Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MiscellaneaDéveloppement décimal de 1/p(d’après O. Mathieu)
Lycée Branly, 14 mars 2007

Jérôme Germoni (université Lyon 1)

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Devinettes
Devinettes
1 Calculer de tête le 53-ème chiffre de 1/53.
2

Calculer de tête le 52-ème chiffre de 1/53.

3

Calculer de tête le 27-ème chiffre de 1/53.

4

Julian additionne deux nombres et trouve 999.
Combien de retenues a-t-il effectuées ?

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Devinettes
Devinettes
1 Calculer de tête le 53-ème chiffre de 1/53.
2

Calculer de tête le 52-ème chiffre de 1/53.

3

Calculer de tête le 27-ème chiffre de 1/53.

4

Julian additionne deux nombres et trouve 999.
Combien de retenues a-t-il effectuées ?

Une réponse ?
4

Si Julian a calculé 142 + 857, il n’a pas fait de retenue.
Donc,

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Devinettes
Devinettes
1 Calculer de tête le 53-ème chiffre de 1/53.
2

Calculer de tête le 52-ème chiffre de 1/53.

3

Calculer de tête le 27-ème chiffre de 1/53.

4

Julian additionne deux nombres et trouve 999.
Combien de retenues a-t-il effectuées ?

Une réponse ?
4

Si Julian a calculé 142 + 857, il n’a pas fait de retenue.
Donc, rien !

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

1

2

3

4

Développement décimal (Fermat)
Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels
Demi-périodes (Gauss)
Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Longueur de la période (Artin)
Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels
Miscellanea
Esquisse de preuve du théorème de Mathieu
Heuristique pour la conjecture d’Artin
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Calcul exotique de 1/13
Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Qu’est-ce qu’un nombre réel ?

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Qu’est-ce qu’un nombre réel ?
Une réponse possible : c’est un “nombre” qui possède undéveloppement décimal illimité vers la droite, de la forme
x = a−N a−N−1 · · · a−1 a0 , a1 a2 a3 · · · an an+1 · · ·où N ∈ N et (an )n≥−N est une suite à valeurs dans {0, 1, . . . , 8, 9}(qui ne stationne pas à 9).

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Qu’est-ce qu’un nombre réel ?
Une réponse possible : c’est un “nombre” qui possède undéveloppement décimal illimité vers la droite, de la forme
x = a−N a−N−1 · · · a−1 a0 , a1 a2 a3 · · · an an+1 · · ·où N ∈ N et (an )n≥−N est une suite à valeurs dans {0, 1, . . . , 8, 9}(qui ne stationne pas à 9).
Exemplesπ = 3, 141 592 6 · · · ,√2 = 1, 414 213 · · · ,1= 0, 142 857 142 857 · · ·7

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Aparté : nombres réels normaux
1

Un nombre est normal si chaque suite finie de chiffres delongueur ` apparaı̂t avec la fréquence 1/10` . Exemples :0, 888 888 · · · pas normal,

20, 123456789 10 11 12 13 · · · oui.

On convient que choisir un nombre réel au hasard, c’est choisirchaque chiffre indépendamment avec une probabilité 1/10.

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Aparté : nombres réels normaux
1

Un nombre est normal si chaque suite finie de chiffres delongueur ` apparaı̂t avec la fréquence 1/10` . Exemples :0, 888 888 · · · pas normal,

20, 123456789 10 11 12 13 · · · oui.

On convient que choisir un nombre réel au hasard, c’est choisirchaque chiffre indépendamment avec une probabilité 1/10.

Fait (assez facile)“Presque tout” nombre est normal.

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Aparté : nombres réels normaux
1

Un nombre est normal si chaque suite finie de chiffres delongueur ` apparaı̂t avec la fréquence 1/10` . Exemples :0, 888 888 · · · pas normal,

20, 123456789 10 11 12 13 · · · oui.

On convient que choisir un nombre réel au hasard, c’est choisirchaque chiffre indépendamment avec une probabilité 1/10.

Fait (assez facile)“Presque tout” nombre est normal.
Problème (très difficile !)√Est-ce que π ou 2 est un nombre normal ?
Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Qu’est-ce qu’un nombre réel ?

