1 はじめに
リニアコライダーの最終収束系に関する設計の概念は1995 年の OHO セミナーで山本昇氏 [1] により簡単に纏められている。当時のリニアコライダーの最終収束ビーム
光学系の設計は Global Chromaticity Correction と呼ばれる手法を用いたビーム光学系であった。そして、Global

Correction を基にした最終収束系はアメリカの SLAC にある FFTB (Final Focus Test Beam)[2] と呼ばれる施設
で実験的検証がおこなわれた [3]。
その後、P.Raimondi[4] らによって、Local Chromaticity

Correction と呼ばれる手法を用いた新たなリニアコライ
ダーの為の最終収束ビーム光学系が提唱された。この Local
Correction を基調としたビーム光学系が現在の最終収束系の主流となっている。また、90 年代から 2000 年代初頭
にかけて、日本での GLC 計画 [5] をはじめ世界各国で幾つかのリニアコライダー計画が存在していた。しかし、リ
ニアコライダーの実現に向けて、2004 年夏に今まで分散されていた英知を結集して世界で一つの「超伝導リニア
コライダー」の共通設計をおこなうことが確認された。この計画は ILC (International Linear Collider) 計画と呼ばれている [6]。最終収束系の設計は ILC においても Local

Chromaticity Correction を基調としたビーム光学系が採用されている。このような背景のもと、現在、高エネルギー
加速器研究機構では、加速器試験施設 ATF (Accelerator

Test Facility)[7] のビームを使い、Local Correction を基調とした最終収束ビーム光学系の実験的検証を進めようとしている [8]。

図 2.1: Oide Limit の原理図。衝突点直前の四極電磁石
でビーム内の粒子の軌道が変わるときに発生する Syn-chrotron 放射光によって収差が起こる。
本セミナーの主題は「超伝導リニアコライダー」となっているが、本稿が担当する「最終収束ビーム光学系の設計」
に関しては、超伝導、常伝導の如何に関わらず基本設計は同じである。しかし、ILC のような超伝導リニアコライ
ダーでは、GLC などの常伝導リニアコライダーとは最適とされるパラメータに違いが出る。ILC と GLC のパラ
メータの違いは、入射ビームのパラメータから生まれ、特に大きな違いが出るのはバンチ長である。しかし、この入射ビームのパラメータの違いも、超伝導と常伝導の違いというよりは、粒子を加速する主リニアックの周波数や加速勾配などが原因で決定されている。それ故、本稿は「超伝導リニアコライダー」のための最終収束系の設計というよ
り、現在の ILC の最終収束系の設計の説明となる。このよ
うに、最終収束系を設計する際に最適とされるパラメータは最終収束系の中で完全に閉じて議論ができるものではな
く、入射ビームのパラメータの制限により変わってくる。

本稿では、まず最終収束ビーム光学系を設計する際に本章では、一般論としてのビームを絞ることの出来る限界

必要な一般的な注意点を説明する。その後に、リニアコ

値や ILC での最終収束系のパラメータの最適化の議論をライダーの為に考えられた Global Correction と Local

したいと思う。

Correction という２種類の最終収束ビーム光学系を比較することにより、現在の ILC の最終収束系がどのように考えられて設計されたものかを説明したい。また、最終収

2.1 四極電磁石の放射光による制限

束系周辺の設計の現状も併せて説明することにより、現在
まず初めに、ビームを絞る際の原理的な限界を考えるこ

ILC の最終収束型周辺では、どのような問題があり、どのような検討がなされているかも説明していきたいと思う。

とにする。ビームが衝突点直前の四極電磁石の磁場でビー

また、ILC の最終収束系でのビーム光学系の設計に限っ

ムを収束させる際に、粒子の軌道が曲げられ Synchrotronては、ビームがマルチバンチかシングルバンチかの違いは放射光が放出される。この効果により、衝突点直前の四極重要でない。そのため、本稿における全ての議論ではマル

電磁石を通過するとき、ビームのエネルギー拡がりが大き

チバンチのことには触れず、全てシングルバンチの議論にくなり、焦点にも収差が生じる。この効果によるビームサ

終始されて頂くことを初めに了承して頂きたい。

イズの増大はビーム破壊と共に起こるため、他の方法で補正することは出来ない。そのため、この効果は最終収束系
でビームを絞る原理的な限界となる。この衝突点直前の四2 最終収束系のパラメータの最適化

極電磁石による効果は、最初に提唱した生出勝宣氏の名前をとって、Oide Limit と呼ばれている [9]。

理的な限界の値は、
表 2.1: GLC と ILC の最終収束系のパラメータ (1TeV)
の比較

{
∗
∼
σy,min= 1.35 C1 re λe (γεy )5

(

L∗
L

)2 } 17

GLC[5]

ILC[6]

Nγεx0.72 × 1010
3.6µm

2 × 1010
10µm

γεy
βx∗

40nm
13mm

40nm
30mm

となる。式 (2.4) から、衝突点直前の四極電磁石の長さ L

βy∗
σx∗
σy∗

110µm
219nm
2.1nm

300µm
554nm
3.5nm

GLC、ILC 共に 500GeV のビームに対して絞ることの出来

σz

110µm

300µm

√
∗
∼
= 1.19 εy βy,min(2.4)と四極電磁石から衝突点までの距離 L∗ を同じ値とした時、るビームサイズの限界値は約 1.3nm となる。一方、GLC、ILC の設計ビームサイズは、表 2.1 から 2.1nm、3.5nm である。GLC では、Oide Limit より約 1.6 倍、ILC に関しては約 2.7 倍大きな値に設計されている。この値だけをみそれでは、実際に Oide Limit によるビームサイズの限界値を求めてみよう。以下の議論では、効果の大きい垂直方向に限り話を進めていくことにする。まず、電磁石内で粒子の軌道が曲げられた際の Synchrotron 放射光によるエネルギー損失で生じるビーム内の粒子のエネルギー拡が
りは、

¿
À2
γ 5 re λe σy∗30∆E ∼ γ 5 re λe L
=
C
=
1
E
< Ry >3
L2

示す限界値は、その値までは絞っても良いという値ではな∗
く、σy,minを得るときには、ビームの形はもはやガウシアンの形状から大きく外れ、大きなテールの分布を持つようになる。また、大量の Synchrotron 放射光の発生に伴い、衝突点でのエネルギー分布も広くなり、そのエネルギー幅が物理実験に大きな悪影響を与える。そのため、GLC の(2.1)となる。ここで、< Ry > は電磁石内での粒子の軌道半径の平均値で、電磁石の長さを L と置いたとき < Ry >∝ L/σy∗0と表せる。また、C1 は衝突点周辺の電磁石の置き方による放射光の出方を表すパラメータであり、一般的な最終収束系では C1=7 程度であることが知られている。
衝突点のビームサイズは、衝突点直前の四極電磁石でのSynchrotron 放射で生じるエネルギー拡がりと、衝突点での発散角、四極電磁石から衝突点までの距離 L∗ を使って、一次近似で、¿
À2
2 ∼∗2∗ ∗ 2 ∆Eσy = σy + (L σy0 )E( ∗ )2 ( ) 52Lεy∼
= εy βy∗ + C1 γ 5 re λeLβy∗

ると、かなり余裕がある設計に感じるが、Oide Limit がパラメータ設定では Oide Limit を視野に入れ、最終収束
系のパラメータの最適化がおこなわれた。
∗
一方、ILC のパラメータでは、βy∗ は βy,minの約 10 倍∗に比べて有意に大きくとっている。つまり Oideと、βy,min

Limit のような原理的な収束限界以外の制限からパラメー
タの最適化がおこなわれている度合いが強い。そこで、次節以降では、ILC では、どのような考慮のもとに最終収束
系のパラメータの最適化がおこなわれたかについて説明していきたい。

2.2 バンチ長による制限一次近似では、粒子数が N 個の２つのビームが１回の衝突で生じる Luminosity は

(2.2)
L=

N2
4πσx∗ σy∗(2.5)

となる。ここで、衝突点でのビームの発散角は、エミッタ√
ンスとベータ関数を使って、σy∗0 = εy /βy∗ と置いた。ことなる。この式からも分かるように Luminosity を大きくこで、式 (2.2) の第一項は、衝突点のベータ関数を小さくする為には、衝突点でのビームサイズを小さく絞ることすると小さくなるが、反対に、第二項はベータ関数が小さは重要である。しかし、実際には衝突点で、ある値以下にくなると大きくなる。この２つの項により、ベータ関数がビームサイズを絞っても Luminosity は大きくならない、{∗∼
βy,min= 1.29γ

C12 re2 λ2e (γεy )3

(

L∗
L

) } 17若しくは小さくなってしまうことがある。一方、次章で説

4

(2.3)

明をするが、衝突点でビームサイズを小さくするには大変な困難があり、出来るだけ小さいビームサイズにまでビーのとき、衝突点で絞ることが出来るビームサイズは最小とムを絞ると言っても簡単なことではない。よって、衝突点なる。このようにして、最終収束系で絞ることが出来る原

でビームを絞る際にはそれ相応の最適値がある。

図 2.3: 衝突点で交差角がある場合、その交差する平面（通常、水平面）で、ビームサイズが有効的に大きく見える様子を示した模式図。
図 2.2: ベータ関数に対するビームサイズの変化。実線は下に絞っても有効的なビームサイズは小さくならない。こ

実際の有効ビームサイズを表し、点線は砂時計効果が無いのようなバンチ長に対する制限のことを砂時計効果と呼ん場合を表している。また、縦軸はベータ関数がバンチ長とでいる。

なったときの値で規格化している。
では、Luminosity に対する個々の制約を説明していこ

2.3 交差角による制限

う。Luminosity に対する制約の一つは、砂時計効果と呼ばれるものである。ILC において砂時計効果が影響するのILC では正面衝突ではなく、水平面に有限の交差角をは、ビームサイズの小さい垂直方向のみなので、以下の議

もって衝突するように設計されている。この有限の交差角

論は垂直方向のみの議論とするが、パラメータの取り方次を持つことによって、図 2.3 に示したように（図には電子

第では砂時計効果が水平方向のビームサイズにも影響をす

ビームから見た陽電子ビームの有効的なビームサイズを模ることもある。砂時計効果の原理は以下のようなものであ

式的に示した。）、水平面上のビームサイズは有効的に、一る。焦点でのベータ関数を βy∗ と置くと、ビームサイズは、方のビームの進行方向に射影されたビームサイズと等価に

ビームライン沿ってなる。この時の有効的な水平方向のビームサイズは、√()2
σz sin φc∗
σx,eﬀ = σx 1 +
(2.8)
2 σx∗

√
σy (s) =()
s2βy∗ εy 1+ ∗2
βy

(2.6)

のように変化する。式 (2.6) からも分かるように、衝突点√
s = 0 でのビームサイズ σy∗ = βy∗ εy を小さくする為にはとなる。ここで、両方のビームが進行方向に向かって進むβy∗ を小さくしなけらばならない。一方、βy∗ を小さく取りすぎてしまうと、衝突点から少し離れると、すぐにビームるように、有限の交差角を持つとき、σx を小さくするほど

Luminosity は大きくなる訳ではなく、バンチ長と交差角

サイズが大きくなってしまう。進行方向にガウス分布しての大きさにより、最も効率的なビームサイズが存在する。

いるビームに対する有効的な垂直方向のビームザイズは、

前節の砂時計効果と、本節の交差角の効果を併せて、砂進行方向の分布の積分値として、√)(∫ +∞ √
εy βy∗s2
s2
σy,eﬀ =ds √1+ ∗2 exp − 2
βy
2σz
2πσz
−∞
√
0.8σ 2≈ σy∗ 1 + ∗2z
(2.7)
βy

時計効果は垂直方向のみに効き、交差角は水平方向とするとなる。βy∗ に対する有効的なビームサイズの様子を図 2.2に示した。図 2.2 では、横軸はバンチ長で規格化したベー
タ関数、縦軸は有効ビームサイズをベータ関数がバンチ長のときのビームサイズで規格化した値を示した。図 2.2 から、有効ビームサイズはベータ関数がバンチ長程度になっ√たあたりから大きくなり、最小値は εy σz 程度になることがわかる。よって、衝突点ではベータ関数をバンチ長以為、バンチ長は有効的に σz /2 とした。式 (2.8) からも分かと、幾何学的に Luminosity を減少させる率は、{
Hgeo ≈)2 }− 12(0.8σz2σz sin φc1+ ∗2 +
βy
2 σx∗

