Généralisation de formules de type WaringFrédéric Jouhet et Jiang Zeng
Institut Girard Desargues
Université Claude Bernard (Lyon 1)
69622 Villeurbanne Cedex, France
Email: jouhet@desargues.univ-lyon1.fr
zeng@desargues.univ-lyon1.fr

Abstract
We evaluate the symmetric functions ek , hk and pk on the alphabet{xr /(1 − txr )} by elementary methods and give the related generating functions. Our formulas lead to a new and short proof of an exconjecture of Lassalle [3], which was proved by Lascoux and Lassalle[1] in the framework of λ-rings theory.

1Introduction

L’un des problèmes fondamentaux dans l’étude de fonctions symétriques
est le développement d’une fonction symétrique sur certaines bases linéairesde l’algèbre des fonctions symétriques. Un résultat classique de Waring explicite le développement des fonctions symétriques puissances pn dans la baselinéaire des fonctions symétriques élémentaires (eλ ).
Dans cet article nous généralisons la formule de Waring en développant les
fonctions symétriques puissances pn évaluées sur l’alphabet Y = {x1 /(1 − tx1 ) ,x2 /(1 − tx2 ), . . .} dans la base linéaire des fonctions symétriques élémentaires(eλ ) évaluées sur l’alphabet X = {x1 , x2 , . . .}. De même nous considérons leproblème inverse, c’est-à-dire, le développement des fonctions symétriqueshn et en évaluées sur l’alphabet Y dans la base des fonctions puissances pµévaluées sur l’alphabet X. Dans le dernier cas nous aurons besoin d’un coefficient binomial généralisé introduit par Lassalle [2]. Nous en déduisons ensuite, comme applications, des développements intéressants, qui conduisent1

en particulier de nouvelles preuves des ex-conjectures de Lassalle [2, 3].
D’autres preuves de ces conjectures ont été tout récemment données parLascoux et Lassalle [1] dans le cadre des λ-anneaux. Notre approche repose
essentiellement sur l’opérateur différentiel de l’algèbre des séries formelles. Il
est remarquable que l’étude d’un problème si élémentaire puisse conduire àune preuve très simple de l’identité de Lascoux et Lassalle.
Nous terminons cette introduction par un rappel [4, Chap.1] des formules
qui seront utilisées dans la suite. Observons d’abord que
Xn≥1

!

tk−1 dk−1  X
n−1
an tn−1  .
an tn−1 =(k − 1)! dt n≥1k−1

Comme les fonctions puissances pn (X) =Pr≥1 xr /(1 − xr t), et pour tout k ≥ 1dk−1dt

(1)Pn−1n=n≥1 pn (X)tr≥1 xr satisfontP1xk−1,= (k − 1)!
1 − xt(1 − xt)knous en déduisons donc

dk−1  X(k − 1)!
tx1
tx2
pn (X)tn−1  =p,,... .
kdt n≥1tk
1 − tx1 1 − tx2




(2)

Pour toute partition d’entiers µ on pose zµ = i≥1 imi (µ) mi (µ)!, où mi (µ) est
le nombre de parts dans µ égales à i ≥ 1, et pour tout entier n positif ondéfinit le coefficient binomial généralisé h µn i comme étant le nombre de façonsde choisir n éléments dans le diagramme de Ferrers de µ, dont au moins unpar ligne.
Les fonctions symétriques hn (X) et en (X) sont liées aux fonctions puisQsances pµ (X) = r≥1 pµr (X) par la formule :Qhn (X) =X

zµ−1 pµ (X),(3)(−1)n−l(µ) zµ−1 pµ (X).

