４−１ 加速器のビーム調整（下崎）（前半）ビーム調整のための、ビーム物理の基礎（後半）電子蓄積リングにおけるビーム調整例

2020年9⽉8⽇ ⾼エネルギー加速器セミナーOHO’20

1

前半の概要：１ 加速器とは
２ なぜ加速器調整が必要か
３ 主な加速器の構成機器
４ （ビーム物理に入る前の）予備知識
５ ビーム物理の基礎
・ シンクロトロン振動について
・ ベータトロン振動について
・ エラーがない場合
・ エラーがある場合
2

加速器とはビームとは： （ここでは）指向性のある荷電粒⼦の集団加速器とは： ビームを加速する装置
加速器の種類：
静電型加速器： タンデム型、コッククロフト-ウォルトン型
線形加速器：
RFQ、ドリフトチューブLINAC、円形加速器：サイクロトロン、シンクロトロン、蓄積リング、ベータトロン、マイクロトロン など
加速器の⽤途：・素粒⼦実験（ニュートリノ振動、ヒッグス）
・原⼦核実験（ニホニウム）
・癌治療
・2次粒⼦⽣成（中性⼦など）とその利⽤・放射光を⽤いたタンパク質などの構造解析（創薬等）

他
3加速器の例
J-PARC

LIPAc @ QST六ヶ所核融合研究所

4

前半の概要：１ 加速器とは
２ なぜ加速器調整が必要か
３ 主な加速器の構成機器
４ （ビーム物理に入る前の）予備知識
５ ビーム物理の基礎
・ シンクロトロン振動について
・ ベータトロン振動について
・ エラーがない場合
・ エラーがある場合
5加速器調整で何をするか加速器調整で何をするか：（１）ユーザー実験の条件を変えないために・ ビーム強度の安定化
・ ビーム軌道の安定化
・ ビーム形状の安定化などを⾏う（ビームの再現性）。
（２）ビームロスは・ 機器の故障・ 機器の放射化を招くので、・ ビームロスの抑制・ ビームロス発⽣箇所の局所化などを⾏う。

故障した「放射化した取出セプタム磁⽯」（３）加速器の⾼度化に向けた試験を⾏う。
・ ビームサイズの低減や成形・ ビーム電流の増強
・ 運転経費の低減
・ 「故障による運転停⽌時間」の低減 など
6

4

CIRCUMFERENCE VARIATIONConverting the rf frequency into the circumference, we get

ビーム軌道安定化の必要性
M. Figure
Takao, T.
the circumference variation shown in
3. Shimada,At first
EPAC2000, pp.1572（例）・気温変化や潮汐による地⾯の膨張•収縮
・地盤の沈下や隆起

Hybrid Optics: 1997/03-1999/07
HHLV Optics: 1999/09-2000/06

加速器の周⻑が変わる。

→ ビームの軌道やビームのエネルギーが変わる。

Circumference [m]→1435.951

1435.950

rin
darin
ing
dryeli
nu
exp
da
co

1435.949

2001/01

2000/01

1999/01

1998/01

1997/01

1435.948→ （ユーザー視点）放射光の出射される位置や放射光のエネルギーが変化
Figure 3: Long term variation of the circumference of theするのは、ユーザー実験SPring-8 storage ring. The solid line is the expected cirにとって嬉しくない。
cumference change from the seasonal temperature variation and the shrinkage of the concrete foundation.

（加速器側視点）ビームや放射光が、装置の予期せぬ所に当たると、
Proceedings of EPAC 2000, Vienna, Austria
装置が壊れるかもしれないので嬉しくない。
→ 定期的にビーム軌道やビームエネルギーの監視、補正を⾏う 。

7rinfousuplatThob前半の概要：
１ 加速器とは
２ なぜ加速器調整が必要か
３ 主な加速器の構成機器
４ （ビーム物理に入る前の）予備知識
５ ビーム物理の基礎
・ シンクロトロン振動について
・ ベータトロン振動について
・ エラーがない場合
・ エラーがある場合
8偏向電磁石・いわゆる双極電磁⽯。
・円形加速器ではローレンツ⼒でビームの軌道を曲げるために必要。
偏向電磁⽯

