導入

Rubin の因果効果

傾向スコア（propensity score） は 2000 年代か

以下の 2 つの例をみてみよう。いずれも本誌のら社会科学（とくに経済学と社会学） や医学研究読者を考慮し，American Sociological Review ににおいて頻繁に利用されるようになった手法であ掲載された研究による。

る。2000 年以降に限定して Web of Science で検索を行うと，タイトルやキーワードまたはアブス

例 1：大 卒 学 歴 の 取 得 の 経 済 的 な リ タ ー ン

トラクト中に記載のある論文数は 9,588 件と，共（Brand and Xie, 2010）

分散構造分析や構造方程式モデル（経済学研究で大卒者と高卒（や中退）者の学歴を単純に比の潜在変数のない構造方程式を除外しないで 1 万1,123 件）とほぼ同等，パス解析の 5,369 件や操作変数法の 1,910 件よりも多く利用されていることがわかる。
傾向スコアはそもそも因果効果（causal effect，または平均処遇効果：average treatment effect）を

推 定 す る た め に Rosenbaum and Rubin（1983）
によって提案された概念であるが，その理論的な背景には欠測データモデルが存在するため，欠測として理解できる様々なバイアスへの対処に利用される。具体的には項目単位の欠測の処理，選択バイアスの除去やパネル調査での脱落の影響の補正，さらには未回収標本によるバイアスの補正や有意抽出標本から無作為抽出標本への結果の調整など，調査において生じる様々なバイアスへの対処への利用が行われている。
本稿はスペースの制約があるため，傾向スコアを用いた因果効果の推定について説明を行い，共較しても，もともと社会経済的地位が高く文化資本が豊かな家庭に育ち，高校時点での能力が高い生徒が大学に進学するため，単純に 2 群の就職後の賃金を比較しても大学進学の経済的なリターンとはいえない。
例 2：シングルマザーになることで中年での健康状態は悪化するか（Williams et al., 2011）
アメリカの大規模追跡調査 NLSY を用いて，最初の子どもを産んだ時点でシングルマザーであったグループとそうでないグループで 40 歳時点での健康状態を比較したところ，シングルマザーの健康状態のほうが悪かった。しかしこ
れは 2 群でそもそもの社会経済的地位やソーシャルサポートの質が異なることによるものか，「シングルマザーである」という社会的経験により周囲の偏見などから高いストレスを受けることによるものなのかは単純な比較ではわからない。

変量選択，操作変数法との比較，異質的な因果効

これらの研究では進学やシングルマザーになる果に焦点を当てて説明する。詳細については星野か否かなど「研究者が容易に操作できない独立変（2009），Imbens and Rubin（2015）を，さらに最数」が賃金や健康状態などの結果変数にどのよう新のいくつかの方法論的トピックや偏りのある調な影響を与えるかに関心がある。社会科学全般に査への対応への利用については近々発刊される数おいて，このように独立変数の操作を伴う実験研

理社会学会『理論と方法』ワンステップアップ講

究が行えない場合は多い。その場合には上記に記座（星野，印刷中）を参照いただきたい。

載したように育った家庭環境や社会経済的地位な・1122

社会と調査（2015 年 9 月）

どといった独立変数にも結果変数にも影響を与える変数（以後，共変量と呼ぶ） の分布が独立変数を用いて
Y＝ZY1＋（1－Z）Y0の水準間（たとえば大卒群と高卒群の間） で異なと表現できる。たとえば，大卒を Z＝1，高卒をるため，結果変数の分布を水準間で比較してもZ＝0 とすると，大卒者ではその人がもし大卒だ「独立変数が結果変数に単独で影響を与える効果」

った場合に得られたであろう賃金 Y1 が実際に賃（＝因果効果）とはいえない。

金 Y として観測され，高卒者では同様に高卒だ

社会科学でも伝統的には実験心理学や，また近ったら得られたであろう賃金 Y0 が観測される。

年では実験経済学や実験政治学で無作為割当を伴

このように，Z＝1 ならば Y1 は観測されるが Y0う実験研究が盛んに行われている。経済実験や心は欠測となり，Z＝0 ならば逆に Y0 は観測される理実験などで実験中のみ条件操作をすればよいよが Y1 は欠測となる。

