不等間隔デシメーションのサンプル値制御理論による補間

Interpolation of Nonuniform Decimation
via Sampled-data Control
京都大学
永原正章 ○小蔵正輝 山本裕
M. Nagahara M. Ogura and Y. Yamamoto

Abstract
In this paper, we consider signal interpolation of discrete-time signals which aredecimated nonuniformly. The design problem is formulated as one of a nonuniform ﬁlterbank. A
conventional design is based on the sampling theorem, and the resulting system consists of an
ideal ﬁlter with complex coeﬃcients. On the other hand we adopt sampled-data H ∞ optimization,
which can take account of intersample behavior, and the optimal ﬁlter with real coeﬃcients isobtained. An example shows the eﬀectiveness of our method.

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はじめに補間はディジタル信号処理において基本的な操作であり，信号の復元，圧縮／復号，リサイズ／回転など多くの応用がある [4]．時間について等間隔なディジタル信

図 1: 離散時間信号 x号の補間は，アップサンプラとディジタルフィルタの組により行われる．このフィルタは補間フィルタ [4] と呼ばれ，その設計はサンプリング定理に基づき従来行われてきた．

1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1
図 2: 不等間隔デシメーション (M = [1, 1, 0])

時間について不等間隔な信号の補間を必要とする場合もあり，例としては時間多重 AD 変換器 [3] が挙げられる．この場合の補間フィルタは一般化サンプリング定理に基づき設計され，複素係数の理想低域通過フィルタがある列に対応する部分に 0 を挿入する．間引かれた信号得られる [5, 4]．

(↓ M)x にこのアップサンプラを作用させることにより，一方，我々はフィルタの設計にサンプル値 H ∞ 最適

v := (↑ M)(↓ M)x = {x0 , x1 , 0, x3 , x4 , 0, x6 , . . .}化を用いる [1, 2]．これにより，サンプル点間における元のアナログ信号の挙動を考慮に入れることができる．

を得る．これをディジタルフィルタ K で処理すること

さらに，得られる最適フィルタは実係数であるという利で補間が行われる．図 3 (a) にここまでの過程を示す．

点をもつ．また，数値例により提案法の有効性を示す．

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不等間隔なデシメーションと補間

補間フィルタの設計
この節では，間引きのパラメータが M := [b1 , . . . , bM ]

図 1 のような離散時間信号 x := {x0 , x1 , x2 , . . .} を考（bi ∈ {0, 1}）である一般の場合を考察する．bi = 1 でえる．M := [1, 1, 0] による不等間隔デシメーションをあるような引数 i を小さい順に i1 , . . . , iN とする．補間(↓ M)x := {x0 , x1 , x3 , x4 , x6 , . . .} で定義する．この作

過程 K(↑ M)(↓ M) は，周期時変であるから離散時間リ

用素は，まず時間軸を長さ 3 (M の列数) の区間に分割

フティング [1] (またはポリフェーズ分解 [4])
⎫⎧⎡
⎤ ⎡⎤
⎪
⎪
xMx0⎪
⎪⎬⎨⎢⎥ ⎢ . ⎥.
.. ⎥ , ⎢ .. ⎥ , . . .
LM : {x0 , x1 , . . .} → ⎢⎣⎣⎦⎦⎪⎪⎪⎪⎭⎩xM −1
x2M −1

し，それぞれの区間において，M の値が 1 である列に対応するサンプル値を保持し，0 である列に対応するサンプル値を捨てるという働きをする．
次に不等間隔に間引かれた信号の補間を考える．不等間隔アップサンプラを (↑ M)x := {x0 , x1 , 0, x2 , x3 , 0, x4 , . . .}で定義する．この作用素は，まず時間軸を長さ 2 (M における要素 1 の個数) の区間に分割し，M の値が 0 でにより等価な時不変システム K(↑ M)(↓ M) = L−1
N KELM ,−1
K := LN KL に変換される．ただし E は N ×M 行列でNあり，その (i, j) 要素 Eij の値は (i, j) = (1, i1 ), . . . , (N, iN )x↓M↑Mv

Ky−21−21.5(a)KELM

L−1N−22yGain (dB)x(b)
図 3: (a) 不等間隔デシメーションと補間，(b) リフト後

−22.5−23−23.5のシステム−24 −310e−Lsw

FShLM

E10−2−110Frequency (rad/s)

100101

図 5: 周波数応答: 提案法（実線），従来法（点線）K

L−1NHh−e21.5

図 4: 誤差系

10.5のときは 1，それ以外の場合は 0 である．例えば M =0[1, 1, 0] (M = 3, N = 2, i1 = 1, i2 = 2) のときは

1 0 0
E=0 1 0−0.5−1−1.5−2150 は N 入力 N 出力のとなる．リフトされたフィルタ K時不変システムである．
 の設計のために，図 4
補間フィルタ K (すなわち K)

155160165170175

図 6: 時間応答: 提案法（実線），従来法（破線），入力信号（点線）の誤差系を考える．この図において，F は厳密にプロを示すのに対し，従来法による補間は高周波帯域においパーな連続時間線形時不変システムであり，サンプリンて大きな誤差を示す．図 6 に矩形波の補間を示す．従来グ前の連続時間信号のモデルである．Sh と Hh は，それぞれサンプリング周期が h の理想サンプラと 0 次ホールドを表す．遅れ e−Ls は信号復元の遅れと性能を調節

法は大きなリップルを示すのに対し，提案法は良い応答を示す．これは矩形波のエッジ周辺にあるような高周波成分を提案法は考慮しているためである．

するパラメータである．そして，補間フィルタ設計問題
をサンプル値 H ∞ 最適化問題として定式化する:

参考文献問題 1 図 4 における誤差系の H ∞ ノルム (L2 誘導ノ を求めよ．
ルム) を最小化するフィルタ K[1] T. Chen and B. Francis: Optimal Sampled-Data が得られ，ポ高速サンプルの手法により最適フィルタ K
リフェーズ表現によりフィルタ K が得られる [1, 2]．

4設計例
この節では数値例を示す．設計パラメータはそれぞれM = [1, 1, 0], h = 1, F (s) = 1/(10s + 1) とし，遅れはL = 12 とする．そしてヒルベルト変換器による従来法[5, 4] との比較を行う．この手法は，元のアナログ信号がナイキスト周波数 π の 2/3 の周波数 ω = 2π/3 までで完全帯域制限されていると仮定し，サンプリング定理に基づく手法である．さらに L = 61.5 という大きな復元

Control Systems, Springer (1995)[2] M. Nagahara and Y. Yamamoto: A new design forsample-rate converters; Proc. 39th IEEE CDC, pp.
4296–4301 (2000)[3] T. Strohmer and J. Tanner: Fast reconstruction
algorithms for periodic nonuniform sampling withapplications to time-interleaved ADCs; Proc. ofICASSP 2007, Vol. 3, pp. III-881–III-884 (2007)[4] P. P. Vaidyanathan: Multirate Systems and Filter
Banks, Prentice-Hall (1993)[5] P. P. Vaidyanathan: Eﬃcient reconstruction of
band-limited sequences from nonuniformly deci-

遅れを必要とする．図 5 は図 4 の誤差系の周波数応答でmated versions by use of polyphase ﬁlter banks;IEEE Trans. on ASSP, Vol. 38, pp. 1927–1936

ある．サンプル値 H ∞ 最適化による補間は平坦な応答(1990)