サッカーにおける Bradley-Terry モデルの適用法の研究
M2011MM016 平手良典
指導教員：松田眞一

1はじめに2.2

先行研究

BT モデルの先行研究として，「服部・加藤の方法」が挙
現在，FIFA 加盟国は 6 大陸ごとに連盟が存在し，全げられる。テニスプレーヤー上位
20 選手とそれ以下の選207ヶ国が加盟している。加盟国各国代表チームの強さを手を 21〜30 位，31〜50 位，51 位以下を一まとめとして推定する指標として，FIFA ランキングがある。
考え，
4 大大会の勝敗のデータから選手の強さを推定し，本研究では Bradley-Terry モデルについて実際にサッカーデータを用いて検証することを目的とする。今回は， 実際の世界ランキングと比較し検証した。加えて，セット（服FIFA 加盟国各国代表チームの強さを推定し，実際の FIFA 数での勝ち負け，ゲーム数での勝ち負けも分析した。
部・加藤[2]
参照）
ランキングと比較する。このモデルを用いると直接対戦
その他の先行研究は BT モデルの拡張として，今井・松のないチーム間についてもその勝敗の確率を予測するこ田 [1] の引き分けを考慮した BT モデルがある。引き分けとができる。
また，過去の研究（服部・加藤 [2] 参照）ではサッカー を 0.5 勝 0.5 敗として考えず，引き分けのある対戦ゲームの試合と同じように対戦の試合がそれほど多くないテニ においてもそれを考慮しながら強さを求める方法を示し
スの試合のデータを用いて上位 20 選手と 3 つの区分に分 ている。
けたそれ以下の選手についての対戦結果を元にそれぞれの上位選手の強さを推定し，実際の世界ランキングと比較した。本研究の目標として，サッカーにおいてもそのような推定法を適用し，「服部・加藤の方法」が有効かどうか，安定しているかどうかの検討およびチームの強さの推定として役に立つのかどうか適合度検定での確認が挙げられる。

2

Bradley-Terry モデル

球技をはじめとする多くのスポーツにおいては，2 人あるいは 2 つのチームが対戦して勝ち負けを争う。いくつかのチームが互いに何回か対戦するとき，その結果に基づいて各チームの「強さ」を推定するときに Bradley-Terryモデルが用いられる。（竹内・藤野 [3] 参照）

2.1

強さについてサッカーや野球のように 2 つのチームが対戦して勝ち負けを争う中で，チームの「強さ」というものについて考える。一般にスポーツにおいては「強い」ほうが必ず勝つとは限らない。あるチームが「強い」ということは，そのチームが必ず勝つということではなく，そのチームの勝つ「確率」が大きいことを意味すると考える。各チームの「強さ」が一義的に定められるためには，それらの確率の間に，単に例えば、チーム 2 がチーム 1 より強く，3 が2 より強く，1 が 3 より強い，いわゆる「三すくみ」の関係が成り立たたないだけでなく，より強い関係が成り立たなければならない。そのための自然な条件として考えられるのは，各チームに対応して m 個の量 π1 ,π2 ,...,πmが存在して，すべての i, j の組み合わせに対し，確率 pijが，pij =πi
πi + πjと表されるものと想定する。このとき，πi はチーム i の「強さ」を表すものと解釈できる。このような構造のことを Bradley-Terry モデル (以下 BT モデル) と呼ぶ。

3

BT モデルのデータについて本研究で使用するデータは国際サッカー連盟加盟国のサッカー国際 A マッチの試合のデータと FIFA ランキングデータである。国際 A マッチとは，年齢制限のない代表チーム同士の国際公式試合であり，この試合結果でのみ FIFA ランキングは計算される。

