（別刷）

問題に潜む数学の背景を鑑賞する

松延和典

坂本憲二

生涯学習研究― 聖徳大学生涯学習研究所紀要 ―第 16 号

別冊2018 年 3 月

松延 和典・坂本 憲二

また，11 分点に長針がきたときは，長針と短針のなす角分する目盛が振られているとする。

は，30°の倍数になることもわかる。

１時間で，長針は 12 目盛進み，短針は１目盛進む。

多くの場合，事象を捉えそれを式に表すが，逆に今の12 −１=1112/11 − 1/11 = １であるから，１時間に 11 目盛だけ長針は短針より多く進む。

から見たように，式から事象が見えることもあるという３時のとき，長針と短針は３目盛違うのでそれを詰めることがわかる。のに要する時間は３÷ 11=3（時間） すなわち1160 ×

式から事象を読み解く例をもう一つあげる。問も解もオ

3180=（分）1111リジナルである。

（以下略）
（解４終）
さて，問題の解答を離れ，さらに考察を進める。

問

長針と短針の速さの比が 12 ：１であることからＡ，Ｂ二人がトラックを５周する競技を行う。

Ａ，Ｂの速さは常に一定でその比は 11：７である。

12 −１= 11

このときＡはＢをどの地点で追い越すか。またそれという式を作り，この式の両辺を 11 でわってみる。

はどの地点か。

12 1− =１11 11（解） 11 −７= ４

長針の 12/11 周は 12/11 時間経過に相当するが，短針のという式を作り，両辺を 4 でわると１周は 12 時間なので短針の 1/11 周も 12/11 時間に相当す

11 7− =１44る。
上の式から 12/11 時間ごとに長針と短針の移動の差が１となる。このことから，Ａが 11/4 周したとき，Ｂが 7/4周となるが，これは長針と短針の相対的な位置関係が同じ周して差が１周となる。二人ともこの時点でゴールはしてになる（変わらない）ことを意味する。

いない。

このことから，例えば，３時あるいは９時には長針と短針は直角になるが，他の時間で長針と短針が直角になるの

311=３44は，長針が 11 分点（解２で定義，以下同様）にきたときとであるから，スタート地点から進行方向に 3/4 周の地点なることがわかる。

で，ＡはＢを追い越す。

なぜなら，重なったところがどこであっても３時間後にもう一度追い越すためには，さらにＡは 11/4 周走らなけは，長針は３回転してはじめに着目したその場所に戻り，ればならず，トラックを 11/4 × 2 =11/2=5.5（周）しなけ

短針は 1/4 回転すすむ。かくして，「３時」の形となり長針ればならないが，競技は５周までなので，これは起こらなと短針は 90°の角をなす。

い。
（解終）
4 4 4 4 4

逆に，時計の針が「３時」の形をしていれば，その長針ここで，時計の問題に戻り，これまでの考えの琴線に触の場所で９時間後に長針と短針は重なるので，長針のあっれる次の創作問題を提示する。現実的とはいえないが，考た位置は 11 分点のいずれかとなる。
「９時」についても同えるには値する。

様である。
さらに例えば，４時と５時の間で直角となるのは，下の問

図から４時 60/11 分 と４時 60 × 7/11 分などとわかる。

目盛版が消えて上下の分からなくなった円形の電池時計がある。これを使えるようにするにはどうすればよいか。

1112111103847651102912

長針と短針を動かし，重なったところを「12 時」として29目盛を振る。後は，電池を入れて，時刻を合わせればよい。
348765（解終）
心情を込めて一端を述べるならば，長針と短針がどこで重なっても重なった一時間後には，長針と短針は「１時の形」になっているということである。

— 54 —

問題に潜む数学の背景を鑑賞する「時計」について分かったことをまとめるとる。そのとき短針は，その 12 分の１だけ先にあるから，さ・任意の長針短針の位置に対し，文字盤の当て方は 11 通らにその位置まで長針がくるには，15 分の 12 分の１の時間を要する。このように考えていくと，３時をスタートとりある。

し，長針が短針に追いつくのに要する時間は，次は，無限の萌芽が見られる考えについて検討する。
３時と４時のときの長針の位置をそれぞれ P ０ ，Q ０（実15＋15×は P ０と Q ０は同じ点）とし，同じく短針の位置を P １，Q １（ ） （ ）

