1M301
第 54 回自動制御連合講演会
2011 年 11 月 19 日，20 日 豊橋技術科学大学

ネットワーク化制御系における制御信号のスパース表現○永原正章 (京都大学), 松田 崇弘 (大阪大学), 林 和則 (京都大学)

Sparse representation of control signals for networked control∗M. Nagahara (Kyoto Univ.), T. Matsuda (Osaka Univ.), K. Hayashi (Kyoto Univ.)
Abstract– In this presentation, we propose sparse representation of control signals in networked control
systems where control signals are transmitted through a rate-limited channel. We use a technique of compressive sampling for designing sparse control signals. The design is described by 1 -2 optimization and thesolution achieves an acceptable level of control performance and also gives sparse representation of control
signals. Numerical examples show the proposed control shows a comparable performance to a conventionalenergy-limiting control with far less information of the transmitted control signal.
Key Words: networked control, compressive sampling, 1 -2 optimization

1

r(t)

まえがき

ネットワーク化制御系とは，制御対象と制御器とが物理的に離れており，それらの間の情報のやりとりが制約のある通信路を介して行われる制御系のことである 10) ．本稿では，制約のある通信路として無線通信路
やインターネット等，伝送帯域に制約のある通信路を考え，このような通信路上で転送される制御信号を効率的に圧縮するためのスパース表現を導入する．

θ[k]

K

u(t)

Ψ
x[k]

y(t)

P

xc (t)

S

Fig. 1: ネットワーク化制御系: 点線は制約のある通信
路を表す．
記法

信号のスパース表現とは，ある変換 (たとえば，
Fourier 級数展開) のもとで，その係数の多くがゼロとなる表現であり，これにより信号を表現するためのデータ量を圧縮することができる．この手法は，圧縮センシングや圧縮サンプリングとも呼ばれ，信号処理や機械学習，情報理論などで特に盛んに研究されており 8, 15, 1) ，最近では通信においてもその有効性が示されている 11, 12) ．
本稿の目的は，フィードバックを含むネットワーク化
制御系における制御信号の設計に圧縮サンプリングにもとづいた信号のスパース表現を導入し，その有効性を示すことである．信号のスパース表現をネットワー
ク化制御系に応用する研究は，近年いくつか提案されている．文献 2) では，フィードバック制御において，制御対象の状態をスパースにするための変換法を提案
し，そのもとで圧縮センシングによる状態推定を提案している．また，文献 13) では，モデル予測制御の枠組
みでネットワーク化制御におけるスパース表現を考察している．文献 14) では，フィードフォワード制御系に対する制御信号のスパース表現を提案している．

ベクトル θ = [θ1 , . . . , θm ] ∈ Rm に対して，その ノルムおよび 2 ノルムをそれぞれ
1

θ1 :=m|θi |,

θ2 :=

i=1

m


1/2
|θi |

2

i=1

で定義する．またベクトル θ の非ゼロ要素の数を θ0で表す．行列 Φ に対して，そのノルムをΦθ2= σmax (Φ)
θ2 =0 θ2Φ := max

で表す．ここで σmax (Φ) は行列 Φ の最大特異値である．

2

ネットワーク化制御系

本稿で考察するネットワーク化制御系のブロック線
図を Fig. 1 に示す．このブロック線図において，P は制御対象であり，次の状態空間方程式でモデル化されているとする．
ẋc (t) = Axc (t) + bu(t),P :(1)y(t) = c xc (t), t ∈ [0, ∞),ただし，初期値は xc (0) = 0 ∈ Rν とし，また A ∈Rν×ν , b, c ∈ Rν とする．K はコントローラ，S はア
ナログ信号をディジタル信号に変換するエンコーダ，Ψ
はディジタル信号をアナログ信号に変換するデコーダを表し，ブロック線図の点線は制約のある通信路を表す．制御対象 P の状態 xc (t) は，エンコーダ S により
周期 T > 0 の離散時間信号

本稿の構成は以下のとおりである．まず，本稿で考えるネットワーク化制御系を定義し，次に信号のスパー
ス表現について解説する．これらにもとづき，ネット
ワーク化制御系に信号のスパース表現を導入した新しい制御系設計を提案する．設計問題は 1 -2 最適化に帰着され，高速アルゴリズム 6, 3, 17) により効率的に解を見つけることができる．数値例によりネットワーク
化制御系における提案手法の有効性を示す．

x[k] := xc (kT ),619

k = 0, 1, 2, . . .

