磁気浮上システムへの可変微分動作により極指定した
単純適応制御 (SAC) の設計法
M2010MM027 水谷明博
指導教員：高見勲

1

はじめにモデリングの際, 制御対象のパラメータが不確定であるということは, 実際の制御対象を実用化する上で大きな問題である. 制御対象の多くは, 時間や状態とともに制御対象のパラメータが変化すること (特性変動) が多いため, コントローラの特性を固定した従来の制御方式では,そのような不確定要素を含むシステムに対して良好な制御結果が保障されていない. このような問題を解決する制御手法として, コントローラ内のパラメータを制御対象のパラメータ変動に対応して自動調整する適応制御がある [1].
適応制御の一つとして, 制御対象の出力が理想状態を実現するモデルの出力に追従するようにコントローラを構成するモデル規範形適応制御 (Model Reference AdaptiveControl:MRAC) [2] があるが, 制御器構成の複雑さと, それに伴う設計パラメータ数の増加, 及びチューニングに長い時間を要するという問題が生じている. この問題を解決する手法として, 単純適応制御 (Simple Adaptive Control:SAC) があり, これは制御対象の概強正実性 (AlmostStrictly Positive Real:ASPR) を利用することで, 他の適応制御に比べ, 構成が極めて簡単な制御系を実現している.
しかし, 実際の制御対象の多くは ASPR ではないため,その解決法として並列フィードフォワード補償器 (ParallelFeedforward Compensator:PFC) を導入する等, 実用化に向けての動きが見られる [3]. 事実, SAC は構造の簡単さや制御性能およびロバスト安定性に優れていることから,産業や医療の分野での製品への積極的な実用化に向けての研究が行われ, 実用的な適応制御手法として注目を集めている [4, 5].
本研究の目的は, SAC による閉ループ系の極, 及び減衰係数の改善とその理論の展開である. 従来の SAC は, 微小ゲインを有する補償器の導入により, 出力フィードバックゲイン ke (t) がハイゲインになってしまい, 閉ループ系の極が複素平面上の虚軸に近くなることから減衰係数が微小となり, 出力に振動をきたす問題が生じる. これまでに, 従来の SAC に微分動作を付加することでこの問題を解決した報告がされているが [6] , 理論的にその理由が明確にされていない. また同時に, 微分項フィードバックゲイン kD の大きさの選択基準も課題とされていた. そこで本研究の特色として, その理論的な理由を示すとともに,制御対象の変動パラメータ, 及び指定した閉ループ系の減衰係数に応じて自動調整される可変微分ゲイン kD (t) による可変微分動作なるものを提案することで, 微分ゲインの決定の簡易化, 振動の抑制を実現する. また, シミュ
レーション及び実験によりその有効性の検証を行う.

2

制御対象とモデリング

本研究で用いる磁気浮上システムは図１のような構成である. 実機の台座に埋め込まれている感光型センサーにより, 鉄球の位置が検出される. また, コイルに電流を流すことで発生した電磁石引力により, 鋼球の位置を制御する.
Ic
Rc
Vc

Lc
Xb

RsFc
MbMbg

図 1 磁気浮上システムモデル

2.1

電気-機械システムのモデリング

制御対象である磁気浮上システム (電気-機械システム) のモデリングを行う. ここで, Km [Nm2 /A2 ]:電磁力定数, Mb [kg]:鋼球質量, g[m/s2 ]:重力定数, Fc [N]:電磁石引力, xb [m]:鋼球位置 (コイルと鋼球間の距離), Ic [A]:電流, Rc [Ω]:コイル抵抗, Lc [mH]:コイル・インダクタン
ス,Rs [Ω]:電流検知抵抗とする.
鋼球にニュートンの第２法則を用いて, 平衡点 (xb0 , Ic0 )の周りで線形化を行う.

xb = xb0 + xbl , Ic = Ic0 + Icl(1)(xbl , Icl はそれぞれ鋼球位置の微小変位, 電流の微小変化である. ) この時, 伝達関数はGbl (s) =xbl (s)−ω 2 Kbc−β= 2= 2Icl (s)s − ω2s −α(2)α = ω 2 (> 0), β = ω 2 Kbc (> 0)ω=±s

2gxb0, Kbc =, Ic0 =xb0
Ic0s

2Mb gxb0Kmとなる. 式 (2) の極の 1 つが s = ω で存在してしまうた
め, システムは不安定である. また, 鋼球位置が変わることで特性変動が生じることがわかる.

