La cryptographie dufutur
Abderrahmane
NITAJ

La cryptographie du futur
Abderrahmane NITAJLaboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme
Université de Caen, France

Rabat, 16 juin 2011

La cryptographie du
futur

CONTENU

Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur1 Le passéConclusion

2 Le présent

3 Le futur

4 Conclusion

La cryptographie du
futur

CONTENU

Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur1 Le passéConclusion

2 Le présent

3 Le futur

4 Conclusion

La cryptographie dufutur

Le passé

Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

L’antiquité (1)• L’écriture hiéroglyphique égyptienne date de 4 000 ans

et peut être considérée comme la premièremanifestation de la cryptographie.
=?

La cryptographie dufutur

Le passé

Abderrahmane
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Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

L’antiquité (1)• L’écriture hiéroglyphique égyptienne date de 4 000 ans

et peut être considérée comme la premièremanifestation de la cryptographie.
=CryptographieLa cryptographie dufutur

Le passé

Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

L’antiquité (1)• L’écriture chinoise, à base de pictogrammes date de3500 ans et a longtemps servi comme procédé
cryptographique.
=?

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Le passé

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Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

L’antiquité (1)• L’écriture chinoise, à base de pictogrammes date de3500 ans et a longtemps servi comme procédé
cryptographique.
=MargueriteLa cryptographie dufutur

Le passé

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La deuxième guerre mondiale
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion• Pendant la deuxième guerre mondiale, les américains

avaient utilisé la langue des Indiens Navajos pourcommuniquer.

La saga des Indiens Navajos
fut transformé en filmLa cryptographie dufutur

Le passé

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La deuxième guerre mondiale
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion• Pendant la deuxième guerre mondiale, les américains

avaient utilisé la langue des Indiens Navajos pourcommuniquer.

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Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Le passé
L’antiquité (2)• Le chiffre de César : Il s’agit de décaler les lettres del’alphabet de quelques rangs vers la droite ou lagauche.

Jules César
A
↓
D

B
↓
E

C
↓
F

D
↓
G

E
↓
H

F
↓
I

...
...
...

W
↓
Z

X
↓
A

Y
↓
B

Z
↓
C

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Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Le passé
Le moyen âge (1)• L’analyse fréquentielle : il s’agit de comparer lafréquence d’apparition d’une lettre dans dans un textecodé et dans l’alphabet utlisé.
• Découverte par Al Kindi (801-873)

 K ­ñK ñK @
ø YJºË@ A m @ áK. @ H. ñ®ª.

• En français, les principales fréquences sont lesuivantes :

E
16

A
9.5

S
8

I
7.5

...
...

K
0.1

W
0

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Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Al Kindi ø YJºË@ Am @ áK. @ H. ñ®ªK ­ñK ñK. @La cryptographie dufutur
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Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Al Kindi ø YJºË@ Am @ áK. @ H. ñ®ªK ­ñK ñK. @La cryptographie dufutur

Le passé

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Le moyen âge (2)Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion• Le chiffre de Vigenère (1523-1596) : Il s’agit de décaler

les lettres de l’alphabet de en utlisant une clé
composée de lettres avec les translations avec A→ +0,
B→ +1, C→ +2,..., Z→ +25.

Vigenère• Décrypté par Charles Babbage en 1846.

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Le passé

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Le passé
Le présent
Le futur

Le moyen âge (2)Conclusion• Le chiffre de Vigenère (1523-1596).
• Exemple :Texte = CRYPTOGRAPHIE A RABAT.
Clé = CASA.
+
=

CRYP
CASA
ERQP

TOGR
CASA
VOYR

APHI
CASA
CPZI

E
C
G

A
C
C

RABA
CASA
TATA

T
C
V

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Le passé

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Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

La deuxième guerre mondiale (1)• Enigma : inventée en 1919 par Arthur Scherbius, cettemachine a été intensivement utilisée par les allemands
pendant la deuxième guerre mondiale.
• La dernière machine fut décryptée par Alan Turing en

1943.

La machine enigma

Alan TuringLa cryptographie du
futur

CONTENU

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Le passé
Le présent
Le futur1 Le passéConclusion

2 Le présent

3 Le futur

4 Conclusion

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Le présent

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Le passé

La cryptographie moderne

Le présent
Le futur
Conclusion

Quelques dates importantes.
• 1883 : Les principes de Kerckhoffs :“Le système doit être matériellement, sinon
mathématiquement, indéchiffrable; ”.
• 1976 : Les principes de la cryptographie à clé publiquede Diffie et Hellman.
• 1978 : Invention du cryptosystème RSA par Rivest,

Shamir et Adleman.
• 1978 : Invention du cryptosystème McElliece.
• 1982 : Invention de l’algorithme LLL par Lenstra,

Lenstra et Lovasz.

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Le présent

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Le passé

La cryptographie moderne

Le présent
Le futur
Conclusion

Quelques dates importantes.
• 1883 : Les principes de Kerckhoffs :“Le système doit être matériellement, sinon
mathématiquement, indéchiffrable; ”.
• 1976 : Les principes de la cryptographie à clé publiquede Diffie et Hellman.
• 1978 : Invention du cryptosystème RSA par Rivest,

Shamir et Adleman.
• 1978 : Invention du cryptosystème McElliece.
• 1982 : Invention de l’algorithme LLL par Lenstra,

Lenstra et Lovasz.

