フィードバックと不安定
Makoto Tobiyama
KEK Accelerator Laboratory

SuperKEKB BxB FB

ビーム不安定

加速器真空要素(chamber、空洞、つなぎ等)でビームからの電磁波が発生します‒ 共鳴構造‒ 鋭さ(Q値)、高さ(Rs)

運悪く、次々来るバンチからの信号が、この電磁波エネ
ルギーを大きくするように働くと(共振)、信号はどんどん大きくなり、また、ビームを揺らし始めます
ビームが振動し始めると、さらに激しくエネルギーがた
まっていき、ますます激しくビームを振動させてしまいます
ビーム不安定(Instability)

SuperKEKB BxB FB

電子(陽電子)円形加速器の放射減衰
ビームは放射光を出すことにより、エネルギーを失う→エネルギー失っただけ高周波加速空洞からエネルギーをもらう このことにより、ビームの振動は減衰します‒ 放射減衰といいます‒ SuperKEKBの場合、進行方向20ms程度、横方向40ms程度(振幅が1/eになる時間)‒ この減衰率より、不安定の成長が早いと、ビームは振動を始めてしまう

SuperKEKB BxB FB

大電流加速器では


大電流、多バンチ加速器(B-Factory、放射光源)
では、‒ 大電流のために、今までは大丈夫だった諸々の不安
定源による悪影響が明るみに出やすく‒ 多くのバンチがあるため、いろんな振動モードの不安定がおきやすく、そう簡単に逃げれない

ため、ビーム不安定がおきやすい ひとたびビーム不安定が起きると、電流は積めな
いし、ビームの性質は悪くなるので加速器の性能を大きく損ねてしまうSuperKEKB BxB FB

ビーム不安定から逃れるには

がんばって不安定の原因を加速器コンポーネントから取り除く努力をする‒ HOMの無い高周波加速空洞、スムーズな真空チェンバーなど



ビームが振動したとき、自然に振動の周波数などが変わっていく仕組みを導入する‒ 多極磁石、高次加速空洞、非線形システム



フィードバックシステムで、振動を押さえ込む‒ 個別バンチフィードバックシステム

SuperKEKB BxB FB(復習)バンチ信号の時間分布と周波数分布


ガウス分布のビーム

バンチ長σ

t



ある時刻tにおけるビーム電流は時間領
域で表すと
 t2 
I b (t ) = A exp − 2 
 2σ SuperKEKB BxB FB

周波数領域では

フーリエ変換すると
 ω2 I (ω ) = Aσ exp − 2 1 


σ2 




1/σ

ビームから出る信号のspectrumはバンチ長の逆数で1/eになるような、ガウス分布をしている
ω
例：バンチ長7mm(23ps)では6.8GHz
30μm(0.1ps)では1.6THz

SuperKEKB BxB FB

一定時間間隔でやってくる信号

1/2πωRF毎に来るデルタ関数列を周波数領域で見ると

ωRFのn倍成分だけが残って見えるSuperKEKB BxB FB

バンチ強度のばらつきがあるときフィルパターンが一様でなく、例えばリング周回周期毎に繰り返す構造がある場
合、周回周波数毎に対応するスペクトラムラインが現れる

SuperKEKB BxB FB

本物の真空チェンバーでは







普通の真空チェンバー：完全導体でない(電気伝導度が有限)ビームから見える構造がある(段差、でこぼこなど)構造により、ビームが作る電磁場が影響を受ける
真空チェンバーとビームのとの間にエネルギーのやりとりが生じる‒ 電磁波としてチェンバー内に放出される‒ チェンバー表面や構造物で熱に変わる‒ チェンバー構造に捕獲されて、振動を続ける

Wake field (航跡場)
モニターの立場からは、不要なノイズ

SuperKEKB BxB FB

真空チェンバーのカットオフ周波数


どこかで発生したwakeがモニターまで届くか‒ wakeの周波数が、チェンバーの導波管モードカットオフより上か下か

導波管モードで伝わる電磁波のロスは非常に小さい：遠くまで伝わる‒ wakeの発生点とモニターまでの距離

真空チェンバーのカットオフ周波数‒ 例：半径aの円形チェンバーでは、もっとも低次の導波管モードは
TE11モードで、その周波数は𝑎×𝜔= 1.841𝑐‒ 例：φ64mmの円形チェンバーでは2.74GHz‒ 一般的な形状のチェンバーでは、電磁界計算コードで2次元固有値問題を解いて求めるSuperKEKB BxB FB

真空チェンバーのカットオフつづき

カットオフ周波数以上の周波数領域‒ ノイズレベルが上昇、また、本来の信号レベルも大きく変動する‒ 精度が必要な信号観測には使えない

カットオフ周波数以下の周波数領域‒ カットオフ周波数に近い信号は、発生源からある程度の長さは減衰しながら侵入する
λc
‒ 侵入長
Δz =

2π 1 − (λ / λc )2

例：φ64mmの円形チェンバーで2.5GHzのwake侵入長は42mm
 同じチェンバーで2.7GHzの侵入長は102mm


ビームの高周波成分を使いたいとき(=細かい時間構造を見たいとき)は、できるだけカットオフ周波数の高い(大きさが小さな)チェンバーにする必要がある

SuperKEKB BxB FB

真空チェンバーのskin depth

有限の電気伝導度＋有限の厚さなので、ビームが作り出すすべての電磁場をチェンバー内に閉じ込めることは出来ない‒ wall currentはビームのフィールドを完全には再現しないskin depth δ = 2 / μσω‒ 室温の銅：10GHzでδ=0.7μm:10kHzでδ=0.7mm‒ いずれにしても、DCに近い成分はチェンバー外に抜けてしまうSuperKEKB BxB FBSuperKEKB BxB FB

