Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques nonappliquées
IREM de Limoges, 28 février 2008

Jérôme Germoni (université Lyon 1 – IREM)
http://math.univ-lyon1.fr/~germoni/diffusion/

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Devinettes
Devinettes
1 Calculer de tête le 53-ème chiffre de 1/53.
2

Calculer de tête le 52-ème chiffre de 1/53.

3

Calculer de tête le 27-ème chiffre de 1/53.

4

Julian additionne deux nombres et trouve 999.
Combien de retenues a-t-il effectuées ?

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Devinettes
Devinettes
1 Calculer de tête le 53-ème chiffre de 1/53.
2

Calculer de tête le 52-ème chiffre de 1/53.

3

Calculer de tête le 27-ème chiffre de 1/53.

4

Julian additionne deux nombres et trouve 999.
Combien de retenues a-t-il effectuées ?

Une réponse ?
4

Si Julian a calculé 142 + 857, il n’a pas fait de retenue.
Donc,

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Devinettes
Devinettes
1 Calculer de tête le 53-ème chiffre de 1/53.
2

Calculer de tête le 52-ème chiffre de 1/53.

3

Calculer de tête le 27-ème chiffre de 1/53.

4

Julian additionne deux nombres et trouve 999.
Combien de retenues a-t-il effectuées ?

Une réponse ?
4

Si Julian a calculé 142 + 857, il n’a pas fait de retenue.
Donc, par contrat didactique, il n’a pas fait de retenue !

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Introduction
1= 0,142 857 142 857 142 857 . . .
7Développement cyclique.

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Introduction
1= 0,142 857 142 857 142 857 . . .
7Développement cyclique.
Pas de demi-mesure :142 + 857 = 999.

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Introduction
1= 0,142 857 142 857 142 857 . . .
7Développement cyclique.
Pas de demi-mesure :142 + 857 = 999.
Silence, on tourne !
1
2
3= 0,142857 · · · , = 0,285714 · · · , = 0,428571 · · · ,
7
7
7
4
5
6
= 0,571428 · · · , = 0,714285 · · · , = 0,857142 · · ·777IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Figures tutélaires
Suivant Gauss, Disquisitiones arithmeticæ (1801), on s’intéresse audéveloppement décimal de 1/p, où p est un nombre premier.

p+1-ème chiffre
longueur p − 12
Notation : nombres premiers : P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . }.
p-ème chiffre

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MiscellaneaDéveloppement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/pDéveloppement décimal des rationnels
Propriété
Soit x un réel, 0 ≤ x < 1. Il est équivalent de direle développement décimal de x est ultimement périodique :il existe M, N entiers tels que x = 0, MNNNN · · ·x est rationnel : il existe a, b entiers tels que x = a/b.

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MiscellaneaDéveloppement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/pDéveloppement décimal des rationnels
Propriété
Soit x un réel, 0 ≤ x < 1. Il est équivalent de direle développement décimal de x est ultimement périodique :il existe M, N entiers tels que x = 0, MNNNN · · ·x est rationnel : il existe a, b entiers tels que x = a/b.
1

Si x = 0, MNNNN · · · , on a :10c x = M, NNN · · · = M + 0, NNN · · · ,d’où
10d (10c x − M) = N, NNN · · · = N + (10c x − M).
IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MiscellaneaDéveloppement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/pDéveloppement décimal des rationnels
Propriété
Soit x un réel, 0 ≤ x < 1. Il est équivalent de direle développement décimal de x est ultimement périodique :il existe M, N entiers tels que x = 0, MNNNN · · ·x est rationnel : il existe a, b entiers tels que x = a/b.
2

Si x = a/b, on pose la division de a par b. Il n’y a qu’unnombre fini de restes possibles, donc la division “boucle”.

