Le jardin des plaisirs

Phil Caldero
9,1k abonnés 1600 vidéos

Tuto du catalogue des vidéos de la chaı̂ne (le jardin des plaisirs) (12’40’)

So long, Wayne Shorter ! (8’11’ ’) Vancouver-Piano Solo (6’12’ ’) Rules (3’03’ ’) Reckoner-pianosolo (6’22’ ’) Stayin’ alive (Cover by Rewind) (4’13’ ’) Honeysuckle Rose (Fats Waller) (2’03’ ’)
Crystal Silence (Chick Corea) (4’41’ ’) Paranoid Android (Radiohead) (7’22’ ’) Célestin (piano solo)(4’24’ ’) Lady Madonna- Beatles cover on piano solo (4’27’ ’) Here comes the sun (The Beatles)(7’54’ ’) Let it ride-piano solo (6’34’ ’) The Preacher- Horace Silver (Piano solo) (4’37’ ’) Dans lapeau de John le Pianiste (5’39’ ’) Keith Jarrett: Köln Concert / Sun Bear (Kyoto)-Cover (5’33’ ’)
In a Silent Way (Tribute to Miles) Piano Solo Fantasy (Earth, Wind and Fire cover) Piano solo
Everything in its right place (Radiohead cover) Piano solo”Self-evidence” Tribute for the 60th
anniversary of the March on Washington (4’12’ ’)La Fiesta (Chick Corea Cover) Piano soloChildren(Alex Tassel cover) Piano Solo + sounds of children playingThe National Anthem (Radiohead
cover) Piano solo
Mathématiques, agrégation, master et, surtout, du plaisir, du plaisir et du plaisir. . .

Table des matières
1 Les écrits (504)13
1.1 Un peu de lecture (12) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.1 Carnet de Voyage en Algébrie : la présentation . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.2 Carnet de Voyage en Analystan : la présentation . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.3 Algèbre éclectique de Danila - Eiden - Mneimné - 1 . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.4 Algèbre éclectique de Danila - Eiden - Mneimné - 2 . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.5 Algèbre éclectique de Danila - Eiden - Mneimné - 3 . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.6 Algèbre éclectique de Danila - Eiden - Mneimné - 4 . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.7 ≪ Le groupe symétrique S4 et ses métamorphoses ≫ 1 . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.8 ≪ Le groupe symétrique S4 et ses métamorphoses ≫ 2 . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.9 ≪ Le groupe symétrique S4 et ses métamorphoses ≫ 3 . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.10 ≪ Le groupe symétrique S4 et ses métamorphoses ≫ 4 . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.11 ≪ Le groupe symétrique S4 et ses métamorphoses ≫ 5 . . . . . . . . . . . . . 15
1

1.2

1.3

1.4

1.1.12 ≪ Introduction aux graphes aléatoires ≫ par l’épreuve Mines-Pont 2024 (etle livre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.13 Les perles d’Indra par David Mumford (and al.) . . . . . . . . . . . . . . .
Propédeutique (33) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Cahier de vacances - Roger Mansuy - Théorie des ensembles . . . . . . . . .
1.2.2 Cahier de vacances - Roger - Mansuy - Complexes . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Cahier de vacances - Roger Mansuy - Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Cahier de vacances - Roger - Mansuy - fonctions continues . . . . . . . . . .
1.2.5 Cahier de vacances - Roger - Mansuy - Polynômes . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Cahier de vacances - Roger - Mansuy - Espaces vectoriels . . . . . . . . . .
1.2.7 Cahier de vacances - Roger - Mansuy - Applications linéaires . . . . . . . .
1.2.8 Cahier de vacances - Roger - Mansuy - Dimension . . . . . . . . . . . . . .
1.2.9 Cahier de vacances - Roger - Mansuy - Matrices . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.10 Cahier de vacances - Roger - Mansuy - M atrices − 2 . . . . . . . . . . . . .
1.2.11 Questionnaire Roger Mansuy - Ensembles et Applications . . . . . . . . . .
1.2.12 Questionnaire Roger Mansuy - Structures algébriques . . . . . . . . . . . .
1.2.13 Questionnaire Roger Mansuy - Arithmétique - 1 . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.14 Questionnaire Roger Mansuy - Arithmétique - 2 . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.15 Questionnaire Roger Mansuy - Groupe de permutations . . . . . . . . . . .
1.2.16 questionnaire Roger Mansuy sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.17 Questionnaire Roger Mansuy Espaces Vectoriels 1 . . . . . . . . . . . . . .
1.2.18 Questionnaire Roger Mansuy sur les espaces euclidiens - 1 . . . . . . . . . .
1.2.19 Questionnaire Roger Mansuy sur les espaces euclidiens - 2 . . . . . . . . . .
1.2.20 Questionnaire Roger Mansuy sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.21 Questionnaire Roger Mansuy sur les déterminants . . . . . . . . . . . . . .
1.2.22 Questionnaire Roger Mansuy sur la réduction-1 . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.23 Questionnaire Roger Mansuy sur la réduction 2 . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.24 Questionnaire Roger Mansuy sur la réduction-3 . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.25 Questionnaire Roger Mansuy sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . .
1.2.26 Questionnaire Roger Mansuy sur les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.27 Questionnaire Roger Mansuy - Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.28 Questionnaire Roger Mansuy sur la topologie . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.29 Propédeutique. Les nombres complexes (décomplexés) pour l’agrégation interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.30 Petit recueil d’idées reçues - 1 - Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . .
1.2.31 Petit recueil d’idées reçues - 2 - Réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.32 Petit recueil d’idées reçues - 3 - Polynômes - Groupes - Anneaux . . . . . .
1.2.33 Petit recueil d’idées reçues - 4 - Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . .
Cours (102) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Cours d’algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Cours sur les espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Addendum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Cours arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Addendum Arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.6 Cours sur les groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Thème-Algèbre linéaire (88) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Les délices de matrices (71) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2

15
15
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
17
17
17
17
17
17
17
17
17
17
17
18
18
18
18
18
18
18
18
18
19
19
19
19
19
19
28
31
35
36
40
40

1.4.2
1.4.3
1.5

1.6

1.7

1.8

Déterminant droit devant (9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Corps finis à l’envi (8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les groupes sous tous les angles (35) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 1 - Groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 2 - Sous-groupes de GLn- groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 3 - Groupes en analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 4-Groupes en action borderline : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arithmétique, anneaux, corps et polynômes (50) . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Arithmétique (19) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Anneaux (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3 Corps (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.4 Polynômes (10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.5 Arithmétique borderline pour l’agrégation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.6 Carrés en tout genre (9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les formes quadratiques en éveil (19) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Qui es-tu, forme polaire ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Formes de Hankel 1/7 . . . . . . . . .
1.7.3 Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Formes de Hankel 2/7 . . . . . . . . .
1.7.4 Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Formes de Hankel 3/7 . . . . . . . . .
1.7.5 Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Formes de Hankel 4/7 . . . . . . . . .
1.7.6 Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Formes de Hankel 5/7 . . . . . . . . .
1.7.7 Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Formes de Hankel 6/7 . . . . . . . . .
1.7.8 Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Formes de Hankel 7/7 . . . . . . . . .
1.7.9 Les formes de Hankel (à leur état naturel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.10 Les formes de Hankel au naturel - 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.11 Représentation d’entiers par une forme quadratique - somme de carrés-1 e
1.7.12 Représentation d’entiers par une forme quadratique - congruences - 2 e .
1.7.13 Représentation d’entiers par une forme quadratique - Factorialité - 3 e.
1.7.14 Représentation d’entiers par une forme quadratique - FQ binaires - 4 e.
1.7.15 Représentation d’entiers par une forme quadratique - 5 e . . . . . . . . .
1.7.16 Représentation d’entiers par une forme quadratique - La trilogie-6 e . . .
1.7.17 Forme quadratique sur l’espace des matrices carrées . . . . . . . . . . . . . .
1.7.18 Tout tétraèdre est régulier (en toute dimension) ! . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.19 Formes quadratiques sur le corps des rationnels par Adem Zeghib e . . .
Bouquet de géométries (48) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Le théorème de Thébault (quadrilatères et réduction) . . . . . . . . . . . .
1.8.2 Une bonne tranche de cône (les coniques) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.3 Le cercle des neuf points par le calcul complexe (et en neuf minutes !) . . . .
1.8.4 Utilisation de la réduction en géométrie affine - un exemple . . . . . . . . .
1.8.5 Quadrilatères et réduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.6 Les tutos géométriques du Père Castor : Géométrie affine euclidienne 4 . . .
1.8.7 Les tutos géométriques du Père Castor : Puissance d’un point, axe radical .
1.8.8 Les tutos géométriques du Père Castor : droites tangentes à deux cercles
données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.9 Les coniques. Un exercice képlerien (qui plaira !) . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.10 Un exercice sur les coordonnées barycentriques d’un triangle . . . . . . . . .
1.8.11 Le groupe des isométries du tétraèdre agit sur ses sommets . . . . . . . . .
3

50
51
52
52
54
54
55
58
58
61
62
62
65
65
66
66
67
67
67
67
67
67
68
68
68
68
68
68
68
69
69
69
69
69
69
69
70
70
70
70
70
70
70
71
71
71

1.8.12 Composée d’isométries planes - 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.13 Composée d’isométries planes - 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.14 Exercices de confinement : homographies . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.15 Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Lyon - Ellipse de Steiner 1/6 . . . . .
1.8.16 Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Lyon - Ellipse de Steiner 2/6 . . . . .
1.8.17 Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Lyon - Ellipse de Steiner 3/6 . . . . .
1.8.18 Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Ellipse de Steiner 4/6 . . . . . . . . .
1.8.19 Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Lyon - Ellipse de Steiner 5/6 . . . . .
1.8.20 Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Lyon - Ellipse de Steiner 6/6 . . . . .
1.8.21 Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Droites et cercles 1/5 . . . . . . . . . .
1.8.22 Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Lyon - Droites et cercles 2/5 . . . . .
1.8.23 Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Droites et cercles 3/5 . . . . . . . . . .
1.8.24 Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Lyon - Droites et cercles 4/5 . . . . .
1.8.25 Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Lyon - Droites et cercles 5/5 . . . . .
1.8.26 Géométrie borderline à l’agrégation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9
Un epsilon d’analyse (23) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.1 Petit exercice sur les équations différentielles linéaires . . . . . . . . . . . .
1.9.2 L’intégrale de Dirichlet par Riri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.3 Erreur dans l’approximation par la méthode de quadrature . . . . . . . . .
1.9.4 Méthode de quadrature de Gauss par Caroline . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.5 TOUT sur les nombres de Bernoulli ! e . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.6 Exercices de confinement : normes sur R[X]-1 . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.7 Exercices de confinement : normes sur R[X]-2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.8 Exercices de confinement : normes sur R[X]-3 . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.9 Comportement asymptotique des suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . .
1.9.10 Combinatoire et placements de table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.11 La suite un+1 = sin(un ) et son comportement asymptotique . . . . . . . . .
1.9.12 Vitesse de convergence d’une suite récurrente (et méthode d’Archimède) . .
1.9.13 Erreurs dans les calculs d’intégrales - 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.14 Un exercice sur Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.15 Utilisation des fractions rationnelles (dérivées de l’arctangente) . . . . . . .
1.9.16 Problème de la corde universelle (problème d’Olympiades) . . . . . . . . . .
1.9.17 Pourquoi une fonction injective continue sur un intervalle est-elle strictementmonotone ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.18 Primitivable implique continue (ou bien) ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.19 Normes, boules et stricte convexité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.20 Normes, boules et stricte convexité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.21 Normes, boules et stricte convexité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.22 Le cercle d’incertitude d’une série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.23 Complétion p-adique ou réelle ? Le théorème d’Ostrowski e . . . . . . . .
1.9.24 Distance de Hausdorff (et une surprise à la fin) . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.25 Théorème de stabilité de Liapounov (équations différentielles non linéaires)
1.9.26 Critère de stabilité de Liapounov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.27 Comportement lipschitzien du spectre (d’une matrice symétrique) e . . .
1.9.28 Réarrangements dans les Sobolev : le teaser par Tristan e . . . . . . . . .
1.9.29 Espace complet de fonctions lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Probabilité et combinatoire (8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

71
71
71
71
72
72
72
72
72
72
72
72
73
73
73
77
77
77
77
77
77
78
78
78
78
78
79
79
79
79
79
79
80
80
80
80
80
80
80
81
81
81
81
81
81
81

1.10.1 Séries génératrices-mode d’emploi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.2 Combinatoire sur le groupe des permutations . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.3 Dés pipés et factorisation de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.4 Question de jury- Dénombrement et polynômes (dés non pipés) . . . . . . .
1.10.5 Borel-Cantelli et les amis de la poésie ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.6 L’urne de Polya (tirage avec renforcement) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.7 Tirage de nombres premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.8 Tirage sans remise de n boules paires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.9 Commutations dans le groupe des permutations . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.10 Pour une combinatoire équitable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Annales (86) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.1 Les écrits de l’externe pour l’agrégatif interne ! . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.2 Agrégation MG-2024 La fin de l’épreuve (II-D et III) . . . . . . . . . . . . .
1.11.3 Agrégation MG-2024 Correction de la partie II-C . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.4 Agrégation MG-2024 Correction de la partie II-A-B . . . . . . . . . . . . .
1.11.5 Agrégation MG-2024 Correction de la partie I . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.6 Agrégation Epreuve MG-2024 : description et premières impressions . . . .
1.11.7 Epreuve MG-2023 Partie II e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.8 MG-2023 La partie I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.9 MG-2023 Les exercices e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.10 Epreuve de mathématiques générales 2023 e . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.11 MG-2022-question 2-6a (le retour !) e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.12 MG-2022 - Problème - Parties - V et VI e
. . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.13 MG-2022 - Problème - Parties - III et IV e . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.14 MG-2022 - Problème - Parties - I et II e
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.15 Epreuve MG-2022 - Exercice - 3 et 4 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.16 Epreuve MG-2022 - Exercice - 2 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.17 Epreuve MG-2022 - Exercice - 1 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.18 Epreuve MG-2022 - Discussion e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.19 Prélude au problème MG-2022 (théorie des représentations) e. . . . . .
1.11.20 Epreuve Agrégation Externe - MG-2021 - Partie II (Q1 à 4) e . . . . . .
1.11.21 Epreuve Agrégation Externe - MG-2021 - Fin de la partie I e . . . . . . .
1.11.22 Epreuve Agrégation Externe - MG-2021 - Partie I-Q4-5-6-7 e . . . . . . .
1.11.23 Epreuve Agrégation Externe - MG-2021 - Partie I-Q1-2-3 e . . . . . . . .
1.11.24 Epreuve Agrégation Externe - MG-2021 - Exercice 4 e. . . . . . . . . .
1.11.25 Epreuve Agrégation Externe - MG-2021 - Exercice 3 e. . . . . . . . . .
1.11.26 Epreuve Agrégation Externe - MG-2021 - Exercice 2 e. . . . . . . . . .
1.11.27 Epreuve Agrégation Externe - MG-2021 - Exercice 1 e. . . . . . . . . .
1.11.28 Résumé sur l’épreuve MG-2021-4 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.29 Résumé sur l’épreuve MG-2021-3 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.30 Résumé sur l’épreuve MG-2021-2 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.31 Résumé sur l’épreuve MG-2021-1 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.32 MG-2021. Exemples de polynômes envoyant une suite d’entiers sur Z e .
1.11.33 L’algorithme LLL (Lenstra - Lenstra - Lovasz) : MG 2020 Agrégation externe
11 e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.34 Inégalité de Minkowski sur les réseaux : MG 2020 Agrégation externe 10 e

5

81
82
82
82
82
82
82
82
83
83
83
83
83
83
83
84
84
84
84
84
84
84
84
85
85
85
85
85
85
85
85
86
86
86
86
86
86
86
86
87
87
87
87
87
87

1.11.35 Le problème du plus petit vecteur d’un réseau : MG 2020 Agrégation externe
9 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.36 Réseaux en cryptographie : MG 2020 Agrégation externe 8 e . . . . . . .
1.11.37 Le résultant : MG 2020 Agrégation externe 7 . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.38 Cantor-Zassenhaus : MG 2020 Agrégation externe 6 e . . . . . . . . . . .
1.11.39 Cantor-Zassenhaus : MG 2020 Agrégation externe 5 e . . . . . . . . . . .
1.11.40 Gram-Schmidt, QR et inégalité d’Hadamard : MG 2020 Agrégation externe
4 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.41 Borne de Cauchy : MG 2020 Agrégation externe 3 e . . . . . . . . . . . .
1.11.42 Suites arithmético-géométriques : MG 2020 Agrégation externe 2 e . . . .
1.11.43 Agrégation externe : épreuve MG 2020- 1 e . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.44 MG-2018 - Les exercices préliminaires e . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.45 Conseils autour de l’épreuve MG-2018 Agrégation Externe . . . . . . . . . .
1.11.46 Epreuve 1 - Agrégation interne 2024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.47 Epreuve 1 - Agrégation interne 2024 - Exercice 1 (le vrai-faux) . . . . . . .
1.11.48 Epreuve 1 - Agrégation interne - 2024 - Exercice 2 . . . . . . . . . . . . . .
1.11.49 Epreuve 1 - Agrégation interne - 2024 - Exercice 3 . . . . . . . . . . . . . .
1.11.50 Epreuve 1 - Agrégation interne - 2024 - Questions 10 et 11 . . . . . . . . . .
1.11.51 Epreuve 1 - Agrégation interne - 2024 - Questions 12 à 16 . . . . . . . . . .
1.11.52 Epreuve 1 - Agrégation interne - 2024 - Questions 17 à 21 (Partie IV) . . .
1.11.53 Epreuve 1 - Agrégation interne - 2024 - Questions 22 à 25 (Partie V ) . . . .
1.11.54 Epreuve 1 - Agrégation interne - 2024− (Partie VI) . . . . . . . . . . . . . .
1.11.55 La théorie des représentations post EP1-2024 . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.56 EP1 - Agreg interne 2023 ou le théorème de Skolem-Mahler . . . . . . . . .
1.11.57 Epreuve EP1-2023 - Agrégation Interne - Problème I-C . . . . . . . . . . .
1.11.58 Epreuve EP1-2023 - Agrégation Interne - Problème I-B . . . . . . . . . . .
1.11.59 Epreuve EP1-2023 - Agrégation Interne - Problème I-A . . . . . . . . . . .
1.11.60 Epreuve EP1-2023 - Agrégation Interne-Vrai-Faux et Exercices . . . . . . .
1.11.61 Epreuve 1-2022 de l’agrégation interne - 9 (Les réseaux à l’agreg !) . . . . .
1.11.62 Epreuve 1-2022 de l’agrégation interne - 8 (Survol des parties restantes) . .
1.11.63 Epreuve 1-2022 de l’agrégation interne - 7 (la partie IV) . . . . . . . . . . .
1.11.64 Epreuve 1-2022 de l’agrégation interne - 6 (la partie III) . . . . . . . . . . .
1.11.65 Epreuve 1-2022 de l’agrégation interne - 5 (la partie II) . . . . . . . . . . .
1.11.66 Epreuve 1-2022 de l’agrégation interne - 4 (la partie I) . . . . . . . . . . . .
1.11.67 Epreuve 1-2022 de l’agrégation interne - 3 (l’exercice préliminaire) . . . . .
1.11.68 Epreuve 1-2022 de l’agrégation interne - 2 (le vrai-faux) . . . . . . . . . . .
1.11.69 Epreuve 1-2022 de l’agrégation interne - 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.70 Epreuve 1 de l’agrégation interne 2021-6 : les corollaires du théorème deBurnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.71 Epreuve 1 de l’agrégation interne 2021 − 5 : Quelques exemples sur Q . . .
1.11.72 Epreuve 1 de l’agrégation interne 2021 − 4 : Quelques exemples . . . . . . .
1.11.73 Epreuve 1 de l’agrégation interne 2021 − 3 : théorème de densité de Jacobson(ou Burnside) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.74 Epreuve 1 de l’agrégation interne 2021 − 2 : stabilité et semi-simplicité . . .
1.11.75 Epreuve 1 de l’agrégation interne 2021-Préliminaires et palabres . . . . . . .
1.11.76 Epreuve EP1 Agrégation interne 2020 − 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.77 Epreuve EP1 Agrégation interne 2020 − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

87
88
88
88
88
88
89
89
89
89
89
89
90
90
90
90
90
90
90
90
90
90
91
91
91
91
91
91
91
92
92
92
92
92
93
93
93
93
93
93
94
94
94

1.11.78 Polynômes d’Hermite - EP2 - Agrégation interne - 2019 . . . . . . . . . . .
1.11.79 Agrégation interne Epreuve 1 2018-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.80 Agrégation interne Epreuve 1 2018-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.81 Agrégation interne Epreuve 1 2018-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.82 Agrégation interne Epreuve 1 2018-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.83 Exercices sur les homographies - EP1-2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.84 2014-EP1 - Agrégation interne - parties-I-II . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.85 Sujet EP1 - Agrégation interne - 2008 - Partie II . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.86 Sujet EP1 - Agrégation interne - 2008 - Partie I . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.87 Mines-Ponts-Math2-MP-2024 - Partie-I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.88 Mines-Ponts-Math2-MP-2024 - Partie-II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.89 X-ENS MP-2024-Correction Q1-8 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.90 X-ENS MP-2024-Correction Q9-15 e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94
94
95
95
95
95
95
95
96
96
96
96
96

2 Les oraux (175)96
2.1
Leçons (71) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.1.1 Leçon 133/101- Groupe opérant sur un ensemble- Applications . . . . . . . 96
2.1.2 Leçon 158− Groupe opérant sur un ensemble-1 . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.1.3 Leçon-158-Développement-Coloriage du tétraèdre . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.1.4 Leçon 105− Groupe de permutations d’un ensemble fini- Applications- 6
minutes et plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.1.5 Leçon 105− Groupe de permutations d un ensemble fini et applications - lesdéveloppements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.1.6 Leçon 105− Groupe de permutations d’un ensemble fini, applications - questions de jury et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.1.7 Leçon 106. Idéaux d’un anneau commutatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.1.8 Leçon 106/123-externe/interne : Groupe linéaire, sous-groupes et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.1.9 Représentations linéaires d’un groupe fini 1 (leçon 107) e . . . . . . . . . 98
2.1.10 Représentations linéaires d’un groupe fini 2 (leçon 107) e . . . . . . . . . 98
2.1.11 Représentations linéaires d’un groupe fini 3 (leçon 107) . . . . . . . . . . . . 98
2.1.12 Leçon 113 ou 152 : Déterminant et applications . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.1.13 Leçon 122-Anneaux principaux et applications - la présentation-1 . . . . . . 99
2.1.14 Leçon 122-Anneaux principaux et applications - 2 . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.1.15 Leçon 122-Anneaux principaux et applications - Evaluation-3 . . . . . . . . 99
2.1.16 Leçon 122-Anneaux principaux et applications - Harmonisation-4 . . . . . . 99
2.1.17 Leçon 122-Anneaux principaux et applications - Exercices-5 . . . . . . . . . 99
2.1.18 Leçon 122-Anneaux principaux et applications - Exercices-6 . . . . . . . . . 99
2.1.19 Leçon 123 - Corps finis et applications e. . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.1.20 Leçon 125 - Extension de corps - exemples et applications - 1 e . . . . . . 100
2.1.21 Leçon 125 - Extension de corps - exemples et applications - 2 e . . . . . . 100
2.1.22 Leçon 125 - Extension de corps - exemples et applications - 3 e . . . . . . 100
2.1.23 Leçon 125 - Extension de corps - exemples et applications - 4 e . . . . . . 100
2.1.24 Leçon 126 - Agrégation externe-équations en arithmétique-1 e. . . . . . 100
2.1.25 Leçon 126 - Agrégation externe-équations en arithmétique-2 e. . . . . . 100
2.1.26 Leçon 126 - Agrégation externe-équations en arithmétique-3 e. . . . . . 100
2.1.27 Leçon 126 - Agrégation externe-équations en arithmétique-5 e. . . . . . 101
7

2.1.28 Leçon 126 - Agrégation externe-questions de jury-6 e . . . . . . . . . . . 101
2.1.29 Leçon 126 - Agrégation externe-questions de jury-7 e . . . . . . . . . . . 101
2.1.30 Leçon 127-Exemples de nombres remarquables-1 . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.1.31 Leçon 127-Exemples de nombres remarquables-2 . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.1.32 Leçon 127-Exemples de nombres remarquables-3 . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.1.33 Leçon 142 (ou 106) - PGCD et PPCM. Algorithmes et Applications-1 . . . 102
2.1.34 Leçon 142 (ou 106) - PGCD et PPCM. Algorithmes et Applications-2 . . . 102
2.1.35 Leçon 142 (ou 106) - PGCD et PPCM. Algorithmes et Applications-3 . . . 102
2.1.36 Le contenu de Gauss-Leçon 142(106) − 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.1.37 La formule pgcd (a, b) ppcm (a , b) = ab dans tous ses états-Leçon 142 − 5 . 102
2.1.38 Tout sur l’algorithme d’Euclide-Leçon 142-AE (ou 159 − AI) −6 . . . . . . 103
2.1.39 Invariants du groupe symétrique-142-Pgcd-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.1.40 Leçon 144-Racines d’un polynôme fonctions symétriques élémentaires . . . . 103
2.1.41 Racines d’un polynôme fonctions symétriques élémentaires 2 (leçon 144) e 103
2.1.42 Leçon 144- Racines d’un polynôme - Questions de jury e . . . . . . . . . 103
2.1.43 Leçon sur la dimension et le rang (148 ext/110 int) - Partie I. . . . . . . . . 103
2.1.44 Leçon sur la dimension et le rang (148ext/110 int) - Partie II. . . . . . . . . 104
2.1.45 Leçon sur la dimension et le rang (148ext/110 int) - Partie III. . . . . . . . 104
2.1.46 Leçon sur la dimension et le rang (148ext/110 int) - Partie IV. . . . . . . . 104
2.1.47 Leçon 149− I-Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.1.48 Leçon 149- II-Localisation des valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.1.49 Leçon 149 - III - (Mais sans Elisabeth Borne) . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.1.50 Leçon 149− Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchésd’éléments propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.1.51 Actions de groupes sur les espaces de matrices (leçon 150) e. . . . . . . 105
2.1.52 Leçon- Formes linéaires, dualité. Exemples et Applications-I e . . . . . . 105
2.1.53 Développements-Leçons formes linéaires, dualité. . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.1.54 Leçon 161-Distances et isométries d’un espace affine euclidien-1 . . . . . . . 105
2.1.55 Leçon 161-Distances et isométries d’un espace affine euclidien-2 . . . . . . . 105
2.1.56 Leçon 171-Formes quadratiques réelles, coniques, exemples et applications . 106
2.1.57 Leçon 190-Méthodes combinatoires et dénombrement e . . . . . . . . . . 106
2.1.58 190 - Questions de jury sur le dénombrement e . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.1.59 Leçon 191 AE - Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie-1107
2.1.60 Leçon 191 - Agrégation externe-Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre
en géométrie-2 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.1.61 Leçon 191 - Agrégation externe-Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre
en géométrie-3 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.1.62 Leçon 191 - Agrégation externe-Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre
en géométrie-4 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.1.63 Leçon 191 - Agrégation externe-Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre
en géométrie-5 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.1.64 Leçon 191 - Agrégation externe-Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre
en géométrie-6 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.1.65 Leçon 307 AI - Exercices avec utilisation de polynômes irréductibles 1 . . . . 108
2.1.66 Leçon 307 AI - Exercices avec utilisation de polynômes irréductibles 2 . . . . 108
2.1.67 Leçon 351 : Exercices avec utilisation de polynômes irréductibles-3 . . . . . 108
2.1.68 Leçon 351 : Exercice avec utilisation de polynômes irréductibles-4 . . . . . . 108
8

2.2

2.3

2.1.69 Leçon 355 : Exercices faisant intervenir des automorphismes orthogonaux . 108
2.1.70 Leçon 355 : Exercices faisant intervenir des automorphismes orthogonaux-2 108
2.1.71 Leçon 154− Décompositions de matrices e . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.1.72 Question de jury sur ≪ Décomposition de matrices ≫ e . . . . . . . . . . . 109
Développements (77) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.2.1 Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.2.2 Réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.2.3 Algèbre linéaire et topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.2.4 Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.2.5 Arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.2.6 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.2.7 Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.2.8 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.2.9 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.2.10 Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Questions d’oral (27) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.3.1 Question de jury sur la leçon 106− Groupe linéaires-Sous-groupes . . . . . . 121
2.3.2 Questions de jury sur le thème racines de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . 122
2.3.3 Question de jury- Leçon PGCD ou rang-dimension . . . . . . . . . . . . . . 122
2.3.4 Question de jury sur le thème distances ou extrema . . . . . . . . . . . . . . 122
2.3.5 Questions de jury autour du rang en algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . 122
2.3.6 Exercice de jury sur les actions de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
2.3.7 Question d’oral à l’agreg externe (Anneaux et corps) −1 . . . . . . . . . . . 122
2.3.8 Question d’oral à l’agreg externe (Anneaux et corps) -1bis . . . . . . . . . . 122
2.3.9 Question d’oral à l’agreg externe (Anneaux et corps) −2 . . . . . . . . . . . 123
2.3.10 Question d’oral à l’AE (Anneaux et corps) -3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.3.11 Question d’oral à l’agreg externe (Réciprocité quadratique) −1 . . . . . . . 123
2.3.12 Question d’oral à l’agreg externe (Réciprocité quadratique) −2 . . . . . . . 123
2.3.13 Question d’oral à l’agreg externe (Groupes finis) −1 . . . . . . . . . . . . . 123
2.3.14 Question d’oral à l’agreg externe (Groupes finis) −2 . . . . . . . . . . . . . 124
2.3.15 Question d’oral à l’agreg externe (Groupes finis) −3 . . . . . . . . . . . . . 124
2.3.16 Question d’oral à l’agreg externe (Groupes finis) −4 . . . . . . . . . . . . . 124
2.3.17 Question d’oral à l’agreg externe (Algèbre linéaire) −1 . . . . . . . . . . . . 124
2.3.18 Question d’oral à l’agreg externe (Algèbre linéaire) −2 . . . . . . . . . . . . 124
2.3.19 Question d’oral à l’agreg externe (Algèbre linéaire) −3 . . . . . . . . . . . . 124
2.3.20 Question d’oral à l’agreg externe (Algèbre linéaire) −4 . . . . . . . . . . . . 124
2.3.21 Question d’oral à l’agreg externe (Algèbre linéaire) −5 . . . . . . . . . . . . 125
2.3.22 Question d’oral à l’agreg externe (Algèbre linéaire) −6 . . . . . . . . . . . . 125
2.3.23 Question d’oral à l’agreg externe (Algèbre linéaire) −7 . . . . . . . . . . . . 125
2.3.24 Question d’oral à l’agreg externe (Algèbre linéaire) −8 . . . . . . . . . . . . 125
2.3.25 Question d’oral à l’agreg externe (Algèbre linéaire) −9 . . . . . . . . . . . . 125
2.3.26 Question d’oral à l’agreg externe (Algèbre linéaire) −10 . . . . . . . . . . . 125
2.3.27 Question d’oral à l’agreg externe (arithmétique) . . . . . . . . . . . . . . . . 126

93 Divertissements mathématiques (133)126
3.1
Arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.1.1 Exercice coup de coeur sur une suite récurrente linéaire . . . . . . . . . . . 126
3.1.2 Equation diophantienne aux Olympiades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.1.3 Equation diophantienne, estivale... et cyclotomique . . . . . . . . . . . . . . 126
3.1.4 Un petit exercice d’arithmétique (équation diophantienne) . . . . . . . . . . 126
3.1.5 Un problème de décimales aux Olympiades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.1.6 Cinq fois cinq vingt-cinq ou les rimes dans la table de multiplication . . . . 127
3.1.7 Nombres premiers et carrés consécutifs (on répond aux auditeurs !) . . . . . 127
3.1.8 Nombre de carrés consécutifs modulo p par Polya et Vinogradov . . . . . . 127
3.1.9 Cinq preuves coup de coeur pour une infinité de nombres premiers ! . . . . . 127
3.1.10 Devinez la caractéristique du corps ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.1.11 Le p-adique (ses merveilleuses applications) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
d3.1.12 Dernières décimales de n10 (aux olympiades ou plus si affinités) . . . . . . . 128
3.1.13 Minoration de la fonction pi de comptage des nombres premiers (Capes 2008) 128
3.1.14 Majoration de la fonction pi de comptage des nombres premiers (Capes 2008) 128
3.1.15 Entiers consécutifs avec/sans facteurs carrés ? . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.1.16 Doctor Fibonacci, I presume ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.1.17 Une (petite) identité de Ramanujan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.1.18 Théorème de progression arithmétique : une preuve en 10 minutes ? . . . . . 128
3.1.19 Un tour de magie (avec des nombres binaires !) . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.1.20 Le théorème de meilleure approximation rationnelle . . . . . . . . . . . . . . 129
3.1.21 x2 = x modulo 10k ou les rimes de la multiplication . . . . . . . . . . . . . . 129
3.1.22 ζ(2) - Les plus belles preuves ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.1.23 Des formules non polynomiales pour les nombres premiers ! . . . . . . . . . 129
3.1.24 Des formules polynomiales pour les nombres premiers ? . . . . . . . . . . . . 129
3.1.25 Une preuve d’Erdos sur la localisation des nombres premiers . . . . . . . . . 129
3.1.26 Distribution des puissances en base 10 et loi de Benford . . . . . . . . . . . 130
3.1.27 Presqu’entiers et nombres de Pisot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.1.28 Le théorème de Fermat de taille moyenne 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.1.29 Le théorème de Fermat de taille moyenne 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.1.30 Rudiments de théorie de Minkowski pour l’agrégation . . . . . . . . . . . . 131
3.1.31 Un fractal de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.1.32 Divine proportion, nombre plastique et méthode des puissances . . . . . . . 132
3.1.33 Le théorème à la fin heureuse - la preuve de Paul Erdös . . . . . . . . . . . 132
3.1.34 Le théorème de Skolem-Mahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.1.35 Seuls deux nombres en sandwich entre un carré et un cube ! . . . . . . . . . 132
3.1.36 Factorisez X 16 − X en irréductibles sur le corps à deux éléments e . . . . 133
3.1.37 Factorisez X 16 − X en irréductibles sur le corps à deux éléments - 2 . . . . 133
3.1.38 Sous-espaces stables et idéaux de K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.1.39 5 est-il un carré modulo p ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.1.40 x3 + 7 peut-il être un carré ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.1.41 Le témoin de Solovay-Strassen - Un test de primalité . . . . . . . . . . . . . 133
3.1.42 La loi de réciprocité d’Artin - 1 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.1.43 La loi de réciprocité d’Artin - 2 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.1.44 La loi de réciprocité d’Artin - 3 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.1.45 La loi de réciprocité d’Artin - 4 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
10

3.2

3.3

3.1.46 Le lemme d’Artin ou l’invitation à la théorie de Galois . . . . . . . . . . . . 134
3.1.47 Le théorème (fort) de progression arithmétique de Dirichlet e . . . . . . . 134
3.1.48 Irréductibilité dans Z[X] par congruences e . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.1.49 Les menteurs de Miller-Rabin - test de primalité . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.1.50 Les nombres pseudo-premiers de Perrin - 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.1.51 Les nombres pseudo-premiers de Perrin - 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.1.52 Les nombres pseudo-premiers de Perrin - 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.1.53 Les nombres pseudo-premiers de Perrin - 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.1.54 Lemme du ping-pong et groupe modulaire e . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.1.55 Application de la cyclicité de (Z/pZ)∗ : les nombres de Giuga . . . . . . . . 136
3.1.56 Le problème des sabliers d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.1.57 Le problème des pièces de monnaies de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.1.58 Le corps C est algébriquement clos. Ma preuve coup de coeur ! e . . . . . 136
3.1.59 Théorème de Kronecker. La preuve la plus simple ? . . . . . . . . . . . . . . 136
3.1.60 Polynômes symétriques vs invariants de Dickson (Maths en Hamac) e . . 137
3.1.61 L’équation de Fermat par Kummer (the hamacless version !) e . . . . . . . 137
3.1.62 Groupe de Galois et réduction modulo p e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.1.63 Une formule de récurrence simple pour les nombres premiers . . . . . . . . . 137
3.1.64 Du nouveau sur les morphismes de l’espace des polynômes ! . . . . . . . . . . 137
3.1.65 Le dernier théorème de Fermat pour p régulier (Maths en Hamac) e . . . . 138
Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.2.1 Exercice Oraux X-ENS : quand le groupe d’automorphismes d’un groupe
est-il trivial ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.2.2 Un 2-Sylow de S4 en 6ème avec l’IREM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.2.3 Décimales et groupes cycliques- le nombre 142857 et ses amis . . . . . . . . 138
3.2.4 Les théorèmes de Sylow dans un carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.2.5 Le pfaffien, la pfabuleuse histoire ! (racontée par Pfil) e . . . . . . . . . . 138
3.2.6 Surjectivité du morphisme de SLn (Z) vers SLn (Fp ) . . . . . . . . . . . . . . 139
3.2.7 Critères de simplicité d’Iwasawa pour un groupe −1/2 e. . . . . . . . . 139
3.2.8 Critères de simplicité d’Iwasawa pour un groupe −2/2 e. . . . . . . . . 139
3.2.9 Galois et la non résolubilité par radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.2.10 Le nombre 20160 et un non-isomorphisme exceptionnel - 1 . . . . . . . . . . 139
3.2.11 Le nombre 20160 et un non-isomorphisme exceptionnel - 2 . . . . . . . . . . 139
3.2.12 Le théorème de Polya sur les coloriages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.2.13 Le théorème de Cartan-Von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.2.14 Fibration de Hopf (par les quaternions) e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.2.15 Etude du groupe de Rubik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.3.1 L’ exponentielle expliquée à mon voisin Nico . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.3.2 Prix Abel 2024 (autour d’une question elliptique) . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.3.3 Théorème d’inversion de Lagrange et nombres de Catalan . . . . . . . . . . 141
3.3.4 La balade de Narayana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.3.5 Pourquoi Log et Exp sont inverses l’une de l’autre ? . . . . . . . . . . . . . . 141
3.3.6 Fonctions absolument continues par Tristan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.3.7 L’escalier du diable par Tristan e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.3.8 Peut-on couper un gâteau (polygonal) en 6 parts égales avec trois coups decouteau ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
11

3.4

3.5

3.3.9 Le corps C est algébriquement clos, par les intégrales de Cauchy. . . . . . . 142
3.3.10 Théorème de représentation d’une fonction lipschitzienne par Tristan e. 142
3.3.11 Le théorème de Borsuk-Ulam ou la rencontre des pôles-1 e . . . . . . . . 142
3.3.12 Le théorème de Borsuk-Ulam ou la rencontre des pôles-2 e . . . . . . . . 142
3.3.13 Le théorème de Fejér prouvé par Korovkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.3.14 Les projecteurs spectraux par l’analyse complexe e. . . . . . . . . . . . 142
3.3.15 Un paquet cadeau, c’est pour offrir ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.3.16 La conjecture de sensitivité par Corentin Faipeur-1 . . . . . . . . . . . . . . 143
3.3.17 La conjecture de sensitivité par Corentin Faipeur-2 . . . . . . . . . . . . . . 143
3.3.18 La conjecture de sensitivité par Corentin Faipeur-3 . . . . . . . . . . . . . . 143
3.3.19 Le théorème ergodique de Von Neumann (version discrète) . . . . . . . . . . 143
3.3.20 Nombre de carrés consécutifs modulo p par Polya et Vinogradov . . . . . . . 143
Polynomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.4.1 Pinceau de polynômes scindés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.4.2 Localisation des racines d’un polynôme (une brève histoire) . . . . . . . . . 144
3.4.3 Localisation des racines d’un polynôme-addendum . . . . . . . . . . . . . . 144
3.4.4 Une devinette polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.4.5 La formule de Jacobi-Trudi (par le lemme de Gessel-Viennot) −3 . . . . . . 144
3.4.6 Gessel-Viennot, l’approche alternative du déterminant . . . . . . . . . . . . 144
3.4.7 Identité de Vandermonde en dimension supérieure . . . . . . . . . . . . . . 145
Divers (inclassables) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.5.1 Remarquables identités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.5.2 Changement d’heure (et dualité) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.5.3 Des voeux de bonne année avec Hilbert-2024 ! . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.5.4 Les invités du Capitaine Woody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.5.5 Une preuve sans mot (relativement très connue) . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.5.6 Quel est l’âge d’Esteban (el Capitan) ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.5.7 007 contre S26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.5.8 Ampoules et interrupteurs en caractéristique 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.5.9 Popcorn maths ’n burger quizz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.5.10 Le corbeau et le renard, une fable mathématique . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.5.11 Des voeux de bonne année selon une tradition familiale... . . . . . . . . . . 146
3.5.12 Equations grégophantiennes-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.5.13 Equations grégophantiennes-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.5.14 Equations grégophantiennes-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.5.15 2021 et le jour de pi-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.5.16 2021 et le jour de pi-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.5.17 2021 et le jour de pi-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.5.18 Triangles équilatéraux et nombre d’or . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.5.19 Triangles équilatéraux et nombre d’or-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.5.20 Maths et Pizzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.5.21 Concours SMF-Junior 2022-Algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.5.22 Pavage d’un ballon de foot par des hexagones ? . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.5.23 Galois et Hilbert ou les avatars de la dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.5.24 La cohomologie sans effort (pour celles et ceux qui savent poser une addition)−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.5.25 Cohomologie des groupes et suites exactes scindées-2 . . . . . . . . . . . . . 148
12

3.5.26 Cohomologie et théorème de Schur-Zassenhaus-3 . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.5.27 Cohomologie par l’exemple- les groupes d’ordre 8- (video-4) . . . . . . . . . 149
3.5.28 Cohomologie et la bijection extensions-H 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.5.29 La caractéristique 2 avec une rampe de spots . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.5.30 La trigonométrie, selon Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.5.31 Variance des inversions, polynômes générateurs et décomposition de Bruhat 149
3.5.32 La formule du binôme quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.5.33 Le théorème de Bruck-Ryser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.5.34 Le principe d’incertitude d’Heisenberg expliqué à mon voisin Nico . . . . . . 150
3.5.35 Une ≪ preuve superbement simple ≫ selon Terence Tao - Le problème de
Kakeya discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.5.36 Dessins d’enfants par Alex Moriani - 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.5.37 Dessins d’enfants par Alex Moriani - 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.5.38 Un problème de cinéphile ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.5.39 Un exercice proposé par Vincent Lafforgue e . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4 C’est graphe docteur ? (7)151
4.1 Graphes (a minima) pour l’oral de l’agrégation - 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.2 Graphes (a minima) pour l’oral de l’agrégation - 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.3 Graphes (a minima) pour l’oral de l’agrégation - 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.4 Nombre chromatique d’un graphe et théorème spectral . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.5 Inégalités de Cheeger pour les graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.6 Un exercice sur les graphes et la star ζ(2) ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5 On finit en chanson !
152
5.1 U-Turn (Philippe) par Guillaume Mallet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.2 Tarare (et on a fait des maths) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.3 La dernière échéance, United Choir of Baire Lovers . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.4 Le banquet final à la Chapelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

1

Les écrits (504)1.1

Un peu de lecture (12)1.1.1Carnet de Voyage en Algébrie : la présentation

P La seconde édition de carnet de voyage en Algébrie vient d’arriver chez Calvage & Mounet
avec son lot de nouveautés que l’on présente ici.
1.1.2

Carnet de Voyage en Analystan : la présentation

P La dernière version de carnet de voyage en Analystan vient d’arriver avec son lot denouveautés que l’on présente ici.

13

1.1.3Algèbre éclectique de Danila - Eiden - Mneimné - 1

P Quelques mots (sans rentrer dans les détails) sur ce livre d’algèbre éclectique (niveau master)qui vient de paraı̂tre pour notre plus grand bonheur !
1.1.4

Algèbre éclectique de Danila - Eiden - Mneimné - 2

P On ouvre le livre et on pioche dedans comme dans une boı̂te de chocolats.
1.1.5

Algèbre éclectique de Danila - Eiden - Mneimné - 3

P On étudie les idéaux premiers de l’anneau (intègre) Z[X]/(X 4 + 1). Cela va nous permettred’affiner nos outils pour les anneaux non principaux et se familiariser avec des morphismes qui
nous ramènent gentiment à des anneaux principaux assez proches (comme Q[X], Z, Fp [X])1.1.6

Algèbre éclectique de Danila - Eiden - Mneimné - 4

P Voici une petite équation matricielle, extraite du livre ≪ Algèbre éclectique ≫ de DanilaEiden-Mneimné, faisant intervenir un polynôme irréductible sur Q. Vous ne verrez plus jamais dela même manière le petit théorème de l’existence des bases !
1.1.7

≪

Le groupe symétrique S4 et ses métamorphoses ≫ 1

P Lecture d’été du joli livre d’Alain Debreil et Rached Mneimné chez Calvage et Mounet. Un
livre qui ouvre toutes les fenêtres du groupe S4 sur divers domaines des mathématiques. Dix−septchapitres, et autant de notes fleuries qui embaumeront cette fin d’été.
1.1.8

≪

Le groupe symétrique S4 et ses métamorphoses ≫ 2

P On feuillette ici le livre des métamorphoses du groupe symétrique S4 .
1.1.9

≪

Le groupe symétrique S4 et ses métamorphoses ≫ 3

P On continue à feuilleter chapitre par chapitre les pages du livre d’Alain Debreil et RachedMneimné sur les nombreux avatars du groupe S4 en géométrie affine, euclidienne, avec les polytopes,
les graphes de Cayley, les treillis d’extensions de corps et enfin la géométrie projective. Ces deux
derniers méritent un traitement à part qui figurera dans des vidéos prochaines.
1.1.10≪

Le groupe symétrique S4 et ses métamorphoses ≫ 4

P Le livre d’Alain Debreil et Rached Mneimné propose dans le chapitre II une série d’exercicesd’un type nouveau. On veut savoir, si l’on se donne une permutation de S4 , de combien de manièrespeut-on décomposer cette permutation en un produit de 4-cycles, resp. 3-cycles, resp. d’un troiscycle et d’une double-transposition. On donne une formule qui permet de calculer ce nombre
dans un cadre très général : dans Sn , on fournit le nombre de décompositions en produit de m
permutations appartenant chacune à une classe de conjugaison donnée. On montre cette formule
dans une prochaine vidéo, et on se content d’exposer et d’illustrer cette formule, qui exploite lathéorie des caractères.
14

1.1.11≪

Le groupe symétrique S4 et ses métamorphoses ≫ 5

P On prouve le résultat annoncé sur le nombre de décomposition dans Sn en types donnés.
Cela demande de la théorie des caractères (lemme de Schur et surtout l’utilisation classique de lareprésentation régulière comme fonction caractéristique de l’élément neutre).
1.1.12Introduction aux graphes aléatoires ≫ par l’épreuve Mines-Pont 2024 (et lelivre)≪P Je saute sur l’occasion de la (difficile) épreuve 2, Mines-Ponts 2024, pour parler du livre deRoger Mansuy ≪ Introduction aux graphes aléatoires ≫ chez Calvage et Mounet. On parlera danscette vidéo de fonctions de seuil pour certaines propriétés. Je trouve cela fascinant de voir de sibelles idées dans un problème aussi appliqué.
1.1.13

Les perles d’Indra par David Mumford (and al.)P Perles d’Indra- 1 L’ univers est fracatal Dans la mythologie védique de l’Inde ancienne,
Indra est le dieu des dieux et son collier est constitué de perles se reflétant les unes aux autres,
jusqu’à l’infini, et au-delà. Cette représentation poétique de l’univers, Felix Klein en a rêvé. David
Mumford, Caroline Series et David Wright l’ont fait ! Dans un livre chaudement recommandé :Indra′ spearls− the vision of Felix Klein.
Perles d’Indra- 2-Les premières perles
Une petite mise en place pour entrer de plain pied dans l’univers d’Indra. Quelques prérequistrès sommaires sur l’action des homographies sur l’ensemble des cercles (ou droites). Puis, onconstruit nos premières perles du collier ainsi que leurs reflets.
Perles d’Indra- 3-Ping-pong, graphe de Cayley et plein de jolies couleurs
On met en place le ping-pong entre a et b, ce qui donne lieu à de jolies images pleines de couleurs,qui peuvent également se voir à l’aide du graphe de Cayley d’un groupe libre à deux générateurs(y a plus de flèches, mais moins de couleurs). On donne un exemple simple d’homographies a et b
qui vérifient les ≪ règles du ping-pong ≫.
Perles d’Indra- 4-on commence à assembler les perles (désolé, le son est mauvais au début)
On veut maintenant que le collier de perles soit constitué de disques tangents entre eux. Cela
demande déjà au départ que les quatres disques initiaux le soient. Mais cela ne suffit pas. On
trouve alors une condition nécessaire : que les points de tangence soient globalement conservés parles homographies a et b. Cela va impliquer par symétrie cyclique que les points de tangence sontfixés par des commutateurs. On en profite pour un petit exercice de santé : montrer que si quatre
cercles sont cypliquement tangents, alors les points de tangence sont cocyliques.
Perles d’Indra- 5-dernier cours avant la récré
On arrive enfin à axiomatiser notre collier d’Indra. Tout d’abord, de façon géométrique, avec
la notion de commutateur parabolique, puis, de façon purement algébrique, avec la formule destraces de Markov. On rencontre au passage l’équation classique x2 + y 2 + z 2 − xyz = 0.
Perles d’Indra- 6-Playtime !
Le dernier volet de ce ≪ reader’s digest ≫ d’un des plus beaux livres que j’ai eu entre les mains.
On va maintenant, jouer avec les paramètres, et même dérégler la machine afin de construire àl’envi de jolies des courbes fractales.

