試験開始の指示があるまで，この問題冊子の中を見てはいけません。

学

注事

Ⅰ

数
1意

②（ ）
100 点〔数学Ⅱ・数学Ｂ〕

60 分

項

解答用紙に，正しく記入・マークされていない場合は，採点できないことがあります。

₂

この問題冊子は，₂₇ ページあります。
試験中に問題冊子の印刷不鮮明，ページの落丁・乱丁及び解答用紙の汚れ等に気付いた場合は，手を高く挙げて監督者に知らせなさい。
選択問題については，いずれか 2 問を選択し，その問題番号の解答欄に解答し₃なさい。
₄ 問題冊子の余白等は適宜利用してよいが，どのページも切り離してはいけません。
₅

試験終了後，問題冊子は持ち帰りなさい。
解答上の注意Ⅱ1

解答は，解答用紙の問題番号に対応した解答欄にマークしなさい。

₂ 問題の文中の， イウ などには，特に指示がないかぎり，符号（-），

ア

数字（ 0 ～ ₉ ），又は文字（ａ～ｄ）が入ります。ア，イ，ウ，…の一つ一つは，
これらのいずれか一つに対応します。それらを解答用紙のア，イ，ウ，…で示された解答欄にマークして答えなさい。
（例 1 ）

アイウ に -₈a と答えたいとき

ア―0123456789abcdイ―

0123456789abcdウ―0123456789abcdア，

なお，同一の問題文中にとして， ₂ 度目以降は，ア，イウイウなどが ₂ 度以上現れる場合，原則のように細字で表記します。

この解答上の注意は，問題冊子の裏表紙にも続きます。問題冊子を裏返して必ず読みなさい。
1

2

数学Ⅱ・数学Ｂ
問

題

選択

方

法

第1問

必答

第2問

必答

第4問
第5問

第3問

いずれか ₂ 問を選択し，解答しなさい。

3

数学Ⅱ・数学Ｂ

第 1 問 （必答問題）（配点₃₀）〔 ₁ 〕 O を原点とする座標平面上に，点 A（₀，-₁）と，中心が O で半径が ₁ の
円 C がある。円 C 上に y 座標が正である点 P をとり，線分 OP と x 軸の正の部分とのなす角を i（₀ 1 i 1 r）とする。また，円 C 上に x 座標が正であrとなるようにとる。次の問いに答えよ。
る点 Q を，つねに +POQ =2⑴P，Q の座標をそれぞれθを用いて表すと
Pbア，イQbウ，エである。

ア〜エ

yll-₁に当てはまるも₁OP
₁xQのを，次の 0 〜 5 のうちから一つずつ選べ。

-₁ A

ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。

0sin i1cos i2tan i3-sin i4-cos i5-tan i（数学Ⅱ・数学Ｂ第 1 問は次ページに続く。）

4

数学Ⅱ・数学Ｂ⑵i は ₀ 1 i 1 r の範囲を動くものとする。このとき線分 AQ の長さ l はi の関数である。関数 l のグラフとして最も適当なものを，次の 0 〜 9 のうちから一つ選べ。

オl₂l₂01OrOil₂ririririril₂23OrOil₂l₂45OrOil₂l₂67OrOil₂l₂89OriO（数学Ⅱ・数学Ｂ第 1 問は次ページに続く。）

5

数学Ⅱ・数学Ｂ〔 ₂ 〕 ₃ 次関数 f ]xg は，x = -₁ で極小値 -4をとり，x = ₃ で極大値をと3る。また，曲線 y = f ]xg は点（₀，₂）を通る。
⑴

f ]xg の導関数 f l]xg はbx +キl bx -次関数であり， f l]xg はカクlで割り切れる。

⑵

f ]xg =ケコ
サx₃ +シx₂ +スx+セである。

（数学Ⅱ・数学Ｂ第 1 問は次ページに続く。）

6

数学Ⅱ・数学Ｂ
方程式 f ]xg = 0 は，三つの実数解をもち，そのうち負の解は⑶ソ個である。

ま た， f ]xg = 0 の 解 を a，b，c（a 1 b 1 c）と し， 曲 線 y = f ]xg のa E x E b の部分と x 軸とで囲まれた図形の面積を S，曲線 y = f ]xg のb E x E c の部分と x 軸とで囲まれた図形の面積を T とする。
このとき# f ]xg dx =cタaである。

