木星型惑星大気の縞状構造と赤道ジェットの成因について
竹広 真一
京都大学数理解析研究所

2015 年 2 月 12 日
惑星大気研究会＠ JAXA 宇宙科学研究所

竹広 真一 (京大数理研)

木星型惑星の縞状構造と赤道ジェット2015 年 2 月 12 日

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お品書き

1
2

はじめに
「浅い」モデル
1
2
3

3「深い」モデル
1

4

回転球面 2 次元 順圧強制乱流
回転球面 2 次元 浅水強制乱流
3 次元 多層モデル
回転球殻対流まとめ

竹広 真一 (京大数理研)

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はじめに

竹広 真一 (京大数理研)

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3 / 58木星, 土星の表層の帯状流

赤道域
幅の広い西風 (赤道加速)

中高緯度:
縞状パターンに対応した
幅の狭い東西流(Sukoriansky et.al, 2002)
竹広 真一 (京大数理研)

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4 / 58大規模流のエネルギー源
入射太陽放射¡外向き熱放射 ⇒ 内部熱源の存在
エネルギー源
入射太陽放射
内部熱源

木星のエネルギー収支 (Pirraglia 1984)
竹広 真一 (京大数理研)

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5 / 58大規模流のエネルギー源
表層の流体運動で説明(浅いモデル)
入射太陽放射内部熱源 ⇒ 表層の対流運動 ⇒ 表層の渦を励起

深部の対流運動に起源を求める (深いモデル)
内部熱源 ⇒ 深部対流
⇒ 表層流

竹広 真一 (京大数理研)

木星の内部構造収支 (Guillot et al. 2004)

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「深い」モデルと「浅い」モデル「浅い」モデル:
回転球面 2 次元強制乱流
回転球面多層モデル
惑星表層内の (ほぼ)2 次元
的流体運動
静水圧近似, コリオリ力水
平成分のみ◯ : 中高緯度の縞状構造
× : 赤道域のジェット「深い」モデル:
回転球殻対流モデル
流体層全体の運動
非静水圧, コリオリ力を全て計算◯ : 自転が速い ⇒ 赤道
加速
× : 中高緯度の縞状構造
竹広 真一 (京大数理研)

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浅いモデル
回転球面 2 次元順圧強制乱流

竹広 真一 (京大数理研)

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回転球面順圧強制乱流問題 ∼ 定式化
回転球面上の 2 次元流体運動: 渦度方程式 (ポテンシャル渦度保存則)()∂+ u · ∇ q = F − D, q = ∇2 ψ + 2Ω sin φ,
∂t
∂ 2
∂ψ
⇒
∇ ψ + J(ψ, ∇2 ψ) + 2Ω
= F − D.
∂t∂λ
小スケールの渦度強制を導入

主な実験 (無次元) パラメター
ロスビー数 (の逆数)
強制の中心波数
散逸の種類
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回転球面上ではどうなる?
2 次元 β 面 (自由減衰) 乱流の知識
小スケールの乱流⇒ 大スケールへカスケード√⇒ ラインズスケール Lβ = U/β で止まる
⇒ 縞状構造の出現

では回転球面上ではどうなる?
極域では β → 0, Lβ → ∞緯度方向に異方性?
縞状構造は出現する?

竹広 真一 (京大数理研)

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先駆的数値実験 (1970 年代)

Williams(1978)
1/8 セクター赤道対称領域
空間非等方な強制
全球に縞状構造ラインズスケール程度の幅流れ関数と帯状流の時間変化

竹広 真一 (京大数理研)

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定番標準数値実験 (1990 年代)
Nozawa and Yoden (1997)
全球計算, 空間等方的なランダム強制
普通の粘性散逸系統だった数値実験
異なる回転角速度と強制波数
強制波数 > ラインズ波数⇒ 縞状構造, ラインズスケール程度
β 面での知識と整合的

強制波数 < ラインズ波数⇒ 縞状構造なし, 周極流形成
弱非線形的状態
ロスビー波を直接励起 ⇒ 極への運動量輸送
竹広 真一 (京大数理研)

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流れ関数
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定番標準数値実験 (1990 年代)
Nozawa and Yoden (1997)

