政治区画の幾何形のモデルと測定

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政治区画の幾何形のモデルと測定

言

梶jil勇作7"

みなすものである︒

モ(仏‑﹂刊日回目︒ロ)の一種ともし考察対象の政治区画が連続的に︑ つまり間隙をつくらずに︑平面をおおっているならば︑その区画網をグラフ)
f，

めて抽象化︑単純化して考察する︒換言すれば︑ここでは政治区画を平面分割つまり地域区分てこの政治領域の境界線網︑ つまり政治区画網の形状(岱品目)だけを問題にする︒しかもこの場合︑それをきわ治領域は同一レベルの他のいくつかの政治領域と境を接している︒この論文では︑政治区画についての諸問題のうちの範囲を政治領域(広耳目昨日可) と言うが︑現代ではこうした政治領域に所属しない地表はごく少なく︑ 一般にある政政治区画とはある特定の政治力の管轄下におかれた地表の範囲を限界づけたものである︒この限界づけられた個々

序一、

242nm‑‑mg匂ごとみなすことができる︒ セルグラフは多辺形グラフとも呼ばれ︑平面(立自由同)理論におけるセルグラフ (グラフの一種である︒ 一つ一つの政治領域はセルグラフのセルに相当し︑境界線はグラフの辺(曲線分) に当たる︒

このことはこれらの政治領域が階層的ではなくて︑同一レベルに属するならば︑これらが国・州・県・市町村などいずれのレベルの領域であるかを問わない︒

しかし︑現実の政治区画のうちにはセルグラフの定義に合わない例外事例がみられる︒まず︑グラフでは辺で閉まれたどのセル (面とも言う)も他から区別された独立の一つのセルである︒しかし︑政治領域は言わゆる飛地をもっことがある︒飛地だけでは一つの政治領域とは言えない︒ つまり︑ グラフでは二つ以上のセルに相当するものが︑こ一つのセルは二つ以上のセルと辺を接する︒しかし︑政治区画の場合︑まれではあるけれども︑こでは一つの政治領域を形成しているのである︒次に︑ グラフではどのセルも他のセルのぐるりを取り囲むことはなぃ︒換言すれば︑つの領域が他のまわりをすっかり取り囲む事例が実在する︒例えば︑ イタリアにおけるバチカン市国や浜松市に固まれた可美村などがこれである︒

こうした例外を無視して︑ここでは政治区画網をセルグラフとみなそう︒ところで︑ある領域に隣接する領域(もσ 角)と言う︒それはグラフに関して言えば︑ セルの辺数である︒
ちろん同一レベルの) の数を接触数(gロS2ロロB

政治区画を示した地図を一見すれば明らかなように︑領域の接触数は様々である︒それは一となることも実際にはあるが︑前述のようにグラフの定義に合わせて言えば︑それは二以上の様々の整数をとりうる︒筆者は戦前の日本における郡(内陸の二七六郡) の接触数を調べたことがあるハ13それは最小のこから最大の十二にわたっている︒また

ベイカーが調査したフランスの二九四町村 (25‑gBBd口町田)の場合には︑それは最小二︑最大十九であるハ2Y こ

のように個々の領域の接触数は様々の値をとる︒しかし︑その平均値は六以上になることはありえず︑しかも対象とする領域の数の増加につれて︑六に近づくことを次に証明しよう︒)
︒
平面上に互いに隣接する領域AとBと が あ る と し よ う ( 第 1図

これに新しい領域引を︑ AまたはBあるいは両方に隣接させて描く︒

mhi‑‑‑むを書き加えてゆく︒さてじ
以下同様にして︑新しい領域U ・まで描いた時には︑領域の数は当初の AとB︑ およびこのでき上ったグラフ全体の外側の領域(グラフ理論では無限面という)とを含めに言って他の六つの領域に隣接するのである︒

ω(ロ+ω) である︒ところで︑領域の接触数を計算する一つの辺は二回づっ数えられる︒ つまり︑領域の接触数の合計は (∞ロ十∞) である︒したがって領域の接触B口口付目立︒印)から無作為抽出した百の郡についてこうした領域接触数をハゲットはブラジルの約二︑ 八OOの郡 (である︒ゆえに Cは六以上にはなりえず︑ nが十分大きければ︑六にきわめて近似する︒換言すれば︑領域は平均的

nH(GP+AW)¥(ロ+suo‑HN¥(ロ+ω)C) は数の平均値 (時には︑づっ増加するから︑辺の総数は当初の AとB の辺数を含めて︑て︑(ロ十 ω)個である︒また一つの領域を書き加えるごとに︑辺は三つ政治区画の幾何形のモデ、ルと測定

