CYLINDERS IN DEL PEZZO FIBRATIONS岸本

崇 (埼玉大学・理学部)

Abstract. 与えられた射影多様体に含まれるシリンダーの存在は，その射影多様体上の適当なアフィン錐
への１次元ユニポテント代数群 Ga の有効作用の存在に翻訳されることが知られている．この報告では，(任意次元の)del Pezzo fibration π : V → W について，どのような状況下で V は π に垂直なシリンダーを含
むのかという問題についての結果を述べる．尚この報告での結果は，Adrien Dubouloz 氏 (Université deBourgogne) との共同研究によるものである．

1. 動機と問題
1.1. タイトルにもあるシリンダー (cylinder) とは，適当な代数多様体 Z を用いて Z × A1 という形状をしているものである．このような非常にシンプルな幾何学的対象を敢えて考える１つの理由・動機付
けをまずは述べたいと思う．
1.2. Flenner-Zaidenberg の問題. Flenner-Zaidenberg は 2003 年に次の具体的な問題を提起した (cf.
[FZ]):
問題 1.1. アフィン代数多様体:{ x3 + y 3 + z 3 + u3 = 0 } ⊆ A4C = Spec (C[x, y, z, u]),には有効な Ga -作用が存在するか？
もともと問題 1.1 は特異点の視点から提起された．より正確に述べると，[FZ, Theorem 0.3] に於いて次の事柄が示された:
定理 1.2. (cf. [FZ, Theorem 0.3]) V を複素数体 C 上に定義された代数多様体とし，v ∈ V を孤立
Cohen-Macaulay 特異点とする．この v ∈ V が次の性質 (∗) を満たしているとする:(∗) V の Zariski 開集合 U ⊆ V が存在して，U の一般の点 u ∈ U に対して，V の中で閉な有理曲
線 Cu ⊆ V で u ∈ Cu かつ v ̸∈ Cu を満たすものが存在する．
このとき，v ∈ V は有理特異点である．

1.3. 問題 1.1 に挙げたアフィン代数多様体:
X := { x3 + y 3 + z 3 + u3 = 0 } ⊆ A4C = Spec (C[x, y, z, u]),に立ち戻ってみる．仮に X に有理的ではない特異点が存在したとすると，上述した定理 1.2 によってX は有効 Ga -作用を持たないことが分かる．しかし X は原点 o でのみ特異点をもち，しかも o ∈ X
は標準特異点，特に有理特異点であることが分かる．従って，問題 1.1 を考察するにあたって別のアプローチを模索する必要がある．ところで，X は Fermat 型３次曲面:

Y := { x3 + y 3 + z 3 + u3 = 0 } ⊆ P4C = Proj (C[x, y, z, u]),上の反標準偏極なアフィン錐に同型，つまり:(⊕)
X∼
H 0 (Y, m(−KY ))= Specm≧0と見なすことができる．この視点を考慮して一般に次の定義をする.

1.4. H-偏極シリンダーの存在と H-偏極アフィン錐への Ga -作用の存在.
定義 1.3. (V, H) を正規射影多様体 V とその上の豊富 Q-因子 H の対とする．V のアフィン開集合
U ⊆ V は次の条件 (∗∗) を満たすときに H-偏極シリンダー (H-polar cylinder) と呼ぶ:(∗∗) 適当な有効 Q-因子 ∆ ∈ Q+ [H] ⊆ Pic(V ) ⊗Z Q が存在して，U = V \Supp(∆) ∼= Z × A1 と1なっている ．
この研究は科学研究費補助金・基盤研究 (C):15K04805 の援助を受けて行った.
1ここで H は豊富であるので，Z はアフィン代数多様体である．
1

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岸本

崇 (埼玉大学・理学部)

