OHO’20
光モニター
高エネルギー加速器研究機構
三塚

加速器研究施設

岳

2020年 9月 10日
1

光モニター = 光を用いたビーム診断装置
光源：加速された荷電粒子が放射する電磁波 (可視光, 紫外線, X線…)
- シンクロトロン放射 (放射光)- 光学的遷移放射

光学測定技術：- 結像光学系- 干渉計

光センサー：- CCD/CMOSイメージセンサー (通常のカメラ, 高速ゲートカメラ~O(nsec))- ストリークカメラ (高時間分解能~100 fs)- 光電子増倍管, 半導体検出器
ビームサイズ
診断対象：(CCD/CMOS/Si, >1 µm)- ビームサイズ- プロファイル
バンチ長- 時間構造(ストリークカメラ,> O(1 mm))2

ビームサイズモニターへの要求
加速器が想定する最小ビームサイズを測定できる
放射光施設ではσ<10 umなことも(普段は大σでも)ILCではσ<1 umを要求している
SuperKEKBではσmin~10-20 um
ビームサイズの変動を動的(バンチ毎)に測定できる
静的に精度よく測るのももちろん重要だが…
入射直後はエミッタンスが大きい
電子雲効果などによりビームサイズの増大が起こる
安定稼働
結局は故障がなく環境変化に強いモニターが喜ばれる
ハードとソフトの両方が重要
3

代表的な光モニター
角直径 (視直径)dqz
距離(z)の位置から対象物を見た時の見かけの大きさを、その対象物の直径(d)を見込む角度(θ)で表した値
測定可能な最小ビーム 100m離れた地点での 1000m離れた地点でのサイズ (角直径 [μrad])光像のサイズ (μm)
光像のサイズ (μm)

手法

波長 [nm]可視光 結像系

500

5

500

5000

可視光 干渉計

500

0.47

47

470

X線 ピンホール

0.1

0.5

50

500

X線 マルチスリット

0.1

0.1

10

100

X線 FZP

0.35

0.3

30

300

X線 干渉計

0.1

0.01

1

10

4

講義の概要放射光を用いたビームサイズモニターに焦点を絞って議論。
SuperKEKB X線ビームサイズモニターを例に挙げる。
シンクロトロン放射(放射光発生機構)と光学(回折)の基礎を学ぶ。
SuperKEKBにおけるX線強度とスペクトラムを実際に計算。

ビームサイズモニターを運用する上での注意点を学ぶ。

5

ビームサイズ測定の原理
ビーム軌道
干渉計

ビームパイプ

2. 光が有限距離伝搬
1. シンクロトロン放射で可視光・X線が発生

ピンホール他

3. 光の太さを種々の検出器で測定(ひとまずエミッタンスを無視すると)測定した光の太さ→発光点での光の太さ≒ビームの太さ(ビームサイズ)
重要なのは
1. 光(電磁波)の発生
2. 光の伝搬3. 光の測定6

1. 光(電磁波)の発生

7

「1.光(電磁波)の発生」の目次

シンクロトロン放射を定性的に理解する
シンクロトロン放射強度の式を解析的に導出するSuperKEKBのX線放射強度とスペクトラムを計算

8

シンクロトロン放射(1) 電荷eを持つ(2) 光速に近い速度で運動している ( v~光速度c )(3) 加速度運動している
ときに放出する電磁波をシンクロトロン放射と呼ぶ。
偏向電磁石によるシンクロトロン放射

加速度の方向シンクロトロン放射[Wiedemann, Particle Accelerator Physics]
9

ビームの軌道1947年にGEのシンクロトロン
で初めて観測された[NSLS, Brookhaven][Lawrence Berkeley National Laboratory]10SuperKEKBのシンクロトロン放射検出器箱へ届いた
シンクロトロン放射
~7 mm

偏向電磁石

電子ビームライン

X線ビームライン宇宙のシンクロトロン放射
かに星雲[NASA]

中性子星の近くで発生した高エネルギー電子が強磁場中を移動
ハッブル(可視光) + チャンドラ(X線)12シンクロトロン放射の注意すべき性質

強度

波長
空間的な広がり (3次元的な広がり, 方向)
時間的な広がり (パルス性)

13シンクロトロン放射強度
放射強度スペクトラム [K.-J. Kim, AIP conf. proc. 184, 565]

SuperKEKBのシンクロトロン放射スペクトラム → X線

[Mulyani et al, NIM A 919, 1]

その他の性質を定性的に眺めたあと、上式の導出を試みる。
14

〇〇静止系と実験室系 (系=立ち位置)
観測者
お手玉静止系
観測者からはお手玉と女の子が静止している様に見える
速度v

実験室系 (普段見ている系)
観測者からはお手玉と女の子が速度vで向かってくる様に見える

速度v

15

電子静止系と実験室系加速度の方向ビーム軌道[Wiedemann, Particle Accelerator Physics]

Jackson, Classical Electrodynamics
砂川, 理論電磁気学

電子と一緒に移動している人から見た場合
放射強度分布を上から見た図

実験室でシンクロトロン放射を見た場合

Lorentz変換

電子の進行方向に伸びる
16[Attwood, AST210/EECS213, UC Berkeley]

Lorentz変換
Lorentz因子

佐藤, 相対性理論 (特殊+一般)
風間, 相対性理論入門講義 (特殊)などなどSuperKEKB電子ビーム(7 GeV)では γ~7x1957~14000

光速cに近い速度で運動している場合は大体β=1とおいて良い
電子と一緒に移動している人から見た場合

実験室でシンクロトロン放射を見た場合実験室系へのLorentz変換より17シンクロトロン放射の広がり角と波長SuperKEKB電子ビーム(7 GeV)だと= 4.2×10-3 deg.