偏向電磁⽯v
ローレンツ⼒S
電子

N「相対論領域の電子ビーム」を磁場で曲げると、接線方向に放射光が出るので放射光源でもある。

S電子

y放射光

xN

9

四極電磁石・四極電磁⽯は線形磁場を発⽣させる。
・ローレンツ⼒でビームを収束（発散）させるレンズの役割。
四極電磁⽯の磁場分布例

X⽅向に収束、y⽅向に発散⽤の四極電磁⽯（NとSを反転させるとxに発散、yに収束）

NSv
eビーム

N

S
yx
収束⽤
四極電磁⽯

発散⽤

収束⽤

10

六極電磁石・クロマティシティ（⾊収差）を補正するために必要。
X⽅向に収束、y⽅向に発散⽤の六極電磁⽯（NとSを反転させるとxに発散、yに収束）

四極電磁⽯
ビーム

エネルギーの⾼いビームは曲がりにくい

エネルギーの低いビームは曲がりやすい

N
S

S
e-N

N

六極電磁⽯

v

エネルギーの違いにより ⾼エネルギーのビーム偏向電磁⽯で軌道を分けて六極磁場で⾊収差を補正する。
低エネルギーのビームSy

六極磁場（=2次関数）x

低エネルギーのビームには発散向きの磁場勾配

⾼エネルギーのビームには収束向きの
x 磁場勾配11高周波加速空洞
・空洞内で電磁場を反射させて共鳴状態にする→ 空洞内にエネルギーを蓄える。
・空洞内を通過したビームにエネルギーを与える。

12

真空ダクト、真空ポンプ、真空計
ビームが残留ガスと衝突すると散乱されてビームは失われる。
→ 真空ダクト、真空ポンプで超⾼真空に保つ。真空計で監視する。

ビームモニター
加速器調整のためには、ビームの量、位置、形状などを調べる必要がある→ 様々なビームモニターが使⽤される（今年度のOHOのテーマ）。

コレクター
ビームモニターで観測された現象を制御するために様々なコレクター（ステアリング、補正四極、⾼周波加速空洞…）が使⽤される。

挿入光源
単⾊で明るい光を作るための装置。
13

前半の概要：１ 加速器とは
２ なぜ加速器調整が必要か
３ 主な加速器の構成機器
４ （ビーム物理に入る前の）予備知識
５ ビーム物理の基礎
・ シンクロトロン振動について
・ ベータトロン振動について・ エラーがない場合
・ エラーがある場合
14よく使う関係式について

L
運動量pを持つ理想粒⼦が距離Lを速度vで進む時間をtとする：t =v
dL Ldv
１ 微分する： dt = v − v 2Δt ΔL Δv=−２ 元の式で割る：
tLv
Δv
1 Δp=
３ p = gmvを微分して元の式で割る： v
γ2 pΔLΔp
４ 距離の差と運動量の偏差との関係を次式で与える：=αLp以上から運動量偏差と移動時間差の関係式
Δt
1 Δp= (α − 2 )tγ pv

周⻑Lp + DpLpL + DLa: 加速器で決まる係数(momentum compaction factor)を得る。同様にするとΔp1 ΔE=・運動量偏差とエネルギー偏差の関係式：
pβ2 EΔfΔT=−・周期差と周波数差の関係式：
fTを得る。（重要）⾚枠3つの式はビーム物理や加速器調整でよく使う式である。 15

座標系について・ここでは、リングの外向きをx > 0、上向きをy > 0、進⾏軸で右⼿系を考慮した⽅向をs > 0とする。
ysx

・ベータトロン振動については、時間tのかわりに位置sを独⽴変数として⽤いる。
𝑥" =𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑥/𝑑𝑡 𝑣)===
𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑠/𝑑𝑡 𝑣*単位：rad𝑣)
𝑣*
16

調和振動
調和振動の微分⽅程式：x′′ + Kx = 0解）

調和振動の軌道：𝑥 𝑠 = 𝐴 cos 𝜙 𝑠 + 𝜙1

𝑥 𝑠 = 𝐴 cos 𝜙 𝑠 + 𝜙1

𝜙 𝑠 = 𝐾𝑠𝑥 " 𝑠 = −𝐴 𝐾sin 𝜙 𝑠 + 𝜙1

振幅は定数

位相空間(x, x’)での軌道は𝑥6𝑥′6+=1𝐴6 𝐴6 𝐾で与えられる。
位相空間(x, x’)での軌道x'周波数も定数𝐴 𝐾xA
・⾯積pA2Kの傾いていない楕円・楕円の形は変わらない

