組みひもについて考える
３年Ｂ組 佐野 仁祥
指導教諭 川口 慎二

１． 要約
サイエンス研究会数学班 3 年生は組みひもについて学習している。今回は、数式で組みひもを扱い、組みひもの理論の基本構造を理解することを目標とした。その際に学習したリンクダイアグラムを中心に参考文献[1]から学んだことを紹介したい。
キーワード 組みひも、リンクダイアグラム、ライデマイスタームーブ

２． 研究の背景と目的
組みひもという一見、単純に見えるものがもつ複雑さや、幾何学で考え出された理対応する２通りの組みひもを σ i , σ i と表−1す（図２）。

論が現実に応用できるという点に興味をもったからである。

３． 研究内容
３－１．組みひもとは

図1

上面 A と下面 B があったとき、面 A 上の点 a n の 真下 に ある 点 を bn とす る 。ま た

a 1 ~ a n から出発した点が b1 ~ bn のいずれかに到達するものを n 本と組みひもとする。
一旦下がったひもが、上に再び上がったり、図２一本のひもが結ばれたりすることはない。
表示の際は、一方から光を当てて投影し例えば、３本のひもからなる組みひもはた図に、ひもの重なりがわかるように描く。

必ず、 σ 1 , σ 2 , σ 1−1 , σ 2−1 からなることがわかる、つまりそれぞれいずれかを積の記号を３－２．組みひもの構成要素用い式で表すということである。

ある１つの組みひもを交わる箇所に注目

一般的に、 n 本のひもからなる組みひもし、もとの組みひもがいくつかの組みひもの場合、σ 1 , σ 2 , …, σ ｎ , σ 1-1 , σ 2-2 , …, σ n-n のの集まりからなるということを式で表せな組み合わせにより表されることがわかる。

いか考える。
まず次の図１のような組みひもを σ i とする。さらに、右回転で入れ替わることで３－３．組みひも関係式
上面の a 1 ~ a n ，下面の b1 ~ bn は固定したまま移りあえる組みひもは、同じとみな結合法則 ( xy ) z = x ( yz ) を満たしている。

すことにする。
例えば、図３では σ 1σ 2σ 1 = σ 2σ 1σ 2 であり、４本の組みひもの場合、σ 1σ 3 = σ 3σ 1となる（図４）。

図５
図３
ひもが n 本である組みひもは

σ 1 , σ 2 ,…, σ ｎ と σ 1-1 , σ 2-2 ,…, σ n-nで表すことができる。ここで、ある組みひも x を考えてみる。 xy = e というように自明な組みひもを作るためには、組みひも xを後ろから読んで、それぞれの交差の上下図４を逆にしたものを組みひも y とおけばよい。
このとき、この組みひも y は xy = yx = e をよって、一般に組みひもについて２通りのタイプの関係式が得られることがわかる。

σ iσ i +1σ i = σ i +1σ iσ i +1
(i = 1,2…, n - 1)σ iσ j = σ jσ i ⇒ i - j > 1

満たす。このような組みひも y は x の逆元逆元と呼ばれる。
例を示すと x = σ 1σ 2σ 1−1σ 2−1 ,y = σ 2σ 1σ 2−1σ 1−1 をそれぞれの組みひもとするとき、この２つを合成させると自明な組みひもになったことがわかる。

これを、組みひも関係式
組みひも関係式と呼ぶ。
組みひも関係式
３－５．群とは３－４．組みひもの積構造
組みひもを積の記号を用いて合成し、定める。まず自明な組みひも
自明な組みひも(交差していない
自明な組みひも空でない集合 G とその上の二項演算∗ : G × G → G の 組 (G,∗）が 群 で あ る とは、組みひも) e を考えたとき、同じひもの本数(G1) 結合法則： x ∗ ( y * z ) = ( x * y ) * zの組みひも x に対し、 ex = xe = x となる。

(G2) 単位元の存在： ex = xe = x

このような性質を満たす e は単位元単位元と呼ば単位元(G3) 逆元の存在：れる。また、この組みひも同士の積は、は∀a ∈ G , ∃b ∈ G s.t. ab = ba = e

