J. Plasma Fusion Res. Vol.93, No.1 (2017)１
０‐１７

解説

古典物理から量子場の世界へ：放射の反作用
Radiation Reaction - from Classical Physics to Quantum Fields
瀬戸慧大
SETO Keita
Extreme Light Infrastructure - Nuclear Physics (ELI-NP) /Horia Hulubei National Institute for R&D in Physics and Nuclear Engineering (IFIN-HH)（原稿受付日：２０
１
６年９月８日）プラズマの中には莫大な数の電子が含まれているが， 電子そのものの取り扱い を考えたことはあるだろうか？専門家は量子力学における Dirac 方程式が電子の方程式だと教えてくれるだろう．しかしながら，P.A.M.
Dirac は Dirac 方程式の提案後に一つの古典力学的な 光輻射を伴う電子模型 ，すなわち， 放射の反作用の古典模型（方程式） を提案した．本解説ではこの放射の反作用が最新鋭の 10 PW 級レーザーを用いたプラズマ科学と強く関連した話題であることを議論したい．通常のプラズマ科学ではお目にかかれない高強度電磁場と相互作用する単一電子模型を歴史とともに解説する．
Keywords:
radiation reaction, high-intensity field physics, high-intensity laser, non-linear QED, stochastic analysis, ELI-NP

１．プラズマから単一電子への道

子物理（正確には非線形の量子電磁力学：Quantum Elec-

プラズマを扱っていると否応なしに電子の挙動について

trodynamics；以下 QED と略す）実験がこれまで実現でき調査せねばならない．どれくらいの密度・温度を持った電なかった相互作用まで探査できると主張している．便宜の子フローがそこに存在するのかはプラズマ理工学に携わる

ためこのような物理領域を 高強度場物理（high-intensity

者の最大の関心事であろう．MHD 方程式のなかでプラズ

field physics） と呼ぶことにしよう．私自身もこの集団のマフローを解くとき，トカマクなりヘリカルなりの磁場配一員であるわけだが，この楽観的な予想こそ位，あるいはレーザー電場のプロファイルを外場として定題義して挙動を解く．しかしながら，仮に電磁場を今まで考れたプラズマはえたことがないほど大きな振幅に変えてみたときに何が見出しうるのだ．ただし複雑な要素を多数含むプラズマをそえてくるだろうか？定性的には強い場で荷電粒子を揺さぶのまま研究することは困難を極める．すると成すべきことるのでプラズマ内の電子の速さは光の速さまで加速され，は非常にシンプルで，単一粒子（フェルミオン）と高強度

相対性理論が支配する領域に突入することは予想できるがレーザーの相互作用をまず理解し，その上で複雑系たるプ［１］，果たしてそれだけだろうか．

ラズマに拡張するというストーリーが生まれる．ゆえに高はじめの問への解答である．すなわち，超高強度レーザーに晒さ時に素粒子実験に比類する結果を生みこの問いに解を与えうる研究が花開きつつある．それは強度場物理に登場する粒子は現在は基本的にたった３種類

ヨーロッパを中心とした PW 級レーザーの建設計画で，そで，電子・陽電子そして光子である．慧眼な読者は QEDの中でもフラグシップは東欧３カ国（チェコ，ハンガリー，を構成する最低限のキャストしか考慮しないことに気づい

ルーマニア）に設置された Extreme Light Infrastructureたことだろう．本稿では特に光輻射を伴う単一電子の挙（ELI）と名づけられた!
（〜10 PW）の最先端かつ最高強度

動，すなわち 放射の反作用（radiation reaction） と呼ばのレーザーを擁する研究基盤群である［２］．これらは極限れる模型に話題を絞り，これが 10 PW レーザーによる非線まで集光された光を生み出すこと，それによる物理過程の形 QED 実験の最初の一歩として重視されている理由を解解 明，さ ら に CERN（欧 州 原 子 核 研 究 機 構：Conseil

説する．典型的には外部から印加する集光されたレーザー

Europ!en pour la Recherche Nucl!aire）が有する世界最大（1 GeV）程度の単一電子の相互場は !
（1022〜 W/cm2）と !

の円形加速器 LHC（Large Hadron Collider）が出力できる作用を想定しており，放射の反作用を通じて !
（10 MeV-

以上のエネルギー１をめざしレーザープラズマによる粒子

GeV）のガンマ線を生み出す．1 MeV の光子は電子・陽電加速機構の解明と開発に心血を注いでいる．研究施設がそ子対に変化できるため，これを種として２次・３次の高エ

こにあれば当然これを利用したいグループが傍に控えておネルギー電子・陽電子生成のカスケードを作れば，これがり，10 PW レーザーとレーザープラズマ組み合わせた素粒

高強度場物理のプラズマたる電子・陽電子プラズマを形づ

１ ２
０
１
５年のアップグレードで 13 TeV まで加速が可能．CERN: http://home.cern/
author’s e-mail: keita.seto@eli-np.ro

