情報処理学会 インタラクション 2015
IPSJ Interaction 2015

A73
2015/3/5

ボリュームディスプレイのための接線曲面可視化ツール
山本 欧1,a)

國分 雅敏1,b)

概要：接線曲面は，空間曲線の接線の集合で構成される可展面であり，車体や船体，衣類のデザインに応用されている．接線曲面は複雑な構造を持つものが多く，2D 画面での表示からはその形状を理解することが困難である場合が多い．本研究では，ボリュームディスプレイ上に接線曲面を表示するためのソフトウェアツールを提案・実装し，接線曲面の表示におけるボリュームディスプレイの有効性の評価を行った．

Visualization Tool for Tangent Developables on a Volumetric Display
Yamamoto Ou1,a)Kokubu Masatoshi1,b)

Abstract: A tangent developable is a developable surface constructed by the union of the tangent lines of aspace curve. These surfaces have applications in engineering, such as for designing cars, ships, and apparel.
However, since tangent developables typically have complicated and twisted surfaces, it is diﬃcult to understand their structures from their images on a 2D screen. In this study, we propose and evaluate a softwaretool for visualizing tangent developables on a volumetric display that draws 3D images directly in real 3Dspace.

1. はじめに接線曲面（tangent developable）[1][2] は，滑らかな空間曲線の接線の集合で構成される可展面であり，数学以外にも車体や船体，衣類のデザインに応用されている [3][4]．
図 1 に，次式で示される空間曲線の接線曲面を示す．

c(t) = (cos3 t, sin3 t,√2 − cos3 t − sin3 t ), −1.0 ≤ t < 1.0.
(1)

図 1 に示されるように，一般に接線曲面は捩れを含む構造を持ち，空間曲線のパラメタ値を連続可変すると複雑な変形を行うため，2D 画面上の表示からその形状や変形の様子を理解することが困難である場合が多い．したがって，より理解の容易な形での表示方法があれば，接線曲面を利用したデザインや数学教育において有用である．そのような表示方法の 1 つとして，実空間に直接立体を描く

図 1

接線曲面の例

Fig. 1 Example of a tangent developable

ボリュームディスプレイ [5] による表示があげられる．筆1a)b)

東京電機大学Tokyo Denki University
ou@mail.dendai.ac.jp
kokubu@mail.dendai.ac.jp© 2015 Information Processing Society of Japan430

者らは，市販部品から構成できる体積走査方式のボリュームディスプレイを提案・実装しており [6][7]，本研究では，接線曲面を本ディスプレイ上で可視化するためのソフトウェアツールを提案・実装し，接線曲面の表示における本ボリュームディスプレイの有効性の評価を行う．
また本研究では，接線曲面の等長変形の可視化における本ボリュームディスプレイの有効性も示す．接線曲面には等長変形，すなわち曲面上の任意の 2 点間の距離が不変である変形を行うものがある．例えば，次式で示される螺旋曲線：(h(t) =ttbt
a cos √, a sin √,√22222a +ba +ba + b2)(2)

において，パラメタ a，b を次のようにとる．

a = 1 + cos θ, b = sin θ,θ ∈ (0, π).

(3)

このとき，その接線曲面は θ の値の変化に対し等長変形

図 2 （上から順に）本ボリュームディスプレイの構成，往復運動機を行う．2D ディスプレイに等長変形を表示しても，その構の外観，往復運動機構の構造，表示画像例（3 つの視点から）画像は 2D 平面への写像であるため，等長変形の性質を満Fig. 2 (from above to bellow) Schematic overview of our dis-

たさない．しかし本ボリュームディスプレイであれば，等play, Photo and schematic of the reciprocating mecha-

長変形の性質を満たし，加えて立体視の生理的要因を満足

nism, and Sample 3D images on the display from three
diﬀerent viewpoints

する形での表示が可能となる．

2. 本研究で用いたボリュームディスプレイ
図 2 に，本研究で用いたボリュームディスプレイの構成

x = 2*cos(pi*sin(2*pi*t))y = cos(2*pi*t + pi/6)
z = 2*sin(2*pi*sin(2*pi*t))と表示例を示す．本ディスプレイは蛍光表示パネル（VFD）

t: 0.0 -> 1.0を表示面と垂直方向に往復運動させて体積走査を行い立体

入力はツール起動時の引数で指定されたテキストファイルを表示する．VFD パネルの解像度は縦 64× 横 128 ピクセから読み込まれ，ツール内で記号微分と数式処理系によりルで，走査方向となる奥行の解像度は 128 ピクセルである．

接線曲面の導出とディスプレイ表示データの生成が行われボリュームディスプレイについては，これまでに多くの方る．また，空間曲線のパラメタ値が変化する場合の，接線式が提案・実装されている [8]-[13]．本ディスプレイの表曲面の変形の様子も表示可能である．例として次式：

示エリアは縦 2cm× 横 4cm× 奥行 4cm と小さく，表示画像も単色 2 値であるが，レンズ等の光学系を持たず市販部品から容易に構成でき，ピクセル間のクロストークがなくc(t) = (1.7 cos(4πt) sin(kπt), 0.5 sin(kπt),− 1.7 sin(4πt)), 0 ≤ t < 1,(5)0.3mm 角のボクセルを広い視野角（上下左右約 170◦ ）でで与えられる空間曲線のパラメタ k の値を 0 から 1 まで連鮮明に表示できる．また，約 24[fps] のアニメーション表示

続的に変化させるときの接線曲面の変形をアニメーションも可能である．

表示したい場合，入力は次のようになる．

3. ソフトウェアツール TDsquarex = 1.7*cos(4*pi*t)*sin(_k*pi*t)
y = 0.5*sin(_k*pi*t)

