オーバーサンプル D/A 変換器のサンプル値 H ∞ 設計
○永原 正章∗ ・山 本裕∗ ・藤 岡久 也∗

Sampled-Data H ∞ Design of Oversampling D/A Converter○ Masaaki Nagahara∗ , Yutaka Yamamoto∗ and Hisaya Fujioka∗

A design procedure for oversampling D/A converters is developed based on sampled-data control theory. The
procedure provides an oversampling D/A converter which minimizes the L2 -induced norm of the error system
between the D/A converter and a time-delay. In spite of the multirate and delay elements, the design problem isreduced to a ﬁnite-dimensional discrete-time problem using the FSFH (fast-sample and fast-hold) approximation.
A state space formula of the reduced discrete-time system is also derived. Numerical examples are presented toillustrate the eﬀectiveness of proposed methods.
Key Words: digital signal processing, multirate system, sampled-data control

1.

はじめに

オーバーサンプル D/A 変換器は，ディジタル信号をよりycwc-F (s) - Sh

ydxduduczc-↑ M -K(z) -Hh/M -P (s) -A/D

D/A

速いサンプル周期のディジタル信号に変換した後，ホールド回路によりアナログ信号に変換するシステムである．速いサFig. 1 Oversampling D/A converter

ンプル周期のホールド回路を用いることができ，元信号をより正確に復元することが可能である 7) ．
従来，オーバーサンプル D/A 変換器におけるディジタルで同程度の性能を得ることができる．最後に数値例を示し，提案手法の有効性を示す．

フィルタは離散時間領域での特性に基づいて設計されてい2.

る．離散時間システムとして見れば，アップサンプルによるイメージング成分を除去し完全な信号復元を達成するディジタルフィルタは理想ローパスフィルタであり，それを近似する FIR 型もしくは IIR 型ディジタルフィルタを構成するのが従来の設計法である 2) ．
従来の手法では，標本化される連続時間信号は完全に帯域制限されていると仮定しているが，現実にはその仮定は成立しない．すなわちサンプリングによるエリアシングの影響は無視できず，より良い信号復元性を得るためには，信号処理系を離散時間信号と連続時間信号が混在するサンプル値系として捉え，サンプル点間の応答をも考慮したフィルタ設計を行なう必要がある．

問題設定

オーバーサンプル D/A 変換器による信号復元系のブロック線図を Fig. 1 に示す． Fig. 1 において信号 wc は処理すべき連続時間信号であり，F (s) はアンチエリアシングフィルタである．信号 wc は フィルタ F (s) で帯域制限された
後，サンプラ Sh によってサンプル周期 h の離散時間信号

yd となる．
オーバーサンプル D/A 変換器では，まず yd をアップサンプラ ↑ M によりサンプル周期 h/M の離散時間信号 xd に変換する．ここでアップサンプラ ↑ M は次式で定義される．

↑ M : yd → xd : xd [k] =近年，サンプル値制御理論をディジタルフィルタ設計に応4), 6), 8)

yd [l], k = M l, l = 0, 1, . . .
0,otherwise．特に文献 4) ではオー

信号 xd はディジタルフィルタ K(z) によって処理され，周バーサンプル D/A 変換器における FIR 型ディジタルフィル

期 h/M で動作する 0 次ホールド Hh/M によって連続時間用する研究が行なわれているタのサンプル値 H ∞ 設計が示されている．
本稿ではオーバーサンプル D/A 変換器における IIR 型ディジタルフィルタのサンプル値 H ∞ 設計法を提案する．

信号 uc に変換される．そして uc をアナログフィルタ P (s)によって平滑化し復元信号 zc を得る．

D/A 変換器による信号復元にはある程度の時間遅れが許容

IIR 型フィルタを用いれば FIR 型フィルタに比べ低い次数される．時間遅れを考慮した D/A 変換器による信号復元の∗誤差系のブロック線図を Fig. 2 に示す． Fig. 2 において上側∗