１０!2017 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Commentary

Radiation Reaction - from Classical Physics to Quantum Fields

K. Seto'%+.*//-+*.
#
#
% 1
1
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!#!
(
%*!&#)
*
!% )
'+

（１）

ここでは正値で輻射損失を定義していることに注意された
い．*!は電子の静止質量で，!は電子の速度を光の速さ&で割ったもの !&&である．この式で重 要 な の は，%%"#Lorentz 因子と呼ばれる %&""%"% !# と，時間の次元を持
$
つ定数 )
($
%
%(#"
!&
!*!& の２つ で あ る．Lorentz 因 子 は"%*!&#%として電子の持つ 全 エネルギーに直結するので光を放つときはこの %に何かしらの変化が要求され−24
る．一方で )
sec というとてつもなく小さな値!は 6×10で，後述の数学的困難を引き起こす．
さて，いよいよ放射の反作用を考察するわけだが，（１）式のままでは，少々計算が難しいので非相対論極限という技を使ってみよう．これは粒子の速さが光の速さに比べて
図１&, !，%, "と置き換えても差はるかに小さいなら !%%"

放射の反作用．

し 障 り 無 い と い う テ ク ニ ッ ク で，今 の 場 合 だ と#1'%+.*//-+*."'+%*!)!&! である．この電子の光輻射損失を組み込んで電子のエネルギーバランス式，#

くり，我々に豊富な物理を教えてくれることだろう［３］．以
下ではプラズマの中からたった一粒の電子をとりだし，放射の反作用の物理を古典論から量子場の理論に至るまで吟'%' "* %#%! +.*//-+*.
!
"%#,0$'+'+ # !

味し尽くそう．この問題は物理学史に名を刻む Lorentz［４］，Dirac［５］に Feynman［６］も挑んだ由緒ある問題であ（２）を考えよう．変形を経て，る．量子場を取り入れた模型まで駆け上がったときには，
電子そのものに新たな物理の地平を切り開く可能性が含ま

&

&
1
2(
1
%")
%*
$ '+
*!%
*!)
'
!#,0!*!)$$!%!%!& %! （３）

れていることに気づくはずだ．できるだけ簡潔な解説する!&

ためにかなり思い切った模型の近似を度々使用することを予め断っておく．厳密な理論展開に興味を持った読者は各&1という方程式の平滑化を行う．)
とできる状
%
*!)
$
*
!%
!& %!

引用文献をご一読いただきたい．

況に物理を限定できるとき，Lorentz-Abraham 方程式
1%#,0"*!)
2*!%!%

２．古典的な放射の反作用模型（４）２．
１ 古典的定式化への最短コースを得る．右辺第２項が電子の光輻射を外力として書き換え物理を論じるには模型なしでは始まらないので，簡単な方法で放射の反作用の基礎模型である Lorentz-Abraham-

たもので，放射の反作用

Dirac（LAD）方程式［５］まで駆け抜けよう．放射の反作用

元の方程式が手に入れば，あとは共変性（特殊相対性原理）とはCompton散乱を一般化したものとみなせる．すなわちを方程式に課すことで，この方程式は４次元の Minkowski

高エネルギー単一電子が外場の光子を吸収し，終状態とし時空での方程式へと昇華される．それこそが以下の LADて散乱電子と輻射フォトンが現れる．これをマクロに見れ方程式２である．

ば輻射光分のエネルギーを失うため，特に強力な光を放つ&

過程では電子の運動軌跡が補正されねばならない（図１）．
!"
光のエネルギーは Poynting ベクトル $%&!
"#! で伝播す

ると電磁気学で習う．この式の電磁場の部分に単一電子を電流とするMaxwell方程式の解を代入すれば電子からの電力などと度々呼ばれる．３次*!', %!(#,0,'!(#)'(,'')（５）* ) '#,&&''#,'#)'( %! !#!! # ,'! # ,&"
(
&
')
')

（６）

&'

&'

磁場輻射を論じることができる．幸いこのような単一荷電いきなり相対論の手法が飛び出したが，式がわかっていれ

粒子の作る電磁場は Li!nard-Wiechert 場（遅延場）としてば解釈はそれほど難しくない．運動を描くには発展パラ

解析的に導かれている．Poynting ベクトルを全方位に面積メータが必要で，相対論の場合は固有時間 )を採用する．

分すればある瞬間に電子が失うエネルギー損失が導かれ，この )は定数を掛けるだけで相対論的粒子の作用積分

これを Larmor の輻射公式［７］と呼ぶ．

$%*&##')に な る 特 殊 な パ ラ メ ー タ で あ る．
%(は４次元速度で，この書き方にすると３次元
,&
&
!
%%#'
速度 %が光の速さを超えないという束縛が自動的に実装さ&##+ ) %
２ LAD 方 程 式 の 導 出：Minkowski 時 空 で 方 程 式 を 考 え る た め に は ま ず３次 元 の 式 を #)' %*!)
'+
"
!' %
)'(
# &
#
&
')に置き換えることで共変性が担保される．
*!)')"! と拡張する．%を４元速度 ,に，時間微分を 固有 時間微分 '"!' , "&
最後に一般的な外力のルール ,&)%!を満たすように ! を選べば LAD 方程式が導かれる．
)'(
｜