の３つの条件を満たすものをいう。ひものくつかの結び目が互いに交わることなく絡本数が n 本の組みひも全体は上の条件を満み合っているものをリンクリンクと呼び、次の図リンクたすためで群であり、ブレイド群ブレイド群や組みひブレイド群 組みひ６が代表例である。また、このように表しも群と呼ばれBn であらわすことができる。
も群たものをリンクダイアグラム
リンクダイアグラムという。
リンクダイアグラム

３－６．組みひもとアミダくじ
次の図のようにある組みひも a にそのひもの本数だけ、上下がそれぞれ対応するよう点をつける。ひもの本数を n 本とすると、これにより n 個の文字 {1，2，… ,n} の入れ替
図６

えが起こることがわかる。この作業はアミダくじの図式をたどっていくのと同じだといえ、根本的な違いは、組みひもではひも同じリンクでも、見かけ上異なったリンの上下関係を問題にしており、アミダくじクダイアグラムで表すことができる場合がでは線の上下関係を考えていないという点ある。２つのリンクが同じであることは、である。文字 {1，2，… ,n} の入れ替えは、n ! のそのリンクダイアグラムが、次のライデマ
ライデマパターンがあり、入れ替えの合成に関して、イスター移動
イスター移動と呼ばれる３つの操作によっー移動群の構造をもつことがわかる。また、集合て得られる。

射全体の集合は写像(入れ替え)の合成を積Ⅰ

I n = {1，2，… ,n} に対し、I n から I n への全単として群になることがわかる。これを n 次
組みひもが、 n 個の文字をどのように入Ⅱ

S n であらわされる。
対称群とよび対称群
れ替えるかをみると、組みひも群から n 次Ⅲ対称群への写像 Bn → S n が構成される。
３－７．リンクダイアグラムとライデマイスター移動
ひもの両端をとじて三次元空間にできた

図７

閉曲線を考えることにする。このとき、閉曲線は自分自身と交わったりすることはな

３－８．向きのついたリンク、絡み数

いとここでは仮定する。ここでも組みひも

まず、向きのついたリンクについて説明と同じように、光をあて投影し、かつひもする。向きのついた
向きのついたリンク
向きのついたリンクことは、リンクリンクの上下関係をわかるようにする。

を構成するそれぞれの結び目に矢印を付けひもを動かすことで、ほどけてしまう結び目は自明な結び目
自明な結び目と呼ばれる。また、い自明な結び目たもののことをいう。
次に絡み数について説明する。絡み数
絡み数と絡み数

は、図８の左を正の交差点、右を負の交差点としたとき、正の交差点の個数から負の交差点の個数を引いたものの半分のことと定義する。またこのとき、リンク k1 , k 2 により定まる絡み数を lK (k1 , k 2 ) と表す。

図 10
ところで、絡み数は先程のような向きのついたリンクダイアグラムに対して計算さ
図８

れるが、これがライデマイスター移動によって不変であることが次のように示される。

図９のように、下の向きのついたリンクの絡み数を計算することができる。この場①ライデマイスター移動Ⅰのとき、k1 , k 2合においても、これらの絡み数が同じであの交差は現れないので問題にはならなることは、ライデマイスター移動によってい。

とらえることができる。ただしこのとき、②ライデマイスター移動Ⅱのとき、交差次のように、可能な矢印の付け方についての符号が反対になって打消しあう。

すべて考える必要がある。

③ライデマイスター移動Ⅲのとき、点 aが同じ結び目どうしの交差点ならば、点 b もそうであり、ともに同じ符号の交差点であることが確かめられる。
このように、ライデマイスタームーブで絡み数は不変であるということが示される。
これは、絡み数が、リンクダイアグラムによる見かけに関わらず、リンク固有の量であることを示している。よって、絡み数はリンクの最も基本的な不変量である。
３－９．結び目の合成

図９

２つの結び目をつなぎあわせることにより、新しい結び目を作ることを合成合成とよび、合成その逆の操作を分解分解と呼ぶ。
分解

図 12 のように、組みひも A から出発して両端をとじると、リンクをつくることができる。このときできるリンクを Â と表すことにする。リンク Â には、組みひも A に下向きの矢印をつけることにより、向きを与えることができる。つまり、組みひもから向きのついたリンクが構成できるということである。
このとき、逆はどうか考えよう。向きのついたリンク L があるとき、両端をとじると、リンク L となる組みひも A があるかどうかは後に考える。
３－１１．結び目から組みひもへ
図 13 の結び目はそれぞれ点 o を中心に見ると、左回転の曲線からなっている。よ図 11って、点 o を通る図のような直線で切り開くと、組みひもは得られることがわかる。

