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2015年度数学アゴラ＆数学公開講座

講義Ｃ 「素粒子論と現代数学」

名古屋大学 大学院多元数理科学研究科
浜中真志 (はまなか まさし)

この資料は2015年8月＆10月に名古屋大学多元数理科学研究科で行われた(主に)高校生向けの以下の公開講座での浜中の講演に基づく。(加筆修正有)数学アゴラ http://www.math.nagoya-u.ac.jp/ja/public/agora/agora-2015.html
8/5：物理学と数学、微分・力学法則
8/6：トポロジー(オイラー数、モース理論)
8/7：素粒子論と現代数学
秋の数学公開講座 http://www.math.nagoya-u.ac.jp/ja/public/2015/open_lecture.html
10/10：物理学と数学，相対性理論
10/24：量子力学と素粒子論
10/31：弦理論と現代数学
サポートページ：http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~hamanaka/Agora.html

2

3

この資料の目次
1. イントロダクション(数学と物理学)
2. 20世紀の物理学
2.1 相対性理論
2.2 量子力学
2.3 ブラックホール物理学
3. 素粒子論と現代数学(かなり偏った歴史紹介です)
3.1 素粒子物理学(標準模型関連)
3.2 弦理論と現代数学
巻末：参考文献・出典一覧（スライド中の[数字]と対応）

1. イントロダクション（数学と物理学）
物理学(素粒子論含む）と数学の深い関わり
ニュートン力学 ⇔ 微分積分
一般相対論 ⇔ リーマン幾何学
ゲージ理論（素粒子の理論） ⇔ ファイバー束の幾何弦理論 ⇔ 現代幾何学（ミラー対称性、位相的弦理論、弦双対性、インスタントン、ザイバーグ・ウィッテン理論、…）
素粒子論が現代数学に与えた影響は計り知れない（宇宙は「良い」数学を採用している？）
物理と数学の相補的発展が弦理論では顕著である

4

5

物理学（素粒子論）とは何か
物理学：自然現象を支配する法則を、構成要素間の相互作用として捉えて解明する、自然科学の最も基礎的な分野。通常数学的枠組みでモデル化し，実験事実と照らし合わせて定量的な説明を与える
素粒子論：自然界の構成要素の中で「最小の」粒子とその相互作用を研究対象とする
素粒子：物質粒子（クォーク、レプトン）：構成要素
ゲージ粒子（重力子、光子、・・）：相互作用時
ヒッグス粒子：「質量の起源」
間γ「粒子(particle)」＝「場(field)」
素粒子の理論＝場の理論

光子
電子 e

電子 e

6

既知の素粒子一覧

KEK HP[1]より

7

数学とは何か数学：数量および空間に関して研究する学問。代
数学・幾何学・解析学、ならびにそれらの応用を含む。[広辞苑第4版より]
注意１：物理学とは本来何の関係もない注意２：思考を通じてのみ「見る」ことができる世界
素朴な疑問：数学の対象(数・図形など)はどこにあるのか？(そもそも存在するのか？)8

ひとつの答え(立場)数学の対象は「プラトンのイデアの世界」にある。
プラトン
ウィキペディア[2]数学の研究は登山によく例えられる。
この文脈では、 「プラトンのイデアの世界」＝山
「数覚」によって山を「見る」「登る」 (by 小平邦彦)

[3]

小平邦彦
日本数学会HP[4]9（例）ユークリッド山のピタゴラスの丘（定理）ピタゴラスの定理は「ユークリッド山」の見晴らしのよい「丘」の上にある
ピタゴ(cf. 大沢先生の講演)[5]

ラス [6]

良い定理の丘からの景色はとても見通しが良く、他の丘（定理）・峠・山頂・山脈などが良く見える（例：「余弦定理丘」は目前につながっている）
ピタゴラスの定理を自分の頭で考えて証明するのは、自分の「足」でピタゴラスの丘まで一歩一歩踏
みしめて登頂することに他ならない。（人の話を聞
くより自分の足で実際に登って爽快な気分を味わ
いたい！）

10

物理学の対象はどこにあるのか？
物理学：自然現象を支配する法則を、構成要素間の相互作用として捉えて解明する、自然科学の最も基礎的な分野。通常数学的枠組みでモデル化し，実験事実と照らし合わせて定量的な説明を与える
物理学の対象＝現実の宇宙・大自然(の一部)ただし一旦モデル化したあとは、その数学的モデ
ル(in イデアの世界)を研究対象とする

モデル化

数学的モデル (イデアの世界)

現実の宇宙 [59]11

数学の対象 V.S. 物理学の対象

数学山 (イデアの世界)

物理山 (イデアの世界)

研究論文＝登山レポート・登頂記録
教科書・参考書＝山登りのガイド
by マロリー(登山家) [7]なぜ山に登るのか？→「そこに山があるからだ」

12

cf. 研究論文の例

木下東一郎
素粒子論
グループHP[8]13

数学の対象 V.S. 物理学の対象
数学も物理学も、どちらもイデアの世界に存在する
数式や性質を実際上は研究している
最終目標がまったく異なる！
数学→数学的イデアの世界(山)そのものの解明
その手法は厳密な論証と計算に基づく
物理学→自然法則の解明(そのモデル化＝山)
その手法は論証と計算に基づくが、(数学的厳密性はそこまで重視されず)最終的に実験事実が説明できればよい(実験的検証が不可欠！)

