ムラタ計測器サービス株式会社

Ｚスコアによる共同実験結果の検討（続）Ｚスコアによる評価並びにユーデンプロットによる評価?

前々号で「技能試験の進め方」について解説し, 引続き前号で, 実際の共同実験における測定値を用いて,「計算手順」を具体的に示しました。今回は, Z スコア単独による評価の他に, 試験所間 Z スコア(ZB)と試験所内 Z スコア(ZW)の組み合わせによる「複合評価」並びに「ユーデンプロットによる評価」について述べる
ことにします。

B-A=15.7
サンプル２の測定値

A+B=43.5
A+B=37.4（Bi）?
B-A=-4.3

１．Ｚスコア単独による評価
Z スコアによる評価の基準は, 前号の 3.3 に記載しておきましたように,

A+B=13.2
A+B=25.3
A+B=7.1｜Z｜≦2：
2＜｜Z｜＜3：｜Z｜≧3：

B-A=5.7

B-A=12.4?

満足（satisfactory）
疑わしい（quetionable）
不満足（unsatisfactory）

B-A=-0.95?

サンプル１の測定値（Ai）として規定されております。
この基準を, 前号でご紹介した実施例に適用しますと, 表 1 の如くなります。
表1

図1(1) まず, ZB＝3 を満足する直線の式は,試験所間(ZB)の計算式

Ｚスコア単独による評価と該当事業所
サンプル
１

サンプル
２

試験所間
（ZB）

試験所内
（ZW）

2<｜Z｜<3?

?

―――?

｜Z｜≧3―――

?

? , ?

?

(Ai + Bi) − (中央値)

ZB＝…… ①IQR × 0.7413
において, ZB＝3 を満足する(Ai+Bi）の値を求めればよいわけですから,前号の実施例では, ①式にZB＝3
中央値＝25.3
IQR＝8.2（前号の表３参照）を代入して, これを解くとここで, サンプル１，サンプル 2 の Z スコア, 及び,試験所間 Z スコア(ZB)に関しては,① Z≧3 の場合は他の事業所に比べて, 大きいほうに偏っている。
② Z≦−3 の場合は小さい方に偏っていることを示しており, 又, 試験所内 Z スコア(ZW)が｜Z｜≧3 の場合は, 他の事業所より「バラツキ」が大きいことを示しております。

(Ai + Bi) − 25.3
3＝
8.2 × 0.7413
Ai+Bi=3×8.2×0.7413＋25.3≒43.5が得られます。
(2) 同様に, ZB＝−3 としてAi+Bi≒7.1(3) 試験所内Ｚスコア(ZW)の場合は,２．試験所間Ｚスコア(ZB)及び試験所内Ｚスコア(ZW)による複合的な評価
2.1

ZB と ZW の複合評価図(Bi−Ai) − (中央値)

ＺB とＺＷによる複合評価図の作成

ZW＝

…… ②
IQR × 0.7413に, ZW＝3
中央値＝5.7IQR＝Bi−Ai＝4.5（∵Bi＞Ai）（前号の表３参照）

今回の測定結果について, サンプル１,2 の測定値をそれぞれ横軸と縦軸にとって, 各事業所のデータの散布図を画き, この散布図上に｜ZB｜＝3 及び｜ZW｜＝3の計 4 本の直線を引き, さらにその内部に｜Z｜＝2 の4 本の直線を引きます(図 1)。
その手順を次に示します。

1

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を代入して, これを解くと表2(Bi − Ai) − 5.73＝
4.5 × 0.7413
Bi−Ai＝3×4.5×0.7413＋5.7＝15.7(4) 同様に, ZW＝−3 としてBi−Ai＝−4.3(5) 以上により,Aｉ＋Bi＝43.5 …… ③
Aｉ＋Bi＝ 7.1 …… ④Bi−Ai＝15.7 …… ⑤
Bi−Ai＝−4.3 …… ⑥の 4 本の直線が得られます。（図１参照）。
(6) (1)〜(4)と同様にして, ｜ZB｜＝2 と, ｜ZW｜＝2の 4 本の直線を求めると, 次の式が得られます。
Aｉ＋Bi＝37.5 …… ⑦
Aｉ＋Bi＝13.1 …… ⑧Bi−Ai＝12.4 …… ⑨Bi−Ai＝−1.0 …… ⑩(7) 以上の手順によって得られた③〜⑥の直線を散布図の上に画き,(8) 次に, その中心の区画（図２の⑤）の内側に, ⑦〜⑩の直線を画きます。

