2010 年度 SSH 生徒研究論文集
目次
はじめに ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

p.1

奈良女子大学附属中等教育学校の SSH カリキュラム・・・・・・・・・

p.2

研究論文
物理班
次世代型モーションキャプチャシステムの製作・・・・・・・・・・・

p.5

バーサタイルコントローラーの開発へ向けた構成要素の検証・・・・・

p.15

抵抗ブラックボックスの法則性・・・・・・・・・・・・・・・・・・

p.25

太陽電池による距離の測定・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

p.27

マイクロ波の性質・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

p.31

LED 発電の研究・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

p.35

リニアモーターの研究・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

p.41

H8 マイコンによるマトリックス LED の制御・・・・・・・・・・・・

p.45

シミュレーションで交通渋滞を考える・・・・・・・・・・・・・・・

p.51

PIC マイコンによる LED の制御・・・・・・・・・・・・・・・・・・ p.53
16 セグメント LED の制御・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

p.57

数学班
ピタゴラス三角形の辺の長さに関する考察・・・・・・・・・・・・・

p.59

フラクタル・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

p.83

黄金分割・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

p.88

結び目について・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

p.92

生物班
ブレファリズマの膜形成反応についての研究・・・・・・・・・・・・

p.96

猿沢池の水質から七不思議を考える・・・・・・・・・・・・・・・・

p.100

プロトプラストの作成と細胞融合・・・・・・・・・・・・・・・・・

p.112

音波と植物の成長の関連性・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

p.117

奈良公園のフン虫の研究・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

p.121

化学班
金属陽イオン水溶液の分離操作・・・・・・・・・・・・・・・・・・

p.126

地学班
天体までの距離の測定・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

p.131

火山の噴火・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

p.133

2010
20 10 年度 SSH サイエンス研究会 研究論文集
刊 行にあたって奈良女子大学附属中等教育学校では、本年度より、第Ⅱ期スーパーサイエンスハ
イスクール(SSH)研究開発をスタートいたしました。平成 17 年から 5 年間実施した
第Ⅰ期 SSH において、理 数 に 興 味・関 心 の あ る 生 徒 の 課 外 活 動 と し て「 サ イ エ
ン ス 研 究 会 」を 創 設 し 、数 学・理 科・科 学 技 術 に 関 す る 生 徒 の 研 究 活 動 を 、奈良女子大学をはじめとする国内外の研究諸機関と連携して支援してきました。
今年度からの第Ⅱ期 SSH においても、「 サ イ エ ン ス 研 究 会 」 の 活 動 を SSH 研
究開発の大きな柱としております
本 研 究 論 文 集 は 、数 学 班 、物 理 班 、化 学 班 、生 物 班 、地 学 班 か ら な る「 サ イエ ン ス 研 究 会 」 の 生 徒 た ち が 、 自 ら 研 究 テ ー マ を 設 定 し 、 数学的リテラシーと
科学的リテラシーを駆使し、どのように課題を解決していったか、その研究活動の軌跡であり、「 サ イ エ ン ス 研 究 会 」 の 生 徒 た ち の 課 外 活 動 の 報 告 書 と も い う べ
き も の で あ り ま す 。今 年 度 も 、生 徒 た ち は 、学 内 発 表 会 を 始 め 、各 種 の 学 会 ・科学コンテストに積極的に参加し、活発に活動成果を発表しました。
「 サ イ エ ン ス 研 究 会 」に お け る 活 動 に お い て 、さ ま ざ ま な 能 力 を 持 つ 先 輩 後
輩 と 互 い に 切 磋 琢 磨 し 、時 間 を か け て 1 つ の テ ー マ を 追 求 し 、専 門 的 な も の の見方や考え方を学ぶことを通じて、論理的思考力や科学的態度を養うことは、
将来どのような分野に進んでもその生徒にとって力となるものだと考えていま す 。こ の 研 究 活 動 が 、単 に 知 識 や 技 能 の 集 合 体 で は な く 、狭 い 専 門 性 を 超 えて 、学 問 や 研 究 に 対 す る 深 い 理 解 と な っ て く れ る こ と を 期 待 し て い ま す 。今 後
さ ら に 、「 サ イ エ ン ス 研 究 会 」 が 、 し っ か り と 根 を 張 り 、 枝 を 伸 ば し 、 大 木 に育ってくれることを願っています。
本 論 文 集 が 、全 校 の 生 徒 た ち の 探 究 心・向 上 心 を イ ン ス パ イ ア ー し 、自 然 科
学 的 素 養 の 育 成 に 寄 与 し 、さ ら に は 、今後の新たな科学教育の発展に寄与することを期待しております。皆様の忌憚のないご意見、ご助言、ご指導をいただければ幸いでございます。
最 後 に な り ま し た が 、 SSH 運営指導委員の先生方、大学・研究機関の先生方、ご支援を賜りました皆様に、心より感謝申し上げますとともに、今後ともなお一層のご指導、ご支援いただきますようお願い申し上げます。
平成 23 年 3 月
奈良女子大学附属中等教育学校
校

長

塚

本

幾

代

（生活環境学部教授）

2010年度教育課程表奈良女子大学附属中等教育学校
学年
時間

1年

2年

3年

4年

共通

共通

共通

共通

5年

6年

文系

理系

文系

理系

1
現代文(2)

現代文(2)

古典(2)

古典(2)

国語基礎(3)2
国語基礎(4)

国語総合(4)
国語総合(5)3
4

情報と表現(1)
古典講読(1)

5
現代社会(2)
6

社会・地理(3)

社会・歴史(3)
現代社会(2)

7
現代史(2)
8

化学Ⅰ(3)
生物Ⅰ(3)
地学Ⅰ(3)*(3)

化学Ⅰ(3)*(3)

日本史B(3)
世界史B(3)
地理B(3)*(3)

日本史B(3)
世界史B(3)
地理B(3)*(3)

現代史(2)
910

数学基礎Ⅰ(4)・代数・幾何

数学基礎Ⅱ(5)
数学探究ⅠA(3)・代数・幾何
代数・幾何Ⅱ(3)1112

情報と科学(1)
数学探究ⅠB(2)13
解析Ⅱ(2)
14

生物Ⅰ(3)
物理Ⅰ(3)*(3)

解析Ⅲ(3)
総合数学(3)*(3)

解析Ⅲ(3)*(3)

代数・幾何Ⅲ(3)
音楽Ⅱ(2)
美術Ⅱ(2)
生活デザインⅡ(2)△(0)or(2)or(3)代数・幾何Ⅲ(3)*(3)

基礎理科Ⅰ(3)
基礎理科Ⅱ(4)

15

自然探究Ⅰ
・地球環境
(3)

16
音楽(2)

音楽(2)
美術(2)
書道(2)
工芸(2)
*(2)

17
音楽(2)
18
美術(2)
19
美術(2)
20
21

世界史B(3)
文化と社会(3)△(0)or(3)

工創基礎１
生活基礎１
(3)

22

工創基礎２
生活基礎２
(2)

技術総合
家庭総合
(2)

自然探究Ⅱ
・物質とエネル
ギー
・生命科学
(4)
音楽Ⅰ(2)
美術Ⅰ(2)
生活デザインⅠ(2)
科学と技術(2)

家庭総合(2)
体育(3)Reading(2)△(0)or(2)25

化学Ⅱ(4)△(0)or(4)

化学Ⅰ(3)
生物Ⅰ(3)
地学Ⅰ(3)△(0)or(3)

物理Ⅱ(4)
生物Ⅱ(4)△(0)or(4)基礎理科(2)
発展現代文(2)
選択漢文(2)△(0)or(2)
古典講読(1)

代数・幾何Ⅳ/特論(3)△(0)or(3)

倫理(3)
音楽Ⅲ(2)
美術Ⅲ(2)
生活デザインⅢ(2)
数学特論ⅢⅣ(2)△(0)or(2)

解析Ⅳ/
特論(5)
△(0)or(5)Reading(2)△(0)or(2)

体育(2)
体育(3)

世界史B(3)
政治・経済(3)△(0)or(3)

日本史特講(2)
世界史特講(2)
地理特講(2)△(0)or(2)2324

日本史B(3)
世界史B(3)
地理B(3)
政治・経済(3)*(3)

日本史B(3)
世界史B(3)
地理B(3)*(3)

体育(2)

情報B(2)

保健(1)
保健(1)

体育(3)

保健(1)
IE(2)
体育(3)

26
27

IE(3)

IE(3)

IE(Reading）(3)

IE(1)

28

Topic Studies II(3)

BE(1)
生活科学(2)

29

BE(1)

BE(1)

30

NET(1)

NET(1)

31

道徳(1)

道徳(1)

NET(1)

IE(Writing)(1)

NET（Speaking）
情報の科学(1)(1)
Topic Studies I(3)HR(1)

Writing(2)生物Ⅰ(2)△(0)or(2)

数学特論ⅠⅡ(2)△(0)or(2)数理科学(2)
倫理(2)
数学特論ⅠⅡ(2)△(0)or(2)世界学(2)

探求・世界Ⅰ(2)32

Writing(2)△(0)or(2)

HR(1)

33

道徳(1)

HR(1)

Writing(0.5) NET(0.5) *(1)

34

HR(1)

道徳(0.5)

HR(1)

HR(1)

AG(1)

AG(1)

補講・AG(1)

短期集中 探求・奈良Ⅰ(1) 探求・奈良Ⅱ(1)*選択必修：標記の科目から必ず1科目を選択する

補講※テーマ研究(0.5)※テーマ研究(0.5)△(0)or(1)△(0)or(1)SSHテーマ研究(1)
SSHテーマ研究(1)△(0)or(1)△(0)or(1)△自由選択：選択しなくてもよいし、選択するときはその単位数になるよう標記の科目から選択する
SSHテーマ研究(1)△(0)or(1)６年の数学科の科目については、半期毎に単位認定を行う

奈良女子大学附属中等教育学校 中高 一 貫SSH概念図
1年

2年

I

3年

4年

1

5年

6年

自然科学リテラシ ー の育成

理数に偏らない
基礎・基本の徹底

高大接続を目指す先進的・総合的な視野を持つ理数教育

質の高い ・ 現実と結びついた ・ リベラルア ー ツ育成の授業

探究・奈良l

探究・奈良II

探究•世界1

探究•世界IIl コロキュウム
テ ー マ研究

研

究

論

文

次世代型モーションキャプチャシステムの製作
４年Ａ組 武田 優生
指導教員 米田 隆恒
１．要約
私は、独自に開発したハードウェアと Kinect を用いることにより、従来のものに比べて、非常に安価なモーションキャプチャシステムを製作することに成功した。
キーワード

モーションキャプチャ、物理エンジン、Kinect、ジャイロセンサ、
画像処理、OpenNI、OpenGL、Bullet、3DCG、ウェアラブルコンピューティング

２．研究の背景
モーションキャプチャとは、実物の人物
や物体の動きをデジタル化して記録する用の装置を身につけるため、装置の重さなどによって動きが制限されてしまうとい
う問題を抱えている。

技術である。現在この技術は、映画の CG作成や、スポーツ選手の身体の動きなどのデータを収集するために使われている。
一般的に用いられている「光学式モーシ
ョンキャプチャ」は、精度が高く、よりリ
アルな CG 作成には欠かせない。しかし、複数のカメラやマーカ、専用のスタジオを用いて、人物や物体の動きを記録するため、動きが制限されてしまうだけでなく、モーションキャプチャを行う環境を用意する
ために、数千万円単位のコストがかかるという問題がある。

図１ 光学式モーションキャプチャ(Wikipedia より抜粋)

光学式モーションキャプチャの次に用いられている「機械式モーションキャプチ

ところで、モーションキャプチャという

ャ」は、専用の装置を身につけてモーショ

技術は映画の CG 作成と行った特殊な用ンキャプチャを行うため、光学式モーショ

途だけではなく、身近なものの操作に活用

ンキャプチャに比べ、非常に明るい場所やできるのではないかと考えられる。例えば、広い範囲を必要とする動きといった過酷

スマートフォンの普及と共に高機能化しな環境下でもモーションキャプチャを行た「マルチタッチ機能」である。

うことができる。しかし、これもまた、専図３

Kinect Microsoft 社製

XBox360 コントローラ

図２ マルチタッチ機能を搭載した
スマートフォン(iPhone4)
本来マルチタッチ機能は、複数の指の動きや位置情報を、タッチパネルを用いて取得することで、直感的な操作を可能にするものである。しかし、タッチパネルを用いて取得するため、２次元空間の位置や動きを取得することしかできない。また、公共図４ 自作ハードウェアの場に設置する場合、不特定多数の人が物理的に触れるため、衛生面での不安がある。

また、自作ハードウェアには、２軸コン

そこで、複数のカメラやマーカ、専用のパスセンサと、２軸ジャイロセンサの２つスタジオを用意することなく、高精度なモのセンサ、これら２つのセンサの信号をワーションキャプチャを実現することはでイヤレスでパソコンへと送信する XBee

きないかと私は考えた。

モジュールが搭載されている。

３．本システムの概要

４．研究内容本システムは、Microsoft 社製ゲーム機
XBox360 のコントローラーである Kinectと自作ハードウェアによって構成されている。
Kinect には、640*480 の画像を 30fpsで出力できる RGB カメラと、その画像に対するカメラと物体の深度を取得する赤
外線深度センサ、ユーザーの声を取得することができるマルチアレイマイクロフォ
ン、そしてこれらの信号を処理するプロセッサが搭載されている。

（１）研究項目[研究１] OpenGL を用いて、3D オブジェクトを表示する。
[研究２] Kinect から画像と深度センサーの値を取得する。
[研究３] Kinect を使い、ボーントラッ
キングを行う。
[研究４] 回転運動の精度向上のため
自作ハードウェアを製作する。
[研究５] 物理エンジンと組み合わせて、仮想空間の物体と干渉させる。

（２）研究内容[研究１] OpenGL を用いて、3D オブジェクトを表示する。

GLmetaseq というモデルローダを用いてメタセコイアという 3DCG ソフトのデー
タを読み込んだ。

OpenGL とは、Silicon Graphics 社

ところが、このモデルローダでは、テク(SGI)が中心となって開発した 2D/3D 用

スチャとして貼りつけて使用する画像が、グラフィックスのためのプログラムイン

ファイル容量の大きい bmp ファイルとターフェイスである。この OpenGL の動

tga ファイルしか読み込むことができな

作確認をするため、立方体を表示することい。ファイル容量が大きいと、性能の良いにした。立方体を表示するために必要な関コンピュータでしかプログラムを実行す

数は、OpenGL にあらかじめ用意されてることができないという問題や、実行したいるため、比較的簡単に動作確認をすることしても、画面を書き換える回数が少なくとができた。

なってしまい、動作がカクカクしてしまう

OpenGL を使用して立方体を表示するという現象が発生してしまう。

には、最低でも３つの関数が必要となる。

そこで、libpng という PNG デコーダをまずはじめに、glLightfv で光源の位置をプログラムに組み込んだ。Libpng とは、指定し、glMaterialfv という関数で、オブPNG 方式で圧縮された画像を展開するたジェクトに対する光源の反射具合を設定

めのライブラリで、PNG 公式のリファレする。最後に、glutSolidCube(size)を実行

ンスライブラリであるため、PNG の仕様することで、立方体を表示させることがでのほぼすべてをサポートしている。

きる。

このライブラリを使用すると、ファイル容量の少ない PNG ファイルをテクスチャに使うことができる。

図５ OpenGL で立方体を表示する
次に、テクスチャのある 3D オブジェク
トを表示することを試みた。しかし、OpenGL 自体に 3D オブジェクトを読み込んで表示する機能がないため、

図６ PNG 読み込みに対応した
モデルローダでペンギンを 3D 表示している様子

[研究２] Kinect から画像と深度センサーの値を取得する。

OpenNI には、Kinect に接続を行うデバイス部とそのデータの画像解析を行う、

Kinect は、開発コードネームが Project

ミドルウェア部の２つを統合して扱うイ

Natal と呼ばれ、コントローラーを用いず

ンターフェイスになっている。そのため、にゲームの操作を行うゲームシステムをOpenNI をプロジェクトに追加し、Kinect

確立するために開発されてきた。実際の用に接続すると、Kinect からカメラの画像

途としては、ジェスチャーや音声認識を行と赤外線深度センサからのデータを取得

い、直感的にゲームを操作するといったもすることができる。

のである。

赤外線カメラの画像と赤外線深度セン

この Kinect の出力端子は USB である
ため、パソコンに接続して制御することで、サを重ねて表示すると、図８のように表示することができる。

モーションキャプチャシステムに転用することができる。また、Microsoft 側も転用することを容認しており、Kinect の
USB 接続はあえて暗号化していないという。

図８ OpenNI でカメラと赤外線深度
センサのデータを重ねて表示
また、ミドルウェア部の一部は、Prime
Sensor NITE と呼ばれるプログラムをサポートしており、これのミドルウェアを使
図７

Kinect と接続できる

用すると、Kinect の画像データの中からUSB ケーブル

背景を差分し、人物だけをトラッキングすることができる。

Kinect の制御には、OpenNI という
Natural Interaction のためのフレームワークを用いて、ソフトウェアから制御する。
Microsoft 社に Kinect の深度センサを提供している、PrimeSense 社や OpenCVを提供している WillowGarage 社らが立ち上げた OpenNI.org で提供されている
オープンソースのライブラリである。

図９ NITE と Kinect を使い、人物トラッキングを行っている様子

[研究３] Kinect を使い、ボーントラッ
キングを行う。

しかし、Kinect は深度センサを用いて、ユーザーを認識するため、その性質上、奥Prime Sensor NITE は、スケルトン処

行きの変化が少ない運動、つまり回転運動

理と呼ばれる骨格モデルを表示するボーに対してはうまく検知することができな

ントラッキングも行うことができる。

かった。この動きは、タッチパネルとして使う場合には特に必要のない動きだが、遠隔会議システムなどを作成するときには必要となる。
そこで、自作のハードウェアを使い、Kinect のボーントラッキングの回転運動補正を行った。
自作のハードウェアには前述した通り、２軸のコンパスセンサと２軸のジャイロセンサの２つのセンサを搭載している。

図 10 Prime Sensor NITE を使い、２軸のコンパスセンサは、ヨー角の回転

ボーントラッキングを行っている様子(Z 軸の回転)を取得するために用いられる。
このセンサとして、Honeywell

これらを組み合わせることにより、人物をトラッキングしながら骨格モデルを表International 社製２軸コンパスセンサ
HMC6352 を採用した。

示することができた。

図 11 人物をトラッキングしながら、ボーンを表示している様子[研究４] 自作ハードウェアと組み合
わせて、精度を向上させる。
研究３により、Kinect を用いてボーン
トラッキングを行うことができた。

図 12 HMC6352 搭載
Sparkfun 社製２軸コンパスモジュール

このセンサの特徴は、I2C インターフェ

けではないため、使用しているうちに誤差イスを用いて、２本のデータ線で現在の角が大きくなってしまう問題や、 圧電振動

度を、北向きを 0°とした絶対的な回転角

ジャイロセンサゆえに、ドリフトと呼ばれを出力することである。
分解能は 0.1°と、る基準点が外部の振動によりずれてしま

モーションキャプチャを行うには十分なう現象が起こり、正確な回転角が取得でき精度である。これにより、ヨー角の角度はなくなってしまうという問題がある。

正確に取得できる。

そこで、このセンサを補正する演算を追

しかし、このコンパスセンサは水平な平加し、２軸ジャイロセンサだけでもロール面上で使われることを想定しているため、角の回転とピッチ角の回転を取得できる許容範囲を超えて大きく傾いた状態で測ようにした。

定すると誤差が非常に大きくなってしま

次に、これら２つのセンサのデータをう。そのため、ロール角の回転(X 軸の回

PC へワイヤレスで送信するために、
XBee転)、ピッチ角の回転(Y 軸の回転)の取得に

モジュールを搭載した。XBee とは、は使うことができない。

IEEE802.15.4 に準拠した 2.4GHz 帯無線

そこで、２軸のジャイロセンサを用いて、通信モジュールで、115,200bps の転送速

ロール角、ピッチ角の回転運動を取得する

度で PC と通信することができる。日本でことにした。今回、このセンサとして村田の TELEC の適応を受けており、マイコン

製作所の圧電振動ジャイロセンサ「ジャイと接続することで比較的簡単に無線通信

ロスター」を採用した。

をすることができる。XBee にはさまざまなシリーズがあるが、今回は、「XBee
Series1 Chip Antenna Model」を採用している。

図 13 村田製作所の圧電振動
ジャイロセンサ「ジャイロスター」を搭載した秋月電子通商の
圧電振動ジャイロモジュール
しかし、ジャイロセンサであるため、特図 14 XBee Series1 Chip Antenna

性上、相対的な値しか出力することができModelない。また、絶対的な回転角を出力するわまた、自作ハードウェア側からのデータ

これにより、センサ側の子機 XBee ではを受信できる距離を長くするため、PC 側

省スペースなチップアンテナを採用しなには 10cm 程度の長さを持つアンテナをがら、より長い転送距離を稼ぐことができ外付けにした「XBee Series1 U.FL

た。

Antenna Model」を使用した。

また、転送距離を延ばすためには、外付
けの U.FL アンテナを垂直に立てる必要がある。そこで、設置を容易にするため、専用のケースの図面を CAD で作成し、CNC フライス(コンピュータ数値制御フライス盤)を用いて 2mm のアクリル板から、６枚のアクリル板を削りだし、組み立てた。

図 15 XBee Series1 U.FL Antenna
Model
外付けアンテナには、TELEC(財団法人
テレコムエンジニアリングセンター)の認証が通っている、10cm 程度の U.FL コネ
クタ接続のアンテナを使用した。

図 17 PC 側 XBee 専用ケース
今回の用途では、PC 側にセンサからのデータを受信するホスト用の XBee が１台なのに対し、センサ側の XBee が複数存在するため、 スタートポロジ(ブロードキャスト)方式でデータを転送している。これにより、PC 側の XBee でセンサ側のXBee を一括管理でき、子機側からのデー
タを一括受信することに成功した。

図 16 外付けアンテナ

[研究５] 物理エンジンと組み合わせて、仮想空間の物体と干渉させる。
Kinect と自作ハードウェアを用いてモーションキャプチャを行うことで、仮想空間上の物体に触れることができるが、それらには、現実世界のような物理法則が働かないため現実味に欠ける。
そこで、物理エンジンを搭載することを考えた。仮想空間の物体ごとに、衝突判定
や引力、反発係数、摩擦係数といったさま
図 18 スタートポロジ(ブロードキャスト)方式

