Tsa

isの非加法的統計力学と純電子プラズマ
阿部純義（筑波大学物理学系）

Tsallisl

Nonextensive

StatisticalMechanics
ABE

andPure−Electron

PlasmaSumiyoshi

lns漉L惚gプPh』ys∫c3，U1πv6rs妙げT3配んL

わα，1加rα短305−8571，1αpαn（Received310ctober2001）
Abstract
Boltzmam−Gibbs
consideration
theoreticalstatisticalcontains
frameworkpure−electron

plasmamechanics

long−range
fortreatmentbase（10n

the

is

known

to

exhibitinteractions．Tsallisl
ofsuchTsallisasystem．In

entropyisfundamental

nonextensive
thisarticle，anreviewe（landdifficulties

statistical

approachrelatedwh．enasystemoffersaconsistentstatisticallydescribing

mechanics
toproblems

are

under

discussed．

Keywords：
Tsallislnonextensive

maximum

entropystatisticalmechanics，pure−electron

principle，minimum

enstrophy

plasma，2−dimensional

Euler

turbulence，

model

1．はじめにBoltzmam−Gibbs統計力学は，系の相互作用が短距離いう、点は長距離相互作用の系にも見られる特徴であるこ

力であること，記憶効果が無視できること，エルゴードの条件がよく成立していると思われるカオス的な領域の性や混合の条件がよく満たされていることを前提とす「縁」で発生する特徴でもあるため，これらの条件が十分とに注意する［1］）．また，複雑性はエルゴード性や混合

る．また，系の相空間も通常のEuclid的なものであって，には満たされないことになる．また，複雑系に関連して階層性などのような非自明な構造をもたない場合が想定

我々にとって特に興味深いのは，いわゆる準平衡状態あされている．さらに，熱力学的極限の存在が重要である

るいは非平衡定常状態と呼ばれる状態である．このようが，このことは相互作用の短距離性の条件と不可分であな呼ばれ方をする理由は，そのような状態が系の典型的る．

な微視的力学的時間スケールに比べて極めて長い時間保しかしながら，近年複雑系に対する理解が徐々に進む

たれることによる．これはある種の緩和状態と見なせる

とともに，これらの条件を仮定するBoltzmann−Gibbs
理論がチャレンジを受けるようになってきた．多くの複であろう．そのような状態に対して統計力学的にアプ雑系においては，部分が全体に本質的に結びついている

要があるように思われる．そこで注目されている一つのため，部分を取り出してその性質を調べることにより系理論体系がTsallis統計力学である［2，3］．

ローチするためには，通常の理論の枠組みを拡張する必全体について知るという伝統的な還元主義的立場はうまTsallis統計力学の重要な特徴は，それが非加法的なエ

く機能しないであろう（部分が全体に大きく影響するとントロピー［4］に基づく最大エントロピー原理によって側1ho〆58−1照Z

3乙κめ6＠げ6．so−n6競6か36

commentary

Tsallisl

Nonextensive

Statistical

Mechanics

andPure・Electron

PlasmaS．Abe

れる理由は，すべての9＞0に対して凹性をもつこと，非茨置式化され，理論自体がスケール不変性をもっているとv・う点である，Tsallisエントロピーと呼ばれるこの量の負であること，およびH定理を満たすことによる．

ll圭質が，種々の非線形力学系（写像）に関してここ2，3g→1の極限では，明らかに通常のBoltzmam−Shannon

年三よく研究されてきた（例えば，［5−7］とその中の参考文

ヌダ
エントロピーS［カ］＝一々Σρ声琉に収束する．以下簡献を参照のこと）．これらの研究の動機は，通常の統計的なBoltzmann−Shannonエントロピーと力学系の1諾1単のためにBoltzmann定数hが1という単位で議論を進K；olmogorov−Sinaiエントロピーとの関係に対応するもの

