Gibt es verschiedene Arten unendlich?
Dieter Wolke

1. Zuerst zum Gebrauch des Wortes unendlich. Es wird in der Mathematik in zwei
unterschiedlichen Bedeutungen benutzt.
Erstens im Zusammenhang mit Funktionen. Zum Beispiel bei
f (x) =1xfür x > 0.

Nähern wir uns mit x von rechts der Null, dann übersteigt f (x) jede vorgegebene
Schranke. So ist f (x) > 1020 so bald x < 10−20 . Man sagt: f (x) geht (oder divergiert)
gegen ∞.
Ähnlich ist es bei f (x) = x2 für x → ∞. Unendlich“ also in dem Sinn, dass die Variable”
oder die Funktionswerte (oder beide) jede noch so große Schranke überschreiten.
Die zweite Art des Gebrauchs dient der Beschreibung großer“ Mengen. So ist die Men”
ge N der natürlichen Zahlen, N = {1, 2, 3, . . . } unendlich, hat unendlich viele Elemente.
Keine noch so große natürliche Zahl n ist in der Lage, die Anzahl der Elemente von Nzu charakterisieren.
Zweites Beispiel. Die Menge der Nullstellen der Sinus–Funktion x → sin x (x ∈ R)
ist unendlich, denn es sind die Zahlenkπ

mit k ∈ Z = {0, ± 1, ± 2, . . . }Mit dieser Bedeutung des Wortes unendlich wollen wir uns im Folgenden befassen. Insbesondere mit der Frage: Kann man bei unendlichen Mengen in Bezug auf dieGröße (oder Mächtigkeit) noch differenzieren? Gibt es sehr große“ unendliche”
Mengen, die mehr“ Elemente haben als zum Beispiel N?
”
2. Wie kann man das Wort endlich“ beim Umgang mit Mengen charakterisieren? Es”
gibt einelementige Mengen, zweielementige, usw. Es gibt auch die leere Menge, die kein
Element enthält (z.B. die Menge der Bürger Freiburgs, die älter sind als 115 Jahre).
Es sei einmal vorausgesetzt, dass wir wissen, was die natürlichen Zahlen sind. Dann
heißt eine Menge M endlich, wenn siea) leer istoderb) ein n ∈ N existiert, so dass die Elemente von M als a1 , a2 , . . . , an numeriert
werden können. (Dabei sollen zu verschiedenen Nummern auch verschiedene Elemente gehören).
Jede nicht endliche Menge heißt unendlich.

13. Als Beispiele für unendliche Mengen fallen einem sofort die Zahlenmengen
N = {1, 2, 3, . . . }, N0 = {0, 1, 2, . . . },Z = {0, 1, −1, 2, −2, . . . }Q = Menge der rationalen Zahlen
a= Menge der gekürzten Brüche(n ∈ N,na ∈ Z,

a und n teilerfremd).

N und N0 sind von besonders einfacher Natur. Sie lassen sich als Folge“ oder Kette“””schreiben, die mit einem ersten Element beginnt, dann folgt ein zweites, dann eindrittes, usw. Die Kette hört rechts nicht auf.
Der folgende Begriff ist daher einleuchtend. Eine Menge M heißt abzählbar unendlich, wenn siea) unendlich istundb) die Elemente von M sich durch N numerieren lassen.
(Das heißt: Jedes a ∈ M erhält genau eine Nummer n ∈ N heißt fortan an . Umgekehrt
wird jedem n ∈ N genau ein a ∈ M als an zugeordnet).
Oder auch: Es gibt eine umkehrbar eindeutige Beziehung zwischen den Elementen von
N und denen von M .
1 ←→ a1 ,2 ←→ a2 , . . .

N selbst ist abzählbar unendlich.
a1 = 1, a2 = 2, . . . ,an = n.

N0 ist abzählbar unendlich, z.B.
a1 = 0,a2 = 1,a3 = 2, . . .

an = n − 1.

