑎2

であるが、-π＜φ≦πの条件でφを求めると、
𝜙 = −𝑠𝑖𝑔𝑛(𝐴𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑐𝑜𝑠𝜙) , 𝐫𝑘𝑗 ∙ (𝐚1 × 𝐚2 ))ただし、sign(x,y)=(y の符号)|x|。Fortran の組み込み関数 SIGN をそのまま使える。
ねじれ角φが求まれば、ポテンシャルは次式で計算する。
𝑈 = ∑4𝑛=1 𝑉𝑛 (1 + 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜙 − 𝛾𝑛 ))(5.2.5)式を見ると、このポテンシャルは n=1,2,3,4 の 4 項のフーリエ級数で表されている。
ただし、ff14 では４項が使われている、というだけで、絶対 4 項でなければならな
い、ということではない。AMBER 力場で言えば、ff94, ff96, ff99 は 1 項か 2 項で表されていて、4 項になったのはそれ以降である。今後増減する可能性もある。γn は位相（phase、0 かπ）で、Vn は振幅（amplitude、エネルギー範囲の 1/2）である。
ポテンシャル(5)を距離微分すれば、原子 i,j,k,l に掛かる力が得られる。
𝐟𝑖 = 𝑓𝑎 (𝐟𝑏 × 𝐫𝑗𝑘 )(5.2.6a)𝐟𝑗 = 𝑓𝑎 (−𝐟𝒄 × 𝐫𝑙𝑘 + 𝐟𝑏 × 𝐫𝑘𝑖 )(5.2.6b)

𝐟𝑗 = 𝑓𝑎 (−𝐟𝒃 × 𝐫𝑗𝑖 + 𝐟𝑐 × 𝐫𝑙𝑗 )(5.2.6c)

𝐟𝑙 = 𝑓𝑎 (𝐟𝒄 × 𝐫𝑗𝑘 )(5.2.6d)

ただし、
𝑓𝑎 = −𝑛𝑉𝑛𝑠𝑖𝑛(𝑛𝜙−𝛾𝑛 )𝑠𝑖𝑛𝜙(5.2.7a)

117

第5章

力とポテンシャルの計算（前） 基礎

𝐚
𝑎2

𝐚
1
𝑎1 𝑎1

(5.2.7b)

𝐚
𝑎1

𝐚
1
𝑎2 𝑎2

(5.2.7c)

𝐟𝑏 = ( 2 − 𝑐𝑜𝑠𝜙 1 )𝐟𝑐 = ( 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜙 2 )さて、式(7a)を見ると、sinφ≒0 付近が特異点になって計算できない。この問題は、筆者が PEACH を作成したときには、以下のように回避した。AMBER および OPLS 力
場に関しては、すべてγn= O or πなので、sinγn=0 である。それを利用して、(6)のfa は、n＝１,2,3,4 の場合、
𝑠𝑖𝑛(𝑛𝜑−𝛾𝑛 )𝑠𝑖𝑛𝜑= 𝑐𝑜𝑠𝛾𝑛（n＝１）= 2𝑐𝑜𝑠𝜑𝑐𝑜𝑠𝛾𝑛（n＝２）= (−4𝑠𝑖𝑛2 𝜑 + 3)𝑐𝑜𝑠𝛾𝑛（n＝３）= 4𝑐𝑜𝑠𝜑(2𝑐𝑜𝑠 2 𝜑 − 1)𝑐𝑜𝑠𝛾𝑛（n＝４）(5.2.8)を使って計算できる。すべてに出てくる cosγn は、γn= O なら１、πなら-1 である。
とりあえず、これで問題なくプログラムは動いている。

図 5.2.4 面外角（Improper torsion）

だが、あまりエレガントではないし、何よりも、γn=0,π以外の場合は計算できない。
だが、幸いなことに、sinφ≒0 付近の特異点を避ける方法が提案されている（Swope& Ferguson, 1992; Blondel & Karplus, 1996）。筆者自身は実装した経験はないが、これらを使うほうが良いかも知れない。
ところで、たとえば図 4 左のように、ijkl がこの順序に並んでいないときでも、同様の力を掛けることがある。これは面外角（improper torsion）と呼ばれているが、通常のねじれ角と同様に、式(6-8)を使って計算する。面外角は、図 4 右のように、ひっくり返った傘が元に戻る、みたいな現象を防ぐために使う。
ねじれ角のパラメーターや関数形は、特にタンパク質のフォールディングの MD において、直接結果を左右する。詳細は、Sakae & Okamoto (2010, 2013)および引用文献を参照。
以上、共有結合に起因する分子内力をざっと説明した。これらの力は、計算量は、O(N)なので、次の分子間相互作用に比べて少ない。だが、プログラムは複雑である。

118

第5章

力とポテンシャルの計算（前） 基礎

特に、並列化をする際にいろいろ考えなければいけなくなるようだ4。
5.3. 非共有結合力（分子間相互作用）
MD では、共有結合していない原子の間に働く分子間相互作用として、
Lennard=Jones 相互作用 (LJ interaction)5と静電相互作用（Electrostaticinteraction）を計算することが多い。これらは、MD では一番計算時間が掛かるため、実装では様々な工夫がなされる。だが、実装については次の第 6 章で詳しく説明することにして、以下では基本的な関数形と、その理論的背景だけを紹介することにする。
[1] Lennard=Jones 相互作用（LJ）
LJ は、次の形のポテンシャルと力を指す。
𝑅𝑖𝑗

𝑈 = 𝜀𝑖𝑗 ((

𝑟𝑖𝑗

12

)

𝐟𝑖 = −𝐟𝑗 = 12

𝑅𝑖𝑗

−2(
𝜀𝑖𝑗
𝑅𝑖𝑗

𝑟𝑖𝑗

𝑅𝑖𝑗

((

𝑟𝑖𝑗

6

13

)

(5.3.1)

) )
−(

𝑅𝑖𝑗
𝑟𝑖𝑗

7

) )

𝐫𝑖𝑗
𝑟𝑖𝑗

(5.3.2)Rij とεij が力のパラメーターで、図 1 のように、それぞれ、LJ 半径と井戸の深さを示す。このポテンシャルの下では、二つの原子は、距離 rij が Rij 以内に近づくと rij-12 に比例する強い斥力で反発しあうが、離れると、rij-6 に比例する弱い引力が働く。パラメーターεij と Rij は、原子 i と j それぞれのパラメーターから、以下の法則で作られ4並列化というと、どの論文も成書も、分子間力に関する記述ばかりで、分子内力をどう扱うか、という話をほとんど見かけない。でも、並列化しやすい分子間力だけでなく、分子内力も並列化しないと、空間分割による超並列化は達成できないはず。世のプログラムがどうやっているのか知りたいものだ。ちなみに、筆者自身が作成した PEACH は、分子内力の並列化は行っておらず、その結果、並列化効率が悪くて、超並列機では実用にならない、残念。
5

古典力場業界では、LJ 力のことを、Van der Waals (VDW)力と呼ぶことが多いが、本書では、一貫して LJ と呼ぶことにした。というのは、量子化学業界と VDW という言葉の使い方が違うからである。現在、量子化学で、VDW 力というと、5.4 節で説明するように、r-6 の依存性を持つ、配向力、誘起力、分散力の三つの引力を合わせて指すのが一般的である（米澤ら、1983、第 10 章）。その一方で、そもそも、VDW 力は、静電力も含めた、分子間に働く引力を指す言葉だという（都築、2015、第 1 章）。いずれにしても、古典力場での VDW とは違う。よって、混乱を避けるため、本書では LJ と呼ぶことにした。

119

第5章

力とポテンシャルの計算（前） 基礎

る6。
𝜀𝑖𝑗 = √𝜀𝑖 𝜀𝑗(5.3.3)

𝑅𝑖𝑗 = 𝑅𝑖 + 𝑅𝑗

(5.3.4)

図 5.3.1 ＬＪポテンシャルの例 (Ar-Ar)

パラメーターRi は原子 i の VDW 半径と呼ばれ、これ以上近づくと、急激に斥力が働く。
LJ は、図 5.1.2 の 1-5 以上の結合位置にある原子間についてだけ
でなく、1-4 の結合位置にある原子間にも適用する。ただし、特定の係数（AMBER では scnb という名前）で割って、少し弱めるので、以下のようなポテンシャルを計算することになる。
係数 scnb のデフォルト値は、ff14 の場合は、2.0。この値は、AMBER 力場でも、バージョンにより違う。
𝑈14 =

𝜀𝑖𝑗
𝑠𝑐𝑛𝑏

𝑅𝑖𝑗

((

𝑟𝑖𝑗

12

)

− 2(

𝑅𝑖𝑗
𝑟𝑖𝑗

6

(5.3.5)) )注記：LJ ポテンシャルは、式(1)ではなく、次の式(6)を使って表すこともある。
𝜎𝑖𝑗

𝑈 = 4𝜀𝑖𝑗 ((

𝑟𝑖𝑗

12

)

−(

𝜎𝑖𝑗
𝑟𝑖𝑗

6

(5.3.6)) )パラメーターσij は、U=0 となる距離で（図 1）、Rij とは、
𝑅𝑖𝑗(5.3.7)𝜎𝑖𝑗 = 6√2の関係にある。LJ を(1)と(6)のどちらで示すかは、単に流儀の問題だから、物理学的本質は変わらない。だが、論文やプログラムのマニュアルを読むときには、どちらを使っているのか、注意したほうがいい。
実は、式(1)ではなく、式(6)のほうが、LJ の本来の姿である。そもそも、LJ の一般
式は𝜎𝑖𝑗

𝑈 = 4𝜀𝑖𝑗 ((

𝑟𝑖𝑗

𝑝

𝜎𝑖𝑗

) −(

𝑟𝑖𝑗

𝑞

) )

の形であり、式(6)は、(q,p)=(6,12)の特殊例である。それを強調するときは、
Lennard=Jones 6-12 ポテンシャル、と呼ぶ。
ただし、本書では、LJ と書けば、自動的に 6-12 ポテンシャルのことを指すことに

6

AMBER 力場をはじめ、多くの力場で、この法則で作っている。他のやり方もあるが、ここでは省略する。

120

第5章

力とポテンシャルの計算（前） 基礎する。

図 5.3.2 電荷の正負と静電相互作用[2] 静電相互作用
LJ に加えて、電荷 qi と qj を帯びた原子 ij 間では、静電相互作用（Electrostatic interaction）を計算する。クーロン相互作用（Coulombic

な形のうち、特に、固定電荷の間の相互作

図 5.3.3 静電ポテンシャル。qi と qjの符号が逆の場合は、この図のように、どんな rij の値でも、傾きが負の、用を静電相互作用と呼ぶことにする（詳細引力になる。

interaction）と呼んでも差し支えはな
いが、本書では、クーロン相互作用の様々は 5.4 節）。静電相互作用は、図 2 に示す
ように、正負の電荷間では引力だが、正正や負負の電荷間では、斥力となる。静電相
互作用のポテンシャルと力は次式の通りである（単位系による係数は省略）。
𝑈=

𝑞𝑖 𝑞𝑗

(5.3.8)𝑟𝑖𝑗

𝐟𝑖 = −𝐟𝑗 =𝑞𝑖 𝑞𝑗 𝐫𝑖𝑗𝑟𝑖𝑗 2 𝑟𝑖𝑗

(5.3.9)

この静電相互作用は、MD の計算量と精度にとって、最重要である。図 3 に概形を描いたが、距離依存性が r-1 なので、電荷同士の距離が離れても、収束が遅い。というよ
り、収束しない。そのため、静電力を高精度かつ高速に実装するにはさまざまな工夫が必要である。その原理と実装については、次章に詳述する。
なお、LJ と同様に、静電相互作用は、図 5.1.2 の 1-5 以上の結合位置にある原子間についてだけでなく、1-4 の位置にある原子間にも適用する。特定の係数(AMBER 力場
では scee という名前)で割って、少し弱めるので、以下のようなポテンシャルを計算することになる。係数 scee のデフォルト値は、ff14 の場合は、1.2 である。
𝑈14 =1 𝑞𝑖 𝑞𝑗
𝑠𝑐𝑒𝑒 𝑟𝑖𝑗(5.3.10)5.4. 電子状態から見た分子力場
以上、分子力場の概要を紹介した。ここでは、これらの相互作用の理論的根拠を、
電子状態から考察することにする。
5.2 節の分子内相互作用も、5.3 節の分子間相互作用も、すべて電子が引き起こして
121

第5章

力とポテンシャルの計算（前） 基礎

おり、そしてその相互作用の源は、実のところ、クーロン力である。分子系を「M 個の原子核（添え字 A,B）を N 個の電子（添え字 i,j）が取り巻いている」として、そのハミルトニアン H を書き下せば、
𝐻 = − ∑𝑁
𝐴=1

∇2𝐴
2𝑀𝐴

𝑀
+ ∑𝑀
𝐴=1 ∑𝐴>𝐵

1
𝑅𝐴𝐵

∇2

𝑖
𝑀
− ∑𝑁
− ∑𝑁
𝑖=1
𝑖=1 ∑𝐴=1

2

𝑍𝐴
𝑁 1
+ ∑𝑁
𝑖=1 ∑𝑗>𝑖 𝑟
𝑟𝑖𝐴
𝑖𝑗(5.4.1)である（Szabo & Ostlund, 1996）。ただし、ZA と RA は原子核 A の電荷と座標、ri は

図 5.4.1 水の量子化学的エネルギー

電子 i の座標。式(1)の右辺第 1 項は原子核の運動エネルギー、第 2 項はクーロンポテ
ンシャルである。黄色の項が電子に関わるもので、第 3 項は電子の運動エネルギー、
第 4 項は電子―原子核間の、第 5 項は電子―電子間のクーロンポテンシャルである。
そこには、共有結合ポテンシャルも結合角
もねじれ角も LJ も出て来ない。つまり、本章で説明した古典的な MM-MD で使う分子内と分子間の相互作用（5.1.1）は、量子論7の立場からは、すべてクーロン力が形を変えたものに過ぎない。
ところで、量子論で計算した量子化学的エネルギーと、古典力場で計算した MM エネ
ルギーは、基準点が違うため、絶対値の比較には全く意味がない。水分子 H2O を例にとってみる（図 1）。ハミルトニアン(1)を使ってシュレーディンガー方程式を解いて得られるエネルギーは、図 1 左のように、電子も原子核も互いに全く相互作用できな
いほど無限に離れている状態から、右のように集まって、水分子を形成するときのエネルギーである。つまり、このエネルギーU が、量子化学計算（分子軌道法や密度汎関数法）で得られる値である。一方、古典力場の MM ポテンシャルには、共通した基準点（U=0 になる点）はない。基準点は、結合長は平衡核間距離、結合角は平衡角になる。一方 LJ や静電相互作用は量子計算と同じく無限遠が基準になる。つまり、MM ポ
テンシャルエネルギーは、特定の分子構造が基準にはならない。よって、量子化学計
算と古典力場で計算したエネルギーの値を直接比較はできないので、注意が必要である。
以上の量子論的な視点をもとに、まずは分子間相互作用を表にし、それが、上で説明した古典力場のどの項に対応するかを、大雑把に記述してみた（表 1）。

7

本書では、量子論、量子計算、量子力学、量子化学をあまり区別せずに使っている。強いて言うと、分子を対象に量子計算を行うことを、量子化学、と呼ぶことにしている。

122

第5章

(1)

力とポテンシャルの計算（前） 基礎

静電力は、固定電荷の間のクーロン力そのものであり、r-1 の距離依存性を持つ。これは、力場の静電力に対応する。
(2)

配向力、（3）誘起力、(4) 分散力は、総称して van der Waals 力（VDW）と呼ばれる（詳細は、米澤ら、1983、の第 10 章）。まず、(2)の配向力は、永久双極子、つまり、固定電荷によって作られる双極子が、同じ永久双極子、または荷電原子と熱揺らぎのもとに相互作用することで生じる力である。よって、固定原子電荷で MD をす
れば、静電力として自動的に計算されるので、古典力場のポテンシャル関数に入れる必要はない。一方、(3)の誘起力は、固定電荷か永久双極子によって他の分子の双極子が誘起されて相互作用することで生じる力である。よって、式(5.1)の固定電荷のみの力場では計算できず、分極力場を使わないと計算できない。(4)の分散力は、電子の瞬間的な運動により原子に電荷の偏り、つまり電気双極子が誘起され、それにより別の原子にも誘起双極子が生じ、その二つが相互作用することで生じる。この分散力が、古典力場の LJ の r-6 の引力項に対応する。

表 5.4.1. 分子間力の種類の量子化学的描像と古典力場の対応。米澤ら（1983）の第 10 章「分子間相互作用および化学反応」と都築(2015)の第１章「分子間力の種類」などを参考に作成。
種類(1) 静電力

働くもの

距離依存性

点電荷 vs 点電荷(2) VDW(a)配向力 点電荷

vs 永久双極子

永久双極子 vs 永久双極子(3) VDW(b)誘起力 点電荷 vs 誘起双極子
永久双極子 vs 誘起双極子

AMBER 力場の対応

-1

静電力

r-3

静電力

r

r-6
r-3

式(5.1)にはな

r-6

い。だが、分極力
場には対応項あり（本文参照）-6(4) VDW(c)分散力 誘起双極子 vs 誘起双極子r(5) 交換斥力(交e-br または

近接原子間

LJ の r-12 項

r-9 ～r-12

換反発力)(6) 電荷移動力

LJ の r-6 項

近接原子間

定式化不能

古典力場の対応項はない(5) 交換斥力は、原子同士が接近すると、電子雲が重なって反発する力である。つまり、複数のフェルミオン（この場合電子）は、同一の量子状態に入ることができな
123

第5章

力とポテンシャルの計算（前） 基礎

い、というパウリの排他原理によって生ずる力である。交換斥力は e-br に比例して減衰するので、近距離でしか働かない。近似として、r-9 ~r-12 を使うことが多い。式(5.1.1) では、LJ の r-12 項がこれに対応する。この r-12 には、特に物理的な意味があるわけではないので、他の値、例えば r-9 を使うこともあり、あるいはそもそもの e-brを使うこともある。だが、r-12 は、r-6 と組み合わせると、数学的に扱いやすいので、広く使われている（まさに、LJ ポテンシャルがこれである）。
(6) 電荷移動力は、軌道の重なりを通じて電子が移動することによる力である。これは、化学結合の生成・消滅に関わる力で、固定電荷を使った古典力場では、原理的には表現できない。
次に、分子内相互作用であるが、力場の結合長に関する力（式 5.2.1）は、量子化
学的には化学結合力（共有結合力）と呼ばれるもの対応する。これは、分子軌道のうち結合性軌道に電子が二つ入って安定化することに由来する。なぜ、安定化するかというと、直感的には「＋に荷電している二つの原子核の間に、－に荷電している電子雲が入って糊の役目を果たす（齋藤 2004）」から、と考えるとよい。また、力場の結合角（5.2.3）とねじれ角（5.2.5）は、量子化学的な化学結合力、電荷交換力、交換斥力が絡み合ったものを近似的に表している。
以上、量子化学的に見た力と、固定電荷の古典力場（式 5.1.1）で扱う力を、大雑把に対応させてみた。大雑把と書いたのは、そもそも量子化学的な力は、これは何、
それは何、とキレイに分割できるわけではないし8、また、古典力場は、いわば総合的に“うまく行くように”パラメーターを作っているので、厳密に量子化学的な力に合わせているわけではないからだ。この“うまく行く”という判断の目安は、計算対象や目的に依存して変わる。凝縮系の物性値が実験に合うようにパラメーターを合わす
必要もあれば、タンパク質の構造予測がうまくいくようにパラメーターを調節する場
合もある。
とは言うものの、式(5.1.1)のような固定電荷では表せないのが、例えば、表 1(3)の誘起力をはじめとする、電荷分極の効果だろう。そこで、電荷分極を式に採り入れた分極力場が数多く提案されている（Halgren & Damm, 2001; Wang et al., 2000;
Kaminski et al., 2002; Patel & Brooks, 2004、他）。電荷分極のあるなしで、ペプ
チドのフォールディングに違いが出た、という報告もある（Soto and Mark, 2002）。
また、イオンの水和の自由エネルギー計算では、電荷分極が必要であることも示されている（Grossfield et al., 2003）。分極力場については、Cieplak (2009)の総説がよくまとまっているので、参照のこと。

8

これは、式(1)のハミルトニアンにはクーロン力しかない、ということ。量子化学計算で、相互作用を分類することは可能である（Jeziorski et al, 1994, Hohenstein et al., 2012、な
ど）。

124

第5章

力とポテンシャルの計算（前） 基礎

第 5 章のまとめ
MD や EM に使う、相互作用の計算法を概説した。古典 MM-MD の相互作用のパラメー
ターのセットを、略称で力場と呼ぶ。相互作用は、共有結合に直接関係する分子内相
互作用と、それ以外の分子間相互作用に大別できる。分子間相互作用は、MM-MD の計
算のホットスポットであるので、次章でより詳しく解説する。
なお、本文では触れていないが、現在、人工知能（AI）を使って、力場を作り直す、という試みが進んでいる。大雑把には、FPMD 精度で MM-MD を行うことを目指している。ここでは、Unke et al. (2021) の総説を挙げるにとどめるが、注視が必要な動きである。

付録 5A1. 結合長の量子力学と古典力学
原子核を古典的に扱う古典 MD では、分子の共有結合長は、通常、古典的に調和振動で近似するか

図 5A1. 1 この付録の課題（5.2 節）、さもなくば、SHAKE/RATTLE 等の拘束
アルゴリズム（第 8 章）で完全に一定長に固定する。だが、本来、原子核は量子力学で扱うべきものである。そこで、この付録では、原子核の調和振動
を、量子力学を正解として、それを古典近似した場
合に、結合長の拘束の有無により何が変わるのか、議論する。
具体的には、常温付近の古典 MD(MM-MD)で、自由
MD9と拘束 MD の、どちらが量子ＭＤに近いのか、分子の共有結合を調和振動子近似して解析する（図1）。自由 MD と拘束 MD の違いは、自由 MD は共有結合を柔軟なバネで近似し、一方、
拘束 MD は、共有結合を固い棒で近似しているわけである。この二つの近似に対して、全原子を量子力学で扱う量子 MD を基準とし、どちらが近似として“物理学的に10”す9

あまりいい言葉ではないが、この付録内では、結合長を拘束しない MD を「自由 MD」と呼ぶ。
10

自由 MD と拘束 MD は、従来は、計算速度と安定性、つまり、physics ではなく computationの面から、議論されることが多かった。まず、拘束 MD では時間ステップを大きく取れるから、

125

第5章

力とポテンシャルの計算（前） 基礎

ぐれているかを論じる。なお、ここで言う、古典 MD・量子 MD とは、原子核を古典論で扱うかで分けている。ポテンシャル（力）を古典力場パラメーターで計算するか、電子状態計算で求めるかは、問わない11。
初めに断っておくが、この付録には、明確な結論がない。常温付近では、ほとんどの結合は基底状態にあること、熱容量の計算はおそらく拘束 MD が正しいが、構造に関しては自由 MD のほうが良さそう、ということが示唆されただけである。だが、目的に応じた MD プロトコールの設定の参考にはなるかも知れない。
この付録は、神戸大学の田中成典教授と筆者の、MD の基礎に関する議論の一つをまとめたものである。ここでの理論的な扱いのエッセンスは、Tanaka & Komeiji (2022)
として出版したので、そちらも参照して欲しい。
以下、[1][2]で調和振動子に関する教科書的な扱いをまとめ、それに基づいて、[3]で分子振動の実験値を解釈し、最後に、[4]で MD 法の原子間距離の扱いについて議論する。
注意：この付録内では、ボルツマン定数 kB、温度 T、逆温度β=1/(kBT)、振動数ν、角振動数ω=2πν、プランク定数 h、ディラック定数ℏ=h/(2π)を、特に説明なく使う。
なお、Tanaka & Komeiji (2022)の論文中の議論と表式では、β、ℏ、ωのみを使っており、本資料でも、途中の議論ではこれらを使うこともある。だが、温度 T における

νの実験値と直接比較するため、最終的には T、h、νを使って表式している。もちろん、単に表記が違うだけで、どちらを使ったところで、議論の本質とは無関係である。
[1] 調和振動子の理論（ミクロカノニカル集合）
差しあたって、ミクロカノニカル集合での 1 次元調和振動子の、教科書的な扱いを自由 MD に比べて、同じ計算量で、長い時間を追うことができる、というのが当初の利点であった。一方、拘束 MD は計算が破綻することが多い、という欠点も指摘されることが多かった。だが、これらの論点は 21 世紀の今では、ほとんど意味がなくなっている。というのは、多重時間刻み幅法の発展で（3.11 節）、拘束 MD の自由 MD に対する計算効率の利点は、ほぼ消滅してしまったし、一方、拘束 MD のアルゴリズム・プログラムの安定性も増している。そもそも拘束
MD が破綻するのは、別の問題に起因する場合がほとんどであることも経験的に知られている（分子構造が悪い、など）。そんなわけで、今日では、computation よりも physics の議論のほうが重要である。
11

原子核の量子化がメインの仕事の人は、原子核を量子的に扱うかどうかで、量子 MD と古典

MD の用語を使い分けているようであるので、この付録では、それに倣った。

126

第5章

力とポテンシャルの計算（前） 基礎

まとめておく（Messiah, 1967、など）。「ミクロカノニカル集合」なので、この調和振動子は孤立して外とのエネルギーのやり取りがない。よって、エネルギーE は一定である。質量を m、力の定数を k（ボルツマン定数 kB と混同しないこと）、座標の変位を

図 5A1.2 調和振動

x、ポテンシャルを U(x)と置けば、
1
2

𝑈(𝑥) = 𝑘𝑥 2

(5A1.1)である。
以下、x の確率分布を p(x)と表記する。

p(x)dx は、x が x~x+dx の値を取る確率である。この p(x)が、議論のキーワードとなる。
つまり、平衡核間距離からのずれ x が、古典と量子でどのように分布するかを比較するわけ。古典力学で求めた p(x)を pc(x)、量子力学で求めた p(x)を pq(x)と表記する。添え字の c と q は、それぞれ Classical とQuantum の頭文字である。
古典力学
古典力学で、式(1)のポテンシャル下の運動は、運動方程式(2)を解けばよい。
𝑚

𝑑2 𝑥
𝜕𝑈
=−
𝑑𝑡 2
𝜕𝑥

(5A1.2)

結果だけを書けば
𝑥(𝑡) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝜈𝑡 + 𝐵)

(5A1.3)となる。ただし、振動数νは、
𝜈=

1
𝑘
√
2𝜋 𝑚

(5A1.4)A, B は初期条件に依存する任意定数。A は最大振幅だが、系のエネルギーE を使え
ば、
2𝐸
1
𝐸
= √
𝑚(2𝜋𝜈)2𝜋𝜈 2𝑚

𝐴=√(5A1.5)と表せる。B は初期位相で、単に時刻の開始をいつに取るかだけで決まるので、つまりどうでもいいので、以下では 0 とおいて議論する。また周期 Tf は
𝑇𝑓 =

1
𝜈

(5A1.6)である。１周期のグラフを描けば、図 2 になる。
さて、古典力学での分布 pc(x)はどうなるか。結果だけ出してもいいが、pc(x)は、物理の教科書にあまり載っていないので、真面目に導出しておく。図 2 を見ればわか
127

第5章

力とポテンシャルの計算（前） 基礎

るように、t=0 - T/2 の x について調べればよい。その部分で、縦軸と横軸を入れ替える、つまり、t を x の関数として表せば、図 3 になる。ここで、x が、x~x+dx の値を取る確率 pc(x)dx は、T/2 に対する dt の比に等しい。つまり、
𝑑𝑡
𝑇/2

𝑝𝑐 (𝑥)𝑑𝑥 =(5A1.7)になる。これは、-A<x<A で成り立つ関係で、x≦-A, x≧A では、pc(x)=0 である。式(7)を変形すると、
𝑝𝑐 (𝑥) =2 𝑑𝑡
2 1= 𝑑𝑥 =
𝑇𝑓 𝑑𝑥
𝑇𝑓
𝑑𝑡

2

図 5A1.3 座標 x の関数としての時

1

刻t

𝑇𝑓 𝑑 (𝐴 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝜈𝑡)
𝑑𝑡

=
=

2
1
2𝜋𝜈𝐴𝑇𝑓 𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝜈𝑡1𝑥2
𝐴𝜋 √1− 2𝐴==1
𝐴𝜋√1−𝑐𝑜𝑠 2 2𝜋𝜈𝑡1
𝜋√𝐴2 −𝑥 2

以上をまとめると、古典力学での調和振動子の存在確密度分布 pc(x)は、次式である（x=±A は特異点だからどうのこうの、という面倒な議論は省略）。
1; −𝐴 < 𝑥 < 𝐴
𝑝𝑐 (𝑥) = {𝜋√𝐴2 −𝑥 20; 𝑥 ≤ −𝐴, 𝑥 ≥ 𝐴
pc(x)をグラフで表せば、図 4 になる。原
点を中心に左右対称で、最大振幅で無限大になる。また、ベージュ色の領域の密度は 0(5A1.8)

図 5A1.4 古典力学での調和振動子の存在確率分布である。これらは、古典力学では当然である。つまり、最大振幅 x=±A では振動は止まるから、そこにいる確率が高いし、最大振幅以上に振れることはないから、外の領域での密度は０である。一方、x=0 付近
は、密度は低い。これは、変位が小さい部
分は、高速で揺れているからである。
なお、確率分布 pc(x)は原点を中心に左右対称だから、x の期待値<x>c は、計算するまでもなく∞⟨𝑥⟩𝑐 = ∫−∞ 𝑥𝑝𝑐 (𝑥) 𝑑𝑥 = 0 (5A1.9)である。一方揺らぎの期待値<x2>c は、

128

第5章

∞

𝑥2

∞

⟨𝑥 2 ⟩𝑐 = ∫−∞ 𝑥 2 𝑝𝑐 (𝑥) 𝑑𝑥 = 2 ∫0𝜋√𝐴2 −𝑥 2

力とポテンシャルの計算（前） 基礎

𝑑𝑥 =. . . =𝐴2
2式(5)を使うと、⟨𝑥 2 ⟩𝑐 =

𝐸
𝐸
= 2 2
𝑚𝜔2
4𝜋 𝑚𝜈

(5A1.10)と、E で示せる。
量子力学
今度は、量子力学で、ポテンシャル(1)での確率密度を計算する。振動子の波動関数
を ψ(x)とおくと、量子力学による確率密度 pq(x)との関係は、
𝑝𝑞 (𝑥) = |𝜓(𝑥)|2(5A1.11)という極めて簡単なものである。ψ(x)は、次の、時間に依存しないシュレ―ディンが―方程式(−

1 ℎ 𝑑2
1+ 𝑘𝑥 2 ) 𝜓(𝑥) = 𝐸𝜓(𝑥)2𝑚 2𝜋 𝑑𝑥 2
2

(5A1.12)を解けば得られる。すると、エネルギーE は、量子数 n=0, 1, 2, ..., で規定される
飛び飛びの値を取ることがわかる。量子数 n に対応するエネルギーEn と波動関数

ψn(x)は、
1
2(5A1.13)

𝐸𝑛 = ℎ𝜈 (𝑛 + )𝛼
𝛼2 𝑥2
𝐻𝑛 (𝛼𝑥) 𝑒𝑥𝑝 (−)
2 𝑛!√𝜋2𝜓 (𝑛) (𝑥) = √ 𝑛(5A1.14)

ただし、Hn は、エルミート多項式（付録 5A2）。αは𝑚𝜈ℎ(5A1.15)

𝛼 = 2𝜋√で定義される。

(14)を(11)に従って二乗すると、量子力学による、確率密度分布が次式で求まる。
量子数 n で関数形が変わることに注意。
𝛼𝐻 (𝛼𝑥)2 𝑒𝑥𝑝(−𝛼 2 𝑥 2 )2 𝑛!√𝜋 𝑛(𝑛)𝑝𝑞 (𝑥) = 𝑛(5A1.16)

以下、例として、n=0,1,2 について、具体的にエネルギー(13)と確率密度分布(16)を書き下してみる。

n = 0 （基底状態）
12

𝐸0 = ℎ𝜈(5A1.17)

129

第5章

(0)

𝑝𝑞 (𝑥) =𝛼𝑒𝑥𝑝(−𝛼 2 𝑥 2 )√𝜋

力とポテンシャルの計算（前） 基礎(5A1.18)n = 1 （第 1 励起状態）

図 5A1.5 量子力学

32

𝐸1 = ℎ𝜈(1)𝑝𝑞 (𝑥) =での調和振動子のエネ
ルギー準位

2𝛼 2 2𝛼 𝑥 𝑒𝑥𝑝(−𝛼 2 𝑥 2 )√𝜋n = 2 （第 2 励起状態）
52𝐸2 = ℎ𝜈(2)𝑝𝑞 (𝑥) =𝛼(2𝛼 2 𝑥 2 − 1)2 𝑒𝑥𝑝(−𝛼 2 𝑥 2 )2√𝜋...
ミクロカノニカル集合での古典と量子の確率密度分布の比較
以上で、ミクロカノニカル集合での、古典力学 pc(x)（式 8）と量子力学 pq(n) (x)（式 16）での確率密度分布が求まったので、両者を比較する。復習しておくと、pc(x)は正ならばどんなエネルギーE に対しても計算できるが、pq(n) (x)は、整数 n の添え字が示すように、特定のエネルギーの値 En（式 13）に対してしか意味がない。対応するpc(x)の計算に必要な最大振幅 A は、式(5)に、(13)を代入した、式(19)で計算する。
112(ℎ𝜈(𝑛+2))ℎ(𝑛+2)2𝐸
𝐴=√ 2=√=√2𝑚𝜔
𝑚(2𝜋𝜈)
2𝑚𝜋2 𝜈

(5A1.19)

まず、式(13)のエネルギーEn をプロットしておく（図 5）。これは、あらゆる量子
力学や量子化学の教科書に載っている図である。古典論では、どのエネルギーの値も取り得るが、量子論では、hν毎に飛び飛びの値しか取らないこと、最低でも E0 =0.5hνの値を持つことなどがわかる。この n=0 の最低エネルギー状態を基底状態、そのエネルギーE0=を零点エネルギー、その振動状態を零点振動と呼ぶ。
次に、n=0, 1, 2, 飛んで 20 について、確率密度分布をプロットしてみる（図6）。ベージュの部分は、図 3 と同様に、古典力学では、ありえない領域を示す。
まず、わかることは、量子論でも、古典論と同様に、確率密度分布は x=0 を中心に左右対称であるので、x の期待値（平均値）<x>q は、計算するまでもなく 0 である。
∞

⟨𝑥⟩𝑞 = ∫−∞ 𝑥𝑝𝑞 (𝑥)𝑑𝑥 = 0 (5A1.20)
量子力学による確率密度 pq(x)は、古典力学に比べておもしろい性質を持っている。
まず、n=0 では谷なし、n=1 では谷 1 つ、n=2 では谷 2 つ、...というように、量子数 nだけの山（つまり n+1 個の谷）を持つ。谷の部分では、振動子の存在確率は 0 であ
130

第5章

力とポテンシャルの計算（前） 基礎

る。また、古典力学では存在が 0 になる領域でも、確率密度を持っている。また、量子数 n が大きくなる、つまりエネルギー準位が上がれば、次第に古典力学での密度に近づく。図 6 で言えば、n=20 で pq(20)(x)の山と谷を隣同士で均してしまうと、かなりpc (x)と重なることが分かる。
さて、そういうわけで、量子効果が顕著なのは、エネルギーが低い状態であるので、n = 0 の基底状態を少し詳しく見てみる。基底状態の密度分布関数は、図 5 と式(18)でわかるように、平均０、分散 1/(2α2)の正規分布である。よって、振幅の自乗
平均は、αの定義(15)を使って、(0)⟨𝑥 2 ⟩𝑞 =

1
ℎ
= 2
2𝛼 2
8𝜋 𝑚𝜈

(5A1.21)である。これについては、後で議論する。

図 5A1. 6. 古典力学 pc(x)と量子力学 pq(x)による調和振動子の確率密度分布。h=1, m=1, ν=1 の単位系で計算した。横軸の x は座標の変位。ベージュで塗った部分は、古典力学では存在確率が０の領域を示す。量子数 n = 0, 1, 2 では軸のスケールを合わせてあるが、n=20 だけ変えてあるので注意。

131

第5章

力とポテンシャルの計算（前） 基礎[2] 調和振動子の理論（カノニカル集合）[1]では、孤立した、ミクロカノニカル集合での１次元調和振動子に関して議論を行った。だが、分子内の原子は孤立してはおらず、周囲と熱交換をしている。そこで、より実際の環境に近いモデルにするために、カノニカル集合、つまり定温の熱浴に接した状態で解析する。
以下では、古典力学と量子力学の両方で、温度 T の熱浴に接した調和振動子の統計力学的扱いを記述する（市村、1992、田崎、 2008 などを参照）。具体的には、分配関数 ZT、確率密度分布 PT (x)、平均エネルギーET、熱容量 CT、位置平均<x>、位置揺らぎ（自乗平均）<x2>を、統計熱力学の定石に従って解いていく。分子モデルの議論に、特に重要なのは、<x2>と CT である。
古典力学
古典論での分配関数 ZTc は、
𝑝2

1

𝑘𝑥 2

1

𝑝2

𝑘𝑥2

𝑍𝑇𝑐 = ∫ 𝑑𝑝 ∫ 𝑑𝑥 𝑒𝑥𝑝 [−𝛽 ( +)] = ∫ 𝑒 −𝛽2𝑚 𝑑𝑝 ∫ 𝑒 −𝛽 2 𝑑𝑥
ℎ
2𝑚
2
ℎ
1

2𝑚𝜋

2𝜋

𝑘 𝑇

𝐵
= √
√𝛽𝑘 = ℎ𝜈ℎ
𝛽(5A1.22)

温度 T での座標 x の確率密度は12、
𝑘𝑥2

𝑒𝑥𝑝(−𝛽 2 )𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝑈(𝑥))𝛽𝑘𝑘𝑥 2
𝑃𝑇𝑐 (𝑥) == ∞= √ 𝑒𝑥𝑝 (−𝛽) (5A1.23)
2
𝑘𝑥
2𝜋
2
∫ 𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝑈(𝑥))𝑑𝑥∫−∞ 𝑒𝑥𝑝(−𝛽 2 )𝑑𝑥

で、これは、ボルツマン分布である。エネルギーは、
𝐸𝑇𝑐 = −

𝜕𝜕11
𝑙𝑛𝑍𝑇𝑐 = − 𝑙𝑛
= = 𝑘𝐵 𝑇
𝜕𝛽
𝜕𝛽
𝛽ℎ𝜈
𝛽

(5A1.24)

熱容量は、
𝐶𝑇𝑐 = −

𝜕 𝑐
𝐸 = 𝑘𝐵𝜕𝑇 𝑇(5A1.25)になる。熱容量は、温度を上げたときのエネルギーの上昇率だから、古典近似の範囲
では、温度が 1 K だけ上がれば、kB だけエネルギーが上がる、ということである。

x と x2 の期待値は、∞〈𝑥〉𝑐 = ∫−∞ 𝑥𝑃𝑇𝑐 (𝑥) 𝑑𝑥 = 0

12(5A1.26)

分子分母とも、運動量 p はすでに積分して除いてしまった形。座標 x のみの関数を扱うか

ら、これで良い。

132

第5章

∞

∞

〈𝑥 2 〉𝑐 = ∫−∞ 𝑥 2 𝑃𝑇𝑐 (𝑥) 𝑑𝑥 = ∫−∞ 𝑥 2 √𝛽𝑘2𝜋

力とポテンシャルの計算（前） 基礎

𝑒𝑥𝑝 (−𝛽𝑘𝑥 2
2) 𝑑𝑥 = ⋯ =

𝑘𝐵 𝑇
𝑚𝜔2

=

𝑘𝐵 𝑇
4𝜋2 𝑚𝜈2(5A1.27)と、以上で、古典近似式の導出はおしまいで、量子論に移る。
量子力学
量子論での分配関数 ZTq は、En（式 13)を代入し、等比級数の公式を使えば、
𝛽 ℎ𝜈

1
2

𝑞

− 2
∞
−𝑛𝛽ℎ𝜈
∑∞
𝑍 𝑇 = ∑∞
𝑛=0 𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝐸𝑛 ) = ∑𝑛=0 𝑒𝑥𝑝 (−𝛽ℎ𝜈 (𝑛 + )) = 𝑒
𝑛=0 𝑒
𝛽ℎ𝜈

−

=

𝑒 2
1
𝛽ℎ𝜈
= ⋯ = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐ℎ ( )1−𝑒 −𝛽ℎ𝜈22(5A1.28)になる。また、ある振動子が n 番目のエネルギー準位を取る確率は1𝑒𝑥𝑝(−𝛽ℎ𝜈(𝑛+ ))𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝐸𝑛 )2
𝑃𝑛 = ∑∞= ∞= ⋯ = 𝑒 −𝑛𝛽ℎ𝜈 (1 − 𝑒 −𝛽ℎ𝜈 )1𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝐸)𝑗∑𝑗=0𝑒𝑥𝑝(−𝛽ℎ𝜈(𝑗+ ))𝑗=0(5A1.29)2

なので、これと式(16)の pq(x)を使えば、量子系のカノニカル密度関数は、
𝑞(𝑛)∞−𝑛𝛽ℎ𝜈 (1 − 𝑒 −𝛽ℎ𝜈 )𝑃𝑇 (𝑥) = ∑∞𝑛=0 𝑃𝑛 𝑝𝑞 (𝑥) = ∑𝑛=0 𝑒𝑛𝛼2 𝑛!√𝜋…=𝐻𝑛 (𝛼𝑥)2 𝑒𝑥𝑝(−𝛼 2 𝑥 2 )

𝛼
𝛽ℎ𝜈
𝛽ℎ𝜈
√ 𝑡𝑎𝑛ℎ ( ) 𝑒𝑥𝑝 [−𝛼 2 𝑡𝑎𝑛ℎ ( ) 𝑥 2 ]
2
2
√𝜋
𝜋𝑚𝜈
ℎ𝜈
4𝜋2 𝑚𝜈
𝑡𝑎𝑛ℎ () 𝑒𝑥𝑝 [−
√
ℎ
2𝑘𝐵 𝑇
ℎ

= 2√

𝑡𝑎𝑛ℎ (

ℎ𝜈
) 𝑥2]
2𝑘𝐵 𝑇

(5A1.30)になる（式の変形は、Tanaka & Komeiji, 2022 参照）。一方、エネルギーは、分配関
数より、
−

𝛽ℎ𝜈

𝜕
𝜕
𝑒 2
ℎ𝜈
𝛽ℎ𝜈
ℎ𝜈
ℎ𝜈
𝑞
𝑞
𝐸𝑇 = − 𝑙𝑛𝑍𝑇 = − 𝑙𝑛
= 𝑐𝑜𝑡ℎ ( ) = 𝑐𝑜𝑡ℎ ()
𝜕𝛽𝜕𝛽1−𝑒 −𝛽ℎ𝜈
2
2
2
2𝑘𝐵 𝑇

(5A1.31)になり、これを T で微分して、熱容量を求めると
𝑞

𝐶𝑇 =
=

(ℎ𝜈)2
𝜕 𝑞
𝜕 ℎ𝜈
ℎ𝜈
ℎ𝜈
𝐸𝑇 = { 𝑐𝑜𝑡ℎ ()} =𝑐𝑠𝑐ℎ2 (
)
𝜕𝑇
𝜕𝑇 2
2𝑘𝐵 𝑇
4𝑘𝐵 𝑇 2
2𝑘𝐵 𝑇

(ℎ𝜈)2
𝑘𝐵 𝑇 2[2𝑠𝑖𝑛ℎ (

−2
ℎ𝜈
)]
2𝑘𝐵 𝑇

(5A1.32)

さらに、x と x2 の期待値は、∞〈𝑥〉𝑞 = ∫−∞ 𝑥𝑃𝑇𝑞 (𝑥) 𝑑𝑥 = 0∞(5A1.33)∞〈𝑥 2 〉𝑞 = ∫−∞ 𝑥 2 𝑃𝑇𝑞 (𝑥) 𝑑𝑥 = ∫−∞ 𝑥 2
=⋯=

1
𝛽ℎ𝜈
2𝛼 2 𝑡𝑎𝑛ℎ( 2 )

=

𝛼
𝛽ℎ𝜈
𝛽ℎ𝜈
√ 𝑡𝑎𝑛ℎ ( ) 𝑒𝑥𝑝 [−𝛼 2 𝑡𝑎𝑛ℎ ( ) 𝑥 2 ] 𝑑𝑥
𝜋
2
2
√

ℎ
ℎ𝜈
8𝜋2 𝑚𝜈 𝑡𝑎𝑛ℎ(2𝑘 𝑇)
𝐵(5A1.34)

133

第5章

力とポテンシャルの計算（前） 基礎

表 5A1. 1 一次元調和振動子の物理量
物理量

古典力学

確率密度

PT(x)

量子力学

𝜋𝑚𝜈
ℎ𝜈
4𝜋 2 𝑚𝜈ℎ𝜈𝛽𝑘𝑘𝑥 2√ 𝑒𝑥𝑝 (−𝛽√ 𝑡𝑎𝑛ℎ () 𝑒𝑥𝑝 [−
𝑡𝑎𝑛ℎ (
) 𝑥2]
) 2√
ℎ
2𝑘
𝑇
ℎ
2𝑘
2𝜋
2
𝐵
𝐵𝑇
(再 5A1.23)

熱容量(再 5A1.29)

𝑘𝐵

CT

(ℎ𝜈)2

(再 5A1.25)

平均自乗

𝑘𝐵

2

<x >T

[2𝑠𝑖𝑛ℎ (−2ℎ𝜈)] (再 5A1.31)
2𝑘𝐵 𝑇

ℎ

𝑘𝐵 𝑇
4𝜋 2 𝑚𝜈 2

変位

𝑇2(再 5A1.33)ℎ𝜈

8𝜋2 𝑚𝜈 𝑡𝑎𝑛ℎ(2𝑘 𝑇)
𝐵(再 5A1.27)

以上、古典と量子で一次元調和振動子に関する扱いをざっと述べた。重要な量を、
表 1 にまとめておいた。一見、古典力学と量子力学で全く違うように見えるが、実はそうでもないことを、次に示すことにする。
量子的確率密度、熱揺らぎ、極限
今まで、カノニカル集合、つまり定温条件の下、古典力学と量子力学で調和振動子の物理量をいくつか求めたわけだが、さらに古典と量子の比較を進める。
確率密度、熱容量、平均自乗変位の量子論による表式の、T→0 と T→∞の二つの極限でのふるまいを調べる。結論を先に書くと、T→0 では、量子論の基底状態に収束し、T→∞では、古典論の結果と一致する。
T→0（β→∞）つまり絶対 0 度に近づく場合はどうなるか。tanh(s)→1 (s→∞）だから、確率密度と平均自乗変位は、𝜋𝑚𝜈𝑞

𝑃𝑇 (𝑥) = 2√→
〈𝑥 2 〉𝑞 =

ℎ
𝛼

√𝜋

ℎ𝜈

4𝜋2 𝑚𝜈

𝐵ℎ√ 𝑡𝑎𝑛ℎ (2𝑘 𝑇) 𝑒𝑥𝑝 [−𝑡𝑎𝑛ℎ (

(0)

ℎ𝜈
2𝑘𝐵 𝑇

) 𝑥2]

𝑒𝑥𝑝[−𝛼 2 𝑥 2 ] = 𝑝𝑞

（再 5A1.19）ℎ（再 5A1.22）ℎ𝜈
8𝜋2 𝑚𝜈 𝑡𝑎𝑛ℎ(2𝑘 𝑇)
𝐵

→

ℎ
(0)
= ⟨𝑥 2 ⟩𝑞
8𝜋2 𝑚𝜈

で、基底状態になる。また、熱容量は、sinh(s)~es/2 → ∞ (s→∞）だから、
𝑞

𝐶𝑇 =

(ℎ𝜈)2
𝑘𝐵

𝑇2

[2𝑠𝑖𝑛ℎ (−2 (ℎ𝜈)2ℎ𝜈ℎ𝜈)] ~𝑒𝑥𝑝 (−)→0
2𝑘𝐵 𝑇
𝑘𝐵 𝑇 2
𝑘𝐵 𝑇(5A1.33)という形で、急激に０に近づく。比ゆ的な表現では、「低温になると調和振動子は
134

第5章

力とポテンシャルの計算（前） 基礎『凍って』しまって、もはや熱を吸収しなくなるのである（田崎, 2008, p.
164）」。これは、顕著な量子効果である。
一方、T→∞（β→0）の高温の極限ではどうなるかと言うと、tanh(s)~s、

sinh(s)~s (s→0）だから、
𝑞

𝑃𝑇 (𝑥) → √〈𝑥 2 〉𝑞 →𝛽𝑘𝑘𝑥 2
𝑒𝑥𝑝 (−𝛽) = 𝑃𝑇𝑐 (𝑥)
2𝜋
2

𝑘𝐵 𝑇
= 〈𝑥 2 〉𝑐
4𝜋2 𝑚𝜈2(再 5A1.23)(再 5A1.27)

𝑞(再 5A1.25)

𝐶𝑇 → 𝑘𝐵で、三つとも、古典近似に近づく。

量子論の位置揺らぎの性質をもう少し見てみる。まず、tanh(βhν/2)≦ βhν/2だから、必ず〈𝑥 2 〉𝑞 ≥ 〈𝑥 2 〉𝑐

(5A1.35)になる。つまり、位置揺らぎは、古典近似のほうが小さい。また、tanh(βhν/2)≦ 1
だから、
(0)

〈𝑥 2 〉𝑞 ≥ ⟨𝑥 2 ⟩𝑞

(5A1.36)で、位置揺らぎは、基底状態が最低である。た

図 5A1.7 位置揺らぎの温度依
存性（概念図）だし、古典論と違い、絶対 0 度でも揺らぎが 0にならず、有限の値を持つ（零点振動）。これ
を、概念的なグラフにまとめると、図 7 になる。実例はあとで、図 9 に示す。
カノニカル集合、つまり定温条件下の調和振動子の性質をもう一度まとめる。古典力学による近似は、量子力学の結果、つまり正解に対して、温度が高ければ良い近似になるが、絶対 0度に近づくと外れてしまう。
[3] 分子内共有結合の振動状態の解析
以上、[1][2]で、古典力学と量子力学の両方について、教科書的な、1 次元調和振動子の性質をまとめた。この[3]では、実際の分子内共有結合の振動状態を調和振動子
が、室温(300Ｋ付近）でどんな状態にあるか、考察する。例によって、まず結果を書
くと、ほとんどの共有結合は基底状態にある。つまり、共有結合部分は、零点振動をしているが、熱を吸ったり吐いたりしない。
実験的なデータと理論を比較するための準備として、振動エネルギーE=hνを kB で
135

第5章

力とポテンシャルの計算（前） 基礎

割った、特性温度 Tθで表しておく。
(5A1.37)

𝑇𝜃 = ℎ𝜈/𝑘𝐵 = 𝐸/𝑘𝐵

特性温度 Tθを使えば、ボルツマン因子は𝑒𝑥𝑝 (−𝐸ℎ𝜈𝑇) = 𝑒𝑥𝑝 (−) = 𝑒𝑥𝑝 (− 𝜃 )
𝑘𝐵 𝑇
𝑘𝐵 𝑇
𝑇

の形のように、温度との比で表せる。また、熱容量 CTq（式 34）は、
𝑞

2

𝑇
𝑇

𝑇
2𝑇

−2

𝐶𝑇 = 𝑘𝐵 ( 𝜃 ) [2𝑠𝑖𝑛ℎ ( 𝜃)]

𝑇
𝑇

2

𝑇
𝑇

~𝑘𝐵 ( 𝜃) 𝑒𝑥𝑝 (− 𝜃 ) → 0 (𝑇 → 0)

(5A1.38)と書き直せる。この式に合わせて、CTq を kB 単位に、温度を Tθ単位にしてグラフ化す
ると図 8 である。これを見ると T が Tθより低くなると、急激に０に近づくことがわかる。特に、T/Tθ<0.1 になれば、ほとんど熱容量は 0 になるのも見て取れる。
以下、実験的に得られている、いく
つか代表的な共有結合の振動数を挙げ

図 5A1.8 熱容量の温度依存性る（表 2）。振動数の逆数が周期なので、上の例では C-H や O-H 伸縮が約 10
fs、C-O 伸縮が約 30 fs の周期になる。
これらの値は、通常の MM-MD 用の力場パ
ラメーターと同等の値であるが、それはもちろん力場パラメーターが実験に合わせて作ってあるからだ。表 2 では、エネ
ルギーE (J)を、波数 k (m-1)、振動数

ν (s-1)、特性温度 Tθ (K)の三つの表
現でも表しているが、どれも等価である。これらの大ざっぱな換算式は次の通り。
𝑚𝑠

𝜈(𝑠−1 ) = 𝑐 ( ) 𝜈̃ (𝑚−1 ) = 3.0 × 108 𝑘 (𝑚−1 )𝐸(𝐽) = ℎ(𝐽𝑠)𝜈(𝑠 −1 ) = 6.6 × 10−34 𝜈 (𝑠 −1 )𝑇𝜃 (𝐾) =𝐸(𝐽)𝐽

𝑘𝐵 (𝐾)= 7.2 × 1022 𝐸 (𝐽)ただし、c は光速。
さて、特性温度 Tθに換算したエネルギーについて議論する。Tθは、H 伸縮関係が4000 K 以上、C-O でも 1700 K である。常温の 300 K は、特性温度単位で測れば前者が0.1 以下、後者も 0.2 以下で、図 8 を見れば、ほとんど熱容量が０に近い。実際、表 2のデータは、多くの共有結合は基底状態にあり、励起状態に上がりにくい、ということを示している。というのは、式(13)からわかるように、調和振動子のエネルギー準
位は hνのエネルギーが加えられないと、励起しない。しかし、温度 T の熱エネルギ
136

第5章

力とポテンシャルの計算（前） 基礎

ーは kBT だから、300 K 付近では、1000 K を超えるような熱エネルギーの揺らぎが発生する確率は低い。もちろん、実際の分子の結合では、図 4 のように等間隔にエネル
ギー準位が並んでおらず、高くなるほど差が小さくなるが、第一励起エネルギーの値が大きく変わることはないだろう。図 5 で、n=20 ならば量子的な確率密度分布関数

pq(20) (x)が古典的な分布関数 pc (x)に近づく、などと議論をしたが、分子振動に関す
るかぎり、常温でそんな励起状態になることは滅多にありえない。
もう少し詳しく、カノニカル分布で、結合がどんな割合でどんな状態にあるのか、

Pn（式 29）を計算してみた。結果は、表 3 に示す通りである。一目瞭然の通り、C-H,
O-H ともに、300 K では、ほとんど 100 %の確率で、n=0 の基底状態にある。1000 K では、少し励起状態の確率も上がるが、無視してよい程度である。C-O 伸縮は、300 K では 99%以上は基底状態にあり、1000 K でやっと 82%にまで減る。

表 5A1.2 代表的な結合伸縮のエネルギー
結合の種類

エネルギー
波数 k (m-

振動数 ν

特性温度

1

(s-1)

(K)

(J)

)*
5

13

Tθ

エネルギーE

C-H

アルカン

3.0 x109 x 104300

6 x 10-20

O-H

アルコール

3.6 x105

1.1 x 1014

5200

7 x 10-20

C-O

エーテル

1.2 x105

3.6 x 1013

1700

2.4 x 10-19* 中村の資料を基にした概数。

表 5A1.3 温度 300K と 1000K のカノニカル集合における、量子数
n=0,1,2,3 状態の振動子の割合 Pn（式 29）の一覧。
C-H
n
0
1
2
3

Tf=4300K

O-H

T=300K T=1000K
0.999999 0.986431
5.96E-07 0.013384
3.55E-13 0.000182
2.12E-19 2.46E-06

n
0
1
2
3

Tf=5200K

C-O

T=300K
T=1000K
0.99999997 0.994483
0.00344741 0.005486
1.1926E-05 3.03E-05
4.1256E-08 1.67E-07

n

Tf=1700K0
1
2
3

T=300K T=1000K
0.996541 0.817316
0.003447 0.14931
1.19E-05 0.027277
4.13E-08 0.004983

結局、量子力学的計算により、常温では、多くの共有結合は、基底状態のまま、温度によらない零点振動をしているだけであることが確認できた。その結果として、熱容量が０に近くなり、ほとんど、”共有結合伸縮”は外界と熱のやり取りをしなくな

137

第5章

力とポテンシャルの計算（前） 基礎

るわけである13。
次に、構造的な揺らぎを調べて

図 5A1. 9 結合長の揺らぎの温度依存性みる。図９に結合長の平均からのずれ、平均自乗変位<x2>を、古典（古典と量子の比較）

力学（式 24）と量子力学（式30）で求め、温度の関数としてグラフ化してみた14。これは、図 7の概念的なグラフの実例である。
グラフ A（C-H 結合）、グラフ B（C-O 結合）ともに、300K の常温
付近は、古典力学では量子論の揺らぎを過小評価してしまうことが確認できる15。上述のように、常温ではほとんどの共有結合は基底状態にあり、そのゼロ点振動が古典力学では再現できていないことを示している（当たり前だけれど）。
直感的にわかりやすいように、<x2>ではなくその自乗根（RMSF)(<x2>)1/2 の 300K での値を書いておくと表 4 の通りになる。古典力学では、量子力学（＝正解）よりも揺らぎを過小評価してしまう。その程度は、酸素 O に比べて、水素 H の方が大きい。これは、軽い原子ほど量子性が顕著になるからである。

13

高校化学や大学初等化学の教科書のモデル絵では、分子内の共有結合は、普通は、結合伸縮がない、固い棒で表示してある。これは、共有結合にはエネルギーが分配されないことを暗示している、のではないかと思う。なお、もちろん、分子自体は、常温でも、共有結合伸縮以外の運動を通して、熱をやり取りするから、熱容量を持っている。単に、共有結合伸縮を通じた
熱のやり取りがほとんどない、というだけである。
14

x は、[3][4]では分子の結合長の平均からのずれだから、Δx かΔr と書くべきかも知れないが、[1][2]に合わせて x のままにしておく。
15

O-H はプロットしてないが、C-H とほとんど変わらない。なお、質量は換算質量ではなく、Hと O の質量をそのまま使った。

138

第5章

力とポテンシャルの計算（前） 基礎

表 5A1.4 温度 300K での、結合長の揺らぎ（RMSF, Å）の古典と量子の比較(<x2>c)1/2

結合

古典

量子

C-H

0.028

0.075

C-O

0.017

0.030

(<x2>q)1/2以上、量子力学を使って調べると、通常（生体分子などの有機分子）の分子内の共有結合の伸縮は、常温（300Ｋ）付近では、・ほとんど基底状態にあり・滅多に励起せず
・ゆえに共有結合の自由度には熱エネルギーが分配されない・ので、熱容量への共有結合伸縮の寄与はほとんどない
ことがわかった。では完全に結合が固定されているかというとそうではなく・むしろ、伸縮の揺らぎは古典近似よりも揺らぎが大きく
・その揺らぎは零点振動である
ことがわかった。もちろん、これらは、分子の理論的扱いに関する常識である。これ
らの常識を知った上で、最後に、MD の方法について議論する。
[4] 自由 MD と拘束 MD の比較
準備ができたところ、当初の問題、古典分子動力学（MM-MD)では、共有結合をどう扱うべきかを、検討する。つまり、古典 MD で、全自由度を考慮した自由 MD と、結合長を固定（拘束）した拘束 MD のどちらが、量子 MD に近いか考察する。
まず、常温では共有結合に熱エネルギーが分配されない、という量子力学的事実を近似するには、自由 MD よりも拘束 MD のほうが正解に近い。それを知ってか知らず
か、現在、MM-MD 計算では多くの場合、結合長拘束を行う研究者が多い。なお、軽い
水素原子のみを拘束することもあるが、それは水素の伸縮が早い、という理由だけでなく、水素は、他の重い原子に比べて、量子効果が大きい、という理由もあろう（図9AB を見比べよ）。
一方、結合長が揺らぐ、という構造的な面からは、自由 MD のほうが量子力学に近い。拘束 MD では、揺らぎが０だからである。だが、すでに見たように、量子力学の基底状態の振動は、0 付近に密度のピークがあり、一方、古典では、0 付近の密度は低い（長岡、2008）。その意味では、揺らぎがあるからと言って、古典的な自由 MD が量子力学に近い、とも言いきれない。
むしろ、今までは議論してこなかったが、調和振動子(つまり化学結合）のおかれた環境の、分子構造への影響を考えると、拘束 MD よりも自由 MD のほうが良い面があ
139

第5章

力とポテンシャルの計算（前） 基礎

る。おかれた環境として、電場を考えてみると、電場により、平衡点が移動するが、この移動距離は、量子論でも古典論でも変わらない（大野、2000、の問 1-11[3]）。
具体的には、図 10 のように、O-H の H の近くに別の O 原子が近づけば、もとの O-H 結
合は伸びるだろう。その効果は拘束 MD では再現できないが、自由 MD ならば再現できる。
また、有限温度で、分子が回転すれば、遠心力により、結合長が伸びる。よって、
これも、拘束 MD よりも、自由 MD のほうが実態に近い。
ただし、これらの変化は、複雑な構造を持つ分子内では、単純なものでなく、いろ
いろな量子効果が絡み合って出てくるものもあるだろう。それを考えると、中途半端に古典論で扱う自由 MD よりは、その効果自体を完全に無視した拘束 MD のほうがまし、という考えもあろう。
以上、共有結合を調和振動子近似した場
合の、分子の自由 MD と拘束 MD の優劣を比較した。熱容量は確実に後者のほうが正し

図 5A1.10 環境で結合長が変わる例

いが、分子構造や構造ゆらぎについては、前者の方がやや有利であることも示唆された。
一方、これまでの議論をまったく無にする考えとして、「どっちも、大局的には大して変わらない」という意見もある。たとえば、タンパク質のような大きな分子の動きは、細かい共有結合の振動とは共役（couple）しないので、拘束 MD でも自由 MD でも、大きくは違わない、という考え方である。この考えの是非は、MD の対象と目的によるので、正確に答えは出せない。大きな構造揺らぎを出す場合はともかく、たとえば、自由エネルギー摂動法みたいな精
密な計算ではどうであろうか？

大昔は検討した論文もあったような気がするが（探しても見つからない）、最近はどうなっているのか、寡聞にして筆者は知らない。
もう一つ、別の考えとして、「そんなこと、気にしてるぐらいなら、いっそのこと、全部量子力学で扱えばいいじゃん」もある。たしかに、原子核まで量子論で扱った量子 MD も、低分子ならば実用化されており、それがさらに発展するのを待つのがいいのかも知れない。もちろん、巨大生体分子系を量子 MD で扱うには、まだ、何かブレークスルー、つまり、計算アルゴリズムや計算機ハードの、革命的な大進歩が必要であろう。昨今話題の、機械学習や量子コンピューターなどでなんとかならないものだ
ろうか。若い人のがんばりに期待する。
以上、長々と議論した割に、結論がない記事で申し訳ないが、結合長の拘束一つ取ってみても、いろいろな問題があることはわかっていただけたと思う。MM-MD 計算のアルゴリズム選択で参考になれば幸いである。
140

第5章

力とポテンシャルの計算（前） 基礎

付録 5A2. エルミート多項式
一般式：
𝑛

[ ]

2
𝐻𝑛 (𝑦) = 𝑛! ∑𝑚=0(−1)𝑚(2𝑦)𝑛−2𝑚𝑚!(𝑛−2𝑚)!

ただし、𝑛(𝑛 = 𝑒𝑣𝑒𝑛)𝑛2[ ] = {𝑛−12(𝑛 = 𝑜𝑑𝑑)2

実例：
𝐻0 (𝑦) = 1
𝐻1 (𝑦) = 2𝑦
𝐻2 (𝑦) = 4𝑦 2 − 2𝐻3 (𝑦) = 8𝑦 3 − 12𝑦
𝐻4 (𝑦) = 16𝑦 4 − 48𝑦 2 + 12
𝐻5 (𝑦) = 32𝑦 5 − 160𝑦 3 + 120𝑦...
第 5 章の参考文献
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都築誠二 (2015), 有機分子の分子間力, 東大出版会.
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中村修一

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第5章

力とポテンシャルの計算（前） 基礎

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How

well does a RESP model do in calculating the conformational energies
of organic and biological molecules?

143

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

第 6 章 力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用
第 5 章に続き、第 6 章でも力とポテンシャルの計算方法を説明する。第 6 章では、分子間相互作用（非共有結合相互作用）、つまり LJ と静電相互作用の計算に絞って、説明を行う。特に、後者の静電相互作用の計算は、MM-MD において最も計算時間を使う”Hot spot”なので、計算量を減らすため、ア
ルゴリズム上の工夫が必要になる。
分子間相互作用の計算は、特に共有結合を含む分子系の場合、泥臭い秘訣やノウハウが多い。ブラックボックス化したパッケージプロ
グラムを使っているだけではわからない、その手の小汚い話を含めて、紹介することにする。なお、第 5 章と同様に「相互作用 interaction」という言葉は、「ポテンシャルpotential」と「力 force（ポテンシャルの座標勾配）」を特に区別せずに漠然と指すことにする。

内容
第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

144

6.1.

基本事項 ......................................................... 145

6.2.

分子間相互作用の初歩的な計算方法 ................................. 149

6.2.1. ポテンシャルの形 .............................................. 149
6.2.2. 最近接粒子選択法（周期境界） .................................. 151
6.2.3. カットオフ法（非周期境界、周期境界） .......................... 152
6.2.4. 直接和（非周期境界、周期境界） ................................ 158
6.3.

エワルド法 ....................................................... 160

6.3.1.

エワルド法の公式 ............................................. 160

6.3.2.

エワルド法の表面項 ........................................... 162

6.3.3.

エワルド法の精度と計算量 ..................................... 165

6.3.4.

エワルド法の排除原子対の扱い方 ............................... 169

6.3.5.

エワルド法のプログラム ....................................... 170

6.3.5.

エワルド法の特徴 ............................................. 171

6.4.

PME 法 ........................................................... 172

6.5.

多重極展開法 ..................................................... 173
144

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

第 6 章のまとめ ......................................................... 183
付録 6A1 周期系境界条件におけるポテンシャルと力（直接和） ............... 183
付録 6A2 周期系境界条件での角運動量保存則の不成立 ....................... 186
付録 6A3 カットオフ法の負荷分散 ........................................ 187
付録 6A4 エワルド法の導出 .............................................. 187
付録 6A5 ３次元フーリエ変換 ............................................ 201
第 6 章の参考文献 ....................................................... 205

6.1. 基本事項
非周期境界と周期境界の両方について、分子間相互作用（非共有結合力）の計算に関する基本事項をまとめておく。ここでの分子間相互作用は、静電相互作用と LJ 相互作用の二つを指す。
[1] 収束性
すでに 5.3 節で述べたように、MD における分子間相互作用、特に静電相互作用の問
題点は、収束が遅い、つまり、原子同士がどんなに離れても力が 0 にならないことである。この件を、数学的に説明しておく。結論を先に書くと、静電相互作用は絶対収束しないが、LJ は絶対収束するので、前者は計算が面倒で、後者はそれほどでもない。相互作用ポテンシャルの距離 r 依存性が、系の次元（通常は３次元）D を指標に、r-D よりも遅いと、絶対収束せず、それよりも早いと絶対収束す

図 6.1.1 粒子分布とポテン
シャルのカットオフ

る。なお、力は、ポテンシャルよりも指数が-1 になるので、少し収束が速い（例：静電ポテンシャルは

r-1、静電力は r-2）。以下ではポテンシャルの距離依存性について、岡崎・吉井(2011)に倣って、議論してみる。
分子シミュレーションで、相互作用ポテンシャルのカットオフが許される場合とそうでない場合を、
距離依存性で仕分けする。3 次元空間に粒子（原子）が数密度ρで分布している系を対象とする（図１、ただし、図は 2 次元だが、議論はすべて 3 次元を対象とする）。
この粒子群は、ポテンシャル u(r)で相互作用している。r は粒子間距離。
中央の黒丸粒子 i と他のすべての粒子との相互作用 U(∞)は、粒子 i の排除半径(他の粒子が入って来ない距離)をεとすれば、

145

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用∞∞

𝑈 (∞) = ∫𝜀 𝑢(𝑟) 4𝜋𝜌𝑟 2 𝑑𝑟 = 4𝜋𝜌 ∫𝜀 𝑢(𝑟) 𝑟 2 𝑑𝑟

(6.1.1)で計算できる。というのは、r~r+dr の半径の球殻の体積は 4πr2dr で、粒子の密度がρなので、中央の粒子から r の距離にある粒子数は、4πρr2dr になる。だから、これ
らのポテンシャルへの寄与は 4πρu(r)r2dr。これを r=εから∞まで足し合わせる、
つまり積分すればすべての粒子からのポテンシャルの寄与になる。もちろん、半径εの近傍では、この積分は近似が粗すぎるのだが、ここでは、r→∞での振る舞いを議論するので、問題ではない。
さて、ポテンシャルの計算で、距離 Rc 以降はカットオフ、つまり無視してしまう、とする。このときのポテンシャルの値を U(Rc)は、以下の式で計算できる。
𝑅

𝑈(𝑅𝑐 ) = 4𝜋𝜌 ∫𝜀 𝑐 𝑢(𝑟) 𝑟 2 𝑑𝑟

(6.1.2)

ここで、u(r)が r のべき乗で表せる形、つまり、
𝑢(𝑟) = 𝑟 𝑚(6.1.3)の場合、m の値によって、U(Rc)が Rc→∞で収束するかどうか、調べてみよう。たとえば、m=-1 なら静電ポテンシャル、-６なら LJ の引力ポテンシャルである。(3)を(2)に代入して、Rc→∞の極限を取ると、
𝑅

𝑅

𝑈(𝑅𝑐 ) = 4𝜋𝜌 ∫𝜀 𝑐 𝑟 𝑚 𝑟 2 𝑑𝑟 = 4𝜋𝜌 ∫𝜀 𝑐 𝑟 𝑚+2 𝑑𝑟𝑅𝜀= 4𝜋𝜌 𝑙𝑜𝑔 𝑐= 4𝜋𝜌

(𝑅𝑐 𝑚+3 −𝜀𝑚+3 )
𝑚+3→∞(𝑚 = −3)→∞(𝑚 > −3)→ −4𝜋𝜌

𝜀𝑚+3𝑚+3(𝑚 < −3)(6.1.4)というわけで、式(4)により、U(Rc)は Rc→∞で、m < -3 ならば収束するが、m ≧ -3だと発散してしまうことが分かる。ここでの３は空間の次元 D だから、より一般的には、m < -D なら収束、m ≧ -D なら発散、である。

Rc→∞で収束する力は、適当な距離でカットオフしても、大きな問題はない。だか
ら、例えば m = -6 の LJ は、通常はカットオフを使って計算する。問題は、収束しな
い m ≧ -3 の依存性を持つポテンシャルである。
表 1 に見るように、静電相互作用に起因するポテンシャルは、m ≧ -3 のものが多いから、発散するものばかりということになる。では、世の中、静電力で相互作用している物質は不安定だから存在しない、ということは当然なく、安定に存在している。なぜ安定に存在できるか、というと、正負の電荷が適当に混ざり合っているからである。式(1)(2)では、ポテンシャルはすべて同符号だが、これは図 2A のように、正電荷のイオンだけが集まってる「自然にはありえない、不安定な状況」である。だか
146

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

ら、この系のポテンシャルは発散してしまう。しかし、自然には図 2Ｂのように、正負が適当にまざりあって、中和して、安定になる。つまり、ポテンシャルが打ち消し
あうので（遮蔽効果、shielding/screening）、実際には、適当な値に収束する。

表 6.1.1 静電ポテンシャルの r 依存性
単極子－単極子r -1 (m=-1)単極子－双極子r -2 (m=-2)

単極子－4 重極子

r -3 (m=-3)双極子－双極子r -3 (m=-3)↑発散..........................................................
双極子－4 重極子
4 重極子－4 重極子

r -4 (m=-4)
r

-5

↓収束

(m=-5)

これは、数学的には「静電ポテンシャルは絶対収束しないが、条件収束はする」と言い換えることができる。静電相互作用計算の基

図 6.1.2 静電遮蔽
(A) 不安定(B) 安定本的な方法のエワルド法で課される「系の全電荷の和は 0」という条件は（後述）、級数の発散を避けるための数学的操作であるが、「ある程度以上の広い領域を取れば、全電荷は中和している」という“自然の理”を反映している。
[2] 相互作用の計算方法の一般的性質
6.2 以降は、非共有結合力の様々な計算方法を示すが、それに先立ち、一般的なまとめをしてお図 6.1.3 非共有結合力の計算

く。
まず、どのアルゴリズムも、根幹は共通していることを確認する。粒子 i と周囲の粒子との相互作用を計算する際に、空間を、半径 Rc 内の領域を近接領域と、それより遠くの遠隔領域とに分ける（図 3）。近接領域の寄与は、アルゴリズムの工夫による近似や高速化が難しい（並列化は可能、
6.2.3 節[3]参照）。だが、遠隔領域は工夫により
147

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

高速化が可能である。よって、MD の各ステップにおいて、近接領域内は毎回、LJ も静電力も計算する。一方、遠隔領域は、LJ も静電力も無視、またはなんらかの方法で近似を使って計算量を減らすことが出来るし、多重時間刻み法（3.11 節）で力の更新回数を減らすことも可能である。このように、非共有結合力のアルゴリズムでは、基本
的には、図 2 のように近接領域と遠隔領域に分けて計算する。
また、相互作用の近似アルゴリズムの性質として、連続かつ滑らかであることが重要であることを強調しておく。数学的に言うと、相互作用を連続微分可能な関数で近似したほうがいい、ということ。それは MD を円滑に実行するために必要だからである。例えば、犬の散歩中に突然紐が切れたら、犬にも飼い主にも衝撃が走るだろう。
それと同じで、ある原子に掛かっている力が、MD の最中に、突如、不連続に変われ
ば、系に衝撃が加わり、そのせいで、温度が急上昇したり、エネルギー保存が破綻したりする。だから、図 4A のポテンシャルを近似するには、B のようなギクシャクしていたり、不連続だったりする関数よりも、C のような滑らかな関数を使ったほうが、MD が安定に走り、エネルギーの保存もよい。

図 6.1.4 ポテンシャルの近似（青線が近似ポテンシャル）。
(A) 近似対象 (B) ギクシャクとした近似 (C) 滑らかな近似というわけで、様々な相互作用計算方法の根幹は図 2 であることを頭に入れ、また、図 4C のように連続で滑らかかどうかに注目しつつ、6.2 節で具体的な計算アルゴ
リズムを紹介する。
[3] 排除原子対の扱い方
その前に、前提として、もう一つ、排除原子対の扱いについても説明しておく。
5.1.1 節で説明したように、1-1 ペア、1-2 ペア、1-3 ペア、1-4 ペアは、排除原子
対 Excluded pairs と呼ばれ、非共有結合力は計算しない。つまり、非周期境界にせよ
非周期境界にせよ、全ポテンシャルエネルギーU から、∑(𝑖,𝑗):𝑒𝑥𝑐 𝑢𝑖𝑗(6.1.5)を引くことになる。(i,j):exc は、原子ペア i,j が、排除原子対であることを示す。
だが、排除原子対の相互作用への寄与の排除の仕方は、相互作用計算アルゴリズムに
148

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

より違うので、以下で概略を説明する。
カットオフ法（6.2.3 節）の場合は、ペアリスト作成時に、排除原子対は抜いてしまえば良い。
一方、直接和（6.2.4
節）や多重極展開（6.5節）では、ペアリストを作らないので、カットオ

図 6.1.5 ペアリストなしの場合の排除原子の扱い.色付
き〇は原子に電荷があることを示し、白〇は一時的に電荷を 0 に設定したことを示す。

フ法とは違う方式が必要である。やり方はい
くつか考えられるが、例えば、ある原子 i について静電相互作用を計算する直前に、排除原子の電荷 qj を一時的に 0 にすることで、排除原子からの寄与を除くことができる（図 5)。i についての計算が終わった直後に、元の値に戻す。LJ 相互作用なら、電荷 qj の代わりに、パラメーターεij（井戸の深さ）に対して、同様の操作をすればよい。面倒に見えるかも知れないが、実際には、計算量もほとんど増えな
いし、すんなりと計算できる。ところで、この方法は、筆者が、MD 専用計算機 GRAPEを使ってタンパク質の MD 計算するソフト PEACH を実装したときに使った方法である（Komeiji et al.、1997)。世間でどれだけ使われているかは知らない。
なお、エワルド法での排除原子の扱いについては、6.3.4 節で説明する。
6.2. 分子間相互作用の初歩的な計算方法
まずは、LJ と静電相互作用の、初歩的で原始的な計算方法の [1] 最近接粒子選択法、[2] カットオフ法、[3] 直接和、の三つを紹介する。この三方法それぞれを単独で使うことは今日ではほとんどない。だが、これらのアルゴリズムは、エワルド法や多重極展開法のような、高精度な高速計算法の基礎になっているため、少なくともプ
ログラム開発者は知っておいたほうがいいと思う。
6.2.1. ポテンシャルの形
第 5 章の通り、非共有結合相互作用の LJ と静電相互作用のポテンシャルは、原子 iと j の２体ポテンシャルとして書くと、次の形である。どちらも、ij 間距離の rij の
149

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用関数である。
LJ 相互作用：
𝑅𝑖𝑗

𝐿𝐽

12

ポテンシャル𝑢𝑖𝑗 (𝑟𝑖𝑗 ) = 𝜀𝑖𝑗 [(𝑟𝑖𝑗

力

𝐟𝑖𝑗 = −𝐟𝑗𝑖 = 12

𝐿𝐽

𝜀𝑖𝑗

𝐿𝐽

)

𝑅𝑖𝑗

𝑅𝑖𝑗

−2(
𝑅𝑖𝑗

((

𝑟𝑖𝑗

𝑟𝑖𝑗

6

13

)

(6.2.1.1)

) ]

−(

𝑅𝑖𝑗
𝑟𝑖𝑗

7

) )

𝐫𝑖𝑗
𝑟𝑖𝑗

(6.2.1.2)

静電相互作用：𝑞𝑖 𝑞 𝑗ポテンシャル𝐸𝑙𝑐𝑢𝑖𝑗(𝑟𝑖𝑗 ) =

力

𝐸𝑙𝑐
𝐟𝑖𝑗
= −𝐟𝑗𝑖𝐸𝑙𝑐 =(6.2.1.3)

𝑟𝑖𝑗𝑞𝑖 𝑞𝑗 𝐫𝑖𝑗𝑟𝑖𝑗 2 𝑟𝑖𝑗

(6.2.1.4)

LJ も静電力も、1-4 以上の結合位置（図 5.1.2）にある原子対に対して計算する。
ただし、1-4 間については、適切な因子を掛けて弱めるので、結局、1-5 以上の結合位置にある原子間について計算する。そのため、1-2、1-3、1-4 の結合位置にある原子対は、6.1[3]ですでに説明した排除原子対として扱われ、計算から除かれる。
だが、排除原子については、とりあえず気にせずに、相互作用ポテンシャルの合計

U は、uijElc と uijLJ どちらもまとめて uij と書くと、
1
2

非周期境界

𝑁
𝑁
𝑁
𝑈 = ∑𝑁𝑖=1 ∑𝑗=1 𝑢𝑖𝑗 (𝑟𝑖𝑗 ) = ∑𝑖=1 ∑𝑗>𝑖 𝑢𝑖𝑗 (𝑟𝑖𝑗 ) (6.2.1.5)

周期境界𝑁
𝑈 = ∑𝑁𝑖=1 ∑𝐧 ∑𝑗=1 𝑢𝑖𝑗 (𝑟𝑖𝑗𝐧 )

1

′

2

(6.2.1.6)となる。非周期境界(5)は、説明は不要だろう。周期境界(6)について説明しておく。
図１のような、辺 Bx,By,Bz の直方体を実像として、その虚像が無限に広がっているシ
ステムを考える。虚像は整数ベクトルによるインデックス n で示される。このとき、
虚像 n の位置は、格子ベクトル Ln (Lattice vector）で表される。
(6.2.1.7)

𝐋𝐧 = (𝑛𝑥 𝐵𝑥 , 𝑛𝑦 𝐵𝑦 , 𝑛𝑧 𝐵𝑧 )ただし𝐧 = (𝑛𝑥 , 𝑛𝑦 , 𝑛𝑧 )𝑛𝑥 , 𝑛𝑦 , 𝑛𝑧 = 0, ±1, ±2, ±3, … ± ∞(6.2.1.8)

ここで、n=(0,0,0)は、実像を指し、式(4)のΣ’の’は、実像では、i=j の項を除く
ことを示している。また、係数 1/2 はダブルカウントを防ぐために付けてある（詳細は、付録 6A1 を参照）。図 1 右の直方体、つまり基本ボックスの体積 V は
𝑉 = 𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧(6.2.1.9)である。式(6)の rijn は、基本ボックス内の粒子 i と虚像 n 内の粒子 j 間の相対ベクト
150

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

ル(6.2.1.10)

𝐫𝑖𝑗𝐧 = 𝐫𝑖 − 𝐫𝑗 − 𝐋𝐧の絶対値である。|

エワルド和に必要な逆格子ベクトル(Reciprocal lattice vector）は𝑘𝐵𝑥

𝐆𝐤 = (2𝜋 𝑥 , 2𝜋

𝑘𝑦
𝐵𝑦

𝑘
𝐵𝑧

, 2𝜋 𝑧 )(6.2.1.11)で定義される1。ただし、
𝐤 = (𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 , 𝑘𝑧 )(6.2.1.12)

図 6.2.1. 1 周期境界

は、式(8)の n と同様の整数ベクトルである。Lnと Gk の間には、
𝐋𝐧 ∙ 𝐆𝐤 = 2𝜋𝐧 ∙ 𝐤(6.2.1.13)の関係があるが、n・k=m とおけば、m は整数だから、𝑒𝑥𝑝(𝐼𝐋𝐧 ∙ 𝐆𝐤 ) = 𝑒𝑥𝑝(2𝜋𝑚𝐼) = 1(6.2.1.14)が成り立つ（I は虚数単位）。
以上の定義と問題設定の上で、相互作用の計算方法を説明していくことにする。
6.2.2. 最近接粒子選択法（周期境界）
周期境界における最近
接粒子選択法図 6.2.2. 1 最近接粒子選択法でのイメージング（minimum/minimal
image
method/convention、Metropolis, 1953）は、
すでに、第 4.4 節で紹介済みであるが、ここでは、相互作用計算という面に焦点を当てて、もう少し詳しく説明する。計算量は N(N-1)/2 なので、O(N 2)である。
最近接粒子選択法を図１に示す。中央の実像内の粒子（原子）i は、粒子 j の実像

j0、虚像 j1’…j8’の中から、一番近いものだけを選んで、その相互作用を計算する。

1

物理学業界では、普通、このように 2πを付けて定義をするそうである。一方、結晶解析

学業界では 2πを付けない定義が主流らしい。

151

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

そこで気になるのは、イメージングで粒子が移動したときに、相互作用が不連続に変化しないか、ということである。だが、結論を書けば、変化しないので、問題ない。
変化しない理由を図１で示す。MD のある時刻で、粒子 j0 が、図 1A のように実像をはみ出てしまったとする。粒子 i は、イメージング前は、j0 と相互作用している。だがイメージング後は、j0 は、図１B のように、箱の逆側に移動する。そのとき、i の相
互作用の相手は j8’に切り変わる。だが、j8’はイメージング前の j0 と同じ位置にいるわけだから、MD は連続的に走る。結局、イメージングで MD が破綻することはな
い。
しかし、最近接粒子選択法での MD の連続性は、イメージングとは別の要因で破綻する。それは rij の、x, y,z 要素（α）のどれか一つの大きさが、箱の一辺

図 6.2.2. 2 rij の一方向の要素の大きさが、箱の半分を超えた場合の長さの半分、Bα/2 を超えた瞬間である（図2）。すると、最近接の jとの距離ベクトル rij が別方向に不連続に切り替
わってしまうため、相互作用も不連続に切り替わる。図 2 の例で言えば、
時刻 t で i は、j0 からの力を受けていたのに、次の時刻 t+h では、逆方向の j6’からの力を受けることになる。結果、力の方向が不連続に変化する。よって、静電力のよ
うな、箱の半分の長さの距離程度では力が 0 にならない、収束の遅い長距離力では、MD が破綻する。
上記の問題があるため、最近接粒子選択法単独で適用できるのは、静電相互作用がない、短距離で相互作用する LJ 粒子系ぐらいである。だが、最近接粒子選択法は、周期境界で図 6.1.2 の近接領域からの寄与を計算する場合には、必ずと言っていいぐら
いに使われる。その場合は、遠隔領域は別の方法で計算するわけである。
6.2.3. カットオフ法（非周期境界、周期境界）
カットオフ法とは、すでに 6.1 節[2]で概略は説明したが、力を特定の切断半径（Cutoff radius、Rc）以上は０にしてしまうことをさす。つまり、図 6.1.2 で、遠隔領域からの力の寄与は計算せず、近接領域だけを計算する方法である。カットオフ法
は非周期、周期、どちらの境界条件でも使える。周期境界では、前節の最近接粒子選択法を適用する。Rc は、8-15Å程度に設定するが、周期境界の場合は、箱の一辺の最
152

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

小値（B）の半分未満、つまり、
𝑅𝑐 <

𝐵
2

に設定する。カットオフ法の計算量は O(N)である。
カットオフ法は物理学的に様々な問題を生ずるので、今日、単独で使われることはあまりない。だが、そのアルゴリズムは、他の相互作用計算法の基礎となっているので、詳しく解説することにする。
[1] カットオフ法のプログラム
カットオフ法では、相互作用計算に先立って、原子ペアリスト（pair list, あるいは neighbor list）を作成する必要がある。すなわち、MD のステップ何回かに一度、原子間距離を調べて、相互作用する原子対のペアリストを作る。力の計算の段階では、そのリストを使ってペアリストに載っている原子ペアについてのみ、相互作用（ポテンシャルと力）を計算することになる。ペアリストは、実装によりいろいろな形式が考えられるが、Fortran プログラムでは、次のような二つの配列に格納することが多い。
index_nb(natom+1)
list_nb(nbsize)
ここで、natom は、系の全原子数。nbsize は、リストの大きさである。nb はnonbonded の略。第 i 番目の原子と相互作用する原子群は、j1 = index_nb(i), j2 =index_nb(i+1)-1

として、list_nb(j1:j2)に格納されているように、作成する2。なお、排除原子は、このペアリストを作る段階で、データから除いておく。
ペアリストを使って、静電相互作用の計算をする方法を、疑似コード(1)で示した。
計算すべきポテンシャルと力は pot_elc と f_elc(:,:)である。ただし、f_elc(m,i)
は、原子 i に掛かる力の x(m=1), y(m=2), z(m=3)成分。list_nb に含まれるのは i<j相互作用のみで、j>i 間の力は、最後に作用反作用の法則を使って i<j 間の力を流用している。これで、計算量が半減できる。
なお、コード(1)では静電力だけを計算しているが、実際のプログラムでは、同じサブルーチンで、LJ 力も計算することが多い。その場合は、LJ 用のポテンシャルと力の配列を付け加え、i と j のループの中に、LJ を計算する機能を付け加える。

2

ここで紹介した index と list の二つの一次元配列を使って、原子対に限らず、何かのペア

リストを表す、というプログラミング技術は、特に Fortran でよく使われる。二次元配列では、どうしても、メモリーの無駄が出たり、逆にメモリーが足りなくなったりするからだ。

153

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

コード 6.2.3.1 ペアリストを用いたカットオフ法による静電相互作用の計算
epot_elc= 0! ポテンシャルの初期化

f_elc(:,:)= 0! 力の初期化

DO i = 1, natom-1! 原子 i についてのループ

j1 = index_nb(i)! 原子 i と相互作用する原子群は、

j2 = index_nb(i+1) - 1 ! list_nb(j1:j2)
DO j = j1, j2!

