対称群の一般バーンサイド環のユニット元
小田文仁 (Fumihito Oda)∗

近畿大学 · 理工学部

Faculty of Science and Engineering, Kindai University
竹ヶ原裕元 (Yugen Takegahara)
Muroran Institute of Technology
北星学園大学 · 経済学部
吉田知行 (Tomoyuki Yoshida)†
Graduate School of Economics, Hokusei Gakuen University

室蘭工業大学大学院 · 工学研究科

1 はじめにG は有限群，C(G) は G のすべての部分群の族の G 共役類の集合とする．部分群 H ≤ G に対し，G/H は
H の G におけるすべての左剰余類 gH ，ただし，g ∈ G，の集合とする．G の Burnside 環 Ω(G) は，G/H ，ただし，(H) ∈ C(G)，に対応するシンボル [G/H] の形式的 Z 線形結合全体に∑[G/H] · [G/U ] =[G/(H ∩ g U )]HgU ∈[H\G/U ]ただし，(H), (U ) ∈ C(G)，g U = gU g −1 ，[G/(H ∩ g U )] = [G/K]，(K) = (H ∩ g U ) ∈ C(G)，で与えられる積が定義された可換環である (たとえば，[CR81, §80], [Yo90b, §2.1] を参照)．Ω(G) の単位元は [G/G] である．簡略のため 1 = [G/G] と書く．Ω(G) の単元群は可換 2 群 (cf. §2) であり，Ω(G) の単元の解析は非常に興味深い問題である．
Sn は n 文字の集合 [n] = {1, 2, . . . , n} 上の対称群，Yn は Sn の Young 部分群全体の族とする．シンボル[Sn /Y ]，ただし，Y ∈ Yn ，の Z 線形結合全体を Ω(Sn , Yn ) ([BBTH92] 参照) と書く．Yn は共役と共通部分をとる操作で閉じているので，Ω(Sn , Yn ) は Ω(Sn ) の部分環である (簡略のため，その部分環は対称群のYoung 部分群に関する partial Burnside 環と呼ばれている)．Sn の指標環を R(Sn ) と書く．このとき環同型Ω(Sn , Yn ) ∼= R(Sn ) が成立すること (たとえば，[Yo90b, Proposition 7.2] を参照)，また，R(Sn ) の単元群が ±1Sn ，±νn ，ただし，1Sn は Sn の自明な指標，νn は交代指標である (たとえば，[Ya91] を参照)，で構成されることがよく知られている．特に，Ω(Sn , Yn ) の単元群は，Klien の 4 群と同型である．
最近，[IO15] で Idei と Oda は，Yn の包含関係 ≤ に関するポセット (Yn , ≤) の Möbius 関数 µYn を用いて Ω(Sn , Yn ) の非自明な単元の公式を与えた．そのような単元は，また，Ω(Sn ) の単元でもあり，Ω(Sn ) の単元の何らかの特徴付けを与えているようである．しかしながら，一般に，Ω(Sn ) の単元はもっとたくさん存在する ([BP07])．本稿の目的は，Ω(Sn , Yn ) の非自明な単元の tom Dieck 準同型 (詳細は §2 を参照) を用いた特徴付けを与えた論文 [OTY] の要旨を報告することである．結果的に, 我々は，その論文で Ω(Sn , Yn ) の単元群が tom Dieck 準同型の像に含まれることを証明することに成功した．νn は，Sn 集合 Sn /Y ，ただし，Y ∈ Yn ，が与える置換指標の Z 線形結合として具体的に表される (cf. Theorem 4.4)．それらの事実を証明するために，任意の左 G 集合が与える置換指標の tom Dieck 準同型による像が，G ポセットの被約 Lefschetz不変量であること，それは，本質的に [Th87] で与えられた，がわかる．

2 tom Dieck 準同型
部分群 H ≤ G と有限左 G 集合 X に対し，invH (X) = {x ∈ X | hx = x for all h ∈ H}
とおく．[Di79, Proposition 1.2.2] により，[G/U ] 7→ (♯invH (G/U ))(H)∈C(G)∗ supported by JSPS KAKENHI Grant-in-Aid for Scientific Research (C) 25400003.
† supported by JSPS KAKENHI Grant-in-Aid for Scientific Research (C) 25400001.