DifficultéDéfaut de cette présentation : comment définir les opérations ?

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Qu’est-ce qu’un nombre réel ?

DifficultéDéfaut de cette présentation : comment définir les opérations ?
Exemple/devinette
On notex = 0, 46 46 46 · · · ,y = 0, 888 888 · · ·Calculer 2x, x + y et xy .

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Opérations avec les développements décimauxRéponse à la devinette
x = 0, 46 46 46 · · · ,1

y = 0, 88 88 88 · · ·2x = 0, 92 92 92 · · · –pas de vraie retenue, trop facile !

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Opérations avec les développements décimauxRéponse à la devinette
x = 0, 46 46 46 · · · ,y = 0, 88 88 88 · · ·12x = 0, 92 92 92 · · · –pas de vraie retenue, trop facile !

2

x + y ? On calcule 46 + 88 = 134, et on se dit que le 1 quidépasse va faire une retenue au bloc précédent, d’où :x + y = 1, 35 35 35 · · ·3

xy ? Pas si simple !

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Opérations avec les développements décimauxAutre approche
x = 0, 46 46 46 · · · ,y = 0, 888 888 · · ·On a :
10y = 8, 888 888 · · · = 8 + 0, 888 888 · · · = 8 + y ,
d’où
y=

8
9

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Opérations avec les développements décimauxAutre approche
x = 0, 46 46 46 · · · ,y = 0, 888 888 · · ·On a :
10y = 8, 888 888 · · · = 8 + 0, 888 888 · · · = 8 + y ,d’oùy=D’où :

89

et de même : x =

46
.
99

46 8
134
+ =
= 1, 35 35 · · · ,
99 9
99
46 8
368
xy =
× =
= 0, 413019079685746352 · · ·99 9891
x +y =

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Développement décimal (DD) des rationnels
Propriété
Soit x un réel, x ∈ [0, 1[. Il est équivalent de direx est rationnel : ∃(a, b) ∈ Z × N∗ , x = a/b ;le développement décimal de x est ultimement périodique :∃M, N ∈ N, x = 0, MNNNN · · ·Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Développement décimal (DD) des rationnels
Propriété
Soit x un réel, x ∈ [0, 1[. Il est équivalent de direx est rationnel : ∃(a, b) ∈ Z × N∗ , x = a/b ;le développement décimal de x est ultimement périodique :∃M, N ∈ N, x = 0, MNNNN · · ·1

Si x = 0, MNNNN · · · , on a :10c x = M, NNN · · · = M + 0, NNN · · · ,d’où
10d (10c x − M) = N, NNN · · · = N + (10c x − M).
Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Développement décimal (DD) des rationnels
Propriété
Soit x un réel, x ∈ [0, 1[. Il est équivalent de direx est rationnel : ∃(a, b) ∈ Z × N∗ , x = a/b ;le développement décimal de x est ultimement périodique :∃M, N ∈ N, x = 0, MNNNN · · ·2

Si x = a/b, on pose la division de a par b. Il n’y a qu’unnombre fini de restes possibles, donc la division “boucle”.

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Développement décimal (DD) de 1/p
Propriété
Soit p un nombre premier, p 6= 2, 5 :123

le DD de 1/p est périodiqued = longueur d’une période de 1/p ⇐⇒ p divise 10d − 1 ;10d − 199 · · · 9
motif correspondant de 1/p : N ==.
pp

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Développement décimal (DD) de 1/p
Propriété
Soit p un nombre premier, p 6= 2, 5 :123

le DD de 1/p est périodiqued = longueur d’une période de 1/p ⇐⇒ p divise 10d − 1 ;10d − 199 · · · 9
motif correspondant de 1/p : N ==.
pp

En effet,
110d
1= 0, NNN · · · ⇐⇒=N+⇐⇒ pN = 10d − 1.
ppp

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Développement décimal (DD) de 1/p
Propriété
Soit p un nombre premier, p 6= 2, 5 :123

le DD de 1/p est périodique et p − 1 est une période ;d = longueur d’une période de 1/p ⇐⇒ p divise 10d − 1 ;10d − 199 · · · 9
motif correspondant de 1/p : N ==.
pp

En effet,
110d
1= 0, NNN · · · ⇐⇒=N+⇐⇒ pN = 10d − 1.
pppThéorème (Fermat, vers 1636)
Pour p premier, p divise 10p−1 − 1.
Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Résumé : Fermat (XVII◦ ) et Lagrange (XVIII◦ )PropriétéPour p premier, p 6= 2, 5 :1

p − 1 est la longueur d’une période de 1/p ;2

la longueur minimale est un diviseur de p − 1 ;3le motif correspondant est (10d − 1)/p.

