Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
Institut für Mathematik
Abteilung für Reine Mathematik
Prof. Dr. D. Wolke
Dipl.-Math. S. Feiler

1: Mo 16-18, SR 318
Christian Marquardt

2: Di 11-13, SR 119
Jonas Unger

3: Di 11-13, SR 125
Michael Gutmann

4: Di 11-13, SR 112
Stefan Fischer

5: Di 16-18, SR 119
Kai Siebold

6: Di 16-18, SR 125
Arno Pauly

7: Do 11-13, SR 127
Sarah Marzi

8: Do 16-18, SR 318
Bianca Straub

9: Fr 11-13, HS II
Elisabeth Wursthorn

10: Fr 11-13, SR 414
Nicolas Ketterer

11: Fr 12-14, SR 218
Christian MarquardtFragestunde: Do 09-11
Simon Feiler, SR 414

Übungen zur Vorlesung

Mathematik für Ingenieure und Informatiker I
Wintersemester 2007 / 2008Übungsblatt Nummer 305. November 2007
Abgabe am Montag, den 12.11.2007 vor der Vorlesung
Bitte die Lösungen mit Name, Matrikelnummer, Übungsnummer und Name des Tutors versehen.

Aufgabe 7
Anfang des dreizehnten Jahrhunderts überlegte sich Leonardo von Pisa (besser bekannt unterdem Namen Fibonacci“), wie das Verhalten einer Kaninchenpopulation mathematisch zu”
beschreiben sei. Dazu ging er von folgenden Annahmen aus:
1. Zu Beginn der Betrachtung gibt es genau ein Kaninchenpaar. Dieses ist geschlechtsreif.
2. Jedes geschlechtsreife Kaninchenpaar wirft in einem Monat genau ein neues Kaninchenpaar.
3. Neugeborene Kaninchen werden nach einem Monat geschlechtsreif.
4. Kaninchen sind unsterblich.
Fibonacci interessierte sich nun für die in jedem Monat vorhandene Anzahl an Kaninchenpaaren. Als er die sich ergebende Zahlenfolge (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . .) genauer betrachtete, stellte er fest, dass sich ab der dritten Zahl jede Zahl als Summe der beiden vorhergehenden
Zahlen schreiben lässt. Mathematisch lässt sich diese Folge also (induktiv) definieren als:b1 := 1,b2 := 2
undbn+2 := bn+1 + bn
für alle n ∈ N.
Im Laufe der Zeit stellte es sich als sinnvoll heraus, das erste Kaninchenpaar als neugeboren
und noch nicht geschlechtsreif anzunehmen.
Dies führt zu der folgenden Definition der sogenannten Fibonacci-Folge“:”
a1 := 1,a2 := 1
undan+2 := an+1 + anfür alle n ∈ N.
Bemerkung: Manchmal ist es hilfreich, wenn man zusätzlich a0 := 0 definiert.
Zeigen Sie nun folgende Formeln mit Hilfe von Vollständiger Induktion!
√ !n
√ !n
1
1+ 5
1− 51a) an = √ ·−√ ·für alle n ∈ N (bzw. n ∈ N0 ).
2255
Bemerkung: Diese Formel wurde erstmals 1843 von dem französischen Mathematiker
Jaques Philippe Marie Binet veröffentlicht. Überraschend ist der√Zusammenhangzwi
1schen der Fibonacci-Folge und dem Goldenen Schnitt“ 2 · 1 + 5 .
”b) an+m = an−1 · am + an · am+1 für alle n ∈ N und alle m ∈ N0 .
bitte wenden

Aufgabe 8
Für n ∈ N0 und ` ∈ N0 wird der Binomialkoeffizient n` ( n über `“) definiert als”
  `Yn−j+1nnn!
:=. Ist n ≥ `, so folgt daraus
=.
`j`
`!
·(n−`)!
j=1Schreibt man nun die Binomialkoeffizienten in eineTabelle, in der für alle n ∈ N0 in der n-tenZeile nacheinander alle Binomialkoeffizienten n` für j = 0, . . . , n in der natürlichen Reihenfolge
stehen, so ergibt sich das sogenannte Pascal’sche Dreieck:
01
 0

1
1
1
1
 0
 1

2
2
2
1
2
1
 0
 1
 2

3
3
3
3=1
3
31
 0
 1
 2
 3

44
4
44
1
464
1
 0
 1
 2
 3
 4

5
55
555
1510105101
2
345.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.. ..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
. . . . . . . . . . . . .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Es fällt auf, dass die Zahlen zur Mitte hin immer zunehmen. Dieses sollen Sie nun beweisen.
Sei n ∈ N. Zeigen Sie:  
nna)
>
.
jj−1
  
nnnb) Für alle j ∈ N mit 2 ≤ j < n ist>.
jj+1
Für alle j ∈ N mit 0 < j ≤ n2 ist

Bemerkung: Eventuell ist es hilfreich, gerade und ungerade Zahlen (n) getrennt zu betrachten.

Aufgabe 9 1−5−3  ~  8 
Seien ~a :=  0 , b :=  7  und ~c :=  3 .
45− 12338a) Geben Sie einen Vektor an, der mit der x-Achse einen Winkel von π3 und mit ~a ebenfalls
einen Winkel von π3 bildet!
b) Geben Sie die orthogonale Zerlegung von ~b längs ~c an!
c) Geben Sie einen Einheitsvektor an, der senkrecht auf ~a und ~c steht!
Bemerkung: Alle Vektoren der Länge 1 heißen Einheitsvektoren, nicht nur ~e1 , ~e2 und ~e3 .