せん断加工シミュレーションにおける破断表現の改善と破断条件測定手法の確立
鳥取大学学術研究院 工学系部門
准教授 松野 崇（平成 29 年度 奨励研究助成 A（若手研究者）AF-2017038）
キーワード：せん断加工，有限要素法，分岐理論，延性破壊

１．緒言る．これらをリメッシュのステップごとに繰り返す事でせ自動車用高張力鋼板のせん断加工においては，伸びフラん断加工における亀裂発生や伝播を表現する．節点分離法

ンジ性や疲労強度，遅れ破壊耐性の向上が課題である．こに類似すると思われるかもしれないが，この亀裂線追加法

れらの特性はせん断切り口の加工硬化や残留応力，凹凸ににおいては亀裂終点を他の節点と独立に定める．既存の節強く影響を受ける

1)~3)．有限要素法（FEM）によるせん断点分離法とは明確に異なる手法である事を強調したい．

加工シミュレーションによってこれらを予測することがで

なお，今回の解析ではリメッシングプログラムの都合上きれば適切な工具と工程の設計ができるが，現状ではいくから表面節点が破壊領域に存在する場合においてのみ亀裂つかの課題が存在する．

線を発生させた．すなわち，内部破壊は無いものとした．

まず，破断面性状をシミュレーション上で再現するには，また，始点と方向によっては亀裂線が破壊領域内に存在し広く使われるような要素剛性低減（あるいは要素削除）にない場合も起こりうるが，このような場合においては新たよる破壊の表現を改良する必要がある 4)．また，せん断加な亀裂線は生成しないと仮定した．

工が行われるような薄鋼板では板材引張試験により機械的特性を取得するが，この試験ではシミュレーションに必要となる延性破壊の条件を取得することが難しい 5）．

破断条件をみたした要素集合

亀裂線を追加した新たな表面

本研究ではこれら 2 つの課題の解決を図るべく，要素剛性低減に代わる亀裂線追加法の検討，および小丸棒引張試
験による破断ひずみと応力 3 軸度の測定を行った．
本報告書では亀裂線追加法の検討として，亀裂線の方向決定に Ito-Goya の弾塑性接線剛性行列と組み合わせた分岐理論を用いる場合の構成則の導出とシミュレーションの結果を示す．また，小丸棒引張試験の検討として，破断ひずみまでの大変形域応力・ひずみ線図の計測と FEM による応力 3 軸度の導出の結果を示す．応力 3 軸度については放表面亀裂線．破断要素集合の平均応力よりその方向を求める

射光により実測した結果と比較し，その妥当性を検証した． 破断の評価値が最も高い節点

2．亀裂線追加法による破断表現
2・1 亀裂線追加法の概要
本手法においては，図 1 に示すような破壊判定された要素の集合を一つの破壊領域とし，一つの破壊領域ごとに一つの亀裂線を導入する．この場合の各要素の破壊判定は何らかの延性破壊モデルを用いて行う．
1 ステップで追加される亀裂は直線であることを仮定す
る．破壊領域に所属し，かつ，表面に位置する節点の中で損傷値（所属する要素の値を平均して算出）が最も高いものを亀裂線の始点と定める．亀裂線の方向は破壊領域に属する要素全体の応力の平均値より算出する．亀裂線と破壊領域境界の交点を亀裂線の終点とする．
亀裂線の始点は外形線上にあるので，始点に 2 重節点を配せば亀裂表面が新たな外形線として追加されることにな

図 1 亀裂線追加法の概要
2・2 分岐理論
亀裂進展方向を決定づける上で必要な，分岐理論の定式を示す．ここでは Storen&Rice6)によって提案された分岐界面の速度差に関する定式を用いる．以下，図 2 の分岐界面（せん断帯）のモデルを使い，その理論について紹介する．
図 2 内の をせん断帯内部と外部の速度差の空間勾配とするとき，せん断帯内部の速度勾配は外部の速度勾配を用いて，⨂1と表される．これより，せん断帯外部と内部に関して第 12・3 Ito-Goya の弾塑性接線剛性テンソル
式(4)から分かるように，分岐問題を解くうえではどのよ

