数学科学習指導案
2023 年 11 月 13 日（月）川越女子高校 2 年 7 組
佐藤 陽平
授業の目的
関数電卓使用を前提とした授業の中で，問題解決をおこなう際に，関数電卓によって得られた結果を意味づけ，活用している様子をワークシートから明らかにすることである。
授業のねらい
漫画『弓道士魂』の場面を数理的に捉え，数学的に表現し，関数電卓を用いて問題を解決し，解決過程を振り返り得られた結果の意味を考察することができる。

前時（1 時間目/2 時間）の展開（表中の学習活動

は手計算での活動を示している。）
指導の手立て留意点〇「通し矢」について知る。
・「通し矢」の由来，歴史を知る。

・【資料 1】の配布

・「通し矢」に興味を→「通し矢」は，平安時代末期か ・「通し矢」を題材とし 持ってもらう。
ら江戸時代にかけて三十三間た漫画『弓道士魂』の堂で行われていた。
「通し矢」で紹介をする。

は，約 120 m 先の的に，24 時間でどれだけ多くの矢を的にあてることができるかを競っていた。
導入

三十三間堂の看板・漫画『弓道士魂』の場面を確認する。

・遠くに飛ばすために ・三十三間堂には，は，矢を上に向ける三十四本の肘木が必要があることに触あり，肘木を目印れる。

として通し矢をおこなっていることを確認する。
・肘木があることによって，矢をどのように飛ばさなく・上へ向けすぎると，肘木にあたってしまい，てはならないか注意する。

遠くに飛ばないことを確認する。
漫画『弓道士魂』の場面①・120 m の距離を直線に ・水平近くに矢を構近い軌道で飛ばすとえると的まで届か届かないことを確認

ないことは，後のする。

問の解決をおこな

漫画『弓道士魂』の場面②

う際の判断材料の1 つとなるので，必ず触れる。
・的があること，縁側に座って弓を引いていることを伝える。

『三十三間堂通し矢図』
円山応挙（1733～1795）〇問題となる一場面を確認する。
・二十本目の肘木すれすれに飛ばす T：漫画には二十本目の展と，120 m 通しきることを確認す

肘木すれすれに飛ばる。

すことが肝心って書いてあるけど本当か開な？
S：本当だと思うよ
S：本当じゃないと思う
漫画『弓道士魂』の一場面

けどな…

T：漫画の場面に矢を上に向ける際の注意が描かれていたけ
ど，どのくらい上に向けているんだろうね。
S：ほんの少しかな
S：10°ぐらい？
〇問題を確認する。
［問 1］矢を二十本目の肘木すれすれに飛ばすとき，矢は的にあたるか確認してみましょう。また，矢は水平から何度上に向けているでしょうか。
〇問 1 を解決するための条件設定を ・【ワークシート 1】のおこなう。

配布。

問題を解決する際に，必要なことは何ですか？
・問題となる漫画の一場面のモデル T：問題を解決するため ・授業者が問題場面を確認し，矢の軌道を放物線と仮には，どんな条件がの数学化をおこな定する。

必要かな？

う。

S：二十本目の肘木まで ・授業者が問題となの距離は？
S：的の大きさってどの漫画の一場面のモデルくらい？

る漫画の一場面のモデルを提示する。

S ： 矢 の 重 さ や 初 速度 ・物理的な側面の条は？
・問題解決をおこなう上で必要なことをまとめる。

件も取り上げる。
・物理的な側面の条
件は，2 時間目の最後に用いる。

[問題解決をおこなう上で必要なこと]①「通し矢」の場面は横から見る。
②射手が縁側に座っている地点を原点 O とする。
③矢の軌道は放物線とする。
④矢の先端を点 P（x, y）とおく。
⑤矢の発射地点を縁側から高さ 1 m の地点とし，点 A（0, 1）とする。
⑥矢の発射地点から的までの距離は 120 m とする。
⑦肘木のすれすれの高さを 5 m とし，矢の最高到達点も 5 m とする。
⑧肘木の間隔は 3.6 m とする。
⑨矢の発射地点から二十本目の肘木までの水平距離は 68.4 m とする。
⑩的の直径を 2 m とし，縁側から高さ 2 m の地点に的の中心がくるように設置する。
⑪的の中心を点 B（120, 2）とする。
⑫的を線分で表す。
・条件をもとに数学化した「通し矢」の場面を確認する。
条件を基に数学化した「通し矢」の場面〇設定した条件を用いて解決に移る。
・二十本目の肘木すれすれが放物線 T：放物線の頂点ってどの頂点となることを確認する。

こになりそうかな？

・条件⑦と⑨より，放物線の頂点の T：頂点の他に通る点っ座標を点 V（68.4, 5）と表す。てあるかな？
・㋐式を求めるまで・頂点が（68.4, 5）で点 A（0, 1）をは，授業者が先導通る 2 次関数の式を求める。
𝑦=−468.42する。

