Prof. Dr. R. Wallisser

Analysis I im WS 2000/01
I Von den natürlichen Zahlen N zu den reellen Zahlen R
1. Die Axiome von Peano.
2. Das Beweisverfahren durch vollständige Induktion – Addition und Multipliaktion
in N.
3. Anordnung von N.
4. Binomialkoeffizienten, binomischer Satz – etwas Kombinatorik.
5. Die ganzen Zahlen Z – Äquivalenzrelationen in N2 .
6. Der Ring“ der ganzen Zahlen.
”
7. Fortsetzung der Anordnung von N auf Z.
8. Die rationalen Zahlen Q – Äquivalenzrelationen in Z × N.
9. Ausdehnung der Anordnung von Z auf Q.
10. Die Funktion Betrag“ auf Q.
”
11. Folgen rationaler Zahlen, die in Q konvergieren.
12. Cauchyfolgen rationaler Zahlen – Ringeigenschaft der Cauchyfolgen, Idealeigenschaft
der Nullfolgen.
13. Die reellen Zahlen R als Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen.
14. Die Vollständigkeit des Körpers der reellen Zahlen.
15. Der Satz von der oberen Grenze.
16. Intervallschachtelungen.
17. Dualbrüche.
18. Einige oft gebrauchte Ungleichungen – Bernoullische, Cauchy–Schwarzsche, arithmetisches und geometrisches Mittel.

II Konvergente Folgen und Reihen
1. Folgen reeller Zahlen – Konvergenz, einige
n Rechenregeln.
2. Monotone Folgen – einige spezielle z.B. 1 + n1 , babylonisches Wurzelziehen
a > 0, f0 > 0, fn+1 =
1a
fn +,n ≥ 0 .
2
fn

3. Teilfolgen – Satz von Bolzano–Weierstraß.
4. Limes inferior bzw. Limes superior.
5. Unendliche Reihen, insbesondere Konvergenzkriterien (Majorantenkriterium, Quotientenkriterium, Wurzelkriterium, Leibnizkriterium).
6. Zum Rechnen mit unendlichen Reihen – Umordnung konvergenter Reihen; Produkte,insbesondere das Cauchyprodukt von Reihen.
7. Die komplexen Zahlen C, Konvergenz in C.

IIIElementare Funktionen∞Pzn.
1. Die Exponentialfunktion E im Komplexen, definiert durch E(z) =n!
n=0
n2. Die Exponentialfunktion im Reellen E(x) = lim 1 + nx = ex , Monotonieeigenn→∞schaft, Vergleich des Wachstums mit dem der Monome xn .
log : R+ → R als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

13. Die trigonometrischen und die hyperpolischen Funktionen – definiert über die Exponentialfunktion im Komplexen z.B. sin z := 2i1 eiz − e−iz , sinh z := 12 ez − e−z ,Additionstheoreme.

IVGrenzwerte von Funktionen, Stetigkeit§ 1 Der Begriff des Grenzwertes – Äquivalenz von “ε − δ Definition“ und “Folgen–definition“.
§ 2 Einige Beispiele zum Begriff des Grenzwertes.
§ 3 Rechnen mit Grenzwerten.
§ 4 Stetige Funktionen, – Stetigkeit von Potenzreihen, Stetigkeit von exp, sin, cos inganz C.
§ 5 Stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen. – Weierstraßscher Nullstellensatz, Zwischenwertsatz, Extremumssatz, Stetigkeit der Umkehrfunktion.
§ 6 Anwendung der Sätze aus §5 auf exp, ax , sin, cos.

VDifferenzierbarkeit§ 1 Definitionen und einige Beispiele.
§ 2 Rechenregeln für differenzierbare Funktionen.
§ 3 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung und Folgerungen (Monotonie, lokale Extrema).
§ 4 Der verallgemeinerte MWS – die Regel von de l’Hôspital.
§ 5 Taylorpolynom und Taylorreihe.
§ 6 Einige Anwendungen der Taylorentwicklung√
3– numerische
Berechnung
von2
√
√
33– lim
1+x− xx→∞– Taylorreihe von log(1 + x), |x| < 1.
– numerische Berechnung von log 2– Binomische Reihe.

VI

Einige lineare Differentialgleichungen erster Ordnung


1. Exponentialprozesse u0 (t) = αu(t)– Wachstums– bzw. Zerfallsprozesse.

2. Gestörte Exponentialprozesse u0 (t) = αu(t) + S(t) .
Lösung mit Hilfe des Verfahrens der Variation der Konstanten.
3. Die Bernoullische Differentialgleichungu0 (t) = αAu(t) − αu2 (t) .
4. Einfache lineare Differentialgleichungssysteme, Räuber–Beute–Modelle.

Analysis II im SS 2001
VIIDas Riemannsche Integral§ 1 Definition und Riemannsches Integrabilitätskriterium.
§ 2 Riemann – Integrierbarkeit stetiger Funktionen; gleichmäßige Stetigkeit.
§ 3 Das Riemann–Integral als positives lineares Funktional.
§ 4 Mittelwertsätze der Integralrechnung.
§ 5 Hauptsatz der Differential– und Integralrechnung.
§ 6 Integrationsregeln.
§ 7 Ableitung der Taylorentwicklung mit Hilfe der Integralrechnung.

VIII Funktionenfolgen, uneigentliche Integrale, gleichmäßigeKonvergenz§ 1 Funktionenfolgen; einige Beispiele.
§ 2 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen; (Cauchy–Kriterium, Majorantenkriterium).
§ 3 Vertauschung von Grenzübergängen bei gleichmäßiger Konvergenz.
§ 4 Anwendung auf Potenzreihen; insbesondere Ableitung der Taylorreihen für arctg x
in |x| < 1 und für arcsin x in |x| < 1, bzw. für (1 + x)α in |x| < 1.
§ 5 Der Abelsche Stetigkeitssatz.
§ 6 Uneigentliche Integrale, als Beispiel die Gammafunktion.
§ 7 Beziehungen zwischen unendlichen Reihen und uneigentlichen Integralen – das Integralkriterium.

