光モニター

5. |E(ω)|2 から周波数ごとの放射エネルギーを求めるという流れをとる。運動する電荷からカレントを

1 はじめに
本講義「光モニター」では、光を用いたビームサイ
ズ測定技術の基礎と応用を解説する。特に実用例として、SuperKEKB 加速器における X 線ビームサイ
ズモニターを取り上げる。
この講義テキストでは、オンライン講義では紹介
しきれなかった重要なトピックや、計算の詳細などに焦点を絞って解説する。ビームサイズ測定に必要な基礎的な物理や実際の測定に関わるノウハウ等は講義スライド [1] を参照して欲しい。

2 シンクロトロン放射強度の導出
シンクロトロン放射の重要な性質として、

求 め る 際 、ま た は カ レ ン ト の 積 分 か ら Liénard–

Wiechert ポテンシャルを導く際に土台となる物理がMaxwell 方程式である。Liénard–Wiechert の定式化は [2] の他、多くの電磁気学の教科書 (例えば [5, 6])
や、過去の OHO セミナーでも解説されている [7]。

Liénard–Wiechert は歴史的な経緯から最も一般的な手法ではあるが、計算途中でベクトルの内積・外積が頻出し放射強度の式から実際の現象をイメージしづ
らいという難点がある。
一方で、Heaviside–Feynman では、

1. 運動する電荷が作る電場 E を直感的に求める
2. E をフーリエ変換して周波数 ω に分解する
3. |E(ω)|2 から周波数ごとの放射エネルギーを求めるという手順を踏むだけである [4]。単純に Liénard–• 強度

Wiechert にあった手順 1 と 2 をすっ飛ばして電場 E• 波長を天下り的に与えただけでは？という指摘はもっと• 空間的な広がり (3 次元的な広がり、方向)

もだが、実際に計算してみると Heaviside–Feynman• 時間的な広がり (パルス性)の特徴である物理現象を容易にイメージ出来る見通の四点がある。これらの性質を定量的に議論するた
めには、Maxwell 方程式とシンクロトロン放射発生のための三条件 (電荷を持つ、光速に近い速度で運動する、加速度運動する) を出発点として、予めシンク
ロトロン放射を定式化する必要がある。シンクロト
ロン放射の定式化では、1) Liénard と Wiechert が完

しの良さは Liénard–Wiechert からは得られないものである。
なお、Liénard–Wiechert と Heaviside–Feynmanという２つのアプローチが結局は等価であるという事実は重要なポイントであり、これまで複数の論文上で証明がなされている (例えば [8])。

成した電磁波放射理論をシンクロトロン放射へと応用した (Liénard–Wiechert) [2] と、荷電粒子が作る

2.1 Heaviside–Feynman による定式化

磁場について Heaviside が行った定式化を Feynman

ここからは Heaviside–Feynman の方法に沿って、が拡張した方法 (Heaviside–Feynman) [3, 4] の二種シンクロトロン放射の放射強度を導き出していく。

類が知られている。本講義では Heaviside–Feynman

まず初めに 2 章で述べたように、運動する電荷が作の方法を紹介するが、両者のアプローチの違いを明らる電場 E を求める。これは [4] によると、かにする意味で、各々の手順を簡単にまとめておく。
まず Liénard–Wiechert では、

1. 運動する電荷からカレントを計算する
2. カレントを積分して Liénard–Wiechert ポテ
ンシャル (Ψ, A) を求める

3. ポテンシャルを微分 (−∇Ψ − ∂A/∂t) してLiénard–Wiechert 場 (E) を求める
4. E をフーリエ変換して周波数 ω に分解する

E(r, t) =
]
[
(
)
nret
Rret d nret1 d2 nrete(1)+ 2
2 + c dt2
4πε0 Rret
Rret
c dt2
で与えられる。式中に現れる各変数は図 1 に示した通りで、以下に意味をまとめた。

• E(r, t) : 運動する電荷から作られ観測者が観測した電場

図 1 シンクロトロン放射の模式図。時刻 tret に荷電粒子から放射された電磁波が時刻 t に観測者により観測される。

• r : 任意の原点から観測者へ伸びるベクトルというと• t : 運動する電荷が作る電磁波を観測者が観測

Rret ≫ γλ

(2)

した時刻

• tret : 観測者が時刻 t で観測した電磁波が実際を満たせば良い。γ は Lorentz 因子と呼ばれるものに発生した時刻 (光の伝搬に有限時間かかるので、詳しい定義は特殊相対性理論の教科書 [9, 10] を参で、t > tret である)

照してもらいたい。本講義では近似式 γ ≈ Ebeam /m• r0 (tret ) : 任意の原点から運動する電荷が時刻を用いて、運動する電荷 (つまりビーム) のエネル

tret に電磁波を発生した地点まで伸びるベク

ギー Ebeam と電荷の静止質量 m から γ が良い精度

トルで得られる事を理解すれば十分である。λ は電磁波

• Rret : 電磁波の発光点 r0 (tret ) から観測者 rの波長である。

へ伸びるベクトル• nret : 電磁波の発光点 r0 (tret ) から観測者 r を指す単位方向ベクトル。Rret の絶対値を Rretと置けば Rret = Rret nret である
次に式 (1) の各項の説明である。式 (1) は 3 つの項で表され、それぞれ• 第 1 項目：静電荷が作るいわゆるクーロン場
2∼ 1/Rret• 第 2 項目：等速運動する電荷が作る電磁場2∼ 1/Rret• 第 3 項目：加速度運動する電荷が作る電磁場∼ 1/Rretと い う 意 味 を 持 つ 。Liénard–Wiechert に 対 し て

