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UTokyo Online Education 学術俯瞰講義 2016 坪井 俊
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先週のミニッツレポートから：新しい単語が次々と出てくる。

数学では「概念」に名前を付けて使うので、単語は使いながらわかるものです。

点𝒙𝒙の近傍とは ？ 点𝒙𝒙から或る距離𝜺𝜺以下の点を含む集合
射影平面𝑹𝑹𝑹𝑹𝟐𝟐 ？
クラインの壺 Kl ？

射影平面はメビウスの帯と円板を境界に沿って貼り合わせたもの
クラインの壺はメビウスの帯を２つ境界に沿って貼り合わせたもの

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𝑹𝑹𝑃𝑃2Kl

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トーラスのオイラー数 ？

格子を変形したときに、ディリクレ領域はどう変化するか ？
オービフォールドの例 ？

正四面体

オービフォールドは、軌道空間が持つべき性質を局所的には持っている空間。
曲面は、２次元の多様体マニフォールドである。
マニフォールドは、ユークリッド空間が持つべき性質を局所的には持っている空間。
軌道空間の局所的な形状は、[𝒙𝒙 の 𝑮𝑮 軌道]では、 𝒙𝒙 の近傍の 𝑮𝑮 軌道で定まる。
頂角𝟐𝟐𝝅𝝅の円錐、𝒏𝒏𝝅𝝅𝒏𝒏

頂角 の扇型

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群の作用 𝑮𝑮 × 𝑭𝑭 → 𝑭𝑭 ∶ 𝒈𝒈, 𝒙𝒙 ↦ 𝒈𝒈(𝒙𝒙) （ 𝒈𝒈 𝒉𝒉 𝒙𝒙 = 𝒈𝒈𝒈𝒈 𝒙𝒙 ）について、 𝒙𝒙 の 𝑮𝑮 軌道は 𝒈𝒈 𝒙𝒙 𝒈𝒈 ∈ 𝑮𝑮} で定義される。
同じ軌道に属することは、同値関係で、その同値類の集合が軌道空間。
軌道空間を 𝑭𝑭/𝑮𝑮 と書く。
『

軌道空間のイメージ：対称性のある無限に広い空間を歩いて見える景色が、その上を歩いて見える景色と同じになるような有限で閉じた空間 』

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学術俯瞰講義「図形から拡がる数理科学」

周期性と対称性空間を埋め尽くす多面体

２０１６年６月９日
東京大学大学院数理科学研究科
坪井 俊

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 前回は、コンパクト２次元平坦オービフォールドが１７種類であることを説明しました。
 これが、平面上の周期性と対称性を持つ図形が１７種類であることを説明しています。
 言葉を変えていうと平面を周期的に埋め尽くす多角形は１７種類の多角形から、「変形」により得られることになります。
 ３次元の周期性と対称性をもつ図形についても、その等長変換群を分類します。
 等長変換群が３つの独立な方向の平行移動を含む場合に、周期性と対称性をもつと定義されます。
 ３次元平坦オービフォールドは３次元ユークリッド空間の等長変換群による軌道空間として定義されます。

UTokyo Online Education 学術俯瞰講義 2016 坪井 俊 CC BY-NC-ND コンパクトな３次元の平坦オービフォールドの分類をすれば、３次元空間の周期性と対称性をもつ図形が分類されます。
 このような方法は、Thurston(1946-2012)という数学者によるもので、３次元の場合の論文は２００１年にJohn H. Conway, Olaf Delgado Friedrichs,
Daniel H. Huson, William P. Thurstonの共著として、「On ThreeDimensional Space Groups」という題名でContributions to Algebra andGeometry, Volume 42 (2001), No. 2, 475-507に出版されています。
(題名で検索して論文を読むことができます。）
 ３次元の周期性と対称性をもつ図形は、219通りあり、鏡像を区別すると230通りあることは、19世紀の終わりごろには証明されていました。
By George M.Bergman From Wikimedia Commons(ref. 2017/5/18) CC BY-SA 3.0

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クイズ： ５つある正多面体で、１種類だけで空間を埋め尽くすものは立方体以外にあるか？
 正四面体と正八面体を使って空間を埋め尽くすことができるか？

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１． ３次元の格子の対称性
 ３つの独立なベクトルの方向の平行移動で生成される3次元ユークリッド空間への群作用について、３つのベクトルを辺とする平行６面体は基本領域であるが、ほとんどの場合、ディリクレ領域にはならない。
 このときのディリクレ基本領域は、多くの場合、６角形８個と４角形６個の１４面体になる。その様子は、切頂八面体とほぼ同様である。

http://faculty.ms.u-tokyo.ac.jp/users/tsuboi/surijoho/gif/randomfundamentaldomain.html

UTokyo Online Education 学術俯瞰講義 2016 坪井 俊 CC BY-NC-NDここでいう切頂八面体は、正八面体の辺を３等分する点を結んで頂点の周りにできる四角錐を取り除いたものです。

