IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MisceallaneaDéveloppement décimal de 1/p(d’après O. Mathieu)
CRDP Lyon, 27 septembre 2006

Jérôme Germoni (université Lyon 1)
Version longue, plus de preuves :http://math.univ-lyon1.fr/∼germoni/besancon.pdf

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Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Devinette
Quelques miracles admirables

Devinette

Devinette
Julian additionne deux nombres et trouve 999.
Combien de retenues a-t-il effectuées ?

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IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Devinette
Quelques miracles admirables

Devinette

Devinette
Julian additionne deux nombres et trouve 999.
Combien de retenues a-t-il effectuées ?
Une réponse
Si Julian a calculé 142 + 857, il n’a pas fait de retenue.

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Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Devinette
Quelques miracles admirables

Devinette

Devinette
Julian additionne deux nombres et trouve 999.
Combien de retenues a-t-il effectuées ?
Une réponse
Si Julian a calculé 142 + 857, il n’a pas fait de retenue.
Donc, par contrat didactique, la réponse est : aucune.

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Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
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Devinette
Quelques miracles admirables

Introduction
1= 0,142 857 142 857 142 857 . . .
7Développement cyclique.

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Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
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Devinette
Quelques miracles admirables

Introduction
1= 0,142 857 142 857 142 857 . . .
7Développement cyclique.
Pas de demi-mesure :142 + 857 = 999.

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Devinette
Quelques miracles admirables

Introduction
1= 0,142 857 142 857 142 857 . . .
7Développement cyclique.
Pas de demi-mesure :142 + 857 = 999.
Silence, on tourne !
1
2
3= 0,142857 · · · , = 0,285714 · · · , = 0,428571 · · · ,
7
7
7
4
5
6
= 0,571428 · · · , = 0,714285 · · · , = 0,857142 · · ·777CRDP Lyon, 27 septembre 2006

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Demi-périodes (Gauss)
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Misceallanea

Devinette
Quelques miracles admirables

Figures tutélaires
Suivant Gauss, Disquisitiones arithmeticæ (1801), on s’intéresse audéveloppement décimal de 1/p, où p est un nombre premier.

p+1-ème chiffre
longueur p − 12
Notation : nombres premiers : P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . }.
p-ème chiffre

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IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Traduction de l’existence d’une période
Dire que le développement de 1/p est périodique de période d,c’est dire qu’il existe des chiffres a1 , . . . , ad ∈ {0, . . . , 9} tels que
1= 0,a1 a2 a3 · · · ad a1 a2 a3 · · · ad a1 a2 a3 · · · ad · · ·.
|
{z
}|
{z
}|
{z
}
p
d

CRDP Lyon, 27 septembre 2006dd

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IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Traduction de l’existence d’une période
Dire que le développement de 1/p est périodique de période d,c’est dire qu’il existe des chiffres a1 , . . . , ad ∈ {0, . . . , 9} tels que
1= 0,a1 a2 a3 · · · ad a1 a2 a3 · · · ad a1 a2 a3 · · · ad · · ·.
|
{z
}|
{z
}|
{z
}
p
d

Posons n = a1 a2 . . . ad =
10d ×

d

Pd

d

d−i , il vient :i=1 ai 1011= a1 a2 a3 · · · ad , a1 a2 a3 · · · ad · · · = n+ ⇐⇒ np = 10d −1.
{z
} |
{z
}
p |
p
d

d

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Demi-périodes (Gauss)
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Misceallanea

Existence d’une période
1= 0, | {z n} | {z n} · · · ⇐⇒ np = 10d − 1.
pddCRDP Lyon, 27 septembre 2006

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Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Existence d’une période
1= 0, | {z n} | {z n} · · · ⇐⇒ np = 10d − 1.
pddConséquenced = longueur d’une période de 1/p ⇐⇒ p divise 10d − 1 ;Exemple : p = 7
106 − 1 = (103 + 1) × (103 − 1) = 7 × 11 × 13 × (103 − 1)

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Misceallanea

Existence d’une période
1= 0, | {z n} | {z n} · · · ⇐⇒ np = 10d − 1.
pddConséquenced = longueur d’une période de 1/p ⇐⇒ p divise 10d − 1 ;10d − 199 · · · 9période correspondante de 1/p : n ==.
ppExemple : p = 7
106 − 1 = (103 + 1) × (103 − 1) = 7 × 11 × 13 × (103 − 1)
7 × 142 857 = 999 999.
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Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Fermat et Lagrange

Petit théorème de Fermat
Pour tout a ∈ {1, . . . , p − 1}, p divise ap−1 − 1.
Conséquence (Lagrange)p − 1 est la longueur d’une période du développement de 1/p ;si d est la plus petite longueur possible, alors d divise p − 1.

