ノックイン条項型リンク債の評価
M2004MM012 稲熊
指導教員

1 はじめに仕組債とは, 本来の債券が持つ信用リスク, 為替リスク,価格変動リスク以外のリスクを組み込み, 発行体と投資家のニーズに合うように設計される債券である. また, 為替レートや株価指数の変動により, 利率（クーポン）や償還

澤木敏和
勝茂

1, 2 の場合は満期に元本 F を保証し償還されるが, 3 の場合は満期に元本は保証されず, 株価に連動した基準価額(=F · SST0 ) となる. このように債券でありながら, 株価の下落によって元本割れのリスクが存在する.

3 定式化・解法額が変動する. つまり, 債券の額面が何らかの危険資産価

本節では, ノックイン条項型リンク債について定式化

格によって依存し元本が保証されない場合がある債券とし, 解析解を求める. まず, 確率測度 P̃ のもとで株価の変も言える.

動が確率微分方程式

本研究では, このような仕組債のなかでも一般的なノッft )dSt = St (rdt + σdW

クイン条項型リンク債についてバリアオプションと同じ(1)枠組みでモデル化し価格を導出する. そして, ブラウン運

ft は確率測度 P̃ のもとにしたがうと仮定する. ここで, W動の鏡像原理を用いることにより, 満期において参照株価での標準ブラウン運動である.と最大値・最小値に依存するようなノックインタイプの次に株価の最大値・最小値を仕組債の価格が導出できることを示す. さらに, モンテカ{

ルロ法を用いて数値計算をおこない解析解と比較する. また, 期間の途中からバリアが存在したり消滅したりする
ノックイン条項型リンク債についてもモンテカルロ法を用いて数値計算し, 解析解と比較する.

2 商品の説明ŜT = maxt≤u≤T SuST∗ = mint≤u≤T Su(2)で定義する.
ここで満期でのペイオフを議論する. 2.2 節で述べた
ノックイン条項型リンク債の満期でのペイオフは{}STF 1{ST∗ >C} + min F, F1{ST∗ ≤C}
S0

ノックイン条項型リンク債の簡単な概要や本研究で用いる記号の定義について述べる.

2.1 記号の定義
各記号の定義を次のように与える.

St :時刻 t における株価
S0 :時刻 0 における株価
F :額面
C:指定されたバリア水準
r:利子率σ:ボラティリティ
V (St , t):時刻 t における株価が St のときのノックイン条
項型リンク債の価格

2.2 商品の説明
本研究で考察するノックイン条項型リンク債とは, 運用期間中株価が以下の 1〜3 のような変動に対応して満期でのペイオフが変化する債券である. ただし, クーポンについては考えないものとする.

1. 一度もバリア水準 C まで下落しない.
2. 残存期間中にバリア水準 C まで下落するが, 満期において初期株価よりも高い.
3. 残存期間内にバリア水準 C まで下落し, さらに初期株価より低い.と表現することができる. したがって, この商品の価格は満期でのペイオフを割引いて確率測度 P̃ のもとで期待値をとったものである.
よって, 価格はV (S, t)−rτ=e[{}]
STẼ F 1{ST∗ >C} + min F, F
1{ST∗ ≤C} | St = SS0(3)である. ここで Ẽ は確率測度 P̃ のもとでの期待値を表し,

τ (=T − t) は残存期間を表す.
また, (1) 式の解は
{()}
σ2ft
St = S0 exp
r−t + σW2である. この解を変形しStYt ≡ log=S0()
σ2ftr−t + σW2(4)のようにおく.
また, Yt に関して

{MY (T ) = maxt≤u≤T Yu
mY (T ) = mint≤u≤T Yu(5)

であり,と定義すれば明らかに{ŜT = St exp(MY (T ))ST∗ = St exp(mY (T ))(6)となる. ここで, ノックイン条項型リンク債は次のように分解できることを示す.

定理 1 ノックイン条項型リンク債 V (S, t) はV (S, t) = B(r, t; F ) −F bV (S, t; S0 )S0(7)のように分解することができる. ここで,−rτB(r, t; F ) = e1
Φ(x) = √2π∫ xe− 2 y dy
12−∞である. したがって, (9) 式の同時分布は)(S0C
Pr YT ≤ log , mY (T ) ≤ log
SS( ) 2r2 −1C σ= Φ(d1 ) +{Φ(d2 ) − Φ(d3 )}Sとなる. よってノックイン条項型リンク債の価格（解析解）は (10) 式を用いればFV b (S, t; S0 )¯[]¯= e−rτ Ẽ max {S0 − ST , 0} 1{ST∗ ≤C} ¯ St = SV (S, t)= e−rτ F[]) 2r −1
C σ2−eF Φ(d1 ) +{Φ(d2 ) − Φ(d3 )}S][( ) 2r2 +1C σS{Φ(d5 ) − Φ(d6 )}+F
Φ(d4 ) +S0S−rτである. B(r, t; F ) は割引債の価値であり, V b (S, t; S0 ) は
時刻 t で行使価格が S0 のヨーロピアンノックインプットオプションの価値である.