調ベ︑その平均値が五・七であること︑その頻度は六において最も高いことを示した守﹀ O ま た 筆 者 も 日 本 の 郡 お よ

第 1図 領域の接触数243244び市町村(六七市町村を系統抽出) の接触数を調査して︑その頻度の最も高いのは六であることを報告したハ 4uo

したがって︑領域の接触数の平均のみならず︑頻度分布の点からも︑六角形が政治領域の形状を代表するモデルであると言えるのである︒これにさらに理想平面︑ つまりあらゆる方向に均質な平面という条件を加えるならば︑この)︒
モデルは衆知の正六角形モデルになる(第2図

一つの円は六つ正六角形モデルは次のような別の観点からも導き出される︒ある一つの中心地の領域は他の中心地を考慮しないならば︑理想平面上において円形である︒このまわりに同じ大きさの円形の領域が援すると考えると︑の円に固まれる︒しかし︑この状態では領域に含まれない空隙部分が残っている︒もしこの部分にも各領域が拡大す

このような理想的な正六角形の政治領域︑政治区画が成立するためも円に近似し︑最も効率的である︒

三︑平面を埋めつくすことのできる正多角形のうちで︑正六角形が最二︑円は正多角形のなかで最も効率的な形である︒

よび周囲長が短かいことである︒

的とは同一面積の形状において︑中心点から周辺までの直線距離お一︑正多角形は不規則な多角形よりも効率的である︒この場合に効率として次の三つを挙げている (5Z

ハゲットは平面分割としての正六角形モデルを演揮する幾何学原理

るならば︑領域の形は正六角形になる︒ つまり︑円の接点が正六角形の辺に変わるのである︒

正六角形モデル
第 2図

には︑次の二つの前提が満足されねばならない︒
前提A・・・:・政治中心地が平面上に規則的に︑ つまり正三角格子状に分布していること︒
前提Bi‑‑‑平面上の各部分は直線距離の最も短かい中心地の領域に含まれること︒

換言すれば︑ Aは中心地の分布パターンに関する前提であり︑ Bは境界の立地に関する前提である︒このどちらを欠いても︑正六角形の区画は成り立たない︒

右の前提Aとは無関係に︑ある中心地の分布パターンが与えられている時︑前提Bを満足する多角形網が考えられる︒この多角形はディ Iリクレイ(ロEnE2) ・リージョンとか︑ヴォロノイ(︿OBロoc多角形とも言われている官)(﹀・出・叶E22ロ) はいくつかの観測点の雨量ある中心地の分布パターンが与えられ︑もしさらに中心地の政治力の相対的強度が分っているとすれば︑ティ 1セ

一九一一年にティ lセン

ではなくて︑その線分を二つの中心地の政治力の相対的強度に応じて二分する点に直交する直線を描くのである︒こが︑ここではティ lセン多角形と呼ぼう︒
政治区画の幾何形のモデルと測定政治区画のモデルとしてこのティ lセン多角形網を考えるならば︑もちろんそれは中心地の特定の分布パターンを前提にしていない︑ つまり前述の前提A に無関係であるという点で︑正六角形モデルよりも理想化の程度の低い︑たがって現実の区画により近似するモデルであると言える︒

ン・モデルをさらに現実に近づけたそデルに改良できよう︒ つまり︑各中心地から隣り合う中心地までの線分の中点しーセン多角形である(第 3図)︒この多角形網を実際に作図するにはコベクの考案した方法を用いれば容易である (83に言えば︑各中心点から隣り合う点までの線分の中点に直交する直線を描いた時︑この直線を辺とする多角形がティ︒作図的データからその区域の平均面積雨量を求めるのにこうした多角形網を利用する方法を考案したのであるハ 7)245246ティーセン多角形モデル