例 題 1. SuperKEKB 加 速 器 で は 電 子 ビ ー ム エ
ネ ル ギ ー は 7 GeV で あ る 。電 子 の 静 止 質 量 は≈0.511 MeV = 0.000 511 GeV なので、γ ≈ Ebeamm
14000 である。光モニターで観測する電磁波を 3 keV
程度の X 線と仮定すると、波長は λ = 4.1 × 10−10 mである。式 (2) より、電磁波発生点から観測者までの距離 Rret が γλ = 5.7 µm より長ければ、式 (1)の加速度運動の項以外を無視して良い事が分かる。

SuperKEKB 加速器では Rret ∼ 40 m なので、加速度運動の項だけを計算すれば良いことが分かる。
と言うわけで、これからは式 (1) 第 3 項目の加速度運動に関する部分だけを計算する。

Heaviside–Feynman の定式化が持つ見通しの良さという最大の利点がここにあり、Rret が非常に大き2いと近似して良い場合、それぞれ 1/Rretに比例する

2.2 Poynting ベクトルと放射エネルギー

第 1 項目と第 2 項目は 1/Rret に比例する第 3 項目に

講義では細かい点に拘らず、放射エネルギーは電比べて無視して良いことが一目で分かる (Liénard–

磁波振幅の二乗に比例し、それはつまり電場の二乗

Wiechert では一目には分からない)。では、第 1 項に比例するという事実から放射エネルギー目と第 2 項目を無視して良い程の Rret は如何ほどかdI(ω)ε0 cR2=|E(ω)|2dΩ
π(3)を導き出した。この式を Poynting ベクトルを用いと定義すれば、式 (8) の右辺第 1 項を左辺へ移動しててきちんと導出すると以下の手順になる。

dUtotd= (UEM + Umech )
dt
dt∫
1
=−
d3 r ∇ · (E × B)µ
0∫V
= − dAS · n̂

まず電場 E(r, t) と磁場 B(r, t) が電荷密度 ρ(r, t)
および電流密度 j(r, t) = ρ(r, t)v(r, t) を持つ電荷分布に与える仕事は

dUmech
=
dt

∫

∫
3

V

S

d3 rj·E (4)d r(ρE+j×B)·v =V(10)が得られる。S は空間 V を囲む曲面を表し、n̂ は曲で表される。以降簡単のため、断わりが無い限り

面 S 上での法線ベクトルである。S は Poynting ベ

E(r, t) ≡ E および B(r, t) ≡ B と書く。ここで V

クトルと呼ばれは電荷分布を含んだ空間である。式 (4) の真ん中のS=

式の第 2 項が 0 になることは j = ρv を代入すれば明らかだろう。

∇×B−

流量を表している。

Maxwell 方程式を用いて式 (11) 内の B を E で置

1 ∂E
= µ0 jc2 ∂t(5)

き換えると、と書き換えると、

(

∫
3

d r
V

1
∂E
∇ × B − ε0µ0∂t)
· E (6)なので、単位立体角 dΩ に放射されるエネルギーの時

dUtot= ε0 cr2 |E|2dtdΩ

∂B
− E · (∇ × B)∂t

意してほしい。

(7)を求める。式 (7) を式 (6) に代入し、dUmech /dt を式V

d3 rj · E で表すと、

しかしこのままでは、どの周波数でより大きく (もしくはより小さく) 電磁波が放射されるかよく分からない。これを知るためには、式 (13) を時間ではなく周波数に依存した式へと変換する必要がある。
位相空間の変換と言えば Fourier 変換の出番だが、

∫

∂ 1
d3 r
ε0 (E · E + c2 B · B) =
∂t
2
V
∫
∫
1
−
d3 rj · E −d3 r ∇ · (E × B)
µ0
V
V

(13)

である。最後の電場は E ≡ E(r, t) であることに注∇ · (E × B) = B · (∇ × E) − E · (∇ × B)
= −B ·(12)

間変化はるため Maxwell 方程式から

(4) の

1
E × B = ε0 c|E|2 n̂µ0S=が得られる。さらに式 (6) 右辺の第 1 項を書き換え

∫

(11)

で定義されるものであり、時間あたりのエネルギー

次に式 (4) 右辺の j を Maxwell 方程式を用いて

dUmech
=
dt

1
E×B
µ0

ここでも Parseval の等式 [11] を用いれば

∫ ∞
(8)

dt|E(t)|2 =

−∞

1
2π

∫ ∞

dω|E(ω)|2

(14)

−∞

という、時間の関数 (左辺) を波長の関数 (右辺) へが得られる。これを Poynting の定理と呼ぶ。式 (8)左辺が意味するところは、電場 E と磁場 B が任意の空間 V で持つエネルギーの時間変化である。左辺には電荷分布を表す ρ や j が含まれていない点に注意してほしい。
最後に(13) の dUtot /dtdΩ を時間積分し
dUtot
=
dΩ

∫ ∞
dt
−∞

dUtot
= ε0 cr2
dtdΩ

∫ ∞
−∞

|E|2

(15)

を得た後、右辺に Parseval の等式を代入すると

∫
UEM =

変換する式が得られる。この式の形を使える様に式

1
d3 r ε0 (E · E + c2 B · B)
2
V

(9)

dUtot
ε0 cr2
=
dΩ
π

∫ ∞
0

dω|E(ω)|2(16)

が 得 ら れ る 。な お 式 (16) の 右 辺 で は E(ω) =∗ω0 tret 、1 − cos(ω0 tret ) ≈ 0 という近似だが、tret ≈ 0E(−ω) という事実を用いて積分区間を 0 から ∞であっても ω0 ≫ 1 なので ω0 tret は 0 とせず有限にまでとし、その代わり係数 2 を掛けた。