竹広 真一 (京大数理研)

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最近の結果 : 長時間積分
Obuse, Takehiro and Yamada (2010)
Nozawa and Yoden (1998) の長時間積分版
長時間漸近状態はどうなる?
無次元時間 10 万まで計算 ⇔ NY98 : 無次元時間 1000
空間解像度 全波数 199 まで (格子点数 600x300)
時間積分 4 次のルンゲクッタ法
nf = 20

竹広 真一 (京大数理研)

nf = 40

木星型惑星の縞状構造と赤道ジェット

nf = 79

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最近の結果 : 長時間積分するとObuse et al.(2010)

竹広 真一 (京大数理研)

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最近の結果 : 長時間積分するとObuse et al. (2010)
ジェットの融合・消滅 ⇒ シマシマが消える！

角運動量の緯度分布時間変化 (左) と帯状流分布最終状態 (右) (Obuse et al. 2010)
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浅いモデル
回転球面 2 次元浅水強制乱流

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回転球面浅水モデル ∼ 定式化
回転球面上の薄い流体層, 層の厚さ可変
特徴的なスケール√
ラインズスケール√ Lβ =
変形半径 LD = gh/f

U/βDv
+ f × v = −g∇h + F − Dv ,Dt∂h+ ∇·(hv) = Q − Dh .
∂t

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18 / 58標準的実験 : Scott and Polvani (2007)
小スケールの渦度強制
球半径 < 変形半径 LD ⇒ 順圧的
球半径 > 変形半径 LD

高緯度で LD < Lβ ⇒ 孤立渦
中緯度で LD > Lβ ⇒ 縞状構造
赤道で東向き ⇐ ロスビー波の赤道での運動量集積

帯状流分布
渦度とポテンシャル渦度分布
左 LD , Lβ 共に小 (木星), 左 LD 小, Lβ 大 (土星), 右 LD , Lβ 共に大 (天王星・海王星).
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高度場への散逸
Scott and Polvani (2008)
表面変位場へニュートン冷却型散逸
赤道加速流 (prograde) が出現

帯状流分布

竹広 真一 (京大数理研)

ポテンシャル渦度分布

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20 / 58表面変位場の散逸
Saito and Ishioka (2014)
Scott and Polvani の力学的解釈
Hough 関数への表面変位場散逸の影響
Rossby モードで赤道加速の位相傾き
ポテンシャル渦度散逸 : 高緯度で大, 赤道域で小準地衡流ポテンシャル渦度方程式
(
)
∂
f2
f2
∇2 η − 0 η ∼ γ 0 2 η.
∂tgHgH
低緯度から高緯度へのエネルギー輸送
ロスビー波低緯度から高緯度へ伝播
東向き運動量を赤道から抜き去る

竹広 真一 (京大数理研)

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21 / 58表面変位場の散逸
Saito and Ishioka (2014)

Hough モード
1 段目 K, MRG, 2 段目 G, 3,4 段目 R
竹広 真一 (京大数理研)

Hough モードによる平均流加速(a) K, MRG, (b) G, (c,d) R

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浅いモデル
3 次元球面多層モデル(プリミティブ)竹広 真一 (京大数理研)

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球面多層モデル (湿潤)Lian and Showman (2010)
湿潤大気計算 (相変化物質含む)
湿潤対流の相変化に伴う加熱が大気循環を支配.
木星土星パラメター(3-5 倍の太陽系組成): 赤道加速, 20 本ジェット
天王星海王星パラメ
ター (30 倍の太陽系
組成) : 3 本ジェット
竹広 真一 (京大数理研)

帯状流分布. 上から木星, 土星, 天王星海王星計算

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球面多層モデル (乾燥)Schneider and Liu (2009), Liu and Schneider (2011)
乾燥大気計算 (相変化物質含まない)
下面中高緯度にレイリー摩擦 (MHD 抵抗), 赤道域で下面摩擦なし
上からの太陽放射による差分加熱, 下面からの一様な熱流
太陽放射による差分加熱 ⇒ 中高緯度の縞状構造
下面からの熱流 ⇒ 赤道超回転
対流による加熱 ⇒ 赤道で発散流 ⇒ ロスビー波を高緯度に射出 ⇒ 赤道超回転ジェットの幅は変形半径程度, 逆カスケードは生じていない

