確率 じゃんけん問題の解法① 早見チャート
じゃんけん問題には,主にⅠ〜Ⅴの５タイプがある。解法は下記,公式が核となる。
公式は暗記するのではなく,意味を理解して作れるようにする。
■ n 人でじゃんけんを１回して r 人が勝つ確率を考える。
１人の手の出し方は,グー,チョキ,パーの３通りあるので,nn 人の手の出し方は,3 ´ 3 ´…´ 3 = 3 (通り)。

……

{{{{コレが分母n個３通り

このうち,勝つ r 人の決め方は,n 人から r 人を選ぶので,nCr(通り)。
r 人の勝つ手の出し方は,グー,チョキ,パーの 3 通りなので,n 人でじゃんけんを１回して r 人が勝つ確率は

Ⅰ.●
Ⅰ.
●人が勝つ確率タイプ
人が勝つ確率タイプ

Cr× 3n3n人(勝つ人の決め方 ) × (どの手で勝つか)n

全員の手の出し方

Point !

じゃんけん問題の基本となる！

分子は「誰が？× 手は？」と覚える！

解法 上記,公式を利用して解く。
問題例

３通り

３人でじゃんけんを１回する場合,２人だけが勝つ確率を求めよ。

実践例題①,②,③,⑥参照

ココは常に３３人の手の出し方は,それぞれが,グー,チョキ,パーの３通りの手の出し方があるので,３´３´３=27 通り。３人のうちのどの２人の勝者を選ぶ方法は, 3C2 = 3 通り。その２人がグー,チョキ,パーのどの手で勝つかは, 3 通り。よって,求める確率は 3 ´ 3
1=……(答え)
273

Ⅱ.あいこ(勝負がつかない)になる確率タイプ

実践例題②,③,⑥参照

解法 解法は,主に,①直接あいこになる場合の手を数える②余事象(●人が勝つ)を利用する。
③余事象(勝負がつく)を利用。の３つの解法があるが,原則としてあいこは余事象を利用する！
n 人で１回じゃんけんをしてr 人が勝つ確率を pr とすると,あいこになる確率は, 1 − ( p1 + p2 + … + pr−1 )問題例

３人で１回じゃんけんをする場合,あいこになる確率を求めよ。

※それぞれの解法はチャート②参照

Ⅲ.●回目のじゃんけんで勝負がつく(勝者が決まる)確率タイプ
問題例

A,B,Cの３人でじゃんけんをする。あいこの場合も１回のじゃんけんを行ったと数える。
２回目のじゃんけんで勝者が決まる確率を求めよ。

実践例題④,⑤参照

解法 スタートの人数から,どのように人数が推移して最後の1人になるかを考える。

Ⅳ.●回以上じゃんけんが続く確率タイプ
解法 じゃんけんがn 回以上続く確率を求める問題は,余事象を利用して解く。
例えば,３回以上続く確率を求めよ。という問題で,３回,４回･･･と考えていたら無限回あり解けない。
そこで,「３回以上続く」の余事象=「２回以下で終了する」を考え,1 −「２回以下で終了する」より求める。
問題例

３人でじゃんけんを何回か行い,勝者が１人になるまでじゃんけんを続けるとして,３人で始めたじゃんけんが３回以上続く確率を求めよ。

実践例題⑥参照

Ⅴ.２人でじゃんけんをして,先に●勝したときに終了し,★回目で終わる確率タイプ
解法 反復試行の考え方を使う。反復試行の問題は,１回の試行で起こる個々の確率を求めて(個々の確率)×(起こり方の総数)によって求める。
問題例

A,B２人でじゃんけんをする。どちらかが先に４勝したときに勝負が終了するとする。
５回目のじゃんけんで勝負が終了するときの確率を求めよ。だたし,引き分けも１回と数えるとする。

実践例題⑦参照

知っておきたいポイント！
３人でじゃんけんをする場合,1人が勝つ確率と２人が勝つ確率とあいこになる確率は,すべて

13

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確率 じゃんけん問題の解法② 早見チャート
Ⅱ.あいこ(勝負がつかない)になる確率タイプの解法

Point !