めることにする．

Tsallisエントロピーに関して見出し，理論の基礎づけ

Boltzmam−Shannonエントロピーに対しては，その一を与えることにあった．そこで明らかになってきたこと

意性を保証するShannon−Khinchinの公理系というもの

1よ，Tsallisエントロピーの非加法性の度合いを表す指数があるが，Tsallisエントロピーに対する公理系も最近提

gが臨界アトラクタと呼ばれるカオスの縁にあるアトラ
クタの多重フラクタル構造から決定されるということで出された［9］．それは以下のようなものである。

をf［llSg［ヵ］；Sg（ヵ1，ヵ2，＿，ヵレv）はすべての変数い｝団，2，，．．，14／について連続であり，等確率あった18コ．これは，実際Tsallis統計力学が，開放複雑系についてはその非平衡定常状態を，また閉じた非加法的

瓦＝1／W（乞＝1，2，．．．，W）の場合に最大値をとる；

系についてはその準平衡状態を記述し得る理論であるこ［H］複合系（・4，B）について，その全エントロピーはSσ（、4，B）＝S4（乃）＋Sσ（Bし4）とを示唆している．さらに，Tsallisエントロピーを最大＋（1−9）Sg（滑）Sσ（β1・4）（2）にするような確率分布形をもつ例が多く見つかっているという合成則を満たす．ただし，S辰Bレ1）はみ

ことも，この理論の現象論的な支持を与えている［2］．

に関する情報が与えられた場合のBの条件付きエ

本稿では，純電子プラズマの物理におけるTsallis統計

力学の「可能な役割」について解説する．純電子プラズ

ントロピーである；

マという系は電気的中性条件をもたないためCoulomb［皿］S。（ρ1，恥，＿，ρw，ρレv＋1−0）一Sg（ρ1，カ2，．．．，カレv）．

力が遮蔽されずに長距離力として残り，統計力学的にはこれらを満たす量Sσが式（1）のTsallisエントロピーで非加法的な系である．最近実験的研究が発展し，この系あることが証明される．Shannon−Klhinchin公理系は［H］の呈する興味深い振る舞いが直接観測されるようになっでσ→1とした場合である．

た．それらの振る舞いの内で統計力学が対象とすべきも［H］は重要である，もし部分系過，Bが統計的に独立のは何か，というのは実は難しい問題である．Tsallis

であるとすると，Sσ（Bレ1）＝Sg（β）となり，したがって統計力学によるアプローチが成功しているように思われ

擬加法性と呼ばれる関係式

る部分も確かにあるが，一方そのような議論への批判も

Sg（・4，β）＝Sσ（み）＋Sg（β）÷（1−9）Sc（澱）So（B）

また存在する．本稿では，中立な立場を取りつつ純電子（3）プラズマとTsallis統計力学の間題を論じたい．以下におる．次に，Tsallis統計力学が純電子プラズマにどのようが成立する．加法性が成り立つのは，明らかにg→1の場合だけである．σの1からのずれは，Sgの非加法性に応用されたかを紹介する．この応用に対する批判の議の度合いを表している．

いて，まずTsallis統計力学の理論形式を簡単に要約す

少し抽象的な議論になってしまったが，Tsallisエント論も紹介する．

ロピーがしっかりした情報理論的な基礎をもっているこ

2．Tsaとを感じ取っていただけたと思う．

is統計力学の基本的枠組み

さて，統計力学を構築するにあたり，物理量9の期待値の定義を与えなければならない．これは一見自明のこ

Tsallis統計力学の骨格をなすものは，Tsallisエントロ
ピー［4］
レヌノ

s・［カ1−1皇σΣ［（ρとのように思われるが，実は3年ほど前まで紆余曲折が）σ一力1］

あった．現在正しい定義と思われているのは，規格化さ

（1）

需1

れたg一期待値［10］というもので，である．ここで，あは系がガ番目の状態を取る確率であにノり，四は状態の総数である．9は正の実数で，エントロ〈9＞σ≡ρ9一ΣPノ（・）Q