1eで与えられる写像 φ : Ω(G) → Ω(G):=∏(H)∈C(G) Z，ただし，(U ) ∈ C(G)，は単射環準同型であり，∏eBurnside 準同型，または，マーク準同型と呼ばれている．明らかに Ω(G)の単元群は (H)∈C(G) ⟨−1⟩ であり，したがって，Ω(G) の単元群は基本可換 2 群である．
RR (G) は G の実表現環，Ω(G)× は Ω(G) の単元群とする．任意の元 x ∈ Ω(G) は，φ(x) = (xH )(H)∈C(G)であるとき，x = φ−1 ((xH )(H)∈C(G) ) と書く．[Di79, Proposition 5.5.9] により，任意の左 RG 加群 M に対し，群準同型 u = uG : RR (G) → Ω(G)× で
M 7→ φ−1 (((−1)dim M )(H)∈C(G) )H

ただし，M H は M の H 不変部分空間，をみたすものが存在する．
H ≤ G とする．WG (H) = NG (H)/H ，ただし，NG (H) は H の G における正規化群，とおく．有限生成左 CG 加群 M は，C 指標 χ を与えるとする．部分群 H ≤ G に対し，M H は CWG (H) 加群とみなすことが可能であり，任意の gH ∈ WG (H) に対し

χ(gH) =1 ∑χ(gh)|H|h∈Hで定義される WG (H) の C 指標 χ を与える (たとえば，[ACNT13, Lemma 3.1] を参照)．特に，dim M H は，
C 指標 χ の H への制限 χ|H と H の自明な指標 1H との H における内積 ⟨χ|H , 1H ⟩H に等しい．
[Yo90b, Corollary 4.3] より任意の χ ∈ RR (G) に対し∑u(χ) =(U )∈C(G)1|WG (U )|∑µ(U, H)(−1)⟨χ|H ,1H ⟩H  [G/U ],(2.1)

H≤G

ただし，µ は G のすべての部分群の族 S(G) の包含関係 ≤ に関するポセット (S(G), ≤) の Möbius 関数，を得る．

Example 1. 明らかに，u(1G ) = −1 が成り立つ．
Example 2. An は [n] 上の交代群とする．1 − [Sn /An ] は Ω(Sn ) の単元であり，νn の tom Dieck 準同型による像である．

Remark 1. G が可解でないならば，[Ma82, Theorem 5.4] により u : RR (G) → Ω(G)× は全射ではない．特に，n ≥ 4 ならば u : RR (Sn ) → Ω(Sn )× は全射ではない：しかし，uS2 ，uS3 は全射である ([Ma82] を参照)
(2|ImuS4 | = |Ω(S4 )× | = 26 が成り立つことを注意する)．

3 Ω(Sn , Yn ) の単元
R(G) は G の指標環とする．左 G 集合 X が与える置換指標 πX は，任意の元 g ∈ G に対し
πX (g) = ♯{x ∈ X | gx = x}で定義される．環準同型 charG : Ω(G) → R(G) を，任意の左 G 集合に対し[X] 7→ πXで定める (cf. [Yo90a, §6])．[Yo90b, Proposition 7.2] により，環準同型 charSn : Ω(Sn ) → R(Sn ) は環同型写像

charSn : Ω(Sn , Yn ) → R(Sn )([JK81, 2.3] 参照) を誘導する．従って，charSn (α) = νn を満たすただ一つの元 α ∈ Ω(Sn , Yn ) が存在する．
Ω(Sn , Yn ) の単元群のすべての元は，±1, ±α であり，また，Ω(Sn ) の単元でもある．
部分群 H ≤ Sn に対し，Young 部分群 YH を，H を保存する Sn のすべての Young 部分群の共通部分として定める．n の分割 (n1 , n2 , . . . , nr ) に対応する Young 部分群 Y ≤ Sn は，互いに非交和な ni サイクル，
ただし，i = 1, 2, . . . , r ，の積 σY で Y = Y⟨σY ⟩ を満たすものを含む．以下の補題 (cf. [Yo90b, §7.1]) を示す．

