Préparation à l’agrégation

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Leçon 106 Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension
finie E, sous-groupes de GL(E). Applications

1Plan possible
I. Définitions et propriétés algébriques
II. Action de GL(E)III. Sous-groupes remarquables de GL(E)
IV. Sur les corps finis
V. Propriétés topologiques sur R ou C.

2

Développements possibles

Développement 1 Les sous-groupes finis de SO3 (R).
cf. [3] ou [4, t. I]
Développement 2 Théorème de Burnside : un sous-groupe de GLn (C) d’exposant fini est fini.
cf. [4, t. II]
remarques : contre-exemples : Z/2ZNest d’exposant
2 est infini. Ou bien 1le sous-groupe des matrices de la forme a 0 1F dans GL2 ( 2 ) est d’expo-sant 2 mais infini.
Développement 3 (Simplicité de PSLn (K)) Le groupe PSLn (K) est ungroupe simple si n ≥ 3 ou n = 2 et |K| ≥ 4.
Cf [5, ch. XIII, §8 et §9 (thm 9.6)] pour ce développement qui peut servir
aussi ailleurs.
Remarques : Pour ce développement, on peut se contenter du cas n ≥ 3.
On commence par définir les transvections : ce sont les matrices conjuguées
dans GLn (K) à une matrice de la forme Ti,j (λ) := In + λEi,j , λ ∈ K, 1 ≤ i 6=j ≤ n. Puis on montre que les transvections sont conjuguées dans SLn (K) ...
Il faut aussi remarquer que les groupes PSL2 (Z/2Z) = GL2 (Z/2Z) ' S3 et
PSL2 (Z/3Z) ' A4 ne sont pas simples.
Développement 4 Simplicité de SO3 (R).
cf. [7]1

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Développement 5 (SU2 × SU2 / ± 1 ' SO4 (R)) Soit SU2 le groupe des matrices 2 × 2 complexes unitaires de déterminant 1. On a un isomorphisme degroupes :SU2 × SU2 / ± (I2 , I2 ) ' SO4 (R) .
En particulier le groupe SO4 (R)/Z n’est pas simple (Z est le centre (=±I4 )).
cf. [6, ] ou [7, ex. 12.56].


 a −b Remarques : on fait agir SU2 × SU2 sur H :=  : a, b ∈ Cb ale R− espace vectoriel des quaternions. Si M ∈ M2 (C), on note M ∗ :=t
M . Alors si q1 , q2 ∈ H, on remarque que q1 q2∗ + q2∗ q1 ∈ RI2 , on pose alorsq q ∗ +q ∗ q
hq1 , q2 i := 1 2 2 2 1 . C’est un produit scalaire sur H et hq, qi = dét q si q ∈ H.
On a donc une action de SU2 × SU2 qur H via :∀u, v ∈ SU2 , ∀ q ∈ H, (u, v).q := uqv −1 .

Cette action préserve le déterminant donc la norme euclidienne choisie surH. D’où un morphisme SU2 × SU2 → O4 (R). On peut admettre que SU2 estconnexe ; si demandé, il suffit de savoir trouver un chemin continu
qui relie∗g ∈ SU2 à I2 et pour cela, il suffit de diagonaliser : g = P eiθ0 0 e−iθpour un θ réel et une matrice unitaire P ; voici un chemin continu :t ∈ [0, 1] 7→ P ∗ itθe00−itθ

eP P ...

