情報地質 第28巻 第2号 062-065頁 2017年
Geoinformatics, vol.28, no.2, pp.062-065, 2017

層序グラフによる地域層序の演算
河西秀夫 *The operation of Local Stratigraphy with Stratigraphic graphs

Hideo KASAI *＊山梨学院大学，Yamanashi Gakuin University，Sakaori2-4-5.Koufu city，Yamanashi Prefecture 400-8575，Japan，E-mail kasai@ygu.ac.jp

キーワード: グラフ理論，層序グラフ，層序式，演算Key words : Graph theory，Stratigraphic graph，Stratigraphic formula，Operation
序対(x， y)に接触関係の名称の集合 A={整合， 不整合，貫入，

1．始めに
著者は露頭データベースの設計にあたり， 露頭でみられる地質構造や層序の記述方法としてラベル付き有向グラフを使用した構

断層，包含，同時異相，逆転}の 1 つの元を対応つける写像 φA：

R→A である．

造グラフと層序グラフを提案した(河西， 2003，2005 ；Kasai，2009；

層序グラフは露頭における地質体の新旧関係を表したラベル付き

河西 2012，2015，2016)．グラフの頂点のラベルは地層名，弧のラ有向グラフであり，以下のように定義される集合 V 上の関係 U※で定ベルは地層間の接触関係である．

義されるグラフ露頭データベースに必要な機能の 1 つに，露頭の層序から識別される層序を複数組み合わせて，ある一定の地域の層序を求める機能がある．この場合，基本的には 2 つの露頭の層序の組み合わ

S=(V/E※， U※， φV， φA)(2.1)

を層序グラフという(河西 2012，2013)．

E※は形成時期に関する同値関係であり，[x]，[y]のように地質せの方法が検討される．この組み合わせを層序の演算と称する．河体のラベルに記号[]を付けて表現する（河西，2015）．

西(2003)は層序グラフの演算の可能性を検討した.この検討をさらにU※は次に示す順序対の集合である．
U※={([x]，[y])│[x]∈V，[y]∈V}
φA は順序対(x， y)に接触関係の名称の集合 A={整合， 不整合，貫入，断層}の 1 つの元を対応つける写像 φA：R→A である．層序グ
ラフは地質体間の新旧関係を表わしているので，A の元には包含と進めて，層序の演算の基本的な原理を層序グラフを使用して検討した．地層が逆転している層序の場合は逆転以前の層序に戻して検討した．
今回は層序グラフの演算の方法とこの演算結果を報告する．

同時異相と逆転は含まれない．

2．構造グラフと層序グラフ

推移的閉包により弧が追加されてそれらに新たな名称がつけら#露頭で識別される地質構造に対して，下で定義するような V，R ，れることがあるが，推移的閉包によりつけられた弧は破線で表し，φV，φA で定義される有向グラフ
G=(V，R #，φV，φA)

弧のラベルは一律に”推論”とする．
本文では，地質体の形成順序と地質体間の接触関係を含めたもを「構造グラフ」と呼ぶ(河西， 2013，河西 2015)．構造グラフは露頭のを層序と呼ぶ(河西， 2012) ．層序グラフでは入次数が 1 の頂点で識別される露頭構造をグラフで表現したものである.

が形成時期が最も古い地質体を表し，出次数が 1 の頂点が形成時

1 つの露頭で識別された地質体の集合 V の元である 2 つの地質#体 x と y の関係を xR y と書く．

R+={(x， y)| xRy∨xIy∨xFy∨xTy， x∈V， y∈V}
R#⇔R+∨xLy∨xDyxRy は空間的な上下関係であり，x が空間的に下側にある． xR#yは空間的な上下関係 xRy，貫入関係 xIy，断層関係 xFy，包含関係 xLy，同時異相 xDy を統一的に表現したものである． φV は V の期が最も新しい地質体を表す.形成時期が最も古い地質体から，最も新しい地質体まですべての頂点を通る道が層序になる.
3.層序の演算
3-1.グラフの和
2 つの無向グラフをそれぞれ H1=(V1，E1)，H2=(V2，E2)とする．

元である各地質体に地層名を対応付ける写像である. x や y は地質

H1 と H2 を合成して 1 つのグラフを作成することをグラフの和という．
グラフの和は H1∪H2=(V1∪V2，E1∪E2)で表される(Bondy， J. A.

