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ン

で
。

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般

化したGeneralized

ARCH（GARCH）モデルを展開し，

Engle

and

Bol・

lerslev（1986a）はARCH・GARCHモデルの理論的特徴のサーベイを行って
コヤさ

にコ

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ベ

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ニ

いる1）。まヲきIBOIIefslev」ich6ui

1erslev，

Chou，

and

へ

Jaシa亘a㎡ian

andlKroner（1990）sとBol．

Kroner（1992）はGARCHモデルの文献のサーベイを行っている。

ここで用いるARCHモデルは2つの特徴を有している。理論的側面からみて，リスクを分散で代用し計測しようとするとき，分散は将来にたいする分散でなければならないが，実際には直接過去のデータから計算した標本分散であるhistoricalvarianceを使用したり，または回帰分析等から推定したパラメータを使って間接的に計測した分散で代用されるケースが少なくなかった。たとえば間接的方法として，回帰係数がaのAR（1）モデルを考えてみよう。このとき誤差項の分散を♂とすると，le日後の従属変数の分散はσ2（1−a2h）／（1−a2）となるが，このle日後の分散は現時点tの情報を全く考慮しない値である。ところが本論文で展開するARCHモデルから調される従属変数の将来の分散は現時点の誤差項の分散の値に大きく依存するモデルとなる。実証分析の側面からみると，これまでの最小自乗法で推定されるモデルでは，誤差項に3つの特性値の仮定が置かれている。第一の仮定はそれぞれの誤差項の期待値がゼロ，第二の仮定はそれぞれの誤差項の分散がすべて等しく一定，第三の仮定は互いの誤差項の共分散がゼロというもの
であり2），誤差項の分布は独立で同一の分布に従うものと前提されている。

これまで第二の仮定が満たされない場合には一般化最小自乗法を使用した
り，ダービン

ワトソシ比等を使って第三の仮定が満たされないことがわか＿った場合に階差をとる変数変換を行って分析を進めているが，ARCHモア
ルの推定は第二あるいは第三の仮定を緩和させた推定方法であるともいえる3）。換言すれば，ARCHモデルは誤差項の分散と共分散はデータの廊に依存する推定でありρ，㌔誤差項の分布は観測時点の情報を条件どした分布に従うものと仮定される5）。もちろんARCHモデルの推定はOLSで推定で
2

−

2一

蘂瀦誓鱈嬰鞠㌢身瓢益率の（中JII）
きるモデルをも含む推定法である。さらにARCH

lモデルでは，モデルの誤差項のタ撒・共分散が時間とともに変化するため，現時点の残差と誤差項の条件付き分散・共分散とモデルのパラメータから，従属変数の将来の分散・共分散が計算できる6）。この点からも現在の情報に基づいて将来のリスクを計測する1うの新しい方法を与えているといえよう。

本論文では1変量ARCHモデルと2変量ARCH』モデルを使って，日経平均株価指数の収益率と日経先物の対数相対価格の各時系列から，東証で日経平均株価指数が最高値を示した前後での各市場の類似・相違点を明らかにするとともに，各市場の相互作用の変化を調べることを目的とする。次節では日経平均株価指数の収益率と日経先物の対数相対価格の基本統計量を示し，基本データの相違を予備的に明らかにしておく。第3節では，全期間とバブル前・後に分けた3種類の期間で，ARCHモデルを使って日経指数収益率と先物の対数相対価格の各ボラティリティの分析を行う。第4節では株式市場と先物市場の相互影響を考慮して，2変量ARCHモデルを使って3種類の期間で日経指数収益率と日経先物収益率のそれぞれのボラティリ、ティの相互作用を調べる。

2．データと基本統計量
日経平均株価指数と日経先物の4本値のうち始・終値を使って，時点tでの対数相対価格を次のように定義する。以下では対数相対価格を収益率と呼hことにする。ここで1日の収益率は夜間収益率と日中収益率の2種類の収益率から構成されているものと想定する。
乃・−1＝1・（ρ留ctP．aSVi）・一・…＝1・（認）・k−s・f・（1）（1廉・は日経平均株価指数繊し，アは日経先物猿し，。劉ま噺日の吻始値を表し，ρ爵は第ブ日のkの終値を表し，rht，ぱ時点疹でのkの収一3−3

