数学，外国語（英語）
あわせて１２０分
数学：4 分野中 2 分野選択
外国語（英語）：全問必答＜注意事項＞
・試験開始の合図があるまで，問題・解答冊子の中をみてはいけません．
・試験監督者の指示に従って，下の記入欄に受験番号と氏名を記入しなさい．
受験番号

氏名

・数学の分野およびページは，下の通りです．この中から 2 分野を選び，解答しなさい．
分野

ページ

分野① 線形代数

２～３

分野② 三角関数，指数対数関数，微分，積分４

分野③ 応用数学

５

分野④ 離散数学

６～７

・外国語（英語）は，ページ８からページ１１です．外国語（英語）は，全問必答です．
・試験中に，問題・解答冊子の落丁や印刷不鮮明などの問題に気づいたときは，手を高く上げて知らせなさい．
・不正行為に対しては厳正に対処します．
・試験中は試験監督者の指示に従うこと．

1

数学

線形代数は，ページ２から

分野① 線形代数

ページ３まで次の問いに解答しなさい．

問題．以下のように定義した行列𝐴に関して，（１）と（２）の問いに答えなさい．
3𝐴=(12)4（１）行列𝐴の行列式の値および逆行列を求めなさい．なお以下の各解答欄に導出過程を含めて記しなさい．

（行列式の値の算出）（逆行列の算出）2

数学

線形代数は，ページ２から分野① 線形代数

ページ３まで（２）以下に記した𝐴𝑛 の導出過程を，空欄(a)～(s)を埋めることで完成させなさい．なお，解答はページ右側の所定の欄に記入すること．

【𝐴𝑛 の導出】
行列𝐴の固有値および対応する固有ベクトルを求めた．その結果， 固有値 2 に対応する固有ベクトル𝒂は，
2𝒂 = ( (a) )(a)となり，固有値 (b) に対応する固有ベクトル𝒃は，(b)

1𝒃 = ( (c) )(c)となった．以上二つの固有ベクトルを使い，行列 P を
𝑃=(21)(a) (c)と定義すると，この逆行列は，
𝑃 −1 = (( d)( e)( f)( g))(d)(e)(f)(g)(i)(j)(k)(m)(n)(o)である．この行列 P を使って，以下のような行列積の対角化を実現できる．
𝑃 −1 𝐴𝑃 = ((h)(i)(j)(k)(l)(m))
(o ))

(h)

よって，
𝑃 −1 𝐴𝑛 𝑃 = (( n)(l)とできるため， 𝐴𝑛 は，
𝐴𝑛 = (( p)(r)(q))( s)と求めることができる．

3(p)

(q)

(r)

(s)

分野② 三角関数，指数対数関数，微 三角関数，指数対数関数，微数学

分，積分は，ページ４分，積分
次の問いに解答しなさい．
問題１． limn →

bn + 1
1= − となるとき、 a, b の値を求めてください。
2an + 2n + 12問題２．関数 y = x 2 e − x に関して以下の問いに答えてください。
2(1)関数の増減を調べてください。

(2)

グラフの概形を描いてください。

 問題３．区間[0,1]で、２曲線 y = x 2 と y = x sin  x  で囲まれた面積を求めてください。
2 4

数学

応用数学は，ページ５

分野③ 応用数学

次の問いに解答しなさい．
Ｎ個のデータ(x1 , y1 ), ⋯ , (x𝑁 , y𝑁 )を通る近似直線を求める方法に最小二乗法があります。最小二乗法では、求める近似直線をy = ax + bと置いたとき、その二乗誤差
𝑁J = ∑{ 𝑦𝑖 − (𝑎𝑥 𝑖 2 + 𝑏)}2𝑖 =1が最小になるように、直線のパラメータa, bを定めます。
２つのパラメータa, bを求めるには、パラメータa, bでそれぞれ二乗誤差Jを偏微分し、𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑖=1
𝑁𝑖=1
𝑁𝑖=1𝑁𝑖 =1𝑖=1𝑖=1𝑖=1

𝜕𝐽= 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥 𝑖 − 𝑏)(−𝑥𝑖 ) = 2𝑎 ∑ 𝑥 𝑖 2 + 2𝑏 ∑ 𝑥 𝑖 − 2 ∑ 𝑥 𝑖 𝑦𝑖 = 0
𝜕𝑎𝑖=1