15

1.2

Propédeutique (33)1.2.1

Cahier de vacances - Roger Mansuy - Théorie des ensembles

P Vive les vacances et ses cahiers. Pour se remettre en forme, on fait un petit ≪ vrai-faux ≫ surla théorie des ensembles. Vous pourrez trouver le cahier sur
http://www.rogermansuy.fr/pdf/CahierVacances.pdf
1.2.2

Cahier de vacances - Roger - Mansuy - Complexes

P Quelques exercices sur les nombres complexes. Vous pourrez trouver le cahier sur
http://www.rogermansuy.fr/pdf/CahierVacances.pdf
1.2.3

Cahier de vacances - Roger Mansuy - Suites

P Vive les vacances et ses cahiers. Pour se remettre en forme, on fait un petit ≪ vrai-faux ≫ surles suites.
1.2.4

Cahier de vacances - Roger - Mansuy - fonctions continues

P Pour se remettre en forme, on fait un petit ≪ vrai-faux ≫ sur les fonctions continues.
1.2.5

Cahier de vacances - Roger - Mansuy - Polynômes

P Fuyez la chaleur et mettez − vous au frais pour ce petit questionnaire sur les polynômes.
1.2.6

Cahier de vacances - Roger - Mansuy - Espaces vectoriels

P Pour se remettre en forme, on fait un petit ≪ vrai-faux ≫ sur les espaces vectoriels.
1.2.7

Cahier de vacances - Roger - Mansuy - Applications linéaires

P Quelques exercices sur les applications linéaires (et les endomorphismes).
1.2.8

Cahier de vacances - Roger - Mansuy - Dimension

P Quelques exercices sur la dimension. V
1.2.9

Cahier de vacances - Roger - Mansuy - Matrices

P Quelques exercices sur les matrices.
1.2.10Cahier de vacances - Roger - Mansuy - M atrices − 2

P Quelques exercices sur les matrices.

16

1.2.11

Questionnaire Roger Mansuy - Ensembles et Applications

P Le questionnaire Vrai-Faux de Roger Mansuy qui concerne les bases des mathématiques
dites modernes : la théorie des ensembles et les applications. Pour les amateurs de patates !
1.2.12

Questionnaire Roger Mansuy - Structures algébriques

P Questionnaire Vrai-Faux de Roger Mansuy sur les structures algébriques
1.2.13

Questionnaire Roger Mansuy - Arithmétique - 1

P Questionnaire Vrai-Faux sur l’arithmétique
1.2.14

Questionnaire Roger Mansuy - Arithmétique - 2

P Le second volet du questionnaire d’arithmétique de Roger Mansuy
1.2.15

Questionnaire Roger Mansuy - Groupe de permutations

P Site de Roger Mansuy
1.2.16questionnaire Roger Mansuy sur les polynômes

P Un petit questionnaire de niveau licence sur les polynômes.
1.2.17

Questionnaire Roger Mansuy Espaces Vectoriels 1

P Attention, l’été rouille les méninges ! Une petite couche de questionnaire Roger Mansuy detemps à autre permet de limiter les dégats.
et venez vérifier les réponses sur la chaı̂ne.
1.2.18

Questionnaire Roger Mansuy sur les espaces euclidiens - 1

P Demandez le catalogue Automne − Hiver :1.2.19

Questionnaire Roger Mansuy sur les espaces euclidiens - 2

P Demandez le catalogue Automne − Hiver :et le site de Roger Mansuy
1.2.20

Questionnaire Roger Mansuy sur les matrices

P Questionnaire Vrai-Faux de Roger Mansuy sur les matrices
1.2.21

Questionnaire Roger Mansuy sur les déterminants

P Malgré l’apparente simplicité des questions, ce questionnaire pensé avec soin par Roger
Mansuy permet d’intégrer en profondeur cette première partie du cours d’agrégation interne surles déterminants.
17

1.2.22

Questionnaire Roger Mansuy sur la réduction-1

P Une première partie du copieux questionnaire Vrai-Faux de Roger Mansuy qui concerne
le coeur du programme d’agrégation en algèbre, j’ai nommé la réduction. Encore une fois, cequestionnaire est instructif car il permet de prendre du recul sur les bases du programme.
1.2.23

Questionnaire Roger Mansuy sur la réduction 2

P Une seconde partie du copieux questionnaire Vrai-Faux de Roger Mansuy qui concerne lecoeur du programme d’agrégation en algèbre, j’ai nommé la réduction.
1.2.24

Questionnaire Roger Mansuy sur la réduction-3

P la dernière partie du copieux questionnaire Vrai-Faux de Roger Mansuy qui concerne laréduction..
1.2.25

Questionnaire Roger Mansuy sur les séries entières

P Questionnaire Vrai-Faux de Roger Mansuy sur les séries entières1.2.26

Questionnaire Roger Mansuy sur les séries

P Je propose sur cette chaı̂ne trois types de contenus. Des cours d’agrégation externe demathématiques, des cours d’agrégation interne, et des vidéos de mathématiques pour le plaisir(qui s’adresse en général à un public possédant un master de maths ou en cours de masterisation).
J’en profite pour faire la promo de mes livres, dont carnet de voyage en Analystan qui est autoédité ; envoyez-moi un mail à caldero@math.univ-lyon1.fr si l’ouvrage vous intéresse.
1.2.27

Questionnaire Roger Mansuy - Suites

P Questionnaire Vrai-Faux de Roger Mansuy sur les suites.
1.2.28

Questionnaire Roger Mansuy sur la topologie

P Questionnaire Vrai-Faux de Roger Mansuy sur la topologie
1.2.29Propédeutique. Les nombres complexes (décomplexés) pour l’agrégation interne

P Histoire de partir d’un bon pied, on passe en revue tout ce qui est utile de savoir sur lesnombres complexes (constructions du corps des complexes, calcul complexe, équations en complexe,géométrie des complexes).
1.2.30Petit recueil d’idées reçues - 1 - Espaces vectoriels

P On présente ici un florilège d’assertions que les candidats à l’agrégation interne ou externecroient à tort. Chaque assertion fausse sera déminée, d’une part en la rapprochant de l’assertion
juste la plus proche, et d’autre part en exhibant un contre - exemple. En espérant que ce soit utile !
On commence par un premier chapitre sur l’algèbre linéaire et les espaces vectoriels.
18

1.2.31

Petit recueil d’idées reçues - 2 - Réduction

P On présente ici un florilège d’assertions que les candidats à l’agrégation interne ou externecroient à tort. Chaque assertion fausse sera déminée, d’une part en la rapprochant de l’assertion
juste la plus proche, et d’autre part en exhibant un contre - exemple. En espérant que ce soit utile !
On continue avec un chapitre sur la réduction.
1.2.32

Petit recueil d’idées reçues - 3 - Polynômes - Groupes - Anneaux

P On présente ici un florilège d’assertions que les candidats à l’agrégation interne ou externecroient à tort. Chaque assertion fausse sera déminée, d’une part en la rapprochant de l’assertion
juste la plus proche, et d’autre part en exhibant un contre - exemple. En espérant que ce soit utile !
On continue avec un chapitre sur les anneaux de polynômes et les groupes.
1.2.33

Petit recueil d’idées reçues - 4 - Formes quadratiques

P On présente ici un florilège d’assertions que les candidats à l’agrégation interne ou externecroient à tort. Chaque assertion fausse sera déminée, d’une part en la rapprochant de l’assertion
juste la plus proche, et d’autre part en exhibant un contre - exemple. En espérant que ce soit utile !
On finit en beauté avec un chapitre sur les formes quadratiques.

1.3

Cours (102)1.3.1

Cours d’algèbre linéaire

1.3.2

Cours sur les espaces vectoriels

P On commence un cycle d’algèbre linéaire qui figure au coeur du programme d’algèbre del’agrégation interne. ici, il sera question de la définition des espaces vectoriels.
L’algèbre linéaire est au coeur du programme de l’agrégation, interne comme externe. Il est
prudent d’entre d’un bon pied dans le monde des espaces vectoriels/
Partie 1. Il sera question de la définition des espaces vectoriels.
Partie 2. On attaque les premières définitions dans les espaces vectoriels : parties libres,génératrices.
Partie 3. Lemme d’échange qui permet de prouver que toutes les bases d’un espace vectoriel dedimension finie ont même cardinal.
Partie 4. On montre l’existence de base dans un espace vectoriel de dimension finie à l’aide duthéorème de la base incomplète. On commence à traiter les problème sur corps finis.
Partie 5. Le théorème de la base extraite, dont on va tirer une conséquence classique : unepartie génératrice est une base si et seulement si elle a le bon nombre d’éléments : la dimension(finie).
Partie 6. On traite ici le cas des sous-espaces vectoriels. Leur définition, leur caractérisation. On
termine sur le fait qu’un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie est lui-mêmede dimension finie.
Partie 7. L’application emblématique de la dimension : elle permet une inclusion réciproque.
Il s’agit d’un théorème (en fait dans le cours, d’un corollaire) qu’il faudra tout le temps avoir àl’esprit lorsque l’on traite d’une égalité de sous-espaces vectoriels. On calcule ensuite un problèmede dénombrement sur corps fini.
19Partie 8. Deux opérations (addition et intersection) sur l’ensemble des sous-espaces vectoriels d’un espace de dimension finie (ou pas) E. On donne une caractérisation intrinsèque de ces
opérations, puis, on prouve la formule de Grassmann qui met en relation les dimensions des sousespaces considérés.
Partie 9. Applications de la formule de Grassmann et sommes directes de deux ou plusieurs
sous-espaces, et quelques critère de sommes directes.
Partie 10. On généralise le critère sur les sommes directes de deux sous-espaces à plusieurs
sous-espaces. Il faut particulièrement se méfier ici d’une généralisation hasardeuse. Pour finir, on
calcule le nombre de sous-espaces supplémentaires à un sous-espace fixé (sur un corps fini).
Cours d’agrégation interne sur les applications linéaires
P On définit les objets fondamentaux autour des applications linéaires (opérations sur lesapplications linéaires, noyau et image, théorème fondamental de l’algèbre linéaire, formule durang. On en déduit ensuite en exercice quelques résultats de dénombrement.
Cours sur la dualité
P Le dual est à la dualité ce que le conjoint est au couple. C’est dire si l’affaire est sérieuse ! On
commencera donc par parler de ce que l’on appelle le dual et surtout de la dualité (en dimension
finie). On exhibera un tableau qui va transformer un objet de l’algèbre linéaire en un objet ≪ dual ≫.
On définira ensuite la ≪ base duale ≫ en dimension finie, on écrit deux formules qui se révèleronttrès pratiques dans la suite, et on fournira un contre - exemple en dimension infinie, où la ≪ famille
duale ≫ d’une base n’est pas une base (elle est en fait uniquement libre mais non génératrice).
On vient de voir les bases duales. Comment le changement de base duale dans E ∗ s’opère-t-il enfonction d’un changement de base fixé dans E ? On se rend compte que si l’on part d’une matricede passage P dans l’espace, alors on obtient une matrice de passage Q dans l’espace duale qui se
trouve être, en générale, différente de P (Q est l’inverse de la transposée de P ). Mais si l’on dualise
une fois de plus la base duale, on obtient une matrice de passage à nouveau égale à P . Ceci permet
de voir qu’il y a un isomorphisme indépendant d’une base choisie entre un espace E et son bidual.
On donne deux applications de la dualité, une à la formule d’interpolation de Lagrange, et
une autre à la formule de Taylor polynomiale. On montre que ces deux formules découlent d’unedémarche standard impliquant la recherche de bases duales l’une de l’autre.
On discrétise la formule de Taylor pour obtenir une formule générale qui calcule la somme
P (0) + P (1)+... +P (m) pour tout polynôme P . On ne se prive pas d’utiliser la dualité.
On étudie maintenant la dualité des sous-espaces vectoriels pour aboutir à la notion d’orthogonal d’un sous-espace (attention, cet orthogonal doit être vu dans le dual !). On donne la dimension
de cet orthogonal, puis, on étudie la dualité des opérations sur les sous-espaces vectoriels.
On introduit les hyperplans comme l’orthogonal d’une droite. Si une droite est un sous-espace
non nul ayant un minimum de degrés de liberté, un hyperplan peut être vu comme un sous-espaceayant un minimum de contraintes. On discute les sous-espaces comme intersections d’hyperplans,ce qui revient à obtenir un sous-espace par son équation cartésienne.
Dans cette vidéo, on présente la transposée d’une application linéaire. Même si au final, ellecorrespond à la banale transposée d’une matrice, cette notion abstraite de transposée d’applicationlinéaire demande une certaine habileté dans le maniement. On prouve que la transposée fournit
une bijection linéaire entre les espaces L(E, F ) et L(F ∗ , E ∗ ).

20

On montre ici que la transposée, qui envoie bijectivement l’espace L (E, F ) sur L(F ∗ , E ∗ ),envoie les injectifs sur les surjectifs et inversement, les noyaux sur les images. Ce qui nous permetd’achever le dictionnaire de la dualité que nous avions mis en introduction du cours 5.
On jongle ici avec le bidual pour montrer que la transposée est involutive. Mais si f est dansl’espace L (E, F ) des applications linéaires, la transposée de sa transposée est dans L (E ∗∗ , F ∗∗ ).
Que signifie donc l’égalité entre deux éléments qui n’appartiennent pas au même ensemble ? On va
essayer d’expliquer cette subtilité. Ceux qui ne sont pas sensibles au concept alambiqué de bidual
pourront se contenter de constater que la transposée possède une version matricielle beaucoup plus
pratique.
On fait le point sur des applications de la dualité dans le programme et les développements
de de l’agreg (interne ou externe). On trouvera des applications aux polynômes, aux matrices, en
analyse, topologie, et bien sûr dans le cadre des formes quadratiques.
Minicours sur les matrices
P On introduit les matrices, comme objet de calcul au service des applications linéaires. Pourl’instant on observe les liens entre matrices et applications linéaires, mais en mettant l’accent sur
le fait que ces liens dépendent de choix de bases. En même temps on définit les coordonnées (encolonne) des vecteurs dans une base, et en ligne des formes linéaires dans la base duale.
On discute des opérations sur les matrices, l’addition, la multiplication par un scalaire et lamultiplication de deux matrices (multipliables), le tout, en lien avec ce que ces opérations informent
sur des opérations dans le monde des applications linéaires.
On définit deux involutions sur les matrices, tout d’abord la transposée et ensuite l’inversion
des matrices (carrées inversibles !). On regarde à quoi correspond ces deux inversions dans le mondedes applications linéaires (ou des endomorphismes).
On présente ici les matrices de passage comme des matrices de l’application linéaire (en fait
l’endomorphisme) identité avec pour base de départ la nouvelle base et pour base d’arrivée l’ancienne base. On montre que cette définition permet de retrouver très facilement toutes les formules
sur les matrices de passage.
On discute et on prouve ici l’incontournable théorème du rang qui dit que deux matrices sontéquivalentes si et seulement si elles ont même rang.
On finit en beauté en calculant le nombre de matrices de taille (m, n) de rang r sur un corps
fini de cardinal q. On le fait par application systématique du lemme du Berger et en suivant lapreuve du théorème du rang.
Déterminants
P (1h52’17’ ’)
A travers les résultats successifs, on voit comment le déterminant, qui démarre comme un
calcul un peu pataud sur une matrice carrée, acquiert ses titres de noblesses. Le but de cetteplaylist est de fournir les clefs d’une leçon sur le déterminant, tout en préparant leprochain cours sur la réduction. Ici, on montre le théorème principal du déterminant en
insistant sur l’unicité d’une fonction vérifiant des propriétés simples, plutôt que sur
sa formule explicite.
On prouve et on illustre le théorème principal d’existence et d’unicité du déterminant.
On a montré que l’ensemble des applications de Mn (K) dans K qui sont, à la fois, nlinéaires et alternées sont toutes proportionnelles au déterminant (et réciproquement).
21

On montre plusieurs conséquences pratiques et théoriques de ce résultat : déterminantdes matrices triangulaires, triangulaires par blocs, invariance par transposition dudéterminant. Mais c’est, surtout, la multiplicativité du déterminant qui aura des conséquences
profondes sur la suite du cours d’algèbre linéaire.
On observe les conséquences de la multiplicativité du déterminant : det(AB) = det(A) det(B).
Ceci implique la stabilité par conjugaison du déterminant mais aussi le fait que ledéterminant est capable de déceler si un système forme ou non une base d’où son
nom amplement mérité. Mieux, l’invariance par conjugaison permet d’élever le rôle dudéterminant : on peut définir le déterminant d’un endomorphisme indépendammentd’un choix de base. Enfin, on définit la notion de mineur et on énonce la formule qui
donne explicitement l’inverse d’une matrice inversible en fonction de la transposée dela comatrice. Elle sera prouvée dans la prochaine partie.
On attaque la preuve de la formule explicite de l’inverse d’une matrice (inversible).
On étudie ensuite les systèmes de Cramer.
Voici une preuve d’un résultat sur le déterminant qui aura de multiples (mais bénéfiques)conséquences. Le rang d’une matrice (rectangulaire, soyons fous) est égal à la taille maximale d’un mineur non nul. On illustre le déterminant dans sa maı̂trise des contraintes :il peut donner l’équation d’une droite, vectorielle, affine et même l’équation d’un
cercle. On pourrait continuer avec les coniques mais on s’arrêtera là.
Une petite partie presque simpliste sur le déterminant comme forme volume.
On va parler sans preuves de généralisations des résultats classiques sur le déterminant.
Tout d’abord, le développement par rapport à une colonne (ou une ligne) se généralise
en développement de Laplace ou développement par rapport à une famille de colonnes(je me souviens qu’en math sup, j’avais intuité ce résultat mais n’ayant pas le sens de l’effort àl’époque, la rencontre avec la preuve ne s’était pas faite). Mais le résultat le plus important
est la formule de Binet (qui généralise la multiplicativité du déterminant lorsque l’on fait leproduit de deux matrices rectangulaires). On parle ensuite (un peu trop pour certains et pas assez
pour d’autres) de l’importance de cette formule en théorie des représentations et engéométrie algébrique.
Cours 7 agrégation interne : réduction polynômes d’endomorphisme 1
P On commence un nouveau cours d’agrégation interne sur la réduction. Tout d’abord avec unepartie motivation l’histoire de comprendre où l’on va à partir de ce que l’on sait déjà. On rappelledonc brièvement ce que l’on a fait avec les applications linéaires et leurs matrices, l’histoire delancer le programme.
Cours 7 Agrégation interne : Réduction polynômes d’endomorphisme 2
P On commence par définir les polynômes d’un endomorphisme u d’un espace vectoriel E. Ce
ci est défini comme un morphisme d’algèbre allant de l’agébre de polynômes K[X] vers l’algèbre
des endomorphismes de E. Ce morphisme définit, d’une part, l’algèbre des polynômes de l’endomorphisme u, et d’autre part, le polynôme minimal de u, vu comme générateur de l’idéal noyau.
Cours 7 agreg interne : réduction polynômes d’endomorphisme 3
P On attaque la preuve du lemme des noyaux, qui peut être vu comme un avatar de l’identité22

de Bezout (et finalement l’arithmétique des polynômes) dans la géométrie de l’espace E ≪ muni
de l’endomorphisme u ≫.
Cours 7 agreg interne : réduction polynôme d’endomorphisme 4
P En mathématiques, on est toujours confronté au choix de la théorie et de la pratique. Le
polynôme minimal est un polynôme annulateur (d’un endomorphisme u), plutôt du côté de lathéorie. En revanche, le polynôme caractéristique est un polynôme plus facilement calculable parsa définition et également annulateur par Cayley-Hamilton. Ses racines sont les valeurs propres del’endomorphisme u.
Cours 7 agreg interne : réduction polynômes d’endomorphisme 5
P On prouve ici le théorème de Cayley-Hamilton par les matrices compagnon
Cours 7 agreg interne-externe : Réduction polynômes d’endomorphismes 6
P On fait le point sur les propriétés du polynôme caractéristique. Degré, indépendance ducorps, divisibilité par le polynôme minimal mu et divise mun .
Cours 7 agreg interne-externe : réduction polynôme d’endomorphisme 7
P On a montré que le polynôme caractéristique était ≪ coincé ≫ entre le polynôme minimal etune puissance (égale à la dimension de l’espace) du polynôme minimal. On en donne une preuve
alternative instructive lorsque le corps est le corps des complexes (ou un corps algébriquementclos). On en déduit ensuite le polynôme minimal et caractéristique d’un endomorphisme restreint
aux sous-espaces caractéristiques.
Minicours sur les polynômes
P La théorie des polynômes est intéressante en soi, mais avant tout, elle constitue un outil
incontournable en algèbre linéaire (ainsi qu’en analyse). Voici un mini-cours où nous allons visiterles divers aspects de la théorie : définition, évaluation, division euclidienne, idéaux principaux,quotients ainsi que des aspects plus éloignés de l’arithmétique comme les racines, et les relations
coefficients-racines. On fera également un détour du côté du résultant.
Cours 9 agreg interne : réduction diagonalisation 1
P Voici la suite du cours sur la réduction. On étudie les matrices dites diagonalisables et on
donne tous les critères classiques de diagonalisabilité, allant des critères géométriques aux critères,plus efficaces, qui impliquent les polynômes.
Cours 9 agreg interne : réduction diagonalisation 2
P On présente les grands classiques des applications des critères polynomiaux de la diagonalisabilité. 1) l’induit d’un diagonalisable à un sous-espace stable est encore diagonalisable, 2)
la diagonalisation simultanée, 3) diagonalisabilité des endomorphismes de multiplication par une
matrice.
23

Cours 9 agreg interne : réduction diagonalisation 3
P On tente ici de définir des fonctions ≪ inverses ≫ sur les matrices, comme la racine k-ième,le logarithme... On se rend compte que même si ces fonctions existent bien sur C, elles ne sont
pas forcément définissables sur Mn (C). La diagonalisabilité nous permet de le faire à l’aide depolynômes interpolateurs de Lagrange. Dans le cas non diagonalisable, on s’en sort sur un ouvert,
en utilisant la décomposition de Dunford et en remplaçant astuceieusement les séries de Taylor
par des polynômes en une matrice nilpotente.
Cours 9 agreg interne : réduction trigonalisation 1
P On donne l’analogue des critères de diagonalisation dans le cadre de la trigonalisation sur
un corps K. On a bien entendu le critère par le polynôme caractéristique scindé sur K, mais aussi
un critère plus fort par l’existence d’un polynôme annulateur scindé. Enfin, un critère, géométrique
est le bienvenu. Il se fera par l’existence d’un drapeau complet stable.
Cours 9 agreg interne : réduction trigonalisation 2
P On donne des raffinements et des applications à la trigonalisation. Tout d’abord, le critère dupolynôme annulateur scindé, et comme application la trigonalisation simultanée d’endomorphismes
trigonalisables qui commutent. Nous passons ensuite à une jolie application qui peut être vuecomme un ≪ Cayley-Hamilton à plusieurs variables ≫.
Cours 9 agreg interne : réduction trigonalisation 3 e
P On ouvre un volet sur les applications de la trigonalisation et de la trigonalisation simultanée(pour deux matrices trigonalisables qui commutent). On montre que le spectre du la puissance est
la puissance du spectre, et que l’on a les mêmes commutations du langage avec l’exponentielle...
On montre ensuite une version plus fine de la trigonalisation : si A est une matrice trigonalisable,
elle est semblable à une matrice diagonale par blocs triangulaire à spectre singleton. La taille d’un
bloc associé à une valeur propre est la multiplicité algébrique de la valeur propre. C’est la porte
ouverte sur la décomposition de Dunford.
Cours 10 agreg interne : réduction et formes normales
P On présente différentes formes normales pour les classes de similitudes. Formes diagonales,
formes diagonales par blocs de Jordan, formes par matrices de compagnon. Ce qui caractérise une≪ forme normale ≫ est sa simplicité, mais surtout l’unicité d’un élément de cette forme dans uneclasse. On résout ensuite un exercice de dénombrement des classes de similitude sur corps fini qui
illustre notre propos.
Cours 10 agreg interne : réduction et invariants de similitude 1
P On a collecté suffisamment de résultats généraux pour comment une série d’exercices àthème. On commence ici avec le thème des matrices semblables On va donc passer par ce que l’onappelle les invariants de similitudes. Mais, contrairement au cas des matrices équivalentes où toutétait résolu avec le rang, les choses ne sont pas simples... On peut tout de même voir dans certains

24cas que deux matrices ne sont pas semblables, mais on mesure en même temps la faiblesse de nos
critères. Patience...
Cours 10 agreg interne : réduction et invariants de similitude 2
P On commence avec un exercice qui permet de faire un petit tour du domaine en matièred’invariants de similitude pour déterminer si deux matrices sont semblables ou non. On fait ensuitele point sur les invariants partiels (polynôme caractéristiques, minimaux et autres), et les invariants
totaux (dimension des noyaux emboı̂tés) qui permettent d’analyser la situation.
Equations matricielles à l’agrégation
P On va commencer une petite série sur les équations matricielles, vue comme une application
classique de la réduction. On veut résoudre sur un exemple (qui se généralise facilement) d’équation
de type Q(X) = 0, où Q est un polynôme scindé simple sur un corps K et X une matrice de Mn (K).
On voit que l’ensemble des solutions est une réunion de classes de similitude, que l’on cherche à
caractériser par leurs formes normales. On pose ensuite le même problème dans le cas Q scindé,amis non simple, ce qui nous oblige à faire appel aux réduites de Jordan. En appendice, on montre
comment calculer le nombre de classes de similitude de l’ensemble solution en faisant appel aux
séries génératrices.
Après avoir résolu une équation matricielle basée sur un polynôme annulateur scindé, on attaquele plus délicat problème d’un polynôme non scindé. Pour simplifier, nous travaillons dans R. Lesméthodes précédentes nous ont permis de résoudre le problème dans C, mais comment obtenir lessolutions sur R ? Le résultat repose sur une propriété essentielle de la réduction : deux matrices
réelles C-semblables sont R-semblables. On a le même résultat en remplaçant (R, C) par (K, L)
où L est une extension de K.
On montre ici quelques techniques (non exhaustives) pour trouver les racines k-ièmes d’unematrice B, lorsque cela est possible. On se ramène grâce au lemme des noyaux au cas où le spectrede B est singleton. Si B est nilpotente, il n’y a pas toujours de solution, mais si B est inversible,
on trouve toujours une solution à l’aide d’un lemme qui permet de relever le développement deTaylor de (1 + x)1/k en 0 en une expression polynomiale. On finit ce volet concernant les équations
matricielles en indiquant à qui veut bien l’entendre, le bon cadre pour le problème : la théorie desreprésentations de carquois.
On revient sur ce petit lemme qui permet de passer d’un développement de Taylor, sur R, à une
formule analogue au niveau matriciel. On va même un peu plus loin, si on sait que l’exponentielle
fournit une bijection de l’ensemble des matrices nilpotentes sur les matrices unipotentes, on obtientque des jolies formules d’inversion sur les matrices (racines k-ièmes, logarithmes).
Minicours sur la topologie en algèbre linéaire
P On essaie de motiver les troupes autour de l’utilisation de la topologie en algèbre linéaire etplus particulière ment dans le cadre de la réduction. Au menu : normes, équivalence des normes,
topologie normique, quelques contre - exemples, les exemples d’utilisation (un florilège) et quelques
critères de convergence de suites géométriques de matrices.
Minicours sur les formes quadratiques - 1/2
P Les formes quadratiques exposées pour un cours d’agrégation interne (et externe si on25

généralise à un corps de caractéristique différente de 2).
On va trouver dans un premier temps toutes les premières définitions et toutes les connexions
entre formes quadratiques, formes bilinéaires symétriques, matrices symétriques et changement debase.
On étudie l’orthogonalité pour une forme bilinéaire symétrique (dans le cas où celle-ci est nondégénéré, ce qui demande une petite définition préalable). On se rend compte que les choses necadrent pas tout à fait avec l’intuition que l’on se fait de l’orthogonalité : certains sous-espaces nesont pas en somme directe avec leur orthogonaux. On a alors besoin d’un critère pour assurer que
tout se passe bien.
Minicours sur les formes quadratiques - 2/2
P Voici la seconde partie du cours d’agrégation sur les formes quadratiques.
Nous cherchons dans un premier temps les formes quadratiques telles que tout sous-espacepossède un orthogonal en somme directe. Sur R, on tombe naturellement sur la notion de forme
quadratique définie. On fournit plusieurs critères, de natures différentes, pour qu’une forme quadratique soit définie positive.
On introduit ensuite, avec les motivations qui s’imposent, la notion d’adjoint d’un endomorphisme.
Puis, on attaque ici le gros morceau du cours (et ce ne sera pas le seul !) : le théorème de
Sylvester. On va insister lourdement sur le fait qu’il se décompose en deux parties : existence etunicité de la signature ! La preuve utilisée pour l’existence se fait sur le critère d’orthogonal ensomme directe que nous avions rencontré précédemment, et pour l’unicité, on utilisera la dimension
maximale d’un sous-espace défini positif.
On présente ici le théorème spectral comme conséquence directe du théorème d’orthogonalisation simultanée. Cela fournit un développement agréable que l’on peut trouver dans Carnet deVoyage en Algébrie.
Cours 12 agreg interne : matrices hermitiennes 1
P Voici un premier volet sur les formes hermitiennes. On suppose connus les résultats analogues
sur les formes bilinéaires symétriques (congruence, Sylvester, théorème spectral) et on donne lerésultat équivalent dans le cas hermitien.
Cours 12 agreg interne : matrices hermitiennes 2
P On introduit, dans le cadre d’un espace hermitien, la notion d’adjoint d’un endomorphisme. On montre en préambule l’existence et l’unicité d’un tel adjoint, puis, que dans une baseorthonormée (ou unitaire), la matrice de l’adjoint est la trans-conjuguée de la matrice de l’endomorphisme de départ. On prouve ensuite le théorème des endomorphismes normaux qui stipule
qu’un endomorphisme est diagonalisable en base orthonormé si et seulement si il commute avec
son adjoint.
Cours 12 agreg interne : matrices hermitiennes 3
P On donne des exemples célèbres de matrices normales : matrices hermitiennes, antihermitiennes, unitaires et leur équivalents réels. On fait ensuite le point sur la façon dont les matrices
hermitiennes et antihermitiennes généralisent la partie réelle et imaginaire...
26

Géométrie affine - le minimum vital à l’interne
P Un beamer pour présenter le minimum à savoir sur la géométrie affine aux écrits del’agrégation. Au menu :Cours 13 agreg interne : Géométrie affine 1
P Voici une introduction à la géométrie affine dans le cadre de l’agrégation. On commence
par s’acclimater, voire, se rassurer, avec une mise en relation entre les objets de la géométrie affine
et leurs homologues en géométrie vectorielle.
Cours 13 agreg interne : Géométrie affine 2
P L’axiomatisation de la géométrie affine est plutôt simple, mais on peut l’aborder de deuxmanières. Une première axiomatisation ≪ d’autorité ≫, consiste à définir une application qui a unbipoint associe un vecteur, puis une définition des transformations affines. Mais on lui préférera ladéfinition par les actions simplements transitives d’un espace vectoriel. Dans ce cadre, les notations
et surtout, la définition des transformations affines, sont plus naturelles.
Cours 13 agreg interne : Géométrie affine 3
P Pour comprendre l’affine, on fait référence à nos connaissances du vectoriel, et ce via labijection (qui, à v, associe A + v) que l’on obtient entre un espace vectoriel et un espace affine
associé. Maintenant, pour comprendre une application affine f , il est pratique d’avoir un point A
invariant, c’est-à-dire tel que f (A) = A, car on pourra identifier ainsi f à un endomorphisme phi
de l’espace. Or, l’existence d’un point invariant est lié à la réduction (1 est-il dans le spectre dephi ?). Nous voilà revenu dans notre domaine de connaissance !
Cours 13 agreg interne : Géométrie affine 4
P On vient de voir que si l’endomorphisme associé phi à une application affine f ne voit pas
1 parmi son spectre, alors f possède un unique point invariant. SI on note A ce point invariant,la bijection b entre l’espace vectoriel E et l’espace affine muni du point A vérifie f = bo phi ob−1 ,et donc, finalement, on peut assimiler f et phi, ce qui est bien agréable. Malheureusement, on va
devoir étudier les isométries qui on souvent 1 parmi leur spectre. Il va donc falloir composer desapplications affines avec invariant avec des translations. On commence donc par une digression sur
la loi rond et surtout, sa représentation matricielle en affine.
Cours 13 agreg interne : Géométrie affine 5
P On prouve le théorème principal de ce cours : le théorème de décomposition réduite qui donne
une condition générale pour qu’une application affine se décomposition unique en une translation(vérifiant certaines hypothèses) et une application affine à point fixe. Ce théorème est la clef pourpasser de problèmes affines au monde plus domestiqué de la réduction des endomorphismes.

27

Cours 14 agreg interne : Géométrie affine euclidienne 1
P On attaque la géométrie affine euclidienne. Après les petites définitions d’usage, on montre
qu’une application de l’espace affine dans lui-même qui laisse invariante la distance euclidienne
est nécessairement une application affine. Afin d’étudier ces applications, dites isométries affines,
nous allons commencer par montrer que leur endomorphismes associés, c’est-à-dire les isométries
vectorielles, vérifient la propriété demandées pour obtenir la décomposition réduite.
Cours 14 agreg interne : Géométrie affine euclidienne 2
P On va classifier les isométries affines du plan euclidien. On commence bien entendu par les
isométries vectorielles, en mettant l’accent sur l’étude de la valeur propre 1.
Cours 14 agreg interne : Géométrie affine euclidienne 3
P On attaque maintenant la classification en dimension 3. Au programme, symétries glissées
et vissages qu’il est bon de connaı̂tre. Un rapide coup d’oeil à la dimension n nous convaincra quela classification n’est pas beaucoup plus difficile !
Cours 14 agreg interne : Géométrie affine, barycentres et convexité 1
P Voici un point de vue fécond sur la géométrie affine. On définit la notion de barycentre
d’une famille finie de points, et les propriétés d’usage (homogéneı̈té, associativité). On travaille surle corps des réels et on définit un ensemble convexe comme un ensemble stable par barycentres
positifs, ce qui revient à dire, stable par segments. On montre qu’une application de l’espace affinedans lui-même est une application affine si et seulement si elle respecte la notion de barycentre.
Ce théorème prouve que la convexité est bien au coeur de la notion d’espace affine (réel).
Cours 14 agreg interne : Géométrie affine, barycentres et convexité 2
P On définit les points extrémaux EX d’une partie convexe X de l’espace affine (réel). On
montre que si g est un élément du groupe affine tel que g(X) = X, alors g(EX ) = EX . Ceci va
nous aider à comprendre les groupes d’isométries.
1.3.3

Addendum

Le principe du minmax
P Comment les formes quadratiques voient les valeurs propres de leur matrice symétriqueassociée (dans une BON) ?
Partie I. Le théorème spectral assure qu’une matrice symétrique réelle S est diagonalisable enbase orthonormée. On va donner une caractérisation de ses valeurs propres à l’aide de la forme
quadratique que S définit naturellement sur Rn par q(x) = (x, Sx). C’est le principe du minmax
appelé également théorème de Rayleigh.
Partie II. Après deux petits exercices sur le sujet, afin de se mettre en jambes, on attaquela preuve du théorème complet appelé aussi théorème de Rayleigh. On trouve la preuve dansNouvelles Histoires hédonistes de Groupes et de Géométries Chapitre V-D.27.

28

Partie III. (Plus pour l’agreg externe que l’interne) On termine cette série de vidéos sur lethéorème de Rayleigh (minimax), en prouvant les inégalités de Weyl et le théorème d’entrelacement
de Cauchy.
Prépa Ecrits : Formes quadratiques 1/8
P Une série d’exercices sur les formes quadratiques pour préparer les écrits de l’agrégation.
Le théorème d’Apollonius est un théorème classique sur des propriétés métriques du triangle. Ce
premier exercice en donne une formulation moderne. Attention, à la fin, il y a une erreur de calcul,
il faut lire OA2 + OB 2 + OC 2 = 3OI 2 + 2/3AJ 2 + 1/2BC 2 (au lieu de OA2 + OB 2 + OC 2 =4/3OI 2 + 2/3AJ 2 + 1/2BC 2 )Prépa Ecrits. Formes quadratiques 2/8
P Un autre exercice sur les formes quadratiques réelles (ou pas). Il permet de montrer commentdéjouer le piège fréquent des formes non ≪ définies positives ≫ de la restriction dégénérée. On
n’a plus des orthogonaux en somme directe. On sort alors le remède miracle du ≪ gonflement
hyperbolique ≫.
Prépa Ecrits. Formes quadratiques 3/8
P On va se servir du gonflement hyperbolique dans un cas simple : Soit E un espace réelmuni d’une forme quadratique non dégénérée q, on veut montrer que le groupe des isométries deq agit transitivement sur l’ensemble des vecteurs isotropes non nuls de E. Comment faisait-on
pour montrer que On agit transitivement sur la sphère, on prenait un élément de norme 1 et on lecompétait en une base orthonormée. Là, c’est pareil, sauf qu’il n’y a pas de base orthonormée.
Prépa Ecrits. Formes quadratiques 4/8
P On présente progressivement le principe de Rayleigh ou principe du min-max en petite
dimension. Il s’agit d’un caractérisation géométrique des valeurs propres. On en donne une application amusante sur une fonction trigonométrique.
Prépa Ecrits : Formes quadratiques 5/8
P On veut montrer qu’en ≪ écrasant ≫ une sphère de façon linéaire sur un plan, on tombe surl’intérieur d’une ellipse, et l’on voudrait aussi relier les éléments caractéristiques de l’ellipse avec
la transformation linéaire. Encore une fois, le théorème spectral agit de façon magistrale sur leséléments.
Prépa Ecrit : Formes quadratiques 6/8
P On attaque en deux vidéos la reconnaissance d’une conique à partir de son équation. On
peut juger des coniques non dégénérées à partir de la donnée de deux données : une signature en
dimension 2 et un déterminant de taille 3. Cette première vidéo permet d’éliminer les cas dégénérés.

29Prépa Ecrits : Formes quadratiques 7/8
P On donne un tableau qui permet une classification affine des coniques à partir de leuréquation algébrique. Cette classification se fait grâce au théorème de Sylvester et à partir destrois mineurs principaux associés à la forme quadratique homogénéı̈sée provenant de l’équation dedépart.
Prépa Ecrits. Formes quadratiques 8/8 e
P On connaissait un lien fort entre formes quadratiques et réduction avec le théorème spectral. En voici un autre en arithmétique qui permet de voir si deux matrices de M2 (Z) sont Zsemblables en leur associant des formes quadratiques. La Z-similitude s’interprète alors sous forme
de congruence des formes quadratiques.
Questionnaire sur les formes quadratiques pour l’agrégation
P Pas description, tout est dans la vidéo.
Agrégation externe et interne : sous-espaces stables 1
P On propose de travailler sur les sous-espaces stables par un endomorphisme. Il s’agit d’unproblème où l’on perd pied rapidement. Mais on va commencer en douceur avec quelques petites
définitions, deux questions fondamentales qui vont le fil rouge de la playlist, et quelques exemplesà bien avoir en tête.
Agrégation externe et interne : sous-espaces stables 2
P On attaque les problèmes de sous-espaces stables en lien avec le polynôme caractéristique.
Celui-ci est irréductible sur K si et seulement les seuls sous-espaces stables sont triviaux. On
montre ensuite que ceci est un cas particulier du cas de l’endomorphisme cyclique. Dans ce cas,les sous-espaces stables sont en bijection avec les diviseurs unitaires du polynôme caractéristique.
Cela provient d’une jolie propriété de correspondance biunivoque entre sous-espaces stables pourla matrice compagnon CP et idéaux de K[X]/(P ). On étudie ensuite des exemples où il y a un
maximum, ou un minimum de sous-espaces stables.
Agrégation externe et interne : sous-espaces stables 3
P Après une vidéo 2 contenant des résultats un peu tumultueux, on retrouve des eaux plus
calmes avec des petits exemples classiques à bien connaı̂tre de sous-espaces stables possédant unsous-espace supplémentaire stable. Endomorphismes auto-adjoints, normaux, diagonalisables, etpour finir, lemme de Fitting et sous-espaces caractéristiques.
Agrégation externe et interne : sous-espaces stables 4
P On a donné sous-espace u-stable facile à construire : le sous-espace stable par u, engendré
par un élément x. On donne une condition simple sur x pour que ce sous-espace stable admette
un supplémentaire u-stable : que son polynôme minimal local soit égal au polynôme minimal de30

u. On montre ensuite comment construire de tels éléments. On obtient alors un boulevard vers lethéorème de décomposition de Frobenius.
Agrégation externe et interne : sous-espaces stables 5 e
P On fait le point sur le théorème de décomposition de Frobenius sur quelques exemples,
puis, on présente le théorème de semi-simplicité, c’est-à-dire que l’on trouve un critère polynomial
pour qu’un endomorphisme vérifie que tout sous-espace stable possède un supplémentaire stable.
Ce critère porte sur le polynôme minimal de u.
Agrégation externe et interne : sous-espaces stables 6 e
P On finit le volet sur les sous-espaces stables en donnant quelques indications sur la façonde décrire tous les sous-espaces stables d’un endomorphisme.
Minicours sur le résultant e
P On définit le résultant, en insistant sur l’application linéaire dont il est issu que sur l’expression du déterminant qui le définit habituellement. On se propose dans les vidéos qui suiventde donner rapidement un pannel d’applications. Pour commencer, on calcule le discriminant dupolynôme X 3 + pX + q.
On donne une propriété générale du résultant qui sera la clef des suivantes : le résultant se
décline sur les anneaux et est compatible avec les morphismes d’anneaux (dans un sens à préciser).
On en déduit deux conséquences importantes. La première dit que si deux polynômes unitaires sur
Z sont premiers entre eux, ils restent premiers entre eux modulo p premier sauf pour un nombre
fini de p. La seconde dit que l’ensemble des entiers algébriques est un anneau (c’est-à-dire stable
par l’addition et la multiplication).
On attaque les applications du résultant en géométrie algébrique : intersections de courbes
planes, équations cartésiennes d’une courbe rationnelle... et on finit avec une surprise.
1.3.4

Cours arithmétique

Premier cours d’arithmétique à l’agrégation interne
P On introduit l’arithmétique, sans se voiler la face !
1. On commence donc un premier volet introductif, où on montre des techniques de résolutiond’équations diophantiennes (i. e. dans l’anneau des entiers). Il sera question d’équations linéaires
sur Z, où le lemme de Gauss joue un rôle décisif.
2. On résout ensuite des équations diophantiennes affines (degré 1). On se sert de la réduction
modulo n, de l’algorithme d’Euclide qui permet de trouver des solutions particulières et enfin dulemme de Gauss pour la solution générale sans second membre. On finit avec une équation linéaireà trois variables, car il m’a semblé que deux variables ne donnait pas un aperçu suffisammentgénéral de la situation.
3. On traite ici d’équations de degré 2 sur les entiers. Encore une fois, on constate l’importancedu calcul modulaire, du lemme d’Euclide, lemme de Gauss, décomposition en irréductibles etthéorèmes d’unicité dans les méthodes.
4. On attaque le cours d’arithmétique avec l’étude de l’anneau Z. On suit une procédure quel’on retrouvera avec d’autres anneaux, comme par exemple l’anneau des polynômes K[X]. On
31

attaque les inversibles, puis la division euclidienne, et en fin la classification des idéaux. C’est un
idéal principal et on en verra plus tard les implications.
5. On décrit l’ensemble des idéaux de Z comme un ensemble ordonné (par l’inclusion) et muni
de deux opérations : l’addition et l’intersection. On montre que l’on a une bijection entre les idéauxde Z et les entiers naturels (car Z est principal). L’ordre ≪ contient ≫ des idéaux instaure alors un
ordre sur les entiers naturel qui n’est autre que l’ordre ≪ divise ≫. De plus, addition et intersection
des idéaux fournit deux opérations sur les entiers naturels : respectivement le pgcd et le ppcm.
6. Ce qui est présenté ici est un déroulement ordonné à bien connaı̂tre en arithmétique. On
montre le passage important qui va de la construction d’un pgcd dans un anneau principal (ici,l’anneau est celui des entiers, mais cela pourrait être n’importe quel anneau principal) jusqu′ authéorème fondamental qui stipule que tout nombre peut être décomposé de façon unique en un
produit de nombres premiers. Au passage, on glanera ça et là le lemme de Gauss et son avatar, lelemme d’Euclide.
7. On commence avec les premières conséquences du théorème fondamental de l’arithmétique, en
particulier l’existence des p-valuations. On montre comment ces p-valuations permettent de donner
un critère de divisibilité, puis des formules pour les pgcd et les ppcm. On finit sur un synopsis qui
fait le point sur tous les volets théoriques de ce premier cours (copieux) en arithmétique.
8. On a commencé avec des équations diophantiennes, on finit avec d’autres équations qui
utilisent le lemme de Gauss, l’identité de Bezout, les propriétés caractéristiques du pgcd et duppcm. On cherche des solutions rationnelles à une équation polynomiale et on parle de systèmes
de congruence.
Préparation à l’écrit. Arithmétique 1
P On résout ici l’équation diophantienne x2 + y 2 − 29z 2 = 0 en mettant l’accent sur lafactorialité de l’anneau Z[i] des entiers de Gauss Z[i].
Prépa Ecrits. Arithmétique 2
P On avait déjà vu dans une vidéo sur les ≪ Structures quotient ≫ que x2 + y 2 − 31z 2 = 0 avait
pour seule solution (0, 0, 0). Ici, on le montre à la suite de la vidéo ≪ Arithmétique 1 ≫ commeapplication immédiate de la factorialité de l’anneau Z[i] des entiers de Gauss.
Prépa Ecrits. Arithmétique 3
P On étudie la divisibilité de la suite des nombres de Fibonacci Fn par un nombre premierfixé p. On montre qu’il existe une fonction α telle que p divise Fn si et seulement α(p) divise n...
Et nous voici embarqués dans de curieuses considérations de savoir si 5 est un carré modulo p.
Pas si curieuses au final, si on sait que l’équation caractéristique de la suite récurrente qui définit
les nombres de Fibonacci est X 2 − X − 1, de discriminant 5. Errata, à un moment je dis que
b2 + ab − a2 = (b + a/2)2 − 5a2 , alors que c’est b2 + ab − a2 = (b + a/2)2 − 5(a/2)2Prépa Ecrits. Arithmétique 5
P Voici un autre exercice sur le lemme chinois. Cette fois-ci on le retrouve dans une version
matricielle. Ceci permet de calculer le nombre de matrices inversibles de taille d sur l’anneau Z/mZ.

32

Prépa écrits. Arithmétique 6
P Dans la vidéo Arithmétique 3, on regardait le problème de connaı̂tre l’ensemble des entiers
n tels que le nombre de Fibonacci Fn soit divisible par un entier premier p. On passe maintenant
du nombre premier p à un nombre entier quelconque m. On tombe sur une fonction arithmétique
α telle que m divise Fn si et seulement α(m) divise n.
Prépa écrits. Arithmetique 7
P Toute petite vidéo que je n’ai pas pu intégrer dans la précédente... On récolte ce que l’on
a semé dans la vidéo Arithmétique 6 : on donne tous les nombres n tels que Fn se termine parexactement k zéros dans son écriture décimale. On rappelle que l’on a construit une fonction α telleque m divise Fn si et seulement α(m) divise n. Pour connaı̂tre α(m), il suffit donc de connaı̂treα(pk ) pour tout pk de la décomposition en facteurs premiers de m. Et ceci est donné par une
récurrence qui différencie les pas p ≥ 3 et p = 2.
Prépa écrits. Arithmétique 8-teaser
P Une petite légende sur la bataille d’Hastings nous servira de point de départ de l’équationde Pell-Fermat. Il s’agit d’une équation de type hyperbolique, et il va falloir se rappeler cette vidéo≪ structure de groupe sur une conique 2/9 ≫ pour générer toute une famille de solutions à partird’une seule.
Prépa écrits. Arithmétique 8 e
P On présente ici l’équation de Pell-Fermat. Un résultat dit que, si d est un entier positif
non carré, alors l’ensemble des solutions positives de l’équation diophantienne x2 − dy 2 = 1 a une
structure de groupe isomorphe à Z. On montre ici, que cet ensemble est soit trivial, soit isomorpheà Z.
Prépa écrits. Arithmétique 9 e
P Un peu parce que l’on veut avoir le dernier mot avec l’équation de Pell-Fermat x2 −dy 2 = 1 ,un peu pour la culture générale, mais aussi, pour la beauté de la chose, on va donner un mini-cours(en deux vidéos) sur les fractions continues. Ici, on montre que si x est un irrationnel, il possèdeune écriture sous forme de fraction continue et que celle-ci fournit une suite de rationnels qui tendvers x et, même approxime x de façon remarquable (on parle d’approximation quadratique).
Prépa écrits. Arithmétique 10 e
P Certaines équations diophantiennes comme l’équation de Pell-Fermat posent des problèmes
d’approximation d’un réel par un rationnel. Plus particulièrement, l’équation de Pell-Fermat posele problème d’approche d’un nombre quadratique par un rationnel. Il est alors temps de montrer
ce joli théorème de Lagrange qui dit qu’un réel est quadratique si et seulement si sa décompositionen fraction continue est périodique à partir d’un certain rang.

