〈財務省財務総合政策研究所「フィナンシャル・レビュー」令和３年第３号（通巻第 146 号）2021 年６月〉

不完備市場および世代重複構造のある経済における最適債務＊1
猪野 明生＊2
小林 慶一郎＊3

要約

Aiyagari and McGrattan（1998）は，不完備市場において，政府債務が家計の貯蓄手段となることで消費の平準化を手助けし，社会厚生を改善する可能性があることを指摘した。AM は 一 定 量 の 政 府 債 務 を 発行することが最適であるとした。同様の分析が，Nakajima and Takahashi（2017）により日本について行われている。AM のモデルでは無限期間生きる個人が仮定されていたが，Peterman and Sager（2018）により有限期間
生きる個人を仮定した場合には貯蓄需要が無限期間生きる個人の場合より減少し，最適な政府債務はマイナスの値になるとの指摘がなされている。また，AM の議論では定常状態間の比較のみを行っており，債務量が変化する移行期間のコストが見落とされている。本
論文ではこれらの点について既存文献のレビューを行う。
キーワード：政府債務，不完備市場，世代重複構造，移行経路
JEL Classification：H6, E21, E6

Ⅰ．はじめに
本稿では政府の発行する債券である国債の最有限期間生きる個人のモデルと（2）移行経路

適な量について，個々人が保険市場の存在しなの分析の二点に重きを置いて解説を行う。

いショックに晒されており，その結果として過Aiyagari and McGrattan（1998）（以 下

剰貯蓄が生じる不完備市場モデルを使った分析AM）では個々人が保険市場によってカバーでについてレビューを行う。本誌で同じようなレ

きないようなショックに直面している場合，自ビューを行ったものとして髙橋（2021）がある

己保険のために生じる過剰貯蓄の存在により，が，そこでは主に無限期間生きる個人の登場す

政府債務がその貯蓄手段を提供することで社会る不完備市場モデルにおける定常状態の均衡分的厚生を改善できる可能性を指摘した。その後，

析について解説を行っている。本稿では（1）Floden（2001）により政務債務のみならず所＊１ フィナンシャル・レビュー「国の債務と債務管理に関する分析」の研究会において，阿曽沼多聞，小枝淳子，吉野直行の諸先生方には，有意義なコメントをいただいた。ここに謝意を示す。
＊２ 横浜国立大学大学院国際社会科学研究院専任講師＊３ 東京財団政策研究所研究主幹-5-

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不完備市場および世代重複構造のある経済における最適債務

得移転も政策として追加した場合の分析が行わ

けでは短期的な財政再建のコストを見逃してしれ て い る。 ま た Nakajima and Takahashi

まう。Röhrs and Winter（2017）では不完備（2017）では AM の分析を日本に応用し，米市場モデルにおける移行経路の分析を行うこと

国の場合と異なり個々人の直面しているリスク

でこの点についての問題を解決している。また，が小さい日本においては政府が債務を保有する

Ino and Kobayashi（2020）では政府債務削減

ことを最適な政策として位置付けることができのために消費増税を早期に行うか，それとも先ない可能性を指摘している。

送りするかについて移行経路を考慮に含めた分Peterman and Sager（2018）では世代重複析を行っている。

構造を不完備市場モデルに導入することで，政既存研究の位置づけを理解するために，「無府が負債ではなく貯蓄を行うことが最適な政策

限期間生きる個人のモデル／有限期間生きる個であるという AM の結論とは異なる結果を得

人のモデル」および「定常状態のみの分析／移ている。

行経路も考慮に入れた分析」という 2 つの軸でここまで挙げた文献は全て異なる政府負債の4 つの象限に分類すると，表 1 及び表 2 のよう水準の元での定常均衡の比較を行っている。しにあらわすことができる。

かしながら，例えば対 GDP 比で 200％を超え

本稿では，まず 2 章で基本的なモデルである

る政府負債比率から 60％へと低下させる場合，

AM について解説を行った後，3 章では世代重定常均衡だけで比較すれば前者のほうが政府負複構造を導入した Peterman and Sager（2018）

債の利払いに必要なため税率が高くなるが，前を紹介する。4・5 章では移行経路を取り扱っ者から後者へと移行することを考えた場合，政た分析として Röhrs and Winter（2017）と Ino

府債務削減のために短期的には税率を高くする

and Kobayashi（2020）についてレビューを行必要がある。そのため，政府債務と税率が両方

い，6 章では結論を述べる。

高い定常均衡と両方低い定常均衡を比較するだ

Ⅱ．不完備市場モデルにおける政府負債：無限期間生きる個人での定常状態の比較AM は，個々人の労働生産性に対するショッ

存在しない不完備市場モデルにおいて，政府債クが発生するが，そのショックに対する保険が務の存在が予備的動機により生じた過剰貯蓄を

表１
米国

米国を対象とした不完備市場モデルによる政府債務の分析
無限期間生きる個人

定常状態
移行経路

有限期間生きる個人

Aiyagari and McGrattan（1998）,Floden（2001） Peterman and Sager（2018）
Röhrs and Winter（2017）

表２ 日本を対象とした不完備市場モデルによる政府債務の分析
日本国

無限期間生きる個人

有限期間生きる個人

定常状態
移行経路

Nakajima and Takahashi（2017）
Ino and Kobayashi（2020）-6-

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吸収する役割を果たすことで社会的厚生を改善しないために市場が不完備となっていることでする可能性について指摘した。以下ではこのモある。効用最大化のために消費の平準化を目指

デルの詳細について解説を行う。

す家計は，この状況に対し貯蓄を増やすことで対応することとなる。

Ⅱ－１．モデル：Aiyagari and McGrattan（1998）

政府は家計より労働賃金と金利収入について

このモデルには家計と企業，政府の三種のセの課税から収入，及び今期の政府債務発行によクターが存在する。企業は，家計から労働力り収入を得て，それを政府支出 Gt，過去の政

