サンプル値 H ∞ 制御によるサンプルレート変換器の設計◯永原正 章∗ ・山 本裕∗Sampled-Data H ∞ Design for Sample-Rate Converters◯ Masaaki Nagahara∗ and Yutaka Yamamoto∗

This paper proposes a new design methodology for digital ﬁlters, interpolators/decimators and sample-rate converters, based on the modern sampled-data control theory. In contrast to the conventional ﬁlter designs where
the methods are mostly based on frequency domain approximation techniques, the proposed method makes useof the sampled-data H ∞ control theory, thereby allowing for optimizing the intersample behavior and aliasingeﬀects. The novel feature here is that the proposed method can optimize the analog-domain performance over all
frequency ranges, thereby guaranteeing a desirable performance without breaking the design problem into several
diﬀerent steps, such as linear phase characteristic, optimal attenuation level design, etc. A design example ispresented to show the advantages of the present method.

1.

はじめにディジタルフィルタ設計には，窓関数法や等リップルフィ

ここで自然数 L と M は既約とする． まずサンプル周期 hvd-↑L

φd-C(z)ψd↓Mudルタなど理想特性を近似する手法や双一次変換法のようにアナログ特性を近似する手法など様々な設計法がある 8), 9) ．

Fig. 1 Sample-rate converter

そして設計の際には，これらの諸手法の中から，その信号処理系に応じて経験的に設計手法が選ばれることが多い．まの離散時間信号 vd がアップサンプラ

た，これらの設計法は，元の連続時間信号がナイキスト周波数以下に完全に帯域制限されていると仮定した，離散時間領↑ L : yd → xd : xd [k] =域での議論である．しかし，信号を完全に帯域制限すること

yd [l], k = Ll, l = 0, 1, . . .
0,otherwise

は現実には不可能であり，連続時間特性を考慮したディジタによってサンプル周期 h/L の離散時間信号 φd に変換されルフィルタ設計が望まれる．

る．次に信号 φd はディジタルフィルタ C(z) によって処理

この問題に関して文献 3) では，ディジタル信号処理における信号復元問題にサンプル値 H ∞ 制御理論を導入し，連続時間特性を最適化するディジタルフィルタ設計が提案されている．これにより，ナイキスト周波数以上の周波数成分をも考慮した (準) 最適な信号復元が可能となる．

され，その出力 ψd がダウンサンプラ↓ M : xd → ud : ud [k] = xd [M k]
によって最終的にサンプル周期 M h/L の信号 ud に変換される．このフィルタ C(z) の設計問題はサンプル値制御系

本研究では，この手法に基づき，サンプルレート変換にお設計問題として定式化できることが知られており，その際けるディジタルフィルタ設計をサンプル値 H ∞ 制御によりC(z) は LM 周期時変フィルタとなる 2) ．しかし，もしこ行う．従来の手法 2) では，レート変換の比率が大きい場合，のレート L と M が大きな整数であれば, フィルタ C(z) の対象となる設計プラントの次数が非常に大きくなり，数値計設計におけるプラントの次数は非常に大きなもの (少なくと算を行うことが実際上不可能であったが，本手法では問題をも LM 次) となり，数値計算の実行が困難である．

複数の簡単な問題に分割することによって，設計が可能ときる． ここでシステム K(z) ↑ L はインターポレータであなる．

2.

問題設定

サンプルレート変換器のブロック線図を Fig. 1 に示す．
∗∗

一方，サンプルレート変換器は Fig. 2 のようにも構成で

京都大学情報学研究科
Graduate School of Informatics, Kyoto University, Kyoto- ↑L- K(z)- H(z)- ↓M

Fig. 2 Sample-rate converter-り，また ↓ M H(z) はデシメータである． この構成の利点
はフィルタ K(z) と H(z) が前述のフィルタ C(z) に比べ低い次数で構成が可能である点である．本研究では，サンプル- F (s) ycるのではなく，インターポレーションフィルタ K(z) およびに対応する要素を Fig. 3 に示すようにそれぞれ縦続に接続することにより，大きな比率のサンプルレート変換器を構成できる．

