生産過程改良投資を加えた JIT による生産在庫モデルの研究
M2008MM025 庭山哲暢
指導教員:澤木勝茂

1

はじめにLi:n 個あるリードタイム要素の i 個の長さを最短期間に短縮した時のリードタイムの長さ (i = 1, 2, ....., n)

本論文では売り手と買い手が互いにコストが最小となるような戦略協定を結んでいるとし，JIT 生産システ
ムを用いて総コストを最小とする生産管理モデルを考察する．
2.2 モデルの仮定
アプローチとして，第 2 章では基礎的な JIT 生産管理
次に，このモデルの仮定を示す．に投資によるリードタイムの短縮，投資をすることによっ 1．需要の速度は製品を生産する速度を超えることがないて不良品発生率を低くすることができるモデルを考察す とする．(P > D)る．両者ともに，製造の前に改良がなされるとし，売り 2．リードタイム L の決定数 X は，平均 µL と標準偏差
手と買い手のすべてのコストを足した総コストを最小と σ √L の正規分布であらわされる．
するような発注量，発注回数，生産過程改良後の故障率， 3．再発注点 (ROP ) はリードタイム時の期待需要量と安リードタイムを求める．そして数値例で過去のモデルと 全在庫の合計数と同じであり，ROP =µL + kσ √L比較し，考察する．第 3 章では，第 2 章のモデルに加え 4．買い手の在庫量は連続的に観察される．て初期発注量とその後の発注量が変更できるモデルを考 5．リードタイム L は n 個の互いに独立した要素ででき察する．第 2 章と比較し有用性を確認する．ており，時間が短い要素ほど時間を短縮した際に発生す

2

JIT による生産管理の基礎モデル

この章では，生産過程改良投資とリードタイム短縮ができる JIT による生産管理モデルを考察する．JIT の特徴として，発注を受けた製品はすぐに買い手へと輸送されるとする．モデルを定式化し，数値例でモデルの有用性を考察する．

2.1

記号の定義

DQmASLP
T RC
CvCpraibieikR(L)

::
:::
:
:
:
:
:
::
:
:::

θ:

θ0:β
δ

::

1 年あたりの需要量 (1 年＝ 50 週とする)
発注量
発注回数 (無限に発注できる)
1 回あたりの買い手のオーダーコスト
売り手のセットアップコスト
リードタイムの長さ
売り手の生産性 (P > D)
売り手と買い手のコストを足した総コスト
売り手の生産コスト
買い手の購入コスト (Cv > Cp )1 年あたりの在庫維持コスト
i 期の最短リードタイム
i 期の標準リードタイム
1 日あたり i 期のリードタイム短縮コスト
安全在庫因子
リードタイム L にするためのリードタイム短縮コスト
総発注量を製造する間に不良品が発生する確率
生産過程を改良する前の状態で，総発注量を製造する間に不良品が発生する確率
1 年あたりの改良投資の割合
投資 I(θ) による θ の減少の割合 (q = 1δ )る短縮コストが少ない．
6．不良品発生率である θ は連続決定変数である．生産過程改良投資額は，qI(θ)= q log(θ0 /θ) (0 < θ ≤ θ0 ) であらわされる．ただし，θ は現状の故障率 θ0 より改善される数値とする．よって，1 年あたりの生産過程改良投資額は qI(θ) = qβ log θθ0 となる．

2.3

モデルの定式化

各コストを求めるために，定式化していく．買い手の総期待コスト (Total Expected Cost for purchaser= T ECp )は T ECp =オーダーコスト+在庫維持コスト+リードタイ
ム短縮コストとなる．オーダー 1 回あたりにかかるオーダーコストは A であるので，１年あたりのオーダーコス
トは (D/Q)A となる．また，買い手の在庫維持コスト Ip√
は再発注ポイント (ROP )=µL + kσ L から，()√QIp =+ kσ L rCp(1)2となる．次に，リードタイム短縮コスト (L) を求める．i期のリードタイムの標準期間 bi と最短期間 ai であるので，よって，R(L) は L ∈ (Li , Li−1 ] において，R(L) = 7ei (Li−1 − L) +i−1
∑ei (bi − ai )(2)

