未知数 x を定数とみて第２、３式を y, z について解くとそこで、(1) 式を(a1b2c2b3c3b2b3b2b3c2t − a2 x c 2ty= 2= 2c3t3 − a 3 x c 3t3c2a− 2c3
a3c2x,c3(4)b2b3c2bz= 2c3b3t2 − a2 xb= 2t3 − a3 x
b3t2
b− 2t3b3a2x.
a3(5)倍したものに (4), (5) 式を代入すると、

ac2+ c1 2c3
a3ac2− b1 2a3c3b2b3)

b2b3c2t− b1 2t3c3tc2+ c1 2t3c3c2a− b1 2c3a3c2a+ c1 2c3a3b2b3x = t1b2.
b3

この両辺には同じ形の式が現れるので、３次行列式をa1a2a3b1b2b3c1bc2 = a1 2b3c3で定義する。(１行目に関する展開。) そうすると、上で求めた連立方程式の解の公式は、

a1a2a3b1b2b3c1t1c2 x = t2c3t3b1b2b3c1c2c3のようになる。
２次行列式の性質から、３次行列式の性質がわかる。

−→ →→(i) 線型性：行列式 det(−a , b ,−c ) は、各ベクトルについて分配法則が成り立つ。
−→ −−→→(ii) 交代性： a , b , c のうち２つのベクトルを入れ替えると行列式の値にマイナス符号がつく。
(iii) 規格化条件：
1 0det(I3 ) = 0 10 000 = 1.
1

問 4.2. 未知数 y, z を 3 次行列式で表す公式を導け。

5 一般の行列式
n 次行列式を n − 1 次行列式に還元する形で、
a11a21..
.
an1············

a1ja2j..
.
anj············

a1na21n∑a2nj+1(−1) a1j ...
.. =.
j=1
an1
ann·········[a2j ]..
.

······[anj ] · · ·a2n..
.
annと帰納的に定義する。ただし、[a2j ], . . . , [anj ] とあるのはそこの部分の削除を意味する。（１行に関する展開。
）
行列式のサイズに関する帰納法で（２次行列式の性質から３次行列式の性質を導いたのと同じ方法で）、次の性質を確かめることができる。

16→(i) 線型性：行列式 det(−a1 , · · · , −a→n ) は、各ベクトルについて分配法則が成り立つ。
−→−→(ii) 交代性：a , · · · , a のうちの２つのベクトルを入れ替えると行列式の値は符号が反対になる。
1n(iii) 規格化条件：
1 00 1det(In ) = . .
.. ..
0 0······..
.

00.. = 1.
.

···

1→と−→
たとえば、−aal (k < l) の入れ換えについての交代性を示すのであれば、展開式（定義式）の和の部分をk∑(−1)

j+1j̸=k,j̸=l+(−1)

k+1a21a1k ...
an1···

an1[a2k ]..
.

·········a21
a1j ...

············[a2j ]..
.

···[anj ] · · ·

a2n..
.
ann

a21a2n..
.. + (−1)l+1 a1l.
.

···
[ank ] · · ·an1ann·········[a2l ]
..
.

···

···
[anl ] · · ·

a2n..
.
ann

といった分け方にして帰納法の仮定を使う。あるいは、線型性を確かめたあとで、２つの列を等しいとした場合に値が 0 になることを示す。これは次の仕組みに基づく。

−→−→−→→→→n 次列ベクトル −a , b を変数とする関数 f (−a, b) が−
a , b それぞれについて線型性（分配法則）をみた−→ →−→−→→→−−
せば、f ( b , −a ) = −f (−a , b ) がすべての −a , b について成り立つこと（交代性）と f (→a ,→a ) = 0 がすべて−→→−−→→−→−→−→−の a について成り立つことは同値。実際、交代性で a = c , b = c とおけば、f ( c , c ) = 0 であり、逆−c で成り立てば、次の等式から交代性が従う。にこれがすべての →−→ → −→→−−→ →−→ −→−→→− →→−−−→
0 = f (−a + b ,−a + b ) = f (→a ,→a ) + f (→a , b ) + f( b , −a ) + f ( b , b ) = f (−a , b ) + f( b , −a ).
問 5.1. n = 4 のときに上の３つの性質を確かめよ。