うなインセンティブや教示，提示刺激などの短期さてここで Rubin の因果効果，または平均介的な効果が研究対象であればよいが，教育や生育入効果（average treatment effect : ATE） は Y1－

環境，職種など長期間継続する特定の要因が従属Y0 の期待値 E（Y1－Y0）として定義される。これ

変数に長期的な影響を与えるような研究関心ではは，2 つの潜在的結果変数の差の母集団平均であ介入操作が倫理的にも不可能である場合が多い。

り，「個人ごとに Y1－Y0 を計算して母集団で平また，たとえ同意を得て実施しても途中で研究者均したもの」である。これは個人内で差をとって側の割当に従わなくなる不服従や追跡調査からのいるため個人差が除去されており，2 つの条件の脱落が生じる可能性が高い。たとえば前述の解析違いだけで結果変数の平均がどの程度異なるか，

例 2 では「シングルマザーであること」の長期的を示すものであるため，個人によって値の異なるな効果であったが，研究者が家族構成を操作する共変量 X には依存しない量であるため，その期ことは倫理的にも現実的にも不可能である。

待値を因果効果と呼んでよい。

さらにホーソン効果やピグマリオン効果などいこの因果効果を推定する最も単純な方法は，個わゆる介入的な実験研究の生態学的妥当性の問題，人ごとの差変数 Y1－Y0 の対象者全体での標本平実験対象者の代表性などからも，実験研究が可能均，つまり（Y1－Y0）＝‾
Y1－‾Y0 を求めることであな研究関心であっても代表性のある標本抽出に基るが，実際には潜在的結果変数は一方が観測されづく調査研究から統計的な因果効果推定を行う有れば他方は欠測するので，この量は求めることは用性は高い。

できない。一方，通常の群間平均値差は各群の標独立変数の操作を伴う実験研究ができない場

本平均の差 Y‾（Y（1 介入群）－‾0 対照群）であり，その期待合，つまり調査研究から因果効果を推定するため

値 は E（Y1｜z＝1）－E（Y0｜Z＝0） で あ る た め，の統計学的な枠組みに Rubin 因果モデルがある

ATE＝E（Y1－Y0）の推定量として考えるとバイ（Rubin，1974）。これを説明するために，まず潜アスが生じる。

在的結果変数という概念の説明を行う。
簡単のためまずは独立変数の水準が介入群と対照群の 2 水準の場合で説明する。

また，ここでもし条件の無作為割当（実験研究）が可能ならば，Z と Y1, Y0 が独立であるため，E（Y 1｜Z＝1）－E（Y 0｜Z＝0）＝E（Y 1 ）－E（Y 0 ）＝

Z を独立変数の水準を表すダミー変数とし，介ATE となり，群間平均値差は因果効果 ATE の入群なら Z＝1，対照群なら Z＝0 とする。ここで不偏推定量となり，単純な群間比較を行えばよい

観測される結果変数を Y とするとき，その背後ことがわかる。に「もし介入群に対象者が割り当てられたときに因果効果の推定と傾向スコア得られるであろう変数」Y1 と「もし対照群に対象者が割り当てられたときに得られるであろう変数」Y0 の 2 つの潜在的結果変数が存在する，と考える。ただし，実際に観測されるのはそのどちらかであり，Y と Y1, Y0 の関係は被験者がどちらの群に割り当てられたかを表すダミー変数 Z

ここで，もし 2 群で分布が異なる共変量 X に対してE（Y1｜X）－E（Y0｜X）＝E（Y1｜X, Z＝1）－E（Y0｜X, Z＝0）（1）
社会と調査（2015 年 9 月） 123

が成立する場合，つまり共変量が同じ値であれば，グや，傾向スコアを用いた層化，傾向スコアを共どちらの群に限定して期待値をとってもよい（各変量とした共分散分析が提案されている。このう群に限定してよい。ということは欠測を無視してよ