Exemple : p = 7
106 − 1 = (103 + 1) × (103 − 1) = 7 × 11 × 13 × 999 ;motif : 7 × 142 857 = 999 999.

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Résumé : Fermat (XVII◦ ) et Lagrange (XVIII◦ )PropriétéPour p premier, p 6= 2, 5 :1

p − 1 est la longueur d’une période de 1/p ;2

la longueur minimale est un diviseur de p − 1 ;3le motif correspondant est (10d − 1)/p.

Exemple : p = 7
106 − 1 = (103 + 1) × (103 − 1) = 7 × 11 × 13 × 999 ;motif : 7 × 142 857 = 999 999.
Devinette
Le DD de 1/p admet 6 pour longueur de période : qui est p ?
Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Fermat : le p-ème chiffre
1Quel est le 53-ème chiffre de 1/53 ?

Réponse
1

C’est le même que le premier : 0.

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Digression : le (p − 1)-ème chiffre
999 999 7

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Digression : le (p − 1)-ème chiffre
999 999 749
95

Lycée Branly, 14 mars 2007

7Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Digression : le (p − 1)-ème chiffre
999 999 7
49
95
35
96

Lycée Branly, 14 mars 2007

57

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Digression : le (p − 1)-ème chiffre
999 999 7
49
95
35
96
56
94

Lycée Branly, 14 mars 2007

857

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Digression : le (p − 1)-ème chiffre
999 999 7
2 857
49
95
35
96
56
94
14
98

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Digression : le (p − 1)-ème chiffre
999 999 7
49 42 857
95
35
96
56
94
14
98
28
7

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Digression : le (p − 1)-ème chiffre
999 999 7
49 142 857
95
35
96
56
94
14
98
28
7
7
0
Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Devinette
2 Quel est le 52-ème chiffre de 1/53 ?
Réponse
2

C’est 3, car 3 × 3 = 9.
99 · · · 9 999 53

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Devinette
2 Quel est le 52-ème chiffre de 1/53 ?
Réponse
2

C’est 3, car 3 × 3 = 9.
99 · · · 9 999 53
159
84

Lycée Branly, 14 mars 20073

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres réels
Opérations
Développement décimal des rationnels

Devinette
2 Quel est le 52-ème chiffre de 1/53 ?
Réponse
2

C’est 3, car 3 × 3 = 9.
99 · · · 9 999 53
159
···3
84
···

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Dichotomie (exemples)
Ici, on suppose que la plus courte période est de longueur paire.
On peut donc la couper en deux.

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Dichotomie (exemples)
Ici, on suppose que la plus courte période est de longueur paire.
On peut donc la couper en deux.
1= 0, 142 857 · · ·71= 0, 0 9 · · ·111= 0, 076 923 · · ·131= 0, 05882352 94117647 · · ·17

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Dichotomie (exemples)
Ici, on suppose que la plus courte période est de longueur paire.
On peut donc la couper en deux.
1= 0, 142 857 · · · : 142 + 857 = 999 ;7
1= 0, 0 9 · · · : 0 + 9 = 9...
11
1
= 0, 076 923 · · · : 76 + 923 = 999 ;13
1= 0, 05882352 94117647 · · ·5 882 352
17
+ 94 117 647
99 999 999
Hasard ou nécessité ?
Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Dichotomie (formalisation)Théorème (Midy – 1836)
Supposons que d = 2e soit une longueur de période de 1/p, maisque e ne soit pas la longueur d’une période :1= 0, | {z A} | {z B} | {z A} | {z B} · · · ,p| e {z e } | e {z e }d=2e

0 ≤ A, B < 10e .