相互作用する原子 j についてのループ

jj = list_nb(j)! 相互作用する原子 j のインデックス
rij(:) = r(:,i) - r(:,jj)! 相対座標rij(:) = rij(:) - box(:) * ANINT(rij(:)/box (:))
! 最近接粒子選択
rij_abs_inv2= 1 /(rij(1)**2 + rij(2)**2 + rij(3)**2)

rij_abs_inv1= SQRT(rij_abs_inv2)

potij= q(i) * q(jj) * rij_abs_inv1! q(:)は、原子の部分電荷を入れた配列

epot_elc= epot_elc + potij

fij(:)= potij * rij_abs_inv2 * rij(:)

f_elc(:,i)= f_elc(:,i) + fij(:)

f_elc(:,jj)= f_elc(:,jj) - fij(:) !で計算量を半減! 作用反作用の法則

END DOEND DO[2] ペアリスト作成の工夫
以上が、ペアリストを使ったカットオフ法のプログラムの概略である。だが、実装には、さらに細かい工夫が必要である。
例えば、原子ペアリストの作成は、計算量が O(N 2)と大きいので、できたら作成回数を減らしたい。また、原子間距離だけを見て機械的にペアリストを作ると、水分子やアミノ酸残基の中で切ってしまうことになる。いくらカットオフ法が低精度の方法だと言っても、こういうのはやめたほうがいい。
この問題を回避するための工夫は、MD 計算の対象分子の性質により変わるし、対象が同じでも、ソフトウェアによって、やり方も違うだろう。以下では、一例として、筆者自身が、実装した方法を紹介しておく。対象分子は、水やイオンに囲まれたタン
パク質や核酸である。ここでは、ペアリストを以下のように作成している。MD の準備段階で、タンパク質のアミノ酸残基、核酸のヌクレオチド、水分子、イオンをそれぞれ、一つのグループとみなし、そのグループの原子の中から、グループの重心に最も近いものにフラッグを付けておく。MD 実行中は、そのフラッグが付いた原子の座標を
154

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

用いて、100-200 fs に 1 回程度、グループ―グループ間ペアリスト（以下 GG リスト）を作る。そのときの切断半径は、設定切断半径 Rc よりも 10Å近く長く設定しておく。そして、10-50 fs に一回程度、その GG リスト内のグループ間の原子の距離だけを利用して、原子―原子ペアリストを作る。
この方法では、予備的な GG リストを利用することにより、ペアリスト作成時間を短縮しているわけである。このように予備的なペアリストを利用する方法を、総称して、「帳簿法」(Book keeping)と呼ぶ。
この方法を応用すれば、グループ内の原子はまとめてペアリストに入れてしまうことも可能である。例えば、グループ間の最短原子間距離が Rc 以内ならば、そのグルー
プ間のすべての原子ペアをリストに入れてしまえばよい。これは、Group-based
cutoff と呼ばれ、タンパク質をカットオフで扱っていた頃は、普通に使われていた。
なお、遠距離力をエワルド法で高精度に計算する場合は、ここまでしなくても良くて、近距離力用のリストは、原子間距離だけを考慮すれば十分である。
ところで、カットオフ法の改良版として、Twin-range 法（De Vlieg et al, 1989）がある。Two-range method, Dual-range method などとも呼ばれる。この方法では、二つの切断半径 (Rc1,, 7-10Å程度； Rc2,, 12-20Å程度) を設定し、 Rc1 内の原子からの静電力は毎回更新し、一方、Rc1 と Rc2 にはさまれる部分の原子の静電力は例えば 10
回に 1 回だけ更新する（3 章の多重時間刻み幅法を使う）。これにより、計算時間をあまり上げずに、一段階だけのカットオフに比べて精度をそれなりに上げることができる（Komeiji et al., 1991）。もちろん、現在では、PME 法などの高精度かつ高速な方法が実用化されているから、Twin-range 法を使う必要性はない。だが、部分的に使うことはある。たとえば、エワルド法の実空間部分の高速化に Twin-range 法を導入
すれば、多少は高速化できる。
[3] カットオフ法の並列化
本書では、並列化法には深入りしないが、LJ と静電力のカットオフ法の並列化は、
MD の並列化の一丁目一番地なので、紹介しておく。MD の並列化は、基本的な手法は、
2000 年前後に完成されたので、その頃の解説記事が分かりやすい（清水、中村、2002など）。並列化手法は様々なものがあるが、ここでは、原子分割法（Atomdecomposition）と空間分割法（Space decomposition）の二つの典型例の概略だけを書いておく。
原子分割法は、並列計算機の Processing Unit (PU)に対して、担当する原子を割り当てる方法である。N 個の原子を m 台の PU に割り当てる方法を、図 1 を用いて説明す

155

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

る。原子には i=1,...,N のインデックスは付いているが、空間の場所は指定しない（図図 6.2.3.1 原子分割法1A）。これらを、インデックス k=0,...,m-1の PU に割り当てる3わけだが、原子数を等分に割り当てると、無駄が多い。というのは、
通常、作用反作用の法則 (fij = -fji）を使って計算量を半減させるので、図 1B の直線に示すように、i と相互作用を計算する原子 jの数は、原子インデックス i が大きくなるに連れて減少する。よって、計算すべき全相互作用の数は、図 1B の三角形の面積になる
が、k 番目の PU が担当する相互作用対の数は、台形 Sk の面積に比例する。よって、相互作用対を m 個の PU に平等に計算させるには、S0＝...Sk＝...=Sm-1 が成り立つようにすればよい（負荷分散、Load-balance）。そのような条件は、k 番目の PU がインデック
ス nk から nk+1-1 番の原子を担当する場合は、𝑘𝑚𝑛𝑘 = (𝑁 − 1) (1 − √1 − ) + 1(6.2.3.1)というように決めればよい（付録 6A3)。式(1)では、n0=1, nm=N になるのに注意。式(1)を使えば、

図 6.2.3. 2 空間分割法。緑のセルを担当する PU は、周囲の水色のセル内の原子のデータだけ持てばよい。

少なくともスカラー型並列マシンならば、負荷分散がうまくいく。
原子分割法は、既存のプログラムの簡単な修正だけですむため、実装が楽である。そのため、自作プログラムを手軽に並列化するのに適している。11.3 節に、並列化のベンチマ
ーク計算の一例を掲載したが、エワルド法の実空間は原子分割法で並列化している。だが、原子分割法は、力分割法（本書では割愛）や空間分割法に比べて、必要なメモリー量と通信量が多いという欠点がある（清水、中村、2002）。
一方、空間分割法は、並列計算機の PU に対して、担当する空間を割り当てる方法で

3

PU のインデックスは、1 ではなく、0 から始めるのが慣例。おそらく C 言語の影響だろう。

156

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用ある。図 2 のように、空間をセルに分割し、１つの PU を１つのセルを割り当て、その中の原子への相互作用を計算する。座標データは、周囲の分割空間の原子のみを持てばよい。よって、プロセッサー間通信は少なくて済み、結果として、高速になる。ただし、実装は結構難しいそうだ（筆者は実装したことはない）。
以上、MD の並列化法の中でも、基本的な原子分割法と空間分割法の概要を紹介した。もちろん、最先端の MD ソフト、特に超並列計算機向けのものは、これらを組み合
わせた、より複雑で高度な並列化を行っている（NAMD, Kalé et al, 1999, Phillips
et al., 2020; GROMACS, Abraham et al., 2015; MODYLAS, Andoh et al., 2013;
GENESIS, Jung et al., 2015、など）。
[4] カットオフ法の問題点と、いろいろ説明はしたけれど、カットオフ法は、今日、単独で使われることは、ほとんどない。1990 年代の生体分子の MD 業界は、静電力のカットオフの問題点の洗い出しが精力的になされた結果、「熱平衡に達しない（分子種により温度格差が生ずる）」「タンパク質や核酸の構造が不自然に崩れる」などの欠点が顕在化したからである（Auffinger & Beveridge, 1995, Boresch & Steinhauser 2001ab, Fox &Kollman, 1996, Komeiji et al., 1997, 1999, Louise-May et al., 1996; Oda etal., 1996, Saito, 1992, 1994; Schreiber & Steinhauser, 1992; Zuegg & Gready,1999 など）。さらに、Mark & Nilsson (2002)は、カットオフ法による水分子の物性を系統的に調べているので、参照されたし。また、周期境界での水構造に関しては、
長いカットオフ(18 Å程度)を使うと、不自然な層構造が発生することも報告されている（Yonetani, 2005, 2006）。
ともあれ、カットオフを使うと、いろいろと問題が生ずるわけだが、おそらく、その根本的な原因は、6.1.3 節で述べた通り、不連続な MD 法だからである。ある二つの原子間距離がカットオフ半径をまたいだ瞬間に、系に揺動が入り、温度が上ったり、構造が崩れたりする。筆者の経験では、カットオフ法に限らず、力が滑らかでない場
合は、長期的には、温度は上がりこそすれ、下がることはない。ノイズは、熱を発生するが、熱を吸い取りはしないからだろう。
このように、構造の崩れや熱力学的な問題点は、Abrupt cutoff（急激な切断）による連続性の破綻が原因であるから、Shift potential （Switching 関数を使って徐々に下げる方法）を使って滑らかなポテンシャルにしてしまえば、避けることができる(Oda et al., 1996; Norberg & Nilsson, 2000 など）。だが、Shift potential を使
うと、極性分子、例えば水などの構造が不自然になるという報告もある（Smith &Pettitt, 1991; Lau et al., 1994）。実際、カットオフの問題点は、突き詰めていくと、原因がよくわかっていなものもある（米谷、2023、は、この件についての最近の動向をまとめている）。
157

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

ここで、改めて考えてみる。1980 年代から 1990 年代のタンパク質の MD 計算は、ほとんどがカットオフ、それもシフトポテンシャルではない、abrupt cutoff で行われていたのだが、なぜ安定に動いていたのだろうか？

その理由は、温度一定アルゴリ

ズム（多くの場合 Berendsen 法、第 10 章参照）で温度をほぼ一定に抑え込んでいたからである。また、当時は 50 ps から 1 ns 程度の、今日の基準からみると非常に短い
時間の MD しかできなかったから、「カットオフのボロが出なかった」のかも知れない。
では、その頃の MD の結果は今日の基準では無価値なのか？

これには意見がいろい

ろあるだろうけど、定性的、半定量的に正しい結果ならば、無価値ではないと思う。
実際、古い論文でも引用され続けるものもある。新しく、精度が高い、性質のいい方
法を使うことは大事であるが、一方、過去のローテクで得られた結果でも、何か本質を突いていれば、それなりに価値は残るものである。
ともあれ、カットオフ法自体は、今日では使われることはないものの、その「近接原子のペアリストを作って計算する」アルゴリズムは、これ以降に述べる様々な高精度な計算法の基礎になっている。
注記：

Wolf et al. (1999) は、カットオフ内の電荷を 0 にすれば、補誤差関数を

switching 関数としたカットオフ法でも静電力を正確に計算できる、と主張している。この Wolf 法は、ざっくり言うと、6.3 節のエワルド法の実空間和だけを計算し、表面項はもちろん波数空間も無視、という方法である。この方法の改良版も提唱されている（Fennnel & Gezelter, 2006, Yonezawa, 2012、など)。だが、果たして、この方法がエワルド法に取って変わるほどの良い方法なのか、まだ議論が続いている。残念ながら、筆者自身は、意見を言えるほど深く調べても考察してもいないので、ここ
では、単に、そういう方法と議論があることを紹介するにとどめておく。
6.2.4. 直接和（非周期境界、周期境界）式(6.2.1.3,4)を使って、特に工夫せずに静電相互作用を計算する”naïve な方法”
を、直接和（direct summation）と呼ぶ。カットオフを使わない、ノーカットオフ法の、一番原始的な方法である。
直接和を非周期境界に適用するのは、簡単である。粒子数が N ならば、計算量は、N(N-1)/2 なので、O(N 2)になる。プログラムが単純なので、並列化も楽、さらに、GPUや特殊な MD 専用計算機に適している4。そのため、実用計算で使われた例もないわけ

4

汎用 CPU と違い、GPU や MD 専用機は、複雑なアルゴリズムは苦手である。だが、その一方で、直接和のような単純なアルゴリズムには威力を発揮する。

158

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用ではない（Billeter et al., 1996、Oda et al., 1996, Komeiji et al., 1997,
Toyoda et al., 1999 など)。だがこれらは例外。普通は、直接和は、実用計算ではな
く、他の近似法の評価のためのリファレンスとして使う。また、積分アルゴリズムの精度を試験したい場合（第 3 章）には、直接和を使うと余計なノイズの混入がないため、正確な評価ができる。
直接和を周期境界に適用するときは、式(6.2.1.6)を使って、虚像からの寄与を計算する（図 6.2.1）。ただし、仮に虚像を一層だけ考慮した場合でも、非周期境界に比べて 27 倍の計算時間が必要になるので、非周期境界以上に非実用的である。実際、周期境界の応用計算に直接和を使った例は、筆者は知らない。
ここで、周期境界で、直接和を使って静電力を計算する場合に生ずる、重要なアーチファクトを説明しておく。6.2.2 節で説明したように、最近接粒子選択法では、イメージングを行っても、相互作用の連続性は保たれて、結果、MD も連続的に実行できる（図 6.2.2.1）。ところが、以下に示すように、周期境界で直接和を使う場合は、イメージングによって、原子に掛かる力が不連続に変化して、MD が破綻してしまう。
仮に虚像を一層だけ取るとする。直接和の場合、i は j の実像とすべての虚像と相互作用している（最近接粒子選択法では、虚像の中の一つとの相互作用だけを計算している）。MD の最中に、原子 j が、基本セルをはみ出たとする（図 1A）。これに対して、j をイメージングして、基本セルの中に戻すと（図図 6.2.4. 1 直接和でのイメージング

1B）、ij 相互作用は、表面に出ているセルの部分が大きく変化してしまう（図 1B）。つまり、エネルギーと力の連続性がなくなり、MD がスムーズに動かなくなる。
図 1 は、2 次元で、しかも虚像セルが一層だけの場合だが、このイメージングによるエネルギーの不連続変化は、3次元で虚像セルがもっと沢山でも（たとえ無限個でも）、改善されない。表面に出ている虚像セルでは、同様のことが起こるからだ。もちろん、LJ のように力が遠距離には及ばないようなものならば、この不連続性の問題は無視できる。だが、静電力のような長距離力の場合は、不連続性は大いに問題になる。極端な例として、i と j が、Na+と Cl-のような正負イオンだとすれば、図 1A と B のポテンシャルと力の差が莫大になるのは、火を見るより明らかである。実際に、このような条件で MD を行えば、イメージングのたびにエネルギーと力が不連続に大きく変わり、時間積分が破綻する。
ここでは、直接和で説明したが、エワルド法や多重極展開法でも、問題は同じである。だが幸いなことに、このイメージングによる力の不連続性は、「表面項」と呼ば
159

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用れるエネルギー項を落とすことで避けることができる。具体的には、次節と付録 6A4で詳細に説明する。
6.3. エワルド法
エワルド法(Ewald, 1921)は、周期境界において、フーリエ変換を用いて、カットオ
フなしに無限個の虚像からの静電力の寄与を計算する方法である。非周期境界条件では使えない。計算量は、見積もり方に依存するが、O(N 1.5-2)である。エワルド法の高速版の Particle Mesh Ewald 法 (PME、6.4 節参照）まで含めれば、今日の MD シミュ
レーションの多くはエワルド法で行われている。なお、特に、PME 法と対比させる場
合は、6.3 で紹介するエワルド法は、Original Ewald（元祖エワルド法）と呼ぶ。
本節では、エワルド法の表式、条件決定法、およびその特徴について、解説する。
特に、6.2.3 節で提起した、表面電荷の問題は、エワルド法の計算方法を工夫すれば回避できる。
6.3.1. エワルド法の公式
図 6.2.1.1 で表される周期境界における静電相互作用は、式(6.2.1.3)を、式(6.2.1.6)で足し合わせて得られる。
1
2

′

𝑁
𝑈𝜀=1 = ∑𝑁𝑖=1 𝑞𝑖 ∑𝐧 ∑𝑗=1

𝑞𝑗
𝑟𝑖𝑗𝐧

(6.3.1.1)

この式(1)を数学的に変形して、高速に計算できるようにする方法の一つがエワルド法である。ただし、系全体の電荷が０、つまり、∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 = 0(6.3.1.2)を満たす系を対象としている。

図 6.3.1. 1 周期境界条件と周囲の媒体

第 6.1 節で説明したように、この中和条件は超重要で、エワルド法の公式の導出でもたびたび使う。

U に付いている
ε=1 は、この周期系が、誘電率ε=1 の媒体、つまり真空に囲まれていることを示している（図 1A）。計算対象は、中央の実像とその周りを幾重にも取り囲む虚像の集合体
160

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用である。その集合体が真空に浮かんでいる場合は、図 1A になる。
一方、U の添え字がε=∞の場合は、図 1B のように、集合体が金属のようなε=∞の導電体に囲まれていることを示す。次節で詳しく議論するが、溶液状態の MD では Uε=で計算する必要があるが、その場合、表面項と呼ばれるエネルギーを取り除くと、U∞ε=∞が実現できる。ただし、この実像虚像を含めた物質系の中では、図 1B のように、ε=1 であることに注意。図 1C のように物質系の内部まで導電体に浸されているわけではないので、誤解しないように。
式(1)は、収束が遅い級数だが、この式をフーリエ変換することにより、二つの収束の速い級数の和と、定数、表面項の四つに分割することができる。それらを用いて静電力を計算することを、エワルド法と呼ぶ（導出は付録 6A4、ただし、付録内では、直方体には限定せず、より一般的な斜方体に関して導出している）。
′

1
2

𝑁
𝑈𝑆𝑅 = ∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 ∑𝐧 ∑𝑗=1

𝑞𝑗
𝑟𝑖𝑗𝐧

𝑒𝑟𝑓𝑐 (𝑟𝑖𝑗𝐧
𝜂

)

短距離和（Short-Range, SR)、または実空間和(6.3.1.3 ←6A4.43)
𝑈𝐿𝑅 =

2𝜋
𝑉

∑𝐤≠0

𝑒𝑥𝑝(−(𝜂𝐆𝐤 )2 /4)
𝐆𝐤 2

2

2

𝑁
{(∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 𝑐𝑜𝑠(𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑖 )) + (∑𝑖=1 𝑞𝑖 𝑠𝑖𝑛(𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑖 )) }長距離和（Long-Range, LR）、または波数空間和(6.3.1.4 ← 6A4.42)
𝑈𝑠𝑒𝑙𝑓 = −𝑈𝑠𝑢𝑟𝑓 =

12∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖𝜋𝜂√

自己エネルギー(6.3.1.5 ← 6A4.44)

𝐌𝐉𝐌

表面項

(6.3.1.6 ← 6A4.34)

1
2𝑉

M は基本ボックスの双極子モーメントで、
𝐌 = ∑𝑁𝑖=1 𝑞𝑖 𝐫𝑖(6.3.1.7)

J は脱分極テンソルである（付録 6A4 中の式 6A4.33 とその説明を参照）。なお、
𝐻(𝐤) =𝑒𝑥𝑝(−(𝜂𝐆𝐤 )2 /4)
𝐆𝐤 2(6.3.1.8)とおくと、長距離和は、
𝑈𝐿𝑅 =

2
2
2𝜋
𝑁
∑𝐤≠0 𝐻(𝐤) {(∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 𝑐𝑜𝑠(𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑖 )) + (∑𝑖=1 𝑞𝑖 𝑠𝑖𝑛(𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑖 )) }𝑉

(6.3.1.9)と書ける。
式(3)-(6)を使うと、
𝑈𝜀=1 = 𝑈𝑆𝑅 + 𝑈𝐿𝑅 + 𝑈𝑠𝑒𝑙𝑓 + 𝑈𝑠𝑢𝑟𝑓(6.3.1.10)と表すことができる。また、(8)から表面項 Usurf を除くと、Uε=∞になる。
161

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用(6.3.1.11)

𝑈𝜀=∞ = 𝑈𝑆𝑅 + 𝑈𝐿𝑅 + 𝑈𝑠𝑒𝑙𝑓

すでに述べたように、溶液状態の MD シミュレーションでは、Uε=1 ではなく Uε=∞を使う。この件に関しては次項で詳しく議論する。
実空間和 USR（式(3)）は、通常の静電ポテンシャル（式(1)）に収束の速い補誤差関
数 erfc(x)を掛けた形をしている。この erfc(x)のおかげで、式(3)は、小さい x で収束する。よって、6.2.3 節のカットオフと同様に、設定した切断距離内の原子ペアリストを作り、最近接粒子法を適用して、計算すればよい。また、ここに Twin-range 法を導入して、高速化することもある。なお、プログラムによっては、エワルド実空間
和と LJ を同じサブルーチンで計算する。
また、波数空間和 ULR（式(4)）も、こちらはガウス型関数 exp(-x2)のおかげで、素早く収束する。
実空間ポテンシャル（式(3)）と波数空間ポテンシャル(4)）を距離で微分すると、力になる(式(12), (13))。自己エネルギー（式(5)）は座標 ri には依らないから、力は 0 である。
𝑟𝑖𝑗𝒏

𝑒𝑟𝑓𝑐(
)
′
𝑟𝑖𝑗𝒏 2𝑞
2𝜂
𝐅𝑆𝑅 = 3𝑖 ∑𝐧 ∑𝑁
𝑞𝑗 [ 𝑟 3 +) )] 𝐫𝑖𝑗𝒏
2 𝑒𝑥𝑝 (− (
𝑗=1
𝑟
𝜂
𝜂
𝑖𝑗𝒏
𝑖𝑗𝒏
( 𝜂 )
√𝜋( 𝜂 )𝑖

𝐅𝐿𝑅 𝑖 =

(6.3.1.12)4𝜋𝑞𝑖∑𝐤≠𝟎 𝐻(𝐤) ×𝑉𝑁{𝑠𝑖𝑛(𝐆𝐤 • 𝐫𝑖 ) ∑𝑁
𝑗=1 𝑞𝑗 𝑐𝑜𝑠(𝐆𝐤 • 𝐫𝑖 ) − 𝑐𝑜𝑠(𝐆𝐤 • 𝐫𝑖 ) ∑𝑗=1 𝑞𝑗 𝑠𝑖𝑛(𝐆𝐤 • 𝐫𝑖 )}𝐆𝐤

(6.3.1.13)
残った表面項 Usurf については、ここでは、基本ボックスが立方体の場合の（式6A4.45)の微分を載せておく。
𝐅𝑠𝑢𝑟𝑓 𝑖 = −4𝜋
𝑞 ∑𝑁 𝑞 𝐫
3𝑉 𝑖 𝑗=1 𝑗 𝑗(6.3.1.14)

だが、すでに述べた通り、溶液状態の MD では表面項は計算しない。その理由は、次節で詳しく議論する。
6.3.2. エワルド法の表面項
エワルド和の中の表面項 Usurf（式(6.3.1.6)）について述べておく。付録 6A4 に詳細に記述したが、この項は、実像（基本ボックス）とそれを取りまく虚像の集合体が作りだす空間 S（図 6A4.1）表面に分布している電気双極子と、基本ボックスの双極子 Mの相互作用エネルギーである。この項を加えることで、計算対象の物質系を図6.3.1.1B、式(6.3.1.10)の「導電体(ε=∞)」ではなく、図 6.3.1.1A、式(6.3.1.11)
162

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用の「真空（ε=1）」環境に置くように、補正できる (De Leeuw et al., 1980, Deemet al., 1990、Ballenegger, 2014, Allen & Tildesley, 2017)。なお、Ewald (1921)の原報で導出されたのは Uε=∞であるので、Usurf は入っていない。Usurf は、だいぶ後のRedlack & Grindlay (1972, 1975) で、おそらく初めて、導出された。
では、MD は、ε=1 とε=∞のどちらで実行すべきなのか？

と言うと、本書で対象としている溶液状態の分子系に対しては、ε=∞の条件を使うべきである。というのは、溶液状態では分子が自由に拡散するため、イメージング（第 4.4 節）が必要になる。だが、表面項があると、イメージングの度に相互作用が不連続に変化するので、MD が破綻ないし不安定になってしまう。これは、6.2.3 節の直接和で説明した現象と、根は同じである。この問題を回避するため、溶液系では、表面項 Usurf（式
6.3.2.4）を除いてε=∞条件にして、MD を行う。一方、固体結晶のように分子が拡散しない系では、イメージングが不要である。だから、表面項を入れてε=1 の条件にして、問題は生じないはずである。
表面項を入れるとイメージングで破綻するのは、実際にプログラムして、Usurf あり
で、NaCl のようなイオン性の系の MD を流せば、すぐ実体験できる5。だが、数学的、物理学的に考察してみよう。
式(6.3.1.3, 8)の実空間和は、6.2 節の最近接粒子選択法とカットオフで計算する。これは 6.2 節ですでに議論したように、イメージングが起こっても連続性は保たれているので、破綻はしない。
次に、式(6.3.1.4, 9)の波数空間和はというと、イメージングにより、ri か rj の一つの成分が箱のどれかが一辺分だけ増減することになる。座標 ri と rj に関する項は、すべて、sin/cos(Gk・ri/j)の形であるから、これがイメージングでどう変化するか調べる。例えば、ri がイメージングで r’i になったとき、その x 成分が xi→xi+Bx に変化したとする。そのとき、sin(Gk・r'i)は、kx が整数なので、値は変わらない。
′

𝑠𝑖𝑛 𝐆𝐤 • 𝐫𝒊 = 𝑠𝑖𝑛 2𝜋 [

5

𝑘𝑦
𝑘𝑥
𝑘𝑧
(𝑥𝒊 + 𝐵𝑥 ) + 𝑦𝒊 + 𝑧𝒊 ] = 𝑠𝑖𝑛(𝐆𝐤 • 𝐫𝒊 + 2𝜋𝑘𝑥 ) = 𝑠𝑖𝑛𝐆𝐤 • 𝐫𝒊
𝐵𝑥
𝐵𝑦
𝐵𝑧

この事実は、筆者自身は、たまたま、教材用に NaCl 結晶の MD プログラムを書いてテストしたときに、表面項を入れてイメージングすると MD が破綻してしまうので、気付いた次第である。大きな分子系では、水分子がイメージングしたぐらいでは、破綻したりしないので、なか
なか気づかない。その後、この件をいろいろ調べてみると、ほのめかしてる文献はあることはあるのだが（「溶液のシミュレーションでは表面項を入れない」とか）、はっきりと書いてある文献は少ない。その数少ない例として、De Leeuw & Perram (1981)には、「もし、粒子が 1つ、基本ボックスをはみだしてしまったら、それをボックス内の虚像と入れ替えてはならな
い。なぜなら、そんなことをしたら、系のハミルトニアンが変わってしまうからだ」と記述し
てある。

163

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

もちろん、xi→xi-Bx でも、また、cos(Gk・r'i)でも同様。つまり、波数空間のポテンシ
ャルも力も、イメージングによって変化しない。
ところが、表面項の Usurf、Fsurf はそうはいかない。式 (6.3.1.7)の M は、ri が基本
ボックスのサイズだけ増減したなら、どの方向にせよ、不連続に変化する。よって、表面項を入れた MD は、力が不連続に変化してしまうため、破綻するか、そうでなくても不安定になる、ということが、式の形からわかる。そもそも、表面項 Usurf は何なのか？

というと、付録 6A4 で詳細に述べたが、無限遠での表面の双極子と基本セルの双極子の間の相互作用で、M の関数である。たとえば、基本ボックスが立方体ならば、以下の形になる。
𝑈𝑠𝑢𝑟𝑓 =

2𝜋
3𝑉

𝐅𝑠𝑢𝑟𝑓 𝑖 = −𝐌2(6.3.2.1

4𝜋
𝑞𝐌
3𝑉 𝑖

(6.3.2.2)←

6A4.45)式から自明なように、イメージングにより M が不連続に変化すれば、Usurf と Fsurf も不連続に変化するわけである。
逆に、表面項を除くと、なぜε=∞の導電体に囲まれた条件（図 6.3.1.1B）になるのか？

それは、導電体ならば、表面電荷を打ち消すように、逆の符号の電荷が集まり、その結果、表面電荷は見かけ上０になる。だから、基本ボックスの双極子との相互作用がなくなり、結果として、表面項が０になるからである。ゆえにε=∞の条件
を”tin-foil boundary condition（アルミ箔境界条件）”と呼ぶことがある。
ところで、誘電率がε=1、∞だけでなく、任意εの値で表面項を計算すると、基本
ボックスが立方体の場合、
2𝜋

𝑈𝑠𝑢𝑟𝑓 (𝜀) = (2𝜀+1)𝑉 𝐌2(6.3.2.3)になる（De Leeuw & Perram, 1981)。この関係がどれだけ実際に使われているかは、筆者は知らないので、紹介するにとどめておく。
まとめると、すでに述べたように、イメージングが必要な拡散系、つまり、溶液中の分子や溶融塩などでは、表面項 Usurf は除き、ポテンシャル Uε=∞の条件で MD 計算を行う必要がある。このイメージングの問題は、エワルド和だけでなく、直接和の6.2.4 節で議論した通り、周期境界で静電相互作用を計算する場合は、必ず考慮しな
いといけない。
ところで、表面項を入れなければならないのは、どういう場合か？

寡聞にして、筆者が関係している生体分子関連では、表面項の有無で云々の話は知らない。付録
6A4 で紹介した Ballenegger (2014)には、表面項が必要な対象系に関する論文が引用してある（たとえば、彼ら自身の、極性液体の誘電率の計算など、Ballenegger &Hansen, 2004）ので、必要ならば調べて欲しい。
164

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

6.3.3. エワルド法の精度と計算量
エワルド法には様々な入力パラメーターがあり、実際に MD を行う際には、これらを、精度と計算量を考慮しながら、適切に設定しなければいけない。だが、エワルド法の精度と計算量の推定方法は一通りではない。精度も計算時間も、様々な要因で変わりうる。どのような分子配置のモデルを使うか、ポテンシャルを主体にするか、力を主体にするか、またエワルド和だけのサブルーチンで計算するか、それとも他の相互作用（LJ など）と一緒のサブルーチンで計算するか、多重時間刻みを導入するか、などなど。だから、計算量を原子数 N の関数として表しても、文献により、O(N 1.5)から O(N 2)の揺れがある。
前節と付録 6A4 でエワルド和のポテンシャルと力の表式(6.3.1.3-7)を示したが、計算時間と精度は、実質上、実空間和 USR と波数空間和 ULR の二つの級数で決まる。この二つの級数の計算では、項数を増やすほど精度が上がる。一方、計算時間は項数を増やせば嵩んでしまう。よって、可能な範囲で必要な精度を達成するため、項数を調節する。より具体的には、実空間の切断距離 Rc、逆格子ベクトル Gk のインデックス k（式 6.2.1.12)の絶対値の上限 kmax、電荷拡がりのパラメーターηを調節する必要がある。
[1] エワルド法の計算量のＮ依存性
すでに述べたように、エワルド法の計算量の N
依存性、つまり、原子数 N が増えると計算時間がどれだけ増えるかについては、文献によりばらつ

図 6.3.3. 1 対象系（立方体）きがある。だが、一般には、O(N 1.5)という値が広く認められている。O(N 1.5)を最初に導出したのは、多分、Perram et al (1988)だろう。この論文は、Frenkel & Smit (2002)や Allen &Tildesley (2017)の教科書でも紹介されている。
ただ、かなり導出が難しいので、ここでは、よりシンプルな、Fincham (1994)の方法で、N 依存性を導いてみる。結果は同じで、O(N 1.5)になる。
問題設定は、6.1.1 節の直方体よりもさらに単純にして、基本ボックスは一辺が B の立方体
（B3=V)、この中に N 個の原子が数密度ρ、つま
り、

165

第6章

𝜌=

𝑁
𝐵3

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用(6.3.3.1)

でほぼ一様に分布しているとする（図 1)。対象系の密度ρを固定すると6、辺 B は原子
数 N の関数になる。
𝑁 1/3
𝜌

(6.3.3.2)

𝐵=( )実空間和は最近接粒子のみ考慮、つまり n についての和を取らないので、式(6.3.1.3)の rijn は rij と書く。式(6.1.1.11)の逆格子ベクトル Gk は、式(6.1.1.12)の整数ベクト
ル k を使って、
𝐆𝐤 =

2𝜋
𝐵

(6.3.3.3)𝐤と簡単に書ける。
この設定に合わせて、実空間和（6.3.1.3）と波数空間和(6.3.1.4)を書き直す。特に、和の範囲は、計算量を推定しやすいように、実空間は rij≦Rc、波数空間は 0<|k|≦kmax,kz>0 の条件を明記してある（計算の重複を避けるため、kz>0 のみについて計算
して、2 倍にしているので注意。詳細は 6.3.5 節）。
1
2𝑁
𝑈𝑆𝑅 = ∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 ∑𝑗=𝑖+1,𝑟𝑖𝑗 ≤𝑅𝑐

𝑈𝐿𝑅 =

𝑞𝑗
𝑟𝑖𝑗

𝑟𝑖𝑗

𝑒𝑟𝑓𝑐 ( )𝜂(6.3.3.4)

1𝐤∙𝐫𝑖 2𝐤∙𝐫𝑖 2𝑁∑0<|𝐤|≤𝒌𝒎𝒂𝒙 ,𝑘𝑧≥0 𝐻(𝐤) {(∑𝑁
∑
𝑞
𝑐𝑜𝑠
(2𝜋
)
)
+
(
𝑞
𝑠𝑖𝑛
(2𝜋
)) }
𝑖
𝑖
𝑖=1
𝑖=1
𝜋𝐵
𝐵
𝐵

(6.3.3.5)
目標は、与えられた精度εで、しかも計算量が一番少なくなるような、Rc、 kmax、

ηの組を求めることである。以下の推定では、ポテンシャルのみを考慮し、力のことは考えない。精度εは、例えば、10-3 とか 10-4 とかの値を入れることになるが、議論しやすくなるように、p=-ln(ε）という変換を導入すれば、
𝜀 = 𝑒𝑥𝑝(−𝑝)(6.3.3.6)である。
さて、式（4)の実空間和 USR の精度は、大雑把には、erfc(rij/η)で決まる。そこで、カットオフ Rc でεになるとすると、x が大きいところでは erfc(x)~exp(-x2)なので𝑅 2𝜂𝜀 = 𝑒𝑥𝑝 (− ( 𝑐 ) )(6.3.3.7)が成り立てばいいだろう。同様に、式(5)の波数空間和 ULR は exp(-(πηk/B)2)で精度が決まるとする。ここで、|k|の上限 kmax を使うと、精度の条件は、

6

通常、MD の対象の密度は、系が大きくなっても一定であるので、この仮定は妥当である。

166

第6章

𝜀 = 𝑒𝑥𝑝 (− (𝜋𝜂𝑘𝑚𝑎𝑥 2) )𝐵

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用(6.3.3.8)である。εの代わりに式(3)の p を使えば、(7)(8)は、
𝑅 2
𝜂𝑝 = ( 𝑐) = (𝜋𝜂𝑘𝑚𝑎𝑥 2)
𝐵(6.3.3.9)という簡単な関係になる。だが、関係(9)では、Rc、 kmax, ηの三つが未知数、式は二つだから、これだけでは、三つのパラメーターを決定できない。そこで、下の議論のように、計算量を最小化する、という条件を入れて決定する。
MD の 1 ステップあたりの、実空間和 USR の計算時間 TSR を推定する。これは、式(4)からわかるように、N 個の原子が、半径 Rc 内の原子の半分（i>j だけ計算するから）と相互作用するから、相互作用の数は
14𝜋
2𝜋
𝑁 × 𝑅𝑐3 × 𝜌 = 𝑁𝑅𝑐3 𝜌233個である。よって、一つの相互作用の計算に掛かる時間を tSR とおくと、
𝑇𝑆𝑅 =

2𝜋
3

𝑁𝑅𝑐3 𝜌𝑡𝑆𝑅

(6.3.3.10)になる。式(10)は、調節すべきパラメーターのうち、Rc のみで表されているのに注意。
次に、波数空間和の計算時間 TLR を推定する。式(5)で取り扱う、kmax≧|k|,kx>0 を満
たす 3 次元整数ベクトル k の数は、半径 kmax の球の体積の半分にほぼ一致するので、
1
4𝜋 3
2𝜋 3
× 𝑘𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝑚𝑎𝑥2
33

一方、 (i,k)のペア一つについて掛かる計算時間を tLR とおけば、k 一つについて、N
個の i について計算するので、それを合計すると
𝑇𝐿𝑅 =

2𝜋 3
𝑘
× 𝑁 × 𝑡𝐿𝑅
3 𝑚𝑎𝑥

これを、TSR と同様に、Rc のみで表すため、式(9)を変形した kmax=Bp1/2/(πη)で kmax を消し、さらに式(2)で B を消し、最後に、また式(9)を変形したη=Rc/p1/2 を使ってηを
消すと、
𝑇𝐿𝑅 =

2𝑝3
𝑁 2 𝑡𝐿𝑅
3𝜋2 𝑅𝑐 3 𝜌(6.3.3.11)が得られる。式(10)と(11)を足すと、全計算時間を Rc のみの関数 T(Rc)として表すことができる（注：p もρも N も tSR も tLR も、ここでは与えられた定数である）。
𝑇(𝑅𝑐 ) = 𝑇𝑆𝑅 + 𝑇𝐿𝑅 =2𝜋
𝑝 3 𝑁2(𝑁𝜌𝑅𝑐3 𝑡𝑆𝑅 + ( )𝑡 )3𝜋𝜌𝑅𝑐 3 𝐿𝑅(6.3.3.12)

簡単な数学で、(12)を最小にする Rc の値 Rcopt では、式(12)の右辺の二つの項が等しく
167

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

なる、つまり TLR=TSR になることがわかる。それを使うと、
𝑜𝑝𝑡

𝑅𝑐

𝑝 1/2 𝑡𝐿𝑅 1/6 𝑁1/6
( )
𝜋
𝑡𝑆𝑅
𝜌1/3

(6.3.3.13)=( )が得られる。そして、Rcopt で全計算時間 Topt は、𝑜𝑝𝑡

𝑇 𝑜𝑝𝑡 = 2𝑇𝑆𝑅 = 2𝑇𝐿𝑅 = 𝑇(𝑅𝑐 ) =4𝜋 𝑝 3/2( ) √𝑡𝑆𝑅 𝑡𝐿𝑅 𝑁 3/2
3 𝜋(6.3.3.14)の値を取る。この式は、計算時間の N 依存性は O(N 1.5)であることが示している。さらに、式(9)から、kmax の最適値 kmaxopt とηの最適値ηopt を Rcopt の関数として表すと
𝑝

𝑜𝑝𝑡

𝑘𝑚𝑎𝑥 =
𝜂 𝑜𝑝𝑡 =

𝑜𝑝𝑡

𝜋𝑅𝑐
𝑜𝑝𝑡

𝑅𝑐

(6.3.3.15)(6.3.3.16)√𝑝になる。式(13)(15)(16)のパラメーターが実際に妥当な値を与えることは、Fincham(1994)が実例を示しているので、ここでは省略する。
ともあれ、以上の解析で、与えられた精度εで、Rc、 kmax、 ηの 3 パラメーター
を、計算量が最小になるように調節した場合は、その計算量は O(N 1.5)になることがわかった。
[2] 実用的なパラメーター設定の例
以上で紹介した Fincham（1994)では、エワルド法で静電相互作用を計算することだ
けに集中して解析している。それはそれでいいのだが、一方、MD プログラムでよく使われるのは「エワルドの実空間と LJ に同じ RC を適用し、一つのサブルーチン内で両方計算する」という方式である。実は、筆者自身のソフト PEACH でもその方式を使っているのだが、その場合、LJ の精度も含めて、エワルド法の精度を解析する必要がある。ここでは、一例として、Komeiji et al. (2000) でのパラメーター設定法を紹介する。目標は、エワルドも LJ も、精度が大体εになるような、Rc、 kmax、ηの組を求めることである。
実空間と波数空間の収束性は、式(7)(8)と同じだが、ここに LJ の条件も突っ込む。

Rij を、物質系内の二つの原子間の LJ 半径の最大値として、LJ の６乗項のみを考慮す
ると、
𝑅 2
𝜂

𝜀 = 𝑒𝑥𝑝 (− ( 𝑐 ) ) = 𝑒𝑥𝑝 (− (𝑅𝑖𝑗𝜋𝜂𝑘𝑚𝑎𝑥 2) ) = ( )6𝐿
𝑅𝑐

(6.3.3.17)である。未知数 3 つ、式 3 つだから、これ以上の最適化の余地はなく、
𝑅𝑖𝑗

𝑅𝑐 = 6√𝜀(6.3.3.18)

168

第6章

𝜂=

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

𝑅𝑐(6.3.3.19)√− 𝑙𝑛(𝜀)𝑘𝑚𝑎𝑥 = −𝐵 𝑙𝑛(𝜀)𝜋𝑅𝑐(6.3.3.20)が得られる。水―タンパク質系ならば、条件として、Rij（普通は 4 Åぐらい）、箱の
一辺 B、精度ε（最悪でも 10-3 ぐらい）を入力すれば、それに応じて、式から Rc、η、kmax が得られる。
結局、この方法は、LJ の Rc に合わせて、実空間和をペアリストで計算している。LJの Rc は、通常一定だから（10-15Åぐらい）、その計算量 TSR は深く考えるまでもな
く、O(N)である。一方、波数空間の計算量 TLR は、式(11)を見ればわかるように、Rc が一定ならば、O(N 2)になる。ただし、波数空間は多重時間刻み幅を使って計算を間引くこともできるので（付録 3A3 に一例あり）、N が数千から数万体程度なら、さほど気にはならない。だが、それ以上になると、6.4 節の PME などが欲しくなる。
以上で紹介した以外にも、いろいろな条件設定法があるだろう。だが、信頼できる応用ソフトを使うならば、まずは、そのソフトのデフォルトの設定を使えばよいと思う。
6.3.4. エワルド法の排除原子対の扱い方
6.1.4 節で説明した排除原子対の扱いだが、エワルド和の場合は次のように扱う。
まず、波数空間 ULR は、式（6.3.1.3）をそのまま計算する。一方。実空間 USR は、カットオフ法と同様に排除原子を抜いたペアリストを用いて式(6.3.1.4)を計算し、そこから次の値を引く（Procacci & Marchi, 1996）。
𝑞𝑞

𝑟𝑖𝑗

𝑟𝑖𝑗

𝜂

∑(𝑖,𝑗):𝑒𝑥𝑐 𝑖 𝑗 𝑒𝑟𝑓 ((6.3.4.1))

ここで、erf(x)は誤差関数で、erf(x)=1-erfc(x) である。
なぜ、(1)を引けばいいかを示しておく。実空間和から、排除ペアによる 1/r ポテン
シャルを引くと、
𝑈𝑆𝑅 − ∑(𝑖,𝑗):𝑒𝑥𝑐
1
2

′

1
2

′

𝑞𝑖 𝑞𝑗
𝑟𝑖𝑗

𝑁
= ∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 ∑𝐧 [∑𝑗=1𝑁= ∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 ∑𝐧 [∑𝑗=1
1

′

1
2

𝑁
= ∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 ∑𝐧 {∑𝑗=1
𝑞𝑗
𝑟𝑖𝑗𝐧
𝑞𝑗
𝑟𝑖𝑗𝐧
′

𝑒𝑟𝑓𝑐 (

𝑟𝑖𝑗𝐧
𝜂

𝑟𝑖𝑗𝐧

𝑒𝑟𝑓𝑐 (𝜂− ∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 ∑𝐧 ∑𝑗∈𝑒𝑥𝑐(𝑖)
2

𝑞𝑗
𝑟𝑖𝑗𝐧

𝑒𝑟𝑓𝑐 () − ∑𝑗∈𝑒𝑥𝑐(𝑖)) − ∑𝑗∈𝑒𝑥𝑐(𝑖)

𝑞𝑗
𝑟𝑖𝑗𝐧

𝑒𝑟𝑓 (

𝑟𝑖𝑗𝐧
𝜂

)

𝑞𝑗
𝑟𝑖𝑗𝐧
𝑞𝑗
𝑟𝑖𝑗𝐧

𝑟𝑖𝑗𝐧
𝜂

) − ∑𝑗∈𝑒𝑥𝑐(𝑖){𝑒𝑟𝑓𝑐 (
𝑒𝑟𝑓𝑐 (

𝑟𝑖𝑗𝐧
𝜂

𝑟𝑖𝑗𝐧
𝜂

𝑞𝑗
𝑟𝑖𝑗𝐧

}

) + 𝑒𝑟𝑓 (

𝑟𝑖𝑗𝐧
𝜂

)}]

)]
(6.3.4.2)
169

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用になる。j∈exc(i)は、原子 j が、原子 i の排除原子であることを示す。式(2)右辺第１項は「排除原子を抜いて計算した実空間和」なので、第２項が式(1)にあたる7。というわけで、式(1)を計算して、USR から引けば、補正できる。なお、この補正項は、
多重時間刻み幅法（3.11 節）を使う場合は、一番短い時間刻みに合わせないと、精度が下がる（Komeiji, 2000）。
6.3.5. エワルド法のプログラム
エワルド法は、普通は、実空間と波数空間それぞれについて、別々のサブルーチンを用いて計算する。どちらも並列化が容易である。
実空間については、カットオフ法のプログラムとほぼ同様のものと使う。ポテンシ
ャルと力の関数形が違うだけである。並列化の方法も、カットオフ法の場合と同様（6.2.3 節）なので、ここでは省略する。
波数空間については、6.3.3 節で少し触れたが、以下のように、計算量を半分にで
きる。
𝑈𝐿𝑅 =

2𝜋
𝑉

2

2

𝑁
∑𝐤≠0 𝐻(𝐤) {(∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 𝑐𝑜𝑠(𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑖 )) + (∑𝑖=1 𝑞𝑖 𝑠𝑖𝑛(𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑖 )) }(再 6.3.1.9)では、k=(kx,ky,kz)の三つの要素に関する和のうち、一つは、+-で同じ値になる。よって、例えば、kz のみ、kz >0 で和を取って、2 倍にすればよい。つまり、ポテンシャル
は、
𝑈𝐿𝑅 =

4𝜋
𝑉

2

2

𝑁
∑𝐤≠0,𝑘𝑧 >0 𝐻(𝐤) {(∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 𝑐𝑜𝑠(𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑖 )) + (∑𝑖=1 𝑞𝑖 𝑠𝑖𝑛(𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑖 )) }(6.3.5.1)
力は、式(6.3.1.13)に代えて、
𝐅𝐿𝑅 𝑖 =

8𝜋𝑞𝑖
𝑉∑𝐤≠0,𝑘𝑧 >0 𝐻(𝐤) ×𝑁{𝑠𝑖𝑛(𝐆𝐤 • 𝐫𝑖 ) ∑𝑁
𝑗=1 𝑞𝑗 𝑐𝑜𝑠(𝐆𝐤 • 𝐫𝑖 ) − 𝑐𝑜𝑠(𝐆𝐤 • 𝐫𝑖 ) ∑𝑗=1 𝑞𝑗 𝑠𝑖𝑛(𝐆𝐤 • 𝐫𝑖 )}𝐆𝐤

(6.3.5.2)
を、実装する。かくして、波数空間和は、次のようなコードになる。
コード 6.3.5.1: エワルド法による静電相互作用の計算（波数空間）! 力 f(3,natom)とポテンシャル pot_ewk を計算する。

7(2)に 1/2 が掛かっているの理由は、(2)は重複を許した書き方だからというだけである。(1)は重複を許さない書き方をしているので、1/2 が掛かっていない。

170

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用! なお、H(k) = exp(-(ηGk(k))**2/4)/Gk(k)**2!

はは、座標 r によらないので、MD の最初に!

に一回だけ計算して、それを全ステップで用いる

fi(:,:) = 0

!

力の初期化

epot_ewk = 0! ポテンシャル初期化

DO k = 1, nwave
bsk

= 0

!

bsk = Σj qj*sin(Gk・Rj)

bck

= 0

!

bck = Σj qj*cos(Gk・Rj)

DO i = 1, natom
theta =

Gk(1,k)*r(1,i) + Gk(2,k)*r(2,i) + Gk(3,k)*r(3,i)

sin_theta(i) = sin(theta)
cos_theta(i) = cos(theta)
bsk = bsk + q(i)*sin_theta(i)bck = bck + q(i)*cos_theta(i)END DO
epot_ewk = epot_ewk + H(k)*(bsk**2 + bck**2) !ポテンシャルの計算
csk(:) = H(k) * bsk * Gk(:,k)
cck(:) = H(k) * bck * Gk(:,k)
DO i = 1, natomfi(:,i) = fi(:,i) + cck(:)*sin_theta(i) - csk(:)*cos_theta(i)END DOEND DO! over k

DO i = 1, natomfi(:,i) = 8*pi/box**3 * fi(:,i) ! 力
END DO
epot_ewk = 4*pi/box**3 * epot_ewk !

ポテンシャル

このコードを見ればわかるように、意外にシンプルに書ける。そして、上記コードの並列化はたやすい。nwave 個の k をプロセッサーに等分割して計算させればよい。
6.3.5. エワルド法の特徴
長々とエワルド法の解説を書いてきたが、ここで紹介した”元祖”エワルド法は、
現在、応用ソフトではあまり使われていない。むしろ、次節に紹介する、PME 法が生
体分子の世界を席巻している。だが、PME 法は、元祖エワルド法の波数空間和を FFTで高速化したものだから、物理学的には元祖エワルド法と互換性がある。だから、今
171

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用まで説明してきた元祖エワルド法の特徴の多くは、PME 法にも当てはまる（詳細は、
次の 6.4 節）。
応用ソフトはともかく、研究者個人が自作する試験用プログラムでは、元祖エワルド法は今でもよく使われている。式が単純だから、プログラムするのも並列化も、さほど難しくない（11.3 節に実測データあり）。また、ポテンシャル空間が滑らかであるため、MD が安定に走る。実空間と波数空間それぞれに、erfc(x) と exp(-x2)という急激な収束関数が掛かっているためである。比較的小さい分子系の研究用としては、
適切な方法だと思う。
6.4. PME 法
すでに何度か述べたように、Particle Mesh Ewald 法、略称 PME 法は、6.3 節で詳しく解説した元祖エワルド法の高速化バージョンである。元祖エワルドの計算量は O(N1.5-2)だが、PME では、高速フーリエ変換（Fast Fourier Transform, FFT）を使って、O(N)~ O(NlogN)にまで落としてある。PME 法は、1990 年代に発表されてから（Darden
et al.、1993、Essmann et al.,1995）、AMBER、CHARMM、NAMD、GROMACS など、数多
くのパッケージソフトに導入され、今日、生体分子の MD では、静電相互作用計算法のde fact standard の地位を確立している。
元祖エワルド法に関する議論は、ほぼそのまま PME 法についても成り立つので、ここでは多くを述べない。元祖エワルド法と違う部分を解説するにとどめる。
PME 法の式であるが、元祖エワルド法の公式 6.3.1.3-6 のうち、波数空間和 ULR（6.3.1.4) のみが変形されている。後の三式はそのままである。以下、ULR を PME 法
用に変形するが、出発点は、付録 6A4 の式（6A4.41）の形である。
𝑈𝐿𝑅 =
=
=

2
𝑒𝑥𝑝(−(𝜂𝐆𝐤 )2 /4)
2𝜋
∑𝐤≠0
| ∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 𝑒𝑥𝑝(−𝐼𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑖 )|𝑉
𝐆𝐤 2

𝑒𝑥𝑝(−(𝜂𝐆𝐤 )2 /4) 𝑁
2𝜋∑𝐤≠0∑𝑖=1 𝑞𝑖 𝑒𝑥𝑝(𝐼𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑖 ) ∑𝑁
𝑗=1 𝑞𝑖 𝑒𝑥𝑝(−𝐼𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑗 )
𝑉
𝐆𝐤 2
2𝜋
𝑉

(6.4.1)∑𝐤≠0 𝐻(𝐤) 𝑆(𝐤)𝑆(−𝐤)この式で、𝐻(𝐤) =𝑒𝑥𝑝(−(𝜂𝐆𝐤 )2 /4)
𝐆𝐤 2(再 6.3.1.8)

は、元祖エワルド法のところですでに紹介した。また、
𝑆(𝐤) = ∑𝑁𝑖=1 𝑞𝑖 𝑒𝑥𝑝(𝐼𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑖 )(6.4.3)は構造因子と呼ばれ、付録 6A4 で説明したように、デルタ関数のフーリエ変換であ
る。
172

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

PME 法では、式(1)を FFT で高速計算することで、元祖エワルドでは O(N2)だった波
数空間和の計算量を、O(NlogN)にまで落とすことができる。そのアルゴリズムの詳細はここでは省く8。PME 法および類似の静電力計算法の原理と精度については、Deserno& Holm (1998ab)がまとめているので、参照のこと。なお、FFT に起因する PME の問題点として、超並列化が難しいことが知られている。
6.5. 多重極展開法
本節では、多重極展開（Multipole expansion）を利用した静電相互作用の計算方法を紹介する。前節までのエワルド法とその高速版の PME 法は、周期境界に対してフーリエ変換を施して計算するのだが、一方、多重極展開法は周期、非周期に関係なく、
遠くの相互作用を多重極展開で簡便に計算する。ただし、多重極展開だけでは、計算量はせいぜい数分の１か 10 数分の１程度しか下げられないが、階層的なツリーアルゴ
リズム（Hierarchical tree algorithm）と組み合わせることで、O(NlogN)から O(N)にまで下げることが可能である。並列化効率も高い。
多重極展開とツリー法を組み合わせた多体系シミュレーションは、Barnes & Hut(1986) による重力系のシミュレーションを嚆矢とする。その後、重力系だけでなく、古典力学の多体問題一般に応用されるようになった。生体分子の MD では、Saito(1992)を皮切りに応用されるようになり、例えば、スーパーコンピューター京の代表的な実用例の、ウィルス殻の MD では、多重極展開が使われている（Andoh et al.,2013, 2014）。
以下、この方法のアルゴリズムの概要を説明する。より詳しく知りたければ、
Pfalzner & Gibbon (1996)、川添ら(1996)、牧野(1998)、Kurzak & Pettitt (2006)などを参照のこと。
[1] 多重極展開法の概要～CMM と FMM
ツリー法を使った多重極展開法には、大別して、Cell Multipole Method (CMM、Ding et al., 1992, Saito, 1992)と Fast Multipole Method (FMM、Greengard &8

PME 法は、少なくとも生体分子の MD 業界では「一人勝ち」である割には、記述が短いと思われるかも知れない。正直に書くと、筆者自身は PME 法をプログラムしたことがないから詳細は知らないし、それに、元祖エワルド→PME の展開は、物理学というよりは応用数学なので、こ
こでは省略させていただいた。手元の MD の教科書を片っ端から調べると、元祖エワルド法はそこそこ詳しくても、PME に関する記述は素っ気ないものばかりである。おそらく、みんな、筆者と同じに「数学の問題だから省略」したのではないだろうか、知らんけど。

173

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

Rokhlin, 1987)の二つがある9。その二つの概念を、比較対象の直接和と合わせて、図1 に示す。力を受ける原子群が実線のセルに、力を及ぼす原子群が点線のセルに入っている。直接和は、図 1A のようにすべての原子の組み合わせを計算するので、計算量は O(N2)になる。だが、CMM では、力を及ぼす原子群を「多重極を持つ疑似粒子（multipole
pseudoparticle)」（図 1B の

図 6.5. 1 直接和と多重極展開の概念

薄橙色の球）に置き換えて計算することで、計算量をO(NlogN)にまで落とす。さらに、FMM は、図 1C のように、力を及ぼす原子群（図1C の薄橙色の球）だけでな
く、力を受ける側もいったん一つの粒子（図 1C の水色の球）として力を受けたあと、それを個々の原子に分配する。これで計算量が O(N)にまで落ちる。
CMM と FMM では、計算量は後者の方が少ない。だが、logN の増加は遅いので、それほどは差がない、と思っても構わない。また、プログラムは FMM のほうが複雑である。そこで、これ以降は、よりシンプルな CMM のアルゴリズムについてのみ説明することにする10。
[2] 多重極展開
まずは、CMM 法の多重極展開について説明する。図 2 のように、一つのセルの中の原子群 j=1,..,n が、セル外の原子一個に及ぼすポテンシャルを多重極展開する。ここ9

この CMM と FMM の名前の使い分けは、あまり正確ではなく、本書内の便宜的なものだと思ったほうがいい。というのは、FMM も、Cell の multipole を使うわけだから、CMM の一種と言っても問題ないし、実際、そんなニュアンスで使われている文献も散見する。なお、ここでいうCMM のアルゴリズムは、Saito (1992)の Particle-Particle Particle-Cell (PPPC)法と、基本的に同じものであることにも留意されたし。
10

実は、筆者は、CMM（PPPC)はプログラムに実装したことがあるが、FMM の経験はない、というのも理由だったりする。

174

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

では、多重極展開の中心はセルの幾何中心とし11、さらに議論しやすくするために、この幾何中心を、原点 O とする。原

図 6.5. 2 多重極展開。r と aj はセルの幾
何中心を原点にした位置ベクトル。

子 j は、qj の電荷をもち、その位置を ajとする。また、力を受ける原子 i は、原点から見て r の位置にある。すると、原子 i から見た j の位置は、rj=aj-r になる。
多重極展開は数学の公式集に載っているから、それを使うと、原子群 j=1,..,nが i に及ぼすポテンシャル U は、4 重極子までの展開では、以下のように近似される（Pfalzner & Gibbon、1996）。
𝑈 = ∑𝑛𝑗=1
≈
+

𝑞𝑗
𝐫𝑗

= ∑𝑛𝑗=1

𝑞𝑗|𝐚𝑗 −𝐫|𝑍

単極子 monopole

𝑟
𝝁•𝒓
𝑟3
1
2

双極子 dipole1𝑟+ ∑𝛼=𝑥,𝑦,𝑧 𝑄𝛼𝛼 (− 3 +3𝑟𝛼 𝑟𝛽3𝑟𝛼2) + ∑𝛼<𝛽 𝑄𝛼𝛽 ( 5 )
𝑟5
𝑟

4 重極子

quadrupole(6.5.1)

ただし、添え字αとβは x,y,z 成分を表す。また式(1)に現れる多重極子モーメント、Z, μ, Q は、以下の式で定義される。
𝑍 = ∑𝑛𝑗=1 𝑞𝑗(6.5.2)𝝁 = ∑𝑛𝑗=1 𝑞𝑗 𝐚𝑗(6.5.3)𝑄𝛼𝛽 = ∑𝑛𝑗=1 𝑞𝑗 𝑎𝛼𝑗 𝑎𝛽𝑗(6.5.4)式(2)の Z はセルの単極子モーメント（つまり電荷）でスカラー、(3)のμは双極子モーメントでベクトル、(4)式の Q は 4 重極子モーメントで 3x3 行列のテンソルである
12。これを 8 重極、16 重極,...と増やしていけば、計算精度は上がるが、一方、式は11

理論上は、多重極展開の中心はどこに取ってもよい。重力の場合は、双極子モーメントが 0になる、というメリットがあるので、重心を展開の中心に取る。だが、静電力の場合は、そのようなメリットはないので、筆者が PEACH に実装したときは、セルの幾何中心の周りに展開した。それが一番、楽だからである。
12

4 重極子モーメントを式(4)で定義したのは、Pfalzner & Gibbon (1996)に合わせたからであ′る。だが、例えば、𝑄𝛼𝛽= ∑𝑛𝑗=1 𝑞𝑗 (3𝑎𝛼𝑗 𝑎𝛽𝑗 − 𝛿𝛼𝛽 𝑎𝑗2 ) /2 など他にもいくつか形があり、それに

175

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

加速的に複雑になり、計算時間も増える。ただし、増え方は O(1)、つまり N に依存せず、定数倍になるだけである。
ともあれ、式(2)-(4)は、セル内の原子 j の位置と電荷だけに関する量である。また、式(1)の右辺は、(2)-(4)の多重極モーメントと、セルと原子 i 間の相対ベクトルr だけでできている。つまり、i と個々の j の相対ベ
クトル rj は存在しない。i と個々の原子 j との相互

図 6.5. 3 多重極の合成

作用ではなく、i とセルとの相互作用として計算していることが、式からもわかる13。
後述のように、CMM 法では、複数の子セル（子粒子 child cell/particle）の多重極から、より上位の親セル（親粒子 parent cell/particle）の多重
極モーメントを計算する。そのため、複数の子セルから、一つの親セルの多重極モーメントを計算する式を示しておく。図 3 のように、親粒子の展開中心を原点 O とおく。I=1,...,M の子粒子それぞれが、O から見て bI の位置を中心に、式(2)(3)(4)の多重極 ZI、μI、QI を持つとする。その場合、原点 O を中心にした多重極モーメント、Zp、μp、Qp は、以下の式で表される（証明略）。例によって、α,β=x,y,z。
𝐼
𝑍 𝑝 = ∑𝑀
𝐼=1 𝑍

(6.5.5)𝐼
𝐼 𝐼
𝛍𝑝 = ∑𝑀
𝐼=1(𝛍 + 𝑍 𝐛 )(6.5.6)

𝑝
𝐼
𝐼 𝐼
𝐼 𝐼
𝐼 𝐼
𝑄𝛼𝛽 = ∑𝑀
𝐼=1(𝑄𝛼𝛽 + 𝑍𝐼 𝑏𝛼 𝑏𝛽 + 𝜇𝛼 𝑏𝛽 + 𝜇𝛽 𝑏𝛼 )(6.5.7)式(5)の単極子モーメントは、電荷の和だから自明。式(6)の双極子モーメントは、個々の子粒子自身の双極子モーメントの和と、子粒子を点電荷とみなしたときの双極子モーメントの和になっている。式(6)の四重極子モーメントは、物理的イメージはつ
かみにくいが、α、βについて対称な式になっているのに注意。以上の式を使って、CMM 法では、小さなセルの多重極モーメントから大きなセルの多重極モーメントを構築する。
[3] CMM 法の計算量
前述のように、多重極展開はツリー法とペアで使われて、初めて、計算量を落とすことが可能である。ツリー法では、近くの原子からの力は直接和で計算し、遠くの原

応じて、ポテンシャルの表式も変わる。ただし、流儀の問題だから、多重極モーメントとポテ
ンシャルの整合性取れていれば、問題ないはず。
13

多重極展開は、ルジャンドル多項式の応用例の一つである。詳しくは、物理数学の教科書を参照のこと。

176

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

子はまとめて疑似粒子にして式(1)の多重極展開で計算する。それにより、本来 O(N 2)の計算量を O(NlogN)に落としている。そのあらましを説明する（細部は少し違うが、本質的には、Hernquist、1988 と同じ）。
計算対象は、話を簡単にするため、半径Ｒの球に閉じ込められた N 体系とする（図4A）。この系の体積は 4πR 3/3 だから、原子の数密度 D は次式である。
𝐷=

3𝑁
4𝜋𝑅3

(6.5.8)

この式を R について解いて、N で図 6.5. 4 ツリー法の概念表しておく。
𝑅=(

3𝑁 1/3)4𝜋𝐷(6.5.9)

さて、中心の原子 i が直接和で相互作用する Rc 内の原子数を nnear（図 4 で灰色に塗った部分）、多重極展開で相互作用するセルの数を ndist とする。一つの原子との直接和の相互作用に掛かる計算時間
を tnear、一つのセルとの多重極相互作用の計算時間を tdist とおくと、全ての相互作用の計算時間 Ttot
は、次式になる。
𝑇𝑡𝑜𝑡 = 𝑁(𝑛𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑡𝑛𝑒𝑎𝑟 + 𝑛𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑡𝑑𝑖𝑠𝑡 )(6.5.10)式(10)右辺の()内は、一つの原子 i の全相互作用の計算時間だから、それを N 倍すると、N 体系の全計算時間 Ttot になるわけだ。それで、Ttot を求めるには、nnear と ndist を計算して式(10)に代入すればよい。
まず、nnear は、直接和で計算する原子の数だから、(原子の数密度) x (半径 Rc の球体積)であるので、
𝑛𝑛𝑒𝑎𝑟 =

4𝜋𝑅𝑐3 𝐷3

(6.5.11)

次に ndist を求める。ポイントは、図 4A で、Rc より遠い部分の空間は殻に分割し、さらにその殻をセルに分割する。個々のセルを一つの疑似粒子とみなすので、その数がndist になる。m 番目の殻（図 4 の水色の部分）は中心から Rm だけ離れており、このセルは、一辺が Sm の立方体で近似し、遠くに行くほど大きくなるようにする。ここで、精度を決める入力パラメーターθ (見込み角、Opening angle）を設定すると、θ とRm と Sm の関係は、図 4B から明らかなように、

177

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用𝑆𝑅𝑚

𝜃 = 𝑚 (6.5.12)である。以上の設定のもとで、半径 Rc~R 間の殻 m の全数を Nshell とおいて求めよう。
図 4B を眺めて、さらに式(12)を使うと𝑅𝑚+1 = 𝑅𝑚 + 𝑆𝑚 = (1 + 𝜃)𝑅𝑚が成り立つ。R0=Rc, RNshell = R だから、𝑁

𝑅 = (1 + 𝜃) 𝑠ℎ𝑒𝑙𝑙 𝑅𝑐
であるが、この両辺の自然対数を取り、整理すれば
𝑁𝑠ℎ𝑒𝑙𝑙 =𝑙𝑜𝑔 (𝑅/𝑅𝑐 )𝑙𝑜𝑔 (1+𝜃)(6.5.13)となる。また、一つの殻内に含まれるセルの数 ncell は、セルを立方体で近似しているから、殻の面積 4πRi2 をセルの一つの面の面積 Sm2 で割った、
4𝜋𝑅𝑖2

𝑛𝑐𝑒𝑙𝑙 =

2
𝑆𝑚

=

4𝜋

(6.5.14)𝜃2である。ただし、式(12)を使った。ndist は、Nshell と ncell の積だから、𝑛𝑑𝑖𝑠𝑡 = 𝑁𝑠ℎ𝑒𝑙𝑙 𝑛𝑐𝑒𝑙𝑙 =4𝜋 𝑙𝑜𝑔(𝑅/𝑅𝑐 )𝜃2 𝑙𝑜𝑔(1+𝜃)

式(9)を使って R を消し、
4𝜋 𝑙𝑜𝑔(

=

3𝑁
)
4𝜋𝐷𝑅3
𝑐

3𝜃2 𝑙𝑜𝑔(1+𝜃)log(1+θ）≒θを使うと
3𝑁
)
4𝜋𝐷𝑅3
𝑐
3
3𝜃

4𝜋 𝑙𝑜𝑔(≅(6.5.15)と近似できる。
こうして求まった nnear(11)と ndist（15)を式(10)に代入すれば
4𝜋𝐷𝑅𝑐3
𝑇𝑡𝑜𝑡 ≅ 𝑁 {𝑡𝑛𝑒𝑎𝑟 +
3
4𝜋𝑁=
{𝑅𝑐3 𝐷𝑡𝑛𝑒𝑎𝑟 +
3

3𝑁
)
4𝜋𝐷𝑅3
𝑐
3
3𝜃

4𝜋 𝑙𝑜𝑔(𝑙𝑜𝑔𝑁−𝑙𝑜𝑔 (
𝜃3

3
)
4𝜋𝐷𝑅3
𝑐

𝑡𝑑𝑖𝑠𝑡 }

𝑡𝑑𝑖𝑠𝑡 }

(6.5.16）が、計算時間である。ここで、N→∞にもっていけば、
𝑇𝑡𝑜𝑡 →

4𝜋𝑡𝑑𝑖𝑠𝑡𝑁𝑙𝑜𝑔𝑁
3𝜃3(6.5.17)になる。よって、この方法の計算コストは O(NlogN)であることがわかった。なお、式(17)を見ると、計算量 Ttot はθ-3 にも比例する。図 3B のように見込み角θが小さければ小さいほど、セルが小さくなるため、計算精度は上がるが、その分 O(θ-3)で計算量
が増える。
178

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

補足すると、式(16)の右辺第 1 項は近距離相互作用で O(N)、第 2 項は遠距離相互作
用で O(NlogN) の計算量になる。系が大きくなれば、遠距離力の寄与が計算時間のほ
とんどを占めるようになる。だが、小さい系では、近距離力の計算量は無視できない。
以上、CMM 法の計算量は、原子数 N、粒子密度 D、近距離切断半径 Rc、見込み角θに依存する。そして、N が大きくなると、計算量は漸近的に NlogN になる。
[4] ツリー構造の構築
以上で紹介したように、CMM 法や FMM 法では、力を受ける原子から見て、遠くの原子ほどたくさんの数をまとめてセルに入れる。だが、図 4A のように、力を受ける原子i それぞれに関して球対称に空間を分割していたら、それだけで計算時間を食ってし
まい、高速化できない。そこで、「ツリー構造（Tree structure）」を作って、相互作用を計算することになる。
このツリー構造とは、空間を階層的に分割することを指す。図 5 に、階層的ツリー構造を模式的に示した。はじめに、対象の原子系を一つの大きなセルに入れる。周期境界ならば基本ボックスがこれに対応する。これを階層＝レベル 0 のルートセルとして、さらに 8 分割し（図は 2 次元なので 4 分割）、それをレベル 1 のセルとする。これをさらに 8 分割し...、 というように分割作業を与えられた最上レベル(Nlevel)まで行う。こうして出来上がった階層的なセル群は、ちょうど、図５の木のような関係を持つので、これを「ツリー構造」と呼ぶわけだ。
ツリー構造を構築したところで、最上図 6.5. 5 階層的ツリー構造。MD は 3次元で行うが、図は 2 次元で説明。

層（Nlevel）の個々のセルについて、近距離相互作用（直接和）するセルリス
トと遠距離相互作用（多重極展開）するリストを作る。ポイントは「原子と原子」や「原子とセル」ではなく、「セルとセル」の相互作用リストを作ることである。つまり、原子の有無に関わらず、まずは空間を分割する、ということ。最上層（最小セル群）のあるセル I についての、相互作用セルのリストは次のように作る。相互作用相手のセルをセル J とする。レベル 0→1→...→Nlevel の順に、セル IJ 間の距離 RJ とセル J の一辺 SJ が、式(18)を満たすまで、セルを分割していく。見込み角θは、すでに説明した通り、精度を決める入力パラメ
179

第6章

ーターの一つである。
𝑆𝐽
𝑅𝐽

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

図 6.5. 6 ツリー構造とセルの分類≤𝜃(6.5.18)
式(18)の条件のセル j にまで分割したか、あるいはセル jが最上層 Nlevel になったとき、
セル j を、次の基準で近接リストと遠距離リストに振り分ける。
・Rj ≦ Rc

→

近接リスト
・それ以外

→

遠距離リスト
作成したセルーセル相互作
用リストは、例えば、図 6 のようになる。非周期境界が図6A であるが、図 5 のような構造を、ツリーアルゴリズムで作るとこうなるわけ。周期境界の場合は、図 6B で示すように、虚像を周期的に重ねて、それぞれの実像への寄与を計算する（マクロ展開という、Lambert et al.、1996）。
以上で説明したツリー法の実装は、おそらく、一番単純なもので、実際にはもっといろんな方法があるようだ。
[5] CMM 法のプログラム
CMM 法を使った MD プログラムの概略を、疑似コードに示す。速度ヴェルレ法を使っている。詳細は !以下のコメントに記載しておいた。
なお、ここで示したは、単一時間刻み幅法だが、近距離力と遠距離力に多重時間刻み幅法（第 3 章）を導入し、高速化することも可能である。
コード 6.5.1 CMM 法CALL mktree! 階層的ツリー構造のセル―セル相互作用リスト作成

DO i = 1, nstep ! 時間積分
CALL atomcell! 原子座標を使って、最上レベルの Nlevel セルに、! 原子を振り分ける。
180

第6章

CALL cmm_pole

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用! Nlevel -> root の順に、すべてのセルの! 多重極モーメントを計算する

v = v + h/2 * f/m! 速度ヴェルレ法：速度更新

r = r + h * v! 〃：座標更新

CALL calfor (f)! 力の更新。このサブルーチンの中で!

cmm_near 近距離セルからの力!

（静電力と LJ 力の直接和）!

cmm_dist 遠距離セルからの力!

（静電力を多重極展開で計算）! の二つのサブルーチンを呼ぶ。
v = v + h/2 * f/m! 速度ヴェルレ法：速度更新

END DO[6] CMM 法の入力パラメーター
すでに述べた通り、CMM 法の入力パラメーターは、ツリーの深さ Nlevel、近接原子切断
半径 Rc、見込み角θ、多重極展開の次数の 4 つである。計算精度と計算時間は、これらに依存する。

Nlevel を大きくすると、最小セルが小さくなるので、ポテンシャルが球対称に近づく
ので、計算精度的には良い。一方、最小セルが小さすぎると、メモリーや計算のオー
バーヘッドが大きくなるデメリットもある。

Rc は大きいほど計算精度は上がるが、同時に、計算量も増える。なお、静電力の近接相互作用と LJ を一緒のループで計算する場合は、Rc は LJ の最小カットオフ半径（8Å程度）以上にする必要がある。
見込み角θは、小さいほど計算精度は上がるが、前述のように計算量は O(θ-3）で増えるから、小さくするにも限度がある。なお、Saito (1992)による PPPC 法の原報では、θは定数ではなく、距離 Rm の関数で、遠くにいけばいくほど、大きくなるようにしている。理由は「重力系と違い、溶液中の生体分子の場合、静電力の遮蔽効果が見込まれる」ためである。ただし、本書では、Barnes & Hut (1986)のまま、θを定数として扱った。
多重極展開の次数は、当然大きいほど、精度が上がる。そして、例によって、計算量も、1 のオーダー（原子数 N には依存しない）で増える。
これらパラメーターの調整方法は、筆者は、寡聞にして、決定版を知らない。いずれにせよ、計算機シミュレーションのあちこちに出没する「精度と速度はトレードオ
フ」の関係はここでも健在である。

181

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用[7] 多重極展開に関する補遺とまとめ
さて、CMM 法を中心に多重極展開法を紹介してきた。最後に、CMM だけでなく、FMMも含めて、多重極展開に関して、残された点を議論してみる。
エワルド法で議論した表面項（6.3.2 節）は、CMM や FMM でも、除いておかないと、拡散する分子系の MD は破綻してしまう。そのため、M を基本ボックスの双極子モーメ
ントとして、表面項
𝑈𝑠𝑢𝑟𝑓 =

2𝜋 2
𝐌
3𝑉

(再 6.3.2.1)

を、ハミルトニアンから引いて、計算する（Challacombe et al., 1997, Yoshii etal., 2018）。ただし、これは、基本ボックスが立方体の場合で、一般的な平行六面体
ならば、
𝑈𝑠𝑢𝑟𝑓 =

1
𝐌𝐉𝐌
2𝑉

(再 6.3.1.6)を引くことになる。
ところで、多重極展開には、NVE-MD、つまりミクロカノニカル条件でのエネルギーと重心運動の保存が悪い(4.2 節)、という欠点がある（Hernquist, 1987; Bishop etal., 1997）。エネルギーの保存が悪いのは、6.1.3 節で議論した条件、ポテンシャル
エネルギー局面がなめらかであること、を満たしていないからである。ある時間ステップから次のステップの間に、ある原子がセルを移動すれば、その原子が及ぼす力は不連続に変化する可能性が高い。また、そのため、カットオフの場合に比べれば小さ
いが、切断ノイズに近いものが生じ、結果としてエネルギーのドリフトが起こってしまう。もう一つ、重心運動の保存が悪いのは、遠くの原子からの力を、まとめて多重極展開で近似しているため、原子対 ij 間の相互作用が、正確には fij= -fji とはならな
い、つまり、作用反作用の法則が厳密には成り立たないことに起因している。これらの問題点は、とりあえず、重心運動を凍結し、NVE-MD ではなく、NVT-MD や NPT-MD を行えば、顕在化はしない。もちろん、多重極展開を高次にしていけば、誤差は小さくなるはずである。
こういう問題があるせいか、本書執筆中の 2023 年時点の生体分子の MD 業界を見回
すと、CMM も FMM もあまり使われていないようだ。圧倒的に、PME にシェアを取られている。PME は前段落で述べた問題は生じないし、生体分子の MD のターゲットの多くは、数万から数十万原子体で、その大きさだと多重極展開のメリットが、PME に比べて見えて来ない。
だが、PME の FFT 部分は超並列計算に不適だが、FMM にはその欠点がない。よって、大規模系に対して、FMM を積極的に活用しているソフトもある。その様な例として、
京や富岳上での超並列計算で有名な、MODYLAS を挙げることができる（Andoh et al.,2013, 2020, Yoshii et al., 2018)。MODYLAS では、基本的には FMM とエワルドを組
182

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

み合わせたアルゴリズム（Schmidt & Lee, 1991, Figueirido et al., 1997) を採用し、それを、様々な方法で高速化している。実装の詳細は、開発者の岡崎・吉井(2011）の教科書を参照のこと。MODYLAS は、ウィルス殻などの超大規模系の MD で成功を収めている（Andoh et al., 2014）。
第 6 章のまとめ
生体分子系では、通常、分子間相互作用として、LJ と静電相互作用を計算する。特に、後者は長距離力で収束が遅く、一方、計算量は MM-MD のホットスポットである。
よって、静電相互作用の、精度を保ちつつ計算量を下げることが重要で、古くから、様々な工夫がなされてきた。
静電相互作用計算法として、1990 年代までは遠距離をカットオフして計算していたが、様々な問題が明らかになった。その後、カットオフをしないで正確に計算する方法が実用化され、現在に至っている。そのような方法には、大別して、フーリエ変換を使う方法（エワルド法やその高速版の PME 法）と多重極展開を使う方法（CMM 法やFMM 法）がある。中でも、生体分子の MD では、PME 法が標準的な方法として広く使われている。一方、多重極展開は、超巨大系の計算で成果を挙げている。

付録 6A1. 周期系境界条件におけるポテンシャルと力（直接和）
周期境界での静電相互作用ポテンシャルの式(6.2.1.6)は、そのまま MD で使われることはまずないが、一方、エワルド法や FMM 法な

図 6A1. 1 実像 n=0 と虚像
n=m

どの出発点になる、大事な式である。そこで、わかってる人には自明な話ではあるが、ちょっとだけ、確認しておく。
この式をもう一度眺めてみる。
1
2

′

𝑁
𝑈 = ∑𝑁𝑖=1 ∑𝐧 ∑𝑗=1 𝑢𝑖𝑗 (𝑟𝑖𝑗𝒏 )(再 6.2.1.6)

i=1, ..., N の和は、基本セル（実像）内の粒子全部が受けるポテンシャルを計算する、ということになる。n に関する和は、実像
n=(0,0,0)と虚像 n≠(0,0,0)すべてに関する和である。ここで‘印は実像だけ i=j の項を除く、という意味。j に関する和は、相互作用する相手ということ。1/2 が掛かっ
183

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用ているのは、基本セル内の相互作用についてはダブルカウントを避けるため、一方、虚像との相互作用については、実像と虚像の間でポテンシャルエネルギーuij を半分づつに分け合っているためである。
ここで、立ち止まる。実像内でのダブルカウントを避けるのというのは、もちろん、よくわかる。実像内では、j>i だけ計算するから、
1
2

𝑁
𝑁
𝑁
𝑈 = ∑𝑁𝑖=1 ∑𝑗=1 𝑢𝑖𝑗 (𝑟𝑖𝑗 ) = ∑𝑖=1 ∑𝑗>𝑖 𝑢𝑖𝑗 (𝑟𝑖𝑗 )と書き直しても構わない。実際、プログラム実装は、右辺のようにして、計算量を減らすのが普通だ。だが、実像と虚像との間の相互作用はどうなのだろう？
したら、力（uij の座標微分）まで半分になってしまうではないか？

1/2uij に

それは物理学的にオカシイのでは？
この疑問に対する答えは、「いえ、式(6.3.1.1)のまま、ポテンシャルに 1/2 をつけた形で正しいです。これを距離微分して得られた力には 1/2 が掛かりません。ご心配なく」である。それは以下のように説明できる。
話を簡単にするため、図 1 のような N=2 の系を考える。ここで、式(6.1)の U のうち、基本セル n=(0,0,0)と、虚像の一つ n=m（基本セルからベクトル Lm 離れている）との相互作用ポテンシャル Um を計算すると、
1
𝑈𝐦 = (𝑢11 (|𝐫1 − 𝐫1 − 𝐋𝐦 |) + 𝑢12 (|𝐫1 − 𝐫2 − 𝐋𝐦 |) + 𝑢21 (|𝐫2 − 𝐫1 − 𝐋𝐦 |)2+ 𝑢22 (|𝐫2 − 𝐫2 − 𝐋𝐦 |))1
2= (𝑢11 (|𝐋𝐦 |) + 𝑢12 (|𝐫12 − 𝐋𝐦 |) + 𝑢12 (|𝐫21 − 𝐋𝐦 |) + 𝑢22 (|𝐋𝐦 |))(6A1.1)

ただし、u12=u21 を使った。これを、r1 で微分して、虚像 m からの粒子 1 に掛かる力 fmiを計算すると、
𝐟𝐦 = −−

1 𝜕𝑢12 (|𝐫12 −𝐋𝐦|)
2

𝜕𝐫1

=−

𝜕
𝑈 =
𝜕𝐫1 𝐦

−

図 6A1. 2 虚像から実像への力

1 𝜕𝑢12 (|𝐫21 −𝐋𝐦|)2

𝜕𝐫1

1 𝑢12 ′(|𝐫12 −𝐋𝐦|)(𝐫12 − 𝐋𝐦 ) +|𝐫12 −𝐋𝐦 |2

1 𝑢12 ′(|𝐫21 −𝐋𝐦|)(𝐫21 − 𝐋𝐦 )|𝐫21 −𝐋𝐦|
2(6A1.2)
係数を除き、第 1 項と第 2 項をそれぞれ、fa, fb と定義すると

184

第6章

1
2

1
2

𝐟𝐦 = 𝐟a + 𝐟b

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用(6A1.3)

さて、この二つの項を考える。fa は、′(|𝐫12 −𝐋𝐦|)(𝐫12 − 𝐋𝐦 )12 −𝐋𝐦 |𝑢

𝐟𝑎 = − 12|𝐫だから、虚像 m の粒子 2 が r12-Lm だけ離れた実像１に及ぼす力である（図 6A1.2 左上実太線）。一方、fb は、
𝐟𝑎 =

𝑢12 ′(|𝐫21 −𝐋𝐦|)(𝐫21 − 𝐋𝐦 )|𝐫21 −𝐋𝐦|

だから、実像の粒子 1 が虚像 m の粒子 2 に及ぼす力の形をしている（同
実際には、実像の粒子１が力を受けるわけである（同点線）が、実細線）。というわけで、粒子１には、普通に考えられる力 fa が、半分掛かっていて、それ以外に、fb が半分だけ掛かっていたわけである。
実は、これと全く同じ力が、虚像 m と実像をはさんで対称に位置にある虚像-m からも掛かっているのである。式(6A1.2)に倣って、-m からの力を計算すると、L-m=Lm だから、
𝐟−𝐦 = −𝐋𝐦 ) +=+

図 6A1. 3 虚像 m と-m の粒子２から実像１への力

1 𝑢12 ′(|𝐫12 +𝐋𝐦|)(𝐫12 +|𝐫12 +𝐋𝐦|
2

1 𝑢12 ′(|𝐫21 +𝐋𝐦|)(𝐫21 + 𝐋𝐦 )|𝐫21 +𝐋𝐦|
2

1 𝑢12 ′ (|𝐫21 − 𝐋𝐦 |)(𝐫21 − 𝐋𝐦 )|𝐫21 − 𝐋𝐦 |2−

1 𝑢12 ′ (|𝐫12 − 𝐋𝐦 |)(𝐫12|𝐫12 − 𝐋𝐦 |2

− 𝐋𝐦 ) =1
1
𝐟𝑏 + 𝐟𝑎2
2(6A1.4)となるので、fm と全く一致する(6A1.3. 左下)。つまり、
𝐟𝐦 + 𝐟−𝐦 = 𝐟𝑎 + 𝐟𝑏である。
まとめると、二つの虚像(m と-m)の粒子２からの粒子１への力を足し合わせれば、
図 6A1.4 のように、それぞれの虚像から独立に、1/2 が掛からない、力が働いているとみなせるわけである。
ということで、式(6.3.1.1)に、1/2 が付いているおかげで、ポテンシャルだけでなく、力の重複も避けることができるわけだ。よって、これから出発して、式を変形し
185

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用て、エワルド法や FMM 法を導出するのは、何の支障もない。
なお、付録の付録として、粒子の自分自身の虚像との相互作用は、ポテンシャルは値を持つが、力は０になることを確認しておく。それは式 6A1.1 の uii を ri で微分すると 0 になることからわかる。虚像は実像の動きに沿って平行移動するだけだから、
虚像と実像の間には力は働かないのである。
付録 6A2. 周期系境界条件での角運動量保存則の不成立
第 2 章 2.3 節「保存則」で述べたように、周期境界では角運動量は保存しない。このことを、付録 6A1 で扱った、２質点系で示しておく。4.4 節で述べたように、周期境界の端から端に像が切り替わる場合（イメージング）には、角運動量が保存しないのは自明である。だが、ここでは、イメージングがない場合、たとえば固体結晶のシ
ミュレーションなどでも、角運動量は保存しないことを示す。

図 6A2. 1 A 角運動量保存？ ありえない！

B 実態は、狭苦しい中で振動

第 2.3 節で使った、角運動量の時間変化の式を、この２質点系にあてはめる。ただし、角運動量 L は、格子ベクトル Ln と紛らわしいので、代わりにΛで表記する。
𝑑𝚲𝑖𝑛= ∑2𝑖=1 𝐫𝑖 × 𝐟𝑖𝑒𝑥 + ∑2𝑖=1 𝒓𝑖 × ∑2𝑗≠𝑖 𝐟𝑖𝑗
𝑑𝑡（再 2.3.9）

力 fin は、実像内で１，２が及ぼす力なので、それに起因する角運動量は時間変化しな
いから、第２項は０である（2.3 節の議論参照）。力 fex は、虚像から実像に及ぼす力を示す。これを書き下すと、6A1 の議論のように、自分自身の虚像からの力の総和は０だから無視して、
186

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用𝑑𝚲= 𝐫1 × ∑𝐧≠(0,0,0) 𝐟12𝐧 + 𝐫2 × ∑𝐧≠(0,0,0) 𝐟21𝐧𝑑𝑡と書ける。この式をどういじくっても０にならない（簡単にしようとしても却って複雑になるだけなので、ここで止めておく）。というわけで、周期境界では、角運動量は保存しない。
直感的にも、周期境界で角運動量が保存するとは考えにくい。角運動量が保存するなら、図 1A みたいに、がちがちの空間を実像が（もちろん虚像も）ぐるぐる一定の角速度で回転し続けることになるが、それはありえない。 B のように、狭い空間の中で、安定点の周りをせせこましく振動しているのが、実態であろう。
というわけで、周期境界条件では、イメージングするときはもちろん、しないとき
でも角運動量は保存しないのである。
付録 6A3. カットオフ法の負荷分散
6.2.3 節のカットオフ法を原子分割で並列化する際の、負荷分散のための式
𝑘𝑛𝑘 = (𝑁 − 1) (1 − √1 − ) + 1
𝑚（再6.2.3.1)

図 6A3. 1 負荷分散を導いておく。
図 6.2.3.1B の三角形部分を抜き出すと、図 1 になる。図からわかるように、大きい三角形の面積が相互作用全部だから m 個の PU で計算、そのうち、黄色の小さい三角形の面積の部分は m-k 個の PU で計算する。一方、この二つの三角形は相似形で、その辺の長さの比は、(N-1):(N-nk)である。面積の比は二乗に比例する。よって、m 個の PU に等しく計算
負荷が掛かった場合は、以下の関係が成り立つ。
𝑚: (𝑚 − 𝑘) = (𝑁 − 1)2 : (𝑁 − 𝑛𝑘 )2
これを、nk に関して解けば、式(6.2.3.1)が得られる。
付録 6A4. エワルド法の導出
エワルド法の公式(6.3.1.3-7)を、Ballenegger (2014)に倣って、特に表面項に注目しつつ、導出してみる。この論文の 2014 年という年号を見ると、一世紀前の 1921 年に発表され、すでに古典と化しているエワルド法なのに、まだ新しい導出法が出るのか、と驚く。だが、この論文では、古い論文に比べて、導き方の見通しが良くなって
187

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用いる14。以下、この付録内に限り、注記なく「論文」と書いた場合は、Ballenegger (2014)を指すこ

図 6A4. 1 計算対象とにする。
この付録内での変数の記号は、原則、本書の本文に合わせたので、論文とは違う。それについては、必要な時点で適宜説明する。また、虚数単位は、原子のインデックス i、j と間違えないように、i でも j でもなく、I の字を充てた。
論文と違っているのは、表記だけではない。例えば、論文には、図が一つもないが、この付録では、
直感的に理解しやすいように、筆者がいくつか図を描いてみた。また、論文では数式の変形はかなり端折ってあるが、筆者のわかる範囲で書き足してある。論理展開も一部変え、行間も埋めて、筆者なりにわかりやすくしたつもりだが、一方、それで間違いや誤解が生じないことを祈りたい。論文自体は短報なので、さらりと読める人は、そちらを読んだほうがすんなり頭に入るかも知れない。
[1] 問題設定
さて、対象とする周期系は、図 1 である。本文の 6.2.1 節では直方体（図6.2.1.1）について説明しているが、論文では、より一般的に、斜方体（平行六面体）
に関して式を導いているので、この付録もそれに従い、斜方体を扱う。だから、本文の図 6.2.1.1 の Bx,By,Bz は直方体の３辺だったが、図 1 の斜方体ではベクトル Bx,By,Bzになる（論文では a1,a2,a3)。よって、基本ボックスの体積 V（論文では Vcell)は、直方体では式(6.2.1.9)のように単に三辺を掛けただけだが、斜方体では次式になる。
𝑉 = |(𝐁𝑥 × 𝐁𝑦 ) ∙ 𝐁𝑧 |= |(𝐁𝑦 × 𝐁𝑧 ) ∙ 𝐁𝑥 | = |(𝐁𝑧 × 𝐁𝑥 ) ∙ 𝐁𝑦 |(6A4.1)格子ベクトル Ln（論文では m)は、式(6.2.1.7)を斜方系に拡張して、

14

古い論文と言えば、筆者は、10 年以上前に、De Leeuw et al. (1980) の、テータ関数のヤ

コビ虚変換を利用したエワルド法の導出法を読み解いて、20 ページ以上のノートを作ったことがある。だが、自分で作ったノートにも関わらず、今読み返しても難しくてよくわからない、という体たらくである。式を追うのに精いっぱいで、物理学的な描像が頭に浮かばないのだ。
ここで紹介する Ballenegger の論文は、古い論文に比べればシンプルだが、これだってかなり難しい。エワルド法の式は、結果はさほど複雑ではないのに、その導出はどうしてこんなに難しいのだろうか。不思議にさえ思える。

188

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用(6A4.2)

𝐋𝐧 = 𝑛𝑥 𝐁𝑥 + 𝑛𝑦 𝐁𝑦 +𝑛𝑧 𝐁𝑧で表す。ただし𝐧 = (𝑛𝑥 , 𝑛𝑦 , 𝑛𝑧 )𝑛𝑥 , 𝑛𝑦 , 𝑛𝑧 = 0. ±1, ±2, ±3, … ± ∞は本文の式(6.2.1.8)と全く同じである。基本ボックスは、n=(0,0,0)が対応する。また、フーリエ変換で使う逆格子ベクトル Gk は、k=(kx,ky,kz)を n と同じ整数ベクトルとすると、本文の式(6.2.1.11)を拡張して、(6A4.3)

𝐆𝐤 = 𝑘𝑥 𝐛𝑥 + 𝑘𝑦 𝐛𝑦 +𝑘𝑧 𝐛𝑧

で定義される(論文では、Gk は小文字の k と表記されている)。ただし、𝐛𝑥 = 2𝜋

𝐁𝑦 ×𝐁𝑧𝑉

𝐁𝑥 ×𝐁𝑦𝐁 ×𝐁𝑥, 𝐛𝑧 = 2𝜋
𝑉𝑉, 𝐛𝑦 = 2𝜋 𝑧である。ベクトル bx, by, bz の定義にすでに 2πが含まれているので、フーリエ変換の式には 2πは含まれない（付録 6A5）。
以下の議論において、ベクトル Ln、Gk に関する和は、それぞれΣn、Σk と書くことにする。これを書き下せば、
∑𝐧

=∑

∑𝐤

=∑

∞
𝑛𝑥 =−∞∞
𝑘𝑥 =−∞∑∑∞
𝑛𝑦 =−∞∞
𝑘𝑦 =−∞∑∑∞
𝑛𝑧 =−∞∞
𝑘𝑧 =−∞である。Ln、Gk を変数とする関数は、f(n)や F(k)ではなく、f(Ln),F(Gk)のように記述する。また、Ln については、和や積分の範囲を体積Ωで指定する場合は、Ln∈Ωのように書く。
[2] 導出の方針
以上の問題設定のもと、エワルド法の公式を導出する。本文と同様に、位置座標
ri、電荷 qi の原子が、基本ボックス内に N 個存在する系のエネルギー、つまり、式(6.3.1.1)の Uε=1 を求める（論文では E)。以下では、添え字ε=1 は省略する。また、'
は、n=(0,0,0)で i=j の項を省略することを示す印である（論文では＊）。
1
2

′

𝑁
𝑈 = ∑𝑁𝑖=1 𝑞𝑖 ∑𝐧 ∑𝑗=1

𝑞𝑗
𝑟𝑖𝑗𝐧

(6A4.4)

基本ボックスの中和条件(6.3.1.2)は、そのまま。
∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 = 0(6A4.5)

また、基本ボックスの双極子モーメント M も、本文(6.3.1.7)のままである。
𝐌 = ∑𝑁𝑖=1 𝑞𝑖 𝐫𝒊(6A4.6)189

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

式(4)の和を、図 1A のような、空間 S（体積

Ω、論文では V)、つまり Ln∈Ωについて求め、その U(Ω）をΩ→∞の極限を取って、最終的に

図 6A4. 2 実像（黒）と虚像（青）の双極子ー双極子相互作用

U を求める。そのために、式(4)の和を、下式のように二つに分ける（注：ここでの n は単に和であることを象徴的に示しているだけで、式(4)などに出てくる n とは、直接は対応しない）。
∞∞∞

𝑈 = ∑𝑛=1 𝑎𝑛 = ∑𝑛=1(𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 ) + ∑𝑛=1 𝑏𝑛(6A4.7)Σ(an-bn)は絶対収束するように取り、Σbn は条件収束ではあるが、計算そのものは簡
単になるように取る。後で分かるように、Σbn は、双極子 M の基本セルと遠くの虚像の相互作用の和とするのが良い（図２）。そうすると、Σ(an-bn)は、近距離相互作用の和になるから、空間 S（図 1A）の形によらない式になる。
この方針で導出を進めるために、静電相互作用を、近距離力ψ(r)と遠距離力φ(r)に分ける。
1= 𝜓(𝐫) + 𝜙(𝐫)|𝐫|

(6A4.8)ψ(r)は r→∞で r-3 より早く収束するものを選ぶ。これは 6.1 節[2]で説明したように、和が絶対収束するための条件である。その場合、φ(r)=1/r-ψ(r)は、r→∞でφ(r)→r-1、つまり静電相互作用に近づく。これらを使って、式(3)の U を近距離部分 USRと遠距離部分 ULRα（論文では単に ULR）に分ける。
𝛼
𝑈 = 𝑈𝑆𝑅 + 𝑈𝐿𝑅(6A4.9)

ただし、
1
2

′

1

′

𝑈𝑆𝑅 = ∑𝐋𝐧∈𝐑3 ∑𝑖,𝑗 𝑞𝑖 𝑞𝑗 𝜓(𝐫𝑖 − 𝐫𝑗 − 𝐋𝐧 )𝛼
𝑈𝐿𝑅
= ∑𝐋𝐧∈𝛺 ∑𝑖,𝑗 𝑞𝑖 𝑞𝑗 𝜙(𝐫𝑖 − 𝐫𝑗 − 𝐋𝐧 )2

(6A4.10)(6A4.11)

ここで、USR は、Ln∈R3、すなわち無限大の空間内の和になっているが、近距離力だから、結局は、実空間内とその周りだけの和を、最近接粒子選択法で計算すれば十分である。だが、一般式としては(10)のままで良い。一方、式 (11) の遠距離力 ULRαは、気合を入れて変形しないと使える形にならないので、以下で詳しく説明する。
[3] 遠距離部分、特に表面項
以下、式(11)の遠距離力 ULRαの寄与の一般式、つまりφ(r)に具体的な形を入れずに、求める。これは、条件収束する和なので注意が必要。遠くからの寄与は周期性を
190

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用持つからフーリエ変換を使う。また、本文でも問題になっている表面項は、ここで導出する。方針として、Ln∈Ω内の和のみ取り、それを、Ω→∞にして求める。
式(11)では、’印で示すように、基本ボックス内では i=j の和、つまり自己相互作
用は除いてある。これを Uself とおく(論文では-を付けない形で定義しているが、ここでは本書の本文に合わせて-を付けた形で定義している）。これをいったん戻した ULRβ
（論文では U'LR）を定義する。
𝛽𝛼
𝑈𝐿𝑅 = 𝑈𝐿𝑅
− 𝑈𝑠𝑒𝑙𝑓(6A4.12)

ただし、
1

𝛽
𝑁
𝑈𝐿𝑅 = ∑𝐋𝐧∈𝛺 ∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 ∑𝑗=1 𝑞𝑗 𝜙(𝐫𝑖 − 𝐫𝑗 − 𝐋𝐧 )(6A4.13)2

1
2

2
𝑈𝑠𝑒𝑙𝑓 = − 𝜙(0) ∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖(6A4.14)式(13)では、i,j に関する和を分離して書いた。まずは、j に関する和を調べる。当初の設定より、|r|→∞において、φ(r)～1/|r|。そこで、式（13）φ(r-rj-Ln)で、R=r-Ln とおいて、1/|R-rj|を R の周りにテーラー展開すれば、|R|→∞において、
1

1

𝜙(𝐫 − 𝐫𝑗 − 𝐋𝐧 ) = 𝜙(𝐑 − 𝐫𝑗 )~ |𝐑| − (𝐫𝑗 ∙ 𝛁) |𝐑| + ⋯(6A4.15)になるから、これにより、遠くでは j に関する和は、
𝑁∑𝑁
𝑗=1 𝑞𝑗 𝜙(𝐫 − 𝐫𝑗 − 𝐋𝐧 ) ~ ∑𝑗=1 𝑞𝑗

1
1
− ∑𝑁
𝑗=1 𝑞𝑗 (𝐫𝑗 ∙ 𝛁) |𝐑||𝐑|

1(6A4.16)= −(𝐌 ∙ 𝛁) |𝐫−𝐋 |𝐧と近似できる。ただし、最後の変形に中和条件(5)と M の定義(6)を使った。この式(16)は、基本ボックスの位置 r における試験電荷と、位置 Ln の虚像の双極子 M の相互作用である（図 3）。

図 6A4. 3 虚像の双極子と実像の点電荷の位置関係

図３の青色が虚像だが、これが実像から充分遠いならば、Ln に位置する双極子 M は、密度
P=M/V で青い虚像ボックス全体に連続的に広がっている、とみなしても差し支えない（V は基本ボックスの体積、図 1B）。つまり、式(16)を、さらに、
1

1
𝑉

1

−(𝐌 ∙ 𝛁) |𝐫−𝐋 | ~ − (𝐌 ∙ 𝛁) ∫𝑉 |𝐫−𝐋
𝐧

𝐧 −𝛒|

𝑑𝛒

(6A4.17)と近似できる。積分変数ρは、虚像（図３の青い箱）の中の位置ベクトルを Ln の中心を原点に取って表示したものである。
191

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

ここで、式(7)のトリックをまた使って、ULRβの和を、絶対収束する和Σ(an-bn)=ULR（論文では E''LR）と、条件収束する和Σbn=Usurf に分ける。bn として式(17)を使う。すると
𝛽(6A4.18)

𝑈𝐿𝑅 = 𝑈𝐿𝑅 + 𝑈𝑠𝑢𝑟𝑓
ただし、
1
2

1
𝑉

𝑁
𝑈𝐿𝑅 = ∑𝐋𝐧∈𝛺 ∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 {∑𝑗=1 𝑞𝑗 𝜙(𝐫𝑖 − 𝐫𝑗 − 𝐋𝐧 ) + (𝐌 ∙ 𝛁𝒊 ) ∫𝑉 |𝐫

1
𝑑𝛒}
−𝐋
𝒊
𝐧 −𝛒|

(6A4.19)
1

1

1

2

𝑉

𝒊 −𝐋𝐧 −𝛒|𝑈𝑠𝑢𝑟𝑓 = − ∑𝐋𝐧 ∈𝛺 ∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 (𝐌 ∙ 𝛁𝒊 ) ∫𝑉 |𝐫𝑑𝛒

(6A4.20)式(5)の通り電荷が中和しているならば、式(19)が絶対収束するようにφ(r)を設定する限り、Ln∈Ωは Ln∈R3 でよい。ともあれ、ULR を変形する。収束が早い関数一般h(r)について成り立つ、次のポアソンーヤコビの公式を使う（証明は付録 6A5)。
1∑𝐧 ℎ(𝐫 + 𝐋𝐧 ) = ∑𝐤 𝐻(𝐆𝐤 ) 𝑒 𝐼𝐆𝐤 ∙𝐫(6A4.21 → 6A5.7)

𝑉

n に関する和は-∞から∞で取るから、Ln の符号は＋でも-でも同等である。H(𝐆𝐤 )はh(r)のフーリエ変換で、𝐻(𝐆𝐤) = ∫𝑉 ℎ(𝐫)𝑒 −𝐼𝐆𝐤 ∙𝐫 𝑑𝐫(6A4.22 → 6A5.8)

なお、この付録では、小文字の関数のフーリエ変換を大文字で示す。
式(19)の ULR を変形する。右辺第 1 項 RHS1 はφ←h、Φ←H、ri-rj ←r として公式(21)を使えば、
1
2

1
2

𝑁
𝑁
𝑁
𝑅𝐻𝑆1 = ∑𝐧 ∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 ∑𝑗=1 𝑞𝑗 𝜙(𝐫𝑖 − 𝐫𝑗 − 𝐋𝐧 ) = ∑𝑖=1 𝑞𝑖 ∑𝑗=1 𝑞𝑗 ∑𝐧 𝜙(𝐫𝑖 − 𝐫𝑗 − 𝐋𝐧 )
1

1

2

𝑉

𝑁
𝐼𝐆𝐤 ∙(𝐫𝑖 −𝐫𝑗 )= ∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 ∑𝑗=1 𝑞𝑗 ∑𝐤 𝛷(𝐆𝐤 )𝑒

=

1
2𝑉

𝐼𝐆𝐤 ∙𝐫𝑖 ∑𝑁 𝑞 𝑒 −𝐼𝐆𝐤 ∙𝐫𝑗 𝛷(𝐆 )∑𝑁
𝐤𝑖=1 𝑞𝑖 ∑𝐤 𝑒
𝑗=1 𝑗になる。一方、右辺第 2 項、
1
2

1
𝑉

1
𝑑𝛒
−𝐋
𝒊
𝐧 −𝛒|

𝑅𝐻𝑆2 = ∑𝐧 ∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 (𝐌 ∙ 𝛁𝒊 ) ∫𝑉 |𝐫

は、静電力のフーリエ変換(6A5.3)を使い、さらに、ポアソンーヤコビの公式(21)で nに関する和を k に関する和に直す、という方針で変形する。まずは n に関する和を積分の中に入れ、192

第6章

𝑅𝐻𝑆2 =

1∑𝑁 𝑞 (𝐌 ∙ 𝛁𝒊 ) ∫𝑉
2𝑉 𝑖=1 𝑖

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

1
)
−𝐋
𝒊
𝐧 −𝛒|

𝑑𝛒 (∑𝐧 |𝐫h(r)=1/|r|と定義すれば、そのフーリエ変換 H(K)は式(22)で与えられる。RHS2 中の非積分関数は、公式(21)を使い、さらに(22)で変形して、∑𝐧11= ∑𝐧 ℎ((𝐫𝒊 − 𝛒) − 𝐋𝐧 ) = ∑𝐤 𝐻(𝐆𝐤 ) 𝑒 𝐼𝐆𝐤 ∙(𝐫𝒊 −𝛒)|𝐫𝒊 −𝐋𝐧 −𝛒|
𝑉

1
𝑉

1
𝑉

1
𝑉

4𝜋 𝐼𝐆𝐤 ∙(𝐫𝒊 −𝛒)14𝜋𝑒= ∑𝐤 2 𝑒 𝐼𝐆𝐤 ∙𝐫𝒊 𝑒 −𝐼𝐆𝐤 ∙𝛒
𝐆𝐤 2
𝑉
𝐆𝐤

1

= ∑𝐤 (∫𝑉 ℎ(𝐰)𝑒 −𝐼𝐆𝐤 ∙𝐰 𝑑𝐰) 𝑒 𝐼𝐆𝐤 ∙(𝐫𝒊 −𝛒) = ∑𝐤 (∫𝑉 |𝐰| 𝑒 −𝐼𝐆𝐤 ∙𝐰 𝑑𝐰) 𝑒 𝐼𝐆𝐤 ∙(𝐫𝒊 −𝛒)= ∑𝐤

ここで、静電ポテンシャルのフーリエ変換(6A5.3)を使った。これを RHS2 に戻して、
𝑅𝐻𝑆2 ===

1∑𝑁 𝑞 (𝐌 ∙ 𝛁𝒊 ) ∫𝑉
2𝑉 𝑖=1 𝑖

1
𝑉

𝑑𝛒 ∑𝐤

1
4𝜋
1
∑𝑁 𝑞 ∑(𝐌 ∙ 𝛁𝒊 )𝑒𝐼𝐆𝐤 ∙𝐫𝒊 ∫𝑉
2𝑉 𝑖=1 𝑖 𝐤 𝐆𝐤 2
𝑉
1
2𝑉

∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 ∑𝐤

4𝜋
𝐆𝐤 2

4𝜋 𝐼𝐆𝐤 ∙𝐫𝒊 −𝐼𝐆𝐤 ∙𝛒
𝑒
𝑒
𝐆𝐤 2

𝑒 −𝐼𝐆𝐤 ∙𝛒 𝑑𝛒

1(𝐌 ∙ 𝐼𝐆𝐤 )𝑒𝐼𝐆𝐤 ∙𝐫𝒊 ∫𝑉 𝑒 −𝐼𝐆𝐤 ∙𝛒 𝑑𝛒𝑉

かくして、RHS1 と RHS2 の変形も終わったので、両方を式(19)に代入して、
𝑈𝐿𝑅 =

1
4𝜋 1
−𝐼𝐆𝐤 ∙𝐫𝑗∑𝑁 𝑞 ∑ 𝑒 𝐼𝐆𝐤 ∙𝐫𝒊 (∑𝑁𝛷(𝐆𝐤 ) + (𝐌 ∙ 𝐼𝐆𝐤 ) 2 ∫𝛒∈𝑉 𝑒 −𝐼𝐆𝐤 ∙𝛒 𝑑𝛒)
𝑗=1 𝑞𝑗 𝑒
2𝑉 𝑖=1 𝑖 𝐤
𝐆𝐤 𝑉(6A4.23)
式(19)→(23)の変形のポイントは、「n に関する和の代わりに k に関する和」が現れ、「関数φ(r)の代わりにそのフーリエ変換Φ(Gk)」が登場したこと、の二つである。
この式(23)を整理する。まず、k に関する和において、k=(0,0,0)の項は 0 になることを示す。式(5)の電荷の和が 0 であることを使うと𝐼𝐆𝐤 ∙𝐫𝒊∑𝑁= ∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 ∑𝐤 𝑒
𝑖=1 𝑞𝑖 ∑𝐤 (1 + 𝐼𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝒊 −= ∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 ∑𝐤 (𝐼𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝒊 −(𝐆𝐤 ∙𝐫𝒊 )22(𝐆𝐤 ∙𝐫𝒊 )2
2

…)

…)

である。そして、ρ∈V に関する積分∫𝛒∈𝑉 𝑒 −𝐼𝐆𝐤 ∙𝛒 𝑑𝛒
は、k=(0,0,0)の時は e-IGk・x= e0 =1 だから、積分の値は V。それ以外の k に対しては 0

193

第6章

15

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用。よって、式(23)の第 2 項は、𝐼𝐆𝐤 ∙𝐫𝒊 (𝐌 ∙ 𝐼𝐆 )∑𝑁𝐤𝑖=1 𝑞𝑖 ∑𝐤 𝑒

= ∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 (𝐼𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝒊 −4𝜋 1
∫ 𝑒 −𝐼𝐆𝐤 ∙𝛒 𝑑𝛒
𝐆𝐤 2 𝑉 𝛒∈𝑉(𝐆𝐤 ∙𝐫𝒊 )2… )(𝐌 ∙ 𝐼𝐆𝐤 )

2

4𝜋
𝐆𝐤 2

4𝜋
𝐆𝐤 2

~(𝐌 ∙ 𝐆𝐤 )𝟐(6A4.24)

