新潟大学晶析工学研究室解説資料(撹拌槽工学)

撹拌槽工学Ⅳ[物質移動編]
６．気液系の撹拌
撹拌槽でのガス吸収操作に相当する。酸化反応や微生物反応では、スパージャーから空気を供給して気泡とし、酸素を液中に撹拌溶解させている。これを通気撹拌という。

６．１

ガスの溶解度溶質成分と不溶性の中性成分からなる混合ガスに圧力をかけて水と接触させると、混合ガス中の溶質成分が水に吸収されて気液間での物質移動が起こる。気液平衡時における溶質ガスの平衡分圧 p [Pa]と溶質成分の最大溶解量、すなわち溶解度 C*[kmol/m3]との間には、直線関係が成り立つ。この関係をヘンリーの法則といい、水に難溶性かつ反応性に乏しい不活性のガスに対して成り立つ。

p HC *…(6.1.1)

ただし、H はヘンリー定数[Pa･m3/kmol]であり、この値が大きいほど溶質は水に溶解しにくい。
上式を次式のように変形すると、溶解度 C* [kmol/m3]は液相中の溶質モル分率 x [－]に変換される。

p HCT x…(6.1.2)

p Ex[E HCT ]…(6.1.3)

ただし、CT は溶液の全濃度(溶液のモル密度)[kg/m3]、E はヘンリー定数[Pa/モル分率]。
上式を次式のように変形すると、分圧 p [Pa]は気相中の溶質モル分率 y [－]に変換される。

p
PT

Ex
PT

y mx

…(6.1.4)
m

EPT…(6.1.5)

ただし、m はヘンリー定数[－]、PT は溶質ガスと不活性ガスの全圧[Pa]。
ヘンリー定数 C, E, m の間には、次式が成り立つ。

E CT HPT m…(6.1.6)

ガスの溶解度は温度の影響を受けることから、ヘンリー定数も温度ごとに変化する。各種ガスに対する各温度でのヘンリー定数については、化工便覧を参照の事。

６．２

物理吸収速度

ガス側と液側の両方に境膜を仮定する二重境膜説では、気液界面においてガスと液が溶解平衡の状態にあると考える[文献 43]。このとき、ガス側と液側の液体積あたり物理吸収速度 NAG [mol/(m3･s)]と NAL[mol/(m3･s)]は、次式で表される。
ガス側(G) ： NAG=kGa(pA－pAi) …(6.2.1)
液側(L)： NAL=kLa(CAi－CA) …(6.2.2)

1

新潟大学晶析工学研究室解説資料(撹拌槽工学)

ただし、CA は溶質濃度[mol/m3]、pA は溶質の分圧[Pa]、kG および kL はガス側および液側の境膜物質移動係数、a は気液接触界面積[m2/m3](=S/V)、添え字 i は気液界面における値。
希薄溶液の場合は、溶解平衡の条件下において Henry の法則が成

ガス（G）

り立つ。

界面（i）
kG

ガス側(G) ： pA=HCA*…(6.2.3)： pAi=HCAi…(6.2.4)

界 面(i)

液 側(L) ： CA=(1/H)pA*

pA, yAky
CAi, xAi…(6.2.5)

ただし、CA*は分圧 pA と平衡状態にある液相中の溶質濃度

pAi, yAi[mol/m3]、pA*は濃度 CA と平衡状態にある気相中の溶質分圧[Pa]、H は Henry 定数。

kLkx

溶解平衡の場合、溶質の移動速度は、ガス側と液側とで等しいことから、次式が成り立つ。
NAG

NAL ( NA )…(6.2.6)

最初の NAG と NAL の式を代入する。
NA=kGa(pA－pAi)= kLa(CAi－CA) …(6.2.7)
第 2 項と第 3 項を変形する。
NA
HkG

NA
kL

液（L）

a ( pApAi )…(6.2.8)

CA )…(6.2.9)H

a (CAi

辺々加える。
NA
Hk G

NA
kL

a ( pAp Ai )

NA

1
Hk G

NA

(CAi CA ) ( pA pAi ) H…(6.2.12)
1 (kL a ) 1 ( HkG a )

H

1
kL

a ( pAa (C Ai

p Ai )HCA )a (C Ai…(6.2.10)

CA )…(6.2.11)

pA と pAi の式を代入すると、液側総括吸収速度式を得る。
NA(CAi CA ) (HCA* HCAi ) H
1 (kLa) 1 (HkG a)

NA

CA* CA
1 (kLa) 1 (HkG a)…(6.2.14)

NA

K L a (CA*…(6.2.15)

1
KLa

1
kL a

CA )

…(6.2.13)

1…(6.2.16)
HkG a

ただし、KL は液側総括物質移動係数[m/s]、KLa は液側総括容量係数[1/s]。

６．３

総括容量係数2

CA, xA新潟大学晶析工学研究室解説資料(撹拌槽工学)

液側総括容量係数 KLa [1/s]の推算式については、多くの報告例がある。その多くは、単位液体積あたり
通気撹拌所要動力 Pg/V [W/m3]とガス空塔速度 Ug [m/s] (=通気量 Qg÷装置断面積 ST)のべき乗の積で報告されている。Van’t Riet の式を以下に示す。[文献 44](空気－水系)

KL a

0.026

(空気－電解質溶液系)

0.4

Pg

U g0.5 …(6.3.2)

V

KL a

0.002

Pg

0.7

V

U g0.2…(6.3.3)

なお、空気－水系では気泡の分散と合一が容易に起こり、空気－電解質溶液系では気泡の合一が起こりにくい。[文献 45]
気液接触界面積 a [m2/m3]の推算式については、Calderbank の式がある。[文献 46](空気－水系)a0.55(空気－電解質溶液系)

Pg

0.4

U g0.5

V
a

0.15

Pg
V

６．４

…(6.3.4)
0.7

U g0.3…(6.3.5)

フラッディング通気撹拌速度

通気撹拌槽内におけるガス分散状態は、気泡の上昇力が気泡の分散を支配する状態(通気支配、望まし
くない状態)と、撹拌が気泡の分散を支配する状態(撹拌支配、望ましい状態)がある。分散状態の程度は、通気数 NA [－]を用いて表される。
NA

Qg
nd 3

…(6.4.1)

ただし、Qg は通気量[m3/s]。なお、単位体積当たりの通気量 Qg [m3/min]/V [m3]を通気速度 Qg/V [vvm] (gasvolume per liquid volume per minute)といい、1 分間に液体積の何倍の空気が吹き込まれるかを表す。
通気数 NA は、吐出流量に対する通気量の比を表している。NA が大きいほど通気支配に近づき、小さいほど撹拌支配に近づく。上式より、気泡の分散を良好にするには、通気量を抑えるか、あるいは撹拌速度を大きく取ることが推奨される。
撹拌支配とするのに最低限必要となるフラッディング通気撹拌速度 nC [1/s]を与える推算式として、
Nienow の式が知られている。[文献 47,48](Nienow)

Qg
nC d 3

D
30 T
d

3.5

nC 2 dg…(6.4.2)

ただし、d は翼径[m]、DT は槽径[m]、g は重力加速度[m/s2]。
近年の報告例では、6 枚平板タービン翼に関する Sensel の式がある。[文献 49]

3新潟大学晶析工学研究室解説資料(撹拌槽工学)(Sensel)(Sensel)

Qg
nC d

3

0.0675( nC d ) DT 0.4(nC d ) DT 0.4

1.6…(6.4.3)

3

0.0675( nC d ) DT 0.4(nC d ) DT 0.4

1.6…(6.4.4)

撹拌支配（ローディング）

Qg
nC d←撹拌速度大通気支配（フラッディング）通気量大→

図 6.4.1 ガスの分散状態[文献 47]

６．５

完全分散通気撹拌速度

気泡の均一分散を良好な状態とするのに最低限必要な完全分散通気撹拌速度 nCD [1/s]を与える推算式として Nienow(ニーナウ)の式が知られている。[文献 47,48](リングスパージャー)

Qg
nCD d 3

0.2

DT
d

0.5

2
nCD
d
g

0.5

…(6.5.1)

より簡便には、次の有次元式がある。[文献 49](単一孔スパージャー)nCD(リングスパージャー)nCD

4Qg 0.5 DT 0.25
d2
3Qg 0.5 DT 0.25
d2…(6.5.2)…(6.5.3)

６．６

撹拌所要動力通気撹拌操作の場合、撹拌翼背面に微細気泡(キャビティー)が生じることから撹拌作用が低下する。さらには、液が気泡に置換されることで液の見かけの密度が小さくなる。このことから、通気時の撹拌所
要動力 Pg [W]は、無通気時における撹拌所要動力 P0 [W]よりも小さくなる。実用上は、Pg/P0 を 0.6 以上に設定する。
通気時の撹拌所要動力 Pg の推算式について、平板タービン翼における Calderbank(カルダーバンク)の式が簡便である。[文献 46]4新潟大学晶析工学研究室解説資料(撹拌槽工学)