d=2eAlors,A + B = 10e − 1 = 99
· · · 9} .
| {ze chiffres

Voir La Recherche, octobre 2006.
Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Le chiffre du milieu

Théorème (O. Mathieu – 2002)
Soit p ≥ 11 un nombre premier :1

la (p + 1)/2-ème décimale de 1/p est 0 ou 9 ;2

le fait que ce soit 0 ou 9 ne dépend que de p modulo 40.
↓
1= 0, | {z } | {z } · · ·p| e {z e }p−1=2eLycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Preuve (premier point)
1

Partie facile.
↓1= 0, | {z A} | {z B} · · · ,p| e {z e }


 A=B
ou

A + B = 99 · · · 9.

p−1=2eLycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Preuve (premier point)
1

Partie facile.
↓↓1= 0, |0 {z A} | {z B} · · · ,pe| e {z
}


 A=B
ou

A + B = 99 · · · 9.

p−1=2eCas A = B : c’est 0.
Cas A + B = 99 · · · 9 : c’est 9. En effet :0 • ··· • •+ ? • ··· • •A+B

9 9 ··· 9 9

10 2 − 1

Lycée Branly, 14 mars 2007p−1

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

ReformulationThéorème (O. Mathieu)
Soit p ≥ 11 premier.
reste de la division de p par 40

p+1
2 -ème chiffre de 1/p

1, 3, 9, 13, 27, 31, 37, 39
7, 11, 17, 19, 21, 23, 29, 330
9Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Occuper Julian (8 ans) à la pizzeria
1 × 142857 = 142857,

2 × 142857 = 285714,

3 × 142857 = 428571,

4 × 142857 = 571428,

5 × 142857 = 714285,

6 × 142857 = 857142.

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Occuper Julian (8 ans) à la pizzeria
1 × 142857 = 142857,

2 × 142857 = 285714,

3 × 142857 = 428571,

4 × 142857 = 571428,

5 × 142857 = 714285,

6 × 142857 = 857142.

Occuper Julian (11 ans) à la pizzeria
1= 0,142857 · · · ,73= 0,428571 · · · ,7
5= 0,714285 · · · ,7
Lycée Branly, 14 mars 20072
= 0,285714 · · · ,74= 0,571428 · · · ,76= 0,857142 · · ·7Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Certains motifs de k/p
Supposons avoir
10d −1= AB
p106 −1= 142 857
7d

3 × 10 7−1 = 428 571

et k × 10 p−1 = BA

6

Alors :
1
AB |{z}AB · · ·p = 0, |{z}1
7 = 0, 142 857 142 857 · · ·kp = 0, BA BA · · ·3
7 = 0, 428 571 428 571 · · ·Ainsi, 1/p et k/p ont le même motif AB !

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Equivalence : un seul motif ⇐⇒ longueur min = p − 1
On pose la division de 1 par p :1, 000 000

Lycée Branly, 14 mars 2007

7Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Equivalence : un seul motif ⇐⇒ longueur min = p − 1
On pose la division de 1 par p :1, 000 000
30
20
60
40
50
1

7
0,142 857

longueur min période = nombre d’étapes de la division :longueur min = p − 1 ⇐⇒ tous les restes apparaissent ;Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Equivalence : un seul motif ⇐⇒ longueur min = p − 1
On pose la division de 1 par p :1, 000 000 0 7300,142 857 1
20
60
40
50
10
3
longueur min période = nombre d’étapes de la division :longueur min = p − 1 ⇐⇒ tous les restes apparaissent ;pour chaque reste k, k/p a le même motif que 1/p.
Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Ceci se produit-il souvent ?
Problème
Que dire des nombres premiers p longs, pour lesquels on a :la longueur minimale des périodes égale à p − 1 ?
un seul motif (à permutation cyclique près) pour tous les k/p,
1≤k ≤p−1 ;(Les deux conditions sont équivalentes !)Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Deux types de nombres premiers
Pour un nombre premier p, deux cas :1= 0, 142857 · · · ;71= 0, 076923 · · · .
longueur minimale période < p − 1 ; ex. :13
Problèmelongueur minimale période = p − 1 ; ex. :P(10) = {p premier long en base 10}.

