教科

数学科

目

数学Ⅱ･Ｂ
数学Ⅲ(理系)

対象学年

クラス

必選択

単位数

２

習熟度

必修

理系７
文系６

担当者

○○

○○、○○

○○

＜講座の概要＞理系は国公立大の２次試験および私立大の入試問題に対応できるよう授業を進めます。文系はセンター試験に対応できるよう授業を進めます。２年生ではさらに進度が速くなりますので、毎日１時間以上勉強する必要があります。
＜学習目標＞
１．数学における基本的な概念や原理・法則の理解を深める。
２．事象を数学的に考察し処理する能力を高める。
３．数学的活動を通して創造性の基礎を培う。
４．数学的な見方や考え方のよさを認識し、それらを積極的に活用する態度を育てる。
＜学習計画＞「図形と方程式」（Ⅱ）→「数列」（Ｂ）→「三角関数」（Ⅱ）→「指数関数・対数関数」（Ⅱ）→「微分と積分」（Ⅱ）→「ベクトル」（Ｂ）→「極限」（Ⅲ、理系のみ）＜使用教材＞
教科書：数学Ⅱ・Ｂ・Ⅲ
飯高 茂／松本 幸夫 編東京図書
問題集：エクセル（標準）
実教出版
参考書：ニューアクションβ
東京図書＜評価方法＞
１．定期テスト・実力テスト・確認テスト
２．提出物
３．受講態度
１に２、３を加味して評価します。
＜備考＞
予習復習を心がけましょう。また、教科書の事項は完全にマスターできるよ
う努力してください。単元ごとに確認テストを実施しますので、それを目標に勉強してもいいでしょう。問題集の問題はすべて解くようにしてください。十分演習を行わないとテストで力を発揮できません。参考書も積極的に解いてください。標準レベルの例題は入試に直結しており、非常に重要です。とにかく量を解くことが必要不可欠で、成績アップの鍵になります。

単元と到達度

数学Ⅱ

単元＜図形と方程式＞
点と直線２点間の距離
内分点・外分点直線の方程式

２直線の関係

円
円の方程式
円と直線

軌跡と領域
軌跡の方程式

不等式の表す領域
連立不等式の表
す領域＜三角関数＞三角関数
一般角三角関数
三角関数の性質
三角関数のグラフ

三角関数を含む
方程式・不等式

学習内容

到達度目標

・直線上・座標平面上の２点間の距離が求められる。
・どんな三角形か求められる。
・Ａ，Ｂから等距離にある x 軸上の点を求められる。
直線上・座標平面上 ・直線上・座標平面上の内分点・外分点、中点が求められる。の内分点・外分点、 ・点 A(2,3)に関して点 P(-1,2)と対称な点を求められる。
・三角形の重心が求められる。
中点、重心、中線方程式の表す図形、 ・１つの点と傾きおよび２点が与えられたときの、直線の方程い ろ い ろ な 直 線 の 式を求めることができる。
方程式、x 切片、y 切 ・A(-2,6),B(7,3),C( a , a +4)が一直線上のときの a が求まる。
・ x 切片、 y 切片が与えられたとき、直線の方程式が求まる。
片平 行 条 件 、 垂 直 条 ・平行条件、垂直条件を理解し、活用できる。
件、２直線の交点を
例：点(-1,2)を通り直線 3x + 2 y − 5 = 0 に平行・垂直な直線。
通る直線、点と直線 ・直線 x + 2 y − 10 = 0 に関して、点 A(1,2)と対称な点が求まる。の距離、中線定理、 ・２直線の交点を通る直線を求めることができる。
垂心
例： 3x + 4 y − 17 = 0 , x − 2 y + 1 = 0 の交点と点(-1,3)を通る。
・点と直線の距離の公式を理解し、活用できる。
・中線定理を証明できる。
・三角形の垂心を求めることができる。
円の方程式
・円の方程式を理解し、活用できる。
例：３点 A(-7,5),B(-3,7),C(0,-2)を通る円の方程式。
共有点、接線、接点、 ・共有点の座標を求めることができる。
弦の長さ、接線の方 ・判別式により共有点の個数を求めることができる。
・弦の長さを求めることができる。
程式
・円に外接する接線の方程式を求めることができる。
例：点(15,5)を通り、円 x 2 + y 2 = 50 に接する直線の方程式。
直線上・座標平面上の２点間の距離軌跡、アポロニウスの円・Ａ，Ｂから等距離にある点の軌跡を求められる。
・アポロニウスの円を求められる。
・パラメータを利用して、軌跡を求められる。
例：放物線 y = x 2 上を動く点と定点Ａ(4,2)との中点の軌跡。

