GoBackAz x2 + q 2m = 2y p diofantikus egyenletrőlTengely Szabolcs
2006. március 31.

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 1

Vizsgált esetek-eredmények
❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel●

x2 + q 2m = 2y p

(1)

❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek

végességi állítás.

❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 2

Vizsgált esetek-eredmények
❖ Vizsgált
esetek-eredmények

●❖ Kapcsolódó
eredmények

x2 + q 2m = 2y p

❖ Végességi tétel(1)❖ Jelölések❖ Reducibilitás

végességi állítás.

❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek●

fix y : x2 + q 2m = 2 · 17p , teljes megoldás.

❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 2

Vizsgált esetek-eredmények
❖ Vizsgált
esetek-eredmények

●❖ Kapcsolódó
eredmények

x2 + q 2m = 2y p

❖ Végességi tétel(1)❖ Jelölések❖ Reducibilitás

végességi állítás.

❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet●fix y : x2 + q 2m = 2 · 17p , teljes megoldás.

●

fix q : x2 + 32m = 2y p , teljes megoldás❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 2

Kapcsolódó eredmények
❖ Vizsgált
esetek-eredmények

●Luca (2002): x2 + 2a 3b = y n , teljes megoldás.

❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 3

Kapcsolódó eredmények
❖ Vizsgált
esetek-eredmények

●Luca (2002): x2 + 2a 3b = y n , teljes megoldás.

❖ Kapcsolódó
eredmények

●Le (2003): x2 + p2 = y n , teljes megoldás (p < 100).

❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 3

Kapcsolódó eredmények
❖ Vizsgált
esetek-eredmények

●Luca (2002): x2 + 2a 3b = y n , teljes megoldás.

❖ Kapcsolódó
eredmények

●Le (2003): x2 + p2 = y n , teljes megoldás (p < 100).

●

Pink (2004): x2 + (pz11 · · · pzss )2 = 2y n , korlát n-re.

❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 3

Kapcsolódó eredmények
❖ Vizsgált
esetek-eredmények

●Luca (2002): x2 + 2a 3b = y n , teljes megoldás.

❖ Kapcsolódó
eredmények

●Le (2003): x2 + p2 = y n , teljes megoldás (p < 100).

●

Pink (2004): x2 + (pz11 · · · pzss )2 = 2y n , korlát n-re.

●

Cohn (1996): x2 + 1 = 2y n , teljes megoldás.

❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 3

Kapcsolódó eredmények
❖ Vizsgált
esetek-eredmények

●Luca (2002): x2 + 2a 3b = y n , teljes megoldás.

❖ Kapcsolódó
eredmények

●Le (2003): x2 + p2 = y n , teljes megoldás (p < 100).

●

Pink (2004): x2 + (pz11 · · · pzss )2 = 2y n , korlát n-re.

●

Cohn (1996): x2 + 1 = 2y n , teljes megoldás.

●

Pink, Tengely (2000): x2 + a2 = 2y n , korlátok, teljes
megoldás 1 ≤ a ≤ 1000 és 3 ≤ n ≤ 80 esetén.

❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 3

Kapcsolódó eredmények
❖ Vizsgált
esetek-eredmények

●Luca (2002): x2 + 2a 3b = y n , teljes megoldás.

❖ Kapcsolódó
eredmények

●Le (2003): x2 + p2 = y n , teljes megoldás (p < 100).

●

Pink (2004): x2 + (pz11 · · · pzss )2 = 2y n , korlát n-re.

●

Cohn (1996): x2 + 1 = 2y n , teljes megoldás.

●

Pink, Tengely (2000): x2 + a2 = 2y n , korlátok, teljes
megoldás 1 ≤ a ≤ 1000 és 3 ≤ n ≤ 80 esetén.

●

Tengely (2004): x2 + a2 = 2y n , teljes megoldás
3 ≤ a ≤ 501, algoritmus.

❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 3

Végességi tétel❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás

Tétel. Csak véges sok (x, y, m, q, p) megoldása létezik(1)-nek, ahol gcd(x, y) = 1, m, x, y ∈ N és 3 < p, q
páratlan prímek, úgy, hogy y nem írható fel két egymást
követő négyzetszám összegeként.

❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 4

Végességi tétel❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás

Tétel. Csak véges sok (x, y, m, q, p) megoldása létezik(1)-nek, ahol gcd(x, y) = 1, m, x, y ∈ N és 3 < p, q
páratlan prímek, úgy, hogy y nem írható fel két egymást
követő négyzetszám összegeként.

❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek

Megjegyzés. Példák y két egymást követő
négyzetszám összege esetre:
y
5
5
5
5
5
13
13
13
25
25
41

p
5
7
13
29
97
7
13
101
11
47
31

q
79
307
42641
1811852719
2299357537036323025594528471766399
11003
13394159
224803637342655330236336909331037067112119583602184017999
69049993
378293055860522027254001604922967
4010333845016060415260441❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 4

Jelölések❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések(
1 if p ≡ 1 (mod 4),δ4 =−1 if p ≡ 3 (mod 4).

❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y(
1 ha p ≡ 1 vagy 3 (mod 8),δ8 =−1 ha p ≡ 5 vagy 7 (mod 8).

❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek

y = u2 + v 2 ,x = ℜ((1 + i)(u + iv)p ) =: Fp (u, v),
q m = ℑ((1 + i)(u + iv)p ) =: Gp (u, v).

❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 5

Reducibilitás❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések(u − δ4 v) | Fp (u, v),(u + δ4 v) | Gp (u, v).

❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 6

Reducibilitás❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések(u − δ4 v) | Fp (u, v),(u + δ4 v) | Gp (u, v).

❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom

Példa: p = 5.

❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet

F5 (u, v) = (u − v)(u4 − 4u3 v − 14u2 v 2 − 4uv 3 + v 4 ),G5 (u, v) = (u + v)(u4 + 4u3 v − 14u2 v 2 + 4uv 3 + v 4 ).

❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 6

Egyenletrendszerek❖ Vizsgált
esetek-eredmények

Létezik k ∈ {0, 1, . . . , m} :❖ Kapcsolódó
eredmények

u + δ4 v = q k ,❖ Végességi tétel❖ Jelölések

Hp (u, v) = q❖ Reducibilitás

m−k

(2)

,

❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

vagyu + δ4 v = −q k ,Hp (u, v) = −q

m−k

,

(3)

p (u,v).
ahol Hp (u, v) = Gu+δ4v

Megjegyzés. A tétel rossz esete k = 0-nál van, ekkor y
két egymást követő négyzetszám összege!

Számelmélet Szeminárium – slide 7

A Hp polinom❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y

A Hp (±q k − δ4 v, v) polinom foka p − 1 ésk

Hp (±q − δ4 v, v) = ±δ8 2❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hub p (v) + q k(p−1) ,pv p−1 + q k pH

b p ∈ Z[X]. A Hp (X, 1) ∈ Z[X] polinom irreducibilis,
ahol H
Hp (X, 1) =

p−1 
Y

k=0
k6=k0

❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenletp−1
2(4k + 3)πX − tan
4p



,

p

ahol k0 = 4 (p mod 4).
Példa:
H5 (±q k − δ4 v, v) = −20v 4 + 5q k (8v 3 − 4v 2 q k ) + q 4k .
H5 (X, 1) = X 4 + 4X 3 − 14X 2 + 4X + 1 irreducibilis:
H5 (X − 1, 1) = X 4 − 20X 2 + 40X − 20 teljesíti Eisenstein
irreducibilitási kritériumát.
Számelmélet Szeminárium – slide 8❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek(2)-(3):
±δ8 2

p−1
2

b p (v) + q k(p−1) = ±q m−k
pv p−1 + q k pHÍgy a következő esetek léphetnek fel:

❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 9❖ Vizsgált
esetek-eredmények

(2)-(3):❖ Kapcsolódó
eredmények

±δ8 2❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletekp−12

b p (v) + q k(p−1) = ±q m−k
pv p−1 + q k pHÍgy a következő esetek léphetnek fel:●p = q, k = m − 1,

❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 9❖ Vizsgált
esetek-eredmények

(2)-(3):❖ Kapcsolódó
eredmények

±δ8 2❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített yp−1
2b p (v) + q k(p−1) = ±q m−k
pv p−1 + q k pHÍgy a következő esetek léphetnek fel:●p = q, k = m − 1,●

p 6= q, k = 0 vagy k = m.

❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 9❖ Vizsgált
esetek-eredmények

(2)-(3):❖ Kapcsolódó
eredmények

±δ8 2❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 esetp−12

b p (v) + q k(p−1) = ±q m−k
pv p−1 + q k pHÍgy a következő esetek léphetnek fel:●p = q, k = m − 1,●

p 6= q, k = 0 vagy k = m.