１１

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.93, No.1 January 2017

れる．第０成分（時間成分），-!%%$に注目しよう．これを *!-!%*!%#$"%%!"%と思うことで，運動方程式（５）式のデザインもできなく不便なので以下のような近似
（摂動
2に運動方
計算）がよく利用される．非相対論極限（４）で $の左辺は &*$"&,をただ一纏めに書いただ
!"
%+
"
&,と&*
*!$
+

程式そのものを代入してみよう．

%&
けであることがわかる．!'"*0-&というのは電子に働く仕& #1%"*0"'
2+*!$* *0"*!'!
!$&,#"!$!"%
1%* $事と外力３成分を纏めた$#*#*0+というベク
#*0$
!!!'
!'
ト ル で あ る．レ ー ザ ー を 考 え て い る 場 合 で あ れ ば

（１１）

!

#*0%!'*",(/*."$#!,(/*.+などとすればよい．そうすると%&%&残った !'"'%&-&が放射の反作用を意味し，"'%& は単一電こうして速度の高次の導関数に運動方程式自身を代入し続

子電流が作る電磁場だと認識できる．人によっては（５‐６）

けて少しずつ値の精度を高める方法を摂動計算（perturba-

式を変形したtion）というが，早々に計算を打ち切って#
1
1%#*0"'*!$'+!#*0"#*!

%%&&#-% *!'-& &-&-%!&*!&- %!'"*0-&"*!'
!
# "
&'
&'
%# &' &'

（１２）

としてみよう．これであれば外力がわかっていれば放射の12''
反作用の項 *!'!$!#*0を困難なく見積もれる．これを

（７）
# %
#
を好む者もいる．*!'の項は Schott term と呼ば&'!& - "

提案者にちなんで Eliezer-Ford-O'Connell（EFO）方程式［８］と呼ぼう．さらに #*0*
%*
,
+
+なので，

れ run-away という数理的な大問題を引き起こす元凶である（後述２．
２節）．残りの *!'
&-&"
&'
&-&"
&'
+
*
+は direct ra!*#*!$%#*0"''$)#*0"#*
+
!$
!

（１３）

diation term と呼ばれる．これは *!'
&-&"
&'
&-&"
&'
+
*
+
%
!*
#
#
#
$ 1
1
（１）式と組
! !*
!#! +
!*!%'
-が成立ことに由来し!$ ,としても良かろう．これは Landau-Lifshitz（LL）によってみ合わせて提案された方法である［９］．簡単のために非相対論領域で*!'-& &-&-%" &$),(//+)(,-%
!&
%! #
#
&,
%
% &' &'

議論したが，高強度レーザーと電子の相互作用を Particlein-Cell（PIC）シミュレーションで処理する際には相対論的（８）

LL 方程式が採用されている３．しかしながら物理そのものが満たされる．大雑把に光輻射をベクトルに見立てたとき
!
)%!!
.
"!
#!

%

+*
()+
!() &

&$),(//+)(,-%#,&,%の研究が進み，近年はさらに QED からの補正を加えた PIC［１０］が主流になりつつある．

（９）３．電子の発見と真空の誘電率という運動量を#,の時間で 失う 多重の非線形Compton

３．
１ Lorentz の電子模型

散乱（後述４．
２節）を古典力学で論じたものが放射の反作用

話は変わって電子はどのように考えられてきたかをみての直感的なイメージである．

みよう．１８９７年の J.J. Thomson による電子の発見後，H.A.

２．
２ Run-away 解と摂動（近似）Lorentz は１９０６年に電子論という教科書を著した．当時は

式さえわかれば後は解析的なり数値的な手法なりで解け

まだ Schr"dinger 方程式の発見前だったために物理は古典

ばよろしいと言いたいところだが，ここには相当な困難が力学で表現されたが，先に登場した A. Li!nard（１９９８）や潜んでいる．具体的に言えば，まず（４）式を変形すると以E. Wiechert（１９０１）などの最先端の理論研究結果が取り込

下の解を厳密に満たす．
1
$
,
'
"
'
*
+
( *0-*!+（１０）

解析的に解けているように見えるが，'（10−24 sec）で!%#あった事実を鑑みると，一瞬のうちに指数発散してしまう［４，５］．そのような加速現象が起こってくれるなら LHCのような大規模な加速器を作る必要も無く，これが非物理的な挙動であることは明らかであろう．放射の反作用の問
題の数理的な面白さの一つは run-away と呼ばれるこの指2が Schott term 自身
数発散問題にある．Schott term *!'!$を増幅することが原因で，自己加速などと呼ばれることもある．１９００年初頭にこの問題が提示されて実に１
００年以上経つが，万人が認める完全な解決は今のところ提出されていない．言い換えると部分的にはいくつかの手法でこれを図２抑制できる（後述４節）．とはいえ解けないままでは実験