(2.9)

と表せる。この Hgeo は、式 (2.5) で表した理想的な Lumi-

nosity から、幾何学的に Luminosity 減少させる比率を表した因子であり、最終収束系のパラメータを最適化する一つの目安となる。

2.4 ビームビーム効果の影響

次に、衝突点におけるビームビーム効果の影響を考える。
衝突点において、一方のビームが作る磁場の影響を、他方のビームが受けることをビームビーム効果と呼ぶ。ILC では、ビームを非常に小さく絞る為、ビームが作り出す磁場の強さは数十 T に達する。そのため、２つのビームが衝突する際には、一方のビームが作る磁場が他方のビームに大きな収束力を与える。この収束力は水平垂直双方に起こるものだが、ここでは影響の大きい垂直方向のみを考える
ことにする。まず、ビームビーム効果によるビームの垂直方向の焦点距離は、

1
2N re
≈
∗
fy
γ σy (σx∗ + σy∗ )(2.10)
図 2.4: Disruption Parameter の変化に対して Luminosityとなる。このとき、バンチ長に対する焦点距離を、ビームが増幅される様子を示した図。図中の幾つかの線は、衝突

ビーム効果によりビームが変形する指標として Disruption

点でのビームのオフセット ∆y の異なる場合を同時に示

Parameter と呼び、

した。

Dy =

2N re σzσz≈fy
γ σy∗ (σx∗ + σy∗ )(2.11)と表す。ちなみに、衝突の際のビームの振動数を Disruption

Parameter を使って√
Dy
ny ≈ 1.3
2π(2.12)

として定義して使った方が、パラメータの物理的な意味を想像しやすいと思うが、通例に従って Disruption Parameterを使うことにする。
ビームビーム効果の Luminosity への影響は、ビームが衝突の際の収束力で小さく絞られ、式 (2.5) に示した一次近似の Luminosity よりも増幅されることである。この増幅効果は、シミュレーションを基にした研究がすすめられ

図 2.5: 衝突点でのビームのオフセット ∆y の違いに対すている [12, 13]。ビームビーム効果による Luminosity のる Luminosity 増幅関数の様子を示した図。図中の幾つか

増幅効果のシミュレーション結果を図 2.4、2.5 に示した。

の線は、Disruption Parameter の異なる場合を同時に示

このような Luminosity を増幅させる率を、ビームビーム

した。

効果による Luminosity Enhancement Factor と呼び HDと書き示すことにする。図 2.4 では HD の Disruption Pa-

図 2.4 を見て貰うと分かるように、ビームの中心位置に

rameter Dy 依存性を示した。また、図 2.4 中の幾つかの線は、２つのビーム間の中心位置のオフセット ∆y の違い
による HD の違いである。一方、図 2.5 では HD の ∆y 依

オフセットが無い場合は Dy を大きくする程 Luminosity

存性を示した。

と Luminosity は減少する。つまり、Dy を非常に大きくも増幅されるが、有限のオフセットがあるときは、あるDy で増幅率は最大値を取り、Dy がそれ以上大きくなる

ここで ∆y 依存性を示したのは、これもリニアコライ

取ることは、ビーム間にオフセットが無い場合は大きなダーのように強烈にビームを絞り込むときの特徴で、ビーではなく、２つのビームの中心位置にオフセットがあった

Luminisity の増幅率を得ることが出来るが、オフセットに弱い設計になることを意味する。一方 Dy が非常に小さい
場合は Luminosity の増幅率も低く、中心位置のオフセッ

場合、お互いに引き合う力が生じるからである。そのため、

トに対しても弱い設計になってしまう。そして、中心位置

たとえ２つのビーム間にオフセットがあった場合にも、２のオフセットに対して最も強い設計は、図 2.5 を見てもら

つのビームが互いに引き合い、ある程度の Luminosity をうとわかるように Dy = 10 ∼ 20 辺りになる。Dy = 10 ∼ 20

得ることができる。

のときには、ビーム間の中心位置が 5σy 離れていた場合でムビーム効果ではビームサイズが小さく絞られる効果だけも、最大値の約 1/3 程度もの Luminosity を得ることが出

ムにより生成される磁場の強さはビームの表面積の比例来る。中心位置が 5σy 離れたガウシアンビームの裾の重なしているからで、ビームの表面積はビームサイズの和にりを考えてもらえば、これがビーム調整の観点から非常に比例する。同様に、ビームビーム効果による Luminosity

大きな利点となることは容易に想像頂けると思う。

Enhancement Factor の指標である Dy も式 (2.11) に示さ

また Dy が非常に大きい場合は中心位置のオフセットにれるように、水平垂直方向のビームサイズの和で表される。

弱くなると説明したが、オフセットがある場合を考えても、これも磁場の強さの影響である。よって Dy を大きくする

通常のガウシアンビームに比べればビームの中心位置のオためには Beamstrahlung の影響も大きくなってしまう。

フセットに強いパラメータである。そして、オフセットが一方、Luminosity は、式 (2.5) からも分かるように、水無い場合の Luminosity の増幅率は Dy が大きくなる程大平垂直方向のビームサイズの積で決まる。つまり、ビーム

きくなる。そのように考えると、Dy は出来る限り大きく

サイズの積が一定の条件の下、ビームの縦横比 r 変えてい取った方が良いとの考えもあると思うが、実際には Dy は

けば、Luminosity は変わらず、Beamstrahlung により生√成される粒子数は 2 r/(1+r) に比例して減少し、エネル

それほど大きく取ることはできない。
その理由は、衝突点でビームサイズを非常に小さく絞ギーの減少量も 4r/(1 + r)2 に比例して小さくなる。よっると、その収束により大量の Synchrotoron 放射光を発て、衝突点においてはビームの形は可能な限り扁平である

生し、ビームに大きなエネルギー損失や、エネルギー拡方が Beamstrahlung の影響は弱くなる。

がりが出来るからである。また、この大量に生成される

以上の理由から、Luminosity を出来るだけ高く、ビー

Synchrotoron 放射光は、測定器に大きなバックグラウン
ドを作り出し、物理解析へ悪影響を与える。このような２つのビームが衝突する際に発生する Synchrotron 放射光

ム間のオフセットに強い条件と、Beamstrahlung により生のことを Beamstrahlung と呼んでいる。

10 ∼ 20 程度とするのが最も効率的である。

成される粒子数、エネルギー減少量を小さくしたい要求を考えると、Dy は無限に大きくすれば良いわけではなく、

Beamstrahlung によるビーム内の平均臨界エネルギーは、古典電子半径 re を使って、< Υ >≈

5γ
N re2
6 α σz (σx∗ + σy∗ )2.5 ILC の基本パラメータ(2.13)ILC における基本パラメータを表 2.2 に纏めた。まず初と表せる。更に、この < Υ > と、微細構造係数 α を使っめに Oide Limit に関しては 2.1 節でも説明したように、て、Beamstrahlung により生成される光子の数、および、

限界値が大きい 1TeV のときでも βy∗ の限界は約 30µm でビームビーム効果によるビームのエネルギー減少量は、あった。ILC では、衝突点のベータ関数は、その約 10 倍Nγ
12.16 αN re
√
≈
∗
∗
N
σx + σy1+ < Υ >2/3の値に設定されているので、衝突点直前の四極電磁石での−∆Eγ
0.836 γN 2 re3
1
≈
(
)
E
σz (σx∗ + σy∗ )2 1 + 1.31 < Υ >2/3 2(2.14)(2.15)

Synchrotron 放射光の影響は無視できる。そのため、ILC
でのパラメータの最適化の際には、Oide Limit のことは頭の片隅には残すものの、最終的なパラメータの設定にはOide Limit の限界値は効いてきてはいない。

とあらわせる。ここで、式 (2.14)、(2.15) の最後の項は量

また、2.2 節の砂時計効果の議論から、垂直方向のベー

子力学的な補正項を表し < Υ > が小さいときは１となる。

タ関数はバンチ長程度に抑えるべきであるとしたが、表また Beamstrahlung によるエネルギー拡がりは、１次近2.2 にもあるように、この条件も満たされている。また繰
り返しになるが、ILC のパラメータでは Oide Limit と砂
時計効果を比較すると砂時計効果の方が限界値は低いの

似では、

σEγ
∆Eγ
≈
E
2E

√
N
Nγ

(2.16)

で、ILC の垂直方向のベータ関数の限界は砂時計効果によと表すことが出来る。ここで、全体を２で割ったのは、こり決まっていることがわかる。

のエネルギー拡がりが出来るのは衝突が完全に終わった後

ILC のように水平方向に有限の交差角があるとき、水平方向のビームサイズが σz sin φc /2 より小さいと Luminos-のことなので、衝突過程におけるエネルギー拡がりは、その半分となる為である。

ity が減少することを 2.3 節で述べた。ILC の基本設計で式 (2.14)、(2.15) から Beamstrahlung により生成されは、現在 2mrad と 20mrad の２つの交差角が考えられてる粒子数、および、エネルギー減少量は、水平垂直方向のいる。そこで、正面衝突、2mrad、20mrad の３つの場合にビームサイズの和で表されることがわかる。これは、ビー

関して、砂時計効果と交差角による幾何学的な Luminos-

表 2.2: ILC における基本パラメータ
500GeV
1TeVN
γεx / γεyσz2 × 1010
10µm / 40nm
300µm

2 × 1010
10µm / 40nm
300µm

φc1 / φc22mrad / 20mrad

2mrad / 20mrad

Oide Limit

15µm

30µm

βx∗ / βy∗σx∗ / σy∗21mm / 400µm

30mm / 300µm

Hgeo (0)Hgeo (φc1 )655nm / 5.7nm
0.830
0.771

554nm / 3.5nm
0.745
0.689

Hgeo (φc2 )

0.211

0.176

Dy

18.5

17.9

図 2.6: Crab 衝突の様子を示した模式図。Crab 衝突の手法

HD

1.70

1.52

を使えば、図 2.3 のように、水平面方向のビームサイズが有

Ῡ
Nγ /N

0.046
1.26

0.109
1.43

効的に増大することは無いので、交差角による Luminosity

−∆E/E
σE /E

2.2%
1.0%

5.0%
2.1%

の減少を抑えることができる。

関しては 18.5、1TeV に関しても 17.9 となっている。ILCのパラメータは、これらのビームビーム効果に対する要求を考慮に入れて設計されていることがわかって頂けると

ity の減少率 Hgeo を表 2.2 中に併せて記した。2mrad の交差角の場合は、交差角による Luminosity の減少率は 約思う。また、2.4 節では Beamstrahlung の効果を定量的に

7 − 8% 程度であるが、20mrad の交差角の場合は、交差角の影響で Luminosity は約 1/4 程度まで減少してしまう。
そこで、特に 20mrad のような大きな交差角をもって衝突使った定量的な見積もりを表 2.2 に纏めた。表 2.2 から、500GeV 運転の時には Beamstrahlung によりエネルギーが約 2.2%も下がってしまい、1TeV 運転の時には約 5%もする際には、この影響を解消する為に ILC では Crab 衝

下がってしまうことがわかると思う。Dy を更に大きくと突という手法を用いる予定である。Crab 衝突に関する簡

ると Beamstrahlung の効果は更に大きくなるので、ILC計算していなかったので、ここでは ILC のパラメータを単な模式図を図 2.6 に示した。通常の衝突では、図 2.6(1)のパラメータでは Beamstrahlung の効果により Dy に制のように、衝突の際、水平面上のビームサイズが有効的に限がかかっている。

増大してしまう。しかし、図 2.6(2) のように、Crab 空洞

このように、現在の ILC の最終収束光学系のパラメー[10] と呼ばれる特別な空洞を用いることにより、バンチの先頭と後方に位置にズレを生じさせることによって、衝突

タは、本章で説明したような砂時計効果、2mrad の交差角に関しては交差角の効果（20mrad の交差角に関しては点で正面衝突が起こった状態を作ることが出来る。その結Crab 衝突を使うので、この効果は考えない）、ビームビー

果、衝突点での交差角の影響を無視できるようになる。こム効果を総合的に考え決めれている。しかし、これらのパの Crab 衝突の実証は 2007 年に KEKB でおこなわれる

ラメータは、表 2.2 に示したバンチ数、エミッタンス、バ

予定である [11]。この KEKB での Crab 空洞は ILC に求

ンチ長、交差角などの入射ビームのパラメータに対して最められているものと違うところは多いが、実機でおこなわ適化されたもので、入射ビームのパラメータが変われば最れる Crab 衝突という意味では非常に参考になる実験で適値も変わってくる。例えば、バンチ内の粒子数が増えれある。

