101：1051（メソ気象

7ミ気σ》

気象力学）

メソ気象力学の基礎（II）

小

倉

義

光＊

7．物体の落下運動一運動方程式を時間積分するが得られる．6は別の積分定数である．初期に物体の位運動方程式を解く（あるいは解を求める）というこ

置zはhであると指定したから，その条件を式（7．3）とがどういう事なのか示すために，最も簡単な例としに入れると，6＝hと決まる．従って，式（7．3）は，て物体の落下運動を考える．

質量窺をもった小さな物体（質点）を地表面から高1

z＝79！2＋h（7．4）

さhに持ち上げ，時刻1＝0で手を放して自由に落下させたとき，物体の高さzが時問と共にどう変化するとなる．念の為，式（7．4）をもとの微分方程式に代入かという問題を考える．前節までは，zは鉛直座標であすれば，それが満足されていることが確認できるし，り，独立変数の1つであったが，今回はラグランジュ

2次の微分方程式（7．1）に対する2つの初期条件（！二的に物体の位置を追いかけるので，zは従属変数，独立〇で卿＝0と2＝h）も満足されている．だから，（式変数は時間！である．物体の速度はω≡ぬ／漉であり，加速度は伽／漉（すなわち42z／4渉2）である．落下する物体に対する空気抵抗を無視すると，物体に働

7．4）が求める解である．

いている力は，下向きの重力だけであるから，運動方式（7．4）の両辺に質量郷とgをかけ，

1
7㎎2！2二㎎（h−z）（7．5）

程式は式（5．1）により，と書き直す．質量窺の物体が地表面からZの高さに

429

7n評＝一㎎（7．1）

いれば，重力に逆らってその高さにいるのだから，その物体は7ng2という位置のエネルギーを持っている．

である．gは定数であるから，式（7．1）を時間！につ初期の位置エネルギーは7nghであった．それで式

いて積分すると，（7．5）の右辺は落下に伴う位置のエネルギーの減少量

ぬ房二ω二｝9什αを表す．一方，質量別の物体がωという速度で運動し（7．2）ていれば，その物体の運動エネルギーは（1／2）耀〃2である．いまの場合，初期の運動エネルギーは0と指定が得られる．oはある定数で，積分定数と呼ばれる．α

したから，式（7．5）の左辺は運動エネルギーの増加量

がどんな値をとっても，式（7．2）は式（7．1）を満足を表す．従って，式（7．5）は，させるから，式（7．2）は微分方程式（7．1）の解である．初期（！＝0）に速度は0と指定したから，α＝0である．そうしておいて，式（7．2）をもう一度積分する

運動エネルギーの増加量

二位置のエネルギーの減少量を表す．言い換えれば，と，

1

z二一7酵＋ゐ（7．3）

運動エネルギー＋位置エネルギー＝一定（7．6）

である．すなわち，運動方程式（7．1）から物体のエネ＊Yoshimitsu◎1999

Ogura，財団法人日本気象協会．

ルギー保存則が容易に導けるのである．

日本気象学会

1999年9月

13578

メソ気象力学の基礎（II）

8．大気の静的安定度一常微分方程式を解くである．θiは原点におけるθの値である．一方，空気塊

重力の下にあって密度成層をした大気の中で空気塊は断熱的に，温位を保存しながら移動したのであるか（パーセル）を，ほんの少し上方に移動させたとき，空ら，気塊がもとの位置に戻るか，移動した位置に止まるか，

（8．7）

θ二畠

ますますもとの位置から遠ざかるかによって，大気の成層を安定，中立，不安定と判別することは，一般向である．式（8．6）

けの解説書に述べてある．本節では，このことに数式と，と式（8．7）を式（8．5）に代入する的表現を与えよう．

いま，空気塊は周囲の気圧を乱さないで，かつ空気

窪一一著（嘉）・（8．8）

塊内の圧力は周囲の気圧といつも同じに保ちつつ，断熱的に，ほんの少し上方に移動したとする．空気塊のが得られる．以下，簡単のため，（1／θ）（4θ／ぬ）は高位置をzで表すと，空気塊の運動を支配する方程式は度に無関係な一定値と仮定して，式（8．8）の微分方程