ピー指数と呼ばれる．この量が「エントロピー」と呼ば

＝1

37

（4）

Journal

ofPlasmaa11（lP∫（9）≡li！ρ1）σFusionResearch（5）

Vol．78，No．1

一January2002

β

（12）

β＝
1＋（1−9）βイ（2σ

Σ（酬

ロノ

ノコ

2，（β）一Σ・，（一βQ、）のように与えられる．ここで，P．（σ）はあに付随したエス

ぞ

（13）

置1

コート分布［11］と呼ばれる確率分布である．Q，は確率変数としての物理量Qの1番目の状態における値である．

である．式（11）の形の分布は，実はβをLagrange未定
乗数として，規格化されていないσ一期待値すなわちエ

規格化条件と物理量のg一期待値に関する拘東条件の下でTsallisエントロピーを最大にするような確率分布

スコート分布（5）の分母をもたない（ρ，ソでの期待値をは，汎函数用いた場合［12］に得られるものと形式的には同じ形をしている．次節で述べる純電子プラズマの解析には，規格卿職［カ］一・（掴づ（準一砺）

化されていないg一期待値を使った理論が用いられる．

Tsallis分布について，以下の性質に注目する．まず（6）

g＞1の場合，式（11）はに対する停留条件から求められる．ただし，α，βはLa−みgrangeの未定乗数である．ρ，についての変分を計算する（14）

ρ1＝（1＋Qi／ρ（））s

ことにより，次のような規格化された定常確率分布
s＝：！

［10］

9−1

カ

！
＝zσ（β・）6σ［一β＊（9

一99）1

＞0，

さ
ρ〇ニマヲ

β

14＝一

1

一

（15）

Zg（β）

すなわちZipfMandelbrotのベキ則的分布になっている．

（7）

一方0＜g＜1の場合には，定義式（9）からわかるようにが得られる．ただし1
一（1−9）β9，maX一ヨノ

z9（β・）一Σ6。［一β・（QrQ，）］

（8）

ノ＝1

（16）

で切断される．また，g→1の極限で一般化された分配関数とTsallis分布とがそれぞれ通常の分配関数と指数は，一般化された分配関数と呼ばれる．0σ（冗）は関数的分布に帰着されることは明らかであろう．

州囲鞠lll欝・

Tsallis統計力学から熱力学を定式化することができる．物理量Qとして，系のハミルトニアンHを取る．その規格化されたσ一期待値砺＝〈H〉gを，一般化された内部エネルギーとする．ただし，g一期待値は最大Tsalhs
エントロピー分布に関して計算する．このとき，と定義されるg一指数関数である．また，
β＊≡

／

β

∂Sσ凝β

（10）

（17）

∂uσ

Σ（カ、）σブ胃1が成り立つことが示される．このことは，砺とβが通常

このように，Tsallis統計力学はエントロピーと期待値の熱力学の場合とまったく同じようにLegendre変換のの定義の拡張に対する2つの仮定からなる理論なのであ変数の対であることを示唆している．しかし重要なのる．

は，熱力学第ゼロ法則から定義される物理的温度は式（！7）の逆数ではない，という点である．温度の逆数は，

ところで，式（7）は実は式（10）のβ一である［13，14］．この物理的温度を用い
力i＝

一 ／〜

一
θσ（一β（？1）て熱力学的Legendre変換構造を確立することができる

（11）

zσ（β）

［15，16］．それによって，非加法的な系に対する種々の熱力学的関係式が導かれる．それらが通常の加法的な系にという形に書き換えることができる．ただし，対する熱力学的開係式と形式的に同じであることも示さ38

Colnmentary

Tsallis『Nollextensive

Statistical

Mechanics

Pure−Electron

PlasmaS。Abeli㌔（墨⊃ニコ㊦

才しる．

Tsallisエントロピーとそれに基づく非加法的統計力学
は二驚くほど多様な問題に適用されてきた．それは，自己重：力系から量子エンタングルメント，さらにはタンパクマ。「r7質』の構造の研究にまで及ぶ．包括的な論文リストは［17］から入手できる．