うして作図された多角形の大小は中心地の政治力の強度を反映することになる︒かような政治力の強度が何によって表現しうるかは国によって異なるであろうし︑対象とする政治区画のレベルによってもちがうであろう︒ある人は中心地の人口規模を思いつくかも知れない︒その場合には︑領域の人口規模や面積規模は中心地の人口規模と正相関しておらねばならない︒実際に州や県・市町村の面積をながめてみると︑広大な面積をもっ領域ほどむしろその中心地の人口規模および領域全体の人口も少ない傾向︑ つまり領域人口規模の均等化傾向がみられる︒したがって︑こうした政治区画ではむしろ中心地人口規模の逆かにしている︒しかし︑本論文ではこのモデルを扱わないことにしよう︒その一つの理由はこのモデルが動態的であれら二つのモデルをイギリスのパスサービスセンターの領域に適用して︑ジョンソン・メイル・モデルの長所を明らをも許容している︒このモデルとティlセ γ ・モデルとの特性の比較がブ 1 ツによって行なわれている(旦︒彼はこ野において考え出されたジョンソン・メイル O
Ems‑EmrH) ・モデルである︒このモデルでは︑ セルの辺は曲線(﹄︑︑でもよいし︑ セルは必ずしもとつでなくてもよいから︑ セルの接触数の最小はこであり︑さらに中心核を欠いたセル

ぇ︑セルの接触数の最小は三である︒これらの点をもっと現実の区画に近似させたモデルがある︒それは結晶学の分さて今まで述べたどのモデルにおいても︑ セル(領域) のどの辺も直線であり︑ セルはすべてとつであり︑それゆ数にあたるような指擦をとった方が適切と思われる︒

第 3図

y

政治区画の幾何形のモテゃルと測定247るためである︒ここでは終始︑時間要素を無視した静態モデルを考えているからである︒
二︑パターンの測定

前述の前提B のみを満足するティ l セン・モデルとそれに前提Aをも満足する正六角形モデルとがある︒では現実の政治区画はこれらのモデルからどれくらい偏差しているのか︒これを測定する方法が以下の課題である︒この問題は二つに分けられる︒第一は中心地の分布バタ lγ が正三角格子状かどうか︑ つまり前提A にどれくらい従っているか︒第二は中心地の分布パタ l yを与件とした時︑政治区画はティ l セン多角形網になっているかどうか︑ つまり前提Bをどの程度満足しているのかである︒前者は点分布の測定︑後者は線分布の測定の問題である︒

地理学では集落などの点分布パターンに対して古くから深い関心が持たれてきたけれども︑そうしたバタ l yを統計的手法や確率論的手法を用いて記述しようとする試みが現われたのは中心地理論の研究が興隆した比較的近年のこ(ロ目印同町田品γロ目前四﹁σo口同同ロ曲目可己申) に求められる︒そしとである︒この種の最近の研究業績についてはキングが詳細に論評している白﹀が︑それらの出発点は一九五四年にグ ラ lクとエヴアンズという生態学者が考案した最近隣単位法てこの分析法が一九六0年代の初めにデイシーやキングによって地理学における中心地(都市)分布の研究に導入されたのである︒

従来は多くの場合︑点分布を観察して︑主観的に判断し︑集中的パターンとか︑分散的パターンとか表現してきたが︑最近隣単位法を使えば︑分布パターンを客観的な一つの数値によって記述することができる︒それは次の式から求められる︒

2481u>Z︑Rは最近隣統計値であり︑ Dは与えられた分布における各点から最も近い点までの直線距離の平均値︑ Aはtv一になるのである︒この手法を使えば︑考察対象地域の大画網の図上に︑中心地の分布にもとずいてティ I セン多角形網を作図する︒現実の区画とティ lセ γ多角形の共通部問題に対する一つの解窓口は現実の区画とティ l セン多角形網との比較によって与えられる(第 4図)︒現実の政治区であるとすれば︑次に問題になるのはこうした中心地の分布バタ lγ のもとにおける境界の立地の問題である︒この現実の中心地の分布が正三角格子パターンに一致することはほとんどないだろうが︑中心地の分布パターンが既知

