7（メソ気象7ミξ…ゆ気象力学）

メソ気象力学の基礎（1）小倉義1．はじめに光＊
しかし，流体の特性として，大気中の空気塊はいつ

メソ気象講習会のトップバッターとして，「メソ気象も周りから圧力を受けている．よく知られた気圧傾度力学の基礎」について2回講義をした．この講義をお力である．気塊が動けば，その隙間を埋めるように周引き受けしてから，一番迷ったのは何をお話すべきか，りの空気も動く．一般的に大気中の温度は一様に分布受講者をどう想定するかであった．主催者の方ともごしていないから，空気が動けば温度分布も変わる．気相談して，受講者を次のように想定した．気象学は一圧の分布も変わる．気圧傾度力も変わって，これが新通り学習した．しかし微分・積分については，学生時たな運動を引き起こす．このように，気象の力学では，代に習ったが，卒業後はパソコン用のソフト開発やデータ解析に没頭し，微積分を日常業務で使うことは

単に与えられた力が物体に働いたとき，その物体がどなかったので，ほとんど忘れてしまった．微分方程式

圧傾度力，問題によってはコリオリカなど）そのものとかいうものには全く縁がなかった．

う動くかだけでなく，運動に伴って，物体に働く力（気も変わることを考慮する必要がある．この力と運動のなぜ微積分にこだわるかというと，本講義の主題がいたちごっこを数式で表現したのが気象力学の運動方「専門課程」として企画された気象力学の基礎だからで

程式である．この方程式は微分を含む．それで運動方ある．力学は物体に働く力と運動の関係を扱う学問で程式は微分方程式である．その微分方程式を積分してある．すなわち，物体に力が働いたら，その物体はど求めた解が，大気の運動と大気の状態（気温や気圧なう動くかを議論する．最も扱いやすい力学は質点の力どの分布）の変化の記述となる（例は第9節）．それで，学である．質量はあるが，大きさは持たない仮想的な例えば「新教養の気象学」（日本気象学会，1998）や「一物体を質点という．地球の引力をうけて地球の周りを般気象学第2版」（小倉，1999）の域を越え，メソ気象

回転する月の運動はほぼ質点の力学で記述される．第に含まれる力学過程の理解を一段とステップアップし7節で，質点とみなしたリンゴの落下運動を解説する．

ようとすれば，微分とはなにか，微分方程式の一種で次に複雑なのが剛体の力学である．質量も大きさもある運動方程式とはどんな式か，微分方程式の解を求持っているが，形を変えない物体の力学である．ここ

めるとはそもそもどんなことをするのか，一通り勉強

では，剛体の重心の動きや，重心の周りの回転運動なする必要がある．それをするのが本講義の目的である．

どが議論の対象となる．

そして，この勉強は単にメソ気象のみならず，数値最も複雑なのが流体の力学である．空気や水のよう予報の理解にも役立つはずである．数値予報は数値予に，形を自由に変える物体が流体である．地球の大気報モデルというものを用いている．そのモデルの中身は地球引力をうけつつ，空間いっぱいに広がる．その大気の運動を議論するために，大気の一部分だけに注は，本講義で述べる運動方程式と熱力学の方程式を基幹として，水蒸気の凝結や放射など，いろいろな物理

目して，それを空気塊あるいはパーセル（parce1）と呼過程を数式化した微分方程式の集合体である．その集び，それがあたかも質点であるかのように扱うことが合体をコンピュータを用いて数値的に積分し解を求めある．その例が第8節に述べてある．

