産学共同プロジェクト「数学授業における関数電卓実用化とグローバル展開」
数学Ⅱ 指導案（略案）
昭和第一学園高等学校 三島 直人
実験授業の目的円の接線に関する問題における角の大きさに着目した解法について，学生のつまずきを明らかにする。
授業のねらい円の接線に関する問題において，関数電卓の逆三角関数機能を用いて角の大きさに着目した解決ができる。
本時の展開
学習活動

指導の手立て留意点

問題 1-A円𝑥 2 + 𝑦 2 = 9 と直線 3𝑥 + 4𝑦 − 𝑘 = 0 が接するとき，定数𝑘の値を求めよ。
・「問題 1-A」に取り導入・学生の回答を全体に共有する。

・学生の回答を共組む。その際，想有する際，①，②定される回答は次のいずれかの回の 2 つである。

答しか共有でき①2 次方程式の判別なかった場合，式を用いた回答

指導者がもう一②点と直線の距離の方の回答を紹介式を用いた回答する。

問題 1-B円𝑥 2 + 𝑦 2 = 9 と直線 𝑥 + √3𝑦 − 𝑘 = 0 が接するとき，接点の座標を求め，定数𝑘の値を求めよ。ただし，直線と x 軸の正の向きのなす角に着目して解決せよ。
展開・「問題 1-B」に取り組む。

・必要であれば，次のことを全体で共有する。
①直線と x 軸の正の向きのなす角の大きさは正接を用いると求められること。
②原点と接点を結ぶ直線と x 軸の正の向きのなす角に着目すると良いこと。

・学生の回答のうち，正答であるものを取り上げ全体で共有する。
T：なぜこのような解法を「問題 1-A」では用いなかったのですか？
S：思いつかなかった。
S：習ったことがなかった。
T：確かに教科書等でもこのような解法を見たことはないですね。なぜでしょうか。
S：特殊な条件でしか使えないからではないか。
T：特殊な条件とはどのような条件とはどのような条件でしょうか。

・ある特殊の条件下でしか使えないことを確認する。

S：なす角が 30°とかの有名角になるような条件です。
T：それでは，なす角が任意の角でも，直線の傾きからその角の大きさを求めることができればいいですね。関数電卓には逆三角関数機能があり，この機能を用いると，任意の角の大きさを求めることができます。
・関数電卓の逆三角関数機能を用いる

・逆三角関数につと，直線の傾きから，直線と x 軸の正いて詳しく説明の向きのなす角を求めることができせず，関数電卓ることを説明する。の逆三角関数機能を用いると角の大きさを求めることができる程度にとどめる。

関数電卓操作練習問題(1) 3x + 4y – k = 0 と x 軸の正の向きのなす角を求めよ。
(2) 3x – 9y – k = 0 と x 軸の正の向きのなす角を求めよ。
(3) ax + by – k = 0 と x 軸の正の向きのなす角を求めよ。
また，a = 3，b = 4 のとき，(1)の角の大きさと一致することを確かめよ。

・関数電卓操作練習
問題に取り組む。

・関数電卓の逆三角関数機能とカルク機能の操作方法を示す。

問題 2
円𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 と直線 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 − 𝑘 = 0 (b≠0)が接するとき，関数電卓の逆三角関数機能を用いて定数 k の値を求めたい。次の問いに答えよ。
(1) 直線 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 − 𝑘 = 0と x 軸のなす角を θ とするとき，円𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 と直線
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 − 𝑘 = 0の接点の座標を θ，r を用いて表せ。
(2) k を a，b，r，θ を用いて表せ。
(3) θ を a，b を用いて表せ。また，k を a，b，r を用いて表せ。
(4) a = 3，b = 4，r = 3 のとき，定数 k の値を求めよ。
・問題 2 に取り組む。
・正答例を解説する。

・ (4) で 求 め た 値が，問題 1-A で求めた値と一致するか確かめさせる。

・本時を振り返る。
関数電卓の逆三角関数機能を用いると，角の大きさに着目した解決ができる。
・事後の課題として発展問題を課す。
発展問題𝑥2𝑦2

楕円𝑎2 + 𝑏2 = 1 と直線 cx + dy −k = 0 が接するときの定数 k の値を関数電卓の逆まとめ

三角関数機能を用いて求めよ。
・発展問題には，数学Ⅲの学習内容が含まれるため，取り扱う場合は，数学Ⅲの単元「平面上の曲線と複素数平面」の学習後が望ましい。

問題 1-B の正答例
円の接線の内，傾きが一定である直線は 2 つある。そのため接点も 2 つあり，その内の 1つを T（s, t）とおく。直線 x + √3 y − k = 0 と x 軸の正の向きのなす角は，直線の傾きが−1√3であるので，−30°である。そして，OT と x 軸とのなす角は 60°である。したがって，(𝑠𝑡) =32(3cos60°) = (3√3)である。接点 T は，直線 x + √3 y − k = 0 上の点であるので，定数 k の値は，
3sin60°233√3k = 2 + √3・ 2 = 6 である。
次に，もう一つの接線について示す。その接点を T´（s´, t´）とおく。T´は，T を原点に関−32して，180°回転させた点であるので，(𝑠´) = (3cos240°) = ( 3√3)となる。接点 T´は，直線 x +𝑡´3sin240°−233√3√3 y − k = 0 上の点であるので，定数 k の値は， k = − 2 + √3 (− 2 ) = −6 である。

