産学協同プロジェクト「数学授業における関数電卓実用化とグローバル展開」「ピタゴラス音律」の算定法に着目した数学ワークショップ指導案（略案）
棚澤 日菜子
実験授業の目的
関数電卓使用を前提とした授業の中で，数学を用いて調律をする活動をおこない，どのような学生の数学的な表現・処理が出るかを，ワークシートをもとに調査する。
授業のねらい感覚と数学の双方から調律をする活動を通して，「ピタゴラス音律」の算定法を，関数電卓を用いて数学的に表現・処理することができる。
本時の展開
学習活動

指導の手立て留意点○モノコードを作成する。
・モノコードを作成する際に必要な材料は以下の材料①〜⑦である。
材料①厚紙
材料②方眼紙材料③爪楊枝 2 本
材料④釣り糸材料⑤木製の板
材料⑥画鋲 4 つ
材料⑦底に穴が開いているプラスチックコップ

導入・【資料 1】のモノコード作成過程

・はさみ，定規，ペン，の手順に沿ってモノコードを作セロハンテープ，成する。

のりを用意しておく。
・【資料 1】のモノコード作成過程（4）では，釣り糸を弱く結ぶと取れやすくなってしまうた
完成したモノコード

め，結びつける際，複数回固く結ぶよう指示する。
・モノコードを作成し ・【資料 1】のモノコ
終わった学生から順ード作成過程（6）に，チューナーを用いでは，（1）（2）で作て，開放弦（弦のどこ成した厚紙の右端にも触れていない状を材料④の木製の態）の音が「ド」の音板の右端に合わせになるよう調整する。

るようにしてつけるよう指示する。

〇耳で音律を確認する。
・モノコードを用いて，実際に弦を鳴らし，「ド・レ・ミ・ファ・ソ・ラ・シ・ド（1 オクターブ上）」の部分に印（「×」）と音階を書く。

印（「×」）と「ソ」を書いた写真
・弦の長さを調整するもの（木製の ・弦の長さを調整する展開三角柱）を左右に動かしながら，もの（木製の三角柱）弦を弾いて音を確認する。の動かし方を，写真を用いて説明する。

弦の長さを調整するもの（木製の三角柱）の動かし方を説明する写真〇「音律」について知る。
・「音律」の意味，様々な音律の特色を知る。
→音階（音の高さの並び）のそれぞ

れの音を調律する基準○「ピタゴラス音律」を題材とした T：先程，皆さんが作成問題について知る。
・『平成 24 年度中学生思考力チャレンジ大会問題』の中の「ピタゴしたモノコードを題材とした問題があり ・『平成 24 年度中学ます。

生思考力チャレンラス音律」を題材とした問題のジ大会問題』の中一部（【資料 2】）について知る。の「ピタゴラス音律」を題材とした問題の一部を紹介する。

○「ピタゴラス音律」について知 T：「ピタゴラス音律」と ・PowerPoint のアニる。
→ピタゴラスは，鍛冶屋の槌の音いう言葉を聞いたこメーションを用いとがありますか？て，ピタゴラスがの中に共鳴して協和する音があ T：「一弦琴」とは，皆さ実験を通して発見ることを発見し，2 つの一弦琴をんが先程作成したモしたことを説明す

並べて，実験をおこなったとこ

ノコードのように弦る。

ろ，次の 2 点を発見した。

が 1 本の琴のような①もとの音の弦の長さを半分にものです。

したときの音は，もとの音の 1 ・弦の長さが短くなるオクターヴ上の音になる

につれて音の高さも②1 つを開放弦，もう 1 つの弦の高くなることを伝え

長さを 1：2 に分割して同時にる。

弾いたとき，2 音が協和する

・「協和する」とは，心→違う音同士で最も協和する音程

地よく聞こえることの比である 2：3 の関係を使ってを表していることを作られた音律が「ピタゴラスの伝える。

音律」である。
○「ピタゴラス音律」の算定法について知る。

・PowerPoint のアニメーションを用い・主音（最初の音）の弦の長さと，て，ピタゴラスの主音から 1 オクターヴ上の音の算定法における弦弦の長さの比が 2：1 であることの長さの求め方をを確認する。

説明する。

・主音でない音を 1 オクターヴ内につくるための，弦の長さの条件を確認する。

→主音（基準となる音）を「ド」とすると，「ド」以外の音を 1 オク
タ ーヴ内に つくる ために は，「ド」以外の音の弦の長さが「1オクターヴ上のド」の音の弦の長さより長くなる。つまり「ド」の弦の長さの半分より，長くなる必要がある。
○ピタゴラスの算定法における弦・関数電卓の「アンサの長さの求め方を確認し，関数ーメモリー（M）」