(4)µ`nen (X) =Xµ`n

L’inverse de la dernière est appelée formule de Waring [5]:pn (X) =n(l(λ) − 1)!
eλ (X).
(−1)n−l(λ) Qi mi (λ)!
λ`nX

2(5)

Par l’involution ω définie par ω(en ) = hn on a aussi [4, p. 24]
pn (X) =n(l(λ) − 1)!
hλ (X).
(−1)l(λ)−1 Qi mi (λ)!
λ`nX(6)

On note mµ (X) la fonction symétrique monomiale associée à la partition µ.
Nous remercions Michel Lassalle pour ses remarques amicales sur uneversion antérieure de cet article.

2Résultats principaux

XSoit X = {x1 , x2 , . . .} un ensemble fini ou infini d’indéterminées et 1−tXx2
x1l’alphabet { 1−tx1 , 1−tx2 , . . .}.

Théorème 1 Pour tout k ≥ 1 on apkpk

X
1 − tXX1 − tX

=|µ|−kXt

X|µ|−k|µ|≥k=t|µ|≥k!

(7)!

(8)

|µ|
k (l(µ) − 1)!
eµ (X),(−1)|µ|−l(µ) Q
ki mi (µ)!
k (l(µ) − 1)!
|µ|(−1)l(µ)−1 Q
hµ (X).
ki mi (µ)!

Démonstration. Les formules (1) et (2) impliquent directementpk

X
1 − tX=Xtj−kj≥k!

j−1pj (X).
k−1On en déduit donc (7) et (8) respectivement de (5) et (6).
Par la même méthode nous obtenons le résultat suivant.
Théorème 2 Pour tout entier k ≥ 1 on ahk

X
1 − tX



=ek



X
1 − tX



=

X

hµi
t|µ|−k k pµ (X),zµ|µ|≥k(9)X

hµit|µ|−k (−1)k−l(µ) k pµ (X).
zµ|µ|≥k(10)3Démonstration. Notons d’abord quelXYµµi=,kki
k1 +···+kl =k i=1!

 

k1 ,...,kl ≥1où l = l(µ). Comme chaque partition µ de j correspond à l(µ)!/ i≥1 mi (µ)!
compositions (k1 , . . . , kl ) de j telles que (k1 , . . . , kl ) soit une permutation desparts de µ, nous avons, en tenant compte de (1) et (2),QX

j−kt

X αk−l(µ)  µ zµµ`jj≥kkpµ (X)l X
αk−l t−k Yµr − 1=pµr (X)tµr
kr − 1
k1 +···+kl =k l!k1 · · · kl r=1 µr ≥1!

Xl≥1lY
dkr −1  X
αk−l=pn (X)tn−1 l!k!
···k!
dt1l r=1
k1 +···+kl =kn≥1Xl≥1=X αk−l(µ)

zµµ`kpµx2x1,,... .
1 − tx1 1 − tx2
En posant α = 1 (resp. −1), nous en déduisons (9) (resp. (10)) en appliquant(3) (resp. (4)).
Remarque. 1) Lorsque t = 0 on retrouve les formules classiques de typeWaring.
2) Dans les théorèmes 1 et 2, t n’est qu’un paramètre d’homogénéité, mais vu
le rôle important qu’il joue dans notre démonstration, nous préférons gardercette forme.
Rappelons que hn (X) et en (X) ont pour fonctions génératrices:X1,r≥1 1 − xr t
Yhn (X)tn =n≥0X

Yen (X)tn =n≥0(11)(1 + xi t) .

(12)i≥1Théorème 3 Soit z et X = {x1 , x2 , . . .} des indéterminées indépendantes.
Alors la série formelle
F (t, u) = (1 + u)

zutxr
1+1 + u 1 − txrYr≥14admet les trois développements suivants
XF (t, u) =ut

i,j≥0Xui tjXi jXi,j≥0F (t, u) =(13)z − j X h µk i
pµ (X),
i − k µ`j zµ(14)l(µ)≤i,|µ|=jmin(i,j)

F (t, u) =!

z − l(µ)
mµ (X),
i − l(µ)

X

i j

k=0

ut

i,j≥0Xk≥0!

µz−k Xk−l(µ) h k i
pµ (X).
(−1)
zµi − k µ`j!

