東海第二発電所 工事計画審査資料
資料番号

工認-673 R0

提出年月日

平成30年6月28日

NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0

Ｖ-5-41 計算機プログラム（解析コード）の概要・ＦＲＥＭＩＮＧ

目次

NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0

はじめに

1

使用状況一覧

2

解析コードの概要

3

FREMINGの解析手法について

4

一般事項

4

解析コードの特徴

4

解析理論

5

解析フローチャート25

検証（Verification）及び妥当性確認（Validation）

26

はじめに
本資料は，添付書類において用いた解析コードFREMINGについて説明するものである。
本解析コードを用いた添付書類を示す使用状況一覧に，解析コードの概要を以降にそれぞれ記NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0

載する。

1

使用状況一覧

使用添付書類

バージョン

Ⅴ-2-2-35

緊急用海水ポンプピットの耐震性についての計算書

Ver. 14.1B

Ⅴ-2-2-39-2

防潮堤（鉄筋コンクリート防潮壁（放水路エリア））の Ver. 14.1B
耐震性についての計算書

Ⅴ-3-別添3-2-1-2- 防潮堤（鉄筋コンクリート防潮壁（放水路エリア））の Ver. 14.1B
強度計算書

Ⅴ-3-別添3-2-9

貯留堰の強度計算書

Ver. 14.1B

NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0

22

解析コードの概要
コード名
項目

FREMING

使用目的

平面骨組解析（断面力算出）

開発機関

富士通エフ・アイ・ピー株式会社

開発時期

1995年

使用したバージョン

Ver. 14.1B

コードの概要富士通エフ・アイ・ピー株式会社によって開発された，平面骨組構造解析の汎用市販コードである。
本解析コードは，２次元面内平面骨組計算プログラムであり，平面構造物にモデル化できる構造物はすべて計算が可能である。
適用範囲として，橋梁，鉄塔，トンネル，及び共同溝などの土木構造物から，ビル，建屋など建築構造物の設計計算に利用可能である。
また，面内荷重及び面外荷重において，線形及び非線形解析が可能でNT2 補③ Ⅴ-5-41 R0ある。
FREMING Ver. 14.1Bは，緊急用海水ポンプピット及び防潮堤（鉄筋コンクリート防潮壁（放水路エリア））並びに貯留堰の平面骨組解析（断面力算出）に用いている。
【検証（Verification）】
本解析コードの検証内容は，次の通りである。
・材料力学分野における一般的知見によって解を求めることができる体系について，２次元骨組解析モデルによる解析解（断面力）と検証（Verification）
及び妥当性確認（Validation）

理論解と比較し，解析解が理論解と一致することを確認している。
・本解析コードの運用環境について，開発機関から提示された要件を満足していることを確認している。
【妥当性確認（Validation）】
本解析コードの妥当性確認の内容は，次の通りである。
・本解析コードは，国内の土木建築分野における使用実績を有しており，妥当性は十分に確認されている。
・本解析コードによる解析結果と，類似解析コードFRAME（面内）の解析結果を比較し，双方の解が一致することを確認している。
・今回の工認申請で実施する骨組解析モデルによる断面力算出の用途，及び適用範囲が，上述の妥当性確認の範囲内にあることを確認している。

3

FREMINGの解析手法について一般事項
本解析コードは，平面骨組解析用の解析コードである。今回は，緊急用海水ポンプピット及び防潮堤（鉄筋コンクリート防潮壁（放水路エリア））並びに貯留堰の骨組解析モデルの静的解析に用いている。

解析コードの特徴
FREMINGの主な特徴を以下に示す。
① バイリニア，トリリニアの材料非線形性を考慮可能である。
② RC矩形断面に対応したM―φ曲線のひび割れ等を計算するはり要素を設定可能である。
③ 荷重モデルでは，分布荷重，及び集中荷重を考慮することができる。

NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0④ 地中構造物の耐震設計法として応答変位法に基づいて入力することができる。

4

解析理論
解析理論を以下に示す。
3.3.1 座標系
基準座標系
基準座標系は，解析すべき骨組構造物を定義する座標系であり，・Ｙ軸 ：鉛直上向きを正・Ｘ軸 ：Ｙ軸と直交する直線の右方向を正NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0とする。