50m離れた地点で7.3mmの広がり[Attwood, AST210/EECS213, UC Berkeley]• 外側は波長長い• 内側は波長短い• θ=0方向から見る→ ローレンツ収縮大 = 波長短い
• θ>0の方向から見るθ→ ローレンツ収縮小 = 波長長い18観測する立場による時間の進みの違い
荷電粒子の軌道

任意の原点
Retarded time (遅延時間、遅れた時間)

相対論的Doppler因子を定義する。
を使うとΔtret続く現象がnretの方向にいる観測者からはΔt=Δtret*(dt/dtret)続く現象
として見える。

が得られる。
19

dt/dtretを計算してみるとを代入するとという近似が得られる。

dt/dtret

例：実際はΔtret=1秒続く現象がθ=0近くにいる観測者からはΔt=10-7秒続く現象として見える。
注：近似が成り立つのはβ≒1かつθ≪1のときだけ。

θ=0は荷電粒子が観測者に向かう方向θ[courtesy of Mitsuhashi]
20観測者から見た電磁波の時間分布

C

C

半径 a

見えるのはABの間だけ、
CAとBCは見えない。

[Attwood, AST210/EECS213, UC Berkeley]とを代入するとの関係にSuperKEKBでは観測者から見ると時間幅がも短いパルスに見える。

が得られる。
21

SuperKEKB電子ビームの場合だからを代入すると22まとめ：シンクロトロン放射の性質

強度
波長• 外側は波長長い• 内側は波長短い

空間的な広がり → 前方に集中、θ~1/γ
時間的な広がり
これより放射強度の式を導出する。
23

放射強度導出の流れ (Lienard-Wiechert)
今回はこちらの解説はしません。
下に挙げた教科書などをご参照下さい。
Schwinger, Phys. Rev. 75, 1912 (1949)
Jackson, Classical Electrodynamics
砂川, 理論電磁気学
池田, OHO 2004など

一般的な方法 (多くの教科書に載っているが計算が面倒)
1. 運動する電荷からカレントを計算
2. カレントを積分してLieanrd-Wiechertポテンシャル(ψ, A)を求める
3. ポテンシャルを微分-∇ψ-∂A/∂tしてLienard-Wiechert場(E)を求める
4. Eをフーリエ変換して周波数に分解する
5.|E(ω)|2から周波数ごとの放射エネルギーが求まる
1項目：等速運動 → 1/R2
2項目：加速度運動 → 1/R
24

放射強度導出の流れ (Heaviside-Feynman)
Heaviside-Feynman方程式を使う方法 (見通し良し) Feynman, Lectures on Physics (II)Wang, Phys. Rev. E 47, 4358 (1993)
Zangwill, Modern Electrodynamics

1. 運動する電荷が作る電場Eを直感的に求める
2. Eをフーリエ変換して周波数に分解する
3.|E(ω)|2から周波数ごとの放射エネルギーが求まる

1項目：クーロン場 → 1/R2
2項目：等速運動 → 1/R2
3項目：加速度運動 → 1/R「Lienard-Wiechert = Heaviside-Feynman」の証明は[Wang, Phys. Rev. E 47, 4358]を参照。
1+2項目

3項目

25

26

余談：量子電磁力学の道のりについては¥2,090 (税込み)27運動する電荷が作る電場E荷電粒子の軌道Retarded time (遅延時間、遅れた時間)

Heaviside-Feynmanの式• 左辺：位置Pで時刻tに観測した電場E• 右辺1項目：時刻tretにおけるクーロン場• 右辺2項目：時刻tretにおけるクーロン場の時間変化率 x 伝搬時間R/cだけ外挿• 右辺3項目：時刻tretにおける方向ベクトルの二階時間微分だから加速度運動28

運動する電荷が作る電場E
時間tの関数であることに注意

ここを時間で2階微分して係数を掛ければ電場になる
傾きが急に変わる(様に見える) → 電場が大きい

注：x軸と観測者の方向は直行するのでここではDoppler効果は関係ない。

[courtesy of Mitsuhashi]

かけて行われた移動がΔt(<<Δtret)で行われた様に見える
29

各周波数における放射エネルギー強度
放射エネルギー ≈ 電磁波振幅の二乗 ≈ 電場の二乗を簡易表記

周波数に分解した電場 = E(t)のフーリエ変換

E(ω)をdI(ω)/dΩに代入するとHeaviside-Feynmanの式の加速度運動の項
ここはtret

ここはt“時刻(tret)における放射点”から”観測者”へ向く方向ベクトルnretをフーリエ変換→ 放射エネルギーの周波数スペクトラム
つまり方向ベクトルnretが分かれば、 nret内でtret→tと変数変換すれば良い。
30

方向ベクトルnretを求める
nret

半径 a

と置いて

半径 a

nret

に代入。

[Wiedemann, Particle Accelerator Physics]
31

方向ベクトルnretを求めるの時にで近似するとnret[Wiedemann,
Particle Accelerator Physics]

まで残して展開し、tretが掛からない項を除くとフーリエ変換に関係ないのでここはtretが得られる。ここまでは幾何学の計算。
※1 数値計算の場合は近似することなくr, r0(tret)を直接入力してnretを計算※2 Lienard-Wiechertよりも数値計算速度が幾分早い
32ここまでのまとめ
放射エネルギー ≈ 電磁波振幅の二乗 ≈ 電場の二乗を簡易表記

