立命館大学経済学研究科
博士前期課程 2 回生
波床貴明
初稿 2017/04/11,改稿 2017/05/14

Blanchard and Kahn (1980)に関する研究ノート
線形差分方程式マクロ経済モデルの合理的期待解1

はじめにBlanchard and Kahn (1980)は,合理的期待(rational expectation)下における一階の線形差分方
程式体系に,ユニークな解が存在するための条件を提示し,解がどのように表現されるのかということを示した論文である。合理的期待下で,かつ一階の線形差分方程式体系と聞くと,あまり有用性を感じないかもしれない。しかしながら,マクロ経済学において採用されている経済主体の期待形成は,基本的に合理的期待である。さらに,対数線形近似等の手法を用いることにより,複雑な差分方程式体系でも,一階の線形差分方程式体系にすることが可能である。このため適応範囲は広く,マクロ経済学の様々な分野で,Blanchard and Kahn (1980)の内
容は利用されている。2
本稿は Blanchard and Kahn (1980)に関する研究ノートである。本稿の内容は以下の通りである。まず Blanchard and Kahn (1980)において,議論の対象となるモデルについて整理する。
次に Blanchard and Kahn の条件(Blanchard and Kahn conditions)と呼ばれるものを説明し,モデルにユニークな解が存在するのは,どのような時であるのか,またそのような解(合理的期待解)が存在するのであれば,どのように表すことが出来るのかということについて議論する。
最後に Blanchard and Kahn (1980)の内容に関する理解を深めるために,Blanchard and Kahn
(1980)で取り上げられている例を用いて,実際に合理的期待解を導出することを試みる。

モデルについて
本稿作成に関して,青木芳将氏(立命館大学),松尾匡氏(立命館大学)から有益なコメントを頂いた。記して感謝申し上げる。言うまでもないが,本稿において有り得る誤記・誤謬等は,すべて筆者の責任に帰する。
2 例えば「Google Scholar Citations」で,Blanchard and Kahn (1980)の引用先を調べると,2017/05/14 の時点で,2522 という数字となっている。
https://scholar.google.com/citations?user=QtVE6DwAAAAJ&hl=ja. 最終閲覧日 2017/05/14.
1

1

Blanchard and Kahn (1980)において議論の対象となるモデルは,(1𝑎)~(1𝑐)式によって特徴付けられる。まず,
(1𝑎)

[

𝑋𝑡+1
𝑋
] = 𝐴 [ 𝑡 ] + 𝛾𝑍𝑡
𝑃𝑡
𝑃
𝑡 𝑡+1

𝑋𝑡=0 = 𝑋0

ここで,𝑋𝑡 は(𝑛 × 1)の𝑡期における先決変数(predetermined variable)列ベクトル,𝑃𝑡 は(𝑚 × 1)の𝑡期における非先決変数(non-predetermined variable)列ベクトル, 𝑡𝑃𝑡+1は𝑡期において形成される𝑃𝑡+1の期待値,𝑍𝑡 は(𝑘 × 1)の𝑡期における外生変数(exogenous variable)列ベクトル,𝐴は(𝑛 + 𝑚) × (𝑛 + 𝑚)の行列,𝛾は(𝑛 + 𝑚) × 𝑘の行列である。(1𝑎)式は,モデルが一階の線形差分方程式体系であるということを述べている。次に,(1𝑏)

𝑡𝑃𝑡+1 = 𝐸(𝑃𝑡+1 |𝛺𝑡 )𝐸(·)は期待値オペレーターで,𝛺𝑡 は𝑡期における情報集合である。(1𝑏)式は,期待形成が合理的期待であるということを述べている。3最後に,∀𝑡 ∃𝑍̅𝑡 ∈ ℝ𝑘 ,(1𝑐)𝑠𝑢𝑐ℎ 𝑡ℎ𝑎𝑡

𝜃𝑡 ∈ ℝ−(1 + 𝑖)𝜃𝑡 𝑍̅𝑡 ≤ 𝐸(𝑍𝑡+𝑖 |𝛺𝑡 ) ≤ (1 + 𝑖)𝜃𝑡 𝑍̅𝑡

∀𝑖 ≥ 0(1𝑐)式は,非発散条件(non-explosion condition)で,将来の外生変数に関する期待値が極端な値となることを排除するものである。外生変数が急激に成長するということを排除するものである,と言い換えることも出来る(例えば,技術の極度の発展もしくは衰退)。
以上が Blanchard and Kahn (1980)において,議論の対象となっているモデルの内容である。
ここで議論の対象となっているのは,一階の線形差分方程式体系である。しかしながら,以下で述べるような手順を踏むことにより,たとえ一階の線形差分方程式体系でなかったとしても,一階の線形差分方程式体系にすることが可能である。以下のような差分方程式を考えよう。4𝑌𝑡 + 𝛼𝑌𝑡−2 + 𝛽𝑌𝑡+2 = 𝑍𝑡
ここで,以下のように定義する。
𝑋𝐼𝑡 ≡ 𝑌𝑡−1
𝑋2𝑡 ≡ 𝑋𝐼𝑡−1 = 𝑌𝑡−2
𝑃𝑡 ≡ 𝑡𝑌𝑡+1 ⇒ 𝑡𝑃𝑡+1 = 𝑡( 𝑡+1𝑌𝑡+2 ) = 𝑡𝑌𝑡+2(1𝑏)式を解釈すると,𝑡期において保有している情報を用いて,𝑡 + 1期の値を予想するということであるが,𝑡期において保有している情報の中には,𝑡 + 1期における変数の値も存在している。この値は,𝑡 + 1期において実際に実現するかどうかは不明である。実現した場合は,実際の非先決変数の値と予想した非先決変数の値は一致する。しかし実現しなかった場合は一致しない。そのため(1𝑎)式において,非先決変数に関する𝑃𝑡+1と 𝑡𝑃𝑡+1の区別は重要である。他方,先決変数の値は,現在と過去の値より将来の値が決定してしまうものであるため,変数が実現する,しないにかかわらず,実際の先決変数の値と予想した先決変数の値は一致する。よって,(1𝑎)式において区別の必要がなく,𝑋𝑡+1 = 𝑡𝑋𝑡+1となる。
4 以下の議論で使用している例は,Blanchard and Kahn(1980)において紹介されているものである。勿論,以下で述べるような手順を踏んでも,一階の線形差分方程式体系にすることが出来ない差分方程式体系も存在する。詳しくは Blanchard and Kahn(1980)を参照。
32