3．純電子プラズマの統計力学に向けて
3．1

alld

Fig．1 Schematic
DriscoII．

純電子プラズマ

電気的に中性でないプラズマはCoulombの長距離力が遮蔽されないため，通常の熱力学的極限が収東しない

of

the

E吻zα

experimenta！apparatus

of

ε

Huang

∂の

and

（21）

一十乱・▽ω窯o∂ご

非加法的な系である．したがって，中性プラズマとは異なる統計的性質をもつと考えられる．正イオンを含まず

および流れ関数ψ瓢ψ（r，オ）の方程式

電子のみから成る純電子プラズマは種々の側面から興味

（22）

一△ψ＝ω

深く，目下その実験的研究が注目を集めている．
HuangとDriscol1［18］は，Fig．1に示されているようなと速度場の式

装置で実験を行った．円筒形の導体壁（断面半径1〜w−（23）

乱＝一e〜×▽ψ

3．05cm，長さ20cm）の中を約10−loTorrの高真空にする．一端のタングステンフィラメントから電子をたくさと比較すると，電子密度と渦度，電場のポテンシャルとん注入する．典型的な密度としては，半径2cm長さ20流れ関数，という対応関係の下で両者が数学的にまったcmの空間に1×107個／cm3程度である．これらの電子にく同型であることがわかる．二次元流体の実際の実験に円筒の中心軸に垂直な向きをもつ電場と中心軸方向の磁おいては，非粘性という条件を実現するのはあまり簡単

場を作用させて閉じ込める．この外部からの電場と磁場ではない．この意味で，軸対称性をもつ純電子プラズマによって，電子は円筒内で乱流的なドリフト運動を行う．円筒の他端に置かれたコレクタによって，電子を中は，衝突による散逸効果はやはり避けられないものの，

心軸からの距離に応じて計数する．中心軸方向に2座標流の実験の場を提供する．散逸が優勢になるのは，103軸を取ると，理想的な軸対称性をもつ場合の純電子プラ〜104s程度の長時間スケールである．

ある程度の時問スケールでは良い近似で二次元Euler乱

ドリフト速度（20）がo＝e、×▽φとなるように磁場のズマの運動学は，案内中心の電子密度n＝フパr，オ）（1。≡（冗，ッ））に対する方程式∂n

強さを規格化すると，式（18）は∂礁オ）＋［ア2（4），h（r，オ）］一〇（18）

一十〇・▽72＝0∂オおよび電場のポテンシャルφ＝φ（r，のが満たすべきと書き換えられる．

Poisson方程式

シャル△φ＝4πθ72（θは素電荷）6o＝一e、×▽φ＝6

ここで，ハミルトニアンはポテン

h＝一φ（r，渉）（19）

によって決定される．ただし，ドリフト速度は

B3

（24）

∂渉

（25）

であり，またPoisson括弧はE×B（6は真空中の光速度）（20）［α（r，渉），δ（r，渉）］＝

B2∂α（r，ご）∂わ（r，渉）

で与えられる（以下，6と6を1とおく）．これらの表式∂ズ∂y∂α（r，オ）∂δ（1・，オ）

∂y

∂ズ

（26）

を，二次元の非圧縮非粘性流体の渦度の＝ω（1。，オ）で定義される．すなわちκとッは形式的に正準共役な変＝e、・（▽×μ）に対するEulerの方程式数になり，η平面は相空間と見なされる．式（24）を場の39

JournalofPlasmaan（1Fusion

Research

Hamilton形式で

VoL78，No．l

Jalluary2002

なるとζ、、，の不変性はより悪くなることが知られている．

散逸がない理想的な場合には，もちろんエネルギー∂ア￠（r，オ）∂オ＋｛研7z］，η（7，オ）｝＝0（28）も不変量である．軸対称系でもう一つ重要な不変量（27）は，角運動量と書く．ここでのハミルトニアンは

ゐ［％］一∫d2r72卿）（33）

H［7￠］一一圭∫（12rn（乙渉）φ（孔オ）である（冗とyが正準共役であるため，冗およびッ方向の一一遷∬d2rd2〆％（厚）G（副1z（〆，オ）（28）

運動量がそれぞれ一yと冗になる）．
3．2

であり，場のPoisson括弧は

実験結果

HuangとDriscollの実験結果をFig。2に示す．横軸は円筒の中心軸からの距離Rを円筒半径1〜wで割って無次｛践B｝一∫（ヂ蜘）［諾オ）諾オ）い29）

元化した円柱座標の動径7＝R／1〜wであり，また縦軸は電子の注入時刻オニ0から5ms経過した後での中心軸上ので定義される．ただし，括弧［，］は式（26）で与えられて電子数密度に関して規格化された電子数密度を表していいる．式（28）中のGはPoisson方程式（19）のGreen関数△G（r，〆）＝4πδ（2）（r−rノ）

