博士（理学）松田晃一
学 位 論 文 題 名

A qualitative theory of similarity pseudogroups:analogs of the theorem of Hector and Dummy（相似変換擬群の定性論：Hector―Dummnyの定理のアナ口ジ−）

学 位 論 文内 容 の 要 旨
管 を多 様体上の余次元g葉層構造とする。管の各ホロノミー変換写像がRq上 の局所相似変換となる時に、管は横断的相似葉層であるという。従って、ワが横断的相似葉層である
な らば、ワのホロノミ一変換写像達により、Rq上の局所相似変換からなる移のホロノミー擬群が得られる。ホロノミー擬群は葉層の横断的な構造を記述しており、この擬群の作用を調 べ る事 によ り、 各葉 の近 傍さ らに その葉自身の振る舞いを特徴付ける事が 出来る。
q‑lで ある場合、横 断的相似葉層は非常に研究され、特に、これらの葉層は 横断的アフ ァ イン 葉層と呼ばれている。実際、余次元1のC2級葉層構造の定性論は多く の人々によ って研究されてきた。ここでいくっかの興味深い定理を思いだそう。ヴをCoo級閉多様
体 M上 の 横 断 的 に 向 き 付 け 可 能 な 余 次 元1のぴ 級葉 層構 造と する 。 ケの 葉Fが高 々一方の側から自分自身に近付く時、半真であるとしゝう。Fをケの、真でない半真葉とする、っまり、丁度一方の側（これを非真側という）から自分自身に近付く葉であるとする。この場
合 、Fは例外型の局所極小集合 形に含まれる例外葉となることが知られている。このような F及び 形に対して、 次にあげるいくっかの定理の一部は、古典的ではあるが 、余次元1葉層の定性論においては重要な結果である。
(1) (Sacksteder)局所極小集合ー形コFは縮小写像をホ口ノミーとしてもっような葉を含む。
(2) (Hector―Dummy)
Fはその非真側に芽としての縮 小写像をホロノミーとして持つ。
(3) (Cantwell‑Conlon)局所極小集合ー形コFがMa
rkov型、っまり、そのホロノミーが記号力学系をモデルにしているような局所極小集合であるならぱ、イ彩は高々有限枚の半真例外葉を含む。
(4)（稲葉）ケを横断的区分線形な葉層とする。もしケがあるC2葉層と位相共役ならば、局所極小集合形コFは高々有限枚の半真例外葉を含む。
一方、q>2である場合、興味深い結果は未だ に得られていない。これは葉の漸近的な振舞いが非常に複雑であるからである。例えば、極小集合のタイプでさえも、未だに完全には特徴付けられていないように思われる。
そこで、研究対象を制限するために、北海道大学の西森敏之氏は、余次元q横断的相似葉層を直接扱うかわりに、Rqの局所相似変換のなす擬群を扱い、その定性的な性質を調べる事― 56―

