自然災害科学 J. JSNDS 24-3 279-286（2005）

論文松田

降水の時間集中度に基づく結合確率分布モデルの実用性について

誠祐 *・足立真吾 **Practicability of a joint probability distribution model based on thetemporal concentration degree of precipitation
Seisuke MATSUDA * and Shingo ADACHI * *Abstract

In this paper, the authors propose an empirical formula to estimate the joint nondimensional return period of 24-hour and 1-hour precipitation based on the results ofnumerical experiments conducted for the joint probability distribution model proposedin the previous paper and also define an index to represent the joint scale of a heavy
rainfall. Given a fixed design 1-hour rainfall Rlh, it is possible to estimate a duration to
be used in composing the index equivalent to the joint scale index. Relations between
the scale index and the duration are given by a single-valued function for a fixed design
R1h. The duration should be equivalent to the drainage pump operation time. It wasverified that the duration was almost equivalent to the real pump operation time forthe drainage systems in Kochi city. An increasing long-term trend of the joint scaleof heavy rainfalls in Japan was verified using the averaged value of the top ten of thejoint scale index estimated by AMeDAS hourly rainfall data for each year from 1976 to
2003.
キ－ワ－ド：豪雨，ID 解析，数値実験，結合再現期間，アメダス時間降水量
Key Words: Heavy rainfall, Intensity-Duration analysis, numerical experiment, joint return period, AMeDAS hourly
precipitation

本論文に対する討論は平成 18 年５月末日まで受け付ける。

* 高知大学農学部

Faculty of Agriculture, Kochi University** 愛媛大学大学院連合農学研究科

The United Graduate School of Agriculture Science for theDoctoral Course, Ehime University279

松田・足立：降水の時間集中度に基づく結合確率分布モデルの実用性について

280

１．はじめにえば，角屋，1964）の定数によって与えられる。

最近，世界的に異常な集中豪雨が頻発している。日本では，1998 年の高知豪雨，2000 年の（1）

東海豪雨が大規模な集中豪雨として特筆される。これらの集中豪雨では総雨量が 1000 mm 以

ここに，rt は最大の t 時間平均降水強度，a と c

上，時間雨量が 100 mm 以上の観測点があった。

は定数。

2004 年の台風 10 号，15 号などにおいても，総この a と c は，通常，任意の時間 t と最大の雨量 1000 mm 以上，時間雨量 100 mm 以上の観t 時間平均降水強度 rt の関係を両対数グラフに測点（例えば，那賀川水系海川，四国電力；吉プロットして最小自乗法で求められる。しかし，

野川水系石ガ谷，国土交通省四国山地砂防事務式（1）において，a ＝ r1 であることは自明で所）が報告されている。気候変動の原因を地球あること，a と c の関係が前者を対数軸にとる

温暖化に求める主張もあるが（例えば，磯村，

片対数紙上で直線的に分布する（松田・角屋，

2003），それはさておき，この総雨量と時間雨量

1983）ことから，著者らは，最小自乗法ではなく，の両方を同時に定量的に表す適当な指標，いわ下限および上限時間（ID 解析における下限時間ば結合規模の指標が見つからない。

＝ 1，上限時間＝ T）の 2 点から c を求めること

ここでは，著者ら（松田ら，2004）が提案しとし，c を C で置換え，降水の時間集中度と呼ている降水の時間集中度に基づく結合確率分布

ぶことにした。したがって C は，両対数紙上でモデルの数値実験によって，24 時間降水量と 1

単位時間 1 の降水強度 r1 と代表時間 T の平均降時間降水量の結合無次元再現期間の実用推定式

水強度 rT を結ぶ直線のこう配で表される。

を示すとともに，24 時間降水量と 1 時間降水量の結合無次元再現期間に対応する正規値（正規変換変量をこのように略称する）と 10 日降水量の積を豪雨の結合規模の指標として，最近の日（2）