ち最もよく利用されてきたのはマッチングである。

い），という条件が成立すれば，式（1）の右辺をもともと傾向スコアが考え出されるきっかけとな

X について期待値をとると EX E（Y1－Y0｜X）＝E

ったのは，共変量の数が多い場合に共変量をその（Y1－Y0）＝ATE となる。したがってもし式（1）まま利用したマッチングは実行が難しいという問が成立すれば，介入群と対照群で X が同じ 2 人題であった。

をマッチングして結果変数の差をとってから X

ただし複数の共変量を傾向スコアに一次元化しについて平均をとる，あるいは X が同じ集団にても，そもそもマッチングは「なるべく値の近い層別して，層内の群間差を出してから X につい対照群と介入群をペアにする」という方法であるて平均をとることで因果効果がバイアスなく推定ため，「近さの基準＝距離の選択」や「どれだけできることになる。

遠いとマッチングしないかの基準＝caliper」な

この式（1）の条件をベイズの定理を用いて表どを決める際の恣意性がある。また，単純に 1 対1 のマッチングを行う場合，介入群のサンプルサ現し直すとPr（Z＝1｜Y1, Y0, X）＝Pr（Z＝1｜X）＝e（X）

イズ＞対照群のサンプルサイズ，であればマッチ（2）ングによって得られる結果は「介入群での因果効つまり，割当は潜在的結果変数には依存せず，傾果（average treatment on the treated）」E（Y1－

向スコア推定に用いた共変量 X にのみ依存する，Y0｜Z＝1）になる。

0＜e（X）＜1という条件で表すことができる。これを「強く無マッチングで ATE を推定したければ復元抽出視できる割当条件（Strongly Ignorable Treatmentを許すかたちでのマッチング，あるいは 1 対多・Assignment）」と呼ぶ。ここで （e X）を傾向スコ多対多のマッチングが必要になるが，その場合もアと呼ぶ。この強く無視できる割当条件が成立す数を決める際の恣意性があるため，たとえば標本る場合には，マッチングや層別分析をすれば因果全体での共変量の分布とマッチング後の集団の共効果が原理上は推定できるが，通常は上記の条件変量の分布が同じになるような重みを付けた制約が満たされるような X は多変数であり，複数変付きマッチングが行われることも多い。層化の場数について単純にマッチングや層別を行うことは合には 5 層に分けることが多いが，層別の基準や難しい。

層の数などで結果が異なるという恣意性がある。

そこで，共変量 X の情報を「共変量 X をもっ一方，共変量として利用する際には 0 から 1 また対象者が介入群へ割り当てられる確率」である

での値をとる傾向スコアを用いた線形回帰は望ま傾向スコアに一元化することで，因果効果を推定しくないことから，カーネルマッチングや局所線しようというのが傾向スコア解析である。傾向ス形回帰といった手法が Heckman らによって提案

コア （e X）は実際にはその真値はわからないため， されている（Heckman et al., 1998）。これは一種2 値の群別変数 Z を X で予測するロジスティッのノンパラメトリック回帰であるが，たとえばあク回帰分析やプロビット回帰分析で計算される各る介入群に所属する個人とのペアを対照群に所属対象者の Z＝1 の予測確率とする。

する 1 人や数人の個人とマッチさせるのではなく，独立変数が 3 水準以上では，その水準に割り当対照群に所属するすべての人の値を，カーネル関てられる予測確率（一般化傾向スコアと呼ばれる）数の重みで利用するという特殊なマッチングとしを利用すればよい。て理解することもできる。
また，上記の 3 つの方法以外によく利用される傾向スコアの具体的な利用方法

方法として，傾向スコアの逆数を重みとする逆確率重み付け（inverse probability weighting） 推定

傾向スコアを用いた因果効果の推定法としてが あ る。 こ れ は 標 本 調 査 論 に お け る Horovitz-

Rosenbaum and Rubin（1983）の元論文では，傾Thompson 推定量が抽出確率の逆数で重みを付向スコアの値がなるべく近くなるようなマッチンけるように，「全員が介入を受けた場合の潜在的124社会と調査（2015 年 9 月）

