非線形問題とヘルダーの不等式（続編）
A Sequel to ‘Nonlinear Problems and Hölder’s Inequality’

田中久陽 Hisa-Aki TANAKA

アブストラクト

ヘルダーの不等式は，1888 年数学者のロジャーズと 1889 年ヘルダーにより独立にその基礎が見いだされ，以降，関数解析等の解析学の基本的不等式として日常的に多用されている．しかし意外なことに，この不等式の物理的解釈の例は最近まで知られていなかったようである．本稿は，2016 年 1 月の解説論文「非線形問題とヘルダーの不等式」の続編として，この不等式が最近の非線形問題にエレガントな解答と刺激を与えている様子を報告する．
キーワード

ヘルダーの不等式，不等式の物理的解釈，非線形問題，一般化エントロピー，注入同期

Abstract Since the basis of Hölder’s inequality was found by mathematicians, i.e., independently by Rogers in 1888 andHölder in 1889, the inequality has been frequently utilized as a basic inequality in mathematical analysis such as functional analysis. However, surprisingly, no physical interpretation of the inequality seems to be known until 2014. In thisarticle, as a sequel to “Nonlinear Problems and Hölder’s Inequality” (Jan. 2016), I show that the inequality leads to an
elegant solution to recent nonlinear problems and also inspires them.
Key words Hölder’s inequality, physical interpretation of the inequality, nonlinear problem, generalized entropy, injection
locking

アイデアの検討です．このときまでに筆者は，文献（1）に記載の1. は じ め に「注入同期最適化問題」の解決の見通しを得ており，その結果をKurths 先生にお見せしたところ，意外なアイデアを頂いたので「数学者がエレガンスと呼ぶものは，命題の真であるこす．それは，「あなたの方法（すなわちヘルダーの不等式で非線とを証明するのに欠くべからざる原理だけを用いるこ

形最適化問題を解く方法）は，Tsallis（ツァリス）エントロピーとの結果として，出てくるのである．
」

や Rényi エントロピーの最大化問題に役立つかもしれない」とバートランド・ラッセル著作集 4 — 神秘主義と論理いうものです．このアイデアは興味深く，もしかすると Tsallis（江森巳之助訳）からエントロピーを含む一般化エントロピー最大化の分野に新しい（1）
2016 年 1 月の解説論文「非線形問題とヘルダーの不等式」

が一部の方々に好評を頂き，その続編を書かせて頂く依頼を受けました．自分の浅学を日増しに痛感する日々ですが，筆者の経験は地図のない新領域をなたで切り開こうとする皆様に，もしかすると御参考（あるいは反面教師 . . . ）になるのではと考え，恥も外聞もなくお引き受けしました．前回の解説論文から

2，3 年の間に進んだ話題ですので，現在進行中の内容となりますことをお許し頂けますと幸いです．
さて，早速ですが，筆者の遭難の報告から始めます．時は 2012
年 6 月，場所は屋久島，筆者は考え事をしながら独り山歩きをしていました．その考え事とは，Jürgen Kurths 先生（フンボルト大学）が 2012 年 5 月に来日された際に指摘して下さった

視点を提供することになるかもしれない！と期待させるものでした．
屋久島へのフライトの途中で問題を考え始め，既に頭に数式がダウンロードされている状態で翌日山に行ったわけですが . . . ．
目指すは H 岳と I 山方面，屋久島の中でも最も神秘的な場所の一つでしょう．地図とコンパスと軽装備で出発しました．途中までは勝手知ったる道で，黙々と歩きながら先の考え事を巡らせているうちに，問題のアイデアがどうやら行けそうだとの直観に至りました．その喜びの勢いもあり，H 岳山頂に向け，とにかく高い方へと藪漕ぎ（注 1）し，尾根の岩を飛び渡り，意外に早く山頂に到着することができました．ところが山頂で弁当を食
べながら，うっすらと胸騒ぎがしてきました．「問題が解けそうで，登頂も完了だけど，来た道を引き返せるのかな？」と．案の定，下山の途中で来た道を見失い，ルートを探すうちに H 岳の田中久陽 正員：シニア会員 電気通信大学大学院情報理工学研究科
E-mail htanaka@uec.ac.jp
Hisa-Aki TANAKA, Senior Member (Graduate School of Informatics
and Engineering, University of Electro-Communications, Chofu-shi,
182–8585 Japan).
電子情報通信学会 基礎・境界ソサイエティ
Fundamentals Review Vol.12 No.4 pp.238–247 2019 年 4 月
c 電子情報通信学会 2019
238

白い岩峰の周りを堂々巡りし，気が付くと午後 4 時近くになっていました．藪のため見通しが利かず足場も悪く地図とコンパ
スが役に立たない状況でした．またビバークするにも水場がな（注 1）：笹や低木の密生する藪をかき分けて進むこと．

IEICE Fundamentals Review Vol.12 No.4

く，沢へ降りるのはほぼ不可能と思われる危険な状況でした．こ
うして 4 時間近いルート探索から疲弊し，パニック寸前となり

2. 1 ヘルダーの不等式ました．
ところが一瞬冷静に戻り，近くの尾根に上がり携帯の電波が届くかチェックしてみようかと . . . ．当時，この辺りは登山口かよく知られているヘルダーの不等式は，二つの関数 f ，g とパラメータ α，β に対して，次の形で与えられます．

らの電波が届かなかったのですが，尾根ならばひょっとすると？
と気が付いたのです．幸い電波が通じ，まず電話したのは，持っ
（2）

ていた地図

の作者でいらっしゃる太田五雄先生（当時，屋久島在住）でした．以下は太田先生と筆者のやりとりのあらましです．
筆者：太田さん，いつもお世話になっている田中ですが，山中でルートを外れ困っています．幸い太田さんの地図は持参してまして，どうやら H 岳の岩峰の周りに居るようなのですが . . . T
岳がそう遠くないところに見えているようです . . . ．
太田さん：ならば，T 岳目指してまっすぐ藪を漕げば，T 岳周

f g1 <= f α gβ ,(1)−1
ただし，この α, β は 1 <+ β −1 = 1 を= α, β <= ∞，α

満たします（注 3）．また，ここで f g1 =



S

1

α



|f | dμ α , gβ =

S

S

1

β

|f g|dμ, f α =|g| dμ β です．本稿では後の便利のため，この α，β の代わりに一つのパラメータ q を導入し
1て α = q1 ，β = 1−qと書くことにします．したがって，次が成立します；

f g1 <= f  1 g 1
q

辺の踏み跡を見つけてルートに戻れますよ！

(ただし，0 <
=q<
= 1).