ただし、基本ボックスの双極子 M の定義式(6)を使った。次に、積分を含まない、第 1
項は、k→(0,0,0)ならば、
𝐼𝐆𝐤 ∙𝐫𝒊 ∑𝑁 𝑞 𝑒 −𝐼𝐆𝐤 ∙𝐫𝑗 𝛷(𝐆 )∑𝑁
𝐤𝑖=1 𝑞𝑖 𝑒
𝑗=1 𝑗

= ∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 (1 + 𝐼𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝒊 −(𝐆𝐤 ∙𝐫𝒊 )𝟐𝟐… ) ∑𝑁𝑗=1 𝑞𝑗 (1 − 𝐼𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑗 +(𝐆𝐤 ∙𝐫𝑗 )𝟐𝟐… ) 𝛷(𝐆𝐤 )式(5)の電荷中和条件を使い、= ∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 (𝐼𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝒊 −(𝐆𝐤 ∙𝐫𝒊 )𝟐𝟐… ) ∑𝑁𝑗=1 𝑞𝑗 (−𝐼𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑗 +(𝐆𝐤 ∙𝐫𝑗 )𝟐𝟐… ) 𝛷(𝐆𝐤 )さらに qiri の和は基本ボックスの双極子 M（6）だから、= (𝐼𝐆𝐤 ∙ 𝐌 + 𝑂(𝐾 2 ))(𝐼𝐆𝐤 ∙ 𝐌 + 𝑂(𝐾 2 ))𝛷(𝐊𝐆𝐤 )Φ(Gk)は静電ポテンシャルのフーリエ変換に近づくので
Φ(Gk)→4π/Gk2（6A5.3）を使って→ −(𝐆𝐤 ∙ 𝐌)2

4𝜋
𝐆𝐤 2

(6A4.25)式(24)と(25)を足せば、0 になる。よって、式(23)から k=(0,0,0)の項は除いてよい。
また、(24)の導出過程の議論の通り、積分を含む項に関しては、k≠(0,0,0)の項も全て 0 である（煩雑なので、以下 k≠0 と略記）。
以上の結果から、(23)を書き直すと
𝑈𝐿𝑅 =1−𝐼𝐆𝐤 ∙𝐫𝑗∑∑𝑁 𝑞 𝑒 𝐼𝐆𝐤 ∙𝐫𝑖 ∑𝑁
𝛷(𝐆𝐤 )
𝑗=1 𝑞𝑗 𝑒
2𝑉 𝐤≠0 𝑖=1 𝑖が得られる。これを、電荷密度関数
𝜃(𝐫) ≡ ∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 𝛿(𝐫 − 𝐫𝑖 )のフーリエ変換𝛩(𝐆𝐤 ) = ∑𝑁𝑖=1 𝑞𝑖 𝑒𝑥𝑝(−𝐼𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑖 )(6A4.26)を使って表示すれば、
𝑈𝐿𝑅 =1∑ |𝛩(𝐆𝐤 )|2 𝛷(𝐆𝐤 )2𝑉 𝐤≠0(6A4.27)という、きれいな形になる。というわけで、式(11)の遠距離力 ULRαのうち、式(19)の

ULR は片付いた。

15

ρは基本ボックス内のベクトルだから、e-IGk・ρを一周期で積分することになり 0 になる。

194

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

いよいよ、懸案の式(20)の表面項 Usurf を変形する。式(20)では、Ln に位置するセルに関して積分したあと、Ln に関する和を取っているわけだが、これは空間 S の体積全体Ω（図 1A）に置き換えてしまってよい。つまり、∑𝐋𝐧∈𝛺 ∫𝑉 𝑑𝛒 → ∫Ω 𝑑𝛒
と置き換えれば
𝑈𝑠𝑢𝑟𝑓 = −1
1
∑𝑁 𝑞 (𝐌 ∙ 𝛁𝑖 ) ∫𝛺𝑑𝛒|𝐫𝒊 −𝛒|2𝑉 𝑖=1 𝑖(6A4.28)になる。すでに述べたように、双極子が空間に一様に広がっていると近似し、その密
度 P＝M/V を使うと、
1
2

1
𝑑𝛒
𝒊 −𝛒|

𝑈𝑠𝑢𝑟𝑓 = − ∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 ∫𝛺 (𝐏 ∙ 𝛁𝑖 ) |𝐫

(6A4.29)と書ける。式(29）は、「表面項 Usurf は、一様な双極子密度 P の空間 S 中での、中央の基本ボックス内の電荷 q1,...,qN のエネルギーの和である（図 4）」ことを示している。ここで(29)にガウスの発散定理を適用して、表面 S に関する面積分に変換する。
1

𝐏

𝑈𝑠𝑢𝑟𝑓 = − ∑𝑁𝑞 ∫∙ 𝐝𝐒
2 𝑖=1 𝑖 𝑆 |𝐫 −𝛒|(6A4.30)𝒊つまり、図 4 のように、空間の表面の位置

図 6A4. 4 表面項のイメージ

ρで、その面積ベクトル dS と双極子密度 Pの内積に原子 i の作るポテンシャル

qi/|ri-ρ|を掛け、それを表面全体で積分し、最後に原子 i について足し合わせたものである。式(30)の P・dS は、表面電荷密度(surface charge density)で、結局、Sの表面の電荷分布状況が Usurf を決めている。この項を表面項と呼ぶのは、そのためであろう。
式(30)をさらに掘り下げてみる。この式のρは S の表面の任意の点を示す位置ベクトルだから、基本ボックス内の ri どこからも、宇宙の果てのように遠いので|𝛒|>>|ri|。これを使って(30)を近似すると、
1
2

1

1

1
2

1

2
𝑈𝑠𝑢𝑟𝑓 = − ∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 ∫𝑆 𝐏 {|𝛒| − (𝐫𝒊 ∙ 𝛁) |𝛒| + (𝐫𝒊 ∙ 𝛁) |𝛒| + ⋯ } ∙ 𝐝𝐒となる。この第１項は電荷中和条件(5)により０、第 3 項以降の高次項は|𝛒|→∞で０に収束、よって、第 2 項のみが残り、
1

𝟏

1

𝟏

𝑁
𝑈𝑠𝑢𝑟𝑓 ~ ∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 ∫𝑆 (𝐫𝒊 ∙ 𝛁) |𝛒| 𝐏 ∙ 𝐝𝐒 = ∑𝑖=1 𝑞𝑖 𝐫𝒊 ∙ ∫𝑆 𝛁 |𝛒| 𝐏 ∙ 𝐝𝐒
2

2

195

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

1
2(6A4.31)= − 𝐌 ∙ 𝐄𝑑𝑒𝑝
ただし、式(6)の M の定義を使った。また、
𝟏

𝐄𝑑𝑒𝑝 ≡ − ∫𝑆 𝛁 |𝛒| 𝐏 ∙ 𝐝𝐒
は、脱分極場（Depolarizing field）と呼ばれる量で、Ｓの表面電荷が作る電場である。さらに、もう少し別の書き方をすると、(6A4.32)

𝐄𝑑𝑒𝑝 = −𝐉 ∙ 𝐏
ただし、
1(6A4.33)𝐉 ≡ − ∫𝛺 𝛁𝛁 |𝛒| 𝐝𝛒

は脱分極テンソル（Depolarization tensor）と呼ばれる量で、空間 S の形にのみ依存する（Solivérez, 2016、ただし、この本では上式を 4πで割った式で定義しているので注意）。これを使うと、𝑈𝑠𝑢𝑟𝑓 =

1
2𝑉

(6A4.34)

𝐌𝐉𝐌と書ける。式(34)を見ると、表面項は、基本ボックスの双極子モーメント M、その体
積 V、空間 S の形のみに依存することがわかる。個々の電荷 qi とその位置 ri は、双極子 M を通してしか表面項に寄与していないのである。単極子は？
れ以上の項は？

4 重極子は？ そと言うと、式（31）を導いた時の議論の通り、単極子は総電荷０にしてあるから寄与なし、4 重極子以上の寄与は遠くでは０に収束するから寄与なし（表 6.1.1）、結局、双極子だけが残る、というわけ。
さて、表面項に関する議論はいったん閉めて、ここまでの結果をまとめておく。
[4] エワルド和の一般式
図 1 で定義される周期系に関して、そのエネルギー
′

1
2

𝑁
𝑈 = ∑𝑁𝑖=1 𝑞𝑖 ∑𝐧 ∑𝑗=1

𝑞𝑗
𝑟𝑖𝑗𝐧

（再 6A4.3)

は、
𝑈 = 𝑈𝑆𝑅 + 𝑈𝑠𝑒𝑙𝑓 + 𝑈𝐿𝑅 + 𝑈𝑠𝑢𝑟𝑓(6A4.35)で計算できる。ただし、′

1
2

𝑈𝑆𝑅 = ∑𝐋𝐧∈𝐑3 ∑𝑖,𝑗 𝑞𝑖 𝑞𝑗 𝜓(𝐫𝑖 − 𝐫𝑗 − 𝐋𝐧 )1
2

2
𝑈𝑠𝑒𝑙𝑓 = − 𝜙(0) ∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖(再 6A4.10)(再 6A4.14)

196

第6章

𝑈𝐿𝑅 =

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用1∑ |𝛩(𝐆𝐤 )|2 𝛷(𝐆𝐤 )2𝑉 𝐤≠0𝑈𝑠𝑢𝑟𝑓 =

(再 6A4.27)

1
𝐌𝐉𝐌
2𝑉

(再 6A4.34）

なお、関数ψとφは、
1= 𝜓(𝐫) + 𝜙(𝐫)|𝐫|

(再 6A4.7)の関係で、かつ、r→∞で、ψ(r)は r-3 よりも速く０に収束、φ(r)は 1/r に収束する、という条件を満たすこと。空間 S の形は、その体積Ωが無限大ならば、任意である。
[5] エワルド和の実例
一般式ができたところで、実際の MD シミュレーションで使う式を書き下していくことにする。これ以降の内容は、論文にはあっさりとしか書いてないので、いろいろ行
間を足してある。まず、USR (10)と ULR (27)であるが、これらは、本文の実空間和(6.3.1.3)と波数空間和 (6.3.1.4)である。この二つの和を具体的に書き下すには、関数ψとφの形を与える必要がある。これらの関数形は条件さえ満たせば任意で、実際に、いろいろな形を使って、計算量を減らしたりする試みもある（Wheeler & Newman,
2002 など）。だが、通常使われるのは、以下の関数形である。
1
𝑟

𝑟
𝜂

(6A4.36)

𝜓(𝐫) = 𝜓(𝑟) = 𝑒𝑟𝑓𝑐 ( )𝜙(𝐫) = 𝜙(𝑟) =1 1/𝜂
∫ 𝑒𝑥𝑝(−𝑟 2 𝑢2 ) 𝑑𝑢
√𝜋 0

(6A4.37)

ただし、erfc(x)は次式で定義される補誤差関数。
𝑒𝑟𝑓𝑐(𝑥) =2 ∞∫ 𝑒𝑥𝑝(−𝑡 2 ) 𝑑𝑡
√𝜋 𝑥

式(36)と(37)を足すと 1/r になる、つまり式(7)を満たすことを確かめる（上田,2003 に倣う）。出発点はガウス積分で、
1=2 ∞∫ 𝑒𝑥𝑝(−𝑡 2 ) 𝑑𝑡
√𝜋 0

この両辺に 1/r を掛け
1
1 2 ∞
=
∫ 𝑒𝑥𝑝(−𝑡 2 ) 𝑑𝑡𝑟𝑟 √𝜋 0

積分区間を
=

1 2

𝑟/𝜂

∫
𝑟 𝜋 0
√

0~r/η

と

1 2

∞

𝑒𝑥𝑝(−𝑡 2 ) 𝑑𝑡 +r/η～∞ に分けると、∫ 𝑒𝑥𝑝(−𝑡 2 ) 𝑑𝑡
𝑟 𝜋 𝑟/𝜂
√

197

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

右辺第１項で t=ru と変数変換し、第 2 項を補誤差関数で書き換えると、
=

2 1/𝜂
1
𝑟
∫ 𝑒𝑥𝑝(−𝑟 2 𝑢2 ) 𝑑𝑢 + 𝑟 𝑒𝑟𝑓𝑐(𝜂 )√𝜋 0であるから、第１項がφ、第 2 項がψになる。つまり、式(7)の条件の通り、1/r=φ+ψを満たす。また、補誤差関数は素早く 0 に収束するので、ψ(r)は r→∞で急速に、もちろん 1/r3 よりもずっと速く、0 に収図 6A4. 5 電荷 s(R)が作るポテンシャルφ（A）と静電
ポテンシャル（B）

束する。1/r=φ+ψだから、r→∞でφ(r)～1/r になるのも自明。つまり、φとψが満たすべき性質をどちらも満たすことがわかる。
さて、近距離の USR を決めるψの形はこれでおしまい。長距離の ULR を決める、式(37)のφ(r)は、原点を中心として、ガウス型関数状に空間Ｒに広がった電荷𝑠(𝐑) =

𝑅 2

1
(√𝜋𝜂)

3

𝑒𝑥𝑝 (− ( ) )𝜂(6A4.38)が、位置 r に作るポテンシャルになっている（図 5A）。
𝑑𝐑

(6A4.39)𝜙(𝐫) = ∫ 𝑠(𝐑) |𝐫−𝐑|

式(37)中のηは長さの次元を持ち、電荷の拡がりを示すパラメーターである（論文ではηではなくα=1/ηで表記）。ηが大きければ電荷の拡がりも大きいし、小さければ、点電荷（図 5B)に近づく（η→0 で s(R)→δ(R)）。
ここで、φ(r)を、式(37)の形ではなく、式(39)の形で、フーリエ変換してみる。式(39)は、二つの関数の畳み込み積分の形をしている。s(R)と f(R)=1/|R|のフーリエ変換はそれぞれ𝑆(𝐆𝐤 ) = 𝑒𝑥𝑝(−(𝜂𝐆𝐤 )2 /4)𝐹(𝐆𝐤 ) =4𝜋
𝐆𝐤 2

なので（付録 6A5 の公式を使う）、「畳み込み積分のフーリエ変換はそれぞれの関数のフーリエ変換の積に等しい」という定理（6A5.6）を使えば、𝛷(𝐆𝐤 ) = 𝑆(𝐆𝐤 )𝐹(𝐆𝐤 ) =4𝜋𝑒𝑥𝑝(−(𝜂𝐆𝐤 )2 /4)
𝐆𝐤2(6A4.40)この式(40)と式(26)のΘ(Gk)を式(27)に代入すると
𝑈𝐿𝑅 =

1
2𝑉

∑𝐤≠0|𝛩(𝐆𝐤 )|2 𝛷(𝐆𝐤 )
198

第6章

=
=

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

2 4𝜋
1∑ |∑𝑁 𝑞 𝑒𝑥𝑝(−𝐼𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑖 )| 2 𝑒𝑥𝑝(−(𝜂𝐆𝐤 )2 /4)
2𝑉 𝐤≠0 𝑖=1 𝑖
𝐆𝐤
2𝜋
𝑉

∑𝐤≠0

𝑒𝑥𝑝(−(𝜂𝐆𝐤 )2 /4)
𝐆𝐤 2

|∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 𝑒𝑥𝑝(−𝐼𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑖 )|2(6A4.41)

この式を最終形にしている文献も多いが、実用的には、つまり MD プログラムに実装するときには、以下のように|Θ(Gk)|2 の部分をさらに変形して用いる。
𝑒𝑥𝑝(−(𝜂𝐆𝐤 )2 /4)
2𝜋
𝑁
∑𝐤≠0
{ ∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 𝑒𝑥𝑝(𝐼𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑖 ) ∑𝑗=1 𝑞𝑗 𝑒𝑥𝑝(−𝐼𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑗 )}
𝑉
𝐆𝐤 2

𝑈𝐿𝑅 =
=

𝑒𝑥𝑝(−(𝜂𝐆𝐤 )2 /4) 𝑁
2𝜋∑𝐤≠0∑𝑖=1 ∑𝑁
𝑗=1 𝑞𝑖 𝑞𝑗 𝑒𝑥𝑝 (𝐼𝐆𝐤 ∙ (𝐫𝑖 − 𝐫𝑗 ))
𝑉
𝐆𝐤 2

=

𝑒𝑥𝑝(−(𝜂𝐆𝐤 )2 /4) 𝑁
2𝜋∑𝐤≠0∑𝑖=1 ∑𝑁
𝑗=1 𝑞𝑖 𝑞𝑗 (𝑐𝑜𝑠 (𝐆𝐤 ∙ (𝐫𝑖 − 𝐫𝑗 )) − 𝐼𝑠𝑖𝑛 (𝐆𝐤 ∙ (𝐫𝑖 − 𝐫𝑗 )))𝑉
𝐆𝐤 2

k について和を取ると、sin は±で打ち消しあうから、

cos だけが残り、
=
=

2𝜋
𝑉

∑𝐤≠0

𝑒𝑥𝑝(−(𝜂𝐆𝐤 )2 /4)
𝐆𝐤 2

𝑁
∑𝑁
𝑖=1 ∑𝑗=1 𝑞𝑖 𝑞𝑗 𝑐𝑜𝑠 (𝐆𝐤 ∙ (𝐫𝑖 − 𝐫𝑗 ))𝑒𝑥𝑝(−(𝜂𝐆𝐤 )2 /4) 𝑁
2𝜋∑𝐤≠0∑𝑖=1 ∑𝑁
𝑗=1 𝑞𝑖 𝑞𝑗 {𝑐𝑜𝑠(𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑖 )𝑐𝑜𝑠(𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑗 ) + 𝑠𝑖𝑛(𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑖 )𝑠𝑖𝑛(𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑗 )}
𝑉
𝐆𝐤 2
2
(𝜂𝐆𝐤)
)
4

𝑒𝑥𝑝(−

2𝜋
𝑁
𝑁
∑𝐤≠0
{∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 𝑐𝑜𝑠(𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑖 ) ∑𝑗=1 𝑞𝑗 𝑐𝑜𝑠(𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑗 ) + ∑𝑖=1 𝑞𝑖 𝑠𝑖𝑛(𝐆𝐤 ∙𝑉
𝐆𝐤 2𝐫𝑖 ) ∑𝑁
𝑗=1 𝑞𝑗 𝑠𝑖𝑛(𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑗 )}

=

=

2𝜋
𝑉

∑𝐤≠0

𝑒𝑥𝑝(−(𝜂𝐆𝐤 )2 /4)
𝐆𝐤 2

2

2

𝑁
{(∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 𝑐𝑜𝑠(𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑖 )) + (∑𝑖=1 𝑞𝑖 𝑠𝑖𝑛(𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑖 )) }と変形される。波数空間はこの形、
𝑈𝐿𝑅 =

2
2
𝑒𝑥𝑝(−(𝜂𝐆𝐤 )2 /4)
2𝜋
𝑁
∑𝐤≠0
{(∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 𝑐𝑜𝑠(𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑖 )) + (∑𝑖=1 𝑞𝑖 𝑠𝑖𝑛(𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑖 )) }𝑉
𝐆𝐤 2

(6A4.42)を使って、MD 計算を行うのが標準である。
[6] エワルド和の実用的な公式
以上、エワルド法の実用例として、式(36,37)のφ、ψを採用し、具体的な式を導いたので、まとめておく。USR は式(10)に(36)を、Uself は式(14)に(37)を、それぞれ代入
して得られた式を載せてある。
1
2′

𝑈𝑆𝑅 = ∑𝐋𝐧∈𝐑3 ∑𝑖,𝑗

𝑞𝑖 𝑞𝑗
|𝐫𝑖 −𝐫𝑗 −𝐋𝐧 ||𝐫𝑖 −𝐫𝑗 −𝐋𝐧 |𝑒𝑟𝑓𝑐 (

𝜂) (6A4.43)

199

第6章

𝑈𝑠𝑒𝑙𝑓 = −
𝑈𝐿𝑅 =

2𝜋
𝑉

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

1∑𝑁 𝑞 22√𝜋𝜂 𝑖=1 𝑖∑𝐤≠0𝑒𝑥𝑝(−(𝜂𝐆𝐤 )2 /4)
𝐆𝐤 2(6A4.44)
2

2

𝑁
{(∑𝑁
𝑖=1 𝑞𝑖 𝑐𝑜𝑠(𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑖 )) + (∑𝑖=1 𝑞𝑖 𝑠𝑖𝑛(𝐆𝐤 ∙ 𝐫𝑖 )) }(再 6A4.42)
𝑈𝑠𝑢𝑟𝑓 =

1
𝐌𝐉𝐌
2𝑉

(再 6A4.34）

実空間和 USR は、式では Ln∈R3 での和を取ることにはなっている。だが、静電ポテン
シャル 1/r に掛かっている補誤差関数 erfc のおかげで素早く収束するので、実際にはカットオフ法と同じくペアリストを使って、適切な切断半径 Rc 内の相互作用を、最近
接粒子選択法で計算すれば充分である。
また、波数空間和 ULR は、式では無限個の k について計算するように書いてはあるが、こちらも exp(-x2)のおかげで素早く収束するので、精度や速度を見ながら、適当な数の k で打ち切って問題ない（詳細は、6.3.3 節参照）。つまり、収束しない静電ポテンシャルの和を、二つの収束の速い和で置き換えたわけである。
ついでに、上の 4 つの式のうち、表面項 Usurf だけは、φとψの関数形には全く左右されないことも、再確認して欲しい。この項は、基本ボックスから見ると宇宙の彼方に存在する表面電荷の寄与だから、近場のポテンシャルの計算方法には左右されないのである。
[7] 球体の表面項
表面項 MJM/(2V)、式(34)は、苦労して導出したのではあるけれど、本文で議論しているように、実は、本書の対象の溶液状態の分子の MD では、通常計算しない。だから、この項の実例を列挙しても、あまり役に立たなかったりする16。そこで、実例としては、一番単純で分かりやすい、球体の場合の式だけを示すことにする。つまり、図1A の S が真ん丸の球で、基本ボックスが立方体ということ。この場合の脱分極テンソ
ル J は（4πE)/3、ただし E は 3x3 の単位行列である(Solivérez, 2016)。これを使うと、表面項は𝑈𝑠𝑢𝑟𝑓 =

1
1
4𝜋
2𝜋
𝐌𝐉𝐌 = 𝐌 𝐄𝐌 = 𝐌𝟐
2𝑉
2𝑉
3
3𝑉

(6A4.45)と言う、良く知られた形になる。つまり、基本ボックスの電気双極子モーメントの自乗に比例し、体積に反比例する。

苦労して導出しておいて、実際には使わないなんて殺生な、と思われるだろうけれど、人生

16

なんてそんなもんです。

200

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

以上、Ballenegger (2014)による、エワルド法の導出法を紹介した。ここで作った式を使ってどう MD 計算を行うかは、本文を参照のこと。
付録 6A5. ３次元フーリエ変換
これは、言わば付録 6A4 のさらなる付録である。6A4 で利用する、3 次元のフーリエ変換の定義や公式をまとめておく。フーリエ変換の公式など、わざわざ書くほどのこともないかも知れないが、フーリエ変換の定義は、2πが付いたり付かなかったりとか、業界や文献によって結構異なっていて紛らわしい。それに、3 次元については、
意外に、公式を載せている書籍やウェブページが少ない。そんなわけで、ここでまとめておく。
以下、6A4 の問題設定と変数の定義、つまり、位置ベクトル r=(x,y,z)、基本ボック
スの格子ベクトル Bx,By,Bz、体積 V、逆格子ベクトル Gk=(Gkx,Gky,Gkz)などをそのまま使う。また、f(r)と F(Gk)みたいに、元の関数を小文字で表しそのフーリエ変換を大文字で表す。一方、フーリエ変換を演算とみなす場合には、ℱを使うことにする。つまり、ℱ：f(r) = F(Gk)、というように書く。なお、虚数単位は、ここでも I で示す。
定義：フーリエ変換
変数 r=(x,y,z)の関数 f(r)のフーリエ変換 F(Gk)を、次式で定義する。
ℱ: 𝑓(𝐫) = 𝐹(𝐆𝐤 ) = ∫ 𝑓(𝐫)𝑒𝑥𝑝(−𝐼𝐆𝐤 ∙ 𝐫) 𝑑𝐫(6A5.1)

とりあえず、式(1)を使って、6A4 で使っているフーリエ変換の実例を二つ挙げてみる。
実例１：δ関数のフーリエ変換

δ関数は、f(r)=δ(x)δ(y)δ(y)を(1)に代入して、δ関数の定義を使うと∆(𝐆𝐤 ) = ∫ 𝛿(𝑥)𝛿(𝑦)𝛿(𝑦)𝑒𝑥𝑝 (−𝐼(𝐺𝑘𝑥 𝑥 + 𝐺𝑘𝑦 𝑦 + 𝐺𝑘𝑧 𝑧)) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
3= (∫ 𝛿(𝑥)𝑒𝑥𝑝(−𝐼𝐺𝑘𝑥 𝑥) 𝑑𝑥)3 = (𝑒𝑥𝑝(0)) = 13 =1(6A5.2)というようにフーリエ変換で 1 になる。
実例 2：静電ポテンシャルのフーリエ変換
静電ポテンシャル f(r)=1/r のフーリエ変換は、次の式である。
𝐹(𝐆𝐤 ) = ∫𝑒𝑥𝑝(−𝐼𝐆𝐤 ∙𝐫)
4𝜋𝑑𝐫 = 2𝑟
𝐆𝐤(6A5.3)

結果は簡単だが、導出はちょっとややこしい。定義式(3)で、x,y,z 成分を明示する
201

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用と、
𝐹(𝐆𝐤 ) = ∫𝑒𝑥𝑝(−𝐼(𝐺𝑘𝑥 𝑥+𝐺𝑘𝑦 𝑦+𝐺𝑘𝑧 𝑧))√𝑥 2 +𝑦 2 +𝑧 2

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

ここで、r=(x,y,z)を三次元極座標(r,θ,φ）に変換するのだが、r を記述する座標系
は、z 軸が逆格子ベクトル Gk の向きになるように取る。そうしても一般性を失わない
17。すると、Gk と r のなす角がθになるので、内積の定義により、 Gk・r = Gkrcosθと簡単に書ける。よって、極座標変換の結果、𝐹(𝐆𝐤 ) = ∫∞𝑒𝑥𝑝(−𝐼𝐺𝐤 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃) 2
𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜙
𝑟

𝜋

2𝜋

= ∫0 𝑑𝑟 ∫0 𝑑𝜃 ∫0 𝑑𝜙 𝑟𝑒 −𝐼𝐺𝐤 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃∞𝜋

=2𝜋 ∫0 𝑑𝑟 ∫0 𝑟𝑒 −𝐼𝐺𝐤 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜃
さらに t=cosθ、sinθdθ=-dt と変数変換して
∞

−1

∞

1

𝐹(𝐆𝐤 ) = 2𝜋 ∫0 𝑑𝑟 ∫1 𝑟𝑒 −𝐼𝐺𝐤 𝑟𝑡 (−𝑑𝑡) = 2𝜋 ∫0 𝑟𝑑𝑟 ∫−1 𝑒 −𝐼𝐺𝐤 𝑟𝑡 𝑑𝑡
𝑡=1∞ 𝑒 𝐼𝐺𝐤𝑟 −𝑒 −𝐼𝐺𝐤𝑟
𝑒 −𝐼𝐺𝐤𝑟𝑡]= 2𝜋 ∫0 𝑟
𝑑𝑟−𝐼𝐺𝐤 𝑟 𝑡=−1
𝐼𝐺𝐤 𝑟

∞

= 2𝜋 ∫0 𝑟𝑑𝑟 [=2𝜋 ∞ 𝐼𝐺𝐤 𝑟− 𝑒 −𝐼𝐺𝐤 𝑟 ) 𝑑𝑟
∫ (𝑒
𝐼𝐺𝐤 0

ここで、δ→0 で１に収束する因子 e-δr（δ>0）を掛けて、r=0,∞で積分したあと、

δ→0 の極限を取る、というトリック18を使って、この積分を求める。
2𝜋 ∞ −𝛿𝑟 𝐼𝐺𝐤 𝑟
2𝜋 ∞ (𝐼𝐺𝐤 −𝛿)𝑟
− 𝑒 −𝐼𝐺𝐤 𝑟 ) 𝑑𝑟=lim− 𝑒 −(𝐼𝐺𝐤 +𝛿)𝑟 ) 𝑑𝑟
∫0 𝑒 (𝑒
∫ (𝑒
𝐼𝐺
𝐼𝐺
𝛿→0 𝐤
𝛿→0 𝐤 0𝐹(𝐆𝐤 ) = lim
=

𝑟=∞
2𝜋
𝑒 (𝐼𝐺𝐤−𝛿)𝑟𝑒 −(𝐼𝐺𝐤+𝛿)𝑟
lim [
+
]
𝐼𝐺𝐤 𝛿→0 𝐼𝐺𝐤 −𝛿
𝐼𝐺𝐤 +𝛿
𝑟=0

eIKr も e-IKr も r→∞で収束しないが、ここでは、e-δr が掛けてあるので、e±IKre-δr は r→∞で０に収束する。よって、𝐹(𝐆𝐤 ) =

2𝜋
0−1
0−1
lim (
+
)
𝐼𝐺𝐤 𝛿→0 𝐼𝐺𝐤 −𝛿
𝐼𝐺𝐤 +𝛿

になる。この段階で、δ→0 の極限を求めると、

17

調べた限り、どの資料でも、この関係を説明なしで使っているようだ。定石なのだろう、多分。
18

学生時代、とある物理の先生がこのトリックを講義で使いながら、「数学者は気にしますが、物理学者は気にしません」と説明してたことを思い出す。

202

第6章

𝐹(𝐆𝐤 ) =力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

2𝜋 −2
4𝜋
∙
= 2
𝐼𝐺𝐤 𝐼𝐺𝐤
𝐺𝐤

つまり、式(3)が得られる。
実例 3：ガウス関数のフーリエ変換
ガウス型関数 f(r)=exp(-a2r2)のフーリエ変換は、次の式のように、やはりガウス型
になる。
𝜋 3/2
𝐺 2
𝑒𝑥𝑝 (− 𝐤 2 )𝑎4𝑎

𝐹(𝐆𝐤 ) = ∫ 𝑒𝑥𝑝(−𝑎2 𝑟 2 )𝑒𝑥𝑝(−𝐼𝐆𝐤 ∙ 𝐫) 𝑑𝐫 = ( 2 )(6A5.4)

この場合、実例 2 と違って、以下のように変数分離できる。
𝐹(𝐆𝐤 ) = ∭ 𝑒𝑥𝑝(−𝑎2 (𝑥 2 + 𝑦 2 +𝑧 2 ))𝑒𝑥𝑝 (−𝐼(𝐺𝑘𝑥 𝑥 + 𝐺𝑘𝑦 𝑦 + 𝐺𝑘𝑧 𝑧)) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧= ∫ 𝑒𝑥𝑝(−𝑎2 𝑥 2 )𝑒𝑥𝑝(−𝐼𝐺𝑘𝑥 𝑥) 𝑑𝑥∫ 𝑒𝑥𝑝(−𝑎2 𝑦 2 )𝑒𝑥𝑝(−𝐼𝐺𝑘𝑦 𝑦) 𝑑𝑦 ∫ 𝑒𝑥𝑝(−𝑎2 𝑧 2 )𝑒𝑥𝑝(−𝐼𝐺𝑘𝑧 𝑧) 𝑑𝑧

x,y,z それぞれの積分は、ガウス積分の 1 次元のフーリエ変換で、どこにも公式が載っているのでそれを使えば、
𝜋
𝑎

𝐺2

𝜋
𝑎

𝐹(𝐆𝐤 ) = √ 2 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑘𝑥2 ) √ 2 𝑒𝑥𝑝 (−𝜋𝑎3= (√ 2 ) 𝑒𝑥𝑝 (−

4𝑎

2
2
2
𝐺𝑘𝑥
+𝐺𝑘𝑦
+𝐺𝑘𝑧

4𝑎2

2
𝐺𝑘𝑦

4𝑎

𝐺2

𝜋
𝑎

𝑘𝑧
2 ) √ 2 𝑒𝑥𝑝 (−
2)

4𝑎

𝜋 3/2
𝐺 2
𝑒𝑥𝑝 (− 𝐤 2 )𝑎4𝑎) = ( 2)と変形できて、式(4)が得られる。
定義：畳み込み積
二つの関数 f(r)と g(r)の畳み込み積（deconvolution）を、次式で定義する。
{𝑓 ∗ 𝑔}(𝐫) = ∫ 𝑓(𝛒)𝑔(𝐫 − 𝛒) 𝑑𝛒

(6A5.5)定理：畳み込み積のフーリエ変換
二つの関数 f(r)と h(r)の畳込み積のフーリエ変換は、それぞれのフーリエ変換

F(Gk)と H(Gk)の積に等しい。つまり、以下の式が成り立つ。
ℱ: {𝑓 ∗ ℎ}(𝐫) = 𝐹(𝐆𝐤 )𝐻(𝐆𝐤)(6A5.6)証明は以下の通り。1 次元の証明はどこにでも載っているが、多次元の証明も、ス
カラーがベクトルになる以外は、1 次元と同じである。
ℱ: {𝑓 ∗ ℎ}(𝐫) = ℱ: ∫ 𝑓(𝛒)ℎ(𝐫 − 𝛒) 𝑑𝛒= ∫ {∫ 𝑓(𝛒)ℎ(𝐫 − 𝛒) 𝑑𝛒} 𝑒 −𝐼𝐆𝐤 ∙𝐫 𝑑𝐫= ∫ 𝑓(𝛒) {∫ ℎ(𝐫 − 𝛒) 𝑒 −𝐼𝐆𝐤 ∙𝐫 𝑑𝐫} 𝑑𝛒= ∫ 𝑓(𝛒) {∫ ℎ(𝐭) 𝑒 −𝐼𝐆𝐤 ∙(𝐭+𝛒) 𝑑𝐭} 𝑑𝛒
203

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用= ∫ 𝑓(𝛒) {∫ ℎ(𝐭) 𝑒 −𝐼𝐆𝐤 ∙𝐭 𝑑𝐭} 𝑒 −𝐼𝐆𝐤 ∙𝛒 𝑑𝛒= ∫ 𝑓(𝛒)𝑒 −𝐼𝐆𝐤 ∙𝛒 𝑑𝛒 ∫ ℎ(𝐭) 𝑒 −𝐼𝐆𝐤 ∙𝐭 𝑑𝐭= 𝐹(𝐆𝐤 )𝐻(𝐆𝐤 )この通り、証明は簡単だが、式(6)は重宝する関係なので、いろんなところで使われ
ている。
定理：

ポアソンーヤコビの公式

収束が早い関数 h(r)について19、次の等式が成り立つ20。
1𝑉∑𝐧 ℎ(𝐫 + 𝐋𝐧 ) = ∑𝐤 𝐻(𝐆𝐤 ) 𝑒 𝐼𝐆𝐤 ∙𝐫(6A5.7)

ただし、H(Gk)は h(r)のフーリエ変換で、𝐻(𝐆𝐤) = ∫𝑉 ℎ(𝐫)𝑒 −𝐼𝐆𝐤 ∙𝐫 𝑑𝐫(6A5.8)式(7)は、付録 6A4 で紹介している Ballenegger (2014)中の式(16)である。ただし、記号は本書に合わせて変えてある。式(8)は、式(1)と違って、積分範囲が基本ボックス内（r∈V）に限定されているのに注意。
以下、式(7)を導いてみる。
まず、準備として、δ関数を使って、次の関数を定義する。
𝑝(𝐫) ≡ ∑𝐧 𝛿(𝐫 + 𝐋𝐧 )これは、周期関数なので、フーリエ"級数"展開できて、
𝑝(𝐫) = ∑𝐤 𝑐K 𝑒 𝐼𝐆𝐤 ∙𝐫
1

1

𝑐K = ∫𝑉 𝑝(𝛒)𝑒 −𝐼𝐆𝐤 ∙𝛒 𝑑𝛒 = ∫𝛒∈𝑉 ∑𝐧 𝛿(𝛒 + 𝐋𝐧 )𝑒 −𝐼𝐆𝐤 ∙𝛒 𝑑𝛒
𝑉𝑉
この被積分関数の中のδ関数は、n=(0,0,0)かつρ=(0,0,0)でのみ、0 でない値を取り、また、そのとき exp(-IGk・ρ)=1 なので、積分の値は 1。よって
𝑐K =

1
𝑉

つまり、

19

Ballenegger (2014)では"fast decaying function"について成り立つと書いてある。あちこ

ち見ても、その理由は詳しくは書いてないが、おそらく、h(r+Ln)は、Ln が大きいところで素早
く 0 に収束する関数でないと、Ln に関する無限和が収束しない、ということだろう。。
20

この等式は、Ballenegger (2014)では"Poisson-Jacobi formula（ポアソンーヤコビの公式）"となっているので、その名称をそのまま用いた。だが、数学の教科書やインターネット上の資料では、"Poisson summation formula（ポアソンの和公式）"と書かれていることが多い。
Jacobi さんはいずこに？

204

第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用1𝑉𝑝(𝐫) = ∑𝐧 𝛿(𝐫 + 𝐋𝐧 ) = ∑𝐤 𝑒 𝐼𝐆𝐤 ∙𝐫(6A5.9)

準備ができたところで、式(7)の右辺 RHS に(8)を代入して変形していく、
1
𝑉

1
𝑉

𝑅𝐻𝑆 = ∑𝐤 𝐻(𝐆𝐤) 𝑒 𝐼𝐆𝐤 ∙𝐫 = ∑𝐤 (∫𝑉 ℎ(𝛒)𝑒 −𝐼𝐆𝐤 ∙𝛒 𝑑𝛒) 𝑒 𝐼𝐆𝐤 ∙𝐫
1
𝑉= ∫𝑉 ℎ(𝛒) ∑𝐤 𝑒

𝐼𝐆𝐤 ∙(𝐫−𝛒)𝑑𝛒ここで、式(9)を使うと𝑅𝐻𝑆 = ∫𝑉 ℎ(𝛒) ∑𝐧 𝛿(𝐫 − 𝛒 + 𝐋𝐧 ) 𝑑𝛒 = ∑𝐧 ∫𝑉 ℎ(𝛒)𝛿(𝐫 − 𝛒 + 𝐋𝐧 ) 𝑑𝛒
= ∑𝐧 ℎ(𝐫 + 𝐋𝐧 ) = 𝐿𝐻𝑆となり、右辺と左辺が一致したので、式(7)は証明された。

第 6 章の参考文献
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第6章

力とポテンシャルの計算（後） 分子間相互作用

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第6章

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207

第6章

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211

第 7 章 エネルギー極小化計算

第 7 章 エネルギー極小化計算
エネルギー極小化計算（構造最適化）
は、分子のポテンシャルエネルギーが極小になる、最適な分子構造を探す作業である。エネルギー極小化は、特に、モデル構
造（第 4 章）の歪みを取り除いて、初期構造を完成させる際に行うことが多い。その際には、第 5，6 章で説明した力（＝エネ
ルギー勾配）を利用する。本章では、エネ
ルギー極小化の一般的な原理と、具体的な方法例を三つほど挙げる。
なお、本章では拘束がない場合のみを説明し、拘束がある場合は、次の第 8 章で扱うことにする。

内容
第7章

エネルギー極小化計算

212

7.1. エネルギー極小化（構造最適化）の原理 .............................. 212
7.2. 最急降下法 ........................................................214
7.3. 共役勾配法 ........................................................215
7.3. 冷却法............................................................ 218
7.4. エネルギー極小化法の実例 ..........................................220
第 7 章のまとめ ......................................................... 221
第 7 章の参考文献 .......................................................221
7.1. エネルギー極小化（構造最適化）の原理
エネルギー極小化（Energy minimization、EM）は、構造最適化（Geometry
optimization）とも呼ばれる。EM は、分子の初期構造（rini と略す）から出発して、ポテンシャルエネルギー U が極小 (local minimum) になる構造（rmin）を探す作業である、と定義できる。N 個の古典粒子系のポテンシャルエネルギーU は、N 個の粒子の座標をまとめて r と書き、x,y,z の区別をなくし、n=3N と定義すると、r1...rn の合計 n個の変数からなる多変数関数である。
𝑈 = 𝑈(𝑟1 . . . . . 𝑟𝑛 )(7.1.1)212

第 7 章 エネルギー極小化計算

つまり、U は n 次元空間の曲面になるが、その曲面をポテンシャルエネルギー曲面（Potential Energy Surface、PES）と呼ぶ。この PES の 1 次勾配（gradient）を次式で定義する。
𝐅(𝐫) = −𝛻𝑈 = (−𝜕𝑈𝜕𝑈,....,− )𝜕𝑟1
𝜕𝑟𝑛

(7.1.2)

これは次章以降で説明する「力」そのものなので、本書では F と表記する

図 7.1. 1 エネルギー極小化の概念（強いて言えば、他の章では、MD での力を f と小文字表記してるのに対し、大文字表記 F で、ちょっとだけニュア
ンスを変えておく）。ただし、一般的には、Gradient の頭文字を取って G と表記することの方が多い。また、式(2)ではマイナス記号がついているが、Gradient は、付いていない形を指すこともあるので、注意。ともあれ、F を使うと、EM とは、ある点
rini=(rini1,……,riniN) から出発して、𝐅(𝐫 𝑚𝑖𝑛 ) = 0(7.1.3)が成り立つような極小点 rmin=(rmin1,……………rminN)を探す手続きである。
EM 法の一般的な概念を図 1 に示す。N 次元空間は描けないか
ら、ここでは 1 次元空間にしてある。PES 自体はいくつもの rmin 図 7.1. 2 初期構を持っているが、通常は、EM により、rini から最も近いものが造の歪み見つかる。極小値の中で最も低い構造は「最小値（Global
minimum）」と呼ぶ（図 1、rgmin）。だが、EM だけでここに達することは難しい。本章では、最小値ではなく極小値を見つける方法に限定して説明する。
EM 法は、広義に「最適化法（optimization）」と総称される計算アルゴリズムであり、数々の手法が存在する（Brooks
et al., 1983, Fletcher, 1987, Schlick, 2002 などに詳しい）。だが、これ以降は、MD の下準備によく使われる、最急降下法（Steepest Descent method, SD）、共役勾配法（Conjugate Gradient method, CG）、冷却法（Quenched Dynamics, QD）の三つのみを紹介するにとどめる。それぞれの方法毎に長所短所があるので、目的によって使い分けたり、あるいは組み合わせて使ったりする。
今日、EM の MD 計算における主たる役割は、初期構造の歪みを取ることである。例213

第 7 章 エネルギー極小化計算

えば、図 2 のように、分子の初期構造で原子が重なりあっているような場合に、いきなり MD を行えば、一瞬のうちに計算が破綻してしまう。このような、MD 開始時における時間積分の破綻を未然に防ぐために、EM が必要になる。経験的には、SD を数 100
ステップ行ってから QD を数 10 ステップも行えば、充分である。一方、精密な極小化構造を得るときには、CG を使うとよい。だが、その場合は、はじめから CG を行うのではなく、SD→QD→CG の順に、計算を行うのが効率的である。
7.2. 最急降下法
最急降下法(SD)とは、エネルギーの一次勾配 F を計算して、単純に、その F の方向に対象原子の座標を動かす方法である。つまりステップ毎に、適切な因子αを計算して、(7.2.1)𝐫 = 𝐫 + 𝛼𝐅というように、座標 r を更新する。この因子αの設定方法で、SD の実装は変わるが、こでは、Van Gunsteren & Karplus (1980)に倣ったアルゴリズムを示す。いきなり、
疑似コードを示すほうが分かりやすいだろう。このコードでは、収束条件は次の二つを設定してある。二つのうち片方さえ満たされれば、計算は打ち切られて終了である。
・ΔUconv：|ΔU|<ΔUconv

前のステップとの差が０に近い

・dRMSconv：|dRMS|<dRMSconv

エネルギー勾配が０に近い

コード 7.2.1 最急降下法によるエネルギー極小化
CALL calfor(F,U)!

エネルギー勾配とエネルギーを計算

Δr = Δrini
DO i = 1, nstep
CALL calfor(F,U)

ΔU = U - Uold
Uold = U
IF (ΔU > 0) THEN

Δr = 1/2 Δr! 低めに再設定

ELSE

Δr = min(Δrmax, 1.2Δr)! 高めに再設定

END IFfRMS=

sqrt(ΣF2)

dRMS=

fRMS/sqrt(n) ! n=3N

IF (|ΔU|<ΔUconv .or. |dRMS|<dRMSconv) THEN
214

第 7 章 エネルギー極小化計算－収束したので計算おわり

－

EXIT
ELSE
－

収束しなかったので、次のステップの準備α－= Δr/fRMS

r = r+ α * F! F により、座標 r を更新

END IF
END DOΔr は一回のステップで個々の原子が移動する距離の二乗和の平方根、𝛥𝑟 = √𝛥𝑟12 +. . . . +𝛥𝑟𝑁2(7.2.1)である。ただし、Δri は、i 番目の座標の移動量。Δr は、初期値はΔrini だが、極小化計算の進み具合によって、自動的に調節される。
コード 1 の DO ループ内では、一回のステップで以下の作業をしている。
・最初に勾配 F とエネルギーU を、次章で説明する MD と同じ式を用いて、計算する。
・IF 構文内でΔr を調節している。この調節法には任意性があるが、一例として、コード 1 では、エネルギーが増加したらΔr を半分にし、減少したら 1.2 倍に再設定している。ただし、長くなりすぎないように、上限（Δrmax）を設定する。
・収束条件が満たされたら、終了。
・満たされなかったら、座標 r を力の働く方向、すなわちエネルギーが下がる方向に動かす。
入力パラメーターは次の三つである。
・nstep：全 EM ステップ数（ただし、収束したら、nstep 以下で打ち切る）
・Δrini：Δr の初期値。
・Δrmax：Δr の上限。
この三つと、最初の収束条件二つ、合計五つのパラメーターの設定加減はケースバ
イケースである。だが、どうせ SD 法は収束しにくいから、まず、SD 法で初期構造の持っている大きなゆがみを取ったら、収束しなくても 100 ステップ程度で打ち切って、CG 法か QD 法に移るといい（7.4 節）。
7.3. 共役勾配法
CG 法は、SD 法と違って、ほぼ確実に極小構造に収束させることがアルゴリズムである。
SD 法は直観的にわかりやすいアルゴリズムで、プログラムも簡単でバグが発生しに215

第 7 章 エネルギー極小化計算

くい。しかし、欠点も多く、たとえば、収束半径が狭い（初期構造のごくごく近傍の極小点にトラップされてしまう）、極小点付近で振動してしまってなかなか収束しな
い、そもそも収束するかどうか数学的に保証されていない、などが知られている。EM
を山下りにたとえて見ると、SD 法は足下だけ見て降りることに相当する。すると、足下の窪みに嵌ったまま抜け出せなかったり、同じところを行ったり来たりする羽目に陥る。周りを見渡しながら、効率的に降りる方法はないものだろうか？

CG 法は、そのような方法のひとつである。
以下で CG 法の手続きを擬似コードで簡単に説明する。収束条件は SD と同様で、
・ΔUconv：|ΔU|<ΔUconv
・dRMSconv：|dRMS|<dRMSconvのどちらかが満たされること、である。
コード 7.3.1 共役勾配法によるエネルギー極小化
CALL calfor(F,U)
H = F

!

エネルギー勾配とエネルギーを計算!

H は探索方向のベクトル、!

最初のステップでは F をそのまま使う

DO i = 1, nstep
CALL linmin(r, H, ε,Xmin, F, U)! 直線探索（Line minimization）。
! r から出発し、H 方向で U が極小になるようなΔr を!

ε の精度で探し、! Δr = Xmin * H!

となるような Xmin を返す。

! r +Δrを使って、F と U を計算し、返す

r = r + Xmin * H! 座標を更新する。

NG! 力（勾配）のノルム= F・F! *** 以下の 4 行は単に収束条件のチェック

ΔU=

U - UoldfRMS=

SQRT(NG)

dRMS=

fRMS/sqrt(n) ! n=3N

IF (|ΔU|<ΔUconv .or. |dRMS|<dRMSconv) EXIT

! 収束したので! 計算おわり!*** 以下では、次のステップでの探索方向を決定するγ= NG/NGold

Hold

= H

Uold

= U
216

第 7 章 エネルギー極小化計算

NGold

= NG

H

= F + γ* Hold

！これが次の探索方向

END DO
まず、初期座標で F を計算し、探索方向 H を F に設定する。次に、H 方向で、関数 Uを極小にする座標を探索し（これを直線探索
minimization－

Line search あるいは Line

– と言う）、r を更新する。ここで、SD の場合と同様にΔU と dRMS を基準にした収束条件を調べ、収束したら打ち切り、そうでなければ次のステップのための探索方向を計算する。
CG 法の味噌は、第 i ステップの探索方向をエネルギー勾配 F そのものではなく、前ステップの情報を用いて作った Hi を使うことである。
(7.3.1)

𝐇𝑖 = 𝐅𝑖 + 𝛾𝐇𝒊−1
ただし、
𝛾=|

𝐹𝑖 2
|
𝐹𝑖−1

(7.3.2)である。
このようにして作った H0,…, Hi, …, Hn は、互いに一次独立であるため、n 次元空間の中で、あらゆる方向をくまなく探索できる。そのため、数値誤差さえなければ、n回以内のステップで、必ず極小点に到達することが数学的にわかっている（Fletcher、 1987、森、1987, Press et al., 2007）。
なお、式(7.3.2)の形のγを使うことを、Fletcher-Reeves の方法と言う。これ以外の形のγを使う場合もあるが、ここでは省略する。
CG 法のホットスポットは、直線探索の部分で、ここで計算時間をかなり消費する。
SD 法のときと同様に、入力パラメーターをまとめる。
・nstep：ステップ数。
・ε：直線探索の精度（単位は、座標と同じ）。
・Δrini：Δr の初期値。第 0 ステップで直線探索を行う場合の、initial guess に使われる。SD の場合と違い、結果に本質的な影響は与えないので擬似コードでは、このパラメーターは省略した。
CG 法の原理は数学的に込み入っているので、中抜きで恐縮だが、方法の外枠だけを載せておく。詳細は、Fletcher (1987)、Press et al. (2007)や引用文献を参照のこと。ポテンシャルエネルギー関数 U の、距離による二次微分要素とする N×N 行列 A を
ヘシアン Hessian と呼ぶ。つまり、A は、要素が
𝐴𝑖𝑗 =

𝜕2 𝑈
𝜕𝑟𝑖 𝜕𝑟𝑗(7.3.3)である行列である。探索ベクトル H は、共役関係
217

第 7 章 エネルギー極小化計算

𝐇𝑖 𝐀𝐇𝑗 = 0(𝑖 ≠ 𝑗)

(7.3.4)を満たすことがわかっている。しかも、実際には A を計算する必要がない（これが重要）。勾配 F は、𝐅𝑖 ∙ 𝐅𝑗 = 0 (𝑖 ≠ 𝑗)

(7.3.5)の直交関係を満たす。なお、𝐅𝑖 ∙ 𝐇𝑗 = 0 (𝑖 ≠ 𝑗)

(7.3.6)という関係も成り立つことがわかっている。
式(6)のようなベクトル H0...Hn を使うと、なぜ探索効率がよくなるのか。方向 Hi に向かって直線探索して来て、その方向での U の極小点を見つけたとする。その点でのエネルギー勾配を Fi とすると、この次の探索方向 Hi＋１は、今までの探索を無駄にしな
い方向にしたい。それは、前ステップの Hi と、勾配の変化δG が直角になるような方向である。
0 = 𝐇𝐢 • 𝛅𝐆 = 𝐇𝐢 𝐀𝛅𝐫(7.3.7)

このようなδr を次の探索方向 Hi+1 に取ればよい。この Hi+1 を探す手続きが、以上で説明した CG 法である。
CG 法は、PES がなめらかならば、確実に、極小構造に収束できる方法である。だが、図 7.1.2 のように極端に歪んだ初期構造を使ったりすると、うまく働かないことがある。その場合は、CG や、類似の高級な EM 方法にこだわる必要はなく、前述のように、SD と QD で MD を開始すればよい。
筆者自身は、高精度のモデル構造を作る際に、MM-MD で構造をアニーリング（次節参照）してから、最後の仕上げとして CG を使うことが多い。得られた構造は、例えば、量子化学計算に掛けたりするのである（Komeiji et al., 2007, Fukuzawa etal., 2015、など）。
7.3. 冷却法
冷却法（QD）とは、「強制的に低い温度で MD を行う」ことを言う。したがって、MD
プログラムさえあれば、SD 法や CG 法と違って、特別に実装する必要はない。定温アルゴリズム（第 10 章）を使って、極低温（0.1-5 K 程度）で MD を行えばよい。定温
アルゴリズムとしては、速度スケーリング法で温度を強制的に抑え込むか、あるいは、Berendsen 法や Nosé-Hoover 法などで熱浴とのカップリングの時定数を短く（数fs とか）設定する。なお、時間ステップを、通常の 1 fs よりも短く、0.1 fs 程度に設定すると、破綻の可能性が下がる。QD により、分子系の構造は、エネルギー極小構造に近づく（Brooks et al., 1983）。

218

第 7 章 エネルギー極小化計算

QD 法でなぜポテンシャルエネルギーが下がるのか、図 1 で説明する。[1] 歪んだ構造を持つ分子系、たとえば二つの原子が重なり合っていたりする場合

図 7.3. 1 QD 法の原理

は、そのポテンシャルが高い状態にある。[2] 力を計算し、そこから速度を計算すれば、当然、[3] 極端な高速になってしまう。そのまま MD をすれば、構造が図 7.1.2 のように破綻してしまうが、[4] その速度をスケールし、[5]小さな値に再設定して、[6] MD を行えば、構造が破綻せず、[7] 少し歪が緩和して、低いポ
テンシャルエネルギー状態に落とすことができる。そして[1]に戻る。つまり、QD のプロセスは、「構造の歪みに蓄えられているポテンシャルエネルギーを、運動エネルギー（＝熱）の形に変え、その熱を奪って（＝冷却して）、構造のポテンシャルエネルギーを下げる」ということである。
筆者の経験では、QD 法は、特に、水溶液中のタンパク質のような巨大系の初期構造の歪みを取るのに適している。筆者はときどき、「SD や CG など、プログラムに実装された EM 方法を片っ端から試したのですが、MD を始めると、すぐ温度が数 100 K に上がって、破綻してしまいます」みたいな相談を受けることがある（第 11.9 節
Q2）。こういう場合は、SD を 100 ステップほど行ってから、QD を 100 ステップも行え
ば、うそのように MD が走るようになる（ことが多いが、保証はしない）。
また、常温の MD でコンフォーメーションをサンプルして、それをエネルギー極小化
して安定構造を出す場合にも QD は有効である。この場合は、温度を徐々に下げてから極低温で QD を行う。このような条件ならば発散する可能性は少ないので、時間刻みは
長くてかまわない。最後に、CG で極小構造に収束させると良い。このように、MD で温度を徐々に下げて極小化することを、一般にアニーリング（annealing、焼きなまし）と呼び、有力な構造最適化手法として広く使われている。
このように、QD は低温での MD だから、MD のための構造最適化に適している。もし、他の極小化が失敗したら、とりあえず QD を試して欲しい。

219

第 7 章 エネルギー極小化計算

7.4. エネルギー極小化法の実例
以上、EM 計算の方
法を三つ紹介し、それぞれの特徴を説明

図 7.4.2 EM の実例。PEACH 8.5 で計算し、Chimera 1.1 で表示。

した。ここでは、溶媒中のタンパク質・核酸複合体（付録 3A4で利用した分子系）
を例に、SD/CG/QD を比べてみる。
まず、モデリングで作った初期構造をSD で 100 ステップだ
け緩和させる（図1A）。このグラフ A
は、それに続く B に比べて、縦軸が 104 倍であることに注意。
それは、初期構造が持つ歪が大きいからであるが、こういう歪は、普通は局所的なもので、この例でも、SD を 10 ステップ
行っただけで、大きい歪みは取れてしまっている。なお、データは示さないが、図 1Aの SD による構造緩和をしないで、いきなり CG や QD を行うと、計算が破綻して、それ以上進まなくなる。
次に、SD 100 ステップで緩和させた構造を初期構造にして、図 1B で、SD/CG/QD を比較してみた。
CG は、SD に比べると、短いステップ数で収束に向かっている。ただし、CG は 1 ス
テップ毎に直線探索を行うので、エネルギーと勾配の計算が余計にかかる。この例では、CG に比べて、1 ステップあたり、4.5 倍ほど、計算時間が掛かっている。
QD は、この例では、SD と CG の中間程度である。ただし、QD は、極低温 MD だから、やり方には任意性がある。ここでは、0.25 fs の時間刻み、10 K の温度、定温ア
ルゴリズムは速度スケーリングで行った。だが、もし、系が不安定なら時間刻みをも220

第 7 章 エネルギー極小化計算

っと短く、0.1 fs とかに設定し、温度もさらに低く設定することもある。
ともあれ、ここで、三つの方法の優劣を問うつもりはない。むしろ、それぞれの特徴を考慮して MD 初期の失敗を防ぐことができればそれでよい。筆者の推奨プロトコー
ルは以下の通り：[1] まずは SD で大きな歪みを取り、[2] （オプショナル）CG でさらにエネルギーを下げ[3] 最後に、MD の開始を兼ねて QD を掛ける。
なお、MD の開始ではなく、最適化構造を得るのが目的ならば、すでに述べたように、SD→QD→CG の順番に極小化を実行するのが良い。
第 7 章のまとめ
以上、第 7 章では、分子構造の最適化手法である、EM 法を解説した。通常、MD 計算に先立って EM 計算を行い、初期構造の持つ歪を取ることが必要である。ここでは、系に拘束がない場合を説明したが、拘束がある場合（たとえば結合長の拘束）の方法
は、次章で示す。
本章では、SD、CG、QD の三つの方法を説明したが、それ以外にも、数多くの EM 法が開発されていて、あちこちの MD パッケージに導入されている。ここで挙げた以外の方法に関しては、適宜、ソフトのマニュアルやチュートリアルを参照されたし。

第 7 章の参考文献
森正武 (1987), FORTRAN77 数値計算プログラミング

増補版、岩波.

Brooks, B. R., Bruccoleri, R. E., Olafson, B. D., States, D. J., Swaminathan,S., Karplus, M. (1983), J. Comp. Chem. 4, 187-217.
DOI:10.1002/JCC.540040211.

CHARMM: A program for macromoleculear

energy, minimization, and dynamics calculations.
Fletcher, R. (1987), Practical methods of optimization, 2nd ed.

John Wiley &Sons, West Sussex.
Fukuzawa, K., Kurisaki, I., Watanabe, C., Okiyama, Y., Mochizuki, Y., Tanaka,S., Komeiji, Y. (2015), Comput. Theor. Chem. 1054, 29-37.
DOI:10.1016/j.comptc.2014.11.020. Explicit solvation modulates intraand inter-molecular interactions within DNA: electronic aspects
revealed by the ab initio fragment molecular orbital (FMO) method.
Komeiji, Y., Ishida, T., Fedorov, D. G., Kitaura, K. (2007), J. Comput. Chem.
221

第 7 章 エネルギー極小化計算

28, 1750-1762. DOI: 10.1002/jcc.20686.

Change in a protein's

electronic structure induced by an explicit solvent: an ab initio
Fragment Molecular Orbital (FMO) study of ubiquitin.
Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., Flannery, B. P. (2007),
Numerical Recipes 3rd Edition: The Art of Scientific Computing, Third
Edition, Cambridge Univ. Press, Cambridge.
Schlick, T. (2002), Molecular modeling and simulation – an introductory
guide, Springer, N. Y.
Van Gunsteren, W. F., Karplus, M. (1980), J. Comput. Chem., 1, 266-274.
DOI:10.1002/jcc.540010308.

A method for constrained energy

minimization of macromolecules.

222

第8章

第8章

拘束と束縛

拘束と束縛

この第 8 章では、MD の周辺機能の、拘束と束縛について説明する。拘束と束縛は、どちらも計算対象分子の構造や動きになんらかの制限を掛けることである。
MD およびエネルギー極小化計算での、拘束と束縛の用途は様々である。拘束や束縛の対象となる物理量は、原子の座標、原子間距離や角度、温度、などである。これらの量に制限を掛けることで、モデリング、計算時間の短縮、アンサンブルの生成、自由エネルギー計算などを行うわけである。以下では、いくつかの例について、拘束と束縛の方法を紹介する。
それに先立って、拘束と切っても切れない関係の自由度を説明する。

内容
第8章

拘束と束縛

223

8.1. 自由度............................................................ 224
8.2. 部分構造の拘束 ....................................................229
8.3. 部分構造の束縛 ....................................................230
8.4. 重心の並進運動の拘束 ..............................................230
8.5. 回転運動の凍結（拘束） ............................................232
8.6. 原子間距離の拘束（分子動力学法）: SHAKE/RATTLE 法 ..................234
8.7. 原子間距離の拘束（エネルギー極小化） .............................. 243
8.8. 任意の原子間距離の拘束と束縛 ......................................251
第 8 章のまとめ ......................................................... 251
付録 8A1. 溶質構造の束縛と拘束の溶媒への影響 ............................ 251
付録 8A2. 定温アルゴリズムでの重心の運動量 .............................. 255
第 8 章の参考文献 .......................................................255

223

第8章

拘束と束縛

8.1. 自由度
本書では、「拘束」と「束縛」の二つを次のように区別する。「拘束図 8.1. 1 拘束と束縛の区別(constraint)」とは、分子系のある量を一定値に固定してしまうことを言う。一方、「束縛(restraint)」は、これらの量を平均的にある値になるように、なめら
かなポテンシャルで調節するが、固定はせず揺らぎの余地を残すことを言う。例
として、二つの質点間の距離 r を値 dに、拘束することと、束縛することの違いを図示してみた（図 1）。
拘束により、自由度(degree of
freedom、記号は Nf または g）は減るが、束縛では減らない。そのせいで、拘束は理論、実装、応用でいろいろ注意が必要になるが、束縛はそれほど面倒は生じない。なお、上記の拘束と束縛の用語の区別は、本書で便宜的に作った約束事なので、おそらく他の論文や書籍では通用しないので注意。本書の constraint を"hard constraint"または"fixation（固定）"、restraint
を"soft constraint"と呼んでいる文献もある。
本節では、自由度という概念を掘り下げて説明しておく。自由度は、次式でわかる
ように、
𝑇=

𝑝𝑖2
2
〈∑𝑁
〉
𝑖=1
𝑁𝑓 𝑘𝐵
2𝑚𝑖

(8.1.1)

温度 T の計算に必要で、したがって、第 10 章で様々なアンサンブルの MD アルゴリズ
ムを作成するのに重要である。もう一つ、並進の自由度を凍結する意味もここで議論したい。
自由度の定義には、二つの流儀がある（Wikipedia の「自由度」と「等分配則」を参考にした1）。
定義 A（力学的）：系を構成する全質点の座標のうち、独立に決定できるものの数の

1

筆者の手元の力学や統計力学の教科書を調べたところ、「自由度」の定義はざっくりとしたものばかり。そもそも、「自由度」が索引に載ってないものが大半だったりして。「自由度」って、そんなに自明の概念なのかなあ、と疑問に思ってしまう。調べた中では、Wikipedia が一番詳しかったりする。

224

第8章

拘束と束縛

ことを自由度と呼ぶ。より詳細には、系の一般化座標と一般化運動量の対の数を自由度と呼ぶ。
定義 B（熱力学的）：熱平衡状態において時間平均 kBT/2 の運動エネルギーが分配される数のことを自由度と呼ぶ。
量子力学ではなく、古典力学の範囲なら両者は一致するはずではある。だが、それとは別の問題として、運動量が保存する場合、拘束として扱うべきなのかどうなのか？

さらに、第 10 章で紹介する MD のアンサンブルでの自由度となると、温度制御のため速度に拘束掛けたり、熱浴をくっつけてみたりするので、自由度の定義があや
ふやになる。特に、温度拘束法や Nosé 法で見るように、自由度とは、定義 A や B よりも、「カノニカルアンサンブルが実現する、つまり位相空間分布関数が e-βE になるよ
うに設定するパラメーター」と考えるべき場合もある。いろいろ考えてみると、筆者には、自由度とは、さほど自明な概念には思えないのである。
ともあれ、N 体系の自由度を、定義 A,B に基づいて、いくつかの拘束条件の下で調べてみる。なお、以下で「外力」とは、質点間相互作用以外の力を指す。
まずは、以下の[1]-[3]で、質点座標 r に拘束条件が掛かる場合を考える。
[1] 拘束がなく、外力がある場合（図 2A)：

Nf = 3N(8.1.2)

N 個の質点それぞれに、x,y,z 座標があるから、それに図 8.1. 2 質点座標の拘束３を掛けて 3N である。系に外力が掛かっている場合( ∑𝑁
𝑖=0 𝐟𝑖 ≠ 0)はこれで問題ないが、外力が掛かっていない場合は[6]の議論を参照。
[2] 質点 1 個を固定（拘束）した場合（図 2B）：

Nf = 3N-3(8.1.3)

質点１つ固定すると、x,y,z の３座標分だけ自由度が減る。固定する質点が M 個ならば、Nf = 3N-3M=3(N-M)になる。これは、系の一部だけを MD で動かす場合に使う。
[3] 二つの質点間距離を拘束した場合（図 2C）：

Nf = 3N -1(8.1.4)２個の質点 ij の自由度は 2x3=6 であるが、ij 間の距離が固定されていると、片方の質点の x,y,z 座標を決めると、もう一つの質点は、x,y,z 座標のうち 2 つまでは自由
225

第8章

拘束と束縛

に選べるが、最後の１個の座標の値は、自動的に決まってしまう。つまり、自由には
決められない。というわけで、距離を１つ拘束すれば、自由度が 1 つ減る。あるいは、定義 B に照らし合わせて、図の棒の部分は伸縮しないから、1/2 kBT の運動エネル
ギーを分配できない。だから、その分、自由度が減る、と考えてもいい。拘束される
質点対が Nc 組あれば、Nf=3N-Nc になる。あとで見るように、原子間距離は、共有結合の長さを拘束するために、使われる。
次の[4]は、速度が拘束される例である。[1]-[3]のような座標 r だけに関するホロ
ノーム型拘束条件は扱いが簡単である。しかし、速度ｖ、つまり運動量 p まで拘束条件に入ってくる非ホロノーム型拘束条件は、一般的な扱いが難しい（小出、2017、Goldstein et al.、2002）。だが、それをここで深く追求するとドツボにはまりそうなので、以下は、できるだけ直感的にわかる話で済ませることにする。
[4] 温度を拘束した場合：

Nf = 3N-1(8.1.5)

拘束される物理量が温度 1 つだから、自由度が 1 つ減る、という考え方で充分だろう（能勢、1988）。だが、一応、真面目に議論しておく。温度が一定の値に拘束される、つまり、運動エネルギーが一定の値ということなので、それを定数 EK とおけば、
𝐸𝐾 = ∑𝑁
𝑖=1

𝑝𝑖2
2𝑚𝑖

(8.1.6)が拘束条件である。この系の速度の成分は、N 個の質点それぞれに x,y,z の 3 成分があるから、3N 個ある。このうち、3N-1 個は自由に値が取れるが、最後の 1 個の値は拘束式(6)により、自動的に値が決まってしまう。つまり、自由ではないので、結局、1だけ自由度が減ることになる。
このように速度に拘束が掛かり、それも特定の質点ではない場合、自由度の定義 B
でどこにエネルギーが分配されるか、と考えてもイメージが湧かない。座標に拘束が掛かるときは、「この原子は固定されてる（図 1B)」とか「この棒は固くて伸縮しない（図 1C）」とかというように、運動エネルギーが分配されないことのイメージが湧きやすい。だが、式(6)の条件でそれぞれの速度に拘束をかけても、すべての質点は動いているから運動エネルギーは持っているのである。と考えると、速度拘束が絡んでる場合は、自由度の定義は A の方が分かりやすいようだ。
拘束条件(6)を満たしつつ時間積分する MD アルゴリズムは、10.2.1 節の速度スケー
リング法と 10.2.2 節の温度拘束法で紹介するが、どちらでも自由度を１だけ減らしている。速度スケーリング法では天下り的に Nf=3N-1 にしたのだが、温度拘束法では、
カノニカルアンサンブルを実現する条件を探したら、Nf=3N-1 になった、という次第である(10.5.2 節)。アルゴリズムによっては、自由度を別の値にする必要も出てくる可
226

第8章

拘束と束縛

能性がある。
さて、これ以降は、系の運動を、重心運動（並進運動）と、重心系の相対運動に分離して、解析する。実は、重心運動の扱いは、第 10 章での定温 MD を扱うとき

図 8.1.3

重心運動の分離（図 2.4.1 再）に、メンドクサイ問題として登場するから、あらかじめ、この章である程度は整理しておこう、ということ。
重心運動と相対運動については、すでに、2.1 節と2.5 節で変数の定義と基本的な関係式は説明してあるので、ここでは、それをそのまま使う。図 3 のように、質点 i について、実験室系の位置座標を ri、運動量を pi、掛かる力を fi、一方、rG を原点にした重心系の位置座標
を r'i、運動量を p'i 、力を f'i と書いて解析する。変数を(ri,pi,fi)から(r'i,p'i,f'i,rG,pG,fG)へと変換すると
𝐩̇ 𝐺 = 𝐟𝐺(8.1.7)重心の運動方程式

𝐩̇ 𝑖 = 𝐟𝑖′(8.1.8)

質点 i の運動方程式、ただし、

𝐟𝐺 = ∑𝑁
𝑖=1 𝐟𝑖(8.1.9) 重心に掛かる力＝全質点への力の和

𝐟𝑖′ = 𝐟𝑖 −

𝑚𝑖
𝐟
𝑚𝐺 𝐺

(8.1.10)重心系で質点 i に掛かる力

さらに次の関係が成り立つ。
′∑𝑁
𝑖=1 𝐩𝑖 = 0(8.1.11a)′∑𝑁
𝑖=1 𝐟𝑖 = 0(8.1.11b)つまり、重心系では、運動量も力も、質点全部に

図 8.1. 4 重心運動

ついて足せば０になる。
以上を頭に入れて、重心に注目して、N 体系の自由度を考えてみる。
[5] 外力がある場合（図 4A):

Nf=3N

(8.1.12)

外力 fG があるので、[1]と同一条件であるが、ここでは、重心系で議論してみる。重心座標 rG と質点の重心系での座標 r'i,i=1,N が変数になるから、
一見、自由度が 3(N+1)になってしまうような錯覚に襲われてしまう。もちろん、そんなことはない。というのは、r'i には、式(11c)という拘束条件(x,y,z があるから三つ）が付いているから、その分、3 だけ自由度が減って、結局 3N になるからである。この場合、重
227

第8章

拘束と束縛

心は外力による運動方程式(7)に従って運動する。
一つ大事なポイントを挙げる。重心の運動方程式(7)を解く場合、N 個の質点の運動方程式(8)のうち任意の 1 つは不要になる、つまり N-1 個で事足りる。それは、重心の座標と運動量が決まっている場合、N-1 個の座標と運動量が決まれば、残りの 1 つは自動的に決まってしまうからで、扱いが面倒になる。だが、ここで紹介した全体の重心と質点の相対座標ではなく、10 章で紹介するヤコビ座標を使えば、重心１個と質点

N-1 の合計 N 個の運動方程式に変換でき、問題はなくなる。ヤコビ座標は、非ハミル
トニアン系のアンサンブルの議論のときに、活躍する。
[6] 外力がない場合（図 4B)
周期境界：

Nf=3N-3(8.1.13)

孤立（非周期）境界：

Nf=3N-6(8.1.14)

これは、ごく普通の孤立した質点系にも関わらず、解釈が難しいケース。外力 fG が0
ないならば(∑𝑁
𝑖=0 𝐟𝑖 = 0）、重心は初期運動量 pG のまま等速直線運動を行う。

𝐩𝐺 = 𝐩0𝐺(8.1.15)

これは変化しない、一定値であるから、「自由に変わりうる変数」ではない。だから、重心の xyz 成分三つの分だけ、3 つ自由度が減る。また、角運動量は、周期境界では保存されないが（付録 6A2）、非周期境界では保存量だから、初期値 LG0 のまま回転し続ける。よって、(15)に加えて
𝐋𝐺 = 𝐋0𝐺(8.1.16)という拘束条件も付くから、孤立境界では、回転３の自由度が減る（N>2 の場合）。
熱力学的定義Ｂによると、熱平衡状態において時間平均 1/2 kBT の運動エネルギーが分配される数、が自由度である。だが、そもそもこの状態は熱平衡と呼べるのだろうか？

実験室系から見ると、一定の角運動量で回転しながら、一定の重心速度で運動する質点群である。こんな錐もみしながら飛んでいくロケットみたいな物質系は、「マクロに見れば全く変化のない状態」という熱平衡の定義から外れると考える。
とすると、MD では、重心運動を完全に凍結した、pG=0 の条件で行うのが基本的な選択と判断する。非周期の孤立境界なら、さらに角運動量 LG=0 も課すのが良いだろう。
重心速度と角運動量の凍結については、8.4 節と 8.5 節で方法を示すとともに、さらに掘り下げて議論する。
自由度についていろいろ書いたけれど、結局、普通の MD、つまり、「物質の構成原
子間の内部相互作用で運動し、質点間距離などの拘束条件が Nc 個ある質点系を、重心を固定してシミュレーションする場合」、その自由度は、
𝑁𝑓 = 3(𝑁 − 1) − 𝑁𝑐

(8.1.17)であると結論できる。もちろん、第 10 章で紹介するアンサンブルのアルゴリズムによ
228

第8章

拘束と束縛

って増減するけれど、式(17)は、MD でのデフォルトの自由度だと考えてよい。なお、
角運動量を０にすると、さらに 3 だけ自由度が減るが、周期境界条件では凍結する必要はない（8.5 節参照）。
以上の議論に基づいて、以下で、様々な拘束と束縛法を紹介する。
8.2. 部分構造の拘束
MD や EM で分子系の一部の座標を拘束、つまり完全に固定してしまうことがある。
ソフトウェア AMBER では、この方法をベリー法と呼ぶ（Belly method, Brown & Kollman, 1987）2。

図 8.2. 1 ベリー法。点線内

8.2 節[2]で説明した通り、自由度は 3x[固定したの原子（ベリー）のみを動かし、残りは固定する。

原子数]だけ減る。EM で使う場合には、部分構造最適化（Partial geometry optimization）などと呼ばれる。
ベリー法は、今と比べてはるかに計算機が非力だ
った 20 世紀には、標準的な方法だった。たとえば、酵素＋基質複合体の反応中心の回りに水をかぶせて、中心から特定の半径の原子だけ動かして MD シミュレーションしたりしていた（図 1)。特に、1980 年
代から 1990 年代前半ぐらいまでのタンパク質―基質複合体の自由エネルギー計算では、ベリー法がよく使われていた。
元来、ベリー法は、計算時間を短縮するために開発されたのであるが、今日の古典
MM-MD では、少なくともその目的では、ほとんど使われない。というのは、自由度を拘束してしまうことによるアーチファクトが大きく、得られるダイナミクスの信頼性が下がってしまうからである。計算機の性能が低かった時代はともかく、現代では、信頼性の低い方法で速く計算したところで意味がないわけだ。ただし、MM 計算ではな
く、量子化学的な ab initio MD/EM ならば、今でも部分構造最適化を行うことがある（Tsukamoto et al., 2012、など）。
それでは、今日、MM-MD/EM 法でベリー法などの部分構造最適化計算はどんな場合に使われるのか、と言うと、MD の本計算に先立つ分子モデリングの段階が多い。たとえば、PDB ファイルに重い原子の座標しかない場合は、水素を発生させたあと、まず水素だけを EM 計算で最適化する。さらに、本計算に先立って、溶質は固定して、溶媒水

2

可動部をベリーダンス（腹踊り）に見立てたことが語源らしいが、未確認。また、AMBER 以

外のソフトでどう呼んでいるかも、筆者は知らない。

229

第8章

拘束と束縛

やイオンのみベリー法で MD を行って最適化したりする。だが、完全に拘束してしまう
よりも、次節の方法で、構造に柔らかい束縛を掛けるだけのほうが多いようだ。な
お、溶質の拘束や束縛の溶媒への影響の解析例を、付録 8A1 に挙げておいたので、ご興味のある向きは、一読されたし。
8.3. 部分構造の束縛
前節では分子系の一部の原子座標を完全に固定してしまったが、一方、柔らかいポテンシャルを掛図 8.3. 1 部分構造最適化の例：溶媒構造の最適化

けてゆるく束縛することもある。
次式の調和ポテンシャルを使うときは、Harmonic restraint と呼ばれる。
𝑈 = 𝐾(𝐫𝑖 − 𝐫𝑖0 )2(8.3.1)

ここで、K は力の定数、ri は束縛する原子 i の座標、r0i は参照する
位置座標である。通常、r0i は riの初期値（入力値）をそのまま使う。K は、利用している力場の共有結合の力の定数よりも有意に小さい値（3 桁ぐらい）を使うことが多いが（1 kcal/mol/Å2 程度）、特に決まりがあるわけではない。
また、K の値をだんだん小さくして行って、最後に０にする、つまり束縛をなくす、ということもよくなされる。逆に、前節の拘束法は、K→∞の極限とも言える。だが、拘束法では自由度は減るが、束縛法では K は有限の値だから自由度は減らない点が、本質的に違う。
部分構造の束縛も、前節の拘束と同様に、MD の本計算に先立つモデリングや昇温で、頻繁に用いられる。図 1 に、溶質（タンパク質や核酸など）の構造を拘束(A)、または束縛(B)して、周囲の溶媒を最適化するスキームを模式的に示した。この図のような計算は、溶質構造を保つのが大事な場合、本計算に先立って行われることが多い。
これは前処理だから、拘束と束縛は適宜使い分ければよく、どちらが良い悪い、ということはない。
8.4. 重心の並進運動の拘束
すでに 8.1 節[5][6]で概略を説明したように、MD においては、対象分子系の重心の
230

第8章

拘束と束縛

並進運動を凍結する、つまり、重心の運動量（全質点の運動量の和）pG を値 0 にする
ことが多い。その場合、自由度は３つ減って Nf=3N-3 になる。本節では、重心運動凍結の具体的な方法と意義を説明する。
方法と言っても、大したことはない。疑似コードの通り、初期速度発生後と、時間積分の各ステップの終わりに、重心速度を凍結するためのサブルーチン（cenfix）を呼んでいる。cenfix の中では、質点の速度 vi と質量 mi の和から重心速度 vG を計算
し、vi-vG を新たに vi に設定している。
初期速度の重心運動を凍結するのは当たり前として、時間積分で毎回凍結する必要はあるのか、という疑問は当然と思う。原理的に重心速度が毎回変わるアルゴリズムはともかく、定エネルギーMD や多くの定温 MD では重心速度は初期設定で０にすれば０のままのはずだからである（付録 8A2）。だが、筆者は、通常の MD では、ステップ毎に凍結することにしている。というのは、時間積分法や力の計算法は必ず誤差を含んでおり、それが積もって重心が動くようになってしまう可能性があるからである。
コード 8.4.1. 重心の並進運動の凍結
CALL cenfix!

初期速度の重心速度凍結!

ステップの終わりに重心速度凍結

DO i = 1, nstep...時間積分
CALL cenfix
END DO....
SUBROUTINE cenfix
vg(:) = SUM(m(i)*v(:,i),i=1,N)/mg! 重心速度の計算

DO i = 1, Nv(:,i) = v(:,i)-vg(:)! 質点速度の補正

END DOEND SUBROUTINE cenfix
さて、重心運動を凍結する理由は、8.1 節[5][6]で概略を述べたが、ここでは、もう少し詳しく説明する。重心運動を凍結しなかったら何が起こるか考えてみよう。
定エネルギーMD（NVE-MD、第 10 章）の場合、系の重心が等速直線運動をする(8.1
節[5])。孤立系ならば、質点の塊が飛んでいくだろうし（図 1A）、周期系ならば、重心速度に沿った流れができてしまうだろう(図 1B)。これらは、普通の MD の場合は、避けたいアーチファクトである。それに、もし質点の速度分布を調べたら、正確なマ
クスウェル＝ボルツマン分布から外れて、重心速度の方向にピークが移動し、x,y,z方向で形が変わることなる（図 1C）。つまり、難しく言えば「空間の対称性が破れ
231

第8章

拘束と束縛

て」しまう。これも、単に「分子の熱平衡状態での構造や動きを調べたい」という目的のためには不都合だろう。
一方、定温 MD（NVT-MD、第10 章）の場合も、普通は重心を凍結すべきである。この場

図 8.4.1 NVE-MD で、重心運動があると起こるアーチファクトの例

合、重心の運動量は保存量ではないので、時々刻々変化する（8.1 節[6]、付録 8A2)。ア
ルゴリズムによっては、重心運動を凍結しないと、欲しい
アンサンブルが得られなくなる（詳細は第 10 章）。
また、液滴や殻型の水モデルを使って分子に束縛を掛ける場合（4.4 節）、作用反作用の法則が不成立だから、外力が掛かったのと同じ状況になり（図 8.1.4A）、運動量が保存せず変化する。運動量が変化すると何が起こるか、というと、“Flying ice cube
“問題が生ずることがある（Harvey et al.,1998）。これは、重心の並進運動と回転運動（次節）だけがどんどん加速し、一方、内部運動は低下してしまう現象である。冷たい氷の塊が、ふら図 8.4.2 Flying ice
cube。氷塊が空間をさまよう。

つき回るのをイメージするとよい（図 2)。この現象
は、アルゴリズムや計算対象、初期条件などにより起きたり起きなかったりするが、いずれにせよ、重心運動（および場合によっては回転運動も）凍結すれば、避けることができる。
このように、MD 計算で分子の熱平衡状態での構造、動き、物理量を調べたい場合
は、重心運動を凍結しまうのがよい。もちろん、以上の問題点を理解したうえで、別の目的のために重心運動を自由にするのであれば、それはそれで構わない。
8.5. 回転運動の凍結（拘束）重心運動に続いて、今度は回転運動を凍結、つまり角運動量を 0 にする方法を説明する。回転運動の凍結は次の手順で行う：(1)分子系全体の角運動量ベクトル L を求
232

第8章

拘束と束縛

め、(2) L を使って、分子系を剛体とみなした場合の角速度ベクトルωを出し、(3)ωから個々の原子速度のうち回転運動に起因する分 ui を求めて、(4) その ui を質点の速度 vi から引く。
まず、系全体の角運動量 L は、MD の各ステップで、個々の原子の座標 ri と速度 vi から、次式で計算する（2.3 節参照）。
𝐋 = ∑𝑁𝑖=1 𝑚𝑖 𝐫𝑖 × 𝐯𝑖

(8.5.1）（2.3.8 再）

また、一般に剛体の角速度ベクトルをωとすると、質点（MD では原子）i の速度 ui
は、ωと位置ベクトル ri の外積で表すことができる。
(8.5.2)𝐮𝑖 = 𝛚 × 𝐫𝑖

MD の対象分子系は剛体ではないが、これを剛体とみなした場合は、個々の原子の速度
ui は、式(1)で vi を ui に置き換えた、次式を満たす。
𝐋 = ∑𝑁𝑖=1 𝑚𝑖 𝐫𝑖 × 𝐮𝑖

(8.5.3)

これに式(2)を代入し、整理すると、以下のようにωを未知数とした連立一次方程式になる。
(8.5.4)

𝐋 = 𝐈𝛚

ただし、I は、次の形の 3x3 行列である（慣性テンソル）。
∑ 𝑚𝑖 (𝑦𝑖2 + 𝑧𝑖2 )𝐈 = [ − ∑ 𝑚𝑖 𝑥𝑖 𝑦𝑖− ∑ 𝑚𝑖 𝑥𝑖 𝑧𝑖− ∑ 𝑚𝑖 𝑥𝑖 𝑦𝑖∑ 𝑚𝑖 (𝑥𝑖2 + 𝑧𝑖2 )− ∑ 𝑚𝑖 𝑥𝑖 𝑧𝑖− ∑ 𝑚𝑖 𝑦𝑖 𝑧𝑖 ]− ∑ 𝑚𝑖 𝑦𝑖 𝑧𝑖∑ 𝑚𝑖 (𝑦𝑖2 + 𝑥𝑖2 )(8.5.5)式(4)の L は式(1)より、I は式(5)より既知、つまり MD の結果から得られているので、ωは連立一次方程式(4)を解いて求めることができる。そのωを式(2)に代入すれば、剛体とみなしたときの回転運動の速度 ui が得られる。速度 vi から ui を引いて′

𝐯𝑖 = 𝐯𝑖 − 𝐮𝑖

(8.5.6)

回転運動を除いた速度 v'i’を求める。
回転運動を凍結した場合は、自由度 Nf は３だけ減る3。通常、回転運動の凍結は、重心運動の凍結と合わせて行うので、合計で 6 だけ減ることになる。
なお、回転運動を凍結すべきか否かは、境界条件により異なる。
非周期境界ならば、回転も凍結したほうが良い。前節で述べた、Flying ice cube
問題を防ぐためである。
一方、周期境界では、回転、つまり角運動量は、おそらく凍結しない方が良い。というのは、NVT-MD や NTP-MD はもちろん、NVE-MD でも、周期境界では角運動量は保存

3N=2 の場合、および N>2 でもすべての運動が平面に拘束されている場合は、自由度は２だけしか減らない。しかし、通常 MD 計算は 3 次元に広がった、多数の質点に対して行うから、「MD
では、回転を凍結したら自由度は-3」と思って差し支えない。

233

第8章

拘束と束縛

量ではないので（付録 6A2）、角運動量を 0 に固定すること自体が、アーチファクトを生む可能性があるからである。それに加えて、特に溶液の MD の場合、基本ボックス
から原子/分子がはみ出た場合は、ボックスの中に入るように、移動させる（イメージ
ング、第 4.4 節の図 4.4.8 参照)が、その場合、平行移動だから、系の運動量はまった
く変化しないが、角運動量は、大きく、しかも不連続に変わってしまう。イメージン
グは、溶液系では、MD のステップ毎に起こるのが普通である。それに応じて角運動量が変化する度に０に再設定していたらば、分子系に人工的な揺動が、ほぼ全ステップ
で加わってしまうことになる。力や速度の時間的・空間的な「不連続な変化」は、な
めらかさを貴ぶ MD 計算にとって、最大の敵であり、避けなければならない。よって、周期境界では、特に理由がない限りは、角運動量の凍結はしないほうが良い。
この節のまとめとして、非周期境界では重心と回転を凍結、周期境界では重心のみ凍結で回転は自由4、というのが MD の標準プロトコールだと、筆者は思う（他の研究者がどう考えているかは知らない）。
8.6. 原子間距離の拘束（分子動力学法）: SHAKE/RATTLE 法
MD 計算を行う際に、共有結合している原子間の距離を、一定の値に拘束することがある。これを距離拘束と呼ぶ。距離拘束を説明するために、有機分子の MD 計算で使われる分子モデルを、エタノールを例に、共有結合の扱いに焦点をおいて示してみた（図 1）。共有拘束長を拘束せず、5.2 節で紹介した調和ポテンシャル、または類似の柔らかいポテンシャルで近似した場合は、図 1A のモデルになる。このモデルで計算する場合、時間刻み幅 h は、一番速い水素の伸縮振動（10 fs 程度）に合わせて、0.10.5 fs 程度に取る必要がる。一方、共有結合を全て一定値に拘束すると図 1C になり、h は 1.0-2.0 fs 程度にまで長くとれる。その中間として、水素が関わっている共有結合5だけを拘束する、図 1B のモデルでは、0.5-1.0 fs 程度になる。なお、拘束を圧力一定の方法にまで応用するアルゴリズムもいくつか開発されているが（Martyna
et al., 1996, Shinoda & Mikami, 2003 など）、本書では省略する。
図 1B,C のように分子の共有結合の全てまたは一部を拘束する方法を、総称して拘束
動力学法 (Constraint dynamics)と呼ぶが、拘束動力学の運動方程式は、一般的に以下のように書ける。
𝑑 2 𝐫𝒊= 𝐟𝑖 + 𝐆𝒊 , 𝑖 = 1, … , 𝑁
𝑑𝑡 2(8.6.1)

4

ただし、初期速度から角運動量を抜いておくのは、問題ない。

5

いわゆる「水素結合」ではないので注意。水素結合とは、「H と、共有結合をしていない他の原子との間に生ずる相互作用」を指し、MD では「非共有結合力」に分類される。

234

第8章

ここで、fi は原子 i に掛かる通常の力（ポテンシ
ャルの勾配）だが、これ以外に、拘束条件を満たすための拘束力 Gi が掛かっている。この拘束力は、伸びない紐の張力

拘束と束縛

図 8.6. 1 共有結合の拘束。CH3CH20H（エタノール分子）を例に取って、図示。下部の h は、これらのモデルを使ったときの、標準的な時間ステップを示す。ばねは調和ポテンシャルで結合力を近似している
ことを、棒は共有結合力の長さを一定の値に拘束することを、それぞれ示している。

や、凹まない机の垂直抗力のように、仕事をしない力である。つまり、変位に対して常に直角に働く。
MD での運動方程式(1)の解き方は、二種類に大別される（Rapaport,
1995）。
一つは行列法(Matrix
method)で、まともに拘束条件を入れた連立運動
方程式を立てて解く方法である。多次元の行列演算必要になる。本書では省略する
が、行列法としては、Hess et al. (1997) や Yoneya et al. (2001) などがある。特に前者のアルゴリズムは LINCS と呼ばれて、生体分子シミュレーションソフト
GROMACS に導入されて頻繁に使われている。
もう一つは緩和法 (Relaxation method)で、時間刻み毎に、まず拘束力の入らない形で運動方程式を解き、ついで拘束を満たすように座標と速度を修正する。この場合は、何回かの繰り返し計算が必要となる。本書では、代表的な緩和法で、生体分子や有機分子で広く使われている、SHAKE/RATTLE 法を中心に解説する。
[1] SHALE/RATTLE 法の概略
SHAKE/RATTLE 法では、第 3 章で紹介した速度ヴェルレ法の枠組みの中で、座標と速度を拘束する。Ryckaert et al. (1977) が座標の拘束法を SHAKE と名付けて発表した
あと、それを Anderson (1983) が速度まで拘束するように改良し RATTLE と名付けた
ため、両法を併記して SHAKE/RATTLE と呼ぶようになった。ただし、長いので、本書では、座標の拘束を SHAKE、速度の拘束を RATTLE と呼ぶことにする。以下では Andersen(1983) の論文と Rapaport (1995) の教科書を参考にして、SHAKE/RATTLE 法を説明す
る。
235

第8章

拘束と束縛

拘束を使った MD、つまり拘束動力学において、質点（原子）ij 間の距離を拘束するとしよう。このような拘束原子ペアの数を Nc 個とする。座標に関する拘束条件は(2)式で与える。
(8.6.2)|𝐫𝑖𝑗 | = 𝑑𝑖𝑗

これを時間で微分した式(3)が、速度に関する拘束条件である。
(8.6.3)𝐫𝑖𝑗 • 𝐯𝑖𝑗 = 0

式(3)は、ij 間距離を一定値に拘束した場合、相対速度 vij と相対座標 rij が直交する
ことを示している（図 2)。
式(2)(3)を満たしながら MD を実行するために、その精度を指定する必要がある。指定方法は、いくつか考えられるが6、例えば、座標の条件(2）については、実際の rijと拘束距離 dij の誤差の最大値がε以内、という条件を課すことが多い。つまり、|𝑟𝑖𝑗 − 𝑑𝑖𝑗 | < 𝜀(8.6.4)が、Nc 個すべての拘束原子対 ij について成り立つよう図 8.6. 2 距離拘束
すると相対座標と相対速度は直交する。

に座標を補正する。このεは、ユーザーが設定する入力
パラメーターである。さらに、座標の精度を式(4)にした場合に、速度が満たすべき精度、つまり式(3)が満たすべき精度は、次式である。h は例によって時間刻み幅。
|𝐫𝑖𝑗 • 𝐯𝑖𝑗 | <

𝑑𝑖𝑗 𝜀
ℎ

(8.6.5)条件(5)は、条件(4)と合うように、次のように導いた。相対座標 rij(t+h)は、h2 以上の項を無視すれば、次式になる。
(8.6.6)𝐫𝑖𝑗 (𝑡 + ℎ) ≈ 𝐫𝑖𝑗 (𝑡) + 𝐯𝑖𝑗 (𝑡)ℎここで、ε0 もε1 を時刻ｔおよび時刻 t+h の座標拘束の誤差、つまり𝑟𝑖𝑗 (𝑡) = 𝑑𝑖𝑗 + 𝜀1

(8.6.7)𝑟𝑖𝑗 (𝑡 + ℎ) = 𝑑𝑖𝑗 + 𝜀0

(8.6.8)とする。(6)の両辺を自乗し、(7)(8)を代入し、h2、ε02、ε12 の項を無視して、整理す
ると、次式が得られる。

6Anderson (1983)の原報では、dij で割った相対誤差を指標にしている。
𝑟𝑖𝑗 −𝑑𝑖𝑗

|

𝑑𝑖𝑗

|<𝜀

もちろん、これでも構わない。だが、普通は、距離の誤差を長さで指定することの方が多いよ
うなので、本文では、式(3)を紹介した。

236

第8章

𝐫𝑖𝑗 • 𝐯𝑖𝑗 ≈𝑑𝑖𝑗 (𝜀0 −𝜀1 )拘束と束縛(8.6.9)ℎ|ε0|と|ε1|は式(4)によりε以下である。よって、|rij・vij|は、式(5)を満たせば十分であろう。
|𝐫𝑖𝑗 • 𝐯𝑖𝑗 | <𝑑𝑖𝑗 𝜀(再 8.6.5)ℎ

精度の条件(4)(5)を満たしつつ、拘束付き運動方程式(1)を解く方法は、以下の通りになる。速度ヴェルレ法の式(3.4.4)で、通常の力 fi（非拘束力）に加えて、座標の拘束
力 GRi と速度の拘束力 GＶi まで考慮すると、時刻 t+h の座標と速度は、時刻 t の値を使って、次の式になる。
𝐫𝑖 (𝑡 + ℎ) = 𝐫𝑖 (𝑡) + ℎ𝐯𝑖 (𝑡) +𝐯𝑖 (𝑡 + ℎ) = 𝐯𝑖 (𝑡) +

ℎ
2𝑚𝑖

ℎ2
(𝐟 (𝑡) + 𝐆𝑅𝑖 (𝑡))2𝑚𝑖 𝑖{𝐟𝑖 (𝑡) + 𝐆𝑅𝑖 (𝑡) + 𝐟𝑖 (𝑡 + ℎ) + 𝐆𝑉𝑖 (𝑡 + ℎ)}(8.6.10)(8.6.11)

なお、拘束力学を使って共有結合を拘束する場合は、非拘束力 fi の計算には共有結
合力は入れない7。質点 i と、複数の質点 j との距離を拘束するための拘束力は、以下の形におくことができる。
𝐆𝑅𝑖 = − ∑𝑗 𝜆𝑅𝑖𝑗
𝐆𝑉𝑖 = − ∑𝑗 𝜆𝑉𝑖𝑗

𝐫𝑖𝑗
𝑟𝑖𝑗
𝐫𝑖𝑗
𝑟𝑖𝑗

(8.6.12)(8.6.13)

ここで、rij/rij は rij 方向の単位ベクトルで、λRij とλVij は未知の比例定数である。この式を調べると、拘束力 GRi と GVi は非拘束力 fi の rij 方向成分を打ち消すように働くことがわかる（図 4）。というのは、λRij とλVij は、ij 間の運動方程式を極座標変換
したときの、相対距離に対する力に対応するからである。
運動方程式(10)(11)の積分は、擬似コード 1 のように行う。これは、速度ヴェルレ法のコード 3.3 に斜体の部分を付け足して、SHAKE/RATTLE 用に直したものである。
コード 8.6.1: SHAKE/RATTLE 法の時間積分
DO i = 1, nstep

7v= v + h/2 * f/m! v(t+h/2)の計算

r_old

= r

! r(t)を r_old に保存r= r + h * v! 拘束補正前の座標 r(t+h)の計算

もっとも、共有結合力を計算しても、計算が無駄になるだけで、特に問題が起こるわけでは

ない。

237

第8章

拘束と束縛

CALL shake(ε,r_old, r, v)! r(t+h)を拘束補正する

CALL calfor(r,f)! 拘束済み座標 r(t+h)での力の計算

v = v + h /2 * f/m! 拘束補正前の速度 v(t+h)の計算

CALL rattle(ε,r, v)! v(t+h)を拘束補正

END DO
コード 1 では、拘束前の r(t+h)を求め、それをサブルーチン shake を使っ

図 8.6. 4 SHAKE による座標の補正て、拘束条件式(1)で補正する。さらに、拘束前の v(t+h)が求まった時点
で、サブルーチン rattle を使って、拘束条件式(2)で補正する。
以上で、SHAKE/RATTLE 法の全体像の説明は終わった。次の二つの節では、座標と速度の拘束補正のアルゴリズ
ム、つまりサブルーチン shake とrattle の機能を解説する。
[2] 座標拘束 (サブルーチン shake)
疑似コード 1 において、座標を拘束補正するサブルーチン shake(Ryckaert etal., 1977)では、まず非拘束力で時間積分をしたあと、拘束力で長さを一定に戻す、という形で、長さを拘束する（図 4）。
MD のあるステップで、非拘束力 fi(t)による時間積分が終了したとする（下式の黄色部分）。
𝐫𝑖 (𝑡 + ℎ) = 𝐫𝑖 (𝑡) + ℎ𝐯𝑖 (𝑡) +ℎ2(𝐟 (𝑡) + 𝐆𝑅𝑖 (𝑡))2𝑚𝑖 𝑖

(8.6.8 再)

この時刻 t+h での補正前の座標を ru(u は unconstraint)と置く。この時点で、サブル
ーチン shake 呼び、座標を補正して r とする。拘束済み座標 r は、拘束力を用いて、
𝐫𝑖 (𝑡 + ℎ) = 𝐫𝑖𝑢 (𝑡 + ℎ) +

ℎ2
𝐆 (𝑡)
2𝑚𝑖 𝑅𝑖𝐫𝑗 (𝑡 + ℎ) = 𝐫𝑗𝑢 (𝑡 + ℎ) +

ℎ2
𝐆 (𝑡)
2𝑚𝑗 𝑅𝑗(8.6.12)と書ける。
ここで、一組の原子対 ij に注目する。ij 間の拘束力は、
𝐆𝑅 𝑖𝑗 = −𝜆𝑅𝑖𝑗

𝐫𝑖𝑗
𝑟𝑖𝑗

(8.6.13)
238

第8章

拘束と束縛

という形に書ける。rij/rij は、rij 方向の単位ベクトルなのに注意。そして、
2𝑔𝑖𝑗

𝐆𝑅 𝑖𝑗 = −ℎ2

𝐫𝑖𝑗となるように、比例定数
𝑔𝑖𝑗 =𝜆𝑅𝑖𝑗 ℎ22𝑟𝑖𝑗を定義すると、式(12)は𝐫𝑖 (𝑡 + ℎ) = 𝐫𝑖𝑢 (𝑡 + ℎ) +𝑔𝑖𝑗
𝐫
2𝑚𝑖 𝑖𝑗(8.6.14)になる。次いで、rij=ri-rj を式 (1)の座標拘束条件に代入し、
211+ ) 𝒓𝑖𝑗 (𝑡)|
𝑚𝑖
𝑚𝑗

2
𝑑𝑖𝑗
= |𝒓𝑖𝑗 (𝑡 + ℎ)| = |𝒓𝑢𝑖𝑗 (𝑡 + ℎ) − 𝑔𝑖𝑗 (2

gij2 の項を無視して解くと、
2

𝑔𝑖𝑗 ≈

2
|𝒓𝑢
𝑖𝑗 (𝑡+ℎ)| −𝑑𝑖𝑗1

(8.6.15)

1

2(𝑚 +𝑚 )(𝒓𝑢𝒊𝒋 (𝑡+ℎ)•𝒓𝒊𝒋 (𝑡))𝑖𝑗として比例定数 gij が得られる。この式を、式(14)に代入すれば、近似的に拘束条件を満たした座標、ri(t+h)と rj(t+h)を求めることができる。
式(15)は近似であるし、拘束対は複数あることが普通なので、これ一回で終わりにはせず、式(4)の条件が、Nc 個すべての拘束対 ij 間で成り立つまで、ri(t+h)→rui(t+h)と置き換えて、式(15)→式(14)を繰り返す。この繰り返しループが収束すれば、「拘束条件(2)を式(4)の精度εの範囲で満たす座標 r(t+h)」が得られる。
また、サブルーチン shake 内では、座標だけでなく、それに合わせて速度も更新する必要がある。CALL shake の直前の速度は vu(t+h/2)だが、これを座標拘束力 GR(t)で拘束補正して v(t+h/2)にするには、時間 h/2 間の速度変化を (h/2)Gij とすれば良い。
Gij ではなく、gij で表して、
ℎ
2

ℎ
2

𝐯𝑖 (𝑡 + ) = 𝐯𝑖𝑢 (𝑡 + ) −𝑔𝑖𝑗 𝒓𝒊𝒋 (𝑡)𝑚𝑖 ℎ(8.6.16)を計算する。
なお、式(13)の拘束力λRij は、ij に関する反復計算をαの添え字で表わせば、反復の度に gij を足し合わせて、拘束条件(2)を代入して、次の式になる。
𝜆𝑅𝑖𝑗 =2𝑟𝑖𝑗ℎ2∑𝛼 𝑔𝑖𝑗 𝛼 =

2𝑑𝑖𝑗
ℎ2

∑𝛼 𝑔𝑖𝑗 𝛼(8.6.17)

このλRij は、SHAKE アルゴリズムの実行には不要だが、自由エネルギー計算に利用す
239

第8章

拘束と束縛

ることがある（Komeiji, 2007）。
以上により、座標を拘束するためのサブルーチン shake は以下のようなコードになる。引数としては、主役のε、r_old, r, v だけを示してある。実際には、もっと多くのパラメーター入力が必要である。
コード 8.6.2: SHAKE 座標拘束用サブルーチン
SUBROUTINE shake(ε, r_old, r, V)
入力

出力

ε

! 座標拘束条件の相対精度

r_old! r(t)

前ステップ完了時の座標r! ru(t+h)

拘束前の座標uv! v (t+h/2)

拘束前の速度r! r(t+h)

拘束済みの座標v! v(t+h/2)

拘束済みの速度DO iter = 0, maxiter! 繰り返し計算のループ

if_converged = .true. !計算終了のフラッグ
DO m = 1, Nc!Nc 個の拘束条件のループ

ib = ishake(m) !拘束される原子 i のインデックス
jb = ishake(m) !

