電力系統工学ゼミ
章末問題解答集電力系統工学 / 柳父悟，加藤政一 / 第 1 版 2 刷 / 2011 / ISBN 9784501113001

システム設計研究室

作成日： ????年??月??日

電力系統工学

8

安定度

8.1

周波数 60Hz, 定格電圧 22kV, 定格容量 500 MVA，の8.2(1) の発電機について求めた加速度が，15 サイクルの期間一定ならば，この期間の δ の電気角の変化
機械角の相対回転角の変化[rad] と，

4 極の発電機は H=7.5 MJ/MVA の慣性定数を持っている．(a) 同機速度において回転子に蓄えられる運動エネ
ルギーはいくらか．(b) 回転損失を無視し，入力が 452

この期間の終わりにおけるMW のとき，出力が 400 MW ならば角加速度はいく
らか．

ており，加速トルクは 0 であるとする．

毎分の回転速度絶対回転角速度 dθdtm [rad/s] を求めよ．
ただし，この発電機は初期状態で大規模系統と同期し

1

[解答]
2
(1) で得られた角加速度は，ddtδ2m = 1.31 [rad/s2 ] であり，15(a) 同期速度 ωs [rad/s] において,H = 2サイクルの間，一定である．そこで，これを定数 αm [rad/s2 ]

[解答]
Jωs2
なので，回転運S
1
2
動エネルギーは 2 Jωs = KE = H × S で計算される．
KE = 7.5[MJ/MVA] × 500[MVA] = 3750[MJ]

とおく．

(8.1)

絶対回転角速度と，相対回転角速度 dδdtm [rad/s] ， 同期速度 ωsm [rad/s] には，次式の関係がある．

(b) 機械的入力と電気的出力，そして加速パワーを pu 値で表すと，
452[MW]Pm == 0.904[pu]500[MVA]
400[MW]Pe == 0.800[pu]500[MVA]
Pa = Pm − Pa = 0.104[pu]

dθm
dδm
=
+ ωsm
dt
dt

(8.2)

15 サイクルにかかる時間 T15 [s] は，次式となる．

(8.3)

T15 = 15[サイクル] ×1
15== 0.25 [s]f [Hz]
60

(8.7)

(8.4)

どころで，発電機の同期速度 ωs = 2πf = 120π[rad/s] であまず，相対回転角の変化を求める．15 サイクルの期間中のる. また，発電機の動揺方程式より角加速度は

d2 δ
ωs Pa
120π × 0.104=== 2, 614[rad/s2 ]dt2
2H
2 × 7, 5(8.6)

相対回転角速度は，角加速度に時刻 t [s] をかけた，

(8.5)

dδm
= αm tdt

上で求めた角加速度は電気角 δ で考えたものであり，これをδ
機械角の角加速度にする．機械角は δm = で電気角から変p換できる．p は極対数であり，この問題では p=2 である．

(8.8)

である．サイクルの始めと終わりの相対回転角を，それぞれ

δm0 [rad]，δm [rad] とおき，15 サイクルの始めの時刻を 0，終
わりの時刻を T15 [s] とすると，相対回転角の変化は，以下のしたがって，機械角で考えた角加速度は電気角で考えた時ように求まる．

の角加速度の半分で 1.31[rad/s2 ] になる．

δm − δm0 =∫ T15
αm t dt =01
2
αm T152= 0.041[rad](8.9)

次に，絶対回転角速度 dθdtm を求める．極数を P とおく．サイクルが終わる時刻 T15 において，dδm= αm T15dt
ωsm = 2πf ×(8.10)
2P(8.11)

である．式 (8.10)，(8.11) を式 (8.6) に代入すると，サイクルの終わりの絶対回転角速度は，同期速度に加速分を加えた，

2dθm= 1.31 × 0.25 + 2π × 60 ×dt
4
= 188.8 [rad/s]と求まる．

システム設計研究室

2(8.12)

電力系統工学

8.3

8.4(1) の発電機が遅れ力率 0.8 の定格出力で運転されていたとき，事故によって出力が 40% だけ減少した．事故

a.(事故発生時)が起きた瞬間の加速トルクを newton-meter の単位で表せ．ただし，損失を無視し，発電機軸入力は一定とする．

[解答] 事故前の出力 Pe1 は，
Pe1 = 500 × 0.8 = 400 [M W ]であり，事故後の出力 Pe2 は

Pe2 = Pe1 × 0.6 = 240 [M W ]ここで，T = P/ωm なので，加速トルク T̂ は，

T̂ =

∆P
(Pe1 − Pe2 )== 0.849 [M N · m]
ωm
2πf × p1
図 8.1: 事故中のインピーダンスマップ

ただし，p は極対数．

図 (8.1) に示す点 P1 で三相短絡事故が発生した場合を考える．
これは，発電機から見ると，実質的に母線で生じたものと同じであるため，母線電圧は 0 と考えられる．
よって，事故継続中の発電機から送電線への有効電力は 0 となる．
′
Pmax = |Ė1′ ||Ė2′ ||Ẏ12|= 1.05 × 0 × 1.43 = 0 [pu](8.13)

事故中の電力相差角方程式は以下のようになる.

