SEGMENTATION ET MUTUALISATIONLES DEUX FACES D’UNE MÊME PIÈCE ?
Arthur Charpentier
Professeur à l’Université du Québec, Montréal

Michel Denuit
Professeur à l’Université catholique de Louvain

Romuald ElieP r o f e s s e u r à l ’ U n i v e r s i t é d e M a r n e - l a - Va l l é eL’assurance repose fondamentalement sur l’idée que la mutualisation des risques entre desassurés est possible. Cette mutualisation, qui peut être vue comme une relecture actuariellede la loi des grands nombres, n’a de sens qu’au sein d’une population de risques « homogènes » [Charpentier, 2011]. Cette condition (actuarielle) impose aux assureurs desegmenter, ce que confirment plusieurs travaux économiques (1). Avec l’explosion dunombre de données, et donc de variables tarifaires possibles, certains assureurs évoquentl’idée d’un tarif individuel, semblant remettre en cause l’idée même de mutualisation desrisques. Entre cette force qui pousse à segmenter et la force de rappel qui tend (pourdes raisons sociales mais aussi actuarielles, ou au moins de robustesse statistique (2)) à
imposer une solidarité minimale entre les assurés, quel équilibre va en résulter dans uncontexte de forte concurrence entre les sociétés d’assurance ?

Tarification sanssegmentationS

ans segmentation, le « prix juste » d’un risqueest l’espérance mathématique de la chargeannuelle. C’est l’idée du théorème fondamental de la valorisation actuarielle : en
moyenne, la somme des primes doit permettred’indemniser l’intégralité des sinistres survenus dansl’année. Afin d’illustrer les différents aspects de laconstruction du tarif et ses conséquences, on va
utiliser les données présentées dans le tableau 1 (voirp. xx), qui indique la fréquence annuelle de sinistres.
Les facteurs de risque sont ici le lieu d’habitation et l’âge
de l’assuré, et on observe la fréquence de sinistre par classe.
Le coût unitaire, supposé fixe, équivaut à 1 000 euros.
La prime pure est alors E [S] = 1 000 x E [N]. Danscet exemple, la prime pure sans segmentation serade 82,30 euros.

Risques n° 103

19Segmentation et mutualisation, les deux faces d’une même pièce ?

Tableau 1 - Fréquence annuelle de sinistre pour deux classes derisque (lieu d’habitation et âge de l’assuré) avec le nombre d’assurés(entre parenthèses)Jeune (J)

Expérimenté (E) Senior (S)Total

Tableau 3 - Décomposition de la variance de la dépense entrel’assureur et l’assuré en présence d’une segmentation parfaite
DépenseDépense moyenneVariance

AssurésAssureurE(S l Ω)E(S)Var (E(S l Ω))

S – E(S l Ω)
0E (Var (S l Ω))

Ville (V)

12 %(500)

9%(2 000)

9%(500)9,5 %(3 000)Campagne (C)8%(500)6,67 %(1 000)

4%(500)6,33 %(2 000)Source : auteurs, exemple fictif.

Total

10 %(1 000)

8,22 %(3 000)6,5 %(1 000)8,23 %(5 000)Plaçons-nous maintenant dans la situation où
ces deux sociétés sont présentes sur le marché. La
première ne segmente pas, alors que la seconde utilisel’information (parfaite) dont elle dispose. Dans ce
contexte d’environnement concurrentiel, on retrouve
une illustration des concepts de « lemons »d’Akerlof [1970] : les « bons » risques ont une
prime plus basse chez l’assureur qui segmente sontarif et les « mauvais » risques ont une prime
plus basse chez l’assureur qui ne segmente pas. Les« mauvais » risques vont alors s’assurer chez l’assureur
qui ne discrimine pas, mais ce dernier, n’ayant plus les« bons » risques pour s’assurer un équilibre financier,va alors se retrouver en difficulté financière. Dansl’exemple numérique illustré dans le tableau 4, onretrouve que l’assureur qui segmente est alors – enmoyenne – à l’équilibre. On entre ainsi dans une« spirale de la segmentation », les assureurs qui nesegmentent pas courant à la faillite.