3.1

試合のデータ2010 年 1 月 1 日から 2012 年 6 月 30 日までに実施された FIFA 加盟 207ヶ国の代表チームによる国際 A マッチの試合をデータとする。集計した項目は，対戦国，試合の重要度および試合結果である。
対戦国については，上位 30 チームを中心にデータをとり，それ以下のチームについては区分ごとに一まとまりとして考える。試合の重要度については，FIFA 公式のランキング算出方法の割合を用いて，勝ち点と勝ち数で考える際に，どちらも FIFA ワールドカップ本大会での試合を基準とし，「勝ち」を「1 勝」または「勝ち点 1」とする。試合結果については，対戦国それぞれに対して，「勝ち」「負け」「引き分け」の 3 通りとする。なお 90 分間で勝敗が着いた場合を「勝ち」「負け」とし，同点または延長戦，PK で勝敗が着いた場合を「引き分け」とする。
「引き分け」については勝ち点で考える場合は「0.33」とし，勝ち数で考える場合は「0.5 勝」とする。
3.2

FIFA ランキングデータ

FIFA ランキングデータとは国際 A マッチの成績をポイント化した FIFA 加盟国のランキングであり，FIFA によって原則毎月発表される。ランキングの算出（よしぴた [6] 参照）については，勝ち点，試合の重要度，対戦国間の強さ，大陸連盟間の強さの 4 つの値を元に計算され，過去 4 年間の対戦成績が対象となる。なお実際に FIFA ランキングが算出されるときの「勝ち点」は全ての国際 Aマッチにおいて，勝ち 3 点，引き分け 1 点，負け 0 点とし，PK 戦での勝敗については勝ち 2 点，負け 1 点となっていて，勝ち点制である。今回は勝ち点と試合の重要度を中心に考える。今回使用する FIFA ランキングデータ
については，2012 年 7 月 4 日に更新されたランキングを比較の対象として使用した。

BT モデルを用いた強さの推定

4

実際に BT モデルを用いてチームの強さを推定する。
BT モデルの特徴を利用し，直接対戦のないチーム同士でも強さを比較していく。なお，BT モデルの推定は鬼頭・
高田 [5] が作成した R 関数を利用した。

4.1

推定方法

まず勝ち数と勝ち点を試合の重要度に絡めて，上位 30チームに，31〜50 位，51〜70 位，71〜100 位，100 位以下の区切りで以下の 4 通りについて考える。

1.

勝ち数（重要度なし）

2.

勝ち数（重要度あり）

3.

勝ち点（重要度なし）

4.

勝ち点（重要度あり）

今回，ワールドカップの試合を基準とし，一まとめにした 4 つチームについては，上位 30 チームとの対戦結果のみを考慮し，一まとめにしたチーム同士の対戦結果は考慮しない。試合の重要度を絡めた場合の割合ポイント
は表 1 の通りであり，この値を用いて各チームの推定値を計算した。

パターン
勝敗
abcd

勝ち数
勝ち 引き分け
1
0.5
0.75
0.375
0.63
0.315
0.25
0.125

勝ち点
勝ち 引き分け
1
0.33
0.75
0.25
0.63
0.315
0.250.125

表 1 4 通りの割合ポイント

表 2 勝ち数（引き分けは 0.5 勝とする）
チーム
スペイン
ドイツ
ウルグアイ
イングランドポルトガル
イタリア
アルゼンチン
オランダ
クロアチア
デンマーク
ブラジル
ギリシャ
ロシア
フランス
チリ
コートジボワール
スウェーデン
チェコ
メキシコ
日本
スイス
コロンビア
オーストラリア
ノルウェー
パラグアイ
アイルランド
エクアドル
韓国
トルコ
ボスニア
31〜50 位
51〜70 位
71〜100 位
101 位以下
順位相関係数

重要度なし
190.0
113.4
76.9
106.0
52.4
40.8
96.0
106.8
51.6
40.1
91.0
28.2
34.3
48.0
58.0
46.1
64.0
27.3
48.227.4
31.7
27.6
31.3
36.5
28.8
32.3
30.6
34.9
34.4
13.9
22.8
16.8
8.9
3.0
0.8272

重要度あり
374.0
179.5
68.8
68.4
59.2
41.1
80.7
117.9
36.9
31.3
79.9
23.0
27.5
26.4
61.6
46.6
36.7
22.3
30.9
23.3
26.6
21.1
26.5
25.5
26.4
22.8
22.2
25.1
16.0
13.4
18.7
10.2
7.3
2.1
0.8974

