大学入学共通テスト および 国公立大二次・私大大学入試分 析と 対 策

2021
令和3年度

数学
学 校 法 人 河合塾
数学科講師 瀬戸山 義治

この冊子の内容は次の URL からもアクセスできます
https://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/kou/math/本稿ではいくつかの入試問題を引用していますが ,紙面の都合上，出典大学名を紹介するにとどめた箇所（１） 大問構成
今年度の大問構成は以下のようになった。ただし，括弧内は配点，★は選択問題である。

があります。
問題文については河合塾のホームページなどをご覧ください。

数学Ⅰ・A（試験時間 70 分）
大問
１0

はじめに

２

2021 年度の大学入試が終了した。新たに大学入学共通テストも行われた今年度の入試全般についてどのような特徴がみられたか。本稿では今年度の大学入学共通テ
ストと国公立二次・私大入試を総括し，次年度以降の学習対策を述べることにする。

３４５単元[１] 数と式，２次関数（10）[２] 図形と計量（20）[１] ２次関数（15）[２] データの分析（15）★場合の数と確率（20）★整数の性質（20）★図形の性質（20）

必答問題は２題，選択問題は３題から２題を選択する
形で，これは昨年度のセンター試験と同じである。
また，設問数，マーク数はともに増加した。

1

大学入学共通テスト

2021 年度は，センター試験に代わって大学入学共通テストが実施された。記述式問題や複数選択問題が見送られるなど紆余曲折があったこのテストは，２回行われた（追試験も含めると３回）。まずは２つのテストの結果をみてみよう。
2021 年１月 17 日実施
数学 I
数学 I・A
数学 II
数学 II・B

受験者数
5750
3564935198
319697

平均点
39.11
57.68
39.51
59.93

標準偏差16.84
19.49
18.75
23.62

数学 I
数学 I・A数学 II
数学 II・B

平均点
26.11
39.62
24.63
37.40

標準偏差16.32
19.92
16.74
21.05

（大学入試センターHP より作成）
受験者数を考慮して，本稿では 2021 年１月 17 日実施
分の「数学 I・A」，「数学 II・B」の２科目について，河合塾のもつデータなども参考にしながら分析していきた
い。

大問
１２
３４５

単元
[１] 三角関数（15）[２] 指数関数・対数関数（15）
微分法・積分法（30）★確率分布と統計的な推測（20）★数列（20）★ベクトル（20）

必答問題は２題，選択問題は３題から２題を選択する
形で，これは昨年度のセンター試験と同じである。
また，設問数は変わらず，マーク数は減少した。

（２） 難易度の変化

2021 年１月 31 日実施
受験者数441354
351238

数学Ⅱ・B（試験時間 60 分）

難易度の変化の指標として，ここでは平均点に注目してみよう。昨年度のセンター試験の平均点は次のとおりである。参考までに，2018 年度の試行調査についても掲載しておこう。ただし，試行調査の数学 I・A についてはマーク式問題分（85 点満点）の平均得点率（得点 /満点）を表示している。
2021 年度共通テスト
2020 年度センター試験
2018 年度試行調査

数学 I・A
57.68
51.88
36.17

数学 II・B
59.93
49.03
35.49

（大学入試センターHP より作成）
この表からわかるように，試行調査からもかなり改善されたものとなり，センター試験との比較においても
2

「数学 I・A」，「数学 II・B」ともに易化した。

たものであろう。（２）は S 1 -S 2 -S 3 =-2bc cos A の符号を問う問題。角 A が鋭角，直角，鈍角のそれぞれに対して符号を答えるもので，正答率は約８割。（３）（３）「数学Ⅰ・A」の問題分析

は３つの三角形の面積の大小を問う問題。見た目が違う

大学入試センターは大問別平均点などを公表していな

式が実はどれも真ん中の三角形の面積を表していることいため，河合塾が実施した「答案再現分析」を参考にしに気づくことがポイントとなる。正答率は 40％と最もて分析することにしたい。
「答案再現分析」とは，受験低い。普段から式の意味を考えることが大切である。

生がどの問題にどのマークをしたかを調査したものである。今年度は「数学 I・A」で 8367 件，「数学 II・B」で第２問［１］ ２次関数8060 件のデータを収集した。なお，「答案再現分析」に100m走を題材にした「日常の数学」の問題。ストライド，よる平均点は，「数学 I・A」で 64.1 点，「数学 II・B」でピッチ，タイムなど語句の意味を理解するとともに，それ67.0 点であり，「答案再現分析」により抽出された標本らの関係を把握する必要がある。
（２）のは共通テスト受験生全体の母集団に比べてやや上方に分だけが２次関数の問題であり，正答率は 51％。なお，
シ布している。
以降のデータはすべて「答案再現分析」によるものである。

