計測自動制御学会産業論文集  Vol. 9, No.17, 120 / 126 (2010) 

最適制御を用いたDCモータの２段階制御†
小川裕充* 大野真人* 坂直宏* 石田義久**

Two Stage Control of a DC Motor Using an Optimal Control Scheme
Hiromitsu Ogawa, Manato Ono, Naohiro Ban, and Yoshihisa Ishida
Abstract: This paper describes a two stage control system based on an optimal control scheme with the observer for a motor
position control. It is combined a speed control system and a position control system, which are designed by an optimal control.
The speed control system controls the speed before a changeover point, and the position control system controls the position after
the changeover point. To change the control system continuously, the changeover point has to be determined pertinently and thecontrolled plant input has to be adjusted by adding an appropriate value. The position control system controls the position fromthe changeover point to the set-point, so that the overshoot is independent of the set-point. The proposed method has nosteady-state error in the disturbance response by using an observer. It can be applied to not only two outputs system but also one
output system. We applied the proposed design method to a motor control and obtained the good performance.
Keywords: Speed control system, Position control system, Observer, Optimal control, Motor

入力側外乱による定常偏差も残り，さらに制御対象が 1

１．はじめに入力 2 出力系である必要もあった．これは，単純に状態フィードバックなどの制御手法を取り入れるだけでは解決

電気モータは，家電製品をはじめ，車，輸送機器，ロすることができない問題であった．

ボット，発電所など産業界で幅広く利用されているデバイ

本論文では，速度制御と位置制御をそれぞれ最適制御理スの一つである．特に近年ではハイブリット車や電気自動論に基づいて設計し，オブザーバを用いて連続的に切替え車でのモータ制御はキーテクノロジーの一つになってきて制御する方法を提案する．この結果，速度制御においてている．このようなモータの利用範囲拡大から，高精度なも安定な制御系を構成することができた．提案する制御シモータ制御が注目され，研究が盛んに行われている 1)～4)．
さて，工業用途で最も一般的に利用されている PID 制

ステムでは，位置制御時に速度制御時の制御対象への入力と等しくなるように設計することで速度制御から位置制

御手法は移動距離が大きいとワインドアップ現象を生じ御に連続的に切替える．また，従来法で用いた制御対象そる場合があることから，現在，数々の解決法が提案されてのものの出力でなく，オブザーバを用いることで制御対象いる 5)～7)．また，移動距離が大きくなるにつれ，オーバーの状態を推定し，その状態をフィードバックすることによシュート量が大きくなる欠点もある．

り，入力側外乱による定常偏差を除去することができた．

これらの問題を解決する方法の一つとして，速度制御と本論文は 5 章から構成されている．2 章は制御システ

位置制御を組み合わせることで，目標距離に関係なくオームの構成を示す．3 章は最適制御理論を用いた位置制御，バーシュート量を一定にできる制御方式（２段階制御）が速度制御の設計法を示す．4 章は２段階制御において連続提案された 8)．この制御方法は，切替え点までは速度制御的に制御手法を切替える方法について述べる．5 章では実を行い，切換え点後は位置制御に切替えて制御を行う．こ機実験により提案法の有効性を実証する．6 章は結論であの方法は位置制御系の設計法を利用して２段階制御を行る．

うため，速度制御時に不安定となる問題があった．また，２．制御装置の構成† International Conference on Computer and Automation Engineering
2009で一部発表

Fig. 1 に実験装置の構成図を示す．本装置は制御対象* 明治大学大学院理工学研究科 川崎市多摩区東三田1-1-1** 明治大学理工学部 川崎市多摩区東三田1-1-1* Graduate School of Engineering, Meiji University, Kawasaki** School of Science and Technology, Meiji University, Kawasaki(Received January 21, 2010)
TRIA 017/10/0917 © 2010 SICEである DC モータ，DC モータに取り付けられたエンコー
ダ，エンコーダの情報を計測するカウンタ，制御情報を送信する Host PC，演算部の 32 ビットコンピュータ（Target120PC）および 12 ビットの D/A 変換器で構成されている．