Pg
P0
Pg
P0

(NA

1 12.6 N A

0.035)(NA

0.62 1.85 N A…(6.6.1)

0.035)…(6.6.2)

ただし、NA は通気数[－]。
永田らは、平板タービン翼において、装置形状や流動状態を考慮した次式を報告している。[文献 50]
log

Pg

192

P0

4.38

d
DT

nd 2

0.115

n2 d
g

1.96( d / D )Qg…(6.6.3)

nd 3

右辺第２項が装置形状、第３項および第４項が流動状態(Re, Fr)、第５項が分散状態(NA)を表している。

６．７

ガスホールドアップ

液相中のガス滞留量割合をガスホールドアップという。ガス吸収操作では液相とガスの体積比で定義されるが、通気撹拌操作では通気時と無通気時における液自由表面高さ(Hg および H0 [m])の比で定義され
る。

Hg
g

H0

…(6.7.1)

Hg

ただし、εg はガスホールドアップ[－]、Hg は通気時の液表面高さ[m]、H0 は無通気時の液表面高さ[m]。
ガスホールドアップが大きい程、液相中に滞留する気泡量が多いことから、気泡中の溶質成分をより多く液相中に吸収させることができ、したがって物質移動速度を増大させることができる。また、気泡径を小さくすることによって単位体積当たりの気液接触面積が大きくなり、物質移動速度を増大させることができる。
ガスホールドアップ εg の推算式について、平板タービン翼における次式が報告されている。[文献 51]

g

96

Pg

1/3

U g0.68 [%] …(6.7.2)

V

ただし、Ug はガス空塔速度[m/s]、V は液体積[m3]
近年の報告例では、6 枚平板タービン翼に関する Sensel の式がある。[文献 49]

g

0.105

Qg
nd 3

n2 d
g

0.5

0.1

nd 2

…(6.7.3)６．８

気泡径

表面積基準の平均気泡径 dB [m]については、Calderbank の式がある。[文献 46]
0.25

0.6

dB

4.15

( Pg /V )0.4

0.2

g

0.5

g

0.0009…(6.8.1)

5

新潟大学晶析工学研究室解説資料(撹拌槽工学)

ただし、σ は気液間の界面張力[N･m]、ρ は液密度[kg/m3]、μ は液粘度[Pa･s]、μg は気体粘度[Pa･s]。

７．液液系の撹拌ミキサ－セトラ型装置での液液抽出操作に相当する。

７．１

液液抽出速度[文献 52-54]

ガス吸収と同様に二重境膜モデルを用いる。抽質(溶質)と希釈剤(溶媒)の混合溶液からなる抽料相(原料相)(R)と、抽剤(抽出剤)からなる抽剤相(E)を定義する。抽料相(R)と抽剤相(E)は、混合工程(分散)後の清澄工程(合一)で形成される抽残相(R)と抽出相(E)に置き換えることもできる。抽料相(R)と抽剤相(E)には、分散相(D)または連続相(C)のいずれかが対応する。なお、分散相(D)が常に抽料相になるとは限らない。連続相(C)が抽料相になることもある。
いま、液液界面において、抽料相側(R)の抽質が抽剤相側(E)へ一方拡散しており、両相は液液平衡状態にあるものとする。このとき、抽料相側と抽剤相側の液体積あたり液液抽出速度 NAR [mol/(m3･h)]と NAE[mol/(m3･h)]は、次式で表される。
抽料相側(R)：NAR

kR a(CR CRi )…(7.1.1)

抽剤相側(E)：NAE

kE a(CEi CE )…(7.1.2)

ただし、C は抽質濃度[mol/m3]、k は境膜物質移動係数[m/h]、a は液液接触界面積[m2/m3]、添え字 E は抽剤相、R は抽料相、i は界面。
ガス吸収における Henry の法則と同様にして、液液平衡の条件下において次式が成り立つ。
抽料相側(R)： CR=mCE*…(7.1.3) ※CR=(1/m)CE*で定義している成書もあるので注意。

： CRi=mCEi

界面(i)…(7.1.4)

抽剤相側(E)： CE=(1/m)CR*…(7.1.5)

ただし、C*は飽和抽質濃度[mol/m3]、m は分配係数[－]。
液液平衡の場合、溶質の移動速度は、抽料相側と抽剤相側とで等しい。
NAR

NAE ( NA )…(7.1.6)

抽料相(R)

最初の NAR と NAE の式を代入する。
NA

kR a(CR CRi ) kE a(CEi CE )…(7.1.7)

第２項と第３項の式を変形する。
NA
kR
mN A
kE

a (C RCRi )ma (C Ei

CR

mN A
kE

kR

kE

CE )

CEi

…(7.1.9)CRia (C R

抽剤相(E)…(7.1.8)

辺々加える。
NA
kR

界面(i)

CRi )

ma (CEi

CE )…(7.1.10)

6CE新潟大学晶析工学研究室解説資料(撹拌槽工学)

NA

1
kR

m
kE

(C R

CRi ) m (CEi CE )1 (kR a ) m (kE a )NAa (C RCRi )ma (CEi

CE )…(7.1.11)…(7.1.12)m の式を用いると、抽料相側抽出速度式を得る。
(CR

NA

mCEi ) m (CEi CE )1 (kR a ) m (kE a)…(7.1.13)

NA

CR mCE
1 (kR a ) m (kE a )…(7.1.14)

NA

CR CR *
1 (kR a ) m (kE a )…(7.1.15)

NA

K OR a ( C R…(7.1.16)

1

1

KOR a

kR a

C R *)

mkE a…(7.1.17)

ただし、KOR は抽料相側総括物質移動係数[m/h]。
抽剤相側抽出速度式を導く。はじめの NA の式を変形する。
NA
mk R

a (C RCRi )…(7.1.18)

m

NA
kE

a(CEi

…(7.1.18)

CE )辺々加える。
NA
mk R

NA
kE

a (C R

CRi )

NA

1
mk R

NA

(CR CRi )/m (CEi CE )1 (mk R a ) 1 (k E a )m1
kEa (C Ra (CEi
C Ri )mCE )a (CEi…(7.1.19)

CE )…(7.1.20)…(7.1.21)m の式を用いる。
NA( mCE * mCEi )/m (CEi
1 (mk R a ) 1 (k E a )NA

CE * CE1 (mk R a ) 1 ( k E a )NA

KOE a(CE * CE )1
K OE a

1
mkR a

1
kE a

CE )

…(7.1.22)…(7.1.23)…(7.1.23)…(7.1.24)

ただし、KOE は抽剤相側総括物質移動係数[m/h]、KOEa は抽剤相側容量係数[1/h]。
分散相(D)と連続相(C)の容量係数 KODa, KOCa を求める場合は、抽料相と抽剤相を表す添え字 R と E を対

7新潟大学晶析工学研究室解説資料(撹拌槽工学)

応する添え字 D または C に置き換える。(たとえば、抽料相が連続相のときは、R を C に置き換える。)

７．２

境膜物質移動係数

分散相側境膜物質移動係数 kD [m/h]の推算には、次式を用いる。
（滴内流動の影響を無視する場合）

kD =（滴内流動の影響を考慮する場合）

kD =

dp
6t
dp
6t

ln 1 1

1 exp( 42

DD t d p 2 )…(7.2.1)

ln 1 1

1 exp( 42…(7.2.2)

De t d p 2 )有効拡散係数 De は、分散相側拡散係数 DD の 2.25 倍にとる。[文献 55]
t は液液間での接触時間[h]であり、回分操作の場合は回分時間、連続操作の場合は次式で表される平均滞留時間 τ [h]を用いる。
V
QC

QD

…(7.2.3)

ただし、V は液体積[m3]。
連続相側境膜物質移動係数 kC [m/h]の推算には、次式を用いる。
(Calderbank の式)

kC dp

DC

(Barker & Treybal の式)= 0.13

Pdp 4 C2

1/4

1/3
C

V C3

kC D
= 0.052
DC

CDC

C nd

2

…(7.2.4)

0.833

0.5
C
CDC

C

[文献 46,56]…(7.2.5)[文献 57]

液相拡散係数 DL [cm2/s]の推算については、Wilke & Chang (ウイルケ－チャン)の式がある。[文献 58]
DL

7.4 10 8( M )1/2 T
Vm 0.6…(7.2.6)(計算結果の単位は、[cm2/s]で与えられる。)

ただし、M は溶媒のモル質量[g/mol]、T は絶対温度[K]、γ は溶媒の会合度(水溶媒 2.6、メタノール 1.9、
エタノール 1.5、ベンゼンその他非会合性溶媒 1.0)、μ は溶媒粘度[cP]、Vm は大気圧下の沸点における溶質の分子容[cm3/mol]。分子容 Vm の算出には、下表の原子容を用いる。(原子容の和が分子容になる。)
表 7.2.1 分子容算出のための原子容[文献 59,60]
元素等
原子容[cm3/mol]
C
14.8
3.7
H(化合物)
7.15
H(H2 分子)7.4
O(二重結合)7.4
O(アルデヒド、ケトン)
9.1
O(メチルエステル)
9.9
O(エチルエステル)
11.0
O(高級エステル、エーテル)
12.0
O(アルコール、カルボン酸)
N
15.6
8