ば Dy が大きくなるので、ビームの扁平率を上げなくては

次に、ビームビーム効果の影響であるが、2.4 節の議論

ならなくなるし、垂直方向のエミッタンスを小さくできれ

により、Luminosity を大きくとれ、２つのビーム間の中ば、同じビームサイズに絞ったときでも、ベータ関数を大心位置のオフセットにも強く、かつ、Beamstrahlung によきく取れるので砂時計効果が弱くなる。また、バンチ長をる効果も少ないパラメータは Dy = 10 ∼ 20 程度のときで短く取れれば、これは全ての効果に効いてくる。このようあることを述べた。それに対して、現在の ILC の設計のに、最終収束系の最適化は、入射パラメータに強く依存しDisruption Parameter Dy は、500GeV のパラメーターにているが、かといって、入射パラメータは自由に変えられ

為、薄レンズ近似で考えることにし、QF と QD の間の距
離、および、QD から焦点までの距離を共に L∗ と置く。このとき、水平垂直双方の Transfer Matrix はそれぞれ

図 3.1: Final Doublet の模式図。２個のレンズを組み合わ

(
)(
1 L∗
1
Mx =
0 1
+KD
(
)(
1 L∗
1
My =
0 1
−KD

)(
)(
0 1 L∗
1
1 0 1
−KF
)(
)(
0 1 L∗
1
1 0 1
+KF

)
0
(3.1)
1
)
0
(3.2)
1

せることにより、水平垂直双方が同じ位置で焦点を結ばせることができる。

となる。ここで、この Final Doublet と呼ばれるレンズ系に平行にビームが入射して、水平垂直方向双方で同じ位置るものではなく、電子、陽電子源、ダンピングリング、主に焦点を結ぶための条件は、Mx (1, 1)=My (1, 1)=0 であり、リニアックなど様々な要求から決められるものである。実

この条件の下、式 (3.1)、(3.2) の連立方程式を解くと、QF、√√
QD のそれぞれの強さは KF = 1/ 2L∗ 、KD = 2/L∗ と際の最終収束系のデザインの設計は、最終収束系のみで独立しておこなわれる訳ではなく、ILC の他のコンポーネン
トとの比較でおこなわれたものである。

して求めることが出来る。このようにして、最終収束系の最終段に置く Final Doublet を組むことが出来る。
ここで一つ注意が必要なのは Final Doublet は単なるレンズ系なので、Final Doublet を構成する四極電磁石の強3 最終収束ビーム光学系の設計
前章でリニアコライダーにおける最終収束系パラメータの最適化により、最終収束系のパラメータを決めることができた。そこで、本章では、そのパラメーターに合うような実際のビームラインの設計を考えることにする。

さで衝突点でのビームサイズは決まるのではなく、√

2 εx L∗2 − 1 σxi√
2 εy L∗∗σy = √
2 + 1 σyi

σx∗ = √

(3.3)
(3.4)

のように入射ビームの大きさ σxi 、σyi を変えることによ

3.1 Final Doublet における色収差

り、焦点でのビームサイズも決まってくる。では、焦点で小さいビームサイズにするには、ただ入射ビームの大きさ

まずは最終収束系を考える上で最も基本となり大切なを大きくすれば良いのかと言われると、それは正しくない。

Final Doublet について考えることにする。Final Doubletとは、水平垂直双方の焦点をビームの衝突点に合わせるレンズ系のことであり、２つの四極電磁石を使って構成されそれは焦点でビームを小さく絞る際にはビーム光学的な収ている。一般に四極電磁石は電子ビームに対してレンズのため、最終収束系を設計する際には、収差を出来るだけ抑役割を果たすが、水平方向に収束させると垂直方向は発散えた設計にしなければならない。このようなビーム光学的

してしまい、反対に水平方向に発散させると垂直方向に収な収差のうち代表的なものは色収差である。

差が発生するからである。このビーム光学的な収差を抑えなければ焦点でビームを小さく絞ることは出来ない。その束する性質のものである。しかし、このような性質を持つ

では、Final Doublet における色収差の影響を考察し四極電磁石でも組み合わせ方次第では、水平方向と垂直方ていこう。ここでも簡単の為、Final Doublet には平行に向の両方ともに同じ位置で焦点を結ばせることが可能でビームが入射することにして、拡がり角の影響を無視しある。

て考える。平行ビームが入射した際の Final Doublet は、

それでは実際の Final Doublet を考えていこう。図 3.1に Final Doublet の模式図を示した。前節の議論にもある
ように、ILC では出来る限り扁平のビームにするのが望ましいので、Final Doublet では、エミッタンスの小さい垂直方向のビームサイズを水平方向よりも小さく絞りたい。
その為には、上流に水平方向に収束する四極電磁石（以後QF と呼ぶ）を置き、下流には水平方向が発散するような四極電磁石（以後 QD と呼ぶ）を置く。ここでは、簡単の式 (3.1)、(3.2) において、QF、QD の強さを、それぞれ√√
KF = 1/ 2L∗ 、KD = 2/L∗ とした時であることは既に説明した。この Final Doublet にビームのエネルギーがδ = ∆E/E だけズレた粒子が入射したときの影響を考えることにする。その影響をみる為には、式 (3.1)、(3.2) で√√
KF = 1/ 2L∗ (1+δ)、KD = 2/L∗ (1+δ) と置き換えればよい。このような Final Doublet に、∆xi 、∆yi の変位をもった粒子が入射したとき、焦点での変位は、水平、垂直

方向それぞれ{}1∆x∗ = 1−∆xi = (2δ − 3δ 2 · · ·)∆xi (3.5)(1+δ)2{}1∆y ∗ = 1−∆yi = (2δ − 3δ 2 · · ·)∆yi (3.6)(1+δ)2となり、焦点における粒子の位置は一次近似ではエネル
ギーのズレに比例して変位をもつことになる。これが色収差の原理である。また、色収差によるビームサイズの膨らみが、衝突点のビームサイズに影響を与えない条件は式(3.3)、(3.4) と比較することにより、δ を{√}√
2−1 βx∗2+1 βy∗√√δ ¿ Min,
2 2 L∗
2 2 L∗(3.7)

より充分小さく抑えなければならなくなる。ILC では衝突点でのベータ関数を非常に小さい値に設定されている為、L∗ = 2m とすると、エネルギーのズレの許容値は約 0.01%
といった非常に小さい値になってしまう。この値は ILC のエネルギー拡がりの 1/10 以下に相当する値で、実際のビームの性質をこれほど良くすることは難しいため ILC では
色収差の補正は絶対に必要になる。
色収差の補正には六極電磁石を使うのが一般的である。
そこで、まず初めに、１個の六極電磁石で色収差を補正した場合の効果を考えてみよう。簡単の為、補正に使う六極電磁石は QF と全く同じ位置に置くことにする。また、六極電磁石を使って色収差補正をする為には、エネルギーの違いによって六極電磁石を通過する位置に差を出さないといけないので、六極電磁石を通過する位置に水平方向に有限の Dispersion 関数 ηx を持たせることにする。このとき

図 3.2: Geometrical Aberration の効果。(a) 水平方向のηx0 = 0 とすれば、必然的に焦点での Dispersion 関数はゼロにできる。六極電磁石における収束力は粒子の水平方向の位置に比例するので、六極電磁石を使うことにより生じビームサイズ。(b) 垂直方向のビームサイズ。

る焦点での水平垂直双方の変位は、√∆x ∼= −(2− 2)Ks L∗ (∆xi +ηx δ)2√∆y ∼= (2+ 2)Ks L∗ (∆xi +ηx δ)∆yi

補正できる。また、六極電磁石を使うことでは補正しき

(3.8)
(3.9)

となり、六極電磁石を使うことにより垂直方向の色収差をれなかった水平方向の色収差であるが、これは六極電磁石を使わない場合の２倍以下とほぼ同程度に収まっている。しかし、今度は六極電磁石を使ったことにより、新たと書くことができる。そして、六極電磁石を導入する前にな収差が発生してしまった。まず、式 (3.11) の第２項や、影響の大きかった垂直方向の色収差を補正する条件は、

式 (3.12) のような入射位置の２乗に比例した項で、この効

Ks = −

1
2√
2+ 2 ηx L∗(3.10)

であり、このとき、四極電磁石の色収差と、それを補正す

果は Geometrical Aberration と呼ばれている。更に、式(3.11) の第３項のようなエネルギー拡がりの２乗が影響する収差が発生することになる。

る為の六極電磁石の効果を合わせると、式 (3.5)、(3.6)、

このような六極電磁石を使うことにより発生する収差の(3.8)、(3.9)、(3.10) から、√√ ()
2(2− 2) ∆x2i
∗ ∼ 2(6− 2)2√ δ∆xi +√∆x =+ηx δ (3.11)
ηx
2+ 2
2+ 2
2∆xi ∆yi∆y ∗ ∼(3.12)=−
ηx

影響を図 3.2 に示した。Geometrical Aberration や２次のエネルギー拡がりの影響は QF での Dispersion 関数の大きさに依存するので、図 3.2 は ηx の関数として焦点での水平
垂直双方のビームサイズを示した。また、計算には 0.3%のエネルギー拡がりを仮定した。Geometrical Aberration が垂直方向のビームサイズへ影響を与えなくなるのは、図3.2 から ηx を数 m のオーダーとしたときである。しかし、Geometrical Aberration の影響は Dispersion 関数を大きく取れば小さくなるが、反対に Dispersion 関数を大きく取ると２次のエネルギー拡がりの影響が大きくなる。そのため、垂直方向のビームサイズを設定値に近い値まで小さくしようとすると、水平方向のビームサイズは数 mm まで拡がってしまう。

ILC のように非常に小さいサイズまでビームを絞り込む
際には、六極電磁石などの非線形の電磁石を使わなければならない。しかし、非線形の電磁石を使うことによって、Geometrical Aberration や、２次のエネルギー拡がりの影
響といった新たな収差が無視できなくなるので、非線形の電磁石を使う場合は注意が必要になる。ILC の最終収束系
では、このような収差の影響を小さくする為の幾つかのアイデアが考えられている。次節以降では、そのアイデアを紹介することにより、実際の ILC の最終収束系の説明をしていきたいと思う。

図 3.3: Global Chromaticity Correction の原理図。
前節で述べたように、六極電磁石を使うことにより、色収差の効果は補正できるが、その反面、六極電磁石を使うこと
により Geometrical Aberration や２次のエネルギー拡がりの効果などの新たな収差を生み出すことになる。色収差
や Geometrical Aberration などの高次のビームサイズを膨らます効果を総合的に補正する方法として ’80 年代から’90
年代のリニアコライダーの設計では Global Chromaticity

Correction と呼ばれる方法が使われていた。
この方法は、ビームライン上に Geometrical Aberration
や２次のエネルギー拡がりの効果といった収差を生まず

Chromaticity のみを生み出すような特別なセクションを作ることにより焦点での色収差を補正する手法である。基

3.2 Global Chromaticity Correction

本的なアイデアは、セクション内に２つの六極電磁石を置
今までは Final Doublet での色収差のみに焦点を当ててき、その２つの六極電磁石間の Transfer Matrix を −I と説明してきたが、これからはビームライン全体の色収差のし、２つの六極電磁石の Dispersion 関数を同じ値にする補正を考えていこうと思う。色収差により、エネルギーのことである。

ずれた粒子は、理想的なエネルギーの粒子に対してベータ

それでは、この原理を考えていこう。まずは水平方向か

トロン位相に差を生じる。理想的なエネルギーの粒子とエら考える。水平方向の粒子の位置は、１個目の六極電磁石

ネルギーが δ だけずれた粒子との間のベータトロン位相のでは ∆x+ηx δ なので、２個目の六極電磁石の直前での粒差は、子の位置は、∆ψx,y = 2πξx,y δ(3.13)(と置くことができて、ここで用いた ξx,y は色収差の大き0 −1(さを示すパラメータで Chromaticity と呼ばれるものである。Chromaticity は、

ξx = +∑ βx,i Ki
iξy = −

4π∑ βy,i Ki
i

4π=(3.14)

1

0

)(

∆x

)

∆x0
)

−Ks (∆x+ηx δ) 1−∆x

(3.17)−∆x0 +Ks (∆x+ηx δ)∆xとなる。同様に Dispersion 関数も２個目の六極電磁石の(3.15)