この表にある「引き分け」は、90 分間で同点の場合と，推定値を求めて推定値の大きさの順位と実際の FIFA ラ
延長戦，PK で勝敗が着いた場合も「引き分け」とする。
ンキングのスピアマンの順位相関係数をそれぞれ求めた。
表にある a〜d は，試合の重要度であり、順位相関係数は，重要度なしの場合 0.8272 となり，ありの場合 0.8974 となり，試合の重要度がある程度ランキン
a FIFA ワールドカップ本大会グに関係していることが分かる。上位のチームではイングb 大陸選手権本大会
ランドのように重要度ありだと大幅に下がっているチームもあった。これは，重要な試合では勝てていないこと
c FIFA ワールドカップ、大陸選手権の予選を示す。守備的な特徴を持つイタリアやギリシャなどは，
d 親善試合上位にしては引き分けが多いのが，推定値が低い要因とである。
考えられる。下位のチームでは，重要度なしは少し推定値が高めに出てしまったチームが目立ったが，重要度ありではある程度ランキングに近い結果となった。これは，4.2 勝ち数での推定日本や韓国など，親善試合や予選で勝ち数を増やしてい結果が良かった勝ち数の方を示す。勝ち数で重要度を考るチームが影響しているせいだろう。試合の重要度を絡えない場合と考える場合の 2 通りでの結果を表 2 に示す。

めると，上位に不利，下位に有利があまりなくなり，力の差が少し大きくなることでバランスがとれて全体としてある程度ランキングに近い結果となった。

H0 : pi = pi (θ), i = 1, …, k(1)次に, 対立仮説として服部・加藤の方法の安定性

5

実際に「服部・加藤の方法」の安定性について，前章の勝ち数の推定の順位の区切りをさらに細かくすることに加え，ワールドカップ前の試合結果からもある程度推定できるか検証する。

5.1

H1 : H0 ではない(2)とする。H0 を仮定したときの θ の推定量を θ̂ =
θ̂(X1 , .., Xk ) とし，n は十分大きいとする。Xi は 2 項分布に従うのでその平均は npi となる。そして，統計量推定方法

χ2 =次に相関が高かった「勝ち数（重要度あり）」について，さらに以下の 3 通りについて考えて検証する。

k∑(Xi − np̂i )2(3)np̂ii=1

1.

31 位〜40 位，41 位〜50 位に分ける

2.

上記に加え，51 位〜60 位，61 位〜70 位に分ける

3.

1. について WC を含めない場合を考えると，これが H0 からの離れ具合を表している。
x2 は漸近的に自由度 k − r − 1 のカイ 2 乗分布に従う。
ただし r はパラメータ θ の次元，すなわち pi を決めるパラメータ数である。これにより調べたいデータのあてはまり具合を検定できる。

勝ち数（重要度あり）改良（WC を含む）

6.2

5.2

検証に用いるデータ

次に相関が高かった「勝ち数（重要度あり）について
第 4 章で求めたチームの推定値を用いて，グループリー31〜50 位を，31〜40 位，41〜50 位に分けて考える場合 グから決勝トーナメントまで試合で各々勝つ確率を求めと，それに加えて 51〜70 位を 51〜60 位，61〜70 位に分 て，その値を区分けし，区分ごとでの勝敗を集計して適ける場合について同じように推定値を出した。順位相関 合度検定を行う。ワールドカップの試合結果を含めなくはそれぞれ，31〜50 位を 2 分割した方が 0.912、さらに ても，その試合の勝敗を予測できるかどうかを検証する。
51〜70 位を 2 分割した方が 0.884 となり，30〜70 位を細 対戦する 2 チームで，推定値が高い方の勝つ確率を x とかく区切った場合元より低い相関となった。この 2 つの すると，他方が勝つ確率を y とすると，以下の 5 つに区結果から分割に対する影響として，下位チームにいくに 分けして考える。
つれ上位チームとの対戦が少なくなるので，下位チーム
は細かく区切りすぎず，適度に区切る必要があると考え
0.85 < x ≤ 0.95 (0.05 ≤ y < 0.15)
られ，最終的な区分として，上位 30 チーム，31〜40 位，

