量子渦生成にともなう超流動崩壊の前駆現象
Reference : arXiv:1305.3935.
2013/8/27
熱場の量子論とその応用

東京大学総合文化研究科
國見昌哉
共同研究者：加藤雄介(東大総合文化)1Introduction -臨界速度- 1/5
超流動状態=粘性ゼロの無散逸流がある状態
ただし、上限の速度(=臨界速度)がある。
臨界速度以上では量子渦が発生し、超流動状態が壊れる。
冷却原子系における臨界速度の観測実験
臨界速度

臨界速度
量子渦

C. Raman, et al., Phys. Rev. Lett. 83, 2502 (1999).

R. Onofrio, et al., Phys. Rev. Lett. 85, 2228 (2000).

2T. W. Neely, et al., Phys. Rev. Lett. 104, 160401 (2010).

Introduction -理論- 2/5••

臨界速度以上における理論研究
Gross-Pitaevskii方程式の数値シミュレーションが中心
臨界速度以上における多彩な非線形ダイナミクス
T. Frisch et al., Phys. Rev. Lett. 69, 1644 (1992).

G. A. El et al., Phys. Rev. Lett. 97, 180405 (2006).

量子渦
ポテンシャルK. Fujimoto and M. Tsubota, Phys. Rev. A, 83, 053609 (2011).

K. Sasaki, N. Suzuki, and H. Saito, Phys. Rev. Lett. 104, 150404 (2010).

3

Introduction -理論- 3/5
凝縮体密度の時間発展(臨界速度以上)y/ξ

y/ξ

|Ψ(r)|2 /n0

凝縮体密度の時間発展(臨界速度以下)

流れの方向

流れの方向

x/ξ

x/ξ

臨界速度以上で量子渦が生成

散逸の発生
超流動の崩壊4

Introduction -理論- 3/5
凝縮体密度の時間発展(臨界速度以上)

y/ξy/ξ

|Ψ(r)|2 /n0

凝縮体密度の時間発展(臨界速度以下)

流れの方向

流れの方向

x/ξ

x/ξ

臨界速度以上で量子渦が生成散逸の発生
超流動の崩壊4

Introduction -理論- 3/5
凝縮体密度の時間発展(臨界速度以上)y/ξ

y/ξ

|Ψ(r)|2 /n0

凝縮体密度の時間発展(臨界速度以下)

流れの方向

流れの方向

x/ξ

x/ξ

臨界速度以上で量子渦が生成

散逸の発生
超流動の崩壊4

Introduction -超流動の不安定化- 4/5
超流動流が不安定化
励起状態の異常性として現れる

ランダウ不安定性

Re(�) < 0

動的不安定性Im(�) �= 0

光学格子を動かす実験

L. De Sarlo, et al., Phys .Rev. A 72, 013603 (2005).

5� : 励起スペクトル

Introduction -Motivation- 5/5
モチベーション
量子渦が発生するときの励起状態の解析。
超流動が壊れる直前に何が起きているのか？
臨界速度近傍の励起状態やゆらぎの解析••超流動の不安定化

励起スペクトルの異常性•ランダウ不安定性、動的不安定性••

ソリトン発生(1D)の前駆現象

局所動的密度ゆらぎの増大

S. Watabe and Y. Kato, arXiv:1305.6984 (2013).

6Model 1/3 : Gross-Pitaevskii 方程式(2D)Gross-Pitaevskii(GP)方程式∂�2 2i� Ψ(r, t) = −∇ Ψ(r, t) + U (r + vt)Ψ(r, t) + g|Ψ(r, t)|2 Ψ(r, t)∂t2m

Ψ(r, t) =�n(r, t)eiϕ(r,t)

n(r, t) = |Ψ(r, t)|2: 凝縮体波動関数(BECのorder parameter): 局所粒子数密度�
: 速度場v(r, t) = ∇ϕ(r, t)mU (r) = U0 exp [−(r/d)2 ] : ポテンシャル
境界条件 :−v

ポテンシャルLΨ(r + Lex , t) = Ψ(r, t)Ψ(r + Ley , t) = Ψ(r, t)
7LModel 2/3 : Gross-Pitaevskii 方程式
超流動状態=散逸無し
エネルギーの時間変化
�dE(t)= v · dr∇U (r + vt)|Ψ(r, t)|2dt
E(t) ≡�

�

�
g
22dr
|∇Ψ(r, t)| + U (r + vt)|Ψ(r, t)| + |Ψ(r, t)|42m22

�dE(t)
Ψ(r, t) = Ψ(r + vt) であれば= 0 (運動量保存則より)dt

ポテンシャルと共に動く座標系における定常解
8Model 3/3 : GP and Bogoliubov eqs.
�r⇒
r= r + vt
座標変換：

� �
��
i 1
� �
Ψ(r, t) ⇒ Ψ (r , t) = exp
mv 2 t + mv · r Ψ(r, t)
� 2GP方程式
�2 22−∇ Ψ(r) + U (r)Ψ(r) − µΨ(r) + g|Ψ(r)| Ψ(r) = 0in mov. frame 2m
imvL/�
Ψ(r+Le)=eΨ(r) , Ψ(r + Ley ) = Ψ(r)境界条件 :
x速度