Lt と資本 Kt を借り入れて生産を行う。生産関

府債務の返済，及び政府から家計への所得移転

数は Yt＝F（Kt,ztLt）として定式化される。ここに利用する。したがって，政府の予算制約式はで zt は労働増大的な外生的技術進歩であり，Gt＋（1＋rt）Bt＋Trt＝Bt＋1＋τyrtKt＋τywtLt

現実のデータにおける経済成長を表すため，gと表される。トレンドの除去と定常均衡の定義tのように一定を技術進歩率として zt＝z（1＋g）

は補論で記述する。

の率で成長することを想定する。

Aiyagari and McGrattan（1998）では，表 3

家計は毎期 1 単位の時間を保有し，その中でのようにパラメータを設定している。

lt を余暇に振り分け，残りの 1－lt を労働に振AM では，様々な対 GDP 政府債務比率の値

り分け賃金所得を得る。ただし，家計は労働生においての定常均衡を比較している。図 1 はそ

産性ショック et に直面しており，賃金率を wtのシミュレーション結果を示している。

とすると受け取る賃金収入は wte（1－ltt）とな

政府負債が 0 の場合，過剰貯蓄により金利がる。更に，保有した資産を企業もしくは政府に引き下げられ，そのような状況でも個々人は予貸し出すことで金利 rt を受け取り，政府から備的貯蓄のための貯蓄をやめないため経済全体の所得移転より収入 Trt を得て，それらを消費では過剰な資本が存在している状況となる。そct と貯蓄 at＋1 に振り分ける。従って，家計の予の結果，政府負債が増えることにより貯蓄の借算制約式は以下の通りとなる。

り受け手が増加し，結果として過剰な貯蓄を解（1－τy）
wte（1－l＋（1＋r（1－τy））
at
ct＋at＋1≤tt）t

消することで社会的厚生が改善する可能性があ＋Trtる。彼らのモデルをアメリカ経済のデータと適

ただし，ここでτy は収入に対する課税率である。

応するようパラメータを設定した結果，図 1 が示す通り社会的厚生を最大化する対 GDP 政府

家計は（ct, lt）を選択した際に効用

負債比率は 66％程度であり，当時の米国の水μ 1－μ 1－νt t

準とさほど変わらないレベルである，という結（c l ）u（ct ,lt ）＝1－ν
を得る。0 期の初期条件（a0, e0）を所与として，論を導いている。

∞
家計は｛ct ,lt ,at＋1 ｝
t＝0 を次の最適化問題を解くよ

うに選択する。

∑

μ 1－μ 1－ν

（ct lt ）βt｛ c ,l ,a ｝ t＝0
1－ν

（１）

τy））at＋Trt
＋（1＋r（1－
t

（２）

 max
t

t

s.t.

∞

∞
t＋1 t＝0

ct＋at＋1≤（1－τy）wte（1－ltt）

ct≥0, at＋1≥0,∀t.
こ の モ デ ル の 大 き な 特 徴 は， 労 働 生 産 性ショックである et についての保険市場が存在-7-

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不完備市場および世代重複構造のある経済における最適債務

表３

AM の不完備市場モデルのパラメータ設定

パラメータの記述

パラメータ

値

ターゲット

年齢の最大値
成長率
対 GDP 比政府支出
対 GDP 比政府移転
対 GDP 比政府負債
割引率
借り入れ制約
資本分配率
資本減耗率
相対的リスク回避度の係数
労働の不効用のパラメータ
労働生産性ショックの自己相関
労働生産性ショックの分散

J
g
γ
χ
b
β
a
θ
δ
μ
η
ρ
σ

81
1.85％
21.7％
8.2％
2/3
0.991
0.0
0.3
0.075
1.5
0.328
0.6
0.3

仮定
米国の戦後平均値
米国の戦後平均値
米国の戦後平均値
仮定
金利
仮定
NIPA
投資 / 総生産＝0.255
他の文献より
労働の弾力性
他の文献より他の文献より

図１

AM における定常状態の比較-8-

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Ⅲ．不完備市場モデルにおける政府負債：有限期間生きる個人での定常状態の比較Peterman and Sager（2018）（以下 PS）では

固定効果，
（ⅱ）
｛θj｝Jj＝1 は非確率的な年齢レベ

AM の正の対 GDP 比政府負債比率が社会的厚ルの固定効果，（ⅲ）νj は AR（1）に従う個人レ

生を最大化するという結論に対し，個々人が有ベルの持続的なショックνj＋1＝ρνj＋ηj＋1,ηj＋1 ～限期間しか生存しない世代重複構造を導入した（ⅳ）,
ϵj～N（0,σϵ2）は個人レベルの一時N（0,σν2）

不完備市場モデルを用いて，社会的厚生を最大的なショックである。表記を簡便化するため，化する対 GDP 比政府負債比率は負，つまり政これらのショックをまとめてεj＝（κ,θj,νj,ϵj）