ざまな係数を計算することで、現実世界の物理法則を働かせることができる。
物理エンジンとして、AMD が中心とな

さらに、この複数ある XBee に対して、って開発しているオープンソースな物理

ハードウェアの固有の名前と ID を振り分

演算エンジンの”Bullet”を使用した。

けて登録するソフトウェアを Visual

Bullet は物理演算エンジンとして最適化

Basic を用いて作成した。

されており、非常に高速に物理演算を行うことができる。
さまざまな係数を指定して Bullet でシ
ミュレーションを行うとその結果が出力される。その出力された情報をもとに、OpenGL でオブジェクトを描画すれば、物体はまるで現実空間での動きかのように振る舞うことができる。

５．考察
今回の研究で、Kinect を用いて全身の図 19 自作ハードウェア登録ソフト

動きを取得することができたが、[研究３]、[研究４] 、[研究５]において、いくつかのこのソフトウェアを使うことで、設置し問題点が挙げられる。

た自作ハードウェアの固有の名前と ID を登録し、CSV ファイルとして書き出すことができる。この情報をもとに、Kinectとハードウェアを組み合わせる。

[研究３の問題点]
Prime Sensor NITE を用いてボーント
ラッキングを行ったが、激しい動きをするとボーントラッキングから外れてしまう。

これは、Kinect のカメラの更新周期が30fps(秒間 30 枚)のため、高速な動きに対応できないからである。

６．今後の課題
物理エンジンを搭載することで、仮想空間がより現実に近い世界になった。

そこで、自作ハードウェアを改良して高これらの技術に加え、私が今までに研究

速な動きは自作ハードウェア側で取得し、してきた母音認識システムを追加すれば、

Kinect のボーントラッキングに補正をか

仮想空間上に表示した人物のモデルのモけることで改善ができるのではないかとーフィング(口パク)を行うことができる

考えている。

と考えられる。
これらの技術をすべて使うことができ[研究４の問題点]
今回は、自作ハードウェアを汎用ユニバ
ーサル基板上で作成したため、装置が大型れば、高性能な遠隔会議システムを作成することができるのではないかと考えている。

化してしまった。また、コンパスセンサの

今までの遠隔会議システムは、Web カ

出力はデジタル、ジャイロセンサの出力はメラからの画像とマイクからの音声をた

アナログと、デジタル出力とアナログ出力

よりに会議を行っていたが、このシステムが混在してしまい、アナログ出力であるジが完成すれば、仮想空間上で実際に会議をャイロセンサにノイズが乗ってしまうと行うことができる。さらに、身振り手振りきがあった。

を Kinect が検出し、話す内容に応じて口次回、ハードウェアを作成するときにはプリント基板を発注し、より小型化する。、
使用する部品を再検討し、ノイズが乗りにくいように改善したいと考えている。

が動けば、より相手に意思が伝わりやすいのではないかと考えている。
また、現実のオブジェクトを、あらかじめ Kinect を用いて 3D オブジェクト化し、RFID(近距離無線個体識別技術)を使い登

[研究５の問題点]
今回は、物理エンジンに Bullet を用いたが、これだけでは条件を指定するための録しておけば、現実のオブジェクトを画面に近づけるだけで仮想空間上に表示することができるだろう。

係数が不足する場合があった。また、物理

これらをふまえて、今後は自作ハードウ

エンジンが非常に CPU パワーを必要とす

ェアの小型化と会議システムの開発を行るため、最新の PC でしかまともに動作さっていきたい。

せることができなかった。
今後、改良していくにつれて、Bullet

７．参考文献を徐々に廃止し、CPU パワーをあまり使[1] OpenNI - OpenNI.org

わない物理エンジンを自分で作成し、実際

http://www.openni.org/に使用していきたいと考えている。

[2] MSDN ライブラリ - Microsoft japan
http://msdn.microsoft.com/ja-jp/library/ms123401.aspx

８．謝辞
今回の研究にあたり、様々なアドバイスをいただいた顧問の米田先生、サイエンス
研究会統括顧問の川口先生にはご指導、助言をいただきました。さらに、本校サイエンス研究会物理班の先輩方、メンバーにも多大な協力をいただきました。お世話になった方々に、この場をお借りして深く御礼申し上げます。

バーサタイルコントローラーの開発へ向けた構成要素の検証
４年Ｃ組 羽鹿 諒
指導教員 米田 隆恒
１．概要
私は、以前「ウェアラブル・コントローラー」というものを開発した。現在行っている研究はこれをバージョンアップし、より実用性のあるものを開発することを目標としている。現在、この研究は「バーサタイルコントローラーの開発」として研究中である。よってここでは、現在開発中のハードウェアを構成する要素の検証結果を報告する。
キーワード

コントローラー、SH2 マイコン、音声認識、モーショントラッキング、IMU、無線通信

２．研究の背景と目的
以前私は「ウェアラブル・コントローラー」(図１)に関する研究を行っていた。

と考えて開発したコントローラーである。
用いる際は腕に本体を、指にセンサ部分を装着し、ボタンを押しながら空中に図形を描く。すると、シリアルケーブルで接続した先の PC の画面に認識できた図形の名
前が表示されるというものである。動作中の風景を図２に示す。

図２ 動作中風景
図１ ウェアラブル・コントローラー

原理を簡単に解説する。まず、指に装着しているセンサは加速度センサである。空

これは、私たちが機械を操作する際、よ中に図形を描く際、図形の頂点にさしかかり直感的に、より簡単に操作できるようにると加速度センサから出力される信号には大きな変動が生じる。この信号の変動をコ

いても H8 という MCU を使ってきた。こントローラーは図形の頂点として読み替え、 の MCU の優れている点として、入手性がその頂点の数をカウントする。私は、図形

高いことや国産の MCU としては安価に購の形を決める要素がその図形の頂点の数に入できること、使いやすいことなどが挙げあるということに気づいた。そこで、カウられる。

ントした頂点の数をもとにユーザーが描いた図形を識別した。

しかし、この MCU は処理速度(計算速度)が遅い。一般に、MCU や CPU などのしかし、ウェアラブル・コントローラー

演算スピードを計測するためにベンチマー

はあくまで図形の名前を取得するにとどま

クテストと呼ばれるものがある。これは、っており、実用的なものではなかった。

あらゆるプログラムのエッセンスを抽出し、そこで、今回完全に別のハードウェアと作られている。いわばテスト用ソースコー

して１からコントローラーを開発し直すこドのようなものである。これを用いて実際とにした。より実用性のある新しいハードに MCU の処理速度を計算した結果がメー

ウェア、ユーザーインターフェイスを開発

カーサイトに掲載されており、H8 は約するためである。なお、この研究は現在も2.3MIPS と な っ て い る 。 MIPS と は 、研究中であり、ここでは新しいコントロー

Million Instructions Per Second の略で、ラーであるバーサタイルコントローラーを１秒間に何百万個の命令が実行できるかを開発することを目標に、それに向けて必要表したものである。MIPS は、コンピューな構成要素を検証した結果を報告する。

ターの処理速度に関する情報でよく使われる。H8 のこの数値は、同レベルの MCU

３．研究内容よりは高い方であったが、バーサタイルコ（１）研究事項

ントローラーを実現するには、さらに高い[研究１]

信号処理の心臓部であるマイ計算能力が必要であると考えている。また、クロコントローラー(以下 MCU という)に

H8 はコマンド環境(CUI)でしか開発がでついてきなかった。図３に CUI の例を示す。

[研究２]

コントローラーの動きを計測するセンサについて[研究３]

コントローラーが扱うアプリ

ケーションについて[研究４]

コントローラーの無線通信について（２）実際に行った研究[研究１]
これまでの研究において、また、以前開発したウェアラブル・コントローラーにお図３ コマンド環境

コマンド、つまりコンピューター用の単これは、MCU 内部にアクセスして処理

語のようなものでしか MCU の開発ができ速度を優先するかプログラムの大きさを優ないため、MCU の細部の調整や処理速度

先するか、など様々な設定を行いながらの向上などをすることが難しい。これは、MCU を効率よく動かすために必要である。

MCU 上で処理を行うアプリケーションに

ま た 、 HEW( 図 ６ ： High-performance

とっては致命的である。そこで、新しいEmbedded Workshop)とよばれる統合開発

MCU として SH-2 マイコンに目を付けた。 環境の存在も大きい。
また、その中でも H8 と MCU 本体が同じサイズである SH7125F というものをピックアップした。このマイコンの特徴をあげると、まず処理速度が H8 と比較して格段に速いということがある。図４に表を示す。

図６ HEW 画面
これと E10A デバッガを組み合わせるこ
図４ 演算性能比較とで、プログラムの１行単位で MCU を動作させたり、MCU をチューニングしたり

さらに、開発環境が充実していることがすることが可能となる。現在は、市販され挙げられる。まず、E10A-USB というデている SH7125 ボードを用いてオリジナル

バッガを用いて開発することができる点でのテストボード(図７)を作製し、実験開発ある。E10A-USB の画像を図５に示す。

を行っている。なお、使用している開発用のプログラムコンパイラは、フリーで公開されている KPIT GNU Tools という、GCC(以下に詳細を記す)ベースのものを用いている。

図５ E10A-USB

[研究２]
以前開発していたウェアラブル・コント
ローラーでは、加速度センサ(図９)のみを用いてプロトタイプを作製していた。
しかし、これには問題があった。それは、正確な運動が取得できないということである。ウェアラブル・コントローラーに用いていたのは、２軸(x, y 軸方向)の加速度セ
図７ オリジナルテストボードンサであったため、上下の手のぶれや、微振動を検知することができなかった。また、さらに、私は今回 Unix 環境でのプログ

加速度センサの信号の大きな変化しか捉え

ラム開発を行えるよう、独自で C コンパていなかったことも問題点である。つまり、

イラおよびデバッガをビルドし、パッケー頂点の数をカウントしていただけなので、ジ化することを行った。上記のような、三角形を描かなくても、うまく３回大きなWindows で用いることができるパッケー

振動を加えてやるだけで三角形と認識してジはあったものの、Unix 環境で用いるこいたのである。この問題は、その他の図形とができるものはなかったからである。今でも同様に起こり得る事象である。

回は、インターネット上にフリーで公開されている GCC(GNU Compiler Collection)
や GDB(GNU Debugger)、さらに組み込
み MCU 向けの開発環境を提供するライブラリである Newlib，binutils といったソースコードパッケージを組み合わせ、
MacOSX(v10.5、Leopard)上でビルドした。
図８に MacOSX 上でコンパイラを動作させている様子を示す。
図９ 加速度センサ
そこで、私はジャイロセンサに着目した。
これは、物体の傾きを計測するセンサで、一般的には角速度を計測するものである。
このジャイロセンサと加速度センサを組み合わせることで、正確な物体の動きをハードウェアでトラッキングすることができる。
図８ コンパイラを動作させている様子

さらに、本来は物体の傾きを知るためのセンサなので、そのまま傾きと加速度を計測

したり、どのぐらいの傾きかを角度として計測したりすることも可能である。 図 10に一般的なジャイロセンサ素子の写真を示す。

図 12 センサ部拡大写真
現在は MCU に接続してセンサからの出
力を読み込ませ、数値化したデータを無線で PC へと送信する実験を行っている。
図 10 ジャイロセンサ素子[研究３]
今回、試験的にセンサモジュールを作製

私はウェアラブル・コントローラーを開した。これは一般に、IMU(慣性センサ)と発する以前に、自作ハードウェアのみで人いう名前で知られている。使用したセンサの発する声、母音を認識するという研究をは以下の通りである。また、作製したセン行っていた。この研究は難易度が高すぎた

サモジュールの写真を図 11 に、センサ部

ために一度断念していた。しかし、今回のを拡大した写真を図 12 に示す。

研究を行うにあたり、音声認識について調・加速度センサ:ADXL335

査を行った。対象としたのは、音声認識の・ジャイロセンサ:IDG-650(x, y 軸)

原理と音声認識プログラムの開発に関する・ジャイロセンサ:ISZ-650(z 軸)ものである。
まず、音声認識プログラムについては、Julius(ジ ュ リ ア ス )と い う も の が あ る 。
Julius は、京都大学の河原研究室が中心となって研究、開発を行っているオープンソースの汎用大語彙連続音声認識エンジンである。ここではシステムの構造が非常に難しいので詳細な説明は割愛するが、音声認識の世界ではよく用いられる確率モデルの

図 11 作成した IMU モジュール１つである、隠れマルコフモデル(Hidden
Malcov Model、HMM とも言う)を用いてシステムが構築されている。ソースコード
から公開されており、ユーザーのシステム
上でビルドし、動作させることが可能である。低スペックマシンでインターネット接動作手順は、まずユーザーが MCU モジ

続環境がなくても使えることや、完全にシ

ュール上のマイクに話す。この MCU モジ

ステムがフリーであることが利点として挙ュールには Bluetooth 通信機能がついておげられる。音声認識の原理を簡単に解説すり、外部の機器との無線通信が可能である。

る。一般的な音声認識システムにおいてよ

この Bluetooth 機能を通して Julius が動く用いられるアルゴリズムは、隠れマルコ

作しているサーバーにアクセスする。このフモデルに基づく「ビタビアルゴリズム」

とき、MCU モジュールで取得した音声デというものである。これは、観測された事

ータをサーバーへと送り、サーバー上で音象系列を結果として生じる隠された状態の声認識を行う。その後、サーバーから直接、並びの中にある最も確からしい並びを探す

もしくは MCU モジュールに一旦結果を返というものである。

してから操作の対象となる機器にまた、音声認識は原理が複雑なだけでな
く、ソフトウェアの容量や必要とするシス

Bluetooth 経由で接続し、操作するというものである。

テムも MCU レベルのものでは到底できな

しかし、MCU の音声入力(厳密には A/D

いことがわかった。Julius の紹介において変換機能)は音声認識に適するレベルに達

低スペックのマシンでも動作すると記した

していなかったため、これは使えなかった。

が、これは MCU の性能に比べれば遥かに一般的に、音声認識を行う際には 16 ビッ

高いものだ。例えば、Julius を例に挙げる

ト、16KHz という分解能で音声データをと、音声認識を行うのに最低限必要なシス

読み込むことが必要とされる。

テムパッケージで約 30MB ある。これは次に、ウェアラブル・コントローラーで一般的な「マイコン」と呼ばれる IC に搭も行ってきた、人の動きを解析するモーシ

載できるシステムサイズより遥かに大きい。 ョンセンシングについて説明する。今回のそこで、図 13 のような方法を考えた。ま

研究を行うにあたり、以前より精度を向上た、以下のシステム案では無線通信の方法

させることを目標にした。ソフトウェアにとして、Bluetooth を例として解説する。

ついては現在研究を進めているので、ハードウェアの面については[研究２]を参照されたい。ここでは、モーションセンシングを応用したアプリケーションに関して解説する。
まず、遠隔操作できる黒板を考えている。
システムを図 14 に図示する。

図 13 ハードウェア音声認識システム案

ル回路を作製し、高出力のモーターやソレ
ノイドなどのアクチュエータで制御することになる。

図 14 遠隔操作黒板
ここでは、教室を例として解説する。このシステムを用いるには、教室にスクリー
ンとプロジェクター、Bluetooth 通信機能

図 15 ホームコントロールシステムが搭載された PC が必要である。動作手順
は、自作ハードウェアを用いて空中に図形

これが実現すると、家中の家電製品や家や文字を描くと、その動きをハードウェアの建具を簡単に動かすことができるのではで分析し、Bluetooth を介して PC に送信ないかと考えている。

し、プロジェクターから投影されるという

さらに、加速度センサやジャイロセンサ

ものである。非常にシンプルであるが、ハは本来運動量を計測するためのセンサであードウェアのみで実際に手元の動きを解析る。よって、物理の授業などで使える教材

し、再現できるかどうかが難点である。たに応用できるのではないか、と考えた。そだ、これが実現すれば教室中のどこからでれをまとめたものが以下の案である。シスも黒板にメモを残したり、板書をしたりとテムを図 16 に図示する。

いったことが可能である。次に、ホームコ
ントローラーである。システムを図 15 に図示する。
システムの流れは、ここでは普通の家庭を想定する。このシステムも基本的には遠隔 操 作 黒 板 と 同 様 で あ る 。 PC にBluetooth を経由してハードウェアからの信号を送る。ただ、図 15 にもあるように、

図 16 モーションセンシングシステム

ホームコントロールという名前の通り、ドアや窓などの建具や、家電製品などを動か

このシステムの構造はここまでに解説しせる必要がある。そこで、別にコントロー

た２つのシステムとほぼ同じである。しかし、ここでは、自作ハードウェアをコンパクトに作る必要がある。また、用途によっては PC 側でソフトウェアを用意し、物理
エンジンなどを組み込んでアニメーションを表示することも必要であると考えられる。
使用用途としては、ボールや振り子などにハードウェアを取り付け運動の様子を観図 17 無線 LAN モジュール

察することなどがある。これが実現すると、目視やストップウォッチを見ながら行うよ

今回、実験することはできなかったが、うな精度の悪い実験ではなく、精度の良い

一般に無線 LAN は 10～30m 程度の通信

正確な実験を行うことができると考えられをすることが可能であるとされている。汎る。

用性が高く、通信速度も速い上、特にこのモジュールは MCU に直結することができ[研究４]

るため、非常に有用である。

無線通信については、世界中で様々な種しかし、[研究３]に示したように、小型類のものが用いられている。また、各国でのモジュールにおさめなければならない場

細かく規格が決められている。特に日本で合はこのようなサイズのアダプタは使えな

は、電波法の制限によって私たちが自作ハい。また、消費電力が他の無線通信方法よードウェアに用いることができる無線通信

りも大きいため、小型のハードウェアにはモジュールはかなり種類が限られてくる。

実装することが難しい。

今回、私は３種類の通信規格について調

次に、Bluetooth モジュールである。

べ、実際にモジュールを実験できたものは

Bluetooth モジュールの例を図 18 に示す。

実際に通信テストを行い、それぞれのメリット、デメリットを検証した。
まずは、無線 LAN である。近年、スマートフォンやネットブックの流行によって一般のユーザーにも Wi-Fi 通信という名前で浸透してきている。私たちが使うことがで き る 無 線 LAN モ ジ ュ ー ル と し て 、CF(Compact Flash)という規格のコネクタ

図 18 Bluetooth モジュールがついているモジュールが存在する。図
17 にモジュールの例を示す。

今回、このモジュールについても実験することができなかったが、一般的に無線
LAN と同様に、10～30m 程度の通信が可能とされている。また、多チャンネル同時通信が可能なことでも知られている。つまり、１つのポイントに対して複数のデバイ

１本で数ヶ月〜数年動作できるほどである。

スが通信する、いわゆるブロードキャスト

ここでは、図 20 のような実験を行った。

通信が可能なのである。また、近年は PC
や携帯電話、家電製品にも多く取り入れられるようになったため、開発さえできれば多数の機器と通信をすることができる。さらに、モジュール本体が小型なので、自作
ハードウェアなどに簡単に組み込んで使うことができる。
しかし、このようなモジュールは入手性があまりよくない。また、機械を少ししか作らない場合はこのモジュールでコストが

図 20 XBee 実験概要図

大幅にかかってしまう場合がある。また、場合によってはチップのファームウェアを簡単に説明するとまず、２つの XBee モ

オリジナルにカスタマイズする必要がある

ジュールを用意し、片方には電池をつなぎため、高度な技術が必要なことがある。

持ち運びができるようにする。もう一方は最後に、ZigBee モジュールである。図19 にモジュールの例を示す。

PC につなぎ、電波強度および電波の届く状況を観察した。なお、今回はどの程度届
くかのみ調べた。場所は、本校の理科講義
室、理科講義室前の廊下、理科講義室の前の廊下の曲がり角の地点である。
まず理科講義室は電波が届いた。これにより、普通の教室や家の部屋のなかでは電波が届くことになる。続いて、理科講義室
前の廊下である。この地点は最初、電波強度が弱いため電波が届かないことが懸念さ

図 19 ZigBee モジュール

れたが、結果的には廊下の端から端まで約(写真は XBee モジュール)60m 電波が届いた。
しかし、唯一理科講義室前の廊下の曲が今回、実験できたのがこのモジュールでり角は電波が届かなかった。距離は 2 m～ある。これはハードウェアを自作する上で、 3 m 程度しか離れていないのだが、校舎が無線化が必要な場合によく使われるモジュ鉄骨で組まれているからか、電波が届かなールである。ZigBee 自体は、家電製品向かった。

けの短距離無線として知られている。通信

事前に調べた結果でも、手軽に使えて安距離は Bluetooth 同様、10～30m 程度で価な反面、電波が届きにくく、長距離の通ある。消費電力はきわめて少なく、乾電池

信や別室同士の通信などには向いていないことがわかっていた。だが、予想以上に電[10]Julius 公式サイト、

波が届かなかった。

http://julius.sourceforge.jp/

３種類のモジュールを比較して考えたが、同室内なら通信ができることや、安価で小６．謝辞型であることから現在は XBee モジュール

今回の研究を行うにあたり、サイエンスを用いて無線通信の実験を行っている。

研究会物理班顧問の米田先生には研究に関するアドバイスをしていただきました。

４．まとめと今後の課題

音声認識や研究の進め方など、研究の行

今回は長期間にわたり、さまざまな研究い方については㈱国際電気通信基礎技術研

要素の実験を行い、それぞれの要素を調べ究所(ATR)の野間春生さん、多田昌裕さん、ていった。今回の実験結果をもとに、本研

吉田俊介さん、水戸和さん、荻田紀博さん、究につなげていきたい。

平田康夫さん、足立隆弘さんをはじめ、多数の研究員の方にご教示いただきました。

５．参考文献また、SH2 マイコンおよび E10A デバ[1]「ADXL335 データシート」、アナロ

ッガの取り扱いについては、㈱たけびしでグデバイセズ社

システム開発を行われている方々にご教示[2]「SH7125F マイコンボード」、秋月電

いただきました。

子通商[3]「SuperH™ファミリ用 E10A-USB エミュレータ ユーザーズマニュアル 別冊
SH7125、SH7124 ご利用時の補足説明」、
ルネサスエレクトロニクス社[4]「IDG-650 Dual-Axis Gyro ProductSpecification」、インベンセンス社[5]「ISZ-650 Single-Axis Z-Gyro ProductSpecification」、インベンセンス社[6]「SH7125 グループ、SH7124 グループ
ハードウェアマニュアル」、ルネサスエレ
クトロニクス社[7]「SH7125 CPU ボード M3A-HS25 ユーザーズマニュアル」、ルネサスエレクト
ロニクス社[8]「STK-7125 ハードウェアマニュア
ル」、アルファプロジェクト社[9]「STK-7125EVB ハードウェアマニュ
アル」、アルファプロジェクト社