Piola–Kirchhoff 応力の速度はそれぞれうな接線剛性を用いるかが重要となる．本報では既に実績2のある接線剛性として，伊藤と呉屋ら 6)により提案された等方性の剛塑性接線剛性テンソルに弾性を考慮したものを⨂3用いる（以下，Ito-Goya の弾塑性接線剛性テンソルと呼ぶ）．
Ito-Goya の弾塑性接線剛性テンソルは一般的な J2 流れ則にとなる．ここで，応力増分依存性の項を加えたものとなる．以下にその導出を述べる．
124

Ito-Goya の剛塑性接線剛性における線形比較対則

は偏差応力テンソル s により以下のように表される 6)．

であり，D は Jaumann 応力速度についての接線剛性，σ は⨂10Cauchy 応力，δ はクロネッカーのデルタ関数となる．せん
断帯発生直前まで一様な応力・ひずみ分布であることを仮

ここで，≡ とすれば，式(2)と(3)からせん断帯外定して部と内部の第 1 Piola–Kirchhoff 応力速度の差は，
Δ

⨂

≡

23,

≡3 125でありは 4 階の単位テンソル， ′は比例負荷時の接線剛となる．せん断帯の法線方向において第 1 Piola–Kirchhoff性係数，Kc は応力増分依存性を示す材料パラメータ， は応力速度が連続であることを考慮すれば相当応力を表す．偏差応力増分はと塑性ひずみ増分との内積であり，式を見やすくするべく応力とひずみのベΔ

∙∙

⨂∙

6

クトル（下添え字 vec）と接線剛性行列による Voigt 標

記（11→1, 22→2, 33→3, 12→4, 23→5, 31→6）で表せば下記
であり，式(6)をさらに書き下せばの式(11)のようになる．
07となる．さらに

11
さらに，弾性ひずみ増分ベクトル8およびを以下のように定義する．
13≡9と表される（ は音響テンソルと呼ばれる）．式(9)より が，≡ 1 1 1 0 0 0 により弾性偏差ひずみ増分ベクトルとなるテンソル を定義して式(6)は∙と体積ひずみ増分12このとき，G をせん断弾性係数として偏差応力増分特異となる場合に が 0 以外の解を有する． の定義より，は2131214このような場合にせん断帯が発生すると見做すことができる．

であるから，式(11)よりnとなる．偏差ひずみに対する弾塑性接線剛性をればとす (せん断帯)15

 (連続体領域)

図 2 せん断帯の模式図であり，単位行列（2 階の単位テンソル）をよりとして式(14)1216

亀裂線追加法に Ito-Goya の流れ則を用いた分岐論の組み合わせることでせん断加工中の亀裂停留（タング）が表現できていることが確認できる．これは従来の要素剛性低減法となる．式(11)と(16)を比較すればでは表現できなかったものであり，切り口の粗さとともに，加工硬化や残留応力を増す 4)．今後は定量的な妥当性の検証を進めていかなければならない．

12

φ10.0
17

φ14.0
パンチホルダーを得る．ここで，∗≡2,≡1∗である．体積ひずみ増分∗|| ,≡ 1Work∗も考慮して応力ベクトルの増

3.2

φ10.8
φ29.8分を求めれば，K を体積弾性係数としてダイ

図 3 FEM 解析のモデルと境界条件
1318となる．ここから求まる弾塑性接線行列をさらにテンソル形式に戻すことで，弾塑性接線剛性テンソルは以停留亀裂下のように求まる．
13⨂

この弾塑性接線テンソル⨂19の各成分を式(4)の Dijkl に代入する事で分岐条件式が導かれる．
図 4 亀裂線追加法による解析結果
2・4 せん断加工シミュレーション例
図 3 に示す軸対称 2 次元の条件のもとに亀裂線追加法によるシミュレーションを実施した．被加工材としては

3．小丸棒引張試験による薄板材の破断条件評価

590MPa 級の高張力鋼の変形抵抗（Swift 則）

3・1 大変形域の変形抵抗
自動車鋼板のような 1～3 mm 厚程度の薄板から切り出

8430.00465.

