ジブクレーンに対するロープ長の時間変化を考慮したゲインスケジューリング制御
M2009MM007 石田将一
指導教員：高見勲

はじめにメータ依存リアプノフ関数に基づくGS制御系設計法を示す．これにより，2動作を同時に行う場合のいかなるロージブクレーンとは，動力によって荷を吊り上げ，これプ長の変動に対しても安定な制御系を構築できることをを水平方向に運搬することを目的とする装置である．ク
理論的に保証する．また，両者の制御性能をH2 ノルムをレーンの制御には，安全性を維持し，高速，正確で過渡時用いて評価したうえで，提案法の有効性をシミュレーショの吊り荷の振動と残留振動を抑制することが必要となる．
ンおよび実験を通して検証する．
このために，ロープ長の変動が制御系の安定性や制御性能に与える影響を緩和，抑制するロバスト制御系設計法 2 制御対象が報告されている[1]∼[3] ．他にも，ジブクレーンのダイ本研究では，ロープ長を時変パラメータとして扱った場ナミクスをLPV（線形パラメータ可変）システムで表現合の吊り荷のダイナミクスを，ディスクリプタ表現の枠組し，ロープ長の変動を考慮したGS（ゲインスケジューリみでモデル化する．その際に用いた概略図を 図1 に示す．
ング）制御系設計法が報告されている [4]∼[15]．
観測量は，滑車の位置 xj [m]，吊り荷の振れ角 γ [rad]，
本研究では，ジブクレーンの作業効率を向上させる手段
ロープ長 l [m]であり，制御量は吊り荷の水平方向の位として，滑車の横行きとロープの巻き上げの2動作を同時置 y [m]（y = xj − l sin γ ）である．操作量は横行き用に行う際の制御系設計法を提案する．本研究の1つ目の特モータへの入力電流 Ij [A] である．ただし，以下の前提
徴は，状態方程式に現れるロープ長変化の速度と加速度のもとでモデル化する．i）ロープは質量のない剛体棒でを省略することなく制御系設計を行うことである．これある．ii)吊り荷は質点である．iii)吊り荷はタワーとブーに対し，先行研究ではモデル導出まではロープ長を時変ムで構成される2次元空間内で運動する．iv）滑車の移動パラメータとして扱っているが，制御系設計時にはロープでの摩擦は無視できる．v）γ は十分小さく，sin γ ≃ γ ，長変化の速度と加速度を 0 として扱っている．このため，
cos γ ≃ 1，γ̇ 2 ≃ 0 のように近似できる．ここで，一般化
本提案法は従来の制御手法と比べて制御系設計結果の精座標 q(t) を q(t) = [xj (t) γ(t)]T とおくと，吊り荷振動度が向上する．また，状態空間表現の枠組みでロープ長変系の数学モデルは 式(1) と与えられる．
化の速度と加速度を考慮したロバスト制御系設計やGS制御系設計を行う場合，状態方程式に非線形に現れる変動パ
˙ q̇ + G(l, ¨l)q = HIj
E(l, l2 )q̈ + F (l,˙ ll)
(1)
[]
[]
ラメータを厳密にポリトープ表現することが困難なため，
mj−mp l0 −2mp l˙
設計結果が保守的になる傾向がある．一方，ディスクリプ
E=2 ,F =−mp l mp l
0 2mp ll˙
タ変数を導入することで，設計結果の保守性を軽減でき[][ ]る場合があることや，パラメータ依存リアプノフ関数の0 −mp ¨lkt
G=,H =
扱いが容易となることが報告されている [16]∼[20]．本研
0 mp gl0
究の2つ目の特徴として，ジブクレーンのディスクリプタ[]
表現に対して適切なディスクリプタ変数を導入し，変動 ここで，状態変数を xp = q T q̇ T T ，操作量を up = Ij
パラメータをLFTを用いて扱いやすい形で取り出すこと とすると，ディスクリプタ表現は 式(2),(3) で与えられる．
により，変動パラメータの非線形性を無視することのな
˙ p + Bp up
Ep (l, l2 )ẋp = Ap (l, l,˙ ¨l, ll)x(2)いポリトピックLPVシステムを構成する．そして，ロー1プ長の時間変化を考慮したロバスト制御系設計法とパラy = C(l)xp(3)[][ ]I 00I0Ep =, Ap =, Bp =0 E
−G −FH[]C = 1 −l 0 0[+xj (t)+y(t)0 BoomTrolley

