学術俯瞰講義 ～数学を創る～ 第4回

数と図形の共進化
ことばを創り、世界を創る
２００９．１０．２９‡：このマークが付してある著作物は、第三者が有する著作物ですので、同著作物の再使用、同著作物の二次的著作物の創作等については、著作権者より直接使用許諾を得る必要があります。

数論幾何 の 確立（20世紀後半）• Xn + Yn = Zn のような整数係数の 方程式で定義される図形 の研究
あるいは• そのような 図形を用いた整数の性質 の研究

数 と 図形 のつながり―座標• 数 と 図形 は同じもののうらおもて

y(7,5)
5

デカルト 1637 『方法序説』

x7

デカルト (1596.3.31 ‐ 1650.2.11)

高次元空間• n>3でもｎ個の 数の組(x1,x2,…,xn)は(a,b,c)cb

ｎ次元空間の点を表わす

a高次元空間＝「線形代数の世界」• 目にはみえない• 基本的には 連立一次方程式
線形代数に 帰着∥

数学的には 解決済

幾何学での パラダイム・シフト
平面や空間内の図形

研究対象

空間
そのもの

リーマン 1854『幾何学の基礎にある仮説について』

楕円曲線とフェルマーの最終定理• n = 3, 4の場合
楕円曲線を定める方程式
ｙ2 = x 3 － x(フェルマー），
ｙ3 = x3 － 1（オイラー）の有理数解を調べて証明• nが５以上の素数の場合
楕円曲線を定める方程式 ｙ2 = x (x‐an) (x‐cn)
そのものの非存在を示して証明

リーマン (1826.9.17 ‐ 1866.7.20)

読書案内 （伝記編）• ラウグヴィッツ『リーマン 人と業績』
シュプリンガー東京

‡

リーマン―人と業績 (単行本) D. ラウグヴィッツ (著), D. Laugwitz (原著), 山本 敦之 (翻訳)出版社: シュプリンガー・フェアラーク東京 (1998/02)

物理学での パラダイム・シフト
量子力学
スーパーカミオカンデ

素粒子‡ 岩手県立総合教育センター「動画から作成できる静止画（例）」の上から2番目の写真
http://www1.iwateed.jp/tantou/joho/material/tajuurokou/index.htm‡ 写真提供：東京大学宇宙線研究所
神岡宇宙素粒子研究施設
http://www-sk.icrr.u-tokyo.ac.jp/sk/gallery/index.html
No.SK3-11 光電子増倍管取付ほぼ完了２

生物学での パラダイム・シフト
分子生物学

出典：
http://ja.wikipedia.org/wiki/ファイル:Hauskatze_in_Abendsonne.jpg

遺伝子読書案内 （他分野編）• 須藤 靖『ものの大きさ』
東京大学出版会• 金子邦彦『生命とは何か 第2版』
東京大学出版会‡ ものの大きさ―自然の階層・宇宙の階層 (UP Physics) (単行本)
須藤 靖 (著) 東大出版会‡ 生命とは何か―複雑系生命科学へ (単行本)金子 邦彦 (著)
出版社: 東京大学出版会; 第2版版 (2009/02)

幾何学での パラダイム・シフト
現代数学
平面や空間内の図形

空間そのもの多様体

幾何学のパラダイム・シフト はどこから来た？
• リーマン面• ガウスの曲面論• 非ユークリッド幾何• 物理学・・・・・・・・・・

多価関数（矛盾を含む名前）• 関数 ： 点（＝変数の値）ごとに値が１つ決まる規則• ｚ の 平方根ｚ が 実数正のほうを考える
ｚ が 複素数
２つのうち、どっちをとるか、決めようがないリーマン面• 複素平面を、平面が2枚重なったものと考える
1枚めでは2枚めでは ―• 2枚が、実はくっついている
出典： http://ja.wikipedia.org/wiki/ファイル:Riemann_sqrt.jpg