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Le présent

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Le passé

La cryptographie moderne

Le présent
Le futur
Conclusion

Quelques dates importantes.
• 1883 : Les principes de Kerckhoffs :“Le système doit être matériellement, sinon
mathématiquement, indéchiffrable; ”.
• 1976 : Les principes de la cryptographie à clé publiquede Diffie et Hellman.
• 1978 : Invention du cryptosystème RSA par Rivest,

Shamir et Adleman.
• 1978 : Invention du cryptosystème McElliece.
• 1982 : Invention de l’algorithme LLL par Lenstra,

Lenstra et Lovasz.

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Le présent

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Le passé

La cryptographie moderne

Le présent
Le futur
Conclusion

Quelques dates importantes.
• 1883 : Les principes de Kerckhoffs :“Le système doit être matériellement, sinon
mathématiquement, indéchiffrable; ”.
• 1976 : Les principes de la cryptographie à clé publiquede Diffie et Hellman.
• 1978 : Invention du cryptosystème RSA par Rivest,

Shamir et Adleman.
• 1978 : Invention du cryptosystème McElliece.
• 1982 : Invention de l’algorithme LLL par Lenstra,

Lenstra et Lovasz.

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Le présent

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Le passé

La cryptographie moderne

Le présent
Le futur
Conclusion

Quelques dates importantes.
• 1883 : Les principes de Kerckhoffs :“Le système doit être matériellement, sinon
mathématiquement, indéchiffrable; ”.
• 1976 : Les principes de la cryptographie à clé publiquede Diffie et Hellman.
• 1978 : Invention du cryptosystème RSA par Rivest,

Shamir et Adleman.
• 1978 : Invention du cryptosystème McElliece.
• 1982 : Invention de l’algorithme LLL par Lenstra,

Lenstra et Lovasz.

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Le présent

Abderrahmane
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Le passé
Le présent

La cryptographie moderne
Quelques dates importantes.

Le futur
Conclusion• 1984 : Ebauche de la cryptographie quantique par

Bennett et Brassard.
• 1985 : Invention du cryptosystème El Gamal par T. El

Gamal.
• 1985 : Invention de la cryptographie basée sur les

courbes elliptiques ECC indépendamment par Koblitz
et Miller.
• 1994 : Algorithme de Shor pour la factorisation par lesordinateurs quantiques.
• 1996 : Invention de NTRU par Hoffstein, Pipher etSilverman.

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Le présent

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La cryptographie moderne
Quelques dates importantes.

Le futur
Conclusion• 1984 : Ebauche de la cryptographie quantique par

Bennett et Brassard.
• 1985 : Invention du cryptosystème El Gamal par T. El

Gamal.
• 1985 : Invention de la cryptographie basée sur les

courbes elliptiques ECC indépendamment par Koblitz
et Miller.
• 1994 : Algorithme de Shor pour la factorisation par lesordinateurs quantiques.
• 1996 : Invention de NTRU par Hoffstein, Pipher etSilverman.

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Quelques dates importantes.

Le futur
Conclusion• 1984 : Ebauche de la cryptographie quantique par

Bennett et Brassard.
• 1985 : Invention du cryptosystème El Gamal par T. El

Gamal.
• 1985 : Invention de la cryptographie basée sur les

courbes elliptiques ECC indépendamment par Koblitz
et Miller.
• 1994 : Algorithme de Shor pour la factorisation par lesordinateurs quantiques.
• 1996 : Invention de NTRU par Hoffstein, Pipher etSilverman.

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Le présent

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Quelques dates importantes.

Le futur
Conclusion• 1984 : Ebauche de la cryptographie quantique par

Bennett et Brassard.
• 1985 : Invention du cryptosystème El Gamal par T. El

Gamal.
• 1985 : Invention de la cryptographie basée sur les

courbes elliptiques ECC indépendamment par Koblitz
et Miller.
• 1994 : Algorithme de Shor pour la factorisation par lesordinateurs quantiques.
• 1996 : Invention de NTRU par Hoffstein, Pipher etSilverman.

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Le présent

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Le passé
Le présent

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Quelques dates importantes.

Le futur
Conclusion• 1984 : Ebauche de la cryptographie quantique par

Bennett et Brassard.
• 1985 : Invention du cryptosystème El Gamal par T. El

Gamal.
• 1985 : Invention de la cryptographie basée sur les

courbes elliptiques ECC indépendamment par Koblitz
et Miller.
• 1994 : Algorithme de Shor pour la factorisation par lesordinateurs quantiques.
• 1996 : Invention de NTRU par Hoffstein, Pipher etSilverman.

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Le passé
Le présent

Le présent
RSA• Inventé en 1978 par Rivest, Shamir et Adleman.

Le futur
Conclusion• Problème difficile

Factorisation :Soit N = pq où p et q sont deux grands nombres
premiers. Factoriser N.

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Le passé
Le présent

Le présent
RSA• Inventé en 1978 par Rivest, Shamir et Adleman.

Le futur
Conclusion• Problème difficile

Factorisation :Soit N = pq où p et q sont deux grands nombres
premiers. Factoriser N.

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Le passé
Le présent

Le présent
RSA• Inventé en 1978 par Rivest, Shamir et Adleman.

Le futur
Conclusion• Problème difficile

Factorisation :Soit N = pq où p et q sont deux grands nombres
premiers. Factoriser N.

La cryptographie du
futur

RSA

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L’arithmétique de RSA
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion• p, q des nombres premiers, N = pq.
• ϕ(N) = (p − 1)(q − 1), (e, ϕ(N)) = 1, ed ≡ 1 (mod ϕ(N)).
• Les opérations consistent en des exponentiations.

c ≡ me (mod N),m ≡ cd (mod N).

