修士論文
ウェーブレットの滑らかさと減衰度について

友枝恭子
奈良女子大学大学院 人間文化研究科 数学専攻
2007 年要旨
まず、ウェーブレットについて述べる. 次に、ウェーブレットの滑らかさと減衰度について考察する. 最後にデュバニスキ−ヘルナンデスによるウェー
ブレットに更なる減衰評価を与える. すなわち、彼らのウェーブレットの減
衰評価を対数関数を用いて考察する.

謝辞
本論文を作成するにあたり、御多忙の中いつも暖かくご指導して下さった森
藤紳哉先生をはじめ数学教室の皆様に深く感謝し、厚く御礼申し上げます．

1

目次

2

§1

序文

この論文では、ウェーブレットの滑らかさと減衰度について考察する. ウェーブレットは、1980 年代に現れた非常に新しい分野でありフーリエ解析を補う手段として多くの研究がされている. ウェーブレットとは、ψ(x) ={2j/2 ψ(2j x − k)}j,k∈Z が L2 (R) における正規直交基底をなすことである. このウェーブレットについて、1998 年にデュバニスキ−ヘルナンデスは彼らのウェーブレットに対して以下の減衰評価を与えた.
1/δ|ψ(x)| ≤ Cδ exp(−|x|), δ > 1.

本論文では、デュバニスキ−ヘルナンデスによる論文 [DH] に従い、更なる減衰評価を次の定理として与えそれを証明する (第 3 節、定理 3.1 参照).
主定理
以下の減衰評価を満たすデュバニスキ−ヘルナンデス ウェーブレット ψ が存在する : 任意の p = 1, 2, 3 . . . と任意の δ > 1 に対して、Cp,δ が存在し½¾
|x|
|ψ(x)| ≤ Cp,δ exp −(log |x|)(log2 |x|) · · · (logp−1 |x|)(logp |x|)δ
が成り立つ. ここで、|x| は十分大きい値とする.
ここで、本論文の構成を説明する. まず第 2 節においてウェーブレット解析について述べる. 始めにフーリエ解析とウェーブレット解析の類似点と相違点について述べる. そして、Meyer のスケーリング関数とそれを使って構成された Meyer のウェーブレットについて述べる. 次に、一般のウェーブレッ
トを構成する方法である多重解像度解析について述べ、さらに Daubechies によって構成されたウェーブレットについて述べる. 第 3 節では、デュバニス
キ−ヘルナンデスのウェーブレットについて述べた後、超可微分関数、対数
的ジュブレィ族、Paley-Wiener の定理について述べる. そして、デュバニス
キ−ヘルナンデスのウェーブレットに更なる減衰評価を与えたものを主定理として与える. 最後にその証明を与える.

3

§2

ウェーブレットについて

このセクションは、文献 [1], [2], [3] を基にしている.

§2.1

ウェーブレットについて

ウェーブレットとは、80 年代初めに現れた非常に新しい分野であり、フーリエ解析を補う手段として多くの研究がなされている. このセクションでは、
ウェーブレットと窓フーリエ変換との類似点と相違点について述べる.

§2.1.1窓フーリエ変換

さまざまな応用では信号 f (t) が与えられたとき、f (t) の局所的な周波数成分を表現する必要がある. 一般的な方法として、フーリエ変換
Z1ˆ√(Ff )(ω) = f (ω) =f (t)e−iωt dt
2π Rがあるが、これでは、高い周波数をもつ爆発のような、時間的に局在化された情報を Ff から読み取ることは困難である. よって、窓フーリエ変換を使う.
Z(T win f )(ω, t) =g(s − t)f (s)e−iωs ds.
(2.1)
R

これは、信号 f を局在化した部分に分割し、そのフーリエ変換をとるという方法である. 信号解析では、これを離散化させたものを使う.
Z
win
Tm,n (f ) =g(s − nt0 )f (s)e−imω0 s ds.

(2.2)

R

ここで、ω0 , t0 は固定された正の数である.

§2.1.2

ウェーブレット変換と窓フーリエ変換の類似点と相違点

窓フーリエ変換 (2.1)、(2.2) に対応するウェーブレット変換を定義する.
µ
¶
Z
t−b
− 12
wav
(T
f )(a, b) = |a|f (t)ψ
dt,
(2.3)
a
R
Z
m
wav
Tm,n
(f ) = a0 − 2
f (t)ψ(a0 −m t − nb0 )dt.
(2.4)
R
Z
ただし、 ψ(t)dt = 0.
R

まず、類似点について述べる.
共に (2.1) から (2.2)、(2.3) から (2.4) のような離散化が行える.