3Tower]γ(t)Ropel(t)Payload

図 1: ジブクレーンの概略図

制御系設計

本研究では，ロープ長に関する変動パラメータ l に加えて，ロープ長の変化速度 l˙ と加速度 ¨l を考慮した状態フィードバックコントローラを設計する．これにより，ロープ長が時間と共に変化する場合の閉ループ系の安定性が理論的に保証される．その結果，ロープの巻き上げと滑車の横行きが同時に実行でき，運搬のサイクルタイム短縮が可能となる．クレーンの重要な制御目的として，吊り荷を偏差なく目標値に追従させることが挙げられる．そこで本研
究では，制御量 y を目標値 r に追従させるために状態変∫t数に偏差の積分 xe = 0 e(τ )dτ, e = r − y を追加し，状態変数を x(t) = [(q(t) − q(∞))T q̇(t)T xe (t) − xe (∞)]T，操作量を u(t) = up (t) − up (∞) として拡大系を構成する．ただし，q(∞)，xe (∞)，up (∞)は定常値である．また，信号のH2 ノルムはその2乗面積を表しており過渡応答のよさを表す尺度に適しているため，制御性能の評価指標にはH2 ノルムを採用する[21]．

3.1GS制御系設計

Θ = {θ = [θ1 , θ2 , θ3 ]T：θi ∈ {θi , θi }}(4)

Θd = {θ̇ = [θ̇1 , θ̇2 , θ̇3 ] ：θ̇i ∈ {v i , v i }}
θ1 = l, θ2 = l,˙ θ3 = ¨l, (i = 1, 2, 3)(5)

TEG ẋG = AG (θ1 , θ2 , θ3 , θ1 θ2 , θ12 )xG + BG u

(6)

EG = block diag(I, I, 1, 0)I00−F

θi ∆i , (i = 1, 2, 3)(7)i=1AG (θ) = An + Bδ ∆(I − Dδ ∆)−1 Cδ

(8)

0000

∆2 = diag(0, 0, 0, 0, 0, 1, 0)∆3 = diag(0, 0, 0, 0, 0, 0, 1)
このとき，式(6) と等価なシステムは式(9)-(11) で表現できる．ただし，パラメータ依存リアプノフ関数に基づくGSコントローラを設計することを考慮し，行列 An , Cδ がスケジューリングパラメータを含まないように変換する．

EG ẋG = An xG + Bδ wδ + BG u(9)zδ = Cδ xG + Dδ wδ

(10)wδ = ∆zδ[An =[Cδ =An11An21Cδ1An12An22]
Cδ2(11)][, Bδ =

Bδ1Bδ2]

T T
最後に，新たなディスクリプタ変数を xd = [xTG zδ ] と与えることで， xd の係数行列 Ad に (I − Dδ ∆)−1 という項を含まない形式に変換する．以上の変換を行うことで，計算可能なLMI条件を導出できる．変換後のシステ
ムは式(12) と与えられる．

Ed ẋd = Ad (θ)xd + Bdu u(12)

式(2)から，ディスクリプタ表現の枠組みにおいて，ジブクレーンは行列 Ep に変動パラメータを含むシステムであることがわかる．このような特徴を持つシステムに対して冗長なディスクリプタ変数を導入することで，計算可能なLMI 条件を導出できることが知られている[16]．本
研究では，ディスクリプタ変数を xG = [xT q̈ T ]T と与えることで，まず，式(2) を式(6) のように表現する．

06 0
AG = 4 −J−G

∆=

3
∑

∆1 = diag(1, 1, 1, 1, 1, 0, 0),

一般にLPV システムの安定性はスケジューリングパラメータの変動範囲のみならず，その変化速度にも依存する．よって，スケジューリングパラメータの変化速度を考慮した設計を行うことで，考慮しない場合と比べて設計結果の保守性が改善できると考えられる．さらに，ジブクレーンに対して状態空間表現の枠組みでGS制御系設計を行う場合，制御入力行列にスケジューリングパラメー
˙ −1 ， ¨ll−1 という非線形なタが含まれることや， l−1 ， ll関数を形式的に線形なスケジューリングパラメータとして扱うため，設計結果が保守的になる傾向がある．これに対して本研究では，ジブクレーンのディスクリプタ表現に対して，適切なディスクリプタ変数の導入とLFTを組み合わせることでスケジューリングパラメータを扱いやすい形で取り出す方法を示す．また， l，l˙，¨l に対して厳密なポリトープを構成し，パラメータ依存リアプノフ関数に基づく制御系設計を行う方法を示す．ただし，以下ではHe{M } = M + M T という記号を用いる．
設計に用いるスケジューリングパラメータ θ およびその変化速度 θ̇ の上下界を頂点とするパラメータボックスを式(4),(5)と与える．

