32
1.8

2.5

1.6
1.4

2

1.2
10.8

10.6
0.4

0.5
0−0.5

Multiplicity[Å 2]

第70回
パーシステントホモロジーとその周辺
1.5

0.2
00.5

11.5

2

2.5

3

[Å 〜] 12 月 23 日 (土)2017 年 12 月 22 日 (金) 14:40
於：東京都 文京区 春日 1-13-27 中央大学理工学部 5 号館
12 月 22 日 (金)14:40〜16:10
16:30〜18:00
12 月 23 日 (土)10:30〜12:00
13:40〜15:10
15:30〜17:00
17:30〜

2

パーシステントホモロジーとその応用：平岡 裕章氏 (東北大・AIMR)
クイバーの表現論とパーシステントホモロジー：浅芝 秀人氏 (静岡大・理)
確率論とパーシステントホモロジー：白井 朋之氏 (九州大・IMI)
パーシステント図に対する統計的機械学習：福水 健次氏 (統数研)
位相的データ解析ソフトウェア HomCloud の紹介
およびパーシステント図の逆問題について ：大林 一平氏 (東北大・AIMR)
ワインパーティー（懇親会）

別紙の趣旨に沿った集会の第 70 回を以上のような予定で開催いたします．非専門家向けに入門的な講演をお願い致しました．多くの方々のご参加をお待ちしております．講演者による講演内容へのご案内を添付いたしますので御覧下さい．
尚、この集会は、科学研究費補助金 基盤研究 (B)「結び目理論とその諸科学への応用の研究」課題
番号：16H03928 代表：下川 航也 (埼玉大・理工)、科学研究費補助金 基盤研究 (B)「３・４・５次元上の葉層・接触・シンプレクティック構造の研究」課題番号：17H02845 代表：三松 佳彦 (中央大・理工)、JST CREST 課題「ソフトマター記述言語の創造に向けた位相的データ解析理論の構築」代表者：平岡 裕章 (東北大・AIMR) からの支援を受けています.
連絡先：112-8551 東京都文京区春日 1-13-27 中央大学理工学部数学教室: 03-3817-1745
ENCOUNTER with MATHEMATICS: homepage : http://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH
三松 佳彦 : yoshi@math.chuo-u.ac.jp / 高倉 樹 : takakura@math.chuo-u.ac.jp
画像提供：平岡 裕章氏 (東北大・AIMR)

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ֶձʰ਺ֶʱ68, 361–380 (2016)ɽ

クイバーの表現とパーシステントホモロジー
浅芝 秀人(静岡大学・理学部)

平岡による，Auslander-Reiten 理論の簡単な導入と有限型 commutative ladder についての解説に続いて，この講演では，commutative ladder の行列問題，加群の分解理論 ([1]), bocs を使った今後の展開などについて解説する。
これまでの persistent homology を用いた手法は，point cloud の情報を An 型クイバーの表現に翻訳し，その同型のもとでの完全不変量である直既約分解 (= persistencediagram) を用いて point cloud を研究するものであった。これは静止した状況の分析に主に使われていたが，タンパク質のフォールディングの研究のように，応用上，動きのある point cloud も考える必要がある。Point cloud に動きが加わると，可換関係を入れた An × Am 型のクイバーの表現の問題となる。最初のステップとして，m = 2 の場合を考える。このときこの関係付きクイバーを commutative ladder (可換梯子) CLn とよぶ。Point cloud の persistent homology による分析問題は，代数的には，commutativeladder の表現を直既約分解する問題となる。
昨年，一般の関係付きクイバー A の表現について，A の AR-クイバーの情報を用いて，直既約分解に現れる直既約因子の個数を，行列の階数によって与える公式を [1] で与えた。n ≤ 4 の場合，CLn は有限表現型であるため，この公式を用いてこの問題を解くことができる。n ≥ 5 の場合，無限表現型となり，その場合は，テストすべき直既約加群が無限個あるため，このままでは有限回の操作で分解を求めることはできない。
各表現について，その直既約因子の属する有限個のリストを求めなければならない。
一般の場合，これを CLn の表現の標準形を求める問題（行列問題）と見なす。行列問題は，bocs の表現として定式化され [3]，bocs の reductions [2] を用いて，原理的には解くことができる。

References[1] Asashiba, H.; Nakashima, K.; Yoshiwaki, M.: Decomposition theory of modules: the case of Kronecker algebra, Japan J. Indust. Appl. Math. 34 (2), 489-507, (2017).
[2] Crawley-Boevey, W.: On tame algebras and bocses, Proc. London Math. Soc. (3) 56, no. 3, 451–483,(1988).
[3] Rojter, A. V.: Matrix problems and representations of BOCSs, Representation theory, I (Proc.
Workshop, Carleton Univ., Ottawa, Ont., 1979), 288–324, Lecture Notes in Math., 831, Springer,
Berlin-New York, (1980).

確率論とパーシステントホモロジー
白井朋之 (九大 IMI)
Atiyah-Singer は 2004 年のアーベル賞受賞後のインタビューの中で，「今後数学のどの分野で最も重要な進展があると思いますか」という質問を受けているが，以下はこの質問に対する Singer の答えの一部である1 ．

I predict a new subject of statistical topology. Rather thancount the number of holes, Betti numbers, etc., one will be moreinterested in the distribution of such objects on noncompact
manifolds as one goes out to infinity.

