Ⅳ

水理学の基礎としてのナビエ＝ストークスの運動方程式の誘導とフロック状粒子に作用する力の解析（流体力学・水理学の基礎（Ⅰ）後半（2020.12.20））
３．流れの中にある固形物粒子に作用する力の考察と表現
3.1

固形物粒子と流体粒子の関係

前節までは、質点の力学から始まり、連続体の力学、ニュートン流体の力学の説明を行い、ナビエ＝ストークスの運動方程式の誘導を行った。ナビエ＝ストークスの運動方程式は、ニュートン流体の解析の基本となる関係式であり、層流、乱流の解析、平均流速公式の誘導の基礎を与えるものとなる。しかし、一方でナビエ＝ストークスの運動方程式は、非圧縮性のニュートン流体から構成される微小直方体の流体粒子に作用する力の関係を運動方程式としてまとめた記述ともいえるので、流体粒子に相当する固形物粒子を想定すれば、ナビエ＝ストークスの運動方程式は、微小な固形物粒子の運動方程式を表現する関係となることが分かる。従って、微小固形物粒子は、重力のような外力、それと流体圧の勾配による面に垂直に働く流体圧、流体の粘性に起因する表面応力、レイノズル応力に相当する表面応力、を受けて総括的な質量力を生じる運動を行うと想定することができる。このとき、式（26）は固形物粒子の運動方程式として見なすことができる。
式（26）に示される運動方程式を微小固形物粒子にかかわる運動方程式とするとき、固形物粒子と流体粒子に運動上の差異があるときには、固形物粒子と流体粒子の間に相対的な運動が生じ、固形物粒子の運動に影響を与えることになる。固形物粒子と流体粒子の物性上の差異は密度、圧縮性と流動条件に応じる変形の仕方の差として実体化される。水処理等において対象となるフロック状の固形物粒子の密度は多くの場合には流体としての水の密度とはほぼ同じと見なすことができるが、一方ではわずかな密度の差により沈殿池での固液分離が進むことにもなることは注意しなければならない。また、圧縮性については、フロッ
ク状の固形物においては、内部が水で満たされていることから、水と同様に非圧縮性の固形物と見なすことができ、相対的な運動は生じない。
固形物粒子と流体粒子が示す物性の中で大きな相対的に異なる挙動を示す特性は、粒子に作用する表面応力に対応する変形の仕方の差となって具体化される。この変形の仕方の差は、流体粒子はどこまでも流動変形を継続しうるのに対して、固形物粒子は形状を保つための強度を越える表面応力に対しては、形状を維持できずに破壊されてしまうことになる。
まさにこの破壊を生じる現象が、フロック状物体の特徴であり、フロックの強度を論じる出発点となるところである。
ここで、固形物粒子あるいは流体粒子に作用する表面応力は、式（29）の右辺第 3 項と第4 項として評価される。繰り返しになるが、第 3 項は粘性応力を評価するものとなり、第 4項は乱流条件の下でのレイノズル応力に相当する応力を評価するものである。第 3 項から第 4 項への接続の問題は、次節に定義する Rep との関係で論じられることになる。このような表面応力を定量的に求める検討は次節以降において行う。
1

3.2

流体との密度差が固形物粒子に作用する力の評価：静止流体中を沈降する単粒子に作用する力の評価
静止状態の水中の固形物粒子（この場合にはフロック状の粒子ではなくて、砂粒のような内部を流体が透過していくような可能性のない緻密な球形の粒子を想定している）の沈降現象に対しては、粒子に働く重力と流体から受ける浮力と沈降に伴う摩擦抵抗力が釣り合う条件として、終速度と呼ばれる式（30）で示される等速度での沈降現象が実現する。
ρp gV = ρgV + CdA(ρv2 / 2)

( 30 )

但し、ρp ：球状固形物粒子の密度、ρ：流体の密度、g：重力の加速度、V：球形粒子の体積、A：球形粒子の投影面積、Cd：個体粒子に働く抵抗係数、ｖ：個体粒子の終速度、d：球形粒子の直径。
終速度ｖは式（31）と表わすことができる。
v = ((4/3) ((ρp – ρ)/ρ) g Cd d)(1/2)( 31)