17調和振動における粒子集団の挙動について
調和振動にまず1粒⼦を与えた場合、粒⼦はターンごとに
𝑥6𝑥′6+=1
𝐴6 𝐴6 𝐾

6th
5th
4th

7th
1st

3rd

2ndの楕円の上を動く。
では1粒⼦ではなく粒⼦集団を与えた場合は？
粒⼦集団を楕円上に⼀様に与えた場合、時間が経っても粒⼦集団は動かないように⾒える（個々の粒⼦は動いている。
マッチング状態）。

1st

2nd

3rd

粒⼦分布が楕円と⾮相似だが重⼼は⼀致している場合、原点(x, x’) = (0, 0)を中⼼に粒⼦分布全体が回転する（四極振動）。

1st

2nd

3rd

粒⼦分布の重⼼が原点(x, x’) = (0, 0)からずれた場合、粒⼦分布の重⼼が原点(x, x’) = (0, 0)を中⼼に回転する（ダイポール振動）。

1st

2nd

3rd

18

前半の概要：１ 加速器とは
２ なぜ加速器調整が必要か
３ 主な加速器の構成機器
４ （ビーム物理に入る前の）予備知識
５ ビーム物理の基礎
・ シンクロトロン振動について
・ ベータトロン振動について
・ エラーがない場合
・ エラーがある場合
19加速器の原理について
⼀般の粒⼦は、位相空間（位置、運動量、時間、エネルギー）でばらつきを持つ。
加速器内に閉じ込めて安定に加速できるのはなぜか？
→ シンクロトロン振動とベータトロン振動があるからこれらの基礎について講義を⾏う。
X⽅向粒⼦分布Y⽅向粒⼦分布

時間⽅向粒⼦分布20

前半の概要：１ 加速器とは
２ なぜ加速器調整が必要か
３ 主な加速器の構成機器
４ （ビーム物理に入る前の）予備知識
５ ビーム物理の基礎
・ シンクロトロン振動について
・ ベータトロン振動について
・ エラーがない場合
・ エラーがある場合
21

非相対論領域でのシンクロトロン振動
非相対論領域では、理想粒子よりエネルギーが高い（低い）粒子は理想粒子より速い（遅い）。
→ 理想粒子が1周するよりも先に（後に）到着する。

ΔE：理想粒子からのエネルギーのずれ

ΔE

理想粒子

ΔE

ringss

⾼周波加速空洞の位置でエネルギーが⾼い（低い）粒⼦を減速（加速）するように、１ 粒⼦の周回周波数(f)と電圧の周波数(frf)で同期をとって（ fRF = hf, h: harmonic number）
２ 電圧の位相を調整すれば、理想粒⼦の周りでエネルギーの⾼低が⼊れ替わり続ける＝ シンクロトロン振動

Vrf
加速f
減速
⾼周波加速空洞22

相対論領域でのシンクロトロン振動
相対論領域では、理想粒子よりエネルギーが高い（低い）粒子は理想粒子より重い（軽い）。 光速なので速さは一定。
→ 理想粒子が1周するよりも後に（先に）到着する。

ΔE：理想粒子からのエネルギーのずれ

ΔE

理想粒子

ΔEringss

⾼周波加速空洞の位置でエネルギーが⾼い（低い）粒⼦を減速（加速）するように、１ 粒⼦の周回周波数(f)と電圧の周波数(frf)で同期をとって（ fRF = hf, h: harmonic number）
２ 電圧の位相を調整すれば、理想粒⼦の周りでエネルギーの⾼低が⼊れ替わり続ける＝ シンクロトロン振動

Vrf
加速f
減速

⾼周波加速空洞23

ΔE

シンクロトロン振動の式
シンクロトロン振動の微分⽅程式：
dΔE= eV {sin (ϕ0 + Δϕ) − sin ϕ0}
dnn: ターン数dΔϕ1ΔE= 2π α − 2 h 2f0：同期位相（理想粒子がいる位相）(dnγ ) β E
DE：理想粒子からのエネルギーのずれ

sVrf

ff0 f0 + Df

Df：理想粒子からの位相のずれ

初期条件を変えながら微分⽅程式を解くと軌道が4つのパターンに分かれる。
電⼦の場合理想粒⼦の加速無し(sin f0 = 0)11α− 2 < 0α− 2 > 0γγ

電⼦の場合

64444220-20-2-4f = wrft

020-2-4-6-600 -500 -400 -300 -200 -100x label

DE /yElabel(%)

6DE /y label
E (%)

6y label
DE / E(%)

DE /yElabel(%)

