第13回マクロコンファレンス（The 13th Macroeconomics Conference）
2011年11月26日（土） 27日（日）慶応義塾大学

Comments on “Japanese Yields Curves In andOut Of a Zero Rate Environment: A Macro‐
Finance Perspective” by Junko Koeda

首都大学東京飯星 博邦
第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント

1

1999-1

1998-1

1997-1

1996-1

1995-1

1994-1

第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント
SlopeCurvature2

1

0
2007-1

2009-1

Level

2009-1

Recession

2008-1

クロス‐セクションが イールドカーブ
同じ金融商品でも、残存期間 が異なると、イールド が異なる!!

2008-1

2007-1

2006-1

2005-1

Recession
1yr
5yr

2006-1

2005-1

3

2004-1

2003-1

2002-1

2001-1

2000-1

4

2004-1

3

2003-1

2002-1

2001-1

2000-1

1999-1

1998-1

1997-1

1996-1

1995-1

1994-1

1. イールド(利回り )カーブ

日本の国債のゼロクーポンのイールドと3因子の月次データ

50.5yr
2yr
10yr

2

102

1.2 イールド・カーブ (Yield Curve)(利回り曲線 )利回りイールド
10%

Level
5%

Slope
Y10-Y0.25

Y5-Y0.25

0%満期
3ヶ月(短期)満期
5年(中期)

満期
10年(長期)

金利の期間構造

Dewachter and Lyrio (2006)のマクロファイナンス研究によれば残存期間

1. 「水準 (Level) = Y0.25」は、長期インフレ率(π*)に依存する。
2. 「勾配 (Slope) = Y10 – Y0.25」は、景気循環(ΔGDP)に依存する。
3. 「曲率 (Curvature) = (Y10 – Y2)－ (Y2 – Y0.25) 」は、金融政策(Rt ‐ R*)に依存する。
4. 短期のボラティリティは、長期のボラティリティより大である。
5. 主成分分析より、因子数は3つで99%をカバーする。(Litterman&Scheikman,1991)
第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント3

1.3 金利の期間構造と期待仮説
n 11
(1 ) 
Expectations Hypothesis y ( n )  Eyt tt 
利回りn i0

イールド

4%

長期金利
5年のイールド

3%

2%

短期金利
1年

1%

0

1年

短期金利
フォワード
レート
1年

短期金利
フォワードレート
1年

2年

短期金利
フォワード
レート
1年

3年

第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント

短期金利
フォワードレート
1年
4年

5年
満期

4

2. マクロ・ファイナンス
無裁定条件により、クロスセクション から イールドを 制約している
アフィン型金利期間構造モデル(Duffie & Kan, 1996) を
Ang &Piazzeki(2003)が マクロ経済変数へ応用
残存期間

因子(Factor)=確率変数

因子(確率変数)係数(Factor loading)

ほとんどの
マクロファイナンスはこちら

Ang, Piazzeki, Wei (2006), 市川・飯星(2011)
第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント

5

2.1

アフィンモデルのFactor Loading(係数)の推定値 (日本の国債 )因子Xtとして (1) level, (2) slope,(3) Curvature の標準化の値を利用

yt( n )  an  bn X t

Factor Loading bn

Factor Loading an

0.7%
0.6%
0.5%
0.4%
0.3%
0.2%
0.1%
0.0%
-0.1%
-0.2%
-0.3%

2.0%
1.8%
1.6%
1.4%
1.2%
1.0%
0.8%
0.6%
0.4%
0.2%
0246 (残存期間)
810Years to maturity

LevelSlopeCurvature

0246 (残存期間)
810
Years to maturity

a_nは、各満期の平均イールドとなっている。
第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント

6日本の国債の各イールドの実測値とアフィンモデルによる推定値の比較
0.03

0.5yr Actual Data and Estimation
Actual dataerror

0.03

Estimation

0.02

0.02

0.01

0.01

0.00

0.00
1995
2000
2yr Actual Data and Estimation

2005

2010

0.03

1 yr Actual Data and Estimation

1995
2000
5yr Actual Data and Estimation

2005

2010

1995

2005

2010

0.04

0.02
0.02

0.01
0.00

0.00
1995
2000
10yr Actual Data and Estimation

2005

2010

2000

アフィンモデルの推定精度は高い!!