(2.1) も (2.3) も L2 内積で書かれている.
4

次に相違点について述べると、解析を行う関数の形が次の意味で異なるということである. すなわち、窓フーリエ変換では g ω,t (s) = eiωs g(s − t) という関数を用いており、これは ω の値によらず同じ幅を持っているということが³´−1/2
b という関数を出来る. ウェーブレット変換では、ψ a,b (s) = |a|ψ s−a
用いており、これは、高い周波数 (a ¿ 1) では幅は非常に狭く、低い周波数(a À 1) では幅は非常に広い.
非常に短い時間で高周波数成分を含む現象を観察する場合は、「ズームアップ」して観察できるウェーブレットの方が優れているといえる.

§2.2

Meyer のウェーブレット

このセクションでは Meyer によって構成されたウェーブレットについて述べる.

§2.2.1

Meyer のスケーリング関数

Meyer のウェーブレットを構成するために、まず次のような Meyer のスケーリング関数 φ をそのフーリエ変換 φ̂(ξ) を用いて定義する.
定義 2.1. φ̂ は 0 ≤ φ̂ ≤ 1 を満たす無限階連続微分可能な実数値の偶関数で、以下を満たす.

φ̂(ξ) =



1




³




0

³

´
2π
− 2π
3 ≤ξ≤ 3 ,ξ ≤ − 4π3 ,´ξ ≥ 4π3 ,かつ

φ̂(ξ)2 + φ̂(2π − ξ)2 = 1(0 ≤ ξ ≤ 2π).

Meyer のスケーリング関数 φ は、もし存在するならば、以下に列挙する性質を持つ.
対象軸は x = 0,
台は無限に広がっている,
遠方での減衰は非常に早いが、指数減少ほどではない,
積分値は 1,φ̂(ξ) はコンパクト台を持つ.

5

§2.2.2

Meyer のウェーブレットの構成について

定義 2.1 を満たすスケーリング関数を以下のように作る. まず、関数 φ0 は
定義 2.1 での φ̂(ξ)2 + φ̂(2π − ξ)2 = 1 (0 ≤ ξ ≤ 2π) 以外の条件を全て満たす関数とする. そして、φ(x) を次のように定義する.

ˆ0 (ξ)φ.
φ(x) = F −1  q
φˆ0 (ξ)2 + φˆ0 (2π − ξ)2次に、φ̂(2ξ) を周期 2π の周期関数に拡張したものを m0 (ξ) とおく. Meyerのウェーブレット ψ(x) は、次のセクションで述べる多重解像度解析を用いて構成されるが、ここでは以下のように、その構成方法だけを述べる. ただし©
ªψ(x) がウェーブレットであるとは、 2j/2 ψ(2j x − k) j,k∈Z が L2 (R) の正規直交基底をなすことである. 関数 φ が定義 2.1 を満たすとするとき、"¶ µ ¶#
µ
ξ
ξ
−1
−iξ/2
m0
+ π φ̂
ψ(x) = Fe2
2はウェーブレットになる.

Meyer のウェーブレット ψ(x) の性質を以下に列挙する.
台は無限に広がっている,
遠方での減衰は非常に早いが、指数減少ほど早くはない,
積分値は 0,フーリエ像 φ̂(ξ) はコンパクト台を持つ.

Meyer のスケーリング関数からウェーブレットを構成したように、一般には多重解像度解析というものからウェーブレットを構成することが出来る.

§2.3

多重解像度解析について (MRA)

このセクションでは、多重解像度解析 (Multiresolution Analysis) について述べる. そして、ウェーブレットの構成方法を最後に述べる. まず、多重解像度解析の定義を与える. L2 (R) を R 上二乗可積分全体の集合とする.
定義 2.2. 次の条件を満たす L2 (R) の閉部分空間の増加列 {Vj }j∈Z を多重

6解像度解析と呼ぶ.

(a)
(b)

· · · ⊂ Vj−1 ⊂ Vj ⊂ Vj+1 ⊂ · · · ,\Vj = {0},
j∈Z

(c)

[

Vj = L2 (R),

j∈Z

(d)

f (x) ∈ Vj ⇐⇒ f (2x) ∈ Vj+1 ,

∀j,

(e)

ある φ(x) ∈ V0 が存在して、{φ(x − k)}k∈Z は、

V0 の正規直交基底となる.
¡¢
条件 (e) に現れる φ をスケーリング関数と呼ぶ. φj,k = 2j/2 φ 2j x − k
とおくとき、Vj := Span{φj,k }k∈Z となる. ただし、Span{φj,k }k∈Z は、©Pª2Span{φj,k }k∈Z :=k∈Z ak φj,k ; ak ∈ C のうち有限個の ak を除き 0 の L (R)
における閉包であるとする. 逆に、よい性質を持つ関数から多重解像度解析
を次のように構成することが出来る.

