Commentary

政策効果の計量分析
一階階差 GMM 推定の手順と実際
柴田 悠
京都大学大学院人間・環境学研究科 准教授

国や自治体の「政策」の効果を分析するには，とえば，「一部の国でだけ誤差が正方向に大き国レベル・自治体レベルのデータを用いた因果くなりやすい 」というような傾 向 がないこと推論が必要となる。その手法の 1 つとして，「一だ。この条件は，パネルデータでは成立しない。

階階差一般化積率法（GMM ）推定」がある。そなぜなら，たとえば日本に属する全観測対象

こで本稿では，国の政策の効果を分析する場合（1980 年日本～2009 年日本）は，回帰式に未投を想定しながら，一階階差 GMM推定の意義・入の歴史文化的な変数の影響によって，互いに方法・問題点・実例を論じる。

似かよった誤差をもちやすいからだ。そこで

1

国レベルのパネルデータでは，国ごとの誤差のパネルデータのOLS推定
──動学的推定と一階階差推定

まとまり，つまり不均一性を除去する必要がある。具体的には，Whiteの不均一分散一致推定「国の政策が社会状況に与える影響」を分析すを用いた「標準誤差のロバスト修正」を行う（北るさいにつかわれる政策変数は，「その政策の村，2005：64-65）。

ための政府支出」などの国レベル変数である。

また，成立しない 2 条件のうちのもう 1 つは，またそれらの変数は，一国内で毎年数値が変動

どの国のあいだをとってみても誤差の相関がするため，OECD28 か国 1980～2009 年データないという条件である。たとえば，「国 Aの誤差のような「国際比較時系列データ」（国レベルのが正方向に大きいならば，国 Bの誤差もそれにパネルデータ）というかたちで利用可能である。

応じて正方向に大きくなる」などの関係がないデータが国レベルの経年パネルデータで，そということだ。この条件もまた，パネルデータのデータの情報を最大限に活用して政策効果では成立しない。なぜなら，たとえば 1980 年日を分析する場合には，観測対象は「国×年」とな本の誤差が，回帰式に未投入の社会経済的な変る。そこで以下では，「国×年」のパネルデータ数の影響によって正方向に大きいならば，翌年を想定する。たとえば，「1980 年の日本」が 1 つの 1981 年日本の誤差も，同じ社会経済変数のの対象であり，「1981 年の日本」もまた別の 1 つ影響によって正方向に大きくなりがちだからの対象である。それらが集まって，一群のサンだ。このような誤差などの「時系列での相関」

プル（観測対象の集合）になっている。

を「系列相関」という。そこでパネルデータでは，初歩的な分析手法は最小二乗法（OLS ）推定誤差の系列相関を除去する必要があり，そのただが，パネルデータには OLS推定を適用できなめの主な方法はつぎの 2 つである。

い。というのも，OLS推定の前提諸条件のうち第 1 の方法は，「被説明変数の前年値を，あらの 2 つが，パネルデータでは成立しないからだ。

たな説明変数として回帰式に投入する」方法

成立しない 2 条件のうちの 1 つは，誤差はど（動学的推定）である。誤差に系列相関が生じての国でも均一に生じるという条件である。たしまう主な原因としては，誤差のなかに，前年社会と調査NO.17（2016 年 9 月）

106Commentaryの被説明変数（そこには前年の誤差がふくまれどうかを確かめるには，「単位根検定」という方ている）からの影響がふくまれていることがあ

法をつかう。パネルデータ分析では，各変数のげられる。つまり，前年の被説明変数が当年の（一階階差での）定常性のチェックとして，「パ被説明変数に影響を与えているのに，その影響ネル単位根検定」をつかう。標準的なパネル単を当年の誤差にふくめてしまっている場合が位根検定は，「Maddala-Wu検定」（千木良ほか，多い。そのような場合には，この第 1 の方法を用