結果変数」を「介入群への傾向スコア＝その対象者を闇雲に「対照群」と判別すれば正判別率は者が介入群として抽出され観測される確率」の逆95％ ときわめて高くなるためである。医学分野

数で，「全員が対照条件にいた場合の潜在的結果などでは c 統計量は 0.8 以上などという基準が確変数」を「対照群への傾向スコア」の逆数で，そ立しているようである。

れぞれ重み付けて平均をとる，という明快な方法（2）調整に利用した共変量についても，傾向スである。標本抽出の場合と異なり，傾向スコアをコアを用いて調整を行い，調整後の群間差が推定したことに伴う重みの変動を考慮する必要が小さくなることを示す。

あるが，ここでの重みの推定の影響は通常の段階

式（2）が成立するならば，共変量 X の分布の推定とは異なり，推定量の分散を一般に小さくす群間差が消失しているはずであるので，そのことる方向に働くという特殊な性質がある（星野，を示せばよい。

2009）。

さらに，「傾向スコア推定の際の割当のモデル」

これら 2 点のチェックはあくまで式（2）を間と「共変量で従属変数を説明する回帰モデル」の接的に示すものであり，直接的なチェックになっどちらも利用して解析を行う二重にロバストな推てはいないため，共変量の分布が条件間で等しく定法も提案されている。これは 2 つのモデルのどなることを重視して傾向スコアを選択することや，ちらか一方が正しくモデル指定されていれば，正割当を最も説明するような傾向スコアを選択する

しい因果効果を与えるものであり，モデルの誤設ことが必ずしも式（2）の成立の可能性を高める定を避けながら効率的な推定法を与えるものとしことにはつながらない。たとえば割当の説明力だて注目されている。

けを重視するならば，「結果変数に関連の強い変数」と「割当に関連の強い変数」であれば後者を共変量選択

選んで傾向スコアを推定すればよいが，実際にはそれを行うと因果効果の推定において二乗誤差が傾向スコアを利用するにせよしないにせよ，共大きくなることがシミュレーションによって示さ

変量調整による因果効果推定の前提条件は式（2）れている（Brookhart et al., 2006）。これは重回帰であり，この条件を満たすように共変量を選べば分析において「本来従属変数への偏回帰係数がゼよい。これは「傾向スコア推定に用いた共変量にロである」説明変数を投入しても他の偏回帰係数よって割当を説明するモデルに潜在的結果変数をの推定のバイアスにはつながらず，推定値の標準説明変数として投入しても，割当の説明力は変化誤差が大きくなるのと同様であり，傾向スコアをしない」という条件であるが，Y1, Y0 は同時に観用いた解析において従属変数と直接関係のない変測されないので，データからこのことを示すこと数を共変量として投入することで推定の二乗誤差はできない。そこで式（2）を間接的に示す共変が増えるためである。

量選択の妥当性のチェックの方法として以下の 2つの方法が利用されることが多い。

さ て，Imbens and Rubin（2015） は以 下の共変量選択法を推奨している。これは，まず共変量
候補 K 個のうち（1） 共変量 X が割当 Z を説明するロジスティック回帰等のモデルの予測力を示す。

（1）先行研究の知見等から必ず入れる Kb 個を指定する

式（2）から，X が十分 Z を説明していれば，（2）K－Kb 個についてロジスティック回帰分

Y1, Y0 は Z の予測のための説明変数として不要析で割当に関連するかという観点から Kl－であることが推測されるからである。具体的な予Kb 個を変数増加法を用いて選択する測力の判定方法としてはロジスティック回帰の正（3）Kl 個の変数の 2 次項とその交互作用項か判別率よりも c 統計量など感度と特異度を同時にら Kq 個選択し，1 次項を含めて Kq＋Kl 個考慮した指標を利用することが推奨される。正判を変数増加法を用いて選択する

別率を利用すると，たとえば介入群のサンプルサ（4）推定した傾向スコアで層別して共変量の分イズが全体の 5％ などと小さいときには，全対象布の違いがなくなっているかをチェックする
社会と調査（2015 年 9 月） 125

