2016 年 RSS/JSS 試験（Higher Certificate）

HIGHER CERTIFICATE IN STATISTICS, 2016
モジュール 7：時系列と指数
制限時間: 90 分

4 問中 3 問を選択の上解答のこと．
各問は合計 20 点である．小問の配点は括弧の中に記されている．

グラフ用紙と統計数値表は配布する．

解答にあたっては電卓を使用してよい．
ただし，一般財団法人統計質保証推進協会による「受験要領」に記された範囲で使用すること．

数学記号 log は e を底とする自然対数を表す．
その他の底をもつ対数は，例えば log10 のように底を明示する．
また，(nr) は C と同じ意味とする．
nr

1

HC モジュール 7 2016 年

問題用紙は 8 頁からなり，それぞれの頁は片面にのみ印刷されている．
この表紙が 1 頁目である．
第 1 問は 2 頁目から始まる．
問題は全部で 4 問である．
© JSS 2016

１．
（i） 四半期時系列𝑦𝑦(𝑡𝑡)に対する加法的トレンドと季節成分分解が𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑇𝑇(𝑡𝑡) + 𝐶𝐶(𝑡𝑡) + 𝑅𝑅(𝑡𝑡)のように表現される．ただし，𝑇𝑇(𝑡𝑡)と𝑅𝑅(𝑡𝑡)はトレンド成分とランダム,すなわち不規則な成分を表している．このとき，𝐶𝐶(𝑡𝑡)に制約条件𝐶𝐶(𝑡𝑡)＝𝐶𝐶(𝑡𝑡 − 4)がなぜ課されるか答えなさい．また，和𝐶𝐶(1) + 𝐶𝐶(2) + 𝐶𝐶(3) + 𝐶𝐶(4)に課される通常の「標準化」の条件を述べなさい．
(3)
分析家 A はケーキ製造会社の売り上げデータに対して加法的季節的分解を施すとする．以下の表には，データと売り上げ時系列データを単純な 3 時点移動平均によって平滑化した結果の一部とその対応する誤差を各四半期 Q1 から Q4 まで掲げてある．

期間2012 年 Q1
2012 年 Q22012 年 Q32012 年 Q42013 年 Q1
2013 年 Q22013 年 Q32013 年 Q42014 年 Q12014 年 Q22014 年 Q32014 年 Q4

売り上げ(1000 英ポンド)
𝑦𝑦(𝑡𝑡)
241
283
281
325
287
276
301
352
322
333
351
410

(ii)

平滑化された値
𝑦𝑦 ∗ (𝑡𝑡)268.33296.33297.67296.00288.00309.67325.00335.67

誤差

14.67-15.3327.33-9.00-12.00-8.67
27.00-13.67抜けている 2014 年の Q2 と Q3 の平滑化された値とその誤差を計算しな
さい．
【注意：受験者は端点である 2012 年の Q1 あるいは 2014 年の Q4 の平滑化された値を計算する必要はない．】(3)(iii) 四半期データを平滑化する時に，3 時点移動平均の持つ弱点を説明しな
さい．
（1）(iv) Q1 から Q4 までの季節的な項の推定値を答えなさい．
(4)(v)
平滑化された値に線形回帰モデルを当てはめると𝑦𝑦 ∗ (𝑡𝑡) = 254.99 + 8.72𝑡𝑡が得られる．𝑡𝑡は 2012 年の Q1 からの四半期の数である．つまり， 2012 年のQ1 の時，𝑡𝑡 = 1である．(i)のモデルを使って分析家 A による 2015 年の Q3 とQ4 の売り上げの予測値を求めなさい．
(3)
問題 1 は次のページに続く

2

(vi)

分析家 B は𝑦𝑦(𝑡𝑡)を𝑡𝑡と Q4 に対するダミー変数に線形回帰して，以下の結果を得た．
係数:
推定値
標準誤差
(切片)
242.282
8.006
9.157
1.122
𝑡𝑡
Q446.798
8.947

説明変数の𝑡𝑡と Q4 に対するダミー変数はモデルに入れるべきか説明しなさい．
(4)(vii) 分析家 B のモデルを使って，2015 年の Q3 と Q4 の売り上げの予測値を計算しなさい．そして，その予測値を (v)で得た分析家 A による予測値と比較しなさい．
(2)

3

２．

ある創業したばかりの小売業者の週の総売り上げの時系列データ 𝑤𝑤𝑡𝑡 (1000 英ポンド)が 76 週まで以下に図示されている．

(i)
(ii)

系列をそのトレンドと季節成分とその他の注目すべき成分で説明しな
さい．
（3)
この系列を分析する際に，予測者はデータの自然対数値𝑥𝑥𝑡𝑡 = log 𝑒𝑒 (𝑤𝑤𝑡𝑡 )とその階差𝑦𝑦𝑡𝑡 = 𝑥𝑥𝑡𝑡 − 𝑥𝑥𝑡𝑡−1 を計算する．これらのことがなされる理由を推測しなさい．
（2)
予測者は𝑦𝑦𝑡𝑡 に対して定数項を含む ARIMA(𝑝𝑝,𝑑𝑑,𝑞𝑞)モデルを当てはめるとする．以下の計算機の出力結果はモデルを推定するソフトウエアの出力結果である．

