転位の発達を考慮した結晶塑性による反転負荷・多軸負荷の弾塑性変形の予測
静岡大学 機械工学科准教授 吉田 健吾（2018 年度 一般研究開発助成 AF-2018006-B2）
キーワード：塑性異方性，結晶塑性解析た後に単純せん断を負荷する交差負荷試験を実施する．こ1．緒 言
板成形シミュレーションの解析精度に塑性構成式は大れらの試験より，バウシンガ効果，交差効果といった加工きな影響を与える 1), 2)．板材がプレス成形中に受ける変形硬化挙動を測定する．その後，結晶塑性モデルを用いて数に近い変形モード下での力学特性を測定するために，二軸値解析を実施する．転位蓄積によるすべり系の背応力を考

引張 3)や反転負荷 3)–5)などの実験技術が開発されてきた．

慮することでバウシンガ効果の再現を試みる．すべり抵抗

それと同時に，様々な異方性降伏関数 6), 7)，ならびに加工の発展に対する潜在硬化の寄与を強めることで交差効果8)–10)も提案されてきた．
降伏関数を用いる巨視的なの予測を試みる．本研究では，個々の転位を直接考慮する

塑性構成則だけでなく，結晶塑性モデルに関する研究も進ことはせずに，背応力および潜在硬化係数を媒介変数とし硬化則．結晶塑性モデルの利点は，集合組織て転位の発達が塑性挙動に与える影響を再現する．このよに起因する異方性，およびその発達を数値解析に取り込めうな背応力と潜在硬化がさまざまな負荷状態に対する異ることである．

方性に与える影響を明らかにする．

められている11)–14)

巨視的な塑性構成則と同様で，結晶塑性モデルにおいてすべり系の背応力を考慮することで，バウシンガ効果を再現することができる

15)．すべり系に堆積した転位もしく

2．実験方法2.1

材料

は転位セル壁からの反力が背応力の起源である．また，す供試材は板厚 1 mm の A5052-O 板である．X 線回折にべり抵抗の発展に対する自己硬化と潜在硬化の寄与率をよって集合組織を測定した．板を 40 枚積層して，圧延方変えることで交差効果を予測できる 16)．すべり系の転位向（RD）と板厚方向（ND）からなる面の{111}, {200}, {220},が林立転位を切りながら運動する現象は，潜在硬化係数を{311}面の極密度を測定した．Labotex（Labosoft 社製）を自己硬化係数よりも強くして再現することが多い．低炭素用いて結晶方位分布関数（ODF）を解析した．図 1 に Euler

鋼板に見られるような複雑なバウシンガ効果，交差効果を角が  2  45°, 90° の ODF を示す．Cube 方位が主方位とな予測するために転位密度の発展を規定した高度なモデルる集合組織である．

も提案されている 13)–14)．ただし，アルミニウム合金板においては，バウシンガ効果や交差効果は，比較的に小さいことが多いと報告されている 17)．
結晶塑性モデルを塑性加工シミュレーションで活用する方法として，結晶塑性解析の結果を数値実験とみなし，それより巨視的塑性構成則の材料係数を決定する方法 18)がある．または，結晶塑性モデルをそのまま成形シミュレーションに組み込む方法 19)がある．どちらの方法であっても結晶塑性解析が塑性変形を正確に予測できているこ図 1とが肝要である．

 2  45°, 90° の ODF．

結晶塑性解析と実験結果を比較した研究は多数あるものの，負荷モードが限定されている場合がほとんどである11), 13), 14), 18), 19)．板成形への活用を念頭に置くのであれば，さまざまな変形モードに対して実験結果と結晶塑性解析を比較し，結晶塑性モデルの有効性を検討すべきである．
本研究では，A5052-O 板を対象として，単軸引張，二軸引張試験を実施する．これより単軸応力状態および二軸応2.2

材料試験

本研究では，単軸引張，単純せん断，二軸引張を実施した．実験において，ひずみはデジタル画像相関法（Aramisv6.3, GOM 社製）によって同定した．座標系は RD を x 軸，圧延直角方向（TD）を y 軸に一致させた．
(1)