Rm は電機子抵抗である．状態方程式を以下に示す．
x (t )  Ax (t )  Bu p (t )DC モータは PID 社製（PID-QET ii）を試験的に用いてい(3)y (t )  Cx (t )ここで，状態変数をる．DC モータの出力定格は 18W であり，DC モータ先端(4)x (t )   x1 (t ) x2 (t )には半径が 0.0248m，質量が 0.068kg の慣性負荷ディスクTが取り付けられている．DC モータの最大入力電圧は±5V(5)とし，x1(t)をモータの位置，x2(t)を速度とするとである．さらに, エンコーダは 1.534  103 rad/count の分解

0 1 0A , B    , C  1 0
0
a
b 

能のものを用いている．

(6)制御の概略は以下のようである，まず Host PC から操作となる． つぎに(3)，(4)式をサンプリング時間Tsで零次ホ量が出力され，その操作量が Target PC に搭載されている

ールド法11)により離散化すると状態方程式は以下のよう

D/A コンバータによりアナログ電圧になり，DC モータにになる．

入力される．そして DC モータの回転角度は，エンコーダ

x ( k  1)  Ad x ( k )  Bd u P ( k )(7)からカウンタに取り込まれ，パルスをカウントすることにy(k )  Cd x (k )(8)より得る．なお，カウンタのサンプリング時間は 40ns で

ここで，Ad，Bd，Cd は A，B，C をそれぞれ零次ホールドある．

法で離散化した行列である．つぎに目標値を r(k)として制御対象の拡大系プラントを以下の状態方程式で考える．

Angle

Motor
±5V

D/A Con.

Encoder

12bit

Ａ相・Ｂ相

Target PC

Δx (k  1)   Ad
 e ( k )   C dCounter0   Δx (k )   Bd Δu (k )
1  e(k  1)   0  P

 Δx (k ) e(k  1)  0 1 e(k  1) Count(9)
(10)

ここで,

TCP/IP

Host PCe( k )  r ( k )  y ( k )x ( k )  x ( k )  x ( k  1)

(11)
(12)

u P ( k )  u P ( k )  u P ( k  1)(13)とし，以下の評価関数 J の値が最小となる uP (k ) を求める．

Fig. 1 Block diagram of the control systemJ   e( k  1)T Qe(k  1)  uP (k )T RuP (k )k 0

３．積分型最適制御系の設計(14)

ここで， Q( 半正定対称行列)は偏差に対する重み行列でR(正定対称行列)は操作量に対する重み行列であり，(14)最適制御理論に基づく制御系設計法は，制御対象への式ではいずれもスカラー量である．Q を大きくすると速応入力のエネルギーをなるべく小さくし，さらにできるだけ性が増し，R を大きくすると操作量を抑えることができる．

速やかに制御対象の内部状態を収束させる理論である

一般的には状態変数と操作量が評価関数として用いられ9),10)．本研究では，積分型最適レギュレータを用いることるが，本研究では設計を簡単にするために目標値との偏差で，入力をできるだけ緩やかに変化させ，かつ制御対象のと操作量を評価関数とした．u P ( k ) は以下のようになる．

出力を目標値にできるだけ速やかに収束させる．制御対象は，1 入力 1 出力（SISO）とし，以下の伝達関数とする．

G ( s) Y ( s)bU p ( s) s(s  a)

uP (k )  F3

ここで, F3   f 31(1) x (k ) F4  
e(k  1) (15)f 32 , F4  f 4 である．同様に速度制御系に対しても最適制御理論を適用して設計を行い，ゲインをここで Up(s)，Y(s)はそれぞれ入力 up(t)および出力 y(t)のラそれぞれ F1  0

プラス変換を表し，a，b はakm 2k,b  mJ eq RmJ eq Rm(2)f12 , F2  f 2 とする．

４．２段階制御方式

また，Jeq は慣性モーメント，km はモータのトルク定数，121

uo (n)  F3 xm (n)  F3 M

Fig. 2 に制御システムのブロック線図を示す．ここで上式における M は(18)式と(19)式が等しくなるように決フィードバックゲイン F1～F4 は 3 章の最適制御理論を適定すると以下のようになる．

用して求めたゲイン，C’m を  0 1 ，v(k)は目標速度，d(k)M   xm1 ( n)は外乱，r(k)は目標位置，y(k)はモータの位置を示し，オブザーバの状態変数はxm (k )   xm1 (k ) xm 2 (k )