新潟大学晶析工学研究室解説資料(撹拌槽工学)

10.5
12.0
14.8
29.9

N(第一級アミン-NH2)
N(第二級アミン-NH)
N(第三級アミン-N-)
空気７．３

混合溶液の物性

平均密度 ρM [kg/m3]は、次式で与えられる。
M

C C

D D

[C

1]

D

…(7.3.1)

ただし、 はホールドアップ(体積分率)[－]、添字 C は連続相、D は分散相。
平均粘度 μM [kg/(m･h)]は、邪魔板の有無で場合分けされる。邪魔板有りの場合は、次式で与えられる。
C

M

1

1.5 D DC

C

[baffled]…(7.3.2)

D

邪魔板無しの場合は、次式で与えられる。
C

0.4

のとき

M

C

1

C

C

0.4

のとき

M

D
D

6 D D
C

1

[unbaffled]…(7.3.3)[unbaffled]…(7.3.4)D

1.5 C CCD

７．４

分散相のホールドアップ

混合溶液の全体積(連続相と分散相の和)に対する分散相の体積分率を表す。液滴が均一に分散されているものと仮定すると、分散相のホールドアップ D [－]は、次式で表される。
D

QD
QC QD

…(7.4.1)

次式が成り立てば液滴の分散状態は均一であり、上の仮定は正しい。
Pg ( QC

QD )1000 kg/m 2…(7.4.2)

ただし、g は重力加速度[m/h2]、P は撹拌所要動力[W]。

７．５

撹拌所要動力撹拌所要動力 P [W]は、次式で与えられる。

P Np M n3d 5…(7.5.1)

ただし、d は撹拌翼径[m]、n は撹拌速度[1/s]、Np は動力数[－]。
動力数 Np は、撹拌レイノルズ数 Re を求めて、動力特性曲線より読み取る。
Re

M nd

2

…(7.5.2)

M

9

新潟大学晶析工学研究室解説資料(撹拌槽工学)

７．６

相分散限界撹拌速度

液滴を均一に分散させるのに最低限必要な撹拌速度に相当する。
邪魔板有りの場合は、6 枚平板タービン翼に関する Skelland & Ramsay の式がある。[文献 61]

nC2 M d
g

C

2

D
d

2
D

2
M
2

0.106

d5 Mg (

0.084

)2

(baffled)[SI 単位系] …(7.6.1)

邪魔板無しの場合は、4 枚平板タービン翼に関する永田の式がある。[文献 62]
1/9

nC

6.0 D

2/3

0.26

C

(unbaffled)C[SI 単位系] …(7.6.2)

C

表 7.6.1 Skelland & Ramsay 式の定数[文献 61]
撹拌翼
プロペラ

傾斜タービン

平板タービン
円盤タービン

羽根枚数
3
3
3
6
6
6
6
6
6
6
6

７．７

液深/槽径
1
1
1
1
1
1
1
1
1/2
3/2
1

C
4.38
4.33
2.76
1.95
0.84
1.96
0.91
0.95
0.70
1.10
0.53

翼取付位置
(1/4)H(1/2)H(3/4)H(1/4)H(1/2)H(3/4)H(1/4)H(1/2)H(1/2)H(1/2)H(1/2)H

α
0.67
0.79
0.95
1.44
1.97
1.17
2.02
1.38
1.24
1.70
1.70

液液接触界面積

液体積当たりの接触界面積 a [m2/m3]は、以下の推算式で与えられる。[文献 55](4 枚平板パドル翼;

D=0～0.2)a

100 DWe0.6(1 3.75 D )d…(7.7.1)(4 枚平板パドル翼;

D=0.2～0.4)

a25.4 D 0.5We 0.6
d…(7.7.2)a

100 DWe0.6(1 9 D )d

a

212
Re
d

(6 枚平板タービン翼)(3 枚プロペラ翼)(各種の撹拌翼)a…(7.7.3)

C
C

2

0.56

d

CiWe0.5 Re0.1 D 0.84
d

0.25

Δ

0.27
C

C

D

d
DT

1.21
D

0.32

…(7.7.4)(Ci=13.65～25.9) …(7.7.5)

ウェーバー数 We は、気泡や液滴の形状や挙動に関わる無次元数であり、慣性力と界面張力の比で定義
10新潟大学晶析工学研究室解説資料(撹拌槽工学)

される。
We =

( C d 3 )(n 2 d )
d

2 3
Cn d

…(7.7.6)

ただし、σ は界面張力[N/m]。

７．８

平均液滴径

表面積基準の平均液滴径 dp [m]は、液滴を球と仮定すると、次式で与えられる。
adp

N (4 )( d p /2) 2 D
N (4 /3)(d p /2)
6 D
a

3

6 D
dp

…(7.8.1)…(7.8.2)

ただし、N は液滴数[－]。
接触界面積 a [m2/m3]が不明の場合は、次式より求める。[文献 63]
dp
d
dp
d

0.052We 0.6 e 4 D
0.39We 0.6

ただし

ただし

We

We

10, 0 00

10, 000…(7.8.3)…(7.8.4)

７．９

段効率

7.9.1 基本的な考え方
分離塔や撹拌槽など段接触型の拡散分離装置における平衡到達度を表す。棚段塔の場合、棚板一枚が分離段一段となる。撹拌槽の場合、槽一基が分離段一段となる。平衡到達度を装置全体で取る場合を総括段効率(分離塔の場合は、塔効率)、分離段一段で取る場合をたんに段効率あるいは Murphree(マーフリー)段効率、分離段上の１点(無限小区間幅)で取る場合を点効率という。
理論段数を決定する際、すべての分離段が平衡状態にあるものと仮定する。しかし、流体間の接触時
間が往々にして短く、平衡に達する前にその段を去り次の段へ移動してしまうため、設計上、理論段数
以上の段数を見積もる必要がある。たとえば、総括段効率が 0.5 であれば、一段あたりの平衡到達度は50%ということになり、100%相当の仕様とするには、理論段数の２倍の段数を見積もる必要がある(実際段数)。したがって、段効率が高いほど、より少ない段数で平衡状態相当の仕様を実現できるから、そのような装置ほど分離性能が高いと言える。なお、実際には、有限時間内での操作であること、棚段塔の場合は飛沫同伴(段上の液の飛沫が蒸気によって上の段に運ばれる現象)が避けられないことから、平衡到
達度 100%は実現不可能である。
一般に、棚段塔よりも撹拌槽の方が段効率は高い。たしかに、棚板によって完全に仕切られている訳ではなく、逆混合が起こりやすい空間で段を矢継ぎ早に移動する分離塔よりも、物理的に閉じられた空
間でしっかりと混ぜる撹拌槽の方が、一段あたりの平衡到達度は高そうである。だからと言って、棚段11新潟大学晶析工学研究室解説資料(撹拌槽工学)

塔の代わりに必要段数分の撹拌槽を導入するかと言えば、敷地面積やコストの面で難がありそうである。
7.9.2 分散相側段効率[文献 63]
撹拌槽内において、抽料相が分散相、抽剤相が連続相を形成するものとする(逆の組み合わせもある)。
いま、入口濃度 CD,in [mol/m3]の分散相と、純粋な抽剤からなる連続相が、流量 QD, QC [m3/h]で撹拌槽に連続的に供給されるものとする。一方で、出口濃度 CD,out [mol/m3]の分散相と、出口濃度 CC,out [mol/m3]の連続相が、流量 QD, QC [m3/h]で連続的に排出されるものとする。
分散相側の Murphree(マーフリー)段効率 EMD は、入口側分散相と出口側分散相における抽質濃度差の比で表される。

EMD

CD,in

CD,outCD,in(CD,out ) *…(7.9.2.1)

ただし、CD,out*は連続相側出口濃度 CC,out と平衡状態にある飽和抽質濃度[mol/m3]。
式変形すると、次式となる。

CD,in

EMD
EMD

CD,out(CD,inCD,out ) [CD,out(CD,out )*](CD,inCD,out ) [CD,out(CD,out )*]1 (CD,inCD,out ) [CD,out(CD,out )*]…(7.9.2.2)…(7.9.2.3)

濃度比(CD,in－CD,out)/(CD,out－CD,out*)を導く。定常状態における物質収支式は、次式で表される。

QD CD,in

QD CD,out

QC CC,out …(7.9.2.4)

分散相中の抽質は、連続相側へ移動するため、各相における入口側と出口側の流量は、厳密には等しくならない。ここでは、抽質濃度が希薄であるものとし、物質移動に伴う流量変化は無視する。
液液抽出速度 NA [mol/(m3･h)]は、出入口抽質濃度の差分を液体積で除して得られる。