府が純資産を持つべきであると結論づけている。

（ε| j）と表す。
と表し，その遷移確率をπjj＋1εⅢ－１．Peterman and Sager：家計

Ⅲ－２．Peterman and Sager：社会保障

AM のモデルと最も異なる点は家計の生存

PS では世代構造を現実に近づけるため，社期間が有限であるということである。この経済会保障を導入している。労働生産性が e でかつに は J 世 代 が 存 在 し，j＝1 は 21 歳，j＝J＝80h 時間を労働に振り分けた消費者の労働賃金がは 100 歳に相当する。j 歳の人間が j＋1 歳まで

weh で与えられるとき，税率τss をかけたもの

生存する確率をψj で表し，ψJ＝0 とする。毎もしくは期間ごとの上限額 m¯ を社会保障費用

期 j＝1 歳に新しく世代が誕生し，その世代のとして支払うこととなる。PS では社会保障費

人数は gn＞0 の率で増加するものとする。

のうち半額を消費者が支払い残りを企業が支払

j＝0 世代の選好は次のように表される。

うと仮定しているため，消費者が支払う社会保J∑β ψ［u（c ）－v（h ）］

𝔼𝔼1

j－1

j

j

障関連費用は（τss/2）min｛weh, m¯｝となる。

j

消費者への定年後の年金給付額は過去の平均

j＝1

個々人の労働生産性 ej は次のように遷移する。
log（ej）＝κ＋θj＋νj＋εj

給与によって決定される。過去の平均給与は，
m1＝0 として，

2κ

ただし，（ⅰ）κ～N（0,σ ）は個人レベルの⎧1｜ （ min｛ weh,m ｝＋（ j－1）mj ）｜ j｜1
mj＋1 ＝⎨ max mh , （ min｛ weh,m ｝＋（ j－1）mj ）
j
｜
｜
｜ mj
⎩

｛

｝

for j ≤ 35,
for j∈（35,Jret）,

for j ≥ Jret（21）と決定される。年金給付額は平均給与の一定割しない。この関係を書き下すと，合を支払う形で決定されるが，その割合は所得に応じて変化していく。平均給与が bss1 までは
τ r1 の割合が支給され，bss1 を超えた額については bss2 まではτr2 の割合が，bss2 を超えた額については bss3 まではτr3 の割合が支給され，それ以降は平均給与が増えても年金支給額は増加-9-

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不完備市場および世代重複構造のある経済における最適債務⎧｜τr1（mjret）
ss｜τr1bss1 ＋τr2
（mjret－b1 ）ss（mjret）＝⎨
bbasess
ss
ssss｜τr1b1 ＋τr2b2 ＋τr3（mjret－b1 －b2 ）｜τ bss＋τ bss＋τ bss
r2 2
r3 3
⎩ r1 1と表される。

ss

for mjret∈［0,b1 ）,
ss
1

ss

ss

ss

for mjret∈［b ,b2 ）,for mjret∈［b2 ,b3 ）,

（22）

ss

for mjret ≥ b3 ,は以下のように定義される。

これらの社会保障の構造の下で，被課税所得
τss
⎧
min
｛ we（ε）h,m｝ if j<Jret｜ we（ε）h＋r（a＋Tr）－
2
y（h,a,ε）＝⎨｜（
if j ≥ Jretr a＋Tr）⎩（23）

被課税所得が y で与えられたとき，所得税はし，年齢 j の家計の割合を µj とする。定常均Gouveia and Strauss（1994）に従い次のよう衡の定義は補論に記載する。パラメータは表 4な関数型を取ると仮定する。

の通り設定している。
1

Y（ y）＝τ（（ y－τ＋τ2）
0 y－
）τ 
－

1

1

（24）

Ⅲ－４．数値計算
これらのパラメータ設定の元で，PS では無Ⅲ－３．Peterman and Sager：家計の最適化

限 期 間 生 き る 個 人 の ケ ー ス と は 異 な り， 対問題

GDP 比政府債務比率が－61％，つまり政府は家計の状態変数は資産保有 a，労働生産性ε，ネットで負債を保有すべきでなく貯蓄をすべき

社会保険料と年齢である。定年前の年齢 j の家との結論が得られている。

計の最適化問題は

AM のモデルでは個々人が無限期間を生きるため，貯蓄を積み上げれば長い期間ショックV（a,ε,m）＝max［u（c）－v（h）］
jc,a',h∑＋βψjπ（| ）Vj＋1（a',ε',m' ）
j ε'ε

ε'

c＋a' ≤ we（ε）h＋（1＋r）（a＋Tr）
τssmin｛ we（ε）h,m ｝－Y（ y（ h,a,ε）－）
2

に対し消費平準化を維持することができる。そのため，政府負債を増加することで金利を引き上げ個々人に貯蓄を促すことは社会的厚生に正の効果が認められた。一方で，PS のモデルでは個々人は有限期間しか生存せず，その生存期



（25）

間の大半は貯蓄を積み上げる若年期間・貯蓄を

s.t.

（26）

取り崩す老年期間であるため，政府負債を積み

a′
≥a

（27）

上げ金利を上昇させることで得られるメリットと表される。また，定年後については，が大きくない。むしろ，政府が貯蓄を行うこと
で金利を低下させ，民間貯蓄を低下させること

V（a,ε,m）＝max［u（c）－v（0）］
j


c,a'

で消費をより平準化させることにより，社会的

∑

＋βψj

π（
| ）Vj＋1（a',ε',m' ）
j ε'ε

ε'



厚生を改善することができることをこの結果は示唆している。

（28）

s.t. c＋a′≤（1＋r）（a＋Tr）＋b（m）
ss－Y（r（a＋Tr））

（29）

a′
≥a

（30）

と表される。
（a,ε,m）上の家計の確率密度をλ（a,ε,m）と- 10 -

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〈財務省財務総合政策研究所「フィナンシャル・レビュー」令和３年第３号（通巻第 146 号）2021 年６月〉

表４

PS の世代重複構造のある不完備市場モデルのパラメータ設定

パラメータの記述

パラメータ

値

ターゲット

年齢の最大値
人口成長
相対的リスク回避度の係数
フリシュ弾力性
労働不効用の係数
割引率
借り入れ制約
資本分配率
資本減耗率
成長率
持続的なショックの自己相関
持続的なショックの分散
永続的なショックの分散
一次的なショックの分散
政府支出
政府負債
所得税の係数
所得税の累進度
所得税の累進度
社会保障費