Source : auteurs, exemple fictif.

Dans le cas d’une tarification sans segmentation,
on retrouve le partage des risques détaillé dans letableau 2 : en moyenne, l’assureur est à l’équilibre
financier, mais il porte à sa charge l’intégralité durisque (dont une partie est liée à l’hétérogénéité duportefeuille).
Tableau 2 - Répartition des risques entre l’assureur et ses assurés
Assurés

AssureurDépenseE(S)S – E(S)Dépense moyenne

E(S)

00

Var (S)

Variance
Source : auteurs, exemple fictif.

Tarification avec
segmentation (parfaite)

S

upposons maintenant qu’un assureur segmente son tarif, en supposant qu’il disposed’une connaissance parfaite des classes derisque (cette information sera notée Ω). Cetassureur sera à l’équilibre, en moyenne, puisqueE [ E ( S l Ω ) ] = E [ S ] . Mais, cette fois-ci, comme lemontre le tableau 3 ci-contre, le risque est moins
porté par l’assureur.
En effet, on retrouve ici la relation classique dedécomposition de la variance
Var (E(S l Ω))+E(Var (S l Ω)) = Var (S)20Risques n° 103

Tableau 4 - Répartition des classes d’assurés lorsqu’un assureur
propose de segmenter parfaitement et qu’un autre ne segmente pas(Le coût individuel est ici supposé connu et vaut 1 000 euros)

J-V (500)
J-C (500)
E-V (2 000)
E-C (1 000)
S-V (500)
S-C (500)
PrimesSinistres
S/P(IC 95 %) (3)Part de marchéAucun

Âge xhabitation

Marché

82,382,382,382,382,382,3247
285
115,4 %
± 8,9 %
66,1 %

120
80
9066,790
40
126,67
126,67100,0 %
± 10,4 %33,9 %

82,38082,366,782,340
373,67
411,67110,2 %
± 5,1 %

Source : auteurs, exemple fictif.

Segmentation et mutualisation, les deux faces d’une même pièce ?

On notera, dans cet exemple, que dire que laprime pure permet à l’assureur d’être à l’équilibre enmoyenne n’a de sens que dans une situation demonopole. Dans un contexte concurrentiel, la situation est tout autre.

Tarification avec segmentation(imparfaite)

La réalité n’est toutefois pas aussi simple. En
particulier, la connaissance des classes derisque est souvent imparfaite. L’assureur n’apas à sa disposition Ω, mais uniquement unensemble de variables explicatives, X = {X 1, ..., X k },dont une partie est supposée liée au facteur derisque Ω. Dans notre exemple illustratif, on peutaussi imaginer que la discrimination basée sur l’âge nesoit plus autorisée. Dans le cas où l’assureur disposed’une information imparfaite, l’assureur utilise
comme prime pure E ( S l X) . Cette prime luigarantit d’être en moyenne à l’équilibre, puisqueE ( E ( S l X) ) = E ( S ) , mais le partage des risques
est alors assez différent, comme l’illustre le tableau 5.

Tableau 5 - Répartition des classes d’assurés lorsqu’un assureurutilise une information imparfaite pour tarifer

DépenseDépense moyenne
Variance

Assurés

AssureurE(S l X )E(S)Var (E(S l X ))S – E(S l X )0E (Var (S l X ))Ce surplus de variance pour l’assureur traduit lefait que la segmentation utilisée ne crée pas des classesréellement homogènes.
Dans notre exemple illustratif, on peut regarderles deux situations possibles. Dans le premier cas, unesociété d’assurance utilise le lieu d’habitation et pasl’âge, et se retrouve en concurrence face à une société
qui ne segmente pas (c’est le cas 1 du tableau 6).
Dans le second cas, une société utilise seulement l’âgecomme variable tarifaire (cas 2 du tableau 6).
Tableau 6 - Répartition des classes d’assurés lorsqu’un assureur
propose de segmenter en fonction du lieu d’habitation (cas 1) ou del’âge de l’assuré (cas 2) et qu’un autre ne segmente pas
Cas 1
Aucun

Habitation

Marché

V (3 000)

82,395

82,3C (2 000)