Auch Z ist es, z.B.
a1 = 0, a2 = 1, a3 = −1, a4 = 2, a5 = −2, . . .
Als Regel dient:
a1 = 0,a2k = k,a2k+1 = −kfür k ∈ N.

Bei Q könnte man meinen, dass es nicht geht. Aber es ist möglich. Dazu ordnen wir dierationalen Zahlen nach den Nennern. In die erste, links und rechts unbegrenzte Zeileschreiben wir die Ganzen, in die zweite die Halben, in die dritte die Drittel, usw.
(1)
(2)
(3)

... − 2 − 1 0 1 2 3...
1 1 3 5 73−
...
... −
22 2 2 2 22
1 1 2 4 5... −−...
33 3 3 3 3..
.
2

Dann ordnen wir diese doppelt unendlich vielen Zahlen zu einer Folge, indem wir dasSchema in immer größer werdenden Rechtecken durchlaufen:
0, 1,3 11
5 4 2 1
1
2
3, , − , − 1, 2, , , , , − , − − , − 2, . . .
2 2
22 3 3 3
33
2

Also auch hier Abzählbarkeit. Jedes x ∈ Q tritt genau einmal als Folgenglied an auf.
4. Das Abzählen“ oder Numerieren“ von Mengen ist ein Beispiel für das Vergleichen””
von Mengen hinsichtlich ihrer Größe“ oder Mächtigkeit“.
””
Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn es eine umkehrbar eindeutige
Zuordnung zwischen den Elementen von A und B gibt, d.h. jedem a ∈ A wird genau
ein b ∈ B zugeordnet, und jedes b ∈ B ist Partner genau eines a ∈ A.
Oder: Die Elemente von A und B können zu Paaren geordnet werden, so dassa) Monogamie herrschtundb) weder in A noch B Unverheiratete übrigbleiben.
Abzählbar unendlich heißt hiernach: Gleichmächtig zu N.
An den obigen Beispielen hat man schon gesehen: Zwei Mengen, von denen eine wesentlich umfassender erscheint als die andere, so wie Q und N, können gleimächtig
sein. Ein anderes Beispiel: Die Menge der Quadratzahlen 1, 4, 9, 16, . . . ist eine starkausgedünnte Teilmenge von N. Trotzdem ist sie gleichmächtig zu N.
Es ist nicht schwer einzusehen, dass auf die Weise Endlichkeit und Unendlichkeit vonMengen charakterisiert werden können: Eine Menge ist endlich genau dann, wenn sie zu
keiner echten Teilmenge gleichmächtig ist. Sie ist unendlich, wenn es echte Teilmengengibt, zu der sie gleichmächtig ist.
5. Nun zu unserer Hauptfrage: Sind alle unendlichen Mengen abzählbar odergibt es überabzählbare Mengen? Überabzählbar bedeutet: Wie auch immer man
eine Folge a1 , a2 , . . . von Elementen der Menge M auswählt, es werden einige nicht
erfasst. M ist unendlich, aber nicht gleichmächtig N. Keine abzählbare Teilmenge vonM schöpft M völlig aus. M ist mächtiger“ als N.
”
Zur Vorbereitung des Cantorschen Verfahrens betrachten wir eine weitere abzählbareMenge. Bekanntlich kann jeder Brocken Information digitalisiert, d.h. in eine endliche
01–Folge oder ein 01–Wort übersetzt werden. Sei M` die Menge aller endlichen 01–Wörter. Es fängt an mit dem leeren Wort ¤, den zwei Wörtern 0 und 1 der Länge
1, den vier Wörtern 00, 01, 10, 11 der Länge 2, uws. Zu jedem n ∈ N gehören 2n01–Wörter der Länge n. M` ist offenbar abzählbar unendlich.
Die Mathematikerin kann, im Gegensatz zum Computer, mit unendlichen 01–Wörternarbeiten. Dies sind nicht abbrechende Zeichenreihen
w:z1 z2 z3 . . .

mit zn = 0 oder = 1 für n = 1, 2, . . .

