OHO’06
Aug/29~Sep/1

T. Furuya

KEK

高エネルギー加速器セミナーOHO’06「超伝導リニアコライダー」～超伝導空洞の基礎～
Aug.30, 2006

古屋 貴章
KEKOHO’06
Aug/29~Sep/1

KEK目 次
１、はじめに超伝導空洞の応用の歴史をすこし
２、加速空洞のパラメーター
性能を示すパラメーターをまとめると３、超伝導空洞の表面抵抗
超伝導空洞の特徴は４、最大加速電場
開発の現状
５、パルス運転
６、おわりにT. Furuya

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超伝導空洞の応用の歴史をすこし1908 Kamerlingh-Onnesがヘリウムの液化に成功
絶対０度での電気抵抗はどうなるか？
ケルビン卿：電子も凍結して抵抗は無限大
オンネス：運動を邪魔するものがなくなり、抵抗ゼロ。
1911 水銀の抵抗がゼロになるのを発見。
慎重な彼は、10-5Ω以下と表現。
1933 マイスナー効果発見。磁場がはじき出される。
1957 BCS理論（電子格子相互作用とクーパー対）
1986 高温超伝導体発見でTcは一気に130Kへ。
2001 MgB2発見 （Hc1はNbの半分？）

秋光純（青学大）Mg B2の超伝導より

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超伝導空洞の応用の歴史をすこし

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1965 HEPL (Stanford U.)がSバンド3セル構造のPbメッキ空洞を用いて1 µAを加速。
10 MV/mのCWリニアックを目指すも、2～3MV/mしか達成できずに撤退。その後、マイクロトロンへ。
1966 SLAC 2mile linac 稼動開始。
1978 ATLAS (Argonne NL)で重イオン加速用リニアック稼動。
微小電流をCWで加速。小さなビーム電力。
CWなので精度の高い安定したビームエネルギーが得られる。
ビーム電力と空洞消費電力とが同程度になり、効率の良い加速ができる。現在も稼動中。

Stanford Linear Accelerator Center

Argonne Tandem－Linac Accelerator Syatem

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超伝導空洞の応用の歴史をすこし1988 TRISTAN (KEK)が高エネルギー加速器として本格的に超伝導空洞を導入。509 MHZ、5セル構造を32台。
48mで200 MVを達成。蓄積電流は14 mA。
蓄積型リングのRFへの応用。
NCのCW電場は1～2 MV/m。当時のSCは5 MV/m。
LEP-II (CERN)が352 MHz、4セル空洞を300台を並べて3 GVを作った。

Nb-Cu cavity(CERN-LEP)

TRISTAN(KEK)

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超伝導空洞の応用の歴史をすこし1995 CEBAF (TJNAF)が336台の1.5 GHz ,5セル空洞を使った周回型超伝導リニアックが稼動開始。CW-4GeV,1mA。
1997 CESR (Cornell), KEKB (KEK)はアンペア級の蓄積電流を可能にする高調波減衰型SCを開発。
カプラー電力,HOMを小さくするため、単セル構造。
KEK: CW-6 MV/m, 1.3A, 400 kW/cavity
放射光加速器への応用。

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超伝導空洞の応用の歴史をすこし

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1990 TeV領域を目指した超伝導リニアックの国際協力発足。
TESLA (TeV Energy SC Linear Accelerator)。
DESYを中心に展開し、やがてTDRへ(2001年)。
2004 ITRP (International Technology Recommendation Panel)がリニアコライダーの基幹技術として採択。
加速器設計と技術開発の国際協力体制を築く。
これは超伝導空洞モジュールの標準になるものであり、ERLでも採用。

詳しくはKEK-ILCのHP参照（http://lcdev.kek.jp/）

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加速空洞の性能パラメーター

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加速空洞内の電磁場波動方程式∆E = µσθr2a∂E∂ E+ µε 2∂t∂t2

加速に使うTMモードの境界条件

r = aにおいてEφ = 0, Ez = 0
z = 0,dで Eφ = 0, Er = 0Hz≡0d

Pill box cavity:解析的に解ける

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加速空洞の性能パラメーター

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Pill boxのTM010モード

電場

磁場

Er = Eθ = 0,
Hr = H z = 0,Ez = E0 J0 (kc r),⎛ iωε ⎞'Hθ = − ⎜⎟ E0 J 0 (kc r ),⎝ kc ⎠kz = 0,J 0 (k c a) = 0,k = kc ,Pill Boxの周波数
2a =T. Furuya

23.0
[cm]
f [GHz]Bessel function

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加速空洞の性能パラメーター

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加速電圧
電場accelerating voltage =Vc =∫d∫Ee0gapi (ω t +φ )

dt.

ikz

E0 e dz .

