東京都内国立大学理工系学部での実践報告
棚澤 日菜子
１．東京都内国立大学理工系学部でのワークショップの概要
ここでは，東京都内国立大学理工系学部でのワークショップに向けた指導案立案，東京都内国立大学理工系学部でのワークショップの流れについて述べる。
1.1. 指導案立案
ワークショップは，棚澤作成「『ピタゴラス音律』の算定法に着目した数学ワークショップ指導案（略案）」をもとに実践している。ワークショップにおいて，学生らは，ピタゴラス音律の算定法をもとに，作成したモノコードと関数電卓を用いて，実際にモノコードを弾き，耳で確認した音律を，調律する。そして，学生自身が表した弦の長さを求める関数をもとに，関数電卓を用いて弦の長さを求め，調律する中で求めた弦の長さと同じになっていることを確認する。ワークショップのテーマは，「関数電卓を用いて調律をしよう」であり，授業の目的は，関数電卓使用を前提とした授業の中で，数学を用いて調律する活動をおこない，どのような数学的な表現・処理が表出するかを，ワークシートをもとに調査することである。ここで，学生の数学的な表現は，学生自身が表した弦の長さを求める関数のことであり，処理は，学生らが，自身が表した弦の長さを求める関数をもとに，関数電卓のモードや機能を用いて，弦の長さを求めることである。ワークショップにおいて調律をおこなう際，関数電卓の「基本計算」モードのアンサーメモリーを用いて活動をおこなった。その後のワークショ
ップの課題では，学生らが，自身が表した弦の長さを求める関数をもとに，関数電卓のモードや機能を用いて弦の長さを求め，調律する中で求めた弦の長さと同じになっていることを確認する。このとき，用いる関数電卓のモードや機能は指定していない。これにより「基本計算」モードのアンサーメモリーとは異なった関数電卓の機能を用いて，課題を解決することを期待している。
1.2. 東京都内国立大学理工系学部でのワークショップの流れ
第 1 に，モノコードを作成する。モノコードを作る際に必要な材料は以下の材料①〜⑦である（図 1）。
材料①厚紙
材料②方眼紙材料③爪楊枝 2 本
材料④釣り糸材料⑤木製の板
材料⑥画鋲 4 つ
材料⑦底に穴が開いているプラスチックコップ

図1

モノコードの材料一覧

モノコードを作成し終わった学生から順に，チューナーを用いて，開放弦（弦のどこにも触れていない状態）の音が「ド」の音になるよう調整する。

第 2 に，耳で音律を確認する。作成したモノコードを用いて，実際に弦を鳴らし「ド・レ・ミ・ファ・ソ・ラ・シ・ド（1 オクターブ上）」の部分に印（「×」）と音階を書く（図 2）。図 2
は，印（「×」）と「ソ」を書いたときのものである。琴柱と呼ばれる弦の長さを調整する木製の三角柱を左右に動かしながら，弦を弾いて音を確認する（図 3）。

図2

印（「×」）と「ソ」を書いたときのモノコード

図3

琴柱の動かし方の説明

第 3 に，音律について知り，その後，ピタゴラス音律を題材とした問題（図 4）に触れ，ピタゴラス音律について知る。

【資料 2】
出典『平成 24 年度中学生思考力チャレンジ大会問題』
チャレンジさんは，音楽の授業で，古代ギリシャのピタゴラスという人が「ドレミファソラシド」という音階を約 2600 年前に作ったことを知りました。
ピタゴラスは，弦を指ではじいて音を出す，モノコード（【図】）という楽器で，弦の長さを半分にすると，指ではじいたときの音が，1 オクターヴ高くなることを発見しました。
弦の長さを考えると，音の高さが変わります。弦の長さを短くすると音は高くなり，弦の長さを長くすると音は低くなります。

【図】モノコード（弦を）指ではじいて音を出します。

チャレンジさんは，この仕組みを使って「ドレミファソラシド」の弦の長さの割合を調べてみました。ここでは，基準となる音を「ド」とします。ピアノの鍵盤を利用して考えながら以下の問題に答えましょう。

（3）チャレンジさんは，ピアノの鍵盤を使って，弦の長さの割合と音の関係を表にまとめてみました。表中の基準音ドの音の弦の長さを 1 としたときの① ～③ の弦の長さの割合を求めましょう。