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Aparté : irrationnalité deb√Développement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/p

2

√
√
√
1
√ .
( 2 − 1)( 2 + 1) = 1, donc (1 + 2) − 2 =
1+ 2
√
a
1
a − 2b√ .
Si= 1 + 2, alors
=
b
b
1+ 2























|

{z
a
IREM de Limoges, 28 février 2008}

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Aparté : irrationnalité deb√Développement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/p

2

√
√
√
1
√ .
( 2 − 1)( 2 + 1) = 1, donc (1 + 2) − 2 =
1+ 2
√
a
1
a − 2b√ .
Si= 1 + 2, alors
=
b
b
1+ 2























|

{z
b

}|

IREM de Limoges, 28 février 2008{zb}| {z }
a − 2b1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Aparté : irrationnalité deb√Développement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/p

2

√
√
√
1
√ .
( 2 − 1)( 2 + 1) = 1, donc (1 + 2) − 2 =
1+ 2
√
a
1
a − 2b√ .
Si= 1 + 2, alors
=
b
b
1+ 2
























IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Aparté : irrationnalité deb√Développement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/p

2

√
√
√
1
√ .
( 2 − 1)( 2 + 1) = 1, donc (1 + 2) − 2 =
1+ 2
√
a
1
a − 2b√ .
Si= 1 + 2, alors
=
b
b
1+ 2
























Conclusion : le développement décimal de

IREM de Limoges, 28 février 2008√

2 n’est pas périodique.

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MiscellaneaDéveloppement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/pDéveloppement décimal (DD) de 1/p1, où p est un nombre premier, p 6= 2, 5.
p
On s’intéresse au développement décimal de x.

Désormais, on prend x =Exemple1= 0, 142 857 142 857 · · ·7

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MiscellaneaDéveloppement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/pDéveloppement décimal (DD) de 1/p
Propriété
Soit p un nombre premier, p 6= 2, 5 :123

le DD de 1/p est périodiqued = longueur d’une période de 1/p ⇐⇒ p divise 10d − 1 ;10d − 199 · · · 9
motif correspondant de 1/p : N ==.
pp

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MiscellaneaDéveloppement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/pDéveloppement décimal (DD) de 1/p
Propriété
Soit p un nombre premier, p 6= 2, 5 :123

le DD de 1/p est périodiqued = longueur d’une période de 1/p ⇐⇒ p divise 10d − 1 ;10d − 199 · · · 9
motif correspondant de 1/p : N ==.
pp

En effet,
110d
1= 0, NNN · · · ⇐⇒=N+⇐⇒ pN = 10d − 1.
pppIREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MiscellaneaDéveloppement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/pDéveloppement décimal (DD) de 1/p
Propriété
Soit p un nombre premier, p 6= 2, 5 :123

le DD de 1/p est périodique et p − 1 est une période ;d = longueur d’une période de 1/p ⇐⇒ p divise 10d − 1 ;10d − 199 · · · 9
motif correspondant de 1/p : N ==.
pp

En effet,
110d
1= 0, NNN · · · ⇐⇒=N+⇐⇒ pN = 10d − 1.
pppThéorème (Fermat, vers 1636)
Pour p premier, p divise 10p−1 − 1.
IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MiscellaneaDéveloppement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/pInterprétation de la division euclidienne
170

IREM de Limoges, 28 février 2008

r0 = 1, 1 = 1 + 0 × 7

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MiscellaneaDéveloppement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/pInterprétation de la division euclidienne
1, 0
3

7
0, 1

IREM de Limoges, 28 février 2008

r0 = 1, 1 = 1 + 0 × 7
r1 = 3, 10 = 3 + 1 × 7

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MiscellaneaDéveloppement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/pInterprétation de la division euclidienne
1, 00
30
2

7
0, 14

IREM de Limoges, 28 février 2008

r0 = 1, 1 = 1 + 0 × 7
r1 = 3, 10 = 3 + 1 × 7
r2 = 2, 102 = 2 + 14 × 7

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MiscellaneaDéveloppement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/pInterprétation de la division euclidienne
1, 00030
20
6

7
0, 142

IREM de Limoges, 28 février 2008

r0 = 1, 1 = 1 + 0 × 7
r1 = 3, 10 = 3 + 1 × 7
r2 = 2, 102 = 2 + 14 × 7
r3 = 6, 103 = 6 + 142 × 7

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MiscellaneaDéveloppement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/pInterprétation de la division euclidienne
1, 0000
30
20
60
4

7
0, 142 8

IREM de Limoges, 28 février 2008

r0 = 1, 1 = 1 + 0 × 7
r1 = 3, 10 = 3 + 1 × 7
r2 = 2, 102 = 2 + 14 × 7
r3 = 6, 103 = 6 + 142 × 7
r4 = 4, 104 = 4 + 1428 × 7

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MiscellaneaDéveloppement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/pInterprétation de la division euclidienne
1, 0000
30
20
60
4

7
0, 142 8 · · ·..