図3－1 基準座標系
部材座標系
部材座標系は，構造物を構成する各部材にそれぞれ設定する。梁部材は，・ｘ軸 ：部材を構成する節点ｉ‐ｊのｉからｊへ向かう方向を正・ｙ軸 ：ｘ軸をｉ端基点で反時計廻り90°の方向を正とする。

図3－2 梁部材座標系

5バネ部材は，傾斜角を設定しない場合に基準座標系と一致する。
傾斜角を設定する場合は時計廻りの方向を正として設定する。

図3－3 バネ部材座標系

傾斜座標系
傾斜座標系は，傾斜支点に設定する。
設定方法は，入力データにおいて傾斜角（基準座標系に対して反時計廻りを正とした角NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0度）を指示することにより行う。

図3－4 傾斜座標系63.3.2 要素剛性
(1) 材端変位，材端力
断面形状が一定の部材の力と変位の関係を式で表すと式（3.1）のようになる。
（3.1）

材端力

（3.2）

NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0

材端変位

（3.3）

ただし，Ｎｉ， Ｎｊ ：ｘ軸方向（軸力），ｘ軸廻りモーメント（ねじりモーメント）

Ｓｉ， Ｓｊ ：ｙ軸方向（せん断力），ｚ軸廻りモーメント（せん断力）

Ｍｉ， Ｍｊ ：ｚ軸廻りのモーメント（曲げモーメント），ｙ軸廻りのモーメント（曲げモーメント）ｕｉ， ｕｊ ：ｘ軸方向の変位ｖｉ， ｖｊ ：ｙ軸方向の変位θｉ， θｊ ：ｚ軸廻りの回転角

7

(2) 梁要素
梁要素の要素剛性マトリックスを式（3.4）のように示す。

（3.4）

面外は下線部分がＧＪ／Ｌとなる。
ただし，
Ｅ ：弾性係数 （kN/m2）
Ｇ ：せん弾性係数 （kN/m2）
Ａ ：断面積（m2)Ｉ ：ｚ軸（ｙ軸）廻り断面二次モーメント（m4)NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0

Ｊ ：ねじり定数（m4）8

(3) スカラーバネ要素
スカラーバネ要素は，２節点間の節点成分ごとの結合が可能な要素である。たとえば，節点Ｉのｘ方向成分と，節点Ｊのｘ方向成分をスカラーバネ要素で結合できる。スカラーバネ要素は，かけられた外力に比例して変位する。
スカラーバネ要素を使用すると対応する剛性行列は，結合する自由度をｉとｊとすると，式（3.5）のようになる。

（3.5）

ただし，

NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0

ｋ：バネ値（並進：（kN/m），回転：（kN･m/rad.））(4) 初期張力（幾何剛性）
梁要素の初期張力（Ｆ）を考慮する場合，式（3.6）に示す剛性マトリックスｓを要素剛性マトリックスｋ に付加する。

（3.6）

ただし，
Ｆ：初期張力（kN）

Ｌ：梁の部材長（m)9(5) 弾性支承上梁
部材軸方向部材軸方向に力を受ける弾性支承上梁の剛性マトリックスを式（3.7）に，荷重項を式（3.8）に示す。
（3.7）

（3.8）

NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0

ただし，
Ｅ：弾性係数（kN/m2）

Ａ：断面積（m2)

Ｌ：部材長（m)Ｐ(ｘ)：分布荷重値（kN/m）

ω：

ｋ：地盤反力係数（kN/m2）

注）面外解析では，考慮されない。

10

部材軸直交方向部材軸直交方向に力を受ける弾性支承上梁の剛性マトリックスを式（3.9）に，荷重項を式（3.10）に示す。

NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0（3.9）（3.10）
ただし，・ｃｈ＝ｃｏｓｈ(βＬ)
・ｓｈ＝ｓｉｎｈ(βＬ)
・ｓ＝ｓｉｎ(βＬ)
・Ｅ：弾性係数（kN/m2）

・Ｉ：断面二次モーメント（m４)・Ｌ：部材長（m)・ｋ：地盤反力係数（kN/m2）・Ｐ(ｘ)：分布荷重値（kN/m）

11

3.3.3 全体剛性(1) 座標変換
部材座標系（ｘ，ｙ）と基準座標系（Ｘ，Ｙ）の座標変換マトリックスを［Ｔｅ］とすると，次式が成り立つ。

（3.11）

ここに，（3.12）

Ｌｉｊ：方向余弦式（3.12）を用いることにより，基準座標系での剛性マトリックス［ｋ］が求められNT2 補③ Ⅴ-5-41 R0る。
まず，基準座標系での変位ベクトルを｛ｄ｝，断面力を｛ｆ｝とすると，次式が成り立つ。
（3.13）（3.14）
ここに（3.15）