14

数学の対象 V.S. 物理学の対象

相補的
発展

数学山 (イデアの世界)

物理山 (イデアの世界)物理山脈は数学山脈の断片的一部分
高い山・美しい山といったものがある(主観)物理山脈の風景は予想以上に素晴らしかった！
→新しい数学の予言→数学の発展→物理の発展→

15

重要なコメント難しい数式・概念(以後「㉀」マークで表示)に出くわしたときの対処法→ (美しい)山脈の絵が描いてあると思おう！

2. 20世紀の物理学（「現代」物理学）

16

古典物理学(19世紀以前)
ニュートン力学 ⇔ 微分積分(ライプニッツなど)
解析力学(定式化を洗練)⇔ 力学系・可積分系・
シンプレクティック幾何ニュートン[9] マクスウェル[10] ボルツマン[11]マクスウェルの電磁気学
熱力学・流体力学
古典統計力学(ボルツマン)
ヒルベルト[12]ポアンカレ [13]1900年当時の現状：
数学：ヒルベルトの23の問題，ポアンカレ，・・・
物理学:プランクの指導教員「物理学は大体完成した(誤)」17

20世紀物理学の幕開け
19世紀物理学の2つの暗雲(1900年，ケルビン卿)(i)黒体輻射の問題(原子からの熱輻射のスペクトルが古典論での予言と合わない)(ii)マイケルソン・モーレーの実験結果(1887年)(光速度が誰から見ても一定で, エーテル仮説と矛盾する)

(i)の解決→エネルギー量子仮説(プランク)・光量子仮説(アインシュタイン)：量子力学の幕開け
(ii)の解決→特殊相対性理論

18

コメント
2章で登場する「輻射」「光」などの言葉はすべて
電磁波(マクスウェル方程式の解)の一つである
電磁波一覧（波長に応じて名前が異なる）

ウシオ株式会社HP「電磁波と光」[14]より

19

2.1 アインシュタインの相対性理論
特殊相対性理論(アインシュタイン，1905年)
以下の2つの仮説に基づく(I)すべての物理法則は任意の慣性系で同じ形をとる(特殊相対性原理)(II) 光速は任意の慣性系で一定の値をとる(光速不変の原理)
慣性系＝宇宙の重心に対して
等速直線運動をしている観測者

Albert Einstein
ウィキペディア[15](II)の根拠：
・実験事実(マイケルソン・モーレーの実験)・マクスウェル方程式の対称性(ローレンツ対称性)

20

簡単な帰結：時間の遅れ
光時計で時間を測る（観測者Kの時計）
K

光発射

K

光到達 （⇔1時）（⇔0時とすると）
x(静止系Kでの)光到達までの時間（＝例えばこれを1時間と定める）x21

Kに対して V の速度で等速運動している K’を考え
両者の時計を比較  t  : (K’系での)光到達までの経過時間＝K’の1時間とする
1時を過ぎてる！＠K
K’
K
注意：光速はV
誰から見てもどの方向へも
光到達c t
一定値 c！
ちょうど(仮説ＩＩ)c  t  1時＠K’

K, K’

光発射

（0時＠K&K’）
x

V t

x

 t : K’系で光が到達した瞬間のK系での時刻（経過時間）とする
ピタゴラスの定理より：( c  t )  (V  t )  ( c  t )1
 t t21  (V / c )222(例) V  c  3 / 2 のとき

t  2t

Kの2時⇔K’の1時
Kから見ると K’の時計が遅れている!

22

座標変換と物理法則の対称性
ニュートン力学

マクスウェルの電磁気学

ガリレイ変換(「直観的」座標変換)

不変
(OK)

変わる
(ダメ)

ローレンツ変換（「妙な」座標変換）

形が変わる
(ダメ)

不変
(OK)

→方程式が修正

アインシュタインはこちらを採用！
K’KV x   x  Vt
ガリレイ変換: t  tVt O  x x    ( x  Vt )ローレンツ変換: (仮説ＩＩ を尊重)  c t    (   x  ct )導出は参考資料   : V ,  : 1 c
1   2 
問題3


O

x

23

ローレンツ変換：1つの事象に対する, K系の観測値(t,x)とK’系の観測値(t’,x’)との対応関係

ct 
ct( x  0)x  L x   ( x   V t )
 x    ( x  Vt )  ct   (  x   c t ) K’での(同時刻の)
 c t    (   x  ct )

時間の遅れ：ローレンツ変換の式において (t’,x’)=(1,0) に対応
する(t,x)は：t   t 

11  (V / c ) 2

1●長さの「収縮」
K’系において棒の長さを測定するとL だったとする. K系から見た棒の長さは(時刻t=0で測定するとして)
x’=L と x軸(t=0)との交点の座標X
に等しい：
LX

t 1

棒の軌跡

x

O
O

X

x (t  0 )Kでの(同時刻の)棒の軌跡(棒の長さとは 同時刻での両端の座標値の差)(例) V  c  3 / 2 のとき

  2 より X  L / 2
Kでは1m⇔K’では2m

24

その他の話題ローレンツ変換のもと不変な運動方程式(あります)運動エネルギーの表式
E

mc 2
1  (V / c )K
2

E  mcO

質量とエネルギーの等価性

V

Vt O  x 

V /c  02

K’xすべての運動は光速を超えない(質量ゼロ⇔光速)1ccf.  V1  (V / c ) 2

25

一般相対性理論(アインシュタイン，1915年)
以下の2つの仮説に基づく(I)すべての物理法則は任意の座標系で同じ形をとる(一般相対性原理)(II) 局所的には重力は適当な加速度運動により打ち消すことができる。(等価原理) cf. アインシュタインのエレベーター(思考実験)