0.040.02
0.00
1995

2000

2005

2010

赤線 ‐‐‐‐ 実測値
青線 ‐‐‐‐ 推定値
緑線 ‐‐‐‐‐ 誤差

第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント

7

3. 測度変換
現実確率測度

リスク中立確率測度

P

Q

無裁定条件 = マルチンゲール

リスク中立確率測度Q の下で金融商品の価格付けが行われる。

現実社会の中の経済主体は 危険回避型の世界に住んでいる

マクロモデルの中の経済主体は リスク中立の世界に住んでいる

第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント8

3.1 ラドン・ニコディムの定理

現実確率測度P

リスク中立確率測度

Q

測度変換
第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント9

3.2 ギルサノフの定理 (Oksendal, 2003, p166)
現実確率測度P

リスク中立確率測度

伊藤過程

伊藤過程

ドリフト項のみリスク分増加

Q

無リスク金利拡散項のボラティリティの値は同一 ! !

ラドン・ニコディム
導関数
第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント10

3.3 伊藤の公式(Oksendal, 2003, p44)

確率変数が伊藤過程に従い関数 Y が二階微分可能ならば以下の確率微分方程式が成り立つ

ただし

第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント11

4. アフィン型金利の期間構造モデル (ATMS)
リスク中立確率測度

Q(Duffie &Kan,1996)
無リスク金利

債券価格
Pricing Kernel(現在価値割引率)
測度 変換

ラドン・ニコディム
導関数
現実確率測度P

第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント

12続き (その1)(1) 無裁定条件(2) アフィン型モデル(3) 因子の確率動学モデル

Pricing Kernel

上の(1)式に(2)式と(3)式を代入して 伊藤公式を適用すると以下の偏微分方程式が得られる (ファインマン=カッツ方程式)

ࣔ࡮ࣔ࢔これを整理すると各括弧内の項が=0 となる必要がある。

第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント

ࣔ࡭ࣔ࢔13続き (その2)
Factor Loading の偏微分方程式

上の偏微分方程式を離散化すると、残存期間 nに対応したFactor Loadingの決定式が得られる

第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント14

5. レジームスイッチ型ATSM
レジームスイッチ型ATSMの利点

金融工学では、Levi Processなどのジャンプ過程(不連続)のモデルが脚光を浴びているが、 現実のイールドの動き(高次モーメント)を説明できていない。
第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント15

5.1 レジームスイッチ型ATSMの先行研究

第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント16

アメリカにおける金利の期間構造のレジームスイッチ (Ang, Bekaert, Wei, 2008)

レジーム
景気循環

レジーム
金融政策
Great
Moderation
第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント17

5.2 先行研究の特徴• Ang, Bekaert, Wei (2008)(a)現実確率測度Pではスイッチするがリスク中立確率測度Qでは係数(factor loading)はスイッチせず(b) 因子とレジームは非観測変数(Hamilton Filterで推定)• Dai, Singleton, Yang (2007), and Ichikawa, Iiboshi (2010)

レジーム(a)定数項(Factor loading A_n)のみスイッチ(b) 因子とレジームは非観測変数(Hamilton Filterで推定)
第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント18

• Koeda(2011), Hamilton & Wu(2011)(a)定数項と各因子Xの両方が係数(Factor Loading B_n)スイッチ(b) 因子とレジームは観測変数
第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント19

5.3 なぜレジームスイッチのモデル化は難しいのか• レジームスイッチしても、マルチンゲール(無裁定条件)が成立するように、モデル化しなくてはならないので。

遷移確率πの値に依存せず、以下の恒等式(マルチンゲール)を担保しなくてはならない=0

レジーム1(通常期)
括弧内の値= 0

レジーム0 (ゼロ金利)
括弧内の値= 0

第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント20

6. コメント
6.1 可変パラメータATSMによるTaylor ルールへの応用• 「通常期」と「ゼロ金利期」で、Taylorルールのパラメータを可変させる。
 金融政策ルールのイールドへの影響を推定。
本論文は極めて有意義な研究である。
できれば、インパルス応答関数で金融政策ショックによるイールドへの波及効果を見たい。
• TaylorルールのTime Varying Paramterのマクロファイ
ナンスの先行研究として Ang,Boivin, Dong, Loo‐Kung(2011)があり、インパルス応答関数を導出している。
第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント

21

Ang, Boivin, Dong, Loo‐Kung (2011) によるインパルス応答関数
GDP

インフレ

Factor Loading

Factor Loading

短期金利

長期金利

長短金利差

第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント22

6.2 因子の係数( Factor Loading)の解釈
3つのマクロ経済変数は、金利の期間構造の３因子と対応している。
短期金利はLebel因子インフレは曲率因子の動き

景気循環はSlope因子の動き

23
第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント6.2(1) Real Activity と Slope の関係
相関は高いが位相がずれている
景気の山
景気一致指数1

谷

Real Activity

景気拡張期

0.5

景気後退期

0-0.5
-11611

長短金利差1162126

31

Slope364146514651

景気後退期では金利差は縮小

0.5
0-0.5
-1
16

111621263136

第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント

41

24

-0.4

第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント
2006M
01一致CI 対数値

8M
012002006M0
12004
M018M012002006M012004M012002M012000M011998M01

長短金利差252008M01

長短金利差のサイクル

2004M01

2002M
01

2002M01

景気後退期

2000M011998M011996M011994M011992M011990M011988M
011986M011984
M
011982
M01

景気後退期

2000M
01

1998M
01

景気後退期

1996M
01

4 .7

1
996M
01

1994M
01

1
992
M
01

1990
M011988M0
1

1986M011984M
011982M010.4

1994M
011992M
011990M
011988M
010.4

1986M
011984M
011982M
014 .3

1980M
01

1980M01- 0 .4

1980M01

景気一致CI と 長短金利差 との関係 (飯星, 2010)
トレンド

0.20- 0 .2

トレン

4 .5

一致CI サイク

0.2

0-0.2

一致CI と GDPのHPフィルターの相関は高い(a) 実質GDPのサイクル成分と一致CI
0.100

景気後退期

一致CI

HP

UC-GM(1)UC-MS-R3

UC-Dummy

0.050

2000Q1

1998Q1

1996Q1

1994Q1

1992Q1

1990Q1

1988Q1

1986Q1

1984Q1

1982Q1-0.050

1980Q10.000(b) 完全失業率のサイクル成分と一致CI
1.500

景気後退期

一致CI(-)

HP

UC-GM(1)UC-MS-R3UC-Dummy

1.000
0.500
0.000

第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント

2000Q
11998Q
11996Q
11994Q
11992Q
11990Q
11988Q
11986Q
11984Q
11982Q
1-1.000

1980Q
1-0.500

26

6.3 現実確率測度PでのVARモデル
現実確率測度Pの下で、3因子(短期金利,GDP, インフレ率)はVARモデルで推定されている。
 Backward‐Looking 型 (発散型—収束が保障されていない。)
 Forward‐Looking 型のDSGEモデルへ変更してみてはどうか。
先行研究としてBekaert, Cho, Moreno (2010)– New Keynesian Type DSGE + GMM
Chib,Kang,Ramamurthy (2011)‐‐ New Keynesian Type DSGE + Regime switching + MCMC

ただし、ゼロ金利下でのDSGEモデルの導入は難しいが、通常期ならば、可能ではないか?
第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント27

6.4 因子の選択• ゼロ金利だけでなく、量的緩和の効果を見るために、因子としてマネーストック(M1やマネタリーベース)を追加したらどうなるか?
• 飯星・梅田・脇田(2011)によるMarkov‐Switching VARの推定結果(インパルス応答)では、「 量的緩和レジームにおいてM1 は短期金利には 影響を及ぼすが長期金利には 影響を与えていない。」

第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント28

6.5 遷移確率 π の仮定
本研究の遷移確率 π について 現実確率測度Pとリスク中立確率測度Qの区別をしていない。
一般に、現実確率測度Pの遷移確率 P とリスク中立確率測度Qの遷移確率πQは違うので 「これが同一の値 (πP = πQ) である仮定」が必要。

πPPP

債権価格の価格付けでは「リスク中立確率測度Q」で行う
Q

Q
第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント29

6.6 測度QでのPricing Kernelの設定
測度PでのPricing Kernel

現実確率測度 P の下でP

P

P

測度Q でのPricing Kernel=1
仮定でr=0と置いているのでこの項は不要では??