本における豪雨の傾向を考察する。
こ こ に，r1 ＝R1/1，rT ＝RT/T。R1 は 単 位 時 間

２．降水の時間集中度に基づく結合確率分布モデル

降水量，RT は代表時間降水量。
C は［0，1］ の 範 囲 に 分 布 す る。C＝0 の と

著者らは，降水量の超過確率を推定するため

き r1＝RT/T（T 内一様分布），C＝1 のとき r1＝に，降水の時間集中度に基づく結合確率分布モ

RT/1（単位時間内に集中）になる。実際の降水デルを用いるので，前報（松田ら，2004）と重現象において一連の降水継続時間は一定ではな複するが，初めにその方法を概説する。

い。しかし，これを一定の時間長さ T の中で起こる現象であるとして解析する。

2.1

降水の時間集中度

降水の時間集中度の定義を簡単に述べる。単位2.2

確率単位時間降水量の推定式

時間（⊿ t）およびある長さの時間（＝代表時間

式（2）で表される C を，Slade Ⅲ型正規変換

T）を考える。次に，j ＝ t/ ⊿ t のように無次元式を用いて，式（3）のように正規変量化する（例

化時間数で考える。以下では単に単位時間（＝ 1），

えば，岩井・石黒，1970）。

代表時間 T（または T）と表現する。さて，著者
らの降水の時間集中度は ID 解析（または DD 解

（3）析）の結果から導かれたものであり，ID 式としてよく知られている以下に示す Sherman 式（例（4）自然災害科学 J. JSNDS 24-3（2005）

281

ここに，ξは N（0，1/2）に従う正規値，α，g，

さて，ξは超過確率と対応している。したがっC0 は C を正規変量化するための定数。正規性のて，R1 と RT が与えられると，（m＋1）および検証と定数の具体的値については文献（松田ら，n はξの関数で与えられているので，式（7）を1996，2000，2001）を参照されたい。

逆算してξを求めることができる。すなわち，また，式（2），式（3）および r1 ＝R1/1，rT＝RT/T の関係を用いて変形すると式（5）が得られる。
（5）（6）

与えられた RT のもとで，任意の R1 に対応する
超過確率を算定できることになる。

３．24 時間降水量と 1 時間降水量の結合
無次元再現期間の実用推定式
式（7）の右辺は正規値ξと RT の関数となっているので，RT を所与としてξをランダムに与式（5）の右辺第 1 項がξをパラメ－タとしてえることによって任意の単位時間降水量 R1 を模

log（RT）の 1 次式で表されることから，確率単擬発生させることが可能である。著者らは，一位時間降水量ξR1 を推定する式（7）が得られて定の 10 日降水量 R10d に基づき，（0 ～ 1）一様いる（松田ら，2004）。

乱数を用いて 24 時間降水量 R24h と 1 時間降水量 R1h を模擬発生させる数値実験を行い，R24h（7）と R1h の結合超過確率の特性を調べ，両者の結合無次元再現期間が式（8）で与えられることを

表 1 は一連の確率単位時間降水量推定式の係示した（松田ら，2004）。

数（m＋1）および n をξの関数で与えている。
（8）

ξの適用範囲を分ける必要があること，2 次式となっていることなど，今後より詳細な解析が必要であるかもしれない。例えば，10 日降水量

こ こ に，T（R1h），T（R24h），T（R24h∩R1h）は，Tを一定として同様の解析を行い，式（7）のよう（R1h）＝1/W（R1h），T（R24h）＝1/W（R24h），T（R24h  ᦨ ㄭ ߩ ⽕ 㔎 ߦ ኻ ߔ ࠆ ∩R⚿ วⷙ ᮨᜰ ᮡ ߩ ฦ ᐕ
＝1/W
（Rߩ
1h）
24h∩R1h）で与えられ，それぞれ਄ ૏  ૏ ߦ  ࿁ એ R
਄1h，R
౉ 24hߞࠕ ࡔ ࠳ ࠬ ⷰ ᷹ （R1h），，Rߚ
結合超過確率などを，実測デ－タによって検証
24h∩R1h の無次元再現期間，Tὐ ߩ ಽ ᏓW
（R24h），W（R24h∩R24h）は，それぞれ R1h，R24h，することが可能となる。しかし現在のデ－タ数
࿑

