全国数学教育学会

第 55 回研究発表会＠オンライン

発表原稿❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚

学校数学の内容としての「数学的方法学」
上ヶ谷 友佑
岡山大学 石 橋 一 昴
高知大学 服部 裕一郎

広島大学附属福山中・高等学校❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚

１. 序論『高等学校学習指導要領 (平成 30 年告示)』におい問うことになるわけであるから，それは，社会科や特別活動の範疇のようにも思えてくる．

て，例えば，数学 I の「数と式」では，身に付けるべ

カリキュラム設計の基本路線としては，複数教科にき思考力・判断力・表現力等の 1 つとして，「日常の事

おいて同じ内容を違う観点から学ぶことには十分に意

象や社会の事象などを数学的に捉え，一次不等式を問義があると考えられるため，例えば，クラス代表選の題解決に活用すること」(p. 112) という記載がある．

問題を数学科・社会科・特別活動のいずれかに排他的

また，文部科学省 (2018) では，この具体例として，に位置付けなければならない，ということではないで「『40 名のクラスから 3 名のクラス代表を選ぶ選挙をあろう．しかしながら，複数教科で重複して扱うこと行うとき，最低何票入れば当選するか』を調べることを許容するだけでは，クラス代表選の問題のどんな観や，買い物や旅行等の計画を立てる際に，必要経費等

点をどこまで扱えば，数学科の責任範囲が完結するのの条件を連立不等式に表して考えるなど」(p. 38) が挙かが明確ではない．

げられている．数学的活動，すなわち，「事象を数理的

本稿の目的は，親学問を基軸としたカリキュラム設に捉え，数学の問題を見いだし，問題を自立的，協働計の理論的枠組の内部で，この問題に対する答えが得的に解決する過程を遂行すること」(p.25) の中で，「日られないことを指摘し，1 つの解決策として，学校数

常生活や社会の事象を数理的に捉える過程」を経験す

学 の 内 容 と し て 「 数 学 的 方 法 学 」 (mathematical

ることは重要であるから，この例に限らず，小学校算

methodology) という新しい考え方を提起することで数から高等学校数学に至るまで，多様な内容領域におある．

いて重視されている．しかしながら，これは，数学なのだろうか？ 日常の事象や社会の事象を数学的に捉える力は，なぜ他教科ではなく，数学科で指導すべき事柄なのだろうか？
議論を具体化するため，「40 名のクラスから 3 名の

２. 既存の理論的枠組
本章では，この問題に関連する理論的枠組を取り上げる．
（1）社会批判的モデリングクラス代表を選ぶ選挙を行うとき，最低何票入れば当社会における数学的モデリングの役割の批判的理解

選するか」という問いを，以下では「クラス代表選のを強調する指導アプローチは，社会批判的モデリング問題」と呼ぶことにして，この問題を具体例として考と呼ばれる (Abassian et al., 2020; Barbosa, 2006;

察を展開していこう．このクラス代表選の問題の場合，Kaiser, 2017)．生徒達は，数学を通じて彼らの現実を

社会科や特別活動における指導内容ではなく，数学科

構造化することになる (Skovsmose, 2019) ので，生徒の指導内容である理由は何であろうか？ まずもって，達が，社会における数学の有用性と限界を意識するこ

文部科学省 (2018) の記述だけでは，「一人何票有してとは，数学的なエンパワーメントとして重要であるといるか？ そもそもクラス全員に投票権があるのか？」，

言えよう (Skovsmose, 2006)．

「問題として，当確ラインを知りたいのか，当選判定

他の数学的モデリングの視座が多くの場合は，モデとなり得る最低得票数を知りたいのか？」など，問題

リングのサイクルを強調する (Blum & Leiß, 2007;

設定が曖昧なので，数学的に解を 1 つに定めることがCzocher, 2017, 2018) のに対して，社会批判的モデリできない．このことを逆手に取って，社会的に意味のングは，そのサイクルを強調しない．むしろ，批判的ある形に問題を数学的に定式化する力を育むための題