益率を表す。分析には日経先物の取引が開始された1988年9月3日から1991年3月15日までのデータを使用する。ここで日経先物の1銘柄の期間
は15カ月であり，任意の時点で満期日が異なる先物が同時に5銘柄存在す
るが，一時点で実際に取引される銘柄はごく限られ，ほぼ期近物の1銘柄だ
けが取引対象となっている7）。これは3カ月程度で主要銘柄が異なるためであり，したがって1銘柄だけの分析ではデータ不足のため実証不可能となる。そこで主要銘柄のデータだけからなる1本の先物収益率を作成して分析を行うことにする。実際に1本の時系列を作る方法は次のように行われる。

1日の取引数量が最も多い銘柄を取り上げ，その銘柄から1本の収益率の時系列を作る。この時系列は期近物から期先物に移り変わっていき，期先物の1日の取引数量が期近物の1日の取引数量を上回る日を境に，期近物の収益率から期先物の収益率へ順次に乗り換えていくことにする8）。このときの乗換日および満期日は表19）に示しておく。

表2は日経平均株価指数と日経先物の日中・夜間収益率の基本統計量を示している。ここで収益率の標本平均をゼロと仮定した場合，収益率の自乗の標本平均は収益率の標本分散を示し，収益率の絶対値の標本平均は収益率のボラティリティ（標準偏差）×Jii72を示す。このため収益率の分散がゼロであるか否かの予備的分析として，収益率の自乗の標本平均とともに絶対値の標本平均を掲載しておく。

表2から指数の夜間収益率の標本平均がゼロという仮説は有意水準1％で棄却される。また指数・先物の日中・夜間収益率の各収益率間の平均値の差の検定を行うと，指数夜間収益率の平均値と先物日中収益率の平均値との差だけが有意水準5％で等しくないということが明らかとなった。また指数・先物の日中・夜間の各収益率の自乗・絶対値のそれぞれの標本平均値の差の検定の結果，有意水準5％では指数・先物の日中・夜間収益率の各収益率の自乗・絶対値の平均値はすべて異なるという結果を得た。この結果ば少なく
とも指数夜間収益率の標本平均値ゼロ仮説にたいする有意水準1％での棄却

4−4一

鋪離■罪紗灘益率の（中JID
表1 日経先物収益率の乗換日（1）期間：1988年9月3日一1991年3月15日（630取引日日数）
1988

1989

満期日（a）

12／7

3／7

6／7

9／7

12／7

3／8

6！7

9／13

12／13

乗換日（b）

11／25

2／9

5／22

8／29

11／28

2／28

5／28

8／24

11／28

2／15

日数

10

9

11

21

16

21

15．5

7

9

15

12

15

1990

（a）7・（b）f2i

13（a）一（b）③

18

11

27

17

13

10
8

8

1991
3／7

平均

11．6

注（畷鑑碧は日経先物がス・・プ売高・な・取引が行・れなか・たため・揃日『｛2磯麹1鷲瓢品潔笑レンダー・x・すなわ…ンダー・数で計｛3㌫騰麟7瓢織瓢力s開かれ・・数すなわ・取弓旧日数で計
表2基 本 統 計 量｛1）期閲：1988年9月3日一1991年3月15日（630取引日日数）
日経平均株価指数
日中収益率
標本平均・（％）、

夜間収益率1

一 ．0024462．020692＊＊（一．4456）｛2｝

標本分散（％2）

標本歪度
標本超過尖度（3｝絶対値の標本平均（％）

自乗の標本平均（％2）
注｛1）（4．2676）

日

経

日中収益率
一．060528（−1．4920）

先

物

夜間収益率
．036681（1．0863）

1：89874．0148101．03686．57396．79817

4、06338．6708013．08868− ．45562

53．64721

12．702416．11526．86037．079079．63038：47198．

1．89632．015215

1．03888．57412。㌶灘：・白経先物がス・・癒・・取獅われなか・地・・前・②、⑫鷲1麟呈蹴標？1平均・・の仮説齪・轍準・糠却・れ（3順本醐幾は通鞭用される標本尖度から．3を引い揃とLt、。

から・指数夜間収益率を除いた指数の日中収益率と先物の日中．夜間収益率

間の各標本分散は等しくないことを示している．また表2の標本歪度と標本超過鍍から洛収益率のデータから描力・れる分布は正規分布からは程遠、、分布である・とも示している1・・．標本歪度と標本超過尖度は正規分布の場