わざわざ定義 1.3 を準備した理由は，次の結果にある:定理 1.4. (cf. [KPZ2 ]) (V, H) を正規射影多様体 V とその上の豊富 Q-因子 H の対とする．Am :=⊕H 0 (V, ⌊mH⌋) (m ≧ 0) として，A(e) :=m≧0 Aem とおく．このとき，適当な e ≧ 1 が存在してSpec (A(e) ) が有効 Ga -作用を持つための必要十分条件は V が H-偏極シリンダーを含むことである．
1.5. del Pezzo 曲面内の反標準偏極シリンダーについて. 定理 1.4 によって，問題 1.1 は Fermat 型
３次曲面 (次数３の del Pezzo 曲面) Y 内の (−KY )-偏極シリンダーの存在に帰着されることになる．この方向の結果，より一般に次数の低い del Pezzo 曲面内の反標準偏極シリンダーの存在について次の結果が知られている．
定理 1.5. (cf. [KPZ3 ], [CPW]) S を次数が (−KS 2 ) ≦ 3 である非特異 del Pezzo 曲面とする．このとき，S は (−KS )-偏極シリンダーを含まない．
注意 1.6. 標数ゼロの代数閉体上に定義された次数が４以上の del Pezzo 曲面は反標準偏極シリンダーを含む (cf. [KPZ1 ])．しかし代数閉体でない場合には，たとえ有理点を持っていたとしても必ずしも反標準偏極シリンダーを含むとは限らない (cf. 定理 2.1)．
注意 1.7. 次数が３以下であっても，特異点を持っているような del Pezzo 曲面である場合には反標準偏極シリンダーを含む場合がある．例えば，

Y = { yu2 + z(xz + y 2 ) = 0 } ⊆ P3を考えると，Y は [1 : 0 : 0 : 0] で E6 -型の特異点を持つ次数３の del Pezzo 曲面であるが，∆ := { u = 0 }|Y ∼ −KYの補集合は Y \∆ ∼= A2 であるので Y は (−KY )-偏極シリンダーを含む．

1.6. 定理 1.4 と定理 1.5 によって，次数が３以下の任意の非特異 del Pezzo 曲面 S と正整数 ∀ e ≧ 1 に対して，その上の反標準偏極アフィン錘:
(⊕
)
Spec
H 0 (S, me(−KS ))m≧0

は有効 Ga -作用を持たないことが分かる．特に，問題 1.1 のアフィン代数多様体:{ x3 + y 3 + z 3 + u3 = 0 } ⊆ A4C = Spec (C[x, y, z, u])
は有効 Ga -作用を有さないことが帰結される．

1.7. 上述した問題 1.1 の解決へのアプローチ方法にあるように，ある種のアフィン代数多様体 (アフィン錘) へのユニポテント代数群作用の存在を，付随する偏極多様体に含まれる偏極シリンダーの存在に帰着することができる．ここで定理 1.4 について幾つか注意をする:
注意 1.8. Y を非特異射影多様体とする．

(1) 一般には Y の偏極 (Y, H) の選び方に応じて，H-偏極シリンダーは存在したり存在しなかった
りする．例えば定理 1.5 により次数が d = (−KY 2 ) ≦ 3 の非特異 del Pezzo 曲面 S は (−KY )偏極シリンダーは含まない．一方，Y 上のコニック C ⊆ S を１つとってくるとそれは基底点自由な線形束 |C| を与え，一般ファイバーが P1 であるファイブレーション:
φ = Φ|C| : Y −→ P1を与える．φ は (8 − d) 個の特異ファイバー F1 , · · · , F8−d を持っていて，それぞれ横断的に交差する２つの (−1)-曲線から構成される．一方，Tsen の定理により φ はセクションを持つのでその１つを Γ とする．各特異ファイバー Fi の Γ と交わる成分を Li とする．また F を非特異ファイバーとしてとってくる．このとき:

Γ ∪ F ∪ L1 ∪ · · · ∪ L8−dに台をもつような豊富因子 ∆ を見つけることができる．構成方法より Y は ∆-偏極シリンダーをもつ．

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3(2) Y のピカール数 ϱ(Y ) が１であるときには，Y 上の全ての有効 Q-因子は Q-線形同値で同一視して互いに定数倍であるので，Y 上の適当な偏極アフィン錘に有効 Ga -作用が存在するかどうかはもっぱら Y に関する性質である．つまり，Y が１つでもシリンダーを含むかどうかが問題となる．
(3) Y を ϱ(Y ) = 1 の Fano 多様体とする．dim(Y ) = 2 のときには，Y ∼= P2 であり，Y は明らか
2にシリンダー (というかアフィン平面 A ) を含む．dim(Y ) = 3 のときには状況は複雑になるが，シリンダーとして最も理想的な３次元アフィン空間 A3 を含む場合には，そのような Y と補集
合 Y \A3 の分類は知られている (cf. [Fur], [FN1 , FN2 ], [Pro])．一方，A3 ではないようなシリンダーを含む ϱ(Y ) = 1 の３次元 Fano 多様体の完全な分類は知られていない．ただし，以下のような A3 ではないシリンダーを含む族は知られている:
定理 1.9. (cf. [KPZ4 ]) Y を ϱ(Y ) = 1 で Fano 指数が１の３次元非特異 Fano 多様体とし，その種数:
1g(Y ) = (−KY3 ) + 1
2
は９または１０とする．もしも Y 上の直線をパラメトライズする Hilbert スキームの成分が非特異でなければ2，Y は (A3 と同型でないような) シリンダーを含む．さらに，このように非特異でない直線の Hilbert スキームを持つような ϱ = 1, Fano 指数１，種数９または１０の３次元
Fano 多様体は，それぞれのモジュライの中で余次元１である．