アインシュタイン方程式(重力の古典論)㉀：1
8 G
右辺：物質(星)の分布R  

2g  R  g   

c

4

T 

左辺：時空の曲がり具合

リーマン幾何学に基づく「最も美しい方程式」

26

一般相対性理論の予言・応用
重力レンズ(cf.エディントンの観測1919年)
水星の近日点移動の説明
重力波(追記：2015年9月14日ついに検出！！！)
膨張宇宙解(ビッグバン・インフレーション)
ブラックホール解(→2.3節で詳しく議論)ワームホール
GPS衛星光格子時計による「測量」
・・・

27

2.2 量子力学
19世紀物理学の2つの暗雲(1900年，ケルビン卿)(i)黒体輻射の問題(原子からの熱輻射のスペクトルが古典論からの予言と合わない)(ii)マイケルソン・モーレーの実験結果(1887年)(光速度が誰から見ても一定で, エーテル仮説と矛盾する)

(i)の解決→エネルギー量子仮説(プランク)・光量子仮説(アインシュタイン)：量子力学の幕開け
(ii)の解決→特殊相対性理論

28

2.2 量子力学

プランクのエネルギー量子仮説(1900年)
ニュー
振動数  の熱輻射がとりうるエネルギーは h  の整数倍に限られる。 h  6 . 626  10 34 J  s ：プランク定数 E 

 nhve
n0



e





nh 
kT

nh 
kT

h


e

h
kT

1

n0

：プランク分布(の本質的部分)：㉀cf. 等比数列の無限和（参考資料の問題5, 6）
Max Planck [16]● アインシュタインの光量子仮説(1905年)

振動数  の光はエネルギー h  を持つ粒子(光子)として振る舞う（光の粒子性）

光量子仮説の応用

29

光電効果(アインシュタイン、1905年)

h

e
V

紫外線



電子が飛び出す

金属

コンプトン効果(1923年)

h
X線

e

X線

h 



V

e

振動数が
変化する

反跳電子

質量とエネルギーの等価性の証明(参考資料4)30

粒子性と波動性光は波であるが粒子的性質を持つことが分かった。
粒子が波動的性質を持つか？
光の波動性：ヤングの実験上から見た図

上

P
スリットA
P

Q

光源
スリットB
二重スリットスクリーン上にQ 干渉縞の明暗（波の干渉）スクリーン

31

粒子性と波動性
これを電子(粒子)に対してやってみよう！
電子の二重スリット実験

スリットA

e



電子線
スリットB
二重スリットスクリーン上に輝点（粒子）
スクリーン

32

粒子性と波動性
これを電子(粒子)に対してやってみよう！
電子の二重スリット実験
どんどん飛ばす…………
スリットA

e



電子線
スリットB
二重スリットスクリーン上にどんどん輝点
スクリーン （粒子）33

粒子性と波動性
これを電子(粒子)に対してやってみよう！
電子の二重スリット実験
すると…

日立製作所HP[17]外村彰さんの実験

スリットA

e



電子線
スリットB
二重スリットスクリーン上に干渉縞！！！
スクリーン （波動性？！）

34

粒子性と波動性
これを電子(粒子)に対してやってみよう！
電子の二重スリット実験
どちらのスリットを通ったか（あるいは通らなかったか）を事前確認すると…
スリットA

e



電子線
スリットB
二重スリットスクリーン上に干渉縞は出ない
スクリーン （？？？？？）

35

これに対する量子力学的解釈

干渉を起こす電子は両方のスリットを通った!

スリットA

e



電子線
スリットB
二重スリットスクリーン

cf. 朝永振一郎「光子の裁判」「鏡の中の物理学」(講談社) 収録36

粒子性と波動性ド・ブロイ仮説(1923年)
h
運動量 p の粒子は波長   の波であるとも解釈pできる
㉀ ド・ブロイ仮説を平面波の式に素朴に代入： ( x , t )  Aei
( px  Et )i  ( x , t )  p  ( x , t ),
x


h

2


i
 ( x, t ) E ( x, t )t㉀ シュレーディンガーの量子化：
古典論の関係式において

 
p
,
i x


E  i
t

37

Erwin Schrödinger
ウィキペディア[18]と置き換える操作のこと。これを
p2
E V ( x)2mに適用すると以下の方程式が得られる：
 2 2
 V ( x )  ( x , t )i  ( x , t )   2t 2 m x

シュレーディンガー方程式 (プサイΨって何？？)38

量子力学の基本原理

Max Born
ウィキペディア[19]ボルンの確率解釈：プサイΨは粒子の存在確率分布を表す！（時間発展はユニタリ） ( x)xプサイΨの状態を観測して測定値が得られたとすると、状態Ψは突然、測定値に対応する
固有状態ファイφに遷移する。(祭)(Ψはもともとφの線形重ね合わせ) cf. 並木美喜雄「量子力学入門」→「観測問題」 cf. EPRパラドックス(岩波新書)
アインシュタイン曰く「神がサイコロを振るはずがない」