すると,上述の方程式は,𝑋𝐼𝑡+1 = 𝑌𝑡
𝑋2𝑡+1 = 𝑋𝐼𝑡
𝑡𝑌𝑡+1 = 𝑃𝑡
𝑡𝑃𝑡+1 = −𝛼1
1𝑋2𝑡 − 𝑌𝑡 + 𝑍𝑡𝛽𝛽𝛽と書き直すことが出来5,これを行列表記にすれば,
𝑋𝐼𝑡+1
0
0
𝑋2𝑡+1
1
0
= ||0
0
𝑡𝑌𝑡+1
𝛼
0 −𝛽
[ 𝑡𝑃𝑡+1 ]

1 0
0
𝑋𝐼𝑡
0 0
0
𝑋2𝑡
0 1 || [ 𝑌 ] + [0] 𝑍𝑡
𝑡11−𝛽 0 𝑃𝑡𝛽となる。ここで,𝑋𝐼𝑡 , 𝑋2𝑡 は𝑡期における先決変数,𝑌𝑡 , 𝑃𝑡 は𝑡期における非先決変数である。これ
で一階の線形差分方程式体系でない差分方程式を,一階の線形差分方程式体系にすることが出来た。

Blanchard and Kahn の条件と合理的期待解
さて,(1𝑐)式は外生変数に関する非発散条件であったが,先決変数・非先決変数に関しても,同様の条件を付与することが出来る。すなわち,
̅̅̅𝑋∀𝑡 ∃ [ 𝑡 ] ∈ ℝ𝑛+𝑚 ,
𝑃̅𝑡

(1𝑑)

𝜎𝑡 ∈ ℝ̅̅̅̅̅̅
𝑋
𝐸(𝑋𝑡+𝑖 |𝛺𝑡 )𝑋
𝑠𝑢𝑐ℎ 𝑡ℎ𝑎𝑡 −(1 + 𝑖)𝜎𝑡 [ 𝑡 ] ≤ 𝐸 [≤ (1 + 𝑖)𝜎𝑡 [ 𝑡 ]]𝐸(𝑃𝑡+𝑖 |𝛺𝑡 )𝑃̅𝑡𝑃̅𝑡∀𝑖 ≥ 0である。
次に,重要な概念と仮定を導入しよう。行列𝐴は,以下のような形に分解することが出来る。
𝐴 = 𝐶 −1𝐽𝐶
ここで,𝐽は𝐴の固有値を対角要素とする行列で,ジョルダン行列と呼ばれているものである。

5

最後の式は,以下のように導出される。
𝑌𝑡 + 𝛼𝑌𝑡−2 + 𝛽𝑌𝑡+2 = 𝑍𝑡であるから,上述の定義より,
𝑌𝑡 + 𝛼𝑋2𝑡 + 𝛽 𝑡𝑃𝑡+1 = 𝑍𝑡となる。 𝑡𝑃𝑡+1について解けば,
𝑡𝑃𝑡+1 = −𝛼11𝑋2 − 𝑌 + 𝑍
𝛽 𝑡 𝛽 𝑡 𝛽 𝑡

となる。
3

𝐽
さらに,𝐽は𝐽 = [ 1060]と分解することが出来る。ただし,𝐽1は絶対値が1以下の固有値を対角𝐽2要素とする(𝑛̅ × 𝑛̅)の行列,𝐽2は絶対値が1より大きい固有値を対角要素とする(𝑚̅ ×𝑚̅ )の行列𝐶である。7𝐶は𝐶 ≡ [ 11𝐶21𝐶12]で固有ベクトル行列,ただし𝐶11は(𝑛̅ × 𝑛),𝐶12は(𝑛̅ × 𝑚),𝐶21は
𝐶22

𝐵
(𝑚
̅ × 𝑛),𝐶22は(𝑚̅ × 𝑚)の行列である。𝐶 −1は𝐶 −1 ≡ [ 11𝐵21

𝐵12]で𝐶の逆行列,ただし𝐵11 は
𝐵22(𝑛 × 𝑛̅),𝐵12 は(𝑛 × 𝑚
̅ ),𝐵21 は(𝑚 × 𝑛̅),𝐵22 は(𝑚 × 𝑚
̅ )の行列である。𝛾も二つの構成要素に分解
𝛾1
され,𝛾 = [𝛾 ]となる。ただし𝛾1 は(𝑛̅ × 𝑘),𝛾2 は(𝑚̅ × 𝑘)の行列である。そして,𝐶22はフルラン
2クであると仮定する。この時,以下の定理が成立する。
●定理1𝑚
̅ = 𝑚の時,つまり1より大きい固有値の数と非先決変数の数が同じである場合,ユニークな解が存在する。
𝑚
̅ = 𝑚という条件を,Blanchard and Kahn の条件とも呼ぶ。なお𝑚
̅ = 𝑚という条件は,経済成長論等において「鞍点」として論じられているものに関係している。実際,この定理はユニークな合理的期待解存在の必要十分条件が,行列𝐴が鞍点的性質を有する事である,ということを述べている。また,以下の二つの定理も成立する。
●定理2𝑚
̅ > 𝑚の時,つまり1より大きい固有値の数が非先決変数の数より多い場合,解は存在しない。
●定理3𝑚
̅ < 𝑚の時,つまり1より大きい固有値の数が非先決変数の数より少ない場合,解は複数存在する。
さて, 定理1によれば𝑚̅ = 𝑚の時,合理的期待解はユニークに存在する。この時,合理的期待
解はどのように表すことが出来るのだろうか。Blanchard and Kahn (1980)によれば合理的期
待解は,以下の(2), (3)式で表すことが出来る。8ジョルダン行列については,松坂 (1980, 8.9 節)や Stokey and Lucas with Prescott (1989,
Section 6.3)を参照。
7 本稿の初稿において,「𝐽は固有値行列,𝐽 は絶対値が1以下の固有値を構成要素とする対角1
行列,𝐽2は絶対値が1より大きい固有値を構成要素とする対角行列である」というように記述していたが,正しくは本文中の通りである(ただし以降の論理展開や結論に対して,影響・変更等はない)。訂正し,お詫び申し上げる。
8 (2), (3)式の導出に関しては,付録を参照。
6