Azaz:
Hp (u, v) = ±p,
Hp (u, v) = ±1.

❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Thue egyenletek!

Számelmélet Szeminárium – slide 9

Thue egyenletek❖ Vizsgált
esetek-eredmények

F (x, y) = m, deg F ≥ 3, x, y ∈ Z❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 10

Thue egyenletek❖ Vizsgált
esetek-eredmények

F (x, y) = m, deg F ≥ 3, x, y ∈ Z❖ Kapcsolódó
eredmények

●Thue (1909): véges sok megoldás, ineffektív❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 10

Thue egyenletek❖ Vizsgált
esetek-eredmények

F (x, y) = m, deg F ≥ 3, x, y ∈ Z❖ Kapcsolódó
eredmények

●Thue (1909): véges sok megoldás, ineffektív●

Baker (1968): effektív korlát max(|x|, |y|)-ra❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 10

Thue egyenletek❖ Vizsgált
esetek-eredmények

F (x, y) = m, deg F ≥ 3, x, y ∈ Z❖ Kapcsolódó
eredmények

●Thue (1909): véges sok megoldás, ineffektív●

Baker (1968): effektív korlát max(|x|, |y|)-ra●

Baker, Feldman, Sprindzuk, Stark, Győry,
Papp, Brindza, Evertse, Bugeaud❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 10

Thue egyenletek❖ Vizsgált
esetek-eredmények

F (x, y) = m, deg F ≥ 3, x, y ∈ Z❖ Kapcsolódó
eredmények

●Thue (1909): véges sok megoldás, ineffektív●

Baker (1968): effektív korlát max(|x|, |y|)-ra●

Baker, Feldman, Sprindzuk, Stark, Győry,
Papp, Brindza, Evertse, Bugeaud●

Bugeaud, Győry (1996-98): ismert legjobb korlát❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 10

Thue egyenletek❖ Vizsgált
esetek-eredmények

F (x, y) = m, deg F ≥ 3, x, y ∈ Z❖ Kapcsolódó
eredmények

●Thue (1909): véges sok megoldás, ineffektív●

Baker (1968): effektív korlát max(|x|, |y|)-ra●

Baker, Feldman, Sprindzuk, Stark, Győry,
Papp, Brindza, Evertse, Bugeaud●

Bugeaud, Győry (1996-98): ismert legjobb korlát●

konkrét egyenletek, redukció: Bilu, Gaál, Hanrot,
Mignotte, Pethő, Schulenberg, Stroecker,
Tzanakis, Voutier, de Weger❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 10

Véges sok Thue egyenlet❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel

Konkrét Thue egyenletnél véges sok (x, y) ∈ Z2
megoldás létezik. A problémánkat visszavezettük Thueegyenletekre:❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenletHp (u, v) = ±p,
Hp (u, v) = ±1.
A végességi állításhoz azt kell belátni, hogy véges sok
Thue egyenlet léphet fel:
Baker-módszer.

❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 11❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek

Megoldások 3 ≤ q m ≤ 501 esetén:(x, y, q, m, p) ∈˘
(3, 5, 79, 1, 5), (9, 5, 13, 1, 3), (13, 5, 3, 2, 3), (55, 13, 37, 1, 3),(79, 5, 3, 1, 5), (99, 17, 5, 1, 3), (161, 25, 73, 1, 3), (249, 5, 307, 1, 7),(351, 41, 11, 2, 3), (545, 53, 3, 3, 3), (649, 61, 181, 1, 3), (1665, 113, 337, 1, 3),¯(2431, 145, 433, 1, 3), (5291, 241, 19, 1, 3), (275561, 3361, 71, 1, 3) .

❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3

Korlátok p-re:
p ≤ 3803 ha u + δ4 v = ±qm,qp ≤ 1309 ha u + δ4 v = ±qm

, m ≥ 40,p ≤ 3089 ha p = q,p ≤ 1093 ha u + δ4 v = ±qp ≤ 1009 ha u + δ4 v = ±qmmm

≥ 503,, m ≥ 100,, m ≥ 250.

❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 12❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények

●p = q, k = m − 1, Hp (u, v) = ±p, ⇒ p ≤ 3089, véges
sok Thue egyenlet, véges sok megoldás.

❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 13❖ Vizsgált
esetek-eredmények

●p = q, k = m − 1, Hp (u, v) = ±p, ⇒ p ≤ 3089, véges
sok Thue egyenlet, véges sok megoldás.

●

p 6= q, k = 0 vagy k = m, Hp (u, v) = ±1 :❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 13❖ Vizsgált
esetek-eredmények

●p = q, k = m − 1, Hp (u, v) = ±p, ⇒ p ≤ 3089, véges
sok Thue egyenlet, véges sok megoldás.

●

p 6= q, k = 0 vagy k = m, Hp (u, v) = ±1 :❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek✦

k = 0, ekkor y két egymást követő négyzetszámösszege.

❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 13❖ Vizsgált
esetek-eredmények

●p = q, k = m − 1, Hp (u, v) = ±p, ⇒ p ≤ 3089, véges
sok Thue egyenlet, véges sok megoldás.

●

p 6= q, k = 0 vagy k = m, Hp (u, v) = ±1 :❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek✦

k = 0, ekkor y két egymást követő négyzetszámösszege.

✦k = m, ⇒ p ≤ 3803, véges sok Thue egyenlet,
véges sok megoldás.

❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 13

Rögzített y❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek

Ha y rögzített, akkor az y = u2 + v 2 egyenletből végessok (u, v) párt kapunk.
Meghatározzuk azokat a (q, m0 ) párokat, amelyekre:u ± v = ±q m0 .

❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset

Az x2 + q 2m = 2 · 17p egyenlet esetében: q = 3 vagyq = 5 és m = 1.
x2 + 32 = 2 · 17p ,x2 + 52 = 2 · 17p .
Megoldás: (x, y, q, m, p) = (99, 17, 5, 1, 3).

❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 14

Rögzített q❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y

Hp (X, 1) =

p−1 
Y

k=0
k6=k0

(4k + 3)πX − tan4p

.

Körosztási test: Q(ζp + ζ p ) ⊂ Q(α) ∼= Q(ζ4p + ζ 4p ).
Fontos: a Hp (u, v) = ±1, ±p Thue egyenletek nem
függnek q-tól!
Módszerek: Bilu, Hanrot (1999,2001)❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 15

Rögzített q❖ Vizsgált
esetek-eredmények

Hp (X, 1) =❖ Kapcsolódó
eredmények

k=0
k6=k0

❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset

p−1 
Y

(4k + 3)πX − tan4p

.

Körosztási test: Q(ζp + ζ p ) ⊂ Q(α) ∼= Q(ζ4p + ζ 4p ).
Fontos: a Hp (u, v) = ±1, ±p Thue egyenletek nem
függnek q-tól!
Módszerek: Bilu, Hanrot (1999,2001)●

kis résztesteket használva,●nem alapegységeket használva,●az előző kettő kombinációja.

❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 15

2

Az x + 32mp= 2y egyenlet❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények

x2 + 32m = 2y p .

(4)❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 16

2

Az x + 32mp= 2y egyenlet❖ Vizsgált
esetek-eredmények

x2 + 32m = 2y p .

❖ Kapcsolódó
eredmények

(4)❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás●

Cohn (1993): x2 + 3 = y n .

●Arif és Muriefah (1998): x2 + 32m+1 = y n . Megoldás:(x, y, m, n) = (10 · 33t , 7 · 32t , 5 + 6t, 3).

●

Luca (2000): x2 + 32m = y n . Megoldás:
x = 46 · 33t , y = 13 · 32t , m = 4 + 6t, n = 3.

❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 16

2

Az x + 32mp= 2y egyenlet❖ Vizsgált
esetek-eredmények

x2 + 32m = 2y p .

❖ Kapcsolódó
eredmények

(4)❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás●

Cohn (1993): x2 + 3 = y n .

●Arif és Muriefah (1998): x2 + 32m+1 = y n . Megoldás:(x, y, m, n) = (10 · 33t , 7 · 32t , 5 + 6t, 3).

●

Luca (2000): x2 + 32m = y n . Megoldás:
x = 46 · 33t , y = 13 · 32t , m = 4 + 6t, n = 3.

❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset

Az x2 + 32m+1 = 2y p egyenlet egyszerűen kezelhető
mod 8 :
4 ≡ 2y p (mod 8).

❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 16

Speciális eset: p = q = 3❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések

x = F3 (u, v) = (u + v)(u2 − 4uv + v 2 ),3m = G3 (u, v) = (u − v)(u2 + 4uv + v 2 ).

❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 17

Speciális eset: p = q = 3❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések

x = F3 (u, v) = (u + v)(u2 − 4uv + v 2 ),3m = G3 (u, v) = (u − v)(u2 + 4uv + v 2 ).

❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom

Létezik k : 0 ≤ k ≤ m❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q

u − v = ±3k ,u2 + 4uv + v 2 = ±3m−k .

❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 17

Speciális eset: p = q = 3❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések

x = F3 (u, v) = (u + v)(u2 − 4uv + v 2 ),3m = G3 (u, v) = (u − v)(u2 + 4uv + v 2 ).

❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom

Létezik k : 0 ≤ k ≤ m❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 esetu − v = ±3k ,u2 + 4uv + v 2 = ±3m−k .
Így kapjuk, hogy
6v 2 ± 6(3k )v + 32k = ±3m−k .

❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 17

Speciális eset: p = q = 3❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések

x = F3 (u, v) = (u + v)(u2 − 4uv + v 2 ),3m = G3 (u, v) = (u − v)(u2 + 4uv + v 2 ).

❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom

Létezik k : 0 ≤ k ≤ m❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 esetu − v = ±3k ,u2 + 4uv + v 2 = ±3m−k .
Így kapjuk, hogy
6v 2 ± 6(3k )v + 32k = ±3m−k .

❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Ha k = 0 vagy k = m, akkor (x, y) = (±1, 1).
Ha k = m − 1 > 0, akkor 3 | 2v 2 ± 1.
Számelmélet Szeminárium – slide 17❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel

m−1

u−v

=

−3

u + 4uv + v

=

−3.

2

2

,

❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 18❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel

m−1

u−v

=

−3

u + 4uv + v

=

−3.

2

2

,

❖ Jelölések❖ Reducibilitás

Parametrizáció:❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q√ t−1√ t−1 ”−ε “
(2 + 3)u=+ (2 − 3)
,
2
√ t”
√ t
ε “
(2 + 3) + (2 − 3) ,v=
2ahol t ∈ N, ε ∈ {−1, 1}.

❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 18❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel

m−1

u−v

=

−3

u + 4uv + v

=

−3.

2

2

,

❖ Jelölések❖ Reducibilitás

Parametrizáció:❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3

√ t−1
√ t−1 ”−ε “
(2 + 3)u=+ (2 − 3)
,
2
√ t”
√ t
ε “
(2 + 3) + (2 − 3) ,v=
2ahol t ∈ N, ε ∈ {−1, 1}.
A lineáris egyenletbe helyettesítve:√ t−1√√ t−1 ”√1 “
m−1
+ (3 − 3)(2 − 3)
= ±3.
(3 + 3)(2 + 3)
2

❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 18❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel

m−1

u−v

=

−3

u + 4uv + v

=

−3.

2

2

,

❖ Jelölések❖ Reducibilitás

Parametrizáció:❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset

√ t−1
√ t−1 ”−ε “
(2 + 3)u=+ (2 − 3)
,
2
√ t”
√ t
ε “
(2 + 3) + (2 − 3) ,v=
2ahol t ∈ N, ε ∈ {−1, 1}.
A lineáris egyenletbe helyettesítve:√ t−1√√ t−1 ”√1 “
m−1
+ (3 − 3)(2 − 3)
= ±3.
(3 + 3)(2 + 3)
2
Rekurzió: r0 = r1 = 3, rt = 4rt−1 − rt−2 , t ≥ 2.

❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 18❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel

m−1

u−v

=

−3

u + 4uv + v

=

−3.

2

2

,

❖ Jelölések❖ Reducibilitás

Parametrizáció:❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu√ t−1√ t−1 ”−ε “
(2 + 3)u=+ (2 − 3)
,
2
√ t”
√ t
ε “
(2 + 3) + (2 − 3) ,v=
2ahol t ∈ N, ε ∈ {−1, 1}.
A lineáris egyenletbe helyettesítve:√ t−1√√ t−1 ”√1 “
m−1
+ (3 − 3)(2 − 3)
= ±3.
(3 + 3)(2 + 3)
2
Rekurzió: r0 = r1 = 3, rt = 4rt−1 − rt−2 , t ≥ 2.
rt ≡ 0rt ≡ 0(mod 27) ⇐⇒ t ≡ 5 or 14(mod 17) ⇐⇒ t ≡ 5 or 14(mod 18),(mod 18).