11PR0002/11/0000-0619¥400 2011 SICE

に変換され，制御器 K へ送信される．
本稿では，制御対象 P の出力 y を目標信号 r に追従させる目標値追従問題を考える．ここで目標信号 r は
周期 T の周期信号であるとする．制御器 K では，目標信号 r(t), t ∈ [kT, (k + 1)T ], k = 0, 1, 2, . . . と状態
観測値 x[k] から，デコーダ側で制御信号を構成するためのディジタル信号 θ[k] を生成し，周期 T で制御対象側にあるデコーダ Ψ へ送信する．デコーダ Ψ では，受信したディジタル信号 θ[k] から連続時間の制御信号
u(t), t ∈ [kT, (k + 1)T ] を生成し，制御対象へ印加する．
通信路においては，通常，送信信号のビットレートに制約がある．本稿では，特に信号 θ[k] の送信においてビットレート制約が大きく，θ[k] を圧縮して送信したい状況を考える．その圧縮のために，次節で述べる
信号のスパース表現を導入する．

3

信号のスパース表現

ここでは，信号のスパース表現について，文献 8) の第 9 章に従って解説する．
変数 θ をもつ線形方程式

Φθ = αを考える．ここで，Φ ∈ Rn×m , θ ∈ Rm , α ∈ Rn ,n ≤ m とする．この方程式は，見方を変えると，ベクトル α を行列 Φ の列ベクトルの線形結合で表現したものと考えることもできる．その意味で，Φ = [ϕ1 , . . . , ϕm ]の列ベクトル ϕi を原子 (atom)，行列 Φ を原子の辞書(dictionary of atoms) と比喩的に呼ぶ．
ベクトル θ の非ゼロ要素の数を θ0 で表すとし，
θ0 = k0  m と仮定する．この k0 がベクトル θ のスパースさを示す指標となる．このとき，掛け算 Φθ
により辞書から原子 ϕi を k0 種類選んで線形結合

α = Φθ =θ i ϕi ,I ⊂ {1, . . . , m},|I| = k0 (2)i∈Iが作られる．このようなプロセスを原子組成 (atomic
composition) と比喩的に呼ぶ．
次に，非ゼロ要素の数が θ0 = k0 であるようなベクトル θ の集合 (Rm の部分集合) を考える．この集合に属するベクトルは，その非ゼロ要素がベクトルのどの位置にあるかによって m Ck0 種類に分類される．このような集合のなかからベクトル θ をランダムに選び出す信号生成器を考える．まず，非ゼロ要素の位置をm Ck0 種類の中から一様にランダムに選び，次に，ベク
トル θ の k0 個の非ゼロ要素を，それぞれ独立で同一の分布，すなわち平均 0，分散 σ 2 の Gauss 分布から選
ぶ．この選ばれたベクトル θ を用いて，線形結合 (2)により，ベクトル α が得られる．以上より，スパースなランダム信号 α の生成器 M(Φ, k0 , σ 2 ) が定義される．すなわち，行列 Φ と自然数 k0 , 正の実数 σ 2 が定ま
れば，ベクトル α の分布が定まる．言い換えると，生成器 M(Φ, k0 , σ 2 ) は，θ が上記で定義されるスパース
なランダムベクトルとしたときの原子組成 (2) のモデルである．
ベクトル α がセンシングにより得られるという状況を考えると，その観測値にはノイズが混入している可能性がある．すなわち，ランダムベクトル e ∈ Rn (たeM(Φ, k0 , σ 2 , 2 )