.

r0 = 1, 1 = 1 + 0 × 7
r1 = 3, 10 = 3 + 1 × 7
r2 = 2, 102 = 2 + 14 × 7
r3 = 6, 103 = 6 + 142 × 7
r4 = 4, 104 = 4 + 1428 × 7···Interprétationrk = 10k

IREM de Limoges, 28 février 2008

(dans Z/pZ).

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MiscellaneaDéveloppement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/pInterprétation de la division euclidienne
1, 0000
30
20
60
4

7
0, 142 8 · · ·..

.

r0 = 1, 1 = 1 + 0 × 7
r1 = 3, 10 = 3 + 1 × 7
r2 = 2, 102 = 2 + 14 × 7
r3 = 6, 103 = 6 + 142 × 7
r4 = 4, 104 = 4 + 1428 × 7···Interprétationrk = 10k(dans Z/pZ).

{10k , k ∈ N} = le groupe engendré par 10 dans (Z/pZ)∗ .
IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MiscellaneaDéveloppement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/p

Résumé : Fermat (XVIIe ) et Lagrange (XVIIIe )PropriétéPour p premier, p 6= 2, 5 :1

p − 1 est la longueur d’une période de 1/p ;2

la longueur minimale est un diviseur de p − 1 ;3le motif correspondant est (10d − 1)/p.

Exemple : p = 7
106 − 1 = (103 + 1) × (103 − 1) = 7 × 11 × 13 × 999 ;motif : 7 × 142 857 = 999 999.

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MiscellaneaDéveloppement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/p

Résumé : Fermat (XVIIe ) et Lagrange (XVIIIe )PropriétéPour p premier, p 6= 2, 5 :1

p − 1 est la longueur d’une période de 1/p ;2

la longueur minimale est un diviseur de p − 1 ;3le motif correspondant est (10d − 1)/p.

Exemple : p = 7
106 − 1 = (103 + 1) × (103 − 1) = 7 × 11 × 13 × 999 ;motif : 7 × 142 857 = 999 999.
Devinette
Le DD de 1/p admet 6 pour longueur de période : qui est p ?
IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MiscellaneaDéveloppement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/p

Le p-ème chiffre

Fermat : le p-ème chiffre
1Quel est le 53-ème chiffre de 1/53 ?

Réponse
1

C’est le même que le premier : 0.

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MiscellaneaDéveloppement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/p

Digression : le (p − 1)-ème chiffre
999 999 7

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MiscellaneaDéveloppement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/p

Digression : le (p − 1)-ème chiffre
999 999 7
49
95

IREM de Limoges, 28 février 20087

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MiscellaneaDéveloppement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/p

Digression : le (p − 1)-ème chiffre
999 999 7
49
95
35
96

IREM de Limoges, 28 février 200857

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MiscellaneaDéveloppement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/p

Digression : le (p − 1)-ème chiffre
999 999 7
49
95
35
96
56
94

IREM de Limoges, 28 février 2008857

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MiscellaneaDéveloppement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/p

Digression : le (p − 1)-ème chiffre
999 999 7
49
2 857
95
35
96
56
94
14
98

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MiscellaneaDéveloppement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/p

Digression : le (p − 1)-ème chiffre
999 999 7
49 42 857
95
35
96
56
94
14
98
28
7

IREM de Limoges, 28 février 2008

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Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MiscellaneaDéveloppement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/p

Digression : le (p − 1)-ème chiffre
999 999 7
49 142 857
95
35
96
56
94
14
98
28
7
7
0
IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MiscellaneaDéveloppement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/p

Devinette
2 Quel est le 52-ème chiffre de 1/53 ?
Réponse
2

C’est 3, car 3 × 3 = 9.
99 · · · 9 999 53

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MiscellaneaDéveloppement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/p

Devinette
2 Quel est le 52-ème chiffre de 1/53 ?
Réponse
2

C’est 3, car 3 × 3 = 9.
99 · · · 9 999 53
159
84

IREM de Limoges, 28 février 20083

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
MiscellaneaDéveloppement décimal des rationnels
Développement décimal de 1/p

Devinette
2 Quel est le 52-ème chiffre de 1/53 ?
Réponse
2

C’est 3, car 3 × 3 = 9.
99 · · · 9 999 53
159
···3
84
···

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Dichotomie (exemples)

Ici, on suppose que la plus courte période est de longueur paire.
On peut donc la couper en deux.