((11)

また, (4), (6) 式を用いて (7) 式を整理することにより,

V (S, t)[]= e−rτ F − e−rτ F · Ẽ 1{YT ≤log S0 ,mY (T )≤log C }S[]SSTS01+e−rτ F · Ẽ(8)C
S0 {YT ≤log S ,mY (T )≤log S }に書き換えることができる. したがって, (8) 式からもわかるように YT と mY (T ) に関する同時分布関数を求めればよい. この同時分布は()
S0
C
Pr YT ≤ log , mY (T ) ≤ log
SS()
C= Pr mY (T ) ≤ log
S()
S0
C− Pr YT > log , mY (T ) ≤ log
SS(9)とにより以下のように導出することができる.

()( ) 2r2 −1CC σPr mY (T ) ≤ log= Φ(d1 ) +Φ(d2 )SSここで,)=( ) 2r2 −1CSσΦ(d3 ))(1σ2Cd1 = √)τ
log − (r −S2σ τ()
1Cσ2d2 = √log + (r −)τ
S2σ τ()S0C
σ21− log+ 2 log + (r −)τ
d3 = √SS2σ τ1√

本節では, ペイオフ関数を特定化せず, 一般的なペイオン運動の鏡像原理 (詳しくはブローディ [3] を参照せよ. ）S0C, mY (T ) ≤ log
SS()
Cσ2log − (r +)τ
S2σ τ()
C1σ2log + (r +d5 = √)τS2σ τ)(Cσ21S0√+2log+(r+)τ
d6 =− logSS2σ τ

d4 =4 ペイオフ関数の一般化

や Harrison[2],Conze and Viswanathan[1] を応用するこ(と求まる. ただし,である.と変形できる. また, (9) 式の右辺第 1 項, 第 2 項はブラウ

Pr YT > log(10)フ構造をもつノックインタイプの仕組債について述べる.
また, 例として具体的な商品を評価する.

4.1 最大値に依存するノックイン条項型リンク債
本節では, 株価とその最大値に依存するような仕組債について述べる. まず, 満期でのペイオフを g(ST , ŜT ) とする. すると, 価格は満期でのペイオフを割引いて確率測度P̃ のもとで期待値をとったものであるので,¯][¯V (S, t) = Ẽ e−rτ g(ST , ŜT )¯ St = Sとなる. したがって, この商品の価格は確率測度 P̃ のもとで ST と ŜT の同時密度を求めればよい. さらに, (4), (6)式を用いることにより YT と MY (T ) の同時密度を求めればよい. 前節と同様に, ブラウン運動の反射原理等を用いることにより,Pr(Yt < b, MY (t) < c)())(2acb − atb − 2c − at√√=Φ− e σ2 Φσ tσ tとなるので, YT と MY (T ) の同時密度は,fTY,M (b, c) =2(2c − b)
√ φσT T(2c − b√σ T){exp2ab − a2 Tσ2}2となる. ここで, a = r − σ2 である. したがって, 株価とその最大値に依存するノックイン条項型リンク債の価格は¯[]¯
V (S, t) = Ẽ e−rτ g(ST , ŜT )¯ St = S∫ ∞∫ ∞
g(x, y)fTY,M (x, y)dxdy= e−rτ
0−∞(12)となる. つまり, 株価とその最大値に依存するような仕組債は (12) 式を用いることにより, その価格を導出することができる.

4.2 最小値に依存するノックイン条項型リンク債
本節では, 株価とその最小値に依存するような仕組債について述べる. まず, 満期でのペイオフを g(ST , ST∗ ) とする. すると, 価格は満期でのペイオフを割引いて確率測度P̃ のもとで期待値をとったものであるので,¯[]
V (S, t) = Ẽ e−rτ g(ST , ST∗ )¯ St = Sとなる. したがって, この商品の価格は確率測度 P̃ のもと

4.3 具体例
本節では, 4.2 節を利用して具体的な商品の価格を導出する.
例 1 ペイオフの下限・上限のないノックイン条項型リンク債の評価
この商品は運用期間中株価が以下の 1, 2 のような変動に対応して満期でのペイオフが変化する債券である. ただし, クーポンは考えないものとする.

1. 一度もバリア水準 C まで下落しない.
2. 残存期間中にバリア水準 C まで下落する.
1 の場合は満期に元本 F を保証し償還されるが, 2 の場合は株価に連動した基準価額 (=F · SST0 ) となる. つまり, 株価の下落によって元本割れの場合もあるが, 株価の上昇により元本以上の額を受け取ることができる場合もある債券である.

