立石科学技術振興財団

助成研究成果集(第25号) 2016

立石賞功績賞の受賞記念講演概要

サンプル値制御からディジタル信号処理へ―― 人にとって自然な情報処理とは ――
京都大学名誉教授

立 石 科 学 技 術 振 興 財 団 よ り 1992 年 度 に「ディジタル制御系の最適化・知能化の研究」

山 本

裕

言って過言ではありません。というテーマで研究助成を頂きました。それ以後主としてディジタル制御の手法を用いて，人CD のその後間にとってより自然な信号の処理方法，ことにこのディジタルメ

音響と画像の処理について研究して参りました

ディアの登場によって，が，このたび立石賞功績賞をいただくことにな音楽メディアは一挙にりました。立石科学技術振興財団他関係者の皆ディジタル処理に方向様に篤く御礼申し上げます。

を変え，それまでのアナログレコードに急速に取って代わるようになりました。
ただし CD の音質，品質については，取り扱ディジタルによる音響処理
1982 年，ソニーとフィリップスの共同開発

いやすさ，音の安定性 (音程の揺れのなさなによる，コンパクトディスク (CD) が導入，ど) などの肯定的な評価の反面，音が硬い，金発売されました。アナログレコードに取って代属的，あるいはシャープにすぎる，冷たい，雰わる初めての商用ディジタル音楽メディアとし囲気や質感に乏しい等といった批判的あるいはて，CD は様々な規格を導入し，その後のディ否定的な意見も主としてオーディオマニアと言ジタル信号処理の規格に大きな影響を与えたとわれる人々から数多く寄せられことになりましいえます。代表的なものとして，サンプリングた。本来目指したはずの音楽的感動を伝えるの周波数 44.1 kHz，記録ダイナミックレンジ 16に適していないのではないか，その原因は何かbit が上げられます。

といった議論も数多く聞かれました。

このうち，サンプリング周波数 44.1 kHz と

そもそもこの規格は人間の聴くことのできるいうのは，1 秒間に 44,100 回，音の信号を計測

周波数の上限が 20 kHz であるという知見に基し記録するということです。詳しいことは省きづいており，そこにサンプリング定理を持ち込ますが，Shannon が文献 [1] においてサンプ

んで，その倍の 40 kHz，余裕を見てその 10%リング定理に基づいてディジタル信号の伝送を増しの 44.1 kHz をサンプリング周波数に選ん問題にして以来，サンプリング周波数の半分のだところから始まります。しかしその後人間の周波数，いわゆるナイキスト周波数，が伝送で聴くことのできる周波数上限は本当はどこまできるデータの高域 (この場合は高音) の限界とあるのか，上記サンプリング周波数は妥当だっされてきました。以後，この理論，仕組みは広たのかという疑問が提出されるようになります。

くディジタル機器に採用され，いわば事実上の通常の実験ですと一定周波数の正弦波を被験者スタンダードとなっています。お手持ちのディに聴かせて聞こえたかどうかを答えさせるのでジタル音響機器の殆どはこれによっているとすが，これですと定常状態におけるいわゆる定― 7 ―立石科学技術振興財団

常応答のみの試験になってしまいます。一方音

このように急峻なジャンプがある場合，必ずその立ち上がり特性を反映する過渡応答についての周りにオーバーシュートやアンダーシュートはいろいろな意見があり，一定していません。

による波打ち現象が発生します。

一つには過渡応答は瞬時に消え去るものであり，その一対同時比較は困難であることが挙げられるでしょう。また 20 kHz 以下の超高域が人にとって心地良いかどうかについても，大橋氏の研究 [2] などがあり，その効果の一部が解明されつつあると思えますが，詳しいことは未だ明らかにはなっておらず，諸説あります。一つには音と音響の評価というものは，究極は聴取者の脳の中にしかないものであり，客観的なデー図2タとして表すことが困難であるという事情が影

Gibbs 現象による歪響しているといえるでしょう。この点は画像な音の場合には鐘のような音がするというので，どに比べて随分困難なところです。
しかし超高域が実際に「聴こえる」のかどう

