Determination of the strong
coupling constant from lattice QCD	@基研研究会 素粒子物理学の進展	  2017	  大野木哲也(大阪大学)	  	  2017年8月2日	  17/08/09	

1	

話の目標	
1. Lattice による αs の結果	2. 現在の精度は何できまっているか？	
3. 将来的にどの精度までいくか？	
最近のFlavor Lattice Averaging Group
Report にもとづいて話します。	
FLAG report: S. Aoki et al., 	
Eur. Phys. J. C77(2017) no2. 112	

17/08/09	

2	

Flavor Lattice Averaging Group (FLAG)	
Lattice の物理量に対して、様々なcollaborationからの結果を総括し、「平均値」を与えるLattice
研究者コミュニティーのワーキンググループ	

Our aim is to provide an answer to the frequently
posed question “What is currently the bestlattice value for a particular quantity?” in a waythat is readily accessible to nonlattice-experts. 	
17/08/09	

3	

FLAG members	
Advisory Board : S. Aoki, C. Bernard, M. Golterman, H. Leutwyler, C. Sachrajda	
Editorial Board: G. Colangelo, A. Jüttner, S. Hashimoto, S. Sharpe A. Vladikas, U. Wenger 	

Working Groups 	
• Quark masses: L. Lellouch, T. Blum, V. Lubicz 	
• Vus , Vud : S. Simula, P. Boyle, T. Kaneko	
• Low Energy Constant: S. Dürr, H. Fukaya, U.M. Hellter	
• BK : H. Wittig, P. Dimopoulos, R. Mawhinney	• fB, fD, BB: M. Della Morte, Y.Aoki, D. Lin 	• B, D semileptonic decays: E. Lunghi, D. Becirevic, S. Gottlieb, C. Pena	• αs : R. Sommer, R. Horsley, T. O. 	

17/08/09	

4	

目次
1. なぜ αs が重要か?	
2. 格子QCDの基礎	
3. どうやって αMS (µ) を決定するか?	
a. 自然な方法とWindow問題	
b. Window問題を解決するには？	
i. 自然な方法における改良	
ii. 有限体積スキームとステップスケーリング	
iii. Wilson ループ	
4. 数値結果	
5. まとめ	
17/08/09	

5	

1. なぜ αs が重要か？	
PDG value	 αMS = 0.1181 ± 0.0011(PDG 2016 rev.: Bethke, Dissertori, Salam)	

1% レベルの精度に到達している。 	
以下の現象論の研究においては、より高い精度が求められる。	

1. LHCにおけるヒッグスの物理	
2. LHCにおけるトップクォークの物理	
3. 標準模型の繰り込み群の振る舞い	

17/08/09	6	

LHCにおけるヒッグスの物理	

Slide from plenary talk 	
by S. Forte @ Lattice 2017	��

素過程の断面積が O α2 なら、2-3% の不定性が生じる。	
標準模型からのずれを検証するには α の精度の向上が必要	��
∆α22
σ = c1 (α + ∆α) + · · · = c1 α 1 + 2+ ···α
17/08/09	7	

トップクォークの物理	
pp → tt̄ → lepton + jets→ all jets

@TeVatron, LHC	

トップクォーク 生成断面積à トップクォーク質量	polemt = 173.34 ± 0.27 ± 0.71GeV

ヒッグスの物理と同様の構造	

PDF, α, mt , · · ·	  	  	  	  	17/08/09	

α

PDF とが	主な系統誤差 	

コライダー実験での様々な過程の断面積の情報		  	  	  α	  	  	  s	  	  	  の精密な値が不定性を小さくしうる。	

8	

繰り込み群による標準模型の高エネルギーでの振る舞い	

ヒッグス4点結合 λ の	繰り込み群の振る舞い	

真空の安定性は mt , α の値に敏感	à 精密決定の必要性	
17/08/09	9	

αs の決定の現状	
Particle Data Group 2016	
Lattice の結果	もっとも精密な決定	どれだけ信頼できる?	
改良の余地は?	
良く見るとこの２つだけ精度がめちゃくちゃ良い。	
実は αs はほとんどこれだけで決まりかねない。	
しかも全く同じグループ à 「危うい？」状況	

