日時計の計算式
滝 敏美
2007 年 10 月 21 日
１．目的日時計を製作するために必要な数値を計算する計算式を導く．この計算式では，日時計の面の向きを自由に選べるようにする．
２．参考資料[1] Toshimi Taki, “Matrix Method for Coordinates Transformation,” Rev. E, February 29, 2004. （インターネットの Taki’s Homepage（http://www.asahi-net.or.jp/~zs3t-tk/）にある．
）
３．記号の定義
黄道傾角
緯度
太陽の時角 H
太陽の赤緯
方位角 A
高度 h
ノーダス G0 の日時計面からの高さ l
ノーダス G0 と G1 の距離 d方向余弦 (L, M, N)
４．太陽の高度と方位の計算
４．１ 太陽の位置
ある日ある時刻の太陽の赤緯を ，時角を H とする．赤緯 は± （黄道傾角）の範囲にある．この座標を赤道座標系 O-xe’-ye’の方向余弦で表現すると次の式になる．

LSe 'cos cos( H )M Se 'cos sin( H )N Se 'sin

1

天頂子午線

Zh

天の赤道（春分・秋分の太陽の通り道）

天の北極
Ze’

Xe’ S (L ’, M ’, N ’)
eee

PZ

北西HO

南Xh

Yh, Ye’東

図１ 赤道座標系
この太陽の位置を方位角 A と高度 h で表す．方位角は真南を基点として西に向かって測る．
この座標を地表座標系 O-xh-yh の方向余弦で表すと次の式になる．

LShcos h cos( A)M Sh

cos h sin( A)

N Shsin h
天頂子午線

ZhZ

西

北S (Lh, Mh, Nh)hA

南OXhYh

図２ 地表座標系2東太陽の位置を地表座標系の方向余弦に変換するには次の式を使う．日時計の位置の緯度をとする．

LShM Sh
N Sh

cos

0 sin

20sin

100 cos

2LSe '

2M Se 'N Se '

2

天頂子午線

zh

天の北極

天の赤道（春分・秋分の太陽の通り道）

zexe
PZ

北

西W0W2

夏至の太陽の通り道

W1A2A0A1E1

南E0E2xhyh, ye

東

冬至の太陽の通り道

図３ 太陽の位置
５．影の位置の計算
５．１ 日時計の面とノーダスの位置の定義
日時計の座標系を O-x’’-y’’-z’’とし，日時計の面は O-x’’-y’’面内にあるとする．２つのノーダ
ス G0 と G1 を考える．G0 は日時計座標系の z’’軸上の高さ l にある点とする．G1 は G0 から天の北極に向かう線上にある点とし，G1 と G2 の距離を d とする．
地表座標系と日時計座標系の関係は以下のようになっているとする．まず，地表座標系をZh 軸まわりに x 回転した座標系を O-x’-y-z’とする．次に y’ 軸まわりに y 回転した座標系が日時計座標系 O-x’’-y’’-z’’になるとする．

3

天頂
Zh , z’
天の北極
Ze’z’’zXe’
PZ
G1

西

北

G0

子午線

Oy’, y’’yXh

南Yh, Ye’x’x’’

図４ 日時計座標系の定義
O-x’-y’-z’座標系の方向余弦を次のように表すと，

L'

cos ' cos 'M'

cos ' sin 'N'sin '地上座標系との関係は次の式になる．

L'cos zM'sinN'0sinzz

cos z00

Lh0 Mh1NhO-x’’-y’’-z’’座標系の方向余弦を次のように表すと，

L' 'cos ' ' cos ' 'M ''cos ' ' sin ' 'N ''sin ' '

O-x’’-y’’-z’’座標系と O-x’-y’-z’座標系の関係は次のようになる．

L' 'cos y0

sin

M ''
N ''

0
sin y

100
cos yyL'
M'
N'4

東これらの座標変換式を使えば，地表座標系で表した太陽の位置を日時計座標系で表すことができる．日時計座標系で表した太陽の位置を(Lsh’’, Msh’’, Nsh’’)とする．
５．２ ノーダス G1 の日時計座標の求め方
赤道座標系の Ze’軸のベクトルは，赤道座標系で表すと (0, 0, 1) である．このベクトルをしたに示すように地表座標系から日時計座標系まで変換していく．

LNh

cos0 sin

2M Nh
N Nh0sin

1LN '

cos z

MN 'sin

NN '0

LN ' '

cos y0sin

M N ''
N N ''

0sin y100
cos ysinz

00 cos2z

cos z00200
12LNh

0 M Nh1N NhyLN 'MN 'N N'

ノーダス G1 の日時計座標系での位置は次のように計算できる．

xG1 ' '0

LN ' 'y G1 ' '0

d M N ''z G1 ' 'l

N N ''

５．３ ノーダスの影の計算式
ノーダスの影の位置は，図５を参照して次のように計算できる．
ノーダス G0 の影の日時計座標系における位置は，

xGS 0 ' '0y GS 0 ' '0z GS 0 ' 'l

LS ' 'lM S ''NS ''N S ''

ノーダス G1 の影の日時計座標系における位置は，

5

xGS1 ' '0y GS1 ' '0z GS1 ' 'N G1 ' 'LS ' 'N G1 ' 'M S ''NS ''N S ''

当然のことながら，zGS0’’と zGS1’’はゼロである．
z’’
太陽方向の単位ベクトル
長さdl

G0G1Y

ノーダスG0 の影，GS0

ノーダスG1 の影，GS1y’’, Xx’’

図５ ノーダスの影の位置
最後に，日時計座標計の向きを図５の O-X-Y 座標系に変換する．

X GS 0y GS 0 ' 'YGS 0xGS 0 ' 'Z GS 0z GS 0 ' 'X GS1y GS1 ' 'YGS1xGS1 ' 'Z GS1z GS 1 ' '6６．計算例
前項で説明した計算式を使って日時計の目盛位置を計算する MS-Excel のワークシートを作成した．緯度と日時計の面を定義するパラメータを入力すれば，日時計の目盛（時刻線，春分・・夏至・秋分・冬至の影の経路）を計算し，図示する．このワークシートを使って計算した例を以下に示す．
６．１ 名古屋の垂直日時計
名古屋の緯度は 35 度 10 分である．真南に向いた垂直日時計を図６に示す．

冬至の線

ノモン（長さ１）
10-6-5-4-3-2-17h

0123417h-2

春分・秋分の線

16h-49h10h

11h

6-1-38h

512h

13h-5-6夏至の線

図６ 名古屋の垂直日時計714h15h

６．３ 名古屋の水平日時計
名古屋用の水平日時計を図７に示す．
北4冬至の線
315h

9h
14h

16h13h

212h

11h

10h8h
春分・秋分の線

117h

7h
0-5-4-3-2-10

1-1ノモン（長さ１）

夏至の線
-2南

図７ 名古屋の水平日時計

82345６．３ トリニタ・デイ・モンティ教会の日時計
ローマのスペイン広場を見下ろす場所にあるトリニタ・デイ・モンティ教会（図８）の正面壁面には日時計がある．ローマの緯度は 41 度 54 分である．
日時計は真南から 75 度西を向いている．この条件で垂直日時計を作図したのが，図９である．日時計の実物の写真を比較のために図中に示した．なお，実物の日時計の横の目盛線は，日没を基点（0h）とした時刻を示すものである．

図８ トリニタ・デイ・モンティ教会
ノモン（長さ１）
春分・秋分の線

冬至の線
10-4-3-2-10

1

218h
17h
16h-115h14h-212h-313h-4

図９ トリニタ・デイ・モンティ教会の日時計

93夏至の線

4