¯
¯2
P
¯
¯
定理 2.1. 関数 φ が無限遠で急減少であって、 k∈Z ¯φ̂(ξ + 2πk)¯ = 1 を満た¯¯¯¯
すとする. Vj := Span{φj,k }k∈Z とおく. このとき、関数 φ が ¯φ̂(0)¯ = 1 を満
たし、かつ無限階連続微分可能な周期関数 m0 (ξ) があって、φ̂(2ξ) = m0 (ξ)φ̂(ξ)
が成り立つならば、{Vj }j∈Z は多重解像度解析となる.
証明. (d), (e) は φ の定義から明らか.

(a) が成り立つことと、φ̂(2ξ) = m0 (ξ)φ̂(ξ) を満たすような滑らかな関数 m0 (ξ)
が存在することは同値であることを示す. (a) が成り立つならば、V−1 ⊂ V0
より φ (x/2) ∈ V−1 は {φ(x − k)}k∈Z を用いて、
1 ³x´ Xφ=hk φ(x − k),
2
2
k∈Z
Z
³x´
1
φ(x − k)dx
ここで、hk =φ
2 R
2となる. (2.5) をフーリエ変換して m0 (ξ) =

(2.5)

P

−ikξ
とおくと φ̂(2ξ) =k∈Z hk e

m0 (ξ)φ̂(ξ) となる. あとは、m0 (ξ) が無限階連続微分可能であることを示せばよい. φ は無限遠で急減少なので任意の自然数 N に対してある定数 CN が存在して、|φ(x)| ≤ CN (1 + |x|)−N が成り立つ. 不等式
11 + |x|≤
1 + |x − y|
1 + |y|で y = k とおき、1/(1 + |x/2|) ≤ 2/(1 + |x|) を使うと、

2N +1 CN CN +2|hk | ≤
(1 + |k|)N
7

Z

1
dx
(1 + |x|)2

が成り立つ. すなわち、任意の整数 M に対して、ある正の数 CM が存在し、|hk | ≤ CM (1 + |k|)−M が成り立つ. これは、hk が急減少であることを示している. よって、m0 (ξ) は無限階連続微分可能な関数であることが分かる.
逆に、φ̂(2ξ) = m0 (ξ)φ̂(ξ) を満たすような滑らかな関数 m0 (ξ) が存在する
Pならば、2−1 φ (x/2) = k∈Z hk φ(x − k) が成り立つことになり、k ∈ Z に対して、φ−1,k ∈ V0 となることが示せるので、(a) が成り立つ.
P(b) が成り立つことを示す. f ∈ L2 (R) に対して、Pj f = k∈Z (f, φj,k )φj,k
とおく. 任意の f ∈ L2 (R) に対し、limj →−∞ kPj f − 0k = 0 が成り立つことを示せばよい. ここで k・k は L2 ノルムを表す. まず f が階段関数のときを考える.
1 , x ∈ [a, b],χ[a,b] =0 , x ∈/ [a, b].
パーシバルの等式とシュワルツの不等式より

kPj χ[a,b] k2

=

X ¯¡
¢¯
¯ χ[a,b] , φj,k ¯2
k∈Z

¯
¯2
¯
X ¯¯Z b¯jφ(2 x − k)dx¯
= 2
¯
¯
¯ a
k∈Z
¯Z j
¯2
¯
X ¯¯ 2 b¯= 2j
φ(x − k)dx¯¯¯ 2j a¯k∈Z
j
XZ 2 b2≤ (b − a)|φ(x − k)| dxjk∈Z= (b − a)

2j a

Z X

R k∈Z

2

χ[2j a+k,2j b+k] (x) |φ(x)| dxとなる.

j → −∞ のとき、区間 [2j a + k, 2j b + k] は交わりを持たなくなるのでX22χ[2j a+k,2j b+k] (x) |φ(x)| dx ≤ |φ(x)| ∈ L1 (R)k∈Zとなり、ルベーグの優収束定理より、limj→−∞ kPj χ[a,b] k = 0 となる.