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１． ３次元の格子の対称性
 ３つの独立なベクトルの方向の平行移動で生成される3次元ユークリッド空間への群作用について、３つのベクトルを辺とする平行６面体は基本領域であるが、ほとんどの場合、ディリクレ領域にはならない。
 このときのディリクレ基本領域は、多くの場合、６角形８個と４角形６個の１４面体になる。その様子は、切頂八面体とほぼ同様である。

http://faculty.ms.u-tokyo.ac.jp/users/tsuboi/surijoho/gif/randomfundamentaldomain.html

UTokyo Online Education 学術俯瞰講義 2016 坪井 俊 CC BY-NC-NDここでいう切頂八面体は、正八面体の辺を３等分する点を結んで頂点の周りにできる四角錐を取り除いたものです。

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 独立な３つのベクトルで生成される格子の対称性については、２次元の格子に対する考え方がそのまま通用する。
 対称性を表す行列は、３次直交行列であるが、生成する３つのベクトルを基底とする行列表示では、整数係数の行列である。

UTokyo Online Education 学術俯瞰講義 2016 坪井 俊 CC BY-NC-ND これにより図形に「ストイケイア」がしばしば登場することになる。
 平面のときに考えた等方部分群を考えると、これについてはもっと詳しく調べることができる。

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２． ２次元球面的オービフォールド 軌道空間のオイラー数は、球面のオイラー数 2 を整数で割ったものになる。
 ２次元平坦オービフォールドに対し、オイラー数を定義したが、その定義においては、錐や扇型の頂角が定義されていれば、十分であった。

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【演習】 ２次元平坦オービフォールドで考えたときと同様に辺を持たない２次元球面的オービフォールドを分類せよ。

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UTokyo Online Education 学術俯瞰講義 2016 坪井 俊 CC BY-NC-ND

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２次元球面的オービフォールドの分類は、正多面体の分類を含むものであった。
立方体と正八面体、正十二面体と正二十面体の等長変換群は同型である。

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しかし、３次元空間の周期性と対称性を持つ図形に対しては、その対称性を与える回転の角度に制限があった。従って、正十二面体正二十面体の等長変換群は現れない。
正多面体の群の作用については、Jeff Weeks氏のソフトウェア「万華鏡タイル」（KaleidoTile）が公開されています。
http://www.geometrygames.org/KaleidoTile/index.html
ソフトウェア GeoGebra http://www.geogebra.org/ が３次元グラフィックスをサポートしており、いろいろと実験できます。

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３． ３次元の対称性の高い格子

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【演習】 次の展開図を組み立てて得られる立体を考えてください。

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これで組み立てられる立体は切頂８面体と呼ばれます。

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切頂８面体は、体心立方格子と呼ばれるものの、ディリクレ領域となります。

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この展開図から組み立てられる図形は、最密充填問題と関係があります。
最密充填問題（ケプラーの問題）：
同じ大きさの球体を３次元ユークリッド空間に重なりを持たないように詰め込むとき、その密度は、𝜋𝜋となる。
18

Wikimedia Commons
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/de/JKepler.png(ref. 2017/5/18)

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ビー玉が配れないので思考実験をしてください。

【仮想ビー玉の演習１】 次のようにビー玉を充填する。
第１層に正方形の格子を作るように並べ（図の実線）、第２層に第１層の正方形の中心をなす格子を作るように並べる（図の点線）。
第３層は第１層と同じように並べる。
• このように充填していったときに、１個のビー玉には、いくつのビー玉が接しているか調べよ。
• １個のビー玉に接しているビー玉の位置関係を表現してみよ。

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【仮想ビー玉の演習２】 次のようにビー玉を充填する。
第１層に正三角形の格子を作るように並べ（図の実線）、第２層に第１層の１つの正三角形の中心を含む格子を作るように並べる（図の点線）。
 第３層の並べ方に２通りあることを観察せよ。
 このように充填していったときに、１個のビー玉には、いくつのビー玉が接しているか調べよ。
 １個のビー玉に接しているビー玉の位置関係を表現してみよ。

UTokyo Online Education 学術俯瞰講義 2016 坪井 俊 CC BY-NC-ND 左の展開図から組み立てられる図形は、菱形１２面体と呼ばれ、正方形に並べた充填と、正三角形に並べた充填の一方のボロノイ領域です。

 右の展開図は、正三角形に並べた充填の他方のボロノイ領域です。

UTokyo Online Education 学術俯瞰講義 2016 坪井 俊 CC BY-NC-ND 左の展開図から組み立てられる菱形１２面体。

 右の展開図から組み立てられた立体。

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菱形１２面体は、面心立方格子のディリクレ領域になっています。

以上が、平行移動で生成される群のディリクレ領域の概要です。

もう一方の領域は、六方最密格子のボロノイ領域となっています。

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このようなディリクレ領域で対称性が特に高いのは、立方体、切頂８面体、菱形１２面体です。
もう１つ挙げるとすると正六角形を底面とする六角柱です。
By Unknown From Wikimedia Commons(ref. 2016/7/5)

それを実感するソフトウェア「Curved Spaces」をJeff Weeks氏が作成して公開しています。
http://www.geometrygames.org/CurvedSpaces/index.html

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４． 対称性の高い周期的図形
立方格子、体心立方格子、面心立方格子のような、３重周期的なグラフ（頂点と長さ１の線分でできた図形）がユークリッド空間に埋め込まれている図形を考えます。これを以下では格子と呼びます。
このような図形の対称性を考えることができます。
最も対称性が高いと思われる場合は次のものです。
 任意の頂点の周りで、任意の２つの辺を他の辺を固定したまま入れ替える合同変換があり、 任意の辺をそれ自身に逆向きに写す合同変換がある。
このような格子は、砂田利一により研究され、ダイヤモンド格子以外にＫ４格子と呼ぶ格子があることが示されました。
Toshikazu Sunada, 「Crystals that nature might miss creating」, Notices of theAMS, Volume 55, Number 2, (2008) 208-215.