式（3.1）に，（3.13），（3.14）を代入すると（3.16）
すなわち，基準座標系に関する剛性マトリックスは，式（3.17）で表す。
（3.17）

12

(2) 傾斜座標変換
基準座標系（Ｘ，Ｙ）と傾斜座標系（Ｘ’，Ｙ’）の座標変換マトリックスを［Ｔｅ’］とすると，次式が成り立つ。

（3.18）
ここに（3.19）
α＝傾斜角
図3－5 傾斜座標系
式（3.18）を用いることにより，傾斜座標系での剛性マトリックス［ｋ’］が求められる。

NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0

まず，傾斜座標系での変位ベクトルを｛ｄ’｝，断面力を｛ｆ’｝とすると，次式が成り立つ。
（3.20）（3.21）（3.22）
式（3.16）に，式（3.20），式（3.21）を代入すると（3.23）
すなわち，傾斜座標系に関する剛性マトリックスは，式（3.24）で表す。
（3.24）

13

(3) 全体剛性マトリックス
構造物全体の｛Ｕ｝と力｛Ｆ｝を関連づける剛性方程式は，式（3.25）にて表す。
（3.25）
ここで，［Ｋ］：全体剛性マトリックス
この全体剛性マトリックスは，各部材ごとで求めた剛性マトリックスを重ね合わせるこ

NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0とにより求められる。

14

3.3.4 荷重(1) 等価節点力a.

全面等分布荷重

表3－1 満載分布荷重

NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0b.

全面不等分布荷重

表3－2 直線分布荷重

15c.

部分等分布荷重

表3－3 等分布荷重

集中荷重

NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0d.

表3－4 集中荷重e.

集中モーメント荷重

表3－5 集中モーメント荷重

16f.

温度上昇

表3－6 温度荷重

注）面外解析では考慮されない。

NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0

ただし，α：線膨張係数

Ｅ：弾性係数（kN/m2）

Ａ：断面積（m2)

Ｉ：断面二次モーメント（m4)ｈ：断面高さ（m)ｔ１ ：上面温度（℃）

ｔ２ ：下面温度（℃）

17(2) 支点移動
図3－6のように，支点のあるものが移動した場合，次式が成り立つ。
（3.26）

ここで，Ｋ１１ ：構造物の全体剛性マトリックス
Ｋ１２ ：支点移動を起こした方向のバネ定数を含む全体剛性マトリックスの列の要素
Ｋ２１ ：Ｋ１２Ｋ２２ ：支点移動を起こした方向のバネ定数
Ｕ０：支点の移動量

Ｒ０：支点移動の作用外力

図3－6 支点移動のある場合

式（3.26）を展開し，支点移動を起こした方向のバネ定数を含む全体剛性マトリックス

NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0の列の要素に移動量をかけ，符号を変えて右辺に廻し荷重項とする。

（3.27）（3.28）
いま，Ｋ１１→［Ｋ］，Ｕ→｛Ｕ｝，－Ｋ１2・Ｕ０→｛Ｆ｝とすれば，式（3.28）は式（3.25）となる。

18

3.3.5 連立方程式の解法(1) コレスキー分解式（3.25）にて表される連立方程式をＣｈｏｌｅｓｋｙ法で解き，節点の変位を求められる。
ここでは，以下のように剛性マトリックスをＬＤＬＴ分解して解く。

（3.29）(2) ノーテンション解析

NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0

バネの非線形解析（ＮＯ－ＴＥＮＳＩＯＮ）
一般に，壁体の移動による土圧の変化は，下図に示すような非線形性を示す。

図3－7 土圧変化図
上図は，地中構造物が荷重を受けて変化しても，その変位がある一定以上になれば，土圧は変化しないことを示す。
本システムでは，節点に集中バネを配置し，静止土圧を基準としたところからのバネの反力（土圧増減量）を求めることができる。

