Proceedings of the 16th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
July 31 - August 3, 2019, Kyoto, Japan

PASJ2019 WEPI031

シングルバンチ不安定性抑制 Head-Tail フィードバックのためのbunch-by-bunch Head-Tail キッカー
BUNCH-BY-BUNCH HEAD-TAIL KICKER FOR HEAD-TAIL FEEDBACK FOR
SINGLE-BUNCH INSTABILITIES中村 剛
Takeshi Nakamura
Japan Synchrotron Radiation Research Institute#Abstract
Single-bunch transverse instabilities are the limitation factor of the bunch current in most storage rings. To suppress
these instabilities, center-of-mass (CM) feedback systems are widely used. However, with single-bunch instabilities, thehead and the tail of a bunch oscillate with different phases, therefore, there is also the oscillation of the relative position
between the head and the tail; we call this head-tail motion. In previous report, we proposed a head-tail feedback: thehead-tail motion is directly detected and the head and the tail are kicked with different strength with a rather high Q cavity
kicker for isolate singlet bunches. In this report, we propose the two types head-tail kickers for bunch-by-bunch feedback:a series of fast stripline kickers driven by one single signal to enhance the kick strength, and a very short low Q kicker
for multiple installation to limited space length.

1.

はじめに電子蓄積リングのバンチ電流は、多くの場合、横方向の、すなわちベータトロン振動において生じるシングルバンチ不安定性により制限されている。この不安定性の発生メカニズムは以下と考えられている：バンチの前半部はウェーク場を発生し、このウェーク場はバンチの後半部をキックする。このウェーク場の強度およびキックの方向は、バンチの前半部の横方向位置に依存する。そのため、バンチの前半部が横方向振動すると、ウェーク場も振動する。そして、それによるバンチ後半部へのキックも振動し、バンチの後半部の振動を励起する。シンク
ロトロン振動は、バンチの前半部の電子と後半部の電子を入れ替えるため、振動している後半部の電子は、前半部に移動するが、それまでの振動を継続する。また、それまで前半部にいた電子は、後半部に移動するが、新しく前半部となった電子の振動によりキックを受ける。すなわち、前半部にいた電子が行っていた振動は、後半部にいた電子を介して自分自身をキックすることになる。これにより不安定性のためのループが閉じ、ある条件では、このループが不安定となり、振動が励起されていく。これがシングルバンチ不安定性である。
一方、このようなシングルバンチ不安定性を抑制する手法として、従来、ベータトロン振動に対する
横 方 向フ ィ ード バッ ク が用 い られ てき た 。こ のフィードバックは、ビーム位置モニタ(BPM)によりバンチの重心振動を検出し、それをもとに、その振動を抑制するためのキックを計算して、バンチ全体を一様にキックするキッカーを駆動し、重心振動を抑制していく（重心振動フィードバック）。一方、シングルンバチ不安定性では、バンチの前半部と後半部の振動に位相差が発生するため、バンチは重心振動とともに、バンチの前半部と後半部で異なる位置関係をもつ振動 (head-tail 振動)を持ち、この振動自体も不安定性により成長していくが、この振動と重心振動の間にはエネルギーのやり取りがあるため、重心振動のフィードバックでも、ある程度の不安定性の抑制効果を持つことになる。しかしその効果は限定的であり、バンチ電流のさらなる増強には、より強い抑制効果が必要となる。
そのための方法として、我々は、head-tail 振動を直接検出する手法[1]を提案し、バンチの前半部と後半部に別々のキックを与えるキッカー[2]を組み合わせた head-tail 振動自体を直接に抑制するフィードバックを提案した[1]。これまでの報告では、孤立したバンチに対するキッカーを提案していたが、この報告では、bunch-by-bunch ベースで使用可能なキッカーおよびその効率的な駆動方法を提案するとともに、その後の進展について報告する。

2.

