令和6年度第1年次入学者一般選抜学力検査問題解答例数分).4子'

[ 1 ](D 操作を 1回行うと,箱か ら2個取り出して残った玉の数は6‑2=4,その後それと同じ個数を加えるの でα1=4+4=8(2)α,個の玉が入っている箱に対して,操作を 1回行った後の箱に入っている玉の個数がα,H であるから,α,H = 2(α,‑2)= 2α,‑4π

πC2 +"'十πCπ0,1,,ηに対して,ck > 0 であるから,

η之2に対してQπ>=π2η(π‑1)
2が成り立つ。よって,η之2 に対して,<=

η玉<=2

ここで
11π2,π11η

はさみうちの原理により

bだから0=0(6)(3)より,
ππk4

3kαα2α十1十αk=1

十4η
k=14(1 ‑2")
1 ‑2+ 4π= 4(2"‑1)+ 4η(5)の結果より,
Iim
π→^α1 十α2 十α3 +'一十αη
2れIim
η→伽4(2"‑1)+ 4112π

40十4π2k00,πとなる+十4 =2肝1+4> 1000 となる最小のπを求めるとπ= 9 となる

πα(5)問題文よりだ 力 ) ら ,απとなる

41(4)(3)より,=8らαa)より,得られる力)
4α,H ‑4 = 2(α,‑4)︑゛︑

力(3)(2)より,

[ 2 ](1)2 点 A (0,‑4,6), B (‑12,4,0)を直径の両端とすることから,球面Sの中心は A と B の中点である。 よって,中心の座標は(‑6,0,3)となる。

(2)(Dより,球面Sの半径をrとすると,その方程式は(χ十 6ソ十y'+(Z ‑3ソ=戸^となる。これは点 A を通るので,
62 +(‑4)2 + 32 = 61r^となる。よって,球面Sの方程式は(χ十6ソ+f+(Z‑3ソ= 61となる。
^16y十2)2((3) yZ平面は方程式χ=0で表されるから,球面Sの方程式より
Z‑︑=2つ力2)
3y+2(Zよって,球面SがyZ平面と交わってできる図形の方程式は0χとなる。

(4)(3)と同様にすると, CI, C3の方程式はそれぞれ,(χ十 6ソ+f = 52 かつZ = 0,(χ十 6y 十(Z‑3ソ= 61かつy0となる。よって, PI, P2, P3の座標はそれぞれ(‑6,0,0),(0,0,3),(‑6,0, 3)となり,△PIP2P3の重心G の座標は(‑4,0,2)となる。

(5)(4)より,3 点 P,, P., P3の座標はそれぞれ(‑6,0,0),(0,0,3),(‑6,0,3)である。
よって,△PIP2P3はZχ平面上にある。また,その三角形の 3辺 PIP2, P2P3, P3P1の長さはそれぞれ3而',6,3 であるから,ιP.P.P,=90゜となる。よって,△P田.P.を底面とする四面体AP正.P.の体積
Vは1
1
V=‑×4×‑×3×6= 12となる

0・^

0,・^

P2R = SP2A + tP2PIとなる実数S, tが存在する。つまり,(0, r, r‑3)であるから, S =ーー, t = 0となり, r = 1三となる。

(‑6t,4S,3S ‑3t)

こ=‑6,3,・^,4(屈)3(6)鳥R=(0, r, r‑3),鳥A=(0,寸して

[3]02a)

f'(χ)

(2)

接線 1 の方程式はf'(而)=しょり,111y=磊住一而)+三マi=罷"となる。

(3) f'(χ)= 0となるχはχ

eであり,0 くχく eならば, f'(χ)> 0である。また,ならば, f'(χ)< 0 となる。 よって,関数y =f(χ)はχ(4)

χ> eeで極大値e‑1をもつ。

(1)より,f"(χ)一χ‑2χ(1‑10gx)