19

処理手順
①各節点の変位δを求める。
②極限値のチェックを行う。
（イ） Ｐｌ≦Ｋ（δ－δＧ）≦Ｐｕのとき，何も行わない。
（ロ）

Ｋ（δ－δＧ）＜Ｐｌのとき，Ｋ＝0.0とし，極限でおさえたバネ反力を荷重項に加える。

（ハ）Ｋ（δ－δＧ）＞Ｐｕのとき，Ｋ＝0.0とし，極限でおさえたバネ反力を荷重項に加える。

③収束判定（イ） 一つでもバネがクリアーされていれば，①へ戻る。
（ロ） すべての非線形バネが変化しなかった場合は処理終了。

NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0（ハ） すべての非線形バネがクリアーされた場合は処理中断。

20

(3) 応答変位法解析
骨組モデルを用いる応答変位法は，地震時に生じる地下構造物の応力を，地盤の変位を構造物に与えることによって静的に計算しようとする耐震設計法であり，当初線状地下構造物が地震によって軸直角方向に曲がったり，軸方向に伸びたり縮んだりする横断方向の動きに対する耐震計算法として用いられていた。
その後，比較的規模の大きい地下構造物や線状地下構造物の横断方向の耐震設計法として震度法に代わって用いられるようになった。
骨組モデルによる応答変位法の解析手順として① 地震時の地盤変位，地盤剛性，せん断応力，加速度などを算出する。
② 骨組モデルを作成する。
③ 地盤剛性を用い地盤バネを算定する。
④ 地震時荷重を算定する。
⑤ 骨組モデルに地震時荷重を載荷して，地震による断面力を求める。

NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0⑥ を定式化すると以下のとおりに表すことができる。
（3.30）
ただし，
ＫＳＳ：構造物の剛性，地盤～構造物間バネから成る剛性マトリックス

ＫＳＧ，ＫＧＳ：地盤～構造物間バネから成る剛性マトリックス

ＫＧＧ：地盤～構造物間バネを対角項にもつ剛性マトリックス

ｕＳ：構造物の変位ベクトルｕＧ：地盤の変位ベクトルＦＳ：構造物の外力ベクトル

ＦＧ：地盤の外力ベクトル

いま，この構造系には外力が作用しないとした場合，ＦＳ＝ＦＧ＝０
地盤変位ｕＧは既知であるから，（3.31）（3.32）
式（3.32）より，構造物の変位を求めることができる。

21

(4) 部材断面力，支点反力（3.33）
ここで，｛ｆ｝：部材断面力｛Ｕ｝：

基準座標系での節点変位

［ｋ ］

：

部材剛性マトリックス［Ｔ］：

座標変換マトリックス｛Ｐｅ｝ ：

内力（等分布荷重を受ける場合）

NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0

また，支点反力は，支点を構成する部材の断面力及び部材の重量を考慮して求める。

22

(5) 静的非線形解析
解析モデルを増分法で表すと次式のようになる。
ただし，増分Δは，荷重増分ピッチ内の計算を意味する。
（3.34）
ここで，Ｋ：荷重増分における構造物の剛性マトリックス

Δｕ ：構造物の変位増分
ΔＦ ：外力増分式（3.34）を解くことにより，応答変位増分Δｕを求めることができる。しかし，外力増分ΔＦにおいて剛性Ｋが変化した場合，構造系には不平衡力ΔＦｒが生じることにな

NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0る。

図3－8 力と変位の関係（3.35）
ここで，（3.36）~
Ｋ：修正された剛性マトリックス

ΔＦｒ ：不平衡力~
ΔＦ ：構造系内で実際に作用している外力増分による力
この不平衡力ΔＦｒを消去するために式（3.37）を用いて同様な計算をし，変位誤差が十分小さくなるまで繰り返し行い，誤差を消去していく。
（3.37）
ここで，~Δｕ ：不平衡力ΔＦｒに相当する構造物変位増分23~

このようにして求めたΔｕ を累積し，構造物変位を求める。
（3.38）＜不平衡力（ΔＦｒ）計算時バネ値＞

NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0

図3－9 力と変位の関係~式(3.36)で定義している Ｋ は，バネが変化した時の不平衡力(ΔＦｒ)を求めるための剛性である。
その時のバネ値Ｋ(α)を次のように定義する。