IX

Konvergenz und Stetigkeit im Rn§ 1 Normen im Rn – speziell p–Normen, 1 ≤ p ≤ ∞, Höldersche Ungleichung.
§ 2 Konvergente Folgen in (Rn , k k), Vollständigkeit von (Rn , k k), Äquivalenz der Normen des Rn , Stetigkeit im Rn .
§ 3 Einige topologische Grundbegriffe im (Rn , k k); ε–Umgebung, innerer Punkt,Häufungspunkt, offene bzw. abgeschlossene Menge.
§ 4 Kompakte Mengen; Cantorscher Durchschnittssatz, Äquivalenz von folgenkompakt,überdeckungskompakt (Heine–Borel) und abgeschlossen und beschränkt im Rn .
§ 5 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen.

XDifferenzierbare Abbildungen§ 1 Definition und einige Eigenschaften.
§ 2 Richtungsableitungen, Jacobi–Matrix.
§ 3 Partielle Differenzierbarkeit und (totale) Differenzierbarkeit.
§ 4 Die Kettenregel für differenzierbare Abbildungen.
§ 5 Der Mittelwertsatz bei reellwertigen Funktionen mehrerer reeller Variablen.
§ 6 Partielle Ableitungen höherer Ordnung. – Satz von Schwarz über gemischte partielleAbleitungen.
§ 7 Der Satz von Taylor für Funktionen mehrerer Variablen.
§ 8 Relative Extrema, Hesse–Matrix.

XI

Implizite Funktionen, Umkehrabbildungen§ 1 Problemstellung§ 2 Der Banachsche Fixpunktsatz.
§ 3 Über die Auflösung einer Gleichung F (x, y) = 0.
§ 4 Über die Auflösung von n nicht linearen Gleichungen in n + m Variablen.
§ 5 Differenzierbarkeit der Auflösung aus § 4.
§ 6 Umkehrbarkeit von Abbildungen.
§ 7 Maxima und Minima mit Nebenbedingungen.

Analysis III im WS 2001/02
XII

Das Riemannsche Integral im Rn§ 1 Definition und einige Beispiele.
§ 2 Mengen vom Maß bzw. Inhalt Null.
§ 3 Zusammenhang von Riemann–Integrierbarkeit und Stetigkeit.
§ 4 Integration über beschränkte Mengen des Rn mit Hilfe der charakteristischen Funktion.
§ 5 Der Satz von Fubini – das Prinzip von Cavalieri.
§ 6 Die Transformationsformel für Gebietsintegrale.
Z∞√ 2§ 7 Anwendungen von § 6 z.B.
e−x dx = π−∞§ 8 Parameterabhängige Integrale (auch uneigentliche) – gleichmäßige Konvergenz, Vertauschung von Limes und Integral bzw. Differentiation und Integration, Stetigkeitund Differenzierbarkeit der Gamma– bzw. Betafunktion.

XIIIVektoranalysis§ 1 Kurven im Rn – “Aquivalenzklassen von Wegen“, Länge einer Kurve z.B. der Zykloide.
§ 2 Kurvenintegrale.
§ 3 Wegunabhängigkeit der Kurvenintegrale – Potentialfelder.
§ 4 Integrabilitätsbedingungen für Vektorfelder.
§ 5 Wegunabhängigkeit und Integrabilität – einfach zusammenhängende Gebiete, Homotopie.
§ 6 Oberflächenintegrale – glatte Flächenstücke im R3 und deren Inhalt.
§ 7 Die Integralsätze von Gauß und Stokes für Normalbereiche im R2 und R3 .
§ 8 Harmonische Funktionen – insbesondere Mittelwerteigenschaft der harmonischen
Funktionen, Greensche Formeln.

XIV

Fourierreihen§ 1 Motivation (Lösung der Schwingungsgleichung). Begriff einer Fourierreihe (reelle undkomplexe Schreibweise) – Orthogonalitätsrelationen, Eindeutigkeit bei C2π .
§ 2 Ein Satz von Dirichlet über die Konvergenz der Fourierreihe 2π–periodischer Funktionen mit stückweise glatter Ableitung.
§ 3 Der Riemannsche Lokalisationssatz und einige Konvergenzkriterien z.B. dasjenigevon Dini.
§ 4 Konstruktion eines f ∈ C2π , dessen Fourierreihe in Null divergiert.
§ 5 Cesàro–Summierbarkeit der Fourierschen Reihe – ein Satz von Fejér.
§ 6 Zwei Beweise des Approximationssatzes von Weierstraß.
§ 7 Approximation im quadratischen Mittel von f ∈ R2π durch die Fourierreihe fˆ.
§ 8 Fourierintegrale für über R absolut uneigentlich Riemann–integrierbare Funktionen.

XV

Das Lebesguesche Integral§ 1 Zwei Sätze über die Konvergenz fast überall monotoner Folgen Riemann– integrierbarer Funktionen mit beschränkter Integralfolge.
§ 2 Oberfunktionen Riemann–integrierbarer Funktionen – die Erweiterung des Riemannschen Integrals auf solche Funktionen.

§ 3 Definition des Lebesgueschen Integrals und einige Eigenschaften.
§ 4 Der Satz von Beppo Levi über monotone Konvergenz.
§ 5 Die Sätze von Fatou und Lebesgue.
§ 6 Die Vollständigkeit von L2 [a, b] – der Satz von Riesz–Fischer.