2

Lemma 3.1. If φ(α) = (αH )(H)∈C(Sn ) , then αH = αYH , (H) ∈ C(Sn ) and αY = νn (σY ), Y ∈ Yn , whereσY ∈ Sn with Y = Y⟨σY ⟩ .
[Yo90b, Corollary 4.3] と Lemma 3.1 を用いて α は∑∑1
α=µYn (Y, H)νn (σH ) [Sn /Y ],|WSn (Y )|(3.1)

H∈Yn(Y )∈C(Yn )ただし，σH ∈ Sn ，Y ＝ Y⟨σH ⟩ ，C(Yn ) は Yn の Sn 共役類，と表される．この公式は，[IO15, Corollary 5.2]で表されている．
α が，tom Dieck 準同型像に含まれることを示す．Sn 集合 [n] が与える置換指標 π[n] は，任意の σ ∈ Sn に対し，σ 7→ ♯{k ∈ [n] | σ(k) = k}として定義される．部分群 H ≤ Sn に対し，OrbH ([n]) を [n] の H-軌道とする．Cauchy-Frobenius の補題(たとえば，[Yo90b, Lemma 2.7] 参照) により，任意の部分群 H ≤ Sn に対し，⟨π[n] |H , 1H ⟩H = ♯OrbH ([n])
である．χn = π[n] − 1Sn とおく．このとき，χn は Sn の既約 C 指標であることがわかる．明らかに，χn ∈ RR (G) が成り立つ．Ω(Sn ) の単元 β をφ(β) = ((−1)♯OrbH ([n]) )(H)∈C(Sn ) = ((−1)⟨π[n] |H ,1H ⟩H )(H)∈C(Sn ) = −((−1)⟨χ[n] |H ,1H ⟩H )(H)∈C(Sn ) ,と定めると，β は π[n] の tom Dieck 準同型による像である．α = (−1)n β (cf. Theorem 3.4) が，Lemma 3.1と次の補題を組み合わせる事により得られる．

Lemma 3.2. For each H ≤ Sn , ♯OrbH ([n]) = ♯OrbY ([n]). In particular, for each Y ∈ Yn , ♯OrbY ([n]) =♯OrbσY ([n]), where σY ∈ Sn with Y = Y⟨σY ⟩ .
Lemma 3.3. For each σ ∈ Sn , (−1)♯Orbσ ([n]) = (−1)n νn (σ).
以下の定理が，Ω(Sn , Yn ) の単元の tom Dieck 準同型による特徴付けである．

Theorem 3.4. The unit group of Ω(Sn , Yn ) is included in the image by the tom Dieck homomorphism.
In particular, α = (−1)n β.
Proof. −1 = u(1Sn ) が 成 り 立 つ か ら ，α = (−1)n β が 成 り 立 つ こ と を 示 せ ば 十 分 で あ る ．φ(α) =(αH )(H)∈C(Sn ) と φ(β) = (βH )(H)∈C(Sn ) が成り立つと仮定する．αY = (−1)n βY ，Y ∈ Yn , とすると Lemma 3.1 と Lemma 3.2 により任意の部分群 H ≤ Sn に対し αH = (−1)n βH が成り立つから，
α = (−1)n β を得る．Y ∈ Yn とする．このとき，Lemma 3.1 より，Y = Y⟨σY ⟩ を満たす σY ∈ Sn に対し
αY = νn (σY ) が成り立つ．従って Lemma 3.2 と Lemma 3.3 より
αY = (−1)Orb⟨σY ⟩ ([n])+n = (−1)OrbY ([n])+n = (−1)n βYが従う．