（3.39）（3.40）

24

NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0

解析フローチャート
解析フローチャートを以下に示す。

図3－10 解析フローチャート

25

検証（Verification）及び妥当性確認（Validation）
本解析コードを今回の解析に用いるに当たり，検証として構造力学公式集（土木学会，1994）による理論解との比較を，また，妥当性確認として類似解析コードとの比較を実施した。その詳細な内容については以下のとおりとする。
3.5.1 検証（Verification）
単純はりを対象として，構造力学公式集に基づいた断面力及びたわみを算出し，FREMINGとの解析結果を比較することで検証を行った。その結果，構造力学公式集による理論値と本解
析コードの解析結果は一致した。
(1) 単純はりの概要

L=10 mのスパンに設置した支点上にH型鋼材（H-300×300×10×15）の単純はりを仮定する。作用荷重は，鉛直方向にw=10 kN/mの等分布荷重が載荷された状態を想定する。

NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0

なお，境界条件は，ピン支承及びローラー支承とする。

図3－11 検証に用いる単純はり(2)H型鋼材（H-300×300×10×15）の断面諸元
H型鋼材(H-300×300×10×15)の断面諸元を以下に示す。
断面積 ：A =0.01184 (m2)断面二次モーメント：I =0.000202 (m4)ヤング係数

：E =2.0×108 (kN/m2)

26

(3) 構造力学公式集に基づく理論解の算出
構造力学公式集に基づいて算出した，はりに作用する最大曲げモーメントＭｍａｘ，最大せん断力Ｑｍａｘ，及び最大たわみδｍａｘを示す。
【最大曲げモーメント】

M max

wL2
810 102＝125.0(kN・m)
8【最大せん断力】

Q max

wL
210 10＝50.0 (kN)2

【最大たわみ】NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0

δmax

(4)

5wL4384EI

5 10 10 4＝0.003223(m)＝3.223(cm)384 2.0 108 0.00202

FREMINGによる解析結果
FREMINGの解析結果を以下に示す。
表3－7 解析結果（FREMING）

構成
節点
1234567891011
最大値

曲げモーメント(kN・m)
0.0
45.0
80.0
105.0
120.0
125.0
120.0
105.0
80.0
45.0
0.0
125.0

せん断力
(kN)
50.0
40.0
30.0
20.0
10.0
0.0
-10.0
-20.0
-30.0
-40.0
-50.0
50.0

27

たわみ(cm)
0.000
1.012
1.914
2.621
3.069
3.223
3.069
2.621
1.914
1.012
0.000
3.22 3

NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0（a）曲げモーメント（b）せん断力
図3－12 断面力図

図3－13 変形図28

3.5.2 妥当性確認（Validation）
類似解析コードFRAME（面内）を用いた解析結果と比較し，本解析コードFREMINGの妥当性を確認する。
本解析コードFREMINGとFRAME（面内）の解析結果が一致することを確認した。

NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0（a）曲げモーメント（b）せん断力
図3－14 断面力図

図3－15 変形図29

表3－8 解析結果（FRAME（面内））

構成
節点せん断力
(kN)
50.0
40.0
30.0
20.0
10.0
0.0-10.0-20.0
-30.0
-40.0
-50.0
50.0

NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0

1234567891011
最大値

曲げモーメント(kN・m)
0.0
45.0
80.0
105.0
120.0
125.0
120.0
105.0
80.0
45.0
0.0
125.0

30

たわみ(cm)
0.000
1.012
1.914
2.621
3.069
3.223
3.069
2.621
1.914
1.012
0.000
3.22 3

3.5.3 評価結果
表3－9に示すとおり，検証の結果，本解析コードFREMINGの解析結果は，構造力学公式集による理論解，及び類似解析コードFRAME（面内）の解析結果と一致することを確認した。
以上より，本解析コードFREMINGの解析結果は，応力度照査に用いる断面力において，構造力学公式集による計算結果と一致しており，類似解析コードとの整合性も良好である。したがって，本解析コードを構造物の耐震性能照査に適用することは妥当といえる。
表3－9 理論解と解析結果の比較
理論解

解析結果

解析結果

（構造力学公式集）（FREMING）（FRAME（面内））

Ｍｍａｘ（kN・m）

125.0

125.0

125.0

Ｑｍａｘ（kN）

50.0

50.0

50.0

δｍａｘ（cm）

3.223

3.223

3.223

NT2 補③ Ⅴ-5-41 R0E

断面力31