タに当てはまるものを，次の 0 〜 8 のうちから一つ選べ。

0₀1S

2T

3-S

5S+T6S-T

7-S + T

8-S - T

4-T

（数学Ⅱ・数学Ｂ第 1 問は次ページに続く。）

7

数学Ⅱ・数学Ｂ〔₃〕
log ₁₀ ₂ = ₀．₃₀₁₀ と す る。 こ の と き，₁₀⑴チ，ツチ= ₂，₂ツ= ₁₀ と な る。に当てはまるものを，次の 0 〜 8 のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを選んでもよい。

⑵

0₀

1₀．₃₀₁₀2-₀．₃₀₁₀

3₀．₆₉₉₀4-₀．₆₉₉₀

510．
3010

6-

7

10．
6990

8-

10．
3010

10．
6990

次のようにして対数ものさし A を作る。
対数ものさし A
₂ 以上の整数 n のそれぞれに対して， ₁ の目盛りから右に log ₁₀ nだけ離れた場所に n の目盛りを書く。
log ₁₀ nlog ₁₀ ₂₁…
…

₂n…
…

対数ものさし A

対数ものさし A において， ₃ の目盛りと ₄ の目盛りの間隔は， ₁ の目ⅰ

テ

盛りと ₂ の目盛りの間隔テ。に当てはまるものを，次の0 〜 2 のうちから一つ選べ。
0より大きい1に等しい

2より小さい（数学Ⅱ・数学Ｂ第 1 問は次ページに続く。）

8数学Ⅱ・数学Ｂ
また，次のようにして対数ものさし B を作る。
対数ものさし B
₂ 以上の整数 n のそれぞれに対して， ₁ の目盛りから左に log ₁₀ nだけ離れた場所に n の目盛りを書く。
log ₁₀ nlog ₁₀ ₂…
…

…
…

n₂₁

対数ものさし B

次の図のように，対数ものさし A の ₂ の目盛りと対数ものさし B の ₁ⅱの目盛りを合わせた。このとき，対数ものさし B の b の目盛りに対応する対数ものさし A の目盛りは a になった。

対数ものさし B
₁b₁₂a
対数ものさし Aa と b の関係について，いつでも成り立つ式を，次の 0 〜 3 のうちから一つ選べ。

ト0a=b+₂

1a = ₂b2a = log ₁₀（b + ₂）

3a = log ₁₀ ₂b（数学Ⅱ・数学Ｂ第 1 問は次ページに続く。）

9数学Ⅱ・数学Ｂ
さらに，次のようにしてものさし C を作る。
ものさし C
自然数 n のそれぞれに対して， ₀ の目盛りから左に n log ₁₀ ₂ だけ離れた場所に n の目盛りを書く。
n log ₁₀ ₂log ₁₀ ₂…
…

…
…

n₁₀

ものさし C

次の図のように対数ものさし A の ₁ の目盛りとものさし C の ₀ の目ⅲ

盛りを合わせた。このとき，ものさし C の c の目盛りに対応する対数
ものさし A の目盛りは d になった。

ものさし C₀₁c₁₂d
対数ものさし A

c と d の関係について，いつでも成り立つ式を，次の 0 〜 3 のうちから一つ選べ。

ナ0d = ₂c1d = c₂2d = ₂c3c = log ₁₀ d（数学Ⅱ・数学Ｂ第 1 問は次ページに続く。）

10数学Ⅱ・数学Ｂ
対数ものさし A と対数ものさし B の目盛りを一度だけ合わせるか，ⅳ

対数ものさし A とものさし C の目盛りを一度だけ合わせることにする。
このとき，適切な箇所の目盛りを読み取るだけで実行できるものを，次の 0 〜 5 のうちからすべて選べ。

0₁₇ に ₉ を足すこと。

1₂₃ から ₁₅ を引くこと。

2₁₃ に ₄ をかけること。

3₆₃ を ₉ で割ること。

4₂ を ₄ 乗すること。

5log ₂ ₆₄ の値を求めること。

11ニ数学Ⅱ・数学Ｂ

第 2 問 （必答問題）（配点₃₀）〔 ₁ 〕 ₁₀₀ g ずつ袋詰めされている食品 A と B がある。 ₁ 袋あたりのエネルギー
は食品 A が ₂₀₀ kcal，食品 B が ₃₀₀ kcal であり， ₁ 袋あたりの脂質の含有量は食品 A が ₄ g，食品 B が ₂ g である。

⑴

太郎さんは，食品 A と B を食べるにあたり，エネルギーは ₁₅₀₀ kcal以下に，脂質は ₁₆ g 以下に抑えたいと考えている。食べる量（g）の合計が最も多くなるのは，食品 A と B をどのような量の組合せで食べるときかを調べよう。ただし，一方のみを食べる場合も含めて考えるものとする。

