Proceedings of the 14th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
August 1-3, 2017, Sapporo, Japan

PASJ2017 TUP014

PF-AR での Low Emittance Tuning の検討
STUDY ON LOW EMITTANCE TUNING AT PF-AR
尾崎俊幸#,Toshiyuki Ozaki
Accelerator Facility, KEK

Abstract
After the success of 6.5 GeV beam injection into the PF-AR, the top-up operation mode is scheduled. However, thenarrow gaps of the in-vacuum undulators will cause the loss of the injected beam. To avoid this situation, the smaller
vertical beam size will be required. For this purpose, the application of ‘low emittance tuning’ technique is proposed inthis paper. Simulations are performed by using Accelerator Toolbox code.

1.

はじめに

2.2

調整の手順

文献[1]は、Low-Emittance Turning の手順を述べてい近年、多くの研究施設で’Low Emittance Tuning’が検る。
討されている。 これは XY カップリングを、スキュー４極(1) 軌道を測定し、すべての水平および垂直ステアリ電磁石を用いて補正し、垂直方向エミッタンスを最小にング電磁石で、軌道を修正する。
する方法である。 現在の PF-AR 運転で、垂直エミッタン(2) トランスバース・カップリングを測定し、ベータトロンスを下げることができれば、アンジュレーターのギャップ位相を測定する。４極磁場を調整してベータトロンを狭くしても、ビーム・ロスが起きなくなるだろう。また、位相を設計値に合わせる。スキュー４極の磁場をTop-up 運転を可能にするための解決策でもあると思わ
調整してトランスバース・カップリングを最小にする。
れる。
(3) 再び、軌道とカップリングを測定し、ディスパージョ
本論文は、CestTA, SPEAR3 などで開発された方法
ンを測定する。軌道エラー、トランスバース・カップ論が、PF-AR で可能かどうかを検討するものである。
リング、垂直ディスパージュンを最小にするような
Accelerator Toolbox コードで、PF-AR モデルを作成し、解を求め、スキュー４極と垂直ステアリングを設定
XY カップリングの発生源（電磁石の傾き・変位）を仮定し、する。
これをスキュー４極電磁石で補正することを調べる。
(4) ある点でのビーム・サイズを測定し、その点でのベータ関数と分散関数からエミッタンスを求める。
2. Low-Emittance Tuning
これを繰り返す。
2.1 PF-AR での検討の意味
2.3 世界の状況
2008 年 、 電 子 陽 電 子 衝 突 リ ン グ CESR は 、Low-Emittance Tuning を採用した代表的な施設を表１
International Lineasr Collider のダンピングリングの試験に示す。
加速器として CESR Test Accelerator (CesrTA)に改造さAustralian Synchrotron では６極電磁石の 2/7 の台数れた[１,２]。にスキュー４極コイルを付けている[３]。
PF-AR と CesrTA を比較すると、円周は PF-AR の２倍
SuperKEKB では、すべての６極電磁石にスキュー４極で、エネルギーは 0.3 倍、ラティスが同じ FODO である。
コイルを巻いている。KEKB の Non-Interleaved Sextupole
ナチュラル・エミッタンスは、CesrTA が 2.7nm、PF-AR がが、XY カップリングと垂直分散を独立に扱える長所を報
294 nm であるが、エミッタンスはエネルギーの２乗に比告している[４,５]。
例し、曲率半径に反比例する。大雑把に、その比で換算
ESRF では、In-vaccum のアンジューレーターID6 が最すると、PF-AR は 14 nm になる。ダンピング・ウイグラーは小ギャップの時に、一番大きいカップリング発生源となる
CesrTA は１２台あるが、PF-AR は持っていない。
ことを報告している。補正テーブルでスキューで調整してCesrTA では、シングルバンチ運転に変更するが、PFいる[6]。
AR は常時シングルバンチである。
SPEAR3 では、最適解を求める方法として、遺伝的アルまた、入射ビームの場合でも、カップリングがあれば、ゴリズム(GA) と LOCO を比較し[7]、またデータにノイズ
水平振動がカップリングで垂直振動に変わり、狭い場所を含んでも、ロバストに最適解を求める計算法として、でロスする。
robust conjugate direction search 法が優れていると報告
したがって、Low-Emittance Tuning を検討する価値がしている[8]。
あると判断する。
NSLS は、既に 1993 年にスキュー４極による補正を実施し、垂直エミッタンスを 1/6 に下げている。
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Table 1: Accelerator Facilities with Low Emittance Tuning
加速器
エネルギー場所台数
文献

3.