る．×と□は，それぞれ測定によって得られたオ＝0での初期分布および渉＝5msでの分布のデータである．□で（30）表されている分布が，有限の7の値で切断されていることに注目していただきたい．

である．

このような理想化された系は無限個のCasimir不変量

一方，Fig．3は電子数密度の時間発展に関するデータである．横軸は電子注入時からの経過時間であり，縦軸をもつ．実際，∫を任意の解析的な関数であるとすると，は中心軸上での密度の値である．卜5msに代表される∫d2r∫（％）

（31）

×t＝0
口t瓢5msの形の量はハミルトニアン（28）とのPoisson括弧がゼロ
鴨＼になる．したがって，それを生成する量㍍一羨飾（法）耀（個鍋一う

1．0

鍵
××
X

＼

一Restr，Min．Enstro．
一・一Glob1，Min．Enstro．

×

一一P・Vor。Max．EntrOP．

（32）

曾

臼

×

X

喚

は，すべて不変量になる（ここで，7￠oは被積分関数を無e次元にするための適当な基準分布であるが，以下簡単のqために7￠〇二1として議論する）．ζ1は全電子数であり，完

o，5

＼＼

×

Max．EntrOP．

＼＼

ヤ
＼辱

X

、、

￥、、

＼

X

××

X
X

X

ロ
q

分）は，特にエンストロフィという名称をもつ．このた

一圏一一FluidXX膏

するが，渦度の自乗の体積積分（二次元流体では面積積

×

X

＼
つ

全に保存される量である．ア￠は流体力学での渦度に対応

、

羨、

1

弧、

め純電子プラズマにおいても，ζ2をエンストロフィと呼、＼＼ぶ．二次元Euler乱流に関しては，エンストロフィが最

0，0

、一

小である状態へ系が緩和することが経験的に知られてい0

る．これは，いわゆる渦の「選択的崩壊」の考えによれ

、／

略1一

1

0．5

ば，全エネルギーをほぼ…定に保ちながらエンストロr

フィが小さなスケールに向かってカスケードする傾向にある，ということに起因する［！9］．純電子プラズマにおFig，2Measuredradialprofilesofthee［ectrondensity

ofthe

in−

itial（オ＝0）andmetaequilibrium（f＝5ms）stateswiththeo−
retica［predictionsofthe minimum enstrophy model andthe ordinary maximum entropy principle．

いても，最小エンストロフィ模型を考えることは何らかの意味をもつと期待される．また現実には，溺が大きく
40

Commelltary

Tsallis『Nonextensive

Statistical

Mechanics

alld

Pure−Electron

PlasmaS．Abe

この形の解では実験的に得られた準平衡分布を説明でき
ハ

n

ユロの

窪
タ

0．5

コ
σ
￠
ゾ
0，0

曾

ない，ということであった．

9
0
の
ヨ
竃
0，05 ＼つア＼晶一＿、、、．
s
〜q

ε
＼

O。10

10『2

1

102

そこで最小エンストロフィ模型が考えられた．この場
合は，汎函数ψ『［ア￠；α，β，λ］＝ζ2一αζ！一βH一λL

のロのの

104

（37）

の停留条件を求めることになる．ただちにt（ms〉

7z＋βφ＝α＋λ72
Fig，3

Time

and

the

evolution

of

level

fluctuationが．

of

the

measured

central

mean

（38）

densityηが得られる．最小エンストロフィ模型の特徴は，％とφがこのように線形の関係になるという点である．式（38）分布がいかに長時間生き残る準平衡状態を表しているかの両辺に二次元Laplace演算子を作用させて，さらに式がわかるであろう．

（19）（6…1）を用いれば，Fig。2に戻るが，このデータで注意すべき点は，□のプ（39）∠17￠十4πβn＝4λ

ロットが振動的な振る舞いをしていることである．この分布の振動は，プラズマ中に大きなスケールをもつコとなる．この方程式の軸対称解はBesse1関数を用いて簡ヒーレントなスパイラルが自発的に組織化されることに単に求められる．しかし，ここで大きな困難が生じる．