(c) が成り立つここと、|φ̂(0)| = 1 が同値であることを示す. (c) が成り立つ
ここと任意の ĝ ∈ L2 (R) に対し、limj→+∞ kPj ĝ − ĝk = 0 であることとは同等である. ピタゴラスの定理の無限次元版より、kPj ĝ − ĝk2 = kPj ĝk2 − kĝk2
が成り立つから、|φ̂(0)| = 1 が成り立つことと、任意の ĝ ∈ L2 (R) に対し、

limj→+∞ kPj ĝk = |φ̂(0)|kĝk が成り立つこととは同値であることを示せばよい. これは、fˆ ∈ C0∞ (R) (ここで、C0∞ (R) はコンパクト台をもつ無限階連続微分可能な関数の集合) に対しては、|φ̂| ≤ 1 かつ φ̂ は原点で連続だから、
8

R
ルベーグの優収束定理より、limj→+∞ kPj fˆk2 = |φ̂(0)|2 kfˆk2 dξ, すなわち、
limj→+∞ kPj fˆk = |φ̂(0)|kfˆk が成り立つことより明らかである. ĝ ∈ L2 (R)に対しては、C0∞ (R) が L2 (R) で稠密であることから、任意の ² に対して、fˆ ∈ C ∞ (R) が存在し、kĝ − fˆk < ² が成り立つ. 射影作用素の性質より、
0

kPj ĝ − Pj fˆk ≤ kĝ − fˆk < ² となるので、(c) が成り立つ.
そして最後に、Meyer のスケーリング関数からウェーブレットを構成した
ように、多重解像度解析からウェーブレットが構成できる.
定理 2.2. {Vj }j∈Z は多重解像度解析とする. 関数 m0 (ξ) は、φ̂(2ξ) = m0 (ξ)φ̂(ξ)
を満たすとする. このとき、"
ψ(x) = F

−1

µ
−iξ

e

m0

¶ µ ¶#ξξ+ π φ̂
22(2.6)

はウェーブレットである.

§2.4

ウェーブレットの滑らかさについて

定義 2.3. r を非負の整数とする.
½
µ ¶α
¾
d
r
Sr (R) = f (x) ∈ C (R) :f (x) (0 ≤ α ≤ r) は無限遠で急減少
dxとする. f (x) ∈ Sr (R) のとき、f (x) は r 次正則であるという. 多重解像度解
析に現れるスケーリング関数 φ が r 次正則のとき、その多重解像度解析を r
次正則多重解像度解析と呼ぶ.
定理 2.3. {Vj }j∈Z は r 次正則多重解像度解析であるとする. このとき、(2.6)
で定義されるウェーブレットは r 次正則である.

Meyer のウェーブレットは無限次元正則であり、スケーリング関数も無限次元正則である. さらに Meyer のスケーリング関数 φ のフーリエ像 φ̂ はコンパクト台をもつ. Meyer のウェーブレットのフーリエ像 ψ̂(2ξ) = m1 (ξ)ψ̂(ξ) (m1 (ξ) =e−iξ m0 (ξ + π)) もコンパクト台をもつ. しかし、無限次元正則かつコンパク
ト台をもつウェーブレットは存在しない. ただし、任意の正の整数 r に対して r 次正則でコンパクト台をもつウェーブレットは構成出来る. これが、Daubechies のウェーブレットである.

§2.5

Daubechies のウェーブレット

応用上では、ウェーブレットの滑らかさよりも台の大きさの方が問題になる. よって、台の大きさに焦点を当てて Daubechies のコンパクト台を持つウェーブレットについて考える.

9まず、リースの補題について、述べる．
リースの補題Pz のローラン多項式 A(z) := |k|≤L ak z −k (L は非負の整数) があって、z =eiξ (ξ は実数) を代入したとき、A(eiξ ) ≥ 0 を満たすとする．このとき、あるP
ローラン多項式 H(z) := 0≤k≤L hk z −k があって、A(eiξ ) = |H(eiξ )|2 が成り立つ．A(z) が実係数なら H(z) も実係数にとれる．
g(ξ) を以下を満たす三角多項式とする. リースの補題より、g(ξ) = |m0 (ξ)|2を満たす三角多項式 m0 (ξ) が得られる．
定義 2.4. 関数 g(ξ) を次のような 5 つの条件を満たす三角多項式とする.
Pg(ξ) = |k|≤L γk e−ikξ ≥ 0 (L は非負の整数),






g(ξ) + g(ξ + π) = 1,
g(0) = 1,ihπ, π ,


g(ξ)
>
0,
ξ
∈
−

2 2



Q+∞ g(2−j ξ) ≤ C(1 + |ξ|)−2s (s > r + 1, r は非負の整数).
j=1
このとき、次の補題が成り立つ.
補題 2.1. 三角多項式 g は定義 2.4 を満たすとする. このとき、上記の三角多項式 m0 はm (ξ) は無限階連続微分可能な周期関数である,

 0
2
2
|m0 (ξ)| + |m0 (ξ + π)| = 1,m (0) = 10を満たし、関数 φ をφ̂(ξ) =+∞Y

m0 (2−j ξ)

j=1で定義すれば、関数 φ はコンパクト台をもつ r 次正則スケーリング関数になる. 三角多項式 g が実係数なら三角多項式 m0 も実係数にとれる.
定義 2.4 を満たす関数 gD (ξ) を次のように定義する.
!
ÃZ ξ
Ik (ξ)gD (ξ) = 1 −Ik (ξ) =(sin t)2k+1 dt .
Ik (π)
0
この gD (ξ) を用いると、以下の定理が得られる.