Lorentz の電子模型（文献［１１］の Fig. 1 から引用）．

３ 余談であるが PIC に放射の反作用を導入せねばならない理由は GeV クラスの高エネルギー電子は GeV オーダーの光子を放つことがしばしばあり，現状計算できる空間メッシュサイズではこれを Maxwell 方程式を通じて解像できないために，粒子運動の部
分でこの問題処理をしたいという実務的な問題に由来する．

１２

Commentary

Radiation Reaction - from Classical Physics to Quantum Fields

K. Seto

まれている．彼らはそれぞれ単一電子系の Maxwell 方程式

定義する際の自由度となりうる．この自由度は QED で如を厳密に解くことに成功しており［７］，Lorentz はこれを実に現れる．実は QED を含む量子場における真空とは４

巧みに使い電子の内部構造を調べようとしたわけである ．

空っぽ を意味せず，量子力学的な最低エネルギー状態を

以下は Lorentz による研究結果である．

指す．そのため，目に見えなくとも空間の背景には基底状

まず電子は半径 ,で中空の球核であると仮定する．この態のフェルミオンの対が仮想的にうじゃうじゃ存在し球核を細かな素片 !)*に分解しよう（図２）．これらは半ているのが現代物理の真空の見方である．電子のまわりに

径 ,の球核 &,#上にある素片たちで電荷分布を意味する．そは強い Coulomb 場があるので空間を励起するなど造作もの中 か ら 一 点 %(&,#抽 出 し て 電 荷 !)**%+を 定 義 す れ無い．すると電子の周りに仮想的な電子・陽電子の対が，ば，この電荷には他の点で定められた素片電荷が作る電磁プラズマでいう Debye 遮蔽の幾何を作る．Debye 遮蔽が遮場が作用するだろう．式で書けば !)**%+に働く外力は蔽体内部の情報を一部隠すため，我々が観測している

真

空 における Coulomb 場は電子・陽電子によるDebye遮蔽（１４）

された後の見かけの電荷*&**&1.6×10−19 Cが作る場!!%である．点 &にある素片が点 %に作る Li!nard-Wiechert（#"））．この話は静止していとみなせる（/,
*
*
"%
,&"
!"
!
る電子について述べたもので，粒子が運動すれば強力なシ（LW）場（遅延場）を )"+- *%!&+と書いた．したがって，

ンクロトロン光が強く &,を変化させるだろう．

%+
%+
#
)#*
&!)**

&&(&,#%)%!&)"+- *+

電子と仮定した球殻全体には外場が働いておらずとも

４．量子場による補正
#&#

%(&,#

%+
)$%)#*

４．
１ QED 真空ゆらぎのある電磁力学（１５）

QED 真空 を放射の反作用模型に適応するには QEDという電子そのものが作る力（自己力）が働いている．シの低エネルギー極限の有効場の理論

ンクロトロン輻射のような非球対称な LW 場では０ではなくる必要がある．Heisenberg-Euler Lagrangian（密度）とい #が現れるはずだ．複雑な計算を経て５，Lorentz は以下名付けられたこの模型は，登場する光子が実電子・陽電子のような運動方程式こそ電子の方程式であると主張した．

の静止エネルギーに比べてはるかに小さなエネルギーを持

1
0&#./"+!+$+!"+*, +*!$というものを持ってつ場合の光子の非線形ダイナミクスとして知られている．

（１６）

'
$ #
# '
#-"
#.
##.
##.
$& " ,
" !
,
" ,
(!(
(
%
%

これが（４）式のオリジナルな導出法である．先ほどは runaway というものを見たがここでは加えて違う難問が待ち
構 え て い る．そ れ は 電 磁 質 量 と 呼 ば れ る +*, &

（１７）

% $
( で，Lagrangian 密度（１７）式６の第１項
+!
')
$#!$&
%&
&%
!"