この場を借りて御礼申し上げます。

抵抗ブラックボックスの法則性
２年Ａ組 西上 魁人
指導教員 米田 隆恒

１．要約
私は、中の見えない回路をテスターで測定して中の回路を推測していく授業を受けた。
この抵抗ブラックボックスは端子が６個ある。その端子間に抵抗が必ずあるとした場合について、ある法則を発見することができたので報告する。
キーワード

抵抗ブラックボックス、直列つなぎ、並列つなぎ、法則性

２．研究の背景と目的ておく。ここでの抵抗はすべて 100Ω と授業で中の回路が見えない「抵抗ブラする。直列つなぎの場合、つながっていックボックス」(図１)が扱われた。私はる抵抗どうしの値を足し合えば、それら測定値から予想される回路の法則性を求の抵抗の合成値が求められる。並列つなめようとしたが、それはあまりにも複雑

ぎの場合は、抵抗を逆数にして足し合わ

で、規則的には考えることができなかっ

せ、最後に再び逆数をとると合成値が求

た。

められる。

そこで、それらの法則を見つける過程

実際の計算例は以下の通りである。

として、端子間には必ず抵抗が入っているものとして法則性を探すことにした。

100Ω ＋ 100Ω ＝ 200Ω

1
1
1
2
1
=
+
=
=
R
100
100
100
50
∴ R = 50 Ω
次に、抵抗がすべての端子間にある場合について考える。最初から６端子の場
図１ 抵抗ブラックボックスとテスター合を考えるのは困難なので、最初は端子数を少なく設定して考えていく。また抵

３．研究内容抗の値はすべて等しく、周りを囲うよう法則性を考える前に、合成抵抗を導きに接続している場合を考える。以下、端だす基本的な計算について簡単にまとめ子間の測定値を R (Ω)として、抵抗 1 本

の抵抗値を X (Ω)とする。また、図２以

た場合、３端子と同じような式の形を示

降、直線は抵抗 X を示す。

したので、仮説を次のように修正した。

１端子の場合は何もつなぎようがない
ので考えない。また、２端子の場合は測定値 R がそのまま答 X になる。したがって、X＝R である。３端子の場合は、抵抗が１つ(①－②)と２つ(①－③－②)の並列
になる。
①

４．仮説
となり同士の端子の測定値 R から､
X の値は次の式で求められる。

X =(端子の個数 ) × R(端子の個数 ) − 1

②

５．検証
③

上記の仮説を５端子の場合で検証する。

図２ ３端子の構成

５端子のとなり同士の測定値 R から、これを計算すると以下のようになる。

1
1
1
5
=
+
=
R X 4X 4X

ゆえ、 X =

5
R とな
4

1
1
1
3
3
= +
=
より、 X = R .
R X 2X 2X
2

り、５端子の場合、仮説は正しいことがこのとき、分子が 3 になっていること示せた。この法則を７端子、８端子の場から端子の個数と関係しているのではな

合にあてはめてもうまくいった。

いかと考え、「答の式の分子は端子数と等しくなる」と仮説を立てた。この仮説

端子数を N とし、端子間の抵抗がす

を４端子の場合に検証した。
①

６．結論

べて等しく、周りを囲むように結んだ②

とき、となり同士の端子をテスターで④測定した値を R とすると、抵抗１本の

図３ ４端子の構成

値 X は次の式となることがわかった。

③

図３の４端子回路では、測定方法とし

X =て①②間の測定か、①④間の測定の２種

N
R
N −1

類がある。
まず、①②間の測定値を R とすると、

1
1
1
4
4
= +
=
より、 X = R .
R X 3X 3X
3

７．今後の課題
この抵抗ブラックボックスについて、さらに多くの法則を見つけていきたい。

次に①④間の測定値を R とすると、

1
1
1
2
1
=
+
=
=
R 2X 2X 2X X

より、

X = R となる。
このように、４端子の場合は２通り考えられるが、となり同士(①②)を測定し

８．謝辞
最後に、今回の研究をするにあたってご指導して下さった顧問の米田先生に深く御礼申し上げます。

太陽電池による距離の測定
２年Ｃ組 田中 一輝
２年Ｃ組 玉置翔太郎
指導教諭 米田 隆恒
１．要約
太陽電池の発電量は何によって決まるのだろうか。
今回は、太陽電池に当てる光の強さと、太陽電池に発生する電圧の関係を調べた。その結果、光の強さと発生する電圧の間に規則性があることがわかった。また、この結果を用いて、太陽電池から光源までの距離の測定に利用できることがわかったので報告する。
キーワード 太陽電池、光の強さ、発電電圧、距離測定
２．研究の背景と目的（２）仮説１の検証実験

本校では太陽光発電を行っている。本校

スタンドに豆電球を上向きにして固定の１年間の発電量のデータを見ると、夏はし、その上方に太陽電池を水平にセットす発電量が多く、冬は少なかった。私たちは、る。太陽電池の表面から豆電球のフィラメ

なぜそのようになるか疑問に思い、調べよ

ントまでの距離(以下単に「距離」というこうと思った。

とにする)を金属定規で精密に測定する。太

夏と冬の発電量の違いの原因として、日照時間や明るさ、太陽高度の差などが考え

陽電池の発電電圧はデジタルテスターで測定する。

られる。今回私たちは、太陽電池に当たる

豆電球にかける電圧 6 V を一定にする

光の明るさと、太陽電池に発生する電圧（以と、電流も一定であり、したがって豆電球

下｢発電電圧｣という）の間の関係を調べるの明るさは一定である。

ことにした。

距離を 30 mm から約 10 mm ずつ遠ざけながら発電電圧を測定する。

３．研究内容３－１ 光源からの距離と発電電圧の関係（１）仮説１
最初に太陽電池に豆電球の光を当ててみると、電球を近づけると発電電圧が高くな
り、遠ざけると発電電圧が低くなった。このことから、次の仮説１を立てた。
＜仮説１＞
光が強いほど発電電圧は高くなる

図１

実験装置

距離

発電電圧

[mm]

[V]

（４）考察
実験結果から、距離が小さいということ
は、太陽電池に当たる光が強いということ

0である。したがって、仮説１「光が強いほ

30

0.680

40

0.600

50

0.527

60

0.500

70

0.442

80

0.388

90

0.347

100

0.308

110

0.273

120

0.238

140

0.186

160

0.148

180

0.120

200

0.098

220

0.082

240

0.069

電球と太陽電池の距離が２倍になると、

260

0.059

太陽電池の発電電圧は４分の１倍になる。

280

0.052

300

0.043

320

0.038

341

0.034

380

0.028

400

0.025

ど発電電圧は高くなる」は正しいことがわかった。
３－２ 距離と発電電圧の詳細（１）仮説２
ここで私たちは、表１の数値データに注目した。すると、距離が 200 mm から 400
mm へ２倍になるとき、発電電圧は 0.098
V から 0.025 V へと約４分の１倍になっている。表１の数値をグラフ化してみると、
図２のような規則性のあるグラフができた。
そこで、次の仮説２を立てた。
＜仮説２＞

太陽電池の発電と明るさの関係
0.8
0.7

発電 電 圧V

0.6
0.5
0.4
0.3
0.2

表１ 測定データ

0.1
00（３）距離と発電電圧の測定結果
表１は、距離と発電電圧の測定結果であ

100

200

300

400

500

距離mm

図２ 太陽電池の発電電圧と距離の関係

る。このことから、距離が小さいほど電圧は高く、距離が大きいほど発電電圧は低い
ことがわかった。

（２）仮説２の考察
光が遠くまで伝わるとき、図３のように距離が２倍になると面積は４倍になるから、明るさが４分の１倍になって、発電電

は図４のようになった。

圧が４分の１倍になるように思える。たしかに、表１のデータから距離が 200 mm か

発電電圧

ら 400 mm になるとき、発電電圧は４分の

ＬＥＤ

ＬＥＤ Ｂ

ＬＥＤ Ａと１倍になっている。しかし、表 1 の 50 mm

Ａ点灯

点灯

LED B

と 100 mm の場合や 100 mm と 200 mm の場
合では、４分の１倍とはなっていない。
したがって、仮説２は正しくない。

豆電球
太陽電池
太陽電池

図３ 明るさが４分の１倍になる

３－３ 明るさと発電電圧の測定関係（１）明るさと発電電圧の測定
豆電球からの距離と明るさの関係は、「距離が２倍になると面積は４倍になるから、明るさは４分の１倍になる」という仮説は

距離

同時点灯
[mV]

[mV]

[mm]

[mV]

46

518.0

528.0

769.0

70

343.7

356.3

563.0

79

314.1

318.1

517.0

94

245.2

255.7

431.0

109

207.4

204.3

369.0

127

149.7

156.5

283.3

146

117.5

120.6

235.2

162

95.8

101.3

191.6

172

93.9

89.8

173.0

191

75.3

77.7

145.8

199

66.7

72.9

134.3

219

53.2

60.2

112.1

249

41.9

46.2

88.2

252

41.2

46.6

87.7

表２ 明るさを２倍にしたときの発電電圧

正しそうなのに、なぜ仮説２は正しくないのだろうか。
仮説２では、発電電圧を測っているのであり、太陽電池にあたる明るさを測っているのではないことに気づいた。そこで、明るさを２倍にすると、発電電圧が何倍になるかを調べることにした。
豆電球を２個用意し、それぞれ１個の場
合、発電電圧が同じになるように豆電球の明るさを調節する。次に、豆電球を２個同時に点灯したときの発電電圧を測定する。
その結果、表２のデータが得られ、グラフ

図４ 明るさを２倍にしたときの発電電圧のグラフ

（２）考察図４のグラフの実線は１個を点灯したときの発電電圧である。点線は発電電圧が１題である。また、利用できる場所としては、
太陽などの光が入らないトンネルの中などで利用できるだろう。

個のときの２倍になると仮定したときのグラフである。しかし、実際は、２個の LEDを同時に点灯させたとき、発電電圧は長破線のグラフとなった。
距離が 146 mm より遠いときは、発電電
圧は、ちょうど２倍になっている。しかし、距離が 146 mm より近いほど、発電電圧は２倍よりも小さくなった。なぜこのようになるのかは、今のところわからない。
４．結論
距離が約 200 mm 以上では、豆電球と太陽電池の距離が２倍になると、太陽電池に当たる光の明るさは、４分の１倍になり、発電電圧も４分の１倍になる。つまり距離を離すと、光の強さは弱くなる。
距離が 200 mm より近くなるほど、図２のように発電電圧は大きくなる。
しかし、今のところでは、距離と発電電圧の関係を説明することはできない。
ところで、豆電球の明るさが決まっているならば、図２を用いることによって太陽電池から豆電球までの距離を知ることができる。たとえば、発電電圧が 0.5 V ならば
距離は 5 mm であり、発電電圧が 0.1 V な
らば距離は 15 mm である。
５．今後の展開
表１を説明する数式を見つけたい。ある
程度予測は立てているが、説明が難しいので今回はふれないでおく。表１を用いて距離測定に使えそうである。ただし、光を出す物体の明るさをどうやって調べるかが問

６．謝辞
この研究にあたりご指導くださったサイエンス研究会顧問の米田先生にこの場をお借りして深くお礼申し上げます。

マイクロ波の性質
２年Ｂ組 寺川 峻平
指導教員 米田 隆恒

１．要約
マイクロ波実験装置を使用し、マイクロ波の性質を理解するために様々な実験を行った。この論文ではその実験結果を報告する。
キーワード

マイクロ波、オシロスコープ、電圧、反射

２．研究の背景と目的
現代社会では様々な電波が利用されており、電波についての知識を持つことは重要であると考える。

達すると、受信機の出力が変化するという仕組みである。
受信機の出力端子にオシロスコープを接続し、受信機から出力された波形

今回の研究の目的は大きく分けて２が表示されるようにした。これによっつある。まずは、電波の中でも「マイて、受信状況を詳しく調べることがでクロ波」と呼ばれるものの性質を調べきるようにした。

ること。そして、オシロスコープなど

基礎実験として、送信機と受信機のの実験器具についての正しい知識を得間に何も無い状態で受信機がマイクロることである。

波を検知したときの波形を調べた。その結果、超高周波の波が出力されるこ

３．研究内容とが確認できた(図 1)。

マイクロ波の一種は電子レンジや携帯電話にも使われている。マイクロ波とは、電波の周波数による分類の一つであり、「マイクロ」は、電波の中で最も短い波長域であることを意味する。
今回はマイクロ波を用いて４つの実験を行った。

図１ 超高周波の波形

実験にはマイクロ波発生装置(以下、送信機という)、マイクロ波受信装置

周波数とは、電気振動などの現象が(以下、受信機という)、オシロスコー

単位時間あたりに繰り返される回数のプ、アルミ板、ばねを使用した。送信ことであり、高周波とはこの振動が単機の規格は 24 GHz である。

位時間当たりに多いもののことであ送信機から受信機にマイクロ波が到る。

マイクロ波が検知されたときの出力電圧は約 20 mV であった。
<実験１>
送信機と受信機との間に遮蔽物を設置し、マイクロ波が検知されるかどうかそれぞれ１回ずつ計４回計測した。

図４ 厚さ 45 mm の辞書

遮蔽物には以下のものを使った。
・アルミ板（厚さ 0.8 mm）
・コピー用紙（A4 版 厚さ 0.1 mm）
・分厚い辞書（A5 判 厚さ約 45 mm）
・手のひら
[結果]
遮蔽物にアルミ板を用いたときには

図５ 手のひらマイクロ波が検知されなかった(図２)。
コピー用紙を用いたときにはマイク
ロ波が検知された(図３)。
分厚い辞書を用いたときにはコピー用紙を用いたときよりも出力される信<実験２>
送信機、受信機、アルミ板を図６のように配置し、マイクロ波が検知されるかどうかを調べる。

号の電圧が低かった(図４)。
手のひらを用いたときにはマイクロ波が検知されなかった(図５)。

図６ 実験器具の配置

図２ 厚さ 0.8 mm のアルミ板[結果]検知された。
<実験３>
実験２のアルミ板と送信機(受信機)の間隔を変えて、出力される波形の変化を調べる。

図３ 厚さ 0.1 mm のコピー用紙

[結果]遮断されて検知されなくなった。

出力された信号の電圧が、アルミ板
を約 3 mm 動かすごとに大きくなった
り小さくなったりした。

４．考察
上記の実験結果から、マイクロ波の性質を考える。

<実験４>(ⅰ) マイクロ波は人体と金属を通り抜送信機と受信機との間に金属製の格けることができないが、紙は通り抜子を設置し、マイクロ波が検知される

けることができる。人体は金属と同かどうか調べる。また、格子の間隔を様、通電性があるからだろうか。

広げたり狭めたりして、どのような信(ⅱ) 実験２から、マイクロ波は金属に号が出力されるか調べる。

よって反射されることがわかる。

実験に用いる格子には自由に間隔を(ⅲ) 実験３において、電圧が最も低い

調節できる大きめの押しばねを用いた。

ときはアルミ板の位置が図９のようばねを設置するときに、ばねの向きがになって入射波と反射波が打ち消し

マイクロ波の波と平行になるようにす

あって 0 V となり、電圧が最も高いる。

ときはアルミ板の位置が図 10 のよ
図７ 使用した押しばね

うになって入射波と反射波が互いに強め合っていると考えられる。図９、図 10 では入射波を実線、反射波を破線で表す。

[結果]
ばねの長さを固定して、図８のように移動させると、出力された信号の電圧が、ある一定の周期で大きくなった

図９ 打ち消しあう場合

り小さくなったりした。

図 10 強めあう場合
図８ 実験のようす
また、これらの２つの現象は１つ
また、ばねを縮めて行き、ばね線の間隔が 5 mm 程になるとマイクロ波がの波長で２回ずつ繰り返される(図11)。

していないので、今後それについても調べたい。また、今回の実験では位置決めなどを目測で行っていた。これを改め、実験の精度向上を目指したいと考えている。
図 11 １つの波長のようす

６．参考文献[1] マイクロ波 - Wikipedia

マイクロ波の波長(m)は、電波の速度(m/s)÷周波数(Hz)で求めることができる。電波の速度を 30 万 m/s、周波数を送信機の規格である 24GHz と仮定すると、
波長＝30 万 (m/s)÷24 (GHz)Ja.wikipedia.org/wiki/電波[2] 電磁波 – Wikipedia
Ja.wikipedia.org/wiki/電磁波[3] 電波 - Wikipedia
Ja.wikipedia.org/wiki/電波[4] 周波数と波長＝0.0125 (m)http://bakuretsu.atso-net.jp/bak＝12.5 (mm) …①

uretsu/radio/kiso/05.html

また、実験結果の 3 mm ごとに電圧が変化するという現象は、１つの波形の中で電圧が変化する回数を図 11
より４回とすると、
3 (mm)×4≒12.5 (mm) …②となり、①と②から、実験３によってマイクロ波の波長を測定することが可能であるということがわかった。
(ⅳ) 実験４において、マイクロ波がばねの隙間を通った場合は受信機で検知される。しかし、マイクロ波がばねに当った場合、金属を通り抜けることができないので、受信機では検知されないと考えられる。したがって、極細かな格子を使えば金属の板を使ったのと同じような遮蔽効果が得られると考えられる。

５．今後の課題
今回は回折という現象について実験

７．謝辞
今回の研究では顧問の米田先生や物理班の先輩方に様々なご指導を頂きました。この場をお借りして、深くお礼申し上げます。

LED 発電の研究
２年Ｃ組 竹岡 建介
指導教員 米田 隆恒

１．研究の概要
私は昨年の研究において、発光ダイオード(以下 LED という)の仕組みを調べ、LED を使った発電に関する実験をした。その過程で生じた様々な疑問を解決するために、「LED 発電」の再実験と、「LED 発電」とは逆の発想に立った「LED の臨界電圧と波長」についても調べた。 その結果、臨界電圧と波長の間に明確な関係があることがわかったので紹介する。
キーワード 発光ダイオード、LED、光の波長、発電、臨界電圧

２．研究の背景と目的
研究の目的は、最近家庭でも普及しつつ

３．LED 発電の研究

ある LED の仕組みを研究し、LED につ（１）仮説１

いての理解を深めることである。

＜仮説１＞

私は昨年から LED 発電について研究しLED の光を他の LED に当てたときにてきた。LED は電圧を加えると特定の色発電する発電量は、同じ色かその色に近いの光を出す装置である。ところが、LED色ほど発電量が多い。

に光を当てると LED が太陽電池と同様に発電をするということを授業で学習した。
そこで、この現象を「LED 発電」とよび、この現象をくわしく調べようと思った。

（２） 仮説１の検証実験
発電量として今回は発電した電圧を測定することにする。

たとえば赤色の LED の光を、緑色を出

LED での発電電圧を測定するために、すことのできる LED に当てたとき、緑色

図１のような装置を準備した。図１のようの LED は何 V の電圧を発電できるかといに、LED1 を 3 V の電圧で点灯させ、そのうものである。しかし、昨年の段階では、光を LED2 に当て、LED2 の発電電圧を測定結果を説明することができなかった。

デジタルテスターで計測する。LED1 と今年の研究では、昨年の実験を再度行い、

LED2 の距離は 2 mm とした。

測定精度の向上を目指した。また、先行研
3V

究[1]を参考にして、昨年の実験とは逆の発想で、各色(赤・青・緑・黄・橙・白)の

LED1

LED を点灯するのに必要な最低電圧(以LED2下「臨界電圧」という)と、LED の出す光の波長を計測し、臨界電圧と波長の関係性を研究した。

デジタルテスター
図１ 実験装置

４．LED の臨界電圧の測定１（１）実験装置と実験結果
先の実験において、LED に光を当てると発電する。しかし、その実験結果が何を意味するかわからなかった。そこで、LED発電とは逆の発想で、LED にかける電圧を少しずつ大きくしていったとき、光を出し始める電圧(臨界電圧)を測定すること
図２ 発電電圧の測定装置にした。図３が回路図、図４が測定結果である。

（３）測定結果と考察
上記の方法で測定した結果を表１に示す。表１より、赤色同士・黄色同士などの発電結果は仮説１の通り、同じ色の組み合
わせのとき発電電圧が最も大きかった。しかし、橙色同士や緑色同士などの結果は、異なる色の組み合わせに比べて発電電圧が大きいとは言えず、仮説１が正しいとは

図３ 臨界電圧測定の回路図判断できない。以上の結果から、「同じ色同士の発電電圧は大きくなる」ということを証明することはできなかった。
この実験から、「黄色 LED を点灯、赤色 LED で発電」の組み合わせが２番目に発電電圧が高いということがわかる。なぜ
このような結果が出たのかが、今回の実験から生じた課題である。

図４ 臨界電圧の測定結果[V]

表１ 発電結果（２） 仮説２

発電側LED[V]
光
源
赤
側
L 黄
E 橙
D
緑
[

青

]

V

図４の結果、ULTRAVIOLET(紫外線）

赤
1.538

黄
1.337

橙
0.487

緑
0.177

青
0.57

白
0.093

1.542

1.576

0.101

0.101

0.216

0.165

1.363

1.336

0.125

0.125

×

×

1.025

1.293

0.032

0.032

×

1.438

1.492

×

1.215

×
0.4～
1.3

表中の×は、数値が不安定であった×を出す LED の臨界電圧が一番高く、赤色を出す RED(赤色)の臨界電圧が一番低いということがわかる。
昨年の実験の際、LED の光を分光したことがあり、そのとき、光の波長に広がりがある、つまり、スペクトルに広がりがあるとわかった。そこで、このスペクトルの広がりが臨界電圧と何らかの関係があると考えてみた。
例えば青色の LED の場合、図５のように、緑色から紫色の手前の青色までの色が（３）仮説２の検証実験
仮説２を検証するために、LED の発光
色の波長を図７のスペクトルビジョンで測定した。

含まれており、さまざまな色を出す必要があるので臨界電圧が高いのではないだろ
うかと考えられる。このように、さまざまな色を含む光を出 す LED を「混合色LED」ということにする。一方、赤色 LEDは、図６のようにスペクトルの幅が狭いので、臨界電圧が低いと予想できる。そこで、次のように仮説２を立てることにする。
図７ スペクトルビジョンによる
波長測定