10

(2.7)

定理 2.4. 任意の非負の整数 r に対して、r 次正則でコンパクト台を持つウェー
ブレットが gD (ξ) を用いて構成できる. これを、Daubechies のウェーブレッ
トと呼ぶ.
最後に注意として次のことを述べておく. Daubechies のウェーブレットは、
コンパクト台の大きさ N が大きくなればなるほどヘルダー連続性 r(N ) も大きくなり、またそれらの間の漸近的な関係も知られている.

11

§3

デュバニスキ−ヘルナンデス ウェーブレットの更なる減衰評価

このセクションは我々の論文 [MT] を基にしている.

§3.1

序文

この論文での目的は、デュバニスキ−ヘルナンデス ウェーブレット (これは band-limited であり、subexponential decay をもつウェーブレットである)に更なる減衰評価を与えることである. 彼らのウェーブレット ψ は |ψ(x)| ≤1/δCδ exp(−|x| ), δ > 1 を満たす. [DH] 参照. 適当な bell 関数を構成する
ことによって、彼らのウェーブレットのうちのあるものは、例えば |ψ(x)| ≤Cδ exp{−|x|/(log|x|)δ }, δ > 1, (|x| : 十分大) を満たす.
彼らのウェーブレット ψ はフーリエ変換 ψ̂(ξ) = eiξ/2 ba (ξ) と置くことによって構成される．ba (ξ), 0 < a ≤ π/3 は、R 上偶関数であり、[0, ∞) に制限すると [π, 2π] 上の bell 関数になる. [AWW], [BSW], [HW] 参照. 関数 ba はあらゆるジュブレィ族 Γδ , δ > 1 に属する cutoff 関数 φa を用いて定義される.
本論文の構成を説明する. セクション 2 では、(Mn ) 族, {Mn } 族の超可微分関数 f の空間を定義することから始める. [Ko], [Bj], [Ro] 参照. ある特
別な正の数列 Ln (n = 0, 1, 2, . . .) を与えた後、p− 対数的ジュブレィ族 γ p,δ ,Γp,δ , p = 1, 2, 3, . . . , δ > 1 を定義し、超可微分関数に対する Paley-Wienerの定理を復習する. セクション 3 では、主定理を与える. セクション 4 では、その証明を行う. そこでは [DH] での Proposition 2. 6 の自然な拡張と、[Ma]の技巧を使った数列 Ln に付随する関数の計算を行う.

§3.2

記号、定義と結果

このセクションは、上に述べたように 3 つのサブセクションに分かれる.

§3.2.1

超可微分関数R を 1 次元ユークリッド空間とする. Mn , n = 0, 1, 2, . . . , を正の数の数列とする. ただし、Mn は以下を満たすとする.

Mn 2 ≤ Mn−1 Mn+1 , n = 1, 2, 3, . . . ;nMn+1 ≤ AH Mn , n = 1, 2, 3, . . . ;
∞
X
Mn−1
< ∞,
Mn
n=1

12

(3.1)
(3.2)
(3.3)

ここで、A と H は n と独立な定数である. ジュブレィ数列 nnδ , δ > 1 は上の全ての条件を満たす.
関数 M (ρ) をM (ρ) = sup log
n≥0ρn M 0, ρ>0 ,
Mn

(3.4)

によって定義する. ここで、関数 M (ρ) を数列 Mn に付随する関数と呼ぶ.

Mn = nnδ ならば、M (ρ) は ρ1/δ と同等である: limρ→∞ M (ρ)/ρ1/δ = δ/e.
R の開集合 Ω 上で、無限階連続微分可能な関数 f が次の定義を満たすと
き、この f は (Mn ) 族 (または、{Mn } 族) の超可微分関数と言われる: 任意のコンパクト集合 K ⊂ Ω と任意の h > 0 に対して、ある定数 C(または、ある定数 h と C) が存在し、次の評価式が成立する.
¯¯ µ ¶n
¯ d
¯
¯
sup ¯
(3.5)
f (x)¯¯ ≤ Chn Mn , n = 0, 1, 2, . . . .
dxx∈KΩ 上 (Mn ) 族 (または {Mn } 族) の全ての関数全体の空間を E (Mn ) (Ω) (または E {Mn } (Ω)) と表記する. K を R のコンパクト集合であるとする. このとき、K にサポートが含まれる全ての (Mn ) 族 (または {Mn } 族) の関数全体の空間を DK (Mn )（または DK {Mn } ）とする. それらの空間に、自然な局所凸位相を導入することが出来る.