2011：146-152）である。

いれば，当年の誤差のなかから，前年の被説明変の除去
2 「逆の因果」
──操作変数推定数による影響を除外することができ，そのぶん，誤差の系列相関を小さくすることができる。
第 2 の方法は，「説明変数と被説明変数と誤差

さて，「政府支出（対 GDP比）が社会状況（例：のすべてを，前年値からの差（一階階差）に変換経済成長率）に与える影響」を分析する場合にしてから，係数の推定を行う」という方法（一階は，さらに別の問題が残されている。それは，階差推定）である。そうすることによって，誤「OLS推定で生じてはいけないとされている『逆差は前年値からの差に変換されるため，誤差にの因果』が，生じてしまっているかもしれない」

ふくまれていた系列相関（前年値との相関）は，という問題である。

かなりの程度除去されることになる。ただしそ

たとえば，仮に政府支出の金額がほとんどの推定のさいに，こんどは誤差の一階階差に，変わらないとすると，経済成長率（一人あたり系列相関が残っていないことを確かめる必要GDP上昇率）が上がった場合には，GDPが大きがある。具体的には，誤差の一階階差に 1 次のくなるため，政府支出の対 GDP比は小さくな（つまりその前年値との差において）系列相関る。逆に，経済成長率が下がった場合には，政が残るのは当然であるため，誤差の一階階差に府支出の対 GDP比は大きくなる。すると，「経2 次の（つまりその前々期値からの差において）済成長率が政府支出（対 GDP比）に影響を与え系列相関がないことを確かめればよい。ている」（つまり，逆の因果が生じてしまってい以上の 2 つの方法によって，誤差の系列相関る）ということになる。

を除去できれば，OLS推定の 2 つめの前提条件逆の因果を除去するには，「連立方程式の同が満たされたことになる。

時推定」（完全情報最尤法推定［FIML推定］や制

ただし，以上は「誤差」に関する前提条件だっ限情報最尤法推定［LIML推定］）や「操作変数推たが，それとは別に，パネルデータを分析するさ定」といった推定法をつかう必要がある（林，いには，「変数」（説明変数と被説明変数）につい2002：15）。ても，ある前提条件が課される。それは，変数前者（連立方程式の同時推定）は，各変数のあの「定常性」である。定常性とは，「変数の平均いだの相互影響関係や（FIML推定の場合），ま値が時間を通じて変わらない」かつ「変数の分たは少 なくともそこで考 慮 されるべきすべて散（ばらつき度）が時間を通じて変わらない」との説明変数を（LIML推定の場合），あらかじめ想いう状態（弱定常ともいう）を意味する。変数

定・特定したうえで，複数の回帰式での定数やが定常でない場合，定常になるように変数を変係数を同時に推定する方法である。

換する必要がある。よくつかわれる変換は，（こしかし，政府支出の詳しい内訳を考慮する分こでもまた）一階階差である。多くの時系列変析では，各政策領域の政府支出を多数投入する数・パネル変数は，一階階差にすると定常にな必要がある。その場合に連立方程式の同時推定るからだ。一階階差にした変数が定常であるかを行うとすれば，各政策領域の政府支出のあい社会と調査

NO.17（2016 年 9 月）

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＿

だのすべての相互影響関係や（FIML推定），考響」をふくんでいない。したがって，Xの変動を慮されるべきすべての説明変数を（LIML推定），統制しながら，X´の変動によって Yの変動を説あらかじめ想定・特定する必要がある。しかし，明すればよい。つまり，「X´と Xを説明変数，Yを究極的にはどの政策領域もその他の政策領域被説明変数とした OLS推定」を行えばよい。ことのあいだで相互影響関係があると想定する

うすれば，それによって得られた X´の係数推定ことができ，そう想定すると，連立方程式はあ

値は，「Yやその他の未知の変数が Xにもたらすまりにも数が多くなってしまい，同時推定が困因果効果」（逆の因果や見かけ上の相関）を除去難になってしまう（FIML推定の困難性）。また，

