2016年GFDセミナー @支笏湖休暇村

原始惑星系円盤内におけるシアー不安定性小野 智弘 (京大 D2)
武藤恭之 (工学院)、富田賢吾 (大阪大)、野村英子 (東工大)、竹内拓ALMA
高度: 5000 m @ チリ
12 m × 54 + 7 m × 12
84 – 950 GHz (3~0.3 mm)
高分解能・高感度

Credit: Clem & Adri Bacri-Normier (wingsforscience.com)/ESO
2016/8/28

ALMA+15
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原始惑星系円盤中の構造
ALMAによって原始惑星系円盤中の様々な構造 (リング・渦・スパイラル)の存在が明らかになってきている

Fukagawa+13

Van der Marel 16

Van der Marel 13
2016/8/28

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原始惑星系円盤内の渦構造観測• 渦はダスト観測で確認されている• ガス渦はダスト渦より弱いことが示唆されている(Fukagawa+13)
疑問• 観測される渦構造はどのような物理メカニズムで形成されるのか？
(磁場、流体不安定性、粘性、惑星…)• 渦は惑星形成に影響を与えるのか？

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流体不安定による渦形成『観測されている渦の形成シナリオ』として漠然と受け入れられているのは流体不安定によるガス渦の形成
ガス渦がダストを集積し、ダスト渦を形成

どんな流体不安定性？
“Rossby wave instability” (e.g., Lovelace+99, Li+00, 01)“Baroclinic instability” (e.g., Klahr & Bodenheimer 03)“Vertical shear instability” (e.g., Goldreich & Schubert 67, Fricke 68)“Zombie vortex instability” (Marcus+13, 15)
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流体不安定による渦形成『観測されている渦の形成シナリオ』として漠然と受け入れられているのは流体不安定によるガス渦の形成
ガス渦がダストを集積し、ダスト渦を形成

どんな流体不安定性？
“Rossby wave instability” (e.g., Lovelace+99, Li+00, 01)“Baroclinic instability” (e.g., Klahr & Bodenheimer 03)“Vertical shear instability” (e.g., Goldreich & Schubert 67, Fricke 68)“Zombie vortex instability” (Marcus+13, 15)
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ロスビー波不安定性
2Dの流体不安定性 (Lovelace+99, Li+00).
平衡軸対称円盤が圧力(密度)分布内に動径方向の急勾配を持つ時、不安定となり渦を形成する
Press.

ex) 軸対称圧力バンプ

radius
回転速度は力学平衡で決まる
中心星重力=遠心力+圧力勾配力

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ロスビー波不安定性
2Dの流体不安定性 (Lovelace+99, Li+00).
平衡軸対称円盤が圧力(密度)分布内に動径方向の急勾配を持つ時、不安定となり渦を形成する
Press.

ex) 軸対称圧力バンプradius
回転速度は力学平衡で決まる
中心星重力=遠心力+圧力勾配力

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ロスビー波不安定性似てる？

 ダストとガスで違う
 渦の大きさが違う
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基礎方程式
2D円筒座標 (𝑟 -𝜑)、外力は中心星重力連続の式
運動方程式

順圧を仮定
𝑃 ∝ Σ Γ (Γ: effective adiabatic index of gas)
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背景流

動径速度: 𝑣𝑟0 = 0
面密度分布Gaussian bump (GB)Σ0

背景流は定常・軸対称・平行流𝒜∆𝑤r

パラメータは A, Dw の2個
方位角速度:𝑣𝜑0 は動径方向の力のつり合いで決まる

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摂動方程式一次の摂動方程式を立てる

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フーリエ分解する

方位角モード: 𝑚
固有振動数: 𝜔 = 𝜔𝑟 + 𝑖𝛾

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摂動方程式を並べる

ただし、epicyclic振動数

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エンタルピー摂動で式をまとめる
エンタルピー摂動:

ただし、

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もうちょっとまとめる
どうせなら定常Schrödinger方程式型にしよう: perturbation