ケ. コサ. スセ は学力上位層と中位層で最も大きく差がついた問題である。本問のような「日常の数学」は数学的には易しい問題であるが，独特の雰囲気に慣れる練習

では「数学 I・A」の大問別平均点をみてみよう。
問題番号
１ [１]
[２]
２ [１]
[２]
３
４
５満点
1020
15
1520
20
20

平均点
7.6
14.0
9.3
11.2
11.6
12.2
7.6が必要である。類題を多く解いて対策したい。
第２問［２］ データの分析
問題文が 10 ページもある。（１）は箱ひげ図を読み取る問題。正答率は９割を超えていた。（２）は箱ひげ図からヒストグラムを推定する問題。多くの図が登場するためか正答率は７割を切る。（３）は複数の散布図から相関係数の変化を読み取り，３つの言明に対してその正誤を判定する問題。正答率は８割近い。（４）は条件を次に，今回出題された問題についてのコメントと次年度以降の学習対策について述べていきたい。

満たす散布図を答える問題。ある散布図の上下を折り返した散布図を答えさせる工夫された問題であった。正答率は６割を切る。多くの散布図を事前に用意しておくと第１問［１］ 数と式，２次関数指導しやすいだろう。

（１）は２次式を因数分解する問題。
（２）は２次方程式の解についての問題。前半は正答率が９割近くあ第３問

場合の数と確率る。
（３）は 97-16c が平方数になる正の整数 c の個数いくつかの袋に入っている球を取り出す問題。（１）を求める問題。問い自体がそれまでより難しく，共通テの反復試行の確率は正答率が約９割であるが，条件つきストの特徴の１つである「会話文」形式の中で問われて確率の正答率は６割台であった。（３）以降は「会話文」いた。この「会話文」の中に解答のヒントがあるのだ形式となる。その中で簡便な計算方法が示唆されているが， スの正答率は 31％と低かった。基本の計算技のだが，箱が３つに増えた（３）では正答率が３割，箱術の習得だけでなく，「会話文」の中に隠されたヒントが４つに増えた（４）では正答率が２割と順当に減ってに気づく練習が必要であろう。

いった。本問では主に条件つき確率の基本しか問われていないので，教科書を丁寧に学習しておけば十分であろ

第１問［２］ 図形と計量う。

（１）は sin と cos の関係や三角形の面積を求める問題。三角形 AID の面積を求める問題では，誤答として第４問

整数の性質

ツテ に 15 としたものが多かった。おそらく問題文にさいころの目に従って円周上を点が移動する問題。
（１）ある図から三角形 AID が直角三角形であると勘違いしは１次不定方程式の特殊解を求める問題で，正答率は９3

割を超える。
（２）の１次不定方程式の一般解を求めるは４割台である。sin の場合の合成と勘違いしたようだ。

問題では正答率は 87％。（３）は 5x-3y / 8 (mod 15) を（ⅲ）は合成する必要もなく，すぐさま関数の単調性が解くことになるので，通常の不定方程式を解くよりも難わかるのだが，正答率は 23％と低い。この設問は学力しい。（４）は操作の最小回数が最も大きい移動先を問

上位層をさらに二分するほど差のつく問題であった。教う問題。まじめに解けば難しいが，５つの選択肢の中か科書で扱う定理などは結果だけでなく証明まで含めて理ら選ぶ問題なので，正答率は意外に高く 36％であった。

解しておきたい。

ま た， そ の と き の 移 動 回 数 を 問 う

シは正答率が18％と予想どおり低い。この分野の中心に位置する１次不定方程式は確実に習得しておきたい。

第１問［２］ 指数関数・対数関数
双曲線関数 cosh ax ，sinh ax (a = log 2) に関する問題。
（１）はよくできていたが，指数方程式を解く最後の設第５問

図形の性質問のできが悪く，正答率は 30％であった。（２）は双曲直角三角形とその外接円についての問題。円が３つも線関数の相互関係を問う問題で，これも比較的よくでき登場するので図が描きにくかっただろう。角の二等分線ていた。（３）は双曲線関数の加法定理を扱う問題で，の性質を問うはじめの２つの設問の正答率はそれぞれ「会話文」形式であった。会話文の中に b に適当な値を91％，68％と比較的高い。次に続く方べきの定理を用い入れるとよい，とヒントがあるのだが，うまく b = 0 とる問題の正答率は 44％であり，これ以降の設問では正できたであろうか。正答率は 38％で，学力上位層と中答率は４割を切る。特に最後の設問は，それまでに得ら位層で差がついた。会話文の中に隠されているヒントをれた結果をどのように利用するのか自分で方針を立てなうまく見つけて活用する練習をしておきたい。

