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日本音響学会誌 68 巻 10 号（2012），pp. 538–539

連載企画—音響学の温故知新—

ガイド波の 1 世紀と半世紀*
尾 上 守 夫（東京大學名誉教授）∗∗43.10.Mg; 43.20.Bi; 43.35.Cg

音響の古典といえば Lord Rayleigh の “The-の後境界面が多層の場合や曲面の場合に拡張され，ory of Sound” (1877, 1896) であろう。ただ彼のそれらを総称してガイド波と呼んでいる。はじめ業績はそれよりはるかに広い分野に及んでいる。の半世紀は専ら k が実数（実数分枝）の伝搬する

1885 年 Proc. London Math. Soc. に “On waves
propagated along the plane surface of an elasticbody” という論文を発表した。当時すでに無限媒波に関心が向けられていた。
ドについて，分散曲線の存在域や分岐状況を調べ

質内では縦波と横波との体積弾性波が伝搬するこて全貌が容易に把握できることを示した [1]。筆者とは知られていた。この論文は境界面があると，そはそれを斜対称モードに拡張し，更に両モードにれに沿って伝搬する新しい波（Rayleigh 表面波）

k が純虚数になる解（虚数分枝）が存在することを示した [2]。
当時米国コロンビア大学の Mindlin 教授は従来より近似を高めた plate equation を導き，水晶なが存在することを，解析的に示したものである。
彼はその結語に “It is not improbable that thesurface waves here investigated play an important part in earthquakes…” と 2 重否定を使った控えめな予想をしるしている。しかしその後 11951 年 Holden は（ph, qh）平面上で対称モーどの異方性を含む各種の弾性振動の解析を勢力的に行なっておられた。筆者は 1956–58 年フルブラ

世紀の地震波動，超音波非破壊検査，弾性表面波

イト交換研究員として，そこに加わることができデバイスなどの発展はその予想をはるかに超えてた。Mindlin の plate equation による分散方程式きた。ここでは紙幅の制限もあるので，そのごくは 3 次の代数方程式になる。高周波では 3 個の実一部について分散曲線を中心に回顧したい。

根（実数分枝）が存在するが，低周波では 1 個し彼は更に平行な境界面がある場合，すなわち板かない。虚根もない。とすれば残るは共役複素根を伝搬する波（板波）を解析し，Rayleigh-Lambである [3]。原の R-L 分散方程式に立ち返って調の分散方程式と呼ばれる次式を導いた。

べてみると，全周波数にわたって無数の複素分枝



4k 2 pqtan(qh)+tan(ph)(q 2 − k 2 )2

±1=0

ω 2 = c2L (p2 + k 2 ) = c2S (q 2 + k 2 )ω ：角周波数，k ：波数，2h：板厚cL ：縦波速度，cS ：横波速度
複号は対称モード（伸縮波）と斜対称モード（屈を見出すことができた [4, 5]。
複素分枝は波として見ると，振幅が指数関数的に減少する正弦波である。縁が特に大きく振動する

edge mode と名づけた伝搬あるいは共振現象はこれによってはじめて理解できるようになった [6]。
更に重要なことは矩形板や丸棒の振動の精度のよい解析が可能になることである。

曲波）に対応している。この一見単純な方程式の解

分散方程式の各分枝は主面の境界条件は満たしは予想以上に複雑である。独立な変数は（ωh, kh）ている。複数の分枝を使って，端面の境界条件をあるいはそれと等価な（ph, qh）の 2 個であるが，近似的に満たすようにして，有限体の近似解が得（ωh, kh）平面に描いた解を分散曲線と呼び，そられる。分枝の数が増えれば精度が上がる。しかの傾斜が位相速度，微係数が群速度を与える。そし前述のように実数分枝のみでは低周波では 1 個∗

One century and a half century in elastic guidedwaves.
∗∗Morio Onoe (Professor Emeritus, University ofTokyo) e-mail: m.onoe@ieee.org

しか使えない。複素分枝によってそれがいくらでも得られるようになったわけである [7]。
伝搬する波（実数分枝）から伝搬しない波（虚539

ガイド波の 1 世紀と半世紀しい斜対称モードを導き，対称モードと組み合わせて，1 段当たりの保証減衰量が高い格子型フィルタの特性が得られることを示した。更に板上の複数振動子の間隔をつめることにより，相互に結合させて，結合共振回路型のフィルタが実現できることも示した [9]。これらのフィルタはその後