リング中にある空洞共振器



電流Iでdriveされているときは𝜔 𝑅
𝜔𝑉+𝜔 𝑉 =𝐼 (= 0)
𝑉+
𝑄
𝑄

𝝎𝒓 =

𝟏
, 𝐐 = 𝑹𝒔𝑳𝑪𝑪𝝎, 𝜶 = 𝒓 を使って𝑳
𝟐𝑸

𝑽 𝒕 = 𝑽𝒆 𝜶𝒕 cos 𝜔

1−

1
𝑡+𝜑
4𝑄

SuperKEKB BxB FBWake potential
𝑰 𝒕 = 𝒒𝜹 𝒕
Capacitorの電圧は(初期条件)
𝒒 𝝎𝒓 𝑹𝒔
parasitic mode loss factor
𝑽 𝟎 = =𝒒𝑪
𝑸
Capacitorに貯まるenergyは(energy lossと同じはず)
𝒒𝟐 𝝎𝒓 𝑹𝒔 𝟐 𝑽(𝟎 )𝑼==𝒒 =𝒒 = 𝒌𝒑𝒎 𝒒𝟐𝑪
𝟐𝑸𝟐
Capacitor Cは電荷をRsとLを通して放電する𝒒
𝑰 𝟐𝝎𝒓 𝒌𝒑𝒎
共振回路の𝒒 初期条件𝑽 𝟎 =− =− =𝑪𝑪𝑸SuperKEKB BxB FB

空洞に誘起される電圧は(初期条件を考えると)
𝑽 𝒕 = 𝟐𝒒𝒌𝒑𝒎 𝒆

𝜶𝒕

cos 𝜔

1
1−
𝑡 −
4𝑄

sin 𝜔

1−

2𝑄 1 −

1
𝑡
4𝑄

1
4𝑄

このあとから来るcharge qʼは𝑼 = 𝒒́ V(t)のenergyを得る(失う)。Unit
chargeあたりのこのenergyのgain/lossをwake potential(Green function
G(t))という
Q>>1のときは𝑮(𝒕) ≈ 𝟐𝒌𝒑𝒎 𝒆 𝜶𝒕 cos 𝜔 𝑡SuperKEKB BxB FBビームから見た空洞のインピーダンス
空洞を𝑰 = 𝑰 cos 𝝎𝑡で励振すると
𝝎𝒓
𝝎𝒓 𝑹𝒔
𝟐
𝑽+
𝑽 + 𝝎𝒓 𝑽 = −𝑰𝝎 sin 𝝎𝒕𝑸𝑸
この微分方程式を解くと
𝜔 −𝜔
cos 𝝎𝑡 − 𝑄
sin 𝜔𝑡𝜔 𝜔
𝑽 𝒕 = 𝑰 𝑹𝒔𝟐𝟐𝟐
𝝎𝒓 − 𝝎
𝟏 + 𝑸𝟐𝝎𝒓 𝝎cos項：excitationとin phase: Resistive termsin項：excitationとout of phase: Reactive term

SuperKEKB BxB FB

複素数表現
電流源

𝑰 𝒕 = 𝑰𝒆𝒋𝝎𝒕微分方程式は

𝝎𝒓 𝑹𝒔
𝝎𝒓
𝟐
𝑽+
𝑽 + 𝝎𝒓 𝑽 =𝑰
𝑸
𝑸
Impedance (V/I)は
𝝎𝟐 − 𝝎𝟐𝒓
𝟏 − 𝒋𝑸𝝎𝝎𝒓
𝒁 𝝎 = 𝑹𝒔
= 𝒁𝒓 𝝎 + 𝒋𝒁𝒊 (𝝎)𝟐𝟐 − 𝝎𝟐𝝎𝒓
𝟏 + 𝑸𝟐𝝎𝝎𝒓
これはGreen function G(t)のフーリエ変換となる

SuperKEKB BxB FBGreen functionとImpedanceSuperKEKB BxB FB

Qが十分大きいときは





∆𝝎
𝟏 − 𝒋𝟐𝑸
𝝎𝒓
𝒁 𝝎 ~𝑹𝒔𝟐∆𝝎
𝟏 + 𝟒𝑸𝟐𝝎𝒓
ω=ωrでZr(ωr)は最大、Zi(ωr)は0|ω|<ωrでZi(ω)>0 : inductive|ω|>ωrでZi(ω)<0 : capacitiveSuperKEKB BxB FB

バンチによって誘起される電圧
バンチ列がやってくる
𝑰𝒑 𝒕 =

𝑰(𝒕 − 𝒌𝑻𝟎 )𝒌

これによって誘起される電圧は周波数領域では
𝑽𝒑 𝝎 = 𝑰𝒑 𝝎 𝒁 𝝎 = 𝝎𝟎𝑰 𝝎 𝜹 𝝎 − 𝒏𝝎𝟎 𝒁(𝝎)𝒏

時間領域では𝑰𝒏 𝒁(𝒏𝝎𝟎 )𝒆𝒋𝒏𝝎𝟎 𝒕

𝑽𝒌 𝒕 =𝒏SuperKEKB BxB FB

バンチがシンクロトロン振動していたらシンクロトロン振動数𝝎𝒔 = 𝝎𝟎 𝝂𝒔
k周後の通過時間は𝒕𝒌 = 𝒌𝑻𝟎 + 𝝉𝒌 , 𝝉𝒌 = 𝝉 cos 𝟐𝝅𝝂𝒔 𝒌
電流は𝑰𝒑 𝒕 = ∑ 𝑰(𝒕 − 𝒌𝑻𝟎 − 𝝉𝒌 )、周波数領域では
𝑰𝒑 𝝎 = 𝑰(𝝎)𝒌𝒆 𝒋𝝎(𝒌𝑻𝟎 𝝉𝒌)SuperKEKB BxB FB