体を区別する記号であり，φV (x)や φV (y)が地質体の名称であand Murty， U. S. R. ，2008)．無向グラフの辺には方向性がないのる.xR#y である x と y の接触関係の名称を φA(x， y)と書く．φA は順で，(vi，vj)=(vj，vi)である.辺が方向を持つ有向グラフ及びラベル付63

き有向グラフの和は H1∪H2=(V1∪V2，A1∪A2)で表される．弧にである．

は方向性があるので(vi，vj)≠(vj，vi)である．有向グラフではグラフの各頂点[vi]に対して φV([vi])∈VA=φV(ψ([vi]]))∈VB が成立し，φA([x]，[y])∈AA =φA(ψ[x]，ψ[y])∈AB =整合和により多重孤が形成されることがある．

φA([y]，[z])∈AA =φA(ψ[y]，ψ[z])∈AB =整合
4.露頭間の層序の演算が成立している．SA と SB は自形であり，SA≅SB が成立している．式

2 つの層序グラフ S1 と S2 の和は，露頭で識別される層序グラフ S1(4.1)により，演算結果のグラフは SA あるいは SB と同じであると S2 から地域層序を求めることに相当する．ある露頭で識別される層序を露頭層序，複数の露頭層序から組み立てられる層序を地域層序 SL と称し，露頭層序から地域層序を組み立てることを層序の演算と称する．また，複数の露頭層序式の演算から地域層序を求めることができることを演算可能と称する.2つの層序グラフを比較する場
合，それぞれ頂点に同じ記号が付けられていれば同じ地質体を表しているものとする.対応する頂点間を連結する弧のラベルは等しいものとして議論を進める。
層序の演算には，同等，包含，追加・挿入の 3 種類が存在する．

SL =S1≅S2=S1orS2 (4.1)・・・同等
SL =S1∋S2=S1 (4.2)・・・包含
SL =S1＊S2=S3 (4.3)・・・追加・挿入
追加・挿入では S1 や S2 と異なる形のグラフ S3 が形成される.
4-1-1 同等

第 1 図 同等の例

2 つの層序グラフ S1 と S2 が同等とは S1 と S2 が互いに自形であ露頭断面(a)と(b)の演算は同等の例である．各断面に対応する層序グラることをいう．有向グラフの場合，S1 と S2 が同形であるとは， S1 とフを SA，SB に示す.頂点のラベルとして地質体を識別する記号と地質体名称

S2 に次の写像 θ と ψ が存在することである．ψ([x])は頂点[x]に対応をの両方を付けてある.

している頂点である。

θ：V1→V2∀x，y∈V1 について([x]、[y])∈A1⇔(ψ([x])、ψ([y]))∈A2
さらに，次の写像 η が存在する必要がある．

4-1-2.包含層序グラフ S1 が層序グラフ S2 を包含するとは S2 が S1 の部分グラフであることを意味する．S2 が S1 の部分グラフであるということは

η：[x]K[y]∈A1⇔ψ([x])Kψ([y])∈A2
写像 η は対応する頂点間の弧の方向が同じであることを意味す

V2⊆V1，A2⊆A1 が成立し、さらに(4.4)式と(4.5)式が成立することである．層序グラフは有向グラフなので，(vi，vk)≠(vk，vi)である．V2 がV1 の全域で，かつ V1 による誘導部分グラフである場合，S2 は S1 自る．
ラベル付き有向グラフの場合は，さらに身と同じになるので同等になる．

φV([x])∈V1=φV(ψ([x]))∈V2・(4.4)

第 2 図は包含の例である．露頭断面(a)の層序グラフを SA とし，露φA([x]，[y])∈A1=φA(ψ([x])，ψ([y]))∈A2(4.5)

頭断面(b)の層序グラフを SB とする．断面(a)は互いに整合関係にあが成り立つときは S1 と S2 は自形になる．これは頂点と弧のラベルがる３つの地質体[x]，[y]，[z]から構成される露頭あり，断面(b)は整合同じであることを意味する．S1 と S2 が同形であることを S1≅S2関係にある 2 つの地質体[x]と[y]から構成される露頭である．と書く(Bondy.J. A. and Murty，U. S. R. ，2008)．
本論文では，頂点だけからなるグラフを空グラフと呼ぶことにする．
空グラフは 1 つの地質体しか露出していない露頭に対応している．
この場合， φV([x])∈V1=φV(ψ([x]))∈V2 であれば自形，すなわち同等になる.
第1 図は同等の例である．露頭断面(a)と(b)の演算を考える．断面(a)と(b)の両方とも互いに整合に接触する 3 つの地質体[x]，[y]，[z]から構成されている．断面(a)の露頭層序グラフを SA とし，断面(b)の露頭層序グラフを SB とする．SA は

VA={φV([x])，φV([y])，φV([z])}AA={φA([x]，[y])，φA([y]，[z])}である．SB は
VB={φV([x])，φV([y])，φV([z])}AB={φA([x]，[y])，φA([y]，[z])}