TT(20)ある．(20)式を導入することにより速度制御と位置制御の状態フィードバックは切替え点で等しくなる．一方，速度２段階制御では，まず速度制御を行うため，Fig. 2 中の制御，位置制御での制御対象への入力 uP (n) はそれぞれ以各スイッチを(i)側にする．そして，切替え点（速度制御か下のようになる．

ら位置制御に切替える時刻）で位置制御に切替えるため，

速度制御：
n 1

各スイッチを(i)側から(ii)側に切替える．制御対象への入uP ( n)  uo (n)  F2  e(i)

(21)

i 0

力は速度制御時，位置制御時ともに位置制御：(17)u p ( k )  u ( k )  uo ( k )n 1uP (n)  uo (n)  F4  e(i )  wとなる．速度制御から位置制御に連続的に切替えるために

(22)

i 0

ここで w は速度制御時の制御対象への入力が位置制御時

は 切 替え 点 k  n 前後 で の速 度制御 と 位置 制御の入力と等しくなるように以下のように決定する．

up(k)が等しい必要がある．まず速度制御と位置制御の状態

n 1w   F4  F2   e(i )フィードバック uo(n)について考える．切替え点 n での状

(23)

i 0

態フィードバック uo(n)を以下に示す．

つぎに切替え点の設計を行う．切替え点が不適当であっ速度制御：ては，速度制御から位置制御に連続的に切替えることがで
uo (n)  f12 xm 2 (n)(18)

きないため，切替え点の設計は非常に重要である．ここで

位置制御：

簡略化のため切替え点のつぎのステップでのオブザーバ

SwitchSwitch+(ii)

d (k)

(i)

(i)
e (k)

r(k)

f12  
1  v
f 32  

ここで，xm1(n)は切替え点での推定位置，v は設定速度で(16)で与えられ、xm1(k)は推定位置，xm2(k)は推定速度を示す．

v(k)

(19)

 f 31 xm1 (n)  f 32 xm 2 (n)  F3 M

制御対象モデルとオブザーバの各パラメータは同じとし，z 11  z 1

F2uP (k)

u (k)
－+w

－+

Bd+

F4

Motor+++(ii)

(i)

(ii)
C’m(ii)Fig. 2 The proposed system

122x (k)－+z 1++Cm

Am

Switch(i)Ad－Bm

SwitchCd

PID Con.

Observeruo (k)

y (k)

z 1

F1
F3

xm (k)+－M

の状態変数をそれぞれ7.85

xm1 (n  1)  xm1 (n)  v  Ts(24)xm 2 (n  1)  v

(25)

(1)

(2)6.28とする．(18)式～(25)式より，切替え点後の制御対象へのuP (n  1)  uP (n)  f 31  v  Ts  F4  p

Angle [rad]入力は，切替え点における偏差を p とすると(26)となる．連続的に切替えるため，切替え点と切替え点後の入力を up(n)  up(n+1)とする．その時，偏差 p は
p  r ( n)  y ( n)f  v  Ts
 31F44.71

3.14(27)(28)1.57となる．本研究では目標位置との偏差が(28)式を満たし00た時，速度制御から位置制御に切替える．
ところで，Fig. 2 においてオブザーバの部分に PID コントローラを設けているが，これは実機実験の結果に基2468Time [s](1) r = 3.14rad (2) r = 6.28radFig. 3 The simulation result

10づいている．すなわち，一般的なサーボ系では局所的な3 章より以下の式で与えられる．

フィードバックにオブザーバ出力を，主フィードバックに制御対象の出力を用いるが，本研究では主フィードバ

G(s) ックにオブザーバによる推定値を用いているため，オブ159
s ( s  14.0)(29)

ザーバゲインだけでは操作量が微小となり，静摩擦によサンプリング時間は 10ms とし，目標角度はそれぞれり制御対象を動かすことができなかった．そこで，積分

3.14rad，6.28rad とし，角速度を 1.57rad/s，位置制御では器を設け，さらに安定性と速応性を改善するために微分

Q / R  0.1 ，速度制御では Q / R  10 として最適制御理論器を導入した． I ゲインと D ゲインは安定性を考慮しなに基づいて設計した．そのシミュレーション結果を Fig. 3