合にはと斌ゼ・であるが洛雌率の標本超過尖度は大きな正を乱ており，これは飾の両裾が正規分布に』ヒベかなり厚くわていること縛味してvs．・ig−g．eこうしたデ≒タの予備的事実から．；・，−

5−

ARCHモデルによ雛定法力，5望ましいと考えられる。

3．AR（n＞−ARCH（q）モデル．1ロ

モデルの同定のためには指数と先物の各収益率の自己相関を知る必要がある。中川（1992）は予備的分析として指数・先物の日中・夜間収益率と各収益率の自乗・絶対値の各自己相関と各収益率間の相関を示している。その結果，収益率の絶対値の自己相関は指数日中・夜間収益率を除いて，ラグ5までの自己相関が0．3以上を示し，ゼロ仮説は有意に棄却されると述ぺてい
る11）。また指数と先物の日中・夜間収益率の各収益率の自乗と絶対値のラグがかなり長く続ぐことを報告している12）。各収益率の自乗・絶対値の自己相関が存在するとy）うことは，通常のOLSによるAR（1）モデルでの推定は不適当であると考えなければならない。そこで夜間収益率と日中収益率が交互に現れる1本の時系列データを使用し，（4）式のダミー変数を用いた（2）式のAR（n）モデルと（4）式のダミー変数を用いた（3）式のARCH（q）モ
デルで分析を行う．。

刀γ・F伽＋c・・D・＋暑（aki十b，，1）t）γ婦一汁ε…
ε為診1酩一・〜N（0，hkht），

E［εktεht＋j

l

〃：s，∫
qt−、］＝0，ロ
hkht＝α如＋ak・z）汁Σ（β厄十γkiDt）ε駕ま＿￡，＾②（元二1，2，・・），

（3）

i＝1

︳

v4

Ek

v5

｜

D・一｛；窪嵩叢慧
鶴＝｛εkt，

t−1，°°°｝

ここでsは日経平均株価指数を表し，∫は日経先物を表す。Cne，
αk・は定数項，aki，Ckl，ane，bki，β屈，γ（kiは回帰係数を示す。εktは時点tの誤差項であり，遇は時点tでの情報集合である。N（0，hA，，）は平均ゼロ，分散がhatの正規分布を表す。似下では，hkktは時点t・＋1での情報集合妬一、を条件と
6

−

6

一

鋪瀦§鱈嬰晋響浩蓼2益率の（中JID
した誤差項の分散であるから，誤差項の条件付き分散と呼ぶことにする。

1988年9月3日から1991年3月15日の分析期間中には日経平均株価指数が最高値を示した日が含まれている。そこで時系列データを1990年12月
旧を境に2つに分けて，それ以前をバブル前期間，それ以後をバブル後期間として分析に加える。推定はBHHH法を使った最尤法により行われる13）。

表3からARモデルとARCHモデルの定数項の符号は指数・先物の日中・夜間収益率ともに基本統計量に一致している14）。ARモデルのラグに関して，指数の場合バブル前期間B）では長いがバブル後期間C）は1次のラグだけで，日中収益率（bs、）15）からの影響が有意である。逆に，

ARCHモデルのラグはバブル前期間B）では1次までであり，バブル後期間C）では長く，ともに日中収益率のショック16）（γ、i，γ、、，7、，，γのからの影響が有意である。こうしたバブル前期間B）とバブル後期間C）のモデルの次数の違い
から・全期間A）での推定結果のモデルの次数を大きくしている主原因であると考えられ，ボラティリティのモデルから，指数を構成する株式市場の構造がバブルの前後で変化したものと考えられる。表3から先物はバブル前期

間B）・後期間C）とも，ARモデルの1次のラグでの日中・夜間収益率（伽㈲からの影響がともに有意である。先物のARCHモデルはバブル前
期間B）・後期間C）ともラグが長いことがわかる。一見しただけでは実際に日経先物市場がバブル前後で市場構造が変化したか否かを判断することはできない。

そこで全期間A）の先物のARCHモデルの誤差項の条件付き分散hfftをグラフ1で示し，hfftから計測した先物の条件付き分散Var（rft＋、1鶴）を次のように示した。全期間A）のモデルから得られるVar（rft＋、1酩）をグラフ
2で，バブル前期間B）のモデルから得られるVar（rft＋ilqt）をグラフ3で，バブル後期間C）のモデルから得られるVar（rft＋、曄）をグラフ4で示し，さらに日中収益率の条件付き分散を実線で表し，夜間収益率の条件付き分散を破線で表した。グラフ2からグラフ4をみて判断すると，先物の条件付き
7