数学教育の哲学 (Skovsmose, 1994) を背景として，授材だと理解することもできるが，そうであればなおの業で数学の役割を批判的に反省するという一点を重視

こと，生徒達には「社会的に意味のある形」の理解をする (Barbosa, 2006)．社会批判的モデリングのアプ

ローチを実践した研究は，提案されてから 15 年が経教科の役割が，親学問の習熟であるという理解に立つ

つけれども，まだ少しずつ実践的研究の数を増やしてならば [1] の立場に，教科の目的と親学問の目的を切いる段階である (例えば，Araújo & Campos, 2015;

り離し，親学問の知識は，生徒達の学びにとって必要

Uegatani et al., 2020; Villa-Ochoa & Berrío, 2015)．

となる限りにおいて重要であると捉えるならば [2]（2）真正性の立場となる．また，教科が，親学問からの変換で得

数学教育において，「真正性」は，実に多様な意味でられる親学問の教育学的バージョンとして捉えるなら用いられている．Weiss ら (2009) は，現実世界に対ば [3a] の立場に，教科での個人の学びが，親学問のする本物感 (AMW)，学問数学に対する本物感 (AMD)，

歴史的発展を総括することになると捉える ならば

数学者の実践に対する本物感 (AMP)，生徒自身にとっ[3b] の立場となる．[3a] と [3b] を統合し，教科と親ての本物感 (AMS) という 4 種類の真正性を指摘して学問が相互に規定し合う関係にあると見るならば，いる．また Vos (2015, 2018) は，真正性を，学校外に[3c] の立場となる．

起源を持つ内容で，メディアなどによってそれが本物

ここで重要なことは，Stengel (1997) の主張が，5であることが証明されるような内容を真正であると規つのうちのいずれかの立場が重要だと言っているわけ

定している．いずれにせよ，真正性とは，「教室で見らではないという点である．
「学問領域と学校教科の関係

れる何かの，ある観点から見た本物らしさ」を示した

性は，カリキュラムという教育的道具の構成にあたっ指標なのだが，真正性とは，どんな観点から見られるてはっきりと明示され，交渉されるべき問題の 1 つでかによって多義的な概念である．本稿では，必要に応ある」(Stengel, 1997, p. 600) と述べているように，じてその意味を明示しながら真正性について議論する

どの立場からカリキュラムを構成しようとするかの明ことにしよう．

示化が重要なのだという．

（3）教科と親学問の関係

Deng (2007, 2012) は ， Grossman & Stodolsky

教科と親学問との関係は，古くから議論されている(1995) が教科内の文化が，教師の実践そのものや，カ問題である．例えば，Shulman (1986) の議論を発展

リキュラムや指導に対する教師の視座を枠付けしていさせて構築された Ball ら (2008) の「教えるための教るという指摘を踏まえて，教科を知るということが，科の知識」の枠組は，教師の有する数学科に関する知「内容の理論」(the theory of content) を知るという識としては，親学問として数学を理解するだけでは不ことに関係する点を指摘する．すなわち，その教科の十分であることを示している．例えば，教師が数学の内容として，どのような内容が親学問から選ばれ，ど学習だからこそ生じる子どもの誤答とその要因を推察のように定式化され，どのように枠付けされ，生徒達する力は，親学問・数学の知識から直接得られるわけの経験を有意味にするためにどのように変換されるかではない．

を知ることである．

一方，親学問の応用領域として教科が構成されているという見方は，依然として根強い．例えば，佐藤３. カリキュラム編成に関する理論的問題(1992, 2005, 2016) は，この立場から長年に渡って教前章で概観した既存の理論的枠組に基づくと，本稿

科教育学の学問的固有性を否定してきた．教科教育のの提起している問題の骨子が明瞭になる．問題は，ク

研究は，教育学者，親学問の学者，そして現場の教師

ラス代表選の問題のような，(例えば AMW の意味で)の三者が揃えば十分実施できるという考え方である．

真正であり得る社会批判的モデリングの問題が，カリカリキュラム研究者として，最も広い立場からこのキュラム内容として理論的に上手く位置付かない点に問題に取り組んだのは，おそらくは Stengel (1997) である．