33

Prépa écrits. Arithmétique 11 e
P On finit par montrer, à l’aide des fractions continues, que l’équation de Pell-Fermat x2 −dy = 1 possède des solutions non triviales ! Attention à la fin, ≪ faute de frappe ≫ 324 + 325 = 649
au lieu de 349 !
2Prépa écrits. Arithmétique 12 e
P Comme prétexte à présenter le petit lemme de Hensel, qui vient souvent épauler le lemmechinois, on se donne comme objectif de trouver un majorant pour le nombre de matrices M
vérifiant M m = C sur un corps quelconque, où C est la matrice compagnon d’un polynôme P tel
que P (0) ̸= 0. Attention, errata, la borne du nombre de racines est évidemment ms et non pas ms
comme annoncé !
Minicours sur les structures quotient pour l’agrégation interne
P Les structures quotient constituent une difficulté majeure à l’agrégation interne. On essaie d’introduire ici la nécessité de ces structures en l’argumentant sur des exemples dans divers
dommaines (ensembles, groupes, espaces vectoriels, réduction, anneaux, équations diophantiennes)Préparation aux écrits. Gymnastique des corps 1
P Dans la série de vidéos qui suit, il ne s’agira pas de théorie des corps, mais juste d’un exposéde survol des différents types de corps sur lesquels on travaille dans le contexte de l’écrit, et pourchacun de ces types (caractéristique, finitude, ordre, algébriquement clos, les spécificités du corps
des réels...) quels sont ouvertures que nous offre ce type et quel sont les pièges. J’en parlerai dansle contexte 1) des algèbres de polynômes, 2) de la réduction 3) des formes quadratiques. Dans cettepremière vidéo, on regarde attentivement les conséquences et les pièges qui se présentent selon sile corps sur lequel on travaille est fini ou non.
Préparation aux écrits. Gymnastique des corps 2
P Après avoir étudié le spécificités des corps infinis ou finis, on s’attaque au cas des corps decaractéristique zéro ou p.
Préparation aux écrits. Gymnastique des corps 3
P Ici, on regarde ce qui est possible ou pas, selon si l’on travaille (sur des polynômes, enréduction, ou formes quadratiques) sur un corps algébriquement clos ou non. On regarde ensuite
les problèmes de caractéristiques 2 (ou pas).
Préparation à l’écrit. Gymnastique des corps 5
P On continue sur ce volet de la pratique des corps à l’écrit de l’agrégation. On attaque
ici une série de quatre vidéos sur les changements de corps. Sur cette vidéo un peu bavarde, ilsera question de voir que chez les corps, les problèmes se font dans deux directions : la montée(on va chercher dans un corps plus grand des racines, des valeurs propres, des décompositions depolynômes...), et la descente (on a obtenu des information sur le corps du dessus, et on veut en34

déduire des informations sur le corps du dessous). Pour la montée, il sera question de théorème deSteinitz, de corps de décomposition, et de rupture. Pour la descente, on donnera quelques aperçuspratiques de la théorie de Galois forcément sous-jacente, mais sans pour autant faire de la théorie
de Galois.
Préparation à l’écrit. Gymnastique des corps 6 e
P On attaque ici les problèmes de descente dans des cas pratiques. Tout d’abord, le pgcd depolynômes est invariant par changement de corps ; Puis, on voit que le rang d’une matrice possèdeégalement cette propriété d’invariance. C’est la porte ouverte à une première approche, sous formed’exercices, de problème d’invariance par extension de corps invariants de classes de similitudes.
On étudie le cas diagonalisable, nilpotent, et enfin la décomposition de Dunford.
Préparation à l’écrit. Gymnastique des corps 7 e
P On pénètre ici le coeur du problème : montrer que deux matrices carrées sur un corps K
sont semblables si et seulement si elles sont semblables sur une extension L. Cette preuve se faiten deux temps : un premier temps où K contient toutes les valeurs propres et un second où il ne
les contient pas. Dans ce dernier cas, on fait intervenir le corps de décomposition du polynôme
caractéristique.
Préparation à l’écrit. Gymnastique des corps 8 e
P On finit pour l’instant ce volet sur les extensions de corps et les théorèmes de descente. Autant ceux-ci fonctionnent trivialement pour la réduction, autant pour les formes quadratiques, on
tombe sur des problèmes plus délicats, comme le prouve le théorème de Sylvester, qui est typiquement réel. On pourrait continuer longtemps sur ce sujet et peut-être le ferons-nous ultérieurement,
par exemple, en parlant de semi-simplicité des endomorphismes, de la séparabilité, de théorèmes
de descente en théorie des représentations... mais ces choses (passionnantes) sont un peu moins
urgentes.
1.3.5

Addendum ArithmétiqueFonctions arithmétiques à l’agrégation
P On est partis pour un tour d’horizon sur les fonctions arithmétiques que l’on rencontre àl’agrégation. On commence ici par la fonction indicatrice d’Euler et la fonction mu de Moebius.
On continue avec l’ubiquité de la fonction mu de Moebius dans différentes composantes desmathématiques, où elle joue un rôle d’inversion pour la convolution, théorie des corps, arithmétique,réduction, et enfin en analyse avec les séries où l’on rencontrera l’inévitable fonction zeta.
Minicours sur les réseaux aux écrits de l’agrégation e
P On aborde ici une étude de réseaux dans Zn . Ce n’est pas une théorie, mais plutôt
une approche pragmatique pour comprendre comment ceux-ci interviennent dans les problèmes
d’agrégation.
Avant de résoudre quelques questions clefs du problème d’agrégation interne 2012(EP 1), nous
commençons par énoncer quelques résultats qui seront prouvé par la suite. Ces résultats sont35

exposés dans un tableau permettant de comparer le résultat sur Z (sous-groupe de Zn ) avec son
analogue sur un corps (sous-espaces vectoriels de K n ).
On explique ensuite le pourquoi et le comment des réseaux.
On continue l’étude des sous-groupes de Zn , en suivant en filigrane l’épreuve EP1 de l’agrégationinterne 2012. On prouve l’existence de Z-bases, après avoir prouvé l’unicité du cardinal de telles
bases. On prouve ensuite que ces bases sont en bijection avec le groupe GLn (Z). On montre alors
notre maitrise parfaite de la situation dans le cas n = 2, où l’on s’aide de l’identité de Bezout.
Nous prenons ensuite un bon départ dans l’étude des sous-groupes de Zn en prouvant l’existenced’un Z-base pour tout sous-groupe G de Zn , et même une condition pour qu’un élément du sousgroupe G se complète en une Z-base de G.
On va faire quelques prolongations avec une adaptation sur Z du théorème de la base incomplète. Pour cela, on en arrive à la notion de groupe ≪ sans torsion ≫. On finit (sans preuve, etsans les main) avec le théorème de la base adaptée.
1.3.6

Cours sur les groupes

Minicours sur les groupes cycliquesP
Partie I. On introduit les groupes cycliques, d’une manière un peu grossière (comme groupe
isomorphe à Z/nZ, puis, de manière plus abstraite (groupe fini monogène). On donne ensuite
quelques exemples (et contre - exemple) de groupes cycliques dans la nature.
Partie II. Nous allons montrer une propriété d’hérédité des groupes cycliques : tout sous-grouped’un groupe cyclique est lui-même cyclique. Mieux, pour tout diviseur de n, il existe un uniquesous-groupe (cyclique) de Z/nZ d’ordre d. On exploite ensuite cette propriété pour établir une
formule sur la fonction d’Euler, puis pour donner une caractérisation des groupes cycliques par lenombre de ses éléments d’ordre fixé.
Partie III. On déduit de la caractérisation des groupes cycliques par leur nombre d’éléments
d’ordre fixé, que tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d’un corps est cyclique. On illustre
ceci avec la conjecture d’Artin sur les générateurs de ((Z/pZ)∗ , ×). On montre ensuite le rapport
avec le nombres premiers dits ≪ longs ≫, c’est à dire les nombres premiers p tels que l’écrituredécimale de 1/p est de période p − 1.
Partie IV. On attaque le problème des actions de groupes cycliques. Dans un premier temps, on
donne toutes les actions d’un groupe cyclique sur un ensemble fini n. Puis, on donne des exemple
d’actions impliquées dans des théorèmes célèbres (lemme de Cauchy, loi de réciprocité quadratique,collier de perle). Ces actions sont juste évoquées, et non pas détaillées.
Minicours introduction aux actions de groupes par le dénombrement
P Une petite introduction qui j’espère, vous convaincra de l’utilité très concrète des actions de groupes. On programme : lemme du berger et formule des classes. Mais surtout, beaucoup d’exemples concrets d’utilisation, dans le cadre de la combinatoire ainsi que la combinatoire
algébrique.
Questionnaire Groupes : Action (ou vérité)
P L’ avantage d’une série de questions sur les actions de groupes, c’est qu ′ en même temps

36

qu’on s’entraı̂ne groupes, on révise tout le programme d’algèbre ! Avec les groupes, jouez à plusieurs ! It’s more fun to compete.
P . S. Merci à N . P . pour le titre
Agrégation externe. Minicours de théorie des représentations 1 e
P Un mini-cours en théorie des représentations complexes de groupes finis. On commence partenter sans outil préalable les représentations de petits groupes finis. Ce préambule est essentiel
pour comprendre ensuite ce que l’on fera une fois la théorie assimilée.
Agrégation externe. Minicours de théorie des représentations 2 e
P On continue avec l’étude ≪ à la main ≫ de la théorie des représentations. rien de tel que lesystème D pour forger un ≪ caractère ≫. On passe au groupe Z/3Z qui nous permet de comprendre
ce qui se passe pour tout groupe cyclique, puis le premier groupe non abélien S3 .
Agrégation externe. Minicours de théorie des représentations 3 e
P On définit les représentations, les morphismes de représentations, et on montre le théorèmede Maschke.
Agrégation externe. Minicours de théorie des représentations 4 e
P On s’attaque à la classification des représentations d’un groupe. Par Maschke, on voit
qu’il suffit de trouver toutes les représentations irréductibles. Elles se trouvent toutes dans lareprésentation dite régulière du groupe, qui est un cas particulier de représentation par permutation.
Agrégation externe. Minicours de théorie des représentations 5 e
P On prouve ici le théorème d’orthonormalité des caractères avant d’en découvrir les multiples
corollaires
Agrégation externe. Minicours de théorie des représentations 6 e
P On donne ici les conséquences théoriques du résultat de Schur qui dit que les caractèresirréductibles forment une base orthonormée de l’espace des fonctions centrales sur le groupe. On
va voir que le caractère caractérise la représentation à isomorphisme près.
Agrégation externe. Minicours de théorie des représentations 7 e
P Après avoir vu les conséquences théoriques du théorème de Schur sur la base unitaire descaractères, nous en découvrons les côtés pratiques avec tout un univers de petites recettes pratiques
qui contribuent au bonheur et à l’harmonie dans la belle algèbre.

37

Agrégation externe. Minicours de théorie des représentation 8 e
P Un préambule important avant d’attaquer la construction des tables de caractères : comment
tirer parti d’une action de groupe pour en extraire un caractère irréductible qui figurera sur une
ligne du tableau ?
Agrégation externe. Minicours de théorie des représentations 9 e
P On commence à construire des tables de caractères. Pour se mettre en jambes : la table dugroupe cyclique et celle du groupe symétrique S3 .
Agrégation externe. Minicours de théorie des représentations 10 e
P La table de caractères du groupe S4 a la taille parfaite être présentée en 15 minutes unjour d’oral. On va donc passer le temps qu’il faut pour l’étudier sous plusieurs aspects. Voici pourcommencer une construction de la table de S4 telle qu’elle se généralise à Sn (avec un peu plusd’effort, certes, mais l’idée, due à Frobenius, reste la même). Scoop : on n’utilise même pas laconnaissance préalable de la signature qui, dans cette construction provient de la dualité dans lespartitions.
Agrégation externe. Minicours de théorie des représentations 11 e
P On commence à donner un sens plus empirique à toutes les représentations irréductibles de
S4 . Action de groupes et tensorisation par la signature sont les mots clef.
Agrégation externe. Minicours de théorie des représentations 12 e
P Cette fois on réinterprète la table de caractères de S4 en termes géométriques. Pour cela, onréalise S4 d’une part comme groupe d’isométrie du tétraèdre régulier, d’autre part comme grouped’isométries positives du cube.
Minicours de théorie des représentations pour l’agrégation externe 13 e
P On attaque une nouvelle série où l’on part de la table de caractères du groupe et où on
en trouve des explications. Après un petit briefing sur le schéma général de ces applications dans
divers domaines, on regarde sur des exemples où l’on calcule des multiplicités de représentations
irréductibles dans une représentation donnée.
Minicours de théorie des représentations 14 e
P On continue des exemples géométriques où il fait sens de décomposer une représentationen irréductibles. Un, avec les quadrilatères du plan, muni de l’action cyclique, et un autre, avec
l’action des rotations du cube sur des faces.
Minicours de théorie des représentations 15 e
P On prépare une petite extension du lemme de Schur dans le cas où la représentations n’est
pas nécessairement irréductible mais seulement sans multiplicité. Cela va nous permettre par lasuite (vidéos 16 et 17) de présenter de l’analyse harmonique discrète (mais non moins élégante !)38

Minicours de théorie des représentations 16 e
P On présente ici une version du théorème de Thébault par la théorie des représentations. La
construction d’un carré à partir d’un parallélogramme peut se comprendre facilement si l’on voit
cette construction comme un morphisme de représentations dont l’image est l’espace des carrés parune version modifiée du lemme de Schur vue dans la vidéo précédente. Le théorème de Napoléon
est également discuté sous le même angle de l’analyse harmonique.
Minicours de théorie des représentations 17 e
P On termine ce petit volet sur l’analyse harmonique avec l’exemple classique de A. A. Kirillov
déjà présenté dans la vidéo 14. Il s’agit d’un exemple simple permettant d’indiquer comment lathéorie des représentations s’est introduite dans la physique, liée aux transformations linéaires
conservant une certaine structure.
Minicours de théorie des représentations 18 e
P On attaque maintenant un nouveau volet sur ce que disent les tables de caractères de G
sur le groupe fini G. Il se trouve que l’on va pourvoir retrouver tous les sous-groupes distinguésde G. On regardera dans une prochaine vidéo des sous-groupes distingués particuliers comme lecentre et le groupe dérivé.
Minicours. Théorie des représentations 19 e
P On montre de façon pratique de façon théorique, puis sur des exemples, comment tirer lecentre et le groupe dérivé de la table de caractères.
Structure de groupe sur une conique-I
P
Voici une petite série de vidéos où l’on présente une construction de groupe sur les coniques.
Il s’agit d’une construction qui fait le point sur des propriétés géométriques des coniques biencônues depuis Pascal, et dont les applications à la cryptographie (que l’on effleurera seulement)
sont apparues de façon relativement récente. Cette première vidéo est avant tout un teaser.
Dans cette vidéo, on donne la construction générale pour la structure de groupe sur une conique
non dégénérée. On montre que l’on a bien un groupe dans trois cas particuliers. Et ces groupes
ne sont pas anodins. Il s’agit du groupe additif (pour la parabole), du groupe multiplicatif (pourl’hyperbole), et le groupe additif modulaire, comme les groupe des angles, (pour l’ellipse). Si on
ajoute à cela que ces groupes géométriques sont à la fondation de la cryptographie actuelle, on se dit
qu’il n’y a que les maths pour nous faire traverser, dans une logique implacable, l’histoire antique,notre monde actuel, et les souvenirs nostalgiques des premières opérations de notre enfance.
Après avoir mis une opération sur une conique (munie d’un point), et après avoir montré quecette opération fournit une structure de groupe sur trois exemples représentatifs de la classification affine, on montre que la structure de groupe se transmet d’une conique à l’autre par une
transformation affine. Et contre cette transmission, il n’y a ni masque, ni geste barrière !

39

Structure de groupe sur une conique-II e
P On attaque le théorème principal. Sur le fait que notre opération géométrique confère une
structure de groupe qui caractérise le type affine de la conique. Au passage, on montre, à l’aide
de changements de variables, le résultat souvent mal digéré sur la fameuse classification affine desconiques. Ce résultat sera parachevé dans une vidéo suivante.
On finit ici la preuve du théorème de classification des coniques non dégénérées par les trois
groupes classiques réels.
On a montré le théorème de structure de groupe sur une conique, à l’aide d’un mélange de petit
calculs dans trois cas simples et de groupes de transformations. On veut maintenant une preuve
plus directe en travaillant sur la géométrie de la conique. L’associativité pose un petit problème,qui va être résolu grâce au théorème de l’hexagramme mystique de Pascal.
On a eu besoin d’une version projective du théorème de l’hexagramme mystique de Pascal.
Voici quelques notions de projectif pour mieux comprendre ce que veut dire ≪ envoyer une droite(ou un point) à l’infini ≫ dans les manipulations de géométrie (projective). On verra également
que le projectif confond paraboles, ellipses et hyperboles, alors que l’affine les distingue.
Structure de groupe sur une conique-IIIP
On pensait arrêter là, mais l’arithmétique a mis le pied dans la porte, et on est repartis sur deux
autres vidéos. Ici, on s’intéresse toujours à la structure de groupe sur une conique, mais cette fois-ci
sous l’angle de l’équation diophantienne dite de Pell-Fermat. On verra trois groupes isomorphes :la conique de l’ensemble des solutions entières de l’équation, l’ensemble des unités positives d’unanneau quadratique réel, et tout bonnement, le groupe monogène des entiers.
Dernier volet de la série où l’on montre (en mode DSK) comment les coniques, en leur ajoutant
une droite, sont des dégénérescences d’une famille de courbes elliptiques. On finit sur des explications (à détailler avec de bonnes références !) sur les applications de ces dernières à la cryptanalyse
et à la cryptographie.

1.4

Thème-Algèbre linéaire (88)1.4.1

Les délices de matrices (71)

1 - Matrices d’applications linéaires
Critère par les mineurs pour le rang d’une matrice P On montre ce résultat souvent
utilisé : le rang d’une matrice rectangulaire est la taille maximale d’un mineur non nul. On en
donne ensuite une application sur les corps R ou C, à la topologie du rang (Nouvelles histoires
hédonistes chapitre I)
Sous-espaces de matrices avec des conditions de rang-1 P Une petite histoire souffléepar Rached Mneimné. On sait qu’un hyperplan de matrices carrées contient une matrice inversible.
Et cela constitue un développement souvent présenté aux agrégations internes et externes. Maisa-t-on vraiment besoin d’un hyperplan ? Peut-on prendre une dimension plus petite ? On trouve ici
une borne telle que si la dimension d’un sous-espace matriciel se trouve au-dessus de cette borne,alors il contient forcément une matrice inversible.

40Sous-espaces de matrices avec des conditions de rang-2 P On montre les résultats
annoncés dans la vidéo 1. Finalement, un joli développement équilibré entre polynômes, propriétés
du rang, déterminant, et on finit en beauté avec les corps finis (ou pas).
2 - Matrices et réduction
Réduction des matrices de rang 2 P On part d’un exercice classique où l’on prouve
qu’une matrice carrée de rang 1 est diagonalisable si et seulement si sa trace est non nulle. On
donne ensuite des conditions de diagonalisibilité d’une matrice de rang 2 en fonction de sa trace etde la trace de son carré. Ceci ne sera pas sans rappeler le joli résultat de réduction (par congruence)de la forme quadratique qui, à une matrice M de taille n, associe le coefficient en X n−2 de son
polynôme caractéristique.
Exercices de confinement Réduction 6 P Voici quelques petits exercices de réduction
autour des propriétés arithmétiques du polynôme minimal. On cherche ici le polynôme minimald’une matrice diagonale, puis, triangulaire, par blocs.
Petit exercice ludique sur les matrices entières inversibles P Cinq minutes sur unpetit exercice étonnant de Patrice Lassère, qui fait intervenir des matrices à coefficients entiers.
Cayley + Hamilton = Lagrange ! P Derrière cette égalité à peine exagérée se cache uneconnexion pas toujours connue des étudiants, entre la théorie des groupes finis abéliens (et même
parfois par extension des groupes finis tout court) et la théorie de la réduction d’un endomorphisme
sur un corps. C’était une réponse à une question naturelle de Titouan Martin !
(Non Riri, ce n’est pas un poisson d’avril ! : -)))
Cayley-Hamilton, la preuve 100% bio ! P Voici résolument ( !) ma preuve préférée duthéorème de Cayley-Hamilton ! Avec que des bons produits ! Elle se dit uniquement en termes destructures et de morphismes, dans ce que l’algèbre moderne fait de plus élégant ! D’ailleurs, onva rapidement de rendre compte que l’on est sur une preuve bien plus forte que son propos dedépart, et qui va nous propulser directement vers les fameux invariants de similitude (le Graal dela réduction).
Un scoop sur Cayley-Hamilton ? P Tout étudiant ayant en main sa licence de mathématiquesa forcément rencontré le théorème de Cayley-Hamilton, et son corollaire immédiat qui dit que le polynôme minimal d’une matrice divise son polynôme caractéristique. Mais qui sait ce que représente,en termes de matrices, le quotient du polynôme caractéristique par le polynôme minimal ? Et comment peut-on vivre dignement sans le savoir ?
Une preuve express de Cayley-Hamilton (sur tout corps et sans topologie) P
On présente une preuve très rapide de Cayley-Hamilton qui ne nécessite pas de topologie et ne
demande pas d’hypothèse sur le corps. Elle demande en revanche la connaissance du discriminantd’un polynôme.

41

Exercices sur le thème ≪ arithmétique au secours de la réduction ≫P Deuxexercices (plus une variante) où l’arithmétique des polynôme vient délivrer la réduction de ses
problèmes de diagonalisabilité !
Décomposition de Dunford pour de ≪ petits ≫ polynômes minimaux P Un exercice
instructif sur la décomposition de Dunford qui utilise Bezout, la formule de Taylor polynomiale,
Cayley-Hamilton, et un certain monsieur Newton (mais ça c’est un peu spoiler). Le but du jeu
est ici de calculer explicitement la décomposition de Dunford d’une matrice à ≪ petit ≫ polynôme
minimal. Petit... au sens de la divisibilité.
Disques de Gershgorin... et raffinements P On présente ici une façon rapide de localiser les valeurs propres d’une matrice avec les disques de Gershgorin. On en donne une preuveélémentaire et on continue avec deux raffinements possibles : un par dualité, et un autre, plus
impliqué, qui utilise la topologie des valeurs propres (voir vidéo précédente sur la continuité duspectre).
Diagonalisation et trigonalisation simultanées P On présente les grands classiques desapplications des critères polynomiaux de la diagonalisabilité. 1) l’induit d’un diagonalisable à unsous-espace stable est encore diagonalisable, 2) la diagonalisation simultanée, 3) diagonalisabilité
des endomorphismes de multiplication par une matrice.
On présente ensuite des raffinements et des applications à la trigonalisation. Tout d’abord, lecritère du polynôme annulateur scindé, et comme application la trigonalisation simultanée d’endomorphismes trigonalisables qui commutent. Nous passons ensuite à une jolie application qui peutêtre vue comme un ≪ Cayley-Hamilton à plusieurs variables ≫.
Endomorphismes de l’espace des matrices qui commutent à la transposée P Un
petit exercice qui se décline bien selon si on se retrouve dans le contexte d’une leçon sur la dualité,de la diagonalisabilité, ou de la trigonalisabilité. Bref, un exercice, mais trois méthodes !
Un exercice classique sur le commutant P On résout l’exercice classique que le commutant d’un endomorphisme est de dimension supérieure ou égale à celle de l’espace. On donne
plusieurs preuves selon le niveau ou les affinités : une preuve algébrique, une preuve topologiqueet un qui provient de la combinatoire algébrique.
Tout sur le commutant (1ère partie) P On propose de faire le point sur tous lesrésultats classiques à l’agrégation sur le commutant. Dans une première partie on étudie deuxcas ≪ complémentaires ≫ que l’on retrouve souvent dans les écrits : le cas diagonalisable et le cas
cyclique, ou si l’on préfère la matrice diagonale ou la matrice compagnon.
Tout sur le commutant (suite et fin)
P On propose de faire le point de tous lesrésultats classiques à l’agrégation sur le commutant. Dans une première partie on a étudié lecas diagonalisable et le cas cyclique. Cette fois-ci, on s’attaque au cas général, en nous basant
sur le théorème de décomposition de Frobenius, plus particulièrement, les degrés des polynômes
invariants de similitude.

42

Multiplication à gauche par une matrice- analyse spectrale P Si A est une matricecarrée, la multiplication à gauche par A fournit un endomorphisme LA de l’espace des matrices
carrées (de même taille que A). On propose une analyse spectrale (spectre et vecteurs propres)lorsque A est diagonalisable. Bref, l’ambiance à son comble au Fab-Lab.
Une famille libre sur Q par la trace ! P Un exercice qui peut parfaitement faire office dedéveloppement (corps, polynômes, dimension, déterminant...) propose de montre qu’une certaine
famille finie de réels quadratiques sur Q est Q-libre. Ceux qui n’en sont pas encore convaincus
verront que la trace a de l’audace, la trace a du génie !
Qui sont les coefficients du polynôme caractéristique ? P On prouve une formule
générale pour les coefficients du polynôme caractéristique d’une matrice carrée A.
Sous-espaces de matrices stables par conjugaison P On va trouver tous les sousespaces de Mn (K) stables par conjugaison de GLn (K). Evidemment, il sera question ici deréduction, mais aussi, curieusement, de décomposition en base 2, et on rencontrera également
la jolie forme bilinéaire trace. On trouvera cet exercice dans le chapitre III de Nouvelles Histoires
Hédonistes de Groupes et de Géométries.
Sous-espaces de matrices diagonalisables P On discute ici de résultats sur les sousespaces de Mn (K) constitués de matrices toutes diagonalisables.
Suites récurrentes linéaires (par la réduction) P Inspirés par l’épreuve 1 de l’agrégationinterne 2010, on propose une présentation des suites récurrentes linéaires à valeurs dans C, via laréduction de l’endomorphisme de décalage (le shift S qui envoie un sur un+1 ). On y apprendra(peut-être) que l’ensemble des suites récurrentes linéaires est une C-algèbre sur laquelle S agit
de façon compatible avec les opérations. On s’amusera à réduire S et retrouver avec bonheur ses
sous-espaces propres, et sous-espaces spectraux.
Un exercice sur les suites récurrentes linéaires et barycentres P Voici un petit
exercice proposé par Denis Roussillat sur le thème des suites récurrentes linéaires où l’on construit
la suite à l’aide de barycentre. On donne ici deux versions de l’exercice, et deux solutions, une,élémentaire et l’autre niveau M 1.
Comatrice, qui es-tu ? P On cherche une définition intrinsèque (sans calcul et liée à
l’algèbre linéaire plutôt qu’au calcul matriciel) de la comatrice. Il y a une définition savante qui
utilise les algèbres extérieures, mais celles-ci sont hors programme agreg-master. On en propose
une ≪ intermédiaire ≫ assez amusante.
Endomorphismes nilpotents à l’écrit de l’agreg (2017) P On s’intéresse à la questionI6) de l’écrit MG-2017 de l’agrégation externe. Il s’agit de classifier les classes de similitudes decertains endomorphismes nilpotents. Cela nous donne l’occasion de faire le point sur les techniquesde réduction dans le cadre nilpotent. Deux mots d’ordres : suite des noyaux itérés et scindage deces noyaux, voir Nouvelles histoires hédonistes de groupes et de géométries, chap. III.

43

Endomorphismes nilpotents à l’écrit de l’agreg-2 (variantes) P Après avoir résolu
cette question sur la classification des classes de matrices nilpotentes d’indice 2 en dimension 4, on
tente quelques variantes (pour le plaisir). Quelles sont les classes de similitudes de matrices nilpotentes a) d’indice 2 en dimension nb) dont le noyau est de dimension 1c) d’indice 3 en dimension
6.
La suite des noyaux emboı̂tés P On explique dans un premier temps l’importancede la suite des noyaux emboı̂tés pour la classification des endomorphismes, en se ramenant aux
nilpotents. Dans le cadre de l’étude des classes de similitude, la dimension des noyaux emboı̂tés
est un invariant. On montre ici que cette suite est croissante, et qu’elle s’essouffle ! Pour finir, on
indique sans preuve, pourquoi cette suite permet de déterminer exactement la classe de similitude
de l’endormorphisme.
Le corps C est algébriquement clos (preuve par la réduction) P On propose cettepreuve du théorème de d’Alembert-Gauss (C est algébriquement clos), adapté d’une preuve dePierre Samuel (provenant de celle de Legendre) dans le cadre de la réduction des endomorphismes.
On peut trouver cette preuve dans Carnet de Voyage en Algébrie I-3.37.
Un exercice sur autour du théorème spectral (formule d’Apollonius) P La formule
d’Apollonius relie les distance entre les sommets d’un triangle et le milieu d’un côté. Le théorème
spectral permet d’en voir une généralisation tous azimuths en dimension n.
Semblables sur C vs semblables sur R P Deux matrices réelles sont semblables sur
C si et seulement si elles sont semblables sur R. On montre ce classique de la réduction. Mais onva un peu plus loin avec l’équivalence Un -semblable/On semblables. Encore une application de la
décomposition polaire.
Sous-espaces stables et polynômes minimaux P Un petit exercice autour de ce thème.
Au final une petite question piège (ou pas) est-ce qu’un sous-espace stable par u possède unsupplémentaire stable si et seulement si le polynôme minimal de u est égal au ppcm du polynôme
minimal de l’induit et celui du coinduit.
Un exercice instructif sur les matrices nilpotentes (avec un regard neuf sur ladérivation !) P On propose un exercice qui trouvera sa place à un oral d’agrégation interne.
On part d’une équation matricielle pour arriver à montrer qu’une des matrices en présence se doitd’être nilpotente. Mais cet exercice possède un intérêt en soi : il nous donne l’occasion d’aborder
un peu la théorie de Lie...
Trace et nilpotence en toute caractéristique
P Un développement à l’agrégationconsiste à prouver qu’une matrice A de taille n sur un corps de caractéristique nulle est nilpotentesi et seulement si tr (Ak ) = 0 pour tout k de 1 à n. Mais que devient ce critère en caractéristiquequelconque ? Une question deJean Parazuelo et une jolie remarque de Yann Dev en commentaires
sur cette chaı̂ne permette d’y répondre.

44

Lemme de Brauer sur les matrices de permutation P Une nouveauté dans la dernièreédition de Carnet de Voyage en Algébrie qui vient de sortir. On montre ici que deux permutations
sont conjuguées dans le groupe Sn si et seulement si les matrices de permutation correspondantessont conjuguées dans le groupe GLn (K), c’est-à-dire semblable. Il s’agit d’un joli développementtransversal où l’on va devoir récupérer des invariants de conjugaison dans Sn à partir d’invariantsde similitude dans GLn (K). Dans un premier temps, nous supposons que le corps K est de caractéristique nulle, et on pourra retrouver les invariants de conjugaison des permutations par la
trace. Dans un deuxième temps, nous supposons que le corps K est de caractéristique quelconque,et une jolie matrice symétrique réelle va nous tirer d’affaire.
Sous-algèbres réduites de matrices complexes P On commence par une question dejury autour de la décomposition de Dunford. Puis, on montre que si une sous-algèbre de Mn (C)ne possède pas de matrice nilpotente non nulle, alors, elle est conjuguée à une sous-algèbre del’algèbre des matrices diagonales de Mn (C).
Systèmes linéaires
Décomposition LU - Un survol rapide des choses à bien connaı̂tre P La décomposition
LU est à bien connaı̂tre, en particulier, pour l’oral de l’agrégation externe. Quelles sont les hypothèses ? Formuler l’unicité, prouver l’implication et sa réciproque, connaı̂tre les cas particuliers
sur les corps classiques, et bien sûr savoir donner la complexité de l’algorithme ainsi que les extensions du domaine (Cholesky, décomposition P LU )Pseudo-inverse d’une matrice réelle P
On donne ici l’expression de la pseudo-inverse d’une matrice. Si Ax=b est un systèmelinéaire et si B est la pseudo inverse de A, alors x=Bb est l’élément de norme minimale tel que(Ax -b) est de norme minimale.
Conditionnement d’une matrice P
Parmi les applications des valeurs propres attendues dans la leçon 149 (selon lerapport du jury de l’externe), on va trouver le conditionnement d’une matrice. Le conditionnement permet de comprendre la sensibilité des solutions trouvée à un systèmede Cramer Ax=b, en fonction des erreurs commises sur le calcul de la matrice A etdu vecteur colonne b. Pour la norme subordonnée à la norme quadratique, on trouve que leconditionnement est fortement lié à l’étendue du spectre de la matrice A*A.
Calcul d’une série exponentielle P
On cherche à calculer explicitement la série génératrice exponentielle d’un polynômeréel. Un exercice qui demande un peu de calcul et également un peu de savoir-faire. En particulier,le choix d’une base adaptée de l’espace des polynômes et la résolution d’un système linéaire.
Solution optimale d’un système linéaire P Voici (sous forme d’exercice) une façonélégante proposée par Moore et Penrose de formuler une solution optimale à un système linéaire
quelconque sur R. On aboutit à la notion de pseudo-inverse d’une matrice rectangulaire.

45

Matrices et norme euclidienne
Le théorème spectral (et ses avatars) P On présente ici le théorème spectral commeconséquence directe du théorème d’orthogonalisation simultanée. Cela fournit un développement
agréable que l’on peut trouver dans Carnet de Voyage en Algébrie.
Introduction aux matrices de Gram P Une toute petite introduction aux matrices deGram. Une définition dans le cas euclidien, quelques propriétés et surtout l’application classique
au calcul de la distance d’un vecteur à un sous-espace. Pour finir, une résurgence de la matrice deGram à un endroit où l’on ne s’y attend pas...
Le rang d’une matrice de Gram P On montre ici que le rang de la matrice de Gramd’une famille de vecteurs de Rn est égal au rang de la famille. Ce sera l’occasion pour nous de parlerde critère de rang par les mineurs et (accessoirement) de la dégénéresence d’une forme bilinéairesymétrique par restriction.
Gram-Schmidt et la décomposition QR P On introduit ici la méthode d’orthonormalisation de Gram-Schmidt ainsi que son avatar matriciel : la décomposition QR. On présenteensuite l’avantage de cette décomposition (unicité, inégalité d’Hadamard...)MG-2023-On -semblable vs GLn -semblable-1 P Dans la série ≪ anatomie d’une épreuved’agrégation ≫, on va disséquer la partie IV du problème MG-2023 (ou peu s’en faut). On montre
ici le résultat suivant : deux matrices symétriques sur C sont GLn (C) -semblables si et seulement
si elles sont On (C) -semblables. On utilisera une ≪ pseudécomposition polaire ≫ sur C, que nousdémontrerons dans une prochaine vidéo.
MG-2023 - Partie IV-pseudo décomposition polaire sur un corps P On présente
ici ce qui semble une mine de petites techniques pour un candidat qui voudrait bien se préparer
aux épreuves de l’écrit de l’agrégation. Il s’agit de montrer que sur le corps des complexes (puissur un corps algébriquement clos de caractéristique différente de 2), toute matrice inversible sedécompose en le produit d’une matrice orthogonale et d’une matrice symétrique.
Produits de matrices symétriques réelles P Le produit de deux matrices symétriques
est en général non symétriques. Mais, sur R, si une des deux matrices est définie positive, alors
la matrice produit est diagonalisable sur R et l’on peut même statuer sur le signe de ses valeurs
propres. On en déduit une preuve alternative de l’unicité de la décomposition polaire.
Décomposition polaire
Décomposition polaire-Appellation controlée-1 P Voici le premier volet d’une série
consacrée à la décomposition polaire. Dans cette première partie, nous allons présenter la décomposition
polaire, ses déclinaisons et autres avatars sur des groupes variés et ses cas dégénérés. On finit avec
la décomposition polaire du groupe On (C). Attention, contrairement à ce que l’on pourrait penser, il ne s’agit pas d’une n-ième développement sur la décomposition polaire, mais plutôt ce quel’agrégatif doit connaı̂tre lorsqu’il aborde le sujet.

46

Décomposition polaire-Dans tous ses états-2 P Après avoir vu la décomposition polaire de divers sous-groupes de GLn (R) ou GLn (C), nous voici partis sur diverses interprétations de
la décomposition polaire. Une interprétation géométrique pour commencer, puis une interprétation
sur le thème optimisation des distances dans un espace normé, et pour finir en beauté avec uneinterprétation topologique de l’homéomorphisme de décomposition polaire.
Décomposition polaire- Applications-3 P De la même manière qu’un théorème n’est
rien sans ses corollaires, une décomposition de matrices n’est rien sans ses applications. La premièredes applications de la décomposition polaire est l’incontournable lien entre norme subordonnée à
la norme quadratique et rayon spectral. Après avoir prouvé ce point on s’attaque à la maximalité
du groupe orthogonal comme sous-groupe compact de GLn (R). On continue avec des problèmes deconnexité et de composantes connexes. On finit en beauté avec une application de la décomposition
polaire à la forme volume.
La décomposition polaire vue par une ellipsoı̈de P On propose ici de regarder ladécomposition polaire sous un angle géométrique. On donne une preuve géométrique de l’existence,
puis une interprétation géométrique de l’unicité de la décomposition.
Théorème spectral
Une nouvelle preuve du théorème spectral ? P Une preuve nouvelle, et due à Clément
de Seguins Pazzis, du théorème spectral, est tombée récemment sur les réseaux sociaux. C’est peutêtre le moment de faire le point sur ce théorème et sur ses preuves.
Une nouvelle preuve du théorème spectral ? −2 P Une jolie proposition de Hugues
Contini pour une preuve du théorème spectral : en fait une propriété bien connue des polynômes
irréductibles réels font que la seule obstruction au théorème spectral se situe en dimension 2. Le
reste est une vérification de routine.
Théorème spectral (dernière preuve avant la rentrée)
P Voici une preuve trèsstylée du théorème spectral, proposée par Toto-toto. Il s’agit d’une preuve totalement algébrique(modulo C est algébriquement clos qui finalement ne est pas tant algébrique que ça malgré son
pseudo ≪ théorème fondamental de l’algèbre ≫) et qui n’utilise aucune récurrence (ça c’est justepour l’exercice de style, on ne fait pas d’induction-bashing sur la chaı̂ne !). Une preuve qui peut
parfaitement figurer dans un cours d’agrégation interne.
Théorème spectral- une preuve totalement analytique ! P Une preuve original duthéorème spectral due à Yan Doumerc qui, dans un pur exercice de style, ne s’est autorisé que desingrédients analytiques.
Rayon spectral vs norme subordonnée P On présente ici les relations à connaı̂tre(autant à l’agrégation interne qu’externe) entre le rayon spectral et la norme subordonnée. On va
voir que ces relation peuvent être proches, et même très proches...

47

7 Matrices et topologie
Critère topologique de diagonalisabilité P Sur C, une matrice est diagonalisable si etseulement si sa classe de similitude est fermée pour la topologie d’espace normé de Mn (C). On
montre ce résultat, ainsi que son analogue sur R.
L’intérieur des matrices diagonalisables complexes P On montre ici que l’intérieur
des matrices diagonalisables complexes est constitué des matrices à valeurs propres simples. Il
serait utile de réviser un peu le résultant sur
Continuité du spectre d’une matrice P On propose de montrer que les valeurs propresd’une matrice dépendent continûment de celle-ci. Le tout est de donner une bonne formulation (onen donnera deux) de ce résultat.
Un exercice de jury autour de l’exponentielle des matrices complexe P On connaı̂ttous à l’agrégation (externe) le développement de l’exponentielle complexe qui se trouve être surjective de Mn (C) vers GLn (C) (mais c’est faux sur R). Une question de jury est la suivante, on sait
que le sous-espace des traces nulles s’envoie sur SLn (C) par l’exponentielle. Est ce que l’application
ainsi définie reste surjective ?
L’image de l’exponentielle réelle. On fait le point (barre) ! P On présente tout
les outils pour comprendre si une matrice réelle donnée est ou non l’exponentielle d’une matriceréelle. Tous les outils sont bons pour cette tâche difficile : réduction, polynômes annulateurs,décomposition de Dunford additive, multiplicative. On termine avec un lien peut-être inattendu
sur l’étude des structures complexes.
8 - Matrices borderline (à l’agrégation)Prépa Externe : Matrices échelonnées 1 e
P On commence un nouveau volet
sur les matrices échelonnées, qui sont objets mathématiques les plus évitées par les candidats del’agrégation. Derrière la combinatoire un peu besogneuse du pivot de Gauss se cache le pointde départ d’une belle randonnée sur la géométrie de la Grassmannienne. On va essayer de vous
faire aimer cette théorie en ne dévoilant que, d’une part, la partie technique mais rassurante de laméthode du pivot et d’autre part la partie à la fois simple et profonde de la géométrie de l’ensemble
des sous-espaces de dimension fixée de K n .
Prépa externe : Matrices échelonnées 2 e
P On a énoncé une bijection entre
l’ensemble des matrices échelonnées réduites en colonnes de taille (n, m) et la grassmannienne desous-espaces de dimension m de K n . On va montrer ici la surjectivité. On pourrait juste dire qu’ils’agit juste du fameux pivot de Gauss en colonnes. Mais pour être plus précis, on met en place ce
pivot : tout d’abord, on en décrit une version en termes de multiplication à droite par des matrices
de transvection-dilatation-permutation de GLm , ce qui nous permet de montrer de façon effective
la surjectivité.

48

Prépa externe : Matrices échelonnées 3 e
P On attaque maintenant l’injectivité, etpour cela on veut retrouver de façon intrinsèque une matrice échelonnée à partir d’un sous-espacede K n de dimension m. Dans cette vidéo, on expose la stratégie de la preuve de l’injectivité,
puis on montre le premier point : retrouver le ≪ type ≫ de la matrice échelonnée juste à partir dusous-espace.
Prépa externe : Matrices échelonnées 4 e
P On finit la preuve du théorème principal
sur les matrices échelonnées, c’est à dire la bijection entre grassmannienne et ensemble de matriceséchelonnées. On donne ensuite un exemple sur un corps fini, où on exhibe deux façons de dénombrer
une grassmannienne. Une première avec une fraction rationnelle et une autre avec un polynôme.
Méthode QR- exemples, preuves, et petits calculs sur SAGE e
P Voici unalgorithme qu’il est bon de connaı̂tre pour plusieurs raisons : 1) il est d’une efficacité redoutable
pour trouver une approximation de racines de polynômes, 2) la preuve est élégante et 3) dans lecontexte actuel, il peut faire l’objet d’un développement dans le contexte d’une leçon à l’agrégation
externe (incontournable dans la leçon 149).
Référence : P . Ciarlet, Introduction à l’analyse numériue matricielle et à l’optimisation
La dualité dans le théorème de Frobenius e
P Un beau développement dans une
leçon sur la dualité consiste à prouver que, dans le contexte des endomorphismes, si le sous-espace
u-stable engendré par un vecteur x de E est de dimension le degré du polynôme minimal de u,
alors ce sous-espace possède un supplémentaire u-stable. On donne une preuve où l’on motive lanécessité de la dualité.
La désingularisation de Springer du cône nilpotent e
P L’ensemble des matrices
nilpotentes de Mn (C) est un cône possédant des singularités. Et c’est bien ça qui est embêtant !
Springer propose une façon assez naturelle de désingulariser ce cône en associant à chaque matrice
nilpotente l’ensemble des drapeaux complets qu’elle respecte.
Nombre d’orbites de matrices entières d’ordre fini e
P A la suite d’une discussion
avec Adem Zeghib, voici une façon d’approcher le nombre de classes de similitudes de matrices
d’ordre fini dans GLn (Z).
Trigonalisation- l’exercice coup de coeur e
P C’est un exercice (en plusieurs
étapes) qui s’adresse aux candidats à l’agrégation externe. On montre que si G est un sous-groupede GLn (Fp ), et que tout g de G a un spectre réduit à 1, alors les éléments de G sont simultanément
trigonalisables. Au programme : trigonalisation, lemme de Cauchy, dénombrement de GLn (Fp ), et
enfin, théorèmes de Sylow !
Un théorème bien frais sur le rang et la réduction P
Plein d’astuce, plein de ressources dans sa preuve, un théorème qui relie la stabilité de GLn etcelle du rang pour un endomorphisme de Mn (C).

49

Isomorphismes qui conservent les matrices de rang 1 P
La preuve instructive à plus d’un titre d’un petit théorème sur les morphismes de l’espace desmatrices qui conservent l’ensemble des matrices de rang 1. Tout d’abord une stratégie générale surles endomorphismes qui conservent une partie non linéaire, en cherchant les sous-espaces maximaux
inclus dans cette partie. Ensuite, l’exercice fait visiter tout ce que l’on a à bien connaı̂tre sur les
matrices de rang 1. On termine sur un petit épilogue sur les SETIM.
1.4.2

Déterminant droit devant (9)Un calcul de déterminant (sans les mains)
P On se propose de calculer le déterminant de la représentation réelle d’une matrice complexe.
Selon comment on attaque ce déterminant, le calcul peut devenir inextricable... ou simple commebonjour.
Exercice sur la leçon ≪ déterminant ≫P Sur la leçon déterminant, un type d’exercice dans la discussion avec le jury consiste àvérifier si le candidat a bien compris l’importance et l’utilisation de l’unicité, à scalaire près, d’une
n-forme linéaire alternée sur un espace vectoriel de dimension n. L’exercice que l’on présente ici
fait est emblématique de ce type de question.
Volume de la n-boule et intégrale de Wallis
P Comment évolue le volume de la boule de rayon 1 en dimension n ? Pour n = 1, on a V = 2,
pour n = 2, le merveilleux nombre pi, et pour n = 3, le célèbre 4/3pi. Et quelle est sa limite quandn tend vers l’infini ?
Irréductibilité du déterminant (good proof/bad proof )P On va montrer de deux manières que le déterminant vu comme polynôme à n2 indéterminées,
est irréductible. Une première preuve, élémentaire, mais trop simple pour être honnête. Puis, uneseconde preuve qui nous amènera sur les sentiers arpentés de la géométrie algébrique et le théorème
des zéros de Hilbert.
Déterminants dans le triangle de Pascal (et lemme de Gessel-Viennot)
P On va calculer à l’aide de la combinatoire des chemins, le déterminant d’une matrice
inscrite dans le triangle de Pascal ! On va prouver pour cela le petit lemme (de grande destinée)de Gessel-Viennot.
Déterminant et polynômes de Lagrange
P On construit une matrice carrée à partir de polynômes de Lagrange (non normalisés) eton voudrait en calculer le déterminant. On va voir trois méthodes élégantes se décliner autour decette taupinade.

50

Formule de Binet-Cauchy (par la face sud)
P La formule de Binet-Cauchy (que l’on peut trouver dans Histoires Hédonistes de Groupes
et de Géométries, tome 2, Chap. II) peut être placée avec brio dans une leçon sur le déterminant.
On propose une méthode douce pour cette formule dont nous verrons plus tard des applications.
Le théorème du confinement
P On prouve qu’il n’y a rien de mieux que le n-gone régulier pour nous protéger de la contagion.
Au programme, inégalité d’Hadamard pour les déterminants, et identités de Newton.
Déterminant et combinatoire (formule de Cayley) e
P On présente ici un joli théorème qui nous permet, à l’aide d’un déterminant, de calculer lenombre de façons de connecter n points de façon minimale. C’est une formule due à Arthur Cayley.
Moore, un nouveau Vandermonde ? P
Le déterminant de Moore est non seulement un exercice ludique et passionnant qui demandejuste un minimum de connaissance sur les corps finis, mais c est surtout un résultat qui en a sous lecapot puisque qu il se situe à l orée de la profonde théorie de Dickson sur les invariants modulaires.
On donnera un aperçu de cette théorie sur laquelle on reviendra reviendra dans une autre vidéo.
1.4.3

Corps finis à l’envi (8)Les classes de similitude en dimension 2 (sur corps fini)
P Rien de mieux pour comprendre les classes de similitude que de les décrire en totalité dansl’espace des matrices M2 (K) et de les dénombrer dans le cas où le corps est fini. Une vidéo qui se
vit comme un beau voyage, sans (trop d’) émission de CO2, et dont on se sort grandi.
Nombre de matrices diagonalisables sur un corps fini (et comportement asymptotique)e
P Un petit développement pour l’externe. En suivant Carnet de Voyage en Algébrie, on calcule
de nombre de matrices diagonalisables sur un corps à q éléments. On en déduit que la probabilité
de piocher une matrice diagonalisable dans Mn (K) tend vers 1/n ! dans K est grand.
Sous-espace de matrice diagonalisables sur Fp
P On cherche un contre - exemple de sous-espace de matrices toutes diagonalisables sur uncorps fini, sans la condition de codiagonalisabilité.
Nombre de matrices nilpotentes sur un corps fini e
P Le cardinal du cône nilpotent sur un corps fini fournit une formule bien intrigante (c’est
le cardinal d’un espace vectoriel du corps fini alors que tout le monde sait que ce cône n’est pas
un sous-espace vectoriel !). On tente une méthode sous forme ≪ développement 15 minutes ≫ quel’on peut trouver dans H2G2 tome 2(2015) Chapitre IV-Théorème 4. 1. Une autre méthode est
disponible dans Carnet de Voyage en Algébrie, en utilisant le lemme de Fitting.
51

Nombre de matrices semi-simples sur un corps fini. Comportement asymptotique. e
P On va attaquer un problème un peu ardu, mais qui ne demande que des choses solubles dansl’agrégation. On va montrer que la probabilité de choisir une matrice semi-simple dans Mn (K)avec K fini, tend vers 1 quand le cardinal de K tend vers l’infini. Le plus long finalement dans la
preuve est de faire un inventaire des pré-requis.
Errata : petite coquille à 13′ 30′′ . Il faut mettre un factoriel à aj (lambda) au dénominateur.
Dénombrement et réduction sur un corps fini-quelques séries génératrices e
P On résume ici les formules de dénombrement trouvées dans les vidéos précédentes (matrices
diagonalisables, nilpotentes, semi-simples) sur un corps fini. On ajoute, pour le plaisir, les matrices
trigonalisables, et des versions synthétiques sous forme de séries génératrices.
Corps finis. Construction par les corps de rupture. e
P On construit généralement le corps fini Fq comme corps de décomposition du polynôme
X q − X. Voici une construction qui ne part de rien (ou presque) et construit le corps Fq comme
corps de rupture d’un polynôme irréductible de degré n sur Fp , avec q = pn .
Questions autour de l’automorphisme de Frobenius e
P L’automorphisme de Frobenius possède bien des aspects : c’est un morphisme de corps,
mais aussi un endomorphisme d’espace, un morphisme de groupes multiplicatif, voire une simple
permutation d’ensemble fini. A tous ces aspects correspondent des questions classiques, quel est
son polynôme caractéristique, est-il diagonalisable, quelle est sa signature, sa décomposition en
cycles... Ces questions peuvent désarçonner le candidat à l’agrégation. On tentera de mettre enplace quelques réflexes vitaux, et autres gestes-barrière.