30
第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント

6.7 推定法• 本研究のモデルは 線形+正規分布なので 最尤法 を採用• しかし、ATSMは ２つの測度があるのでパラメータ数が多い。
Dai, Singleton, Yang (2007)は最尤法を採用しているが、すべてのパラメータを推定できないため、一部のパラメータを固定している。
• 新しい金利の期間構造モデルは、非線形+非正規分布モデルである。
→ MCMCによるベイズ推定
Chib, Kang, Ramamurthy(2011),
Ang, Boivin, Dong,Loo‐Kung(2011)
第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント31

6.8 イールドの推定精度の表現法• 本研究では標準誤差を採用しているが、決定係数を利用すると推定精度を捕捉しやすい• 標準誤差 (絶対的大きさ)
Σe^2/(n‐1)• 決定係数 (相対的大きさ)
R^2 = Σe^2/Σ(y – y )^2

第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント

327.参考文献
1.

Ang, Bekaert, Wei (2008) "The Term Structure of Real Rates and Expected Inflation," Journal ofFinance, 63(2) 797‐849.

2.

Ang, Boivin, Dong, Loo‐Kung (2011) ”Monetary Policy Shifts and the Term Structure,” Review ofEconomics Studies, 78, 429‐457.

3.

Ang, Piazzeki (2003) “A no‐arbitrage vector autoregression of term structure dynamics withmacroeconomics and latent variables," Journal of Monetary Economics, 50, p745‐787.

4.

Ang, Piazzeki, Wei (2006) “What does the yield curve tell us about GDP growth?" Journal ofEconometrics, 131, 359‐403.

5.

Bekaert, Cho, and Moreno (2010) "New Keynesian Macroeconomics and the Term Structure,"
Journal of Money, Credit and Banking, 42(1), 33‐62.

6.

Chib, Kang, Ramamurthy (2011) “Monetary Policy Regime Changes and the Structure: Evidence
from a DSGE model” mimeo

7.

Dai, Singleton (2003) “Term Structure Dynamics in Theory and Reality," The Review of FinancialStudies, Vol.16(3), 631‐678.

8.

Dai, Singleton, Yang (2007) “Regime Shifts in a Dynamic Term Structue Model of U.S. Treasury
Bond Yields,“ The Review of Financial Studies, Vol.20 (5), 1669‐1706.

9.

Dewacher, Lyrio (2006) "Macro Factors and the Term Structure of Interest Rates, " Journal ofMoney, Credit & Banking, 38(1) 119‐140.
第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント

33

1.

Duffie, Kan (1996) "A Yield‐Factor Model of Interest Rates ," Mathematical Finance, Vol.6(4),379‐406.

2.

Hamilton, Wu (2011) “The Effectiveness of Alternative Monetary Policy Tools in a ZeroLower Bound Environment” NBER working paper

3.

Ichikawa, Iiboshi (2010) “Regime Shifts in a Dynamic Term Structure Model of Japanese
Government Bond Yields,” 『日本ファイナンス学会予稿集』

4.

Litterman and Scheikman (1991) "Common Factors affecting Bond Returns," Journal ofFixed Income, 1, 54‐61.

5.

Oksendal (2003) Stochastic Differential Equations, Sixth edition, Springer

6.

Piazzeki (2010) "Affine Term Structure Models," Handbook of Financial Econometrics, Vol 1.
p691‐p766.

7.

市川・飯星(2011) 「マクロファイナンスモデルによる景気一致指数の予測」 『日本統計学会誌』

第13回マクロコンファレンス 小枝論文コメント

34