ければならず，高い思考力が要求される問題である。対策としては，二次・私大型の問題演習が効果的だろう。

第２問

微分法・積分法

多項式で表される関数のグラフを扱う問題。（１）は２つの２次関数のグラフを扱う問題。はじめに具体的な（４）「数学Ⅱ・B」の問題分析

関数について２つのグラフの共通する性質を問う。その「数学 II・B」の大問別平均点は次のとおりである。
問題番号１ [１][２]２３４
５満点
151530202020

あと一般の２次関数のグラフについて考察することになり，それまでの結果を確認できる作りとなっている。

平均点
10.3
9.7
21.7
5.0
14.9
11.0

l と x 軸の交点を求める問題では空欄に文字を３つも入れることになり，驚いた受験生もいただろう。この設問を除いては前半の正答率が９割近くあった。後半の積分法の問題は囲まれる図形が描きにくかったのか正答率が61％と低かった。（２）は３つの３次関数のグラフを扱う問題。 ト

次に，今回出題された問題についてのコメントと次年度以降の学習対策について述べていきたい。

まで（１）と同様の考察をするので，できはよく，正答率は 85％を超える。本問のように係数に文字を多く含んだ関数であっても基本的な計算技術は身につけておきたい。

第１問［１］ 三角関数
三角関数を合成して関数の最大値を求める問題。（１）

第３問

確率分布と統計的な推測

は係数が具体的な数値で，合成角も有名角であるため出ある高校の生徒 100 人を抽出したときの，本を読まな来は非常によかった。ただし，最大値については最大値

い生徒数の分布，および読書時間の推定に関する問題。とそれを与える i の値をセットで答えさせるため正答率2018 年度試行調査第３問と類似の問題である。 アは７割台に落ちる。
（２）（ⅰ）も係数が具体的な数値で，は B (100, 0.5) が正解であるが， N (100, 0.5) と答えた

合成する必要がなく，（１）よりも簡単な設問であり，正答案が 21％もあり，この設問の正答率は 51％であった。

答率は 95％。
（ⅱ）以降は係数が文字になるが， キこの設問以降， ソは意外によくできていて正答率は 76％。 cos に合成するることはなかった。また， ソ方法はあまり経験がないため
4

ク， ケの正答率を除いて，正答率が 35％を超え， タはセットで（配点は各２点），６つの選択肢から２つ選ぶものであるが，マーク率をみると他の選択肢にも分散してマーク数学Ⅰ・Aしていた。ヤマカンで答えた受験生が多かったのかもしれない。この分野特有の用語に慣れるだけでなく，基本的な数値の求め方を整理しておくことが大切である。
第４問

第３問・第４問選択者
第３問・第５問選択者
第４問・第５問選択者

人数503617301516

割合
60.8％
20.9％18.3％

人数240
1467534

割合
3.0％
1.9％
95.1％

数列

２つの数列を結びつける漸化式を扱う問題。問題文中

数学Ⅱ・Bにも計算方法などが示唆されていて，丁寧に誘導されている問題である。
（１）の前半の正答率は９割以上，後半でも８割あった。
（２）では，等差数列の和を求める
設問の正答率が 68％なのに対し，等比数列の和を求め第３問・第４問選択者
第３問・第５問選択者
第４問・第５問選択者

る設問の正答率が 79％と，こちらのほうが高く出た。
（ ４） の 最 後 の 設 問

テは学力上位層の正答率が70％なのに対して中位層の正答率が 18％となり，大きく差がついた。またこの設問では無回答率も 19％と高かった。式変形などをする際に，何をさせられていて，どのように結論を導こうとしているのかを先読みする，
いわゆる「出題者の意図」を読む練習が必要だろう。

2

国公立二次試験，私大入試など（１） 今年度の特徴今年度の入試問題を語るにあたっては，コロナ禍の影響を無視することはできない。受験生たちの学習状況を第５問ベクトル考慮したと思われる大学が多かったからである。例え（１）は正五角形を題材にした平面ベクトルの問題。

ば，名古屋大や広島大のように理系学部の問題で，文系ベクトルの計算問題が中心であり，どの設問も正答率は学部との共通問題を大幅に増やして難度を下げたり，上８割近くあった。
（２）は正十二面体を題材にした問題。