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Dichotomie (exemples)

Ici, on suppose que la plus courte période est de longueur paire.
On peut donc la couper en deux.
1= 0, 142 857 · · ·71= 0, 0 9 · · ·111= 0, 076 923 · · ·13

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Dichotomie (exemples)

Ici, on suppose que la plus courte période est de longueur paire.
On peut donc la couper en deux.
1= 0, 142 857 · · · : 142 + 857 = 999 ;7
1= 0, 0 9 · · · : 0 + 9 = 9...
11
1
= 0, 076 923 · · · : 76 + 923 = 999 ;13
Hasard ou nécessité ?

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Dichotomie (formalisation)Théorème (Midy – 1836)
Supposons que d = 2e soit une longueur de période de 1/p, maisque e ne soit pas la longueur d’une période :1= 0, | {z A} | {z B} | {z A} | {z B} · · · ,p| e {z e } | e {z e }d=2e

0 ≤ A, B < 10e .

d=2eAlors,A + B = 10e − 1 = 99
· · · 9} .
| {ze chiffres

Voir La Recherche, octobre 2006.
IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Dichotomie (exemple)
Théorème (Midy – 1836)
Si le DD de 1/p a une période de longueur paire, les motifs desdeux demi-périodes ont pour somme 99 · · · 9.
Exemple : 1/17
1
= 0, 05882352 94 ???
17

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Dichotomie (exemple)
Théorème (Midy – 1836)
Si le DD de 1/p a une période de longueur paire, les motifs desdeux demi-périodes ont pour somme 99 · · · 9.
Exemple : 1/17
1
= 0, 05882352 94 ???
17
16 est la longueur d’une période, 8 non
99 999 999− 5 882 352
94 117 647

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Dichotomie (exemple)
Théorème (Midy – 1836)
Si le DD de 1/p a une période de longueur paire, les motifs desdeux demi-périodes ont pour somme 99 · · · 9.
Exemple : 1/17
1
= 0, 05882352 94 117 647 · · ·1716 est la longueur d’une période, 8 non
99 999 999− 5 882 352
94 117 647

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Le chiffre du milieu

Théorème (O. Mathieu – 2002)
Soit p ≥ 11 un nombre premier :1

la (p + 1)/2-ème décimale de 1/p est 0 ou 9 ;2

le fait que ce soit 0 ou 9 ne dépend que de p modulo 40.
↓
1= 0, | {z } | {z } · · ·p| e {z e }p−1=2eIREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Preuve (premier point)
1

Partie facile.
↓1= 0, | {z A} | {z B} · · · ,p| e {z e }


 A=B
ou

A + B = 99 · · · 9.

p−1=2eIREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

Preuve (premier point)
1

Partie facile.
↓↓1= 0, |0 {z A} | {z B} · · · ,pe| e {z
}


 A=B
ou

A + B = 99 · · · 9.

p−1=2eCas A = B : c’est 0.
Cas A + B = 99 · · · 9 : c’est 9. En effet :0 • ··· • •+ ? • ··· • •A+B

9 9 ··· 9 9

10 2 − 1

IREM de Limoges, 28 février 2008p−1

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

ReformulationThéorème (O. Mathieu)
Soit p ≥ 11 premier.
reste de la division de p par 40

p+1
2 -ème chiffre de 1/p

1, 3, 9, 13, 27, 31, 37, 39
7, 11, 17, 19, 21, 23, 29, 33

0
9Jeu : on prend
p = 1111111111111111111 (19 chiffres),ou p = le 108 000-ème nombre premier.
Quel est le (p + 1)/2-ème chiffre de p ? 0 ou 9 ?