ターンが正六角形モデルの前提である正三角格子パターンからどれくらい偏っているかを測定することができる︒

政治的中心地の分布とその政治区画が与えられた時︑我々はこの最近隣単位法を用いて︑まずその中心地の分布パって分析して︑合衆国の都市分布パターンは規則的というよりもむしろランダム分布に近似すると結論している

auo

ものではなく︑凝集的であることを明らかにしたハロヨまたキングは合衆国内の二十区域の都市分布をこの手法によ

デイシーはこの手法を用いて︑ミシシッピ川に沿う都市の分布がブルグハルトの言うような規則的(等間隔的)なきるのである︒

きさが異なっていても︑点の数がちがっていても︑二つの分布パターンをR の値によって客観的に比較することがでなる︒そしてもし点分布が完全にランダムである時には︑らば︑ゼロになり︑逆にすべての点が完全に規則的に︑ つまり正三角格子状に分布しているならば︑二・一五日﹀

面積︑ Nは点の数である︒ R の値はゼロから二・一五までの範囲にある︒もしすべての点が一ケ所に凝集しているな

R ‑ @﹄F 甲ft&tvLJtj政治区画の幾何形のモデルと測定

249

現実の区画とティーセン多角形網(斜線部は両者の共通部分)分の面積をプラニメーターなどを使って計測する︒これらの面積の和を考察対象地域の面積で割る︒この指数の値が境界立地のモデルと現実との偏りを表現する︒値が一に近いほど現実の区画網がティ l セン
多角形網に近似しているのである︒

もし共通部分などの面積が知りえないとすれば︑簡便的な方法として︑中心地から隣りの中心地までの直線分の長さとその直線が現実の境界を切る点までの長さとを組み合わせた尺度を考えうるであろう︒

いずれにしても︑こうした測定法は中心地のある相対強度が与えられた時のティ l セン多角形を作図して︑適用することもできる︒(同町一白町一凶日4白匂回目吋)かの点が完全にラ γダムに分布している時には︑ n次の反射対の点の数はになっている切点の数の割合を求(N¥ω)お一本の線分上にいくつの割合になることが知られている二次の反射対の点の数の割合を求める︒以下同様に三次︑ 四次というふうに続ける︒さて︑める︒ 一次の反射対とは相互に最も近くに位置する二点のことである︒さらに互いに二喬自に最も近接した位置にあ界線との切点を記録する︒次にこの線上において一次の反射対の端に達したら︑そこから再びラ γダムウォ lグの横断線を引けばよい︒この連続した一本の屈折した横断線上に境Eロ仏og 君主 W) による横断線を引く(第 5図)︒図
ず︑考察対象とする区域の境界線網の図上にラシダムウォ l ク (近隣単位法が応用できる︒この手順についてはデイシーが﹁線パタ Iγ の記述﹂自 υ という論文で紹介している︒まもしティ l セン多角形と比較するのではなくて︑現実の境界立地パターンを記述したいのであれば︑再び前述の最第 4図

250

してモデルからどれくらいずれているかを扱うものであり︑個々の政一般的な測定法であると言えよう︒

る︒右の手順で求めた各次の割合がこれを十分上廻るならば︑規則
ランダムウオークの横断線注

ある対象の形状はいくつかのパラメーターをもっている︒例えば︑面積・周囲長・長軸の長さなどがこれである︒

状を厳密に比較することができない︒客観的に比較し︑記述するためには形状を測定する必要がある︒て︑円に近いとか︑星形とか︑ ひょうたん形であるというふうに記述してきた︒しかし︑こうした分類では二つの形測定を問題にするようになったのは近年のことである︒従来はたいてい観察した形状を任意的な分類項目にあてはめ地理学でも研究対象の形状というものを重視してきたけれども︑岩石学や生物学など他の分野に比べると︑形状の三︑形状の測定治領域の形状にはまったく言及していないのである︒形状の測定法はこれらとは別の次元に属する︒

さて以上のべたいずれの測定法も点あるいは線のパタ l yが全体と画網の場合にも︑その中心地分布とは無関係であるという意味でも︑や鉄道網などを含めたすべての線パターンに適用可能である︒政治区