J
gn
σ
γ
χ1
β
a
α
δ
gy
ρ
σ2v
σ2k
σε2
G/Y
B/Y
τ0
τ1
τ2
τxx

81
1.1％
2.0
0.5
56.2
1.012
0.0
0.36
0.0833
1.85％
0.958
0.017
0.065
0.958
0.155
0.667
0.258
0.786
4.648
0.103

仮定
Conesa, Kitao, and Krueger（2009）
Kaplan（2012）
Kaplan（2012）
平均労働時間＝ 1/3
資本 / 総生産＝ 2.7
仮定
NIPA
投資 / 総生産＝ 0.255
NIPA
Kaplan（2012）
Kaplan（2012）
Kaplan（2012）
Kaplan（2012）
NIPA 1998-2007 の平均
NIPA 1998-2007 の平均
Gouveia and Strauss（1994）
Gouveia and Strauss（1994）
政府予算の均衡
社会保障プログラム

Ⅳ．不完備市場モデルにおける政府負債：移行経路の考察
Röhrs and Winters（2017）（以下 RW）では行っている。

無限期間生きる個人の仮定の元で，不完備市場

RW においては，対 GDP 比政府負債比率がモデルにおける政府債務削減の移行経路の分析

0.66 から 0.6 に減少した場合の移行経路を計算を行っている。AM で行われていた分析は異なしている。減少の仕方については初期に大きくる対 GDP 比政府負債比率の元での定常均衡を減少しその後徐々に減少していく凸なものと初比較し，その中で最も社会的厚生を最大化する期にはあまり減少せず時間が経つにつれ減少幅

ものを最適な政府負債として定めたものであっが大きくなる凸なものを考察し，政府債務を減た。しかしながら，その分析から直ちに現状の少させるために所得に対する課税τy を変化さ

対 GDP 比政府負債比率がいくらであろうとそせている。凹なものほど厚生ロスが小さいため，

こから最適な水準に移行すべき，という結論に政府債務削減のためには家計に調整のタイミンはならない。AM の最適な政府負債比率は約グを与えるため長期のスパンを取って取り組む

66％であったが，仮に現在の政府負債比率がことが望ましいことが示唆されている。また，200％であった場合，66％の定常均衡に到達す

定常状態のみを比較した場合では終期の厚生がるまでには大きな財政再建が求められるためで高いにも関わらず移行経路を含めた分析では厚ある。RW の分析ではこの点を考慮した上で政生変化はすべて負になっており，移行経路の分

府負債を減らすことのコストについての考察を析を含めることが重要であることがわかる。

- 11 -

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不完備市場および世代重複構造のある経済における最適債務

Ⅴ．消費増税による政府債務削減のタイミング
Ino and Kobayashi（2020）では，日本にお0.075 と設定する。

いて 8％から 10％への消費増税が二度に渡り延期されたことを受け，消費増税を早期に行うか，

労働生産性のショックについては次のようなAR（１）に従うと仮定する。
2log（ϵt＋1）＝ρ log（ϵt）＋et,et～N（0,σe ）.

それとも政府債務が増大してから行うかの選択
が資産保有量の異なる個人でどのように変化す

Nakajima and Takahashi（2017）では個々るかを分析した。モデルは無限期間生きる個人

人により時を通じて一定の固定効果部分が含まのモデルであり，AM と同様であるが，移行経れていたが，本稿では移行経路について計算を路を次のように計算している。

行うため，計算の簡略化のために固定効果部分を取り除いている。パラメータ設定については

Ⅴ－１．移行経路

Nakajima and Takahashi（2017）に従いρ＝0.9

T を政策変更後に新たに定常均衡にたどり着及びσ＝0.226 と定める。このショックそのもく時刻とする。T 期以降は経済は定常状態に留のは連続変数であるが，計算を実装するに当たまるため，移行経路は T 個の関数の列としてり Tauchen（1986）の方法を用いて取りうる

ini定義できる。初期には財政政策τ に対応した値が 7 つの離散マルコフ過程により近似を行う。

定常均衡にいると仮定し，財政政策τterminal に

財政政策の固定されたパラメータとして，初対応した定常均衡へたどり着くまでの移行経路

期の定常状態についてはを計算する。移行経路の定義は補論に記載する。

G＝0.14，γ＝ ＝0.13
YYとし，終期の定常状態では

Ⅴ－１－１．数値計算
このモデルのパラメータは日本のデータと整合的になるよう設定されている。具体的な設定は次の通りである。

χ＝

γ＝

Tr

G

＝0.24
Y
と設定した。初期の定常状態については，定常

このモデルでは，モデル上の 1 期は一年に対均衡における消費税の値が 8％になるように設応する。Nakajima and Takahashi（2017）に定し，終期の定常状態については Fukawa and従い，近年の低成長と低金利に対応して割引率

Sato（2009）を参考に設定した。内性的に決定と 技 術 成 長 率 をβ＝0.991，g＝0.009 と 設定すさ れ る 消 費 税 以 外 の 税 に つ い て は，Hansen

る。効用関数and İmrohoroğlu（2016）にしたがって，τy＝┌ η 1－η 1－μ ┌（c l ） │u（c,l）＝││
1－μ │└└

0.34 と設定した。

については文献で標準的な相対的リスク回避度

Ⅴ－２．数値計算：移行経路

一定の効用関数を用い，µ＝1.5，η＝0.328 とIno and Kobayashi（2020）では 0 期に予想設定する。資産の下限については借り入れがでされない政府支出の恒久的な増加が起こり，そきない，つまり a＝0 と設定する。資本分配率れに対応した政策変化についての移行経路を分

を 0.3 とするために生産関数のパラメータにつ析している。具体的には，次のようなシミュレー

いてはα＝0.3 と定める。資本減耗率についてションを行っている。

は 資 本 生 産 量 比 率 が 4 に 近 く な る よ うδ＝

初期においては，経済は b＝0.6，つまり対- 12 -

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〈財務省財務総合政策研究所「フィナンシャル・レビュー」令和３年第３号（通巻第 146 号）2021 年６月〉