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

ReformulationThéorème (O. Mathieu)
Soit p ≥ 11 premier.
reste de la division de p par 40

p+1
2 -ème chiffre de 1/p

1, 3, 9, 13, 27, 31, 37, 39
7, 11, 17, 19, 21, 23, 29, 33

0
9

y=

card{p ∈ P, p ≤ x, chiffre = 0}card{p ∈ P, p ≤ x}

xmax = 45000
IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

ReformulationThéorème (O. Mathieu)
Soit p ≥ 11 premier.
reste de la division de p par 40

p+1
2 -ème chiffre de 1/p

1, 3, 9, 13, 27, 31, 37, 39
7, 11, 17, 19, 21, 23, 29, 33

0
9

y=

card{p ∈ P, p ≤ x, chiffre = 0}card{p ∈ P, p ≤ x}

xmax = 450000
IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre

ReformulationThéorème (O. Mathieu)
Soit p ≥ 11 premier.
reste de la division de p par 40

p+1
2 -ème chiffre de 1/p

1, 3, 9, 13, 27, 31, 37, 39
7, 11, 17, 19, 21, 23, 29, 330
9Théorème (Dirichlet – 1837)
Pour tout b premier avec 40,
1card{p ∈ P, p ≤ x, p ≡ b mod 40}= .
x→+∞card{p ∈ P, p ≤ x}
16
lim

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Occuper Julian (8 ans) à la pizzeria
1 × 142857 = 142857,

2 × 142857 = 285714,

3 × 142857 = 428571,

4 × 142857 = 571428,

5 × 142857 = 714285,

6 × 142857 = 857142.

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Occuper Julian (8 ans) à la pizzeria
1 × 142857 = 142857,

2 × 142857 = 285714,

3 × 142857 = 428571,

4 × 142857 = 571428,

5 × 142857 = 714285,

6 × 142857 = 857142.

Occuper Julian (11 ans) à la pizzeria
1= 0,142857 · · · ,73= 0,428571 · · · ,7
5= 0,714285 · · · ,7
IREM de Limoges, 28 février 20082
= 0,285714 · · · ,74= 0,571428 · · · ,76= 0,857142 · · ·7
1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Que faire à la pizzeria quand Julian aura 13 ans ?

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Que faire à la pizzeria quand Julian aura 13 ans ?
1
2
3= 0,076923 · · · ,= 0,153846 · · · ,= 0,230769 · · · ,
13
13
13
5
6
4
= 0,307692 · · · ,= 0,384615 · · · ,= 0,461538 · · ·
13
13
13
7
8
9
= 0,538461 · · · ,= 0,615384 · · · ,= 0,692307 · · ·
13
13
13
10
11
12
= 0,769230 · · · ,= 0,846153 · · · ,= 0,923076 · · ·
13
13
13

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Que faire à la pizzeria quand Julian aura 13 ans ?
1
2
3= 0,076923 · · · ,= 0,153846 · · · ,= 0,230769 · · · ,
13
13
13
5
6
4
= 0,307692 · · · ,= 0,384615 · · · ,= 0,461538 · · ·
13
13
13
7
8
9
= 0,538461 · · · ,= 0,615384 · · · ,= 0,692307 · · ·
13
13
13
10
11
12
= 0,769230 · · · ,= 0,846153 · · · ,= 0,923076 · · ·
13
13
13
1
: nombre de périodes : 2, longueur des périodes : 6.
Pour 13(2 × 6 = 13 − 1...)IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Equivalence : un seul motif ⇐⇒ longueur min = p − 1
On pose la division de 1 par p :1, 000 000

IREM de Limoges, 28 février 20087

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Equivalence : un seul motif ⇐⇒ longueur min = p − 1
On pose la division de 1 par p :1, 000 000
30
20
60
40
50
1