結び目を分解したとき、一方の結び目がさらに、逆をいうと、もとの結び目は組み必ず自明な結び目になるとき、これを素素なひもの両端を閉じたものとして表すことが結び目と呼ぶ。また、結び目ダイアグラム結び目できる。のうち、交差点の個数が最も少なくなるも図 14 の結び目は、点 o を中心にしてみるのを考え、その交差点の数を最小交最小交点最小交点数とと、右回転や左回転の曲線など、回転が一呼ぶ。

定ではない。ひもを動かして一定にすることを考えると表すことができた。式にあら

３－１０．組みひもからリンクをつくる
まず、次のような組みひも A を用意する。

わすと、 σ 1σ 2−1σ 1σ 2−1 となる。
これにより、リンクを組みひもで表すには、ひもをうまくうごかして、ある基点についての回転方向を一定にすればよいことがわかった

図 12

16 のように、同心円になるはずである。

図 13
図 16
また、これらの円にはすべて同じ向きが与えられていることになる。逆に、ザイフェルトサークルがこのように同心円になっ図 14ていれば、もとのリンクダイアグラムは、組みひもを閉じたものとして表すことがで

３－１２．アレクサンダーの定理の証明
向きのついたリンク L を、次の規則に従って修正していく。

きる。このとき、リンクダイアグラムをライデマイスター移動Ⅰ，Ⅱによって変形し、対応するザイフェルトサークルが同心円になるように操作すればいいことがわかる。
いまから、いくつかの典型的な場合を考えてみる。
まず、図 17 のような、ザイフェルトサークルから考える。

図 15
結果として、平面上のお互いに交わらない有限個の閉じた曲線が得られる。
このように、向きのついたリンクダイアグラムから構成される曲線をザイフェルトザイフェルトサークルと呼び、このとき、リンクの交差サークルに対応した線分をかき入れる。

図 17

ここで、リンクを組みひもで表すことについて考える。

このとき、一番外側のザイフェルトサー

まず向きのついたリンクが、ある組みひクルの向きが定まっていると、ほかのザイもの両端をとじたものとして表されている

フェルトサークルの向きも同じ向きを与えとすると、そのザイフェルトサークルは図ることにする。また、ザイフェルトサーク

ルにおける線分のつなぎ規則より、図 18(a）の場合のみ起こり、(b)に対応する場合はおきかえないことによる。

が同じ向きを得たかどうかを確認する。
もうひとつの場合として、次のザイフェルトダイアグラムについて考えてみる。このときも先程の操作に同じく、ライデマイスター移動によって同心円のダイアグラムに変形することができる。
一般に、次の図 21 のようなザイフェルトダイアグラムが考えられるが、先ほど実行(a)(b)図 18

した２通りの操作で、それぞれ同じ向きが与えられた、同心円のダイアグラムにできるということがわかる。

先程のザイフェルトサークルが同心円になるように変形したのが図 19 である。

図 21
一番外側のザイフェルトサークルの向きが定まっている場合、その向きをそれぞれの円に与えるとすると、前提において話を図 19

進めていたように、一番外側のザイフェルトサークルがない場合については考えてい元のザイフェルトサークルから変形したない。だが、もし一番外側のザイフェルトものへいたる過程を、リンクダイアグラムサークルがないときは、一番外側にザイフによって見たのが、次の図 20 である。

ェルトサークルが存在すると仮定して先程の２通りの変形を行い、その後、取り除けばよいということがわかる。
どのようなザイフェルトダイアグラムも、対応するリンクダイアグラムのライデマイスター移動により、同心円に変形できるということがわかる。すると、アレクサンダ
アレクサンダーの定理「すべてのリンクは、ある組みひの定理

図 20

もの両端をとじたものとしてあらわすことができる」を得る。

得られたザイフェルトサークルのすべて

４．感想
今年は組みひもについて基本的な内容を理解することに時間がかかってしまった。
一つひとつの内容を理解するまでが大変であった。
これからもさらに組みひもやリンクについて学んでいきたい。

５．参考文献[1] 「組みひもの数理」，河野俊丈，遊星社