残しているところに注意して欲しい。式 (21) を用い式 (16) を用いると、任意の単位立体角 dΩ および単位周波数 dω あたりの放射エネルギー (単位立体角あたりの放射強度)

dI(ω)
dUtot
ε0 cr2==|E(ω)|2
dΩ
dωdΩ
π
∫ ∞
E(ω) =

dtE(t) exp(iωt)

a[cos(ω0 tret ) − 1]x̂+(22)r − aω0 tretr sin θr cos θ − a sin(ω0 tret )ŷ +ẑ
r − aω0 tretr − aω0 tretnret ≈(17)が得られる。E(ω) は E(t) をフーリエ変換して得られるて nret を書き下すと

(18)

−∞

である。E(t) は式 (1) より明らかなように、nret である点に注意が必要である。
式 (18) を式 (17) に代入する過程は講義スライド

p32 を参照して欲しい。

となる。
これより x̂、ŷ 、ẑ の各成分を計算して行く。初めに x̂ 成分を計算する。分子の [· · · ] の中は ω0 tret の二次の項まで計算するとcos(ω0 tret ) − 1 ≈ 1 −となる。分母を含む項についても ω0 tret の二次の項まで計算すると

2.3 方向ベクトル nret の導出
講義スライド p32 に書いたように、dI(ω)/dΩ ∝nret なので、放射エネルギーを計算するためにはnret を知っておく必要がある。繰り返しになるが、

]
[
a
a
a2
a
≈
1 + ω0 tret + 2 (ω0 tret )2r − aω0 tret
r
r
r
(24)
が得られる。式 (23) と式 (24) を掛け算して、ω0 tretの二次以上の項を無視するとa(ω0 tret )2a[cos(ω0 tret ) − 1]≈−r − aω0 tret2rnret は電磁波の発光点 r0 (tret ) から観測者 r を指す単位ベクトルである。従って、nret を求めるにあたり r0 (tret ) と r を予め知っておかねばならない。
本講義では一般性を失わない程度に計算が楽になる

r0 (tret ) と r として(19)を採用する。

が得られ、これが x̂ にかかる係数になる。次に ŷ 成
分を計算する。これは sin θ ≈ θ と式 (24) の [· · · ]外の a を r で置き換えた式を掛け合わせ、フーリエせば

r sin θa≈ θω0 tretr − aω0 tretr(26)が得られる。これが ŷ の係数である。最後に ẑ 成分

2.1 章の定義より
nret =(25)

変換に関係ない定数項 (tret が掛からない項) を落と

r0 (tret ) = a[1 − cos(ω0 tret )]x̂ + a sin(ω0 tret )ŷr = r sin θŷ + r cos θẑ(ω0 tret )2(ω0 tret )2
−1=−
2
2
(23)

Rret
r − r0 (tret )=|Rret ||r − r0 (tret )|を計算する。ここでは θ 2 の項を落とすと(20)なので、ここに式 (19) を代入すれば nret が求まる。
とは言え単純に代入しただけでは解析的に積分出来るような nret にはならない。そのため、θ ≈ 0 とtret ≈ 0 という近似をとる。

(21)

(27)

となり、これは分子が近似的に分母と等しいことを意味している。実際に展開して計算を行っても tretが掛からない項しか残らないので、ẑ 成分は全て無視できる。最終的に式 (22) は

[
]
1
a
2
− (ω0 tret ) x̂ + θω0 tret ŷ
nret ≈
r2

この近似の下ではまず|Rret | = |r − r0 (tret )| ≈ r − aω0 tretr cos θ − a sin(ω0 tret ) ≈ r − aω0 tret(28)と近似出来る。

が得られ、これは ẑ 成分以外を無視したことに等し

この章では多くの近似を交えて長大な計算を行っい。計算上は sin θ ≈ 0、cos θ ≈ 1、sin(ω0 tret ) ≈て来たが、実際の状況でこの様な解析解が成立可能

とは限らない。むしろ現実世界では r0 (tret ) と r は対値

実際の偏向電磁石と検出器の位置から決まっているので、式 (28) はあくまで放射強度の導出を学ぶ上でRret = [r2 − 2ar cos θ sin(ω0 tret )+2a2 (1 − cos(ω0 tret ))]1/2

得られた一つの特殊解とみなすべきである。今回の計算に限らず、可能ならば数値計算で議論を進めたほうが楽な場合も多い。

(31)が得られる。Rret を tret = t − Rret /c に代入すれば、t の関数として tret が求まるが、そのままでは計算が2.4 nret の時間を tret から t へ変換する
式 (17) よ り 、周 波 数 ω に 対 応 す る 放 射 強 度

極めて複雑である。従って、予め θ ≈ 0 と ω0 tret ≈ 0という近似を適用し式を極力簡単化しておく。具体的にはdI(ω)/dΩ に必要なのは E(ω) である。E(ω) は式
cos θ ≈ 1 −(18) に式 (1) 第 3 項目を代入すれば(ω0 tret )36(ω0 tret )2cos(ω0 tret ) ≈ 1 −2sin(ω0 tret ) ≈ ω0 tret −∫ ∞E(ω) =

θ22

dtE(t) exp(iωt)−∞∫ ∞e 1 d2 nretexp(iωt)=dt
4πε0 c2 dt2
−∞

(29)

(32)

を代入し、ωo a/c = β ≈ 1 で置き換える (ただし

1 − β が出てきた場合は 0 とせずに、1 − β = 1/2γ 2と得られる。しかしここでは、式 (29) 内の積分とと置いて残す)。さらに計算を進めると r にかかる定exp(iωt) は時間 t の関数だが、nret は式 (28) より数項が出てくるが、この項は tret を計測する時計のtret の関数であることに注意しなければならない。と開始時刻をずらせばキャンセル出来ると考えて除去言うわけで、本章の目的は nret を電磁波が発生した