信号 ec (t) := zc (t) − uc (t − mh) までのシステムを Tew とおく．このとき設計問題は次のように定式化される:［問題 1］ 安定な F (s) と P (s) および正数 γ が与えられたとき，

Tew  :=- ↑ L1- K1 (z)- ↑ Lm- Km (z)↓ M1 

Tew wc 2< γ.
wc 2wc ∈L2 [0,∞)sup（1 ）を満たすディジタルフィルタ K(z) を求めよ．

2. 2

 ↓ Mn  Hn (z) ?
f-ec−- P (s) 6Fig. 5 Signal reconstruction error system

デシメーションフィルタ H(z) を別々に設計する手法を提案する．さらに，もし整数 L と M がそれぞれ L1 L2 · · · Lm+- Sh - ↑ L -K(z) - Hh/L

レート変換器の設計において，フィルタ C(z) を直接設計すと M1 M2 · · · Mn に分解することができれば，これらの整数- e−mhswc

H1 (z) 

デシメータの設計問題

ここではデシメータの (準) 最適設計問題を定式化する．
この問題はインターポレータの設計問題と双対の問題と考えられるが，この設計問題は従来あまり議論されていない．

Fig. 3 Sample-rate converter

2. 1

Fig. 6 のブロック線図を考える． まず入力信号 wc はアナインターポレータの設計問題

まずインターポレータの (準) 最適設計問題を定式化する．

Fig. 4 のブロック線図を考える． 入力信号 wc に対し，アwc

yc

ydxd- F (s) - Sh/M -H(z) - ↓ M

udA/Dycwc-F (s) - ShA/Dydxduduczc

Fig. 4 Multirate Signal Reconstruction

ナログローパスフィルタ F (s) によって高周波成分をある程度除去した信号 yc を考える．ここで F (s) はアナログ信号yc の周波数特性を示している．次にこの信号はサンプル周期 h で動作するサンプラ Sh によって離散時間信号 yd に変換される．
信号 yc の復元には通常，離散時間信号 yd に対しディジタルフィルタで処理した後，ホールド要素により連続時間信号に変換し，適当なローパスフィルタによって平滑化する．
しかし，ここでは次のようなステップを経て信号を復元する:

ログフィルタ F (s) を通り yc を得る．この信号はサンプル周期 h/L のサンプラ Sh/L により離散時間信号 yd に変換される．この離散時間信号 yd はまずディジタルフィルタ H(z)によって処理され，この信号 xd はダウンサンプラ ↓ L に
よってサンプル周期 h の離散時間信号 ud に変換される．次にこの離散時間信号は 0 次ホールド Hh により連続時間信号 uc に変換され，アナログフィルタ P (s) を通って出力信号 zc が得られる．ここでの設計問題は，与えられた F (s)，L，P (s) に対してディジタルフィルタ H(z) を求めることである．

Fig. 7 に設計の誤差系を示す．ここでも信号の復元に時間遅れを許し，時間遅れ要素を挿入する． 入力信号 wc か

離散時間信号 yd はまずアップサンプラ ↑ L によってサンプ
ル周期 h/L の離散時間信号 xd に変換される．次に，この離散時間信号 xd はディジタルフィルタ K(z) によって処理

D/A

Fig. 6 Multirate Signal Reconstruction- ↑ L -K(z) - Hh/L -P (s) D/Azcuc- Hh - P (s) -wc- F (s) yc- e−mhs- Sh/M -H(z) - ↓ M - Hh

され，サンプル周期 h/L で動作する 0 次ホールド Hh/L にec?
f−- P (s) 6+

よって連続時間信号 uc に変換される．最後に，この連続時
Fig. 7 Signal reconstruction error system

間信号はアナログフィルタ P (s) を通り出力信号 zc が得られる．ここでの設計問題は，与えられた F (s)，L，P (s) に対してディジタルフィルタ K(z) を求めることである．

Fig. 5 にフィルタ設計の誤差系のブロック線図を示す．信号の復元には，ある程度の時間遅れが通常は許されるため，時間遅れ要素 e−mhsが挿入される． 入力信号 wc から誤差

ら ec (t) := zc (t) − uc (t − mh) までのシステムを Tew とおく．設計問題は次のように定式化される:［問題 2］ 安定な F (s) と P (s) および正数 γ が与えられたとき，

Tew  :=supwc ∈L2 [0,∞)Tew wc 2< γ.
wc 2wc- F (s)を満たすディジタルフィルタ H(z) を求めよ．

3.