1 2
1 3
1＋15×＋15×＋⋯・ ・・・・（☆）
121212となる。とする。

これを求めるには，高校で学ぶ級数の知識が必要となる。

Ｑ 0 12 Ｐ0Ｐ012Ｐ1 Ｑ1123467891011123 Ｐ1
4 Ｑ1Ｐ1

このように，時計の長針・短針が重なる時間の問題につＱ05Ｐ2 Ｑ2

Ｑ1いて素直に考えると，自然な感覚として，ツェノンの逆理のように上記の無限級数が出てくるであろう。
（ツェノンの逆理に出てくる級数と上記の級数の大きな違いはどこにあ

この状況を，時計の周を直線にして書けば，上右図となるのかの話はここではしない。
）上記の級数は，「無限等比級数」と呼ばれるもので，高校では３年生の「数学Ⅲ」とる。
長針が P ０から Q ０まで動くとき，短針は P １から Q １まいう科目で扱われることになっている。
例えば，次の２つのような無限等比級数の値はいくつにで動く。次に，P ２，Q ２をそれぞれ長針の P １，Q １に対応する短針の位置と定める。すると，長針が P １から Q １までなるのかを考えてみよう。

（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）動くとき，短針は P ２から Q ２まで動く。

11 21 31 41 51 6＋＋＋＋＋333333 ＋⋯ ・ ・・・・（１）直線で表した図において，（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）P ０P １：Q １Q ０＝３：８22 22 32 42 52 6＋＋＋＋＋555555 ＋⋯ ・ ・・・・（２）が成り立ち，
P １P ２：Q ２Q １＝３：８

教科書では次のように教えている。公比を （r －１<r< １）も成り立つ。これよりとすれば
S ＝ r+r2+r3+r4+r5+r6+⋯

P ０P ２：Q ２Q ０＝３：８も成り立つ。

・ ・・・・・（★）の値を求めるのに第 n 項までの和を Sn とし，Sn を求める。
Sn ＝ r+r2+r3+r4+r5+r6+⋯+rn

これを続けていけば，長針と短針が重なる位置をＲとするとき

r Sn ＝23456・ ・・・・・・・（３）nr +r +r +r +r +⋯+r +rn+1

P ０Ｒ：Ｒ Q ０＝３：８であるから （3）−（4） を計算するとが成り立つ。これは，時計の周を長針と短針の重なる位（１－ r）Sn=r − rn+1

置で 11 等分したときの結果と一致する。

・ ・・・・・（４）

よって

また

r − rn+1
Sn= 1 － r

P １Ｒ：Ｒ Q １＝３：８も成り立つ。

ここで444n→ ∞とすると

P ０，P １，P ２，…，Q ０，Q １，Q ２，…について洗練され4→ ０となるから・・・・・・・・（５）

rr+r2+r3+r4+r5+r6+⋯⋯⋯＝ 1 － r・・・・・・・（６）

結局n→ ∞のときた書き方をすれば，P ０，Q ０を上記のように定めたあと「P ｉ，Q ｉ（ｉ＝１，２，３…）は，長針が P ｉ-１，Q ｉ-１にrn+1r
S= 1－r4でありしたがってあるときの短針のそれぞれの位置とする」となろう。
ここで，今の「前から追いかける」方だけに着目し，次のように計算する考え方もある。
最初の問題で，３時と４時の間で，長針と短針が重なるとなる。

ためには，３時から何分時間が経過するかと捉え，これを次のように考えてみる。
３時の短針があった位置まで，長針は３時から 15 分かか— 55 —よって（６）において1r= 3とすれば

松延 和典・坂本 憲二

任意の負数 r（> - １）に対しては，正負別々に考えることしたがってこれらの部分の長さの比はによりテープ図から同様にして値を求めることができる。
qpqpqp1qp･････

qpqpq：

qp･････

qp

これらの方法は，学生時代に文系の数学をあまり使わな

p －１－ q：い学科等に所属していた方々や，数学が苦手だった方々に対しても，興味や関心を持たせるうえで，さらには探求すさらに
qpqpqp･････

qpる精神を養ううえで，有効な手段になりうると思われる。

q（長さ p が q 個）

学生時代に数学に苦手意識を持っていた方等が，もう一度学び直したいと思うとき「形式的論理よりも納得を」得の長さは，てもらうために，全体を見ることができる，ゲシュタルト
qq×q=
ppを得ることができることが重要と思われる。細部にこだわ2らずにイメージできることが大事である。
（ケーラーたちがであり，この部分を上記と同様にして，次の図のように p言うように部分の総和と全体は異なり，また，マイケル・等分して同様にして考えると，等分した一つ一つの長さはポランニーが言っているように，包括的全体は全体従属的qq
÷p = 2=pp2q