4

(2)

𝑋𝑡 = 𝑋0

𝑓𝑜𝑟 𝑡 = 0−1
= 𝐵11 𝐽1 𝐵11
𝑋𝑡−1 + 𝛾1 𝑍𝑡−1∞
−1
− (𝐵11 𝐽1 𝐶12 + 𝐵12 𝐽2 𝐶22 )𝐶22
∑ 𝐽2−𝑖−1 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖−1 |𝛺𝑡−1 )
𝑖=0
∞

(3)

𝑓𝑜𝑟 𝑡 > 0

−1
−1
𝑃𝑡 = −𝐶22
𝐶21 𝑋𝑡 − 𝐶22∑ 𝐽2−𝑖−1 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖 |𝛺𝑡 ) 𝑓𝑜𝑟 𝑡 ≥ 0
𝑖=0

逐次代入を繰り返すことにより,最終的な解(4), (5)式を,以下のように得ることが出来る。9
𝑡

(4)

∞
𝑗−1

𝑋𝑡 = − ∑ 𝐵11 𝐽1

−1
−1
(𝐵11
𝐵12 − 𝐽1 𝐵11
𝐵12 𝐽2−1 ) ∑ 𝐽2−𝑖 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2)𝐸(𝑍𝑡−𝑗+𝑖 |𝛺𝑡−𝑗 )

𝑗=1

𝑖=0

𝑡
𝑗−1

+ ∑ 𝐵11 𝐽1

−1
−1
𝐵11
𝛾1 𝑍𝑡−𝑗 + 𝐵11 𝐽1𝑡 𝐵11
𝑋0

𝑓𝑜𝑟 𝑡 > 0

𝑗=1
𝑡

(5)

∞
𝑗−1

𝑃𝑡 = − ∑ 𝐵21 𝐽1

−1
−1
(𝐵11
𝐵12 − 𝐽1 𝐵11
𝐵12 𝐽2−1 ) ∑ 𝐽2−𝑖 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡−𝑗+𝑖 |𝛺𝑡−𝑗 )

𝑗=1

𝑖=0

∞
−1 −𝑖−1 (𝐶− ∑ 𝐶22𝐽2
21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖 |𝛺𝑡 )
𝑖=0
𝑡
𝑗−1

+ ∑ 𝐵21 𝐽1

−1
−1
𝐵11
𝛾1 𝑍𝑡−𝑗 + 𝐵21 𝐽1𝑡 𝐵11
𝑋0

𝑓𝑜𝑟 𝑡 ≥ 0

𝑗=1

合理的期待解の例
ここまで,モデルに解が存在するのは,どのような時か,また解が存在するのであれば,どのように表すことが出来るのかということについて議論した。ここまで議論した内容について理解を深めるために,具体例を用いて,実際に合理的期待解を導出してみることが望ましい。しかしながら,基本的に手計算で合理的期待解を導出する事は困難である(つまり基本的に,解の導出はコンピュータ頼り)。しかし以下のような例を考える。
[
𝑎11
ここで,𝐴は𝐴 = [𝑎

21

𝑥𝑡+1
𝑥𝑡
] = 𝐴 [𝑝 ] + 𝛾𝑍𝑡
𝑡
𝑡𝑝𝑡+1

𝑎12
𝛾1
𝑎22 ]で(2 × 2)の行列,𝛾は𝛾 = [𝛾2 ]で(2 × 𝑘)の行列,𝛾1 , 𝛾2は(1 × 𝑘)の行

ベクトル,𝑍𝑡 は(𝑘 × 1)の列ベクトルである。つまり,先決変数と非先決変数が共に一つの場合である。この場合は手計算で解くことが出来る。この例を用いて合理的期待解を導出して9(4), (5)式の導出に関しては,付録を参照。
5

みよう。行列𝐴は以下のように分解することが出来る。
𝐴 = 𝐶 −1𝐽𝐶𝑏
= [ 11𝑏21𝜆
ここで,𝐽は𝐽 = [ 10𝑏12 𝜆1
][
𝑏22 0

0 𝑐11
][
𝜆2 𝑐21

𝑐12
𝑐22 ]

𝑐11
0
]で(2 × 2)の固有値行列,ただし|𝜆1 | < 1, |𝜆2 | > 1,𝐶は𝐶 = [𝑐𝜆221𝑏(2 × 2)の固有ベクトル行列,𝐶 −1は𝐶 −1 = [ 11𝑏21𝑐12𝑐22 ]で𝑏12]で(2 × 2)の固有ベクトル行列の逆行列𝑏22である。この一階の線形差分方程式体系における合理的期待解は,(6)

𝑥𝑡 = 𝑥0

𝑓𝑜𝑟 𝑡 = 0∞

= 𝜆1 𝑥𝑡−1 + 𝛾1 𝑍𝑡−1 + 𝜇 ∑ 𝜆−𝑖−1
𝐸(𝑍𝑡+𝑖−1 |𝛺𝑡−1 ) 𝑓𝑜𝑟 𝑡 > 0
2
𝑖=0
∞

(7)

−1
𝑝𝑡 = 𝑎12{(𝜆1 − 𝑎11 )𝑥𝑡 + 𝜇 ∑ 𝜆−𝑖−1
𝐸(𝑍𝑡+𝑖 |𝛺𝑡 )}2

𝑓𝑜𝑟 𝑡 ≥ 0𝑖=0となる。ここで,𝜇 ≡ (𝜆1 − 𝑎11 )𝛾1 − 𝑎12 𝛾2である。10

おわりに
本稿では Blanchard and Kahn (1980)によって示された,一階の線形差分方程式体系がユニークな合理的期待解を持つための条件である Blanchard and Kahn の条件,および合理的期待解の導出に関する議論を行った。マクロ経済学の分野で広く利用されている Blanchard andKahn (1980)の内容を理解することは重要である。しかしながら,本稿は Blanchard and Kahn
(1980)の内容に関する議論に留まり,実際にマクロ経済学の分野において,どのように
Blanchard and Kahn (1980)の内容が利用されているのかについて議論が出来なかった。
Blanchard and Kahn (1980)の内容はあくまで,モデルの解法であり,その解法の実際の利用を知ることの方が重要であるということは,言うまでもない。そのため Blanchard and Kahn
(1980)の内容の,マクロ経済学における実際の利用については,別の機会に改めて議論したいと考えている。