京都大学情報学研究科
Graduate School of Informatics, Kyoto University, Kyotoのパスが時間遅れを，下側のパスがサンプラおよびオーバー

- e−mhs

wc- F (s)-+- Sh - ↑ M -K(z) - Hh/M?
f-ec−- P (s) 6- e−mhs

wc- F (s)- Sh

Fig. 2 Signal reconstruction error system- K(z) - Hh?
g-ec- P (s) 6−

Fig. 3 Single-rate reduction
Gs

サンプル D/A 変換器をあらわす．本稿では次の設計問題を考える．ただし D/A 変換器の出力と，F (s) の出力信号 uc がec

mh だけ遅れた信号との誤差を ec (t) := zc (t) − uc (t − mh)yd

とおく．
［問題 1］ 安定な連続時間フィルタ F (s) と P (s) が与えらSh

e−mhs F (s), −P (s)F (s),0wc

 Hh ud

れたとする．連続時間信号 wc から ec へのシステムを Tew
とおく．このとき，与えられた γ > 0 に対し

Tew  :=Tew wc 2<γwc 2wc ∈L2 [0,∞)sup- K(z)（1 ）Fig. 4 Sampled-data control systemを満たす IIR 型フィルタ K(z) を求めよ．

3.
3. 1

離散時間有限次元系への変換

ẽd

単一レート系への変換

ecSh/N 

まず離散時間リフティングを用いて系を単一レート系に変ティング L−1
M は次式で定義される．

⎢⎢
LM := (↓ M ) ⎢⎢
⎣


1z..
.

⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

H(θ) :=z M −1−1L−1· · · z −M +1 (↑ M )M := 1 z

ただし ↓ M はダウンサンプラであり次式で定義される．

↓ M : xd → yd : yd [k] = xd [M k]
離散時間リフティングを用いて K(z)(↑ M ) を変換する．

K(z)(↑ M ) = L−1
M K(z)

w̃dHh/N 

Fig. 5 Fast discretization

換する 8) ．ここで離散時間リフティング LM および逆リフ⎡wcTew ⎧
⎪
1 0 0 ... 0 ,⎪⎪⎪
⎪⎨ 0 1 0 ... 0 ,⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎩

θ ∈ [0, h/M )θ ∈ [h/M, 2h/M )···0 0 . . . 0 1 , θ ∈ [(M − 1)h/M, h)

このとき次の等式が成り立つ．

Hh/M L−1
M = HhまとめるとHh/M K(z)(↑ M )Sh = Hh K(z)Shが成立し，Fig. 2 のマルチレート系は Fig. 3 の単一レート⎡ ⎤1⎢ ⎥⎢0⎥−1 ⎢ ⎥K(z) := LM K(z)LM ⎢ . ⎥⎣ .. ⎦0系に等価変換される．

3. 2

FSFH を用いた近似設計法

Fig. 3 を変形し Fig. 4 を得る． Fig. 4 のサンプル値制御
系設計に本稿では FSFH（ファーストサンプル・ファーストホールド）手法 5), 9) を用いる．FSFH 手法はサンプル値系

ここで K(z) は 1 入力 M 出力の LTI システムであり，K(z)の性能を近似的に評価する手法の一つである．これは h 周との関係は次式で与えられる．

期のサンプル値系の連続時間入出力を h/N （N は自然数）

K(z) =M
1 z −1 · · · z −M +1 K(z )次に一般化ホールド Hh を導入する．

Hh : l2  v → u ∈ L2 , u(kh + θ) = H(θ)v[k]θ ∈ [0, h), k = 0, 1, 2, . . .