たのが予報対象となる将来の気象である．今日の数値予報モデルは精緻に構築されており，その詳細は専門＊Yoshimitsu◎1999

Ogura，財団法人日本気象協会．

日本気象学会

1999年8月

家にしか分からないが，少なくとも数値予報モデルは中身の分からないブラックボックスではなく，多少お27

526

メソ気象力学の基礎（1）

第1表主な関数とその導関数●S∫（x）

関数

導関数

おける接線

sec2 ％

1n冗eκ

1／劣す．導関数を求める演算を微分という．

RP∫（x）

COSπ

一sinκeκ

点PにQ∫（x＋δx）

COSπ tanπln冗早速，例をあげよう．x2という関数を考える．このとき，関数の増し分とκの増し分の比は，XX

第1図

勢躍し撃（π＋望2一ノー2紬

（2．2）

x＋δx

導関数の説明図．

であるから，欲を限りなく0に接近させると，上記の比は2κとなる．従って，劣2の導関数は2πである．

なじみとなるはずの微分方程式の群れなのだということは分かるはずである．

式（2．1）で定義したものは，実は1次の導関数といわれているもので，これらをさらにxで微分したもの

本を書くときと違って，教室で講義するときの利点が2次の導関数42∫／ぬ2である．ちなみに，導関数の英は，受講者との対話を通じて（ときには対話のないこ

語はderivativeで，近頃新聞の経済欄などによく登場とを通じて），その場で講義の内容をある程度補足・調するデリバティブ（金融派生商品）と同じ言葉である．

整できることである．この原稿はそのような調整をし導関数は関数から派生した関数の一種である．

た後の講義の内容である．時問が足りなかったため，この講義で使う関数は，sinxやcosπなどの三角関講義の際には省略した内容の一部も復活している．

数，e二2．718…という特別な値を底とする指数関数

この解説には，数式の演算がどの教科書にも書いて♂，自然対数（naturallogarithm）関数1nx，さらにないほど省略なしに書いてある．それでも単に目で読nを任意の実数として炉（劣のn乗）か，またはそれむだけでなく，手と鉛筆で一度だけ演算をなぞってほらの組み合わせである．それらの関数の導関数は第1しい．ある程度の慣れが必要である．そして，まず除表にまとめてある．導関数を逆に積分すれば，もとのいてほしいのは，微分という言葉や，∂／欲という記号関数が得られる．

に対する拒否反応である．

次に，例えば（1＋冗2）2という関数∫（劣）を微分する．

仮にξ＝1＋π2とおけば，与えられた関数は∫（ξ）二ξ2

2．微分の演算の復習
2．1微分と導関数である．このときの微分の一般的なルールは気温や風速など，ある物理量が独立変数πが変わる

み（∬）＿塑壷
旗と共に変わるとき，その物理量はπの関数（function）4ξ（2．3）

血であるといい，記号∫（劣）で表す（第1図）．xの値がである．それでいまの関数の微分は4妖1＋κ2）である．

微少量欲だけ増したときの関数の値を∫（冗＋欲）とeακの微分はαeακである．

書く（図のQ点）．∫（κ＋欲）と∫（κ）の差が，劣の増し分欲に応じた関数の増し分である．欲を小さくす

次に∫（劣）とg（κ）をκの任意の関数とするとき，微分のルールは，ると，当然関数の増し分も小さくなるが，欲を無限小法惚）一綴＋畷の極限（1imit）にもっていったとき，関数の増し分と（2．4）％の増し分の比を，その関数の導関数あるいは微分係数という．記号で書けば，である．従って冗cosπの微分はcos％一xsin∬である．

巫＿1im∫（x十欲）一∫（劣）ぬ戯→o（2．1）

欲である．導関数は図のP点における接線の傾きを表282．2関数の近似式

この講義ではテイラーの級数展開をしばしば使う．

まず説明の順序として，関数∫（％）の一次導関数を
天気

46．8．

527

メソ気象力学の基礎（1）ヂ（π），2次導関数を∫∫（π），……と書くことにすると，（万）の定義式から，

1∫（％）二∫（α）＋（㌃α）∫〆（α）＋了r（％一α）解（α）

1＋万（％『α）

柴）一ヂ（κ）

∫（α）

（2．5）

1＋……＋万（π一α）ヴ（n）（α）＋…

（2・13）である．これをπの0からπまで定積分すると，

ヂ（π）デ（・）一4㌻（∬）旗（2・6）

そして∫（劣）をこのような無限級数に展開できるというのがテイラーの定理である．かつての物理数学の標となる．いま，xは小さい値であって，0からκまで準的教科書であった「自然科学者のための数学概論」の狭い範囲では，右辺の∫（寺澤，1941）が，この定理は「微分学において最も重∫（π）はπ二〇における値（0）で近似できるとすると，右辺は，要な定理であって，もしこの定理なかりせば微分学の右辺ザ（・）庖一ヂ（・）冗活用範囲は実に哀れなものであろう」というほど，あ（2・7），りがたい定理である（次節参照）．となる．ここで旬は近似的に等しいという記号である．