(4) たとえ dim(Y ) = 2 の場合でも，ピカール数 ϱ(Y ) が２以上であるときには Y に含まれるシリン
ダーを分類することは難しい．例えば，ϱ(Y ) = 2 の場合を考えてみる．Y がシリンダーを含むとすると Y は森ファイバー空間でないといけないので，Y は非特異射影曲線 C 上の P1 -束:
π : Y −→ Cの構造がある．Tsen の定理によって π はセクションを持つ．Γ ⊆ Y を１つのセクションとする．
このとき，必要に応じて π のファイバー l1 , · · · , lr を選んで:

Y \(Γ ∪ l1 ∪ · · · ∪ lr )をシリンダーとすることができる．C が非有理であれば，Y 内のシリンダーはすべてこのようにして得られることは Lüroth の定理によって容易に分かるが，一方，C ∼= P1 のとき，つまりY が Hirzebruch 曲面であるときには Y に含まれるシリンダーは必ずしも上記のようにして得られるとは限らない (cf. [Bre], [FI])．

1.8. 注意 1.8, (4) で述べたように，２次元の森ファイバー空間の例である Hirzebruch 曲面 π : Σm → P1の場合であっても，Σm 内のアフィン平面 Σm ⊇ U ∼= A2 で制限 π|U が A1 -ファイブレーションを与えないものが存在する．従って Σm に含まれるシリンダーを分類するということは既に複雑な問題である．
しかし，π と両立できる，つまり π の制限が A1 -ファイブレーションを与えるようなシリンダーは容易に記述できる．この状況を考慮して，ピカール数が２以上の高次元の森ファイバー空間の場合であっても，例えば del Pezzo ファイブレーションの場合にそのファイブレーション構造と両立するようなシリンダーであればある程度明示的に記述できるのではないかと期待できる．ここでファイブレーション構
造と両立するシリンダーということの意味をはっきりさせておく．これについてはより一般的な設定で定義できるが，ここでは del Pezzo ファイブレーションの場合に限定をして定義をする:
定義 1.10. V を Q-分解的な端末特異点のみを持つ射影多様体として，V には del Pezzo ファイブレー
ション:
π : V −→ Wの構造があるとする3．V の開集合 U ⊆ V が π に関して垂直な A1 -シリンダーであるとは次の２つの条
件 (i), (ii) を満たしているときに言う:(i) U は A1 -シリンダー U ∼= Z × A1 である，
2Y 上の曲線 l ⊆ Y は (−K · l) = 1 を満たすとき直線と呼ばれる．Y 上の直線 l ⊆ Y は (a) N∼Y
l/Y = OP1 ⊕ OP1 (−1) ま(−2)
を満たすが，lに対応する
Hilbert
スキームの点が非特異であることとl が (a) のタイプで(1)⊕
O
たは (b) Nl/Y ∼
O
= P1
P1
あることは同値である．
3つまり π は NE(V ) の単射線の収縮として得られ，π の一般閉ファイバーは非特異 del Pezzo 曲面である．

岸本

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崇 (埼玉大学・理学部)(ii) 一般閉ファイバーが既約な曲線であるような射 g : Z −→ W が存在して:π|U = g ◦ prZと分解される．
一方，V の開集合 U ⊆ V が π に関して垂直な A2 -シリンダーであるとは次の２つの条件 (i)’, (ii)’ を満たしているときに言う:(i)’ U は A2 -シリンダー U ∼= Z × A2 である，
(ii)’ Z は W の開集合であり，π|U = prZ が成り立つ．
この定義 1.10 の用語に従えば，Hirzebruch 曲面 π : Σm → P1 の場合，π に関して垂直な A1 -シリン
ダーは存在して，それは π の適当なセクション Γ と適当なファイバー l1 , · · · , lr の補集合として得られる．このような考察を一般次元の del Pezzo ファイブレーションに置き換えるとどうなるのか？という問題が今回のメインテーマである．つまり次の問題である:問題 1.11. π : V → W を (任意次元の)del Pezzo ファイブレーションとする．このとき，どのような状況下で V は π に関して垂直な An -シリンダー (n = 1, 2) を含むのか？

