非線形摩擦を考慮した送り駆動系に対する位置決め制御
M2008MM001 浅野 良
指導教員：高見1

勲

はじめに

本研究では，現在工作機械で最も多く採用される位置決めのための機構であるボールねじ駆動を用いたボール加工機械，工作機械，半導体製造装置などに代表されスクリューシステムを制御対象として用いる．概略図をる各種メカトロニクス機器では，生産効率向上を目的と
図 1 に示す．モーターが回転することで，カップリングした位置決め制御系の高速・高精度化が進んでいる．そで繋がれたスクリューが回転し，ナットに転造されていこで，機構共振励起や，駆動系に存在する各種非線形要るボールが転がり，回転運動を直進運動に変換し，テー素の影響による位置決め性能の劣化が問題になっている．
ブルの位置を動かすものである．
高速・高精度化位置決め制御系設計にあたっては，摩擦などの非線形要素の特性を高精度に把握することが肝心 2.2 モデリングであり，アクチュエータを含めた機構系全体の高精度シ
ボールスクリューシステムの力学モデルは図 2 で示さミュレータの獲得が必須である [1][2]． 摩擦力が支配的れる.
な系に対して，従来より摩擦の抑制には外乱オブザーバにより摩擦力を推定し補償するアプローチが提案されている [3]．しかし，非線形摩擦など外乱の変化が速いものに対して外乱推定が遅れてしまうことが問題となっている．その問題を解決するため，フィルタを付加し，外乱オブザーバと厳密な線形化手法を組み合わせた摩擦補償[4] や，推定遅れを補償するため，外乱オブザーバの初期補償などが報告されている [5]．その際，補償するトルクは実験によって試行錯誤で決定されている．本研究では，工作機械の送り駆動系の位置決め装置であるボールねじ駆動の工作機械を例にとり，高速・精密位置決め制御系
図 2 ボールスクリューモデルの設計手法の開発を目的とする．位置制御として PI 制御を用い，外乱オブザーバによって摩擦補償を行う．そこ
モータ角を θ とし，テーブルの変位を x とすると，こで，外乱オブザーバの推定遅れを補償するフィルタ設計による制御性能向上を提案する．フィルタを設計する際， の構造の方程式は，次のように表わされる. モータに関H∞ 理論 [6] を用いることで理論的に求める．しかし，こ する運動方程式は，の手法によって設計されたフィルタは高次元となり工作J θ̈ = Kt i − RK(Rθ − x)(1)
機械に適用が困難であるため，フィルタの次元を固定しH∞ ノルムが最少になるようなフィルタを設計する．そ であり，テーブルに関する運動方程式は，の際，パラメータの最適値を GA（genetic algorithm）[7]M ẍ = K(Rθ − x) − C ẋ
(2)によって求める．さらに，順次フィルタの次数を大きくし設計し，次数と制定時間，H∞ ノルムによって評価することでフィルタの構造の最適化を行う．提案法の有効性を工作機械の駆動機構を模擬したボールスクリューシステムを用いた実験によって確認する．

2

ボールスクリューシステム

2.1

システム構成となる．ここで Kt をモータのトルク定数 [N・m/A]，i は電流 [A]，J は回転系全慣性モーメント [N・ms2 ]，K は直線系ばね定数 [N/m]，C は直線系の粘性系数 [N・s/m]，
M はテーブルの質量 [kg]，R はボールねじ定数 [m/rad]とする. モータに与える電流が操作量であり，テーブルの位置が制御量である.

3

非線形摩擦のモデリング摩擦トルクと速度との関係は非線形である．本研究ではテーブルシステムに対し図 3 に示す非線形摩擦を考える．

u 制御入力，velocity テーブルの速度，fs 最大静止摩擦力，fd クーロン摩擦力，fv 粘性摩擦係数，sgn(・) 符号関数とすると，摩擦 F は次のように与えられる．
F = Fstatic + Fdynamic + Fviscous
図 1 ボールスクリュー(3)

friction

fsr

fv
fduKp+

yP(s)+

Kis

velocity

DOB-f d-f v-f s

図 6 外乱オブザーバ（DOB）
図 3 摩擦モデルの向上を実現する．そして，目標値追従は PI 制御によっ
ここで，Fstatic は最大静止摩擦であり，下式で与えられる． て行うこととする．
(対象プラント P (s)，比例ゲイン Kp ，積分ゲイン Ki ，min(|u|，fs ) : velocity = 0
Fstatic =(4) DOB(disturbance observer) は外乱オブザーバである．
0: velocity > 0
4.1 外乱オブザーバによる非線形摩擦の補償
また，Fdynamic はクーロン摩擦であり，下式で与えられる．

Fdynamic = fd・sgn(velocity)(5)

Fviscous は粘性摩擦であり，下式で与えられる．
Fviscous = fv・velocity(6)

ここで min(|u|，fs ) : velo = 0 は，u が fs を超えて始動するまではトルクと摩擦力が釣り合っていることを意味している．摩擦がシミュレーション上で再現できているか確認するため，開ループで大きさ 0.5A の正弦波を入力した実験結果を行った．その際実験の応答にシミュレーションの応答を重ねた結果を図 4 に示し，0〜0.6 秒間の応答を図 5 に示す．テーブルの変位 position[m]図 6 の入力 u がシステムに印加された時，その外乱を含んだ応答と入力により，モデリング誤差と外乱からなる誤差を推定し，その推定された項を入力 u に加えフィードバック補償することで，モデリング誤差，外乱の影響を抑える. 非線形摩擦を外乱とみなし，オブザーバにより外乱を推定しフィードバックすることで摩擦の補償を行う．外乱 F は次式のように表すことができる.