解法は,主に,問題によって,使い分けるが人数が少ない①直接あいこになる場合の手を数える解法。 ２or３人場合のみ 原則としてあいこは余事象を利用する！
②余事象(●人が勝つ)を利用する解法。
①②③③余事象(勝負がつく)を利用する解法。の３つがある。
問題例

３人で１回じゃんけんをする場合,あいこになる確率を求めよ。

３通り

×

３通り ×

３通り

３人の手の出し方は,それぞれが,グー,チョキ,パーの３通りの手の出し方があるので,33 = 27 通り。
①により解法
あいこになるのは,(ⅰ)３人とも同じ手を出す場合。(ⅱ)３人が異なる手を出す場合の２通りがある。
(ⅰ)の場合,(グー,グー,グー),(チョキ,チョキ,チョキ),(パー,パー,パー)の 3 通り。
(ⅱ)の場合,(グー,チョキ,パー)と３種類の手の並び替えを考えて,3! = 6 通り。
3+6 1= ……(答え)
よって,求める確率は,(グー,チョキ,パー),(グー,パー,チョキ),(チョキ,グー,パー),273(チョキ,パー,グー),(パー,グー,チョキ),(パー,チョキ,グー)②により解法
３人で１回じゃんけんをして１人が勝つ確率を求める。３人のうちの１人の勝者を選ぶ方法は,
3C1 = 3 通り。その１人がグー,チョキ,パーのどの手で勝つかは,3 通り。
よって,１人が勝つ確率は3´3 = 1……①273(勝つ人の決め方 ) × (どの手で勝つか)全員の手の出し方

３人で１回じゃんけんをして２人が勝つ確率を求める。３人のうちのどの２人の勝者を選ぶ方法は,
3C2 = 3 通り。その２人がグー,チョキ,パーのどの手で勝つかは, 3 通り。
よって,２人が勝つ確率は3´3 = 1……②273(勝つ人の決め方 ) × (どの手で勝つか)全員の手の出し方

３人でじゃんけんを１回する場合,「１人が勝つ」or「２人が勝つ」or「あいこになる」の３通りの場合がある。よって,あいこになる確率は, 余事象を考えて,１−「１人が勝つ確率 =①」−「２人が勝つ確率 = ②」より求める確率は 1 -1 1 1- = ……(答え)3 3 3③により解法 ※一般化された問題の詳細はチャート③参照
３人で１回じゃんけんをして勝負がつく場合は,３人の出す手がちょうど２種類になるときで,２種類の手の選び方は,3C2=３通り。
例えば,その２種類の手をグーとパーとすると,３ 人が２種類の手を出す場合の数は,2 × 2 × 2 = 8 通りある。
ただし,全員がグーかパーを出す場合の２通りを引かなければならないので,２人が２種類の手を出す場合の数は,8 − 2 = 6 (通り)
よって,３ 人で１回じゃんけんをして勝負がつく確率は

3´6 = 227
3

じゃんけんをして,あいこになる確率は,「あいこになる(勝負がつかない)」の余事象は「勝負がつく」なので,余事象を考えて,１−「勝負がつく確率」より求める確率は 1 -2 1= ……(答え)3 3
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確率 じゃんけん問題の解法③ 早見チャートの解法

Ⅲ.●回目のじゃんけんで勝負がつく(勝者が決まる)確率タイプ

解法の手順

例えば,最初は３人で,３回目のじゃんけんで１人の勝者が決まる場合

１回目

３人

２回目

人

３回目

人

１人 とイメージする！

STEP1 最初の人数から,どのように人数が推移して最後の1人になるかを考える。
STEP2 人数の推移のそれぞれの場合の確率を求めて,求めた確率を掛け合わせる。
STEP3 STEP2で求めたそれぞれの確率を足し合わせる。