直前で、と定義され、この Chromaticity を使い、衝突点での色収差によるビームサイズの膨らみは大雑把に、√∗
2 σ2
σx,y ≈ σx,y1 + ξx,y
δ

)(

−1 0

(3.16)と近似できる。最終収束系では Final Doublet は収束力も強く、ベータ関数も大きい為、Final Doublet における色 −1 0 2ηx
1
0 0
ηx


 0 
 0 −1 0  −Ks (∆x+ηx δ) 1 0  ηx 
0 0


1

0



ηx
 0

=  −ηx +Ks (∆x+ηx δ)ηx 
1

0 1

1
(3.18)

収差の影響は非常に大きい。しかし、その他の電磁石でも同様に Chromaticity を生成しており、全ての電磁石でのとなる。また、２個目の六極電磁石での粒子の変位は −∆x+

Chromaticity を補正する必要がある。

ηx δ であるので、２個目の電磁石を通過した後の粒子の変位、および、Dispersion 関数は、
(
)(
1
0

)

−∆x

−Ks (−∆x+ηx δ) 1−∆x0 +Ks (∆x+ηx δ)∆x()−∆x
(3.19)=−∆x0 +2Ks ηx δ∆x


1

0 0





ηx




 −Ks (−∆x+ηx δ) 1 0  −ηx0 +Ks (∆x+ηx δ)ηx 
1
0
0 1


ηx

 0
(3.20)=  −ηx +2Ks ∆xηx 1

アコライダーでの最終収束系のビーム光学系。この収束系となり、この Chromaticity 補正システムを通過する前後での水平方向の粒子の運動は、
)(
)
(
) (
−1
0
∆x
∆x
→
4Ks ηx δ −1
∆x0
∆x0
  
 
ηx
−1 0 2ηx
ηx
 0   0  ηx  →  0 −1 0  ηx 1

図 3.4: Global Chromaticity Correction を利用したリニ

0 0

1(3.21)の設計は L∗ = 2.0m としたときのものである。
となり、ξx,y = 0 となるように Ks,1 、Ks,2 の強さを決める
ことにより、色収差を抑えることができる。このようにして色収差を補正する方法を Global Chromaticity Correc-(3.22)

1tion と呼んでいる。繰り返しになるが Global Chromaticity
Correction に使われる Chromaticity 補正システムでは、
六極電磁石を導入することにより発生する新たな収差を生となり、エネルギーに比例した収束力が生まれることにな

み出さないので、Global Chromaticity Correction では、る。同様に垂直方向の Transfer Matrix も
(
)(
)(
1
0
−1 0
1

純粋に色収差だけを補正することが出来る。

Ks (−∆x+ηx δ) 1
0 −1
(
)
−1
0
=
−2Ks ηx δ −10)

図 3.4 に Global Chromaticity Correction を利用した
リニアコライダーでの最終収束ビーム光学系を示す。このKs (∆x+ηx δ) 1

光学系では、水平方向と垂直方向の Chromaticity を独立(3.23)に調整する為、２つの Chromaticity 補正システムでの水
平方向と垂直方向のベータ関数の比を有意に変えている。

と書き改められ、エネルギー差に比例した収束力が生ま

上流の Chromaticity 補正システムでは、水平方向のベーれることがわかる。つまり、このシステムは、システム内

タ関数を垂直方向のベータ関数に比べて有意に大きく取で六極電磁石を使うことにより新たに生じた Geometrical

ることにより、水平方向の Chromaticity を垂直方向と独Aberration や２次のエネルギー拡がりの効果を相殺し、純粋に Chromaticity のみを作るシステムとなっている。
このとき１つの補正システムで生成できる Chromaticity

立に補正するシステムにしている。下流の色収差補正シは水平垂直方向それぞれ、

Chromaticity を補正するようになっている。

ξx = +

βy Ks ηx
βx Ks ηx, ξy = −π
2π

ステムは、反対に垂直方向のベータ関数を水平方向のベータ関数に比べて有意に大きく取ることにより、垂直方向の(3.24)となる。よって、このような Chromaticity 補正システム
をビームライン上に２組置くことによって、ビームライン
全体の Chromaticity は、

βx,1 Ks,1 ηx,1 βx,2 Ks,2 ηx,2 ∑ βx,i Ki++(3.25)
ξx =
π
π
4π
i
βy,1 Ks,1 ηx,1 βy,2 Ks,2 ηx,2 ∑ βy,i Ki
ξy = −−−(3.26)
2π
2π
4π
i

3.3 Local Chromaticity Correction
前節では Global Chromaticity Correction という方法を用いたリニアコライダーの為の最終収束系を紹介した。
そして、Global Chromaticity Correction を利用した最終収束系は、六極電磁石を導入したことにより発生する新たな収差が存在しないシステムであることを説明した。しかし、現在の ILC の最終収束系の設計では、P.Raimondi[4]とすると、２つの六極電磁石を含めた Transfer Matrix は、
)(
)(
)
(
1
0
m 0
1
0
Mx =
−Ks2 (m∆x+ηx δ) 1
m12 1/m −Ks1 ∆x 1
)
(
m
0
)
(
(3.28)=
m12 − m2 Ks2 + Kms1 ∆x−mηx Ks2 δ 1/m

)(
)(
)
1
0
m 0
1
0
My =
+Ks2 (m∆x+ηx δ) 1
m34 1/m +Ks1 ∆x 1
(
)
m
0
(
)
=
(3.29)
m34 + m2 Ks2 + Kms1 ∆x+mηx Ks2 δ 1/m(

図 3.5: Local Chromaticity Correction の原理図。
らによって提案された Local Chromaticity Correction を基調とした新たな最終収束ビーム光学系が主流となっている [6]。当然、Local Chromaticity Correction が主流のと書くことができて、六極電磁石の強さをKs1 = −m3 Ks2(3.30)

技術として認識されるには、それ相応の理由があるが、それは次節に説明するものとして、本節では、まず Localとしたとき、行列要素 Mx,y (2, 1) のうちの入射する粒子のChromaticity Correction の原理を説明したいと思う。
前節でビームラインの全ての四極電磁石が色収差源で変位 ∆x に依存する項、即ち Geometrical Aberration を生あるとの説明をしたが、それでも、やはり Final Doublet
が最終収束系での主要な色収差源であることは否定できな
い。Local Chromaticity Correction は、図 3.5 のように、大きな色収差を生み出す原因となる Final Doublet の付近に六極電磁石を置くことによって、その主要な色収差源である Final Doublet の収差を出来る限り局所的に抑える方法である。しかし、ただ六極電磁石を Final Doublet の側に置いたのでは 3.1 節に示したように色収差を抑えられる

み出す項が補正できて、水平垂直双方の Transfer Matrix は
(
) (
)(
)
m
0
1
0
m 0
Mx =
=
m12 −mηx Ks2 δ 1/m−ηx Ks2 δ 1 m12 1/m(3.31))
(
) (
)(
m
0
1
0
m 0
My =
=
m34 +mηx Ks2 δ 1/m+ηx Ks2 δ 1 m34 1/m(3.32)と近似できる。よって、式 (3.30) の条件は、Local Chromaticity Correction において、六極電磁石が生成する Ge-

ルギー拡がりの効果といった新たな収差を生んで、結果的

ometrical Aberration を打ち消すための条件となる。
このようにして、Geometrical Aberration の影響がないに衝突点でのビームサイズを小さくすることは出来ない。

色収差補正の為の Knob が出来たので、次は本題の色収差

しかし、Geometrical Aberration の効果は、ここでも２の補正を考えていこう。まず水平方向の運動を考える。色つの六極電磁石を組にして使うことにより補正できる。２収差を補正する為、色収差を補正したい四極電磁石の直前

つの六極電磁石を組にして使うと言うと、前節の Globalに置かれた六極電磁石の位置には有限の Dispersion 関数

Correction と同じように感じられるかも知れないが、補正があるので、この Dispersion 関数の運動も考慮に入れるの仕方は全く別の方法である。

と、２つ目の六極電磁石を通過した後の水平方向の変位は、
(
)(
) (
)( )
1
0
∆x
1
0
ηx
+
δ
−ηx Ks2 δ 1∆x0−Ks2 (∆x+ηx δ) 1
ηx0
(
) (
)
∆x + ηx δ
0=+(3.33)∆x0 + ηx0 δ−Ks2 ηx (2∆xδ + ηx δ 2 )変わりに、大きな Geometrical Aberration や２次のエネ

それでは補正の方法を説明していこう。まず、上流の六極電磁石の位置での Dispersion 関数はゼロとして強さ Ks1の六極電磁石を置く。そして、下流の組となる六極電磁石
は、色収差を補正したい電磁石のすぐ直前に置き、その強さを Ks2 として、ここでは有限の Dispersion 関数をもたせることにする。そして、２つの六極電磁石間の Transfer

Matrix を



m
0
0
0


m12 1/m 0
0 


M =
0
m
0 
 0

0
0 m34 1/m

(3.27)となる。同様に、垂直方向に関しても、
(
)(
) (
) (
)
1
0
∆y
∆y
0
=
+
+ηx Ks2 δ 1
∆y 0
∆y 0
+Ks2 ηx ∆yδ(3.34)と置きかえることができる。式 (3.33)、式 (3.34) を比べて貰えばわかるように、Global Correction の場合と同じように、Local Correction の手法でもシステム内での水平垂直双方での色収差の補正量は２倍違った値になる。
一方、補正したい四極電磁石での色収差の影響は、()( ) ()( )1 0 ∆x
1 0 ηx
+
δ
K
K
− 1+δ
1 ∆x0
− 1+δ
1 ηx0
){(
)}
(
) (
1
0
∆x+η
δ
0
x
∼
+
=
−K 1
∆x0 +ηx0 δ+K(∆xδ+ηx δ 2 )(3.35))( ) (){( ) ()}
1 0 ∆y ∼ 1 0
∆y
0
+
=
K
0
0
+ 1+δ 1 ∆y
+K 1
∆y
−K∆yδ
(3.36)となり、水平垂直双方の色収差の大きさは同じである。そ

図 3.6: Local Chromaticity Correction を利用したリニア

れゆえ Local Correction の場合も、１つの四極電磁石にコライダーでの最終収束系のビーム光学系。この収束系の対して１つの六極電磁石の組というような１対１対応させ設計は L∗ = 4.3m としたときのものである。

(

た形で、水平垂直同時に色収差補正はできない。また、式(3.33)、(3.35) を比較してもらうとわかるように、四極電磁石と六極電磁石を使った補正システムでは、水平方向のできることである。このような指針の下設計された最終収

色収差に関する項と２次のエネルギー拡がりに関する項のしてきた Local Correction のビーム光学系とは多少異な比が違うので、たとえ、水平方向の色収差を完全に消す条

るところもあるが、概ね今まで説明してきたビーム光学系

件 2Ks2 ηx = K にしたときでも、２次のエネルギー拡がりであることがわかってもらえると思う。今まで説明してきの影響が残ってしまう。

たものと実際の光学系で若干の違いが出てしまうのは、理束ビーム光学系を図 3.6 に示す。図 3.6 では、今まで説明

しかし、水平方向の２次のエネルギー拡がりの影響と垂想的なモデルとは違い、実際の装置では電磁石は有限の長直方向の色収差は、１つのシステムで同時に消すことが出さを持つため、Final Doublet の四極電磁石と六極電磁石来る。このシステムでは消しきれない水平方向の色収差は、を全く同じ位置に置くことができないことによる影響が出別個に色収差を生み出すことによって補正すればよい。具

ていることによる。

体的には、ηx = 0 で Final Doublet から上流に水平方向のTransfer Matrix が I だけ離れたところに Final Doubletと同じ強さの四極電磁石を置けば良い。また、この四極電

3.4 ２つの補正方法の性能比較

磁石で垂直方向の色収差を生み出さない為に垂直方向のベータ関数は小さく設定する。その結果、この四極電磁石

２つの補正方法を比較する際に、図 3.4 と図 3.6 のビーが作る色収差の影響は、()( ) (){( ) ()}
1 0 ∆x ∼ 1 0
∆x
0
+
=
K
− 1+δ
1 ∆x0
−K 1
∆x0
+K∆xδ
(3.37)