• Complexité de l’exponentiation: O (log(N)).
• Problème difficile : La factorisation

Soit N = pq où p et q sont deux grands nombres
premiers, factoriser N.

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futur

RSA

Abderrahmane
NITAJ

L’arithmétique de RSA
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion• p, q des nombres premiers, N = pq.
• ϕ(N) = (p − 1)(q − 1), (e, ϕ(N)) = 1, ed ≡ 1 (mod ϕ(N)).
• Les opérations consistent en des exponentiations.

c ≡ me (mod N),m ≡ cd (mod N).

• Complexité de l’exponentiation: O (log(N)).
• Problème difficile : La factorisation

Soit N = pq où p et q sont deux grands nombres
premiers, factoriser N.

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Le passé
Le présent

Le présent
El Gamal• Inventé en 1985 par T. El Gamal ÈAÒm.Ì '@ Që A£

Le futur
Conclusion

http://www.youtube.com/watch?
v=vsgsSb5DGPg&feature=related• Problème difficile

Logarithme discret (DLP)
Soient g et b des nombres entiers et p un nombre
premier. Déterminer un entier a tel que ga ≡ b(mod p).

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Le passé
Le présent

Le présent
El Gamal• Inventé en 1985 par T. El Gamal ÈAÒm.Ì '@ Që A£

Le futur
Conclusion

http://www.youtube.com/watch?
v=vsgsSb5DGPg&feature=related• Problème difficile

Logarithme discret (DLP)
Soient g et b des nombres entiers et p un nombre
premier. Déterminer un entier a tel que ga ≡ b(mod p).

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AbderrahmaneNITAJEl GamalL’arithmétique d’El Gamal

Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion• p un nombre premier, g un générateur de F∗p .
• Les opérations consistent en des exponentiations.

b ≡ ga (mod p),
δ ≡ mbk (mod p)γ ≡ gk (mod p),m ≡ γ −a δ (mod p).

• Complexité de l’exponentiation gn (mod p) : O (log(n)).
• Problème difficile: Le logarithme discret (DLP)

Soient g et b des nombres entiers et p un nombre
premier, déterminer un entier a tel que ga ≡ b (mod p).

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AbderrahmaneNITAJEl GamalL’arithmétique d’El Gamal

Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion• p un nombre premier, g un générateur de F∗p .
• Les opérations consistent en des exponentiations.

b ≡ ga (mod p),
δ ≡ mbk (mod p)γ ≡ gk (mod p),m ≡ γ −a δ (mod p).

• Complexité de l’exponentiation gn (mod p) : O (log(n)).
• Problème difficile: Le logarithme discret (DLP)

Soient g et b des nombres entiers et p un nombre
premier, déterminer un entier a tel que ga ≡ b (mod p).

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Le passé
Le présent
Le futur

Le présent
ECC• ECC (Elliptic Curve Cryptography), inventé en 1985 par

Koblitz et Miller.

Conclusion• Problème difficile

Logarithme discret elliptique :Soient P et Q deux points d’une courbe elliptique E.
Déterminer un entier n tel que nP = Q.

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Le passé
Le présent
Le futur

Le présent
ECC• ECC (Elliptic Curve Cryptography), inventé en 1985 par

Koblitz et Miller.

Conclusion• Problème difficile

Logarithme discret elliptique :Soient P et Q deux points d’une courbe elliptique E.
Déterminer un entier n tel que nP = Q.

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Les courbes elliptiques :Equation de Weierstrass

Abderrahmane
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Le passé
Le présent
Le futur• K est un corps (Q, R, C, Fp ,...), a1 , a2 , a3 , a4 , a6 ∈ K.
• Une courbe elliptique sur K est définie par :• Une équation de Weierstrass (forme projective)

Conclusion

E:

Y 2 Z + a1 XYZ + a3 YZ 2 = X 3 + a2 X 2 Z + a4 XZ 2 + a6 Z 3 .

• Un discriminant ∆ 6= 0.
• Le point O = [0, 1, 0] est appelé point à l’infini.

• Pour Z 6= 0, on peut écrire x = XZ , y = YZ , et l’équation deWeierstrass devient (forme affine)E:y2 + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6 .

• L’ensemble des points K rationnels est

E(K) = (x, y) ∈ K2 , y2 · · · = · · · + a6 ∪ {O}.

La cryptographie dufutur

Les courbes elliptiques :Equation de Weierstrass

Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur• K est un corps (Q, R, C, Fp ,...), a1 , a2 , a3 , a4 , a6 ∈ K.
• Une courbe elliptique sur K est définie par :• Une équation de Weierstrass (forme projective)

Conclusion

E:

Y 2 Z + a1 XYZ + a3 YZ 2 = X 3 + a2 X 2 Z + a4 XZ 2 + a6 Z 3 .

• Un discriminant ∆ 6= 0.
• Le point O = [0, 1, 0] est appelé point à l’infini.

• Pour Z 6= 0, on peut écrire x = XZ , y = YZ , et l’équation deWeierstrass devient (forme affine)E:y2 + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6 .

• L’ensemble des points K rationnels est

E(K) = (x, y) ∈ K2 , y2 · · · = · · · + a6 ∪ {O}.