1−q

(2)

その後の展開は読者の皆様の御想像のとおり，幸い電話の通

このヘルダーの不等式 (2) の成り立つ関数 f ，g は，Rn 内の可

じた地元のレスキュー隊の救助により日没後 2 時間ほどで登山

測集合上で定義され，f  1 < ∞，g 1 < ∞ を満たす広い口まで無事帰還と相成りました．その翌日，筆者は菓子折りをクラスに属します（5）．したがって，工学で有用なパルス関数，す持って太田さんのお宅にお伺いしました．日の高いうちから焼

なわちコンパクトな台上でのみ非 0 な値を取り，他の点では値酎を飲まれていた太田さんの「一杯やらないか」のお誘いを丁が 0 となるような不連続関数も自然にその対象となります．

重に辞退し，お礼の言葉を述べました．

q1−q

ヘルダーの不等式の有用である点は，式 (2) の等号が成立す

筆者：「太田さんのおかげで正気を取り戻し，何とかその日のうる条件を与えることができることです．例えば 0 < q < 1 の場

ちに下山できました．全く太田さんのおかげです．
」

合，等号成立すなわち f g1 = f  1 g 1

太田さん：「あのときは，そう言うしかなかったけど，仮に沢の必要十分条件は，両方同時に 0 にならない定数 A，B が存在に降りたとしても，最終的には安房に降り着いていたはずです．

して，田中さんは，屋久島に通う回数を減らして，その浮いたお金でGPS を買いましょう．田中さんには必要ですよ . . . ．
」

q

1

1−q

が成立するため

1

A |f (s)| q = B |g(s)| 1−q(3)

以上の遭難話は実は続きがあります．図らずも，その 2 年後，が S 内のほとんど全ての s について成り立つことです．また，

ほぼ同様の遭難状態に陥ることになりました．今度は山中でな

q = 0 や q = 1 の場合には式 (3) の等号成立条件は成り立ちませ

く，大学の研究室で．そして，更にその後，論文投稿してからんが，これとは別の等号成立条件を与えることができます（注 4）．

も ...．

一方，式 (2) から直接に，次の逆不等式すなわち逆ヘルダーの不等式（reverse Hölder’s inequality）も得られます（4）．

2. 一般化エントロピーとヘルダーの不等式

f g1 >= f  1 g −1

以下では，まず，本稿で必要な唯一の予備知識として，ヘル

q

q−1



1

(ただし，q > 1).



(4)
−1

ダーの不等式と Tsallis エントロピーなどの一般化エントロピー

ここで f  1 = ( S |f | q dμ)q ，g −1 = ( S |g| q−1 dμ)1−q（注 5）最大化問題について説明します（2. 1 と 2. 2）．その上で，冒頭ですが，これらは q > 1 ではもはやノルムになりません．しかの山を歩きながら考えたアイデアについて述べ，簡単な例（以下し以降ではノルムの性質を使いませんので，簡単のためこの表qq−1の定理 1）でその実行例を説明します（2. 3）．ところが，もう記法を用います．この式 (4) の成り立つ関数 f , g は式 (2) のヘ

一つの例（定理 2）でも同じようにいけるかと思いきや. . . ，1.

ルダーの不等式と同様の広いクラスに属します．ただし，式 (4)で予告したように遭難してしまいます．幸い，1952 年の森口先−1内で q−1< 0 ですので，g については S 内のほとんど全ての生の結果（3）をヒントに，この遭難から生還し，筆者のアイデア

s において g(s) =| 0 という条件を課します（注 6）．以上を念頭に，は意外に多くの問題に役に立つという展望を得ます（2. 4）．そ逆ヘルダーの不等式の等号成立条件は式 (3) よりも簡潔に，次の後，論文投稿，しかし . . . という一連の流れと，今後への希の必要十分条件として与えられます．すなわち，定数 A (>
= 0)

（注 2）
望についても蛇足ながら紹介します（2. 5）
．

が存在して

（注 3）：例えば，文献（4），（5）はそれぞれ，f , g が 1 変数関数更に一般の可測関数の場合にその証明を与えています．
（注 4）：例えば，文献（6）の p.5, Lemma 4．
（注 2）：以下の 2. の内容は，文献（1）の 3. で，ごくあっさりと紹介した内容を大（注 5）：ただし，S は可測空間，μ は測度を示す．

幅に追加し，充実したものです．

（注 6）：文献（4）の p.140．

IEICE Fundamentals Review Vol.12 No.4

239

−q

|f (s)| = A |g(s)| q−1 ,(5)（シャノン）エントロピー：−p(x) log p(x)R が得られるからです．比較的歴史の浅い Tsallis エントロピーがここまでメジャーが S 内のほとんど全ての s において成り立つことです．2. 3 以になった理由として，1 < q < 3 の q に対し，分布関数 popt, q

降では，式 (3)，(5) の等号成立条件が「藪漕ぎ」のツールとし2がその裾野において q−1のべき指数を持つべき分布を与える性て繰り返し現れます．

質があるでしょう．
次に Tsallis エントロピーに連なるもう一つの山として，Rényi
エントロピーについて説明します．q 次の Rényi エントロピー

2. 2 一般化エントロピーの最大化問題

Hq [p] は，0 < q < ∞，q =| 1 のパラメータに対し，
次に，Tsallis エントロピーという山に連なる一般化エントロ
ピーという連峰についてミニマムな説明をします．実は，筆者の発見は一般化エントロピーに関する問題群に有効であることが分かってきたからです．
まず，少々天下り的ですが Tsallis エントロピー（7）の定義をします．連続版の Tsallis エントロピーは，ある物理量 x の確率密度分布 p(x) と q >| 1 のパラメータ q に対し，次で= 0，q =
定義される量（汎関数）により与えられます（注 7）．

Sq [p] =1 − pq (x)R,
q−1

ただし，·R は ·R =Hq [p] =1
log pq (x)R
1−q

(10)

で定義され，Tsallis エントロピーと同じく，q → 1 の極限でシャノンエントロピーとなります．また Rényi エントロピーの最大化は，式 (10) の log が単調増加であるため，問題 (9) と同じく，本質的に pq (x)R の最大（最小）化です．

Rényi エントロピーが自然な一般化エントロピーであることを示す一例として，Campbell（10）による（非線形な）平均符号(6)語長の結果が知られています．まず，シャノンの線形な平均符
号語長：L0 =∞· dx を示します．Tsallis エント−∞

ロピー最大化の問題とは，p の規格化条件 p(x)R = 1 と，以下に示す p に対するもう一つの制約下で，式 (6) を最大にする

popt, q を求めるものです．具体的には，次で与えられます．

N

pi li に対して，パラメータ t を導入して非

i=1


1
pi Dtli を導入します．
logD
t
N

線形な平均符号語長：L(t) =i=1

そうすると，この L(t) の下限は自然に情報源の p についての(1 + t)−1 次の（離散版）Rényi エントロピーとなるのです！たmaximize Sq [p](7)p(x) ∈ D

subject to p(x)R = 1,q

だし，以上の D はアルファベットの要素数，pi はシンボル xiの生成確率，li は符号語長を示します．このように，非線形なh(x)p (x)R= σ2 ,
pq (x)R「尺度」の導入が一般化エントロピーの母体となっていますので，

ただし，D は確率密度分布の全体，h をひとまず h(x) = x2 とします．
以上の最大化問題 (7) は，未定乗数 λq を導入し，制約条件：

h(x)pq (x)R= σ 2 , 即ち (h(x) − σ 2 )pq (x)R = 0, (8)pq (x)R

一般化エントロピーは（情報理論としてのみならず）非線形問
題としても興味深い対象となるわけです．以上の Tsallis エント
ロピー，Rényi エントロピーを取り巻く一般化エントロピーの最大化問題には，これまでに多様なヴァリエーションが知られています．これらについては，2. 5 で改めて説明しますが，やはり本質的に pq (x)R の最大（最小）化です．

を式 (6) に組み込むことにより，次の最大化問題へ等価に変形

2. 3 ヘルダーの不等式のみによる別証明

されます．
（詳細は文献（1），（8））

maximize

冒頭の山を歩きながら考えたアイデアは，以下に示す Tsallisp(x) ∈ D

Tq [p, λq ] ≡ σ 2 pq (x)R + λq (x2 − σ 2 )pq (x)R(9)= pq (x)[λq x2 + (1 − λq )σ 2 ]R ,subject top(x)R = 1, ただし 0 < q < 1．

