H26 警視庁第１回目

クレアール専任講師

島本昌和【No.34】
正答４
数字の部分を置き換える問題である。使われている記号が４つなので４進法ではないかと想像はつく。
例からわかるのは
１○２△３□

なので, ０は恐らく×であろう。

以上のことより10 進法と４進法, 記号を比較すると次のようになる。
10 進法

４進法

記号

１１○２２△３３

□

４１０○×

５

１１○○

６１２○△

７１３○□

８２０△×

９

２１△○

１０２２△△

１１２３△□

１２３０□×1

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クレアール専任講師

島本昌和［No.35］
正答５
まず, イの条件より B は②か⑤である。しかし, B が⑤の時 B の両隣には誰もおらず, また,B は 1 人で使っていることより, オの条件と矛盾する。したがって, B は②となる。
B が②のとき両隣には誰もいないので, アの条件より A は④, D は⑥となる。
楽屋の配置
①空
通路

② B １人③④ A １人

窓

⑤窓

⑥

空

D窓

入口
C と E の 2 人がのこる。ここで, E が⑥だとすると, C は 1 人部屋しかなくなり問題にあわない。従って E は⑤の部屋ということになる。
楽屋の配置
①空

② B １人③通路

空入口

残る C は⑤または⑥である。
１空き部屋なので誤り。

２②の部屋なので窓はない。

2④ A １人

窓

⑤E窓

⑥

D窓

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クレアール専任講師
３

C は⑤, ⑥のどちらかであるので誤り。

４⑥の部屋なので窓はある。

５正しい。

島本昌和

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クレアール専任講師

島本昌和［No.36］
正答

３

同じ回数がなく, 最後の 1 人が５回で抜けたことより, それぞれがサイコロを振ったのは,３回, ４回, ５回である。
つぎに, エより C が出した目が２種類だけで積がちょうど 100 になったということから, その値を考えてみる。
100 を素因数分解すると 22×52となる。よって, Cについて考えられるのは 2 を 2 回, 5 を 2回出したか, 4 を１回, 5 を２回のいずれかである。Cはサイコロを５回振ることはないので,１位または２位である。
ここで, アとウの条件より１回目と３回目は奇数であり, ３人とも同じ目となる。C の出目は２, ４か５しか考えられないので, １回目と３回目は５である。
１２３A５５B

５５C５５４５順位
１

つぎにイの条件より A の２回目は５または６である。どちらの場合も, ３回目までで終了するので A は１位である。ここで, C は４回振ったことが分かり, ２位が確定する。
１２３４５順位A

５５，６５××１

B５C５５２３５２4×２

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クレアール専任講師

島本昌和［No.37］
正答

１

A が嘘だとして, 残りの発言から順序を考える。
真ん中が D で, C の左が B なので, B を一番左にすると,BCD○Ｅが考えられるが A の位置を B の発言と矛盾なく入れられない。
つぎに D の右に BC となるように○○DBC とするとEADBCとなり, 矛盾なく確定する。

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クレアール専任講師

島本昌和［No.38］
正答

３

それぞれの条件を論理式にして, さらに対偶もつくる。
アスピード → フィギュア
フィギュア → スピードイ

フィギュア → ホッケー
ホッケー → フィギュアウ

スピード → ローラー
ローラー → スピードエ

フィギュア → ローラー
ローラー → フィギュアオ

ホッケー → スピード
スピード → ホッケー

１

スピード→ フィギュア → ホッケー

２

スピード → ローラー → フィギュア → スピード →ローラー・・・となりつながらない。

３

正しい。 フィギュア → スピード →ローラー

４

スタートできない５

ローラー → スピード → ホッケー

までしかつながらない。
となりつながる。

となり, 題意を満たさない。

6

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クレアール専任講師

島本昌和［No.39］
正答２

この問題で作られる図形は次のようになる。

XY

選択肢から判断する
１のケース
X が４だとすると, X の両側は２，３となり Y は３でなければならない。Y の両側は２，４となり, 題意を満たすためには X は２でなければならないが, X は４であり, 不適。
２のケース
X が４だとすると, X の両側は１，３となり, Y は４でなければならない。Y が４のとき Yの両側は１，３であり, このとき X は４でなければならないが, ４であるので適している。
X が３だとすると, X の両側は１，４となり, Y は１または４でなければならない。Y=4 は既出なので, Y=1 となる。Y=1 の時はどんな数でも倍数となる。
X＝１のとき X の両側は, ３，４となり, Y はどんな数でも良い。しかし, Y=１，２，４は使っているので Y=3 となる。このとき Y の両側は, １，４となり, X＝１と整合性がある。
従ってこの場合, 数字的には題意を満たすことができる。