ＣｅｓｒＴＡ
2.0 GeV
Cornell
27 台[1,2]Australian Synchrotron
3 GeV
Melbourne
28 台[3]Super KEKB
7GeV/4GeV
KEK
200 台
[4,5]

Accelerator Toolbox コード

SLAC の A. Terebilo が開発したコードである[11]。
世界の多くの放射光リングで用いられている。
MATLAB をベースとして書かれ、B,Q,SX などの passmethod、それらの行列計算は C で書かれ、高速に演算され、ゲートウエイ関数を通して、MATLAB とつながる。
SX は、半分の長さまで driftpassmethod を用い、キック と し て SX を 考 え 、 後 半 の 半 分 も drift が あ る 。
SkewQuadrupole は Element としては存在しないので、今回作った。文献[12]により

ESRF
6 GeV
Grenoble
32 台[6]SPEAR3
3 GeV
SLAC
13 台
[7,8]

ＮＳＬＳ
2.5 GeV
BNL
17 台
[9]

SLS
2.4 GeV
Switzerland
36 台[10]になるとする。Ｖは、シンプレクティクであるから＋は、シンプレクティク共役を意味し、γは、ミックス・パラメーターと言われ、ほぼ１にちかい。右辺と左辺を比較して、A,B,C,γは、M,N,m,n で表わすことができる。
カップリングは、で、つまり、入り口で４５度の回転を与え、４極が存在し、出口で逆回転を与えた。Passmethod としては quadrupoleを使用する。
各要素にアライメント・エラーがはいる。

4.

４次元位相空間での検討

ここで、この章は、４次元位相空間で議論する。つまり、変数はである。
4.1

である。

Edwards & Teng マトリックス

Edwards & Teng のマトリックスによる方法[13]であるが、D. Sagan & D. Rubin の記号[14]が一般化しているので、それを用いる。
リング 1 周のマトリックスをＴとして、それが、２×２のサブマトリックスで与えるられるとする。つまり、

これが、３つの行列の積として、さらに、不等式が満たされれば、実数解であるから、ビームの安定状態が得られる。

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4.2 PF-AR
トリスタン計画の中間リングとして、Accumulation Ring
(AR) が設計された。文献[15]によれば、8 GeV で電子または陽電子を Main Ring に出射するオプティクスと 6.5GeV で衝突実験をするオプティクスが検討された。４か所の直線部で、分散関数がゼロになるように、ミスベンド方式のディスパージョン・サプレッスサーが設計されている。
1980 年代後半に南直線部の改造が行われ、QC1 とQC2 を移動した。
2000 年の AR 改造では、ワイド４極が３台導入され、SXD１台が取り外された。
2016 年、入射点を東から西に移し、SXD が１台取り外された。
現在の電磁石の電流通電値から k 値を推測して、コードに入れた。
4.3

Figure 1: Coupling matrix C.

シュミレーション

４極電磁石の回転エラーΔθによって、６極電磁石の軸ずれΔｙｃｏによって、スキュー４極成分が発生する。その大きさは、である。
マグネット・アライメント・エラーとして、文献[1]の表を引用した。これを下に示す。
Table 2: Magnet Alignment Errors
Parameter
Quad. tilt

RMS

Quad. vertical offset

50 μm

Dipole roll

100 μrad.

Sextupole vertical offset

250 μmWiggler roll

200 μrad120 μrad

図１はスキュー電磁石の励磁 ｋ１＝－０．００５で Ｃ１２をゼロにすることができる。励磁電流に換算すると -27Aである。
さらに、上記と類似の SW 部にスキュー電磁石を追加し、２か所（SR モニターの場所と NE3 アンジュレーターの入り口）のカップリングをゼロにすることを考えた。各 C12 の-0.6~0.6 等高線が図２に描かれている。同時にＣ１２をゼロにするには、交差点である k1=-0.009 および k2=0.005 で、電流に換算すると、-48.6 A および -27A である。
一般に、Ｎ台のスキュー電磁石で、Ｍ個所のカップリングを最小にするには、目的関数を考え、それを最小にする励磁量の組を求めることになる。
以上は、乱数による結果であり、PF-AR の現状ではなく、目安を求めたものである。

スキュー電磁石（長さ 200 mm、最大磁場 0.73 T/m 最大電流 200 A）を、SE 部の QC3 と QC4 の間に設置したとする。この直線部は、分散関数がゼロである。
乱数でミス・アライメントを設定して、NW 部のシンクロトロン光プロファイル・モニターの場所での C は、となった。
これを補正するために、上記のスキュー電磁石(SQ1)を励磁し、Ｃ１１ Ｃ１２ Ｃ２１ Ｃ２２ の変わり方を調べた。
文献[2]によれば、Ｃ１２だけが用いられ、Ｃ１１とＣ２２は無視され、Ｃ２１は測定できないとある。
Figure 2: Contour maps of C12 .