3制御系設計3.1

概強正実 (ASPR) 条件

本研究で用いる単純適応制御は, プラントの概強正実性(ASPR) を利用することから, プラントが以下の概強正実条件を満たす必要がある.

²¯

最小位相系である.
相対次数が 0 または 1 である.
分子の最高位係数が正である.

±3.2ても振動が生じているのは, 閉ループ系の極が虚軸に近く, 減衰係数が微小であるためだと考えられ, 実験における出力の振動の原因は, この極 及び減衰係数の問題も加味できる.

°

単純適応制御 (SAC) の概要

単純適応制御は, 制御目的 y(t) → yM (t) を達成するた
めに, 制御入力 u(t) を以下のように与える.
u(t) = ke (t)e(t) + kxT (t)xM (t) + kr (t)r(t) (= kT (t)z(t))Tk(t) = [ke (t) kxT (t) kr (t)]T , z(t) = [e(t) xT
M (t) r(t)]4-411-4.1

10-4.2

9-4.3

ここで, y(t) はプラントの出力, yM (t) は規範出力, xM (t)は規範モデルの状態ベクトル, r(t) は規範入力 (目標値) であり e(t) は規範モデルとプラントとの出力誤差,ke (t), kx (t), kr (t) は可変パラメータである.

83.3 適応則
先の k(t) は e(t) → 0 が安定に達成できるように調整されねばならなく, そのためには適応則を施す必要がある.
一般的な適応則として, 以下のような積分型適応調整則がある.

38k(t) = kI (t)k˙I (t) = −ΓI z(t)e(t),7experiment
y (t)

-4.4

simulation-4.6-4.5M

65-4.74-4.8
101214161820-4.98101214161820

1820time[s]time[s]図 3 ke (t)

図 2 鋼球位置-0.65500

ΓI (= ΓTI )>0x 10

12(3)
-0.70

ΓI は調整則ゲイン行列である. 本研究ではこの積分型適応調整則を用いて, 可変パラメータを調整した.

4-0.8

磁気浮上システムに対する単純適応制御系の設計

4.1 制御対象の ASPR 化磁気浮上システムのプラント Gbl (s) は 3 章の概強正実(ASPR) 条件を満足しない. そこで以下のような補償器Gf (s) を用い, 補償器を含む拡大系 Ga (s) が概強正実なプラントになるように設計する. 今回, δ = 10−5 とした.
Ga (s) = −Gbl (s)Gf (s) = −Gbl (s)(1 + δs)ẋM (t) = −2xM (t) + 2r(t)yM (t) = xM (t)

-0.85
-0.9

810121416182081012time[s]1416time[s]図 4 kx (t)図 5 kr (t)(4)

4.2 規範モデルと調整則ゲイン ΓI の決定
規範モデルは制御系としての速応性や安定性などが最適になるように決める. ここでは定常偏差およびオーバーシュートがなく, 整定時間が約４秒になるようなモデルを考える. その結果, 規範モデルを以下のように決める.
(5)

次に, 適応則に含まれる調整則ゲイン ΓI の値を決める.
ΓI の値は, 出力 y(t) が即座に規範出力 yM (t) に追従するように選ぶ. 今回は, ΓI =diag[1013 1010 108 ] とした.

4.3-0.75-500

実験

図 2〜図 5 は, SAC により 0.068kg の鋼球を初めは 4mmで制御し, 10 秒後に 10mm に制御した時の実験結果である. 特性変動が生じても, 出力 y(t) を規範出力 yM (t) に追従させることで目標値追従を可能とし, それに伴って可変パラメータもそれぞれ適応して異なる値に自動調整されている. 図 2 において, 実験結果の出力に振動が生じているが, これは本研究で用いている制御対象の磁気浮上システムは, 上下方向の位置制御機能だけを備え，左右方向の位置制御機能を持たないため，実験時に鋼球が左右にわずかに揺れ，上下方向の位置の検出に影響を与えているためだと考えられる. しかし, シミュレーションにおい4.4 閉ループ系の極と減衰係数の問題
ここでは, 閉ループ系の極が複素平面上で虚軸に近くなってしまい, 減衰係数が微小となってしまうことを示す.
1 − Ga (s)ke (t) = 0⇔ s2 − βδke (t)s − (α + βke (t)) = 0(6)式 (6) は, 閉ループ系の特性方程式であり, 図 3 におけるke (t) の定常値を用いると, 極は[4mm の場合 (ke (t) = −4.25 × 104 )] −6.6 ± 1149.6j[10mm の場合 (ke (t) = −4.68 × 104 )] −2.96±763.26jとなり, 虚軸に近い極が存在してしまう. これに伴い, 減衰係数が微小となってしまう.
2 次遅れ系の特性方程式は , ζ:減衰係数 , ωn :固有角周波数とすると
2 =0
s2 + 2ζωn s + ωn(7)と表すことができ, 式 (6), 式 (7) を比較して
βδke (t)2ωn(8)