二重スリット実験に対する量子力学的解釈

39

干渉を起こす電子は両方のスリットを通った!
Aを通った状態  A  B

Bを通った状態

2つの状態の線形重ね合わせ(⇔干渉)
スリットA

e



電子線
スリットB
二重スリットスクリーン

二重スリット実験に対する量子力学的解釈

40

どちらのスリットを通ったか（あるいは通らなかったか）事前確認すると、

   A or  B：観測によって１つの状態に遷移⇔重ね合わせなし⇔干渉なし

スリットA

e



電子線
スリットB
二重スリットスクリーン上に干渉縞は出ないスクリーン

量子力学の性質

41

Werner Heisenberg
ウィキペディア[20]ハイゼンベルグの不確定性関係：
粒子の座標 x と運動量 p のゆらぎの間に次の関係式が成り立つ。

x  p   / 2(座標と運動量を同時に確定させることはできない！
  x  0 ,  p  0 は不可能):
いわゆる「量子ゆらぎ」の一つ（場の量子論でも量子ゆらぎは本質）
例：粒子・反粒子の対生成・対消滅

42

まとめ
20世紀物理学の2大柱
特殊相対論
場の量子論（素粒子論）：3章
量子論
特殊相対論→時空の概念を一変させた
量子力学→あまりにも奇想天外クレイジー(しかし実験事実と完璧に合う！)(例) 水素原子のエネルギースペクトル問題
を完全に解いた. (実験と完全一致！)

by Niels Bohr [21]

☆ここで緊急仮想実験開催☆
これをニュートリノに対してやってみよう！
ニュートリノの二重スリット実験（世界初？？）

スリットA


ニュートリノスリットB
二重スリット

スクリーン

43

44

☆ここで緊急仮想実験開催☆
これをニュートリノに対してやってみよう！
ニュートリノの二重スリット実験（世界初？？）
(ほぼ)

素通り

スリットA


ニュートリノ

スリットB
おしまい
二重スリットスクリーン

☆でもさらに超緊急追加仮想実験開催☆
これを重力波に対してやってみよう！
重力波の二重スリット実験（世界初？？）
BH
スリットA

g
重力波
スリットB
BH

宿題にします二重スリット

スクリーン

45

46

2.3 ブラックホール物理学

cf. [江][H]アインシュタイン方程式(重力の古典論) ㉀ ：1
8 GR   g  R  g    4 T  右辺：物質(星)の分布
左辺：時空の曲がり具合
2cg  (リーマン計量)についての2階の微分方程式

シュワルツシルト・ブラックホール解(球対称) ㉀3ds   g  dx  dx 
2（G  1, c  1 とした） ,  0

2M  21
 1 dt
dr 2  r 2 ( d  2  sin 2  d  2 )

2M
r 

1
r : 原点からの距離r

M : BHの質量シュワルツシルト・ブラックホール解(球対称)472M  21
dr 2  r 2 ( d  2  sin 2  d  2 )ds    1 
 dt 
2Mr 

1
r : 原点からの距離r
M : BHの質量2r  2 M ( : rEH ) : 事象の地平線(Event Horizon=EH)r  rEH の領域では光さえも逃れられない！
（EHの内部＝ブラックホール）← BH →← 中心（r=0）に向かって重力（引力）がどんどん大きくなる ←

r0
時空の
特異点

r

rEH  2 M
(cf. 太陽の場合 約3km)

48

ブラックホール(Black Hole=BH)研究の歴史
1915年：アインシュタインの一般相対論
1916年：シュワルツシルトBH解1939年：星の重力崩壊によるBHの形成
オッペンハイマー
ウィキペディア[22]1965年：カー・ニューマンBH解1965年～1975年：黄金時代(特異点定理・無毛定[ペンローズ・ホーキング]
理・一意性定理・面積定理・・・)1972年：ブラックホール熱力学1975年：ホーキング輻射の発見
Roger Penrose
・・・
ウィキペディア[23]1996年～：超弦理論によるBH熱力学の解明：3.3節

49

ブラックホールはそもそもあるのか？
はくちょう座X-1（強いX線の放射源）
cf.「慶永十五年(1408年)六月二十一日戌戌客星
あらわる。天文博士 某、凶兆八ケ条を奏す」[続史愚抄三十二]銀河中心の超巨大ブラックホール(太陽の1億倍程)

Ute Krausによるシミュレーション
画像[24]

2つのブラックホール衝突による重力波の検出！

50

ブラックホールの性質
無毛定理：ブラックホールには「毛」(個性)がない [カーター、ホーキング、イスラエル、ロビンソン]
ブラックホールを特徴づけるパラメータはM(質量)、J(角運動量)、Q(電荷)のみ。

面積定理 [ホーキング]
ブラックホールの事象の地平線の面積Aは時間とともに減少しない(例) シュワルツシルトBH A  4 r

2EH

 16  M2

51

ブラックホールの性質
ブラックホール熱力学 [バーディーン、カーター、ホーキング]

普通の熱力学

BH熱力学

第0法則

熱平衡において温度 T はいたる
ところ一定

定常BHにおいて表面重力加速度κはいたるところ一定

第1法則

下記(i)

下記(ii)

第2法則

エントロピーSは増大する

EHの面積Aは増大する

第3法則

T＝0は実現しない

κ=0は実現しない( i )  E  T  S  work terms (ii )  M 

  A    work terms
2  4 

1・ブラックホールのエントロピー： S  4 A

cf.[べケンシュタイン]