2変換する．このような変換を行うためにスケジューリングパラメータをLFTで取り出す方法を適用する [19][20]．
本研究では，行列 AG に含まれるスケジューリングパラメータの形に着目し，LFT形式のスケジューリングパラメータ ∆ を式(7) と与え，行列 AG (θ) を ∆ を用いて式(8)と表す．

32 300I 7607,
B=54G0 5 , J = [1 θ1 ]
0H−E

式(6) より，スケジューリングパラメータを行列 AG に集約できていることがわかる．次に，パラメータ依存リアプノフ関数を用いる場合に計算可能なLMI 条件を導出するために，行列 AG を θ1 θ2 と θ12 を含まない形式に等価
An11 An12Bδ1 ∆Ad =  An21 An22Bδ2 ∆
Cδ1Cδ2 −I + Dδ ∆[][ ]EG 0BG
Ed =, Bdu =, (i = 1, 2, 3)00 0式(12) の形式で表現されるディスクリプタシステムに対する安定判別条件として次の結果がある．ただし本研究では，行列 Ed の構造を考慮し，リアプノフ行列 Xd (θ)と変数行列 Yd (θ) の候補を次の形に制約する．

X(θ)
00


Xd (θ) = X21 (θ) X22 (θ) X23 (θ) , X(θ) > 0
X31 (θ) X32 (θ) X33 (θ)
Ẋ(θ) 0 0[]
Ed Ẋd (θ) =  00 0 , Yd (θ) = Y (θ) 0 000 0式(20)-(24) を満たす Xi , Yi からX(θ)，Y (θ)を得る[定理]（参考文献[20]） 式(12)のシステムが安定であるたことで，ディスクリプタ表現の枠組みにおけるGSコント
めの十分条件は，式(13)を満足する X(θ) > 0，X21 (θ)，
X22 (θ)，X23 (θ)，X31 (θ)，X32 (θ)，X33 (θ)，Y (θ) が存在 ローラ Kd は式(25) のように与えられる．
することである．
Kd (θ) = Y (θ)X(θ)−1(25)He{Ad (θ)Xd (θ) + Bdu Yd (θ)} − Ed Ẋd (θ) < 0 (13)また，式(20)-(24) において，Xi ，Yi , Wi を単一とし，−1
式(13) の左右からそれぞれ，[I Bδ ∆(I − Dδ ∆) ]とそ Sk = 0とすると，ロープ長の時間変化を考慮した固定ゲインのロバストコントローラが導出できる．の転置をかけると式(14) を得る．

He {AG (θ)X(θ) + BG Y (θ)} − Ẋ(θ) < 0(14)

