Übungen zur Vorlesung

Albert–Ludwigs–Universität Freiburg
Institut für Mathematik
Abteilung für Reine Mathematik
PD Dr. K. Halupczok
Dipl.–Math. S. Feiler

Elementare Zahlentheorie
Sommersemester 20096. Übungsblatt
25. Mai 2009

Abgabe der Lösungen bis zum 08. Juni 2009 um 14.15 Uhr
Aufgabe 21 (Verletzung der paarweisen Teilerfremdheit im Chinesischen Restsatz 3.3)
für alle j ∈mit j ≤ k derart, dass es ein j1 ∈und ein
Seien k ∈ \ {1} und mj ∈j2 ∈ \ {j1 } mit max {j1 , j2 } ≤ k und (mj1 , mj2 ) > 1 gibt.
Seien xj ∈ für alle j ∈ mit j ≤ k.

NNZNNNNa) Zeigen Sie, dass die Menge{x ∈(2,5 Punkte)

Z ; x ≡ xj mod mj für alle j ∈ N mit j ≤ k}

entweder leer oder eine Vereinigung von mehr als einer Restklasse modulo

kQ

mj ist!

j=1b) Zeigen Sie, dass(0,5 Punkte)(mj , mℓ ) | (xj − xℓ )N und alle ℓ ∈ N mit j < ℓ ≤ k gilt, wenn es ein x ∈ Z mit x ≡ xj mod mjN mit j ≤ k gibt!
c) Zeigen Sie, dass aus (m1 , m2 ) | (x1 − x2 ) die Existenz eines x ∈ Z mit x ≡ x1 mod m1 undfür alle j ∈für alle j ∈x ≡ x2 mod m2 folgt!

(1 Punkt)Aufgabe 22 (Lösungzahlen)→(2 Punkte)a) Seien f :∈ [x], m ∈ undx 7→ f (x)→0̺ · (m, f ) :.
a 7→ ̺a (m, f ) := # {x ∈ 0 ; x < m und f (x) + a ≡ 0 mod m}

RRZZNNNZeigen Siem−1X̺a (m, f ) = m!

a=0b) Sei g :R → Rx 7→ g (x) := x2 + 5x − 7Geben Sie alle x ∈.

(2 Punkte)

Z mit g (x) ≡ 0 mod 143 an!
bitte wenden

Aufgabe 23 (Unendlichkeit der Primzahlmenge — Teil 3)
Für eine Menge M mit M =6 ∅ und O ⊆ { D ; D ⊆ M} heißt O Topologie auf M, falls(1) {∅, M} ⊆ O,S(2)
Oj ∈ O für alle Mengen J und alle Mengen { Oj ∈ O ; j ∈ J } undj∈J(3)nTOℓ ∈ O für alle n ∈ℓ=1

N und alle Mengen { Oℓ ∈ O ; ℓ ∈ N und ℓ ≤ n} sind.

(Bemerkung: Eine Vereinigung über die leere MengeS!

...

j∈∅

ist als leere Menge definiert.)

Ist O eine Topologie auf einer nichtleeren Menge M mit M =6 ∅, so heißt (M, O) ein topologischer Raum, alle O ∈ O heißen offen in M bezüglich O und alle A ⊆ M, für die ein
O ∈ O mit A = M \ O existiert, heißen abgeschlossen in M bezüglich O.
Sei()[J ist eine beliebige Menge und es sindZ :=.
(aj + mj ) ⊆ ;aj ∈ und mj ∈ \ {1} für alle j ∈ JZZj∈JZNa) Zeigen Sie, dass in jedem topologischen Raum jede endliche Vereinigung von in derGrundmenge bezüglich der Topologie abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen inder Grundmenge bezüglich der Topologie ist!
(0,5 Punkte)

Z ist.
(2 Punkte)c) Zeigen Sie, dass a + mZ für alle a ∈ Z und alle m ∈ N \ {1} offen in Z bezüglich Z undabgeschlossen in Z bezüglich Z ist!
(0,5 Punkte)SS(0 + pZ) offen in Z bezüglich Z ist und zeigen Sie, dass(0 + pZ)d) Zeigen Sie, dassp∈Pp∈P
nicht abgeschlossen in Z bezüglich Z ist!

b) Zeigen Sie, dass Z eine Topologie auf

Schließen Sie, dass es unendliche viele Primzahlen gibt!

(1 Punkt)Aufgabe 24 (Fußballstadien)
Die Plätze der Frankfurter Commerzbank–Arena sind in 43 Blöcke eingeteilt. Im Freiburger
badenova–Stadion gibt es 22 Blöcke und in der Münchner Allianz–Arena finden sich 131 Blöcke.
Eine Reinigungsfirma geht davon aus, dass für die Reinigung eines jeden Blocks in einem Stadion
gleich viele Reinigungskräfte vonnöten sind und rechnet aus:
„Wir haben genau 3 Mitarbeiter zu wenig, um die Commerzbank–Arena zu reinigen. 4 Mitarbeiter mehr als die Hälfte unserer Mitarbeiter würden für die Reinigung des badenova–Stadionsausreichen. Hätten wir die dreifache Anzahl der Mitarbeiter, die wir haben, so fehlten uns zur
Reinigung der Allianz–Arena gerade 19 Leute.“Wie viele Mitarbeiter hat die Firma?
(Bemerkung: Sie dürfen einen Taschenrechner benutzen, sollen aber alle Ihre Überlegungen unddie dazu benötigten Zahlen zu Papier bringen.)
Zusatzfrage ohne Bewertung:Wieviele Mitarbeiter hat die Firma, wenn die Anzahl der nötigen Reinigungskräfte für einen
Block unabhängig von dem Stadion, in dem der Block sich befindet, konstant ist?