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Les courbes elliptiques :Equation de Weierstrass

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Le passé
Le présent
Le futur• K est un corps (Q, R, C, Fp ,...), a1 , a2 , a3 , a4 , a6 ∈ K.
• Une courbe elliptique sur K est définie par :• Une équation de Weierstrass (forme projective)

Conclusion

E:

Y 2 Z + a1 XYZ + a3 YZ 2 = X 3 + a2 X 2 Z + a4 XZ 2 + a6 Z 3 .

• Un discriminant ∆ 6= 0.
• Le point O = [0, 1, 0] est appelé point à l’infini.

• Pour Z 6= 0, on peut écrire x = XZ , y = YZ , et l’équation deWeierstrass devient (forme affine)E:y2 + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6 .

• L’ensemble des points K rationnels est

E(K) = (x, y) ∈ K2 , y2 · · · = · · · + a6 ∪ {O}.

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Les courbes elliptiques :Equation de Weierstrass

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Le passé
Le présent
Le futur• K est un corps (Q, R, C, Fp ,...), a1 , a2 , a3 , a4 , a6 ∈ K.
• Une courbe elliptique sur K est définie par :• Une équation de Weierstrass (forme projective)

Conclusion

E:

Y 2 Z + a1 XYZ + a3 YZ 2 = X 3 + a2 X 2 Z + a4 XZ 2 + a6 Z 3 .

• Un discriminant ∆ 6= 0.
• Le point O = [0, 1, 0] est appelé point à l’infini.

• Pour Z 6= 0, on peut écrire x = XZ , y = YZ , et l’équation deWeierstrass devient (forme affine)E:y2 + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6 .

• L’ensemble des points K rationnels est

E(K) = (x, y) ∈ K2 , y2 · · · = · · · + a6 ∪ {O}.

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Les courbes elliptiques :Représentation graphique

Abderrahmane
NITAJ
Le passé

Exemple 1 :Le présent
Le futur
Conclusion

Soit E/R définie par
E : y2 = (x2 + x + 14)(x + 1) = x3 + 2x2 + 15x + 14.

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Les courbes elliptiques :Représentation graphique

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Le passé

Exemple 2 :Le présent
Le futur
Conclusion

Soit E/R définie par
E : y2 = (x2 + x + 1)(x + 5) = x3 + 6x2 + 6x + 5.

La cryptographie dufutur

Les courbes elliptiques :Représentation graphique

Abderrahmane
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Le passé

Exemple 3 :Le présent
Le futur
Conclusion

Soit E/R définie par E :y2 = (x + 1)2 (x + 5).

Ceci n’est pas une courbe elliptique car ∆ = 0.

La cryptographie dufutur

Les courbes elliptiques :Représentation graphique

Abderrahmane
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Le passé

Exemple 3 :Le présent
Le futur
Conclusion

Soit E/R définie par E :y2 = (x + 1)2 (x + 5).

Ceci n’est pas une courbe elliptique car ∆ = 0.

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Les courbes elliptiques :Représentation graphique

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Exemple 4 :Le présent
Le futur
Conclusion

Soit E/R définie par E :y2 = (x + 8)(x + 1)(x − 2).

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Les courbes elliptiques :Représentation graphique

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Le passé

Exemple 3 :Le présent
Le futur
Conclusion

Soit E/R définie par E :y2 = (x + 2)3 .

Ceci n’est pas une courbe elliptique car ∆ = 0.

La cryptographie dufutur

Les courbes elliptiques :Représentation graphique

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Le passé

Exemple 3 :Le présent
Le futur
Conclusion

Soit E/R définie par E :y2 = (x + 2)3 .

Ceci n’est pas une courbe elliptique car ∆ = 0.

La cryptographie dufutur

Les courbes elliptiques :Représentation graphique

Abderrahmane
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Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Exemple 5 :Soit E/R définie par E : y2 =(x − 1)(x + 2)(x + 5), (x2 + x + 14)(x + 5), (x2 + x + 1)(x + 5).

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Abderrahmane
NITAJ
Le passé

Les courbes elliptiques :L’opposé d’un point
Pour placer le point −P.

Le présent
Le futur
Conclusion

P est un point de la courbe.

La cryptographie dufutur
Abderrahmane
NITAJ
Le passé

Les courbes elliptiques :L’opposé d’un point
Pour placer le point −P.

Le présent
Le futur
Conclusion

On trace la verticale qui passe par P.

La cryptographie dufutur
Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Les courbes elliptiques :L’opposé d’un point
Pour placer le point −P.
On obtient le point −P à l’intersection avec la courbe.

La cryptographie dufutur
Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Les courbes elliptiques :Doubler un point
Soit E/K une courbe elliptique et P ∈ E(K).
Comment placer le point 2P si 2y + a1 x + a3 = 0 6= 0?

La cryptographie dufutur
Abderrahmane
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Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Les courbes elliptiques :Doubler un point
Pour placer le point 2P si 2y + a1 x + a3 6= 0.
On trace la tangente en P.

La cryptographie dufutur
Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Les courbes elliptiques :Doubler un point
Pour placer le point 2P si 2y + a1 x + a3 6= 0.
On trace la verticale.

La cryptographie dufutur
Abderrahmane
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Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Les courbes elliptiques :Doubler un point
Pour placer le point 2P si 2y + a1 x + a3 6= 0.
On obtient le point 2P.

La cryptographie dufutur
Abderrahmane
NITAJ

Les courbes elliptiques :Doubler un point

Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Comment placer le point 2P si 2y + a1 x + a3 = 0?

La cryptographie dufutur
Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Les courbes elliptiques :Doubler un point
Pour placer le point 2P si 2y + a1 x + a3 = 0.
On trace la verticale en P. On obtient 2P = O.