ある．Stengel (1997) は，教科と親学問の関係性につ問題は，次の 3 通りの形で立ち現れる．第一に，ク

いてのあり得る立場として，次の 5 つを提起した．

ラス代表選の問題を，クラス代表選そのものを内容と[1] 親学問と教科は本質的に連続的である．
[2] 親学問と教科は基本的に不連続である．
[3] 親学問と教科は異なるが，次の 3 つのうちのいずれかの仕方で関連している．
[3a] 親学問が教科に先立つ．
[3b] 教科が親学問に先立つ．
[3c] 教科と親学問の関係は弁証法的である．

した問題であると捉える場合，その内容が，社会学的な内容ではなく数学的な内容であると捉える根拠が希薄となる．Stengel (1997) の示した 5 つのどの立場に立つにせよ，この問題の取扱いを数学科に位置付ける
根拠が失われる．
第二に，クラス代表選の問題を，不等式を内容とした問題であると捉える場合を考えよう．この場合は，数学科に位置付ける根拠は得られるかもしれないが，

社会批判的モデリングの視座から，この問題を不等式

カリキュラム編成上の前提を持つことは，社会におけ以外の数学を用いて解く可能性を検討したり，そもそる数学の役割の批判的検討を重視する社会批判的モデ

も数学を用いて解くことが妥当なのかを検討したりすリングの観点から許容できない．その応用可能である

るという活動が意味をなさなくなる恐れがある．そうという前提を疑ってかかることが，社会批判的モデリ

した検討の結果，生徒達の最終判断が，不等式以外のングだからである．これは，原理的には，すべての応方法で解決するというものになってしまったならば，

用数学 (統計学を含む) に当てはまる．例えば，ある文

この内容を高等学校の数学 I で扱った根拠が失われて脈に t 検定が安定していつでも応用可能であると考えしまうからである．

ることは，社会批判的モデリングの観点から許容でき第三に，上記 2 つの問題を回避しようとすると，不ない．

自然な出題になってしまう問題が挙げられる．例えば，一次不等式で解くことが最も自然な解法となるような

４. 方法の学習と方法学の学習

緻密な条件設定でクラス代表選の問題を出題すると，上述の理論的問題を踏まえ，本稿では，方法を内容

条件設定が緻密過ぎて，かえってクラス代表選の問題化した「数学的方法学」(mathematical methodology)

としては不自然になってしまうかもしれない．これは，という考え方を提起したい．Methodology の語は，し子ども達がしばしば，鶴亀算を適用する問題に対して，

ばしば「方法論」と訳されるが，ここではあえて「方「足の数が数えられる状況であるにもかかわらず，な法学」と訳す．Bakker (2018) は，デザイン・リサー

ぜ頭の数が数えられないのか？」とツッコミを入れた

チ と は 何 か を 説 明 す る 過 程 で ， method とくなることと同じで，数学の文章題がしばしば抱える

methodology の違いを次のように述べている．

問題である．このような不自然さを内包する方法では，曖昧な状況からその条件設定を緻密化したり，緻密化した条件設定の妥当性を吟味したりというモデリング能力を養えないことになってしまい，社会批判的モデ
リングの観点からはいずれの意味の真正性で考えたとしても真正性の低い無意味な出題となってしまう．も接尾辞 “-logy” は，その接尾辞の前に来るものの研究を科学的にする．心理学は精神を，社会学は社会的現象を研究する．
「方法」(method) は，「どのように」(how) を処方 (prescribe) し，“-logy”
は，その「なぜ」(why) を説明する．
(pp.6-7，括弧内原語)

ちろん，社会批判的モデリングの視座を採用しないという考え方もあってもよいが，その場合，「初めから解したがって，methodology とは，「なぜその方法はそのき方の決まっている問題を扱うような親学問が存在す

ように処方されるのか？」を説明する科学的研究領域るのか？」，「初めから一次不等式で解くことが決まっということになる．本稿では，心理学や社会学に合わている問題を解く経験は，生徒達の何を育んでいるこ