＜仮説２＞
青色 LED のように混合色 LED(スペク
トル幅が広い)の臨界電圧は高く、赤色

緑色 LED は、スペクトル幅が広く、混LED のように単色 LED(スペクトル幅が合色であり、図４のデータから臨界電圧は狭い）の臨界電圧は低い。

高いので、仮説２に反しない。一方、黄色
LED は図８のようにスペクトル幅が赤色から緑色まで広がっている混合色であるにもかかわらず、図４のデータから臨界電圧は低い。したがって、黄色 LED は仮説２に反する。
以上より、仮設２は正しいとはいえない
ことがわかった。

図５ 青色 LED のスペクトル

図６ 赤色 LED のスペクトル

図 8 黄色のスペクトル５．LED の臨界電圧の測定２（１）回折格子による光の波長の測定
スペクトルビジョンでは、波長をうまく（２） 実験結果と考察
測定結果とそのグラフを表２および図11 に示す。

測定できなかった。そこで、先行研究[2]

実験結果から、臨界電圧はスペクトル幅を参考にして、回折格子を用いて LED のとは無関係であるということがわかる。し波長を測定し、臨界電圧と波長の関係をくたがって、仮説２は間違いであることがわ

わしく調べようと考えた。

かった。青色 LED や緑色 LED などの混

図９は、青色 LED を点灯させ、スリッ

合色 LED の臨界電圧は高く、赤色 LED

トで光をしぼり、回折格子を通過させ、スなどの単色 LED は電圧が低いという仮説

クリーン上の光の位置を測定しているとは間違いであった。

ころである。回折格子は 1 mm に 500 本の溝のあるものを使った。位置の測定から、

表２ 回折格子による LED の波長を計算する方法は難しいので、顧問の発光波長の測定米田先生に教えていただいた公式を用い

LED のて Excel で計算した。図 10 は計算の元に色なる図である。

赤

1.37

702.0

黄

1.45

551.5

橙

1.55

587.5

緑

2.12

504.5

青

2.15

456.0

紫外線

2.50

417.5

臨界電圧[V] 中心波長[nm]ＬＥＤの臨界電圧と波長

図９ 青色 LED の波長測定

1000
800
波長[nm]

スクリーン

600
400
200

θ

0
0

回折格子
スリット
LED
図 10 波長測定の図

0.5

1

1.5
2
臨界電圧[V]2.5

3

図 11 黄色のスペクトル(グラフ中の縦の線は、波長の幅を示す)

（３）臨界電圧に関する結論
回折格子による実験からいえる結論は、
臨界電圧は光の波長と密接に関係するということである。つまり、波長が短い LED
ほど臨界電圧は高く、波長が長い LED ほ
ど臨界電圧は低くなる。
しかも、図 11 のグラフから、波長が短い紫色に近づくほど臨界電圧は規則的に

図 12 黄色のスペクトル高くなっていることがわかった。

７.まとめと今後の展開
６．LED 発電の疑問についての考察

今回の研究から、LED の光のスペクト

３.（３）で述べた LED 発電に関する疑ルには幅があるということ、LED の色と問を解く鍵は、思わぬことに今回の波長測臨界電圧の間には美しい関係があるとい定実験にあった。３.(３)の実験では、「黄うことなどがわかった。

色 LED を点灯、赤色 LED で発電」の組

また、今回の研究では、立てた仮説と実み合わせが２番目に発電電圧が高かった。

験結果が異なる結果になってしまい残念

これは次のようにして説明できる。

だが、今回の実験で新たな疑問や課題がた
くさん生まれた。今後そのような疑問や課（１） 仮説３

題を解決するために継続して実験をやっ＜仮説３＞ていきたい。たとえば、発電については、

黄色 LED の光の中に赤色の波長が入っ光の強さを変えて発電電圧を調べる必要ていて、これが赤色 LED を発電させる。

がある。

（２） 仮説３の検証

８．参考文献実際に、スペクトルビジョンで黄色を分[1] 「LED についての研究」、羽鹿諒、武光してみた結果(図 12)は、仮説３と一致し田優生、奈良女子大学附属中等教育学ていることがわかった。つまり、黄色 LED

校 2007 年度 SSH サイエンス研究会の光を赤色の LED にあてたとき、黄色研究論文集

LED 光の中の赤色の光が赤色 LED をつ
よく発電させたと考えられる。

[2] 「レーザーの波長の変化と温度の相関性」、古川雄規、小山諒子、山本奈都

しかし、図 12 では緑色が含まれるのに、美、大橋美紗希、中井美嘉、奈良女子

表１の結果では、緑色 LED の発電電圧が大 学 附 属 中 等 教 育 学 校 2009 年 度

低いのはなぜかという疑問が残る。

SSH サイエンス研究会研究論文集)

９．謝辞
この研究にあたり、ご指導くださったサ
イエンス研究会顧問の米田隆恒先生にこの場をお借りして深くお礼申し上げます。

リニアモーターの研究
２年Ｃ組 小掠 公平
指導教員 米田 隆恒

１．要約
私はリニアモーターの簡易模型を製作し、その模型を用いて磁力、電流、力の関係を実験で調べた。その結果、フレミングの左手の法則が成り立っていることを実証できたので報告する。
キーワード リニアモーター、磁石、電流、力、フレミングの左手の法則

２．研究の背景

棒をのせる。

近年、様々な場所でリニアモーターが利・２本の銅のレールの１本ずつに＋と－の用されている。私はこれに興味をもち、調電圧を加え、金属棒に電流が流れるようべてみたところフレミングの左手の法則がにする。この際、金属棒は２本の銅のレ関係していることを知った。フレミングのールに垂直になるようにのせておく。ま左手の法則とは、電流の向きと磁力線の向た、その金属棒が磁石に触れないようにきが与えられたとき、電流にはたらく力の注意する。

向きを決める法則である。
（２）仮説１

３．研究１
研究目的は、リニアモーターを製作し、フレミングの左手の法則が成り立っているかどうかを調べることである。

最初に予備実験として、①～⑤の仮説を立て、実験を行うことにした。
＜仮説１＞①すべての磁石を、N 極を上に向けて電流を流すと、金属棒が動く。

（１）リニアモーターの製作
フレミングの左手の法則が成り立ってい②電流の向きを①と逆にすると、金属棒の進む向きが①と逆になる。

るかどうかを調べるために、簡易リニアモ③磁石の極(N 極･S 極)を逆にすると、金ーターを製作する。以下にその手順を示す。

属棒の進む向きが①と逆になる。

・銅のレールを２本平行に並べる。
・レールの間に、フェライト磁石をすべて同じ向きにして並べ、両面テープで固定する。このとき、磁石の高さが銅の棒より、高くなってはいけない。
・２本のレールに垂直になるように、金属④電圧を 0 V にすると、金属棒の動きが遅くなる。
⑤磁石を取り除くと、金属棒の動きが遅くなる。
ただし、実験④以外は電流の強さは同じである。また、磁石の強さは同じである。

（３）実験結果①：金属棒は動いた。

４．研究２
ここで、上記(E)，(F)から新たな課題が②③：金属棒は①と逆の向きに進んだ。

生じた。

④⑤：金属棒は動かなかった。

（１）新たな課題④や⑤とは逆に、電圧や磁力を強くした（４）実験結果からわかったこと(A) フレミングの左手の法則で示された
向きに金属棒は動いた。
(B) 電源の＋と－を入れ替えると金属棒の進む向きが逆になる。
(C) 磁石の N 極と S 極を入れ替えると金属棒の進む向きが逆になる。
(D) 電流や磁力線の向きを逆にしたときらどうなるのだろうか。
そこで、次の仮説２を立て実験した。
＜仮説２＞⑥電圧を①のときよりも強くすると、力も強くなる。(ただし、磁石は①と同じ)⑦磁石をより強力なネオジム磁石に変えると力が強くなる。(電圧は実験①と同じ)もフレミングの左手の法則にしたがって、金属棒は動いた。
(E) 電流が流れなくなると、金属棒は進まなくなる。
(F) 磁力がなくなると、金属棒は進まなく（２）実験結果⑥：金属棒の動く速さは、元の速さより少し速くなった。
⑦：元の速さと変わらなかった。

なる。
(G) フレミングの左手の法則は、電流と磁（３）実験結果からわかったこと

力線のどちらが欠けても、金属棒に力(J) 電圧を強くすると、力が強くなる。

が働かなくなることも示す。

(K) 磁力を強くしても強さは変わらない。

(H) また何度も使用しているうちに、だん
だん金属棒が動かなくなってきた。その原因を調べた結果、銅のレールのさびによって電流が流れにくくなり、金属棒の動きが弱くなっているのに気また⑥では、銅のレールと金属棒の間で火花が大量に飛んでいた。そこから、次のことがわかる。
(L) 電圧を上げすぎると、銅の棒と金属棒の間で火花が飛び散る。

がついた。
これらから、次のことがわかった。
(I) 金属棒や銅のレールがさびていたり、汚れていたりすると動きが弱くなる。

５．研究３
（１）課題
金属棒は本当に、銅のレールからの電気によって、動いているのだろうか。
そこで、次の仮説３を立て実験した。
＜仮説３＞⑧銅の棒の表面に、電気を通さないステ

図１ 実験の様子ィックのりを塗ると、表面からの電気

を通さなくなるので動かなくなる。

をフック状にした銅線を掛け、下にＵ字型磁石を置き、電気を流す。

（２）実験結果
金属棒は動かなくなった。つまり、電気は銅の棒の表面を伝わり、金属棒に流れるということがわかる。
図４ フック状の銅線すると、フレミングの左手の法則により銅線が前後に揺れる。そのとき触れる方向などを、チェックした。①～⑦に対応して、
図２ 動きの止まっている様子

仮説４として①′～⑦′を実験によって確かめることにした。

６．研究４（１）＜仮説４＞⑥と⑦では、電圧や磁力の違いがはっき①′ 電源をつなぐと、片側に揺れた後、りせず、微妙な差だったので、もっと違い

振り子のようにまた反対側に揺れる。

のはっきりした実験装置を考えてみること②′ 電流の向きを逆にすると、①′ と反対にした。

側に揺れた後、①′と同じように振り子

そこで、反応を大きく感じられるように細い銅線に電流を流し、そこからわかる反応を探っていくことにした。
その結果、次のような実験装置ができた。

のように動く。
③′ 磁力の向きを逆にすると、①′ と反対側に揺れた後、①′と同じように振り子のように動く。
④′ 電圧がなくすと、フレミングの左手の法則が働かなくなり、動かない。
⑤′ 磁力がなくなると、④′と同様の理由
で動かなくなる。
⑥′ 電圧を強くすると、①′ より大きく、
速く揺れる。
⑦′ 磁石を強くすると、⑥′ と同じく、①′よりは大きく、速く揺れるが、磁石から離れると、当然、力は弱くなるので⑥′ほど大きく、速くは揺れない

図３ 新実験装置（２）実験結果
装置は、２つのスタンドに銅の板を同じ①′：片側に上がったあと、磁石より少し高さで向かい合うように固定し、そこに端あがったままの状態でそこから小さく、上がり下がりを繰り返した。

⑨レールの所々に、一定間隔でのりを塗②′：電流の向きを逆にすると①′ とは反り、2.5 A の電流を流すときも、5.0 A

対側に、①′ と同じように上がり下の電流を流すときも、銅の棒は止まる。

がりを繰り返した。
③′：磁力の向きを逆にすると、①′とは反対側に、①′と同じように上がり下がりを繰り返した。
④′：電気を流さなくすると、まったく動かなかった。
⑤′：磁力を無くすとまったく動かなかった。
⑥′：電圧を大きくすると、①′ より、導（２）実験結果
2.5 A のときは、初めは動いていたが、のりの塗った所に来ると、止まってしまった。しかし、5.0 A のときは、2.5 A のときより速く動き、のりの塗った場所でもスピードは落ちたが止まることはなかった。
やはり電圧が強いほうが、速く強く走ることができることがわかった。

線は激しくあがり、その後は①′ と同じような運動を繰り返した。

８．まとめと今後の課題⑦′：磁力を強くすると、⑥′ と同様に、

リニアモーターを用いた今回の実験によ①′より高く上がり、さらに①′ や⑥′って、フレミングの左手の法則が成り立っより高い位置で上がり下がりを行っているということを証明することができた。

た。

また、電圧や磁力の強さと力の大きさの関係もわかった。

（３）わかったこと

しかし、銅の棒や導線の動きを正確に計(M) ②′～⑤′より、レールの実験と同様に、ることができなかった。また、さびや汚れ、

フレミングの左手の法則が成り立つこ摩擦などの影響が大きいことに途中で気づとがわかった。

いたので、それらに影響されずに力の大き(N) ⑥′より、レールの実験の際より反応の違いがよくわかった。

さを測る方法を考えていきたい。
また、この装置を応用し、手軽に使える(O) ⑦′より、レールの際には変わりのなか

玩具や乗り物などに利用する方法を考えてった磁力の違いによる力の強さの違いも、いきたい。

この実験では力が強くなっていることを確認することができた。
つまり、電圧でも磁力でもその大きさを

９．謝辞
サイエンス研究会物理班の活動において、大きくすれば、金属棒や銅線の動きも大き

米田先生には多大なご指導していただきま

く、速くなるということがわかった。

した。この場で深く感謝申し上げます。

７．研究５（１）新たな仮説＜仮説５＞

H8 マイコンによるマトリックス LED の制御
１年Ｃ組 青木 雅典
指導教員 米田 隆恒

１．要約
最近、街中でよく電光掲示板を見るようになった。私も、一度はこのようなものを作ってみたいと思っていた。そこで今回、マイコン制御の学習を兼ねて、H8 マイコンを使用してマトリックス LED の制御を行った。
キーワード H8 マイコン、マトリックス LED、ダイナミック点灯方式、JIS コード

２．研究背景と目的
最近、公共施設やお店の広告など、ほとしかし、普通の電光掲示板の仕組みをそんどの場所で電光掲示板が使用されるようのまま H8 に組み込もうとすると H8 自身になった。電光掲示板とは、LED(発光ダイに文字パターンを記憶させなければならなオード)を格子状に配置したり、液晶を用いい。すると、どうしても LED 上で表現できたりすることにより、文字や絵などを表現る文字の種類に限りができてしまい、実用するものである。私は今回、H8-3664F マ

性がなくなってしまう。

イコン(以下 H8 マイコンという)を用いて、そこで私は、Visual C# 2008 を用いた自8×8 のマトリックス LED(以下 LED とい

作アプリケーションを作成した。そして、う)を制御し、電光掲示板のようなものを作指定した文字をビットマップデータに変換

ろうと考えた。

した後、そのデータを RS-232C シリアル通信(以下シリアル通信という)を用いて H8 に送信し、LED 上で文字として表現するという方法を採った。
ここでは、そこに至るまでの研究経過を報告する。

３．研究内容(１)研究事項
目標は、自作アプリケーションを使用し
図１ H8 3664F(ルネサス エレクトロニクス，
動作周波数 16MHz)て、パソコンで入力した文字を LED にスク
ロール表示させることである。

＜研究１＞H8 マイコン単独で、プログラ・ トランジスタ－2SC1815

ムに組み込んだビットマップデータを LEDにスクロール表示させる。

(東芝，NPN 型)
・ 炭素皮膜抵抗 1/4W－3 種・ 両面スルーホールユニバーサル基板＜研究２＞パソコンと H8 マイコン間でシリアル通信を行い、キー入力した 1 文字をリアルタイムで LED に表示させる。
＜研究３＞自作アプリケーションを使用
して、入力した文字列を LED にスクロール
表示させる。

・ その他(配線コード、はんだなど)
今回の研究は、主にこの回路(以下 LED
制御ボードという)を使用して行っていく。
＜研究１＞
ここでは、LED 制御ボードで電光掲示板と同じような動作をさせる。ただし、文字のビットマップパターンは H8 マイコン本(２)研究方法とその結果体に記憶させておく。

はじめに、今回の研究で使用する回路を設計・製作する。

まず、プログラムを作成する前に、マトリックス LED を制御する方法を考えた。今回は、「ダイナミック点灯方式」を採用した。
ダイナミック点灯方式とは、人間の目の残像効果を利用したもので、表示させる部分
を高速で切り替え、まるでそれぞれの部分
が同時に光っているかのように見せる方法である。
この方式を取り入れた理由は、２つある。
一つは、LED のすべてのピンを直接 H8 マ
イコンの IO ポートに接続していくと、IO
ポートのピン数が足りなくなってしまうことである。もう一つは、図３のように点灯させたいときに、LED を H8 に直接つない

図２ 製作したマトリックス LED
制御ボード
この回路には、主に次のような部品を使用している。
・ AKI-H8 3664F マイコンボード(秋月電子通商)・ DotMatrixLED－LT5027E(SHARP，赤・緑 2 色点灯)

でいると、うまく表示できなくなってしまうということである。

灯の回路を製作した。GND 側は、トランジ
スタ(2SC1815)のスイッチング作用を利用してコントロールする (図４) 。一方、＋電源側は、それぞれのピン(図３の 1～8)を H8
マイコンの IO ポートに接続し、LED の ON，
OFF を出力する。
すると、実際には LED 上で表示する文字を 8×8 のビットマップデータで書き出した
図３ 表示させるパターン…点灯させたい部分

ものを縦方向に割り、それを数値化することで表現できることになる (図５) 。

…点灯に表示されてしまう部分
ここで、図３について、説明とその解決策を述べておく。図３において、数字側を＋電源、アルファベット側を－電源に接続するものとする。
いま、図の濃い部分(A・2 と B・1)を点灯させたいとする。このために、＋電源
は 1 と 2 のみ ON にし、－電源は、A と B

図４ トランジスタのスイッチング回路部分にのみ電流が流れ込むようにする。すると、点灯させたい部分に加え、A・1 と B・2 (の部分)も光るようになってしまうため、正
しく文字を表現することができなくなってしまう。
そこで、ダイナミック点灯方式を利用する。つまり、まず A にのみ電流が流れ込むようにすると A 列のパターンが点灯し、次に B にのみ電流が流れ込むようにすると B
列のパターンが点灯する。
こうすることで、LED の点灯場所を一列ずつ処理していくことになり、最初のように光らせたくないところが点灯する現象を抑えることができる。
これで LED 制御の問題が解決した。次は、実際に電光掲示板のようなプログラムを組

図５ 文字パターンを H8 マイコンに記憶させるまでの流れ

んでいく過程である。
LED 制御ボードの方は、ダイナミック点

実際のプログラムは次のように設計した。

まず、表示させたい文字をつなげた状態の

図７は、H8 マイコンとパソコン間で行わビットマップデータを作成し、数値化したれるシリアル通信の全体像である。プログ

ものをキャラクタ型の配列変数に入れておラムは、キー入力データをパソコンから H8く。次に、For 文を回してビットマップデ

マイコンに送信すると、H8 はその文字の表ータを一行ずつずらしながら読んでいき、

示データを読み込み、LED に表示する、とそれを LED に表示させる。すると、まるでいうものである。

文字列がスクロールしているかのようにみえるという仕組みである (図６) 。
これで、H8 マイコンのみでマトリックス
LED の制御を行い、電光掲示板のようなものを製作することができた。
図７ H8 マイコンとパソコン間でのシリアル通信の全体像
Tera Term では日本語の通信ができない
ことやプログラム上での処理のしやすさなどを考えて、今回はアルファベットと数字
図６ ビットマップコードをずらして読むときのイメージを表示できるようにする。仕組みは簡単であり、パソコンから送られてきた ASCII コ
ードでキーを判定し、条件処理で LED に文＜研究２＞

字を表示するというものだ。また、ビット

ここでは、パソコンで入力した文字をリ

マップパターンは、あらかじめ研究１と同アルタイムで表示させていく。また、今回じ方法で作成しておき、条件処理を行うとも文字のビットマップパターンは H8 マイきに選択して使用する。

コン本体に記憶させておく。

これで、入力文字のリアルタイム表示がここからは、シリアル通信を用いて研究成功した。対応しているキーならば、どこを行っていくため、まずは H8 マイコンをを押してもリアルタイムに表示できる。しパソコンとシリアル通信させてみた。

かし、＜研究１＞，＜研究２＞ともに文字

私が使用している AKI-H8 3664F マイコのビットマップパターンをすべて手作業でンボードには、既にシリアル通信ドライバ

作成しているため、文字の変更が困難であIC が実装されているため、マイコン側では、り、あまり実用性が感じられない。

通信速度(ボーレート設定)や割り込み許可

そこで、＜研究３＞ではアルファベットなどを設定するだけでよい。また、パソコ

や数字の他に、ひらがなやカタカナ、漢字

ン側では今回、数字や文字の送受信を行うなども表示でき、8×8 の BDF 形式データだけなので、ターミナルエミュレーターソ

ならば、どんなフォントも使用できるとい

フト(Tera Term)を使用して通信を行った。

うようなシステムを開発する。ここで、BDF

形式とは、ビットマップフォントの形式の

上記の内容をもう少し詳しく説明する。

一種であり、X Window System 用フォント

アプリケーションは Visual C#でプログラでもある。

ミングしている。

＜研究３＞
ここでは、自作アプリケーションを使用
して、入力した文字を LED 上にスクロール
表示させる。

図９ 開発中の自作アプリケーション
文字列を JIS コード(ISO-2022-JP)にエンコードする理由は、BDF 形式のフォントデータが JIS コードで表記されてい図８ 実際に動作させているところることが大きな理由であるが、それ以外にも、エスケープシーケンスから文字種開発中の自作アプリケーション(図８)は、以下のようなことを行う。
①表示させる文字列をパソコンから入力(取得)する。

の判別を行うことができるなどのメリットがある。
パソコンでキー入力された文字をビッ
トマップデータへ変換するために、今回②文字列を JIS コードにエンコードし、は自分で構築したビットマップ DB を使あらかじめ用意したビットマップデー

用した。データベースのフォーマットはタベース(以下ビットマップ DB という)