関数概念の 確立• 複素平面の「２重」被覆を考える ：「多価」関数（矛盾を含む名前）の解消• 「２重」被覆は複素平面からはみだしたもの ＝ リーマン面

ガウスの曲面論
曲面の幾何的性質で、外側の３次元空間とは無関係なものの発見

空間を 研究？
• 対象の記述
既知の空間内の 図形ではないものどう 創るのか？

• 研究方法空間を 理解するとは 何か？

数学の ことば としての 集合• 集合を元あるいは点とする集合として新しい対象を 創る「現代数学」 の成立 ＝「集合と位相」 を基礎とした 「数学」

自然科学 の ことば としての 数学• 自然という書物は、数学のことばで書かれている．
ガリレオ『偽金鑑識官』• 現代数学は、集合のことばで書かれている．

読書案内 （古典編）• ガリレオ『偽金鑑識官』
中公クラシックス

‡ 偽金鑑識官 (中公クラシックス) (単行本)
ガリレオ (著), Galileo Galilei (原著), 山田 慶兒 (翻訳), 谷 泰 (翻訳)出版社: 中央公論新社 (2009/05)

パラダイム・シフト
常識的な考え方：時代とともに変わる
時代はどう変わっていくのか：世代が代われば、新しい考えが常識になる数学教育 の「現代」化 （1971‐79）‡ 教科書いまむかし 「高学年における集合」
http://www.dainippon-tosho.co.jp/math_history/history/age03_el/age03_el_03.html#main
大日本図書（株）

デデキントの切断 (1858.11.24)• 実数を有理数を元にして扱う方法• 実数 x とは 有理数の集合｛ｒ｜ｒ は有理数で、r < x } のこと• したがって、実数の等式 x = y とは、どんな有理数 r に対してもr<xr < y となること

多様体 ＝ 幾何学の対象
既知の空間を はりあわせる

新しい空間を 創る

多様体 ＝ 幾何学の対象• 座標の定まったｎ次元ｎ
空間 Ｒ の中に収まらない空間• アインシュタインの宇宙：
一般相対性理論(1916）の基礎

リーマン球面iQ１Ｚ１iP

不変量 ＝ 幾何学の方法
次元のように，空間の構成や表示に関わらず，同じ空間に対しては同じ値不変量で空間を識別

多面体のオイラー数• （頂点の数）ー（辺の数）＋（面の数）• 4 – 6 + 4 = 2 9 – 16 + 9 = 2

楕円曲線
x,yは実数

出典：http://ja.wikipedia.org/wiki/ファイル:ECexamples01.png

リーマン面としての楕円曲線• ｙ２＝ｘ３－ｘx , y は複素数

楕円曲線＝の対辺どうしをくっつけたもの

楕円曲線のオイラー数

楕円曲線のオイラー数２
１ － ２ ＋ １ ＝ ０

リーマン面のオイラー数

2－2g

g：種数

ｇ=2

楕円曲線＝種数１のリーマン面

種数0のリーマン面 ＝ リーマン球面

ホモロジー• 種数ｇのリーマン面 Ｘ
２ｇ 次元の空間 Ｈ１（Ｘ）• 高次元の多様体Ｘ空間 Ｈｑ（Ｘ）

ポワンカレ『位置解析』•1900

楕円曲線のホモロジー
Ｅ

β＝α対辺どうしをくっつけた

Ｈ１（Ｅ）＝ ｛ aα+bβ| a, b は実数｝

ポワンカレ (1854.4.29 ‐ 1912.7.17)

ポワンカレ予想• ３次元球面と「ホモロジーが同じ」「空間として同じ」 ？
反例の構成．精密化(ポワンカレ(1904))

ポワンカレ予想• ３次元球面と「基本群が同じ」「空間として同じ」（ペレルマン(2003))