NA

QD(CD,inVCD,out )QCCC,out…(7.9.2.5)V

容量係数を含む抽料相側の液液抽出速度 NA [mol/(m3･h)]は、次式で表される。
NA

K OR a ( C R

C R *)…(7.9.2.6)

添え字 R は、抽料相(抽残相)を表している。いま、抽料相は分散相であると定義したから、R を D に置
き換える。
NA

K OD a ( C D

C D *)…(7.9.2.7)

いま、撹拌槽内における平均濃度 CD は、近似的に出口濃度 CD,out に等しいものと見なす。このとき、撹拌槽内における平衡濃度 CD*は、出口の平衡濃度 CD,out*に等しい。
NA

K OD a ( C D,out

C D,out *)…(7.9.2.8)

最初の NA の式に代入すると、EMD の式の濃度比が導かれる。
K OD a ( C D,out

C D,out *)CD,in

CD,outCD,out(CD,out ) *K OD aV
QD

QD( C D,inV

C D,out )…(7.9.2.9)…(7.9.2.10)

EMD の式に代入する。

12

新潟大学晶析工学研究室解説資料(撹拌槽工学)EMD

K OD aV QD
1 ( K OD aV QD )…(7.9.2.11)

総括基準移動単位数 NOD は、物質移動に関わる段接触性能に相当し、次式で定義される。
dC D
CD,out C(CD,out ) *
D,out
CD,in

N OD

…(7.9.2.12)

撹拌槽型は、塔型とは異なり、接触段数１段かつ完全混合を仮定することから、上式の分母の第一項は槽内濃度の平均値を取ればよく、第二項はその平衡濃度となる。したがって、この場合の分母は、定数と見なせる。
N OD

CD,in

CD,outCD,out(CD,out ) *…(7.9.2.13)

同じ濃度比の式と比較する。
K OD aVQD

N OD…(7.9.2.14)

上式を直近の EMD の式に代入すると、移動単位数(NTU)を含む分散相側段効率 EMD を得る。
EMD

N OD
1 N OD…(7.9.2.15)

８．固液系の撹拌
晶析、溶解、吸着等の単位操作に相当する。撹拌操作は、固体粒子の浮遊化や結晶成長速度に関わる。
ここでは回分冷却晶析を例に取り上げる。

８．１

溶解度

溶液の質量分率基準溶解度 w*は、次の van’t Hoff(ファント・ホッフ)式で表される。

w
ln 1 12 w2

ΔH d 1R T1

1
T2…(8.1.1)

ただし、R は気体定数[J/(mol･K)]、 Hd は溶解モルエンタルピー[J/mol]、γ は活量係数[－]、添え字 1 と 2は温度 T1 と T2 における値。
比較的狭い温度範囲では、近似的に理想溶液条件が成り立つと見なせる(γ1, γ2≒1)。このとき、T2 と w2*を定数とし、T1 と w1*をそれぞれ変数 T と w*に置き換えると、上式は次式のように書き換えられる。

ln w* AΔH d 1
R T…(8.1.2)

lnw*を 1/T に対して点綴すると、傾きより溶解モルエンタルピー Hd を、切片より定数 A をそれぞれ求めることができる。(van’t Hoff プロット)
より簡便には、多項近似式を用いて整理する。

w* a bT cT 2…(8.1.3)

ただし、a, b, c は定数。

13

新潟大学晶析工学研究室解説資料(撹拌槽工学)

８．２

溶液密度

溶液密度 ρ は、近似的に次式で求められる。
L S
LS…(8.2.1)s

ただし、L は溶媒量[kg]、S は(固体成分としての)溶質量[kg]、ρℓ は溶媒密度、ρs は固体密度(結晶密度 ρc)。
いま、溶液基準濃度 w0 [kg-溶質/kg-溶液]の溶液が M [kg-溶液]あるとき、上式は次式のように導かれる。
M
M (1 w0 )…(8.2.2)Mw0s1（溶液基準）

1 w0…(8.2.3)w0s

ここで、溶液基準の質量分率 w0 [kg-溶質/kg-溶液]を溶媒基準の質量分率 w [kg-溶質/kg-溶媒]に変更する。
いま、溶液が 1 [kg-溶液]あるとき、溶質量は w0 [kg-溶質/kg-溶液]×1 [kg-溶液]=w0 [kg-溶質]、溶媒量は(1－w0) [kg-溶媒]となる。したがって、w0/(1－w0) [kg-溶質/kg-溶媒]が w に相当する。w= w0/(1－w0)を w0 について整理すると、次式が導かれる。

w0

w
1 w

…(8.2.4)

これを ρsoln の式に代入すると、溶媒基準濃度の溶液密度を得る。
1 w
1w（溶媒基準）…(8.2.5)

s

８．３

懸濁密度

結晶缶内の最大懸濁率(1－ε)max [－]は、空隙率 ε の定義式に基づき、操作後の母液の懸濁液体積 Vsl に対する最大結晶体積 Vc,max(種晶分と収量分の全結晶体積)の比で表される。
(1

) max

(1

)max

(1

)max

(1

)max

Vc,maxVsl…(8.3.1)

P/ c
M/
P/ c
(Ws
M/

…(8.3.2)

Pc )/ c(Ws Pc )/ c

( Pc /M )/ c
1/
( Pc /M )/ c

Pc / cM/
Pc / cP Ws +Pc , Ws…(8.3.4)

14Pc…(8.3.3)

新潟大学晶析工学研究室解説資料(撹拌槽工学)

ただし、P は１バッチあたりの結晶生産量(種晶量と結晶収量の和)[kg]、Pc は水和物または無水物の結晶
収量(Panh または Phyd)[kg]、M は操作後の母液[kg]、Ws は種晶添加量[kg]、ρ は溶液密度[kg/m3]。
一般に、(1－ε)max=0.25～0.40 の範囲で操作される。
両辺に結晶密度 ρc を乗じると、理論収量分の結晶懸濁量に相当する最大懸濁密度 MT,max [kg/m3]を得る。

M T.max

Pc /M( Pc /M )/ c1/…(8.3.5)

液量あたり結晶収量 Pc/M [kg-溶質/kg-溶液]は、物質収支式より求める。

８．４

結晶成長速度

8.4.1 質量成長速度と線成長速度
質量成長速度 Rm [kg/(m2･s)]と線成長速度 G [m/s]は、それぞれ次式で定義される。

Rm

1 dWm
Am dt

G

dL
dt

…(8.4.1.1)…(8.4.1.2)

ただし、Am は結晶表面積[m2]、L は結晶粒径[m]、Wm は結晶重量[kg]、t は時間[s]。
結晶粒子群の重量 Wm [kg]と表面積 Am [m2]は、形状係数を用いてそれぞれ次式で表される。

Wm
Am

Nc V c L3
2

Nc S L…(8.4.1.3)…(8.4.1.4)

ただし、Nc は結晶個数[#]、ΦV は体積形状係数[－]、ΦS は面積形状係数[－]、ρc は結晶密度[kg/m3]。
上式を Rm の式に代入して整理すると、次式のようになる。
1 dWm
Am dt

1

d
(N c VdNc S L t23
cL )…(8.4.1.5)

1 dWm
Am dt

V c
2
SL

dL3
dt

1 dWm
Am dt

V c
2
SL

dL3 dLdL dt…(8.4.1.7)c(3 L2 )G2…(8.4.1.8)

ΦV

1 dWm
Am dt

Rm

3

SL

V

c

G

…(8.4.1.6)…(8.4.1.9)S

上式は、質量成長速度および線成長速度の間に互換性があることを表している。[文献 64]
8.4.2 総括結晶成長速度
工学的な結晶成長過程は、溶質の物質移動過程と表面集積過程の直列モデルで表される[文献 65]。溶質の物質移動速度は、次式で表される。
Rm

kd (C Ci )…(8.4.2.1)

15

新潟大学晶析工学研究室解説資料(撹拌槽工学)

ただし、C は液本体の溶質濃度[kg/m3]、Ci は固液界面の溶質濃度[kg/m3]、kd は境膜物質移動係数[m/s]。
溶質の表面集積速度は、次式で表される。

Rmkr (Ci C*)r…(8.4.2.2)

ただし、C*は溶解度[kg/m3]、r は定数[－]。
上式のいずれを用いても質量成長速度 Rm を計算することができるが、いずれも計測困難な固液界面濃度 Ci が含まれているため、不便である。そこで、固液界面濃度 Ci を含まない総括成長速度式を以下に導く。表面集積速度式において、r=1 の場合を考える。各過程の速度式は、次式のように変形される。
Rm
kd

C Ci

…(8.4.2.3)

Rm
kr

Ci C *…(8.4.2.4)

辺々加えると、r=1 の場合の総括成長速度式を得る。

1
kr

C C*

1
1
kd

1
kr

(C

C *)