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Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Devinette
Quel est le 53-ème chiffre de 1/53 ?
Réponse
C’est le même que le premier : 0.

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Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Dichotomie (exemples)

Ici, on suppose que la plus courte période est de longueur paire.
On peut donc la couper en deux.

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Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Dichotomie (exemples)

Ici, on suppose que la plus courte période est de longueur paire.
On peut donc la couper en deux.
Exemples :1= 0, 142 857 · · ·71= 0, 076 923 · · ·131= 0, 0 9 · · ·11

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Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Dichotomie (exemples)

Ici, on suppose que la plus courte période est de longueur paire.
On peut donc la couper en deux.
Exemples :1= 0, 142 857 · · · : 142 + 857 = 999 ;7
1= 0, 076 923 · · · : 76 + 923 = 999 ;13
1= 0, 0 9 · · · : 0 + 9 = 9...
11
Ca ne saurait être un hasard !

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Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Dichotomie (formalisation)
Lemme
Supposons que d = 2e soit une longueur de période de 1/p, maisque e ne soit pas la longueur d’une période :1= 0, | {z A} | {z B} | {z A} | {z B} · · ·,p
| e {z e } | e {z e }d=2e

0 ≤ A, B < 10e .

d=2eAlors,A + B = 10e − 1 = 99
· · · 9} .
| {ze chiffres

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Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
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Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Preuve1= 0, | {z A} | {z B} | {z A} | {z B} · · ·,
p
e

e

e

0 ≤ A, B < 10eepermet d’écrire102e
1= 10e A + B + ,
p
p
puis

10e + 1× (10e − 1) = 10e A + B.
p

Modulo 10e − 1, il vient :A + B ≡ 0 [10e − 1]et

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1 ≤ A + B < 2(10e − 1).
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Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
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Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Un énoncé surprenantThéorème (O. Mathieu ?)Soit p ≥ 11 un nombre premier :1

la (p + 1)/2-ème décimale de 1/p est 0 ou 9 ;2

le fait que ce soit 0 ou 9 ne dépend que de p modulo 40.
↓
1= 0, | {z } | {z } · · ·p| e {z e }p−1=2eCRDP Lyon, 27 septembre 2006

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Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Preuve (premier point)
1

Partie facile.
↓1= 0, | {z A} | {z B} · · · ,p| e {z e }


 A=B
ou

A + B = 99 · · · 9.

p−1=2eCRDP Lyon, 27 septembre 2006

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Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Preuve (premier point)
1

Partie facile.
↓↓1= 0, |0 {z A} | {z B} · · · ,pe| e {z
}


 A=B
ou

A + B = 99 · · · 9.

p−1=2eCas A = B : c’est 0.
Cas A + B = 99 · · · 9 : c’est 9. En effet :0 • ··· • •+ ? • ··· • •9 9 ··· 9 9CRDP Lyon, 27 septembre 2006

A+B
10p−1 − 1Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

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Longueur de la période (Artin)
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Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Esquisse de preuve (deuxième point)p−1

2

2 − 1.
Il faut décider si p−1
2 est une période, i.e. si p divise 10
p−1

p−1

Fermat et Gauss : p divise 10 2 − 1 ou 10 2 + 1.
Notation 
p−1aPour p premier et a ∈ Z,
= a 2 mod p ∈ {−1, 1, 0}pExemple (non trivial)  
2
1 si p = ±1 [8]=−1 si p = ±3 [8].
p
Ce symbole ne dépend donc que de p modulo 8.
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Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Loi de réciprocité quadratiqueThéorème (Gauss – 1801)
Soit p, q premiers impairs distincts. Alors :  
(p−1)(q−1)
pq4.
= (−1)
qp

