学際大規模情報基盤共同利用・共同研究拠点 平成 27 年度共同研究 最終報告書 2016 年 5 月

jh150017-NA13

可動な分散粒子を含む金属材料における多結晶粒成長の大規模マルチフェーズフィールドシミュレーション
山中晃徳（東京農工大学）
概要	 
本研究では、過去 2 年間の研究で開発したマルチフェーズフィールド(MPF)法の大規模GPU 計算技術を用いて、可動分散粒子を含む金属材料中での多結晶粒成長の大規模 3 次元シミュレーションを行うことで、分散粒子による粒界ピンニング効果を考慮した高精度な結晶粒径予測を実現することを目的とした。今年度の研究では、可動分散粒子を含む系での多結晶粒成長の大規模 MPF シミュレーションの実行性能を TSUBAME2.5 で評価し、これまでと同様に良好な強スケーリング性能が得られることを示した。さらに、
大規模 MPF シミュレーションに基づく数値実験により、分散粒子の半径および体積分率から平均結晶粒径を予測する式として工業的にも広く使用されている Smith-Zener 式の係数を、可動分散粒子を含む系に対して初めて導出することに成功した。

1.

共同研究に関する情報

2.

研究の目的と意義	 

(1) 共同研究を実施した拠点名	  省エネルギー社会の実現、地球温暖化問題の解	  東京工業大学学術国際情報センター

決のために、ハイブリッド自動車等のさらなる燃(2) 共同研究分野費向上や CO2 排出削減が求められている。そのた

超大規模数値計算系応用分野	 

めの技術課題として、自動車車体の軽量化が掲げ(3) 参加研究者の役割分担

られており、車体部材に使用する金属材料の高強	  研究体制はこれまでと同様であり、東京農工大度化と高延性化が求められている。

学からは研究代表者として山中晃徳と同大学院修	  金属材料の強度や延性の制御は、材料内部に存士 2 年である岡本成史が参加した。山中は、研究在する直径 10-5 ~ 10-4 m 程度の結晶粒のサイズを全体の統括およびマルチフェーズフィールドモデ制御にすることで可能である。結晶粒のサイズは、ルの理論的考察・改良を担当した。岡本は、一昨材料にひずみを加えることで小さくすることが可

年度より本共同利用研究に従事しており、マルチ能であり、これにより材料の強度は増加する。一フェーズフィールド(MPF)法の CUDA Fortran プロ

方、材料を高温環境下に曝すことで、材料内部のグラムの開発とデバッグ、GPU と CPU によるオ結晶粒は成長し、そのサイズは大きくなる。そのーバーラッピング計算のアルゴリズムの改良、東結果、材料は軟化する。実際の材料開発において

京工業大学のスーパーコンピューター

は、過度な結晶粒成長を抑制し、所望の結晶粒サ

TSUBAME2.5 への実装を担当した。

イズに制御するために、材料中に微細な粒子を分一方、東京工業大学からは、副代表者として青散させることで、結晶粒成長を抑制する“ピンニ木尊之教授、下川辺隆史助教が参加して頂いていング効果”が多用されている。したがって、分散た。下川辺助教には、TSUBAME2.5 への実装評価

粒子を含む材料における結晶粒成長を理解し、予手法や大規模計算のためのプログラムチューニン測することは、材料開発において極めて重要であグを担当して頂いていた。青木教授は、超高速化る。しかしながら、ピンニング効果は分散粒子ののためのノード間チューニングを担当して頂いてサイズや体積分率などの因子に強く依存するのみいた。

ならず、これらの因子は時々刻々と変化、すなわち、「可動」であるため、実験的な方法でピンニン
1

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グ効果を理解し、結晶粒サイズを正確に予測するためには、より細かいメッシュを使用する必要がことは極めて困難である。したがって、MPF シミある。したがって、実験結果との比較が可能な時ュレーションによる研究が期待されている。