2. 主結果2.1. 問題 1.11 に関する結果を述べる．
定理 2.1. (cf. [DK2 ]) π : V → W を del Pezzo ファイブレーションとし，d ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9} を
π の次数とする4．η ∈ W を生成点，K = C(η) を W の有理関数体，そして π の生成ファイバーをVη = π ∗ (η) ⊆ V とおく．このとき:(1) d ≦ 4 =⇒ V は π に垂直な An -シリンダーを含まない．
(2) d = 5, 6 =⇒ V は π に垂直な A2 -シリンダーを含まない．
(3) d = 5, 6 であり，Vη が K-有理点を持っている =⇒ V は π に垂直な A1 -シリンダーを含む．
(4) d = 8, 9 であり，Vη が K-有理点を持っている =⇒ V は π に垂直な A2 -シリンダーを含む．
注意 2.2. 定理 2.1, (3), (4) に於いては Vη が K-有理点を持っているという条件を課している．しかし
V が３次元の del Pezzo ファイブレーションである場合，つまり W が曲線である場合には，Tsen の定理により K は C1 -体であるので，Vη は自動的に K-有理点をもつ．従って，定理 2.1 の主張は必要十分条件になる．結果的にこの場合には，del Pezzo ファイブレーション π : V → W が π に垂直なシリンダーを含むかどうかは，もっぱら π の次数で分かるということになる (cf. 定理 2.3).
注意 2.2 で言及したように，V が３次元の場合には定理 2.1 は次のように結果を改善することができる:
定理 2.3. (cf. [DK2 ]) π : V → W を３次元の del Pezzo ファイブレーションとし，d ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}を π の次数とする．このとき:(1) d ≦ 4 ⇐⇒ V は π に垂直な An -シリンダーを含まない．
(2) d = 5, 6 ⇐⇒ V は π に垂直な A2 -シリンダーを含まないが，一方，V は π に垂直な A1 -シリンダーを含む．
(3) d = 8, 9 ⇐⇒ V は π に垂直な A2 -シリンダーを含む．
2.2. 定理 2.1, 2.3 は π : V → W に関して垂直なシリンダーに関する結果であり，特に π の次数が４以下の場合にはそのようなシリンダーは含まないことが分かるが，一方，π に関して垂直ではないようなシリンダーについては次数が４以下であっても存在する可能性はある．しかしたとえ V が３次元の場合であっても π に関して垂直でないようなシリンダーを分類することは非常に難しいと思われる．それはHirzebruch 曲面へのアフィン平面 A2 の埋め込みを分類することが既に難しいことよりも想像はできる．
4π の一般閉ファイバーの del Pezzo 曲面の次数 d のことを π の次数ということにする．または，π の生成ファイバー V をη
考えると Vη は K := C(W ) = C(η) 上に定義された del Pezzo 曲面になるが，その次数 (−KV2η ) が d であると言っても同じことである．今の場合，π は単射線の収縮として得られているので，生成ファイバーの K 上のピカール数は ϱK (Vη ) = 1 であることに注意する．特に Vη は K 上に極小であるので，d ̸= 7 である (cf. [Ma])．

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分類自体は困難であるが，次の結果は次数が４以下の３次元の del Pezzo ファイブレーションの場合であっても，垂直でないシリンダー (というか A3 ) を含むような例を構成できることを主張している．
定理 2.4. (cf. [DK1 ]) 各 d ∈ {1, 2, 3, 4} に対して，次数 d の３次元 del Pezzo ファイブレーション
π : V → P1 で３次元アフィン空間 A3 を (π に関して垂直でないように) 含むものが存在する．
例 2.5. 後に定理 2.9，命題 2.10 に於いてより一般的な結果を述べるが，例えば次数 d = 1 の del Pezzo
ファイブレーション π : V → P1 で A3 を含む例は次のようにして構成される．