・上記の議論はただの類似（似ているというだけ）！
・BHの温度って何？熱放射するの？？
・BHのエントロピーって何？おいしいの？

52

ホーキング輻射
ブラックホールはそんなに「黒く」ない！
ブラックホールは熱放射をする! [ホーキング、1974年](吸い込むだけではない！)
設定：ブラックホール時空を背景として固定し、その上で物質場を量子化する
相棒と消滅できず飛びだす

直観的説明：
BH
StevenHawking
ウィキ ペ
ディア[25]

事象の地平線粒子・反粒子の対生成・対消滅（量子ゆらぎ）注：量子力学に従う物質場はユニタリな時間発展

53をする（因果律を守り過去から未来へ情報を保つ）

シュワルツシルトBHの温度：

1
T 
8 M

㉀注：BHの比熱は負！

熱放射によりエネルギー(質量)を失う→温度が上がって放射が激しくなる→BHの蒸発
BHに吸い込まれた物質の情報は一様なホーキン
グ輻射となり、蒸発後情報損失が起こるのでは？
(ブラックホールの情報損失問題:大問題) POP!
2つの立場：(i) 量子力学は破たんし情報は損失する(ホーキングはこちらに賭けた)(ii) 量子力学は破たんせず情報は保たれる BH(プレスキルはこちらに賭けた) --- 続く54

3. 素粒子論と現代数学宇宙に関する素朴な疑問と重要な事実
素朴な疑問：宇宙はなぜ生まれたのか？どのように進化してきたのか？宇宙が生まれる前は何があったのか？このあと宇宙はどうなるのか？
事実(i) 宇宙は有限サイズである(cf. オルバースのパラドックス「夜空はなぜ暗い？」)事実(ii) 宇宙は膨張している(cf. ハッブルの発見「すべての星は地球から遠ざかっている。しかも遠いほど速い。」)
(i)&(ii)  ビッグバンの存在を示唆

55

素粒子論からの一つのアプローチ
まず相互作用の種類で素粒子の理論を分類：

古典論（マクロスケール）

量子論（ミクロスケール）

重力graviton

電磁気力
photon弱い力
weak boson

強い力
gluon

アインシュタインの一般相対論マクスウェルの
電磁気学

NONE

NONE

弦理論?
不明

QED
大大成功

WS
大成功

QCD
大成功

すべての種類の相互作用を含む！「素粒子の統一理論」

ビッグバンの理解にはここが必要！
ブラックホールの理解にも必要！

3.1 素粒子物理学(標準模型関連)

56

素粒子物理学のはじまり(1930～40年代)
理論と実験の素晴らしい二人三脚
宇宙線の観測→新粒子の発見
泡箱での粒子秘跡
泡箱TEEシャツ[26]
理論の進展→新粒子の予言陽電子(ディラックが1928年に理論から予言・
アンダーソンが1932年に発見)
パイ中間子 (湯川秀樹が1934年に理論から予言・パウエルが1947年に発見)
ニュートリノ(パウリが実験事実から
１９３０年に予言・ライネスとカワンが湯川秀樹
パウリ
ウィキペディア[27][28]
１９５６年に発見)

57

電磁相互作用の理論γ
光子古典論＝マクスウェルの電磁気学(完成)
e 電子
電子 e
量子論＝量子電磁力学(Quantum
ElectroDynamics=QED) 「世界一正確」な理論！
cf.木下東一郎氏の計算（スライドp13）
1948年：くりこみ理論の完成(実験との比較が可能に)[ファインマン、シュウィンガ－、朝永振一郎]
ゲージ原理(後述)の立場では、U(1)ゲージ理論

Paul Dirac
Wikipedia[29]Richard Feynman Julian Schwinger 朝永振一郎
Wikipedia[30]Wikipedia[31]ウィキペディア[32]

58

ゲージ原理

YangMills60
HP[33]

内部対称性の局所化とゲージ場の導入
ワイル[34]対称性の表現として群Gの言葉を用いる
1954年：ヤン・ミルズ理論㉀ (cf. 内山龍雄)
1

L
Tr
F
F

4g 2

F :   A   A  A A  A A 電場・磁場の拡張

ゲージ場 A : N  N 行列 (最初に提唱されたのはN=2の場合)

ヤン・ミルズ理論のくりこみ可能性の証明
G=U(1)(=電磁気学)：1948年(前述)G=SU(N)：1971年 [トフーフト・ベルトマン]
ヤン・ミルズ理論の困難：ゲージ場の質量はゼロでなければならない！

59

ヒッグス機構マイスナー効果
ウィキペディア[35]超伝導のBCS理論:電子のペア(クーパー対)が凝縮して、超伝導状態となり、光子が質量を持つ）[バーディーン、クーパー、シュリーファー, 1957年]

超伝導の本質は対称性の自発的破れにあり(南部陽一郎)→素粒子論に適用
ヒッグス場の導入(1964年)
ヒッグス場が凝縮して真空期待値を持つ 南部陽一郎
工作舎HP[36]→ 対称性が自発的に破れてゲージ場(の一部)が質量を持ちうる！
「ゲージ場が南部ゴールドストン・モードを食べて重くなった」

60

弱い相互作用の理論(核分裂を引き起こす力)量子論(1967年頃)＝グラショウ・ワインバーグ・サラム(GSW)の理論
ゲージ原理の立場では、SU(2)×U(1)ゲージ理論
ヒッグス機構によってゲージ場が質量獲得(W,Z)
1971年のくりこみ可能性証明により一挙注目
p
陽子