(iii) 当てはめられたモデルの𝑝𝑝, 𝑑𝑑, 𝑞𝑞の次数を述べ，𝑦𝑦𝑡𝑡 に対する式を過去の値𝑦𝑦𝑡𝑡−𝑖𝑖 と誤差系列𝜀𝜀𝑡𝑡 を使って書きなさい．また，それらの性質を定義しなさい．
(6)(iv) 𝑥𝑥𝑡𝑡 に対して ARIMA モデルを当てはめた時の𝑝𝑝, 𝑑𝑑, 𝑞𝑞の次数を述べなさい．また，𝑥𝑥𝑡𝑡 のどのような性質のために，予測者は𝑦𝑦𝑡𝑡 のモデルに対して定数項を含めようとするのかを説明しなさい．
(2)(v)
予測者は当てはめたモデルの残差の自己相関を以下のようにプロットした．

このプロットがなされる理由とこのプロットから分かることを説明しなさい．
（3）
問題 2 は次のページに続く
4

(vi)

(iii)で書かれた式を使って𝑦𝑦77 の 1 期先予測の表現を求めなさい．変
換されていない原データの予測をどのように行うかを簡潔に説明しな
さい．
(4)

5

３． 商品𝑖𝑖の一単位あたりの価格と売れた数量をそれぞれ 0 時点では𝑝𝑝0𝑖𝑖 , 𝑞𝑞0𝑖𝑖 とし，𝑡𝑡時点では𝑝𝑝𝑡𝑡𝑡𝑡 , 𝑞𝑞𝑡𝑡𝑡𝑡 とする．
(i)
ラスパイレス数量指数𝑄𝑄𝐿𝐿 (0, 𝑡𝑡)の式を述べなさい．𝑄𝑄𝐿𝐿 (0, 𝑡𝑡)の分子と分母についてどのように解釈できるか答えなさい．
(3)(ii) 対応するパーシェ価格指数𝑃𝑃𝑃𝑃 (0, 𝑡𝑡)の式を述べなさい．
(1)(iii) 以下の関係式が成立することを示しなさい．
∑i pti qti
QL (0, t ) =P (0, t ).
(4)
∑ p0i q0i Pi(iii)においては𝑄𝑄𝐿𝐿 (0, 𝑡𝑡)を求める時に𝑃𝑃𝑃𝑃 (0, 𝑡𝑡)が使われているが，この(1)
𝑃𝑃𝑃𝑃 (0, 𝑡𝑡)を何と呼ぶかを答えなさい．
(v)
下の表は 2008 年と 2014 年の魚製品製造業者の売り上げに関するデータからなっている．各製品グループに対する個々のパーシェ価格指数を使って，3 つすべての製品グループの全売り上げの 2014 年のラスパイレス数量指数を計算しなさい．ただし，2008 年を基準年とする．
(6)
2008 年売り上げ 2014 年売り上げ 製品グループに製品グループ対する(1000 英ポンド) (1000 英ポンド)
PP(2008, 2014)
Frozen fillets
245
269
98.6(iv)(vi)

Dressed fish

173

166

97.3

Fish fingers

111105101.2

この製造業者はまた，「他の水産加工品」カテゴリの売り上げが 2008 年に 33000 英ポンドであったことを知っているが，対応する 2014 年の数字は利用できない．しかし，売り上げた重量は 2008 年が 2750 ㎏で 2014 年が 3130 ㎏であった．魚製品と他の水産加工品を組み合わせたラスパイス
数量指数を計算しなさい．
(5)

6

４．(a)(i) 商品𝑖𝑖の一単位あたりの価格と売れた数量をそれぞれ 0 時点では𝑝𝑝0𝑖𝑖 , 𝑞𝑞0𝑖𝑖とし，𝑡𝑡時点では𝑝𝑝𝑡𝑡𝑡𝑡 , 𝑞𝑞𝑡𝑡𝑡𝑡 とする．この商品の 0 時点を基準とした t 時点のラスパイレス価格指数をと定義する．
𝑝𝑝
𝑃𝑃𝐿𝐿 (0, 𝑡𝑡)は相対価格𝑅𝑅0𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑝𝑝 𝑡𝑡𝑡𝑡 の加重平均で表されることを示せ．この加重平均
0𝑖𝑖のウエィトを何と解釈するかを答えなさい．

(4)(ii) ある会社が販売する商品は互いに排他的なグループ：A と B に分けられる．この会社の全体のラスパイレス価格指数は個々の価格指数𝑃𝑃𝐿𝐿,𝐴𝐴 (0, 𝑡𝑡)と𝑃𝑃𝐿𝐿,𝐵𝐵 (0, 𝑡𝑡)の加重平均となることを示せ．また，この加重平均のウェイトの解釈を述べなさい．
(5)(b) ある国の経済的な産出高は次の表のように 3 つの部門に分類される．
経済部門

2012 年価格(10 億ユーロ)2013 年価格(10 億ユーロ)

農業
製造業
サービス業

30
5060

314875(i)2013 年ラスパイレス数量指数(基準年 2012 年)
100.2
98.3
102.9

2014 年ラスパイレス
数量指数(基準年 2013 年)
99.5
98.5
105.4

2012 年を基準年とした 2013 年の経済全体のラスパイレス数量指数および 2013 年を基準年とした 2014 年の数量指数を計算しなさい． (6)(ii) 上記で計算した 2 つの指数を関連付けて，2012 年を基準年とした 2014
年の連鎖ラスパイレス数量指数を求めなさい．
(3)(iii) 連鎖方式の計算は，直接 𝑄𝑄𝐿𝐿 (2012,2014)を計算するよりもなぜ好まれるのか，その理由を答えなさい．
(2)

7

BLANK PAGE

8