図 1 問題 1-B における円と接線

問題 2 の正答例
（1）円の接線の内，傾きが一定である直線は 2 つある。そのため接点も 2 つあり，その内の 1 つを T（s, t）とおく。直線 ax + by −k = 0 と x 軸の正の向きのなす角は θ（−90°≦θ≦90°）であるため，OT と x 軸とのなす角は（θ + 90°）である。したがって，(𝑠𝑡) = (𝑟cos(𝜃+90°))=𝑟sin(𝜃+90°)𝜃(−𝑟sin)…①である。次に，もう一つの接線について示す。その接点を T´（s´, t´）とおく。
𝑟cos 𝜃(𝜃+180°)
T´は，T を原点に関して，180°回転させた点であるので，(𝑠´) = (−𝑟sin)…①´となる。
𝑡´𝑟cos(𝜃+180°)（2）接点 T は，直線 ax + by −k = 0 上の点であるので，定数 k の値は， k = as + bt で求められる。したがって，①より，k = −arsin θ + brcos θ…②となる。接点 T´に関しても同様に，①´より，k = −arsin ( θ + 180° ) + brcos (θ + 180° )…②´となる。

𝑎3（3）直線 ax + by −k = 0 の傾きは− 𝑏であるので，θ = tan-1 (− 4 )となる。よって，式②，②´𝑎𝑎に そ れ ぞ れ 代 入 す る と ， k = −arsin (tan-1 (− 𝑏 )) + brcos (tan-1 (− 𝑏 )) … ③ ， k = −arsin𝑎𝑎(tan-1 (− 𝑏 ) +180°) + brcos(tan-1 (− 𝑏 ) +180°)…③´となる。

（4）関数電卓の「基本計算」モードに，③，③´の式を入力する。次に，カルク機能を用いて，a = 3，r = 3，b = 4 と入力すると，15（または−15）と表示される。

図 2 問題 2 における円と接線発展問題の正答例 （2 つの接線のうち，1 つの接線について示す。
）
𝑥2𝑦2

楕円𝑎2 + 𝑏2 = 1 の接線が cx + dy = k であるときの接点を P(s, t)とする。このとき，𝑥2𝑦2k = (𝑠𝑡)・(𝑑𝑐 )…①となる。楕円𝑎2 + 𝑏2 = 1 は，円 x2 + y2 = 1 を x 軸方向に a 倍，y 軸方向にb 倍した図形である。楕円周上の点(s, t)に対する円周上の点を P´(S, T)とすると
𝑎(𝑠𝑡) = (00 𝑆𝑎𝑆)…③となる。ここで，直線 cx + dy = k は) ( )…②となる。よって，(𝑠𝑡) = (𝑏𝑇𝑏 𝑇

点 P(s, t)を通るため cs + dt = k である。よって，③より，caS + dbT = k となるため，
𝑎𝑐𝑘

𝑎𝑐𝑘T = − 𝑏𝑑 𝑆 + 𝑏𝑑となる。したがって，円周上の点 P´(S, T)における円 x2 + y2 = 1 の接線は
𝑎𝑐𝑘y = − 𝑏𝑑 𝑥 + 𝑏𝑑となる。直線 y = − 𝑏𝑑 𝑥 + 𝑏𝑑と x 軸の正の方向とのなす角を α とすると，α𝑎𝑐= Tan-1(− 𝑏𝑑)である。直線 OP´と x 軸の正の方向とのなす角は(α + 90°)である。したがって，点 P´の座標は(𝑇𝑆 ) = (cos(𝛼+90°))であるので，(𝑇𝑆 ) = () = (−sin𝛼cos𝛼
sin(𝛼+90°)𝑎すると(𝑠𝑡) = (0𝑎𝑘 = ((0−1𝑎𝑐))
𝑏𝑑𝑎𝑐cos(tan−1 (− ))𝑏𝑑−sin(tan−1 (−)となる。これを②に代入

𝑎𝑐0 −sin(tan (−𝑏𝑑)))が得られ，これを①に代入すると)(𝑏 cos(tan−1 (−𝑎𝑐 ))𝑏𝑑−1

𝑎𝑐0 −sin(tan (−𝑏𝑑)))) ・(𝑑𝑐 )となる。この式を展開すると)(
𝑎𝑐𝑏 cos(tan−1(−𝑏𝑑))𝑘 = −𝑎𝑐 sin (tan−1 (−𝑎𝑐𝑏𝑑𝑎𝑐)) + 𝑏𝑑 cos (tan−1 (− 𝑏𝑑))となる。

図 3 発展問題における楕円と接線