“

j

”

dij = dshake(m) !原子 ij 間の拘束距離 j
rij = r(ib)- r(jb)!拘束前の ij の相対座標

Δ =||rij|-dij| !精度判定のためのパラメーター
IF (Δ<ε) CYCLE!精度は満たされたので、!次の拘束条件へ飛ぶ－

精度不足なので補正する－

if_converged = .false. ! 収束していない
rij_old = r_old(ib) – rj_old(jb) !時刻 t での ij の相対座標
gij = (rij2- dij2)/[2*(rij・rij_old)*(1/mi+1/mj)]r(ib) = r(ib) - gij/mi * rij_old!i の座標を補正

r(jb) = r(jb) + gij/mj * rij_old!j の座標を補正

v(ib) = v(ib) - gij/(mi*h) * rij_old!i の速度を補正

v(jb) = v(jb) + gij/(mj*h) * rij_old!j の速度を補正

END DOIF (if_converged) EXIT ! Nc 個すべての拘束条件が満たされたので、終了
END DO

240

第8章

拘束と束縛

[3] 速度拘束 (サブルーチン rattle)
今度は、速度を拘束する。つまり、拘束条件(3)を、与えられた精度εで満たすように（式 5）、速度を拘束補正するためのサブルーチン rattle を解説する。サブルーチ
ン shake 内で、式(8.6.11)の黄色の非拘束力までは積分した速度（vu (t+h)とおく）の計算まで進んでいるので、𝐯𝑖 (𝑡 + ℎ) = 𝐯𝑖 (𝑡) +ℎ{𝐟 (𝑡) + 𝐆𝑅𝑖 (𝑡) + 𝐟𝑖 (𝑡 + ℎ) + 𝐆𝑉𝑖 (𝑡 + ℎ)}(再 8.6.11)
2𝑚𝑖 𝑖

サブルーチン rattle では、速度拘束力 GVi(t+h)による時間積分、つまり、以下の式の、vui(t+h)→v(t+h)の積分を行う。
𝐯𝑖 (𝑡 + ℎ) = 𝐯 𝑢 𝑖 (𝑡 + ℎ) +𝐯𝑗 (𝑡 + ℎ) = 𝐯 𝑢𝑗 (𝑡 + ℎ) +ℎ
2𝑚𝑖

𝐆𝑉𝑖 (𝑡 + ℎ)ℎ
𝐆 (𝑡 + ℎ)
2𝑚𝑗 𝑉𝑗(8.6.18)

速度の拘束アルゴリズムは、座標拘束アルゴリズムと同様に、拘束力を仮定して計算する。原子対 ij 間の拘束力 GVij は、rij の方向に掛かるから、次式の形に書ける。ただし、λVij は、ij の運動方程式を極座標変換したときに、原子間距離に働く力である。
𝐆𝑉𝑖𝑗 = −𝜆𝑉𝑖𝑗

𝐫𝑖𝑗(8.6.19)

𝑟𝑖𝑗

また、
𝑘𝑖𝑗 =

ℎ𝜆𝑉𝑖𝑗

(8.6.20)

2𝑑𝑖𝑗とおき、rij(t+h)=dij を使って、式(18)を整理すれば
𝐯𝑖 (𝑡 + ℎ) = 𝐯 𝑢 𝑖 (𝑡 + ℎ) −𝑘𝑖𝑗

𝐯𝑗 (𝑡 + ℎ) = 𝐯 𝑢𝑗 (𝑡 + ℎ) +𝑘𝑖𝑗𝐫 (𝑡 + ℎ)
𝑚𝑗 𝑖𝑗

𝐫 (𝑡 + ℎ)
𝑚𝑖 𝑖𝑗(8.6.21)が得られる。拘束条件(3)を t+h でも成り立たせるために、
𝐫𝑖𝑗 (𝑡 + ℎ) • 𝐯𝑖𝑗 (𝑡 + ℎ) = 0
として、これにこれに式(21)を代入し、展開して、kij について解くと𝑘𝑖𝑗 =𝐫𝒊𝒋 (𝑡+ℎ)•𝐯𝒊𝒋 𝑢 (𝑡+ℎ)1

1(8.6.22)2(𝑚 +𝑚 )𝑑𝑖𝑗𝑖𝑗

式(22)の kij は、座標拘束の際に現れた式(15)の gij と違い、近似の入っていない正確な値である。だが、やはり、Nc 個すべての拘束対 ij 間に成り立つまで、vij→viju と置き直して、式(22)→(21)の計算を繰り返す。
かくして、速度拘束アルゴリズムをコード化すると以下のサブルーチン rattle にな
241

第8章

拘束と束縛

る。重要なε、r、v のみを引数にしておいた。
コード 8.6.3: RATTLE の速度拘束用サブルーチン
SUBROUTINE rattle(ε, r, v)
入力

出力

ε

! 座標拘束条件の相対精度r! r(t+h)vu! v (t+h)

拘束補正前の速度v! v(t+h)

拘束補正後の速度

DO iter = 0, maxiter

拘束済の座標 （参照するだけで、不変）! 繰り返し計算のループ

if_converged = .true. ! 収束を示すフラッグ
DO m = 1, Nc!Nc 個の拘束条件に関するループ

ib = ishake(m) !拘束される原子 i のインデックス
jb = ishake(m) !

“

j

”

dij = dshake(m) !原子 ij 間の拘束距離 j
rij = r(ib)- r(jb)! shake で拘束済の ij の相対座標

vij = v(ib)- v(jb)!

拘束前の ij の相対速度

dot_rv = rij・vij
Δ = |dot_rv * h/dij|! 条件式(5)をチェックするIF (Δ <ε) CYCLE－

精度不足なので補正する!

式(5)の条件が満たされたので!

次の拘束条件へ－

if_converged = .false.
kij = RV_dot/[dij2*(1/mi+1/mj)]v(ib) = v(ib) - kij/mi * rij!i の速度を補正

v(jb) = v(jb) + kij/mj * rij!j の速度を補正

END DOIF (if_converged) EXIT ! Nc 個すべての拘束条件が満たされたので、終了
END DO[4] SHAKE/RATTLE 法補遺
以上、SHAKE/RATTLE 法のあらましを説明した。最後に、説明しきれなかったことを書いておく。
この方法の収束を左右するパラメーターは、距離拘束の精度εであるが、普通は、
1x10-4Å程度に設定する。この程度に精度を設定すれば、たいてい、数回以内に計算は収束する。収束しない場合は、時間刻み h を短くしたり、SHAKE を一時的に外して乗り切れば、大抵はなんとかなる。MD 計算が安定に走るようになれば、途中で急に破綻
242

第8章

拘束と束縛

することは、滅多にない。なお、「SHAKE/RATTLE は破綻しやすいアルゴリズムだ」という声をしばしば耳にするが、筆者の私見では、SHAKE が破綻するのは、MD の初期構造が極端に悪い時や、何か計算条件に不備がある場合に限られる。
SHAKE/RATTLE は、一見、複雑に見えるかも知れないが、図 2,3 でわかるように、やっていることはシンプルである。また、この方法は、緩和法による結合長拘束のプロトタイプであり、様々な改良法の基礎となっている。たとえば、水の３点モデル専用の SHAKE の高速版の SETTLE がある（Miyamoto & Kollman, 1992)。また、次節以降で紹介するように、エネルギー極小化でも SHAKE のアルゴリズムはそのまま利用できる。SHAKE の改良版や並列化版に関する情報は、Elber et al. (2011)を参照のこと。
なお、MD において共有結合長を拘束すべきか否かに関しては、付録 5A1 で、結論のない議論をしておいたので、ここでは繰り返さない。
8.7. 原子間距離の拘束（エネルギー極小化）
本節では、エネルギー極小化計算(EM、7 章)において、結合長を拘束する方法を解説する。より具体的には、最急降下法（SD、7.2 節）と共役勾配法（CG、7.3 節）の二
つの EM 計算法に対して、前節の SHAKE 法（Ryckaert et al., 1977）で結合長を拘束するアルゴリズムを解説する。これらのアルゴリズムは、エネルギー勾配には非拘束力のみを使う方法（Van Gunsteren & Karplus, 1980）と、エネルギー勾配に拘束力による補正を入れてしまう方法（Duan et al. , 1995）の二つに大別される。
具体的なアルゴリズムに入る前に、EM での座標拘束アルゴリズム SHAKE について、簡単に説明しておく。SHAKE は、前節で説明した「RATTLE 法の前半の座標を拘束する方法」そのものである。従って、SHAKE 用サブルーチン shake、つまり、前節のコード
8.6.2 と同じものである。ただし、EM では速度は不要なので、速度に関する計算は、完全に取り除いてある。アルゴリズムはコード１に示す通りで、ここでは shake_c と名前を付けておく。次節以降で説明する EM 計算では、このサブルーチン shake_c を使って、結合長を拘束する。
エネルギー極小化ステップにおいて、前ステップ完了時の座標 R_old を用いて、現ステップの拘束前の座標 R に拘束を施し、拘束済座標を求める、ということになる。
コード 8.7.1 SHAKE(EM)の座標拘束用サブルーチン
SUBROUTINE shake_c(r_old, r, V)
入力

出力

r_old

! r(t)

前ステップ完了時の座標r! r(t+h)

拘束前の座標ε! 座標拘束条件の相対精度r! r(t+h)

拘束後の座標
243

第8章

v

! v(t+h/2)

DO iter = 0, maxiter

拘束と束縛

拘束後の速度! 繰り返し計算のループ

if_converged = .true. !計算終了のフラッグ
DO m = 1, Nc! Nc 個の拘束条件に関するループ

ib = ishake(m) !拘束される粒子 i のインデックス
jb = ishake(m) !

“

j

”

dij = dshake(m) !粒子 ij 間の拘束距離 j
rij = r(ib)- r(jb)!拘束前の ij の相対座標

Δ =||rij|-dij| !精度判定のためのパラメータ
IF (Δ<ε) CYCLE!精度は満たされたので、!次の拘束条件へ飛ぶ－

精度不足なので補正する－

if_converged = .false.
rij_old = r_old(ib) – rj_old(jb) !時刻 t での ij の相対座標
gij = (rij2- dij2)/[2*(rij・rij_old)*(1/mi+1/mj)]r(ib) = r(ib) －gij/mi * rij_old!i の座標を補正

r(jb) = r(jb) + gij/mj * rij_old!j の座標を補正

END DOIF (if_converged) EXIT ! Nc 個、すべての拘束条件が満たされたので、終了
END DO[1] 通常の SHAKE 法 (Conventional SHAKE)
まず、拘束力学 SHAKE を用いて EM 計算を行う方法のうち、通常の SHAKE 法のみを使う方法を説明する（Van Gunsteren & Karplus, 1980）。この論文では、SD 法、CG 法
両方のアルゴリズムが提案されているが、以下では、SD 法のみを説明しておく。いずれにせよ、MD での拘束力学と同様に、拘束する原子間の共有結合力は計算しないでおく。
SD 法については、すでに、7.2 節で述べた。SD 法への拘束適用は単純で、非拘束での SD 法のコード(7.2.1)に対して、斜線部を加えただけである。まとめると、以下のような手順でになる。
(a)初期構造に対して SHAKE を用いて拘束を掛ける。
(b)非拘束力による力とエネルギーを計算する。
(c)エネルギーが収束条件を満たしたらば終了、そうでないなら、次へ。
(d)非拘束力により、座標を更新する。
(e)更新した座標に対して、SHAKE を用いて拘束を掛ける。
(f) (b)へ。
244

第8章

拘束と束縛

コード 8.7.2 通常の SHAKE 法による極小化（SD）
CALL calfor(F,U)!

エネルギー勾配とエネルギーを計算

ΔR = ΔRini
R_old = R
CALL shake (R_old, R) ! 初期構造に拘束を施す。
DO i = 1, nstep
CALL calfor(F,U)
ΔU = U - Uold
Uold = U
IF (ΔU > 0) THEN
ΔR = 1/2 ΔR! 低めに再設定

ELSE
ΔR = min(ΔRmax, 1.2ΔR)! 高めに再設定

END IF
R_old = R

！前ステップの座標を保存
2

fRMS

=

sqrt(ΣF )dRMS=

fRMS/sqrt(n) ! n は系の全粒子数

IF (|ΔU|<ΔUconv .or. |dRMS|<dRMSconv) THEN－

収束したので計算おわり

－

EXIT
ELSE
－

収束しなかったので、次のステップの準備α－= ΔR/fRMS

R = R + α * F!力 F により、座標 R を更新

CALL shake_c(R_old, R) ! 更新された座標 R に拘束を施す。
END IF
END DO
コード 2 を見れば分かるように、非拘束力をエネルギー勾配として用い、得られた座標に対して、距離拘束を入れる、という方法を取っている。この方法は、SD 法ならば、導入が楽である。ただし、収束が遅い。また、CG 法の場合は、探索方向ベクトルを変更しなければならないため、プログラムがやや複雑になる。そのため、次に紹介
する、エネルギー勾配そのものに拘束補正を入れてしまう方法が開発されたわけであ
る。

245

第8章

拘束と束縛

[2] 勾配 SHAKE 法
拘束力学 SHAKE を用いて EM 計算を行う方法のうち、今度は、エネルギー勾配、つまり力に直接拘束を適用する、勾配 SHAKE 法（Gradient SHAKE, Duan et al., 1995）を紹介する。前節で扱ったようにエネルギー勾配に非拘束力のみを使う場合は、対象系が大きくなると、SHAKE も EM も収束が悪くなる。そこで、エネルギー勾配を拘束力で補正して、それを極小化計算に使えば、スムーズにエネルギーが落ちるはずである。
以下では、エネルギー勾配の拘束方法を説明し、次に、それを使った EM 計算法を紹介する。
まず、エネルギー勾配そのものに拘束を掛ける方法を説明する。つまり、「拘束される原子 ij に掛かる非拘束力から、ij 間の距離を変化させるような成分を抜いて、０にしてしまう」アルゴリズムである。このアルゴリズムも、今まで説明した
RATTLE/SHAKE での座標や速度拘束アルゴリズムと、類似の考え方で導くことができる。なお、以下の議論は Duan et al. (1995) の原報と同じではあるが、変数名は本書の他のアルゴリズム合わせて変えてあり、また説明は簡略化してある。
拘束条件として、例によって、原子 ij 間距離が dij に拘束されるとする（式(1)）。
(8.7.1)|𝐫𝑖𝑗 | = 𝑑𝑖𝑗

以下で、この式から、エネルギー勾配 F に関する、拘束条件を導く。エネルギー極小化の第 n ステップ終了時点での拘束補正済座標を rkn（k=1,...N）とする。極小化計算の第 n+1 ステップでは、この前ステップ(n)での座標を使って、ij それぞれに掛かる非拘束力（普通の力）Fi, Fj を計算する。それに拘束力δij を加えることにする。つまり、拘束補正後の力を Fi’、Fj’とおけば、
𝐅𝑖′ = 𝐅𝑖 − 𝛅𝑖𝑗
𝐅𝑗′ = 𝐅𝑗 + 𝜹𝑖𝑗(8.7.2)である。さて、極小化の第 n+1 ステップでは、座標 rin+1 と rｊn+1 は、それぞれ Fi’、Fj’の方向に動かされるので、α(SD では、ΔR/fRMS)を比例定数にして、
𝐫𝑖𝑛+1 = 𝐫𝑖𝑛 − 𝛼𝐅𝑖′
𝐫𝑗𝑛+1 = 𝐫𝑗𝑛 − 𝛼𝐅𝑗′

(8.7.3)と書ける。この二つの距離が(1)を満たすので、両辺を自乗して、
2

2

2
𝑑𝑖𝑗
= (𝑟𝑖𝑗𝑛+1 ) = (𝑟𝑖𝑗𝑛 ) − 2𝛼(𝐫𝑖𝑗𝑛 • 𝐅𝑖𝑗′ ) + 𝛼 2 (𝐅𝑖𝑗′ )2(8.7.4)が成り立つ。これに式(1)を代入し、さらに、α2(Fij’)2 の項を無視すると、(𝐫𝑖𝑗𝑛 • 𝐅𝑖𝑗′ ) = 0(8.7.5)が得られる。これが、拘束補正済の力が満たすべき条件である。結果を見れば、単に、前ステップの ij 間の距離ベクトルと、ij 間の相対的な力が直交すればよい、というだけのことである。
更に、式(5)を成り立たせるような補正項δij を導く。δij は、力の ij 方向を打ち消
246

第8章

拘束と束縛

すものだから、rijn に比例するベクトルである。つまり、比例定数をηとして、
𝛅𝑖𝑗 = 𝜂𝐫𝑖𝑗𝑛

(8.7.6)とおける。これを式(3)→式(5)と代入し、ηについて解けば、
𝜂=

𝑛
(𝐫𝑖𝑗
•𝐅𝑖𝑗 )(8.7.7)22𝑑𝑖𝑗である。式(7)→(6)→(3)の順番に計算すれば、拘束済の力を得ることができる。なお、式(5)は近似式で、しかも、拘束は通常複数あるから、すべての拘束ペア ij 間に式(5)が成り立つように、反復計算を行う必要がある。つまり、Fi’→Fi、Fj’→Fj と置き直して、式(7)→(6)→(3)の計算を繰り返す。
さて、収束条件の式(5)であるが、本当に 0 になるのは稀なので、適当な値以下になったら収束したとみなす。その条件は、座標に関する条件式（8)に合わせることにする。
|𝑟𝑖𝑗𝑛+1 − 𝑑𝑖𝑗 | < 𝜀(8.7.8)式(4)を使って適当に近似を入れて rijn+1 を求め、それを(8)に入れて変形すると、求める条件は、|𝐫𝑖𝑗𝑛 • 𝐅𝑖𝑗′ | < |𝑑𝑖𝑗
𝛼(8.7.9)𝜀|となる。このαは、式(3)でわかるように、エネルギー極小化での比例定数である。
以上の議論に基づいて、エネルギー勾配拘束用のプログラムを書くと、以下のコードになる。なお、第 n ステップでの座標は、R_old で表わしてある。
コード 8.7.3 SHAKE の力（エネルギー勾配）拘束用サブルーチン
SUBROUTINE shake_f(R_old, F)入力

ε! 拘束条件の相対精度

α! エネルギー極小化計算の比例定数

R_old! 前ステップ完了時の座標

入出力 F! 現ステップでの拘束前のエネルギー勾配（非拘束力）! が入力され、!

拘束補正済の力が出力される。

DO iter = 1, maxiter! 繰り返し計算のループ

if_converged = .true.
DO m = 1, nshake!拘束条件に関するループ

ib = ishake(m) !拘束される粒子 i のインデックス
jb = ishake(m) !

“

j

”

dij = dshake(m) !粒子 ij 間の拘束距離
Rij_old = Ri_old – Rj_old!前ステップでの ij の相対座標
247

第8章

Fij = F(ib) – F(jb)

拘束と束縛!相対的な力Δ = Fij・Rij_old
Δ2 = |Δ * α/dij|
If (Δ2<ε) CYCLE!精度は満たされているので、!次の拘束条件へ飛ぶ－精度が不満足なので、以下の補正を i,j にほどこす－

if_converged = .false.
EHTAij = Δ/(2*dij**2)
F(ib) = F(ib) - EHTAij * Rij_old!i の勾配を補正

F(jb) = F(jb) + EHTAij * Rij_old!j の勾配を補正

END DO ! 拘束条件に関するループはおしまいIF (if_converged) EXIT

! すべての拘束条件が満たされたら、! 繰り返しをやめる

END DO以上、エネルギー勾配の拘束補正法について説明した。これを使って、エネルギー極小化を行う行うアルゴリズムを説明する。
まず、SD 法での極小化を、擬似コード(3)を挙げて説明する。このコードは、コー
ド(2)の通常の SHAKE 法に、たった一行、shake_f を呼ぶ文が加わっているだけである。ここでは、各ステップの最後で、shake を使って、座標に拘束を掛けていることに注意して欲しい。「拘束済のエネルギー勾配を使っているから、座標を拘束する必要はない」と言いたいところであるが、現実には、誤差が積み重なる恐れがある。そこで、エネルギー勾配だけでなく、座標も拘束するわけである。二度手間に見えるが、拘束済の力を使っているので、コード(2)の通常の SHAKE 法に比べて、収束は早い
はずである。
コード 8.7.4 勾配 SHAKE 法による極小化（SD）
CALL calfor(F,U)!

エネルギー勾配とエネルギーを計算

ΔR = ΔRini
R_old = R
CALL shake_c(R_old, R) ! 初期構造に拘束を施す。
DO i = 1, nstep
CALL calfor(F,U)
ΔU = U - Uold
Uold = U
IF (ΔU > 0) THEN
248

第8章

ΔR = 1/2 ΔR

拘束と束縛! 低めに設定

ELSE
ΔR = min(ΔRmax, 1.2ΔR)! 高めに設定

END IF
R_old = R

！前ステップの座標を保存

CALL shake_f(R_old, F)! 非拘束力 F に拘束補正を施す。

2

fRMS

=

sqrt(ΣF )dRMS=

fRMS/sqrt(n) ! n=3N

IF (|ΔU|<ΔUconv .or. |dRMS|<dRMSconv) THEN－

収束したので計算おわり

－

EXIT
ELSE
－

収束しなかったので、次のステップの準備α－= ΔR/fRMS

R = R + α * F! 補正済みの力 F により、座標 R を更新

CALL shake_c(R_old, R)! 更新された座標 R に拘束を施す。
END IF
END DO最後に、勾配 SHAKE 法の、共役勾配法(CG)への応用を説明する。
擬似コードは、コード 5 の通りである。通常の CG 法（コード 7.3.1）に対し、斜線部を加えてある。つまり、新しく座標を計算する度に shake で拘束を掛け、それに対して力を計算してから shake_f で拘束を掛ける、という手続きをして、エネルギー探索の曲面を、与えられた拘束条件を満たす部分に限定しているわけである。この拘束は、直線探索(Line minimization)の最中も行う。また、探索方向ベクトル H もshake_f を利用して、拘束する。
実は、筆者としては、このコードのアルゴリズムが正しいのかどうか、今ひとつ自信がない。というのも、 Duan et al. (1995) の原報には、Gradient-SHAKE を CG に応用する具体的なアルゴリズムや擬似コードがなく、単に「Shake した力を使って、通常の極小化計算を行う」という記述しかないのである。すると、一体、直線探索をどうすべきかは、迷うところである。説明したように、筆者は、直線探索中、調べる
座標すべてを shake_c で拘束してから力を計算し、その力を shake_f で拘束する、というようにした。果たして、これが正しいのかどうか?

読者諸賢のご意見を伺いたい

ところである。

249

第8章

拘束と束縛

コード 8.7.5 勾配 SHAKE 法による極小化（CG）
Rold = R
CALL shake_c(R_old, R) ! 初期構造に R に拘束を施す。
CALL calfor(F,U)!

エネルギー勾配とエネルギーを計算

CALL shake_f(R_old, F) !
H = F
!

!

力 F に拘束を施す。

H は探索方向のベクトル、

最初のステップでは F をそのまま使う

DO i = 1, nstep
Rold = R ! 前ステップの座標を保存
CALL linmin(R_old, R, H, ε,Xmin, F, U)! 直線探索（Line minimization）。
! R から出発し、H 方向で E が極小になるようなΔR を!

ε の精度で探し、! ΔR = Xmin * H!

となるような Xmin を返す。

! 最後に R +ΔR

での力 F とエネルギーU を返す。

! ＊SHAKE: 直線探索中の力 F の計算の後、毎回、! shake_c と shake_f を使って、拘束を掛ける*! 終了時点で F は拘束済み
R = R + Xmin * H! 座標を更新する。

CALL shake_c! 座標に拘束を掛けるNG! 力（勾配）のノルム= F.F! *** 以下の 4 行は単に収束条件のチェック
ΔU=

U - UoldfRMS=

sqrt(NG)

dRMS=

fRMS/sqrt(n)IF (|ΔU|<ΔUconv .or. |dRMS|<dRMSconv) EXIT
! 収束したので計算おわり!*** 以下では、次のステップでの探索方向を決定するγ= NG/NGold

Hold

= H

Uold

= U

NGold

= NG

H

= F + γHold！これが次の探索方向

CALL shake_f(R_old, H) !

探索方向 H にも拘束を施す。

END DO
250

第8章

拘束と束縛

8.8. 任意の原子間距離の拘束と束縛
前節で扱った RATTLE/SHAKE は、共有結合している原子間距離を拘束する方法だが、同様の方法で、共有結合していない二つの原子間距離も、指定すれば拘束できる。距
離拘束のアルゴリズムとサブルーチンも、RATTTLE/SHAKE と全く同じものを利用する
ので、説明は省略する。
同様に、共有結合していない二つの原子間距離は、調和ポテンシャルを用いて束縛することもできる。束縛力は、3.1 節の共有結合力の計算と全く同じなので、表式は省略する。
原子間距離の拘束と束縛は、例えば、カウンターイオンをタンパク質に配位させる
場合や、あるいは、基質を徐々にタンパク質から離していく場合、などに利用する。
また、二つの原子間の距離に依存した自由エネルギー変化を計算する場合にも利用する（Sprik & Ciccotti, 1998, Komeiji, 2007）。
第 8 章のまとめ
拘束と束縛は、どちらも計算対象の構造や動きになんらかの制限を掛けることである。MD において、拘束や束縛は必要不可欠な機能である。拘束はある物理量を完全に一定に固定してしまうので、自由度は拘束の数だけ減る。一方、束縛は、柔らかい束
縛ポテンシャルを掛けるだけなので、自由度は減らない。
本章の前半は理論的な議論を行った。特に拘束と自由度の関係やその系にダイナミ
クスに及ぼす影響などを論じた。後半は、SHAKE/RATTLE による拘束 MD と EM の方法を示した。
溶質構造の拘束と束縛は、MD の初期構造モデリングなどに広く使われている。また、原子間距離の拘束は、共有結合のある分子系では、標準的に使われている。な
お、拘束と束縛は、自由エネルギー計算でも重要な役割を果たしているが、本書では、省略する。

付録 8A1. 溶質構造の束縛と拘束の溶媒への影響
MD でタンパク質および DNA につき、それぞれの構造を初期構造に束縛、または拘束した場合、周囲の溶媒水の構造にどう影響するか、調べてみた。結論を先に書くと、この例に限って言えば、束縛も拘束も、溶媒水の分布にはあまり影響が見られなかった。
もちろん、いまどき、溶媒水の動態を調べるのに、溶質を拘束・束縛するする人は
251

第8章

拘束と束縛

あまりいない。だから、こんなこと調べて意味があるかどうか怪しいところではあるが、あって困るものでもないので、一応、載せておく。
[1] 計算対象
計算対象の溶質分子として、モデル的なタンパク質と DNA を使った。
タンパク質は、ユビキチンの X 線結晶構造を選んだ（PDB 1UBQ, Vijay-Kumar,
1987、ただし、2011 年更新ファイルを利用）。ユビキチンは、76 アミノ酸残基で、小さい。αへリックスとβシートという代表的な二次構造を持っている。そして、何よ
りも、中性条件では、電荷が 0 である（一つだけ存在する His の電荷を+1 に設定した場合）。そのため、カウンターイオンのことは考えなくても良い。実際、今回の計算
ではイオンを入れてない。これらの性質のおかげで、ユビキチンはタンパク質の典型として、溶媒モデルや電子状態のテスト計算に、しばしば使われている（Fox &Kollman, 1996, Komeiji et al., 2007、など）。
また、DNA としては、Drew-Dickerson Dodecamer（Drew et al., 1981）のあだ名で知られる d(CGCGAATTCGCG)2 の結晶構造を選んだ（PDB 355D、Hu et al., 1997、ただし、2011 年更新ファイル利用）。この二本鎖 DNA(dsDNA）は、典型的な B 型 DNA として、試験的な計算によく使われる（Westerhoff & Merz, 2006, Fukuzawa et al.,2015 など）。
[2] 計算方法
溶質分子、つまり、ユビ
キチンと dsDNA それぞれ

図 8A1. 1 初期構造。PEACH_8.5 で作成し、Chimera 1.1 で表示。

に、水素を付加し、SD 法
でエネルギー極小化する。
その後、立方体の水に入れ（溶質と箱の縁の最小距離は 12Å）、ユビキチンはそのまま、dsDNA は 22 個の Na+で中和した。その後、全体を SD、QD、CG で極小化した構造を初期構造とした（図 1、極小化については第 7 章参照）。
その初期構造に対し、以下の三つの条件で、Nosé-Hoover 法を使って 300K で行った。ユビキチンは 1 ns、dsDNA は 3 ns だけ計算し、それぞれ後半の 0.5 ns と 2.0 nsを使い溶質周りの溶媒分布関数γ(r)（第 12.10 節[3}）を計算した。このシミュレー
ション時間は、もちろん、溶質のダイナミクスの解析には短すぎるが、溶媒の分布はもっと短い計算時間でも充分収束するぐらいの量なので、この程度にしておいた（溶
252

第8章

拘束と束縛

媒の水分子は、数が多いので、時間平均だけでなく数平均が取れるからである）。DNA
の方が時間が少し長いのは、イオンの緩和時間を見込んでいるからである。ただし、もっと短い時間領域で計算しても、結果はほとんど変わらない。
三つの条件とは、(A) Free、拘束束縛なし、(B) Restraint、溶質の構造を束縛（harmonic restraint）、(C) Constraint、溶質の構造を拘束（固定）である。(B)では、式(8.3.1)の束縛ポテンシャルの力の定数 K は 0.75 kcal/mol/Å2 に設定した。
(A)(B)(C)のどれでも、溶媒水は自由に動かしている。
EM と MD では、力場は AMBER99 と fSPC を利用し、エワルド法/RESPA（付録 3A4 のMD5 と同じ条件）を使った。つまり、完全に柔軟な分子モデルを使ったわけ。
[3] 結果と考察
さて、図 2(AB の左のグラフ）に得られた溶媒分布関数γ(r)を示す。大雑把に言え
ば、三つの条件で、ほとんど差がない。ピークの位置も高さもほとんど同じである。
強いて言えば、A のユビキチンの第 1 ピークの高さに差がみられるが、有意と言えるかどうかは微妙である。つまり、今回の計算に関しては、溶質が自由でも、軽く束縛されても、完全に固定されても、周囲の溶媒数の分布には有意な違いがなかったのである。

図 8A1. 2 溶質周りの溶媒分布関数（左）。また、その計算に用いたトラジェクト
リーのスナップショットの例（右）。

253

第8章

拘束と束縛

筆者自身は、この件を調べたのは初めてだし、また、この件を正面切って扱った文献も見つからなかった（大昔あったような気がするのだが...?）。それで、もう少し、溶媒分布に差が出ると思っていたので、この結果は少し予想外だった。ただし、今回は、溶媒分子の O 原子の分布のみを調べただけなので、もっといろいろなこと、拡散とか、を調べれば差が出るかも知れない。また、力場や分子モデルを変えたら、別の結果が出る可能性もある。
当初の目的に関する結果は以上であるが、結果についてもう少し説明しておく。
溶媒分布のピーク位置について、2.7Å付近の高い第 1 ピークは、水の O と、溶質のO, N, P, S 原子との間の水素結合に起因する。一方、3.5-4Å辺りのなだらかな第 2
ピーク、というより丘は、溶質の C 原子の周囲を遠巻きに取り囲む、いわゆる疎水殻（hydrophobic shell）だと解釈できる。なお、第 1 ピークの高さは、タンパク質（図1A）と比べて DNA（図 1B)のほうが圧倒的に高い。これは、このユビキチン・タンパク質は全電荷が 0 であるのに対し、DNA は-22 に帯電しており、その結果、水という極性分子を強く惹き付けているためであろう。
図 2 のグラフの右側に、解析に用いた MD トラジェクトリーから代表的なスナップシ
ョットを載せた。これらが歪んでいる理由を書いておく。もちろん、MD 自体は、図 1の立方体のままで行っている。出力されたトラジェクトリーの解析時に、個々のスナ
ップショットに対して、「周期境界条件下で、それぞれの溶媒分子を、その最近接溶
質原子の近くに移動」させた結果、図 2 のように溶媒の形が歪んだのである（詳細は第 12.10 節）。このように、個々のスナップショットを修正した上で、第 12.10 節の
溶媒分布関数γ(r)を計算し、平均したのが、図 2 左のグラフである。
最後に、dsDNA の Na+イオンの分布について。図 1 の初期構造では、DNA に近い位置に配置しているが、1 ns 以上 MD を行った後では、図 2 のように、DNA を遠巻きにする
イオンが増えている。これは、通常見られる DNA 周囲のイオン分布の動態である。今回は、イオンの挙動は調べていないが、DNA 周囲のイオンの動態については、2000 年前後に数多く出版されているので、ご興味の向きは、検索掛けて調べて欲しい。
[4] 一応の結論
今回は溶質分子を固定や束縛しても、溶媒分子の分布に、有意な差は見られなかった。だが、だからと言って、溶媒分子の挙動を調べるときには、溶質を拘束・束縛しても良い、と言うつもりはない。基本的には、溶媒も溶質も自由に動かして、その挙動を調べるのが王道であるし、実際、溶質の拘束・束縛は、単に初期構造のモデリン
グや昇温時に用いられるだけで、本計算では用いられない。
とは言うものの、何からの理由で溶質を拘束・束縛して溶媒の挙動を調べたデータがあった場合、その結果は、ある程度の真実を反映している、と考えたほうが良さそ
うである。
254

第8章

拘束と束縛

付録 8A2. 定温アルゴリズムでの重心の運動量
定温 MD のアルゴリズムの詳細は 10 章で紹介するが、以下では、定温 MD での重心の運動量の変化について、一般的な骨子を説明しておく。例外はあるが、多くの定温 MD
アルゴリズムがこの範疇に入る。
定温 MD の運動方程式には、質点 i (=1,..,N)には、質点間相互作用 fi だけでなく、摩擦力に似た、運動量に比例する力を加える。
𝑑𝐩𝑖= 𝐟𝒊 − 𝜉𝐩𝑖
𝑑𝑡(8A2.1)である。ただし、ξは p1..pN の関数である。(1)をすべての i について足し合わせ、重心の運動量 pG の定義
𝐩 𝐺 = ∑𝑁
𝑖=1 𝐩𝑖と、作用反作用の法則により、∑𝑁
𝑖=1 𝐟𝑖 = 0となることを用いれば、重心運動の方程式は、
𝑑𝐩𝐺𝑑𝑡= −𝜉𝐩𝐺(8A2.2)である。(2)式からわかるように、pG の時間微分が 0 でないのだから、定温 MD の場
合、重心運動は保存しない。ただし、初期条件として、pG=0 を与えれば、重心運動は0 のままのはずである。しかし、MD では数値誤差が積もって、いつか 0 でなくなる
し、そうすれば、式(2)に従って、重心が動くようになる可能性がある。

第 8 章の参考文献
能勢修一(1988), 「温度・圧力一定の条件の分子動力学法」、計算物理学と計算化学（田中實、山本良一編）、海文堂.
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Drew, H. R., Wing, R.M., Takano, T., Broka, C., Tanaka, S., Itakura, K.,
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255

第8章

拘束と束縛

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DOI:10.1002/(SICI)1097-0134(199607)25:3<315::AID-PROT4>3.0.CO;2-E.
The application of different solvation and electrostatic models inmolecular dynamics simulations of ubiquitin: How well is the x-ray
structure “maintained”?
Fukuzawa, K., Kurisaki, I., Watanabe, C., Okiyama, Y., Mochizuki, Y., Tanaka,S., Komeiji, Y. (2015), Comput. Theor. Chem. 1054, 29-37. DOI:
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The flying ice cube: velocity rescaling inmolecular dynamics leads to violation of energy equipartition.
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constraint solver for molecular simulations.
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Change in a protein's

electronic structure induced by an explicit solvent: an ab initio
Fragment Molecular Orbital (FMO) study of ubiquitin.
Martyna, G. J., Tuckerman, M. E., Tobias, D. J., Klein, M. L. (1996), Mol.
Phys. 87, 1117-1157. DOI: DOI:10.1080/00268979600100761. Explicit
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Settle: An analytical version of the SHAKE

and RATTLE algorithm for rigid water models.
256

第8章

拘束と束縛

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Quantum mechanical descriptionof the interactions between DNA and water.
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A

Generalized Non-iterative Matrix Method for Constraint Molecular
Dynamics Simulations.

257

第9章

分子動力学法のための統計熱力学

第 9 章 分子動力学法のための統計熱力学
第 9 章では、MD のアルゴリズムを理解するために必要な、統計熱力学をまとめておく。次の第 10 章
で、MD で温度制御や圧力制御を行って様々なアンサ
ンブルを実現させる方法を説明するが、この第 9 章
では、そのための理論的準備を行う。第 2 章では、
主に「力学」を説明して、最後に少し「統計熱力学」に触れたが、ここではその続きを解説する。

内容
第9章

分子動力学法のための統計熱力学

258

9.1. アンサンブル ...................................................... 258
9.2. 温度.............................................................. 262
9.3. 圧力.............................................................. 263
第 9 章のまとめ ......................................................... 271
付録

9A1. 温度と運動エネルギーの関係 .................................. 271

付録

9A2. 圧力とヘルムホルツの自由エネルギーの関係 .................... 272

第 9 章の参考文献 ....................................................... 274

9.1. アンサンブル
本章では、N 原子の座標ベクトル(r1,r2,…, rN)と運動量 ベクトル(p1,p2,…, pN)をそれ
ぞれ、r, p と一文字で略記することがある。また、位相、つまり、r と p をまとめて議論するときは、(r,p)と書く。第 2 章の理論的な議論では、位相は r と p をまとめて
x と記述したが、本章以降の実用的な MD のアルゴリズムの導出には、r と p を別々にしておいたほうが分かりやすいからである。
まずは、2.8 節で少しだけ触れたアンサンブルを中心に、統計熱力学の重要な概念を、軽く復習する。
[1] 平衡状態、アンサンブル、等確率の原理
平衡状態(equilibrium state)とは、巨視的（マクロな）視点では、安定で変化がな
い状態を示す。そして、統計集合（ensemble,アンサンブル）とは、その巨視的な性質
258

第9章

分子動力学法のための統計熱力学を満たす、微視的（ミクロ）な「状態」の全てのことを示す。例えば、静置された、

図 9.1. 1 アンサンブル（統計集合

一定温度の物質は、巨視的に見れば変化がない。ところが、微視的に見れば、構成原子がさまざまな位置座標と運動量（位相r,p）の、別々の状態からなっている（図1）。この「微視的な状態の集合」を、統
計力学では、統計集合と呼んでいる。「統計集合」いうと、原子の集合を思い浮かべ
勝ちではあるが、原子ではなく「状態」の集合であるので、注意。
平衡状態では、これらの微視的な状態
は、すべて、同じ確率で出現している、このことを、「等確率（等重率）の原理」と呼ぶ。ある位相（r,p）が出現する確率密度（＝位相空間分布関数、2.9 節参照）φ(r,p)は、アンサンブルの種類により違う（[2]の説明と表 1）。ある物理量 F(r,p)の平均は、〈𝐹〉 = ∫

𝐹(𝐩,𝐫)𝜙 (𝐩,𝐫)𝑑𝐫𝑑𝐩∫ 𝑓 (𝐩,𝐫)𝑑𝐫𝑑𝐩(9.1.1)として計算できる。これを F の「位相平均」と呼ぶ。また、F の時間平均𝐹̅ は1 𝜏𝐹̅ = lim ∫0 𝐹(𝑡)𝑑𝑡
𝜏→∞ 𝜏である。エルゴード仮説が正しい限り、両者は一致する。よって、今後は、特に必要な場合を除いて、𝐹̅ と<F>を区別せず、<F>と表記する1。式(9.1.1)の分母(9.1.2)𝑍 = ∫ 𝑓 (𝐩, 𝐫)𝑑𝐫𝑑𝐩
2は分配関数(partition function) 、または状態和(state sum) と呼ばれる。ただし、係数は省いて表記している。第 10 章では、分配関数から、自由度やアンサンブルを求めることになる。

1

モンテカルロ法（MC）で得られるのが位相平均<F>、MD で得られるのが時間平均𝐹̅である。

2分配関数の記号として、何を使うべきか？

悩ましい問題である。よく見られるのが、NVE

アンサンブルではΩ、NVT アンサンブルでは Z であるが、他のアンサンブルもあるし、ラテン文字とギリシャ文字合わせても、アルファベットが足りない。おまけに、第 10 章では、まずNVE アンサンブルでの分配関数を書いて、それを、NVT や NPT での分配関数に変換したりする。
それで、本書では、分配関数は原則 Z で表記した。もちろん、例外あり。たとえば、座標 r のみに関する配置分布関数には、Q の文字を充てる。

259

第9章

分子動力学法のための統計熱力学[2] MD で利用されるアンサンブルの例
さて、どのような微視的状態のアンサンブルが出現するかは、巨視的条件で規定される。巨視的条件を決めるマクロな物理量として、原子数 N、体積 V、エネルギーE、
エンタルピーHe (=E+PV) 3、温度 T、圧力 P などがある。表 1 に、MD で頻繁に使われる
アンサンブルを挙げておく。なお、以下では、記述が簡単になる部分には、説明な
く、逆温度β=1/(kBT)を使う。ただし、kB はボルツマン定数4。
Allen & Tildesley (2017) や Andersen (1980) などを参考に、表 1 の四つを説明してみる. 対象系（表の概念図の四角）のハミルトニアンは、
𝐻(𝐩, 𝐫) = ∑𝑁
𝑖=1

𝐩2𝑖
2𝑚𝑖

+ 𝑈(𝐫) (9.1.3)

つまり、N 個の原子（粒子）からなり、ポテンシャルエネルギーU は原子座標(r1,r2,…rN,まとめて r と表記)のみの関数の場合を扱う。
NVE アンサンブル（定エネルギーアンサンブル）は、対象系が外界から孤立している条件で実現する。第 2、3 章で扱ったように、力学、そして MD では、最も基本的なアンサンブルである。表に示したように、位相(p,r)の出現確率密度は𝜙𝑁𝑉𝐸 (𝐩, 𝐫) ∝ 𝛿(𝐻(𝐩, 𝐫) − 𝐸)

(9.1.4)

δは、古典系の場合はデルタ関数である。エネルギーE が一定だから、H が E と一致す
る場合のみ存在し、それ以外の値では存在しない、ということ。
NVT アンサンブル（定温アンサンブル）は、対象系が一定温度の熱浴（reservoir,
thermostat, heat bath）と接しているときに実現するアンサンブルである。統計熱力
学で最も基本的なアンサンブルで、MD では定温条件を課すために使われる。出現確率
密度は𝜙𝑁𝑉𝑇 (𝐩, 𝐫) ∝ 𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝐻(𝐩, 𝐫))(9.1.5)である。

3

エンタルピーの量記号は通常は H だが、ハミルトニアンと混同しやすい。そこで、本書では、添え字 e をつけて、He とエンタルピーを表記することにする。例えば、NPHe アンサンブル
や NPHe -MD は、普通は、NPH アンサンブル、NPH-MD である。なお、JIS 規格では、エンタルピ
ーに H が使えない場合は I を使うことが推奨されているが、実際にエンタルピーに I が使われているのは一度も見たことがないので、止めた。なお、He はよそでは使われていないので、この本だけに通用する表記だと思って欲しい。
4

ボルツマン定数は kB =1.380649×10-23 m2 kg s-2 K-1 （2019 年に定義値になったので、正確な値）。kB と気体定数 R = 8.31446261815324 m2 kg s-2 K-1 mol-1（これも定義値）とは、アヴォ
ガドロ数を NA とすると、kB =R/NA の関係にある。つまり、kB は１分子あたりに換算した R だ
し、逆に R は１モルあたりに換算した kB である。kB は物理学の分野で、R は化学の分野で使われることが多い。

260

第9章

分子動力学法のための統計熱力学

NPHe アンサンブル（定エンタルピーアンサンブル）は、対象系が一定圧力になるよ
うに圧力制御装置（barostat）につながっているときに実現する。MD では、定圧条件に使う。実は、NPHe アンサンブルは実用的にはほとんど使われない。というのは、圧力だけでなく温度まで制御した、次の NTP アンサンブルが利用されるからである。しかし、NPHe アンサンブルは、理論的には重要なので、紹介しておく。確率密度は(9.1.6)

𝜙𝑁𝑃𝐻𝑒 (𝐩, 𝐫) ∝ 𝛿(𝐻(𝐩, 𝐫) + 𝑃𝑉 − 𝐻𝑒 )で定義される。H+PV はエンタルピーであり、それが一定値 He と一致する場合のみが出現することを示す。

表 9.1.1 代表的アンサンブル
アンサンブル

NVE

NVT

NPHe

NPT

ミクロカノ

カノニカルア等エンタルピ

等温等圧アンサン

ニカルアン

ンサンブル、

ー等圧アンサブル、圧力アンサ

サンブル、

定温アンサン

ンブル

ンブル

定エネルギ

ブル

名（規定する
マクロな物理
量）
通称

ーアンサン
ブル
位相空間分布δ(H(p,r)-exp(-βδ(H(p,r)+PV-

exp(-β関数 φ(p,r)E)

H(p,r))

He)(H(p,r)+PV))

概念図：原子の入った四角の箱が対象分
子系、ベージ
ュの四角が熱浴、ピストンが定圧装置を示す
NTP アンサンブル（定圧アンサンブル）は、系が、熱浴と圧力制御装置両方に接しているときに実現する。定温定圧で、通常の実験条件と対応しているため、現在、MD
で最も頻繁に使われているアンサンブルである。確率密度は、P を圧力、V を体積とす
れば
261

第9章

分子動力学法のための統計熱力学(9.1.7)

𝜙𝑁𝑇𝑃 (𝐩, 𝐫) ∝ 𝑒𝑥𝑝(−𝛽(𝐻(𝐩, 𝐫) + 𝑃𝑉))

で、式(6)の NVT アンサンブルのエネルギーH が、NTP アンサンブルではエンタルピー

He(=H+PV)に代わっているのに注意。
以上、系統的に四つのアンサンブルを紹介した。NVE, NVT アンサンブルでの H を Heに置き換えれば、NPHe, NPT アンサンブルになるのがわかる。つまり V が P に、E が Heに対応する。
とりあえずは、表 1 の概念図でなんとなく理解しておけば充分で、より詳しくは、必要になった時点で、説明する。
[3] アンサンブルと熱力学的極限
さて、さまざまなアンサンブルがあるけれど、理論でも MD シミュレーションでも、ある物理量を別々のアンサンブルで計算すると、結果が変わるのかどうかが問題になる。実際、系のサイズが小さいと変わってくる。だが、熱力学的極限(thermodynamic
limit、あるいは無限体積極限 infinite volume limit とも呼ばれる)では、アンサンブルによる差がなくなることが知られている。熱力学的極限というのは、系の密度を保ったまま、系のサイズを無限にすることをいう。つまり、

N/V = constant
N→∞、V→∞(9.1.8)という操作をすることである。この極限においては、巨視的な量の揺らぎはなくな
り、アンサンブルの違いによる差もなくなる。例えば、適切に条件を設定して、NVE,
NVT, NPHe、NTP 条件で MD を行い、四つのアンサンブルでの、平衡状態における温度、
圧力、体積等がほぼ同じ値になったとする。その場合、どれを使ってマクロな物理量を計算しても、同じ結果が得られるはずである。
通常 MD で計算する物理量は、上記の議論が成り立つと思ってよい。ただし、相転移が起こる物質系のように、例外はあるので、現実的には、個々の問題に応じてアンサ
ンブルを選ぶ必要がある。
9.2. 温度
本節では温度が、次節では圧力が、統計熱力学的にどう扱われるか、また、MD では
どの式を用いて計算するかを解説する。
以下では、最も理論的に扱い易いカノニカルアンサンブルを例にとって、温度が「1原子あたりの運動エネルギーと比例する」ことを示す。N 体系の全運動エネルギーKは、以下で定義する。
𝐾(𝐩) = ∑𝑁
𝑖=1

𝐩2𝑖
2𝑚𝑖

(9.2.1)262

第9章

分子動力学法のための統計熱力学

K のカノニカルアンサンブルでの位相平均は、確率密度φNVT (9.1.5)を使って（式の変形は、付録 9A1 参照）、
𝑑𝐫𝑑𝐩 𝐾(𝐩) 𝜙𝑁𝑉𝑇(𝐫,𝐩)3𝑁𝑘B 𝑇=2∫ 𝑑𝐫𝑑𝐩𝑓𝜙𝑁𝑉𝑇 (𝐫,𝐩)(9.2.2)𝐩2𝑖
22〈𝐾(𝐩)〉 =
〈∑𝑁
〉
𝑖=1
3𝑁𝑘B
3𝑁𝑘B
2𝑚𝑖

(9.2.3)〈𝐾〉 = ∫
つまり、温度は𝑇=という、お馴染みの形になる。3N が自由度であるから、「温度とは、１自由度あたりの運動エネルギーに、定数 2/kB を掛けたもの」と解釈できる5。また、系に Nc 個の拘束が掛かっている場合は、その分自由度が減るので、結局、自由度 Nf=3N-Nc とすれば、温度の一般式は、
𝑇=

𝐩2𝑖
2
〈∑𝑁
〉
𝑖=1
𝑁𝑓 𝑘B
2𝑚𝑖

(9.2.4)である。MD における自由度は、8.1 節で掘り下げて解説したとおり、計算条件によって増減するが、ここでは、その件はおいておく。
なお、位相平均や時間平均を取らない瞬間的な温度（instantaneous temperature,

Tinst）は以下で定義する。
𝑇𝑖𝑛𝑠 (𝑡) =𝐩2𝑖 (𝑡)2
2∑𝑁
𝐾(𝐩(𝑡)) =
𝑖=1
𝑁𝑓 𝑘B
𝑁𝑓 𝑘B
2𝑚𝑖

(9.2.5)

もちろん、冒頭で述べた通り、熱力学的な位相・時間平均としての温度 T と Tins(t)は以下の関係にある。
1

𝜏

𝑇 = 〈𝑇𝑖𝑛𝑠 (𝑡)〉 = lim ∫0 𝑇𝑖𝑛𝑠 (𝑡)𝑑𝑡𝜏𝜏→∞(9.2.6)9.3. 圧力
今度は圧力を導出する。温度と違い、圧力の扱いには、特に周期境界の場合、注意が必要なので、詳しく説明する。おもに、水中での有機分子・生体分子を念頭にお5

当然、「どんな物質が、気体、液体、固体のどの状態を取っていても、熱平衡下で温度が同じならば、１自由度あたりの平均の運動エネルギーは等しい」ことになる。残念ながら、理系
でも、これを理解していない大学生が多い。レポートや試験に「温度が同じならば、液体状態の水分子よりも気体状態の水分子のほうが運動エネルギーが高いので、云々」みたいなことを平気で書いてきて、がっかりさせてくれる。

263

第9章

分子動力学法のための統計熱力学

き、直方体での、等方的な圧力6を計算する。最終的に、第 5 章で紹介した、AMBER 力場に沿って、圧力の計算方法をまとめる。本節では、特に、Hummer & GrønbechJensen (1998)、 Winkler (2002)、 Louwerse & Baerends (2006)を参照した。
[1] 圧力の一般式
圧力 P は、以下の熱力学式から導く（この式自体の導出と説明は、付録 9A2）。F
は、ヘルムホルツの自由エネルギーである。
𝜕𝐹
𝜕𝑉 𝑇(9.3.1)

𝑃 = −( )この系の分配関数 Z は𝑍=

1
𝐻(𝐫,p)∬ 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑘 𝑇 )𝐝𝐫 𝑁 𝐝𝐩𝑁ℎ3𝑁
𝐵(9.3.2)であり7、また統計力学の公式より、
𝐹 = −𝑘𝐵 𝑇𝑙𝑜𝑔𝑍だから、(9.1.1)に代入して、圧力は、
1 𝜕𝑍

𝑃 = 𝑘𝐵 𝑇 ( )𝑍 𝜕𝑉 𝑇

(9.3.3)

図 9.3.1 対象とする周期系（左）と基本セルの形状（右）を求めることになる。式(2)の分配関数

Z は、運動量 p の積分は体積 V に寄らないので8、1/h3N の係数も含めて約分されてしまう。結局、座標 r に関する分配関
数 Q（配置分配関数）
𝑄 = ∫ 𝑒𝑥𝑝 (−

6

𝑈(𝐫)
)𝐝𝐫 𝑁
𝑘𝐵 𝑇

立方体ではなく直方体にしたのは、溶液中の生体分子は、直方体で計算することが多いため。また、等方的な圧力にしたのは、溶液条件を扱うことが多いからである。固体結晶の場合
は、異方的な圧力が必要になる。
7

一応、N 個の粒子が区別できるものとしているので、N!で割ってはいないし、今回の計算にはあってもなくても影響はない。ただし、場合によっては、粒子の区別がつく古典系であっても、分配関数を N!で割ったほうがいいという（Allen & Tildesly, 2017 の Example 2.1 参照）。一方、プランク定数 h3N で割っているのは、分配関数を無次元化するためだが、今回はこれがあってもなくても本質的な影響はない（エネルギーの基準が動くだけ）。
8分配関数の計算で、運動量に関する積分と座標に関する積分のどちらか一方が消えてしまう、というのはよくある話。ここでは運動量積分が消えたが、例えば、付録 9A1 では座標に関する積分が約分で消えてしまっている。

264

第9章

分子動力学法のための統計熱力学

を使って、
1 𝜕𝑄
𝑄 𝜕𝑉 𝑇

(9.3.4)

𝑃 = 𝑘𝐵 𝑇 ( )を計算すればよい。だが、この式の中の Q の V による微分は、簡単ではない。というのは、Q の積分は、-∞<r<∞、というわけにはいかず、図 1 右の基本セル内、0<x<Bx,
0<y<By, 0<z<Bz で行わなければならないからである。体積を V とすれば、(9.3.5)

𝑉 = 𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧である。そこで、Q の積分範囲から、Bx, By, Bz を外すため、x=Bxsx, y=Bysy, z=Bzsz と変数変換を行う。すると 0<sx,sy,sz <1 で積分すればよい。これにより Q は、
𝐵

𝐵

𝐵

𝑄 = ∫0 𝑥 𝑑𝐱 𝑁 ∫0 𝑦 𝑑𝐲 𝑁 ∫0 𝑧 𝑑𝐳 𝑁 𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝑈(𝒓))11

1=∫0 𝐵𝑥𝑁 𝑑𝒔𝒙 𝑵 ∫0 𝐵𝑦𝑁 𝑑𝒔𝒚 𝑵 ∫0 𝐵𝑧𝑁 𝑑𝒔𝒛 𝑵 𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝑈(𝑉, 𝐬))111=𝑉 𝑁 ∫0 𝑑𝒔𝒙 𝑵 ∫0 𝑑𝒔𝒚 𝑵 ∫0 𝑑𝒔𝒛 𝑵 𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝑈(𝑉, 𝐬))となり、その体積微分は
𝜕𝑄

𝜕

𝜕𝑉 𝑇

𝜕𝑉

1

1

( ) =

1

1

1

{𝑉 𝑁 ∫0 𝑑𝒔𝒙 𝑵 ∫0 𝑑𝒔𝒚 𝑵 ∫0 𝑑𝒔𝒛 𝑵 𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝑈)}
1

1

1

1

= 𝑁𝑉 𝑁−1 ∫ 𝑑𝒔𝒙 𝑵 ∫ 𝑑𝒔𝒚 𝑵 ∫ 𝑑𝒔𝒛 𝑵 𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝑈) +𝑉 𝑁 ∫ 𝑑𝒔𝒙 𝑵 ∫ 𝑑𝒔𝒚 𝑵 ∫ 𝑑𝒔𝒛 𝑵
0

0

0

0
1

1

0

1

= 𝑁𝑄𝑉 −1 −𝛽𝑉 𝑁 ∫0 𝑑𝒔𝒙 𝑵 ∫0 𝑑𝒔𝒚 𝑵 ∫0 𝑑𝒔𝒛 𝑵 𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝑈) (0

𝜕𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝑈)
𝜕𝑉

𝜕𝑈
)
𝜕𝑉 𝑇

である。以上の Q と∂Q/∂V を(4)に代入すると、右辺第 2 項は∂U/∂V の位相平均(9.1.1)だから<>に入れて、
1

1 𝜕𝑄
𝑄 𝜕𝑉 𝑇𝑃 = 𝑘𝐵 𝑇 ( ) =
=

𝑘𝐵 𝑁𝑇
𝑉

− 〈(

𝜕𝑈

1

1

𝜕𝑈

𝑉 𝑁 ∫0 𝑑𝒔𝒙 𝑵 ∫0 𝑑𝒔𝒚 𝑵 ∫0 𝑑𝒔𝒛 𝑵 𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝑈) ( 𝜕𝑉)
𝑘𝐵 𝑁𝑇
𝑇
−
1
1
1
𝑉
𝑉 𝑁 ∫0 𝑑𝒔𝒙 𝑵 ∫0 𝑑𝒔𝒚 𝑵 ∫0 𝑑𝒔𝒛 𝑵 𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝑈)) 〉 (9.3.6)

𝜕𝑉 𝑇

が圧力である。この式の右辺第１項は理想気体の圧力で、第 2 項が原子間相互作用により現れる圧力に相当する。
この第 2 項<(∂U/∂V)T>は、定温下の体積変化に応じたポテンシャルエネルギーU の変化を示しているわけだが、周期境界の場合には注意が必要である。というのは、周期境界では、U が、原子座標 r だけでなく、体積 V に直接依存するからである。それに注意して第 2 項をさらに計算してみると、(

𝜕𝑈(𝐫,𝑉)𝜕𝑉) = ∑𝑁
𝑖=1
𝑇

𝜕𝐫𝒊
𝜕𝑉

∙

𝜕𝑈
𝜕𝐫𝒊

+(

𝜕𝑈

)

𝜕𝑉 𝑇,𝐫265

第9章

分子動力学法のための統計熱力学

ここで、∂U/∂ri=-fi つまり原子 i に掛かる力と、さらに、体積変化が等方的である
ときに成り立つ
𝜕𝐫𝒊
𝜕𝑉

=

𝐫𝒊
3𝑉

(9.3.7)を9、(5)に代入して整理し、𝐺 ≡ ∑𝑁𝑖=1 𝐫𝒊 ∙ 𝐟𝒊

(9.3.8)と定義すると（ヴィリアル、virial）、最終的に圧力は
𝑃=

𝑘𝐵 𝑁𝑇
1
𝜕𝑈
+ 〈 𝐺〉 − 〈( ) 〉𝑉
3𝑉
𝜕𝑉 𝑇,𝐫

(9.3.9)という形になる10。一般的には、これ以上は整理できない。右辺第 1 項はすでに述べたように理想気体の場合の圧力。非周期境界の MD11ならば、第１項と第 2 項だけで圧力が正確に計算できる。だが、第 3 項は「原子の座標が変化しないで、箱の大きさだけが変化する」場合のポテンシャルの変化に対応する量なので、周期境界の場合はこれも計算して加えないといけない。
なお、(9)は時間平均または位相平均としての“熱力学的”圧力だが、温度と同様に、瞬間圧力（instantaneous pressure, Pins）も定義できる。
𝑃𝑖𝑛𝑠 =𝑘𝐵 𝑁𝑇𝑖𝑛𝑠1
𝜕𝑈+ 𝐺−( )𝑉
3𝑉
𝜕𝑉 𝑇,𝐫

(9.3.10)

ここで、Tins は、式(9.2.5)で定義される、瞬間温度である。 (10)を時間平均すれば、(9)の熱力学的圧力になる。MD で温度と圧力を制御するには、瞬間温度と瞬間圧力を、それぞれ設定温度と設定圧力と比較し、その差がなくなるように、なんらかのア
ルゴリズムを使って、原子速度と座標、それに加えて体積に変更を加える。そのアルゴリズムは次章で説明するが、ここでは、その前に、一般的な圧力の式(9)(10)を、特別な条件の場合に変形しておく。

9

体積変化が等方的であるとき、つまり x,y,z 方向で長さが同じ比率で変わるとき、変化の結果、長さが 1+α（α<<1）の率で微小変化したとすると、粒子座標は ri→(1+α)ri に変化し、一方体積は V→(1+α)3V に変化する。つまりΔri=αri、ΔV=(1+α)3V-V≃3αV なので、Δri／ΔV≃∂ri／∂V= ri／3V.
10(8)式は、NTV アンサンブルで導出したので、V は一定であるから、<>がつかない形になっている。だが、他のアンサンブルを使った場合でも、(8)は圧力の計算式としてそのまま使える。
また、MD で時々刻々計算するのは、式(9)の瞬間圧力なので、時刻毎の V(t)を使って計算すればよい。
11

もっとも、非周期境界で圧力一定の MD を行うことは稀なので、結局、周期境界での正しい扱いが必要になってくる。

266

第9章

分子動力学法のための統計熱力学[2] ２体力の圧力式(9)(10)の圧力は、一般式である。この表式では、右辺第 3 項のポテンシャル U の体積微分の計算で、周期境界の長距離力が絡んでくるから面倒である。ところが、Uが 2 体力の和で書ける場合なら簡単になり、さらに、その 2 体力が静電相互作用ならば、幸運にも静電ポテンシャルの値を使って圧力が簡単に計算できてしまうことがわ
かっている。以下ではそれを説明する。
対象は図 1 の左の周期境界系で、基本セルは N 個の原子を含み、虚像は格子ベクト
ル Ln で記述される（第 6 章の長距離相互作用の計算で扱ったのと同じ系。変数名や記号もそろえてある）。
(9.3.10)

𝐋𝐧 = (𝐵𝑥 𝑛𝑥 , 𝐵𝑦 𝑛𝑦 , 𝐵𝑧 𝑛𝑧 )ただし、n=(nx, ny, nz)は整数ベクトル。これを使うと、j 番目の原子の n 番の虚像は
rjn=rj+Ln であるので、基本セル内の ri との相対ベクトルは𝐫𝑖𝑗𝐧 = 𝐫𝑖 − 𝐫𝑗 − 𝐋𝐧である。
準備が終わったところで、ポテンシャル U が 2 体力の和で書けるということは、式で表すと以下の通りである。
1
2′ 𝑁
𝑈 = ∑𝑁𝑖=1 ∑𝐧 ∑𝑗=1 𝑢𝑖𝑗 (𝑟𝑖𝑗𝐧 )(9.3.12)

この uij が２体力ポテンシャルである。MD で通常扱うのは中心力なので、rijn をスカラーに限定した。具体的には、静電ポテンシャル uij(x)=qiqj/x や LJ ポテンシャル

uij(x)=εij[(Rij/x)12-2(Rij/x)6]を思い浮かべればよい。
式(8)の圧力の定義に出てくる<(∂U/∂V)T を、ポテンシャル(12)に対して求めると、(

𝜕𝑢𝑖𝑗 (𝑟𝑖𝑗𝐧 )
𝜕𝑈
𝜕 1 𝑁
1
∑ ∑′ ∑𝑁 𝑢 (𝑟 ) = ∑𝑁∑′ ∑ 𝑁) =𝜕𝑉 𝑇
𝜕𝑉 2 𝑖=1 𝐧 𝑗=1 𝑖𝑗 𝑖𝑗𝐧
2 𝑖=1 𝐧 𝑗=1
𝜕𝑉
1
2

′ 𝑁
′
= ∑𝑁
𝑖=1 ∑𝐧 ∑𝑗=1 𝑢𝑖𝑗 (𝑟𝑖𝑗𝐧 )

𝜕𝑟𝑖𝑗𝐧
𝜕𝑉

𝑟

1
2

𝑖𝑗𝐧
′ 𝑁
′
= ∑𝑁
𝑖=1 ∑𝐧 ∑𝑗=1 𝑢𝑖𝑗 (𝑟𝑖𝑗𝐧 )3𝑉

ただし、(7)を使った。さらに、
fij(rijn)・rijn=-uij’(rijn)rijn を使えば12、=−1∑𝑁 ∑′ ∑𝑁 𝐟 (𝑟 ) ∙ 𝐫𝑖𝑗𝐧
6𝑉 𝑖=1 𝐧 𝑗=1 𝑖𝑗 𝑖𝑗𝐧(9.3.13)という形になる。これを、(6)に代入すれば

12

fij(rijn)=-∂uij(rijn)/∂rijn=-uij’(rijn)rijn/rijn だが、この左辺と右辺に rijn の内積を取ると、

fij(rijn)・rijn = -(uij’(rijn)rijn/rijn)・rijn = -uij’(rijn) rijn になる。

267

第9章

𝑘 𝑁𝑇

1

′ 𝑁
P= 𝐵𝑉 + 6𝑉 〈∑𝑁
𝑖=1 ∑𝐧 ∑𝑗=1 𝐟𝑖𝑗 (𝑟𝑖𝑗𝐧 ) ∙ 𝐫𝑖𝑗𝐧 〉分子動力学法のための統計熱力学(9.3.14)になる。これが２体力ポテンシャルの場合の圧力である。(9)の一般式に出てくる(∂U/∂V)T,r が、簡単な形になって取り込まれている。
２体力のうち、静電力は、以下で示すようにさらに簡単に計算することが可能。
[3] 静電力の圧力
圧力(14)のさらなる特殊例として、2 体力が静電力の場合の圧力の式を導出する。
つまり、(12)の uij(rijn)とその微分（力）が以下の形の場合を導出する。
𝑢𝑖𝑗 (𝑟𝑖𝑗𝐧 ) =𝐟𝑖𝑗 (𝑟𝑖𝑗𝐧 ) =

𝑞𝑖 𝑞𝑗
𝑟𝑖𝑗𝐧
𝑞𝑖 𝑞𝑗 𝐫𝑖𝑗𝐧
𝑟𝑖𝑗𝐧 2 𝑟𝑖𝑗𝐧

(9.3.15)

早速、(15)を(13)に代入すると、
(

𝑞𝑞 𝐫
𝜕𝑈
1
1
∑′ ∑𝑁 𝐟 (𝑟 ) ∙ 𝐫𝑖𝑗𝐧 = − ∑𝑁∑′ ∑𝑁 𝑖 𝑗 𝑖𝑗𝐧 ∙ 𝐫𝑖𝑗𝐧
) = − ∑𝑁𝜕𝑉 𝑇
6𝑉 𝑖=1 𝐧 𝑗=1 𝑖𝑗 𝑖𝑗𝐧
6𝑉 𝑖=1 𝐧 𝑗=1 𝑟𝑖𝑗𝐧 2 𝑟𝑖𝑗𝐧

=−

𝑞𝑞
1 1 𝑁
∑ ∑ ′ ∑𝑁 𝑖 𝑗
3𝑉 2 𝑖=1 𝐧 𝑗=1 𝑟𝑖𝑗𝐧

これはなんと、静電ポテンシャルの総和 UELC に、-1/(3V)を掛けた形なのである。つまり、系の静電ポテンシャルに起因する圧力は、次式であっさりと計算できてしまう。
𝑃=

𝑘𝐵 𝑁𝑇
𝑈
+ 〈 𝐸𝐿𝐶〉
𝑉
3𝑉(9.3.16)

この UELC は、原理的には、エワルド法、PME 法、多重極展開法など、どの方法で計算したものを使っても問題ない（はず）。それに、そもそも、(14)を使って計算する長距
離力は、普通は静電相互作用のみである。とすると、UELC さえあれば、圧力が即計算できるのは、実にありがたい。
[4] LJ 力の圧力
LJ は、(14)で計算する必要があるが、通常の、さほど精度を要求されない計算では、最近接原子間だけ計算すればよい。つまり、n=(0,0,0)とその周囲の虚像のうち、一番近い原子間だけ計算するので、手間ではない。LJ 力の計算サブルーチンに付け加えるだけで済む。表式は煩雑になるので省略。1-4LJ についても同様。
[5] 分子内相互作用
分子内で働く力の圧力への寄与は、周期境界の場合でも、虚像からの寄与は考える必要がない。また、静電力と LJ 力は 2 体力のところで述べたように、実像・虚像の寄
268

第9章

分子動力学法のための統計熱力学

与をまとめて計算できる。1-4 静電と 1-4LJ は別に計算すればよい。残るは、共有結合、結合角、ねじれ角である。これらの力のヴィリアル G
𝐺 = ∑𝑁𝑖=1 𝐫𝒊 ∙ 𝐟𝒊

(再 9.3.8)を計算して、式(9)(10)に代入すれば、圧力が求まる。G について、少しだけ補足すると、ri の原点を任意にとっても、外力が掛かっていない限り G の値は不変である。つまり、仮に、ri に一律 r0 を加えた G’は、作用反作用の法則で fi の和は０になるか
ら、以下のように、結局 G の値は変わらない。
𝑁𝑁
𝑁
𝐺 ′ = ∑𝑁
𝑖=1(𝐫𝒊 − 𝐫0 ) ∙ 𝐟𝒊 = ∑𝑖=1 𝐫𝒊 ∙ 𝐟𝒊 − 𝐫𝟎 ∙ ∑𝑖=1 𝐟𝒊 = 𝐺 − 𝐫𝟎 ∙ ∑𝑖=1 𝐟𝒊 = 𝐺

実は、2 体力による圧力（14）が原子 ij の相対距離だけで書けるのは、この原理によっている。2 体のうちのどちらかの座標を原点に取れば、もう片方の座標は相対座標r12 になり、それでもＧの値は不変だからだ（図 2）。
さて、共有結合力に関するヴィリアル Gb は、これまた 2 体力なので、結合している原子対を 1,2 で表すと、

図 9.3 2 ２体力

𝐺𝑏 = 𝐫1 ∙ 𝐟1 + 𝐫2 ∙ 𝐟𝟐
座標は r2 を原点にとれば𝐺𝑏 = (𝐫1 − 𝐫𝟐 ) ∙ 𝐟12 + (𝐫2 − 𝐫2 ) ∙ 𝐟21 = 𝒓12 ∙ 𝐟12である。結合力を第 5 章の式(5.2.1)の調和振動子で近似する場合
は、f1２に式(5.2.2)を代入して、以下の通り。
𝐫
𝑟12

𝐺𝑏 = 𝐫12 ∙ {−2𝐾𝑏 (𝑟12 − 𝑟𝑒𝑞 ) 12 } = −2𝐾𝑏 (𝑟12 − 𝑟𝑒𝑞 )𝑟12
(9.3.17)結合角とねじれ角は、それぞれ 3 体、4 体力なので、ヴィリアル(7)を真面目に計算するしかないようである。
[6] 圧力まとめ：周期境界条件下での AMBER 力場
以上、長々と圧力の計算方法を書いてきたが、

図 9.3 3 圧力計算が必要となることが多い、タンパク質＋水系

AMBER 力場で周期境界下での圧力の公式をまとめてみる13。図 3 のような、タンパク質などの高分子化合物の水溶液を周期境界で計算することを、念頭に置いている。なお、(∂U/∂U)T,r の項もヴィリアル G の中に入れて、揃えて出すことにする。また、MD で時々刻々必要な、瞬間圧力 Pins (10)の形で表式することにす

13

筆者自身は圧力一定プログラムを書いたことがないし、さまざまな MD プログラムで、ヴィ

269

第9章

分子動力学法のための統計熱力学る。
MD のステップごとに、下の式で圧力を計算する。
𝑃𝑖𝑛𝑠 =𝑘𝐵 𝑁𝑇𝑖𝑛𝑠
1+ (𝐺𝑏 + 𝐺𝑎 +𝐺𝑡 +𝐺𝐿𝐽 + 𝐺14𝐿𝐽 + 𝐺𝐸𝐿𝐶 +𝐺14𝐸𝐿𝐶 ) (9.3.18)
𝑉
3𝑉

ただし、ヴィリアルはそれぞれ以下の形で、通常は、対応する力の計算サブルーチン
で同時に計算する。

Gb: 結合長。実像内のみで計算。i,j は結合している原子対で、Nb はその数。
𝑁

𝐺𝑏 = −2 ∑𝑖,𝑗𝑏 𝐾𝑏 𝑖𝑗 (𝑟𝑖𝑗 − 𝑟𝑒𝑞 𝑖𝑗 )𝑟𝑖𝑗

Ga: 結合角。実像内のみで計算。i,j,k は結合角を形成する原子トリオで、Na はその数。力 f の形は、第 5 章参照。
𝑁𝑎𝐺𝑎 = ∑𝑖,𝑗,𝑘(𝐫𝑖 ∙ 𝐟𝑖 + 𝐫𝑗 ∙ 𝐟𝑗 + 𝐫𝑘 ∙ 𝐟𝑘 )Gt: ねじれ角。実像内のみで計算。i,j,k,l はねじれ角を形成する原子の組で、Nt はその組の総数。力 f の形は、第 5 章参照。
𝑁𝑡
𝐺𝑎 = ∑𝑖,𝑗,𝑘,𝑙(𝐫𝑖 ∙ 𝐟𝑖 + 𝐫𝑗 ∙ 𝐟𝑗 + 𝐫𝑘 ∙ 𝐟𝑘 + 𝐫𝑙 ∙ 𝐟𝑙 )GLJ: LJ 力。通常は、最近接粒子選択法で計算。i,j は 1-5 以上の距離にある原子対
で、NLJ はその数。2 体力 fij の形は、第 5 章参照。
𝑁

𝐿𝐽
𝐺𝐿𝐽 = ∑𝑖<𝑗𝐫𝑖𝑗 ∙ 𝐟𝑖𝑗

G14LJ: 1-4LJ 力。実像内のみで計算。i,j は 1-4 の位置にある原子ペアで、N14 はその数。2 体力 fij の形は、第 5 章参照。普通の LJ に比べて 1/SCNB という係数を掛けて、弱めていることに注意。
𝑁

𝐺14𝐿𝐽 = ∑𝑖,𝑗14 𝐫𝑖𝑗 ∙ 𝐟𝑖𝑗

GELC: 静電力。実像内と無限個の虚像からの寄与を計算。なんらかの方法で（直接和、エワルド和、多重極展開など）、静電ポテンシャル UELC を求めておけば、それと完全に一致する。
𝐺𝐸𝐿𝐶 = 𝑈𝐸𝐿𝐶

G14ELC: 1-4 静電力。実像内のみで計算。14LJ と同様に、i,j は 1-4 の位置にある N14個の原子対について計算する。静電ポテンシャル U14ELC を求めておけば、それと完全に一致する。普通の静電ポテンシャルに比べて 1/SCEE という係数を掛けて、弱めていることに注意。
𝐺14𝐸𝐿𝐶 = 𝑈14𝐸𝐿𝐶

リアルをどう実装しているかまでは、調べていない。よって、ここに挙げたように定義通りに実装されているかどうかは、残念ながら、確証はない。

270

第9章

分子動力学法のための統計熱力学

第 9 章のまとめ
MD では、温度や圧力を制御して、さまざまなアンサンブルを実現することができる。本章で、温度と圧力の定義と計算方法の説明が終わったので、次章では、MD での温度・圧力制御の方法と実装の説明にはいる。

付録 9A1. 温度と運動エネルギーの関係
カノニカルアンサンブルにおける、温度 T と運動エネルギーK の関係 (9.2.2)を証明しておく（統計力学の練習問題だと思ってほしい）。K の位相平均（9.1.1）を、位相空間分布関数φNVT(p,r)(9.1.5)で取ると、以下のように計算できる。
〈𝐾〉 = ∫

𝑑𝐫𝑑𝐩 𝐾(𝐩) 𝑓𝑁𝑉𝑇 (𝐩,𝐫)∫ 𝑑𝐫𝑑𝐩 𝐾 𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝐻(𝐩,𝐫))=∫ 𝑑𝐫𝑑𝐩𝑓𝑁𝑉𝑇 (𝐩,𝐫)∫ 𝑑𝐫𝑑𝐩𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝐻(𝐩,𝐫))
𝑁

𝐩2

𝐩2
𝑗

𝑁

𝑖 𝑒𝑥𝑝(−𝛽(∑∫ 𝑑𝐫𝑑𝐩 ∑𝑖=12𝑚
𝑗=12𝑚 +𝑈(𝐫)))
𝑖

𝑗

=

𝐩2
𝑗

∫ 𝑑𝐫𝑑𝐩𝑒𝑥𝑝(−𝛽(∑𝑁𝑗=12𝑚 +𝑈(𝐫)))
𝑗

𝐩2
𝑗

𝐩2

=

𝑁
𝑖
∫ 𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝑈(𝐫))𝑑𝐫 ∫ ∑𝑁
𝑖=12𝑚 𝑒𝑥𝑝(−𝛽 ∑𝑗=12𝑚 )𝑑𝐩
𝑖

𝑗
𝐩2
𝑗
𝑁
∫ 𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝑈(𝐫))𝑑𝐫 ∫ 𝑒𝑥𝑝(−𝛽 ∑𝑗=12𝑚 )𝑑𝐩𝑗

座標 r に関する積分は約分できて、運動量 p に関する部分だけが残り、
𝑁

=

𝐩2

𝐩2
𝑗

𝑁

𝑖 𝑒𝑥𝑝(−𝛽 ∑∫ ∑𝑖=12𝑚
𝑗=12𝑚 )𝑑𝐩𝑖𝑗𝐩2𝑗
∫ 𝑒𝑥𝑝(−𝛽 ∑𝑁
𝑗=12𝑚 )𝑑𝐩
𝑗

𝐩2

= ∑𝑁
𝑖=1

𝑁

𝐩2
𝑗

𝑖 𝑒𝑥𝑝(−𝛽 ∑∫2𝑚
𝑗=12𝑚 )𝑑𝐩𝑖𝑗𝐩2𝑗
∫ 𝑒𝑥𝑝(−𝛽 ∑𝑁
𝑗=12𝑚 )𝑑𝐩𝑗=∗

この＊の分子部分は、
𝐩2𝑗

𝐩2∫ 2𝑚𝑖 𝑒𝑥𝑝 (−𝛽 ∑𝑁
𝑗=1 2𝑚 ) 𝑑𝐩𝑖

= ∫ 𝑑𝐩𝑖= ∫ 𝑑𝐩𝑖

𝑗

𝐩2𝑖
2𝑚𝑖

𝐩2𝑖
2𝑚𝑖

𝑒𝑥𝑝 (−𝛽𝑒𝑥𝑝 (−𝛽

𝐩2𝑖
2𝑚𝑖

𝐩2𝑖
2𝑚𝑖

) ∏𝑁
𝑗=1,𝑗≠𝑖 ∫ 𝑑𝐩𝑗 𝑒𝑥𝑝 (−𝛽) ∏𝑁
𝑗=1,𝑗≠𝑖 ∫ 𝑑𝐩𝑗 𝑒𝑥𝑝 (−𝛽

𝐩2𝑗
2𝑚𝑗
𝐩2𝑗
2𝑚𝑗

)
𝐩2

)

𝑖 )
∫ 𝑑𝐩𝑖 𝑒𝑥𝑝(−𝛽 2𝑚𝑖𝐩2𝑖∫ 𝑑𝐩𝑖 𝑒𝑥𝑝(−𝛽 2𝑚 )
𝑖

271

第9章

𝐩2

=

分子動力学法のための統計熱力学𝐩2

𝑖 𝑒𝑥𝑝(−𝛽 𝑖 )∫ 𝑑𝐩𝑖 2𝑚
2𝑚
𝑖

𝑖

𝐩2

𝑖 )
∫ 𝑑𝐩𝑖 𝑒𝑥𝑝(−𝛽 2𝑚∏𝑁
𝑗=1 ∫ 𝑑𝐩𝑗 𝑒𝑥𝑝 (−𝛽

𝐩2𝑗
2𝑚𝑗

)

𝑖

𝐩2

=

𝐩2

𝑖 𝑒𝑥𝑝(−𝛽 𝑖 )∫ 𝑑𝐩𝑖 2𝑚
2𝑚
𝑖

𝑖
𝐩2
𝑖
∫ 𝑑𝐩𝑖 𝑒𝑥𝑝(−𝛽 2𝑚 )𝑖𝐩2𝑗

∫ 𝑒𝑥𝑝 (−𝛽 ∑𝑁
𝑗=1 2𝑚 ) 𝑑𝐩𝑗と変形できるから、＊に入れると
𝐩2∗ = ∑𝑁𝑖=1

𝐩2

𝑖 𝑒𝑥𝑝(−𝛽 𝑖 )∫ 𝑑𝐩𝑖 2𝑚
2𝑚
𝑖

𝑖
𝐩2
𝑖
∫ 𝑑𝐩𝑖 𝑒𝑥𝑝(−𝛽 2𝑚 )
𝑖

1 ∫
= ∑𝑁
𝑖=1 2𝑚𝑖2
22
𝑑𝑝𝑖𝑥 𝑑𝑝𝑖𝑦 𝑑𝑝𝑖𝑧 (𝑝𝑖𝑥
+𝑝𝑖𝑦
+𝑝𝑖𝑦
)𝑒𝑥𝑝 (−𝛽∫ 𝑑𝑝𝑖𝑥 𝑑𝑝𝑖𝑦 𝑑𝑝𝑖𝑧 𝑒𝑥𝑝 (−𝛽22𝑝2𝑖𝑥 +𝑝𝑖𝑦+𝑝𝑖𝑦
2𝑚𝑖

)

=#

2
2
p2
𝑖𝑥 +p𝑖𝑦 +p𝑖𝑦)
2𝑚𝑖

ここで、a2=2mi/βとおき、#の分母を極座標変換すると、ガウス積分14を使って∫ 𝑑𝑝𝑖𝑥 𝑑𝑝𝑖𝑦 𝑑𝑝𝑖𝑧 exp (−𝛽p2𝑖𝑥 +p2𝑖𝑦 +p2𝑖𝑦
2𝑚𝑖

2𝜋

𝜋

𝑟2

∞

) = ∫0 𝑑∅ ∫0 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜃 ∫0 𝑑𝑟 𝑟 2 exp (− 2 )𝑎𝑎3= π√𝜋𝑎34= 2π × 2 × √𝜋

同じく、＃の分子を変換して、
2
2
2
+ 𝑝𝑖𝑦
+ 𝑝𝑖𝑦
)𝑒𝑥𝑝 (−𝛽∫ 𝑑𝑝𝑖𝑥 𝑑𝑝𝑖𝑦 𝑑𝑝𝑖𝑧 (𝑝𝑖𝑥
2𝜋

𝜋

2
2
2
𝑝𝑖𝑥
+𝑝𝑖𝑦
+𝑝𝑖𝑦

2𝑚𝑖

𝑟2
𝑎

∞

)

= ∫0 𝑑∅ ∫0 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜃 ∫0 𝑑𝑟 𝑟 4 exp (− 2 ) = 2π × 2 × √𝜋

3𝑎53π
= √𝜋𝑎582

この分母・分子を＃に代入し、a とβを戻せば、
3π

5
1 2 √𝜋𝑎3𝑎23𝑁𝑘𝐵 𝑇〈𝐾〉 = ∑𝑁𝑖=1 2𝑚 π√𝜋𝑎3 = 𝑁 4𝑚 =2𝑖𝑖

(再 9.2.2)となって、求める関係が得られた。
温度と運動エネルギーの関係 (9.2.2)は、そもそも温度の定義としてもいい気がす
るが、真面目に統計力学の手続きで導くと、こんな感じになるわけ。
付録 9A2. 圧力とヘルムホルツの自由エネルギーの関係
本文では、出発点として、圧力 P とヘルムホルツの自由エネルギーF の以下の熱力

14

∞

𝑥2

(2𝑛)! 𝑎 2𝑛+1

ガウス積分の公式 ∫0 𝑥 2𝑛 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑎2) = √𝜋 𝑛! ( 2 )

272

第9章

分子動力学法のための統計熱力学

学的な関係式を用いた。
𝜕𝐹
𝜕𝑉 𝑇

𝑃 = −( )(再 9.3.1)

この関係がなぜ成り立つかを、田崎(2000)の熱力学の教科書に沿って説明する。具体的には、熱力学量の F（系がなしうる最大の仕事）と、力学的な P（面積あたりの力）とを結びつける。
まず、ヘルムホルツの自由エネルギーF の定義から始める（この教科書では、F=E-

TS を定義としてはいない）。ある熱力学系が、温度 T での等温過程で、X1→X2（X は示
量変数、たとえば体積 V）に変化するときに行うことが可能な最大の仕事量をWmax(T;X1→X2)とする。そうすると、F は𝐹(𝑇; 𝑋) = 𝑊𝑚𝑎𝑥 (𝑇; 𝑋 → 𝑋0 (𝑇))

(9A2.1)で定義される。ただし、X0(T)は X の基準値で(T)

図 9A2. 1 圧力の定義

は、温度は同じことを示す。こう書くと難しいよ
うに思えるが、要するに、ヘルムホルツの自由エ
ネルギーは、温度一定条件で、ある熱力学系がなしうる最大の仕事量のことで、（熱がつかない）
力学におけるポテンシャルエネルギーに対応する。
さて、シリンダーに入った流体を熱力学系と考える（図 1）。シリンダーの右側は真空とする
が、物質の温度 T は一定である。面積 A のピスト
ンに力 f を加えて押さえつつ、準静的過程で、物質の体積を、V から V+ΔV に変化させたとする。
この時、ピストンの移動距離をΔx とすると、Δ

V=AΔx である。この変化が極めて微小なものとすれば、力 f はこの間、一定とみなせる。この時、力学的な圧力は、面積当たりの力だから、
𝑃 = 𝑓/𝐴(9A2.2)である。一方、F の変化ΔF は、この熱力学系が外に対して行った仕事だから、力×距
離で∆𝐹 = −𝑓∆𝑥 = −𝑓∆𝑉/𝐴(9A2.3)である。外力 f の逆方向の力だから－符号が付けてある。
式(3)を使えば（2)は、
𝑃 = −∆𝐹/∆𝑉になるが、この式の、T 一定条件での、ΔV→0 の極限を取れば、偏微分の定義から
𝜕𝐹

𝑃 = −( )𝜕𝑉 𝑇(再 9.3.1)
273

第9章

分子動力学法のための統計熱力学になる。というわけで、式(9.3.1)の関係が得られた。
「温度を一定にして、ヘルムホルツの自由エネルギーを体積で偏微分して、－を付けると圧力になる」と言われてもチンプンカンプンだが、上記のように説明されると、物理的イメージが湧きやすい、と思う。

第 9 章の参考文献
田崎晴明 (2000), 熱力学、培風館.
Allen, M. P., Tildesley, D. J. (2017), Computer Simulation of Liquids,2nd Ed.,
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274

第 10 章アンサンブル

第 10 章 アンサンブル
第 9 章の統計熱力学の知識に基づいて、この第 10章では、MD で扱われるアンサンブルを解説する。第9 章で概念的に紹介したアンサンブルを具体的に MDで実現するためには、温度や圧力の制御が必要になる。それらの方法のアルゴリズムは理論的性質などを議論する。

内容
第 10 章アンサンブル

275

10.1. MD におけるアンサンブル .......................................... 276
10.2. NVE-MD........................................................... 278
10.3. NVT-MD........................................................... 279
10.3.1. 速度スケーリング法 ........................................... 279
10.3.2. ガウスの拘束法 ............................................... 280
10.3.3. Berendsen 法 ................................................. 283
10.3.4. Nosé 法 ...................................................... 285
10.3.5. Nosé-Hoover (NH) 法 .......................................... 293
10.3.6. Nosé-Hoover Chains (NHC)法 ................................... 298
10.3.7. NVT-MD まとめと補足 .......................................... 302
10.4. NPHe-MD .......................................................... 303
10.5. NPT-MD........................................................... 309
10.6. 非ハミルトン力学によるアンサンブルの解析 ......................... 312
10.6.1. 非ハミルトン力学による解析手順 ............................... 312
10.6.2. NVE-MD ....................................................... 314
10.6.3. NVT-MD（Gauss の拘束法) ...................................... 315
10.6.4. NVT-MD（Nosé-Hoover 法) ...................................... 318
10.6.5. NPT-MD（MTK 法） ............................................. 323
第 10 章のまとめ ........................................................ 326
付録 10A1. ヤコビ座標 .................................................. 327
第 10 章の参考文献 ...................................................... 329

275

第 10 章アンサンブル10.1. MD におけるアンサンブル
本章は、第 9 章「分子動力学法のための統計力学」だけでなく、第 3 章「時間積分」の続きでもある。というのは、ここで紹介するアルゴリズムは、第 3 章で紹介した速度ヴェルレ法の発展形がほとんどだからだ。

表 10.1.1 （表 9.1.1 の再掲） 代表的アンサンブル
アンサンブル

NVE

NVT

NPHe

NPT

ミクロカノ

カノニカルア等エンタルピ

等温等圧アンサン

ニカルアン

ンサンブル、

ー等圧アンサブル、圧力アンサ

サンブル、

定温アンサン

ンブル

ンブル

定エネルギ

ブル

名（規定する
マクロな物理
量）
通称

ーアンサン
ブル
位相空間分布δ(H(p,r)-exp(-βδ(H(p,r)+PV-

exp(-β関数 φ(p,r)E)

H(p,r))

He)(H(p,r)+PV))

概念図：原子の入った四角の箱が物質系、ベージュ
の四角が熱浴、ピストンが定圧装置を示す
この章で紹介するアンサンブル作成アルゴリズムは、NVT-MD、NPT-MD のように、「一定にする巨視的な量」-MD というように総称を付ける。NVT-ensemble、NPTensemble というようには呼ばない。というのは、例えば、原子数 N-体積 V-温度 T が一定になるようなアルゴリズムを使っても、それが、表 1 の NVT アンサンブル（カノニカルアンサンブル）になる、つまり、位相空間分布関数が exp(-βH(p,r))に比例す
る、とは必ずしも限らないからである。それについては、アルゴリズム毎に説明する。なお、アルゴリズムを器械になぞらえて、温度制御アルゴリズムを thermostat（温度制御装置）、圧力制御アルゴリズムを barostat（圧力制御装置）と呼ぶことが276

第 10 章アンサンブルある。表 1 内の模式図では、ベージュの熱浴が thermostat、ピストンが barostat を示している。
これら熱浴やピストンは実在しない、観念上の存在である。一方、実在する、
physical system、つまり分子系のことを、本章では、「物質系」と呼ぶことにする。
あらためて、この章で使う記号を説明しておく。設定温度を T0、実現する瞬間温度をT で表す。T は第 9 章の Tins（式 9.2.5）なのだが、添え字の ins（instantaneous の略）が煩雑なので、省略してＴと表記することにした。T は、時間 t の関数 T(t)である。また、本章で頻出するボルツマン定数 kB は k、自由度 Nf は g と、それぞれ略記す
る。
𝑇=

2
𝑔𝑘

∑𝑁
𝑖=1

𝐩2𝑖
2𝑚𝑖

(10.1.1)

ところで、自由度を Nf ではなく g と書く理由は、単に略記したいからだけではな
く、g は特定のアンサンブルを実現するための調節可能なパラメーター（adjustableparameter）としても扱われることを示唆するためでもある。8.1 節で、自由度は「系の質点の座標のうち独立に決定できる物の数」ないし「熱平衡で kT/2 の運動エネルギ
ーが分配される数」と定義されると書いたが、本章で紹介される様々なアルゴリズム
では、自由度 g は、例えば、「カノニカルアンサンブルが実現するために、つまり、位相空間分布関数が e-βH になるように、設定されるパラメーター」だったりする。かっちり定義されたニュアンスの Nf ではなく、軽い感じの g を使うことで、それを示唆したい、というわけ。
圧力も、温度と同様に、設定圧力を P0、瞬間圧力 Pins(9.3.9)を P と記述する。もちろん、P も時間 t の関数 P(t)である（次式は周期境界条件下での瞬間圧力、詳細は9.3 節参照）。
𝑃=

𝑘𝐵 𝑁𝑇
𝑉

+

1
3𝑉

∑𝑁
𝑖=1 𝐫𝒊 ∙ 𝐟𝒊 − (𝜕𝑈)𝜕𝑉 𝑇,𝐫

(10.1.2)

逆温度 1/(kT)は、説明なしでβと書くことがある。差し支えない場合は、第３,9 章に合わせて、N 原子の座標ベクトル(r1,r2,…, rN)と運動量 ベクトル(p1,p2,…, pN)を、それ
ぞれ、r、 p と略記する。
本章で紹介する方法の実装アルゴリズムは一つには定まらない。だが、ここでは、原則として、第 3 章で紹介した速度ヴェルレ法の拡張の形のアルゴリズムを示すことにする。Tuckerman や Martyna 流に従って指数摂動展開を使うと、自然に速度ヴェルレ法の拡張になるからである。
以下、10.2-5 節では、個々のアルゴリズムの原理と実装を説明する。最後の 10.6
節で、個々のアルゴリズムがどんなアンサンブルを生成するか、非ハミルトン力学を用いて、解析する。なお、本章では、Nosé (1991)、Tuckerman (2010)、Allen &Tildesley (2017)、奥村 (2008,2009)、森下(2015ab)の総説や教科書を頻繁に参照し277

第 10 章アンサンブル

た。
10.2. NVE-MD
NVE-MD、つまり原子数 N、体積 V、エネルギーE が一定の MD 法のアルゴリズムと性質は、すでに、第 3 章「時間積分」で詳しく説明したが、復習しておく。
ハミルトニアン、つまり全エネルギーは𝐻(𝐩, 𝐫) = ∑𝑁
𝑖=1

𝑝𝑖2
2𝑚𝑖

(再 2.5.1)+ 𝑈(𝐫)

また、時間発展演算子 G(h)は、以下の通り。なお、第 3 章では、高次項を落として近似したことを示すために、G*(h)と記述したが、煩雑なので、本章では＊は削って、G(h)と記述する。第 3 章と同じく、単時間刻み幅法を STS、多重時間刻み幅法を MTS
と書く。
ｈ

ｈ

２

２

STS: 𝐆(ℎ) ≡ 𝑒𝑥𝑝 ( 𝐃𝑈 ) 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐃𝐾 )𝑒𝑥𝑝 ( 𝐃𝑈 )
ℎ

ℎ𝑓

2

2

MTS: 𝐆(ℎ𝑠 ) = 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑠 𝐃𝑠 ) (𝑒𝑥𝑝 ((再 3.8.16)ℎ𝑓𝐃𝑓 ) 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝑓 𝐃𝐾 )𝑒𝑥𝑝 (

2

𝐿

ℎ

𝐃𝑓 )) 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑠 𝐃𝑠 )2

(再 3.11.2)
ただし、
𝐃𝐾 =

𝑝 𝜕
𝑚 𝜕𝑟

𝐃𝑈 = 𝑓(𝑟)(再 3.8.11)
𝜕(再 3.8.12)𝜕𝑝

また、位相 (p,r)の出現確率密度、つまり、位相空間分布関数が𝜑𝑁𝑉𝐸 (𝐩, 𝐫) ∝ 𝛿(𝐻(𝐩, 𝐫) − 𝐸)

(9.1.4)になるのはすでに説明した通り。つまり、NVE-MD は、NVE アンサンブル(ミクロカノニ
カルアンサンブル)を実現する。
NVE-MD のコードは以下の通りだが、次節以降、このコードを基準に、いろいろ付け
加わっていくことになる。具体的には、「速度の更新」の部分がアルゴリズムにより、七変化する。
コード 10.2.1 NVE-MD/STS (コード 3.3 速度ヴェルレ法と同じ)
DO i = 1, nstep
v = v + f*h/(2*m)