な推定式を作成することができれば，正規性，はそれほど多くない。

R24h∩R1h の 超 過 確 率 で あ る。 た だ し， 厳 密 に⴫   ⏕ ₸ න表１૏ ᤨ㑆 㒠 ᳓ ㊂ ផ ቯ ᑼ 㧔 㧕 ߩ ଥ ᢙ
確率単位時間降水量推定式（7）の係数

⴫   ᐕ 㜞 ⍮ ⽕ 㔎࡮ ᐕ ᧲ ᶏ ⽕ 㔎 ߦ ߅ ߌ ࠆઍ ⴫ ⊛ ߥ ⷰ ᷹ ὐ ߩ 㔎 ㊂ ߣ ή ᰴ ర ౣ ⃻ ᦼ 㑆ߩ ଀松田・足立：降水の時間集中度に基づく結合確率分布モデルの実用性について

282

は，T（R1h）は T（R1h｜R24h），T（R24h）は T（R24h｜たβの関係を表している。数値実験は擬似一様R10h），T（R24h∩R1h）は T（R24h∩R1h｜R10h）のよう乱数であること，式（7）の確率単位時間降水量に記すべきであるが，いずれも条件付の部分を推定式も近似式であることから，多少のばらつ

省略して記している。

きはあるが，数値実験から得られたβは式（9）

これまでの研究においてβ（＝ 0.3 ～ 0.9）はによってほぼ近似されていると言える。すなわ

数値実験によって定められたが，今回，R10h ＝

ち，式（8）および式（9）を用いて結合無次元

200，400，800，1600 mm に対する平均的なβm

再現期間 T（R24h∩R1h）を推定できる。

の推定式を作成した後，R10h の違いなどによる修正を加える以下のような実用推定式を作成した。

４．結合確率分布モデルの妥当性と実用
性の検討

（9）

著者らは，（0 ～ 1）一様乱数を用いて結合確（10）率分布モデルの数値実験を行い，数値実験が正（10.1）

しく行われていることを確かめ，1998 年高知豪（10.2）

雨，2000 年東海豪雨における T（R24h∩R1h）を推定した（松田ら，2004）。しかし，これらの T（R24h（10.3）∩R1h）の推定値の妥当性について検証する方法を提示し得ていなかった。T（R24h∩R1h）の推定
値を直接的に検証することはデ－タ数が少ない
のでできない。そこでここでは，任意の R24h お（11.1）

よび R1h に対する T（R24h∩R1h）を推定できることを利用して検証する方法を提案するとともに，その方法が T（R24h∩R1h）の実用的な利用法と結びつくことを示す。

（11.2）
ここに，ξ1h とξ24h は，それぞれ⊿t＝1h，T ＝
24，および⊿t＝24h，T＝10 とした場合の，式（3）で与えられるξの値である。
図 1 は，数値実験によるβと式（9）から求め࿑ ᦨ ㄭ ߩ ⽕ 㔎 ߦ ኻ ߔ ࠆ ⚿ ว ⷙ ᮨ ߩ ᜰ ᮡ ߩ ฦ ᐕ਄ ૏  ૏ ߦ  ࿁ એ ਄ ౉ ߞ ߚ ࠕ ࡔ ࠳ ࠬ ⷰ ᷹ߩ ಽ Ꮣ
4.1 ὐ豪雨の結合規模を表す指標の導入