ⅰ食品 A を x 袋分，食品 B を y 袋分だけ食べるとする。このとき，x，y は次の条件①，②を満たす必要がある。
摂取するエネルギー量についての条件

ア……… ①

摂取する脂質の量についての条件

イ……… ②ア，イに当てはまる式を，次の各解答群のうちから一つずつ選べ。

アの解答群

0₂₀₀x + ₃₀₀y E ₁₅₀₀

1₂₀₀x + ₃₀₀y F ₁₅₀₀

2₃₀₀x + ₂₀₀y E ₁₅₀₀

3₃₀₀x + ₂₀₀y F ₁₅₀₀

イの解答群

0₂x + ₄y E ₁₆

1₂x + ₄y F ₁₆

2₄x + ₂y E ₁₆

3₄x + ₂y F ₁₆

（数学Ⅱ・数学Ｂ第 2 問は次ページに続く。）

12数学Ⅱ・数学Ｂ
ⅱ

x，y の値と条件①，②の関係について正しいものを，次の 0 〜 3 のうちから二つ選べ。ただし，解答の順序は問わない。

ウ，エ0 （x，y）=（₀，₅）は条件①を満たさないが，条件②は満たす。
1 （x，y）=（₅，₀）は条件①を満たすが，条件②は満たさない。
2 （x，y）=（₄，₁）は条件①も条件②も満たさない。
3 （x，y）=（₃，₂）は条件①と条件②をともに満たす。

ⅲ

条件①，②をともに満たす（x，y）について，食品 A と B を食べる量の合計の最大値を二つの場合で考えてみよう。
食品 A，B が ₁ 袋を小分けにして食べられるような食品のとき，すなわち x，y のとり得る値が実数の場合，食べる量の合計の最大値は
オカキ^x，yh = fg である。このときの（x，y）の組は，
クp である。

コ，ケ

サ

次に，食品 A，B が ₁ 袋を小分けにして食べられないような食品のとき，すなわち x，y のとり得る値が整数の場合，食べる量の合計の最大値は⑵

シスセ g である。このときの（x，y）の組はソ通りある。

花子さんは，食品 A と B を合計 ₆₀₀ g 以上食べて，エネルギーは ₁₅₀₀ kcal以下にしたい。脂質を最も少なくできるのは，食品 A，B が ₁ 袋を小分けにして食べられない食品の場合，A をときで，そのときの脂質はツテ

タ袋，B をチ袋食べるg である。

（数学Ⅱ・数学Ｂ第 2 問は次ページに続く。）

13

数学Ⅱ・数学Ｂ〔₂〕
座標平面上に点 A をとる。点 P が放物線 y = x ₂ 上を動くとき，線分 AP⑴の中点 M の軌跡を考える。

ⅰ

点 A の座標が（₀，-₂）のとき，点 M の軌跡の方程式として正しいものを，次の 0 〜 5 のうちから一つ選べ。

ト0y = x₂ - ₁

1y = ₂x ₂ - ₁

2y=1 2x -1
23y= x -1

4y=2 x -15y=1x -12ⅱp を実数とする。点 A の座標が（p，-₂）のとき，点 M の軌跡はⅰの軌跡を x 軸方向にナだけ平行移動したものである。

ナに当てはまるものを，次の 0 〜 5 のうちから一つ選べ。
01p23-ⅲ1p21p2₂p4-p5-₂pp，q を実数とする。点 A の座標が（p，q）のとき，点 M の軌跡と放物
線 y = x ₂ との共有点について正しいものを，次の 0 〜 5 のうちからすべて選べ。

ニ0q = ₀ のとき，共有点はつねに ₂ 個である。

1q = ₀ のとき，共有点が ₁ 個になるのは p = ₀ のときだけである。

2q = ₀ のとき，共有点は ₀ 個， ₁ 個， ₂ 個のいずれの場合もある。

3q 1 p ₂ のとき，共有点はつねに ₀ 個である。

4q = p ₂ のとき，共有点はつねに ₁ 個である。

5q 2 p ₂ のとき，共有点はつねに ₀ 個である。

（数学Ⅱ・数学Ｂ第 2 問は次ページに続く。）

14

数学Ⅱ・数学Ｂ₀），ある円 C 上を動く点 Q がある。下の図は定点 O（₀，₀），A（-₉，₁⑵A（-₅，-₅），A（₅，-₅），A（₉，₀）に対して，線分 OQ，A ₁ Q，A ₂ Q，₂₃₄A ₃ Q，A ₄ Q のそれぞれの中点の軌跡である。このとき，円 C の方程式として最も適当なものを，下の 0 〜 7 のうちから一つ選べ。

