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解答速報

兵庫医科大学数学

2023年 1月25日実施

1 次の (1) から (5) までの各問いに答えよ。なお，途中の式や考え方等も記入すること。
(1) 次の不等式を満たす整数 n を求めよ。ただし，log10 2 = 0.3010, log10 3 = 0.4771 とする。
6n < 520 < 6n+1
(2) 実数 x, y が x2 − 2x + y 2 − 3 = 0 を満たすとき，(a) |x| + |y| の最小値とそのときの x および y の値を求めよ。
(b) |x| + |y| の最大値とそのときの x および y の値を求めよ。
(3) xyz 空間において，2 点 (5, 1, 2), (−3, 7, 12) を直径の両端とする球面がある。この球面が，z 軸から切り取る線分の長さを求めよ。

(4) 次の定積分を求めよ。

∫ 1(x + 2)(x − 1)9 dx
0(5) 次の文章は，『貯蓄額や所得の多い少ないは「学歴」と関係あるのか？』という記事 1 からの抜粋である。
表は厚生労働省の令和元年国民生活基礎調査から，学歴ごとの平均所得金額（15 歳以上の雇用者 1 人あたり）をまとめたものです。（中略）男性・女性ともに専門学校・短大・高専卒の方が所得金額が多いのに，総数となると高校・旧制中卒の方が多いのは統計上の謎です。
小学・高校・旧専門学校・短大学・大中学卒業

制中卒業

大・高専卒業学院卒業

総数

245.2 万円

303.5 万円

278.6 万円

487.4 万円

男性

300.8 万円

404.6 万円

409.0 万円

584.6 万円

女性

160.5 万円

186.1 万円

216.6 万円

291.5 万円

男性の所得金額も女性の所得金額もともに，専門学校・短大・高専卒業の方が，高校・旧制中卒業より多いのに，総数（男性 + 女性）では，逆転した結果になっている。これはどうしてか，説明しなさい。
1 あるじゃん All About マネー．” 貯蓄額や所得の多い少ないは学歴と関係あるのか？ ”医学部進学予備校メビオ
解答(1) 6n < 520 < 6n+1 に常用対数をとると，log10 6n < log10 520 < (n + 1) log10 6⇐⇒ n(log10 2 + log10 3) < 20(log10 10 − log10 2) < (n + 1)(log10 2 + log10 3)⇐⇒ 0.7781n < 13.98 < 0.7781(n + 1)⇐⇒ n <

13.98<n+1
0.7781

13.98= 17.96 · · · であるので求める整数 n は n = 17 である．
0.7781(2) (x − 1)2 + y 2 = 4 と変形できるので実数 x, y は中心 (1, 0), 半径 2 の円上を動く．となる．ここで，ここで，|x| + |y| = k (k > 0) · · · ① とすると，これは 4 点 (k, 0), (0, k), (−k, 0), (0, −k) を頂点とする正方形を表す．

y2−1O

13x(a) 最小となるときは図より ① が (−1, 0) を通るときであり，これが (x, y) である．最小値は 1 ．
(b) 最大となるときは x ± y − k = 0 が円に接するときであり，これらの直線と円の中心との距離が円の半径と√√|1 − k|等しければよい．したがって， √= 2 ⇐⇒ k = 1 ± 2 2 であり，k > 0 であるから，k = 1 + 2 22√である．したがって，最大値は 1 + 2 2．このとき，x + y − k = 0 と円の接点を P，円の中心を A と√ √−→すると，直線 AP の傾きが 1 であり，AP の長さが 2 であることから，AP = ( 2,2) を得る．よって√ √−→ −→ −→OP = OA + AP = (1 + 2, 2) である．
√√
x − y − k = 0 との接点も同様に求められる．求める x, y の値は (x, y) = (1 + 2, ± 2)．
(3) A (5, 1, 2), B (−3, 7, 12) とする．これらを直径の両端とする球面の中心を M とすると，M は AB の中点(1, 4, 7) である．
また，AM2 = (1 − 5)2 + (4 − 1)2 + (7 − 2)2 = 50 であるので，球面の方程式は(x − 1)2 + (y − 4)2 + (z − 7)2 = 50

