調和級数から指数定理へ

森吉 仁志（名古屋大学大学院多元数理科学研究科）

2010 年 3 月 28 日の日本数学会において，「調和級数から指数定理へ」という題目で市民講演を行いました．ここで講演内容を御報告する次第です．
まず簡単に講演内容をご紹介します．数学者であるならば，あるいは数学者でなくとも，調和数列 (harmonic sequence) や調和級数 (harmonic series) の定義はよくご存知のことと思います．この調和 (harmonic) という形容詞は少々奇異に映るかもしれませんが，この数列に応じて弦を分割すると，いわゆるピタゴラス音階が現れてくるためにこのような名前が与えられています．市民講演では調和級数の定義から始め，ピタゴラス音階や「コインの斜塔」のクイズなど，それとは気づかれぬものの我々の身近に潜んでいる調和数列・級数に関連する話題を取り上げ，つぎに調和級数からリーマンのゼータ関数へと話を移し，その特殊値として現れる関・ベルヌーイ数に言及しました．そして関・ベルヌーイ数の母関数として現れるトッド関数
xTd(x) =1 − e−xにまつわるいくつかの話題を取り上げました．トッド関数は関・ベルヌーイ数の母関数として現れるだけでなく，黒体輻射に関するプランクの公式やリーマン・ロッホ問題の位相幾何公式にもその姿を現します．そして上の式を，通常のコホモロジー理論と K 理論とにおけるオイラー類の比と理解し直すことで，アティヤー・シンガー指数定理の公式にも結びついて行きます．落語の三題噺の趣は拭えませんが，こうして調和級数から始めた話を指数定理に収束させました．参加された市民の皆さんの興味を惹いたかどうかについては，今後の反応を待ちたいと思います．
最後に「市民の数学」について少しばかりお話をしました．石川英輔「大江戸テクノロジー事情」は，一つの章を割いて和算について述べています．江戸時代に，他分野からの影響を受けたわけでもなく，独自に高度な発展を遂げた和算の原動力となったのは，人格を高めようとする心であったというのです．中国の古典「周礼」（しゅらい）では，身分あるものが備えるべき基本教養として六芸（りくげい）即ち，礼 =礼節（道徳教育）
・楽 =音楽・射 =弓術・御 = 馬車を操る技術 ・書 =文学 ・数 =数学を挙げています．この一つである数学を学ぶことで人格を高めようとする心が和算の原動力であったと石川は言います．その心は，現代の市民の数学にも資するものでしょうか．
以下は市民講演会のために作成した PPT ファイルです．御参考までに皆様の一覧に供します．

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