付録
導出のための準備
ここでは,(2)~(7)式の導出を行う。11まず (2), (3)式を導出し,その後(4), (5)式を導出,最後(6), (7)式の導出に関しては,付録を参照。なお Blanchard and Kahn (1980)では,𝜇 ≡(𝜆1 − 𝑎11 )𝜆1 − 𝑎12 𝜆2と表記されていたが,誤植であると考えられる。Kollmann and Zeugner(2016)を参照。
10

6

に(6), (7)式を導出するという順番で行う。12まず,導出を行う過程で使用する様々な式および公式を準備する事から始めよう。モデルは(1𝑎)~(1𝑐)式で与えられていた。そこで,まず𝑡期における𝑡 + 𝑖期の期待値をとる。すると(1𝑎)式は,𝑋𝑋[ 𝑡 𝑡+𝑖+1 ] = 𝐴 [ 𝑡 𝑡+𝑖 ] + 𝛾𝑡 𝑍𝑡+𝑖
𝑃
𝑡 𝑡+𝑖+1𝑡𝑃𝑡+𝑖(𝐴1)となる。そして,𝑌𝑋[ 𝑡 ] = 𝐶 [ 𝑡]
𝑃𝑡
𝑄𝑡

(𝐴2)
とする。(𝐴2)式は,(𝐴3)

𝑌𝑡 = 𝐶11 𝑋𝑡 + 𝐶12 𝑃𝑡(𝐴4)𝑄𝑡 = 𝐶21 𝑋𝑡 + 𝐶22 𝑃𝑡である。ここで,(𝐴1)式の両辺に左から𝐶をかけて,(𝐴2)式および𝐶𝐴 = 𝐽𝐶の関係式を用いると,
(𝐴5)

𝑌
𝐽
[ 𝑡 𝑡+𝑖+1 ] = [ 10𝑡𝑄𝑡+𝑖+1

0 𝑡𝑌𝑡+𝑖] + 𝐶𝛾𝑡 𝑍𝑡+𝑖][
𝐽2 𝑡𝑄𝑡+𝑖となる。(𝐴5)式は,(𝐴6)

𝑡𝑌𝑡+𝑖+1 = 𝐽1 𝑡𝑌𝑡+𝑖 + (𝐶11 𝛾1 + 𝐶12 𝛾2 )𝑡 𝑍𝑡+𝑖

(𝐴7)

𝑡𝑄𝑡+𝑖+1 = 𝐽2 𝑡𝑄𝑡+𝑖 + (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝑡 𝑍𝑡+𝑖である。(𝐴6), (𝐴7)式の内,問題となるのが(𝐴7)式,すなわち𝑄𝑡 で,非発散条件が満たされているならば,𝐽2を構成する要素により𝑄𝑡 は,∞(𝐴8)

𝑄𝑡 = − ∑ 𝐽2−𝑖−1 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝑡 𝑍𝑡+𝑖𝑖=0とならなければならない。13次に(𝐴2)式の両辺に左から𝐶 −1をかけると,式の展開を詳しく記述したため,冗長と感じられるかもしれないが,ご容赦願いたい。
(2), (3)式の導出は矢野(2005),(6), (7)式の導出は Kollmann and Zeugner (2016)を参考にしている。
13 (𝐴8)は以下のように導出される。(𝐴7)より,(𝛼)𝑡𝑄𝑡+1 = 𝐽2 𝑄𝑡 + (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝑍𝑡(𝛽)𝑄𝑡 𝑡+2 = 𝐽2 𝑡𝑄𝑡+1 + (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝑡 𝑍𝑡+1となる。これらは,(𝛼1)
𝑄𝑡 = −𝐽2−1 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2)𝑍𝑡 + 𝐽2−1 𝑡𝑄𝑡+1
−1
−1
(𝛽1)
𝑡𝑄𝑡+1 = −𝐽2 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝑡 𝑍𝑡+1 + 𝐽2 𝑡𝑄𝑡+2となる。(𝛽1)を,(𝛼1)に代入して整理すると,𝑄𝑡 = −𝐽2−1 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝑍𝑡 − 𝐽2−2 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝑡 𝑍𝑡+1 + 𝐽2−2 𝑡𝑄𝑡+2となる。同様の手続きを繰り返すと,
11
12

∞

𝑄𝑡 = − ∑ 𝐽2−𝑖−1 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝑡 𝑍𝑡+𝑖 + lim 𝐽2−𝑖 𝑡𝑄𝑡+𝑖
𝑖→∞

𝑖=0

となる。非先決変数に関する非発散条件(1𝑑)式と,𝐽2を構成する要素より,lim 𝐽2−𝑖 𝑡𝑄𝑡+𝑖 =0 で𝑖→∞ある。よって,7

𝑌𝑋[ 𝑡 ] = 𝐶 −1 [ 𝑡 ]𝑃𝑡𝑄𝑡となる。この式は,(𝐴9)

𝑋𝑡 = 𝐵11 𝑌𝑡 + 𝐵12 𝑄𝑡(𝐴10)𝑃𝑡 = 𝐵21 𝑌𝑡 + 𝐵22 𝑄𝑡

である。以上で,導出過程で用いる式についての説明は終了であるが,これらの式に加えて,以下の六つの公式を使用する。まず𝐶22がフルランクであるという仮定,そして𝑚
̅ = 𝑚という−1−1
事から,𝐶22が存在することに注意しよう。さらに,𝐵11 がフルランクで,𝐵11が存在する。この

時,
公式 1

−1
𝐵11 = (𝐶11 − 𝐶12 𝐶22
𝐶21 )−1

公式 2−1
𝐵12 = −𝐵11 𝐶12 𝐶22

公式 3

−1
𝐵21 = −𝐶22
𝐶21 𝐵11−1が成り立つ。14ここで,公式2の両辺に,左から𝐵11をかけ,整理すると,
−1
−1
−𝐵11
𝐵12 = 𝐶12 𝐶22

公式 4となる。また公式4の両辺に,左から𝐵11 をかけ,右から𝐶22をかけて,整理すると,
公式 5

𝐵11 𝐶12 + 𝐵12 𝐶22 = 𝑂となる。ここで,𝑂は(𝑛 × 𝑚)の零行列である。また定義より𝐶 −1𝐶 = 𝐼(𝐼は単位行列)であるか
ら,
𝐵
[ 11
𝐵21
(𝐴11)