一方，q > 1 の場合は最大化問題 (9) の maximize を minimizeと置き換えた最小化問題となります．このように，問題 (7)，(9)は本質的に，制約 (8) の下での pq (x)R の最大（最小）化と言えます．
最大化問題 (7)，(9) の解となる popt, q は 0 <| 1= q < 3，q =（9）の q に対し唯一存在することが分かっています（7），．また，Tsallis エントロピーが「一般化」エントロピーとみなせる一つの理由は，q → 1 の極限で式 (6) から従来のボルツマン–ギブス（注 7）：x が離散的な値を取る場合は文献（7）の説明が詳しい．

240

エントロピー最大化問題の初等的な別証明として結実します．一
つの驚きは，その証明に必要な装備が T シャツ，サンダル級の超軽装でよいことです．何と，未定乗数 λq を導入すると，ヘルダーの不等式のみで大域的最適解の構成と唯一性までを議論できてしまうのです．筆者の知る限り，この問題に関連する全ての先行研究（例えば，文献（9），（11）〜（15））は，これとは対照的に未定乗数を導入せず，それなりの装備を必要とします．つまり，二つの密度関数の間に，問題ごとに異なる形のダイバージェンスを巧みに導入して，その正値性により大域的最適解の唯一性を導く二段構えが必要です．更に，その大域的最適解はあらかじめ天下り的に与えられている必要もあります．要するに先行研究の証明では，GPS（あらかじめ与えられた大域的最適解）と 2 点間の縦走用の装備（各種ダイバージェンス）が必要でした．一方，筆者の別証明ではヘルダーの不等式と少々のIEICE Fundamentals Review Vol.12 No.4

「藪漕ぎ」のみで十分です．これを以下の（文献（9）で既に得ら<
1.
,S̄opt =「山の頂上」= g 1−q

れている）例を基に説明します．

(14d)

定理 1（9） (0 < q < 1 の場合の Tsallis エントロピー最大化)．

最初の藪漕ぎとして，式 (14b) で S̄opt を導入する．理由は次

0 < q < 1 に対し，以下の確率密度関数 popt (x) は，Tsallis エのとおり．λq,opt (< 0) に対し，g(x) のグラフを描くと，このントロピー最大化問題 (7)，(9) の唯一の大域的最適解である．


popt (x) =1
expq (−βq x2 )Zq(x ∈ S̄opt )えると，このグラフから自明に f gS∗ < f gS̄opt となることが見てとれる．それは x ∈ R に対し f (x) >= 0，更に x ∈ S̄opt

0 (x ∈ R \ S̄opt ),に対し g(x) >= 0，また x ∈ R\S̄opt に対し g(x) < 0 であるこ

ただし，Zq ，βq ，S̄opt は以下のとおり：


Zq =

3−q
σB
1−q

 

S̄opt = −g(x) が正となる x の集合が式 (13) の S̄opt であることが分かる．
ここで仮に，同一の f と g に対し S̄opt と異なる S∗ (∈ S) を考

 1

1−q

3−q
σ,
1−q



とによる．要するに，S̄opt = arg maxS∗ ∈S Tq [p, λq,opt ] が成
1立する．また S̄opt 上で f (x) >= 0, g(x) >= 0 であり，f g = |f g|

1+ 1, 2 , βq = (3−q)σ
2,
3−q
σ
1−q

である．
次 に 式 (14c) は ， · α,S̄opt の 定 義： · α,S̄opt.



ここで B(·, ·) はよく知られているベータ関数，expq は q–指数関数と呼ばれ，

expq x = [1 + (1 − q)x]

| · |α dx=と，ヘルダーの不等式 (2) から従う．その等号成立条件は，式 (3) により与えられる．
q
最後の藪漕ぎとして，式 (14d) の「<=」は f (= p (x)) が S̄opt

1
1−q

(11)

により定義されます．また，大域的最適解の Z1 expq (−βq x2 )q

は q–ガウシアンと呼ばれています．
（詳細は文献（7）の p.24）以下では，予告した藪漕ぎを実行します．難しくありませんので，しばらくお付き合い頂けますと幸いです．
筆者による別証明.

S̄opt

1
α

以外の（可測な）集合上で正値を持つとき「<」となり，p がS̄opt 内のみで正値を持つとき「=」が成立することに注意する．
なお，式 (14d) の「山の頂上」とは q, σ のみで定まる定数のことである．
山の頂上へのルートは以上で現れた全ての「=」を満たすルー
トであり，実際にそこへたどり着くためには，以上の「=」をまず密度関数 p(x) (>= 0) と未定乗数 λq を最適化問題 (9) の実行可能解とする．その中で大域的最適解を

popt ，λq,opt とするが，証明の終盤で，popt ，λq,opt は（q ，σ全て満たす p，すなわち大域的最適解 popt を組み立てることが必要になる．この組み立てにおいて，まず等号成立条件 (3) がpopt の概形を唯一に与え，更によく知られている積分公式

のみにより）陽に得られ，特に λq,opt = 12 (q − 1) < 0 と求まる．また，後の便利のため p(x) が非 0 (正) となる x の集合をS∗ (⊂ R) とし，全ての p(x) に対し，存在し得る S∗ の集合をS と書くことにする．
まず，ヘルダーの不等式 (2)：f g1 <= f  1 g 1 を念頭
q

1−q

1

xα (1 − xγ )β dx =

0

1
B
γ

1 + β,

1+α
γ



,

(15)

が，詳細を唯一に確定する．
（計算の詳細は文献（9）．
）結果として，定理 1 の主張のとおり 0 < q < 1 の場合，カットオフを持
つ密度関数 popt が唯一の大域的最適解として得られる．

に，問題 (9) において，f と g を次により定義する：
以上のルートを振り返ってみると，本質的なのはヘルダーのf (x) = pq (x),(12a)

不等式とその等号成立条件であり，これを三度の藪漕ぎと積分

g(x) = λq,opt x2 + (1 − λq,opt )σ 2 ,(12b)

公式 (15) が支えていることが分かります．相当な数の先行研究のある中で，これほどシンプルなルート（けもの道）が未発見

また閉区間 S̄opt を次により定義する：

 S̄opt =−

λq,opt −1σ,λq,opt

λq,opt −1σλq,optであったことは，なかなか愉快なことではないでしょうか．

.

(13)

2. 4 発見の喜びと遭難，そして生還

これだけの用意で，山の頂上（大域的最適解）に至るルート（けもの道？）が，以下に示すとおり現れる．最大化したいのは

2. 3 のエレガントな証明を発見した喜びの勢いから，1 < q < 3

Tq [p, λq ] なので，任意の実行可能解 p に対し，Tq [p, λq ] を上の場合の，以下の定理 2（注 8）の初等的証明に取り掛かりました．

からおさえるように不等式で評価していこう．

軽装でたどれるルートがあるはずとの直観にしたがい，けもの問題 (9) の Tq [p, λq ] において，(p, λq ) は任意の実行可能解

道を進みます．しかし，そのうちに定理 1 の場合とは少々地形であり，Tq [p, λq ] 内の (x2 − σ 2 )f q (x)R = 0 から，Tq [p, λq ]が違うように思われてきました．逆ヘルダーの不等式 (4) を頼の値は λq と無関係である．そこで，この λq を（決め打ちで）りに進みますが，どうもすっきりしません．この場合は，とにλq,opt に置き換え，以下の式 (14a) からスタートする：

かく低い方へと藪を漕ぐのですが，以下の出発点となる式 (17)Tq [p, λq ] = Tq [p, λq,opt ] = f gR

(14a)

<
= f gS̄opt = |f g|S̄opt(14b)= f g1,S̄opt <= f  1 ,S̄opt g 1 ,S̄opt
q

1−q

IEICE Fundamentals Review Vol.12 No.4

(14c)