ヂ（π）舘ヂ（0）＋∫

さて，式（2．13）において，∬一α＝欲とおき，激は微少量だから欲の2次以上の高次の項は省略して，これを式（2．6）に代入すると，（0〉x（2．8）

が得られる．次に同じことをヂ（x）について行う．

∫（x十欲）舘∫（劣）十∫1（x）欲（2．14）とする．この近似は，第1図において，点QとPにおける∫（κ）の差を，点RとPにおける∫（κ）の差で近讐）一ヂ（x）（2．9）

似したのと同じである．高校や大学の一般教養課程の数学では，式の左右両辺がきっちり等しいという等式だけを扱ってきたが，自然科学では式（2．14）のようを0からπまで定積分すると，∫（κ）一∫（・）一4γ（冗）ぬ（2・1・）な近似式を頻繁に使う．マクローリン級数の場合でも，xが1より十分小さいときには，が得られる．右辺に式（2．8）を代入して積分すると，∫（κ）舘∫（0）十∫（0）π（2．15）

結局，と近似できる．従って，次のように近似できることを∫（％）》（0）＋∫1（0）x＋万∫（0）〆（2．11）

練習問題としてやってほしい：sinπ紀劣，cosが得られる．

（2．16）

x紀1（2．17）eκ紀1＋κ，1n（1＋∬）舘劣

上記では∫（π）から出発したが，もっと高次の導関数から出発すれば，もっと高い精度の近似式が得られ2．3偏微分る．さらに，これを一般化すると，次に，例えば地表面の気温の分布のように，ある物

理量が2つの独立変数∬と夕の関数であるとして，
1ル）二∫（0）＋∫ （0）κ＋7∫（0）x2＋ …

1＋万∫（η）（o）％η＋●∫（π，ダ）と表す．これまで述べてきた微分（常微分という）をほんの少し拡張して，偏微分というものを考え…

（2．12）というように，κが小さいときには，∫（芳）を％のべき乗の無限級数として書くことができる．これをマクローリン（MacLaurin）の級数という．ここで，銘！は階乗で，n！＝1・2……％である．

これをさらに一般化したのが，次のテイラー（Taylor）の級数である：

1999年8月

る．夕の値は固定しておいて，冗の値だけがπからπ＋欲まで増したとき，関数の増し分とxの増し分の比が，欲→0の極限でとる値が％に関する偏微分である．式（2．1）と同じような記号で書けば，
亘＿1im∫（π十欲，ツ）一∫（劣，ダ）∂冤

砒→o（2．18）

欲である．同じように，πの値は固定して，夕の値だけが29528

メソ気象力学の基礎（1）

変わったとき，関数の値がどれだけ変わるかの目安を

y∂v

一δ．yδ

与えるのが夕に関する偏微分∂〆／勧であって，∂yδx㌧
亘＿lim∫（π，夕＋め）ザ（κ，夕）∂yの→o（2．19）

めδyン＋一2Dである．例えば∫（劣，夕）＝x3＋η＋プのとき，∂〆／欲二βδyイ

3x2＋夕であり，∂〃aソニx＋3夕2である．

従って，式（2．14）を拡張し，点（κ＝α，y二6）から，それぞれ飢，めだけ増した点における関数の値

∂μ父
一δxδ∫

δyンー一2は，欲とめの1次までの項をとって，∫（α＋欲，酔め）》（￠δ）＋亘欲∂比＋亘む
⑦

∂冤cX

δx
X一一2X

δx
X十一2

第2図

発散の説明図．

（2．20）

CとDの∂の差は（∂∂／aソ）御であるから，説時間後と近似できる．偏微分はいずれも点（α，ゐ）における値には（∂∂／⑦）欲δyδ！だけ面積が増える（図の斜線のである．

部分）．図の四角形を構成する空気はその場の風と共に

なお，上に述べたことの大部分は「気象予報の物理動いているが，もとの面積欲めは説時間後には（∂％／学」（二宮，1998）にさらに詳しく解説されているから，欲＋∂∂／∂ウ）欲めδ1ギけ面積が増えたことになる（図参照していただきたい．のシェードと斜線が交差した四角形の部分は2次の微少量だから無視する）．気象学では速度の水平発散を，3．テイラー級数の応用一発散・収束と個別微分目を付けた部分の面積（S）が単位時間に増加する割合