図4

ピタゴラス音律を題材とした問題

第 4 に，ピタゴラスの算定法について知る。
第 5 に，ピタゴラスの算定法における弦の長さの求め方を確認し，関数電卓を用いてモノコードの弦の長さを求め，調律する。ピタゴラスの算定法をもとに，モノコードの弦の長さを求める。弦の長さを求める際には，主音を「ド」とし，以下の①から③を主音から第 4 音までの弦の長さが求まるまで，繰り返しおこなう；①ピタゴラス音律の算定法を確認する。このとき，主音の弦の長さを 1 とする。
②関数電卓の「基本計算」モードのアンサーメモリーを利用して，第 2 音の弦の長さを求める。このとき，主音の弦の長さは，モノコードの開放弦の長さとなる。
③求めた第 2 音の弦の長さをもとに，モノコードで実際に音を鳴らし，チューナーを用いて音を確認する。
第 6 に，上記①から③を，第 5 音から 1 オクターヴ上の「ド」が出てくるまで，繰り返しおこなう。学生は，求めた弦の長さをワークシート（資料 3，指導案参照）に書き込む。関数電卓を用いて，1 オクターヴ上の「ド」が出てくるまでの調律が終わった学生は，チューナーを用いて，調律した音の音階を確認する。
第 7 に，以下の課題を確認する（資料 4，指導案参照）。
[課題]
第𝑥音の弦の長さを求める際，主音の弦の長さの半分の長さより小さくなった長さを 2 倍する操作の合計回数を𝑦とするとき，弦の長さを𝑥, 𝑦を用いて表しなさい。また，実際に求めた弦の長さと同じになっているのか，関数電卓を用いてどのように確認したのか，かきなさい。

２．東京都内国立大学理工系学部でのワークショップの実際
ここでは，東京都内国立大学理系学部でのワークショップの報告をおこなう。実施日は，2021（令和 3）年 9 月 8 日であり，対象は，東京都内国立大学理工系学部の教員を志望している学生 8 名である。インストラクターは筆者である。
学生らは，ピタゴラス音律の算定法をもとに，作成したモノコードと関数電卓を用いて調律した（図 5，6）。そして課題（資料 4，指導案参照）において，学生は，自身が表した弦の長さを求める関数をもとに，関数電卓を用いて弦の長さを求め，調律する中で求めた弦の長さと同じになっていることを確認した。ここでは，学生らが，確認の際に用いた関数電卓のモードや機能に着目して，学生の課題解決の実際を報告する。

図5

関数電卓を用いて弦の長さを図6求めている学生

求めた弦の長さをもとに音を確認する学生

弦の長さを求める関数を表した学生は 7 名であり，そのうち，自身が表した関数をもとに，関数電卓を用いて弦の長さを求め，調律する中で求めた弦の長さと同じになっていることを確認することができる関数を表した学生は 6 名であった。この学生 6 名が表した弦の長さを求める関数は，以下の 2 つに分類することができる；
関数① 基準となる音である主音から順に，弦の長さを 2 倍して 3 で割る計算と，求めた弦の長さが主音の半分の長さより短い場合には，さらに 2 倍するという計算を分けて表している関数
関数② 基準となる音である主音から順に，弦の長さを 2 倍して 3 で割る計算と，求めた弦の長さが主音の半分の長さより短い場合には，さらに 2 倍するという計算を 1つにまとめて表している関数ここでは，学生らが，確認する際に用いた関数電卓のモードや機能とその使用方法に着目して，関数①，関数②について述べる。
2.1．関数①について
関数①は，すべて以下のような関数であった。𝐿𝑥 を，第 x 音の弦の長さ，𝐿を主音の弦の長さとする。また，ワークショップで作成したモノコードの開放弦の長さは 40.6cm であったた
め，𝐿 = 40.6である。
2 𝑥−1

𝐿𝑥 = 𝐿 × (3)× 2𝑦…（1）この関数をもとに，関数電卓を用いて弦の長さを求め，調律する中で求めた弦の長さと同じになっていることを確認した際，「基本計算」モードのカルク機能を用いた学生が 2 名，「基本計算」モードのアンサーメモリーを利用した学生が 1 名，「表計算」モードを用いた学生が 1 名あった。
ここでは，「基本計算」モードのカルク機能を用いた確認方法と「表計算」モードを用いた確認方法について述べる。まず，学生 TM の記述内容をもとに，「基本計算」モードのカルク機能を用いた確認方法について述べる（図 7）。「基本計算」モードを選択した後，𝐿 = 40.6とした（1）を入力する。その後，r を押下し，x = 1，y = 0 を入力すると，出力結果が，主音の弦の長さである 40.6 になる。次に，第 2 音の弦の長さを求めるために，r を押下し，x = 2，y = 0 を入力する。出力結果である 27.06666667 が，第 2 音の弦の長さになる（図 8）。

図7

学生 TM の記述内容図8

x = 2，y = 0 を入力した後の関数電卓画面

第 3 音，第 4 音，…と，順に弦の長さを求める際，x に x = 3，x = 4…と順に値を入力し，出力結果が主音の弦の長さの半分の値である 20.3 よりも小さくなった場合に，y を 1 増加した値を入力する。上記手順を繰り返しおこない，出力結果と調律する中で求めた弦の長さが同じになっていることを確認する。
次に，学生 YM の記述内容（図 9）をもとに，「表計算」モードを用いた確認方法について述べる。

図9

学生 YM の記述内容

学生 YM の記述内容をもとに，以下の操作手順で，弦の長さを求める。第 1 に，「表計算」モードを選択した後（図 10），セル A1 に「40.6」を入力する（図 11）。