前節の式（7．1）に鉛直方向の気圧傾度力を加えて，式の解を求めよう．すなわち式（8．8）を満足する時間！の関数2（渉）を探そう．

422

1吻

7

ρ死一9

（8．1）

式（8．8）をみると，zを2回微分したものがもとのzに比例している．この性質をもっている関数は表1である．この空気塊の周囲の空気の状態を（）の記号で表すことにすると，周囲の空気はもともとの静水

でみた通り，ソをある定数とし♂かsin〆（cosり！で圧平衡の状態にあるから，（8．8）に代入すると，＿

1吻

o一一万死一9もよい）である．それでzはe吻こ比例するとして式

2＿＿亙塑

（8．2）

り

（8．9）

θゐ

である．そして上に述べた仮定により，ρ＝ρであるかが得られる．まず4θ／ぬ＜0の場合を考える．

ら，吻／ぬ二一g万である．これを式（8．1）に代入する

きにはソ2＞0であるから，

このと

と，

・一±（一暑額聖±（一9暫瑠
42z

iδ一ρ

評二9

ρ

（8．10）（8．3）となる．±のどちらでもよいから，ソは正であるとしてを得る．一方，気体の状態方程式（5．7）と温位の定義

式（5．9）からTを消去すると，・一舌奏（勢）鋤

解は，
z＝αeレ

（8．4）

（8．11）

十ゐe一レ∫の形となる．αと6は積分定数で，初期（！＝0）における条件で決められる．いま，初期に空気塊は座標原が得られるから，これを式（8．3）に代入すると，点（z二〇）にいたとすると，α＋δ＝0という関係がある．従って，

！22

θ一θ

アニ9万

（8．5）

（8．12）Z二α（e躍一e一躍）を得る．いま，空気塊が出発した高度を鉛直座標の原でなければならない．これから，空気塊の速度側は，点にとると，空気塊が微小量zだけ移動した点における周囲の大気の温位は，θ（z）をテイラー展開して1次

4z
読

ω＝一二伽（eレ件e『レ∫）（8．13）

までの項をとって，で与えられる．次に，初期に空気塊はz〃。という速度を万一畠＋（嘉）・（8．6）

持つとすると，式（8．13）で！＝0とおいて，ω。二2伽でなければならない．これから，α＝砺／2りと求まる．

14

天気

46．9．

579

メソ気象力学の基礎（II）

結局，初期条件を満足する式（8．8）の解は，〜10−2s−1となる．これは周期約10分に相当する．このように，温位が高度と共に増加している大気では，空z典（e匪一e一躍）（8．14）

2ソりの振動を繰り返すだけである．すなわち，このようである．！が大きくなると，e一レが，eソ

気塊は初期に鱗という速度で動き出しても，原点の周はどんどん小さくなる

は指数関数的に大きくなる．すなわち，初期にな成層は安定である．結局，次の静的安定条件が得られる：

周囲の空気と平衡状態にあった空気塊は，原点から砺＿という任意の初速度で動きだすと，時間と共に指数関

＞

4θ

一

＝

ぬ

数的に原点から遠ざかる．このことは，温位が高度と

安定

0

中立

く

共に減少している成層は不安定であることを示してい（8．22）

不安定

上記の安定条件を温度の高度分布で表現しよう．まる．

次に4θ／4z＞0のときは，ソは実数ではなく，μ二±ず，θの定義式（5．9）の自然対数をとると，

i／vという純虚数となる．ここで，
一

一

1〜

一

R

lnθ＝1nT一一lnρ＋一1nρ。

N一（耀）瑠G（8．15）

Cレ（8．23）

が得られる．これをzで微分する．ゴ（1nθ）／ぬ＝（1／θ）

であり，i二FT，i2＝一1である．一般にAとBを（4θ／dz）であることと，吻／ぬ＝一ρgを考慮し，気体任意の実数とするとき，A＋iBを複素数といい，Aをの状態方程式（5．7）を用いてρを消去すると，実数部分，βを虚数部分という，実数部分がない複素