Bunch-by-bunch Head-tail Kicker

以前の報告[2]では、比較的孤立しているバンチをキックするための共振キッカーを提案し、通常のストリップライン型キッカーの 10 倍程度のキック力の生成が可能であることを示した。しかし、キック力の増強を、孤立バンチ間の時間を用いて入力電磁場を蓄積することにより行っているため、bunch-bybunch の処理で必要な高速のスイッチングが不可能であった。
ここでは、これに対して、bunch-by-bunch での高速のキックの切り替えを可能とするためのキッカーとして、次の２つ提案する。
1) 通常のストリップラインキッカーを複数個用い、それをシリーズで連結して一つの信号でそれぞれのキッカーをバンチごとに駆動する方法を提案し、これによりキック効率を高める。

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２) 低 Q 共振キッカーであるが、短いキッカーを提案する。高速のスイッチングのため Q 値は低く、キック力は、通常のストリップラインキッカーの２倍程度とはなるが、より全長が短く、長さあたりの個数を増やしてキック効率を強めることが可能。

3.

Strip-line Kicker for Bunch-bybunch Head-tail Feedback

𝑉K (𝜏) = 2𝐸) 𝐿𝑒 @+,/EBsin 𝑘𝐿𝑘𝐿(6)となる。さて、Head-tail キッカーで必要なものは、
この時間勾配 :𝑑𝑉K (𝜏)= −2𝑖𝑐𝐸) 𝑒 @+,/EB sin 𝑘𝐿𝑑𝜏(7)ここでは、ストリップラインの長さの最適化を考える。Head-tail キックにおいて必要なパラメータは、である。これが最大となる周波数とキッカー長さ Lキック電圧の時間勾配である。キッカー長、キックの関係は周波数、そしてキック電圧は、Transit time factor で関係付けられる。今、ストリップラインを−𝑧方向に𝜋(8)𝑘𝐿 = ,伝わるビーム軸上の横方向電場を2+,(-./0)(1)
𝐸(𝑧, 𝑡) = 𝐸) 𝑒として表す。ここで、𝜔を電場の角周波数として𝑘 = あるいは、波長𝜆 = ?Rを用いて、,𝜔/𝑐である。ストリップラインは、TEM モードを用𝜆いているので、電磁場の進行方向とビームの進行方(9)𝐿=4向は互いに逆であり、ビームは𝑧方向に進むので、ビームの位置は、となり、このとき、𝑐𝑡+ (𝑧) = 𝑧 − 𝑐𝜏+(2)𝑑𝑉K (𝜏)T = 2𝑐𝐸)𝑑𝜏(10)となる。ここで 𝑡+ (𝑡) および 𝜏+ は、の i 番目電子が、位置 z を通過する際の時刻、および、そのときの、バンチ中心からのタイミングのズレであり、シンク となる。電場のピーク強度 𝐸) は、TEM モードでロトロン振動の定義の通り、バンチの前方方向を正 あるので、通常の 2 次元静電場計算から得られる。としている。
この電子が感じるキック電場は、キッカーの全長 4. Series Drive of multiple Strip-line
を L とすると、
Kickers by Single Signal
T>?

𝑉+ = : 𝐸;𝑧, 𝑡+ (𝑧)<𝑑𝑧

(3)>
@?

である。ここで、𝐸;𝑧+ , 𝑡(𝑧+ )< = 𝐸) 𝑒 +,;-B .-B @-B,C< = 𝐸) 𝑒 ?+,-B 𝑒 @+,-B,C(4)

仮定したビームパイプ形状を Fig. 1 に示す PLS-IIのものを仮定し、MAFIA による電磁場シミュレーションを Fig. 2 の形状のキッカーに対して行った。
キッカーへの入力および出力波形の例を Fig. .3 に示す。パワーは、ビームの下流側ポートから入力され、上流側ポートから出力される。また、この入力によりキッカーが生成するキック波形を Fig. 4 に示す。

>?

22 mmを用いると、>/?

𝑉(𝜏+ ) = : 𝐸(𝑧, 𝑡+ (𝑧)))𝑑𝑧 = 𝐸) 𝑒 @+,/EB : 𝑒 ?+,- 𝑧>@?

Figure 1: Beam pipe shape (PLS-II).

@>/?