したうえでの，「Xから Yへの因果効果」1）となる考慮されるべきすべての説明変数を特定するのである。

＿

ことは，「政府支出の効果」というきわめて複雑以上のプロセスを経た「Xから Yへの（逆の因な社会現象を対象としている以上，原理的に不果や見かけ上の相関をふくまない）因果効果」

可能であるといえよう（LIML推定の不可能性）の推定方法を，操作変数推定（のうちの 2 段階（林，2002：15）。そのため実際には，連立方程）最小二乗法）という 2（森田，2014：223-245；末式体系の同時推定は適用しがたい。

石，2015：21-34，69-75）。

では，後者（操作変数推定）は，どのような推3定法なのだろうか。
以下では，「被説明変数（Y ）から影響を受けすべてを兼ねそなえた一階階差GMM推定ている説明変数」（内生変数）を Xで表す。なお，

したがって，パネルデータをつかって「各種Xが複数ある場合については後述する。また，の政府支出（対 GDP比）が経済成長率に与えるX以外の説明変数（外生変数）をまとめて Xで表影響」を分析するには，逆の因果を除去する必す。さらに，「内生変数 Xを経由してのみ被説明要があり，そのためには，「動学的推定」「一階階変数 Yに対して影響を与える変数」（操作変数）差推定」「操作変数推定」のすべてを適用したほを Z1～ Zk で表す。ここでは，操作変数は 2 つ以うが望ましい。そして，この 3 つの推定法のす上あると想定し，その数を k個と想定している。

べてを兼ねそなえた推定法の 1 つが，「一階階差

なお，内生変数 Xが複数ある場合は，内生変数一般化積率法（GMM ）推定」である。

＿

Xj のそれぞれについて，固有の操作変数 j Z1～j k を設定する。

Z

一階階差 GMM推定とは，パネルデータ分析において，「動学的推定」を行うと同時に，「一階＿

まず，「Z1～ Zk と Xを説明変数，Xを被説明変階差推定」も行い，さらに，できるかぎり多くの数とした OLS推定」を行い（第 1 段階推定）「，Z1「操作変数」を使用して，逆の因果をできるだけ～ Zk と Xによる Xの予測値」（X´）を計算する。

除去するために，開発された推定法である。具

つぎに，「この予測値 X´と Xを説明変数，Yを被体的には，できるかぎり多くの操作変数をパネ説明変数とした OLS推定」を行う（第 2 段階推ルデータのなかの過去の値からとりだして用定）。すると，得られた X´の係数推定値は，「Yかいながら，動学的に一階階差で操作変数推定をら Xへの影響」（逆の因果）を除去したうえでの行う。

＿＿「Xから Yへの影響」を表している。

なお近年では，一階階差 GMM推定についなぜなら，「Xの変動」（Yからの影響もふくまても，まだなお問題点が指摘されている。とくれる）のうち，「X´の変動」は，Yからの影響を受に，「内生変数 Xと操作変数 Zのあいだの相関がけていない Z1～ Zk と Xだけから影響を受けて弱い場合 3）が多いこと」や「個体数よりも時点いるので，「Yやその他 の未 知 の変 数 からの影数のほうが小さいときには推定の偏りが大き＿社会と調査NO.17（2016 年 9 月）

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Commentary＿くなってしまうこと」が指摘されており，
それ作変数 Z1～ Zk と外生変数 Xを説明変数，X（被説らの問題点を克服するあらたな推定法（レベル明変数前年値または先決変数）を被説明変数とGMM推定，システム GMM推定，制限情報最尤した OLS推定」を行い，「Z1～ Zk と Xによる Xの法推定［LIML推定］）も開発されている（千木良