ヌy₅A₁₅-₅OA₂A₄xA₃-₅0x₂ + y₂ = ₁1x₂ + y₂ = ₂2x₂ + y₂ = ₄3x ₂ + y ₂ = ₁₆

4₂x ₂ +（y + ₁）
=₁5₂x ₂ +（y + ₁）
=₂6₂x ₂ +（y + ₁）
=₄7₂x ₂ +（y + ₁）
= ₁₆15

数学Ⅱ・数学Ｂ

第 3 問〜第 5 問は，いずれか 2 問を選択し，解答しなさい。

第 3 問 （選択問題）（配点₂₀）

昨年度実施されたある調査によれば，全国の大学生の ₁ 日あたりの読書時間の平均値は ₂₄ 分で，全く読書をしない大学生の比率は ₅₀ ％ とのことであった。
大規模 P 大学の学長は，P 大学生の ₁ 日あたりの読書時間が ₃₀ 分以上であってがく欲しいと考えていたので，この調査結果に愕然とした。そこで今年度，P 大学生から ₄₀₀ 人を標本として無作為抽出し，読書時間の実態を調査することにした。
次の問いに答えよ。ただし，必要に応じて ₁₉ ページの正規分布表を用いてもよい。

⑴ P 大学生のうち全く読書をしない学生の母比率が，昨年度の全国調査の結果と同じ ₅₀ ％ であると仮定する。
標本 ₄₀₀ 人のうち全く読書をしない学生の人数の平均（期待値）はアイウ人である。
また，標本の大きさ ₄₀₀ は十分に大きいので，標本のうち全く読書をしない学生の比率の分布は，平均（期待値）₀．

エ，標準偏差 ₀． オカキの正規分布で近似できる。

（数学Ⅱ・数学Ｂ第 3 問は次ページに続く。）

16

数学Ⅱ・数学Ｂ⑵

P 大学生の読書時間は，母平均が昨年度の全国調査結果と同じ ₂₄ 分であると仮定し，母標準偏差を v 分とおく。

ⅰ

標本の大きさ ₄₀₀ は十分に大きいので，読書時間の標本平均の分布は，平v分の正規分布で近似できる。
均（期待値） クケ 分，標準偏差コサⅱv = ₄₀ とする。読書時間の標本平均が ₃₀ 分以上となる確率は₀． シスセソ
また，タである。となる確率は，およそ ₀．₁₅₈₇ である。

タに当てはまる最も適当なものを，次の 0 〜 5 のうちから一つ選べ。

0

大きさ ₄₀₀ の標本とは別に無作為抽出する一人の学生の読書時間が ₂₆ 分
以上1

大きさ ₄₀₀ の標本とは別に無作為抽出する一人の学生の読書時間が ₆₄ 分
以下

2

P 大学の全学生の読書時間の平均が ₂₆ 分以上

3

P 大学の全学生の読書時間の平均が ₆₄ 分以下

4

標本 ₄₀₀ 人の読書時間の平均が ₂₆ 分以上

5

標本 ₄₀₀ 人の読書時間の平均が ₆₄ 分以下（数学Ⅱ・数学Ｂ第 3 問は次ページに続く。）

17

数学Ⅱ・数学Ｂ
P 大学生の読書時間の母標準偏差を v とし，標本平均を X とする。P 大学⑶

生の読書時間の母平均 m に対する信頼度 ₉₅ ％ の信頼区間を A E m E B とす
る と き， 標 本 の 大 き さ ₄₀₀ は 十 分 に 大 き い の で，A は X と v を 用 い てチと表すことができる。