竹広 真一 (京大数理研)

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球面多層モデル
Schneider and Liu (2009)

帯状流分布

竹広 真一 (京大数理研)

MHD 抵抗と子午面循環

温度場と静的安定度

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浅いモデル ∼ まとめ
回転球面順圧系
Rhiens 効果で縞状パターンは生成されない
赤道での流れの向きが確率的

回転球面浅水系
表面変位場での散逸 ⇒ 赤道加速状態の形成
縞状パターンが長時間維持されるかはまだ不明

回転球面多層系
赤道加速状態の形成機構⇒ 赤道からのロスビー波の射出
浅水系での表面変位場 (温度場) の選択的散逸ではない

縞状パターン形成 ⇒ 差分加熱で傾圧不安定
下面境界条件の取り扱いは微妙

竹広 真一 (京大数理研)

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深いモデル
回転球殻対流問題

竹広 真一 (京大数理研)

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回転球殻対流問題 ∼ 定式化
運動方程式 (速度の時間変化)

1∂u+ u · ∇u + 2Ω × u = − ∇p + αgT r + ν∇2 u,∂t
ρ
熱の式 (温度の時間変化)∂T+ u · ∇T = κ∇2 T + Q,∂t
質量保存の式∇·u = 0.
t : 時間, u : 速度, T : 温度, ρ : 密度, p : 圧力 Ω : 自転角速度,
α : 熱膨張率, g: 重力加速度 ν : 粘性率, κ : 熱拡散率, Q :内部熱源
竹広 真一 (京大数理研)

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回転球殻内の臨界熱対流
Busse (1970)
高速回転する球
回転軸方向に一様な運動場を仮定、摂動
計算 (テイラー・プラ
ウドマンの定理)
球の中程に対流渦が局所的に発生対流セルは prograde
方向に伝播

竹広 真一 (京大数理研)

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回転球殻対流での縞状構造形成
Busse(1976,1983)
レイリー数大⇒ 対流渦が動径方向に多数並ぶ⇒ 縞状パターン形成
平均帯状流生成外側球面の曲率⇒ 対流セルの傾き⇒ 動径方向へ運動量
輸送

竹広 真一 (京大数理研)

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平均帯状流生成メカニズム(Busse, 2002)
外側境界の曲率 ⇒ 対流渦の傾き⇒ 内から外への運動量輸送 ⇒ 帯状流生成
竹広 真一 (京大数理研)

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シマシマができた?

動径速度の赤道面分布

平均帯状流分布

表面帯状流分布Sun and Schubert (1995)
高解像度・高レイリー数・低エクマン数での有限振幅
対流の時間発展数値計算
縞状パターンの形成?
竹広 真一 (京大数理研)

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シマシマは消えた

赤道面温度場

回転軸方向渦度 (赤道面, 子午面)

平均帯状流

Christensen (2002)
系統だった高レイリー数対流の有限振幅計算
縞状パターンは生成されない.
Sun and Schubert (1995) の縞状パターンは偽り. 初期
場が残っていただけ.
赤道で回転と同方向 (赤道加速状態)
竹広 真一 (京大数理研)

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34 / 58薄くするとシマシマできる?
Heimpel and
Aurnou (2007)
薄い球殻
1/8 セクター
計算
超粘性の計算低エクマン数・
高レイリー数計算
帯状流分布
赤道付近:強い東風 (赤道加速) ⇐ レイノルズ応力による運動量輸送
中高緯度:縞状パターンの形成 ⇐ 2 次元 β 面乱流 + ラインズ効果?
竹広 真一 (京大数理研)

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2 次元 β 面乱流問題
ベータ面モデル (ポテンシャル渦度保存則)∂ 2∂ψ∇ ψ + J(ψ, ∇2 ψ) + β(y)= F − D.
∂t∂x
回転球殻内の 2 次元流 ∼ 地形性 β 効果 :β(y) = −(1/H)(dH/dy)

cf. 回転球面 2 次元流 ∼ 惑星ベータ効果
β = (df /dy) = (2Ω/a) cos φ
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高緯度縞状構造の説明
Heimpel and Aurnou (2007)
高緯度:回転系の熱対流 ⇒ 2 次元的な小スケールの渦
生成 ⇒ 逆カスケード ⇒ ラインズ効果で帯状構造