図 10 のような形式にしている。

から JIS コードを検索し、ビットマッ
プデータを取得する。

私は、8×8 の BDF 形式データから、
JIS コードとビットマップデータを抽出③取得したビットマップデータをバイトし、データベースとして書き出すプログ

配列に格納しておき、シリアル通信でラムも作成した。つまり、これを使用す

H8 マイコンに送信する。

ると、フォントさえあれば様々な文字が④H8 マイコン側で、受信したデータを使用できるということになり、非常に便研究１と同じ方法で、スクロール表示

利になる。将来的には、このプログラムする。

もメインアプリケーションの機能の一つに取り入れようと考えている。

なお、今回は恵梨沙フォント(恵梨沙フてから文字をスクロールしているためであォント PJ，BDF フォント)を使用した。

る。解決策として、スクロールをしながら少しずつ受信するという方法が挙げられる。

６．今後の課題
現在の自作アプリケーションは、まだ開発段階であるため、操作性やエラー処理、
項目設定などの機能に欠ける。そのため、
図 10 自分で構築したデータベースのフォーマット

今後はエラー対処やデザイン、設定項目の増加など機能拡大を図った上で、今まで作成してきたプログラムを一つのアプリケー

H8 側の LED 制御プログラムは、基本的に研究２と同様なので、ここでは説明しないことにする。

ションとしてまとめていきたい。
また、現在は LED の赤色の部分しか制御できないので、今後は緑色の部分も制御できるように機能を拡張しようと考えている。

５．考察
今回製作した LED 制御ボードは、主に次のような問題点があった。

７．参考文献[1]「ぼくらのマイコン・ロボット工作」①赤色点灯時、下２段のみ少し暗くなる。

横井浩史、松下光次郎、CQ 出版(2006)②ときどき、ある一列が光らなくなるこ[2]「Visual C# 2008 逆引き大全 555 の極とがある。
③H8 メモリ上の関係で、ある一定の文字数よりも多くは表示できない。
これらの問題点の原因と解決方法を私は以下のように考えている。
①については、H8 マイコンの構造上、接続している IO ポートのピンは、周りと比べ意」池谷京子、増田智明、国本温子、秀和システム(2009)[3]Microsoft 社、Visual C# デベロッパー
センター
http://msdn.microsoft.com/ja-jp/vcsha
rp/default.aspx[4] Renesas Electronics 社、H8/3664 グルて出力電流が低くなっている。解決策としープ データシートては、バッファーIC を利用する、又は使用

http://japan.renesas.com/

する抵抗の抵抗値を落とすということが挙げられる(すでに対処している)。

８．謝辞②については、LED ボード裏面の配線に、今回の研究にあたり技術指導をしてくだ

線を重ねてしまったところがあるため、そさった本校サイエンス研究会物理班顧問のこから発生している接触不良かと考えられ

米田先生、及びアドバイスをくださったサる。

イエンス研究会物理班の先輩方に、この場③については、H8 に完全にデータを送っをお借りして深く御礼申し上げます。

シミュレーションで交通渋滞を考える
１年Ｂ組 村田 宏暁
指導教員 米田 隆恒

１.要約
私は顧問の先生から、信号の動きをシミュレーションすることで交通渋滞を減らす研究が行われていると聞き、興味を持った。そこで、私は交通渋滞をシミュレーションするプログラムを作り、渋滞の発生について調べることにした。本論文では、その研究内容を紹介したい。なお、今回のプログラムはすべてJAVA言語で作成した。

キーワード

シミュレーション、交通渋滞 、JAVA

２.研究の背景と目的
私が現在行っている研究は、パソコンを用した。さらに、プログラム実行中にも信号の間隔を変えることができるようにすること

いて信号の動きをシミュレーションするこ

により、信号の間隔と渋滞の発生の関係を調とであり、渋滞の発生の仕組みについて調べ

べやすくした。なお、このプログラムは自動るというものである。具体的にいうと、直角

車のスピードや車間距離などの個体差や信に交わる二本の道を走る自動車の動きと信号以外による交通渋滞の発生などは考慮し号の動きを制御することにより、交通渋滞のていない。また、信号が両方赤である時間は起こり方を調べようというものである。渋滞

設けていない。

の発生の仕組みについては現在も研究中であるため、現段階でわかったことを報告する。

３.研究方法とその結果（１）研究内容
今回は研究の第一段階として、２本の道が直角に交わる状況のもとで、プログラム(図１)を作成し、信号の変わる時間間隔や交通量、自動車の動きを変えることにより、交通渋滞の発生との関係について調べることに

図１ プログラム実行中のスクリーンショット

（２）結果今回はそれぞれの道の交通量、信号の間隔、自動車の最高速度や加速度などを変えることによって、下記のような動きをすることがわかった。
・交通量がどちらかの道に偏っているとき
は、交通量が多い方の信号が青である時間を長くすると渋滞が起こりにくい。
・そのときの信号の長さの比と交通量の比を等しくしないほうが良い。
・交通量が「ある一定の量」を超えると、信号の変わる時間間隔をどれだけ長くしても交通渋滞が発生する。
・ただし「ある一定の量」は最高速度や加速度などを変えると、それに応じて変化する。

４.今後の課題
今回は上で述べたようなことがわかった。
今後は交通量などと交通渋滞の発生との関係や「ある一定の量」の変化などについて調べたい。

５.参考文献[1]「やさしいJAVA 第二版」、高橋麻奈、
風工舎(2002年)[2] http://www.mm2d.net/applet-howto/

６.謝辞
サイエンス研究会物理班の活動において、顧問の米田先生をはじめ、多くの先生方に多大なご指導をいただきました。また、先輩方にも多くのアドバイスをいただきました。この場で深く感謝申し上げます。

PIC マイコンによる LED の制御
１年Ｂ組 田村 拓也
指導教員 米田 隆恒

１．要約
クリスマスツリーなどに使われる LED の電飾を、PIC マイコンを用いて再現することができた。また、CCP モジュールの PWM モードを用いることにより、電圧を一定にしたまま LED の点灯の仕方を制御することに成功した。しかし、プログラムが長く、多少強引なため大幅に修正するする必要がある。
キーワード PIC、LED、PWM、C 言語

２．研究の背景と目的
最近、クリスマスツリーなどでよく電飾を見かける。その電飾はほとんどの場合、３種類に分かれる。点灯しているもの、点滅しているもの、そしてグラディエーショ
ンになっているものである。
これらの機能をすべて PIC18F2320 マイ
クロコンピューター(以下 PIC という)で制御することにした。PIC マイコンとは、マ

図１ 今回使用した PIC18F2320

イクロコンピューターの一種で、書き込んだプログラムを実行し、LED などに信号を

３．研究内容送ることのできるものであり、C 言語によ

（１）仮説るプログラミングが可能である。

PWM を使用することにより、電圧を変一般に、LED などの明るさを変えるためえずに発光ダイオード(LED)を点灯や点滅、には電圧を変える必要がある。しかし、私あるいは様々なパターンで光らせることがは電圧を一定にしながら明るさを変えるこできる。

とを試みた。そこで、CCP モジュールのPulse Width Modulation (PWM)モードを用いた。また、PWM はモーターの速度制
御やスイッチング電源の電圧制御などに応用が利くため、その練習にもなると考えた。

（２）点灯実験プログラムはすべて C 言語である。PICの命令のいくつかを説明する。
・while 文…条件式が成立している間のみ繰り返し実行文が実行される文
・if 文…条件式が成立した場合のみ実行

される文・for 文…指定した回数分のみ実行文が実行される文
まず LED を点灯させるためには、PIC のI/O ポートから電圧を出力する必要がある。
マイコンのポート A に４つの LED を接続
し、点灯の命令
LATAbits.LATA0 = 1をすることで点灯が可能であることを確認した。

図２（３）点滅実験

SP3232ECP（５）タイマ 2 モジュール

点灯の命令を出し、少し後に消灯の命令

タイマ 2 とは、カウンタレジスタをする。これを繰り返すことにより点滅が(TMR2)と周期レジスタ(PR2)を持ってい可能となった。

るタイマである。PWM 用の周期カウンタ

while(1)に使用したり、SPI のシリアル通信用ク{

ロックに用いたりする。
LATAbits.LATA0 = 1;

内部クロックを入力として TMR2 でカ

Delay10KTCYx(200);

ウントし、オーバーフローになると割り

LATAbits.LATA0 = 0;

込みを発生させるという動作をする。

Delay10KTCYx(200);}
ここで、「Delay10KTCYx(200);」とは、0.2 秒待つという命令である。

（６）パルス幅変調
LED は点灯しているとき、実際は非常に早く点滅している。しかし、人間の目には残像現象により点灯しているようにしか見（４）シリアル通信

えない。これを利用し明るさを変える(変化

シリアル通信とは、PC と PIC を通信さしたように見せかける)ことができる。つませることである。しかし、PIC はそのまま

り、この PWM を用いれば明るさを変えるではシリアル通信ができないため、専用のことができる。

IC を取り付ける必要があった。そのため今基本的な原理は、パルスの「1」と「0」回は、RS232C(シリアル通信)用ドライバの割合を可変にすることである。それによIC(SP3232ECP)を使用した。

り、通電する時間の平均であるエネルギー

なお、PC 側は Visual Basic でプログラ
ムを使用した。

を可変制御しようというものである。CCP
モジュールの PWM は上で説明したタイマ
2 に依存している。
まずはじめに、デューティ値を 0.1 秒間

隔で上げて行き、10 ビットより大きくなる

100 回繰り返すというものだ。しかし、途と 0 に戻すという作業を行った。

中で何らかの理由で動かなくなった。

unsigned int duty;
int i;

if(duty > 0x3FF){

LATAbits.LATA1 = 1;

for(i=0; i <100; i++){

OpenPWM1(0xFF);

LATAbits.LATA1 = 1;

OpenTimer2(TIMER_INT_OFF&T2_PS

Delay10KTCYx(2);_1_1 & T2_POST_1_1);

LATAbits.LATA1 = 0;

duty = 0;

Delay10KTCYx(18);while(1)}{
SetDCPWM1(duty++);if(duty > 0x3FF){
duty = 0;
Delay10KTCYx(100);}}

図４ 今回完成した PIC ボード

４．考察
今回の研究により PIC マイコンで LED
図３ デューティ値の変化

を様々なパターンで制御できることがわかった。

しかし、これではデューティ値が上がり
10 ビットになったら、0 に戻すことを PIC

５．今後の課題マイコン内でしているだけになる。そこで、今回の問題点として、if 文を用いて 0 ビットから 10 ビットまで 1(１)PWM が動かない

ビット間隔で LED の明るさを変えること(２)一番上の LED のみが反応し動作するにした。それにより、２秒間隔で暗くなることに成功した。

ということがあげられる。
(１)について、現在のプログラムでは

たとえば、次のプログラムは 1023(10 ビ

PWM の仕組みとは違う方法のプログラム

ット、16 進数で 3FF)になると、0.002 秒間になってしまった。予定では LED 本体のパLED が点灯し 0.018 秒間消灯する。これをルスの幅を変えないといけないが、強引に数値を変えてパルス幅を変えてしまった。

[3]Microsoft 社, PIC18F2320 データシート

そのためプログラムを大幅に修正する必要

http://ww1.microchip.com/downloads/en/dがある。

evicedoc/39599c.pdf(２)については、PIC ボードの導線を長く引きすぎたため接触不良になり、回路を見直す必要がある。

７．謝辞
今回の研究にあたってご指導くださった

今後、赤外線センサを用いて距離に応じ顧問の米田先生、ありがとうございました。

て LED の色を変えるようにしたい。現在、

また、サイエンス研究会の先輩方にもご協

10 バーLED アレイを接続中である。

力いただきました。ありがとうございました。

図５ 10 バーLED

図６ 現在の PIC ボード

６．参考文献[1]「改訂版電子工作のための PIC18F 本格
活用ガイド」、 後関哲也著、 技術評論社[2]「改訂版 C 言語による PIC プログラミ
ング入門」、後関哲也著、技術評論社

16 セグメント LED の制御
１年Ａ組 上田樹

１年Ａ組 船井遼太朗
指導教員 米田 隆恒

１．要約
デジタル時計などに使用される 7 セグメント LED に比べ、より細かく、より多くの文字などを表示することのできる 16 セグメント LED を用いてマイコンで制御することにより、LED にアルファベットなどを表示させることができたので報告する。
キーワード H8 マイコン、セグメント LED、配列変数

２．研究の背景と目的
デジタル時計などは、表示の仕方が単純であるにも関わらず、わかりやすく数字をまた、16 セグメント LED は H8 3664f
マイコンで制御することにし、プログラム
は C 言語で作成した。

表すことができる。私たちは同じ仕組みでより多くのものを表せないかと考えた。デ
ジタル時計などの 7 セグメント LED は、0～9 までしかうまく表すことができない。

３．研究内容目標は、アルファベットと数字を LED に順番に表示することである。

そこで、より多くの文字(アルファベットなど)を表すことのできる、16 セグメント
LED を使用することにした。

（１） アルファベットを表示させる
まず、16 セグメントのセグメントを１本ずつ制御して文字を表示させた。今回は、出力ピンの多い、ポート 5 とポート 8 を使用した。出力は
IO.PDR8.BIT.B5=1;などで制御できる。これはポート 8 のビッ
ト 5 (以下「p85」と表す)に電流を出力するという意味である。
（２） 点滅点滅は、指定した時間だけ処理を止められる関数 Mescwait(引数を１秒単位で指定する)を使用して切り替える。実際のプログ

図１ 16 セグメント LED

ラムでは、

IO.PDR8.BIT.B5=1;(p81 に電気を流す)
Mescwait (1);
(1 秒処理を止める)
IO.PDR8.BIT.B5=0;(p81 に電気を流さない)というようになる。これを使い、アルファ
ベットと数字を１秒ごとに切り替え、順番に表示させることに成功した。
（３） プログラムの短縮
ここまでで一応目的は達成できたが、プログラムが長いものになってしまった。そこで、ビット指定からバイト指定にしてプ

図３ マイコンの処理イメージ

ログラムを短縮した。バイト指定とは、IO
ポートの８個の出力ピンをまとめて制御す４．今後の課題

ることであり、これを使うと、セグメント

今回の研究においては、自由に文字を表

８本はビット指定だと８文かかる制御であ示させることができなかった。そこで今後、るが、バイト指定にすると同じ制御を１文

基盤にボタンを取り付け、押されたボタンにすることができる。したがって、16 セグに応じてアルファベットなどを表示できる

メント LED での１文字は 16 進数で 2 バイ

ようにしようと考えている。

トで表すことができる。次に配列を用意し、その１つ１つに、文字を表示させるときの５．参考文献命令を 16 進数にして、表示させたい順番に[1]「ぼくらのマイコン・ロボット工作 ペ

入力し、for 文で配列を順番に出力させていットボトルと H8Tiny で作ろう」,横井 造

けば、プログラムをさらに短くすることが史、松下光次郎共著、CQ 出版社

できる。これらを使用して、プログラムの[2]「猫でもわかる C 言語プログラミング」、長さを約 15 分の 1 にすることができた。

粂井康孝著、Softbank Creative

６．謝辞
今回の研究にあたり指導してくださった
顧問の米田先生、ありがとうございました。
また、サイエンス研究会の先輩方にもご指導、ご協力していただきました。ありがとうございました。

ピタゴラス三角形の辺の長さに関する考察
４年Ａ組 清水 悠平
４年Ｂ組 森 宇宏
４年Ｃ組 佐藤 圭
４年Ｃ組 西井 良徳
指導教員 川口 慎二

１．概要
サイエンス研究会数学班は、昨年度に続けてピタゴラス三角形に関する研究を行ってきた。今年度は、ピタゴラス三角形の辺々や面積に条件を加えた場合、どのように条件を満たす三角形を生成できるかについて考察した。特に、２辺の長さが連続する自然数である
場合について、興味深い結果を得ることができたので報告する。
キーワード ピタゴラスの定理(三平方の定理)、ピタゴラス三角形、ピタゴラス数
既約、平方数、フェルマーの定理

２．緒言
私たちははじめに、既約なピタゴラス三角形の生成方法を数式によって求めることができた。またこの数式を用いて、「辺が連続している」や「面積が等しい」などの条件を定理１ (ピタゴラスの定理)
ピタゴラスの定理)
直角を挟む２辺の長さが x, y である直角三角形の斜辺の長さを z としたとき、

x 2 + y 2 = z 2 …(1)が成り立つ。

満たすピタゴラス三角形をどのようにすれば求められるかを考えた。

このとき、等式(1)をピタゴラス方程式
ピタゴラス方程式とピタゴラス方程式いう。そして、ピタゴラス三角形の３辺の長３．研究内容３－１．ピタゴラス三角形とはさの組み合わせをピタゴラス数
ピタゴラス数という。
ピタゴラス数
あるピタゴラス三角形を自然数倍に拡大

ピタゴラス三角形とは、３辺の長さを整数
ピタゴラス三角形

すると、新しい直角三角形ができる。新しくで表すことができる直角三角形である。 まできた直角三角形は、各辺が自然数であり、た、よく知られているように直角三角形の３もとの三角形に相似であるから、これもまた辺の間には、次のピタゴラスのピタゴラスの定理
ピタゴラスの定理(定理１)定理

ピタゴラス三角形となる。このように、あるが成り立つ。

ピタゴラス三角形を２倍，３倍，４倍，…としていくと、次々に新たなピタゴラス三角形ができる。つまり、１つのピタゴラス三角形

から無数のピタゴラス三角形が生み出される。これを記号で表現しよう。一般に、３辺

定理３
定理３

y が偶数であるようなすべてのピタゴラ

が x, y , z ( z を斜辺とする)であるピタゴラス

ス三角形 ( x, y , z ) は三角形を組 ( x, y , z ) と表すことにする。この

8, 10), k = 3 とした場合は (9, 12, 15)とい

k2 −l2
k2 + l2, z=22によって表される。ただし、k と l は互いに素な奇数であり、 k > l を満たす。
さらに y が偶数であるような既約なピタ
ゴラス三角形 ( x, y , z ) はこれによって一通うピタゴラス三角形がそれぞれ得られる。

りに表される。

とき、 ( kx, ky , kz ) ( k は自然数)はすべてピタゴラス三角形になる。
例えば、(3, 4, 5)という組み合わせのピタ
ゴラス三角形からは、k = 2 とした場合は(6,x = kl, y =このように、ある１つのピタゴラス三角
形から、無限に多くのピタゴラス三角形を生成することができる。

y が偶数であるような既約なピタゴラス
三角形を無限に求めたければ、まず k に奇数 3, 5, 7, 9, …を順に当てはめ、l に k より

３－２．既約なピタゴラス三角形
２つの整数 a, b が既約既約であるとは、
これら既約の最大公約数が 1 であるときをいう。このとも小さく k と互いに素な奇数を順に当てはめる。そして、定理３によって x, y , z の値を計算すればよい。

き、 a, b は互いに素互いに素であるともいう。また、互いに素定理３によって求められた最初の 20 個

ピタゴラス三角形が既約であるとは、３辺のの既約なピタゴラス三角形を表１に示す。

うち、どの２つの辺の長さも既約になっているときをいう。
例えば、 (3,4,5), (5,12,13), (15,8,17 ) などである。これらは既約なピタゴラス三角形である。そこで、既約なピタゴラス三角形を求めるために３辺の性質を調べた。
定理２定理２
辺 y が偶数であるような既約なピタゴラ
ス三角形は、すべて

x = m 2 − n 2 , y = 2mn , z = m 2 + n 2( m > n )から求められる。ただし、 m , n はパリティー(偶奇性)が異なり、既約な任意の表１ 既約なピタゴラス三角形(一部)
k
3
5
5
7
7
7
9
9
9
11
11
11
11
11

l
1
1
3
1
3
5
1
5
7
1
3
5
7
9

x
3
5
15
7
21
35
9
45
63
11
33
55
77
99

y
4
12
8
24
20
12
40
28
16
60
56
48
36
20

z
5
13
17
25
29
37
41
53
65
61
65
73
85
101

２数である。また、 y が偶数であるような既約なピタゴラス三角形 ( x, y , z ) は、このあらゆるピタゴラス三角形を求めるためような２数 m , n によって一意的に定まる。

には、既約なピタゴラス三角形に自然数を次々にかけていけばよい。このようにして、

y が偶数であるようなあらゆるピタゴラスがあるのではと考え、同様の方法で斜辺が三角形を得ることができる。さらに、x と y

200 未満の場合、300 未満の場合、とさらを入れ替えたピタゴラス三角形を追加すれに調べてみた。結果は表２の通りである。

ば、すべてのピタゴラス三角形が得られる。
次節以降では、このような性質を用いて、

表２ 各辺に制限を付けた場合の特別な条件を満たすピタゴラス三角形を調

ピタゴラス三角形の個数べていく。
３－３．100 未満の辺をもつピタゴラス三角形
３辺の長さがいずれも 100 を超えないよ
うなピタゴラス三角形をすべて求めるためには、斜辺の長さが 100 以下であるような三角形を求めれば十分である。なぜなら、

100未満の場合
200未満の場合
300未満の場合
400未満の場合
500未満の場合
600未満の場合
700未満の場合
800未満の場合
900未満の場合
1000未満の場合

50個
93個
182個
270個
384個
491個
588個
688個
796個
827個

斜辺は直角三角形の中で最も大きな辺だからである。

また、その結果をグラフにしたものが下

また、ここでいうピタゴラス三角形とは、の図１である。

定理２のような y が偶数である三角形のみを指す。表１をみると、条件を満たす k は
たった 16 個しかない。なぜなら k ≧15 と
すると、
2

k2 +l
15 2
z=
＞
＞100
2
2
となってしまい、100 を超えてしまうからである。
さらに、表１の最初の７個は辺を２倍することができる（そうしても斜辺の長さは

図１ 各辺に制限を付けた場合のピタゴラス三角形の個数のグラフ

100 を超えない）。よって、新たに７個のピタゴラス三角形が得られる。同様に最初の表２と図１のグラフから、得られる辺の５個は３倍、最初の３個は４倍または５倍、長さの制限とピタゴラス三角形の個数は比最初の２個は６倍または７倍、最初の１個

例関係にあるのではないかと考えた。そこは８倍から 19 倍まですることができるたで便宜上、「未満」を「以下」に変更し、さめ、合計 50 個のピタゴラス三角形を求めるらに大きな数についても調べた。その結果ことができる。

が、表３である。

そこで、私たちは得られる辺の長さの制

ここで、 n を制限した辺の長さとし、限とピタゴラス三角形の個数の間に規則性

P (n) をピタゴラス三角形の個数とする。

表３ 各辺に制限を付けた場合のピタゴラス三角形の個数
～以下
～個
100
52
200
127
300
210
400
295
500
387
600
486
700
583
800
684
900
781
1000
886
1100
989
1200
1101
1300
1210
1400
1318
1500
1429
1600
1543
1700
1658
1800
1762
1900
1885
2000
1994
2100
2113
2200
2227
2300
2348
2400
2460
2500
2567
2600
2690
2700
2802
2800
2926
2900
3054
3000
3172

