通勤交通と内々交通に関する高層ビルの有効容積最適化問題
M2004MM020 岩田 美弘
指導教員

伏見 正則のように与えられる．

1 はじめに
最近ニュースなどで名古屋の活性化が伝えられているが，このように地価が上がってきた名古屋において新たに高層ビルを建てようとすると，莫大な投資が必要になる．
ならばより高く建築すればするほど，有効な面積を増やせ，投資を抑えられるのではないだろうか．しかしそれは効果的でないという研究をしている田口の文献を見つけ，非常に強い興味を持った．

3 内々交通モデル
次に，ビル内にいる全ての人が均等に行き来する場合の相互に移動するモデルを考える．各人が自分と異なる階にいる人と時間 T 内に何人に 1 人と行き来するかの割合を b とおくと，今回は高さ x の面を通過する交通量は，xよりも上にいる人と下にいる人との行き来によるものなので，以下の式が得られる．
c(S − L(x)) = bρ2Z hL(τ )τ

Z xx

ビル内の移動にはエレベータなどの通路が必須であり，人の交通が頻繁になるにつれ，その面積は十分に広く確保しなければならない．しかし、これは設計者が求める人をより多く収容するということと矛盾してしまう．本研
究では [2] を参考にして，高層ビルの高さを変化させた際L(τ )dτ(4)0

境界条件は，ビルの上端と下端で通路が必要ないことから L(0) = L(h) = S となる．ここで式(4) は直接解くの∫xは難しいため，V (x) = 0 L(τ )τ とおいて，V (x) に関する常微分方程式を導き，それを解くとV (x) =に，どれだけそういった有効な面積や容積が変化していく

1Vh +2× tanのかを考えていきたい．

r

1 2V
4 hαS −1αr

1 2V4 hαS −„«!
hx−2(5)cとおいた．この式を微分bρ2したものに x = h における境界条件を代入して Vh に関しを得る．ただしここで α =2 通勤交通モデル
まず，各人がビルの入り口から中に入り，エレベーターを使ってそれぞれの階へ向かうときの交通を想定する．
このときのエレベータの通路の面積を求めるモデルは [1]によって紹介されているので．それを基に説明していく．
まず図 1 のようなビルを考える．このときて整理すると√hVh = 2 αS sin(2αrαS −1 2V )4 h(6)となるので，ここから適当な数値解法によって近似解を求めればよい．

h4 高さと有効容積の関係

S − L(x)ここで，(2)，(3) によって導いた有効容積が，高さを限りなく上げていった場合にどうなるかを考える．まず通勤交通においては (3) 式において exp(−∞) = 0 より，

L(x)xS

V∞ =0

図1

簡略化したビルの図cSρ(7)となる．次に内々交通の場合は，(6) 式より明らかに√
V∞ = 2 αS

h：ビル全体の高さ
x：地上から測ったある場所の高さ
S ：各階の建築面積
L(x)：有効床面積
ρ：単位容積あたりの人口
T ：出勤時間の長さ
c：時間 T 内に輸送できる通路面積あたりの人数である．よって以上から有効容積に関して，面積には比例して増加するので投資は有効といえるが，高さに関しては，ある一定以上から影響を及ぼさないことがわかる．
そこで実際に内々交通において，実際にパラメータを与えと定義すると，輸送力の方程式として
c(S − L(x)) = ρZ hて有効容積の変化を数値解析した．

L(τ )dτ(1)xを得る．さらにビルの上端には通路が必要ないので境界条件 L(h) = S から，この方程式を解くとL(x) = S exp„

ρ(x − h)c«(2)„„««ρh1 − exp −c

各パラメータの定め方は，密度 ρ は標準的なオフィスの値から ρ = 0.03（人/m3 ）とおき，パラメータ b（1/(m2 )2人）は 10−5 とした．次に c は [1] から c = 35（人/m2 /T ）と推定し，S = 2002 （m2 ）としている．
統計用ソフト R を用いて方程式 (6) の解を二分法で計算となり，これを積分するとビル全体から通路を除いた容積 (有効容積) がcSVh =ρ(8)(3)

したところ，図 2 の結果が得られた．また実際に式 (8) に数値を入れて計算すると，2494438m3 となり，これが図2 の漸近線といえる．

またほぼ変化が無くなる高さとしては，高さを 1m 増
やすごとに有効容積の増加が 1m3 以下になる場所として計算すると 2132m から変化が無いことがわかった．そして，増加する値が 1000m3 以下になる場所を計算したところ，204m となり，図 3 のようになった．これを全体の容積で割った図が図 4 であり、200m を越えたあたりから比率として 2 割以下になっていることがわかる．また，図3 は例として面積を 200m2 としたが，その面積を 100m2から 900m2 まで 100m2 ずつ変化させながら，その違いを見たのが図 5 である．

H ：下層と上層の境界の高さ
x：地上から測ったある場所の高さ
S ：床全体の面積
L(x) ：有効床面積．高さ x において床面積 S からエレベータ通路を除いた面積
ρ：単位高さあたりの人口とおくと，交通量の式は
8 Z h>>
L(τ )dτ (H < x < h)< ρZxHZ hc(S − L(x)) =>>: ρL(τ )dτ + ρL(τ )dτx(9)(0 < x < H)