20すことができるように，平行部の直径を 1.0 mm として小丸棒引張試験片を設計した．図 5 にその形状を示す．図 5より試験機への固定部は直径 2.5 mm となっており，供試とし，等方性を仮定して Mises の降伏関数を用いた．ここ材の板厚を超えてしまう場合がある．そのような場合は電で子線溶接により 3 枚重ねた状態として切り出す，あるいはは降伏応力， は相当塑性ひずみである．

破壊条件式は以下の式(21)に示される一般化 CockcroftLatham の延性破壊条件式を用いた．式(21)の左辺が材料固有の値である C を超えた際に破壊が生じるモデルとなる．
本報においては C として単純に 1.0 を設定した．なお，式(21)中の固定部のみ板面を残すような形状とする．
TransverseR3.0

φ1.0は最大主応力， は相当応力である．

φ2.52.02115
図 5 小丸棒試験片の形状（寸法は mm）

図 4 にシミュレーション結果を示す．図 4 の結果より，

丸棒引張試験片の固定はねじ式が一般的であるが，小丸25棒試験片ではその大きさゆえにネジを切る事が難しい．また，試験片固定部に板面が残った場合にはそもそもネジを26設けることが不可能である．そのため，試験片は図 6 のごとく試験片ホルダーに引っ掛けることで固定する．

1tanh
2127ホルダー28である．式(24)は係数が異なる２つの Swift 則による流動応力試験片とをにて滑らかに繋げたものでの Swift 則係数を同定ある．従来通り均一伸び域でし，一旦は従来の Swift 則で FEM を行う．ある塑性ひずみ以上で計測値と FEM の解析値がずれ始めるので，そのひずみをとしての Swift 則としてそれ以降の係数を新たに同定する．大変形域側の Swift 則から定まる最大引張強度と初期降伏応力が均一伸び域に同じホルダーであると仮定すれば，式(26)の
図 6 試験機のホルダーに固定された小丸棒試験片とのみが従来のSwift 則に対して新たに追加された材料係数となる．
図 7 は 590MPa 級の高張力鋼を対象として本手法により伸び計やひずみ計を取り付けることも試験片のサイズのために困難なため，試験片の直径を LED 投影式の 2 次元寸法測定器（Keyence 社製 TM006）により計測し，ひずみへ変換する．本方式により，試験片のくびれ以降の応力・ひずみ関係も計測する事が可能となる．試験片の初期径を，引張中の最小径をとすれば，真ひずみ は以下のように表される．

計測された真応力・真ひずみ線図である．図 7 では FEMの解析結果も同時に示している．FEM には合わせこみ後の修正 Swift 則が用いられ，その結果として計測と FEM 解析結果は極めてよく一致している．ここで同定された最大引張強度と初期降伏応力，および修正された Swift 則にお以下の 2 つの n 値をけるの値とともに表 1 に示す．
せん断加工シミュレーションにおける塑性ひずみは 4を超える事もあることから 4)，引張時の破断ひずみ（ 1 程2ln,22度）はまだ不十分である．しかしながら，大変形域の変形抵抗の精度を確実に向上させることができたものと考える．

真応力 は計測荷重を F として，4.

FE analysis with modified Swift law
Measurement23である．
試験片がくびれた後は多軸応力状態となるため，計測される真応力・真ひずみは素材の変形抵抗そのものとはならない．流動応力を得るためには静水応力分を真応力より除く必要がある．そこで，本課題においては FEM を使った小丸棒引張シミュレーションの結果を計測値と合わせこむこ

True stress [MPa]

1200
1000
800
600
400
200
00.000.20とでくびれ以降の大変形域を含む領域で変形抵抗を求めた．
変形抵抗の同定に際しては，相当塑性ひずみの関数により流動応力を表し，その係数を求めた．式(20)のよう

0.40 0.60 0.80
True strain [-]1.001.20

図 7 真応力・真ひずみの計測と FEM 解析値

な Swift 則では大変形域にて流動応力が高めとなってしま
表 1 機械的特性（図 7 の FEM へ入力）ったため，以下のように Swift 則を修正して用いた．
1
ここで，

.