Bogoliubov
方程式

�L2
∗
g [Ψ (r)]システムサイズ−g [Ψ(r)]−L2� ��

�ui (r)ui (r)= �ivi (r)vi (r)

�2 2L≡−∇ + U (r) − µ + 2g|Ψ(r)|22m

コントロールパラメータ : v, L, U0 , d

励起スペクトル、励起状態の波動関数

Bogoliubov方程式の対角化(GP方程式の線形安定性解析)
9�Results : Ghost vortex pair
U0 = 5�2 /mξ 2

臨界速度近傍のGP方程式の安定定常解(超流動状態)
密度
位相
流れの向き

Ghost vortex pair(GVP)（ピン止めされた量子渦対） K. Kasamatsu, M. Tsubota, and M Ueda,
Phys. Rev. A, 67, 033610 (2003).

臨界速度以上ではGVPがdepinningする。

散逸の発生、超流動の崩壊
10Results : Excitation energy
L = 32ξ d = 2.5ξU0 = 10�0 d = 2.5ξ

ポテンシャル無いときのスペクトル：�k,v = �k · v +エネルギーギャップのスケーリング則∆ = ∆0 |(vc − v)/vc |

�

vs =

�0k (�0k + 2gn0 )�

gn0 /m音速

特徴的時間スケールの発散

1/4
11Results : Excitation energy
U0 = 10�0 d = 2.5ξ

0.2

0.2

0.15

0.15
6/¡06/¡0

L = 32ξ d = 2.5ξ

0.1

U0= 1.0¡00.05 U0= 5.0¡0
U0=10.0¡0
U0=20.0¡0000.1 0.2 0.3
v/vs0.4

0.5

0.1
0.05 L=32j
L=48j
L=64j
000.1

ポテンシャル無いときのスペクトル：�k,v = �k · v +エネルギーギャップのスケーリング則∆ = ∆0 |(vc − v)/vc |�0.2 0.3
v/vsvs =�0k (�0k + 2gn0 )0.40.5�

gn0 /m音速

特徴的時間スケールの発散

1/411Results : Excitation energy
L = 32ξ d = 2.5ξU0 = 10�0 d = 2.5ξ

0.1

0.05 U0= 1.0¡0
U0= 5.0¡0
U0=10.0¡0
U0=20.0¡00
0.4

6/¡0

6/¡0

0.1

0.44

0.48

0.05
L=32j
L=48j
0 L=64j
0.38
0.4v/vsポテンシャル無いときのスペクトル：�k,v = �k · v +エネルギーギャップのスケーリング則∆ = ∆0 |(vc − v)/vc |�0.42v/vs

0.44
vs =

�0k (�0k + 2gn0 )

0.46

�

gn0 /m音速

特徴的時間スケールの発散

1/411

Results : Excitation energy
L = 32ξ d = 2.5ξU0 = 10�0 d = 2.5ξ

0.1

0.01

16/60

6/60

1U0= 1.0¡0
U0= 5.0¡0
U0=10.0¡0
U0=20.0¡0

0.1

0.01

10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100(vc-v)/vc[(vc − v)/vc ]1/4

L=32j
L=48j
L=64j
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100(vc-v)/vc�

ポテンシャル無いときのスペクトル：�k,v = �k · v +エネルギーギャップのスケーリング則∆ = ∆0 |(vc − v)/vc |

�

vs =

�0k (�0k + 2gn0 )

gn0 /m音速

特徴的時間スケールの発散

1/411

Results : Density ﬂuctuations
密度ゆらぎ
δni (r) = �i|n̂(r)|g� = Ψ∗ (r)ui (r) − Ψ(r)vi (r)v = 0.1vs

L = 48ξ, U0 = 10�0 , d = 2.5ξv = 0.42vsv = 0.43033vs

低エネルギーの動的密度ゆらぎの増大

量子渦生成の前駆現象
12•

Summary

一定速度で動くポテンシャルがあるときにGrossPitaevskii方程式とBogoliubov方程式を数値的に解いた。

•••

臨界速度より小さいときにGhost vortex pairが出現するパラメータ領域が有る。
エネルギーギャップのスケーリング則を発見した。

臨界速度に近づくにつれ局所的な密度ゆらぎの増大が起きる。量子渦生成の前駆現象と見なせる。

Reference : MK and Y. Kato, arXiv:1305.3995 (2013).
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