にし、 さらに 、余次 元1の場 合にお ける

半真葉

念 の代 替 と し て、とい う概念 を導入 した； PをRq内の 有界凸 開集合 をbubblesを 持つ軌 道（擬群の作用の言葉では 半真軌道 ）の概

定義域 と値域 に持つ相似変換のなす擬群とし、TERqを通るrの軌道F（￠）＝｛ん（￠）1んEr｝
を 考 え る 。 こ の 時 r(xの 各 元 ッ Er(x)に 対 し て 、 空 で な い 有 界 凸 開 集 合 By（ こ れ を ジでのbubbleと いう） が存在 して次 の三条件 を満た す時、 r（エ） はbubbles{BylyEr(x)を持つと
い う ； (a)り は Byの 境 界 に 含ま れ る 。 (b) Yi， ぬ Er(x) (Yi≠ Y2)な ら ばBy． nBy2‑D。 (c)ん Erに 対 し 、 ん は 実 解 析 的 で あ る た め 、ん の Rg全体 へ の 拡 張は 一 意 に 決ま る が 、 これ を元と書 いた時 、ジEr(x)に対し 、h(By)＝Bh(y)°以 下 、 rを Rqの 局 所 相 似 変 換 の な す 擬 群と し 、 ヱ ERqの 軌 道 r(x)が bubbles {By}yer(x)を 持っ と す る 。こ の よ う な状 況 設 定 の元 で 、 西森氏 は、次 の形で 、(1)のSackstederの定理
が 相 似 変 換 の 場 合 に 成 り 立 つ 事 を 示 し た ； rの 元 9お よ び r(x)の閉 包 に 含 まれ る 点 zで 、9（之） ＝zかつ 9がzへの 縮小写 像であ るもの が存在 する。
こ こ で は 、こ の 設 定 の元 で 、 bubblesを持 つ 軌道の 定性的 な性質 の研究 を続け る。特 に、余 次元 1の 場 合 に おけ る 、 上 にあ げ た Hector‑Duminyの 定 理 、 Cantwell・Conlon― 稲葉の 定
理のア ナ口ジ ーにつ いて考 察を行 った。
Hector‑Duminyの 定 理 に つ い て は 、 Hectorが 余 次 元 1で 実解 析 的 (C 級 ） な 場合 に 行 った 証明 が あ る ため 、 この 議論を 相似変 換の場合 に移行 させ、 「rの元 9で、9（ ヱ）＝ ヱかつ 9が恒等 写像で ないも のが存 在する 」事を 明らかに した。
こ れ に よ り、 恒 等 写像以 外の物 が存在 する事 は分か ったので はある が、に を中心 とする 回転 の 可 能 性 は 排 除で き な い 。こ れ は 1次 元 （余 次 元 1） で C 級 の場 合 に お いて は 、 恒 等写像でな いもの 存在を 示して おり、 これは すなわち （それ 自身も しくはその逆写像が）縮小写像に なっ て し ま うた め であ る。そ こで、 この議論 で縮小 写像の 存在を 示すに は、限 界があ るよ
うに思 われた 。
そ こ で 、 rの 作 用及 び ￡ で のホ 口 ノ ミ ーの 生 成 元 の記 述 及 び それ ら の 共 通定 義 域 の 存在に つい て の 考 察と 特 徴 づ けを 行 う 事 によ り 、 「rの元 9で、9（ 2）＝￠ かつ9が 縮小写 像（つま り9の相 似 比 が 1未 満 ）と な る も のが 存 在 す る」 事 を 導 き出 す 事 が できた 。また 、ここ での 議論 に よ り 、(3） のCantwell‑Conlonの定理 、(4)の稲 葉の定 理に関 しては 、「軌 道r(x)の閉 包 が 含 む 軌 道 で bubblesを 持 っ も の は 有 限 個 」 と い う 形 で 示 す 事 が で き た 。
ホ ロ ノ ミ ーと し て 縮小写 像の存 在は分 かった のであ るが、回 転する ホ口ノ ミーも 存在し うる 。従 っ て 、 回転 す るホ ロノミ ーの性 質を明ら かにす る事も 重要に 思われ る。回 転の作 用の性 質を 解 き 明 かす 為 のー っとし て、そ の不動点 集合が どうな ってい るか調 べる事 は有効 な事
で あ ろ う 。 し か し一 般 に q>3の場 合 、 回 転の 不 動 点 集合 は 離 散 集合 で は な くな っ て し まう
こ とが あ る 。 その た め 、 その 不 動 点 集合 の 中 におけ るr‐軌 道の分 布状況 を調べ る必要 が出てくる が、こ れを各 次元に ついて 考察す るのは難 しく思 われる 。
そ こ で 、 ここ で は 、 2次 元、 っ ま り 、11が R2の局 所相似 変換の なす擬 群であ る場合 に限って 考察 を 行 う 事に し た 。 これ は 、 g− ー 2の 場 合の回転 は、1点 のみを 固定す る（っ まり、 この点を 中心と する回 転とな る）た め、扱 いやすい からで ある。 この状況のもとでは、「ジを軌道 r(x)の 閉 包 に 含 ま れ る 点 、 9Erを 9（ め 〓 ￠ を み た す xに お け る 回 転 写 像 で あ る と する と、 あ る 'nが 存 在 し て9 は 恒 等 写 像に な る 。っま り、ホロ ノミー 写像が 回転で あれば 、それは 、有限 位数（ 有限回 の合成 をとる ことによ り、恒 等写像 ）となる」事を明らかにした。
ま た、 さ ら に 、「 軌 道 r(x)の ホロ ノ ミ ー はコ ン パ ク トな 台 を 持 つ」 っ まり、 軌道r(x)の十分 大き な コ ン パク ト 集合 の外で 、ホロ ノミーを 考えた 場合、 それは 全て恒 等写像 となっ ていること を明ら かにし た。

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学 位 論 文 審 査の 要 旨
主 査 教授 西 森 敏 之
副 査 教授 諏 訪 立 雄
副 査 教 教 授 泉 屋 周 一
副 査 助
授 森 吉 仁 志