4 The reduced Lefschetz invariant of a G-poset
Theorem 3.4 のよい応用がある．νn の置換指標 πSn /Y ，ただし，Y ∈ Yn ，の Z 線形結合としての表現は，非明示的に等式 (3.1) で表されているが，一方，明示的に表す事は価値のあることである．
順序 ≤ が定められた任意の有限左 G 集合 P は，≤ が G の作用で不変であるとき G ポセットと呼ばれる．
P を G ポセット，Sdi [P ] を基数 i + 1 の P の元からなる鎖 x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xi 全体の集合とする．P のLefschetz 不変量 ΛP は
ΛP =∞∑(−1)i [Sdi (P )] ∈ Ω(G),i=0

eP は Λe P = ΛP − 1 と定める (cf. [Bo00]，[Th87])．有限左 G 集合 X に対し，P の被約 Lefschetz 不変量 ΛP (X) は包含関係に関する X のすべての部分集合の G ポセットとする．P (X) は G ポセット P (X) − {∅, X}
3

e P (X) ) の (K) 成分は，P (X)K (= invK (P (X))) の被約とする．このとき，部分群 K ≤ G に対し，φ(ΛEuler-Poincaré 標数に等しい：∞∑(−1)i |Sdi (P (X)K )| − 1.
i=0

次に，本質的には [Th87, Proposition 5.1] で証明された以下の命題の組合せ論的な証明を与える．

e P (X) of P (X) is theProposition 4.1. Let X be a finite left G-set. The reduced Lefschetz invariant Λ
image of πX by the tom Dieck homomorphism.
Proposition 4.1 の組合せ論的な証明のためには，以下の補題が必要である．
Lemma 4.2. For each positive integer j, set∑

i=0(n1 ,n2 ,...,ni )∈A(i,j)

where A(i, j) = {(n1 , n2 , . . . , ni ) |((j∑
cj =(−1)i∑)j,n1 , n2 , . . . , nik nk = j and n1 , n2 , . . . , ni ∈ N} andj
n1 , n2 , . . . , ni)=j!
n1 !n2 ! · · · ni !

(multinomial coeﬃcients).

Then cj = (− 1)j for any positive integers j.
β の明示的な表現の計算に戻る (cf. 等式 (4.1))．
e P ([n]) of P ([n]) coincides with β.
Corollary 4.3. The reduced Lefschetz invariant ΛG
与えられた部分群 H ≤ G に対し，H の自明な指標 1H を G に誘導した C 指標を 1GH と書く．1H は置換指標 πG/H と同値である．
(m )

(m )

(m )

[n] の任意の置換のサイクル型 λ = (1m1 , . . . , nmn ) に対し，S1 1 × · · · × Sn n ，ただし，各 Sj j は対称n群 Sj の mj 個の直積，と同型な Sn の Young 部分群を Sλ と書く．νn を 1SY ，ただし，Y ∈ Yn ，の Z 線形結合として詳細に表す準備が整った．この結果は，[JK81, Theorem 2.3.15] における νn の表現の簡易化である．
Theorem 4.4. The alternating character νn of Sn is expressed explicitly in the form
∑νn =(−1)n+m1 +···+mn

λ=(1m1 ,...,nmn )(m1 + · · · + mn )! Sn
1Sλ ,m1 ! · · · mn !

where the sum runs over all cycle types of permutations on n-letters.
Proof. Theorem 3.4 より β = (−1)n α が示され νn = charSn (α) が成り立つから，定理の主張は等式((−1)n α) = β =∑(−1)n+m1 +···+mn

λ=(1m1 ,...,nmn )(m1 + · · · + mn )!
[Sn /Sλ ]m1 ! · · · mn !

(4.1)∑と同値である．i を非負整数とする．このとき，[Sdi (P ([n]))] = t [Ot ]，ただし，Ot は Sdi (P ([n])) の Sn
軌道，となる．Sn 軌道 Ot の任意の代表 x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xi は，部分集合 {y0 , y1 , . . . , yi , yi+1 } ⊂ P ([n])˙ kj=0 yj と [n] = ∪˙ i+1
で，k = 0, 1, . . . , i に対し xk = ∪j=0 yj を満たすもの，— それは，ℓ = 1, . . . , n に対し，mℓ = ♯{k | yk = ℓ} を満たすサイクル型 (1m1 , . . . , nmn ) に対応する —，を定める．逆に，λ = (1m1 , . . . , nmn )∑が， ℓ mℓ = i + 2 ≥ 2 を満たす [n] の置換のサイクル型であるならば，Sdi (P ([n])) の(m1 + · · · + mn )!
m1 ! · · · mn !
個の Sn 軌道，それは，Sn /Sλ と同型な Sn 集合である，を構成することができる．ゆえに，等式 (4.1) はCorollary 4.3 より従う．