7
0,142 857

longueur min période = nombre d’étapes de la division :longueur min = p − 1 ⇐⇒ tous les restes apparaissent ;IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Equivalence : un seul motif ⇐⇒ longueur min = p − 1
On pose la division de 1 par p :1, 000 000 0 7300,142 857 1
20
60
40
50
10
3
longueur min période = nombre d’étapes de la division :longueur min = p − 1 ⇐⇒ tous les restes apparaissent ;pour chaque reste k, k/p a le même motif que 1/p.
IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Ceci se produit-il souvent ?
Problème (Artin)
Que dire des nombres premiers p longs, pour lesquels on a :la longueur minimale des périodes égale à p − 1 ?
un seul motif (à permutation cyclique près) pour tous les k/p,
1≤k ≤p−1 ;(Les deux conditions sont équivalentes !)IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Deux types de nombres premiers
Pour un nombre premier p, deux cas :1= 0, 142857 · · · ;71
longueur minimale période < p − 1 ; ex. := 0, 076923 · · · .
13
Problèmelongueur minimale période = p − 1 ; ex. :P(10) = {p premier long en base 10}.

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Deux types de nombres premiers
Pour un nombre premier p, deux cas :1= 0, 142857 · · · ;71
longueur minimale période < p − 1 ; ex. := 0, 076923 · · · .
13
Problèmelongueur minimale période = p − 1 ; ex. :P(10) = {p premier long en base 10}.
Est-ce que P(10) est infini ?
Estimer la “densité” de P(10) :d10 (x) =card{p ∈ P(10), p ≤ x}card{p ∈ P, p ≤ x}

IREM de Limoges, 28 février 2008:

lim d10 (x) ?

x→+∞1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Expériences numériques
P(10) = {7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, . . . }y = d10 (x) =card{p ∈ P(10), p ≤ x}card{p ∈ P, p ≤ x}

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Expériences numériques
P(10) = {7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, . . . }y = d10 (x) =card{p ∈ P(10), p ≤ x}card{p ∈ P, p ≤ x}base 10xmax = 4500

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Expériences numériques
P(10) = {7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, . . . }y = d10 (x) =card{p ∈ P(10), p ≤ x}card{p ∈ P, p ≤ x}base 10xmax = 45000

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Expériences numériques
P(10) = {7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, . . . }y = d10 (x) =card{p ∈ P(10), p ≤ x}card{p ∈ P, p ≤ x}base 10xmax = 450000

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Enoncé de la conjecture (base 10)

Conjecture (Artin – 1927)
Il existe un nombre infini de nombres premiers p qui sontlongs en base 10.
La densité de ces p est :Y CArtin =1−
q premier1
q(q − 1)


' 0,373 955 813 6 . . .

Remarque : où intervient 10 ?

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Enoncé de la conjecture (base presque quelconque)

Conjecture (Artin – 1927)
Il existe un nombre infini de nombres premiers p qui sontlongs en base b.
La densité de ces p est :Y CArtin =1−
q premier1
q(q − 1)


' 0,373 955 813 6 . . .

Remarque : où intervient 10 ?
On peut remplacer 10 par (presque) n’importe quelle base b.

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partielsRésultats partiels

La conjecture est toujours ouverte, mais on sait :Hooley – 1967 : avec l’hypothèse de Riemann généralisée, laconjecture d’Artin quantitative est vraie ;Gupta–Ram – 1984 : sans hypothèse de Riemann, la
conjecture d’Artin qualitative admet au plus 2 exceptions
parmi les bases b ∈ P ;par exemple, une infinité de nombres premiers sont longs enbase 2, 3 ou 5.

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Digression : nombre de motifs des k/p et longueur minimale
Conjecture d’ArtinRésultats partiels

Conclusion

Questions très simples, réponses sophistiquées :1développement périodique ; Fermat, XVIIème.

2

chiffre du milieu ; Gauss, 1801.

3

fréquence des p longs : question d’Artin, 1927 ; quand ?

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres normaux
Esquisse de preuve du théorème de Mathieu
Heuristique pour la conjecture d’Artin
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Calcul exotique de 1/13

RéférencesThéorèmes de Fermat, Lagrange, etc.
D. Guin, Algèbre, Ed. Belin (par exemple)
Réciprocité quadratique et autres merveilles
J.-P. Serre, Cours d’arithmétique, PUF ou en anglais chez Springer
Conjecture d’Artin
http://en.wikipedia.org/wiki/Artin conjecture (primitive roots)
P. Moree, Artin’s primitive root conjecture -a survey -,http://arxiv.org/abs/math/0412262 (le début est raisonnable)

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres normaux
Esquisse de preuve du théorème de Mathieu
Heuristique pour la conjecture d’Artin
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Calcul exotique de 1/13

Aparté : nombres réels normaux
1

Un nombre est normal si chaque suite finie de chiffres delongueur ` apparaı̂t avec la fréquence 1/10` . Exemples :0, 888 888 · · · pas normal,

20, 123456789 10 11 12 13 · · · oui.