このとき、抵抗係数 Cd は Rep = ρdv/μの関数として与えられる。この抵抗係数と Re数との関係は、Rep 数の小さい範囲の一様な流れの中にある球形単粒子に働く摩擦抵抗力（D）との関係は、ストークスの抵抗法則として式（32）のように求められる。
D = 3πdμv = Cdρ(π(d2/4)) (v2/2) = (24/(ρdv/μ))ρπ(d2/4) (v2/2)
Cd = 24/(ρdv/μ) = 24/Rep （但し、Rep = ρdv/μ< 1）（32）

ここに求めた摩擦抵抗力は、球体の沈降方向の両端における圧力差として働くので、粒子に対しては、粒子を押しつぶすような力として作用することになる。このような力は、流体と粒子の密度に差のある場合に実体化されることになる。粒子の強度がこの圧力差に耐えられないとき粒子は破壊される。
抵抗係数 Cd は粒子周辺の流速あるいは沈降速度が大きくなると変化していき、Rep 数との関係の例は、Ren の関数として表-1 に示されるような関係となることが示されている。
Rep 数が 103 以上の時 Cd は一定な値 0.4 となる。
表‐1 レイノズル数と抵抗係数、沈降速度式の関係

松尾友矩編「水環境工学」（オーム社）
3.3

流体中に浮遊する流体と密度差のある粒子に作用する力の評価

流体中に浮遊する固形物とに密度差がある場合（多くの場合に固形物の密度が流体であ2る水の密度よりも大きいケースを想定することになる）に粒子の運動を記述するモデルは、
Techen のモデルとして下に添付する資料の式（7.58）として示される。このような解析においては、粒子密度の差に起因する相対速度を求める必要があり、固形物粒子へ働く力は、次のように求めることができる。

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なお、上に添付した資料は、本間仁、林泰造編「続水理学」（丸善、1980）p.271 によっている。当資料は「7.3 水処理の水理」として筆者が記述したものである。固形物粒子と流体粒子の間に明確な密度差がある場合には、資料中に示される、式(7.61a)および式(7.61b)として示すことができるが、最大の問題は、密度差が小さくなる時には固形物粒子へ働く摩擦応力は非常に小さいものとなってしまうことにある。この問題についてはフロックの強度を議論する際に再度触れることになる。
4．中立浮遊固形物（水とほぼ等しい密度を持つフロック状の固形物）に作用する表面応力の評価
固形物粒子の密度が流体（以後は水を対象として考えることにする）とほぼ等しくかつ構造は内部がスカスカで内部まで流体が連続しているような粒子（フロック状の固形物）を想定し、そのような粒子に働く力を評価することを考えることにする。このような水の密度に近く、内部がスカスカで事実上流体と同じに非圧縮性の特性を持つ固形物粒子に対して作用する力は、密度の効果や圧縮性の効果は極めて小さいことが推定され、粒子に作用する表面応力が主要な要素となる。
このとき、平均流に対して一様性と定常性を仮定すれば、平均流の速度勾配は生じないので、平均流に乗った固形物粒子作用する表面応力は、変動速度の成分のレベルで生じる粘性応力とレイノズル応力と考えることができる。このとき、平均流に乗って動く座標軸においては式（2）の固形物粒子の運動方程式において、平均流に関する流速成分の影響は０となるので、変動流速の成分だけが残る運動方程式として式（26）は式（34）に示される。
𝜕𝜕= Fx –ρ𝜕𝜕+𝜕𝜕𝜕+ 𝜕𝜕+ 𝜕4-(𝜕𝜕+𝜕𝜕+𝜕𝜕)（34）ここで、変動流速のオーダーの速度と粒子径に相当する長さに対応する Rep を定義して、((Rep)crit を設定すれば、主となる表面応力は第 3 項から第 4 項へと変化していくことになる。筆者はこのような考え方を論文ととして発表しているので、その論文の一部を添付することで、本稿での説明に代えたい。フロックの強度については章を分けて論ずることにする。