諸細目への注目を経て初めて浮かび上がるもので，本来の（p ）22

納得は，部分への執着が必要なのであり１本１本の木なくとなる。

して森はあり得ないのであるが）したがって，このときの図は次のようになる。

そ の た め に は 視 覚 化 で き る こ と が 重 要 で あ り， コ ンピュータ等が大いに利用されてよいであろう。

q 2pq 2pq 2p1･････：

qq 2pq 2pq 2p：

q 2p･････
p －１－ q

この操作を繰り返していくことにより真ん中のq 2p･････････ 数学のもとになるのは頭ではない，情緒だ，数の部分の長さが０に限りなく近づくので最終的に次の図のよ

学は印象でやるもので記憶はかえって邪魔になる，忘れるものはドンドン忘れて行く，これが極意である（岡潔）

うになる。
（０）

（q）

1

参考文献

p －１－ q：

１．坂本憲二 「ある無限級数の値」 定数研紀要「定数第よって以上により，p, q（0<q<p）を正の整数とするとき４号」東京都公立高等学校定時制通信制教育研究会数q
qp＋ p

学部会（1981）

qqq

q（ ）＋（ p ）＋（ p ）＋（ p ）＋（ p ）＋⋯2

3

4

56

２．何森仁の値は，線分区間［０，q］を，１： p －１－ q に分けた

103
３．松尾吉知 「数学教育におけるモデルについての一考の長さである。

察」算数数学教育実践講座 20

したがってqq＋ ppqqqq=345

算数数学教育実践講座

刊行会（1988）pp.406-410（ ）＋（ p ）＋（ p ）＋（ p ）＋（ p ）＋⋯2

他 「生き生き数学」三省堂（1987）pp.102-

6４．NCTM 発行“STANDARDS”（1989）東京理科大学第q

1 部数学科長野研究室訳「第９～ 12 学年スタンダード1＋（p−1−q）
q=p q−（1990）p.85

このように，p, q を正の整数とするとき，公比が正の有理数 0 < q/p < 1 の場合についても，テープ図を使う以上

註の方法によって，無限等比級数がある値に収束することが先行研究について無限等比級数の和の求め方についての、このような図を直観的に理解でき納得することができるであろう。
さらには一般に任意の正数 r（< １）に対しても，区間使った視覚化によるものは、筆者らの知る限り、何森仁［0，a］を r：ar：a（１- r）- r に分けることにより，また（1987 参考文献２）や、同じくアメリカの学習指導要領に— 58 —

問題に潜む数学の背景を鑑賞する

当たるスタンダード（1989 参考文献４）にあるが、いずれも面積によるものである。
この方法の欠点は、公比 1/2 のときは大変分かりやすいのだが、公比 1/3 になると突然複雑になり、さらにそれ以外の公比だと直観的に把握するのはかなり困難となることである。
これについては、松尾（1990 参考文献３）が「論理指導とベン図を例として」ベン図が論理指導において学校教育のなかで随分行われている割にすっきりしたものではなくモデル化として成功していないと批判し、これとは逆に「理論と一体化したモデル化について」数学理論や物理学的なモデルには、モデルそのものが理論を代表するものもあるとして例をあげている
そして最後に n 次元空間を図に表す方法として松尾が使用するモデル（このモデルは特に general topology での高次元空間で理論展開するとき大変利用価値が高い）を紹介
すると同時に、無限等比級数の和の求め方について公比1/2 のときの図に言及し、「数学的な用語や理論に具象的なモデルを与えて、理解を助長させていることは常識となっているし、また理解し易い例が多いことは認められるが、理解をさせることの努力を、モデル化することにふりかえてしまう恐れもあるように思う」との見解を示し批判している。
本稿で示した筆者らによる「テープ図を使っての説明」
は松尾が批判した何森（1987 参考文献２）や米国のスタンダード（1989 参考文献４）と比較し無限等比級数のより一般的な表現でありしかも学習者にとって納得のし易いものとなっている。

— 59 —