On convient que choisir un nombre réel au hasard, c’est choisirchaque chiffre indépendamment avec une probabilité 1/10.

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesNombres normaux
Esquisse de preuve du théorème de Mathieu
Heuristique pour la conjecture d’Artin
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Calcul exotique de 1/13

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Aparté : nombres réels normaux
1

Un nombre est normal si chaque suite finie de chiffres delongueur ` apparaı̂t avec la fréquence 1/10` . Exemples :0, 888 888 · · · pas normal,

20, 123456789 10 11 12 13 · · · oui.

On convient que choisir un nombre réel au hasard, c’est choisirchaque chiffre indépendamment avec une probabilité 1/10.

Fait (assez facile)“Presque tout” nombre est normal.

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesNombres normaux
Esquisse de preuve du théorème de Mathieu
Heuristique pour la conjecture d’Artin
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Calcul exotique de 1/13

Développement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Aparté : nombres réels normaux
1

Un nombre est normal si chaque suite finie de chiffres delongueur ` apparaı̂t avec la fréquence 1/10` . Exemples :0, 888 888 · · · pas normal,

20, 123456789 10 11 12 13 · · · oui.

On convient que choisir un nombre réel au hasard, c’est choisirchaque chiffre indépendamment avec une probabilité 1/10.

Fait (assez facile)“Presque tout” nombre est normal.
Problème (très difficile !)√Est-ce que π ou 2 est un nombre normal ?
IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres normaux
Esquisse de preuve du théorème de Mathieu
Heuristique pour la conjecture d’Artin
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Calcul exotique de 1/13

Esquise de preuve (deuxième point)p−1

2

2 − 1.
Il faut décider si p−1
2 est une période, i.e. si p divise 10
p−1

p−1

Fermat et Gauss : p divise 10 2 − 1 ou 10 2 + 1.
Notation (Legendre)
 
p−1
a
Pour p > 2 premier et a ∈ Z,
= a 2 mod p ∈ {−1, 1, 0}.
p
Exemple (non trivial)  
2
1 si p = ±1 mod 8=−1
si p = ±3 mod 8.
p
Ce symbole ne dépend donc que de p modulo 8.
IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres normaux
Esquisse de preuve du théorème de Mathieu
Heuristique pour la conjecture d’Artin
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Calcul exotique de 1/13

Loi de réciprocité quadratiqueThéorème (Gauss – 1801)
Soit p, q premiers impairs distincts. Alors :  
(p−1)(q−1)
pq4= (−1).
qp

Un miracle ?
Sens du symbole de Legendre :q= 1 SSI l’équation x 2 = q a une solution dans Z/pZ.
p

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1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres normaux
Esquisse de preuve du théorème de Mathieu
Heuristique pour la conjecture d’Artin
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Calcul exotique de 1/13

Loi de réciprocité quadratiqueThéorème (Gauss – 1801)
Soit p, q premiers impairs distincts. Alors :  
(p−1)(q−1)
pq4.
= (−1)
qp
Application au (p + 1)/2-ème chiffre : 0 ou 9 ?
 
p−1
10
La p+1= 10 2 = 1 [p]. Or...
2 -ème décimale de 1/p est 0 SSIp       
p
10
2
5
2
=
=
.
p
p
p
p
5
Par le lemme chinois, ceci ne dépend que de p modulo 40.
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1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres normaux
Esquisse de preuve du théorème de Mathieu
Heuristique pour la conjecture d’Artin
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Calcul exotique de 1/13

Ceci n’est pas une preuvep−1

hai = (Z/pZ)∗ ⇐⇒ ∀q premier : p ≡ 1 [q], a q 6= 1 [p]Fixons q :
1
;
q−1
p−1
1
probabilité pour que a q = 1 [p] : .
qprobabilité pour que p = 1 [q] :1.
q(q − 1)
Si indépendance, proba pour que “ça marche” pour tout q :

