ー直＇ベ ク ト ル§I. ペクトル
幾何学に現われる線分の長さ， 2直線間の角，三角形の面積，四面体の体積など，また物理学に現われる物質の質量，時間，温度などは，それらを測る単位さえ指定しておけはそれぞれその大きさを表わすただ 1つの数値で完全に表現される．このように，その大きさを表わすただ 1つの数値で表現され，代数学におけるふつうの演算法則にしたがう量を，われわれはスカラーとよぶ
これに対して，幾何学に現われる有向線分，平行移動など，また物理学に現われる速度，加速度，力などは，それらを測る単位を指定しても，その大きさを表わすただ 1つの数値では完全に表現されないこれらは，その大きさを表わす数値に加えて，その向きをも指定して完全に表現することができる． このように，大きさだけでなく，その向きをも指定してはじめて完全に表現され，われわれはペクトルとよぶ．
このベクトルは，その大きさを長さとし，の向きを向きとする 1つの有向線分 PQで表現することができる．有向線分 PQが 1つのベクトルを表現していることを明示したい場合にR）は，これを PQとかき， Pをその始点， Q をその終点という．
今後，,B,C,・・・,X, Y,Z,a,b,c,
われわれはペクトルを表わすのに， A・・・,x,y,zなどの太文字を用いることとし，ペクトル A を表わす有向線分が）PQであるとき21. ベクトル）

A=PQ）とかく．また，ベクトル B を表わす有向線分が RSのとき
）

B=RS）

とかく．そして， もしベクトル A を表わす有向線分 PQと，ベクトル B を表）

わす有向線分 RSとが，同じ長さ，同じ向きをもっている場合にほ，ペクトル

A とベクトル B とは等しいと言って

A=B）

とかく．

したがって，この場合同じ長さ同じ向きをもった 2つの有向線分 PQ）と RSも等しいと考えて） ）

PQ=RS
とかく．
上の約束によれば，ペクトル A の大きさほ，）それを表わす有向線分 PQの長さで表わされている．これをベクトル A の 長 さ ， ま た は 絶 対 値 と よ ん でIAIで表わす．

そして特に，長さが 1の ベ ク ト ル を 単 位 ペ ク ト ル と よ ぶ

ベクトル A の向きは，）

もちろんそれを表わす有向線分 PQの向きで表わされている．
ベクトルを表わす有向線分は，空間のどの点を始点としてひいてもよいか

ら，特に空間に 1点 0 を固定して，この点 0 を始点とするベクトルだけを考えることがある．この種のベクトルをわれわれは束縛ペクトルとよぶ．
さて，空問に 1点 0 を固定すれば，）

であるような有向線分 OPが定まり，）1つのベクトル X に対して X=OP
したがってその終点 Pが定まる．

逆に空間に 1点 Pが与えられれば，空間に束縛ベクトルp）

X=OPが定まる．
定しておけば，て，このように，空間に 1点 0 を指0 を始点とする束縛ベクトルによっ空間の 1点 Pの位置を表わすことができる．

こ︒のように，空間の点 P の位闘を表わすのに用いられる）ベクトル X=OPを 位 置 ペ ク ト ル と よ び ，その原点という．

0を

3

§
2. ベクトルの計算法則§2. ペ ク ト ル の 計 算 法 則
ベクトルは，有向線分で表現され，しかもつぎにのべる計算法則にしたがうものである．
(I) ペ ク ト ル の 加 法

ベクトル A とペクトル B の 和 A + Bは，まずペクトル Aを表わす有向線）

分 PQをひき，ついでその終点 Q を始点として，ベクトル B を表わす有向線）

分 QRをひいたときに，）有向線分 PRの表わすベクトルと定義される．

和 A + Bを作図するこの法則は，

R

トル A とベクトル B が与えられたとき， そのベクベクトルの加法に関する三角形法則とよばれている．
ベクトル A とペクトル B の和 A + Bを表）

わす有向線分 PRは，つぎのようにしても作図p

される．
）

まず，ベクトル A を表わす有向線分 PQと，）

R

ベクトル B を表わす有向線分 PSとを，同一の点 Pを始点としてひき， PQと PSを隣り合った 2辺とする乎行四辺形 PQRSを作図すれば，）Pからでるその対角線 PRが， A と B の和 A+ Bを表わす有向線分である． ベクトル A とpベクトル B の和 A + Bを表わす有向線分を作図するこの法則は，ベクトルの加法に関する平行四辺形法則とよばれる．
→