p−(α + βke (t))(9)ζ=−ωn =となる. ゆえに減衰係数 ζ は[4mm の場合 ]ζ = 0.0058[10mm の場合 ]ζ = 0.0038となり, 確かに微小である.

5

微分動作を付加した単純適応制御

ここで,本研究では従来の SAC に図 6 のように微分動作 kD ė(t)を付加することで閉ループ系の極, 及び減衰係数の改善を行う. SAC に微分動作を付加した場合の制御入力は以下のようになる.
u(t) = ke (t)e(t) + kxT (t)xM (t) + kr (t)r(t) + kD ė(t)(= kT (t)z(t) + kD ė(t))

k x T (t)r(t)reference y M (t)model−++e(t)k e (t)++u(t)√2Mb gxb0 =Km√

2Mb gr(t)Km

シミュレーション

図 7〜図 12 は, 可変微分動作を付加した SAC を用いて, 0.068kg の鋼球を初めは 4mm で制御し, 10 秒後に 10mm で制御した時のシミュレーション結果である.
適応則に含まれる調整則ゲイン ΓI の値は, 4 章同様,
ΓI =diag[1013 1010 108 ] とし, 指定する減衰係数 ζ ∗ ,固有角周波数 ωn∗ は, ζ ∗ = 1 , ωn∗ = 400 とした.

++2g, Ic0 =Ic0である.

5.3k r (t)x M(t)

β=y(t)

plant
1110k Ds

10.1y M (t)10.05y(t)987y M (t)10y(t)9.956

図 6 微分動作を付加した SAC の構成

59.945.1 微分動作付加による改善
4.4 節において, 閉ループ系の極が虚軸に近くなり, 減衰係数が微小となってしまう問題点を示したが, ここでは微分動作を付加することで減衰係数を増大させ, 改善できることを示す.

38101214161820

図 7 鋼球位置

17.6

17.65

17.7

17.7517.8

図 8 鋼球位置の拡大図-142-144(10)-146

式 (10) は, 閉ループ系の特性方程式であり, 式 (7) と比較
するとβ(δke (t)+kD )ζ = − 2ωn (1−βδkD )17.55

time[s]1 − Ga (s)(ke (t) + kD s) = 0
e (t)+kD )e (t)⇔ s2 − β(δks − α+βk
1−βδkD1−βδkD = 0

17.5

time[s]-148-150-152(11)

-154

√
e (t)
ωn = − α+βk
1−βδkD

810(12)可変微分動作の提案

1 章でも述べたが, 従来の SAC に微分動作を付加することで, 出力の振動を抑制する報告がこれまでにされているが, 微分ゲイン kD の大きさを明確に決定することは課題とされていた. そこで本研究では, 可変微分ゲインkD (t) による可変微分動作 kD (t)ė(t) なるものを提案した.
これは, 式 (11) を kD について解き, さらに減衰係数と固有角周波数を指定することで, 自動で理想的な微分ゲイン
kD (t) を調整する調整則を含めた微分動作となっている.
指定する減衰係数と固有角周波数を ζ ∗ , ωn∗ とし, β は鋼球位置が変わることで起こる特性変動による変動パラメータであるから, xb0 = r(t) とすると, 式 (11) より可変微分ゲイン kD (t) の調整則は以下のようになる.
kD (t) =∗ ∗2ωnζ +βδke (t)∗ ζ ∗ δ−1)β(2ωn(13)1416182081012time[s]141618201820time[s]図 9 ke (t)となる. ゆえに, 微分ゲイン kD を付加することで, 減衰係数 ζ を増大させることができる.