早速テイラー級数展開の応用例を2つ述べよう．こで定義する．いまの場合，S二欲めなので，の講義では原則として直交直線座標系を用いる．π軸を東向きに正，夕軸を北向きに正，z軸を鉛直上方に正にとる．それぞれの方向の速度成分を％，∂，ωで表し，座標軸の正の方向を向いている速度成分を正にとる．

従って，東風は負，南風は正，下降流は負である．さ（お／s）」4s｝誌（警＋象）鋤説
水平発散＝説一S41δ！

∂％ ∂∂＝一＋一∂冤 aソ（3．1）て第2図のように，動いている大気中の水平面上で，である（この式の4／漉については，すぐ後でさらに述

劣，夕方向の辺の長さがそれぞれ微少量欲とめの小べる）．上式により，水平発散は（∂π／欲）＋（∂∂／aソ）

さな四角形を考える．四角形の中心Pにおける速度をであると定義してもよい．発散量が負のときには収束％，∂とすると，テイラー展開により，があるという．

これを拡張して，全次元の発散は，注目した空気の∂％欲点Aにおける∬方向の速度＝％＋一一∂冤2∂麗欲点Bにおけるx方向の速度＝π一一一∂冤2である．それで点AとBの速度の差は（∂％／∂冤）欲で微少部分の容積（V）が単位時間あたり増加した割合として，次のように表現される：
11V「∂％∂∂∂

3次元の発散二一一＝一＋一＋一
y 4！ ∂鷹 ∂y ∂z（3．2）

ある．微小時間説経った後には，点Pは（π＋％δ1，夕＋テイラー展開のもう1つの応用例は，温位や水蒸気∂δ∫）の位置に移るが，同時にもとのAB間の距離欲量などの保存則の数式化である．空気塊が時刻ちに点は速度の差に応じて（∂π／欲）欲δ！だけx方向に伸び（論，タ。，Z。）にいたとき持っていた物理量をg（論，タ。，る．CD間の距離はめであるから，これは（∂躍∂比）

z。，ち）とする．空気塊が風と共に動き，説時間後に点欲めδオだけ面積が増えたことになる．（図のシェード（絢＋欲，タ。＋御，z。＋説）にきたとき，物理量gはした部分）．夕方向についても同じように考えると，点g（絢＋欲，タ。＋む，z。＋説，ち＋説）という値をとると

30

天気46．8．

529

メソ気象力学の基礎（1）すると，単位時間あたりのσの変化（吻／読という記．

点にじっくり腰を据えて時間変化を観察する方法とが号を用いる）は，ある．前者をラグランジュ的，後者をオイラー的観察法という．それで個別時間微分をラグランジュ時間微釜一毒匂（論＋幅＋幅＋齢＋説）一9（絢，ッ。，z。．ち）｝分，局所時間微分をオイラー時間微分ということもある．

（3．3）

4．連続の式を導く

空気は運動しているが，空気の質量は減りも増えもである．右辺の最初の項をテイラー展開すれば，しない．このことを数式化したのが質量保存の式ある
9（論十δ芳，ツo十δy，Zo十δ2，ち十説）

いは連続の式とよばれているものである．それを導く

舘9（絢，ヌo，Zo，ち）ために，大気から小さな直方体を切り取り，その3辺＋璽欲＋璽め＋璽説＋璽説欲∂y．

∂2（3．4）∂！の長さをそれぞれ激，め，説とする．その容積は飢めδ2であり，空気の密度をρとすれば，質量はρδ城yδ2である．この直方体が風と共に動き，容積が時となるから，式（3．3）は間と共に変化しても，その質量は変化しない．このこ