というものである。とくに（1）は先行研究の知別の例として，服役囚が生まれ育った地域はつ見から従属変数に関連するといわれる変数を網羅るむ仲間がいたり地域での失業率の高さなど，も的に利用することで結果変数との関連が高い共変ともと犯罪を犯しやすい地域である場合が多い。

量を選択し，そのうえで割当を説明する精度を高では服役囚が釈放後生まれ育った地域に戻ることめるという方法であり，上に記載した「結果変数で再犯率が高まるという因果関係が議論できるかとの関連」を考慮した変数選択となっている。というと，釈放後どの地域に住みたいかという選好と再犯の犯しやすさどちらにも影響を与える要操作変数法との関係

因（たとえばリスク志向や親族などとの関係など）が影響している可能性があるため，育った地域に傾向スコアは観測されていない共変量の影響を戻った群と戻らない群での再犯率の単純な比較で排除できないため，経済学の実証研究でよく利用は因果効果はわからない。そこで Kirk（2009）は，される操作変数法を用いたほうがよい，とする意

ハリケーン・カトリーナの被害によって外生的に見があるが，本当であろうか。

育った地域以外の地域に戻らざるをえない人が多

確かに適切な操作変数がもしみつかりそれが測かった時期の前後のデータを利用し，釈放がハリ定できているのであれば，操作変数法は内生性バケーン前か後かという変数を操作変数とすることイアスを排除できる非常に強力な手法である。こで，「育った地域に戻るか戻らないか」以外で再のため，しばしば傾向スコアよりも操作変数法の犯率に影響を与える変数の影響を除外した因果効ほうがよいといわれることがある。しかし操作変果（正確には局所平均介入効果） の推定を行って数は「独立変数と相関があるが，独立変数で従属いる。

変数を説明した際の残差とは相関がない」という

前者は社会制度として外生的に規定される生ま非常に強い条件を満たす変数であり，この仮定がれた月による教育年数の違いを利用した説得的な成立しない場合には推定に大きなバイアスが生じ操作変数法の利用例であり，後者は甚大な被害をることは様々な研究で指摘されている。

与えたハリケーンを一種の自然実験状況と見立て実際に，ある変数が自分の解析状況においてている。

操作変数であることを示すことは困難である。

これらの例からもわかるように，理論的な見地

ではなぜ経済学でしばしば使われるかといえば，からそれぞれ操作変数としての正当性が主張され経済政策の変更という自然実験（Cameron andるものであって，あくまでも研究者間での同意にTrivedi, 2005） に お い て は 政 策 変 更 以 外 と は 関よるものである。社会学などの研究の場合，なか連しないと仮定できる変数が存在する場合がある

なか操作変数の条件に従う変数をみつけることはことによる。

難しいであろう。

ここで，いくつか適切な操作変数の例を挙げよ

また，近年では操作変数法は経済学でもその仮う。教育年数（説明変数） の賃金（従属変数） へ定の強さから，さらには操作変数法を使わずに本の効果について考える際に，残差には教育年数以来背後に存在するメカニズムをモデル化して解析

外で賃金に影響を与えるであろう知能や非認知能するほうがよい（いわゆる構造推定と呼ばれる考力が含まれており，残差と説明変数に相関があるえ方）という議論からしばしば批判されることもので回帰分析での最小二乗法や最尤法といった通多い（たとえば Heckman and Urzúa, 2010 など）。

常の解析での仮定が満たされず，推定量にバイアしたがって社会学などでは，経済学同様の政策スが生じる（賃金のすべての決定要因が説明変数と変更に伴う自然実験的な状況でなければ，操作変して利用されていないことによる除外変数バイアス

数法を使うよりは社会調査の事前の設計時点でと呼ばれる）。ここで，「生まれた四半期」変数様々な共変量候補を積極的に測定するような調査は知能など教育以外の決定要因と関連がなく，教を企画実施し，それらの情報を利用した共変量調育年数と関連が高いと考えられる変数であるた整を行うほうがよいと思われる。