電卓を用いてモノコードの弦のの使い方を確認す

長さを求め，チューナーを用いるて調律をおこなう。
・主音から第 4 音までの弦の長さを求める。
・主音を「ド」とする。
・ピタゴラスの算定法における弦の長さの求め方を確認する際には，弦の長さを 1 とする。
・関数電卓を用いてモノコードの弦の長さを求める際には，「アンサーメモリー（M）」を用いる。
・関数電卓を用いて求めた弦の長さ をもとに ，モノ コード に印（「◯」）をつける。
①「ド」（主音）の弦の長さから第2 音の弦の長さを求める。
（1）主音の弦の長さを 1 とすると，
2

第 2 音の弦の長さは，1 × 3よ2り，3（2）「ド」（主音）の弦の長さであるモノコードの弦の長さ40.6cm を 2 倍して 3 で割るた2め，40.6 × 3を入力する。

240.6 × 3を入力したときの関数電卓の画面

→第 2 音の弦の長さは，27.1cm（3）求めた第 2 音の弦の長さをもとに，第 2 音の音階を確認する。
モノコードで実際に音を鳴らし，第 2 音の音階を，チューナーを用いて再度確認する。
→第 2 音は「ソ」②第 2 音の弦の長さから第 3 音の弦の長さを求める。
2（1）第 2 音の弦の長さを3倍した
1

ときの値が2 よりも小さくなるため，弦の長さをさらに 2倍し，1 オクターヴ内に第 3

23

M× を入力したときの関数電卓の画面音をつくる。
（2）第 2 音の弦の長さを 2 倍し2て 3 で割るため，M× 3を入力する。
出力結果が「ド」の弦の長さの半分（20.3cm）より小さくなるため，1オクター ヴ内に移動させるために，M×2 を入力する。
→第 3 音の弦の長さは，36.1cm（3）求めた第 3 音の弦の長さをもとに，第 3 音の音階を確認する。
確認方法は①と同様，チューナーを用いて確認する。
→第 3 音は「レ」③第 3 音の弦の長さから第 4 音の弦の長さを求める。

M×2 を入力したときの関数電卓の画面

23（1）第 3 音の弦の長さを 倍すると，主音の弦の長さを 1 としているため，第 4 音の弦の長16さは27（2）第 3 音の弦の長さを 2 倍し23て 3 で割るため，M× を入力する。
→第 4 音の弦の長さは，24.1cm（3）求めた第 4 音の弦の長さをもとに，第 4 音の音階を確認する。

2

M× 3を入力したときの関数電卓の画面

確認方法は①と同様，チューナーを用いて確認する。
→第 4 音は「ラ」「ド」（主音）の弦の長さからはじめて，関数電卓を用いて第 4 音の弦の長さまで求め，調律をおこないました。ピタゴラスの算定法で 1 オクターヴ上の「ド」が出てくるまで，調律をおこないましょう。
○1 オクターヴ上の「ド」が出てく ・具体的にどのような ・机間巡視をしながるまで，上記手順と同様に，調律音階があるかを確認ら，学生の進捗状をおこなう。

するため，ピアノの鍵況を確認する。

・求めた弦の長さをワークシート盤の写真を掲示する。 ・関数電卓を用いて，（【資料 3】）に書き込む。

1 オクターヴ上のT：関数電卓を用いて弦「ド」が出てくるの長さを求めたら，までの調律が終わワークシート（【資料った学生のところ3】）に記入してくだにチューナーを持さい。って行き，自分の目で見て，調律をピアノの鍵盤の写真おこなった音の音階を確認してもらう。

○関数電卓を用いて，1 オクターヴ T ： 1 オ ク タ ー ヴ 上 の上の「ド」が出てくるまでの調律「ド」が出てくるまが終わり次第，調律をおこなっでの調律が終わったた音の音階を，チューナーを用人は，挙手をお願い

いて確認する。

します。

○主音から第 13 音までが，どの音 ・全員が終わったとこに対応しているか確認する。

ろで主音から第 13 音→主音がド，第 2 音がソ，第 3 音までの 13 音に対応しがレ，第 4 音がラ，第 5 音がている音階を確認す

ミ，第 6 音がシ，第 7 音がフる。

ァ＃，第 8 音がド＃，第 9 音がソ＃，第 10 音がレ＃，第 11音がラ＃，第 12 音がファ，第13 音（2 倍する前）が 1 オク
ターヴ上のドになっている。
○本時の振り返りをおこなう。
○課題を確認する。