結合確率分布モデルによって推定される結合⴫  ⏕ ₸ න ૏ ᤨ 㑆 㒠 ᳓ ㊂ ផ ቯ ᑼ 㧔 㧕 ߩ ଥ ᢙ

超過確率は，代表時間雨量 RT の値の大きさによって異なる。表 2 は，著者らが推定した 1998
年高知豪雨・2000 年東海豪雨において，それぞ れ 代 表 的 な R1h，R24h，R10d， お よ び T（R24h∩R1h） を 示 し た 観 測 点 の 値 で あ る（ 松 田 ら，
2004）。

表２
年高知豪雨・2000
年東海豪雨における⴫   1998
 ᐕ
㜞 ⍮ ⽕ 㔎࡮ ᐕ᧲ ᶏ ⽕ 㔎 ߦ ߅ ߌ ࠆ
代表的な観測点の雨量と結合無次元再現期ઍ⴫ ⊛ ߥ ⷰ ᷹ ὐ ߩ 㔎 ㊂ ߣ ή ᰴ ర ౣ ⃻ ᦼ 㑆
ߩ
଀
間の例

図１

結合無次元再現期間の推定式の係数βに対する数値実験結果と実用推定式から求めた値の比較

自然災害科学 J. JSNDS 24-3（2005）283

表 2 において，東海豪雨における宮川の 10 日R1h）と基準 R1h に対する結合無次元再現期間を

雨量が 1095 mm であるにもかかわらず，T（R24h

求め，それに対応する正規値ξ（t ×基準 R1h∩∩R1h）の値がかなり小さく計算されている。T

基準 R1h）を考える。すなわち，基準 R1h を固定（R24h∩R1h）は，前述の定義式のただし書きで述し，代表時間降水量 RT は，基準 R1h が t 時間継

べたように，R10d の条件付結合無次元再現期間続した（t 時間平均強度が R1h となる）と考えてであることから，R10d の値に強く影響され，T（R24h

RT ＝（t×基準 R1h）のようにおく（ただし，t ＜∩R1h）の値のみでは豪雨の結合規模を表せないT）。この t は雨水排除計画におけるポンプの稼ことを示唆していると思われる。そこで，豪雨

動時間のイメ－ジである。基準 R1h（計画 R1h にの結合規模を表す指標として，ξ
（R24h∩R1h）×相当）を t（稼動時間に相当）倍するのは，ポR10d を考えた。ここに，ξ（R24h∩R1h）は T（R24h

ンプが実際に稼動した場合にのみ排水が行われ∩R1h）に対応する正規値である。

るので，ポンプが稼動しなければその時点で排水は止まってしまう。ポンプ停止後の排水量は4.2

一定の 1 時間降水量が t 時間継続した場合に相当する豪雨の結合規模

考えないことに対応する。
次に，それぞれの豪雨において観測されたξ

さて，一定の 1 時間降水量（以下，基準 R1h）

（R24h∩R1h）
×R10d と ξ（t× 基 準 R1h∩ 基 準 R1h）が t 時間継続した場合に相当する雨量（t ×基準

×（t×基準 R1h）を用いて，結合規模の指標に関する等価率を表す式（12）を定義する。式（12）が 1 となるときの分子を，結合規模の等価指標（又は単に等価指標）と呼ぶ。

（12）
図 2 は， 高 知 豪 雨 時 の 高 知 市 降 水 量（R10d＝
図２ 1998 年高知豪雨に対して，高知市の雨水排除ポンプの計画 R1h に対する等価指標からポ
ンプ稼動時間を推定する計算例

図３1231 mm，R24h＝861 mm，R1h＝112 mm，T
（R24h∩R1h）＝118）に対して式（12）が等価になるた
めのポンプの稼動時間が約 14 時間であることをξ（R24h∩R1h）×R10d と一定の基準 R1h に対する等価指標を構成する継続時間の関係

松田・足立：降水の時間集中度に基づく結合確率分布モデルの実用性について284示している。高知市の雨水排除ポンプに対するに対する等価指標を構成する継続時間 t の単調