S := { xy 5 + z 3 + u2 = 0 } ⊆ P := P(1, 1, 2, 3) = Proj (C[x, y, z, u])なる次数１の正規 del Pezzo 曲面を考えて，L を S と 6H で生成される P 上の線形束とする．ここでH は x = 0 で定義される超平面である．このとき L の基底点集合 Bs L は:

C := Bs L = { x = z 3 + u2 = 0 }で定義される特異有理曲線である．S は [1 : 0 : 0 : 0] に於いて E8 -型の特異点をもっているが，これは C上にはない．また，L の一般メンバーは次数１の非特異 del Pezzo 曲面であることは容易に確かめられる．さて，Bs L は C 及びその無限小近傍曲線を中心とする６回のブローアップで解消される．それを:e −→ P1
σ: P
f:= σ −1 L によって定義される射:としておき，解消された線形束 L∗
e −→ P1
ρe : Pに相対的に極小モデルプログラムを実行する．その１つを:

e 99K Pe′
φ: P
e は P\H ∼としておく．σ は C およびその無限小近傍曲線に於けるブローアップの合成であるので，P= A3を含んでいる．自明ではないが，この構成で鍵となる次の事実を証明することができる．
e 99K Pe′ を選択しても，３次元アフィン
補題 2.6. ρe に相対的などのような極小モデルプログラム φ : P
3 ∼ e
−1
e
空間 A = P\σ (H) ⊆ P は φ を経由して保たれる．つまり，φ の過程で起こる全ての因子収縮射とフリップは A3 の外側で起こる．
e′ は ρe により誘導される射:更に，ρe に相対的な極小モデルプログラムの最終地点 P
e′ −→ P1 ,ρe′ : Pρe′ ◦ φ = ρeを備えているが，次の事実も証明することができる:

e′ → P1 は次数１の del Pezzo ファイブレーションである．
補題 2.7. ρe′ : P[補題 2.7 の証明の概略] 補題 2.6 の証明の際にも必要となる情報であるが，σ の最後のブローアップのfのメン
例外因子は ρe のファイバーには含まれないが，それ以外の σ-例外因子は全て 6H に対応する L
fの
e の特異点は全てそのメンバー内に含まれている．S ∈ L に対応する L
バーに含まれる．そして，P
メンバーを Se としておく．S は C に沿って Cartier であるので，Se ∼= S である．特に，Se のピカール
e は ϱ(S) に等しくそれは１である．更に，非自明であるが，φ を経由して Se は影響を受けない．
数 ϱ(S)
e のピカール数も１である．いま仮に ρe′ が del Pezzo ファイブレーションで
従って固有変換 Se′ := φ∗ (S)ないとすると，ρe′ は:
g
h
e′ −→
ρe′ = h ◦ g : P
Y ′ −→ P1
e′ → Y ′ は森コニックバンドルである．すると Q := ρe′ (Se′ ) ∈ P1 として，と分解される．ここで，g : P()
Se′ = g ∗ h∗ (Q)が成り立つが，ϱ(Se′ ) = 1 であるのでこれは矛盾である．□
補題 2.6, 2.7 によって，３次元アフィン空間 A3 を含む次数１の del Pezzo ファイブレーション ρe′ :′e
P → P1 を得ることができた．また，このシリンダーが ρe′ に関して垂直でないことは定理 2.3 により分
かる．

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崇 (埼玉大学・理学部)

2.3. 例 2.5 では３次元アフィン空間 A3 を含む次数１の del Pezzo ファイブレーションの例を挙げたが，
実はもっと一般的に A3 を含む次数４以下の del Pezzo ファイブレーションを系統的に構成することができる．結果を述べるために少しだけ記号と事実を準備しておく．
記号 2.8. S を次数 d = (−KS 2 ) が３以下の非特異 del Pezzo 曲面とする．よく知られているように，
d = 1 のときには S は P(1, 1, 2, 3) の中の次数６の超曲面，d = 2 のときには P(1, 1, 1, 2) の中の次数４の超曲面，d = 3 のときには P3 の中の次数３の超曲面として実現される．記号の簡略化のために P という記号を:

P := P(1, 1, 2, 3) (d = 1),

P(1, 1, 1, 2) (d = 2),

P3(d = 3)の意味で用いる．また e を S の P の中での次数として:

e := 6(d = 1),4 (d = 2),3(d = 3)とする．H ∈ |OP (1)| を超平面とし，L を S と eH で生成される P 上の線形束とする．このとき次の３つの性質を満たす L の基底点集合 Bs L = H ∩ S の解消:

e −→ P
σ: P
f:= σ −1 L で定義される射:e 上の線形束 Lと解消された P∗
e −→ P1
ρe : Pが存在することが知られている:

fのメンバーe は高々Q-分解的端末特異点を持つ. 更に，Pe の特異点の集合は eH に対応する L(a) P∗ρe (∞) に含まれる．
(b) σ は Bs L の各既約成分及びその無限小近傍曲線に於ける有限回のブローアップと必要に応じて Q-分解化の合成として得られる．
fの ρe∗ (∞) 以外のメンバーに σ を制限したものは，その像との間の同型を与えている．
(c) Le からスタートする極小モデルプログラムを ρe : P
e → P1 に相対的に実行して，その１つを:このとき，P(∗)

e 99K Pe′φ: Pe′ は ρe より誘導される射:とする．(∗) は ρe に相対的であるので，帰結である P
e′ −→ P1 ,ρe′ : Pρe = ρe′ ◦ φを備えている．
定理 2.9. (cf. [DK1 ]) 記号・設定は上の通りとする．このとき次の事柄が成り立つ:

e 99K Pe′ を経由しても，３次元アフィン空間(1) ρe に相対的などのような極小モデルプログラム φ : P
−1
3
′
3
e
e は A を含む．
P\σ
(H) ∼
= P\H ∼= A は保たれる．従って，Pe′ → P1 は次数が d の del Pezzo ファイブレーション(2) もし H ∩ S が既約であるときには5，ρe′ : Pである．
e′ → P1 は次数が d + 1 = 3 の del Pezzo ファイブ(3) もし d = 2 で H ∩ S が可約であれば，ρe′ : P
レーションである．
e′ はコニックバンドルの構造を備えて(4) もし H ∩ S が３つの既約成分から構成されていれば6，Pいる．
5d = 1 のときには，どのような H ∈ |O (1)| であっても，H ∩ S は既約である．
P

6このような状況は d = 3 のときに限られる．

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2.4. 上の定理 2.9 によって，各 d ∈ {1, 2, 3} に対して次数が d の del Pezzo ファイブレーション:
e′ −→ P1
ρe′ : Pで ρe′ に関して垂直でない３次元アフィン空間 A3 を含むものを構成することができる．定理 2.4 を保証するには，残る d = 4 の例を構成する必要がある．これは次の結果を用いて具体的に構成することができる:
命題 2.10. (cf. [DK1 ]) 記号・設定は記号 2.8 の d = 3 の場合とする．もし P 上の線形束 L の基底点集
e 99K Pe′ の最終地点
合 Bs L が直線とコニックの和であるとすると，相対的極小モデルプログラム φ : P′ e′1
ρe : P → P は次数が４の del Pezzo ファイブレーションになっている．
定理 2.9, (1) と命題 2.10 を併せることにより，A3 を含む次数４の del Pezzo ファイブレーションも構成できることになる．

3. 定理 2.1 の証明の概略
3.1. ここでは定理 2.1 の証明の概略を述べる．ここで定理 2.1 の設定を振り返っておく:
π : V −→ W
を del Pezzo ファイブレーションとする．η ∈ W を生成点，K := C(η) = C(W ) を W の有理関数体，そして Vη := π ∗ (η) ⊆ V を π の生成ファイバーとする．また:d = (−KV2η ) ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}を π の次数とする．定理 2.1 を証明するにあたって，生成ファイバー Vη に関する次の結果が重要になる．
命題 3.1.
(1) V が π に垂直な A1 -シリンダーを含む為の必要十分条件は，Vη が A1K -シリンダーを含むことである．

(2) V が π に垂直な A2 -シリンダーを含む為の必要十分条件は，Vη がアフィン平面 A2K を含むことである．
命題 3.1 により，定理 2.1 は体 K 上 Picard 数が１の del Pezzo 曲面 Vη の幾何学に帰着される．以下
del Pezzo ファイブレーションの次数 d に応じて個別に議論する．

3.2. d ≦ 3 のケース. このケースは定理 1.5 と命題 3.1 を用いれば簡単に証明できる．実際に，もし Vが π に垂直な A1 -シリンダーを含んだとすると，命題 3.1 によって π の生成ファイバー Vη は A1K -シリンダー:Vη ⊇ Uη ∼= Zη × A1Kを含む．ここで，Zη は K 上に定義されたアフィン代数曲線である．補集合:∆η := Vη \Uη
は K 上に定義された因子である．一方，ϱK (Vη ) = 1 であるので，