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Deux types de nombres premiers
Pour un nombre premier p, deux cas :1= 0, 142857 · · · ;71= 0, 076923 · · · .
longueur minimale période < p − 1 ; ex. :13
Problèmelongueur minimale période = p − 1 ; ex. :P(10) = {p premier long en base 10}.
Est-ce que P(10) est infini ?
Estimer la “densité” de P(10) :d10 (x) =card{p ∈ P(10), p ≤ x}card{p ∈ P, p ≤ x}

Lycée Branly, 14 mars 2007:

lim d10 (x) ?

x→+∞Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Expériences numériques
P(10) = {7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, . . . }y = d10 (x) =card{p ∈ P(10), p ≤ x}card{p ∈ P, p ≤ x}

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Expériences numériques
P(10) = {7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, . . . }y = d10 (x) =card{p ∈ P(10), p ≤ x}card{p ∈ P, p ≤ x}base 10xmax = 4500

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Expériences numériques
P(10) = {7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, . . . }y = d10 (x) =card{p ∈ P(10), p ≤ x}card{p ∈ P, p ≤ x}base 10xmax = 45000

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Expériences numériques
P(10) = {7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, . . . }y = d10 (x) =card{p ∈ P(10), p ≤ x}card{p ∈ P, p ≤ x}base 10xmax = 450000

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Enoncé de la conjecture (base 10)

Conjecture (Artin – 1927)
Il existe un nombre infini de nombres premiers p qui sontlongs en base 10.
La densité de ces p est :Y CArtin =1−
q premier1
q(q − 1)


' 0,373 955 813 6 . . .

Remarque : où intervient 10 ?

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Enoncé de la conjecture (base presque quelconque)

Conjecture (Artin – 1927)
Il existe un nombre infini de nombres premiers p qui sontlongs en base b.
La densité de ces p est :Y CArtin =1−
q premier1
q(q − 1)


' 0,373 955 813 6 . . .

Remarque : où intervient 10 ?
On peut remplacer 10 par (presque) n’importe quelle base b.

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partielsRésultats partiels

La conjecture est toujours ouverte, mais on sait :Hooley – 1967 : avec l’hypothèse de Riemann généralisée, laconjecture d’Artin quantitative est vraie ;Gupta–Ram – 1984 : sans hypothèse de Riemann, la
conjecture d’Artin qualitative admet au plus 2 exceptions
parmi les bases b ∈ P ;par exemple, une infinité de nombres premiers sont longs enbase 2, 3 ou 5.

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Conclusion

Questions très simples, réponses sophistiquées :1développement périodique ; Fermat, XVIIème.

2

chiffre du milieu ; Gauss, 1801.

3

fréquence des p longs : question d’Artin, 1927 ; quand ?

NB : les mathématiques, science expérimentale ?

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Esquisse de preuve du théorème de Mathieu
Heuristique pour la conjecture d’Artin
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Calcul exotique de 1/13

Esquise de preuve (deuxième point)p−1

2

2 − 1.
Il faut décider si p−1
2 est une période, i.e. si p divise 10
p−1

p−1

Fermat et Gauss : p divise 10 2 − 1 ou 10 2 + 1.
Notation (Legendre)
 
p−1
a
Pour p > 2 premier et a ∈ Z,
= a 2 mod p ∈ {−1, 1, 0}.
p
Exemple (non trivial)  
2
1 si p = ±1 mod 8=−1
si p = ±3 mod 8.
p
Ce symbole ne dépend donc que de p modulo 8.
Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Esquisse de preuve du théorème de Mathieu
Heuristique pour la conjecture d’Artin
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Calcul exotique de 1/13

Loi de réciprocité quadratiqueThéorème (Gauss – 1801)
Soit p, q premiers impairs distincts. Alors :  
(p−1)(q−1)
pq4.
= (−1)qp

Un miracle ?
Sens du symbole de Legendre :q= 1 SSI l’équation x 2 = q a une solution dans Z/pZ.
p

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Esquisse de preuve du théorème de Mathieu
Heuristique pour la conjecture d’Artin
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Calcul exotique de 1/13