…(8.4.2.6)

Rm

KG (C C*) (r=1) …(8.4.2.7)

1
KG

1
kd

1
kr

境膜（層流域）…(8.4.2.5)

溶質濃度

Rm

1
kd

結晶

Rm

C （溶液本体）
Ci （固液界面）
C* （溶解度）

物質移動過程表面集積過程…(8.4.2.8)

距離

ただし、KG は総括成長速度係数[m/s]。
上式は、結晶成長過程の全抵抗 1/KG が物質移動抵抗 1/kd と表面集積抵抗 1/kr の和で表されることを意味する。上の導出例は、表面集積速度の次数 r が整数となる特別な場合においてである。実際の総括成長速度式は、次の実験式で整理される。

Rm KG (C C*)g…(8.4.2.9)

ただし、g は定数であり、1 から 2 の間の値をとることが経験的に知られている。[文献 64,65]
濃度差の項を質量分率基準で表す場合は、次式となる。

Rm

KG (w0 w0 *)g

Rm KG…(8.4.2.10)w
w*
1 w 1 w*g…(8.4.2.11)

ただし、ρ は溶液密度[kg/m3]、w0 は溶液基準質量分率[kg-溶質/kg-溶液]、w は溶媒基準質量分率[kg-溶質/kg-溶媒]。
成長速度式における濃度差の項を過飽和度という。回分冷却晶析の場合、溶液中の溶質濃度と溶解度が操作中に変化するため、成長速度も時間変化する。ここでは簡単のため、過飽和度の最大値と最小値の算術平均を取り、過飽和度・成長速度ともに一定値とみなす。算術平均過飽和度で表現される平均質16新潟大学晶析工学研究室解説資料(撹拌槽工学)

量成長速度 Rm,av [kg/(m2･s)]は、それぞれ次式となる。
Cmax

Rm,av

KG Cav

Cav

Rm,av

KG

w0,av

w0,av

Rm,av

KG

wav

wav

Cmin

(CF

CM ) (CM22w0,maxw0,min

(wF0

2

wF
1 wF

1
2

wM
1 wM

CM )

CM

…(8.4.2.12)2wM0 ) (wM0
2

wM
1 wM

CF

wM0 )

wF0

wM0
2

wM
1 wM

1 wF
2 1 wF…(8.4.2.13)

wM
1 wM

…(8.4.2.14)

ただし、添え字 F は初期濃度、M は最終の母液濃度(溶解度)。

８．５

境膜物質移動係数

総括成長速度係数 KG を求めるには、境膜物質移動係数 kd と表面集積速度係数 kr をそれぞれ求める必要がある。KG が求まると、質量成長速度 Rm や線成長速度 G を求めることができる。
境膜物質移動係数 kd [m/s]は、次式で表される。
kd

kd0 exp

Ed
RT(一般に、 Ed=10～20 kJ/mol [文献 66])…(8.5.1)

kd0 は温度依存項を含まない境膜物質移動係数[m/s]、R は気体定数[J/(K･mol)]、T は温度[K]、 Ed は物質移動過程の活性化エネルギー[J/mol]。
kd0 の推算には、撹拌槽内における固体粒子の溶解速度係数またはイオン交換速度係数 kL [m/s]の推算式を用いる。完全浮遊している単一球形粒子が沈降している場合の一般式は、次式で表される。
Sh = 2 + mRepαScβSh =kL d p

D

, Rep

d put

, Sc

D

…(8.5.2)

ただし、D は拡散係数[m2/s]、dp は固体粒子径[m](=結晶粒径 L)、ut は終末沈降速度[m/s]。
液相拡散係数 D の推算については、Wilke & Chang (ウイルケ－チャン)の式が知られている。[文献 58]
D

7.4 10 8( M )1/ 2 Tm

0.6[cm2/s]…(8.5.3)

ただし、M は溶媒のモル質量[g/mol]、T は温度[K]、γ は溶媒の会合度(水溶媒のとき γ=2.6)、μ は液粘度[cP](1cP=0.001 Pa･s)、 m は大気圧下の沸点における溶質の分子容[cm3/mol]であり、推算に必要な情報を別表から読み取る必要がある。ただし、別表もすべての物質に対応している訳ではない。情報を利用できない
場合は、 m を近似的に溶質のモル体積に置き換える。
レイノルズ数項を乱流理論に基づき修正する。Kolmogoroff(コルモゴロフ)によれば、最小の乱流渦に対する長さスケール η、速度スケール 、時間スケール τ は、それぞれ次式で表される。[文献 67]
1/4…(8.5.4)( )1/4…(8.5.5)17新潟大学晶析工学研究室解説資料(撹拌槽工学)
1/2…(8.5.6)
ただし、ν は動粘度(=μ/ρ)、ε は単位質量あたりのエネルギー散逸率[W/kg](あるいは[m2/s3])。
これらを Kolmogoroff のマイクロスケールという。この寸法より小さい乱流渦は、流体の粘性(摩擦)作用により熱に変換されて消滅するため、存在できない。
Kolmogoroff の仮定によれば、
距離 x 離れた 2 点間の速度スケール差 d と の比は、x と η の比に比例する。
d

p

x

m

…(8.5.7)

乱流理論に基づくレイノルズ数は、最小渦のスケール η、 、τ を用いて次式のように導かれる。
Re
Re
Re
Re
Re

Re

dx

…(8.5.8)m( x / ) p x…(8.5.9)m[ x /( 3 / )1/ 4 ] p ( )1/ 4 x…(8.5.10)m( 3 / ) p / 4 ( )1/ 4 x p 1
m ( p / 4) (1/ 4) x p 1…(8.5.12)

1 (3 p / 4) (1/ 4)m ( p 1)/ 4 x 4( p 1) / 43( p 1)/ 4

Re

m

Re

m

…(8.5.11)…(8.5.13)( p 1)/ 4

x4…(8.5.14)

3
13 43

x

3( p 1)/ 4…(8.5.15)

代表寸法 x に固体粒子径 dp をとると、粒子レイノルズ数 Rep を得る。
13

Rep

m

dp4 3

3( p 1)/4…(8.5.16)

上式を Sh の式に代入すると、乱流理論に基づく固液間物質移動式を得る。

kL dp

D

13

2 m

dp4 3

…(8.5.17)

D

Levins & Glastonbury(グラストンベリー)は、撹拌槽での固液間物質移動に Kolmogoroff 理論を適用した次式を報告している。[文献 68]

kL dp

D

1/3

2 0.5

dp4/3

0.62

1/3

D

…(8.5.18)

18

新潟大学晶析工学研究室解説資料(撹拌槽工学)

単位質量あたりのエネルギー散逸率 ε [W/kg]および撹拌所要動力 P [W]は、次式で表される。
P
V

P…(8.5.19)

N P n3 d 5…(8.5.20)

上式を固液間物質移動の一般式に代入すると、撹拌速度 n を含む相関式を得る。

kL d pD
kL d pD
kL d pD
kL d p

D
kL dp

D

2 m

2 m

2 m

2 m0

2 m0

( P / V )1 3 dp 4 3…(8.5.21)

DP1 3dp4 3
V1 3 1 3…(8.5.22)

D( Np n3d 5 )1 3 dp4 3
V1 3 1 3

D…(8.5.23)( Np n3d 5 )1 3 dp 4 3( D3 )1 3 1 3
Np1/3nd 5/3dp 4/3
D

Sh 2 m0 Re0 Sc…(8.5.25)

DRe0…(8.5.24)

D

Np1/3nd 5/3dp4/3
D

, Sc

D

…(8.5.26)

石井・藤田は、結晶の溶解実験に基づき、次式を報告している。[文献 69]

Sh 1.00 10 1 Re00.690 Sc0.5(Re0=1～100) …(8.5.27)

Sh 2.64 10 2 Re01.00 Sc0.5(Re0=100～1500) …(8.5.28)

Sh 5.49 10 1 Re00.633Sc0.5(Re0=1500～15000) …(8.5.29)

ただし、d は撹拌翼径[m]、dp は粒径[m]、D は槽径[m]、n は撹拌速度[1/s]、ν は動粘度[m2/s](=μ/ρ)。

８．６

表面集積速度係数

表面集積速度係数 kr [m/s]は、次式で表される。
kr

k r0 exp

ErRT(一般に、 Er=40～60 kJ/mol [文献 66]) …(8.6.1)

19

新潟大学晶析工学研究室解説資料(撹拌槽工学)

kr0 は温度依存項を含まない表面集積速度係数[m/s]、 Er は表面集積過程の活性化エネルギー[J/mol]。
kr の報告例は、一部に限られる。
(硫酸銅一水和物、谷本ら)

kr

4.87 107 exp

12.3 103
RT…(8.6.2)[文献 70](過塩素酸ナトリウム、城塚・豊倉)

kr

4.6 1011 exp

16.9 103
RT…(8.6.3)[文献 71](硫酸カリウム、石井・藤田)

kr

1.24 1011 exp

17.2 103
RT…(8.6.4)[文献 69]ただし、上３式の Er 項の単位は[cal/(mol･K)]、気体定数 R は 1.987 cal/(mol･K)。