j=1となる．次に，売り手側のコストを求める．売り手側の総コスト (Total Expected Cost for vender=T ECv ) は，T ECv =セットアップコスト+在庫維持コスト+生産過程改良投資+輸送コストとなる．期待セットアップコストはD
mQ S となる．次に，在庫維持コストを求める．売り手側の在庫維持コストは売り手の在庫量× rCv なので，{ { ()}}
QD2D
rCv
m 1−−1+(3)2PPである．また，生産過程改良投資は βq log θθ0 なので，売 r=0.2，k=2.33，σ=7 個/週，i=0.1/円/年，g=15 円/故
障数，q(θ)=400 ln(0.0002/θ)，リードタイムは表 2.4 のより手の期待総コスト T ECv は{ ()} うに定める．表 2 は計算した結果である．図 1 は m，i をDS Q
D2DT ECv (Q, m, θ) =+ rCv m 1 −−1+Qm 2PP
表 1 リードタイムデータ
θ0(4)+βq log
θ
リードタイム要素 標準期間 最短期間 短縮コストとなる．次に，不良品コストを求める．製品を mQ 製作
12060.1
する間に不良品が発生する確率が θ であり，g は不良品
22061.2を交換する際のコストで，1 年あたりの期待不良品コス
31695.0
トは gmQDθとなる．よって総期待コスト
TECは2T EC(Q, L, θ, m)][DS=+ R(L)
A+Qm[( ())]
Q
D2D+m 1−−1 +rCv + rCp + gmDθ2PP√
θ0+rCp kσ L + βq log ．
(5)
θ2.4

最適解の導出次に，このモデルが最適解をもつことを示し，解を求める手順を出す．0 < θ ≤ θ0 において，この問題は非線形モデルとして計算できる．

i1
12

Li424228

表 2 各パラメータと総コストm∗ Q ∗θ∗
総コスト3129 0.00001034
2300.54129 0.00001034
2296.83170 0.00001046
2358.3

固定して θ を動かしたときの総コストの変化を表したものである．表 2 より，今回のような数値の設定では，リーM in T EC(Q, L, θ, m)[]
DS=A++ R(L)
Qm[( ())]
Q
D2D+m 1−−1+rCv + rCp + gmDθ2PP√
θ0(0 < θ ≤ θ0 )(6)+rCp kσ L + βq logθとなる．次に，以下の手順で Q，m，θ，L を求めていく．
Step1:各 Li , i = 1, 2, …n について，θi = θ0 として，次の (i)-( ) をおこなう．
(i)θi を代入して，mi を出し，θi と mi から Qi を計算する( )Qi と mi から θi を計算する．
( )Qi , mi , θi が変化しなくなるまで (i)-( ) を繰り返し，それが解 Q∗i , m∗i , θi∗ となる．
Step2:もし，Step1 の解が θi∗ ≤ θ0 なら，Li で与えられた最適値である．
T RC(Q∗i , m∗i , θi∗ , Li ) を計算して Step4 へ
Step3:もし，θi∗ > θ0 なら，θ0 = θ0 と定めて，m∗i を計算し，m∗i から θi∗ を決定する．
そして T RC(Q∗i , m∗i , θi∗ , Li ) を求める．
Step4:T RC(Qs , ms , θs , Ls )=mini=0,1,…n , T RC(Q∗i , m∗i , θi∗ , Li ) と 定 め る ．そ して，T RC(Qs , ms , θs , Ls ) は最適解となる．

2.5

図 1 基礎モデル m = 4，i = 1
ドタイム短縮は 1 回のみおこなうことが費用がとても少ないので 42 日として，かつ発注回数は 3 回よりも 4 回として発注費用より在庫維持費を減らすような政策をとるようにした．従来のモデルでは総コストは 3034 となっており，大きくコストを削減できたといえる．

発注量を変更できるモデル

3

このモデルでは前の章のモデルに加えて，総コストを下げる手段として初期発注量と 2 回目以降発注を異なった量で発注できるモデルを検証する．初期発注量はリードタイムと安全在庫で決定され，2 回目以降の発注量は初期発注量以上となる．前の章と比較して，総コストの減少と各パラメータの値の変化を考察する．