璽舘璽童＋璽壁＋璽童＋童〃∂鷹δ渉

ayδL1∂zδ！

（3．5）∂渉となる．欲，め，δ2は時間説の間に空気塊がπ，夕，とを式で表現すれば，4（鋤説）二〇（4．1）

〃zの方向に移動した距離なので，δ1を小さくしていくと，欲／δ！＝％，め／説二∂，δ2／δ！二〃となる．従って，

壷二璽＋％璽＋∂璽＋ω璽4！

∂！

∂冤

ay

（3．6）

である．ここで式（2．4）の微分のルールを用いると，

霧轍＋ρ4（弊）一・（4．2）∂zが得られる．左辺（吻／4！）は空気塊に乗って空気塊と共に動いたときに経験する単位時間あたりの物理量の変化で，これを個別時間微分という．これに対して右と書ける．これは，

1塵＋14（欲鍼）＝o

ρ6！渉δ比（5ンδ2（4．3）

4渉辺第1項（∂g／∂！）は，ある場所（論，ッ。，z。）で起きる単位時間当たりの物理量の変化で，これを局所時間に等しい．

微分という．残りの3項を移流項という．

るから，そして第2項は式（3．2）で述べた発散であ

例えばgとして温位θをとる．空気塊が断熱変化をしているときには温位は保存される．すなわち4θ／協＋（警＋象霧）一・（4．4）

読＝0が成り立つ（熱力学第1法則）．このときには，と書き直せる．これが質量保存の式あるいは連続の式式（3．6）により，とよばれているものである．
∂θ

コ∂！

∂θ∂θ

ゆ ∂％び ay∂θノ∂2（3．7）である．

ところで，式（3．6）によれば，

塵二亜＋％迦＋∂亜＋側亜漉∂！

∂比ay（4．5）∂z

温位が北に向かって減少しているときに（∂θ／勿＜0），南風（∂＞0）が吹けば，式（3．7）により∂θ／∂1＞0である．すなわち，その地点の温位は増加する．暖かい空気の移流効果である．普通，温位は高度と共に増であるから，これを式（4．4）に代入して整理すると，

亜＋塑＋廻＋塑＿o∂1∂罵ay∂z（4．6）

加している．それで上昇流がある地点の温位は減少する．鉛直移流効果である．一般的に気象の変化を観察が得られる．これも連続の式であり，式（4．4）と同様する方法として，目を付けた空気塊を追いかけて，そによく用いられる．の空気塊の変化を観察する方法と，ある固定された地

1999年8月

一般的に密度がどこでもいつでも一定である流体を
31

530

メソ気象力学の基礎（1）

非圧縮性流体という．この場合は式（4．4）において伽／z漉二〇であるから，非圧縮性流体の連続の式は，
∂z6

∂∂∂ω

一十一十一二〇∂冤 ay ∂z（4．7）

話癖一一（ρ＋塑δx）

P灘∂xである．すなわち，発散＝0である．

δyツδx5．運動方程式を導く

X

ニュートンの運動の第2法則によれば，ある物体の運動量（物体の質量と速度の積）の単位時間（1秒問）

第3図

気圧傾度力の説明図．

∂％∂％

当たりの変化は，その物体に働いている力の和に等しい．質量卿は変わらないとすれば，例えばπ方向では，4％4（吻％）4！

伽

二卿一二力の和のX方向の成分
読（5．1）∂％∂麗一二一十％一十∂一十zθ一距 ∂！
∂比∂y∂2＿1∂ρ
ρ∂比（5．4）が成り立つ．伽／読二加速度であるから，これが質量×加速度＝力という運動の法則を数式で表したもので，と書くこともできる．

劣方向の運動方程式という．

同じようにして，夕方向の運動方程式は，大気の一部を切り取った空気塊には，周りの空気が圧力（気圧）を及ぽしている．第3図のように，劣，夕，z方向にそれぞれ微少量欲，み，δ2の長さの辺をもつ1∂∂∂＿1∂ρ∂∂∂∂∂∂

一＝一十％一十∂一十ω一〃 ∂！
∂冤∂y∂z

直方体を占める空気塊を考える．図のB点における気（5．5）ρay

圧をρとすると，図の面Bの面積はめδ2であるから，面Bを通して空気塊に働いている気圧はρむδ2であとなる．重力はいつも鉛直下方に働いているから，重る．テイラーの近似式を使うと，点、4における気圧力加速度をg（＝9．8ms−2）とすると，鉛直方向の運は，ρ＋（∂ρ／∂冤）欲であるから，面且を通して空気塊動方程式は，に働いている気圧は，一｛ρ＋（∂ρ／∂比）激｝めδ2である．従って，さしひき空気塊に働く％方向の気圧は助