する。結果的に

時刻 tret の関数から、観測者が電磁波を観測した時
刻 t の関数へと変換する事である。

(ω0 tret )3 +変数変換の方針は、まず t と tret を結びつける式を

3(1 + γ 2 θ2 )
ω0 tret − 6ω0 t = 0
γ2

(33)

見つけ、その式中で t と tret 以外の不定要素を極力除という方程式が得られ、これを解けば t の関数としき、最終的に t と tret の方程式を tret について解くとて tret が求まる。

いうものである。この方法は Feynman や Zangwillの教科書 [4, 12] に紹介されているかなり泥臭いもの

2.4.2

Cardano の公式だが、他にスマートな方法があるのか良く分からな

さて式 (33) をどう解くかであるが、本講義ではい。なお計算の説明は Feynman の方がやや丁寧でCardano の公式を用いる (数値計算ではニュートン

ある。

法やブレント法を使う)。Cardano の公式とは、

2.4.1

x3 + px2 + q = 0

t と tret を結びつける式を見つける

目的は tret から t への変数変換なので、まずこれらの解が二変数を関係付ける式を見つける必要がある。目的(に叶う式で我々が知っているのは、図 1 で出てきたx=
Rret = r − r0 (tret )

q
− +
2

√( )
q 2
2
(

tret = t − Rret /c
(30)

(34)

q
− −
2

+

( p )3
3

)1/3
+

)1/3
√( )
q 2 ( p )3
+
2
3

(35)

である。既に式 (19) より r と r0 (tret ) は与えられてで得られるというもので、式 (33) は ω0 tret → x といるので、それらを Rret に代入すると、Rret の絶

置けば公式に当てはめ直ぐに解ける形になっている。

式 (33) 解いてそのままの形でも良いのだが、ここ(38) の積分を x̂ 成分のでは

η = 3γ 2 (1 + γ 2 θ2 )−3/2 ω0 tω
ξ=
(1 + γ 2 θ2 )3/2
2ω ∗3
ω ∗ = γ 2 ω0
2

Ix ≡

∫ ∞
dη cos(ξη)
0

[√
]2
√
( η 2 + 1 + η)1/3 − ( η 2 + 1 − η)1/3(36)という変換を用いて変数を整理することにする。この変換を用いると、式 (29) の exp (· · · ) の中身を

(39)と ŷ 成分の∫ ∞Iy ≡dη sin(ξη)
0[√]√( η 2 + 1 + η)1/3 − ( η 2 + 1 − η)1/3(40)

ωt = ξη とシンプルに保ったままへ分割する。

√

ω0 tret = γ −1 1 + γ 2 θ2][√√
( η 2 + 1 + η)1/3 − ( η 2 + 1 − η)1/3

公式集 ([13, 14] 等) によれば式 (39) と式 (40) は

(37)

∫ ∞
0

と ω0 tret の解を簡単化出来る。
なお ω ∗ = 32 γ 2 ω0 は critical frequency と呼ばれ、シンクロトロン放射の議論では良く登場する。シン∗クロトロン放射の放射エネルギーはおおよそ ω でピークになり、ω > ω ∗ の積算エネルギーと ω < ω ∗dx sin(ax)√√( x2 + β 2 + x)ν − ( x2 + β 2 − x)ν
√x2 + β 2νπ= 2β ν sinKν (aβ)2およびの積算エネルギーは 1:1 の関係となる。式 (36) で変∫ ∞数変換を行った意図は、最終的に導出される放射強0度の式 (式 (50)) に critical frequency をあらわに含ませる点にある。

2.5 Fourier 積分
式 (28) を式 (29) に代入すれば、E(ω) が x̂ および

dx cos(ax)√√( x2 + β 2 + x)ν − ( x2 + β 2 − x)ν
√x2 + β 2νπKν (aβ)= 2β ν cos
2セル関数である。以後の計算を簡単にするため

η± ≡に E(ω) を式 (17) に代入すれば、x̂ および ŷ の各成dI(ω)
e2 R 2 ω 4=dΩ
16π 3 c3
[
]
∫ ∞
2
a
1
dt
− (ω0 tret )2 x̂ + θω0 tret ŷ exp(iω0 t)
R
2
−∞
(38)
で得られる。なお式 (17) の r は電荷中心を原点と√

η2 + 1 ± η

(43)

と定義し、

η+ + η− = 2√
η2 + 1η+ η− = 1

(44)の関係をまず明らかにしておく。この関係を用いると、例えば ŷ 成分に掛かる [· · · ] の中は√√( η 2 + 1 + η)1/3 − ( η 2 + 1 − η)1/3
1/3

1/3

取っているため、ここでは図 1 に倣って R と置き換

= η+ − η−えた。

=(η+ − η− )(η+ + η− )√2 η2 + 1=(η+ − η− ) − (η+ − η− )√2 η2 + 1

式 (37) より tret は t の関数として書けることが分かったので、実際に式 (36) と式 (37) を式 (38) に代入し t について積分を行ってみる。簡単のため、式(42)という形を用いて計算出来る。Kν は第二種変形ベッŷ の各成分に対して tret の関数として導かれる。次分における放射強度が周波数の関数として以下の形

(41)

1/3

1/3

4/3

4/3

2/3

2/3

(45)

と展開できるので、これを積分すると

∫ ∞

4/3

4/3

2/3

2/3

(η+ − η− ) − (η+ − η− )√2 η2 + 1
0
( )
(π)
2π
= sin
K4/3 (ξ) − sinK2/3 (ξ) (46)
3
3

Iy =

2.7 偏光dη sin(ξη)

が得られる。ここで変形ベッセル関数の公式 [15]K−ν (ξ) = Kν (ξ)