この測定法は政治区画網のようなセルグラフばかりでなく︑河川網である︒

的︑逆にこれより小さければ︑凝集的パターンであると記述できるの

第 5図

政治区画の幾何形のモデルと測定251

これらを組み合わせた指数を用いて︑ある形状を正多角形の系列にあてはめるのが最も簡単な形状の測定法であろぅ︒換言すれば︑そこでは円をモデルとし︑その指数の値によってそのモデルからの偏りを計測するのである︒パラハゲットはブラジルの郡の形状を考察するのに︑次のような指数を使っているSYメーターの組み合わせによって︑何種類もの指数が考えられる︒
例えば︑叶﹀ ¥HKM
HHH‑N回りraEER)︑Aは郡の面積︑ Lは最長軸の長さである︒定数(一・二七)をかけているの
ただし︑五は形状指数(由は︑円の場合に︑指数の値が一になるようにするためである︒換言すれば︑この指数はその形状の面積とその形状の最長軸の長さを直径とする円の面積守口 品)との比である︒ 定数をかけているのを除けば︑この指数はホ 1トンが昨日流域の形を表現するのに用いた﹁形の比﹂(同255 0)と同じである︒

0六から0 ・九三までの広範囲にわたること︑細長
ハゲットは測定の結果︑ブラジルの郡ではこの指数の値が0 ・い形状の郡が多いこと︑ しかし︑正三角形・正方形・正六角形に近似しようとする傾向が指数値の頻度分布から読みとれることを報告している︒ ハゲットと同様の測定をベイカlはフランスの町村について行なっているハ担︒指数値

0三1 0・九三であり︑平均は0 ・四九であった︒の範囲は0 ・A) と最長軸の長さ (L) とから次のような指数も考えうる︒
この指数の算出に使っている面積 (阿¥下明MHH‑E'¥

これは観察している形状の最長軸の長さをその形状と同一面積の円の直径と比べたものである︒ つまり︑巴を開平したものである︒

252

同様の観点から︑例えば︑対象の形状の面積 (A) をその形状の周囲長︿P) を 周 と す る 円 の 面 積 と 比 較 す る 指
つまり︑︐白m HHN・umwkr¥句回FHω‑Et¥山門¥司

一とゼロとの聞を︑正三角形・正方形・五角形・ぃ︒これらの指数は形状の一部分を測定しているにす︑ぎないのである︒々の形状が同じ値をとることがありうる︒換言すれば︑指数のある一つの値は一つの形状を表現しているのではな

こうした形状の測定において︑ある一つの形状は確かにその尺度上の一つの位置を与えられる︒しかし︑二つの別めることが可能である︒

六角形・円などのゾ l ンに区分しておけば︑与えられた形状の指数値によって︑その形状を正多角形の一つにあてはの著しい形であるほどゼロに近くなる︒それぞれの指数について︑げた指数の値はいづれもゼロから一までの範囲にあり︑形状が円に近似するほど一に近くなり︑逆に細長い形や屈曲

この他にもパラメーターの組み合わせがいくつか考えられるが︑例をあげるのはこれくらいにしておこう︒右にあも同種類の指数である︒

同吋日"HMNH¥

何回

また形状に内接する円の半径(凡)と外接する円の半径(ゐ)との比︑ つまり︑になる︒

が考えられる︒これを開平したものは形状の周囲長 (P) をその形状と同一面積の円の周と比較する指数︑ つまり︑数政治区画の幾何形のモデルと測定

253

こうした欠陥を克服して︑形状そのものを測定する手法を考案したのはブンゲである︿50 彼 の 手 法 は 二 つ の 定 理﹁合わす﹂とはその等辺多角形のすべての頂点が対象の形状の周上にあるにもとづいている︒第一の定理は︑ある任意の一つの形状はその辺の長さは変化するが等辺のある多角形に合わすことができるということである︒この場合︑ようにすることである︒第二の定理は︑その等辺多角形のすべての頂点間距離を次のようなやり方で合計した値の一組はその多角形と一対一に対応するということである︒そのやり方とは一つおきの頂点間(例えば第一と第三寸第二と第四の頂点問)の距離の和(払)およびそれらの自乗和(町)を算出する︒次に二つおきの頂点間(例えば︑第一と第四の頂点問)の距離の和(お)およびそれらの自乗和(印)というように︑以下︑新しい頂点の組み合わせが出︑品︑U4

ν︑品︑野) の組がえられる︒この和の一組がその等辺多角形を表現しているのでてこなくなるまでこうした和を求める︒こうして︑和の一組がえられる︒例えば︑形状に合わせたのが八等辺多角形ならば︑六種の和(&︑ある︒