17/08/09	10	

2.格子QCDの基礎	
L = N a = 3 ∼ 10 fm	  	  	  	  	  	  格子QCDのパラメータ	裸の結合定数 :	 g0 (a)裸のクォーク質量：	 m̂0
L4 :
N4 :
a:

ゲージ場	
iaA (x)Uµ (x) = eµボックスサイズ	
格子サイズ	
格子間隔	

インプット	
核子質量:	 mNπ中間子質量 :	 mπ
原理的にはいかなる物理量もインプットになりうる	

格子間隔	

a = 0.05 ∼ 0.2fm

クォーク場	

アウトプット：	
あらゆる物理量（格子単位）	
(ハドロン質量、形状因子) 	
11	  Ø

格子シミュレーションで格子単位での核子質量とパイオン質量が裸のパラメータの数値的な関数として求められる。	

格子シミュレーションの結果	ØmπmNØmN をインプットとして a が g0 の関数として決定できる	  をインプットとしてm̂0 が g0 の関数として決定できる。	

mexp
MN (g0 , m̂0 (g0 ))Nexp =mπMπ (g0 , m̂0 (g0 ))1a(g0 ) = exp MN (g0 , m̂0 (g0 ))mN

理論の裸のパラメータの（非摂動的）繰り込み	
17/08/09	12	

QCDの物理量の予言	
他のハドロン質量	
1MN (g0 , m̂0 (g0 ))g0 →0 a(g0 )mprediction
= lim
H

相関関数	
�O(x)O(0)�prediction

格子シミュレーションの結果	
2= lim (a(g0 ))−2dO (ZO (g0 )) �Ôlat (x̂)Ôlat (0)�lat
g0 ,m̂0 (g0 ) |x̂=a(g0 )x
g0 →0

繰り込み因子 ZO (g0 ) が必要	
いくつかの計算方法（ワード・高橋恒等式.）	

もし相関関数の比が有用な場合 	
à 繰り込み因子 ZO (g0 ) は不要 	
17/08/09	13	

3. どうやって αM S (µ) を決定するか? 	
a. Naïve method and window problem	
1. A short distance quantityQ(µ) from lattice QCD, which isfinite (i.e. renormalized or divergence free).
(ex: static quark potential, Adler function)	

µ : some momentum scale

Q(µ) = lim Qlat (µ̂, g0 , m̂(g0 )) |µ̂=a(g0 )µg0 →0

2. Compute �O�using perturbative QCD with αM S (µ) .

(2,3,4-loops depending on quantities)	

Q(µ) = c0 + c1 αMS (µ) + c2	  ��2αMS (µ) + · · ·3. Require that these two are equal à determination of α	M S (µ)
	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  Con-nuum	  quan-ty	  	  Q(µ)
La5ce	  simula-on	  ßà	  Con-nuum	  perturba-on	
17/08/09	14	

Examples of Q(µ) 	

1. 	  Tri-gluon coupling at some momentum point	
�

(3)
ΓR

�abc

µνρ

k, ν, b(p, k, q) |p2 =q2 =µ2 ,k2 =0
�

(3)

�abc

≡ Q(µ) × Γtree(p, k, q) |p2 =q2 =µ2 ,k2 =0µνρ	2. Force of static quark potential	

p, µ, aq, ρ, c∂VQQ̄
| 1 , (VQQ̄ : static potential)∂r µ= rαV ( 1r )c.f. VQQ̄ ∼ −+ σrr

Q(µ) = r2

3. Adler function of vacuum polarization		
VµVν

17/08/09	15	注釈１	
When Q(µ)

can be written as 	� MS �2MS
Q(µ) = c1 α (µ) + c2 α (µ) + · · ·(i.e., c0 = 0)
One can define a running couplingαQ (µ)
with the renormalization condition	

Q(µ) = c1 αQ (µ)
Previous examples	
1. Momentum scheme:α	MOM (µ)
2. Static potential scheme :	
αV (µ)
17/08/09	

16	

注釈２	
Static クォークポテンシャルを用いて			を定義する。この値が1となるスケールを	と定義する	

大きな体積の3フレーバーシミュレーションでハドロン質量をインプットにするととなる。		
この量は短距離の物理量なので、2.5 fm程度の体積のシミュレーションでも有限体積効果は無視でき、比較的小さな体積のシミュレーションにおけるインプットに使える。	
17/08/09	