読書案内 （基礎編）

‡ 須藤靖『ものの大きさ―自然の階層・宇宙の階層』 (UP Physics)
東京大学出版会 (2006/

自然の階層

素粒子論

数学の階層構造• 個々の数、図形• 数の体系、空間・・・ 集合• 数の体系、空間相互の関係 ・・・ 圏• 数学の対象に別種の対象を対応・・・ 関手

数学の階層構造 素朴な対象数0eπ図形

数学の階層構造 集合数の体系

空間

有理数の世界
２進数の世界
3進数の世界

実数の世界

・・・・・・

数学の階層構造 圏
有理数の世界とその拡大の圏
有理数にとをつけくわえた世界
有理数にをつけくわえた世界

有理数の世界

有理数体の同等
絶対ガロワ群
ガロワ理論

GQ

方程式による拡大• ｘ２ ＋ １ = 0
a+b(a, b は有理数)• ｘ２ ー 2 = 0
a+b(a, b は有理数)

ガロワ (1811.10.25‐1832.5.31)

数の体系（20世紀前半）
有理数とその拡大

2進数とその拡大3進数とその拡大

5進数とその拡大7進数とその拡大・・・・・・• フェルマーの最終定理も解けるような、現代の数論の基本的な枠組みが、創られた。

実数と複素数局所大域原理
有理数体の絶対ガロワ群 GQ
２進数体の絶対ガロワ群 GQ ２３進数体の絶対ガロワ群 GQ ３

実数体の絶対ガロワ群
GR=｛1, 複素共役｝

・・５進数体の絶対ガロワ
群 GQ ５・・・・・・

局所大域原理 （xn‐1の場合）• ｎ , a ≧ 1 ： たがいに素な自然数
n でわったあまりが a の素数が無限個ある ： 算術級数定理 (1837)
4 でわったあまり ：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 31, 37, 41,43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, ・・・ディリクレ (1805.2.13–1859.5.5)

局所大域原理
有理数体の絶対ガロワ群 GQ
２進数体の絶対ガロワ
群 GQ ２３進数体の絶対ガロワ
群 GQ ３実数体の絶対ガロワ群
GR=｛1, 複素共役｝

・・５進数体の絶対ガロワ
群 GQ ５・・・・・・

数学の階層構造 関手
線形空間の圏

多様体の圏

Rn
ホモロジー
H1(E)
Hq(X)

数論幾何の世界

環の圏

ガロワ表現の圏

数と式の世界
方程式で定まる空間

エタール・コホモロジー

スキームの圏

数論幾何の世界

環の圏

ガロワ表現
線形の圏
代数

代数

局所と大域幾何スキームの圏

楕円曲線 と ガロワ表現

楕円曲線Ｅ

ガロワ表現 Ｈ１（Ｅ, Qp）＝ ｛ aα+bβ | a , b は p進数 ｝

楕円曲線 と ガロワ表現
ガロワ表現 Ｈ１（Ｅ, Qp）が「同じ」楕円曲線 Ｅ も 「同じ」（ファルティングス 1983）
数論幾何の確立

数と式の類似• あまりのあるわり算
32 ÷5＝ 6あまり 2ｘ5 ÷ (x2 + 1) ＝ x3 ‐ x あまり x数と式の類似• 素因数分解3215624 = 2 ・ 3 ・ 7 ・ 31

x6 ‐ 1 = (x ‐ 1)(x + 1)(x2 ‐ x + 1)
(x2 + x + 1)

素数と点の類似
数直線上の関数＝ 1 + x + x2 + ・・・

テイラー展開点 x = 0 のまわりでのようす

素数と点の類似＝ 1 + p + p2 + ・・・
ｐ進展開Spec Z２・・ ３ ５ ・ ・ ・・ ・

素数が点整数が関数

関数と点の双対性
関数 ＝ 点での値が決まるもの
点 ＝ 関数の値が決まるもの＝ 1 + p Spec+ p2 +Z・・・
２

・・ ３ ５ ・ ・ ・・ ・

素数が点整数が関数

フェルマーの最終定理の証明

谷山・志村予想の解決

楕円曲線

保型形式

ガロワ表現

数論幾何の世界

環の圏

ガロワ表現
線形の圏
代数

代数

局所と大域

幾何

スキームの圏谷山・志村予想の解決

楕円曲線

保型形式

ガロワ表現