§3.2.2

対数的ジュブレイ族

以下に数列 Ln , n = 0, 1, 2, . . . , を条件 (3.1), (3.2), (3.3) を満たすように与えよう. log0 σ = σ かつ logp σ = log(logp−1 σ), p = 1, 2, 3, . . . (ただし、logp−1 σ > 0) とおく. このとき、十分大きな x に対して p− 対数的関数

lp,δ (x) を次のように定義する:
lp,δ (x) = (log x)(log2 x) · · · (logp−1 x)(logp x)δ ,p = 1, 2, 3, . . . , δ > 1.

数列 Ln = (nlp,δ (n))n は十分大きな n に対して (3.1), (3.2), (3.3) を満たす.
関数 x logk x, k ≥ 1, は十分大きな x に対して凸であることだけ注意しておこう. 十分大きな ρ に対して、数列 Ln に付随する関数は (3.6) のように書くことができる.

L(ρ) = sup [n log ρ − n(log n + log2 n + · · · + logp n + δ logp+1 n)]. (3.6)
n≥n0

ここで、n0 は十分大きな値とする. 最後に、以下のように p− 対数的ジュブレイ族を定義する.

13

定義 3.1. p = 1, 2, 3, . . . , δ > 1 かつ Ln = (nlp,δ (n))n とする. このとき、

γ p,δ = E (Ln ) (R) ,Γp,δ = E {Ln } (R) .

γ p,δ と Γp,δ それぞれは、p > q または p = q, δ ≤ ² のときかつそのときに限って連続的に γ q,² と Γq,² に埋め込まれることに注意しておこう. さらに、
Γp,δ は、p > q または p = q, δ ≤ ² のときかつそのときに限って連続的に γ q,²に埋め込まれる. [Ko] の P.52〜P.53 参照. これは、[DH] の Lemma 2. 4 を一般化したものである.

§3.2.3

Paley-Wiener の定理

超可微分関数の一番基本的な結果は、次の Paley-Wiener の定理である:

Mn は条件 (3.1), (3.2), (3.3) を満たし、K は R のコンパクト集合であるとす
{M }
(M )
る. C 上の整関数 u(ζ) が、超可微分関数 φ(x) ∈ DK n (⊂ DK n ) のフーリRエ−ラプラス変換 u(x) = R φ(x)e−iζx dx であるための必要十分条件は、任意の h > 0 に対してある定数 C(ある定数 h と C) が存在して、
½
µ ¶
¾
|ζ|
+ HK (ζ) , ζ ∈ C,|u(ζ)| ≤ C exp −Mhが成り立つことである. ここで、HK (ζ) = supx∈K Im(xζ) は、K のサポート関数である.

§3.3

主定理

主定理を以下に記す.
定理 3.1. 以下の減衰評価を満たすデュバニスキ−ヘルナンデス ウェーブレッ
ト ψ が存在する : 任意の p = 1, 2, 3 . . . と任意の δ > 1 に対して、Cp,δ が存在し½|ψ(x)| ≤ Cp,δ exp −|x|lp,δ (|x|)¾, |x| : 十分大が成り立つ.

§3.4

主定理の証明証明の前に、Denjoy-Carleman-Mandelbrojt の定理について述べておく:
数列 Mn が条件 (3.1), (3.2), (3.3) を満たすとき、任意のコンパクト集合
(M )

{M }

K に対してある関数 φ ∈ Dk n (⊂ Dk n ) が存在し、φ は φ(x) ≥ 0 とR
φ(x)dx = 1 を満たす.
R[DH] の Proposition 2. 6 の自然な拡張を以下に述べる.
14

補題 3.1. すべての Γp,δ , p = 1, 2, 3, . . . , δ > 1 に属する cutoff 関数が存在する.
証明. [DH] の Proposition 2. 6 の証明におけるレギュラリゼーションの手続
きを用いる. パラメータ p (= 1, 2, 3, . . .) も考慮に入れなければならない. hは無限階連続微分可能な非負関数で区間 [−1, 1] にコンパクトな台を持つとRする. さらに、h(−x) = h(x), x ∈ R であり、 R h(x)dx = 1 を満たすとす
る. Nm は十分大きい正の整数の増加列であって、
X−1(lm,δm (n)) < 2−m ,n≥Nmを満たすとする. ここで、δm = 1 + 1/m である. Nm ≤ n < Nm+1 で an =PP∞
−1(lm,δm (n)) と選ぶことによって、 n≥N1 an ≤ n=1 2−m = 1 が成り立
つ. φ(n) (x), n ≥ N1 を以下で定義する.