PicK (Vη ) ∼= Z[−KVη ]となっている．とくに:∆η ∼ m(−KVη ) (m ≧ 1)と表される．しかしこのとき K の代数閉包 K に係数拡大した Vη ⊗ K は (−KVη ⊗K )-偏極シリンダーUη ⊗ K を含むので定理 1.5 に矛盾である．

3.3. d = 4 のケース. 実は定理 2.1 の主張の中で最も面倒な部分は，d = 4 のケースに V が π : V → Wに垂直な A1 -シリンダーを含まないことを示すところである．3.2 での d ≦ 3 の場合には本質部分は次数が３以下の非特異 del Pezzo 曲面は反標準偏極シリンダーを含まないという定理 1.5 である．一方，標数ゼロの代数閉体上に定義された次数４の非特異 del Pezzo 曲面は反標準偏極シリンダーを含む (cf.
[KPZ1 ])．従って，d = 4 の場合に π に垂直な A1 -シリンダーが存在しないことを証明するには，3.2 とは異なった議論をしなくてはならない．詳細はここでは述べないが，アイデアとしては代数閉体ではな
い K = C(η) 上の Sarkisov プログラムを用いる (cf. [DK2 ])．

岸本

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崇 (埼玉大学・理学部)

3.4. d ≧ 5 のケース. ここでは del Pezzo ファイブレーション π : V → W の次数は d ≧ 5 とし，生成ファイバー Vη は K-有理点をもっているとする．d = 5, 6 のときには，Vη に含まれる (A1∗ )K × A1K を具体的に構成し，一方で A2K は含まないことを別の議論で示す．d = 8, 9 のときには，Vη に含まれる A2K を具体的に構成する．そして命題 3.1 によって定理 2.1 の (2), (3), (4) の証明は完了する．以下では d = 5の場合に限定をして，どのようにして生成ファイバー Vη に含まれる A1K -シリンダー (A1∗ )K × A1K を構成するのかについてと，どのようにして Vη は A2K を含まないことを示すのかについて概略を説明する．
3.5. 次数５の del Pezzo 曲面 Vη に含まれる A1K -シリンダーの構成.
3.5.1. d = 5 の場合を考える．このとき生成ファイバー Vη は K 上に定義された次数が５の非特異 delPezzo 曲面であり，その Picard 数は ϱK (Vη ) = 1 である．また仮定により Vη は K-有理点を少なくとも１つはもつので，その１つを x0 ∈ Vη としておく．
3.5.2. K の代数閉包 K に係数拡大した Vη ⊗ K を考えると，よく知られているように Vη ⊗ K は P2K の一般の位置にある４点のブローアップとして得られる．それを:µ : Vη ⊗ K −→ P2Kとして，ブローアップされる点を x1 , x2 , x3 , x4 ∈ P2K とする．E を Vη ⊗ K 上の全ての (−1)-曲線の和集合としておく．E は µ の例外因子 Ei := µ−1 (xi ) と点 xj , xk を通過する直線の固有変換の合計１０本の (−1)-曲線の和集合である (1 ≦ i ≦ 4, 1 ≦ j < k ≦ 4)．このとき，ϱK (Vη ) = 1，とくに Vη は K 上では極小であることに注意をすると x0 ̸∈ E であることが分かる．

3.5.3. 次に:
g : Vη′ −→ Vη
を x0 を中心とするブローアップとし，E0 をその例外因子とする．x0 は K-有理点であるので，Vη′ はK 上定義されている．E ′ を Vη′ ⊗ K 上の全ての (−1)-曲線の和集合とすると，E ′ は E の固有変換−12(g ⊗ K)∗ E ，E0 ⊗ K ，点 µ(x0 ) と xi を通過する PKの直線の固有変換 Li (1 ≦ i ≦ 4)，そして P2Kの５点 µ(x0 ), x1 , · · · , x4 を通過するコニックの固有変換 C の和集合である．これらのうち E0 ⊗ K は
Gal(K/K) の作用に関して不変である．また L1 , L2 , L3 , L4 , C は E ′ の成分の中で E0 ⊗ K と交差する
ものの全てである．従って，それらの和:(∗) C +