振幅が小さく、νs<<1,バンチ長短い近似
𝑰 𝒏𝝎 ~𝑰 𝒏 ± 𝝂𝒔 𝝎𝟎 =𝑰𝒑 𝒕 =
𝑰𝒏 𝒆𝒏𝒋𝒏𝝎𝟎 𝒕

𝝎𝟎 𝝉
−𝒋
𝟐

𝟐𝝅
𝑰 と書けるので
𝝎𝟎 𝒏𝒏 − 𝝂𝒔 𝒆𝒋(𝒏 𝝂𝒔)𝝎𝟎𝒕 + (𝒏 + 𝝂𝒔 )𝒆𝒋(𝒏 𝝂𝒔)𝝎𝟎𝒕

𝑰𝟎 +
𝟐
𝒏 𝟏
𝝎𝟎 𝝉

𝟐

𝑰𝒏 cos 𝒏𝝎𝟎 𝒕 +𝒏 − 𝝂𝒔 (sin 𝒏𝝎𝟎 𝒕 cos 𝜈 𝜔 𝑡 − cos 𝒏𝝎𝟎 𝒕 sin 𝜈 𝜔 𝑡) +𝒏 + 𝝂𝒔 (sin 𝒏𝝎𝟎 𝒕 cos 𝜈 𝜔 𝑡 + cos 𝒏𝝎𝟎 𝒕 sin 𝜈 𝜔 𝑡)=

SuperKEKB BxB FB

シンクロトロン振動するバンチが誘起する電圧=

𝑽𝒌 𝝎 = 𝑰𝒌 𝝎 𝒁 𝝎𝟏
𝑽𝒌 𝒕 =
𝑰𝒌 𝝎 𝒁 𝝎 𝒆𝒋𝝎𝒕 𝒅𝝎
𝟐𝝅
𝑰𝒏 𝒁 𝒏𝝎𝟎 𝒆𝒋𝒏𝝎𝟎 𝒕 +

𝟐
𝒏 𝟏
𝝎𝟎 𝝉

𝟐

𝑰𝒏 𝒏 + 𝝂𝒔 𝒁 (𝒏 + 𝝂𝒔 𝝎𝟎 𝒆𝒋( 𝒏 𝝂𝒔 𝝎𝟎 𝒕) +𝒏 − 𝝂𝒔 𝒁 𝒏 − 𝝂𝒔 𝝎𝟎 𝒆𝒋( 𝒏 𝝂𝒔 𝝎𝟎 𝒕

SuperKEKB BxB FBSuperKEKB BxB FB

平均電圧
𝑽 =

∫ 𝑰𝒌 𝒕 𝑽𝒌 𝒕 𝒅𝒕
∫ 𝑰𝒌 𝒕 𝒅𝒕

𝑻𝟎
𝟏
𝑰 𝒕 𝑽𝒌 𝒕 𝒅𝒕=
𝑰𝟎 𝑻𝟎 𝟎 𝒌

実部は
𝑽𝒓 =
𝝉𝝎𝟎
𝟐𝑰𝟐𝒏
𝒁𝒓 𝒏𝝎𝟎 −(𝟐𝝂𝒔 𝒁𝒓 𝒏𝝎𝟎 + 𝒏 + 𝝂𝒔 𝒁𝒓 ( 𝒏 + 𝝂𝒔 𝝎𝟎 ) −𝑰𝟎𝟐𝝎𝒔𝒏 − 𝝂𝒔 𝒁𝒓 𝒏 − 𝝂𝒔 𝝎𝟎
虚部は𝑽𝒊 =𝑰𝟐𝒑 𝝎𝟎 𝝉−𝟐𝒏𝒁𝒊 𝒏𝝎𝟎 + 𝒏 + 𝝂𝒔 𝒁𝒊 𝒏 + 𝝂𝒔 𝝎𝟎 +𝑰𝟎𝒏 − 𝝂𝒔 𝒁𝒊 ( 𝒏 − 𝝂𝒔 𝝎𝟎 )

SuperKEKB BxB FB

𝒁𝒏𝒓 = 𝒁𝒓 𝒏𝝎𝟎 + 𝝎𝒔 , 𝒁𝒏𝒓 = 𝒁𝒓 𝒏𝝎𝟎 − 𝝎𝒔 , 𝒁𝟎𝒏𝒓 = 𝒁𝒓 𝒏𝝎𝟎
𝒁𝒏𝒊 = 𝒁𝒊 𝒏𝝎𝟎 + 𝝎𝒔 , 𝒁𝒏𝒊 = 𝒁𝒊 𝒏𝝎𝟎 − 𝝎𝒔 , 𝒁𝟎𝒏𝒊 = 𝒁𝒊 (𝒏𝝎𝟎 )𝟐𝑰𝟐𝒏 𝟎
𝒏𝝎𝟎 𝝉
𝒏𝝎𝟎 𝝉
𝑽~
𝒁𝒏𝒓 −
𝒁𝒏𝒓 − 𝒁𝒏𝒓 +−𝟐𝒁𝟎𝒏𝒊 + 𝒁𝒏𝒊 + 𝒁𝒏𝒊𝟐𝝎𝒔𝟐𝑰𝟎振動に関係ない定常項
synchrotron tuneをずらす
Energy loss(or gain)SuperKEKB BxB FB