ム光学系をみてもらって、まず目に付くのはビームライとなり、垂直方向の色収差は無視できる。ここで、式 (3.35)、

Global Correction のときと同じ L∗ = 2.0m で設計したと(3.37) を纏めて、式 (3.33) と比較すると、
K
Ks2 =
ηx

ンの長さであろう。Global Correction ではビームラインの長さが約 1.8km あったのに対して、Local Correction
では約 450m と約 1/4 の長さに抑えられている。また、
図 3.6 では L∗ = 4.3m のときのビーム光学系を示したが、きは、ビームラインの長さは Global Correction の約 1/6(3.38)の 300m 程度にまで抑えてビーム光学系を設計することが出来る。これは、Global Correction の場合は、最終収束系のとき、水平方向の色収差、および、２次のエネルギー拡以外にも、水平垂直双方の Chromaticity を補正する特別

がりの効果は補正できる。また、式 (3.38) のときは、式

なセクションを独立に置かなければならないのに対して、(3.34)、(3.36) を比べてもらえばわかるように垂直方向の色収差も水平方向と同時に補正することができる。この補Local Correction の場合は、最終収束系の中に色収差を補正する機構が組み込まれているからである。ビームライン

正方法の大きな利点の一つは、垂直方向に関しては Finalの長さは、実際に加速器を建設する際のコンポーネントのDoublet の位置で完全に局所的に色収差を補正することが数が減ったり、トンネル代などのコスト面だけでなく、全図 3.8: ２種類の補正方法に対するビームハローの比較。
図 3.7: ２種類の補正方法に対する Liminosity のエネル
ギーバンド幅の比較。

Correction は L∗ = 4.3m のビーム光学系を使っておこなったものである。Global Correction に対して L∗ = 2.0m とし長が変わることによる候補地の選定基準などに大きなイン
パクトを与えるので、とても大切な要素の一つである。

た理由は Global Correction では L∗ を大きくすると、それだけ Final Doublet でのビームサイズが大きくなるので色そして、２つの補正方法に対して、更に大きな差が出る

収差が大きくなり、それに伴う補正量も大きくなるからでのは、更なる高次成分の効果である。Global Correctionある。そのため Global Correction に対しても L∗ = 4.3m

は、六極電磁石を使ったことにより発生する Geometricalのビーム光学系を使うと、必然的に更にバンド幅の制限がAberration や２次のエネルギー拡がりの効果といった収差が発生しない補正システムであることを述べた。そして、大きくなることは容易に想像して頂けると思う。測定器の本来補正したい四極電磁石の色収差に対しては、焦点でのの可能性の幅が拡がることを意味するので、とても望まし

Chromaticity を相殺するという手法であった。これは言い方を変えると、Final Doublet に達するまでには、大きないことである。このようにエネルギー幅の面からも Local

Chromaticity が存在するが、Final Doublet に到達したときに、Final Doublet がつくる大きな Chromaticity を利用して、焦点で Chromaticity を整えていることである。
この結果、エネルギーが比較的既定値に近い粒子は、Final

Doublet を線形のビーム光学系で規定されたビームサイズに近い大きさで通過して焦点に達する。しかし、エネルギー差が大きい粒子は、焦点はエネルギーが理想的な粒子と同じ位置で結ぶが、線形のビーム光学系で規定されたビーム
サイズとは違った大きさで Final Doublet を通過することになる。その結果、エネルギーの違いによって、焦点でのビームサイズも違ってしまう。一方、Local Correction では、Final Doublet がつくる大きな色収差は、その直前の設計の立場から L∗ が大きく取れることは、測定器の設計

Correction は Global Correction より優れていると考えられる。
更に同様に、その色収差の補正方法が大局的か局所的かの違いからくる差としてビームハローの差がある。ビームの中心付近では、どちらの補正方法でも同様に、小さいビームサイズまでビームを絞ることが出来るが、Global
Correction ではビームラインを通しての Chromaticity が大きい為、エネルギーバンド幅は狭く、エネルギーが中心から離れた粒子は大きく拡がってしまう。このように、ビーム
ラインの長さ、L∗ の自由度、エネルギーのバンド幅、ビー
ムハローの問題などを総合的に考えると、最終収束ビーム
光学系の設計としては、Local Chromaticity Correction を使ったビーム光学系は大変優れた設計だと言える。

六極電磁石で相殺するので、Final Doublet に達するまでのビームライン上では大きな Chromaticity は生じない。
その結果、焦点でのエネルギーの違いによるビームサイズの違いは、それほど大きくない。実際にシミュレーション
でエネルギーの違いによる影響を調べてみると、図 3.7 に示すように２つの補正方法では大きな差が出る。
また、図 3.7 のシミュレーションは、Global Correction∗に対しては L = 2.0m のビーム光学系を使って、Local

3.5 ILC の最終収束ビーム光学系
前節で示したように Local Chromaticity Correction は、Global Chromaticity Correction に比べて優れている点が多い。そこで、現在の ILC の最終収束ビーム光学系の設計
は Local Chromaticity Correction に近いビーム光学系が図 3.10: ILC の最終収束系のビームエネルギーのズレに対するバンド幅。
図 3.9: 現在の ILC の最終収束系のビーム光学系。この収束系の設計は L∗ = 4.3m としたときのものである。

の近くに置かれた六極電磁石 SD0、SF1 が効果的に補正するように設計されているからである。そのため ILC の採用されている。しかし、完全に Local Correction のビー

最終収束系は Local Correction に非常に近いビーム光学系

ム光学系になっているわけではない。図 3.9 を見てもらうであると容易に想像できると思う。よって、その結果 ILCとわかるように、ILC の最終収束系は SD0、SF1、SD4、の最終収束系は Local Correction の場合と大差ない最終

SF5、SF6 という５個の六極電磁石を使っている。そして、それらの六極電磁石間で、収束系としての性能を有している。

KSD0 = +Ks1
KSD4 = −m3 Ks1 , m =(3.39)

√
βSD0
βSD4

KSF1 = +Ks2
KSF5 = −n3 Ks2 + Ks3 , n =KSF6 = +Ks3

(3.40)ILC の最終収束系が、完全な Local Correction の形を採ってい理由の一つは、ビームの衝突点の位置を移し出した疑似の衝突点を作ることが出来ることである。この疑似の衝突点は、ビームの衝突点での Feedback に大変有用なものである。また、Local Correction では、水平方向の色(3.41)

√
βSF1
βSF5

(3.42)(3.43)

収差を調整する為に、四極電磁石の色収差を利用していた。
しかし、四極電磁石の強さを変えると線形光学系も弄ることになるので、ビーム調整の際には四極電磁石の強さは自由に変えられない。それに対して、ILC の最終収束系では、収差の補正は全て六極電磁石の強さを変えることでおといった関係を持たせることにより Geometrical Aberra-

こなえる。これは、ビーム調整の際の大きな利点になる。

tion の効果を消している。このことは、今まで説明した

このように、現在の最終収束系は、単に最終収束系自身のGlobal Correction と Local Correction の手法の応用で簡
単に理解できると思う。更に、Ks1 、Ks2 、Ks2 のパラメー
タを調整することによって、今までの議論で衝突点での性能だけに留まらず、ビーム調整などの付加的な要求も考慮に入れた上での最適化を考え設計が進められている。

ビームサイズを小さくする際に問題になっていた水平方向の色収差、２次のエネルギー拡がりの効果、垂直方向の色

3.6 最終収束系でのビームサイズ調整

収差という３つの主要要素を打ち消すことが出来る。
このように設計された ILC の最終収束系のエネルギーの

このように設計された ILC の最終収束ビーム光学系でバンド幅を図 3.10 に示す。ILC の最終収束系は最終収束系の衝突点でのビームサイズ調整に関して考える。ビーム

全体で収差を補正しているので、完全には Local Correction

サイズ調整に関しても重要なのは、六極電磁石の使い方と言うことは出来ない。しかし、図 3.10 を、図 3.7 の Localである。その理由は、ビームが六極電磁石の水平方向にずCorrection の方式で設計された最終収束系のエネルギーのバンド幅と比較すると、ほぼ同程度のバンド幅が得られれた位置を通過すると、水平垂直方向双方のビームウエスていることがわかる。その理由は、ILC の最終収束系でも化が起こる。また、ビームが六極電磁石の水平方向にずれ

Final Doublet によって作られる色収差を Final Doublet

た位置を通過するときには、垂直方向の Dispersion 関数

トの位置 ∆s∗x,y と、水平方向の Dispersion 関数 ηx∗ に変ηy∗ と < yx0 >∗ に変化が起こる。逆に言えば、適切に六極∗電磁石の位置を動かすことによって ∆s∗x,y 、ηx,y、および、< yx0 >∗ といった線形のパラメータの調整が出来る。ただし、これらの六極電磁石を個別に動かしていたのでは、いろいろな効果が混ざり合ってしまうので、幾つかの六極電磁石を組み合わせて、それぞれ１個づつのパラメータのみを変化させる knob を作ると便利である。図 3.9 に示すよ
うに、現在の ILC の最終収束系では５個の六極電磁石を使っている。これらを適切に組み合わせることによって対角化された線形要素のビーム調整 knob を表 3.1 に纏めた。
完全な Local Correction に拘らず、六極電磁石間の対称性を重視した最終収束系を選択した為、それぞれの knob
もキチンとした対称性を持った扱いやすい関係になってい
ることがわかる。
表 3.1: ILC の最終収束系の線形要素調整のための knob。
全ての調整は六極電磁石の位置を変化させることによりおこなわれる。
効果
調整

∆s∗x
∆s∗y
ηx∗
ηy∗
0 ∗

< yx >

SD0

SF1

SD4

SF5

SF6

∆x
∆x

1
1

0.615
0.615

0
0

0
0

-6.125
0

∆x
∆y
∆y

0
0
1

0
0
0

0
0
2.649

1
1
0

0.261
0.261
0

図 3.11: 表 3.3 の誤差を仮定したときのビームサイズ調
整のシミュレーションの結果。このシミュレーションではビームのエネルギーは 250GeV とした。

次に高次の効果についてだが、高次の効果に関しては非電磁石の誤差を仮定した。ビーム調整の方法は、衝突点での線形効果がある為、完全に対角化することは出来ない。しビームサイズが最小になるように１つ１つの knob を順に変かし、線形要素のときと同じように、幾つかの電磁石を適化させていく方法を採った。knob は、最初に線形 knob を切に組み合わせることによって、ある非線形要素に関して∗の順に、そして、非線形 knob の垂直< yx0 >∗ 、∆s∗y,x 、ηy,xは影響が大きいが、その他の要素に対する影響は少ないと方向ビームサイズに関わる T322 , T362 , T366 , T342 , T364 , T344

いった knob を作ることは可能である。そこで、どのようを順に変え、水平方向の T122 , T162 , T166 を変えた後に、更な電磁石を動かすと、高次の効果への影響が起こるかを纏に高次の U3422 , V34222 , V36422 を変えるという順番で繰りめたものが表 3.2 である。ILC の設計では、表 3.2 に纏め返した。また、図 3.11 の横軸は使用した knob の数であり、た 12 個の非線形要素に対する調整 knob を用意している。

縦軸はビームサイズのシミュレーション結果を示す。今回仮定した電磁石の誤差では、最終的な水平方向のビームサ

表 3.2: ILC の最終収束系の高次の効果補正のための knob。
磁石種類
調整 効果
六極電磁石

強さ

T122 , T162 , T166 , T342 , T364

表 3.3: 図 3.11 のシミュレーションに仮定した電磁石の誤

六極電磁石

傾き

差。Final Doublet は誤差の許容値が厳しい為、他の四極

八極電磁石

強さ

T322 , T344 , T362 , T366
U3422

十極電磁石

強さ

V34222 , V36422

電磁石に比べて誤差を小さく設定した。
要素
QF1,QD0 四極 六極

八極

十極∆K/K [%]

0.05

0.25

1.0

2.5

5.0

このような衝突点でのビームサイズ調整の為の knob をθ [mrad]∆x [µm]

0.05
15

0.1
15

0.3
15

1.0
15

1.0
15

使っておこなわれる調整のシミュレーション結果を図 3.11

∆y [µm]

5

5

5

5

5

に示す。また、シミュレーションでは表 3.3 に示したようなイズ増大は約 0.3%で、垂直方向のビームサイズ増大は約7%となる。また、ビームサイズは１回目の 17 個の knobを使った繰り返しが終わった段階で、ほぼ規定のビームサ
イズまで落ち着くことが分かる。