ラインズスケールとジェット幅の比較
竹広 真一 (京大数理研)

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37 / 58ここで疑問...
Heimpel and Aurnou (2007) は高緯度シマシマを 2
次元 β 面強制乱流の結果だと解釈している
しかしわれわれは Obuse et al. (2010) を知っている.
長時間積分するとシマシマは消える
Heimpel and Aurnou (2007) の計算も, 長時間積分すればシマシマは消えるんでないの?

そこで...
薄い球殻対流計算をもっと長くやってみよう.
1/8 セクターはやめよう. 全球計算.
(共同研究者 : 佐々木洋平, 石岡圭一, 中島健介, 林祥介)
竹広 真一 (京大数理研)

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全球長時間積分
全球計算 ⇔ HA2007 は 1/8 セクター計算
長時間計算 (現状 12800 回転 = 0.2 粘性拡散時間)⇔ HA2007 は 1600 回転 = 0.024 粘性拡散時間)パラメータ設定ν= 0.1
κ
αgo ∆T
修正レイリー数: Ra∗ == 0.05Ω2 D
ν
エクマン数: Ek == 3 × 10−6
ΩD2ri
= 0.85球殻の内径外径比: η =roプランドル数: P r =境界条件: 応力無し条件, 温度固定
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数値解法
空間微分: スペクトル法
速度をトロイダル・ポロイダルポテンシャルで表現
水平方向は球面調和関数, 動径方向はチェビシェフ多項式で展開
切断波数: 水平 341, 鉛直 48 (格子点数: 経度 1024, 緯度 512, 鉛直 65)

時間積分:
拡散項は Crank-Nicolson 法, それ以外は 2 次のAdams-Bashforth 法
次式の超粘性を使用{
ν0 ,for l ≤ l0 ,ν=2
ν[1 + ε(l − l0 ) ], for l > l0 .
本研究 : l0 = 21, 42, 85, 170, ε = 10−2 . (段階的に超粘性の波数を大きくした)
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全球長時間積分t = 47630 でのスナップショット
中高緯度でシマシマ形成

東西流分布
竹広 真一 (京大数理研)

表面帯状流分布
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全球長時間積分
もっと積分時間を延ばすと...
次第に中高緯度のシマシマの数が減っていく

t = 47630
竹広 真一 (京大数理研)

t = 64030
木星型惑星の縞状構造と赤道ジェットt = 80430
2015 年 2 月 12 日

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やっぱりシマシマは消えた!

帯状平均角運動量の時間変化と最終状態の東西流分布
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43 / 58角運動量輸送
東西・回転軸方向平均角運動量輸送
北半球

南半球

負の角運動量外側へ輸送 ⇒ ロスビー波の外側伝播 ⇒中高緯度を加速, 接円筒附近を減速
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まとめ
木星・土星の縞状構造を説明できる決定的な流体モデルはまだない
これまでの計算結果は時間積分が足りていなかった.
過渡的状態での縞状構造
長時間積分すると縞状構造が消える.

なぜ縞状構造が消えていくのか?
浅いモデル (順圧) : まだ良く分かっていない
深いモデル : ロスビー波による加速?

縞状構造を説明できる新たなモデルの提案が必要
謝辞
回転球殻対流計算は海洋研究開発機構の地球シミュレータを使用しました.
竹広 真一 (京大数理研)