F = K(Rθ − x) −d2 xdx−C2dtdt(7)

このように，入力と位置 x の二階微分の値と一階微分の値から F を計算で求めることができる. しかし，この方法では微分要素が必要となるため実現は難しい，そこで，
sフィルタ T s+1を通すことで擬似微分し，次のように推定摩擦 F̂ を得る.

F̂ = K(Rθ − x) −M s2
Cs−2(T s + 1)
Ts + 1(8)

このとき外乱オブザーバの極はフィルタの極に相当する
ため，T を小さくとることで遅れの少ない推定値得る. しかし，実際にあまりに小さくとると，観測ノイズや制御対象のモデル化誤差などの影響を受け，正しい推定値が求められなくなる．そのため T の決定にトレードオフは避けられない.
図 4 正弦波応答

図 5 正弦波応答5フィルタの設計

図 4 を見ると 0.6 秒から偏差が出ている．これは，正 5.1 H∞ 制御理論によるフィルタの設計の方向と負の方向での負荷のヒステリシスを考慮してい外乱オブザーバを用いて，非線形な特性を持つ摩擦をないことから誤差が発生していると考えられる．しかし， 補償する手法は数多く提案されている．しかし，外乱オ
図 5 から正の方向に対しては静止状態の時間，動作状態 ブザーバの内部では，公称モデルの逆システムを使用し時の傾きから妥当な摩擦が設計できたといえる．ており，これが純粋な微分作用を含むために，出力ノイ4位置決め制御系設計

本研究では，図 6 に示す位置決め制御系を構築し，目標値追従特性と外乱抑制を独立に設計する．ここで，外乱オブザーバを併用したフィードバックによって外乱抑制ズを受けやすいため，フィルタ Q(s) が必要である．そこで，本研究では，フィルタ Q(s) を H∞ 制御理論によって求める．その際必要となる一般化プラントを図 7 に示す．
ここで P (s) は駆動部分のプラント，P 0 (s)−1 は擬似微分

z1z2w

Ws(s)

Wt(s)

uP(s)++’ -1P(s)yQ(s)

図 7 一般化プラント

図 8 目標値応答によって求めた P (s) の逆プラント，Ws (s)，Wt (s) はそれぞれ感度関数，相補感度関数である．
図 7 の一般化プラント Gzw (s) に対し，u = Qy のフィードバックによって，閉ループ系を内部安定化し，かつ，与えられた γ に対してk Gzw (s) k∞ < γ6.2(9)次数123H∞ 制御理論による制約付きフィルタの設計

外乱オブザーバの遅れを補償するフィルタ Q(s) の次数を固定することで低次元のフィルタ設計を実現する．Q(s)を次のように与える．

1 + a1 s + a2 s2 + · · · + an sn
Q(s) =
1 + b1 s + b2 s2 + · · · + bn sn

制限付きフィルタの適用

H∞ 問題を GA で解く際に評価関数を k Gzw (s) k∞ ，世代を 20，個体数を 10，交叉率を 0.6，突然変異率を 0.02，a，b のビット数を 10 とし，3 次までの最適解を求めた．次数と γ, 制定時間の関係を表 1 に示す.

を満たす制御系 Q を求める．

5.2

図 9 入力(10)表 1 関係図
制定時間
γ3.92
5.63
3.24
5.49
1.435.34

設計された n 次のフィルタを付け加えたときのシミュ
レーションの目標値応答，入力を図 10，図 11 に示す．

図 7 の w から z までの伝達関数 G zw(s) の H∞ ノルムを評価関数とすることで，γ を最小にするようにフィルタの定数項 a1 · · · an , b1 · · · bn を GA によって最適化する．

6シミュレーション

本研究では位置決め制御仕様を，10µm 変位の位置指令に対しての精密位置決めとする．

6.1

H∞ フィルタの適用

重みをそれぞれW s = 0.001, W t =s0.005s + 1

図 10 目標値応答とし，LMI によって定式化し，制御系を設計した結果
γ = 5.2549 となった．伝達関数を下式に示す．

Q(s) =

図 11 入力(11)−107s4 + 3.82 ∗ 107 s3 + 1.73 ∗ 1011 s2s5 + 1.8 ∗ 104 s4 + 3.69 ∗ 108 s3 + 8.37 ∗ 1011 s2+2.04 ∗ 1014 s + 3.42 ∗ 1017
(12)
+8.18 ∗ 1014 s + 1.33 ∗ 1017