La cryptographie dufutur
Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Les courbes elliptiques :Additionner deux points
différents
Comment placer le point P + Q?

La cryptographie dufutur
Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Les courbes elliptiques :Additionner deux points
différents
Pour placer le point P + Q.
On trace la droite (PQ).

La cryptographie dufutur
Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Les courbes elliptiques :Additionner deux points
différents
Pour placer le point P + Q.
On trace la verticale au 3ème point d’intersection.

La cryptographie dufutur
Abderrahmane
NITAJ

ECC
L’arithmétique de ECC

Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion• E une courbe elliptique défine sur Fp , P un générateurde E(Fp ).
• Les opérations consistent en des exponentiations .

Q = kP,

P1 + kP.

• Complexité de l’exponentiation Q = kP : O (log(k)).
• Problème difficile: Le logarithme discret elliptic(ECDLP)
Soient P et Q deux points d’une courbe elliptique E.
Déterminer un entier n tel que nP = Q.

La cryptographie dufutur
Abderrahmane
NITAJ

ECC
L’arithmétique de ECC

Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion• E une courbe elliptique défine sur Fp , P un générateurde E(Fp ).
• Les opérations consistent en des exponentiations .

Q = kP,

P1 + kP.

• Complexité de l’exponentiation Q = kP : O (log(k)).
• Problème difficile: Le logarithme discret elliptic(ECDLP)
Soient P et Q deux points d’une courbe elliptique E.
Déterminer un entier n tel que nP = Q.

La cryptographie dufutur
Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent

Le présent et le futur
NTRU• Inventé en 1996 par Hoffstein, Pipher et Silverman.

Le futur
Conclusion• Problème difficile

Problème du plus court vecteur (SVP):
Soit B une base d’un réseau L. Déterminer un vecteur
non nul de L, le plus court possible pour la norme
euclidienne.

La cryptographie dufutur
Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent

Le présent et le futur
NTRU• Inventé en 1996 par Hoffstein, Pipher et Silverman.

Le futur
Conclusion• Problème difficile

Problème du plus court vecteur (SVP):
Soit B une base d’un réseau L. Déterminer un vecteur
non nul de L, le plus court possible pour la norme
euclidienne.

La cryptographie dufutur
Abderrahmane
NITAJ

NTRU
L’arithmétique de NTRU

Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion• N, p, q des entiers.
• R = Z[X]/ X N − 1 .

• Les opérations ont lieu dans l’anneau (R, +, ∗).

f= (f0 , f1 , · · · , fN−1 ) =N−1
Xfi X i ,

i=0
N−1
X

g = (g0 , g1 , · · · , gN−1 ) =gi X i ,i=0

f + g = (f0 + g0 , f1 + g1 , · · · , fN−1 + gN−1 ),Xf ∗ g = h = (h0 , h1 , · · · , hN−1 ), hk =i+j≡k mod N

fi g j .

La cryptographie du
futur

NTRU

Abderrahmane
NITAJ

L’arithmétique de NTRU
Le passé
Le présent
Le futur• Problème difficile : Factorisation

Conclusion

Soit h ∈ R. Déterminer deux polynômes courts f et gtels que f ∗ h = g.

• Problème du plus court vecteur (SVP):

Soit B une base d’un réseau L. Déterminer un vecteur
non nul de L, le plus court possible pour la norme
euclidienne.

La cryptographie du
futur

NTRU

Abderrahmane
NITAJ

L’arithmétique de NTRU
Le passé
Le présent
Le futur• Problème difficile : Factorisation

Conclusion

Soit h ∈ R. Déterminer deux polynômes courts f et gtels que f ∗ h = g.

• Problème du plus court vecteur (SVP):

Soit B une base d’un réseau L. Déterminer un vecteur
non nul de L, le plus court possible pour la norme
euclidienne.

La cryptographie dufutur

Le présent

Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Le problème SVPLa cryptographie dufutur

Le présent

Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Le problème SVPLa cryptographie dufutur

Le présent

Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur

Comparaisons des clésConclusion

Date limite
2012
2020
2030
2040
-

Symétrique RSA El Gamal
80
1248
160
96
1776
192
112
2432
224
128
3248
256
256
15424
512
Sources Ecrypt II, 2010

ECC
160
192
224
256
512

La cryptographie dufutur

Le présent

Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur

Comparaisons des attaques

Conclusion

Cryptosystème
RSA
El GamalECC
NTRU

Méthode
Number Field Sieve
Index Calculus
Rho de Pollard
LLL

Complexité
Sous-Exponentielle
Sous-Exponentielle
Exponentielle
ExponentielleLa cryptographie du
futur

CONTENU

Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur1 Le passéConclusion

2 Le présent

3 Le futur

4 Conclusion

La cryptographie dufutur
Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Le futur
Post quantum cryptography• Avec les ordinateurs quantiques, certains

cryptosystèmes disparaı̂tront à cause de l’algorithme
de Shor.
RSA,El Gamal,
ECC,
4 Digital Signature Algorithm (DSA),
5 Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)...
1
2
3• Certains cryptosystèmes peuvent subsister.
1 Cryptosystèmes basés sur les codes : McEliece,
Niederreiter.
2 Cryptosystèmes basés sur les réseaux : NTRU, GGH,
LWE.
3 Cryptosystèmes basés sur les équations quadratiquesà plusieurs variables : HFEv, Sflash.
4 Cryptosystèmes à clé secrète : AES.