速度の更新

r = r + v*h
CALL calfor(r,f,U)

座標 r を読んで、力 f とポテンシャル U を返す
278

第 10 章v = v + f*h/(2*m)

アンサンブル

速度の更新

END DO
10.3. NVT-MD
NVT-MD、つまり原子数 N、体積 V、温度 T が一定の MD 法は、温度を一定にするのがメインなので、定温 MD と呼ばれる。NVT-MD 法のアルゴリズムは数多い。それらは大別すると、物質系の温度を一定の値に拘束（固定）してしまう方法と、対象系を熱浴にカップルさせ温度を一定の値の周りに揺らがせる方法の、二つに分けられる。この節で紹介する方法を例に挙げると、前者が [1] 速度スケーリングと [2] ガウスの拘束法、後者が [3] べーレンゼン法、[4] 能勢・フーバー法、[5] 能勢・フーバー・チ
ェインズ法にあたる。
いろいろ難しい式は出てくるが、温度が高いと対象分子の速度が速すぎるし、低いと速度が遅すぎるわけだから、結局のところ、NTV-MD とは「設定温度付近になるように粒子（原子）速度を調整」するアルゴリズムである。
なお、この 10.3 節では、重心（並進）運動の凍結は、とりあえず、考慮しない。だが、実際には、8.1 や 8.4 節で述べたように、NVT-MD の場合は重心運動を凍結したほうがよい。その時は、原則としては、自由度 g を重心の分３だけ減らす。NVT-MD と重心の凍結に関する議論は、10.6 節で、非ハミルトン力学を用いて行う。
10.3.1. 速度スケーリング法
速度スケーリング法 (Velocity scaling; Woodcock, 1971)は、NVT-MD 法の中で、最も単純なものである。この方法には、ハミルトニアンも時間発展演算子もない。瞬間温度 T と設定温度 T0 が一致するように、原子速度（運動量）を、MD のステップ毎にスケールするだけである。つまり、あるステップで速度を計算したら、それからスケ
ーリング因子
𝑠=√

𝑔𝑘𝑇0

∑𝑖

𝑝2
𝑖

𝑇

=√0
𝑇

(10.3.1.1)

2𝑚𝑖を計算し、それぞれの原子の速度を v→sv へと変換する。自由度は、拘束条件一つが入るため、g=3N-1 である。保存量は、運動エネルギー（＝温度）である。
コードは、以下の通り。NVE-MD のコード 10.2.1 に、vscale という、速度をスケールするためのサブルーチンが付け加わっている。

279

第 10 章アンサンブル

コード 10.3.1.1 NVT-MD/STS 速度スケーリング法
DO i = 1, nstep
V = v + f*h/(2*m)
r = r + v*h
CALL calfor(r,f,U)v= v + f*h/(2*m)
CALL vscale(v,T0)

速度を s (式 1)だけスケールする

END DO
この方法は、一瞬で温度を変化させる必要があるときには有効である。さらに、エネルギー極小化のための Quench Dynamics (7.3 節)に用いられることもある。また、すべてのステップでスケーリングするならば、時間刻み幅 h→0 の極限で、次に紹介する温度拘束法に一致する（Nosé, 1991）。すでに書いたように、温度制御とは、このスケーリング法のように、瞬間温度 T が設定温度 T0 に近づくように、原子の速度を調節することを示す。だから、スケーリング法は、温度制御アルゴリズムのプロトタイ
プなのである。
とはいうものの、スケーリング法は、積分精度が悪いし、いろいろと物理的性質がよろしくないので、本計算（production run、物理量計算用の MD）では使わない。本
計算では、このあと紹介する別の方法を使う。なお、本書では紹介しないが、速度ス
ケーリングに確率的なスケーリング因子を使って、カノニカルアンサンブルを実現す
る方法もある（Canonical sampling through velocity rescaling, CSVR 法、Busshi
et al., 2007）。
10.3.2. ガウスの拘束法
次に、ガウスの最小拘束原理（Gauss’s principle of least constraint）を用いた定温アルゴリズム「ガウスの温度拘束法(Gauss’s constraint method, Gaussian
thermostat)」を紹介する。この方法で MD を行えば、温度は一定値のまま揺らがず、
一方、座標空間はカノニカル分布になる (Nosé 1991)。
この方法は、Hoover et al. (1982) と Evans (1983) で、独立に発表された。だが、直後にガウスの原理との関係が明らかにされ（Evans et al., 1983; Evans &Morris, 1990; Nosé, 1991）、ガウスの温度拘束法と呼ばれるようになった。この方法のアルゴリズムにはいくつかの実装方法があるが、以下では Zhang (1997) の実装を紹介する。Zhang は、RESPA の方法を応用して、数学的に厳密な拘束アルゴリズムを開発し、さらに多重時間刻みにも展開した。
前節の速度スケーリング法では、毎回、物質系の原子の速度を温度一定になるよう280

第 10 章アンサンブルにスケールした。だが、ガウスの温度拘束法では、温度一定になるように速度に拘束条件を課し、それを使って運動方程式を立てるところが、大きく違う。
温度拘束法の運動方程式の導出の詳細は 10.6.3 節を参照してもらうことにして、概略は以下の通りである。まず、温度一定の拘束条件は、
∑𝑁
𝑖=1

𝒑2𝑖
2𝑚𝑖

=

𝑔𝑘𝑇0
2

(10.3.2.1)

で、この拘束条件のため、自由度 g は 1 だけ減る（8.1 節の [4]参照）。また、
10.6.3 節で見るように、この条件により、座標空間がカノニカルアンサンブルになる。
(10.3.2.2)

𝑔 = 3𝑁 − 1

ガウスの最小拘束原理により、拘束条件 (1)の下での運動方程式は、(10.3.2.3)

𝐩̇𝑖 = 𝐟𝑖 + 𝜁𝐩𝑖である。ただし、
𝜁=−

𝐩 ∙𝐟
𝑚𝑖
𝑝2
𝑁
∑𝑖=1 𝑖
𝑚𝑖

𝑖 𝑖
∑𝑁
𝑖=1

(10.3.2.4)

式(3)と(4)が拘束法の運動方程式で、摩擦力に似た項ζpi で温度調節を行う。拘束法に限らず、NVT-MD 一般に、通常の分子内力と分子間力の fi に加えて、摩擦力のような項が付け加える。だが、自然界の摩擦力は常に物質を減速するように働くのに対し、NVT-MD の摩擦力は減速だけでなく加速するようにも働く。だから、ζが正になったり負になったりして、温度 T が設定温度 T0 と一致するように、ネガティヴフィード
バック機構で、調節する。
運動方程式(3)を解いて MD を行うと、ポテンシャルエネルギー部分はカノニカルア
ンサンブルになり、一方、運動エネルギー部分は常に設定温度 T0 になる。つまり、位相空間分布関数φ(r,p)は、以下の形になる(10.6.3 節)。
𝜙(𝐫, 𝐩) ∝ 𝛿 (∑𝑁
𝑖=1

𝐩2𝑖
2𝒎𝒊

−

𝑔𝑘𝑇0
𝑈(𝐫)
) 𝑒𝑥𝑝 (−)
2
𝑘𝑇0

(10.3.2.5)

では、具体的に、Zhang (1997)に従って、運動方程式(10.7)に基づく時間積分アル
ゴリズムを作成する（例によって、原子 i に関する和は表記せず、ベクトルもスカラ
ー表示する）。運動方程式(3)のリウヴィル演算子は、
𝐃𝐻 =

𝑝 𝜕
𝜕
+ (𝑓 + 𝜁𝑝)𝑚 𝜕𝑟𝜕𝑝(10.3.2.6)である。これによる時間発展演算子は、式(3.8.9)を使って、𝐆(ℎ) = 𝑒𝑥𝑝 [ℎ (𝑝 𝜕𝜕+ (𝑓 + 𝜁𝑝) )]
𝑚 𝜕𝑟
𝜕𝑝

281

第 10 章ℎ(𝑓+𝜁𝑝) 𝜕𝑝 𝜕ℎ(𝑓+𝜁𝑝) 𝜕] 𝑒𝑥𝑝 [ℎ] 𝑒𝑥𝑝 [
]
2
𝜕𝑝
𝑚 𝜕𝑟
2
𝜕𝑝

アンサンブル(10.3.2.7)≈ 𝑒𝑥𝑝 [になる。p の時間発展は、式 2.5.9 で F=p とおいて、𝑑𝑝𝜕= (𝑓 + 𝜁𝑝) 𝑝 = 𝑓 + 𝜁𝑝𝑑𝑡
𝜕𝑝

(10.3.2.8)を解いて求めることができ、その結果、次の解が得られる1。
𝑝(𝑡) =

1+𝛾−𝜂−𝛾⁄𝜂
1−𝛾[𝑝(0) + 𝑓(0) (1−𝛾)𝛼 ]𝛾
𝜂− ⁄𝜂
𝑓2 (0)

𝛼=√

∑𝑖 𝑖

𝑚𝑖
(0)
𝑝2
∑𝑖 𝑖
𝑚𝑖

, 𝜂 = 𝑒𝑥𝑝(−𝛼𝑡),𝛾=

𝜁(0)−𝛼𝜁(0)+𝛼(10.3.2.9)式(9)を使って、速度部分を時間積分すれば、温度を一定にすることができる。
このアルゴリズムを使って NVT-MD を行うならば、例えば、300 K で MD をしたけれ
ば、300 K の初期温度を与えればよい。あとはずっと 300.0 K のまま、時間積分が進んで行く2。方程式を解析的に解くことの威力を感じさせる。
式(9)を使った、温度拘束法の疑似コード 1 を示す。単一時間刻み STS だけでなく、多重時間刻み MTS のプログラムも簡単に作成できるが、本書では省略する（原報
Zhang, 1997 を参照）。
ところで、温度拘束法には、有限個の原子集団に本来あるべき温度揺らぎが、まったく存在しない不自然さがある。とは言え、通常の MD では、座標空間さえカノニカル
分布になっていれば事足りることも多いため、温度拘束法はしばしば利用される。
コード 10.3.2.1: NVT-MD/ガウスの拘束法
DO i = 1, nstep
CALL temp_const(h/2, m, f/m, v)! 温度（速度）を拘束

r = r + h * v! 座標更新CALL calfor (r,f)! 座標 r で力 f を計算する

CALL temp_const(h/2, m, f/m, v)! 温度（速度）を拘束

END DOSUBROUTINE temp_const(τ, m, a, v)
入力τ! 時間刻み幅m! 質量（実引数は h/2）1

変数ηは、原報ではβだが、ここでは逆温度との重複を避けるため、ηにした。

2

筆者がこの方法をプログラムに実装して試験したら、300.0000 K みたいに、完璧に温度が一定のままだったので、逆に「バグか？」と心配になったほどである。

282

第 10 章a
入出力 v!＝力／質量アンサンブル

(f/m)

! 速度

sigmaMVA = Σmiviai
sigmaMVV = Σmivivi
sigmaMAA = Σmiaiai
ζ= -sigmaMVA/sigmaMVVα= SQRT(sigmaMAA/sigmaMVV)η= exp(-ατ)γ= (ζ-α)/( ζ+α)c1

= (1-γ)/(η-γ/η)c2= (1+γ-η-γ/η)/(1-γ)αv= c1 * (v + c2*a)

END SUBROUTINE vconstrain
10.3.3. Berendsen 法
これ以降は、何らかの形で、物質系を熱浴（heatreservoir）に浸して、温度 T の揺らぎを許容しつつ、設図 10.3.3.1 熱浴

定温度 T0 付近に保つ方法を紹介する。図 1 に概念を示す。お湯が熱浴(heat reservoir)で、丸顔が物質系である。熱浴は、その熱容量は無限大で、物質系と熱のやり取りをしても温度は常に T0 に保たれている、というものを仮定する。
最初に紹介する Berendsen 法（Berendsen et al., 1984）は、Weak coupling to an
external bath と呼ばれ、文字通り、物質系を熱浴に弱く接触させる方法である。この方法は、大雑把には、速度スケーリング法を改良して、ゆっくり温度変化が起こるようにしたもの、と言える。Berendsen の方法では「保存量」がないため、正確な精度評価はできない。また、得られるアンサンブルは、カノニカルとミクロカノニカルの中間的なものとなる（Morishita, 2000)。
以下では、天下り式に熱浴法の運動方程式を与え、”RESPA っぽい”方法を用いて、速度ヴェルレ法の枠内でのアルゴリズムを導出する。Berendsen の原報では速度ヴェルレ法ではなく、蛙飛び法という時間積分法を用いているが、ここでは速度ヴェ
ルレ法を使ってみた（両者は等価）。
さて、この方法の運動方程式は以下の式で与えられる。
•

𝐩𝑖 = 𝐟𝑖 + 𝛾𝐩𝑖(10.3.3.1)
283

第 10 章アンサンブル

ただし、ここで、γは熱浴とのカップリングを行うための摩擦係数のようなもので、以下で定義される。
𝛾=1 𝑇𝑜( − 1)
2𝜏 𝑇(10.3.3.2)

τは物質系と熱浴との結合を調節するための時間定数、To と T は例によって熱浴の温度（＝設定温度）と物質系の瞬間温度である。γは拘束法のζ(10.3.2.4)に対応する。
さて、形式的にリウヴィル演算子（と言っていいかどうかは知らないが）D を定義する（ハミルトニアン H は存在しないので、DH とは書かない）。
𝐃=

𝑝 𝜕

+𝑓

𝑚 𝜕𝑞

𝜕
𝜕𝑝

+ 𝛾𝑝

𝜕
𝜕𝑝

これに基づく時間発展演算子を、以下のように分解した。
𝐆(ℎ) = 𝑒𝑥𝑝 [ℎ (ℎ2≈ 𝑒𝑥𝑝 ( 𝛾𝑝𝑝 𝜕𝜕𝜕+ 𝑓 + 𝛾𝑝 )]
𝑚 𝜕𝑟
𝜕𝑝
𝜕𝑝

𝜕
ℎ
𝜕
𝑝 𝜕
ℎ
𝜕
ℎ
𝜕
) 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑓 ) 𝑒𝑥𝑝 (ℎ) 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑓 ) 𝑒𝑥𝑝 ( 𝛾𝑝 )
𝜕𝑝
2 𝜕𝑝
𝑚 𝜕𝑟
2 𝜕𝑝
2
𝜕𝑝

この演算子からアルゴリズムを作るときは、以下のように近似する。
ℎ
2

𝑒𝑥𝑝 ( 𝛾𝑝𝜕ℎ) 𝑝 ≈ 𝑝 𝑒𝑥𝑝 ( 𝛾)𝜕𝑝2

(10.3.3.3)

γは本来は p1-pN の関数であるが、短い時間刻み h の間ではほとんど変化しないので、一定とおいたわけである。なお、近似を進めて、
ℎ

ℎ

2

2

𝑝 𝑒𝑥𝑝 ( 𝛾) ≈ 𝑝(1 + 𝛾)としても問題ないが、以下の疑似コードでは(3)式を採用した。
コード 10.3.3.1 NVT-MD/Berendsen 法
DO i = 1, nstepγ= 1/(2τ) * (T0/T-1)!

新しい温度 T でのγの計算

v= v * exp(h/2 * γ)

!

温度制御

v

= v + h /2 * f/m

!

速度の更新

r

= r + h * v

!

座標の更新

CALL calfor (f)v!

新しい座標 R での力 F の計算= v + h/2 * f/m

!

速度の更新

CALL calkin(v,T)!

新しい速度 V での温度 T の計算

γ= 1/(2τ) * (T0/T-1)!

新しい温度 T でのγの計算

v= v * exp(h/2 * γ)

!

温度制御
284

第 10 章CALL calkin(V,T)!

アンサンブル

新しい速度 V での温度 T の計算

END DO
このアルゴリズムでは、時間定数（結合定数、Coupling constant）τを使って、熱浴との結合の強さを調節できる。τを無限大にすれば、熱浴との結合がなくなり、ミクロカノニカルアンサンブルになる。一方、τを小さくして時間ステップ h と同じにすると、速度スケーリング法（一応、カノニカルアンサンブル）になる。アンサンブ
ルの性質は、ミクロカノニカルとカノニカルの中間的なものになる（Morishita,2000）。以下では、上述のτの両極限の性質を簡単に示しておく。

τを無限大にすれば、式(2)のγが０になり、結果として運動方程式(1)の右辺は第1 項のみが残る。これは、孤立系の運動方程式そのものだから、ミクロカノニカル MDになる。
一方、τを h と同じにしてしまうと、スケーリング法になるのは、以下のように示すことができる。コード(1)では温度制御を二回行っているので、γの変化が緩やかだとして、時間ステップ h の間に運動量が p→p’に変化するとℎ

2𝑝′ ≈ 𝑝 𝑒𝑥𝑝 ( 𝛾) = 𝑝 𝑒𝑥𝑝 (ℎ
2

1
2𝜏

𝑇

1

𝑇

2𝜏

( 0 − 1)) ≈ 𝑝 (1 + ℎ

𝑇( 0 − 1))
𝑇となる。ここで、h=τとおくと近似的に、
1 𝑇
2 𝑇

𝑇
𝑇

𝑇
𝑇

𝑝′ = 𝑝 (1 + ( 0 − 1)) ≈ 𝑝√1 + ( 0 − 1) = 𝑝√ 0となる。これは速度スケーリング法と一致する（式 10.3.1.1）。
この方法を使って、MD の本計算を行う、つまり物理量や構造を計算するためのトラジェクトリーを作成するときには、τを長めに設定して、ダイナミクスへの影響を小さめにするほうが良い。
この Berendsen の方法は、生体分子では 20 世紀中は標準的に使われていたが、今では、精密な物理量を計算したいときには使われない。だが、アンサンブルの物理学的性質にさほどこだわらない場合には利用される。破綻することが少ない、安定な方法であるからだろうし、また、GROMOS, AMBER, GROMACS などの有力ソフトに導入されているのも一因だろう。
なお、Berendsen 法には定圧バージョン（NPT-MD）もあるが、アルゴリズムは原著論文を参照のこと(Berendsen et al., 1984)。10.5 節に、計算例が載せてある。
10.3.4. Nosé 法
Nosé 法は、カノニカル MD を行う上で、基礎となる方法である（Nosé,1984ab）。この方法に基づいて開発された、Nosé-Hoover 法（10.3.5 節）、Nosé-Hoover chains 法285

第 10 章アンサンブル（10.3.6 節）、Nosé-Poincaré 法（Bond et al., 1999、本書では扱わない）、MTK 法（10.5 節）などが広く使われている。Nosé 法でも、Berendsen 法と同じく、図10.3.3.1 のように、シミュレーション対象の物質系を熱浴粒子に接触させて温度を制御する。対象系を、物質だけでなく、熱浴粒子にまで拡張しているので、拡張系の方法（Extended system method）と呼ばれる。運動量空間と座標空間が一体となってカノニカルアンサンブルになることが理論的にわかっている。
以下、特に Nosé (1991) と Tuckermann (2010) に倣って、Nosé 法の原理と実装を説明する。加えて、本節と次節は、奥村(2008)、森下(2015ab)の解説も参考にした。
この Nosé 法だけ、他の NVT-MD 法に比べて突出して理論的説明が長いが、重要な方法なので悪しからず。
[1] 基本概念～仮想系と現実系

図 10. 3.4.1 Nosé 法の現実系と仮想系

まずは、Nosé (1984ab)の基本的な考え方から始める。Nosé の方法では、通常の現実系 real system(t,pi,ri), i=1,Nと、そのパラレルワールドとして、時間の流れが違っている仮想系 virtural
system (t*, p*i,r*i )を考える3（図 1）。
この二つの系は、運動量（速度）のス
ケーリング因子 s で、pi= p*i/s の関係でつながっており、温度が高く、つまり運動量 pi が大きくなれば、それを減らすよ
うに s が大きくなり、逆に、pi が小さくなれば s も小さくなる。このようなネガ
ティヴフィードバック機構で現実系の温度を一定値に制御する。その点では他の温度制御法と同じなのだが、この因子 s（＝熱浴粒子の座標）を含んだ運動方程式

3

Virtual system の直訳は「実質的な系」である。しかし、少なくともこの文脈では、仮想的な世界だと理解するのが適切なので、「仮想系」と訳した。そして、仮想系の物理量には*を付けてある。Nosé (1984ab,1991) の原著論文では、仮想系の物理量は (t,p,r)、現実系のは(t’,p’,r’)と記述しているが、本書では、現実系を何も付けない(t,p,r)という記述に統一する
ため、原著論文と違う記法になっているので注意。なお、この「仮想系」を「拡張系 Extended
system」と呼ぶことがある。というより、こっちのほうが元祖なのだが、その後、まったく別の意味で「拡張アンサンブル」という言葉が使われるようになって（レプリカ交換法やマルチ
カノニカル法など）紛らわしいので、本書では、仮想系と呼ぶことにした。

286

第 10 章アンサンブルは、仮想系はミクロカノニカル、現実系はカノニカルアンサンブルになるように立てている。仮想系と現実系の物理量は以下の対応関係にある（図 1）。
時間

dt = dt*/s

物質の運動量p = p*/s

物質の座標r = r*

熱浴の運動量ps = ps*/s

熱浴の座標

s = s*(10.3.4.1)

現実系、仮想系ともに、物質と熱浴の座標はどちらも同じである。だが、時間の流れが違い、現実時間 t と仮想時間 t*は、dt=dt*/s の関係になっている。ここで、s は時々刻々変化するため、t=t*/s ではないことに注意。現実系と仮想系では時間の流れが違うため、分子も熱浴も速度が 1/s だけ変わっている。
仮想系はハミルトン系なので、正準方程式が成り立っている。時間 t*も正常に流れている。一方、現実系のほうは、正準方程式が成り立たない。そして、物質の温度が高くなれば時間 t が速く流れて、速度を抑え、結果的に温度が下がるように調節する。逆に、温度が低くなれば、t は遅く流れる。このように、Nosé 法の現実系は、古典力学の範疇をはみだす系、つまり、非ハミルトン系（2.10 節）なのである。
[2] 仮想系のハミルトニアンと運動方程式
以上の、大雑把なカラクリを頭に入れたところで、まずは、仮想系の運動方程式を立てる。仮想系のハミルトニアン HN*を次式で定義する（N は Nosé の頭文字）。なお、

s*と r*は仮想系も現実系も同じなので、これ以降は s,r と記述する。
𝐻𝑁∗ = ∑𝑁𝑖=1

𝐩𝑖∗2
2𝑚𝑖 𝑠 2

+ 𝑈(𝐫) +𝑝𝑠∗2
2𝑄+ 𝑔𝑘𝑇0 𝑙𝑜𝑔 (𝑠)(10.3.4.2)

右辺第 1 項は、物質の運動エネルギー、第 2 項は物質のポテンシャルエネルギーである。第 3 項は熱浴の運動エネルギー。ここで、Q は熱浴の質量だが、Q の次元は[質量(M)] ではなく、[エネルギー(ML2T-2)][時間(T) 2]、つまり[ML2]である。第 4 項は、熱浴のポテンシャルになるわけだが、後述するように、実はこの関数形を使うことで現実系がカノニカルアンサンブルになるのである。g は系の自由度。ここでは g のま
まにしておいて、後でカノニカルアンサンブルを実現するのに適切な値を決める。
仮想系のハミルトニアン HN*から、正準方程式、つまり運動方程式を導いてみる。こ
こで、第 2 章の正準方程式を再録すると、
𝑑𝑟𝑖
𝜕𝐻 𝑑𝑝𝑖𝜕𝐻=,=−𝑑𝑡
𝜕𝑝𝑖 𝑑𝑡𝜕𝑟𝑖(再 2.5.2)

であるが、ハミルトニアン(2)の共役な座標と運動量は、(ri ,p*i,)と(s,ps)であるので、それぞれを(2.5.2)に代入すると、仮想系の正準方程式、つまり運動方程式は以下の連立微分方程式になる。ただし、-∂U/∂ri は物質内の力なので fi と書いた。
287

第 10 章アンサンブル𝐩∗𝜕𝐻 ∗𝑑𝐫𝑖= 𝑁∗ = 𝑖 2
∗
𝑑𝑡
𝜕𝐩𝑖
𝑚𝑖 𝑠
𝑑𝐩∗𝒊

∗
𝜕𝐻𝑁

𝑑𝑡

𝜕𝒓𝑖

∗ = −

= 𝐟𝑖

∗
𝜕𝐻𝑁
𝑑𝑠
𝑝𝑠∗
=
=
∗
𝑑𝑡 ∗
𝜕𝑝𝑠
𝑄

𝐩∗2
𝜕𝐻 ∗
𝑑𝑝𝑠∗
𝑖
= − 𝑁 = ( ∑𝑁
− 𝑔𝑘𝑇0 ) /𝑠
𝑖=1
∗
𝑑𝑡
𝜕𝑠
𝑚𝑖 𝑠 2(10.3.4.3)

運動方程式(3)を解けば、仮想系でのダイナミクス、つまり(p*,r,s,ps*)の時間 t*に沿った変化を計算できる。また、ハミルトニアン HN*(2)が仮想時間 t*について保存される、つまり、
∗
𝑑𝐻𝑁

𝑑𝑡 ∗

(10.3.4.4)=0であることは、(2)を t*で微分し(3)を使って変形すれば、容易に確認できる。以上で説明した仮想系の運動方程式は、ハミルトンの正準方程式なので、式(2)のハミルトニ
アン HN*は本物の「ハミルトニアン」である。
[3] カノニカルアンサンブルの実現 (1) 仮想時間 t*でサンプル再確認するが、Nosé の方法は、カノニカルアンサンブルを作り出すための方法である。そのことを、仮想系と現実系のアンサンブルを導出して確かめてみる。仮想系については、HN* (2)を保存エネルギーとしたミクロカノニカルアンサンブルになるのは自明である。問題の現実系のアンサンブルであるが、物質(p,r)のエネルギーH(p,r)の部分
𝐻(𝐩, 𝐫) = ∑𝑁
𝑖=1

𝐩2𝑖
2𝑚𝑖

+ 𝑈(𝐫)(10.3.4.5)

は、カノニカルアンサンブルになる。そして、仮想時間 t*でサンプルする場合4、

g=3N+1 にする必要がある。これらを以下で示す。具体的には、仮想系のミクロカノニ
カル分配関数 Z*を、式(1)を用いて現実系に変換してカノニカル分配関数になるために「パラメーター」g をどう設定すればよいか、調べる。
仮想系の分配関数 Z *は、HN*が保存エネルギーの場合の、ミクロカノニカル分配関数
だから、HN*は一定値 E をとる。よって、
𝑍 ∗ ≡ ∫ 𝑑 𝑁 𝐫𝑑 𝑁 𝐩∗ 𝑑𝑠 𝑑𝑝𝑠∗ 𝛿(𝐻𝑁∗ − 𝐸)

4

仮想時間 t*でサンプルする、というのは、MD を仮想時間 t*に沿って実行し、ある物理量の時間平均を取ることを指す。

288

第 10 章= ∫ 𝑑 𝑁 𝐫𝑑 𝑁 𝐩∗ 𝑑𝑠 𝑑𝑝𝑠∗ 𝛿 (∑𝑁
𝑖=1

𝐩∗2
𝑖
2𝑚𝑖 𝑠 2

+ 𝑈(𝐫) +𝑝𝑠∗2+ 𝑔𝑘𝑇0 ln𝑠 − 𝐸)
2𝑄

アンサンブル(10.3.4.6)である。ただし、δ()はディラックのデルタ関数。分配関数の前につく定数 1/(N!h3N)
は、ここでは省略した。(6)を、変換式(1)の中の p=p*/s を使って変換すると、

dp*=s3Ndp だから、𝑍 ∗ = ∫ 𝑑 𝑁 𝐫𝑑 𝑁 𝐩 𝑠3𝑁 𝑑𝑠 𝑑𝑝𝑠∗ 𝛿 (∑𝑁
𝑖=1

𝐩2𝑖
2𝑚𝑖

+ 𝑈(𝐫) +𝑝𝑠∗2+ 𝑔𝑘𝑇0 ln𝑠 − 𝐸)
2𝑄

であるが、式(5)、つまり物質のハミルトニアン H(p,r)を代入すれば= ∫ 𝑑 𝑁 𝐫𝑑 𝑁 𝐩 𝑠3𝑁 𝑑𝑠 𝑑𝑝𝑠∗ 𝛿 (𝐻(𝐩, 𝐫) +𝑝𝑠∗2
+ 𝑔𝑘𝑇0 ln𝑠 − 𝐸)
2𝑄

(10.3.4.7)になる。
まずは変数 s についての積分を実行しよう。 (7)式のδ関数の入力変数を、s の関
数 f(s)とみなし、
𝑓(𝑠) ≡ 𝐻(𝐩, 𝐫) +𝑝𝑠∗2
+ 𝑔𝑘𝑇0 ln𝑠 − 𝐸
2𝑄(10.3.4.8)

これにδ関数に関する、次の公式を当てはめる。
公式：

x=x0 で唯一の０を取る関数 f(x)について次の式が成り立つ。
δ(f(x))=δ(x-x0)/|f’(x0)|(10.3.4.9)式(8)を 0 とおけば、簡単な計算で、f(s0)=0 となる s0 は、
𝑝∗2

𝑠0 = 𝑒𝑥𝑝 (𝑠
𝐸−𝐻(𝐩,𝐫)− 2𝑄

𝑔𝑘𝑇0(10.3.4.10))だとわかるが、指数関数だから s0>0。そして、1/|f’(s0)|を計算すれば
1𝑠= 0|𝑓′ (𝑠0 )|𝑔𝑘𝑇0となるので、公式(9)より
𝛿(𝑠−𝑠 )𝑠 𝛿(𝑠−𝑠0 )𝛿(𝑓(𝑠)) = |𝑓′ (𝑠 0)| = 00

𝑔𝑘𝑇0

以上の準備をしたところで、分配関数(7)をさらに変形する。
𝑍 ∗ = ∫ 𝑑 𝑁 𝐫𝑑 𝑁 𝐩 𝑑𝑝𝑠∗ 𝑠3𝑁 𝑑𝑠

𝑠0 𝛿(𝑠−𝑠0 )𝑔𝑘𝑇0= ∫ 𝑑 𝑁 𝐫𝑑 𝑁 𝐩 𝑑𝑝𝑠∗𝑠0
∫ 𝑠3𝑁 𝛿(𝑠 − 𝑠0 ) 𝑑𝑠
𝑔𝑘𝑇0

= ∫ 𝑑 𝑁 𝐫𝑑 𝑁 𝐩 𝑑𝑝𝑠∗𝑠01
𝑠 3𝑁 =∫ 𝑑 𝑁 𝐫𝑑 𝑁 𝐩 𝑑𝑝𝑠∗ 𝑠0 3𝑁+1
𝑔𝑘𝑇0 0𝑔𝑘𝑇0289

第 10 章

=

1
3𝑁+1
𝑝∗2
𝑑 𝑁 𝐫𝑑 𝑁 𝐩 𝑑𝑝𝑠∗ exp {(𝐸 − 𝐻(𝐩, 𝐫) − 𝑠 )}
∫
𝑔𝑘𝑇0
𝑔𝑘𝑇0
2𝑄

アンサンブル(10.3.4.11)以上で、Z*を s に関して積分できた。式(11)はパラメーターg を含むが、もし、

g = 3N+1(10.3.4.12)を採用すれば、(7)は、
1

𝑍 ∗ = (3𝑁+1)𝑘𝑇 ∫ 𝑑 𝑁 𝐫𝑑 𝑁 𝐩 𝑑𝑝𝑠∗ 𝑒𝑥𝑝 {01𝑝∗2(𝐸 − 𝐻(𝐩, 𝐫) − 𝑠 )}𝑘𝑇0
2𝑄

(10.3.4.13)という、簡単な形になり、ボルツマン因子が見えてくる。E に関する項は積分の外に出し、さらに ps*についての積分も実行すると、現実系(p,q)についての分配関数になる。
𝑍∗ =𝑒 𝐸/𝑘𝑇0 √2𝜋𝑄𝑘𝑇0(3𝑁+1)𝑘𝑇0

𝐻(𝐩,𝐫)∫ 𝑑 𝑁 𝐫𝑑 𝑁 𝐩 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑘𝑇 )(10.3.4.14)0Z*の積分の前の係数は、本質には関係ないから気にしなくていい。Z*はボルツマン因子
を位相空間で積分しているから、カノニカルアンサンブルの分配関数である。Z*に*が付いているのは、仮想時間 t*でサンプルしていることを示す。つまり、位相空間分布関数が𝜙(𝐩, 𝐫) ∝ 𝑒𝑥𝑝 (−𝐻(𝐩,𝐫))
𝑘𝑇0(10.3.4.15)になっている。
以上、仮想系（p*,r,ps*,s )がミクロカノニカルアンサンブルならば、仮想時間 t*でサンプルし、自由度を g=3N+1 に設定すれば、現実系の（p,r)がカノニカルアンサンブ
ルになることを示した。補足説明しておくと、s0 が式(10)の形、つまりボルツマン因子になっているのが、最終的にカノニカルアンサンブルになることの肝である。それは、熱浴のポテンシャルが、kT0log(s)の形をしているからで、要するに、最終的にカノニカル分布になるように、熱浴ポテンシャルの関数形が選んであったということである。
[4] カノニカルアンサンブルの実現 (2) 実時間 t でサンプル
以上、仮想時間 t*でサンプルする場合に、g=3N+1 にすれば、現実系の物質の座標と速度がカノニカル分布になることを示した。だが、MD を現実時間 t で実行するとどうなるか、と言うと、g=3N に設定すれば、カノニカルアンサンブルになる、というのが答えである。それを以下で示す。方針として、任意の物理量 F(p,r)の現実時間 t での平均が、カノニカルアンサンブルでの平均と一致するには、g をどう設定すればいいのか調べる。仮想系での位相平均を<>*、現実系での位相平均を<>と表記する。
任意の物理量 F(p,r)の現実時間 t での時間平均は、290

第 10 章1 𝜏𝐹̅ (𝐩, 𝐫) = lim ∫𝜏 𝑑𝑡𝐹(𝐩(𝑡), 𝐫(𝑡))𝜏→∞ 𝜏

アンサンブル(10.3.4.16)0であるが、これを仮想系での時間平均で表すために、
式(1)で変換すると
1

𝜏

1𝜏∗ 𝑑𝑡 ∗= lim ∫0 𝑑𝑡𝐹(𝐩∗ (𝑡)/𝑠(𝑡), 𝐫 ∗ (𝑡)) = lim ∫0𝐹(𝐩∗ (𝑡 ∗ )/𝑠(𝑡 ∗ ), 𝐫 ∗ (𝑡 ∗ ))𝜏𝜏𝑠(𝑡 ∗ )
𝜏→∞𝜏→∞になる。1/τをτ*で表したいが、(1)の第 1 式を積分すれば
𝜏 ∗ 𝑑𝑡 ∗𝜏𝜏 = ∫0 𝑑𝑡 = ∫0𝑠(𝑡 ∗ )になり、また、τ→∞ならτ*→∞だから、𝜏∗ 𝑑𝑡 ∗1𝐹̅ (𝐩, 𝐫) = lim∗∗ ∗𝜏 →∞ ∫𝜏 𝑑𝑡
0 𝑠∫0 𝑠(𝑡 ∗ ) 𝐹(𝐩∗ (𝑡 ∗ )/𝑠(𝑡 ∗ ), 𝐫 ∗ (𝑡 ∗ ))分母分子にそれぞれ 1/τ*を掛けると
1

𝐹̅ (𝐩, 𝐫) =𝜏∗ 𝑑𝑡∗lim ∗ ∫0 𝑠(𝑡∗)𝐹(𝐩∗ (𝑡 ∗ )/𝑠(𝑡 ∗),𝐫 ∗(𝑡 ∗ ))

𝜏∗ →∞𝜏

1 𝜏∗ 𝑑𝑡∗lim ∗ ∫∗
𝜏∗ →∞𝜏 0 𝑠(𝑡 )という形になり、この分子は X/s を、分母は 1/s を、それぞれ、仮想時間で平均したものである。よって、「仮想系でエルゴード仮説が成り立つならば」、位相平均に等しい。つまり、∗∗∗〈𝑋(𝐩 /𝑠,𝐫 )/𝑠〉𝐹̅ (𝐩, 𝐫) =〈1/𝑠〉∗(10.3.4.17)である。さて、この右辺はなんぞや？

というと、X を仮想空間で 1/s の重み付きで平均した値である。この式で、分母も分子も、1/s が掛かっているというのが、g が3N+1 ではなく 3N になることのミソなのである。それは以下で示す。<>*は仮想系での位相平均だから、(17)は、式(7)の分配関数 Z*を使って書くと、∫ 𝑑 𝑁 𝐫𝑑 𝑁 𝐩∗ 𝑑𝑠 𝑑𝑝𝑠∗ 𝛿(𝐻𝑁∗ − 𝐸)𝐹(𝐩∗ /𝑠, 𝐫 ∗ )/𝑠𝑍∗𝐹̅ (𝐩, 𝐫) =1
∫ 𝑑 𝑁 𝐫𝑑 𝑁 𝐩∗𝑑𝑠 𝑑𝑝𝑠∗ 𝛿(𝐻𝑁∗ − 𝐸) 𝑠𝑍∗=

𝑋(𝐩∗ /𝑠, 𝐫 ∗ )
𝑠
1
∗
∗
𝑁
𝑁
∗
∫ 𝑑 𝐫𝑑 𝐩 𝑑𝑠 𝑑𝑝𝑠 𝛿(𝐻𝑁 − 𝐸) 𝑠

∫ 𝑑 𝑁 𝐫𝑑 𝑁 𝐩∗ 𝑑𝑠 𝑑𝑝𝑠∗ 𝛿(𝐻𝑁∗ − 𝐸)(7)-(11)と同じように変形していくと（途中は似たようなもんだからはしょる）=

𝐹(𝐩, 𝐫)𝑠0∫ 𝑑 𝑁 𝐫𝑑 𝑁 𝐩 𝑑𝑝𝑠∗ 𝑔𝑘𝑇∫ 𝑠 𝑠3𝑁 𝛿(𝑠 − 𝑠0 ) 𝑑𝑠0𝑠01
∫ 𝑑 𝑁 𝐫𝑑 𝑁 𝐩 𝑑𝑝𝑠∗ 𝑔𝑘𝑇∫ 𝑠 𝑠3𝑁 𝛿(𝑠 − 𝑠0 ) 𝑑𝑠
0291

第 10 章アンサンブル𝑠0∫ 𝑑 𝑁 𝐫𝑑 𝑁 𝐩 𝑑𝑝𝑠∗ 𝑔𝑘𝑇∫ 𝐹(𝐩, 𝐫)𝑠 3𝑁−1 𝛿(𝑠 − 𝑠0 ) 𝑑𝑠0=𝑠0
∫ 𝑑 𝑁 𝐫𝑑 𝑁 𝐩 𝑑𝑝𝑠∗ 𝑔𝑘𝑇∫ 𝑠3𝑁−1 𝛿(𝑠 − 𝑠0 ) 𝑑𝑠
0
3𝑁

3𝑁−1

∫ 𝑑 𝑁 𝐫𝑑 𝑁 𝐩 𝑍(𝐩,𝐫)𝑒𝑥𝑝(−𝑔𝑘𝑇 𝐻(𝐩,𝐫))∫ 𝑑 𝑁 𝐫𝑑 𝑁 𝐩 𝑑𝑝𝑠∗ 𝑍(𝐩,𝐫)𝑠0=∫ 𝑑 𝑁 𝐫𝑑𝑁 𝐩 𝑑𝑝𝑠∗ 𝑠0 3𝑁−1

=

g=3N

(10.3.4.19)

0

3𝑁∫ 𝑑 𝑁 𝐫𝑑 𝑁 𝐩 𝑒𝑥𝑝(−𝑔𝑘𝑇 𝐻(𝐩,𝐫))0(10.3.4.18)

ここで
とおけば、
𝐻(𝐩,𝐫)𝐹̅ (𝐩, 𝐫) =∫ 𝑑 𝑁 𝐫𝑑 𝑁 𝐩 𝐹(𝐩,𝐫) 𝑒𝑥𝑝(− 𝑘𝑇

0

𝐻(𝐩,𝐫)∫ 𝑑 𝑁 𝐫𝑑 𝑁 𝐩 𝑒𝑥𝑝(− 𝑘𝑇 )0)

= 〈𝐹(𝐩, 𝐫)〉(10.3.4.20)

で、まさに、現実系でのカノニカルアンサンブルになる。
というわけで、現実系でサンプルをする場合、自由度 g=3N を使えば、カノニカルア
ンサンブルになることが分かった。
[5] 現実系の運動方程式
現実系は自由度 g=3N のカノニカル分布になることがわかったところで、現実系の運動方程式を立ててみる。
変換式(1)を使って、仮想系の運動方程式=正準方程式(3)を、現実系に変換すると、
𝑑𝐫𝑖
𝐩
= 𝐢
𝑑𝑡
𝑚𝑖
𝑑𝐩𝐢
𝑑𝑡

𝐩 𝑑𝑠

= 𝐟𝑖 − 𝐢

𝑠 𝑑𝑡

𝑑𝑠
𝑠2 𝑝
= 𝑠
𝑑𝑡
𝑄
𝐩2

𝑑𝑝𝑠
𝑑𝑡

=

𝑖
(∑𝑁
𝑖=1𝑚 −𝑔𝑘𝑇0 )
𝑖

𝑠

𝑝 𝑑𝑠

− 𝑠

𝑠 𝑑𝑡

(10.3.4.21)になる。変数変換(1)が正準変換（2.7 節参照）ではないので、運動方程式(21)は正準方程式ではない。よって、シンプレティック積分アルゴリズムは作れない。だが、保存されるエネルギーHN’は存在する。HN’は偽物の、疑似的なハミルトニアンであることを示すために’が付けてある。HN’は(2)を変換して得られる。
𝐻𝑁′ = ∑𝑁
𝑖=1

𝐩𝑖∗2
2𝑚𝑖

+ 𝑈(𝐫) +𝑠 2 𝑝𝑠2+ 𝑔𝑘𝑇0 𝑙𝑜𝑔 (𝑠) (10.3.4.22)2𝑄

この量が、実時間 t に関して保存することは、(22)を t で微分して、(21)を代入すればすぐ確かめられる。つまり、HN’は保存量であるので、NVE-MD の全エネルギーと同292

第 10 章アンサンブル様に、MD の精度の検証に有効である。しかし、HN’(22)から正準方程式(2.5.2)に従って運動方程式を作ろうとしても、運動方程式(21)を得ることはできない。
すでに述べたように、Nosé 法のように、ハミルトニアンを定義できない MD を、非ハミルトン MD（Non-Hamiltonian MD）と呼ぶ。2.10 節で紹介した、非ハミルトン力学に基づいた MD 法ということである。この後の 10.6 節では、非ハミルトン MD の一般的な解析方法を説明する。なお、本書では解説しないが、Nosé の方法を基に、ハミルトン形式を崩さすに NVT-MD を行う方法として、Nosé-Poincaré 法が開発され（Bond etal., 1999）、しばしば利用されている。
最後に、運動方程式を解くための計算コードを示して終わりにしたいところなのだ
が、実は、現在はここで紹介した Nosé の方法をそのまま使うことはほとんどない。通常は、この後示す Nosé-Hoover 法、Nosé-Hoover chains 法、Nosé-Anderson 法など、
Nosé 法に改良を加えたアルゴリズムが利用されている。そこで、Nosé 法の計算コードは示さずに次に行くことにする。
10.3.5. Nosé-Hoover (NH) 法
前節で紹介した Nosé 法が発表された後、Hoover (1985)が、Nosé 法に変数変換を施して、より簡便なアルゴリズムを作成した。このアルゴリズムは、Nosé-Hooverthermostat（NH 法）と呼ばれ、代表的なカノニカルの NVT-MD 法として広く使われるに至った。その後、Tuckerman et al. (1992) が RESPA の枠組に展開し、多重時間刻み幅法でも可能になった。ここでは、この RESPA 用のアルゴリズムを紹介することにする。NH 法の表式は、前節で紹介したオリジナルの Nosé 法に比べてわかりやすいので、温度制御の仕掛けやその実装（プログラムコード）も紹介する。
[1] NH 法の運動方程式の導出
出発点は、Nosé 法の仮想系の（本物の）ハミルトニアン(10.3.4.2)と運動方程式(10.3.4.3)である。物理量を次の式で変換するが、(10.3.4.1)とは熱浴の部分が少し違うのに注意。
時間

dt = dt*/s

物質系の運動量p = p*/s

物質系の座標r = r*

熱浴の運動量pη = ps*

熱浴の座標

η = log(s)(10.3.5.1)

変換(1)で変換した、NH 法の現実系における疑似ハミルトニアン HNH’と運動方程式
は以下の通りである。

293

第 10 章

′
𝐻𝑁𝐻
= ∑𝑁
𝑖=1

𝐩2𝑖
2𝑚𝑖

+ 𝑈(𝐫) +2𝑝𝜂

2𝑄

アンサンブル(10.3.5.2)+ 𝑔𝑘𝑇0 𝜂

𝑑𝐫𝑖
𝐩
= 𝐢
𝑑𝑡
𝑚𝑖

(10.3.5.3a)𝑝𝜂
𝑑𝐩𝐢= 𝐟𝑖 − 𝐩𝑖𝑑𝑡𝑄(10.3.5.3b)

𝑝𝜂
𝑑𝜂
=
𝑑𝑡
𝑄

(10.3.5.3c)

𝑑𝑝𝜂
𝑑𝑡

𝐩2

𝑖
= ∑𝑁
− 𝑔𝑘𝑇0 (≡ 𝐹𝜂 (𝐩1 , … , 𝐩𝑁 ))𝑖=1(10.3.5.3d)𝑚𝑖

この変換により、扱いが難しい変数 s が消えて、(10.3.4.21)の Nosé 法の現実系の運動方程式に比べて、運動方程式がシンプルになったわけである5。式(2)(3)に登場す
る自由度 g は、現実系なので、3N+1 ではなく 3N である。運動方程式(3)を眺めると、
実はηは不要、つまり式(3c)の dη/dt=pη/Q はなくても構わないことがわかる。だが、ηも運動方程式に入れて、その時間変化を求めれば、それを使って疑似ハミルト
ニアン HNH’（2）を計算し、その保存具合を確かめることで、精度チェックができるわけである。HNH'が保存すること、つまり dHNH'/dt=0 の証明は、運動方程式 (3)を用いればすぐ示すことができるので、ここでは省略する。
運動方程式(3)の温度制御の仕掛けを調べよう。式(3c)を、瞬間温度 T を用いて書き直し、(3b)と並べて書いてみる。
𝑑𝑝𝜂
𝑑𝑡= 𝑔𝑘(𝑇 − 𝑇0 )𝑝𝜂𝑑𝐩𝐢
= 𝐟𝑖 − 𝐩𝑖𝑑𝑡𝑄

図 10.3.5. 1 温度 T と熱浴の運動量 pηの時間変化

温度が上がって T>T0 になれば、dpη/dt>0 になるので、pηが大きくなる。すると、摩擦力
pipη/Q が pi を下げる方向に働く。その結果、
温度 T が下がる。そして、T<T0 になれば、今
度は、T を上げる方向に摩擦力が働く。…
と、こんな具合に、摩擦力を通じたフィードバック機構で温度制御をしているわけである（図 1）。その点では、他の定温アルゴリズ
ムと共通である。

5

Hoover は、ηではなくて、その時間微分ζ=dη/dt を変数としたのだが、Tuckerman らは、

式をηの 2 次形式にするために、ηを変数にしているので、本書でもそれに倣った。

294

第 10 章アンサンブル[2] 熱浴粒子の疑似質量 Q
今までは特に説明してこなかった熱浴粒子の疑似質量 Q について、コメントしておく。既述のように、Q は[ML2]の次元を持つ任意パラメーターである。式(3b)の摩擦力-pipη/Q を見ればわかるように、Q が軽ければ摩擦力が大きくなって温度制御が敏感になるし、逆に Q が重ければ摩擦力が低下して温度制御が鈍感になる。Q の設定方法は任意だが、τという時間の次元を持つパラメーターを入力して、𝑄 = 𝑔𝑘𝑇0 𝜏 2(10.3.5.4)

で Q に変換して利用することが多い。τは熱浴と物質の結合を調節し、短いτならば温度調節は敏感、長いτなら鈍感になる。例えば、MD 開始直後の昇温過程ではτを短くして温度変化に機敏に対応する必要があるが、平衡化後は、τを長めに再設定して、温度変化に鷹揚に対応したほうが、ダイナミクスが自然になる。この匙加減は、Berendsen 法の時定数の調節に似ている。

Q の設定については、Nosé (1991) に詳しい考察があり、対象物質の特性時間(characteristic time 6)をτに設定して、式(4)の Q=gkT0τ2 とするのが、効率が良い、という結論だった。一般に、物質（＝分子集合体）の特性時間は分子の数にはあまり因らないので、対象物質が同じならば同じτを入力すればよい。あとは、式(4)が系の大きさ N に比例して Q を調節してくれる、というわけである。
[3] NH 法のアルゴリズム
それでは、NH 法による NTV-MD アルゴリズムを導出してみよう。ここでは、Tuckerman et al (1991)の RESPA の枠組みで MD コードを作ってみる。運動方程式(3)に対応するリウヴィル演算子は、
𝐃𝑁𝐻 =

𝑝𝜂 𝜕
𝑝𝜂 𝑝 𝜕
𝑝 𝜕
𝜕
𝜕
+𝑓 +
−
+ 𝐹𝜂
𝑚 𝜕𝑟
𝜕𝑝
𝑄 𝜕𝜂
𝑄 𝜕𝑝
𝜕𝑝𝜂

(10.3.5.5)である（例によって、p や r は１次元のスカラー表記）。ただし、Fηは、式(3d)の右辺で、物質の瞬間温度 T の関数である。Fηは熱浴粒子ηに働く力に対応する量なので、ηの添え字が付けてある。
𝐩2𝑖𝐹𝜂 (𝐩1,… 𝐩𝑁 ) = ∑𝑁
− 𝑔𝑘𝑇0 = 𝑔𝑘(𝑇 − 𝑇0 )𝑖=1

𝑚𝑖

(10.3.5.6)

リウヴィル演算子 DNH (5)から得られる時間発展演算子 G(h)は、MD を行うために分割する必要がある。その方法は無数にあるが、ここでは、単純な例を示す（Komeiji

6

特性時間とは何か？

無責任だが、筆者も正確な定義を知らない。たとえば、系が持っている振動周期の一番速いもの、という考え方もあろう。MD の現場では、まずは、対象系に対して予備的に NVE-MD を行い、その温度変化の周期を特性時間とみなして、τに採用する研究者もいる。

295

第 10 章アンサンブルet al., 1997）。演算子を左右対称に並べて、時間発展対称性を保つように、演算子を作ってある。
𝐆(ℎ) = 𝑒𝑥p(ℎ𝐃𝑁𝐻 )ℎ𝜕ℎ 𝑝𝜂 𝜕
ℎ 𝑝𝜂 𝜕
≈ 𝑒𝑥𝑝 [ 𝐹𝜂] 𝑒𝑥𝑝 [−𝑝 ] 𝑒𝑥𝑝 []2 𝜕𝑝𝜂
2 𝑄 𝜕𝑝2 𝑄 𝜕𝜂
𝑒𝑥𝑝 [

ℎ𝑓 𝜕
ℎ𝑝 𝜕
ℎ𝑓 𝜕
] 𝑒𝑥𝑝 [
] 𝑒𝑥𝑝 [
]
2 𝜕𝑝
𝑚 𝜕𝑟
2 𝜕𝑝
ℎ
2

𝑒𝑥𝑝 [ 𝐹𝜂𝜕ℎ 𝑝𝜂
𝜕ℎ 𝑝𝜂 𝜕
] 𝑒𝑥𝑝 [−𝑝 ] 𝑒𝑥𝑝 [
]
𝜕𝑝𝜂
2 𝑄
𝜕𝑝
2 𝑄 𝜕𝜂

(10.3.5.7)

この演算子を用いて、時間発展させると、疑似ハミルトニアン HNH’（2）は、時間
刻み h の打ち切り誤差の範囲で、保存される。ただし、シンプレクティックではない
ため、影のハミルトニアンは存在しない。
G(h)(7)を用いた MD アルゴリズムは、コード 1 になる。このコードでは、物質原子に合わせて、熱浴粒子も運動量 pηではなく速度 vη= pη/Q、力 Fηではなく加速度 Gη=F

/Q を変数として、積分している。1 ステップの間に、物質速度を exp(-hvη/2)倍する

η

操作を 2 回行って、温度制御を行っている。多時間刻み幅法 MTS を使う場合は、座標
更新の部分を変えるだけなので、省略する。
コード 10.3.5.1 NVT-MD/NH 法
DO i = 1, nstep
vη

= vη

η
v

+ h/2 * Gη!

熱浴速度の更新= η + t * vη!

熱浴座標の更新= v * exp(-h/2 * vη)!

温度（速度）制御―

begin: 速度ヴェルレ法v= v + h /2 * f/m!

物質速度の更新r= r + h * v!

物質座標の更新

CALL calfor (F)

－

!

v

= v + h/2 * f/m―

end: 速度ヴェルレ法

新しい座標 R による力 F を計算する!

物質速度の更新－v= v * exp(-h/2 * pη/Q) !

温度制御

Gη

= (Σmv2 - gkT0)/Q!

熱浴の加速度の計算

vη

= vη

!

熱浴座標の更新+ h/2 * GηEND DO
NH 法に限らず、リウヴィル演算子を分割して時間積分アルゴリズムを作成する方法
は、一つではない。例えば、Itoh et al.

(2013) では、NH 法で６種類の積分法を試
296

第 10 章アンサンブル

して、それぞれの方法の実現するアンサンブルを精密に比較している。ほかにも、
Ishida & Kidera (1998)、Ezra (2006)など、いろいろあるので、興味のある向きは調べていただきたい。
NH 法は、代表的なカノニカル NVT-MD 法として、広く使われている。ただし、重心運動の寄与を引かないと、カノニカルアンサンブルから外れてしまう（10.6.4 節参照、ただし、逆に、重心運動を止めてしまえばカノニカルアンサンブルになるから、実用上、問題ない）。また、物質系の原子数が少ない場合や、ポテンシャルがなめら
かでない場合などもカノニカルアンサンブルになりにくいことが知られている。これ
らの問題を回避するためには、次節の Nosé-Hoover Chains 法を使う。
[4] NH 法の実例
NH 法の実例を挙げておく。対象は、付録 3A4 で使った、水中のタンパク質/DNA複合体で、力はエワルド法を図 10.3.5. 2 NH 法の実例。水中のタンパク質・核酸複合体（計算対象については付録 3A4 参照）。

使い、昇温と平衡化で 100
ps シミュレーションしたあと、NH 法で 300 K に温度を設定して、1000 ps まで計算した。時間積分は付録
3A4 の条件 MD5 の多重時間刻み幅法、エワルドの実空
間と LJ のカットオフは 15Åとした。100 ps 以降のエ
ネルギー類をプロットした（図 2A）。
図から見て取れるように、運動エネルギー(E_KIN)
は、300 K に対応した値の周囲でゆらぎ、それに応じて、ポテンシャル（E_POT)
もほぼ安定値の周りを揺らいでいる。それは、定温アルゴリズムが正しく働いていることを示している。
一方、全エネルギーE_TOT と、H_NH つまり、式(2)の H'NH については、検討が必要で297

第 10 章アンサンブルあるので、拡大プロットした（図 2B)。E_TOT は、安定値の周りを揺らいでいるが、ここでは保存量ではないので、当然の結果である。だが、保存量である H_NH の値がじわ
じわと上がっているのが気になる。これは、Nosé 法、NH 法、NHC 法に共通してみられる現象で、短時間では疑似ハミルトニアンは保存するが、時間領域を長めにとると、徐々に値が上がっていく。原因は、物質系に発生するノイズを、熱浴が吸い取っているためと考えられる。この例では、かなり高精度のエワルド法にはしてあるものの、
実空間和と LJ に課した 15Åのカットオフによりわずかにノイズが発生する（6.2.2
節）。NVE-MD ならば、それにより温度やエネルギーが少しづつ上昇する。だが、Nosé法のように熱浴につなげてある場合、物質系の熱を熱浴が吸収するため、物質系の温度やエネルギーはほぼ一定に保たれるが、熱浴のエネルギーは上昇する。そのため、保存量であるはずの疑似ハミルトニアンが、わずかずつだが上昇してしまう。
以上のようなからくりだが、図 2 程度の上昇なら、普通は気にしなくて良い。
10.3.6. Nosé-Hoover Chains (NHC)法
Nosé-Hoover Chains (NHC)法
は、前節の NH 法を発展させた NTV-

図 10. 3.6.1 A. NH 法と B. NHC 法

MD 法である (Martyna et al., 1992,
1996, Tuckerman et al., 2006)。NH法は、前述のように、重心を止めな
いとカノニカルアンサンブルにならないし（10.6.4 節）、止めた場合でも、原子数が少ない系や硬い力が働
く系ではカノニカルにならないことが分かってきた （Hoover, 1985）。
その理由は、ざっくり言うと、「熱浴粒子自体が揺らぎを持っていない（マクスウェル＝ボルツマン分布にならない）から」である。そこで物質に直結している熱浴粒子が揺らぐように、さらに熱浴粒子をくっつける。そのように、熱浴粒子を鎖状につなぐことで、小さな系や硬い系でもカノニカルアンサンブルを実現するようにしたのが、NHC 法である。
というわけで、NH 法では熱浴粒子が 1 個だけだったが（図 1A）、NHC 法では、熱浴粒子を M 個つないで鎖を作っている（図 1B）。物質の構成原子を添え字 i で、熱浴粒子を添え字 j で示すことにするが、j 番目の熱浴粒子は、座標ηj、運動量 pηj、質量

Qj、 j=1,..,M、である。図の矢印は、摩擦熱を通した熱のやり取りを示す。この物質と熱浴からなる系の疑似ハミルトニアンは次式の通りで、これが MD における保存量に298

第 10 章アンサンブルなる。HNHC’の’は、例によって、偽物の、疑似ハミルトニアンであることを示す。
𝑝𝑖2

′
𝐻𝑁𝐻𝐶
= ∑𝑁
𝑖=1

2𝑚𝑖

+ 𝑈(𝐫) + ∑𝑀
𝑗=1

𝑝𝜂𝑗 2
2𝑄𝑗

+ 𝑔𝑘𝑇0 𝜂1 + 𝑘𝑇0 ∑𝑀
𝑗=2 𝜂𝑗(10.3.6.1)

また、運動方程式は、次の通り。
𝑑𝐫𝑖
𝐩
= 𝑖
𝑑𝑡
𝑚𝑖

(10.3.6.2a)𝑝𝜂1
𝑑𝐩𝑖= 𝐟𝒊 −𝐩𝑑𝑡
𝑄1 𝒊(10.3.6.2b)𝑑𝜂𝑗(10.3.6.2c)

𝑑𝑡

=

𝑑𝑝𝜂1

𝑑𝑡

, 𝑗 = 1, 𝑀

= 𝐹𝑗 −

𝑑𝑝𝜂𝑀
𝑑𝑡

𝑄𝑗

𝐩2

𝑝𝜂2

𝑚𝑖

𝑄1

𝑖
= [∑𝑁
− 𝑔𝑘𝑇0 ] − 𝑝𝜂1
𝑖=1

𝑑𝑡
𝑑𝑝𝜂𝑗

𝑝𝜂𝑗

𝑝𝜂𝑗+1
𝑄𝑗+1

𝑝𝜂𝑗 , 𝑗 = 1, . . , 𝑀 − 1(10.3.6.2d)(10.3.6.2e)(10.3.6.2f)= 𝐹𝑀

Fj、j=1,M は熱浴粒子に掛かる仮想的な力
𝐩2𝑖
𝐹1 = ∑𝑁− 𝑔𝑘𝑇0
𝑖=1

𝑚𝑖

𝐹𝑗 =

𝑝𝜂𝑗 2
𝑄𝑗−1

− 𝑘𝑇0 , 𝑗 = 2, 𝑀

(10.3.6.2g)

式(2)の中の、熱浴粒子 j=2,M に関する部分を除けば、NH 法と一致する。また、熱浴粒子の質量 Qj は、τを任意入力として、
𝑄1 = 𝑔𝑘𝑇0 𝜏 2 , 𝑄𝑗 = 𝑘𝑇0 𝜏 2 (𝑗 = 2, 𝑀)(10.3.6.3)

で設定する。1 番目の熱浴粒子だけ、質量に自由度 g が掛かっていて重いが、これは、1 番目の粒子のみが、物質系に直結しているためである（図 1B）。
運動方程式(2)を解いて MD を行うと、熱浴粒子 1 個の NH 法と同様に、仮想的なハミ
ルトニアン（1）はミクロカノニカル分布に従う。また、「物質系の全エネルギー」
は、カノニカル分布に従う。NH 法と同様に、NHC 法でも、温度は保存量ではなく、設定温度 T0 を中心にして揺らぎを持つ。つまり、NH 法と物理的性質は大きく変わらない。だが、NHC 法では、重心運動を止めなくても、硬いポテンシャルの下でも、極端に少数の原子系でも、正しいカノニカルアンサンブルを得ることができる。
余談だが、運動方程式(3e,f)や図 1B を見ればわかるように、熱浴粒子は、ふつうは一本の鎖でつながっているが、一本でなく複数の鎖にすることもある（Nosé-Hoover
Chains）。つまり、計算対象の物質の部分ごとに、別々の鎖をつけて温度制御するような場合もある。そのような例を、10.5 節の定圧 MD 法で紹介する。なお、熱浴粒子
299

第 10 章アンサンブルを鎖だけでなく、網目のようにつないでネットワークにする方法もある（Nosé-Hoover
Network, Morishita, 2010）。
本題に戻って、運動方程式(2)に対応するリウヴィル演算子は、次式になる（Martyna et al., 1996）。
𝐃𝑁𝐻𝐶 =𝑝 𝜕𝜕
+ 𝑓 + 𝐃𝜂𝑚 𝜕𝑞
𝜕𝑝

(10.3.6.4)

この中の、
𝑝𝜂𝑗 𝜕
𝑝𝜂1
𝑝𝜂𝑗+1
𝜕
𝜕
𝜕
−
𝑝 + ∑𝑀−1
𝑝𝑗 )+ 𝐹𝜂𝑀
𝑗=1 (𝐹𝜂𝑗 − 𝑄
𝑄𝑗 𝜕𝜂𝑗
𝑄1
𝜕𝑝
𝜕𝑝
𝜕𝑝
𝑗+1
𝜂𝑗
𝜂𝑀

𝐃 𝜂 = ∑𝑀
𝑗=1

(10.3.6.5)
は、熱浴粒子に関するリウヴィル演算子、また、熱浴粒子にかかる力 Fηj は、以下の通り。
𝐹𝜂1 = ∑𝑁
𝑖=1

𝑝𝑖2
2𝑚𝑖

− 𝑔𝑘𝑇0 , 𝐹𝜂𝑗 =

2
𝑝𝜂𝑗−1

𝑄𝑗−1

− 𝑘𝑇0 (𝑗 = 2, . . , 𝑀)

(10.3.6.6)

DNHC による時間発展演算子 G(h)を分割して時間積分アルゴリズムを作る方法は一つではないが、Martyna et al. (1996) では以下を使っている。
ℎ
ℎ𝑓 𝜕
ℎ𝑝 𝜕
ℎ𝑓 𝜕
ℎ
G(ℎ) = 𝑒𝑥𝑝 (ℎ𝐃𝑁𝐻𝐶 ) ≈ 𝑒𝑥𝑝 [ 𝐃𝜂 ] 𝑒𝑥𝑝 [] 𝑒𝑥𝑝 [
] 𝑒𝑥𝑝 [
] 𝑒𝑥𝑝 [ 𝐃𝜂 ]
2
2 𝜕𝑝
𝑚 𝜕𝑞
2 𝜕𝑝
2
(10.3.6.7)
中間は速度ヴェルレ法そのもの。両端の、熱浴粒子に関する部分は、さらに次のように展開できる。
ℎ
𝑒𝑥𝑝 [ 𝐃𝜂 ]2ℎ𝜕≈ 𝑒𝑥𝑝 [ 𝐹𝜂𝑀]
4𝜕𝑝𝜂𝑀
𝑒𝑥𝑝 [−ℎ 𝑝𝜂𝑀−1𝜕ℎ𝜕ℎ 𝑝𝜂𝑀−1𝜕𝑝𝜂𝑀] 𝑒𝑥𝑝 [ 𝐹𝜂𝑀−1] 𝑒𝑥𝑝 [−𝑝𝜂𝑀]
8 𝑄𝑀−1𝜕𝑝𝜂𝑀
4
𝜕𝑝𝜂𝑀−1
8 𝑄𝑀−1
𝜕𝑝𝜂𝑀
𝑀

𝑝𝜂𝑗 𝜕
ℎ𝑡 𝑝𝜂1 𝜕ℎ… 𝑒𝑥𝑝 [−𝑝 ] 𝑒𝑥𝑝 [− ∑]….
2 𝑄1 𝜕𝑝
2
𝑄1 𝜕𝜂𝑗𝑗=1

𝑒𝑥𝑝 [−ℎ4ℎ 𝑝𝜂𝑀−1𝜕ℎ𝜕ℎ 𝑝𝜂𝑀−1𝜕𝑝𝜂𝑀] 𝑒𝑥𝑝 [ 𝐹𝜂𝑀−1] 𝑒𝑥𝑝 [−𝑝𝜂𝑀]
8 𝑄𝑀−1𝜕𝑝𝜂𝑀
4
𝜕𝑝𝜂𝑀−1
8 𝑄𝑀−1
𝜕𝑝𝜂𝑀

𝑒𝑥𝑝 [ 𝐹𝜂𝑀

𝜕
]
𝜕𝑝𝜂𝑀

(10.3.6.8)

擬似コードは以下の通り。温度調節に関わる部分は、斜体字で示した別のサブルー
チン integ_nhc で行っている。下記のコードは単一時間刻みだが、多重時間刻みにし300

第 10 章アンサンブル

たければ、例によって、中間部を変えるだけなので省略する。
コード 10.3.6.1 NVT-MD NHC 法
DO i = 1, nstep
CALL integ_nhc(T0,h/2,v,η(:),vη(:), Q(:))!

熱浴粒子を積分し、温度を制御v= v + h /2 * f/m!

速度 v の更新r= r + h * v!

座標 r の更新

CALL calfor (F)v!

r による力 F の計算= v + h/2 * f/m

CALL integ_nhc(T0, h/2,v,η(:),vη(:), Q(:))
END DOSUBROUTINE integ_nhc(T0,h,v,η(:),vη(:), Q(:))
―

引数

―

REAL T0! 設定温度REAL h! 時間刻み。実引数は h/2 だが、! 仮引数は h である

REAL v(N)! 物質原子の速度

REAL η(M), vη(M), gη(M), Q(M) !
―局所変数

熱浴粒子の座標、速度、加速度、質量―

REAL vscale! 速度調節（スケール）因子

REAL gη(M)! 熱浴粒子の力/質量! = Fηj/Qj

REAL g

! 自由度

―

―

初期作業

CALL calkin(v,Ekin)!

vscale = 1! 速度調節因子

RT = R * T0

! ボルツマン因子（気体定数）ｘ 設定温度―

熱浴粒子速度の積分(0運動エネルギー→h/2) ―gη(M)= (Q(M-1)*vη(M-1)**2 –RT)/Q(M)vη(M)= vη(M) + h/2* gη(M)DO j = M-1, 2, -1! j の降順

vη(j)= vη(j) * exp[-h/4* vη(j+1)]
gη(j)= (Q(j-1)*vη(j-1)**2 –RT)/Q(j)vη(j)= vη(j) + h/2* gη(j)vη(j)= vη(j) * exp[-h/4* vη(j+1)]
301

第 10 章アンサンブルEND DOvη(1)= vη(1) * exp[-h/4* vη(2)]gη(1)= (2*Ekin –g * RT)/Q(j)vη(1)= vη(1) + h/2* gη(1)vη(1)= vη(1) * exp[-h/4* vη(2)]―熱浴粒子座標の積分

(0

→

h) ―

η(:) = η(:) + h * vη(:)―

速度スケール因子と運動エネルギー―

vscale = vscale * exp(-h * vη(1))
Ekin = Ekin * exp(-2 * h * vη(1))―

熱浴粒子速度の積分(h/2

→

h) ―

vη(1)= vη(1) * exp[-h/4* vη(2)]gη(1)= (2*Ekin –g * RT)/Q(j)vη(1)= vη(1) + h/2* gη(1)vη(1)= vη(1) * exp[-h/4* vη(2)]DO j = 2, M-1 ! j の昇順
vη(j)= vη(j) * exp[-h/4* vη(j+1)]
gη(j)= (Q(j-1)* vη(j-1)**2 –RT)/Q(j)vη(j)= vη(j) + h/2* gη(j)vη(j)= vη(j) * exp[-h/4* vη(j+1)]
END DOgη(M)= (Q(M-1)*vη(M-1)**2 –RT)/Q(M)vη(M)= vη(M) + h/2* gη(M)―物質原子の速度の調節―

v = v * vscale
END
なお、Tuckerman et al. (2006) では、exp(-h/2 Dη)を、Yoshida (1990)の高次シ
ンプレクティック積分法を使ってさらに分割しているが、専門的すぎるので、ここでは省略する。
10.3.7. NVT-MD まとめと補足
以上、NVT-MD、つまり温度を一定にするための、代表的な方法をいくつか紹介した。これらは、決定論的な方法（Deterministic method）で、初期条件を決めればトラジェクトリーは一意的に決まる。一方、ここで紹介できなかった定温アルゴリズム
302

第 10 章アンサンブルに、確率論的な方法（Stochastic method）があり、この方法では、物質系に、ランダ
ムに熱浴粒子を衝突させて温度を制御する。Andersen（1980）熱浴や Langevin 熱浴（Leimkuhler & Matthews, 2013、など）がこれに含まれる。これらの方法に関しては、Allen & Tildesley (2017) の Constant temperature molecular dynamics の項に、概略が載っているので参照のこと7。
10.4. NPHe-MD
前節では、体積一定条件で温度を一定にする方法を紹介してきた。本節と次節では、圧力 P を一定に保つ方法を紹介する。本節と次節の議論も、Tuckerman (2010)に依るところが多い。
定圧 MD 法は、Andersen(1980)法を嚆矢とする8。この論文では、NPHe-MD（定圧定エンタル
ピー）9と NTP-MD（定温定圧）が導出されたが、まずは前者を紹介することにする。もっ図 10.4.1 問題設定。一辺 B の立方体の箱に、全方向から P０の圧力が掛かっている。

とも、NPHe-MD は実用的に使われることはほとんどない。しかし、定圧条件における NPHe ア
ンサンブルは、定積条件における NVE アンサ
ンブルに対応する、理論的に重要なアンサン
ブルである。また、Andersen の方法は、物質系に圧力制御装置（ピストン）を組み合わせ
た、拡張系のプロトタイプでもある。ちなみに、前節で紹介した Nosé の方法とその発展版
は、拡張系の熱浴版である。そんなわけで、Andersen の NPHe-MD 法は、理論的に重要で、また圧力制御の概念を理解するのに適しているので、紹介しておく。
圧力制御の原理自体は簡単である。物質の7

実は、筆者自身は、確率論的な定温アルゴリズムを実装したことも、使ったこともないので、具体的に解説するのは差し控えた、という次第である。
8

さらにこれを非等方的な圧力に展開した、同年の Parrinello & Rahman (1980)も重要。ただし、こちらは、固体結晶を対象としていて、本書の対象範囲を越えているので、言及するにとどめる。
9第 9 章でも書いたように、本書では、エンタルピーを”H”ではなく、"He"と記述する。ハミル

トニアン H と区別するためである。

303

第 10 章アンサンブル

密度が低くなれば P は下がり、高くなれば上がる。外圧 P0 は一定だから、MD の最中に、P<P0 になったら箱を小さくして密度を上げて P が上がるようにし、逆に P>P0 になったら箱を大きくして密度を下げ、P が下がるようにする。温度制御では原子速度を調節して対処したが、圧力制御は物質原子の座標 r と箱の体積 V を調節するわけである。よって、V を力学変数として運動方程式に取り込む必要が出てくる。
以上を前提に、圧力一定の方法の運動方程式を導きだす。
図 1 に問題設定を示す。一辺 B の立方体に N 個の原子が入っていて、等方的に外圧、つまり設定圧力 P0 が掛かっているような系を考える。表 10.1 では一方向からのピストンを描いたけれど、通常の MD では四方八方から外圧が掛かるわけである。境界条件は、周期境界でも非周期境界でも構わないが、通常は周期境界を使う。系の内圧

P（瞬間圧力）は、式(10.1.2)で計算する（詳細は第 9 章）。立方体の体積を V とすれ
ば、一辺の長さ B は
𝐵 = 𝑉1/3(10.4.1)である。
運動方程式の体積依存の部分の議論をしやすくするため、物質原子の座標 r1,…, rN
を B で割って s1,…, sN にする。si は 0≦sxi,syi,szi ≦1 の無次元ベクトルである。
𝐫𝐵

𝐬𝑖 = 𝑖 =𝐫𝑖
𝑉 1/3(10.4.2)

また運動量 p1,…, pN を B 倍してπ1,…, πN に変換する。
𝛑𝑖 = 𝐵𝐩𝑖 = 𝑉1/3 𝐩𝑖(10.4.3)

以下、V と B が混在すると紛らわしいので、(1)の関係を使い、V で議論する。
まずは、ラグランジアン L(=［運動エネルギー］－［ポテンシャル］)を以下のように定義する。
𝐿 = ∑𝑁𝑖=1

𝑚𝑖 𝐫̇𝑖22+

𝑊𝑉 𝑉̇ 2
− 𝑈(𝐫1 , . . , 𝐫1 ) − 𝑃0 𝑉
2

(10.4.4)

右辺第 1 項と第３項は物質系の運動エネルギーとポテンシャルである。右辺第 2 項は仮想的なピストンの運動エネルギーで、体積の時間変化の自乗にピストンの質量 WV を掛けたもの。WV の単位の次元は[M]ではなく、[エネルギー(ML2T-2)][体積（L3)]-2[時間(T)-1]2=[ML-4]であるのに注意（Hoover, 1986、ただし、この論文では、より一般的に、空間の次元10D を使って、[ML2-2D]としている）。体積 V を一般化座標とすれば、V10

空間の次元も、物理量の単位の次元も、どっちも「次元」（dimension）で紛らわしい。ところで、空間次元を多くの文献で d と表記しているが、これでは微分記号と見間違いやすいので、本書では D と大文字表記する。拡散係数 D（第 12 章）や太字立体のリウヴィル演算子 D（第３章）とは、まったく別物なので注意。実は、当初は、本書では、空間次元 D の記号を使わずにすべて 3 にしてしまおうかと考えていた。だが、圧力が関わる場合、いろいろな論文で304

第 10 章アンサンブルと共役な一般化運動量 pV は、次式で定義される。
𝑝𝑉 =𝜕𝐿= 𝑊𝑉 𝑉̇𝜕𝑉̇

(10.4.5)式(2)(3)(5)により、物質座標 ri と運動量 pi の体積 V 依存性を明示できる。
Andersen (1980) は、これらの変数πi、si、V、pV の関数として、物質と圧力制御装置(ピストン）からなる拡張系のハミルトニアン HA を、次式で定義した。
𝐻𝐴 (𝐬, 𝛑, 𝑉, 𝑝𝑉 ) = 𝑉 −2/3 ∑𝑁
𝑖=1

𝛑2𝑖
2𝑚𝑖

+ 𝑈(𝐬, 𝑉) +𝑝𝑉 2
+ 𝑃0 𝑉
2𝑊𝑉(10.4.6)

右辺第 1 項と第 2 項は、それぞれ物質の運動エネルギーとポテンシャルエネルギー
で、通常のハミルトニアンに(2)(3)を代入すれば得られる。第 1 項と第 2 項に体積 Vが入っているので、物質系と体積が繋がる、ということがわかる。第 3 項と第 4 項
は、ラグランジアン(4)で説明したように、ピストンの運動エネルギーとポテンシャル
エネルギーである。

HA から、解析力学の手続きに従い、正準方程式、つまり運動方程式を作ると、以下
の通り。
𝑑𝐬𝑖
𝑑𝑡

=

𝜕𝐻𝐴
𝜕𝛑𝐢

=

𝑉 −2/3 𝛑𝐢(10.4.7a)𝑚𝑖𝜕𝑈(…𝑉 1/3 𝐬𝑖 ..)𝑑𝛑𝐢
𝜕𝐻
𝜕𝑈(𝐬,𝑉)𝑉 1/3 𝜕𝑈=− 𝐴=−=−= − 1/3
𝑑𝑡
𝜕𝐬𝑖
𝜕𝐬𝑖
𝜕𝐬𝑖
𝜕(𝑉
𝐬𝑖 )

(10.4.7b)𝑑𝑉𝜕𝐻𝑃= 𝐴= 𝑉𝑑𝑡
𝜕𝑝𝑉
𝑊𝑉(10.4.7c)

𝑑𝑝𝑉
𝑑𝑡

=−

𝜕𝐻𝐴
𝜕𝑉

2

𝜋𝑖2

3

2𝑚𝑖

= 𝑉 −5/3 ∑𝑁
𝑖=1

1

𝜕𝑈

3

𝜕(𝑉 1/3 𝐬𝑖 )− 𝑉 −2/3 ∑𝑁
𝑖=1∙ 𝐬𝑖 − 𝑃0(10.4.7d)

ただし、式(7d)の右辺第 2 項は∂U/∂V を変形したもの。
ここで、s を r に再変換する。というのは、結局、MD は無次元化していない r について行うため、力やヴィリアルは r に戻さないと計算できないからである。そこで運動方程式(7)の変数を、次の変換式(8)を使って、s から r に戻す。ただし、式(8a,c)は、(2)(3)の再録である。。
𝐬𝑖 = 𝑉 −1/3 𝐫𝑖(10.4.8a)

𝑑𝐬𝑖
𝑑𝐫
1
𝑑𝑉
= 𝑉 −1/3 𝑖 − 𝑉 −4/3 𝐫𝑖
𝑑𝑡
𝑑𝑡
3
𝑑𝑡

(10.4.8b)

D が頻繁に使われているので、結局、それに合わせることにした。D=3 に固定しないで議論する論文が多い理由は、テスト計算に 3 次元ではなく１次元系（自由粒子や調和振動子）を使うた
めかも知れない。

305

第 10 章𝛑𝑖 = 𝑉1/3 𝐩𝑖(10.4.8c)

𝑑𝛑𝑖
𝑑𝐩
1
𝑑𝑉
= 𝑉1/3 𝑖 + 𝑉 −2/3 𝐩𝑖
𝑑𝑡
𝑑𝑡
3
𝑑𝑡

(10.4.8d)

アンサンブル式(8)の変換を運動方程式(7)に施し整理すると、以下の式(9)になる。ただし、fi=-∂U/∂ri とおいた。式(9) が NPHe-MD の運動方程式である。当初の目的の通り、V が力学変数として、取り込まれているのを再確認して欲しい。これが、Andersen (1980)のオ
リジナリティである。
𝑑𝐫𝑖
𝐩
1 𝑑𝑉
= 𝒊+
𝐫
𝑑𝑡
𝑚𝑖
3𝑉 𝑑𝑡 𝑖𝑑𝐩𝒊
𝑑𝑡

= 𝐟𝑖 −

1 𝑑𝑉
3𝑉 𝑑𝑡(10.4.9a)𝐩𝑖(10.4.9b)

𝑑𝑉
𝑃
= 𝑉
𝑑𝑡
𝑊𝑉
𝑑𝑝𝑉
𝑑𝑡

=

1
3𝑉

(10.4.9c)𝑝2𝑖∑𝑁+ 𝐟𝑖 ∙ 𝐫𝑖 ) − 𝑃0
𝑖=1 (

𝑚𝑖

(10.4.9d)式(9d)を詳しく検討しよう。右辺の和は式(10.1.2)の瞬間圧力 P である（∂U/∂V
はここでは気にしなくていい）。よって、𝑑𝑝𝑉= 𝑃 − 𝑃0𝑑𝑡

(10.4.10)

つまり、pV の時間微分は、瞬間圧力と設定圧力の差になる。また、(9c)を時間微分して(10)を代入し、体積 V に関する方程式に変換すれば、
𝑑2 𝑉
𝑃−𝑃0
=
𝑑𝑡 2
𝑊𝑉

(10.4.11)である。式(11)を見ると、圧力変化に対する体積変化がネガティヴフィードバックになっているのがわかる。すなわち、P>P0 の高圧になれば、V を大きくする方向に向かって加速し、結果、原子密度が下がって低圧になる。逆に P<P0 の低圧になれば V を小さくする方向に向かって加速し、結果、原子密度が上がって高圧になる。また、ピストンの質量 WV が小さければ、圧力変化に敏感に反応し、逆に大きければゆっくり反応
することもわかる。WV→∞の極限で、圧力制御が全くない、ミクロカノニカル MD になる。
この運動方程式(9)は、HA から作ったものではあるが、途中の変換式（8）が正準変換ではないので、ハミルトニアンは存在しない。だが、保存エネルギー（疑似ハミルトニアン）H'A は存在する。例によって、疑似的なものであることを示すために、'が付けてある。
𝐻𝐴 ′ (𝐫, 𝐩, 𝑉, 𝑝𝑉 ) = ∑𝑁
𝑖=1

𝐩2𝑖
2𝑚𝑖

+ 𝑈(𝐫) +𝑝𝑉 2
2𝑊𝑉+ 𝑃0 𝑉(10.4.12)306

第 10 章アンサンブル式(12)が保存する、つまり、
𝑑𝐻 ′ (𝐫, 𝐩, 𝑉, 𝑝𝑉 ) = 0
𝑑𝑡 𝐴

であることは、運動方程式(9)を使えば容易に証明できるので、略。式(12)が保存する
ので、近似的には、定エンタルピーアンサンブルが実現する。というのは、系のエンタルピーの定義
𝐻𝑒 = ∑𝑁
𝑖=1

𝐩2𝑖
2𝑚𝑖

+ 𝑈(𝐫) + 𝑃0 𝑉

(10.4.13)を用いれば、（12）は
𝑝 2

𝐻𝐴 ′ (𝐫, 𝐩, 𝑉, 𝑝𝑉 ) = 𝐻𝑒 + 𝑉

2𝑊(10.4.14)と書ける。ここで、右辺第 2 項の pV2/(2W)はピストンの運動エネルギーになるが、この量の時間平均は、熱平衡状態においては、エネルギー等分配則により、
𝑝 2
2𝑊〈 𝑉 〉=

𝑘𝑇2(10.4.15)

である。これは、N 個の原子からなる、拘束のない物質系の平均運動エネルギー

3NkT/2 に比べて、Ｎが充分大きいなら、無視できる。よって、結局、式(14)の HA'が厳密に保存するので、He も近似的に保存する、つまり定エンタルピーアンサンブルが、近似的に実現する。
𝜑𝑁𝑃𝐻𝑒 (𝐩, 𝐫) ∝ 𝛿(𝐻(𝐩, 𝐫) + 𝑃𝑉 − 𝐻𝑒 )(再 9.1.6)

前述のように、NPHe-MD は実用的に使われることはほとんどないので、以上の概念的な紹介にとどめて、時間積分アルゴリズムや疑似コードは省略する。
付記：NPT-MD のための準備
本節の議論を基に、次節の NPT-MD を紹介するわけだが、その準備として、運動方程式(9)と疑似ハミルトニアン(12)を、別の変数で表現しておく。さらに、少しだけ項を追加して、位相空間の体積保存を満たすようにする。
運動方程式(9)(12)では体積 V の時間変化を、𝑉̇を使って表していたが、以下のεを時間微分した𝜀̇を使うことも可能である（Hoover, 1985, 1986, Tuckerman, 2010)。
1
𝐷

𝑉
𝑉0

𝜀 ≡ 𝑙𝑜𝑔 ( )(10.4.16)εは無次元数である。V0 は参照体積だが、この先出てこない。ここでは、単に、εを無次元化するために使っていると考えてよい。D は、説明済みだが、空間の次元で、普通は D=3。εの時間微分は
𝜀̇ =

1 𝑉̇
𝐷𝑉

(10.4.17)
307

第 10 章アンサンブルになり、単位の次元は[T-1]。εの運動エネルギーKεが次式になるように、任意パラメ
ーターの疑似質量 Wεをおく。Wεの単位の次元は[エネルギー][T2]=[ML2] 11。
12

𝐾𝜖 = 𝑊𝜀 𝜀̇2すると、εに共役な運動量 pεは
𝑝𝜀 ≡

𝜕𝐾𝜀
= 𝑊𝜀 𝜀̇𝜕𝜀̇(10.4.18)

である。
Hoover (1985, 1986) によると、どの変数の組(V,pV)、(V,pε)、(ε,pV)、(ε,pε)を使っても、運動方程式を作ることができる。例えば、すでに紹介した式(9)は(V,pV)の組である。これを発展させて NPT-MD アルゴリズムを作ってもいいのだろうが、次節で紹介する論文では、以下の(V,pε)の組を使った運動方程式を基にして、NPT-MD アル
ゴリズムを作っている。g は例によって自由度で、拘束がない場合は g=DN。
𝑑𝐫𝑖𝐩𝑝= 𝒊 + 𝜀 𝐫𝑖
𝑑𝑡
𝑚𝑖
𝑊𝜀
𝑑𝐩𝒊
𝑑𝑡

(10.4.19a)𝐷𝑝= 𝐟𝑖 − (1 + ) 𝜀 𝐩𝑖

(10.4.19b)

𝑔 𝑊𝜀

𝑑𝑉
𝐷𝑉𝑝𝜀
=
𝑑𝑡
𝑊𝜀

(10.4.19c)

𝐩2𝑖
𝑑𝑝𝜀
𝐷
= 𝐷𝑉(𝑃 − 𝑃0 ) + ∑𝑁
𝑖=1
𝑑𝑡
𝑔
𝑚𝑖

(10.4.19d)である。さて、式(19bd)の D/g は、系に拘束がない場合は 1/N である。この 1/N に比例した小さな項は、「位相空間の体積保存を実現するための補正項」である（Martyna
et al, 1994, Tuckerman, 2010）。
運動方程式(19)で実現される運動は、疑似ハミルトニアン(20)が保存量である。それは(20)を時間で微分して、(19a-d)を代入し、圧力 P の定義式(10.3)を使えば、0 になることで確かめられる。
′
𝐻𝑉−𝑝
= ∑𝑁
𝑖=1
𝜀

𝑝𝑖2
2𝑚𝑖

+ 𝑈(𝐫) +𝑝𝜀2+ 𝑃0 𝑉
2𝑊𝜀

(10.4.20)

運動方程式(19)は、次節の NTP-MD アルゴリズムの出発点となる。

11

WV（次元[ML-4]）とは別の量であるので注意。

308

第 10 章アンサンブル10.5. NPT-MD
NPT-MD、つまり、原子数 N、圧力 P、温度 T を一定に保つ MD 法は、特に実験と計算の比較をする上で、実用性が高い。例えば、生体分子の MD
計算は、多くが NPT-MD 法で行われている。本節

図 10.5.1 NoséAndersen 法による NTPMD 法

では、10.3 節の温度一定アルゴリズムと 10.4 節の圧力一定アルゴリズムを組み合わせて、NPT-MD
法のアルゴリズムを作成する方法を解説する。
NPT-MD と言っても、NVT-MD 以上に多種多様なア
ルゴリズムがあるのだが、ここでは、NoséAndersen 法を紹介することにする。
Nosé-Andersen の方法は、10.3.4-6 節の Nosé
法および派生した定温アルゴリズムと、10.4 節のAndersen の定圧アルゴリズムを組み合わせて作られた、NTP-MD 法である。と、ここまでは問題ないのだが、実は、筆者は、「Nosé-Andersen 法」の原報はどの論文を指すべきなのか、把握していない。上述の条件を満たすアルゴリズムは、細部が違うものが、数多く存在しているからである。だが、Martyna, Tobias, Klein (1994）が提唱し、Tuckerman et al.（2006）が改良した MTK 法（論文著者の頭文字）が、Tuckerman (2010) と Allen& Tildesley (2017）の二冊の教科書で推奨されているので、それを紹介することにする。この方法では、10.4 節の NPHe-MD の運動方程式 (10.4.19) を出発点にして、それに 10.3.6 節の NHC 熱浴を組み合わせている（図 1AB）。
以下では、MTK 法の中でも、フル装備の、二本の熱浴の NHC 鎖（Nosé-Hoover
Chains、複数形なのに注目）を、物質と定圧器に別々につないだ方法を紹介する（図1B、Tuckerman et al., 2006）。別々に付ける理由は、物質の温度変化に比べて、定圧器の温度変化は桁違いに遅いので、それぞれ時定数が違う熱浴が必要だからである。なお、熱浴粒子の数 M は、物質用と定圧器用それぞれで別の数でも構わないはずだが、ここでは原著論文に従って、同数の M 個にしてある。
MTK 法も non-Hamiltonian MD の一種であるが、保存エネルギーとしての疑似ハミル
トニアン(H’NPT)は存在する（式(1)）。様々な変数が出てくるが、εは定圧器と体積に関する変数を示す記号であり、また、ri、pi、mi は物質の、η, pη, Q は物質につなげた
NHC 熱浴の、ξ, pξ, Q'は定圧装置につなげた NHC 熱浴の、それぞれ座標、運動量、質309

第 10 章アンサンブル

量である。
𝑝𝑖2

′
𝐻𝑀𝑇𝐾
= ∑𝑁
𝑖=1
𝑝𝜂𝑗 2

+ ∑𝑀
𝑗=1 (

2𝑚𝑖

+

2𝑄𝑗

+ 𝑈(𝐫) +𝑝 𝜉𝑗 2
2𝑄𝑗′

𝑝𝜀2
2𝑊𝜀

+ 𝑃0 𝑉𝑀) + 𝑘𝑇0 (𝑔𝜂1 + ∑𝑀
𝑗=2 𝜂𝑗 + ∑𝑗=1 𝜉𝑗 ) (10.5.1)

運動方程式は、(2a-f)の通り。これは、10.4 節の NPHe-MD 法の運動方程式(10.4.19)に10.3.6.4 の NHC 法の運動方程式（10.3.6.4)を付け足して作成したもので、前述の通り MTK 方程式と呼ばれる。物質、定圧器、物質の熱浴、定圧器の熱浴、それぞれの座
標と運動量が複雑に絡み合って温度と圧力を制御している。D は前節と同じく、空間の次元で、通常は３。
物質の方程式
𝑑𝐫𝑖𝐩𝑝= 𝑖 + 𝜀 𝐫𝑖
𝑑𝑡
𝑚𝑖
𝑊𝜀

(10.5.2a)

𝑝𝜂1
𝑑𝐩𝑖
𝐷 𝑝
= 𝐟𝒊 − (1 + ) 𝜀 𝐩𝒊 −
𝐩
𝑑𝑡
𝑔 𝑊𝜀
𝑄1 𝒊

(10.5.2b)

体積と定圧器の方程式𝑑𝑉𝑝= 𝐷𝑉 𝜀𝑑𝑡
𝑊𝜀(10.5.2c)

𝑝𝜉1
𝐩2𝑖
𝑑𝑝𝜀
𝐷
= 𝐷𝑉(𝑃 − 𝑃0 ) + ∑𝑁
− ′ 𝑝𝜀𝑑𝑡
𝑔 𝑖=1 𝑚𝑖𝑄1

(10.5.2d)物質に結合している熱浴の方程式
𝑑𝜂𝑗
𝑑𝑡

=

𝑑𝑝𝜂𝑗
𝑑𝑡
𝑑𝑝𝜂

𝑝𝜂

𝑗

𝑄𝑗

= 𝐹𝑗 −

𝑀𝑑𝑡(10.5.2e), 𝑗 = 1, 𝑀
𝑝𝜂

𝑗+1

𝑄𝑗+1

(10.5.2f)𝑝𝜂 , 𝑗 = 1, 𝑀 − 1
𝑗(10.5.2g)

= 𝐹𝑀
ただし
𝐩2

𝑝𝜂 2

𝑚𝑖

𝑄𝑗−1

𝑖
𝐹1 = ∑𝑁− 𝐷𝑁𝑘𝑇0 , 𝐹𝑗 =
𝑖=1

𝑗−1

− 𝑘𝑇0 (𝑗 = 2, 𝑀) (10.5.2h)

定圧器に結合している熱浴の方程式
𝑑𝜉𝑗
𝑑𝑡

=

𝑑𝑝𝜉𝑗
𝑑𝑡

𝑝𝜉𝑗
𝑄𝑗

(10.5.2i), 𝑗 = 1, 𝑀

= 𝐹𝑗′ −

𝑝𝜉

𝑗+1

′
𝑄𝑗+1

𝑝𝜉

𝑗

(10.5.2j)

310

第 10 章

𝑑𝑝𝜉

𝑀

𝑑𝑡

= 𝐹𝑀′

アンサンブル(10.5.2k)

ただし
𝐹1′ =

𝑝𝜉 2
𝑝𝜀2
𝑗−1
− 𝑘𝑇0 , 𝐹𝑗′ = ′ − 𝑘𝑇0 (𝑗 = 2, 𝑀)
𝑊𝜀
𝑄𝑗−1(10.5.2L)

運動方程式(2)について、簡単に説明する。物質に関する方程式（2ab)において、座標の時間微分(2a)は、物質速度に加えて、定圧器の速度が加わっている。次に、物質の運動量(2b)の時間微分は、通常の力（右辺第１項）、定圧器（第 2 項）と熱浴（第3 項）からの摩擦力が加わっている。
𝑑𝐩𝑖
𝑑𝑡

𝐷 𝑝

𝑝𝜂1

𝑔 𝑊

𝑄1

= 𝐟𝒊 − (1 + ) 𝜀 𝐩𝒊 −𝐩𝒊

(再 10.5.2b)

この右辺第 2 項の定圧器からの寄与に掛かっている(1+D/g)は、拘束がなければ、

D=3, g=3N なので、1+1/N である。10.4 節のおしまいで触れたとおり、この 1/N が足してあるために、位相空間の体積が変化せず、結果として、正しい NTP アンサンブルが実現できる。式(2cd)の体積と定圧器に関する方程式に出てくる定圧器の運動量 pεは、10.4 節参照。物質の熱浴ηと定圧器の熱浴ξの方程式(2e-2l)は、よく似た形である。だが、F1 と F'1（式 2h と 2l）だけは、直接物質と定圧器に結合している部分なので、違った形になっている。
運動方程式(2)を解けば、疑似ハミルトニアン(1)は保存し、NTP アンサンブルが実現する（10.6.5 節参照）。
なお、MTK 法の運動方程式(2)を使った時間積分アルゴリズムも、Nosé 法から派生した他の方法と同じく、リウヴィル演算子から作成することができる（Tuckerman etal., 2006）。詳細は、ここには掲載しないので、原報を参照のこと。
最後になってしまったが、Nosé-Andersen 法の解説記事として、奥村(2009)が分か
りやすく優れているので、是非、そちらも参照して欲しい。
付記：NPT-MD での圧力と物質密度
NTP-MD のアルゴリズムを、MTK 法を例に取って紹介したが、実は、筆者自身は MTK法に限らず、NPT-MD を実装したことはない。だが、ともあれ、世の中の応用ソフトを使って NTP-MD を実行する場合、留意すべき点がある。それは、圧力の値そのものは、
強烈に揺らぐことが多い、ということである。例えば、1 気圧に設定したら、±1000
気圧ぐらいの値になる、程度のことは普通である（マイナスの値も取ることに注意）。MD 初心者は、その揺らぎの大きさにびっくりして、何か設定を間違ったのではないか、と焦ったりするが、心配することはない。
だが、「圧力が平衡に達したのはどう判断すればいいのか」という問題は残る。それに対する答えは、「物質の密度が一定になれば平衡に達したとみなす」である。例311

第 10 章アンサンブルとして、シニョリンという極小タンパク質を水和して、Berendsen et al. (1984) のNTP-MD で 1 ns シミュ
レーションした結果を載せる（図 1）12。タ

図 10.5. 1 NTP-MD による密度変化の例。水和した
シニョリンを、AmberTools15 で FF14 力場を使っンパク質とイオンは入て計算。

っているけれど、対象系のほとんど水分子である。初期構造
は、図ではよくわからないが、スカスカ
である（グラフの時
刻 0 では、0.75g/ml）。だが、MD 計算を進めていくと、次第に密度が高くなり、つまり、体積が縮んで、0.2 ns 程度で、1.0 g/ml に落ち着いて、圧平衡に達したことがわかる。というわけで、圧力が恐ろしく揺らいでも、密度をしっかりモニターすれば、問題はない。
このように、NTP-MD では、初期構造の密度がいい加減でも、正しい密度に調節してくれる。一方、NTV-MD では密度（体積）は一定なので、初期構造の密度を正しく作ることが重要になる。なお、場合によっては、密度が一定になるまでは NTP-MD で行い、そのあとは NTV-MD で行うこともある。
10.6. 非ハミルトン力学によるアンサンブルの解析
以上、NVE、NTV、NTHe、NTP 条件での MD 法を紹介した。これらのうちのいくつか
は、2.10 節で紹介した非ハミルトン系の力学を用いて、その性質、つまり実現される
アンサンブルを導くことができる。以下では、その導き方の手順を示してから、本章で紹介した中から代表的なアルゴリズムを解析し、実現する系の分配関数を導いてみる。いくつかの方法については、重心運動のアンサンブルの影響も議論する。
10.6.1. 非ハミルトン力学による解析手順
個々のアンサンブルの議論に入る前に、Tuckerman et al (2001, 2010)で提唱されている、非ハミルトン系の一般的な解析方法を、2.10 節を復習しつつ、紹介する。第12Berendsen の方法は、精密な物性計算ならいざ知らず、少なくとも、構造モデリングには十

分である。

312

第 10 章アンサンブル

2 章に合わせて、位相(r,p)は x と表記する。運動方程式(再 2.10.1)

𝐱̇ = 𝛏(𝐱, 𝑡)で実現する物質系の、平衡条件下における分配関数 Z の形を得るのが目的である。まず、この運動方程式を解いて得られる独立な保存量（拘束）をすべて洗い出す。その結果、次の nc 個の量が保存（拘束）されるとする。
𝛬𝑘 (𝒙) = 𝜆𝑘 (𝑘 = 1, … , 𝑛𝑐 )(再 2.10.16)