𝜕𝐽
= 2 ∑ (𝑦𝑖 − 𝑎𝑥 𝑖 − 𝑏)(−1) = 2𝑎 ∑ 𝑥 𝑖 + 2𝑏 ∑ 1 − 2 ∑ 𝑦𝑖 = 0𝜕𝑏となります。したがって連立一次方程式
𝑁𝑁∑ 𝑥 𝑖2∑ 𝑥𝑖𝑖=1
𝑁𝑖=1∑ 𝑥𝑖( 𝑖=1𝑁𝑁𝑎( )=𝑏)

∑ 𝑥 𝑖 𝑦𝑖𝑖=1𝑁∑ 𝑦𝑖( 𝑖 =1)

で求めることができます。

問題

5 点(1,2), (2,3), (3,6), (4,9), (5,10)に最小二乗法で近似直線y = ax + bを求めます。

(1)二乗誤差 J の式を求めてください。

(2)

連立一次方程式を求めてください。

(3)

近似直線を求めてください。

5

数学

離散数学は，ページ６から

分野④ 離散数学

ページ７まで問題１．重み付き有向グラフに関する次の問いに答えなさい．
（１）次の有向グラフ G に対応する隣接行列(Adjacency Matrix)を示しなさい．
a433

188d8s6

99 1088fb5833e9878gc

48289888438828t88hG（２）最短経路木を求める「ダイクストラのアルゴリズム」について説明しなさい．

6

数学

離散数学は，ページ６から

分野④ 離散数学

ページ７まで（３）G の最短経路木(Shortest Path Tree)を求めなさい．ただし，枝につけられている重みを長さと解釈し、節点s を出発点とする．

（４）t を目的地とするとき最短経路を示しなさい．また最短距離はいくらか．

7英語

英語は，ページ８からページ１１まで

以下のコンピュータの人工知能に関する問題英文を読んで、問題 1、問題 2、問題 3 の問いに解答して下さい。

この部分の文章は，公開時に削除(Apple's Siri is an example); medical diagnostics; and eventually collaborating with human scientists inresearch.

(VOA https://www.voanews.com/a/go-game-computer-victory-artifical-intelligence/3165518.html より抜粋)

8英語

英語は，ページ８からページ１１まで

問題１．（読解）（１）下線部①が意味する事項として最も相応しい文を以下から１つ選んで、「解答」右の下線部の上にそのアルフ
ァベットを記入してください。
a. 碁はゲームの人工知能研究の頂点であると考えられている。
b. ポケモン Go は様々なゲームを調査して制作された。
c. 行動は愛のゲームである。
d. 行動は愛の研究の頂上にあると考えられている。

解答（２）下線部②が意味する事項として最も相応しい文を以下から１つ選んで、「解答」右の下線部の上にそのアルフ
ァベットを記入してください。

a. AlphaGo は、ヨーロッパの３つと、中国の楽しい Hui の、合計、５つのゲーム版を掃除した。
b. AlphaGo は、ヨーロッパの碁の３度の王者であり、中国のプロの棋士もある Fan Hui との５回戦に全勝した。
c. AlphaGo を掃除して３つの時間と合致したヨーロッパは、王者に行き、プロは Hui を楽しんだ。
d. ヨーロッパの３度のポケモン Go の王者であり、中国のプロでもある、AlphaGo は楽しく Fui を掃除した。

解答

9

英語

英語は，ページ８からページ１１まで次の問いに解答しなさい．
問題２．（英文和訳）
問題文の(a), (b), (c) を日本語に翻訳してください。
（a）

（b）

（c）

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英語

英語は，ページ８からページ１１まで

次の問いに解答しなさい．
問題３．（英作文）
以下の(1)と(2)の和文を、問題英文に出てきた単語を一つ以上使って、英語に翻訳し、以下の空白に書いてください。

(1)「人工知能は長い歴史を持つ分野であるが、現在でも絶え間なく発展し、変化している。
」(2)「多くの著名人は、人工知能の無制限の進歩は、警鐘を鳴らすべき事項であり、人類の未来に影響する、と考えている。
」

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