医学部進学予備校メビオである．したがってこの球面と z 軸との交点は x = 0, y = 0 を代入して1 + 16 + (z − 7)2 = 50 ⇐⇒ z = 7 ±よって，この球面が z 軸が切り取る線分の長さは 7 +√33 − (7 −√√33√33) = 2 33．

(4)
∫ 1

∫ 1
(x + 2)(x − 1)9 dx =0(x − 1 + 3)(x − 1)9 dx0∫ 1{(x − 1)10 + 3(x − 1)9 }dx

=
[=0]1
13
(x − 1)11 +(x − 1)101110013−111023=−110=別解x − 1 = t と置換をしてもよい．
(5) 専門学校・短大・高専卒業生においては女性の割合が高く総数での平均所得が低く抑えられているのに対して，高校・旧制中学校卒業生においては男性の割合が高く総数での平均所得は上がっていると考えられるから．

医学部進学予備校メビオ

2 以下の問いに答えよ。なお，途中の式や考え方等も記入すること。
πだけ回転したときの点の座標を求めよ。
3π(2) 3 点 A(1, 1), B(3, −2), C について，AB = AC かつ ∠BAC =であるとき，点 C の座標を求めよ。
3
複素数平面上で原点 O と 2 点 A(α), B(β) を頂点とする △OAB がある。直線 OB に関して点 A と対称な点を C，(1) 点 (3, −2) を，原点を中心として反時計回りに直線 OA に関して点 B と対称な点を D とする。

((3) 点 C(γ) とするとき，γ =αβ)(β であることを示せ。ただし，αβ)(と共役な複素数をαβ)で表すとする。

(4) 辺 AB と直線 DC が平行なとき，△OAB はどのような三角形か，求めよ。
解答(1) 複素数平面で考える．求める点を表す複素数を w とすると，(ππ )w = (3 − 2i) cos+ i sin33√ )(31= (3 − 2i)+i22)( √√33 3+ 3+−1 i=22(
したがって求める座標は32√3 3√+ 3,(2) 条件より C は B を A の回りに ±2)−1π回転させた点であるので，A(α), B(β), C(γ) とすると，
3{( π )( π )}γ = (β − α) cos ±+ i sin ±+α33√ )(31= (2 − 3i)±i +1+i22√()√3 31=2±+ −± 3 i (複号同順)
22(したがって求める座標は2±√
3 32, −12√± 3)(複号同順)()
1αγ(3) β を 1 に す る 変 換
倍する を 行 う こ と に よ り α, β, γ は そ れ ぞ れ, 1,となる．
βββ()
()
αγ
αγ′′′A, B (1), Cとすると，点 A′ と点 C′ は直線 OB′ （実軸）に関して対称，すなわち,ββββは互いに共役な複素数であるからとなる． （証明終）(αβ)γ=β(⇐⇒ γ =αβ)β医学部進学予備校メビオ(γβC′)B′ (1)

B(β)
C(γ)

OA(α)
(αβA′O((4) (3) と同様にして δ =βα))α がわかる．以下では α =\ 0, β =\ 0, α =\ β としてよい．このとき，
辺 AB と直線 DC が平行(γ−δ=β−α⇐⇒である．ここで，(αβ)(β−αβ(β−βα)αが実数 · · · ①β−αβα)(α=β−αであるから，)

αβ)

()
β
β−αα
β−1αβ= z とおくと，
αz① ⇐⇒−zz − (z)2z=z−1|z|2 − zが実数となればよい．したがって，(z − (z)2|z|2 − z⇐⇒)=z − (z)2|z|2 − zz − (z)2z − z2=2|z| − z|z|2 − z⇐⇒ (z − z)(z + z)(|z|2 − 1) = 0βが実数となるが，このとき， O, A, B は同一直線上にあることになり不適．
α
したがって，z + z = 0 または |z| = 1 である．
βが純虚数であることから ∠AOB(i) z + z = 0 のとき， z =\ 0 であるからこれは純虚数である．すなわちαπの大きさがとなる．
2(ii) |z| = 1 のとき |α| = |β| であるからこれは OA = OB の二等辺三角形となる．
πの直角三角形または OA = OB の二等辺三角形である．
以上により，△OAB は ∠AOB =2となる．ここで， z = z のとき別解幾何的に考えると次のようになる．