2.7.1

偏光とは

先に「シンクロトロン放射により荷電粒子から電磁波が放射される」と述べたが、電磁波の正体とはなんだろうか？素粒子物理学の教科書 [16] に詳しい
様に、我々の宇宙には四つの力が働いており、電磁2νKν (ξ)
Kν−1 (ξ) − Kν+1 (ξ) =ξ(47)

を用いると式 (46) の右辺をさらに簡単化でき、最終
的に

1
Iy = − √ K1/3 (ξ)
3ξ

(48)

波を記述する電磁相互作用もそのうちの一つである。
ここで電磁相互作用の力を媒介する粒子がフォトン(光子) である。つまり電磁波の正体とはフォトンであり、このフォトンとはスピン 1 を持つ粒子なので実ベクトル場を用いて記述される。「ベクトル」と名1/31/3が得られる。Ix は cos(ξη)(η+ − η− )2 の積分なの付けられる様に場は四元ベクトルで表現されるが、でやや面倒だが、基本的に同じ操作で積分でき

これら四元ベクトルが粒子の偏極に対応する。実際

2
Ix = √ K2/3 (ξ)
3ξ

(49)

が得られる [8]。

はフォトンの質量は 0 なので自由度が狭まり偏極の自由度は 2 だけとなる。この 2 つの自由度がフォトンの横偏極 (フォトン進行方向に対して垂直方向にス

Ix と Iy を式 (38) に代入し Θ ≡ γθ と置き換えると、ようやく放射強度の式

ピンの軸を持つ) に対応する。質量が 0 なので進行方向への偏極は持たない。ここで、フォトンの進行dI(ω)
1 3e2 γ 2 ( ω )2=
(1 + Θ2 )dΩ
4πε0 4π 2 c ω ∗[]22(1 + Θ2 )K2/3(ξ) + Θ2 K1/3
(ξ)

方向に対してある基準面をとり、その面に対して並行な横偏極を水平偏光、垂直な横偏極を垂直偏光と

(50)

呼ぶ。
以上が簡単な偏光の導入であるが、ここからは放が得られる。

射された電磁波を記述する上で便利な基準面の取り方、そしてその面に対して並行および垂直に偏光し2.6 調和構造をあらわに含んだ表現

た電磁波の強度を求めていく。

最後に、式 (50) を電磁波の周波数の調和構造をあらわに含んだ形で表現してみる。第 2 種変形ベッセ
ル関数 (K1/3 (ξ), K2/3 (ξ)) は次数 N が大きい場合
は第 1 種ベッセル関数 (JN ,

√

′
JN
)と

3π
JN (N β cos θ)K1/3 (ξ) = √1 − β 2 cos2 θ√3π
K2/3 (ξ) =J ′ (N β cos θ)
1 − β 2 cos2 θ Nωω0

ト ル e∥ と e⊥ を 導 入 す る 。方 向 ベ ク ト ル n を

n = (0, sin θ, cos θ) と置くと、荷電粒子の軌道平
(52)

(53)

frequency ω ∗ を取ればと確かに次数 N が大きい事を確認出来る。

任意の方向 n に放射される電磁波 (つまりフォに直交かつそれぞれ n とも直行する２つのベク(51)で与えられるが、例えば ω として式 (36) の critical

ω
ω∗
3
N=
→
= γ2 ≫ 1ω0ω02

放射強度の π 偏光成分と σ 偏光成分

トンの進行方向が n) の偏光を調べるため、互いのように置き換えが可能である。ここで次数 N は

N=

2.7.2

面に対して並行なベクトル e∥ および垂直なベクトルe⊥ はe∥ = (1, 0, 0),e⊥ = (0, cos θ, − sin θ),e∥ · n = e⊥ · n = e∥ · n = 0

(55)
(56)

と置ける。この様に、互いに独立なベクトル e∥ と(54)

e⊥ を用いれば任意の方向ベクトル ep
ep = cos ϕp e∥ + sin ϕp e⊥(57)

を作れる。ϕp は ep 成分と e∥ 成分がなす角である。

れてもどちらかの成分が真っ暗になるという事はな

以降 [17] に従い電磁波が ϕp = 0, π 方向に偏光してい。ここからは楕円偏光がどの様に生じるのかを簡いれば σ 成分、ϕp = π/2, 3π/2 方向に偏光していれ単に見ていく。

ば π 成分と呼ぶことにする。

初めに図 2 から図 4 までのように、荷電粒子の運

なお、本来ならば θ ̸= 0 の場合 n は荷電粒子の軌

動ベクトル β と加速度ベクトル β̇ を導入する。平

道平面に沿ったベクトルではないのだが、シンクロ

面上の円軌道は加速器を回る荷電粒子の軌道であり、トロン放射の広がり角 θ < 1/γ を考慮すると実際上軌道上で発生したシンクロトロン放射は点線の先に

θ = 0 と置いても問題にならない [18]。注意してほいる観測者へ達する。つまり観測者は軌道平面よりしいのは、ここで θ = 0 と置くのはあくまで偏光ベやや上側からシンクロトロン放射を観測することにクトルを定義する上のみであり、放射強度に θ = 0なる。

を代入するわけではない。以上の議論に基づきここ

荷電粒子が半時計回りで周回すると、図 2 から図 4でも簡単のために θ = 0 と置くと、σ 成分 (ϕp = 0)までの中で観測者が最初に観測する光は図 2 の時では x̂ 成分、π 成分 (ϕp = π/2) は ŷ 成分と等価になある (分かりやすくするため図をかなり極端に描いてる。つまり放射強度を表す式 (50) の [· · · ] 内の第 1いる)。この時、観測者からは加速度ベクトル β̇ が鉛