せて，“-logy” を「学」と訳すこととし，「数学的方法とになるのか？」という疑問が生じる．親学問との関学」を，「なぜその数学的方法はそのように処方される係性の中で，数学科で扱う内容を議論する場合は，のか？」を説明する科学的研究領域と捉えたい．

AMD の意味での真正性も重要である．

このとき，数学的方法とは，背理法や数学的帰納法

もちろん，クラス代表選の問題を様々な数学が潜在といった数学的証明の方法や，ユークリッドの互除法

的に応用可能な問題と捉え，「課題学習」の一種と見なや 2 次方程式の解の公式といった解法アルゴリズムもすならば，現行の学習指導要領の内部で取り扱うこと含むが，力点としては，日常の事象や社会の事象に数はできる．しかし，ここで指摘していることは，そう学や統計を活用する方法に関する “why” を扱うことした課題学習それ自体が，なぜ数学科に位置付くのかに力点を置いた学問領域として捉えたい．

という，学習指導要領を含めたカリキュラム編成上のすべての応用数学は，多かれ少なかれこの数学的方理論的問題であり，学習指導要領と現場での実践の整法学をその下位領域に含んでいると考えられるため，合性の問題ではない．

数学的方法学は応用数学の一種である．そのため，数

これは，ある意味では，学習指導要領を内容で組織学的方法学は，学校教育で扱うとすれば，親学問を数することに由来する問題である．
「どんな数学を応用す

学とする数学科で扱うのが最も自然である．ただし，るのか」という形で指導内容を規定してしまうことは，

親学問をそのまま教えるということを重視したいわけ

社会批判的モデリングの精神それ自身によって，指導ではない．

内容の妥当性そのものが疑われてしまう．つまり，文本稿の提案と親学問をそのまま教えるということを

脈 C (例えば，クラス代表選の問題) に数学 M (例えば，明瞭に区別するために，一例として，心理統計学の入不等式) が，安定していつでも応用可能であるという門書としてよく引用される南風原 (2002) の記述を取り上げよう．南風原 (2002) は，t 検定の基礎となる確法の学習であっても，決して否定されるべきものでは率モデルに関して，次のように述べている．

ない．

各群の母集団分布の分散については，それらが互いに等しいという仮定をおきます．… (中略) …2
つの群の間で母集団分散を等しいと仮定するのは，実際の母集団においてそうであるケースが多いからというのではなく，検定や推定の方法を数学的に導くために便宜上，そう仮定されるだけです．
ただし，本章で述べる 2 群の平均値差の分析法，
およびそれを拡張した 3 群以上の平均値差の分析
法 (第 9 章で述べる分散分析) は，特に各群の被験者数が大きく異ならない場合，母集団分散の等質性というこの仮定に関してかなり頑健であることがわかっています．つまり，この仮定が満たされていなくても，分析結果が大きく歪むことはな
いということです．
(pp.157-158)

例えば，心理学で利用するために統計学を学ぶということと，心理学で利用するためにコンピュータの使い方を学ぶということの差異を明確に述べることは難しい．心理学で統計処理を行うにあたって，今どき手計算をするなどということは考えられないから，統計処理もコンピュータ処理も心理学研究の本質的な構成要素である．それらを欠いた状態で心理学研究を遂行することは，実質的に不可能である．こうした状況であるから，「なぜその統計処理でよいのか？」と「なぜそのコンピュータ処理でよいのか？」という 2 つの問
いに本質的な差異を見出すことは難しい．研究者が，統計処理の妥当性を統計学に基づいて説明できなければならないのなら，それと同じ理由で，コンピュータ
処理の妥当性をコンピュータ理論の基礎 (例えば，コンピュータが動く仕組み) に基づいて説明できなければならない．ところが，コンピュータ理論の基礎を踏

統計学という学問は，数学的方法学の一種であるとまえてコンピュータを使用している心理学者などほと捉えられ，それゆえに，統計学それ自身としては，上んどいないであろうから，これは現実的な要求ではなの引用箇所からもわかるように，「なぜ t 検定という方