6理想粒⼦の加速有り (sin f0 ≠ 0)11
α− 2 > 0
α− 2 < 0γ
γ

f = wrft

00-2-4-6-600 -500 -400 -300 -200 -100x label

2-4-6-600 -500 -400 -300 -200 -100
x label

0f = wrft

こちらの図を使って運動の性質を説明する-6-600 -500 -400 -300 -200 -100
x labelf = wrft

240

シンクロトロン振動の性質
2

下図のシンクロトロン振動の場合、振り⼦の運動⽅程式と式が同じになる。d 2x = −ω 0 2 sin x
振り⼦の運動には2種類

不安定不動点セパラトリクス

5DE y/label
E (%)

回転振動

dt

たわまない⽷

0

安定不動点

-5

重り

-600 -500 -400 -300 -200 -100

0x labelf = wrft

・ 振動運動の場合、安定不動点の周りで位相が閉じるので「安定な運動」とみなす。

不動点が2種類
たわまない⽷不安定不動点安定不動点・ 回転運動の場合は、不安定不動点から少しでも重りを動かすと位相が無限に移動するので「不安定な運動」とみなす。
・「安定な運動」と「不安定な運動」の境界をセパラトリクスと呼ぶ。
25

シンクロトロン振動の性質
下図のシンクロトロン振動の場合、振り⼦の運動⽅程式と式が同じになる。
周波数について・調和振動の場合、周波数は振幅によらず⼀定

2d x2=−
ωx02dt

・振り⼦の運動（セパラトリクス内）の場合周波数は振幅に依存する。 d 2 x2dt

= −ω 0 sin x2

initial

粒⼦分布の時間発展例
25th

50th

75th

100th

200th

300th

400th

500th

1000th2000th3000th周波数 vs. 振幅

セパラトリクス26シンクロトロン振動の性質
粒⼦分布の時間発展例

周波数について・調和振動の場合、周波数は振幅によらず⼀定

2d x2=−
ωx02dt

・振り⼦の運動（セパラトリクス内）の場合周波数は振幅に依存する。 d 2 x2dt

2= −ω 0 sin x

周波数 vs. 振幅

initial1000th2000th⼊射ビームを⼩さくした場合、周波数の振幅依存性は⾒えにくくなる。
initial1000th2000th

同じ⼩さい⼊射ビームでも、⼊射点が安定不動点から離れるとビームはばらける。
initial

セパラトリクス

1000th2000th27

前半の概要：１ 加速器とは
２ なぜ加速器調整が必要か
３ 主な加速器の構成機器
４ （ビーム物理に入る前の）予備知識
５ ビーム物理の基礎
・ シンクロトロン振動について
・ ベータトロン振動について
・ エラーがない場合
・ エラーがある場合
28ベータトロン振動について
シンクロトロン振動は進⾏軸⽅向（時間-エネルギー空間）の運動。
ベータトロン振動は進⾏軸に対して垂直⽅向の運動。
無摂動のベータトロン振動の微分⽅程式を x′′ + Kx(s)x = 0と定義する。

円形加速器の場合、リング1周すると元に戻るので Kx(s + C) = Kx(s) と周期性を持つ。

x′′ + Kx(s)x = 0

Kx(s + C) = Kx(s)

収束⽤四極電磁⽯ @ s = sn-1

𝐵′;𝐾) 𝑠9:; =𝐵𝜌
𝐵′;
𝐾? 𝑠9:; = −𝐵𝜌

C：周⻑Hill’s equationと呼ぶ。
（y⽅向も同様）

発散⽤四極電磁⽯@ s = sn

𝐵′6𝐾) 𝑠9 = −𝐵𝜌
𝐵′6𝐾? 𝑠9 = −𝐵𝜌

偏向電磁⽯@ s = sn+1𝐾) 𝑠9>;

1= 6
𝜌1𝐾? 𝑠9>; = 0𝑑𝐵?
𝐵′ =𝑑𝑥𝑝
𝐵𝜌 =𝑒r0: 曲率半径29Hill’s equation
調和振動 x′′ + Kx = 0 の場合：