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5.

5.2

６次元位相空間での検討

この章は、６次元位相空間で、以下のような変数で検討する。

平衡エミッタンス

電子ビームは、ガウス分布をしていて、ここで、5.1

分散関数

垂直方向のビームのサイズは、平衡状態では、Ohmi’s beam envelope formalism を用いて、文献[17]によりである。垂直方向のビーム・エミッタンスは、X-Yベータトロン振動のカップリングと垂直分散関数によるビームの放射励起で生じる。後者は、である。
これは、制御理論のリヤプノフ方程式と同じ形であり、MATLAB 付属の関数 lyap で解ける。
5.3

ビーム・シュミレーション

ディスパージョン・サプレッサーが働くように、一部の４極電磁石を調整した。線形ラティスで、アライメント・エラーは表２に基づき、ベンドからのみ放射光がある場合を計算した。これを図３に示す。

で、コードの中では、以下に表現される[16]。

第１項は、偏向電磁石の回転エラーによる垂直方向２極磁場の効果で、第２項は、４極電磁石のセンターの垂直方向へのオフセット・エラーの効果で、第３項は、分散部における４極電磁石の回転エラーの効果で、第４項は、分散部に置かれている６極電磁石のセンターの垂直方向のオフセット・エラーの効果である。
スキューＱがある場所の水平方向ベータトロン関数の特解を Dx として、スキューＱの影響は、垂直方向ベータトロン関数の特解Ｄｙにキックとして作用する。

Figure 3: Beam size σx and σy along the ring.
図３では、青が左の座標に対応し、水平のビームのサイズで 2cm くらいであり、緑が右の座標に対応し、垂直のビームのサイズで 0.5 mm ぐらいである。
これをベースに、順次、モデルを精密化したい。

6.
スキューＱによって、エネルギー分散の効果を調整できる。

アンジュレーター

PF-AR には、X 線のアンジュレーターとして、U#NE3,U#NW3, U#NW12, U#NW14 があり、楕円偏光マルチポール・アンジュレーターU#NE1 がある。 これらは、まだモデルに含まれていない。

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ESRF のビーム・ダイナミックス・グループが、atcollabプロジェクトを立ち上げ、Accelerator Toolbox を高度化している[18]。そのクラス・フィールドの内に wiggler クラスがあり、これを利用することができる。

7.

実装への課題

7.1

スキュー電磁石の準備

６極電磁石には、シート状ケーブルを巻いて、スキューコイルを作れるだろう。
オクタポール電磁石のコイル間の繋ぎを変えて、スキュー電磁石になるだろう。
PF-AR の４極電磁石は、複数台が直列接続されている。４極電磁石の中心軸と近傍の BPM の中心軸を求めたい場合、その４極電磁石のみ励磁量を変えて、BPMでキックの大きさを求めて両者のオフセットを求めることができるが、現状では、これができない。しかしながら、各４極電磁石に並列に抵抗を接続し、このオン・オフで類似の状況を作ることはできる。
7.2

プログラム

おそらく最初の試みである文献[9]では、スキュー４極の強度をＫ、その台数をｎ として、カップリングや垂直方向ディスパージョンの修正は、まず、以下の線形方程式を解く。つまり、Ｖ は、m×n＋ｍだけの要素からなる。ここで、ｍはBPM の数である。m×n 個は、垂直方向の軌道のシフトであり、m 個は、である。M は応答マトリックスで、スキューの励磁を変えた場合に、V ベクトルの変化を結びつける
評価関数

ここで、σは BPM の場所におけるノイズである。これを最小にするように、スキューを決める。

参考文献[1] J. Shanks, M. Billing, R. Meree ler, M. Palmer, M. Renddina,
D. Rubin, N. Rider, D. Sagan, C. Strohman, Y. Yanay,“STATUS OF LOW EMIITTANCE TUNING AT CesrTA”
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[3] Rohan Dowd, Mark James Boland, Gregory Scot Le Blanc,“EMITTANCE COUPLING CONTROL AT TH E
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[5] 杉本寛、大西幸喜、森田昭夫、小磯晴代、生出勝宣,“SuperKEKB の初期コミッショニングにおけるビーム光学の 測 定 と そ の 補 正 ” 、 Proceedings of the 12th Annual
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Chiba,August 38-10, 2015, pp.515-519.
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