耀一ナ（餐・去）数が純虚数である．こうして，この場合の解は，
z二aeiN（8．24）（8．16）

十be−iノ〉が得られる．中立成層の大気では4θ／ゐ＝0である．

である．再び，1＝0で2＝0という初期条件を用いる

このとき，温度は，几≡g／Cレという乾燥断熱減率几でと，高度と共に減少する．一般に，温度減率r≡一4T／ぬZ＝α（eiNしe−i翫）（8．17）

を定義すると，式（8．24）を参照して，式（8．22）から，を得る．ここで，e±i醒二COSノ〉i∫±i＞sin」1〉渉r（8．18）

くという公式があるから，式（8．17）は
z＝2iz

sin．1〉！

二（8．19）

安定
几

中立（8．25）

不安定というよく知られた静的安定度の判定条件が得られる．

となる．もう1つの初期条件，渉二〇でω＝〜〃。を適用す

9．内部重力波一連立偏微分方程式を解く

ると，

前節でブラント・バイサラの振動の話をしたときに4z

ω＝涜二2i姻c・s蘭＝卿・（8．20）

は，空気塊は周囲の空気を乱さないように上下に振動すると仮定した．実際にはこれは不可能である．空気であるから，α二倫／2iノ〉と決まる．結局，求める解は，
z＝（〜〃。／ノV）sin／W（8．21）

はびっしりと空間を埋めているから，その一部分が動けば，その周囲は必ず影響を受ける．事情は，発車間際の満員電車に1人無理に乗り込んできた状況に似てである．この解は，重力を復元力として，振動数N（周いる．この人は扉近くの人を押す．押された人は自ら

期2π／ノV）で振動する運動を表している．ノVをブラン

少し動くと共に，圧力を隣の人に伝える．こうして，

ト・バイサラ振動数（あるいは浮力振動数）という．

安定成層をした大気の中で空気塊が動けば，周囲の空典型的な値として4θ／4z＝3．5K／kmをとれば，N

気も動くし，運動に伴う圧力変動は波動となって，四1999年9月

15580

メソ気象力学の基礎（II）

方にひろがっていく．この波動は重力を復元力とする

霧一一走筈＋妾9波動である牟ら重力波という．

（9．3）

細かくいうと，重力波にも2種類ある．1つは海面でおこる風波のように，液体と気体が接する境界面，

もっと一般的には，密度が不連続的に変わる境界面で

∂麗

∂側

一十一＝0
∂冤 ∂z

（9．4）

おこる重力波で，外部重力波という．これに対し，本節で述べる重力波はこのような境界面なしで起こるの∂θ1で，内部重力波という．

内部重力波を数式で表現しようとすれば，・前節で

01θ

（9．5）

一十ω一＝0∂！
4z

やったように鉛直方向の運動方程式だけを考えるのでが得られる．連続の式はもともと線形方程式であるかは不十分である．波動は四方に伝わるから水平方向のら，そのままである．

運動方程式も必要である．空気塊が移動すれば，その式（9．2）一（9．5）が波動に伴って変動する従属変数

隙間を狙って隣の空気塊が動くから連続の式も考慮す％，ω，グ，θ〆を決める4個の連立方程式である．このる必要がある．簡単のためブジネスク近似を使うこと解を求めることができれば，内部重力波の運動が明らにすれば，重力波を扱うのに必要な方程式は（6．8），，

かになる．解を求める常套手段は，4個の方程式から（6．20），（6．6），（6．22），（6．24）である．話をできる

3個の従属変数を消去して，ただ1つの従属変数を含だけ簡単にするために，運動はッ方向には一様である

む方程式を導くことである．その従属変数として何をとして（すなわち夕方向の偏微分は無視して），κ，z面

選んでもよいが，ふつうは側についての方程式を導く

内での2次元の運動を考える．式（6．9）は使わない．

（その理由はここでは扱わないが，境界条件というもの

波動が生ずる前の静止状態では，温位θ（2）はz方向がωについて与えられることが多いからである）．そに一定の勾配（4θ／4z＞0）を持つとする．さらに，いこでまず式（9．2）と（9．4）から％を消去することをま考えている波動の振幅は極めて小さいので，波動に考える．式（9．2）をκで偏微分すると，伴う％，z〃，グ，ρ，T，θ〆はすべて微小量であるとする．このことが何を意味するかというと，例えば水平