Pe = 0 × sin δ = 0 [pu] =⇒ r1 = 0(8.14)

対応する動揺方程式は以下のようになる.

5 d2 δ
= 1 − 0 = 1 [pu]πf dt2(8.15)

b.(事故除去後)
電力相差角方程式は以下のようになる.
Pe = 1.50 × sin δ [pu] =⇒ r2 = 0.714(8.16)

c.
事故前の電力相差角方程式，および a，b の結果をまとめると以下のようになる．
事故前:Pe = Pmax sin δ = 2.1 sin δ
事故継続期間:Pe = 0 (出力端で短絡) =⇒ r1 = 0
事故除去後:Pe = r2 Pmax sin δ = 1.5 sin δ =⇒ r2 = 0.714
例題 8.3 から δ0 = 0.4964 [rad] であるから，δmax は以下のようになる.

δmax = π − sin−1

システム設計研究室

3

1= 2.412 [rad]1.5(8.17)

電力系統工学

8.5
a.(事故発生時)

また、cos δcr は以下のようになる．

cos δcr1= 2.1(2.412 − 0.4964) + 0.714 cos 2.412 − 0 cos 0.4964
0.714 − 0

= 0.532(8.18)

したがって，δcr は以下のように求まる.

δcr = 1.01 [rad](8.19)

以下に電力相差角曲線を示す．
図 8.3: 事故中のインピーダンスマップ
電流と電圧の関係をノードアドミタンス行列を用いると以下のように表せる.

 
I˙1
Ẏ11
 ˙   I2  =  Ẏ21
I˙3
Ẏ31

Ẏ12
Ẏ22



Ẏ13
V̇1


Ẏ23   V̇2 

Ẏ32

Ẏ33

V̇3

ここで

I˙1 = −j3.333(V̇1 − V̇3 ) = −j3.333V̇1 + 3.333V̇3 (8.20)
I˙2 = −j2.5(V̇2 − V̇3 ) − j10V̇2= −j12.5V̇2 + j2.5V̇3(8.21)

I˙3 = −j3.333(V̇3 − V̇1 ) − j2.5(V̇3 − V̇2 ) − j3.333V̇3
図 8.2: 電力相差角曲線= j3.333V̇1 + j2.5V̇2 − j9.166V̇3(8.22)と表せるからノードアドミタンス行列は以下のように表せる.

−3.3330
3.333
Ẏ = j (8.23)
0
−12.5
2.5 

3.333

2.5

−9.166

母線 ♯3 は浮遊ノードであるため I˙3 = 0 となる。よって (8.22)式において V̇3 について解くと，以下のようになる.

2.500
3.333
V̇1 +
V̇2
(8.24)
9.166
9.166
これを (8.20),(8.21) 式に代入すると以下のようになる.
V̇3 =I˙1 = −2.121V̇1 + j0.909V̇2(8.25)

I˙2 = j0.909V̇1 − j11.818V̇2(8.26)

母線 ♯3 を消去したノードアドミタンス行列は以下となる.
]
[
]
[
][
I˙1
−2.121
0.909
V̇1
=j
I˙2
V̇2
0.909 −11.818[]−2.121
0.909=⇒ Ẏ ′ = j(8.27)
0.909 −11.818
したがって、相互アドミタンスの大きさはは |Ẏ12 | = |Ẏ21 | =0.909 となり、以下の結果を得る.
′
Pmax = |Ė1′ ||Ė2′ ||Ẏ12| = 1.05 × 1.0 × 0.909= 0.954 [pu]システム設計研究室

4(8.28)

電力系統工学

事故中の電力相差角方程式は以下のようになる.

Pe = 0.954 sin δ [pu] =⇒ r1 =0.954
= 0.4542.100(8.29)

対応する動揺方程式は以下のようになる.

5 d2 δ
= 1 − 0.954 sin δ [pu]πf dt2(8.30)

b.(事故除去後)
電力相差角方程式は以下のようになる.
Pe = 1.50 × sin δ [pu] =⇒ r2 = 0.714(8.31)

c.
事故前:Pe = Pmax sin δ = 2.1 sin δ
事故継続期間:Pe = 0.954 sin δ=⇒ r1 = 0.455

事故除去後:Pe = r2 Pmax sin δ = 1.5 sin δ =⇒ r2 = 0.714
例題 8.3 から δ0 = 0.4964 [rad] であるから，δmax はδmax = π − sin−1

1= 2.412 [rad]1.5(8.32)となるため，cos δcr は以下となる．

cos δcr =1
2.1 (2.412 − 0.4964) + 0.714 cos 2.412 − 0.455 cos 0.4964

0.714 − 0.455= 0.076(8.33)

したがって，δcr は以下のように求まる.

δcr = 1.647 [rad](8.34)

図 8.4: 電力相差角曲線

システム設計研究室

5