Φθ 0 +

原子分解

θ̃

原子組成
Fig. 2: Atomic decomposition: θ̃ is an estimation ofθ0 .
だし e22 ≤ 2 とする) によって，

α = Φθ + eとなっていると仮定する．このノイズの仮定を含めた信号の生成モデルを M(Φ, k0 , σ 2 , 2 ) と書き，これをSparse Land モデルと呼ぶ 9, 8) ．なお，m Ck0 種類の中から非ゼロ要素の位置を選ぶ過程や，ベクトル θ の非ゼロ要素が属する分布は，上記に限定する必要はない．
また，スパースさを表す k0 は固定であったが，これもランダムであるという状況も考えられる．そのような一般化された場合でも，広く Sparse Land と呼ぶ．
スパースな信号の生成器 M(Φ, k0 , σ 2 , 2 ) から，ひとつベクトル α が飛び出してきたとしよう．この α から
もとのベクトル θ 0 を推定する問題が基本的であり，原子組成に対比させて原子分解 (atomic decomposition)と呼ばれる．Fig. 2 に原子分解のブロック線図を示す．
この問題に対して，次の最適化問題を考える:(P0 ) :min θ0 s.t. α − Φθ22 ≤ 2 .
θ

この問題の解を θ̃ とおく．もし，もとのベクトルのスーパスさ θ 0 0 = k0 が十分小さければ，推定誤差θ̃ − θ 0 2 は  の定数倍以下となることが知られている 8, Theorem 5.1) ．しかし，最適化問題 (P0 ) は組み合わせ最適化問題であり，辞書のサイズ m が大きくなれば，計算量は指数関数的に増大し，解くことが難しくなる．
この問題を回避するために，(P0 ) を(P1 ) :min θ1 s.t. α − Φθ22 ≤ 2
θに緩和した基底追跡ノイズ除去法 (basis pursuit denoising) やその Lagrange 双対である次の 1 -2 最適化法

(Qλ1 ) :min α − Φθ22 + λθ1θまた (P1 ) の不等式制約を変更し，
γ
(PDS
):

γ
min θ1 s.t. Φ (α − Φθ)∞ ≤ √θnとした Dantzig 選択器 (Dantzig selector) などにより，問題を凸化して解を見つけるのが現実的な方法である．
これらの方法の詳細やその妥当性については 8, 15, 1) などを参照されたい．

4

制御問題

ここでは，本稿で考察するネットワーク化制御の問
題を定式化する．
第 k 周期目の区間 [kT, (k + 1)T ] 上における目標信号 r，制御信号 u および出力信号 y をそれぞれ rk , uk ,620

yk と表す．すなわち，
rk (t) := r(t + kT ), uk (t) := u(t + kT ),yk (t) := y(t + kT ), k = 0, 1, 2, . . . , t ∈ [0, T ]とする．本稿では目標値追従問題を考え，各周期 k =0, 1, 2, . . . において，以下の量をなるべく小さくする制
御信号 uk を設計する．
 T
2
2|||P uk − rk |||2 :=|(P uk )(t) − rk (t)| dt.

tti(4) Tti(1) ti(2) ti(3)0Fig. 3: Random sampling on [0, T ]05

各周期 k における目標信号 rk は下記の集合に属すると仮定する．

本節では，問題 1 を解くために圧縮サンプリングの概念を導入し，スパースな制御信号 uk を設計する手法を提案する．

VM := span{ψm : m = −M, . . . , M } ⊂ L2 [0, T ].
ここで M は正の整数であり，また ψm は正弦波

1ψm := √ exp(jωm t),
T

ωm :=

2πm
T

である．すなわち集合 VM は，その周波数が ωM =2πM/T [rad/sec] に帯域制限された L2 [0, T ] 信号の集合である．
制御信号 uk はデコーダ Ψ により制御対象 P に印加される．現実の制御対象では，印加することのできる周波数に限りがある．したがって，制御信号 uk もある周波数に帯域制限される必要がある．そこで，目標信号 rk と同じく，制御信号 uk に対しても，周波数ωM = 2πM/T [rad/sec] までの帯域制限を仮定する．
すなわち，uk ∈ VM とし，その Fourier 展開係数を