𝐵12 𝐶11][
𝐵22 𝐶21

𝐵 𝐶 + 𝐵12 𝐶21[ 11 11
𝐵21 𝐶11 + 𝐵22 𝐶21

𝐶12
𝐼
]=[1
𝐶22
0

0
]
𝐼2

𝐵11 𝐶12 + 𝐵12 𝐶22𝐼]=[1
𝐵21 𝐶12 + 𝐵22 𝐶22
0

0
]
𝐼2

である。ここで,𝐼1 は(𝑛 × 𝑛),𝐼2 は(𝑚 × 𝑚)の単位行列である。(𝐴11)式より,
公式 6

𝐵11 𝐶11 + 𝐵12 𝐶21 = 𝐼1が得られる。以上で,(2)~(7)式を導出するために使用する式および公式の準備は終了である。

(𝟑)式の導出
ここから(2)~(7)式を導出していく。まず(3)式の導出から行おう。(𝐴4)式に(𝐴8)式を代入
すると,
∞

(𝐴12)

− ∑ 𝐽2−𝑖−1 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2)𝑡 𝑍𝑡+𝑖 = 𝐶21 𝑋𝑡 + 𝐶22 𝑃𝑡
𝑖=0−1となる。(𝐴12)式の両辺に左から𝐶22をかけて整理すると,∞𝑄𝑡 = − ∑ 𝐽2−𝑖−1 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝑡 𝑍𝑡+𝑖
𝑖=0

となる。
14 これらの公式については,宮岡・眞田 (2007, 2.1 節)を参照。
8

∞

(𝐴13)

−1
−1
𝑃𝑡 = −𝐶22
𝐶21 𝑋𝑡 − 𝐶22∑ 𝐽2−𝑖−1 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝑡 𝑍𝑡+𝑖𝑖=0となる。ここで,(1𝑏)式を用いると,(𝐴13)式は,∞−1−1
𝑃𝑡 = −𝐶22
𝐶21 𝑋𝑡 − 𝐶22∑ 𝐽2−𝑖−1 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖 |𝛺𝑡 )𝑖=0となるため(3)式が導出された。

(𝟐)式の導出
続けて(2)式を導出する。(𝐴6)式より,
𝑌𝑡 = 𝐽1 𝑌𝑡−1 + (𝐶11 𝛾1 + 𝐶12 𝛾2 )𝑍𝑡−1

(𝐴14)

−1
となる。また(𝐴9)式の両辺に左から𝐵11をかけ,整理すると,−1 (𝑋
𝑌𝑡 = 𝐵11𝑡 − 𝐵12 𝑄𝑡 )(𝐴15)となる。また(𝐴15)式より,−1 (𝑋𝑌𝑡−1 = 𝐵11
𝑡−1 − 𝐵12 𝑄𝑡−1 )(𝐴16)である。(𝐴15), (𝐴16)式を(𝐴14)式に代入すると,
−1 (𝑋
−1
𝐵11
𝑡 − 𝐵12 𝑄𝑡 ) = 𝐽1 𝐵11 (𝑋𝑡−1 − 𝐵12 𝑄𝑡−1 ) + (𝐶11 𝛾1 + 𝐶12 𝛾2 )𝑍𝑡−1となる。この式の両辺に左から𝐵11 をかけ,整理すると,
(𝐴17)

−1 (𝑋
𝑋𝑡 = 𝐵11 𝐽1 𝐵11
𝑡−1 − 𝐵12 𝑄𝑡−1 ) + 𝐵12 𝑄𝑡 + 𝐵11 (𝐶11 𝛾1 + 𝐶12 𝛾2 )𝑍𝑡−1となる。ここで,公式4を用いて(𝐴17)式を整理すると,
(𝐴18)

−1
−1
𝑋𝑡 = 𝐵11 𝐽1 𝐵11
𝑋𝑡−1 + 𝐵11 𝐽1 𝐶12 𝐶22
𝑄𝑡−1 + 𝐵12 𝑄𝑡 + 𝐵11 (𝐶11 𝛾1 + 𝐶12 𝛾2 )𝑍𝑡−1となる。また (𝐴7)式より,(𝐴19)

𝑄𝑡 = 𝐽2 𝑄𝑡−1 + (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝑍𝑡−1である。(𝐴19)式を(𝐴18)式に代入すると,−1−1
𝑋𝑡 = 𝐵11 𝐽1𝐵11
𝑋𝑡−1 + 𝐵11 𝐽1𝐶12𝐶22
𝑄𝑡−1 + 𝐵12 𝐽2 𝑄𝑡−1 + 𝐵12 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝑍𝑡−1+ 𝐵11 (𝐶11 𝛾1 + 𝐶12 𝛾2 )𝑍𝑡−1−1となるが,ここで,𝐵12 𝐽2 𝑄𝑡−1 = 𝐵12 𝐽2𝐶22 𝐶22
𝑄𝑡−1という関係式を用いて,この式を整理すると,−1−1−1
𝑋𝑡 = 𝐵11 𝐽1 𝐵11
𝑋𝑡−1 + 𝐵11 𝐽1 𝐶12 𝐶22
𝑄𝑡−1 + 𝐵12 𝐽2 𝐶22 𝐶22
𝑄𝑡−1 + 𝐵12 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝑍𝑡−1+ 𝐵11 (𝐶11 𝛾1 + 𝐶12 𝛾2 )𝑍𝑡−1−1= 𝐵11 𝐽1𝐵11
𝑋𝑡−1 + {𝐵11 (𝐶11 𝛾1 + 𝐶12 𝛾2 ) + 𝐵12 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )}𝑍𝑡−1 + (𝐵11 𝐽1 𝐶12−1+ 𝐵12 𝐽2𝐶22 )𝐶22
𝑄𝑡−1
−1
= 𝐵11 𝐽1 𝐵11
𝑋𝑡−1 + {(𝐵11 𝐶11 + 𝐵12 𝐶21 )𝛾1 + (𝐵11 𝐶12 + 𝐵12 𝐶22 )𝛾2 }𝑍𝑡−1 + (𝐵11 𝐽1 𝐶12−1+ 𝐵12 𝐽2 𝐶22 )𝐶22
𝑄𝑡−1となる。公式5と公式6を用いて,さらに整理すると,最終的に,
(𝐴20)