— I. Singer

これは色々な意味で解釈できると思うが，何かしらのランダムネスのもと Betti
数やホモロジー群を確率変数とみなすというのも一つの解釈としてあるだろう．確率論では古くからパーコレーションの問題としてランダムグラフやランダム幾何的グラフの連結性 (0 次ホモロジー) が研究されているが，高次のホモロジーについてはあまり研究はなされていなかった．2006 年の論文でLinial-Meshulam は Erdős-Rényi グラフで知られていた連結性の相転移の問
題をランダム複体について論じた．これ以降最近にいたるまで徐々にそのような研究は増えつつある．本講演では，パーシステントホモロジーの視点がこれらの問題にどのように関わるかを述べつつ，最近得られた結果を紹介する予定である．

1 http://www.ams.org/notices/200502/comm-interview.pdf

1ύʔγεςϯτਤʹର͢Δ౷‫ܭ‬త‫ػ‬ցֶश෱ਫ݈࣍ʢ౷‫਺ܭ‬ཧ‫ॴڀݚ‬ʣύʔγεςϯτϗϞϩδʔΛ࢖ͬͨҐ૬తσʔλղੳͷํ๏࿦Ͱ͸ɼσʔλͷҐ૬తɾ‫ز‬Կత৘ใΛύʔγεςϯτਤͳͲͷࢹ֮తखஈΛ࢖ͬͯද‫ͯ͠ݱ‬σʔλղੳʹ༻͍·͢ɽ͔͠͠ͳ͕ΒɼύʔγεςϯτਤΛ೗Կʹσʔλղੳʹ༻͍Δ͔ʹ͍ͭͯ͸ɼඞͣ͠΋ఆ·ͬͨํ๏ཱ͕͍֬ͯ͠ΔΘ͚Ͱ͸͋Γ·ͤΜɽຊߨԋͰ͸ɼ౷‫ܭ‬Պֶ͋Δ͍͸‫ػ‬ցֶशతͳํ๏Λ༻͍ͯύʔγεςϯτਤΛσʔλղੳ͢Δ‫͓ͯؔ͠ʹڀݚ‬࿩͠͠·͢ɽ͜͜Ͱɼσʔλͱ͸ɼ͋Δू߹্ͷ༗‫߹ू఺ݶ‬ͷ͜ͱͱԾఆ͠ɼͦͷΑ͏ͳ఺ू߹͕ଟ਺༩͑ΒΕΔঢ়‫گ‬Λߟ͑·͢ɽͦΕͧΕͷ఺ू߹ʢσʔλʣʹରͯ͠ύʔγεςϯτਤΛ‫͢ࢉܭ‬Δͱଟ਺ͷύʔγεςϯτਤ͕ಘΒΕ·͢ɽ౷‫ܭ‬తͳ࿮૊ΈͰ͸ɼଟ਺ͷσʔληοτ͕ɼ͋Δ‫ͬैʹߏػ‬ͯ౷‫ܭ‬తʹʢ͢ͳΘͪɼ͋Δ֬཰෼෍ͷαϯϓϧͱͯ͠ʣ༩͑ΒΕΔͱԾఆͯ͠ɼಘΒΕͨଟ਺ͷύʔγεςϯτਤ͔ΒɼσʔλΛੜ੒ͨ͠‫ʹߏػ‬ؔͯ͠ਪ࿦Λߦ͏ͱ͍͏໰୊Λߟ͑·͢ɽຊߨԋͰ͸ɼ౷‫ܭ‬తํ๏ͷҰൠతͳߟ͑ํʹؔ͢Δઆ໌ʹ΋࣌ؒΛׂ͖ɼͦͷΑ͏ͳߟ͑ํʹ‫͍ͯͮج‬ɼ‫͞ࢉܭ‬Εͨύʔγεςϯτਤͷ౷‫ܭ‬తͳ༳Β͗Λਪఆ͢Δํ๏ʢ[1]ʣ΍ɼύʔγεςϯτਤΛؔ਺ۭؒͷϕΫτϧʹࣸ૾͢Δ͜ͱʹΑͬͯɼϕΫτϧσʔλʹରͯ͠ద༻Մೳͳඪ४తͳ౷‫ܭ‬తσʔλղੳख๏Λద༻͢Δ࠷ۙͷ‫ڀݚ‬ʢ[2]ʣʹؔͯ͠঺հ͠·͢ɽࢀߟจ‫ݙ‬[1] B.T. Fasy, F. Lecci, A. Rinaldo, L. Wasserman, S. Balakrishnan, andA. Singh. Confidence sets for persistence diagrams. Annals of Statistics,
42(6):2301-2339, 2014.
[2] Genki Kusano, Kenji Fukumizu, Yasuaki Hiraoka. (2017) Kernel
method for persistence diagrams via kernel embedding and weight factor.
arXiv:1706.03472 [stat.ML]Ґ૬తσʔλղੳιϑτ΢ΣΞ HomCloud ͷ঺հ͓Αͼύʔγεςϯτਤͷ‫ٯ‬໰୊ʹ͍ͭͯେྛҰฏʢ౦๺େ AIMRʣຊߨԋͰ͸ύʔγεςϯτϗϞϩδʔΛ༻͍ͨσʔλղੳιϑτ΢Σ
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