名古屋大学大学院多元数理科学研究科
伊藤2010/9/26

由佳理

日本数学会市民講演会1

数学は、たくさんあるものを分類・区別して、きれいに整理整頓する学問です。
まずは、具体例を考えましょう！

2010/9/26

日本数学会市民講演会

2

洗濯物を片づけよう！

2010/9/26

日本数学会市民講演会

3



たたむ

2010/9/26

日本数学会市民講演会

4

たんすにしまう2010/9/26

日本数学会市民講演会

5



Ａさんの場合2010/9/26

日本数学会市民講演会

6

Ｂさんの場合2010/9/26

日本数学会市民講演会

7

Ｃさんの場合2010/9/26

日本数学会市民講演会

8

さて、あなたは？

2010/9/26

日本数学会市民講演会

92010/9/26

日本数学会市民講演会

10

鏡にうつる姿は、こちらと同じように動くが、向こう側の構造は反対でもある。
 「鏡の国のアリス」「ひみつのアッコちゃん」


ラカンの「鏡像段階論」（精神分析） 鏡はいろんな場面に登場する不思議な道具。
2010/9/26

日本数学会市民講演会

11

鏡の中の姿は、自分と対称性がある。
 「幾何学的な対称性」に注目するとき、「色」の違いは、数学では気にしない！
2010/9/26

日本数学会市民講演会

12



「対称性」は、幾何学的にだけではなく、代数学的にも、解析学的にも定義できる。

【例】次の式は、aとbについて、対称である。

a+ab+bつまり、a とｂを入れ替えても、同じである。

2010/9/26

日本数学会市民講演会

13

幾何学的には「対称性」を次のように定義する。
【対称性（たいしょうせい）】
対称性をもつ、とは？
ある軸を中心として回転したり、ある点を中心として反転したり、鏡に映す、などある操作（合同変換）の後にはじめの状態と同じ状態になることをいう

2010/9/26

日本数学会市民講演会

14

線対称2010/9/26

日本数学会市民講演会

15

点対称2010/9/26

日本数学会市民講演会

16

まずは、自分自身とまったく同じになる鏡を考えましょう！



つまり、「鏡に映した姿」が「自分」とまったく同じになってしまう場合を考えます。



ある図形を自分自身にうつす「動かし方」が、どのくらいあるのか見てみましょう！

2010/9/26

日本数学会市民講演会

17

対称性のある図形には、こんなものもあります。

2010/9/26

日本数学会市民講演会

18

「幾何学的な対称性」を表す方法として、「群（ぐん）」という概念がある。
【群（ぐん）】
ある演算＊で閉じた代数的集合Gの、任意の元x,y,zが、次の性質をみたすとき、群という。
１．(x＊y)＊z=x＊(y＊z) （結合法則）
２．x＊e=e＊x=x をみたす単位元eが存在する。
３．x＊y=y＊x=e をみたすxの逆元yが存在する。
2010/9/26

日本数学会市民講演会

19

「家紋の動かし方全体」は群になる！

定義の１から３の性質は、１．３つの操作に関して、結合法則がなりたつ
２．単位元＝恒等操作（何もしない）
３．逆元＝ある動かし方の逆操作

2010/9/26

日本数学会市民講演会

20

家紋の動かし方
その１（回転）・・・・巡回群
家紋自身を、回転することにより、自分自身に一致させることができる。
【例】三つ巴（みつどもえ）
120度回転で、自分自身と一致する。


これは３次の巡回群

2010/9/26

日本数学会市民講演会

21

家紋の動かし方
その２（回転と裏返し）・・・・二面体群
家紋自身を回転したり、裏返すことで、自分自身に一致させることができる。
【例】桔梗（ききょう）
72度回転や、裏返しによって、自分自身と一致する。


これは５次の二面体群

2010/9/26

日本数学会市民講演会

22

他にも、いろんな動かし方があります。

菊桐花菱

違い枡に桔梗

2010/9/26

日本数学会市民講演会

23

異なる図形でも、動かし方が同じなら、対応する群が同じとみなします。

たとえば、次のふたつは、動かし方は同じなので、対応する群も同じです。
桐2010/9/26

橘

日本数学会市民講演会

24

家紋の種類は豊富にありますが、家紋を自分自身に重ねる操作（合同変換）にあたる群は、回転と裏返しだけになる。つまり、１．ｎ次の巡回群（正ｎ角形の回転）
２．ｎ次の二面体群（正ｎ角形の回転と裏返し）のいずれかになります。
2010/9/26