チⅰに当てはまる式を，次の 0 〜 7 のうちから一つ選べ。

0X - 0．
95 #v
20

1X - 0．
95 #v
4002X - 1．
64 #v
203X - 1．
64 #v
400

4X - 1．
96 #v
205X - 1．
96 #v
400

6X - 2．
58 #v
20

7X - 2．
58 #v
400ⅱ

母平均 m に対する信頼度 ₉₅ ％ の信頼区間 A E m E B の意味として，最も適当なものを，次の 0 〜 5 のうちから一つ選べ。
0ツ

標本 ₄₀₀ 人のうち約 ₉₅ ％ の学生は，読書時間が A 分以上 B 分以下である。

1P 大学生全体のうち約 ₉₅ ％ の学生は，読書時間が A 分以上 B 分以下である。

2

P 大学生全体から ₉₅ ％ 程度の学生を無作為抽出すれば，読書時間の標本平均は，A 分以上 B 分以下となる。

3

大きさ ₄₀₀ の標本を ₁₀₀ 回無作為抽出すれば，そのうち ₉₅ 回程度は標本平均が m となる。

4

大きさ ₄₀₀ の標本を ₁₀₀ 回無作為抽出すれば，そのうち ₉₅ 回程度は信頼区間が m を含んでいる。

5

大きさ ₄₀₀ の標本を ₁₀₀ 回無作為抽出すれば，そのうち ₉₅ 回程度は信頼区間が X を含んでいる。
（数学Ⅱ・数学Ｂ第 3 問は次ページに続く。）

18

数学Ⅱ・数学Ｂ
正規分

布表
y

次の表は，標準正規分布の分布曲線における右図の灰色部分の面積の値をまとめたものである。

0.01

0.02

0.03

0.04

O0.06

0.07z0.08

0.09z₀0.00

0.0₀．₀₀₀₀ ₀．₀₀₄₀ ₀．₀₀₈₀ ₀．₀₁₂₀ ₀．₀₁₆₀ ₀．₀₁₉₉ ₀．₀₂₃₉ ₀．₀₂₇₉ ₀．₀₃₁₉ ₀．₀₃₅₉

0.1
0.2
0.3
0.4
0.5

₀．₀₃₉₈₀．₀₇₉₃₀．₁₁₇₉₀．₁₅₅₄₀．₁₉₁₅₀．₀₄₃₈₀．₀₈₃₂₀．₁₂₁₇₀．₁₅₉₁₀．₁₉₅₀₀．₀₄₇₈₀．₀₈₇₁₀．₁₂₅₅₀．₁₆₂₈₀．₁₉₈₅₀．₀₅₁₇
₀．₀₉₁₀₀．₁₂₉₃₀．₁₆₆₄₀．₂₀₁₉₀．₀₅₅₇
₀．₀₉₄₈₀．₁₃₃₁₀．₁₇₀₀₀．₂₀₅₄₀．₀₅₉₆
₀．₀₉₈₇₀．₁₃₆₈₀．₁₇₃₆₀．₂₀₈₈₀．₀₆₃₆₀．₁₀₂₆₀．₁₄₀₆₀．₁₇₇₂₀．₂₁₂₃₀．₀₆₇₅₀．₁₀₆₄₀．₁₄₄₃₀．₁₈₀₈₀．₂₁₅₇₀．₀₇₁₄₀．₁₁₀₃₀．₁₄₈₀₀．₁₈₄₄₀．₂₁₉₀₀．₀₇₅₃₀．₁₁₄₁₀．₁₅₁₇₀．₁₈₇₉₀．₂₂₂₄

0.6
0.7
0.8
0.9
1.0

₀．₂₂₅₇₀．₂₅₈₀₀．₂₈₈₁₀．₃₁₅₉₀．₃₄₁₃₀．₂₂₉₁₀．₂₆₁₁₀．₂₉₁₀₀．₃₁₈₆
₀．₃₄₃₈₀．₂₃₂₄₀．₂₆₄₂₀．₂₉₃₉₀．₃₂₁₂
₀．₃₄₆₁₀．₂₃₅₇₀．₂₆₇₃₀．₂₉₆₇₀．₃₂₃₈₀．₃₄₈₅₀．₂₃₈₉₀．₂₇₀₄₀．₂₉₉₅₀．₃₂₆₄₀．₃₅₀₈₀．₂₄₂₂₀．₂₇₃₄₀．₃₀₂₃₀．₃₂₈₉₀．₃₅₃₁₀．₂₄₅₄₀．₂₇₆₄₀．₃₀₅₁₀．₃₃₁₅₀．₃₅₅₄₀．₂₄₈₆
₀．₂₇₉₄₀．₃₀₇₈₀．₃₃₄₀₀．₃₅₇₇₀．₂₅₁₇₀．₂₈₂₃₀．₃₁₀₆
₀．₃₃₆₅₀．₃₅₉₉₀．₂₅₄₉₀．₂₈₅₂₀．₃₁₃₃₀．₃₃₈₉₀．₃₆₂₁