"
,#+!の存在である．点電子として考えるため，
"
$
%#+
!(

#.
#-は!→０で消滅しない古典的光伝播を支配
"
(!(#,
"
%

はじめに定めた電子模型の半径を０に近づけると明らかにしている．残る '&%（!3）の部分が QED 真空のゆらぎにこの値は発散してしまう．これは朝永らによる質量のくりよる光子の伝播補正（真空偏極）を表現している．これをこみ（renormalization）の古典物理バージョンとして知ら場で変分すれば Maxwell 方程式が手に入る．

れており，+!"+*, '10−30

kg と静止質量の測定値を充て，+!と +*, そのものについてはよく知らないと開き直ってしまおう．電子模型は既に古典論でくりこみを要求しており，放射の反作用を通じて特異性を抑制せねばならない．
３．
２ 真空の誘電率と電子電荷は定数だろうか？
さて，くりこみの話をしたのでもう一種類くりこみの話をしたい．それは電荷のくりこみと呼ばれるものである．
あまり難しいことは考えず電子と電荷 '*をもつイオンを#考えてみよう．このとき電子には当然 !'*#"*&%!, の力が働く．仮に違う誘電率 &&&,&!の世界があり，電子の電荷も*!と変更されるとしよう．すなわち Coulomb 力は今の場
#
合 !'*
"
*&
,#である．*&*%!"&/ ,のとき二つの場の値は一!

致するが，われわれはその電場が***!
,,+のどちら!+と*!!
図３の系に生み出された電場であるかを知る術はなく，真空を

QED 真空と裸の電子（文献［１１］の Fig. 2 から引用）．

４ 念のために断っておくと，現在の素粒子の標準模型では電子には内部構造は無いことになっている．当時は今で言うハドロン
物理と同じで電子の中にさらに小さな電荷をもつ粒子とその構造があるのではないかと予想されていた．
1!+*,$
0で，+!$
0&#./"#に代入する．
５ 結果として #&+!+
!$
$
６ ,
)
&!()"()で $!は !のデュアル（双対）テンソル．電磁場 #に対して ,
!.
"&%!%
""
#.
#(が成
&##*
!#!"#"(#+と ,
#.
#立する．

１３

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.93, No.1 January 2017$
$ $ ()"()!'#)"*"()"&)"*" $&
"+
"+
-(%
%!
$

（１８）

これは %
*を量子効果として定めた Maxwell 方程式である．
'/ !で古典電磁気学の Maxwell 方程式 -("()%!を得る．
さて次のようなことを考えてみよう．電子から放たれた
LAD 場 "*(')( は す で に 真 空 分 極 の 衣 を 纏 っ て い る（式（６），か つ -("*(')( %!）．し か し，電 子 の 運 動 方 程 式 は(#"(#!(なので裸の輻射場との相互作&"%+%!&'(!%'(

用を採用すべきだろう．衣を着た場とは電磁気学で言うと()!"ころの物質中の場 %"!%(#'%"*'( のことであり，裸の
!

場とは '
#!!(
%"()である．そのため，外場も含めて$ $ ()"*" $%#()"()!'#$)"+"()"&)"+$"*$#!!!!!!"$"!!!!!!%

図４

（１９）

!"
%%
'!
&(
：QED 真空の分極! #'という関係で，真空分極を纏う前後の場の関係を定義する%#)5447
#
#
% 8
8
#(
! !'
!#!
(
&)'
#(!$#*
!& ,
%+

)
()
であ
こ と が で き る（図３）．た だ し，#()%"0(
6 ""
*'(

る．これを裸の場 "について解いていくと，
"
" &
#()
##
"!')
+*
()

（２３）

のように求まる［１４］．これは古典論の場合の（１）式に関数)'#(が追加されただけである．)'#(は古典論の Maxwell（２０）

方 程 式 -("()'
*
,('
-(
$'
*
$$'
-!-'
*
%(!#!
!&
(
(
(
"が
,%
"
QED の Maxwell 方程式を得るため，電子の運動方程式は（４‐５）式から
%,(
&
%!
#()+$
%*
(!'
"!')
(
#*
#+

光輻射する電子の持つエネルギーの時間発展．ELI-NP が擁する LINAC 程度のエネルギーを持つ電子とレーザーと完全対向する幾何を初期条件として，Furry picture による輻射
公式の補正を導入すると古典模型の場合と比べ 100 MeV
ものエネルギーの散逸が抑制される［１
５］
．

-(
$
,'
-(
&),'
-(
-("()'
%(!#!
!&
"

（２１）

（２４）

に移行したときにデルタ関数が平滑化されたことに由来す

!"
#+
#*
と電荷質量比を &"に置き換えたものに
(!#'
"!')
(

る．すると輻射 LAD 場は大雑把にすればよいことを要求する．因子が増えて複雑に見える"*'(."+3/2120/*'( %)'
#(
#"*'(
｜

が，これはうまく run-away を抑えることが解析的に証明（２５）できている．つまり，QED の真空ゆらぎが放射の反作用のとして（４‐５）式，あるいは（２１）式に代入することで量子効

自己加速問題を抑制してくれるわけである［１２］．

果を古典模型に導入できる［１４，
１５］（図４）．この関係と関４．
２ 光輻射機構：非線形 Compton 散乱

数 )'#(は将来展望で少し述べるので記憶に残しておいて光の散乱を非線形Compton散乱として考えてみよう．こ欲しい．ただし，この Furry picture は平面波外場の場合でれは今現在の PW 級レーザーにおける放射の反作用を表現