空間スケールの計算結果を得て、さらに、統計学	  本研究では、これまでの共同研究課題で開発し的に十分な個数の結晶粒の時間変化を解析するたてきた MPF 法の大規模 GPU 計算技術を用いて、めには、一辺が数 1000 格子、計算ステップ数は数可動分散粒子を含む金属材料中での多結晶粒成長100 万ステップが必要となり、スーパーコンピュの大規模 3 次元(3D)シミュレーションを行い、可ーターを使った大規模計算が不可欠である。した動分散粒子によるピンニング効果を考慮した高精がって、フェーズフィールド法や MPF 法の大規模度な結晶粒サイズ予測を可能とすることを目的とGPU 計算において、すでに実績のある東京工業大する。特に、大規模シミュレーションを数値実験学の TSUBAME2.5 を用いた研究は、MPF シミュとみなし、可動分散粒子を含む材料に対するレーションの大規模高速計算技術の発展につながSmith-Zener 式の係数の同定を行った。

り、日本が世界に誇る材料研究分野においても大きな意義を持つと考える。

3. 当拠点公募型共同研究として実施した意義	  	 	  材料メーカー等では、金属材料の結晶粒径を制

4. 前年度までに得られた研究成果の概要	 御するために、非常に多くの時間を費やして実験	  平成 25 年度(1 年目)の研究課題では、数値計算的研究が行われている。これに対して最近、計算とデータ通信を非同期実行するためのオーバーラ材料科学を援用した材料設計技術の開発が米国・ッピング法とそれを導入した MPF 法の複数 GPU

欧州を中心に活発である。なかでも、各種材料中計算プログラムコードを開発した。また、のミクロ組織の形成過程を予測するための非常にTSUBAME2.5 に実装し、単純な分散粒子を含まな強力な数値シミュレーション法として、MPF 法はい単純な結晶粒成長のシミュレーションにおいて、注目されている。しかしながら、MPF シミュレー良好なスケーリング性能が得られることを示した。

ションで使用されるメッシュサイズは、一般に	  平成 26 年度(2 年目)の研究課題では、前年度に-710 m のオーダーである。一方、先に述べたよう開発した大規模 GPU 計算法を用いて、「不動な」に結晶粒の典型的なサイズは 10-5 ~ 10-4 m オーダ

分散粒子による結晶粒成長のピンニング効果を解ーであるため、1 つの結晶粒を表現するのに 100明することを目的とし、前年度に開発したプログメッシュ程度が必要となる。さらには、分散粒子ラムコードを若干変更するのみで、不動分散粒子は結晶粒よりも小さいため、分散粒子を表現するによるピンニング効果のシミュレーションを可能

Fig. 1 Three different initial polycrystalline structures containing mobile particles.

2

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Fig. 2 Grain growth behavior in a polycrystalline structure containing mobile particles for Case C.とした。さらに、TSUBAME2.5 において実行性能評価を行い、良好な弱スケーリング性能が得られることを実証した。以上の研究結果は、本年度の研究の基盤となる重要な成果であった。

5. 今年度の研究成果の詳細
5.1

マルチフェーズフィールドモデル	  本研究で用いた MPF モデルでは、次式の多結晶粒組織および可動分散粒子の時間変化を表す偏微分方程式を用いる。
Fig. 3 Strong scaling performance as a function of⎡ n ⎧
∂φi2 n1⎫= − ∑ M ijφ ⎢∑ ⎨(Wik − W jk )φk + aik2 − a 2jk ∇2φk ⎬∂tn j =12⎭⎣ k =1 ⎩(+ fi ( ci ) − f j ( c j ) − ( ci − c j ) µ "# 	 )	  	  	  	  	  	 number of GPUs.
(1)
ここで、D が溶質原子の拡散係数であり、非零とここでφi は結晶粒(または粒子) i（i = 1～N）の局所することで可動な分散粒子を表現することができ的な体積分率を表す変数であり、場所と時間の関る。