め， 操 作 変 数 と し て 適 切 で あ る と 考 え ら れ る（Angrist and Kruger, 1991）。
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社会と調査（2015 年 9 月）

さらに，操作変数法による解析で基本的には因果効果の推定は行うことはできず，局所平均介入

効果（local average treatment effect）という部分大化を考慮せずに「当然のこととして」大学進学母集団に対する因果効果の推定を行っているこを行う一方，進学しにくい学生ほど経済的な効用と に も 注 意 が 必 要 で あ る（Imbens and Angrist,最大化を考慮して実際に賃金上昇が大きく見込め1994；星野，2009）。

るような場合にしか進学せず，結果として大卒にまた，条件の違いを単純にダミー変数（条件ダよる賃金上昇効果は進学しにくい学生において高ミー）として説明変数にした回帰モデルの推定にいという negative selection 仮説が想定される。

おいて，条件ダミーと誤差が独立ではない場合にBrand and Xie（2010） は階層線形モデルと傾向は操作変数法を用いて偏回帰係数を求めることがスコアによる層別を行い，傾向スコアの低い＝大ある。このとき，条件ダミーの偏回帰係数が因果学進学を行いにくい環境にいる学生のほうが大卒効果となるための条件は「背後に存在する潜在的による賃金上昇効果が高いという解析結果を示し

結果変数の 2 つの回帰モデルでの誤差が全く同一ている。

であること」，つまり「2 つの条件は平均レベルこのような「因果効果の異質性」を明示的に考でのみ違いがあり，それ以外では同じ」という非慮した解析法として近年利用されつつあるのが周現実的な仮定になる（通常の因果効果推定では誤辺介入効果（marginal treatment effect）を用いた差には相関があるが同一ではないといった程度の仮解析である（Heckman and Vytlacil, 2005）。周辺定が置かれるためより仮定が緩い）。

介入効果自体は ATE や局所平均介入効果など異質的（heterogeneous）な因果効果
多くの研究関心では母集団全体，あるいは介入様々な因果効果を一般化した量であるが，とくに傾向スコアを引数とする周辺介入効果 E（Y1－Y0｜（e X）） は，「 傾 向 ス コ ア が 高 い ほ う か ら 上
位何％ までは効果があるか」といったことを対象の部分母集団における因果効果だけではなく， 推論するのに非常に有効な量である。たとえば「介入群に割り当てられる確率と因果効果の大きCarneiro et al.（2010） による解析結果の図 4 はさの関係」などに関心がある場合がある。冒頭の周辺介入効果を図示しているが，横軸の Us は観解析例 1 で大卒群を介入群とすると，「大学進学測されない「介入群へのなりにくさ」を示す値でしやすい＝大学進学の傾向スコアが高い人と，しあり，1 から傾向スコアを引いた値であって，横にくい＝傾向スコアが低い人で大卒による賃金上軸の左から大学進学をしやすい確率の高い群のパ昇効果がどれくらい違うのか」は，特定の大学進ーセンタイルの人たちに対応した賃金の上昇幅学率が過剰かそうでないかを判断するなど，教育（を用いて収益率を計算したもの）が縦軸となって政策的に大きな意味をもつ。実際，解析例 1 はおり，ここでは positive selection 仮説が示され「大学進学はもともと大学に行く可能性がある人ていることがわかる。

にとって得か，あるいは逆か？」という因果効果の異質性を調べている研究である。
進学行動と賃金の関係については，経済学分野の研究では進学行動にも経済的な効用最大化，つまり「リターンが得られる確率が高いと考える人ほど進学する」といういわゆる positive selection仮説が想定されることが多い。一方，進学と職業達成や再生産の関係は教育社会学において重要な研究テーマであり，経済的な効用最大化に限定されずに家庭の経済力や文化資本，ピアの効果などが進学行動の意思決定要因として想定される。この観点からは，家庭が裕福でクラスメートも皆大学に進学するのが当然だという高校に在籍したもともと大学に進学しやすい学生は経済的な効用最

注・1

朝倉書店から 2016 年初頭をめどに翻訳が刊行される予定である。
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