■ 論文 ■経営論集
Vol.3, No.2, March 2017, pp.1-6
ISSN 2189-2490

集約関数の特徴づけ
山周

本芳嗣
游

概要
本稿では Balinski と Laraki [2] によっ提案された Majority Judgment で中心的な役割を演じる集約関数の問題点を指摘し、それが強単調性の条件を緩めることによって解消できることを示す。さらに評
価者の評価が大きく割れた場合の社会的評価が集約関数を一意的に決定することを示す。

キーワード：匿名性、弱単調性、強単調性、戦略的操作耐性、Majority Judgment、集約関数（受理日文教大学経営学部〒253-8550 神奈川県茅ヶ崎市行谷1100
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http://www.bunkyo.ac.jp/faculty/business/

2016年７月13日）

経営論集

Vol.3, No.2(2017) pp.1-6

集約関数の特徴づけ
山 本周

芳嗣*游 **
社会的評価関数と呼ばれるが、これに中立性と１．はじめに無関係対象からの独立性を仮定すれば、選択肢i の評価はプロファイルの i 行だけから決まる

本稿では複数の評価者によって選択肢に対しこ と が 直 ち に 導 か れ る ([2] の Chapter 9 参て表明された評価をどのように社会的評価に集照)。よって以降で注目すべきは定義1.1 で定約するかという問題を考える。N ＝{1, 2,...,義された集約関数である。

n}で評価者の集合を、L ＝{1, 2, ...,l}で選

本稿ではまず集約関数に対して Balinski と択肢の集合を表す。さらに m 個の評価語からLaraki が想定した条件を説明し、次いで２節なる評価語彙をL=Tl 1, l 2, ... , l mUで示すことと３節でその問題点を述べる。幾つかの補題をにする。評価者はこの評価語彙Lから1つの評４節で示したのち、集約関数の一意性を５節で価語を選んで表明する。評価語彙Lには順序示す。６節では Balinski と Laraki の順位関数が定義されており、l 1l 2}}}l m と番号付との関係を述べる。Majority Judgment についけられているとする。記号の簡略化のため以降て は Balinski と Laraki [2] や、 [7] のでは評価語彙Lの最小要素(最低評価)l1と最大「Majority Judgment のページ」を、割愛した要素(最高評価)lm をそれぞれαとωと表記す

補題や定理の証明は[6]を参照していただきたることにする。まず Balinski と Laraki [1, 2]

い1)。

によって提案された Majority Judgment で中２．基本的条件

心的な役割を演じている集約関数を定義する。

集約関数に想定すべき条件の中で以下の２条定 義 1.1. n 人 の 評 価 者 が 表 明 し た 評 価 x ＝N(x1, x2,...,xn)∈L に対して社会的評価 f(x)件は最も基本的なものである。

∈Lを与える関数 f を集約関数と呼ぶ。
定義2.1. 集約関数 f は、任意の(x1,x2,...,xn)
各評価者が各選択肢に対して表明した評価を∈ LN と N 上 の 任 意 の 置 換 τ に 対 し て f (x1,まとめてできる評価語からなる l × n 行列をx2,...,xn)＝ f(xτ(1),xτ(2),...,xτ(n)) を満たプロファイルと呼ぶ。各プロファイルに対してすとき匿名性(anonymity) を持つという。

評価語からなる l 次元ベクトルを与える関数は
定義2.2. すべての i ∈ N について xix′i であ* 筑波大学名誉教授
yamamoto@sk.tsukuba.ac.jp** キヤノン IT ソリューションズ株式会社

るとき
f(x 1, x 2, ... , x n)f(x'1, x'2, ... , x'n)1

を満たすとき集約関数 f は弱単調性を持つてxL N で操作可能(manipulable) であるとい(weakly monotone) という。

う。

匿名性は評価者の名前が結果に影響しないこx なら f(x) f(x/ x')f(x)と、弱単調性は評価者のより良い評価は選択肢

ii

(3.1)

上記の(3.1)は、社会的評価f(x)が評価者 iの社会的評価を下げないことを意味している。の評価x iよりも悪い（良い）場合には、評価者以降ではこの２条件を仮定する。

i はその評価を偽ることによって社会的評価を３．BALINSKI と LARAKI の想定した条件引き上げる（下げる）ことができることを意味している。このような操作が可能であると、評価を偽って表明する動機を与えることになるた