Hill’s equation 𝑥 "" + 𝐾 𝑠 = 0 の場合：

𝑥 𝑠 = 𝐴 cos 𝜙 𝑠 + 𝜙1𝑥 𝑠 = 𝜖𝛽 𝑠 cos 𝜙 𝑠 + 𝜙1解）

𝜙 𝑠 = 𝐾𝑠解）

*𝑑𝑠′
𝜙 𝑠 =C1 𝛽 𝑠′

振幅はsによらず⼀定振幅がsの関数

周波数もsによらず⼀定周波数もsの関数

b(s): ベータ関数
b(s + C) = b(s)30Hill’s equation
調和振動 x′′ + Kx = 0 の場合の解：

Hill’s equation 𝑥 "" + 𝐾 𝑠 = 0 の場合の解：𝑥 𝑠 = 𝐴 cos 𝜙 𝑠 + 𝜙1𝑥 𝑠 = 𝜖𝛽 𝑠 cos 𝜙 𝑠 + 𝜙1𝑥 " 𝑠 = −𝐴 𝐾sin 𝜙 𝑠 + 𝜙1𝑥′ 𝑠 =位相空間(x, x’)での軌道は𝑥 6 𝑥′6+=1
𝐴6 𝐴6𝐾1𝜖𝛽′ 𝑠 cos 𝜙 𝑠 + 𝜙12 𝛽 𝑠𝜖−sin 𝜙 𝑠 + 𝜙1𝛽 𝑠

位相空間(x, x’)での軌道は
𝛾𝑥 6 − 2𝛼𝑥𝑥 " + 𝛽𝑥で与えられる。

"61𝛼 𝑠 = − 𝛽′ 𝑠2=𝜖1+𝛼 𝑠 6𝛾 𝑠 =𝛽 𝑠で与えられる。

位相空間(x, x’)での軌道位相空間(x, x’)での軌道

x'x'
12𝛼 𝑠
𝜃 𝑠 = tan:;
2𝛽 𝑠 −𝛾 𝑠𝜖𝛾 𝑠𝐴 𝐾xA・⾯積pA2Kの傾いていない楕円
・楕円の形はsに依存しない

𝜃 𝑠𝜖𝛽 𝑠x・⾯積peの傾いた楕円
・楕円の形や傾きはsに依存する

31

ベータトロン振動における粒子の挙動について
調和振動に1粒⼦を与えた場合、粒⼦はターンごとに𝑥6𝑥′6+ 6 =16𝐴𝐴 𝐾

6th
5th4thの楕円の上を動く。

7th
1st

3rd

2nd

ベータトロン振動の6
𝛾𝑥 6 − 2𝛼𝑥𝑥 " + 𝛽𝑥 " = 𝜖の楕円は、場所ごとに形が変わる。
（ただし楕円の⾯積は⼀定）
ベータトロン振動に1粒⼦を与えた場合、粒⼦はターンごとに6

𝛾𝑥 6 − 2𝛼𝑥𝑥 " + 𝛽𝑥 " = 𝜖の楕円の上を動く。
（＝楕円の形は場所で変わるが、「粒⼦が楕円上を動く」という点は調和振動と同じ）

6th
5th
4th
3rd

1st
2nd

7th

リングの1点で観測した場合、楕円の形は同じ

チューン
チューン：リング1周あたりのベータトロン振動の振動数。
𝑥 𝑠 = 𝜖𝛽 𝑠 cos 𝜙 𝑠 + 𝜙1*𝑑𝑠′
1 𝛽 𝑠′

𝜙 𝑠 =CL𝑑𝑠′
ベータトロン振動のリング1周あたりの位相の進み 𝜙 = C 𝛽 𝑠′1を2pで割れば良い。

1 L 𝑑𝑠′
Cx⽅向のチューン： 𝑄) =2𝜋 1 𝛽) 𝑠′
1 L 𝑑𝑠′C
y⽅向のチューン： 𝑄? =2𝜋 1 𝛽? 𝑠′（例）⾚点が、共鳴条件を避けた点（ビームが安定となる点）

共鳴条件 𝑖𝑄) ± 𝑗𝑄? = 𝑘 は(i, j, k: 整数)

避けなければならない（ビームが不安定になるので）。

33

前半の概要：１ 加速器とは
２ なぜ加速器調整が必要か
３ 主な加速器の構成機器
４ （ビーム物理に入る前の）予備知識
５ ビーム物理の基礎
・ シンクロトロン振動について
・ ベータトロン振動について・ エラーがない場合
・ エラーがある場合
34

（本題）摂動がある場合を考える
ビーム調整の⽬的が「ビームの再現性」、「ビームロスの抑制」と考えると、刻々と変わる摂動（エラー）の影響をいかに抑えるかが、ビーム調整において重要となる。
摂動の種類