不等式の表す領域、・不等式の表す領域を図示できる。
・円の内部と外部を図示できる。
・連立不等式の表す領域を図示できる。
・線形計画法により、最大値・最小値を求めることができる。

連立不等式の表す領域、領域と最大値・最小値

動径、始線、一般角、 ・動径、始線、一般角が理解できる。
弧度法、ラジアン、 ・弧度法、ラジアンが理解できる。
扇 形 の 弧 の 長 さ と ・扇形の弧の長さと面積が理解できる。
面積三角関数、単位円・三角関数の定義が理解できる。
・単位円を利用して、三角関数の値を求めることができる。
三 角 関 数 の 相 互 関 ・三角関数の相互関係が理解できる。
係、三角関係の性質 ・三角関係の数々の性質が理解できる。
三角関数のグラフ、 ・三角関数のグラフを理解し、かくことができる。
正弦曲線、漸近線、 ・正弦曲線、漸近線、周期、周期関数の意味が理解できる。
周期、周期関数、い ・拡大、縮小、平行移動することにより、いろいろな三角関数
ろ い ろ な 三 角 関 数 のグラフをかくことができる。のグラフ
三角方程式、三角不 ・単位円、グラフを利用して、三角方程式、三角不等式を解く等式ことができる。

２倍角の公式

正弦・余弦・正接の加法定理、２直線のなす角２倍角の公式・正弦・余弦・正接の加法定理を理解し、活用することができる。
・２直線のなす角を求めることができる。
・２倍角の公式を理解し、活用することができる。
例：① 0 ≦ θ < 2π のとき、 sin 2θ = cos θ を満たす θ の値。
② 0 ≦ x < 2π のとき、 y = cos 2 x + 2 sin x の最大・最小。

三角関数の合成

三角関数の合成・三角関数の合成を理解し、活用することができる。

加法定理
加法定理

例：① 0 ≦ θ < 2π のとき、 sin θ − 3 cos θ = 1 を満たす θ の値。
＜指数関数・対数関数＞
指数関数
指数法則
累乗根
指数の拡張
指数関数とそのグラフ対数関数
対数とその性質対数関数とそのグラフ

a 0 , a − n 、指数法則、 ・ a 0 , a − n の定義を理解できる。

大きい数、０に近い数
n 乗根、累乗根、累乗根の性質
有理数を指数とする累乗指数関数、指数関数の性質、漸近線、増加関数、減少関数
対数、底、真数、対数の性質、底の変換
公式
対数関数、対数関数の性質

・指数法則を理解し、活用できる。
・大きい数、０に近い数を表すことができる。
・ n 乗根、累乗根を理解できる。
・累乗根の性質を理解し、活用できる。
・有理数を指数とする累乗を理解し、活用できる。
・指数関数のグラフをかくことができる。
・指数関数の性質を理解し、活用できる。
例： 4 2 x = 2 x −6 , 9 x − 3 > 2 × 3 x を解ける。
・対数の定義を理解できる。
・対数の性質を理解し、活用できる。
・底の変換公式を理解し、活用できる。
・対数関数をかくことができる。
・対数関数の性質を理解し、活用できる。
例：① log 10 x + log 10 (2 x + 1) > 1 を解ける。
② y = (log 3 x) 2 − 4 log 3 x + 3 (1 ≦ x ≦ 27) の最大・最小。