0Transit time factor
dT=ikzEedz
0∫0d∫ E dz
00sin (πd λ )== 0.64
πd λ

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加速空洞の性能パラメーター

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シャントインピーダンスの定義
Vc2
Vc2
=
R0 =1Pc
RsH 2 ds2 s

∫

Q値の定義
122HdvµH∫Uωµ ∫v dvv
2Q0 = ω = ω=1Pc
Rs H 2 ds2RHds∫ss2 ∫sΓ
Q0 =Rs2⎛Hdv ⎞⎟⎜∫v⎜ Γ = ωµ⎟2⎜⎟
Hds∫s⎝⎠

形状因子（geometrical factor)

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加速空洞の性能パラメーター

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KEKR/Qの定義

R Vc2=Q ωU

空洞材料に依存しない量

Pill Box空洞の形状パラメーター
Q0 =Γ,RsΓ = 257 [Ω]R= 200 [Ω] .
Q
R0 = 5.14 × 10

Esp
Eacc

= 1.5741
Rs[Ω] ,H sp
Eacc

T=2π

= 0.637,= 30.5 [Oe/(MV/m)]T. Furuya

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加速空洞の性能パラメーター

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TESLA空洞の電場分布は (SUPERFISH)
加速モード = 1.3 GHz

R= 1006 [Ω]QΓ = 271 [Ω]高調波 TM011 = 2.54 GHz

最適化形状については加古氏の講義を参照。

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加速空洞の表面抵抗

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常伝導空洞の表面抵抗

常伝導空洞の場合
空洞壁内部では、良導体であれば

Rs =

∂ Ex
∂E x=µσ∂x 2∂t

E x ∝ eiωt として
E x = E0 e eδ=2ωσµ− (1+ i )ωσµ2z

Rs(NC) (ohm)

2iωtT. Furuya

1δσ=

ωµ2σ

Al

Cuの深さで1/eに減衰する（スキンデプス）
Frequency (Hz)OHO’06
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加速空洞の表面抵抗

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Pill Box のpower loss

周波数依存性（常伝導)空洞壁がCuであれば周波数を1.3 GHzとして空洞の直径 ∝ ω-1
表面抵抗 ∝ ω0.5
単位長さ当たりの空洞損失 ∝ ω-0.5
単位長さ当たりの蓄積エネルギー ∝ ω-2
無負荷Q値 ∝ ω-0.5
単位長さ当たりのR/Q ∝ ω
単位長さ当たりのシャントインピーダンス∝ ω0.5

空洞直径： 176mm
高周波表面抵抗： 銅（σ=0.58x108 mho/m)
9 mΩ
無負荷Q： 2.8x104
シャントインピーダンス： 5.7 MΩ
長さ d = λ/2 = 11.5cm として
25 MV/m では 13 MW/mのジュール発熱
35 MV/m では 25 MW/m
40 MV/m では 32 MW/m
35 MV/mで20 km ならば500 GWの発熱 !!
低い電圧のCW運転
duty cycleを下げたパルス運転

周波数は高い方が得。
空洞サイズが小さくなる。

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加速空洞の表面抵抗

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超伝導空洞の場合

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Nbについては半実験式があって表面抵抗：Rs2Rs = RBCS + Rres ,残留表面抵抗：Rres
BCS理論による：RBCSR BCS = A⎛ ∆(0) Tc ⎞exp⎜⎜ −⋅ ⎟⎟T⎝ k B Tc T ⎠ω21⎛ f ⎞⎛ 17.67 ⎞RBCS = 2 × 10
⎜ ⎟ exp⎜ −⎟T ⎝ 1.5 ⎠T⎝⎠−4f : frequency in GHz
T: temperature in K
T<Tc/2

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超伝導空洞の表面抵抗

加速空洞の表面抵抗

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残留表面抵抗：Rres＝２ ｎΩ とした

1.3 GHｚでは4.2K 0.5 µΩ
2K 13 nΩ
さらに下げてもRresが下限になる
100Ω

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R res = 33nΩ
10R BCS

142

R res = 7.8nΩ

33T[K]

Tc /T245500MHzの実測

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加速空洞の表面抵抗

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超伝導Pill box空洞の power loss
Nb, 1.3 GHzなら冷凍機電力を配慮する必要がある。