起きる現象

双極磁場誤差COD（Closed Orbit Distortion）

四極磁場誤差・チューンシフト・ベータ関数の乱れ・分散関数の乱れ

運動量誤差・分散関数・クロマティシティ

ビーム調整項⽬となる

35

CODs = s0に有効⻑Lの双極磁場誤差（DB）がある場合のベータトロン振動の式：
Δ𝐵? 𝐿
𝑥 "" + 𝐾) 𝑠 𝑥 = −𝜃) 𝛿 𝑠 − 𝑠1
𝜃 =@s=s)𝜃) =Δ𝐵? 𝐿𝐵𝜌

𝐵𝜌

0１ 微分⽅程式の解は「特殊解」と「⼀般解（無摂動のベータトロン振動）」で与えられる。今回のような双極磁場誤差が作る特殊解をCODと呼ぶ。
Closed Orbit Distortion：閉軌道の歪み
２ 特殊解、すなわちCODの式： 𝑥VWX 𝑠 =𝜃) 𝛽) 𝑠1 𝛽) 𝑠cos 𝜙 𝑠 − 𝜙 𝑠1 − 𝜋𝑄)
2 sin 𝜋𝑄)

双極磁場誤差が複数個ある場合は、それぞれが作るCODの式を⾜し算すれば良い。

３𝑥VWX 𝑠 + 𝐶 = 𝑥VWX 𝑠 であり、

𝑥VWX 𝑠 + 𝐶 = 𝑥VWX 𝑠

リング1周でCODは閉じる（＝元の値に戻る）。
４ このとき、粒⼦はCODの周りでベータトロン振動を⾏う。
𝑥 𝑠 = 𝜖𝛽 cos 𝜙 𝑠 + 𝜙1 + 𝑥VWX 𝑠

36

（本題）摂動がある場合を考える
ビーム調整の⽬的が「ビームの再現性」、「ビームロスの抑制」と考えると、刻々と変わる摂動（エラー）の影響をいかに抑えるかが、ビーム調整において重要となる。
摂動の種類

起きる現象

双極磁場誤差COD（Closed Orbit Distortion）

四極磁場誤差・チューンシフト・ベータ関数の乱れ・分散関数の乱れ

運動量誤差・分散関数・クロマティシティ

ビーム調整項⽬となる

37

チューンシフトs = s0に有効⻑Lの四極磁場誤差（DB’）がある場合のベータトロン振動の式：𝑥 "" + 𝐾) 𝑠 + Δ𝐾) 𝐿𝛿 𝑠 − 𝑠1 𝑥 = 0

１ ベータトロン振動の周波数（すなわちチューン）に変化を⽣じる＝ チューンシフトと呼ぶ。
;

２ チューンシフトの式： Δ𝑄) = Z[ 𝛽) 𝑠1 Δ𝐾) 𝐿Δ𝐾) =Δ𝐵′𝐵𝜌Δ𝐾? = −Δ𝐵′
@ s = s0𝐵𝜌

四極 磁場電磁⽯ 誤差
ビーム;

Δ𝑄? = − Z[ 𝛽? 𝑠1 Δ𝐾) 𝐿
四極磁場誤差が複数個あるときは、それぞれが作るチューンシフトを⾜せば良い。

３ ⼀般粒⼦のチューンは「摂動が無い場合のチューン」
を⽤いて𝑄) = 𝑄)1 + Δ𝑄) Q , Q : 摂動が無い場合のチューン𝑄? = 𝑄?1 + Δ𝑄?

x0

四極 磁場
電磁⽯ 誤差ビームy0と書ける。
38

（本題）摂動がある場合を考える
ビーム調整の⽬的が「ビームの再現性」、「ビームロスの抑制」と考えると、刻々と変わる摂動（エラー）の影響をいかに抑えるかが、ビーム調整において重要となる。
摂動の種類

起きる現象

双極磁場誤差COD（Closed Orbit Distortion）

四極磁場誤差・チューンシフト・ベータ関数の乱れ・分散関数の乱れ

運動量誤差・分散関数・クロマティシティ

Hills’ equationの形が変わるのでベータ関数と分散関数の形も変わる。

ビーム調整項⽬となる

39

運動量偏差がある場合のベータトロン振動式
これまでは、ベータトロン振動に運動量誤差を考慮していなかった。
運動量偏差Dp / pがある粒⼦に関するベータトロン振動の式：
𝑥 "" + 𝐾) 𝑠Δ𝑝1 Δ𝑝1−𝑥=𝑝𝜌1 𝑠 𝑝