−1
−1
𝑋𝑡 = 𝐵11 𝐽1 𝐵11
𝑋𝑡−1 + 𝛾1 𝑍𝑡−1 + (𝐵11 𝐽1 𝐶12 + 𝐵12 𝐽2 𝐶22 )𝐶22
𝑄𝑡−1となる。15(𝐴8)式と(1𝑏)式より,(𝐴20)式は,
15

𝑛 = 𝑛̅となっている事に注意。
9−1
𝑋𝑡 = 𝐵11 𝐽1 𝐵11
𝑋𝑡−1 + 𝛾1 𝑍𝑡−1∞
−1−(𝐵11 𝐽1 𝐶12 + 𝐵12 𝐽2 𝐶22 )𝐶22
∑ 𝐽2−𝑖−1 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖−1 |𝛺𝑡−1 )𝑖=0となるため,(2)式が導出された。

(𝟒)式の導出
次に(4)式を導出しよう。(2)式が成立するという事は,−1(𝐴21) 𝑋𝑡 = 𝐵11 𝐽1 𝐵11
𝑋𝑡−1 + 𝛾1 𝑍𝑡−1
∞

(𝐴22)

−1
−(𝐵11 𝐽1 𝐶12 + 𝐵12 𝐽2 𝐶22 )𝐶22
∑ 𝐽2−𝑖−1 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖−1 |𝛺𝑡−1 )𝑖=0−1
𝑋𝑡−1 = 𝐵11 𝐽1 𝐵11 𝑋𝑡−2 + 𝛾1 𝑍𝑡−2∞
−1
− (𝐵11 𝐽1 𝐶12 + 𝐵12 𝐽2 𝐶22 )𝐶22
∑ 𝐽2−𝑖−1 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖−2 |𝛺𝑡−2 )𝑖=0ということである。(𝐴22)式を(𝐴21)式に代入し,整理していくと,−1−1
𝑋𝑡 = 𝐵11 𝐽1 𝐵11{𝐵11 𝐽1 𝐵11
𝑋𝑡−2 + 𝛾1 𝑍𝑡−2∞
−1
− (𝐵11 𝐽1 𝐶12 + 𝐵12 𝐽2 𝐶22 )𝐶22
∑ 𝐽2−𝑖−1 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖−2 |𝛺𝑡−2 )}𝑖=0∞−1+ 𝛾1 𝑍𝑡−1 − (𝐵11 𝐽1𝐶12 + 𝐵12 𝐽2𝐶22 )𝐶22
∑ 𝐽2−𝑖−1 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖−1 |𝛺𝑡−1 )
𝑖=0

∞

−1
= −(𝐵11 𝐽1 𝐶12 + 𝐵12 𝐽2 𝐶22 )𝐶22
∑ 𝐽2−𝑖−1 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖−1 |𝛺𝑡−1 )𝑖=0∞−𝑖−1 (𝐶−1 (𝐵−1− 𝐵11 𝐽1 𝐵11
11 𝐽1 𝐶12 + 𝐵12 𝐽2 𝐶22 )𝐶22 ∑ 𝐽2
21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖−2 |𝛺𝑡−2 )
𝑖=0
−1
−1
+𝛾1 𝑍𝑡−1 + 𝐵11 𝐽1 𝐵11𝛾1 𝑍𝑡−2 + 𝐵11 𝐽2𝐵11
𝑋𝑡−2となる。ここで,∞−1𝛷 = −(𝐵11 𝐽1 𝐶12 + 𝐵12 𝐽2 𝐶22 )𝐶22
∑ 𝐽2−𝑖−1 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖−1 |𝛺𝑡−1 )𝑖=0∞−𝑖−1 (𝐶−1 (𝐵−1𝛹 = −𝐵11 𝐽1 𝐵11
11 𝐽1 𝐶12 + 𝐵12 𝐽2 𝐶22 )𝐶22 ∑ 𝐽2
21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖−2 |𝛺𝑡−2 )
𝑖=0とする。𝛷は整理していくと,∞−1
𝛷 = −(𝐵11 𝐽1𝐶12 + 𝐵12 𝐽2𝐶22 )𝐶22
∑ 𝐽2−𝑖−1 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖−1 |𝛺𝑡−1 )
𝑖=0
∞
−1 −1
= −(𝐵11 𝐽1𝐶12 + 𝐵12 𝐽2𝐶22 )𝐶22
𝐽2 ∑ 𝐽2−𝑖 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖−1 |𝛺𝑡−1 )
𝑖=0

10

∞
−1 −1 )= −(𝐵12 + 𝐵11 𝐽1𝐶12𝐶22
𝐽2 ∑ 𝐽2−𝑖 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖−1 |𝛺𝑡−1 )𝑖=0−1となる。ここで,公式 4および𝐵12 = 𝐵11 𝐵11
𝐵12という関係式を用いると,最終的に𝛷は,∞−1−1= −(𝐵11 𝐵11
𝐵12 − 𝐵11 𝐽1 𝐵11
𝐵12 𝐽2−1 ) ∑ 𝐽2−𝑖 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖−1 |𝛺𝑡−1 )
𝑖=0

∞

(𝐴23)

−1
−1
= −𝐵11 (𝐵11𝐵12 − 𝐽1 𝐵11
𝐵12 𝐽2−1) ∑ 𝐽2−𝑖 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖−1 |𝛺𝑡−1 )𝑖=0となる。また𝛹は整理していくと,∞−𝑖−1 (𝐶−1 (𝐵−1𝛹 = −𝐵11 𝐽1 𝐵11
11 𝐽1 𝐶12 + 𝐵12 𝐽2 𝐶22 )𝐶22 ∑ 𝐽2
21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖−2 |𝛺𝑡−2 )
𝑖=0
∞
−𝑖
−1 (𝐵
−1 −1
= −𝐵11 𝐽1 𝐵11
11 𝐽1 𝐶12 + 𝐵12 𝐽2 𝐶22 )𝐶22 𝐽2 ∑ 𝐽2 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖−2 |𝛺𝑡−2 )
∞

𝑖=0

−𝑖
−1 (𝐵
−1 −1
= −𝐵11 𝐽1𝐵11
12 + 𝐵11 𝐽1 𝐶12 𝐶22 𝐽2 ) ∑ 𝐽2 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖−2 |𝛺𝑡−2 )𝑖=0となる。公式 4を用いると,最終的に𝛹は,
∞