Note: the prime denotes d/dr

ちょっとお洒落な固有値問題を解くだけ
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境界条件を考える前に密度がフラットな時の有効ポテンシャルDを見ておく
𝑚 = 1は内側の実効的リンドブラッド共鳴(IELR)が無い不安定の時でも、ELRの外側は変わらないと期待される

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境界条件ということで境界条件はTrailing なWKB解に滑らかに接続する
𝑚 = 1の時

𝑚 ≠ 1の時

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固有値の見つけ方
力技でやればいいんですよ！
1. 摂動方程式を離散化

2. 行列Wの行列式が0となる固有値ωsを目で探す

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最大成長率
𝒜

∆𝑤
r

大きな変化

最大成長率

Σ0

バンプ

小さな変化
幅広い

幅狭い

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最大成長モード
𝒜

∆𝑤
r

大きな変化

小さな変化
幅広い

幅狭い

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最大成長モードΣ0

バンプ

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中立安定とその近傍に着目しよう(成長率の小さく)不安定の時の 有効ポテンシャル
 固有関数を調べる
中立安定線を簡単に求めたい

unstable𝒜stable∆𝑤

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有効ポテンシャルと固有関数
成長率 𝛾/Ω𝐾 = 0.001

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固有関数のマップを見ておこう

2016/8/28

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Check Simulation
𝑞1

𝑃#Excite only 𝑚 = 3 mode
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中立安定条件を求めてみよう
分からないもの
1. 中立不安定の時の有効ポテンシャル
D𝑀𝑆 𝑟, 𝑚 = 𝐷 𝑟, 𝜔𝑀𝑆 , 𝑚
2. Ξ′′ 𝑟 − D𝑀𝑆 𝑟, 𝑚 Ξ 𝑟 = 0 を満たすΞ 𝑟
3. 中立安定となる (A, Δ𝑤)

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固有振動数と有効ポテンシャル
渦位摂動方程式
中立安定時
共回転共鳴で0no node

共回転共鳴で0よって(はの逆関数)後は放り込んだら2016/8/28

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中立安定の時の固有関数
非自明な解Ξ(𝑟) は
Ξ′′ 𝑟 − D𝑀𝑆 𝑟, 𝑚 Ξ 𝑟 = 0 を満たす
中立安定の時、Ξ(𝑟)はD𝑀𝑆 𝑟, 𝑚 のポテンシャル井戸にnode 0 のモードがトラップされるパラメータを動かしながら積分しまくれば中立安定線がかける
2016/8/28

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各モードでの中立安定線

2016/8/28

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Sommerfeld Quantization Condition
基底モードに対するSommerfeld の量子化条件𝑟𝜋

𝜂 𝑚 ≡ 𝑟 𝑂𝑅 −𝐷MS 𝑟, 𝑚 d𝑟 ≥ 𝜂crit ≡2 2𝐼𝑅(𝑟𝐼𝑅 、𝑟𝑂𝑅 は𝐷MS の転換点)

𝑟𝐼𝑅𝒜𝑟𝑂𝑅

中立安定線
Sommerfeldの量子化条件∆𝑤
2016/8/28

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30気にしなくてはいけないかな～って話• 傾圧 (Lovelace+99, 00, Lin 13)
あんまり影響は無いが、少し不安定になりやすい• 3D (e.g., Lin 12, 13, Meheut+12, Richard+13)
あんまり影響は無い• 粘性 (Lin 14)
ある程度レイノルズ数が低いと不安定の成長を阻害
不安定のonsetも妨げられるのか?
• 自己重力 (Lovelace & Hohlfeld 13)
不安定のonsetを妨げる• ダスト (Inaba & Barge 06)
高気圧に集まる...が、渦を破壊する• 磁場 (Guervilly+16)
強すぎると渦の形成を阻害?
2016/8/28

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まとめ• 『Rossby波不安定性』というやつは円盤中のシアー不安定っぽい• 理想流体における中立安定条件を半解析的に求めてみた• 色々考えなあかん効果が沢山ある

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