で f g <= |f g| であり，自然には低い方へとたどれない地形になっています . . . ．

2. 3 のエレガントな別証明の発見の喜びにとらわれた筆者は，（注 8）：これも文献（9）で既に得られています．

241ここでもヘルダーの不等式のみで行けるのではないかと，ルート探索を行います．例えば，f g = |f g| となるような未定乗数 λq しかあり得ないことを示せばよさそうです．しかし，そのために厄介な計算と背理法の藪漕ぎが連続し . . . ，冒頭の山中の4 時間を再現し，机上の半年近いルート探索に疲弊してしまった

図 1 関数空間 D 内の集合 P と大域的最適解 popt

自分に気が付きました．
とうとう筆者は，「ま，別の問題に取り組みますか . . . 」と，この問題を一旦，諦めました．ところがその日の晩のこと，ふと森口先生の論文（3）を思い出しました．森口先生は 1977 年東大を御退官後，筆者の所属する電通大に奉職され，全く面識もないもののどこかしらで御縁のある方かと，勝手ながら筆者は思い込んでおりました．そんな森口先生の論文（3）が，よく理由も分かりませんが，強力なインパクトをもって思い出されてきたのです．筆者はこの論文（3）を，2012 年頃ふとしたきっかけで目にし，当時取り組んでいた「注入同期最適化問題」に役に立ルートを通る必要が生じます．このルートとして，森口先生流のルート，すなわちテイラーの定理による安心安全なルートを
既に上記のとおり確保しています．しかし，もっとシンプルな
けもの道があるはず · · · ．はい，確かにありました．旅先で得た結果ですが，もはやテイラー展開すら不要で，以下の式 (20b)の中学生でも理解可能な簡単な不等式で片付いてしまいました．
定理 2（9） (1 < q < 3 の場合の Tsallis エントロピー最大化)．

1 < q < 3 に対し，以下の確率密度関数 popt (x) は，Tsallis エントロピー最大化問題 (7)，(9) の唯一の大域的最適解である．

つかと期待して読みました．しかし，その印象は当面必要ない
ので不要だろう，とすっかり忘却していたのでした．翌日，こpopt (x) =の論文を研究室で読み返しながら，無意識に森口先生にお伺い
1
expq −βq x2
Zq

ただし，Zq ，βq は以下のとおり：を立てていました．

（3）

筆者：森口先生，私は森口先生の問題と類似の問題に取り組んでおります．僭越ながら，森口先生の証明よりエレガントなものを探しているうちに，ルートを外れ困っております．森口

Zq =

3−q
σB
q−1

筆者による別証明.

 1

q−1



1
− 12 , 12 , βq = (3−q)σ2．

定理 1 の別証明と同じく，p(x) と λq を最先生の論文（3）がヒントになる気がしてならないのです . . . ．

大化問題 (9) の実行可能解とし，その中で大域的最適解を popt ，（想像上の）森口先生：田中君，探索御苦労様．確かに私の仕λq,opt とする．ここでは，f と g を次により定義する：

事（3）はヒントになるでしょう．まず，これで安心して，じっく
りルートを検討してみて下さい．
（13），
（14）
文献（3）の方法は，大域的最適解を（従来研究（9）〜（11），f (x) = pq (x) ( >
= 0),

(16a)

g(x) = λq x2 + (1 − λq )σ 2 (a.e. x ∈ S ⊂
=R).

(16b)

と同じく）天下りに与えた上で，（ダイバージェンスならぬ）テ
イラー展開の中間値の定理（テイラーの定理）によって，これが唯一の大域的最適解であることを示します（注 9）．この文献（3）の方法によれば，取り組み中の 1 < q < 3 の場合の Tsallis エ

そうすると，次が従う：

Tq [p, λq ] = f g <= |f g| = f g1 .

(17)

ントロピー最大化問題に別証明が付くことが（その日のうちに）

さて，ここで予告済みの「岩を飛び渡る」ことをしよう．飛び

判明しました．これは一つの驚きでした．というのは，森口先

渡る先の岩として，次の集合 P を定義する：

生の問題と異なり，取組み中の問題 (9) では凸性が成り立たないからです．しかしこの方法は，2. 3 のエレガントな証明の美

P = { (p, λq ) | λq x2 + (1 − λq )σ 2 > 0 (∀x ∈ R)
すなわち，λq は 0 < λq < 1 の値を取る }．

学，すなわち不等式により大域的最適解を組み立て，同時にその唯一性を示すものとは相容れないことも分かりました．
森口先生との（想像上の）対話の後で，落ち着きを取り戻した筆者は，自分の「美学」に折り合いをつけ，「地形」を見る
余裕を持ちました．地形を読むことができれば，エレガントな証明は自然についてくるはずです．まず，出だしの式 (17) でf g <
= |f g| となる場所です．ここで f g = |f g| となる
f (= pq (x)) が空集合でなければ（注 10），そのような f に限定して議論を進めてみようと思い付きます．これは，往路の下りのルートで尾根伝いに岩を飛び渡る感覚です．空集合でないこと，
つまり飛び渡る先の岩がある限り OK です．そして，その先に

図 1 のとおり，この集合 P は大域的最適解 (popt , λq,opt ) を含
み，無数の元を持つ．ここでは省略するが，その証明は，popt
を変形し P の条件を満たす実行可能解 (p, λq ) を具体的に構成することで容易に得られる．そこでひとまず，P 内の実行
可能解 (p, λq ) に限定して進む．まず明らかに，式 (18a) が従い，式 (18b) は逆ヘルダーの不等式 (4) から，式 (18c) もpq  1 = |p(x)|q  = 1 から自明である：q

Tq [p, λq ] = f g = |f g| = f g1
q

2

2

(18a)

目指す大域的最適解が控えているのは（式 (17) から）明らかで>−1= p  q1 λq x + (1 − λq )σ  q−1(18b)

す．この飛び渡る代償として，復路の上りのルートでは，別の= λq x2 + (1 − λq )σ 2  −1 =「谷底」.

(18c)

q−1

（注 9）：恐らく森口先生は問題の凸性に気付かれたのではないでしょうか．

2. 3 の定理 1 の別証明と同じく，「谷底」へ至るルートを，式（注 10）：この証明は具体的に f を構成することで与えられます．

(18) の全ての「=」を満たす p を組み立てることによりたどる．

242

IEICE Fundamentals Review Vol.12 No.4

この場合も，逆ヘルダーの不等式の等号成立条件 (5) と，式 (15)りリジェクトと相成りました．ネガティブなコメントに共通すに類似の積分公式

るのは，「情報理論の結果としての新規性に欠けます．ただし，

∞
0

1
dx
= B
xα (1 + xγ )βγ

1−α 1−α
,
γ
γ

β−



もしこの方法で情報理論の新たな問題が解けるなら認めましょ

(19)

う．
」ということで，確かにおっしゃるとおりです．
二度の査読の過程で，驚きや感動がありました．一人の査読により，定理 2 の主張する popt (x) が唯一に定まる．また λq,opt
は λq,opt = 12 (q − 1) と得られ，確かに上記の P の条件を満たしている．こうして「谷底」まで来たが，この谷底が唯一の真の谷底であることを確かめる復路を，これからたどる．具体的には，（P の制限を外した）任意の実行可能解 p と上で得た popt

者は，査読ごとに長大なレビューノートを作成し，合計 80 数項
目にわたる詳細な修正案を提示して下さいました．二度目の査
読では「これは友情からくるものです」とありました．国を越えて何ものかが伝わったのでしょうか？ また，もう一人の査
読者からは以下のコメントが届きました：を比較すれば十分である．
先に述べた森口先生のルートは，実行可能解 p と大域的最適解‘The results presented are not new, but the interest(x)R と pqopt (x)R の大小関係をテイラー展of the paper lies elsewhere: it is the method of proof

開の中間値の定理によりたどっている．一方，筆者のけもの道は，

which is important. This method is exquisitely el-

以下の式 (20) のあっさりとした不等式をたどるのみである：

egant and eﬃcient.

q

popt について，p

σ 2 pq (x)R − pqopt (x)R

believe that this trick has never been employedλq,opt x2 + (1 − λq,opt ) σ 2

=

+qA
=A

q−1
q

q−1
q

[popt (x) − p(x)]popt (x)p(x)popt (x) qp (x) − pqopt (x)elsewhere.


