本シリーズの刊行にあたって

数学は 2000 年以上の長い歴史を持つが，厖大な要因が複雑に相互作用をする生命現象や社会現象のような分野とはかなり距離を持って発展してきた．しかしながら，20 世紀の後半以降，学際的な視点から，数学の新しい分野への展開は急速に増してきている．現象を数学のことばで記述し，数理的に解明する作業は可能だろうか？

そして可能であれば，数学はどのような役割を果たすことができるであろうか？

本シリーズでは，今後数学の役割がますます重要になってくると思われる生物，生命，社会学，芸術などの新しい分野の現象を対象とし，「現象」そのものの説明と現象を理解するための「数学的なアプローチ」を解説する．数学が様々な問題にどのように応用され現象の解明に役立つかについて，基礎的な考え方や手法を提供し，一方，数学自身の新しい研究テーマの開拓に指針となるような内容のテキストを目指す．
数学を主に学んでいる学部 4 年生レベルの学生で，（潜在的に）現象への応用に興味を持っている方，数学の専門家であるが，数学が現象の理解にどのように応用されているかに興味がある方，また逆に，現象を研究している方で数学にハードルを感じているが，数学がどのように応用されているかに興味を持っている方などを対象としたこれまでの数学書にはない新しい企画のシリーズである．

編集委員

まえがき

生物の示すリズム現象は大変興味深い．身近な例として，拍動や睡眠のリズム，ホタルの明滅，歩行や飛翔といった運動などが挙げられるが，これらは多種多様な機能と時間スケールをもち，その多くが生命維持や活動に欠くことのできない役割を果たしている．これらの生物のリズム現象には，科学的に興味深い問いが無数に潜んでいる．例えば，概日時計と呼ばれる，我々の睡眠と活動を司る約 24 時間の体内時計において，そもそも 24 時間のリズムはどのようにして形成されているのか？

また，東南アジアの熱帯雨林などで，ホタルが大集団で同時に発光する同期現象が知られているが，どのようにして全体で秩序だった振動を起こすのだろうか？
このような謎の解明に向けて，分子生物学や生理学的アプローチによる様々な研究がなされている．一方，数式や数学的解析手法を用いてこれらの疑問に立ち向かう研究がある．現象を記述する数理モデルを構築し，それを数学的に解析することによって，現象が起こる条件を明快に示したり，まだ見つかってない現象を予言したり，実験研究だけでは発見することが難しいような新しい概念や統一的見解を提示するような研究である．
このような研究を行うためには，まず，現象を記述する数理モデルを構築する，あるいは，すでに提案されているモデルの成り立ちを理解できなければならない．さらに，そのモデルを解析するスキルが必要である．これらの一連の流れを学ぶことはたいそう時間のかかる大変なことのように思える．事実，大学の学部で学ぶ数学や物理学では，微分方程式の初等的な解法は習っても，こii

まえがきのような発展的な話題を学ぶ機会はほとんどない．かといって自習しようにも，手軽に学べる著書は少ない（少なくとも和書では適当なものがほとんどない）．
そこで本書は，具体的な現象から数理モデルを構築する過程や，そのモデルを通して現象を数学的に研究する方法をわかりやすく基礎から学べる場を提供することを目的として書かれた．読者は第 2 章まで読むと，様々なリズム現象が常微分方程式で記述でき，さらに，それらの方程式の有用な解析方法である力学系と呼ばれる体系の考え方を学ぶことができる．さらに本書の第 3 章と第4 章では，生物のリズム現象を理解する上で有用な数学的概念と手法についても詳しく解説されている．本書を通して，数理的アプローチが現象の理解に極めて有用であることを実感して頂けると幸いである．また，本書で学ぶ力学系の概念や手法はダイナミカルな現象に広く適用できるものであり，リズム現象以外に興味がある読者にも大いに役立つことを期待している．
本書の詳しい構成は以下の通りである．
第 1 章では生物リズムやそれに関連したリズム現象の解説とモデル化について述べる．この中で，開放系あるいは散逸系と呼ばれる系における非線形振動子，いわゆるリミットサイクル振動子が，これらのリズム現象を理解する上で基礎的な役割をしていることと，多くのリズム現象の背後には，同期現象と呼ばれる振動子集団の協同現象があることを解説している．また，数理モデルの数値シミュレーションによって同期現象に関係する重要概念を具体的に紹介している．
第 2 章では微分方程式と力学系の入門的解説を行っている．この章の前半は初等的な話題から始め，力学系の考え方に慣れてもらうために，1 変数と 2 変数の微分方程式の解の運動の性質を力学系の立場から見直すことに主眼をおいている．後半は，リズム現象の基本的モデルであるリミットサイクルをもつ微分方程式の解説とその分岐（ホップ分岐）理論を解説している．ホップ分岐は解が周期的に振動するのかしないのかを特徴付ける重要な概念である．この分岐を本格的に解説しようとすると相当な紙数を要するので，2 変数の微分方程式系に絞り，分岐点の近くでは比較的簡単な形（標準形と呼ばれる）に変換できることを解説するに留めた．第 4 章の解説と合わせると，この標準形さえ得