= 𝐸) 𝐿𝑒 @+,/EB

sin 𝑘𝐿𝑘𝐿66 mm(5)となる。TEM モードであるので、磁場も電場と同様のキックを与えることから、キック電圧は、この 2倍となり、- 521 -Proceedings of the 16th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
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dV/dt [V/s]dVk/dt for 1Wave total: Stripline with taper (10mm)
3E+112E+111.25 GHz
1.5 GHz1.75 GHz
2 GHz

1E+110404550
Length [mm]5560

Figure 5: Dependence of time gradient of kick voltage on
kicker length and drive frequency.
ストリップライン 3 台がシリーズ接続されているとき、その 3 台に対して、Fig. 6 に示すような信号を用いれば、一本の信号で、3 台のキッカーを駆動し、それぞれのキッカーで、バンチをキックすることができる。さらに、この信号を Fig. 7 に示すように設定することにより、bunch-by-bunch でのキックが可能となる。この駆動方法により、3 台のキッカーを個別に駆動する場合に比べて、全パワーが３倍となっているので√3 倍のキックが得られる。
ForKicker 1

For
Kicker 2

Kicker 1

For
Kicker 3

Kicker 2

Beam orbit

Kick

このストリップライン電極の両端は 10mm 長のテーパーを介して入出力ポートに接続されキッカーの出力波形の変形を抑制している。このテーパーが無いキッカーでは、反射により出力波形が歪み、10%程度の電圧の減少が見られた。
同様の形状で、長さおよび周波数を変えた際のキック電圧勾配の変化を Fig. 5 に示す。そのピーク位置と周波数は、ほぼ、Eq. (10) と合致している。
ビームパイプの垂直方向電場を持つモードのカットオフ周波数は 2.55 GHz であるので、キッカーの駆動周波数成分は、これを超えないことが必要である。ここではストリップラインの駆動周波数を 1.5GHz としておく。

35Kicker 3

Figure 2: Stripline Kicker with 10 mm long tapers at bothsides of electrodes.

30

Input / Output : Stripline 50 : 1.5GHz 1wave

bunch

0.5

Kick

Input
(Downstream port)
Output(Upstream port)

0

Kick

Voltage [a.u.]

1-0.5-100.5

11.5
Time [ns]22.5

Figure 6: Three pulse single signal drive of three stripline
kickers.

3Bunch spacing (~2ns)

Figure 3: Input signal to upstream port and output signal
from downstream port of kicker.

5E+11

Bunch center
pulse centerbunch 3ave

Gradient of Kick Voltage(dVk/dt)

bunch 4bunch 550

Kick Voltage(Vk)

0-5E+11-10pulse
centerpulse
centerpulse
center01

Bunch
centerpulse
centerKick Vk [V]Gradient of kick dVk/dt [V/s]

Kick : Stripline 50 : 1.5GHz 1 wave : 1W

For bunch 1
bunch 2sum
Kicker Drive
Signal-50......

345234123

For bunch #......

32132

132

1For kicker #Figure 7: Kick signal for each bunch (upper lines), andsingle drive signal for three kickers (downmost line).

2Time [ns]Figure 4: Kick voltage (dashed line) and its time gradient.