4

設計結果

設計結果を以下に示す．ただし，実験機で再現可能
従って，式(13) における X(θ) は，元のディスクリプ
な ロ ー プ の 巻 き 上 げ 動 作 を 行 う た め ，ス ケ ジュー リ
タ表現におけるリアプノフ行列ということがわかる．式
ングパラメータの上下界を θ1 ∈ [0.1, 0.7]，θ2 ∈(14) にはLFT形式のスケジューリングパラメータ ∆ と [−0.25, 0.25]，θ ∈ [−0.25, 0.25]，θ̇ ∈ [−0.25, 0.25]，
31
パラメータ依存リアプノフ行列 X(θ) の積が存在するが，θ̇2 ∈ [−0.25, 0.25]，θ̇3 ∈ [−0.25, 0.25]と与える．
式(13) にはこの積が存在しない．また， ∆ とX31 (θ)，
X32 (θ)，X33 (θ) との積が存在するが，Xd (θ) を式(15) の 4.1 H2 ノルムを用いた制御性能の比較形で与え，X31i ，X32i ，X33i に対して式(16) の制約を与ディスクリプタ表現の枠組みで単一のリアプノフ関数えることで，式(13) は θ に対してマルチアファインとな に基いてGSコントローラを設計した場合と，パラメーる．これはスケジューリングパラメータ θ とその変化速 タ依存リアプノフ関数に基づきGSコントローラを設計
度 θ̇ の端点でLMI条件を解くことにより，安定性を保証 した場合の閉ループ系のH2 ノルムの上界を，コントローできることを意味する．
ラを θ1 に依存させた場合，θ1 , θ2 に依存させた場合，
3∑
Xd (θ) = X̂d0 +θi X̂di , X̂di(15) θ1 , θ2 , θ3 に依存させた場合に分けて 表1, 2に示す．ただし，θ1 , θ2 , θ3 を不確かさとしてロバストコントロー
i=1∆i [X31i X32i X33i ] = 0(16) ラを設計した場合のH2 ノルムの上界は 5.29 であった．
表1, 表2から，パラメータ依存リアプノフ関数に基いた式(12) に対して，H2 制御仕様を考慮した場合の一般化 設計を行うことにより，設計結果の保守性が改善できて制御対象を式(17),(18) と与える．
いることがわかる．しかし，式(25) のGSコントローラを実装するには，スケジューリングパラメータの真の値をEd ẋd = Ad (θ)xd + Bdw w + Bdu u(17) 得ることが困難であることや， X(θ)−1 を制御実行中にz = Cd xd + Du(18) 常に計算する必要があるため，このままでは実装が困難#"» 1–»–である．そこで，本研究で扱う実験機で再現できる状況
Bw
01
Bdw = 0 , Cd = [C 0 0] , C = Q 2 , D =において，達成される制御性能と実装の難しさを考慮し2R00
た場合，ロバストコントローラで制御を行うことが妥当
ただし，w は外乱入力，z は評価出力，Q は状態変数 xだと判断した．
に対する重み行列，R は制御入力 u に対する重みである．
表 1: 単一のリアプノフ関数に基づく設計結果
ここで，行列 Ad , Xd , Yd は式(19) のように表現できる．
GSパラメータθ1θ1 , θ2 θ1 , θ2 , θ3
H
ノルムの上界5.29
5.28
5.2728∑[Ad (θ) Xd (θ) Yd (θ)] =βi (θ)[Adi Xdi Ydi ] (19)表 2: パラメータ依存リアプノフ関数に基づく設計結果
i=18
GSパラメータθ1θ1 , θ2 θ1 , θ2 , θ3Xβi ≥ 0,βi = 1, (i = 1, ..., 8)
H
ノルムの上界
4.16
4.07
4.07
2i=1式(17)∼(19) で表されるポリトピックLPVシステムを，スケジューリングパラメータ θ とその変化速度 θ̇ の変動 4.2 シミュレーションおよび実験結果
範囲内において安定化し， w から z までの H2 ノルムを最小化する状態フィードバックGSコントローラを求める本研究で設計したコントローラの有用性を検証するたためのLMI条件は式(20)-(24) で与えられる．
めにシミュレーションおよび実験を行った．ただし，4.1
minimize : γ(20) 節で示したように，ディスクリプタ表現の枠組みで導出
subject to : Xi > 0(21)した固定ゲインのロバストコントローラを用いる．目標»–He {Adi Xdi + Bdu Ydi } − Sk Bdw< 0 (22) 値は吊り荷の位置 y に対して 0.5 [m] と与えた．また，
T
Bdw−I
»
–
ロープ長の時間変化に対してロバスト安定性を保証でき
Xi(CXi + DYi )T>0(23)CXi + DYiWiていることを示すために，ロープ長を時間と共に図2，図Trace(Wi ) < γ 2(24) 4のように変化させた．巻き下げながら吊り荷の水平方向(i = 1, ..., 8), (k = 1, ..., 8)の位置決めを行った結果を図3に示す．また，巻き下げながら吊り荷の水平方向の位置決めを行った結果を図5に示す．シミュレーションと実験共にロープ長が時変の場合でも安定化できていることがわかる．また，定常偏差なく目標値に追従していることがわかる．以上から，本提案法を用いることで，安全性を維持し，吊り荷の振動を抑制しながら, 高速で正確な運搬ができることが示された．

図 2: 巻き下げ時のロープ長

図 3: 巻き下げながらの実験結果

図 4: 巻き上げ時のロープ長

図 5: 巻き上げながらの実験結果

5

おわりに

本研究では，ジブクレーンに対するロープ長の時間変化を考慮した制御系設計をディスクリプタ表現の枠組みにおいて行った．また，パラメータ依存リアプノフ関数に基づくGS 制御系設計を行うことで，単一のリアプノフ関数に基づく設計を行う場合に比べて設計結果の保守性を軽減できることを，H2 ノルムを用いた設計結果の比較を行うことにより示した．最後に，提案法の有効性をシミュレーションおよび実験を通して検証した．今後の課題として，スケジューリングパラメータに含まれる不確かさに対処することや，X(θ)−1 の取り扱いを工夫することで，パラメータ依存リアプノフ関数に基づくGSコントローラの実装を容易にしていくことが挙げられる．

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