17	

注釈４	
Gradient Flow (GF)	
• 裸の場
を初期条件として、仮想的なパラメータ tに対する方程式を考える。 	
∂s Bµ (t, x) = Dν Gνµ (t, x),
Gµν (t, x) = ∂µ Bν − ∂ν Bµ + [Bµ , Bν ],Bµ (0, x) = Aµ (x)• Bで作られる任意の場は t �= 0 で有限	• 有限体積スキームでの結合定数	
√8t=cL2gGF(µ) = �E(t)�L /�E(t)�tree|µ=1/(cL)
L	を定義できる。	

17/08/09	�21� aE(t) =Gµν (t, x)
418	注釈	
重いクォーク c, b のthresholdでのフレーバー数の変化にともなう結合定数のマッチング	
2246ḡN(m)=ḡ(m)
×[1+tḡ
(m)+tḡ(m� ) + . . .]
��
2�
3−1NN
Nffffm� = m̄(m� )1 11
t2 =(4π 2 )2 72
��
564731
2633
182043ζ3 +−(Nf − 1)
t3 =−(4π 2 )327648
124416 31104

4ループ摂動公式	
Chetyrkin, Kuhn, Sturn arXiv: hep-ph/0512060	

17/08/09	

19	

Window problem	Naïve method seems so simple.	
However, lattice setup has to satisfy 4 conditions.	

1. L ≥ 3 fm
to kill finite size effect for the nucleon.	
2. N = L/a = 32, 48, 64 for reasonable computational cost.	
3. q, µ � a−1
to control the lattice artifact.	
4. q, µ > 1 ∼ 2 GeV for pert. QCD to be valid. 	
1. & 2. à	a−1 ≤ 2 ∼ 4 GeV

3. & 4. à 	1 ∼ 2 GeV < q, µ � 2 ∼ 4 GeV

Hard to find a window for 	q , µ
17/08/09	

20	

b. How to solve the window problem	
• Stick to the naïve method	– Finer lattice or improved lattice action	
– improvement in pert. theory, 	RG• New method 	
mN → output 1 −→output 2 → αMS (µ)– Finite box scheme	– Nonperturbative running(=step scaling)	

• Cutoff scale quantity without cutoff effect (!?)		
17/08/09	21	i) Improvements in the naïve method	• Reduce the computational cost	à Larger	a−1• 短距離の物理量を中間のインプットに挟む	à smaller box size à Larger 	a−1• Use improved action	
à Reduction of discretization error	• Improved perturbation theory	à Better convergence	

17/08/09	22	ii) Finite box scheme & step scaling	A finite physical quantity in finite box	1Q(µ), in finite box(L ), where µ =L��2MS
MS
Q(µ) = c1 α (µ) + c2 α (µ) + · · ·4

Let us define a renormalized coupling αQ (µ)(finite box scheme) for the coupling withrenormalization condition	

Q(µ) ≡ c1 αQ (µ)
17/08/09	

23	

Step scaling (=nonperturbative running)	
Input	

Output	1st step	

mNαQ

�

1L0

2nd step	

αQ

�

αQ

�

�αQ

�

αQ

�

3rd step	
17/08/09	

1L0

�

2L0�

L = L02L04L0�

L = L0

L = L0 /2�24	Step scaling gives RG running of α	 Q

αQ (µ0 ) → αQ (2µ0 ) → · · · → αQ (2n µ0 )with reasonable computational cost at each step.	

Taking sufficient n, perturbative expansion 	αQ (2n µ0 ) = c1 αMS (2n µ0 ) + c2becomes highly reliable.	