さらに、位相空間圧縮性を計算し、
𝜅(𝐱, 𝑡) ≡ ∇𝐱 ∙ 𝐱̇ = ∇𝐱 ∙ 𝛏(𝐱, 𝑡)(再 2.10.2）

そのκを使って、𝑡𝑤(𝐱 𝒕 , 𝑡) = ∫0 𝜅(𝐱 𝝉 , 𝜏)𝑑𝜏

(再 2.10.5)√𝑔(𝐱 𝑡 , 𝑡) = 𝑒𝑥𝑝(−𝑤(𝐱 𝑡 , 𝑡))(再 2.10.7)という順番で、位相空間計量√𝑔(𝐱 𝑡 , 𝑡)を求める。なお、熱平衡下では t 依存性は消してよい。最後に、分配関数𝑛𝑐𝑍 = ∫ ∏𝑘=1
𝛿(𝛬𝑘 (𝐱) − 𝜆𝑘 ) √𝑔(𝐱)𝑑𝐱(再 2.10.18）を求める。あとは、必要に応じて変形する。
この解析手順を使って、本章で紹介したアルゴリズムのいくつかについて、位相空間分布関数と分配関数を求めてみる。なお、8.1 と 8.4 節で議論した、重心運動の凍結とアンサンブルの関係も議論する。その場合には、重心座標 rG と運動量 pG を明示的に扱えるように、実験室系の座標と運動量 ri、pi、i=1,N を、直交座標からヤコビ座標に変換する（Jacobi, 1843、Scheck, 2018）13。ヤコビ座標の定義と性質の詳細は付録
10A1 に回すとして、さわりだけ書いておく。ヤコビ座標は、理論物理学の研究室出身の人以外には、耳慣れない言葉だと思う（少なくとも、筆者は知らなかった）。だ

13

ヤコビ座標が、Tuckerman et al. (2001) の原報で Nosé-Hoover や Nosé-Hoover chains の

重心運動の効果の解析に使われた座標であるかどうかは、実は明記されていない。だが、原報では、「相対座標 (relative coordinate) に変換した」と記述されていて、これがヤコビ座標を示すのは、まず間違いないと思う。実は、筆者は、最初は「重心座標に対する相対座標（2.3、2.4、8.1 節）」かな、と考えたのだが、すぐ、それだと辻褄が合わないのに気が付いた。というのは、その場合は、重心座標を分離しても、質点の N 個の座標は N 個のままであるからだ。質点の運動方程式は N 個のうち一つが不要になるから、N-1 個になるが、疑似ハミル
トニアンや拡張系の運動方程式に現れる運動エネルギーは、N 個の質点の運動量を使わないと計算できない。N-1 では理屈に合わないのだ。困って、同僚の森下徹也氏に相談したところ、2体系の相対座標を拡張したヤコビ座標ならば、重心座標１つと N-1 個の一般化座標に分けることができることを教えてもらった。この座標を試したところ、Tuckerman たちの議論に合致す
るのが、すぐに確かめられた。

313

第 10 章アンサンブルが、理科系ならば誰でも、初等力学の 2 体問題で、実験室系の座標を相対座標と重心座標に分離する方法を習ったことがあるはず。この分離方法の拡張がヤコビ座標である。N 体系の質量、座標、運動量、力（mi, ri, pi, fi, i=1,..,N)を直交座標系からヤコビ座標系（μi,ρi,πi,Fi, i=1,..,N)に変換すると、N 番目のヤコビ座標ρN は質点
系全体の重心と一致するので、重心運動と、N-1 個の疑似的な質点の運動に分離できる。つまり、重心運動の影響を明示的に解析できる。また、直交座標→ヤコビ座標の変換のヤコビアンは１だから、正準変換なので、理論的な扱いが楽である。というわけで、以下の議論で、重心運動を分離する場合には、ヤコビ座標を使っている。
念のため書いておくが、ヤコビ座標は単に理論的な解析に用いるだけであって、ヤコビ座標で MD を実行するわけではないので、ご心配なく。
10.6.2. NVE-MD
まずは、単なる定エネルギー条件という例題で、上記の手続きを試してみる。これはハミルトン系だが、非ハミルトン系はハミルトン系を含有するので、適用可能である。2.5 節の議論より、運動方程式は、
𝐱̇ = ∑𝑛𝑖=1 (

𝜕𝐻 𝜕
𝜕𝐻 𝜕
−
)𝐱
𝜕𝑝𝑖 𝜕𝑟𝑖𝜕𝑟𝑖 𝜕𝑝𝑖(10.6.2.1)

また、拘束条件（保存量）は、
∑𝑛𝑖=1

𝑝𝑖2
2𝑚𝑖

+ 𝑈(𝑟1 , . . . , 𝑟𝑛 ) = 𝐸0

(10.6.2.2)である。ここで、位相空間圧縮性は、前に説明した通り、
𝜅 = ∇𝐱 ∙ 𝐱̇ = ∑𝑛𝑖=1 (

𝜕
𝜕
𝜕 𝜕𝐻
𝜕 𝜕𝐻
𝑟̇ +
𝑝̇ ) = ∑𝑛𝑖=1 (−
+
)=0
𝜕𝑟𝑖 𝑖
𝜕𝑝𝑖 𝑖
𝜕𝑟𝑖 𝜕𝑝𝑖𝜕𝑝𝑖 𝜕𝑟𝑖(10.6.2.3)

だから、
𝑡

𝑡

𝑤(𝐱 𝒕 , 𝑡) = ∫0 𝜅(𝐱 𝝉 , 𝜏)𝑑𝜏 = ∫0 0𝑑𝜏 = 0√𝑔 = 𝑒𝑥𝑝(−𝑤) = 𝑒𝑥𝑝(−0) = 1
なので、分配関数 Z は𝑍 = ∫ 𝛿 ( ∑𝑁
𝑖=1
= ∫ 𝛿 ( ∑𝑁
𝑖=1

𝐩2𝑖
2𝑚𝑖

𝐩2𝑖
2𝑚𝑖

+ 𝑈(𝐫1 , … , 𝐫𝑁 ) − 𝐸0 ) ∙ 1𝑑𝐱+ 𝑈(𝐫1 , . . . , 𝐫𝑁 ) − 𝐸0 ) 𝑑𝐱

(10.6.2.4)という、ミクロカノニカル分配関数になる。
以上、NVE-MD がミクロカノニカルアンサンブルになることを、非ハミルトン系の解析方法を用いて示してみた。同様の方法で、次節以降、より複雑なアルゴリズムのア314

第 10 章アンサンブルンサンブルを導いてみる。
実は、8.1 と 8.4 節で少し触れたように、この系には、周期系かつ外力が掛からな
い孤立系では、エネルギー一定以外に、重心の運動量一定 pG(t)=pG(0)と、重心位置と初期配置の間の rG(t)=rG(0)+vG(0)t、というの拘束条件がある（周期系では角運動量は保存しないから、考慮しなくていい）。その条件まで考慮したアンサンブルについて
は、Ray & Zhang (1999)がヤコビ座標を使って導出しているが、ここでは省略する。
10.6.3. NVT-MD （Gauss の拘束法)
今度は、10.3.2 節のガウスの温度拘束法の「配位」分配関数（座標部分の分配関数）がカノニカル分布、つまり、exp(-βU(r))に比例する形、式(10.3.2.5)になることを示す。なお、式(10.3.2.2)では、自明なものとして、天下り的に定義した自由度

g=3N-1 は、ここでは、カノニカル分布にするための調節可能なパラメーター（adjustable parameter）として扱う。
分配関数の導出の前に、運動方程式(10.3.2.3)を、Evans & Morris (1990)と Nosé
(1991)に倣い、ガウスの最小拘束原理を用いて導出する。まず、ガウスの最小拘束原理を説明する。原子 i=1,N からなる系の、非ホロノミックな拘束条件(10.6.3.1)

𝑅(𝐫, 𝐫̇ , 𝑡) = 0の下で運動するときの運動方程式は、原子 i に掛かる通常の力を fi、拘束力を Gi とす
ると、(10.6.3.2)

𝑚𝑖 𝐫𝒊̈ = 𝐟𝒊 + 𝐆𝒊である。拘束条件(1)を時間微分すると、𝑑̇ = 𝜕𝑅 ∙ 𝑑𝐫 + 𝜕𝑅 ∙ 𝑑𝐫̇ + 𝜕𝑅 = 0
𝑅(𝐫, 𝐫̇ , 𝑡)𝑑𝑡
𝜕𝐫 𝑑𝑡
𝜕𝐫̇ 𝑑𝑡𝜕𝑡であるが、これに、式(2)を代入し、左辺に拘束力に関する項をもってきて、さらに、
p、r、G を i について書き下すと、
∑𝑁
𝑖=1

𝜕𝑅

∙

𝐆𝑖

𝜕𝐫𝒊̇ 𝒎𝒊= − ∑𝑁𝑖=1

𝐟𝜕𝑅𝜕𝐫𝒊̇ 𝒎𝒊𝜕𝑅𝜕𝐫𝒊∙ 𝑖 − ∑𝑁𝑖=1

∙ 𝐫𝒊̇ −

𝜕𝑅𝜕𝑡

̇ )≡ 𝑠(𝐫, 𝐫̇ , 𝑡)

(10.6.3.3)になる。この式(3)の右辺は、とりあえず、拘束力にはよらない。で、この式の左辺のG の形には任意性がある。だが、ここで、拘束力 G の絶対値が一番小さくなるように自然は働くという「ガウスの最小拘束原理」を適用する。式(3)の左辺は内積だから
𝐆𝑖
𝜕𝑅
∝ ̇
𝒎𝒊
𝜕𝐫𝒊

(10.6.3.4)を満たす拘束力 G が最小になり、これが実現する、ということになる。
ガウスの最小拘束原理に従って、運動方程式を導出してみよう。温度一定が拘束条件であるから、この場合は(1)の拘束条件は𝐫̇ だけの関数になる。
315

第 10 章𝑅(𝐫̇ ) ≡ ∑𝑁
𝑖=1

𝒎𝒊 2
𝑔𝑘 𝑇
𝐫̇ − 𝐵 0 = 0
2 𝑖
2

アンサンブル(10.6.3.5)すると、式(4)は(5)を微分して𝐆𝑖
𝜕𝑅∝ ̇ = 𝑚𝑖 𝐫̇𝑖 = 𝐩𝑖𝒎𝒊𝜕𝐫𝒊

(10.6.3.6)

だから、要するに、拘束力 Gi はそれぞれの運動量 pi に比例するように取ればいい。それで比例定数をζとして、運動方程式(2)に入れると、(再 10.3.2.3)

𝑚𝑖 𝐫𝒊̈ = 𝐟𝒊 + 𝜁𝐩𝒊

この時点では、ζは未定乗数なので、なんらかの方法で決めないといけない。そこ
で、拘束条件(6)を時間で微分して、r の 2 階微分（加速度）を含む形にすると、∑𝑁
𝑖=1 𝐩𝑖 ∙ 𝐫̈ =0
なので、これに(10.3.2.3)を整理して代入し、
𝐟 +𝜁𝐩𝒊𝒊
0 = ∑𝑁𝑖=1 𝐩𝑖 ∙𝑚𝑖ζについて解けば、
𝜁=−

𝐩 ∙𝐟
𝑚𝑖
𝑝2
𝑁
∑𝑖=1 𝑖
𝑚𝑖

𝑖 𝑖
∑𝑁
𝑖=1

(再 10.3.2.4)となる。つまり、式(10.3.2.4 と 5)が、温度を拘束した場合の運動方程式である。これ以降の議論がしやすいように、座標、運動量の一階微分（𝐫̇ 、𝐩̇ 、つまり𝐱̇ ）に関する形に直しておく。
𝐫̇𝑖 =

𝐩𝑖
𝑚𝑖

(10.6.3.7a)

𝐩̇ 𝑖 = 𝐟𝑖 + 𝜁𝐩𝑖 = 𝐟𝑖 −

𝐩 ∙𝐟
𝑚𝑖
𝑝2
𝑁
∑𝑖=1 𝑖
𝑚𝑖

𝑖 𝑖
∑𝑁
𝑖=1

𝐩𝑖

(10.6.3.7b)運動方程式が求まったところで、これ以降は Tuckerman et al (2010)に倣って、この非ハミルトン系の分配関数を求めてみる。拘束条件は、式(5)である。また位相空間
圧縮性は(7ab)を代入すると、力 fi は r のみの関数で p に依らないから pi での偏微分は０、また、pi の ri での偏微分も０であるから
𝜅(𝐱, 𝑡) = ∇𝐱 ∙ 𝐱̇ = ∑𝑁
𝑖=1 (
= ∑𝑁
𝑖=1 (

𝜕𝐫̇ 𝑖
𝜕𝐩̇
+ 𝑖)
𝜕𝐫𝑖
𝜕𝐩𝑖

𝜕 𝐩𝑖
𝜕
∂
(𝐟 + 𝜁𝐩𝑖 )) = ∑𝑁+
𝑖=1 ∂ 𝐩 ∙ (𝜻𝐩𝒊 )𝜕𝐫𝑖 𝑚𝑖
𝜕𝐩𝑖 𝑖
𝒊

= ∑𝑁
𝑖=1 (𝜻

𝜕𝜕 𝐩𝒊∙ 𝐩𝒊 + 𝐩𝒊 ∙

𝜕𝜻
𝜕 𝐩𝒊

) = ∑𝑁𝑖=1 (3𝜻 + 𝐩𝒊 ∙

𝜕𝜻
𝜕 𝐩𝒊

) 3𝑁𝜻 + ∑𝑁
𝑖=1 𝐩𝒊 ∙

𝜕𝜻
𝜕 𝐩𝒊

=#
316

第 10 章アンサンブルになる。さて、ζの p による偏微分の項だが、ζの定義(10.3.2.4)を繰り返し使うと、∑𝑁
𝑖=1 𝐩𝒊 ∙𝜕𝜻𝜕 𝐩𝒊= − ∑𝑁𝑖=1 𝐩𝒊 ∙

𝜕
𝜕 𝐩𝒊

(

𝐩𝑗∙𝐟𝑗
𝑚𝑗

∑𝑁
𝑗=1

∑𝑁
𝑗=1

𝑝2
𝑗

)

𝑚𝑗

𝐩𝑗∙𝐟𝑗

𝜕

𝐩𝑗∙𝐟𝑗

∑𝑁
∑𝑁
2
𝑗=1 𝑚
𝜕 𝐩𝒊 𝑗=1 𝑚𝑗
𝜕
𝑗
𝑁 𝑝𝑗
∑
= − ∑𝑁
𝐩
∙
(
−
)
2
2
𝑖=1 𝒊
𝑗=1
2
𝑝𝑗
𝜕 𝐩𝒊
𝑚𝑗
𝑝𝑗
𝑁
∑𝑁
(∑
)
𝑗=1
𝑚𝑗

= − ∑𝑁𝑖=1 𝐩𝒊 ∙ (

∙𝐟𝑖
𝑚𝑗𝑖

∑𝑁
𝑗=1

𝑝2
𝑗

−

𝑚𝑗

𝑗=1𝑚
𝑗

𝐩𝑗∙𝐟𝑗
𝑚𝑗

∑𝑁
𝑗=1

𝑝2
𝑗

2𝐩𝑖
2

(∑𝑁
𝑗=1𝑚 )

𝑚𝑖)=−𝑗𝐩𝒊∙∙𝐟𝑖
∑𝑁
𝑖=1
𝑚𝑖
𝑝2
𝑗
∑𝑁
𝑗=1𝑚
𝑗

+2

𝐩𝑗∙𝐟𝑗
𝑚𝑗

∑𝑁
𝑗=1

∑𝑁
𝑗=1

𝑝2
𝑗

𝑚𝑗

= 𝜁 − 2𝜁 = −𝜁と簡単になるので＃に戻して、結局、
𝜅 = ∇𝐱 ∙ 𝐱̇ = 3𝑁𝜁 − 𝜁 = (3𝑁 − 1)𝜁

(10.6.3.8)という形で圧縮性κが求まる。ζに掛かる係数が(3N-1)になのに留意しつつ（「自由度かな」とカンを働かせてほしい）、先に進む。
κ→w→√𝑔と求めていくために、κの表式からζを消して、U や T で表したい。そのため、U の時間微分を計算してみる。途中の変形で、力や運動量の定義を使うと、𝑑𝑈
𝜕𝑼 𝑑𝐫𝒊𝐩𝒊𝑁= ∑𝑁
𝑖=1 𝜕 𝐫 ∙ 𝑑𝑡 = − ∑𝑖=1 𝐟𝒊 ∙ 𝑚𝑑𝑡𝒊𝑖となるが、これはζの分子であり、さらに pi2/mi の和は運動エネルギー×2 なので、分母を自由度 g の系の温度 T に変換すれば、
𝒑𝟐𝒊𝑑𝑈= 𝜁 ∑𝑁𝑖=1 𝑚 = 𝜁𝑔𝑘𝑇
𝑑𝑡𝑖になる。つまり𝜁=1 𝑑𝑈
𝑔𝑘𝑇 𝑑𝑡だから、これを(8)のκに代入して、
𝜅=

3𝑁−1 𝑑𝑈
𝑔𝑘𝑇 𝑑𝑡

このκを (2.10.4)に代入し、さらに(2.10.7)を使えば
𝑤=

3𝑁−1
𝑈
𝑔𝑘𝑇
3𝑁−1

√𝑔 = 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑔𝑘𝑇 𝑈)を得ることができる（√𝑔は自由度 g とは無関係なので注意！）。分配関数(2.10.18)
317

第 10 章アンサンブルは、この√𝑔と拘束条件(5)を使って𝑍 = ∫ 𝛿(∑𝑁
𝑖=1

𝐩2𝑖
2𝒎𝒊

−

𝑔 𝑘 𝑇02)𝑒𝑥𝑝 (−

3𝑁−1
𝑔𝑘𝑇

𝑈(𝐫)) 𝑑𝐱と表される。この式で、温度 T は一定値 T0 に拘束されているから、T0 と書いてよい。
一方、自由度 g は、もし、(10.3.3 再)

𝑔 = 3𝑁 − 1と設定すれば、e-βU(r)の形になる。つまり、座標空間はカノニカル分布になる。

以上、まとめると、ガウスの拘束法の分配関数は、自由度を g=3N-1 と設定すれば、
𝑍(𝐫, 𝐩) = ∫ 𝛿 (∑𝑁
𝑖=1

𝐩2𝑖
2𝒎𝒊

−

𝑔 𝑘 𝑇0𝑈(𝐫)) 𝑑𝐩 ∫ 𝑒𝑥𝑝 (−
) 𝑑𝐫
2
𝑘𝑇0

(10.6.3.10)の形に（定数は除く）、位相空間分布関数は、
𝜙(𝐫, 𝐩) ∝ 𝛿 (∑𝑁
𝑖=1

𝐩2𝑖
2𝒎𝒊

−

𝑔 𝑘 𝑇0𝑈(𝐫)) 𝑒𝑥𝑝 (−)
2
𝑘𝑇0

(再 10.3.2.5)の形になる。つまり、配位（座標）空間は、カノニカルアンサンブルになることが示された。
10.6.4. NVT-MD （Nosé-Hoover 法)
これ以降は、Nosé 法から派生した方法を二つ解析することにする。まずは、カノニ
カル MD の代表的方法と言える、NH 法（10.3.5 節）の位相空間分布関数と分配関数を求めてみよう。
運動方程式は、(10.3.5.3a-d)、保存量は(10.3.5.2)の H'NH である。仮想的なエネル
ギーなので’が付けてある。
′
𝐻𝑁𝐻
= ∑𝑁
𝑖=1

𝐩2𝑖
2𝑚𝑖

+ 𝑈(𝐫) +2𝑝𝜂

2𝑄+ 𝑔𝑘𝑇0 𝜂(10.3.5.2 再)後の便宜のため、物質系部分のハミルトニアンを H(r,p)と書くと、H'NH の初期値を E'とすれば、拘束条件が、𝐻(𝐫, 𝐩) +

2
𝑝𝜂

2𝑄

+ 𝑔𝑘𝑇0 𝜂 − 𝐸′ = 0(10.6.4.1)になる。実は、先に挙げた外力 0 の条件では、重心運動を考慮しないといけなくなる
が、この件はとりあえず棚上げして、先に進む。
[1] 重心運動を考慮しない場合
位相空間圧縮性(2.10.2)は、物質（r,p)だけでなく、熱浴（η,pη）まで位相 x の要素として扱い、計算する。運動方程式(10.3.5.3)を代入すれば𝜕𝐩̇ 𝑖 ⁄𝜕𝐩𝑖 以外の項は全て０になるので、
318

第 10 章𝜅(𝐱, 𝑡) = ∇𝐱 ∙ 𝐱̇ = ∑𝑁
𝑖=1 (
=−

𝑝𝜂
𝑄

∑𝑁
𝑖=1

アンサンブル

𝜕𝑝̇𝜂
𝑝𝜂
𝜕𝐫̇ 𝑖
𝜕𝐩̇
𝜕𝜂̇
𝜕
+ 𝑖) + += ⋯ = ∑𝑁
𝑖=1 𝜕𝐩 (𝐟𝑖 − 𝐩𝑖 𝑄 )
𝜕𝐫𝑖
𝜕𝐩𝑖
𝜕𝜂
𝜕𝑝𝜂
𝑖

3𝑁𝑝𝜂
𝜕𝐩𝑖
=−
= −3𝑁𝜂̇
𝜕𝐩𝑖
𝑄(10.6.4.2)という、時間で積分するのに、おあつらえ向きの形になる。例によって、κ→w→√𝑔と求めていけば、(10.6.4.3)√𝑔 = 𝑒𝑥𝑝(3𝑁𝜂)が得られる。これと拘束条件(1)を使えば、分配関数(2.10.18)は𝑍 = ∫ 𝛿(𝐻(𝐫, 𝐩) +

2
𝑝𝜂

2𝑄

+ 𝑔𝑘𝑇0 𝜂 − 𝐸′ )𝑒 3𝑁𝜂 𝑑𝐫𝑑𝐩 𝑑𝑝𝜂 𝑑𝜂 =∗ここで、δ関数の積分に、10.3.4 節と同様に公式(10.3.22)を利用する14。そのために、＊のδ関数の入力、つまり(11)の右辺をηの関数 f(η）とみなすと、
𝑓(𝜂) ≡ 𝐻(𝐫, 𝐩) +

2
𝑝𝜂

2𝑄

+ 𝑔𝑘𝑇0 𝜂 − 𝐸′

これは、
𝜂0 =

1
𝑔𝑘𝑇0

(𝐸′ − 𝐻(𝐫, 𝐩) −

2
𝑝𝜂

2𝑄

)

のときだけ f(η0)=0 の値を取り、f'(η0)=gkT0 なので、公式(10.3.4.9)より、
𝛿(𝜂−𝜂 )

𝛿(𝑓(𝜂)) = |𝑓′ (𝜂 0)| =0𝛿(𝜂−𝜂0 )𝑔𝑘𝑇0になる。これを*に代入し、さらにδ関数の基本的な公式を使って、ηについて積分すると、∗=∫

𝛿(𝜂−𝜂0 ) 3𝑁𝜂
𝑒 3𝑁𝜂0𝑒𝑑𝜂 𝑑𝐫𝑑𝐩 𝑑𝑝𝜂 = ∫𝑑𝐫𝑑𝐩 𝑑𝑝𝜂
𝑔𝑘𝑇0
𝑔𝑘𝑇0

が得られるで、η0 を入れて変形すれば、
=

2
𝑝𝜂
1
3𝑁
𝑒𝑥𝑝 (
(𝐸′ − 𝐻(𝐫, 𝐩) − )) 𝑑𝐫𝑑𝐩 𝑑𝑝𝜂
∫
𝑔𝑘𝑇0
𝑔𝑘𝑇0
2𝑄

=

2
1
3𝑁𝐸 ′
3𝑁 𝑝𝜂
3𝑁
𝑒𝑥𝑝 (
) ∫ 𝑒𝑥𝑝 (−) 𝑑𝑝𝜂 ∫ 𝑒𝑥𝑝 (−𝐻(𝐫, 𝐩)) 𝑑𝐫𝑑𝐩
𝑔𝑘𝑇0
𝑔𝑘𝑇0
𝑔𝑘𝑇0 2𝑄
𝑔𝑘𝑇0

積分の前に掛かっている係数と pηに関する積分は本質には関係ないので、まとめて Aと置いてしまってよい。また、自由度 g はこの場合は最初から 3N である(10.3.4 節のNosé 法で 3N としたあと、そのまま数学的に変換したのが NH 法だから)。ただし、前節の拘束法のときのように、「カノニカルアンサンブルを実現させるには、g=3N が適

14

やってることは、10.3.4 節の Nosé のオリジナルな方法の位相空間分布関数の導出と、本質的に同じである。

319

第 10 章アンサンブル

切だからこれを採用した」と考えても構わない。いずれにせよ、g=3N を代入すると、最終的に NH 法の分配関数 Z は係数を A と置いて、𝐻(𝐫,𝐩)

Z= 𝐴 ∫ 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑘𝑇 ) 𝑑𝐫𝑑𝐩

(10.6.4.4)0

また、位相空間分布関数は𝜙(𝑟, 𝑝) ∝ 𝑒𝑥𝑝 (−𝐻(𝐫,𝐩))
𝑘𝑇0になる。これは、まさに、温度一定の熱浴に接した物質系で実現する、カノニカル分
布である。
分配関数を、Gauss 法 (10.6.3.10)と NH 法 (4)で比べれば、前者は配位（座標）空間のみがカノニカル分布になっているのに対し、後者は座標・運動量の両方からなる位相空間全体がカノニカル分布になっている。
[2] 重心運動を考慮する場合
ここで立ち止り、Tuckerman et al. (2001) に倣って、NH 法での、重心の並進運動の件を議論してみる。結論を書いてしまうと、重心運動を止めない限り、カノニカル
アンサンブルでなくなってしまう (Nosé, 1984b、Cho et al., 1993、Tuckerman etal., 2001)。だが、逆に重心を止めれば、カノニカルアンサンブルになることもわかっている。そもそも、MD では、重心運動（速度）は 0 に設定するのが、デフォルトのプロトコールである。だから、心配することはない。
以下、第 2 章 2.4 節の定義の通り、系の重心 rG、重心の運動量 pG、質量の合計を mGと記述する。計算対象の物質系にトータルで外力が働かない場合は、力の合計は０、
つまり、∑𝑁
𝑖=1 𝐟𝑖 = 0(10.6.4.5)

このとき、NVE-MD では pG 自体が保存量になるが（2.3 節）、ここで扱う NH 法の場合
は、pGeηが保存量になる。つまり、ある 3 次元の定数ベクトル K を使って、
𝐩𝐺 𝑒 𝜂 = 𝐊(10.6.4.6)が成り立つ。式(6)は、左辺を時間 t で微分して運動方程式(10.3.5.3)を適宜代入すると 0 になることから、簡単に証明できる。K は、系の全運動量 pG と熱浴ηの両方の初期値によって一定値に決まる。pG は 3 次元ベクトルだから、式(6)の条件は、x,y,z 合
わせて３つに思えるが、実は 1 つである。というのは、式(6)で pG と K の xyz 成分を別々に書いて変形すると、
𝑝𝐺𝑦
𝑝𝐺𝑥
𝑝
=
= 𝐺𝑧 = 𝑒 −𝜂
𝐾𝑥
𝐾𝑦
𝐾𝑧

(10.6.4.7)になるので、pG の 3 成分のうち独立なのは１つだけで、その 1 つが決まればあとの２つは自動的に決まってしまうからである。それで、拘束条件としては、重心運動量の320

第 10 章アンサンブル

絶対値|pG|=pG と定数|K|=K の関係のみ、つまり条件(6)ではなく、
𝑝𝐺 𝑒 𝜂 = 𝐾(10.6.4.8)を使う。
以下、ハミルトニアン HNH'（式 10.3.5.2）による拘束条件(1)と、運動方程式(10.3.5.3)を、重心座標 rG と運動量 pG を明示的に扱えるように、実験室系の座標と運動量 ri、pi、i=1,N を、ヤコビ座標に変換する。
NH 法の疑似ハミルトニアン (10.6.3.2) と運動方程式 (10.6.3.3) を、(r,p,η,pη)から(ρ,π,rG,

pG,η,pη)へと変換すると以下の通りになる。前述のように、重心の座標、運動量、質量 rG、pG、mG は、ヤコビ座標においてはρN、πN、μG と記述されるが、重心を分離したことがわかるように、そのまま rG、pG、mG と表記している。
′
𝐻𝑁𝐻= ∑𝑁−1
𝑖=1

𝛑2𝑖
2𝜇𝑖

+

𝐩2𝐺
2𝑚𝐺

+ 𝑈(𝝆, 𝐫𝑮 ) +

2
𝑝𝜂

2𝑄

+ 𝑔𝑘𝑇0 𝜂(10.6.4.9)𝑑𝛒𝑖𝛑= 𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑁 − 1𝑑𝑡
𝜇𝑖(10.6.4.10a)𝑝𝜂
𝑑𝛑𝑖= 𝐟𝑖 − 𝛑𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑁 − 1
𝑑𝑡
𝑄(10.6.4.10b)

𝑝𝜂
𝑑𝜂
=
𝑑𝑡
𝑄

(10.6.4.10c)

𝑑𝑝𝜂
𝑑𝑡

𝛑2

𝐩2𝐺

𝜇𝑖

𝑚𝐺

𝑖
= ∑𝑁−1+
𝑖=1− 𝑔𝑘𝑇0(10.6.4.10d)𝑝𝜂
𝑑𝐩𝐺= − 𝐩𝐺𝑑𝑡
𝑄(10.6.4.10e)

𝑑𝐫𝐺
𝐩
= 𝐺
𝑑𝑡
𝑚𝐺

(10.6.4.10f)(10e)の右辺には、一般的には外力の合計 fG が加わるはずだが、これは、今回の条件（5）により０だから、式には入らない。また、(10e,f)の pG は、式(8)のときの議論
により、スカラーになる。
𝑝𝜂𝑑𝑝𝐺= − 𝑝𝐺𝑑𝑡
𝑄(10.6.4.10e)’

𝑑𝑟𝐺
𝑝
= 𝐺
𝑑𝑡
𝑚𝐺

(10.6.4.10f)’

なお、重心座標 rG がどこにあっても系のダイナミクスに影響が出ないので、これ以降
は(10f,f’)は、議論から抜く。
疑似ハミルトニアン (9)の物質系の部分のハミルトニアンを H(ρ,π,pG)とおき（rGは上述の理由で抜く）、拘束値を E'とすれば、拘束条件は次式になる。

321

第 10 章𝐻(𝛒, 𝛑, 𝑝𝑮 ) +

2
𝑝𝜂

2𝑄

+ 𝑔𝑘𝑇0 𝜂 − 𝐸′ = 0

アンサンブル(10.6.4.11)

さて、拘束条件 (8)(11)の下で、運動方程式(10)を解いて実現するアンサンブル
を、非ハミルトン力学で導いてみる。例によって圧縮性κを計算すると
𝜅(𝐱, 𝑡) = ∇𝐱 ∙ 𝐱̇ = ∑𝑁−1
𝑖=1 (= ∑𝑁−1
𝑖=1
=−

𝜕𝑝̇ 𝜂
𝜕𝛒̇ 𝑖
𝜕𝛑̇
𝜕𝑝̇
𝜕𝜂̇
+ 𝑖) + 𝐺 + +
𝜕𝛒𝑖
𝜕𝛑𝑖
𝜕𝑝𝐺
𝜕𝜂
𝜕𝑝𝜂

𝑝𝜂
𝑝𝜂
𝑝𝜂
𝑝𝜂 𝜕𝑝𝐺𝜕𝜕𝜕𝛑𝑖(𝐅𝑖 − 𝛑𝑖 ) −(𝑝𝐺 ) = − ∑𝑁−1
−
𝜕𝛑𝑖
𝑄
𝜕𝑝𝐺
𝑄
𝑄 𝑖=1 𝜕𝛑𝑖
𝑄 𝜕𝑝𝐺

3(𝑁−1)+1𝑝𝜂 = −[3(𝑁 − 1) + 1]𝜂̇𝑄

(10.6.4.12)となる。さらに、κ→w→√𝑔と求めていけば、(10.6.4.13)√𝑔 = 𝑒𝑥𝑝([(3𝑁 − 1) + 1]𝜂)が得られる。これと拘束条件(8)(11)を使えば、分配関数(2.10.18)は𝑍 = ∫ 𝛿(𝑝𝐺 𝑒 𝜂 − 𝐾)𝛿 (𝐻(𝛒, 𝛑, 𝑝𝑮 ) +

2
𝑝𝜂

2𝑄

+ 𝑔𝑘𝑇0 𝜂 − 𝐸′ ) 𝑒 ((3𝑁−1)+1)𝜂

𝑑 𝑁−1 𝛒𝑑 𝑁−1 𝛑𝑑𝑝𝐺 𝑑𝑝𝜂 𝑑𝜂

(10.6.4.14)(14)をηと pηについて積分すると、
𝐾

1
𝑍 = ∫ 𝑑 𝑁−1 𝛒 ∫ 𝑑𝑝𝐺 ∫ 𝑑𝛑𝑁−1
𝐾3(𝑁−1)+1

(𝑝 )
𝐺

𝐾

(10.6.4.15)√𝐸 ′−𝐻(𝛒,𝛑,𝑝𝑮 )−𝑔𝑘𝑇0 ln (𝑝 )𝑮である。
この式(15)で重要なのは、非積分関数が、e-βH ではなく、別物になってしまっている、つまり、「物質系の質点に掛かる力の総和が０のときには（式(5)）、NH 法はカノニカルアンサンブルを生成しない」という悲しいお知らせである。MD で扱う力は、
普通は物質系の内部相互作用だけだから、総和が０の条件にあてはまってしまう。これは由々しき問題である。
だが、幸いなことに、原著論文（Tuckerman et al., 2001）には、あっさりと「K=0、すなわち、pG(0)=0 という特殊条件を選べば、同じ方法で解析すると、(N-1)VT
アンサンブルの位相空間分布関数を得ることができる」と書いてある。つまり、重心運動を最初から止めてしまえば、自由度 3(N-1)のカノニカルアンサンブルになる、ということである。以下、それを簡単に示しておく。式(9)(10)で、rG, pG を０にすれ
ば、′
𝐻𝑁𝐻= ∑𝑁−1
𝑖=1
𝑑𝛒𝑖
𝑑𝑡

=

𝛑𝑖
𝜇𝑖

𝛑2𝑖
2𝜇𝑖

+ 𝑈(𝝆) +2𝑝𝜂

2𝑄+ 𝑔𝑘𝑇0 𝜂(10.6.4.16), 𝑖 = 1, … , 𝑁 − 1322

第 10 章𝑑𝛑𝑖𝑑𝑡

= 𝐅𝑖 − 𝛑𝑖𝑝𝜂𝑄

アンサンブル, 𝑖 = 1, … , 𝑁 − 1

𝑝𝜂
𝑑𝜂
=
𝑑𝑡
𝑄
𝑑𝑝𝜂
𝑑𝑡

= ∑𝑁−1
𝑖=1

𝛑2𝑖
2𝜇𝑖

(10.6.4.17)− 𝑔𝑘𝑇0になる。HNH'(16)は式(10.3.5.2) で、運動方程式(17)は式(10.3.5.3) で、N の代わりに N-1 と置いたものに等しい。だから、式(4)を導いたときの議論が、自由度を 3(N1)に変えるだけで、そのまま成り立ち、カノニカルアンサンブル、つまり位相空間分布関数が e-βH に比例することがわかる。
すでに述べたように、ヤコビ座標は単に理論的な議論のために導入しただけで、「ヤコビ座標を用いて MD を行う」わけではないので、ご安心を。「疑似コード
10.3.5.1 のアルゴリズムで普通の三次元直交座標を使い」、「第 8.4 節で紹介した方法で初期速度（と、誤差の蓄積が嫌ならば、ステップ毎の瞬間速度）から重心運動を抜き」、「自由度 3(N-1)を使って温度を計算する」、この三つを行えば、NH 法でカノ
ニカルアンサンブルが実現する。何も心配することはない。メデタシメデタシ。
10.6.5. NPT-MD （MTK 法）
最後に、10.5 節の NTP-MD の一種の MTK 法のアンサンブルを求める。結果を先走ると、物質系の重心運動の有無に関わらず、NTP アンサンブル、つまり、位図 10.6.5. 1 一本の NHC
鎖に、物質と定圧器をつなぐ。

相空間分布関数が𝜙𝑁𝑇𝑃 (𝐩, 𝐫) ∝ 𝑒𝑥𝑝(−𝛽(𝐻(𝐩, 𝐫) + 𝑃𝑉))
(再 9.1.7)になる。
本節では、少し手抜きをして、図 10.5.1B の NHC
二本鎖ではなく、図 1 の一本鎖の系について考える。Tuckerman et al. (2001) の原報が一本鎖を扱っていること、一本鎖だけでも充分数学的に複雑であること、一本鎖で本質的なことは証明できること、と言い訳しておく。
保存量の疑似ハミルトニアン H'NPT は、二本鎖の熱浴(10.5.1)よりも簡単で、
′
𝐻𝑀𝑇𝐾
= ∑𝑁
𝑖=1

𝑝𝑖2
2𝑚𝑖

+ 𝑈(𝐫) +𝑝𝜀2
2𝑊𝜀+ 𝑃0 𝑉 + ∑𝑀
𝑗=1

𝑝𝜂𝑗 2
2𝑄𝑗

+ 𝑘𝑇0 [(𝑔 + 1)𝜂1 + ∑𝑀
𝑗=2 𝜂𝑗 ]323

第 10 章アンサンブル(10.6.5.1)になる。一番目の熱浴η1 に(g+1)が掛かっているのは、g は物質の自由度（とりあえず、これから決めるパラメーター）、1 は定圧器の自由度である。また、運動方程式(10.5.2)も以下のように簡単になる。
𝑑𝐫𝑖𝐩𝑝= 𝑖 + 𝜀 𝐫𝑖
𝑑𝑡
𝑚𝑖
𝑊𝜀
𝑝𝜂1
𝑑𝐩𝑖
𝐷 𝑝
= 𝐟𝒊 − (1 + ) 𝜀 𝐩𝒊 −
𝐩
𝑑𝑡
𝑔 𝑊𝜀
𝑄1 𝒊
𝑑𝑉
𝑝
= 𝐷𝑉 𝜀
𝑑𝑡
𝑊𝜀
𝑝𝜂1
𝐩2𝑖
𝑑𝑝𝜀
𝐷
= 𝐷𝑉(𝑃 − 𝑃0 ) + ∑𝑁−𝑝𝑑𝑡
𝑔 𝑖=1 𝑚𝑖
𝑄1 𝜀
𝑑𝜂𝑗

=

𝑑𝑡

𝑑𝑝𝜂1

𝑑𝑡
𝑑𝑝𝜂

𝑗

𝑄𝑗

, 𝑗 = 1, 𝑀
𝐩2

𝑝𝜀2

𝑚𝑖

𝑊𝜀

𝑖
= ∑𝑁
+
𝑖=1

𝑑𝑡
𝑑𝑝𝜂𝑗

𝑝𝜂

=

𝑀

𝑑𝑡

𝑝𝜂 2

=

𝑗−1

𝑄𝑗−1

− (𝑔 + 1)𝑘𝑇0 −− 𝑘𝑇0 −

𝑝𝜂 2

𝑀−1

𝑄𝑀−1

𝑝𝜂

𝑗+1

𝑄𝑗+1

𝑝𝜂

2

𝑄2

𝑝𝜂

1

𝑝𝜂 , 𝑗 = 2, 𝑀 − 1
𝑗(10.6.5.2)− 𝑘𝑇0

この運動方程式の位相空間圧縮性κは𝜅 = ∇𝐱 ∙ 𝐱̇ = ∑𝑁
𝑖=1 (

𝜕𝐫̇ 𝑖
𝜕𝐫𝑖

+

𝜕𝐩̇ 𝑖
𝜕𝐩𝑖

)+

𝜕𝑉̇
𝜕𝑉

+

𝜕𝑝̇𝜀
𝜕𝑝𝜀

Ｍ

𝜕𝜂̇ 𝑗

+ ∑𝑗=1 (𝜕𝜂𝑗+𝜕𝑝̇ 𝜂𝑗𝜕𝑝𝜂𝑗)

0 になる項を除くと
= ∑𝑁
𝑖=1 (
=

𝜕𝑝̇ 𝜂𝑗
𝜕𝐫̇ 𝑖
𝜕𝐩̇
𝜕𝑉̇
𝜕𝑝̇
+ 𝑖 ) + + 𝜀 + ∑𝑀
𝑗=1 𝜕𝑝
𝜕𝐫𝑖
𝜕𝐩𝑖
𝜕𝑉
𝜕𝑝𝜀
𝜂𝑗

𝑁𝐷𝑝𝜂1
𝑝𝜂1
𝑝𝜂𝑗
𝑁𝐷𝑝𝜀
𝐷 𝐷𝑝
𝐷𝑝
− 𝑁 (1 + ) 𝜀 −
+ 𝜀−
− ∑𝑀
𝑗=2 𝑄
𝑊𝜀
𝑔 𝑊𝜀
𝑄1
𝑊𝜀
𝑄1
𝑗

=(

(𝐷𝑁+1)𝑝𝜂1
𝑝𝜂𝑗𝑔−𝐷𝑁 𝐷𝑝𝜀
)
−
− ∑𝑀
𝑗=2 𝑄
𝑔
𝑊𝜀
𝑄1
𝑗

さて、pε/Wεの係数を 0 にするために, g=DN とおく。
これは、拘束がないので自由度が 3N ということである。すると、=−(𝐷𝑁+1)𝑝𝜂1
𝑄1

− ∑𝑀
𝑗=2

𝑝𝜂𝑗
𝑄𝑗

= −(𝐷𝑁 + 1)𝜂1̇ − ∑𝑀
𝑗=2 𝜂𝑗̇という、時間で積分するのに、おあつらえ向きの形になる。そして、κ→w→√𝑔と求めて、最後に324

第 10 章アンサンブル𝜂 𝑐 = ∑𝑀
𝑗=2 𝜂𝑗とおけば(10.6.5.3)√𝑔 = 𝑒𝑥𝑝[(𝐷𝑁 + 1)𝜂1 + 𝜂𝑐 ]が得られる。拘束条件は、(1)の疑似ハミルトニアンが一定値 E'に等しい、つまり、′
𝐻𝑀𝑇𝐾= 𝐻(𝐩, 𝐫) +

𝑝𝜂𝑗 2
𝑝𝜀2
+ 𝑃0 𝑉 + ∑𝑀
+ 𝑘𝑇0 ((𝐷𝑁 + 1)𝜂1 + 𝜂𝑐 ) = 𝐸'
𝑗=1
2𝑊𝜀
2𝑄𝑗

(10.6.5.4)
である。H(p,r)は物質系のハミルトニアン。
まずは,Σfi≠0 の場合のアンサンブルを求める。すると、拘束条件は、式(4)のみになる。このとき、分配関数(2.10.18)は′𝑍 = ∫ 𝛿(𝐻𝑁𝑇𝑃− 𝐸′)𝑒𝑥𝑝[(𝐷𝑁 + 1)𝜂1 + 𝜂𝑐 ]𝑑𝑉𝑑 𝑁 𝐫𝑑 𝑁 𝐩𝑑 𝑀 𝑝𝜂 𝑑𝜂1 𝑑𝜂𝑐 𝑑𝑝𝜀 =η1 を変数にしてデルタ関数を積分すると、
𝑀

𝑝𝜂𝑗 2
1
𝑝𝜀2
= ∫ 𝑒𝑥𝑝 [(𝐷𝑁 + 1)
(𝐸′ − 𝐻(𝐩, 𝐫) −− 𝑃0 𝑉 − ∑− 𝑘𝑇0 𝜂𝑐 )𝑘𝑇0 (𝐷𝑁 + 1)
2𝑊𝜀
2𝑄𝑗
𝑗=1

+ 𝜂𝑐 ] 𝑑𝑉𝑑 𝑁 𝐫𝑑 𝑁 𝐩𝑑 𝑀 𝑝𝜂 𝑑𝜂𝑐 𝑑𝑝𝜀= ∫ 𝑒𝑥𝑝 [

𝑝𝜂𝑗 2
1
𝑝2
(𝐸 ′ − 𝐻(𝐩, 𝐫) − 𝜀 − 𝑃0 𝑉 − ∑𝑀)] 𝑑𝑉𝑑 𝑁 𝐫𝑑 𝑁 𝐩𝑑 𝑀 𝑝𝜂 𝑑𝑝𝜀
𝑗=1
𝑘𝑇0
2𝑊𝜀
2𝑄𝑗

ηc は、非積分関数から消えるのに注意。積分変数を整理して、最終的に、
𝐸′

𝑍=𝑒

−𝑘𝑇

0

𝑝2

1

∫𝑒

−𝑘𝑇 2𝑊𝜀
0

𝜀

𝑝𝜂𝑗2

1

𝑑𝑝𝜀 ∫ 𝑒−𝑘𝑇 ∑𝑀
𝑗=1 2𝑄
0

𝑗

𝑃 𝑉

− 0

𝑑 𝑀 𝑝𝜂 ∫ 𝑒 𝑘𝑇0 𝑑𝑉 ∫ 𝑒𝐻(𝐩,𝐫)− 𝑘𝑇0

𝑑 𝑁 𝐫𝑑 𝑁 𝐩(10.6.5.5)の形になる。式(5)の黄色の部分は、位相空間分布関数が e-β(H+PV)に比例すること、つまり、生成されるアンサンブルが NTP アンサンブル(9.1.7)であることを示している。
というわけで、MTK 法でΣfi≠0 の場合は、NTP アンサンブルになることがわかった。では、Σfi=0 の場合のアンサンブルはどうなるのか、というと、やはり NTP アン
サンブルになることが証明されている（Tuckerman et al., 2001）。ただし、一般的な証明は、数学的にかなりごたごたしているので、ここで紹介するのはやめる。以下
では、重心速度を０に止めた場合に限定して、NTP アンサンブルになることを示しておく。
Σfi=0 のときは、(1)の保存エネルギーH’MTK に加えて、10.6.4 節に類似の、物質系の重心の運動量 pG に関する次式が拘束条件になる（K は初期条件により決まる定
数）。

325

第 10 章𝐷𝑔

アンサンブル(10.6.5.6)

𝑝𝐺 𝑒𝑥𝑝 [(1 + ) 𝜀 + 𝜂1 ] = 𝐾

さらに、例によって、物質系の位相(p,r)をヤコビ座標(π、ρ, pG, rG)に直し、系のダイナミクスに無関係な rG を省いて、保存エネルギーと運動方程式を書き直せば、′
𝐻𝑀𝑇𝐾= ∑𝑁−1
𝑖=1

𝛑2𝑖
2𝜇𝑖

+

𝐩2𝐺
2𝑚𝐺

+ 𝑈(𝝆) +

𝑝𝜂𝑗 2
𝑝𝜀2
+ ∑𝑀
+ 𝑔𝑘𝑇0 𝜂1 + 𝑘𝑇0 𝜂𝑐 + 𝑃0 𝑉
𝑗=1
2𝑊𝜀
2𝑄𝑗

(10.6.5.7)𝑑𝛒𝑖𝛑𝑝= 𝑖 + 𝜀 𝛒𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑁 − 1
𝑑𝑡
𝜇𝑖
𝑊𝜀
𝑑𝛑𝑖

𝑝

𝑝𝜂1

𝑔 𝑊𝜀

𝑄1

𝐷

= 𝐟𝒊 − (1 + ) 𝜀 𝛑𝒊 −𝑑𝑡

𝛑𝒊 , 𝑖 = 1, … , 𝑁 − 1

𝑝𝜂1
𝑑𝑝𝐺
𝐷 𝑝
= − (1 + ) 𝜀 𝑝𝐺 −
𝑝
𝑑𝑡
𝑔 𝑊𝜀
𝑄1 𝐺
𝑑𝑉
𝑑𝑡

𝑝𝜀

= 𝐷𝑉

𝑑𝑝𝜀
𝑑𝑡
𝑑𝜂𝑗
𝑑𝑡

=

𝑑𝑝𝜂𝑗

𝑝𝜂𝑗
𝑄𝑗

,

𝛑2

𝐩2𝐺

𝑔

𝑚𝑖

𝑚𝐺

=[

𝑑𝑝𝜂𝑀

𝛑2

𝐩2𝐺

𝑚𝑖

𝑚𝐺

𝑝𝜂𝑗−1 2
𝑄𝑗−1

𝑄𝑀−1

+

𝑝𝜂1
𝑄1

𝑝𝜀

𝑝𝜂2
𝑝𝜀2
− 𝑔𝑘𝑇0 ] − 𝑝𝜂1
𝑊𝜀𝑄2− 𝑘𝑇0 ] − 𝑝𝜂𝑗𝑝𝜂𝑀−1 2=[)−

𝑗 = 1, … , 𝑀𝑖= [∑𝑁−1
+
𝑖=1

𝑑𝑡

𝑑𝑡

𝐷

𝑖
= 𝐷𝑉(𝑃 − 𝑃0 ) + (∑𝑁−1
+
𝑖=1

𝑑𝑝𝜂1

𝑑𝑡

𝑊𝜀

𝑝𝜂𝑗+1
𝑄𝑗+1

− 𝑘𝑇0 ]

, 𝑗 = 2, . . , 𝑀 − 1(10.6.5.8)

重心の初期速度が０という条件では式(6)で K=0 だから、常に pG=0。これを、式(7)(8)に入れれば、結局、式(1)(2)で、N を N-1 に置き換えただけの式になる。だから、得られる分配関数は、式(5)で N→N-1 に変えただけになる。つまり、重心運動を最初から止めてしまえば、NTP アンサンブル、正確には(N-1)TP アンサンブルが実現する。
第 10 章のまとめ
以上、いくつかのアンサンブルを MD で実現するための温度や圧力の制御アルゴリズ
ムとその理論的な背景を解説した。
特に、重要なアルゴリズムに関しては、実現されるアンサンブルを、非ハミルトン326

第 10 章アンサンブル

力学に基づいて、導いてみた。面倒な数学的議論を重ねると、物質系全体の重心を止めるか止めないかで、アンサンブルが変わるケースが出てくることがわかった。だが、通常の MD では、物質系の重心運動を止めてしまうことが普通だし、そして、重心運動を止めてしまえば、望み通りの NTV アンサンブルや NTP アンサンブルが得られるのだから、エンドユーザーは心配する必要はないと思う。
なお、ここで紹介した以外にも、いろいろなアンサンブル用アルゴリズムが開発され、使われている。例えば、タンパク質・生体膜系の MD には、より複雑なアンサンブ
ルが必要となる(Ikeguchi et al., 2004)。本章で紹介しきれなかったものは、各自、必要に応じて調べていただきたし。

付録 10A1. ヤコビ座標
10.6.4 節で利用したヤコビ座標は、重心運動を分離して解析するのに適した座標である。名前の通り、Jacobi (1848) による変換方法で、さほど知られていないが、調べた限りでは、Scheck (2018）の力学の教科書の問 2.24 として紹介されている。この変換のヤコビ行列式は１になるため（証明略）、2.7 節で紹介した正準変換の一種であり、そのため、理論的に扱い易い。力学で 2 体問題を解くときは、2 体の位置座標を、重心座標と相対座標に変換して解くが、ヤコビ座標は、この変換を N 体系に拡張した方法である。そこで、話を簡単かつ直感的にするため、初等力学の 2 体問題を拡張する形で、ヤコビ座標を定義する。
対象として、N 個の質点系（座標 ri,運動量 pi、質量 mi、掛かる力 fi、i=1,N）を、相対座標に変換する（図１）。出発点は、直交座標での運動方程式(1)である。
𝑚𝑖𝑑 2 𝐫𝑖= 𝐟𝑖 ,
𝑑𝑡 2

𝑖 = 1, … , 𝑁(10A1.1)

N 個の質点に、1 から N の番号を振る（図 1）。順
番は任意、つまりどうでもいい。また、1 から i ま

図 10A1. 1 対象の N 体系。適当に番号を振る。

での質量の部分和を
𝑀𝑖 = ∑𝑖𝑘=1 𝑚𝑘(10A1.2)と定義する。
まずは 1 番目と 2 番目の質点を選び、その相対座
標ベクトル、つまりヤコビ座標をρ1 と定義する（図２）。
𝛒1 = 𝐫1 − 𝐫2
どっかの力学の教科書から 2 体問題の答えをそのまま持ってくると、運動方程式(1)を変換して得られるρ1 に関する運動方程式は、
327

第 10 章アンサンブル𝜇1 𝛒1 = 𝐅1
ただし、μ1 は換算質量で
𝑚1 𝑚2

𝜇1 =

𝑚1 +𝑚2

=

𝑚1 𝑚2
𝑀2

図 10A1. 2 1 番目のヤコビ
座標＝２体系の相対座標。

相対運動に働く力は𝑚2
𝑚
𝐟 − 1 𝐟2
𝑀2 1
𝑀2

𝐅1 =
運動量は

𝛑1 ≡ 𝜇1𝑑𝛒1𝑚 𝑚 𝑑𝐫𝑚 𝑚 𝑑𝐫𝑚 𝑚 𝑑𝐫𝑚 𝑚 𝑑𝐫𝑚𝑚= 1 2 1 − 1 2 2 = 2 1 1 − 1 2 2 = 2 𝐩1 − 1 𝐩2
𝑑𝑡
𝑀2 𝑑𝑡
𝑀2 𝑑𝑡
𝑀2 𝑑𝑡
𝑀2 𝑑𝑡
𝑀2
𝑀2

である。
2 番目のヤコビ座標ρ2 は、1，2 番目の質点の重心と、3 番目の質点の座標の間の、相対座標ベクトルである。質点 1,2 の重心は、質量 M2、座標(m2r1+m1r2)/M2 の質点と同等で、そこに掛かる力は f1+f2 だから（第 2 章の重心系の議論参照）、１番目のヤコビ
座標の議論と式の変数や添え字を適宜入れ替えるだけで、2 番目のヤコビ座標を定義
できる。
𝛒2 =

1
(𝑚2 𝐫1 + 𝑚1 𝐫2 ) − 𝐫3
𝑀2

𝜇2 =

𝑚3 𝑀2
𝑀 𝑚
= 2 3
𝑀2 +𝑚3
𝑀3

𝐅2 =

𝑚3
𝑀
(𝐟 + 𝐟2 ) − 2 𝐟3
𝑀3 1
𝑀3

𝛑2 =

𝑚3
𝑀
(𝐩1 + 𝐩2 ) − 2 𝐩3
𝑀3
𝑀3

図 10A1. 3 i 番目のヤコビ座標。質点 1..i の重心（×）と 質点 i+1 の相対座標。

この調子で、i 番目（i<N)のヤコビ座標は、質点 1 から i までの重心と、質点 i+1 の相対座標として定義する（図３）。
𝛒𝑖 ≡

1
𝑀𝑖

∑𝑖𝑘=1 𝑚𝑘 𝐫𝑘 − 𝐫𝑖+1

𝜇𝑖 =

𝑀𝑖
𝑚
𝑀𝑖+1 𝑖+1

𝐅𝑖 =𝑚𝑖+1 𝑖𝑀∑
𝐟 − 𝑖 𝐟𝑖+1
𝑀𝑖+1 𝑘=1 𝑘
𝑀𝑖+1

𝛑𝑖 =

𝑚𝑖+1 𝑖𝑀∑𝐩 − 𝑖 𝐩𝑖+1
𝑀𝑖+1 𝑘=1 𝑘
𝑀𝑖+1

図 10A1. 4 N 番目のヤコビ座標（×）。Ｎ体系の重心そのものである。

(10A1.3)

i が N に達してしまうと、もう相対座標を定義できな
くなる。そこで、最後の N 番目の座標には、全質点の重心を割り当てる（図４）。こ328

第 10 章アンサンブル

れは、2 体系で、相対座標と、重心座標の二つに分けて運動方程式を解くのに対応している。
𝜇𝑁 = ∑𝑁
𝑘=1 𝑚𝑘 = 𝑚𝐺
𝛒𝑁 =1
∑𝑁 𝑚 𝐫 = 𝐫𝐺
𝑀𝑁 𝑘=1 𝑘 𝑘

𝛑𝑁 = ∑𝑁
𝑘=1 𝐩𝑘 = 𝐩𝐺
𝐅𝑁 = ∑𝑁
𝑘=1 𝐟𝑘 = 𝐟𝐺

(10A1.4)

以上、おおざっぱな説明だが、ヤコビ座標の概略はつかめたのではないかと思う。
運動方程式は、i=1,..,N 全てについて、(10A1.5)𝜇𝑖 𝛒𝑖 = 𝐅𝑖を解くことになる。

また、運動エネルギーEK は、ヤコビ座標系では、次式で表される（証明略）。
𝐸𝐾 ≡ ∑𝑁
𝑖=1

𝐩2𝑖
2𝑚𝑖

= ∑𝑁
𝑖=1

𝛑2𝑖

(10A1.6)2𝜇𝑖あるいは、N 番目は重心であることを明示すると、(6)は𝐸𝐾 = ∑𝑁−1
𝑖=1

𝛑2𝑖
2𝜇𝑖

+

𝐩2𝐺

(10A1.7)2𝑚𝐺になり、運動エネルギーを、内部運動と重心運動に分けて示すことができる。式(7)は、式（10.6.4.9）と(10.6.4.10d) の変換で、使っている。

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第 10 章アンサンブル

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Operator-splitting integrators for constant-temperature molecular332

第 10 章アンサンブルdynamics.

333

第 11 章 分子動力学計算の実行

第 11 章 分子動力学計算の実行
本章と次章はシリーズの前後編で、第 11 章「トラジェクトリー
の作成」、第 12 章「トラジェク
トリーの解析」と言い換えるとわかりやすいかも知れない。ともあれ、本章では、右図に示すように、前章までに解説した MD の様々な要素技術を駆使して、トラジェクトリーを作成するところまでを解説する。と言っても、計算対象と目的によりやり方がいろい
ろ変わるが、原則、筆者の専門である、水溶液中の生体高分子を中心に紹介することにする。
なお、付録 11A1 で、MD の対象に液体が多い理由に関して、筆者なりに考察しているので、暇だったら、眺めて欲しい。

内容
第 11 章分子動力学計算の実行

334

11.1. トラジェクトリーの定義 ...........................................335
11.2. MD 用ソフトウェアパッケージの構成.................................335
11.3. トラジェクトリー作成の留意点 .....................................336
11.4. トラジェクトリー作成 (1) 準備 ....................................341
11.5. トラジェクトリー作成 (2) エネルギー極小化 ........................342
11.6. トラジェクトリー作成 (3) 初期温度の設定 .......................... 342
11.7. トラジェクトリー作成 (4) QD、昇温、本計算 ........................343
11.8. トラジェクトリーの精度と平衡化の基準 ............................. 344
11.9. トラジェクトリー作成の Tips ......................................346
第 11 章のまとめ ........................................................349
付録

11A1: 物質の三態と MD ............................................349

付録

11A2: マクスウェル＝ボルツマン分布の生成 ......................... 351

第 11 章の参考文献 ......................................................353
334

第 11 章 分子動力学計算の実行

11.1. トラジェクトリーの定義
まずは、作成する対象のトラジェクトリー（trajectory、軌跡）とは何ぞや、ということだが、すでに 1.4 節でも簡単に説明したが、具体的には、次のように定義しておく：
トラジェクトリーとは、MD 計算により時々刻々出力される、原子座標と速度のデータの集合である。数式を使えば、原子 i=1,...,N の系の時刻 t=τ0,...,τにおける座標 ri(t)と速度 vi(t)の集合となる。
トラジェクトリーは、無味乾燥な数字の羅列である。だが、これを二次的に処理して解析することで、分子の動きや物理量などを得ることができるわけだ。トラジェク
トリーの解析方法は次章で詳しく解説することにして、本章では、MD を実行してトラジェクトリーを作成するところまでを説明する。
11.2. MD 用ソフトウェアパッケージの構成
現在多く利用されている、MD、特に生体分子用のソフトウェアパッケージには、AMBER、 CHARMM、

図 11.2. 1 MD ソフトウェア
パッケージの構成

NAMD、GROMACS などがある。パッケージとは、単一のプログラムではなく、MD を行うための様々な機能を持ったプログラムの集合体である。そのプログラム
構成はパッケージにより違うだろうが（筆者だって全部は知らない）、個々のプログラムはその機能により、大まかには三つに分類できる（図 1）。
プリプロセッサー

Preprocessor は、MD のための前処理を行うプログラム群を指す。生体分子で言えば、PDB からタンパク質など計算対象分子の三次元構
造を入力し、分子モデリングを行い、MD のための分子トポロジーファイルと初期座標ファイルを作成する。
シミュレーター Simulator （エンジン Engine）
は、実際に MD やエネルギー極小化を行うプログラム群である。プリプロセッサーで作成した、トポロジーファイルと初期座標ファイルを入力し、その分子系のエネルギー
類、原子座標、原子速度の時々刻々のデータ、つまりトラジェクトリーを作成し出力335

第 11 章 分子動力学計算の実行する。
ポストプロセッサー

Postprocessor は、シミュレーターで作成したトラジェクト

リーから、二次的な情報を取り出すための、解析プログラム群である。これには、分子アニメーション作成、構造解析、エネルギー解析、他、様々なプログラムが含まれる。ポストプロセッサーの入力データとして、トラジェクトリーはもちろん、トポロ
ジーファイルや初期座標ファイルなどを使うこともある。
以上、MD 用ソフトウェアパッケージの大雑把な構成と機能を示した。もちろん、こんな知識がなくても、Graphic User Interface (GUI)を備えた統合的環境を使えば、画面に映った分子を見ながらボタンを押していくだけで、シミュレーションの準備、実行、解析まであっさりできてしまう。そのような便利な環境を使うのは大いに結構だと思うが、図 1 程度のことは頭に入れておいたほうがいい。
11.3. トラジェクトリー作成の留意点
次節以降では、トラジェクトリー作成の技術的な面を解説するが、それに先立って、留意点を挙げておく。
[1] まず、MD 計算の目的を決める
そもそも何のために MD を行うか、目的をはっきりさせ、解析方法も計画したうえで、トラジェクトリー作成に取り掛かる必要がある1。
[2] 対照計算（コントロール）を設定する
MD で何か研究をする場合、複数の条件でトラジェクトリーを作成

図 11.3. 1 複合体の解析して、その差を議論することが必要である。
例えば、「タンパク質が基質を結合した状態の、タンパク質と基質の構造揺らぎの変化をシミュレ
ーションする」のが目的だとしよう。その場合、図 1A のタンパク質/基質複合体の MD に加えて、B のタンパク質単体とC の基質単体の MD もそれぞれ行い、A の結果と比較する必要がある。A の複合体だけ
MD を行って、構造の揺らぎを見ても、それだけでは何も言えない。だが、B のタンパ

1

なあんて、実は、「とりあえずやってから考えよう」で計算を始めて、途中から目的を絞っていくことも多いのだけれど、ははは。

336

第 11 章 分子動力学計算の実行

ク質だけの MD を行って、A よりも有意に揺らぎが大きければ、「基質がくっつくこと
で構造揺らぎが小さくなった」と結論づけることができる。基質に関しても、A の複合体状態と C の単体状態の MD を比較することで、初めて、構造や揺らぎに変化がある
かどうかわかるわけである。
これは、通常の実験でよく言われる「コントロール（対照）がないデータには意味がない」と全く同じである。計算機シミュレーションも実験である以上、コントロー
ルが必要なのである。どのようなコントロールを取るべきかは、目的により変わる。
また、MD に限らず、さまざまな計算化学手法で、分子の何か、つまり物性値とか構
造パラメーターなどを計算する場合、絶対値はあてにならないが、何か二つの条件の計算結果の差はそれなりに信頼できることが多い。これは、計算に含まれる誤差が、差を取ればキャンセルして小さくなることがあるからである。だから、必ず、コント
ロール計算を行って、「差」を議論すべきである。
[3] 周期境界条件のトラジェクトリーファイル
第 4.4 節で説明したように、周期境界条件で MD を行う場合、イメージング（ラッピング）というアルゴリズムを使って、分子を基本ボックス内に収める。その場合、トラジェクトリー（座標のスナップショットの集合）の解析で、移動した分子の扱いが面倒になることがある（11.9 節、第 12 章）。その面倒を避けたければ、座標トラジ
ェクトリーファイルを二種類作っておくと良い。一つは「A: イメージングにより分子が基本ボックス内に収まっている座標ファイル」、もう一つは「B: イメージングなしの座標ファイル」である。解析の種類によって、A と B ファイルを使い分ける。
ただし、この「イメージング有無の座標ファイル AB 両方を保存できる」機能は全ての MD ソフトに備わっているわけではない。ない場合は、あきらめて、A ファイルを使って解析することになる。
[4] メモリーとディスク
MD 計算に先立って、必要なメモリーとディスクの量を、大雑把に推定しておくとよい。ここでは、並列計算機ではなく、1 CPU の計算機を使って、N 体系を、倍精度計算（64 bit = 8 byte）する場合について、求めてみる。
まず、メモリー。浮動小数点数のデータ数を数えてみる。原子 i について、座標
ri、速度 vi、力 fi それぞれ x,y,z 成分で 3 つづつ、質量 mi、電荷 qi、LJ パラメーター

εi と Ri、合計 13 個のデータが必要になる。実際には、一時的に使う配列など、他にもいろんなデータが必要になるので、多めに推定して、20N 個のデータを格納したい。データ 1 つにつき 8 byte だから、結局、20Nx8 = 160N

byte 程度のメモリーが必要になる。では、例えば N=10 万体だったらどの程度になるかというと、
160 byte x 100,000 = 16 MB (Mega Byte)337

第 11 章 分子動力学計算の実行のメモリーがあれば良い、ということになる。
次に、ディスク量を推定する。全シミュレーション時間を T、そのうち時間 t 毎にディスクに書きだすとする。書き出すのは、普通は、座標と速度のみなので、6N のデータ領域が必要（先のイメージングなし座標も保存するなら 9N）。8 byte をフルに出力する（10 進数で 15 桁）ことにすると、必要なディスク領域は

8 x 6N x (t/T) =48 Nt/T byte である。先の例の N=10 万体を、T=100 ns シミュレーションして、t=0.1
ns 毎に出力すると、
48 x 100,000 x 100/0.1 bit = 4.8 GBのディスク領域が必要になる。
こんな感じで、大体の量を推定しておくとよい。
[5] 並列化効率の測定
余裕があるなら、自分の対象系と計算機に対する、MD 計算の並列化効率（Parallel
performance、Parallel efficiency、以下 Pe）を計測しておく。
MD に限らず、一般的に、N 個の Processing Unit（PU2）を使った場合の並列化効率

Pe(N)は次式で定義する。
𝑃𝑒 (𝑁) = 100 ×

𝑇𝑟𝑒𝑓
𝑁×𝑇𝑁

(%)

(11.3.1)

ただし、

Tref： １個の PU での計算時間
TN: N 個の PU での計算時間を指す。式(1)は、N 個の PU を使って計算時間が 1/N になれば 100%、無駄があればあるほど下がっていく、という至極わかりやすい定義である。
計算時間 Tref と TN について、二つ補足説明しておく。一つは、この場合の計算時間
は「CPU が動いた時間 (CPU time)」ではなく、「経過時間（elapsed timeまたはwall clock time)」を測る必要がある。もう一つは、Tref=T1 とは限らないことでる。
というのは、理想的には、Tref は「プログラムの並列化バージョン（MPI などの並列化
ライブラリーを利用）」ではなく「逐次計算バージョン」を使うことが求められているからである。もっとも、その場合、プログラムソースを逐次版と並列版の二種類をメンテしなければならず、開発者にとっては負担である。そのため、逐次バージョンが存在しない場合は、並列化バージョンのソフトで PU 一台だけを動かし T1 を測定して、Tref の代用とする。
MD では、「1 step あたりの計算時間」か「単位 MD 時間あたり（1 fs や 1 ps）の2

PU は、ここでは、CPU とか、コアとか、ノードとか、いろいろな用語や対象を指す。要するに、計算を担うことのできる、マシンの最小単位を、PU という言葉で示している。

338

第 11 章 分子動力学計算の実行

計算時間」を計測して、Pe を計算する。筆者自身は、後者を使うことにしている。というのは、多重時間刻み幅法（第 3章）を頻繁に使うため、「ステップ当たりの計算時間」が定義できないからである。図 2A

図 11.3. 2 並列計算の例。水中のユビキチンタ
ンパク質を PEACH ver. 8.5 を使い、Intel
Xenon Gold 6252 (2.1 GHz）で計算。
MD の詳しい条件は、付録 8A2 参照。実空間
は、原子分割法（6.2.2 節）で計算。横軸の N は
PU の数。

に、一例を示す。これは、付録 8A2 で使ったタンパク質（ユビキチン）＋水系で、計算条件は付録 8A2 に書いた通りである3。計算時間は、1 ps
MD を流し、その時間を 1/1000にして、1 fs あたりの経過時間として求めた。MD のステッ
プを重ねるのは、何度も計算時間を測定することに対応する。多くの測定値を平均することで、誤差を減らすことができるわけである。なお、前述の Tref は、プログラムの並列化版ではなく、逐次版で計測した値である。だが、この場
合は、並列化版で N=1 で計測した T1 と、ほぼ完全に一致している（N=1 の Pe が 100%）。
ところで、並列化効率を示

3

ここに載せたのは、筆者が作成したソフト、PEACH ver. 8.5 を使って、筆者の手元の 24 コ

アの計算機で計測したデータである。正確に比較したわけではないが、現在の標準的な MD ソフ
トと比べると、そもそもの計算速度が遅く、並列化効率も悪いのではないかと思う。古いままのソフトなのでご勘弁願いたい。別の、新しい応用ソフトのデータを載せることも考えたが、人が作成したソフトのベンチマークは、下手に載せるとトラブルの原因になり兼ねないのでやめた。自作のソフトなら、しょぼい性能でも、笑いものになるだけで済む。それに、ここでは並列化効率の原理や示し方を説明するだけなので、ソフト自体の性能が低いことは大した問題
ではない。

339

第 11 章 分子動力学計算の実行す場合に、図 2A のように Pe をグラフにして出すのではなく、図 2B のように、計算速度を N の関数として示すことの方が多い。計算速度は、上記の計算時間の逆数である。こちらの方が、「N を増やせば増やすほど、速度が上がる」という好印象を人に与えるからかもしれない。計算速度で示す場合は、図 2B のように、必ず理論値（効率100%の計算速度）のグラフも載せて、それと実測値を比較するようにする。
[6] MD は厳密には再現性がない
コンピューターを使った計算結果には再現性があるだろう、と普通の人は考える。
だが、MD の場合、数値レベルでの厳密な再現性はない。シミュレーションソフト、初期構造、計算条件を、すべて同一にしても、計算機やコンパイラーを変えると、MD の結果は変わってしまう可能性がある。一例を図 3に示す。同じソフトと入力データで MD を行っているが、違うメーカーの図 11.3. 3 計算機(PC)による結果の違い。付録
8A2 のユビキチン。100 ps 昇温した後、まったく同
じ入力データと条件を使って、二種類の PC（１と２）でMD したときの温度変化。

計算機を二種類使って比べたところ、2 ps 経ったあたりで、温度が変わる、つまりトラジェクト
リーが違ってしまったのが分かる。これは、逐次計算（並列化していない計算）のデータだが、並列計算の場合は、同一の計算機で同一の実行プロ
グラムを流しても、結果が変わることさえある。
なぜ、結果が変わるかというと、計算機やコンパイラーにより丸め誤差の扱いが異なることの影響が大きい。また、並列計算では演算の順序が実行の度に変わる可能性があり、それにより微妙な誤差が生ずることもある。MD は前のステップの結果を引き継いで計算を続けるアルゴリズムだから、小さな誤差でも積み重なって、別のトラジェクトリーを描くことになる。
このように、わずかな違いが結果として大きな違いをもたらすことを、カオス的振る舞い (Chaotic Behavior)と呼ぶ。タンパク質や核酸の MD でもカオスは報告されていて、それは、特にカットオフ法のような系にノイズが入りやすい計算条件の場合に顕著である（Braxenthaler et al., 1997、Louise-May et al., 1996、など）。よっ340

第 11 章 分子動力学計算の実行て、カットオフを避けること、できるだけ長い計算時間を掛けたり、あるいは、初期
条件を変えて計算を繰り返し、結果の平均を取ること、などが重要となる。
他にも留意点は多いが、とりあえず、このくらいにして、次に進むことにする。
11.4. トラジェクトリー作成 (1) 準備
本章の残りは「トラジェクトリーの作成＝MD 計算の実行」方法を解説する。図
11.2.1 は、MD 計算自体の流れを示す図にもなっているので、適宜参照しつつ説明する。ただし、本章では、プリプロセッサーとシミュレーターを扱い、解析担当のポス
トプロセッサーは次章に回す。
さて、まずは、目的と対象分子を選び、それに合わせて計算条件を決める。そして、対象分子の実験構造の座標ファイルを入手する。タンパク質や核酸なら Protein
Data Bank (PDB) で探せばよい。
次に、入手した実験構造を基に、プリプロセッサーを使って、分子モデリングを行う。その詳細は第 4 章で述べたから繰り返さないが、大雑把には、水素などの欠損原子の座標を作成し、溶媒水を発生させ、さらに電荷を中和するために、適切な数のイオンを発生させる。
このように、プリプロセッサーを使って MD 計算の準備をした結果、分子トポロジーと原子座標の二つのファイルができる。これらは、計算対象の分子系に関する、MD シ
ミュレーションに必要なデータがすべて入っている。
・トポロジーファイル：

対象系の全原子の数、原子種、アミノ酸・塩基・溶媒・イオンの種類と数、部分電荷、結合原子対、他、すべての力場パラメーター。
・座標ファイル：

対象系の全原子の三次元座標。

なぜ二つに分けるか、というと、分けておいたほうが便利だからである。MM-MD では分子トポロジーは変化しないが、座標は変化する。それで、初期座標は別ファイルにしておいたほうが、あとあとの解析などで重宝する。なお、この二つに分ける方式
は、AMBER が採用していて、PEACH もそれに倣ったのであるが、他のソフトも、筆者がざっと調べた限りでは、この方式のものが多いようである。ただし、違う方式、たとえばトポロジーと初期構造を一つのファイルにしておく、みたいなソフトもあるかも知れない。
ともあれ、第 4 章でも述べたが、プリプロセッシング、つまり初期構造のモデリン
グとトポロジーファイルの作成は、熟練を要する。下手なことをすると、自分の思っていなかった力場パラメーターが割り当てられてたり、予期しない分子構造になった
りしてしまう。もちろん、現代のソフトウェアパッケージは、ユーザーの負担や間違いを減らすため、細部に渡るエラートラップ、便利な GUI、適切なデフォルト値、わ341

第 11 章 分子動力学計算の実行

かりやすいチュートリアル、などが完備している。だからと言って油断してはいけない。すらすら動くソフトほど、大きな間違いに気づかなかったりするものだ。健闘を祈る。
11.5. トラジェクトリー作成 (2) エネルギー極小化
プリプロセッサーを使った準備が終われば、今度はシミュレーターに移る。通常は、いきなり MD を始めるのではなく、まずはエネルギー極小化（EM、第 7 章)で初期構造の歪をある程度取り除く。というのは、モデリングで作った初期構造は、一部原子が重なっていて、このまま MD を行うと、急激に反発力が働いて、そのせいで、時間積分が破綻する確率が高い。それを、EM することで、未然に防ごう、ということである。
EM の方法は、第 7 章（拘束なし）と第 9 章（拘束あり）に、最急降下法（Steepest
Descent, SD）、共役勾配法（Conjugate Gradient, CG）、冷却法（Quenched
Dynamics, QD）を載せておいた。また、それ以外にも様々な方法がある。だが、単に、MD 開始前に、目立つ歪を取っておく、という目的のためだけなら、SD を数 100 ス
テップも行えば充分で、しかも、収束しなくても構わない。つまり、凝ってもしょうがない。応用ソフトを使っている人は、そのソフトの推奨プロトコールを使うといいだろう。
11.6. トラジェクトリー作成 (3) 初期温度の設定
MD を開始する時には、系の原子それぞれに対して初期温度、つまり初期速度を与える。初期速度については、今まで解説してこなかったので、少し詳しく記述する。
実は、初期速度を与えなくても、MD は開始できる。というのは、EM 後の構造が完全にエネルギー０ということは滅多になくて、普通はわずかに歪んでいる。だから、初期速度が０でも、その歪みエネルギーを緩和する向きに力が働いて、MD が始まってくれる。この方法では、開始時に、力の方向に原子が動くため、時間積分が初期に破綻する恐れが少ない。
だが、もう少し、物理学っぽくやりたいなら、マックスウェル＝ボルツマン分布（Maxwell-Boltzmann distribution、 MB 分布、詳細は第 13 章）で初期速度を与える。つまり、ある原子 i の x 成分の速度 vix が、vix ~ vix +dvix である確率を p(vix) d

vix とすれば、
2

𝑚 𝑣𝑥
𝑚𝑖
𝑒𝑥𝑝 (− 𝑖 𝑖 )
2𝜋𝑘𝑇
2𝑘𝑇

𝑝(𝑣𝑖𝑥 ) = √(11.6.1)となるように、正規乱数を用いて速度を発生させる。ただし、mi は原子 i の質量、T342

第 11 章 分子動力学計算の実行は与える初期温度、k はボルツマン因子である。同様に、y,z 成分も発生させる。な
お、発生させたあと、全運動量（重心速度）と角運動量が 0 になるように補正する（第 8.4、8.5 節）。
この方法は、初期構造のどこかに極端に大きな歪が存在すると、時間積分が破綻するかも、という欠点がある。だが、0.1-5K 程度の低温を与えて、そのまま、低温でしばらく様子を見て（第 7 章 QD）、その後、徐々に温度を上げて行けば、大抵はうまくいく（昇温、heating と呼ばれる、次項参照）。
分子系が熱平衡に達すれば、初期速度の発生方法とは無関係に、速度は MB 分布になる。だから、直後に分子構造が壊れたり時間積分が破綻したりしない限り、初期速度の与え方に凝る必要はない。通常は、前述の通り MB 分布に従う初期速度を与えるが、別の分布、例えば一様分布だったとしても、すぐに MB 分布に移行する（付録
11A2）。
なお、11.3 節で触れたように、初期速度を少しだけ変え、それ以外の条件を同じにして MD 計算を流せば、同一条件での別のトラジェクトリーを得ることができる。それにより、結果の再現性を確かめたり、多くの平均を取って信頼性を上げたりすることが可能である。初期速度は、MD ソフトにより違いはあるが、基本的には、初期速度発生のための乱数の種（seed、"12345"みたいな適当な数字）を変えることで、別のものに変えることができる。
11.7. トラジェクトリー作成 (4) QD、昇温、本計算
初期速度を与えて MD を開始したら、Quenched dynamics （QD)と昇温（heating）を行う。
QD では、低温（10 K 以下ぐらい）、かつ定温（Woodcock の速度スケーリング法、または極端に短い時定数での Berendsen 法や Nosé-Hoover 法）で MD を行うことを指す（詳細は、7.3 節）。時間ステップは、通常の長さ（0.5-2 fs 程度）でもいいが、もし温度が急激に上がるようならば、0.1 fs 程度に短く設定する。QD は EM と同様にポテンシャルを下げる働きがあり、また、連続的に MD へと移行できるメリットがある。
筆者の経験では、QD を数 10 ステップも行えば、最初期の破綻のほとんどは防げる。
続いて、昇温する。時間ステップは通常の長さに設定し、NTV-MD か NTP-MD で、じっくりと温度を上げて常温まで持っていく。どれだけ時間を掛けるべきかは、特に指標はない。20 年ぐらい前までは、計算時間がもったいないからと 10 ps ぐらいで常温付近にまでもっていったものだが、今は、もっとゆっくり、100 ps とか 1 ns ぐらい掛ける人が多いようだ。なお、昇温時には、熱浴を使った定温アルゴリズムなら（Berendsen や Nosé-Hoover など、詳細は第 10 章）、本計算よりも時定数を短めに設定する。時定数が長過ぎると、設定温度を上げても、実際の温度が上がるのに時間が343

第 11 章 分子動力学計算の実行

掛かりすぎるからである。
温度が常温になった時点で、本計算（production run）を始める。つまり、温度を常温に設定し、その他の条件も固定して、延々と計算を続ける。時間ステップは、共有結合長の拘束がないなら 0.2-0.5 fs、拘束ありなら 1.0-2.0 fs 程度を使う。もし、NTP-MD から NTV-MD に切り替える必要がある場合は、対象物質系の”密度”が一定になってからにする（10.5 節）。熱浴にカップリングするときは、時定数を長めに取れば、系のダイナミクスへの熱浴の影響が少なくなる。
なお、「分子系の自然なダイナミクスを調べたいから、圧力制御や温度制御を外したい」という理由で、本計算を NVE-MD で行うことも可能である。ただし、その NVEMD が短時間ならともかく、数 ns 以上にまで及ぶ場合は、リスキーである。というのは、NVE-MD では、よほど高精度な力の計算アルゴリズムを使わない限り、温度が上がる傾向にあるからだ。第 6 章で、「静電力をカットオフすると、系にノイズが入って温度が上がる」、と書いた。では、PME や元祖エワルド法なら絶対大丈夫か、と言うと、そうでもない。1 ステップ毎に、ほんの少しだがノイズが入る。長く MD を行うと、どうしてもそれが見えてくる。筆者自身の経験では（Komeiji & Uebayasi,
1998)、MD 専用計算機を使い、元祖エワルド法で、かなり高精度の NVE-MD 計算を行ったが、4 ns の間に 300→305 K 程度に温度が上昇した。もちろん、この程度なら誤差の範囲だが、これが 10 ns、 100 ns、1000 ns、...と延びて行けば、誤差の範囲と言えないぐらい温度が上昇する可能性が高い。そんなわけで、数 10 ns 以上の MD が普通になっている現代では、やはり NVE-MD ではなく、NVT-MD か NPT-MD アルゴリズムを使ったほうが無難だと思う4。
ところで、トラジェクトリー作成の際に、分子系の一部分の構造はそのままに保ちたいことがある。たとえば、タンパク質の高精度の X 線結晶構造が初期構造で、その初期構造はあまり動かさずに、周囲の水やイオンを最適な配置にしたい、というような場合である。そのときは、8.3 節や付録 8A2 で説明したように、タンパク質部分だ
けに拘束や束縛を掛けて MD を行う。
11.8. トラジェクトリーの精度と平衡化の基準
以上、トラジェクトリーの作成の概略を説明した。そこで、トラジェクトリーの精度が充分か、平衡化しているか、などをどう判断するかが問題になってくる。様々な指標があるけれど、ここでは基本的な指標を四つ挙げておく。

4

これは、生体分子の MM-MD による長時間ダイナミクスの解析の話。もっと小さい系の、一瞬の化学反応やエネルギー移動の FPMD による解析なら、NVE-MD がデフォルトの選択肢だろう。

344

第 11 章 分子動力学計算の実行[1] 保存エネルギー：精度
NVE-MD における全エネルギー（ハミルトニアン）の保存性は、MD の精度、つまり力やエネルギー計算アルゴリズムや時間積分の条件が妥当かどうかを示す、第一義的な指標である（第 3 章）。一方、NVT-MD や NPT-MD では、全エネルギーは保存しないので、精度の指標にはなりえない。だが、Nosé 法、およびそこから派生した定温・定圧法には、疑似ハミルトニアンという保存量があるから、それを精度の指標にする（第10 章）。なお、保存量のないアルゴリズム（Berendsen の方法など）には、同様の精度指標は存在しない。
保存量は、「平衡に達したかどうかには関係なく保存」する。だが、計算対象の分子系が不安定な場合には、局所的に時間積分が破綻して、そのせいで保存量の値が不連続に変化することがある。その場合は、しばらくして系が安定化してくると、保存するようになる。だから、MD の最初期に保存量の値が飛んでも、しばらく様子を見て、それが一時的なものか恒久的なものかを見極めることが必要である。
また、短時間で見ると高精度で保存しても、長時間観察すると少しずつ値がずれていく場合もある（10.3.5 節など）。それは、さほど心配しなくても良いと思う。
[2] 運動エネルギー（温度）：熱平衡
熱平衡に達したどうかは、温度とその揺らぎがだいたい一定に達したかどうかで判断する。温度は、MD が巡航に進んでいるか否かの、第一番の指標である。
[3] ポテンシャルエネルギー：構造緩和
分子の構造が緩和（平衡化）したかどうかは、ポテンシャルエネルギーU とその揺らぎがだいたい一定に達したかどうかで判断する。U は、分子構造 r の関数 U(r)だか
ら、分子構造が緩和すれば、U の値もほぼ一定になるからである。
ところで、分子系が相転移のような大規模な構造変化を起こしたときは、U の値も大きく変化する。例えば、有名な水→氷の相転移のシミュレーションでは、水から氷になるときに U の値が大きく低下している（Matsumoto et al., 2002）。だから、MD計算が長く安定に走っていて、突如 U の値が大きく変化した場合は、分子構造を調べるとよい。面白い rare event が起きているかも知れない。
[4] 分子密度：圧平衡
圧力一定の MD を行う場合に、圧平衡に達し方どうかは、圧力そのものよりも、分子密度を指標にする。というのは、圧力は、例えば 1 気圧に設定しても、-1000~1000 気
圧ぐらい揺らぐのが普通で、指標にしにくい。そこで、分子の密度が一定になったかどうかで、平衡に達したかどうか判断する。水が系のほとんどを占める場合は、1g/ml 程度に収まるはず（一例は、第 10 章の、図 10.5.1）。
345

第 11 章 分子動力学計算の実行

以上、MD の精度や平衡化の指標を四つほど挙げてみた。実際の分子構造にまで立ち入れば、RMSD（次章）をはじめ、他にもいろいろ指標がある。だが、まずは、ここで挙げた四つを調べるのが先決である。
11.9. トラジェクトリー作成の Tips
最後に、トラジェクトリーを作る上でのコツやら何やら、Tips を列挙しておく。これらは、筆者自身の経験、人からの相談、インターネットに載っている情報、原著論文の注記5、などを参考に作成した。すでに、本章や他の章で解説した内容がほとんどだが、より分かりやすいように、Q&A の形にしておく。Q の後の()内に、関連する章や節を挙げておいた。
Q1. EM 計算が全然収束しない。どうすればいい？

（11.5 節）A. MD の初期構造の EM 計算は、極端な歪を取るために行うものなので、収束しなくても構わない。SD 数 100 ステップ、あるはそれに加えて CG 数 100 ステップぐらいで、次に進んで大丈夫である。
Q2. EM 計算をしても、次に MD に進んだ段階ですぐ破綻してしまう。（7.3 節、11.7
節）
A. EM 後、すぐに本計算（通常の時間幅と温度）には移らず、QD を挟むと良い。これは、低温かつ短い時間ステップで、数 10 ステップ MD を行うことを指す。QD にはポテ
ンシャルを下げる働きがあり、加えて、連続的に MD へと移行できるメリットもある。
筆者の経験では、これをすれば、最初期の破綻のほとんどは防げる。
Q3. NVT-MD （体積温度一定）で、水に大きな穴が空いてしまった。（10.5 節、11.7
節）
A. 体積一定の MD ならば、初期構造の水の数が足りないと、穴が空くことがある。それを避けるには、初期構造を作る際に、密度が大体 1 g/ml になるように、水の数を調節すべきである。あるいは、NTP-MD を使えば、密度を自動的に調節できるから、この5

この手の情報は、原著論文にはあまり書いてない。書いてあっても、本文の隅や欄外などに、ひっそりと記述してあることがほとんどである。

346

第 11 章 分子動力学計算の実行

問題は起きない。もし、何かの理由で、本計算は NTV-MD で行う必要がある場合でも、平衡化は NTP-MD で行い、密度（圧力ではない）が一定になった時点で、NTV-MD に切り替えるとよい。
Q4. NTP-MD（圧力温度一定）では、圧力が極端に揺らいでしまう。圧平衡に達したか
どうか、どうすれば判断できるのか？

（10.5 節、11.8 節）

A.圧力は、例えば 1 気圧に設定しても、-1000~1000 気圧ぐらい揺らぐのが普通。そこで、平衡に達したかどうかは、圧力の値ではなく、密度を見て判断する。水が系のほとんどを占める場合は、1 g/ml 程度に収まるはず（図 10.5.1 に例が載せてある）。
Q5. 水溶液中の、あるタンパク図 11.9. 1 二量体のイメージング

質の２量体の MD を周期境界で行っていた際に、初期構造からのずれの RMSD が 2Å程度で計算が順調に走っていたのに、突然、数 10Åにまで跳ね上がってしまった。温度などは大きな変化がなく連続的に動いている。
なぜ？6（4.4 節、12.4 節）

A. 分子アニメーションを見ればわかるだろうが、おそらく、2 量体の一つがイメージングを起こして、箱の端から端へ移動しただけである（図 1）。イメージングを起こしても、MDが破綻したわけではなく、2 量体間の相互作用も、実像と虚像の間の相互作用として保たれているから、全く心配することはない。解析プログラムが、実像だけを見て、初期構造と比較しているから、RMSD が跳ね上がったように見えてるだけである。
注意が必要なのは、MD 計算実行中ではなく、出力トラジェクトリーの解析段階である。というのは、2 量体としての構造や、その相互作用を解析するときには、イメー
ジングで平衡移動した分子を戻すことが必要で、そういう機能が入った解析プログラ
ムを使う/作るか、あるいは、解析プログラムにかける前に、座標ファイルを補正する必要がある。なお、ソフトによっては、MD 実行中に、溶質だけになんらかの束縛を掛

6

これは筆者自身も MD 初心者だったときに経験したことで、RMSD のグラフを見て肝を冷やした記憶がある。

347

第 11 章 分子動力学計算の実行

けて、基本ボックスの中央付近に留まらせることができる機能を持っているものもあるらしいので、その機能を使ってトラジェクトリーを作成しても良い。また、11.3 節の[3]に記したように、イメージングなしの座標トラジェクトリーも作成できるなら、それを使って解析すると良い。
Q6. 数 10 ns 安定に走っていたのに、突如、温度が上昇し、破綻してしまったが、どうすればいいのか？（11.8 節[3]）A. こういうことは、普通は起こらない。破綻の原因は、これだけではよくわからない
が、可能性としては、突如、相転移のような、大規模な分子構造変化が起こったのではないだろうか？

破綻前後の分子構造とポテンシャルエネルギーの変化を調べて、善後策を考えて欲しい。急速冷却したければ、温度上昇直前から、しばらくの間だ
け、速度スケーリング法で、温度を無理やり一定に抑え込むことも可能。
Q7. タンパク質の MD はうまく走らせることができるのに、核酸の MD はすぐ構造が崩れてしまう。溶媒水やイオンも入れているのだが？ (4.1 節)
A. 原因はよくわからない。核酸は、分子全体が一様に荷電しているため、安定に MDを走らすのは、タンパク質に比べれば難しい。だが、「溶媒水を explicit water にし、イオンで電荷を中和し、静電相互作用をカットオフではなく、PME や元祖エワルド法で高精度で計算すれば、安定に計算できる」というノーハウが 20 世紀の終わりには確立した。ところが、21 世紀に入って 20 年経っても、場合によっては、核酸、特に RNA の MD は難しいらしい。対処法として、核酸に特化した力場（4.1 節[2]参照）
を試してみたらどうだろう？
Q8. タンパク質の荷電アミノ酸残基の近くに配置したカウンターイオンが、タンパク質から離れて動き回ってしまう。止めることはできないのか？

（4.5 節、8.8 節、12.7 節）A.

水中のイオンは拡散するのが常態である。そのアミノ酸残基と周囲の分子構造がイオンをトラップするような特殊な構造になっていない限り、止めるのは無理と思ってよい。何かの理由で、どうしても、イオンを止める必要があるなら、そのアミノ酸との間に人工的な束縛ポテンシャルを掛ける必要がある。
Q9. あるタンパク質のコンフォーメーションを可能な限りたくさんサンプルしたい。
計算機資源が少ないので、効率よくするサンプルする方法はないか？
348

第 11 章 分子動力学計算の実行

A. 仮に、100 ns の MD を行うだけの資源しかなかったとする。その場合、100 ns のト
ラジェクトリーを 1 本作るより、別々の初期速度を与えて、10 ns のトラジェクトリ
ーを 10 本作るほうが、より様々なコンフォーメーションをサンプルできる。これをさらに推し進めれば、レプリカ交換法のような（Sugita et al., 1999、本書では取り上げてない）拡張アンサンブル法を使って、さらに効率を上げることも可能。
Q10. MD の結果を論文にする場合に、どこまで条件を書くべきだろうか？
A.

MD、特に MM-MD は、今日、方法がかなり標準化されている。だが、やはり、実験の論文と同じく、専門家が読めば、結果を再現できるように、方法を詳細に書くべきである。最近、Journal of Chemical Information and Modeling (JCIM)が、MDの結果に関するガイドラインを公表したので、参考までに挙げておく（Soares etal., 2023）。それによると、以下の条件を記述すべきという：初期構造の座標、力場、極小化計算、時間ステップ、全シミュレーション時間、レプリカ数、拘束条件、
定温定圧アルゴリズム、長距離力の計算方法、ソフトウェア、箱の大きさ、原子数、溶媒や膜の種類、収束条件、他。加えて、入出力データの公開も義務付けているが、それは結構要求が高いと思う。だが、今後、他の雑誌でも要求されるようになるかも知れない。
他にいくらでもあるだろうが、とりあえず To be continued ということにしておく。
第 11 章のまとめ
MD 計算で作成されるトラジェクトリーは、時々刻々の分子座標と速度のデータの集合である。トラジェクトリーの精度や平衡化の程度は、保存エネルギー、運動エネル
ギー、ポテンシャルエネルギー、分子密度などを見て判断する。トラジェクトリーの作成には、特に初期構造のモデリング、EM、昇温などにいろいろコツが必要である。
次章では、作成したトラジェクトリーの解析方法を説明する。

付録 11A1. 物質の三態と MD
正確な統計を取ったわけではないが、MD、特に MM-MD の解析対象は、物質の三態の中では、圧倒的に液体が多い。水溶液中の生体分子も、液体に含んでいいだろう。気349

第 11 章 分子動力学計算の実行

体や固体の MM-MD 計算もあることはあるが、数は少ない。あるいは、あっても、「気液界面の動態」とか「液相‐固相の相転移」のように液体が絡むことが多い。
MD の対象はなぜ液体が多いのか。逆に、気体と固体があまり対象にされないのはなぜか。その理由は、おそらく、気体には「理想気体」、固体には「周期性結晶」という良い物理学的モデルがあって、計算機を回さなくても、紙と鉛筆で、その物性の本質がわかるような理論解析ができるからではないかと思う。理想気体は、あらゆる物
質の気相に関しての、普遍的で優れたモデルである。何しろ pV=nRT で、大体のことはわかってしまうのだから、恐れ入る。また、固体のモデルの周期性結晶も、理想気体
ほどではないにせよ、周期的なものは数学的な扱いが楽になるため、理論的解析が楽である。

図 11A1. 1 物質の三態のシミュレーション (Ar)。筆者作成の、高校生向けの資料より。

翻って、液体には、理想気体や周期性結晶のような、簡単な物理モデルがない。もちろん、古くからいろいろな液体モデルは提唱されて、部分的に成功は収めてはいる
ものの、どれも普遍性に欠ける。結局、例えば、水 H2O ならば、H と H と O をあらわに扱って、その集合体の運動方程式を、紙と鉛筆ではなく、計算機で解かないと、なか
なかその物性が計算できない。まして、その水の中に、タンパク質やら核酸やら脂質やらの不規則な構造の分子が溶けていれば、ますます単純な物理モデルを作れない。
しょうがないから、MD などの計算機シミュレーションが必要になる。とまあ、こんな350

第 11 章 分子動力学計算の実行

わけで、液体や生体分子を対象に MD 計算が広まったのだろうと、思う。
ところで、物質の三態の違いは、MD のアニメを見れば、すぐわかる。図 1 は、筆者が高校生や大学初年生向けに作った MD の講義資料のスナップショットで、実際のスラ
イドでは物質の三態を動画で見られるようにしてある。これらを見比べると、固体と液体はだいたい同じ密度だが、気体は極端に薄いことがわかる。また、動画を見れば、固体中の分子は決まった構造の周りを振動しているだけだが、液体では常に周囲と衝突しつつ拡散していて、さらに、気体はほとんどの時間を自由に飛び回っていてたまに別の分子と衝突するだけ、というのが、一目瞭然である。
というわけで、物質の相転移まで MD で定量的に再現するのは難しいのだが、少なくともそれぞれの相の分子的描像を直感的に理解するには MD は便利である。
付録 11A2. マクスウェル＝ボルツマン分布の生成
この付録では、分子同士が頻繁に衝突するなら、マクスウェル＝ボル
ツマン分布（Maxwell=Boltzmann
distribution、MB 分布）は一瞬のう
ちに生成する、ということを、例を上げて説明する。なお、熱平衡状態

図 11A2. 1 対象分子系。A では分子半径はリアルに表現してあるが、B では分子半径を小さくして、揺らぎの範囲がわかるように、表示してある。筆者の自作テストプログラムの結果を、Chimera 1.1 で可視化。

での MB 分布の性質については、第 13章で念入りに記述したので、そちらを参照して欲しい。
解析対象は、256 個の Ar に模した
LJ 粒子で、周期的な箱に入っている（図 1A）。これに 100 K の初期速度を与えて、Nosé-Hoover 法で温度を一定に保ちつつ、50 ps の長さの MD を行った（設定温度 T0=100K、時定数τ= 0.2ps）。 時間ステップは 5 fs で、通常より長いが、共有結合がない分子系なので、問題ない。分子構造は、この間、固体状態を保っていた（図 1B）。だが、ここでは、50ps 間の挙動ではなく、最初期の数 ps の間の速度分布関数の変化を解析してみた。
結果の速度分布関数を、図 2 に示す。時刻 t における分布を、温度 T0=100Ｋでの理論値（Ptheor、式(11.6.1)）と MD での計算値(Pvx, Pvy, Pvz, それぞれ分子速度の x,y,z
成分の分布）をプロットしてみた。なお、MD の初期は温度変化が大きいため、温度の計算値 T を併記した。t=0 の初期値以外は、0.05 ps 間、つまり 10 ステップの平均を使っている。だから、例えば、t=0.02 ps のグラフは、実際は、t=0.02 ps から 0.025
ps のデータを平均したものである。
351

第 11 章 分子動力学計算の実行

時刻 t=0 は、要するに初期速度の分布だが、一様乱数を使って与えた速度なので、MB 分布ではない。これが、MD によりどう変化していったかというと、t=0.1 ps では、まだ一様分布っぽいが、t=0.2 ps ではすでに MB 分布に近い、釣り鐘状になっている。理論値より尖っているのは、温度 T がまだ不安定で、たまたま 36 K という低い値を取っているからである。逆に 0.5 ps では、釣り鐘が低いが、これは温度がたまた
ま 140Ｋという高い値になっているからで、分布そのものは、すでに MB 分布になって

図 11A2. 2 速度分布の時間変化(0-2 ps)。理論値(Ptheor)と、MD の実
測値の x,y,z 成分（Pvx, Pvy, Pvz）を表示。

いる。t=1 ps および 2 ps では、温度も 100 K に近く、分布のグラフも理論値に近いものになっている。
こんなふうに、初期速度として一様分布を与えても、わずか 1 ps 以内に、MB 分布が生成したわけだ。
以上、初期速度が MB 分布でなくても、すばやく MB 分布に移行する例を示した。
352

第 11 章 分子動力学計算の実行「MB 分布って、工夫しなくても、簡単にできちゃうんだよ。」とは、とある高名な MD の先生の言葉である。今回の結果はそれを裏付けている。
なお、この結論は、分子が常に衝突している固体状態や液体状態だから言えること
で、分子の衝突頻度が低い気体状態では（図 11A1.1 を見て欲しい）、熱平衡に達してMB 分布になるのには、桁違いに長い時間が掛かる。

第 11 章の参考文献
Braxenthaler, M., Unger, R., Auerbach, D., Given, J. A., Moult, J. (1997),
Proteins 29, 417-425. DOI:10.1002/(SICI)10970134(199712)29:4<417::AID-PROT2>3.0.CO;2-5.