いし，心理学者にそのような知識は期待されてもいな

法は，分散の等質性を仮定するのか？ なぜその仮定がいだろう．そうであるならば，同じ理由で，心理学者

満たされていなくても t 検定が適用可能なのか？」とは統計処理の妥当性を統計学の基礎に基づいて説明すいう問いに答える学問である．しかし，ここで大事にることを必要としない，と言えるかもしれない．そう

したいことは，統計学を教えるということは，この問した説明は，専門の統計学者によって与えられてさえいに答えられるようになることを必ずしも意味しない，

いれば十分なのである．南風原 (2002) の記述も，そということである．事実，上の引用箇所から，「被験者の意味で，統計学を教えるための統計学の入門書とし数が概ね同じ 2 群に対しては，分散が等しくない場合ては十分な記述がなされているように思われる．

でも t 検定が適用可能である」という知識を学ぶこと

高度に数学化された社会は，かえって市民の脱数学はできるが，上の引用箇所だけからは，「なぜ適用可能化が生じる (Jablonka & Gellert, 2007)．社会が，高なのか？」という問いに対する答えを学ぶことができ

度にブラックボックス化された数学によって支えられない．それを学ぶためには，より専門的な文献を参照ている状況を，Skovsmose (2019, 2021) は，数学が危する必要がある．つまり，統計学を教えるということ機を形成する力を有しているものとして描き出したが，は，単に統計的方法を事実として教えるということにまさにその通りであって，危機を伴う脱数学化の現象

留まる可能性があり，統計学が本来追究しているが，数学的方法の普及とともに広がっている．しかし，“why” の答えを学ぶことを含意しない．一般化して述

科学技術の恩恵を受けた我々の生活を，もはや原始時

べるならば，数学的方法学を教えることは，単に数学

代に戻すことはできないので，こうした危機の形成は，的方法を事実として教えるということに留まる可能性

止めることができるわけではない．我々にできることがあり，数学的方法学が本来追究している “why” のは，ただ，そうした危機の形成を自覚することである．

答えを学ぶことを含意しない．

そして，だからこその，社会批判的モデリングの観点

数学教育に携わる者は，背理法やユークリッドの互での数学教育であった．

除法を学ぶ際のイメージから，「数学的方法を学ぶ」とこうした議論を踏まえて，方法の学習と方法学の学いうことは，方法それ自身の学習のみならず，なぜそ習の区別を改めて明確に述べておこう．方法の学習との方法でよいのかを合わせて学ぶことが当たり前だとは，方法として how を学ぶことである．方法学の学習．．
とは，その方法の妥当性 why を学ぶことである．方法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
学を教えることは，一般的には方法の学習に留まる可いうイメージを持ってしまうかもしない．しかし，一般的に言えば，数学的方法学の学習と数学的方法の学
習の境界線は曖昧であるし，同時に，単なる数学的方

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
能性があり，方法学の学習を必ずしも含意しない ．逆は，いくつかのバリエーションが考えられる．実際，に言えば，方法学の学習は，原則として方法の学習を「なぜ」という形式の問いの答えは，当該の文脈にお包摂し，方法の学習を批判的に捉えることによってのいて暗黙的にどういう対比がなされているかによってみ成立する．本稿の提案は，数学的方法学の学習を，変化する (ファン・フラーセン, 1986)．例えば，Q を，

数学を親学問とする数学科という教科に，きちんと理「なぜ他の角度ではなく 180°になるのか？」という論的に位置付けることである．これまでのカリキュラ

意味で解釈するとすれば，「平角が 180°だから」といム編成においては，理論的な位置付けが不明確なまま，う解答になる．あるいは，Q を，「なぜ特別な三角形だ

文章題解決や課題学習を通じて，数学的知識を応用す

けでなく，どんな三角形でも成り立つのか？」と解釈る経験の機会提供が企図されてきた．しかしながら，するとすれば，例えば，「△ABC がどんな三角形であ文章題解決も課題学習も，単なる方法の適用の経験にったとしても，底辺 BC に平行で点 A を通る直線を引留まるようであれば，数学的方法の学習に留まる．なくことができるから」という解答になるであろう．