８．７

撹拌所要動力

懸濁液中の撹拌所要動力 P [W]は、次式で与えられる。

Psl

Np sl n3d 5
max…(8.7.1)

(1

) max

…(8.7.2)s

ただし、d は撹拌翼径[m]、n は撹拌速度[1/s]、Np は動力数[－]、ε は懸濁率[－]、ρ は溶液密度[kg/m3]、ρsは固体密度(結晶密度 ρc)[kg/m3]、ρsl は懸濁液密度[kg/m3]。
動力数 Np は、撹拌レイノルズ数 Re を求めて、動力特性曲線より読み取る。
Re

nd 2

…(8.7.3)

懸濁液重量あたりの撹拌所要動力 ε [W/kg]は、次式で表される。
P
slV…(8.7.4)

８．８

完全浮遊撹拌速度

撹拌槽内のすべての固体粒子が槽底から離れて流動している状態を完全浮遊状態という。Zwietering(ツビータリング、ツヴァイタリング)によれば、完全浮遊撹拌速度 NJS [1/s]は、次式で与えられる。[文献 72]
N JS

S 0.10 d p 0.20 ( gΔ
d 0.85)0.45

X 0.13…(8.8.1)

ただし、d は撹拌翼径[m]、dp は粒径[m]、g は重力加速度[m/s2]、S は装置形状の幾何学的因子[－]、X は
懸濁率[－]、ν は動粘度(=μ/ρ)、 ρ は固体と液体の密度差[kg/m3]。
晶析操作の場合、上式の粒径 dp、懸濁率 X、液密度 ρ、液粘度 μ が操作中に変化する。なるべく厳しい側の条件で計算するべく、粒径を製品粒径、懸濁率を最大懸濁率(1－ε)max、液密度を最終の母液密度とする。
上式のパラメータ S は、下表を用いる。
表 8.8.1 Zwietering 式の幾何学的形状因子 S [文献 73]
J.R. Couper et al.; Chemical Process Equipment: Selection and Design 3rd Ed., (2012), 10 章
20

新潟大学晶析工学研究室解説資料(撹拌槽工学)

S
平底槽底
皿形槽底
６枚平板タービン翼
1/3
1/4
7
5.2
４枚平板パドル翼
1/3
1/4
7.5
5.6
45°傾斜パドル翼
1/3
1/4
5
4.6
３枚プロペラ翼
1/3
1/4
9
8.2
アンカー翼
0.96
0.02
7
7
ヘリカルリボン翼
0.96
0.02
7
7
C：槽底から撹拌翼までの距離(翼取付位置)、d：撹拌翼径、D：槽径
撹拌翼形状

d/D

C/D

参考文献
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新潟大学晶析工学研究室解説資料(撹拌槽工学)

74. R.H. Perry, D.W. Green; Perry’s Chemical Engineers’ Handbook 7th Ed.(1997), Section 2(Table2-120)23新潟大学晶析工学研究室解説資料(撹拌槽工学)

設計問題１
下記条件で通気撹拌槽の設計計算を行え。

d/DT
1/3

C/DT
1/3

表 撹拌槽の寸法(記号の説明は、構造設計の章に記載)
b/DT
Bw/DT
dco/DT
Dc/DT
pc/DT
H/DT
1/15
1/10
1/30
7/10
1/15
1
撹拌液の粘度 μ

np
6

nB
4
0.001 Pa･s

槽形状

平底円筒槽

槽径 DT

1200 mm撹拌液の比熱容量 Cp

4200 J/(kg･K)

撹拌翼

6 枚平板タービン翼

撹拌液の熱伝導度 k0.58 W/(m･K)

邪魔板

有

空気の粘度 μg

1.82×10－5 Pa･s

撹拌速度 n

水－空気間の界面張力 σ

完全分散撹拌速度に等しい

通気ガス
ガス供給器
通気速度 Qg/V
撹拌液
撹拌液の密度 ρ

空気の酸素分圧 pO2

空気ヘンリー定数 E

リングスパージャー

72 mN･m
0.21×105 Pa
4.44×109 Pa/モル分率

1.0 vvm

水の分子量 M18

水

重力加速度 g9.81 m/s2

1000 kg/m3※通気速度[vvm] (gas volume per liquid volume per minute)=(1 分間あたりの空気量 Qg [m3/min])÷(液体積 V[m3])。1 分間に液体積の何倍の空気が吹き込まれるかを表す。
(1)通気量 Qg [m3/s]を求めよ。
(2)フラッディング通気撹拌速度 nC [rpm]を Nienow の式より求めよ。
(3)完全分散通気撹拌速度 nCD [rpm]を Nienow の式より求めよ。
(4)通気時の撹拌所要動力 Pg [kW]を Calderbank の式より求めよ。
(5)ガスホールドアップ εg [－]を Sensel の式より求めよ。
(6)平均気泡径 dB [mm]を Calderbank の式より求めよ。
(7)液側総括容量係数 KLa [1/s]を Van’t Riet の式より求めよ。
(8)気液接触界面積 a [m2/m3]を Calderbank の式より求めよ。
(9)ガス吸収速度 NA [mol/(m3･s)]を求めよ。ただし、酸素は水に難溶であり、操作前に酸素は溶存していないものとする。
答(1)0.0226 m3/s,(2)11 rpm,(3)135 rpm,(4)0.230 kW,(5)0.0269,(6)2.56 mm,(7)0.0286 1/s,(8)0.606 m2/m3,(9)0.00752 mol/(m3･s)

24

反応装置工学講義資料(新潟大・三上貴司)

設計問題２
下記条件で抽出撹拌槽の設計計算を行え。
M(メートル)K(キロ)H(アワー)単位系で計算せよ。

d/DT
1/3

C/DT
1/3

表 撹拌槽の寸法(記号の説明は、構造設計の章に記載)
b/DT
Bw/DT
dco/DT
Dc/DT
pc/DT
H/DT
1/15
1/10
1/30
7/10
1/15
1

np
6

nB
4

槽形状

平底円筒槽

連続相粘度 μC

3.2 kg/(m･h)

槽径 DT

1200 mm

分散相密度 ρD875 kg/m3

邪魔板

有分散相粘度 μD

1.91 kg/(m･h)

界面張力 σ3.24×105 kg/h2

撹拌翼形状

6 枚平板タービン翼

撹拌速度 n相分散限界撹拌速度に等しい

連続相側質量流量 WC

50 t/h

抽質(溶質)

ジエチルアミン

分散相側質量流量 WD

60 t/h装置内の平均抽質濃度 xC

12 mol%

平衡時の抽質濃度 xC*

2 mol%

希釈剤(溶媒)

水

抽剤(抽出剤)

純トルエン

水の分子量

18

重力加速度 gトルエンの分子量92

分配係数 m

1.27×108 m/h2
0.715

連続相(C)

水相m≡(連続相中のジエチルアミン濃度)/(分散相中の分散相(D)

トルエン相

ジエチルアミン濃度) ※分子と分母を逆にして定連続相密度 ρC

1000 kg/m3

義している成書もある。

(1)分散相側ホールドアップ D [－]を求めよ。
(2)平均密度 ρM [kg/m3]と平均粘度 μM [kg/(m･h)]を求めよ。
(3)相分散限界撹拌速度 nC [rpm]を求めよ。
(4)撹拌所要動力 P [kW]を求めよ。
(5)平均滞留時間 τ [s]を求めよ。
(6)液滴接触界面積 a [m2/m3]を求めよ。表中の適用範囲は無視してよい。
(7)平均液滴径 dp [mm]を求めよ。
(8)分散相側境膜物質移動係数 kD [m/h]を求めよ。滴内流動は無視できるものとする。
(9)連続相側境膜物質移動係数 kC [m/h]を Barker & Treybal の式より求めよ。
(10)分散相側総括容量係数 KODa [1/h]を求めよ。
(11)分散相側段効率 EMD [－]を求めよ。
(12)液液抽出速度 NA [kmol/(m3･h)]を求めよ。
答(1)0.578,(2)928 kg/m3,(3)120 rpm,(4)0.454 kW,(5)41.2 s,(6)5929 m2/m3,(7)0.389 mm,(8)0.150 m/h,(9)0.200
m/h,(10)434 1/h,(11)0.896,(12)60.7 kmol/(m3･h)25

反応装置工学講義資料(新潟大・三上貴司)

設計問題３
下記条件で晶析撹拌槽の設計計算を行え。

d/DT
1/3

表 撹拌槽の寸法(記号の説明は、構造設計の章に記載)
b/DT
Bw/DT
dco/DT
Dc/DT
pc/DT
H/DT
1/15
1/10
1/30
7/10
1/15
1