La cryptographie dufutur
Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Le futur
Post quantum cryptography• Avec les ordinateurs quantiques, certains

cryptosystèmes disparaı̂tront à cause de l’algorithme
de Shor.
RSA,El Gamal,
ECC,
4 Digital Signature Algorithm (DSA),
5 Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)...
1
2
3• Certains cryptosystèmes peuvent subsister.
1 Cryptosystèmes basés sur les codes : McEliece,
Niederreiter.
2 Cryptosystèmes basés sur les réseaux : NTRU, GGH,
LWE.
3 Cryptosystèmes basés sur les équations quadratiquesà plusieurs variables : HFEv, Sflash.
4 Cryptosystèmes à clé secrète : AES.

La cryptographie dufutur
Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Le futur
Post quantum cryptography• Avec les ordinateurs quantiques, certains

cryptosystèmes disparaı̂tront à cause de l’algorithme
de Shor.
RSA,El Gamal,
ECC,
4 Digital Signature Algorithm (DSA),
5 Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)...
1
2
3• Certains cryptosystèmes peuvent subsister.
1 Cryptosystèmes basés sur les codes : McEliece,
Niederreiter.
2 Cryptosystèmes basés sur les réseaux : NTRU, GGH,
LWE.
3 Cryptosystèmes basés sur les équations quadratiquesà plusieurs variables : HFEv, Sflash.
4 Cryptosystèmes à clé secrète : AES.

La cryptographie dufutur
Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Le futur
Post quantum cryptography• Avec les ordinateurs quantiques, certains

cryptosystèmes disparaı̂tront à cause de l’algorithme
de Shor.
RSA,El Gamal,
ECC,
4 Digital Signature Algorithm (DSA),
5 Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)...
1
2
3• Certains cryptosystèmes peuvent subsister.
1 Cryptosystèmes basés sur les codes : McEliece,
Niederreiter.
2 Cryptosystèmes basés sur les réseaux : NTRU, GGH,
LWE.
3 Cryptosystèmes basés sur les équations quadratiquesà plusieurs variables : HFEv, Sflash.
4 Cryptosystèmes à clé secrète : AES.

La cryptographie dufutur
Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Le futur
Post quantum cryptography• Avec les ordinateurs quantiques, certains

cryptosystèmes disparaı̂tront à cause de l’algorithme
de Shor.
RSA,El Gamal,
ECC,
4 Digital Signature Algorithm (DSA),
5 Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)...
1
2
3• Certains cryptosystèmes peuvent subsister.
1 Cryptosystèmes basés sur les codes : McEliece,
Niederreiter.
2 Cryptosystèmes basés sur les réseaux : NTRU, GGH,
LWE.
3 Cryptosystèmes basés sur les équations quadratiquesà plusieurs variables : HFEv, Sflash.
4 Cryptosystèmes à clé secrète : AES.

La cryptographie dufutur
Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Le futur
Post quantum cryptography• Avec les ordinateurs quantiques, certains

cryptosystèmes disparaı̂tront à cause de l’algorithme
de Shor.
RSA,El Gamal,
ECC,
4 Digital Signature Algorithm (DSA),
5 Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)...
1
2
3• Certains cryptosystèmes peuvent subsister.
1 Cryptosystèmes basés sur les codes : McEliece,
Niederreiter.
2 Cryptosystèmes basés sur les réseaux : NTRU, GGH,
LWE.
3 Cryptosystèmes basés sur les équations quadratiquesà plusieurs variables : HFEv, Sflash.
4 Cryptosystèmes à clé secrète : AES.

La cryptographie dufutur
Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Le futur
Post quantum cryptography• Avec les ordinateurs quantiques, certains

cryptosystèmes disparaı̂tront à cause de l’algorithme
de Shor.
RSA,El Gamal,
ECC,
4 Digital Signature Algorithm (DSA),
5 Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)...
1
2
3• Certains cryptosystèmes peuvent subsister.
1 Cryptosystèmes basés sur les codes : McEliece,
Niederreiter.
2 Cryptosystèmes basés sur les réseaux : NTRU, GGH,
LWE.
3 Cryptosystèmes basés sur les équations quadratiquesà plusieurs variables : HFEv, Sflash.
4 Cryptosystèmes à clé secrète : AES.

La cryptographie dufutur
Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Le futur
Post quantum cryptography• Avec les ordinateurs quantiques, certains

cryptosystèmes disparaı̂tront à cause de l’algorithme
de Shor.
RSA,El Gamal,
ECC,
4 Digital Signature Algorithm (DSA),
5 Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)...
1
2
3• Certains cryptosystèmes peuvent subsister.
1 Cryptosystèmes basés sur les codes : McEliece,
Niederreiter.
2 Cryptosystèmes basés sur les réseaux : NTRU, GGH,
LWE.
3 Cryptosystèmes basés sur les équations quadratiquesà plusieurs variables : HFEv, Sflash.
4 Cryptosystèmes à clé secrète : AES.

La cryptographie dufutur
Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Le futur
Post quantum cryptography• Avec les ordinateurs quantiques, certains

cryptosystèmes disparaı̂tront à cause de l’algorithme
de Shor.
RSA,El Gamal,
ECC,
4 Digital Signature Algorithm (DSA),
5 Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)...
1
2
3• Certains cryptosystèmes peuvent subsister.
1 Cryptosystèmes basés sur les codes : McEliece,
Niederreiter.
2 Cryptosystèmes basés sur les réseaux : NTRU, GGH,
LWE.
3 Cryptosystèmes basés sur les équations quadratiquesà plusieurs variables : HFEv, Sflash.
4 Cryptosystèmes à clé secrète : AES.