ぜそれでよいのかを扱わない限りにおいては，数学的De Villiers (1990) の指摘で重要なことは，証明の．．．．．
機能が，なぜそれが正しいのかについての洞察を与え．
るという点にあり，証明が「なぜそれが正しいのか」

方法学の学習にならない．次章では，この点について具体的に論じていくことにしよう．

についての直接的な解答を与えてくれるわけではない

５. 「なぜ」の意味ということである．この洞察の提供は，もちろん証明

抽象的な主張として「方法の妥当性 why を学ぶことの肯定的な機能なのだが，否定的な言い方をすれば，が重要である」というのは，ほとんど自明な主張であ

なぜそれが正しいのかについての洞察を与えてしまう

り，数学の授業としては，時間的制約が許す限り，でがゆえに，なぜそれが正しいのかを実際に問う機会をきるだけ丁寧に扱う方がよいに決まっている．また，奪 う 役 割 を 有 し て い る ， と い う こ と も で き る ． De

従前の文章題指導においても，ある文章題の解決に，

Villiers (1990) が証明の第一の役割としても挙げていある数学的概念が適用可能であることは，きちんと確るように，証明は「正当化」に主たる役割がある．数

認をしながら指導されているはずであり，殊更問題と学者は，命題が正しいかどうかに疑義を向ける他の数すべきことではないように感じられるかもしれない．

学者を説き伏せるために証明を書くわけであるから，

しかし，だからこそ我々は次のように理解すべきであ

証明が，「その命題はなぜ正しいのか？」という疑問のる．説明を聞いた人間に対してそのような感覚を抱か余地を挟ませないような構成になっているのは，あるせることができるという点が，演繹的論証をその基礎

意味では自然なことであろう．

とする数学の，まさに本性なのである．
De Villiers (1990) は，証明の機能の 1 つに，「なぜそれが正しいのかについての洞察を与えること」(p.
18) を挙げた．例えば，「1 万個の三角形を調べて，いずれの内角の和も 180°であった」というデータを見せられたとしよう．このとき，そのデータから，三角形の内角の和が多くの場合で 180°になるということはよくわかるかもしれないが，なぜそうなるのかにつ

これは，文章題解決の場合も同じである．例えば，
次のような問題を考えてみよう．
1km の道のりを，初めの何分かは分速 200m で走って移動し，残りは分速 80m で歩いて移動する．
8 分以内に移動したいとき，最初に何分以上走るべきか？
この問題の解答は，例えば次のようになる．

いては，そのデータを眺めているだけでは何も得られないであろう．ところが，平行線の性質に依拠した証明を示されたならば，我々は，平行線の性質が成り立
つ以上は，必然的に三角形の内角の和が 180°になるということを直観することができるようになる．論理的必然性を示すことは，同時に，内角の和が 180°ではないような三角形が構成可能であることを否定することになる．
しかし，注意して考えてみると，「なぜどんな三角形
も内角の和が 180°であるのか？」(以下，この問いを単に Q とする) と問われたとき，与えられ得る解答に最初に 𝑥 分以上走るとすると，
𝑥+1000 − 200𝑥≦880であるから，これを解いて，
𝑥≧3
これは問題に適した解であるから，最初に 3 分
以上走ればよい．
これは，文章題を一次不等式の問題だと解いた場合
1000−200𝑥の解法である．必要に応じて，80が何を意味しているかなどを細かく説明したり，不等式を解く過程

考えて，1km の道のりを急いで移動するとき，「走るを細かく説明したりする必要はあるかもしれないし，道のりと歩く道のりがそんなに綺麗に分かれるのか？」

1 点だけ，解の吟味をしている部分だけは演繹的とはと考えることもできよう．少し走っては疲れて歩いて，言えない (石橋 & 上ヶ谷, 2019 参照) が，解答としてまた少し走って……を繰り返すかもしれない．しかし，は概ね演繹的に記述されている．しかし，だからこそ，