3

Im Wesentlichen sind dies die reellen Zahlen zwischen 0 und 1. So wie man reelle Zahlen
im Dezimalsystem darstellt, z.B.
e − 2 = 0, 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 . . . ,geht dies auch im Binärsystem. Man muss dabei nur beachten, dass ähnlich wie bei
0, 1 3 9 9 9 . . . = 0, 1 4 0 0 0 . . .
auch im Binärsystem leichte Mehrdeutigkeit herrscht:
0, z1 . . . zk 0 111 . . . = 0, z1 . . . zk 1 000 . . .
Der Cantorsche Beweis, der ursprünglich auf R ausgerichtet war, soll hier in etwas
einfacherer Weise für Mu , die Menge der unendlichen 01–Wörter geführt werden.
Mit wenig Zusatzaufwand kann man die Schlussfolgerung, die Überabzählbarkeit, dannauch für R aussprechen.
Die Beweisstrategie ist klar: Sei w1 , w2 , . . . irgendeine Folge von Mu –Elementen, unendlichen 01–Wörtern. Dann konstruiere man ein w ∈ Mu , das nicht in der Folge auftritt,also mit keinem wn übereinstimmt.
Wir schreiben die wn der Reihe nach hin und benennen ihre Ziffern.
w1 : z11 z12 z13 z14 . . .
w2 : z21 z22 z23 z24 . . .
w3 : z31 z32 z33 z34 . . .
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
Die entscheidende Idee Cantors besteht darin, auf die Diagonalfolge“”
wd : z11 z22 z33 z44 . . .
zu schauen und diese umzukehren“.
”½1,y1 =0,½
1,y2 =0,falls z11 = 0
falls z11 = 1,falls z22 = 0
usw.
falls z22 = 1,Allgemein½
yn =1 , falls znn = 0
0 , falls znn = 1.

Mit diesen Ziffern bildet man das Wort
wc : y1 y2 y3 . . .
Dieses Wort ist von allen wn unserer Folge verschieden. Denn für beliebiges n ist die
n–te Ziffer von wn gleich znn , die n–te Ziffer von wc gleich yn . Nach Konstruktion ist
4aber znn 6= yn , also sind wn und wc verschieden, da sie sich in mindestens einer Ziffer
unterscheiden. Mit wc ist also ein Wort gefunden, das nicht in der Folge w1 , w2 , w3 , . . . ,vorkommt. Ergebnis: Mu ist überabzählbar.
Die wichtige Cantorsche Idee, die Diagonale umzukehren, hat sich als ungemein fruchtbar erwiesen, und tritt heute als Cantorsches Diagonalverfahren“ in vielen Un”
tersuchungen entscheidend auf. Zum Beispiel bei grundsätzlichen Fragen wie:
Was kann ein Computer prinzipiell leisten? Kann man die mathematische Forschungohne Verlust Computern überlassen? (Antwort: Nein!)Georg Cantor lebte von 1845–1918. Zwischen 1875 und 1884 veröffentlichte er seine
epochemachenden Arbeiten zur Mengenlehre, die durch ihn überhaupt erst zu einem
Teilgebiet der Mathematik wurde.
6. Es wurde eben gezeigt, dass man zu der abzählbaren unendlichen Menge M` diegrößere“ Mu angeben kann. Man kann allgemein fragen, ob sich zu jeder unendlichen”
Menge M eine mächtigere M 0 finden lässt. Zu einer natürlichen Zahl n eine größereanzugeben, ist kein Problem, zum Beispiel tut es immer n + 1. Gibt es zu unendlichenMengen ein ähnlich einfaches Rezept? Das gibt es, wenn auch nicht ganz so simpel.
Zu jeder Menge M lässt sich die Potenzmenge P (M ) definieren. Als Elemente von
P (M ) dienen alle Teilmengen von M . Bei endlichen M hat man eine gute Vorstellung
von P (M ).
P (∅) = {∅}, P (∅) hat ein Element.
¡ ¢ ©
ªP {1} = ∅, {1} , hat zwei Elemente.
¡¢ ©
ª
P {1, 2} = ∅, {1}, {2}, {1, 2} , hat vier Elemente.
¡¢Allgemein: P {1, . . . , n} hat 2n Elemente.
Für n ∈ N gilt stets 2n > n. Für endliche Mengen stimmt also die Aussage, dass P (M )mächtiger ist als M .
Sie gilt auch für unendliche Mengen. Dazu überlegt man sich zwei Dingea) P (M ) hat mindestens so viele Elemente wie M . Dies ist einfach. Denn P (M )hat alle einelementigen Teilmengen {a} mit a ∈ M als Elemente. Das zweiteb) P (M ) hat mehr“ Elemente als M , ist trickreicher.
”Es wird ähnlich wie oben gezeigt. Da M nicht unbedingt abzählbar ist, muss manetwas abstrakter argumentieren. Es werde jedem a ∈ M ein T (a) ∈ P (M ), d.h. eine
Teilmenge von M zugeordnet. Verschiedenen a’s werden verschiedene T (a) zugeordnet.
Es findet also eine Massenhochzeit“ statt, bei der alle M –Elemente a eine(n) Part”
ner(in) T (a) ∈ P (M ) abbekommen. Wenn wir zeigen können, dass auf der P (M )–Seite
stets mindestens ein Element übrig bleibt, ist das Ziel erreicht. P (M ) ist mächtiger
als M . Ein solches Mauerblümchen“ A ∈ P (M ) bzw. A ⊆ M zu finden, ist nicht”
ganz einfach.

