M1 – Théorie de Galois – Université Lyon I – 2011-2012

1√tels que z ∈ KN et pour tout i, Ki = Ki−1 ( pi ai ) pour certains nombres premiers pi et éléments ai ∈ Ki−1 pour lesquels l’équation X pi −ai est irréductible
Exercice 1 On note Aff n le groupe des bijections affines de Z/n de la forme : sur Ki−1 .
a) Soit f (X) ∈ K[X]. Montrer que si f a une racine dans Ω qui peut s’exprifa,b : x 7→ ax + b, a ∈ (Z/n)× , b ∈ Z/nmer avec des radicaux, alors le groupe de Galois de f sur K est résoluble.

IX. Équations résolubles par radicauxa) Montrer que Aff n est résoluble.

b) Montrer par récurrence sur n que les racines n−ièmes de l’unité peuvent
s’exprimer avec des radicaux sur K.

b) Soient K un corps de caractéristique 0 et a ∈ K. Montrer que le groupe dec) Réciproque du a) : montrer que si le groupe de Galois de f sur K est résoGalois du polynôme X n − a sur K est isomorphe à un sous-groupe de Aff nluble, alors toutes les racines de f peuvent s’exprimer avec des radicaux.
n(indication : le corps de décomposition de X − a sur K est engendré par
On dit dans ce cas que l’équation f = 0 est résoluble par radicaux sur K.
ζ, une racine primitive n−ème de l’unité, et θ une racine n−ième de a.
×Si σ est dans le groupe de Galois, il existe a ∈ (Z/n) , b ∈ Z/n tels que :Exercice 3 (Un exemple d’extension par radicaux qui n’est pas normale)σ(ζ) = ζ a , σ(θ) = ζ b θ ; considérer alors l’application : σ 7→ fa,b ).
c) On suppose que K contient les racines n−ièmes de l’unité. Montrer que si√√√4a ∈ K, le groupe de Galois de X n − a sur K est cyclique. Réciproquement a) Montrer que les extensions Q(i 2)/Q et Q( 2(1 − i))/Q(i 2) sont normales.
si L/K est une extension
galoisienne cyclique de degré n, alors il existe√√na ∈ K tel que L = K( a).
b) Montrer que l’extension Q( 4 2(1 − i))/Q n’est pas normale.
d) Soit p un nombre premier. Montrer que si a ∈ K, le polynôme X p − aadmet une racine dans K ou est irréductible sur K (indication soit x une Exercice 4 (Les sous-groupes transitifs et résolubles de Sp , p premier)racine de l’équation,considérer NK(x)/K (x)). Dans ce dernier cas, montrer Soit p un nombre premier.
√pque l’extension K( a)/K est galoisienne cyclique de degré p.
a) Vérifier que Aff p peut s’identifier à un sous-groupe transitif de Sp et plusprécisément au normalisateur de h(12...p)i.
Exercice 2 (Caractérisation des équations résolubles par radicaux)b) Vérifier que si σ ∈ Aff p fixe deux éléments de {1, ..., p}, alors σ est l’identité.
Soient K un corps de caractéristique 0 et Ω une clôture algébrique de K. On
dit qu’un élément z ∈ Ω peut s’exprimer avec des radicaux (sous-entendu : c) Montrer que tout sous-groupe transitif et résoluble de Sp est conjugué àun sous-groupe de Aff p .
irréductibles) s’il existe une suite de corps :d) Déduire des questions précédentes que si f est un polynôme irréductible
K = K0 ⊆ K1 ⊆ ... ⊆ KN
sur Q de degré p, alors sont équivalentes :2i) l’équation f = 0 est résoluble par radicaux sur Q.
ii) Si x1 , x2 sont des racines distinctes quelconques de f , alors Q(x1 , x2 )contient toutes les racines de f .
e) Montrer que si f est un polynôme irréductible sur Q avec une racine réelle
qui peut s’exprimer avec des radicaux, alors f a toutes ses racines réellesou une seule racine réelle.