ここでは、バンチの繰り返しを 500 MHz として、1 台のキッカーは、駆動周波数を 1.5 GHz の 1 サイ- 522 -Proceedings of the 16th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
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クルで駆動されとする。Figure 7 のキッカーの駆動 を置く。
信号は、隣接する 1 サイクルの駆動信号が、それぞ5.1 キッカー形状とキックれ別のバンチのためのキックとなるため、それぞれ提案するキッカー形状を Fig. 8 に示す。空洞部の個別の振幅、極性を持つことになり、その振幅変調長さは、30mm 程度であり、パワーは、１ポートかの最大の周波数は 1.5 GHz の半分となるので、キッら入出力され、別途に HOM ダンパーを持つ。共振カーを駆動している信号の周波数成分は、1.5 GHz
周波数は、バンチの繰り返し周波数 500MHz を避1.5 = 2.25 GHz まで伸びていることになる。これは、 けて 1.75 GHz としている。この空洞を駆動する信ビームパイプのカットオフ周波数より低く漏れ出す 号は、Fig. 9 にしめすような、1.75GHz の３連パルことはない。逆に、もし、2 GHz を駆動周波数とし スであり、これにより生成するキック電圧およびそた場合、同様の方法で、4 台のキッカーまで駆動可 の時間勾配は Fig. 10 となる。
能となるが、その周波数成分は 3 GHz = 2 GHz 1.5 ま
このキッカーの Q 値は 3 程度となっており、前節で示した通常のストリップラインキッカーにくらべで伸びてしまうことになり、カットオフ周波数を超えてしまい、パワーがビームパイプを伝って漏れ出 て、電磁場のビルドアップ、および高周波化により、てしまい、パワーの損失だけでなく、BPM などの機 １台当たりで、2 倍程度のキック電圧勾配が得られている。また、このキッカーは 30 mm 程度とスト器に悪影響を及ぼす恐れがある。
ストリップキッカーの上下に対向する電極は、反 リップラインに比べて半分程度の長さであり、また、キッカー当たりの垂直ポートが一つであるので、通対極性の電圧、電流で駆動される。設定した周波数
常のストリップラインより単位長さあたりの台数を1.5 GHz に対し最適なキッカー長は Eq. (9) から L =大きく増やすことが可能となる。また、駆動方法も、50 mm となる。また、ストリップラインのインピー 単にパワーを分割してそれぞれのキッカーを駆動す
ダンスは 𝑍) = 50Ω としている。ストリップライン ることになり、セットアップや、調整等が容易と考上のピーク電圧とパワーの関係はえられる。
𝑉YZ[, = \2𝑍) 𝑃 ,(11)であり、キックパワーを、上下の入力ポートそれぞれに平均パワー0.5W、全パワーで平均１W が印加された場合、𝑉YZ[, = 7.1𝑉 となる。このとき、ビーム軸上の電場は、平行平板の静電場から、
𝐸) =𝑉YZ[,7.1𝑉𝑉== 645𝑏11 𝑚𝑚𝑚(12)となる。ここで、b=11mm は、ビームパイプのアパチャの半分である。これから、式の得られるキック電圧勾配は、
T

𝑑𝑉K (𝜏)T = 2𝑐𝐸) = 3.89 × 10bb [𝑉/𝑠]𝑑𝜏(13)となり、Fig. 5 に示されたシミュレーション結果とほぼ一致している。

5.

Ultra-Low Q Resonant Strip-line
Kicker for Head-tail Feedback

Figure 8: Low Q kicker.
キッカーを駆動する信号は、バンチ毎に、その極性、強さを変える必要があるので、1.75GHz の信号に対する振幅変調の周波数は、250 MHz となる。これから、キック信号のもつ周波数帯域は、2 GHz まで伸びるが、カットオフ周波数 2.5 GHz よりは十分に低い帯域となる。駆動周波数を 2 GHz 以上とした場合には 4 パルスの蓄積が可能となり、かつ、より短いキッカーが可能となることが予想されるが、このとき、バンチの繰り返し周波数 500 MHz の整数倍を避けることにより、2.25 GHz などの周波数を取ることになるが、この場合、帯域がカットオフ周波数とほぼ同程度となってしまい検討が必要となる。

次に、高速応答を得るために低い Q 値とした、共鳴ストリップラインキッカーを提案する。条件として、
１）全長が短く、長さあたりの設置台数を多くできる
２）高いキック電圧が得られる
３）駆動信号の周波数帯域が、カットオフ周波数を超えない。

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Input / Output : Resonant : 1.75GHz 3 waves

1.75GHz の sin 波で駆動されているとした場合、1.5Input

Voltage [a.u.]

1𝜔𝜎E = 2𝜋 × 1.75 𝐺𝐻𝑧 × 10𝑝𝑠 = 0.11 ~ 0.1

Output0.5となるので、

0-0.5

𝜃K,nn (𝜏 = 𝜎E ) = 𝜃qK,nn sin 𝜔𝜎E ~0.1𝜃qK,nn-1-1.501234Time /ns51.75GHz 3 wave drive ( 1Wave

𝜃qK,nn = 10𝜃K,nn (𝜏 = 𝜎E )~10𝜃K,ll50
0KickVoltage(Vk)-10123

Vk [V]

0-5E+11(21))

Gradient ofKick Voltage(dVk/dt)

5E+11(20)あるいは、6Figure 9: Input and output to/from low Q kicker.

dVk/dt [V/s]

(19)

-50
4Time/ns

Figure 10: Kick by low Q kicker. Kick voltage and time
gradient of kick voltage.となる。すなわち、head-tail キックのための sin 波の振幅𝜃qK,nn は、重心振動のキックの 10 倍程度が必要となっている。そのため、後続のバンチに headtail キックがもたらす重心振動へのキック量を、CMフィードバックによるキックの 1/10 とするためには、残留キック量を 1/100 程度とする必要がある。
そこで、low Q 空洞として、振幅自体を 1/10 程度に減衰させ、さらに、後続バンチの位置で、ちょうど、キックが極性が入れ替わるためにゼロを横切るタイミングとすることで、1/100 の低減を達成している。

6.