4 最終収束系周辺のビーム光学系
これまでは、ILC の最終収束系本体に焦点をあて、衝突点ではどの程度までビームを小さく絞るべきか、どのようにしてビームを衝突点で小さく絞るかに焦点を絞って話を進めてきた。しかし、最終収束系の目的は物理実験において良いイベント発生源となることである。当然ビームサイ
ズを小さく絞れば、それだけ多くのイベントを生成できる
ので、イベント発生源という意味でも非常に重要な意味を

図 4.1: コリメータを含めた ILC の最終収束系のビーム光持つ。しかし、ビームサイズをただ小さく絞れば良いのか学系。

と言えば、それだけでは不十分である。最終収束系の周辺に目を向けると、さまざまな物理の測定器側からの要求を付近に集めることは、測定器のバックグラウンドの観点か満たす為の工夫を凝らさねばならない。本章では、最終収らは非常に重要なことである。

束系本体ではなく、その周辺に目を向けた ILC の最終収束系の要求に焦点をあて説明していきたいと思う。

そこで、ILC ではコリメータで切り落とせないテールを

Final Doublet の中心付近に集めるために八極電磁石を使用する。しかし、八極電磁石の使い方には注意が必要で、ビームの芯に影響を与えず、ビームのテール粒子のみに収

4.1 ビームコリメータ

束力を与えるような使い方が必要である。そこで、テールを集める為の八極電磁石の置き方を考えていこう。平行

大きなテールやハローをもったビームが Final Doubletに入射するとき、ビームのテールやハロー自体が測定器へビームが八極電磁石を通過するとき、水平垂直方向それぞれの偏向角は、ぶつかり大きなバックグラウンド源となる。更に、ビームが Final Doublet を通過するとき、個々の粒子が感じるθx = −Ko (x2−y 2 )x(4.1)

磁場はビームの中心から離れる程強くなるので、ビームのθy = +Ko (x −y )y

(4.2)

2

2

テールやハローは、Final Doublet で大量の Synchrotron
放射光を発生する。このガンマ線もまた測定器への大きなとなり、八極電磁石を通過する水平垂直平面双方のビーム

バックグラウンド源になる。そのため、ビームテールやハの変位や、その相関に大きく依存した偏向角が発生する。

ローは最終収束系に入る前に除去する必要がある。そこで

このような八極電磁石を使いうことにより効率的にテール

ILC では最終収束系に入る前にコリメータを置き、ビームを集める為には、八極電磁石でのテール粒子の分布の大きのテールやハロー粒子を取り除いて比較的きれいなビームさを考えるだけではなく、テール粒子に水平垂直方向の相にしてから最終収束系に送るように設計されている。

関を持たせなければならない。テール粒子をそのような都図 4.1 には、コリメータを含めた最終収束系のビーム光

合の良い分布に制御することは限りなく不可能に近い。更学系を示した。ILC では、ベータトロン振動に対しては２に、仮に制御できたとしても、水平垂直方向の偏向角の符

箇所の、そして、エネルギーに対しては１箇所のコリメー

号は反対符号なので、一つの八極電磁石で水平垂直双方のタを設置するように設計されている。しかし、このコリテールを集めるためには、八極電磁石から Final Doublet

メータはビームの中心から大きく離れた粒子を取り除くだまでの水平垂直方向のベータトロン位相進度を 180◦ 変え

けで、コリメータで切り落とせないテールは、依然としてないといけない。つまり簡単に要約すると、１個の八極電最終収束系を通過する。そして、通過してきたテールの粒

磁石で水平垂直双方のテールを集めることは非常に難しい。

子は Final Doublet でガンマ線を発生し、測定器へのバッ

そこで、２つの八極電磁石の距離を L だけ離して、極性

クグラウンド源となる。そこで、このようなコリメータでが逆符号で強さが同じ八極電磁石対を考える。平行ビーム切り落とせないテールを出来るだけ Final Doublet の中心が、この八極電磁石対を通過したとき、水平方向の粒子の図 4.2: 八極電磁石対を使ったビームテールのシミュレー
ション結果。八極電磁石対を使うことによってテール粒子
を Final Doublet の中心付近に集めることが出来る。
角度は、

θx = −Ko (x2−y 2 )x
+Ko [{x−Ko L(x2−y 2 )x}2 −{y+Ko L(x2−y 2 )y}2 ]×{x−Ko L(x2−y 2 )x}= −3Ko2 L(x2+y 2 )2 x

(4.3)

となる。同様に垂直方向も

θy = −3Ko2 L(x2+y 2 )2 y

(4.4)

となり、水平垂直方向共に八極電磁石の中心からの距離の四乗に比例した偏向角度が生じる。このような八極電磁石
対を Final Doublet から、ベータトロン位相が (2n+1/2)π離れたところに置くことによって、または、符号の逆の八図 4.3: ビームの取り出しラインのビーム光学系。(a) 交差
角が 2mrad の場合。(b) 交差角が 20mrad の場合。

極電磁石対を (2n−1/2)π 離れたところに置くことによって、Final Doublet でのテールを中心付近に集めることが偏極率測定器を置く空間が用意されている。そのような目出来る。

的で作られている取り出しラインであるが、図 4.3 を見てもらうとわかるように、交差角が 2mrad の場合と 20mradの場合ではビームラインの長さも含め大きく違ったものと4.2 衝突後のビームの取り出しなっている。

この節では取り出しラインでの低エネルギー粒子の運動

その一番の原因は、20mrad の交差角の場合は、その大を考える。図 4.3 には、現在考えている交差角が 2mrad ときな交差角の為、入射系の Final Double の中を通さずに20mrad 双方の ILC の取り出しラインのビーム光学系を示した。そして、図 4.4 には、交差角が 2mrad と 20mrad

ビームを取り出すことが出来るのに対して、2mrad の場

双方の測定器の出口付近のバックグラウンド粒子と電磁石の Final Doublet の中心から水平方向にズレた位置を通しの位置関係の相関を示した。ILC のビームの取り出しラて取り出さなければならない。そのため 2mrad の交差角

インの役割は、衝突後のビームのエネルギーを測定するこの場合、取り出されたビームは水平方向に Dispersion 関と、ビームの偏極率を測定すること、そして、ビームを大数を持ってしまう。

合は、衝突点を通過した後のビームは、幾何学的に入射系

きく広げてビームダンプへ運ぶという３つの役割がある。

衝突後のビームは Beamstrahlung による光子の放出、そのため、取り出しラインにはエネルギーを正確に測定す

Radiative Bhabha、Final Doublet での Synchrotron 放射などにより、エネルギー拡がりが大きく広がり、衝突前

る為のエネルギー分析器と、ビームの偏極を測定する為ののでなければならない。
このように、交差角の選び方によって、取り出しライン
は全く違うものとなり、取り出しラインを考える上では、

2mrad の小さな交差角の取り出しラインに比べて、20mradの大きな交差角の方が作りやすいものである。しかし、衝突後のバックグラウンドの問題は、2mrad の交差角の設定に対して、20mrad の方が楽であるかと言えば、必ずしもそうではない。20mrad の場合のバックグラウンドを含めた問題点については、次節以降に改めて説明したいと思う。

4.3 測定器のソレノイド磁場の影響と干渉
ILC の測定器には磁場の強いソレノイド電磁石が付いており、実際の最終収束ビーム光学系を考える際には、このソレノイド磁場との干渉を考えなければならない。特に有限の交差角 θc がある場合は、ビームは水平方向にオフ
セットと角度を持ってソレノイド磁場中に入射するが、そ
図 4.4: ビームの取り出しラインの様子。(a) 交差角がの水平方向の運動はソレノイド磁場により垂直方向にも回

2mrad の場合。(b) 交差角が 20mrad の場合。

り込むことになる。ここで、Ks L = BL/2B0 ρ ¿ 1 の理想

く受けて、大きく拡がったビームになってしまう。その結的なソレノイド磁場中の粒子の運動は、

1−Ks2 s2 /2 s−Ks2 s3 /4 Ks s
Ks s2


 −Ks2 s 1−Ks2 s2 /20
Ks s 
Ms (s) = 

2 3
2
2 2
s
/4
s
/2
s−K
−K
s
−K
s
1−K
s
s


s
s
0
−Ks s
−Ks2 s 1−Ks2 s2 /2(4.5)

果、 2mrad の取り出しラインでは、このビームサイズが大と書き表すことが出来るので [17]、ソレノイド電磁石を通きく広がったビームを損失無くダンプに導く為に、取り出過する際のビームの変位は、
−Lθc /4x(s) 0  { (
)
(
)}


x (s)

 = Ms L +s −MD L +s  θc /2  (4.6)
 y(s)
2
2
 0 


0
y 0 (s)の質の良いビームからは一変して、非常に質の悪いビームになってしまう。そのため 2mrad の交差角の場合は、入射系の Final Doublet の脇を通過する際に、水平方向に

Dispersion 関数や、Final Doublet の色収差の影響を大きしラインは非常に大口径の四極電磁石を使わなければならない。それゆえ、現在の取り出しラインを基にした試算では 2mrad の場合の電磁石および電磁石電源の製作コスト
は 20mrad の 5-6 倍にまで跳ね上がってしまっている。更
に、重心系エネルギーが 1TeV の運転の際の電磁石の消費
電力は 20mrad の交差角に対しては電子陽電子２本のビー
ムラインの合計が約 8MW であるのに対し、2mrad の交差角のものは約 62MW と試算されている [15]。
また ILC のビーム衝突では Beamstrahlung により大となる。ここで MD (s) はドリフト空間をビームが進行方
向に s だけ進んだときの Transfer Matrix である。よってs = 0 において、ソレノイド磁場による垂直方向の変位と角度は、量の光子が放出される。2mrad の交差角の場合、ビーム
中の荷電粒子は Final Doublet の脇を通過する際に発生すy (0) = 0

る水平方向の偏向力で軌道を変えられる。それに対して、

y 0 (0) = −(4.7)
0.3B[T] L[m]Ks Lθc=−θc
4
8E[GeV](4.8)

Beamstrahlung 光子は図 4.4(a) のように Final Doubletの脇を通過する際にも軌道は曲げられず、衝突点から鉛となり、衝突点では垂直方向に変位は生じない。また、理直線上に進む為、今の取り出しラインの設計では四極電

想的なソレノイドの場合はソレノイド磁場による垂直方向

磁石にあたってしまう。そこで、この問題を避ける為にのビームサイズへの影響も、は、取り出しラインの四極電磁石は大きいだけではなく、

Beamstrahlung 光子を避けられるような特殊な形状のも

2 2
2 2
σy2 (0) ∼σxi +2M31 M32 < xi x0i > +M32
σ x0 i= σy∗2 +M31

図 4.6: 逆向きソレノイドを入れたときの線形 knob を使ってビーム調整をした後の衝突点でのエミッタンス増大のシ
ミュレーション結果。

図 4.5: 測定器のソレノイド磁場の Final Doublet との干渉を補償するために測定器のソレノイドと逆向きにソレノイドを入れたときの様子。ここでは SiD タイプ [14] の測定器を仮定した。

10-15%の強さのソレノイド電磁石を使うことにより、測定器のソレノイド電磁石と Final Doublet との間の干渉の効果の約 99% が補償できることがわかった。
しかし、ビームサイズ補償用のソレノイド電磁石で完全()
Ks2 L2 L2 σx∗2 Ks2 L3Lσx∗2
Ks2 L4 σx∗2
∗2
∼
+
×
−
+
= σy +
4
4βx∗2
4
2βx∗2
16 βx∗2= σy∗2磁石には、測定器に使われるソレノイド電磁石磁場の約(4.9)にビームサイズを補償できる訳ではなく、その残り 1%程
度の補償しきれなかった効果がビームサイズ増大を引き起こしてしまう。この残留分は 3.6 節で示した通常の ILC での衝突点でのビームサイズの調整方法の流れの中で大部分となり無視できる。

は消すことが出来る。SiD タイプの測定器に対して、3.6

しかし、測定器の設計によって、その端部での磁場が浸節で示した線形要素の knob だけを使ってビームサイズ調

みだし Final Doublet の磁場との干渉が起こる場合は、こ整したときのシミュレーション結果を図 4.6 に示す。SiDの干渉の効果が、衝突点での垂直方向の位置の変位やビータイプの測定器では、ビームサイズ補償用のソレノイド電

ムサイズ増大を引き起こすので注意が必要である。そこで磁石での補償の残留分は、通常の ILC のビームサイズ調

実際の測定器近傍には、測定器に使われているソレノイド

整にもちいられるビームサイズ調整用の線形 knob だけ

磁場と逆向きの短いソレノイド電磁石をビームライン上にで、50GeV のビームに対しては σy /σy0 = 1.48 まで、そし

置き、Final Doublet との干渉の効果を補正することが不て、200GeV 以上のビームに関しては、その効果が無視で可欠になる。しかし、ソレノイド電磁石の効果は、単に水きる程度まで調整できる。また、残りのビームサイズへの