常用対数＜微分と積分＞微分係数と導関数
微分係数
導関数

導関数の応用接線関数の増減と極大・極小関数の最大・最小方程式・不等式
への応用
積分不定積分定積分

常用対数

・常用対数の定義を理解し、活用できる。

・平均変化率を理解できる。
・極限値を理解できる。
・微分係数を理解できる。
導関数、増分、微分、 ・導関数の定義を理解できる。
導関数の計算、微分 ・微分の意味がわかる。
・導関数の計算ができる。
係数の計算
・微分係数の計算ができる。
接線、接点、接線の ・接線の傾きが部分係数であることを理解できる。
傾き、接線の方程式 ・接線の方程式を理解し、活用できる。
例：点 A(3,-4)から放物線 y = x 2 − 3 x へ引いた接線を求めよ。
平均変化率、極限値、微分係数

関数の増減、導関数の符号、増減表、極値、極大・極小・導関数の符号と関数の増減の関係が理解できる。
・増減表により、極大値・極小値を求められる。
・ f ′( x) = 0 でも極値でないことを理解できる。

関数の最大・最小・関数 f ( x) = x 3 + ax 2 + bx − 1 が x = 1 で極大値、 x = 3 で極小値を取るとき、定数 a , b の値が求められる。
・区間における最大・最小を求めることができる。

実数解、不等式の証 ・グラフを利用して、実数解を求めることができる。
明・グラフを利用して、不等式を証明できる。
原 始 関 数 、 不 定 積 ・不定積分を理解し計算できる。
分、積分定数、不定積分の計算
定積分、上端、下端、 ・定積分を理解し計算できる。
定積分の性質、定積 ・定積分の性質を理解し、活用できる。
・定積分と微分の関係を理解し、活用できる。
分と微分

例：

x

∫ f (t )dt = 3x − 4 x + 1 を満たす f (x) と定数 a を求めよ。
2a面積

定積分と面積、２曲線間の面積・定積分と面積の関係を理解できる。
・いろいろな面積の計算ができる。例：

3∫ x( x − 2) dx0∫

β1・ ( x − α )( x − β )dx = − ( β − α ) 3 を積極的に活用できる。
（発展）
α6

単元と到達度
＜数列＞
数列
数列
等差数列
等差数列の和等比数列
等比数列の和和の記号Σ

数学Ｂ
数列、項、初項、第 n 項、 ・数列の定義を理解できる。
一般項、有限数列、無限数列、項数、末項等差数列、公差・等差数列の定義を理解し、一般項を求められる。
例：第 4 項が 14、第 10 項が 62 である等差数列の初項と公差。
等差数列の和、自然数 ・等差数列の和、自然数の和を求められる。の和
例：5 で割ると 2 余る正の整数のうち 2 桁のものの和。
等比数列、公比・等差数列の定義を理解し、一般項を求められる。
例：第 2 項が 14、第 5 項が 112 である等比数列の初項と公比。
等比数列の和・等比数列の和を求められる。
例：初項から第 3 項までの和が 9、初項から第 6 項までの和が-63 である等比数列の初項と公比。
和の記号Σ、Σの性質、 ・和の記号Σの定義を理解できる。
累乗の和・Σの性質を理解し、計算できる。
n・累乗の和を理解し、計算できる。例：∑ (k + 3k − 4)2k =1

いろいろな数列

漸化式と数学的帰納法
漸化式

数学的帰納法＜ベクトル＞
平面上のベクトル
ベクトルの意味
ベクトルの加法・減法・実数倍階差数列、数列の和と一般項、部分分数、群数列・階差数列の一般項を求められる。例：2,6,12,20,30,42,･･･・数列の和から一般項を求められる。例: S n = n 3 − n・部分分数に分解することで、一般項を求められる。
11
11+++ ･･･+
例：1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4n(n + 1)