Pour la surjectivité, on peut à la place de l’argument de Vinberg qui faitappel aux algèbres de Lie, utiliser cet argument plus élémentaire : commeles réflexions orthogonales engendrent O4 (R) et comme toute rotation est un
produit d’un nombre pair de réflexions, il suffit de montrer que le produit de2 réflexions orthogonales est dans l’image de SU2 × SU2 . Or l’application ru :H → H, q 7→ −uq ∗ u est une réflection orthogonale d’hyperplan l’orthogonal
de u. On vérifie facilement que si u, v ∈ SU2 , alors, ru ◦ rv : q 7→ uv ∗ qv ∗ u estdans l’image de SU2 × SU2 car uv ∗ , v ∗ u ∈ SU2 ...
Développement 6 (Théorèmes de Sylow) Avec la démonstration du [6]où on commence par donner un p−Sylow de GLn (Fp ) puis on remarque que
tout groupe d’ordre n est isomorphe à un sous-groupe de Sn lui-même isomorphe à un sous-groupe de GLn (Fp ) et où l’on montre le lemme suivant :Lemme : si H ≤ G, si P est un p−Sylow de G, alors il existe g ∈ G telque gP g −1 ∩ H est un p−Sylow de H.
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Développement 7 (Sous-groupes compacts de GLn (R)) Soit K ≤ GLn (R)un sous-groupe compact, alors G est conjugué à un sous-groupe de On (R).
Remarques : savoir démontrer facilement le cas fini en « moyennant »une
forme quadratique définie positive. Cf [1]Développement 8 (Lie-Kolchin) Soit G ≤ GLn (C) résoluble connexe.
Alors G est conjugué à un sous-groupe du groupe des matrices triangulairessupérieures.
cf. [2]
remarques : savoir démontrer que le groupe des matrices triangulairessupérieures est lui-même résoluble. Connaître un contre-exemple si on nesuppose pas G connexe : par exemple, S3 se réalise comme un sous-groupede GL2 (R) mais n’est pas conjugué à un sous-groupe du groupe des matrices
triangulaires supérieures (il y aurait sinon une droite propre commune à tousles éléments ce qui n’est pas possible ...)

3

Exercices / questions possibles
1. Soit Pσ la matrice de permutation : (Pσ )ij = δiσ(j) . Calculer dét Pσ .
PRéponse : dét Pσ = s∈Sn (s)(Pσ )s(1)1 ...(Pσ )s(n)n = (σ).
2. Existe-t-il un sous-groupe de GL2 (C) isomorphe à Z/2Z × Z/2Z ×Z/2Z ?
Réponse : non car les éléments d’un tel sous-groupe seraient simultanément diagonalisables donc un tel sous-groupe serait conjugué à unsous-groupe du groupe des matrices diagonales



 ±1


0



0 2
 ' Z/2Z±1

IMPOSSIBLE !

3. Des exemples d’isomorphismes exceptionnels : PSL2 (F4 ) ' PSL2 (F5 ) 'A5 .
En effet : PSL2 (F4 ) agit sur P1 (F4 ) de cardinal 5 d’où un morphisme
PSL2 (F4 ) → S5 . On montre que c’est injectif et on remarque quel’image est d’indice 2 dans S5 . D’un autre côté : P SL2 (F5 ) agit surP1(F5) de cardinal 6 d’où un morphisme f : P SL2(F5) → S6. On
montre facilement que c’est injectif et que l’image est dans A6 (parexemple comme PSL2 (F5 ) est simple le noyau de  ◦ f : PSL2 (F5 ) →3

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université Lyon I — 2018-2019{±1} est tout le groupe !). On a donc un morphisme dont l’image dansA6 est d’indice 6 (il suffit de calculer le cardinal de PSL2 (F5 ) !). Doncc’est A5 .
4. Montrer que GLn (C) ' GLm (C) ⇒ m = n.
Réponse : les éléments de GLn (C) d’ordre 2 ont pour valeurs propres±1. Donc à similitude près, il n’y a que n éléments d’ordre 2 :−1

000
10 1



−1  ,   0

0−1100 1
 , ... , −10000 −1




avec 1, 2, 3, ..., ou n « −1 » sur la diagonale. C-à-d : il y a n classes deconjugaison d’éléments d’ordre 2 dans GLn (C) ....
5. Calculer |GLn (Z/pZ)| lorsque p est premier. Donner un p−Sylow deGLn (Z/pZ).
Réponse : le groupe GLn (Z/pZ) est en bijection avec les bases du Z/pZ−espaceZ/pZn
donc d’ordre (pn −1)...(pn −pn−1 ) = p1+...+(n−1) (pn −1)(pn−1 −1)...(p−1).
Donc les p−Sylow sont d’ordre p1+...+(n−1) = pn(n−1)/2 . Voici justement
un sous-groupe de cet ordre : 1 a12 ...

 0U =




010



a1n 


... ... a2n ... ...

1





où les aij ∈ Z/pZ, 1 ≤ i < j ≤ n. C’est donc un p−Sylow deGLn (Z/pZ).