1.5

Les groupes sous tous les angles (35)1.5.1

1 - Groupes finis

Critère de cyclicité pour les groupes finis
P Les groupes cycliques sont les ≪ sous-groupes élémentaires ≫ d’un groupe fini. il est donc
important de bien les connaı̂tre et savoir les reconnaı̂tre. On donne ici un critère pour montrer
qu’un groupe est cyclique ayant des applications intéressantes, en particulier dans l’étude du groupe
multiplicatif d’un corps ou des inversibles d’un anneau intègre. La preuve utilise une formule surla fonction indicatrice d’Euler, qui elle-même utilise l’étude des groupes cycliques. On tourne enboucle !
Les classes de conjugaison du groupe Sn
P Voici une preuve à bien connaı̂tre dans la leçon sur les groupes de permutation : celle duthéorème qui stipule que deux permutations sont conjuguées si et seulement si elles ont mêmepartition associée. On va partir de la formule de conjugaison des permutations pour définir cette52partition associée, et montrer qu’il s’agit bien de ce que l’on appelle un ≪ invariant total de conjugaison ≫. Invariant total, vous ne viendrez plus chez nous par hasard !
Les classes de conjugaison du groupe Sn -2
P Nous venons de voir dans une vidéo précédente que les classes de conjugaison de Sn étaientparamétrées par les partitions de n. Voici maintenant une preuve pour la formule du cardinal dela classe de conjugaison associée à une partition.
Sous-groupe d’indice premier minimalP
On montre ici que, si p est le nombre premier minimal divisant l’ordre d’un groupe
G et si H est un sous-groupe d’indice p de G, alors H est distingué dans G. Ce seral’occasion de montrer l’utilité de l’action de G sur l’espace, dit homogène, G/H.
Groupes de permutations : la surjection de Sn sur Sn−1
P Le thème des morphismes surjectifs de groupes entre le groupe de permutation Sn et legroupe Sn−1 permet de visiter tout un pan de la théorie des groupes. A ce titre il tient une placede choix dans les questions de jury et autres divertissements : -)Moyenne et variance du nombre d’invariants par la formule de Burnside
P On sait que le groupe de permutation Sn agit sur l’ensemble des entiers de 1 à n. Combien
une permutation a − t − elle, en moyenne, d’éléments fixés ? Et quelle en est la variance ? Nous
allons voir que toutes les réponses à ces questions proviennent de la formule de Burnside...
Le collier de perles ou le coloriage du n-gone
P Voici une présentation du collier de perles en deux parties. Il s’agit dans un premier temps
de problèmes de dénombrement modulo action d’un groupe cyclique.
Dans un deuxième temps, on répond à une question très naturelle des coloriages du n-gone
modulo isométrie et non plus modulo rotation. Ceci nous mène à observer le groupe diédral, on
finit sur une formule générale du nombre de coloriage, qui distingue le cas pair et le cas impair.
La formule de Dobinski (finie)
P Une formule qui illustre parfaitement la puissance des actions de groupes. On part de laquestion suivante : on sait que le groupe de permutation Sn agit transitivement sur X = [1, n].
Combien y a-t-il d’orbites quand il agit naturellement sur X m ?
Oral-ENS sur les permutations
P Une petite formule sur les permutations proposée aux oraux l’Ulm. Et une résolution particulièrement sympathique qui passe par toutes les validations d’un programme d’algèbre linéairede licence : -)53

Errata : il faut changer le −3/4 en 3/4 et le (−1)n en (−1)n+1 . Merci à Pascal Mathieu de lavoir signalé.
Exercice Oraux-X ENS sur les groupes par Luca
P Luca revient nous voir sur la chaı̂ne avec un exercice inédit sur les groupes qu’il a concocté
à partir d’un souvenir de L3. Les automorphismes de groupes agissent bien sûr naturellement surle groupe, mais que peut-on espérer de la transitivité de cette action (quand on enlève l’élément
neutre) ?
Log discret et protocole El Gamal
P On présente le protocole El Gamal et l’intérêt de calculer le logarithme discret afin dedécrypter les messages. Cela nous donnera l’occasion de voir ou de revoir les techniques de basedans un groupe cyclique...
1.5.2

2 - Sous-groupes de GLn- groupe orthogonal

Le groupe orthogonal (engendrement en toute simplicité)P Pas description, tout est dans la vidéo.
Tout (ou presque) sur le groupe orthogonal !
P On va faire le point sur le groupe orthogonal : définitions, premières propriétés, centre, sousgroupes distinguées, réduction, topologie, actions... Mais bien entendu, le groupe orthogonal, c’est
aussi un groupe qui participe à des décompositions (polaires, QR) essentielles en mathématiques !
Sous-groupes compacts de GLn (R) eP
On va montrer, dans un premier temps, que le groupe orthogonal est compact et, même,qu’il s’agit d’un sous-groupe compact maximal de GLn (R). Dans un deuxième temps, on va
passer à un théorème plus difficile mais fondamental : tout sous-groupe compact est conjugué
à un sous-groupe de On . Ce morceau de bravoure nous demandera d’utiliser le théorèmede l’ellipsoı̈de de John-Loewner. Voir le chapitre des développements.
Sous-groupes à 1 paramètre de GLn (C) e
P On présente un développement qui peut être utile également aux épreuves écrites (voir
Agreg interne EP1-2014) sur les morphismes continus du groupe additif R vers Gn (C). On suitl’exercie III-F-17 de Nouvelles Histoires Hédonistes de Géométries.
1.5.3

3 - Groupes en analyse

Sur le groupe des homéomorphismes de R
P Quelques aspects ≪ groupistes ≫ de l’ensemble des homéomorphismes de R, muni de la loi
o. On s’intéresse ici à un objet essentiellement analytique, mais avec un regard d’algébriste.
541.5.44-Groupes en action borderline :Un théorème de Jordan sur le groupe linéaire modulo n e
P Un petit théorème de Jordan qui nous emmènera sur les rivages du groupe linéaire GLk (Z/nZ)
et qui vient généraliser l’indicatrice d’Euler (pour k = 1). On pourra voir dans ce théorème une
extension du domaine du lemme chinois !
Tout sur le groupe dérivé- 1/2 e
P On fait le point sur ce qui est bon de connaı̂tre sur le groupe dérivé à l’agrégation externe.
Dans un premier temps, on va voir les notions de commutateur, de sous-groupe dérivé, et les
propriétés basiques de ces sous-groupes. On continue avec tous les exemples à connaı̂tre des groupesdérivés des groupes classiques.
Tout sur le groupe dérivé- 2/2 e
P Dans cette seconde partie, on calcule encore deux sous-groupe dérivé : celui du groupe
alterné A4 et du groupe spécial linéaire SL2 (F3 ). On attaque des application : l’utilisation dugroupe dérivé dans les groupes simples d’ordre 60, l’étude des morphismes de Gn (K) dans legroupe K ∗ , la non existence d’un sous-groupe d’indice 2 dans A4 et un contre - exemple qui prouve
que D(G/H) n’est en général pas isomorphe à D(G)/D(H).
Les groupes ? Optez pour la simplicité.
P Pour les oraux d’agrégation externe, si l’on a montré lors d’un développement que tel (SO3)ou tel (An ) groupe est simple, il n’est pas mauvais de pouvoir expliquer pourquoi cet engouement
pour les groupes simples. Cette vidéo est là pour nous donner bon nombre d’application à lasimplicité.
Y a-t-il un sous-groupe d’indice 2 (dans l’avion) ? e
P On part d’une question d’apparence anodine : parmi les groupes classiques, quels sont ceux
qui possèdent des sous-groupes d’indice 2. Cette question nous amène à tout un florilège de groupes
classiques et surtout à un arsenal de moyens qu’il est bon de dominer à l’agrégation. Pour n’en citerque quelques uns : réciproque de Lagrange dans le cas cyclique, théorème de structure des GAF,
sous-groupes dérivés, signature, systèmes de générateurs de An , de SLn , formes linéaires, cyclicité
du groupe multiplicatif d’un corps fini, transvections, morphisme déterminant, sous-groupe dérivéde SOn , et le feu d’artifice final, la norme spinorielle !
L’exposé ne serait pas complet dans la propriété qui dit qu’un sous-groupe d’ordre 2n, n impair,possède toujours un sous-groupe d’indice 2. Voir la vidéo https://youtu.be/gBFdv08p7Nc
Merci à Nicolas Vichery de me l’avoir fait remarquer.
Sous-groupes finis de GL 2(R) et GL 2(Z) e
P Voici dans le cadre de l’agrégation externe, un petit théorème sur la classification dessous-groupes finis de GL 2(R) et GL 2(Z).

55

Morphismes entre groupes abéliens finis (la Saga des GAF) e
P On propose de comprendre les groupes d’automorphismes des groupes abéliens finis. On
met en place dans un premier temps quelques résultats élémentaires et classiques : groupe demorphismes entre groupes cycliques, interprétation de la composition, mise en forme matricielle.
On continue avec le second volet où l’on résout les exercices annoncés (de la liste de DamienMégy pour l’agrégation externe) dans le premier volet. Quels sont les groupes d’automorphismesde Z/2Z × Z/4Z et de Z/2Z × Z/6Z ? On propose une méthode qui permet au final de comprendre
le cas général : pouvoir décrire les groupes d’automorphismes d’un groupe abélien fini quelconque !
Utilisation des configurations en théorie des groupes e
P Sur l’exemple de la configuration de Cremona-Richmond, on propose de donner un exemple
édifiant de l’utilisation des configurations pour mieux comprendre certains groupes finis. En réalisantune configuration via deux ≪ géométries ≫ différentes, on peut réaliser de deux manières le groupedes automorphismes de la configuration et relier ainsi deux groupes finis classiques. On présente ensuite des situations analogues avec le plan de Fano et la configuration de Desargues. La présentation
est un diaporama de ma collaboratrice Marie Péronnier et le texte provient d’un travail conjoint
avec Jérôme Germoni dans le tome 2 d’Histoires hédonistes de groupes et de géométries.
Isomorphismes exceptionnels de groupes finis-1/2 e
P On motive ici le problème des isomorphismes entre les groupes linéaires et groupes depermutations, en suivant le livre Nouvelles Histoires Hédonistes de groupes et de Géométries. Ces
problèmes ont animés de grands mathématiciens, de Galois, dans sa lettre testamentaire, jusqu′ aux
grands mathématiciens du XXième siècles qui ont façonné la classification des groupes simples finis.
Désormais, ces problèmes intéressent également nos étudiants à l’agrégation dans leur préparationde développements !
Isomorphismes exceptionnels de groupes finis-2/2 e
P On attaque ici le cas des isomorphismes dits exceptionnels pour les corps F4 , et F5 . On
conseille, pour ceux qui seraient intéressés de les comprendre tous ( !) la lecture du chapitre XII
de Histoires hédonistes de groupes et de géométries (2015)
Construire un automorphisme extérieur de S6 e
P Les actions de groupes permettent de construire des morphismes d’un groupe G vers ungroupe de permutation Sn . Il suffit d’une belle coı̈ncidence numérique pour construire un morphisme de Sn dans lui-même. Pour n = 6, on prouve que l’automorphisme obtenu est extérieur (ie.
n’est pas intérieur).
Représentations de groupes et géométrie- Présentation 1 e
P Cette vidéo est une présentation des vidéos qui vont suivre. On y explique un schémagénéaral fécond entre représentations, classes de conjugaison et géométrie. Le but ici est double :présenter d’une part un développement sur les groupes à table de caractères entière (dont fait
partie le groupe de permutations Sn ) et l’ubiquité du nombre d’or à travers divers point de vue :56

algébrique, géométrique, théorie de Galois, et enfin dans les classes de conjugaison des groupes
finis, via la théorie des représentations.
Représentations de groupes et géométrie- Table de caractères de Sn -2 e
P On attaque donc un critère permettant de voir si la table de caractère d’un groupe finiest à valeurs dans Z. On passe par un petit lemme sur les extension cyclotomiques, puis, uneétude des classes de conjugaison de Sn . Curieusement, les choses s’enchaı̂nent sans nécessiter deconnaissances particulières sur la théorie des représentations.
Représentations de groupes et géométrie- le nombre d’or en géométrie et en théorie
des corps-3 e
P On commence notre traque au nombre d’or phi. Tout d’abord, dans les équations algébriques,puis dans la géométrie (avec le pentagone régulier et l’icosaèdre) et enfin dans la théorie des corps.
Nous prouverons une caractérisation, dont nous aurons besoin par la suite, des éléments de Q
(omega) (où omega est une racine primitive 5ème de l’unité) qui s’écrivent sous la forme a ∗ ϕ + b,
avec a , b rationnels et a non nul.
Représentations de groupes et géométrie- le nombre d’or dans D5 et A5 -4 e
P On voit comment apparaı̂t le nombre d’or dans les classes de conjugaison de groupes finis
via la théorie des représentations. Ici, on le voit sur l’exemple des groupes D5 et A5 .
Origines de la théorie des représentations 1/2 e
P Un résumé de l’excellent article ≪ tout public ≫ ( !) de Keith Conrad ≪ the origin of representation theory ≫ que l’on peut trouver sur sa page web. On y découvre comment la factorisationd’une matrice circulante générique a permis à Dedekind d’aboutir au problème de déterminantd’une table de groupe, résolu il y a 120 ans par Frobenius, donnant ainsi naissance à la théorie desreprésentations.
Origines de la théorie des représentations 2/2 e
P Un résumé de l’excellent article ≪ tout public ≫ ( !) de Keith Conrad ≪ the origin of representation theory ≫ que l’on peut trouver sur sa page web. On y découvre comment la factorisationd’une matrice circulante générique a permis à Dedekind d’aboutir au problème de déterminantd’une table de groupe, résolu il y a 120 ans par Frobenius, donnant ainsi naissance à la théorie desreprésentations. Dans ce second volet, on s’inspire du calcul pour le groupe symétrique S3 pourcomprendre la situation générale.
Coloriages et théorie des représentations e
P On a trouvé une formule élégante, due à Polya, qui permettait de calculer assez facilement
le nombre de coloriages possibles d’un ensemble X, modulo une action de groupes. Dans cettevidéo, on transforme cette formule en une formule équivalente, traduite en termes de théorie desreprésentations pour le groupe des permutations de X. On constate avec bonheur que la théorie decoloriages permet une introduction naturelle des polynômes de Schur, Graal des combinatoristes
57

et des théoriciens de représentations. On illustre toute cette jolie théorie sur un exemple courant.
P . S. cette vidéo ne demande pas une grande familiarité à la théorie des représentations, mais son
but non avoué est de participer à cette familiarité !
Formule d’Erdös-Turan pour les classes de conjugaison de An e
P Une prouesse signée Erdös et Turan pour cette preuve élégante de la formule qui calcule lenombre de classes de conjugaisons du groupe alterné An à l’aide de la fonction partition.
Heisenberg ou l’incertitude des GAF e
P Trois fonctions pour une seule vidéo ! Bien sûr, prouver l’inégalité appelée ≪ principe d’incertitude d’Heisenberg ≫ dans le cadre des groupes abéliens finis, et aussi, d’expliquer brièvement
en quoi elle est reliée au fameux principe d’incertitude qui sévit en physique quantique. Mais avant
tout, on pourra la voir comme un plaidoyer pour la réinsertion des groupes abéliens finis dans les
programmes de licence.

1.6

Arithmétique, anneaux, corps et polynômes (50)1.6.1Arithmétique (19)Deux équations diophantiennes quadratiques
P On propose deux équations diophantiennes de type x2 + y 2 − pz 2 = 0, où p est un nombre
premier. Dans un premier temps p est congur à 3 modulo 4, et l’équation est vite résolue. Dans
un deuxième temps, p est congru à 1 modulo 4 et, après avoir fait des rappels sur la factorialité
de Z[i], on en trouve toutes les solutions.
Le problème des diviseurs de Dirichlet
P Trouver quel est le nombre de diviseurs (positifs) d’un entier donné est chose facile, mais
quelle est la moyenne du nombre de diviseurs sur les n premiers entiers consécutifs est chose plus
ardue et pourrait même nous emmener vers des des fonds abyssaux. Voici un petit exposé duproblème (en deux volets) qui peut constituer un développement raisonnable à l’agrégation interne(ou externe), vu ses liens avec l’analyse et l’arithmétique..
Le problème des diviseurs de Dirichlet-2
P (Seconde et dernière partie) Trouver quel est le nombre de diviseurs (positifs) d’un entier
donné est chose facile, mais quelle est la moyenne du nombre de diviseurs sur les n premiers entiersconsécutifs est chose plus ardue et pourrait même nous emmener vers des des fonds abyssaux. Voici
un petit exposé du problème (ne deux volets) qui peut constituer un développement raisonnable àl’agrégation interne (ou externe), vu ses liens avec l’analyse et l’arithmétique..
Une formule polynomiale pour l’identité de Bezout
P Algorithme d’Euclide et polynômes continuants

58Nous allons voir ici des formules polynomiales qui permettent, entre autres, de calcul une
identité de Bezout entre deux nombres a et b à partir de l’algorithme d’Euclide. On introduitdes polynômes classiques, que l’on peut voir comme des analogues polynomiaux des nombres deFibonacci. Dans un deuxième temps, nous allons utiliser ces polynômes continuants définis pourdonner une borne au nombre d’opérations à effectuer à partir de deux nombre a et b dont on veut
trouver le pgcd. Une recherche qui nous fera découvrir la base d’or...
Divisibilité dans les nombres de Fibonacci et de Lucas-1
P Un petit exposé de Denis Roussillat. Pour un nombre premier p fixé, Denis étudie lacondition ≪ p divise Fn ≫ et ≪ p divise Ln ≫, où (Fn ) et (Ln ) désignent respectivement la suite de
Fibonacci et la suite de Lucas, cette dernière étant à la première ce que le sinus est au cosinus.
Dans un premier temps, après avoir fait quelques remarques d’ordre empirique, on explique unejolie propriété de périodicité pour la première condition.
Divisibilité dans les nombres de Fibonacci et de Lucas-2
P Et voici un critère portant sur le rang pour qu’un nombre premier divise un nombre deLucas.
Divisibilité dans les nombres de Fibonacci et de Lucas-3
P On veut montrer que l’ordre b(p) d’apparition d’un nombre premier p dans la suite de
Fibonacci divise p − 1 ou p + 1 selon les congruences de p modulo 5. Même si on pourra trouver desméthode plus directes, celle-ci fait visiter un bon nombre de parties du programme de l’agrégation
et peut devenir un joli développement. Au programme : nombre premiers, corps finis, et formes
quadratiques.
Lemme chinois- le best off
P (Compil.) Un recueil d’exercices autour du lemme chinois en arithmétique (et autres mandarinades)
Un exercice qui utilise le lemme chinois
P Un petit exercice qui a l’avantage de faire le point sur toutes les techniques autour dulemme chinois. Combien y a-t-il d’entiers premiers à 120 et congrus à 3 modulo 4 ?
Exercices de confinement Arithmétique 1
P Voici quelques petits exercices corrigés en arithmétique. Des exercices que l’on peut poser àl’oral, donc généralement plus facile que des exercices d’écrit. Au programme, le théorème fondamental de l’arithmétique, le lemme de Gauss, la fonction d’Euler, le théorème de Lagrange... On ne
donne pas d’équations diophantiennes (celles-ci sont déjà dans la playlist ≪ exercices d’arithmétiques ≫).

59

Exercices de confinement Arithmétique 2
P On résout des petits équations de congruence autour du lemme chinois, puis, lorsque lelemme chinois ne peut pas nous venir en aide (on travaille modulo 172 ), on a une variante avec
une méthode de Newton p-adique. Enfin, deux exercices supplémentaires autour de la fonction
indicatrice d’Euler.
Exercices de confinement Arithmétique 3
P On revient sur les systèmes (affines) de congruences. On attaque les systèmes à troiséquations et le cas où l’on sort du cadre classique du lemme chinois, c’est-à-dire, où les nombres
ne sont pas premiers entre eux.
Exercices de confinement Arithmétique 4
P On résout un petit système de congruence dans un cadre ≪ hors lemme chinois ≫ avant demodéliser ce type de système sous forme de suite exacte de groupes.
Loi complémentaire de réciprocité quadratique au bac !
P La loi complémentaire de réciprocité quadratique a été donnée au bac marocain 2023 sous
forme d’exercice. Voici donc ce qui est probablement la preuve la plus élémentaire du fait que le2résidu quadratique de 2 modulo p premier impair est égal à (−1)(p −1)/8 .
Codage RSA, décodage et cryptanalyse
P Comme application classique du lemme chinois, on présente ici le codage RSA, son décodage,
avec un exemple. Moins classique, nous allons présenter dans cette vidéo des tentatives de craquage
du code, Tout d’abord, ce que l’on appelle l’attaque de Fermat. Puis, on étudie l’efficacité d’une
attaque probabiliste du système RSA.
Au programme : le lemme chinois, qui nous permet de résoudre une équation algébrique dans
Z/nZ.
Système RSA-1 Codage et décodage
P On présente le système RSA : codage, décodage et cryptanalyse (comment casser le code ?)en trois vidéos, le tout dans le cadre d’un oral à l’agrégation. Cette première vidéo traite du codage
et du décodage.
Errata : J’ai écrit par mégarde une coquille : phi (n) = (p − 1)(q − 1) = n − p − q − 1 au lieu
de n − p − q + 1. Je dois un coup à boire à Sébastien Sanchez qui me l’a signaléeSystème RSA-2 Attaque de Fermat et attaque probabiliste
P On présente le système RSA : codage, décodage et cryptanalyse (comment casser le code ?)en trois vidéos, le tout dans le cadre d’un oral à l’agrégation. Cette seconde vidéo traite de l’attaque,dite, de Fermat, et d’une autre forme d’attaque, plus empirique.
Errata : J’ai écrit par mégarde une coquille : phi (n) = (p − 1)(q − 1) = n − p − q − 1 au lieu
de n − p − q + 1. Je dois un coup à boire à Sébastien Sanchez qui me l’a signalée60

Système RSA-3 Attaque de Wiener
P On présente le système RSA : codage, décodage et cryptanalyse (comment casser le code ?)en trois vidéos, le tout dans le cadre d’un oral à l’agrégation. Cette troisième vidéo traite del’attaque de Wiener, basée sur le théorème de meilleure approximation, que nous nous contenteronsd’énoncer ici, mais que nous démontrerons dans une prochaine vidéo.
Errata : en fait, tout à la fin je dis que l’on doit vérifier que xd est congru à x modulo n, mais
c’est (xe )d qui doit être congru à x modulo n
La fonction totient de Jordan e
P On introduit cette fonction de l’arithmétique, due à Jordan, qui généralise l’indicatrice d’Euler en ≪ dimension K ≫. On utilisera, comme c’est souvent le cas avec les fonctions arithmétiques,la convolution de Dirichlet ainsi que la fonction de Moebius.
La constante d’Hermite e
P Un développement que l’on pourra retrouver avec bonheur dans ≪ 131 développements
pour l’oral ≫. Le point de départ est, à partir d’une forme quadratique définie positive q, trouver leminimum de q(x) pour x entier non nul. Mais ce problème s’avère difficile et il est plus raisonnabled’approximer ce min à l’aide du déterminant de la forme q. Un joli développement donc, avec despetites techniques instructives pour l’agrégation (pivot dans un cadre symétrique, existence d’un
min sur un discret... pour la ref !
P . S. Merci à Riri
1.6.2

Anneaux (4)Entiers de Gauss, factorialité, et cercle rationnel.
P On introduit tout d’abord la paramétrisation rationnelle du cercle, qui possède l’avantage de pouvoir se définir sur tout corps, contrairement à la paramétrisation trigonométrique,spécifiquement réelle. En comparant les deux paramétrisations sur le corps Q des rationnels, on
arrive à se demander quels sont les points rationnels du cercle, dont l’angle associé est commensurable avec pi. On montre que ce sont juste les points cardinaux du cercle. Il se trouve que lafactorialité de l’anneau des entiers de Gauss (et ses inversibles) se cache derrière ce phénomène.
Entiers de Gauss, factorialité, et cercle rationnel-2
P A l’aide d’une jolie preuve qui utilise l’anneau des entiers de Gauss et sa factorialité, on a
montré récemment que les points rationnels du cercle dont l’angle associé est commensurable avec
pi sont les quatre points cardinaux. On montre ce même résultat par une autre méthode, proposéepar Jérôme Germoni, qui utilise les polynômes cyclotomiques et l’indicatrice d’Euler.
Entiers de Gauss (petits calculs entre amis)
P Quelques petits calculs à la bonne franquette dans l’anneau Z[i] des entiers de Gauss.
Un apéro convivial avec au menu division euclidienne, algorithme d’Euclide, identité de Bezout,décomposition en facteurs premiers. On verra de nos propres yeux des idéaux de Z[i], de nouveaux61corps quotients exotiques qui vont nous changer de Z/pZ. On y va sans complexe, et on se laisse
guider par le plaisir !
X p − a et l’alternative irréductible/existence de racine
P Voici la preuve classique du fait que si p est premier P = X p − a est irréductible sur uncorps K si et seulement si P n’a pas de racine dans K.
1.6.3

Corps (2)Introduction au corps des quaternions- (X-ENS-2023) -1
P Dans cette vidéo, nous allons introduire le corps des quaternions selon le principe que sivous avez compris le corps des complexes, alors, vous avez compris les quaternions... à conditionque vous puissiez changer les ≪ o ≫ en ≪ u ≫.
Epreuve ENS-2023- Introduction au corps gauche des quaternions-2
P On continue cette présentation du corps des quaternions en suivant la trame de l’épreuve
ENS-2023 (mais en proposant parfois les raccourcis de Nouvelles Histoires Hédonistes-Chap. VII).
On y découvre que toute rotation de l’espace de dimension 3 peut être réalisée comme une conjugaison sur l’espace des imaginaires quaternioniques !
1.6.4

Polynômes (10)Un exercice sur le thème ≪ polynôme, racines et multiplicités ≫P Un exercice d’apparence anodine sur une racine d’un polynôme P dans Q[X], et une
condition nécessaire sur sa multiplicité pour que cette racine soit dans le corps de base (Q). Cet
exercice résiste (car il existe !) aux approches naı̈ves, et ce pour une bonne raison : une notion
important se cache derrière le corps de base.
Errata (merci à Samir Boufnichel pour son commentaire) il faut dire que le degré de P ′ 1 est
strictement plus petit que le degré de P 1 pour affirmer que le polynôme minimal de alpha divise
strictement P 1. En effet, il n est pas clair du tout que P ′ 1 divise P 1 comme je l ai affirmé.
Exercices sur le thème relations coefficients-racines
P On propose sept petits exercices divers et variés pour combler les lacunes sur cette thématique
fondamentale en mathématiques.
Un petit test sur les racines multiples
P On propose un petit exercice sur un polynôme à coefficients entiers dont on impose qu’il
possède une racine double. La question est ≪ dans quels corps ceci est-il possible ? ≫.
Dans un deuxième temps cette question nous amènera à un critère étonnant de primalité et on
conclut avec ce qui pourrait être une amorce de problème d’agrégation.

62

Quand P ” divise-t-il P ?
P Voici un petit exercice qui pourrait sembler anodin s’il n’était pas en triple connexion avec
un célèbre mathématicien du nom de Gauss ! On cherche les polynômes de C[X] tels que P ”
divise P . On vas proposer deux solutions, une élémentaire par les séries entières, une autre parl’algèbre linéaire par la réduction. Mais surtout, Totototo a remarqué un lien avec les fonctions
hypergéométriques de Gauss, et finalement cette petite taupinade va se retrouvée cernée de près
par le théorème de Gauss-Lucas, les fonctions hypergéométriques et pour finir, les théorèmes dequadrature de Gauss. Bref, le festival de Göttingen !
Un exercice qui utilise des polynômes
P Comment, à l’aide de polynômes, prouver que les fonctions xai sont indépendantes ? A vousde jouer !
Un exercice sur polynômes et PGCD (Agreg Externe 2021 Spécial docteur)
P Un exercice instructif donné à l’AE spécial docteur 2021. Il s’agit de montrer que la suite
PGCD (P (n), Q(n)) est périodique quand P et Q sont des polynômes à coefficients entiers sansdiviseurs communs. En quelques minutes, on parcourt les principales techniques arithmétiques liées
au PGCD, et on déjoue quelques gros pièges !
Polynômes interpolateurs de Lagrange vs lemme chinois ?

≪P On présente ici le théorème des polynômes interpolateurs de Lagrange dans une version
lemme-chinois-compatible ≫.

Décomposition des polynômes cyclotomiques modulo p e
P On donne ici une description de la décomposition en irréductibles du n-ième polynôme
cyclotomique modulo p, un nombre premier. Dans un premier temps, on étudie le cas où p ne
divise pas n, puis on s’intéresse au cas général.
Irréductibilité des polynômes cyclotomiques (ma preuve coup de coeur)
P La preuve de Issaı̈ Schur de l’irréductibilité des polynômes cyclotomique est pour moi la
preuve la plus élégante et la plus instructive, suivie de près de celle que l’on peut trouver dansle livre de Daniel Perrin qui consiste à réduire modulo p une réduction sur Z. On utilise ici les
discriminant du polynôme X n − 1 ainsi que l’anneau des entiers algébriques.
Polynômes cyclotomiques (petits calculs entre amis)
P On introduit les polynômes cyclotomiques et les deux formules qui permettent de les définir.
Une formule qui les définit, mais qui n’est pas pratique d’utilisation, et une formule qui permet deles calculer par récurrence. C’est cette seconde formule qui va nous permettre de faire des petits
calculs préliminaires. Le but est de calculer (au moins se rassurer qu’on est capable de le faire
facilement) ϕn pour n de 1 à 104. Dans cette première vidéo, on se contentera de les calculer
jusqu’à 12.
63

Les petits calculs sur les polynômes cyclotomiques vont ensuite devenir un peu plus sérieux àl’aide de la fonction de Moebius qui va nous formule d’inversion très utile pour passer de ϕn à ϕpnpour tout p premier.
On termine enfin ce petit exposé sur le calcul des polynômes cyclotomiques avec le calcul
des polynômes ϕpq , premiers. On verra une recette simple qui nous permet de trouver tous lesmonômes de la décomposition, ce qui nous permet de voir, au passage, que si n ne possède que
deux facteurs premiers impairs dans sa décomposition (même avec multiplicité) alors, ϕn possèdetous ses coefficients dans {0, 1, −1}. Le premier polynôme cyclotomique qui échappe à nos recettes
simples sera donc pour n = 3 × 5 × 7 = 105. On finit sur un exemple en calculant ϕ60 .
Calcul d’une série exponentielle
P On cherche à calculer explicitement la série génératrice exponentielle d’un polynôme réel.
Un exercice qui demande un peu de calcul et également un peu de savoir-faire. En particulier, lechoix d’une base adaptée de l’espace des polynômes et la résolution d’un système linéaire.
Friandises avec déterminants et polynômes
P Deux petits exercices bien instructifs sur le thème déterminants et polynômes. Au programme, le théorème fondamental des déterminants, Vandermonde, Taylor polynomial, et dudoigté ! Au final, pour les experts, on montre comment passer d’une formule algébrique sur uncorps de caractéristique nulle vers un corps de caractéristique non nulle...
Le lemme de Hensel pour la factorisation e
P On présente le lemme de Hensel dans sa version ≪ factorisation de polynômes ≫ mais dansle cadre de l’agrégation et sans parler (sauf pour la culture) des entiers p-adiques. Il n’est pas
courant de voir ce lemme en développement à l’agrégation, mais si on le regarde bien, il possèdeun joli taux de placement !
Le critère d’irréductibilité de Cohn
P Voici un critère d’irréductibilité sur Z[X] qui fera concurrence à celui d’Eisenstein tout endéveloppant un bon nombre de techniques utile dans le monde de l’arithmétique des polynômes.
Un théorème étonnant qui finalement ne demande que très peu de bagage.
Kronecker : la méthode à Toto !
P Toto, qui intervient de façon pertinente sur cette chaı̂ne propose une variante pour ledéveloppement du théorème de Kronecker. Ici, il n’est plus question de relations coefficients-racines
mais de l’utilisation du contenu de Gauss dans un lemme classique (mais toutefois instructif).
Factorisation sur Fq et factoriel de Carlitz Pn
Un joli développement (néanmoins classique) consiste à factoriser le polynôme ”total” X q −X sur Fq . Nous donnons la preuve classique de ce développement mais avec deux applications,dont une plutôt nouvelle à effet waouh : le calcul du factoriel de Carlitz ! Pour une fois qu’undéveloppement, c’est une factorisation, faut en profiter :-))

64

Qui es-tu, critère d’Eisenstein ? P
On décline dans cette petite vidéo les preuves du critère d’irréductibilité d’Eisenstein. Toutd’abord la preuve classique (finalement assez élémentaire), puis, une preuve par passage au quotient. Mais la troisième preuve, bien plus subtile qui utilise de l’analyse p-adique nous montre lecritère sous un nouveau jour, permettant de nouvelles extensions...
Irréductibilité sur Z[X]. Un exercice bien pourri (mais instructif !) P
Laurent, que je remercie au passage, me fait justement remarquer que l’exercice, lourd d’hypothèses, que j’ai mis récemment en ligne https ://youtu.be/AahMFR4y5Sc, était trivialisable enallégeant complètement les hypothèses. Je fais donc ici un rectificatif, mais en assumant tout demême la méthode, qui contrairement à l’exemple choisi, me semble digne d’être présentée. Elleconsiste à utiliser le treillis complet des partitions d’un nombre pour prouver l’irréductibilité d’unpolynôme sur un anneau. Le rectificatif nous semble d’autant plus important à faire que cet exercice
se retrouve dans deux références importantes de nos agrégatifs.
1.6.5

Arithmétique borderline pour l’agrégation

Exercices de confinement Réseaux 3 e
P On a souvent besoin en arithmétique d’utiliser de choses élémentaires sur les réseaux. Al’écrit, la caractérisation des Z-bases de Zn et un ≪ théorème de la Z-base incomplète ≫ peut être
souvent utile. C’est ce que l’on va voir dans un petit exercice qui nous fera faire un premier pas
dans le monde des réseaux.
1.6.6

Carrés en tout genre (9)Le théorème des deux carrés par l’approximation rationnelle
P Voici une preuve élémentaire du théorème des deux carrés qui utilise un théorème d’approximation rationnelle que l’on a prouvé (également de façon élémentaire) sur cette chaı̂ne, voir
https://youtu.be/bvK7aSUDmjQ
Les suites de Farey 1/2
P Mathématiques récréatives aujourd’hui ! Avec les suites de Farey. Des suites si simples àdéfinir, mais si profondes en conjectures.
Les suites de Farey 2/2
P Les suites de Farey. Des suites si simples à définir, mais en ligne rouge avec les approximations de réels par des rationnels, et surtout, avec l’hypothèse de Riemann !
Le théorème des quatre carrés. Décomposition d’un nombre en carrés-1
P Un développement technique mais toutefois élémentaire : tout entier naturel peut sedécomposer en somme de quatre carrés. On utilisera une méthode de descente de Fermat. On
discutera ensuite d’une preuve alternative plus savante qui généralise une preuve du théorème desdeux carrés bien connue des agrégatifs !
65

Le théorème des deux carrés par les réseaux du plan. Décomposition d’un nombre en
carrés-2 e
P Une suggestion de notre follower ≪ P astix51 ≫ dont un de ses développements préférés aété cette jolie méthode de géométrie arithmétique pour prouver le théorème des deux carrés.
Décomposition en carrés et réseaux cubiques. Décomposition d’un nombre en carrés-3
e
P A la suite d’une conversation avec P astix51, je constate que les théorèmes de décompositions
en carrés peuvent être prouvés élégamment, de façon uniforme, et surtout de façon assez élémentaire,à l’aide de réseaux ≪ cubiques ≫. En épilogue, dans une tentative d’appel à l’aide, je constate unlien avec les sous-espaces totalement isotropes maximaux (SETIM).
Errata : Mon collègue Pierre Baumann me signale une erreur (rectifiable) dans la preuve duthéorème des quatre carrés par les réseaux. Un hypercube en dimension 4 possède un point (unique)intérieur tel que sa distance à un sommet de l’hypercube est égale au côté de l’hypercube. C’est
le point central de l’hypercube, qui pourrait être dans le réseau et dans ce cas, l’hypercube neserait pas un domaine fondamental du réseau. Mais par l’absurde, on voit que si ce point milieuétait dans le réseau, le domaine fondamental serait de volume 1/2(x21 + x22 + x23 + x24 )2 et on aurait
2p2 = (x21 + x22 + x23 + x24 )2 , ce qui est absurde car 2 n’est pas un carré...
Fonctions qui préservent les sommes de carrés par Jamil-1
P Trouver les fonctions sur N , qui préservent les sommes de carrés. Un joli petit exercice
niveau lycée, ou plutôt olympiades, proposé par mon ancien (et sympathique) étudiant Jamil
Berhila, qui continue malgré les années à me vouvoyer et m′ appeler monsieur, comme quoi lesétudes, ça laisse des traces ! On résout ici le problème, modulo un lemme qui sera prouvé dans la
vidéo suivante.
Fonctions qui préservent les sommes de carrés par Jamil-2
P On finit ce joli exercice avec la preuve du lemme. Pythagoriciens, pythagoriciennes, bonsoir !
Loi complémentaire de réciprocité quadratique (un exercice du cours de D. Perrin)
P Une preuve très simple pour montrer que 2 est un carré modulo p (impair) si et seulementsi p est congru à 1 ou −1 modulo 8.

1.7

Les formes quadratiques en éveil (19)1.7.1

Qui es-tu, forme polaire ?

P Une vidéo où l’on présente la forme polaire, en lui posant les trois questions : qui es-tu ?
que fais-tu ? d’où viens-tu ? Une vidéo qui aidera a digérer un cours sur les formes quadratiques.

66

1.7.2Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Formes de Hankel 1/7

P On propose ici une série de vidéos qui expliquent progressivement les formes de Hankel.
L’idée est de partir d’un polynôme réel et, juste à l’aide d’identités de Newton et de méthode deGauss (sur les formes quadratiques), trouver son nombre de racines distinctes et de racines réelles.
Une première vidéo pour l’étude d’un cas élémentaire : les racines sont toutes réelles et distinctes,
et la forme de Hankel est définie positive.
1.7.3

Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Formes de Hankel 2/7

P On propose ici une série de vidéos qui expliquent progressivement les formes de Hankel.
L’idée est de partir d’un polynôme réel et, juste à l’aide d’identités de Newton et de méthode deGauss (sur les formes quadratiques), trouver son nombre de racines distinctes et de racines réelles.
Une deuxième vidéo pour l’étude d’un autre cas élémentaire : les racines sont toutes réelles mais
non forcément distinctes, et la forme de Hankel est positive.
1.7.4

Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Formes de Hankel 3/7

P On propose ici une série de vidéos qui expliquent progressivement les formes de Hankel.
L’idée est de partir d’un polynôme réel et, juste à l’aide d’identités de Newton et de méthode deGauss (sur les formes quadratiques), trouver son nombre de racines distinctes et de racines réelles.
Une troisième vidéo pour trouver la matrice de la forme de Hankel.
1.7.5

Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Formes de Hankel 4/7

P On propose ici une série de vidéos qui expliquent progressivement les formes de Hankel.
L’idée est de partir d’un polynôme réel et, juste à l’aide d’identités de Newton et de méthode deGauss (sur les formes quadratiques), trouver son nombre de racines distinctes et de racines réelles.
La vidéo numéro 4 propose un exemple de calcul de forme de Hankel pour un polynôme réel dedegré 2. Cette fois-ci, les nombres alphai ne sont plus forcément ni distincts ni réels, mais s’il nesont pas réels, ils seront conjugués.
1.7.6

Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Formes de Hankel 5/7

P On propose ici une série de vidéos qui expliquent progressivement les formes de Hankel.
L’idée est de partir d’un polynôme réel et, juste à l’aide d’identités de Newton et de méthode deGauss (sur les formes quadratiques), trouver son nombre de racines distinctes et de racines réelles.
On va ici enfin (il était temps !) définir la forme de Hankel associée à un polynôme réel en toutegénéralité.
1.7.7

Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Formes de Hankel 6/7

P On propose ici une série de vidéos qui expliquent progressivement les formes de Hankel.
L’idée est de partir d’un polynôme réel et, juste à l’aide d’identités de Newton et de méthode deGauss (sur les formes quadratiques), trouver son nombre de racines distinctes et de racines réelles.
On veut dans cette vidéo calculer la signature de la forme de Hankel associée à un polynôme réelT.

67

1.7.8Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Formes de Hankel 7/7

P On propose ici une série de vidéos qui expliquent progressivement les formes de Hankel.
L’idée est de partir d’un polynôme réel et, juste à l’aide d’identités de Newton et de méthodede Gauss (sur les formes quadratiques), trouver son nombre de racines distinctes et de racinesréelles. On prouve le théorème de Hankel : la signature de la forme de Hankel d’un polynôme réelT ≪ voit ≫ son nombre de recines réelles, et son nombre de racines distinctes.
1.7.9

Les formes de Hankel (à leur état naturel)

P Voici une présentation des formes de Hankel (associée à un polynôme P réel) vue dansleur élément naturel, c’est-à-dire, sur un espace de polynôme réel. Dans un premier temps, nous
présentons le cas où le polynôme P est scindé sur R.
1.7.10Les formes de Hankel au naturel - 2

P Voici une présentation des formes de Hankel (associée à un polynôme P réel) vue dans leurélément naturel, c’est-à-dire, sur un espace de polynôme réel. Nous présentons maintenant le casgénéral.
1.7.11

Représentation d’entiers par une forme quadratique - somme de carrés-1 e

P Dans cette première vidéo, nous allons parler des entiers qui se réalisent comme sommes dedeux carrés. Mais plus généralement, nous allons voir quels sont les entiers qui s’écrivent sous laforme x2 + dy 2 , avec x, y entiers, avec d = 1, 2, 3, 5. Nous allons voir que le cas d = 5 diffère destrois premier cas.
1.7.12

Représentation d’entiers par une forme quadratique - congruences - 2 e

P On vient de voir empiriquement certaines relations entre la réalisation d’un entier p premierpar une forme quadratique x2 +dy 2 (pour d = 1, 2, 3, 5) et certaines congruence de p. Nous montronsl’implication (facile) dans un premier temps.
1.7.13

Représentation d’entiers par une forme quadratique - Factorialité - 3 e

P On a vu que la représentation d’entiers de la forme m = x2 + dy 2 , impliquaient certaines
congruences de p. On montre dans les cas factoriels une réciproque. Les cas d = 1 ou 2 se fontsans trop de difficulté, mais le cas d = 3 résiste un peu pour finalement céder. Pour le cas d = 5,
il faudra tout reprendre à zéro !
1.7.14

Représentation d’entiers par une forme quadratique - FQ binaires - 4 e

P Il faut se rendre à l’évidence que la factorialité ne sera pas toujours là pour nous venir
en aide. Gauss, dans ses disquisitiones, propose une autre méthode, que nous exposons ici surl’exemple d = 5, et qui passe par les classes de congruences de formes quadratiques sur Z2 .

68

1.7.15

Représentation d’entiers par une forme quadratique - 5 e

P On a vu dans la vidéo précédente que la réciproque qui consiste à partir de p premier congruà 1 ou 9 modulo 20 implique que p est représenté par x2 + 5y 2 demande une connaissance sérieuse
des classes de congruences de formes quadratiques sur Z. C’est un petit résultat de finitude qui va
nous permettre cette classification. On prouve alors la réciproque, mais on n’est pas au bout denos surprises !
1.7.16

Représentation d’entiers par une forme quadratique - La trilogie-6 e

P Une dernière vidéo sur les représentations d’entiers, où l’on explore la théorie des formes
quadratiques binaires, leur lien avec les classes de conjugaison, les classes d’idéaux, et, sans vouloir
faire d’idéologie en ce 14 juillet, un petit hommage à 350 polytechniciens qui rendent hommage à
cet anniversaire de la révolution...
1.7.17

Forme quadratique sur l’espace des matrices carréesP
Un petit exercice autour d’une forme quadratique intrigante sur l’espace Mn (K). En
effet, elle est définie par un coefficient du polynôme caractéristique de la matrice (celui
en Xn-2 ). Une fois rapportée à la forme trace, on répond à toutes les questions classiques du genre(non dégénérescence, signature sur R).
1.7.18

Tout tétraèdre est régulier (en toute dimension) !

P On montre ici que pour tout triangle non plat du plan, il existe un unique (à scalaire positifprès) produit scalaire qui le rende équilatéral. On continue ensuite cette histoire en dimension 3où l’on montre que tout tétraèdre (dont trois arêtes forment une base) est régulier. On finit parune généralisation en toute dimension. Mais au fait, qu’est-ce qu’un polyèdre régulier en toutedimension ? On fera un détour autour de cette question afin d’en expliquer les subtilités.
1.7.19Formes quadratiques sur le corps des rationnels par Adem Zeghib e

P Adem nous propose une recherche guidée vers la question d’existence (ou non) de points
rationnels solutions de l’équation q(x) = 1, où q est une forme quadratique définie positive à
coefficients entiers. On va voir tout d’abord que l’existence d’un seul point rationnel implique
toute une ≪ sphère de points ≫, puis, à l’aide de contre - exemples choisis, que cette existence n’est
pas acquise en petite dimension.

1.8

Bouquet de géométries (48)1.8.1

Le théorème de Thébault (quadrilatères et réduction)

P Plusieurs thèmes en fusion dans ce petit exercice de géométrie faisant référence au théorèmede Thébault, que l’on peut trouver dans Nouvelles Histoires Hédonistes de Groupes et de Géométries
Tome 2 XIII-E.49. Calcul complexe, quadrilatères... mais un dictionnaire entre quadrilatères classiques et sous-espaces stables par la matrice compagnon de X 4 − 1. On en profite pour faire unepetite publicité pour la théorie des représentations.
691.8.2

Une bonne tranche de cône (les coniques)

P On va montrer grâce au théorème de Sylvester que toute conique non dégénérée provientd’une ≪ tranche ≫ d’un même cône appelé cône d’Apollonius. On ne va pas s’arrêter là et on va
continuer notre investigation à d’autres dimensions.
1.8.3

Le cercle des neuf points par le calcul complexe (et en neuf minutes !)P La preuve du cercle des neuf points en neuf minutes ? C’est possible avec le calcul complexe.
On commencera tout de même par une présentation des outils du calcul complexe au service de lagéométrie euclidienne.
1.8.4

Utilisation de la réduction en géométrie affine - un exemple

P La droite de Newton fournit un exercice classique qui peut se résoudre de plusieurs manières.
Mais celle que nous proposons utilise les liens indispensables qui autorise la théorie de la réductionà venir nous sauver des problèmes de l’affine.
1.8.5

Quadrilatères et réduction des endomorphismes

P Plusieurs thèmes en fusion dans ce petit exercice de géométrie faisant référence au théorèmede Thébault, que l’on peut trouver dans Nouvelles Histoires Hédonistes de Groupes et de Géométries
Tome 2 XIII-E.49. Calcul complexe, quadrilatères... mais un dictionnaire entre quadrilatères classiques et sous-espaces stables par la matrice compagnon de X 4 − 1. On en profite pour faire unepetite publicité pour la théorie des représentations.
1.8.6

Les tutos géométriques du Père Castor : Géométrie affine euclidienne 4

P Voici un exercice classique à l’oral durant une leçon sur les isométries du plan et de l’espace :la construction des éléments caractéristiques d’une symétrie glissée composée de trois symétries
orthogonales par rapport à trois axes du plan euclidien. Présenté par Antoine.
1.8.7

Les tutos géométriques du Père Castor : Puissance d’un point, axe radical

P Notre ami Antoine va nous montrer comment calculer la puissance d’un point par rapport à
un cercle, tracer une tangente à un cercle à partir d’un point et trouver, en trois coups de compas,
l’axe radical de deux cercles, c’est-à-dire le lieu des points qui ont même puissance par rapport àdeux cercles fixés
1.8.8

Les tutos géométriques du Père Castor : droites tangentes à deux cercles
données

P Comment placer deux droites tangentes à deux cercles donnés ? On va vous montrer que
c’est très simple, et, comme on pourrait s’en douter, ce n’est pas sans rapport avec l’axe radical
de deux cercles.