Balinski と Laraki は[2]で、さらに3つの条め、評価方法の信頼性を損なうこととなる。

件を想定している。その２つは以下の強単調性

Balinski と Laraki が想定した最後の条件は集と全員一致性である。

約関数がこのような操作に対して耐性を持つことである。

定義3.1. すべてのiNについてx ix'i である
とき

定義3.4. 集約関数が戦略的操作耐性を持つ(strategy-proof)とは、どのような評価xL Nにf(x 1, x 2, ... , x n)f(x'1, x'2, ... , x'n)を満たすとき集約関数 f は強単調性を持つ

おいてもどの評価者によっても操作可能でない(strongly monotone) という。

ことをいう。

定義3.2. 任意のxLについてf(x, x, ... , x)=x以上の条件を満たす集約関数はどのように与のとき集約関数 f は全員一致性を持つ(unani-えられるかという問いは当然の問いであるが、mous)という。

Balinski と Laraki はそのような集約関数は次に定義される順位関数のみであることを示している。

彼らの３番目の条件を紹介するために操作可能 性 に つ い て 説 明 し よ う。そ の た め x=
(x 1, ... , x i-1, x i, x i+1, ... , x n)L N と x'L に

定義3.5. k1, 2, ... , nに対して k-順位関数

対して(kth order function) とは評価者の表明した nx/ix'=(x 1, ... , x i-1, x', x i+1, ... , x n)個の評価の中で下位から k 番目の評価を返す関と記号を約束する。すなわちx/ ix'は評価者 i が数である。

評価をx'に変更し，他の評価者はその評価を維持した評価ベクトルである。

つまり、k-順位関数は表明された評価をx i 1
 x i 2  ...  x i nと昇順に並べ替え、その k 番

定義3.3. 集約関数 f は以下の条件を成り立た

目の評価x i k を出力する2)．次の定理は彼らのせるx'Lが存在するとき、評価者iNによっ主要定理である

2

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定理3.6 ([2] の Theorem 10.1). 任意の k

評価が割れようともいつもf(x)はx 1, x 2, ... , x n

1, 2, ... , nについて、k-順位関数は匿名性、のどれかでなければならない。例えば半数の評

弱単調性、強単調性、全員一致性、戦略的操作

価が最低評価aで残り半数が最高評価ωであっ耐性を持つ集約関数である。また、これらの条ても、順位関数はaとωのいずれかを社会的評件を満たす集約関数は k-順位関数のみである。

価として与え、決して両者の中間的な評価を返さない。

以下の議論のために Balinski と Laraki の設Moulin [4] の施設配置問題に対する論文が定では全員一致性は冗長な条件であることを次この問題点の解決への糸口を与えている。彼はの補題に注意しておく。

直線上の都市に住む単峰な効用関数を持つ住民
補題3.7. 強単調性を持つ集約関数は全員一致が公共施設の設置場所を決定する問題を扱い、性を持つ。

彼の generalized majority relation が幾つかの望ましい条件を満たす唯一の集約関数であること を 示 し て い る。詳 細 は Moulin [5] の 定 義以上の議論から検討すべき２つの問題点が挙11.6 と定理11.6 を参照していただきたい。

がってくる。
１番目の問題点は k-順位関数の k の値であMoulin 自身も述べているように、この結果はる。定理3.6が述べるように、k の値にかかわ有限の評価語彙によって評価を表明する我々のらず k-順位関数は要求された条件を満たす。

問 題 に す な お に 適 用 可 能 で あ る。以 下 で はよって k の値を決定する何らかの説得力ある議Moulin の議論を参考にして Balinski と Laraki論が必要である。この問題点に対して Balinskiが要請している条件の幾つかを緩和することにと Laraki は社会的厚生概念を援用して次に定

よって前出の２つの問題点が解決できることを義する中央順位関数(middlemost order func-示す。

tion) を提案している。x=(x 1, x 2, ... , x n)とす

４．幾つかの補題

ると中央順位関数はf(x)=x n+12

 x ,xn2n が奇数の場合
n+12

以下の議論で中心的な役割を演じる中位関数n が偶数の場合を次に定義する。と定義される。ここで
定義4.1. r=(r 1, r 2, ... , r 2k+1)L 2k+1の要素のx n2 , x n2 +1 =lL9x n2  l x n2 +1

L上の順序による中央値を中位評価と呼び、である。中央順位関数には n が偶数の場合にこ れ を 与 え る 関 数 を 中 位 関 数 (median func-

社会的評価を一意に定めることができないといtion) と 呼 び、med(r 1, r 2, ... , r 2k+1) あ る い はう欠点がある。

med(r)と表記する。

２番目の問題点は、順位関数は評価者によって表明された評価のどれかを社会的評価としてこの定義から直ちに得られる次の補題は、中常に選ぶ点である。つまりどのように評価者の位関数の戦略的操作耐性を示す際に基本的な役3割を演じる。