θ[k] = θ−M [k], θ−M +1 [k], . . . , θM [k] ∈ R2M +1
とおく．このとき制御信号 uk は

uk (t) =Mθm [k]ψm (t) ∈ VM

(3)

m=−M

と表される．Fig. 1 に示すように，制御器 K は制御信号 uk の Fourier 展開係数 θ[k] を通信路を通してデコー
ダ Ψ に送信する．本稿では，θ[k] を送信する通信路にビットレート制約が存在する場合を考える．このビットレート制約に対処するためには，送信ベクトル θ[k]をなるべく小さいデータ量に圧縮してから送信するのが望ましい．そこで，前節で導入したスパース表現を導入して，各周期 k = 0, 1, 2, . . . において，信号 uk を表現 (3) のもとでスパースになるように設計することを考える．すなわち，次の量をなるべく小さくする ukを設計する．
|||uk |||0 := θ[k]0

5.1 ランダムサンプリングによる評価関数の離散化
前節で定式化された問題 1 における評価関数 J(uk )は連続区間 [0, T ] 上の関数のノルムによって定義されており，無限次元の問題である．いま，rk および uk
は周波数 ωM = 2πM/T [rad/sec] に帯域制限されていると仮定しているので，Shannon のサンプリング定理 16) にもとづき，サンプリング周波数 2ωM 以上で連続時間信号 rk , uk および yk をサンプリングすれば，評価関数 J(uk ) は有限次元ベクトルの最適化に帰着する．しかし，M が非常に大きい場合，その計算時間は膨大となり，大きな時間遅れが生じる．フィードバック
制御系では，大きな時間遅れは不安定化や性能の大幅な劣化の要因となるので，そのような膨大な計算を各周期で行うことは難しい．本稿では，圧縮サンプリングの概念 4, 5, 7) を導入し，ランダムサンプリングによる最適化計算の大幅な簡略化を提案する．ここで，ランダムサンプリングは，区間 [0, T ] を Nyquist レート
fM := 2M/T [Hz] で等間隔に分割し，得られたサンプ
ル点 tn := (n − 1)/fM , n = 1, 2, . . . , 2M + 1 =: N から K 個のサンプル点 (K < N とする) をランダムに選ぶことによってモデル化する．
まず，次のランダム行列 U を定義する．
⎡
⎤
ei(1)
⎢ ei(2) ⎥⎢⎥U = ⎢ . ⎥ ∈ {0, 1}K×N ,⎣ .. ⎦ei(K)
ここで i(1) < i(2) < · · · < i(K) は {1, 2, . . . , N } 上の一様分布に従う離散確率変数であり，i∨ei := [0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0],以上の準備のもとで，制御問題は以下で定式化される．
問題 1 (目標値追従問題) 各周期 k = 0, 1, 2, . . . において rk ∈ VM となるような目標信号 r(t) が与えられた
とき，以下の評価関数を最小化する制御信号 uk ∈ VM
を k = 0, 1, 2, . . . について求めよ．

J(uk ) := |||P uk − rk |||22 + μ|||uk |||0

圧縮サンプリングによる制御信号のスパー
ス化

i = 1, 2, . . . , N,である．離散確率変数 i(1), i(2), . . . , i(K) を用いて，ランダムサンプリング点を

ti(l) := i(l)h, h :=T
, l = 1, 2, . . . , K < N
N −1

(4)

で定める．ランダムサンプリングの例を Fig. 3 に示す．

ここで，μ > 0 は |||P uk − rk |||22 と |||uk |||0 の間のトレードオフを調整する正則化パラメータである．

次に第 k 周期における制御対象 P の出力 yk のラン
ダムサンプリングを考える．(3) で定義される制御信号621

uk ∈ VM に対する出力 yk のサンプル値 yk (tn ) はyk (tn ) = c exp(tn A)x0 +Mθ m φ n , ψm ,

θ
(5)

m=−M

で与えられる．ここで，c exp [(tn − t)A] b,
φn (t) :=0, T
φn (t)ψm (t)dt
φn , ψm :=−2μ/ct ∈ [0, tn ],t ∈ (tn , T ]