(𝑥 − 68.4)2 + 5 …㋐・原点 O から 120 m 地点での，縁側 ・関数電卓のカルク機から飛んでいる矢までの鉛直距離を求めるため，条件⑥より，㋐式に x＝120 を代入し，y の値を求能を使用する。

める。
→求めた y の値から，的にあたるか確認する。
関数電卓のカルク機能を用いた画面
・条件⑩より，矢の発射地点から・x＝120 のときの y

120 m の地点で，縁側から 1～3 mの値が何を表しての間を矢が飛んでいればよいこいるか確認する。とを確認する。
・カルク機能を用いた計算結果と条 ・的にあてるためには，件⑩から，二十本目の肘木を狙う

二十本目の肘木すれと矢は的にあたることを確認す

すれを狙うことは正る。

しいことを確認してもらう。

〇矢を水平からどのくらい上に向・矢を㋐式におけるけているかを求める。

接線とみなす。

・射手がどのくらい矢を上に向けているかを求めるので，㋐式の𝑥 =0 における接線の傾きを求める。
そして，その値から，x 軸とのな T：接線の傾きから角度𝜋す角θ（0 ≤ 𝜃 ≤ 2 ）を求める。そを求めるためには何の際， tan 𝜃 を利用する。

を用いたらいいかな？

・㋐式の𝑥 = 0 における接線の傾きを求める。
𝑦′ = −2×4
547.2
𝑥+268.4
68.42

よって，𝑥 = 0 における接線の傾
547.2

きは，68.42・接線の傾きの値から，なす角θを ・関数電卓のソルブ機求める。

能を使用する。

547.2

・tan 𝜃 = 68.42 をみたすθを求める。

関数電卓のソルブ機能を用いた画面

〇本時の振り返りをおこなう。
ま

関数電卓を用いて[問 1]を解いてみて，わかったことや気づいたことは何ですか？とめ・【ワークシート 1】の下部に記入する。

本時（2 時間目/2 時間）の展開（表中の学習活動は手計算での活動を示している。）
指導の手立て

留意点〇前時の復習・設定した条件を確認する。
・二十本目の肘木を狙うと的の中心

T：的に矢を当てるなら， ・漫画では的の中心
みんななら的のどこにあてることにはにはあたらないことを確認し，普を狙う？

触れていないこと通は的の中心にあてることを確

S：的の中心認する。

T：二十本目の肘木を狙 ・弓道の競技の中でを確認するっても的の中心にはも，的にあたれば導あたらないことがわ

いい競技と，的の入かったね。的の中心中心を狙う競技がにあてるとしたら，あることを知らせ肘木何本目に飛ばせる。

ばいいのかな？

・的の中心を狙うことが出てこない場
合は，ダーツやアーチェリーを例に出す。

〇問題を確認する。
［問 2］矢が的の中心にあたるとき，何本目の肘木すれすれに飛ばせばよいか求めてみましょう。また，そのとき，矢は水平から何度上に向けているでしょうか。
展開〇問題解決に向け，問題場面の数学 ・【ワークシート 2】の配 ・問題となる場面の化をおこなう。

布。

モデルを提示する。

・解決をおこなうために，必要な情 T：ここは通るとわかっ ・初期条件を逐一確報を整理する。ている点ってどこが認する。

→矢の軌道が放物線で表されてあるかな？

いること，放物線の頂点となる S：的の中心場所を確認する。

矢の発射地点〇矢の発射地点と的の中心を通る 2・まずは，2 点のみを次関数の式を求める。

与えた状態で進めてもらう。2 点のみ・的の中心を点 B（120, 2）と表した

では定まらないこ

ときの，点 A（0, 1）と点 B（120, 2）とを確認し次第，を通る 2 次関数の式を求める。

条件の確認に移る。

・2 点を定めただけでは，式は一意 T：2 点の座標だけで 2に定まらないことを確認する。

次関数の式って決まる？
S：決まらない
T：初期条件の中で使えるものはないかな？

・肘木すれすれの高さが 5 m より，放物線の頂点の y 座標が 5 となることを確認する。
・放物線の頂点を V（F, 5）とし，矢が的の中心である点 B（120, 2）を通るときの F の値を求める。
F 2 − 960F + 4 × 1202 = 0 …㋑
関数電卓の高次方程式機能を用いた画面・㋑式の計算をすると，頂点の x 座 ・関数電卓の高次方程標が 895.69 と 64.31 の 2 つが出現式機能を使用する。

する。
〇頂点の x 座標について，解の吟味をおこなう。
どちらの数値が問題に合致しているでしょうか。理由も含めて記述してください。
・【資料 1】の漫画の場面を再確認し， T：解が 2 つ出てきたけ
漫画の内容に合致するのはどち