周波数に分解した電場 = E(t)のフーリエ変換

Heaviside-Feynmanの式の加速度運動の項E(ω)をdI(ω)/dΩに代入すると

右の様な状況だとnret

nretの中のtretをtへ変換する。
33[Wiedemann,
Particle Accelerator Physics]

tret→tへ変数変換
nretの中のtretをtへ変換する (フーリエ変換がtに対してなので)。
にはだめ)を代入する。(分母ではないのでだから

R(tret)をに代入するとtretの3次方程式

ここはtが得られる。
これをtretについて解けばtretをtへ変換できる。
34

tretの3次方程式を解く
Cardanoの公式
の解は

で求まる。
この枠組みに収まる様に、以下の変数変換

を行うと

の解は

右辺はtの関数であるη

左辺はtretとなり、めでたくtret→tの変数変換が可能になる。
35

Fourier積分の計算 → 放射強度
放射強度の式へnret(tretの関数)を代入したで置き換えの右辺のtretをで置き換えると、Fourier積分の と に掛かる項はの 向きの項の 向きの項と変形Bessel関数で表せる。

と近似すると最終的には放射強度が得られる。
36

ここまでの計算の個人的見解•近似が非常に多い。
•現実的には近似が成り立つとは限らない → 調べるのも難儀。
•数値を求めるだけならば、実際の状況に基づいてn を求め、
ret

Lorentz変換、Fourier変換、代数計算…等と数値計算で放射強度を求めた方が楽な場合がある。

•とは言え、モニターする現象を理解する、さらに数値計算プログラ
ムを書く上で理論の流れを知っておく(目で追う)のは重要。

37

補講：観測者の位置を一般化
これまでの計算と置いてnret

ここに制限があったに代入。

[Wiedemann,
Particle Accelerator Physics]一般化した計算 (角度に制限なし)[Mitsuhashi et al., IBIC 2017, WEPCC09]38

水平方向の角度：ξ
垂直方向の角度：ψ

SPEAR3のシミュレーションσπ[Mitsuhashi et al., IBIC 2017]39

SPEAR3のシミュレーション[Mitsuhashi et al., IBIC 2017]40

SPEAR3のシミュレーション[Mitsuhashi et al., IBIC 2017]41

SPEAR3のシミュレーション[Mitsuhashi et al., IBIC 2017]42放射強度 → 放射する光子の数
熱量(watt)を計算する場合は“放射強度 dI/dΩ”の式が便利。
一方、“放射される光子の数 dN/dΩ”で表現した方が便利な場合も多い。

最初の項は微細構造定数αと置き換えられる

電子軌道の真ん前からシンクロトロン放射を眺めるとと近似可能。
43[Kim, AIP Conf. Proc. 184, 565]

1個の電子が放射する光子の数
大雑把にとと置けるので

ω=ω*で放射強度が等分割のように書ける。
細かい話を無視すると、１個の電子からα =1/137 = 0.0072 の確率で光子が放射される。
または電子が偏向電磁石を横切る事137回に一個の光子が放射されると理解できる。

50%

50%

[Kim, AIP Conf. Proc. 184, 565]44

1個の電子が光子を2個放射する確率1個の電子がT0 = t - Δt とT1 = tの間に光子を2個放射する場合[courtesy of Mitsuhashi]n(T0 = t-Δt)
このような現象が起きる確率はα2に比例する。
19000回に一回くらいしか起こらないので無視できる。

n(T1 = t)45

2個の電子が放射する光子の数
electron 2
electron1

2個の独立な電子が放射する光子の数 =2<N> = 2α[courtesy of Mitsuhashi]n(T0 = t-Δt)n(T1 = t)46

電子のバンチが放射する光子
electron1

electron 2
electron 3[courtesy of Mitsuhashi]

バンチが作るシンクロトロン放射 =独立な荷電粒子から独立に放射される光の和。

n(T0 = t-Dt)n(T1 = t)n(T2 = t＋Dt)
47

電子のバンチが放射する光子
electron1

electron 2
electron 3[courtesy of Mitsuhashi]

視野を作るとこんな感じn(T0 = t-Dt)n(T1 = t)n(T2 = t＋Dt)48

インコヒーレントな放射
お互いに独立に放射されることをインコヒーレントな放射と言う。
※コヒーレントな状態
二つの電磁波の位相が揃っている状態 → お互いに干渉

実際に放射光の強度を測定してみると荷電粒子の数nに比例しており(nα)、αのn乗(αn)には比例しないので、放射はインコヒーレントであることが分かる。

49

電子ビームが放射する光子の数
光子の放出 (電子1個あたり1/137) はすごく少ないように感じるが、加速器の中を回っているビームの中には膨大な数の荷電粒子がいる
ので、実際の放射は非常に強い。
例：0.1 Aの電子ビームでは0.1 A / 1.66 x 10-19 C = 6 x 1017 / secも電子がいる

ビームエネルギーE (GeV)とビーム電流Ib (A)で光子数を記述すると

50

SuperKEKBにおけるシンクロトロン放射
下の式にビームエネルギーE (GeV)とビーム電流Ib (A)を代入すれば良い[Mulyani et al, NIM A 919, 1]51

2. 光の伝搬52

「2.光の伝搬」の目次

ピンホール・マルチスリットを用いたビームサイズ
測定を概観する
Maxwell方程式からKirchhoff回折公式を導く
Fresnel回折近似とFraunhoffer回折近似を導く