クロマティシティを⽣じる。

r0：偏向電磁⽯の曲率半径運動量偏差に⽐例した閉軌道を⽣む。

40

（本題）摂動がある場合を考える
ビーム調整の⽬的が「ビームの再現性」、「ビームロスの抑制」と考えると、刻々と変わる摂動（エラー）の影響をいかに抑えるかが、ビーム調整において重要となる。
摂動の種類

起きる現象

双極磁場誤差COD（Closed Orbit Distortion）

四極磁場誤差・チューンシフト・ベータ関数の乱れ・分散関数の乱れ

運動量誤差

・分散関数
・クロマティシティ

ビーム調整項⽬となる

41

分散関数についてクロマティシティは補正するものとして、運動量偏差Dp / pがある粒⼦に関するベータトロン振動の式を
1 Δ𝑝分散関数の例（理論値）
𝑥 "" + 𝐾) 𝑠 𝑥 =𝜌1 𝑠 𝑝と与える → CODの時と式の形が同じ、すなわち考え⽅は同じ。
特殊解はΔ𝑝𝑥\ 𝑠 = 𝐷 𝑠𝑝L𝛽) 𝑠𝛽) 𝑠′
𝐷 𝑠 =Ccos 𝜙 𝑠 − 𝜙 𝑠′ − 𝜋𝑄) 𝑑𝑠′2 sin 𝜋𝑄) 1 𝜌1 𝑠′と書けて、D(s)を分散関数と呼ぶ。
１ D(s + C) = D(s)であり、リング1周で閉じる。
２ 特殊解xpの周りでベータトロン振動を⾏う。すなわち運動量偏差Dp / pを持つ粒⼦のベータトロン振動は
𝑥 𝑠 = 𝜖𝛽 cos 𝜙 𝑠 + 𝜙1 + 𝑥\ 𝑠 + 𝑥VWX 𝑠で与えられる。

𝐷⽯磁電偏向

Δ𝑝𝑝−𝐷42Δ𝑝𝑝

Momentum compaction factorについて双極磁場誤差が無い（＝CODが無い）場合で、運動量偏差がある場合のベータトロン振動式： 𝑥 𝑠 = 𝜖𝛽 cos 𝜙 𝑠 + 𝜙 + 𝑥 𝑠
1\xpが増えた分、明らかに周⻑が伸びる。
リング（周⻑：C）

周⻑変化：DC = 2pDr

オフセット：Dr Δ𝑝 𝐷 𝑠周⻑変化の式：Δ𝐶 = ^ 𝑥\ 𝑑𝜃 =^𝑑𝑠𝑝 𝜌1 𝑠→Δ𝐶 Δ𝑝 1 𝐷 𝑠
𝐷 Δ𝑝Δ𝑝=^𝑑𝑠 ==𝛼𝐶𝑝 𝐶 𝜌1 𝑠
𝜌1 𝑝𝑝a: momentum compaction factorL)GUp 7RBT60SL CFv>8, tt =v
dL Ldv
 KM dt = v − v 2Δt ΔL Δv=−
 3:+tLv
Δv
1 Δpp = gmv KM3:+ v = γ 2 p
ΔLΔp0S4)GUN4-1 9:O 
=αLpv;ELp + DpLp
L + DLa: *C.21?
(momentum compaction factor)'=)GUN4(G8,4-1:Δt
1 Δp= (α − 2 )t
γ pIHP)GUN4!#&"N4-1:
;/4;J?4-1:

Δp
1 ΔE= 2p
β E

ΔfΔT=−fTI<QAV3:$%LR*C.D@5 :  15

43

（本題）摂動がある場合を考える
ビーム調整の⽬的が「ビームの再現性」、「ビームロスの抑制」と考えると、刻々と変わる摂動（エラー）の影響をいかに抑えるかが、ビーム調整において重要となる。
摂動の種類

起きる現象

双極磁場誤差COD（Closed Orbit Distortion）

四極磁場誤差・チューンシフト・ベータ関数の乱れ・分散関数の乱れ

運動量誤差

・分散関数
・クロマティシティ

ビーム調整項⽬となる

44ナチュラルクロマティシティについて
まず最初は分散関数を考えないで（分散関数の効果は後で考える）、運動量偏差がある場合のベータトロン式を
𝑥 "" + 𝐾) 𝑠1−Δ𝑝𝑥=0𝑝で与える → 四極磁場誤差がある場合のチューンシフトの式と同型＝ Dp / pに⽐例したチューンシフトを⽣じる。
Δ𝑝Δ𝑄) = 𝜉)1𝑝
Δ𝑄? = 𝜉?1Δ𝑝𝑝1 L𝜉)1 = − C 𝛽) 𝑠 𝐾) 𝑠 𝑑𝑠
4𝜋 1