まえがき

iii

られれば分岐点近くでリミットサイクルが存在することが示せ，したがって安定な振動が起こることを数学的に証明できる．なお，多次元でも成り立つ力学系の一般的な性質についても随所に簡単な解説を入れた．
第 3 章はリズム現象を数理的に理解するための有力な手法である位相ダイナ
ミクスの考え方や位相感受関数の役割について，幾何学的あるいは直感的に訴えるような解説を行っている．さらに，位相ダイナミクスを記述する位相方程式をリミットサイクル振動子から具体的に導出したり，位相方程式を解くことによって同期現象が理解できることを解説している．
第 4 章では，第 3 章で解説した位相ダイナミクスの数学的基礎付けのために，フロケ理論や力学系理論を厳密に解説していく．ここでもリミットサイクルとその周りでの運動については 2 次元の力学系に話を限定し，初学者にもとっつきやすい明快な解説を目指した．ただし，第 3 章の全ての話題についてその数学的基盤を与えてはいないので，興味のある方は自分で議論を発展させてほしい．
後半の第 3 章と第 4 章は，読み進めていくにつれて，入門レベルを少し超える専門的な内容も現れる．リズム現象の数理的研究の雰囲気を少しでも伝えたいという筆者たちの思いにより，このような内容を盛り込むことになったが，できるだけ丁寧に解説するよう努めた．また，より発展的な話題については本書の最後に付録を設けて，そちらで解説を加えることにしたので興味のある読者は見て頂きたい．
なお，奇数章は物理学者である郡によって，偶数章は数学者の森田によって書かれている．執筆の際には筆者達の間で何度も話し合い，十分に内容のすりあわせを行っている．記法や用語も誤解のないように統一した．一方，書き方のスタイルに関しては，筆者の専門性による特質を残すことにした．このシリーズのテーマである「現象を解明する数学」は学際的な話題を取り扱っているが，そこで繰り広げられる研究は必然的に異分野の研究者の共同作業となる．この本にもその雰囲気が垣間見えると思われる．このような構成なので，第 1 章から順に読むということに縛られず，読者の専門や興味に沿って柔軟に使って頂ければうれしい．
数学的な部分に関してはかなり初等的な話題から始め，できるだけ具体例をiv

まえがき使って解説しているのでそれほど予備知識がなくても読めるように工夫した．
また，背景となる現象からあまり逸脱するような一般的な理論体系の解説を意図的に避けた．もっと一般化して定理として完成させた形にできるのではないかという指摘があるかもしれないが，そのように思われる読者は内容をよく理解されている方なので，是非とも各章の終わりに紹介した参考書なりを勉強して自身で議論を発展させて頂くことを望む．なお，位相ダイナミクスに関連した問題については，まだまだ数学的に証明できていない問題が横たわっていることを指摘しておきたい．
生命現象の科学は 20 世紀の重要課題であったが，それは 21 世紀も変わらない．今後，生命現象に対する数理的研究は，その存在感をこれからますます増していくだろう．生物実験と観測の技術は現在急速に発展しており，生物リズムに関しても新規の発見や精密化されたデータが次々と報告されている．一方で，何を計測し何に着目すべきなのか，また，得られた膨大なデータをどのように解釈するかについて，理論的・系統的な視点が求められている．このような事情はあらゆる科学分野で見受けられる．現象のモデル化と解析はもちろんのこと，既存のデータや考え方に囚われずに我々のアイディアや仮説を具体化し，新しい概念を提示するような数理的研究がこれからもっと必要とされるだ
ろう．中でもダイナミックな現象の研究において，基礎的で重要な役割を果たすのが力学系の考え方である．
この短い本書で，しかも筆者らの限られた視野と専門的知識の中で解説できることにはむろん限りがある．しかし，もし読者が本書から数学の力を感じ，さらに，特定の分野や対象に縛られることなく数理的研究を行う発想や勇気を少しでも得て頂けたとしたら，これ以上に喜ばしいことはない．