単軸引張試験

力状態において発現する異方性を明らかにする．さらに，単軸試験片は平行部の長さ 75 mm，幅 12.5 mm とした．

単純せん断による反転負荷試験，および単軸引張を負荷し試験片中央部の長さ 50 mm，幅 12.5 mm の領域の対数ひずみの平均値を代表値とした．長手方向の対数ひずみを 

すべり抵抗の発展は次式で与えた．とし，真応力を  とする．長手方向（引張方向）と RD のなす角度を  とする．  0, 15, 30, 45, 60, 75, 90° の 7 方向g ( )   h  (  ) ,に対して単軸引張試験を実施した．
(2)



単純せん断試験および反転負荷試験

せん断試験片の変形部は縦 45 mm，横 3 mm である．変 A qA qA qA
 qA A qA qA
,h  h 
 qA qA A qA
 qA qA qA A (4)形部中央の縦 25 mm，横 1.5 mm の領域の変形勾配 Fij の平ここで， h は硬化係数行列， q は潜在硬化係数である．

均値を代表値とした．分かりやすさのために，変形勾配のすべり系 1 ~ 3，4 ~ 6，7 ~ 9，10 ~ 12 はそれぞれ共面すべ

Fxy を（工学的）せん断ひずみ  と記す．せん断応力  はり系である．転位は弾性相互作用を受ける．一方，非共面せん断力を初期断面積で除して求めた．試験片の縦方向すべり系の転位を切って運動する．A は全ての成分が 1 の（せん断方向）を RD と一致させた．

3×3 行列を表す．硬化率 h は累積すべり  A をもとにした

単純せん断を負荷して，   0.22, 0.45, 0.72 に達した時

拡張 Voce の式で与えた．にせん断の方向を逆向きにする反転負荷試験を実施した．
(3)

交差負荷試験 h hh  ( h0  h1 ) exp   0 1  A   h1 , 1   0


平行部の長さ 140 mm で幅 50 mm の大型試験片を RD（   0° ）に沿って切り出して，対数ひずみ  pre  0.1, 0.15の単軸引張を負荷した．その後，せん断試験片の縦方向がRD と一致するように切り出し，単純せん断を負荷した．
(4)

二軸引張試験

試験部が 60 mm×60 mm の十字型試験片 3)を用いて二(5)ここで，  0 , h0 ,  1 , h1 は材料係数である．なお，  0 , h0 は臨界分解せん断応力（ g ( ) の初期値）と初期硬化率である．
t
累積すべりは  A     ( ) dt と与えられる．
0

軸引張を負荷した．試験片の横を x 軸（RD），縦を y 軸多結晶体の解析のために，ODF から 1728 個の結晶方位（TD）に一致させて，荷重比を Fx : Fy  4:1, 2:1, 4:3, 1:1,を創製した．8 節点一次要素（選択低減積分）を用いて，3:4, 1:2, 1:4 の 7 通りとした．試験部中央の縦 50 mm，横50 mm の領域の対数ひずみの平均値を代表値  x ,  y とした．

3．結晶塑性解析
本研究で用いた結晶塑性解析の方法は，背応力の発展式を 除 き 文 献 22) と 同 じ で あ る ． FCC 金 属 に 関 す る{111}<110>の 12 個のすべり系を考慮した．すべり系  のすべり速度は次式で与えた．

 0 sgn(( )X( ))

 (  )  X ( ) mg ( )4．実験結果および解析結果
4.1

単軸引張試験および単純せん断試験

(1)

実験結果

図 2 に   0, 45, 90° における単軸引張と単純せん断の応力－ひずみ曲線を示す．単純せん断の結果を相当応力－相当ひずみ関係に換算した 3   / 3 曲線も図示した．
引張試験では，   45° の流動応力が他よりも低くなる傾向が確認された． 3   / 3 曲線は単軸引張の結果とお1( )一要素を一結晶粒とみなした．

(1)

おむね一致した．
単軸引張の結果に関して，対数ひずみ  から弾性ひずみ

ここで， ( ) , X (  ) , g ( ) はそれぞれすべり系  の分解せん断応力，背応力，すべり抵抗である．0 は基準すべり速を引いて塑性ひずみ  p を求めた．全ての角度  に対して，度， m はひずみ速度感受性指数である．本研究では，
0  0.002 s1 ， m  0.002 とした．