4
∑

Li

i=1

は Gal(K/K) の作用で不変であり，特に K 上で定義されている．更にこれら５本の (−1)-曲線は互いに交わらないので，(∗) は K 上で収縮することができる．この収縮射を:

h : Vη′ −→ Vη′′とする．K 上の Picard 数を計算することにより，Vη′′ ⊗ K ∼= P2K であることが分かるので Vη′′ は K 上の1
Severi-Brauer 曲面である．しかし E0 ∼= PK であり，h は K 上で定義されているので，Vη′′ は E0′′ := h(E0 )上に K-有理点をもつので，実際には Vη′′ ∼= P2K となっている (cf. [Ro])．また，E0′′ はコニックである．

3.5.4. E0′′ 上の K-有理点を１つとりそれを Q ∈ E0′′ とする．そして lQ を E0′′ の点 Q に於ける接線とす
る．E0′′ も Q も K 上で定義されているので，lQ もそうである．そこで Vη′′ 上の線形束:⟨⟩
LQ := E0′′ , 2lQ ⊆ OP2K (2)を考える．LQ が定義する有理写像:

ΦLQ : Vη′′ 99K P1K

を K 上に定義されたアフィン曲面 X := Vη′′ \(E0′′ ∪ lQ ) に制限した射:

φQ : X −→ (A1∗ )Kを考える．構成方法から，φQ を K に係数拡大した:φQ ⊗ K : X ⊗ K −→ (A1∗ )KCYLINDERS IN DEL PEZZO FIBRATIONS

9

1は自明な AK-バンドルになっている．一方，[KM] により A1K の非自明な K-form は存在しないので，φQは自明な A1K -バンドルになっている．特に:X∼= (A1∗ )K × A1Kとなっている．

3.5.5. ここで g, h の構成方法に注意すると，Vη も X と同型な開集合を含むことが分かる．従って，Vη
は A1K -シリンダーを含むことが示された．
3.6. 次数５の del Pezzo 曲面 Vη がアフィン平面 A2K を含まないことの証明.
3.6.1. 仮に次数５の del Pezzo 曲面 Vη が K 上定義されたアフィン平面 A2K ∼= Uη ⊆ Vη を含んだとする．ϱK (Vη ) = 1 であり，Pic (A2K ) = 0 であるので:
Pic (Vη ) ∼= Z[ ∆η ]となっている．ここで，∆η := Vη \Uη とする.

3.6.2. さて，K の代数閉包 K に係数拡大をする．このとき ϱ(Vη ⊗ K) = 5 であり Pic (A2K ) = 0 であるので，∆η ⊗ K は５個の既約因子から成っており，それらは Pic (Vη ⊗ K) を自由に生成する．
∆η ⊗ K =5∑

ai ∆ i(ai ∈ N)i=1と表しておく．

5 = (−KV2η ⊗K ) =5∑ai (−KVη ⊗K · ∆i )i=1に注意すると，各 i について ai = 1 であり ∆i は (−1)-曲線であることが分かる．ところで Galois 群
Gal(K/K) はこれら５つの (−1)-曲線の集合:{ ∆1 , · · · , ∆5 }に作用する．仮にこの作用が推移的でないとすると，1 ≦ ∃ a < 5 が存在し適当に順番を付け換えることにより:Gal(K/K).∆1 = { ∆1 , · · · , ∆a }となっている．このとき:∆1 + · · · + ∆a(< ∆η ⊗ K )は K 上で定義されている．しかしこれは ∆η が Pic (Vη ) を生成しているということに矛盾である．従って Gal (K/K) の作用は推移的である．

3.6.3.
Gal (K/K) ↷ { ∆1 , · · · , ∆5 }が推移的であるので，∆1 + · · · + ∆5 の図は対称性を持っている．一方で，補集合が:2(Vη ⊗ K)\(∆1 ∪ · · · ∪ ∆5 ) ∼= AKであるので，∆1 + · · · + ∆5 は単連結である．従って，∆1 , · · · , ∆5 は全て共通の１点でのみ交差している．

c := mini̸=j { (∆i · ∆j ) } ∈ Nとする．このとき:
2

5 = (∆1 + · · · + ∆5 ) = −5 +∑i̸=jを満たすので，c ≦ 1/2 となるがこれは矛盾である．

(∆i · ∆j ) ≧ −5 + 20c

10

岸本

崇 (埼玉大学・理学部)

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