4

Remark 2. Frobenius の相互律 (たとえば，[CR81, (10.9)] 参照) により，任意の部分群 H ≤ G に対し，
⟨1GH , 1G ⟩G = ⟨1H , 1H ⟩H = 1 を得る．Theorem 4.4 から，等式∑(−1)m1 +···+mn

λ=(1m1 ,...,nmn )(m1 + · · · + mn )!
= (−1)n ⟨νn , 1Sn ⟩Sn = 0
m1 ! · · · mn !

が従う．

Example 3. 等式 (4.1) により，G = Sn かつ χ = π[n] のとき，等式 (2.1) の [Sn /U ] の係数と等式 (3.1) における [Sn /Y ] の係数は完全に決定される．n = 3 のときは，
α = [S3 /S(13 ) ] − 2[S3 /S(11 ,21 ) ] + [S3 /S(31 ) ].
([JK81, pp. 41–42 and Theorem 2.3.15] も参照)．n = 4 のときは，
α = [S4 /S(14 ) ] − 3[S4 /S(12 ,21 ) ] + [S4 /S(22 ) ] + 2[S4 /S(11 ,31 ) ] − [S4 /S(41 ) ]が成り立つ．

5 Concluding remarkse が，2e ∈ Q ⊗Z Ω(Sn , Yn ) を満たす Q ⊗Z Ω(Sn , Yn ) のべき等元であるならば，1 − 2e と −1 + 2e はΩ(Sn , Yn ) の単元である．α は Ω(Sn , Yn ) の単元だから (1 − α)/2 は Q ⊗Z Ω(Sn , Yn ) のべき等元である．
しかし，(1Sn − νn )/2 ̸∈ R(Sn ) だから，(1 − α)/2 ̸∈ Ω(Sn , Yn ) である．したがって，以下の命題を得る．
Proposition 5.1. The idempotents of Ω(Sn , Yn ) are only 0，1．
Proposition 5.1 の Sn 集合を用いた Proof はどうなるだろうか? もちろん，等式 (4.1) において，[Sn /S(1n ) ]の係数はいつでも (−1)n だから，(1 − α)/2 ̸∈ Ω(Sn , Yn ) である．この事実は，Theorem 3.4 の結論でもある．なぜなら，それは [Ma82, (5.4.1)] — e が非自明なべき等元，すなわち，e ̸= 0, 1 である Ω(Sn ) のべき等元，ならば，単元 1 − 2e は tom Dieck 準同型による像には含まれない — から従うからである．
以下の補題は，[Yo90a, Lemma 2.1] (また，[Di79, Proposition 1.3.5] 参照) であり，[Yo90a] において tom
Dieck 準同型の存在性の証明に用いられた．
eLemma 5.2. An element (xH )(H)∈C(G) of Ω(G)is included in the image Imφ by the Burnside homomorphism if and only if∑x⟨g⟩U ≡ 0 (mod |WG (U )|)gU ∈WG (U )for all (U ) ∈ C(G)．
(1 − α)/2 ̸∈ Ω(Sn ) の直接的な証明を与えてこの報告を終える．
Proof of Proposition 5.1 φ(α) = (αH )(H)∈C(G) とする．Lemma 3.3 および Theorem 3.4 (あるいは，α の定義) より∑ 1 − νn (σ)∑ 1 − α⟨σ⟩== |An | ̸≡ 0 (mod |Sn |),22σ∈Snσ∈Sn

ここで，σ が τ ∈ Sn と共役で (⟨τ ⟩) ∈ C(G) を満たすならば，α⟨σ⟩ = α⟨τ ⟩ である，が成り立つ．これと，Lemma 5.2 は，((1 − αH )/2)(H)∈C(Sn ) ̸∈ Imφ を示す．ゆえに，(1 − α)/2 ̸∈ Ω(Sn ) を得る．
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参考文献
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