Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
Institut für Mathematik
Abteilung für Reine Mathematik
Prof. Dr. D. Wolke
Dipl.-Math. S. Feiler

1: Mo 16-18, SR 318
Christian Marquardt

2: Di 11-13, SR 119
Jonas Unger

3: Di 11-13, SR 125
Michael Gutmann

4: Di 11-13, SR 112
Stefan Fischer

5: Di 16-18, SR 119
Kai Siebold

6: Di 16-18, SR 125
Arno Pauly

7: Do 11-13, SR 127
Sarah Marzi

8: Do 16-18, SR 414
Bianca Straub

9: Fr 11-13, HS II
Elisabeth Wursthorn

10: Fr 11-13, SR 414
Nicolas Ketterer

11: Fr 12-14, SR 218
Christian MarquardtFragestunde: Do 09-11
Simon Feiler, SR 414

Übungen zur Vorlesung

Mathematik für Ingenieure und Informatiker I
Wintersemester 2007 / 2008

Übungsblatt Nummer 5
19. November 2007
Abgabe am Montag, den 26.11.2007 vor der Vorlesung
Bitte die Lösungen mit Name, Matrikelnummer, Übungsnummer und Name des Tutors versehen.

Bitte beachten Sie die gültigen Übungszeiten und Übungsräume:Nr.
Zeit
Ort
1Mo, 16 - 18 Uhr
SR 318
2Di, 11 - 13 Uhr
SR 1193Di, 11 - 13 Uhr
SR 125
4Di, 11 - 13 Uhr
SR 1125Di, 16 - 18 Uhr
SR 119
6Di, 16 - 18 Uhr
SR 125
7Do, 11 - 13 Uhr
SR 127
8Do, 16 - 18 Uhr
SR 414
9Fr, 11 - 13 Uhr Hörsaal II
10Fr, 11 - 13 Uhr
SR 414
11 Fr, 12 - 14 Uhr
SR 218

Tutor/in
Christian Marquardt
Jonas Unger
Michael Gutmann
Stefan Fischer
Kai Siebold
Arno PaulySarah Marzi
Bianca Straub
Elisabeth Wursthorn
Nicolas Ketterer
Christian Marquardt

Gebäude
Eckerstraße 1
Eckerstraße 1
Eckerstraße 1H.-Herder-Str. 10
Eckerstraße 1
Eckerstraße 1
Eckerstraße 1
Eckerstraße 1Albertstraße 23bEckerstraße 1
Eckerstraße 1

Ihre Übungsgruppe ist durch einen Eintrag Üb. Math. f. Ingenieure und Informatiker I“ oder”
Üb. Math. f. Ingenieure und Physiker I“ in dem jeweiligen Raumplan gekennzeichnet.
”
Aufgabe 13
Berechnen Sie die Nullstellen der folgenden Polynome!
Geben Sie je eine Faktorisierung der Polynome über R und über C an.

K → Ka) fK :für alle K ∈ {R, C}.
x 7→ fK (x) := 4 · x3 + 8 · x2 − 11 · x + 3

K → Kb) gK :für alle K ∈ {R, C}.
x 7→ gK (x) := 6 · x4 − 25 · x3 + 32 · x2 + 3 · x − 10bitte wenden

Aufgabe 14√
Der ursprüngliche Gedanke, der zur Einführung der Wurzel · führte, war die Frage nach den √Lösungen x√∈ Ra und − a).
der Gleichung x2 = a für ein geeignetes a ∈ R. Für a > √0 hat diese Gleichunggenau
2Lösungen(√Auf dieselbe Art wurde für ein q ∈ N die q-te Wurzel q · eingeführt. q b ist eine (falls q gerade und b ≥ 0 ist)bzw. die (falls q ungerade ist) Lösung y ∈ R der Gleichung y q = b.
√Aus technischen Gründen wurde für ein gerades p ∈ N und ein c ∈ R mit c ≥ 0 stets p c ≥ 0 gesetzt. Durchdiese Festlegung wurde die q-te Wurzel eindeutig.
In C wird nun die Wurzel nach diesem Gedanken fortgesetzt. Man sucht für ein n ∈ N und ein z ∈ C wieder dieLösungen ξ ∈ C der Gleichung ξ n =√z. Nun gibt es in C keine Relation, die der Ordnung von R (also dem ≥)entspricht, so dass eine Definition n z ≥ 0“ keinen Sinn machen würde. Auch gibt es nicht für jedes z ∈ C ein”
w ∈ R mit wn = z. Es ist alsokeine der Lösungen von ξ n = z in irgendeiner Weise ausgezeichnet.
√Deshalb meint man
mit n z“ für ein n ∈ N und ein z ∈ C stets alle Lösungen ξ ∈ C der Gleichung ξ n = z.
√”
nInsbesondere
ist z nicht eindeutig definiert.
√nz ist also keine Zahl, sondern eine Schreibweise.
√nz meint stets eine Zahl aus der Menge {ξ ∈ C : ξ n = z}.
In C gibt es immer genau n verschiedene Lösungen ξ ∈ C der Gleichung ξ n = z.
VORSICHT!!! Ist √Im (z) = 0, so gibt es ein s ∈ R mit z = s. Bei reellen Zahlen muss man sich sich stets sicher
sein, ob man mit n s die (unter den oben genannten Bedingungen und Konventionen) eindeutige Lösung σ ∈ R
der Gleichung σ n = s (in R) oder eine der n Lösungen ζ ∈ C der Gleichung ζ n = z (in C) meint.

Berechnen
Sie nun den Realteil
aller angegebenen komplexen Wurzeln!
√√ √ und√den Imaginärteil√(Mit · sind reelle, mit 2 · , 3 · , 4 · und 6 · komplexe Wurzeln gemeint.)
Skizzieren Sie die Lösungen der Aufgabenteile a) und b) in der komplexen Zahlenebene!
pp
√
√
√
√
√
34a) 2 ib) 6 1c)
4· 2+i·4· 2d)−2 + 2 · 3 · i

Aufgabe 15
Will man den Graphen einer Funktion g : C → C zeichnen, so fehlt im dreidimensionalen Raumstets eine Dimension“.
”
Man behilft sich, indem man die Bilder der achsenparallelen Geraden, die Betragsfunktion unddie Höhenlinien der Funktion zeichnet. Dann hat man eine ungefähre Vorstellung davon, wieder Graph von g aussieht.
Dieses sollen
Sie nun für die Quadratfunktion
tun.

C → C
Sei f :.
z 7→ f (z) := z 2a) Zeichnen Sie die Bilder der zur Imaginärachse parallelen Geraden unter f und die Bilder
der zur Realachse parallelen Geraden unter f .
Bemerkung: Eine zur Imaginärachse parallele Gerade ist {z ∈ C : z = α + i · Im (z)} mit
einem festen α ∈ R.
C → R+0b) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion |f | :.
z 7→ |f | (z) := |z 2 |c) Zeichnen Sie die Höhenlinien von f .
Bemerkung: Die Höhenlinien einer komplexwertigen Funktion bezeichnen diejenigen
Mengen, deren Elemente alle auf komplexe Zahlen mit demselben Imaginärteil oder mit demselben Realteil abgebildet werden.
Die Höhenlinie zum Imaginärteil β ∈ R von f wäre also{z ∈ C : Im (f (z)) = β}.
Die Höhenlinie zum Realteil α ∈ R von f wäre dementsprechend{z ∈ C : Re (z 2 ) = α}.