(𝐴24)

−1
−1
= −𝐵11 𝐽1(𝐵11𝐵12 − 𝐽1 𝐵11
𝐵12 𝐽2−1 ) ∑ 𝐽2−𝑖 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖−2 |𝛺𝑡−2 )𝑖=0となる。よって(𝐴23), (𝐴24)より,𝑋𝑡 は最終的に,
∞

(𝐴25)

−1
−1
𝑋𝑡 = −𝐵11 (𝐵11𝐵12 − 𝐽1 𝐵11
𝐵12 𝐽2−1 ) ∑ 𝐽2−𝑖 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖−1 |𝛺𝑡−1 )
𝑖=0
∞
−1
−1
− 𝐵11 𝐽1 (𝐵11𝐵12 − 𝐽1 𝐵11
𝐵12 𝐽2−1 ) ∑ 𝐽2−𝑖 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖−2 |𝛺𝑡−2 )
𝑖=0
−1
−1
+ 𝛾1 𝑍𝑡−1 + 𝐵11 𝐽1 𝐵11 𝛾1 𝑍𝑡−2 + 𝐵11 𝐽2𝐵11
𝑋𝑡−2となる。次に𝑋𝑡−2 = ⋯を代入し,同様の整理を行い,次に…,というように,同様の操作を𝑡回繰
り返し,整理すると,
𝑡

∞
𝑗−1

𝑋𝑡 = − ∑ 𝐵11 𝐽1

−1
−1
(𝐵11
𝐵12 − 𝐽1 𝐵11
𝐵12 𝐽2−1 ) ∑ 𝐽2−𝑖 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡−𝑗+𝑖 |𝛺𝑡−𝑗 )

𝑗=1

𝑖=0

𝑡
𝑗−1

+ ∑ 𝐵11 𝐽1

−1
−1
𝐵11
𝛾1 𝑍𝑡−𝑗 + 𝐵11 𝐽1𝑡 𝐵11
𝑋0

𝑗=1となるため(4)式が導出された。

(𝟓)式の導出
続けて(5)式を導出しよう。(3)式に(4)式を代入し,整理すると,

11

𝑡
∞
𝑗−1
−1
−1
−1
−1
𝑃𝑡 = −𝐶22 𝐶21 {− ∑ 𝐵11 𝐽1 (𝐵11 𝐵12 − 𝐽1 𝐵11 𝐵12 𝐽2 ) ∑ 𝐽2−𝑖 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2)𝐸(𝑍𝑡−𝑗+𝑖 |𝛺𝑡−𝑗 )
𝑗=1
𝑖=0
𝑡
𝑗−1

+ ∑ 𝐵11 𝐽1

−1
−1
𝐵11
𝛾1 𝑍𝑡−𝑗 + 𝐵11 𝐽1𝑡 𝐵11
𝑋0 }

𝑗=1
∞
−1
− 𝐶22
∑ 𝐽2−𝑖−1 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2)𝐸(𝑍𝑡+𝑖 |𝛺𝑡 )
𝑖=0
𝑡

∞
𝑗−1
−1
−1
−1
−1
= ∑ 𝐶22 𝐶21 𝐵11 𝐽1 (𝐵11 𝐵12 − 𝐽1 𝐵11 𝐵12 𝐽2 ) ∑ 𝐽2−𝑖 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡−𝑗+𝑖 |𝛺𝑡−𝑗 )
𝑗=1
𝑖=0
𝑡

∞

𝑗−1

−1 −𝑖−1 (𝐶−1− ∑ 𝐶22𝐽2
21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖 |𝛺𝑡 ) − ∑ 𝐶22 𝐶21 𝐵11 𝐽1
𝑖=0

−1
−1
−1
𝐵11
𝛾1 𝑍𝑡−𝑗 − 𝐶22
𝐶21 𝐵11 𝐽1𝑡 𝐵11𝑋0

𝑗=1となる。公式3を用いると,𝑃𝑡 は最終的に,
𝑡

∞
𝑗−1

𝑃𝑡 = − ∑ 𝐵21 𝐽1

−1
−1
(𝐵11
𝐵12 − 𝐽1 𝐵11
𝐵12 𝐽2−1 ) ∑ 𝐽2−𝑖 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2)𝐸(𝑍𝑡−𝑗+𝑖 |𝛺𝑡−𝑗 )

𝑗=1

𝑖=0

𝑡
𝑗−1 −1−1 −𝑖−1 (𝐶−1− ∑ 𝐶22 𝐽2
𝐵11 𝛾1 𝑍𝑡−𝑗 + 𝐵21 𝐽1𝑡 𝐵11
𝑋0
21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖 |𝛺𝑡 ) + ∑ 𝐵21 𝐽1
𝑖=0
𝑗=1
∞

となるので(5)式が導出された。

(𝟔)式の導出
ここまで,モデルが一般的な場合の合理的期待解,(2)~(5)式を導出した。次に先決変数と非先決変数が一つである場合の,合理的期待解(6), (7)式の導出を行う。まず(6)式の導出から行う。導出の手順が一般的なケースと同じなので,導出した(2)式を用いて解いてみよう。𝑥𝑡 は以下のようになる。
−1
𝑥𝑡 = 𝑏11 𝜆1 𝑏11
𝑥𝑡−1 + 𝛾1 𝑍𝑡−1∞−1(𝑐21 𝛾1 + 𝑐22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖−1 |𝛺𝑡−1 )− (𝑏11 𝜆1 𝑐12 + 𝑏12 𝜆2 𝑐22 )𝑐22
∑ 𝜆−𝑖−12𝑖=0

この式を整理していくと,= 𝜆1 𝑥𝑡−1 + 𝛾1 𝑍𝑡−1
∞
−𝑖−1
−1 (𝑐
−(𝑏11 𝜆1 𝑐12 + 𝑏12 𝜆2 𝑐22 )𝑐22
𝐸(𝑍𝑡+𝑖−1 |𝛺𝑡−1 )21 𝛾1 + 𝑐22 𝛾2 ) ∑ 𝜆2𝑖=0−1
ここで,𝜑1 = −(𝑏11 𝜆1 𝑐12 𝑐22
𝑐21 + 𝑏12 𝜆2 𝑐21 ), 𝜑2 = −(𝑏11 𝜆1𝑐12 + 𝑏12 𝜆2 𝑐22 )とすると,