53

SuperKEKBでのビームサイズ測定手法~10 m

簡単に言うとX線ピンホールカメラの応用~30 m
σy = 42 um

ビーム細い

水平方向に
開いたスリット

水平方向

垂直方向

像がシャープσy = 144 um

シンチレーターに投影されたX線像の太り具合
からビームサイズの大小がわかる。
54

SuperKEKBでのビームサイズ測定手法~10 m

簡単に言うとX線ピンホールカメラの応用~30 m
σy = 89 um

ビーム太い

水平方向に
開いたスリット

水平方向

垂直方向

像が太い

σy = 139 um

シンチレーターに投影されたX線像の太り具合
からビームサイズの大小がわかる。
55

ピンホールによる垂直ビームサイズ測定
重ね合せ

光源

ピンホール(スリット)

検出器

ビームサイズが有限 = 光源が点ではなく垂直方向に分布(ガウス分布と仮定)“任意のガウス分布(NO)に従う光源”が作る”検出器上での光子分布” →“点光源が作る検出器上での光子分布”を”ガウス分布(NR)に従って重ね合わせ"56

ピンホールによる垂直ビームサイズ測定

光子数/ピクセル

ビームサイズ =光源の広がり検出器での光子分布

ピクセル (1ピクセル=50um)[Mulyani, Ph.D thesis]の対応が事前に分かっていれば、
57

を測定して

を導出可能。

ピンホールの欠点

検出器上の光分布 (点光源)

1. ピンホール(スリット)が一つだけ→ 光量が少ないので統計誤差が大きい
2. スリット幅を広げ光量を増やしては？
→ 光の分布が太って分解能が悪化

この部分をガウスフィット [Mulyani, Ph.D thesis]

ピンホールスリットの拡大図

回折の影響
ダイヤモンド基板 600um
金コート 20um※スリット幅は狭すぎても広すぎてもNG→ 33um幅を採用 (陽電子リングで良好)
58[Mulyani, Ph.D thesis]

回折限界
Heisenbergの不確定性原理より

Δpyの項は[Attwood, AST210/EECS213, UC Berkeley]

だから、回折限界と呼ばれる関係が得られる。

スリット幅(Δd)をどんなに狭めても、スリット通過後の角度不定性(Δθ)が大きくなり、結局小さなビームサイズを測定出来ない。
(カメラの小絞りボケと同じ現象, F値を一定以上大きくしても逆にぼやける)59マルチスリット
ピンホール (シングルスリット)

マルチスリット

スリット幅はそのまま
スリット数を増やす~3 mm

隣同士の分布が重なっている

マルチスリットの長所・短所
スリット幅は同じ→ 分解能はピンホールと同じ
スリット数が多い~10-20個→ 光子数が増え統計誤差小検出器上で光分布が被る→ 単純なフィットは不可能
60[Mulyani, Ph.D thesis]単純なマルチスリットの欠点
もはやガウス分布ではないのでガウスフィットは意味がない
Encodeされた像から元の像を再現する方法 :1. Deconvolution → フーリエ変換
2. Correlation (下記) → 線形代数

簡単に表すとRは[Mulyani, Ph.D thesis]

RからOを導くには右からGをかけてを満たすGが存在すれば良い。

Aとの掛け算がデルタ関数になる
O: Object

A: Aperture

R: Recoded ようなGを探すのは一般に困難[Fenimore and Cannon, Applied Optics, 17, 337]61

山が重なった測定データの解析手法
Correlation : AG=δを満たすGをR(測定データ)に掛けRG=Oを得る
長所：計算が早い → リアルタイム測定に有利
短所：精度が悪い → AG=δは完全には満たされない (裾野を引く)
Fit : O’を変化させR’=O’Aを計算し、R’がRと等しくなるO’を探す
長所：精度が高い → ノイズの影響も比較的正確に考慮できる
短所：計算が遅い → minimum searchなので計算がたくさん必要SuperKEKBでは現時点では精度を優先して手法2を採用。
フィットに伴う計算時間はマルチCPU計算で短縮化させる。
Correlation法で解析精度を上げるようなマルチスリットパターン= Uniformly Redundant Array (URA)
詳しくは[Fenimore and Cannon, Appl. Opt. 17, 337-347 (1978)]を参照。
62

光の伝搬の話：光の回折

スリット

影なので暗いはず→ 回折の効果

スクリーン[Wikipedia]

回折：媒質中を伝わる波が障害物の背後(光の場合は影になる領域)に回り込んで伝わっていく現象
63一般的に波は回折する
陽子-陽子弾性散乱[Khoze et al., PLB 784 192]

[Wikipedia]

回折のディップ
もちろん今回は光(電磁波)の回折に焦点を絞って議論する。
64

スカラー回折理論とベクトル回折理論•スカラー回折理論•遮蔽またはスリットが光の波長に比べて大きい•回折した光をスリットから離れた地点で観測•光が伝搬する媒質が線型、等方、均一、非分散•結果的に光を記述する波動方程式は方向依存性を持たない•ベクトル回折理論•上記した条件を満たさない場合•物質構造(電気的な境界条件など)を考慮する

Lipson, Optical Physics
グッドマン, フーリエ光学

今回のビームサイズ光モニターではスカラー回折理論で十分。
65

Kirchhoff回折公式導出の流れ
1. Maxwell方程式 → 2. 場のスカラー化 → 3. Helmhortz方程式 (波動の伝搬)