  0° の値で除すことで正規化流動応力を求めた．その正Chaboch23)にならい背応力

X( )化流動応力は 0.98 ~ 1.01 の範囲で変動しており，明確な異(2)方性は確認できなかった．一方，  p  0.05, 0.1, 0.15 においては，   60° あたりで最小値を示し，流動応力の異方X 1( ) と X 2( ) の発展則は次式で与えた．

X 2( )  c2 ( )性を確認した．
(3)

ここで，c1 , d1 , c2 は材料係数である．式(3)の右辺第一項は転位蓄積による影響を，第二項は動的な回復の影響を表している．

規化流動応力を図 3(a)に示す．  p  0.002 において，正規は 2 つの項の和とした．

X ( )  X 1( )  X 2( )X 1( )  c1 ( )  d1 X 1( )  ( ) , p  0.002, 0.05, 0.1, 0.15 における流動応力を求め，それを板幅方向塑性ひずみを板厚方向塑性ひずみで除して R値を求めた．なお，板厚方向塑性ひずみは体積一定則を仮定して求めた． p  0.05, 0.1, 0.15 の R 値を図 3(b)に示す．

R 値は   15 ~ 30° において最小，  90° において最大であった．

300

 = 0°

線を用いて，Levenberg–Marquardt 法によって決定した．一90°

方 ， IsoBS ， LatBS モ デ ル は 潜 在 硬 化 係 数 を そ れ ぞ れ,  [MPa]250q  1, 1.4 として，背応力を考慮したモデルである．材料係

3   / 3

45°

200

数は，   0° の単軸引張，単純せん断，   0.45 で反転負150荷した応力–ひずみ曲線を用いて同定した．なお，反転負荷の実験結果は 4.2 節に後述する．

100結晶塑性モデルを用いて単軸引張を解析した．  p  0.1

 ( = 0°)に対する正規化流動応力を図 3(a)に示す．全ての結果は500.99 ~ 1.02 の範囲であり，実験で確認された   60° あた

00.0

図 20.10.20.30.4

, 0.50.60.70.8

単軸引張試験および単純せん断試験より測定した

応力－ひずみ曲線（  は圧延方向からの角度）．

Normalized flow stress

1.04以上の結果より，4 つの結晶塑性モデルによる解析結果
引張で現れる異方性には影響を与えないことが分かった．

0.98
0.96
0.94

Experiment:  p
0.92
0.002
0.0501530Simulation:  p = 0.1
Iso
IsoBS
Lat
LatBS

0.1
0.1545607590Angle from rolling direction,  [°]R value1.0結晶塑性解析に使用した材料定数01h0h1qc1d1c2

Iso

28.7

80.8

353

11.9

1.0

000Lat

27.5

71.5

306

9.00

1.4

000IsoBS 23.9

73.3

272

7.34

1.02565245

7.17LatBS 19.5

61.8

178

3.59

1.483444988.22る．）

0.74.2反転負荷試験(1)

実験結果

  0.22, 0.45, 0.72 でせん断方向を反転させた時の応力－ひずみ曲線を図 4 に示す．反転後にせん断応力が負となる領域の応力–ひずみ曲線は，せん断応力が 0 となる点の0.50.4

表 1（ q , d1 は無次元，その他の定数の単位は MPa であExperiment Simulation
pat  p = 0.10.90.05
IsoLat
0.10.8IsoBS
0.15
LatBS0.6

周りに 180°回転させた．反転後に弾性状態から塑性状態
01530456075

Angle from rolling direction,  [°]90

実験結果と結晶塑性解析結果の比較．(a) 正規化流動応力，(b) 単軸引張における R 値(2)