この場合，有向線分 QRはベクトル B を表わし，)

有向線分 SRはベクトルA を表わしているから，上の図からA+B=B+Aであることがわかる．したがって，ベクトルの加法は，交換法則を満足して1,ヽる．

また次の図ほ， 3つのベクトル A,B,Cが与えられた場合，まず A + Bを

43列︱ヽ゜行§I. 行列
直交軸 O‑X,X2の設定された乎面上で，点(：：)をx,'=a11x,+a12x2，x2'=a2,x,+a22功によって点(::：)へ移す変換ほ， 1次 変換とよばれる．この 1次変換は，その係数の表

ぶ・(::9')゜

1222

11aaa1 2a／ー＼︑
¥ー̲/.
.
(~:)
ふによって定められる．
ぷふの設定されまた，直交軸 0‑Xた空問内で，点（：：）をxi'=a11x1+a12X2+a13X
a2,x2+a,axsxz'=a21X1+axa'=aa1X
1+aa2X2+aas功）によって点（：：＇，も係数の表ぷへ移す変換も， 空間の 1次変換とよばれる．

この 1次変換

2. 行

44

列
血叩年

年知釦＼︶

5au︵＼5によって定められる．

XJふふ︵＼xJ¥̲I＼ー︶／ーーー＼

9xl,5,xJ．

•

さらに，空間の 1点(:3:）をx︒

u,=a11X1 +a12X2 +a uふu2=a21x, +a22x2 +a2,ふ9﹄によって，平面上の点（：：）へ移す写像

は，空間から乎面への線形写像とよばれxる． この線形写像も，その係数の表33︑＼ー222a1 a, ．
a1 a1112a/al̲
¥ーによって定められる．
一般に， m,nを自然数とするとき， mn個の実数を長方形の形に並べた表
a11a12a13''•a1na21a22a 2 3 '．
．

a2namlam2a m 3 .．
．

amn

A=を (m,n) 型行列，または m X n行列とよび，これらをかっこでつつんで，上のように 1つの文字で表わすことが多い．

(m,n) 型行列 A において，横の並びを行とよび， 上から順に第 1行，第2行 ， … ， 第 m 行とよぶ．また，縦の並びを列とよび，左から順に第 1列，第 2列，・・・，第 n列 と よ ぶ 行 列 A において，それを作っている mn個の数を 成 分 と よ び ， 第 i行，第 j列にある成分 aij を A の (i,j) 成 分 と よ ぶ
行列 A は，ダu§
1. 行

45A =(a11)とかかれることもある．

m,n) 行列をすべての成分が 0であるような (0 0 0..・ 00 0 0・・・0Om,n=0 0 0... 0で表わして，これを (m,n) 型零行列とよぶ．しかし，その型を明示する必要のない場合には，零行列を 0 で表わすことがある．
さてわれわれは，1行 n列の行列

A =Cai,a2,• • ・,an)＼︶mbiわ⁝ b︵＼︱︱Bを 1l 次元の行ペクトルとよぶ．また， m 行 1列の行列を， m次元の列ペクトルとよぶn,n) 型行列
また， m ＝nの場合，すなわち (an a12..．ana2
1 a22 • ・・ a2,.