Robinson Instability
空洞を(例えばビームローディング補償のために）detuneするSuperKEKB BxB FB







Energyがずれた粒子に対して
𝚫𝐄
𝚫𝝎𝟎
= −𝜶𝒄
𝐄
𝝎𝟎
Bunchがcoherent dipole振動𝝐 𝒕 = 𝝐 cos 𝝎𝒔 𝒕していると
revolution frequencyも変調される
Transition energyより上だと、周回周波数𝜔 は‒ Energyが高いときに𝜔 は低くなる‒ Energyが低いときに𝜔 は高くなるSuperKEKB BxB FB

CavityがRFより低くdetuneされているとき

Energyが高い(𝝎𝟎 が低い)
バンチはより高いインピー
ダンスを感じるので、より多くのenergyをロスする
逆にEnergyが低いバンチ
はより低いインピーダンスを感じるので、energy loss
は減る(Negative feedback)
結果としてシンクロトロン
振動は減衰する

SuperKEKB BxB FB

CavityがRFより高くdetuneされているとき

Energyが高い(𝝎𝟎 が低い)バ
ンチはより低いインピーダン
スを感じるので、より少ない
energyをロスする
逆にEnergyが低いバンチはより高いインピーダンスを感じるので、energy lossは増大する(Positive feedback)
結果としてシンクロトロン振動は増大する＝ビーム不安
定(ロビンソン不安定)

SuperKEKB BxB FB

多バンチの時の振動モード


円形加速器のharmonic numberをMとし、全てのバケツにバンチをいれたとき、バンチ同士の振動の様子



一番低い振動モード=全てのバンチが同じ方向に振動

一番高い振動モード=隣り合うバンチが逆方向に振動

M個の独立な振動モードがある(位相を考えなければ半分は同じに見える)SuperKEKB BxB FB



振動モード
‒ 不安定源(インピーダンス)の情報を反映‒ 振動モードを測定することは重要

0モード(全てのバンチがin phaseで振動)‒ 振動の周波数はシンクロトロン振動数(あるいはベータトロン)

M/2モード(隣同士のバンチが逆相で振動)‒ 振動の周波数はRF/2 ±シンクロトロン振動数

SuperKEKB BxB FB

振動するバンチの信号

ベータトロン振動するバンチの信号(振幅変調)
𝒇 𝒕 = 𝑨𝜷 cos 𝝎𝜷 𝒕𝜹(𝒕 − 𝒌𝑻𝟎 )𝒌

周波数領域では
𝑨𝜷 𝝎𝟎
𝑭 𝝎 =
𝟐

𝒎

𝜹 𝝎 − 𝒎𝝎𝟎 + 𝝎𝜷 + 𝜹 𝝎 − 𝒎𝝎𝟎 𝝎𝜷SuperKEKB BxB FB

シンクロトロン振動するバンチの信号(位相変調)𝒇 𝒕 =𝜹 𝒕 + 𝝉 sin 𝜔 𝑡 + 𝜙 − 𝑘𝑇𝒌

周波数領域では
𝒆𝒋𝑰𝝓 𝑱𝟏 (𝝎𝝉 )𝑭 𝝎 = 𝝎𝟎𝑰𝜹(𝝎 − 𝑰𝝎𝒔 − 𝒎𝝎𝟎 )𝒎SuperKEKB BxB FB

マルチバンチのとき


M個の均等fillバンチがあるとき
𝑴 𝟏

𝒇 𝒕 =

cos 𝜔 𝑡 + 𝜙 𝛿 𝒕 − 𝒌𝑻𝟎 + 𝒏𝑻𝟎 /𝑴
𝒌



𝒏 𝟎

周波数領域では、そのモードのrevスペクトラムの上下対称にサイドバンドが現れる

M=5で、mode 2のベータトロン振動があるとき、2 revの下側にlower sidebandが出て、M-2(=3)の上側にupper sidebandがでるSuperKEKB BxB FBSuperKEKB BxB FB

フィードバックシステムの例(自動車のスピードコントロール)•Open-Loop(開ループ、フィードバックなし)•スピードは周囲の条件によって上がり下がりする•Closed-Loop(閉ループ、フィードバック)•周囲の状況の影響は少なくなる。但し、場合によってはかえってひどいことになることもある(例：ハウリング)

SuperKEKB BxB FB

例

100km/hに保ちたい アクセルを1unit踏むと、speedは10km/h上がる 勾配1%でスピードは10km/h下がる
 スピードメーターには誤差は無い

SuperKEKB BxB FBSuperKEKB BxB FBSuperKEKB BxB FB

難しい話はさておいて…


Positive feedback(正帰還)‒ 勝手に飽和する(あるいは非線形で振動が収まる)ものでなければ、制御は非常に困難‒ 発振回路によく利用される

フィードバックゲインをどんどん上げると…
‒ 定常状態のエラーは減る‒ フィードバックの応答が良くなる
× フィードバックシステムの安定性を損ねる
不安定になったシステムは振動し始めたり、急速に振動を成長させたりする マージン(ゲイン、位相)が必要。遅いシステムでは、PID制御など安定化の手法ありSuperKEKB BxB FB