1.1
1.2
1.3
1.4
1.5

₀．₃₆₄₃₀．₃₈₄₉₀．₄₀₃₂₀．₄₁₉₂₀．₄₃₃₂₀．₃₆₆₅₀．₃₈₆₉₀．₄₀₄₉₀．₄₂₀₇₀．₄₃₄₅₀．₃₆₈₆
₀．₃₈₈₈₀．₄₀₆₆
₀．₄₂₂₂₀．₄₃₅₇₀．₃₇₀₈₀．₃₉₀₇₀．₄₀₈₂₀．₄₂₃₆₀．₄₃₇₀₀．₃₇₂₉₀．₃₉₂₅₀．₄₀₉₉₀．₄₂₅₁₀．₄₃₈₂₀．₃₇₄₉₀．₃₉₄₄₀．₄₁₁₅₀．₄₂₆₅₀．₄₃₉₄₀．₃₇₇₀₀．₃₉₆₂₀．₄₁₃₁₀．₄₂₇₉₀．₄₄₀₆

₀．₃₇₉₀₀．₃₉₈₀₀．₄₁₄₇₀．₄₂₉₂₀．₄₄₁₈₀．₃₈₁₀₀．₃₉₉₇₀．₄₁₆₂₀．₄₃₀₆₀．₄₄₂₉₀．₃₈₃₀₀．₄₀₁₅₀．₄₁₇₇₀．₄₃₁₉₀．₄₄₄₁

1.6
1.7
1.8
1.9
2.0

₀．₄₄₅₂₀．₄₅₅₄₀．₄₆₄₁₀．₄₇₁₃₀．₄₇₇₂₀．₄₄₆₃
₀．₄₅₆₄₀．₄₆₄₉₀．₄₇₁₉₀．₄₇₇₈₀．₄₄₇₄₀．₄₅₇₃₀．₄₆₅₆₀．₄₇₂₆₀．₄₇₈₃₀．₄₄₈₄₀．₄₅₈₂
₀．₄₆₆₄₀．₄₇₃₂₀．₄₇₈₈₀．₄₄₉₅₀．₄₅₉₁₀．₄₆₇₁₀．₄₇₃₈₀．₄₇₉₃₀．₄₅₀₅₀．₄₅₉₉₀．₄₆₇₈₀．₄₇₄₄₀．₄₇₉₈₀．₄₅₁₅₀．₄₆₀₈₀．₄₆₈₆₀．₄₇₅₀₀．₄₈₀₃₀．₄₅₂₅₀．₄₆₁₆
₀．₄₆₉₃₀．₄₇₅₆₀．₄₈₀₈₀．₄₅₃₅₀．₄₆₂₅₀．₄₆₉₉₀．₄₇₆₁
₀．₄₈₁₂₀．₄₅₄₅₀．₄₆₃₃₀．₄₇₀₆
₀．₄₇₆₇
₀．₄₈₁₇

2.1
2.2
2.3
2.4
2.5

₀．₄₈₂₁
₀．₄₈₆₁
₀．₄₈₉₃₀．₄₉₁₈₀．₄₉₃₈₀．₄₈₂₆
₀．₄₈₆₄₀．₄₈₉₆
₀．₄₉₂₀₀．₄₉₄₀₀．₄₈₃₀₀．₄₈₆₈₀．₄₈₉₈₀．₄₉₂₂₀．₄₉₄₁

₀．₄₈₃₄₀．₄₈₇₁₀．₄₉₀₁
₀．₄₉₂₅₀．₄₉₄₃₀．₄₈₃₈₀．₄₈₇₅₀．₄₉₀₄₀．₄₉₂₇₀．₄₉₄₅₀．₄₈₄₂
₀．₄₈₇₈₀．₄₉₀₆₀．₄₉₂₉₀．₄₉₄₆₀．₄₈₄₆
₀．₄₈₈₁₀．₄₉₀₉₀．₄₉₃₁₀．₄₉₄₈₀．₄₈₅₀₀．₄₈₈₄
₀．₄₉₁₁₀．₄₉₃₂₀．₄₉₄₉₀．₄₈₅₄₀．₄₈₈₇₀．₄₉₁₃₀．₄₉₃₄₀．₄₉₅₁₀．₄₈₅₇₀．₄₈₉₀₀．₄₉₁₆
₀．₄₉₃₆₀．₄₉₅₂