5.212

図 10 kx (t)-4.550-4.6-20-4.65-40-4.7-60-4.75-80-4.8-100
810121416time[s]図 11 kr (t)1820810121416time[s]図 12 kD (t)

特性変動が生じても, 出力 y(t) を規範出力 yM (t) に追従させることで目標値追従を可能とし, それに伴って可変パラメータもそれぞれ適応して異なる値に自動調整されている. 従来の SAC では生じていた出力の振動が, 図 7,
図 8 を見てもわかるように非振動的にできている. これは, 付加する可変微分動作の可変微分ゲイン kD (t) が, 図12 のように特性変動に応じ, 尚且つ減衰係数が指定した通り ζ ∗ = 1 となるように自動調整されたためである.
実際, ke (t), kD (t) の定常値を用いると, 極は[4mm の場合 (ke (t) = −4957 , kD (t) = −26)]−521.8066 , −284.6558[10mm の場合 (ke (t) = −4977 , kD (t) = −64)]−709.4557 , −84.1819と実軸上に移動できており, 減衰係数も[4mm の場合 ]ζ = 1.0464[10mm の場合 ]ζ = 1.624とほぼ指定した通りにできた.

特性変動が生じても, 出力 y(t) を規範出力 yM (t) に追従させることで鋼球を所望の位置に浮上させ, それに伴って可変パラメータもそれぞれ適応して異なる値に自動調整されていることがわかる. なお, 実験における出力に振動が生じていることに関しては, 先述した実験機の問題のためである. シミュレーション同様, 付加する可変微分動作の可変微分ゲイン kD (t) が, 図 17 のように特性変動に応じ, 尚且つ減衰係数が指定した通り ζ ∗ = 1 となるように自動調整されている. 実際, ke (t), kD (t) の定常値を用いると, 極は[4mm の場合 (ke (t) = −4200 , kD (t) = −42.5)]−1207.2 , −103.2[10mm の場合 (ke (t) = −4530 , kD (t) = −45.5)]−443.0725 , −122.5738と実軸上に移動できており, 減衰係数も[4mm の場合 ]ζ = 1.8571[10mm の場合 ]ζ = 1.2137とほぼ指定した通りにできた. これにより, 図 18 からも,従来の SAC で生じていた振動をわずかながら抑えることができていることがわかる. 規範モデルと実験との出力誤差の分散を調べると,従来の SAC : 12.2 × 10−3可変微分動作を付加した SAC : 7.9 × 10−3であり, 確かに振動を抑えることができているといえる.

実験

5.4

図 13〜図 17 は, 可変微分動作を付加した SAC を用いて,0.068kg の鋼球を初めは 4mm で制御し, 10 秒後に 10mmに制御した時の実験結果である.
12111098experimenty M (t)76simulation

564

おわりに
本研究で得られた成果は以下の通りである.

381012141618208101214161820time[s]time[s]図 14 ke (t)図 13 鋼球位置• 指定した閉ループ極を実現できる微分ゲインの調整則を提案することにより, 微分ゲイン決定の簡易化,及び振動を抑制できた.

-1.05
400200• 磁気浮上システムにおいての微分動作付加による振動抑制の理論の展開ができた.

-1.1

参考文献

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計測と制御,48-8,591/599,(2009).

-400-1.2-600-800[2] Daniel E.Miller,Naghmec Mansouri:Model Reference Adap-

-1.25

-1000

tive Control Using Simultaneous Probing,Estimation and-1200
8101214161820-1.3810

12time[s]141618time[s]図 15 kx (t)[3] 水本郁朗, 岩井善太:単純適応制御 (SAC) の最近の動向．計測と制御,40-10,723/728,(2001).

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図 16 kr (t)

-41

20

98-44
7-45SAC
SAC with KD(t)

65-46
4-47
810121416time[s]図 17 kD (t)1820

381012141618time[s]図 18 出力の比較[5] 札場勇大, 蛯原義雄, 萩原朋道, 岡崎安直, 小松真弓：単純適応制御系設計におけるスケーリングの導入と拮抗型空圧人工筋駆動機構の位置決め制御への応用，シス
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20[6] 藤中透, 柴田浩 : 微分動作を含む簡易型適応制御. 計
測自動制御学会論文集,30-5,562/567,(1994)