電子

W
ゲージ
ボゾン

n 中性子
Sheldon Glashow[37],

Abdub Salam[38],

Steven Weinberg [39]

e


反ニュー
トリノ

61

強い相互作用の理論(陽子を核内に収める力)
量子論＝量子色力学(QuantumChromoDynamics=QCD)
ゲージ原理の立場では、SU(3)ゲージ理論 ゲルマン
Novel財団HP[40]1964年：クォーク模型(ゲルマン)
陽子・中性子などは3つのクォークから成る（電磁気の意味での）電荷の単位は1/3「色荷」という別種のチャージを持つ(赤・青・緑 3種)
u(アップ) クォークの電荷：＋2/3
d(ダウン) クォークの電荷：－1/3
色荷の合計＝白色で中性(安定)グル―オン（ゲージ粒子：色荷を持つ）
陽子 ウィキペディア[40]

[42]
[41]

[43]

by グロス(左)、ポリツァー(中)、ウィルチェック(右)1973年：漸近自由性(クォークは単独で取り出せない)62

ゲージ理論と双対性
電磁双対性：以下の入れ替えで理論が「等価」
弱結合理論↔強結合理論、素粒子↔ソリトン
モノポール(単磁子)：ソリトンの一種(例) ディラック・モノポール、トフーフト・ポリヤコフモノポール

トフーフト
ウィキペディア[44]ポリヤコフ
ウィキペディア[45]インスタントン(瞬間子)：４次元ユークリッド空間に住む「ソリトン」。非摂動論的効果の理解に不可欠ゲージ理論＝数学のベクトル束の理論（接続・曲率）
インスタントン・モノポールは数学的にも非常に重要な対象

ADHM(Atiyah-Drinfeld-Hitchin-Manin)構成法
ゲージ理論の数学(ベクトル束)の最高峰の成果
4次元ASDヤン・ミルズ方程式

ADHM方程式(≒0次元ASDYM)[ B1 , B1 ]  [ B2 , B2 ]  I I   J  J  0

Fz1z1  Fz2 z2  0
Fz1z2  0

N × N PDE

1:1

[ B1 , B2 ]  IJ  0
k × k行列方程式

解：インスタントン(G=U(N), C2 =k)

解：ADHMデータ(G=`U(k)’)

A : N  N

B1, 2 : k  k , I : k  N , J : N  k

難

易

半分
ポリヤコフ曰く「現代数学が役に立つ瞬間を初めてみた」 冗談

64

素粒子の標準模型
相互作用：SU(3)×SU(2)×U(1)ゲージ理論
物質：3世代のクォーク・レプトン(小林・益川理論含)
ヒッグス場標準模型のラグランジアン(祭)：小林誠・益川敏英
ともに[46]CERN Equation T-shirt
CERN HP[47]65

巨大加速器＠CERN(スイス、ジュネーヴ)CERN全貌 HERMETICS, NEWS, SCIENCE, TECHNOLOGYより[48] 直径約10㎞!

ATLAS実験検出器のレゴ模型[ 名古屋大学ノーベル賞展示室](講演者撮影)長さ約４４ｍ（実物が）66

素粒子の標準模型の限界
ニュートリノの質量がゼロになってしまう(実際はノンゼロ by 梶田さん達の観測結果)
重力相互作用を記述しない
なぜ3世代分のクォーク・レプトンから成るのか？
なぜ質量・電荷が現在のようになっているのか？
・・・
より根源的な新しい理論・理解が必要(超対称性、大統一理論、弦理論、・・・)
超対称性：ボゾンとフェルミオンを入れ替えても理論が変わらないという(大きな)対称性

重力子は
スピン2

67

ボゾン: スピンが0, 1, 2(整数)の粒子
フェルミオン:スピンが1/2, 3/2(半奇数)の粒子

KEK HPより[1]ウィッテンのモース理論(1982年)
惑星の形(トポロジー)を求めるには→惑星に高さ関数だけ乗っけるのではなく超対称性ゲージ理論を丸ごと乗っければいい！
m p : 臨界点に住むE≒0のフェルミオンの数
物理量： Tr (  1) F (  1) 2  (  1)1  (  1)1
 (  1)1  (  1) 0  (  1) 0
 0   (T 2 ) ：位相不変量※物理からの新しい視点と局所化のアイデア→その後の数学・物理学に絶大な影響！

68

69

理論の詳細ﾄﾞ㉀ハミルトニアン(量子力学バージョン)
H  Q *Q  QQ *

基底状態

微分(資料2ページ目微分の例3)！

 d W ( x )  F  0 
Q * F  
 dx


 d
 W ( x )  B  0 
Q B   dx F  eW ( x ) B  e W ( x )臨界点近傍で(ある断面に沿って) W ( x )  ax 2
a0
a0




B  e ax 2

F  e ax 2

これが規格化可能解

詳しくは原論文を読もう！
Edward Witten,``Supersymmetry
and Morse theory,’’
J. Differential Geom.
Vol.17(1982)p661-692.