項目が σ 成分、第 2 項目が π 成分となり直下向きに伸びているように見える。電磁場は加速dI(ω)
1 3e2 γ 2=dΩ σ4πε0 4π 2 c

(

ω
ω0

)2

度ベクトル β̇ と平行なので、ここでは電磁波が鉛直2(1 + Θ2 )2 K2/3
(ξ)

下向きに偏光しているように見える。

( )2
1 3e2 γ 2 ω
dI(ω)
2
=
(1 + Θ2 )Θ2 K1/3(ξ)
dΩ π
4πε0 4π 2 c ω0
(58)

β

β̇

と表される。

σ 成分と π 成分の放射強度を各々の広がり角に対して図示すると、講義スライド p41–44 のようにな

図2

軌道平面上を反時計回りに回転する荷電粒子の運動ベクトル β と加速度ベクトル β̇ 。点線は観る。図から明らかなように、広がり角が 0 では π 成

測者の視線を表す。観測者からは加速度ベクトル β̇

分が消えてしまう。これはが下向きに見える。

dI(ω)→ 0 (Θ ≡ θγ → 0)
dΩ π

(59)

荷電粒子が図 2 よりもさらに進行すると図 3 の地点に至る。この時、観測者からは加速度ベクトル β̇

から明らかである。また、dI(ω)/dΩ を Θ についてが右向きに伸びているように見える。つまり、ここ

積分した放射強度 P を π 成分と σ 成分で比を取るとでは電磁波が右向きに偏光しているように見える。

Pπ
1
=
Pσ
7

(60)

β̇

となり、放射強度の大部分は σ 成分から来ている事βがわかる。これはシンクロトロン放射を観測する際、偏光フィルターを挿入し σ 成分を除去すると途端に暗くなる事実と対応している。

図3

軌道平面上を反時計回りに回転する荷電粒子の運動ベクトル β と加速度ベクトル β̇ 。観測者からは加速度ベクトル β̇ が右向きに見える。

2.7.3

楕円偏光

これまではシンクロトロン放射の偏光を σ 成分とπ 成分に区別して議論してきた。しかし実際のシンクロトロン放射は両者をそれぞれ含んだ楕円偏光である事が知られている。例えば偏光フィルターを入同じく荷電粒子が図 3 よりもさらに進行すると
図 4 の地点に至り、これより進むと発生した光は観測者の視野に入らないとする。図 4 より観測者からは加速度ベクトル β̇ が鉛直上向きに伸びているように見える。つまり、ここでは電磁波が鉛直上向きに伝搬領域内で一定であり、さらに誘電率自身も波長偏光しているように見える。結局、円軌道に沿ってに依存しなければ、電磁波が存在する空間を当方的発生するシンクロトロン放射を軌道平面より上側のなものとして扱える。結果的に電磁波そのものも偏地点から観測すると、観測した光が下向き → 右向き

光方向に依らないので、電磁波を記述する方程式もス→ 上向きと順々に偏光して行くことが分かる。もち

カラー量で十分である。この様に回折光を当方的なろん図 2 と図 3 の中間地点では、下向きと右向きが空間内で光の向きに依らないスカラー量として扱っ

混ざった偏光、つまり楕円偏光した光として見えるたものがスカラー回折理論である。一方のベクトルことになる。

回折理論は、Maxwell 方程式を満足させつつ光を遮る遮蔽物の誘電率や電磁場の歪みなども考慮に入れ、回折光が本来のベクトル波として記述される理論で

β̇

β

ある。
理論的にも計算的にもベクトル回折理論はスカラー回折理論に比べはるかに面倒であるが、遮蔽物

軌道平面上を反時計回りに回転する荷電粒子の構造が光の波長より大きく、遮蔽物の電気的な性の運動ベクトル β と加速度ベクトル β̇ 。観測者か質を無視して良い場合はスカラー回折理論を適用し

図4

らは加速度ベクトル β̇ が上向きに見える。

ところで、今回は軌道平面より上側から眺めた場ても実際的に問題ない。今回もスカラー回折理論に絞って解説する。

合を議論してきたが、下側から眺めた場合はどうなるだろうか？答えは上側から眺めた場合と同様に楕
円偏光として見える。唯一の違いは楕円偏光の回転方向であり、上側から眺めた場合は下向き → 右向き→ 上向きと偏光方向が変化していくので反時計回り

3.1 Kirchhoﬀ の積分定理
誘電率 ε が一定で当方的ならば、Maxwell 方程式
から

1 ∂2E
=0
c2 ∂ 2 t
1 ∂2H∇2 H − 2 2 = 0c ∂ tに回転している。一方下側から眺めた場合は、上向∇2 E −

き → 右向き → 下向きと偏光方向が変化していくので時計回りに回転している事になる。

(61)√が得られる。ただし B = µH 、c = 1/ µε (µ は透

3 光の回折磁率) である。この様に電場 E と磁場 H に関する微分方程式は全く同じ形で書ける。そこで E と H

本章では光の回折を復習する。回折とは一言で言い表すと光の回り込みである。高校物理で学んだよを伝搬方向に依存しないスカラー場と置くと、任意のスカラー場

うに、スリット (厚紙にカッターで細い切れ込みを入ψ(r, t) = ψ(r) exp(−iωt)れたもの) を通過した光をスクリーンに投影すると、スクリーンに射影されるのはスリットそのものの形を導入して、式 (61) の代わりに状ではなく、明るい部分と暗い部分が山谷の様に連ω2∇2 ψ(r) = − 2 ψ(r) = −k02 ψ(r)c

なった強度分布である。これはスリットを通過した
光がスリットの影に回り込む回折によるものである。
明るい恒星の前を惑星が通過しても、惑星で隠された部分の恒星の明るさがゼロにならない事実も回折によって理解できる。
回折の理論には大きく分けてスカラー回折理論とベクトル回折理論の二種類がある。仮に光 (電磁波)が伝搬する媒質が光の偏光方向に依らず、誘電率が