701.8.9Les coniques. Un exercice képlerien (qui plaira !)P Voici un petit exercice de géométrie plane, qui fait d’autant plus planer que l’on peutl’imaginer se réaliser dans le macrocosme du système solaire. A partir d’un énoncé simple, on voit
apparaı̂tre un conique dans sa description bifocale. On finit sur un petit fichier gif concocté parJérôme Germoni.
Merci à mon ami Bruno C. pour la réf. Cours de mathématiques spéciales, tome 5 : Arcs etnappes de Bernard Gostiaux
1.8.10Un exercice sur les coordonnées barycentriques d’un triangle

P On présente une fonction du plan affine qui s’exprime en termes de coordonnées barycentriques à partir de trois points d’un triangle, et on cherche l’image du triangle de points milieux.
Je vous donne en mille de l’objet image que l’on va rencontrer...
1.8.11

Le groupe des isométries du tétraèdre agit sur ses sommets

P Un des points clef de l’isomorphisme entre le groupe des isométries du tétraèdre régulier etle groupe S4 réside dans le fait que ce groupe permute les sommets du tétraèdre. Valérie regardece point dans tous ses détails.
1.8.12Composée d’isométries planes - 1

P Un petit compte-rendu (debriefing, ça parle plus peut-être ?) sur la composée d’isométries
planes.
1.8.13Composée d’isométries planes - 2

P Quelques petits exercices de construction d’éléments caractéristiques d’isométries obtenues
par composée de deux isométries. L’histoire de vérifier que la vidéo 1 a été bien digérée.
1.8.14

Exercices de confinement : homographies

P Un petit exercice de transformation homographique dans le style de la partie I de l’épreuve
EP1 de l’agrégation interne 2017. On montre que la transformation de Cayley envoie la droite réelle
sur le cercle unité. On montre ensuite que cette transformation envoie le demi-plan de Poincaré
sur le disque ouvert unité, par deux méthodes, une calculatoire, et l’autre topologique.
1.8.15Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Lyon - Ellipse de Steiner 1/6

P On s’intéresse en 6 vidéos à l’ellipse de Steiner associée à un triangle. Plusieurs aspects
seront étudiés autour de cette ellipse : géométrie, calcul complexe, groupes de transformations,relations coefficients-racines, équations de coniques... et le chat Gaston. Bref, plein de choses qui
en effraient plus d’un, mais qui ronronnent tranquille quand on les a adoptées.

71

1.8.16Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Lyon - Ellipse de Steiner 2/6

P Après avoir montré l’existence de l’ellipse de Steiner d’un triangle, on en montre l’unicité.
Encore une fois, les groupes de transformations nous permettent de nous ramener à une forme plus
sympathique.
1.8.17Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Lyon - Ellipse de Steiner 3/6

P On aborde le problème des foyers de l’ellipse de Steiner. Pour l’instant, on ne fait qu’évoquer
Gauss-Lucas et montrer que seul le groupe des isométries peut nous apporter quelque chose. Peu,mais ce sera suffisant pour démarrer.
1.8.18Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Ellipse de Steiner 4/6

P Maintenant que l’ellipse de Steiner a été placée dans le plan complexe, axée sur la droiteréelle et centrée en 0, on attaque la stratégie de calcul, basée sur la recherche de l’équation del’ellipse à partir d’une équation de ≪ cercle de Steiner ≫ pour le triangle des racines cubiques del’unité. On introduit sous forme complexe une transformation affine.
1.8.19Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Lyon - Ellipse de Steiner 5/6

P On est en mesure de calculer l’équation de l’ellipse sous une forme dont on sait déduire lesfoyers.
1.8.20Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Lyon - Ellipse de Steiner 6/6

P A l’aide l’équation de l’ellipse de Steiner, on en calcule les foyers et on vérifie à l’aide derelations coefficients-racines qu’ils coı̈ncident avec les racines du polynôme dérivé du triangle dedépart.
1.8.21Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Droites et cercles 1/5

P Les droites et cercles du plan sont étudiées à l’aide du calcul complexe, du groupe deshomographies... et du birapport. Dans une première vidéo, on introduit, à l’aide des complexes,
deux caractérisations de la cocyclicité (ou alignement) de quatre points. Une en termes d’arguments
et l’autre de modules.
1.8.22Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Lyon - Droites et cercles 2/5

P On présente maintenant le groupe des homographies. Il s’agit d’un groupe de transformations qui contient les translations, les similitudes directes et qui va préserver les cercles et droites.
≪ Oui, mais quand ? ≫ comme dit mon collègue préféré. Et bien quand vous serez prêts à le regarderen face !
1.8.23Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Droites et cercles 3/5

P On étudie une chaı̂ne d’actions de groupes emboı̂tés sur le plan complexe (prolongé parl’infini). Les translations amènent à la notion de bipoints équipollents, les similitudes directes à
72celle de triangles semblables et enfin les homographies à celle de quadruplets de points ayant mêmebirapport. Lorsque ce dernier est réel, les quatre points sont cocycliques ou alignés.
1.8.24Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Lyon - Droites et cercles 4/5

P Dans cette vidéo, on montre que le groupe des homographies agit de façon transitive surl’ensemble des ≪ cercles et droite ≫.
1.8.25Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Lyon - Droites et cercles 5/5

P On montre ici l’inégalité de Ptolémée et son cas d’égalité, qui caractérise les quadrupletsde points inscriptibles sur un cercle à l’aide des distances entre ces points. Encore une fois, lebirapport est en première ligne.
1.8.26Géométrie borderline à l’agrégation

Cercles tangents
P On étudie un petit exercice sur les cercles tangents. But du jeu : trouver trois cercles
distincts du plan et 8 cercles tangents à ces trois cercles. Ce petit exercice qui semble anodin ouvre
un champ vers la géométrie anallagmatique (que nous rappelons à l’occasion) et même (mais on ne
visitera pas cet aspect des choses) aux arcanes profonds de la théorie d’intersection et de l’édifiantthéorème de Chasles sur les 3264 coniques tangentes à 5 coniques données.
Cercles tangents-2
P On vient de résoudre le problème de trouver trois ≪ cercles-droites ≫ possédant 8 cercles
tangents. Maintenant, il est temps de transformer les (deux) droites en cercles et le cercle en un
autre cercle. On le fait en utilisant des translations et des inversions. A la suite de quoi, on discutede choses afférentes cachées derrière ce problème, comme le problème de la triple transitivité
du groupe engendré par les inversions (homographies et antihomographies) sur les ≪ droites ou
cercles ≫ ainsi que la théorie d’intersection, qui sera à peine évoquée.
Alternative de Steiner (Cercles tangents-3) e
P On présente sous forme d’exercice corrigé (la correction dans une prochaine vidéo) l’alternative de Steiner. Encore une fois, les groupes de transformations et leurs invariants jouent un rôlecentral.
Alternative de Steiner (Cercles tangents-4) e
P On résout l’exercice sur l’alternative de Steiner. Il suffisait de se ramener, par homographie,à deux cercles concentriques, et le problème se résout miraculeusement à l’aide de tout petits
calculs.

73

Géométrie des cercles (ou droites) - Pour débuter avec la géométrie anallagmatique 1 e
P On va, à partir de ce que nous savons tous sur les cercles et droites, créer un lien entre leurgéométrie et celle de l’espace de Lorentz, c’est-à-dire, l’espace R4 muni d’une forme quadratiquede signature (3, 1). On écrit ici tous les résultats dans un tableau à double entrée pour cette bellecorrespondance, et on fera les preuves dans une prochaine vidéo.
Géométrie des cercles (ou droites) - Pour débuter avec la géométrie anallagmatique 2 e
P On a donné, dans une première vidéo, un tableau qui mettait en relation des cercles du plan
euclidien et des droites de l’espace R4 muni de la forme de Lorentz. Dans cette vidéo, on passe aux
preuves, que l’on peut retrouver dans NH2G2, XI-3. 3. 8.
Géométrie des cercles (ou droites) - Pour débuter avec la géométrie anallagmatique 3 e
P On commence à minutieusement mettre en place une correspondance entre droites et cercles
du plan complexe, d’une part, et droites de l’espace R4 . On peut, par section hyperplane, voir tout
cela assez agréablement dans R3 euclidien muni de sa boule unité.
Géométrie des cercles (ou droites) - Pour débuter avec la géométrie anallagmatique 4 e
P Par cette correspondance que nous avons construite en transformant un cercle en une
4≪ droite de l’espace de Lorentz R ≫ grâce à son équation, on utilise Sylvester pour classifier les
faisceaux de cercles et les faisceaux orthogonaux.
Géométrie des cercles (ou droites) - Pour débuter avec la géométrie anallagmatique 5 e
P On a pour l’instant un joli modèle pour l’étude des cercles, qui sont représentés commedes points d’un espace projectif de dimension 3. Dans cet espace, nous allons voir que les points
d’un cercle donné se voient sur une sphère, puis, par projection stéréographique, on va retrouver
le cercle dans la géométrie de R4 .
Géométrie des cercles (ou droites) - Pour débuter avec la géométrie anallagmatique 6 e
P Dans cette vidéo, on introduit l’action de SL2 (C) sur les cercles par homographie. Nous
l’avons déjà dans une playlist, mais cette fois-ci, l’originalité vient du fait que cette action provientde l’action par congruence sur les formes hermitiennes, et donc leurs cônes isotropes. Nous sommesà deux doigts de conclure à une des plus belles correspondances de la géométrie, qui fait toute larichesse de la géométrie anallagmatique.

74Géométrie des cercles (ou droites) - Pour débuter avec la géométrie anallagmatique 7 e
P On prouve un isomorphisme entre les groupes simples P SL2 (C) et P SO(q), qui sera ensuite
prolongé par un isomorphisme un peu plus complet. On finit alors sur un tableau de correspondance
entre deux versions de la même géométrie, dite anallagmatique, en indiquant comment ces deux
versions se complètent pour créer une géométrie puissante.
Empilement de sphères 1
P Dans un style récréatif, nous allons parler de tentatives d’empiler des sphères les unes sur lesautres en minimisant les pertes d’espace. Il s’agit là d’une problématique qui remonte (au moins) à
Kepler en passant par Minkowski et, bien sûr, mon épicier. On propose différentes façons d’empiler
des sphères dans un espace et on fait quelques calculs de densité.
Empilement de sphères 2
P On propose maintenant d’interpréter les densités d’empilements de sphères. En dimension 1(une évidence), en dimension deux (où on a comparé deux options). Jusque là, les mathématiciens
ont su prouver qu’il s’agissait des empilements les plus efficaces (même si on ne décide pas dese limiter aux empilements basés sur un réseau). On va alors comparer deux façons d’empiler
des oranges, la façon dite de l’épicier, et une autre qui semble plus logique au mathématicien.
On constate la même densité, et on en donnera deux petites explications, une géométrique (unhéxagone inscrit dans le cube, plus précisément dans un cuboctaèdre) et une, plus algébrique, parles deux matrices de Gram des réseaux qui se trouvent être GL3 (Z) -congruentes.
Empilement de sphères 3 e
P On termine cette petite fenêtre sur les empilements de sphères avec le cas des dimensions
supérieures,. On y rencontrera, en dimension 4, l’icositétrachore, qui optimise le placement d’hypersphères sur un réseau, puis, en dimension 8 le système de racines E8 qui a fait les beaux jours
de la jeune chercheuse Maryna Viazovska.
Structure de groupe sur une conique 1/9
P Voici une petite série de vidéos où l’on présente une construction de groupe sur les coniques.
Il s’agit d’une construction qui fait le point sur des propriétés géométriques des coniques biencônues depuis Pascal, et dont les applications à la cryptographie (que l’on effleurera seulement)
sont apparues de façon relativement récente. Cette première vidéo est avant tout un teaser.
Structure de groupe sur une conique 2/9
P Dans cette vidéo, on donne la construction générale pour la structure de groupe sur une
conique non dégénérée. On montre que l’on a bien un groupe dans trois cas particuliers. Et ces
groupes ne sont pas anodins. Il s’agit du groupe additif (pour la parabole), du groupe multiplicatif(pour l’hyperbole), et le groupe additif modulaire, comme les groupe des angles, (pour l’ellipse).
Si on ajoute à cela que ces groupes géométriques sont à la fondation de la cryptographie actuelle,75

on se dit qu’il n’y a que les maths pour nous faire traverser, dans une logique implacable, l’histoire antique, notre monde actuel, et les souvenirs nostalgiques des premières opérations de notre
enfance.
Structure de groupe sur une conique 3/9
P Après avoir mis une opération sur une conique (munie d’un point), et après avoir montré
que cette opération fournit une structure de groupe sur trois exemples représentatifs de la classification affine, on montre que la structure de groupe se transmet d’une conique à l’autre par une
transformation affine. Et contre cette transmission, il n’y a ni masque, ni geste barrière !
Structure de groupe sur une conique 4/9 e
P On attaque le théorème principal. Sur le fait que notre opération géométrique confère une
structure de groupe qui caractérise le type affine de la conique. Au passage, on montre, à l’aide
de changements de variables, le résultat souvent mal digéré sur la fameuse classification affine desconiques. Ce résultat sera parachevé dans une vidéo suivante.
Structure de groupe sur une conique 5/9 e
P On finit ici la preuve du théorème de classification des coniques non dégénérées par les trois
groupes classiques réels.
Structure de groupe sur une conique 6/9 e
P On a montré le théorème de structure de groupe sur une conique, à l’aide d’un mélangede petit calculs dans trois cas simples et de groupes de transformations. On veut maintenant une
preuve plus directe en travaillant sur la géométrie de la conique. L’associativité pose un petit
problème, qui va être résolu grâce au théorème de l’hexagramme mystique de Pascal.
Structure de groupe sur une conique 7/9 e
P On a eu besoin d’une version projective du théorème de l’hexagramme mystique de Pascal.
Voici quelques notions de projectif pour mieux comprendre ce que veut dire ≪ envoyer une droite(ou un point) à l’infini ≫ dans les manipulations de géométrie (projective). On verra également
que le projectif confond paraboles, ellipses et hyperboles, alors que l’affine les distingue.
Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Structure de groupe sur une conique 8/9 e
P On pensait arrêter là, mais l’arithmétique a mis le pied dans la porte, et on est repartis
sur deux autres vidéos. Ici, on s’intéresse toujours à la structure de groupe sur une conique, mais
cette fois-ci sous l’angle de l’équation diophantienne dite de Pell-Fermat. On verra trois groupes
isomorphes : la conique de l’ensemble des solutions entières de l’équation, l’ensemble des unitéspositives d’un anneau quadratique réel, et tout bonnement, le groupe monogène des entiers.

76Les ≪ Corona Sessions ≫ de la prépa. Structure de groupe sur une conique 9/9 e
P Dernier volet de la série où l’on montre (en mode DSK) comment les coniques, en leurajoutant une droite, sont des dégénérescences d’une famille de courbes elliptiques. On finit sur
des explications (à détailler avec de bonnes références !) sur les applications de ces dernières à lacryptanalyse et à la cryptographie.

1.9

Un epsilon d’analyse (23)1.9.1

Petit exercice sur les équations différentielles linéaires

P Un exercice donné à l’agrégation interne sur une leçon qui concernait les équations différentielles
linéaires à coefficients constants.
1.9.2

L’intégrale de Dirichlet par Riri

P Haut les coeurs ! Riri l’intrépide nous présente un développement sur l’intégrale de Dirichlet,
avec un méthode simple et élégante.
Attention, petite coquille à la fin repérée par T oto2 . Il faut lire intégrale de 0 à l’infini au
lieu de l’intégrale de 0 à pi/2. Toujours dans les remarques de T oto2 , l’intégrale Jn peut être
vue comme le noyau de Dirichlet. On peut donc imaginer que l’intégrale de Dirichlet est plutôt
une conséquence directe, attribuée à Dirichlet, de son noyau ! C’est-à-dire que dans l’histoire telle
qu’elle s’est déroulée va dans le sens inverse du développement : -)1.9.3

Erreur dans l’approximation par la méthode de quadrature

P La méthode de quadrature de Gauss est une méthode qui force le respect ainsi que la portevers la théorie des polynômes orthogonaux. Après avoir survolé les résultats principaux que l’onpeut trouver dans Carnet de Voyage en Analystan ainsi que dans la vidéo de Caroline https://youtu.be/d7qu0RVGSdY on donnera une estimation de l’erreur commise par cette approche. On
finira par une application pour une approximation du nombre pi.
1.9.4

Méthode de quadrature de Gauss par Caroline

P Voir Carnet de Voyage en Analystan (et particulièrement dans la nouvelle édition qui vientde sortir !) La méthode de quadrature de Gauss donne des nombres réels permettant d’intégrer
un polynôme sur un intervalle à partir d’une combinaison linéaire de ce polynôme en ces réels. Le
plus étonnant dans cette histoire est que l’on n’a besoin que de n réels pour un polynôme de degré
2n − 1. C’est ce que va nous raconter Caroline. Il s’en suivra l’inévitable série de questions de jury !
1.9.5

TOUT sur les nombres de Bernoulli ! e

P Vidéo 1 : On présente ici les nombres et les polynômes de Jacques Bernoulli. Ces nombres
se retrouvent miraculeusement à la fois en algèbre, en combinatoire, en théorie des nombres, enarithmétique, mais aussi en analyse, en théorie de Fourier, en topologie, K-théorie, et il se rencontre
de façon naturelle en algèbre non commutative. On va introduire ces nombres par analyse-synthèsepar la recherche de polynômes permettant de calculer des sommes de Newton.

77Vidéo 2 : Maintenant que l’on a appris à écrire sans faute le mot ≪ Bernoulli ≫ dans la premièrevidéo (entre autres, grâce au pense-bête ≪ Bernoulli n’est pas une nouille ≫), on prouve une formule
non totalement triviale qui permet de calculer explicitement les fascinants nombres de Bernoulli.
La preuve passe par la formule donnant le nombre sn,m de surjections d’un ensemble à n élémentsvers un ensemble à m éléments (via la formule du crible), puis un résultat surprenant (et intéressanten soi) qui prouve que sn,m est le coefficient de la base canonique des polynômes dans la base despolynômes de Hilbert !
Vidéo 3 : On établit, à l’aide de la formule de Dirichlet sur les séries de Fourier, un lien entre
les nombres de Bernoulli et la fonction zeta de Riemann.
Vidéo 4 : Mais pourquoi les nombres de Bernoulli apparaissent-ils ainsi, comme en génération
spontanée, dans divers domaines des mathématiques ? Finalement, c’est peut-être cette familleBn (t)/n ! qui s’apparente à la famille xn /n ! dans son comportement vis-à-vis de la dérivée... Il
est alors normal que les nombres de Bernoulli se retrouvent dans les développements limités de lafamille des exponentielles. On donne ici le développement de xcot (x) en 0. On saluera en passantles fécondes méthodes de déformation en analyse.
1.9.6

Exercices de confinement : normes sur R[X]-1

P On commence une série de petits exercices présentant des contre - exemples sur les normes
non équivalentes lorsque les espaces vectoriels sont de dimension infinie.
1.9.7

Exercices de confinement : normes sur R[X]-2

P On continue avec un exercice qui relie certaines normes sur R[X] à des ≪ compacts infinis ≫ de R. Notons que ≪ compact infini ≫ est une notion essentielle dans les problèmes de prolongements analytiques en analyse complexe.
1.9.8

Exercices de confinement : normes sur R[X]-3

P On attaque un petit dernier sur les normes de R[X]. On introduit une norme un peu farfelue
sur R[X] et on montre que l’espace R[X] n’est pas complet pour cette norme. Au final, on voit
que c’est peine perdue puisqu′ un espace à base dénombrable sur R ne peut pas être complet pouraucune norme.
1.9.9

Comportement asymptotique des suites récurrentes

P On cherche à comprendre les équivalents autour d’un point (y compris l’infini) à une suiterécurrente de type un+1 = f (un ). On présente ensuite un classique. La suite un+1 = sin(un ) avec
u0 assez proche de 0 tend vers 0. On voit, comme dans la vidéo précédente (dont celle-ci est une
illustration), que un est équivalent à sqrt (3/n) en l’infini. On cherche ensuite un second terme àson développement asymptotique.
1.9.10Combinatoire et placements de table

P Une formule certainement utile pour les fêtes de fin d’années : de combien de façons peut-on
placer n couples autour d’une table de sorte que chaque couple soit séparé. Et nous voici en routepour une aventure festive (et mathématique !)78

1.9.11

La suite un+1 = sin(un ) et son comportement asymptotique

P Riri, qui a le sens de la fête, et celui des paillettes, s’est mis sur son 31 ( !) pour nous
présenter le comportement asymptotique de la suite récurrente associée à la fonction sinus. Un
développement issu de Carnet de Voyage en Analystan (et non pas algébrie...)A ce propos, comme le fait remarquer Alexis Roussel, attention à la fin où l équivalent doitêtre remplacé par une écriture avec des o de Landau. Plus précisément, on doit partir de−2u−2
n − u0 − n/3 = log(n)/5 + o (Log (n))
Cette vidéo sera donc instructive à plus d’un titre sur les avantages et les dangers de l’utilisation
des équivalents. Il faut savoir les utiliser à bon escient, et savoir remplacer f equivalent a g par
f = g + o(g) quand cela est nécessaire.
1.9.12Vitesse de convergence d’une suite récurrente (et méthode d’Archimède)

P On part d’une situation classique où une suite récurrente (un ) donnée par une fonction
converge vers un point fixe attractif r et on voudrait savoir si la suite r − un est équivalenteà une suite géométrique. Ceci nous amène à un exemple deux fois millénaire, avec la méthoded’Archimède pour approcher le nombre pi... et comme on n’est jamais à court d’histoires, onparlera du jeune Grothendieck.
1.9.13

Erreurs dans les calculs d’intégrales - 2

P Nous parlons ici des différentes méthodes pour les calculs d’intégrales (rectangle, trapèze,méthode de Simpson, et une introduction à la méthode de quadrature de Gauss). Voici cette fois-ci
le pendant analytique de la première vidéo. On calcule, à l’aide de l’inégalité des accroissement finis,
un encadrement des erreurs que l’on fait en appliquant ces méthodes à une fonction ≪ suffisammentdérivable ≫ sur un intervalle [a, b].
1.9.14

Un exercice sur Taylor-Lagrange

P Un petit exercice parfait pour une kholle en prépa : -) qui fournit un critère par la positivitépour que la série de Taylor d’une fonction converge en un point. On donnera deux preuves, une,avec la formule de Taylor-Lagrange, et l’autre en utilisant la version avec reste intégral.
1.9.15

Utilisation des fractions rationnelles (dérivées de l’arctangente)

P Il faut souvent se gratter la tête pour trouver des exercices ou des exemples d’utilisation
dans les énoncés d’oraux de l’agrégation interne. En particulier pour l’utilisation de fractions
rationnelles ! Voici un petit exemple d’application...
1.9.16

Problème de la corde universelle (problème d’Olympiades)

P Un petit problème de type ≪ olympiades ≫ que m’a indiqué Roger Mansuy, et qui demandejuste un peu de réflexion et de TVI (théorème des valeurs intermédiaires). La partie positive duproblème aboutit aux théorème de la corde universelle, et l’autre partie nous amènera à un contre- exemple bougrement tordu, mais sacrément intelligent.

79

1.9.17

Pourquoi une fonction injective continue sur un intervalle est-elle strictementmonotone ?

P On donne trois preuves pour cet énoncé. Une fausse (ou disons trop imprécise), une pourle niveau licence, et enfin une, assez séduisante, mais qui demande quelques bases de topologie de
L3.
1.9.18

Primitivable implique continue (ou bien) ?

P On sait depuis longtemps qu’une fonction continue sur un intervalle est possède une primitive. Mais est-ce bien nécessaire ? On va commencer par donner un contre - exemple (classique)d’une fonction primitivable non continue. Mais si admettre une primitive n’implique pas forcémentla continuité, le théorème des accroissements finis prouve qu’il s’agit d’une fonction vérifiant lethéorème des valeurs intermédiaires, que l’on appelle également fonction de Darboux. Encore une
fois, la réciproque est fausse et on va montrer qu’une fonction de Darboux n’est pas nécessairement
primitivable.
1.9.19Normes, boules et stricte convexité 1

P On étudie le problème de stricte convexité des normes sur un espace vectoriel. On montre
que l’axiome de stricte convexité correspond à un problème de stricte convexité des boules. On
fournit ensuite un petit outillage pour montrer qu’une norme est strictement convexe.
1.9.20

Normes, boules et stricte convexité 2

P Nous étudions la distance d’un point à un fermé F . On commence dans le cadre où F est
un hyperplan affine, une sphère, un fermé quelconque, puis, un fermé convexe dans le cadre d’une
norme strictement convexe.
1.9.21

Normes, boules et stricte convexité 3

P On peut maintenant dans ce troisième volet prouver un théorème de séparation qui ditque si F est un fermé convexe et M un point hors de F , on peut trouver un hyperplan H qui lessépare, c’est-à-dire, un hyperplan qui définit deux demi-espaces ouverts H + et H − tels que x soit
dans H + et F inclus dans H − .
1.9.22

Le cercle d’incertitude d’une série entière

P On donne, à partir d’exemples et de conjectures, de bonnes raisons d’appeler la frontièredu disque de convergence d’une série entière, le ≪ cercle d’incertitude ≫ (des poètes disparus).
1.9.23Complétion p-adique ou réelle ? Le théorème d’Ostrowski e

P Comment compléter le corps Q des rationnels ? Dit autrement, quelle analyse au menu ?
C’est le théorème d’Ostrowski, que l’on prouvera dans cette vidéo, qui va nous dire que seules deux
types de complétions sont possibles. On fera donc de l’analyse sur R ou sur Qp .

80

1.9.24

Distance de Hausdorff (et une surprise à la fin)

P On montre qu’un espace métrique complet possède un espace métrique complet pour l’ensemble de ses compacts pour la métrique de Hausdorff. Une surprise à la fin !
1.9.25Théorème de stabilité de Liapounov (équations différentielles non linéaires)

P Voici un développement sur les équations différentielles non linéaires qui utilise la comparaison avec une équation différentielle linéaire. On trouve une condition pour obtenir une solution
avec un point d’attraction à convergence exponentielle.
1.9.26

Critère de stabilité de Liapounov

P Une matrice A de Mn (R) est dite stable si ses valeurs propres ont toutes une partie réelle
strictement négative. On donne un critère de stabilité en terme de système linéaire. Au programme,réduction, exponentielle de matrices, systèmes linéaires, intégrales de matrices, et j’en passe.
1.9.27

Comportement lipschitzien du spectre (d’une matrice symétrique) e

P On sait (ou pas) que le rayon spectral d’une matrice symétrique définie positive est égal à
sa norme subordonnée pour la norme quadratique. Les inégalités de Weyl nous permettent de voir
que l’application qui, à une matrice symétrique réelle S, envoie la k-ième valeur propre de S (pourl’ordre naturel de R), est 1-lipschtzienne. Au programme, thérème spectral, principe du min-max,
inégalité de Weyl... Bref, on rentre dans la légende !
1.9.28Réarrangements dans les Sobolev : le teaser par Tristan e

P Une visite surprise chez Tristan qui fait ses premiers pas dans le monde ardu de la thèse.
Peut-être pour moi une des dernières chances avant décollage de comprendre ce qu’il fait : -).
En tout cas, la mission est accomplie parce que, sans préparation, Tristan raconte ses premièresdirections avec lucidité, passion et pédagogie.
PS : désolé pour le bruit des travaux sur le campus. Lyon peaufine son réseau de tramway.
On supporte parce que c’est pour la bonne cause ! On pourra tout de même apprécier cette petiteréverb’ qui règne dans cette salle et donne cette impression de temps suspendu.
1.9.29Espace complet de fonctions lipschitziennes

P Un petit développement assez simple que l’on peut trouver dans Oraux-X ENS Analyse 3.

1.10
1.10.1

Probabilité et combinatoire (8)Séries génératrices-mode d’emploi

P Quelques petits exemples progressifs autour des séries génératrices dont le slogan pourraitêtre : ≪ Si vous ne pouvez pas trouver un terme dans une suite, le mieux c’est de les compter
tous ! ≫81

1.10.2

Combinatoire sur le groupe des permutations

P Deux petits exercices (en attendant d’en avoir deux plus gros) sur la moyenne du nombre decycles (dans la décomposition en cycles à supports disjoints) et la moyenne du nombre d’inversions
dans le groupe symétrique. Référence H2G2- tome 2 (2015) Chapitre IV.
1.10.3Dés pipés et factorisation de polynômes

P Deux dés sont numérotés de 1 à 6 et donc la somme des lancers des deux dés varie de 2 à 12.
On veut savoir si l’on peut piper ces deux dés indépendamment de sorte que toutes les possibilitéssoient équiprobables. Bien sûr, le problème en cache un autre, plus général. Et on débouche sur
un problème de factorisation de polynômes...
1.10.4

Question de jury- Dénombrement et polynômes (dés non pipés)

P Voici une petite question à la fois jolie et instructive sur un lancer de dés non pipés ! Merci àDaniel Juteau pour le partage de son bel exercice. Et mention spéciale de l’humour mathématiqueà Riri qui dit n’avoir rien pipé ! :-)1.10.5

Borel-Cantelli et les amis de la poésie !

P On présente un exercice proposé par Guillaume Aubrun autour d’un poète prolifique qui
veut relire toutes ses poésies. Cet exercice est une introduction au théorème de Borel-Cantelli.
1.10.6

L’urne de Polya (tirage avec renforcement)

P On effectue un tirage successif avec remise, mais avec la particularité d’ajouter à l’urne un
nombre fixé de boules de la dernière couleur tirée. On présente ici trois méthodes, sous les conseils
avisés de Yan Doumerc (notre caution proba !), qui fournissent un joli florilège des outils à notre
disposition en probas discrètes. Scoop ! Parmi ces outils figurent les actions de groupes !
Errata. Dans l epilogue, je voulais dire que les Xi suivent une. loi de Bernoulli mais leur somme
Sn ne suit pas une loi binomiale.
1.10.7

Tirage de nombres premiers entre eux

P On tire indépendamment deux nombres de 1 à n et on veut connaı̂tre la probabilité de tirer
des nombres premiers entre eux lorsque n est grand. Dans ce développement que l’on peut trouverdans Carnet de Voyage en Analystan, on verra comment la fonction zeta débarque dans la théorie
des nombres.
1.10.8Tirage sans remise de n boules paires

P Un petit exercice de probabilité qui permettra de tester nos formules sur la variance et lacovariance ainsi que notre système D dans ce genre de situations.
Attention toutefois car les probas ne font pas partie de mes domaines de compétence ! Yan
Doumerc (que je remercie en passant) me fait remarquer à juste titre que la formulation ≪ probabilité de Xi ≫ n’est pas très heureuse, Xi étant une variable aléatoire et non un évènement. La82

confusion entre les deux est fréquente chez les étudiants et parmi les candidats à l’agrégation, elle
est très préjudiciable. Je voulais bien sûr dire probabilité que Xi = 1.
1.10.9Commutations dans le groupe des permutations

P Un exercice finalement très simple une fois qu’on a compris la solution : -)) On cherche
la probabilité que deux éléments commutent dans Sn , puis on veut montrer que cette probabilité
tend vers 0 quand n tend vers l’infini.
1.10.10

Pour une combinatoire équitable

P Une petite vidéo pour un plaidoyer en faveur d’une combinatoire durable et équitable, qui
met en parallèle sous-structure et structure quotient (les deux piliers du temple de l’algèbre !),c’est-à-dire ici nombre de parties (coefficients binomiaux) et nombres de partitions, à k éléments.
Le prétexte est alors de comprendre la variable qui, à une fonction de [1, n] vers [1, m], associele cardinal de son image directe. Comme application, on traite deux problèmes : le problème desanniversaires, et les problème des vignettes de footballeurs (ou de pokemon, selon les goûts).

1.11
1.11.1

Annales (86)
Les écrits de l’externe pour l’agrégatif interne !

P Une mise au point pour ceux qui veulent passer les écrits de l’externe avec bagage del’interne.
1.11.2Agrégation MG-2024 La fin de l’épreuve (II-D et III)P Toutes les bonnes choses ont une fin sauf W ayne′ s World qui en a deux. On passe en mode
avance rapide sur la fin du problème, mais sans toutefois en éluder les partie épineuses.
1.11.3Agrégation MG-2024 Correction de la partie II-C

P Une correction de la partie II-C de ce joli problème sur les sous-structures commutatives
dans Mn (K). Les choses se simplifient maintenant qu’on a prouvé le plus lourd dans la partie II-B.
But don′ t relax yet ! Car la question 17 est à la fois redoutable et plein de surprises !
Je donne dans la vidéo une preuve de 17b qui ne suis pas l’indication (décidément, je ne suis
pas un suiveur : -). theoby t me fait remarquer que l’idée était probablement de montrer que lesous-espace nilpotent maximal étant de dimension b(n), et vu que b(n) + 1 − n est strictement
positif, il existe une matrice non nulle à la fois dans A et dans le sous-espace des matrices depremière colonne nulle. C’est donc une matrice non inversible et non nulle.
1.11.4Agrégation MG-2024 Correction de la partie II-A-B

P Une correction de la partie II-A et B de ce joli problème sur les sous-structures commutatives
dans Mn (K). On rentre ici dans la partie la plus difficile du problème avec en particulier unequestion 9c) manifestement fausse, une question 11a) difficile à rédiger et une question 13 élégantetrès élégante : -), mais qui pouvait donner du fil à retordre aux candidates et candidats. En mêmetemps, on est dans des zones du problème où (si l’on a fait ce qui précède) on était tiré d’affaires !
83

1.11.5

Agrégation MG-2024 Correction de la partie I

P Une correction de la partie I de ce joli problème sur les sous-structures commutatives dans
Mn (K).
1.11.6Agrégation Epreuve MG-2024 : description et premières impressions

P Quelques réflexions à chaud (le lendemain en fait) sur cette épreuve de mathématiquesgénérales 2024. Il est quand même mieux d’avoir le sujet sous la main avant de suivre la vidéo,sous peine de subir un triste monologue de 55 minutes : -)Merci à Sydney Segovia pour son envoi d’une preuve de la 11a) plus simple que celle que j’avais
rédigée ! Je la présenterai bientôt sur la chaı̂ne.
1.11.7

Epreuve MG-2023 Partie II e

P La partie II nous invitait à étudier l’action du groupe orthogonal par conjugaison sur
l’ensemble des matrices nilpotentes de taille n et d’indice 2. On exhibait une forme normale pourchaque orbite de l’action.
1.11.8

MG-2023 La partie I

P La partie I du problème de l’épreuve MG-2023 parlait de la décomposition en valeurssingulières. Une preuves élégante posée sur la géométrie des espaces vectoriels réels, la notion
d’application linéaire adjointe, ce qui demandait aux candidats de réviser un peu leur copie parrapport au programme qui assure des propriétés sur les ≪ endomorphismes adjoints ≫. Au final, lethéorème spectral finit tout de même par pointer son bout de nez.
1.11.9MG-2023 Les exercices e

P Voici une proposition de solution sur les trois exercices. Attention, certaines images peuvent
heurter la sensibilité de certains agrégatifs
1.11.10

Epreuve de mathématiques générales 2023 e

P Un tour d’horizon de l’épreuve MG-2023 qui s’est déroulée hier. Au menu, un peu degroupes, d’arithmétique, mais surtout de l’algèbre linéaire, du théorème spectral et pour les plus
aventureux, des matrices nilpotentes.
1.11.11

MG-2022-question 2-6a (le retour !) e

P Un retour d’Arthur Meyer qui nous a fait une proposition convaincante sur la question
6a, et qui utilise la question précédente dans l’esprit du problème, réglant à la fois un problèmemathématique et la paix dans le monde !
1.11.12

MG-2022 - Problème - Parties - V et VI e

P Correction des parties V et VI du problème de mathématiques générales 2022

84

1.11.13

MG-2022 - Problème - Parties - III et IV e

P Correction des parties III et IV du problème de mathématiques générales 2022
1.11.14

MG-2022 - Problème - Parties - I et II e

P Correction des parties I et II du problème de mathématiques générales 2022
1.11.15

Epreuve MG-2022 - Exercice - 3 et 4 e

P Une fois passés les embouteillages des deux premiers exercices, la circulation devient plus
fluide : avec un minimum d’habitude des corps finis et des p-groupes, on circulait sans encombre
dans les exercices 3 et 4.
1.11.16

Epreuve MG-2022 - Exercice - 2 e

P L’ exercice 2 était sympathique jusqu’à la question 6 qui a dû renvoyer pas mal de candidats
dans les cordes ! Mais abandonner est parfois plus dur que persévérer, et il faut parfois savoir sauterdes par dessus les questions, quitte à transformer l’épreuve en un 110 mètres haie.
1.11.17

Epreuve MG-2022 - Exercice - 1 e

P Pas si simple cet exercice 1... Mais enfin, fallait regarder ma chaı̂ne où l’on a dévoilé tous
les arcanes des équations matricielles : -)1.11.18

Epreuve MG-2022 - Discussion e

P Cette année, de la théorie des représentations dans le problème, mais était-il possible en 6
heures d’y accéder pour la plupart des candidats, avec des exercices à tiroirs et parmi eux, quelques
questions où l’on pouvait facilement s’embourber. Vous allez me dire, il n’y a qu’à les sauter, et
hop ! Pas si simple quand le jury annonce une politique anti-grapillage...
1.11.19Prélude au problème MG-2022 (théorie des représentations) e

P Nous avons corrigé les 4 exercices de l’épreuve maths géné de l’agrégation externe 2022.
Nous allons maintenant tenter de corriger le problème qui se trouve être le premier (et certainement
pas le dernier) problème sur la théorie des représentations à l’agrégation externe. Mais, dans cettethéorie, il est surtout important de se familiariser avec les objets et les méthodes. Ce que nous
allons faire dans un premier temps...
1.11.20

Epreuve Agrégation Externe - MG-2021 - Partie II (Q1 à 4) e

P On attaque la partie II du problème, questions de 1 à 4. Le but est de montrer que si A est
principal (et infini), on peut toujours trouver une A-base échelonnée (appelée base régulière) deEnt (A) (les polynomes de Frac (A)[X] à valeurs dans A pour tout a de A). C’est une généralisation
des polynômes de Hilbert.

85

1.11.21

Epreuve Agrégation Externe - MG-2021 - Fin de la partie I e

P On achève ici la partie I, où l’on utilise les propriétés des polynômes de Hilbert pourcaractériser les polynômes de Q[X] de degré n qui prennent des valeurs entières sur Z.
1.11.22

Epreuve Agrégation Externe - MG-2021 - Partie I-Q4-5-6-7 e

P On reste concentré !
1.11.23

Epreuve Agrégation Externe - MG-2021 - Partie I-Q1-2-3 e

P C’est fou ce que peut faire un carré de chocolat dans un cerveau fatigué par quatre exercicesd’agreg !
1.11.24

Epreuve Agrégation Externe - MG-2021 - Exercice 4 e

P L’exercice 4 (le dernier avant d’attaquer le problème vise à montrer que si p est premiertoute fonction de Z/pZ dans lui-même se réalise à l’aide d’un polynôme de Z/pZ[X]. Mais c’est
tout de suite faux si p n’est pas premier, à commencer par p = 4.
1.11.25

Epreuve Agrégation Externe - MG-2021 - Exercice 3 e

P Un petit exercice qui, tout en restant dans la thématique du problème, nous permet de faire
un petit tour du côté des matrices, utiliser le morphisme d’évaluation et même Cayley-Hamilton(soyons fous).
1.11.26

Epreuve Agrégation Externe - MG-2021 - Exercice 2 e

P L’ exercice 2 portait sur une preuve
polynomiale du déterminant de Vandermonde. Amusant, c’était justement dans lesCarnets de Voyage en Algébrie (remarque 1. 3. 4). Ceci nous permet de comprendre
pourquoi, si K est une extension du corps k, un polynôme de K[X] qui envoient k sur
k, sont automatiquement dans K[X].
1.11.27

Epreuve Agrégation Externe - MG-2021 - Exercice 1 e

P On commence une petite correction, à la volée, du problème de math géné 2021
à l’agrégation externe de mathématiques. Au menu, une intéressante incursion dansla problématique des polynômes respectant un anneau fixé. Les polynômes de Hilbert
constituent un petit apéritif pour nous montrer qu’un polynôme de Q[X] respectant Z,
n’est pas forcément dans Z[X].
1.11.28Résumé sur l’épreuve MG-2021-4 e

P Le mot de la fin sur l’épreuve MG-2021 de l’agrégation externe. Il était temps deconclure.

86

1.11.29

Résumé sur l’épreuve MG-2021-3 e

P Pas description, tout est dans la vidéo.
1.11.30Résumé sur l’épreuve MG-2021-2 e

P Pas description, tout est dans la vidéo.
1.11.31Résumé sur l’épreuve MG-2021-1 e

P Pas description, tout est dans la vidéo.
1.11.32 MG-2021. Exemples de polynômes envoyant une suite d’entiers
sur Z eP La plus jolie partie (à mon goût) du III de l’épreuve Maths Géné de 2021. On envoie
la suite des carrés, une suite géométrique sur les entiers et on se retrouve capables detrouver tous les polynômes qui envoient cette suite sur des entiers. Ce sont des suites
dans lesquelles on a finalement trouvé un p-ordre ne dépendant pas de p. Saurez-vous
trouver d’autres suites sur lesquelles un tel ordre est possible ?
1.11.33 L’algorithme LLL (Lenstra - Lenstra - Lovasz) : MG 2020 Agrégation
externe 11 e
P On expose très brièvement un algorithme qui permet de transformer une base d’unréseau de Rn , en une base du même réseau permettant d’obtenir une base d’orthogonalisation à la Gram-Schmidt dont les vecteurs ne décroissent pas trop rapidement ennorme. Cet algorithme a été motivé dans la vidéo 9 lorsque l’on voulait déterminer, en
un temps polynomial en n, un vecteur de norme assez petite dans un réseau.
1.11.34 Inégalité de Minkowski sur les réseaux : MG 2020 Agrégation externe 10 e
P Une preuve simple de l’inégalité de Minkowski qui majore le plus petit vecteur d’unréseau.
1.11.35 Le problème du plus petit vecteur d’un réseau : MG 2020 Agrégation
externe 9 e
P On a vu comment passer d’un problème de factorisation dans Z[X] à un problèmede recherche d’un vecteur de norme minimale dans un réseau de Rn . Dans cette vidéoon donne une borne min et une borne max pour ce plus petit vecteur, bornes qui
s’expriment en fonction de la norme des vecteurs de la base orthonormalisée (parGram-Schmidt) d’une base fixée du réseau. La borne min va utiliser encore une fois ladécomposition QR et la borne max l’inégalité de Minkowski dans les réseaux.

871.11.36

Réseaux en cryptographie : MG 2020 Agrégation externe 8 e

P On attaque l’articulation du problème d’agrégation MG 2020. Il s’agissait de comprendre un algorithme permettant de factoriser les polynômes dans Z[X]. On commence par regarder la factorisation du polynôme donné modulo p assez grand par laméthode de Cantor-Zassenhaus (vue précédemment), puis les inégalités d’Hadamard
sur le résultant permettent de remonter des informations de Z/pZ à Z ! On est amené
à déterminer un vecteur de norme minimale dans un réseau.
1.11.37

Le résultant : MG 2020 Agrégation externe 7

P On présente ici succinctement le résultant. Il s’agit d’un déterminant qui permet devoir si deux polynômes sont ou non premiers entre eux. Lorsque les deux polynômes sontà coefficients entiers, on peut les réduire modulo p premier et voir, grâce à la réduction
du résultant, si les deux polynômes réduits sont ou non premiers entre eux. Si p est
assez grand par rapport aux coefficients des deux polynômes, l’inégalité d’Hadamard
va montrer que les deux polynômes sont premiers entre eux dans Z si et seulement
s’il sont premiers entre eux sur Z/pZ. C’est d’autant plus fort que la décomposition
modulo p est plus simple à vérifier que dans Z.
1.11.38

Cantor-Zassenhaus : MG 2020 Agrégation externe 6 e

P On procède maintenant à la seconde étape de la factorisation d’un polynôme
sur Z/pZ. La première étape nous ramène au cas où f se décompose en facteurs
irréductibles de même degré d. On utilise une méthode probabiliste audacieuse dueà Cantor et Zassenhaus : on choisit un polynôme g de degré strictement inférieur àcelui de f . Si pgcd (f , g) est non trivial, on casse le polynôme en deux et on continue
sur ses morceaux. Si pgcd (f , g) = 1, on remplace g par g k − 1 avec k = (pd − 1)/2 eton voit que l’on toutes les chances d’obtenir pgcd (f , g) est non trivial avec ce nouveau
polynôme g.
1.11.39

Cantor-Zassenhaus : MG 2020 Agrégation externe 5 e

P Une factorisation d’un polynôme sur Z/pZ peut être une bonne étape pour lafactorisation sur Z. On commence pour cela par factoriser le polynôme de Z/pZ[X]en polynômes ud , non nécessairement irréductibles, tels que leurs facteurs irréductibles
soient de degré d. On montre dans cette vidéo comment effectuer cette première étape.
Cette ≪ stratification ≫ par les polynômes ud utilise le fait que Fp est un corps parfait,dou, plus simplement, que les polynômes X p − X n’ont pas de multiplicité quand on lesdécompose en facteurs de degré 1. Ensuite, on utilise un simple algorithme d’Euclide.
On verra la seconde étape dans la prochaine vidéo.
1.11.40 Gram-Schmidt, QR et inégalité d’Hadamard : MG 2020 Agrégation
externe 4 e
P Voici un lien classique (déjà discuté dans la vidéo 2 du ≪ théorème du confinement ≫) entre la méthode d’orthogonalisation de Gram-Schmidt, la décomposition QR,88

et l’inégalité d’Hadamard.
1.11.41

Borne de Cauchy : MG 2020 Agrégation externe 3 e

P On montre l’inégalité dite de la borne de Cauchy qui donne un bon majorant pourles module des racines d’un polynôme complexe P . On va en donner un corollaire qui
donne une borne aux modules des coefficients des polynôme unitaires qui divisent P .
1.11.42e

Suites arithmético-géométriques : MG 2020 Agrégation externe 2

P On présente les suites arithmético-géométriques dans C n . Ce sont des suites devecteurs de la forme Xn+1 = AXn + B, où A est une matrice carrée et B un vecteur.
Si 1 n’est pas dans le spectre de A, alors, c’est moralement une suite géométrique (àchangement de variable près) et si A est la matrice identité, c’est une suite arithmétique.
Dans les cas qui vont nous intéresser, c’est le lemme des noyaux qui fera le tri.
1.11.43

Agrégation externe : épreuve MG 2020- 1 e

P En attendant les résultats (demain normalement)... On présente le problème del’épreuve de mathématiques générales 2020 en mathématiques. On présente les différentes
composantes du problème, ses qualités et ses défauts, autant dans son intérêt mathématiqueque dans ses capacités évaluatrices. Dans les prochaines vidéos (de 2 à 11), on rentrera
dans les détails, sans toutefois se substituer à un corrigé.
1.11.44

MG-2018 - Les exercices préliminaires e

P Une correction de la partie ≪ exercices préliminaires ≫ du problème de mathématiquesgénérales de 2018.
1.11.45

Conseils autour de l’épreuve MG-2018 Agrégation Externe

P Un petit debriefing autour de cette épreuve qui mêlait algèbre linéaire et (unpeu d’) analyse complexe. Au programme : comment sortir d’une épreuve écrite en
optimisant la note ! Il y avait au menu de cette année là : Décomposition de Dunford,
polynômes d’interpolation, exponentielle et logarithmes, et un peu de représentations,pour la forme -de façon très superficielle- et aussi pour le fond- de façon trop profondepour que ce soit utile en tant que candidat. Au passage, après un coup de téléphone dulivreur, je fais de la pub pour le livre de la prépa Lyon : Carnet de Voyage en Analystan
publié aux éditions de l’IREM !
1.11.46

Epreuve 1 - Agrégation interne 2024

P Quelques commentaires à chaud sur la première épreuve d’agrégation interne de
2024.