サンプル２の測定値

⑤(B)

⑤所内変動

①Ｚ≦−3Ｚ≦−3③Ｚ≦−3⑦Ｚ≧3⑨Ｚ≧3②Ｚ≦−3⑧Ｚ≧3④−3＜Ｚ＜3⑥−3＜Ｚ＜3⑤⑤

評 価

小さい方に偏りがあり, バラツキも大きい（Ａ，Ｂの何れかに引きずられている場合もある）。
Ｚ≦−3大きい方に偏りがあり, バラツキも大きい（Ａ，Ｂの何れかに引きＺ≧3ずられている場合もある）。
小さい方に偏りがあるが, バラ−3＜Ｚ＜3ツキはない。
大さい方に偏りがあるが, バラ−3＜Ｚ＜3ツキはない。
Ｚ≦−3
偏りはないが, バラツキが 大きい（Ａ，Ｂの何れかが大きく離れＺ≧3ている場合もある）。
Ｚ≧33＞｜Ｚ｜＞2
偏りか, バラツキの何れか, ある又は／及びいは両方に疑わしい点がある。
3＞｜Ｚ｜＞2｜Ｚ｜≦2｜Ｚ｜≦2 偏りもなく, バラツキもない。

前号の実施例による複合評価図（図１）によれば,?
が②の区画に,? が⑧の区画に属していて, それぞれ小さい方と大きい方に偏りがあることが判ります。又 ,?
は⑥に属しているので ,バラツ キが大きいことを示しています。その他, ? は⑤ のグレーゾーンに属していて, 図中のこの位置から「バラツキに少し問題がありそうだ」ということが判ります。
2.3 複合評価図における評価とその原因
複合評価図の各区分についての評価を表２に示しましたが, ⑤ 以外の区画の事業所は, その測定技術に「問題あり」の指摘を受けたわけですから, その原因を調べなくてはなりません。日環協の水質技術委員会で, 「偏り」や「バラツキ」が生ずる原因を検討しましたので, これを参考にしてください。
〔「偏り」又は「バラツキ」の主要因〕(1) ②，⑧の区画に該当する事業所は次の点に注意する必要がある。
標準溶液の濃度の変化
使用する水, 試薬等の汚染試料の準備操作
計算式の誤り等(2) ④，⑥の区画に該当する事業所は次の点に注意する必要がある。
個々の容器等の汚染環境からの汚染前処理及び準備操作
測定装置の安定性(維持管理の不足)
等⑧⑤所間変動* サンプル 1 の Q2＜サンプル 2 の Q2 の場合⑨③区画⑤2.2 複合評価図上の 10 個の区画とその評価
一般にこの散布図は, 試験所間Ｚスコア(ZB)＝3, 及び,試験所内Ｚスコア(ZW)＝3 の 4 本の直線により, 9個の区画（図 2 の①〜⑨）に分割され, さらに⑤の内部は,⑤ 3＞｜ZB｜＞2 及び／又は 3＞｜ZW｜＞2 のグレーゾーン,⑤ ｜ZB｜≦2 且つ｜ZW｜≦2 の満足ゾーンの２区画に分割されます。
この 10 個の各区画について吟味すると, 各区画について, 表 2 のように評価することができます。

⑥

複合評価図の 10 個の区画とその評価*⑦④②①
サンプル１の測定値(A)

図 2 ZB と ZW による複合評価図(サンプル 1 の Q2 ＜サンプル 2 の Q2 の場合)

2

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サンプル２の測定値 Ｂ( )(3) ①，③，⑦，⑨の区画に該当する事務所は, 偏りもバラツキも大きいので, その原因を充分に究明する必要がある（場合によっては A，B の何れかの値が大きくずれて いるために, このような結果になった可能性もある）。
(4) ⑤ の区画に該当する事業所は, 偏りかバラツキの何れか, あるいは両方に疑わしい点があるので,上記の(1), (2)の諸点に留意して戴きたい。
(5) ⑤ の区画に該当する事業所は, 偏りもバラツキも小さく, 技術的に満足しているといえる。