２Kでは無負荷Q：Q0 = 1.9x1010
shunt impedance：Ro = 4x1012 Ω

２Kでの 35 W/m は35 kW/m程度の電力を消費する

10 MV/mなら ３ W/m
35 MV/mなら 35 W/m
CW運転が可能超伝導といえどもパルスにする必要がある。
ただし、常伝導に比べるとduty cycleは３桁程度大きい値が可能である。

全長 20 kmでは 700 MWになるビームへの電力は35 MV/m x 10 mA = 350 kW/m
これに比べると、空洞損失は無視できる（高効率）

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加速空洞の表面抵抗

周波数依存性（超伝導）T. Furuya

超伝導pill box空洞のshunt impedance（超伝導空洞）
表面抵抗 ∝ ω2
単位長さ当たりの空洞損失 ∝ ω
単位長さ当たりの蓄積エネルギー ∝ ω-2
無負荷Q値 ∝ ω-2
単位長さ当たりのR/Q ∝ ω
単位長さ当たりのシャントインピーダンス∝ ω-1

超伝導では低い周波数の方が得
しかし、Rresが支配的であれば高い周波数が得。

Rres = 10 nΩとした

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加速空洞の表面抵抗

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磁場の効果
面積Aに磁場Bextがトラップされると臨界磁場Hc2はBc 2 =ABext = Nφ
φは量子磁束。
一本の磁束の周囲にはπξ2の常伝導スポットができる。ξはコヒーレンス長。
その抵抗はRn。

12πξ

2φ

付加的な抵抗増加は

Rmag =Bext
Rn2 Bc 2

磁場による付加的な抵抗RmagはRmag = Nπξ 2A

Rn =Bext πξ 2 Rnφ

Rn/Rsは～105、Nbの臨界磁場は200 mTであるから、40 mGauss程度でRmagはRsに相当する。（Q値が半減）

Rn ∝ ω0.5であるから、この効果は周波数が高い方が厳しくなる。

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加速空洞の表面抵抗

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Q-disease
Thermal cycles on the 1.5 GHz Cavity
Temperature ( K )

300

2001h

2ha baNb中の水素の効果
冷却すると格子から追い出された水素が表面に移動して水素化物を作る。
昇温すると再びNb中に溶け込む。

70h3h

1000c
200d a40Time (hours)

da60a120

危険な温度領域は100K～160K。

(a)
10Q = f ( E acc ) after thermal cycles

11（対策）
急激に冷却：水素が移動できないアニール：700度付近の真空アニールで水素を除去する

abcd

Q

010 10fast
1h

10 92h3-70h

1080

369E acc ( MeV / m )1215(b)B. Bonin and W. Roth, Proc. of the 5th Workshop on RF Superconductivity,DESY, Germany, 1991, DESY-M-92-01, p.210.

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最大加速電場
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マルチパクティング放電
黎明期の電圧制限
Stanfordの２～３ MV/ｍもこれが原因。
対策として、球形形状が提案された(1978年）。
大きな効果があった。
ワンポイントMPは解決。
赤道部付近の２点間MPが残った。
サイクロトロン運動

F = q ⋅ v ⋅ B = m ⋅ r ⋅ω 2q⋅Bω=m

同期条件としてωr = n ⋅ ωm ⋅ ωr
B=n⋅q

周波数が高ければ同期する磁場は高い

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最大加速電場

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熱的超伝導破壊（Thermal breakdown)
表面の欠陥や不純物によって生じた局部的な超伝導破壊がもたらすジュール熱で、常伝導部がさらに拡大する。
右図で、中心の不純物の発熱は

1Q& = Rn H 2πa 22a≪dであれば、(a)は(b)ｎ近似できて

dT− 4πr κ= 2Q&
dr24κ (Ta − Tb )H=aR nOHO’06
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最大加速電場

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熱的超伝導破壊（Thermal breakdown)
不純物表面がTcに達したときに、超伝導破壊が発生する。

4κ (Tc − Tb )H max =aRn

Rn = 10 mΩの銅(a = 100µm)が、熱伝導度
κ = 50 W/m・Kのニオブに埋め込まれていれば、Tc = 9.2Kであるから、Tb = 2KではHmax = 3.8x104 A/mになる。これが磁場の強い赤道部にあれば、加速電場は16 MV/mがリミットになる。

熱伝導度の良い材料は必要。
高純度材料。
RRRで評価kする。

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最大加速電場

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電子放出
Fowler & Nordheimの式

I ∝ (β E )2.5⎛ − βφ 1.5 ⎞⎟⎟
exp⎜⎜
βE
⎝
⎠

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最大加速電場
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最近の結果から空洞形状を変えて（最大表面磁場を下げる努力）、電場を上げる。
S. Mishra, ILC-America, 2006, Fermi Lab.