PIC Simulation Study

Head-tail フィードバックの効果を探るために、次の 3 つの場合について、SISR [3] による Particle-In後続のバンチは、2ns 遅れており、そのタイミン Cell(PIC)シミュレーションを行った。このとき、重グは、Fig. 10 に記されている。重心振動と、head心振動のフィードバック(CC-FB)に加えて、ビーム
tail 振動の振幅が同程度：𝜎E をバンチ長として、の head-tail 運動（傾き）を測定し、それに重心の〈𝑥〉~𝜃𝜎E(14) フィードバックと同様の-90 度の位相差を与える
FIR フィルタを適用して head-tail キックを生成すると仮定する。ここで、〈𝑥〉および 𝜃は、バンチの重心 head-tail フィードバック(AA-FB)、および、重心振振動の振幅および head-tail 振動の角度である。これ 動に -180 度の位相差を与える FIR フィルタを適が発生する重心振動フィードバックおよび head-tail 用して head-tail キックを生成するフィードバック
フィードバックのキックの強さは、それぞれ、(CA-FB)の効果を検討した。
1) 計算により求めた SPring-8 のビームパイプのコ(15)𝜃K,ll = 𝐺ll 〈𝑥〉ンポーネントのウェーク
2) ステップ関数のウェーク場 ( 𝜃(𝑧) )𝑑𝜃K,nn(16) 3) 縦方向のウェークの有無。無しとした場合は、= 𝐺nn 𝜃𝑑𝜏Potential-well distortion によるバンチ長の増大や、microwave 不安定性が無視されると表しておく。ここで、𝐺ll および𝐺nn は、それぞれのフィードバックのゲインである。Head-tail キック １）の場合、CC-FB と AA-FB を組み合わせた場合のバンチ電流は、CC-FB のみと比べて 1.5 倍程度とにより、𝜏 = 𝜎E での位置が受けるキックは、なった。また、CC-FB と CA-FB の組み合わせでは、
𝑑𝜃K,nnクロマティシティ 0 では 1.5 倍程度の増大が見られ𝜃K,nn (𝜏 = 𝜎E ) =𝜎E = 𝐺nn 𝜃𝜎E ~𝐺nn 〈𝑥〉 (17)𝑑𝜏
たが、2 や 4 では、増大は見られなかった。
一方、2), 3)の場合には、CC-FB に AA-FB や CA-FBとなる。ゲインが同程度 : 𝐺nn ~𝐺ll とした場合には、 を加えた場合には、どちらの場合も 2 倍から 3 倍程度のバンチ電流の増大がみられた。すなわちウェー(18)𝜃K,nn (𝜏 = 𝜎E )~𝜃K,ll
クの特性により head-tail フィードバックの効果が大きく異なることがわかった。なお、これらでビームとなる。ここで𝜎E ~ 10ps とし、Head-tail キックがが不安定となった場合には、高次の振動が不安定性
5.2

後続のバンチへの影響- 524 -

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PASJ2019 WEPI031となっており、バンチが重心振動や head-tail 振動とは異なり、バンチが波打つ運動が成長するなど、重心振動フィードバックや、head-tail フィードバック
では抑制困難なモードの不安定性が成長している。

参考文献[1] T. Nakamura, “Head-tail フィードバックによるモード結合不安定性抑制の検討”, Proc. of PASJ18, THP089.
[2] T. Nakamura, “Head-tail 不安定性フィードバックを目指した head-tail キッカーの提案”, Meeting Abstracts of
the Physical Society of Japan 70.1(0), 547, 2015.
[3] T. Nakamura, “SPring-8 でのビーム不安定性シミュレーション”, Workshop SAD2006, KEK (2006);
http://acc-physics.kek.jp/sad/SAD2006/Doc/Slide/
Nakamura.pdf- 525 -