現行の計画 R1h は 77 mm であるが，計画 R1h＝増加関数となっていることから，豪雨の結合規

100 mm（仮定）にすると，式（12）が等価にな模を表す指標として適していると考えられる。

るためのポンプ稼動時間は 10 時間となり，約 4
時間短くなることがわかる。しかし，計画 R1h

4.3＝100 mm（仮定）にしても，10 時間のポンプ

雨水排除ポンプの稼動時間による結合確率分布モデルの実用性の検証

稼動が必要であり，降水量のピ－ク時には R1h

図 4 は，1998 年高知豪雨における雨水排除ポ＝112 mm が観測されているのであるから氾濫

ンプの稼動状況を示している。高知市全体のポが起こる。高知豪雨では，中心市街地が 9 月 24

ンプ場の平均的な稼動状況（計画 R1h ＝ 77 mm）

日 21 時頃から 25 日 6 時頃までの 9 時間冠水した。

および中心市街地ポンプ場の稼動状況（計画

図 3 は，高知豪雨・東海豪雨・2004 年の台風

R1h＝ 66 ～ 70 mm）である。ちなみに，中心市などで観測された降水量を用いて，基準 R1h＝街地（3 機場）のポンプ能力は 12.78 m /s（合計10 ～ 100 mm に対して，ξ
（R24h∩R1h）× R10d の

6 台，排水面積 1.42 km ），54.45 m /s（8 台，5.9

値に対応する等価指標を構成する継続時間 t のkm ），7.08 m /s（3 台，1.0 km ） で あ っ た。 流

推定値を示している。継続時間を 1 時間単位で出率は新旧のポンプで幅（0.4 ～ 0.6）があるが，推定したので階段状になっているが，ほぼ一価

最近のポンプでは 0.55 程度が多い。ピ－ク流量

関数的に分布しており，ξ（R24h∩R1h）×R10d はの計算には実験式や合理式が用いられている（聞一定の R1h に対して t が大きいほど大きいと言き取りによる）。

3

2

2

3

3

2

える。ξ
（R24h∩R1h）× R10d は，R1h，R24h および

豪雨初期および終了時には，ポンプはフル稼

R10d を同時に考慮していること，一定の基準 R1h

動していない。そこでポンプの稼動率を，ポン

図４

1998 年高知豪雨における高知市の雨水排除ポンプの稼動状況

自然災害科学 J. JSNDS 24-3（2005）

285

図５

高知市の雨水排除ポンプの稼動時間と豪雨の等価指標を構成する継続時間の比較による結合確率モデ
ルの妥当性の検証

図６

最近の日本の豪雨に対する結合規模の指標の経年傾向（アメダス降水量から計算した指標の各年上位
10 位の平均値）

プの計画総吐出量に対する実際の吐出量の比でンプがフル稼動できないか，あるいはフル稼動の表し，全排水量が等しくなるようにポンプのフ必要がなく，ポンプの稼動時間が長くなるであろ