第 2 図 包含の例
露頭断面(a)と(b)の演算結果を示す．各露頭断面に対応する層序グラフを

SA，SB に示す．

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第 4 図に整合の追加.挿入の例を示す．露頭断面(a)と露頭断面

SA は
VA={φV([x])，φV([y])，φV([z])}AA={φA([x]，[y])，φA([y]，[z])}(b)の演算を考える.露頭断面(a)は互いに整合関係にある地質体[x]と[y]からなり，露頭断面(b)は互いに整合関係にある地質体[y]と[z]からなる．対応する層序グラフを SA と SB に示す．

であり，SB は

SA は

VB={φV([x])，φV([y])}AB={φA([x]，[y])}である．VB⊆VA，AB⊆AA なので，SB は SA の部分グラフになっている．SA と SB の演算結果 SA∪SB は SA になる．

VA={φV([x])，φV([y])}AA={φA([x]，[y])}であり，SB は
VB={φV([y])，φV([z])}AB={φA([y]，[z])}4-1-3. 追加・挿入

である．

追加・挿入とは，2 つの露頭層序グラフ S1 と S2 の演算から，同等，この 2 つの層序グラフの演算 SA∪SB は包含以外の方法により新しい地域層序グラフ SL を形成することである． 追加・挿入は整合の場合と不整合の場合では処理方法が異なる．
形成順序が[vi] ，[vk]である 2 つの地質体の接触関係が，

VA∪VB={φV([x])，φV([y])，φV([z])}AA∪AB={φA([x]，[y])，φA([y]，[z])}となる．SA∪SB を露頭断面(c)及び層序グラフに示す．弧の集合 AA∪AB の元([x]，[y])と([y]，[z])には推移律([x]，[y])∧([y]，[z])⇒([x]，φA([vi] ，[vk])=不整合の場合，両者の間に異なる地質体[vj]が存在[z])が成立しており，かつ弧([x]，[z])は AA∪AB の元ではない．このする可能性がある．ここでは説明の便宜上，浸食により除去されたため，規則1から弧([x]，[z])は推移的閉包になる．追加・挿入による地質体は 1 つの地質体としてある.

演算では頂点，すなわち地質体の数が増加している．

グラフから弧([vi]，[vk])を除去し，新たな頂点[vj]を追加し，さらに弧([vi]，[vj])と弧([vj]，[vk])を追加することを弧の細分という．弧([vi]，[vk])の向きと，細分により形成された弧([vi]，[vj])と弧([vj]，[vk])の向きは同じである．弧の細分を第 3 図に示す．

φA([vi]，[vk])が整合である場合は弧([vi]，[vk])は細分できない．
一方，φA([vi]，[vk])=不整合の場合は弧([vi]，[vk])は細分される．
細分された弧([vi]，[vj])と([vj]，[vk])のどちらか，例えば φA([vi]，[vj])=整合の場合は弧([vi]，[vj])はこれ以上細分されない．φA([vi]，[vj])=不整合の場合はさらに細分される可能性がある.

第 4 図 整合の場合の追加の例
断面(a)と断面(b)の演算の結果を断面(c)に示す．対応する層序グラフをそれぞれ(a’)，(b’)，(c’)に示す．弧はすべて整合なので弧の細分は行われない．

(2)不整合面
第 3 図 弧の細分

第 5 図に不整合の追加の例を示す．

(a)の弧([vi]，[vk])のラベルが不整合の場合，(b)に示すように頂点[vj]により断面(a)は互いに整合関係にある地質体[x]と[y]からなる．露頭断弧([vi]，[vj])と弧([vj]，[vk])の 2 つに細分される．

面(b)は地質体[x]と[z]からなり，不整合で接触している．対応する層序グラフをそれぞれ SA と SB に示す．

層序グラフの演算により新しい弧が追加される場合がある。Ａ1∪

SA はＡ２を AL で表す。AL の任意の元の間に推移律 ([vi]、[vj])∧([vj] 、

VA={φV([x])，φV([y])}AA={φA([x]，[y])}[vk])⇒([vi]、[vk])が成立し，かつ([vi]、[vk])が AL の元でない場合，([vi]、[vk])は推移的閉包である．これを規則 1 とする．
AL の任意の元の間に推移律([vi]、[vj])∧([vj] 、[vk])⇒([vi]、[vk])が成立し，かつ([vi]、[vk]) が AL の元である場合，孤([vi]、[vk]) [vi]は推移的閉包に変わる．これを規則 2 とする．