5678なお、当論文ｐ．33 に示される式（8）及び式（8’）式の関係は、下図（Fig.8）に示すように、それぞれ Eq.15 及び Eq.17 として示される関係にあることを参考文献 8）において示している。変動流速にかかわる相関関数からの解析がエネルギースペクトルからの解析よりも有効な解析例となることが示される。

5．流体と固形物粒子の間に圧縮性に差異のある場合に粒子にかかる力の評価
流体と粒子の圧縮性に差がある場合は、流体圧そのものを粒子は受けることになる。流体圧は等方的であるから、球形を仮定した粒子にあっては、表面に垂直にかかる力として作用する。まさに全表面から押しつぶされるような力を受けることになる。このような流体圧は、例えば水のような流体の中に存在する気泡のような粒子を考えれば、深いところから浮上してくるようなケースでは、気泡径は次第に大きくなり、気液界面での表面張力が耐えられなくなるところで、気泡は破裂して破壊することになる。但し、非圧縮性の油滴のような粒子においては、圧力による変形は生じず密度差による沈降あるいは浮上の運動をするか、中立となりその場所に留まり続けることになる。
フロック状の固形物については、流体が内部にまで接続しているので、流体圧による変形は生じない。密度が流体と等しい中立粒子であるとき、相対的な運動は生じず、表面応力の効果は生じないと考えられる。
6．総括
本章（Ⅳ章）においては、水理学の初学者（高校物理の質点の力学を学んだ学生諸子を対象として）が土木の分野の力学（本稿では水理学）を学ぶ手助けを考えて、最初の導入を特に詳しく扱っている。そして、水理学の一つの力学体系の基礎となるナビエ＝ストークスの運動方程式の誘導を説明している。実はナビエ＝ストークスの運動方程式と土木の水理学の応用分野とは必ずしも直接的にはかかわらない（実はこの点が初学者にとって水理学が分かり難くなる原因にもなっている）ことにもなるが、連続体である流体の力学の基礎の運動方程式はナビエ＝ストークスの運動方程式となるので、その誘導の考え方を基本として9学ぶことは非常に重要なステップとなる。そこで、本稿においては、ナビエ＝ストークスの運動方程式の誘導をなるべく丁寧に説明している。
求めたナビエ＝ストークスの運動方程式の展開として、流体中に浮遊する固形物粒子へ作用する力を定量的に求まる関係式の提示を行っている。ナビエ＝ストークスの運動方程式は流体粒子に働く力の関係を運動方程式として記述する方法であったが、流体粒子を固形物粒子に置き換えて、固形物粒子の運動方程式としてとらえ、固形物粒子へ働く力の解析を行っている点が特徴的な扱いとなっている。このように扱うことで、中立浮遊粒子として扱ってもよいような密度が水の密度に近い固形物粒子に作用する力を定量的に評価することが可能となり、フロック状固形物に対する強度の定量的な推定が可能となったといえる。
なお、フロック状の固形物の強度の定量化については、章を改めて論ずることとしたい。
5．参考文献いくつかの図、数式については、個別に引用文献を記述している。本稿の記述に際して、参考とした文献は以下の通りである。
１） 日野幹雄「流体力学」理工学基礎講座 16（朝倉書店、1974）
２） 日野幹雄「明解水理学」（丸善、1983）
３） 小川浩平「流体移動解析」シリーズ新しい化学工学（朝倉書店、2011）４） 藤田勝久「基本を学ぶ流体力学」（森北出版、2019）５） 本間仁、林泰造編「続水理学」（丸善、1980）
６） 松尾友矩編「水環境工学」（オーム社、改訂 3 版、2017）７） 松尾友矩「「フロックの破壊機構と強度に関する研究」（土木学会論文報告集、No.229、1974 年 9 月８） Tomonori Matsuo, Hideaki Unno “Forces Acting on Floc and Strength of Floc”
Response to the Discussion, ASCE (Vol. 109, No. 1, pp.93-99, February, 1983)
以上10