The 14th Symposium on Accelerator Science and Technology, Tsukuba, Japan, November 2003

B ファクトリーにおけるビームビームリミットの研究
大見和史、多和田正文、生出勝宣
高エネルギー加速器研究機構 〒305-0801 茨城県つくば市大穂 1-1

概要

ビームビームリミットの研究のために strong-strong シミュレーションを用いる。両ビームは多数のマクロ粒子で表
円形衝突加速器ではルミノシティはビームビーム効果され、ビーム同士の相互作用は一方のビーム中の粒子が相によって制限される。もしビーム（バンチ内の）粒子分布
手のビームの電磁場によりうける力を評価することで行が衝突によって変わらなければ、ルミノシティは２つのバわれる。
ンチ内の粒子数の積に比例して増加する。しかしながらあ
ビームビームリミットは２次元モデルにおいて過去にる値以上に粒子数を増やしてもルミノシティが粒子数の研究された[2]。２次元モデルでは長さがゼロのバンチ同士積で増加しなくなる。この現象をビームビームリミットとの衝突を扱っている。それによると. >0.05 でコヒーレント呼ぶ。ここでは様々な計算機シミュレーション法を用い、 πモード不安定性がおこり、その結果ビームサイズが増大
ビームビームリミットのメカニズムについて議論する。
し、ルミノシティリミットが起こる。
ここでは３次元シミュレーションによるビームビーム
1 はじめにリミットの研究結果を著す。３次元シミュレーションはバンチを長さ方向にスライスすることで行われる。３次元シ
高ルミノシティＢファクトリー、
KEKB と PEP-II は KEK、ミュレーションでは２次元と異なる振る舞いが見られる。
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SLAC において順調に運転され、計画のルミノシティ~10以下で Super KEKB のパラメータを用い、それを説明する。
-2 -1
cm s を達成した。両ファクトリーともより高ルミノシテ
3536-2 -1
ィ 10 ~10 cm s に向けての計画を提案している。このためにビームビームリミットをどこまで上げられるか研究
表 1：Super KEKB のデザインパラメータしている。ビームビームリミットは以下のビームビーム係
HER
LER
数. によって特徴づけられる。
C3016 m3016 mN r⇓±
. x( y) = m e
E8 GeV
3.5 GeV(1)2π. ± σ x ( y ) (σ x + σ y )
Nb
5000
5000
1010N
5.5x1012.6x10e
ここで N はバンチ内粒子数、. は相対論係数、σx(y)は水平（垂⇓x/⇓y0.3/0.003 m0.3/0.003 m直）ビームサイズ、⇓は衝突点でのベータ関数である。ビ
εx/εy24/0.18 nm
24/0.18 nm
ームビーム係数は衝突している相手のビームによるイン. x/. y
0.508/0.55
0.508/0.55
コヒーレントチューンシフトと見なすことができる。ビームビームリミットは経験的にビームビーム係数がバンチ.s0.020.02
内粒子数の増加に対して、ある値で飽和する現象であると
τx,y/T040006000
考えられている[1]。これは粒子数の増加に対してビームサイズが増大することに起因する。
ビームビームリミットは様々な理由から起こる。ラティスによる変換はビームビーム効果に影響する。その変換の2 シミュレーションで見られるビームビ
線形部分は衝突点でのツィスパラメータ、分散関数である。
ームリミット衝突点で分散や x-y 結合があると、ラティス部分の規格座標と、ビームビームのそれが一致しなくなるため、ルミノ
BBSS と呼ばれる strong-strong シミュレーションコードシティに影響する。非線形部分であるクロマティシティやを用いビームビームリミットのメカニズムを調べる。シミチューンシフトの振幅依存もビームビーム効果に関係すュレーションのアルゴリズムは文献[2]に著されている。ビる。これらはどちらかというと技術的な問題である。ここームビーム力のポテンシャルを求めるために２次元のメで問題にするのはこれらのエラーをなくしたときの純粋ッシュ化された空間での粒子メッシュ法を用いる。この方なビームビームリミットである。ビームビームの物理的な法はいくつかのビームビームシミュレーションコードにシステムはチューン、放射減衰、励起とビームビーム係数用いられている。このシミュレーションコードはまたガウにより決まる。バンチ長を考慮する場合σz/⇓ｙも対象となる。 ス近似をしたビーム間の相互作用もサポートしている。
放射減衰時間は B ファクトリーの場合数千ターンであ３次元への拡張は基本的に z 方向に沿ってバンチを分割る。一方タウチャームやファイファクトリーでは数万からすることで行われる。分割されたスライス間の相互作用は数十万ターン、陽子リングではさらにずっと長い。ビーム２次元的に行われる。バンチ内の粒子はシンクロトロン振ビームリミットは放射減衰と関係する。ここでは数千ター動によってスライス間を移動する。垂直方向のベータ関数ンの減衰時間を持った B ファクトリーのビームビームリミがバンチ長程度の場合、横方向のキックがスライス間の移ットを対象とし議論する。
動によって不連続に変化する。その不連続からくるノイズ