この点については，走る合計時間と歩く合計時間が決問題が解けてしまった後は，解法として why を問うこ

まっていれば，1km の中で走る区間と歩く区間が交互となく納得してしまうという問題がある．

に何度現れても，1 次不等式を利用することの妥当性

本稿の主張，「方法の妥当性 why を学ぶことが重要が損なわれないことがわかる．

である」を，この文章題解決の場合において体現する

あるいは，「1 次不等式と 1 次方程式を直接対比しとすれば，次が問われなければならない．
「なぜこの文て，なぜ 1 次不等式の解き方は計算が複雑なのか？ (1

章題の解決において，1 次不等式の利用が妥当であっ次方程式の解き方は計算が簡単なのか？)」と問うことたのか？」と．

もできよう．このように考えると，問題の解釈が立式

ここでは，特に「なぜこの文章題の解決は，他の方法ではなくて 1 次不等式の利用が妥当なのか？」を考の複雑性を決めており，方程式か不等式かが問題ではないことがわかる．すなわち，えてみよう．例えば，次のような考え方もあり得る．

最初に 𝑥 分走ったとして，8 分ちょうどで 1km

最初に 𝑥 分走った場合に 8 分ちょうどで移動

以上移動できるなら，1km を 8 分以内に移動したできるとすると，ことになるから，

200𝑥 + 80(8 − 𝑥) = 1000であるから，これを解いて，
𝑥=3走る時間を長くすれば長くするほど早く着くわ
けであるから，3 分以上走れば，8 分以内に移動できる．
8 分「以内」をきちんと数学的にモデル化しようと思えば，1 次不等式が必要であるが，計算の利便性を

200𝑥 + 80(8 − 𝑥) ≧ 1000
このように立式することができれば，1 次不等式か 1次方程式かという方法の選択は，実は本質的な問題ではないことがわかる．
では，方程式と不等式はいつでも交換可能な解法なのかと言えば，もちろん，まったくそんなことはない．
問題が，例えば次のようになると，途端に方程式は役に立たなくなる．

考えると，1 次方程式で立式した方が簡単な式になる．

1km の道のりを，初めの何分かは分速 200m で走また，方程式を持ち出すまでもなく，勘で「3 分くらって移動し，次の何分かは分速 150m で走り，残い走ったら合計移動時間は 8 分かな？」と予想して，りは分速 80m で歩いて移動する．8 分以内に移動後からその 3 分の妥当性を説明するという方法もありしたいとき，最初に何分以上走るべきか？

得る．数学の試験でない限り，問題解決という観点でわざわざ 1 次不等式を持ち出す必要はないことがわか

解集合が複雑になる 2 変数の問題においては，不等る．そのため，なぜ他の方法ではないのかという問い

式で立式しなければ，制約条件の記述として無意味でに対しては，他の方法でもよい，という結論が得られ

ある．

る．

問題解決の過程を，単に解けたという事実に目を向対比先を変えて，「他の問題では妥当ではなかったか

けて振り返った場合，数学的方法の学習に留まってしもしれないのに，なぜこの文章題の解決においては，まう可能性がある．しかし，その数学的方法では解け

1 次不等式の利用が妥当であったのか？」についてもないような類題を考えたり，他の数学的方法と比較し考えてみよう．そうすると，1 次不等式が有効でないてどの方法がどんな条件下でどのような利点を有する

ような類似の文章題は何かを考える必要性が生じる．

かを考えたりすることは，数学的方法学の学習に繋が

例えば，分速 200m で走っていたところから，一瞬でる．

変速して分速 80m で歩き始めるという前提があるか

このとき注意すべきは，数学的方法学の学習は，そらこそ，上記の立式が意味をなすということが見えての知識の真理性を演繹的に正当化できないことがある

くる．走る場合と歩く場合で，それぞれ等速運動をし点であろう．2 次方程式の解の公式がどんな 1 変数 2ていることが，この文章題に隠された暗黙的な仮定で次方程式に対しても有効な公式であることは，数学的ある．