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ダイアモンド格子は図のものです。
正四面体の重心と頂点を結ぶ図形を考え、それを正四面体の頂点を頂点に移す平行移動で移していった形をしています。
もともと四面体の頂点と考えたところもったところでの周りの頂点との関係も四面体の重心と同じになっていることがわかります。

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【演習】 配布した展開図に糊代をつけて立体にしてみてください。
セロテープで貼り付けても良いです。
その立体を用いてどのように空間が埋め尽くされるかを、周りの何人かで、立体を持ち寄って検証してください。

左の展開図では、左右に３つずつある六角形のうち１つずつだけを用いる。

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ダイアモンド格子は図のものです。
正四面体の重心と頂点を結ぶ図形を考え、それを正四面体の頂点を頂点に移す平行移動で移していった形をしています。
もともと四面体の頂点と考えたところもったところでの周りの頂点との関係も四面体の重心と同じになっていることがわかります。

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【演習】 配布した展開図に糊代をつけて立体にしてみてください。
セロテープで貼り付けても良いです。
その立体を用いてどのように空間が埋め尽くされるかを、周りの何人かで、立体を持ち寄って検証してください。

左の展開図では、左右に３つずつある六角形のうち１つずつだけを用いる。

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左の展開図がダイアモンド格子のボロノイ領域を表していることが確認できたでしょうか ？

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ダイアモンド格子のボロノイ領域は、正四面体の頂点において３分の１に縮小した正四面体を切り取り、その一つを重心で分割したもの貼り付けた形をしています。

Wikimedia Commons
https://commons.wiki
media.org/wiki/File:Ge
orgy_Voronoy.jpg(ref. 2017/5/18)

どのように空間が埋め尽くされるか納得できましたか ?

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面心立方格子のディリクレ領域、ダイアモンド格子のボロノイ領域の境界の六角形の部分をあつめると空間内に無限個の穴を持ち周期的に広がっている曲面が得られる。

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砂田利一氏のK４格子は図のものです。
各頂点は正三角形の重心と頂点を結ぶ形になっています。辺の両端の周りの正三角形の間の面角𝜃𝜃は1cos 𝜃𝜃 = を満たします。
3K4は、４頂点の完全グラフと呼ばれているもので、K4格子自体は、K4の「普遍アーベル被覆」になっています。
© Meiji University, All rights reserved

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左の展開図が砂田利一氏のK4格子のボロノイ領域を表しています。

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左の砂田利一氏のK4格
子のボロノイ領域は、正三角柱を削ったような形をした１７面体です。
このボロノイ領域は、鏡像とは、向きを保つ等長写像では移りあいません。
どのように空間が埋め尽くされるか納得できましたか ?

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ダイヤモンド格子をある点について対称に移動すると、もとのタイヤモンド格子の補空間にダイヤモンド格子が入り込んだダブルダイヤ
モンド格子を得ます。

UTokyo Online Education 学術俯瞰講義 2016 坪井 俊 CC BY-NC-NDこの２つの格子を合わせたもののボロノイ領域は、切頂八面体になります。

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K4格子をある点について対称に移動すると、もとのK4格子の補空間に鏡像のK4格子が入り込んだダブルK4格子を得ます。

UTokyo Online Education 学術俯瞰講義 2016 坪井 俊 CC BY-NC-NDこの２つの格子を合わせたもののボロノイ領域は、図のような多面体になります。

これ以外に立方格子も点対称により、ダブル格子をなしますが、他にあるのかどうか知りたいところです。

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ウェブでも見られる参考文献
砂田利一 『ダイヤモンドはなぜ美しい？』への付録
https://pub.maruzen.co.jp/book_magazine/support/diamond_web/diamond_web.pdf

内藤久資 「幾何学の応用を考える―結晶構造と離散幾何学―」
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~naito/lecture/2015_10_HCD/final.pdf

宮岡礼子 「調和写像とダイヤモンド格子ーその美しさの秘密ー」
http://www.nara-wu.ac.jp/initiative-MPI/images/H20/Miyaoka/Miyaoka-file.pdf

松本 圭司著「格子めぐり」 数学通信9巻4号（2004年度秋に北海道大学で開催された市民講演会の講演）
http://mathsoc.jp/publication/tushin/904/matsumoto.pdf
Dimensionsのページ

http://www.dimensions-math.org/Dim_regarder_JP.htm

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