89

1.11.47

Epreuve 1 - Agrégation interne 2024 - Exercice 1 (le vrai-faux)

P Le vrai-faux de l’épreuve 1 (exercice 1)
1.11.48

Epreuve 1 - Agrégation interne - 2024 - Exercice 2

P L’exercice 2 de EP1-2024
1.11.49

Epreuve 1 - Agrégation interne - 2024 - Exercice 3

P L’exercice 3 de EP1-2024
1.11.50

Epreuve 1 - Agrégation interne - 2024 - Questions 10 et 11

P Les questions 10 et 11 de EP1-2024
1.11.51

Epreuve 1 - Agrégation interne - 2024 - Questions 12 à 16

P Les questions 12 à 16 de EP 1 − 2024
1.11.52
IV)

Epreuve 1 - Agrégation interne - 2024 - Questions 17 à 21 (Partie

P Les questions 17 à 21 (Partie IV)
1.11.53
V)

Epreuve 1 - Agrégation interne - 2024 - Questions 22 à 25 (Partie

P Les questions 22 à 25 (Partie V )1.11.54

Epreuve 1 - Agrégation interne - 2024− (Partie VI)

P Et on finit avec la partie VI
1.11.55

La théorie des représentations post EP1-2024

P Après avoir fini la correction de l’épreuve EP1-2024 qui abordait la théorie descaractères, on peut, pour ceux qui en ont pris plaisir et ceux que cela intéresse, en
profiter pour parler des développements de la théorie.
1.11.56

EP1 - Agreg interne 2023 ou le théorème de Skolem-Mahler

P Le théorème de Skolem-Mahler parle des zéros d’une suite récurrente linéaire entière.
Il peut se faire avec les entiers p-adiques, mais l’épreuve de 2023 admettait un théorème
un peu lourd de zéros isolés dans le cas p-adique, ce qui est, on l’admettra, bien dommage. On reprend ici la preuve du problème, mais on donne une preuve plus complètequi n’utilise que le corps des rationnels.
901.11.57

Epreuve EP1-2023 - Agrégation Interne - Problème I-C

P On continue la correction de l’épreuve EP1-2023 avec la partie I-C du problème,où l’on s’intéresse à un caractérisation des puissances de 2 par les nombres binomiaux.
1.11.58

Epreuve EP1-2023 - Agrégation Interne - Problème I-B

P On continue la correction de l’épreuve EP1-2023 avec la partie I-B du problème,où l’on prouve par une méthode élégante, la formule de Legendre.
1.11.59

Epreuve EP1-2023 - Agrégation Interne - Problème I-A

P On continue la correction de l’épreuve (tristounette, faut reconnaı̂tre) EP1-2023.
On trouvera ici la partie I − A du problème.
1.11.60

Epreuve EP1-2023 - Agrégation Interne-Vrai-Faux et Exercices

P On commence une correction de l’épreuve EP1-2023. Ici, on trouvera le vrai-faux,et les deux premiers exercices. C’est-à-dire largement de quoi être admissible !
∗ Errata ! J’ai trop vite lu l’énoncé, dans la question 1e) du Vrai-Faux, L et K sontdes corps et non des anneaux. Si c’est un morphisme d’anneaux unitaires (ce que je
suppose), il est non nul, donc le noyau, qui est un idéal de K est forcément trivial. Du
coup, le morphisme mu est injectif. Et l’assertion est VRAIE ! Toutes mes excuses pourle désarroi que cela a pu créer !
1.11.61

Epreuve 1-2022 de l’agrégation interne - 9 (Les réseaux à l’agreg !)P On a déjà fait une série de videos sur les réseaux à l’agrégation, mais quoi de mieux
que de le faire sur l’exemple ! ici, il s’agit de la partie VIII de l’épreuve 1 de l’agrégationinterne de 2022.
1.11.62
tantes)Epreuve 1-2022 de l’agrégation interne - 8 (Survol des parties res-

P Après avoir corrigé en détail jusqu’à la partie IV, on finit par un grand balayage,façon salon de coiffure, des parties de l’épreuve 1 de l’agrégation interne 2022. Le
bonheur est-il au bout de l’ascension ? On verra tout de même que la fin proposait desidées intéressantes sur des théorèmes de descente sur Z par la théorie des réseaux.
1.11.63

Epreuve 1-2022 de l’agrégation interne - 7 (la partie IV)

P On se propose ici de donner des éléments de correction de l’épreuve 1 de l’agrégationinterne 2022, et ce, jusqu’à la partie IV, car il serait étonnant que quelqu′ un soit allé plus
loin. L’objectif ici est plutôt de voir un peu ce qui était faisable plutôt que de regarderce joli problème dans son ensemble. Voici maintenant la partie IV, qui demandait une
91certaine expérience sur les extensions de corps. On arrêtera les corrections détaillées
sur cette partie.
1.11.64

Epreuve 1-2022 de l’agrégation interne - 6 (la partie III)P On se propose ici de donner des éléments de correction de l’épreuve 1 de l’agrégationinterne 2022, et ce, jusqu’à la partie IV, car il serait étonnant que quelqu′ un soit allé plus
loin. L’objectif ici est plutôt de voir un peu ce qui était faisable plutôt que de regarderce joli problème dans son ensemble. Voici maintenant la partie III, qui concerne l’étuded’une extension de corps (mais sans vraiment le dire, car ce n’est pas au programme,
et en plus, on n’a pas besoin de l’outillage habituel de la théorie)
1.11.65

Epreuve 1-2022 de l’agrégation interne - 5 (la partie II)

P On se propose ici de donner des éléments de correction de l’épreuve 1 de l’agrégationinterne 2022, et ce, jusqu’à la partie IV, car il serait étonnant que quelqu′ un soit allé plus
loin. L’objectif ici est plutôt de voir un peu ce qui était faisable plutôt que de regarder cejoli problème dans son ensemble. Voici maintenant la partie II, avec au programme desfonctions symétriques élémentaires, des fonctions invariantes par similitude, et surtout,
de l’arithmétique modulaire. C’est malgré tout une partie assez simple (quand on s’yconnaı̂t un minimum).
1.11.66

Epreuve 1-2022 de l’agrégation interne - 4 (la partie I)

P On se propose ici de donner des éléments de correction de l’épreuve 1 de l’agrégationinterne 2022, et ce, jusqu’à la partie IV, car il serait étonnant que quelqu’un soit allé
plus loin. L’objectif ici est plutôt de voir un peu ce qui était faisable plutôt que deregarder ce joli problème dans son ensemble. Voici maintenant la partie I où il était
question de racine n-ième d’une matrice symétrique positive réelle de taille p.
1.11.67

Epreuve 1-2022 de l’agrégation interne - 3 (l’exercice préliminaire)

P On se propose ici de donner des éléments de correction de l’épreuve 1 de l’agrégationinterne 2022, et ce, jusqu’à la partie IV, car il serait étonnant que quelqu′ un soit allé
plus loin. L’objectif ici est plutôt de voir un peu ce qui était faisable plutôt que deregarder ce joli problème dans son ensemble. Voici maintenant l’exercice préliminaire(on devrait dire l’enquête préliminaire ?) où il était question de prouver, si besoin est,
le théorème de Cayley-Hamilton.
1.11.68

Epreuve 1-2022 de l’agrégation interne - 2 (le vrai-faux)

P On se propose ici de donner des éléments de correction de l’épreuve 1 de l’agrégationinterne 2022, et ce, jusqu’à la partie IV, car il serait étonnant que quelqu′ un soit allé plus
loin. L’objectif ici est plutôt de voir un peu ce qui était faisable plutôt que de regarderce joli problème dans son ensemble. On attaque le ≪ vrai-faux ≫, une nouveauté dansl’épreuve.
921.11.69

Epreuve 1-2022 de l’agrégation interne - 1

P On se propose ici de donner des éléments de correction de l’épreuve 1 de l’agrégationinterne 2022, et ce, jusqu’à la partie IV, car il serait étonnant que quelqu′ un soit allé
plus loin. L’objectif ici est plutôt de voir un peu ce qui était faisable plutôt que deregarder ce joli problème dans son ensemble. Dans cette première partie, je vais donnerde cette épreuve ma vision en tant que préparateur.
1.11.70 Epreuve 1 de l’agrégation interne 2021-6 : les corollaires du théorèmede Burnside
P On finit ce volet sur cette épreuve EP1-2021 de l’agrégation interne. On parlera
en diagonale des corollaires du théorèmes de Burnside : 1) le groupe unitaire engendre
comme espace l’algèbre Mn (C), 2) un sous-groupe de GLn (C) constitué d’éléments
unipotent est co-trigonalisable, 3) le sous-espace des matrices magiques est engendré
par les matrices de permutations. Tout se résume finalement en une alternative ≪ semisimplicité ≫ ou ≪ résolubilité ≫ que l’on retrouve partout dans le monde de l’algèbre.
1.11.71
Q

Epreuve 1 de l’agrégation interne 2021 − 5 : Quelques exemples sur

P On achève la partie 3 avec la question 13. On bascule ici dans l’arithmétique et on
en profite pour réviser nos classiques.
1.11.72

Epreuve 1 de l’agrégation interne 2021 − 4 : Quelques exemples

P Nous voici arrivé à la partie 3 et il semble, au moins dans un premier temps,
que l’orage est passé. Tels de petits écureuils, nous allons en profiter pour grappiller
quelques points avant que cela ne se couvre.
1.11.73 Epreuve 1 de l’agrégation interne 2021 − 3 : théorème de densité deJacobson (ou Burnside)
P On finit en beauté la partie 2 avec la preuve du théorème de Burnside grâce à unrésultat de semi-simplicité.
1.11.74

Epreuve 1 de l’agrégation interne 2021−2 : stabilité et semi-simplicitéP On attaque le moment le plus intense de ce début de problème (qui en sera peut-être
aussi la fin pour le candidat qui n’aura pas osé sauter ces questions). On transporte
des problèmes d’irréductibilité dans End (E) à des problèmes de semi-simplicité dans
End (E n ). C’est dans les deux dernières questions de la partie 2 que la beauté duraisonnement se révèlera au grand jour. Mais ce sera pour la vidéo prochaine...

931.11.75

Epreuve 1 de l’agrégation interne 2021-Préliminaires et palabres

P Voici une petite présentation du problème proposé pour la première épreuve del’agrégation interne 2021. Nous ne parlerons ici que des préliminaires sur la réduction,
avant de présenter ce qui sera prouvé dans les prochaines vidéos, c’est-à-dire le théorèmede Burnside à l’aide d’un théorème de densité dû à Jacobson.
1.11.76

Epreuve EP1 Agrégation interne 2020 − 2

P On vient de voir qu’un drapeau (total) possède une base adaptée. On va l’appliquer
au drapeau des noyaux emboı̂tés d’un endomorphisme, ce qui va nous fournir un drapeau stable par l’endomorphisme en question. On en profite pour prouver ce résultat
souvent utile qui stipule que la suite des dimensions des noyaux emboı̂tés ≪ s’essouffle ≫.
On montre ensuite que le groupes des matrices triangulaires supérieures unitaire est
distingué dans le groupe des matrices triangulaires supérieures inversibles. Toutefois, iln’est en général pas distingué dans le groupe linéaire.
1.11.77

Epreuve EP1 Agrégation interne 2020 − 1

P On va parler ici du problème d’agrégation interne 2020(EP 1). Au programme, ladéfinition d’un drapeau total (suite emboitée de sous-espaces Ei tels que dim Ei = i),l’existence d’une base adaptée pour un drapeau total, et orthonormée adaptée dans lecadre d’une espace euclidien. Enfin, on montre donne de trigonalisabilité : un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si l’on peut trouver un drapeau stable pourcet endomorphisme.
1.11.78

Polynômes d’Hermite - EP2 - Agrégation interne - 2019

P La seconde épreuve à l’agrégation interne de 2019 parlait des polynômes d’Hermite
en première partie. Nous allons suivre la trame de l’épreuve pas à pas, à la découverte
de l’univers des polynômes orthogonaux. Au menu, Gram-Schmidt et intégration parpartie.
La seconde épreuve à l’agrégation interne de 2019 parlait des polynômes d’Hermite en
première partie. Nous allons suivre la trame de l’épreuve pas à pas, à la découverte
de l’univers des polynômes orthogonaux. Au menu, petites formules classiques, mais
surtout une jolie technique qui marche tout le temps pour montrer que les polynômes
orthogonaux sont scindés simples sur R.
On sort ici du cadre de l’épreuve EP2- Agrégation interne de 2019, pour parler pourparler justement des classiques du genre auxquels nous avions échappés cette année-là.
Tout d’abord l’entrelacement des racines entre deux polynômes orthogonaux successifs,
et ensuite l’application historique des polynômes orthogonaux aux calculs d’intégrales
par la méthode de quadrature de Gauss.
1.11.79

Agrégation interne Epreuve 1 2018-4

P Correction du problème de 2018 en Algèbre que lon peut trouver sur https://interne.agreg.org/data/uploads/epreuves/ep1/18-ep1.pdfOn attaque ici les par94

ties suivantes où l’on montre que l’ensemble Omega, sur lequel il était bien agréablede travailler, est dense dans Mn (C). Ce qui va répandre la propriété (2) dans tout
Mn (C). Au programme : résultant, discriminant d’un polynôme, et densité d’un ouvert algébrique (on montre en fait que si P est un polynôme non nul à n variables,
l’ensemble des x de Rn tels que P (x) est non nul, est dense dans Rn ).
1.11.80

Agrégation interne Epreuve 1 2018-3

P Correction du problème de 2018 en Algèbre que l’on peut trouver sur https://interne.agreg.org/data/uploads/epreuves/ep1/18-ep1.pdf
On attaque la partie II du problème. Au programme : le polynôme caractéristique de AB
est égal à celui de BA (par densité de GLn sur les complexes), et comme conséquence,le fait que le polynôme caractéristique de C ∗ C est à coefficients dans R. Pour finir, on
montre que det (In + C ∗ C) est positif sur un ensemble Omega de matrices C.
1.11.81Agrégation interne Epreuve 1 2018-2

P Correction du problème de 2018 en Algèbre que lon peut trouver sur https://interne.agreg.org/data/uploads/epreuves/ep1/18-ep1.pdf
Dans cette vidéo, on corrige la densité de GLn et la question 5 de la partie I. Ce quiachèvera la partie I, et nous mettra en bonne voie vers la partie II.
1.11.82

Agrégation interne Epreuve 1 2018-1

P Correction du problème de 2018 en Algèbre que l’on peut trouver sur https://interne.agreg.org/data/uploads/epreuves/ep1/18-ep1.pdf
Dans cette vidéo, on corrige (oralement) la partie I (sauf la densité de GLn et la question
5).
1.11.83

Exercices sur les homographies - EP1-2017

P Un petit exercice de transformation homographique dans le style de la partie I del’épreuve EP1 de l’agrégation interne 2017. On montre que la transformation de Cayley
envoie la droite réelle sur le cercle unité. On montre ensuite que cette transformation
envoie le demi-plan de Poincaré sur le disque ouvert unité, par deux méthodes, une
calculatoire, et l’autre topologique.
1.11.84

2014-EP1 - Agrégation interne - parties-I-II

P Pas description, tout est dans la vidéo.
1.11.85

Sujet EP1 - Agrégation interne - 2008 - Partie II

P Voici maintenant la correction de partie II, on l’on verra que sur le corps descomplexes, une sous-algèbre de End (E) n’ayant pour sous-espace stable que les sousespaces triviaux est égale à End (E). On verra à la fin un contre - exemple sur R, avec
une sous-algèbre irréductible bien connue depuis la terminale ( !).
951.11.86

Sujet EP1 - Agrégation interne - 2008 - Partie I

P Le sujet EP1 d’agrégation interne de 2008 est particulièrement confondant : ilne demande que très peu de connaissance (projection, matrices élémentaires, sommes
directes, dualité) mais une bonne maı̂trise du sujet. Voici déjà la correction d’une partie
I très instructive qui nous mènera au théorème de Skolem-Noether.
1.11.87

Mines-Ponts-Math2-MP-2024 - Partie-I

P Un problème fort intéressant, mais ardu, où il est question de graphes aléatoires.
On attaque ici la partie I sur la réduction des matrices d’adjacence de graphes.
1.11.88

Mines-Ponts-Math2-MP-2024 - Partie-II

P On attaque ici la partie II, beaucoup plus simple. On commence gentiment avec
quelques premières notions de graphes aléatoires à ensemble de sommets fixé.
1.11.89

X-ENS MP-2024-Correction Q1-8 e

P Voici un début de correction/discussion autour del’épreuve X ENS MP de cetteannée. Cette année, le problème parle de combinatoire et probabilité sur les groupes
finis, un thème souvent discuté sur cette chaı̂ne.
1.11.90

X-ENS MP-2024-Correction Q9-15 e

P Voici la suite de la correction/discussion autour du sujet X-ENS 2024 MP. Nous
attaquons la seconde moitié de la partie I, donc les questions de 9 à 15. On termine
sur un épilogue où l’on fait le point sur cette première partie et où l’on proposera dessolutions parfois plus longues ( !), souvent plus courtes. Je me permettrai d’émettre
quelques opinions personnelles... mais qui suis-je pour juger ?

2

Les oraux (175)2.1

Leçons (71)2.1.1

Leçon 133/101- Groupe opérant sur un ensemble- Applications

P Une leçon aussi riche que passionnante à laquelle on va se confronter au mépris
du danger ! Et le danger ici, c’est qu’il y a tellement de belles choses à raconter qu’on
pourrait s’y perdre.
On commence ici avec un 6 minutes sur la leçon. Allez, 9 minutes...
Quelques questions de jury. Elles tournent autour de l’utilisation de la définition desactions de groupes, via les morphismes de groupes, la formule des classes, le principe de96

conjugaison-translation, la possibilité de ramener un problème à sa forme normale, l’utilisation de l’isomorphisme canonique associé au morphisme d’action, le dénombrementd’une orbite par le calcul de l’ordre du stabilisateur...
Quelques développements que l’on pourra trouver dans Carnet de Voyage en Algébrie
et Nouvelles Histoires Hédonistes de Groupes et de Géométries.
2.1.2

Leçon 158− Groupe opérant sur un ensemble-1

P Une leçon en 15 minutes par Magali, dans le cadre de l’oral de l’agrégation interne.
2.1.3

Leçon-158-Développement-Coloriage du tétraèdre

P Voici un développement de Magali sur la leçon. Il s’agit du coloriage équivariant
des faces d’un tétraèdre (Nouvelles Histoires Hédonistes de Groupes et de Géométries
XII-B-7)
2.1.4 Leçon 105− Groupe de permutations d’un ensemble fini- Applications6 minutes et plan
P La leçon 105 (102 pour l’agrégation interne) parle d’un groupe, et pas n’importe lequel : le groupe des permutations d’un ensemble fini. On verra pourquoi ce groupe peutêtre vu comme la mère porteuse de tous les groupes finis, puis on en détaillera l’étude,
selon la procédure à suivre pour tout bon groupe qui se respecte : générateurs, classes
de conjugaisons, sous-groupes distingués, caractères, avant d’attaquer les nombreuses(et surtout diverses !) applications.
2.1.5 Leçon 105− Groupe de permutations d un ensemble fini et applications - les développements.
P On présente une série de développements classiques et moins classiques autour dela leçon sur les groupes de permutations. On tentera pour chaque développement dedécrire les grandes lignes de la preuve.
2.1.6 Leçon 105− Groupe de permutations d’un ensemble fini, applications- questions de jury et exercices
P Quelques exercices simples ou parfois (clairement !) moins simples, tout en restantclassiques, autour de la leçon sur le groupe symétrique. On utilise de façon essentielle :les systèmes de générateur de Sn , la formule de conjugaison, les centres, les groupesdérivés, l’ordre d’une permutation, la simplicité de An ainsi que les sous-groupes distingués de Sn , et bien sûr la signature, le hobbit de l’algèbre !
2.1.7

Leçon 106. Idéaux d’un anneau commutatif.

P Une nouvelle leçon est apparue à l’agrégation interne, il s’agit de la leçon sur les
idéaux. Cela demande un bagage important que la plupart des candidats ne possède97

pas, et pour commencer, la notion même de structure quotient doit être bien comprise.
On va voir tour à tour, les idéaux, les générateurs d’idéaux, les opérations sur les idéaux,
le passage au quotient et tout ce que cela implique. Dans un second chapitre on voit
comment les idéaux principaux permettent de définir le pgcd, ppcm et une relation deBezout. On déroule ensuite le rideau euclidien-principal-factoriel. Enfin le chapitre III
est consacré aux applications des idéaux à l’étude des nombres premiers, en réduction,
dans le systèmes de congruence, et même aux intersections de courbes planes.
2.1.8 Leçon 106/123-externe/interne : Groupe linéaire, sous-groupes etapplications
P Voici une vidéo qui présente (de façon relativement exhaustive, quoi que) de quoi
remplir cette leçon sur le groupe linéaire. Cela pourra fournir des idées à certains, etpour d’autres, les aider à s’organiser sur un thème aussi riche !
2.1.9

Représentations linéaires d’un groupe fini 1 (leçon 107) e

P Il s’agit d’une vidéo de conseils sur la leçon 107 sur la théorie des représentation.
Le principal conseil est de ne pas perdre pied avec l’aspect concret des choses. On
fait ici la différence entre caractère et représentations, entre caractère irréductible etfonction centrale de norme 1. On donne des contre - exemples au théorème de Maschke
et enfin, on décrit matriciellement toutes les définitions de base de la théorie ainsi quele théorème de Maschke.
2.1.10

Représentations linéaires d’un groupe fini 2 (leçon 107) e

P Un petit 6 minutes (qui dure en fait dix minutes) sur la théorie des représentationsà l’oral de l’agreg externe.
2.1.11

Représentations linéaires d’un groupe fini 3 (leçon 107)

P On propose ici deux petits exercices simples qui mettent le théorème de Maschke
en relation avec la réduction. On propose ensuite quelques développements bienvenus
dans la leçon.
2.1.12Leçon 113 ou 152 : Déterminant et applications

P Le déterminant est l’outil central de l’algèbre linéaire. On propose ici un 6 minutes(en fait, 6′ 40 ”) dans le cadre d’une leçon à l’agrégation externe (ou interne). Tout doit
reposer sur le caractère n-linéaire alterné du déterminant qui lui permet de détecter les
relations linéaires.
On passe ensuite à des petites questions de savoir-faire sur le déterminant dans le cadrede questions à un oral d’agrégation, puis, à quelques suggestions de développements
que l’on peut trouver avec bonheur dans Nouvelles histoires hédonistes de groupes etde géométries et dans Carnet de Voyage en Algébrie.

982.1.13

Leçon 122-Anneaux principaux et applications - la présentation-1

P La leçon sur les anneaux principaux constitue une belle occasion de réviser tout leprogramme d’algèbre (pas tout bien sûr, mais disons, le principal). On peut en effet se
demander ce qui échappe à l’ubiquité de cette belle notion.
2.1.14Leçon 122-Anneaux principaux et applications - 2

P On regarde des petites propriétés générales (et des non propriétés également) desanneaux principaux. Passage à la localisation, (non) -passage à l’extension par une
indéterminée. On exhibe des anneaux principaux, avec leurs inversibles, puis des anneaux non principaux, avec des (contre-) exemples d’idéaux non principaux.
2.1.15Leçon 122-Anneaux principaux et applications - Evaluation-3

P On peut évaluer des polynômes dans plusieurs contextes : l’évaluation de P dans
K[X] en un élément a de K, en plusieurs éléments ai , l’évaluation en un élémentalgébrique sur K, en une matrice (ou un endomorphisme), ou en un matrice localement en un éléments de l’espace. Dans tous les cas, des idéaux principaux apparaissent
naturellement.
2.1.16

Leçon 122-Anneaux principaux et applications - Harmonisation-4

P Voici venu l’instant d’émotion de la convergence des pôles. La théorie des groupesabéliens finis n’est en fait qu’une théorie de la réduction déguisée, et réciproquement.
Cayley et Hamilton ne sont que des pseudos de Lagrange.
2.1.17Leçon 122-Anneaux principaux et applications - Exercices-5

P On commence maintenant dans cette vidéo et la suivante des petits exercices dejury (cad peu techniques, ni prise de tête, juste pour tester les réflexes et surtout lacapacité de discuter avec un jury). Un exercice sur les polynômes qui s’annulent sur
un corps fini, puis un problème d’irréductibilité d’un polynôme à plusieurs variables.
C’est ici l’occasion de travailler sur un anneau principal bien choisi proche de l’anneau
de départ (qui n’est pas principal).
2.1.18Leçon 122-Anneaux principaux et applications - Exercices-6

P Encore deux petits exercices assez rapides à poser et à résoudre dans le cadre desanneaux principaux.
2.1.19Leçon 123 - Corps finis et applications e

P Voici de quoi remplir une belle leçon 123 sur le thème corps finis et applications.
Tout d’abord quelques généralités où on parlera de ce que l’on peut dire a priori sur descorps finis, avant d’attaquer les théorèmes d’existence et d’unicité de ces corps finis.
99

On parlera ensuite des corps finis en algèbre linéaire, dans la réduction, les formes quadratiques, puis, dans la théorie des extensions de corps et des polynômes irréductibles.
2.1.20Leçon 125 - Extension de corps - exemples et applications - 1 e

P On commence par quelques conseils, un 6 minutes, et quelques éléments à placerdans un plan pour cette leçon difficile.
2.1.21Leçon 125 - Extension de corps - exemples et applications - 2 e

P On passe (de façon progressive) aux questions de jury pour cette leçon 125.
2.1.22Leçon 125 - Extension de corps - exemples et applications - 3 e

P La chance ! Lipschitz, qui suit notre chaı̂ne (continûment of course !), est passé l’andernier (si je ne me trompe) sur la leçon, et il nous a envoyé la liste exhaustive desquestions que le jury lui a posé. On fait en a sélectionné les plus intéressantes (il yavait aussi par exemple, comment montre-t-on Steinitz et fallait juste invoquer le nom
sulfureux de Zorn).
2.1.23Leçon 125 - Extension de corps - exemples et applications - 4 e

P Cinq développements, sur la leçon 125 ≪ extensions de corps, exemples et applications ≫, un peu commentés, extraits de Cours d’Algèbre (Perrin), Carnet de Voyage
en Algébrie (Caldero-Peronnier), et Nouvelles histoires hédonistes de groupes et degéométries (Caldero-Germoni)
2.1.24Leçon 126 - Agrégation externe-équations en arithmétique-1 e

P La leçon 126 est une modification de la leçon sur les équations diophantiennes. Mais
avec le nouveau titre ≪ équations en arithmétique ≫ le spectre s’élargit considérablement.
Il est temps de mettre de l’ordre dans nos idées !
2.1.25Leçon 126 - Agrégation externe-équations en arithmétique-2 e

P On tente un plan possible pour cette leçon. Parler tout d’abord, des équations
linéaires, puis quadratiques, et enfin, le rôle des groupes dans les équations de l’arithmétique.
Ce vole traı̂te rapidement (mais y -t-il beaucoup plus à dire ?) du cas linéaire.
2.1.26

Leçon 126 - Agrégation externe-équations en arithmétique-3 e

P On se consacre aux équations quadratiques en arithmétique. En fait, pas toutes,
parce qu’on garde le meilleur pour la fin, c’est-à-dire pour la partie III sur le thèmegroupes et géométries.

100

2.1.27

Leçon 126 - Agrégation externe-équations en arithmétique-5 e

P On regarde ici les problèmes d’équations quadratiques qui peuvent se régler à l’aide
de groupes (comme la loi de réciprocité quadratique, ou le cardinal d’une quadrique).
Enfin, on parle de résultats en vrac, difficile à classer dans cette leçon (théorème deChevalley-Warning, cardinal du cône nilpotent, équation de Fermat à l’ordre n)
2.1.28Leçon 126 - Agrégation externe-questions de jury-6 e

P Quelques équations typiques autour des techniques de base de la leçon (lemmede Gauss, lemme d’Euclide, Bezout, dénombrement de solutions à l’aide de séries
génératrices, existence de solutions par cardinal d’une réunion, passage au quotient,cyclicité de (Z/pZ)∗ ...)
2.1.29Leçon 126 - Agrégation externe-questions de jury-7 e

P Pour finir avec la leçon 126, une question de jury plus difficile (mais authentique !). Il
s’agit d’une équation de Mordell, où il faut balayer le programme. Tout y passe, anneaux
euclidiens, principaux, factoriels, unités de l’anneau, normes, éléments premiers entre
eux... Mais ceci n’est que pretexte à discussion, personne ne s’attend à ce que vous
puissiez résoudre une telle équation, où alors, ça cacherait quelque chose !
2.1.30Leçon 127-Exemples de nombres remarquables-1

P Une nouvelle leçon arrive cette année avec l’éternelle interrogation ≪ peut-on recycler ce que l’on sait déjà avec les anciennes leçons, ou doit-on trouver de nouvelles
idées et de nouvelles références ? ≫ On va voir dans un premier temps que l’on peut
placer des choses à peu de frais, mais il ne faut pas oublier que cette leçon est une
leçon d’exemples et, à ce titre, demande au candidat une grande culture. Dans cettevidéo, nous parlerons de nombres décimaux, de décimales, de nombres algébriques etconstructibles.
2.1.31Leçon 127-Exemples de nombres remarquables-2

P Une nouvelle leçon arrive cette année avec l’éternelle interrogation ≪ peut-on recycler ce que l’on sait déjà avec les anciennes leçons, ou doit-on trouver de nouvelles idéeset de nouvelles références ? ≫ Dans cette vidéo, nous nous concentrerons sur la factorialité au service des équations diophantiennes, et, en particulier, à la décompositionen comme de carrés.
2.1.32Leçon 127-Exemples de nombres remarquables-3

P On attaque la partie ≪ réelle ≫ de la leçon, celle qui la distingue des autres :l’approximation diophantienne. Au programme : fractions continues, suites de Farey etnombres de Pisot.

101

2.1.33
1

Leçon 142 (ou 106) - PGCD et PPCM. Algorithmes et Applications-

P On attaque cette leçon par le début, c’est-à-dire que l’on part de l’acronyme PGCD,
sa signification, et comment les propriétés de l’anneau (toujours intègre) dans lequel on
se trouve (euclidien, principal, factoriel) fournissent l’existence, l’unicité, des propriétésbien naturelles, ainsi que des algorithmes (on verra les algorithmes plus en détails dansune vidéo prochaine) pour les calculer. On continue avec un exercice classique ainsique, par pure curiosité, l’étude d’un anneau sans PGCD, et finalement, on verra queça ne manque pas de piquant.
2.1.342

Leçon 142 (ou 106) - PGCD et PPCM. Algorithmes et Applications-

P On s’intéresse ici à l’identité de Bezout, si intimement liée à la notion de PGCD,
valable uniquement dans un anneau principal. Dans ce premier volet sur cette identité, on va balayer les grands classiques (lien avec le lemme de Gauss, les inversibles
des quotients). On donnera un contre - exemple dans un anneau factoriel (mais non
principal) et deux petites questions de jury.
2.1.353

Leçon 142 (ou 106) - PGCD et PPCM. Algorithmes et Applications-

P On va parler de l’identité de Bezout dans ses applications. Tout d’abord, dansle lemme chinois, elle permet de trouver une expression explicite de l’antécédent, que
ce soit dans le lemme chinois classique où les nombres sont premiers entre eux ou lelemme généralisé. Ensuite, elle permet de voir que le PGCD de polynômes de K[X] est
invariant par extension de corps. Pour finir, en admettant un résultat sur le contenu,
que nous verrons par la suite, on verra une application de l’identité de Bezout dans les
problèmes d’intersection de courbes planes ! On rend alors à Bezout ce qui appartientà Bezout.
2.1.36

Le contenu de Gauss-Leçon 142(106) − 4

P Pour une leçon 142 qui ne manque pas de contenu, optez pour Gauss ! On verra
dans cette courte vidéo les preuves du théorème du contenu de Gauss (sur A[X], A
factoriel), une application aux irréductibles de A[X], et deux exercices de jury.
2.1.37 La formule pgcd (a, b) ppcm (a , b) = ab dans tous ses états-Leçon142 − 5
P La formule pgcd (a, b) ppcm (a , b) = ab n’est plus à présenter. Nous allons en voir
tous les avatars à l’agrégation1022.1.38

Tout sur l’algorithme d’Euclide-Leçon 142-AE (ou 159 − AI) −6

P Voici une présentation de l’algorithme d’Euclide que l’on peut trouver dans Carnetde Voyage en Algébrie. On sait en général trouver un PGCD à l’aide de l’algorithmed’Euclide, et on sait également ≪ remonter à la main ≫ les divisions successives del’algorithme afin d’obtenir une relation de Bezout. Mais doit-on forcément remonter
une par une ces divisions afin de trouver la fameuse identité ? La bonne nouvelle dujour, c’est que l’on a un ascenseur à disposition : une famille de polynômes, appeléspolynômes continuants font le job. Non seulement ils fournissent la relation de Bezout
de façon directe (si on connait ces polynômes une fois pour toutes), mais ils fournissentégalement une bonne borne pour complexité de l’algorithme. Cette borne est atteinte
quand on part de deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci.
2.1.39Invariants du groupe symétrique-142-Pgcd-7

P Celui que je considère comme le plus joli développement sur le PGCD, que l’onpeut trouver dans Carnet de Voyage en Algébrie. Il mélange PGCD, groupes cycliques,groupe symétrique, formes quadratiques réelles... et réduction si on peut placer une
petite application.
2.1.40Leçon 144-Racines d’un polynôme fonctions symétriques élémentaires

P Voici une petite présentation des éléments à mettre (selon affinités) dans une leçon
sur les racines d’un polynôme.
2.1.41 Racines d’un polynôme fonctions symétriques élémentaires 2 (leçon144) eP On continue sur la lecon 144 : racines d’un polynômes. On y propose les fondamentaux de la leçon, quelques petits exercices, et certains développements.
2.1.42Leçon 144- Racines d’un polynôme - Questions de jury e

P Voici 8 questions de jury d’horizons diverses sur la leçon 144- sur les racines d’unpolynôme et fonctions symétriques élémentaires
2.1.43Leçon sur la dimension et le rang (148 ext/110 int) - Partie I.

P La leçon sur dimension et rang est indémodable ! Mais comment mettre de l’ordre
sur de telles notions fondamentales qui sont apparues dès le premier cours d’algèbrelinéaire ? Voici déjà une première partie de plan sur la dimension qui je l’espère vous
permettra de faire le point.

1032.1.44

Leçon sur la dimension et le rang (148ext/110 int) - Partie II.

P En ce début septembre, il est venu le moment de rentrer dans le rang ! Voici une
seconde partie de plan où l’on va répertorier les hauts faits d’armes du rang : la formule
du rang, l’invariance totale par changement de base, son comportement sur corps fini,
sur les passages à la limite pour les espaces de matrices sur R ou C, par extension decorps, et tout ce que cela entraı̂ne dans l’univers de la réduction.
2.1.45Leçon sur la dimension et le rang (148ext/110 int) - Partie III.

P Voici quelques développements de tout niveau sur la leçon 148 pour l’externe et
110 pour l’interne. Avec des thèmes comme dimension et rang, le plus difficile est defaire son choix !
2.1.46

Leçon sur la dimension et le rang (148ext/110 int) - Partie IV.

P Voici quelques questions de jury de niveau raisonnable sur la leçon 148pour l’externe
et 110 pour l’interne.
2.1.47Leçon 149− I-Généralités

P Une leçon est tombée l’an dernier à l’agrégation externe ≪ Valeurs propres - Vecteurs
propres. Calculs exacts et Approchés des éléments propres. Applications. ≫ On va donc
commencer une petite série de vidéos sur le sujet. Pour commencer, voici quelquesgénéralités qui permettent de bien démarrer sur cette leçon.
2.1.48Leçon 149- II-Localisation des valeurs propres

P Atour de cette leçon (un peu) nouvelle à l’agrégation externe ≪ Valeurs propres Vecteurs propres. Calculs exacts et approchés des éléments propres. Applications. ≫ Voici
donc une petite série de vidéos sur le sujet. Pour commencer, voici ce qui semble être
le coeur de la leçon : localiser les valeurs propres, approximer les éléments propres. Au
programme : rayon spectral, suites géométriques de matrices, méthode des puissances(et déflation si affinité), Perron-Frobenius, le tout, suivi de la méthode QR, et, pourquoi
pas, le théorème d’entrelacement de Cauchy.
2.1.49Leçon 149 - III - (Mais sans Elisabeth Borne)

P Autour de la leçon tombée récemment à l’agrégation externe ≪ Valeurs propres - Vecteurs propres. Calculs exacts et approchés des éléments propres. Applications. ≫ Voici
donc une petite série de vidéos sur le sujet. En voici donc quelques applications : Calcul approchés de racines de polynômes (via la matrice compagnon), suites récurrentes
linéaires, allure de courbes solutions d’équations différentielles linéaires dans le planréel, théorème de Kronecker, et bien sûr, une pléthore d’applications en théorie desreprésentations. Nous avons gardé pour une prochaine vidéo le lien entre valeurs propreset conditionnement d’une matrice.
104

2.1.50 Leçon 149− Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou
approchés d’éléments propres.
P Une leçon est tombée l’an dernier à l’agrégation externe ≪ Valeurs propres - Vecteurs propres. Calculs exacts et Approchés des éléments propres. Applications. ≫ On
va donc commencer une petite série de vidéos sur le sujet. On commence par quelquescommentaires au sujet du rapport sur cette leçon.
2.1.51

Actions de groupes sur les espaces de matrices (leçon 150) e

P Une quinzaine de minutes sur la présentation de la leçon Actions de groupes surles espaces de matrices à l’oral d’agrégation externe.
2.1.52Leçon- Formes linéaires, dualité. Exemples et Applications-I e

P Leçon 159 pour l’agrégation externe, 109 pour l’interne. Il s’agit d’une leçon délicateoù les candidats peinent à trouver l’approche pertinente. Voici un 6 minutes et unsession de questions de jury afin de préciser les choses.
2.1.53Développements-Leçons formes linéaires, dualité.

P Leçon 159 pour l’agrégation externe, 109 pour l’interne. Il s’agit d’une leçondélicate où les candidats peinent à trouver l’approche pertinente. Voici une liste dedéveloppements qui correspondent aux attendus.
2.1.54Leçon 161-Distances et isométries d’un espace affine euclidien-1

P La leçon 161 porte sur les isométries et distances en géométrie euclidienne (affine, mais on verra que c’est un pléonasme). On essaie de tailler un choix parmi les
innombrables sujets que l’on pourrait exposer.
On amorce la première partie du plan, que l’on appelle en général... généralités. Une
petite preuve du fait que toute isométrie est affine et une autre sur la réduction des endomorphismes orthogonaux. On parle aussi de la décomposition réduite des isométries
avant d’attaquer le tableau de classification des isométries en dimensions 2 et 3.
On passe maintenant au chapitre II du plan. Une étude de type ≪ groupe et topologie ≫ des isométries, en fait, plus précisément, du groupe orthogonal. On donne lapreuve (classique) que le groupe spécial orthogonal est engendré par des retournements.
2.1.55Leçon 161-Distances et isométries d’un espace affine euclidien-2

P On continue sur l’étude du groupe On , avec, d’une part les sous-groupes finis, qui se
trouvent être, à conjugaison près, les sous-groupes finis de GLn , et enfin l’indispensable
apport de la topologie qui va nous amener à l’homéomorphisme de décomposition
polaire et de la simplicité de SO3 . On clôt le chapitre avec l’apport des corps dansl’étude des isométries en dimension 2 et 3.

105

Nous voici rendu au chapitre III du plan sur l’optimisation des distances. Une affairede goût bien entendu, mais qui nous amènera à des problèmes de compacité, d’extremaliés, calcul différentiel, et vers des problèmes de billards et de lois de la réflexion.
On s’attaque progressivement au problème du billard, en une bande, puis trois bandes,
et on finit par parler du billard elliptique (en finissant par une référence). Dans lesdeux premières situations, on donnera une preuve utilisant la géométrie synthétique,qui utilise les symétries, et une autre avec la géométrie analytique, en utilisant le calcul
différentiel et les extrema liés.
Voici le dernier volet sur la leçon 161. On parle de la distance à un convexe fermé, lepoint de Fermat, la distance d’une matrice au groupe orthogonal... On passe alors à despetites questions de jury dont le but est de tester quelques connaissances, mais surtout
quelques réflexes.
2.1.56 Leçon 171-Formes quadratiques réelles, coniques, exemples et applications
P Cette leçon est considérée comme ≪ facile ≫ pour le jury et ≪ difficile ≫ pour lescandidats. Quel grand écart ! Peut-être le plus grand de toutes les leçons d’algèbre. Au
programme : un 6 minutes, les peaux de bananes classiques, quelques questions de jury
et une liste de développements possibles
2.1.57Leçon 190-Méthodes combinatoires et dénombrement e

P Voici un petit aperçu des différents aspects du dénombrement tel que l’on peutle présenter à une leçon d’agrégation (et que l’on peut les trouver dans les carnets
de voyage !). Tout d’abord, la définition du cardinal, puis trois aspects qui semblent
essentiels à la leçon. I. Les parties d’un ensemble fini, muni de la réunion, de l’intersection... où il intéressant de présenter les différentes applications de la formule ducrible, qui nous permet de déboucher sur des fonctions arithmétiques nommées parleurs lettres grecques. II. Le lemme du berger et la machine a créer du lemme du berger, j’ai nommé les groupes. On aboutit a la notion d’action de groupes, formule desclasses et de Burnside. Enfin, III. la notion de séries génératrices qui débouche souvent(mais pas toujours) sur des problèmes d’analyse.
2.1.58190 - Questions de jury sur le dénombrement e

P Voici trois exercices classiques à l’agrégation qui illustrent trois types de méthodesdéjà racontées sur cette chaı̂ne, c’est-à-dire 1. opération sur les cardinaux-formule ducrible, 2. Actions de groupes et formule des classes, 3. Utilisation des séries génératrices.
1. La décomposition de pq en nombres binomiaux et nombres de Stirling 2. Le cardinal
de l’ensemble des couples de sous-espaces supplémentaires dans un espace Kn , où K
est un corps de cardinal q. 3. Quelle est la dimension du sous-espace de K[X1 ,... , Xn ]de polynômes homogènes de degré d.

106

2.1.59 Leçon 191 AE - Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre engéométrie-1
P
2.1.60 Leçon 191 - Agrégation externe-Exemples d’utilisation de techniquesd’algèbre en géométrie-2 e
P On va parler plus précisément de cette leçon 191, et le bon ménage que constituent
algèbre et géométrie. Dans un premier temps, on parle de l’algèbre linéaire : équations
de variétés, utilisation du déterminant, réduction, application à la décomposition canonique en affine.
2.1.61 Leçon 191 - Agrégation externe-Exemples d’utilisation de techniquesd’algèbre en géométrie-3 e
P Toujours dans le cadre de la leçon 191. Voici que débarquent les formes quadratiques
avec leur lot de coniques, quadriques, cônes d’Apollonius, et j’en passe
2.1.62 Leçon 191 - Agrégation externe-Exemples d’utilisation de techniquesd’algèbre en géométrie-4 e
P On s’intéresse ici aux nombreuses applications des groupes à la géométrie. On
attaque d’abord l’utilisation de sous-groupes particuliers du groupe affine, avec leproblème inverse des milieux. Ensuite, on parle de groupes d’isométries de solides platoniciens, et enfin de la recherche de sous-groupes finis de SO3 .
2.1.63 Leçon 191 - Agrégation externe-Exemples d’utilisation de techniquesd’algèbre en géométrie-5 e
P On insiste ici sur les groupes de transformation. On en donne rapidement le principe : se ramener par action de groupe, et à l’aide d’un invariant de préférence, à une
situation plus simple d’un problème de géométrie, tout en préservant les invariants duproblème. On en donne trois exemple avec comme invariants l’alignement/barycentre,la métrique, et enfin, la cocyclicité.
2.1.64 Leçon 191 - Agrégation externe-Exemples d’utilisation de techniquesd’algèbre en géométrie-6 e
P Voici le dernier volet de cette longue histoire. Il n’y aura ensuite plus qu’à faire son
marché... On termine donc sur les complexes qui rendent plus digestes les similitudes
du plan. Il y a des exemples à foison : théorème de Thébault, théorème de Napoléon,cocyclicité, foyers de l’ellipse de Steiner... Si à la place du plan, on veut travailler dansl’espace réel de dimension 3 ou 4, on se sert du corps de quaternions... Ensuite, on parlepêle-mêle de théorie des représentations, de théorie des corps et de la construction à larègle et au compas, de géométrie finie et de géométrie discrète...
1072.1.65
1

Leçon 307 AI - Exercices avec utilisation de polynômes irréductibles

P
2.1.662

Leçon 307 AI - Exercices avec utilisation de polynômes irréductibles

P
2.1.67Leçon 351 : Exercices avec utilisation de polynômes irréductibles-3

P On utilise l’irréductibilité, dans le cas des polynômes réels cette fois, pour montrer
que tout polynôme P de R[X] à valeurs positives sur R est somme de deux carrés depolynômes réels. Une espèce de ≪ théorème des deux carrés ≫ en mode polynomial.
2.1.68Leçon 351 : Exercice avec utilisation de polynômes irréductibles-4

P Cet exercice fait le lien entre degré de polynômes irréductibles et dimension desous-espace stable. On montre que sur R, un endomorphisme possède toujours un sousespace stable de dimension inférieur ou égal à 2. Ceci est en lien avec le fait qu’unpolynôme irréductible réel est de degré inférieur ou égal à 2.
2.1.69 Leçon 355 : Exercices faisant intervenir des automorphismes orthogonaux
P On fait le point sur les nombreuses propriétés et caractérisations des matrices
orthogonales qui leur permettent d’intervenir en algèbre linéaire (normes euclidiennes,
normes subordonnées, décomposition polaire, décomposition QR, systèmes linéaires,
topologie, actions de groupes, aires et volumes...)2.1.702

Leçon 355 : Exercices faisant intervenir des automorphismes orthogonaux-

P Après avoir vu dans une première vidéo, les propriétés des matrices orthogonales,on présente deux exercices qui mettent, à eux deux, en avant les propriétés annoncées.
2.1.71Leçon 154− Décompositions de matrices e

P On passe en revue toutes les décompositions de matrices à bien connaı̂tre pourun oral d’agrégation (décomposition polaire, Dunford, LU et QR). On en donne àchaque fois, les hypothèses, les résultats, les variantes, les applications et les algorithmes
associés.
Oubli : je n’ai pensé qu’après coup de l’application de la décomposition QR à l’inégalité
d’Hadamard...

108

2.1.72

Question de jury sur ≪ Décomposition de matrices ≫ e

P Un petit exercice de jury permet de tester une mine de petits savoir-faire enréduction !

2.2

Développements (77)2.2.1

Algèbre linéaire

La décomposition LU par Patrick Sam Al Habobi
P Patrick Sam nous présente la décomposition d’une matrice en une matrice triangulaire inférieure unipotente ≪ L ≫ et une matrice triangulaire supérieure ≪ U ≫.
On continue sur des questions de jury. Il manque peut-être la question sur la complexité
de l’algorithme.
Trace et Dualité par Laetitia
P Laetitia nous présente le développement de Carnet de Voyage en Algébrie sur lethème trace et dualité. Chaud les questions ! bravo à elle pour sa super note à l’oral
cette année !
Forme trace et dualitéP
On fait le point sur la forme trace, vue comme une forme bilinéaire symétrique
sur l’espace des matrices carrées. On explique, ici, pourquoi elle est nondégénérée et pourquoi cette propriété est essentielle pour comprendre plus
finement l’algèbre de matrices Mn (K).
2.2.2

Réduction

Le théorème de Kronecker
P
Voici un développement assez classique : la preuve d’un théorème de Kronecker qui décrit les polynômes unitaires à coefficients entiers et dont les
racines sont de module inférieur ou égal à 1. Ici, la preuve est axée sur lamatrice compagnon.
ENS ′ 86 Matrices de Moore (feat. théorème spectral... et la trace)
P Voici un développement que l’on peut trouver dans ≪ 30 développements pourl’agrégation de mathématiques ≫ de Bastien Lartigue. On y trouve de la réduction, duthéorème spectral et de l’arithmétique. Mieux, il possède une très belle interprétationen termes de théorie des graphes que l’on évoquera en épilogue.
109Les tutos de la prépa : méthode de Newton pour la décomposition polaire
par Antoine 1
P Antoine nous propose un développement à cheval sur l’algèbre linéaire et l’analyse :une méthode de Newton pour calculer la décomposition polaire d’une matrice inversibleréelle. A l’aide du théorème spectral, on se ramène au problème analogue en dimension
1, c’est à dire la méthode de Héron, ce qui ne nous rajeunit pas.
Les tutos de la prépa : méthode de Newton pour la décomposition polaire
par Antoine 2
P Le jury (Nicolas et Philippe) posent leurs questions à Antoine autour de sondéveloppement sur la méthode de Newton pour la décomposition polaire.
Le théorème de décomposition de Frobenius par Loı̈c
P Loı̈c nous présente le théorème de décomposition de Frobenius qui nous dit qu’un espace muni d’un endomorphisme se décompose en sous-espace cyclique. Un développement
sur la réduction des endomorphismes qui s’adapte bien à la leçon sur la dualité ainsi
que la leçon sur les sous) espaces stables.
Le corps C est algébriquement clos par Martin
P Martin exécute en 15 minutes chrono la preuve, par la réduction, du théorème ded’Alembert-Gauss (le corps des complexes est algébriquement clos) telle qu’on peut latrouver dans Carnet de Voyage en Algébrie I-3.27. Il s’ensuivra un petite dizaine deminutes de questions de jury sur ce beau développement !
Errata. Noté par loloolaf. Quand il est écrit chiu = P et pareil pour v, il faut plutôt
prendre le polynôme minimal vu les degrés !
L’algorithme de Berlekamp
P On présente le classique algorithme de Berlekamp qui permet de factoriser rapidement un polynôme de Fp [X] en facteurs irréductibles.
mais il est bon de voir les deux. Feat. Stella (la star !)Réduction des automorphismes de Frobenius et de Berlekamp
P On étudie l’automorphisme de Frobenius sous l’angle de la réduction et nous allons caractériser sa classe de similitude. Comme application, on construit un ≪ multiFrobenius ≫, c’est-à-dire un morphisme de Frobenius composante par composante, eton montre comment la réduction de ce morphisme nous permet d’obtenir les degrés descomposantes irréductibles d’un polynôme P de Fp [X].