・ r ≠ 1 のとき、 S n = 1 + 2r + 3r 2 + 4r 3 + ･･･+ nr n −1 を求められる。
・群数列の一般項、第 n 群の総和を求められる。
例：1|3,5|7,9,11|13,15,17,19|･･･
帰納的定義、漸化式、 ・帰納的定義により、漸化式を理解できる。
漸化式の応用・漸化式から具体的に数列を求められる。
・漸化式から一般項を求められる。例：① a n +1 = a n − 3 、② a n +1 = −3a n 、③ a n +1 = a n + n + 1 、④ a n +1 = 2a n − 1
・漸化式を応用できる。
数学的帰納法、漸化式 ・数学的帰納法により、等式・不等式を証明できる。と数学的帰納法
例： 1 + 3 + 5 + ･･･+ (2n − 1) = n 2 、 2 n > 2n・漸化式から一般項を推測し、数学的帰納法により証明できる。
1（ n =1,2,3,･･･）
例： a1 = 2 , a n +1 = 2 −an
有向線分、始点、終点、 ・ベクトルの定義を理解できる。
ベクトル、大きさ、ベ ・ベクトルの相等を理解できる。
クトルの相等、逆ベク ・逆ベクトル、零ベクトルを理解できる。
トル、零ベクトル
ベクトルの加法･減法･ ・ベクトルの加法・交換法則・結合法則・減法・実数倍を理解
実数倍、単位ベクトル、 し、活用できる。
ベクトルの平行と分解 ・ベクトルの平行と分解を理解し、活用できる。

ベクトルの成分

ベクトルの内積

基本ベクトル、成分表 ・基本ベクトルによる表示、成分表示、ベクトルの大きさを理示、ベクトルの大きさ、 解できる。
成分による演算、１次 ・成分による演算ができる。例： a = ( 2 ,3 ) , b = ( − 1 ,2 ) のとき、独立、座標と成分表示、
c = (5 ,4) を ma + nb の形に表すことができる。
ベクトルの平行・座標と成分表示について理解し、演算できる。
・ベクトルの１次独立について理解できる。
・ベクトルの平行条件を活用できる。
内積、垂直、性質［１］、 ・ベクトルの内積の定義を理解できる。
内積と成分、なす角、 ・ベクトルの垂直と内積の関係を理解できる。
・内積の性質［１］を理解できる。
性質［２］・内積の成分表示を理解できる。
・ベクトルのなす角を求めることができる。
・内積の性質［２］を理解し、活用できる。
例：① | a |= 2, | b |= 3, a･b = 4 のとき、 | a + 2b | の値を求めよ。
② | a |= 2, | b |= 1 で a − b と 2a + 5b が垂直のとき a , b のなす角。

ベクトルの応用
位置ベクト
ル

位置ベクトル、内分点・外分点・重心の位置ベクトル、１直線上にあるための条件、２直線の交点・位置ベクトルを理解できる。
・内分点・外分点・重心を位置ベクトルで表せる。
・１直線上にあるための条件を活用できる。
・２直線の交点を位置ベクトルで表せる。
例：△OAB において、OA を 2:3 の比に内分する点を M、OB を4:3 の比に内分する点を N とするとき、AN と BM の交点を Pとするとき、 OP を OA , OB を用いて表せ。