リンギング歪とも言われます。現実にはこのよかはひとまず措くとしても，現実の音，自然音うな高周波や不連続な信号は発生しないではな

は 20 kHz よりはるかに高いところまで周波数いかという意見もあるかもしれませんが，そう成分を持っていることが多いのは事実です。図ではありません。例えば無音から急激に立ち上

1 はあるアナログレコードの周波数成分を取りがるピアノのアタック，また画像では暗い部分出してみたものですが，20 kHz 以上の高域まから急に明るい部分になる境界部分はこのようで分布しているらしいことがわかります。

な信号となり，この歪が常に発生するのです。
残念ながら，この部分はこれまで余りまともに議論されてきていませんが，CD の音が金属的であるとか，冷たいとか言う評判はこれが大きく関わっていると思われます。
自然な周波数復元に向けて超高域が人間に聞こえるにせよ，そうでないにせよ，現在のディジタル音響処理が自然音の

図1

アナログレコードの周波数特性例

周波数特性を正しく反映していないのは確かです。それならそれをなるべく元に近く戻してや現実の CD の録音などでは，この超高域成分れば良い。最近の SACD フォーマットなどは，があるとエイリアスという歪の原因になる (サそ れ を 目 指 し て サ ン プ リ ン グ 周 波 数 を 44.1ンプリング定理に基づく) というので，この部kHz より高いところに設定し，超高域までを分をすべてフィルターでカットして録音します。

カバーするようになっています。しかしすでにその結果どうなるかというと，次の図 2 のようCD フォーマットで録音されたものではそうはな副作用が発生するのです。これはフーリエ解行きません。高周波の情報はサンプル点間の情析という分野で Gibbs 現象として知られている報として，録音されずに漏れ落ちてしまっていものですが，周波数成分を急峻にカットすると，るのです。

― 8 ―Tateisi Science and Technology Foundation

ではその失われてしまったサンプル点間の信号をどのように復元するかということになりまに入ってこないような条件を設定せよと言ったのでした。

す。もしも周波数成分がナイキスト周波数以下にしか分布していない仮定すると，サンプリング定理により，可能な限りの低周波信号で復元することが唯一正しい解であることになります。
Shannon がこの論文を書いた時，元の信号の周波数分布に対して，サンプリング周波数，し図3たがってナイキスト周波数も十分に大きく，余エイリアシング現象

裕を持っている状況を想定していたと思われます。そうであれば，Shannon によるこの考え

しかしここでもし，この低周波が 80%，高方はほぼ間違いのない結果を与えますし，実装周波が 20% の割合で混じっていると先験的に上の問題を別にすれば (Shannon のこの方式仮定出来たらどうでしょう。低周波のみの復元はそのまま実装するには多くの困難がありまを行うのではなく，図 4 の一番下の信号が正しす)，完結した結果と言っても差し支え無いでいということになるのではないでしょうか。

しょう。
しかし現実はしばしば我々のそうした期待を裏切るもので，多くの音楽信号ではその周波数分布は 20 kHz を超えて分布しますし，よしん
ば 20 kHz 以下にしかエネルギーがなかったとしても，ナイキスト周波数はその 10% 上の 22
図4kHz でしかありません。とても余裕を持って先見情報を仮定した信号復元

サ ン プ リ ン グ 定 理 を 適 用 で き る，あ る い は無論現実には与えられた信号に対してこのよ

Shannon のパラダイムを実現できる状況ではうな情報がわかることはあり得ません。しかしないのです。
それではどうすれば良いのでしょうか。サン

平均的に，あるいは蓋然的には周波数特性といプル点間にどんな信号があったかを録音した後うものは高域に向かって徐々に減衰していくもから知ることは出来ません。従って，Shannon

ので，殆どの場合次の図 5 のような特性になっはナイキスト周波数以下に分布すると仮定したているものと考えられます。のでした。しかし我々は実はもう少し詳細な情報を持っているのです。
次の図 3 を見てみましょう。この図 3 のような正弦波が与えられ，かつそれが丸印で与えられたような間隔でサンプルされたとします。しかしこうして得られたサンプル信号はもはや元