La cryptographie dufutur
Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Le futur
Post quantum cryptography• Avec les ordinateurs quantiques, certains

cryptosystèmes disparaı̂tront à cause de l’algorithme
de Shor.
RSA,El Gamal,
ECC,
4 Digital Signature Algorithm (DSA),
5 Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)...
1
2
3• Certains cryptosystèmes peuvent subsister.
1 Cryptosystèmes basés sur les codes : McEliece,
Niederreiter.
2 Cryptosystèmes basés sur les réseaux : NTRU, GGH,
LWE.
3 Cryptosystèmes basés sur les équations quadratiquesà plusieurs variables : HFEv, Sflash.
4 Cryptosystèmes à clé secrète : AES.

La cryptographie dufutur
Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Le futur
Post quantum cryptography• Avec les ordinateurs quantiques, certains

cryptosystèmes disparaı̂tront à cause de l’algorithme
de Shor.
RSA,El Gamal,
ECC,
4 Digital Signature Algorithm (DSA),
5 Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)...
1
2
3• Certains cryptosystèmes peuvent subsister.
1 Cryptosystèmes basés sur les codes : McEliece,
Niederreiter.
2 Cryptosystèmes basés sur les réseaux : NTRU, GGH,
LWE.
3 Cryptosystèmes basés sur les équations quadratiquesà plusieurs variables : HFEv, Sflash.
4 Cryptosystèmes à clé secrète : AES.

La cryptographie dufutur

Le futur

Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent

L’algorithme de Shor, 1994

Le futur
Conclusion• Entrée : Un entier n.
1 Choisir aléatoirement un entier x avec 2 ≤ x ≤ n − 1.
2 Si gcd(x, n) 6= 1, sortir gcd(x, n).
3 Détermienr la période r de la suite (xa )a≥0 (mod n).
4 Si r est impair ou si xr/2 ≡ −1 (mod n), alors aller àl’étape 1.

5 Sortir gcd n, xr/2 ± 1 .
• Sortie : Un facteur de n.
• La partie quantique de l’algorithme est l’étape 3.

La cryptographie dufutur

Le futur

Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent

L’algorithme de Shor, 1994

Le futur
Conclusion• Entrée : Un entier n.
1 Choisir aléatoirement un entier x avec 2 ≤ x ≤ n − 1.
2 Si gcd(x, n) 6= 1, sortir gcd(x, n).
3 Détermienr la période r de la suite (xa )a≥0 (mod n).
4 Si r est impair ou si xr/2 ≡ −1 (mod n), alors aller àl’étape 1.

5 Sortir gcd n, xr/2 ± 1 .
• Sortie : Un facteur de n.
• La partie quantique de l’algorithme est l’étape 3.

La cryptographie dufutur

Le futur

Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent

L’algorithme de Shor, 1994

Le futur
Conclusion• Entrée : Un entier n.
1 Choisir aléatoirement un entier x avec 2 ≤ x ≤ n − 1.
2 Si gcd(x, n) 6= 1, sortir gcd(x, n).
3 Détermienr la période r de la suite (xa )a≥0 (mod n).
4 Si r est impair ou si xr/2 ≡ −1 (mod n), alors aller àl’étape 1.

5 Sortir gcd n, xr/2 ± 1 .
• Sortie : Un facteur de n.
• La partie quantique de l’algorithme est l’étape 3.

La cryptographie dufutur

Le futur

Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent

L’algorithme de Shor, 1994

Le futur
Conclusion• Entrée : Un entier n.
1 Choisir aléatoirement un entier x avec 2 ≤ x ≤ n − 1.
2 Si gcd(x, n) 6= 1, sortir gcd(x, n).
3 Détermienr la période r de la suite (xa )a≥0 (mod n).
4 Si r est impair ou si xr/2 ≡ −1 (mod n), alors aller àl’étape 1.

5 Sortir gcd n, xr/2 ± 1 .
• Sortie : Un facteur de n.
• La partie quantique de l’algorithme est l’étape 3.

La cryptographie dufutur

Le futur

Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent

L’algorithme de Shor, 1994

Le futur
Conclusion• Entrée : Un entier n.
1 Choisir aléatoirement un entier x avec 2 ≤ x ≤ n − 1.
2 Si gcd(x, n) 6= 1, sortir gcd(x, n).
3 Détermienr la période r de la suite (xa )a≥0 (mod n).
4 Si r est impair ou si xr/2 ≡ −1 (mod n), alors aller àl’étape 1.

5 Sortir gcd n, xr/2 ± 1 .
• Sortie : Un facteur de n.
• La partie quantique de l’algorithme est l’étape 3.

La cryptographie dufutur

Le futur

Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent

L’algorithme de Shor, 1994

Le futur
Conclusion• Entrée : Un entier n.
1 Choisir aléatoirement un entier x avec 2 ≤ x ≤ n − 1.
2 Si gcd(x, n) 6= 1, sortir gcd(x, n).
3 Détermienr la période r de la suite (xa )a≥0 (mod n).
4 Si r est impair ou si xr/2 ≡ −1 (mod n), alors aller àl’étape 1.

5 Sortir gcd n, xr/2 ± 1 .
• Sortie : Un facteur de n.
• La partie quantique de l’algorithme est l’étape 3.

La cryptographie dufutur

Le futur

Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent

L’algorithme de Shor, 1994

Le futur
Conclusion• Entrée : Un entier n.
1 Choisir aléatoirement un entier x avec 2 ≤ x ≤ n − 1.
2 Si gcd(x, n) 6= 1, sortir gcd(x, n).
3 Détermienr la période r de la suite (xa )a≥0 (mod n).
4 Si r est impair ou si xr/2 ≡ −1 (mod n), alors aller àl’étape 1.