110Deux exercices sur Berlekamp
P On propose deux polynômes à décomposer ≪ à la main ≫ en facteurs irréductibles
par l’algorithme de Berlekamp. En fait on ne demandera ici que le degré des facteurs
irréductibles.
Exercices sur la décomposition de Frobenius
P Quelques petites questions autour de la décomposition de Frobenius.
Forme de Smith et application (à effet waouh !)P On présente ici la forme (normale) de Smith pour une matrice carrée A à coefficientdans un corps. Il s’agit d’une matrice diagonale portant sur sa diagonale les polynômes
invariants de similitude de A. Après avoir montré l’existence d’une telle forme normaleà partir du théorème de décomposition de Frobenius, on passe à une application ravissante, proposée par stevie4ever dans les commentaires de cette chaı̂ne. Il propose une
preuve alternative d’une preuve donnée sur cette chaı̂ne que le quotient de chiA parmuA est le PGCD des coefficients de la comatrice de XIn − A.
2.2.3

Algèbre linéaire et topologie

Cayley-Hamilton topologique par Raphaël
P Bravo à Raphaël qui vient de decrocher le concours ! Le voici au coeur de sa preparation en trai de présenter le théorème de Cayley-Hamilton dans sa version topologiquede Carnet de Voyage en Algébrie Exercice 3. 42.
Adhérence des matrices diagonalisables réelles
P Voici un développement assez agréable tiré de Carnet de Voyage en Algébrie, où
l’on prouve que l’adhérence des matrices diagonalisables réelles est égal à l’ensemble
des matrices trigonalisables réelles. Dans la foulée, on montre que sur C, l’adhérence
des matrices diagonalisables est l’espace des matrices tout entier.
Homéomorphisme de décomposition polaire (développement)
P Tiphaine nous propose une preuve (issue, par exemple, : -), de Nouvelles histoires hédonistes de groupes et de géométries, chap. VI) de l’homéomorphisme dedécomposition polaire.
L’homéomorphisme de décomposition polaire par RIri
P Une présentation soignée de l’homéomorphisme de décomposition polaire face à unjury à l’affut !
Au passage, on pourra trouver une pléthore d’applications de cette décomposition sur
https://youtu.be/c0othDKgVeY111

Développement sur la décomposition polaire (par Dom)
P Dom nous propose le développement classique sur la décomposition polaire. Il s’ensuit une série de questions impitoyables du jury.
La suite de polygones par Caroline
P Caroline nous présente, avec son flow stylé, le développement sur la suite de polygones du plan complexe (Carnet de Voyage en Algèbrie, 1. 3. 33). Au programme :réduction, convexité, barycentres, et limites de suites de matrices. Qui dit mieux ?
2.2.4

AnalyseLa méthode d’Archimède par Caroline
P Caroline, que l’on félicite pour son super classement à l’interne cette année, propose
la méthode d’Archimède, face à un jury qui ne manque pas de questions. Pour ceux
et celle qui veulent avoir un avant-goût de ce que certains agrégatifs appellent l’enfer
lyonnais :~)Source : le Dantzer
Les nombres de Bell par Séverine
P Séverine nous présente une formule donnant le n-ième nombre de Bell, c’est-à-direle nombre de partitions d’un ensemble de cardinal n, dans sa version analytique. Le
format est celui d’un développement et il s’en suit une petite séance de questions.
Fonction zeta sur les entiers naturels pairs par Caroline
P La fonction zeta associe à s supérieur à 1 la somme des 1/ns . On sait souvent
montrer en licence que l’image de 2 est le fameux pi2 /6. La généralisation de cetteformule aux entiers pairs demande les nombres de Bernoulli, et plus généralement unmélange d’intégration de polynômes de Bernoulli et de décomposition en séries deFourier.
Les tutos de la prépa : le théorème de Bohr-Mollerup par Audrey
P Extrait de Carnet de Voyage en Analystan. On connaı̂t la fonction gamma, essentielle en analyse complexe. Audrey en montre ici une caractérisation par la log convexité
et son équation fonctionnelle f (x+1) = xf (x). Il s’agit du théorème de Bohr-Mollerup.
Audrey en profite des minutes d’arrêt de jeu pour en déduire la formule de duplicationde Legendre.
S’en suivent quelques questions de jury (par Tewfik et Philippe). C’est le moment demontrer qu’on est en mode zéro bluff !

112

Les tutos de la prépa : le théorème de Riesz par Raphaël 1
P Le théorème de Riesz dit que si E est un espace vectoriel normé de dimension
infinie, alors la boule unité de E n’est pas compacte. Voici la preuve de Raphaël dansle plus pur exercice de style du développement à l’oral de l’agrégation.
Les tutos de la prépa : le théorème de Riesz 2
P Après le développement de Raphaël sur le théorème de Riesz, voici le moment desquestions du jury. Cela donne une bonne idée de comment les choses se passent le jourJ.
Développement de la série harmonique
P Le développement de la série harmonique est un bel exercice d’analyse qui peut sefaire par étapes successives. Dans un premier temps, il y a l’apparition de la constanted’Euler, suivie dans un deuxième temps du calcul des premiers termes en 1/n et 1/n2 .
Mais pour obtenir un développement ≪ illimité ≫, il faut passer par les nombres deBernoulli sur lesquels nous ne tarirons pas d’éloges.
Le théorème de Korovkin par Patrick Sam Al Habobi-1
P Le théorème de Korovkin est un théorème d’approximation de fonctions sur uncompact. Il permet de prouver une convergence uniforme d’une certaine famille defonctions à partir de très faibles hypothèses.
Le théorème de Korovkin par Patrick Sam Al Habobi-2
P Questions de jury sur ce développement
Le théorème de Korovkin et son application au théorème de Weierstrass
P Voici un développement (en fait deux développements car il y a deux résultats) quel’on peut trouver tel quel dans Carnet de Voyage en Analystan. Le puissant théorèmede Korovkin et son application au non moins puissant théorème de Weierstrass sur ladensité des polynômes dans l’espace des fonctions continues sur un compact.
Irrationnalité de Pi par Riri
P Dans cet état de calme mental affiché qui le caractérise, Riri nous présente une
preuve de l’irrationnalité de Pi, que l’on peut trouver dans Carnet de Voyage en Analystan. Et, tout en s’élevant (par l’absurde) au-dessus de la hâte des hommes, il tient
tout de même le pari d’exécuter ce développement en moins de 15 minutes !

113

Méthode de quasi-Newton par Patrick Sam Al Habobi-1
P Dans le format d’un développement à l’oral de l’agrégation, Patrick Sam Al Habobi nous propose une méthode de quasi-Newton pour inverser une matrice réelle. Au
programme : suites de matrices, méthode de Newton, théorème spectral et normes
subordonnées. Référence : Carnet de voyage en Analystan.
Méthode de quasi-Newton par Patrick Sam Al Habobi-2
P Dans le format d’un développement à l’oral de l’agrégation, Patrick Sam Al Habobi
nous propose une méthode de quasi-Newton pour inverser une matrice réelle. On aborde
ici la séance de questions sur le développement.
Les tutos de la prépa. L’ équation différentielle X ′ = AX1/2
P Avant d’attaquer le problème de l’allure et la stabilité des solutions des équations
différentielles de type X ′ = AX, il est bon de faire quelques préliminaires et de passerà la loupe les outils usuels qu’exige la situation.
Les tutos de la prépa. L’ équation différentielle X ′ = AX2/2
P On donne une autre approche pour l’allure des courbes dans R2 solutions del’équation différentielle X ′ = AX. Cette approche passe par une classification plus
grossière que celle des classes de similitude (on s’autorise à multiplier par un scalaire
non nul).
Courbes solution du système d’équations différentielles X ′ = AX dans leplan réel par Aurélien
P Aurélien présente un développement pour l’agrégation interne (ou externe). Il s’agit
de classer toutes les situations possibles pour les courbes solutions de l’équation X ′ =AX où A est une matrice réelle de taille 2. Il en suit quelques questions de jury.
Méthode des puissances par Patrick (développement et questions de jury)
P Patrick Sam Al Habobi nous présente, sous le format de développement à l’agrégation(interne ou externe), la méthode des puissances pour l’approximation de valeurs propresd’une matrice symétrique réelle. On peut trouver ce développement dans une version
récente de Carnet de Voyage en Analystan (publié chez l’IREM Lyon).
On continue avec une série de questions de jury
Une typo toutefois dans la récurrence, il faut lire xn+1 = Syn au lieu de xn = Syn .
Noyau de Fejér par Florence
P Florence propose de nous parler du noyau de Fejér dans le cadre de la convergencedes séries de Fourier. Il suivra de ce développement une petite séance de questions.
114

Preuve analytique de Cayley-Hamilton par Pat-Sam
P Patrick Sam revient sur la chaı̂ne pour une preuve de Cayley Hamilton par le calcul
d’intégrales !
Une preuve analytique du théorème de Cayley-Hamilton
P Voici une preuve analytique du théorème de Cayley-Hamilton sur le corps descomplexes. Elle est toutefois montrée de manière élémentaire pour pouvoir en faire
profiter à la fois à ceux qui ne connaissent pas la théorie de fonction holomorphes, età ceux qui la connaissent et qui sauront en trouver des raccourcis. On passe par un
jolie formule de résidus matriciels qui permet de définir, en général, l’analogue matriciel
d’une fonction (analytique) complexe.
Entrelacement des solutions d’équations différentielles par Caroline
P Et oui, les mathématiques peuvent aussi exprimer de la tendresse avec l’entrelacement de solutions d’équations différentielles. C’est Caroline, fraı̂chement agrégée, qui
va nous le montrer au cours d’un développement que l’on peut trouver dans ≪ Carnetde Voyage en Analystan ≫ exercice 69 (version Calvage et Mounet)
Les nombres de Bell par Radia
P Radia présente les nombres de Bell selon Carnet de Voyage en Analystan Exercice
37. NE changez rien aux réglages, on est bien en vitesse réelle !
Noyaux reproduisants et espace de Bergman par Guillaume
P Guillaume propose un développement original pour l’agrégation : les espaces deBergman dans le cadre des espaces de Hilbert à noyau reproduisant. Dans un premier
temps, il installe la théorie avec ses définitions, ses exemples, ses propriétés et ses
caractérisations, avant de passer à l’exemple de l’espace de Bergman. Au programme,
espaces de Hilbert, théorème de Riesz, fonctions holomorphes...
Références : Pour la première partie de la vidéo sur les noyaux reproduisants, il suitun exercice du livre ≪ Eléments d’analyse fonctionnelle ≫ de Hirsch et Lacombe. Pourl’espace de Bergman, c’est inspiré du livre ≪ Espaces de Hilbert et opérateurs ≫ deBayen et Margaria
2.2.5

Arithmétique

Critère d’Eisenstein par Laetitia
P Laetitia nous présente le critère d’Eisenstein. Maintenant qu elle vient d obtenir l’agrégation avec une belle prestation à l’oral, on peut dévoiler les coulisses de la
preparation.

115

Coprimalité, Moebius et Zêta par Arthur
P Arthur et sa craie Excalibur viennent nous présenter un développement transversal
sur les thèmes, dénombrement, arithmétique et probabilités. On montre que si l’on
choisit au hasard deux nombres de 1 à n, la probabilité pour qu’ils soient premiers
entre eux tend vers 6/pi2 . Source : carnet de voyage en Analystan.
Errata : a 13:02 , dans la preuve du point 2 il faudrait remplacer la somme de d allant
de 2 à n en une somme ou l’ensemble des diviseurs de d est dans Pn , avec d differentde 1.
Le critère d’Eisenstein (et applications) par MarieP Marie nous présente ici le critère d’Eisenstein, en insistant sur le contenu de Gauss.
Elle termine sur une application que l’on peut trouver avec bonheur dans carnet devoyage en Algébrie : -)Théorème de progression arithmétique de Dirichlet (version faible)
P Pour tout entier n strictement positif, on montre qu’il existe un nombre infini denombres premiers congrus à 1 modulo n. On suit une preuve que l’on peut trouver dansCarnet de Voyage en Algébrie.
Résoudre un système de congruence par Caroline
P Système de congruences tel qu’il est fait dans Carnet de Voyage en Algébrie, Exercice
4. 2. 8. Attention, on n’est pas dans la situation ≪ premiers entre eux ≫.
Théorème de Sophie Germain par Julien
P Julien le sérénissime nous présente ici le théorème de Sophie Germain sur l’équation
de Fermat. J’ai tout essayé pour le démonter au moment de la séance de questions...
rien n’y a fait !
Le test de primalité de Lucas-Lehmer
P On introduit la suite Ln de Lucas-Lehmer et on montre que le nombre de Mersenne
Mp est premier si et seulement si Mp divise Lp−2 . On en donne une preuve qui utilise
la loi de réciprocité quadratique et une variante sans son utilisation. Dans les deux cas
cela nous fera un bon développement pour l’agrégation externe.
Lemme de Zolotarev- 2 est-il un carré modulo p ?
P Le lemme de Zolotarev crée un lien entre le symbole de Legendre de a modulo p etla signature de la multiplication par a. Voici une brêche entre arithmétique et groupes
de permutation !

116

2.2.6

Groupes

Les Tutos de la Prépa- le groupe du tétraèdre par Rozenn
P Un beau développement sur le groupe du tétraèdre (Carnet de Voyage en Algébrie)
parfaitement exécuté par Rozenn. Il s’en suit quelques questions classiques de jury.
SO (3) est simple, par Benjamin
P Voici une méthode topologique, voir Carnet de Voyage en Algébrie 3. 5. 6, pourmontrer que le groupe spécial orthogonal SO (3) est un groupe simple. L’exposé est
donné par Benjamin en format ≪ développement à l’agreg ≫ (15 minutes ou peu s’enfaut)
Questions de jury, à brule pourpoint.
Le groupe SO2 (Fp ) par Clément
P Clément nous présente un groupe orthogonal fini : le groupe des matrices orthogonales sur le corps fini Fp tel qu’on peut le retrouver dans Carnet de Voyage en Algébrie.
On montre que ce groupe est cyclique, ce qui n’est finalement pas si étonnant pour un
cercle, même sur un corps fini !
Nombre de solutions d’une équation dans un groupe fini et table de caractères-1
P
Luca propose le développement de Nouvelle Histoires Hédonistes de Groupes etGéométries Tome 2, Chap. XIV-A.14. Soit G un groupe fini, on veut trouver,à l’aide de la table de caractères de G, le nombre de solutions d’une équation
dans Gk , où l’on impose les gi dans des classes de conjugaison fixées.
Nombre de solutions d’une équation dans un groupe fini et table de caractères-2
P Luca propose le développement de Nouvelle Histoires Hédonistes de Groupes etGéométries Tome 2, Chap. XIV − A. 14. Soit G un groupe fini, on veut trouver, à
l’aide de la table de caractères de G, le nombre de solutions d’une équation dans Gk ,où l’on impose les gi dans des classes de conjugaison fixées.
Agrégation externe : Action de Steinitz sur les espaces de matrices
P Un développement de Tiphaine (agrégative) sur l’action de Steinitz sur les matrices,
et dont les orbites sont classifiées par le rang. Lorsque l’on est sur R ou C, on peutcomprendre les adhérences d’orbites pour cette action.

117

p-Sylow en situation géométrique e
P Nous partirons de cette constatation que les théorèmes de Sylow rappellent lesthéorèmes fondamentaux de la géométrie vectorielle (ou affine, euclidienne, etc) qui
disent finalement que l’on a des systèmes maximaux standards (les bases, les repères,les bases orthonormées, etc), que ces systèmes maximaux sont reliés par un groupe (legroupe des automorphismes GLn qui agit transitivement sur les bases) et que toute
sous-partie peut s’injecter dans un système maximal standard. On montrera ici que lesp-Sylow de GLn (Fp ) sont en bijection avec les drapeaux complets de Fnp .
Le collier de perle (version Kétrane)
P Sam Patrick Al Habobi nous présente la version du collier de perles du Kétrane.
On compte un nombre de colliers de perles modulo l’action du groupe diédral, avec unnombre fixé de perles de couleurs données. S’en suivent les questions de jury.
Sous-groupes de R. L’alternative dense/monogène par Caroline
P Un théorème essentiel pour l’approximation des nombres réels que nous présente
Caroline, sous forme de développement à l’agrégation. Il est tiré de Carnet de Voyage
en Algébrie.
S’en suivent la série de question de jury...
Volumes et décomposition polaire
P Un petit développement pour l’utilisation de la décomposition polaire, cette fois-ci
appliquée à la préservation des volumes. On refait ici la preuve de l’existence de la
décomposition polaire pour une matrice (inversible ou pas).
2.2.7

Géométrie

Condition de cocyclicité de quatre points par Caroline
P Voici un critère de cocyclicité de quatre points A, B, C, D : l’existence d’unquadruplet de réels non tous nuls a, b, c, d tels que pour tout point M , aAM 2 +bBM 2 + cCM 2 + dDM 2 = 0
Ellipsoı̈de de John-Loewner
P Myriam nous présente l’ellipsoı̈de de John-Loewner. Un développement des plustransversaux, mais attention aux épines !
Une méthode express (et expresse) pour les isométries du cube
P Une méthode classique pour comprendre le groupe des isométries du cube passe
par son action sur ses quatre grandes diagonales. Ici, nous proposons une méthode118

qui consiste à passer par son action sur ses trois axes de symétrie. Cela a l’avantage
d’obtenir de jolies matrices orthogonales. On donne la preuve dans un premier temps,
puis, dans un épilogue, on voit comment récupérer des matrices pour l’hypercube etpour le tétraèdre.
Ellipse de Steiner par Caroline
P Caroline revient nous présenter l’existence et l’unicité de l’ellipse de Steiner d’un
triangle. S’en suit une petite séance de questions.
Optimiser l’aire d’un triangle inscrit dans deux cercles tangentsP Sam nous présente un petit développement qui mêle savamment, cercles, triangles,géométrie, calcul différentiel, trigonométrie et topologie... Référence : le Karmati
Groupe orthogonal, points extrémaux et enveloppe convexe
P Deux développements en une seule vidéo ! D’une part, on montre que l’enveloppe
convexe de On est la boule unité B pour la norme subordonnée à la norme quadratiquede Rn . Et inversement, on prouve que l’on retrouve On comme l’ensemble des points
extrémaux de la boule B.
Points remarquables du triangle et barycentres
P Un exercice incontournable dans la leçon des barycentres est celui qui consiste àréaliser les points remarquables d’un triangle par ses coordonnées barycentriques. En
voici un exposé qui fait à peu près le tour de la question.
Construction à la règle et au compas du p-gone régulier par Loris
P Loris nous présente le développement complet sur la construction à la règle etau compas du p-gone régulier. Le développement est tout de même à réduire tout demême (on en parlera dans une seconde vidéo). On montre que le p-gone régulier est
constructible si et seulement si p = 2 ou si p est un premier de Fermat, c’est à direnp = 22 + 1 (+p premier, ce qui n’est pas gagné).
Questions de jury-Règle et compas+ version galoisienne e
P A la suite du développement de Loris concernant la construction du p-gone régulierà la règle et au compas, on pose quelques questions de jury dont, en particulier, cellede la construction du n-gone régulier. A la suite de quoi, on proposera une version deGauss-Wanzl pour ceux qui connaissent un peu la théorie de Galois.

1192.2.8Polynômes

Le théorème de Gauss-Lucas et application par Séverine
P Un développement tiré de Carnet de Voyage en Algébrie (seconde édition). Le
théorème de Gauss-Lucas affirme que si P est un polynôme complexe de degré supérieurà 2, alors les affixes des racines du polynôme dérivé P ′ sont dans l’enveloppe convexe
des affixes des racines de P . Comme application, elle montre que si P ′′ divise P alorsles racines de P sont toutes alignées.
Théorème de Gauss-Lucas et application- par Patrick Sam Al Habobi
P Le théorème de Gauss-Lucas stipule que les affixes des racines de la dérivée d’unpolynôme complexe (non constant) se situent dans l’enveloppe convexe des affixes desracines du polynôme. On va en déduire que si la dérivée seconde de P divise P , alors
toutes les racines de P sont alignées.
Théorème de Gauss-Lucas et application-2
P La séance de questions de jury ! Séance qui pourra en éclairer quelques uns sur laconvexité.
2.2.9

Probabilités

Probabilité pour que deux éléments commutent dans un groupe fini
P On cherche à exprimer la probabilité pG que deux éléments tirés indépendamment
dans un groupe fini G, de façon équiprobable, commutent entre eux. On va voir que si G
est non abélien (ie pG différent de 1), alors pG ne peut pas dépasser 5/8, borne atteinte,
par exemple, pour le groupe diédral et le groupe quaternionique. Mais on trouvera une
formule particulièrement simple pour pG mettant en relation l’ordre de G et le nombre
de classes de conjugaison. Cet exercice figure dans Carnet de Voyage en Analystan.
Probabilité pour que deux matrices commutent dans GL2 (K)P On vient de voir dans une vidéo précédente une formule simple qui relie ordre dugroupe fini G, nombre de classes de conjugaison, et probabilité pour que deux éléments
commutent dans G. On va donner une illustration de cette formule quand G est legroupe GL2 sur un corps fini, ce qui va nous permettre d’utiliser nos connaissances surla réduction !
Probabilité pour que deux matrices commutent dans GLn (K)P On vient de calculer la probabilité pour que deux matrices de GL2 (K) commutent
sur un corps fini K. La généralisation de ce résultat à GLn (K) demande un peu plus desavoir et de savoir-faire. De savoir tout d’abord, avec le théorème de décomposition de
Frobenius qui va trouver son objectif plein-emploi dans cette vidéo, et de savoir-faire120

avec des techniques classiques (mais manifestement souvent ignorées des étudiants àl’agrégation) de séries génératrices.
2.2.10Formes quadratiques

Le critère de Sylvester par Geneviève
P Geneviève nous propose un joli développement sur le critère de Sylvester, exécuté entemps réel (Si-si !). Il s’en suit une séance de questions autour des formes quadratiquesréelles. Sources : Carnet de Voyage en Algébrie, p. 115
Critère de diagonalisabilité de Klarès par Florence
P Un joli critère dans un format de développement pour montrer qu’une matrice sur
C est diagonalisable sur une condition qui porte sur son commutant. Et bien sûr à lasuite, la séance de questions de jury.
Diagonalisabilité : le critère de Klarès
P Une preuve ravissante qui peut fournir un développement agréable dans le cadred’une leçon sur la réduction ou sur les formes quadratiques. On peut le trouver dans lechapitre II de Carnet de Voyage en Algébrie.
L’ellipsoı̈de de John Loewner par Radia
P Radia nous présente ici l’ellipsoı̈de de John et Loewner. Un développement richedans la diversité de ses thèmes abordés (formes quadratiques, inégalité de Minkowski,
volumes, théorème spectral, convexité...) et en corollaires (en particulier, la caractérisation
des sous-groupes compacts maximaux de GLn (R)). On finit sur une conversation où
Radia nous parle de sa passion des mathématiques.
Petit errata. Radia parle de forme quadratique en écrivant une norme à 5′ 50 et 11′ 46.
il faudrait élever au carré pour que ce soit vraiment une forme quadratique

2.3

Questions d’oral (27)2.3.1

Question de jury sur la leçon 106− Groupe linéaires-Sous-groupes

P Voici une petite série de questions successives de jury qui passe en revue un bon
nombre de points (pas tous évidemment, ce serait trop beau) dans cette leçon 106 sur legroupe linéaire et ses sous-groupes. On passe en revue, le groupe spécial linéaire, le sousgroupe des homothéties, les groupes à un paramètres, les problèmes d’engendrement etmême les isomorphismes exceptionnels.

1212.3.2

Questions de jury sur le thème racines de l’unitéP Voici trois questions de jury sur la leçon 102 où l’on doit parler de racines del’unité. Trois choses fondamentales sous-jacentes à ces questions. 1) L’utilisation del’irréductibilité des polynômes cyclotomiques P hin sur Q et leur degré phi (n). 2) Le
fait que phi (n) tend vers l’infini avec n. 3) le fait que pour étudier l’intersection de deux
extensions, il est important de connaı̂tre le corps engendré par ces deux extensions.
2.3.3

Question de jury- Leçon PGCD ou rang-dimension

P Un exercice posé au jury de l’interne cette année. Il s’agit de tirer des informations
sur le pgcd de deux polynômes caractéristiques des matrices A et B à partir d’unematrice C de rang r qui vérifie AC = CB. Un futur classique ?
2.3.4

Question de jury sur le thème distances ou extrema

P On trouve en algèbre comme en analyse, à l’inter comme à l’externe des leçons surles distances ou sur les extrema. Voici une question de jury récemment entendue etrapportée par le sympathique Nicolas !
2.3.5

Questions de jury autour du rang en algèbre linéaire

P Tout d’abord : deux questions de jury classiques au cours d’une leçon d’agrégation
sur le rang. Une, sur la diagonalisabilité, et l’autre (plutôt esprit agrégation externequ’interne) sur la stabilité du polynôme minimal par extension. Mais à la fin, unerencontre du troisième type : -) !
Dans un deuxième temps, quelques questions classiques sur les propriétés topologiques
du rang
Et pour finir, une dernière question de jury autour des propriétés du rang, mais cettefois-ci le rang concerne les formes quadratiques sur un corps fini !
2.3.6

Exercice de jury sur les actions de groupes

P Un petit exercice de jury est le bon réflexe est de dire pour commencer... ≪ j’ai
envie d’utiliser les actions de groupes ≫.
2.3.7

Question d’oral à l’agreg externe (Anneaux et corps) −1

P Quelques questions de jury de plus sur les anneaux et les corps. Au programme, extension, degré, polynôme minimal, factorialité, PGCD-PPCM, polynômes symétriquesélémentaires, polynômes cyclotomiques modulo p...
2.3.8

Question d’oral à l’agreg externe (Anneaux et corps) -1bis

P L’injection du groupe GLn (F2p ) dans GL2n (Fp ) est totalement naturelle et pourtantelle a été assez mal comprise, si j’en crois les retours de ceux qui ont visionné la vidéo122

1. J’essaie d’expliquer que tout repose ici sur ≪ l’oubli ≫ que F2p est un corps, en seconcentrant uniquement sur sa structure de Fp -espace. C’est peut-être dans ce lâcher
prise que réside toute la difficulté...
2.3.9

Question d’oral à l’agreg externe (Anneaux et corps) −2

P Ici, il sera question de polynômes annulateurs d’un entier algébrique, irréductibilité,et donc critères par le degré d’une extension, et surtout le théorème de la base télescopique.
On verra comment le phénomène d’unicité d’une extension de degré fixé dans le mondedes corps finis, fait que le polynôme irréductible trouvé sur Z se décompose modulo
p pour tout p. On passera ensuite en revue les corps algébriquement clos à connaı̂tre
pour l’oral.
2.3.10

Question d’oral à l’AE (Anneaux et corps) -3

P
Un dernier pour la route (de l’oral). Des polynômes cyclotomiques, la limite dela fonction indicatrice d’Euler, un lemme de Gauss pour les extensions decorps et son application au maintien de l’irréductibilité d’un polynôme parextension.
2.3.11

Question d’oral à l’agreg externe (Réciprocité quadratique) −1

P Toujours dans la série des questions de jury. Quelles sont les thèmes développés
autour de la réciprocité quadratique ?
2.3.12

Question d’oral à l’agreg externe (Réciprocité quadratique) −2

P On regarde plus particulièrement le développement de la loi de réciprocité quadratique par les formes quadratiques (il faut rendre à César ce qui appartient à César).
On le regarde dans ses petits détails que pourraient questionner un jury, et dans ses
extensions.
2.3.13

Question d’oral à l’agreg externe (Groupes finis) −1

P On va s’intéresser aux petites questions de jury autour des groupes finis. Dans ce
premier volet, on s’intéresse particulièrement aux groupes abéliens finis, et leur rapport,
via le théorème de structure, à l’arithmétique des nombres. En suite, toujours lié authéorème de structure, l’omniprésence des groupes cycliques nous entraı̂ne vers l’étude
des homomorphismes entre Z/nZ et Z/mZ. C’est un véritable exercice de synthèse où
se mêlent une pléthore de techniques à bien connaı̂tre sur les groupes (annulateurs,réciproque de Lagrange dans le cas cyclique, passage au quotient).

1232.3.14

Question d’oral à l’agreg externe (Groupes finis) −2

P Cette fois-ci on se concentre sur les actions de groupes (finis) sur des ensembles finis,
qui donnent lieu à des propriétés arithmétiques (divisibilité) prêtes à être exploitées.
On travaille en particulier sur les p-groupes et les p-Sylow.
2.3.15

Question d’oral à l’agreg externe (Groupes finis) −3

P Ici, on s’intéresse à des petits problèmes de commutation dans le groupe des permutations. Ils se règlent en général à coup de ≪ formule de conjugaison ≫. On traite
aussi de la question de l’étude de S4 et ses p-Sylow.
2.3.16

Question d’oral à l’agreg externe (Groupes finis) −4

P On mélange les plaisirs avec des exercices transversaux demandant des techniquesde groupes finis (Lagrange, formule des classes...) et réduction (trigonalisation, diagonalisation, matrices compagnon, polynômes d’endomorphismes...). Bref, on étudiecertains sous-groupes de GLn (Fp ).
2.3.17

Question d’oral à l’agreg externe (Algèbre linéaire) −1

P On donne des petits exemples de questions de jury en insistant sur la façon dont
ces questions peuvent être présentées. On est partis sur une série sur le thème (ouvert
dense) de l’algèbre linéaire.
2.3.18

Question d’oral à l’agreg externe (Algèbre linéaire) −2

P On regarde de plus près les propriétés de la comatrice. Tout d’abord, on va aller
plus dans le cas particulier de la matrice carré A de rang n − 1. On sait que com (A)est de rang 1, mais comment caractériser les coefficients de proportionnalité dans lacomatrice ? Ensuite, nous discutons de petits problèmes afférents : trouver det (com(A)), com (com (A)), résoudre com (A) = A. A chaque fois, face au jury, l’abordage duproblème par les cas extrémaux (A nulle, A inversible) est un bon moyen de négociation.
2.3.19

Question d’oral à l’agreg externe (Algèbre linéaire) −3

P Quelques questions de jury pour tester des réflexes sur les problèmes de dimensions
d’espaces vectoriels.
2.3.20

Question d’oral à l’agreg externe (Algèbre linéaire) −4

P Voici une petite liste d’exercices pour s’entraı̂ner sur la dualité. Il faut arriver danscette leçon avec une solide notion du rôle de l’orthogonalité dans les transformations
d’un problème vers un ≪ problème dual ≫, une fois sur deux, plus facile à résoudre.

124

2.3.21

Question d’oral à l’agreg externe (Algèbre linéaire) −5

P On pose des petits exercices sur les endomorphismes diagonalisables en insistant
sur une panoplie de réflexes à avoir. Parfois les problèmes de multiplicités algébriques
et géométriques peuvent aider, mais ce sont surtout l’aide des polynômes d’endomorphismes qui va nous sauver dans des situations difficiles.
2.3.22

Question d’oral à l’agreg externe (Algèbre linéaire) −6

P On continue sur le thème de petits exercices de jury sur les matrices diagonalisables
en lien avec le critère du polynôme annulateur scindé simple. Précision utile à l’attentiond’El Perforateur (merci à lui !), mais aussi pour les autres : dans la preuve où on veutmontrer que M diagonalisable implique A nul, on prend mu (polynôme minimal de Mforcément scindé simple), alors, Xmu et Xmu′ annulent A. Donc X (pgcd des deux)
annule A et A est nul.
2.3.23

Question d’oral à l’agreg externe (Algèbre linéaire) −7

P Voici des petites questions de jury autour du thème ≪ réduction et topologie ≫.
Beaucoup de choses s’articulent autour du fait que l’application qui, à une matricecarrées complexe A, associe son polynôme caractéristique, est continue. La densité desmatrices diagonalisables (en complexe !) est un incontournable du genre.
2.3.24

Question d’oral à l’agreg externe (Algèbre linéaire) −8

P On continue sur les petites techniques de topologie en réduction. On commence avec
les deux contre - exemples clef à bien connaı̂tre et ce qu’ils impliquent topologiquement.
Ensuite, on disserte sur ce schéma classique qui consiste à étudier un problème lié à laréduction : 1. sur C, 2. sur ses matrices diagonales, 3. sur ses matrices diagonalisables
et enfin, sur Mn (C) tout entier.
2.3.25

Question d’oral à l’agreg externe (Algèbre linéaire) −9

P Au programme du jour : les matrices nilpotentes. Il y sera abordé les aspects≪ invariants de similitude ≫, topologie, dénombrement sur corps fini, critères par lesdrapeaux, et cotrigonalisation.
2.3.26

Question d’oral à l’agreg externe (Algèbre linéaire) −10

P Dans cette dernière vidéo en algèbre linéaire, on se prépare à une question emblématiquede la leçon sur les sous-espaces stables (réputée difficile). Pour cela, on observe comment le lemme des noyaux peut nous aider, à l’aide d’une propriété (et on n’insistera
jamais assez sur le caractère exceptionnel de la distributivité) du lemme des noyaux, etde deux situations extrêmes sur les sous-espaces stables d’endomorphismes nilpotents.

1252.3.27

Question d’oral à l’agreg externe (arithmétique)

P Deux petits exercices étonnants autour d’une leçon sur les anneaux factoriels. Un
qui illustre une application de l’anneau factoriel Z[i], et l’autre, plus simple est un
application du critère d’irréductibilité d’Eisenstein.

3

Divertissements mathématiques (133)

3.1

Arithmétique

3.1.1

Exercice coup de coeur sur une suite récurrente linéaire

P Une suite qui part de 2023 et qui peut nous occuper toute l’année ! si on en croit
le résultat final. Un exercice coup de coeur très progressif proposé par Pascal Corm,qui utilise des techniques de collège dans un premier temps, puis, de licence, et enfin,
de master puisqu’il nous emmènera dans le monde merveilleux des corps finis où toutélément non nul est une racine de l’unité. Merci Lagrange !
3.1.2

Equation diophantienne aux Olympiades

P Une petite équation diophantienne astucieuse qui demande juste un niveau ≪ terminale option maths ≫ mais surtout beaucoup d’amour et de passion...
3.1.3

Equation diophantienne, estivale... et cyclotomique

P Une petite équation diophantienne proposée par notre collègue Bodo Lass. Elle
pourra nous apprendre à mieux comprendre les diviseurs premiers des polynômes cyclotomiques ainsi que leur utilisation.
PS : C’est la deuxième fois que je poste cette vidéo mais la première version comportait
de grossières erreurs de montage ! ! ! Shame on me !
3.1.4

Un petit exercice d’arithmétique (équation diophantienne)

P Un tout petit exercice d’arithmétique que m’a proposé mon ami Rached Mneimné
sur la somme des carrés d’entiers consécutifs.
3.1.5

Un problème de décimales aux Olympiades

P Un problème rentré dans les annales des olympiades, et proposé par notre ami
Antoine avec sa solution arithmétique pleine d’élégance.

1263.1.6

Cinq fois cinq vingt-cinq ou les rimes dans la table de multiplication

P Cinq fois cinq vingt-cinq, six fois six trente-six mais sept fois sept ne font pas
quarante-sept. Comment ça a pu partir comme ça en cacahuète ? En partant de la poésie
des tables de multiplications de notre enfance, on arrive à la résolution de l’équation
x2 = x modulo 10k , en passant par le lemme chinois, l’indicatrice d’Euler, pour finir
par des projecteurs de Z/nZ.
3.1.7

Nombres premiers et carrés consécutifs (on répond aux auditeurs !)P A la suite de la vidéohttps://youtu.be/e2yjFyDE1No
Arthur Meyer s’est interrogé dans un commentaire sur l’existence de nombres premiers
p tels qu’il existe suffisamment de carrés consécutifs modulo p. Voici un petit exercice
corrigé qui répond à la question, parce que c’est tellement rare d’avoir réponse à unequestion que c’est un plaisir de la donner ! : -)sur la musique de (the answer my friend is) Blowing in the wind
3.1.8

Nombre de carrés consécutifs modulo p par Polya et Vinogradov

P L’inégalité de Polya-Vinogradov permet de donner une borne au nombre de carrés
consécutifs dans le groupe Z/pZ∗ . Au programme : somme de Gauss et plus généralement
anlayse de Fourier discrète (que l’on pourrait appeler ≪ algèbre de Fourier ≫ !)3.1.9

Cinq preuves coup de coeur pour une infinité de nombres premiers !

P On propose 5 preuves, toutes d’horizons totalement différents, pour l’infinitude del’ensemble des nombres premiers (et la bravitude de leurs auteurs !)3.1.10Devinez la caractéristique du corps !

P Un petit exercice taquin pour occuper nos méninges ! Soit ai , i de 1 à 27 des éléments
non nuls d’un corps K. On suppose que la suite bi , des sommes des aj pour j différent
de i, est une permutation des ai . On doit montrer que cela n’est possible (et que çal’est effectivement) pour certaines caractéristiques de K.
3.1.11

Le p-adique (ses merveilleuses applications)

P L’ épreuve 1 de l’agrégation interne 2023 nous invite (maladroitement, certes) à nousintéresser aux entiers p-adiques. Nous allons introduire de façon pietonne les entiers et
les nombres p-adiques, ainsi que de merveilleuses applications (empruntée à un article
de Bruno Winckler) qui nous convaincrons que la théorie est indispensable.

1273.1.12dDernières décimales de n10 (aux olympiades ou plus si affinités)

P Un petit exercice d’olympiades en arithmétique. Au programme : congruence, indicatrice d’Euler, groupe des inversibles de l’anneau (Z/nZ)∗
3.1.13 Minoration de la fonction pi de comptage des nombres premiers(Capes 2008)
P Le problème de CAPES 2008 nous a concocté une belle surprise. Un problème
astucieux où une méthode d’approche de la fonction pi(x) du cardinal de l’ensemble
des nombres premiers inférieurs à x est proposée à l’aide de la simple fonction bêta.
Bref, un bagage de terminale avec juste dans la boı̂te à outils intégration sur un segmentet théorème fondamental de l’arithmétique, mais un résultat respectable !
3.1.14 Majoration de la fonction pi de comptage des nombres premiers(Capes 2008)
P Après avoir minoré la fonction pi de comptage des nombres premiers, voici venu lemoment de la majorer. Cela fait au final un joli problème de CAPES où l’on voit qu’on
obtient un encadrement de la fonction pi à peu de frais.
3.1.15

Entiers consécutifs avec/sans facteurs carrés ?

P Tout est dans le titre. Peut-on trouver des suites d’entiers consécutifs (avec/sans)facteurs carrés aussi longues que l’on veut.
3.1.16

Doctor Fibonacci, I presume ?

P Un petit exercice, proposé par notre ami Denis Roussillat, sur les suites récurrentes
de niveau terminale pré-Blanquer, et qui constituera une excellente alternative au Sudoku des plages.
3.1.17

Une (petite) identité de Ramanujan

P On montre une identité arithmétique due à Ramanujan. Cette identité peut constituer un bel exercice sur l’indicatrice d Euler, ou sur les racines de l’unité.
3.1.18Théorème de progression arithmétique : une preuve en 10 minutes ?

P Après avoir donné tout récemment la preuve de Serre pour le théorème de progression arithmétique de Dirichlet, il n’est peut-être pas inutile d’en faire un résumé
succinct afin d’en dégager les points forts.

128

3.1.19

Un tour de magie (avec des nombres binaires !)P Nous recevons la visite de notre ami Antoine qui nous propose un tour de magie
avec les nombres binaires.
3.1.20Le théorème de meilleure approximation rationnelle

P On présente le théorème de meilleure approximation d’un réel par une fraction
rationnelle. Pour le résumer, on pourrait dire que la ≪ rentabilité ≫ de l’approximationd’un réel a, par une fraction rationnelle p/q, est le rapport entre a − p/q (en valeur
absolue) et (1/q 2 ). Legendre a montré en 1798 que si cette rentabilité est strictement
plus petit que 1/2, alors p/q est un terme de la suite de fractions continues qui converge
vers a.
On prouve ensuite le théorème de meilleure approximation d’un réel par une fraction
rationnelle.
3.1.21x2 = x modulo 10k ou les rimes de la multiplication

P Cinq fois cinq vingt cinq, six fois six trente six mais sept fois sept ne font pas
quarante-sept. Comment ça a pu partir comme ça en cacahuète ? En partant de la poésie
des tables de multiplications de notre enfance, on arrive à la résolution de l’équation
x2 = x modulo 10k , en passant par le lemme chinois, l’indicatrice d’Euler, pour finir
par des projecteurs de Z/nZ.
3.1.22

ζ(2) - Les plus belles preuves !

P La formule qui affirme que la somme des 1/n2 vaut pi2 /6 est bien connue de tous lesmathématiciens. Après avoir motivé les troupes, on se lance dans un florilège de preuvescélèbres plus jolies les unes que les autres que l’on peut retrouver (pour certaines) sur
https://www.math.cmu.edu/~bwsulliv/basel-problem.pdf
3.1.23Des formules non polynomiales pour les nombres premiers !

P On présente ici deux formules explicites amusantes, une formule donnant le n-ièmenombre premier, et une autre formule donnant le nombre de nombres premiers plus
petits que n.
3.1.24Des formules polynomiales pour les nombres premiers ?

P On donne tout d’abord deux méthodes pour prouver que l’ensemble des nombres
premiers est infini. Point de départ d’une quête deux fois millénaire.
3.1.25

Une preuve d’Erdos sur la localisation des nombres premiers

P Un petit exercice fortement inspiré de ≪ A fun number theory problem ≫ de Dr
Barker,129

nous donne prétexte à donner la preuve assez ignorée (mais non moins brillante, venue
du cerveau fertile de Paul Erdös, à 18 ans) d’un théorème célébrissime d’arithmétiqueque l’on peut résumer ainsi : ≪ Chebychev said it, and I say it again, there is always aprime between n and 2n ≫.
3.1.26

Distribution des puissances en base 10 et loi de Benford

P Encore un pan extraordinaire de l’histoire des mathématiques : la loi de Benford etle critère de Weyl. On peut en trouver des bribes introductives dans Carnet de Voyage
en Algébrie, chap. III.
1. Peut-on justifier la loi de Benford qui prévoit la distribution de chiffres en base 10
dans une suite de nombres ? On va le faire dans une série de vidéos en partant de lasuite des puissances de 2, on continue avec celle des puissance de 3, sans oublier lesnombres de Fibonacci. Pour l’instant, pas de preuve, mais un premier énoncé.
2. La loi de Benford que l’on a pu observer sur quelques suites comme 2n , 3n , et lasuite de Fibonacci, n’est pas un loi vraie en général pour toutes les suites. Dans cettevidéo, on formalise cette loi en la ramenant à des propriétés dans un espace de fonctions
continues par morceau. C’est le début d’une voie royale vers une jolie théorie qui sera
abordée dans la vidéo qui suit.
3. On part donc d’une suite de réels que l’on ramène à une suite de réels de [0, 1[(quitte à retirer la partie entière). On introduit le critère de Weyl qui caractérise lessuites équidistribuées, c’est-à-dire les suites an telles que si A est un intervalle et 1A sa
fonction caractéristique, la moyenne des 1A (ak ) pour k de 1 à n, tend vers la mesurede A. Ce critère demande tout simplement que pour tout s positif, la moyenne des exp(2sπak ), k de 1 à n, tend vers 0.
4. Après avoir prouvé le critère de Weyl dans la vidéo précédente, on se propose de fixer
un petit cadre pour la loi de Benford, ce sera le cadre de certaines suites géométriques,qui se généralise sans peine au cadre de certaines suites linéaires récurrentes, commela suite de Fibonacci.
5. On termine ce volet sur la loi de Benford en ≪ rebondissant sur le billard ≫. En effet,
la suite nlog (2) correspond à des rebondissement d’une boule sur un billard circulaire.
On passe alors à un billard torique, pour voir que l’on peut, pour tout chiffre t, trouver
un n tel que 2n et 3n commencent simultanément par t, avec le critère de Weyl multidimensionnel. En revanche, 2n et 5n commencent simultanément par t si et seulement
si t = 3. Par exemple, si n = 5, on a à la fois 2n = 32 et 55 = 3125.
3.1.27

Presqu’entiers et nombres de Pisot

P Partie I. On va s’intéresser aux suites géométriques de réels dont les termes sont des≪ presqu’entiers ≫ à partir d’un certain rang. On aboutit à une définition des ≪ nombresde Pisot ≫.
Partie II. On va présenter, en tentant de motiver, la théorie de Charles Pisot. Toutd’abord en montrant l’utilité de ces nombres dans l’approximation diophantienne. Ensuite, en montrant que ces nombres sont à la fois rares (et donc chers), de par une
caractérisation via les suites géométriques de presqu’entiers, et en même temps suffi-

130samment présents dans la nature, puisque toute extension algébrique réelle de Q est
engendrée par un nombre de Pisot.
Partie III. Les mathématiciens confirmés connaissent par coeur la formule du déterminantde Vandermonde, mais peu d’entre eux savent inverser la matrice de Vandermonde. Une
astuce qui utilise les polynômes permet de le faire élégamment. On aura ensuite besoinde cette inversion pour montrer le théorème de Pisot dans une prochaine vidéo.
Partie IV. On prouve le théorème de Pisot. Un nombre algébrique réel supérieur à 1
qui est la raison d’une suite géométrique presque entière est un nombre de Pisot. La
preuve est instructive et utilise pas mal de classiques de l’agrégation externe (théorèmede Cayley-Hamilton, système de Vandermonde, sous-réseaux de Zn , morphisme de multiplication dans un anneau, morphismes de conjugaison dans un corps).
3.1.28

Le théorème de Fermat de taille moyenne 1

P Qui pouvait se douter que l’on puisse attaquer à l’équation de Fermat modulaire àl’aide du simple principe des tiroirs ? Certainement un immense mathématicien commeIssaı̈ Schur ! Voici, coincé entre le (trop) petit théorème de Fermat et le (trop) grand,
prouvé par Andrew Wiles, le théorème de Fermat de taille moyenne. Une belle histoirede Noël, pour les grands et les petits...
3.1.29Le théorème de Fermat de taille moyenne 2

P On montre que pour un entier strictement positif k fixé, l’équation de Fermat
xk + y k = z k possède une solution modulo p premier, pour p assez grand. Il s’agit làd’une preuve purement combinatoire, n’utilisant aucun (ou presque) ingrédient de lathéorie des nombres.
3.1.30Rudiments de théorie de Minkowski pour l’agrégation

P On sait d’expérience que la théorie de Minkowski a rebuté plus d’un étudiant, tantson approche diffère des approches habituelles. Pourtant, le jeu en vaut la chandelle,dès que l’on veut assurer l’existence d’un point entier dans une partie de Rn . Voici uneprésentation minimaliste de la théorie.
3.1.31

Un fractal de Pascal

P Pour cette fin d’année, voici un petit aperçu d’une preuve de la structure fractale detriangle de Pascal, vu modulo p premier. Pour p = 2, nous avons le fameux triangle deSierpinsky, mais pour les autres ? Dans un premier temps, nous voyons que le triangle
modulaire cache une auto-similarité tensorielle...
On prouve ensuite la propriété d’auto-similarité tensorielle du triangle de Pascal modulo
un nombre premier p, qui donnera dans une prochaine vidéo la structure fractale dutriangle de Pascal. On montre en particulier que cette propriété repose essentiellement
sur le morphisme de Frobenius, et donc, n’a que peu de chance de se généraliser telquel pour tout entier n (non premier) et même pour toute puissance de p.

131

Puis, l’auto-similarité se fait fractale. Il suffit pour cela d’étendre le triangle vers
l’intérieur au lieu de la faire vers l’extérieur. On s’intéresse donc aux fractales, quiauraient pu être mieux exploitée durement le confinement, en créant des kilomètresde parcours de santé dans un périmètre restreint. On présente (assez modestement) la
structure fractale du carré de Pascal et du triangle de Pascal modulo p. On calcule
facilement la dimension fractale de la jolie ≪ structure triangle ≫, par invariance, en lacalculant sur la structure carrée (moins jolie mais forcément plus pratique).
3.1.32

Divine proportion, nombre plastique et méthode des puissances

P Une construction classique consiste à partir d’un rectangle et lui associer un autre
rectangle en plaçant un carré sur son côté. En itérant cette méthode (et en normalisant)on obtient à la limite le fameux rectangle d’or. On fait ici le lien entre cette construction
et la méthode des puissances en algèbre linéaire, bien connue (oupa) des agrégatifs.
On cherche une ≪ divine proportion en dimension 3 ≫, pour faire plaisir aux architectes,
mais également pour mettre à profit la méthode des puissances. Cette fois-ci, il fautrésoudre l’équation X 3 − X − 1 dans le corps des complexe. On en profite pour montrer
comment le discriminant permet de voir le nombre de solutions de l’équation. On tente
de faire un lien de parenté entre nombre d’or et nombre plastique, pour tomber sur la
notion de suite géométrique presqu’entière. On verra plus tard que ces deux nombres
appartiennent à une famille remarquable de nombres réels : les nombres de Pisot.
3.1.33Le théorème à la fin heureuse - la preuve de Paul Erdös

P Un joli problème dans le plan affine qui donné naissance à une solution élégante dePaul Erdös, une théorie (et pas la moindre, la théorie de Ramsey), et un mariage...
3.1.34Le théorème de Skolem-Mahler

P Le théorème de Skolem-Mahler parle des zéros d’une suite récurrente linéaire entière.
Il peut se faire avec les entiers p-adiques, mais l’épreuve de 2023 admettait un théorème
un peu lourd de zéros isolés dans le cas p-adique, ce qui est, on l’admettra, bien dommage. On reprend ici la preuve du problème, mais on donne une preuve plus complètequi n’utilise que le corps des rationnels.
3.1.35

Seuls deux nombres en sandwich entre un carré et un cube !