一一欲δ夕δ2∂鷹

4多o∂zo∂zo∂ω∂ω

一二一十％一十∂一十zo一読 ∂！
∂冤ay∂z1∂ρ

（5．2）

（5．6）

二｝万蕊一9である．空気の密度をρとすれば，この直方体の質量となる．式（5．4）一（5．6）がコリオリカと空気の粘性は吻＝ρ欲みδ2である．この郷と式（5．2）の力の成分による摩擦力を無視したときの運動方程式である．

を式（5．1）に代入すると，

伽
読

1∂ρ
ρ∂冤

さて，大気中にはいつも水蒸気が含まれているが，話を簡単にするために，この講義では水蒸気の影響は（5．3）

全く無視して乾燥空気だけを考える．乾燥空気の気体

定数をR，温度をTとすると，乾燥空気の状態方程式という∬方向の運動方程式が得られる．右辺が気圧傾度力といわれている力のX成分である．負の符号が付いていることは，気圧傾度力は気圧が高い地点から低は，ρ二ρRT（5．7）

い地点に向かって働いていることを表している．あると書ける．単位質量の空気が単位時間にQという割合

いは，式（3．6）を用いると，で加熱されている場合には，熱力学の第1法則は，温位θを用いて，

32

天気

46．8．

531

メソ気象力学の基礎（1）うものを使うことができる．ここでスケール・ハイト
4θ∂θ∂θ∂θ∂θというのは，例えば，密度がどこでも一定（ρ。）という

一＝一十％一十∂一十ω一〃 ∂！
∂％
ay∂zθ

●二 qT Q

仮想的な等密度大気では，地上の気圧（ρ。）はそれより（5．8）

ある．Hは約10kmであり，冬に日本海上に出現する筋状の雲の雲頂高度は約2kmだから，こうした現象と書ける．ここで，温位は，θ一丁（勢四上にある大気の重みであるから，ρ。＝ρ。8Eという関係があり，このHが等密度大気のスケール・ハイトで（5．9）にはブジネスク近似が適用できる．以下h／H…εとおいて，εが10−1かそれ以下の大きさの場合を考える．≡

で定義される．（らは乾燥空気の定圧比熱，ρ。は標準のはこの式で定義するという記号である．この節では，気圧（ふつう1，000hPaにとる）である．Q二〇の場合方程式の中の各項の大きさの桁数を問題として，数値には，式（5．8）は断熱変化の場合に温位が保存されるは問題としない．

ことを示す．

まず，ρ，ρ，Tを基本状態（の記号で表す）とそ

いまQは外から与えられて既知だとすると，ある時れに重なった擾乱（対流や波動など）に分ける．基本

刻における大気の状態および運動は％，∂，ω，T，ρ，状態はZだけの関数とする．さらに，基本状態を次のρ，θの7個の変数（これを従属変数という）の空間分ように2つに分けて，布により完全に記述される．そしてこれらの7個の従ρ（拘第Z，∫）二ρ（Z）十ρ

属変数について，κ，夕，z，渉を独立変数として7個の方程式（4．4），（5．4）一（5．9）があるから，後で述べる

ρ（笛第z，！）二ρ（z）＋ρ

初期条件と境界条件というものを指定すれば，この方
程式群を時間について積分することによって，将来のT（勘第ろ渉）二7（6．2）（2）＋T〆（的第z，渉）＝端十Z（z）十丁も一般的な方程式の組み合わせで，圧縮性流体の運動（6．1）（㊧第2，1）＝ρo十ρ1（z）十ρ1

大気の運動および状態を知ることができる．これが最方程式系という．第1節で，大気の運動では，流れに（X，夕，Z，渉）＝ρo十ρ1（z）十ρ〆（6．3）と表現する．ここで，ρ。，ρ。，端は定数であり，地表によって温度分布が変わり，気圧分布が変わり，この気おける値，あるいは今考えている層の鉛直方向の平均圧傾度力の変化が流れの変化をもたらすという一連の値をとる．層内で基本状態が高度と共に変化している変化が連続的に起こっていると述べたが，この一連の様子がρ、，ρ1，Zで表されている．この基本状態に対変化は上記の運動方程式系で記述されるわけである．