5

Jedem a ∈ M wird T (a) ⊆ M zugeordnet. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten
1)a ∈ T (a) und 2)

a 6∈ T (a)In die Menge A nehmen wir alle a ∈ M auf, für die die zweite Alternative a 6∈ T (a)gilt.
A kann leer sein, es kann ganz M sein, oder irgendeine Teilmenge von M . Wie esaussieht, spielt keine Rolle. Es wird sich als Mauerblümchen herausstellen.
Wir nehmen an, es hätte einen Partner, ein Urbild b in M , d.h.
A = T (b).
Was gilt für b?
1)b ∈ A oder2)b 6∈ A.

Im Fall 1) ist b ∈ A = T (b). Nach Konstruktion von A müßte aber b 6∈ T (b) gelten. Im
Fall 1) kommen wir somit zu den einander widersprechenden Aussagenb ∈ T (b) und b 6∈ T (b).
Der Fall 1) kann also nicht eintreten.
Bleibt Fall 2) b 6∈ A = T (b). Wegen b 6∈ T (b) wird b in A aufgenommen, also b ∈ A =T (b). Erneut ein Widerspruch!
Der Widerspruch kann nur dadurch aufgelöst werden, dass wir die Annahme A
hat ein¢”¡
Urbild b“ fallen lassen. Das P (M )–Element A wird also bei der Paar–Bildung a, T (a)nicht erfasst. P (M ) ist größer“ als M .
”Das Rezept Man gehe über zur Potenzmenge“, mehrfach angewandt, führt also zu”
schwindelerregend großen Mengen. Man kann sich nach diesen ersten Überlegungenvorstellen, zu wievielen, zum Teil noch heute ungelösten Fragen, der Cantorsche Anstoß geführt hat. Die mengentheoretischen Begriffe, naiv benutzt, führen auch schnell
zu Widersprüchlichkeiten. Das scheinbar vernünftige Objekt Die Menge aller Men”
gen“ wäre so etwas wie die größte, umfassendste aller Mengen. Andererseits haben wir
gerade festgestellt, dass es eine solche Menge nicht geben kann. Insofern hat Cantors
Einführung der Mengenlehre auch dazu geführt, grundsätzlich über das mathematischeFormulieren und Argumentieren nachzudenken. Denn eine mathematische Theorie, dieAbsurditäten erlaubt, taugt nichts.

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