５．集約関数の一意性
補題4.2. r=(r 1, r 2, ... , r 2k+1)L2k+1に対して(1) med(r)r i かつ med(r)r' なら

5.1. 主定理．匿名性、弱単調性、戦略的操作

med(r/ ir')=med(r) である。

耐 性 を 持 つ 集 約 関 数 f は n+1 個 の 仮 想 評 価(2) med(r)r i かつ med(r)r' なら

g 0, g 1 ... , g nLによってmed(r/ ir')=med(r) である。

f(x 1, x 2, ... , x n)=med(x 1, x 2, ... , x n, g 0, g 1, ... , g n)(3) r'med(r)r'' ならmed(r', r, r'')=med(r) である。と書けるとの主定理を示そう。証明は評価者の人数 N =nに関する帰納法で行う。すでに補題

後に系6.1で明らかになるように定義3.1の強4.4 で N =n=1の場合にはg 0=f(a)とg 1=f(w)単調性が Balinski と Laraki の設定の問題点ので成立することを見た。ここでl kをn,k個のa源である。よって我々は匿名性、弱単調性、戦とk個のwからなるベクトルとする。つまり略的操作耐性だけを仮定して議論を進める。次l k=(a, ... , a, w, ... , w)L Nの補題は幾つかの仮想的な評価3)を含んだ中位──────n-k────────(5.1)

kである。このとき以下の定理が成り立つ。

関数が、ここで仮定した全ての条件を満たしていることを示している。

定理5.1. f : L NLを匿名性、弱単調性、戦略補題4.3. n+kが奇数となるkに対してg 0, g 1,的操作耐性を持つ集約関数とする。

... , g kをk個の評価語とする。このとき関数g=([ 0, [ 1, ... , [ n)をg k=f(l k)f(x)=med(x, g)(5.2)
Nと定義すると、任意のxL では匿名性、弱単調性、戦略的操作耐性を持つ。

f(x)=med(x, g)(5.3)

が成り立つ。

まず評価者が１名の場合、つまりn=1の場合を考えよう。ここでa=l 1=min  L, w=l m=max  Lであったことを思い起こしてほしい。

この定理をまとめると次の系が得られる。

補題4.4. n=1とし、f : LLを弱単調な集約

系 5.2. 集 約 関 数 f : L NL が 匿 名 性、弱 単 調関数とする。このとき f が戦略的操作耐性を持性、戦略的操作耐性を持つための必要十分な条

つための必要十分な条件は件は、g=(g 0, g 1, ... , g n)L n+1が存在してf(x)=med(x, f(a), f(w))f(x)=med(x, g)(4.1)と書けることである。と書けることである。

5.2. 仮想評価の縮小．集約関数に付加的な条件を仮定すれば仮想評価g 0, g 1, ... , g nの個数を4経営論集

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性から0ClCn,1であることに注意してほし減らすことが可能である。

い。必要な場合には番号を付け直してx 1x 2
... x n とすると、g k がaあるいはwに等しい

定義5.3. 集約関数 f はことからf(x)はf(a, a, ... , a)=aかつf(w, w, ... , w)=wを満たすとき両端で全員一致性を持つ(unani-f(x)=med(x, a, ... , a, w, ... , w)

mous at ends) という。

──────────────

l+1n-l=med(a, ... , a, x 1, ... , x n-l-1 ,──――――――───――――――───nx n-l, x n-l+1, ... , x n, w, ... , w)

系5.4. 匿名性、弱単調性、戦略的操作耐性を──――――――───――――――───n持つ集約関数f : L NLが全員一致性を持つた=x n-l

めの必要十分条件は両端で全員一致性を持つこで与えられる。以上の結果は、fが Balinski ととである。

Laraki の(n,l)-順位関数であることを示している。

系5.5. 匿名性、弱単調性、戦略的操作耐性を持つ集約関数f : L NLが両端で全員一致性を持つかあるいは強単調であるとする。このとき

系6.1 ([2] の Theorem 10.1). 匿名性、弱単n-1

調性、戦略的操作耐性に加えて強単調性を持つ

n,1 個 の 仮 想 評 価 g=(g 1, g 2, ... , g n-1)L

集約関数f : L NLは順位関数である。

が存在してf(x)=med(x, g)と書ける。

つまり、強単調性は、表明された評価が大きく割れた場合に集約関数が最低評価か最高評価６．順位関数の導出のいずれかを返すことを導くことになる。

７．結論

こ れ ま で 集 約 関 数 は n+1 個 の 仮 想 評 価g 0, g 1, ... , g nによって完全に決定づけられることを見てきた。しかもこれらの仮想評価は最低