(15)Démonstration. Tout d’abord, par définition nous avons
F (t, u) =X=(txr1 )m1 · · · (txrk )mk1≤r1 <r2 <···<rkm1 ,...,mk ≥1k≥0XXuk (1 + u)z−ki juti,j≥0Xk≥0z−ki−k!

Xmµ (X).

l(µ)=k,|µ|=jD’où (13). Ensuite, dans le membre de droite de (14) en remplaçant i pari + k, nous obtenons en appliquant la formule du binômeXk≥0ukX(1 + u)z−j tj

j≥0

X hµi
kµ`j zµpµ (X),qui s’écrit, en posant s = t/(1 + u) et en appliquant (9) et (11),(1 + u)zXk≥0uk hkYsx1
sx2usxr,, . . . = (1 + u)z1−1 − sx1 1 − sx2
1 − sxrr≥1


−1.

Ceci est clairement égal à F (t, u). Enfin nous déduisons (15) de façon analogue en appliquant (10) et (12).
Corollaire 4 Soit z et X = {x1 , x2 . . .} des indéterminées indépendantes.
Pour tous entiers i, j ≥ 1 on aXl(µ)≤i,|µ|=j!

z − l(µ)
mµ (X) =i − l(µ)

min(i,j)X

k=0min(i,j)=X

k=05z − j X h µk ipµ (X)i − k µ`j zµ!

µz−k Xk−l(µ) h k i(−1)
pµ (X).
i − k µ`jzµ!

Comme (pµ )µ forme une base linéaire de l’algèbre des fonctions symétriques,on déduit du corollaire 4 le résultat suivant.
Corollaire 5 Soit z une variable. Pour des entiers i, j ≥ 1 et toute partitionµ ` j on amin(i,j)

X

k=0z−ji−k! µk

min(i,j)X=k−l(µ)(−1)

k=0z−ki−k! µ.
kEnfin le corollaire 4 implique aussi le résultat suivant, dû à Lascoux-Lassalle [1,Lemme 2].
Corollaire 6 Pour tous entiers k, j ≥ 1 on aXmµ (X) =l(µ)=k,|µ|=jhµi(−1)k−l(µ) k pµ (X).
zµµ`jXRemarque. On trouvera d’autres formules sur la sommedans Macdonald [4, p. 33 et 68].

3l(µ)=k,|µ|=j mµ (X)PApplications

On identifie chaque partition λ avec son diagramme de Ferrers et on pose(x)λ =Y(x + j − 1 − (i − 1)/α) .

(i,j)∈λLorsque λ = (n) est une partition-ligne on retrouve la définition habituellede factorielle montante (x)n = x(x + 1) · · · (x + n − 1). Par un calcul directet en posant Z = {j − 1 − (i − 1)/α} ((i, j) ∈ λ), nous obtenons :Y(y − x)λx/y=1−(y)λ1 + z/yz∈Z=|λ|X(−x/y)ii=0!

11···
1 + zi /yz1 ,...,zi ∈Z 1 + z1 /yX|λ| ∞XX!

Xxi|λ| − l(µ)=(−1)i+j i+jmµ (Z).
y l(µ)≤i,|µ|=j i − l(µ)
i=0 j=0

Nous déduisons donc du corollaire 4 une courte preuve d’un résultat deLascoux-Lassalle [1, Thm. 4], qui fut conjecturé par Lassalle [2, Conj. 2].
6Théorème 7 Soient x, y deux indéterminées indépendantes. Pour toute partition λ soit X = {j − 1 − (i − 1)/α}, (i, j) ∈ λ, alors|λ| +∞
XX
xi min(i,j)|λ| − j X h µk i(y − x)λ X(−1)i+j i+j=pµ (X).
i − k µ`j zµ(y)λyi=0 j=0
k=0!