∂2祝

1∂2グ

∂％∂！

ρ。∂κ2

（9．6）

方向の運動方程式：が得られる．式（9．4）を！で微分すると，

亟物亟＋ω塵＝＿⊥並
∂！

∂冗

∂z

ρo

（9．1）

∂κ

∂2％

∂2ω

（9．7）

十一＝0
∂2∂渉

∂κ∂渉

において，鼠伽／∂冤）と2〃（伽／∂z）は微少量％や側の積であるから，∂躍∂渉と（1／ρ。）（∂ρ1／∂κ）にくらべて一が得られる．式（9．7）から式（9．6）をひくと麗を含段と小さく無視してよい．そうすると，上式は，む項が消えて，∂麗 1∂グ∂渉 ρo∂冤

（9．2）

∂2z〃

1∂2グ

（9．8）

∂z∂！ρ。∂冤2となる．一般的に，従属変数の2次以上の項を非線形が得られる．次に式（9．3）と式（9．5）からθ

項といい，1次の項を線形項という．それで式（9．1）

するために，式（9．3）を！で微分すると，を消去のように非線形項を含む方程式を非線形方程式といい，式（9．2）のように線形項だけを含む方程式を線形∂2側＿＿⊥翌＋旦翌
∂！2

（9．9）

ρ。∂Z∂渉θ。∂渉方程式という．非線形方程式の中で非線形項を省略して線形方程式にすることを方程式の線形化という．同となる．右辺の∂θ／∂！に式（9．5）を代入すると，じ様にして他の方程式も線形化し，断熱変化を仮定す
ると，

辮一誌篠一ωN・（9．10）となる．ここでNは式（8．15）で定義したブラント・
16

天気

46．9．

581

メソ気象力学の基礎（II）

バイサラの振動数である．最後に式（9．8）と（9．10）

すなわち，￠》（π，z）二X（π）Z（z）として式（9．17）に代からグを消去するために，式（9．8）をzで微分し！で入して整理すると，微分すると，
∂42〃

1

∂4ρ

∂Z2∂渉2

ρ0∂冤2∂2∂渉

1ご2× 21塵（N2一レ2壕
二7（9．18）（9．11）となる．左辺はxだけの関数，右辺は2だけの関数であるから，各々は定数でなければならない．それでhとなる．式（9．10）をxで2回微分すると，と勉を任意の定数として，X（x）の解としてお馴染み∂4側∂冤2∂！2

1∂4グN2∂2側
ρ0 ∂％2∂Z∂！
∂冗2（9．12）となったe±櫃をとり，Z（Z）の解としてe±inzをとり，

式（9．18）に代入すると，となるから，式（9．11）と（9．12）を辺々たし合わせ
h2
1
ソ2二N2
＝ノV2 1＋（n／h）2（h2＋n2）ると，

釦農＋誰）一一N聖（9．13）（9．19）

が得られる．結局，・4、〜・48を任意の定数として，求める解は，が得られる．これが目的としたωだけを含む方程式でz〃ニノ4、eiレ∫eihκe鶴＋ノ42eiレ∫eihκe『躍ある．前節の常微分方程式と違い，今度は偏微分方程＋．43eiレ∫e−ihxein之＋ノ44eiン∫e〜ihxe−in〜式である．

偏微分方程式の解き方にはいろいろあり，ある型の＋ノ45e−iレe鳳ein〜＋ノ46e−iレ＋！47e−iレ

e−i為xein之＋ノ48e−iレ∫e−ihxe−inz

ejhxe−in〜（9．20）

方程式には特定の解き方が有効である．式（9．13）に対して変数分離法が有効である．いまψ（！）との（π，z）

である．ただし，グ，h，％の間には式（9．19）の関係

はそれぞれ渉およびκ，zだけの関数であり，ω＝ψ（渉）がある．これを内部重力波の分散関係式という．

の（π，z）という変数が分離された形で解が求まるとし定数・41〜・48は％，ω，グ，θ1に対する初期条件や境界条件によって決まる．具体的に初期条件や境界条件て，これを式（9．13）に代入すると，を与えて、41〜、48を決める代わりに，ここでは簡単の（票＋農2）饗一一・礁