φ(n) (x) = haN1 ∗ haN1 +1 ∗ · · · ∗ han (x).
ここで、ha (x) は ha (x) = (1/a)h(x/a) と定義する.したがってR

ha (x)dx =1 となる. φ(n) は区間 [−1, 1] でコンパクトな台を持つことに注意する. さて、
任意の p = 1, 2, 3, · · · と任意の δ > 1 に対して、ある定数 Cp,δ が存在し、全ての N = 0, 1, 2, . . . と全ての x ∈ R で
¯
¯µ ¶
¯
¯ d N
¯
¯
φ(n) (x)¯ ≤ (Cp,δ )N +1 (N lp,δ (N ))N , ∀n ≥ n(p, δ, N ) (3.7)
¯
¯
¯ dx
R

を満たすことを証明する. まず、m と n は m > p, δm < δ かつ n > Nm + Nとなるような十分大きな値とすると、
µ ¶N
µ ¶
d
d
φ(n) (x) = haN1 ∗ haN1 +1 ∗ · · · ∗ haNm (x) ∗haNm+1dxdxµ ¶d∗ ··· ∗
haNm+N ∗ · · · ∗ han (x)dxとなる. また、n ≥ Nm で
¯µ ¶
¯
Z
¯ d
¯
¯
¯
¯ dx ha (x)¯ dx
R¯µ¶ µ ¶¯
Z
¯ d
1
1
x ¯¯
¯
h
dx
¯
an R andx
an ¯C≤ Clm,δm (n).
an

=
≤

R
R
R
R
よって、 u ∗ v = ( u)( v) と Young の不等式 sup |u ∗ v| ≤ (sup |u|)( |v|)
を使えば、
¯µ ¶
¯
¯ d N
¯
¯
¯
φ(n) (x)¯
¯
¯ dx
¯

≤

1

µ

aN1

¶
sup h(x) C N (lm,δm (Nm + N ))N

x∈R
N +1

≤ (Cp,δ )(lp,δ (N ))Nが成り立つ. Nm は、p と δ の両方に依存することに注意しておく. φ(n) は、(3.7) と同じ評価式を満たす関数 φ に収束することが容易に分かる.
15

サブセクション 3.2.3 で述べた、Paley-Wiener の定理を使って、サブセク
ション 3.2.2 の (3.6) の L(ρ) を評価する必要がある. σ = log ρ とする. このときL(ρ) = B(σ) = sup [nσ − n(log n + log2 n + · · · + logp n + δ logp+1 n)]n≥n0と書ける. 今、B1 (σ) =eσ−1σ(log σ) · · · (logp−2 σ)(logp−1 σ)δ

とする.

補題 3.2.

B(σ)〜B1 (σ) (σ → ∞)つまり、 limB(σ)σ→∞ B1 (σ)= 1.

証明. [Ma] の p.122〜p.123 (δ = 1 の場合) と同じ方法を用いる.

αn =log Mn − log Mn−1 , n = 1, 2, 3 . . . とおくと、
αn ＝ (1 + log n) + log2 n + · · · + logp n + δ logp+1 n + o(1), n → ∞.
そして、αn は n ≥ n0 で増加する. N (α) を数列 αn の分布関数とする. つまり、N (α) は集合 {n; αn < α} の個数と等しい. m = N (α) とおく. このとき、(1 + log m) + log2 m + · · · + logp m + δ logp+1 m + o(1) < α≤ (1 + log(m + 1)) + log2 (m + 1) + · · · + logp (m + 1) + δ logp+1 (m + 1) + o(1)となる. なぜなら、k ≥ 1 ならば、logk α = logk+1 m + o(1) であり、log N (α) = (α − 1) − log α − · · · − logp−1 α − δ logp α + o(1).
ここで以下に記す [Ma] のレンマ 1.8 III を使う必要がある.
補助定理 3.1. ([Ma] の 1.8 III) νn と λn は正の増加列であり、無限に発散す
るとする.


0,
N (x) =
λ ,0 < x ≤ ν1 ,
νn < x ≤ νn+1 , n ≥ 1,

n

そして、

λ0 = 0,Nn =nX(λi − λi−1 )νi ,

i=1

とおく. このとき、νm ≤ x ≤ λm+1 , m ≥ 1, に対し、
Z x
N (t)dt = max(λn x − Nn ) = λm x − Nm .
0n≥1が成り立つ.