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Longueur de la période (Artin)
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Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Loi de réciprocité quadratiqueThéorème (Gauss – 1801)
Soit p, q premiers impairs distincts. Alors :  
(p−1)(q−1)
pq4.
= (−1)
qp
Application au (p + 1)/2-ème chiffre : 0 ou 9 ?
 
p−1
10
La p+1= 10 2 = 1 [p]. Or...
2 -ème décimale de 1/p est 0 SSIp       
p
10
2
5
2
=
=
.
p
p
p
p
5
Par le lemme chinois, ceci ne dépend que de p modulo 40.
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Demi-périodes (Gauss)
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Misceallanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Exemples1
1
Le 7eme chiffre de 13
est le même que le 27eme chiffre de 53:

1= 0,076923 076923 · · ·131= 0,0188679245283 0188679245283 00188 · · ·531
1
Le 16eme chiffre de 31
est le même que le 36ème chiffre de 71:

1= 0,032258064516129 032258064516129 032258064516129 · · ·311= 0,01408450704225352112676056338028169 014084507042 · · ·71
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IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Occuper Julian (8 ans) à la pizzeria
1 × 142857 = 142857,
2 × 142857 = 285714,
3 × 142857 = 428571,
4 × 142857 = 571428,
5 × 142857 = 714285,
6 × 142857 = 857142

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IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Occuper Julian (11 ans) à la pizzeria
12
3= 0,142857 · · · , = 0,285714 · · · , = 0,428571 · · · ,
7
7
7
4
5
6
= 0,571428 · · · , = 0,714285 · · · , = 0,857142 · · ·777CRDP Lyon, 27 septembre 2006

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IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Que faire à la pizzeria quand Julian aura 13 ans ?

CRDP Lyon, 27 septembre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Que faire à la pizzeria quand Julian aura 13 ans ?
1
2
3= 0,076923 · · · ,= 0,153846 · · · ,= 0,230769 · · · ,
13
13
13
4
5
6
= 0,307692 · · · ,= 0,384615 · · · ,= 0,461538 · · ·
13
13
13
7
8
9
= 0,538461 · · · ,= 0,615384 · · · ,= 0,692307 · · ·
13
13
13
10
11
12
= 0,769230 · · · ,= 0,846153 · · · ,= 0,923076 · · ·
13
13
13

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IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Que faire à la pizzeria quand Julian aura 13 ans ?
1
2
3= 0,076923 · · · ,= 0,153846 · · · ,= 0,230769 · · · ,
13
13
13
4
5
6
= 0,307692 · · · ,= 0,384615 · · · ,= 0,461538 · · ·
13
13
13
7
8
9
= 0,538461 · · · ,= 0,615384 · · · ,= 0,692307 · · ·
13
13
13
10
11
12
= 0,769230 · · · ,= 0,846153 · · · ,= 0,923076 · · ·
13
13
13
1
Pour 13: nombre de périodes : 2, longueur des périodes : 6.

CRDP Lyon, 27 septembre 2006

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Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Proposition
nombre de périodes de k/plongueur minimale(1 ≤ k ≤ p − 1)
×
= p−1
d’une périodeà permutation cyclique près
Question
Pour quels nombres premiers a-t-on
la longueur minimale des périodes égale à p − 1 ?
une seule période (à permutation cyclique près) pour tous les
k/p, 1 ≤ k ≤ p − 1 ;(Les deux conditions sont équivalentes !)CRDP Lyon, 27 septembre 2006

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Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Deux types de nombres premiers
Base 10 : pour un nombre premier p, deux cas :1longueur minimale période = p − 1 ; ex. : = 0, 142857 · · · ;71
longueur minimale période < p − 1 ; ex. := 0, 076923 · · · .
13
Problème
On noteP(10) = {p premier: longueur minimale période = p − 1}.