- e−mhs

（2 ）

- Sh

有限次元問題への帰着

Fig. 8 Reduced single-rate problem

問題 1 および問題 2 は連続時間の時間遅れ要素を含む無限次元系の設計問題であり，またアップサンプラ ↑ L もし- H(z)
- Hh

?
g-ec
- P (s) 6−

くはダウンサンプラ ↓ M を含むためマルチレート系の設計

（注意 1） 設計によってえられたフィルタ H(z)から (5) 式問題でもある．

より H(z) を構成すると，H(z) が因果的でなくなる場合が

しかし，文献 3), 6) で用いられた手法を用いて，これらの問題は有限次元単一レートの設計問題に帰着することがで

LN := (↓ N ) 1 z . . . zL−1N :=1 z−1... z

N −1−N +1T,を用いる．

 M ) 1 z . . . z M −1H(z) = z −M H(zきる．まず，離散時間リフティングを定義する．

ある．したがって，デシメーションフィルタとして次のもの

4.

(↑ N ).

T.

ファストサンプルファストホールドによる近似

前節で問題 1 および問題 2 は有限次元の H ∞ 問題に帰着

また F (s) の実現を (AF , BF , CF ) とおき，次の作用素を定されたが，条件 D11  < γ が存在し，数値計算上の問題点義する．

がある 4) ．したがって本研究では，ファストサンプルファス
22トホールドを用いて近似的に問題を解く手法を用いる 1), 6) ．

D11 : L [0, h) → L [0, h) θ: wk →

この手法は連続時間の入出力に高速で動作するサンプラとCF eAF (θ−τ ) BF wk (τ )dτ.

ホールドを接続することにより，サンプル値系を離散時間系0

このとき次の定理が成り立つ．に近似的に帰着させる手法である．また，近似の精度を上げ《定理 1》（ 1 ） 正数 γ に対して D11  < γ が成り立ていけば，近似離散時間系はもとのサンプル値系に収束すつとする．ある有限次元離散時間系 GI11 (z)，GI12 (z) おることも知られている 7) ．近似離散時間系の設計公式は文

よび GI21 (z) が存在して，不等式 (1) は献 5) を参照．

z−m
GI11 (z) − GI12 (z)K(z)G
I21 (z)∞ < γ, （3）と等価である．ここで
K(z):= LL K(z)L−1
1 0 ... 0L

T

5.

設計例

ここでは，サンプル周期を h1 = 1 から h2 = 4/3 に変換.

するサンプルレート変換器を設計する．このとき L = 3 ，（ 2 ） 正数 γ に対して D11  < γ が成り立つとする．あM = 4 であり，既約である．インターポレータ設計の際のる有限次元離散時間系 GD11 (z), GD12 (z) および GD21 (z)F (s) と P (s) をそれぞれ1
F (s) =,(T s + 1)(0.1T s + 1)が存在して，不等式 (2) はz −m GD11 (z)−GD12 (z)H(z)G
D21 (z)∞ < γ,（4）と等価である．ここでH(z):=

−1
1 0 . . . 0 LM H(z)LM .



T2 := T /L であり，これはオーケストラの音楽信号の周波数エネルギー分布をシミュ（ 2 ） 離散時間リフティング LM を用いて(↓ M )H(z) = H(z)LMとおき，またデシメータ設計の際の F (s) と P (s) を1
F (s) =, P (s) = 1,(T2 s + 1)(0.1T2 s + 1)
とおく．ここで T := 22.05/π,（証明） （ 1 ） 文献 4) 参照．

P (s) = 1,レートしたものである．比較のため，31 次の等リプルフィ

ルタ 8), 9) を用いて，提案手法を比較する．

 := 1 0 . . . 0 LM H(z)L−1
H(z)
M .