（9．14）

ため，例えば，ノ41ニノ42＝z43＝z44二z45＝ノ46r47二z48とする．この場合には，式（8．18）から得られる．
となるが，これを書き直して，

N・難

62ψ

（聖＋誓z2）ψ

4∫2

1cos〆二一（eiレ∫＋e−iレ∫）

2（9．15）（9．21）という公式を考慮すると，

2〃＝8z4、cosレ渉cosh％cos％z（9．22）とする．左辺はx，zの関数であり，右辺は渉だけの関となる．cosぬ冗はh％が2πだけ異なるときには，同じ数であるから，この両辺が等しいためには両辺とも定値をとるので，π方向の波長はλx＝2π／hである．同様

数でなければならない．その定数を〃2と書くと，ψとにλz＝2π／ηがz方向の波長である．すなわち，式φを決める方程式はそれぞれ，（9．22）はπ方向にλx，z方向にλzの間隔をもつ流れのパターンが，移動することなく周期2π／ソで振動して
ゴ2ψ
4！2 ＝一レ2ψ

（9．16）いる重力波を表している．

（9．17）．45＝、46のときは，任意の数αと6について，指数関数

別の例として，ノ41＝z42＝z47＝ノ48＝0，ノ43二．44二N・撃一ゾ（黎＋誓、2）には，となる．式（9．16）は（8．8）と全く同じ形であるから解はすぐe±iレ∫と求まる．式（9．17）の解を求めるために，再びφ（π，Z）が変数分離の形に書けるとしよう．

1999年9月

e

α

δ＿

e

α十δ

−e

（9．23）という性質があることを利用すると，式（9．20）は，
17

582

メソ気象力学の基礎（II）

z

Z

λz
丁一一

3λ二

2π／n

波

・立

4

．C

λ二

面

2 ＼

高

λ二

一
4・．罰

波長

詩

識1

圧

＼
＼

λ．Y

2π／ん
第4図

λぎ

3え．Y

一
一一
λx
4
2
4
第5図 鉛直断面内で，仮想的な内部重力波に伴XXう圧力，温度，速度の分布を示す図．細い矢印は速度，太い矢印は重力波が伝わる方向，シェードしてあるのは上昇流の波面と伝播速度の関係．

区域．

2〃二4．44cos鵤cos（㎞一〆）二4z44cos％zcos々（π一磁）（9．24）というρρとなる．ここで，娠≡パhである．式（9．24）をみると，を決める式が得られる．グの振幅をBとし，＝βcos（勧＋nz一μ！）が解であるとして式（9．26）に代入すると，B二一Aρ。御／h2と決まる．それで，ズー碗が一定のときωの値は同じであることがわかる．すなわち，時問が経つと共に，側のパターンはκ方ρ・一勢C・S（忽＋犯9一ソ！）（9．27）

向に碗だけずれていくから，これはxの正の方向に娠の速度で伝播する波を表す．

と求められる．同様にして，式（9．5）からθ〆が，式（9．4）

さらに，／11＝／12＝ノ13＝／16＝／17二／18＝0，／14＝且5とから％が次のように決められる・：

すると，式（9．20）は，

卿＝z4cos（勉＋nz一レ∫）θ（9．25）、4顧
ソ0隠

ニー一sin（為究十7ZZ一〆）（9．28）

A勿％＝一一COS（勉＋％Z一ソ！）
h（9．29）となる．ここでA＝2、44である．これは第4図に示した

ように，波面がκ軸にもz軸にも傾いた波を表す．π方向と2方向の波長は再び2π／hと2π／nであるが，本当の波長は2つの隣り合った波面の問隔であり，これは第5図が％，と〃，グ，θ〆の間の位相の相互関係を示した

2π／（h2＋n2）1／2で与えられる．波の伝播をκ軸に沿っものである．大気中には音波，重力波，ケルビン波，てみれば，その伝播速度はら＝グ／hであり，z軸に沿っヘルムホルツ波，山岳波，順圧不安定波，傾圧不安定てはo、ニソ加である．それで真の伝播速度は娠とOzを波など，いろいろな原因でさまざまな波動が起こって成分とするベクトルである．その方向は波面に直角で，いる．大気中で観測された波動がどういう波なのか，