CRDP Lyon, 27 septembre 2006

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Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Deux types de nombres premiers
Base 10 : pour un nombre premier p, deux cas :1longueur minimale période = p − 1 ; ex. : = 0, 142857 · · · ;71
longueur minimale période < p − 1 ; ex. := 0, 076923 · · · .
13
Problème
On noteP(10) = {p premier: longueur minimale période = p − 1}.
Est-ce que P(10) est infini ? Estimer la “densité” de P10 :d10 (x) =card{p ∈ P(10), p ≤ x}card{p ∈ P, p ≤ x}

CRDP Lyon, 27 septembre 2006:

lim d10 (x) ?

x→+∞Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Expériences numériques

P(10) = {7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, . . . }y = d10 (x) =card{p ∈ P(10), p ≤ x}card{p ∈ P, p ≤ x}

CRDP Lyon, 27 septembre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Expériences numériques
P(10) = {7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, . . . }y = d10 (x) =card{p ∈ P(10), p ≤ x}card{p ∈ P, p ≤ x}base 10xmax = 4500

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Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Expériences numériques
P(10) = {7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, . . . }y = d10 (x) =card{p ∈ P(10), p ≤ x}card{p ∈ P, p ≤ x}base 10xmax = 45000

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Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Expériences numériques
P(10) = {7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, . . . }y = d10 (x) =card{p ∈ P(10), p ≤ x}card{p ∈ P, p ≤ x}base 10xmax = 450000

CRDP Lyon, 27 septembre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Enoncé de la conjecture (base 10)

Conjecture
Il existe un nombre infini de nombres premiers p tels que laplus petite période décimale de 1/p soit de longueur p − 1.
La densité de ces p est :Y CArtin =1−
q premier1
q(q − 1)


' 0,373 955 813 6 . . .

Remarque : où intervient 10 ?

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IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Enoncé de la conjecture (base presque quelconque)

Conjecture
Il existe un nombre infini de nombres premiers p tels que laplus petite période en base ` de 1/p soit de longueur p − 1.
La densité de ces p est :Y CArtin =1−
q premier1
q(q − 1)


' 0,373 955 813 6 . . .

Remarque : où intervient 10 ?
On peut remplacer 10 par (presque) n’importe quelle base `.

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Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partielsRésultats partiels

La conjecture est toujours ouverte, mais on sait :avec l’hypothèse de Riemann généralisée (version
quantitative) : la conjecture d’Artin est vraie ;résultats inconditionnels (version qualitative) : au plus deux
exceptions parmi les bases ` ∈ P ;par exemple, une infinité de 1/p ont une période de longueur
minimale p − 1 en base 2, 3 ou 5.

CRDP Lyon, 27 septembre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Diviser par la droite
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Justification heuristique de la conjecture d’Artin

C’est fini.
Quelques jeux supplémentaires ?

CRDP Lyon, 27 septembre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Diviser par la droite
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Justification heuristique de la conjecture d’Artin

Algorithme de division
999 999 7

CRDP Lyon, 27 septembre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Diviser par la droite
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Justification heuristique de la conjecture d’Artin

Algorithme de division
999 999 7
49
95

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7Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Diviser par la droite
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Justification heuristique de la conjecture d’Artin

Algorithme de division
999 999 7
49
95
35
96

CRDP Lyon, 27 septembre 2006

57

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Diviser par la droite
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Justification heuristique de la conjecture d’Artin

Algorithme de division
999 999 7
49
95
35
96
56
94

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857

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Diviser par la droite
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Justification heuristique de la conjecture d’Artin

Algorithme de division
999 999 7
49
2 857
95
35
96
56
94
14
98

CRDP Lyon, 27 septembre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Diviser par la droite
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Justification heuristique de la conjecture d’Artin

Algorithme de division
999 999 7
49 42 857
95
35
96
56
94
14
98
28
7

CRDP Lyon, 27 septembre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Diviser par la droite
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Justification heuristique de la conjecture d’Artin

Algorithme de division
999 999 7
49 142 857
95
35
96
56
94
14
98
28
7
7
0
CRDP Lyon, 27 septembre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Diviser par la droite
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Justification heuristique de la conjecture d’Artin

Le p − 1-ème chiffre
Devinette
2 Quel est le 52-ème chiffre de 1/53 ?
Réponse
2

C’est 3, car 3 × 3 = 9.
99 · · · 9 999 53

CRDP Lyon, 27 septembre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Diviser par la droite
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Justification heuristique de la conjecture d’Artin

Le p − 1-ème chiffre
Devinette
2 Quel est le 52-ème chiffre de 1/53 ?
Réponse
2

C’est 3, car 3 × 3 = 9.
99 · · · 9 999 53
159
84

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3

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Diviser par la droite
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Justification heuristique de la conjecture d’Artin