ど，2 つとも答えでらの値か理由も含めて記述する。

いいかな？
S：よくない？

・頂点の x 座標が 895.69 の場合と64.31 の場合の 2 つの数値がどういうことを表しているのか，考察する。
・グラフ描画ソフト
ウエアを用いて，2種類のグラフを提示する。

頂点の x 座標が 895.69 のグラフ

頂点の x 座標が 64.31 のグラフ
・実際に 120 m の距離を飛ばすとき T：120 m の距離を人力 ・120 m の距離を飛に直線に近い軌道で飛ばすこと

でものを飛ばすときばすという点，人ができるかを踏まえて考察する。って軌道はどうなる力という点を考慮べきかな？

する。

・頂点の x 座標は 64.31 が漫画の内容に合致することを確認する。

・矢の発射地点から64.31m は，十八本目と十九本目の肘木の間である。

〇矢を水平からどのくらい上に向けているかを求める。
・頂点の座標が（64.31, 5）で，点 A（0, 1）を通る 2 次関数の式を求め，x＝0 における接線の傾きを求める。
𝑦=−4(𝑥 − 64.31)2 + 5 ⋯ ㋒
64.312𝑦′ = −88𝑥+264.3164.31

よって，㋒式の x＝0 における接線8の傾きは，64.31・接線の傾きの値から，なす角θを求める。

・tan 𝜃 =864.31をみたすθを求める。

・関数電卓のソルブ機能を使用する。

関数電卓のソルブ機能を用いた画面〇物理的な側面の条件を用いて[問 ・理科の松本教諭にご1]の解決をおこなう。

登壇いただき，物理的な側面の条件を用いた場合の[問 1]の解説をしていただ
く。

〇本時の振返りをおこなう。
今回，「通し矢」を題材とした問題を解決するにあたり，様々な仮定・条件を設定しました。今回設定した仮定・条件をもう一度自身で見直してみて，関数電卓を用いて改めて問題を解決してみてください。その際，どんな仮定・条件を設定したかを書いてください。また，今回使用した仮定・条件を使用したり，変更した際は，まとめ□の中にチェックを入れてください。
・今回設定した仮定・条件をもう一 ・【ワークシート 3】の配 ・特に変更する仮定・度見直してもらう。
・問 1 のみもう一度解決してもらう。

布

条件がない場合は，授業内で設定した仮定・条件で問題解決・仮定・条件は自由に設定してもらをおこなってもらう。

う。

【資料 1】『三十三間堂通し矢図』
円山応挙（1733～1795）

漫画『弓道士魂』の場面

漫画『弓道士魂』の場面②
引用・参考文献平田弘史（2006）『完全版弓道士魂－京都三十三間堂通し矢物語－』松文館
円山応挙（1733~1795）『三十三間堂通し矢図』文化遺産オンライン
https://bunka.nii.ac.jp/heritages/detail/401818（2023. 11. 7 最終確認）

【ワークシート 1】［問 1］矢を二十本目の肘木すれすれに飛ばすとき，矢は的にあたるか確認してみましょう。また，矢は水平から何度上に向けているでしょうか。

問題解決をする際に，必要なことは何ですか？

関数電卓を用いて［問 1］を解いてみて，わかったことや気づいたことは何ですか？

【ワークシート 2】［問 2］
矢が的の中心にあたるとき，何本目の肘木すれすれに飛ばせばよいか求めてみましょう。
また，そのとき，矢は水平から何度上に向けているでしょうか。

【ワークシート 3】
今回，「通し矢」を題材とした問題を解決するにあたり，様々な仮定・条件を設定しました。
今回設定した仮定・条件をもう一度自身で見直してみて，関数電卓を用いて改めて問題を解決してみてください。その際，どんな仮定・条件を設定したかを書いてください。また，今回使用した仮定・条件を使用したり，変更した際は，の中にチェックを入れてください。

［問 1］矢を二十本目の肘木すれすれに飛ばすとき，矢は的にあたるか確認してみましょう。

「通し矢」の場面を横から見ている。

矢の軌道を放物線とする。

矢の発射地点から的までの距離は 120 m とする。

矢の発射地点を縁側から高さ 1 m

矢の最高到達点は 5 m。の地点とする。

射手が縁側に座っている地点を原点 O とする。

肘木すれすれの高さは 5 m とする。

矢の先端を点 P（𝑥 , 𝑦 ）とおく。

肘木の間隔は 3.6 m とする。

矢の発射地点を点 A（0, 1）とする。

矢の発射地点から二十本目の肘的の中心を点 B（120, 2）とする。

木までの水平距離は 68.4 m とす

的を線分で表す。

る。
的の直径を 2m とし，縁側から高さ 2m の地点に的の中心がくるように設置する。

自身で設定した仮定・条件があれば書いてください。個数に限りはありません。