Chaos in protein

dynamics.
Komeiji, Y., Uebayasi, M. (1999), Biophys. J. 77, 123-138. DOI:10.1016/S00063495(99)76877-3. Change in conformation by DNA-peptide association:
Molecular dynamics of the Hin-recombinase-hixL complex.
Louise-May, S., Auffinger, P., Westhof, E. (1996), Curr. Opin. Str. Biol.

6,289-298. DOI:10.1016/S0959-440X(96)80046-7. Calculations of nucleic
acid conformations.
Matsumoto, M., Saito, S., Ohmine, I. (2002), Nature 416, 409-413.
DOI:10.1038/416409a.

Molecular dynamics simulation of the ice

nucleation and growth process leading to water freezing.
Soares, T. A, Cournia, Z., Naidoo, K., Amaro, R., Wahab, H., Merz, K. M. Jr.
(2023), J. Chem. Inf. Model. 63, 3227-3229.
DOI:10.1021/acs.jcim.3c00599. Guidelines for Reporting Molecular
Dynamics Simulations in JCIM Publications.
Sugita, Y., Okamoto, Y. (1999), Chem. Phys. Lett. 314, 141-151.
DOI:10.1016/S0009-2614(99)01123-9.

Replica-exchange molecular

dynamics method for protein folding.

353

第 12 章 トラジェクトリーの解析

第 12 章 トラジェクトリーの解析
前章では、MD トラジェクトリーの作成法を説明したが、本章では、作成したトラジェクトリ
ーを解析する方法を、おおまかに説明する。解析法と言っても、計算対象と目的によりいろいろ変わるが、水溶液中の生体高分子の MM-MD の解析方法を中心に紹介することにする。だが、これらの方法の多くは、そのまま、または修正すれば、他の種類の分子にも、あるいは疎視化
MD や第一原理 MD のトラジェクトりー解析にも、応用できる。

内容
第 12 章トラジェクトリーの解析

354

12.1. トラジェクトリー解析の基本 ....................................... 355
12.2. トラジェクトリーの可視化と重ね合わせ ............................. 357
12.3. 部分系のエネルギー ............................................... 360
12.4. 根平均自乗変位 -RMSD ........................................... 361

12.5. 根平均自乗揺らぎ- RMSF ......................................... 363

12.6. 分子の概形を示す量 - 回転半径、二体分布関数、溶媒露出面積 ........ 365
12.7. 分子のドメイン構造 - コンタクトマップ、動的相関図 ................ 369
12.8. 生体分子の構造・コンフォーメーション ............................. 372
12.9. 溶媒やイオンの拡散 -拡散係数 ................................... 375

12.10. 溶媒やイオンの分布 - 動径分布関数、配位数 ....................... 377
12.11. 集団運動 ........................................................ 381
12.11.1. NMA と PCA の条件設定 ........................................ 381
12.11.2. 基準振動解析（NMA） ......................................... 383
12.11.3. 主成分分析（PCA） ........................................... 391
12.11.4. NMA と PCA の比較 ............................................ 398
12.12. フーリエ解析 .................................................... 399
第 12 章のまとめ ........................................................ 409
付録 12A1. 拡散係数の理論 .............................................. 409
354

第 12 章 トラジェクトリーの解析

付録 12A2. 実対称行列の対角化 .......................................... 415
第 12 章の参考文献 ...................................................... 416

12.1. トラジェクトリー解析の基本
本章では、トラジェクトリー解析の技術的な面を解説する。古典的な MM-MD の解析法を扱うが、多くは、そのまま、あるいは修正すれば、疎視化 MD や量子力学的な第一原理 MD（1.1 節）の解析にも応用できる。
トラジェクトリーが平衡化したかどう
かは、おおまかには、まず、エネルギー

図 12.1. 1 ある量 X の時間変化

類から判断する。このことは、すでに、前章の 11.8 節で述べた通りで、まずは、保存エネルギー、運動エネルギー（温度）、ポテンシャルエネルギー、さらにNTP-MD なら分子密度の時間変化をプロットする。それぞれの値と揺らぎが落ち着
いたしばらくしたあたりで、平衡化が成立した、と判断する。
その後、平衡化したトラジェクトリー
を使って、対象分子系に関する「ある量」X を求める。X は、物理量や分子構造パラメーターである。X の実例はこの章の残りでいろいろ紹介するが、もちろん、すでに説明したエネルギー類も X に含まれる。先のエネルギー類と同じように、まず、A の時間変化を求めて、図 1 のようなグラフを描く。通常は、最初は X の値が大きく揺らぐが（図 1 平衡化）、やがて、値と揺らぎが落ち着くので、トラジェクトリーのそれ以降の部分を使って（図 1 サンプリング）、X の時間平均と揺らぎを計算する。つまり、時間平均<X>、
⟨𝑋⟩ =

𝜏
1
1
∫ 𝑋(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑛−𝑛 ∑𝑛𝑗=𝑛𝑒𝑞 +1 𝑋𝑗
𝜏−𝜏𝑒𝑞 𝜏𝑒𝑞
𝑒𝑞

(12.1.1)

と、ゆらぎ
2
𝜏
1
1
∫ (𝑋(𝑡) − 〈𝑋〉)2 𝑑𝑡 = √𝑛−𝑛 ∑𝑛𝑗=𝑛𝑒𝑞 +1(𝑋𝑗 − 〈𝑋〉)𝜏−𝜏𝑒𝑞 𝜏𝑒𝑞
𝑒𝑞√⟨(𝑋 − ⟨𝑋⟩)2 ⟩ = √(12.1.2)を計算する。両式とも積分と和の両方で示したが、MD 解析で和を使う。なお、和を求めるためのスナップショットのサンプリングは、原則は、等間隔で行う。だから、ある部分だけ 1 ps 毎、残りの部分は 10 ps 毎、というようなバイアスの掛かったサンプ
355

第 12 章 トラジェクトリーの解析

リングは、特別な理由がない限りは、行わない。

X がもし、エネルギー類（運動エネルギーとポテンシャル）よりも早く平衡化してしまった場合は、エネルギー類が平衡化したとみなせる部分でサンプリングすべきである。逆に、X の平衡化がエネルギー類よりも遅い場合は、X が平衡化したとみなせる
部分でサンプリングする必要がある。
なお、図 1 は、理想的な例で、こんなにうまく行くことのほうが珍しい。図 2 に二つほど、例外を挙げてみた。図 2A では、じわじわと X の値が上がっていく。これは、単に平衡化の時間が足りないだけなのか、MD の条件に問題があるのか（カットオフでNVE-MD をして温度を計算するとこうなる）、あるいは、X がそもそもこうなる性質のものなのか（拡散する分子の座標変位の自乗など）、グラフだけではわからない。また、図 2B は、X の値が、ときどき不連続に変化する場合で、例えば、分子内の特定の二面角などはこういう挙動を示すことが多い。このような場合は、

図 12.1. 2 解析が難しい例

平衡状態下でＸが様々な値を取りうる、と解釈すべきで、一定の値に収まらないから平衡化されていない、と結論するのは早計である。図 2 に示した以外にも、いろ
いろ、解析時に頭を抱えてしまう
データは多い。
というわけで、その通りに行かないことも多いけれど、図 1 のように時系列データをグラフ化し、それに基づいて式(1)(2)で平均と揺らぎを計算する、というのは MD の解析の基本である。
どれだけ長いトラジェクトリーが必要か、も悩ましい問題である。もちろん、平衡化もサンプリングも、時間を掛けられるならば、長いほど良い。だが、計算機資源に限りがある以上、無限に長くはできない。また、対象分子により、見たい物理現象により、平衡化に掛かる時間もサンプリングに必要な時間も違

図 12.1. 3 典型的な解析
対象：水和した生体分子う。大雑把には、ある物理量を収束させるのに必
要なシミュレーションの時間は、
平均

＜

ゆらぎ

＜

ゆらぎの相関である。
本章の解析対象の典型例は、図 3 のような、水和した生体分子である。つまり、中央の溶質分子（solute、タンパク質や核酸）の周りを水色の溶媒分子（solvent、通常は水）と黒点のイオン（ion、たとえば Na+、K+、Cl-）が取り巻いているような分子系である。この356

第 12 章 トラジェクトリーの解析

様な系のシミュレーションでは、溶質は一定の平均構造の周りを振動しているとして解析し、一方、溶媒とイオンは拡散する分子とみなして解析する。溶質も拡散することはするけれど、拡散運動自体は、解析から除いてしまう。
だが、最近は対象系の巨大化、複雑化が進んでいる。例えば、分子混雑（Molecular crowding）の MD を行ったと

図 12.1. 4 巨大な解析対象の例：分子混雑しよう。これは、図 4 に模式的に示すように、様々な種類の溶質、溶媒、イオンがひしめき合う系なので、タンパク質などの溶質も拡散するものとして解析する必要があ
る（Isseki et al., 2016 など）。他にも、図 3 に示した典型例の解析方法がそのままでは適用できない対象が増えてきている。その場合は臨機応変に対応しよう。
注記：周期境界の解析には注意が必要である。例えば、前章 11.9 節 Q5 のようなことが起こる。必要な場合は、そのつど説明する。
12.2. トラジェクトリーの可視化と重ね合わせ
MD の結果解析とプレゼンテーションには、トラジェクトリーの可視化が大切である。可視化やそれに続く解析計算には、分子構造の重ね合わせが必要になることが多い。
トラジェクトリーを作成したら、まずは、動画（movie, animation）を作成し、それを視て、大雑把な様子をつかむことが必要である。特に、MD のプロトコール自体に問題があった場合は、動画からわかることが多い。ある有名な MD ラボの出身者によると、「うちの先生は、MD の結果のほとんどは動画を見ればわかる、といつも言ってる」のだそうだ。また、筆者の知り合いのある実験家は「MD なんて動画出してなんぼのもんやろ」などと毒づく。それはちょっと言いすぎだと思うが、ともあれ、MD の解析や研究発表にはまず動画である。PDF 形式の論文の場合、動画を本文に入れることは、2023 年時点では、まだ、あまり見かけないが1、補足資料（supplementarymaterial）にすることは普通である。
動画以外に、スナップショットの重ね合わせ図（overlay）も作成するとよい。特1

動画付き PDF はすでにあるので、論文 PDF に動画を埋め込むのが主流になるのも、時間の問

題だろう。

357

第 12 章 トラジェクトリーの解析に、タンパク質などは、どこが揺らぎやすくどこが固 図 12.2. 1 初期構造と重ね合わせの例（シニョリン）。
いか、重ね合わせ図を出せ
ば、一目瞭然である。ただAMBER Tools 15 の MD 計算結果を Chimera
1.1 で表示。

し、溶媒まで重ね合わせると、図がぐちゃぐちゃになるので、普通は、溶媒は除いて表示する。論文では、「水やイオンも含めた対象分子系の全体像（初期構造か代表的なスナップショット）」と「溶質分子（タンパク質や核酸など）のスナップ
ショットの重ね合わせ」の二つを合わせて表示することを推奨する2。図 1 に一例を示しておく。

図 12.2. 2 分子構造の最小

また、分子構造のスナップショットの重ね合わせ

自乗フィットは、可視化だけではなく、その後の構造解析でも必要となる。重ね合わせアルゴリズムはおそらく複数存
在するとは思うが、筆者は、McLachlan (1979)の最小
自乗フィット（Least square fit）を使っている。このアルゴリズムでは、N 個の原子からなる分子の構造を
ri,i=1,N とすると、それを、以下のようにして、基準
構造 rrefi に重ね合わせる（図 2)。
[1] 両方の重心の位置を合わせる。つまり、
𝑟𝑒𝑓𝑁∑𝑁
𝑖=1 𝑚𝑖 𝐫𝑖 = ∑𝑖=1 𝑚𝑖 𝐫𝑖になるように、r を平行移動させる。ただし、mi は原子

i の質量。そして、[2] 次の条件を満たす回転行列 U を求め（計算法は省略）、

2

MD などの計算分子科学の論文の中には、今でも、分子グラフィクスが全く載っていないものがある。そのような「文字と数式とグラフだけ」の論文は、読者が、どんな対象系の計算なのか理解するのに苦労する。やはり、分子グラフィクスは不可欠だと考えたい。

358

第 12 章 トラジェクトリーの解析

𝑟𝑒𝑓 2

min ∑𝑁𝑖=1 𝑚𝑖 (𝐔𝐫𝑖 − 𝐫𝑖𝐔(12.2.1))

r を重心周りに回転させて、Uri にする。
もし、構造の一部を重ね合わせから除外したければ（たとえば水素原子を無視するとか）、その原子の質量 mi を 0 と置けばよい。前述のように、この最小自乗フィット
は、構造の表示だけでな

図 12.2. 3 イメージングの落とし穴

く、次節以降の解析の前処理で頻繁に使う。なお、補足も参照のこと。
ところで、対象分子が二つ以上からなる複合体を周期境界条件で MD 計算した場合
は、重ね合わせの際に注意が必要である。というのは、複合体の構成分子の一部がイメージングを起こした場合（図 3)、第 11.9 節の Q5 に記したように、イメージングした分子を引き戻してから、重ね合わせをしなければいけない。とにもかくにも、まずはアニメーションを見て、複合体の構成分子がイメージングしたかしないか、確かめることだ。
動画やスナップショットは、グラフィクスが付いた統合的 MD パッケージならば、その機能を使って作成できる。だが、MD 機能のみのプログラムでトラジェクトリーを作成したときは、分子グラフィクス作成ソフトがいくつか出回っているので、それらの中から、適宜、自分に使いやすいものを選ぶとよい（VMD、Humphrey et al., 1996；
UCSF ChimeraX、Goddard et al., 2018, Pettersen et al., 2021 など）。
補足：構造重ね合わせ条件
本節では、重ね合わせ条件として McLachlan (1979)を紹介した。これは、すでに述べたように、以下の条件を満たす回転行列 U を求めて、その U を使って、ri を回転させる方法である。
𝑟𝑒𝑓 2

min ∑𝑁𝑖=1 𝑚𝑖 (𝐔𝐫𝑖 − 𝐫𝑖𝐔)

(再 12.2.1)

一方、重ね合わせの条件として有名な Eckart (1935)の条件は、以下の式を満たす回
転行列 T を求めて回転させる。
𝑟𝑒𝑓
∑𝑁
=0
𝑖=1 𝑚𝑖 (𝐓𝐫𝑖 ) × 𝐫𝑖

(12.2.2)

式(1)と(2)の二つの条件の関係は語られることが少ないが、幸いなことに、Kudin &Dymarsky (2005)が解析している。結論だけ述べると、条件(1)を満たす U は条件(2)の解 T になる、つまり、U=T である。だから、最小自乗フィットすれば、自動的に
Eckart 条件は満たされる。証明は、彼らの論文を読んでいただきたし。
359

第 12 章 トラジェクトリーの解析

12.3. 部分系のエネルギー
対象分子系全体に関するエネルギーについては、すでに計算方法や解析のポイントを述べたので繰り返さない。ここでは、対象分子の部分系に関するエネルギーの計算方法とその意味を書いておく。
[1] 部分温度
一般に、ある分子系の温度 T は、𝑇=

2
1
∑𝑁 𝑚 ⟨𝑣 2 ⟩⟨𝐸𝑘𝑖𝑛 ⟩ =𝑔𝑘𝐵
𝑔𝑘𝐵 𝑖=1 𝑖 𝑖(12.3.1)で定義される。ただし、kB はボルツマン定数、g は系の自由度、Ekin は運動エネルギーである（第 8,10 章参照）。それと同様に、その部分系 J の温度 TJ を定義できる。
𝑇𝐽 =

2
1
𝐽
⟨𝐸𝑘𝑖𝑛 ⟩ = 𝐽 ∑𝑖∈𝐽 𝑚𝑖 ⟨𝑣𝑖 2 ⟩
𝑔𝐽 𝑘𝐵
𝑔 𝑘𝐵

(12.3.2)

部分系 J というのは、例えば全体系が「タンパク質/イオン/水」ならば、タンパク質、イオン、水、のどれかでもいい。あるいは、もっと細かく、タンパク質のアミノ酸残基のそれぞれなどでも構わない。gJ は、部分系 J の自由度である。自由度については 8.1 節に詳しく書いた通りで、部分系の原子数を n、その中の拘束数（たとえば結合長など）を nc とすると、gJ=3n-nc だから、
1

𝑇 𝐽 = (3𝑛−𝑛 )𝑘 ∑𝑖∈𝐽 𝑚𝑖 ⟨𝑣𝑖 2 ⟩𝑐(12.3.3)𝐵と表せる。さらに、その部分系 J の質量を mGJ、重心速度を vGJ とすれば、重心温度 TGJと内部温度 TinJ も定義できる。
𝑇𝐺 =

𝐽

1
𝐽
𝐽2
𝑚𝐺 〈𝑣𝐺 〉3𝑘𝐵

𝐽

1(12.3.4)
𝐽 2

𝑇𝑖𝑛 = (3(𝑛−1)−𝑛 )𝑘 ∑𝑖∈𝐽 𝑚𝑖 ⟨(𝐯𝑖 − 𝐯𝐺 ) ⟩𝑐(12.3.5)𝐵

これらの温度は、熱平衡に達していて、かつ充分長いサンプリング時間を取った場
合、すべて等しくなる。つまり、誤差の範囲で、
𝐽𝐽

𝑇 = 𝑇 𝐽 = 𝑇𝐺 = 𝑇𝑖𝑛(12.3.6)が成り立つ。逆に関係(6)が成り立たない時は、熱平衡が成り立っていないか、サンプ
リング時間が短すぎるかのどちらか、または両方である。
部分温度は、1990 年代に、「静電相互作用をカットオフ法で計算すると熱平衡に達しない」ことを示すために、しばしば使われた（詳細は 6.2.2 節）。カットオフ法が廃れた現在では、普通の MM-MD で部分温度を確かめることはあまり見かけない。だが、FPMD の化学反応シミュレーションで、熱エネルギーが伝わる様子を解析したりす360

第 12 章 トラジェクトリーの解析

る場合には、部分温度が必要になるだろう。
[2] ポテンシャルエネルギーの分割
MD では、対象分子系のポテンシャルエネルギーは、結合長、結合角、ねじれ角、L.J.力、静電力など、種類別に分割して出力される。しかし、分子系の一部分を取り出して、そ図 12.3. 1 エネル
ギーの分割の内部エネルギーや、外部との相互作用エネルギーを計算したい場合は、MD トラジェクトリーの座標データから、新たに計算しなおす必要がある。具体的な例を一つ上げると、図 1のような二つの分子 AB からなる分子系のポテンシャルエネ
ルギーU を、それぞれの内部エネルギー（UA と UB）と、二つの間の相互作用エネルギー(UAB)に分割したいことがある。これは、解析プログラムを使って計算する。
ポテンシャルエネルギーの分割は、例えば、基質とタンパク質の相互作用解析などに使われる。ただし、自由エネルギーではないため、直接実験値と比較できないことが多い。結合の自由エネルギーの計算には、エントロピー項まで含めて計算することが必要で、様々な方法が提唱されて使われている。結合自由エネルギーに限らず、自由エネルギー計算は、対象を生体分子に限っても、それ自体が一つの研究分野となっているほど多くの研究がなされている。しかし、というよりも、ゆえに、本書では省略し、最近の教科書や総説を紹介するにとどめる（岡崎・吉井 2011 の第 14 章、Williams-Noonan et al., 2018, Song & Merz, 2020、他多数）。
12.4. 根平均自乗変位 - RMSD
MD を行えば、当然、分子構造が揺らぐが、その構造が、何らかの基準構造に比べてどの程度変化したかを、総括的に示す指標が必要になる。例えば、図 12.1.3 の典型的な計算対象なら、中心となる溶質分子（solute）の構造のスナップショットが、初期構造からどの程度ずれたか調べたい。MD に限らず、何か二つの分子構造の違いを比べるときに、基本となる指標は、二つの構造の Root Mean Square
Deviation/Difference（RMSD）である（「根平均自乗変位」と訳されるが、この日本語は、あまり使われない）。RMSD は対象分子が N 原子から成るとして、比較参照する
構造を rref、その参照構造からのずれを計算したい構造を r とすれば、12.1 節に従って、r を rref に重ね合わせてから、
1
𝑁

𝑟𝑒𝑓
𝑅𝑀𝑆𝐷 = √ ∑𝑁)
𝑖=1(𝐫𝑖 − 𝐫𝑖2

(12.4.1)の式で計算する。RMSD は、大雑把には「分子の中の原子一個あたりのずれの大きさ」
361

第 12 章 トラジェクトリーの解析を示している。

RMSD と言う言葉自体は、任意の二つの数値の差の自乗平均の自乗根を示すから、必
ずしも構造指標を指すとは限らない3。だが、MD に限らず、生体分子の計算科学の分野
では、なんの注釈もつけずに RMSD と言えば、二つの分子構造の差、特に、計算で得られたモデル構造（式 1 の r）と比較対象の実験構造（式 1 の rref)の差を指すのが普通である。
式(1)では、分子の構成原子すべてについて和を取っているが、特定の原子についてのみ和を取ることもある。たとえば、水素原子以外の重い原子、タンパク質の Cα、主鎖の原子、側鎖の原子、などを選んで計算する。また、式(1)では計算対象の原子はすべて同等に扱っているが、原子の質量で重み付けをすることもある。それを RMSDw と書くと、
𝑅𝑀𝑆𝐷𝑤 = √∑𝑁

1𝑖=1 𝑚𝑖𝑟𝑒𝑓∑𝑁)
𝑖=1 𝑚𝑖 (𝐫𝑖 − 𝐫𝑖2

(12.4.2)になる。
生体分子の MD 構造と実験構造の間の RMSD の大きさには、分子の部位毎に差がある。通常は、タンパク質の RMSD は
Cα < 主鎖 ＜ 側鎖の順に大きくなり、一方、二本鎖 DNA の RMSD は、
塩基対 ＜ 糖リン酸主鎖になる。これは、外の溶媒に露出している部分のほうが、揺らぎが相対的に大きいため、初期構造からのずれも大きくなるからである。また、タンパク質の N 末端や C 末端、二本鎖 DNA の 5'末端や 3'末端は、他の部分に比べて RMSD が大きいのがほとんどである。これも、末端部は露出してふらふらしていることが多いからである（例えば、図 12.2.1B を見よ）。そのため、論文によっては、注記の上、末端部は RMSD の計算から除いていることもある。
生体分子の典型的な MD では、溶質の初期構造として実験構造を使い、MD スナップ
ショットと初期構造の RMSD の時間変化を求めて、それが小さな値に収まれば、一応、MD は成功と判断して、さらに解析を進める。一方、RMSD が時間とともに上昇傾向にある場合は、平衡化が足りないか、MD の条件（力場や力の計算方法など）に問題があると判断する。
と、あっさり書いたけれど、じゃあ、一体、どの程度の値に収まればいいのか？
結晶構造と溶液構造は違うものなのに、RMSD が大きいからと言って MD が失敗と決めつけていいのか？

タンパク質のドメイン構造にもよるのではないか？ などなど、簡単には言えない。でも、比較的小さい、百から数百残基の単一ドメインの球状タンパ

3

例えば、第 3 章の式(3.2.3)では、エネルギーのずれを RMSD(E)と呼んでいる。

362

第 12 章 トラジェクトリーの解析

ク質で、初期構造の解像度が割と高精度なら、主鎖の RMSD が 1-3Å程度で落ち着け
ば、成功と判断していいと思う、知らんけど。
前段で、単一ドメインの球状タンパク質、と書いたが、では複数ドメインから成るタン
パク質は？

と言うと、全体の RMSD だけで

図 12.4. 1 二つのドメインからなるタンパク質の RMSD

は、MD の安定性を判断できない。例えば、
図 1 のように、二つのドメインが柔軟な鎖でつながっているようなタンパク質を考える（カルモジュリンやトロポニン C を思い浮かべると良い、実例は、Komeiji et al.,2002 など）。MD で鎖部分がふらふら揺らげ
ば、全体の RMSD の値は大きくかつ不安定になる。だが、それぞれのドメイン毎に最小
自乗フィットし、RMSD を独立に計算した結果、安定な値に落ち着いているならば、ドメイン構造が保たれているので MD は成功と判断してよい。
ところで、分子構造予測のシミュレーションでは、実験に基づかない初期構造から出発するから、最終的に実験構造との RMSD が小さくなればなるほど良いわけである。
DNA の A⇔B 構造転移や（Yang & Pettitt, 1996, Cheatham & Kollman, 1996 など）、
タンパク質のフォールディングのシミュレーションでは（Lindorff-Larsen et al.,2011 など）、RMSD が小さくなったことで、予測が成功したことを表現している。
このように、RMSD は MD トラジェクトリーの構造に関する、基本的な指標である。
一般的には、計算した構造と実験構造の RMSD が小さく、かつ安定することが、良いとされている。ただし、すでに議論したように、RMSD だけでは、計算の信頼性は判断できず、ケースバイケースの判断が必要である。
12.5. 根平均自乗揺らぎ - RMSF
MD で平衡状態に達してからの分子構造の揺らぎは、Root Mean Square Fluctuation(RMSF)で示す。RMSF は、先の RMSD と名前が似ているが、RMSD が構造の「ずれ（deviation）」を示すのに対し4、RMSF は構造の「揺らぎ（fluctuation）」を直接示
す指標である。

4

もちろん、揺らぎが大きければ、ずれも大きくなるから、RMSD も、揺らぎを反映する指標に

なる。

363

第 12 章 トラジェクトリーの解析

RMSF の計算には、トラジェクトリーが平衡化し RMSD もだいたい安定した部分のス
ナップショットを、数多く抜き出して使う。それらのスナップショットは、12.2 節の方法で、参照構造に最小自乗フィットさせる。参照構造は RMSD と同様に初期構造でも構わない。そうしてから、スナップショットの時間平均構造<r>を計算する。原子 i のRMSF を RMSF(i)と書けば、(12.5.1)

𝑅𝑀𝑆𝐹(𝑖) = √〈(𝐫𝑖 − 〈𝐫𝑖 〉)2 〉で計算する。要するに、原子の位置座標が、平均的にどれぐらい揺らいでいるかを示
す、「標準偏差」である。式(1)は、式(2)を使って、X 線結晶解析で得られる等方性
温度因子（temperature factor, B factor）と比べることが可能である（Brooks etal., 1988）。PDB ファイルに入っている、ある原子 i の温度因子 Bi を次式で変換する
と、
8𝐵𝑖
3𝜋2

(12.5.2)

𝑏𝑖 = √

bi は、原子の位置の揺らぎを示す量なので、RMSF(i)と対応している。ただし、bi は、結晶状態での原子の様々な揺らぎを含んでおり、RMSF(i)と厳密に対応するわけではない。だから両者が定量的に一致しなくても構わない。半定量的に一致、つまり揺らぎのパターンが概ね一致すれば、MD 計算に大きい問題はない、と判断できる。なお、
1980-90 年代には、式(2)を使って、MD の結果と X 線結晶解析の結果を比較することが多かった。だが、2020 年代の近頃は、あまり見かけない気がする。そもそも結晶状態をシミュレーンしているわけではないし、最近は、実験を再現するよりも、もっと挑戦的なモデリングに MD が使われることが多いからかも知れない。
さて、式(1)の RMSF(i)は原子の位置揺らぎだが、通常は、もっと大きい構造単位、
例えば、アミノ酸残基やヌクレオチド単位の揺らぎを示すことのほうが多い。このような構造単位 I の揺らぎ RMSF(I)は、いくつかの定義が考えられる。一つは、I に属する NI 個の原子 i の座標 ri の RMSF(i)（式 1)の自乗平均のその自乗根を取る。
1
𝑁𝐼

1
𝑁𝐼

𝑅𝑀𝑆𝐹(𝐼) = √ ∑𝑖∈𝐼 𝑅𝑀𝑆𝐹(𝑖)2 = √ ∑𝑖∈𝐼〈(𝐫𝑖 − 〈𝐫𝑖 〉)2 〉(12.5.3)

もう一つは、何か I を代表する位置座標 RI について、式(1)のように、𝑅𝑀𝑆𝐹(𝐼) = √〈(𝐑𝐼 − 〈𝐑𝐼 〉)2 〉(12.5.4)を計算する。この代表的位置座標 RI の選び方もいろいろで、I の構成原子の幾何平
均、
𝐑𝐼 =

1
∑ 𝐫
𝑁𝐼 𝑖∈𝐼 𝑖

I の重心、
𝐑𝐼 =1∑𝑖∈𝐼 𝑚𝑖∑𝑖∈𝐼 𝑚𝑖 𝐫𝑖
364

第 12 章 トラジェクトリーの解析

あるいは、特定の原子、特にタンパク質の場合 Cαの座標
𝐑𝐼 = 𝐫(C 𝛼 )を取ったりする。

RMSF(I)を式(1)(3)(4)のどれで計算しても問題はないが、論文にはその定義ははっきりと書くべきである。
なお、生体分子の RMSF の大きさには、分子の部位毎に差がある。これは、RMSD の場合と全く同じで、通常は、タンパク質はCα < 主鎖 ＜ 側鎖の順に大きくなり、一方、二本鎖 DNA は、
塩基対 ＜ 糖リン酸主鎖になる。また、タンパク質は N 末端や C 末端、二本鎖 DNA は 5'末端や 3'末端の RMSD
が、他の部分に比べて大きいのがほとんどである。つまり、RMSD と同様に、溶媒に露出している部分ほど揺らぎ易いのである。
12.6. 分子の概形を示す量 - 回転半径、二体分布関数、溶媒露出面積
分子の概形を抽象化して示す量を説明する。もちろん、このような量はいくつもあるが、ここでは代表的なものを三つほど挙げるにとどめる。どれも、対象分子のスナ
ップショットの構造 r から計算する。対象としては、タンパク質や核酸のような生体分子を念頭においているが、それ以外の分子にも適用できる。
[1]

回転半径/慣性半径ある分子のスナップショット構造 ri, i=1,N に対して、分子の回転半径または慣性半径（Radius of gyration、Rg)を次式で定義する。
∑𝑁 𝑚 ∆𝑟𝑖 2

𝑖
𝑅𝑔 = √ 𝑖=1∑𝑁(12.6.1)𝑖=1 𝑚𝑖

ただし、Δri は、分子の重心からの構成原子 i の距離∑𝑁 𝑚𝑖 𝐫𝑖

∆𝑟𝑖 = |𝐫𝑖 − ∑𝑖=1𝑁

𝑖=1 𝑚𝑖|(12.6.2)である。式(1)は、IUPAC による回転半径の定義で（Stepto et al., 2015）、高分子科学の分野で広く使われている5。回転半径は、分子内の質量分布を示すパラメーター
で、重心近くに質量が凝縮すれば小さくなるし、重心から遠くに質量が分布すれば大きくなる。そのため、生体分子だけでなく、一般的な高分子ポリマー鎖の凝集具合を5

剛体力学や材料科学では、式(1)のΔri を、重心からの距離(2)ではなく、物体の慣性軸からの距離に取って Rg を定義するようだ。だが、本書ではその定義はとらない。

365

第 12 章 トラジェクトリーの解析示すために、広く使われている（図 1)。
式(1)はスナップショットに対する計算だが、MD のトラジェクトリーから時間平均を計算する場合は、通常のように式(12.1.1)の X に式(1)の Rg の時間平均<Rg>を取ればよい。ただし、IUPAC の推奨に合わせて（Stepto et al., 2015）、式(2)のΔri の自乗の時間平均<Δri2>を使って∑𝑁 𝑚 〈∆𝑟𝑖 2 〉〈𝑅𝑔 〉′ = √ 𝑖=1𝑁 𝑖∑𝑖=1 𝑚𝑖(12.6.3)の式で計算するほうが良いかも知れない。
回転半径が、タンパク質の MD の解析に用いられたのは、おそらく、Pickover &Engelman (1981)が嚆矢だろう。その後、フォールディングやアンフォールディングの MDを行うときに、タンパク質分子の折り畳み具

図 12.6. 1 高分子ポリマー（タンパク質を含む）の回転半径合を示すパラメーターとしてよく使われるようになった（図 1）。最近の例では、タンパク
質構造の自由エネルギー地形を描くための変数の一つとして、回転半径が使われている（Xiang et al., 2017)。また、MD で求めた回転半径を、X 線小角散乱（Small Angle X-ray
Scattering、 SAXS）で得られた実験値と、比較することもできる（わかりやすい解説は、
苙口ら、2013）。
[2] 二体分布関数
二体分布関数（pair distribution function）は、回転半径と同様に、分子の形状をおおまかに示す関数である。P(R)は、分子内の「原子対の距離」R のヒストグラムである。つまり、タンパク質などの分子が N 個の原子から成るとすれ

図 12.6. 2 P(R)の例１：単一ドメイン
タンパク質

ば、N(N-1)/2 個の原子対 ij があるから、その距離
𝑅𝑖𝑗 = |𝐫𝑖 − 𝐫𝑗 |の分布をグラフにするわけである。さて、この二体分布関数のグラフはいろいろな文献で見かけるのだが、横軸は距離で決まっているが、縦軸が何を示すのか書いていないことが多い。実際のところ、グラフの形さえわかれば縦軸は任意でも構わない
し、単純なヒストグラムで構わない。だが、筆者自身は、二体分布関数を、下の式で定義した確率密度分布関数 P(R)として示すことにしている（Komeiji et al., 2002）。つまり、0≦R366

第 12 章 トラジェクトリーの解析

で積分すれば 1 になるように正規化している。
𝑃(𝑅) =𝛥𝑛(𝑅)𝑛𝛥𝑅(12.6.4)

ここで、n は分子内の原子対の総数、つまり n= N(N-1)/2 である。また、Δn(R)は、原子間距離 Rij が、
𝑅−

∆𝑅
∆𝑅
≤ 𝑅𝑖𝑗 < 𝑅 +22になるような原子対の数である。式(4)は、スナップショットに対する式だが、MD の
トラジェクトリーで平均を取る場合は、𝑃(𝑅) =〈𝛥𝑛(𝑅)〉
𝑛𝛥𝑅(12.6.5)を使う。

P(R)のグラフの外形は、対象分子の形状により変わる。単一ドメインから成る、球状のタンパク質ならば、グラフは、ヒトコブラクダのような形

図 12.6. 3 P(R)の例２：二つドメインを持つタンパク質になる（図 2）。一方、二つのドメインが鎖でつながっているようなタンパク質（例によって、カルモジュリンを思い浮かべて欲しい）ならば、P(R)はフタコブラクダになる（図 3）。一つ目のこぶはドメイン内の、二つ目はドメイン間の、原子間距離の分布になる。

P(R)も、回転半径と同様に、EXAFS の実験デー
タと比較できる。実は、正確に比較する場合は、
式(4)(5)ではなく、原子の散乱係数で重み付けしなければならない。しかし、グラフの概形の比較だけならば、式(4)(5)のままで良い。そして、ほとんどの場合、グラフの概形に関する議論ができれば充分である。
[3]

溶媒露出面積

溶媒露出面積、(Solvent) Accessible Surface Area, (S)ASA は、タンパク質などの溶質分子が、溶媒に露出しているかを示す量である。SASA は、Lee & Richards(1971) により、タンパク質の静的な構造、つまり X 線結晶構造の解析法の一つとして提案されたが、その後、結晶構造だけでなく、MD のスナップショットに対しても応用されるようになった。SASA は、単に、溶質の構造解析法としてだけでなく、水和（自367第 12 章 トラジェクトリーの解析由）エネルギーの推定や、溶媒の連続体近似などにも利用されている。

図 12.6.4 SASA の概念

まず、Lee & Richards (1971）に従って、SASA を定義する。図 4 の概念図を使って説明する。ただし、図は 2 次元だが、実際には 3 次元である。灰色の丸印が、溶質分子（タンパク質など）の構成原子である（i=1,..,N の添え字を付けておく）。
構成原子 i の van der Waals 半径を Rvdwiとする。一方、白の丸印は、溶媒分子を示し、その半径を Rs とする。その溶媒球を、必ず溶質の原子と接触するようにしつつ、溶質分子の表面をまんべんなく転がしたとき、溶媒球の中心が描く曲面を SASA と定義する。この定義ならば、溶質の内側に埋もれている原子の表面は入らないので、実際に溶媒と接する表面の面積が計算できる。
次に、SASA の具体的な計算方法を、Shrake & Rupley (1973)に従って、説明する。
まずは、図 5 のように、溶質の構成原子 i を一つ選び、その SASA の Ai を計算する。図 5A のように、i の中心 ri の周りに、半径 Ri=Rvdwi+Rs の球を発生させる。その表面に、図 5B のように、n 個のサンプル点 k=1,...,n を、均等に、発生させる。そして、図 5C のように、個々のサンプル点 k の座標 rk について、溶質の構成原子 j=1,Nの中心との距離

rkj=|rk-rj|を計算し、j=i で rkj が最小となるサンプル点 k だけが、表面に露出していると判断する6。その、露出しているサンプル点が ni 個あったとする。原子 i の SASA の Ai は、𝑛𝑛

𝐴𝑖 = 4𝜋𝑅𝑖2 × 𝑖(12.6.6)2である。4πRi は、球の表面積だから、そのうち、露出している部分の割合を掛ければ、露出部の面積が計算できる、ということ。
このように、個々の原子の Ai が求まれば、それを足し合わせて、溶質分子全体のSASA を、𝐴 = ∑𝑁𝑖=1 𝐴𝑖で計算する。また、溶質の部分構造 I、たとえばアミノ酸残基の SASA は
𝐴𝐼 = ∑𝑖∈𝐼 𝐴𝑖というように、I に所属する原子の SASA を足し合わせれば良い。
さて、この方法で SASA を計算するならば、パラメーターの Rs、 Rvdwi、n に値が左右される。溶媒分子の半径 Rs は、通常、水分子の半径に合わせて 1.4-1.8 Å程度の値が使われる。一方、溶質の構成原子の半径 Rvdwi にどういう値を使うかは、おそらく、プ6

これは、真面目に全 N 原子について調べると計算時間を食うので、筆者は、i に近い原子に関してのみ、調べるようにプログラムした。

368

第 12 章 トラジェクトリーの解析

ログラムによりまちまちだと思う。筆者は、AMBER 力場の LJ 力の Ri（5.3 節）の値を流用している。なお、サンプル点の数 n は、n を増やしても結果が変わらなくなった
時点の値を使えば問題ない。

図 12.6. 5 SASA の計算方法

ともあれ、SASA の値は、これらのパラメーターにより多かれ少なかれ左右される。
だから、SASA は、普通は、半定量的なものだと思って、利用すべきである。一つの論文内で SASA を比較している場合は定量性があるが、別々の論文、特に別著者や別研究グループの論文に掲載されている SASA は、定量的に比較しないほうが無難である。
なお、SASA の計算法としては、ここで紹介した Shrake & Rupley (1973) 以降、いくつか別の方法が出ているが、論文を列挙するだけにとどめておく（Fraczkiewicz &Braun, 1998, Weiser et al., 1998, Klenin et al., 2011）。
以上、溶質分子、特にタンパク質の形状のおおまかな特徴を表す量を三つほど紹介した。これらは、古くから、おもに、タンパク質の X 線結晶解析による静的構造を対象にしていた解析方法だが、生体分子の MD が盛んになる 1980 年代以降には、MD の解析方法として使われることが多くなった。
12.7. 分子のドメイン構造 - コンタクトマップ、動的相関図
今度は、生体分子、特にタンパク質のドメイン構造や協同運動の表示法を示す。
369

第 12 章 トラジェクトリーの解析[1] コンタクトマップ
コンタクトマップ（Contact map、

図 12.7. 1 コンタクトマップの例

Distance map とも呼ばれる）は、タン
パク質のアミノ酸残基間の距離を 2 次元
図に表示したものである。筆者の知る限
り、適切な和訳語は見当たらず、カタカ
ナ英語の「コンタクトマップ」が普及している。
まず、アミノ酸残基数 N のタンパク質に対し、そのアミノ酸残基 I,J の組に関して、残基間距離の行列 RIJ（I,J=1,..,N）を計算する。タンパク質の静的な分子構造、例えば結晶構造や MDの 1 スナップショットに対しては、そのアミノ酸残基 I の座標 RI と J の座標 RJ を使い、
𝑅𝐼𝐽 = |𝐑𝐼 − 𝐑𝐽 |を計算する。一方、MD のトラジェクトリーの複数のスナップショットを平均する場合
は、それぞれのスナップショットの残基間距離の時間平均
𝑅𝐼𝐽 = 〈|𝐑𝐼 − 𝐑𝐽 |〉を使う。

RIJ の計算に必要な、アミノ酸残基 I の座標 RI は何に取るべきかだが、それは、12.5
節の RMSF の計算と同様、いくつかオプションがある。コンタクトマップでは、残基の重心か、または主鎖の Cα原子の座標が使われることが多い。また、側鎖を強調して調べたいときは、Cβ原子の座標を使うこともある。
さて、行列 RIJ が求まったら、それを 2 次元プロットする。RIJ がある値以下（例えば 6Å以下）の場合だけ、色を付ける、というようにプロットする。より一般的には、値に応じて色分けをした等高線を描くことになるが、その場合、「値が小さいほ
ど目立つ」ようにすることが大事である。なお、RII=0 なので、対角線は必ずコンタク
トがある。また、RIJ=RJI だから、I≦J のデータだけをプロットすればよい。その場合は、三角形のマップになる。図 1 の例では、I≦J のデータのみプロットしているので、マップは左上半分のみで、右下は空白になる。ただし、重複は気にせず、I>J のデータをプロットすることも多く、その場合は、対角線を挟んで線対称になる。
図 1 に、二つのドメインから成るタンパク質のコンタクトマップを模式的に示す。
図 1A のように、二つのドメインが離れている場合は、対角線に沿って、二つ三角形が370

第 12 章 トラジェクトリーの解析できる。二つのドメインが近づくと、図 1B のように、ドメインが接触している部分を示す島ができる。
現実のタンパク質のコンタクトマップはもっと複雑だが、基本、こんな感じで、ドメイン構造を記述する。
[2] 動的相関図
先のコンタクトマップは、タンパク質の静的な構造からドメインを定義・記述する
方法だが、一方、タンパク質の動的な運動からドメインを定義・記述する方法もある。その一つが、動的相関図（Dynamic(cal) Cross Correlation

図 12.7. 2 動的相関 CIJ

Map, DCCM）である。動的相関図は、タンパク質のドメイン内やドメイン間の協同的な動き（Collective motion）の程度を示す。コンタクトマップと同様な二次元マップであり、両方を比べて議論す
ることが可能である。
DCCM を描く場合、コンタクトマップとは違い、必ず、MD のスナップショットを相互に最小自乗フィットさせる（12.1 節の方法を使う）。次に、タンパク質内の二つのアミノ酸残基 I,J の間の動的相関 CIJ を、次式で定義する。
𝐶𝐼𝐽 =〈∆𝐑 𝐼 ∙∆𝐑 𝐽 〉(12.7.1)√〈∆𝐑 𝐼 2 〉〈∆𝐑 𝐽 2 〉ここで、ΔRI は残基 I の平均構造からのずれ∆𝐑𝐼 = 𝐑𝐼 − 〈𝐑𝐼 〉である。RI はコンタクトマップと同様に、残基 I の重心や主鎖の Cαを使うことが多い。

CIJ は Dynamical Cross Correlation（動的相関）と呼ばれ、式(1)からわかるように、残基の I と J の位置揺らぎの相関を表す、「相関係数」である。よって、一般の相関係数と同様に、値は、-1 ≦ CIJ ≦1 の範囲に収まる。図 2 に模式的に示したように、I と J が同じ方向に揺らぐときは CIJ>0、逆方向なら CIJ<0、お互いばらばらなら

CIJ≒0 になる。CIJ を、コンタクトマップと同様に、2 次元の等高線にプロットしたものが DCCM で、1990 年代初頭から使われるようになった（Harte et al., 1990, 1992,
Ichiye & Karplus, 1991, Komeiji et al., 1991、など）。
ただし、DCCM にはいくつか問題点がある。式(1)の定義から自明なように、二つの構造単位の平行な協同運動しか記述できない。また、中心付近の固いドメイン内の協371

第 12 章 トラジェクトリーの解析

同運動は観測しにくい（Komeiji et al., 1994）。加えて、揺らぎの相関であるため収束が遅く、再現性があまり高くない（Hünenberger et al., 1995）。だから、DCCM
だけで、対象分子全体の協同運動やドメイン構造の議論をするのは危険で、他の方法、特にコンタクトマップと組み合わせて総合的に議論したほうが良い。そんなこともあり、筆者自身は、Komeiji et al. (1994) を最後に、DCCM を論文に使ったことはない。
だが、論文や学会発表では、30 年経った今でも、目にすることがある。1990 年代は
MD で追える時間領域 100 ps 程度だったのに対し、今は 10 ns 以上が普通なため、収束が悪い件は、問題ではないのかも知れない。また。DCCM だけでなく、他の様々な方
法、特に、主成分分析（PCA、12.11 節）と組み合わせることが多い（Scarabelli &Grand, 2013、 Kumari et al., 2021、Ngidi et al., 2022 など）。
そんな感じで、DCCM は、協同運動やドメイン構造の解析法の一つとして、他の方法と組み合わされて利用されている。
12.8. 生体分子の構造・コンフォーメーション
この節では、生体分子の構造（structure）・コンフォーメーション（conformation）の表し方を紹介する。12.6 と 12.7 節で紹介した、回転半径、二体
分布、コンタクトマップなどは、必ずしも生体分子に限らず、様々なポリマーの解析に利用されている。だが、本節では、生体分子、より具体的には、タンパク質や核酸に特化した方法を紹介することにする。
ところで、「分子構造」と言う言葉は静的なきっかりとしたもの、「コンフォーメーション」は動的なもの、というようなニュアンスがある。だが、生体分子の場合、
特に MD で構造揺らぎを採り入れている場合、その境界はあいまいである。だから、本書では、構造とコン

図 12.8.1 IUPAC-IUB の命名法による、タンパク質主鎖のコンフォーメーション

フォーメーションは、あまり厳密には区別していない。
[1] ラマチャンドラン・プロット
ラマチャンドラン・プロット（Ramachandran plot、
Ramachandran et al., 1963）は、タンパク質の主鎖のコンフォーメー
ション、特に二次構造を簡単に表示する方法である。タンパク質の二次372

第 12 章 トラジェクトリーの解析

構造は、その主鎖のねじれ角（二面角）の分布に、その特徴が現れる。タンパク質のねじれ角について
は、IUPAC-IUB (1970)に命名法が標準化されてい図 12.8. 2 模式的なラマチ
ャンドラン・プロット

る。ラマチャンドラン・プロットは、そもそも X
線結晶構造の特徴の記述用に作られたが、その後、対象が NMR 構造や MD のトラジェクトリーに拡大している。IUPAC の命名法では、主鎖のコンフォ
ーメーションは、φ、ψ、ωの三つの二面角で示される。それぞれは 4 つの原子を用いて、図 1 のように定義される。これら 4 つの原子座標からの二面角の計算方法は、5.2 節を参照。φ、ψ、ωを-180°から 180°の値を持つように定義すると。trans 型は±180°、cis 型は 0°、gauche 型は±60°付近の値を取る。主鎖のコンフォーメーションは、φとψの二つの二面角によって決まる。残るωは、コンフォーメーション変化にほとんど寄与しない。なぜなら、CO-NH ペプチド結合が二重結合性のせいで回転しないため、180°付近の値しかとらないからである。よって、φとψの二次元プロットが広く使われている。これが、ラマチャンドラン・プロットである。
図 2 に、模式的なラマチャンドラン・プロ
ットと、代表的な二次構造のαヘリックスとβシートの大雑把な位

図 12.8. 3 ラマチャンドラン・プロットの実例。 PDB から得た結晶構造を使い（A. Mishra et al., 2006, B.
Dou et al., 2018）、Chimera1.1 で構造とプロットを表示。

置を示している。αヘリックスは、φ、ψともに gauche 構造を取り、一方、βシートはtrans 構造に近いため、図 2 のような位置を占める。実例も図 3に挙げておく。それぞれの二次構造に応じて、模式図に示した場
所に、(φ,ψ)のポイン
トが、数多く分布しているのが見て取れる。
ラマチャンドラン・プロットは、発表から半世紀以上経った今でも広く使われてい373

第 12 章 トラジェクトリーの解析

る（Carugo et al., 2013 が半世紀間の歴史や最近の動きを解説している）。また、ラマチャンドラン・プロットと同様のアイデアで、糖鎖のコンフォーメーションを表示することもある（Salisburg et al., 2008）。簡便かつ応用が利く方法だから、長く使われているのだと思う。
[2] 核酸の構造
核酸、つまり DNA と RNA は、タンパク質に比べると、構造のパターンがある程度決まっている。基本的には、相補塩基対が Watson-Crick pair を作り、リン酸主鎖が外に露出して、二重らせん構造を取る。だが、もちろん、まったく同じ形をしているわ
けではない。核酸も、基本型の枠内で、あるいは枠からはみ出して、構造の多型性（Structural polymorphism）を示す、つまり、条件によりいろいろな形を取る。例として、図 4 に、DNA 右巻き二重らせんの代表的な、 A、B、C 型構造を挙げた（最も標準的な形は、B-DNA）。だが、これ以外にも、条件によって、左巻きとか、1 本鎖とか、３重らせんとか、超らせん（coiled-coil）などなど、様々な図 12.8. 4 代表的な右巻きらせん
DNA。Web 3DNA 2.0 で作成したモデル構造を、Chimera 1.1 で描画。

構造を取ることが知られている。また、RNA は、DNA 以上に多様な立体構
造を取る。
このような、核酸の立体構造の様々な側面を表現するために、核酸に特化した構造パラメーターが提案され、ソフトウェアと一体化して使われて来た。
20 世紀末頃は、核酸の MD の結果を"Curves"という名前のアルゴリズム（ソフトウェア）で解析するのが主流だった（Lavery & Sklenar, 1988, Ravishanker et al., 1988）。筆者自身も、このソフトを著者から提供してもらい、自分の解析に使ったことがある（Komeiji & Uebayasi,
1999）。
時は流れて、2023 年現在、よく使われているのが、3DNA というソフトである（Lu &Olson, 2003, Colasanti et al., 2013, Li et al., 2019）。また、3DNA を基盤に開発された RNA 解析用ソフト DSSR（Dissecting the Spatial Structure of RNA、Lu etal., 2015） と合わせて、x3DNA-DSSR とも呼ぶようである。次の Webpage から公開されているので、誰でも使うことができる。
https://x3dna.org/
図 4 の座標データは、このページの中の、Web-3DNA ver. 2 で作成した。核酸の構造374

第 12 章 トラジェクトリーの解析

パラメーターは、核酸の構成原子の 3 次元座標から計算される。だが、数が多い上にそれぞれの定義式で、とてもここには列挙できない。興味を持たれた読者は、このWeb ページを覗いて欲しい。構造パラメーターの定義も載っているし、実際の DNA 構造を入力して、解析することもできる。
12.9. 溶媒やイオンの拡散 - 拡散係数
すでに何度も述べたように、生体分子の MD を行う場合、通常、イオンや溶媒分子（普通は水）を取り入れることが多い。そのような MD のトラジェクトリーを用いれば、生体分子の周囲のイオンや溶媒の挙動を解析することができる。あるいは、溶媒だけの MD を行って、純粋な状態での溶媒分子の物性を解析することもある。なお、溶媒分子集合に関する解析を MD で行う場合は、通常は、溶質分子よりも短い時間で収束する。というのは、溶媒分子は数が多いから、時間平均だけでなく、数平均が取れるからである。
イオンや溶媒の解析を行うときには、初歩的かつ当たり前な話ではあるが、11.9 節の Q7 ですでに書いたように、「イオンや溶媒分子は拡散（diffusion）する、つまり、一カ所に留まらないのが普通である」ことは頭に入れておいて欲しい。それから、拡散と振動（oscillation）の区別も付けて欲しい。拡散は「行ったきり」、振動は「行ったり来たり」である。
さて、水やイオンの挙動の基本的な部分は、拡散係数と動径分布関数で表現できる。大雑把には、前者は溶媒分子の動きを、後者は溶媒分子の集合体が作る構造を、それぞれ表わしている。また、動径分布関数を、例えばタンパク質や核酸など、特定の溶質分子の周りの分布に拡張することもある。本節では拡散係数を、次節では動径分布関数を説明する。
拡散係数（diffusion coefficient、通常 D で表す）7は、分子の拡散の速さを示す
物理量である。つまり、ある分子の D が大きいほど、拡散しやすく、小さいほど拡散しにくい。特に、一様な液体中での、液体分子自身の拡散係数は、自己拡散係数(Selfdiffusion coefficient)と呼ばれている。拡散係数の物理学的な定義や理論的な背景
は、付録 12A1 を参照のこと。
拡散係数 D は、MD のトラジェクトリーから、次の、アインシュタインの式で計算する。
𝐷 = 𝑙𝑖𝑚𝑡→∞

7〈|𝐫(𝑡)−𝐫(𝑡𝑜 )|2 〉6(𝑡−𝑡𝑜 )(12.9.1)

拡散係数 D は「拡散定数（Diffusion constant）」と呼ばれることもある。だが、D は、ボルツマン定数やプランク定数などと違って、普遍的な物理定数ではないので、注意。

375

第 12 章 トラジェクトリーの解析

r(t)は、対象分子の時刻 t における座標で、通常は、分子の重心を使う。式(1)の|r(t)-r(t0)|2 は、時刻 t0→t 間の、分子の移動距離の自乗。<>は「t0 に関する平均」
を示し、つまり、初期時刻を変えてデータを取って平均する。D の次元は、[L2][T-1]である。単位は、cgs 単位系の cm2s-1 を使うことが多い。D は、MD トラジェクトリーから
個々の分子に関して計算することができるので、通常、対象分子すべての D を計算して、その平均を取ることで、精度を上げる。
式(1)で D を計算するには、図 1 のように、時間と自乗変位をグラフにする。最初の立ち上がりは直線に乗らない。初めだけは、|𝐫(𝑡) − 𝐫(𝑡𝑜 )|2 ≅3𝑘𝐵 𝑇(𝑡 − 𝑡0 )2𝑚(12.9.2)

に従って、(t-t0)2 に比例するからである（付録 12A1 参照）。ともあれ、t を充分長く取れば、直線になるので、直線部分を、最小二乗法で直線にフィットさせ、その傾きを 6 で割れば D が求められる。|r(t)-r(t0)|2 を求めるときに、周期境界でイメージン
グを起こした分子の r(t)は、その分を補正する必要がある8。
ところで、拡散係数 D を求める方法には、式(1)の分子の移動距離を使う方法（アインシュタイン公式）以外に、速度相関関数を用いる

図 12.9. 1 自乗変位方法がある（グリーン＝久保公式）。
1𝑡

𝐷 = 𝑙𝑖𝑚 ∫0 (𝐯(𝑡) ∙ 𝐯(𝑡0)) 𝑑𝑡
3𝑡→∞(12.9.3)

公式(1)と(3)は、t→∞の極限で一致する（付録
12A1 を参照）。筆者自身は、式(1)しか使ったことがないが、文献上は、式(3)を使った例もある（Bizzarri & Cannistraro, 2002 など）。式(3)では、速度を使って D を計算するから、周期境界でイメージングが起きても、影響を受けない、というメ
リットがある。と言うものの、一般的には、(1)のア
インシュタインの公式のほうが使われることが多い。そちらの方が、式(3)よりも収束が速いからだそうだ（岡崎・吉井、2011）。
MD で D を求める場合は、力場定数、力の計算アルゴリズム、系のサイズ、時間の長さなどの計算条件により、値が大きく左右される。ゆえに、計算値を実験値と比べる
場合は、オーダーが合えば小成功、実験値の半分から 2 倍程度の範囲に収まれば成功、１桁合えば大成功、２桁合ったらただの偶然、ぐらいに考えたほうが良い。特8x,y,z 成分のどれかが、突如 B/2（B は箱の一辺）よりも 増えた/減った ときは、B だけ引く/足す。

376

第 12 章 トラジェクトリーの解析に、MD で計算する水の拡散係数は、様々な計算条件で値がぶれることが知られている（Tsimpanogiannis et al.、2018 が詳しい）。
生体分子シミュレーションの場合、拡散係数は、古くから「生体分子を取り囲む水」の挙動を記述するのに用いられてきた。つまり、タンパク質や核酸を取り巻く水の拡散係数を計算して、バルクの水と比較し、生体分子の水への影響が解析されて来たわけである（Wong & MacCammon, 1986, Komeiji et al., 1993, Bizzarri &Cannistraro, 2002、他、多数）。だが、近年は、ウィルスの殻を通した水の拡散（Andoh et al., 2014）やら、細胞質内での、イオンや水だけでなく、タンパク質自体の拡散（Isseki et al., 2016, Ostrowska1 et al., 2019)など、以前には考えられなかった大規模な分子の拡散現象も、MD で解析されている。
12.10. 溶媒やイオンの分布 - 動径分布関数、配位数
今度は、溶媒やイオンの分布状態を示す、動径分布関数（radial distributionfunction, RDF）と配位数（coordination number、CN）について述べる。さらに、RDF
を不定形の溶質周囲の溶媒分布にも拡張する。
[1] 動径分布関数
まず、RDF こと動径分布関数だが、原子種 Aの周りの、原子種 B の動径分布関数 g(r)を次の式で定義する（図 1）。
𝑔(𝑟) =⟨𝛥𝑁(𝑟)⟩
4𝜋𝑟 2 𝛥𝑟𝐷𝐵

(12.10.1)

図 12.10. 1 動径分布関数。原子
種 A（●）周囲の、原子種 B（○）の分布。図は２次元で表現しているが、実際には 3 次元。

ただし、r は AB 間の距離、Δr は r の差分（普通は 0.05-0.1 Åぐらい）、DB は、この空間内全体での原子種 B の数密度（数/体積）、<ΔN(r)>は、r±Δr/2 内に存在する B の数の時間平均である。
式(1)の意味するところは、「A から距離 r
離れた空間付近の、B の密度の、全体の平均密度との比率」である。それは、4πr2Δr=ΔVが、図 1 の灰色の部分（3 次元ならば球殻）の体積であるから、その部分の密度をρB(r)=<Δ

N(r)>/ΔV とおけば、
𝑔(𝑟) =

𝜌𝐵 (𝑟)
𝐷𝐵(12.10.2)377

第 12 章 トラジェクトリーの解析と書き直せる。だから、g(r)は、r 近傍の密度と全体密度の比である。
A の付近には B も含めて他の原子が近づけないので、gAB(0)=0、また、A から遠く離れると B への影響がなくなるはずなので gAB(∞)=1 である。ただし、周期境界で gAB(r)が意味を持つのは、基本ボックスの一辺 B の半分、つまり、r<B/2 の範囲だけである。
RDF は、X 線散乱で実験から求めることができるので、MD と実験の比較に使われる。また、RDF や次の配位数は、水やイオン分布について計算される他に、たとえば、タンパク質の特定の原子の周りの水やイオンの分布を表現するのに使われることが多い（Komeiji et al., 1993、他多数）。
[2] 配位数
次に、CN こと配位数 G(r)は、単純に、「A 原子から、距離 r 以内にある、B 原子の総数」である。動径分布関数 g(r)を用いて定義すれば、式(3)になる（却ってわかりにくいが）。
𝑟

𝐺(𝑟) = 𝐷𝐵 ∫0 4𝜋𝑦 2 𝑔(𝑦)𝑑𝑦

G(r)は、r→∞において、当然 O(r3)で発散してしまう。だから、通常(12.10.3)

図 12.10. 2 RDF と CN（概念図）

は、A に直接配位している B の数のことを CN と呼ぶことが多い。
RDF と CN について、図 2 で模式的に説明する。A 原子に B 原子が 6 配位しているとしよう。これは、ほとんどの金属錯体が持つ配位構造で、その場合は、A が金属イオン、B が配位子（水の O 原子）に相当する。
RDF は、直接配位した B による鋭い第 1 ピークがあり、それより遠方に第 2、第 3 のピークがある場合もあるが、最後は 1に収束する。G(r)は、第 1 ピークを積分すると、この場合は 6 になる。前述のように、普通は、この第１ピーク以内の数 6 を CN と呼ぶ。
[3] 溶質周囲の溶媒分布
さて、動径分布関数 RDF は、原子 A の周囲の溶媒やイオンの分布を示す方法だが、これを原子 A ではなく、大きさと形を持った溶質分子 S の周囲の分布に拡張することができる（図 3、図 1 の RDF と対比しやすいように、描いてある）。まず定義から、378

第 12 章 トラジェクトリーの解析

溶質分子 S（図３の濃い灰色）の周囲の原子 B の分布関数γ(r)9を次の式で定義する。
𝛾(𝑟) =〈𝛥𝑁(𝑟)〉
𝛥𝑉(𝑟)𝐷𝐵図 12.10. 3 溶質 S 周囲の原子 B の分布(12.10.4)

ただし、r は、溶質分子表面から B への距離、DＢ
は、先と同様にこの空間内全体での B の数密度、<ΔN(r)>は、r±Δr/2 に存在する B の数の時間平均、またΔV(r)は、r±Δr/2 の殻の体積である（図３のうすい灰色）。この式で、ρB(r)=<Δ

N(r)>/ΔV(r)と定義すると、γ(r)= ρB(r)/DB と書けて、これは RDF の式(2)に一致する。つまり、式(4)が RDF の拡張であるのが分かる。また、γ(r)も g(r)と同様に、r が無限大、つまり溶質分子 S の影響がなくなるぐらいの距離では１になる。なお、式(4)は、筆者自身が使っているものだが（Komeiji etal., 1993, Komeiji & Uebayasi, 1999, 付録 8A1 に実例あり）、細部は違っても、同様の情報が得られる式を使っている研究者は多いと思う。
さて、式(4)を使ってγ(r)を計算するに

図 12.10. 4 溶媒Ｂ（白丸）と溶質Ｓ（灰色）の間の距離 r の計算

は、溶質表面からの距離 r±Δr/2 にある Bの数ΔN(r)の計算とその殻構造空間の体積ΔV(r)の計算、の二つが必要になる。以下、図4 で説明する。例によって、中央の実線が実像、周囲の点線が虚像で、図は 2 次元だが実際は 3 次元である。
B と S の距離 r は、というと、B の実像とS の実像とすべての虚像の原子の間の距離のうち最短のものと定義する。図 4 では、左横の S の虚像の中の原子との最小距離が r になる。こうして、全ての B について r を計算
し、ΔN(r)を数えればよい。文章で書くとわかりにくいので図で説明すると、図 5A のような直方体の溶媒を、図 5B のように移動して再配置してから、溶媒分布を計算する、というだけである。
また、溶質表面から r±Δr/2 の部分の体積ΔV は、12.6 節の溶媒露出面積と同じ方法で計算する。具体的には、式(12.6.2)で、溶質 S のすべての対象原子 i につい9γ(r)に特定の呼称があるかどうかは、筆者は知らない。

379

第 12 章 トラジェクトリーの解析て、Ri=r とおいて、その露出面
積 Ai を計算し、i について足し

図 12.10. 5 周期境界での溶媒の移動

合わせれば、S の表面から r の曲面の面積 A(r)が求められる。あとは、ΔV=A(r)Δr で体積をもとめ、最終的に式(4)でγ(r)を求める。
前段落で「溶質 S のすべての対象原子 i について」というわ
かりにくい書き方をした。と言うのは、「タンパク質や核酸の H 原子は無視して、他の重い原子（C,N,O,S)だけ対象原子とする」場合があるからだ。実は、筆者自身は、タンパク質・核酸の水和に関する論文では、溶質（タンパク質・核酸）と水の距離 r は、溶質の H 以外の原子と水のO との距離で定義している（Komeiji et al., 1993,1999、2017、など）。そのほうが、データ解析がしやすく、本質もわかりやすいからである。
最後に、タンパク質と核酸周囲の、水分子（O 原子）の分布例を示す（図 6）。
2.7Å付近の鋭い第 1 ピーク
は、溶質と水素結合をして

図 12.10. 6 タンパク質と核酸（溶質）の周囲の、溶媒分布。表面からの距離 R は、溶質の非水素原
子と、溶媒の O 原子の距離。付録 8A1 の、拘束なし（free） のデータを抜き出したもの。

いる水分子を示す。また、
3.6Å付近のなだらかな第 2ピーク(というより”丘”)
は、溶質の疎水性の高い部分を取り巻いて殻構造を作っている水分子である（Komeiji et al.,1993）。第 1 ピークは DNAが高く、第 2 ピークはタン
パク質の方が高い。これは、DNA は大きく帯電していて表面に親水性部分が多いのに対し、少なくとも、このユビキチンタンパク質は全電
荷が 0 であり、表面の親水性の部分も DNA に比べれば少ないことによる。
以上、12.9 と 12.10 節で、溶媒やイオンの挙動の解析法のごく基本的なものを紹介した。タンパク質と溶媒の相互作用は、ここで挙げた拡散係数や密度分布に加えて、様々な方法を使って研究がなされている。とてもその全貌を紹介することはできない
380

第 12 章 トラジェクトリーの解析

ので、最近、筆者の目に止まった論文を引用するにとどめておく（Persson et al.,2018, Kruchinin et al., 2022）。
12.11. 集団運動
本節では、分子の構造揺らぎを振動解析して、ゆらぎの中から重要なものを集団運動（collective motion）として抜き出すため方法を解説する。具体的には、基準振動解析（Normal Mode Analysis、 NMA）、主成分分析（Principal Component
Analysis、PCA）の二つを解説する。
この二つは、得られる情報に類似点が多く、比較対照されることもある。なお、振動解析法

図 12.11. 1 集団運動の抜き出しとして、フーリエ解析も重要であるが、NMA、PCA とは、少し異質なため、次の第 12.12 節で説明することにする。
分子構造は様々に揺らいでいるが（図 1左）、その構造揺らぎの中には、共有結合の素
早い伸縮から、ドメイン間のゆっくりした動きまで（図 1 右）、様々な時間領域の運動が含まれている。これらの様々な動きを、振動の重ね合わせとして、分子の構成原子の集団変数（collective variable）の運動（collective motion）として取り出すことが必要になる。初等力学から例えを取れば、図 2 のような二つの質点の連成振動を考えるとよい。質点座標 x1,x2 をうまく一次結合して、調和振動になるような q1,q2を探すことができれば、このq1,q2 が集団変数である。逆図 12.11. 2. 連成振動に、x1,x2 は、調和振動を結合したものになる。本節で紹介するのは、そのような一次結合の見つけ方や、結果として現れた、調和振動の振動数の求め方である。
なお、NMA は MD トラジェクトリーの解析方法ではなく、そもそも分子の揺らぎを調
和振動の揺らぎであると仮定して、分子のエネルギー極小構造からその揺らぎを推測する方法である。だから、NMA 自体が、MD とは別種の分子シミュレーション法である。一方、PCA は MD のトラジェクトリーの揺らぎから振動を取り出す方法である。
12.11.1. NMA と PCA の条件設定
NMA と PCA それぞれの方法の解説に入る前に、両者に共通している条件などを説明
381

第 12 章 トラジェクトリーの解析しておく。
計算対象は、N 個の原子からなる分子系とする。原子の座標ベクトル r1,r2, …, rNの xyz 成分を独立させて、x1,x2,x3,…, x3N-2, x3N-1,x3N とする。それに合わせて、質量mi,i=1,3N は、m1=m2=m3、m4=m5=m6、…、 m3N-2=m3N-1=m3N と番号を付けなおす。
座標は、次のように前処理をする。NMA では、エネルギー極小化を掛けた構造 x0i を基準にして、それからの構造のずれに質量の自乗根を掛けたものを座標とする。
𝑋𝑖 = √𝑚𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖0 ),

𝑖 = 1,3𝑁(12.11.1.1)、

一方、PCA の場合は、MD のトラジェクトリーから並進回転を除いた上で（12.2
節）、時間平均構造<x>を求め、平均からのずれに質量の自乗根を掛ける。
𝑋𝑖 (𝑡) = √𝑚𝑖 (𝑥𝑖 (𝑡) − 〈𝑥𝑖 〉),

𝑖 = 1,3𝑁(12.11.1.2)

式(2)の Xi は MD の出力なので、(t)を付けて時間の関数であることを強調した。式(1)の Xi も、ある意味では時間の関数なのだが、ここでそれを強調すると却って混乱する
ので、(t)は付けてない。NMA と PCA での行列演算の記述の都合で、X は列ベクトルで定義しておく。
𝑋1
𝐗=( … )
𝑋3𝑁

(12.11.1.3)

なお、12.12 節で紹介するフーリエ解析では、座標だけでなく、速度を解析することもある。その場合、並進・回転運動を除き（8.5 節）、質量の自乗根を掛けた速度
𝑉𝑖 (𝑡) = √𝑚𝑖 𝑣𝑖 (𝑡),𝑖 = 1,3𝑁(12.11.1.4)

を解析対象とする。座標や速度に質量の自乗根を掛ける理由は、自乗するとエネルギーに変換しやすいからである。V 2 の次元は[ML2T-2]で、これはエネルギーそのものである。詳細は、個々の議論で行う。
振動解析での最重要出力は振動数（周波数）であるので、振動数の表し方とその単位について、説明しておく。本節の議論では、主に、理論的に扱いやすい角振動数ω
を使うことにする。ただし、一般的には、実験と比較しやすい振動数νを使うほうが多い。なお、ωの SI 単位は rad/s だが、ラジアンは無次元数だから、次元は[T-1]である。振動数ν(s-1)も次元は[T-1]である。一方、その逆数の振動周期 Tf (単位 s、次元[T])を使うこともある。いずれにせよ、ω、ν、Tf は以下の式で相互に換算できる
ので、どれを使っても等価である。
𝜈=

𝜔
2𝜋

(12.11.1.5)

1

2𝜋

𝜈

𝜔

𝑇𝑓 = =(12.11.1.6)
382

第 12 章 トラジェクトリーの解析

筆者自身は、振動周期 Tf が好きである。「この分子の中で、最も遅い振動の周期は20 ps である」みたいな表現が、MD 屋の直観では、一番しっくりくるからだ。だが、分子科学では、ωやνや Tf ではなく、波数 k を使うことが多いようだ。次元は[L1]）、単位は m-1 または cm-1（カイザー)、換算式は、光速を c(=2997924.58 cm/s)とし

て、
𝑘=

𝜈
𝑐

(12.11.1.7)である。光速 c で割った波数を使う理由は、分子振動の分光スペクトル分析での標準的な単位だかららしい。例えば、量子化学プログラム Gaussian の振動解析の結果は、
波数 k で出力される。その場合、
𝑇𝑓 =

1
𝑘𝑐

(12.11.1.8)を使って、Tf に変換すれば、直観的にわかりやすくなる。
振動解析の第一義的目的は、この振動数の分布のスペクトルを出すことである。一般的に、スペクトル（仏 spectre、英 spectrum）とは、複雑な情報や信号を、成分に分解し、成分ごとの強度を配列したものを指す。本節での文脈では、複雑な MD トラジ
ェクトリーの揺らぎを、振動に分解して、その強度をグラフ化したものが（角）振動分布スペクトル（(angular) frequency distribution spectrum）である。角振動分布関数を g(ω)と書くと、
𝜔[角振動数がω1 からω2 の値を取る振動の数]= ∫𝜔 1 𝑔(𝜔)𝑑𝜔 (12.11.1.9)
1が、その定義になる。g(ω)は、NMA と PCA、両方で得られるので比較に使われる。また、12.12 節で説明するように、フーリエ変換を使って得ることもできる。
12.11.2. 基準振動解析（NMA）
すでに述べたように、NMA は、MD のトラジェクトリーの解析方法ではなく、一点構造に対する計算方法である。だが、NMA は分子振動の基本的な計算方法であり、MD ト
ラジェクトリーを PCA やフーリエ変換するときの、比較用の基準データを与えてくれる。
NMA は、以下のような計算方法である。
・分子の揺らぎを、基準調和振動の重ね合わせだと仮定し、・分子のエネルギー極小構造を対象に、・分子のポテンシャルの 2 次微分行列（Hessian、ヘシアン）を計算し、・ヘシアンを対角化して、基準振動を算出する。
以下では、NMA のアルゴリズムを、まず、わかりやすい 1 次元 1 体系で説明したあと、それを 3 次元 N 体系に拡張する。なお、この項目は、Kitao & Gō (1991)、Kitao
383

第 12 章 トラジェクトリーの解析

et al. (1991)、山本（2023）などを参考に記述した。
[1] 1 次元 1 体系の NMA
まずは、超わかりやすい、 1 次元 1 体系を使って、NMA の概念とアルゴリズムを説明する。対象の質点の座標を x、質量を m、エネルギー極小座標を x0、ポテンシャルをU(x)とおく（図 1）。式(12.11.1.1)にならい、座標 x を、x0 からの相対座標に質量の自乗根を掛けた X に変換しておく。
𝑋 = √𝑚(𝑥 − 𝑥0 )(12.11.2.1)

ポテンシャル U(X)の極小点 x=x0、つまり X=0 の近傍での運動を考える。この付近でU(X)が連続 2 階微分可能ならば、テーラー展開できる。
𝑈(𝑋) = 𝑈(𝑥0 ) + (

𝑑𝑈
1 𝜕2𝑈
)
𝑋 + ( 2)𝑋 2 + 𝑂(𝑋3 )𝑑𝑋 𝑋=02! 𝜕𝑋 𝑋=0

(12.11.2.2)

右辺第 1 項は定数で、議論に関係ないので 0 とおいてしまって良い。第 2 項の係数の1 階微分は「－力」だが、極小点では力は働かないから、これも 0。第 3 項の 2 階微分は、極小点では上に凸だから、定数 H>0 とおける。それ以上は高次の微小量なので無視すれば、U(X)は、

図 12.11.2. 1 ポテン

1𝑈(𝑋) ≅ 𝐻𝑋2 , 𝐻 > 02(12.11.2.3)と近似できる。これは、調和ポテンシャルだから、結局、「滑らかな安定点の周りの微小振動は調和振動

シャル関数の調和近似。
本物（青）を、二次関数（黒）で近似する。

（単振動）で近似できる（図 1）」という広く知られた法則の一例になる。
さて、近似ポテンシャル(3)の下の運動方程式は、もちろん初等力学で簡単に立てられるが、ここでは、後のために、ラグランジアンを使って求めておく。運動エネ
ルギーK は、
1
1
𝐾 = 𝑚𝑥̇ 2 = 𝑋̇ 22

2

だから、ラグランジアン L は、
1
1
𝐿 = 𝑇 − 𝑈 = 𝑋̇ 2 − 𝐻𝑋 2
2

2

(12.11.2.4)

であり、この L に対するオイラーラグランジュ方程式
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
− =0
𝑑𝑡 𝜕𝑋̇𝜕𝑋は、
𝑋̈ = −𝐻𝑋(12.11.2.5)384

第 12 章 トラジェクトリーの解析になる。この式(5)が運動方程式で、これを解けば、角振動数ωが𝜔2 = 𝐻(12.11.2.6)の調和振動になる。H は、ここでは 1×1 行列、つまり、スカラーだから、対角化は不要。この角振動数ωの調和振動がこの系の「基準振動（mode、モード）」である。
以上、1 次元 1 質点の NMA を、大真面目に解説してみた。次に、これと同じ手続き
で、3 次元 N 質点の基準振動を求めてみる。
[2] ３次元 N 体系の NMA
今度は、3 次元 N 質点の NMA の標準的なアルゴリズムを紹介する。
NMA に先立って、12.11.1 節で述べたように、分子のポテンシャルエネルギー極小化
構造を求める。ここで、エネルギー極小化計算（EM、第 7 章）は、可能な限り高精度、つまり、各原子に掛かる力が誤差の範囲で 0 になるまで、行う必要がある。第 7章や第 11 章では、MD の準備のための EM は収束しなくても構わない、と書いたが、NMA ではそうはいかない。というのは、すでに説明したように、式(1)の右辺第 2 項の係数、つまり、dU/dx=-f は、x0 では 0 だからである。質点 N 個の分子でも同様で、EMで力 f を 0 にしておく必要がある。
EM で最適化された分子構造 x=x0 を使って、式(12.11.1.1)を使い、式(1)と同様に、
座標 x から X に変換する。ポテンシャル（式 2）の 3N 次元バージョンは、2 次の項まで近似すれば
𝜕𝑈
1
𝜕2𝑈
∑3𝑁
)
𝑋𝑖 + ∑3𝑁
(
)
𝑋𝑖 𝑋𝑗
𝑖=1
𝑗=1
𝜕𝑋𝑖 𝑋 =02!
𝜕𝑋𝑖 𝜕𝑋𝑗
𝑋𝑖 =0,𝑋𝑗 =0𝑖

𝑈(𝐗) ≈ 𝑈(𝐱 0 ) + ∑3𝑁𝑖=1 ((12.11.2.7)
式(7)の右辺は、第 1 項と第 2 項は式(1)と同様の理由で 0 と置ける。そして、
𝜕2 𝑈)
𝜕𝑋𝑖 𝜕𝑋𝑗
𝑋𝑖 =0,𝑋𝑗 =0ℎ𝑖𝑗 = (

(12.11.2.8)と表記すると、式(5)は、
1

3𝑁
𝑈(𝐗) ≈ ∑3𝑁
𝑖=1 ∑𝑗=1 ℎ𝑖𝑗 𝑋𝑖 𝑋𝑗
2(12.11.2.9)と書ける。hij を要素とする 3N×3N 行列 H は、ヘシアン（Hessian、ヘッセ行列）と呼ばれる。hij の解析解があるならばそれを使って H を構築するが、なければ数値解を使う。
次に、運動方程式を立てる。ラグランジアン、1
̇ 2 1 3𝑁 3𝑁
𝐿 = ∑3𝑁
𝑖=1 𝑋𝑖 − ∑𝑖=1 ∑𝑗=1 ℎ𝑖𝑗 𝑋𝑖 𝑋𝑗
22を使って、オイラー＝ラグランジェ方程式385

第 12 章 トラジェクトリーの解析

𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
−
=0
𝑑𝑡 𝜕𝑋̇𝑖
𝜕𝑋𝑖

を立てると、運動方程式は、
𝑋̈𝑖 + ∑3𝑁
𝑗=1 ℎ𝑖𝑗 𝑋𝑗 = 0,𝑖 = 1,3𝑁(12.11.2.10)という、連立微分方程式になる。これは、行列の形に書くとすっきりする。
ℎ1,1
𝑋1
𝑑2
…
(
) = −( …
𝑑𝑡 2
ℎ3𝑁,1
𝑋3𝑁

… ℎ1,3𝑁
𝑋1...
… )( … )… ℎ3𝑁,3𝑁 𝑋3𝑁

さらに略記して、
𝑑2 𝐗
𝑑𝑡 2(12.11.2.11)= −𝐇𝐗とすると、形の上では、1 次元の(5)と同じになる。だが、(11)は行列に関する微分方
程式だから、そのままでは解けない。というわけで、伝家の宝刀「対角化」の出番になる。
H の対角化の概略を書いておく。H の要素は実数かつ、式(9)でわかるように、

hij=hji なので、H は実対称行列である。だから、付録 12A2 で書いたように、直交行列
U を用いて、対角化できる（12A2 の M、Λ、A は、ここでは H、Ω、U に対応する）。
また X=0 で U(X)は極小値を取るが、その場合、H の固有値は全て非負になる。よって、H を対角化すると
𝐇 = 𝝉𝐔𝛀𝐔(12.11.2.12)

ただし、Ωは、
𝜔12
𝛀=( ⋮
O

⋯
⋱
⋯

O
⋮

)

(12.11.2.13)

2
𝜔3𝑁−6

の対角行列。この対角行列の要素、つまり固有値は、全部非負だから、実変数ωの自乗で定義して問題ない。もちろん、ωはあとで角振動数になるので、最初からこう書いたにしただけである。また、固有値の数は、並進回転の自由度 6 の分だけ減るから、3N-6 になる。固有値は縮重しないものとし10、大きさの順番に並べておく。
2
𝜔12 > 𝜔22 > 𝜔32 > ⋯ > 𝜔3𝑁−6

また、対角化のための直交行列 U の要素は
𝑢1,1
…
𝑢1,3𝑁
…
.
.
.
… )
𝐔=(
𝑢3𝑁−6,1 … 𝑢3𝑁−6,3𝑁

10(12.11.2.14)(12.11.2.15)

縮重がある場合の対処法は。山本(2023)などを参照。いずれにせよ、こういう例外処理は、数学者が解決を付けてくれているし、プログラムライブラリーもうまく対処しているから、あまり気にしなくてよい、知らんけど。

386

第 12 章 トラジェクトリーの解析と書いておく。Ωと U は、もちろん紙と鉛筆ではなく、計算プログラムライブラリー
を用いて求める。
運動方程式に話を戻す。運動方程式(11)に対角化の式(12)を代入し、左から U を掛けて整理すると、
𝑑2
𝐔𝐗 = −Ω𝐔𝐗
𝑑𝑡 2(12.11.2.16)となる。ここで、
𝐐 = 𝐔𝐗
つまり、
𝑢1,1
𝑄1
…
( )=( …
𝑢3𝑁−6,1
𝑄𝑛

…
...
…

𝑢1,3𝑁
𝑋1
… )( … )𝑢3𝑁−6,3𝑁 𝑋3𝑁

を要素毎に書いて、
𝑄𝑖 = ∑3𝑁
𝑗=1 𝑢𝑖𝑗 𝑋𝑗 = 𝑢𝑖1 𝑋1 + 𝑢𝑖2 𝑋2 + ⋯ + 𝑢𝑖,3𝑁 𝑋3𝑁(12.11.2.17)と定義する。Q を「基準座標（normal coordinate）」と呼ぶ。逆に、𝐗 = 𝝉𝐔𝐐(12.11.2.18)を使って、Q→X の変換もできる。この式を書き下すと、
𝑢1,1
𝑋1
…
( )=( …
𝑢1,3𝑁
𝑋𝑛

…
...
…

𝑢3𝑁−6,1
𝑄1… )( … )𝑢3𝑁−6,3𝑁 𝑄3𝑁−6になる。要素毎には𝑋𝑖 = ∑3𝑁−6
𝑗=1 𝑢𝑗𝑖 𝑄𝑗 = 𝑢1𝑗 𝑄1 + 𝑢2𝑗 𝑄2 + ⋯ + 𝑢3𝑁−6,𝑗 𝑄3𝑁−6(12.11.2.19)が成り立つ。
変換式(18)を使えば、運動方程式(11)は基準座標の運動方程式に変換される。
𝑑2
𝐐 = −Ω𝐐
𝑑𝑡 2(12.11.2.20)

要素毎に書き下せば、
𝑑 2 𝑄𝑖= −𝜔𝑖2 𝑄𝑖
𝑑𝑡 2(12.11.2.21)になり、これは、調和振動子の運動方程式である。だから、Qi の運動（時間変化）
は、角振動数ωi の調和振動＝基準振動である。
以上、3 次元 N 体系の NMA のアルゴリズムの概略を述べた。NMA では、式(17)で定義
した基準座標 Qi が「集団変数」であり、基準振動が「集団運動」になるわけである。
式(17)でわかるように、基準座標は、分子系の構成原子の座標 X の一次結合だから、「原子が集団になって一つの変数になり、調和振動している」ということである。あるいは、逆に Q→X の変換式(19)を見れば、「個々の原子の運動は、集団座標の振動の387

第 12 章 トラジェクトリーの解析

重ね合わせである」とも言える。
[3] 基準座標と振動を用いたエネルギーの表示
ここでは、エネルギーの表示を 3 次元直交座標 X から基準座標 Q で書き換える。
まずは、運動エネルギーK。以下では、X と Q に関する数式のうち、時間微分𝐗̇と𝐐̇についても成り立つものは、説明なく使う。X には質量の自乗根を掛けてあるので、
2
𝑋̇𝑖 = 𝑚𝑖 𝑥̇ 𝑖2だから、1̇ 2 1 3𝑁 ̇ 2 1 𝑡𝐗̇𝐗̇
𝐾 = ∑3𝑁𝑖=1 𝑚𝑖 𝑥̇ 𝑖 = ∑𝑖=1 𝑋𝑖 =222と書けて、これに式(19)を代入すれば
=

2
1 𝑡 𝒕
1
1
1
( 𝐔𝐐̇)( 𝒕𝐔𝐐̇) = 𝒕𝐐̇𝐔 𝒕𝐔 𝐐̇ = 𝒕𝐐̇𝐄𝐐̇ = 𝒕𝐐̇𝐐̇ = ∑3𝑁−6
𝑄̇𝑖
2
2
2
2 𝑖=1

(12.11.2.22)と変形できる。つまり、運動エネルギーは、個々の基準振動の運動エネルギーの単純な足し合わせである。
次に、ポテンシャルエネルギーU（式 9）を書き換える。
1
2

3𝑁
𝑈 = ∑3𝑁𝑖=1 ∑𝑗=1 ℎ𝑖𝑗 𝑋𝑖 𝑋𝑗

行列表示すればℎ1,1
1= (𝑋1 … 𝑋3𝑁 ) ( …
2ℎ1,3𝑁… ℎ3𝑁,1
𝑋1…
… ) ( … ) = 1 𝑡𝐗𝐇𝐗
2
… ℎ3𝑁,3𝑁 𝑋3𝑁(18),(12)を使い、
=

1 𝑡 𝝉
1
1
( 𝐔𝐐)( 𝝉𝐔𝛀𝐔)( 𝝉𝐔𝐐) = 𝜏𝐐𝐔 𝝉𝐔𝛀𝐔 𝝉𝐔𝐐 = 𝜏𝐐𝛀𝐐
2
22
対角行列Ωの定義(13)を代入し

𝜔121= (𝑄1 … 𝑄3𝑁−6 ) ( …
2
O
1
2

2
= ∑3𝑁−6𝑖=1 𝜔𝑖 𝑄𝑖

2

𝑄1
…
O
…
… )( … )2
𝑄3𝑁−6… 𝜔3𝑁−6(12.11.2.23)

式(23)は、元の直交座標 X での表示（式 9）と違い、交差項（QiQj みたいな項）を含
まず、それぞれの調和振動子 Qi のポテンシャルの和になっている。
このように、NMA により、分子全体の複雑な振動が、互いに独立な基準座標の調和振動に分解できたわけである。振動分布 g(ω)（式 12.11.1.9)は、適当なωの幅を取388

第 12 章 トラジェクトリーの解析って、その中に入る Qi の数を数えれば、つまりヒストグラムを作れば描くことができる。
[4] 分子構造の熱揺らぎ
すでに述べたように、NMA は一点構造に対する計算である。だが、調和近似の範囲
内で、分子構造の熱揺らぎを計算することが可能である。以下、温度 T における、座標 X の揺らぎの計算方法とその原理を示す。
基準座標 Q の揺らぎの導出には、熱平衡状態におけるエネルギー等分配則を使う。
つまり、「1 自由度の調和振動子には、時間平均にして、kBT/2 のポテンシャルエネル
ギーが分配される」という法則を使う。さて、式(23)の通り、対象分子系のポテンシ
ャルは、基準振動のポテンシャルの和で書けるが、i 番目の基準振動のポテンシャル

Ui は、
1

𝑈𝑖 = 𝜔𝑖2 𝑄𝑖

22だから、温度 T の定温条件（カノニカルアンサンブル）で時間平均<>を取ると、等分
配則より、
2

1
2

1
2

〈𝑈𝑖 〉 = 〈 𝜔𝑖2 𝑄𝑖 〉 = 𝑘𝐵 𝑇 (12.11.2.24)が成り立つ。これを整理すると、〈𝑄𝑖 2 〉 =

𝑘𝐵 𝑇
𝜔𝑖2

(12.11.2.25)という、良く知られた形になる。この意味を考えると、角振動数ωi が小さいほど、つまり「ゆっくりした基準振動ほど、構造揺らぎが大きい」ことを意味する。
基準座標 Q の振動揺らぎを、直交座標 X の揺らぎに変換する。式(18)を自乗して、
2

3𝑁−6 3𝑁−6
𝑋𝑖 2 = (∑3𝑁−6
𝑗=1 𝑢𝑗𝑖 𝑄𝑗 ) = ∑𝑗=1 ∑𝑘=1 𝑢𝑗𝑖 𝑢𝑘𝑖 𝑄𝑗 𝑄𝑘

この時間平均を取れば、
3𝑁−6 3𝑁−6
2〈𝑋𝑖 〉 = ∑ ∑ 𝑢𝑗𝑖 𝑢𝑘𝑖 〈𝑄𝑗 𝑄𝑘 〉
𝑗=1

𝑘=1

になるのだが、二つの違う周期の固有振動は相関しないから(Kitao & Gō, 1991)、j≠

k の場合は<QjQk>=011、よって、j=k の項だけ残り

11

振幅や位相は無視して、 Qj=sin(ωjt)、Qk=sin(ωkt)とおくと、ωj≠ωk ならば、
1

𝑇

1

𝑇

<Qj Qk>= lim 𝑇 ∫0 𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑗 𝑡) 𝑠𝑖 𝑛(𝜔𝑘 𝑡)𝑑𝑡 = lim 2𝑇 ∫0 (𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑗 − 𝜔𝑘 )𝑡 − 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑗 + 𝜔𝑘 )𝑡)𝑑𝑡
𝑇→∞

𝑇→∞

389

第 12 章 トラジェクトリーの解析

2
2
2
2
2
2
2
2
〈𝑋𝑖 2 〉 = ∑3𝑁−6
𝑗=1 𝑢𝑗𝑖 〈𝑄𝑗 〉 = 𝑢1𝑖 〈𝑄1 〉 + 𝑢2𝑖 〈𝑄2 〉 + ⋯ + 𝑢3𝑁−6,𝑖 〈𝑄3𝑁−6 〉(12.11.2.26)になる。式(26)に式(25)を代入すれば、
𝑢 2

𝑗𝑖〈𝑋𝑖 2 〉 = 𝑘𝐵 𝑇 ∑3𝑁−62
𝑗=1(12.11.2.27)

𝜔𝑖

が、i 番目の座標の揺らぎである。NMA の結果から、個々の原子の揺らぎを計算することができるわけである。
さらに、式(26)の和を取れば、
2
3𝑁
3𝑁−6
2
3𝑁−6 23𝑁
2
2∑3𝑁
𝑖=1〈𝑋𝑖 〉 = ∑𝑖=1 ∑𝑗=1 𝑢𝑗𝑖 〈𝑄𝑗 〉 = ∑𝑗=1 〈𝑄𝑗 〉 ∑𝑖=1 𝑢𝑗𝑖

式 (12A2.4)より、 ∑𝑛𝑖=1 𝑢𝑗𝑖 2 = 1だから、
2= ∑3𝑁−6
𝑗=1 〈𝑄𝑗 〉(12.11.2.28)となるので、直交座標 X の自乗揺らぎの和との基準座標 Q の揺らぎの和は等しい。関係(27)を使えば、分子の揺らぎのうち、それぞれの基準振動がどれだけ寄与しているかわかる。
最後に、式(27)を、12.5 節の RMSF に変換する式を出しておく。Xi2 の単位の次元
は、[M][L]2 だが、これを [L]、つまりÅとか nm 単位で表せるようにしたい。そのために、RMSF を、12.5 節の単純な定義ではなく、以下のように、各原子の質量を考慮して定義する。原子座標の質量の自乗根を掛けない形を rk=(rxk, ryk, rzk), k=1, N、その極小化構造を r0k、系の全質量を M（mk, k=1,N の和）とすると、原子の揺らぎに関する自乗平均を MSF(r)と書くと,𝑀𝑆𝐹(𝐫) ==2
1 𝑁∑〈𝑚𝑘 (𝐫𝑘 − 𝐫𝑘0 ) 〉
𝑀 𝑘=1

2
2
2
1 𝑁
∑
〈𝑚𝑘 {(𝑟𝑘𝑥 − 𝑟𝑘0𝑥 ) + (𝑟𝑘𝑦 − 𝑟𝑘0𝑦 ) + (𝑟𝑘𝑥 − 𝑟𝑘0𝑥 ) }〉𝑀 𝑘=1

座標を r から x(xyz の三要素をばらした形)へと書き換え、式(12.11.1.1)を使うと
=

1
𝑀

2

0
∑3𝑁
𝑖=1 〈𝑚𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖 ) 〉 =

1
𝑀

2
∑3𝑁
𝑖=1〈𝑋𝑖 〉式(27)、(24)より=

1 3𝑁−6𝑘 𝑇
1∑〈𝑄𝑖 2 〉 = 𝐵 ∑𝑛−6𝑖=1 𝜔2
𝑀 𝑖=1
𝑀𝑖

この MSF(r)の自乗根を取ると、RMSF(r)は、𝑇

1 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑗 − 𝜔𝑘 )𝑡 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑗 + 𝜔𝑘 )𝑡
[
] =0
= lim
−
𝑇→∞ 2𝑇𝜔𝑗 − 𝜔𝑘𝜔𝑗 + 𝜔𝑘0390

第 12 章 トラジェクトリーの解析

𝑘 𝑇
𝑀

𝑅𝑀𝑆𝐹(𝐫) = √ 𝐵 ∑3𝑁−6
𝑖=1

1
𝜔𝑖2

(12.11.2.29)

として求まる。NMA の論文に出てくる RMSF は、おそらく、式(29)、または類似の式で計算されたものだと思う。
以上まとめると、NMA とは「エネルギー極小構造の分子を入力し、その振動が調和振動の重ね合わせであると仮定して、基準振動の振動数を算出し、さらに二次的に、有限温度での分子構造の揺らぎが算出できる」分子構造の解析方法である。
なお、タンパク質を対象に NMA を行う場合、筆者の知る限り、溶媒は連続体近似を使うことが多いようだ。水分子を大量に入れて水和させた系は、常温では水分子が拡散するから、エネルギー極小構造周囲で振動するのは極低温だけである。だから、NMAには向かない。
ところで、今日、タンパク質なような巨大分子の MM 計算で NMA を行った論文は、あまり見かけない。だが、NMA による振動解析は、低分子化合物の量子化学計算（電子状態計算）で必須の機能として広く利用されている。
12.11.3. 主成分分析（PCA）
MD トラジェクトリー解析での PCA 12は、分子の構造揺らぎに大きく貢献している集団運動を取り出す方法である。だから、前節の 12.11.2 で説明した NMA に似ている。
だが、計算対象が一点構造ではなく MD トラジェクトリーであることと、取り出す運動
が必ずしも調和振動である必要がない、という二点において、NMA とは違っている。
大雑把に両法を比較すると、NMA では、分子構造とそのポテンシャル曲面を使って、分子の揺らぎを原子集団の調和振動の重ね合わせとして出力する。一方、PCA では、
逆に、分子の構造揺らぎを入力して、そこから、原子集団の動き（調和振動とは限らない）を取り出して出力する。
タンパク質の MD のトラジェクトリー解析に最初に PCA を導入したのは Levy et al.
(1984)だが13、その後、Kitao、Hayward、Gō らにより研究が進み、 MD の解析法として定着した（Kitao et al., 1991、Hayward et al., 1994、Hayward & Gō, 1995, Kitao& Gō, 1999）。なお、同じ頃に提案された、Essential Dynamics (ED, Amadei etal., 1993) も PCA の一種だが、Kitao らとの方法との違いは、後で説明する。
以下では、[1]と[2]で PCA の原理とアルゴリズムを説明し、そのあと、[3]で、求め12

PCA は、一般的には、多変量解析の方法の一つである。特に最近は、ビックデータの次元の縮約法として重要性を増している。だから、インターネット上に大量に資料が転がっているので、自分に合った説明を探して欲しい。
13

この原著論文では、PCA ではなく、quasi-harmonic analysis と呼んでいる。

391

第 12 章 トラジェクトリーの解析た主成分を調和振動子であると仮定した場合の取り扱いについて述べる。
[1] 分子に対する PCA の計算方針
計算対象は、12.11.1 節で説明した通り。N 個の原子からなる分子系の、MD の平均構造からの揺らぎである。
𝑋𝑖 (𝑡) = √𝑚𝑖 (𝑥𝑖 (𝑡) − 〈𝑥𝑖 〉),

𝑖 = 1,3𝑁(再 12.11.1.2)

図 12.11.3. 1 PCA の対象。2 次元 1 体系のト
ラジェクトリーと標本点。

τ

説明済みではあるが、X(t)= (x1(t),…,xn(t))は時間 tの関数であることに注意。なお、Amadei et al.(1993)の ED は、質量の自乗根を掛けない、普通の座標に対して PCA を行う点が、Kitao らと違っている。だが、質量の自乗根を掛けることで、PCA の結果を NMA と直接比較でき、また物理学的意味も明確になるので、本書ではこちらを紹介する。
PCA の原理を説明するが、3 次元 N 体系では絵が描けないので、2 次元空図 12.11.3. 2 主成分(PC1 と PC2)間における、1 質点の運動を考える（図1）。図 1A のように、ある質点（●）
が、2 次元平面を、
トラジェクトリー（曲線）を描きながら運動している。MDや MC シミュレーシ
ョンでは、トラジェ
クトリーは曲線ではなく、図 1B のように、点の集合体になる。つまり、図 1C が、解析対象のデータである。なお、簡単のため、トラジェクトリーの平均座標を原点においてある。このトラジェクトリーの「標本点（つまり、個々のスナップショット）」がt=t1,t2,…,tM の M 個あるとすると、それぞれの標本点の座標は(X1(t1), X2(t1)),(X1(t2), X2(t2)),…, (X1(tM), X2(tM))である。
この M 個の標本点から、この質点の動き（揺らぎ、ばらつき）の特徴を抽出した
392