なければ Volkov 解による Hilbert 空間を構成できないためするための主 要 模型 で あ る．電 子 の レ ー ザ ー 光 吸 収を(!
% $#$Dirac 方 程 式 ,
'-("&
!06(
&
!($
,- %!で考える．
('

レーザーの集光や重ね合わせを考える場合はさらに別の模型を探査せねばならない．

特にレーザー外場 !06が平面波である場合はこの方程式の解 ,- は Volkov 解という特別な名前が与えられており，こ５．最近の進展と将来展望の解を集めた関数族は直交性と完備性を備えるため Hil-５．
１ 理論：Brown 運動

bert 空間を張る．さらに光輻射場 !4./を導入して
(

(

! ("&
&
'!06"&
!4./(
,
!($
('
%$#$,%!

量子力学の教科書には Eherenfest の定理 というものが登場する．これは Schr!dinger 方程式の解を用いて位置

（２２）

#
)'
+
(の統計平均を取ると，(!%#)
)'
$'
)'
+
"
%+
+
(
*
%)
(
(
*な

を Volkov 解で摂動展開することで，光子を１粒だけ飛びる時間発展を満たすので )
$'
)'
+
(
(
*を外力とみなせば古典出させるような量子状態の遷移確率（確率振幅）を導くこ

論と量子力学の対応を保証できるという定理である．そのとができる（特に非線形 QED においてこの手法は Furry#
ことを深く考え，(!%#)
)'
$'
)'
+
"
%+
+
(
*
%)
(
(
*に近い方程picture と呼ばれている）．これは複数のレーザー光子を単式で，平均をとる前の方程式を導けないだろうかと考察し一電子が吸収し，その後にこの電子が一粒だけ光子を飛ばた一派があった．E. Nelson による現代的な確率論で数理武す非線形 Compton 散乱を意味する７［１３］．これを光輻射の装されたこの量子力学は 今 日 確率力学（Stochastic dy-

エネルギーロスの形まで変形するとおおよそ

namic） と名づけられている［１６］．特徴として①運動方
程式がかなり古典力学に似通っており，②波動関数の二乗が確率密度となる数学的意味付けができる点でユニークで

７ 特に電子と光子の１粒子ずつの散乱は 線形 Compton 散乱で振幅は Klein-Nishina の公式として知られている．

１４

Commentary

Radiation Reaction - from Classical Physics to Quantum Fields

K. Seto

言葉通り完として（２６）式で定める．& (& は流体でいうドリフトフロー
3の不連続性にに相当する．２種類の時間発展 &は解曲線 0全に追跡できる点である．本解説でこのような突拍子もな

由来し，正／負の時間発展を明示している．
（２６‐２７）は確い話題を取り上げたのは，古典論と類似性の高い方法であ率 力 学 の 枠 組 み で は kinematics（粒 子 性）と し て 扱 わるのならば放射の反作用を量子力学で論じうることが期待

れ，&& の決定にはさらに dynamics（波動性）を定めて導できるためである．Furry picture（従来法）より広い適応

く．この dynamics は Klein-Gordon 方程式

ある．そして最大の利点は③従来の量子力学では不可能であった量子の運動軌跡を平均軌跡ではなく範囲，すなわち非線形・非摂動的な扱いを目標に参考文献

# #
!)+
+
*
",)")
",)")
+
*
''%!
!)+
'!,!

［１７，
１８］からエッセンスを抽出して以下に考えてみよう．

（２８）に一致せねばならない．ここで複素速度&&&""&!+"#!
%*

量子 ら し さ を 確 率 過 程 の"stochasticity"を 用 い て 表 現&"!&!++"#の成分を*し，相対論まで視野に入れた４次元 Minkowski 時空上に軌
跡 を 描 く よ う な 確 率 過 程 の ク ラ ス に 限 定 す る．Klein-

" +,
&$ &
0+
!$*
0+
.'*
%
#.! $")/,!

Gordon 粒子（スピン無し電子）の軌跡を D‐発展可測的過
程と名付け

（２９）

で定めることで，古典論と酷似した粒子と場の dynamics

(
( 1
3
3
*
!
++
*!
0
++
*
!0
*

を得る［１７］．

*

*
!
( 1
1
1(
1
1
&&*
3
（２６）
0
*1!
!
++
++
*
#'1 ($& *%'1 (*
+
"
*
,
*
*
) !