SB は
VB={φV([x])，φV([z])}AB={φA([x]，[z])}である．
この 2 つの層序グラフの演算は(1)整合

VA∪VB={φV([x])，φV([z]) φV([y])}65AA∪AB={φA([x]，[y])，φA([x]，[z])}となる．この演算結果を層序グラフ(SA∪SB)1 に示す．頂点[x]を始点とする 2 つの弧([x]，[y])と弧([x]，[z])が存在するグラフとなる．の関係は不明である．

φA([x]，[z])=不整合なので，弧([x]，[z])は細分される可能性がある．φA([y]，[z])=整合なので，弧([y]，[z])は細分されず，かつ層序

φA([x]，[y])=整合，φA([x]，[z])=不整合である． (SA∪SB)1 では[y]とは[y]，[z]である．このため，弧([x]，[z])は頂点[y]により細分され，[z]の関係がわからない．しかし，φA([x]，[y])=整合なので[x]の堆積弧([x]，[y])と弧([y]，[z])が形成される．φA([x]，[y])=関係不明でに連続して[y]が堆積している.

ある．この演算結果を層序グラフ(SD∪SE)2 に示す．

φA([x]，[z])=不整合なので弧([x]，[z])は細分される可能性がある．
φA([x]，[y])=整合なので細分されることはなく，かつ[x]，[y]という層序となる．このため弧([x]，[z])は頂点[y]により細分され，弧([x]，[y])5．あとがきと弧([y]，[z])が形成される．細分により形成された弧([y]，[z])の関方法を検討した．層序グラフの演算の種類には，同等，包含，追係は不明である．このため，弧のラベルの集合 A の元に関係不明

加・挿入の 3 種類がある．2 つの露頭から地域層序が作成できないを追加し場合，さらに近隣の別の露頭層序を加えることにより，最終的に地A={整合，不整合，貫入，断層，関係不明}とすると，弧([y]，[z])のラベルは関係不明になる．
AL の元([x]，[y])と([y]，[z])には推移律

域層序を組み立てることができる．

([x]，[y])∧([y]，[z])⇒([x]，[z])２つの露頭の露頭層序の組み合わせから地域層序を組み立てる

文 献
Bondy， J. A. and Murty， U. S. R. (2008) Graph Theory. Springer，が成立しているが，弧([x]，[z])は AL の元ではない．規則(3.1)から

pp.12-29．

弧([x]，[z])は推移的閉包になる．この演算結果の層序式を(SA∪河西秀夫(2003)個人用(野帳)データベースの設計について(2)－層SB)2 に，露頭断面を(c2)に示す．

序の表現方法について－．情報地質，vol.14, no.3, pp249-258
河西秀夫(2005) 個人用露頭データベースの設計について(3)－層序の表現方法の改善について－．情報地質， vol.16， no.2，pp.57-68．
河西秀夫(2006) 個人用露頭データベースの設計について(4)－基盤，被覆層，互層の理論的背景－．情報地質， vol.17， no.1，pp.13-27．
Kasai， H.(2009) Design of geological exposure database -Structure

graph: Mathematical model of geological structure of outcrops andregions based on graph theory-. Geoinformatics， vol.20， no.1，pp.17-29．
河西秀夫(2012)グラフ理論による露頭構造と層序の数学的表現．情報地質， vol.23， no.3， pp.109-120
河西秀夫(2013)グラフ理論による露頭構造と層序の数学的表現－
貫入と断層の取り扱い－．情報地質， vol.24， no4.， pp.161-173
第 5 図 不整合面の追加・挿入の例

河西秀夫(2015)グラフ理論による露頭構造と層序の数学的表現－
レンズ層と同時異相－．情報地質， vol.26， no2.， pp.37-50

露頭断面(d)は不整合関係にある地質体[x]と[z]からなる．断面(e)河西秀夫(2016)グラフ理論による露頭構造と層序の数学的表現－

は互いに整合関係にある地質体[y]と[z]からなる．対応する層序グ

逆転する地層の表現－．情報地質， vol.27， no3.， pp.137-148

ラフをそれぞれ SD と SE に示す．SD はRainhard Disetel(2005) Graph Theory 3Rd ed. Springer

VD={φV([x])，φV([z])}AD={φA([x]，[z])}であり，SE はVE={φV([y])，φV([z])}AE={φA([y]，[z])}である．
この 2 つの層序グラフの演算は(3.3)式より，

VD∪VE={φV([x])，φV([y])，φV([z])}AD∪AE={φA([x]，[z])，φA([y]，[z])}となる．この演算結果を層序グラフ(SD∪SE)1 に示す．このグラフは頂点[z]を終点とする 2 つの弧([x]，[z])と([y]，[z])からなる．[x]と[y].Robin.J.Wilson(2010)Intoduction to Graph Theopy 5Ed ， Peaeson
Education，pp.18