周期で動作するサンプラとホールドによって離散化し，十分大きな N に対する離散時間信号で連続時間信号を近似する方法である（Fig. 5）．

FSFH 手法を用いて Fig. 4 のサンプル値系の近似離散時間系は次式で与えられる．ただし FSFH において N = M l（l:自然数）とした．

⎡Ad

⎢

BN 1 BN 2⎤ẽd

⎥GdN (z) := ⎣ CN 1 DN 11 DN 12 ⎦Cc2
Ad := eAc h ,00 ud

 h/NeAc t [Bc1 Bc2 ]dt

Fig. 6 Discrete time system via FSFH0−1−2AN
B1f AN
B1f · · · B1fffl 

GdN 120- K(z)eAc t Bc2 dt[B1f B2f ] :=BN 2 =dN 11

Af := eAc h/N0

BN 1 =

 w̃dGdN 21yd hB2d :=z −m G

Frequency Response
0−i
ANB2ff−l−i
ANB2ff···i=1N −(M −1)l−i· · · Af⎤Cc1⎢
⎢ Cc1 Af
CN 1 = ⎢..
⎢⎣.
⎡B2f−50Gain [dB]

⎡⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

−100−1Cc1 AN
f0··· 00⎤
−150 110⎢⎥⎢ Cc1 B1f0··· 0⎥⎢⎥
DN 11 = ⎢Cc1 B1f··· 0⎥⎢ Cc1 Af B1f⎥⎢⎥⎣ ................................ ⎦⎡−2−3Cc1 AN
B1f Cc1 AN
B1f · · · 0ff

Dc12···

0Fig. 7 Gain frequency response of filter: KSD (z) (solid),KDT (z) (dash-dot) and KL (z) (dash)⎤0⎢⎥⎢ Cc1 B2f
Dc12··· 0 ⎥⎢⎥DN 12 = ⎢Cc1 B2f··· 0 ⎥⎢ Cc1 Af B2f⎥I⎢⎥⎣ .................................... ⎦−2
Cc1 AN
B2ff−3
Cc1 AN
B2f
f· · · Dc12

I := diag {Il } ∈ RN ×M , Il := [1, 1, . . . , 1]T ∈ Rl

F (s) −P (s)F (s)0⎡

⎢

Ac Bc1 Bc2=: ⎣ Cc1Cc2⎥0zで近似され，[問題 1] は近似的に有限次元離散時間系の問題

GdN 11 (z) GdN 12 (z)GdN 21 (z)0 θ: wk →CF eAF (θ−τ ) BF wk (τ )dτ0であり，(AF , BF , CF ) は F (s) の実現である．

4.

設計例

本節では，前節の結果を用いてオーバーサンプル D/A 変換器におけるディジタルフィルタのサンプル値 H ∞ 設計を

H ∞ 設計による FIR 型および IIR 型フィルタ，サンプル値

GdN 11 (z) + GdN 12 (z)K(z)GdN 21 (z)∞ < γに帰着される．ただし

D11 : L2 [0, h) → L2 [0, h)

行ない，従来法による Lagrange 補間フィルタ 2) ，離散時間

近似離散時間系 GdN を用いて (1) 式は−mり D11  < γ は (1) において強い仮定である．ただし⎤0 Dc12 ⎦02

10Frequency [rad/sec]

H ∞ 設計による FIR 型フィルタ 4) と比較する．
例題に用いたパラメータは以下の通りである: サンプル
周期 h = 0.1，遅れのステップ m = 2，オーバーサンプル

D/A 変換器の分割数 M = 4 ，:= GdN (z)F (s) =1,(10s + 1)2

P (s) = 1

FSFH の分割数 N = M × 4 = 16 ．

である．
対応する離散時間 H ∞ 設計のブロック線図を Fig. 6 に

サンプル値 H ∞ 設計によって得られた IIR 型ディジタル示す．

フィルタ KSD (z)，離散時間 H ∞ 設計によるディジタルフィ（注意 1） 条件 D11  < γ のもとで Fig. 4 のサンプル値系

ルタ KDT (z)，および従来法による Lagrange 補間 FIR 型とH∞

ノルム上界等価な離散時間系を計算する方法が提案されている

3)が，通常のサンプル値 H∞制御問題とは異なフィルタ KL (z) の周波数応答を Fig. 7 に示す．ただしそれぞれのゲインを 1/M 倍している．

0.6

Frequency Response−60−650.4−700.2Gain [dB]−750−80−85−0.2−90−0.4−95−100−0.60−105−10