η
0

2μ/c

0

である．サンプル値 yk (ti(1) ), . . . , yk (ti(K) ) に対して，
ベクトル y[k] をy[k] := yk (ti(1) ), . . . , yk (ti(K) ) ∈ RKと定義する．このとき，(5) を用いれば関係式y[k] = U Gθ[k] + U Hx[k]が成り立つ．ここで，⎡⎤...
φ 1 , ψM
φ1 , ψ−M⎢ φ2 , ψ−M...
φ 2 , ψM ⎥⎢⎥G := ⎢⎥ ∈ CN ×N , (6)
..
..
.
.
⎣
⎦
.
.
.
φN , ψ−M. . . φ N , ψM⎡ ⎤c exp (t1 A)⎢ c exp (t2 A) ⎥⎢⎥H := ⎢⎥ ∈ RN ×ν
..
⎣⎦.
である．さらに，

r[k] := [rk (t1 ), rk (t2 ), . . . , . . . , rk (tN )] ∈ RNとおき，Φ := U G, α[k] = U (r[k] − Hx[k]) とおくと，ランダムなサンプリング点 {ti(1) , ti(2) , . . . , ti(K) } 上における追従誤差は

y[k] − r[k] = Φθ[k] − α[k]となる．これより，問題 1 の評価関数 (4) は，θ[k] を用いてと書ける．以上により，評価関数 (4) は離散化され有限次元問題に近似された．
注意 1 目標信号 r(t) が実数値関数の場合，次の三角
関数系
⎧
⎪
√1
⎪
⎨ T cos ωm t, m = 1, 2, . . . , M,⎡

m = 0,

m = −M, −M + 1, . . . , −1,(7)を用いれば，(6) で与えられる行列 G は実数行列となり，得られる送信ベクトル θ[k] も実ベクトルとなる．
このとき，制御信号はM(8) の評価関数は θ[k] に関して凸であり，最適解は必ず存在する．また，具体的に最適解を求めるために内点法などが従来用いられてきたが，近年，繰り返し縮小法 (iterative shrinkage)3, 17) と呼ばれる手法が提案され，これにより高速な数値計算が可能となった．こ
こでは FISTA (Fast Iterative Shrinkage-Thresholding
Algorithm) と呼ばれる繰り返し縮小法をさらに高速化したアルゴリズム 3) を採用する．FISTA のアルゴ
リズムは以下で与えられる 3, 17) : 初期値 θ 0 ∈ RN ,N := 2M + 1 を与え，β1 = 1, η 1 = θ 0 とする．定数 cをc > Φ2 = σmax (Φ)2

関数 S2μ/c は，ベクトル η = [η1 , . . . , ηN ] に対してT

uk (t) = θ0 [k] +(8)となるように選ぶ．次を繰り返す:1 
Φ (α[k] − Φη j ) + η j ,θ j = S2μ/cc1
βj+1 =
1 + 1 + 4βj2 ,2
βj − 1
η j+1 = θ j +(θ j − θ j−1 ), j = 1, 2, . . .
βj+1J0 (θ[k]) := Φθ[k] − α[k]22 + μθ[k]0

√1 ,
T
⎪
⎪
⎩ √1 sin ωm t,

5.2 1 -2 最適化と高速アルゴリズム
第 3 節で述べたように，上記の評価関数の最小化問
題は組み合わせ最適化問題であり，ランダムサンプリ
ングにより問題のサイズが小さくなったとしても，なお計算量は膨大となる．したがって，正則化項 θ[k]0
を 1 ノルムで緩和した次の 1 -2 最適化問題を導入する．
J1 (θ[k]) := Φθ[k] − α[k]22 + μθ[k]1 .

c exp (tN A)