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参考文献

Busse, F. H., 1970 : Thermal instabilities in rapidly rotating systems. J. Fluid Mech., 44, 441–460.
Busse, F. H., 1976 : A simple model of convection in the Jovian atmosphere. Icarus, 29, 255–260.
Busse, F. H., 1983 : A model of mean zonal flows in the major planets. Geophys. Astrophys. Fluid Dyn., 23,
153–174.
Busse, F. H., 2002 : Convective flows in rapidly rotating spheres and their dynamo action. Phys. Fluids, 14,
1301–1314.
Christensen,U.R., 2002 : Zonal flow driven by strongly supercritical convection in rotating spherical shells. J. Fluid
Mech., 470, 115―133.
Guillot, T., 2005 : The interiors of giant planets: Models and outstanding questions. Ann. Rev. Earth Planet. Sci.,
33, 493–530.
Heimpel, M., Aurnou, J., 2007 : Turbulent convection in rapidly rotating spherical shells: A model for equatorialand high latitude jets on Jupiter and Saturn. Icarus, 187, 540–557.
Lian, Y. Showman, A. P., 2010 : Generation of equatorial jets by large-scale latent heating on the giant planets.
Icarus, 207, 373–393.
Liu, J., Schneider, T., 2010 : Mechanisms of jet formation on the giant planets. J. Atmos. Sci., 67, 3652–3672.
Nozawa, T., Yoden, S., 1997 : Formation of zonal band structure in forced two-dimensional turbulence on arotating sphere. Phys. Fluids, 9, 2081―2093.
Obuse, K, Takehiro, S., Yamada, M., 2010 : Long-time asymptotic states of forced two-dimensional barotropic
incompressible flows on a rotating sphere. Phys. Fluids, 22, 056601.
Pedlosky, J., 1987 : Geophysical Fluid dynamics, Springer-Verlag.
Pirraglia, J. A., 1984 : Meridional energy balance of Jupiter. Icarus, 59, 169–76.
Saito, I., Ishioka, K., 2014 : Mechanism for the formation of equatorial superrotation in forced 2 shallow-water
turbulence with Newtonian cooling. J. Atmos. Sci., in press.
Scott, R. K., Polvani, L. M., 2007: Forced-dissipative shallow-water turbulence on the sphere and the atmosphericcirculation of the giant planets. J. Atmos. Sci., 64, 3158–3176.
Scott, R. K., Polvani, L. M., 2008 : Equatorial superrotation in shallow water atmospheres. Geophys. Res. Lett.,
35, L24202.
Schneider, T., Liu, J., 2009 : Formation of jets and equatorial superrotation on Jupiter. J. Atmos. Sci., 66,
579–601.
Sukoriansky, S., Galperin, B., Dikovskaya, N., 2002 : Universal spectrum of two-dimensional turbulence on arotating sphere and some basic features of atmospheric circulation on giant planets. Phys. Rev. Lett., 89,124501-1–4.
Sun, Z.-P., Schubert, G., 1995 : Numerical simulations of thermal convection in a rotating spherical fluid shell athigh Taylor and Rayleigh numbers. Phys. Fluids, 7, 2686–2699.
Williams, G. P., 1978: Planetary circulations: I. Barotropic representation of Jovian and terrestrial turbulence. J.
Atmos. Sci., 35, 1399–1426.
竹広 真一 (京大数理研)

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付録

竹広 真一 (京大数理研)

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球面問題に入る前に...
2 次元 β 平面では?
球面上の (中緯度) 一点を中心とした接平面
コリオリパラメターの緯度微分 (β) の効果
支配方程式は 2 次元渦度方程式 (ポテンシャル渦度保
存則)

(

)
∂
+ u · ∇ q = 0, q = ∇2 ψ + f0 + βy,
∂t
⇓
∂ 2
∂ψ
∇ ψ + J(ψ, ∇2 ψ) + β
= 0.
∂t
∂x

竹広 真一 (京大数理研)

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エネルギーの逆カスケード
エネルギー・エンストロフィー保存∫∫
E = Ê(k)dk = const., Z = k 2 Ê(k)dk = const.