「連続」,「そして」なので排反事象なので問題例

A,B,Cの３人でじゃんけんをする。あいこの場合も１回のじゃんけんを行ったと数える。
２回目のじゃんけんで勝者が決まる確率を求めよ。

解答

STEP1 ２回目のじゃんけんで勝者が決まるのは,当然,最後は１人となる！

(ⅰ)「３人→３人→１人」, (ⅱ)「３人→２人→１人」の２通りの場合である。
STEP2 ３人の手の出し方は,それぞれが,グー,チョキ,パーの３通りの手の出し方があるので,
３´３´３=３3 = 27 通り。
①②③
３人が１回じゃんけんをするとき,１人が勝つ確率を求める。
３人のうちの１人の勝者を選ぶ方法は, 3C1 = 3 通り。
３通り × ３通り × ３通り
その１人がグー,チョキ,パーのどの手で勝つかは, 3 通り。
(勝つ人の決め方 ) × (どの手で勝つか)
3´3 = 1
よって,求める確率は……①全員の手の出し方
27
3
３人が１回じゃんけんをするとき,２人が勝つ確率を求める。
３人のうちの２人の勝者を選ぶ方法は, 3C1 = 3 通り。
その１人がグー,チョキ,パーのどの手で勝つかは, 3 通り。
(勝つ人の決め方 ) × (どの手で勝つか)
3´3 = 1
よって,求める確率は……②
全員の手の出し方
27
3
３人が１回じゃんけんをするとき,あいこになる確率を求める。
余事象を考えて,１−①−② より
1 1 1
あいこは余事象で考える！
よって,求める確率は 1 - - = ……③3 3 3
２人が１回じゃんけんをするとき,１人が勝つ確率を求める。
２人の手の出し方は,それぞれが,グー,チョキ,パーの３通りの手の出し方があるので,
３´３=３2 = ９通り。２人のうちの１人の勝者を選ぶ方法は,２ 通り。
①②
その１人がグー,チョキ,パーのどの手で勝つかは, 3 通り。
2´3 = 2
よって,求める確率は……④３通り × ３通り
93(ⅰ)「３人→３人→１人」の場合
１回目に３人が１回じゃんけんをして,あいこになり,２回目に３人が１回じゃんけんをして１人が勝つ確率なので,①,③より
1 1 1´ =①×②(「連続」,「そして」なので)
3 3 9(ⅱ)「３人→２人→１人」の場合の確率は,１回目に３人が１回じゃんけんをして,２人が勝ち,２回目に２人が１回じゃんけんをして,１人が勝つ確率なので,②,④より
1 2 2
´ =
①×②(「連続」,「そして」なので)
3 3 9
1 2 1+ =STEP3 よって,求める確率は,(ⅰ)+(ⅱ)より……(答え)9 9 3
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確率 じゃんけん問題の解法④ 早見チャート
n 人で１回じゃんけんをして勝負がつく確率の解法

解法 余事象(勝負がつくタイプ)を利用して解く。
n 人で１回じゃんけんをして勝負がつく場合は① ② ③ ④ ⑤当たり前…

n 人(①,②･･･ n とする)の出す手がちょうど２種類になるとき。

…

２種類の手の選び方は,グー,チョキ,パーの３種類から２種類の手を選ぶ場合の数で,3C2(通り)3①
例えば,その２種類の手をグーとパーとすると,n 人が２種類の手を出す場合の数は,１人がグーかパーを出すかの２通りで,n 人がいるので{n個C2n②…
×

２通り

２通り

×２通り

{

n2 × 2 × ･･･ × 2 = 2nn人

通りある。

n2 通り

しかし
２通り全員がグーかパーを出す場合は２通りはダメなので引かなければならない。

① ② ③ ④ ⑤n…
…

よってnn 人が２種類の手を出す場合の数は,2 - 2 (通り)よって①

コレが分子…

n

勝負がつく手の出し方の場合の数は,3C2×(2 - 2 ) (通り)

×３通り

×３通り

{

３通りn人

コレが分母n3 通り

nn 人の手の出し方は,3 (通り)なのでn 人で１回じゃんけんをして勝負がつく確率はn②nC2×(2 - 2 )3n3n 人で１回じゃんけんをして勝負がつかない確率の解法

解法 余事象を利用して求める。「勝負がつかない」の余事象は「勝負がつく」なので,上記の解法から「勝負がつく確率を求めて,１−「勝負がつく確率」より求める。
nn 人で１回じゃんけんをして勝負がつかない確率 1 -C2×(2 - 2 )3n3

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