しては，静水圧平衡∂ρ1／∂z＝一ρ1gおよび気体の状態

実際の現象に対しては，個々の現象に応じて，もっと方程式ρ1＝ρ1R71が成り立つとする．

簡単化した方程式が用いられることは，以下述べるとおりである．

いま，△ρという記号で層内の気圧の変動の幅，すなわちρ1＋グがとり得る値の最大値と最小値の差を表すとする．同様にして，温度の変動の幅を△T，密度6．ブジネスク近似の変動の幅を△ρとする．このとき，層が薄いというこ

前節で述べた圧縮性流体の運動方程式系は一般的なとから，もので，実際の問題によっては，これを近似した式を用いることができる．例えば，総観規模の気象では，坐〜傷坐〜動皿〜ερ。

ρ。

（6．4）

7ら鉛直方向の運動方程式（5．6）の代わりに，鉛直加速度を省略した方程式，すなわち静水圧平衡の式∂ρ／と仮定することができる．〜はだいたいこれくらいの∂2＝一ρg，が使えることは，よく知られている．積乱

大きさという記号である．例えば，地表から高さ800雲などのメソ気象には静水圧平衡の近似は使えない．

hPaまでの層の中の擾乱を対象としているときには，しかし，大気のスケール・ハイト（H）にくらべて，ρ1の変動量は200hPaの程度であり，ふつう考えてい対象とする大気層の厚さ（h）が非常に薄い場合，言いる擾乱では，擾乱に伴う気圧の変動量グはρ1の変動

換えれば空気塊が鉛直方向に動く距離がHより非常（すなわち200hPa）よりはるかに小さい．それで（6．4）に短い場合には，ブジネスク（Boussinesq）近似といの仮定はたいてい満足される．既に述べたようにρ。＝

1999年8月

33

532

メソ気象力学の基礎（1）ρ。ψであり，おおざっぱな議論としては，ρ1の変動量
4∂はρ。ghの桁数であるから，△ρ／ρ。〜h／H〜εとなる．

∂∂∂∂∂∂∂∂

一＝一十π一十∂一十zo一1渉 ∂！
∂比ay∂z

それで以下では，もとの圧縮性流体の方程式系の中＿の各項の大きさを調べて，その中にεの大きさの項があったら，それを省略するという作業をしていく．ま4ω

1∂ρ1ρ。∂y∂ω（6．9）∂多o∂多θ

∂卿

一二一十％一十∂一十ZO−4渉 ∂！
∂冤ay∂zず連続の式であるが，これは式（4．4）から，＿＿⊥型＿亙

一警＋器＋讐一一去霧一一誘1・ρρo∂zρo（6．10）9も得られる．

一一誘1n向（・＋穿）

次に気体の状態方程式の自然対数をとると，

傷ln（1＋警）傷（・の大きさ）（6．5）

lnρ＝lnρ＋1nT＋lnR（6．11）

およびと順次に書き直せる。最後の変形のところでは，一般にεをある小さい量とするとき，1n（1＋ε）舘εというテイラー近似を用いている（第2節）．

（6．12）

1nρ。＝1nρ。＋ln7も＋1nRが得られる．式（6．11）を書き直して，式（6．5）の右辺はεの大きさの微少量であるから，lnあ（・＋縞グ）一1n向（・＋穿）

左辺とくらべて省略すると，∂％∂∂∂ω一十一十一＝0∂鷹 ay ∂z（6．6）

＋1n端（・＋殊7）＋1n瓦（6．13）となり，連続の式は非圧縮性流体のそれと全く同じ式

式（6．13）から式（6．12）をひいて，1n（1＋ε）霜εのを用いてよいことになる．（厳密にいうと，式（6．5）

近似式を使うと，の右辺にはゴ／漉という微分があり，時間的に早く振動する運動，例えば音波，に対しては，単にεが小さρ1＋グニ直＋Z＋T1ρ。

ρ。

（6．14）

7もいという理由だけでは，右辺を左辺に比べて省略できないのであるが，いまはそのような速い運動は考えなとなる．擾乱がないときには，いので，この問題には深入りしない）．
次に式（6．1）と（6．2）を運動方程式（5．4）に代入