Q

S1

Helmhortz方程式を解くと• ある地点Qで発生し• 面S1を透過し• ある地点Pに達した
際のスカラー波を記述できる。

P

面S1上で間隔bのスリット外側ではス
カラー波の振幅が0(つまり波が消える)と置いてKirchhoff回折公式を求める。
66

Maxwell方程式 → 場のスカラー化
誘電率εが一定で等方的ならばMaxwell方程式から

Lipson, Optical Physics
グッドマン, フーリエ光学が得られる。
(例えば誘電率εが位置に依存する場合は、Eの式に∇(E・∇ln√ε)が入る)

EとHを伝搬方向に依存しないスカラー場と置くと、任意のスカラー場を導入し、EとHをまとめて

と書ける。
67

Helmhortz方程式
EとHをまとめた式からスカラー波の振幅の空間分布を表す偏微分方程式が得られる。

をHelmhortz方程式と呼ぶ。
Helmhortz方程式を使えば「ある点でスカラー波(光)が発生した」という初期条件の下で「発生点以外の地点へ伝搬した波の振幅」が求まる。

68

Helmhortz方程式を解く
境界値付きの偏微分方程式を解く→ Green関数法

金子, 偏微分方程式入門

S

Helmhortz方程式nVの特殊解としてGreen関数(補助関数)Oを導入し、一般解をと置くとが得られる。
原点を囲む任意の領域Vで積分して、Greenの定理を使うと=0※原点を電磁波を観測する地点と定義する(発光点ではないことに注意)。
69rHelmhortz方程式 → Kirchhoffの積分定理
ただし特殊解はr=0では発散するので原点(r=0)を含む領域S0を除く必要がある。

n
S1

r

V
n

r→0という極限を取るとS0の寄与はとなる。ここでと置いた。

結果的に原点(観測点)での電磁波はO

煩雑な計算は教科書参照
Lipson, Optical Physics
グッドマン, フーリエ光学で得られる。これをKirchhoffの積分定理という。

70

S0Kirchhoffの回折公式
Q
r=dとおいて、Kirchhoffの積分定理の左辺のΨを、S1外側のQで発生した電磁波

S1

aQ : 振幅
fs : 透過関数Vnd1 θ1 θdOと置くと、Kirchhoffの積分定理は

と書ける。

,

,

が得られて、これをKirchhoffの回折公式と呼ぶ。
71を代入すると

Kirchhoffの回折公式を使った数値計算
n
d1

Q

d

fs(透過関数)の解説は後程

S1bの幅だけ積分

1.任意の観測点Oを定める。
2.スリットS1の微小空間に対してforループを取る。ループ内でd1とdが決まる。
3.ループの数だけψ0を足しあげる。
S1の分割を細かく取らないと計算が収束しない。
72

O

Fresnel回折とFraunhofer回折O(xo, yo)S(xs, ys)

d
スリット

スクリーン

z

← Fresnel近似 (2次の項まで展開)
dをexp(ik0d)に代入すると検出器がスリットから遠い場合はFraunhofer近似も成り立つ

73Fresnel回折とFraunhofer回折O(xo, yo)S(xs, ys)Fraunhofer領域

d
スリット

スクリーン

z
← Fraunhoferでは1と近似1000m

Fresnel領域

500 m

expの1次の積分

300 m[courtesy of Mitsuhashi]

100 m
74

expの2次の積分

Fresnel回折とFraunhofer回折が成り立てばFraunhofer領域
SuperKEKB X線ラインでは

Fraunhofer領域だからFraunhofer回折領域。
(波長に比べて1/3以下ならばFraunhofer)
近似式は教科書又はテキスト参照
Lipson, Optical Physics
グッドマン, フーリエ光学

1000m

Fresnel領域

500 m

expの1次の積分

300 m[courtesy of Mitsuhashi]

100 m
75

expの2次の積分回折で判断するピンホールの最良サイズ
Fresnel近似で求めた強度分布I(Z,R)の中心部分I(Z,R=0)をピンホールの面積a2で規格化
fはスリットから観測者までの距離

ピンホールの半径aを変えながら強度分布I’(Z,0)を見ると極大がありそう。

A

と

B A

B

aに対するI’の微分が0ならばI'の極大に対応するaが求まるので

ただし
この解は

より

と置いた

となり、これをaで表すと結局が得られる。
76

久保田, 波動光学の間に

回折で判断するピンホールの最良サイズ
SuperKEKBの場合
この理由は後ほど説明にを代入すると[Mulyani, Ph.D thesis]

なのでシミュレーション結果とおおよそ一致。

77

3. 光の測定

78

「3.光の測定」の目次

SuperKEKB X線モニターの各コンポーネントを解説
運転上の注意点を確認
水平方向ビームサイズをいかに測定するか

79

SuperKEKB X線ライン

衝突点

電子リング
X線ライン

• X線ラインは電子リング(HER)と陽電子•

陽電子リング
X線ライン

リング(LER)に各一つずつ。
それぞれアーク部から直線部に切り替
わる箇所。

偏向電磁石

入射点

X線ライン

マスク

検出器

ビームパイプ
L’ ~ 31.7 m

L ~ 10.3 m
80

SuperKEKB X線ラインのコンポーネント
X線フィルター

vacuumair~10-8 Pa

~10-7 Pa

10 m

30 m

He

[Mulyani, Ph.D thesis]

偏向電磁石：ビーム軌道を曲げてシンクロトロン放射を起こす
X線フィルター：X線強度を抑制、ビームラインとX線ラインの真空を分離
マスク：シングルスリットやマルチスリットが含まれるCVDダイヤ基板
Be窓：X線ライン真空と検出器箱(He)を分離する
検出器：シンチレーター板+CMOSカメラ、またはシリコン検出器
81