平垂直方向の相関を引き起こすだけではない。ソレノイド

影響の大部分は T322 であるので、六極電磁石を回転させ磁石を置くことは、式 (4.5) に示したように、ソレノイド

ることで調整することができる。このようなビームサイズ

磁石の中心位置に水平垂直方向にそれぞれ Ks2 ` の収束力

調整は、ビームサイズ補償用のソレノイド電磁石を入れたを生むことになる。その結果、付加的にソレノイド磁石をことに起因しておこなわなければならないものではなく、置くことは、そのことによりビームの焦点の位置や発散角

一般のビームサイズ調整の流れの中で同時におこなわれるをズラすことになる。そのため、ビームサイズ補償用のソものである。そのため、測定器のソレノイド磁場と Final

レノイド磁石は、単純に Final Doublet の位置のソレノイ

Doublet との間の干渉を補償する為に、ビームサイズ補償

ド磁場を打ち消すように置けば良い訳ではなく、測定器の用のソレノイド電磁石を導入することによるビーム調整でデザイン毎の綿密なシミュレーションによって、長さ、強の困難は生じない。

さ、置く位置の最適化をする必要がある。
ここでは、SiD と呼ばれるタイプの測定器に対する補正用のソレノイド電磁石のシミュレーションの結果を基に、4.4 DID と anti-DID

その効果を紹介していこう [17]。最適化されたビームサイ
ズ補償用のソレノイドの様子を図 4.5 に示す。シミュレー

前節では、ビームが有限の交差角をもって測定器のソレションの結論として、ビームサイズ補償用のソレノイド電

ノイド磁場へ入射しても、衝突点では垂直方向の変位を変られている [16]。実際の測定器のソレノイドでは、図 4.5に示されるような磁場がかかっていて、衝突点での垂直方向の偏向角度は、水平方向の磁場の積分値に比例するので、スピンの方向のズレを無くす為の条件は、∫ 0
ds (Bx,Sol. (s)+Bx,DID (s)) = 0(4.11)−∞とあらわすことができる。ここで、Bx,Sol. は測定器のソレノイドの水平方向磁場で、Bx,DID は補正に使う水平方
向磁場をあらわしている。ただし、闇雲に水平方向の偏向
電磁石を入れると、衝突点での角度は補正できるが、今度
図 4.7: 測定器のソレノイド磁場の影響の計算結果。補正は衝突点の位置をずらしてしまうことになる。そこで、衝の水平方向の磁場分布と垂直方向の変位。ここでは SiD タ

突点の位置もずらさない為には、∫ 0
ds s2 Bx,DID (s) = 0

イプ [14] の測定器を仮定した。
えないことを説明した。しかし、式 (4.8) で表したように、交差角の影響は垂直方向に有限の交差角を生むことによって表れる。衝突点周辺の水平方向の磁場と、それによる垂直方向のビームの変位の様子を図 4.7(a) に示した。ただし、図 4.7(a) を見てもらえばわかるように、ソレノイド磁場の影響で生じる衝突点での垂直方向の角度は、電子ビー
ム、陽電子ビーム双方が絶対値が同じで符号が反対の角度をもつ。したがって Luminosity への直接の影響はない。
しかしながら、この有限の交差角は幾つかの実験においては影響を与えることがある。その大きな影響の一つは、
電子ビームのスピンへの影響である。そして、特に注意しなければならないのは、電子ビームの偏極率測定である。
電子ビームの偏極率測定は、衝突点で直接おこなえないので、この効果は、衝突点でのスピンの偏極率と測定器の前後で測定されるスピンの偏極率に違いを生じさせ、スピンの測定値に系統的な誤差を生じさせる。ここでは、まず実際の影響を定量的にあたってみよう。高エネルギー粒子の場合、ビームの偏向角度 ψb とスピンの偏向角度 ψs との間には、

ψs = γg−2 ∼ E[GeV]
ψb =
ψb
2
0.440652(4.10)(4.12)−∞の条件も同時に満たす必要がある。図 4.7(b) には DID の
実際の測定器への応用の例として、SiD と呼ばれるタイ
プの測定器 [14] に対して２つの偏向電磁石を加えことに
よって衝突点での垂直方向の変位と角度がゼロになるように計算したものである。また図 4.7(a) から、DID を使わない場合は、電子陽電子の衝突では、２つのビームの偏向
角度は絶対値が同じで符号が逆なので正面衝突となることがわかって貰えると思う。反対に、電子電子ビームの衝突の場合は、符号も同じになるので正面衝突にはならず、

Luminosity の減少を引き起こしてしまうことがわかる。
一方、図 4.7(b) の DID を使った場合は、電子電子ビームに対しても正面衝突になっていることがわかって貰えると思う。しかし、現在の ILC の設計は、2.4 節に説明した

Disruption Parameter Dy を大きく取った設計になっているため、電子陽電子衝突ではビームの位置が僅かにずれていても、お互いに引き合うため、垂直方向の変位のズレに強い設計になっているが、反対に電子電子衝突の場合は、お互い反発し合うため２つのビームの変位に僅かなズレがあるだけで、ほとんど衝突しなくなる。すなわち、ビームの交差角という立場だけでは、DID を使うことによって電という関係があり、わずかな偏向角度でもスピンの角度は子電子ビームの場合も正面衝突をさせることができるが、大きく回転してしまう。例えば、SiD 測定器は最大磁場

実際の電子電子衝突を考える際には、大幅なパラメータのが 5T、測定器長が 6m なので、交差角 20mrad では、式変更が必要であることを、ここでは補足しておく。

(4.8) から 250GeV のビームに対する衝突点での垂直方向

実際に DID をビームラインに入れる際には、Final Dou-の偏向角は約 90µrad となる。この結果、偏極率測定器とblet の磁場との干渉や、測定器との物理的な干渉があるた
め、偏向電磁石をどこにでも置けるというわけではない。
実際の SiD 測定器に対して設計されている DID の様子を

衝突点の間には約 51mrad のスピンの角度の違いが生じてしまう。この値は、僅かな値のように感じるが、高エネル
ギー物理学者の中には、この角度を問題視する人達も存在

図 4.8 に示した。ここで注意が必要なのは、Final Doublet

する。

の四極電磁石が測定器のソレノイド磁場、および、DID とそこで、衝突点で垂直方向に交差角を持たせない為に、衝突点の間に入ってしまう為、Dispersion 関数 ηx,y が衝

DID (Detector Integrated Dipole) というアイデアが考え突点に発生してしまう。そのため、衝突点での位置や角度

図 4.9: anti-DID のときの測定器での磁場分布。
わってくる。ビームビーム対生成では、比較的エネルギー
図 4.8: 測定器のソレノイド磁場の影響と補正をあらわす模式図。ここでは SiD タイプ [14] の測定器を仮定した。

の低い荷電粒子が大量に生成される。そして、このようなエネルギーの低い荷電粒子は、測定器のソレノイド磁場に沿って運動する。また、交差角がゼロの時は、ソレノイド
磁場の向きはビームの進行方向と同じだが、有限の交差角だけでなく、Dispersion 関数も同時にゼロにしなければならない。これらの補正の為、ここでは Final Doublet の位置をずらして、偏向角度を付けたり、BXMID という新たな偏向電磁石を Final Doublet の QF と QD の間に置くことが必要になる。DID を使うことによって、衝突点での偏向角度を真っ直ぐに補正できるが、これはほんの僅かなスピンの偏極が大きな誤差を生むような幾つかの物理解析
や、電子電子衝突をおこなうときには非常に重要である。
しかし、最初に説明してきたように、衝突点での偏向角度
を真っ直ぐに補正しなくても Luminosity の減少には結びつかない。一方、DID を使うことによって、衝突点での水平方向の変位と角度を同時にゼロにすることは可能であるが、その調整には、Final Doublet の位置をずらしたり、
新たな偏向電磁石を挿入したりと、その調整自体が複雑であり、直接衝突点で偏極を測定できるわけでもないので、DID を導入することによるスピン操作のシステマチックも大きいのではないかと、個人的には杞憂を覚えている。
また、DID のように測定器中に水平方向の磁場を作ることを、別の効果に利用しようというアイデアも存在する。
それは anti-DID[18] と呼ばれるものであり、anti-DID のが存在する場合は、ソレノイド磁場の向きと、ビームの進
行方向の間で θc /2 だけ差が生じる。そのため、衝突点で生成された低エネルギーの荷電粒子は、測定器の全長を Lとすると、測定器の出口では Lθc /4 だけずれた位置に達する。これまで通り SiD 測定器を例にとり、実際の測定器への影響を定量的に考えると、測定器出口でのズレの大きさ
は 2mrad の交差角の場合は 3mm で、そのままビームパ
イプを通過することが出来る。しかし、20mrad の交差角の場合は 30mm となり、ビームパイプを通過できず、これが測定器へのバックグラウンド源となる。このように、ビームビーム対生成により生成されたエネルギーの低い荷電粒子を考えると、取り出しラインの場合とは逆で、交差角が小さいほど有利になる。
また、測定器で生成されたエネルギーの低い荷電粒子が、測定器の出口でビームパイプへ到達する為の条件は、∫ L/2
ds (Bx,Sol. (s)+Bx,DID (s)) = 0(4.13)0∫ 0
ds s2 Bx,DID (s) = 0(4.14)−∞

導入の理由は、スピンの向きに対する考慮ではなく、測定となる。ここで、式 (4.14) は、直接、低エネルギー粒子の器へのバックグラウンドに対する考慮から出た発想である。

バックグラウンドに関わる条件ではないが、入射粒子が衝

4.2 節でも説明したように、取り出しラインの観点からは、小さな交差角の取り出しラインに比べて、大きな交差

突点で垂直方向の変位を持たない為に必要な条件である。

角の方がバックグラウンドを生みにくいものであった。し場合の磁場の条件とほぼ逆になる。このような条件を満た

かし、ビームビーム対生成と呼ばれる Beamstrahlung にす磁場の例として、SiD 測定器に対する磁場のフラック

よって放出された光子が、ビーム衝突の際の強磁場中で対スの様子を図 4.9 に示した。衝突点から測定器の外のビー生成を起こした際に生成される荷電粒子の場合は状況が変

ムパイプの中心に向かって磁場のフラックスが伸びている

よって、anti-DID の条件を満たす磁場の要求は、DID のことがわかると思う。このように、交差角が大きい場合はい難いが、2007 年頭に KEKB への適用が予定されていanti-DID の技術を使うことにより、ビームビーム対生成によるエネルギーの低い荷電粒子の測定器への影響を抑えることが出来る。

る [11]。KEKB で試験される Crab 空洞と ILC のための

しかし、ここで注意しなければならないのは、anti-DID

Crab 空洞は空洞自体の技術は違うものだが、実機への適用という意味では、KEKB での適用を通して多くの経験が得られることを期待している。

の場合は、DID と逆向きにほぼ同じ大きさの磁場をかけ次に測定器へのバックグラウンドに関しては、2mrad のるので、衝突点での垂直方向の角度は DID 無しの場合に交差角に関しては、外場を使わない場合、DID を使う場比べて約２倍大きくなる。つまり、スピンの偏向角も２倍合は、ビームビーム対生成により生成される低エネルギー大きくなる。しかし、スピンのことを考慮に入れても、高粒子が測定器出口で問題を引き起こす可能性が示唆されてエネルギー物理学者には anti-DID に価値を見いだしていいる。しかし anti-DID を使用することにより、この問題る人は多数いる。

は避けられると考えられている。一方、20mrad の交差角

このように、最終収束系付近のビーム光学系を考えるに関しては、ビームビーム対生成により生成される低エネ

際には、加速器の観点だけではなく、高エネルギー物理学

ルギー粒子は問題にならないとされているが、今度は取り者が何を求めているか、ということが非常に重要になって出しラインで Beamstrahlung によるガンマ線が問題視さくる。その興味は人により異なり、要求もそれに応じて異れている。現在の 2mrad の交差角の設計では、取り出しなってくるので、最終収束系の設計をおこなう際には、高ラインの問題を解消する為に Beamstrahlung によるガンエネルギー物理学者の立場、加速器物理学者の立場双方をマ線と干渉しないような特殊な形状をした取り出しライン