GDP 比政府負債が 60％の定常状態にあると仮達した後の消費税率については b が一定の率で定する。

b＝1 に 40 年間かけて収束するよう設定する。

0 期において政府支出 g の恒久的な増加が起この二つの政策シナリオの元での移行経路をこる。支出が増加しているため，τy を固定す

計算し，0 期において家計がどちらのシナリオ

ると，政府の予算制約式を満たすためには消費の下でより高い効用を得るかを計算することで税τc を増やすか国債発行 bt＋1 を増やす必要が個々の家計が早期増税についてどのような選好ある。

を持つかを考察する。

このような状況の下で，次のような二つの政策シナリオを考察する。

図 2 はこれらの政策シナリオの元での移行経路をプロットしている。

１．対 GDP 比政府負債比率が 150％（b＝1.5）

財政赤字を政府負債で補っている間は金利はになるまで消費税率を 8％に保ち，その後上昇し資本は減少する。これは，より負債が増

消 費 税τc を 40 年 間 か け て b＝1 に な る よえることで資産への需要が上昇するためであう設定する。

る。消費税が一旦増加し始めると政府負債は減

２．対 GDP 比政府負債比率が 200％（b＝2）

少し資本は増加する。

になるまで消費税率を 8％に保ち，その後終点での対 GDP 比政府債務比率は初期のも消 費 税τc を 40 年 間 か け て b＝1 に な る よのより大きいため，金利は長期的には減少する

う設定する。

こととなる。

最初のシナリオが早期増税に対応し，次のシ

早期増税と先送りのシナリオを比較すると，ナリオが増税先送りに相当する。どちらのシナ増税を先送りしたシナリオではより大きな消費

リオにおいても，政府債務比率が一定以上に到増税が必要となることがわかる。これは，増税

図２

移行経路：早期増税 b＝1.5（実線）増税先送り b＝2（点線）- 13 -

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不完備市場および世代重複構造のある経済における最適債務を先送りすることで政府債務残高が増加し，更税先送りによって高い効用を得ることが示されに金利も上昇することで政府債務の削減によりている。

大きな財源が必要となるためである。しかしな

これは，資産保有の多い人ほど増税先送りにがら，増税を先送りしたことで消費増税はより

より政府負債が増大し金利が上昇するほど利子先の未来に起こるため，消費増税額が大きいか収入を得られるが，資産保有の少ない人はそのらといってただちに早期増税が望ましいというメリットを享受できず，増税先送りによる消費

ことには必ずしもならない。

増税額の引き上げのデメリットに直面するため

図 3 では早期増税と増税先送りのもとでのである。また，労働生産性の高い家計は現在資

個々人の価値関数の差をプロットしている。数産保有が少なくとも貯蓄を行うことができすぐ式で示すと，この図では，それぞれの労働生産

資産保有を多くできるために増税先送りによる性 ϵ について，

金利上昇で高い効用を得るのに対し，労働生産

ϵ;early tax increase）
V（a,0ϵ;late tax increase）

－V（a,
0

性の低い家計は貯蓄を取り崩してしまうため現（49）をプロットしていることになる。この数字が正在資産保有が多くとも早期増税により高い効用を得ることとなる。

であれば対応した状態（a,ϵ）にいる家計は早図 4 ではそれぞれの労働生産性に対応した家

期増税シナリオにおいてより高い効用を得るこ

計の政策シナリオへの投票行動をプロットしてととなる。

いる。この値は式（49）で示される価値関数のこの図では，資産保有が少なく労働生産性が差が正であれば 1 を，そうでなければ 0 を取る

低い家計ほど早期増税によって高い効用を得るようになっており，早期増税に投票するかどうが，資産保有が多く労働生産性の高い家計は増かの指標として見ることができる。

図３

早期増税と増税先送りの効用水準の差分- 14 -

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〈財務省財務総合政策研究所「フィナンシャル・レビュー」令和３年第３号（通巻第 146 号）2021 年６月〉

図４

投票：早期増税に賛成なら 1，先送りに賛成なら 0

図 4 では価値関数の差通りに資産保有が少な

増税への投票率を計算することができ，Ino

く労働生産性の低い家計ほど早期増税に投票

and Kobayashi（2020）のカリブレーションのし，資産保有が高く労働生産性が高いほど増税

元では早期増税への投票率は 60.01％となった。

先送りに投票することを示している。個々の家

早期増税への投票率が高いのは，多くの家計が計の投票行動が分かればそれを家計の分布と掛資産保有の分布において下限付近に存在してい

け合わせて足し上げることで全体としての早期るためである。

Ⅵ．むすび（結語・おわりに）
本稿では過剰貯蓄が発生し政府負債が正であの結論とは異なり，最適な対 GDP 政府負債比ることが社会厚生を高める可能性のある不完備率が負になりうるという結論を得た。これは，市場モデルについて，特に世代重複構造を導入

政府債務を増やすことで金利を上昇させ個々人した場合と，政府債務を削減して新しい定常均が貯蓄を行いやすい環境を作るメリットが有限衡に移行する経路を分析した場合についてレ

期間生きる個人の場合では貯蓄を積み終えた老ビューを行った。

年世代でしか享受できず，むしろ金利を低下さ

有 限 期 間 生 き る 個 人 を 仮 定 し た Peterman
and Sager（2018）では，無限期間生きる個人

せてより消費や余暇を平準化したほうが効用が高まるためである。

を仮定した Aiyagari and Mcgrattan（1998）

Röhrs and Winters（2017）では移行経路を- 15 -

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不完備市場および世代重複構造のある経済における最適債務

分析することで，長期的な定常状態同士の比較

期に増税するかもしくは先送りするかの移行経のみではより少ない政府債務に対応する均衡が路の分析を行い，資産の少ない人ほど結果的に高い社会厚生を実現するとしても，政府債務の消費増税額が少なく済む早期増税を好み，資産大きい定常均衡から小さい定常均衡への移行にの多い人ほど金利が高まり金利収入をより多く伴う短期的コストも含めた場合，政府債務削減