70

3.2 弦理論と現代数学

cf. [G][大3]弦理論：万物は弦(string)からできている弦のさまざまな振動モード⇔さまざまな素粒子
開弦(open string)⇔素粒子

閉弦(closed string)⇔重力すべての素粒子を含み、然るべき対称性を備える
ブラックホールの理解に重要な知見を与えた（重力の量子論として本領発揮？）新しい数学を次々に「予言」

71

弦理論のはじまり1960年代：双対共鳴模型
核内複合粒子の実験事実の説明
物理的意味付け→弦！
[南部・後藤・サスカインド・ニールセン・・・(1970年頃)]

1974年：重力を含む！[米谷・シャーク・シュワルツ]さまざまな困難
10次元時空でしか定義されない(現実はもちろん4次元！6次元分はどこへ行った？)実験による直接的検証はほぼ不可能？
量子論的な問題(アノマリー等)

72

第1次ストリング革命1984年：アノマリー相殺メカニズムの発見
by グリーン[49]・シュワルツ[50]1980年代後半：カラビ・ヤウ(CY)空間コンパクト化
10次元＝4次元時空＋6次元CY空間(内部空間)
素粒子の標準模型の実現・現象論への応用
ミラー対称性の発見→ホモロジカル・ミラー予想
by コンチェヴィッチ
摂動論的弦理論の完成(5種類)(1994年) [51]
その後の数学に革命的影響

73

位相的場の理論(1982～1989年)
トポロジカル・ツイストという魔法をかける
超対称場の理論 → 位相的場の理論（おもちゃ）BPS状態(エネルギー極小状態)だけを拾う理論
物理量が位相不変量になる（距離依存性なし！）(例) Wittenのモース理論：分配関数＝オイラー数
ドナルドソン不変量→4次元図形の精密な分類アティアにより数学的に公理化される
位相的弦理論の計算方法[ベルシャドスキー・チェコッティ
の確立(93年) ・大栗・バッファ]Michael Atiyah
[53]

Simon
Donaldson
[52]

74

第2次ストリング革命

EdwardWitten[55]

1994年：双対性の進展 Nathan Seiberg [54]ザイバーグ・ウィッテン理論→幾何学へ多大な影響
S双対性テスト[バッファ・ウィッテン] →数論との接点
1995年：M理論の提唱[ウィッテン]1995年：Dブレーン(弦理論のソリトン)ポルチンスキー[56]Open string

N枚重なったDpブレーン⇒(p+1)次元のU(N)ゲージ理論
が乗っかる

Dpブレーン：空間p次元に拡がった「板状」物体

1996年：Dブレーンを用いたブラックホール・エント[ストロミンジャー・ヴァッファ],
ロピーの統計力学的理解 [キャラン・マルダセナ]
・Dブレーンを大量に重ねるとブラックホールになる・開弦の自由度の数え上げでエントロピーの統計力学的導出が可能（エントロピーの微視的起源）

75

Open string

N本のD1ブレーン（円に巻き付く）
運動量

この状況は5次元のBH：
S=(EHの面積)
一方開弦の自由度の計算:
S=(求まる)=完全一致！

N枚のD5ブレーン(5方向が円に巻き付く)

76

ADHM構成法再訪
ゲージ理論の数学の最高峰の成果の一つ
4次元ASDYang-Mills方程式

ADHM方程式(≒0次元ASDYM)[ B1 , B1 ]  [ B2 , B2 ]  I I   J  J  0

Fz1z1  Fz2 z2  0
Fz1z2  0

N × N PDE

[ B1 , B2 ]  IJ  0

1:1

k × k行列方程式

解：インスタントン(G=U(N), C2 =k)
BPS条件

解：ADHMデータ(G=`U(k)’)●●●

N枚のD4 ブレーン

BPS条件 Dブレーンから

記述すると
自明！

k個のD0 ブレーン

77

1997年：AdS/CFT対応(マルダセナ)
ホログラフィック原理の具体的実現
バルクの(d+1)次元重力理論(AdS空間)＝境界のd次元ゲージ理論(共形場理論)
BPS状態については検証完了
Non BPS状態について研究進展中
BHの情報損失問題について重要な知見

Juan
Maldacena[57]

バルクの重力理論  等価  境界のゲージ理論
POP!

ユ二タリな
時間発展
（情報を保つ）
BH

78

ブラックホールの情報損失問題再訪

量子力学に従う物質場はユニタリな時間発展をする（因果律を守り、過去から未来へ情報を保つ）
ブラックホールに吸い込まれた物質の情報は一様なホーキング放射となり、情報損失が起こるのでは？
→2つの立場：このような状況では(i) 量子力学は破たんし情報は損失する （ベースボール）百科事典(ホーキングはこちらに賭けた)(ii) 量子力学は破たんせず情報は保たれるPOP!
(プレスキルはこちらに賭けた)
2004年、ホーキングは自ら情報が損失しないという研究発表を行った。ホーキングの負け[58]BH

以後の発展(主に現代数学との関連)

79

1999年：非可換空間上のゲージ理論[ザイバーグ・ウィッテン]数学者達2002年：ネクラソフ予想 →が解決 [中島・吉岡]等

2004年：大栗・ストロミンジャー・バッファ予想(BHエントロピーについての公式)2006年：カプスチン・ウィッテン→電磁双対性とラングランズ双対性との深い深い関係(弦理論山と数論山が高い高いところでつながっている!?) cf.[F]2008年：コンチェヴィッチ・ソイベルマン壁越え公式
2009年：アルデイ・ガイオット・立川予想 →数学者
達が解決
・・・・・・以後ひたすら(果てしなく？)続く

80

素粒子論研究の現在の状況
それぞれ好き勝手に山登りしている(物理山と数学山は予想以上に高く楽しい)

みなさんもぜひ一緒に登りましょう！
(ちょっとしたトレッキングもOK)