A=an
1 an2 •••annを， n次の正方行列とよぶ．そして，この場合，左上から右下へかけての対角線上に並んでいる成分
an,a22,••・,a"を行列 A の対角成分とよぶ．また，正方行列において，の成分がすべて 0の場合，すなわち正方行列がその対角成分以外

87マシ

行列式

§I. 一般の行列式

われわれは，2次の行列式をau a12=aua22‑ a12a21a2
1 a22と定義した．この式の右辺には auauの形の項が 2つある．その前の添字 (i,k) はいずれも（ 1,2) の順に並んでいるが，後の添字 (j,l) は 第 1項では(1,2) の順，第 2項では (2,1) の順になっている．そして第 1項には＋の符号が，第 2項にほーの符号がつけられている．
またわれわれは， 3次の行列式を
au a12 a13=a11a22aaa+a12anaa,+a13a21a,,a2
1 a22 a,aIam a32 a33と定義した．

‑ana23a―a12a21a,a‑ a,aa22aa1

この式の右辺には aijama…の形の項が 6つある．

その前の蔀字(i,k,m) はいずれも (1,2,3) の順に並んでいるが，後の添字 (j,l,n) は，第 1，第 2, 第 3項では（ 1,2,3),(2,3,1),(3,1,2) の順，第 4,第 5,第6項では（ 1,3,2),(2,1,3),(3,2,1) の順になっている．

そして第 1，第2, 第 3項には＋の符号が，第 4,第5, 第 6項には一の符号がつけられて
1,ヽ
る．

さて，いま (1,2,3) という数字の順列から，(1,2,3) という順列へほ，隣同士の 0回の入れかえで，(2,3,1) という順列へは，隣同士の 2回の入れかえで，(3,1,2) という順列へは，隣同士の 2回の入れかえで

3. 行 列 式

88移ることができる．また，（ 1,2,3) という数字の順列から，(1,3,2) という順列へは，隣同士の 1回の入れかえで，(2,1,3) という順列へしま，隣同士の 1回の入れかえで，(3,2,1) という順列へは，隣同士の 3回の入れかえで移ることができる．
一般に， n個の数字の順列 (1,2,3,・・・， n) を，隣同士何回か入れかえて n個の数字の順列 (i,j,k,・.
.
,l) を得たとするとき，その回数が偶数なら (i,j,k, …,l) を偶順列，奇数ならこれを奇順列という．
なお， n個の数字の順列(i,j,k,・・・,l)は，必ず偶順列か奇順列の何れかであることがわかっている．その勝手な 1組の数字を入れかえると，偶順列は奇順列に，奇順列は偶順列にかわる．
さて， n個の数字の順列（ 1,2,3, ・・・,n) から得られた 1つの順列 (i,j,k,…,l) に対して，それが偶順列であれば＋ 1という値を，奇順列であればー 1という値をとる皇を考えて，それをsgn(i,j,k,・・・,l)で表わすことにする．そして n次の正方行列a1
1 a12 •••a,na2
1 a22.．
．

a2nA=
． ann
al a 2.．
から作られる n次 の 行 列 式 を
a1
1 a1
2 •''a1na2
1 a2
2 •''a2n=I:sgn(i.j,k, ・・・,l)a碑 況3k・• •aadetA =an1 aで定義する．

.
．
． a"

ただしこのこはその後にくる (i,j,k,・・・,l) の可能なすべて

89§1. 一般の行列式の順列，都合叫個の項の総和を表わすものとする．
そしてこれを構成する数 auを行列式の元素，横の並びを行，縦の並びを列としヽう．
2次の行列式に対しては
a11 a12=I:sgn(i,j)
alia,,a,
1 a2
2=sgn(1,2)a11a22+sgn(2,l)a匹 2
1=a11a22‑ a12a213次の行列式に対しては
au a1, a1
3:sgn(i,j,k)a四 2
氾3ka,
1 a2
2 a,aI=I3
3aぃ ag a+sgn(2,3,l)a12a2aaa1+sgn(3,1,2)a,aa21aa,+sgn(1,3,2)a11a叩 3
2+sgn(2,1,3)a1,a,1aaa+sgn(3,2,l)a1a a31= ana,辺 33+a12a2辺 31+a13a21a32=sgn(1,2,3)
a11a22ass