この求めたフィルタ Q(s) を搭載したものと，DOB のみの目標値応答を図 8，入力を図 9 に示す．フィルタ Q(s)によって目標値追従制度が向上していることが確認できる．しかし，Q(s) が高次元であるため工作機械に対して適切でない．これより低次元でのフィルタ設計を行う．

次数を大きくすることで制御性能は向上しているが γのみの評価関数では低次元かによる性能劣化が避けられない．

6.3

制約付きフィルタの制御精度向上

制定時間，定常偏差，γ を評価関数とし GA を用いることで低次元化をすることでの性能劣化を防ぐ．次数と制定時間，H∞ ノルムによって評価することでフィルタの最適化を行い，次数と γ, 制定時間の関係を表 2 に示す.
表 2 から, 次数を大きくすることで,γ が小さくなり, 制定時間が早くなっていることが確認できる. しかし,1 次からの大きな変動はなく, 実装での低次元化も考慮に加えると,1 次のフィルタが最適解といえる.Q(s) の最適解を求め

Renishaw 製）によって値をインクリメント方式ででデータ収集ボード（Quanser 製）に返すことでコントローラに値を返し，制御を行う．スクリュー部分は１軸ユニット（Kua1204，駿河精機製）カップリング（MCOC26，Misumi 製）は力の伝達ロス，バックラッシの極めて少ないものを選定した．

表 2 関係図
次数 制定時間γ10.255.83
20.255.75
30.25
5.747.2
た結果，下式のようになった．

実験による検証

実験での目標値応答，入力結果を図 15，図 16 に示す．

1 + 0.931s
Q(s) =1 + 0.381s(13)

提案法の有効性を確認するためボールスクリューシステ
ムにて位置決め制御実験を行った．PI 制御，PI に外乱オブザーバを付加したもの，提案法であるフィルタを付け加えたときのシミュレーションでの目標値応答，入力結果を図 12，図 13 に示す．

図 15 目標値応答

図 16 入力

提案法によって非線形摩擦が線形化されるためシミュレーションを同じように満足な結果を得ることができた．外乱オブザーバ，PI 制御での応答のシミュレーションと実験の誤差は，本研究で扱わなかった転がり摩擦，不連続で仮定した摩擦が原因であると考えられる．
図 12 目標値応答

図 13 入力

8おわりに

本研究では，ボールねじ駆動テーブルを制御対象とし，図 8 と同じく 0.25 秒で制定していることがわかる．外実機を作成し，モデリング並びに外乱抑制を考慮した位乱オブザーバのみでは遅れから補償できなかった非線形置決め制御系の設計を行った．機構のモデリングでは，非摩擦の影響を提案法では，フィルタにより外乱オブザー線形摩擦モデルを構築することで精度の高いシミュレーバの位相を進ませることで入力が大きくなっていることタを獲得した．高速・精密位置決めを達成するには摩擦補が図 13 から確認できる．その結果，非線形摩擦を補償し，償が重要である．そこで，目標値追従は PI 制御を用い，制御精度が向上している．
摩擦補償には，外乱オブザーバに H∞ ノルムで評価したフィルタを付加することで外乱オブザーバの推定遅れに7 実験よる性能劣化を改善する手法を用いた．位置決め制御系
7.1 ボールスクリューシステム
に対し実験によって提案法の有効性を確認した．

参考文献

図 14 実験機[1] C.M.Close,D.K.Freferick,andJ.C.Newell：Modeling andAnalysis of Dynamic Systems,John Wiley ＆ Sons(2002)[2] 堤正臣ほか：摩擦を考慮した CNC 工作機械の送り駆動構造の数学モデル，精密工学学会誌，60-10，1458/1461(1995)[3] 入江航平ほか：位置・加速度入力型外乱オブザーバによるモーションコントロール，電気学会誌 D，127-6，579/586(2007)[4] S. M. Shahruz:
Performance Enhancement of aClass of Nonlinear Systems by Disturbance Observer ,IEEE/ASME Trans. on Mechatronics, 5-3, 319/323(2000)[5] 岩崎誠ほか：非線形摩擦のモデル化と摩擦補償による位置決め制御系の高精度化，電気学会誌 D，12-6，732/739(2006)[6] 山 本 敏 郎 ほ か：6 軸 油 圧 マ ニュピ レ ー タ の ロ バ ス ト 制
御 に よ る 研 究 ，日 本 機 械 学 会 論 文 集 (C 編)，64-620，1312/1319(1998)

実験機 (図 14) の制御は PC（Pentium4 2.6 GHz）を用いて行い，駆動用のアンプ（Quanser 製）に電流指令値を出力しする。駆動部であるモータは DC モータ（T511，SANYO 製）を採用した．また，制御及び計測の為の位置 [7] 安藤貴彦ほか：GA を用いた極配置による PID 制御，高速
信号処理応用技術学会誌，10-2，74/80(2007)
検出は光学式リニアエンコーダ（RGH22，分割能 0.1µm