日本数学会市民講演会25



３次元の正多面体は、ぜんぶで５種類あります。

これらはプラトンの正多面体とも呼ばれています。
2010/9/26

日本数学会市民講演会

26



しかし、３次元の正多面体の合同変換群は、３種類しかありません！

１．正四面体群（正四面体）
２．正八面体群（立方体、正八面体）
３．正１２面体群（正１２面体、正２０面体）

2010/9/26

日本数学会市民講演会

27

正多面体の合同変換群が、３つになるのは、図形の双対性のためです。
立方体と正八面体（正12面体と正20面体）は互いに頂点と面を対にすることができるので、動かし方は、同じになります。
2010/9/26

日本数学会市民講演会

28

ここまでに出てきた群は、３次元の空間内の距離を変えない合同変換に対応しています。
【定理】３次の回転群SO(3)の有限部分群は１．巡回群
２．二面体群
３．正四面体群
４．正八面体群５．正１２面体群のいずれかと同型である！
2010/9/26

日本数学会市民講演会

29



ある図形を自分自身に移す対称性に注目して、2次元と3次元の場合を見てきました。



こんどは、同じ図形がどこまでも続いているような場合を考えてみましょう。



そのために、回転と裏返しのほかに、平行移動も加えてもとの図形と一致する場合を考えます。

2010/9/26

日本数学会市民講演会

30さらに、平行移動を加えると・・・包装紙や壁紙のように連続する図形が得られます。


このような図形を自分自身に重ねる動かし方は「２次元結晶群」と呼ばれ、全部で１７種類！

１．スペインのアルハンブラ宮殿のタイルの模様
２．着物などの古典的な文様 などにもあります。
『この定理が美しい』（数学書房）の「対称性の美」参照
2010/9/26

日本数学会市民講演会

31

さらに3次元でも平行移動を加えた「3次元の結晶群」を考えることができます。
 数学的には、「3次元結晶群」は、217種類あることが証明されており、そのほとんどが自然界に存在するようです。


さらに4次元では、4783種類あるそうです。

2010/9/26

日本数学会市民講演会

32

「群」は、図形の対称性を知る手段として、 物理学や化学などでも、よく利用されています。

その代表的なものが、分子の構造決定である！
自然界に存在する未知の物質の分子構造を知るため、その物質に特殊な光を当てて、幾何学的な対称性を調べることで、その分子の結晶構造がわかります。

天然物合成の技術は、製薬などに応用されています。

2010/9/26

日本数学会市民講演会

33

2001年ノーベル化学賞「不斉分子触媒の開発」

２つの鏡像体のうち、一方だけの合成を可能にする重要な反応の触媒分子を開発。

野依 良治氏名古屋大学野依記念物質科学研究館2F
ケミストリーギャラリー
2010/9/26

日本数学会市民講演会

平日10:00～16：00
34

2008年ノーベル物理学賞「CP対称性の破れの起源の発見」
1972年に、粒子と反粒子の非対称性で、私たちの世界が存在すると提唱し、30年後に大型加速器で実証された。
小林誠氏

益川英敏氏

ノーベル物理学賞・化学賞展示室（理学部Ａ館1階）
月～木 10:00～12:00、13:00～16:00
2010/9/26

日本数学会市民講演会35

このように、数学では「対称性のよいもの」に注目することが多いのですが、自然科学では「対称性がないところ」に面白い研究対象があることも多いようです。

2010/9/26

日本数学会市民講演会

36

2010/9/26

日本数学会市民講演会

37





10月に名古屋で開催される「生物多様性会議」
では、様々な生物の関わり合いが議論されます。
数学という学問は、数多くあるものの本質的な部分、基本的な構造に注目することが多いので、一見「多様性」とは相反するもののようですが、自然科学や社会現象の説明にも使われています。
「恐竜たちがやってきた」－化石から学ぶ過去の生物多様性－
名古屋大学博物館～2010年9月30日(木)2010/9/26

日本数学会市民講演会

38©Emily©Haruki
2010/9/26

日本数学会市民講演会

39