Le p − 1-ème chiffre
Devinette
2 Quel est le 52-ème chiffre de 1/53 ?
Réponse
2

C’est 3, car 3 × 3 = 9.
99 · · · 9 999 53
159
···3
84
···

CRDP Lyon, 27 septembre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Diviser par la droite
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Justification heuristique de la conjecture d’Artin

Découpage de période en 3, 4 et plus
Maitrisant la dichotomie, tentons de diviser plus !
Exemples :1= 0, 142 857 · · ·71= 0, 14 28 57 · · ·71= 0, 07 69 23 · · ·13
Contre-exemple :1= 0,01 36 98 63 · · ·73

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Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Diviser par la droite
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Justification heuristique de la conjecture d’Artin

Découpage de période en 3, 4 et plus
Maitrisant la dichotomie, tentons de diviser plus !
Exemples (généraliser) :1= 0, 142 857 · · · : 142 + 857 = 999 ;7
1= 0, 14 28 57 · · · : 14 + 28 + 57 = 99 ;7
1
= 0, 07 69 23 · · · : 7 + 69 + 23 = 99.
13
Contre-exemple (trouver un énoncé quand même) :1= 0,01 36 98 63 · · · : 1 + 36 + 98 + 63 = 2 × 99.
73

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Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Diviser par la droite
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Justification heuristique de la conjecture d’Artin

Calcul exotique de 1/13
1
= 0, • • • • • • · · ·13
7 × 11 × 13 = 1001 =⇒ 13|(106 − 1) = (103 + 1)(103 − 1)

CRDP Lyon, 27 septembre 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Diviser par la droite
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Justification heuristique de la conjecture d’Artin

Calcul exotique de 1/13
1
= 0, 0 • • • • • · · ·13
7 × 11 × 13 = 1001 =⇒ 13|(106 − 1) = (103 + 1)(103 − 1)
13 > 10

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IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Diviser par la droite
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Justification heuristique de la conjecture d’Artin

Calcul exotique de 1/13
1
= 0, 0 • • • • 3 · · ·13
7 × 11 × 13 = 1001 =⇒ 13|(106 − 1) = (103 + 1)(103 − 1)
13 > 103×3=9CRDP Lyon, 27 septembre 2006

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IntroductionPériode (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Diviser par la droite
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Justification heuristique de la conjecture d’Artin

Calcul exotique de 1/13
1
= 0, 0 • 6 9 • 3 · · ·13
7 × 11 × 13 = 1001 =⇒ 13|(106 − 1) = (103 + 1)(103 − 1)
13 > 103×3=90••+ • •3999

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Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Diviser par la droite
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Justification heuristique de la conjecture d’Artin

Calcul exotique de 1/13
1
= 0, 076 923 · · ·13
7 × 11 × 13 = 1001 =⇒ 13|(106 − 1) = (103 + 1)(103 − 1)
13 > 103×3=90••+ • •3
999
0•
+69
+ •3
99
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Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Misceallanea

Diviser par la droite
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Justification heuristique de la conjecture d’Artin

Ceci n’est pas une preuvep−1

hai = (Z/pZ)∗ ⇐⇒ ∀q premier : p ≡ 1 [q], a q 6= 1 [p]Fixons q :
1
;
q−1
p−1
1
probabilité pour que a q = 1 [p] : .
qprobabilité pour que p = 1 [q] :1.
q(q − 1)
Si indépendance, probabilité pour que “ça marche” pour tous
les q :
Y1.
1−
q(q − 1)q
Probabilité pour que “ça marche” pour q : 1 −CRDP Lyon, 27 septembre 2006

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Longueur de la période (Artin)
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Diviser par la droite
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Justification heuristique de la conjecture d’ArtinRéférencesThéorèmes de Fermat, Lagrange, etc.
D. Guin, Algèbre, Ed. Belin (par exemple)
Réciprocité quadratique et autres merveilles
J.-P. Serre, Cours d’arithmétique, PUF ou en anglais chez Springer
Conjecture d’Artin
http://en.wikipedia.org/wiki/Artin conjecture (primitive roots)
P. Moree, Artin’s primitive root conjecture -a survey -,http://arxiv.org/abs/math/0412262 (le début est raisonnable)

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