ル稼動時間を計算した。前者の稼動時間は 13.6

う。また，降雨の地域性に起因して，流出量が多時間，後者のそれは 16.1 時間であり，推定継続

かったり少なかったりすることも考えられる。

時間 t とほぼ一致している。

この方法はξ
（R24h∩R1h）の推定値の妥当性を

図 5 は，高知市の最近における豪雨時の雨水直接検証するものではないが，実際に稼動したポ排除ポンプの稼動時間を示している。 ξ（R24h∩

ンプの稼動時間を，結合確率分布モデルの実用推R1h）×R10d が小さいとき，ポンプの稼動時間が定式から計算した一定の基準 R1h に対する等価指

やや長くなっている場合があるが，ほぼ継続時

標を構成する継続時間と比較している点で，有力間推定曲線の近傍に分布しており，推定が妥当なモデル検証法であると考える。今後，各地の雨であると言える。

水排水機場における豪雨時のポンプ稼動時間がξ（R24h∩R1h）
×R10d が小さいとき，ポンプの稼得られれば，さらに検証が進むと期待している。

動時間が推定継続時間よりやや長くなる原因はいくつか考えられる。例えば，ξ
（R24h∩R1h）
×
R10d が小さいときには流出量が排水機場に集まっ

５．豪雨の結合規模を表す指標の経年変化てくるまでに時間がかかることが考えられ，ポξ（R24h∩R1h）
×R10d が豪雨の結合規模の指標

࿑

286

松田・足立：降水の時間集中度に基づく結合確率分布モデルの実用性についてれることがわかった。高知市における雨水排除
ポンプの稼動時間のデ－タを用いて，一定の基準 R1h に対する等価指標から計算した継続時間
が実際のポンプ稼動時間とほぼ一致していることを確かめた。また，日本のアメダス降水量のξ（R24h∩R1h）×R10d の上位 10 位の平均値を用いて，最近の日本における豪雨の結合規模は増加傾向にあることが認められた。

謝

辞

本研究で使用した降水量デ－タは，主として ᦨ ㄭ
ߩ ⽕ 㔎 ߦ ኻ ߔ ࠆ ⚿ ว ⷙ ᮨ ߩ ᜰ ᮡ ߩ気象庁アメダス時間降水量デ－タである。また，
ฦ ᐕ
図７ 最近の豪雨に対する結合規模の指標の各年
਄ ૏  上位
૏10ߦ

࿁
એ
਄
౉
ߞ
ߚ
ࠕ
ࡔ
࠳
ࠬ
ⷰ
᷹
位に１回以上入ったアメダス観測点
国土交通省四国山地砂防事務所，高知市，四国の分布ὐ ߩ ಽ Ꮣ電力から貴重なデ－タを頂いたことを付記し，深謝の意を表す。
として適していることが期待されるので，最近⴫  ⏕ ₸ න ૏ ᤨ 㑆 㒠 ᳓ ㊂ ផ ቯ ᑼ 㧔 㧕 ߩ ଥ ᢙのアメダス降水量から見た日本の豪雨規模の経
参考文献
年変化を調べる。
図 6 は，アメダス観測点（欠測が少ない 923地点）のξ（R24h∩R1h）×R10d を計算し，各年上
位 10 位の地点の値を選んで平均し，その経年傾向を示している。経年傾向に近似直線を当てはめた結果によると，5％有意水準の t 検定で有意と判定され，増加傾向であると見ることができる。最近の日本の豪雨に対する結合規模は強まる傾向にあると言えよう。
図 7 は，豪雨の結合規模の各年上位 10 位に 1
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く見られ，北海道を含む広い範囲に分布していઍ ⴫⊛ ߥ ⷰ ᷹ ὐ ߩ 㔎 ㊂ ߣ ή ᰴ ర ౣ ⃻ ᦼ解析における水文量の見直しについて，水工学論
㑆
文集，第 44 巻，pp.25-30，2000．
る。豪雨の結合規模が増加する傾向にある原因ߩ ଀について，海水の表面水温の上昇，海流の変化などが考えられるので，今後調べたい。

松田誠祐・大年邦雄・藤原

拓・祁

永強：確率降水量の推定法，水文・水資源学会誌，Vol.14，No.4，
pp.307-316，2001．
松 田 誠 祐・Md. Abdur RAZZAK・ 足 立 真 吾： 降 水 の６．まとめ
結合確率分布モデルによる数値実験の結果を用いて，T（R24h∩R1h）の実用推定式を作成した。
豪雨の結合規模の指標ξ（R24h∩R1h）
×R10d を定義し，一定の基準 R1h に対する等価指標から，それを構成する継続時間を求めると，ξ（R24h∩R1h）×R10d が継続時間の単調増加関数で与えら

時間集中度の確率分布モデルとその 1998 年高知豪雨・2000 年東海豪雨への適用，自然災害科学，
Vol.23，No.3，pp.405-414，2004．
（投稿受理：平成 17 年 3 月 28 日
訂正稿受理：平成 17 年 8 月 18 日）