数である。M ij は界面の移動速度を規定するパラメ
φ	  数値シミュレーションにおいては、式(1)およびータ、aij と Wij は界面エネルギーと拡散界面幅に式(2)を、時間積分については 1 次精度のオイラー関係づけられるパラメータである。fi は結晶粒（ま法、空間微分については 2 次精度の中央差分法でたは粒子）i の化学的自由エネルギーを表す。

離散化して計算する。	  式(1)に現れる溶質濃度変数 ci の時間変化を表す	 方程式として、次式の拡散方程式を解く。
N∂c
δG= ∇ ⋅ M c∇= ∇ ⋅ D∑φi ∇ci∂tδci

5.2(2)

可動分散粒子を含む材料における多結晶粒

成長シミュレーションと実行性能評価
3

(c) fp = 9 %, t = 3816 s(d) fp = 12 %, t = 3177 s

ig. 5.7 Simulated pinned-microstructure for diﬀerent volume fraction of particles.

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をランダムに配置した。分散粒子の形状は、半径Volume fraction of second-phase particles:
3%
6%
0.06
9%
Volume fraction:
12 %
4.06%
0.059%
12 %
2763s
0.04
3.0

grainforradiusStandardMeandeviation
108s [µm]5.03.0 × 10-9 m の球形状とした。分散粒子の体積分率は、fp = 0.06 とした。母相および析出物中の初期濃度は、それぞれの平衡濃度とした。拡散係数は
D = 1.0 × 10-9 m2/s とした。境界条件として、全方向周期境界条件を用いた。

2232s

1845s0.03	  図 2 に、 Case C を初期組織とした場合の組織2.00.02の時間変化を示す。図 2 上段の寒色の領域が母相結晶粒、暖色の領域が分散粒子を表している。ま0.01
1.0001000

2000

100020003000

た、図 2 下段は溶質濃度の時間変化を示している。

4000

Time [s]0

時間とともに母相の結晶粒が粗大化している点、

3000

4000

Fig. 4 Time variation of mean
Timegrain[s] radius for different 分散粒子により粒界移動が妨げられる点は昨年
g. 5.8 Time evolution of mean grain radius for diﬀerent volume fraction of particles.
度の結果と変わらないが、それらとともに分散粒
volume fraction of mobile particles.
子が消失および粗大化する現象（オストワルド失Fig. 5.9 Time evolution of 40
SD for ⟨R(t − 108)⟩: ⟨R(t)⟩.

Mean particle radius [µm]0.50.4せ長）も同時に再現できていることがわかる。
Volume fraction of second-phase particles:
3%6%
9%
12 %

図 3 に、Case A ~ C の 3 種類の初期組織を用いて、シミュレーションを実施し、強スケーリング性能を評価した結果を示す。いずれの初期組織を0.3用いても実行性能には影響しないことがわかった。また、256 GPU までは良好な強スケーリング

0.2

性能を示す一方で、それ以上の GPU 数では性能が低下した。これは、GPU 数が多すぎる時には、0.1

計算とデータ通信を非同期に実行するオーバー
00

1000

2000

3000

ラッピング法が適切に機能していないことを意4000Time [s]

味する。

Fig.
5 Timeofvariationof mean
radiusof the mobile
Fig. 5.10 Timeevolutionmean particle
radiusfor diﬀerent
volume fraction ofparticles.
particles for different volume fractions of mobile 5.3 大規模 MPF シミュレーションに基づく数
particle.

Gibbs-Thomson 効果の影響が強く出ている結果になったとも考えられる.

初期状態での組織分布が実行性能に及ぼす影響

値実験による Smith-Zener 式の係数の同定	  分散粒子によるピンニング効果による結晶粒径制御において重要な予測式として、次式のを調査するために、3 種類の異なる初期組織(Case)

Smith-Zener 式(1)が知られている。

を用いたシミュレーション結果を示す。この結果
41

R =aは、中間報告でも示した結果であるが、本研究で計算した内容を理解するために基礎となる結果でr	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 (3)f pb