7

表3
ロ
rLt＝ck＋伽Dl＋Σ（砺＋b，D，）γ勾一，＋εh，

ε鳥zB匹一、〜N（0，1変量hkkt），

i＝1
E［Sk，eNt＋」1qE←1］＝0，（∫＝1，2，…），ロh舶t≡Var（εht［叫1）＝α灼＋α削D，＋Σ（βが＋γ，d），）ε駕z−，々＝s，∫．

i＝1

Ckl

α鳳

α初

αhl

β．

bh，

an

γhl

β姪

bγ

Cne

雌
越

日経平均株価指数

A）全期間：1988年9月3日一1991年3月15日（標本数二1260）対数尤度＝−295．483．021624＊＊．000176215．011441（6．59613）（．00780375）（1．75919）．0032678「＊＊．124503＊＊．00515996＊＊（8．90783）（5．68310）

2．58994＊＊（11．6757）．096563＊．029032（7．99083）（2．02041）

14．4510＊＊．0146541＊＊．221508＊＊（．508242）（4．26927）（2．596604）（2．82647）

B）バブル前期間：1988年9月3日一1989年12月1日（標本数＝630）対数尤度＝176．825．022396＊＊．00166205（5．77404）（．050478），0135305

2．05905＊＊（1．89902）（4．10130）．0043172＊＊．220188＊＊．0000795906（12．5261）（14．0987）（．090308）．152071＊＊−1．72075＊（2．86918）（−2、52659）

7．82785＊＊（2．59034）

C）バブル後期間：1989年12月2日一1991年3月15日（標本数＝630）対数尤度＝−431．675．026283＊＊

一．080133（3．55335）（一◆154241）．576207×10−−23．40964＊＊（．532432）（7．31153）

ホネ．543449×10−2．389577＊＊．0149909＊＊

17．0690＊．101007（4．16652）（9．38595）（2．06938）（．921256）日

経先（2．92182）．274350＊（2．08760）

物A）全期間：1988年9月3日一1991年3月15日（標本数＝1260）対数尤度＝−1136．15．061508＊＊

一．048425＊（5．33889）（−2．04157）．226167＊＊．016475＊＊．念101727＊＊．112746＊＊．238116×10−s（4．49015）（5．46961）（5．20537）（．488196×10−4）（8．05395）

一．299555＊＊

一．043804−．887917x1『1（−4．47613）（−1．34587）（一．293669）．117147＊＊．138930（3．83103）（1．74880）

B）バブル前期間：1988年9月3日一1989年12月1日（標本数＝630）対数尤度＝−171．809．063798＊＊

一．041172．145566＊＊（4．99070）（−1．60001）（4．12495）．034945＊＊．080429＊＊（6．93782）（5．42117）

一．199803＊（−2．43577）．015955（．655053）−．066620．106550＊．029344（一．928521）（2．31392）（．306525）

C）バブル後期間：1989年12月2日一1991年3月15日（標本数＝630）対数尤度＝−958，㈱．028568−．0186978＊＊．362532＊＊（．814552）（−2．63429）（9．38257）

一．279383＊＊（−3．30098）．090407＊⑳531187＊＊．117075＊＊◆0000081（2．31423）（3．97089）（3．51568）（0）．057630（1．17018）−．013158（一．141568）

注（1）1990年10月2日は日経先物がストップ売高となり取引が行われなかったため｝こ，前日の終値を使用した。
tint（1242）：＝2．5798．

8hnt（1238）＝2．5798L

一

あni（616）＝2．583838．

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一あ』1（614）ニ2．583856・鋪瀦§鱈皇晋響務魏益率の酬1）
AR（n）−ARCH（q）モデル

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7．82785＊＊て，1090308）（2．59034）︑．232霞〕13x10一パ（・273287×iO十）12．2001＊＊（10．3033）．055723（．954941）．387791＊＊．24116×10−2110．1241（2．85053）（・284665）（1・65536）ll：

・：t．170545傘＊、（5．：9CO48）：：∴．045917（．712990）．083555≒≒．

．528577＊＊（4．28804）1（3．31307）

一 ．067675＊．269597（−2．22022）（．045985）．363517＊＊．298802×10tn（8．74670）（．106911×IO−i4）

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5．081165幽（．547222）

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：380212＊＊．（3ピ73551）＝一ご340829＊＊．122085＊「『1t…・〕1（−2．81260）こ（2．01135）＿｝／（3Ec68589）