照らし合わせて設計が進められている。

の四極電磁石の設計が必要である。
また、20mrad の交差角の場合に問題となった偏極率測定へのビームのスピンが測定器のソレノイド磁場で曲げら

4.5 交差角に対する纏めれることの影響を定量的に考えてみる。ソレノイド磁場にこれまで、いろいろな観点から、交差角の違いによる影響を説明してきた。そこで、これまで述べてきたさまざまな交差角の違いを表 4.1 に纏めた。
表 4.1: 交差角の違いの纏め。
2mrad

よるスピンの垂直方向の偏向角を θs 、偏極率測定器と衝突点との間の幾何学的な垂直方向のスピンの向きの差、および、その誤差を θp 、∆θp とすると、実際の衝突点でのス
ピンの大きさは、

20mrad

P = P0 cos(θs −θp )(4.15)

Luminosity の減少率
Crab 空洞無し 500GeV

0.929

0.266

定器と衝突点との間の幾何学的なスピンの方向の設定精度

Crab 空洞無し 1TeV

0.925

0.236

が充分小さいとしたとき、偏極率の測定精度は、√∆p=| tan(θs −θp ) | ∆θs2 +∆θp2 ∼(4.16)=| θs ∆θp |
p

3mm
6mm

30mm
60mm

と置くことが出来る。ここで、θp = 0、および、偏極率測

バックグラウンド
低エネルギー粒子
外場無しの出口位置

DID を使った時

anti-DID を使った時
0mm
Beamstrahlung 光子
取出磁石要改良0mm
問題無DID を使った時
anti-DID を使った時

ノイド磁場によるスピンの交差角が大きければ大きい程、スピンの測定精度は悪くなる。解析する物理のチャンネルにも依るが、ILC で要求されているスピンの測定精度は衝突点でのスピン
外場無しの偏向角度と置くことが出来る。式 (4.16) から分かるように、ソレ

5mrad
0mrad
10mrad51mrad0mrad
102mrad0.25%以下にすべきとされている。表 4.1 から、20mrad の交差角で anti-DID を使った場合が最も偏向角の大きいく、衝突点で 102mrad 変わってしまう。このとき、偏極率の測定精度 0.25%以下の条件を実現する為には、偏極率測定
器と衝突点との間の幾何学的な垂直方向のスピンの向きの

まず、Luminosity の観点からは、2mrad の交差角の場

設定誤差を約 25mrad 以下まで抑えなければならない。こ合は Crab 空洞の有無は大きな影響を与えないのに対して、の値を実現することは不可能ではないが、偏極率の測定精20mrad の交差角では Crab 空洞の技術が絶対に必要である。Crab 空洞自体は、未だ完成された技術であるとは言度に対して、更なる高い要求が出たときは対応が難しくなる。また DID を使うことにより、式 (4.16) で評価される

きないまま FFTB の実験は終了した。
その後、最終収束系の設計も進歩し、特に Local Chro-maticity Correction のアイデアが出たあと、リニアコライ
ダーの最終収束系の設計は一気に新しい Local Correctionを基調としたものへと移行していった。更に、それまで世界各国で提唱されてきたリニアコライダーの計画も、現在では ILC (International Linear Collider) として統一され、国際協力のもと ILC の実現に向けて努力が進められている。そこで、設計や調整方法も FFTB の時代から一新された ILC での最終収束系の実証実験を求める声が拡がった。その声に応えて、高エネルギー加速器研究機構のATF (Accelerator Test Facility) で、2008 年より Local
Correction を基調とした ATF-II と呼ばれる ILC の為の
図 5.1: ATF-II のビーム光学系。

最終収束ビーム光学系の実証実験が始められようとしている [8]。

偏極率の測定精度は上がるが、今度は DID 自体の調整制
度が偏極率測定の系統誤差に効いてくる。その辺りも充分

表 5.1: ILC の最終収束系と、FFTB、ATF-II のパラメー考慮した上で DID の利点は考えなければならない。

タの比較。
Parameters

また、本稿では現在の ILC の基本設計である 2mrad と

ILC

FFTB

ATF-II
1.3

Ebeam [GeV]

250 / 500

46

2 × 101 × 10−5

10のデメリットを最小限に抑える為、若干交差角を少なくしNbunchγεx [radm]10

5 × 103 × 10−5

1 × 1010
3 × 10−6

た 14mrad の交差角や、2mrad の改良型として正面衝突

γεy [radm]

4 × 10−8

2 × 10−6

3 × 10−8βx∗ [mm]βy∗ [mm]∗

21 / 30
0.4 / 0.3

3.0
0.1

4.0
0.1

L [m]

3.5 or 4.3

1.5

1.0

σx∗ [µm]σy∗ [nm]0.66 / 0.55
5.7 / 3.5

1
47

2
37

20mrad の２つの場合のみに焦点を当て議論を重ねてきた。
しかし、2mrad と 20mrad の基本設計以外にも、20mradの測定器周辺の設計なども並行しておこなわれている。

5 ATF-II 計画
FFTB (Final Focus Test Beam) と呼ばれる計画が、1994 年から 1997 年にかけて SLAC でリニアコライダーの為の最終収束ビーム光学系の試験としておこなわれた[2, 3]。FFTB は Global Chromaticity Correction 型の光ラメータを表 5.1 に纏めた。表 5.1 を見てもらうとわかる

学系を使い、ビームサイズを垂直方向に 47nm まで絞れるようにビームのエネルギーの違いこそあれ、ATF のビー

ILC の最終収束系と FFTB、ATF-II の最終収束系のパ設計である。FFTB の実験では、最終的に約 70nm まで

ムのエミッタンスは、ILC のビームエミッタンスと同等以ビームを絞ることに成功した [3]。しかし、この約 70nm

上の性質を持っている [7]。そのため、最終的に焦点で収という値は、それ自体は世界最小のビームサイズである

束できるビームサイズは、ILC の最終収束系には及ばない

が、設計値の 47nm に比べて大きい値である。この設計値

ものの、ビームのエネルギーが格段に低いにもかかわらずと測定値の違いの原因は、ビームジッターの影響であると

FFTB と同等の値になっている。

の見解もある。しかし、本当の理由は FFTB で使われた

ATF-II のビーム光学系を図 5.1 に、ATF-II の配置図を図

ビームサイズモニターは一回のパルスで測定できるタイプ
ムサイズを測定するタイプのモニターであったため [19]、5.2 に示した。図 5.1 を見てもらうとわかるように、ATF-IIのビーム光学系は、ILC の最終収束ビーム光学系に非常に近い形で、ビームの収差を補正する方式を採用している。

ビームジッターが原因であると断言することは難しい。例

また、ILC と ATF-II に要求されている電磁石の磁場誤差

えば、非線形成分を含めたビーム調整が不完全であるためやアライメント精度の要求を図 5.3 に示した。これらの要に、ビームサイズが膨れてしまっているという可能性も否

求を比較すると、ATF-II に要求される電磁石の磁場誤差定できない。成功も収めたが、僅かながらの問題も解決でやアライメント精度は ILC と同程度であることがわかる。

のモニターではなく、幾つかのパルスを重ね合わせてビー

図 5.2: ATF-II の配置図。配置図上部のビームラインの内、長く伸びているラインが最終収束系を含んだ ATF-II のビー
ムラインとなる。短いラインは既存の ATF の取り出しラインとなる。
また、ビーム調整方法も ILC と同様の方法を採用する為、ATF-II でのビーム調整の難易度も、ILC でのビーム調整の難しさと同程度である。これらを考えると、ATF-II は

6 まとめ
現在の ILC の最終収束系のパラメータは出来る限り Lu-

ILC の最終収束系の実現に向けた非常に良い試験装置であることがわかると思う。

minosity が高く、出来る限り Beamstrahlung によるエネ
ルギー損失も抑えた形で最適化されている。そのようなパラメータのビーム光学系をつくる為、ILC では Local

また、残念ながら ATF-II でも FFTB と同様にシングル
ショットで衝突点のビームサイズを測定できるビームモニ

Chromaticity Correction を基調としたビーム光学系を使用する予定である。この Local Correction を使った最終

ターを置くことは出来ない。しかし、ATF-II では 高精度

収束系は、旧来の Global Correction による最終収束系にのビーム位置モニターを使うことにより、ビームジッター

対して、全長が短くなり、L∗ も長くとることが出来て、エの詳細な研究を進めたり [20]、Feedback を使ってビーム軌

ネルギーのバンド幅が広く、ビームハローが拡がらないと道を安定させることにより、ビームジッターの影響が無いいう利点がある。

状態でビームサイズを測定することを可能にしている。ここのように最適化された最終収束ビーム光学系の試験

れらの情報を総合的に判断して、FFTB の実験で完全な結は、高エネルギー加速器研究機構の ATF-II と呼ばれる試論が出なかったビームサイズの設計値と測定値の差の問題

験施設を使い、2008 年から国際協力の形で始められる予定が起こらないように研究を進める予定である。また FFTB

である。ATF-II のアライメント精度やビーム調整の難易は SLC の実験の間の 1-3 週間の短いビームタイムを使い度は ILC の最終収束系の難易度と同等である。そのため進められた実験であったのに対して、ATF-II では長期運

ILC の最終収束系に必要とされるビーム調整技術や、ビー転が可能である。その為、ビームサイズやビーム位置の長ム診断装置の開発は ATF-II の経験を基に更に洗練されて期安定性や長期 Feedback の研究にも適した装置である。

いくことを期待している。
最終収束系の周辺に目を移すと、現在一番問題となって最後に ATF-II は、日本を中心としたアジア、アメリカ、

いるのは、衝突点での交差角である。交差角を小さく取る

ヨーロッパの三極連携のもと設計、加速器コンポーネントと取り出しラインの設計が難しくなり、反対に交差角を大の製作が進められている。そして、建設後の運転も日本をきく取ると Crab 空洞や anti-DID といった現在まだ実機

ホスト国とした国際協力のもと進められることになる。こでの試験が終わっていない装置に頼った設計にならざるをのような運営の方式についても ILC を睨んだ国際協力の得ない。これらの設計は、加速器物理の観点からだけでな

一つのモデルケースになることを期待され、世界中から注く、測定器を含んだ高エネルギー物理学者の観点からの意

目をされている。

見も広く取り入れて、更に最適化を進めていく必要がある。

図 5.3: ILC の最終収束系と ATF-II の電磁石に対する許容値。

謝辞[8] ATF2 Proposal, KEK Report 2005-2.
[9] K.Oide, Phys.Rev. Lett. 61, 1713 (1988).

本稿を書くに辺り、多くの加速器の勉強をする機会を得ました。このような機会を頂いた神谷幸秀加速器施設長、佐藤康太郎主幹、横谷馨リニアコライダー推進室長、および、古屋貴章教授に感謝いたします。また、本稿執筆に関[10] M.McAshan et al., FERMILAB-TM-2144 (2001).
[11] K.Hosoyama et al., SRF2005, Cornell University(2005).

わる時間を頂いた浦川順治教授をはじめとする KEK-ATF[12] P.Chen, Phys. Rev. D, 46 1186 (1992).

全スタッフ、本稿を書くに辺り助言を頂いた黒田茂氏、田内利明助教授、本田洋介氏には、この場を借りて感謝致し[13] K.Yokoya and P.Chen, Lecture Notes Physics, 400
415 (1992).

ます。

[14] J.Brau et al., DESY-PROC-2004-01.
[15] D.Angal-Kalinin et al., BDS Report, VLCW06, Van-

参考文献
[1] 山本昇, OHO’95 VII-1.
[2] M.Berndt et al., SLAC-REF-376 (1991).
[3] V.Balakin et al., Phys. Rev. Lett., 74 2479 (1995).

couver (2006).
[16] B.Parker and A.Seryi, Phys. Rev. ST-AB 8 041001(2005).
[17] Y.Nosochkov and A.Seryi, Phys. Rev. ST-AB 8021001 (2005).

[4] P.Raimandi and A.Seryi, Phys. Rev. Lett., 86 3779
(2001).

[18] A.Seryi et al., SLAC-PUB-11662 (2006).

[5] GLC Project Report (Roadmap)
http://lcdev.kek.jp/ProjReport/ (2003).

[20] 本田洋介, OHO2006.

[6] Baseline Conﬁguration Document,
http://www.linearcollider.org/wiki/doku.php .
[7] ATF Design and Study Report, KEK Internal95-4.

[19] T.Shintake, Nucl. Instru. Meth. A311 455 (1992).