 p  0.1 における R 値の予測結果を図 3(b)に示す．結晶はほぼ一致した．すなわち，潜在硬化および背応力は単軸(a)図 3

流動応力がほぼ一定であることを確認した．との差は，最大で約 0.1 であった．

1.000.90(b)全てのモデルにおいて，ひずみの大きさに関わらず正規化

塑性解析は実験結果の傾向をおおむね予測できた．実験値

Uniaxial tension

1.02

りで流動応力が低くなる異方性を再現できなかった．なお，結晶塑性解析の結果

結晶塑性解析は，表 1 の 4 種類のモデルによって実施した．Iso，Lat モデルは潜在硬化係数をそれぞれ q  1, 1.4として，背応力を考慮していないモデルである．材料係数は，   0° の単軸引張および単純せん断の応力–ひずみ曲に遷移する時の応力，すなわち再降伏応力は，単調負荷の流動応力より低く，バウシンガ効果が確認された．再降伏後は，流動応力が低いまま変形し，徐々に単調負荷との差が小さくなった．反転後にせん断ひずみが 0.1 増加した時点の流動応力と単調負荷のそれとの差を確認した．反転するひずみが   0.22, 0.45, 0.72 の時，応力低下量はそれぞれ 6.2, 3.6, 4.4 MPa であり，   0.22 で反転した時に最も低下量が大きかった．

力が高いまま加工硬化した．その結果，流動応力の予測値

180|| [MPa]Experimentmonotonic
160reverseは実験結果より高い値となった．LatBS モデルでは，Lat モデルより再降伏応力が低下し，その後，緩やかに流動応力が上昇した．同様に，IsoBS モデルでは Iso モデルよりも140

再降伏応力が低く，その後，徐々に流動応力が増加することを確認した．

120Simulation
IsoLat
LatBS

100800.0

図 40.20.4



0.60.81.0

反転せん断試験における応力－ひずみ曲線．実験結以上の結果より，潜在硬化係数を q  1.4 し，潜在硬化を強めることで，交差負荷の流動応力が上昇することが分かった．ただし，実験で確認された再降伏後の加工硬化率の低下は予測できておらず，流動応力が高いまま塑性変形が進行した．また，背応力を考慮することで再降伏応力が低下し，実験結果を適切に予測できないことが分かった．

果と Iso, Lat and LatBS モデルを用いた結晶塑性解析結果の比較．
180
Simple shear ( = 0°)

(2)

160

結晶塑性解析の結果

 [MPa]結晶塑性解析の結果を図 4 に示す．図示した Iso，Lat モデルによる解析結果はおおむね一致した．反転負荷直後の再降伏応力は低下するものの，その後，すぐに単調負荷の

140
Experimentmonotonic
crossSimulation
IsoLatLatBS

120

流動応力に到達した．LatBS モデルは，背応力に関する材100

料係数を同定するために，  0.45 で反転負荷した応力－ひずみ曲線を使用したため，当然ながら，  0.45 で反転800.0した場合の予測が最も良好である．  0.22 で反転した場

0.2

合，応力低下量は過小に予測された．一方，   0.72 で反転した場合は過大であった．なお，IsoBS モデルの結果はLatBS モデルの結果とほぼ同じであることを確認した．

図 5較．

バウシンガ効果の予測に与える影響はほぼないことが分

4.44.3交差負荷試験

0.60.81.0

交差負荷試験における応力－ひずみ曲線．実験結果と Iso, Lat, LatBS モデルを用いた結晶塑性解析結果の比以上の結果より，背応力の有無に関わらず，潜在硬化がかった．

0.4

二軸引張試験

二軸引張試験を実施して，次の方法で実験結果を整理した．まず，  0° （RD）の単軸引張の結果より，引張方向単軸引張を負荷した後に単純せん断を負荷した交差負の塑性ひずみが  0p  0.002, 0.01, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05 に達荷の結果を図 5 に示す．後続の単純せん断の応力－ひずみする時の塑性仕事を求めた．そして，二軸引張試験の結果曲線は，次の方法で求められる  pre だけ横軸をオフセットに対しても塑性仕事を求め，単軸引張の塑性仕事と等価なした．まず，予負荷の単軸引張で消費した塑性仕事 Wpre を

塑性仕事を消費する瞬間の 2 軸引張の流動応力を同定し求める．そして，（予負荷が無い）単調負荷の単純せん断た．このように同定した流動応力を図 6 に示す．図中にはにおいて Wpre と等価な塑性仕事が消費される時のせん断Iso，LatBS モデルによる結晶塑性解析の結果も示した．両ひずみを求める．このせん断ひずみを  pre として，後続のモデルによる予測結果はほとんど同じである．  0p  0.002