時間遅れのあるシステム‒ 多くの円形加速器ではどんなにがんばっても最短１周おくれ待たなければフィードバックできない

しかも信号は離散的‒ 計算機を使ってフィードバック量を決めるシステムでは莫大な量の時間遅れが発生する‒ 時間遅れは常にシステムを不安定にする
線形計算にのらないので評価は大変面倒 帯域制限が必要(応答が悪くなっても) ゲインをがんばることはできない(基本的にはゲインを下げて対処する)SuperKEKB BxB FB加速器制御のなかのフィードバック

個々の機器(電源とか)の安定化
システム全体としてフィードバックが幾重にもかかっている(例：RFシステム)
計算機を使ったフィードバック‒ ビーム衝突制御、連続closed orbit補正、ベータトロンチューンの自動補正、等々

ビーム不安定抑制のための個別バンチフィードバックSuperKEKB BxB FBSuperKEKB BxB FB

ビーム不安定から逃れるには

がんばって不安定の原因を加速器コンポーネントから取り除く努力をする‒ HOMの無い高周波加速空洞、スムーズな真空チェンバーなど



ビームが振動したとき、自然に振動の周波数などが変わっていく仕組みを導入する‒ 多極磁石、高次加速空洞、非線形システム



フィードバックシステムで、振動を押さえ込む‒ 個別バンチフィードバックシステム

SuperKEKB BxB FB

フィードバックシステムは

バンチの(重心)振動を検出する、高速位置検出
システム
位置信号からフィードバックに必要な信号を計算する信号処理回路(およびタイミングを合わせる回路)
ビームを蹴り戻すキッカーおよび大出力アンプ＋


フィードバック回路、機器を応用した機器群‒ バンチ電流測定、チューン測定、不安定モード測定などSuperKEKB BxB FB

個別バンチフィードバックの方法









各バンチの重心位置を(独立に)検出するキッカー位置で位相差が90度となるよう位相シフトを行う。同時に不要な成分(たとえばDC分)を除去する。
バンチがキッカーの位置に来るまで待つ(1-turndelay)
バンチを蹴って角度(横方向)あるいは運動量(進行方向)を変えるSuperKEKB BxB FB

典型的な横方向フィードバックシステム

SuperKEKB BxB FB

典型的な進行方向フィードバックシステム

SuperKEKB BxB FB

バンチフィードバックシステム
良いHead

壊れない真空機器

高性能な
デジタルフィルタ

デジタルフィルタ

良い検出回路SuperKEKB BxB FB

検出器head
ボタン電極でも、Stripline電極でも時間応答が良いものが望まれる
もちろん、trapped modeが無い(十分小さい)ことが必要

Glass sealing (er~4) type electrode(diameter = 6 mm)
24 x 2 / RingSuperKEKB BxB FBGlass-sealed FTKyocera KC-1(er=4)‒ Glass

Kovar with Gold plating

SuperKEKB BxB FBKEKB feedthrough for FB

SuperKEKB FT for FB

SuperKEKB BxB FB

バンチ位置検出回路への要請









バンチ変位に(それなりに)比例した信号
隣のバンチの信号が(あまり)混じっていないこと(それほど時間をかけずに)位置信号が出る。どんなに遅くても1周かかっては話にならない
バンチトレインの前後で(あまり)オフセットがずれない(DC
結合回路になっている)
位置信号がバンチ電流に比例していても気にしない
あまりに大きな変位に対して応答が変(飽和する、甚だし
い場合は応答が逆転しても)でも(とりあえずは)気にしないSuperKEKB BxB FBFrequency Mixer

かけ算器(double balanced mixer)

RF x LO = IF
RF x IF = LO
LO x IF = RFSuperKEKB BxB FB

単純応用


可変減衰器
‒ IFポートにDC電圧(DCから使えるものに限る)‒ LOポートに信号‒ RFポートから出力

振幅変調‒ LOポートにcarrier‒ IFポートに(carrierよりずっと低周波の)変調信号‒ RFポートに振幅変調された信号

SuperKEKB BxB FB

周波数変換
1sin( A) × cos( B) = (sin( A + B) + sin( A − B) )2
例：スーパーヘテロダイン方式ラジオ

SuperKEKB BxB FB

位相検波
A sin( nω RF t + ϕ ) の信号(RF)にcos(nω RF t ) のLO信号をかける と1Asin(nωRFt +ϕ) ×cos(nωRFt) = A(sin(2nωRFt +ϕ) + sinϕ)2
Low pass filterで高周波成分を落とすと∝ A sin ϕ
φが十分小さいときは≈ϕSuperKEKB BxB FB

振幅検出
A sin( nω RF t + ϕ ) の信号(RF)にsin( nω RF t ) のLO信号をかける と1Asin(nωRFt +ϕ) ×sin(nωRFt) = − A(cos(2nωRFt +ϕ) − cosϕ)2
Low pass filterで高周波成分を落とすと∝ A cos ϕ
φが十分小さいときは≈ A