・課題の説明をおこなう。
・課題シート（【資料 4】）まとめを配布する。
[課題]
第𝑥音の弦の長さを求める際，主音の弦の長さの半分の長さより小さくなった長さを 2 倍する操作の合計回数を𝑦とするとき，弦の長さを𝑥, 𝑦を用いて表しなさい。また，実際に求めた弦の長さと同じになっているのか，関数電卓を用いてどのように確認したのか，かきなさい。

【資料 1】
モノコード作成過程（1）材料①の厚紙を縦 8cm，横 4cm（2）（1）の厚紙を以下の図 2 の（3）材料②の方眼紙を以下の図 3に切り，以下の図 1 のように，ように折り，真ん中に切れの線に沿って切り，赤色の斜2cm ごとに線を引く。

込みをいれる。

線部分で重ねて貼り付け，縦5cm，横 43cm の方眼紙を作成する。
13cm
4cm5cm5cm
図1

図2

図334cm（4） 材料③の爪楊枝を半分で切り，（5）材料⑤の木製の板の上に，左尖っていない方の爪楊枝を右の端から 2cm，下端から 2.5cm

図 4 のように，材料④の釣り糸のあけ，（3）で作った縦 5cm，両端に結びつける。

横 43cm の方眼紙を以下の図5 のように置く。
図42cm

2.5cm

釣り⽷に結びつけた⽖楊枝（6）（1）（2）で作成した厚紙を，以下の図 6 のように，材料⑥の画鋲2 つを使って，板の右端に合わせるようにしてにつける。

図5（7）材料⑦のプラスチックコップの穴に，（4）で作成した釣り糸を通す。

図6（8）（7）で穴に釣り糸を通したプラ（9）プラスチックコップと反対側の釣り糸を，（6）で設置した厚紙のスチックコップを，以下の図 7

切れ込みに引っ掛け，弦の音を調整しながら（※），釣り糸につのように材料⑥の画鋲 1 つを使いている爪楊枝を板に貼り付ける。また，以下の図 8 のように材って，板の左端につける。

料⑥画鋲 1 つを使って，厚紙を固定する。
※音の調整は，チューナーを用いておこなう。

2.4cm

図7

釣り⽷についている⽖楊枝を板に貼り付ける

図8【資料 2】
出典『平成 24 年度中学生思考力チャレンジ大会問題』
チャレンジさんは，音楽の授業で，古代ギリシャのピタゴラスという人が「ドレミファソラシド」という音階を約 2600 年前に作ったことを知りました。
ピタゴラスは，弦を指ではじいて音を出す，モノコード（【図】）という楽器で，弦の長さを半分にすると，指ではじいたときの音が，1 オクターヴ高くなることを発見しました。
弦の長さを考えると，音の高さが変わります。弦の長さを短くすると音は高くなり，弦の長さを長くすると音は低くなります。

【図】モノコード（弦を）指ではじいて音を出します。

チャレンジさんは，この仕組みを使って「ドレミファソラシド」の弦の長さの割合を調べてみました。ここでは，基準となる音を「ド」とします。ピアノの鍵盤を利用して考えながら以下の問題に答えましょう。

（3）チャレンジさんは，ピアノの鍵盤を使って，弦の長さの割合と音の関係を表にまとめてみました。表中の基準音ドの音の弦の長さを 1 としたときの①～③の弦の長さの割合を求めましょう。

【資料 3】「ド」（主音）の弦の長さからはじめて，関数電卓を用いて第 4 音の弦の長さまで求め，調律をおこないました。ピタゴラスの算定法で 1 オクターヴ上の「ド」が出てくるまで，調律をおこないましょう。

音

音階

主音

ド

第2音

第3音

第4音

モノコードの弦の長さ

音

音階

モノコードの弦の長さ

【資料 4】[課題]
第𝑥音の弦の長さを求める際，主音の弦の長さの半分の長さより小さくなった長さを 2 倍する操作の合計回数を𝑦とするとき，弦の長さを𝑥, 𝑦を用いて表しなさい。また，実際に求めた弦の長さと同じになっているのか，関数電卓を用いてどのように確認したのか，かきなさい。