得られる増税先送りを好むことを示した。

が社会厚生を高めるとは言えないことを示し

不完備市場モデルによる分析は所得と資産のた。ただし，この結果は，ある定常均衡から別不平等を考慮に入れることができ，現在の経済の定常均衡への移行については成り立つが，現環境の大きな特徴である持続的な低金利を説明

在の日本のように，債務が増大し続ける発散経

できるものである。一方で，その計算コストか路の経済から，債務一定の定常均衡に移行する

ら定常均衡同士のみの分析や無限期間生きる個ことについて評価を与えるものではないことに人などの簡略化の仮定を置かれることがしばし

注 意 す べ き で あ る。Kobayashi and Ueda

ばあり，これが結論に大きな影響を与えている（2021）は，代表的個人モデルを使って，政府可能性がある。表 1，2 で示した通りこの分野

債務の発散経路から定常状態に消費増税で転換にはまだ行われるべき分析が数多い。特に世代する政策を分析したが，その結果は消費増税に重複構造を入れたモデルで移行経路を分析する

よる財政再建の方が発散経路よりも社会厚生を

研究は日米ともに行われておらず，今後の大き改善するというものであった。

な研究課題である。

Ino and Kobayashi（2020）では消費税を早参考Aiyagari, S.R. and E.R. McGrattan （1998）:

文

献Fukawa, T. and I. Sato（2009）: “Projection of“The optimum quantity of debt,” Journal ofpension,Monetary Economics, 42, 447-469.

expenditures

Badshah, M., P. Beaumont, and A. Srivastava

agents,incomplete

long-term

care

Japan

throughmacro

Security Policy, 8, 33-42.
Gouveia, M. and R.P. Strauss（1994）: “Effectiveandfederal individual income tax functions: An

Computational

exploratory empirical analysis,” National

Conesa, J.C., S. Kitao, and D. Krueger（2009）:

Hansen, G.D. and S. İmrohoroğlu （2016）:

idiosyncratic

risk,”

marketsinandsimulation,” The Japanese Journal of Social（2013）: “Computing equilibrium wealthdistributions in models with heterogeneous-healthEconomics, 41, 171-193.

Tax Journal, 317-339.

“Taxing capital? Not a bad idea after all!”“Fiscal reform and government debt inAmerican Economic Review, 99, 25-48.

Japan: A neoclassical perspective,” Review

Conesa, J.C. and D. Krueger （1999）: “Social
security reform with heterogeneous agents,”

of Economic Dynamics, 21, 201-224.
Ino, A. and K. Kobayashi（2020）:“The Timing

Review of Economic dynamics, 2, 757-795.

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Floden, M. （2001）: “The effectiveness ofPresence of Inequality,” TKFD Working

government

debt

and

transfersasinsurance,” Journal of Monetary Economics,

Paper Series, 20-01.
Kaplan, G. （2012）: “Inequality and the life

48, 81-108.

cycle,” Quantitative Economics, 3, 471-525.
- 16 -

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〈財務省財務総合政策研究所「フィナンシャル・レビュー」令和３年第３号（通巻第 146 号）2021 年６月〉

Kobayashi, K. and K. Ueda （2021）: “Secular

Public Debt with Life Cycle Motives,”

Stagnation and Low Interest Rates under
the Fearof a Government Debt Crisis,”

mimeo.
Röhrs, S. and C. Winter （2017）: “Reducing

Journal of Money, Credit and Banking

government（forthcoming）.

inequality,” Journal of Economic Dynamics

Nakajima, T. and S. Takahashi（2017）: “The

debt

in

the

presenceofand Control, 82, 1-20.

optimum quantity of debt for Japan,”Tauchen, G. （1986）: “Finite state markov-

Journal of the Japanese and International

chain approximations to univariate andEconomies, 46, 17-26.

vector autoregressions,” Economics letters,Peterman, W. and E. Sager（2018）: “Optimal

20, 177-181.

補論∑

μ 1－μ 1－ν

（ct lt ）
βt
1－ν
t＝0
 ∞
μ 1－μ 1－ν］μ（1－ν［）（ct /Yt ）lt＝ βtYt1－νt＝0∞

トレンドの除去
AM のモデルでは外生的な技術成長 zt が存在する。このままでは経済全体を表す変数は技∑術成長と同じペースで成長し，定常状態が定義できない。従って，定常状態を定義するために

∑（Y ）

（1－ν）
＝Yμ
0

は，まずモデルの変数からトレンドを除去する必要がある。

∞

βt

Yt

トレンドを除去するために，それぞれの変数

家計の予算制約式はすべて Yt で割ることにより次のように変形できる。
ct
at＋1 Yt＋1
wt＋≤（1－τy） e（1－ltt）
Yt Yt＋1 Yt
Yt

（４）
at
Trt
＋
τy）
t
（1＋r（1－）Y ＋ Yttc̃t＋（1＋g）ãt+1 ≤（1－τy）w̃t e（1－l
t
t）

＋
τy）
t
（1＋r（1－）ãt＋χ.