SuperKEKB BxB FB

進行方向用検出回路例

SuperKEKB BxB FB

横方向検出回路例

SuperKEKB BxB FBSuperKEKB BxB FBComb filter出力例

SuperKEKB BxB FB

Y 出力例SuperKEKB BxB FB

Tips


多くの高周波素子は(広帯域とうたっていても)本質的に狭帯域なので、通す信号はできるだけ帯域制限した方が良い‒ 例：180度hybridで二つの信号の引き算をするとき、直接ボタン信号をいれるのは？？



Double balanced mixerには使えるパワーレンジがある‒ LOに入れるパワーはあまりdynamic rangeが大きくない‒ パワー超過すると信号がひずむ、ひどいときはDBMが故障する

SuperKEKB BxB FB

信号処理部の機能(重要な順)


バンチタイミング(RF)と完全に同期していること
信号の1-turn delay‒ Delayがある程度微調できることが非常に望ましい‒ 安定であること(温度が変わったりしても動かないこと)



ＤＣ成分のカット‒ 残っていると、貴重なフィードバックパワーがDC(およびrevolution
周波数の整数倍)に無駄に消費されてしまうので必須

フィードバックに必要な成分以外をフィルターする‒ ベータトロン周波数あるいはシンクロトロン周波数だけ残したい

信号の位相シフトをする‒ 進行方向フィードバックでは必須、横方向フィードバックではあった方が良いがなくても何とかなるSuperKEKB BxB FB

今風のデジタル信号処理回路
Ring RF (~509MHz)
External SRAM/DRAM

12bit ADCFPGA
Vertex5 or ZYNC

12bit DACEPICS embedded serverSuperKEKB BxB FBFPGAField Programmable Gate Array‒ PLD(Programmable Logic Device) 1970年代末 数個分のlogic‒ CPLD(Complex Programmable Logic Device) 1980年代


数千個分のLogic 回路内蔵、書き換え可能‒ FPGA
書き換え部分をSRAMに
 急激に進化、20年で集積度は600倍以上、速度は100倍以上、電力は1/150、価格は？？


可減算、かけ算の演算も得意(但し固定小数点)‒ (普通の)割り算は時間がかかるので、基本的にやらないSuperKEKB BxB FB

デジタルフィルター
N-tap FIR(Finite impulse response)フィルター

y nT =

𝑐 𝑘𝑇 𝑥(𝑛𝑇 − 𝑘𝑇)

インパルス応答を中心に対して対象にすると完全直線位相特性をもつ
Group delayが全周波数に対してフラットになる
インパルス応答の値にかかわらずフィルター自体は常に安定

SuperKEKB BxB FB

実際のフィルター例

DCでゲイン0
ベータトロン周波数で応答peak
ベータトロン周波数で位相シフトを目標値に

SuperKEKB BxB FB

iGp12 digital feedback filterSuccessor of iGp digital
filters developed under
US-Japan collaboration withSLAC.
‒ 12bit ADC/DAC‒ 18 tap FIR filter (Max.)‒ 12MB memory to analyze
instabilities



12 iGp12s are used
‒ With larger FPGA(VSX95T)‒ (2 with normal FPGA(VSX50T) for DR)

Single bunch excitation
using PLL

SuperKEKB BxB FB

Commissioning of TFBEven at tiny beam current (<50 mA), we have strong CBIin both ring.
‒ Transverse FB system is MUST for SuperKEKB rings.

Adjustment items‒ Bunch position detector (BPM timing, beam phase, DC
cancellation, gain balance)‒ iGp12 ADC, DAC, one-turn delay‒ iGp12 feedback phase

SuperKEKB BxB FB(Tips)フィルターのタップ数

やたらに長いFIRフィルターを使えば、たとえば中心周波数周りで位相シフトを一定にしたり、S/Nをあげたり出来る
しかしながら、時間遅れの大きな信号を使ったフィードバックは不安
定になりやすい‒ 特にベータトロンtuneが半整数、整数の近くだと急激に厳しくなる‒ 衝突型加速器でluminosityをあげるときは、tuneを半整数の近くにするこ
とが多い





不安定が厳しいとき、横方向では8tap以上にできることはほとんどない(もっと少なくしたいほど)
進行方向用は、振動が遅いので短いフィルターでは適切なフィルターが構成しにくい。
‒ ダウンサンプリングを多くすると、やはり不安定になりやすい‒ 長いフィルター(1シンクロトロン周期)が望ましい



FPGAの使えるDSPブロック数で制限される‒ DSPブロックはFIFOにも使うので、大型リングではさらに厳しいSuperKEKB BxB FB

広帯域大出力増幅器


アンプの回路方式‒ B級(基本的に）ベースバイアスをかけない増幅方式
 入力がないと電流が流れないので、電力効率は良い
 TRにしてもFETにしてもゼロ電流付近での応答が悪い(入力に対して電流が流れない）領域があるので、出力に大きな歪みが発生する
 このため、通常のラジオでも採用しにくい(ヒドイ音になる)‒ AB級
ゼロ電流付近の歪みを除くため、バイアスをかけておく
 電力効率はB級よりは悪くなる(バイアスの深さによる) 通常のAB級増幅器が想定している入出力特性は穏やかなものが普通なので、バンチフィードバック用には使えないことが多い‒ 電源が非力なため長いバースト信号がでない‒ パルス信号に対する応答がおかしいSuperKEKB BxB FB‒ C級
Negative biasをかけた増幅方式
 極めて歪みが大きく、おおきな高調波が出てくる
 電力効率は非常に良い もちろん、広帯域フィードバックには使えません