予測値」（X´）を計算する。つぎに第 2 段階の推ほか，2011：63-81）。ただ，これらの新しい推定定として，この予測値 X´と外生変数 Xを説明変法は，「被説明変数（本稿では経済成長率）は分数，Yを被説明変数とした OLS推定を行って，「X析期間の初期にはほぼ一定だった」という非実から Yへの因果効果」（逆の因果や見かけ上の相際的な前提に基づいていたり（レベル GMM推関はふくまれない）を推定する。ただし実際に定，システム GMM推定）「，考慮されるべきすべは，一階階差 GMM推定では，計算式の都合上，＿＿ての説明変数を特定できている」という非実際

2 段階ではなく 1 段階で推定することができる的な前提に基づいていたりと（LIML推定），政策（千木良ほか，2011：62 注 45）。

効果の分析ではつかいにくいのが現状である。

45

一階階差GMM推定の手順

留意点

ここで，留意すべき点がいくつかある。

一階階差 GMM推定の標準的な方法では，計第 1 に，操作変数の数が，先決変数の数とく算上どうしても生じてしまう「被説明変数前年らべてあまりにも多くなると，「すべての操作変値の係数にふくまれる漸近バイアス」をできる

数 Z1～ Zkは，説明変数 Xを経由してのみ被説明かぎり低減し，「内生的な説明変数の係数にふ変数 Yに対して影響を与える」（すべての操作変くまれる同時性バイアス（逆の因果や見かけ上数 Z1～ Zk と誤差が無相関）という前提条件がの相関）」をできるかぎり低減するために，操満たされなくなってしまう。そこで，
この前提作変数・外生変数として，以下の諸変数を最大条件が満たされていることを確かめるために，限用いる（Arellano and Bond, 1991: 290-291;

Sarganの過剰識別制約検定という方法を用いDrukker, 2008）。

る。
この検定では，
一般的には，有意確率 p が 5％以上となれば，「すべての操作変数と誤差が無●「被説明変数前年値の過去値からなる諸変相関，かつ，誤差が均一分散」という仮説（帰無数」（内生変数としての被説明変数前年値の仮説）が棄却されないため，上記の前提条件がための操作変数 ）【GMM型操作変数】

満たされているといえる（千木良ほか，2011：4）●「先決変数（被説明変数の一階階差からの逆109，286）8）。の因果が疑われる説明変数 5））の前々年まで

第 2 に，一階階差 GMM推定は，一階階差推の過去値からなる諸変数」（内生変数として定であるため，先述の「OLS推定での一階階差の先決変数［複数あればそれぞれ］のための推定」と同様に，誤差の一階階差に系列相関が操作変数 6））【GMM型操作変数】

残っていないことを確かめておく必要がある。

●「厳密外生変数（先決変数以外の説明変数）の具体的には，誤差の一階階差に 1 次の（つまり一階階差からなる諸変数」（第 1 段階推定と前年値からの差で）系列相関が残るのは当然

第 2段階推定の両方で用いられる外生変数 7））であるため，誤差の一階階差に 2 次の（つまり【標準型操作変数】前々期値からの差で）系列相関がないことを確かめればよい。一階階差 GMM推定では，
Arella-そのうえで，まず第 1 段階の推定として，「操社会と調査no-Bondの系列相関検定という方法を用いて，NO.17（2016 年 9 月）109

誤差の一階階差の系列相関の有無を確かめる。

GDP％）が女性労働力率に与える影響」と「女この検定では，一般的には，有意確率 p が 5％以性労働力率が労働生産性率に与える影響」を推上となれば，「誤差の一階階差に 2 次の系列相定した。その結果，理論的に必要な統制諸変数関がない」という仮説（帰無仮説）が棄却されなを投入したそれぞれのモデルにおいて，前者のいため，「誤差の一階階差に致命的な系列相関影響を表す係数は「＋ 1.205」（柴田，
2016：138-は残っていない」といえる（千木良ほか，
2011：139 表 5-1 モデル 6），後者の影響を表す係数104-105，109）。