年‑a11a23a32‑ a12a21a33‑ a13a22a31であるから，上の定義は，2次の行列式，3次の行列式の定義を含んでいる．

つぎに，行列式に関する重要な定理をあげよう．
［定理 1] 行列式の値は，その行と列を入れかえても変わらない．すなわちa1
1 a12a2
1 a22Ia1na1
1 a,1... an
1a,na12a22.．
. a＝anl an2.．
． ann￨（証明）

Ia1n a2n・• ・ ann

この式の左辺は，定義によってI;sgn(i,j,k, ・・・,l)alia2jll3k・・・
an,に等しい．

さて，項aIta2
ja3k・ • •am

106

学分4微§I. 関数
2つの実数 a<bが与えられたとき，不等式 a~x~b を満足する実数 x 全体の集合を[a,b]で表わす．これは数直線上では， a,bを両端とする線分上の点で表わされる．また，

a~ x< b,a< x~ b,a< x< bを満足する実数 x全体の集合を，それぞれ[a,b),(a,b],(a,b)で表わずこれらは数直線上では，それぞれ下の左の図の示す線分 上の点で表わされる．ただし，黒丸はその点が考えている集合に属すことを示 し，白丸はその点が考えている集合に属さないことを示す．
さらに，abCbaa(a,oo)[a,b)aa[a,co)[a,b]ba(a,b](‑co,a](a,b)(‑oc,a)a§1. 関

数

a~x,

a <x1
07を瀾足する実数ェ全体の集合を，それぞれ[a,oo),(a,oo)x~a,x<aで，また，を満足する実数 x全体の集合を，それぞれc,a],（一c（一cc,a)で表わす．これらは数直線上では，それぞれ前ページ右の図の示す半直線で表わされる．
われわれはこれらを区間とよぶ．そして両端を含んだ区間を閉区間それ以外の区間を開区間とよぶ．
さて，ある範囲 D に属する任意の実数 x に対して，他のただ 1つの実数 yを定める対応が与えられているとき， yを x の関数とよんで，この事実をy=f(x),y= g(x),y= h(x),y= F(x)などで表わす．そして範囲 D をこの関数の定義域， y のとりうる値の集合を値域という．

x を定義域に属する任意の実数と考えたとき， x を 独 立 変 数

または単に変数， xに対応する y を従属変数とよぶ．定義域に属する 1つの実数 aに対応する関数 f(x)の値は f(a)で表わされる．

,2,3, ．．．の集合である場合には，定義域 D が自然数 1関数 f(x)は 数 列とよばれa.=f(n)とかいて，｛a』で表わされる．
例題4.
1 関数 y= ✓3+2x ーがの定義域と値域を求めよ．
（解答）

この関数が意味をもつためには3+Zx‑x'=(1+x)(3‑x).
:;;0すなわち‑1;
aX ;a3でなければならない．したがってこの関数の定義域ほ [‑1, 3] である．
また

4. 微 分 学

108、y= 13+2xー が ＝ V4‑ （1‑x)
2とかき庫せばわかるように， この関数の値域ほy〇 ~y~2である． この関数のグラフは左の図のようである．

Y =~問題4.
1 つぎの関数の定義域と値域とをいえ．

(1) y=が（2) y= が 一 3x+2(3) y= ✓4 ーが(4) y=□昌‑2x の関数 y は，必ずしも y =f(x)の形に与えられるとは限らない．
f(x,y)=0の形に与えられることもある．このとき，関数を陰関数とよぶ．

f(x,y)= 0の形の陰関数に対して， y=f(x)の形の関数を，陽関数とよぶ．
さて，関数 Y =f(x)は ， も し す べ て の x に対して， J(‑x)=f(x)を満足すれば偶関数， f(‑x)= ‑f(x)を満足すれば奇関数とよばれる．