2011 年 3 月 11 日，本書の執筆作業も最終局面を迎えた頃，日本は東日本大震災に見舞われた．それは，我々がこれまで築き上げてきた科学がこの脅威の前に無力のように思えるほどの衝撃であった．しかし科学の可能性が否定されたわけではない．筆者たちは，この教訓を胸に科学に携わる者の一員として，科学や科学技術に対して新たなる気持ちで向き合っていかねばならないと，思いを新たにしている．数学をすぐさま防災に役立てるのは確かに難しいかもしれない．しかし科学と技術を支えているのが基礎研究であり，またその土台がまえがきv

数学であることは紛れもない事実である．我々の研究も科学の営みの中で活きていることを思えば，その先に何らかの貢献を信じることができる．

謝辞
本書を書くにあたり，多くの方にお世話になった．特に，このテーマについて執筆する機会を与えて頂いた共立出版株式会社にはこの場を借りてお礼を申し上げたい．第 1 章で紹介した実験の資料は，本間さと氏，堀川一樹氏，石黒章夫氏，影山龍一郎氏，宮崎淳氏に提供して頂いた．お忙しい中資料を整理し提供して頂いたことに，お礼を申し上げたい．また，本書の原稿に対して貴重な意見を頂いた，伊藤浩史氏，小林康明氏，永井健氏，増田直紀氏，森史氏にもお礼を申し上げたい．
最後に編集委員の方々から頂いた貴重なご意見に感謝したい．最終稿に向けた作業の中で大変参考になったことを申し添えておく．

本書でよく使う記号

Rn ：n 次元ユークリッド空間．特に n = 1 のときは R で表す．

z ：複素数 z の複素共役．
i：虚数単位√−1．

Re, Im：複素数の実部と虚部を表す．
a := b：定義を表す．a を b と定義（表記）するの意味．
∀：全てのという意味．例えば ∀t ∈ R は全ての t ∈ R を意味する．
x, ‰, G, . . .：ベクトル記号．原則として太字で表す．ベクトルは特に断りがなければ列ベクトルであり，その成分は x = (1, 2, . . .) などと表す．

k·k ： Rn の標準的ノルムを表す．x = (x1 , . . . , xn ) に対して kxk = (Pn2 1/2i=1 xi )である．

A> , x> ：行列 A，ベクトル x に対する転置．
det A, tr A：順に行列 A の行列式とトレースを表す．
hx, yi：Rn におけるベクトルの内積．hx, yi := x> y ．記法の簡略化のために，誤解が生じない場合は x · y のように表す場合もある．なお，複素ベクトP
ル u = (u1 , . . . , un ), v = (v1 , . . . , vn ) の場合は hu, vi = ni=1 ui vi とエル本書でよく使う記号vii

ミート (Hermit) 内積を表す（頻繁に出てこない）．

D：D が集合の場合はその閉包，すなわち D を含む最小の閉集合．
2d xẋ：x の時間微分，すなわち，ẋ := dxdt ．また，ẍ = dt2 である．
∂f
Df , ∂x：写像 f : Rn → Rn に対するヤコビ行列を表す．
∂φ∂x ：R 値の関数 φ(x) に対してその勾配を表す．

O(·)：ランダウ記号で，その項の大きさの程度（オーダ）を表す．例えば，
x = c1 ² + c2 ²2 + c3 ²3 + · · · で ² が小さいときは，第 2 項目以降は合わせて²2 程度の大きさであるが，第 2 項目以降の表式が必要ないときはランダウ記号を使って x = c1 ² + O(²2 ) と表すことがある．厳密には g(²) = O(²2 )は |g(²)| ≤ M |²|2 となる M > 0 がある小さい δ > 0 に対して |²| < δ の範
囲で一様にとれることを意味する．

h.o.t.：高次の項をまとめて略記する．例えば，x = c1 ² + c2 ²2 + c3 ²3 + · · · の場合，x = c1 ² + h.o.t. あるいは x = c1 ² + c2 ²2 + h.o.t. などと略記する．

a ≈ b：a は近似的に b であるという意味．厳密な定義はない．上述の例だと，x ≈ c1 ² などと使う．
a ¿ b：a は b より十分小さいという意味．厳密な定義はない．b À a も同じ意味．

δij：クロネッカーのデルタ記号．i = j のとき δij = 1 で，それ以外では δij = 0である．

δ(t − t0 )：デ ィ ラ ッ ク の デ ル タ 記 号 でR∞−∞ δ(t − t0 )dt = 1,R∞−∞ δ(t −t0 )f (t) dt = f (t0 ) の性質をもつ超関数．直感的には t = t0 に ∞ の値と 1 の面積をもち，t 6= t0 では 0 の関数．