5 Sortir gcd n, xr/2 ± 1 .
• Sortie : Un facteur de n.
• La partie quantique de l’algorithme est l’étape 3.

La cryptographie dufutur

Ordinateur quantique en 2...?

Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
ConclusionGénéralités
1

Deux états de base: |0i et |1i.

2

Un qubit est de la forme ψi = α|0i + β|1i, avec α, β ∈ C
et |α|2 + |β|2 = 1.

3

La mesure d’un qubit ψi ne peut donner que |0i avec laprobabilité |α|2 ou |1i avec la probabilité |β|2 .

4La puissance est exponentielle en le nombre de qubits.

5

Le premier ordinateur quantique: 1996, IBM, avec 2
qubits.

6

2007, D-Wave Systems, avec 16 qubits.

La cryptographie du
futur

CONTENU

Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur1 Le passéConclusion

2 Le présent

3 Le futur

4 Conclusion

La cryptographie dufutur

Le futur

Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Le futur non quantique• Le présent est pour RSA et El Gamal et très peu pour

ECC et NTRU.
• Le futur proche peut être en faveur de ECC et NTRU.

Le futur quantique• Le futur est pour les cryptosystèmes post quantiques :NTRU, McEliece, ...

• A moins que les cryptosystèmes du futur soit basés surle calcul quantique: BB84.

La cryptographie dufutur

Le futur

Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Le futur non quantique• Le présent est pour RSA et El Gamal et très peu pour

ECC et NTRU.
• Le futur proche peut être en faveur de ECC et NTRU.

Le futur quantique• Le futur est pour les cryptosystèmes post quantiques :NTRU, McEliece, ...

• A moins que les cryptosystèmes du futur soit basés surle calcul quantique: BB84.

La cryptographie dufutur

Le futur

Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Le futur non quantique• Le présent est pour RSA et El Gamal et très peu pour

ECC et NTRU.
• Le futur proche peut être en faveur de ECC et NTRU.

Le futur quantique• Le futur est pour les cryptosystèmes post quantiques :NTRU, McEliece, ...

• A moins que les cryptosystèmes du futur soit basés surle calcul quantique: BB84.

La cryptographie dufutur

Maroc Numeric 2013

Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

http://www.egov.
ma/Documents/
MarocNumeric2013.
pdf• “Le Plan Maroc Numeric a été construit autour d’une

vision et des ambitions claires pour le Maroc, visant à
le positionner parmi les pays émergents dynamiques
dans les Technologies de l’Information”.
• “Le manque de confiance des usagers dans la sécuritédes échanges électroniques constitue un frein majeur
au développement des usages des TI”.

La cryptographie dufutur

Maroc Numeric 2013

Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

http://www.egov.
ma/Documents/
MarocNumeric2013.
pdf• “Le Plan Maroc Numeric a été construit autour d’une

vision et des ambitions claires pour le Maroc, visant à
le positionner parmi les pays émergents dynamiques
dans les Technologies de l’Information”.
• “Le manque de confiance des usagers dans la sécuritédes échanges électroniques constitue un frein majeur
au développement des usages des TI”.

La cryptographie dufutur

Maroc Numeric 2013

Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

http://www.egov.
ma/Documents/
MarocNumeric2013.
pdf• “Le Plan Maroc Numeric a été construit autour d’une

vision et des ambitions claires pour le Maroc, visant à
le positionner parmi les pays émergents dynamiques
dans les Technologies de l’Information”.
• “Le manque de confiance des usagers dans la sécuritédes échanges électroniques constitue un frein majeur
au développement des usages des TI”.

La cryptographie dufutur

Maroc Numeric 2013

Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

http://www.egov.
ma/Documents/
MarocNumeric2013.
pdf• “La protection des échanges électroniques se réaliseégalement par le développement des prestations decertification électronique et de cryptographie.
• “En liaison avec le Conseil National des Terchnologies

de l’Information et de l’Economie Numérique, un comitéde la sécurité des systèmes d’information sera créé etprendra en charge notamment l’élaboration de lapolitique relative à la protection des infrastructures
critiques du Royaume”.

La cryptographie dufutur

Maroc Numeric 2013

Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

http://www.egov.
ma/Documents/
MarocNumeric2013.
pdf• “La protection des échanges électroniques se réaliseégalement par le développement des prestations decertification électronique et de cryptographie.
• “En liaison avec le Conseil National des Terchnologies

de l’Information et de l’Economie Numérique, un comitéde la sécurité des systèmes d’information sera créé etprendra en charge notamment l’élaboration de lapolitique relative à la protection des infrastructures
critiques du Royaume”.

La cryptographie dufutur

Maroc Numeric 2013

Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

http://www.egov.
ma/Documents/
MarocNumeric2013.
pdf• “La protection des échanges électroniques se réaliseégalement par le développement des prestations decertification électronique et de cryptographie.
• “En liaison avec le Conseil National des Terchnologies

de l’Information et de l’Economie Numérique, un comitéde la sécurité des systèmes d’information sera créé etprendra en charge notamment l’élaboration de lapolitique relative à la protection des infrastructures
critiques du Royaume”.

La cryptographie dufutur
Abderrahmane
NITAJ
Le passé
Le présent
Le futur
Conclusion

Merci