サンプル値設計によって得られたインターポレーションフィ

が成り立つ．ここで H(z)は M 入力 1 出力の LTI シス

ルタ K(z) は 11 次であり，デシメーションフィルタは 15 次とテムであり，次式を満たす．

なった．サンプルレート変換器のフィルタ C(z) = H(z)K(z) M ) 1 z . . . z M −1
H(z) = H(zT.

（5 ）のゲイン特性を Fig. 9 に示す．フィルタの次数は 22 である．同時に等リプルフィルタを示す．等リプルフィルタは次に一般化サンプラ Sh := LM Sh/M 6) を用いれば，Fig. 7

ω = π/4 で急峻に減衰するローパス特性を持っているが，サのマルチレート系は Fig. 8 の単一レート系と等価となる．

ンプル値設計によるものは緩やかな減衰を示している．この特性の差を見るために，誤差系の周波数応答を Fig. 10 にしたがって文献 3)，6) の手法を用いて，問題は有限次元の示す．これより，特に低周波域と高周波域で約 10dB の差

単一レート系の問題 (3) に帰着される．

が出ている． また，入力に矩形波を用いたときの出力をそFrequency response

1.52001−200.5
Gain [dB]−400−60−80−0.5−100−1−120−14000.5

11.52Frequency [rad/sec]

2.5

33.5−1.50Fig. 9 Frequency response of ﬁlter: C(z) (solid) and equiripple ﬁlter (dash)

51015Fig. 11 Time response (sampled-data synthesis)
1.5

Frequecy response−201−300.5

Gain [dB]−400−50−0.5−60−1−70−80 −210−101010Frequency [rad/sec]

1102−1.505101510Fig. 12 Time response (equiripple ﬁlter)
Fig. 10 Frequency response of error system Tew : sampleddata H ∞ synthesis (solid) and equiripple ﬁlter (dash)

れぞれ Fig. 11 と Fig. 12 に示す．サンプル値設計による矩形波応答では，矩形波が良く復元できているが，等リプルフィルタによる矩形波応答はリンギングを生じている．これは，等リプルフィルタが急峻な減衰特性を持つために生じたギブス現象と考えられる．

6.

おわりに

本研究はサンプルレート変換器の設計をサンプル値 H ∞設計問題に帰着し，さらに問題を分割することによって大きな比率のレート変換器の設計が可能であることを示した．
また従来法と比べた提案手法の有効性を数値例によって示した．
参 考 文 献1）T. Chen and B. A. Francis, Optimal Sampled-Data Control Systems, Springer, New York (1995)
2）H. Ishii , Y. Yamamoto and B. A. Francis, “Sampleddata conversion via sampled-data H ∞ control,” Proc. 38th
Conf. on Decision and Control, pp. 3440–3445 (1999)

3）P. P. Khargonekar and Y. Yamamoto, “Delayed signal reconstruction using sampled-data control,” Proc. of 35th
Conf. on Decision and Control, pp. 1259–1263 (1996)
4）永原, 山本, 藤岡, “オーバーサンプル D/A 変換器のサンプル値
H ∞ 設計,” 第 22 回 DST シンポジウム予稿集, pp. 347–350(1999)
5）永原，“サンプル値 H ∞ 制御理論によるマルチレートディジタ
ル信号処理,” 京都大学情報学研究科修士学位論文 (2000)
6）Y. Yamamoto, H. Fujioka and P. P. Khargonekar, “Signalreconstruction via sampled-data control with multirate ﬁlter banks,” Proc. 36th Conf. on Decision and Control, pp.
3395–3400 (1997)
7）Y. Yamamoto, A. G. Madievski and B. D. O. Anderson,“Approximation of frequency response for sampled-datacontrol systems,” Automatica, vol. 35, No. 4, pp. 729-734(1999)
8）P. P. Vidyanathan, Multirate Systems and Filter Banks,
Prentice Hall, Englewood Cliﬀs, (1993)
9）G. Zelniker and F. J. Taylor, Advanced Digital Signal Processing: Theory and Applications, Marcel Dekker (1994)