図 10「表計算」モードを選択するときの関数電卓画面

図 11

セル A1 に「40.6」を入力したときの関数電卓画面

2

第 2 に，セル A2 からセル A13 に，「A1× 3 」を一括入力する（図 12，13）。一括入力は，T を押下した後，1 を押下する。

図 12 「A1×2

図 132「A1×33」を一括入力する前の関数電卓画面」を一括入力した後の関数電卓画面

第 3 に，セル B1 からセル E13 に，「A1×2」を一括入力する（図 14）。学生 YM が記述しているように，1 ≦ 𝑥 ≦ 12において，第 x 行の 5 つのデータのうち，20.3 以上 40.6 以下のものが 1 つだけあり，それが第 x 音の弦の長さとなる。表計算での計算結果より，第 3 音の弦の長さが 36.088 であることがわかる（図 15）。

図 14

「A1×2」を一括入力する前の関数電卓画面

図 15「A1×2」を一括入力した後の関数電卓画面

第 4 に，「表計算」モードでは，45 行×5 列の表が表示される。学生 YM が記述している
ように，y + 1 > 5 のとき 5 列の表に𝐿𝑥 は入らない。つまり，y = 5 となる x = 10 のとき，20.3以上 40.6 以下となるデータが，第 10 行の 5 つのデータの中にないため，セル A10 を「E9×2」と編集する（図 16）。その際，T を押下した後，3 を押下する。
3

図 16

2

「E9× 3」と編集した後の関数電卓画面以上の操作手順をおこない，出力結果と調律する中で求めた弦の長さが同じになっていることを確認する。
学生 HH が記述した確認方法は，ワークショップにおいて課題を提示する前に学生が調律する中でおこなった，「基本計算」モードのアンサーメモリーを利用した弦の長さの求め方と同様の方法である（図 17）。

図 17 学生 HH の記述内容
2.2．関数②について
関数②は，以下のような関数であった。𝐿𝑥 を，第 x 音の弦の長さ，𝐿を主音の弦の長さとする。
1 𝑥

𝐿𝑥 = 2𝑥+𝑦 × (3) × 𝐿
𝐿𝑥 =2𝑥+𝑦−1×𝐿
3𝑥−1…（2）

これらの関数を表した学生 2 名は，これらの関数をもとに，関数電卓を用いて弦の長さを求めた。また，学生 2 名は，調律する中で求めた弦の長さと同じになっていることを確認した際に用いた関数電卓のモードや機能について，記述していなかった。
３．東京都内国立大学理工系学部でのワークショップの実践をしてみてワークショップにおいて，学生らは，ピタゴラス音律の算定法をもとに，作成したモノコードと関数電卓を用いて調律した。そして自身が表した弦の長さを求める関数をもとに，関数電卓を用いて弦の長さを求め，調律する中で求めた弦の長さと同じになっていることを確認した。学生らが表した弦の長さを求める関数は，次の 2 つに分類される：関数①基準となる音である主音から順に，弦の長さを 2 倍して 3 で割る計算と，求めた弦の長さが主音の半分の長さより短い場合には，さらに 2 倍するという計算を分けて表している関数，関数②基準となる音である主音から順に，弦の長さを 2 倍して 3 で割る計算と，求めた弦の長さが主音の半分の長さより短い場合には，さらに 2 倍するという計算を 1 つにまとめて表している
関数。関数①については，この関数をもとに，関数電卓を用いて弦の長さを求め，調律する中で求めた弦の長さと同じになっていることを確認する方法として，「基本計算」モードのカルク機能を用いた方法，「基本計算」モードのアンサーメモリーを利用した方法，「表計算」モードを用いた方法の 3 つの方法が見られた。一方，関数②については，関数電卓のモードや機能を用いた確認方法が見られなかった。
関数①について「表計算」モードを用いた方法では，関数電卓で求めた複数の結果を一画面で確認することができるため，1 オクターヴの中に主音の「ド」と異なった音を作るための条件であった「主音の弦の長さの半分以下」という条件を満たしているかを確認しやすくなっている。また，学生 YM は y + 1 > 5 のとき 5 列の表に𝐿𝑥 は入らないと，「表計算」モードを用いた方法の問題点をあげた上で，その問題を解決する方法がワークシートの記述内容より見受けられた。
以上のように，本実践から 2 点が明らかとなった。1 点目は，学生がピタゴラス音律の算定法をもとに表した，弦の長さを求める関数は，1 通りではないということである。2 点目は，「基本計算」モードのアンサーメモリーとは異なった関数電卓の機能を用いて，課題を解決することもできるということである。学生は，自身が表した弦の長さを求める関数をもとに，関数電卓を用いて弦の長さを求め，調律する中で求めた弦の長さと同じになっていることを確認した。その際に学生が用いた関数電卓のモードや機能は，「基本計算」モードのアンサーメモリーのほか，「基本計算」モードのカルク機能や「表計算」モードなどが挙げられる。