数値計算

手順にしたがって，各記号に数値を代入して数値計算をおこなう．D=1000 個/年，P =3200 個/年，A=25 円/オー
ダー，S=200 円/オーダー，Cp =20 円/個，Cv =20 円/個，

3.1

記号の定義と仮定

記号の定義と仮定は第 2 章と同じとする．

それゆえ，システム 1 年あたりの総在庫維持コストは，{ ()()}√QDD DL
1−++ kσ L
Cp r
2PP50{()()2 }√ 2DPLDL++ kσ L + (m − 1)
2P Q
50
50× (Cv − Cp )r．

(12)

その他のコストは第 2 章と同じであるので，総コスト
T RC(Total Relevant cost) は{ ()()}
√Q
D
D DL
T RC =
1−++ kσ L
Cp r2PP50{()()2 }√ 2
PLQ
DL+ kσ L + (m − 1)+2P D
5050
図 2 売り手と買い手の在庫量

3.2

θ0θ
DSgmQDθ+ [mR(L) + A + ] +．
Q
m2× (Cv − Cp )r + βq log

モデルの定式化

発注方法はバッチ発注のため，Q は売り手から買い手に m 回で輸送される．初期発注量はリードタイムと安全在庫によって決定されるため，初期発注量 z は z =√DL/50 + kσ L となる．ここで，発注回数 (m − 1) の発注量は PL/50 であり，売り手がリードタイムに生産する量である．よって Q はQ=√DL
PL+ kσ L + (m − 1)5050となる．また，m は(7)4(13)

最適解の導出
L について求めるために，T RC を L で偏微分して∂T RC(Q, L, θ, m){ ∂L()}
D DL
kσ=+ √Cp rP502 L{ ())(√DDLkσD+2+ kσ L+ √2P Q
5050 2 L( )2 }( )PD+2(m − 1)
L (Cv r − Cp )ｒ − 7m
e1
50
Q50Q D50kσ− k− √(8)
PLPP L(14)√で与えられる．P L/50 > DL/50 + kσ L の場合の買い∂T EC(Q,L,θ,m)=0
手と売り手の総在庫は図１に示す．点線と生産ラインで つぎに，Qmin ，θ の値を求めるために，∂θ
とおいて，形成された斜線が引かれている三角形の面積の合計が売2βqり手の手持ち (WIP:Work In Progress) 在庫であるので，
θ=(15)
gmDQ
WIP 在庫の 1 年あたりの全体の製品の量に対する割合はD/Q から WIP 在庫コストはが得られる．また，[()2()2 ]∂T RC(Q, L, θ, m)√DDL
PL+ kσ L +(m − 1)
Cv r (9)∂Q
2P Q 5050][DS=− 2 A++ mR(L)である．次に，買い手の在庫量を求めるため，全体の在Qm{()2 })(庫量を求める．台形 ABDC は，1 サイクル毎の総在庫コ√ 2DDL
PL++ kσ L+(m − 1)
ストであるので
2P Q25050[ ()()]
()
√
1 1
11 DL
DgmDθ
1−++ kσ L Q(10)
1−Cp r +(16)× (Cv − Cp )r +2 D P
P502P2m=1+となる．これより，買い手の在庫コストは，総在庫から となるので，θ に式 (13) を代入して， ∂T RC(Q,L,θ,m) = 0∂Q
売り手の在庫を引いたものでとして Q∗ の値を求めると Q は正であるため，)()[ (√√DD DL
Q−B2 + B22 − 4B1 B31−++ kσ L
(17)Qmin =2PP502B1{(}])( )2√ 2DL
DPLとなる．ただし，+ kσ L +(m − 1)
Cv r ．
−()
2P Q
50
50
1D
B1 =1−Cp r ，B2 = βq(18)
(11)
2P

D
B3 = −2P{()()2 }√ 2DL
PL+ kσ L+(m − 1)
50
50× (Cv − Cp )r − D[mR(L) + A + S/m].