Hとなる．ここで( H < x)< h のとき，L(x) は (2) より

ρ(x − h)となる．
c
そして 0 < x < H のときの L(x)( は，(9)) 下式を微分しL(x) = S expて，境界条件から，α = S exp
L(x) = S exp„−(H+h)ρ
cを代入して，«(0 < x < H)

(10)

Z h

L(x)dx(11)2ρx − ρ(H + h)cとなる．よって有効容積は
Vh =Z HL(x)dx +H0となる．ここで，
図 2 6000m までの有効容積

図 3 600m までの有効容積

Z H»„«„«–c2ρH − ρhρhS exp− exp −ρcc

L(x)dx =0(12)となるので，式 (12) を式 (11) に代入して，有効容積はVh =cSρ„

1 + exp„

ρ(h − H)c«+ exp„2ρH − ρhc

«

+ exp

„

««ρhc(13)となる．そこで次に 3 層で考える．図 7 において，
H3H2H1

図4

有効容積/全体容積0

図 5 面積の変化と有効容積
図75 通過エレベータを含む通勤交通モデル
今までの考え方ではエレベータは全てが各階に停止すると仮定して考えていたが，実際のビルのエレベータは層H1 ：下層と中層の境界の高さ
H2 ：中層と上層の境界の高さ
H3 ：全体の高さとすると，上層と中層の関係式は２層の考え方と全く同じため，式 (9) からに分かれて動いている．そこでビルを分けて，その層内で各停止するエレベータと通過するエレベータの２つを考3 層に分けたビル

c(S − L(x)) = ρZ H3L(τ )dτ(H2 < x < H3 )えることにする．まず簡単にするため，2 層で考える．図

Z H26 はこのモデルを図式化したものであり，実線が停止エレc(S − L(x)) = ρ

ベータ，破線が通過エレベータを表している．

がいえる．下層については，２層の考え方から

hxc(S − L(x)) = ρL(τ )dτ + ρVH3 ,H2Z H1x

HL(τ )dτ + ρVH3 ,H1c(S − L(x)) = ρ

この考え方に基づいて，

h：ビル全体の高さ(H1 < x < H2 ) (15)(0 < x < H1 ) (16)となることが予想され，さらに発展させて一般形の n 層
ビルの最下層が0

図 6 2 層に分けたビル

(14)

x

Z H1xL(τ )dτ + ρVHn ,H1(17)と推測される．しかし，この式の証明は難解なため，別の視点からこの問題を考える．

HnHk
Hk−10

図8n 層に分けたビル

図 10 2002 m2 における有効容積

今，図 8 のような一般形のビルを考えたときに，Wk,n =Hk 〜Hn の有効容積とおくと、
Wk−1,n = Wk−1,k + Wk,n

表1(18)

n=25〜33 における有効容積がいえる．ここでWk−1,k = {(k − 1〜k 区間の全容積)−(Hk−1 から Hk で各階停止するエレベータ容積)}−(Hk より上に行く通過エレベータ容積)(19)であり，さらに Hk より上に行く通過エレベータ容積は人が乗降しないため，交通量の変化が起きないので，Hkより上に行く通過エレベータ容積と，Hk−1 から Hk で各階停止するエレベータ容積のモデル図はそれぞれ図 9 のようになる．

nF0hn272121884
1080

2921162101160302105043
1200312088203
1240

332037682
1320

計算途中においても表 1 から高さ 1200m 付近で値が減少している．
これをさらに詳細に調べるため，n=31 のときの Fk ，及び Bk を表 2 に載せた．この表によると，k=3 を境に Bk が負になっていることがわかる．よって漸化式がFk−1 = Bk−1 + Fk より F0 の値が n が大きくなるにつれて減少することがわかった．これがどういう意味なのか考えると，エレベータ容積がその層における全体容積を上回ってしまったということが考えられる．今回の定義に
図9

おいて，通過エレベータは n が増加されるたびに単調に通過エレベータと停止エレベータのモデル増加している．ここで上限を考えなかったため，通過エここで式 Hk−1 から Hk で各階停止するエレベータ通路
容積は前章の通勤交通モデル (3) よりcS
V =ρ„„««
ρ(Hk − Hk−1 )1 − exp −c(20)

この問題は Bk の負の値を全て 0 と置き換えることで解決できる．すると，(4) においては，高さを増加すればするほど，ほぼ漸近線に近づいていく単調増加として考えらとなる．Hk より上に行く通過エレベータ通路容積については，エレベータ容積が (本数) × (高さ) × (底面積) なので
V = (n−k)(Hk −Hk−1 )Sレベータの容積が全体容積を上回ってしまった．しかし，„„««
ρ(Hk − Hk−1 )1 − exp −(21)c