∑μ 1－μ 1－ν［c̃t lt

］

1－ν

∞

（７）

μ 1－μ 1－ν［c̃ l ］
̃t t t
β
1－ν
t＝0

μ
（1－ν）

＝Y0

μ
（1－ν）

0

t＝0

を総生産で割ったものを次のように表す。
ct
at
wt
Kt
c̃t≡
, ãt≡, w̃t≡
, kt≡
,
Yt
Yt
Yt
Yt

（３）
At
Trt
Ãt≡
, T̃rt≡
≡χ.
Yt
Yt

（６）

（８）

と書き直すことができる。従って，消費者の最適化問題は定常な動学的最適化問題として
μ 1－μ 1－ν∞［c̃ l ］μ（1－ν）
̃t t tβ max Y0（９）｛c̃ ,l ,ã ｝
1－ν
t＝0
t

t

∞
t＋1 t＝0∑s.t. ˜ct＋（1＋g）a˜t＋1 ≤（1－τy）w˜te（1－l
＋（1＋
t
t）
τy））a˜t＋χ（10）c˜t≥0, a˜t＋1≥0,∀t（11）r（1－tと書き直すことができる。
AM の定常均衡

財政政策τ＝（τy,B˜）を所与として，この経
済 に お け る 定 常 均 衡 は， 次 の 条 件 を 満 た す（５）（V,a˜′,l,w,r,µ,˜ K,L˜）の組である。
１．V は次のベルマン方程式の解となり，
（a˜′
,l）

また，消費者の目的関数については，β˜≡βはそれに対応する政策関数である。

（1＋g）µ（1_ν）と定義することにより，- 17 -

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不完備市場および世代重複構造のある経済における最適債務
J

V（ã,∊,τ）

｛

＝ max

η 1－η 1－μ（c̃ lc̃,ã' ≥ a,l



）

1－μ

（a,∊,m）＝K＋B.
 μ∫adλ∑４．家計の分布が時間を通じて一定である。

（13）５．政府の予算制約式が満たされている。

（a′,ϵ′,m）＝∫1｛a′（a,ϵ,m）
λj＋1
j

c˜＋（1＋g）a˜′＝［1＋（1－τy）r］a˜ε| ）λj.
＝a′
｝ψπ
j （ε′

＋（1－τy）w˜（1－l）ϵ＋χ.

２．価格（r,w）と資本・労働投入量（K,L˜）

は以下の式で与えられる。

（ ）（ ） ∑ ∫（ （
（ ）
w

̃≡
w

z

α－1

zL

＝（1－α）K̃
LJ） ε）dλ（a,ε,m）.
∑ ∫Y（ y（h（a,ε,m）,a,
（37）

（14）

α－1

J

R≡

μj

j＝1

R≡ μj

j＝1

j

j

Y （15）y h（a,
ε,m）,a,ε,m）.
） ε）dλ（a,
j
j

α
K̃
（16）
－δ.
L
３．資産市場，労働市場の需給が一致している。

 α
r＝

L＝∫
ϵ
［1－l（a,ϵ）］dµ（a,ϵ）,

（17）

A˜＝K˜＋B.˜（18）

６．意図しない遺産が死亡した人々の残した資産量と一致している。
（1＋gn）TrJ∑∫a'（a,ε,m）dλ（a,ε,m）.

＝ （1－ψj）
μj
j＝1

４．家計の分布が時間を通じて一定である。

j∑∑∑∫τ min｛ we（ε）h,m｝dλ（a,ε,m）ss



５．政府の予算制約式が満たされている。

（39）

J

∑∫b（m）dλ（a,ε,m）.

＝

（20）

Peterman and Sager の定常均衡

j

j＝1

（19）

＝γ＋χ＋（r－g）B.˜
τ（rK˜＋wL˜）
y

（38）

J

∊



j

７．社会保障が予算制約を満たしている。

μ（a',∊',τ）
＝｛
1 a（a,∊）＝a' ｝
P（∊' |∊）
μ（a,∊,τ）.
a（35）

G＋（1＋r）B＝B′＋R（36） た だ し 税 収 R

は企業の利潤最大化と整合的である。
K

j

j＝1

（12）s.t.

 （1－α）
w＝z

（34）

｝

j

̃E［V（ã' ,∊' ,τ）］
＋β

ss

j

j＝1

Ino and Kobayashi（2020）の移行経路の定義
財政政策τt＝（τy,t,γt,χt,B˜t）を所与として，財政政策τ＝（G,B,B′,R）を所与として，この経済における定常均衡は，次の条件を満たす

移行経路は次の条件を満たす関数の組~~, j｝Jj＝1,w,r,,K,L,Tr）の組である。
（｛Vj,cJ,a′j,hjλ, t  ,Kt  ,Lt  ,τc,t）Tt＝0 である。
（Vt  ,ã  t′  ,Wt  ,rt  μ１．Vj はベルマン方程式の解となり，（cj,a′j,hj）

消費者の最適化 Vt は次のベルマン方程式の解であり a′t は対応した政策関数である。

はそれに対応する政策関数である。
２． 価格（r,w）と資本・労働投入量（K,L）
は企業の利潤最大化と整合的である。

（ ）
（ ）

w＝z（1－α）

K

zL

α－1

（31）

α
K̃
r＝α
（32）
－δ.
L
３．資産市場，労働市場の需給が一致している。
J

∑∫

L＝

μj

（
e ε）h（a,∊,m）dλ（a,∊,m）
,
（33）
j
j

j＝1

V（a,∊）t＝max̃
｛ u（c,l）＋βa',c,l∑P（∊' |∊）V （a',∊' ）］｝
t＋1

∊'



（40）



s.t.