本稿では、集約関数が仮想評価と中位関数で評価aと最高評価wのみが表明された場合の集特徴づけられること、さらに仮想評価は評価が約関数の出力する社会的評価であった。l k の大きく割れた場合、つまりどの評価者について定義(5.1) を再度見ていただきたい。そこで、もその表明した評価が最低評価かあるいは最高k評価である場合、の集約関数の出力であることが表明された場合にaあるいはwのいずれかをを示した。これによって、集約関数を決定する返す集約関数を考える。弱単調性からには評価が大きく割れた場合についてのみ社会

以下では両端で全員一致性を持ち、しかもlg k=的評価に対して評価者が合意すればよいことが

a 0CkCl の場合導ける。

w l+1CkCn の場合となるlが存在する。ここで両端での全員一致

5[7] http://infoshako.sk.tsukuba.ac.jp/ ~yamamot

注１)

Jennings がその博士論文[3] で本稿の結果と同

o/Majority_Judgment/ 1._Majority_Judgment_

様の結果をすでに導いていたことを、著者は本稿

heyoukoso.htmlの元となった論文[6] の査読者からの指摘によって知るに及んだ。これは著者の不勉強による。
よって著者は本稿の内容の新規性を主張するつもりはなく、本稿はこの分野に多くの方が興味を持ってくださるようにとの思いから書き記したものである。
２） Balinski と Laraki [2] の Chapter 10 にある順位関数の定義では、評価は降順に並べられており、ここでの定義はその点で彼らのものと異なるが、kをn,kで置き換えれば同じものを与える。
３） Moulin は phantom grades と名付けている。
References[1] Michel Balinski and Rida Laraki, “A theory ofmeasuring, electing and ranking”, Proceedings ofthe National Academy of Sciences of the UnitedStates of America 104 (2007) 8720-8725.
[2] Michel Balinski and Rida Laraki, Majority
Judgment : Measuring, Ranking and Electing,
The MIT Press, Cambridge, 2010.
[3]Andrew

Jennings,Monotonicity

andManipulability of Ordinal and Cardinal Social
Choice Functions, Ph. D. Dissertation, ArizonaState University, December 2010.
[4] Hervé Moulin, “On strategy-proofness andsingle peakedness”, Public Choice 35 (1980) 4,437-455.
[5] Hervé Moulin, Axioms of Cooperative Decision
Making, Cambridge University Press, Cambridge, 1988.
[6]

Yoshitsugu

YamamotoandYouZhou,“Characterization of anonymous, weakly monotonic and strategy-proof aggregation function”,
Discussion Paper 1310, Department of Social
SystemsandManagement,UniversityofTsukuba, August 2013.

6

Journal of Public and Private Management
Vol.3, No.2, March 2017, pp.1-6
ISSN 2189-2490

Characterization of Aggregation Functions
Yoshitsugu Yamamoto
Professor Emeritus, University of Tsukuba
yamamoto@sk.tsukuba.ac.jp
You ZhouCanon IT Solutions Inc.
Recieved 13 July 2016

Abstract
This paper is concerned about the aggregation function which plays a central role in the majority
judgement that was recently proposed by Balinski and Laraki as a new voting mechanism. We raise
two issues about their aggregation function, named order function, and show that they are resolved byrelaxing the strong monotonicity condition imposed on the aggregation function, and that theanonymous, weakly monotonic and strategy-proof aggregation function is completely determined by
the set of final grades when the judges split deeply.
Keyword：anonymity, weak monotonicity, strong monotonicity, strategy-proofness, majority
judgment, aggregation function

Faculty of Business Administration, Bunkyo University
1100 Namegaya, Chigasaki, Kanagawa 253-8550, JAPANTel +81-467-53-2111, Fax +81-467-54-3734
http://www.bunkyo.ac.jp/faculty/business/

経営論集Vol.3, No.2

ISSN 2189-2490
2017年３月28日発行
発行者

文教大学経営学部

坪井順一

編集

文教大学経営学部

研究推進委員会

編集長

鈴木誠〒253-8550 神奈川県茅ヶ崎市行谷1100
TEL：0467-53-2111

FAX：0467-54-3734

http://www.bunkyo.ac.jp/faculty/business/