��2αMS (2n µ0 ) + · · ·Solution to the window problem	
17/08/09	25	iii) Wilson loop	
• Wilson loop を格子摂動論で展開	
n,m 42�Wn,m � = 1 + cn,mg+cg0 + · · ·0122g• ポテンシャルスキーム結合を 0 と結びつける。	

gV2 (µ) = g02 + b1 (aµ)g04 + · · ·• Wilson loopsの比をRn,m ≡ ln

�gV2 (µ∗ ),�Wn,m �nm(�W1,1 �)�1µ∗ ∝ で書き直す	
a= dn,mαV (µ∗ ) + dn,mαV (µ∗ )2 + · · ·12• Lattice シミュレーションで求めた比に摂動展開の表式を代入して gV2 (µ∗ ) を逆解きする。	
MC(Rn,m )17/08/09	

n,m 42= dn,mg(µ)+dgV (µ∗ )
∗V
1226	

4. 数値計算の結果	i) naïve method	ii) Step scaling	

17/08/09	iii) Wilson loop	27	i)	  重いクォークの2点関数(HPQCD 2010, JLQCD 2017)	
�G(x0 ) = a3
�J † (x)J(0)� where J(x) = im0h h̄(x)γ5 h(x)�x

短距離の発散と2点関数のモーメント	
x0 ∼0G(x0 ) ∼x−30Gn ≡ a�(t/a)n G(t)tモーメント（の比）に対する連続理論での摂動公式	
(0)R̃4 ≡ G4 /G4 = 1 +R̃n ≡GnmMSh (µ)

3��nMS(µ)r4,n (µ/mMSh (µ)) αn=13�=1+k=1���kMS
rn,k (µ/mMS(µ)
h (µ)) α3-loop	
(n = 6, 8, · · · )Chetyrkin	  et	  al.	  	  2006	

比を格子で計算して、上の公式で αs を逆解きする。	
17/08/09	28	

HPQCD 2010, 改良作用	
4つの格子間隔で連続極限	
a−1 = 1.7, 2.4, 3.4, 4.5 GeV

短距離スケールのインプット	

r1 = 0.3133 fm

L = 2.4 ∼ 2.8 fm
global fit of R4 , R6 , R8 , R10

αMS (µ) = 0.1183 ± 0.007
統計誤差: 0.2%	
系統誤差：連続極限外挿 0.2%	
摂動truncation (4-loop) 0.4%	
その他 0.2%	
トータル： 0.6% エラー	
17/08/09	29	

WGによる評価	••小à 繰り込み点
小	à大 à 摂動の収束性が悪い	
大 à 格子化誤差
大 	
シミュレーションを行った色々なパラメータでの重いクォーク質量と繰り込み点での結合定数	Global fit に隠されているが、	実はWindow 問題は存在する	
17/08/09	30	

より新しい計算(JLQCD 2016)	

Domain-Wall フェルミオン作用	

インプット： 短距離の物理量 : 	

摂動のtruncation誤差(missing 4-loop) がもっとも支配的:	à 比の表式の右辺に現れる繰り込み点を	と振ったときの最終結果の変化で評価	
2%エラー	

17/08/09	31	ii) 小さいWilson loop	• Small Wilson loopの自動化された摂動計算(3次）		
Q. Mason et al., Phys. Rev. Lett. 95,052002 (2005)		

• Static potential の2ループ計算		
Y. Schroder, Phys. Lett. B 447, 321 (1999)		

• Bare coupling とMSbar coupling の2ループ計算	
Luscher and Weisz, Nucl. Phys. B452 (1995) 234		

17/08/09	

32	

HPQCD 2010, C. McNeile et al. Phys. Rev. D 82, 034512 (2010)	
a−1 = 1.7, 2.4, 3.4, 4.5 GeV
L = 2.4 ∼ 2.8 fm

r1 = 0.3133 fm
短距離スケールのインプット	•

いろんな格子間隔でを格子モンテカルロ計算で求め、	上の式からを逆解きする	• その際、連続理論の4ループ繰り込み群を用いることで、異なる格子間隔のデータを同時フィットできる		
• 摂動のtruncation誤差を見積もるため１０次式で展開し			4次以上の未知係数をある統計分布に従う乱数としてフィット。		

17/08/09	

33	

WGによる評価	
• 乱数フィットの結果を見るとほとんどの場合	à 4次のtruncation 誤差	
•を用いると	個人的感想	
Window 問題は本当に解消したのか？	
Bare coupling と MSbarスキームの摂動マッチングが出来るには			なるスケールの存在が必要だが、明らかに一部の格子間隔はこれを	満たしていない。	
17/08/09	34	iii) 有限体積スキームとStep scaling	
背景場のもとでの量子補正をとりこんだ有効作用					は繰り込まれた結合定数	
この概念は非摂動的に拡張できる。	
有限体積で背景色電場をもつ背景場配位	