82,3

63,3

63,3

Primes247

126,67

373,67Sinistres

285

126,67411,67

S/P

115,4 %

100,0 %

110,2 %(IC 95 %)± 8,9 %

± 10,4 %± 5,1 %Part de marché

66,1 %

33,9 %

Cas 2AucunÂgeMarché

J (1 000)

82,3

100

82,3E (3 000)

82,382,282,2S (1 000)

82,36565

Primes82,33

311,67394

Sinistres

100

311,67

411,67

S/P

121,5 %

100,0 %

104,5 %(IC 95 %)± 15,9 %± 6,4 %

± 4,8 %

20,9 %

79,1 %

Source : auteurs, exemple fictif.

On notera que la variance de l’assureur est ici
E(Var(S l X )) = E(Var(S l Ω))+E(Var(E(S l Ω) l X ))avec un terme qui correspond à la variance que nous
avions en situation d’information parfaite, mais aussi
un terme additionnel que l’on peut interpréter
comme le risque dû à un manque d’information. Onpeut alors décomposer la variance totale des dépenses
sous la forme
Var(E(SlX )) + E(Var(SlΩ)) + E(Var(E(SlΩ)lX ))Part de marché

Risques n° 103

21Segmentation et mutualisation, les deux faces d’une même pièce ?

On note qu’ici, même avec une information
imparfaite, on se retrouve face à un cas comparable
au précédent. Les sociétés qui segmentent sont, enmoyenne, à l’équilibre en attirant les « bons » risques,alors que la société qui n’a pas segmenté perd del’argent (en moyenne, là encore) puisqu’elle a attiré
les mauvais risques, qui ont été tarifés à leur « juste »niveau. Néanmoins, on notera que la société quisegmente peut aussi se retrouver avec une part demarché relativement faible (ce qui va induire un autretype de risque, puisqu’un petit portefeuille est plus
volatil qu’un portefeuille plus gros, mais nous reviendrons sur ce point dans le paragraphe suivant).

Et dans un univers
concurrentiel ?…

Avant de conclure, essayons de regarder cequi se passerait si tous ces cas coexistaient
sur le marché : un assureur qui ne souhaite
pas segmenter ; deux assureurs qui segmentent mais imparfaitement en utilisant seulement

quelques variables tarifaires à leur disposition ; unassureur qui, ayant accès aux réelles classes de risque,utiliserait une segmentation beaucoup plus fine que
tous les autres.
Le tableau 7 présente la répartition du marché
entre tous ces assurés (toujours dans notre exemple
fictif). D’un côté, l’assureur qui ne segmente pas setrouve en réelle difficulté car il a récupéré les plus
« mauvais » risques, largement sous-tarifés. De l’autre
côté, l’assureur qui segmente le plus finement est
certes à l’équilibre financier, mais sur une niche depopulation beaucoup plus petite.
Afin d’illustrer le risque porté par chacune dessociétés, une value-at-risk (4) à 99,5 % a été ajoutéedans le tableau 7. Dans cet exemple illustratif, lasociété qui segmente le plus est certes la seule à être– en moyenne – à l’équilibre, mais la variabilité deson ratio sinistres/primes est très importante. Cette
société a quasiment une chance sur cinq d’avoir unratio plus mauvais que celui du marché. La figure 1(p. xo) montre ainsi des distributions de ratios sinistres/primes pour ces quatre sociétés qui se font concurrence, avec la dispersion de chacun.

Tableau 7 - Répartition des classes d’assurés en fonction des assureurs proposant différents tarifs, sanssegmentation (à gauche), suivant l’âge, suivant le lieu d’habitation, suivant l’âge et le lieu d’habitation. Lesassurés sont supposés choisir ici la prime la moins chère.