よると考えられる（［20］とその中の参考文献を参照のこ

そのような解πは，円筒壁付近で負の値を取ってしまうと）．このようなコヒーレントな構造自体は，以下の我々のである．これはまったく受け入れ難い欠点である．この統計力学的な考察の対象ではない．我々が注目したいの困難を回避するために，「制限された最小エンストロのは，むしろコヒーレントな構造をささえる，背景にあフィ模型」なるものが提案された⊂18］．この方法は要す

るランダムな電子の統計的性質である．しかし，実際にるに，分布がゼロ点を切るところでその分布を強制的にはコヒーレントな構造と背景とが複雑に結合しているた

切断する，というものである．こうして得られるのが，め，両者を分離して考えることは厳密には難しいであろFig．2の中の実線で示されている解であり，確かにデーう．

タをよく再現しているように見える．しかし，分布の強3．3最小エンストロフィ模型vs最大Boltzmann−

制的切断という処方はあまりに人為的過ぎるであろう．

3．4

Shannonエントロピー原理

最大Tsalllsエントロピー原理

文献［18］において，著者達は実験的に観測された準平

Boghosian［21］は，0＜σ＜1なるエントロピー指数を

衡分布を理解するために，二次元Euler乱流の研究でしもつTsallis統計力学では上述のような分布の切断が必

ばしば用いられる最小エンストロフィ模型と通常の最大然的に現われることに注意した（式（！6）参照）．そこで，エントロピー原理について検討した．

汎函数

まず最大エントロピー原理では，汎函数
φ［フ2；α，β，λ］＝S一αζ1一βH一λ乙

φ9［％；αノ，βノ，λ］＝Sσ一αノζσ一βノゐr4一λ！五〇

（40）

（34）

で特徴づけられる最大Tsallisエントロピー原理を考察の％に関する停留条件を解くことになる．
Boltzmanl1−ShannonエントロピーSは
s一一∫d2舳・πした．ここで，

ここで，砺1主9∫（12r（｛￠）（41）

暢∫（12岬（42）

砺一青∬（12rd2酬r）（｝（の州

（43）

乙

（44）

（35）

であり，α，β，λはLagrange未定乗数，Hとゐは式（28）と（33）で与えられている．停留条件は
7￠〜eXl）（一λ72＋βφ）（36）という形の解によって満たされる．文献［！8］の結論は，
41∫（12rプ2が

Jounlalof

Plaslnaall（iFusionResearch

VoL78，No．1

Jalluary2002

である．式（41）は，式（1）の連続的な確率変数の場合へ

φ1／2が線形の関係になる．さらに，このとき最大Tsallisの拡張になっている（ただし，簡単のために次元のス

エントロピー状態は，方程式（45）からケールを1としている）．

g次のエンストロフィ

ζσn〜Ol／2（一λノ72＋β

φ1／2）

（53）

は，本質的にはTsallisエントロピーの一部分である．拘

東される量がすべてTsallis統計力学において基本的なであり，分布の切断も白然に理解される．したがって，量がで書かれていることに注意する（橘と易は「規格n1／2を基本量として用いたTsallis統計力学の枠組みから化されていないσ一期待値」の形になっている．したがっ最小エンストロフィ模型と同形の方程式が導かれ，しかて第2節でふれたように，「規格化されたの期待値」をもHuangとDriscol1が便宜的に導入した分布関数の切断用いた場合とはLagrange未定乗数の再定義と類似の処という人為的操作も不要になるわけである．ただし，実方によって関係づけられる．しかし，以下において未定験データと比べるべき量は，Tsallis統計におけるρ1／2

乗数はパラメータなので，議論に実質的な違いは生じな

すなわち1z1／2となることに注意する．つまり，観測されいであろう）．汎函数（40）のアzに関する停留条件からる確率分布はエスコート分布なのである．

1一σ＿

ノ

n
g＋β！φσ＝一＋λノ7一
α？
9（σ一1）
σ

4．Brands−Chavanis−Pasmanter−Sommeriaの
批判

（45）

上述のBoghosianの議論は，最近批判的に検討された．

が導かれる．ただし，φσはBra1／（ls−Chavanis−Pasmanter−Sommeria（BCPS）［22］は，
φσ（r）一∫d2〆（｝（めzσ（〆）Miller［23］やその他の人々によって導入された二次元乱（46）