四極電磁⽯

ビーム

エネルギーの⾼いビームは曲がりにくい

エネルギーの低いビームは曲がりやすい

1 L
𝜉?1 = − C 𝛽? 𝑠 𝐾? 𝑠 𝑑𝑠
4𝜋 1x0をナチュラルクロマティシティと呼ぶ。
（無補正状態のクロマティシティ）45ナチュラルクロマティシティ補正の必要性について
理想粒⼦の運動量p0の周りで粒⼦集団が運動量偏差Dp / p (RMS)を持つ場合、粒⼦集団は(DQx, DQy) = (xxDp / p, xyDp / p)

ナチュラルクロマティシティによるチューンシフトの例
SPring-8Storage ring
Betatron Tune (Qx0, Qy0)

( 41.14 , 19.35 )のチューンシフト（RMS）を持つことになる

Natural Chromaticity(xx, xy)( -117 , -47 )→ (Qx, Qy) = (Qx0 + DQx, Qy0 + DQy)が共鳴条件にかかる
iQx±jQy = kでi, j, kは整数

Dp / p (RMS)→ ビームが不安定になる(xxDp / p, xyDp / p)
(RMS)

0.1 %
(-0.12, -0.05)

粒⼦集団が持つDp / pの例

クロマティシティを「共鳴が起きない程度の⼤きさ」に抑える必要がある。

46

クロマティシティ補正について

Δ𝑝𝐵′′ 6𝑥=−𝑥𝑝2𝐵𝜌
Δ𝑝𝐵′′𝑦 "" + 𝐾? 𝑠 1 −𝑦=𝑥𝑦𝑝𝐵𝜌で近似する。更に分散関数による閉軌道x = x0 + DDp / pを考慮して式を変形：
六極磁場を考慮した時のベータトロン振動の式を 𝑥 "" + 𝐾) 𝑠𝑥1"" + 𝐾) 𝑠𝑦 "" + 𝐾? 𝑠

Δ𝑝𝐵′′ Δ𝑝1−+𝐷𝑥 ≈0𝑝𝐵𝜌 𝑝 1Δ𝑝𝐵′′ Δ𝑝1−−𝐷𝑦≈0𝑝𝐵𝜌 𝑝1−

六極電磁⽯

⽯
磁電偏向

⾚字の部分が作るチューンシフトの式Δ𝑄) , Δ𝑄?
から𝐷Δ𝑝𝑝−𝐷Δ𝑝𝑝

Δ𝑝 1 Δ𝑝 L 𝛽 𝑠 𝐵′′ 𝑠
Δ𝑝 1 Δ𝑝 L 𝛽 𝑠 𝐵′′ 𝑠= 𝜉)1+C, 𝜉?1−C𝑝 4𝜋 𝑝 1
𝐵𝜌𝑝 4𝜋 𝑝 1𝐵𝜌

1 L 𝛽 𝑠 𝐵′′ 𝑠𝜉) = 𝜉)1 +C4𝜋 1𝐵𝜌
1 L 𝛽 𝑠 𝐵′′ 𝑠C
𝜉? = 𝜉?1 −4𝜋 1𝐵𝜌となるように六極磁場を与えれば良い。

１ xx, xyが補正済みのクロマティシティとなる。
２ xx, xyをゼロにするとビームが不安定になる。通常、左辺はゼロにはしない。
47

前半のまとめビーム調整に必要となるので、まずビーム物理の基礎について紹介した。
・ 講義時間の都合上、式の導出やビーム物理の難しいところは省略した。
（テキストに任せる）
ビーム調整の⽬的が「ビームの再現性」、「ビームロスの抑制」と考えると、刻々と変わる摂動（エラー）の影響をいかに抑えるかが、ビーム調整では重要。
そのために、・ まず無摂動のビーム物理を学び、・ 次に摂動（エラー）を加えるとどうなるかを学ぶのが重要かと思う。
講義の後半は電⼦蓄積リングについて
・ どういうモニターであれば摂動を受けた現象を観測できるか・ 観測した現象に対してどういう対処をするかの⼀例を紹介する。

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