22AucunÂgeHabitation

Âge xhabitation

Marché

J-V (500)

82,3100

95

120

82,3J-C (500)82,3100

63,38063,3E-V (2 000)

82,382,295

90

82,2E-C (1 000)

82,382,263,366,763,3S-V (500)82,365959065

S-C (500)

82,36563,34040

Primes41,17

196,949520353,10Sinistres

60

225

106,6720411,67

S/P

145,7 %

114,2 %

112,3 %

100,0 %

116,6 %(IC 95 %)± 34,6 %± 11,8 %± 15,1 %± 41,9 %± 5,3 %VaR 99,5 %

189,5 %

140,0 %

134,0 %

160,0 %

130,3 %Part de marché

11,6 %

55,8 %

26,9 %

5,7 %Risques n° 103

Segmentation et mutualisation, les deux faces d’une même pièce ?

plus importantes. Ce jeu pourrait être dangereux àmoyen terme, et beaucoup risquent de découvrir que
l’art de la tarification est plus subtil qu’il n’y paraît.

200
I

Figure 1 - Scénarios de ratio sinistres/primes en présence dequatre sociétés sur le marché (une qui ne segmente pas, une quisegmente en utilisant l’âge, une qui utilise le lieu d’habitation et une
qui utilise les deux variables). La situation globale du marché est
présentée à droite.

150
INotes50I

100
I

1. On pourra relire Feldman & Dowd (2000) qui illustrece point dans le contexte de l'assurance santé, ou la revue
de littérature menée dans le chapitre 11 (Theory of RiskClassification) dans le Handbook of Insurance.
Iaucune segmentationIvariable X1

Ivariable X2

Ivariable X1+X2

I
marché

Dans cet exemple (probablement simpliste), laprime utilisée est la prime pure, mais on peut imaginer
que les sociétés d’assurance tiennent compte, dans lecalcul des primes, de la taille de leur portefeuille et dela variabilité du résultat, en intégrant une marge desolvabilité. Dans ces conclusions, la société qui a ici leplus segmenté pourrait alors disparaître du marché.

Quels équilibres pour lesmarchés concurrentiels ?

L’exemple illustratif a bien entendu denombreux défauts. Le comportement desassurés est probablement trop caricatural,les risques statistiques de suridentificationde modèles ne sont pas intégrés, et la composantedynamique n’est pas prise en compte ici. Mais on
peut observer que la « spirale de la segmentation »aboutit à une situation qui n’est pas claire. Alors que
certains évoquent une éventuelle responsabilité desactuaires dans la limitation, pour des raisons sociales,de la segmentation (les « mauvais » risques pouvantêtre incités à ne plus s’assurer), on notera que, d’unpoint de vue économique, la conclusion n’est pasaussi évidente. La recherche de niches tarifaires « rentables » peut conduire à la situation où quelques raressociétés sont (potentiellement) à l’équilibre, avec desparts de marché très faibles et une variabilité durésultat importante, et d’autres perdent de l’argent(en moyenne) avec des parts de marché beaucoup

2. On peut penser à la notion de suridentification desmodèles (ou overfit), qui consiste à modéliser le bruit résiduelet non le phénomène de fond, sous-jacent.
3. L’intervalle de confiance dans le ratio sinistres/primes
est ici obtenu par approximation normale.
4. Il s’agit ici tout simplement du quantile à 99,5 % sur leratio sinistres/primes. Par exemple, avec un S/P moyen à 100 %et un quantile à 160 %, cela signifie que le capital nécessaire pour porter le risque correspond à 60 % de la primeannuelle.

Bibliographie
AKERLOF G., “The Market for ‘Lemons’: Quality
Uncertainty and the Market Mechanism”, Quarterly
Journal of Economics, vol. 8, n° 3, 1970, pp. 488-500.
CHARPENTIER A., « La loi des grands nombres et le théorème
central limite comme base de l’assurabilité ? » Risques, n° 86,
juin 2011.
CHARPENTIER A., « Interprétation, intuition et probabilités »,Risques, n° 99, septembre 2014.
CHARPENTIER A. ; DENUIT M., Mathématiques del’assurance non-vie, tome I, Economica, 2004.
DENUIT M., « Quand la différenciation tarifaire est-elle
techniquement justifiée ? », Le Monde de l’assurance,dossier spécial, 16-31 mai 2005.
DIONNE G., Handbook of Insurance, Springer-Verlag
France, 2013.
FELDMAN R. ; DOWD, B., “Risk Segmentation: goal orproblem?”, Journal of Health Economics, 19, 2000,
pp. 499-512.

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