検出器に写るX線像の数値計算
発光点の位置y0が-20, -15,…,
15, 20 umずれた点光源X線像

正規分布N(y0, μ=0um, σ=20um)
で重みをかけたX線像。

回折

正規分布で重みをかけた分布の重ね合わせ → ビームサイズが20umのX線像

82• 点光源のX線像を見ると分布の谷と山••がシャープ。
分布の縁にギザギザが見える(回折)。
ビーム内の電子分布が正規分布(ガウス
分布)に従うと仮定する。各々重みをかけた点光源分布を重ね合わせると有限の電子分布に対応するX線像が出来上がる。

偏向電磁石E=Ecで放射強度が等分割

50%

50%

[Kim, AIP Conf. Proc. 184, 565]

83

[Wiedemann, Particle Accelerator Physics]

Critical photon energy Ec
SuperKEKB電子ビーム(E = 7 GeV)の場合[Mulyani et al, NIM A 919, 1]

だから

84

X線フィルター
フィルターの役割：X線を吸収してライン下流への放射強度を抑制
：時間発展
：空間伝搬

電磁波の物質中の伝搬

原子散乱因子ここで物質中の屈折率n(ω)をと置くと、波数kは係数δとβの関数となる。

ただしkをE(r, t)に代入すると真空中の時空発展

位相シフト→散乱

吸収が大きい物質をフィルターに使えば効率よく吸収できる。
85

原子散乱因子高エネルギーでは大体Zになる

f1

f2

Photon energy [eV]Photon energy [eV]Photon energy [eV][X-ray Data Booklet, LBNL]

目的に応じて金属を使い分けるの形でテーブル化される。
Al, Cu → 制動放射を吸収
Fe → 全波長を吸収で吸収後の強度が求まる。 μを使うと透過関数は

•
•

86

SuperKEKBのX線フィルター

Si 625 um + Au 19 um

SuperKEKBではBe膜を• X線窓: ビームラインとX線ラインの真空を分離• X線フィルター: X線強度を抑制の両目的に使用。
フィルター無しだとSiマスク損傷[Flanagan et al, IBIC2013, wepf15]

BeのX線透過度
t=100 umt=200 um

[Mulyani et al, NIM A 919, 1]

HER Ec = 7.2 keV

t=16 mm
Ec辺りを減らすためには分厚いフィルターが必要

87

SuperKEKBのX線フィルター
厚すぎるフィルターも問題• Beはフィルターに向いていない••
CesrTAと同程度の強度となる[Flanagan et al, IBIC2013, wepf15]88(吸収が小さい)。
厚くすると散乱の寄与が目立つ。
将来はCuフィルターも検討。

t = 14 mm

マスクの材質
CesrTA (5.3 GeV)で試験

200 mA, 5分間• マスク Si 625 um + Au 19 um• 200 mA~SuperKEKB e+リング• 243 mAでX線を直接照射するとマスクに損傷あり

243 mA, 5分間

表面のCuが溶けたと予想• マスク CVDダイヤ 350 um + Au 8.7 um• 多結晶ダイヤ熱伝導率>1000 W/m·K• 243 mAでX線を直接照射してもマスクに損傷無し

照射前SuperKEKBではCVDダイヤ基板
600 umを使用(高価だが)。
[Flanagan et al, IBIC2013, wepf15]
89

照射後

マスクのAu層の厚み
マスク断面図Au
CVD

Au層のX線透過度

33 um

20 um
600 um• スリット部だけAuなし• Au層有無による透過度の差が大きいとコント
ラストがはっきり → ビームサイズ分解能向上• スリット幅 33 umよりAu層を厚く出来ない→ 厚いと幅の精度が落ちる (製作上の限界)

高エネルギー側は筒抜け

t=10 umt=20 um[Mulyani, Ph.D thesis]90

X線マスクチェンバー
上下昇降機構
冷却水(入)

マスクホルダー

X線
冷却水(出)

マスクホルダー用ロッド

1 2 3

X線

• 一つのホルダーに3個のマスクを同時装着可能。
• 上下昇降機構(50 mm可動)でマスクを選択。

15 mm x 3
91

水冷チラー•X線窓, フィルター, マスクチェンバーを水冷チラーで冷却。
•チラーが止まるとインターロックが動作(焼け落ち防止、たまに誤報あり)。
92X線マスクチェンバーの振動
チラー停止

チラー運転

加速度センサー• 主な振動源：東大通り、チラー、遠心装置、関東ローム層• チェンバーの振動はビームサイズ測定に影響大
見かけの像 ~ √(真の像2 + チェンバーの振動2)• 加速度センサーを用いてXYZ方向の振動を測定• チラーがかなり大きな振動源だった• (後に説明する)検出器の露光時間が短ければ影響無し→ 無いように測定速度を早める
93

この辺りで0.16 µm程度の揺れ[増澤, 川本, 2019年12月測定]

X線マスクチェンバーの振動の影響
A: チェンバーの振動の振幅
ω: 振動の角周波数 (ω=2πf)t2-t1: 測定時間 (CMOSの露光時間)と置くと振動の標準偏差は