れたが，この定義ではある高さを超えると，それ以降の増設が全くの無駄であることがわかる．これは非常に興味深い結果といえよう．
表 2 n=31 のときの Fk 及び Bkとなる．よって以上から„„««cS
ρ(Hk − Hk−1 )Wk−1,k =1 − exp −ρc−(n − k)(Hk − Hk−1 )S„„««ρ(hk − Hk−1 )× 1 − exp −)c(22)となり，ここで Wk−1,n = Fk−1 , Wk−1,k = Bk−1 とおくと，(18) 式がFk−1 = Bk−1 + Fk

(Fn = 0)(23)という漸化式になるので，これを数値解析で解けばよい．
ここで実際に解いた図を図 10 として載せた．各パラメータの値は (4) の値に準じている．また 1 層の高さは一定として 40m とした．
ここで図 10 を見ると，高さが 1000m を超えたあたりで有効容積が下降しているのがわかる．実際に漸化式のF0F1F2F3F4F5F62088203
210504321162702121884
2121884
21162702105043

・・・

F31B0B1B2B3B4B5B6−16840.3−11226.9−5613.45
05613.449
11226.916840.35・・・

0B3106 通過エレベータを含む内々交通モデル
内々交通に関しては，通過エレベーターの概念を加えると，その難解さは飛躍的に上昇するため，本研究では２層での考え方にとどまった．前章の b と同じようにパラメータを考えるが，今回は２層にまたがるので

b ：層内の人が単位時間内に何人に１人と行き来するかの割合の３通りがあると考えられる．よって全体としては

H28Z xZ H
2>>bρ2L(τ )dτL(τ )dτ
>
>
>
HxZ>
1>
Z>
H2H1>
>
2>
L(τ )dτL(τ )dτ (H1 < x < H2 )>< +bρZ HxZ xH0Z Hc(S − L(x)) =(29)122>> bρ2L(τ )dτL(τ )dτ + eρL(τ )dτ>>
>
xH0>
! H1>
Z H
Z H>
>
11>
>
>
×L(τ)dτ+L(τ)dτ(H0 < x < H1 ):H1となる．ここで内々交通は，必ず V 0 = AV 2 + 2BV + Cの形になるので，これを解く公式を考える．

e ：下層にまたがる，単位時間内に何人に１人と行き来するかの割合とおく．H1 < x < H2 に関しては図 11 のようなモデルになり，このときの交通量は，上層内で x よりも高い位置

xH0

case1. B 2 − AC > 0
このとき D2 =H0˛˛˛˛˛√˛˛2D
˛1 −˛ = exp(2 AD + (x + J))„«˛√B ˛˛˛A V +˛˛A

図 11 上層と低い位置で行き来するための交通量∫ xbρ2

このとき D2 =L(τ )dτL(τ )dτ(24)−B 2+ C とおくと
AV =−xと，上層内の x より高い位置と H0 -H1 区間の間で行き来√
B
D+ √ tan(D A(x + J))
AAV =−∫ H1eρ2(31)case3. B 2 − AC = 0

するための交通量∫ H2(30)

case2. B 2 − AC < 0∫ H2H1B2− C とおくとA˛

B− A(x + J)
A(32)の２通りがあると考えられる．また H0 < x < H1 に関し

ただし J は積分定数である．この公式に当てはめて，式(29) を解けば，２層における有効容積の方程式を導ける．
例として (4) の値を入れた場合は，case2. になることがわては図 12 のようなモデルになり，かった．

L(τ )dτL(τ )dτx(25)H07 おわりに今回の研究で，ある一定上の高さからは、それ以上の増H1築が意味の無いことがわかった．そして通過エレベータを含めた場合は，有効容積の変化がほぼなくなる高さが，H0各階停止エレベータだけの場合と比べて，約半分になることがわかった．また今後さらに発展させたい内容として

図 12 下層

は，今回の研究において，通過エレベータを含む内々交通
このときの交通量は下層内で x よりも高い位置と低い位置の間で行き来するための交通量∫ H1bρ2xが出てきただけで，あまり有効とはいえなかった．近似解などを用いてもっと素早く数値解析が出来る方法を考え∫ xL(τ )dτの２層における方程式を考えたが，この考えは複雑な数式たい．そしてそれとは別に，通過エレベータを含む内々交L(τ )dτ(26)

H0通の n 層における一般階を導きたい．また今回の研究は実データでの検証を行わなかったため，研究結果がはっきと下層で x よりも低い位置と上層の間で行き来するためりと伝わらなかった感がある．実際のビルのデータを用の交通量いて，今回の研究で出た結論を検証すれば，より面白い研∫ xeρ2

究となるであろう．

∫ H2L(τ )dτ

H0L(τ )dτ(27)

H1と下層で x よりも高い位置と上層の間で行き来するための交通量∫ H12eρ2∫ H2L(τ )dτxL(τ )dτH1(28)

参考文献[1] 奥平耕造：都市工学読本, 彰国社,1976.
[2] 田口東：大規模超高層ビルにおける内々交通とエレベータ通路, Journal of the Operations Research Society of Japan, Vol.37, No.3, pp.232-241 (1994.9).