210gx ‑3χ4

χf"(χ)= 0となるχはχ= eル'であり,0 くχく eル'ならば, f"(χ)< 0である。また,
χ> e而'ならぱ, f"(χ)> 0となる。
以上より,曲線y=f(χ)は0 くχ<e而で上に凸で,χ> e而'で下に凸となり,変曲点は点←ル,「マ云)であ●。
(5)点(而,三Vi)をA,点(而,のをBとすると,求める面積Sは△OABの面積S.から, 曲線
y=f(χ)とχ軸および直線χ=近テで囲まれた部分の面積勗を引けばよい。よって,
1‑4SIであり,‑8χであるので,
11‑4‑8‑8となる。

1S

1五1

1五j1

易

^

(6)

V =πjルιセ旦里三dx

寸一‑11‑hjル堅心χ 1 1%2^d・史芋に川・芋にhjf、・心五兆

兆++21%

1134而%

2π一1%^^

[ 4 ](D Ⅳ= 3 であるので,α1,α2,α3 のうち2個が 1で 1個が 3である事象の確率を求めればよい。よって,求める確率は
63216

1π3=

(2)Ⅳ= 43CIとなる事象は,α1,α2,α3 のうち2個が1で1個が4である事象と, 2個 が2で1個が1で ある事象の和事象でありこれらの事象は互いに背反であるの で,,求める確率は663216山α1」α2,の事象の余事象はが全て

α1,α2,α31,(3)Ⅳが 3の倍数となるのは

1鮖

3CI + 3CIのうち少なくとも 1つが3または6であるこ
02,4,5 のいずれかであるという事象である。

よって,求める確率は,・・(・)・ー(4)Ⅳが 4の倍数である事象は,α,,α2, α3 がすべて偶数である事象,α1,α2,α3 のうち2個が偶数で 1個が奇数である事象,

α1,α2,α3 のうち 1個が 4で 2個が奇数で ある事象という3つの事象の和事象であり ,これらの事象は互いに背反である。
533)(‑8‑6+ 3 X十十 3CI X‑6ω一くが23)(て,求める確率はよっ(5)Ⅳが3の倍数である事象をA,Ⅳが4の倍数である事象をBとする。このときⅣが12の倍数である事象はAnB である。ここで,P(A n B)= 1‑ P仏 nB)= 1‑ pqU吾)= 1‑{P(ゐ+P(吾)‑ P(河'n 吾)}であるので, P(刃, P(吾), P(河n吾)を求めれぱよいことになる。 P(刃は(3)の事象の余事象であるから,^8万四牙P(刃 = 1‑となる。 P(吾)は(4)の事象の余事象であるから,P(吾)=1‑Ξ‑3(ー)ーー§‑8となる。事象 AnBは3の倍数でなく,4の倍数でもないという事象であるので,An

B はα.,α力α.の全てがほたは5である事象と,α.,α力α3 のうち 1個が2で2個が 1または5である事象との和事象であり,これらの事象は互いに背反である。よっ て,84205^+3X^=^=^+ 3 X

十 3CI×‑ X ‑=となる

0以上より

,

91=十5酔P(A n B)= 1388即求める確率は

216 216‑216‑54216

事象をCとするこ(6)Ⅳが4の倍数で ある事象 を B,3個の数α1,α2,α3 の少なくとも 1 個は奇数である
0のとき,求める確率は条件付き確率PB(のであり,P.(のη(B n のη(B)であるので,π(Bnのとπ(B)を求めれぱよい。

まず(4)より,π(B)= 135 である。さらに,事象 B n Cはα力α力α3 のうち 2個 が偶数で1個が奇数である事象と, 1個が4で2個が奇数である事象の和事象でありらの事象は互いに背反である。よって,

η(B n c)= 3C.× 3'+ 3C.× 1 X ヂ= 108
以上より,求める確率は4η(B n のη(B)108
135‑5PB(の=,これ