y =が，

y=3+4ぷ十 x',

y= cosx

y= X ‑ 3が ＋ x',y= sinxは偶関数の例であり，y= 3x,は奇関数の例である．

さらに変数の値のいかんにかかわらず f(x+ T)=f(x)を成立させるような正の数 T が 存 在 す れ ば ， 関 数 は 周 期 関 数 と よ ば れ ， こ の 性 質 を も つ 最 小の T は周期とよばれる．

y= sinx,y= cosx,y= tanxは周期関数の例である．
問題4.2 偶関数 y=f(x)のグラフは y軸に関して対称であることを示せ．
問題4.3 奇関数 y=f(x)のグラフは原点に関して対称であることを示せ．
問題4.4 つぎの関数のなかから，それぞれ偶関数，奇関数，周期関数をえらぴ出せ．

(1) y=‑2x(2) y= ぶ ー 4(3) y=:℃ ‑x3

154

学分

腋un§I
. 不定積分(I) 不 定 積 分'(x)が関数 f(x) に関数 F(x)の導関数 F等しいとき，すなわち

F'(x)=f(x)のとき， F(x)を f(x)の 原 始 関 数 ま た は 不 定 積 分 と い う ．

F(x)が f(x)の 1つの不定積分であれば， C を 1つの定数として F(x)+C もまた f(x)の 1つの不定積分である．なぜなら{F(x)+C}'=F'(x)=f(x)であるからである．
逆に， f(x)の不定積分は必ず，かかれる．

C を 1つの定数として， F(x)+C の形に

なぜなら， f(x)の不定積分の 1つを G(x) とすれば G'(x)=f(x)． よって{G(x)‑F(x)}'=G'(x)‑F'(x)=f(x)‑f(x)= 0
ところが導関数が 0である関数は定数に限るから，これを C とおけばG(x)‑F(x)= C

よってG(x)= F(x)+Cとなるからである．
われわれは， f(x)の不定積分を jJ(x)dxで表わす．

したがって， f(x)の 1つの不定租分を F(x) とすれば

jJ(x)dx= F(x)+Cである．したがって jJ(x)dxという記号は 1つの関数を表わすものではな§1. 不定積分

155<,f(x)の不定積分全体を表わすものである．

この Cは 積 分 定 数 と よ ばれる．

f(x)が与えられたとき，その不定積分 jJ(x)dxを求めることを，f(x)を 積 分 す る と い う ．
例題5.
1 関数 x を積分せよ．
（解答）われわれほ(x"'+I)'=(a+l)
x"'という微分学の公式を知っている． よってa キ ー 1であれば(¾i-xa+1)'= x"'
よって，a キ ー 1 のときはJx dx=

1 x
a+1+ca+la=‑1のときほ1(logx)'=‑=:‑Xという微分学の公式によって

f¾dx=Iogx+CX

なお，今後われわれほ， これらの積分定数を一々かかないことにする．したがって，

Jx"'dx=¾i-x"'+1などとかくわけであるが，

炉＝ logx(aキ ー 1), J

これらの公式ほ， 両辺の差が定数に等しいことを示す式なのである．
［定理 I] (1) f1dx= x(2) ￨X dx=

1 xa+1a+l(3) !~X 心 ＝ logx
(4)

ざ！dx= ez(5) fsinxdx= ‑cosx(6) fcosxdx= sinx(aキ ー 1)

1565.積分学(7) /tanxdx= ‑Iogcosx(8) /cotxdx= logsinx(9) /sec'xdx= tanx(10) /cosec2xdx= ‑cotx(11)／1+1x2dx=tanlX(12)！
ごー97dx=sinーlX

なお，ここに現われた

f1dx,を，それぞれfdx,圧！ ：f1 x2dx,f o:x2 dx

ld:I1x: I，ぷ'、

心―xぷで表わすことがある．
問題 5.
1 つぎの関数を積分せよ．

(1) X(2) が(3) x
3(4) 12
̀2(6)./x(7)(8) V
豆(9) secxtanx（ ✓互） 3(5) 1；(10) ‑cosecxcotx