(62)

(63)

と書ける。これを Helmhortz 方程式と呼ぶ。ここから Helmhortz 方程式を満たす一般解 ψ(r) を求めていく。
まず Helmhortz 方程式を満たす特殊解 (ただしr = 0 は除く) として補助関数
ψt (r) =at
exp(ik0 r)
r(64)

を導入する。式 (64) は Helmhortz 方程式の一般解

ψ(r) ではなく、あくまで発見法的に得られた特殊解であることに注意する。式 (64) から明らかなように、ψt (r) は原点 r = 0 近傍から発せられる球面波である。ともあれ ψt (r) も ψ(r) も Helmhortz 方程式を満たすので、両者に対する式 (63) の和を取ればψ∇2 ψt − ψt ∇2 ψ = −ψk02 ψt + ψt k02 ψ = 0(65)が得られる。

図6

ここで図 5 のように、曲面 S に囲まれた領域 V で

原点 O を含む領域の曲面を S0 と置き、S0上の法線ベクトルは原点を向くように取る。S0 の式 (65) を積分し、Green の定理を用いて体積積分を外側で領域 V 全体を囲む曲面を S1 と置く。

面積分で置き換えると次に式 (67) に含まれる ∇ψt を計算する。式 (64)から∫∫∫(ψ∇ ψt − ψt ∇ ψ)dV =∫∫(ψ∇ψt − ψt ∇ψ) · ndS
2

V

2

at r
at r
ik0 exp(ik0 r) − 3 exp(ik0 r)
r2
r
at r
= 3 (ik0 r − 1) exp(ik0 r)
(68)
r

∇ψt =
(66)

S

という関係が得られる。n は曲面 S 上で S に対するなので、これを式 (67) に代入すると、外向き (V とは反対向き) 法線ベクトルである。

∫∫

at
exp(ik0 r)[ψ(ik0 r−1)r+r2 ∇ψ]·ndS = 03
S0 +S1 r(69)が得られる。
ここで先に S0 の寄与を簡単化する。まず S0 が囲む領域を十分小さく取れば ψ → ψ0 (定数) と置ける。また n は −r と平行なベクトルになるので

r · n = −rn、さらに dS → r2 dΩ と置き換えれば、式 (69) は∫∫

図 5 原点 O を含む領域 V とそれを囲む曲面 S 。

n は曲面 S 上で S に対して外向きに伸びる法線ベクトル。

ところで補助関数 ψt が成り立つのは r ̸= 0 だけな
ので、S は r = 0 を除く必要がある。図 6 が示すよ
うに、r = 0 を含んだ領域を囲む曲面を S0 と置き、

S を S1 と置き換えると、式 (66) の右辺は
[∫ ∫

∫∫ ]
+
S0

S1

(ψ∇ψt − ψt ∇ψ) · ndS = 0 (67)atexp(ik0 r)[ψ0 (ik0 r−1)r+r2 ∇ψ0 ]·nr2 dΩ
3
r
∫S0∫
=−
at exp(ik0 r)[ψ0 (ik0 r−1)−r∇ψ0 ·n]dΩS0(70)と変形できる。ここで S0 が囲む領域を十分小さく取っている (つまり r → 0) ので、ik0 r − 1 → −1、r∇ψ0 · n → 0 と近似でき、結局式 (70) は∫∫
S0

at exp(ik0 r)ψ0 dΩ = 4at πψ0(71)と書ける。この積分が 0 となるのは式 (65) から明らと簡単に書ける。右辺への変換では exp(ik0 r) →かである。

1 (k0 r → 0) と∫∫S0dΩ = 4π を用いた。

最後に、式 (71) を式 (69) に代入するとが 得 ら れ る 。こ こ で d · n = d cos θ 、d1 · n =∫∫−d1 cos θ1 と置き、実際上 d と d1 は光の波長 (λ =1
exp(ik0 r)[ψ(ik0 r − 1)r + r2 ∇ψ] · ndS3S1 r= −4πψ0 (72)が得られ、この式は Kirchhoﬀ の積分定理と呼ばれる。式 (72) は原点で ψ0 という量を持つスカラー波

2π/k0 ) に比べて非常に大きいので k0 d ≫ 1 かつ
k0 d1 ≫ 1 という点に注意すれば、式 (75) は最終
的に

ik0 aQψ0 = −
2π(右辺) と、原点から任意の距離 r 離れた曲面 S1 上における ψ (左辺) の関係を表している。

∫∫

fs
exp(ik0 (d + d1 ))
dd
1
S1
(
)
cos θ + cos θ1
dS
2

(76)

という形になる。これは Kirchhoﬀ の回折公式と呼ばれるもので、回折を表現する基本的な公式である。

3.2 Kirchhoﬀ の回折公式

ただし Kirchhoﬀ の回折公式は一つの点光源にのみ先の章で得られた Kirchhoﬀ の積分定理を元に、光成り立つ点に注意が必要である。

の回折を表す公式を導いてみる。式 (72) に含まれる

ψ は曲面 S1 上における任意のスカラー波なので、例
えばこれを図 7 のように、曲面 S1 から離れた位置 Q

3.3 Fresnel と Fraunhofer の回折近似で放射され放射点から d1 だけ移動して S1 に達した

式 (75) の計算をさらに簡単な形にしたのが Fres-

スカラー波と置いても良い。その場合式 (64) より

nel 回折近似と Fraunhofer 回折近似であり、それ
ぞれ

fs aQ
ψ(r) =
exp(ik0 d1 ),d1
fs aQ d1
(ik0 d1 − 1) exp(ik0 d1 )∇ψ(r) =
d31

(73)
(74)