3100
3200
3300
3400
3500
3600
3700
3800
3900
4000
4100
4200
4300
4400
4500
4600
4700
4800
4900
5000
5100
5200
5300
5400
5500
5600
5700
5800
5900
6000
6100

3291
3414
3536
3665
3792
3906
4026
4158
4292
4416
4541
4658
4789
4917
5039
5173
5297
5426
5557
5681
5819
5950
6070
6208
6333
6475
6604
6742
6861
7008
7135

6200
6300
6400
6500
6600
6700
6800
6900
7000
7100
7200
7300
7400
7500
7600
7700
7800
7900
8000
8100
8200
8300
8400
8500
8600
8700
8800
8900
9000
9100
9200
9300
9400
9500
9600
9700
9800
9900
10000
10100
10200
10300
10400
10500
10600
10700
10800
10900

7262
7396
7528
7674
7797
7930
8074
8207
8345
8481
8602
8748
8881
9009
9160
9296
9437
9556
9706
9837
9986
10117
10245
10398
10528
10672
10801
10943
11077
11220
11359
11504
11626
11775
11908
12069
12190
12345
12471
12613
12751
12899
13047
13185
13325
13474
13602
13757

11000
11100
11200
11300
11400
11500
11600
11700
11800
11900
12000
12100
12200
12300
12400
12500
12600
12700
12800
12900
13000
13100
13200
13300
13400
13500
13600
13700
13800
13900
14000
14100
14200
14300
14400
14500
14600
14700
14800
14900
15000
15100
15200
15300
15400
15500
15600
15700

13891
14022
14172
14320
14457
14606
14748
14895
15032
15185
15320
15466
15618
15747
15899
16041
16180
16330
16466
16615
16764
16903
17057
17203
17343
17489
17640
17781
17933
18077
18227
18363
18515
18664
18811
18961
19093
19238
19390
19535
19675
19817
19977
20121
20279
20424
20569
20720

ここで、先程と同様に、 x 軸を n 、 y 軸を個数 P (n) としたグラフにしてみた。

３－４．連続する整数を２辺にもつピタゴ
ラス三角形

30000

定理２において x, y はどちらも奇数であ25000

るため連続することはない。よって、以下

20000の２つの場合が考えられる。

15000① y , z が連続するピタゴラス三角形

10000② x, y が連続するピタゴラス三角形

5000

まず①の場合について考える。 y , z は、定

0
0

図２

5000

10000

15000

20000

25000

x 軸を n 、 y 軸を P (n) としたグラフ

ここでも、n と個数 P (n) との関係は比例

P (n)
を計算し、
n

になると推測した。そこで、

図２のグラフの傾きについて調べた。

理３より

k2 − l2
k2 + l2,z=22である。ここで、z は斜辺であるので y < zy=が成り立つ。つまり

k 2 + l 2 k 2 − l 2 2l 2−=
= l2 =12
22が成り立てばよい。 l は自然数であるため、

l = 1 となる。したがって、定理３において
l = 1 とすれば、 y, z が連続するピタゴラス
三角形を得ることができる。
実際に y , z が連続するピタゴラス三角形
を表４に示す。
表４
図３ 表２のグラフの傾き

P (n)の値が一定ではないn

この結果より、

ため、比例関係でないことがわかった。また、図３のグラフが対数関数のグラフを平行移動したものと一致することもわかった。

k
3
5
7
9
11
13
15
17

y, z が連続するピタゴラス三角形
l
1
1
1
1
1
1
1
1

x
3
5
7
9
11
13
15
17

y
4
12
24
40
60
84
112
144

z
5
13
25
41
61
85
113
145

表３及び図２，図３からは明確な規則性を見つけることはできなかったので、今後の課題としたい。

次に②の場合について考える。先程と同様にして、定理１の式から考える。

x − y = kl −k2 − l2= ±12

を効率的に求めることはできなかった。そ(3,1), (7,3), (17,7 ) ,…となった。
実際に (k, l ) に対する ( x, y , z ) を表５に示

こで先程の表１より、 y , z が連続しているす。

が成り立てばよい。しかし、この式から k , l

ときの k , l について注目すると、 (k, l ) は
表５
k
3
7
17
41
99
239
577
1393
3363
8119
19601
47321
114243275807

l
1
3
7
17
41
99
239
577
1393
3363
8119
19601
47321
114243y, z が連続しているときの k , l
x
y
z
3
4
5
21
20
29
119
120
169
697
696
985
4059
4060
5741
23661
23660
33461
137903137904
195025803761803760113668946846594684660
662510927304197
27304196
38613965
159140519
159140520
225058681
927538921
927538920
1311738121
5406093003 5406093004 7645370045
31509019101 31509019100 44560482149

表５から (k, l ) がわかれば、 ( x, y , z ) を得から、 x − 2 x − 1 = 0 となる。
2

ることができる。表５から以下のことが類

ここで、白銀２次方程式 x − 2 x − 1 = 0

推できる。ここで、k n を n 番目の k の項、l nが現れているが、なぜ白銀２次方程式が現れを n 番目の l の項とする。

たかについてはわからないので、今後の課題(ⅰ) k の第 n 項は、 l の第 n + 1 項に一致する。つまり、 k n = l n +1 .
(ⅱ) l の第 n 項は第 n − 1 項の 2 倍した

2

としたい。
2
さて、ここで x − 2 x − 1 = 0 の２つの解を α , β (α < β ) とおくと、ものと第 n − 2 項の和となる。つまα = 1− 2 , β = 1 + 2

り、 l n = 2l n −1 + l n − 2 .
(ⅲ) x − y の値は 1 と－1 が交互で出てとなる。解と係数の関係より、

α + β = 2 , αβ = −1 …①

くる。
このうち、(ⅱ)の漸化式

よって、もとの漸化式に代入すると、

l n + 2 = 2l n +1 + l n

a n + 2 = (α + β )a n+1 − αβ a nを解いてみた。まず(ⅰ)の事実より l = a n と

a n + 2 − β a n +1 = α (a n +1 − βa n )すると、 k = a n +1 と表すことができる。

a n +1 − αa n +1 = β (a n +1 − αa n )よって、特性方程式は、

a n + 2 = 2a n +1 + a n
an + 2 − 2an +1 − an = 0

より、

a n +1 − β a n = α n −1 ( a 2 − β a1 )
=α

n −1

さらに、 α = 1 − 2 , β = 1 +(3 − β ) L ②

2 より、{1 + 2 − (1 − 2 )}a= β {1 − (1 − 2 )}− α {1 − (1 + 2 )}nn

a n+1 − αa n = β n +1 (a 2 − αa1 )n= β n −1 (3 − α ) L③

2 2a n = 2β n + 2α n となる。

となる。ここで、②－③より、( β − α )a n = α n −1 (3 − β ) − β n−1 (3 − α )したがって、 a n =αn +βn2= 3(α n −1 − β n −1 ) + α n −1 β − αβ n −1
ゆえに、…④
ここで、①から、 3 = α + β − αβ を④にkn =代入すると、( β − α )a n = (α + β − αβ )(β n−1 − α n−1 )
+α

n −1

β − αβとわかる。

α n +1 + β n +1
2

, ln =

αn +βn2と表せる。よって、n −1= αβ n −1 − α n + β n − α n−1 β

x = kl, y =− αβ n + α n β + α n−1 β − αβ n−1= β n − αβ n − α n + α n β

k2 −l2
k2 +l2, z=
22さらに、解と係数の関係①から、次のよう= β n (1 − α ) − α n (1 − β )に、 x, y , z を表すことができる。

となる。

 α n +1 + β n +1  α n + β n  α 2 n+1 + β 2 n +1 + α n β n+1 + α n +1 β n

 =
x = kl = 
2
2
4



=

=

α 2 n+1 + β 2 n +1 + α n β n × β + α n β n × α
4α

2 n +1+βここで、 a n =2 n +1+ (− 1) (α + β ) α=4αn +βn2

nより、 x =

2 n +1=α 2 n +1 + β 2 n +1 + (− 1)n β + (− 1)n α
4+βa 2 n +1 + (− 1)22 n +14+ (−1) × 2nα 2ν +1 + β 2ν +1=nとなる。また、22+ (− 1)n

22

 α n+1 + β n+1   α n + β n 
α 2n+1 + 2α 2n+1β n+1 + β 2n+2 α 2n + 2α n β n + β 2n




−
−
  2 2k 2 − l 2 



4
4
y=
=
=
2
2
2
2n+1
2n+1 n+1
2 n+ 2
2n
n n
2n
2n
2
α + 2α β + β
α α −1 + β 2n β 2 −1 + 2α n β n (αβ −1)− α − 2α β − β
=
=
8
8
2n
2n
2n
2n
α 1 − 2 2 + 2 −1 + β 1 + 2 2 + 2 −1 − 4(−1) 2α 1 − 2 + 2β 1 + 2 − 4(−1)n
=
=
8
8

(

(

α = 1 − 2,ゆえに、 a n =)(β = 1 + 2 より、 y =αn +βn2))(

α 2 n +1 + β 2 n +1 − 2(− 1)
4

(

)

(

α 2 n +1 + β 2 n +1

n

2

=

)

2

− (− 1))n.

a− (− 1)より、 y = 2 n +1とわかる。さらに、
2
n

2

2

 α n+1 + β n+1   α n + β n 
α 2n+2 + 2α n+1 β n+1 + β 2n+2 α 2n + 2α n β n + β 2n




+
+
 
2
2 
k 2 + l 2 


4
4
z=
=
=
2
2
2
α 2n+2 + 2α n+1 β n+1 + β 2n+2 + α 2n + 2α n β n + β 2n − 2(− 1)n + 2(− 1)n α 2n (1 + α ) + β 2n (1 + β )
=
=
=
8
8
4
a + a2n+1
= 2n
2
とわかる。
n
n
a2 n + a2 n+1
a 2 n +1 + (− 1)a 2 n +1 − (− 1)
, y=
, z=
以上より、 x =222

そこで、以下の２つのことを確かめた。

【１】については、 x と y の差をとると、【１】 x と y の差が 1 である。

a 2 n +1 + (− 1)a− (− 1)− 2 n +122nx− y =【２】ピタゴラス方程式が成り立つ。

となる。

= (− 1)nn【１】と【２】が成り立つと、( x , y, z ) は、
より、x と y の差は 1 と－1 とを振動するこ

x , y が連続するピタゴラス三角形であるといえる。

とがわかった。つまり、 x と y の絶対値は

x − y = 1 となる。
【２】について、 x + y − z に先程の x, y , z を代入すると、
2

2

2

n
a
 a 2 n +1 − (− 1)n + (− 1)  a 2 n + a 2 n +1 
x + y − z =  2 n +1
+



 −
2
2
2






4n+2
4 n+2
4n
4n
4 n +1
2 n +1+β− α − β + 4 − 2α− 2αα
β 2 n − 2α 2 n β 2 n +1 − 2 β 4 n +1
=
+
16
16
4n
2
4n
2
α α − 2α − 1 + β β − 2 β − 1 + 4 − 2α − 2 β
=
16
=0
2

2

2

2

2

(

)

(

)

となり、ピタゴラス方程式が成り立つことがわかった。
よって、 x =nn
a2 n + a2 n+1
a 2 n +1 + (− 1)a 2 n +1 − (− 1)
y
=
,
, z=
2
2
2

に、 n を順次代入していくことにより、 x , y が連続するピタゴラス三角形を求めることができる。
３－５．メスネーラの恒等式
前節で求めた y , z が連続するピタゴラス三角形を他の方法でも求めることができる。その方法のうち、メスネーラの恒等式を用いるものがある。
定理４（メスネーラの恒等式
定理４ メスネーラの恒等式）
メスネーラの恒等式
すべての自然数 n に対して、(10 n − 5) + {50 n ( n − 1) + 12} = {50 n(n − 1) + 13}
2

2

2

り立つ。
証明

(左辺) = (10n − 5)2 + {50n(n − 1) + 12}2 = 100n 2 − 100n + 25 + (50n 2 − 50n + 12)2
= 100n 2 − 100n + 25 + 2500n 4 + 2500n 2 + 144 − 5000n 3 − 1200n + 1200n 2= 2500n 4 − 5000n 3 + 3800n 2 − 1300n + 169(右辺) = (50n 2 − 50n + 13)2 = 2500n 4 + 169 − 5000n 3 − 1300n + 1300n 2= 2500n 4 − 5000n 3 + 3800n 2 − 1300n + 169（左辺）＝（右辺）より、この恒等式は成り立つといえる。■

が成メスネーラの恒等式に n = 1, 2, 3,L を順次代入していくと、 y , z が連続するピタゴラス
三角形が生成されていく。実際にメスネーラ恒等式を用いて、 y , z が連続するピタゴラス
三角形を求めた結果が表６である。
表６ メスネーラの方程式により求めたピタゴラス三角形

n
1
2
3
4
5
6
7
8

x
5
15
25
35
45
55
65
75

y
12
112
312
612
1012
1512
2112
2812

z
13
113
313
613
1013
1513
2113
2813

すべてのピタゴラス三角形の y , z が連続していることがわかる。よって y , z が連続する
ピタゴラス三角形を求める方法が２つ示すことができた。
３－６． x − y = ±1 が成り立つときの三三角形に近づくのではないかと考えた。な角比ぜなら、三角形が大きくなるにつれて x, yの差の絶対値 1 が無視できるようになると

まず、図４のようなピタゴラス三角形

考えたからである。
実際に θ n の正弦、余弦、正接をそれぞれ( x n , y n , z n ) を考える。

求めてみると、

sin θ n =

zn
yn

θn

yn
x
y
, cosθ n = n , tan θ n = n
zn
zn
xn

となる。そこで、それぞれの極限をとると、次のようになった。

xn
図４

a 2 n+1 − (−1) n
lim sin θ n = limn→∞n →∞ a2 n +1 + a 2 n

α 2 n+1 + β 2 n+1

図４の三角形について、① n → ∞ としたときの θ n の三角比
② y , z が連続する、つまり x, y , z が連続するピタゴラス三角形の２つについて考察する。
① n → ∞ としたときの三角比を考える。
ここで、私たちはこの三角形が直角二等辺

= lim

n

+ β 2 n+1 α 2 n + β 2 n+22
2 n +1
2 n +1α+β− 2(− 1)= lim 2 n +1
2
n
+
1
n→∞ α
+β
+ α 2n + β 2n
n→∞

α

2

− (− 1)

2 n +1n
α 2 n +12(− 1)
β
+
−
β 2n
β 2n
= lim 2 n +1
n→∞ α
α 2n
β
+
+
+1
β 2n
β 2n

=

β
β +1
π

= sin

=

1+ 2
2+ 2

=

2
2

生成する。
[方法１]

x, y, z は連続しているので、

x = n − 1,βz = n +1

数がピタゴラス方程式を満たすとき、(n − 1) 2 + n 2 = (n + 1) 2

+ 2(− 1)= lim 2 n +1
2
n
+
1
n→∞ α
+β
+ α 2n + β 2n

αy = n,( n は n > 1 を満たす自然数)とおく。この３4a+ ( −1) n
lim cos θ n = lim 2 n +1
n →∞n →∞ a2 n +1 + a 2 n
2 n +1+β

2 n +1

1+ 2

2
=
=
=
β +1 2 + 2
2= cos[方法２] ３－４節で求めた、式をもとに

πn 2 − 2 n + 1 + n 2 = n 2 + 2n + 1
から、

n 2 = 4n ,n( n − 4) = 0 となり、

n > 1 なので、 n = 4 である。
よって、この条件を満たすものは(3, 4, 5)のみであることがわかる。
[方法２]

4

３辺が連続しているとは、３－４節のx, y が連続するとき、かつ y, z が連続する

lim tan θ n = lim
n →∞

n →∞

= lim

n →∞

= tan

a 2 n +1 − (−1) n
a 2 n +1 + (−1) n− (− 1)1−
a 2 n +1

− (− 1)1+
a 2 n +1

ときと言い換えることができる。
３－４節より、a+ (− 1)
x = 2 n +1
,
2
n

n

n

=1

π
4

これらの結果から、θ n は 45°に近づいていくということがわかり、 n → ∞ とした三角形は直角二等辺三角形となる。
②について考察する。定理１の条件のもと３辺が連続するピタゴラス三角形について考える。主に方法は２つある[方法１] 新たな文字を用いて求める。

a 2 n +1 − (− 1)
,
2
n

y=

z=

a2 n + a 2 n+12と表すことができる。 y, z は連続するので、

y + 1 = z である。したがって、

a 2 n +1 − (− 1)a + a 2 n +1
+ 1 = 2n
2
2
n

となる。

これを解くと、a 2 n = −(− 1) + 2 となる。
n

表７となり、 n > k から、 n = 4k である。
この条件を満たすものは (3k ,4 k ,5k ) であり、これらはすべて(3, 4, 5) と相似なものである。

(ⅰ) n が奇数のとき以上から、３辺が連続するものは(3,4,5)

a 2 n = 3 である。 an の一覧

のみであり、３辺が等差数列となるのは(3,4,5)に相似なものに限る。

(表７)において、２番目が３なので、 2n = 2 より、 n = 1 .

３－７．面積が等しいピタゴラス三角形

これは n が奇数であるとい

ピタゴラス三角形の面積は x × y (= xy )う、仮定を満たす。
表８(ⅱ) n が偶数のときによって容易に求めることができる。
実際に小さいものからその面積を求めた結果を下の表９に示す。

a 2 n = 1 である。 an の一覧

表９(表８)において１番目が１なので、 2n = 1 より n =1.
2

これは n が偶数(自然数)であるという仮定に反するので不適。
(ⅰ)，(ⅱ)より、 n = 1 のみである。すな
わち(xn , y n , z n ) = (3,4,5) のときのみであることがわかった。
[方法１]，[方法２]のどちらの方法であ

x
3
5
15
7
21
35
9
45
63

y
4
12
8
24
20
12
40
28
16

z ∆ABC
5
6
13
30
17
60
25
84
29 21037 21041 18053 63065 504っても、３辺が連続するピタゴラス三角形
は(3, 4, 5)のみであるとわかる。

表９から (21,20,29) と (35,12,37) は面

また、辺の長さが等差数列となるものを積が等しく 210 であることがわかる。

求めることも容易である。上述の[方法１]

そこで、斜辺が 37 以下のものについて考と同じように、自然数 k を公差として、３える。実際に斜辺が 37 以下のものの面積を辺を求めた結果を表 10 に示す。

n − k , n, n + k

表 10 から、異なった斜辺の長さで同じ面とする。この３数がピタゴラス方程式を満積 と な る 最 小 の 三 角 形 は ( 21,20,29) とたすとき、(35,12,37) であることがわかる。
(n − k ) + n = (n + k )2

2

2

n − 2kn + k 2 + n 2 = n 2 + 2kn + k 2
2から、

n 2 = 4kn ， n( n − 4k ) = 0

表 10
x
3
6
5
9
15
12
7
15
10
21
30
35

y
4
8
12
12
8
16
24
20
24
20
16
12

また明らかに、ピタゴラス三角形はヘロン
z
5
10
13
15
17
20
25
25
26
29
34
37

∆ABC
6
24
30
54
60
96
84
150
120
210
240
210

また、ピタゴラス三角形 (15,112,113) の三角形の一部である。
ここで、ヘロン三角形を求める方法をいくつか紹介する。
[方法１] 三角不等式

b−c < a < b+cを満たす３数 a, b, c を選び、三角形 ( a , b, c )を与えるという方法である。
例えば a = 2, b = 3, c = 4とすると

2 − 3 < 4 < 2 + 3 であり、またこの３数は

面積は 840 と ( 21,20,29) ,および (35,12,37)

三角形を作ることができる。ちなみにこのの面積の４倍に等しい。面積が４倍である三角形の内角はすべて整数値ではなく、そことから、 ( 21,20,29) , (35,12,37) の辺を２倍した ( 42,40,58) , (70,24,74) と面積が等

の面積は

3 15
となった。この例では、各4しいことがわかる。よって、 (15,112,113) ,辺は整数であるが内角と面積は整数になら(42,40,58) , (70,24,74) の３つはどれも異なかった。

なる斜辺をもつ、同じ面積のピタゴラス三

この方法では、内角はどれも整数ではな角形であるいえる。ちなみに、３つの既約かった。そこで、ある 1 つの角が整数であなピタゴラス三角形のうち異なる斜辺をもり、各辺が整数である三角形を計算で求めち、同じ面積であるもののうち最小なもの

る方法を紹介する。

の組み合わせは(4485,5852,7373)[方法２] 次の定理がある([2]参照)。

(19019,1380,19069)(3059,8580,9109)
であり、いずれも面積 S は S = 13123110 となる。
３－８.ヘロン三角形、有理三角形

定理５([2])

a = m 2 + n 2 + mn22
b = m − nc = 2mn + n 2
…(2)

これまで、各辺が整数で表される直角三

こ れ ら の 式 (2) を 満 た す △ ABC( こ れ を角形について考えてきたが、この章では各( a, b, c ) とする)は ∠A = 120° であり、各辺辺が整数の直角三角形とは限らない三角形

が整数である三角形を表す。

を考える。
このような三角形をヘロン三角形
ヘロン三角形という。
ヘロン三角形（証明）図５のような三角形 ABC を考える。

a = 5 2 + 32 + 5 × 3 = 4922b = 5 − 3 = 16c = 2 × 5 × 3 + 3 2 = 39


A

b

c

こうして、 ∠A = 120° で各辺が整数の三角形(49,16,39)を求めることができた。

B

a

C

図５

[方法３] 図６のように２つのピタゴラス三角形(5,12,13)と(35,12,37)を用意する。ここ余弦定理からで、長さが 12 である辺同士を合わせると、

cos A =

b2 + c2 − a22bc

新たに各辺が整数ではある鈍角三角形(13,40,37)を作ることができる。

(2)式より、

cos A(m − n ) + (2mn + n ) − (m + n + mn)=
2(m − n )(2mn + n )
2 2

2

2 2

2

=

2

2

2

2

2

2 つを合わせる(m − 2m n + n ) + (4m n + 4mn + n )2(2m n + m n − 2mn − n )
4

2

2

4

3

−

2

2

2

2

3

3

4

4

(m + n + m n + 2m n + 2mn + 2m n)2(2m n + m n − 2mn − n )
4

4

2

3

2

2

2

2

2

3

3

3

4

2 m 3 n − m 2 n 2 + 2 mn 3 + n 4=− 2 − 2 m 3 n − m 2 n 2 + 2 mn 3 + n 4

(

)