医学部進学予備校メビオ

FDBφφθAOθEC
C から 直線 AB に下ろした垂線と AB の交点を E, D から 直線 AB に下ろした垂線と AB の交点を F とする．∠OAB = θ, ∠OBA = φ とおく．次が成り立つ．

−→ −→AB // CD ⇐⇒ CE = DF⇐⇒ sin(π − 2θ) = sin(π − 2φ)⇐⇒ sin 2θ = sin 2φ⇐⇒ 2 cos(θ + φ) sin(θ − φ) = 0⇐⇒ θ + φ =これより同じ結果が得られる．

π2または

θ=φ

医学部進学予備校メビオ

3 以下の問いに答えよ。ただし，n は自然数とし，0! = 1 とする。なお途中の式や考え方等も記入すること。
(1) S1 を
S1 =n∑(k − 1)!
k=1(k + 1)!とするとき， lim S1 を求めよ。
n→∞(2) S2 をS2 =n∑(k − 1)!
k=1(k + 2)!とするとき， lim S2 を求めよ。
n→∞(3) S3 をS3 =n∑(k − 1)!
k=1(k + 3)!とするとき， lim S3 を求めよ。
n→∞(4) 次の和 Sp を推測し，それを数学的帰納法によって証明せよ。ただし，p は自然数とする。
Sp =n∑(k − 1)!
k=1(k + p)!

解答(1)S1 =n∑
k=1=1k(k + 1)

n (∑1k=1=1−1−kk+1)

1n+1なので， lim S1 = 1．
n→∞

(2)
S2 =

n∑
k=1

1
k(k + 1)(k + 2)

{n∑
1

11−2
k(k + 1)
(k + 1)(k + 2)
k=1{}
1
1
1=−
22
(n + 1)(n + 2)=なので， lim S2 =
n→∞

1
4．

(3)
S3 =

n∑
k=1

1
k(k + 1)(k + 2)(k + 3)}

医学部進学予備校メビオ{n∑
1

1
1=−3
k(k + 1)(k + 2)
(k + 1)(k + 2)(k + 3)
k=1{}
1
1
1=−
36
(n + 1)(n + 2)(n + 3)なので， lim S3 =1}．

18(4) 以下では，S1 , S2 , S3 と同様の方法で Sp を求めている．「推測して帰納法で示す」ということはしていない．
n→∞

Sp =n∑
k=1

1
k(k + 1) · · · (k + p)

{n∑
1

11−p
k(k + 1) · · · (k + (p − 1))(k + 1)(k + 2) · · · (k + p)
k=1{}
1
1
1=−pp!
(n + 1)(n + 2) · · · (n + p)=}

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講評
1 ［小問集合］（(1) 易(2) やや易 (3) やや易 (4) 標準 (5) やや難）(1)〜(4) は典型的な問題で，なるべく取りこぼしなく乗り切りたい．(5) はシンプソンのパラドックスと呼ばれるものであり，よく考えれば難しくはないが，面食らった受験生は多いだろう．

2 ［複素数平面］（易〜やや難）(1)(2) は受験生にとってはやり慣れた問題であり落とせない．計算は慎重に行いたい．(3)(4) は方針が立たなかった受験生が多かったと思われるが，(3) が突破できたかどうかで差がつきそう．

3 ［数列の和と極限］（易〜標準）
部分分数分解を利用して数列の和を求める典型問題である．与式が階乗で表されているので戸惑った受験生もいるかも知れないが，落ち着いて解き進めたい．(4) は「数学的帰納法によって証明せよ」という指示があるが，推測ではなく直接求める方法が簡便なので上の解答ではあえてそれを載せている．
各大問とも最後の方が解きにくいが，他は典型的な出題であり，なるべくミスなく処理したい．目標は 60%．

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