がら，試行錯誤的に求め，P ゲインは通常のオブザーバに示す．図から明らかなように，速度制御から位置制御にゲインから求めた．

連続的に切替っていることがわかる．また，オーバーシュート量が移動角度によらずほぼ一定であることもわかる．

周知のように，摩擦補償の一つにディザ信号を加える方式があるが，本研究ではアルゴリズムを簡素化するた

5.2

め， PID コントローラを用いている．

オーバーシュート量の制御

一方，静摩擦などの外乱の影響を軽減する方法としてつぎに，位置制御のみの場合と２段階制御の場合とで，外乱オブザーバがあるが，本研究では上記のように，通目標角度の違いによる DC モータのオーバーシュート量常の状態オブザーバと PID コントローラを組み合わせたの実機実験による結果を示す．Fig. 3 のような応答波形方法を提案する．なお，この方法の有効性については PID

で示すとオーバーシュート量を明確に表現できないため，ゲインの決定法と併せて今後の課題としたい．

Table 1 のように数値で表すことにする．位置制御のみの制御システムに対しては，Q / R  0.1 として最適制御理論５．実験結果および考察で設計を行い，各ゲインを求めた．サンプリング時間は5.1

10ms とした．２段階制御は，角速度は 1.57rad/s とし，速速度・位置最適制御による２段階制御

度制御に対して Q / R  10 として最適制御理論で設計を
まず，提案法により設計された 2 段階制御のシミュレー行い，各ゲインを求めた．また，オブザーバフィードバッション実験を行い有効性を確認した後，実機実験の結果をクに用いた PID コントローラのゲイン kp を 1，ki を 0.03，示す．本研究で用いた制御対象の DC モータの伝達関数は，kd を 0.1 とした．Table 1 から提案法ではオーバーシュー

123

Table 1 The over shoot of only he position control andthe two stage control

11.00
(1)

2 段階制御3

Angular velocity [rad/s]

オーバーシュート量 [rad]目標角度 [rad]位置制御のみ41.418  1033.141.534  106.281.534  10387.438  1039.421.534  103141.128  10312.601.534  103184.080  103(2)9.42

ト量が目標角度によらず，ほぼ一定であり，エンコーダの7.85
6.28
4.71
3.141.57分解能程度であることがわかる．なお，実機実験による応00

答波形は Fig. 4~Fig. 6 に示す．

5.3246Time [s]810(1) Without M and w (2) With M and w
Fig. 5 The result of the angle velocity

提案法による２段階制御

Fig. 4, 5 は，提案法により設計された M と w の有効5.4性について実機実験した結果である．サンプリング時間は10ms とし，目標角度は 9.42rad，角速度を 1.57rad/s，位置外乱による影響

目標角度を 9.42rad，角速度を 1.57 rad/s，サンプリング制御では Q / R  0.1 ，速度制御では Q / R  10 として実験

時間を 10ms，外乱は制御対象の入力側に－0.2V を 4s とを行った．Fig. 4, 5 より，M と w がない場合，位置制御－0.5V を 8s に加え，位置制御は Q / R  0.1 で設計を行い，に切替えた際に発散しているが，これらを付加した場合，速度制御と位置制御を連続的に切替えることができ，目標速度制御の Q / R を 1000，10， 0.001 として設計を行った．
従来法は, Q / R  1.0  104 で位置制御に対してのみ最適角度に整定していることがわかる．なお，位置制御に対し制御理論を用いて設計し，２段階制御を行った．その結果てのみ最適制御理論を用いて設計する従来法では，たとえを Fig. 6 に示す．図から，従来法は外乱による定常偏差

ば Q / R  0.1 の場合，速度制御において発散している．

が残るが，提案法では定常偏差が残らないことがわかる．
また，速度制御時の外乱に対しても，目標速度に復旧して11.00(1)いることがわかる．

(2)

9.42

６．結論
Angle [rad]7.85
本論文では，速度制御から位置制御に切替えることで，6.28

オーバーシュート量が目標位置によらず常に一定になる4.71

ことを市販の DC モータで実験的に示した．
この設計方法は，モータのようなサーボ系プラントに対3.14して位置制御，速度制御にそれぞれ最適制御理論を適用し1.57
00て設計する．まず，制御対象を目標位置によらず速度制御を行い，速度を一定にする．つぎに，切替え点で位置制御

246Time [s]810(1) Without M and w (2) With M and w
Fig. 4 The result of the proposed method without M, w
, and with M, wに切替え，位置に対して制御を行う．位置制御に切替わる
位置が目標位置によらず常に一定となるため，オーバーシュート量が一定値となる．