あ05（1238）ニ1．96188．

あns（616）＝1◆96Z822．

i，：20389＊＊あA5（614）＝：1．963836．

②（）内の数値はt値を表し，＊＊（＊）は推定値ゼロの仮説検定が有意水準1（5）％で棄却される係数である。

一

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分散はバブル後，大きく変動していることがわかる。

次節では，日経指数から日経先物への影響も考慮に入れて，2変量ARCH（q）モデルを使って，日経指数と日経先物の収益率とポラティリディの相互影響の視点から再度バブル前後での指数と先物の市場構造の変化1をwaす
る。

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42変量AR（n）−ARCH（q）モデル：s

日経指数洗物収益率の絶対値の相関はラグ3まで｝まとんど縮割

り，特にそのなかで撒夜間雌率からその直後の先伽中収益率Ψ勤
値の相関（．59476）は高いと中川（1992）は報告している17）。また収益率φ自乗では指数帥雌靴先物日中・夜間収益率の間のラグ3ま㊥と，、指数夜間収益率ど先物日中収益率の間のラグ3までの相関が有意⑰り，そのなかで特に指数夜間収益率からその直後の先物日中収益率への鯛（．34656）が高vilと述べる18）。これらの事実から2変量ARCHモデルに≧る

日経指数と先物の収益率とポラティリティの分析が望ましいと考えら描。

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ここで前節の1変量AR（n）−ARCH（q）モデルと同様に，

（10）
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での情報集合である。N（0，h，，，）は平均ゼロ，分散がhhhtの正規分布を示す。ρは指数収益率と先物収益率の各誤差項の時間｝t依存しない相関係数を表す。t

BH耳H法を使った最尤法による推定の結果，表4からバブル後期間B）の眼CHモデルの有意な推定値はただ1つだけであり，先物収益率の誤差項の条件付き分散hfftを説明する直前の指数夜間収益率からのショック

伽だけである。一方，バブル後期間C）および全期間A）では，指数・先物収益率のhhktはそれ自体の過去のショックばかりでなく，相手の過去の収益率Qショックからも影響を受けていることが明らかになった。

最後に，2変量ARCHモデルの指数・先物の日中収益率の条件Nき分散
Var（rkt＋i1qt）をグラフ5に，指数・先物の夜間収益率のVar（rk・t＋、グラフ6に示した。ここで，実線は指数収益率のVar（r、e、1
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一．180243緯（一．0799772）（．447497）（−6．23165）（−19．138帥

一．00135245．795770．194025＊＊．010447＊＊（12．9280）（16．3988）（12．8759）．124689＊＊，152794淋（6．74914）（4二34967）．一γ危115日（標本数＝1260）対数尤度二一1124．29．00576445＊＊（7．56045）

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B）バプル前期間：1988年9月3日一1989年12月1日（標本数＝630）対数尤度＝154．387．02792＊＊．

（5．16831）．022031．015432＊、（．791913）（2．11621）、．836382＊（2．34612）、059817＊＊a−．022601幽．053944（3．11460）、（一．805141）（1．27488）．183992＊＊．964293×10−9（16．5484）（0）．065180＊＊．070511＊＊．066482＊＊

2．19111．028609（9．36358）（7．06877）（2．76233）（1．49048）（1．10682プ．00559284＊＊，（9．495784）．

一．478696＊＊（−5，64350）

2．68911．860844XIO−t（1．27178）（．3310諭，C）バブル後期間：1989年12月2日一1991年3・月15日（標本数＝630）対数尤度＝−1109・O「．017933＊．

（2．32939）．OO5580・＊（1．96781）．010183＊＊（7．54510）、．329238＊＊，（8．20152）：．042293−．00460414（一．903493）（一．459942）

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2．13245．094550−．329674＊＊（−1．90243）、（2．11778）．

．474761＊＊．014622＊＊（8．5q206）．401539＊＊．170124＊（2．03121）←3．ZZ175）
一．000227653、（7．61303）（4．88158）・＊＊（5．24779）

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注（1）＿1990年ユ0月．，2日は日経先物がストップ売高となり取引が行われなかったたφに前日の終値を使用した。
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埋れている間はもちろんのこと，市場が閉じた夜間でもバブルの前後で市場構造が変化したものと考えられる。これは1つに日本市場が閉じたあと，海外での日経先物の取引が翌朝の先物価櫛こ影響を及ぼしているたあであろうと考えられる。，
1