‒ A級
入力信号全周期において動作点を上回るように十分大きなバイアス
電流を流す回路 極めて電力効率が悪い(入力なしでも、ほぼ出力最大と同じだけの電力を消費し続ける)：廃熱処理もタイヘン 歪みも小さく、一般に電源は強力なので、広帯域フィードバック用途に向いている 値段は高いSuperKEKB BxB FBSuperKEKB用アンプ
横方向‒ 10kHz-254MHz Psat=500Wアンプを16台(LER 8、HER 8)使用
‒ 進行波、反射波を常にモニター、反射波でインターロック

進行方向‒ 800MHz-2GHz Psat=500Wアンプを8台使用‒ 進行波、反射波モニターする

SuperKEKB BxB FB

ストリップラインキッカー

Transverse Stripline
Kicker (L = 40 cm)

SuperKEKB BxB FB

Panofsky-Wenzelの定理
ストリップラインなどに進行波を入れてビームを蹴ろうとする場合、ビームの横方向の蹴りはキッカーでの進行方向の電場の変化によって表すことが出来る

つまり




純粋な横方向の電場しかない電磁場(ビーム進行方向と同じ方向に走っている進行波)ではビームを進行方向に蹴れないだけでなく、横方向にも蹴れない、ということ
ビームの進行方向と逆方向から進行波を入れる必要があるSuperKEKB BxB FB

シャントインピーダンス


進行方向のシャントインピーダンスは𝑹∥ 𝑻𝟐 = 𝟐𝒁𝑳 𝒈𝟐∥ sin𝟐 𝒌ℓ

𝑻 はtransit time factor、 𝒁𝑳 はstriplineの特性インピーダンス、𝒈∥ は進行方向幾何学因子


通常ストリップラインの特性インピーダンスは50Ωで設計するので、ストリップライン電極を進行方向キッカーとして使う際のシャントインピーダンスは極めて小さく、〜100Ω
以下となる。但し、周期関数なので、ベースバンドだけでなく、高い周波数でも同じシャントインピーダンスを得ることができる(最終段高周波アンプの帯域が比較的楽になる)SuperKEKB BxB FB

横方向(対向電極に逆相の進行波を入れる)のシャントイ
ンピーダンスは𝟐
𝟐ℓ sin 𝒌ℓ
𝟐
𝑹 𝑻 = 𝟐𝒁𝑳 𝒈
𝒉 𝒌ℓ
横方向のシャントインピーダンスはsin𝟐 𝒌ℓ / 𝒌ℓ 𝟐 に比例するので、ベースバンド(DC付近)しか使えない。低周波領域ではシャントインピーダンスはストリップラインの長さの2乗に比例するが、長くすると高域でのシャントインピーダ
ンスの落ちが早くなる。典型的には数kΩのシャントイン
ピーダンスが容易に実現可能SuperKEKB BxB FB(Tips)ストリップラインキッカーの電極


世の中のストリップラインキッカーには、大きく分けて二つの流儀があります
1.

電極を水平、鉛直に配置する(ので、大概水平用と鉛直用の二種類のキッカーを用意する)
2. 電極を(大体)45度に配置して、4電極を組み合わせて水平・鉛直のキッ
クをする‒ SuperKEKB、PF-AR、PFでは(2)を採用しています。世の中の多くの放射光源は(1)を採用しています。J-PARC MRも(1)です。
(1)流はキッカーでx-y結合が起きる、と主張することもあります(ホントでしょうか？)。
‒ 放射光が出るリングでは、水平方向電極に光を当てないため工夫が必要で面倒です(2)流だと必要な場合4電極(4台のアンプ)が協力して大きなキック電圧を出すことが出来ます。放射光や入射アパーチャーについても、(1)より有利ですSuperKEKB BxB FB

進行方向用フィードバックキッカー

ストリップラインを同相にexciteする‒ シャントインピーダンスは極悪(〜100Ω)‒ PEP-II/ALS(初期)/BEPC-IIで使われていたseries drift tube型


発熱、ビームパワーの扱いなど、困難が多い

非常にQを下げた(超over couple型)空洞‒ INFN-LNFのDAFNEリングで開発された‒ PEP-II/PF/SuperKEKB/Bessyなど多くの蓄積リングで採用‒ 空洞なので方向性がなく、空洞に誘起された電力の扱いに工夫が必要
大電力広帯域無反射型LPF
 広帯域サーキュレーター
SuperKEKB BxB FBSuperKEKB用 HFSSモデル

SuperKEKB BxB FB

Ｑ値
XY Plot 3

0.00

HFSSDesign1
Curve Info

Name

-5.00

X

Y

m1

1.0850 -2.9914

m2

1.3250 -2.9888

dB(S(1,1))
Setup1 : Sw eep

m2

m1

dB(S(1,2))
Setup1 : Sw eepdB(S(2,1))
Setup1 : Sw eepdB(S(2,2))
Setup1 : Sw eep-10.00

Y1-15.00-20.00-25.00-30.00-35.00-40.000.50

0.75

Lower: 65MHz
Upper: 175MHz

1.00

1.25
Freq [GHz]

1.50

1.75

2.00

SuperKEKB BxB FBReとIm
JF14Q_0

600

Int(Re)=10.223
Int(Im)=39.65

Re
Img

Re(Vg) and Im(Vg)400

Rsh(1.15GHz)=1.676kΩ
200

0

-200

-400

0

50 100 150 200 250 300 350 400
Distance(mm)SuperKEKB BxB FB

GdfidLモデル

SuperKEKB BxB FB

Impedance fit

200

350
y = m1/(1+m2^ 2*(m3/x-x/m3)^...