Számelmélet Szeminárium – slide 18❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel

m−1

u−v

=

−3

u + 4uv + v

=

−3.

2

2

,

❖ Jelölések❖ Reducibilitás

Parametrizáció:❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek√ t−1√ t−1 ”−ε “
(2 + 3)u=+ (2 − 3)
,
2
√ t”
√ t
ε “
(2 + 3) + (2 − 3) ,v=
2ahol t ∈ N, ε ∈ {−1, 1}.
A lineáris egyenletbe helyettesítve:√ t−1√√ t−1 ”√1 “
m−1
+ (3 − 3)(2 − 3)
= ±3.
(3 + 3)(2 + 3)
2
Rekurzió: r0 = r1 = 3, rt = 4rt−1 − rt−2 , t ≥ 2.
rt ≡ 0rt ≡ 0(mod 27) ⇐⇒ t ≡ 5 or 14(mod 17) ⇐⇒ t ≡ 5 or 14(mod 18),(mod 18).

Így két eset marad: m = 2, k = 1 : (x, y) = (13, 5), és m = 3, k = 2 : (x, y) = (545, 53).
tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 18

A k = 0 eset
❖ Vizsgált
esetek-eredmények

●ha v ≡ 0 (mod 3), akkor Hp (1 − δ4 v, v) ≡ 1 (mod 3),❖ Kapcsolódó
eredmények

●ha v ≡ 1 (mod 3) és p ≡ 1 (mod 4), akkor
Hp (1 − δ4 v, v) ≡ 1 (mod 3),●

ha v ≡ 1 (mod 3) és p ≡ 3 (mod 4), akkor
Hp (1 − δ4 v, v) ≡ ±1 (mod 3),●

ha v ≡ 2 (mod 3) és p ≡ 1 (mod 4), akkor
Hp (1 − δ4 v, v) ≡ ±1 (mod 3),●

ha v ≡ 2 (mod 3) és p ≡ 3 (mod 4), akkor
Hp (1 − δ4 v, v) ≡ 1 (mod 3).

❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 19

A k = 0 eset
❖ Vizsgált
esetek-eredmények

●ha v ≡ 0 (mod 3), akkor Hp (1 − δ4 v, v) ≡ 1 (mod 3),❖ Kapcsolódó
eredmények

●ha v ≡ 1 (mod 3) és p ≡ 1 (mod 4), akkor
Hp (1 − δ4 v, v) ≡ 1 (mod 3),●

ha v ≡ 1 (mod 3) és p ≡ 3 (mod 4), akkor
Hp (1 − δ4 v, v) ≡ ±1 (mod 3),●

ha v ≡ 2 (mod 3) és p ≡ 1 (mod 4), akkor
Hp (1 − δ4 v, v) ≡ ±1 (mod 3),●

ha v ≡ 2 (mod 3) és p ≡ 3 (mod 4), akkor
Hp (1 − δ4 v, v) ≡ 1 (mod 3).

❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m esetÍgy a Hp (1 − δ4 v, v) = 3m egyenletnek nincs megoldása.

❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 19

A k = m eset
❖ Vizsgált
esetek-eredmények

Lokális módszer segítségével: p ≡ 5 or 11 (mod 24).

❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 20

A k = m eset
❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel

Lokális módszer segítségével: p ≡ 5 or 11 (mod 24).
m

Hp (3 − δ4 v, v) = δ8 2

❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet

Azaz,
δ8 2

p−1
2

p−1
2

b p (v) + 3m(p−1) = 1.
pv p−1 + 3m pH

p≡1(mod 3),innen: p ≡ 1, 5, 7, 11 (mod 24).

❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 20

A k = m eset
❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel

Lokális módszer segítségével: p ≡ 5 or 11 (mod 24).
m

Hp (3 − δ4 v, v) = δ8 2

❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek

Azaz,
δ8 2

❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset

p−1
2

p−1
2

b p (v) + 3m(p−1) = 1.
pv p−1 + 3m pH

p≡1(mod 3),innen: p ≡ 1, 5, 7, 11 (mod 24).
Ha m > 5, akkor mod 243 tekintve az egyenletet:p = 8t + 1 :p = 8t + 7 :24t (8t + 1)v 8t ≡ 1(mod 243).