古典的背景場の作用への寄与	繰り込まれた結合定数	
17/08/09	35	

注釈	• 格子QCDシミュレーションでは有効作用は直接計算できない	
• 色電場にパラメータを入れて、有効作用をパラメータ微分したものは期待値として計算できる。	

演算子の期待値として、
格子シミュレーション計算	

古典的・解析的に計算	両者の比較で求まる。	
Schrodinger Functional (SF) スキーム	
Luscher , Sommer, Weisz, Wolff 1994	
17/08/09	36	注釈２	
• SFスキーム結合定数は非摂動繰り込み計算のスタンダード	• Nf=0,2はAlpha Collaborationによって徹底的に調べられた。	
Capitani et al ALPHA Collab. 1998	
格子QCDによる非摂動的 RGと	連続理論での2-. 3-ループのRGの比較	
高エネルギー側で非常によく一致			
低エネルギー側で統計精度が多少悪いのが欠点	

ところが、一般的に格子QCD業界で、	細かい格子を用いた格子シミュレーションにおける	異なるインスタントンセクターのサンプリングが不十分な問題	
(Topology Freezing)が起こる事がわかった。	
17/08/09	

37	

• Alpha Collaboration 改め CLS Collaborationは全力を挙げてこの問題の解決に取り組む	à 結合定数の計算はストップ		• Nf=2の計算は形式的には、摂動論的マッチング公式でストレンジクォークの効果を加えてNf=3の結果に翻訳できるが、乗り換えに摂動論は信用できない。	
•	17/08/09	の素晴らしい結果はあるが、意味のある	の結果が出ない状況が続く	

無冠の帝王	

38	SF スキーム 結合定数 PACS-CS collaboration 2009	
S. Aoki et al. JHEP 0910, 053 (2009)	

3-flavor QCD (Wilsonフェルミオン）	
ステップスケーリング： 7ステップ（＋より高いエネルギーデータ）	
インプット用格子
L/a=8,12,16	
やや粗い格子	
アウトプット用格子 L/a=4,6,8	の間をRG running (+ より高いエネルギーデータ）	
2ループマッチング	
300

Nf=3à5連続極限

もし連続極限でLinear extrapolationのみをとると		 250RMSïbar [MeV]

統計誤差

200

150

17/08/09	

Constant fit with three `Constant fit with `=2.05, 1.90
Linear fit

00.05

0.1

a [fm]

39	0.15

Lattice 2017での最新結果	 つい	！
たに来Bruno et al. (Alpha Collaboration) arXiv:1706.03821	

Large	  La5ce	
GF	  	1.
2.
3.
4.
5.

PT	
SF	

インプット: ハドロンデータà アウトプット: GFスキーム結合定数	
ステップ・スケーリング (RG evolution) with GF	
インプット: GFスキーム結合定数 à アウトプット：SFスキーム結合定数	
ステップ・スケーリング(RG evolution) with SF	
SFスキーム結合定数à Msbar スキーム結合定数	

17/08/09	40	• PACS-CSに比べLatticeサイズが大きい	à格子化誤差が小さい	• 低エネルギー側をGFスキームに置き替えた		à 統計誤差が小さい	

17/08/09	

41	

5. まとめ	
•

格子QCDによる強い相互作用の決定は概念的にはシンプルだがWindow問題がネック。	

•Naïveな方法での改善がなされている。	

•ステップ・スケーリング法は非常に有望で、最近とても良い精度が出た。	

•現在の精度はSFスキームの統計誤差が支配的à 0.8%程度の誤差。将来摂動計算を完成し、すべてのエネルギースケールでGFスキームを用いれば、統計誤差は十分小さくできるだろう。	

•将来的には3フレーバー格子QCD計算からの結果を5フレーバーQCDにマッチングする際の摂動計算が精度のリミット à 0.5％程度（４フレーバー格子QCD計算に移行すればもう少し小さくなる）	

17/08/09	

42