Y
1
1−
.
q(q − 1)q
Probabilité pour que “ça marche” pour q : 1 −IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres normaux
Esquisse de preuve du théorème de Mathieu
Heuristique pour la conjecture d’Artin
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Calcul exotique de 1/13

Découpage de période en 3, 4 et plus
Maitrisant la dichotomie, tentons de diviser plus !
Exemples :1= 0, 142 857 · · ·71= 0, 14 28 57 · · ·71= 0, 07 69 23 · · ·13
Contre-exemple :1= 0,01 36 98 63 · · ·73

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1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres normaux
Esquisse de preuve du théorème de Mathieu
Heuristique pour la conjecture d’Artin
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Calcul exotique de 1/13

Découpage de période en 3, 4 et plus
Maitrisant la dichotomie, tentons de diviser plus !
Exemples (généraliser) :1= 0, 142 857 · · · : 142 + 857 = 999 ;7
1= 0, 14 28 57 · · · : 14 + 28 + 57 = 99 ;7
1
= 0, 07 69 23 · · · : 7 + 69 + 23 = 99.
13
Contre-exemple (trouver un énoncé quand même) :1= 0,01 36 98 63 · · · : 1 + 36 + 98 + 63 = 2 × 99.
73

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres normaux
Esquisse de preuve du théorème de Mathieu
Heuristique pour la conjecture d’Artin
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Calcul exotique de 1/13

Calcul exotique de 1/13
1
= 0, • • • • • • · · ·13
7 × 11 × 13 = 1001 =⇒ 13|106 − 1 = (103 + 1)(103 − 1)

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres normaux
Esquisse de preuve du théorème de Mathieu
Heuristique pour la conjecture d’Artin
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Calcul exotique de 1/13

Calcul exotique de 1/13
1
= 0, 0 • • • • • · · ·13
7 × 11 × 13 = 1001 =⇒ 13|106 − 1 = (103 + 1)(103 − 1)
13 > 10

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres normaux
Esquisse de preuve du théorème de Mathieu
Heuristique pour la conjecture d’Artin
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Calcul exotique de 1/13

Calcul exotique de 1/13
1
= 0, 0 • • • • 3 · · ·13
7 × 11 × 13 = 1001 =⇒ 13|106 − 1 = (103 + 1)(103 − 1)
13 > 103×3=9IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres normaux
Esquisse de preuve du théorème de Mathieu
Heuristique pour la conjecture d’Artin
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Calcul exotique de 1/13

Calcul exotique de 1/13
1
= 0, 0 • 6 9 • 3 · · ·13
7 × 11 × 13 = 1001 =⇒ 13|106 − 1 = (103 + 1)(103 − 1)
13 > 103×3=90••+ • •3
999

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres normaux
Esquisse de preuve du théorème de Mathieu
Heuristique pour la conjecture d’Artin
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Calcul exotique de 1/13

Calcul exotique de 1/13
1
= 0, 076 923 · · ·13
7 × 11 × 13 = 1001 =⇒ 13|106 − 1 = (103 + 1)(103 − 1)
13 > 103×3=90••+ • •3
999
0•
+69
+ •3
99
IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquéesDéveloppement décimal (Fermat)
Demi-périodes (Gauss)
Longueur de la période (Artin)
Miscellanea

Nombres normaux
Esquisse de preuve du théorème de Mathieu
Heuristique pour la conjecture d’Artin
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Calcul exotique de 1/13

Certains motifs de k/p
Supposons avoir
10d −1= AB
p106 −1= 142 857
7d

3 × 10 7−1 = 428 571

et k × 10 p−1 = BA

6

Alors :
1
AB |{z}AB · · ·p = 0, |{z}1
7 = 0, 142 857 142 857 · · ·kp = 0, BA BA · · ·3
7 = 0, 428 571 428 571 · · ·Ainsi, 1/p et k/p ont le même motif AB !

IREM de Limoges, 28 février 2008

1/7=0,142.857... : bribes de mathématiques non appliquées