学 位 論 文 題 名A qualitative theory of similarity pseudogroups:analogs of the theorem of Hector and Dummy（ 相 似 変 換 擬 群 の 定 性 論 ： Hector― Du minyの 定 理 の ア ナ 口 ジ ― ）gを 多様体上 の余次 元q葉屠 構造と する。 gの各ホ ロノミ 一変換 写像が R 上の 局所相 似変換となる時に、9は横断的相似葉層であるという。gニニニ1である場合、特に横断的アファイン葉 層と呼 ぱれ、 余次元 1のC2級葉 層構造 の定性 論の研 究対象 のーっとして、多くの人々に よ って 研 究 さ れて い る 。ア をCoo級閉 多様体 M上の横 断的に 向き付け 可能な 余次元 1のC2級葉 層構造 とする 。アの 葉Fが高 々一方 の側か ら自分 自身に 近付く時、半真であるという 。 Fを ア の、 真 で な い半 真葉 とする と、Fは 例外型の 局所極 小集合 Mに含ま れる例 外葉とな ること が知ら れてい る。こ のよう なF及び Mに対し て、次に あげる 定理は 、古典 的ではあるが、重要な結果である。
定 理 (l)(Sacksteder)Mは 縮 小 写 像 を ホ ロ ノ ミ ー と し て も っ よ う な 葉 を 含 む 。
定 理 (2)(Hector‑Duminy） Fは そ の 非 真 側 に 縮 小 写 像 を ホ ロ ノ ミ ー と し て 持 つ 。
定理 （3）（ Cantwell−ConIon）MがMarkov型ならば 、高々 有限枚 の半真 例外葉 を含む 。
定理（4）（稲葉）アが横断的区分線形な葉層で、あるC2葉層と位相共役ならぱ、Mは高々有限枚の半真例外葉を含む。
一方 、q≧2である場 合、興 味深い 結果は未だに得られていない。そこで、研究対象を制限す るため に、北 海道大学の西森敏之は、余次元q横断的相似葉脳を直接扱うかわりに、Rgの局 所相似 変換の なす擬群を扱い、その定性的な性質を調べる事にし、さらに、余次元1の‑ 58―

場合における半真葉（擬群の作用の言葉では 半真軌道 ）の概念の代替として、 bu
bblesを持つ軌道とぃう概念を導入した； rをRq内の有界凸開集合を定 義域と値域に持つ相似変換のなす擬群とし、￡E Rqのr‐軌道r（￡）＝tん（￡）IんEr）を考える。この時、各yEr(x)に 対し て、 空でない有界凸 開集合By（これをりでのbubbleという）が存在して次の 三条件を満たす時 、r(x)はbubbles {By}yer(￡）を持っという；(a)りはByの境界に含まれる。(b)恥，弛Er（ ￡）（飢i Y2)ならばByエnByユ＝0。(c）んerに対し、 んのRq全体への拡張をんと書いた時、ん（ジ）≠りなるりE r(x)に対し、h(By）＝B＾（y）゜
このよう な状況設定の下で、西森は、次の形で、（1）のS
ackstederの定理が相似変換の場
合 に成 り立 つ 事を 示し た； rの 元gおよびr(x)の閉包に 含まれる点；で、g（z）＝； かつgがzへの縮小写像であるものが存在する。
ここでは 、この設定の下で、bubblesを持つ軌道の定性的な性質の研究を続け、特に、余次元 1の 場合 における、上にあ げたHector‑Duminyの定理、 Cantwell‑Conlon‑稲葉の定 理のアナロジーについて考察を行った。
Hector‑Duminyの 定理 に つい ては 、Hectorが 余次 元1で実 解析的である場合に行 った証
明を参考にし、「rの元gで、g（￡）＝￡かっgが恒等写像でないものが存在する」事を明らかにした。さ らに、rの作用及び￡でのホロノミーの生成元の記述及びそれらの共通定義域の存在にっいて の考察と特徴づけを行う事 により、「rの元9で、g（ヱ）＝￡かつ9が縮小写像となるものが 存在する」事を導き出した 。また、ここでの議論により、(3)のC
antwell‑Conlonの定理、(4)の稲葉の定理に関しては、 「軌道r(x)の閉包が含む軌道でbubblesを持っものは有限個」という形で示した。
ホ口ノミ ーとして縮小写像の存在は 分かったのであるが、回転するホロノミーも存在しうるため、そ のようなホ口ノミーの性質を明らかにする事も重要である。ここでは、2次元、つまり、rが R2の局所相似変換のなす擬群 である場合に限って考察を 行った。この状況のもとで は、 「り を軌道r(x)の閉 包に含まれる点、FErをg（エ ）〓￠をみたすェにおける 回転写像 であ ると すると、あるnが 存在してg は恒等写像にな る。っまり、ホロノミー写 像が回転であれば、それは、有限位数（有限回の合成をとることにより、恒等写像）となる」亊を明らかにした。また、さらに、「軌道r(￡）のホ口ノミーはコンパク卜な台を持つ亅っまり、軌道r(x)の十 分大きなコンパクト集合の 外で、ホロノミーを考えた場合、それは全て恒等写像となっていることを明らかにした。
これを要 するに、著者は相似変換擬 群の定性論における定理の形で横断的相似構造をもつ葉層に対する新知見を得たものであり、微分トポロジー（葉層構造論）に貢献すること大なるものがある，
よっ て著 者 は、 北海 道大 学博 士 （理 学） の学 位を 授 与さ れる資格あるものと認 める．

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