0.75 < x ≤ 0.85 (0.15 ≤ y < 0.25)
41〜50 位，51〜70 位，71〜100 位，101 位以下が良いと0.65 < x ≤ 0.75 (0.25 ≤ y < 0.35)分かった。よって，区分に対する「服部・加藤の方法」の
0.55 < x ≤ 0.65 (0.35 ≤ y < 0.45)
安定性は試合数に応じて上位チームにいくほど細かな区
切りでよくなるといえる。
0.5 < x ≤ 0.55 (0.45 ≤ y < 0.5)

5.3

勝ち数（重要度あり）改良（WC を含まない）

勝ち数（重要度あり）の 31〜50 位を 2 分割の区切りでワールドカップの試合を含めずに推定値を出した。7 章に示す，適合度検定で実際のワールドカップの試合を予測するときに，ワールドカップの試合結果を含めた場合と含めない場合でどれだけ結果に差がでるか検証するために用いる。順位相関は，0.919 となった。ワールドカップの試合を含めないことで，全体的に推定値の差が小さくなった。

6強さの推定の検証

6.1

適合度検定について適合度検定の一般論について示す。
（白旗 [4](9 章) 参照）
k 個の排反な分類項目 A1 , …, Ak があり，一つの対象を調べたとき，それが Ai に属する確率を pi とする。帰無仮説として