MCF と呼ばれ大きく発展した。
ガイド波はまたパイプのような長尺の設備の検図–1 分散曲線
実線（周辺部），点線（中央電極部）

査に適している。走査なしで長い距離が測れるからである。その伝搬路の途中にエネルギー閉じ込めモードの共振部を設けると，波に対する反射あ数分枝，複素分枝）への接続点を遮断周波数と呼るいは透過係数が，その共振周波数で急変する。

ぶ。図–1 は多くの圧電材料で見られる典型的な分従って遠方からでも反射波あるいは透過波を観測散曲線である。この場合遮断周波数は波数がゼロすることで共振周波数と Q とが求まることになの軸上にあり，厚み振動の共振周波数そのものでる。すなわちパイプの肉厚とその内部腐食の程度ある。従って板の一部（これを電極部と呼び，そが遠隔測定できるわけである [10]。の周辺を無電極部と呼ぶ）の厚み寸法を増し，あるいは電極の負荷効果で遮断周波数を f0 から f0に下げることができ，それに伴って分散曲線も実線から点線のように低下する。
両遮断周波数の間の周波数で，波は電極部で自由に往来するが，無電極部に入ると指数的に減衰する。ただこの減衰は損失によるものではなく，反射によるものである。従って電極部の少し外側に仮想的な反射面ができたのと同様で，ある周波数で定在波が成立し共振する。その振動エネルギーはほとんど電極部にあるので，エネルギー閉じ込めモードと呼んでいる。このモードを利用した振動子では板の輪郭寸法に由来する副振動に悩まされることがない。またまた一枚の板の上に複数の独立な振動子を設けることができる。

Curran はこのようなモードを圧電セラミックの厚み縦振動で見出し，一枚の板上の複数振動子で梯子型フイルタが組めることから Uniwafer Filterと名付けた。なぜそのようなことが可能なのかは当初は不明であったが，上記の理論的解明は半導体で有名な Schockley によって与えられた。ただ彼の解析は対称モードに限られ，しかも高次モードを斜対称モードと誤解していた [8]。筆者らは正文

献[ 1 ] A.N. Holden, “Longitudinal modes of elastic
waves in isotropic cylinders and slab,” Bell Syst.
Tech. J., 30, Pt. 1, 956 (1951).
[ 2 ] 尾上守夫, “板及び丸棒の速度分散方程式の根の検討,”
超音波研究専門委員会資料, July 20 (1955).
[ 3 ] R.D. Mindlin and M.A. Medick, “Extensionalvibrations of elastic plates,” J. Appl. Mech., 26,pp. 561–569 (1959).
[ 4 ] R.D. Mindlin and M. Onoe, “Mathematical theory of vibrations of elastic plates,” Proc. Freq. Control Symp., pp. 17–40 (1957).
[ 5 ] R.D. Mindlin, “Waves and vibrations in isotropic,elastic plates,” in Structure Mechanics (PergamonPress, Oxford, 1960), pp. 199–232.
[ 6 ] M. Onoe, “Frequency of edge mode of isotropicthin rectangular plate, circular disk and rod,” J.
Acoust. Soc. Am., 33, 1627 (1961).
[ 7 ] M. Onoe, “Contour vibrations of thin rectangularplates,” J. Acoust. Soc. Am., 30, 1159–1162 (1958).
[ 8 ] W. Schockley, D.R. Curran and D.J. Koneval,“Energy trapping and related studies of multiple
electrode filter crystals,” Proc. Freq. Control Symp.,
pp. 88–126 (1963).
[ 9 ] M. Onoe, H. Jumonji and K. Kobori, “High frequency crystal filters employing multiple mode resonators vibrating in trapped energy modes,” Proc.
Freq. Control Symp., pp. 266–287 (1966).
[10] M. Onoe, “Remote excitation of trapped energy
modes in plates and pipes and its applications to sensors and non-destructive testing,” Proc. Freq. ControlSymp., pp. 488–493 (2007).