単純せん断の応力－ひずみ曲線をオフセットした．再降伏の初期降伏直後では等二軸引張近傍の予測結果が実験値後の流動応力は単調負荷のそれより上昇している．一方，より低い．  0p  0.01, 0.02, 0.03 では，実験結果と結晶塑性

再降伏直後の加工硬化率は低下した．その後，塑性変形の解析の結果はおおむね一致している． 0p  0.04, 0.05 では，進展に伴って，流動応力は単調負荷の結果に漸近した．こ等二軸引張において結晶塑性解析は流動応力を過小に予のように本供試材は再降伏応力が上昇する形の交差効果測し，平面ひずみ引張近傍においては過大に予測している．

を呈することを確認した．

なお，結晶塑性解析の結果において，二軸引張の流動応力

結晶塑性解析による予測結果を図 5 に示す．Iso モデル

を RD 単軸引張の流動応力で除した正規化流動応力は同では，再降伏応力は単調負荷の流動応力と同程度であり，一点に一致していることを確認している．すなわち，結晶再降伏応力が上昇する交差効果挙動を予測できていない．

塑性解析では異方硬化挙動は予測されなかった．言い換え

一方，Lat モデルではその挙動が再現できている．ただし，

ると，実験結果は平面ひずみ近傍の流動応力が塑性変形の再降伏後の加工硬化率の低下は予測できておらず，流動応進展に伴って相対的に低下する異方硬化挙動を呈したが，結晶塑性解析ではその挙動は予測されなかった．なお，Lat，を組み合わせた交差負荷を負荷し，塑性変形特性を測定しIsoBS モデルによる結晶塑性解析の結果は Iso，LatBS モデた．また，結晶塑性解析において，転位の発達の影響を背ルの結果とほぼ一致した．

応力と潜在硬化によって表し，それらが塑性変形特性に与次に，二軸引張試験において測定したひずみ経路を図 7に示す．なお，Iso モデルを用いた結晶塑性解析の結果もえる影響を検討した．得られた結論は以下の通りである．
1)

反転負荷試験において，反転するひずみが   0.22 の同図に示す．荷重比 Fx : Fy  3:4, 4:3 において，実験値と時に応力低下量が最大となった．その後，反転ひず予測値に差が確認できる．しかしながら，それ以外の荷重みが増加すると応力低下量は減少した．交差負荷で比については，実験値と予測値はよく一致している．したは，再降伏応力が単調負荷の流動応力より上昇し，がって，全体的には実験の傾向を予測できていると言える．

加工硬化率は低下するような交差効果挙動を呈した．

なお，Lat，IsoBS，LatBS モデルによる結果は，Iso モデル

その後，塑性変形に伴って，流動動力は単調負荷のによる結果とほとんど一致することを確認している．

それに漸近した．

以上の結果より，二軸引張の流動応力およびひずみ経路2)

結晶塑性解析において，潜在硬化と背応力は単軸引張と二軸引張の流動応力，R 値，ひずみ経路の異方性の予測に潜在硬化および背応力が与える影響はほぼないことが分かった．にほとんど影響を与えないことが分かった．
3)200

潜在硬化係数を 1.4 とした結晶塑性解析では，交差負荷において，再降伏応力およびその後の流動応力は単調負荷より高くなり，有意な交差効果が予測される．

y [MPa]1504)低下が予測できる．ただし，同時に，交差負荷の再降

100伏応力も低下することが明らかとなった．

参考文献

500

図 6Exp.
IsoLatBS050100

x [MPa]

150200二軸引張試験および Iso, LatBS モデルを用いた結晶塑性解析における  0p  0.002, 0.01, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05 での流動応力．
0.10

y0.061)

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Iso
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0.04

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Fx : Fy = 4 : 3

0.02
0.00

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9)

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-0.0211)-0.04-0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

x

図 7

背応力を考慮することで，反転負荷の再降伏応力の単軸および二軸引張におけるひずみ経路．実験値とIso モデルを用いた結晶塑性解析結果の比較．

５．結言
本研究では，A5052-O を供試材として，単軸引張，二軸引張，単純せん断による反転負荷，単軸引張と単純せん断

橋本圭右，山中晃徳，川口順平，櫻井健夫，桑原利彦：
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12)

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15)

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17)
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19)

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