2.6
2.7
2.8
2.9
3.0

₀．₄₉₅₃₀．₄₉₆₅₀．₄₉₇₄₀．₄₉₈₁₀．₄₉₈₇₀．₄₉₅₅₀．₄₉₆₆₀．₄₉₇₅₀．₄₉₈₂
₀．₄₉₈₇₀．₄₉₅₆
₀．₄₉₆₇₀．₄₉₇₆
₀．₄₉₈₂
₀．₄₉₈₇₀．₄₉₅₇₀．₄₉₆₈₀．₄₉₇₇₀．₄₉₈₃₀．₄₉₈₈₀．₄₉₅₉₀．₄₉₆₉₀．₄₉₇₇₀．₄₉₈₄₀．₄₉₈₈₀．₄₉₆₀₀．₄₉₇₀₀．₄₉₇₈₀．₄₉₈₄₀．₄₉₈₉₀．₄₉₆₁₀．₄₉₇₁₀．₄₉₇₉₀．₄₉₈₅₀．₄₉₈₉₀．₄₉₆₂₀．₄₉₇₂₀．₄₉₇₉₀．₄₉₈₅₀．₄₉₈₉₀．₄₉₆₃₀．₄₉₇₃₀．₄₉₈₀₀．₄₉₈₆₀．₄₉₉₀₀．₄₉₆₄₀．₄₉₇₄₀．₄₉₈₁₀．₄₉₈₆₀．₄₉₉₀19

0.05z₀数学Ⅱ・数学Ｂ

第 3 問〜第 5 問は，いずれか 2 問を選択し，解答しなさい。

第 4 問 （選択問題）（配点₂₀）

太郎さんと花子さんは，数列の漸化式に関する問題 A，問題 B について話している。二人の会話を読んで，下の問いに答えよ。

⑴
問題 A

次のように定められた数列 "a n, の一般項を求めよ。
a ₁ = ₆，a n+₁ = ₃a n - ₈（n = ₁，₂，₃，…）

花子：これは前に授業で学習した漸化式の問題だね。まず，k を定数として，a n+₁ = ₃a n - ₈ を a n+₁ - k = ₃（a n - k）の形に変形するといいんだよね。
太郎：そうだね。そうすると公比が ₃ の等比数列に結びつけられるね。

ⅰk の値を求めよ。
k=ⅱ

ア

数列 "a n, の一般項を求めよ。
an =イ・

ウn-₁+エ（数学Ⅱ・数学Ｂ第 4 問は次ページに続く。）

20

数学Ⅱ・数学Ｂ⑵
問題 B

次のように定められた数列 "b n, の一般項を求めよ。
b ₁ = ₄，b n+₁ = ₃b n - ₈n + ₆（n = ₁，₂，₃，…）

花子：求め方の方針が立たないよ。
太郎：そういうときは，n = ₁，₂，₃ を代入して具体的な数列の様子をみてみよう。
花子：b ₂ = ₁₀，b ₃ = ₂₀，b ₄ = ₄₂ となったけど…。
太郎：階差数列を考えてみたらどうかな。

= ₁，₂，₃，…）と定める。
数列 "b n, の階差数列 " p n, を，p n = b n+₁ - b（nnⅰp ₁ の値を求めよ。
p₁ =ⅱ

p n+₁ を p n を用いて表せ。
p n+₁ =ⅲ

オ

カ

pn -キ

数列 " p n, の一般項を求めよ。
pn =ク・

ケn-₁+コ（数学Ⅱ・数学Ｂ第 4 問は次ページに続く。）

21数学Ⅱ・数学Ｂ⑶二人は問題 B について引き続き会話をしている。
太郎：解ける道筋はついたけれど，漸化式で定められた数列の一般項の求め方は一通りではないと先生もおっしゃっていたし，他のやり方も考えてみようよ。
花子：でも，授業で学習した問題は，問題 A のタイプだけだよ。
太郎：では，問題 A の式変形の考え方を問題 B に応用してみようよ。問題
B の漸化式 b n+₁ = ₃b n - ₈n + ₆ を，定数 s，t を用いて
サ= 3blシの式に変形してはどうかな。

ⅰqn =シとおくと，太郎さんの変形により数列 "q n, が公比 ₃ の等比数列とわかる。このとき，

サ，シに当てはまる式を，次の 0 〜 3のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを選んでもよい。