−24t+3 (8t + 7)v 8t+6 ≡ 1(mod 243).

❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 20

"Kis" prímek❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás

Nincs megoldás p < 1000, p ≡ 5 (mod 24) ésp ∈ {131, 251, 491, 971} esetén. Ezekben az esetekben
van kis résztest a körosztási testeknél: Bilu-Hanrot
módszere.

❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 21

"Kis" prímek❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y

Nincs megoldás p < 1000, p ≡ 5 (mod 24) ésp ∈ {131, 251, 491, 971} esetén. Ezekben az esetekben
van kis résztest a körosztási testeknél: Bilu-Hanrot
módszere.
(Hanrot) Nincs megoldásp ∈ {59, 83, 107, 179, 227, 347, 419, 443, 467, 563, 587, 659, 683, 827, 947} esetén. A
kis résztesteket használó módszer és a nem
alapegységeket használó módszer kombinálásával.

❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 21

"Kis" prímek❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y

Nincs megoldás p < 1000, p ≡ 5 (mod 24) ésp ∈ {131, 251, 491, 971} esetén. Ezekben az esetekben
van kis résztest a körosztási testeknél: Bilu-Hanrot
módszere.
(Hanrot) Nincs megoldásp ∈ {59, 83, 107, 179, 227, 347, 419, 443, 467, 563, 587, 659, 683, 827, 947} esetén. A
kis résztesteket használó módszer és a nem
alapegységeket használó módszer kombinálásával.

❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset

Tétel. Az x2 + 32m = 2y p diofantikus egyenlet összes
megoldása:(x, y, m, p) = (13, 5, 2, 3), (79, 5, 1, 5), (545, 53, 3, 3).

❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 21

"Nagy" prímek❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás

Baker-módszerrel korlátokat kaptunk p-re. A legkisebbp ≤ 1009, az 1000-től kisebb prímeket az előzőekben
kezeltük. Maradtak a prímek, amelyekre:1000 < p ≤ 3803.

❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 22

"Nagy" prímek❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenletBaker-módszerrel korlátokat kaptunk p-re. A legkisebbp ≤ 1009, az 1000-től kisebb prímeket az előzőekben
kezeltük. Maradtak a prímek, amelyekre:1000 < p ≤ 3803.
A5 = L(p, 3, 242),
A16 = L(p, 3, 136) ∩ L(p, 3, 193) ∩ L(p, 3, 320) ∩ L(p, 3, 697),
A22 = L(p, 3, 92) ∩ L(p, 3, 134) ∩ L(p, 3, 661),
A27 = L(p, 3, 866) ∩ L(p, 3, 1417).

❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 22

"Nagy" prímek❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Baker-módszerrel korlátokat kaptunk p-re. A legkisebbp ≤ 1009, az 1000-től kisebb prímeket az előzőekben
kezeltük. Maradtak a prímek, amelyekre:1000 < p ≤ 3803.
A5 = L(p, 3, 242),
A16 = L(p, 3, 136) ∩ L(p, 3, 193) ∩ L(p, 3, 320) ∩ L(p, 3, 697),
A22 = L(p, 3, 92) ∩ L(p, 3, 134) ∩ L(p, 3, 661),
A27 = L(p, 3, 866) ∩ L(p, 3, 1417).

Itt például A5-ben azok a mod 5 osztályok vannak,
amelyekre (4) megoldható, mivel ord242 3 = 5.
Ha A5 = {0} és A16 = {0}, akkor m ≡ 0 (mod 5 · 16) ésígy p ≤ 1309. Amennyiben a p prím nagyobb a korlátnál
készen vagyunk.
Számelmélet Szeminárium – slide 22❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y

Table 1: "Nagy" prímek levadászása.
p
1013
1109
1181
1187
1229
1259
1277
1283
1307
1493
1523

mod
16,27
16,22
16,22
16,22
16,22
16,22
16,22
16,22
16,22
16,22
16,22

p
1571
1613
1619
1667
1709
1733
1787
1811
1877
1931
1949

mod
5,22
16,22
16,22
16,22
16,22
16,22
16,22
5,22
16,27
5,22
16,22

p
1973
1979
2003
2027
2069
2099
2141
2237
2243
2309
2333

mod
16,22
16,22
16,22
16,22
16,22
16,22
16,22
16,22
16,22
16,27
16,22

p
2357
2459
2477
2531
2579
2693
2741
2861
2909
2957
2963

mod
16,22
16,22
16,22
5,22
16,22
16,22
16,27
16,22
16,22
16,22
16,22

p
3011
3203
3221
3323
3347
3371
3413
3533
3677
3701

mod
5,22
16,22
16,22
16,22
16,22
5,22
16,22
16,22
16,22
16,22

❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 23❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y