En fait Lascoux et Lassalle [1] ont déduit le théorème 7 d’un résultat plusgénéral, qui fut aussi conjecturé par Lassalle [3]. Nous en donnons aussi une
nouvelle preuve.
Théorème 8 Soient z,u et X = {x1 , x2 . . .} des indéterminées indépendantes.
Pour tous entiers n, r ≥ 1 on aX (−1)r−l(µ)  µ  Yµ`nmi (µ)(i)k 
z +ukxk
r i≥1k!
k≥1zµX

ujj≥0

X

n+j−1
n−r! min(r,j)
X
k=0=z − j X h µk i Y mi (µ)
x.
r − k µ`j zµ i≥1 i!

Démonstration. Soit Y = {y1 , y2 , . . .} une famille infinie d’indéterminées.
Comme les fonctions puissances pi (Y ) sont algébriquement indépendantes
dans ce cas, nous pouvons supposer xi = pi (Y ) pour i ≥ 1. En multipliant lemembre de gauche par tn q r et sommant sur n, r ≥ 1 nous pouvons écrire sa
fonction génératrice comme suit (voir l’Appendice ci-après):
F (tu, T q) = (1 + T q)zYj≥1!

TqT uzj
1+,
1 + T q 1 − T uzj(16)où T = t/(1 − t) et zj = yj /t pour j ≥ 1. Nous en déduisons par l’application
du théorème 3 que
F (tu, T q) =XT r+j q r ujr,j,k≥0z − j X h µk i
pµ (Z)
r − k µ`j zµ!

z − j X h µk i
tr q r uj=pµ (Y ).
(1 − t)r+j r − k µ`j zµr,j,k≥0!

XEn écrivant!

X n+j−1trtn ,=r+jn−r(1 − t)n≥rnous remarquons que l’expression plus haut est aussi la fonction génératrice
du membre de droite.
7Appendice. Calcul de la fonction génératrice
Afin de rendre la lecture autonome nous incluons ici une preuve classique de(16). Remarquons d’abord que pour toute partition µX µr≥1rqr =Y(1 + q)i − 1i≥1et que la formule du binôme (1 − x)−α =
X

unn≥1

mi (µ),nn≥0 x (α)n /n! permet d’écrire

PXX(i)n(i)n n X
pn (Y ) =yj =un((1 − yj u)−i − 1).
n!
n!
j≥1 n≥1j≥1

En multipliant le membre de gauche par tn q r et sommant sur n, r ≥ 1 nous
obtenons sa fonction génératrice
X t|µ| Yµzµ i≥1(1 − (1 − q)i ) z +Xj≥1ujmi (µ)(i)jpj (Y )
j!

miX
ti mi i(1−(1−q))(z+((1 − yj u)−i − 1))=mij≥1i≥1 mi ≥0 mi ! i
Y X.

Mais le dernier terme peut s’écrire==!

X
ti tiexp− (1 − q)i z + ((1 − yj u)−i − 1)
 iii≥1j≥1Ytq
1+1−ttq
1+1−tz Yj≥1z Yj≥1exp

Xi≥1ti ti− (1 − q)iii

tq
1+
1 − t − yj u!

!

1+1−1(1 − yj u)itq
1−t

−1!

.

On pourrait trouver des calculs similaires aux précédents dans [2] ou dans[1] en termes de λ-anneaux.

Références[1] Lascoux (A.) et Lassalle (M.) Une identité remarquable en théorie
des partitions, à paraı̂tre dans Math. Annalen, 2000.
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[2] Lassalle (M.) Quelques conjectures combinatoires relatives à la formule classique de Chu-Vandermonde, Adv. in Appl. Math. 21 (1998),
457-472.
[3] Lassalle (M.) Une identité en théorie des partitions, J. Combin. Theory, Series A 89 (2000), 270–288.
[4] Macdonald (I.G.) Symmetric Functions and Hall Polynomials, secondedition, Oxford Science Publications, 1995.
[5] Macmahon (M.P.) Combinatory analysis, reprinted by Chelsea Publ.
Company, 1960.

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