図5の高周波の信号要素とは独立で，実際この図 3の下図のようなよりゆっくりとした正弦波とも信号の周波数分布であるならば，この周波数特性を参考にして，同調してしまいます。これがエイリアシングとナイキスト周波数以上の信号成分を上手く加えいう現象で，だからこそ Shannon は周波数成あわせてやれば，20 kHz 以上まで特性の伸び分を限って，この上のような高周波が信号成分た信号復元ができるのではないかと想像されま― 9 ―立石科学技術振興財団

す。実際その通りなのですが，話はそう簡単ではありませんでした。というのは，サンプル点間をこのような周波数特性に従って，高域まで伸ばす，あるいは補間するという理論はそれまで に な か っ た か ら な の で す。そ れ こ そ が，Shannon 以来 60 年以上の永きにわたって帯域
図6制限された信号復元が続けられてきた理由でも離散時間設計の応答例あります。それをどうするかについては，少しさかのぼってディジタル制御のお話をせねばなりません。
ディジタル制御またはサンプル値制御の基本問

図7

リフティング

題
私達が制御したいプラントあるいは信号系は

これはそもそも，サンプリングという操作に多くは連続な時間で動作します。通常これらはよって，連続時間の信号を落としてしまったこ

同じ連続時間で動作するコントローラあるいはとに原因がある。だったらせめて設計用のモデフィルタなどで処理されてきました。これに対ルだけでも，サンプル点間応答を落とさないよし，コントローラとセンサが離散的な時間で動うにしよう。そう考えて提唱したのが，図 7 に作するものをサンプル値制御系，あるいはディ示す現在リフティングと呼ばれている手法です。

ジタル制御系と呼びます。これらがディジタル専門的になるので詳しい話は省略しますが，計算機で行われることが多いためです。このサ一口に言って連続時間の信号 ft を離散時間のンプル値制御系は旧くからあった概念なのです

関数の列 fθ1 として離散時間で扱えるようが，困った問題を抱えていました。すなわち，にしたのがその核となるアイディアです。今と連続と離散の二つの時間要素を内包しているとなってはコロンブスの卵なのですが，当時私がいうことです。この時間要素の混在は数学的取これを導入した時は，わざわざ問題を難しくしり扱いを非常に厄介な，見通しの悪いものにしている，と非難を浴びたものでした。幸い，こていました。そのため，サンプルされた時刻のの ア イ デ ィ ア が 認 め ら れ，IEEE の Control

間にプラントがどのような応答をするかは，あSystems Society の論文賞もいただき，いまでまりうまく扱うことが出来なかった，少なくとはこの業界の標準手法として確立しています。

も設計の時にはそれを上手く設計に取り込むことが出来なかったのです。それでサンプル時間現代的サンプル値制御系の成立を短く取れば良いだろうということになっていこのリフティングの手法の導入とともに，現ました。ところが実はサンプル点間を無視して代的なサンプル値制御理論が瞬く間に展開し，設計すると，サンプル時間が短くなればなるほ成立していきました。1990 年代前半のことでど応答が悪くなる例もあるのです。例えば次のす。しかも同じサンプリング周期を用いていて

図 6 です。ここで青の実線で表したのが，離散も，サンプル点間応答を最適化するコントロー

時間設計によるものですが，サンプル点の間でラを得ることができることがわかりました。図0 に収束して欲しい応答が大きなリップル (波6 において赤の実線で表示したのがそうして得打ち) 現象を起こしています。 (赤の実線につられた最適コントローラによる応答です。またいては後述。)

矩形波に対して，図 2 とは対照的に次の図 8 の― 10 ―

Tateisi Science and Technology Foundation

ようなリンギングのない応答が得られることも特性に基づく特有の周波数減衰パターンを持っ分かっています。ているのです。ギターのような楽器を考えてみてください。例えば基音として 440 Hz，A の音を鳴らしたとしても，それに付随してその倍音，3 倍高調波があり，ギターの特性に従って高周波が減衰していきます。(これ以外にも過渡特性というものがありますが，ひとまず無視します。
) この特性を反映した減衰曲線を物理モデルとしてモデル化し，サンプル値制御系におけるプラントの役割をさせることによって，平均的に最適な高周波の復元ができるのではな
いか，と考えたのが始まりでした。このフィル