また不定桔分に関してつぎの定理が成り立つ．
［定理 2] (1) /af(x)dx= ajJ(x)dx(aは定数）(2) / {f(x)+g(x)}dx=jJ(x)dx+jg(x)dx(3) / {f(x)‑g(x)}dx=ff(x)dx‑fg(x)dx（証明）（1) の両辺を微分すれば

19190微分方程式§I. 微分方程式
2つの変数 x,yの間に，1つ の 補 助 変 数 cを含む関係式

F(x,y,c)=0が与えられていれば，これは， cを媒介変数とする曲線の族を表わしている．

いま，この式を xで微分して得られる式

aF
紐＋aF dyay dx = Oと上式から媒介変数 cを消去すれば，

f(x,y,撃）＝0という形の式を得る．

これは，曲線族 F(x,y,c)=0に共通な性質を表わしている．

例題6.
1 方 程 式 ぷ 十 y2=a2から定数 aを消去せよ．
与えられた方程式をェで微分す
2x+2y少＝0dxすなわちdy‑‑＝
0x+ydx

これは虞(i)=‑1とかかれるから，曲線上の 1点 Pにおける接線は，中心 0 を Pに結ぶ動径と垂宜なことを示している．

Y（解答）
れば

6. 微分方程式

1922=1から定数 aを消去せよ．
例 題 6.2 方程式 (x‑a)'+y（解答）

与えられた方程式を xで微分して

睾＝02(x‑ a)+Zyydydx

x-a=-y —これを元の式に代入して

小＋（麿）＝｝1Xy

上の例では，21つの媒介変数 cを含む x,yの関係式

F(x,y,c)=0と，それを微分して得られる関係式

堕 十 8F dy =Oox. oy dxとから媒介変数 cを消去してdyJ(x,y, dx)＝0という関係を導いた． もし，2つの任意定数 C1, C2 を含む x,yの関係式

F(x,y,c,,cz)=0が与えられた場合には， これを xで 2回微分してaF'aF dy＋oy dx =O0xがFがF dy 十翌ー (dy 2 OF d2Y
戸 ＋ 2ayax dx 冠 dx) ＋冠 ~=Oとし， これらともとの関係式を用いてはじめて c1, C2 を消去することができてJ(x,y, 虞，：：名） ＝0の形の関係式を得る．
・・・， Cn を含む x,yの関係式
一般に， n個の任意定数 c1, C2，F
(x,y,c,, C2,...'Cn) =0§1. 微分方程式が与えられた場合には，

193

これを x で n 回微分して得られる関係式

aF＋ aF dyax. ay dx = OがFがF dyがF (dy¥2oF d2y

戸— +20y0xdx + 0y2 (dx) ＋ oy dx2 = O0F +.
.
.
3xaF dny・・・
十 ay dxn = O

ともとの式から c1, C2, …， C を消去してdny
dy d'yf(x,y, dx2，・・・，戸ー） ＝0x' dという形の関係式が得られる．
このように，いくつかの変数と， それらの微分または微分係数を含む（恒等式でない）関係式を微分方程式とよび，微分方程式を恒等的に満足させる，微分を含まぬ関係式をその解，微分方程式の解をすべて求めることをその微分方程式を解くという．
微分方程式に含まれる微係数の最高の次数を，その徽分方程式の階数という． たとえばず（y)2+3xが（y）3+dy +y=Odがdぷdx
ほ 3階の微分方程式である． また，微分方程式が微分係数の多項式を 0とおいた形のときは， その最高次の微分係数に関する次数を，いう．上の例ほ，微分方程式の次数と3階 2次の微分方程式である．

n個の任意定数を含む関係式からこれらを消去すれば，n階の微分方程式が得られることから容易に想像されるように， n階の微分方程式の最も一般な解は n個の任意定数を含むと考えられる． n階の微分方程式の解であって，本質的に n個の任意定数を含むものをその一般解， 一般解中の任意定数に特定の値を入れて得られる解を特殊解という．
たとえば，例 2で得られた微分方程式