（1＋τc,t）c＋（1＋g）a'＝（1－τy,t）wt ∊（1－l）
＋（1＋（1－τy,t）r）a＋χ,（42）

a' ≥ a, l∈［0,1］, c ≥ 0,
ただし，最終期の価値関数は政策変更後の定- 18 -

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〈財務省財務総合政策研究所「フィナンシャル・レビュー」令和３年第３号（通巻第 146 号）2021 年６月〉

常 状 態 の 価 値 関 数 に 等 し い（V（a,ϵ）＝V
T

問題を解き政策関数（a′i,l）を得る。動学（a,ϵ,τterminal））。

的最適化問題を解くにあたり，有限期間生き

生 産 者 の 最 適 化 価 格（r,w） と 資 本・ 労 働る個人の元では最終期より後ろ向きに解き，（k,L）は生産者の最適化と整合的である。
W̃t≡

Wt
zt

（ ）

＝（1－α）

α－1
K̃t

Lt

無 限 期 間 生 き る 個 人 の 場 合 は Value
Function Iteration により価値関数の誤差が（43）

一定以下になるまで計算を繰り返す。
・政 策関数を用いて下記の手順で定常分布 µi（a,ϵ）を計算する。

（ ）

α
K̃t
－δ.
rt＝α
Lt

（44）

ϵ）及び家計・価 格（ri,wi）と政策関数 a′i（a,ϵ）が計算できれば，資産市場及の分布 µ（a,i
び労働市場の需要と供給の定義より需給

市場均衡：資産・労働市場の需給が一致する。
ϵ［1－l（a,ϵ）］ dµ（a,ϵ）, A˜t＝K˜t＋
Lt＝∫
t
t
B˜t.

ギャップが計算可能である。

（45）

３．計算された需給ギャップが絶対値で一定以定常分布家計の分布 µt は次のように遷移する。

下 |demand−supply|＜εであれ ば それ が 解 で（46）あり，そうでなければ価格に関する推測を変


（a′
,ϵ′
）＝∑∑1｛a′
（a,
ϵ）
µt＋1
t
ϵ）,
＝a′
｝P（ϵ′
ϵ
| ）µ（a,t

更して再度計算を行う。
（47）a

定常分布を計算するにあたっては次の手順を用いる。

ϵ）＝µ（a,ϵ,τini）.
with µ（0（a,・資 産の空間について Na×M 個の点を持つよ

政府の予算制約：政府の予算制約式が満たさり細かなグリッドを作り出し，政策関数をこれる。

の空間の上で定義されるよう線形内挿する。

G˜t＋（1＋rt）B˜t＝B˜t＋1（1＋g）＋τc,tC˜t＋
τy,t（rtK˜t＋W˜tL）.

Ino and Kobayashi（2020）では M＝3 を用（48）

数値計算の詳細
本稿では，連続変数である資産を次のように

いている。
・a′
（a,z）∈（ai,ai＋1）のとき，
ai＋1－a'（a,z）
p（a,z）＝
ai＋1－ai（51）

離散化する。まず，資産の上限 a をそれ以上資に関する遷移確と定義する。これを用いて，a′産を保有する人の割合が無視できるほど少なく

率 行 列 を a′＝ai＋1 を 確 率 p（a,z） で，a′＝ai をなるように設定する。資産の下限 a は借り入れ

確率 1－p（a,z）で取るように構築する。この遷制約によりパラメータとして与えられる。上限

移確率行列より固有値を用いた方法（Badshah,と下限を決めたら，［a,a］の間に等間隔で Na

Beaumont, and Srivastava（2013））で定常分個の点を離散化した資産の取りうる値として扱

布は計算可能である。この方法を用いる理由とう。Ino and Kobayashi（2020）では a＝40 としては，定常分布自体は固有値 1 に対応した一

Na＝101 の値を用いている。

意な固有ベクトルであるが，数値計算上では固定常均衡定常均衡の計算では次のようなアル有値が 1 に近く見分けることが不可能なものがゴリズムを用いる。

数多く存在する。これを回避するために，遷移１． 均衡金利と賃金（r,w）に関する推測を行行列に微小な値を加えて固有値 1 に対応する固い，（ri,wi）として設定する。

有ベクトルを見つけやすくする，という手法で２．i 回目のループにおいて，資産市場と労働ある。

市場の需給ギャップを次のように計算する。
・（ri,wi）を所与として，家計の動学的最適化

移行経路の計算- 19 -

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不完備市場および世代重複構造のある経済における最適債務

移 行 経 路 の 計 算 に お い て，Conesa and（c） 政策関数と分布の情報を用いて，そこか

Krueger（1999）に従い価格ではなく資本と労ら示唆される資本と労働の列を計算する。

働（K,L）について推測を行いループを繰り返

４．この過程で得られた資本と労働の列が推測す方法を用いている。

｛|Kt,i－K
したものと十分近いかどうか，max

１．初期と終期の定常状態の計算を行う。終期＊
t,i|,|Lt,i－L＊t,i|｝＜εの条件を用いて判定する。

もしこの条件が満たされていなければ，次のの定常状態にたどり着く時点を T とする。
i

~ i

T
t t＝

２．資本と労働の列についての推測（L t,K ）ような形で資本と労働の列をアップデート

0,i＝0 を行う。資本と労働の情報より企業のKt,i＋1＝ ωKt,i＋（1－ω）K＊t,i, Lt,i＋1＝ωLt,i＋（1－最適化の一階条件から価格の列（rit,W    t）Tt＝0

ω）L＊t,i し，ステップ 2 を再度実行する。こを計算する。

の条件が満たされていた場合均衡の計算が完

~ i

i

~ i

T
t t＝0

３．（r t,W     ） を所与として，資本と労働の列了する。

（Lti＊,K ti ＊）Tt＝0 を次のように計算する。

このアルゴリズムにより i が増加するにつれSSϵ）＝V （a,ϵ）を（a） 価格と終点条件 V（a,T

（Kti,Lti）Tt＝0 が収束していくことは保証されてい所与として，家計の動学的最適化問題を後ない。そのため，アップデートを行う際の古いろ向きに解く。

推測へのウェイトωの値を様々なものに変え（b） 政策関数を所与として，家計の分布をϵ）＝
初期条件より前向きに計算する µ（a,0実験を行い，ω＝0.9 にて収束するという結果を得た。

（a,ϵ）。
µSS- 20 -

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