Loi de réciprocité quadratiqueThéorème (Gauss – 1801)
Soit p, q premiers impairs distincts. Alors :  
(p−1)(q−1)
qp4= (−1).
qp
Application au (p + 1)/2-ème chiffre : 0 ou 9 ?
 
p−1
10
La p+1-èmedécimale
de
1/p
est
0
SSI
= 10 2 = 1 [p]. Or...
2p       
10
2
5
2
p
=
=
.
p
p
p
p
5
Par le lemme chinois, ceci ne dépend que de p modulo 40.
Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Esquisse de preuve du théorème de Mathieu
Heuristique pour la conjecture d’Artin
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Calcul exotique de 1/13

Ceci n’est pas une preuvep−1

hai = (Z/pZ)∗ ⇐⇒ ∀q premier : p ≡ 1 [q], a q 6= 1 [p]Fixons q :
1
;
q−1
p−1
1
probabilité pour que a q = 1 [p] : .
qprobabilité pour que p = 1 [q] :1.
q(q − 1)
Si indépendance, probabilité pour que “ça marche” pour tous
les q :
Y1
1−.
q(q − 1)q
Probabilité pour que “ça marche” pour q : 1 −Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Esquisse de preuve du théorème de Mathieu
Heuristique pour la conjecture d’Artin
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Calcul exotique de 1/13

Découpage de période en 3, 4 et plus
Maitrisant la dichotomie, tentons de diviser plus !
Exemples :1= 0, 142 857 · · ·71= 0, 14 28 57 · · ·71= 0, 07 69 23 · · ·13
Contre-exemple :1= 0,01 36 98 63 · · ·73

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Esquisse de preuve du théorème de Mathieu
Heuristique pour la conjecture d’Artin
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Calcul exotique de 1/13

Découpage de période en 3, 4 et plus
Maitrisant la dichotomie, tentons de diviser plus !
Exemples (généraliser) :1= 0, 142 857 · · · : 142 + 857 = 999 ;7
1= 0, 14 28 57 · · · : 14 + 28 + 57 = 99 ;7
1
= 0, 07 69 23 · · · : 7 + 69 + 23 = 99.
13
Contre-exemple (trouver un énoncé quand même) :1= 0,01 36 98 63 · · · : 1 + 36 + 98 + 63 = 2 × 99.
73

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Esquisse de preuve du théorème de Mathieu
Heuristique pour la conjecture d’Artin
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Calcul exotique de 1/13

Calcul exotique de 1/13
1
= 0, • • • • • • · · ·13
7 × 11 × 13 = 1001 =⇒ 13|106 − 1 = (103 + 1)(103 − 1)

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Esquisse de preuve du théorème de Mathieu
Heuristique pour la conjecture d’Artin
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Calcul exotique de 1/13

Calcul exotique de 1/13
1
= 0, 0 • • • • • · · ·13
7 × 11 × 13 = 1001 =⇒ 13|106 − 1 = (103 + 1)(103 − 1)
13 > 10

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Esquisse de preuve du théorème de Mathieu
Heuristique pour la conjecture d’Artin
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Calcul exotique de 1/13

Calcul exotique de 1/13
1
= 0, 0 • • • • 3 · · ·13
7 × 11 × 13 = 1001 =⇒ 13|106 − 1 = (103 + 1)(103 − 1)
13 > 10
3×3=9

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Esquisse de preuve du théorème de Mathieu
Heuristique pour la conjecture d’Artin
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Calcul exotique de 1/13

Calcul exotique de 1/13
1
= 0, 0 • 6 9 • 3 · · ·13
7 × 11 × 13 = 1001 =⇒ 13|106 − 1 = (103 + 1)(103 − 1)
13 > 103×3=90••+ • •3999

Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Esquisse de preuve du théorème de Mathieu
Heuristique pour la conjecture d’Artin
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Calcul exotique de 1/13

Calcul exotique de 1/13
1
= 0, 076 923 · · ·13
7 × 11 × 13 = 1001 =⇒ 13|106 − 1 = (103 + 1)(103 − 1)
13 > 103×3=90••+ • •3
999
0•
+69
+ •3
99
Lycée Branly, 14 mars 2007

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)