C/DT
1/4

np
3

nB
4

槽形状

平底円筒槽

最終温度 Tf

25℃

槽径 DT

1200 mm

原料濃度 wF

初期温度の溶解度撹拌翼

3 枚プロペラ翼

母液濃度 wM

最終温度の溶解度

邪魔板

有

0.25

最大懸濁密度(1－ε)max

0.578 kg-溶質/kg-溶液

撹拌速度 n完全浮遊撹拌速度の 1.5 倍

液量あたり結晶収量 Pc/M

溶質

硫酸ｶﾘｳﾑｱﾙﾐﾆｳﾑ 12 水和物

溶液密度 ρ

最終温度の母液密度に等しい

溶液粘度 μ0.001 Pa･s

溶質の分子量(AlK(SO4)2･12H2O)

474
1760 kg/m3

結晶密度 ρc

結晶粒径 dp (Zwietering 式)

最終粒径に等しい

体積形状係数 ΦV

0.471(正八面体)

粒子懸濁率 X (Zwietering 式) 最大懸濁率に等しい

面積形状係数 ΦS

3.46(正八面体)

重力加速度 g

初期結晶粒径 Ls

0.1 mm液温 T(Wilke 式)

初期と最終の算術平均

最終結晶粒径 Lp

1.0 mm

分子容 m(Wilke 式)

溶質のモル体積[cm3/mol]

9.81 m/s2

溶媒水

結晶粒径 dp (物質移動式)

溶媒の分子量18

気体定数 R

溶媒密度 ρℓ1000 kg/m3

初期温度 T0

65℃

初期と最終の算術平均
8.314 J/(mol･K)

物質移動の活性化エネルギー Ed

15000 J/mol

成長速度式のべき数 g

1

付表１ カリミョウバン 12 水の溶解度データ[文献 74]R.H. Perry, D.W. Green; Perry’s Chemical Engineers’ Handbook 7th Ed.(1997), Table2-120
T [℃]w*[kg-溶質/kg-水]

0
0.03

10
0.04

20
0.059

30
0.084

40
0.117

1.2

60
0.2475

70
0.4

0.5

カリミョウバン

0

1

-0.5

0.8

80
0.71

90
1.09

カリミョウバンy = -6075.4x + 16.826 (60～90℃)

-1
lnw*

w*

50
0.17

0.6
0.4

-1.5
-2
-2.5
-3

0.2

-3.5

0
0

10

20

30

40

50 60
T [℃]

70

80

90

-4
0.0027100

y = -3082.8x + 7.7156 (0～50℃)

0.00290.00310.0033

1/T [1/K]

付図１ カリミョウバン 12 水の溶解度データ
260.00350.0037

反応装置工学講義資料(新潟大・三上貴司)(1)溶液密度 ρ [kg/m3]を求めよ。
(2)最大懸濁率(1－ε)max [－]を求めよ。
(3)懸濁液密度 ρsl [kg/m3]を求めよ。
(4)完全浮遊撹拌速度 NJS [rpm]を求めよ。
(5)液重量あたりの撹拌所要動力 ε [W/kg]を求めよ。
(6)境膜物質移動係数 kd [m/s]を Levins & Glastonbury の式より求めよ。
(7)平均質量成長速度 Rm,av [kg/(m2･s)]を求めよ。Rm,av は濃度差の１乗に比例し、拡散律速を仮定する。
(8)平均線成長速度 Gav [m/s]を求めよ。
答 (1)1030 kg/m3,(2)0.253,(3)1214 kg/m3,(4)148 rpm,(5)0.191 W/kg,(6)1.69×10-7 m/s,(7) 1.52×10-5 kg/(m2 ･s),(8)2.11×10-8 m/s
単位換算
1 in（インチ）=2.54 cm
1 ft（フィート）=12 in=0.3048 m
1 lb（ポンド）=0.4536 kg
1 gal（ガロン）=0.004546 m3
1 lb/ft3（ポンド毎立方フィート）=16.02 kg/m3
1 cP（センチポアズ）=0.0006720 lb/(ft･s)=0.001 Pa･s
1 dyn/cm（ダイン毎センチ）=1 mN/m ※表面張力の単位。dyn は、力の単位。

27

反応装置工学講義資料(新潟大・三上貴司)

解答１(1)H=(H/DT)DT=(1)(1200)mm=1.2 m
V=π(DT/2)2H=π(1.2/2)2(1.2)=1.3571 m3
Qg=(Qg/V)1/minVm3=(1.0)(1.3571)=(1.3571)m3/min(1/60)min/s=0.022618 m3/s≒0.0226 m3/s(2)d=(d/DT)DT=(1/3)(1200) mm=400 mm=0.400 m
Qg/nCd3=(30)(DT/d)3.5(nC2d/g)(Qg/d4)(d/DT)3.5g/30=nC3
nC=[{(0.022618)/(0.400)4}(1/3)3.5(9.81)/(30)]1/3(60)s/min=11.009 rpm≒11 rpm(3)Qg/nCDd3=(0.2)(DT/d)0.5(nCD2d/g)0.5(Qg/d3.5)(d/DT)0.5g0.5/0.2=nCD2
nCD=[{(0.022618)/(0.400)3.5}(1/3)0.5(9.81)0.5/(0.2)]1/2=(2.2477)1/s(60)s/min=134.86 rpm≒135 rpm(4)Re=ρnd2/μ=(1000)(2.2477)(0.400)2/(0.001)=359632(乱流)。動力特性曲線 6 を読み取ると Np≒6。
P0= Npρn3d5=(6)(1000)(2.2477)3(0.400)5=697.69 W
NA=Qg/nd3=(0.022618)/{(2.2477)(0.400)3}=0.15723(>0.035)
Pg/P0=0.62－1.85NA=0.62－(1.85)(0.15723)=0.32912
Pg=0.32912P0=(0.32912)(697.69)=229.62 W≒0.230 kW(5)NA=Qg/nd3=(0.022618)/{(2.2477)(0.400)3}=0.15723
Fr=n2d/g=(2.2477)2(0.400)/(9.81)=0.20600
Re=ρnd2/μ=(1000)(2.2477)(0.400)2/(0.001)=359632
εg=0.105NAFr0.5Re0.1=(0.105)(0.15723)(0.20600)0.5(359632)0.1=0.026930≒0.0269(2.69%)(6)dB=(4.15)[σ0.6/{(Pg/V)0.4ρ0.2}]εg0.5(μg/μ)0.25+0.0009
dB=(4.15)[(0.072)0.6/{(229.62/1.3571)0.4(1000)0.2}](0.026930)0.5(0.0000182/0.001)0.25+0.0009
dB=0.0025642 m≒2.56 mm(7)Pg/V=229.62/1.3571=169.19 W/m3
Ug=Qg/ST=0.022618/{π(1.2/2)2}=0.019998 m/s
KLa=0.026(Pg/V)0.4Ug0.5=(0.026)(169.19)0.4(0.019998)0.5=0.028629 s-1≒0.0286 s-1(8)a=0.55(Pg/V)0.4Ug0.5=(0.55)(169.19)0.4(0.019998)0.5=0.60562 m2/m3≒0.606 m2/m3(9)CT [mol/m3]=溶存酸素濃度 CO2＋CH2O
酸素は水に難溶であることから CO2<<CH2O
CT≒CH2O=ρ/M=1000/(18×10－3)=5.556×104 mol/m3
H=E/CT=(4.44×109)/(5.556×104)=79913
C*=p/H=0.21×105/79913=0.26278 mol/m3
操作前に酸素は溶存していないので C=0
NV=KLa(C*－C)=(0.028629)(0.26278－0)=0.0075231 mol/(m3･s)≒0.00752 mol/(m3･s)

28

反応装置工学講義資料(新潟大・三上貴司)