∫
エネルギーの中心波数 : ke = (1/E)

k Ê(k)dk∫
スペクトルの広がり : I =(k − ke )2 Ê(k)dk = Z − ke2 E

スペクトルが広がると仮定すると
dI
dke2
1 dI
> 0,
=−
< 0.
dt
dt
E dt

2 次元順圧系
エネルギーは低波数側へカスケードする.
竹広 真一 (京大数理研)

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ラインズスケール・波数
Rhines (1975)
非線形項と線形項が同程度となるスケール Lβ :ラインズスケール√J(ψ, ∇2 ψ) ∼ β∂ψ⇒ Lβ =∂xU.
β

U : 特徴的な速度スケール
流れ関数

L > Lβ : β 項卓越 ⇒ ロスビー波的
L > Lβ : 非線形項卓越 ⇒ 乱流的, 逆カスケード
L = Lβ で逆カスケード止まる ⇒ 帯状構造の出現
竹広 真一 (京大数理研)

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帯状構造の出現
β 項のスケーリング : x 方向の長さスケールでJ(ψ, ∇2 ψ) ∼ β

∂ψ
|ψ|2
ψ
U
L3
⇒ 4 ∼β
⇒ ∼
.
∂x
L
Lx
β
Lx

Lx 大きければ逆カスケード可能 ⇒ Lx → ∞波数で表せば|k|4 |ψ|2 ∼ βkx |ψ|β
2 次元エネルギースペクトルの⇒ |kβ |2 = cos ϕ
U
時間変化
cf. Vallis and Martlud (1993)
ダンベル領域を避けて逆カスケード
竹広 真一 (京大数理研)

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帯状構造の出現
Pedlosky(1987)

ロスビー波の 3 波共鳴 ⇒ 振動数高いのが不安定 ⇒ 振
動数低いロスビー波へ ⇒ 帯状的ω=βkk 2 + l2,

ω → 0, k 2 + l2 = const. ⇒ k → 0.

Vallis and Maltrud(1993)
非等方的ラインズ波数：k=0 軸には逆カスケード可能
ロスビー波の振動数〜乱流の振動数
ダンベル領域を避けて逆カスケード

エネルギースペクトルの時間変化
竹広 真一 (京大数理研)

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おまけ
回転球殻対流問題– 太陽の差分回転?
竹広 真一 (京大数理研)

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太陽シミュレーション

中層動径速度

子午面循環

帯状流

Glatzmaier (1987)
太陽対流層の数値シミュレーション (内外のおおきな
密度差、磁場の効果)
回転軸方向に一様な帯状流分布
表面東西風は観測とあっているように見えた、が · · ·竹広 真一 (京大数理研)

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日震学 ∼ 太陽内部が明らかに
平均帯状流分布の比較

日震学の発達 ⇒太陽の内部構造
明らかにシ
ミュレーショ
ン結果と違う!
回転軸方向に一様でないシミュレーション(Glatzmaier 1987)

竹広 真一 (京大数理研)

木星型惑星の縞状構造と赤道ジェット

日震学(Thompson et al., 1996)2015 年 2 月 12 日

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最近の太陽シミュレーション
対流層下面境界にエントロピー勾配
誘起される子午面循環
角運動量分布を軸対称からゆがめる(Miesch et al. 2006)

竹広 真一 (京大数理研)

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粘性が強いレジーム?
平均帯状流分布の比較

拡散係数の値は不明
拡散係数を大きくした計算
観測に似たパ
ターンを作ることができる
シミュレーション(Takehiro et al. 2013)

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日震学(Thompson et al., 1996)2015 年 2 月 12 日

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おまけの参考文献
Glatzmaier, G. A., 1987 : A review of what numerical simulations tell us
about the internal rotation of the Sun. in The Internal Solar Angular
Velocity, eds by Durney B. R., Sofia, S., Astrophysics and Space Science
Library, 137, 263–274.
Miesch, M. S., Brun A. S., Toomre, J., 2006 : Solar diﬀerential rotationinfluenced by latitudinal entropy variations in the tachocline. Astrophys.
J., 641, 618625
Takehiro, S., Sasaki, Y., Hayashi, Y.-Y., Yamada, M., 2013 : Diﬀerential
rotation and angular momentum transport caused by thermal convection
in a rotating spherical shell. Progress in Physics of the Sun and Stars: A
New Era in Helio- and Asteroseismology, ASP Conference Series, Vol.
479, 285–294. H. Shibahashi and A. E. Lynas-Gray, eds.
Thompson, M. J., et al., 1996 : Diﬀerential rotation and dynamics of thesolar interior. Science, 272, 13001305

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