24

初期降伏
応力[MPa]300

引張強度[MPa]610

0.150.070.45

3・2 破断直前の応力 3 軸度の導出

FE analyisis with original Swift law
FE analysis with modified Swift law
Measurement(α phase)
0.7
Stress triaxiality [-]一般に破断ひずみは応力 3 軸度の増加とともに低下する．したがって，応力 3 軸度は破断条件に対して重要な役割を果たす．応力 3 軸度は試験片の形状から弾性場の簡易的な式を用いて導出するか，あるいは FEM で実験と同じ条件で解析を実施して求める．弾塑性解である FEM の精度がよい．ただし，FEM には 3.1 節に述べた大変形域の変形抵抗が導出される応力 3 軸度の精度に作用する．
本研究においては，修正された Swift 則を FEM へ入力することにより，応力 3 軸度の導出制度を向上させることができた．これは，兵庫県佐用町にある大型加速器施設
SPring-8 にて放射光による応力 3 軸度の直接測定を実施し，その精度を検証した結果である．SPring-8 においては図 8に示す手動式の引張試験機により小丸棒試験片を引張り，ある変形量毎に応力 3 軸度を測定した．

0.60.5
0.4
0.3
0.2
0.00

0.20

0.40 0.60 0.80
True strain [-]1.001.20

図 9 応力 3 軸度の実測値と FEM 解析値(a) FEM(b) FEM(オリジナル Swift 則) （修正 Swift 則）(c) X 線透過像

図 10 破断直前の試験片形状
図 8 放射光測定で用いた手動式引張試験機
図 9 に応力 3 軸度の測定結果と FEM による導出結果を示す．対象とした素材は図 7 と同じ 590MPa 級の高張力鋼板である．比較としてオリジナルの Swift 則による FEM 解析結果も示している．破断直前の塑性ひずみ 1.0 のあたりに着目すれば，応力 3 軸度の実測結果は FEM の解析結果よりも高い．しかしながら，その差は修正 Swift 則を用いた FEM において 0.03 程度である．オリジナルの Swift 則
ではそこからさらに値が低下するので，修正された Swift則により解析された応力 3 軸度の精度がよいと見なせる．
図 10 は破断直前（塑性ひずみ 1.0 程度）の試験片形状における FEM と実際のものの比較となる．FEM と実物で非常によく一致していることが分かる．修正されたものとオリジナルの Swift 則でほとんど形状に違いはない．そのため，主として流動応力の違いが応力 3 軸度の解析結果に影響している．
前述の通りせん断加工において塑性ひずみは 4 以上となる．これは圧縮の静水応力によるものであるので，せん
断加工シミュレーションの高精度化のためには低応力 3軸度における破断ひずみも同定しなければならない．400
MPa の高圧下での引張試験も試行しており 7)，今後はこの試験を組み合わせる事で広い範囲の応力 3 軸度における破断条件を同定していきたいと考える．

4．結言
本報ではせん断加工時の亀裂方向を分岐理論より求めるというコンセプトのもと，その準備として分岐条件式，およびこれに用いられる弾塑性接線テンソルを Ito-Goya の等方性の構成則より導出した．さらに実際にシミュレーションを実施し，従来の要素剛性低減では不可能であった停留亀裂を再現する事に成功した．
また，せん断加工シミュレーションには高精度な破断条件が必須であるが，バルク材と同様の手法で薄板材においても小丸棒引張試験と FEM との組み合わせにより破断ひずみと応力 3 軸度を導出することができた．これは大変形域の流動応力を修正された Swift 則により適切に表現可能となった結果である．FEM による応力 3 軸度の導出結果は放射光測定と比較され，その精度の妥当性が検証された．
今後は亀裂線追加法の精度検証を進め，低応力 3 軸度側の破断条件と組み合わせてせん断加工シミュレーションの更なる高精度化を目指す．

謝 辞本研究を遂行するに当たり，本助成金を有用に使わせていただいた．民間企業から転出したばかりの予算が少ない時期に助成をいただくことができ，大変ありがたい予算となった．また，未熟ゆえに当初の計画に対していくばくかの変更を余儀なくされたが，テーマの変更についても天田財団より快く許可をいただくことができた．ここに謝意を表す．今後も塑性加工の分野に貢献をしていきたい．

4)

参考文献

5)

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