に証明することができるが，1 次不等式を用いた解決

文章題の設定が非現実的であるという点を批判的にが，どんな日常的問題や社会的問題に有効であるかを一般的に述べることはできない．ただ，述べることが立場から，特に日常的な事象や社会的な事象を数学的できないからといって議論する価値がないわけではなに捉える場合を念頭に置いた考察を展開した．理科やい．社会批判的モデリングの視座を念頭に置くならば，技術科，情報科，理数科で扱われているような事象にある数学的な考え方が利用できる問題を扱った際は，．．．
その考え方が他のどんな類題への応用が有用か と，他．．．．．
のどんな類題への応用が有用でない かをあわせて扱う

対して数学的方法を応用する場合も，基本的には本稿ことが重要である．それによって，数学的方法の学習
が数学的方法学の学習になる．
有用でない場合は，限定された具体例しか扱えないかもしれないが，どのみち有用である場合も，限定された具体例しか扱えないわけであるから，どちらも事情は同じである．有用でない場合を同時に扱うことの意義は，一見するとよく似た 2 つの問題であっても，ある数学的方法が有効に応用される場合とされない場
合があるということを学ぶことである．これは，日常的な問題や社会的な問題へ数学的方法を応用するということは，適用条件を満たす問題場面にアルゴリズムを適用するということとは区別されるということを学
ぶことに等しい．言うなれば，日常的な問題や社会的な問題へある数学的方法を応用してよいかどうかは，
たとえ以前とよく似た問題場面であったとしても，毎回毎回慎重に適用してよいかどうかの吟味を経て決定すべき問題だということである．数学的方法学の指導としては，この点が重要になる．

６. 結論
本稿は，親学問を基軸としたカリキュラム設計の理論的枠組の内部では，数学科の責任範囲として，数学的方法の学習を取り扱うことが理論的にできない点を指摘した．本稿では，応用数学や統計学のように，なぜその数学的方法は妥当であるのかを追究する学問を「数学的方法学」と総称することとし，数学的方法の学習ではなく，数学的方法学の学習が，数学科のカリキュラムに位置付くことを論じた．例えば，「被験者数が概ね同じ 2 群に対しては，分散が等しくない場合でも t 検定が適用可能である」という統計学的な知識を学ぶことは，数学的方法を学んでいるに過ぎず，どん
なときになぜ適用可能で，どんなときになぜ適用不可能であるかを事例的に学ぶことまで行わなければ，数学的方法学の一種として統計学を学んだことにはならない．本稿冒頭で取り上げたクラス代表選の問題にしても，どういう問題設定であれば一次不等式が有効であり，どういう問題設定であれば一次不等式が有効でないかを合わせて議論する授業構成にして初めて，数学的方法学の学習となる．
本稿では，社会批判的モデリングの視座を重視するの主張が当てはまると予想されるが，詳細な検討は稿を改める必要があるであろう．
ただし，科学一般に話を広げる場合は，数学的方法学ではなく，科学的方法学をその考察の射程に入れなければならないと思われる．科学の科学，すなわち，「メタ科学」として，情報学の可能性が既に指摘されており，Wing (2006) の Computational thinking 論
が情報学教育の要になると考えられている (山崎,2015)．数学教育における Computational thiking 論も少しずつ展開されては来ている (上ヶ谷 et al., 2019;
影山 et al., 2020) が，まだ考察が始まったばかりであり，今後，情報学の動向を踏まえた関連性の検討が重要になるであろう．
また，本稿は，カリキュラムに位置付ける理論的根拠を得るという着眼点で考察を始めたが，得られた結論は，数学的方法の適用条件を考えるという視点であった．これは，条件節の明示化を重視する推論主義研
究 の 結 論 に 通 じ る ( 上 ヶ 谷 et al., 印 刷 中 ; 杉 田 ,2016) ところがあり，理論的統合の可能性が示唆される．この点も合わせて今後の課題として示しておきたい．

付記
本稿の一部は，JSPS 科研費 20K22188, 21K13587,
and 21K02470 の助成を受けた研究成果に基づいてい
る．

注
1)

学習指導要領の法的性格を踏まえると，学習指導要領の著者を文部科学省として便宜上，文部科学省を著者として引用および参考文献
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