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最近の結果からそれぞれが50MV/mに達している9セル空洞でも再現できるか？
製作工程への影響はない？

最大加速電場
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S. Mishra, ILC-America, 2006, Fermi Lab.

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最大加速電場
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最近の結果からDESYが過去１０年間に計測した９セル空洞の性能一覧。
ＩＬＣ ＧＤＥ Ｍｅｅｔｉｎｇ，2006, India

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パルス運転

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高い加速電場は冷凍機への負荷を減らすために、超伝導空洞でもパルス運転にせざるを得ない

パルス運転の影響として
１）エネルギー効率
超伝導空洞では時定数が長くなるため、パルス前後の立ち上がり、立下りが無視できない。
２）ローレンツ･デチューニング
立ち上がり時の電磁場によって空洞が変形して共振周波数がずれる。
そのため空洞電場は不安定になる。
それを補うために電力源に余裕が必要になる。

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パルス運転

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KEK超伝導空洞の時定数はどのくらいか
超伝導空洞ではビーム負荷でQ値が決まる
Æ 電力源から見ると、空洞ロスとビーム負荷とは区別できない
Q値の定義

最適結合はビーム電力で決まる（空洞損失が無視できるから）dU(t)ω= − U(t) .
dt
QPc + Pb Pb
β=
≈>> 1
Pc
Pc

エネルギーの減衰ωU (t ) = U 0 e
電場の減衰

E (t ) = E 0 e

-- t
Q

ω
2Q

t

Vc2
Qopt = QL =Pb (R Q )OHO’06
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パルス運転

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立ち上がりと立下り
最適結合はビーム電力で決まる（空洞損失が無視できるから）β=

Pc + Pb Pb
≈
>> 1
Pc
Pc

Vc2
Qopt = QL =Pb (R Q )Pill boxならば
35 MV/m x 10ｍAとしてQL =Qopt = ２ｘ１０６であり、電圧の時定数は τ = 2Q/ω = 500µsになる。

この立ち上がり、立下りが無視できる位の長いパルスが有利。

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パルス運転

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ローレンツ・デチューニング
変形の例

大内伸夫,ＯＨＯ01テキスト“線形加速器III”、超伝導陽子加速器について

Feed Forward
ビームの入射と同時に、必要な周波数変化を与えて変形による分をキャンセルする。
空洞の個性も吸収しなければならない。

T. Furuya

S. N. Simrock at al., Proc. of LINAC2002, p.556, Korea, 2002

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パルス運転

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ローレンツ・デチューニング
共振の半値幅1^

Z = R01 + i(ω ω0− )QLω0 ω^jψ=Rcosψe0Z

R 0 = R Q ⋅ QLtanψ = −2QL2∆f∆f=−ff FWHM

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パルス運転

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ローレンツ・デチューニング
空洞への入力222⎤⎞⎛⎞
VC2 β 0 (1 + β 0 )V1 ⎡⎛ Vbr222br⎟⎟ cos ψ ⋅ sin ψ ⎥⎢⎜⎜1 +cos ψ ⎟⎟ + ⎜⎜Pg =22R Q ⋅ Q0 4 β 0 cos ψ ⎢⎝ VC⎥⎦⎠ ⎝ VC ⎠⎣最適結合状態なら、設計電流時にPg = Pb

Pb:設計ビーム電力

12=1+tanψ
2cos ψを用いて、∆P 1 ⎛ 2 ∆f ⎞⎟⎟= ⎜⎜Pb 4 ⎝ ∆f FWHM ⎠2

電力の余裕を10%以内にするには周波数の変動を130 Hz以内にしなければならない(QL＝２．６ｘ１０６として）運転電圧が高くなると２乗で増える。

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まとめ
T. Furuya

ILC超伝導空洞リニアック
１）ついに実用加速電場が30 MV/mを超える。
２）超伝導を使うとエネルギー効率は高く、RFのピーク電力は小さい。
３）しかし電場が高いと、超伝導といえどもパルス運転になる。
これは冷凍機の負担軽減のため。
４）超伝導空洞の長い時定数のため、パルスは長い方が得。
そのためダンピングリングは大きくなる。
５）薄板構造のため、ローレンツ・デチューニングが発生。
その対策が必要。
６）全体設計の肝心かなめは加速電場の設定値。
空洞性能をばらつかせる原因はなに？解決にはまだまだ時間がかかる？