ⅱ

0b n + sn + t

1b n+₁ + sn + t

2bn + （s n + ₁）+ t

3

b n+₁ + （s n + ₁）+ ts，t の値を求めよ。
s=スセ，t =ソ（数学Ⅱ・数学Ｂ第 4 問は次ページに続く。）

22

数学Ⅱ・数学Ｂ
問題 B の数列は，⑵の方法でも⑶の方法でも一般項を求めることができ⑷る。数列 "b n, の一般項を求めよ。
bn =

⑸

タn-₁+

チn-ツ

次のように定められた数列 "c n, がある。

c ₁ = ₁₆，c n+₁ = ₃c n - ₄n ₂ - ₄n - ₁₀

（n = ₁，₂，₃，…）数列 "c n, の一般項を求めよ。
cn =

テ・

トn-₁+23

ナn₂ +ニn+ヌ数学Ⅱ・数学Ｂ

第 3 問〜第 5 問は，いずれか 2 問を選択し，解答しなさい。

第 5 問 （選択問題）（配点⑴₂₀）

O

右の図のような立体を考える。ただし，六つの面 OAC，OBC，OAD，OBD，ABC，ABD は₁ 辺の長さが ₁ の正三角形である。この立体のC+COD の大きさを調べたい。

DA

線分 AB の中点を M，線分 CD の中点を N

Bとおく。
OA = a ，OB = b ，OC = c ，OD = d とおくとき，次の問いに答えよ。

ⅰ

次のア〜
ア

OM =イエに当てはまる数を求めよ。
_ a + b i， ON =アイ_c + d i

ウa ・ b = a ・ c = a ・d = b ・ c = b ・d =ⅱエ

₃ 点 O，N，M は同一直線上にある。内積 OA ・ CN の値を用いて，
ON = k OM を満たす k の値を求めよ。
オk=カ（数学Ⅱ・数学Ｂ第 5 問は次ページに続く。）

24

数学Ⅱ・数学Ｂ
ⅲ+COD = i とおき，cos i の値を求めたい。次の方針 1 または方針 2 につキいて，シ〜に当てはまる数を求めよ。

方針 1d を a ，b ，c を用いて表すと，
キd=

ケa+

ク

コb-cであり，c ・ d = cos i から cos i が求められる。
方針 2
OM と ONのなす角を考えると，OM ・ ON = OM ON が成り立つ。
2ON =サ+シ1
cos i であるから，OM ・ ON， OM の値を用い2ると，cos i が求められる。
ⅳ

方針 1 または方針 2 を用いて cos i の値を求めよ。
cos i =スセソ（数学Ⅱ・数学Ｂ第 5 問は次ページに続く。）25

数学Ⅱ・数学Ｂ⑵⑴の図形から，四つの面 OAC，OBC，OAD，OBD だけを使って，下のような図形を作成したところ，この図形は +AOB を変化させると，それにともなって +COD も変化することがわかった。

OCDA

A

O
DCBO

B
ODDC

B

AA

B+AOB = a，+COD = b とおき，a 2 ₀，b 2 ₀ とする。このときも，線分AB の中点と線分 CD の中点および点 O は一直線上にある。

（数学Ⅱ・数学Ｂ第 5 問は次ページに続く。）

26

数学Ⅱ・数学Ｂⅰa と b が満たす関係式は⑴の方針 2 を用いると求めることができる。その関係式として正しいものを，次の 0 〜 4 のうちから一つ選べ。

0cos a + cos b = ₁

1]1 + cos ag ]1 + cos bg = 12]1 + cos ag ]1 + cos bg = -13]1 + 2 cos ag ]1 + 2 cos bg =4]1 - cos ag ]1 - cos bg =a = b のとき，a = チツⅱ

タ2323℉ であり，このとき，点 D はチツ に当てはまる数を求めよ。また，の 0 〜 2 のうちから一つ選べ。

0平面 ABC に関して O と同じ側1

平面 ABC 上

2

平面 ABC に関して O と異なる側

27テテにある。に当てはまるものを，次また，「すべて選べ」と指示のある問いに対して，複数解答する場合は，同じ解答欄に符号，数字又は文字を複数マークしなさい。例えば，

エと表示のある問いに対して 1 ， 4 と解答する場合は，次の（例 ₂ ）のように解答欄エの 1 ， 4にそれぞれマークしなさい。
（例 ₂ ）エ―0123456789abcd₃ 分数形で解答する場合，分数の符号は分子につけ，分母につけてはいけません。
例えば，

オカ
キに-4-4と答えたいときは，として答えなさい。
55

また，それ以上約分できない形で答えなさい。
36
例えば， と答えるところを， のように答えてはいけません。
48₄小数の形で解答する場合，指定された桁数の一つ下の桁を四捨五入して答えなさい。また，必要に応じて，指定された桁まで 0 にマークしなさい。
例えば，

₅ク． ケコ に ₂．
₅ と答えたいときには，₂．
₅0 として答えなさい。

根号を含む形で解答する場合，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい。
例えば，

サはいけません。

シに 4 2 と答えるところを，2 8 のように答えて