A=1umと仮定
露光時間
黒: 10 us
赤: 100 us
緑: 1 ms
青: 10 ms

バンチ間隔(>6ns)があるので数値積分ではなくシミュレーションが必要。

振動の周波数•SuperKEKB X線マスクチェンバーは20 Hzで0.2 um、100 Hzで0.01 um•

程度の振動なので、上図を1/10または1/100スケールすれば良い。
CMOSカメラの露光時間 (100 us)では問題にならない。
94

X線マスクチェンバーの振動の対策
チラーと銅管の間にテトロンブレード
ホースを挿入 → チラーの振動を分離

対策前
10-20

対策後
10-20

95

[増澤, 川本, 2020年1月測定]

X線検出器vacuumマスク

air

ビームサイズに応じて太った光像を検出器で捉える• 位置分解能• 強度分解能• ダイナミックレンジ• S/N比• 高速性

Beフィルター

10 m

30 m
シリコン検出器

検出器箱(Heで充填)X線

シンチレーター
+ カメラ

Be窓
96

X線検出器箱の内部レイアウト
He

シリコン検出器回路

高サイズ分解能, τ~100us
運転中
Be窓 (0.2 mm)

シリコンセンサー

シンチレーター
Cuコリメータ~10-7 Pa

透過したX線

X線
レンズ

バンチ毎のビームサイズ測定
開発中 (KEK, ハワイ大, SLAC)

CMOSカメラハッチ
97

2
検出器箱内のO パージとHe充填• X線と大気の散乱・吸収を•98防ぐため検出器箱内をHeで満たす。
He流量計とO2濃度計でHe充填を確認。

垂直方向

11 mm

シンチレーター + カメラの概略

水平方向

11 mm
X線がシンチレーターに照射され、その際発光した蛍光を測定
位置分解能

シンチレーター上で11um/pixel x 1000-2000 pixel

強度分解能

12bit ADC (科学計測用では16bitもある)

ダイナミックレンジ 一般的に70-80 dB
S/N比~50カウント以下@12bit (ほとんど漏れ込んだ光の影響)

高速性

一般的に最短露光時間は30 us (~30 kHz)99

CMOS/CCDカメラBasler Ace acA2440- IO Industry32B21620gm
CX

Allied Vision Manta
G-031

Sony CMOS IMX264 Sony CMOS IMX252

Sony CCD ICX618

ピクセルサイズ3.45 µm x 3.45 µm

5.6 μm x 5.6 μm

ダークノイズ

2.3 e-

ダイナミックレンジ

73.4 dB

73.6 dB

S/N比40.2 dB

40.4 db

フレームレート (/s)

23 (2448 x 2048
pixs)

167 (2064 x 1544
pixs)

125 (656 x 492 pixs)

インターフェースGigE

CoaxPress (BNC)

GigE

センサー

3.45 μm x 3.45 μm

12.9 eˉ62.4 dB• CCDは~300 Gy、CMOSは~1k Gyでセンサーに異常が出る (出力異常や斑点)。
• センサーが同じならばピクセルサイズやフレームレートは同じ。
• 読み出しはメーカー謹製のSDK(C/C++, 無料が多い)を使うか、LabViewと連携。
100

シンチレーターの材質
B. Walasek-Höhne, IBIC 2019, TUBO01“LuAG:Ceの密度はYAG:Ceに比べて大きい。”
“CCDカメラ1pixelあたりの光量は
LuAG:CeがYAG:Ceに比べて1.5倍大きい。”[Tous et al., NIM A 591, 264–267]

SuperKEKBでは主にLuAG:Ce → HER (電子7 GeV)YAG:Ce → LER (陽電子4 GeV)と使い分け。

• 密度が大きいLuAG:Ceの方がX線像がシャープになる。
• LERは放射強度が小さいので、シリコン検出器までより多くのX線を透過させるためYAG:Ceを使用。

[Kube et al., IPAC 12, weoaa02]
101

シンチレーターの厚み
厚みを増すと厚みによる光学的なにじみ
蛍光のsaturation
多重散乱

厚みを減らすとシャープな像蛍光量低下
扱いに注意を要する

•
•
•

•
•
•

YAG:CeYAG:CeYAG:Ce[Naito et al., PASJ14]•SuperKEKBではこれまで100um厚を使用。
•ちなみに50um厚も持っているが扱いが大変なので未使用のまま。
102

実際のデータ (電子リング 7 GeV)
谷の深さと細かい凸凹に着目

σy = 30 um
σx = 119 um

σy = 34 um
σx = 122 um

σy = 39 um
σx = 121 um

σy = 40 um
σx = 123 um

σy = 93 um
σx = 114 um

赤 : データ
黒 : ベストフィット
103

実際のデータ (陽電子リング 4 GeV)
谷の深さと細かい凸凹に着目
σy = 24 um
σx = 104 um

σy = 35 um
σx = 106 um

σy = 45 um
σx = 115 um

σy = 50 um
σx = 101 um

σy = 55 um
σx = 109 um

赤 : データ
黒 : ベストフィット
104

シンチレーターの汚れの影響
汚れ・焼け

使用前
垂直方向プロファイル

汚れ・焼け

3ヶ月使用後X線像 (マスクなし)

シンチレーター表面の傷
修復不可能なのでフィットから除くしかない• シンチレーター表面の汚れ・焼け・傷は基本的に治らない。
• 汚くない場所にX線を当てる様

水平方向プロファイル

移動するか、ソフト的に対応す
る他ない。

105

シリコンストリップ検出器 (開発中)
垂直ビームサーズ

測定したいのはバンチ毎のビームサイズ(電子雲等によるビーム不安定の研究に有益)
CMOSカメラで測定できるのは
100 usの積分値 (~104バンチ)
バケツ#