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によって正しくビームの平衡分布を求めることが難しくなる。このためポテンシャルを s に対して内挿し、その不連続を極力なくしている。
シミュレーションでは粒子はデザインエミッタンス、ベータで決まるガウス分布で初期化される。放射減衰と放射励起は規格座標に対して作用される。１つのバンチは100,000 個のマクロ粒子で表され、5 個のスライスに分割される。シミュレーションはマクロ粒子を放射減衰時間の数倍の時間トラッキングすることで、衝突点における平衡分布を与える。ルミノシティはその平衡分布から以下のように求められる。
f rep

L=

∑ ∫ . ( x, y, z; s). ( x, y, z; −s)dxdydzdz '+(2)−

ここで frep は繰り返し周波数で、積分は s=(z-z’)/2 の条件の下で行われる。
図１(a)-(c)にいくつかの電流値に対するビームビーム係数と、ビームサイズが示される。30,000 ターン後の分布からルミノシティを式(2)によって求められている。ビームビーム係数はルミノシティから以下から求められる。

図 1(d)にいくつかの電流値に対するルミノシティの時間変化を示す。. =0.12 と 0.16 に急激なルミノシティ減少が見られる。その急減は異なるシミュレーション条件、マクロ粒子数、メッシュ数、スライス数によって時々見られる。
急減自身は不規則だが、最終の値は物理条件が同じなら同じになる。またガウス近似では見られない。
ガウス近似との違い、急減が見られることはビームビー
ムリミットの原因に対してなんらかのヒントを与えているように見える。その急減に対して以下でより詳しく見ることにする。ガウス近似のシミュレーションで求められた最終の粒子分布を使って粒子メッシュシミュレーションを行ってみる。入力ビームビーム係数 0.2 の場合で行う。
図２はビームビーム係数とビームサイズの時間変化を示す。ルミノシティと y 方向ビームサイズに 150 ターン近傍で急変が見られる。それ以外の変数にはきわだった変化は見られなかった。ビームサイズは急変後緩やかに増加しているが、ルミノシティはほぼ一定である。たぶん分布の裾部分が成長しているため、ルミノシティには利いていないと思われる。最終結果は、途中経路は違うが図１と同様になった。
0.22re ⇓ y0.15L2(3)sy (um)N . f rep

x.y=

30.1

10.05

ここで水平方向のビームサイズはデザイン値と考えσx>>σｙを仮定している。ビームサイズはガウス分布から離れるので、それからビームビーム係数をもとめると値が小さくなりすぎ、ルミノシティとの対応が着きにくくなるためである。
460sy (um)sx (um)e+40

3PICe-2Gauss

e+
1

20

0000.05

0.2

0.1
x (nominal)

0.15

00.2

0.1

L (cm-2s-1)

6e+31xi(nominal)=0.2

4e+310.16
0.12

2e+3100.05

0.1
x (nominal)

0.2

8e+31PIC

00.15

x (nominal)

0.1

0.05

0.05

1e+32

Gauss

0.15

xe-0.150.220040060080010000200400turn

6008001000turn

図 2：ルミノシティとビームサイズ急変の例
図３にルミノシティの急減時の、ビーム粒子分布の変化を、時間を追ってプロットした。電子（青）と陽電子（赤）の分布が図に示されている。両方の分布は同時に重なり合って膨らみ、ガウス分布からはずれていく。このずれは互いに強調し合っている。つまり一方がガウスからずれると他方はさらにずれるように強いられる。30,000 ターン後の分布が図 3(d)に示される。陽電子の分布は電子に比べ広くなっているがこれは放射減衰時間が長いためである。両ビームの分布は主に裾部分でガウス分布から離れ、これが衝突している２つのビームの平衡分布であると考えられる。

0.080010000

20000

2000

2000

0.04

(a) 150-th turn

30000turn

図 1：電流に対するビームビーム係数、ビームサイズ(c) 170-th turn
(b)

1500

1500
N (arbitrary)

58000N (arbitrary)

100

01000

00-8-4048-8-4y (um)0y (um)48482000

2000(c) 200-th turn(d) 25000-th turn1500
N (arbitrary)1500
N (arbitrary)