図６
ちなみに、この場合の鈍角はおよそ23° + 71° = 94°となっている。また、その面積は、(5,12,13)

=−

1
2

よって、 0° < A < 180° より ∠A = 120° となる。■と(35,12,37)の面積をあわせたもの、つまり30 + 210 = 240 となる。[方法３]で求めると、各辺だけでなく面積も整数となる。
ここで[方法３]について注目する。[方法３]のように、直角を挟む辺が等しいピタゴ

例えば、定理５において、 m ＝5, n ＝3とすると、ラス三角形はいくらでも求めることができる。
２つのピタゴラス三角形 (a1 , b1 , c1 ) と(a 2 , b2 , c 2 ) を考える。このとき、b1 と b2 が

その最小公倍数になるように、２つのピタ

図７のようにそれぞれの辺を底辺とする

ゴラス三角形を拡大すると、b1 と b2 が対応と、その高さはする辺が等しいピタゴラス三角形の組を作・底辺が 65 のとき 3276 ÷ 65 = 50.4

り出すことができる。

・底辺が 119 のと 3276 ÷ 119 = 27.5294 …

このようにして、各辺と面積が整数で表・底辺が 180 のとき 3276 ÷ 180 = 18.2

される三角形を、２つのピタゴラス三角形となって、どの場合も高さが整数でないこを用意することで無限に求められることがとがわかった。すなわち、(65,119,180)が２わかった。

つのピタゴラス三角形の組み合わせではな

しかし、各辺と面積が整数で表される三い。

角形が、すべて２つの直角三角形によってできているわけではない。
例えば、(65,119,180)を考える。この３数では、ここから３辺が連続してかつ面積と各辺の長さが整数である三角形を考える。
まず、その性質として、それが直角をはさむ１辺を共有する２つのピタゴラス三角形

は65 − 119 < 180 < 65 + 119

54 < 180 < 184

によってできているという点が挙げられる。
それを証明する。

を満たし、またこの三角形の面積はヘロンの公式を用いて、

定理６

S = 182(182 − 65)(182 − 119 )(182 − 180 )= 2683044= 1638

３辺が連続しかつ面積と各辺の長さが整数である三角形は、直角をはさむ１辺を共有する２つのピタゴラス三角形によってできている。

となった。確かに面積は整数となっている。
ここで、(65,119,180)がピタゴラス三角形(証明)の組み合わせでないことを示す。
もし、(65,119,180)がピタゴラス三角形のまず、このような三角形のうち最小の辺が奇数であることを示す。

組み合わせだとすると、その三角形の高さが整数となるはずである。

背理法を用いる。最小の辺が偶数 2k であるとすると三角形は (2k , 2k + 1, 2k + 2)となる。ヘロンの公式から、三角形の面積はs=

2k + 2 k + 1 + 2 k + 2 6k + 3=
22となる。ヘロンの公式を変形して、

S = s ( s − a)( s − b)( s − c)
16S 2 = 2s (2s − 2a )(2s − 2b)(2 s − 2c)
図７下の式に、 S と３辺を代入して、

4(4 S 2 ) = (6k + 3)(2k + 3)(2k + 1)(2k − 1)
= 4(3k 2 + 8k + 2)(4k 2 − 1) + 4k 2 − 1いることがわかった。■
ところで、ここで、左辺は４で割り切れるが、右辺(2k + h ± 2,3k + 2h,4k + 2h ± 1)は４で割ると１余り、矛盾が生じる。した(複号同順)という２つの三角形を考える。

がって、三角形の最小の辺は奇数である。

次の計算から、これらの三角形がピタゴ

そこで、最小の辺を 2k − 1 とすると、三角形は ( 2k − 1, 2k , 2k + 1) となる。このとき上と同様に三角形の面積の平方はS = 3k (k − 1)
2

2

2

2

2

となる。この等式から k は S の約数であることがわかる。よって、背理法を用いて kが S の約数であることがわかる。すると、Sは整数 h を用いて、 S = kh と表せる。
一方、辺 2k に対する高さを h1 とすると、ラス方程式を満たすことがわかる。

(2k + h ± 2) 2 + (3k + 2h) 2 − (4k + 2h ± 1) 2
= 4k 2 + h 2 + 4 + 4kh + ±4h ± 8k
+ 9k 2 + 4k 2 + 12kh
− 16k 2 − 4h 2 − 1 − 16kh m 4h m 8k
= −3k 2 + h 2 + 3.
ここで、上の証明より、

S = kh1 と表すことができる。
これらの２式を比べると、 h = h1 である
ことがわかる。つまり、辺 2k に対する高さは整数となることがわかる。
さらに、 S 2 = 3k 2 ( k 2 − 1) と S = kh を比3(k 2 − 1) = h 2
3k 2 = h 2 + 3とわかるので、(2k + h ± 2) 2 + (3k + 2h) 2 − (4k + 2h ± 1) 2
= −3k 2 + h 2 + 3
=0

べると、

3k 2 (k 2 − 1) = k 2 h 2
ここで、となり、ピタゴラス方程式が成り立つこと

h 2 = 3(k 2 − 1) = (2k + 1) 2 − (k + 2) 2
h 2 = 3(k 2 − 1) = (2k − 1) 2 − (k − 2) 2
より

がわかる。
ここで、これらの三角形は (3k + 2h) という辺を共有している。そこで、２つのピタ
ゴラス三角形を組み合わせると、(2k + 1) = h + (k + 2)

2

(4k + 2h − 1,4k + 2h,4k + 2h + 1)

(2k − 1) = h + (k − 2)2という三角形ができる。この三角形は明ら

2

2

2

2

つまり、ピタゴラス方程式が成り立ち、(2k + 1, h, k + 2) と (2k + 1, h, k + 2) が ピ

かに、３辺が連続する整数で表せる三角形である。

タゴラス三角形であることがわかる。これ

このことから、ある３辺が連続する整数

らのピタゴラス三角形をはり合わせると、である三角形があれば、新たに同じ性質を(2k − 1, 2k , 2k + 1) という三角形ができる。 持つ三角形を求めることができるというこ
したがって、３辺が連続する三角形がピタゴラス三角形の組み合わせによってできてとがわかる。
例えば (3,4,5)という三角形を考える。このとき、 ( 2k − 1, 2k , 2k + 1) = (3,4,5) とな
るのは、 k = 2 のときである。また、 S = 6
から h = 3 である。
これらの数を(4k + 2h − 1,4k + 2h,4k + 2h + 1)a1に代入して、(13,14,15)という三角形ができb1る。この三角形の面積はヘロンの公式から、

図８

S = 21 × 8 × 7 × 6 = 84
より、確かに面積が整数になっている。
さらに、(13,14,15)から新たな三角形を作

まず仮定から、a1 + b1 = c…(3) であるる。この場合、である。

ことがわかる。高さ h は、三角形 ( a, b, c ) をよって、 (4k + 2h − 1,4k + 2h,4k + 2h + 1)

２つの直角三角形に分ける。その三角形はから(51,52,53)が得られた。この三角形の面(a1 , h, a ) と (b1 , h, b) であるので、ピタゴラ

積は、

ス方程式から、S = 78 × 27 × 26 × 25 = 1170となり、面積も確かに整数になっている。
また、この方法によって３辺が連続する整数である三角形を無限に求められることがわかった。
では、３辺の長さと面積が整数である三角形を求めるにはどうすればよいかを考え

a1 = a 2 − h 2 , b1 = b 2 − h 2 .
2よって、 a1 − b1 = a − b . ここで (3)
2

2

2

2

式から、

c(a1 − b2 ) = (a1 + b1 )(a1 − b1 )= a1 − b1 = a 2 − b 2
2る。この問題は、各辺と面積が有理数である三角形を求めることと同値である。このa1 − b1 =ように、各辺と面積が有理数で表せる三角形を有理三角形
有理三角形とよぶ。
有理三角形

2

2

a 2 − b2cとなる。一方、(3)から組み合わせであることを証明する。

a2 − b2 + c2
b2 − a2 + c
b1 =
2c
2c
,
.
この等式から、 a1 , b1 は有理数である。

定理７

したがって、有理数の辺をもつ三角形に有理三角形は、別の２つの有理三角形のa1 =有理数の辺をもつどんな三角形において

おいて、三角形の内部に引いた高さは、そも、三角形の内部に引いた高さは、それにれに垂直な辺を２つの有理数比に分けると垂直な辺を２つの有理数比に分ける。

いうことが証明された。
ここで、もし各辺だけでなく面積も有理(証明) 図８のような三角形 ( a, b, c ) を考え数ならば、すべての高さも有理数になるとる。そして、a, b の正射影をそれぞれ a1 , b1

いうことがわかる。

とする。

なぜなら、辺 c に対する高さを h とする

と、 S =

ch2Sから h =である。
2c

したがって、辺と面積が有理数ならば高他 に も 、 (127,131,158) や (204,255,261)という三角形も中線と各辺が有理数になっている。

さも有理数になることがわかる。
すると、ある有理三角形を考えたとき、
辺 c に対する高さを h とすると、上の証明から、分けられる２つの直角三角形は各辺が有理数となり、有理三角形はそれとは別の２つの有理三角形の組み合わせによってできているということが証明された。■

３－９．ピタゴラス三角形と平面上の点(a, b, c ) を既約なピタゴラス三角形とする。この三角形に x 座標ab
、 y 座標 をも
c
c

a b
,  を対応させる。すると
c c

つ平面上の点 

ピタゴラス方程式 a + b = c から
2次に、各辺と中線が有理数である三角形

22

a2 + b2a b=1  +  =c2
c c2について考える。

2a b,  は原点を中心と
c cとなる。よって、点 hla

した半径 1 の円、つまり単位円上に存在する。
つまり、１つのピタゴラス三角形につい22て、単位円 x + y = 1 上の正の有理数座標

図９を持つ点、つまり、単位上の有理点が対応する。逆に、点 ( x, y ) を円 x 2 + y 2 = 1 上の

辺 a へおろした中線を l a とする。すると、正の有理数座標をもつ、つまり x, y が方程式 x 2 + y 2 = 1 を満たす正の有理数である

中線定理より、a2 
b 2 + c 2 = 2 l a +4
4l a = 2(b 2 + c 2 ) − a 2と仮定すると、

x2 + y2 = 1 =2

この公式から、各辺と中線が有理数である三角形が求められる。
例えば、(68,85,87)が中線と各辺が有理数である三角形であることがわかる。実際、

l a = 79 , lb =131
127
, lc =
2
2とすべての中線が有理数になっている。

c2 a2 + b2 a2 b2== 2 + 2
c2
c2
c
c

a
b
, y=
とみなすことができる。
cc
よって、この点 ( x, y ) と既約なピタゴラスx=

三角形 (a, b, c ) を対応することができた。

1 + x1 m
1 + x2< <1 − x1n
1 − x2

…①

ここで、

1−

2
m
1+  
n= 1− 2×2

n2
n2 + m2n 2 + m 2 − 2n 2
n2 + m2
m2 − n2= 2
m + n2=

図 10
こうして、既約なピタゴラス三角形と、であるから、①より、単位円上の有理点で第一象限にあるものとx1 <の間に１対１の対応がつけられる。

m2 − n2< x2
m2 + n2となる。
定理８定理２より、２つの任意の実数 x1 , x 2 を 0 < x1 < x2 < 1

a = m 2 − n 2 , b = 2mn , c = m 2 + n 2と定める。この２数 x1 , x 2 に対して、既約なとおくと、既約なピタゴラス三角形が得ら

ピタゴラス三角形 (a, b, c ) がただ１つ存在して、それに対応する単位円上の点 ( x, y ) は

x1 < x < x 2 を満たす。
(証明)

0 < x1 < x2 < 1 であることから、
1 + x1 1 + x2
1<<.
1 − x1 1 − x2

1 + x1
1 + x2
これより、 1 <<.
1 − x1
1 − x2
1 + x1
1 + x2有理数の稠密性から、と1 − x1
1 − x2mはいくらでも存在する
nので、 m, n は互いに素で、 m が奇数、 n がの間には有理数

偶数とおくことができる。よって、れ、 x1 <a< x 2 になる。
c

よって、この三角形に対して単位円上の点 ( x, y ) が対応し、 x =ab, y = であり、ccx1 < x < x 2 となる。■
この結果から、第一象限の単位円上にある２点を取ると、その間には必ず既約なピ
タゴラス三角形に対応する点があることがわかった。言い換えると、0° ≦ α ≦ 90° を満たす任意の角 α に対して、角 α にいくらでも近い鋭角を持つ有理数辺の直角三角形
を得ることできる。すべての辺が有理数なので、うまく拡大するとピタゴラス三角形を得ることができる。
このようにして、任意の角に近いものを作ることができる。その中で角が 45° に限

りなく近いピタゴラス三角形を作ることはな２数 a, c を用いて、x = da , z = dc と表す

できるが、 45° のピタゴラス三角形は存在ことができる。

しない。理由は以下の通りである。

すると、①より、

まず、ピタゴラス三角形に限らず各辺が整数の任意の三角形 ABC について考える。
この三角形について、余弦定理を適用する

cos A =

b +c −a2bc

cos B =

a +c −b2accos C =

a2 + b2 − c2
2ab

2

2

2

(

)

y2 x2 − z2 = x2 z2

(

と、
2

y2 z2 + x2 y2 = x2 y2)

y 2 a 2 − c 2 = (dac ) …②2

2

このことから、y が (dac ) の約数である。
222

よって、 y は dac の約数であるといえる。
したがって、整数 b が存在して、

yb = dac …③である。

とできる。これを②に代入すると、()

y 2 a 2 − c 2 = y 2b 2

ここで a, b, c は整数なので、 cos A ,cos B , cos C は有理数となる。これより、
cos A, cos B, cos C のうち 1 つでも無理数

a − c = b 2 …④a, c は互いに素な数なので、b, c も互いに22となると、 a, b, c のうち少なくとも 1 つは素である。よって、④を変形すると、無理数となる。

b 2 + c 2 = a 2 …⑤となる。つまり、三角形 (b, c, a ) は既約なピ

cos 45° =1
2

より、 45° のときは a, b, cのうち少なくとも 1 つが無理数である。よって、1 つの角が 45° であり、各辺が整数でタゴラス三角形である。だから、定理２より、互いに素な整数 m, n (m < n) によって、

b = m 2 − n 2 , c = 2mn, a = m 2 + n 2

あるような三角形は存在しない。

…⑥

b = 2mn, c = m − n , a = m + n
2

2

2

３－10．自然数の逆数を辺としてもつ直角
三角形

2

…⑦
のどちらかが成り立つ。

1 1 1
, ,  の直角三角形について考x y zまず 

また a, b, c は互いに素であり、⑤から bと ac は互いに素でなければばらない。するえる。三平方の定理より、と、③より、 d は b で割り切れなければな

1
1
1+ 2 = 2 …①2xyz

らない。だから、自然数 δ が存在し、d = bδとなる。これを変形した x
より、x

−2

が成り立つ。
−2

+y

−2

=z

−2

< z −2 とわかる。これを解くと、

z < x となる。
ここで、 z, x の最大公約数 d と互いに素

x = da = δab, y = δac, z = dc = δbcが成り立つので、⑥より、

(

)(

)

x = m2 + n2 m2 − n2 δ()

y = 2 mn m + n δ
2

2

(

)

z = 2 mn m 2 − n 2 δ
⑦より、

(

)

x = 2 mn m 2 + n 2 δ()(m − n )δz = 2 mn (m − n )δy= m +n
2

2

2

2

2

2

を得る。
一方、任意の自然数 m, n, δ (n < m ) に対して上の等式により、 x, y, z を定義し、等

1
11+ 2 = 22152012が得られる。ちなみに、m = 3, n = 1, δ = 1 のときは、 x = 80, y = 60, z = 48 ，つまり、

111+ 2 = 22806048が得られる。また、 m = 3, n = 2, δ = 1 のときは、 x = 65, y = 156, z = 60 ，よって

式⑥および⑦により b, c, a を定義すると、

1
1
1
+
= 2
2
2
65
156
60

x = δab, y = δac, z = δbcになる。こうして、得られた x, y, z の値は、(先程の方程式 y x − z222)= x z および
2

2

1
1
1
b 2 + c 2 = a 2 を満たすから、 2 + 2 = 2xyzが得られる。
また、３辺の長さが平方数の逆数の場合について考える。
同様に、ピタゴラスの定理より、も満たす。
したがって、方程式111+ 2 = 2 のあら
2xyz

ゆる正の整数解は、等式

(

1
1
1
+ 4 = 44xyzが成り立つ。
しかし、フェルマーの定理より上の式を)満たす x, y, z は存在しない。よって、３辺x = m4 − n4 δ()
z = 2mn(m − n )δy = 2mn m 2 + n 2 δ
2

2

あるいは、

の長さが平方数の逆数であるような直角三角形は存在しない。
３－11．フェルマーの問題()

x = 2mn m 2 + n 2 δ()

y = m4 − n4 δ()

z = 2mn m − n δ22から得られる。ここで δ は任意の自然数
であり、 m, n をみたす m > n は互いに素な整数である。
実際に直角三角形を求める。最も小さい整数解を求めるために、 m = 2, n = 1, δ = 1 とおく。すると上の式より、 x = 15 , y = 20 ,z = 12 となる。よって、ここで１つの問題を紹介する。フェルマー (Fermat) は 1643 年 に 、 メ ル セ ン ヌ(Mersennne) へある手紙を送った。その内

容とは、直角をはさむ２辺の和と斜辺とが平方数であるようなピタゴラス三角形をみつけよ。
というものである。この問題は、ピタゴラ
ス三角形 ( x, y , z ) において、 x 2 + y 2 = z 2 ,x + y = p 2 が成り立つ整数解を求めることと同じである。フェルマーはこのような三角形の中で最小なものは、

456548602776

号が成り立たない。よって x, y, z のうち少1061652293520

なくとも２つは偶数であることがわかった。

4687298610289

さらに、x, y , z , t のうち少なくても１つはを辺とする三角形であると述べていて、実3 の倍数であることを示す。

x, y, z のうち、１つも 3 の倍数でないと際にこれは正しいことがわかっている。

仮定すると t は 3 で割り切れないといけな
３－12．各辺と対角線が自然数になる直方体

いことを示す。
まず、3 の倍数でない数を２乗すると、3１つのピタゴラス三角形があれば、そこで割ったときに 1 余る。 x, y, z のいずれもから各辺及び、対角線が自然数である長方

3 で割り切れないのだから、それらの平方形を得ることができる。

の和、つまり t は 3 で割り切れる。したが2

3って、 t は 3 の倍数でなければならない。

また逆に、そのような長方形からピタゴラス三角形を得

54ることができる。この問題

を３次元空間と認識すると各辺43と対角線が自然数で表せられる

図 11

直方体をどのように見つけるかという問題になる。直方体の各辺を x, y, z ，
また対角線を t とすると
23 の倍数であることがわかった。

任意の自然数 x に対して、方程式

x2 + y2 + z2 = t 2
を満たすような３数 y, z , t の組が無数に存在することを示す。

n が任意の自然数のとき、 x が奇数なら

x + y +z =tが成り立つ。逆に x, y, z および t が上の方程
2

よって、x, y , z , t のうち少なくとも１つは22式を満たすと、 x, y, z は直方体の辺の長さば、

x , y = 2 n, z =となり、 t はその対角線の長さとなる。

t=

他に、各辺と対角線が自然数で表すことができる直方体を求めることは、上の方程

x2 −1+ 2n 2 + 1
2は明らかに自然数であり、方程式

x2 + y2 + z2 = t 2式を満たす整数解を求めることと同値であ
る。

x2 −1
+ 2n 2 ,2を満たす。

はじめに、 x, y, z のうち少なくても２つは偶数であることを示す。まず、すべてが奇数であると仮定する。奇数の２乗は 4 で割ると 1 余るため、 x + y + z を 4 で割
2

22

また、 n が任意の自然数のとき x が偶数ならば、

x, y = 2n + 1, z =2

ると 3 余ることがわかる。しかし、 t は平方数であるため、等号は成り立たない。
次に、 x, y, z の１つだけが偶数であるとすると x + y + z は 4 で割ると 2 余る。
2

2

2

2

しかし、 t は平方数であるためこちらも等

t=x2+ 2n 2 + 2n,
2x2+ 2 n 2 + 2n + 1
2

は明らかに自然数であり、方程式

x2 + y2 + z2 = t 2が成り立つ。

任 意 の 偶 数 の 組 x, y に 対 し て 方 程 式の２辺を表す数は両方ともが奇数であると

x + y + z = t を成り立たすような整数
z, t が存在する。

いう場合以外は、他の辺と対角線を表す残数 x, y がともに偶数のとき、x + y は 4

次に、対角線が自然数で表されて、３辺

2

2

2

2

2

2

で割り切れるから、が連続するような直方体は存在しないこと

x +y
x +y
− 1, t =+144は自然数で、 x, y , z , t は方程式
2

z=

2

2

x + y +z =t
2

りの z, t も与えることができる。

22を示す。ここで、直方体の３辺を2( y − 1, y, y + 1) , 対角線を整数 t で表すとすると、

2( y − 1)2 + y 2 + ( y + 1)2 − t 2を満たす。

3y2 + 2 = t 2

数 x, y のうち一方が偶数、もう一方が奇数であるときも、方程式 x + y + z = t
2

2

2

2

を成り立たすような整数 z, t が存在する。
数 x 2 + y 2 ± 1 は偶数となり、

x2 + y2 −1
x2 + y2 +1
,t=
2
2
2
2
2
2
は方程式 x + y + z = t を満たす。
x, y , z =そこで、これまでの式を用いて直方体を求めてみよう。ここでは、 x が奇数の場合を考える。よって、 x = 3 ， n = 4 としてみが成り立つ。
2

ここで、 y が奇数のときは、 y を 8 で割2
ると 1 余り、左辺 3 y + 2 を 8 で割ると 5余る。しかし、8 で割って 5 余る数は平方数にはなりえない。また、 y が偶数のときは、左辺 3 y 2 + 2 は 4 で割ると 2 余る。
しかし、そのような数も平方数にはなり得ない。
各辺が自然数で表せるような直方体の対よう。