ここで、<R>は平均結晶粒径、r は分散粒子の半径あるため、本最終報告書においても説明する。

である。係数 a と b は、不動分散粒子を含む材料

図 1 に、シミュレーションに用いた初期多結晶については Smith らにより、a = 1.33、b = 1 と同定組織を示す。いずれの Case においても、計算領域されているが、工業的により重要な可動分散粒子の大きさは 51.1 × 51.1 × 51.1 µm3 とし、5123 個のの場合には、実験的研究の難しさ、数値シミュレ規則差分格子で分割した。初期状態として、8192ーションの計算コストの大きさの問題を理由に明個の母相の多結晶組織中に、30039 個の分散粒子らかにされていない。本研究では、大規模シミュ4

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め組織）を示す。青色で示された分散粒子が結晶粒の粒界三重点に位置しており、正しい計算が行われたことを確認できる。	 	  なお、図 4 に示す結果おいて、fp = 0.03 の場合については、最終的な平均結晶粒径が得られておらず、さらに長時間の数値実験が必要である。今(a) fp = 3 %, t = 4113 s

後の研究において、継続してシミュレーションを(b) fp = 6 %, t = 4320 s

実施する計画である。	 	  図 4 および図 5 で示した結果により得られた、最終的な平均結晶粒径と分散粒子の初期半径の比 <Rlim>/r と 分 散 粒 子 の 体 積 分 率 fp の 関 係(<Rlim>/r- fp 曲線)を図 6 に示す。図中の四角形のプロット点が本研究で得られた値である。図 6 に(c) fp = 9 %, t = 3816 s(d) fp = 12 %, t = 3177 s

は、先行研究で得られた Smith-Zener 式の係数で計算した結果も示している。本研究で得られた
Fig. 5 Simulated
pinned structure
for different
volume of particles.
Fig. 5.7 Simulated
pinned-microstructure
for diﬀerent
volume fraction
fractions of mobile particles.

<Rlim>/r の値は、不動分散粒子を対象とした 3D

Volume fraction of second-phase particles:
5.0
3%
レーションを数値実験と見なし、様々な可動分散6%9%
粒子の体積分率における多結晶粒成長シミュレー
12 %
4.0

シミュレーションを行った Vanherpe ら(3)の結果

Mean grain radius [µm]と同程度である。一方、<Rlim>/r- fp 曲線の傾きには、諏訪ら (5) が実施した可動分散粒子を考慮した 2Dションを実施し、係数 a および b を同定した。

シミュレーションの結果と同様であることが明ら

3.0
数値実験では、計算領域の大きさは 25.6 ×25.6 ×かとなった。

25.6 µm3 とし、2563 個の規則差分格子で分割した。	  以上の結果より、可動分散粒子を含む材料に対2.0
この領域サイズは、予備的な計算を行い、計算結する Smith-Zener 式の係数 a および b をはじめて同果が変わらない範囲で最も小さいサイズとした。

定することができ、その値は a = 1.86 と b = 0.56

1.00
1000個の結晶粒を配置した。分散2000
3000
4000
初期状態では、1024であることが示された。今後、この結果のさらなTime [s]粒子の体積分率は、fp = 0.03、0.06、0.09、0.12 とる検証を行うために、分散粒子の初期配置や初期Fig. 5.8 Timeevolution of mean grain radius for diﬀerent volume fraction of particles.
し、初期状態において結晶粒界上にランダムに配半径を変えた数値実験を行う必要がある。

置した。拡散係数は D = 1.0 × 10-14 m2/s とした。	 

40

その他の条件は、5.1 節と同じである。

6.	  図 4 に、数値実験によって得られた母相結晶粒今年度の進捗状況と今後の展望	 今年度の研究により、可動分散粒子を含む材料の平均結晶粒径<R>の時間変化を示す。分散粒子における多結晶粒成長の大規模シミュレーションの体積分率の違いによるピンニング効果の違いがを TSUBAME2.5 において実現し、本研究の目的は再現できており、分散粒子の体積分率が大きいほ計画通りに達成された。また、中間報告時に課題ど最終的な平均結晶粒径は小さくなることが示さとして挙げた、可動分散粒子を含む材料に対するれている。	 