5．おわりに
日経平均株価指数は1989年12月28日を境に低下していった。．Utb・し指数収益率のボラティリティは変化したのであろうか。また日経先物の場劔
どうなのか。指数から先物，先物から指数への収益率のボラティリテイあ影響は変わったのか。1988年9月4日から1991年3月15日の分析期聞を1990年12月1日で2つに分けて，それ以前をバブル前期間，それ以齢バ
ブル後期間として，1変量ARCHモデルで分析した結果，日経指数収益率のARCHモデルに有意な差が現れたが，日経先物収益率のARCHξデルには差がみられなかった。しかし株式市場と先物市場の相互影響を考慮して，2変量ARCHモデルを使って分析した結果，バブル前の期間でば日経先物収益率のARCH効果は直前の指数夜間収益率からのショックだけであったが，バプル後には先物収益率と指数収益率とのボラティリティは相互に影響し合うようになった。またモデルの推定値から計測された条件付き分散のグラフをみると，市場が開かれている間では，バブル前・後で株式・先物
両市場の構造が変化したものの，市場が閉じた夜間では，バブルの前・後で先物市場の構造だけが変化したものと考えられる。バブル後の夜間の先物市

場構造の変化の理由の1つは，日本市場が閉じた後も海外で日経先物の取引が続ばているために，海外での先物価格の変動が翌朝の日本での先物価榔こ

影響を及ぼレているためであろうと考えられる。
〔注〕

1）

20

Geweke（1986），

Herdry（1986），

Pantula（1986），−20一

Zin（1986）はEngle

and鋪え縫舗口鞠警壊2益率の（中j・1）
Bollerslev（1986a）のヲメ｝

トを行い，．Engle

andBollerslev（1986b）はそれらの返答を行っている。またNelson（1991）は，これまでのGARCHモデルの欠点
を3う銚それらの欠点を改善する新しい形めARCHモデルを提案している。

現在では，ARCHモデルを含めてGARCHモデルと呼ばれることもあり，特にGARCH（p，、q）モデルは下式の2番目の式を示す。そこで，実証分析を行うときに
t4第1番目の式を同定しなければならない。
y・＝E［y・

1・T・一・］＋・t・・h，＝ix。十Saiε｛li＋Sjβ，h，一i＝1

ここで，ae，

世一・〜N（0，・h，）．E［・t＋。1距1］＝0，，＝1，2，＿

i＝1

a

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は・パラメータであり，酩二｛εt，ε・t．、，…｝であり，1V（0，

平均ゼロ；分散h，の正規分布を表す。GARCH（p，h，）はq）モデル自体は独立・従属変数のモーメントは2次形式であるが，そのモデル形態は移動平均自己回帰ARMA（p，q）モデルと類似し，ARCH（q）モデルは上式の第2番目の式のlp＝0のケース

でありい自己回帰AR（q）モデルの形態と類似しているb・Mean（GARCH（p，さらにGARCH（p，q）−q）一・M）モデルは上式の1番目の式にhtを加えた
yt＝E［y，1

er，＿、］＋Oh，＋etで与えられる。・ここで6はパラメータを表ず。
実証分析として，Engle

and

Kraft

一（1983）．は1948年第2四半期からi1980年第：3四半期のインフレーションをAR（4）rARCH（。。）モデルで推定を行い，

a・dS・9nim（1990）は株式ポートフォリオのARCH効果を検証一し，
Masulis・andSchwertH。m。。，

Ng（1990）．は東京とロンド・ンとニューヨークの各代表的な指数の収益率をMA（1）−GARCH（1，1）−Mモデルで分析している。また多変量GARCHモデルとして，℃han，

Chan

and

I（arolyi（1991）はS：＆P500指数とS＆P500指

数先物の5分刻みの価格変動率を2変量AR（1）−GARCH（1，3）で分析し，拙稿
（1992）は日経指数値ど日経先物価格の各変動率を2変量AR（1）−ARCH（q）モデ
ルで分析している・ここで，拙稿（1992）．と・・H・m・・，M・，。li、．andNg（1990）はダミー変数を加えて日中収益率と夜間収益率を区別し，・Chan，

and

Chan

Karo．

lyi（1991）は夜間と市場開始・5分にたいして，．それぞれのダミー変数を加えている。

2塒系列データの場合蹴灘項の分散｝塒間に鮪せず一定でい誤差項の共分
散は時間に依存せずゼthである63）B・ll…1・v，E・gle

ぜたモデルであり，3

and

W・・ldridge（・988）．嶋三・三の仮定をとも，、。緩和さ

カfi：・・i．，6・カ月の財務省ピルと20年の財務省ボシドを用いて，次の条件付き共分散を持つ3；変量・GARCH（1，1）二Mモデルを使った3変量CAPMの分析を行っている。・