7適合度検定の具体的な方法ついて上記の区分ごとでの勝敗を集計し，以下のような計算法で p 値を出す。具体的な方法を示すため表 3 を用いて説明する。

x 勝ち数
y 勝ち数
試合数
x 期待度数y 期待度数
χ2x 値
χ2y 値
χ2x +χ2y9区
x1
y1
z1
a1
b1
A1
B1
C1

8区
x2
y2
z2
a2
b2
A2
B2
C2

7区
x3
y3
z3
a3
b3
A3
B3
C3

表 3 検定法の説明

6区
x4
y4
z4
a4b4
A4
B4
C4

5区
x5y5z5a5
b5
A5
B5C5ここでは，勝つ確率が高い方のチームの勝ち数，すな 8 まとめ
わち観測度数を x とし，区分ごとに x1〜x5 とする。同じBT モデルでは，まず勝ち数，勝ち点に試合の重要度をように勝つ確率が低い方のチームの勝ち数を y とし，区絡めた 4 通りのうち「勝ち数・重要度あり」のパターン
分ごとに y1〜y5 とする。ただし，x=y=0.5 のデータがが最も相関が高かった。この 4 通りに共通することとしあった場合は 0.5 勝 0.5 敗とした。て，上位のチームでは FIFA ランク 1 位スペイン，2 位ドx の期待度数は区分ごとの試合数 z1〜z5 にそれぞれ，イツは圧倒的に強い結果になった。これらの上位チーム
0.9，0.8，0.7，0.6，0.525 を掛けた値である。y の期待度
は，ワールドカップやユーロでの勝ち数も多く，引き分数も同じように試合数 z1〜z5 にそれぞれ，0.1，0.2，0.3，けと負けも少ない。上位だが引き分けが多いイタリアは0.4，0.475 を掛けた値である。
2
本大会での成績も良くなかったので推定値が低めになっi)χ2x 値，Ai = (xi −aをそれぞれの区分で計算し，χ2yaiた。逆に引き分けが少なく，本大会で好成績を残した 8値も同じように計算する。
位のオランダが 3 番目に推定値が高い結果となった。20
そして区分ごとでの x と y の χ2 値を合計した値 Ci が位の日本は，4 通りとも推定値が低めとなった。
統計量となる。全体統計量は，Ci の和である。その統計
次に「服部・加藤の方法」で，30 位以下のチームの区切量と自由度 5 からエクセルを用いて p 値を計算した。
りを細かくした結果，31〜50 位を 2 分割にしたら相関がさらに高くなった。分割に対する影響として，下位チーム
7.1 ワールドカップを含めた場合の結果にいくにつれ上位チームとの対戦が少なくなるので，下まずワールドカップを含めた場合の検定結果である。
位チームは細かく区切りすぎず，適度に区切る必要があチームの推定値は，勝ち数（重要度あり）の 30〜50 位を2 分割した方の結果を用いて，勝つ確率を求め，区分けし ることが分かった。最終的に良かったパターンから，試合数に応じて上位チームにいくほど「服部・加藤の方法」て勝敗を集計した。p 値は，0.919 となった。
が安定しているという結果になった。強さの推定を検証
区分ごとの統計量を見ると，9 割区分，8 割区分，6 割
する適合度検定では，ワールドカップの試合結果を含めり区分については離れ具合が小さかった。7 割区分では，ない場合でも，ある程度実際の本大会を予測できたとい
ドイツやスペインに対しイングランドやアルゼンチンがえる。ただイングランドのように大会前は好成績でも本引き分けれなかったなど，最も離れ具合が大きく出たが，大会で結果を残せないチームなど予測が難しいチームも高いとは言えない。5 割区分では，推定値が同じチーム同あった。
士の対戦が重なってしまい，解釈が難しくなった。ワー
ルドカップを含めた場合であるので全体的に，実際の勝 9 おわりに敗に近い結果となった。
全体的に BT モデルをサッカーのデータで検証すると7.2 ワールドカップを含めない場合の結果いう目的を果たしたと思う。試合の重要度やチームの区次にワールドカップを含めない場合の検定結果である。 切りなど，確かめてみたかったことを全部できたとは言えないが，引き分けのある対戦ゲームに役に立てるそれp 値は、0.407 となった。
区分ごとの統計量を見ると，9 割区分では，推定値が上 なりの結果が得られたと思う。まだ引き分けの多いチーがったイングランドが 3 試合入ったが，試合結果は 1 勝 ムの扱いや，30 位以下のチームもどこまで個別に区切れ2 分けとなって，それが最も高く出た離れ具合に影響し るかなど改善の余地があると感じた。
たと考えられる。8 割区分，7 割区分，6 割区分では，離れ具合は小さかった。5 割区分では，上位のブラジルなどと 16 位のコートジボワールあたりまでの推定値の差が縮まったことで強豪チームが多く入っていて，勝ち数が5 分とはならなっかた。

x 勝ち数
y 勝ち数
試合数
x 期待度数y 期待度数
χ2x 値
χ2y 値
χ2x + χ2y

9区
9.5
3.5
13
11.7
1.3
0.413
3.723
4.136

8区
9.5
3.5
13
10.4
2.6
0.077
0.311
0.389

7区
9.5
4.5
14
9.8
4.2
0.009
0.021
0.03

6区
7.5
4.5
12
7.2
4.8
0.013
0.018
0.031

表 4 WC 含めない場合

5区
7.5
4.5
12
6.3
5.7
0.228
0.253
0.481

参考文献
[1] 今井寛・松田眞一:「引き分けを考慮した BT モデルの性能評価」南山大学紀要アカデミア数理情報偏, 第3 巻 (2003)，pp.35-45.
[2] 服部 匡志・加藤明:「プロテニスプレーヤーの強さの統計的研究」, 南山大学数理情報学部数理科学科卒業
論文要旨集, 1997.
[3] 竹内啓・藤野和建:応用統計数学シリーズ「スポーツの数理科学 もっと楽しむための数字の読み方」, 共立出版, 1988.
[4] 白旗慎吾:「統計解析入門」, 共立出版, 1992.
[5] 鬼頭薫・高田凉子: S-plus における強さの推定, 南山大学経営学部情報管理学科卒業論文, 1999.
[6] よ し ぴ た:「Jcalcio FIFA ラン キ ング 一口メ モ」,
http://www.fifaworldranking.com/wrhow.html,
2001.