(20a)

R
q



p(x)
−q
+q−1
popt (x)2σ )p (x)R = 0，(x − σ2)pqopt (x)R

something that I believe could be useful to many
researchers interested in such inequalities, and I


>
= 0.
R

式 (20) の説明は以下のとおり．まず式 (20a) 内で，(x2 −q

In any case, despite my reservations

about the writing style, this paper has taught me

(20b)

2

I ﬁnd it personally hard totherefore support its publication, although not before the authors have gone (once more, it seems)
through an extensive clariﬁcation work.’
幾らか社交辞令もあるでしょうが，この査読者には筆者の「喜= 0 に注意する．

び」が伝わったのでしょう！ しかしながら 2018 年 10 月の現

p, popt はいずれも実行可能解であり，制約条件 (8) を満た

時点，筆者は次善のジャーナルに投稿すべく（遭難と言わないすからである．同様に正規化条件から popt (x) − p(x)R =までも）いまだ山から下りていない状況です．

popt (x)R − p(x)R = 0 である．次に，等号成立条件 (5)

最後に，2. 2 で先送りになっていた一般化エントロピーの最p1−q
opt (x)大化問題の例を幾つか紹介し，筆者のアイデアがどのように活用を得るが，これを式 (20a) に代入して式 (20b) を得る．後は，されるかを説明します．先行研究を古い順に，かいつまんで見て2と式 (16b) から λq,opt x + (1 − λq,opt )σ

2

= A

q−1
q

q

X − qX + q − 1 のグラフを描くだけである：q > 1 のとき
X q − qX + q − 1 >= 0 (∀X >= 0) であり，等号成立は X = 1のときのみである．この X を X =p(x)と置くと，確かに
popt (x)popt が唯一の大域的最適解であることが分かる．
森口先生のおかげで，どうやら生還できたようです．

2. 5 論文執筆と遭難，そして展望
生還の喜びは続きます．ここまでに発見した別証明のアイデ
アを，先行研究（11）〜（15）の問題群に適用し始めました．そうす
ると，どの問題もヘルダーの不等式に帰着され，いずれも先の定理 1，2 の別証明と同じく，あっさりと片付くようです！ 一

いきます．筆者の知る限り，元祖は 1952 年の森口先生の仕事（3）でしょう．その後，間が空きますが，Vignat ら（11），Tsukada（14）ら（12），Lutwak ら（13），，Eguchi ら（15）と続きます．まず森口先生の問題（注 11）は：minimize (あるいは，maximize)p(x) ∈ D

p(x) ∈ D

subject to p(x)R = 1,
x2 p(x)R = σ 2 (定数).

pq (x)R

(21a)
(21b)
(21c)

この問題は，Rényi エントロピー (10) の最大化問題と等価です．大域的最適解は，定理 1，2 の場合と同じく q–ガウシ
（11），
（12）
ア ン と な る こ と が 知 ら れ て い ま す（3），．こ の 問 題 で筆者のアイデアはどのように活用されるでしょうか？ 先のつや二つの問題が解けるならまだしも，関連する問題群が一つ

式 (12)，(16) を思い出せば，迷うことなく：f (x) = pq (x)，のアイデアで網羅的に解けるとなると . . . これは面白いかも！
？

g(x) = 1 + λq (x2 − σ 2 )p1−q (x) とすればよいことが分かりまと，感じ始めた筆者は，その時点で得られていた結果をまとめす．あとは定理 2 の別証明のほぼ繰り返しとなります．

論文投稿を検討しました．投稿先として，地味に数理物理系，あ次に，Vignat ら（11）は，（後で述べますが）森口先生の問題

るいはエントロピーの専門誌でもよかったのですが，「生還の喜(21) の多変数版に解答を与えています．更に，Tsukada ら（12）び」の勢いから大胆にも情報理論のトップジャーナルへ投稿しは，彼ら独自のエレガントな方法により，上記の連続変数の問てしまいました．結果は，初めの査読ではポジ・ネガが 2 対 1となり再投稿の流れとなり，2 度目の査読では逆に 1 対 2 とな

IEICE Fundamentals Review Vol.12 No.4

（注 11）：ただし，森口先生は文献（3）で q > 1 の場合のみ取り扱われています．

243

題 (21) のみならず，以下の離散変数の問題にも解答を与えてい究の考え方は共通しています．すなわち，いずれもあらかじめます：

大域的最適解を既知として与え，これと任意の実行可能解の間に一般化ダイバージェンス（注 13）（あるいは，その類のもの）をnminimize (あるいは，maximize)
p∈M

p∈M

n


subject topi = 1,

i=1

n


pqi

(22a)

i=1

は，シャノンエントロピー最大化の証明法（例えば文献（16）のei pi = E (= σ 2 )， (22b)ただし，p = (p1 , . . . , pn )，M は確率質量分布の全体，ei は重2みであり，例えば ei = i ，E = σ と置くと，上記の森口先生
2の問題の離散版となります．また pi = i と置き，式 (22b) の制n

約条件の後者をTheorem 8.6.5）の，よく知られている「定石」によるものと思われます．すなわち，ガウシアンと他の密度関数の間に KL ダ

i=12

導入し，大域的最適解の証明を与えます．この共通した考え方(i2 − σ 2 )pqi = E に置き換えると，Tsallis

i=1

イバージェンス（相対エントロピー）を導入して，ガウシアンの大域的最適性を導くものです．そして，元祖森口先生の 1952
年の仕事（3）は（時代的に）このシャノン理論の影響力から自由だったことも想像がつきます．
以上のように，諸々の問題がヘルダーの不等式により束ねら

エントロピー最大化問題 (7)，(9) の離散版となります．これられる様子を見るにつけ，筆者には「焼き鳥」のイメージが浮かんの問題に筆者のアイデアは活用可能でしょうか？ 結論は Yes

できました．様々な具材（個別の先行研究）が 1 本の竹串（ヘです．実はヘルダーの不等式とその等号成立条件は，離散変数

ルダーの不等式）で束ねられるイメージです．この竹串が，今の場合も同様に成り立つからです（4）．例えば，Tsallis エントロ

後，その真価を発揮することがあるでしょうか？ すぐに二つ

ピー最大化問題 (9) の離散版では，式 (12)，(16) を離散化した

思い付きます．一つは，最適解が複数存在して，その解の特徴付

fi = pqi ,qi = λq i2 + (1 − λq )σ 2

(1 <
=i<
= n),

からスタートし，先の定理 1，2 の別証明内の ·R を

(23)

n

け自体が必要となる問題です．一般化エントロピーの分野には筆者の知る限り，そのような先行研究はないようです．しかし，にi=1

文献（1）で紹介しました「注入同期最適化問題」には複数の最適置き換えるだけです．もっとも離散化に伴う工夫は別に必要です．

解が存在しています．もう一つは，問題が複雑となり，すっきり

最後に，多変数版の森口先生の問題を更に一般化した Lutwak

した見通しを得ること自体が必要な場合です．例えば，現在も（14）（注 12）
ら（13），の問題（の一つ）を見てみましょう：n)n+p

研究が盛んである「条件付」Rényi エントロピー（17）に絡む問題

maximizepq (x)Rn (ただし，q >subject top(x)Rn = 1,(24b)

|x|r p(x)Rn = (定数).