ψm (t) =Fig. 4: Nonlinear function θ = sgn(η)(|η| − 2μ/c)+(θm [k] cos ωm t + θ−m [k] sin ωm t)

m=1で与えられる．

622⎤
sgn(η1 )(|η1 | − 2μ/c)+⎢⎥..
S2μ/c (η) := ⎣⎦.
sgn(ηN )(|ηN | − 2μ/c)+で定義される非線形関数である．ただし，複素数 z に対して sgn(z) := exp(j∠z)，実数 a に対して (a)+ :=max(a, 0) である．関数 S2μ/c の各要素に対する非線形関数 sgn(η)(|η| − 2μ/c) の入出力関係を Fig. 4 に示す．
条件 c > Φ2 が成り立つような c > 0 を選べば，上のアルゴリズムは任意の行列 Φ とベクトル α[k] に対して収束し，limj→∞ θ j は (8) の 1 -2 評価関数を最小化する最適解に一致する 3) ．さらに，最適解への収束の早さは最悪評価で O(1/j 2 ) であることも知られている 3) ．上記のアルゴリズムは，計算機に容易に実装が可能であり，収束も早いことから，リアルタイムでス
パースな送信ベクトル θ[k] を得ることが可能である．
本節では，具体的な数値例によって提案手法の有効性を示す．制御対象 P の状態空間表現 (1) における行
列を次で定める．
 

 

−α
0
0
1
.
, c=
, b=
A=
1
1
−αβ −α − β

1

25

0.8

20

0.6

15

0.4

10

0.2

5
−4

−3

10

10

−2

μ

00
10

−1

10

0

30

10

Fig. 5: Reguralization parameter versus RMS tracking error and avarage sparsitys−α(s + α)(s + β)15で与えられる．制御対象の初期値は x(0) = 0 とする．
制御周期を T = 2π とし，Fourier 基底 {ψm } の数，すなわち送信ベクトル θ[k] のサイズを N = 2M +1 = 101(M = 50) とする．目標信号 r(t) を105r(t) = sin(10t) + cos(5t)とする．これは周期 T = 2π の周期関数であり，r0 =r1 = r2 = · · · となる．この目標信号を (7) で与えられる三角関数系 {ψm } で展開したときの非ゼロの係数の数は4 となり，目標信号は {ψm } による展開のもとでスパー
スであることがわかる．ランダムサンプリングにおける最も細かいサンプリング幅は，h = T /(N −1) = 2π/100となる．ランダムサンプリングの個数を K = 33 とする．(8) の 1 -2 評価関数を最小化するベクトルを求めるための FISTA の繰り返し回数を 10 とする．また，制御周期を k = 0, 1, . . . , 100 と合計 101 回繰り返す．
まず，1 -2 最適化の評価関数 (8) において，正則化
パラメータ μ を変化させて最適ベクトル θ[k] および制
御信号 uk を求め，その制御信号を用いたときの追従誤
差 e = y − r の RMS (Root Mean Square) Tf
1|e(t)|2 dt, Tf = T × 101
RMS(e) :=Tf 0
および送信ベクトル {θ[k]}100
k=0 の各周期におけるスパー
スさの平均値，すなわち
100

θ0 :=

40

1.2

0 −5
10

ただし，α = 5, β = 10 とする．この制御対象の伝達関数 P̂ (s) は2Sparsity ||θ||RMS Error

1.4

数値例

P̂ (s) =1(Left) RMS Error for L −L opt.
(Left) RMS Error for L2 opt.
35
1 2
(Right) Sparsity ||θ||0 for L −L opt.

|θm[50]|6

μ vs error and sparsity
1.6

1 θ[k]0101
k=0を求めたものを Fig. 5 に示す．比較のため，各周期 kにおいて次の評価関数

J2 (uk ) := |||P uk − rk |||22 + μ2 |||uk |||22を最小化する L2 最適制御問題を考える．これは制御信号 uk に対して，そのエネルギーを制限する最適制御問
題であり，従来よりよく用いられる指標である．制御

0
−50

−40

−30

−20

0
m

10

20

30

40

50

Fig. 6: The absolute values of the nonzero coeﬃcientsof θ[50] for 1 -2 optimization
信号 uk に対して帯域制限された Fourier 展開 (3) を仮定すると，その最適係数 θ 2 [k] は