流の渦の統計理論との類推を用いて批判を展開した．この理論では，基本的な量は渦度そのものではなく，以下で定義される量であり，したがって方程式で定義されるような幾何学的密度である．まず，渦が存（47）△φσ＝4πnσ在する（相）空間（冗，y）を微小な正方格子に分割する．渦度がσ付近の値をもつような微小正方形の総数をg（σ）の解である．一般化された密度をとする（σは，渦度レベルと呼ばれる）．これに対応する
ρ9（r）一∫（12r惨（2）（r一〆）ア州一・州

微小正方形の数密度をア￠（1・，σ）と書くと，明らかに（48）∫（12瞭σ）一9（σ）

で定義すれば，式（45）と（46）はそれぞれ
（卜σ）／

ρσ

（54）

1

一卑βノφ9一α＋λノγ2である。また，流体が非圧縮性であることから（49）

σ（9−1）∫（1σ・z（乃σ）一1（50）△φσ窯4πρ9（55）を各点rで要請する．渦度ω自身は，と書き換えられる．式（49）の両辺に二次元Laplace演算子を作用させることにより，の（r）一∫（1σσノ2（孔σ）
1（1一σ）／σ面鋤△ρσ＋4πβノρげ4λノ

（56）

（51）

で与えられるとする．

二次元乱流と軸対称純電子プラズマとの同型性から，を得る．

このような理論を後者に援用すると，考えるべきTsallis

さて，式（49）の…般化された密度に対する方程式でエントロピーはもはや式（4！）ではなく

1

9＝万

（52）

乱r壬σ∫d24㈱σ（孔σ）一ノZ（副（57）とおくと，ρ囲は最小エンストロフィ模型の式（38）と本となる．ここでのσは，いわば質的に同じ形になることがわかる．すなわち，ρ1／2と42

電子数密度レベルとCommelltary

Tsallisl

Nollextensive

Statistical

Mechanics

andPureElectron

PlasmaS．Abev】うことになるであろう．BCPSは，最も簡単な近似とそれは19世紀以来の課題なのである．純電子プラズマのして，2つのレベルσ＝O，1という場合について考察し統計力学も，まだほとんどわかっていない，というのがた＝．σに関する積分を和に置き換えれば，式（55）に対応

偽らざる現状である．

BCPSのように，二次元乱流での渦度レベルに対応す

レて％（r，0）＋％（1・，1）＝1

る量を導入した統計理論を用いると，Tsa11is統計力学も（58）

満足すべき結果を与えないことは確かである．しかしなとなり，また電子数密度レベルの一般化された密度に関がら，渦度レベルを導入した二次元乱流の統計理論も，する

実はそれほど成功し確立された理論ではないことに注意（規格化されていない）g一期待値はする必要があるであろう．また式（58）からも明らかなよ

レ9（r）≡州一∫（1σ酬若σ）⇒漁1）（59）うに，このアプローチでは確率変数が位置変数rではな
く電子数密度レベルσになってしまっている．

と書かれる．したがって，式（57）はBoltzmann−Gibbs的なアプローチが定性的にも定量的にもうまくいかないことはわかっている．この事実は，64−1茎σ∫d2r［刀σ（若・）＋が（鵜・）一！］

通常エルゴード性の破れとして解釈されている．この意
味で，Tsallis的なアプローチには依然として期待できる

一！垂9∫d2r［（1一ρ）｝一1］

面が残されている．純電子プラズマの統計力学が今後の（60）

発展が待たれる重要な物理を含んでいるのは確かであと表されることになる．同様に，式（42）一（44）も暢∫d2r［（1一ρ）》］

る．

参考文献

（61）

［1］G．Nicolis

島結∬（12rd2〆｛［1一ρ（7）］｝（r）｝

か04雌

an（1：L

Prigogine，Exμor加goη（W．H．Freeman，NewCo1πμ6x々）じA，1みz一

York，！989）；（邦訳）G．ニコリス，Lプリゴジン「複雑性の探究」
×G（r，〆）｛［1一ρ（〆）］σ＋ρσ（〆）｝窃一∫d2r〆［（1一ρ）σ＋カρ］（62）