16

この補助定理で νn = αn と λn = n とすることによって、以下が成り立つ.
Z σ
Z σeα−1 dα[1 + o(1)]B(σ) =
N (α)dα =.
α(log α) · · · (logp−2 α − 1)(logp−1 α)δ
α1α1

B1 (σ)〜B10 (σ) を示すことは容易である. [Ha] の定理 19 から、B(σ)〜B1 (σ)
が示せる.
ここで補題 2 で σ = log ρ とおくと、L(ρ)〜ρe(log ρ) · · · (logp−2 ρ)(logp−1 ρ)δ

(3.8)

となる.
最後に [DH] のセクション 3 で与えられた議論に戻る. 補題 3. 1 によって、[DH] の p. 401 のように、全ての Γp,δ , p = 1, 2, 3, · · · , δ > 1 に属する cutoff
関数 φa を選ぶ. 関数 φa は区間 [−a, a], 0 < a ≤ π/3 にコンパクトな台を持Rx
つ. θa (x) = −∞ φa (t)dt とする. これは、全ての Γp,δ , p = 1, 2, 3, . . . , δ > 1に属する. このとき、[Ru] の数列 An は (Ln /n!)1/n と等しく、増加列であることから [Ru] の定理 A は Sa (x) = sin(θa (x)) と Ca (x) = cos(θa (x)) は全てのΓp,δ , p = 1, 2, 3, . . . , δ > 1 に属することを示している. 2 つの超可微分関数の合成はよく研究されている. [DH] の定理 3. 3 も参照. [Ko] の定理 2. 8 によって、関数 ba (x) = Sa (x−π)C2a (x−2π) は全ての Γp,δ , p = 1, 2, 3, . . . , δ > 1 に属す
る. サブセクション 3. 2. 2 より、関数 ba は全ての γ p,δ , p = 1, 2, 3, . . . , δ > 1に属する. サブセクション 3. 2. 3 での Paley-Wiener の定理、評価式 (3.8)、そしてデュバニスキ−ヘルナンデス ウェーブレット ψ がセクション 1 で述べられている bell 関数に基づいて構成されていることを使うことにより、十分大
きい値 |x| に対して以下の評価を満たすことが分かる.
¯¶¾
¯ µ
½
µ ¯
¶¯
¯
¯
1 ¯¯
1 ¯¯
ˆ
¯
¯
≤ Cp,δ exp −L e ¯x + ¯|ψ(x)| = C ¯ba x +
2 ¯
2
½
¾
− |x|
≤ Cp,δ exp.
lp,δ (|x|)

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参考文献
第 2 節は以下を参考にした:[1] 芦野隆一, 山本鎭男, ウェーブレット解析, 共立出版, 1997.
[2] I. ドブシー 著/ 山田道夫, 佐々木文夫 訳, ウェーブレット 10 講, シュプ
リンガー・フェアラーク東京, 2003.
[3] I. Daubechies, Ten Lectures on Wavelets, SIAM, 1992.
第 3 節は以下の論文に基づいている:[MT] S. Moritoh and K. Tomoeda, A Further Decay Estimate for theDziubański-Hernández Wavelets. submitted to Canad. Math. Bull.
論文 [MT] の参考文献は以下のとおり:[AWW] P. Auscher, G. Weiss and M. V. Wickerhauser, Local sine and cosine basis of Coifman and Meyer and the construction of smooth wavelets.
In Wavelets: A tutorial in theory and applications, (ed. C. K. Chui), Academic Press, (1992), 237-256.
[Bj] G. Björck, Linear partial differential operators and generalized distributions. Ark. Mat., 6 (1966), 351-407.
[BSW] A. Bonami, F. Soria and G. Weiss, Band-limited wavelets. J.
Geom. Anal. 3 (1993), no. 6, 544-578.
[DH] J. Dziubański and E. Hernández, Band-Limited wavelets with subexponential decay. Canad. Math. Bull., 41 (1998), no. 4, 398-403.
[Ha] G. H. Hardy, Orders of Infinity. The Infinitärcalcül’ of Paul duBois-Reymond. Cambridge Univ. Press, Second edition, Reprinted, 1954.
[HW] E. Hernández and G. Weiss, A first course on wavelets. CRC Press.,
1996.
[Ko] H. Komatsu, Ultradistributions, I. Structure theorems and a char-18

acterization. J. Fac. Sci., Univ. Tokyo, Sect. IA 20 (1973), 25-105.
[Ma] S. Mandelbrojt, Séries adherents, régularisation des suites, applications. Gauthier-Villars, Paris, 1952.
[Ro] C. Roumieu, Sur quelques extensions de la notion de distribution.
Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. Paris, 3 Sér, 77 (1960), 41-121.
[Ru] W. Rudin, Division in algebras of infinitely differentiable functions.
J. Math. Mech. 11 (1962), no. 5, 797-809.

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