Smith-Zener 式の係数をはじめて同定することに	  図 5 に、分散粒子の平均半径の時間変化を示す。

成功した。今後の研究では、本研究で得られた結ギブス-トムソン 効果により、1500 秒までは分散果のさらなる検証のために、異なる条件（分散粒粒子は縮小し、その後はオストワルド成長による子の初期位置、初期半径など）での数値実験を繰粗大化が進むことがわかる。図 6 に、結晶粒径がり返す必要があり、来年度の研究にて実施する計一定値となった時刻における多結晶組織（ピン止画である。
5

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Fig. 6 Comparison of the relationship between <Rlim>/r and fp obtained by this study with that by previous studies.
第 28 回 計 算 力 学 講 演 会 講 演 論 文 集 ,7.

No.15-19, CD-ROM, No.027. (2pages).

研究成果リスト	 (1) 学術論文•岡本成史、山中晃徳、下川辺隆史、青木尊	  なし之, マルチフェーズフィールド法による可(2) 国際会議プロシーディングス

動分散粒子が結晶粒成長に及ぼす影響の•MasashiOkamoto,AkinoriTakashi

Shimokawabe,

評価, 日本鉄鋼協会 第 170 回秋季講演大Yamanaka,

Takayuki

Aoki,会 学生ポスターセッション, 九州大学.

Large-scale Multi-phase-field Simulation of•

Polycrystalline Grain Growth with Finely之, 多結晶粒成長過程における析出物によDispersed Particles, Proceedings of Materials

るピンニングの大規模マルチフェーズフ

Science and Technology 2015, (2015/10),

ィールドシミュレーション, 計算工学講演

CD-ROM, pp.553-560.

•(3) 国際会議発表•Okamoto,

AkinoriTakashi

Shimokawabe,

Yamanaka,Takayuki【受賞】	 

Aoki,•

努力賞, 受賞者：岡本成史, 日本鉄鋼協会Large-scale Multi-phase-field Simulation of

第170回秋季講演大会学生ポスターセッシ

Polycrystalline Grain Growth with Finely

ョン, (2015), 九州大学.

Particles,October

4-8,2015,	 Colombus, Ohio, USA.

参考文献	 

(4) 国内会議発表•会論文集 Vol.20, (2015), p.C-9-2.

(5) その他（特許，プレス発表，著書等）

MasashiDispersed•

岡本成史, 山中晃徳, 下川辺隆史, 青木尊(1)C. S. Smith, Grains, Phases, and Interfaces: An

岡本成史, 山中晃徳,下川辺隆史, 青木尊Interpretation of Microstructure, Metallurgical之,and Materials Transactions, Vol. 41A, No. 5, pp.

可動分散粒子によるピンニングを考慮し1064–1100, 1948.

た多結晶粒成長の 3 次元マルチフェーズフ(2)ィールドシミュレーション, 日本機械学会

Y. Suwa, Y. Saito, and H. Onodera, Phase field
simulation of grain growth in three dimensional

6学際大規模情報基盤共同利用・共同研究拠点 平成 27 年度共同研究 最終報告書 2016 年 5 月

system containing finely dispersed second-phaseparticles, Scripta Materialia, Vol. 55, No. 4, pp.
407–410, 2006.
(3)

L. Vanherpe, N. Moelans, B. Blanpain, and S.
Vandewalle,

Pinning

effectofspheroid

second-phase particles on grain growth studied
by three-dimensional phase-field simulations,
Computational Materials Science, Vol. 49, No. 2,
pp. 340–350, 2010.
(4)

N. Moelans, B. Blanpain, and P. Wollants,
Pinning effect of second-phase par- ticles ongrain growth in polycrystalline films studied by
3-D phase field simulations, Acta Materialia, Vol.
55, pp. 2173–2182, 2007.

(5)

Y. Suwa, Phase-field Simulations of Grain
Growth in Two-dimensional Systems Containing
Finely Dispersed Coarsening Particles, ISIJInternational, Vol. 52, No. 4, pp. 582–591, 2012.

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