→−−→−→*29 。こ
問 5.2. (♯) 連立一次方程式 A→
x = t の解 x1 , . . . , xn は |A|xj = det(−a1 , . . . , t , . . . , −a→n ) をみたす
れ を行列式の性質（列に関する線型性と交代性）から導け。

m × n 行列 A = (aij )1≤i≤m,1≤j≤n の転置行列*30 (transposed matrix) t A を t A = (aji ) で定める。
a11 a12 · · · a1na11 a21 · · · am1
 a21 a22 · · · a2n  a12 a22 · · · am2 tA= .
,A=

 ..
..
..
..
..  .
..
..
 ..

.
.
.
.
.
.
. 
am1

am2···

amn

a1na2n···amn

転置は二度繰り返すと、t (t A) = A のように元の行列に戻り、列ベクトルの転置は行ベクトル、行ベクトルの転置は列ベクトルであることに注意。
例 5.1. 積の転置について、t (AB) = (t B)(t A) が成り立つ (積の順番に注意)。
実際、AB = C = (cik ) とし、転置行列の成分を t cki のように書けば、t cki = cik などとなるので、tcki = cik =∑aij bjk =j∑tbkj t ajij

*29 クラメルの公式 (Cramèr’s rule) と呼ばれ有名であるが、重要度は低い。他にも Cayley-Hamilton の定理というのがその類か。
*30 転置行列を表す記号としては ATのような書き方もあるが、これだと行列 A の T 乗と紛らわしい、かな。

17

より、t C = t B t A であることがわかる。
行列式の性質として基本的なものが次の定理である。（証明については、節を改めて述べる。）
定理 5.2.

(i) 線型性・交代性は行ベクトルについても成り立つ。
(ii) 行に関する展開式、列に関する展開式が成り立つ。展開式の符号は chess board rule による。
(iii) 転置行列の行列式は元の行列式に等しい。
(iv) A, B を n 次の正方行列とするとき、det(AB) = det(A) det(B).
系 5.3.

(i) 行列式の中に同じ行または列があれば、行列式の値は 0。
(ii) ある行 (列) の定数倍を他の行 (列) に加えても行列式の値は変化しない。
行列式の具体的な計算においては、行あるいは列に関する展開を行う前に、上の系 (ii) の性質を利用して、特定の行あるいは列にできるだけ多くの 0 成分を含むように加工するとよい。連立一次方程式を解く際の消去法に似ていることに注意。
例 5.4. ４行４列の計算例。途中経過を変えることで検算にも利用する。
例 5.5. 三角行列 (triangular matrix) の行列式。

a1100a12a220a13a23a33000...
...
...
..
.

a11a21= a31..
.

0a22a32..
.

00a33..
.

000 = a11 a22 . . . ann .
..
.

問 5.3. |tA| = tn |A| を示せ*31 。
問 5.4. (♯) 座標平面内の３点 (ai , bi ) (i = 1, 2, 3) が同一直線上にないとき、この３点を通る円の方程式は

x2 + y 2
a21 + b21
a22 + b22a23 + b23

xa1a2a3yb1b2b3

11= 0.
11

問 5.5 (*). Vandermonde 行列式の計算。右辺の鳥居のような記号 (π の大文字) は、積をとる操作を表す。

λ1λ2..
.

λ21
λ22..
.

1 λn

λ2n11..
.

············λn−1
1
λn−12=..
.
λn−1n∏(λj − λi ).

1≤i<j≤n*31 そそっかしい人は、|tA| = |t| |A| などとやらかす。その点、det(tA) だとさすがに慎重になれるかな。

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