(24c)p(x) ∈ D

ただし，x (∈ Rn ) は実ベクトル，|x| はその長さ

(24a)

√

です．いずれも，現時点，筆者の想像の域を出ませんが . . . ．

3. 注入同期最適化理論の有効性と展望
2. 5 ではヘルダーの不等式が，一般化エントロピーの種々のx · x を示し問題を束ねる様子を見ました．このようなことが，同期現象（特ます．Lutwak ら（14）は，この問題に対し，一般化ガウシアン：に注入同期）と呼ばれる古くから知られる非線形問題を最適化

1

q−1
popt (x) = ar,q {1 + (1 − q)|x|r }+が大域的最適解であることする際にも現れます．その様子を以下で見ましょう．

を示しています（注 10）．この一般化ガウシアンですが，もちろん

r = 2, n = 1 と置けば，先の q–ガウシアン Z1 expq (−βq x2 )qとなります．また特に r = 2 の場合は，Eguchi ら（15）により別の観点（統計的推定）から，独立に解答が与えられています．さて，この問題に筆者のアイデアは活用されるでしょうか？ こ
れもまた，Yes です．ヘルダーの不等式とその等号成立条件は，多変数関数 f , g についても成立するからです．したがって（多変数化に伴う工夫が少々必要ですが，大枠）先の定理の別証明
で ·R を ·Rn に置き換えるだけとなります．ちなみに式 (20)も全く同じ形のままです．
蛇足になるかもしれませんが，Tsallis エントロピー最大化問
題 (7) で，制約条件 (8) の h(x) が h(x) = x の場合，大域的最適解は Z1 expq (−βq x) の形となることが知られています（例q

えば文献（9）の Theorem 2.2）．この場合は，式 (16) に対応する f (x) = pq (x), q(x) = λq x + (1 − λq )σ 2 と置けば，後は定理 2 の別証明に従い，そこでの R を一律 R+ = [0, ∞) に置き換えるだけで OK です．

2. 3 の初めに述べましたが，森口先生（3）を除く全ての先行研

3. 1 発振器の注入同期最適化問題「注入同期 (injection locking)」という技術は，近年，地味に注目を集めているトピックです．2016 年 1 月の解説論文「非線（1）形問題とヘルダーの不等式」
で紹介しましたが，注入同期現象とは自励発振器（非線形振動子）に外部信号（入力）を強制注
入すると発振器が外部信号に同期する基本的な物理現象です．
この注入同期の性能を評価する尺度として，ロックレンジ（locking range）は重要です．ロックレンジとは注入同期が成立する外部信号（入力）の周波数帯域のことであり，これが広ければ，より柔軟かつロバストな注入同期が得られるからです．
図 2(a) に示すように，縦軸の Δω は発振器の自励発振周波数と入力周波数の差（離調）を表し，横軸は入力の強度を表します．
この，くさび状のロックレンジ（注 14）すなわち同期化領域の外で（注 13）：文献（9），（11）〜（15）に現れるダイバージェンスは，それぞれ Tsallis

relative entropy，Bregman information divergence，relative λ-Rényi
entropy power，projective power divergence と呼ばれ，互いに異なる形を（注 12）：本稿は，文献（14）の Theorem 3（p.1606）の問題を題意を損なわない範持ちます．

囲で変形しています．ただし ar,q は r, q に対し決まる定数，{·}+ = max{0, ·}．

（注 14）：非線形ダイナミクスの分野では，これをアーノルドタングと呼ぶ．

244

IEICE Fundamentals Review Vol.12 No.4

図3

CMOS リングオシレータの場合．

図中の Vbはバイアス電位，M は式 (25b) で定義される値，

Δφ は正負一対のパルスの位相差を示す．(a) 回路構成，(b) 3 段の場合の Z(θ)，(c) 3 段の場
合の最適パルス（面積制約）入力波形．
（文献（21）
より転載．
）

図2

(a) ロックレンジ，(b) 位相結合関数，(c) 最適入力の様子．
（文献（1）から転載．
）

は，同期が成立せず利用不可能です．以下では入力の強度が十分小さな弱入力の場合を仮定しますが，これは入力（電流）がデバイスを損傷しないために，また省電力性の要請からも，自然で合理的なものです．
（18）
この注入同期という非線形現象に対して，位相縮約（1），という枠組みが，一般に弱入力の非線形振動子に対して有効です．
その結果，任意の非線形振動子は一次元の非線形方程式（位相方程式）に縮約され，注入同期の成立条件は，この方程式の安定
平衡点の存在と等価になります（図 2(b)）．これらにより，ロックレンジを最大化することは，以下の注入同期最適化問題として定式化されます（1）：回路実装の様子．
（文献（22）から転載．
）

maximize

L[f ] = f (θ)[Z̄(θ) + λ][0,2π)(25a)subject tof p = M,(25b)f ∈ Lp

図 4 注入同期型 E 級発振器の場合．(a) 回路図，(b)内包されていて，ヘルダーの不等式と自然に対応がつく，という仕掛けです．

ただし，入力 f (θ) は正規化変数 θ ∈ [0, 2π) の周期関数であり，p 乗可積分，すなわち f p = M < ∞ とします（注 15）．ま以上の結果は，2016 年の文献（1）で報告済みですが，最近そのアルゴリズム特許（20）が成立し，現在に至るまで，実用上重要な発振器に対し理論の適用が進んできました．以下に，そのによ結果をかいつまんで説明します．まず図 3 の CMOS リングオり，Z̄(θ) = Z(θ + Δφ) − Z(θ) と与えられます（Δφ は任意パシレータですが，これは現在の無線通信でも多用される発振器ラメータ）．λ は先の λq と同じく未定乗数であり，この問題のです．この発振器において，パルス入力による注入同期最適化

制約条件（1）：f (θ)[0,2π) = 0 を組み込むために必要です．

が可能となりました．結果は図 3(c) に示すように，リングオシ

（1），
（18）

た Z̄(θ) は発振器に対し定まる位相感受関数 Z(θ)

以上の注入同期最適化問題は，2. 3 の別証明と同じくヘルレータの段数に依存して異なるパルス列として得られます（21）．

ダーの不等式のみにより解決可能です．その結果は，図 2(c) の次に，パワーエレクトロニクスの分野で多用されている E 級発(1)，(2)，(3) に示すように，1 < p < ∞（特に p = 2），p = 1，

振器（図 4）ですが，この発振器に対し，3 通りの現実的な制約

p = ∞ の 3 通りに対し，それぞれ得られます（注 16）．
（各々の概要条件の下での最適入力はそれぞれ図 5(a)，(b)，(c) のように得については，文献（1），
（6），
（8），
（19）
．
）図 2(c) の (1) パワー

られます．この回路では既に実際の回路上でも最適化理論の結制約ですが，回路的には入力の実効値を一定に制約するもので果が検証されています（22）．これらの理論の現実的問題への適用す．また (2) 面積制約，(3) 振幅制約は，それぞれ入力が 1 周期