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三㌫霧凝轟卵4；曝1ぷ，ぷ瞭1∵・∴
こと℃−b，，％，β賄γi」はパラメータであり，δはスカラー定数のパラメータであり，砂ぱヤーケットポートフォリオを求めるためのウェイトを表す191N（0，は平均ゼロ，分散H，の正規分布を表す。ここでiHi

は1蘂z

HO

を要素とする3×3対

tt称行列である。

4）時系列デタの場合には，誤差項の分散・共分散は時間に依存する。，

5）一般に誤差項の分布は正規分布に従うという仮定の下で分析が進められるが，「、Weiss・，（1986）は誤差項が正規分布であることを仮定せずARCHモデルの解析を．．−1：．行いむBolleオslev（1987）．ば誤差項が条件付き舌分布に従ラ仮定の下で，ニュー）一：iヨーク外為市場での英国ポンドと独マルクの対米国ドルの日次スポット，レートを・GARqH（1；1）モデルで分析してい「る。
6）1、

このこ．とはAkgiray（1989），拙稿（1993），

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Mills（1990）が詳しく解析してい．

7）実際にva・期近物の満期日前約1カ月の間で期近物と期先物との取引量の逆転が起こり，この期間では2銘柄が同時に取引されていることになる。
・t8）期近物の収益率が採用されだあと，期近物の満期日が訪れるまでは，期近物の1

T・．t，．・、日の取引数量は減少関数の如く低下していき，．期先物の1日の取引数量は増加関数：の如く増加していく。したがって，一旦，期先物の1日の取引数量が期近物の1日・の取引数量を土回ったなら，それ以後，期近物の満期日が訪れるまでに再度，期近物の取引数量が期先物の取引数量を上回ることはなかった。
・9）．1990年10月一2日は：日経先物のストップ売高により取引が行われなかったために前日の終値を10・月2日の始・終値に使用した。
10戊標本歪度が正であれば，平均値より大きい範囲に膨ちみがある分布であり，標本歪度が負である場合にはその逆であることが知られている。
11）詳細は拙稿（1992）の表，3を参照さ，れたい。

．12）詳細は拙稿（1992）の付表2を参照されたい。、

13）モデルの同定はARモデルのラグの次数とARCHモデルのラグの次数を1次ず
つ高次に上げていってヂそのときに加えられた回帰係数が有意であるなら，さらにもう1次高次に上げて，加えられた回帰係数が有意でなければその前の次数で終わるという方法をとった6推定にはIBHHH法を使った最尤法を採用しtt。
法の詳細はBemdt，

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Hausman（1974）を参照されたい。

白14）指数はどの期間をとうてもARモデルの夜間収益率の定数項（CSi）からの影響が有意であるが，先物は全期間とバプル前期間でARモデルの夜間収益率の定数
22

一 22一

蘂瀦§鵠口晋響耀2益率の（中川1）項、：（cj．），からの影響が有意である。先物のARモデルと誤差項の条件付き分散は一・バプル後期間では日中収益率の定数項．（Cn，aA）からの影響が有意である。指，．・；，．戴・先物の誤差項の条件付き分散はともにゼの期間をとっても誤差項の条件付き分
散の日中・夜間収益率の定数項．（as。，a。、，am，an）からの影響が有意である。

15）以下・参照すべき回帰係数を括弧内に表しておく。

16）残差の自乗をショックと呼ぶことにした。そもそも残差はOLSの回帰分析で説：明できなかった部分であり，残差自体がショックであるともいえるが，ここでは残一差を自乗したものをショ・ツグと呼ぶことにした。．
17）L・：詳細は拙稿（1992）．の付表3．2．を参照されたい。．また拙稿（1992）は日経指数・

洗物収益率の2変量ARCHモデルを使って実証分析を行った結果t

情報伝達の視点から，指数よりも先物が経済状況をより速く反映すると述べている。
18）・詳細は拙稿（1992）．，の付表3．3．を参照されたい。

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