図8

タによって，CD では 20 kHz 以上のはるか上サンプル値最適設計による矩形波応答の高周波まで復元できるようになりました。そのための実験装置として作成したのが，図 9 に示す 375 kHz までの再生能力をもった DA コ

サンプル値制御から信号処理へ
上に述べた信号処理の問題，すなわちサンプンバータです。

ル点間の (失われた) 信号をどうやって復元するか，という問題に戻ります。上で述べたように，サンプル値制御理論ではサンプル点間応答を最適に補間できるということがわかりました。
これを信号処理に応用するとどうなるでしょうか。これまでのディジタル信号処理の理論で，使われていなかった仮定あるいは理論は，おおまかに言って 2 つあります。一つはリフティングによる現代的な制御理論です。これは制御の

図9

試作 DA コンバータ部門ではもはやスタンダードとなっているにも関わらず，残念ながらディジタル信号処理の分これと前後して，この新しいアイディアの商野では，まだわずかしか知られておらず，理論品化，普及に取り組みました。しかしながら多としては広く用いられているとはいえないのがくのオーディオメーカーからの反応は芳しいも現状です。2012 年に文献 [3] を発表し，新しのではありませんでした。まだその当時図 9 のい方法論を提起しましたが，これが浸透していようなプロトタイプが出来上がっていなかった

くにはまだ後 10 年単位の時間がかかるのでこともありますが，一方では，信号処理の教科しょう。

書をそのまま鵜呑みにして最初から結論ありき

もう一つ，Shannon が想定しなかったものという拒否反応にも悩まされておりました。そに，元のアナログ信号の生成モデルがあります。 うした中で，三洋電機 (当時) からのアプロー
実 は こ こ に こ そ，サ ン プ ル 値 制 御 理 論 がチがあり，当初は画像処理への応用からスター

Shannon のパラダイムに対して優位性を主張トしたのですが，まもなく圧縮オーディオの高できる根拠があるのです。対象が音楽であれば，品位化に目標を転換し，幸い 3 年の検討期間をその音には必ず発生源があり，それらは物理的経てチップに組み込んでいただけることになり― 11 ―

立石科学技術振興財団ました。この間，研究所におられた藤山晃司氏

存の定説などに左右されることなく，信号処理と二人三脚で開発に従事し，時には社内の反対のスタンダードが，ちょうど現代的サンプル値に遭いながら，最終的に LSI チップとして製制御理論が旧来のサンプル値理論を書き換えた品化できることになったのは，藤山氏の協力無ように，この新しい方式に書き換わる日を待ちくしては考えられないことでした。深く感謝し望んでやみません。この新しい信号処理方式のている次第です。幸いこれまでに 6,500 万石以研究を通じて，協力いただいた上記藤山氏を始上を出荷する成功を納めています。

め，永原正章氏，P. P. Khargonekar 氏，その他多くの大学院学生諸氏，並びに関係の各位におわりに御礼申し上げます。

サンプル値制御理論を用いたこの新しい信号処理理論とその応用は，まだその端緒についたばかりともいえます。我々の処理する信号の結果は，畢竟アナログ領域で評価されるものであり，処理結果がどれだけ原信号に近いかが評価されねばならないでしょう。ディジタルだからといって，安易にデータを間引いてしまうと後

文
[1]

献

C. E. Shannon, “Communication in the Presence ofNoise,” Proc. IRE, vol. 37, pp. 10-21, 1949.

[2] T. Oohashi et al., “Inaudible high-frequency
sounds affect brain activity : hypersonic effect,”
Proc. Amer. Physiological Soc., pp. 3548-3558, 2000.
[3] Y. Yamamoto, M. Nagahara & P. P. Khargonekar,

で問題を抱えることにもなりかねません。しか“Signal reconstruction via

し一方では，ますます負荷の大きくなる処理に

theory-beyond the Shannon paradigm,” IEEE

対して，データの圧縮は不可避であり，そこにこそアナログ特性を最適とするこのサンプル値処理方式の将来の発展があるべきでしょう。既― 12 ―sampled-data control

Trans. Signal Processing, vol. SP-60, pp. 613-625,
2012.