解答２(1) D=QD/(QC+QD)=(60×103/875)/{(50×103/1000)+(60×103/875)}=0.57831≒0.578(2)ρM=ρC C+ρD D=(1000)(1－0.57831)+(875)(0.57831)=927.71≒928 kg/m3
μM=(μC/ C)[1+1.5μD D/(μC+μD)]=[3.2/(1－0.57831)][1+(1.5)(1.91)(0.57831)/(3.2+1.91)]=10.049≒10.0 kg/m/h(3)σ=(3.24×105)kg/h2(1/36002)h2/s2=0.025 kg/s2
g=(1.27×108)m/h2(1/36002)h2/s2=9.7993 m/s2
μM=(10.049)kg/(m･h)(1/3600)h/s=0.0027913 kg/(m･s)Ga=d3ρMgΔρ/μM2=(0.400m)3(927.71)kg/m3(9.7993)m2/s(125)kg/m3/(0.0027913 kg/(m･s))2=9.3343×109≒9.33×109
Bo=d2gΔρ/σ=(0.400m)2(9.7993)m2/s(125)kg/m3/(0.025)kg/s2=7839.4≒7839
nC2ρMd/(gΔρ)=C2(DT/d)2α D0.106(Ga･Bo)－0.084
nC2=C2(DT/d)2α D0.106(Ga･Bo)－0.084{gΔρ/(ρMd)}
nC2=(0.95)2(3)(2)(1.38)(0.57831)0.106{(9.3343×109)(7839.4)}－0.084[(9.7993)m2/s(125)kg/m3/{(927.71) kg/m3(0.400)m}]=3.9913nC=3.99130.5=(1.9978)1/s(60)s/min=119.86 rpm≒120 rpm(4)Re=ρMnd2/μM=(927.71)(1.9978)(0.400)2/(0.0027913)=106237 動力特性曲線より Np≒6
PV=NPρMn3d5=(6)(927.71)(1.9978)3(0.400)5=454.48 W=0.454 kW(5)V=π(DT/2)2H=π(1.2/2)2(1.2)=1.3571 m3
τ=V/(QC+QD)=1.3571/{(50×103/1000)+(60×103/875)}=0.011445 h=41.202 s≒41.2 s(6)We=ρCn2d3/σ=(1000)(1.9978)2(0.400)3/0.025=10217
a=100 DWe0.6/(1+9 D)d=(100)(0.57831)(10217)0.6/[{1+(9)(0.57831)}(0.400)]=5928.8 m2/m3=5929 m2/m3(7)dp=6 D/a=(6)(0.57831)/5928.8=0.00038861 m≒0.389 mm(8)μ=(1.91)kg/(m･h)(1/3600)h/s=(5.3055×10－4)Pa･s(1/0.001)cP/Pa･s=0.53055 cP

DD=(7.4×10-8)(γM)0.5T/(μM m0.6)=(7.4×10－8){(1.0)(92)}0.5(298.15)/{(0.53055)(108.2)0.6}
DD=(2.4004×10－5)cm2/s(10－4)m2/cm2(3600)s/h=8.6414×10－6 m2/h
kD=(dp/6τ)ln[1/[1－{1－exp(－4π2)DDτ/dp2}0.5]]kD=[(0.00038861)/{(6)(0.011445)}]ln[1/[1－[1－exp{(－4π2)(8.6414×10-6)(0.011445)/(0.00038861)2}]0.5]]
kD=(0.0056590)ln[1/[1－{1－exp(－25.854)}0.5]]=0.15024 m/h≒0.150 m/h(9)ジエチルアミン(C2H5－NH－C2H5)

m=(2){(2)(14.8)+(5)(3.7)}+12.0=108.2

μ=(3.2)kg/(m･h)(1/3600)h/s=(8.8888×10－4)Pa･s(1/0.001)cP/Pa･s=0.88888 cP

DC=(7.4×10-8)(γM)0.5T/(μM m0.6)=(7.4×10－8){(2.6)(18)}0.5(298.15)/{(0.88888)(108.2)0.6}
DC=(1.0219×10－5)cm2/s(10－4)m2/cm2(3600)s/h=3.6788×10－6 m2/h
Re=ρCnd2/μC=(1000)kg/m3(1.9978)1/s(3600)s/h(0.400m)2/3.2kg/m･h=359604
Sc=μC/(ρCDC)=3.2/{(1000)(3.6788×10－6)}=869.84
Sh=0.052Re0.833Sc0.5=(0.052)(359604)0.833(869.84)0.5=65121
kC=Sh(DC/DT)=(65121)(3.6788×10－6/1.2)=0.19963 m/h≒0.200 m/h(10)抽料相(R)の添え字を連続相(C)に、抽剤相(E)の添え字を分散相(D)に置き換える。
1/KOEa=1/mkRa+1/kEa
29反応装置工学講義資料(新潟大・三上貴司)

KOD=1/[1/(mkC)+1/kD]=1/[1/{(0.715)(0.19963)}+1/0.15024]=0.073195 m/h
KODa=(0.073195)m/h(5928.8)m2/m3=433.95 h－1≒434 h-1(11)NOD=(KODa)V/QD=(433.95)1/h(1.3571)m3/(60×103/875)m3/h=8.5883
EMD=NOD/(1+ NOD)
EMD=8.5883/(1+8.5883)=0.89570≒0.896(12)1/KORa=(1/kRa)+(m/kEa)
1/KOC=(1/kC)+(m/kD)
KOC=1/[(1/0.19963)+(0.715/0.15024)]=0.10237
KOCa=(0.10237)(5928.8)=606.93 1/h
NA=KORa(CR－CR*)=KOCa(CC－CC*)=(KOCa)ρC(xC－xC*)=(606.93)(1000)(0.12－0.02)=60.693 kmol/(m3･h)≒60.7 kmol/(m3･h)30

反応装置工学講義資料(新潟大・三上貴司)

解答３(1)lnwM=(－3082.8)/(273.15+25)+7.7156=－2.6241
wM= e－2.6241=0.072504 kg-溶質/kg-溶媒
ρ=(1+wM)/{(1/ρL)+(wM/ρS)}=(1+0.072504)/{(1/1000)+(0.072504/1760)}=1030.0 kg/m3≒1030 kg/m3(2)(1－ε)max ={(Phyd/M)/ρc}/{(1/ρ)+(Phyd/M)/ρc}=(0.578/1760)/{(1/1030.0)+(0.578/1760)}=0.25276≒0.253(3)ρsl=εmaxρ+(1－ε)maxρs=(1－0.25276)(1030)+(0.25276)(1760)=1214.5 kg/m3≒1214 kg/m3(4)S=9ν=μ/ρ=0.001/1030=9.7087×10－7 m2/s
d=(d/DT)(DT)=(1/3)(1200)=400 mm=0.400 m
NJS=Sν0.1dp0.2(g ρ/ρ)0.45X0.13/d0.85=Sν0.1Lp0.2{g(ρc－ρ)/ρ}0.45(1－ε)max0.13/d0.85
NJS=(9)(0.001/1030)0.1(0.001)0.2{(9.81)(1760－1030)/1030}0.45(0.25)0.13/(0.400)0.85
NJS=(2.4655)1/s(60)s/min=147.93 1/min≒148 rpm(5)n=1.5NJS=(1.5)(2.4655)=3.6982
V=π(DT/2)2H=π(1.2/2)2(1.2)=1.3571 m3
Re=ρnd2/μ=(1030)(3.6982)(0.400)2/0.001=609463≒6.09×105
Np=0.5
P=NPρsln3d5=(0.5)(1214.5)(3.6982)3(0.400)5=314.51 W
ε=P/(ρslV)=314.51/{(1214.5)(1.3571)}=0.19082 W/kg≒0.191 W/kg
(6)Tav={(273.15+65)+(273.15+25)}/2=318.15 K

D=(7.4×10-8)(γM)0.5Tav/(μ m0.6)
D=(7.4×10-8){(2.6)(18)}0.5(318.15)/[(1)cP{474/(1760×10－3)g/cm3}0.6]=5.6082×10-6 cm2/s=5.6082×10-10 m2/s
dp=(0.0001+0.001)/2=5.5×10-4 m
ν=μ/ρ=0.001/1030.0=9.7087×10－7 m2/s
ε=0.19082 W/kg
Re=ε1/3dp4/3/ν=(0.19082)1/3(5.5×10-4)4/3/9.7087×10－7 =26.721
Sc=ν/D=(9.7087×10－7)/(5.6082×10－10)=1731.1
Sh=2+0.5Re0.62Sc1/3=2+(0.5)(26.721)0.62(1731.1)1/3=48.031
kd0=(Sh)(D/dp)=(48.031){5.6082×10－10/(5.5×10－4)}=4.8975×10－5 m/s
kd=kd0exp{－ Ed/(RTav)}=(4.8975×10－5)exp[－(15000)/{(8.314)(318.15)}]=1.6871×10－7 m/s≒1.69×10-7 m/s(7)KG=kd=1.6871×10－7 m/s
wF=0.31965 kg-溶質/kg-溶媒
wM=0.072504 kg-溶質/kg-溶媒
wav=[{wF/(1+wF)}－{wM/(1+wM)}]/2=[{0.31965/(1+0.31965)}－{0.072504/(1+0.072504)}]/2=0.087310
Rm,av=KGρ wav=(1.6871×10－7)(1030.0)(0.087310)=1.5171×10－5 kg/(m2･s)≒1.52×10－5 kg/(m2･s)(8)Gav=Rm,av/{3(ΦVρc/ΦS)}=(1.5171×10－5)/{(3)(0.471)(1760)/3.46}=2.1107×10－8≒2.11×10－8 m/s

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反応装置工学講義資料(新潟大・三上貴司)

令和 2 年 1 月 9 日作成
令和 2 年 1 月 10 日改訂
令和 2 年 1 月 29 日改訂
令和 2 年 2 月 6 日改訂
令和 3 年 1 月 27 日改訂
令和 3 年 1 月 28 日改訂
令和 3 年 2 月 25 日改訂

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