124

11.00

(1)

(2)

(3)

6) Y. Peng, D. Vrancic, and R. Hanus : Anti-windup, bumpless,and conditioned transfer techniques for PID controllers,IEEE Control Syst. Mag., 16-4, 48/57, Aug.(1996)
7) D. Zhang and H. Li : A stochastic-based FPGA controller for
an induction motor drive with integrated neural network
algorithm, IEEE Trans. Inst. Electr., 55-2, 551/561, Feb.
(2008)
8) 遠藤勝久，石田義久，本多高，小川康男 : 空気圧シリンダのディジタル制御, 計測自動制御学会論文集，26-4,397/404(1990)
9) D. McDonald : Nonlinear techniques for improving servo
performance, Proc. National Electr. Conf., 6, 400/421(1950)
10) N. Weiner : Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of
Stationary Time Series, MIT Technology Press, Cambridge,
MA(1950)
11) G. F. Franklin, J. D. Powell and M. L. Workman : Digital
Control of Dynamic Systems, 41/47, Addison-wesley, NewYork(1990)(4)

9.42Angle [rad]

7.85
6.28
4.71
3.14
1.57
00246Time [s]810(1) Q / R  1000 (2) Q / R  10(3) Q / R  0.001 (4) Conventional method
Fig. 6 The result of the proposed method and the conventionalmethod

従来法では，位置制御で求めたパラメータをそのまま速度制御にも用いていたが，提案法では，速度制御と位置制御とでそれぞれ別個に最適制御理論を適用して設計を行った．その結果，速度制御時の安定性が向上した．また，従来法と異なり，提案法ではオブザーバによる状態フィードバックを構築し，入力側外乱による定常偏差を改善した．
さらに，移動距離によらず速度を一定に制御するため，目標位置に対してワインドアップ現象を気にせず制御することができた．
終わりに，本論文の改善に対し有益なコメントを下さった査読者の方々に感謝します．

参考文献
1) T. S. Hwang and J. K. Seok : Observer-based ripple force
compensation for linear hybrid stepping motor drives, IEEETrans. Inst. Electr., 54-5, 2417/2424, Oct.(2007)2) M. Y, Cheng and C. C. Lee : Motion Controller Design for
Contour-Following Tasks based on Real-Time Contour Error
Estimation, IEEE Trans. Inst. Electr., 54-3, 1686/1695,June(2007)
3) R. J. Wai and C. C. Chu : Motion Control of linear induction
motor via Petri Fuzzy neural network, IEEE Trans. Inst.
Electr., 54-1, 281/295, Feb.(2007)
4) Y. X. Su, C. H. Zheng, and B. Y. Duan : Automatic
disturbances rejection controller for precise motion controlof permanent-magnet synchronous motors, IEEE Trans. Inst.
Electr., 52-3, 814/823, June(2005)
5) J. W. Choi and S. C. Lee : Antiwindup Strategy for PI-Type
Speed Controller, IEEE Tran. Inst. Electr., 56-6, 2039/2046,June(2009)125

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[著小川裕

者

紹介]

充（学生会員）2007 年 3 月豊橋技術科学大学工学部物質工学課程卒業．同年 5 月株式会社ランドマーク入社．同年 12 月同社退社．2008 年 4 月明治大学
大学院理工学研究科電気工学専攻入学．最適制御を応用したアクチュエータの制御研究に従事．

大野真人2009 年 3 月明治大学理工学部電子通信工学科卒業．同年 4 月同大学院理工学研究科電気工学専攻入学．単純適応制御を応用したアクチュエータの制御研究に従事．

坂直宏
2009 年 3 月明治大学理工学部電子通信工学科卒業．同年 4 月同大学院理工学研究科電気工学専攻入学．輸送機器の自動制御，周波数整形法を用いたアクチュエータの制御研究に従事．

石田義久（正会員）1970 年 3 月明治大学工学部卒業．1972 年 3 月
同大学院工学研究科電気工学修士課程終了，1975 年 3 月同大学院工学研究科電気工学博士
課程単位取得退学，1978 年工学博士（明治大学）．明治大学工学部助手，専任講師，助教

授，教授を経て現在理工学部教授．ディジタル制御，音声信号処理の研究に従事．電子情報通信学会，日本音響学会，日本シミュレーション学会の会員．
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