ブンゲはこの手法をメキシコ中部の六十ほどの村の形状に適用し︑各々の和の頻度曲線の極小点を用いて︑村の形状を十一のタイプに分類している︒またこの手法をストダルトは環礁の形状の測定に使っているハ想︒

このブ γゲの手法は形状の測定として厳密であり︑対象の形状に合わせた等辺多角形と和の一組とが一対一に対応する点ですぐれている︒しかし︑形状を表現するものが複数の値であること︑測定が実際上きわめてやっかいであることは欠点である︒対象とする形状にできるだけ近い等辺多角形にしよとすれば︑その辺数を増加させねばならなぃ︒それにともなって︑和の算出が煩雑になり︑和の種類も増える︒

こうした煩雑さはしかし形状そのものを測定するためにはさけられないものである︒我々は煩雑さをいとわずに厳254

密に形状そのものを測定するか︑あるいは厳密さをすてて簡便な手法で形状の一部分を測定するかのどちらかを選ばねばならない︒

政治領域の形状をあるモデル的な形状からの偏りによって記述する目的のためにはブンゲの複雑な測定方法を採る必要はないだろう︒先にのベた指数による測定よりもいくらか厳密であり︑ しかもブンゲの手法より簡便な測定法が二つほどある︒

ボイスとクラ lクが提案した放射線法 (注目白二日ロ叩 !52ro仏)は次の数式で表わされる(四百H

7M一
昨・ 5l噌)h‑OR‑JL︑ rは中心点から形状の周までの放射線の長さ︑ nは放射線の本数である︒中心点は形状の重心でもよいが︑︑ふJ ふJ

ボイスらがCBDを中心点として都市域を測定しているように︑政治領域の場合には政治的中心地から放射線を引け

冨 KF) の形状を測定し︑この指数値が低い(円形にばよい︒ボイスらは十六本の放射線を用いているが︑ 八本でも三十二本でもよい︒
ボイスらはCBDを中心点として合衆国の標準大都市地区

ω(近い)ほど標準大都市地区におけるCBDの商業販売の割合が高いという関係を指摘している︒

しかしこの放射線法はリ Iとサリが倒をあげて示したように︑二つの別々の形状に対して同一の指数値になること

ay

R8252HW52ro を提唱し口門町民があるという欠点をもっているリ!とサリは対称差距離法公判ggE目﹀
仏ている︒ある標準的形状 (L) を測定すべき形状 (K) に最も合うように描く︒両者の共通部分(同コピの面積を両同CF) の面積で割り︑これを一から差し引く︒この値が小さいほどKはL に近似する︒この方法では者の和集合 (政治区画の幾何形のモデルと測定
255L) を自由に選べるという利点がある︒リーらは円形・正方形・正三角形・長方形(辺の比が三対一
標準的形状 (の)を標準的形状に選び︑ スlダン北部の二十五の村の形状と比較している︒しかし︑標準的形状が自由であるということはこの方法には常に恋意性がつきまとうことでもある︒ Kに最も合うようにLを描くことも実際には共通部分と和集合の面積をプラニメーターで測りながら試行錯誤をくりかえさねばならない︒

一見︑標準的形状としてティ l セン多角形を採用すればよいよ

リーらの方法をあるモデルと現実の形状との比較とすれば︑それは前述した境界立地パターンにおける現実の区画とティ lセン多角形網との比較と同種のものである︒

うに思われるかも知れないが︑それは不可能である︒ティ l セン多角形は隣り合う中心点の位置いかんで様々に変化しうるのであり︑ リーらの方法における円形や正三角形などの標準的形状とはまったく異なるモデル形であるからである︒

セルグラフをなす政治区画の領域の形状の場合︑ まず初めは正六角形を標準的形状として︑それと比較するのが最も妥当と思われる︒

この論文では測定法を述べたのみで︑それを現実の区画や領域に適用しなかった︒この作業はいづれ他の機会に試みよう︒この論文で述べた内容のほとんどは政治区画だけでなく︑ セルグラフをなすあらゆる現象にもあてはまるであろう︒
ま占(1) 拙稿(一九七三)わが国の行政境域の相互接触数︑地理学評論︑四六l一ニ︑二一一 l五頁︒

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