サンプル１の測定値(Ａ)D 軸(A+B=0)

３．ユーデンプロット（Youden Plot）による評価
3.1 ユーデンプロットについて
前号の実施例のように濃度の近い 2 つの試料（サンプル 1, サンプル 2）を 1 回ずつ測定した場合について,サンプル 1 を横軸に, サンプル 2 を縦軸にとって散布図を画くと, 系統誤差とランダム誤差の影響によって散布図は広がりを見せます（図 1）。化学分析の場合は一般的に横軸に対して 45°の角度に主軸を持つ楕円状の広がりを示しますが, これは, ある測定室(者)がサンプル１に対して「高め又は低め」の結果を出した場
合は, サンプル２についても同様に高い（又は低い）
結果を出しやすいことを示しています。この散布図上の各点を統計的に処理して, その広がりを示す「等確率長円（ユーデンプロットと呼ぶ）」を画き, その中で当該試験の目的に最も適した確率のユーデンプロットと比較（その長円の外にあるか内にあるかを調べる）することによって各事業所の技能を評価することができるわけです。

図3測定値(Ai,Bi)の｢偏り度(Si)｣と｢バラツキ度(Di)｣への分解③ 全測定値を偏り度(S)とバラツキ度(D)に分解した
後, Ｓ軸上のＳ値の分布, 及び, D 軸上の D 値の分布を求めます。これらの分布はおおむね正規分布をしていると考えてよいので, 当該試験に最も適した確率（信頼限界）で許容範囲を定め, その値と各事業所の値（ Si 又は Di）とを比較して評価を行なうことができます（これまでに述べた実施例においては,
S 値又はＤ値について四分位数法を適用して Z スコ
アを求め,
｜Z｜＝3 を基準にして, 各事業所の技術の評価を行なったことになる）。
④ ユーデンプロット法は, 偏り度(S)の許容範囲(Sr)を長軸とし, バラツキ度の許容範囲(Dr)を短軸にした長円を散布図の上に画き, その内側に存在するか外側に存在するかによって, 当該事務所の技能の評価を行なう手法です。

ここまで３回にわたって, Z スコアによる技能試験（又は共同実験）の進め方及び評価方法について述べて参りましたが, 今後, ユーデンプロットで評価することも考えられますので, その求め方と評価の手順を次に示します。

3.3

ユーデンプロットによる評価

今, 実施例の複合評価図（図１）に, 偏り度及びバラツキ度の許容範囲を, 両方とも｜Z｜＝3 としてユーデンプロットを重ねて画くと図４が得られます。この場合, 得られた楕円上の点は, 確率的にいって「偏り単独」あるいは「バラツキ単独」の場合の｜Z｜＝3 と同じ程度の確率で, 他の事業所から掛け離れていることになりますので, この外側が「不満足」の区画になるわけです。
ここで, ｜Z｜＝3 の 4 本の線で囲まれた長方形と,ユーデンプロットによる楕円の間の部分は, Ｚスコア
では, 「疑わしい」の評価ですが, ユーデンプロット
では「不満足」の評価になりますから, 後者の方が「より厳しく」評価していることになります。

3.2 ユーデンプロットの作成手順① サンプル１とサンプル２の散布図上に A−B＝０の線（Ｓ軸と呼ぶ）, 及び A＋B＝０の線(Ｄ軸と呼ぶ)を画く。この場合, S 軸上の変移は「偏りの度合」を示し, D 軸上の変移は「バラツキの度合」を示しております。（図３参照）② 事業所ｉの測定値（Ai，Bi）より S 軸及び D 軸に垂線を下ろし, その足を Si，Di とします。
この時,S 軸(A-B≒0)

Si = Ai/ 2 + Bi/ 2 = (Ai + Bi)/ 2

Di = Ai/ 2 − Bi/ 2 = (Ai − Bi)/ 2
これにより測定値(Ai,Bi)は当該事業所の偏り度(Si)とバラツキ度（Di）に分解されたことになります。