Table 1: "Nagy" prímek levadászása.
p
1013
1109
1181
1187
1229
1259
1277
1283
1307
1493
1523

mod
16,27
16,22
16,22
16,22
16,22
16,22
16,22
16,22
16,22
16,22
16,22

p
1571
1613
1619
1667
1709
1733
1787
1811
1877
1931
1949

mod
5,22
16,22
16,22
16,22
16,22
16,22
16,22
5,22
16,27
5,22
16,22

p
1973
1979
2003
2027
2069
2099
2141
2237
2243
2309
2333

mod
16,22
16,22
16,22
16,22
16,22
16,22
16,22
16,22
16,22
16,27
16,22

p
2357
2459
2477
2531
2579
2693
2741
2861
2909
2957
2963

mod
16,22
16,22
16,22
5,22
16,22
16,22
16,27
16,22
16,22
16,22
16,22

p
3011
3203
3221
3323
3347
3371
3413
3533
3677
3701

mod
5,22
16,22
16,22
16,22
16,22
5,22
16,22
16,22
16,22
16,22

❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenletNéhány prím túlélte...

❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 23❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések

A maradék kilövése: például p = 2381 esetében az
A5, A27 és A34-beli információkat használjuk, a kínai
maradéktétel segítségével.
A5 = {0, 1, 4}, A27 = {0, 14, 15, 17}, A34 = {0, 10}.

❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 24❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések

A maradék kilövése: például p = 2381 esetében az
A5, A27 és A34-beli információkat használjuk, a kínai
maradéktétel segítségével.
A5 = {0, 1, 4}, A27 = {0, 14, 15, 17}, A34 = {0, 10}.

❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet{CRT ([a5, a27, a34], [5, 27, 34]) : a5 ∈ A5, a16 ∈ A16, a34 ∈ A34} == {0, 44, 204, 476, 486, 554, 690, 986, 1394, 1404, 1836, 1880, 1904,
2040, 2390, 2526, 2754, 3230, 3240, 3444, 3716, 3740, 3876, 4226}.

A legkisebb nem nulla maradék 44, azaz m ≥ 44, ekkor
a korlát p ≤ 1309, ellentmondás.

❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 24❖ Vizsgált
esetek-eredmények
❖ Kapcsolódó
eredmények
❖ Végességi tétel❖ Jelölések❖ Reducibilitás❖ Egyenletrendszerek❖ A Hp polinom❖ Thue egyenletek❖ Véges sok Thueegyenlet❖ Rögzített y❖ Rögzített q

Table 2: Maradék prímek levádászása.
p
1019
1061
1091
1163
1301
1427
1451
1499
1637
1901
1907
1997
2213

rm
384
176
580
586
416
270
340
112
121
304
102
170
170

CRT
5,16,27
5,16,39
5,16,27
5,27,34
5,16,39
5,27,34
5,16,27
5,16,39
5,27,34
5,16,39
5,27,34
5,27,34
5,27,34

p
2267
2339
2381
2411
2549
2699
2789
2819
2837
2843
3083
3251
3299

rm
448
208
44
180
320
640
204
352
131
136
340
580
64

CRT
5,16,69
5,16,39
5,27,34
5,16,27
5,16,27
5,16,69
5,27,34
5,16,27
5,27,34
5,27,34
5,27,34
5,16,27
5,16,39

p
3389
3461
3467
3491
3539
3557
3581
3659
3779
3797
3803

rm
170
116
336
850
112
176
150
112
72
416
136

CRT
5,27,34
5,16,39
5,16,27
5,27,34
5,16,39
5,16,39
5,27,34
5,16,39
5,27,34
5,16,39
5,27,34❖ Az
x2 + 32m = 2y pegyenlet❖ Speciális eset:
p=q=3❖ A k = 0 eset
❖ A k = m eset
❖ "Kis" prímek❖ "Nagy" prímek

tengely@math.klte.hu

Számelmélet Szeminárium – slide 25