記２大学に加えて千葉大，静岡大，北海道大（後期）なベクトルの大きさや内積の計算問題が中心であるが，設どは数学 III の出題を控えたりした。文系学部との共通定が空間であることもあり，（１）よりも全体の正答率問題がなく，むしろ積極的に６問中３問以上を数学 IIIは 20 ポイント以上下がった。しかし，学力上位層はこのからの出題とした京都大などは例外的である。

限りではなく，特に，内積の計算問題である

シでは上位層と中位層でかなり大きな差がついた。問題文で以降はいくつかのテーマに絞って今年度の入試問題を俯瞰していきたい。

は計算により，四角形 OB 1 DB 2 が正方形であることを示す流れであったが，図形の対称性からすぐに正方形であるとわかるため，正答率は 49％と意外に高い。正四面体や立方体以外の正多面体はあまり目にする機会が多くないが，基本的な性質ぐらいは確認しておきたい。

（２） 「データの分析」の問題
出題数は若干減ったが，基本的な項目は全部出題されている。
平均値・分散…データを与えて単純に平均値・分散（５） 選択問題の選択率などを計算する問題が信州大や南山大で出題されていた。福井大では四分位範囲も求めさせている。

選択問題については，「数学 I・A」では第５問（図形箱ひげ図・散布図…与えられた箱ひげ図から何が導の性質）が，「数学 II・B」では第３問（確率分布と統けるかを問う問題が慶應義塾大や立命館大で出題さ計的な推測）が避けられていた。以下に２問を選択したれていた。また，散布図を読み取る問題が滋賀大で受験生の内訳を示しておこう。

出題されていた。
他分野との融合…関数との融合問題が広島大や同志社大で出題されていた。

5

（３） 「整数の性質」の問題（６） 「数列」の問題

今年度もさまざまなテーマの問題が出題されていた。

整数や確率などの他分野との融合問題も含めて例年ど

１次不定方程式…関西学院大では多少のヒントを与おりの出題であった。確率との融合問題で，４項間漸化えて解く問題が，金沢大や島根大，東北大では特定の性質をもつ解をもつ条件を考える問題が出題され

式 p n = ]1-ag p n-1 +ap n-3 を扱う問題が大阪市立大で出題された。

た。
n 進法…京都大，富山大，山形大，早稲田大，名城大など多くの大学で出題されている。
ユークリッドの互除法…琉球大，奈良県立医科大な（７） 「微分法・積分法（数学Ⅲ）」の問題
出題数は１割ぐらい減少した感がある。次の大阪大のどで出題されている。

問題は複接線の問題。４次関数以外で複接線を扱う問題

素数…論証問題になることも多く，次の京都大の問は珍しい。

題がその典型例であろう。
p が素数ならば p +14 は素数でないことを示4せ。
また，次の一橋大の問題はいろいろな方法が考えられるが，見た目以上に難しい。
1000以下の素数は250個以下であることを示せ。
有理点…曲線上にある有理点に関する問題が滋賀医科大で出題された。
二項係数…今年度は二項係数に関する整数問題が目立った。東京大，東京工業大，九州大，大阪医科薬科大などで出題され，いずれも難問である。
n! が素数 p で何回割りきれるか…このテーマの問

題も立命館大，上智大などで出題された。

（４） 「確率」の問題'（場合の数）（場合の数）の問題や確率漸化式の問題などは例年どおり多く出題されているが，今年度では「検査」についての問題が県立広島大，上智大，関西医科大などで出題されていた。

次の問いに答えよ。
（１） a を実数とする。 x についての方程式rをみた
2すものがちょうど１個あることを示せ。
x-tan x = a の実数解のうち， x 1（２） 自然数 n に対し， x-tan x = nr かつrをみたす実数 x を x n とおく。 t を
2rt 1 をみたす実数とする。このとき，曲線2x 1

C|y = sin x 上の点 P ]t, sin tg における接線が，不等式 x Frの表す領域に含まれる点において2も曲線 C と接するための必要十分条件は， t がx 1 , x 2 , x 3 , g のいずれかと等しいことであることを示せ。

（８） 「入試問題トピックス」
次の問題は「2021」に絡めた東京大の問題。二項係数に関する問題は東京大では頻出である。なお，「2021」に絡めた問題は同志社大などでも出題されている。
以下の問いに答えよ。
（１） 正の奇数 K ，L と正の整数 A ，B が KA = LB