は「＋ 1.578」（柴田，
2016：116-117 表 4-1 モ

第 3 に，一階階差 GMM推定でも，「国ごとのデル 19）と推定された。そして，「保育サービス

誤差のまとまり」を除去する必要がある。そこ支出→女性労働力率→労働生産性成長率」といで，ここでも標準誤差のロバスト修正を行う。

う直接効果（＋ 1.901）と，それを迂回する間接

なお，統計ソフトとしては Stataが利用可能効果（＋ 0.767）とを総合すると，保育サービスである。 コマンド としては，Maddala-Wu 検

支出が労働生産性成長率を高める政策効果は

定 には「xtfisher 」，一 階 階 差 GMM推 定 には「＋ 2.345」と推定された（柴田，
2016：204 表「xtabond 」（「xtabond2」などもつかえるがよ9-2）。

り複雑な設定が必要），Sarganの過剰識別制約

ここで，日本の 1980～2009 年の時系列デー

検定には「estat sargan 」，Arellano-Bondの系

タを OLS推定によって分析し，一人あたり実列相関検定には「estat abond 」，標準誤差のロ質 GDP成長率に対する労働生産性成長率の係

バスト修正には「r 」オプションが利用可能であ数を推定すると「＋ 1.222」となる（柴田，2016：る。なお「xtabond 」コマンドでは，先決変数は90）。したがって，仮に OECD諸国での係数が「, pre(X) 」オプションの Xで指定し，その指定さ日 本 にもそのまま当 てはまると仮 定 すると，れた先決変数は説明変数リストには入れない

上述の 2 つの係数を掛け合わせて，保育サービ（StataCorp LP, 2015）。

ス支出が経済成長率を高める政策効果は「＋62.87」と推定される。他方で，近年の日本での公共事業（公的固定資本形成）の乗数効果は「＋実例1.14」である（浜田ほか，2015：9）。使用データ

最後に，「保育サービスの政策効果」を分析しや推定方法が異なるため単純な比較はできなた実例を紹介し検討する。

いものの，保育サービスは公共事業の約 2 倍ほ

柴田（2016）は，OECD28ヵ国 1980～2009 年

どの経済波及効果をもたらす可能性が考えらのパネルデータを一階階差 GMM推定によってれるのである。

分析し，「保育サービス（のための政府支出，対社会と調査NO.17（2016 年 9 月）

110Commentary

注1）ただしこれは「あらゆる個体たちに見られる因果効果」ではなく，「Z1～ Zk に反応する個体たちだは，「被説明変数からの逆の因果」を被りえないので，この先決変数にはふくまれない。

けに見られる局所的な因果効果」（局所的平均処置効果，LATE ）にすぎないことには注意が必要である（森田，2014：236）。

6）この操作変数の数も，最大で｛ 当該先決変数の年数×（当該先決変数の年数＋ 1）／2 ｝個。
7）この操作変数の数は，最大で「内生性が疑われ2）実際には標準誤差を正しく得るために，Stataなどの統計ソフトでは 1 回で推定される（森田，2014：228）。

ない説明変数」の個数。

8）ただし，統計的検定においてはつねに，標本サイズ（パネルデータでは N× T ）を増やすと，検定

3）被説明変数の前年値が被説明変数に与える影響（被説明変数の係数）が 1 に近いとき，この問題が生じているとされる（千木良ほか，2011：64）。

力が上がり，帰無仮説が否定される可能性が高まる。よって標本サイズが限定されている場合には，帰無仮説が棄却されなかったとしても，帰無仮説を積極的に支持することはできない（Wooldridge
2010: 135）。これは次の Arellano-Bondの系列相関検定についても同様である。

4）この操作変数の数は，最大で，｛ 被説明変数の年数×（被説明変数の年数＋ 1）／2 ｝個。
5）すでに過去値として投入されている説明変数
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社会と調査

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