第 12 章 トラジェクトリーの解析

い。どうしたらいいか？

おそらく、自然に思いつくのは、一番揺らいでいる方向とその大きさを調べることだろう。つまり、図 2A のような点線を引く、ということである。この最も大きい揺らぎへの X の射影 q1 を第１主成分（First Principal
Component, PC1）、また、この軸の単位方向ベクトル a1 を第１主成分ベクトル（First Principal Axis）と呼ぶ。次に考えるのは、その q1 と a1 で代表させてしまった直線では表現できない揺らぎ部分を、第 1 主成分と直交する軸で探して、q2,a2 で表す。つまり、PCA により、M 個の標本点のばらつき具合を、図 2B の 2 本の点線に縮約することに成功したわけだ。図 1,2 は 2 次元なので、第 2 成分には選択の余地がな
いが、3 次元空間の N 体系の場合は、3N 次元が対象なので、理論上は 3N 個まで主成分が抽出できる。ただし、あらかじめ並進回転運動を除いておくと、その自由度 6 だけ
減って、3N-6 個になる（NMA と同じ）。
[2] PCA の理論と方法[1]で方針を出したところで、具体的に何をするかというと、「X の分散共分散行列 C を作り、それを対角化すると、得られた固有値は、大きい順に、主成分 1、2、3、…の揺らぎ（分散）<q12>、<q22>、<q32>、…になる。また、固有ベクトルが、軸ベクトル a1、a2、a3、…になる」
PCA とはこれだけのことである。だが、なぜ、そうなるのか、の説明は、以下に書くように、ちょっと数学がメンドクサイ。だから、 [2]は最後のまとめだけ読んで、[3]へ行っていただいて、全然構わない。

図 12.11.3. 3 ベク
トル X の a1 への正射影

まずは、MD のトラジェクトリーから、重み付き座標 X の
分散共分散行列 C を求める。
〈𝑋1 𝑋1 〉𝐂 =< 𝐗 𝐗 >= ( …
〈𝑋3𝑁 𝑋1 〉𝜏… 〈𝑋3𝑁 𝑋1 〉…
…
)… 〈𝑋3𝑁 𝑋3𝑁 〉(12.11.3.1)

X は時間平均構造からのずれなので、<X>=0 である。だから、(1)のように簡単に書ける。また、C は対称行列、つまり、C=τC である。
さて、n 次元空間のベクトル X(t)の、大きさ 1 の軸ベクトル a1= (a11,a12,…,a1n)への正射影 q1(t)は（図 3）、行列記法では、a1 が行ベクトル、X が列ベクトルなので、
𝑞1 (𝑡) = 𝐚1 X(𝑡) = 𝑎1,1 𝑋1 (𝑡)+𝑎1,2 𝑋2 (𝑡) + ⋯ +𝑎1,3𝑁 𝑋3𝑁 (𝑡)(12.11.3.2)2と書ける。その正射影の自乗 q1(t) の時間平均、つまり分散 V(a1)が極大になるような、軸 a1 を探す。以下、q1 と a1 の添え字１（実は主成分 1、1 番揺らぎの大きい方向）は煩雑なので、とりあえず省く。

393

第 12 章 トラジェクトリーの解析

2𝜏

𝑉(𝐚) = 〈𝑞(𝑡)2 〉 = 〈(𝐚X(𝑡)) 〉 = 〈(𝐚𝐗(𝑡)) (𝐚𝐗(𝑡))〉 = 〈(𝐚𝐗(𝑡))( 𝜏𝐗(𝑡) 𝜏𝐚)〉=〈𝐚𝐗(𝑡) 𝜏𝐗(𝑡) 𝜏𝐚〉ベクトル a は時間によらないから、時間平均<>の外に出して= 𝐚〈𝐗(𝑡) 𝜏𝐗(𝑡)〉 𝜏𝐚<>内は、式(1)の行列 C そのものだから、
𝜏(12.11.3.3)= 𝐚𝐂 𝐚
かくして、問題は、式(3)の V(a)を、|𝐚|𝟐 = 𝐚 𝛕𝐚 = 1(12.11.3.4)という拘束条件の下で最大化する、という問題に帰着する。
この問題は、ラグランジェの未定乗数法を使って解く。すなわち、未定乗数をλとおき、a とλの関数
𝐹(𝐚, 𝜆) = 𝑉(𝐚) + 𝜆(1 − 𝐚 𝛕𝐚)(12.11.3.5)を最大化する a とλを求めれば良い。それには、F を a とλで偏微分して、0 となる条件を探す必要がある。
𝜕𝐹
𝜕𝜆= 1 − 𝐚 𝛕𝐚 = 0(4)の拘束条件と同じ

𝜕𝐹𝜕𝜕
= (𝐚𝐂 𝜏𝐚 ) − 𝜆 (𝐚 𝛕𝐚)
𝜕𝐚
𝜕𝐚
𝜕𝐚

行列やベクトルで書いてあるので、一見、面倒だが、ベクトルによる偏微分の公式を使って、= (𝐂 + 𝝉𝐂) 𝛕𝐚 − 2𝜆 𝛕𝐚と計算でき、さらに、C は対称行列だから C=τC、ゆえに= 2(𝐂 𝛕𝐚 − 𝜆 𝛕𝐚)=0
つまり、
𝐂 𝛕𝐚 = 𝜆 𝛕𝐚

(12.11.3.6)が得られる。この式(6)を眺めれば、どっかで見たような形。つまり、行列 C を対角化
して固有値と固有ベクトルを求めれば、それが、λとτa になる。C は対称行列だから、NMA のヘシアン H と同じく、付録 12A2 の式をそのまま使える。また、λは何か、と言うと、式(6)の両辺に左から a を掛けると、𝐚𝐂 𝛕𝐚 = 𝐚𝜆 𝛕𝐚 = 𝜆𝐚 𝛕𝐚 = 𝜆(∵ (4))(12.11.3.7)

つまり、λは式(3)で定義した、a 方向の正射影の分散 V(a)そのものである。固有値を大きさの順にλ1,λ2, … と並べ、対応する固有ベクトルをτa1, τa2,… とする。λ1,λ2,…を対角要素とした行列をΛ、a1,a2,…を縦に並べた行列を A、つまり、394

第 12 章 トラジェクトリーの解析

𝜆1
0
𝚲=(
… 𝜆𝑖 …
)
0
𝜆3𝑁−6
𝑎1,1
… 𝑎1,3𝑁−6𝐚1…
… )𝐀=( … )=( …
𝑎3𝑁−6,1 … 𝑎3𝑁−6,3𝑁
𝐚3𝑁−6と書く。すでに述べたように、固有値は並進・回転の自由度 6 だけ減って 3N-6 個なのに注意。すると、C は、
𝐂 = 𝜏𝐀𝚲𝐀(12.11.3.8)と対角化される（対角化計算自体は、例によってプログラムライブラリーに任せておけばよろしい）。(2)式を主成分 i について書けば
𝑞𝑖 (𝑡) = 𝐚𝑖 X(𝑡) = 𝑎𝑖,1 𝑋1 (𝑡)+𝑎𝑖,2 𝑋2 (𝑡) + ⋯ +𝑎𝑖,3𝑁 𝑋3𝑁 (𝑡) = ∑3𝑁
𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑋3𝑁 (𝑡)(12.11.3.9)
τだから、主成分（集団座標）をまとめて、q= (q1,q2, …,qn-6)は𝐪(𝑡) = 𝐀𝐗(𝑡)(12.11.3.10)と書ける。逆に𝐗(𝑡) = 𝝉𝐀𝐪(𝑡)(12.11.3.11)を使って、q→X への変換も可能である。
以上を、ざっとまとめる。揺らぎが大きい方向とその大きさを求めるには、分散共分散行列 C を求め、対角化する。その固有値の大きい順に i 番目のλi が、i 番目の主成分（PCi）の分散
𝜆𝑖 = 〈𝑞𝑖 2 〉(12.11.3.12)になり、その方向ベクトル ai は PCi の軸である。異なる軸 ai は相互に直交する。主成
分 qi は、
𝑞𝑖 = 𝑎𝑖1 𝑋1 + 𝑎𝑖2 𝑋2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝑋𝑛(再 12.11.3.9)と書き下せる。逆に、式(11)は𝑋𝑖 = 𝑎1𝑖 𝑞1 +𝑎2𝑖 𝑞2 + ⋯ +𝑎𝑛−1,𝑖 𝑞𝑛−6 = ∑𝑛−6
𝑗=1 𝑎𝑗𝑖 𝑞𝑗 (12.11.3.13)と書き下すこともできる。つまり、行列 A を求めれば、X ⇔ q の変換が自由にできる。
[3] PCA と熱揺らぎ
PCA で求めた主成分について、その熱平衡下での揺らぎに関する解析法を紹介する。
[1][2]では、主成分 qi の運動については、特に仮定は設けていなかった。だが、これ以降は、NMA のように、調和振動子だと仮定して議論を進める。というのは、[2]の結果の式(10)(11)と、NMA の式(12.11.2.18 と 19)を見比べると、NMA での行列 U がPCA の行列 A に、ベクトル Q が q に、それぞれ対応していることが示唆される。もち395

第 12 章 トラジェクトリーの解析

ろん、これらは同一ではないが、類似
なお、MD の対象の運動が、完全に調和

図 12.11.3. 4 PCA 主成分の確率密度（概念図）。実線が正規分布、点線が PCA

振動だけするのならば、NMA と PCA の結の例。

のものと仮定することは可能である。

果は一致するはずだが、MD では非調和性の運動も含まれるから、完全には一致しない。逆に、その（不）一致の度合い
で、運動の（非）調和性を推定できる。
では、個々の qi が、もし調和振動ならば、振動数がどうなるか、調べることにする。この振動数を有効振動数（effective frequency）と呼び、角振動数ωeff で表す。NMA では、温度 T において、基準振動 Qi と角振動数ωi の間には〈𝑄𝑖 2 〉 =

𝑘𝐵 𝑇
𝜔𝑖2

(再 12.11.2.25)の関係があった。ここで、NMA の<Qi2>と PCA の<qi2>を類似のものであると対比させて、〈𝑞𝑖 2 〉 =𝑘𝐵 𝑇

(12.11.3.14)

𝑒𝑓𝑓 2

𝜔𝑖

つまり、
𝑒𝑓𝑓

𝜔𝑖

𝑘 𝑇

𝑘 𝑇
𝜆𝑖

= √〈𝑞𝐵2 〉 = √ 𝐵𝑖(12.11.3.15)

を、PCA のωeff の定義とする。
さて、PCA で求めた主成分が、調和振動しているかどうか？

それは、主成分 i、つまり集団座標 qi(t)の出現確率分布が、調和振動子の分布かどうか調べればわかる（Hayward et al., 1994)。温度 T のカノニカル分布（ミクロカノニカルではない）での調和振動子の座標分布関数は、付録 5A1 の式(5A1.23)で与えられる。それを、qi に適用すれば、qi の確率密度分布関数 P(qi)は
𝑒𝑓𝑓 2

𝑒𝑓𝑓

𝑃( 𝑞𝑖 ) =𝜔𝑖

√2𝜋𝑘𝐵 𝑇𝑒𝑥𝑝 (−

𝜔𝑖

𝑞𝑖 2

2𝑘𝐵 𝑇

)

(12.11.3.16)という、ガウス型関数（正規分布）になる。MD トラジェクトリーを PCA 処理して得られた個々の qi の時間分布が(16)に近ければ近いほど、調和性が高い。図 4 に概念図を示す。一般的に、値が大きい主成分は、図 4B のように調和振動から大きく外れるが、それよりも小さい成分は、図 4A のように調和性が強くなる。だが、タンパク質の構造
揺らぎのほとんどは、第 1、２、３主成分あたりが占めるから、非調和性が強い、と
言える。
396

第 12 章 トラジェクトリーの解析[4] PCA の結果表示
PCA の結果は、いろいろな形で表示される。

図 12.11.3. 5 主成分のマッピング（概念図）

目にすることの多いのは、主成分のマップで、これで、大まかな揺らぎの様子を表すことができる。たとえば、第 1 成分 q1(t)と第２成分をq2(t)のトラジェクトリーを 2 次元
マップの形にプロットする（図5A）。あるいは、第３成分まで入れて、3 次元にする場合もある（図 5B）。主成分 qは、式(9)の形をそのまま使ってもよいが、その場合は、単位の次元が[L][M1/2]で、あまりピンと来ないかも知れない。そこで、分子系の全質量 M の自乗根で割って、単位の次元を長さ[L]にすることが多いようだ。あるいは、qi 自体の標準偏差（root meansquare）で割って、無次元化することもある。
また、分子構造のトラジェクトリーを、主成分に投影（projection）して、画像（動画）にすることもある。それには式(13)を使う。
(再 12.11.3.13)

𝑋𝑖 = 𝑎1𝑖 𝑞1 +𝑎2𝑖 𝑞2 + ⋯ +𝑎𝑛−6,𝑖 𝑞𝑛−61

このうち、１番目の主成分の Xi への投影を、(Xi) とおくと、(𝑋𝑖 )1 = 𝑎1𝑖 𝑞1(12.11.3.17)であるが、これを、式(1)に戻せば、座標 i への主成分 1 の投影は、
1(𝑥𝑖 (𝑡)) = 〈𝑥𝑖 〉 +1
1(𝑋𝑖 (𝑡))1 = 〈𝑥𝑖 〉 +𝑎1𝑖 𝑞1 (𝑡),
𝑚
√ 𝑖
√𝑚𝑖

𝑖 = 1, 𝑛 (12.11.3.18)になる。これを、例えば、図 6 のように画像化すれば良い。分子は、一見無秩序に揺らいでいるように見えるが、PCAで最も揺らいでいる成分（PC1）にトラジェクトリーを投影する

図 12.11.3. 6 分子構造揺らぎの、主成分への投影（概念図）と、主たる動きをつかむことができる。もちろん、PC2、PC3、…に投影することも可能である。
PCA から得られるデータの表現
方法は他にもいろいろあるが、代表的なものを紹介した。PCA は、タンパク質などのトラジェクトリ
ーから、本質的な集団運動を抽出する方法として定着している。
397

第 12 章 トラジェクトリーの解析

なお、PCA も ED も、収束性はあまりよろしくない。何しろ、揺らぎとその相関に関する量だからだ。MD トラジェクトリー中のどの時間領域を使うかで、時間に依存しないはずの A が大きく変わったりする（Balsera et al., 1996）。一方、Van der Spoel
et al. (1996) は、Balsera らの結論は、単にタンパクが大きすぎるためのサンプリ
ング時間の不足によるものだと指摘している。つまるところ、PCA や ED の信頼性は、系の大きさに見合うだけの時間をサンプルできるかできないかに掛かっているわけである。これは、MD の結果、すべてについて言えることである。
12.11.4. NMA と PCA の比較
NMA と PCA は、どちらも、タンパク質の揺らぎを集団運動として捉えて抜き出すためのアルゴリズムである。この二つの方法は、得られるデータも似ているし、計算自体も対称行列の対角化が主体、など関連性が強い。そのため、この二つの方法は、比較して議論されることが多い。そこで、その比較での注意点などを書いておく。
まず、両方の比較対象原子を同じにすることが必要になる。NMA は、対象分子の全原子を計算しなければいけない。一方、PCA は、一部の原子、たとえば、Cαとか、主鎖だけとか、あるいはアミノ酸残基の重心とかを対象にして計算することが可能である。この違いは、NMA はそれ自体が、MD とは別種の、分子シミュレーション法であるのに対し、PCA は MD シミュレーションの結果を二次的に処理しているだけからである。だが、いずれにせよ、二つを比較する場合は、PCA で扱う原子は、NMA と同じもの
を使わなければいけない。
また、両方の分子の向きをできるだけそろえなければいけない。これは、NMA の Qiと PCA の qi の比較には関係ないが、それらの方向を表す主軸ベクトル ui と ai の比較には必要な作業である。そのためには、NMA で使ったエネルギー極小化した分子構造に対して、MD スナップショットを重ね合わせてから PCA を行う（Hayward & Kitao,
1994）。
NMA と MD の計算条件をそろえることも重要。つまり、MM-MD ならば力場パラメータ
ーを、FPMD ならば電子状態計算の条件（基底関数、電子相関の扱い、など）を、NMA計算に用いたものと同じものを使う。
さて、そのようにして得られた ui と aj を比較するには、二つの内積
𝑔𝑖𝑗 = 𝐮𝑖 ∙ 𝐚𝑗 = 𝐮𝑖 𝝉𝐚𝑗(12.11.3.19)を計算する。どちらも、正規直交系で大きさ 1 なので、その内積は絶対値が 1 に近いほど、似ている。任意の i について2
∑𝑛−6
𝑗=1 𝑔𝑖𝑗 = 1(12.11.3.20)2も成り立つが、gij が 1 に近いほど、NMA の ui と PCA の aj が似ていることになる（Kitao et al., 1991）。
398

第 12 章 トラジェクトリーの解析

また、NMA と PCA のどちらでも簡単に描けるのは、振動スペクトル分布 g(ω)（式12.11.1.9）である。横軸は、NMA のωや PCA のωeff をそのまま使うか、あるいは、振動数νか波数 k に変換する。横軸を適切な区間に区切って、縦軸に、その区間に入る
振動の数、つまりヒストグラムを描けばよい。
NMA と PCA の比較は、引用文献に数多く掲載されている（Kitao et al., 1991、
Hayward et al., 1994）。基本的には、「PCA の非調和性を調べるため、NMA と比較する」ことが多いようだ。
12.12. フーリエ解析
今度は、前節の NMA と PCA とは別の振動解析法である、フーリエ解析（Fourier
Analysis）を紹介する。フーリエ解析とは、これ以降で説明する、フーリエ級数やフーリエ変換を利用した解析法の総称である。
フーリエ解析は、物理学や工学のあらゆる分野で使われているが、MD のトラジェク
トリーの振動解析に利用されたのは、Berens et al. (1983) の液体水の解析が最初らしい。その後、タンパク質の振動解析にも使われるようになった（Sessions et al.,
1988, Dauber-Osguthorpe & Osguthorpe, 1990ab, Kitao et al., 1991、Hayward etal., 1994、など）。なお、現在は、MM-MD によるタンパク質のような巨大分子の振動解析よりも、FPMD による低分子の振動解析に使われることが多いようである（筆者らも、FPMD でアンモニアクラスターの振動解析をしたことがある、Ninomiya et al.,2020）。
以下、フーリエ解析の原理と、フーリエ解析を使って、MD のトラジェクトリーから、分子の振動状態を解析する方法、具体的には、分子内の振動スペクトル分布やエ
ネルギー分布を求めたり、分子運動から高周波の速い運動を除いたりする方法を、解説する。前節までの NMA と PCA の結果とも対応していて、相互の結果を比較できる。
本節の内容のうち、特に原理の説明は、田近・茂木(2014)、小出(2018)、神山・佐藤(2020)を参照した。
困ったことに、フーリエ解析に関しては、用語やら表式やらが、学問分野や研究者
によってまちまちである。混乱を避けるのはまず不可能だが、少しは低減するために、本書では用語と式をできるだけ正確、かつ統一的に定義するよう試みた。特に、振動数νと角振動数ω(=2πν)の両方使って議論すると、紛らわしいこと甚だしいので、原則、後者のωのみで議論した。
以下、[1]-[3]で、時系列データのフーリエ解析の一般論を述べたあと、[4][5]でMD トラジェクトリーへの応用を説明することにする。

399

第 12 章 トラジェクトリーの解析[1] フーリエ解析とはそもそも、フーリエ解析とは何か、まず

図 12.12. 1 フーリエ解析の概要

は、厳密な話は抜きにして、図 1 を使ってざっくり説明する。周期

Tf を持つ、時間 t の周期関数 f(t)を考える（図 1A）。f(t)をフーリエ級数（後述）に展開すると、図 1BCD のように、ここでは三つの、振幅・振動数・位相の違う正弦波

f1(t)、f2(t)、f3(t)に分解することができる。このデータを二次処理すると、例えば、速い振動 f2(t)と f3(t)を除いて、一番遅い f1(t)成分だけを取り出すこともできる。逆に、速い成分だけを取り出すことも可能である。また、振動数やエネルギー分
布のスペクトルも計算できる。
このように、ある関数を正弦波の重ね合わせで表現する数学的方法が、フーリエ解
析である。
なお、本節では、時系列データを扱うが、フーリエ解析は空間に対して行うこともある。その実例は、第６章のエワルド法の議論を参照のこと。
[2] フーリエ変換と、フーリエ解析の概念を大雑把に説明したところで、もうちょっと正確に説明

図 12.12. 2 フーリエ変換と逆変換する。
[1]で示した例のように、周期関数を正弦波の和で表した級数を、フーリエ級数とよぶ（Fourier series）。[1]の例では、f1(t)+f2(t)+f3(t)が、フーリエ級数である。

f(t)が周期関数でない場合は、図 1 の周期 Tf を無限大にし、級数展開を拡張して積分にする。正弦関数は、数学的に扱いやすいように、複素指数関数にしてしまう。このような変換をフーリエ変換（Fourier Transform, FT）、またはフーリエ積分と呼ぶ。f(t)のフーリエ変換 F(ω)を、以下の式で定義する14。ただし、I は虚数単位であ14

FT が存在する十分条件は、f(t)が絶対積分可能、つまり∞∫−∞|𝑓(𝑡)| 𝑑𝑡 < ∞ を満たすこと

400

第 12 章 トラジェクトリーの解析

る15。
フーリエ変換：𝐹(𝜔) =1 ∞∫ 𝑓(𝑡)𝑒𝑥𝑝(−𝐼𝜔𝑡) 𝑑𝑡
2𝜋 −∞(12.12.1)

このとき、フーリエ逆変換：∞𝑓(𝑡) = ∫−∞ 𝐹(𝜔)𝑒𝑥𝑝(𝐼𝜔𝑡) 𝑑𝜔

(12.12.2)が成り立つ16。この関係を、「F(ω)と f(t)は、互いに、フーリエ変換(FT)、逆フーリ
エ変換（Inverse FT）の関係にある」という（図 2）。すなわち、FT とは、時間 t の領域と、角振動数ωの領域を、相互に行き来するためのツールである。その定義上、F(ω)は、複素数である。式(2)では、exp(Iωt)が波で、F(ω)dωはその重みである。
|F(ω)|は、角振動数ωの波の振幅の大きさになる。
FT の関係にある f(t)と F(ω)の間には、以下のパーセヴァル（Parseval）の等式が成り立つ（証明略）。
∞∞∫−∞|𝑓(𝑡)|2 𝑑𝑡 = 2𝜋 ∫−∞|𝐹(𝜔)|2 𝑑𝜔(12.12.3)
この等式の左辺は f(t)の持つ全エネルギーと解釈できるので17、右辺はそのエネルギーを振動数ごとに分解して足し合わせたもの、と解釈できる。

図 12.12. 3 パワースペクトル（概念図）。色付きの部分が、ω～ω＋dωの波のエネルギーへの
寄与。

よって、
2π|F(ω)|2 ＝エネルギー密度（Energy density）と定義する。
さて、一般的には、式(3)の両辺は発散してしまう。だが、エネルギー密度を測定時間τ（MD のである。ただし、必要条件ではないので、これを満たさない関数でも FT を定めることができる
場合もある。あまり気にする必要はないとは思うが、気になる人は、小出 (2018) などを参照。
15

例によって、ここでも、原子のインデックス i,j と区別するため、虚数単位は I と表記する。
16

フーリエ変換（正変換）と逆変換の定義において、係数 1/(2π)の掛け方には、(1) 正変換に掛ける、(2) 逆変換に掛ける、(3) 両方に 1/(2π)1/2 を掛ける、の三通りの流儀がある。どれも等価なのだが、文献を比べ読みするときに紛らわしいことこの上ない。ここでは、田辺・茂木（2014）に合わせて、定義(1)を採用した。
17

この量が、実際に、エネルギー [ML2T-2]になるかどうかは、f(t)が表す物理量の次元次第なのだが、ここでは、エネルギーと呼んでおく。[4]で見るように、MD のトラジェクトリー解析
では、質量の自乗根で重み付けした速度を f(t)とすれば、エネルギーになる。

401

第 12 章 トラジェクトリーの解析

場合はトラジェクトリーの長さ）で割った量、つまり、単位時間あたりの時間平均エネルギーなら、発散しない。
𝑆(𝜔) = lim

2𝜋|𝐹(𝜔)|2(12.12.4)𝜏𝜏→∞

この S(ω)をパワー密度スペクトル（Power Density Spectrum）、または単にパワー
スペクトルと呼ぶ。図 3 に概念図を示す。色を付けた部分が、角振動数ω～ω+dωの波が運ぶエネルギーである。S(ω)は偶関数である（証明略）。
[3] 自己相関関数とウィーナー＝ヒンチンの定理

S(ω)については、ウィーナー＝ヒンチンの定理（Wiener–Khinchin theorem）と呼ばれる定理が成り立つ。これは、「定常過程において、S(ω)と自己相関関数（autocorrelation function）は、互いにフーリエ変換＝逆変換の関係にある」という定理である。[4]で簡単に触れるが、MD のトラジェクトリーから S(ω)を描く場合
は、この定理に基づき、速度の自己相関関数が使われることがある。
まずは、自己相関関数の定義から始める。時間 t の関数 a(t)の、その時間平均からの変動
𝑓(𝑡) = 𝑎(𝑡) − 〈𝑎(𝑡)〉(12.12.5)の、自己相関関数 C(u)を次式で定義する。
𝐶(𝑢) = 〈𝑓(𝑡 + 𝑢)𝑓(𝑡)〉(12.12.6)u は lag（ラグ、つまり、time lag）と呼ばれる量。C(u)は、f(t)が u だけ時間が経ったときの値との相関である。つまり、f(t)を時間 u だけずらした f(t+u)が、どれだけ
元の f(t)に似ているかを示す指標である。<>は本来はアンサンブル平均だが、エルゴード性を満たす場合、時間 t に関する平均に置き換えてよい。すなわち、(5)は、
1

𝜏/2

𝐶(𝑢) = lim ∫−𝜏/2 𝑓(𝑡 + 𝑢)𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
𝜏𝜏→∞(12.12.7)とも書ける。

C(u)の重要な性質を、証明抜きに紹介しておく。まず、
𝐶(𝑢) = 𝐶(−𝑢)(12.12.8)

つまり、偶関数なので時間を逆向きにしても変わらない18。また、u=0 で最大値を取る。
𝐶(0) ≥ 𝐶(𝑢)18

(12.12.9)

ただし、関係(8)は古典力学に従う系でのみ成り立ち、量子力学では成り立たない（Allen &Tildesley, 2017 の Appendix D）。

402

第 12 章 トラジェクトリーの解析

さらに、非周期的な、不規則現象では、u→∞で 0 になる。

図 12.12. 4 自己相関係数（概念図）(12.12.10)

lim 𝐶(𝑢) = 0

𝑢→∞(10)は、周期関数でない限り、時間が経てば、もとの値と無関係になる、ということを示している。
なお、C(u)を C(0)で割って正規化（無次元化）したR(u)を、自己相関係数（Auto-correlation
coefficient）と呼び、こちらを使うこともある。
𝑅(𝑢) =

𝐶(𝑢)
𝐶(0)

=

〈𝑓(𝑡+𝑢)𝑓(𝑡)〉〈𝑓(𝑡)2 〉(12.12.11)

R(u)は u=0 では 1 だが、不規則現象では、次第に減衰して 0 に近づく（図 4）。つまり、時刻 u=0 では 100％相関があるが、u→∞では相関が全くなくなる。だから、R(u)は、統計学の相関係数の一種なのである。
さて、本題のウィーナー＝ヒンチンの定理を示す。f(t)は、-τ/2<t<τ/2 で不規則
で、それ以外の区間では 0 の値を取るとする。式(2)から、
𝑓(𝑡 + 𝑢) ==1 ∞∫ 𝐹(𝜔)𝑒𝑥𝑝(𝐼𝜔(𝑡 + 𝑢)) 𝑑𝜔
2𝜋 −∞

1 ∞
∫ 𝐹(𝜔)𝑒𝑥𝑝(𝐼𝜔𝑡) 𝑒𝑥𝑝(𝐼𝜔𝑢)𝑑𝜔
2𝜋 −∞なので、これを式(7)の自己相関関数の中の f(t+u)に代入して、
𝜏

1 2
𝐶(𝑢) = lim ∫ 𝑓(𝑡)𝑓(𝑡 + 𝑢) 𝑑𝑡
𝜏→∞ 𝜏 −𝜏
2

1

𝜏/2

1

∞

∞

= lim ∫−𝜏/2 𝑓(𝑡){∫−∞ 𝐹(𝜔)𝑒𝑥𝑝(𝐼𝜔𝑡) 𝑒𝑥𝑝(𝐼𝜔𝑢)𝑑𝜔} 𝑑𝑡
𝜏
𝜏→∞

𝜏/2

= lim ∫−∞ 𝐹(𝜔)𝑒𝑥𝑝(𝐼𝜔𝜏) {∫−𝜏/2 𝑓(𝑡)𝑒𝑥𝑝(𝐼𝜔𝑡)𝑑𝑡} 𝑑𝜔𝜏𝜏→∞{}内の式は、-τ/2<t<τ2 外では f(t)=0 なので、積分範囲を±∞にできる
から、
𝜏/2

∫

∞

𝑓(𝑡)𝑒𝑥𝑝(𝐼𝜔𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒𝑥𝑝(𝐼𝜔𝑡)𝑑𝑡

−𝜏/2

−∞

であり、これは、(1)の複素共役に 2πを掛けたものだから、= 2𝜋𝐹 ∗ (𝜔)になるので、403

第 12 章 トラジェクトリーの解析

1

∞

∞

2𝜋

= lim ∫−∞ 𝐹(𝜔)𝑒𝑥𝑝(𝐼𝜔𝑢)2𝜋𝐹 ∗ (𝜔) 𝑑𝜔 = ∫−∞ lim |𝐹(𝜔)|2 𝑒𝑥𝑝(𝐼𝜔𝑢)𝑑𝜔
𝜏
𝜏
𝜏→∞

𝜏→∞

式(4)のパワースペクトル S(ω)の定義より、∞= ∫−∞ 𝑆(𝜔)𝑒𝑥𝑝(𝐼𝜔𝑢)𝑑𝜔

すなわち、
∞

𝐶(𝑢) = ∫−∞ 𝑆(𝜔)𝑒𝑥𝑝(𝐼𝜔𝑢)𝑑𝜔(12.12.12)が得られる。これを式(2)と見比べれば、C(u)は S（ω）の逆フーリエ変換であることがわかるし、当然(1)も成り立つ。
𝑆(𝜔) =1 ∞∫ 𝐶(𝑢)𝑒𝑥𝑝(−𝐼𝜔𝑢) 𝑑𝜏
2𝜋 −∞よって、S（ω）は C(u)のフーリエ変換である。式(12)と(13)がウィーナー＝ヒンチンの定理である。まとめると、不規則変(12.12.13)

図 12.12. 5 ウィーナー＝ヒンチンの定理

動量 f(t)の、パワースペクトルと自己相関関数 C(u)は、相互にフーリエ変換、逆変換の関係にある（図 5）。
式(13)は、C(u)が偶関数であることを利用すれば、e-Iωu=cos(ωu)+Isin(ωu)の Isin(ωu)に掛かる部分は積分すれば 0 になり、また cos(ωu)に掛かる部分は偶関数だから u≧0 で積分して 2 倍すればよい。よって、以下のように簡単になる。
𝑆(𝜔) =1 ∞1 ∞∫ 𝐶(𝑢)𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑢) 𝑑𝑢 = 𝜋 ∫0 𝐶(𝑢)𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑢) 𝑑𝑢
2𝜋 −∞(12.12.14)

この式からも、そして、そもそもの定義式(4)からも明らかなように、S(ω)は実数である。
なお、ウィーナー＝ヒンチンの定理は、S(ω）を計算するときに、使うこともある
し、使わないこともある。FT の数値計算アルゴリズムに何を採用するかに依存する、
テクニカルな問題なので、ここではこれ以上は扱わない。
以上、FT に関する、一般的な公式をいくつか説明した。これ以降は、MD トラジェク
トリー解析への FT の応用を説明する。
追記：

速度自己相関関数は、付録 12A1 の自己拡散係数 D の計算でも使った。そこで、D とパワースペクトル S(ω）との関係について述べておく。1 次元 1 体系の速度 v（質量の自乗根を掛けない、普通の速度）を対象とする。時間の関数としての v(t)を
本節の f(t)（式 5）に当て嵌める。その自己相関関数は、
𝐶(𝑢) = 〈𝑣(𝑡 + 𝑢)𝑣(𝑡)〉だが、これを式(14)に代入すると、そのパワースペクトルは404

第 12 章 トラジェクトリーの解析∞

1

𝑆(𝜔) = ∫0 〈𝑣(𝑡 + 𝑢)𝑣(𝑡)〉𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑢) 𝑑𝑢𝜋になる。ここで、速度の振動成分ωのうち、ω=0 を代入すると、
1∞

𝑆(0) = ∫0 〈𝑣(𝑡 + 𝑢)𝑣(𝑡)〉 𝑑𝑢𝜋
この右辺は、式(12.9.3)の拡散係数 D の 1 次元版（3 で割ってない）に 1/πを掛けた形である。つまり、
𝐷 = 𝜋𝑆(0)(12.12.14)になる。拡散係数 D は、ω=0 のパワースペクトルに比例することがわかる。つまり、

ω=0 だから、振動しない、拡散運動の寄与なのである（Berens et al., 1983、上田、2003）。
[4] MD トラジェクトリーの解析：振動分布関数
今度は、FT を MD トラジェクトリーの解析に用いて、分子内の振動分布を計算する
方法を示す。12.11 節の集団運動のときと同じく、FT でも、並進・回転の自由度を除き、質量の自乗根を掛けた座標 R と速度 V、特に速度を解析対象にすることが多い。
𝑉𝑖 (𝑡) = √𝑚𝑖 𝑣𝑖 (𝑡),

(再 12.11.1.4)

𝑖 = 1,3𝑁

座標と速度のどちらを使うにせよ、MD のトラジェクトリーは、長さをτとし、-τ/2≦t≦τ/2 で得られているものとする。それ以外の区間では、R も V も 0 と定義する。
そうすると、積分区間-τ/2≦t≦τ/2 を-∞≦t≦∞に置き換えても問題ない。
MD の結果を FT 処理してパワースペクトルを求めた、という報告は、Berens et al(1983) を皮切りに数多く出版されているので、それらを参考に、解説してみる。具体的には、N 体系の運動で、角振動数分布関数 g(ω)
𝜔

[角振動数がω1 からω2 の値を取る振動の数]= ∫𝜔 1 𝑔(𝜔)𝑑𝜔 (再 12.11.1.9)
1とパワースペクトル
2𝜋|𝐹(𝜔)|2𝜏𝜏→∞𝑆(𝜔) = lim（再 12.12.4）の関係を説明する。結果を先に書くと、両者は、係数の違いだけで、等価である。
まずは、NMA と PCA で説明した、振動分布密度関数 g(ω)について、再確認しておくと、3N 系で、並進、回転の自由度を抜いた場合は、固有振動の数は、3N-6 だから19

19「3N-6」は、単に、自由度を示す記号だと思えば良い。もし、重心・回転を凍結しなければ

3N だし、逆に、系に他の拘束が入っていれば、その分減る。いずれにせよ、結果は同じである。

405

第 12 章 トラジェクトリーの解析∞(12.12.15)

3𝑁 − 6 = ∫0 𝑔(𝜔)𝑑𝜔になる。

さて、FT に戻る。3N 体系の、質点 i の重み付き速度 Vi(t) (式 12.11.1.4)を、公式（1）の f(t)に代入する。
𝐹𝑖 (𝜔) =1 𝜏/2
𝑉 (𝑡)𝑒𝑥𝑝(−𝐼𝜔𝑡) 𝑑𝑡∫
2𝜋 −𝜏/2 𝑖(12.12.16)式(16)のフーリエ成分 Fi(ω)は、実際には、プログラムライブラリーを使って、数値的に求める。一方、位相平均の運動エネルギー<K>は、
122〈𝐾〉 = ∑3𝑁
𝑖=1 〈 𝑉𝑖 (𝑡)〉と書けるが、これを時間平均で書き直すと（MD の結果なので、τ→∞の極限は取らないでおく）
1

𝜏/2

1

= ∑3𝑁
𝑉 2 (𝑡)𝑑𝑡∫
2 𝑖=1 𝜏 −𝜏/2 𝑖
なのだが、この積分をパーセヴァルの公式(3)を使って変形すると、(t と違って、ωの積分範囲は-∞から∞なのに注意)
1∞1∞ 2𝜋𝐹𝑖2 (𝜔)

1

= ∑3𝑁
∫ 2𝜋𝐹𝑖2 (𝜔)𝑑𝜔 = 2 ∑3𝑁
𝑖=1 ∫−∞
2 𝑖=1 𝜏 −∞𝜏𝑑𝜔

パワースペクトルの定義(4)を代入し、かつ、パワースペクトルが偶関数であることを利用すると
∞

1
2

∞

3𝑁
= ∑3𝑁
𝑖=1 ∫−∞ 𝑆𝑖 (𝜔)𝑑𝜔 = ∑𝑖=1 ∫0 𝑆𝑖 (𝜔)𝑑𝜔(12.12.17)が得られる。
さて、温度 T の多体系の運動エネルギーK は１自由度あたり kBT/2（kB はボルツマン定数）だから、自由度 3N-6 ならば、
〈𝐾〉 =

3𝑁−6
2

𝑘𝐵 𝑇

(12.12.18)のはず。 (17)と(18)を等しいとおくと、∞
3𝑁−6
𝑘𝐵 𝑇 = ∑3𝑁𝑖=1 ∫0 𝑆𝑖 (𝜔)𝑑𝜔2

これを整理すると、∞ 2∑3𝑁 𝑆 (𝜔)𝑑𝜔𝑘𝐵 𝑇 𝑖=1 𝑖

3𝑁 − 6 = ∫0(12.12.19)

ここまで持って来たところで、式(15)の∞3𝑁 − 6 = ∫0 𝑔(𝜔)𝑑𝜔(再 12.12.15)と比べると、（手抜きな議論だけれど）406

第 12 章 トラジェクトリーの解析

𝑔(𝜔) =

2∑3𝑁 𝑆 (𝜔)𝑘𝐵 𝑇 𝑖=1 𝑖(12.12.20)が得られる。つまり、パワースペクトル S(ω)は、式(20)により、角振動数分布関数

g(ω)に置き換えることができる。おそらく、その理由により、（角）振動分布関数を
パワースペクトルと呼ぶ文献が多いのだと思う、知らんけど。なお、式(20)は、式(4)(16)を代入して書き下すと、𝑔(𝜔) =

2
𝑘𝐵 𝑇

=

∑3𝑁
𝑖=1

2
2𝜋|𝐹(𝜔)|22
2𝜋 1 𝜏/2∑3𝑁(𝑡)𝑒𝑥𝑝(−𝐼𝜔𝑡)
=
|
𝑉
𝑑𝑡|
∫
𝜏
𝑘𝐵 𝑇 𝑖=1 𝜏 2𝜋 −𝜏/2 𝑖

2
1
1 𝜏/2
∑3𝑁
(𝑡)𝑒𝑥𝑝(−𝐼𝜔𝑡)|∫
𝑉𝑑𝑡|
𝜋𝑘𝐵 𝑇 𝑖=1 𝜏 −𝜏/2 𝑖(12.12.21)というように、そもそもの計算対象の、V で表すことができる。
ところで、今までは、混乱を避けるために、振動数ν=ω/(2π)は使わずに議論してきた。だが、最後に式(21)を、ωからνに変換して書き直した式も示しておく。すな
わち、分布関数を g(ω)から p(ν)に変換すると、
𝑝(𝜈) = 𝑔(ω)
=
=

𝑑𝜔
𝑑𝜈

= 𝑔(2𝜋𝜈)𝑑(2𝜋𝜈)𝑑𝜈= 2𝜋𝑔(2𝜋𝜈)

2
2𝜋
1 𝜏/2
∑3𝑁
(𝑡)𝑒𝑥𝑝(−𝐼2𝜋𝜈𝑡)|∫
𝑉𝑑𝑡|
𝜋𝑘𝐵 𝑇 𝑖=1 𝜏 −𝜏/2 𝑖
2
𝑘𝐵 𝑇

1
𝜏

𝜏/2

∑3𝑁
𝑖=1 |∫−𝜏/2 𝑉𝑖 (𝑡)𝑒𝑥𝑝(−𝐼2𝜋𝜈𝑡) 𝑑𝑡|

2(12.12.22)という形になる。式(22)は、FT の MD 解析の第一報の Berens et al (1983)の式と一致することが確かめてある。
と、こんなわけで、角振動分布関数 g(ω)または振動分布関数 p(ν)は、NMA、PCA、FT を使って個別に導出でき、比較もできる。タンパク質の実例は、Kitao et al.
(1991)、Hayward et al. (1994) などを参照のこと。
なお、実際には、MD のトラジェクトリーは、連続ではなく離散データなので、そのFT 計算は離散フーリエ変換（Discrete Fourier Transform, DFT、「密度汎関数法」と略語が被るが別物）で行うことになる。DFT のナイーブなアルゴリズムは遅いので、実際には、DFT を高速化した、高速フーリエ変換（Fast Fourier Transform,
FFT、Cooley & Tukey, 1965）というアルゴリズムで計算する。FFT は重要なアルゴリ
ズムだから、Press et al. (2007) など、数値計算の専門書では大抵紹介されている
し、ネット上にもいい解説がたくさん転がっている。適宜探して参照されたし。なお、FT の数値計算では、[3]で説明した自己相関関数（係数）は使うこともあれば、使わないこともある。使っている例としては、Kohanoff (1994)などがある。

407

第 12 章 トラジェクトリーの解析[5] MD トラジェクトリーの解析：フィルタリング
FT のもう一つの応用として、フィルタリング（Filtering）がある（Sessions etal., 1988, Dauber-Osguthorpe & Osguthorpe, 1990ab, 1993）。これは、MD のトラ
ジェクトリーから、特定の振動数部分だ
けを取り出す、逆に言えば不要な部分を

図 12.12. 6 フィルタリング

取り除く方法である。概念図を用いて説明する（図 6）。MD のトラジェクトリー
情報を f(t)とおく。フィルタリングの対
象は、速度ではなく座標が多い。元のf(t)の波形が(A)だとすると、それから、(A)低振動数の波だけを取り出したり、(B)高振動数の波を取り出したりする方法が、フィルタリングである。
以下、FT を用いたフィルタリングの方法を説明する（図 7）。これは、一般的な信号処理において、信号からノイズを除く手続きを、MD に援用したものである。構
造揺らぎを解析するなら、重み付き座標 X（または重みなしの普通の座標 x）が対象になる。だが、フィルタリング自体は、対象が速度でもエネルギーでも、あるいは何か
他の物理量でもよい。たとえば、タンパク質内のねじれ角、なども対象にできる。
原子 i の座標 Xi(t)をフーリエ変換して Hi(ω)を得る。
𝐻𝑖 (𝜔) =1 ∞∫ 𝑋 (𝑡)𝑒𝑥𝑝(−𝐼𝜔𝑡) 𝑑𝑡
2𝜋 −∞ 𝑖

この Hi(ω)で、角振動数分布関数

g(ω)をプロットして、どの部分の波を取り出すかを決める。そし(12.12.23)

図 12.12. 7 フィルタリングによる、特定の振動領域の運動の抜き出し（概念図）て、図 7 の g’(ω)のように、ω0<ω<ω1 を取り出すことに決めたとしよう。そのために、次のようなフィルタリング関数 a(ω)を定義する。
𝑎(𝜔) = 1 (𝜔0 < 𝜔 < 𝜔1 )
= 0 (𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒)(12.12.25)
これを使って、フーリエ係数にフィルターを掛けて、欲しい部分だ408

第 12 章 トラジェクトリーの解析

け取り出す。
𝐻𝑖′ (𝜔) = 𝑎(𝜔)𝐻𝑖 (𝜔)(12.12.26)

最後に、逆フーリエ変換して、Xi(t)から、ω0<ω<ω1 の部分の寄与だけを取り出した、X’(t)を得ることができる。積分範囲はω0<ω<ω1 だが、どうせ a(ω)が掛かってるから、±∞と書いて構わない。
∞

𝑋𝑖′ (𝑡) = ∫−∞ 𝐻𝑖′ (𝜔)𝑒𝑥𝑝(𝐼𝜔𝑡) 𝑑𝜔

(12.12.27)

この Xi’(t)が、フィルタリング済みの座標の時間変化である。例えば、図 7 のように、速い振動成分が除かれて、ゆっくりとした動きだけが抜き出されている。
こんな感じで、FT を使って、特定の振動領域の動きだけを取り出すことができる。
第 12 章のまとめ
以上、MD トラジェクトリーの解析方法のうち、おもに生体分子関連の、ごく基本的なものに絞って、簡単に説明した。対象は、孤立、または溶媒中の溶質１分子か数分子のものが多い。
現在は、特に MM-MD では、巨大分子複合体の解析が増えているので、ここで紹介した方法は、そのままでは適用できないケースも増えている。だが、巨大系の解析方法
は、小さい系の解析方法の組み合わせや拡張であることが多いので、ここで紹介した方法もヒントにはなるかも知れない。
一方、FMPMD や QMD の対象はまだまだ小さいので、ここで紹介した方法が、そのまま使えるケースも多いと思う。
いずれにせよ、MD を使った研究では、トラジェクトリーから何を引き出すかが最重要であるので、各自、目的に応じて、様々な解析方法を試して欲しいし、新たな方法の開発にも期待する。

付録 12A1. 拡散係数の理論
12.9 節で拡散係数の計算方法を簡単に説明したが、この付録では、その物理学的背景を説明する。具体的には、Fick の第一法則から拡散係数 D を定義し、第一法則と質量保存則から Fick の第二法則（拡散方程式）を導き、それを使って、本文で紹介した
アインシュタインの公式
𝐷 = 𝑙𝑖𝑚𝑡→∞〈|𝐫(𝑡)−𝐫(𝑡𝑜 )|2 〉6(𝑡−𝑡𝑜 )(再 12.9.1)を導いたあと、等価のグリーン=久保公式409

第 12 章 トラジェクトリーの解析

1𝑡

𝐷 = 𝑙𝑖𝑚 ∫0 (𝐯(𝑡) ∙ 𝐯(𝑡0)) 𝑑𝑡
3𝑡→∞(再 12.9.3)に変換する。
ここでの議論は、粒子一般の拡散現象に成り立つもので、その粒子が、原子か分子か、あるいはもっと大きい構造体か

図 12A1. 1 流れ Jは問わない。なお、この付録は、Frenkel & Smidt (2002)、
上田（2003)、神山・佐藤（2020）を参考にして作成した。
以下、連続の方程式と Fick の第一法則（D の定義）を天下り的に導入して、拡散方程式（＝Fick の第二法則）を導く。
まず、連続の方程式から。空間のある点 r での時刻 t における、対象粒子の密度（数/体積、または、質量/体積）をρ(r,t)とおく。空間の任意の閉曲面内の物質の量の変化は外に流れ出ていく量と一致することから、次の連続の方
程式、つまり質量保存則が成り立つ。
𝜕𝜌
𝜕𝑡+∇∙𝐉 = 0(12A.1)

右辺第 1 項は濃度ρの単位時間あた

図 12A1. 2 アインシュタインの公式の導出

りの変化、第 2 項は外向き流束 J の発散であるから、式(1)は、「外に流れ出したらその分だけ濃度が薄くなり、逆に外から流れ込んだら濃くなる」ということである。
一方、Fick の第一法則は、「流れ J
は、濃度ρの勾配（傾き）に比例する」というもので、𝐉 = −𝐷𝛁𝜌

(12A.2)と表される。ただし、希薄溶液中での、粒子の衝突する時間よりも長い時
間領域での現象を仮定している。この
式(2)の比例定数 D が、拡散係数である。D は、一般的には、濃度ρに依存するが、こ
こでは、ρに依存しない場合についてのみ議論する。
式(1)の J に式(2)を代入すると、
𝜕𝜌− 𝐷∆𝜌 = 0
𝜕𝑡

(12A1.3)という、拡散方程式（=Fick の第二法則）が得られる。
次に、この拡散方程式を使って、アインシュタインの公式(12.9.1)を導く。拡散方
程式は密度ρを与える方程式だが、以下のようにすれば、粒子座標 r に関するアイン410

第 12 章 トラジェクトリーの解析

シュタインの式を導くことができる。図 2 でその概念を説明する。時刻 t0 で、位置r(t0)=r0 に、粒子が 1 個あったとする。その場合、密度ρは r0 周りのデルタ関数になる。
𝜌(𝑡0 , 𝐫 ) = δ(𝐫 − 𝐫0 )(12A1.4)

粒子は、拡散方程式(3)に従い、ブラウン運動で、時刻 t には、r(t)の位置に移る。その r(t)が、空間内のどこの位置に来るかは、確率的にしかわからないが、その確率密度は、粒子密度ρ(t,r)に一致する。以下、簡単のため20、τ=t-t0、 s=r-r0 とおく。拡散方程式(3)を初期条件(4)で解くと、
𝜌(𝜏, 𝐬 ) =1
3(4𝜋𝐷𝜏) ⁄2

𝑒𝑥𝑝 (−𝐬2)
4𝐷𝜏

(12A1.5)が得られる21。数学的な変形は省略したが、式(5)は初期条件(4)と拡散方程式(3)を満たすだけではなく、s=(x,y,z)についての積分が 1（確率の足し合わせは１）、x,y,z=±∞で０、全ての定義域でρ≧0、という確率密度分布関数の満たすべき性質を備えている。加えて、x,y,z について同じ形であり、さらに偶関数である（ρ(-x)=ρ
(x)、y, z も同様）という、空間の対称性も満たしていることに注意。つまり、図 2
で、時刻 t に粒子がどこに存在しているかは、r0 からの距離だけに依存し、方向には左右されない、ということである。
式(5)のρ(τ,s)を使って、粒子の自乗変位 s2 の期待値を計算すると、〈𝐬 2 〉 = ∫ 𝐬 2 𝜌(𝜏, 𝐬 )𝑑𝐬 =1
3(4𝜋𝐷𝜏) ⁄2𝐬2∫ 𝐬 2 𝑒𝑥𝑝 (− 4𝐷𝜏) 𝑑𝐬

R=s/(4Dτ)1/2 とおいて、
=
=

2𝐷𝜏
𝜋3/2

∫ 𝐑2 𝑒𝑥𝑝(−𝐑2 )𝑑𝐑

2𝐷𝜏
∭(𝑋2 + 𝑌 2 + 𝑍 2 )𝑒𝑥𝑝(−𝑋2 − 𝑌 2 − 𝑍 2 ) 𝑑𝑋𝑑𝑌𝑑𝑍
𝜋3/2

極座標変換すれば=2𝐷𝜏 ∞ 28𝐷𝜏 ∞∫ 𝑅 𝑒𝑥𝑝(−𝑅 2 )4𝜋𝑅 2 𝑑𝑅 = 𝜋1/2 ∫0 𝑅 4 𝑒𝑥𝑝(−𝑅 2 )𝑑𝑅
𝜋3/2 0ガウス積分の公式を使って=

20

8𝐷𝜏 3𝜋1/2= 6𝐷𝜏
𝜋1/2 4

最初から t0=0 とおいてしまえば、もっとスッキリ書けるが、t0 を様々な値にしてアンサンブ

ル平均を取る、という操作をするため、t0 を残しておく。
21

実は、ρを式(5)のように直接求めなくても、Fick の法則と拡散方程式からだけで、アインシュタインの公式を導くことも可能である（Frenkel & Smidt、2002)。

411

第 12 章 トラジェクトリーの解析

つまり、
𝐷=

〈𝐬2 〉
6𝜏

(12A1.6)である。τ=t-t0 と s=r-r0 で変数を元に戻し、時間平均<>と粒子平均を取れば、アインシュタインの公式(12.9.1)が得られる。
ところで、本文で述べたように、|r-r0|2 は、立ち上がりは、式(12.9.1)のように|t-t0|に比例するのではなく、式(12.9.2)のように|t-t0|2 に比例する。その理由を説明しておく。実は、拡散方程式(3)は、粒子の衝突時間を無視できるぐらいの長い時間領域でしか成り立たない（神山・佐藤、2020）。というのは、拡散方程式

図 12A1. 3. 時間領域で見る、物質の流れ(3)を導いた二つの式のうち、連続の式(1)は質量保存則だから厳密に成り立つ
が、流れが濃度勾配に比例するというFick の第一法則(2)は、粒子の衝突時間よりも充分長い時間の挙動について
しか成り立たない。そのせいで拡散方
程式は、長時間の挙動しか記述できないである。これは、図 3 のマンガを見ながら、こんな風に理解しとけば良いと思う：「(A) 長い時間で見れば、物
質は、濃度が薄い方に移動して、均一化に向かう。だが、(B) 粒子が衝突するぐらいの短い時間では、ある粒子がたまたま濃度の濃い方に移動してしまう、ことはいくらでもありうる。」
では、粒子同士が衝突するぐらいの短時間の挙動は、と言うと、以下のように記述できる。図 2 のように、粒子の、時刻 t0 から t への位置の変位は、τ=t-t0 がごく小さい場合は、
𝐫(𝑡) = 𝐫(𝑡0 + 𝜏) ≈ 𝐫(𝑡0 ) + 𝜏𝐯(𝑡0 )と近似できるので、t0 を様々に変えて平均を取ると〈|𝐫(𝑡) − 𝐫(𝑡0 )|2 〉 ≈ 𝜏 2 〈|𝐯(𝑡0 )|2 〉になる。ここで、m を粒子の質量、Ｔを温度、kB をボルツマン定数とすると、
13
𝑚〈|𝐯(𝑡0 )|𝟐 〉 = 𝑘𝐵 𝑇22が熱平衡下において成り立つので、〈|𝐫(𝑡) − 𝐫(𝑡0 )|2 〉 ≅3𝑘𝐵 𝑇(𝑡 − 𝑡0 )2𝑚(再 12.9.2)が得られる。よって、図 12.9.1 のグラフのように、座標の自乗変位は、最初はτ2 に412

第 12 章 トラジェクトリーの解析比例する。もちろん、しばらく時間を置けば、拡散方程式(12.9.1)に従って、τに比例するようになる。
話を元に戻して、最後に、アインシュタインの式(12.9.1)とグリーン=久保公式（12.9.3)が、熱平衡下では、等価なことを示す。ここでも、τ=t-t0 と s=r(t)-r(t0)の表記を使う。方針は、式(6)にしたがい、<s2>を求め、それを 6τで割り、τ→∞に持っていく。座標 s は、速度 v を時間積分したものであるから、積分変数の時間を uとおけば、
𝜏𝐬(𝜏) = ∫0 𝐯(𝑢) 𝑑𝑢と書ける。よって、2𝜏〈𝐬 2 (𝜏)〉 = 〈(∫0 𝐯(𝑢) 𝑑𝑢) 〉
𝜏

𝜏

𝜏

𝜏

= 〈∫0 𝐯(𝑢) 𝑑𝑢 ∙ ∫0 𝐯(𝑢′) 𝑑𝑢′〉 = ∫0 𝑑𝑢′ ∫0 〈𝐯(𝑢) ∙ 𝐯(𝑢′ )〉 𝑑𝑢
積分変数 u'を、t=u'-u に変換し（τ=t-t0 の t とは別、時間であることには変わりないが、混同しないように）𝜏𝜏−𝑢= ∫0 𝑑𝑢 ∫−𝑢 𝑑𝑡〈𝐯(𝑢) ∙ 𝐯(𝑡 + 𝑢)〉 =∗この被積分関数の𝐶(𝑡) ≡ 〈𝐯(𝑢)・𝐯(𝑡 + 𝑢)〉 = 〈𝐯(𝑡 + 𝑢)・𝐯(𝑢)〉(12A1.7)は速度自己相関関数と呼ばれ、ある時刻 u の速度が t 後の速度にどれだけ影響を及ぼすかの指針である（より一般的な議論は、12.12[3]を参照）。<>は熱平衡下での位相
平均＝時間平均を示し、具体的には、起点となる時刻 u を様々に変えて平均を取っている。熱平衡ならば、起点時刻 u がどこでも、同じになるはずだから、𝐶(𝑡) = 〈𝐯(𝑢)・𝐯(𝑡 + 𝑢)〉 = 〈𝐯(0)・𝐯(𝑡)〉(12A1.8)である。また、同様の理屈で、時刻 0 と t の相関と、時刻-t と 0 の相関は同じになる
はずだから、𝐶(𝑡) = 〈𝐯(0)・𝐯(𝑡)〉 = 〈𝐯(−𝑡)・𝐯(0)〉 = 〈𝐯(0)・𝐯(−𝑡)〉 = 𝐶(−𝑡)(12A1.9)

つまり、C(t)は偶関数である。この二点を押さえて、（＊）に戻ると、
𝜏𝜏−𝑢∗ = ∫0 𝑑𝑢 ∫−𝑢 𝐶(𝑡)𝑑𝑡
ここで、少しトリッキー

図 12A1. 4 積分順序の交換

だが、u と t の積分順序を入れ替える。つまり、
図 4 の積分領域を
A のように u を固定してt を積分し（横線）413

第 12 章 トラジェクトリーの解析

その後 u で積分する方式から
B のように t を固定して u を積分し（縦線）、
その後 t で積分する方式に変える。
それにより、積分は二つの項に分かれる
0
𝜏
𝜏
𝜏−𝑡
= ∫−𝜏 𝑑𝑡 ∫−𝑡 𝐶(𝑡)𝑑𝑢 + ∫0 𝑑𝑡 ∫0 𝐶(𝑡)𝑑𝑢u に関する積分は、C(t)が外に出せるから簡単で、0𝜏= ∫−𝜏(𝜏 + 𝑡)𝐶(𝑡)𝑑𝑡 + ∫0 (𝜏 − 𝑡)𝐶(𝑡)𝑑𝑡 = #ここで、第１項で、-t を y とおくと、
00𝜏∫−𝜏(𝜏 + 𝑡)𝐶(𝑡)𝑑𝑡 = ∫𝜏 (𝜏 − 𝑦)𝐶(−𝑦)(−𝑑𝑦) = ∫0 (𝜏 − 𝑦)𝐶(−𝑦)𝑑𝑦
さらに、C が偶関数であるという性質(9)を使えば𝜏= ∫0 (𝜏 − 𝑦)𝐶(𝑦)𝑑𝑦

これは、(#)の第 2 項に同じである。よって(＃）、つまり<s2>は𝜏〈𝐬 2 (𝜏)〉 = 2 ∫0 (𝜏 − 𝑡)𝐶(𝑡)𝑑𝑡(12A1.9)

この式(9)をアインシュタインの公式(12.9.1)に代入すると、
𝐷 = lim1

𝜏→∞ 6𝜏
1

𝜏〈𝐬 2 (𝜏)〉
𝑡

1

τ

1

𝜏

= lim ∫0 (1 − ) 𝐶(𝑡)𝑑𝑡 = lim {∫0 𝐶(𝑡)𝑑𝑡 − ∫0 𝑡𝐶(𝑡)𝑑𝑡}
3
𝜏
3
𝜏
𝜏→∞

𝜏→∞

この第 2 項は、tC(t)の 0<t<τでの時間平均なのだが、t が大きくなると、C(t)は 0 になってしまう。
だから、第 2 項は 0 としてよい。よって、
1

∞

1

∞

= ∫0 𝐶(𝑡)𝑑𝑡 = ∫0 〈𝐯(0)・𝐯(𝑡)〉 𝑑𝑡
33が得られる。これは、グリーン=久保公式(12.9.3)である。よって、拡散係数に関す
る、アインシュタイン公式とグリーン=久保公式の等価性が示された22。
なお、拡散係数は、フーリエ変換で得られるパワースペクトルの、振動数０の成分であることが分かっている（12.12 節[4]の追記参照）。

22

筆者の知る限り、拡散係数に関する教科書の記述は、ここまでで終わっている。だが、筆者には、自己拡散係数に関して疑問が残っている。自己拡散係数も式(12.9.1)か(12.9.3)を使って計算する。だが、例えば、水の自己拡散係数を測る環境では、周り中、水ばかり。つまり、Fick の第一法則の、希薄溶液という仮定から完全に外れている。そもそも、水ばかりならば、
濃度勾配そのものが生じないではないかいな。なのに、その仮定に基づいて導いた公式を使って自己拡散係数を計算している。これでいいのかな？

もちろん、導いた時の仮定を越えて一般性のある公式は数多いから（第 13 章の Maxwell=Boltzman 分布とか）、その一例なのかも知れないけれど。誰か、この件について、詳しい方がいたら、教えて欲しい。

414

第 12 章 トラジェクトリーの解析

付録 12A2. 実対称行列の対角化
12.11 節で、ヘシアン行列と分散共分散行列の対角化が出てくる。どちらの行列も実対称行列なので、この付録で、その対角化について、定義や定理を、証明抜きで、まとめておく。
実数のみを要素とする、n×n の正方行列 M について、その転置行列をτM との間に𝐌 = 𝜏𝐌
つまり
𝑀11
( …
𝑀𝑛1

…
...
…

𝑀1𝑛
𝑀11
… )=( …
𝑀𝑛𝑛
𝑀1𝑛

… 𝑀𝑛1
...
… )
… 𝑀𝑛𝑛

が成り立つとき、「M は実対称行列である」と言う。
M には、(12A2.1)

𝐌𝐀 𝒊 = 𝜆𝑖 𝐀 𝒊を満たす固有値λi と大きさ 1 の固有ベクトル𝐀 𝒊
𝐴𝑖1
𝐀 𝒊 = ( … ) , |𝐀 𝒊 | = 1
𝐴𝑖𝑛
が、n 組存在する（固有値が縮退している場合は、ここでは扱わない）。(1)を行列表
示すると、
𝐌(𝐀1

… 𝐀 𝑖 … 𝐀 𝐧 ) = (𝜆1 𝐀1… 𝜆𝑖 𝐀 𝑖 …

𝜆𝑛 𝐀 𝐧 )(12A2.2)

対角行列Λを
𝜆1
𝚲=(𝑂𝑂. . . 𝜆𝑖 …

)
𝜆𝑛

Ai を横に並べた行列τA を𝝉𝐀 = (𝐀1… 𝐀𝑖 …

𝐴11
𝐀𝐧 ) = ( …
𝐴1𝑛

…
…
…

𝐴𝑛1
… )
𝐴𝑛𝑛

あるいは転置を取って、
𝐴11
𝐀=( …
𝐴𝑛1

…
…
…

𝐴1𝑛
… )
𝐴𝑛𝑛

と定義すると、A とτA は相互の逆行列になっている。
𝜏𝐀𝐀 = 𝐄

これらを使うと、(2)は、415

第 12 章 トラジェクトリーの解析

𝐌 𝜏𝐀 = 𝜏𝐀𝚲と書ける。右から A を掛けて、
𝐌 = 𝜏𝐀𝚲𝐀
あるいは要素を書けば、
𝑀11
( …
𝑀𝑛1

… 𝑀1𝑛
𝐴11
...
… )=( …
… 𝑀𝑛𝑛
𝐴1𝑛

𝜆1
𝐴𝑛1
… )(
𝐴𝑛𝑛
𝑂

…
…
…

𝑂

. . . 𝜆𝑖 …

𝐴11
)( …
𝐴𝑛1
𝜆𝑛

… 𝐴1𝑛
… … )
… 𝐴𝑛𝑛
(12A2.3)と変形できる。つまり、行列 M の対角化ができたわけだ。
なお、個々の固有ベクトルの大きさは１で、別々の固有ベクトル（A の行ベクト
ル）は直交するから、その内積はクロネッカーデルタで表すことができる。
𝝉

𝐀 𝑖 𝐀𝑗 = 𝛿𝑖𝑗(12A2.4)

A は直交行列だから、A の列ベクトルについても同様の関係が成り立つ。

第 12 章の参考文献
上田顯（2003), 分子シミュレーション－古典系から量子系手法まで－、裳華房.
岡崎進、吉井範行 (2011), コンピュータシミュレーションの基礎

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第 12 章 トラジェクトリーの解析

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Time Scale.

423

第 13 章

番外編：マクスウェル＝ボルツマン分布

第 13 章 番外編：マクスウェル＝ボルツマン分布
この第 13 章は、本編の第 1-12 章とは違い、特定のトピックに関する文章である。目的は、マクスウェル＝ボルツマン分布（MB 分布）を、理論とMD を使って掘り下げることで、熱平衡状態に関して理解を深めることである。
良く知られているように、古典力学に従って運動する分子の速度分布は、MB 分布になる。この番
外編では、まず、MB 速度分布の式を理論的に導き、それをもとに、速さ（速度の絶対値）分布、さらに分子温度（運動エネルギー）分布を導く。特に、分子温度分布か
ら、平均温度以上のエネルギーを持つ分子は非常に少ないことがわかる。これらの分布が再現されることを、水分子を対象に、分子動力学シミュレーションで確かめた。
さらに、どの水分子もほとんどの時間は温度よりも低いエネルギー状態にあるが、時々、非常に高いエネルギー状態に上がることも確かめた。つまり、熱平衡下において、運動エネルギー（熱）は分子間を目まぐるしく移動していることになる。

内容
第 13 章

番外編：マクスウェル＝ボルツマン分布42413.1. 序............................................................... 424
13.2. マクスウェル＝ボルツマン分布の速度分布 ........................... 426
13.3. マクスウェル＝ボルツマン分布の速さと運動エネルギー分布 ...........429
13.4. 分子動力学シミュレーションによる確認 ............................. 431
付録 13A1. 関数方程式の解 ..............................................434
付録 13A2. 定積分の公式 ................................................435
第 13 章の参考文献 ......................................................435

13.1. 序熱平衡状態にある気体、液体、固体で、分子の速度は、Maxwell-Boltzmann 分布（マクスウェル＝ボルツマン分布、以下、MB 分布）に従うことが知られている。では、速度ではなく、分子の運動エネルギー分布はどうだろうか？

もちろん、個々の分子について時間平均を取れば、等分配則により、どの分子も温度に対応した運動エ424

第 13 章

番外編：マクスウェル＝ボルツマン分布

ネルギーを持つはずである。だが、時間平均を取らない、スナップショット（瞬間）ではどうなるのだろう？
本章では、MB の速度分布を導出し、それをもとに、瞬間的な速さ分布と運動エネル
ギー分布を導き、それらの分布を、実際に分子動力学（MD）シミュレーションで確認する。
本章は、大沢（2006, 2010）の示唆に富んだ統計力学入門に触発されて作成した1。
そのさわりはこんな話である：「数人でサイコロを振ってチップのやりとりをする、という簡単なゲームを行うと、平等にチップを配って、平等のルールでやりとりするのに、あっという間に貧富の差が現れ、一部の人間がチップを独占する、という結果になる。これは、分子の世界でも同じである。そして、それが MB 分布の本質である。」
筆者もそのゲームを実際に行い、また簡単な計算機プログラムを作って試した結果、本の通りに、貧富の差が瞬時に現れることを確かめ、おもしろさを実感した。
その後、筆者は、とある大学で MD 法の講義を行うことになったのだが、ある年、MDの応用ネタとして、上述の、MB 分布下でのエネルギー分布を学生に計算させることを思いついた。つまり、分子の世界の貧富の差を計算で確かめさせようとしたわけである。その準備として、MB 分布の導出を講義しなければいけないわけだが、MB 分布の導出法は数多い。その中で、できるだけ、少ない知識と仮定で教えられる方法はない
か、と手元の教科書やインターネットを漁ったところ、1860 年のマクスウェル本人の導出法に行き当ったわけである（Maxwell, 1860）。この導出法の凄いところは、空間の対称性だけを仮定して、あとは数学だけで導いていることである。それでいて、一般性のある正解に行きついてしまったのだから、天才マクスウェル恐るべし、としか言いようがない。というわけで、この導出法を記して学生に配布したのだが、彼らがその凄さを理解してくれたかどうかは定かでない。
ともあれ、以上の内容を一つにまとめて、MB 分布の解説資料として、本書の番外編にしたわけである。なお、MB 分布の生成過程については、別途、付録 11A2 に記述しておいたので、そちらにも目を通して欲しい。
注意：

以下、分子の速度は分子の速度ベクトル v=(vx, vy, vz)を示し、速さはその大きさ v=|v|を示す。

1

初めて読んだのは、成書ではなくて、日本生物物理学会か、あるいは名古屋大学か、どちらかのホームページだったと思うが、手元に残っていない。

425

第 13 章

番外編：マクスウェル＝ボルツマン分布13.2. マクスウェル＝ボルツマン分布の速度分布
まずは、Maxwell（1860）の原報に従って、速度分布を導出する。速度分布の導出方
法は複数の方式があるが、この導出法では、空間の対称性だけ使い、あとは数学的考
察だけで導いているのが特徴。この方法は、インターネット上の広江（2005）や同志
社大（2011）のサイトでも紹介されているので、そちらも参照して欲しい。以下、これら二つのサイト

図 13.2. 1 対象分子系も参考にしながら、マクスウェルの原報をかみ砕いて説明する。
対象として、図 1 のように、質量 m の分子が温度 T の熱平衡下で運動している分子系を考える。このとき、ある一個の分子に注目する。この分子の速度の x 成分 vx
が、vx~vx+d vx の値を持つ確率が px(vx)d vx になるような関数 px(vx)が、求める確率密度関数である。
さらに、x 方向だけでなく、y 方向と z 方向も考える。速度ベクトル v=(vx, vy, vz)
が、v から v+dv の値を取る確率は、速度ベクトルに関する確率密度関数 P(v)を定義
すれば、P(v) dvx dvv dvz である。空間の対称性により、x, y, z の三方向は等価だか
ら、関数 px(vx)は、vy vz についても全く同じ形のはずである。よって、px(vx),py(vy), pz(vz)などと区別はせず、単純に、p(vx), p(vy), p(vz)と表記できる。
さて、この p(vx)はどのような性質を満たすべきだろうか？

まず、熱平衡状態だか

ら、当然、vx での確率密度と-vx での確率密度は同じはず。つまり、偶関数なので、下記を満たす。
𝑝(𝑣𝑥 ) = −𝑝(𝑣𝑥 )(13.2.1)

次に、p(vx)は確率密度関数だから、全定義域で非負、𝑝(𝑣𝑥 ) ≥ 0(13.2.2)

そして積分すれば 1 になる（規格化条件）。
∞

1 = ∫−∞ 𝑝(𝑣𝑥 ) 𝑑𝑣𝑥(13.2.3)

図 13.2.2 p(vx)の形（条件）

また、±∞で積分(3)が発散しないために、𝑝(𝑣𝑥 ) → 0(𝑣𝑥 → ±∞)(13.2.4)

つまり、(1)-(4)の条件だけでも、p(vx)は、少なくとも図 2 のように、左右対称、非負、積分すれば１、無限大で 0 の関数ということがわかる。
次に、空間の対称性から、x, y, z の三方向について、速度の密度分布は独立、つまり、「x 方向の速度がどうであろうと、y 方向や z 方向の速度分布は同じまま」と仮定してよい。とすれば、P(v)dvx dvv dvz は、vx が vx~vx+dvx の成分を持つ確率426

第 13 章

番外編：マクスウェル＝ボルツマン分布p(vx)dvx、vy が vy~vy+d vy の成分を持つ確率 p(vy)dvv、vz が vz~vz+dvz の成分を持つ確率 p(vz)dvz、の三つを掛け合わしたもの、つまり p(vx) p(vy) p(vz)dvx dvv dvz に等しい。よって(13.2.5)

𝑃(𝐯) = 𝑃(𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 ) = 𝑝(𝑣𝑥 )𝑝(𝑣𝑦 )𝑝(𝑣𝑧 )とおける。

この関数 P(v)の形は、以下のようにして決める。空間が対称だから（しつこくてす
みません）、P(v)はベクトル v の方向には拠らないはずである。でないと、座標軸の取り方によって分布が変わってしまうことになって空間の対称性に矛盾する。よって、P(v)は、v の大きさ v=(vx2+ vy2+ vz2)1/2、あるいはその 2 乗 v2 の関数として表されるはずである。つまり𝑃(𝐯) = 𝑃(𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 ) = 𝑃(𝑣 2 ) = 𝑝(𝑣𝑥 )𝑝(𝑣𝑦 )𝑝(𝑣𝑧 )(13.2.6)(6)に vy,=0、vz =0 を代入すれば v2=vx2 になるので、p(0)=a とおけば、𝑃(𝑣𝑥 2 ) = 𝑎2 𝑝(𝑣𝑥 )これを逆に解いて(6)に代入すれば
𝑝(𝑣𝑥 ) =𝑃(𝑣𝑥 2 )(13.2.7)𝑎2y, z についても同様に、
𝑝(𝑣𝑦 ) =𝑝(𝑣𝑧 ) =𝑃(𝑣𝑦 2 )(13.2.8)𝑎2
𝑃(𝑣𝑧 2 )(13.2.9)𝑎2(7)-(9)を(6)に代入すれば、𝑃(𝑣𝑥 2 + 𝑣𝑦 2 + 𝑣𝑧 2 ) =1
𝑃(𝑣𝑥 2 )𝑃(𝑣𝑦 2 )𝑃(𝑣𝑧 2 )𝑎6(13.2.10)

この関数方程式(10)が P(v)の関数形を決める。この方程式をどう解くかは、純然たる数学の問題なので、解き方は付録 13A1 に回す。結局、(10)を解くと、A, α>0 を任意定数として、222

𝑃(𝒗) = 𝐴3 𝑒 −𝛼(𝑣𝑥 +𝑣𝑦+𝑣𝑧 )(13.2.11)が得られる。また、p(vx)は次式である。
2𝑝(𝑣𝑥 ) = 𝐴𝑒 −𝛼𝑣𝑥

(13.2.12)

指数に‐がついている理由は、もし指数が正ならば、vy→±∞で p(vx) →∞になってしまい、条件（4）を満たさなくなるからである。
(11)(12)の分布関数に現れる定数 A とαは以下のように決める。A は、式(3)の規格化条件に代入し、定積分の公式(付録 13A2.1)を使うと∞∞

2

1 = ∫−∞ 𝑝(𝑣𝑥 ) 𝑑𝑣𝑥 = 𝐴 ∫−∞ 𝑒 −𝛼𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑥 = 𝐴√

𝜋
𝛼

427

第 13 章

番外編：マクスウェル＝ボルツマン分布

なので
𝛼
𝜋

(13.2.13)

𝐴=√

一方、αは一分子あたりの平均運動エネルギー<EK>と温度 T を比べて決める。<EK>は、〈𝐸𝐾 〉 = 〈∞ 𝑚𝑣 2𝑚𝑣 2〉 = ∭−∞
𝑃(𝐯) 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑣𝑧
2
2

∞

𝑚
= ∭(𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 + 𝑣𝑧2 ) 𝑝(𝑣𝑥 )𝑝(𝑣𝑦 )𝑝(𝑣𝑧 )𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑣𝑧
2−∞

ここで、規格化条件(3)により p(vx), p(vy), p(vz)の積分はどれも 1 になり、結局

vx2p(vx), vy2p(vy), vz2p(vz)に関する積分が残るので、(12)(13)を代入して、定積分の公式（付録 13A2.2）を使うと、〈𝐸𝐾 〉 = 〈=∞ 𝑚𝑣 2𝑚𝑣 2〉 = ∭−∞
𝑃(𝐯) 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑣𝑧
2
2

2
∞
𝑚
3𝑚
𝛼 ∞
3𝑚 𝛼 1𝜋3𝑚(3 × ∫−∞ 𝑣𝑥2 𝑝(𝑣𝑥 ) 𝑑𝑣𝑥 ) =(√ ∫−∞ 𝑣𝑥2 𝑒 −𝛼𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑥 ) =√𝜋 2 √𝛼3 = 4𝛼22𝜋2(13.2.14)
さらに、<EK>を温度 T で表せば、ボルツマン定数 kB を使って
3
2

⟨𝐸𝐾 ⟩ = 𝑘𝐵 𝑇

(13.2.15)(14)と(15)を比べれば、
𝛼=

𝑚
2𝑘𝐵 𝑇

(13.2.16)

図 13.2. 3 求められた p(vx)（ガウス型関数）

これを(13)に代入して、
𝐴=√𝑚

2𝜋𝑘𝐵 𝑇(13.2.17)

以上により、速度分布関数 p(vx)は次の形になる。
𝑝(𝑣𝑥 ) = √𝑚𝑚𝑣 2
𝑒𝑥𝑝 (− 𝑥 ) (13.2.18)
2𝜋𝑘𝐵 𝑇
2𝑘𝐵 𝑇

式(18)は、左右対称の釣鐘状のガウス型関数である（図 3）。これが、式(1)-(4)の条件を満たすことは容易に確かめられる。また、P(v)で表記すれば
𝑃(𝐯) = (

3/2
𝑚
𝑚𝑣 2
) 𝑒𝑥𝑝 (−)
2𝜋𝑘𝐵 𝑇
2𝑘𝐵 𝑇(13.2.19)と書ける。式(18)あるいは(19)が、求める MB 速度分布関数である。
Maxwell は、完全弾性衝突する理想気体を想定してこの分布を導いた。だが、この428

第 13 章

番外編：マクスウェル＝ボルツマン分布

MB 速度分布 (19)は、熱平衡下ならば、液体や固体でも、任意のポテンシャルで相互作用する系で成立する。また、実験的にも証明されている（田崎, 2008, p. 169）。
この件に関する田崎の言葉を引用すると（同 p. 168）、「われわれが任意のポテンシャル中の相互作用をもった粒子の系を扱っていることを思えば、この単純な結果（古明地注：式(19)）が普遍的に成り立つことは衝撃的です
らある。」
13.3. マクスウェル＝ボルツマン分布の速さと運動エネルギー分布
前節では、熱平衡下における、分子速度 v=(vx, vy, vx)の確率密度分布関数 P(v)を求めた。次に、速度分布関数 P(v)（13.2.19）を変数変換して、分子の速さ v=|v|の確率密度分布と、分子の運動エネルギー（分子温度）の確率密度分布関数を求める。
速度分布関数(13.2.19)をベクトル v の成分で書き下せば
𝑃(𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 ) = (図 13.3.1 三次元
極座標（球座標）3/2(𝑚𝑣𝑥2 +𝑚𝑣𝑦2 +𝑚𝑣𝑧2 )𝑚) 𝑒𝑥𝑝 (−)
2𝜋𝑘𝐵 𝑇
2𝑘𝐵 𝑇(13.3.1)になる。これの規格化条件（つまり確率の足し合わせが１になる）は次式。
∞∭−∞ 𝑃(𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 )𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑣𝑧 = 1(13.3.2)

以下では、式(2)を変数変換して、速さと分子温度の分布式に変換していく。
まず、速さ、つまり速度の大きさ v=|v|の分布はどうなるか。これは、以下のように、(2)の v を 3 次元極座標に変数変換すれば得られる2。単なる数学なのではしょった説明ですませておく。なお、ふつうはωではなくθを使うのだが、後で分子温度をθと表記するので、ここではωを使った。
𝑣𝑥 = 𝑣 𝑠𝑖𝑛 𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜑、 𝑣𝑦 = 𝑣 𝑠𝑖𝑛 𝜔 𝑠𝑖𝑛 𝜑、 𝑣𝑧 = 𝑣 𝑐𝑜𝑠 𝜑
ただし、
0 ≤ 𝑣、0 ≤ 𝜔 ≤ 𝜋、0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋
このときの体積素片は𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑣𝑧 = 𝑣 2 𝑠𝑖𝑛 𝜔 𝑑𝑣𝑑𝜔𝑑𝜑なので、(2)は以下のように変換できる。
∞∭−∞ 𝑃(𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 )𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑣𝑧 = ∭0<𝑣,0≤𝜔≤𝜋,0≤𝜙<2𝜋 𝑃(𝑣, 𝜔, 𝜙)𝑣 2 𝑠𝑖 𝑛 𝜔 𝑑𝑣 𝑑 𝜔 𝑑𝜙

2

なんで、三次元球座標の説明をわざわざ載せているか、と言うと、この文章は学部学生向けの資料を基にしてるから、というだけである。消す必要もなさそうなんで、残しておいた。

429

第 13 章= ∭0<𝑣,0≤𝜔≤𝜋,0≤𝜑≤2𝜋 (番外編：マクスウェル＝ボルツマン分布

3/2
𝑚
𝑚𝑣 2
) 𝑒𝑥𝑝 (−
) 𝑣 2 𝑠𝑖𝑛 𝜔 𝑑𝑣𝑑𝜔𝑑𝜑
2𝜋𝑘𝐵 𝑇
2𝑘𝐵 𝑇

∞

3/2
𝜋
2𝜋
𝑚
𝑚𝑣 2
) 𝑒𝑥𝑝 (−
) 𝑣 2 ∫0 𝑠𝑖𝑛 𝜔 𝑑𝜔 ∫0 𝑑𝜑
2𝜋𝑘𝐵 𝑇
2𝑘𝐵 𝑇

∞

3/2
𝑚
𝑚𝑣 2
) 𝑣 2 𝑒𝑥𝑝 (−) 𝑑𝑣 = 1
2𝜋𝑘𝐵 𝑇
2𝑘𝐵 𝑇= ∫0 𝑑𝑣 (= ∫0 4𝜋 ((13.3.3)

この積分の被積分関数を g(v)とおくと
𝑔(𝑣) = 4𝜋 (

3/2
𝑚
𝑚𝑣 2
) 𝑣 2 𝑒𝑥𝑝 (−)
2𝜋𝑘𝐵 𝑇
2𝑘𝐵 𝑇(13.3.4)

この g(v)が、速度の絶対値の速さ v=|v|の確率密度分布関数である。つまり、ある分子の速さが v~v+dv を取る確率が g(v)dv になる。これは、図 2 のように、釣り鐘型に近いが、少し図 13.3.2 速さ分布関数 g(|v|)。
単位は任意。

ずれている。それは、v2 が掛かっているため
で、ポイントは、g(0)=0、つまり、速さが０付近の分子はほとんどいない、ということである。
さらに、式(3)の変数を v から分子 1 個の温度に変換する。分子一個の運動エネルギーは
𝜀=

𝑚𝑣 2
2

で定義されるが、これを分子 1 個の温度θに変換してしまうことにする。
𝜃=

2𝜀
𝑚𝑣 2
=
3𝑘𝐵
3𝑘𝐵

(13.3.4)

もちろん、分子 1 個の温度などというのはありえないのだが、ここでは単に、系全体の温度 T と比べやすいように、運動エネルギーの単位を温度に合わせてケルヴィンにしただけだと思って欲しい。
式(3)をさらに変換する。(4)より
𝑣2 =

3𝑘𝐵 𝜃
𝑚

𝑑𝑣 =

3𝑘𝐵
1 3𝑘
𝑑𝜃 = √ 𝐵 𝑑𝜃
2𝑚𝑣
2 𝑚𝜃

なので、これを(3)に代入して、
3

∞
𝑚
𝑚𝑣 2
2
∫0 4𝜋 (2𝜋𝑘 𝑇) 𝑣 2 𝑒𝑥𝑝 (− 2𝑘 𝑇) 𝑑𝑣
𝐵
𝐵

430

第 13 章3∞

= ∫0 4𝜋 (∞3= ∫0

番外編：マクスウェル＝ボルツマン分布𝑇𝑚3𝑘 𝜃 1 3𝑘
2 3𝑘 𝜃
) 𝐵 𝑒𝑥𝑝 (− 𝐵 ) √ 𝐵 𝑑𝜃
2𝜋𝑘𝐵 𝑇𝑚
2𝑘𝐵 𝑇 2 𝑚𝜃

33𝜃√𝜃 𝑒𝑥𝑝 (− 2𝑇 ) 𝑑𝜃 = 1
2𝜋𝑇(13.3.6)√

式(6)の被積分関数を f(θ)とおくと
3
𝑇

3
3𝜃
√𝜃 𝑒𝑥𝑝 (− 2𝑇 )2𝜋𝑇

(13.3.7)

𝑓(𝜃) = √この式(7)が、求めていた、分子の運動エネルギー（＝分子温度）分布関数である。つ
まり、ある分子の温度換算した運動エネルギーがθ～θ+dθの値を取る確率は、f(θ)

dθになる。
式(7)に関する留意点を箇条書きしてみよう。
・式（7）をグラフにすると、図 3 のような左右非対称なグラフになる。
・グラフの最大値は、θ=T ではなく、θ＝T/3 で現れる。
・だが、この分布に従って、分子の時間平均温度（期待値）<θ>を求めると、以下のように T になる。
∞

⟨𝜃⟩ = ∫0 𝜃𝑓(𝜃) 𝑑𝜃∞3𝑇= ∫0 𝜃 √3𝑇= √図 13.3.3 分子温度（運動エネル33𝜃√𝜃 𝑒𝑥𝑝 (− 2𝑇 ) 𝑑𝜃
2𝜋𝑇ギー）分布関数∞33𝜃
∫ 𝜃 3/2 𝑒𝑥𝑝 (− 2𝑇 ) 𝑑𝜃
2𝜋𝑇 0式(13A2.3)を使うと
3

3 𝑇 2 √2𝜋𝑇

𝑇

2𝜋𝑇

= √

3√3

=𝑇

(13.3.8)

このように、瞬間の統計を取れば大多数の分子が温度 T よりも低い運動エネルギー（分子温度）を持っているにも関わらず、時間平均（期待値）を取れば、どの分子も温度 T のエネルギーを持っていることがわかる。
なお、分子当たりの温度の式(7)を掲載している書物や論文は少ない。数少ない例外
として、Yang et al. (2006) を挙げておく。
13.4. 分子動力学シミュレーションによる確認
前節では、MB 分布に従う古典粒子系内での運動エネルギー分布は、時間平均ではな
く、それぞれの時刻のスナップショットでは、一部の分子が高エネルギーを持ち、その他大多数は低エネルギーを持つことが、数学的に示された。
と、あっさり書いてしまったが、つまり、一瞬の運動エネルギー分布を調べると、
431

第 13 章

番外編：マクスウェル＝ボルツマン分布

高いエネルギーは一部の分子が独占していて、ほとんどの分子は平均よりも低いエネ
ルギーしか持っていない、ということである。
我々の頭の中には正規分布がこびりついているので、何も考えないと、平均エネルギー（つまり温度）以上の分子と、それ以下の分子が、大体半分

図 13.4.1 計算対象の水（周期境界）

づつだろう、と思ってしまう。だが、実態は全然違うわけだ。前述のように、筆者は、大沢（2011）を読んで初めて気付き、目から鱗であった。MB 分布について、上っ面しか理解していなかったことを恥じた。
さて、最後に、この分子間エネルギー格差を、MD シミュレーションで確認してみよう。対象は、液体の水である。
計算条件は次の通り。一辺 42.51Åの周期的な立方体に 2561 個の水分子(flex SPC モデル、第 4章)を発生させた（図 1）。エネルギー極小化をしたあと、Nosé-Hoover の熱浴（第 10章）で 298K に保って 350 ps まで、定温 MD（NVT-MD）を行った。一方、その NVT-MDの 150 ps の構造と速度を用いて、さらに 200 ps 定エネルギーMD（NVE-MD）も行った。レナードジョーンズ力は 12Åで切断したが、クーロン力にはエワルド和を用いた。時間積

図 13.4. 2 MD による分子速度分布関数（正規化済み）

分には RESPA（第 3 章）を使い、分子内結合力は 0.25 fs、
分子間非共有結合力は 1 fs の時
間刻みを適用した。NVT,NVE-MD
ともに、最後の 150 ps 間から、

p(vx)の速度分布(18)と f(θ)分子温度分布(26)を計算した。150
ps 間の 150 個のスナップショッ
トの分布関数を平均した。個々の分子の速度や温度を時間平均したわけではないので、注意。水分子の分子温度の分布は、すべて、分子の重心速度を用いて計算した。MD プログラムは、PEACH ver. 7 を用いた。

432

第 13 章

番外編：マクスウェル＝ボルツマン分布

まずは速度分布を示す（図 2）。示しているのは NVT-MD のデータであるが、NVE-MD
でも寸分変わらない結果であった。図では分散（kT/m）が 1 になるようにスケールして示してあるが、理論値の ptheor と、計算値 p(vx)、p(vy)、p(vz)がほぼ完全に一致してる。つまり、この MD は、平衡に達していて、速度が完全に

図 13.4. 3 MD による分子温度分布関数

MB 分布になっていることがわかった。
次に、問題の分子温度（運動エネルギー）の分布を示す。これも NVT-MD の結果だ
が、NVE-MD でも、全く同じ分布になった。Pt(t) Theory
は、式(7)の理論的な分布であり、ピークは T/3=100K 付近に来る。そして、Pt(t) NVT-MD
が MD の結果から計算したものである。理論値と MD は、誤差の範囲で一致している。
以上、理論でも MD シミュレーションでも、分子の瞬間温度の分布は、正規分布ではなく、半数以下の分子のみが T 以上の温度を持ち、残りの過半数は T 以下の温度を持
つことがわかった。なお、分子それぞれの”時間平均温度”を計算すれば、どれも、298K 程度（280-320）の温度を持っていた。とすると、瞬間瞬間を取れば、一部の分子がエネルギーを独占しているのだが、長い目で見ると、全体に平等にエネルギーが行き渡っているはずである。
これを、任意に選んだ分子をひとつ例に取って、その分子温図 13.4. 4 ある分子の分子温度の時間変化

度θの時間変化を観察してみる（図 4）。グラフからわかるように、この分子は、かなりの時間
は、298K 以下なのだが、瞬間的には最大 1700K もの運動エネル
ギーを得ることがある。ここでは示さないが、他の分子も似たようなふるまいである。つまり、「ほとんどの時間は低い温度（エネルギー）状態だが、ときどき、極端に高いエネルギー状態になる」というのが、分子のふるまいなのである。
分子のエネルギー分布のこのような性質は、たとえば、化学反応に重要なのだろ433

第 13 章

番外編：マクスウェル＝ボルツマン分布う。活性化エネルギー以上のエネルギーを持つ分子が、確率的に一定数は存在することを保証するからである。
また、MB 分布は、分子が衝突するから成り立つことも、基本的かつ重要なポイントである。仮に、全く相互作用しない、お互いにすり抜けてしまうような分子が集合体を作っていたら、どの分子も初期速度のまま永遠に直線運動をするだけだから、分子間の運動エネルギーの交換はない。図 4 の時間変化は、衝突の賜物である。
以上、本章で述べたことは、統計力学を心底から理解している人にとってはわかりきった話なのだろう。だが、一方で、盲点でもある。統計力学の教科書には、分子温度分布の式(13.3.7)は載っていないことが多いし、載っていても、その物理化学的な意味の詳しい解説はあまり見かけない。この文書を読んで、MB 分布で記述される熱平
衡状態というのは、決して静的ではなく、熱エネルギーが分子の間を目まぐるしく駆
け回っている状態だというのに、気づいてもらえたら幸いである。
付録 13A1. 関数方程式の解
同志社大(2011)の資料に依って、𝑃(𝑣𝑥 2 + 𝑣𝑦 2 + 𝑣𝑧 2 ) =1
𝑃(𝑣𝑥 2 )𝑃(𝑣𝑦 2 )𝑃(𝑣𝑧 2 )𝑎6(再 13.2.10)の関数 P の形を導出する。x=vx2、y=vy2、z=vz2, v2= vx2+ vy2+vz2 とおくと、
𝑣2 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧(13A1.1)

である。(1)を x、ｙ、ｚで偏微分すると
𝜕𝑣 2
𝜕𝑥

=

𝜕𝑣 2
𝜕𝑦

=

𝜕𝑣 2
𝜕𝑧

(13A1.2)=1(13.2.10)は、𝑃(𝑣 2 ) = 𝑃(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) =1
𝑃(𝑥)𝑃(𝑦)𝑃(𝑧)𝑎6(13A1.3)と書ける。(3)の左辺を x,y,z で偏微分すると、(2)を使って𝑑𝑃(𝑣 2 )
𝜕𝑃
𝜕𝑃
𝜕𝑃
= = =
= 𝑃′(𝑣 2 )𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧𝑑(𝑣 2 )

(13A1.4)

である。一方、(3)の右辺を y で偏微分すると
1
𝑃(𝑥)𝑃′(𝑦)𝑃(𝑧)𝑎6だから、(4)と比べて、𝑃′(𝑣 2 ) =1
𝑃(𝑥)𝑃′(𝑦)𝑃(𝑧)𝑎6(13A1.5)になる。ここで、(5)に y=z=0 を代入すると
434

第 13 章𝑃′(𝑥) =

番外編：マクスウェル＝ボルツマン分布

1𝑃(𝑥)𝑃′(0)𝑃(0)𝑎6(13A1.6)

a6、P’(0), P(0) すべて定数だから、−𝛼 =𝑃′(0)𝑃(0)𝑎6とおけば、(6)は
𝑃′(𝑥)
= −𝛼
𝑃(𝑥)

(13A1.7)となる。これを積分して解けば、 B を積分定数にして、𝑃(𝑥) = 𝐵 𝑒𝑥𝑝( − 𝛼𝑥)2x=vx に戻すと、𝑃(𝑣𝑥2 ) = 𝐵 𝑒𝑥𝑝( − 𝛼𝑣𝑥2 )これを(13.2.10)に入れて、定数を置きなおして A と書けば、
𝑝(𝑣𝑥 ) = 𝐴 𝑒𝑥𝑝( − 𝛼𝑣𝑥2 )（再 13.2.12）

さらに、
2

2

2

𝑃(𝐯) = 𝐴3 𝑒 −𝛼(𝑣𝑥 +𝑣𝑦+𝑣𝑧 )（再 13.2.11）が得られる。
付録 13A2. 定積分の公式

∞

𝜋

2

∫−∞ 𝑒 −𝛼𝑥 𝑑𝑥 = √𝛼∞2

(13A2.1)1𝜋∫−∞ 𝑥 2 𝑒 −𝛼𝑥 𝑑𝑥 = 2 √𝛼3∞(13A2.2)

𝛤(𝑏+1)∫0 𝜃 𝑏 𝑒𝑥𝑝(−𝑎𝜃) 𝑑𝜃 = 𝑎𝑏+1

a=3/(2T)、b=3/2 とおけば、この積分は、以下の値を取る。
∞

1∫0 𝜃 𝑏 𝑒𝑥𝑝(−𝑎𝜃) 𝑑𝜃 =𝛤(2+2)
𝑎5/2

3!!
2 √𝜋

= 2 5/2 =
𝑎

3√𝜋
3√𝜋
𝑇 2 √2𝜋𝑇= 3 5/2 =(13A2.3)
4𝑎5/2
3√3
4( )
2𝑇

第 13 章の参考文献
大沢文夫(2006),「飄々楽学」第 23 章、白日社.
大沢文夫(2011),「大沢流手づくり統計力学」、名大出版会.

田崎晴明 (2008),「統計力学 I」、

培風館
435

第 13 章

番外編：マクスウェル＝ボルツマン分布

同志社大学 (2011), 理工学部機能分子工学科／統計力学
https://www1.doshisha.ac.jp/~bukka/lecture/statistic/resume_std.html
広江克彦 (2005), EMAN の物理学／統計力学.
http://eman-physics.net/
Maxwell, J. C. (1860), Philosophical Magazine, 4th series, 19, 19–32.
DOI:10.1080/14786446008642818.

Illustrations of the dynamical theoryof gases. Part I. On the motions and collisions of perfectly elastic
spheres.
Yang, Y., Meng, S., Wang, E. G. (2006), J. Phys.: Condens. Matter 18, 1016510177. DOI:10.1088/0953-8984/18/45/005.

A molecular dynamics studyof hydration and dissolution of NaCl nanocrystal in liquid water.

436

あとがき
筆者は、大学院では実験生化学の研究室に所属していた。それを言い訳にするつもりはないが、計算科学の基礎的、常識的な知識と理解に欠けていることを、常に痛感してきた。
もちろん、筆者のように、学生時代の出身研究室とは、大なり小なり違った分野に身を置く研究者は、珍しくはない。それに、筆者の場合、研究方法が生化学実験から計算科学手法に変わっただけで、研究対象がタンパク質や核酸であることには変わりはない。
とは言うものの、あちこちの論文を読んでやっと探し出した知識や、自分でいろいろ工夫して編み出したノーハウが、計算科学のラボ出身者にはただの常識だった、という経験を何度したことか。
本書は、筆者が、定年を前にして、「もし、自分が、大学院生ぐらいの時分に、この程度の基礎的なことを常識として理解していたなら、もう少しましな研究人生が送れたかも知れないのに...」と悔やむ内容を書き連ねたものである。だから、専門家には、当たり前で、古いことがほとんどである。副題を「いまさら訊けない、MD の常識」とでもしたいところだ。
だが、温故知新という言葉もある。MD の基礎的・常識的なことでも、調べれば調べるほど、知らない、わからないことが出てきて、永遠に収集がつきそうにない。序でも書いたように、基礎こそが難しいのである。それに、自分自身でプログラム実装したことがない、あるいは使ったことがない方法の記述には、どうしても、不安が残る。そこで、開き直って、わからないことはわからない、自信がないところは自信がない旨、記述しておいた。そういう部分について、読者が答えを教えてくれると嬉しい。
ところで、本書自体が電子出版であるが、引用した文献のほとんどは、紙だけでなく電子ファイルとしてインターネットから入手できる。中には、紙媒体自体が存在しない資料もある。紙の時代は終わった、などと言う気は毛頭ないが、少なくとも科学
技術の世界では、もはや電子文献のほうが主流である。おりしも、ChatGPT などの生成系 AI が、世界に衝撃を与えている。生成系 AI のモデルはインターネット上の莫大な電子文献を学習して作られるのだから、本書だって、少しは肥やしになるかも。知
らんけど。

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著者略歴
古明地勇人（こめいじゆうと）https://staff.aist.go.jp/y-komeiji/
1963

山梨県生まれ。

1987

東京大学農学部農業生物学科卒業。

1992

東京大学大学院理学系研究科植物学専攻修了。博士（理学）。

1992

通商産業省工業技術院電子技術総合研究所入所。

2001

改組により

独立行政法人（現・国立研究開発法人）産業技術総合研究所主任研究員、今日に至る。
2023 年時点の本務先での所属は、生命工学研究領域健康医工学研究部門。また、立教大学連携大学院化学専攻客員教授、理化学研究所生命機能科学研究センター客員研究員、埼玉大学工学部応用化学科非常勤講師、大阪大学薬学部招へい教員を兼務。

分子動力学法の基礎 (CBI eBook No. 6）
著者

古明地勇人

第1版

2023 年 8 月 1 日

第１版

更訂 A 2024 年 1 月 26 日

Copyright 2023-2024 Yuto KomeijiISBN 978-4-910628-06-6
発行

CBI 学会出版

https://cbi-society.org/

本著作物の著作権は著者にあり、CBI 学会は、本著作物に関する、複製、配布、改変、再出版の権利を持ちます。本著作物はクリエイティブ・コモンズ [表示 4.0 国際] ライセンスの下に提供されています。

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