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助成番号 １６０５６１
研 究 成 果 報 告 書（国立情報学研究所の民間助成研究成果概要データベース・登録原稿）
研究テーマ（和文） ＡＢ

混合フロベニウス構造の深化と応用

研究テーマ（欧文） ＡＺ

Study of mixed Frobenius structure and its applications

研
究氏
代表名
者

ｶﾀｶﾅ ＣＣ姓）ミナベ名）サトシ

研究期間 Ｂ

２０１６ ～ ２０１７ 年

漢字 ＣＢ

三鍋聡司

報告年度 ＹR

２０１７ 年

Satoshi

研究機関名

東京電機大学

ﾛｰﾏ字 ＣＺ Minabe

研究代表者 ＣＤ
所属機関・職名

東京電機大学工学部・准教授

概要 ＥＡ (600 字～800 字程度にまとめてください。)
ミラー対称性、特異点理論、可積分系といった研究分野において、フロベニウス構造というものが基本的である。本研
究のテーマは、その一般化（混合化）である混合フロベニウス構造である。混合フロベニウス構造の一般理論を整備し、関係する諸分野への応用を探ることを目標とした。（混合）フロベニウス構造の下部構造である平坦構造（これを斎藤構造と呼ぶ）に着目した。（混合）フロベニウス構造は、斎藤構造に付加構造が加わったものなので、まずは斎藤構造を十分に理解することが必要である。最近新しく発見された斎藤構造の重要な例として、複素鏡映群の軌道空間がある。実鏡映群の軌道空間上に標準的なフロベニウス構造が存在することは１９７０年代から知られていた。複素鏡映群の場合は、2016 年に加藤・眞野・関口が、duality group と呼ばれるクラスの複素鏡映群の軌道空間上に斎藤構造が存在することを示した。この結果に触発され、複素鏡映群の軌道空間上の斎藤構造について、フロベニウス構造の概双対性の観点から研究した。概双対性とは、フロベニウス構造について一般的に成り立つ双対性である。我々は、齋藤構造に対して概双対性を定式化し、 その観点から加藤・眞野・関口の構成がいかに捉えられるかを明らかにした。さらに、応用として、全ての有限既約複素鏡映群に対して、自然な齋藤構造の存在と一意性の問題について解答を与えた（小西、白石両氏との共同研究）。（混合）フロベニウス構造以前の斎藤構造のレベルでかなりの一般論が展開でき、興味深い例が得られたことは、大きな収穫であった。この研究は可積分系や超平面配置の理論と密接に関係しており、今後さらなる発展が期待できる。以上の研究結果についてまとめた論文は、Journal of IntegrableSystems に掲載された。この他に、以前執筆した箙多様体に関する論文と、混合フロベニウス構造と局所量子コホモロジーに関する論文を改訂して論文誌に投稿した。前者は SIGMA(Symmetry, Integrability and Geometry: Methodsand Applications)に掲載された。後者は Kyoto Journal of Mathematics に掲載が決定した。また、対数的(混合)ホッジ理論を主テーマとする研究集会「ホッジ理論と代数幾何学」を開催した。この集会では、ホッジ理論の最新の結果が発表されるとともに、数論やミラー対称性との関連が活発に議論され、混合フロベニウス構造の研究を進めていく上で大変有意義であった。

キーワード ＦＡ

フロベニウス構造

斎藤構造

複素鏡映群

（以下は記入しないでください。）
助成財団ｺｰﾄﾞ ＴＡ

研究課題番号 ＡＡ

研究機関番号 ＡＣ

シート番号- 1 -概双対性

発表文献（この研究を発表した雑誌・図書について記入してください。）
論文標題ＧＢ

Almost duality for Saito structure and complex reflection groups

著者名 ＧＡ

Y.Konishi,S.Minabe, Y.Shiraishi

雑誌名 ＧＣ

Journal of Integrable Systems

ページ ＧＦ

１～４８

発行年 ＧＥ

２

雑誌

０

論文標題ＧＢ

A combinatorial study on quiver varieties

著者名 ＧＡ

S.Fujii
S.Minabe

１８

巻号 ＧＤ

３

雑誌

ページ ＧＦ

１～２８

and 雑誌名 ＧＣ
発行年 ＧＥSIGMA (Symmetry, Integrability and Geometry: Methodsand Applications)
２０

１

論文標題ＧＢ

Mixed Frobenius structure and Local A-model

著者名 ＧＡ

Y.Konishi and S. 雑誌名 ＧＣMinabe

７

巻号 ＧＤ

１３− ０５２

雑誌

ページ ＧＦ～Kyoto Journal of Mathematics (to appear)

発行年 ＧＥ

巻号 ＧＤ

発行年 ＨＤ総ﾍﾟｰｼﾞ ＨＥ

発行年 ＨＤ総ﾍﾟｰｼﾞ ＨＥ

著者名 ＨＡ
図書

書名 ＨＣ
出版者 ＨＢ
著者名 ＨＡ

図書

書名 ＨＣ
出版者 ＨＢ

欧文概要 ＥＺ
The aim of this research project was to study (mixed) Frobenius structures, which are structures on
the tangent bundles of manifolds consisting of flat metrics, multiplications and nonzero vector fields.
Let us focus on their underlying flat structures, called Saito structures. They consist of atorsion-free flat connection and a multiplication on the tangent bundle together with a nonzero vector
field. If a Saito structure admits a compatible (graded) metric, it makes a (mixed) Frobenius structure.
Recently,Kato,Mano and Sekiguchi showed that there exist polynomial Saito structures on the orbit spacesof a certain class of complex reflection groups called the duality groups. These form an important newclass of Saito structures. We studied these Saito structures in detail from the viewpoint of almost
duality. Dubrovin showed that given a Frobenius structure, one can construct an almost Frobenius
structure and vice versa. He called it the almost duality. We extended Dubrovin's almost duality toSaito structures. Then we formulated and studied the existence and uniqueness problem of the natural
Saito structure on the orbit spaces of finite complex reflection groups from the viewpoint of the almostduality. We gave a complete answer to the problem for the irreducible groups. These results are obtained
jointly with Konishi and Shiraishi.The paper has been published in Journal of Integrable Systems. We
believe that our result has a fundamental nature and hope to expand it in the near future in relation
with integrable systems and the theory of hyperplane arrangements.

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