は，千葉大関屋研究室の協力の下で，筆者の研究室の社会人ド間で掃引する「面積」，到達する最大振幅を一定に制約するもの

クターの矢部君が進めて下さいました．

です．これらの現実的制約条件が以上の注入同期最適化問題に以上のとおり，確かに理論は最適入力を求めるために役に立
つと言えます．しかし，幾つかの課題も明らかになってきまし（注 15）：その結果，f は十分広いクラスの関数をカバーし，またヘルダーの不等式(1) とも対応がつきます．
（注 16）：ここでは，例として，図 2(a) に示す，周期的自発発火を示す Hodgkin（6），（19）

Huxley ニューロンモデルから得られる Z を対象としています．

IEICE Fundamentals Review Vol.12 No.4

た．例えば，最適入力をどこまで正しく（精度良く）求めることができるかは，位相感受関数 Z(θ) がどこまで精度良く求まるかに依存します．幸い，以上の二つの回路では，実際の回路245

ら（26）を皮切りに，幾つもの成果が PRL や Nature 系列誌を騒がせています．特に，NTT 物性科学基礎研究所の岡本，山口ら（27）は，ある材質のカンチレバーにレーザ光を照射するのみで自励振動を生じるという新奇な結果を報告しています．これは，このカンチレバーが粘弾性体として（プルンプルンと）振動することによるもので，内在する遅延フィードバック効果による振動といえます．更に，この結果を基に，太田ら（28）は同様の材
質とレーザ光によるフィードバック要素を組み合わせ，複数の振動モードを切り換えて生成可能な，あたかも生きているようなデバイスを構築しています．
さて，このように多様化，複雑化する MEMS の発振現象に対し理論的にどのように取り組めばよいのでしょうか？ 現状の理論的アプローチは，従来の振動工学の枠組みで行われてい各図中ます．これは連続体の振動を，極論すれば一つの質点の振動との左側が理論解，右側が実験においてファンク

して粗く近似することに相当し，単純な振動モードにのみ近似

図 5 各制約条件下における最適入力波形．

ションジェネレータにより生成した波形を表す．

的に成り立つという限界があります．そのために，文献（27）の(a) 面積制約の場合，(b) パワー制約の場合，(c)ような曲げモードや，ねじりモード等の混在する本来，無限自振幅制約の場合．
（文献（22）から転載．
）

由度の複雑な振動状態の取り扱いは容易ではありません．もちろん，最近のモデル縮約の研究の成果は重要であり，その「汎用と回路シミュレータの相性が良く，数値的に得られた Z(θ) が信頼できました．しかし，この Z(θ) を（回路シミュレータに頼らず）回路から直接に「計測」することはできないでしょうか？
その可能性は十分あります．というのは，原理的に Z(θ) のフー
リエ級数の第 n 調波はその回路に正弦波を入力し n : 1 同期のアーノルドタングを求めることにより得られるからです（詳細は特許（23）を参照）．恐らく，丁寧な回路実験を根気良く行うことのできる方ならこの計測を容易に実行可能でしょう．

性」は大きなメリットですが，（発振現象に対しては）結果として得られる低次元モデルの「精度」を十分高く保証することは容易でないようです（29）．ところが，自励発振に限れば，極めて有効な理論的枠組みが，この数年で得られています．中尾，柳田，河村（30）等の成果は，（彼らの反応拡散系のみならず）無限自由度のシステムがリミットサイクル解（例えば MEMS の自励発振状態）を持つとき，そのダイナミクスを 3. 1 で述べた一次元の位相方程式に十分高い精度で縮約することを可能にしています．これは，けもの道ではない，立派に舗装された道が既に敷

3. 2 MEMS の位相縮約振動工学

かれていることに相当します．これを現実問題に適用する際には，3. 1 と同じく，信頼できるシミュレータがあれば十分です．

現 在 の ナ ノ・マ イ ク ロ エ レ ク ト ロ メ カ ニ カ ル シ ス テ ム

現状，MEMS の機械振動部分の形状・材質がどれほど複雑（N/MEMS）の重要課題として，例えば次の三つがあります．

であっても，これに忠実な有限要素法シミュレーションが可能

まず (i) 原子間力顕微鏡や微小質量計測に代表される計測・セン
シングデバイス，(ii) 従来の CMOS リングオシレータや水晶発になっています．このシミュレーション上の仮想の実験系から，
（1），
（18），
（30）
「直接法」
と呼ばれる方法により位相縮約の肝とな振器を超えるクロック信号生成デバイスの実現，更に (iii) 多数る位相感受関数を高い精度で得ることも可能です．すなわち，ひの N/MEMS を結合して新たな能動的機能を創出すること，でとたび MEMS に対し機械振動部分とフィードバック部分の連す．これらの対象では応用からの要請により，この 10 年間で強成シミュレーションを整備すれば，数値的位相縮約による方程制振動系（共振器）から自励振動系（発振器）へ研究がシフトし式の低次元化を経て，上記の三つの重要課題に対し数理的設計・ています．ここでは，紙面の制約により，MEMS の発振器のみ

合成・最適化が可能となる見通しが得られます．以上の「位相縮をフォーカスし，そこで従来の振動工学の枠組みを広げる「位約振動工学」と呼ぶべき新規な枠組みは，実験と理論の協働可

相縮約振動工学」という新たな体系が構築される見通しについ能な豊かな土地へ導く一筋の道となると考えます．そして，そて紹介します．

の道の先に，究極の自励振動系である「心臓」において，注入MEMS の発振器において，筆者の知る限り，元祖は Yabunoら（24）であると考えます．これは原子間力顕微鏡への応用からの同期による未知の分散ペースメーカの設計論の発見が待ち受けていることは十分にあり得ることでしょう．

必要によるものですが，マイクロカンチレバーを自励振動させる

謝辞 本稿をまとめるにあたり多くの方々のお世話になりまために速度センサを含むフィードバック回路を導入しています．

した．特に以下の方々のコメントに感謝しております：畔上秀幸

結果として，彼らの理論的予想どおり，ファンデルポールの非線

先生，大石進一先生，太田竜一先生，大平徹先生，柏木雅英先

形振動を世界初で生成しています．このフィードバックを用いて生，唐沢好男先生，河村洋史先生，須鎗弘樹先生，関屋大雄先

自励振動させる方法は，その後 10 年間で大きく進展し，現状で生，高安亮紀先生，塚田真先生，中尾裕也先生，長谷川晃先生，

はメカニカル要素とフィードバック回路がワンチップ上で実装

藪野浩司先生，矢部洋司君，山口浩司先生，脇隼人先生，Jürgen

されるようになっています．例えば，Agrawal ら（25），Antonio246

IEICE Fundamentals Review Vol.12 No.4

Kurths 先生（50 音順）．また，日頃議論頂く非線形問題研究会の先生方，大濱靖匡先生，中川正基先生，並びに研究室の各位に感謝致します．最後に太田五雄先生の御厚誼に感謝致します．
本研究の一部は科研費基盤研究 B：注入同期の実現可能限界を達成する最適設計論の確立および応用開拓，科研費基盤研究 B：
位相縮約による「生きている」連続体振動のデザイン・最適化理論の開拓，の下で行われました．