θ 2 [k] = (μ2 I + G G)−1 G (r 0 − Hx[k])(9)で与えられる．正則化パラメータ μ2 を変化させ，(9)にもとづき最適制御入力 uk を求め，追従誤差 e = y − rの RMS を計算したものを Fig. 5 に示す．なお，L2 最適制御では，非ゼロ要素の個数 θ 2 [k]0 は常に最大値
N = 101 をとる．すなわち，L2 最適制御信号はスパー
スとはならないことがわかる．また，L2 最適制御の場
合，μ2 < 0.0005 でフィードバック系は不安定となった．
以上の計算結果より，1 -2 最適化では μ ≈ 0.002,
2
L 最適制御では μ2 ≈ 0.00055 のとき，制御性能が最も良いことがわかる．次にこれらのパラメータのもとでの比較を行う．まず，μ = 0.002 として 1 -2 最適化により送信ベクトル θ[k] を生成し，フィードバック制御を行う．Fig. 6 に k = 50 のときのベクトル θ[50]の非ゼロ要素を図示する．101 個の要素のうち 4 個だ
けが非ゼロであり，非常にスパースなベクトルが得られていることがわかる．各周期 k において，追従誤差
ek := rk − yk の L2 [0, T ] ノルム Tek 2 :=|ek (t)|2 dt, k = 0, 1, 2, . . . , 100
0

623

−10

定式化される．この最適解は，FISTA と呼ばれる高速
アルゴリズムを用いて高速に求めることができる．また，数値例により，送信信号のエネルギーを制限する
従来法に対する提案手法の有効性を示した．今後の課題としては，1 -2 最適化を用いた送信信号のスパース
表現のもとでのフィードバック系の安定性解析が挙げられる．

Error and sparsity
1
Error ||e ||k 2

L1−L2 optimization2
Truncated L optimization

0.5

0
0

10

20

30

40

50
k

60

70

80

90

100

40
Sparsity ||θ[k]||

0

参考文献

30
20
10
0
0

10

20

30

40

50
k

60

70

80

90

100

40

50

Fig. 7: Error and sparsity
15m|θ [50]|

10

5

0
−50

−40

−30

−20

−10

0
m

10

20

30

Fig. 8: The absolute values of the nonzero coeﬃcientsof θ 2 [50] for 2 optimization; the stars are the 4 elements of the truncated vectorを求めたものを Fig. 7 の上図に示す．また各周期 k における送信ベクトルのスパースさ θ[k]0 を求めたものを Fig. 7 の下図に示す．次に μ2 = 0.00055 として，ベクトル θ 2 [k] を (9) の公式より求め，L2 最適制御信号を求める．周期 k = 50 のときの θ 2 [50] の非ゼロ要素の絶対値を Fig. 8 に示す．Fig. 6 の θ[50] と異なり，
θ 2 [50] はすべての要素が非ゼロである．提案法との比較を行うため，Fig. 7 の下図で与えられる θ[k]0 のプロファイルを使い，θ 2 [k] の要素のうち絶対値が大
きいものから θ[k]0 個を選び，それ以外の要素をすべて 0 とおいたベクトルを用いて，制御信号を生成する．例えば k = 50 のときは，Fig. 8 で示されるように，θ[50]0 = 4 個の要素だけを残し，それ以外の要素を
すべて 0 とおいたベクトルを用いる．これにより，同
じデータ量での通信を行うという設定のもとで，提案法と従来法との制御性能を比較することができる．従来法の追従誤差を Fig. 7 に示す．これより，同じ送信ベクトルのデータ量にもかかわらず，提案手法のほうが従来法よりも誤差が小さいことがわかる．

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おわりに

本稿では，ネットワーク化制御系に圧縮サンプリングの手法を導入し，送信信号のスパース表現を用いることで，通信路のビットレート制約に対処する新しい方法を提案した．制御問題は 1 -2 最適化問題として

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