3 節と同様に定式化して, この債券を評価する. まず, 満期でのペイオフは

F 1{ST∗ >C} + FST1{ST∗ ≤C}
S0と表現することができる. したがって, この商品の価格はで ST と ST∗ の同時密度を求めればよい. さらに, (4), (6)満期でのペイオフを割引いて確率測度 P̃ のもとで期待値式を用いることにより YT と mY (T ) の同時密度を求めれ¯[]¯STV (S, t) = e−rτ Ẽ F 1{ST∗ >C} + F
1{ST∗ ≤C} ¯¯ St = S
S0(14)となる. ここで, 4.2 節で得た結果を用いれば, この商品のばよい. しかしながら,mY (T ) = −M−Y (T )を利用することにより, −YT と M−Y (T ) の同時密度を求めればよいことがわかる. したがって, 前節と同様にブラウン運動の鏡像原理等を用いることにより,となるので, −YT と M−Y (T ) の同時密度は,(σT T2c − b√
σ T{)
exp

価格は()) 2r −1C σ2V (S, t) = eF Φ(−d1 ) −Φ(d2 )
S()( ) 2r2 +1C σS
Φ(d5 )
Φ(d4 ) ++FS0
S−rτ

Pr(−Yt ≤ b, M−Y (t) ≤ c)(())
2γcb − γtb − 2c − γt√√=Φ− e σ2 Φσ t
σ t2(2c − b)
√ φ
fT−Y,M (b, c) =をとったものである. よって, 価格は

2γb − γ2 Tσ2}(と求まる.

5 数値計算2となる. ここで, γ = −(r − σ2 ) である. したがって, 株価3 節で導出した解析解とモンテカルロ法で数値計算しとその最小値に依存するノックイン条項型リンク債の価た結果を比較する. また, 期間の途中からバリアが存在し格はたり消えたりする場合（以降, window バリアとよぶ）の¯][V (S, t) = Ẽ e−rτ g(ST , ST∗ )¯ St = S¯[]= Ẽ e−rτ g(YT , mY (T ))¯ St = S∫ ∞∫ ∞
g(x, y)fT−Y,M (x, y)dxdy= e−rτ
0−∞(13)となる. つまり, 株価とその最小値に依存するような仕組債は (13) 式を用いることにより, その価格を導出することができる.

ノックイン条項型リンク債についてもモンテカルロ法を用い計算し, 比較する.
表 1 にノックイン条項型リンク債の価格を求めるパラメータを示す.
まず, 時刻 t での株価 S を変動させたときのノックイン条項型リンク債の価格を図 1 に示す. ここで, kaiseki,monte, window, discount はそれぞれ解析解, モンテカルロ法による計算結果, window タイプのバリアに対するモンテカルロ法の計算結果, 割引債の価格である. 次に, 無表1

各パラメータ

時刻 0 での株価 S0
バリア水準 C
額面 F
残存時間 τ満期 T
シミュレーション回数 M
バリア判定回数（時間分割数）Nwindow バリアの存在期間

10000
7500
1000.75
1100001000.75〜1図 2 無リスク利子率 r を変動させたときのノックイン条項型リンク債の価格, S = 10000,σ = 0.2

リスク利子率 r を変動させたときのノックイン条項型リンク債の価格を図 2 に示し, ボラティリティ σ を変動させたときのノックイン条項型リンク債の価格を図 3 に示す. 図 1 において, 割引債の価格は株価 S とは独立なので定数となる. 株価 S を増加させていくとノックイン条項型リンク債の価格は割引債に近づくことがわかる. これは, 株価 S が増加するとバリアに触れる確率が小さくなり, 定理 1 におけるヨーロピアンノックインプットの価値が 0 に近づくからである. また, 図 2 において, 無リスク利子率 r を増加させるとノックイン条項型リンク債の価格は下がっている. これは, 通常の債券がもつ性質と同じであり, ノックイン条項型リンク債が無リスク利子率 r にたいして通常の債券と同様の性質をもつことがわかる. 図

図 3 ボラティリティ σ を変動させたときのノックイン条項型リンク債の価格, S = 10000,r = 0.03

3 において, ボラティリティ σ を増加させるとノックイン条項型リンク債の価格は下がっている. これは, ボラティリティ σ が増加することによってバリアに触れる確率が高くなり, その結果価格が下がると考えられる. また, 図
1 のときと同様に割引債の価格はボラティリティ σ とは独立なので定数となる. 図 1〜図 3 において, 解析解より6 おわりにもシミュレーションの結果の方が価格が高くなるのはバたる. そのため, 仕組債を単一の商品として定式化するのリアの判定を連続的におこなっているのか, 離散的におこは難しい. 本研究ではその中でも一般的なバリアに触れるなっているのかの違いである.

ことによりペイオフが変化するノックイン条項型リンク

前述のように, 仕組債は発行体と投資家のニーズにあわせて設計されるため商品の内容や構造がかわり多岐にわ債についてブラウン運動の鏡像原理を用いることにより解析解を導出した. また, ノックイン条項型リンク債が割引債とヨーロピアンノックインプットオプションとの差に分解できることを示した. さらに, ペイオフが満期における参照株価とその最大値・最小値に依存するようなタイプの仕組債の価格が導出できることを示した.

参考文献

図 1 株価 S を変動させたときのノックイン条項型リンク債の価格, r = 0.03, σ = 0.2[1] Conze,A. and Viswanathan, ”Path Dependent Options:The Case of Lookback Options”, Journal ofFinance, 46, 1893-1907, 1991.
[2] Harrison,J.M., Brownian Motion and Stochastic
Flow Systems., Willey, New York, 1985.
[3] ドージェ・ブローディ, 現代ファイナンス数理, 日本評論社, 2000.