３のケース

7

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クレアール専任講師

島本昌和

X が４だとすると, X の両側は１，２となる。このとき, Y は１でなければならない。Y が１の時は全ての数が倍数になる。
X が２だとすると, X の両側は１，４となる。このとき Y は１となる。X＝４のときも Y=1となるので不適。
４のケース
X＝４だとすると, X の両側は２，３となる。このとき, Y は３となる。Y が３のとき Y の両側は１，２となる。このとき X は３でなければならないが４なので不適。
５のケース
X＝４だとすると, X の両側は１，３となる。このとき, Y は４でなければならないが, ４は使えないので不適。
したがって, ２のケースのみがあり得ることになる。

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クレアール専任講師

島本昌和［No.40］
正答

４

このケースでは, この立方体の内部を通る対角線がこの円の直径に等しいはずである。

４

この対角線を含む面でこの立方体を切断したのが次の長方形である。立方体の１辺を a とすると, この長方形の長辺は, 立方体の１つの面の対角線と同じであるから, 三平方の定理より 2 a となる。

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クレアール専任講師

2aa４

三平方の定理より
42 = a 2 +( 2a )216 = a 2 + 2a 2
3a 2 = 1616
a2 =
3a=163もとめる立方体の体積は31616 16 16 46464 3a ===×==33 3393 3 3310

島本昌和

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クレアール専任講師（再び a とｂが共通接点）

島本昌和［No.41］

正答１
a とｂが全く逆に最初からずっと転がれば,１周でもとにもどる。しかしこのケースは, 逆に1転がり始めるのが右へ 周ずれたところである, 次の図の 1 の点。つぎに a とｂが共通の接8点をもつのは最初に接して逆向きに回り始めたところの反対側の円周上２の点である。こここから, 今度は同じ向きに回り始めるので, 次の図の３で再び共通接点をもつ。そこからまた, B は逆に回り始めるので次の図の４の点で再び接点をもつ。ここで, また同じ方向に回り始めるので, つぎは５の点で共通接点をもつ。ここから又逆に回り始めるので, つぎは６の点で共通接点をもつ。そこから, また同じ方に回り始めて, 元の位置に戻る。したがって円 A は２周することになる。

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クレアール専任講師

島本昌和［No.42］
正答

５ｄB

青下段
緑赤

A

上段

C

上の図のようにこの図形を上から見る。このとき切り口は A,B,C の３点を含む平面上にある。
切り口は A からｄまでつながっておりｄ点は図形の床と同じ高さである。上段の切断面はA からＢＣまでである。この範囲の中に赤の立方体がちょうど 1 つ含まれていることから
赤は, A から対角線にちょうど半分になっている。それに対して青と緑は BC のラインで切断面が始まり青と緑の底面に達する前,上面と底面のちょうど半分（点線のところ）でに切り口が抜けている。
（d まで切り口がいったときが底面と同じ高さである。）つまり青と緑から切り口が抜けるときには, 高さの半分の位置ということになる。
したがって青と緑の切り口は次のようになる。

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クレアール専任講師

島本昌和

切り取られる部分

この切り取られる部分は, 底面が立方体の面の半分, 高さも半分の三角錐となる。したがってこの三角錐の体積は,残りの部分は1 1 1 1× × =2 2 3 1211となる。
12

また, 黄色は切断されていない。
したがって, 体積比は黄色を１とすると
赤：黄：青：緑＝111 11：１： ： ＝6：12：11：11
212 1213

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クレアール専任講師［No.43］
正答３

平面図
３１ １

１２１１

側面図

立面図

立面図

側面図

最小の場合は上のようになる。10 個である。
最大の場合

14島本昌和H26 警視庁第１回目

クレアール専任講師

島本昌和

平面図
３２ １２２１１

側面図

立面図

立面図

側面図

最大の場合はこのように 12 個になる。

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