文献（1） 田中久陽，“非線形問題とヘルダーの不等式，” IEICE Fundamentals Review, vol. 9, no. 3, pp. 219–228, Jan. 2016.
（2） 屋久島—宮之浦岳 2012 年版（山と高原地図 59），太田五雄（編），昭文社，東京，2012.
（3） S. Moriguti, “A lower bound for a probability momentof any absolutely continuous distribution with ﬁnite
variance,” Ann. Math. Stat., vol. 23, pp. 286–289, Nov.
1952.
（4） G. Hardy, J.E. Littlewood, and G. Pólya, Inequalities,
2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge, 1988.
（5） W. Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd ed.,
McGraw-Hill, New York, 1987.
（6） H.-A. Tanaka, “Optimal entrainment with smooth,
pulse, and square signals in weakly forced nonlinear oscillators,” Physica D, Nonlinear Phenomena, vol. 288,
pp. 1–22, Nov. 2014.
（7） 須鎗弘樹，複雑系のための基礎数理―べき乗則とツァリスエン
トロピーの数理，星野書店，東京，2010.
（8） H.-A. Tanaka, I. Nishikawa, J. Kurths, Y. Chen,
and I.Z. Kiss, “Optimal synchronization of oscillatorychemical reactions with complex pulse, square, andsmooth waveforms signals maximizes Tsallis entropy,”
Europhysics Lett., vol. 111, no. 5, 50007, Sept. 2015.
（9） S. Furuichi, “On the maximum entropy principle andthe minimization of the Fisher information in Tsallis
statistics,” J. Math. Phys., vol. 50, p. 013303, Jan.
2009.
（10） L.L. Campbell, “A coding theorem and Rényi’s entropy,” Inf. Control, vol. 8, pp. 423–429, Aug. 1965.
（11） C. Vignat, A.O. Hero III, and J.A. Costa, “Aboutclosedness by convolution of the Tsallis maximizers,”
Physica A, vol. 340, pp. 147–152, Sept. 2004.
（12） M. Tsukada, H. Suyari, and M. Kato, “The maximum
entropy principle as a convex programming problem
and related inequalities,” Proc. the fourth Int. Conf. on
Nonlin. Anal. and Convex Anal. (NACA2005), pp. 643–
655, 2007.
（13） E. Lutwak, D. Yang, and G. Zhang, “Cramér-Rao
and moment-entropy inequalities for Renyi entropy andgeneralized Fisher information,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 51, no. 2, pp. 473–478, Feb. 2005.
（14） E. Lutwak, D. Yang, and G. Zhang, “Moment-entropy
inequalities for a random vector,” IEEE Trans. Inf.
Theory, vol. 53, no. 4, pp. 1603–1607, March 2007.
（15） S. Eguchi, O. Komori, and S. Kato, “Projective power
entropy and maximum Tsallis entropy distributions,”
Entropy, vol. 13, pp. 1746–1764, Sept. 2011.
（16） T. M. Cover, J. A. Thomas, 情報理論—基礎と広がり—，山本博資，古賀弘樹，有村光晴，岩本 貢（翻訳），共立出版，東京，2012.
（17） S. Arimoto, “Information measures and capacity of order α for discrete memoryless channels,” in Topics inInformation Theory (Colloquia Mathematica Societatis
Janos Bolyai), vol. 16, Amsterdam, The Netherlands:
North-Holland, 1977.
（18） 蔵本由紀，河村洋史，同期現象の科学—位相記述によるアプ
ローチ，京都大学学術出版会，京都，2017.
（19） H.-A. Tanaka, “Synchronization limit of weakly forced

IEICE Fundamentals Review Vol.12 No.4

nonlinear oscillators, J. Phys. A, Math. Theor., vol. 47,
no. 40, 402002, Sept. 2014.
（20） “最適波形の演算方法、プログラム及び最適波形演算装置，” 特許
第 6273871 号．https://www.j-platpat.inpit.go.jp/web/
PU/JPB 6273871/3CBCF4E731FCAF5E42FBF73169
681B9C（21） 矢部洋司，西川 功，中田一紀，守川知行，関屋大雄，安藤
芳晃，田中久陽，“注入同期のロックレンジを最大化する入力信” 信学論（C）,
号波形―CMOS リングオシレータを例として―，vol. J99-C, no. 6, pp. 298–313, June 2016.
（22） 矢部洋司，欧陽有界，中川正基，宇都宮健介，永島和治，関屋大雄，田中久陽，“注入同期型 E 級発振器のロックレンジを最大” 信学論（A）, vol. J101-A,
化する入力波形の設計と実験検証，
no. 10, pp. 250–259, Oct. 2018.
（23） “発振器の内部機構の推定方法、推定プログラム及び推定装置，”特許第 5407088 号．https://www.j-platpat.inpit.go.jp/web/
PU/JPB 5407088/09EEF343A0C9334ADBC638756C
D8F402（24） H. Yabuno, H. Kaneko, M. Kuroda, and T. Kobayashi,“Van der Pol type self-excited micro-cantilever probeof atomic force microscopy,” Nonlinear Dyn., vol. 54,
no. 1–2, pp. 137–149, Oct. 2008.
（25） D.K. Agrawal, J. Woodhouse, and A.A. Seshia, “Observation of locked Phase dynamics and enhanced frequency stability in synchronized micromechanical oscillators,” Phys. Rev. Lett., vol. 111, no. 8, 084101, Aug.
2013.
（26） D. Antonio, D.A. Czaplewski, J.R. Guest, D. López,
S.I. Arroyo, and H. Zatette “Nonlinearity-induced synchronization enhancement in micromechanical oscillator,” Phys. Rev. Lett., vol. 114, no. 3, 034103, Jan.
2015.
（27） H. Okamoto, D. Ito, K. Onomitsu, H. Sanada, H.
Gotoh, T. Sogawa, and H. Yamaguchi, “Vibration ampliﬁcation, damping, and self-oscillations in micromechanical resonators induced by optomechanical coupling through carrier excitation,” Phys. Rev. Lett.,
vol. 106, no. 3, 036801, Jan. 2011.
（28） R. Ohta, H. Okamoto, and H. Yamaguchi, “Feedback
control of multiple mechanical modes in coupled micromechanical resonators,” Appl. Phys. Lett., vol. 110,
no. 5, 053106, Jan. 2017.
（29） L.V. Blarigan, J. Moehlis, and R. McMeeking, “Lowdimensional modeling of a non-uniform, buckled piezoelectric beam for vibrational energy harvesting,” Smart
Mater. Struct., vol. 24, 065012, May 2015.
（30） H. Nakao, T. Yanagita, and Y. Kawamura, “Phasereduction approach to synchronization of spatiotemporal rhythms in reaction-diﬀusion systems,” Phys. Rev.
X, vol. 4, no. 2, 021032, May 2014.
（NLP 研究会提案，平成 30 年 10 月 15 日受付，
平成 30 年 11 月 21 日再受付）

田中久陽（正員：シニア会員）
1990 早大・電気卒．1992 同大学院理工学研究科
修士課程了．1995 同大学院理工学研究科博士後期課程了．博工 (工学)．同年から，日本学術振興会特別研究員 (PD)．1996 カリフォルニア大バークレー校客員研究員．1997 ソニーコンピューターサイエン
ス研究所研究員．2001 電通大大学院電気通信学研究科助教授 (現在，情報理工学研究科准教授)，現在に至る．情報通信システム，非線形物理等の分野横断的領域の研究に従事．
本会通信ソサイエティのアドホックネットワーク研究専門委員会幹事，基礎・境界ソサイエティ庶務幹事，複雑コミュニケーションサイエンス研究専門委員会発起人，同副委員長などを務める．2015 本会 NOLTAソサイ
エティ功労賞受賞．2006，2007，2009 第 22 回電気通信普及財団賞 (テレコムシステム技術賞), 第 23 回，第 25 回電気通信普及財団賞 (テレコムシステム奨励賞) 各受賞．著書に「非線形ダイナミクスとカオス 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで」（中尾裕也，千葉逸人と共訳，2015）等がある．

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