ReZ(JF14Q)

250

m1

Error
13.72

m2
m3
Chisq
R

5.2305
1.107863171
0.92833

0.357360.0050271
NA
NA

ImZ(JF14Q)

150
100
ImZ(JF14Q)

300

ReZ(JF14Q)

Value
288.15

200
150
100

50
0
y = -m1*m2*(m3/x-x/m3)/(1+m2...

-50

50

-100

0

-150

0

0.2 0.4

0.6

0.8

1

Frequency(GHz)

1.2 1.4

1.6

0

Value

Error

m1
m2

-290.56
8.397714.3820.64495

m3
Chisq

1.108242989

0.0032672
NAR

0.94242

NA

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frequency(GHz)

1.2

1.4

1.6

SuperKEKB BxB FBSuperKEKB用進行方向キッカー

SuperKEKB BxB FB

進行方向用バックエンド回路


空洞の中心周波数は2xfRF +1/4fRFと、127MHzずらしている‒ ビームからのパワーをできるだけ戻さないため

このため、フードバック信号のcarrierを1バンチごとに1/4fRFずつずらす必要がある：QPSK変調回路
この回路がはいっているため、バックエンド変調タイミング
あわせが極めて複雑になるSuperKEKB BxB FB

Commissioning of LFBSuperKEKB BxB FBSuperKEKB BxB FBSuperKEKBバンチフィードバックSuperKEKB BxB FBTransvers feedback systems

SuperKEKB BxB FBLongitudinal Feedback system

SuperKEKB BxB FBFuji straight section

SuperKEKB BxB FBGlass sealing (er~4) type electrode(diameter = 6 mm)
24 x 2 / RingSuperKEKB BxB FBGlass-sealed FTKyocera KC-1(er=4)‒ Glass

Kovar with Gold plating

SuperKEKB BxB FBPresent feedthrough for FB

New FT for FB

SuperKEKB BxB FBSuperKEKB BxB FBTransverse Stripline
Kicker (L = 40 cm)

Transverse Feedback
Amplifiers(10k-254MHz,
500W)

SuperKEKB BxB FBSuperKEKB BxB FBLongitudinal Feedback kicker
Rsh~1.6kΩ、Ｑ~5

Longitudinal Feedback
amplifiers (800M-2GHz,
500W)

SuperKEKB BxB FB

バンチフィードバック回路応用


バンチ位置検出回路の直接利用
バンチ電流モニター
ベータトロンチューン測定システム‒ global betatron tune測定‒ pilot bunch tune測定



ビーム不安定のモード解析

SuperKEKB BxB FBSuperKEKB LER(良くないときの)例

SuperKEKB BxB FB

Bunch current monitor

MAX108 8bit ADC
Spartan6 FGPA
VME 2W size

SuperKEKB BxB FBSuperKEKB BxB FB

Betatron Tune

Global tune measurement for multi-bunch, small beam
current
Gated tune measurement for pilot bunch only
PLL excitation of the pilot bunch using iGp12 or Lock-in
amplifiers

SuperKEKB BxB FBSuperKEKB BxB FB

Pilot bunch tune measurements

SuperKEKB BxB FBTransient-domain analysis
バンチフィードバックシステムで不安定を抑制していたものを、ある時間だけFBをオフし、不安定の成長を観測する‒ 不安定モードの観測
不安定のはじまりを観測でき、理論との比較がしやすい モードの情報から、不安定の原因を探求しやすい はじめに成長するモード、成長の様子などよりくわしい情報が得られる‒ フィードバックシステムの性能が分かる
不安定の成長時間と、それを抑制するダンピングタイムにより正確な
フィードバックダンピングタイム
 成長時のtuneとダンピング時のtuneからFBがresistiveかどうか分かるSuperKEKB BxB FB

実際には



iGp12のGrow-damp機能を使う
2台のiGp12を同時にFB OFF、5ms〜15ms後にFB ONしてその間のデータを取る‒ スタートして2ms後にFB OFF、その10ms後にONが標準パターン

iGp12のデータ(約2400 turn)を‒ 5120x128周(可変)データを切りだし‒ Base 5のFFT‒ FFTの結果(amplitude)中の指定周波数のサイドバンドを全モードについて測定‒ これを64ステップ(64ごと重ね合わせ)で時間発展を表示する

SuperKEKB BxB FBLER横方向フィードバックの例

8 Tap FIR filter
756mA, by 3 filling, 0.5mA/bunch
VerticalGrowth ~ 1.7ms
FB damp ~ 0.5 ms

SuperKEKB BxB FBHER横方向フィードバックの例

8 Tap FIR filter
732mA, by 3 filling, 0.5mA/bunch
VerticalGrowth~0.9ms
FB damping~0.5ms

SuperKEKB BxB FB

まとめ




フィードバックとビーム不安定について、主にSuperKEKB
で使われている機器をもとに紹介しました。
主に説明したバンチフィードバックシステムは、通常のビームモニターと大きく異なり‒ 精密測定ではない‒ S/Nも良くない‒ ダイナミックレンジもたいしたことない

システムですが、今やこのシステムなしに蓄積リング設
計はほぼ考えられません
デジタル技術の進歩で、フィードバックシステム構築は容易になってきましたが、ビームと直接関係する部分(head、
キッカー等)は依然非常に重要です