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今, サンプル 1，2 の散布図の代わりに, ZB を横軸にとり, ZW を縦軸にとって, かつ等間隔の目盛りでグラフを作り，この上に各事業所の Z スコアをプロットしますと図 5 が得られます。この ZB・ZW 散布図の上では,等確率曲線は, ZB＝ZW＝0 を中心にした同心円となり,図 4 に示したユーデンプロットは, ｜Z｜＝3 の 4 本の直線に内接した円になります。従って ユーデンプロットによる評価を図上で行なう場合は, 図 5 の「ZB・ZW散布図」を用いる方が便利のように思われます。

?
B-A=15.7
B-A=12.4

B-A=5.7

サンプル２の測定値?
A+B=43.5
A+B=37.4（B）?
B-A=-4.3〔おわりに〕
以上, 技能試験の進め方とその評価方法について実施例を用いて解説いたしました。ここで述べた四分位数法による Z スコアは,(1) 異常値の影響を受けないようにしながら, しかもなお異常値も含めて評価できること。
(2) 個々の事業所の技術について, 「偏り」と「バラツキ」に分けて評価できること。
(3) 計算が簡単であること。
等の利点があり, 今後, 「試験所認定制度における技能試験」の普及に伴ない, 各所でこの手法が広く使われていくものと考えられます。
本「解説」は, この手法について私が一歩一歩辿って来た道程を, なるべく詳しく記述したつもりです。
多少至らぬ点もあるかと思いますが, 内容をよく理解した上で, 「技能試験」あるいは「共同実験」に臨んで戴ければ嬉しく存じます。

A+B=13.2
A+B=25.3
A+B=7.1

B-A=-0.95?

サンプル１の測定値（A）

図4

ZB と ZW の複合評価図とユーデンプロット

この考え方をさらに敷衍して, ｜Z｜＝２の４本の線に内接する楕円を画いて, これを「疑わしい」と「満足」の境界線とすると, Z スコアでは「偏り」も「バラツキ」も｢満足｣なのに, ユーデンプロットでは｢疑わしい｣の評価を下される事業所が生じてしまいます。従って, どちらの方法で評価するかは, ｢付与された値｣や「四分位数法の採用」等と同様に, 試験を始める前に予め決めておく必要があると思います。

[参考文献]
1. 試験所認定制度とその対応について 久代 勝
環境と測定技術 vol.26, No.4, 1999, P55
2. JIS Q 0043‑1(1998)
試験所間比較による技能試験
第 1 部 技能試験スキームの開発及び運営
3. 技能試験(APLAC‑T001)に参加して 松本 保輔
環境と測定技術 vol.25, No.9, 1998, P55
4. 工業標準化に基づく試験事業者認定制度に係る技能試験
JNLA 報告書 JNPT10‑03
化学品・給水関連器具分野(水溶液の金属分析)
5. 現代統計実務講座 (財)実務教育研究所
文部省認定社会通信教育用テキスト
6. 多変量解析法 奥野 忠一, 久米 均, 芳賀 敏郎
日科技連出版社
7. 共同実験結果報告書
トリクロロエチレン, テトラクロロエチレン
横浜市環境技術協議会 平成 11 年 12 月
8. 環境測定分析技術研究調査報告書(平成 10 年度)
水質中重金属(Cd, Cu, Ni, Fe)分析共同実験(社)日本環境測定分析協会 平成 11 年 10 月
9. 同上−解説 平成 12 年 3 月
10. ISO/IEC ガイド 43‑1 に基づく技能試験報告書
模擬排水中の重金属分析−鉛, 亜鉛, 鉄−(社)日本分析化学会, (社)日本環境測定分析協会
EWM‑1999, (日環−1) 平成 12 年 2 月

3.4 ＺＢ・ＺＷ散布図におけるユーデンプロット
図 4 は, サンプル 1 とサンプル 2 の散布図の上に｜Z｜＝3 の 4 本の線とユーデンプロットを重ねて画いたものです。ここで, S 軸と D 軸の目盛りの度合が違うので長軸と短軸ができ, そのために等確率曲線は楕円になります。
(ZW)

ZB＝−3?

ZB＝3ZW＝3?

(ZB)

?
?
ZW＝−3

図5ZB・ZW 散布図における｜Z｜＝3,｜Z｜＝2とユーデンプロットの関係

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