安孫子誠也，北原和夫共訳（みすず書房，1993）．

［2］包括的な講議録を集めたものとしては，
（63）

S．Abe

and

Y．Okamotoeds．，ノ〉01昭κ16ns

chαn16sαn41∫sとなる。このような形式においては，汎函数
φσ［ρ；∂，β，λ］一sσ一∂ζσ一βHrλ玩

v6S1θ〜is1どcα！Mひcαπoηs（Springer−Verla呂HeideL

berg，2001）．

［3］日本語による解説としては，（64）

阿部純義，月刊「数理科学」連載（2000年！〜4月号）．
［4］C．Tsailis，」．Stat，Phys．52，479（1988）．

のヵに関する停留条件からでは，どのようなgの値を15］M．一C．Firpo

取ってみても，ρのベキ乗とポテンシャル
φσ（r）一∫d2rG（若川1一ρ（rA1フ1フ1

and

S．Ruffo，J。Phys．A34，L511（2001）．

［6］V．Latora，A．Rapisarda

andC．Tsallls，e−printcon（1−mat／OlO3540．

）］σ＋ρσ（〆）｝（65）［7］V．Latora，M．BarangeL

A，Rapisarda

alld

C．Tsallis，Phys．Lett．A273，97（2000）．
［81M．L，Lyraとの間に線形の関係を実現することは不可能であること

andC．Tsai1is，Phys．Rev．Lett．80，53（1998）．

［9］S．Abe，Phys．Lett．A271，74（2000）。

は明らかであろう．すなわち，電子数密反レベルという［10］C．Tsallis，R．S．MendesandA．R．Piastino，PhysicaA261，

ものを導入した最大Tsallisエントロピー原理から最小

534（1998）．

エンストロフィ模型に相当する分布を導くことはできな［11］C．Beck

い．以上が，BCPSの批判の本質的な部分である．

an（iF．Schl6gl，Th8ηηoめノnθ1η

〜61113」Aη11π1ηζ1〃6∫ノon（CambridgeosげC加o1iご5）・s一

Universlty

Press，Cal憤bri〔lge，1993）．

［12］E．M．F．Curado

5、おわりにandC．Tsallis，J．Phys．A24，L69（！991）；

Corrigenda24，3！87（1991〉an（125，10！9（1992）．

以上，Tsallis統計力学に基づく純電子プラズマヘのア［13］A．K．Rajagopal，Nonextensive

プローチとそれに対する批判についてみてきた．この問

and題の」、維しさは，結局は乱流の理解の難しさに帰着され，
43

Its

Applications，S。AbeStatisticalandMechanics

Y．Okamotoeds．，

JoumalofPlasmaan（lFusionResearch

Vol．78，No．lJanuary2002（Springer−Verlag，Hei（ielberg，2001）p．99．

著者紹介［14］S．Abe，PhysicaA269，403（！999）．
［！5］S．Abe，S．Martfnez，F．Pennini

and

総A，Plastino，Phys．

Lett，A281，126（2001）．
［16］S．Abe，Physica

A300，417（2001）。

馴州鱈，』［17］http：／／tsallis．cat．cbpfbr／TEMUCO．pdf［18］X三P，Huang

an（l

う

丁、
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ド

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よし

阿部純義

筑波大学物理学系助教授．1958年生まれ．1986年日本大学大学院理工学研

畿聾鷺議欝菱寅狸諜遍葎

C．F．Drisco難，Phys．Rev．Lett72，2187（1994）．
［19］C．E。Le圭th．，Phys．Flui（ls27，1388（1984）．

［20］際本泰士：日本物理学会誌56，253（2001）．

部をへて，2001年8月より現職．主な研究分野は統計力［21］B．M．Boghosian，Phys．Rev．E53，4754（1996）．

学および量子論の基本的問題．趣味は旅，テニス，読書［22］H．Bran（1s，P．H．Chavanis，R．Pasmanterandなどいろいろ．近況：最近，大型スピーカーを入手，音J。Som−

楽に耳を傾けつつアイラ産シングルモルトなどを少々．

meria，Phys．Flui（ls11，3465（1999）．
［23］J．Miiler，Phys。Rev．Lett．65，2137（1990）。

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