参考文献一覧81

 [江] 江里口良治「時空のゆがみとブラックホール」(培風館) [深] 深谷賢治編「ミラー対称性入門」(日本評論社)
 [F] エドワード・フレンケル「数学の大統一に挑む」(文春) [G] ブライアン・グリーン「エレガントな宇宙」(草思社) [橋] 橋本幸士「超ひも理論をパパに習ってみた」(講談社) [H] ホーキング「宇宙を語る」(ハヤカワ文庫)
 [HKKPTVVZ] K.Hori 他, ``Mirror Symmetry,’’ (AMS)㉀ [大1] 大栗博司「重力とは何か」(幻冬舎) [大2] 大栗博司「強い力と弱い力」(幻冬舎) [大3] 「大栗博司先生の超弦理論入門」(講談社) [P] Roger Penrose, ``The Road to Reality,’’ (Vintage)
 雑誌「数理科学」＆別冊数理科学＆雑誌「数学セミナー」の関連記
事も楽しく参考になる。(大学入学後のお勧め)出典一覧[1] https://www.kek.jp/ja/NewsRoom/Highlights/20120727150000/[2] https://ja.wikipedia.org/wiki/プラトン[3] http://www.wallpaperlink.com/bin/0710/03956.html[4] http://kabegami.mobi/lib/asia/kazakhstan/03956_480x640.html[5] http://hitachikaihin.jp/spot/spot-829.html[6] http://ozsons.jp/math10pythagoras.htm[7] https://ja.wikipedia.org/wiki/ジョージ・マロリー[8] http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~sg.www/award_s/medal11.html[9] https://en.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton[10] https://ja.wikipedia.org/wiki/ジェームズ・クラーク・マクスウェル[11] https://ja.wikipedia.org/wiki/ルートヴィッヒ・ボルツマン[12] https://ja.wikipedia.org/wiki/ダフィット・ヒルベルト[13] https://ja.wikipedia.org/wiki/アンリ・ポアンカレ[14] https://www.ushio.co.jp/jp/technology/glossary/material/attached_material_01.html[15] https://ja.wikipedia.org/wiki/アルベルト・アインシュタイン[16] https://en.wikipedia.org/wiki/Max_Planck[17] http://www.hitachi.co.jp/rd/portal/highlight/quantum/doubleslit/index.html[18] https://ja.wikipedia.org/wiki/エルヴィン・シュレーディンガー[19] https://ja.wikipedia.org/wiki/マックス・ボルン

82

[20] https://ja.wikipedia.org/wiki/ヴェルナー・ハイゼンベルク[21] https://ja.wikipedia.org/wiki/ニールス・ボーア[22] https://ja.wikipedia.org/wiki/ロバート・オッペンハイマー[23] https://ja.wikipedia.org/wiki/ロジャー・ペンローズ[24] http://www.spacetimetravel.org/expeditionsl/expeditionsl.html[25] https://ja.wikipedia.org/wiki/スティーヴン・ホーキング[26] https://www.zazzle.co.jp/泡箱Ｔシャツ-235053590272616960[27] https://ja.wikipedia.org/wiki/湯川秀樹[28] https://ja.wikipedia.org/wiki/パウリ効果[29] https://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Dirac[30] https://en.wikipedia.org/wiki/Richard_Feynman[31] https://en.wikipedia.org/wiki/Julian_Schwinger[32] https://ja.wikipedia.org/wiki/朝永振一郎[33] http://www.ntu.edu.sg/ias/PastEvents/2015/Yang-Mills60/Pages/default.aspx[34] https://ja.wikipedia.org/wiki/ヘルマン・ワイル[35] https://ja.wikipedia.org/wiki/マイスナー効果[36] http://www.kousakusha.co.jp/NEWS/weekly20081014.html[37] https://en.wikipedia.org/wiki/Sheldon_Lee_Glashow[38] https://en.wikipedia.org/wiki/Abdus_Salam[39] https://ja.wikipedia.org/wiki/スティーヴン・ワインバーグ

83

84

[40] http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1969/gell-mann-bio.html[41] https://ja.wikipedia.org/wiki/デイビッド・グロス[42] http://www.theory.caltech.edu/people/politzer/[43] https://ja.wikipedia.org/wiki/フランク・ウィルチェック[44] https://ja.wikipedia.org/wiki/ヘーラルト・トホーフト[45] http://www.princeton.edu/physics/people/display_person.xml?netid=polyakov[46] https://ja.wikipedia.org/wiki/小林・益川理論[47] http://design-guidelines.web.cern.ch/equation-range[48] http://thespiritscience.net/wp-content/uploads/2015/09/5CERN.jpg[49] http://alchemipedia.blogspot.jp/2009/10/michael-green-frs-physicist-lucasian.html[50] http://theory.caltech.edu/~jhs/[51] http://moogry.com/index.php?req=マキシム・コンツェビッチ[52] https://ja.wikipedia.org/wiki/サイモン・ドナルドソン[53] https://ja.wikipedia.org/wiki/マイケル・アティヤ[54] https://ja.wikipedia.org/wiki/ネーサン・サイバーグ[55] https://ja.wikipedia.org/wiki/エドワード・ウィッテン[56] https://ja.wikipedia.org/wiki/ジョセフ・ポルチンスキー[57] https://ja.wikipedia.org/wiki/フアン・マルダセナ[58] http://math.ucr.edu/home/baez/dublin/[59] http://www.1wallpaperhd.com/2014/10/hubble-space-wallpaper-03.html