P Quels sont les nombres entiers situés ≪ en sandwich ≫ entre un carré et un cube.
Selon si le carré est en dessous et au dessus, ce problème nous amène à étudier deuxéquations diophantiennes, dites√de Mordell. Une, relativement classique en master,√ quirepose sur la factorialité de Z[i 2]. Et une autre qui nous amène à l’anneau Z[i 6], qui
malheureusement n’a plus cette belle propriété. Heureusement, Dedekind, Kummer sontpassés avant nous et on défriché le terrain avec la notion de groupe de classes d’idéaux.
Dans la théorie des nombres, les mathématiciens ont fini par trouver le partenaire idéal !

132

3.1.36

Factorisez X 16 − X en irréductibles sur le corps à deux éléments e

P Un exercice instructif qui nous oblige à bien maitriser la théorie des corps finis.
3.1.37

Factorisez X 16 − X en irréductibles sur le corps à deux éléments - 2

P Voici une autre méthode instructive pour factoriser un polynôme sur un corps fini.
On a besoin ici d’un théorème, qui fournit un joli développement, qui donne des renseignements précieux sur la décomposition des polynômes cyclotomiques en irréductibles.
3.1.38Sous-espaces stables et idéaux de K[X]P Un exercice élégant qui part du dénombrement de sous-espaces stables d’un espace
E muni d’un certain endomorphisme et aboutit à une étude de l’arithmétique despolynômes.
3.1.395 est-il un carré modulo p ?

P Nous venons de voir dans une vidéo précédente que 2 est un carré modulo p(différent de 2) si et seulement si p est congru à 1 ou −1 modulo 8. Nous allons voir
une méthode très analogue qui nous montre que 5 est un carré modulo p (différent de5) si et seulement si p est congru à 1 ou −1 modulo 5. Pour finir, nous verrons que cetteapproche nous fait découvrir au loin, tel un sommet enneigé, un immense théorème :le théorème de Kronecker-Weber.
3.1.40x3 + 7 peut-il être un carré ?

P Encore un petit exercice d’arithmétique dont nous donnerons deux méthodes. Une,élémentaire (l’utilisation du petit théorème de Fermat en est le point culminant) maistrès astucieuse, et une autre, qui utilise la factorialité et la connaissance des unités decertains anneaux d’entiers quadratiques.
√√
Errata de FMA Arlandar : dans la seconde méthode, 2 = (3 + 7)(3 − 7) donc 2 sedécompose comme un produit de deux premiersà ce qui est dit mais si√ contrairement√
un de ces deux facteurs premiers divisait y + 7 et y − 7 le second diviseraitaussi√
les deux facteurs par conjugaison donc 2 diviserait les facteurs y + − 7 ce qui est
impossible.
3.1.41

Le témoin de Solovay-Strassen - Un test de primalitéP On présente un test élégant de primalité dû à Solovay et Strassen. On sait quele symbole de Legendre d’un entier a modulo un nombre premier impair p est égal àa(p−1)/2 . Quand on généralise par multiplicativité le symbole de Legendre à tout entier
impair p, alors, on voit que cette égalité n’est plus vraie dès que p n’est pas premier.
On peut donc utiliser cette propriété comme critère de primalité.

133

3.1.42

La loi de réciprocité d’Artin - 1 e

P Il est tentant de généraliser la loi de réciprocité quadratique aux degrés supérieurs.
C’est Emil Artin qui va donner un résultat pertinent, mais en commençant par modifierl’énoncé de réciprocité, par l’énoncé d’Euler de ≪ loi de périodicité quadratique ≫. En
quelques vidéos, je propose de raconter une petite partie de l’évolution, de Euler à Artin,en passant par Legendre et Gauss, de cette loi de réciprocité, au coeur de l’arithmétiqueet tout particulièrement, de la théorie du corps de classes.
3.1.43

La loi de réciprocité d’Artin - 2 e

P On prouve le théorème de réciprocité quadratique d’Artin qui tient compte de lapériodicité proposée par Euler, mais en y ajoutant un morphisme de groupe. Résultat,
on construit un morphisme du groupe multiplicatif (Z/4dZ)∗ vers le groupe 1, −1 qui
envoie un nombre premier p ne divisant pas 4d vers le résidu quadratique de d modulop.
3.1.44

La loi de réciprocité d’Artin - 3 e

P On va regarder de près deux exemples clés : un dans le cas quadratique, et un autre
en degré 3. Dans les deux cas, on constate la possibilité de relever l’automorphisme deFrobenius dans une extension de Q. Mais on a besoin pour cela de deux hypothèses :1) partir d’un polynôme f sur Z[X] dont le groupe de Galois est abélien, et 2) partird’un nombre premier p qui ne divise pas le discriminant de f .
3.1.45La loi de réciprocité d’Artin - 4 e

P On termine ce volet avec deux versions, dues à Artin, de la loi de réciprocitéquadratique en degré supérieur. Une version pour les polynômes unitaires sur Z, et uneversion pour les entiers de corps de nombres, qui nous amène à construire le ≪ ray classgroup ≫.
3.1.46

Le lemme d’Artin ou l’invitation à la théorie de Galois

P Le lemme d’Artin constitue un joli développement qui peut se placer dans des leçonscomme systèmes linéaires, rang et dimension... et surtout extensions de corps. Voici sousune forme standardisée de quinze minutes un exposé sur ce lemme, sa provenance etses conséquences.
3.1.47Le théorème (fort) de progression arithmétique de Dirichlet e

P Le feuilleton (arithmétique) de l’été. On tente ici malgré la canicule de fournir
une version motivée (et on l’espère, motivante) de la preuve de Jean-Pierre Serre duthéorème de progression arithmétique de Dirichlet : si a et m sont premiers entre eux,
il existe une infinité de nombres premiers congrus à a modulo m. Cerise sur le gâteau :une petite clause d’équidistribution. Merci à vct nll de nous avoir suggéré de parler dece joli problème qui mêle caractères et analyse complexe.
1343.1.48

Irréductibilité dans Z[X] par congruences e

P Une situation classique où l’on veut montrer qu’un certain polynôme à coefficients
entiers est irréductible sur Z. On utilise pour cela des décompositions modulaires (modulo p) de ce polynôme en irréductibles, et on compare les partitions des degrés obtenues
afin de prouver l’irréductibilité du polynôme de départ. On en profite pour répondreà une question de Ludo sur https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?
$p=/discussion/2334895/comprendre-le-lien-entre-deux-questions#latestnews
Errata : Juste à la fin il aurait fallu dire que a n’est pas multiple de p.
3.1.49Les menteurs de Miller-Rabin - test de primalité

P Voici un test de primalité réellement efficace ! Il s’agit du test de Miller-Rabin qui
dit que si n est un entier impair non premier, une certaine batterie d’équations dans
(Z/nZ)∗ n’a que très peu de solutions, alors que tout élément est solution si n est
premier. Pour voir si n est premier, on prend un certain nombre d’éléments au hasard
dans (Z/nZ)∗ , et si un élément ne vérifie pas une équation, n n’est pas premier. Mais
peut on être sûr que n est premier si tous les nombres choisis ont passé le test ? Y a-t-il
des menteurs ?
3.1.50Les nombres pseudo-premiers de Perrin - 1

P Voici, présentée sous forme de problème à l’agrégation interne, la jolie suite dePerrin, qui semble fournir un test de primalité. On va voir que si p est premier, alors
le terme up de la suite est divisible par p. On a longtemps cru que la réciproque étaitvraie... Attention, comme le fait remarquer Maticawa (merci à lui !) 341 n’est pas un
nombre de Carmichael, c’est juste un nombre tel que 23 41 − 2 est divisible par 341. Le
premier nombre de Carmichael est 561.
3.1.51

Les nombres pseudo-premiers de Perrin - 2

P On achève la preuve du fait que p premier implique que le p-ième terme de lasuite de Perrin est divisible par p. On le montre par deux méthodes : une méthodeplutôt ≪ licence ≫ qui utilise les relations coefficients-racines, et une méthode plutôt≪ master ≫ qui utilise le morphisme de Frobenius en caractéristique p.
3.1.52Les nombres pseudo-premiers de Perrin - 3

P On s’intéresse à la ressemblance entre nombres de Fibonacci et nombres de Perrin.
En quoi sont-ils cousins ? Bien entendu, les relations de récurrence se ressemblent, mais
on va chercher d’autres ressemblances dans leur réalisation en tant que nombres departies d’un ensemble.
3.1.53Les nombres pseudo-premiers de Perrin - 4

P On arrive à un moment particulièrement agréable où l’on a réalisé que les nombresde Perrin se réalisent comme cardinal d’un ensemble de parties stables par le groupe
135cyclique. La formule des classes va nous donner une troisième preuve du critère de(pseudo) primalité de Perrin. On profite de cette grande cousinade pour inviter à latable les nombres de Lucas, qui se réalisent eux aussi comme cardinal d’un ensemblede parties stables par le groupe cyclique.
3.1.54

Lemme du ping-pong et groupe modulaire e

P Le lemme du ping-pong et son application au groupe modulaire constituent une illustration édifiante de ce que les actions de groupes peuvent apporter à l’étude du groupe
lui-même. Dit autrement, l’adage ≪ dis-moi sur qui tu agis et je te dirais qui tu es ≫ est
ici parfaitement représenté dans le cadre du groupe le plus célèbre de l’arithmétique :le groupe modulaire.
3.1.55

Application de la cyclicité de (Z/pZ)∗ : les nombres de Giuga

P Une petite application sympathique au développement de la cyclicité du groupe(Z/pZ)∗ , pour p premier ? Une nouvelle famille de pseudos premiers : les nombresde Giuga. Et celle-ci est particulièrement coriace puisque, d’après Paulo Rimbenboim
dans son ≪ Book of prime numbers records ≫, 1700 chiffres significatifs n’arrivent pasà invalider la conjecture.
3.1.56

Le problème des sabliers d’Euclide

P Un petit problème de sablier, de niveau élémentaire, qui demande tout de même
un peu d’astuce, et qui n’est pas sans rappeler un algorithme bien connu : -)3.1.57

Le problème des pièces de monnaies de Frobenius

P Le problème des pièces de monnaie que nous présentons ici se ramène au problèmede comprendre de la partie additive dans N engendrée par deux nombres premiers entre
eux. La solution proposée par Frobenius est à la fois simple et admirable ! Et en plus,à la fin, il y a un (Fro) bonus ! ! !
3.1.58

Le corps C est algébriquement clos. Ma preuve coup de coeur ! e

P Le théorème de d’Alembert-Gauss raconté aux enfants de Galois. Au programme,
un peu de théorie de Galois, groupes de Sylow, propriétés classiques des p-groupes et...
le TVI !
3.1.59Théorème de Kronecker. La preuve la plus simple ?

P Voici, à un niveau où le pré-requis serait le programme de master (on va dire, à
un niveau ≪ agreg externe ≫), ma preuve préférée du théorème de Kronecker, classiqueparmi les développements à l’oral, qui dit que tout polynôme unitaire de Z[X] ayant
des toutes ses racines de normes inférieures ou égales à 1, possède des racines soit nulles
soit racines n-ième de l’unité.
136

3.1.60e

Polynômes symétriques vs invariants de Dickson (Maths en Hamac)

P Un dernier épisode estival de maths en hamac pour parler d’une preuve d’uneélégance rare des théorèmes classiques sur les polynômes symétriques (ils sont engendrés
par les polynômes symétriques élémentaires qui sont algébriquement indépendants).
Non seulement élégante, mais aussi généreuse, cette preuve s’applique également aux
invariants de Dickson que l’on réintroduira ici. On montre alors que ces invariants sontalgébriquement indépendants et qu’ils engendrent l’algèbre des GLn (Fq )-invariants de
Fq [X1 , ..., Xn ].
3.1.61L’équation de Fermat par Kummer (the hamacless version !) e

P L’équation de Fermat a fait tant d’émules que je ne me pouvais me contenter d’une
version orale à distance de hamac. Voici une preuve rigoureuse (modulo quelques sauts
quantiques) du théorème de Kummer qui dit que l’équation xp + y p = z p n’a pas desolution non triviale dans Z si p est un premier régulier. Ici, on ne se contente pas detraiter le ”cas facile” (lol) où p ne divise pas xyz, mais on donnera aussi une idée de lapreuve dans le cas où p divise xyz.
3.1.62

Groupe de Galois et réduction modulo p e

P Une énigme sur les groupes de Galois consiste à comprendre pourquoi on peut
injecter le groupe de Galois d’un polynôme P de Z[X] quotienté modulo p dans legroupe de Galois de P . Voici une méthode que je trouve convaincante dans sa démarche,qui consiste à prendre un peu d’élévation, travailler sur un anneau de polynômes àplusieurs indéterminées qui permet de concilier les deux mondes.
3.1.63

Une formule de récurrence simple pour les nombres premiers

P Je présente une formule étonnante d’Éric Trefeu, mathématicien amateur, uneformule simple à la fois dans son énoncé et dans sa preuve. D’une part, je donnerai une version du crible d’Eratosthène par les séries génératrices, puis, j’en déduirai
une formule de récurrence élégante (mais théorique) qui donne un nombre premieren fonction de ses prédécesseurs. Dans une première partie, nous nous adressons aux
mathématiciens amateurs ou aux jeunes passionnés qui voudraient contacter un expert
en mathématiques, afin qu’ils évitent des erreurs classiques de communication.
3.1.64

Du nouveau sur les morphismes de l’espace des polynômes !

P Béranger Seguin, algébriste, chercheur, et viewer de la chaı̂ne à ses heures perdues,a écrit un petit article que l’on peut trouver sur la plateforme Arxiv, où il étudie lesendomorphismes d’une algèbre de polynômes vérifiant des propriété de conservationliées à la multiplicité des racines. Un exercice de haut vol dont j’ai extrait un résultat
intéressant avec une compilation de belles idées.

137

3.1.65e

Le dernier théorème de Fermat pour p régulier (Maths en Hamac)

P L’équation de Fermat xn + y n = z n n’est plus à présenter et nous allons en voir ceque l’on pourrait appeler son (avant-)dernier rebondissement : le résultat de Kummer
sur le cas où n contient un facteur premier régulier. Et, face à un problème nécessitant
une telle élévation, quoi de mieux que d’en parler sans les mains et à hauteur de hamac ?

3.2

Groupes

3.2.1 Exercice Oraux X-ENS : quand le groupe d’automorphismes d’ungroupe est-il trivial ?
P Un exercice donnés aux oraux X-ENS et présenté par Luca Castelli. Trouver tous lesgroupes G tels que Aut(G) est réduit à l’identité. Cet exercice peut paraı̂tre surprenant,mais Luca nous va nous faire la lumière sur ce problème.
3.2.2

Un 2-Sylow de S4 en 6ème avec l’IREM

P Je propose de présenter ici une de mes fiches ≪ Galion ≫ de sixième. On apprenait
les groupes à cette époque, et je trouve admirable le travail de l’IREM pour fairepasser ce que l’on appelait les maths modernes. On finit avec un peu de recul sur lesmaths de master qui se cachent derrière cette fiche. Mais tout de même, quelle utopie
extraordinaire en cette fin des trente glorieuses.
3.2.3

Décimales et groupes cycliques- le nombre 142857 et ses amis

P Voici un petit tour de magie, à la Gérard Majax, qui fait intervenir groupes cycliques
et décimales.
3.2.4

Les théorèmes de Sylow dans un carré

P Il est toujours instructif de voir ses théorèmes abstraits à travers le prisme de lagéométrie. Ici, nous proposons de voir les théorèmes de Sylow via l’action du groupe
des isométries du carré sur les sommets de ce même carré.
3.2.5

Le pfaffien, la pfabuleuse histoire ! (racontée par Pfil) e

P Découvrir le pfaffien est une expérience marquante. On se retrouve partis vers
une belle histoire où les diverses composantes des mathématiques viennent s’entraider
autour d’un théorème profond aux multiples avatars. On y trouvera le déterminant(développement de Laplace), les actions de groupes, les formes quadratiques et leursclassifications, les groupes de Lie... On aboutit à d’ exceptionnels isomorphismes !

138

3.2.6

Surjectivité du morphisme de SLn (Z) vers SLn (Fp )P Construire le morphisme de SLn (Z) vers SLn (Fp ) est une chose aisée. Mais prouver
qu’il est surjectif demande un certain savoir-faire !
3.2.7

Critères de simplicité d’Iwasawa pour un groupe −1/2 e

P Qui aurait pu prévoir un lien entre simplcité d’un groupe et multi-transitivité d’une
action fidèle ? Et bien Iwasawa a ouvert une voie royale entre les deux notions. On
montre dans une première vidéo un lemme préliminaire, puis, un critère de simplicité
pour un groupe à action multi-transitive à stabilisateur simple. Et c’est simple... commebonjour !
3.2.8

Critères de simplicité d’Iwasawa pour un groupe −2/2 e

P Qui aurait pu prévoir un lien entre simplcité d’un groupe et multi-transitivité d’une
action fidèle ? Et bien Iwasawa a ouvert une voie royale entre les deux notions. On
montre dans une première vidéo un lemme préliminaire, puis, un critère de simplicité
pour un groupe à action multi-transitive à stabilisateur simple. Et c’est simple... commebonjour !
3.2.9

Galois et la non résolubilité par radicaux

P Comment Evariste Galois a pu prouver cette non résolubilité par radicaux decertains équations en degré 5, la où Leonhard′ Euler s’était cassé les dents ? Et puis
pourquoi 5 d’abord ? On fait le point détaillé sur les étapes de sa preuve qui consiste àtransvaser le problème en un problème sur les groupes finis.
3.2.10

Le nombre 20160 et un non-isomorphisme exceptionnel - 1

P 20160, 196884, et quelques monstres... Nous allons aujourd’hui parler de coı̈ncidences numériques, et en particulier, parmi les ordres des groupes simples. Dans leprochain volet, on montrera ce scandaleux résultat que, malgré les indices et les apparences, les deux groupes simples GL3 (F4 ) et GL4 (F2 ) ne sont pas isomorphes.
3.2.11

Le nombre 20160 et un non-isomorphisme exceptionnel - 2

P On montrera ce scandaleux résultat que, malgré les indices et les apparences, lesdeux groupes simples GL3 (F4 ) et GL4 (F2 ) ne sont pas isomorphes. Il faut profiter de ce
nombre 20160, parce qu’il n’y en aura pas d’autres comme cela avant 4. 585. 351. 680.
3.2.12Le théorème de Polya sur les coloriages

P Colorier un ensemble fini X revient à fournir une application de cet ensemble vers
un ensemble K de couleurs. Si G est un groupe fini qui agit sur X, on rappelle comment
calculer le nombre de coloriages modulo l’action de G. On montre ensuite le théorème139

de Polya qui établit une formule synthétique pour les coloriages modulo G ayant unnombre prédéfini d’éléments de couleur donnée.
Errata : Aux alentours de 20′ 30 ”, je me prends les pieds dans le tapis entre le nombred’orbites de cardinal j et la suite de la taille des orbites...
3.2.13Le théorème de Cartan-Von Neumann

P Le théorème de Cartan Von Neumann (ou tout simplement de Cartan) dit qu’unsous-groupe fermé du groupe GLn (R) possède une structure de sous-variété de Mn (R).
On va passer un peu de temps à prouver et commenter ce théorème, mais quand on envoit la puissance, on se dit que ce n’est pas du temps perdu !
3.2.14Fibration de Hopf (par les quaternions) e

P I ′ mpickin′ up good fibrations it′ s giving me the excitations (oom bop bop)
Petits calculs entre amis dans le corps des quaternions. On part d’une magnifique animation des chapitres 7 et 8 de ≪ Dimensions ≫ en cherchant à en comprendre les calculs
sous-jacents. Afin de simplifier à l’extrême les calculs, nous allons réaliser cette fibrationà travers une action de la sphère quaternionique sur les imaginaires quaternioniques !
Elle est déjà dans la vidéo, mais je me fends de deux liens
Dimensions 7 et 8 https://www.youtube.com/watch$?$v=tX_NUlO_tbw https://www.
youtube.com/watch$?$v=ECHNPCTLL8c
3.2.15

Etude du groupe de Rubik

P Cette vidéo propose la lecture d’un article qui étudie le cube de Rubik d’un pointde vue de la théorie des groupes. On donnera une description du groupe à partir del’analyse du cube, puis on en décrira le centre, les éléments d’ordre 2, et on découvrira
que certains sous-groupes classiques y sont cachés. Au programme, actions de groupes,
produits semi-directs, hyperplans, et même action par homographie !

3.3

Analyse

3.3.1

L’ exponentielle expliquée à mon voisin Nico

P Je réexplique, avec force détails et illustration, ma vidéo récente sur l’exponentielle
et le logarithme à mon voisin Nico, actuellement en thèse d’économie, et qui m’a fait
entendre sa frustration de ne pas comprendre son contenu... La chaı̂ne, qui s’adresse ici
plutôt à un autre public, ne perd pas de sa saveur !
3.3.2

Prix Abel 2024 (autour d’une question elliptique)

P Le prix Abel 2024 a été décerné au mathématicien Michel Talagrand. Nous en
profitons pour parler d’une mystérieuse définition dans les travaux d’Abel : le terme≪ intégrale elliptique d’Abel ≫. Comment du latin ≪ ellipsis ≫ (omission, manque), nous
en sommes venus à définir l’ellipse, l’intégrale elliptique, et enfin les courbes elliptique ?
140

PS : merci à Fanny pour le bandana, sans lequel cette vidéo n’aurait pas été possible ! :
-D
3.3.3

Théorème d’inversion de Lagrange et nombres de Catalan

P Comment inverser un développement limité ; on parle de l’inverse pour la composition des fonctions et non pas pour la multiplication ! La formule peut être assez simple...
à condition que la fonction soit facile à inverse, mais cette fois-ci pour la multiplication.
Bref, c’est la formule d’inversion de Lagrange qui sera prouvée avec le calcul complexe.
On en donnera ensuite une application classique au dénombrement des arbres binaires.
3.3.4

La balade de Narayana

P Nous présentons ici les nombres de Narayana que l’on calcule grâce à des séries
génératrices et la formule d’inversion de Lagrange.
3.3.5

Pourquoi Log et Exp sont inverses l’une de l’autre ?

P Si on définit l’exponentielle et le logarithme par leur série entière, comment montrerélégamment qu’ils sont inverses l’un de l’autre ? Nous allons en faire la preuve à l’aide
du groupe symétrique... Et oui, les groupes sont partout !
3.3.6

Fonctions absolument continues par Tristan

P Voici le troisième et dernier volet de vidéos proposées par Tristan autour duthéorème fondamental de l’analyse. Dans le second volet, on avait vu que l’escalier
du diable proposait une fonction continue dérivable presque partout, qui toutefois nevérifiait pas l’égalité, devenue habituelle depuis Newton, sur le lien entre fonction etintégrale de la dérivée. C’est l’absolue continuité qui va nous permettre d’éviter cegenre de contre - exemples monstrueux. On reviendra pour finir sur les fonctions lipschitziennes.
3.3.7

L’escalier du diable par Tristan e

P Tristan nous a parlé du problème de représentation de Riesz pour une fonction
lipschitzienne, c’est-à-dire représenter f (y) − f (x) sous forme d’une intégrale de x à y.
Maintenant, serait-il suffisant d’avoir f continue dérivable presque partout et f ′ L1 pourobtenir une représentation de f comme intégrale de sa dérivée ? L’escalier du diable,qui porte bien son nom, vient détruire cet espoir à tout jamais.
3.3.8 Peut-on couper un gâteau (polygonal) en 6 parts égales avec trois
coups de couteau ?
P Une petite histoire extraite du livre très recommandable de Pascal Boyer ≪ Algèbre
et géométries ≫. Une solution étonnante à ce problème très concret, qui utilise le TVIdans tous ses états.
141

3.3.9

Le corps C est algébriquement clos, par les intégrales de Cauchy.

P On peut juger de l’efficacité de l’analyse complexe, et en particulier du théorèmed’intégration de Cauchy par sa façon de trivialiser la preuve du théorème de d’AlembertGauss.
3.3.10 Théorème de représentation d’une fonction lipschitzienne par Tristan e
P Tristan nous propose un théorème haut en couleur qui prouve que toute fonction
lipschitzienne u sur RR peut être représentée par une fonction g dans Linf ty (R) dans leysens : u(y) − u(x) = x g(t) dt.
3.3.11Le théorème de Borsuk-Ulam ou la rencontre des pôles-1 e

P Peut-on trouver à chaque instant sur terre deux points antipodiques avec exactement
la même température et la même pression ? Et bien, aussi contre-intuitif que cela puisse
paraı̂tre, la réponse est ≪ spoiler alert ≫. En tout cas, le théorème de Borsuk-Ulamnous confirme tout cela en toute dimension. Nous allons donc parler de ce théorème en
dimension 1 dans la vidéo 1, puis en dimension 2 dans la vidéo 2 !
Errata : je dis que Borsuk Ulam est une seule et même personne mais n en est rien.
ce sont bien deux mathématiciens distincts. En revanche Art et Tatum sont la maingauche et la. main droite du même pianiste :-) Comme quoi, les musiciens sont les
meilleurs !
3.3.12Le théorème de Borsuk-Ulam ou la rencontre des pôles-2 e

P Peut-on trouver à chaque instant sur terre deux points antipodiques avec exactement
la même température et la même pression ? Et bien, aussi contre-intuitif que cela puisse
paraı̂tre, la réponse est ≪ spoiler alert ≫. En tout cas, le théorème de Borsuk-Ulamnous confirme tout cela en toute dimension. Nous allons donc parler de ce théorème en
dimension 1 dans la vidéo 1, puis en dimension 2 dans la vidéo 2 !
3.3.13Le théorème de Fejér prouvé par Korovkin

P Une suggestion de mon ancien étudiant Luca Castelli : la théorie de Korovkinpermet de voir que les fonctions trigonométriques sont denses dans l’espace des fonctions continues périodiques (pour la norme uniforme). La théorie de Korovkin a cela
de merveilleux que la preuve ne demande que de montrer qu’un certain opérateur est
positif, qu’il est à valeurs dans les fonctions trigonométriques, et que un (f ) converge
uniformément vers f , pour f = 1, cos et sin ! Référence : Hirsch-Lacombe p. 33.
3.3.14Les projecteurs spectraux par l’analyse complexe e

P Un étudiant de licence de mathématiques a rencontré les projecteurs spectraux, lesmême qui permettent de montrer le lemme des noyaux. Toutefois, il les a, en général, vu
142

dans le contexte de l’arithmétique avec l’identité de Bezout. Voici une autre approchequi utilise la formule des résidus en analyse complexe. Dans les deux approches, une
seule idée : le passage du local au global.
3.3.15

Un paquet cadeau, c’est pour offrir !

P On veut montrer qu’un compact convexe X de Rn peut être ≪ empaqueté ≫ dans
un hypercube circonscrit (chaque face touche X et X est inclus dans l’hypercube). La
preuve pour n = 2 ne demande finalement que le théorème des valeurs intermédiaires.
La preuve pour n = 3 nous permet de dévoiler la puissance des groupes d’homotopie.
On présentera au passage le fameux principe de l’assiette à soupe.
3.3.16

La conjecture de sensitivité par Corentin Faipeur-1

P La conjecture de sensitivité parle de l’unification de la mesure de complexité desfonctions booléennes ; thème particulièrement pertinent en informatique théorique. Corentin Faipeur nous parle de ce qui est devenu désormais le théorème de Huang, après
plus de trente années de résistance.
3.3.17

La conjecture de sensitivité par Corentin Faipeur-2

P Après avoir motivé la conjecture, Corentin définit les différentes mesures de complexité d’une fonction booléenne, complexité elle-même garante de sécurité. Il y a lasensitivité par blocs, la sensitivité, et enfin, le degré total de la fonction vue comme polynôme à plusieurs variables. On veut montrer que toutes ces mesures sont ≪ équivalentes ≫ pourune équivalence à définir. C’est là que le récent théorème de Huang intervient. Il ne
reste plus qu’à le démontrer dans une prochaine vidéo.
3.3.18

La conjecture de sensitivité par Corentin Faipeur-3

P On prouve le théorème de Huang, qui démontre la trentenaire conjecture de sensitivité à l’aide du théorème d’entrelacement de Cauchy ainsi qu’une petite astuce basée
sur une matrice d’adjacence ≪ au signe près ≫. Pour le théorème d’entrelacement, on
pourra se référer à https://youtu.be/47ycHzMVIp8
3.3.19Le théorème ergodique de Von Neumann (version discrète)

P Voici la version discrète du théorème de Von Neumann, dans sa version ≪ prête audéveloppement ≫ que l’on peut trouver dans Objectif Agrégation.
3.3.20Nombre de carrés consécutifs modulo p par Polya et VinogradovP
L’inégalité de Polya-Vinogradov permet de donner une borne au nombre decarrés consécutifs dans le groupe (Z/pZ)x . Au programme : somme de Gausset, plus généralement, analyse de Fourier discrète (que l’on pourrait appeler”algèbre de Fourier” !).
143

3.4

Polynomes

3.4.1

Pinceau de polynômes scindés

P Clément de Seguins Pazzis a récemment mis un post sur mathematiques. net
https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2337412/pinceau-de-polynomes-scindeslatestnews
où il est question d’une famille de polynômes scindés à un paramètre sur un corps fini.
Cela fait un joli exercice sur les polynômes (avec au menu, PGCD, identification defonctions polynômes sur corps finis, vandermonde...) avec une preuve élégante.
3.4.2

Localisation des racines d’un polynôme (une brève histoire)

P On présente ici quelques résultats clefs sur la localisation des racines d’un polynôme réel en fonction des coefficients de celui-ci. Tout d’abord, la borne de Gauss,devancée par la borne de Cauchy. Ces généralités étant faites, on attaque le théorèmede Enestrom-Kakeya, ses corrollaires ainsi que ses développements plus récents.
3.4.3

Localisation des racines d’un polynôme-addendum

P Suite à une remarque de Toto, voici une preuve instantanée du théorème qui ditque si un polynôme réel non nul possède des coefficients croissants, alors ses racines
sont de module dans le disque unité. Cette preuve est particulièrement agréable carelle utilise l’algèbre linéaire.
Scoop de T oto2 : on peut trouver la preuve dans le livre ≪ Petit compagnon des nombres
et de leus applications ≫ de Pascal Boyer p. 349 (avec la matrice compagnon, on pouvait
s’y attendre !)3.4.4

Une devinette polynomiale

P Une devinette que m’a proposée Daniel Juteau où l’on doit deviner un polynômeen deux questions ! Alors qu’on ne sait même pas son degré !
3.4.5

La formule de Jacobi-Trudi (par le lemme de Gessel-Viennot) −3

P Parmi les bases de polynômes symétriques, la plus convoitée est celle des polynômes
Schur pour leurs liens avec la théorie des représentations (de GLn et de Sn ), la calcul
d’intersection, la cohomologie, etc... On va présenter les formules de bases de cettefamille de polynômes, à l’aide du tout petit (mais vaillant !) lemme de Gessel-Viennot.
3.4.6

Gessel-Viennot, l’approche alternative du déterminant

P On a montré dans une vidéo précédente que l’on pouvait présenter de façon
combinatoire le déterminant d’une matrice extraite du triangle de Pascal. https://youtu.be/nWTXmncGZV4144

On a utilisé pour cela l’étonnant lemme de Gessel-Viennot qui est rentré dans les lemmesde légende avec le lemme de Gauss, de Fatou, de Burnside... On montre comme ce petit
lemme permet de comprendre en profondeur les aspects combinatoires du déterminant.
3.4.7

Identité de Vandermonde en dimension supérieure

P Ulysse Serres (que je remercie vivement au passage !) m’a récemment parlé d’un
article de mon collègue Itaı̈ Ben Yaacov ≪ the Vandermonde identity in higher dimension ≫ https://arxiv.org/abs/1405.0993, dont je présente le résultat fondamental.
Curieusement, c’est une version dualisée de la matrice de Vandermonde qui se généralisele mieux ! au final, on déduit de cette identity une jolie propriété sur l’annulation d’une
famille d’hyperplans.

3.5

Divers (inclassables)

3.5.1

Remarquables identités

P On passe en revue tous nos souvenirs de troisième et de seconde, où nous avions
rencontré pour la première fois les identités remarquables. Mais avec le recul, nous pouvons les voir désormais comme des formules de congruences entre formes quadratiques !
Tout un programme. Au final, nous ferons la lumière sur une identité remarquable
relativement méconnue, mais liée à résultat fondamental de Grothendieck-Witt sur ladiagonalisation des formes quadratiques par congruence !
3.5.2

Changement d’heure (et dualité)P Heure d’hiver, heure d’été ? On avance l’heure, ou on la recule ? On dormira un peu
plus ou on manquera de sommeil ? Ce dernier week-end de mars où l’on passe à l’heured’été est propice à ce genre de questionnement. On en profite donc pour remettre lespendules à l’heure en faisant le point sur la dualité !
3.5.3

Des voeux de bonne année avec Hilbert-2024 !

P Il n’est jamais trop tard pour découvrir les bienfaits des polynômes de Hilbert, qui
ont d’ailleurs fait l’objet des épreuves écrites de l’externe en 2021. Merci à Denis pourla suggestion !
3.5.4

Les invités du Capitaine Woody

P Un petit quizz autour d’un problème mondain lors d’une croisière sur le paquebot
du Capitaine Woody.
3.5.5

Une preuve sans mot (relativement très connue)

P Arriverez vous à entendre ce que ces trois triangles veulent vous dire ? Une preuvesans mot proposée par Jérôme Germoni.
145

3.5.6

Quel est l’âge d’Esteban (el Capitan) ?

P Un des plus jolis problèmes sur l’âge du capitaine, qui va nous faire parcourir del’arithmétique en haute mer ! Mais pas d’inquiétude, le Capitaine Esteban nous amèneraà bon port !
3.5.7

007 contre S26

P Voici un exercice récréatif qui permettra de réviser nos classiques sur le cours
groupes et anneaux (groupe de permutation, anneau Z/nZ).
Cet exercice est extrait du site les mathematiques. net et a été proposé par GaBuZoMeu
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?$p=/discussion/2334798/la-gaffe-de-007
3.5.8

Ampoules et interrupteurs en caractéristique 2

P Une histoire d’ampoules et d’interrupteurs... et de formes quadratique sur le corps
F2 !
3.5.9

Popcorn maths ’n burger quizz

P Le petit quizz du jour qui se joue avec cinq nombres réels.
3.5.10

Le corbeau et le renard, une fable mathématique

P Le corbeau et le renard expliqué à une machine ! Mais les machines ont-elles del’humour ? Peut-on traduire, ≪ il était une fois ≫, par ≪ il existe ≫ ? et la morale del’histoire, par un théorème ?
Mickael Launay en est l’auteur (il me l’a signalé après que j’aie posté la vidéo). Mercià lui pour cette fine analyse de texte, cette fidèle traduction et ce bel hommage àMonsieur de la Fontaine.
La prochaine fois, nous verrons le corbeau et le renard en langage inclusif.
3.5.11

Des voeux de bonne année selon une tradition familiale...

P ... dans les familles de mathématiciens ! Pour une bonne année 2021, on va visiter ce
nombre et une propriété particulière qui nous fera passer, pour le plaisir, par les sommesde Cauchy, les formes quadratiques réelles, et même les disques de Gershgorin... Tout
un programme !
3.5.12Equations grégophantiennes-1

P Nous allons voir en trois vidéos comment résoudre des équations sur le calendriergrégorien. Par exemple : une année de municipales à Lyon est tombée un dimanche 21
avril. Quelle est cette année ?

146

3.5.13Equations grégophantiennes-2

P On trouve une formule explicite pour calculer n’importe quel jour de la semaine
est associé à une date. Mais les formules ne sont pas encore prêtes pour résoudre deséquations ≪ grégophantiennes ≫.
3.5.14Equations grégophantiennes-3

P On finit par résoudre l’énigme du Dimanche 21 avril. Etonnament, c’est un systèmede congruence qui va nous y amener.
3.5.152021 et le jour de pi-1

P La racine carrée de 98723 est 314, 2021..., ce qui en fait un nombre emblématiquepour le jour de pi. Mais, au fait, comment trouver tous les entiers dont la racine carréea ses premières décimales qui commencent par 2021 après la virgule ? Ce petit problèmed’approximation diophantienne est le point de départ d’un joli voyage en arithmétique.
3.5.162021 et le jour de pi-2

P Et nous voici partis dans une histoire de recherche de points entiers entre deux
droites. Malheureusement, les pentes de ces droites ont des vecteurs entiers trop grands
pour que les choses soient bien visibles. On a alors recours aux fractions continues pourapprocher au mieux ces pentes.
3.5.172021 et le jour de pi-3

P Et la lumière fut ! On utilise le groupe GL2 (Z) pour voir plus finement les choses
sans changer la nature entières du problème. On retrouve toutes les solutions avec
aisance et un minimum de calcul.
3.5.18

Triangles équilatéraux et nombre d’or

P Un bel exercice, proposé par Jean-Jacques Juré, et donné aux Olympiades mathématiques
sur une construction d’un triangle équilatéral à partir d’un autre, selon une égalités desurfaces. On en propose ici une preuve de type ≪ Master ≫ avec de la réduction de matrices, et une autre, plus élémentaire, qui peut, théoriquement, être faite en lycée. On
pourra en tirer, une construction à la règle et au compas pour les nostalgiques et une
formule matricielle par affixes qui a permis à Jean-Jacques d’intégrer la construction
dans la rétine du héros de manga Itachi Uchiwa.
3.5.19Triangles équilatéraux et nombre d’or-2

P Après une remarque de Denis, je reprends cette vidéo sur la divine proportion dans
un triangle équilatéral. Ceci nous permet de prendre plus de recul sur la méthode parréduction des matrices, et de fournir à ce problème une solution de niveau collège...
Bref, des problèmes à grande largeur de spectre comme on aimerait en voir plus souvent.
147

3.5.20

Maths et Pizzas

P Nous parcourons ici une brève histoire de la pizza, et sur la façon dont les mathématiciens
ont abordé, du XVII-ème siècle à nos jours, les problèmes liés à cette invention majeurede l’humanité.
3.5.21

Concours SMF-Junior 2022-Algèbre

P Le concours SMF Junior est probablement le défi le plus haut perché pour nosétudiants en mathématiques. Je propose de faire de la retape ce concours prestigieux
dans un premier temps, puis, de corriger le problème qui a été donné en algèbre.
On parlera donc du dénombrement des sous-espaces stables par un endomorphisme
nilpotent (sur un corps fini).
3.5.22

Pavage d’un ballon de foot par des hexagones ?

P Amis footeux bonsoir ! On va montrer qu’il est impossible de paver un ballon pardes hexagones. La même étude nous montrera que la chose est possible si le ballon est
torique. Et cette possibilité n’est pas qu’une performance sportive, c’est également un
moyen raffiné de voir un isomorphisme exceptionnel entre P SL2 (F7 ) et P GL3 (F2 ).
3.5.23

Galois et Hilbert ou les avatars de la dualitéP On présente un tableau d’analogies entre trois théories : la dualité des espaces
vectoriels, la correspondance de Galois et le théorème des zéros de Hilbert.
3.5.24 La cohomologie sans effort (pour celles et ceux qui savent poser une
addition) −1
P Inspiré par un exposé de Jérôme Germoni, on présente ici la cohomologie desgroupes à l’aide d’une opération que tous nos élèves de 6ème connaissent bien et qui
se révèlera par la suite être le générateur d’un second groupe de cohomologie célèbre...
3.5.25

Cohomologie des groupes et suites exactes scindées-2

P On définit ici à partir de deux groupes G et K, avec K abélien, et une action de G
sur K par automorphismes, le deuxième groupe de cohomologie H 2 (G, K). On montre
comment associer à une extension de G par K, un élément de H 2 (G, K). On montre
comment cet élément permet de voir si K possède un complément dans cette extension.
3.5.26

Cohomologie et théorème de Schur-Zassenhaus-3

P Ce troisième volet sur la cohomologie nous montrera comment réduire en poussièrele théorème de Schur-Zassenhaus (cas abélien) à l’aide de la cohomologie. On prouvera
dans un second temps (mais sans cohomologie) comment le cas général s’en déduit,
c’est-à-dire qu’un sous-groupe distingué d’ordre n d’un groupe d’ordre nm, avec n, m
premiers entre eux, possède un complément.
148

3.5.27

Cohomologie par l’exemple- les groupes d’ordre 8- (video-4)

P On propose, sans aucune technique particulière, présenter la cohomologie desgroupes avec des petits calculs élémentaires et concrets. On construit tous les groupes
possédant Z/2Z comme sous-groupe distingué avec un quotient isomorphe au groupede Klein Z/2Z × Z/2Z, c’est-à-dire finalement tous les groupes d’ordre 8 à l’exception
du groupe cyclique.
3.5.28

Cohomologie et la bijection extensions-H 2

P Après avoir donné quelques exemples qui décrivaient le lien entre extensions etsecond groupe de cohomologie, il est temps de présenter le résultat phare qui permetde comprendre pourquoi la cohomologie est devenue le graal de la théorie des groupes :la bijection entre classes d’extension d’un groupe G par un groupe abélien A et legroupe de cohomologie H 2 (G, A).
3.5.29La caractéristique 2 avec une rampe de spots

P Une histoire d’ampoules et d’interrupteurs... et de formes quadratique sur le corps
F2 !
On va introduire deux problèmes autour d’ampoules et interrupteurs sous forme dequizz (niveau minimal L3 pour le premier et M 1 pour le second). Dans les deux cas,la solution doit son salut à l’intervention de formes quadratiques sur F2 . Ou plutôt,de formes bilinéaires symétriques sur l’espace Fn2 , ce qui, en caractéristique 2, est assez
différent.
On compte ensuite le nombre de solutions au problème des rampes de spots et on seramène à dénombrer le groupe orthogonal On (F2 ), ce qui se fait par récurrence.
3.5.30La trigonométrie, selon Eisenstein

P Dans son article de 1846, Gotthold Eisenstein propose une nouvelle approche plutôtrévolutionnaire, de la trigonométrie. Son avantage est d’être calibrée pour une théorie
en pleine expansion, celle des fonctions elliptiques. Cette vidéo nous présente le tour
de force d’un génie des mathématiques trop tôt disparu.
3.5.31 Variance des inversions, polynômes générateurs et décompositionde Bruhat
P Un mélange instructif et passionnant de citation de papillote, de variance sur legroupe symétrique, de petits calculs polynomiaux qui nous amènent curieusement à ladécomposition en cellule de la variété de drapeau (mais on le dira un peu autrement,
avec des matrices). Feat. Stella (la star !)3.5.32

La formule du binôme quantique

P Voici une formule de combinatoire qui généralise la formule bien connue du binôme
de Newton. Mais cette formule, au lieu de s’interpréter avec les parties à m éléments
149

dans un ensemble à n éléments, concerne les sous-espaces de dimension m dans un
espace de dimension n sur un corps de cardinal q. On profitera du contexte pourintroduire la notion de type d’un sous-espace de K n et de cellules de Schubert de la
grassmannienne.
3.5.33Le théorème de Bruck-Ryser

P Prêts pour un feu d’artifice de toutes les couleurs des maths ? La preuve du théorèmede Bruck et Ryser fait feu de tout bois. Elle utilise à la fois des formes quadratiques, desinvocations quaternioniques, des théorèmes de deux ou quatre carrés, des équations matricielles sur une matrice d’incidence, un soupçon de réduction... Toutes ces splendeursau service du plan projectif fini.
Errata. Cherry me fait remarquer que le plan de Fano est faux. Il faudrait remplacer
le cercle circonscrit par un cercle inscrit. Shame on me ! :-o
3.5.34

Le principe d’incertitude d’Heisenberg expliqué à mon voisin Nico

P Une vidéo pour expliquer l’iconique principe d’incertitude d’Heisenberg avec unminimum de moyens mathématiques. En effet, on utilisera juste la notion de systèmelinéaire, matrice inversible... et la série géométrique.
3.5.35 Une ≪ preuve superbement simple ≫ selon Terence Tao - Le problèmede Kakeya discret
P Un ensemble de Besicovitch (qui généralise l’ensemble de Kakeya) est une partiede Rn dans lesquelles toutes les directions sont représentées. Besicovitch a proposé uneversion sur corps fini de ce type d’ensemble et Zeev Dvir a donné une borne inférieure
pour le cardinal d’un tel ensemble. Au menu, polynômes, corps finis, et combinatoire.
Mais avant tout, une preuve superbement simple selon le sympathique médaille Fields
Terence Tao.
3.5.36

Dessins d’enfants par Alex Moriani - 1

P Alex Moriani vient de présenter son mémoire sur les dessins d’enfants, sous la direction de François Labourie. Il s’agit là d’un pan important de la théorie de GrothendieckTeichmüller qui permet de mieux comprendre le groupe absolu du corps Q. Dans cettepremière vidéo, Alex nous présente les premières définitions et premiers exemples.
3.5.37

Dessins d’enfants par Alex Moriani - 2

P Voici une présentation (sans preuves, mais avec illustration !) des résultats de Belyi
et Grothendieck autour des dessins d’enfants.
3.5.38Un problème de cinéphile !

P Petit problème ludique de géométrie dans une salle de cinéma !
150

3.5.39

Un exercice proposé par Vincent Lafforgue e

P Alain Genestier m’a communiqué un exercice de Vincent Lafforgue qui a envoyé
un corrigé succinct. Nous en faisons ici une traduction bien moins succincte, mais jel’espère compréhensible par nos étudiants de Master. Merci à Loris d’avoir filmé tout
ce temps malgré son rhume : -)4
4.1

C’est graphe docteur ? (7)Graphes (a minima) pour l’oral de l’agrégation - 1

P On propose ici une petite discussion informelle sur les graphes. D’abord, on parlera
de définitions, vocabulaire. Ensuite, de ce que les graphes veulent bien modéliser, etdes problèmes que les outils développés dans la théorie veulent bien résoudre. Après
avoir passé rapidement sur les algorithme, on attaque le lemme des poignées de mains,
avec un joli problème... de poignées de mains.

4.2

Graphes (a minima) pour l’oral de l’agrégation - 2

P On regarde les longueurs de chemins le long des arêtes d’un graphe, ce qui nous
amène naturellement du côté théorique, vers des problème de puissances de matrices,donc de réduction, et du côté de la modélisation, vers des problèmes de type ≪ évolution
probabiliste ≫. Ensuite, on s’intéresse aux graphes sous-jacents de polyèdre. On peutalors, rien qu’avec la structure de graphe, classifier les solides platoniciens, et voir quel’on ne pourra jamais paver un ballon de foot avec des hexagones, ce qui ne nous a pas
empêcher de gagner le mondial en 1998...

4.3

Graphes (a minima) pour l’oral de l’agrégation - 3

P On termine avec quelques petites choses sur le nombre chromatique et des petites
choses afférentes.

4.4

Nombre chromatique d’un graphe et théorème spectral

P Le nombre chromatique d’un graphe est le nombre minimal de couleurs que l’on peut
attribuer à ses sommets pour que deux sommets connectés soient de couleurs différentes.
On prouve une inégalité sur le nombre chromatique d’un graphe en fonction du spectrede sa matrice d’adjacence. L’inspiration provient de la jolie épreuve 1 de l’agrégationinterne de 2019.

4.5

Inégalités de Cheeger pour les graphes

P L’étude des graphe passe souvent par celle de sa matrice d’adjacence, qui, commetoute matrice réelle symétrique, possède une suite décroissante de valeurs propres
151réelles. Nous allons voir (découvrir ?) que la robustesse du graphe, c’est-à-dire, sa capacité à rester connexe même si on en retire des sommets, dépend de la position de laseconde valeur propres par rapport à la première.

4.6

Un exercice sur les graphes et la star ζ(2) !

P Voici un exercice assez élémentaire sur la coloration des graphes qui fera curieusement intervenir la fonction zeta en 2 et donc le fameux nombre pi. Il est inutile de savoir
quoi que ce soit sur les graphes pour se retrouver dans un problème de dénombrement
qui amène naturellement à la série de Riemann.

5
5.1

On finit en chanson !
U-Turn (Philippe) par Guillaume Mallet

P Une année belle année de prépa pleine d’émotions, qui finit en chanson, avec
Guillaume et sa cover de U-Turn (Lili)

5.2

Tarare (et on a fait des maths)

P A joint work of U.C.B.L (United Choir of Baire Lovers) and Topoldavy University

5.3

La dernière échéance, United Choir of Baire Lovers

P Une petite vidéo souvenir de ces moments passés à préparer l’agreg externe sousconfinement.

5.4

Le banquet final à la Chapelle

P Une année pleine d’émotion, d’échanges, d’espoirs, de réussites... ou pas. Mais uneannée qui se termine en chanson !

152