粒子メッシュ法とガウス近似によって得られたビーム
ビーム係数、ビームサイズが図に示されている。粒子メッシュ法とガウス近似では結果がかなり異なる。x 方向のビームサイズはほぼ一定であるが、y 方向のビームサイズは明らかに大きくなっている。粒子メッシュ法の垂直ビームサイズはガウス近似のそれより大きい。ガウス近似は 0.2以上のビームビーム係数を示すが、粒子メッシュ法は 0.1程度で飽和している。またどちらの方法でも１次、２次モーメント<xi>、< xi xj >にコヒーレント振動は見られなかった。ガウス分布の固定ビームを用いた weak-strong シミュ
レーションはガウス近似の strong-strong シミュレーションと同様な結果を与えた[3]。

10005005001000

100050050000-8-40y (um)48-8-40y (um)

図 3：ルミノシティ急変の際のビーム分布の変化

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ここでビームビームリミットはコヒーレント運動ではなく、２つのビームの平衡分布によって決定されているという考えに達する。この考えを確かめるために
strong-strong シミュレーションで得られた平衡分布を使って、粒子メッシュ法に基づいた weak-strong シミュレーションを行ってみた。もしインコヒーレントな現象によってビーム分布が決まっているとしたら、最終的にはstrong-strong の結果と同じになるはずである。一方のビーム（ここでは電子ビーム）を strong-strong シミュレーショ
ンで得られた分布で固定し、陽電子ビームを設計値のガウス分布で初期化し、シミュレーションを行った。こうすることで小さな脈動を含むいかなるコヒーレント運動も除去した形でシミュレーションができる。図４はそのweak-strong シミュレーションによって得られたビームビーム係数とビームサイズを示す。40,000 ターン後に求められたビームビーム係数は strong-strong シミュレーションで求 められた 値とほ ぼ一致す る。 (b)(c)は weak-strong とstrong-strong で求められたビームサイズだが、これらもほぼ一致する。ビームビーム係数、ビームサイズ一致は完璧というわけではない。ビームビーム係数で 15%程度の不一致が見られている。
50.2

40.150.1

sy (um)

xw.s.
s.s.

3210.05

0000

10000

20000

30000

10000

20000

30000

40000

turn

40000

turn
5sy (u2)4323まとめビームビームリミットはガウス近似や粒子メッシュ法を用いた Weak-strong、strong-strong シミュレーション法を用いて調べられた。粒子メッシュ法において B ファクトリ
ーではビームビームリミットが 0.1 程度であることがわかった。ビームビームリミットは衝突している２つのビームの平衡分布によって決まっている。その分布はガウス分布から離れたものになっている。Strong-strong シミュレーシ
ョンから得られた分布を使って weak-strong シミュレーシ
ョンをしても同様な結果が得られた。
平衡分布の形成について考えてみよう。ビームビーム相互作用は多次元の非線形力学系であり、非可解ゆえの分散の性質を持つ[4,5]。この特徴は１次元のバンチ長を扱う、Haissinski や Vlasov 方程式による、ポテンシャル井戸変形の問題[6,7]とは本質的に異なる。可解系では平衡分布放射減衰と励起の比、すなわちエミッタンスで表せる。非可解系では非線形性による分散も重要なため、放射減衰、励起それぞれが陽に関係する。また厳密な意味での平衡分布が存在するかはっきりしない。このばあい平衡分布は我々の時間スケールでの実質的な平衡分布と考えるべきであろう。
ガウス近似をした weak-strong、strong-strong シミュレー
ションはより高いビームビームリミット>0.2 を示す。しかし上で述べたビームビームリミットのメカニズムを考えれば、ガウス近似が適切でないことがわかるであろう。
ただしガウス近似を使った weak-strong は計算としては正しい。それは片方のビームをもし何らかの方法で（たとえばビームビーム力を外からの別のビームで補償するなど）ガウス分布を保てれば 0.2 のビームビーム係数が達成できることを意味する。

10010000

20000
turn

30000

図 4：Strong-strong の結果を使っての weak-strong シミュレーション
２次元シミュレーションではコヒーレント振動によるビームビームリミットが見られる。コヒーレント振動は３次元シミュレーションでは見られない。バンチ長を短くする(σz<⇓ｙ/2)と、３次元でも観測できる。おそらくコヒーレント振動はバンチ内の z 方向のチューン広がりによって不鮮明になり、インコヒーレントなビームビームリミットが優位になるのであろう。

参考文献[1] J. T. Seeman, et al., IEEE Trans. Nucl. Sci. 30, 2033 (1983).
[2] K. Ohmi, Phys. Rev. E62, 7287 (2000).
[3] K. Ohmi, M. Tawada, K. Oide, Proceeding of PAC03.
[4] A.J. Lichtenberg and M.A. Lieberman, Regular and Chaotic
Dynamics, Springer-Verlag (1992).
[5] J.K. Koga and T. Tajima, Phys. Rev. Lett. 72, 2025 (1994)/[6] J. Haissinski, Nuovo Cimento, 18B, 72 (1973).
[7] K. Hirata, Phys. Rev. D37, 1307 (1988).