（５） 「空間ベクトル」の問題
教科書では発展扱いの平面の方程式に関する出題があった。平面の方程式を導く問題が立命館大で，平面のを満たしているとする。 K を４で割った余りが L を４で割った余りと等しいならば， A を４で割った余りは B を４で割った余りと等しいことを示せ。

方程式を直接問う問題が京都府立大で出題された。ま（２） 正の整数 a ， b が a 2 b を満たしているとす

た，平面の方程式を知っていると有利な問題が京都大でる。このとき， A = 4a+1 C 4b+1 ，B = a C b に対し出題された。て KA = LB となるような正の奇数 K ，L が存在することを示せ。
（３） a ， b は（２）の通りとし，さらに a-b が6２で割り切れるとする。 4a+1 C 4b+1 を４で割った余りは a C b を４で割った余りと等しいことを示せ。
（４） 2021 C 37 を４で割った余りを求めよ。
（２）は 4a+1 C 4b+1 を実際に分数で書き表すとよい。

（１）は Tl = " x x ! T, x 2 b, に最小の元が存在することを示せばよい。そのためには Tl の元 xl を１つ固定して， b と xl の間に T の元が有限個しかないことを示せばよい。結局， xl 以下の T の元が有限個しかないことを示すことになる。題意を把握することも証明のアイデアも難しい難問である。

分子の４の倍数の因子と分母の４の倍数の因子がそのまま a C b となる。残りは２の倍数の因子を２で約分すると結果的に奇数の因子だけになり証明が完結する。なお，（３）は a-b が２で割り切れなくても命題は成り立つ。
最後にもう１つだけトピックスを紹介する。奈良県立医科大の問題である。

3

おわりに今年度の入試の目玉は何といっても大学入学共通テス
トであろう。コロナ禍の中で未知の新しいテストと戦った受験生はよく頑張ったと思う。筆者は新テストについk を正整数， m 1 , m 2 , g, m k を正の実数，さらにて，2015 年度の「スーパームーンの問題」からその動m ， r を正整数とする。

静をずっと追いかけていて，ようやく１つの完成形をみ（１） 集合 T をることができて一段落ついた感があった。

k

国公立二次試験，私大入試では，個別には難問もある

i=1

ものの全体的に昨年度と比べてやや易化した印象があT = )! a i m i a 1 , a 2 , g, a k は整数，かつ任意の 1 E i E k に対して a i F 0 3と定義する。 b を実数とする。このとき，正の実数 c が存在し，以下の条件 ]Fg をみたすことを証明せよ。

る。これは今年度の特殊性によるものだと思う。共通テストの影響を受けつつも次年度以降は元に戻るのではないだろうか。
本稿が読者諸兄の一助になれば幸いである。

条件 ]Fg|x ! T について x 2 b ならば，x-b F c 。

（２） 集合 S をS = )!
ki=1

ai mi
a 1 , a 2 , g, a k は整数，rかつ任意の 1 E i E k に対して a i F-m 3と定義する。このとき，正の実数 h が存在し，以下の条件 ]Mg をみたすことを証明せよ。
条件 ]Mg|x ! S ， x 2 0 ならば x F h 。

瀬戸山義治（せとやま・よしはる）

近畿地区にて主に東大等をめざすトップレベル生を対象とした講座で指導を行っている。これまで数多くのテキストや，「京大オープン」「全統記述模試」
をはじめとする模試の作成に携わり，現在は共通テストや個別入試の分析を元に，教材・模試作成チームへのアドバイスを行っている。

7

URL https://www.shinko-keirin.co.jp/
令和 4 教 内容解説資料

本社
東京支社
北海道支社
東海支社
広島支社
九州支社

〒 543-0052 大阪市天王寺区大道 4 丁目 3 番 25 号 電話(06)6779-1531 FAX(06)6779-5011〒 113-0023 東京都文京区向丘 2 丁目 3 番 10 号 電話 (03)3814-2151 FAX(03)3814-2159〒 060-0062 札幌市中央区南二条西9丁目1番2号サンケン札幌ビル1階 電話 (011)271-2022 FAX(011)271-2023〒 460-0002 名古屋市中区丸の内1丁目15番20号ie丸の内ビルディング1階 電話 (052)231-0125 FAX(052)231-0055〒 732-0052 広島市東区光町1丁目7番11号広島ＣＤビル5階 電話(082)261-7246 FAX(082)261-5400〒 810-0022 福岡市中央区薬院1丁目5番6号ハイヒルズビル5階 電話(092)725-6677 FAX(092)725-6680