大きさはソ／（h2＋n2）112で与えられる．

同定するためには上記のようないろいろな気象要素の次に，ωが式（9．25）で与えられたとき，他の従属間の位相の関係が用いられる．さらに例えば謝，〜〃θ，

変数についての解を求めよう．まず式（9．8）の左辺に妙1を1波長で積分した量は，それぞれ波による水平式（9．25）を代入すると，運動量の鉛直輸送，熱の鉛直輸送，波がする仕事（すなわちエネルギーの伝播）を表し，その値は％，ω，グ，嘗一蜘C・S（h冗＋n2一ソ渉）（9．26）

θ〆の相互の位相関係で，ゼロになったり，正あるいは負になったりする．だから位相は大事なのである．
18

黙天気

46．9．

メソ気象力学の基礎（II）

583という分散関係式が得られる（演習問題として自分で3導いてほしい）．これが第6図で静水圧系と記した直線
静γ／ノ〉である．この2本の線を比較すると，h／nが0に近い

水

ときには，もちろん両者は一致しているが，h／％が1圧↑2に近付くあたりから離れ始める．このことから，擾乱

系の水平スケールが鉛直スケールと同じ程度になると，静水圧平衡はよい近似を与えないことが分かる．
ついでに述べると，式（9．19）において，々2＜（々2＋非静水圧系n2）であるから，μ＜Nであることは明らかである．第3

る現象は考えないという条件をつけた．本節ではブジ

6節でブジネスク近似を導く際に，あまり速く振動す

002

ネスク近似を用いて内部重力波を議論したが，その重一ん／n
第6図非静水圧系と静水圧系における無次元の振動数（ッ／ノV）と波数（h／n）の関係．

力波の振動数はいつもNより小さいから，上記の条
件は，時間スケールが1／ノVより大きい現象だけを考えていることになる．ちなみに，内部重力波の伝播速度の大きさの実感をもつために，かりにh＝nと仮定
上記の結果で興味があるのは，他のパラメータはそ

すると，ソ＝0．71Nであり，h二2π／10km，ノV＝10−2s−1のままにして左を無限大にすると，式（9．27）においとすると，ら＝ガh＝11．3ms−1となる．これは音速よてグは0となるし，式（9．29）で％も0となるし，式

り一桁小さい．

（9．19）でソはノVに等しくなる．これはちょうど前節

重要で興味深い内部重力波の応用問題は山岳波あるで，空気塊が周囲の空気を乱さないように，またいつ

いは山越えの気流である．山岳波は笠雲や吊るし雲なも周囲と同じ気圧を保つようにしつつ，鉛直方向に振ど特有な雲を作ったり，「おろし風」などの局地的な強動したときの状況である．このことから，前節の，い風を吹かせたりする．さらに，山岳波に伴う水平運動

わゆるパーセル法の考え方は，実は本節で行った厳密

量の鉛直輸送は，大気の大循環の角運動量の収支やな議論で，水平方向の波長を無限小とした特殊な場合に等しいのだと納得する．こうした点が理論的な解析

日々の数値予報にも無視できない影響を及ぽしている．また，大気の状態によっては，内部重力波に伴うのおもしろさである．

上昇流が積雲対流を起こすこともある．こうした問題

次に第6図において非静水圧系と記したのが式については，前回に引用した「地球流体力学入門」（木（9．19）のh，nとソの関係を図示したものである．す村，1983）や「メソ気象の基礎理論」（小倉，1998）なぐ上で述べたように，h→OOでグ→Nとなるし，左→どを参照していただきたい．また，次回の吉崎正憲氏

0ではソ→0となる．ところで本節で行った演算で，の講義には，メソ対流系の中では長時間にわたって多鉛直方向の運動方程式として式（9．3）を使う代わりに量の凝結熱が放出されているのに，メソ対流系の中の静水圧平衡の式を用いて演算をやり直してみると，式

温度が数度くらいしか上昇しないのは，凝結熱が内部（9．19）の代わりに，

重力波によって四方に広がってしまうからだという話がある予定である．

り2−N2鴛

（9．30）％

1999年9月

19