6. Calculer l’ordre de SLn (Fq ). Mais SL2 (F3 ) 6' S4 .
Réponse : SLn (Fq ) est le noyau du morphisme GLn (Fq ) → F∗q . Orce morphisme est surjectif (une matrice diagonale avec des 1 sur ladiagonale sauf en première possition où l’on a un x ∈ f fq∗ a pourn (Fq )|déterminant x). Donc |GL= q − 1.
|SLn (Fq )| −10 Dans SL2 (F3 ), l’élément  est le seul d’ordre 2, alors que
0 −1
S4 a 6 transpositions et 3 doubles-transpositions ...(Ou bien on peut remarquer
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que dans SL2 (F3 ), il y a un seul 2−Sylow : c’est le groupe dérivé D(SL2 (F3 )) isomorphe au groupe
Q8 , sous-groupe des quaternions d’ordre 8. En revanche S4 a 3 2−Sylow : tous isomorphes à D4
le groupe diédral d’ordre 8).

7. Réaliser S3 comme un sous-groupe de GL2 (R).
Réponse : le groupe S3 agit (linéairement) sur le sous-espace de dimension 2 E = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0} par permutation des coordonnées. On obtient un morphisme de groupes S3 → GL(E) ' GL2 (R)qui est clairement injectif ! Explicitement, si on prend pour base de E les vecteurs
v1 = (1, −1, 0) et v2 = (0, 1, −1) on obtient le morphisme suivant :(12) 7→−1

101!
et (23) 7→

101−1!
.

8. (Si on parle de représentations des groupes finis) Quelles sont les représentations irréductibles de Z/dZ sur C ?
Réponse : si V est un C−espace vectoriel de dimension finie et si ρ :Z/dZ → GL(V ) est une représentation irréductible, alors les élémentsde ρ(Z/dZ) sont diagonalisables (car d’ordre fini !) et commutent 2
à 2 (car Z/dZ est abélien). Donc ces éléments sont simultanément
diagonalisables i.e. il existe une base de diagonalisation commune enparticulier il existe au moins un vecteur propre commun et donc comme
V est irréductible, ce vecteur engendre V et ρ est de dimension 1. Les
morphismes de Z/dZ dans GL1 (C) = C∗ sont les applications k 7→e2iπkl/d pour un certain l = 0, ..., d − 1.
9. GL2 (Z/2Z) ' S3 ?
Réponse : oui. On peut par exemple faire agir GL2 (Z/2Z) sur les troiséléments non nuls de Z/2Z2 .
10. Quels sont à isomorphisme près les sous-groupes de SO2 (R) ? de O2 (R) ?
de SO3 (R) ? Montrer qu’un sous-groupe fini de SL2 (R) est cyclique.
 cos t − sin t Réponses : C∗ > S 1 ' SO2 (R), eit 7→  donc les soussin t cos tgroupes finis de SO2 (R) sont cycliques. Si G < O2 (R) est un sousgroupe fini, alors G ∩ SO2 (R) est distingué d’indice 1 ou 2 dans Get cyclique (car sous-groupe fini de SO2 (R). On en déduit facilement
que G est soit cyclique soit isomorphe à un groupe diédral. Pour lessous-groupes de SO3 (R) qui sont finis il faut aussi ajouter les groupesdu tétraèdre, du cube et du dodécaèdre (sous-entendu les sous-groupes
des rotations qui laissent stable l’ensemble des sommets d’un tétraèdre/cube/dodécaèdre régulier centré en 0) respectivement isomorphes
à A4 , S4 , A55

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11. Centre de GLn (K) ?
Réponse : un élément g qui commute avec In + Eij , i 6= j vérifie gEij =Eij g et donc tous les éléments hors de la diagonale sont nuls et gii = gjjpour tous ij. Donc le centre est formé des matrices tIn , t ∈ K ∗ .
12. Montrer que g ∈ GLn (C) est diagonalisable si et seulement si sa classede conjugaison est fermé !

Références[1] Alessandrini. Thèmes de géométrie. Dunod.
[2] Antoine Chambert-Loir. Algèbre corporelle.
[3] Combes. Algèbre et géométrie.
[4] Francinou, Gianella, and Nicolas. Oraux x-ens, algèbre 1. Cassini.
[5] S. Lang. Algèbre. Dunod, 2014.
[6] Daniel Perin. cours d’algèbre.
[7] E. B. Vinberg. A course in algebra, volume 56 of Graduate text in mathematics. American mathematical society, 2003.

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