高速シリコン検出器

センサーモジュール106

シリコンストリップセンサー

シリコンストリップ検出器 (開発中)• 高速測定だけなら高速ゲートカメラでも良いが…
• 放射線環境下での長期運転を考えると専用回路が必須。
• 光モニター用回路は基本的にBelle II TOP検出器のコピー。シリコンストリップセンサー模式図

センサー奥行き 2mm(→ 極力透過させない)
チャンネル幅 50um
全 128チャンネル

X線• 水平方向には感度がないので水•[Nishimura, BPAC 2018]107

平方向は別検出器で測定する。
CMOSカメラ(シンチレータ上で10um/pixel x 1000 pixel)と比
べると空間分解能は劣る。

バンチ毎のビームサイズ測定
ストリップ ID• ビーム由来の信号を捉えている。
• アナログアンプの発振が未解決。
• ch毎のゲイン校正も今後の課題。
• FPGAで初期解析を行う改造中。

Bunch-by-bunch

この辺がビーム起因

発振
2.6 GSa

ストリップ ID

サンプリング108

垂直位置 (um)水平方向ビームサイズ測定
水平方向のビームサイズをどうやって測定するか？
(ここでは単純な幾何光学を使って議論)
バンチ内電子の水平方向分布がガウス分布N(x0, μ, σ)に従うとすると

x0R
x0

の時

銅コリメータ10 m

500 um

30 m

x2
の時

t = 2 mm垂直

(erf: 誤差関数)

フィット結果からσxが求まる
分布がなだらか → σx大きい
分布が四角に近い → σx小さい

水平

109

水平方向ビームサイズ測定
SuperKEKB Phase 1 (2016.2 - 2016.6)後のマスクホルダー
マスクホルダーのCuロッド部分 (裏面)

マスクホルダーのCuロッド部分 (表面)

X線

鉛直上向き
幅500 um, 深さ2 mmのコリメータ

X線の跡
電子は水平方向に偏向されるのでシンクロ
トロン放射も水平方向に長い分布を持つ
Cuの減衰距離(強度が1/eに落ちる距離)は100 um(εph = 30keV)。深さ2 mmのCuならばコリメータに当たったX線はほとんど落とせる。

110

水平方向ビームサイズ測定
3通りのを想定して計算してみる[courtesy of Fukuma]

111

発光地点の奥行きの影響
electron 1•電子ビームの軌道がx-z平面で偏向さ
y軸
x軸

electron 2

LB

z軸

•
•

れるとする。
偏向電磁石はz軸方向に有限の長さLBを持つので発光点も実際はz軸方向に長さを持った発光領域になる。
発光領域の長さδL (≦ LB)はビームサイ
ズ測定に影響するか？

[courtesy of Mitsuhashi]

112

発光地点の奥行きの影響
まず、右図の状況を想定して
δyとδLの関係を求める。
シンチレーター上では

δy

A

y0

B

yB

δL
L0

L1

なので

A
半径 a
が得られる。右図を思い出して[Attwood,
AST210/EECS213, UC Berkeley]と置いても良いが、折角なので波長依存性を見てみる。
113

B

yA

水平方向広がり角の波長依存性
一般化した計算 (角度に制限なし)[Mitsuhashi et al., IBIC 2017, WEPCC09]

水平方向の角度：ξ
垂直方向の角度：ψ
またと置いた

上式を使うと水平方向の角度ξの平均はと得られる。

波長が長いと広がり角が大きいを代入すると確かにという(波長依存を無視した)関係が得られる。

[Attwood, AST210/EECS213, UC Berkeley]114

SuperKEKBでの発光地点の奥行きの影響
δy
光子エネルギー1 KeVの時は

A

y0

B

yB

δL
L0

L1

11 mm

だから

を代入するとCMOSカメラでシンチレーターを眺めると~10um/pixel→ 3umの影響は無視できる
115

11 mm

yA

Matching• これまでの議論ではビームはx-z平面上を運動し、速度のy成分は0と置いてきた。しかし実際はビーム内の荷電粒子は各々有限の角度を持って運動する。
• ビームの空間的な広がりよりもスリットの広がりが大きい必要がある。

測定しているビームサイズが実際の位相空間の一部ではまずい。

x’

x

ビームの位相空間
x : 粒子分布の空間広がりx’ : 粒子分布の角度広がりε : エミッタンス
α, β, γ : Twissパラメータ116

Matching
SuperKEKBのX線発光点ではだからエミッタンスはデザイン値(SuperKEKB Phase1)を採用してとすれば角度分布の最大値は
これは発光点から40m離れた場所では8 umにしかならない。
SuperKEKB X線モニターはビームの角度広がりもカバーしている。

117

まとめ

SuperKEKB X線ビームサイズモニターを題材に光モニターの基礎を学習。
シンクロトロン放射の放射強度、空間的・時間的な広がりを求めた。

Kirchhoffの回折公式からFresnel又はFraunhofer回折を導き、光の回折を計算出来るようになった。
ビームサイズモニターを扱う上での注意点を学んだ。

118

Backup119

荷電粒子の軌道と観測者が観測した時刻[Feynman, Lectures on Physics (I)]x

5の場合の軌道x(tret)と観測された時刻t
荷電粒子の軌道

観測者

10
0

z

dt/dtret

観測者の時刻Retarded time (遅延時間、遅れた時間)

θ
120[courtesy of Mitsuhashi]

観測者から見た電荷の軌道
観測者に電荷から情報が届くタイミングが一定でないので、こういう軌道に見える。

[courtesy of Mitsuhashi]

注：観測者の方向とx軸は直行するので、ここではDoppler効果は関係ない。
121