3)*
3
3
3
0
*
!
++
0
*
!
++
"()*
0
*
!
++
,!$*&(*
*
+
%!)
*
+
*
+（３０）
&

と伊藤（確率）積分で定義する［１７］．"stochasticity"という
()
"()*
0+
*
0+
,(.
"&
*
/

言葉はランダムさのようなもので，量子の不確定性を担う．こ の 式 の 中 で は 標 準 Wiener 過 程 $&（物 理 的 に は()

3''(*'*,
0+
&%*
0!0
*
!)+
%(!#' !)
*
+（３１）
&)*

Brown 運動）がそれを表現しており，計測（サンプル）+
ごとにこの $& の値をランダムに変化させる．微分形式で

#

(

(

3*
3*
!"
た だ し，&,!#,(，$ *&
#
0+
0+
0+
,(
&
%&(*
"+
%&
3
3
)は %*
のように定義した．また'(%*++の平均を意味す)+

以下のように（２６）式を書く者もいるだろう．
(
(
!
(
3
0
*
!
++ （２７）*!
++(*#($& *
*
+
"
3
(0
*
!
++
*
%& &*
( ,!

る．（３０）式はKlein-Gordon方程式に一致することがわかっている［１７］．（３１）を解いてこれは確率微分方程式と呼ばれ，解の関数族を +をラベル
()
,!$*
3
3
3
0
0
0
*
!
++
*
!
++
"*2 *
*
!
++
*
+
%!)
*
+
*
+
&3)*
& (*
)
(
3
3
*
!))
*
!)+
('(0
(
*
+
*
*
, *#*
+ (
'(0
)
)
4*
3
4
3
3
&)*
&
0
*
!)++
*
!)++
*
!
++
!&
*
*
*
*
+
" ! !#
%
&
'(0
)
'(0
)
(*
(*
'
#

$
3)*
3
3
&
0
*
!
++
,$%()*
*
!
++
&
0
3
3
*
$
!)
*
+
0
*
!)++
*
!
++
*
(&
*
$
'(0
) "##

（３２）

が光輻射（放射の反作用）を含む Klein-Gordon 方程式であ

$
3)&
3
3
3
3
て&
&
0
*
!
++
*
!
++
*
!)+
&
*
%0
*
!'(0
*
,$%()
0
$
)を通じて !)

る［１８］．ただし #**+はの項に括りだされ，加速度の時間微分に相当する

3
*
!)+
*
3
'(*
)%#*
'(0
)+
0
*
!)+
*
*
*
+
+
#*
*

（３３）

4&
&
%

を満たす関数で本質的に前節で述べた高強度場による補正に直結する．放射の反作用の"stochasticity"は +‐依存性とし

3
3
($'(0
*
!)+
*
!)+
*
*
*
.#*
+(#'(0
) $()
"
$
#
# (*
(*
(*

（３４）

3
を導入した．（３２）式を平均すれば'(&
0
*
!)+
*
)%!なので

3
(
*
!)+
'(0
)
)*
()
(# 3
(
3
3
*
!)+%!)"*!)+*!)+,! #'(0
*
"%()*
!*2 *
"
)
'(0
)+
'(0
)+
)*
)*
(*
(*

（３５）

)
(
3
3
*
!)+
*
!)+
(
('(0
*
*
, *#*
*
+ (
'(0
) )
)
% ()*
4*
3
3
4*
3
&
*
!)++
*
!)++
*
!)++
!&
*
*
&
'(0
) %! ! ! # %
'(0
)
)*
'(0
)
(
*
(
*
)
'

（３６）

3
と Ehrenfest の定理を得る．/*
(*の対応
*
*
!)+
+
0(
*
'(0
)"

#*
*
%+を誘導する．因子 #**+'-*+は kinematics から導かをとれば LAD 方程式（５‐６）と（２５）の組み合わせとの類似性れる光輻射スペクトルの量子補正であると結論付けられ，に気づく．この模型の輻射公式はFokker-Planck 方程式を厳密に解けば Furry picture では表($01/)+(01,)
($
3
*
!)+
*
*
*
*
+
%#*
+
# )-(00,)(-*
'(0
)+
(.
(.

現できない相互作用を抽出できる［１８］．この手法で粒子の（３７）生成・消滅を表現できれば量子場の非摂動的な取り扱いを押し出し，新たな数理表現法を開発できることが期待できであり，平面波外場の場合は Furry picture に漸近するためる．
１５

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.93, No.1 January 2017５．
２ 実験：ELI-NP での放射の反作用実験
具体的な実験計画について述べよう．現在世界中で非線
形 QED の初期実験として放射の反作用実験が提案されている（図５）．ルーマニアの ELI-NP（図６）は世界で唯一２基の 10 PW レーザーと最大 720 MeV の電子線 LINAC（線形加速器）を有しているため，LINAC から直接電子バンチを実験エリアに導くことでレーザーと電子の相互作用を作ることが可能である．レーザー電子加速はレーザーのコンディションに依存するため LINAC によって不確定要素を減らす算段といえよう．散乱された電子をカロリメー
図５タで，電子からの輻射光を本プロジェクトのために設計しPW レーザー+LINAC による ELI-NP 実験．