図形のベク
トル方程式

ベクトルの図形への応用

空間におけるベクトル
空間座標空間におけるベクトル

方向ベクトル、直線のベクトル方程式、媒介変数表示、２点を通る直線、ベクトル方程式の応用、直線と法線ベクトル、円のベクトル方程式

・直線のベクトル方程式を理解できる。
・２点を通る直線のベクトル方程式を理解し、活用できる。

例：△OAB において、 OP = sOA + t OB とおく。
1s ≧ 0 , t ≧ 0 , s + t = のとき、点 P の存在する範囲を求めよ。
2・直線と法線ベクトルの関係を理解できる。
・円のベクトル方程式を理解できる。
内積と三角形の面積、 ・三角形の面積を、内積を用いて表すことができる。
中線定理
1
例：① S =| a | 2 | b | 2 −(a･b ) ,②原点Ｏと A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) の
2
1とき、△ABC の面積は S = | x1 y 2 − x 2 y1 |
2・中線定理を理解できる。
座標平面、座標、垂線、 ・座標平面、座標、垂線、原点からの距離の定義を理解できる。
原点からの距離、平面 ・平面の方程式を理解し、活用できる。の方程式
空間のベクトル、大き ・基本ベクトルによる表示、成分表示、ベクトルの大きさを理さ、１次独立、基本ベ 解できる。
クトル、成分表示、成 ・成分による演算ができる。
・座標と成分表示について理解し、演算できる。
分による演算、内積・ベクトルの１次独立について理解できる。
・ベクトルの内積を理解し、活用できる。例： a = ( 2,−1,3 ) ，b = ( − 1,1,−1 ) で (a + t b ) ⊥ b のとき、実数 t の値を定めよ。

位置ベクト
ルと空間の図形

位置ベクトル、分点の位置ベクトル、平行六面体、内積の応用、球・空間図形への応用ができる。
・球の方程式を理解し、活用できる。

単元と到達度

数学Ⅲ単元
＜極限＞
数列の極限
数列の極限

無限等比数列無限級数

学習内容

無限数列、収束、極 ・数列の収束・発散・振動について理解できる。
限値、発散、振動、 ・数列の極限値と四則について理解し、活用できる。
極限値と四則、極限
例： lim ( n 2 + n − n) を求めよ。
n→∞値の大小関係1・ lim sin nθ を求められる。
n →∞ n
無限等比数列｛ r n ｝ ・｛ r n ｝の極限について理解し、活用できる。
n +1 ⎫の極限⎪⎧ r⎪
例：数列 ⎨の極限を、 r ≠ −1 のときについて調べよ。
n ⎬⎪⎩1 + r ⎪⎭無限級数、部分和
111・++ ･･･++ ･･･ を求められる。
1・2 2･3n(n + 1)

無限等比級数無限等比級数、循環小数

いろいろな無限級数

無限級数の和の性
質、収束するための必要条件関数
分数関数とそのグ
ラフ
無理関数とそのグラフ
合成関数と逆関数
関数の極限
関数の極限

到達度目標

分数関数、直角双曲線、漸近線

・無限等比級数の収束、発散について理解し、活用できる。
1 1 1
例： 1 − + − + ･･･ の収束、発散を調べよ。
3 9 27・循環小数について理解し、活用できる。
・無限級数の和の性質を理解し、活用できる。
∞・∑ a が収束するための必要条件を理解し、活用できる。
nn =1・y=ax + bkのグラフを y =+ q の形に変形でき、グラフcx + dx− pをかくことができる。
無理関数合成関数、逆関数関数の極限値、左右からの極限

・ y = ax + b のグラフをかくことができる。
・グラフを利用して、不等式 2 x + 8 > x を解くことができる。
・合成関数・逆関数について理解し、活用できる。
・関数の極限について理解できる。例： limx →0・等式 lim

x→4ax + bx −21− 1− xx= 12 が成り立つように、定数 a , b の値を定めることができる。
xx 2 − 3x、 limの値を求めることができる。
・ lim
x →3 + 0 x − 3x →3 − 0 | x − 3 |・ lim ( x 2 − x + 1 − x) の値を求めることができる。
x →∞指数関数・対数関数・三角関数と極限

指数・対数・三角関数と極限、関数の極限値の大小関係

関数の連続性

連続、不連続、開区間、閉区間、ガウス記号、中間値の定理

・指数・対数・三角関数の極限を理解できる。
sin 7 x + sin 5 x
1 − cos x
例： lim、 limx →0x →0sin 2 xx2
・極限値の大小関係について理解し、活用できる。
1
例： lim x sinx →0x・連続、不連続について理解できる。
・開区間、閉区間について理解できる。
・ガウス記号について理解できる。
・中間値の定理について理解できる。
・中間値の定理を利用し、実数解をもつことを証明できる。