と置ける。

• Fresnel 回折近似：S ≥ λd
• Fraunhofer 回折近似：S ≪ λdという条件の元で成り立つ。Kirchhoﬀ の回折公式をそのまま使うか、Fresnel、Fraunhofer いずれかの近似を使うかは状況次第である。今回は題材である X
線ビームサイズモニターでは、スリットの開口部であっても CVD ダイヤモンド基板があるため完全な空間ではなく (講義スライド p90)、開口部を通過する際に光の位相も変化するため、Kirchhoﬀ の回折公式を用いた方が正しい結果を与える。
詳細は省くが Kirchhoﬀ の回折公式の導出には境界条件の扱いに矛盾が残っている。この点を取り除いたのが Rayleigh-Sommerfeld の回折公式である。

図7

領域 V の外側の点 Q で発生した電磁波が S1を通過し原点 O へ至る。

fs は S1 上での透過関数、aQ は放射点 Q での振幅である。これらを式 (72) に代入すると、∫∫
aQ
fs exp(ik0 (d + d1 ))S1][
d1 · n
d·n
(ik
d
−
1)
−
(ik
d
−
1)
dS
0
0 1
d1 d3
dd31
= −4πψ0 (75)とはいえ、両者は θ (d と n のなす角) が小さければ同じ結果を与えるので、Kirchhoﬀ の回折公式を用いても実際上問題は生じない。詳しい議論は Goodmanの教科書 [20] を参照して欲しい。

4 金コーティングの厚みの影響
講義スライド p89–90 で紹介したように、X 線マス
クは厚さ 600 µm の CVD ダイヤモンド基板上に厚さ20 µm の金コーティングを施したしたものである。

金コーティングを除去した箇所がいわゆるスリット

2.5x1014"prf_dy000um_Au20.dat" using 1:2"prf_dy000um_Au40.dat" using 1:2となる。
図 8 は金を透過した X 線の透過率をエネルギーの関数で図示したもので、点線が厚み 10 µm、点線が2x1014

1.5x1014

20 µm の場合である。この図から分かるように、たとえ金コーティングの厚みが 20 µm であっても 30 keV

1x1014では 40 % 近くを透過してしまう。この影響が顕著に現れるのが検出器で観測する光 (X 線) 像である。検

5x1013出器に到達する光像には、途中で通過する X 線マスクスリットの有無により濃淡が現れ、そのコントラ0-0.006-0.004-0.002

0

0.002

0.004

0.006

ストがシャープであればあるほどマルチスリットを用いたビームサイズ位置測定の精度が向上する。つ
まり金がコーティングされた部分では X 線を極力遮

図9検出器スクリーンに投影される光像のシミュ

レーション。上側が金コーティング 20 µm 厚、下側が金コーティング 40 µm 厚である。

蔽し、金コーティングを除去した部分では X 線を極力透過させれば良いのである。

参考文献[1] 三塚 岳、光モニター、OHO’20 講義スライド[2] J. Schwinger, Phys. Rev. 75, 1912 (1947).
[3] 1902 年に発表したとされるが、どの文献なのか不明。

[4] R. Feynman, The Feynman Lectures on
Physics, Addison-Wesley (邦 訳：フ ァ イ ン マ
ン 物 理 学 、岩 波 書 店).

Web 版 は https://www.feynmanlectures.caltech.edu/ で閲覧可能。

[5] J. D. Jackson, Classical Electrodynamics [3rded.], John Wiley & Sons (邦訳：電磁気学 第 3版、吉岡書店)図8

金 10 µm 厚 (点線) と 20 µm 厚 (実線) に対[6] 砂川 重信、理論電磁気学 第 3 版、紀伊國屋書店.

する X 線透過度。

[7] 池田 仁美、放射光とビーム計測、OHO’04

では実際にどの程度コントラストに影響するのだ[8] C. Wang, Phys. Rev. E 47, 4358 (1993).

ろうか？図 9 は検出器スクリーンに投影される光[9] 佐藤 勝彦、相対性理論、岩波書店

像をシミュレートしたもので、二本の線のうち上側[10] 風間 洋一、相対性理論入門講義、培風館

が金コーティング 20 µm 厚、下側が金コーティング[11] 物理数学の本ではスミルノフや井町・内田の教40 µm 厚である。横軸が 0 m あたりで影響がはっき

科書、さらに数学的な本ではスタイン・シャカ

り見られるが、40 µm 厚の方がディップの沈み込み

ルチの教科書に詳しく書かれている。

が深いことが分かる。簡単に言うとピークとディッ
プの差が大きければ大きいほど小さいビームサイズを測定できるので、特に極小ビームサイズ測定には金層の厚みが重要になることが分かる。

[12] A. Zangwill, Modern Electrodynamics, Cambridge University Press.
[13] I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Tableof Integrals, Series and Products, Academic
Press.
[14] A. Erdelyi, Tables of Integral Transforms,

McGraw-Hill.
[15] 岩波数学公式 III など特殊関数の公式集には大抵載っている。

[16] 代表的な教科書として M. E. Peskin and D.
V. Schroeder, An Introduction To Quantum
Field Theory, CRC Press を挙げる。
[17] A. A. Sokolov and I. M. Ternov, Synchrotron
radiation, Akademie-Verlag, Berlin[18] シンクロトロン放射の文献として有名な [19] でも θ ≈ 0 という近似を用いている。K. Lech-ner, Classical Electrodynamics, Springer では
θ = 0 と限定することなく議論している。
[19] K. J. Kim, AIP Conference Proceedings 184,
565 (1989).
[20] J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics [3rd ed.], Roberts and Company Publishers (邦訳：フーリエ光学 第 3 版、東北出版)