たガンマ線計測器で散乱粒子の終状態を計測し，願わくは
上記 !!
""の同定を実施する．この実験は副産物として電子・陽電子の対生成もわずかながら生じるため，これらの同時計測も計画されている．この非線形 QED 実験の鍵は有効な統計数をいかに確保するかであるが，ELI-NP の 10
PW フルスペックショットは 0.1 Hz で運転が可能であるため，セットアップ完了後２週間程度で本ステージの実験は完了する［１９］．
華々しい内容を書き綴ったつもりであるが，高強度レー
ザー科学のコミュニティはお世辞にも理論屋・実験屋ともに充実した研究者人口を擁しているとは言えない．本稿では基礎物理についてのみ述べたが，ELI-NP ではレーザーを用いた一般的なプラズマ科学のテーマも実施しており，
図６

現在も新規職員・共同研究者を募っている．またごく最

ELI-NP の概観写真．

近，大阪大学の田中和夫氏が ELI-NP の Science Director
April 1906, 2nd edition (Teubner, Leipzig, 1916).
［５］P.A.M. Dirac, Proc. Roy. Soc. A 167, 148 (1938).
［６］R.P. Feynman, Phys. Rev. 76, 749 (1949).
!
!
［７］A. Li!nard, L'Eclaiarge
Electrique
16, 5-14, 53-59, 106-112(1898); E. Wi!chert, Annalen der Physik 309, 667 (1901).
［８］C.J. Eliezer, Proc. Roy. Soc. A 194, 543 (1948); G.W. Fordand R. F. O'Connell, Phys. Lett. A 174, 182 (1993).
［９］L.D. Landau and E.M. Lifshitz, The Classical Theory of
Fields (Pergamon, New York, 1994).
［１０］たとえば T. Moritaka et al., J. Phys: Conf. Ser. 454, 012016(2013).
［１１］瀬戸慧大：レーザー研究 42, 174 (2014).
［１２］K. Seto, Theor. Exp. Phys., 2014, 043A01 (2014); K. Seto,
Theor. Exp. Phys., 2015, 023A01 (2015).
［１３］L.L. Brown and T.W.B. Kibble, Phys. Rev. 133, A705 (1964).
［１４］I.V. Sokolov et al., Phys. Plasmas 18, 093109 (2011).
［１５］K. Seto, Prog. Theor. Exp. Phys., 2015, 103A01 (2015).
［１６］E. Nelson, Phys. Rev.150, 1079 (1966), and E. Nelson, “Dynamical Theory of Brownian Motion” (Princeton University
Press, 2nd Ed., 2001).
［１７］K. Seto, arXiv:1611.05861 (2016).
［１８］K. Seto, arXiv:1611.05458 (2016).
［１９］K. Homma et al., Rom. Rep. Phys. 68, S233 (2016).
［２０］N.V. Zamfir et al., Rom. Rep. Phys. 68, Suplement, ELINP Technical Design Reports (2016).

職に着任されたので日本のプラズマ研究グループの参入は以前に比べ容易になったのではないかと思われる．本稿でELI-NP に興味をお持ちいただけたならば一度我々のホームページや Technical Design Reports［２０］をご覧いただけ
れば幸いである，と宣伝して皆様の参入に期待しつつ筆を置くことにする．

謝辞これらの研究は大阪大学在学時に文部科学省の特別経費「レーザー相対論核科学の開拓」から，ELI-NP/IFIN-HHに着任後からはルーマニア政府と EU の地域開発共同基金
Extreme Light Infrastructure Nuclear Physics（ELI-NP）
Phase I，and also Phase II からの援助を受けて成された．これら支援団体に謝意を申し上げる．

参考文献［１］G.A. Mourou et al., Phys. Today 51, 22 (1997).
［２］ELI-beamlines: http://www.eli-beams.eu/
ELI-attoseconds: http://www.eli-alps.hu/
and ELI-NP: http://www.eli-np.ro/［３］A. Di Piazza et al., Rev. Mod. Phys. 84, 1177 (2012).
［４］H.A. Lorentz, The Theory of Electrons and Its Applications
to the Phenomena of Light and Radiant Heat, A Course of Lectures Deliverd in Columbia Univ., New York, in March and１６Commentary

Radiation Reaction - from Classical Physics to Quantum Fields!!!!!!!!!!!!!!!!!!

せ

と

けい

た

瀬 戸 慧 大!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

ELI-NP/IFIN-HH，Research Scientist．
学部は兵庫県立大永田グループ（２００７年）
で磁場閉じ込めプラズマを，大学院では阪大レーザー研の長友・三間グループ（２
０
０
８
〜２
０
１
３）でレーザープラズマをやっていたのでプラズマ物理
学者を気取っていたつもりが，気づくと理論・数理物理学を生業とするようになってしまいました．２
０
１
４年に ELI-NP/
IFIN-HH（ルーマニア）にポスドクとして渡航した後，２０
１
６
年７月より現職．興味は量子論基礎として放射の反作用の模型研究，特に非線形・非摂動な数理模型の探査です．

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

１７

K. Seto