(19)

求めた Qmin ，θ を式 (13) に代入すると T RCmin はStep9:m∗ ，L∗ から式 (7) に代入して Q∗ の値を求める．
Step10:m∗ ，L∗ ，Q∗ から θ∗ を計算する．
Step11:もし，θ∗ > θ0 なら，θ∗ = θ0 とおく．
Step11:求めた m∗ ，L∗ ，Q∗ ，
θ∗ を式 (13) に代入し総コストを求める．それが最終的な最小総コストとなる．

T RCmin
4.1 数値例√()−B2 + B22 − 4B1 B3D
表 3 は第 2 章と同じ数値を代入した結果である．
=1−
Cp r
4B1P
√
−B2 B22 − 4B1 B3
表 3 総コストと各パラメータ+
4P DB1∗∗{(}QmLθ∗
総コストz)
()2
√ 2DL
PL543
242 0.0000098
2137
159.9×+ kσ L+(m − 1)
(Cv − Cp )r50502DB√ 1[mR(L) + A + S/m] + βq−B2 + B22 − 4B1 B3()
√gmDθ0 −B2 + B22 − 4B1 B3(20)+βq log2βq2B1−となる．Qmin と T RCmin は初め，m = 1，L = L0 から計算する．
つぎに，T RC が Q，m を与えたときに，L について最∂ 2 T RC(L)適解をもつことを示す． ∂L2を求めると，{∂ 2 T RC(L)D
1 D kσ3Dkσ√Cr+=−p∂L24 P L3/22P Q 100 L( )2( )2 }DP+2+2(m − 1)
(Cv − Cp )r5050<0(∵ Cv < Cp )図 3 発注量を変えられるモデル(21)

第 2 章と比較すると，総コストは 6.93 ％ほど低くなっとなる．よって，Q，m を与えたとき，L について T RC ている．発注回数は前の章のモデルと比較して発注回数は上に凸であることがいえ，L の範囲内にコスト関数が は 2 回減って 2 回となり，改良後の故障率はあまり変化∂T RC(L)最小となる点が存在することがいえる．また， ∂Lがみられなかった．
は単調増加であり，これより T RC は L について，L の範囲に極値が 1 つ以下であることがいえる．よって式 (7) 5 おわりにを式 (13) に代入したとき，L の範囲内に T RC が最小と今回の結果から，不良品発生率は両モデルともに大きなる最適解が存在することがいえる．
く減少させる政策が有効であると判明した．そのようにここから，次の手順で最適解を求めていく．
生産工程を改良することは，総コストを削減できるだけ
Step1:各 m = 1，L = L0 から，Qmin ，T RCmin を式 ではなく，生産性が大きく向上していることが考えられ，(17)，(20) から計算する．
コスト削減以外のメリットも存在することがいえる．今Step2:Q = Qmin として，Q と L から m を式 (8) より決 後の発展としては，生産過程改良後の条件を細かく付け定する．
加えて，より生産現場で使われるような設定をしたい．
Step3:Q と Step2 の m から，総コストが最小となるよう参考文献
な L を選択する．
Step5:Q と選択した L から式 (8) より，m を求める．
[1] L. Y. Ouyang and H. C. Chang : Lot size reorder
Step6:m，Q，L から Qmin ，T RCmin の値を式 (17)，(20)point inventory model with controllable lead timeより求める．
and set-up cost，International Journal of System
Step7:もし，求めた T RCmin が前の T RCmin より大きい
Science ，Vol.33，No.8，pp.635-642(2002).
なら，Step2 へ戻る．以下の場合は Step8 をおこなう．
[2] E. L. Porteus ： Optimal lot sizing, process quality
Step8:求めた T RCmin ，m，L の値を最適解だとして記録
improvement and set-up cost reduction．Operations
する．求めた L を固定して，先ほど求めた m の値を繰
Research ，Vol.34，No.1，January-February(1986).
り上げと繰り下げした整数の値を出し．そこから総コス「JIT 生 産 シ ス テ ム 」（The[3] 大 野 耐 一：トを計算し，低いほうの値を m∗ として，そのときの Q，
Operations
ResarchSocietyofJapan）
m，L の値を記録する．
http://www.orsj.or.jp/ wiki/wiki/index.php/∗∗
Step8:m から，式 (14)=0 として ，L の値を求める．