血二色＋一五ρ。ρ。 7も（6．15）

すると，であるから，これを式（6．14）からひくと，向（・＋穿）霧一悪（6．7）

が得られるが，（ρ1＋ρノ）／ρ。はεの大きさであるから省略して，乏＝亙＋ヱとρ。ρ。 7も（6．16）が得られる．擾乱に伴う変動グとρ〆については静水♂％∂％∂％∂麗∂％

一＝一十％一十∂一十zθ一！！ ∂渉∂冤ay∂z＿1aρ1ρo∂％を得る．同様にして，他の2つの運動方程式，圧平衡は適用できないが，∂ρ／∂2は〆gと同じ程度の大きさである．それでグとρの変動量の最大の大きさをそれぞれムグと△ρ1と記すと，（6．8）△1メ／h〜8△ρ（6．17）としてよいであろう．そうすると，

筈／雛一・34（6．18）

天気

46．8．

533

メソ気象力学の基礎（1）となる．εの大きさを省略すると，式（6．16）は，（6．8），（6．9），（6．20），連続の式は（6．6），気体の状態方程式は（6．19），熱力学め第1方程式は（6．22）でノ＿T〆（6．19）

ρ『一ρo万ある．これら一組の方程式を導く近似をブジネスク近似と呼び，この方程式系で記述される流体をブジネスとなる．これは重要な結果で，密度の変動は温度の変ク流体という．その特徴は，①空気のように圧縮され動だけで決まり，圧力の変動の影響は考えなくてよい

やすく密度が変わりやすい流体を扱っているのにもかのである．しかし（6．15）で示したように，基本状態かわらず，まるで非圧縮流体のような連続の式に従う．

では圧力変動の効果を考慮しなければならない．式

ただし重力と結び付いた項だけでは密度の変化の効果（6．19）を式（6．10）に代入すれば，鉛直方向の運動方を考える．これによって浮力がちゃんと作用すること

程式は，が保証されている．②密度の変動に対する圧力の変動は無視してよく，密度の変動は温度の変動だけで決ま

奮一一志筈＋そ9（6．20）

る．このことは実際上たいへん便利である．というのは，対流などで浮力の大きさを決めるのは密度の変動であるが，密度の直接測定は困難で，測定しやすいのとなる．

温位θも基本状態と擾乱の部分に分けて，は温度だからである．

θ（〜第2，∫）二θ（z）＋θ〆（的第z，！）＝θ。＋θ1（z）＋θ

（6．21）とすると，熱力学の第1法則は，はじめに述べたように，ブジネスク近似が適用できるのは，層の厚さが大気のスケール・ハイトより非常に小さい現象だけである．一積乱雲のような，地表付近から対流圏界面に達するような深い対流にはブジネス

ク近似は使えない．この場合には，もっと一般的な非4θ∂θ〆∂θ〆∂θ∂θ14θ

一＝一十π一十∂一十ω一十ZO一漉∂！
∂比ay∂z
ぬ＿θo

●

一ら7もQ

（6．22）

弾性（anelastic）近似というものか，もとの非圧縮性流体の運動方程式系を用いる必要がある．ブジネスク

近似は非弾性近似の特殊な場合と性格づけることができる（「地球流体力学入門」（木村，1983），「メソ気象と書ける．ちなみに，θの定義式から，（6．11）一（6．15）の基礎理論」（小倉，1997））．と同様にして
θ1 T
1〜グθ。 7ら C砂。

であるが，既に述べたように，ρ1／ρ。《T参（6．23）

考文献

木村龍治，1983：地球流体力学入門，東京堂出版，247pp．

日本気象学会編，1998：新教養の気象学，朝倉書店，144／7もであるかPP．

二宮洗三，1998：気象予報の物理学，オーム社出版局，

ら，202pp．
θ〆T〆

θ。

7も小倉義光，1997：メソ気象の基礎理論，東京大学出版会，（6．24）となり，再び擾乱部分では圧力変動の影響は無視できる．

以上長くなったので要約すると，運動方程式は1999年8月

215pp．
小倉義光，1999：一般気象学第2版，東京大学出版会，308pp．
寺澤寛一，1941：自然科学者のための数学概論修正第3版，岩波書店，762pp．

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