12

∞= 𝜆1 𝑥𝑡−1 + 𝛾1 𝑍𝑡−1 + (𝜑1 𝛾1 + 𝜑2 𝛾2 ) ∑ 𝜆−𝑖−1
𝐸(𝑍𝑡+𝑖−1 |𝛺𝑡−1 )2𝑖=0となる。一方,𝐴 = 𝐶−1

𝐽𝐶であるから,
𝑎11
[𝑎
21

𝑎12
𝑏11
𝑎22 ] = [𝑏21𝑏
= [ 11𝑏21

𝑏12 𝜆1
][
𝑏22 0

0 𝑐11
][
𝜆2 𝑐21𝑏12 𝜆1 𝑐11][
𝑏22 𝜆2 𝑐21

𝜆1 𝑐12]𝜆2 𝑐22𝑏 𝜆 𝑐 + 𝑏12 𝜆2 𝑐21= [ 11 1 11
𝑏21 𝜆1 𝑐11 + 𝑏22 𝜆2 𝑐21

𝑐12
𝑐22 ]

𝑏11 𝜆1 𝑐12 + 𝑏12 𝜆2 𝑐22]
𝑏21 𝜆1 𝑐12 + 𝑏22 𝜆2 𝑐22である。よって𝑏12 𝜆2 𝑐21 = 𝑎11 − 𝑏11 𝜆1 𝑐11 であるので,𝜑1は,−1
𝜑1 = −(𝑏11 𝜆1 𝑐12 𝑐22
𝑐21 + 𝑎11 − 𝑏11 𝜆1 𝑐11 )−1= {(𝑐11 − 𝑐12 𝑐22𝑐21 )𝑏11 𝜆1 − 𝑎11 }−1−1となる。逆行列の公式より,𝑏11= 𝑐11 − 𝑐12 𝑐22
𝑐21であるから,𝜑1は最終的に,(𝐴26)

𝜑1 = 𝜆1 − 𝑎11となる。また𝑎12 = 𝑏11 𝜆1 𝑐12 + 𝑏12 𝜆2 𝑐22であるから,𝜑2は,(𝐴27)

𝜑2 = −𝑎12となる。(𝐴26), (𝐴27)式より,𝑥𝑡 は最終的に,∞

𝑥𝑡 = 𝜆1 𝑥𝑡−1 + 𝛾1 𝑍𝑡−1 + ((𝜆1 − 𝑎11 )𝛾1 − 𝑎12 𝛾2 ) ∑ 𝜆−𝑖−1
𝐸(𝑍𝑡+𝑖−1 |𝛺𝑡−1 )2𝑖=0となり𝜇 = (𝜆1 − 𝑎11 )𝛾1 − 𝑎12 𝛾2 とすれば,(6)式となる。

(𝟕)式の導出(7)式の導出も同様に行う。(3)式より,𝑝𝑡 は以下のようになる。
∞−1−1𝑝𝑡 = −𝑐22
𝑐21 𝑥𝑡 − 𝑐22∑ 𝐽2−𝑖−1 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖 |𝛺𝑡 )
𝑖=0

これは,
=

1
−1
{−(𝑏11 𝜆1 𝑐12 + 𝑏12 𝜆2 𝑐22 )𝑐22
𝑐21 𝑥𝑡𝑏11 𝜆1 𝑐12 + 𝑏12 𝜆2 𝑐22∞−1− (𝑏11 𝜆1 𝑐12 + 𝑏12 𝜆2 𝑐22 )𝑐22
∑ 𝐽2−𝑖−1 (𝐶21 𝛾1 + 𝐶22 𝛾2 )𝐸(𝑍𝑡+𝑖 |𝛺𝑡 )}𝑖=0ということであり,さらに,𝑏12 𝜆2 𝑐21 = 𝑎11 − 𝑏11 𝜆1 𝑐11 , 𝑎12 = 𝑏11 𝜆1 𝑐12 + 𝑏12 𝜆2 𝑐22 であるから,整
理すると,
∞

1
−1
=
{−(𝑏11 𝜆1𝑐12 𝑐22
𝑐21 + 𝑎11 − 𝑏11 𝜆1 𝑐11 )𝑥𝑡 − 𝜇 ∑ 𝐽2−𝑖−1 𝐸(𝑍𝑡+𝑖 |𝛺𝑡 )}
𝑎12
∞

𝑖=0

−1
−1
= 𝑎12
{−(𝑎11 − (𝑐11 − 𝑐12 𝑐22𝑐21 )𝑏11 𝜆1)𝑥𝑡 − 𝜇 ∑ 𝐽2−𝑖−1 𝐸(𝑍𝑡+𝑖 |𝛺𝑡 )}
𝑖=0

13

−1
−1
となる。𝑏11= 𝑐11 − 𝑐12 𝑐22
𝑐21であるから,𝑝𝑡 は最終的に,∞−1
𝑝𝑡 = 𝑎12{(𝜆1 − 𝑎11 )𝑥𝑡 − 𝜇 ∑ 𝐽2−𝑖−1 𝐸(𝑍𝑡+𝑖 |𝛺𝑡 )}𝑖=0となるため(7)式が導出された。以上で(2)~(7)式の導出は終了である。

参考文献
松坂和夫 (1980), 『線型代数入門』, 岩波書店.
宮岡悦良・眞田克典 (2007), 『応用線形代数』, 共立出版.
矢野浩一 (2005), 「線形差分方程式マクロモデルの合理的期待解 Blanchard and Kahn
(1980)覚書」, (未刊行). www.geocities.jp/koiti_yano_1/econ/blanchardKahn.pdf. 最終閲覧日
2017/05/07.
Blanchard, O. J. and Kahn, C. M. (1980), “The Solution of Linear Difference Models under
Rational Expectations,” Econometrica, 48, 1305-1311.
Kollmann, R. and Zeugner, S. (2016), “Blanchard and Kahn's (1980) Solution for a Linear
Rational Expectations Model with One State Variable and One Control Variable: The Correct
Formula,” The Manchester School, Version of Record online: 25 December 2016, DOI:
10.1111/manc.12180.
Stokey, N. L. and Lucas, R. E. Jr., with Prescott, E. C. (1989), Recursive Methods in Economic
Dynamics. Cambridge, MA: Harvard University Press.

14