1010Frequency [rad/sec]

11050

100

150

2200
250Time [sec]

300

350

400

346.65346.710Fig. 9 Time response of zc (t)Fig. 8 Gain frequency response of Tew with KSD (z) (solid),KDT (z) (dash-dot) and KL (z) (dash)
Table 1 Orders of designed filters and Tew FilterOrderTew 
sampled data H ∞ IIR
15
3.8 × 10−4
sampled data H ∞ FIR
19
3.8 × 10−4
discrete time H ∞ IIR
15
6.9 × 10−4∞
discrete time H FIR
19
6.9 × 10−4
Lagrange filter
14
7.7 × 10−4

0.49940.49920.499
0.49880.4986
0.49840.4982

Table 2 Upsampling factor M and Tew M12468Tew 
1.4 × 10−3
7.4 × 10−43.8 × 10−42.5 × 10−41.9 × 10−40.498
0.4978346.4346.45346.5を Fig. 8 に示す． それぞれのフィルタの次数と Tew  の最適値を Table 1 に示す． サンプル値設計の有効性，および IIR 型フィルタを用いれば FIR 型よりも低い次数で同等の性能が得られることが確認できる．
次に分割数 M を変化させたときの Tew  の最適値をTable 2 に示す．これより分割数 M が大きいほど信号復元の精度がサンプル値系の H ∞ ノルムの意味で上がることがわかる．
分割数 M = 4 としたフィルタ KSD を用いて，Fig. 1において wc (t) = sin 0.1t としたときの時間応答 zc (t) とuc (t − mh) Figs. 9，10 に示す． サンプル値設計で得られたフィルタによって信号 uc が精密に復元されていることが確認できる．

5.

おわりに

本稿ではオーバーサンプル D/A 変換器におけるディジタルフィルタ設計問題をサンプル値 H ∞ 設計問題として定式化し，FSFH の手法を用いた具体的な計算公式を与えた．
例題を通して，従来法と比較し提案手法の有効性を示した．

346.6

Fig. 10 SD design: zc (t)(solid) and uc (t − mh) (dot)参

それぞれのフィルタに対する誤差系の周波数応答ゲイン

346.55Time [sec]考文献

1）T. Chen and B. A. Francis: Optimal Sampled-Data Control Systems, Springer (1995)
2）N. J. Fliege: Multirate Digital Signal Processing, Wiley(1994)
3）藤岡, 臼井, 山本: マルチレートフィルタバンクのサンプル値
H∞ 設計 — M チャンネルの場合 —, 第 27 回制御理論シンポジウム (1998)
4）石 井, 山 本: マ ル チ レ ー ト D/A 変 換 器 の サ ン プ ル 値
H ∞ , H 2 /H ∞ 設計, システム制御情報学会論文誌, Vol.11,
No.10, pp.585–592 (1998)5）J. P. Keller and B. D. O. Anderson: A new approach to thediscretization of continuous-time controllers, IEEE Trans.
on Automatic Control, Vol.37, No.2, pp.214–223 (1992)
6）P. P. Khargonekar and Y. Yamamoto: Delayed signal reconstruction using sampled-data control, Proc. of 35th
Conf. on Decision and Control, pp.1259–1263 (1996)
7）貴家: マルチレート信号処理, 昭晃堂 (1995)
8）Y. Yamamoto, H. Fujioka and P. P. Khargonekar: Signal
reconstruction via sampled-data control with multirate filter banks, Proc. of 36th Conf. on Decision and Control,
pp.3395–3400 (1997)9）Y. Yamamoto, A. G. Madievski and B. D. O. Anderson:
Computation and convergence of frequency response via
fast sampling for sampled-data control systems, Proc. of36th Conf. on Decision and Control, pp.2157–2162 (1997)