本ソフトウェアツールは Java のコンソールアプリケー

z = -1.7*sin(4*pi*t)

ションとして記述されている．ユーザはボリュームディスt: 0.0 -> 1.0

プレイ上で表示したい接線曲面の母体となる空間曲線式を_k: 0.0 -> 1.0

テキスト形式でツールに与える．例えば空間曲線が次式：

ここで_k のようにアンダースコアのついた記号は，アニc(t) = (2 cos(π sin(2πt)), cos(2πt + π/6),
2 sin(2π sin(2πt))), 0.0 ≤ t < 1.0

メーションにおいて変化するパラメタの指定に用いられ(4)る．生成された表示データは，USB インターフェース経由でディスプレイに送られ，表示される．

で示される場合，ツールに与える入力は次のようになる．

© 2015 Information Processing Society of Japan431

4. 評価
ボリュームディスプレイによる接線曲面の表示の有効性を評価するため，式 (4) で与えられる空間曲線の接線曲面（TD1），次式：c(t) = (t2 , t3 , t5 ), − 1.0 ≤ t < 1.0.

(6)で与えられる区間曲線の接線曲面（TD2），式 (5) で与えられる変形を伴う空間曲線の接線曲面（TD3）について，13 人の被験者を対象とし，これらの接線曲面の 3 次元形状および変形の様子の理解のし易さをアンケート調査し図 3(a)(b)TD1 のボリュームディスプレイ上での表示（2 視点よた．調査においては，各接線曲面について，上述のツールり撮影），(c)(d)PC 画面における TD1 のプレビュー画像，

TDsquare の PC 画面上の 2D プレビュー画像を 1 分間被(e)TD2 のボリュームディスプレイ上での表示，(f)PC 画面に験者に観察させ，次にボリュームディスプレイ上の表示画像を 1 分間観察させた後，TD1，TD2 については形状の理おける TD2 のプレビュー画像

Fig. 3 (a) and (b) 3D images of TD1 on our display (from two
diﬀerent viewpoints). (c) and (d) 2D previews of TD1

解の容易な方を，TD3 については変形の様子の理解の容on a PC screen. (e) 3D image of TD2 on our display

易な方をアンケートにて回答させた．プレビュー画像の観and (f) 2D preview of TD2 on a PC screen.

察時，被験者はマウスドラッグによって表示図形を画面内で回転し，自由な視点から観察可能とした．図 3 に TD1，TD2 のプレビュー画像，およびボリュームディスプレイによる表示画像を示す．
また，図 4 に，TD3 の変形のプレビュー画像，およびボリュームディスプレイによる表示画像を示す．さらに，
動画 Movie1*1 に，ボリュームディスプレイによる TD3の表示の様子を示す．なお，動画 Movie1 および後述の動画 Movie2 で見られる強いちらつきや画像の一時的な消失は，動画撮影に使用したカメラのシャッター速度と体積走査の周期のずれによるものであり，肉眼による観察では生じない．
得られた回答について両側 2 項検定を行い p 値を求めた

図 4 (a)-(c) ボリュームディスプレイ上での TD3 の変形の様子，ところ，TD1 については p = 0.092（2D プレビュー画像：(d)-(f)PC 画面における TD3 のプレビュー画像（(a)-(c) と3 人，ボリュームディスプレイ：10 人），TD2 については
p = 1.0（同 6 人，7 人），TD3 については p = 0.0034（同1 人，12 人）であった．最も形状の単純な TD2 については有意差は認められないが，より複雑な形状の TD1 につ

同じパラメタ k の値

Fig. 4 (a)-(c) Frames from 3D animation of the deformation ofTD3 on our display. (d)-(f) 2D previews on a PC screen
for the same values of the deformation parameter k asin (a)-(c).

いては有意傾向，変形を伴う TD3 については有意差が認められた．
次に，式（2）で示される空間曲線の接線曲面について，式（3）で示されるパラメタを，θ = 0[rad] から θ = π[rad] まで変化させたときの等長変形を，本ディスプレイで表示した様子を図 5，動画 Movie2*2 に示す．図 5 には TDsquareによるプレビュー画像も併せて示す．動画 Movie2 より，視点移動に従い表示画像が連続的に変化し，接線曲面の等長変形が実空間中に描画されている様子が観察できる．第1 で述べたように，この表示画像においては等長変形の性質が保たれている．
*1*2

www.epi.dendai.ac.jp/Yamamoto/MathUI2014/Movie1.mp4
www.epi.dendai.ac.jp/Yamamoto/MathUI2014/Movie2.mp4© 2015 Information Processing Society of Japan

5. 結論
本研究では，筆者らの開発したボリュームディスプレイ上に，接線曲面を表示するためのソフトウェアツールを提案・実装し，接線曲面の表示における本ボリュームディスプレイの有効性を評価した．その結果，複雑な形状の接線曲面と，変形する接線曲面の表示について，本ボリュームディスプレイの有効性が認められた．本ツールと本ボ
リュームディスプレイを用い，ユーザは様々な接線曲面を空間に直接表示し，自由な視点からその形状や変形の様子を観察することができる．

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図 5 (a)-(d) 空間曲線（2）(3) における接線曲面の等長変形，(e)-(h)同等長変形の，TDsquare によるプレビュー画像

Fig. 5 (a)-(d) Isometric deformation in（2）(3) of a tangent
developable on our 3D display. (e)-(h) 2D previews on
a PC screen for the same values of the deformation parameter θ as in (a)-(d).

参考文献
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