角線は 2 または 2 × 5 の形にはならない

x, y = 2 n,ことを示す。ここでは k ≧ 0 となる整数で

z=

k

k

x2 −1
x2 −1
+ 2n 2 , t =+ 2n 2 + 1
22ある。
実際、負でない整数 k が存在して、t = 2

x2 + y2 + z2 = t 2 がこの等式より、とするとき、方程式x=3

自然数の解を持つと仮定する。

y = 2× 4 = 8k

このような k の中には最小のもの m が存在する。しかも方程式 x + y + z = t の
2

2

2

2

3 −1
z=
+ 2 × 4 2 = 4 + 32 = 36
2
2
3 −1
t=
+ 2 × 4 2 + 1 = 4 + 32 + 1 = 37
2となり、( x, y , z , t ) = (3,8,36,37) が求められのときは 3 より小さくはなり得ないから、た。実際、この４数はることを考えると、残りの１つも偶数でな2x + y + z = t = 1369
2

2

2

2

を満たしている。
よって、ここまでを整理すると、直方体

左辺の和 x + y + z は x, y, z が正の整数
222m > 2 である。 x 2 + y 2 + z 2 = 2 2 m で、３数 x, y, z のうち少なくとも２つは偶数であければならないことがわかる。よって、整数 x1 , y1 , z1 が存在して、 x = 2x1 , y = 2 y1 ,z = 2z1 とかける。

(

すると、 x1 + y1 + z1 = 2 m −1222

) となる。
2(

x1 + y1 + z1 = 2 k × 5
2

2

2

)

2

このとき、最初の仮定であった、不定方を満たす最小の値であるということに反す( ) において、 m のる。したがって、直方体の対角線は

程式 x1 + y1 + z1 = 2 k
2

2

2

2

最小性に反するため、直方体の対角線は

t = 2 という形にはならないことが証明さkれた。

t = 2 k × 5 という形にもならないことが証明された。
直方体の対角線について、上述とは逆に、辺が整数表すことができる直方体の対角線

次に、t = 2 × 5 という形にはならないこの長さになり得ないのは、 2 という形ととを証明する。そこで、上と同様に

2 k × 5 という形のみであるということを、

t = 2 k × 5 とするとき、このような k の中には最小のもの m が存在する。

フレヴィッツ（Hurwitz）が証明している。

まず、m = 0 のときを考える。このとき、

1,2,4,5,8,10,16,20,32,40,64,80

x, y, z について、x + y + z = 5 が成りのような数が直方体の対角線の長さになり立つことがわかる。

得ないのである。

k

2

2

2

2

ここで、上述のようkつまり、100 以下の整数について考えると、に x, y , z , t のうち１つは 3 の倍数でなければならず、t は 3 の倍数ではない。そこで x

４．今後の課題が 3 の倍数であると仮定する。すると、本年度は、研究の中で直角をはさむ辺と

y + z = t − x = 5 −3 = 4が成り立ち、( y , z ,4) がピタゴラス方程式を

斜辺が連続するピタゴラス三角形について満たす。しかし、このとき 4 が斜辺となっ究を進めていきたい。また、この研究に伴ているが、斜辺が 4 であるピタゴラス三角

い、整数論などの分野も学んでいきたい。

2

2

2

2

2

2

2

深く考えた。特に三角形の個数に関する研形は存在しないので矛盾する。したがって、

m = 0 のときは成り立たない。

５．参考文献次に、 m>0 の場合を考えよう。

x + y +z =t
2

2

2

2
2

スキー著，銀林 浩訳，東京図書(1993)

より、

x +y +z =22

2[1]「ピタゴラスの三角形」，B．シェルピン

2m

×5[2]「１つの角の大きさが決まっていて、３が成り立つ。ここで、右辺は偶数なので、辺の長さがすべて整数である三角形のつく

x, y, z はすべて偶数でなければならない。

り方」
，山田 潤

よって、 x1 , y, z という整数が存在して

x = 2x1 , y = 2 y1 , z = 2z1 を満たすことがわかる。したがって、 x1 , y, z の３数は(

x1 + y1 + z1 = 2 m −1 × 5
2

2

2

)

2

を満たす。しかしこれは、 m が不定方程式[3] Rational triangles, D.N. Lehmer,
Amer. J. of Math.22, (1900)

６．謝辞
顧問の川口先生には、各発表会および本稿についてさまざまなアドバイスをいただ
きました。ありがとうございました。

フラクタル図形
４年Ｃ組 金池 綾夏
指導教員 川口 慎二

１．概要
私はフラクタル図形とフラクタル次元について、その定義や簡単な性質を学んだ。自然界にも多く見られるというフラクタル図形について、学習したいくつかの事例を紹介しながら、フラクタル図形の意味について考えてみた。その経過を報告する。
キーワード

自己相似性、フラクタル図形、フラクタル次元、非整数次元

２．緒言の各辺をそれぞれ５等分した場合、１次元

自然に存在する植物の葉脈や巻貝の殻なでは 51 = 5 (個)の線分ができ、２次元ではどには同じ形を繰り返していくものが多い

5 2 = 25 (個)の正方形ができる。また、３ことを知った。私はそれらに興味を持った次元では 5 3 = 125 (個)の立方体ができる。

ので、フラクタル図形について学ぶことにした。

このように、１辺を1に分割すると、線n分、正方形、立方体ではそれぞれ n1 ， n 2 ，

３．研究内容n 3 個の相似な図形ができる。この指数が■フラクタルとは「次元」の数字を表している。

1975 年にマンデルブロが「砕けた石」という意味のラテン語から命名した非整数次■フラクタル図形の事例

元を持った図形や構造のことをいう。この[１] カントール集合

ような図形は、自己相似性
自己相似性という特徴があ
自己相似性る。
■フラクタル次元
フラクタル図形は、そのミクロな部分をカントール集合は次のように構成される。

1 2
3 3

①線分 C0 = [0,1] から  ,  を取り除き、

1 2
3 3

これを C1 ＝[0,1]＼  ,  とする。

見ると、非常に複雑な形をしている。この②この C1 から

複雑さのレベルを定量化するために用いら 1 2  7 8 
 2 , 2 ∪ 2 , 2 
3 3  3 3 を取り除き、 C 2 とする。つまり、れている量がフラクタル次元
フラクタル次元である。
フラクタル次元■直線、平面、立体からわかる次元の性質
１辺の長さが 1 の線分、正方形、立方体

 1 2   1 2   7 8 
C 2 = [0,1]＼ , ＼ 2 , 2  ∪  2 , 2 
 3 3   3 3   3 3 

分の本数を n k とすると、

 1 2   1 2   7 8 
= [0,1]＼ ,  ∪  2 , 2  ∪  2 , 2  3 3   3 3   3 3 となる。
③この C 2 から

1 2 7 8
 25 26  3 , 3  ∪  3 , 3  ∪L∪  3 , 3 
3 3  3 3 
3 3 
を取り除く。これを C 3 とする。つまり、

C0 のとき、 L0 ＝1， n0 ＝1，
1
C1 のとき、 L1 = ， n1 ＝2，
3C2 のとき、 L2 =1
， n2 = 4 ，32

C 3 のとき、 L3 =1
， n3 = 8 ，…
33となるため、

C3
 1 2   7 8  25 26 = C 2 ＼ 3 , 3  ∪  3 , 3  ∪ L ∪  3 , 3 
 3 3  3 3   3 3  1 2   1 2   7 8 = [0,1]＼ ,  ∪  2 , 2  ∪  2 , 2  3 3   3 3   3 3 

k

1 1
C k のとき、 Lk = k =   ， nk = 2 k3
3
となることがわかる。
すると、カントール集合 C ∞ の構成方法か1 2 7 8
 25 26 ∪  3 , 3  ∪  3 , 3  ∪ L ∪  3 , 3  ら、
3 3  3 3 
 3 3 k

1
L∞ = lim   = 0
k →∞  3 となる。
④以下、この操作を繰り返していく。
⑤このとき、C ∞ =∞カントール集合I C をカントール集合となる。この式の意味は、 k を ∞ まで大き

k

k =0

k

という。

1
くしていくと、  の値は限りなく 0 に近3C0づくということである。また、線分の本数については、

n∞ = lim 2 k = ∞

C1

k →∞

と限りなく大きくなることがわかる。

C2[２] コッホ曲線
コッホ曲線
コッホ曲線の構成は次のようである。

C3
⋮

C∞
図１ カントール集合①線分 K 0 = [0,1]を用意する。
②中央の

1
1
を取り除いた上に、１辺が の
3
3

テントを貼り付ける。これを K1 とする。
さて、C k の長さを Lk 、C k を構成する線

③次に、長さが1である K1 の各辺に同じ操
3作を繰り返し、長さが1のテントをそれぞ32

れ貼り付けて、 K 2 とする。
④この作業を無限回くりかえす。
コッホ⑤このとき、得られた曲線を K ∞ をコッホ曲線という。
曲線2

4
K 2 のとき、 L2 =   ， N 2 = 16 ，
3
3

4
K 3 のとき、 L3 =   ， N 3 = 64 ，…
3となるため、
j

K∞

M

4
K j のとき、 L j =   ， N j = 4 j3となることがわかる。したがって、

N ∞ = lim N j = ∞ ，j →∞L∞ = lim L j = ∞

K3

j →∞

となる。

K2

[３] シェルピンスキーのギャスケット
シェルピンスキーのギャスケットは次のように構成される。
①１辺の長さが 1 である正三角形を用意し、これを S 0 とする。

K1

②この正三角形 S 0 の３辺の中点を結んでできた、辺の長さが S 0 の

K0
図２ コッホ曲線

1である４個の正2三角形のうち、中央の正三角形のみを取り除く。これを S1 とする。
③この操作をもう一度繰り返すと、 S 1 を構

ここで、K j の長さを L j 、K j を構成する成する３個の正三角形の３辺の中点を結んでできた、辺の長さが S1 の辺の本数を N j とすると、

K 0 のとき、 L0 ＝1， N 0 ＝1，

K1 のとき、 L1 =4
， N1 ＝4，31、つまり S 0 の2

1である 12 個の正三角形のうち、それぞ
4
れの中央にある正三角形３個を取り除く。
これを S 2 とする。
③この作業を無限回繰り返す。

④このとき、得られた曲線を S ∞ =

∞

IS を
k

k =0

シェルピンスキーのギャ
シェルピンスキーのギャスケット
ギャスケットという。
スケット

ここで、S k の周の長さを l k 、面積を ∆ k とすると、

S 0 のとき、 l 0 = 3 ， ∆ 0 =S1 のとき、 l1 =
S0

3
，
4

32
3
， ∆1 = 2 ，2
4

S 2 のとき、 l 2 =33
3， ∆2 = 3 ，2
2
4

S 3 のとき、 l 3 =334， ∆ 3 = 4 ，…
3
2
4となるため、

3 k +1
3
S k のとき、 l k = k ， ∆ k = k +1
2
4

S1となることがわかる。したがって、

l ∞ = lim l k = ∞ ，k →∞∆ ∞ = lim ∆ k = 0
k →∞

となる。

S2
■フラクタル次元
フラクタル図形は一般に「非整数次元
非整数次元」
非整数次元をもち、これがフラクタル図形の複雑さを表しているといえる。
元の図形を n 個に分割し、できた同じ図
相似次元 D を
形の個数を m とするとき、相似次元

S3

D = log n m ==log10 mlog10 nlog(元の図形と相似な同じ図形の数）
log(等分割した数）と定める。相似次元などを総称して、フラフラクタル次元ともいう。
クタル次元

M
S∞
図３ シェルピンスキーのギャスケット

そこで、実際に上述のフラクタル図形のフラクタル次元を計算してみよう。
まずは、カントール集合 C ∞ のフラクタ
ル次元を DC とすると、

DC = log 3 2 =log10 2 0.301= 0.6310≒
log10 3 0.477となる。これより、カントール集合は、０次元(点)よりは複雑であるが、 １次元(線分)よりは単純ということができる。
次に、コッホ曲線 K ∞ のフラクタル次元
を DK とすると、

DK = log 3 4 =log10 4 0.602= 1.262≒
log10 3 0.477

習するとともに、なぜ自然界にフラクタル
図形の構造をもつものが多く存在するのかについても考察していきたい。
また、フラクタル次元のなかには、ハウスドルフ次元というものもあると知った。
かなり計算が難しいようであるが、調べてみたいと考えている。

５．参考文献となり、非整数次元になることがわかる。

[1]「フラクタル」、本田勝也、朝倉書店

これは、コッホ図形の複雑さが「２次元に[2] 「 フ ラ ク タ ル 幾 何 学 」、 Kenneth

近い直線的な性質」をもっているが、直線

Falconer 著、服部久美子、村井浄信訳、のように単純ではなく、「２次元的な複雑

共立出版

さ」もあわせてもっているということを示

６．謝辞

している。
また、シェルピンスキーのギャスケット

S ∞ のフラクタル次元 D S は、
DS = log 2 3 =log10 3 0.477≒= 1.585
log10 2 0.301となり、コッホ図形より複雑であるが、２次元までの複雑さをもたないような図形であるといえる。
このように、フラクタル次元は図形の複雑さをはかる指標となっている。
また、コッホ図形において、コッホ図形
を描く操作を繰り返すと、長さは無限大になる。ギャスケット図形において、図形を描く操作を繰り返すと、面積は無限小になる。このことから、フラクタル図形の見か
けの大きさは有限であっても、長さが無限大、面積がゼロという状態が生じることがわかった。これはフラクタル図形の重要な性質であるといえる。

４．今後の課題
今後はさらにフラクタル図形の性質を学

顧問の川口先生には、さまざまな面でご指導いただきました。ありがとうござ
いました。

黄金分割
４年Ｂ組 今江 菜摘
指導教員 川口 慎二

１．概要
私は黄金分割について、その定義や簡単な性質を学んだ。黄金分割が見られるものとして、正五角形とペンタグラムの関係や黄金長方形について学習した。その結果を報告する。
キーワード

黄金分割、黄金比、正五角形、ペンタグラム、黄金長方形

２．緒言

（証明）

数学ではもちろん、それ以外の分野、例

黄金分割の定義より、

えば音楽や美術、建築、さらには自然界で

a：M = M ：m ，も見られる黄金分割に私は興味を持った。

am = M 2 ．

そして、本年度はまず、黄金分割の多様な

a = M + m なので、代入すると( M + m) m = M 2 ．

性質について学んだ。
両辺を m

３．研究内容

2

で割ると、
2

M
M 
＋1＝ 
 ，
m
m

３－１．黄金分割の定義
１つの線分ABを大きい方の切片と小さい方の切片の比が、線分全体と大きい方の切片の比に等しいように点Sで分けることを黄金分割
黄金分割という。
黄金分割
A

S

B

M
m
線分ABの長さを a 、大きい方の切片の長さ
を M 、小さい方の切片の長さを m とすると、黄金分割の値が計算で求められる。

2

M
M 
− 1 ＝0 から、
  −
m
m
M 1± 5＝m
2
M
M > 0 ， m > 0 より、 ＞0．
m
ゆえに、

M 1＋ 5＝となる。
m
2

したがって、Sが黄金分割になるとき、

定理１
Sが黄金分割になるのは、()

M ： m ＝ 1 + 5 ：2となる場合である。

()

M ： m ＝ 1 + 5 ：2．

(Q.E.D.)1＋ 5
M≒1.618 である。この比
＝
2
m

AC＝

1＋ 5
×DE
2

1＋ 5
のことを、黄金比
黄金比という。
黄金比2(Q.E.D.)A

３－２．正五角形[１]正五角形の対角線

B

E

Q

黄金分割は、正五角形のいろいろな場所に現れる。五角形ABCDEを正五角形とする。
このとき、次の定理が成り立つ。
定理２

C(a) 正五角形ABCDEの頂点を共通Dの端点としない２本の対角線は互いに他を黄金分割する。
(b) 対角線の長さの一辺の長さに対

1＋ 5
する比率は
である。
2

[２]黄金三角形
二等辺三角形において、斜辺と底辺の長
さの比が

1＋ 5
：1 であるとき、この三2角形を黄金三角形
黄金三角形という。五角形ABCDE
黄金三角形
を、一辺が 1 である正五角形とすると、△（証明）

ACD，△BDE，△CEAはいずれも黄金三角(a) 対角線ACと対角線BEの交点Qに注形である。

目する。正五角形の一辺ABと対角線CEは平行なので、
QC：QA＝CE：AB．
AB＝DE，CE＝ACより、
QC：QA＝AC：DE．…①定理３定理３
黄金三角形の底角は 72°であり、頂角は 36°である。

A

DE∥AC，CD∥BEより、四角形QCDE
は平行四辺形である。
ゆえに、QC＝DE …②①，②より、QC：QA＝AC：QC．

B

E

ゆえに、Qは線分ACを黄金分割しているとわかる。対角線ACは任意の対角線より、(a)は証明された。
(b) (a)から、

AC 1＋ 5
＝
である。
2
QC

ここで、QC＝DEなので、

C

D

（証明）
黄金三角形ACDが正五角形ABCDEに辺と底辺の長さの比が1＋ 5：1 の黄金2

はめ込まれていて、その頂角は∠ α 、

三角形なので、△FAEも黄金三角形である。

底角は∠ β であるとすると、△GBA，△HCB，△IDC，△JDEも同様で∠EBD＝∠ACE＝∠BDA＝∠CEBある。

(Q.E.D.)＝∠ α ．

F

AB∥CEより、∠BAC＝∠ACE＝∠α．
同様に考えると、他の９つの角も∠ α となる。ここで、∠ β ＝∠ACD＝2∠ α
したがって、△ACDの内角の和は、2∠ β ＋∠ α ＝5∠ α となるから、
∠α ＝

A

G

180°
＝36°
5

E

B

J
D

∠ β ＝36°×2＝72° となる。

C

(Q.E.D.)H[３] ペンタグラム

I

正五角形の各辺を互いに交わるまで延長してできた図形をペンタグラム
ペンタグラム(星型五角ペンタグラム 星型五角形)という。
定理４定理４３－３．黄金長方形
縦と横の辺の長さの比が、

1＋ 5
：1 の
2

長方形を黄
黄金長方形という。
金長方形

ペンタグラムにできる５つの小三角形がそれぞれ黄金三角形になって
いる。

定理５
定理５

正方形ABCDにおいて、各辺の黄金分割点をとることによって、黄金（証明）

長方形を内接させることができる。

正五角形ABCDEの各辺を延長して、交わった交点をそれぞれF, G, H, I, Jとする。
△FAEと△FHIにおいて、∠AFE＝∠HFI（共通）…①
GJ∥HIより、同位角は等しいので、∠FAE＝∠FHI，∠FEA＝∠FIH …②①，②より、△FAE∽△FHI．
ゆえに、３辺の比が等しく、△FHIは斜（証明）
正方形 ABCD の各辺を下図のように
点 P, Q,R,

S で黄金分割する。

三角形における辺と平行線の定理(またはその逆)より、PS∥BD, QR∥BD．
よって、PS∥QR である。
同様に、PQ∥PS であることもわかる。

したがって、四角形 PQRS は平行四辺

いても研究していきたい。

形である。さらに、四角形 PQRS の辺は正方形 ABCD の対角線に平行なので、そ

５．参考文献れらは互いに直交する。

[1]「黄金分割」、アルプレヒト・ベルンハル

つまり、PQRS は長方形である。

ト著、柳井浩訳、共立出版

いま、△APS と△BQP において、∠PAS＝∠QBP＝90° …①
AP：BQ＝AP：PB＝６．謝辞
顧問の川口先生には、さまざまな面で

1＋ 5
：1
2

ご指導いただきました。ありがとうございました。

＝AS：BP …②①，②より、２辺の比とその間の角が等しいので、△APS∽△BPQ である。
ゆえに、②より、PS：PQ＝

1＋ 5
：1．
2

したがって、正方形 ABCD の各辺の黄金分割点をとると、黄金長方形が内接する。
(Q.E.D.)

A

P

S

B

D
R

Q

C

４．今後の課題
本年度は、この研究の手始めとして、黄金分割の基本的な性質や定理を学んだ。来
年度は、黄金長方形とプラトン立体の関係から調べていきたい。そして、最初に興味を持った数学以外の分野での黄金分割につ結び目について４年Ｂ組 東 美弦
指導教員 川口 慎二

１．概要
サイエンス研究会数学班４年は、日常生活でよく使われる結び目を数学的に取り扱う方法を学習した。この論文では、その内容を報告する。
キーワード

結び目、同値、不変量、斜影図、ライデマイスター移動、
交点条件、階数

２．研究の背景と目的

ると、一方はきれいな円周になるが、もう生物の研究において、DNA が超螺旋状態

一方はならない。両端をつないできれいなになっていることを知り、また数学の分野

円周ができないとき「ほどけない」というで「結び目理論」というのがあり、DNA とことにする。

も関係があるということを聞いた。数学の視点から生物の分野を見ることに興味を抱いたので、今回は結び目について学習した。

３．研究内容３－１．結び目の定義
図１のように、同じ「結び目ができている」状態でも、ひもの両端を引っ張ると、ほどけるものとほどけないものがある。

図２ 「ほどける」と「ほどけない」
空間の中にある輪のことを「結び目」とよぶことにする。ただし、輪を空間の中でどのように動かしてもきれいな円周ができない輪を「ほどけない結び目」といい、ま図１ ２つの「結び目」

た２つの結び目に対して、一方を許された範囲の空間の中で変形をすると他方が得ら

ここで、「ほどけない」という概念をはっきりさせておく。図１のひもの端と端をつなぎ、結び目を左右に引っ張ってみる。すれるとき、２つの結び目は「同値である」という。

次に、残りの２点をつなぐ。

①は２つのきれいな円周になってしまう。
②③もひねるときれいな円周になるので交図３ 同値な結び目

点が０個になってしまう。よって交点が１個の結び目は存在しない。

空間内の結び目を平面の上で表したもの
を結び目の「射影図」という。

交点が２個の結び目を考える。上と同じ考え方で「２つの円ができる」ことと「交点数が変わる」ことが起こらないように端３－２．同値と不変量ある集合の中の要素がいくつかのグルーと端をつなぐ。すると次の４通りが考えられる。

プにはっきり分類されているとき、その集合に「同値関係」が与えられたといい、同じグループに属するグループのことを「同値類」ともいう。同じ同値類に属するものに共通する性質のことを、その同値関係に関する「不変量」と呼ぶ。
つまり「結び目の同値」というのは、空間内の結び目全体の集合に対して、「結び目を切らないように動かす」変形と「拡大し図４

交点数が２個の場合を考える

たり縮小したりする」変形を「同値変形」と考えたときの同値関係を考えているのである。

しかし、ここから交点を増やさずに端と端をつなぐことはできない。よって交点数が２個の結び目は存在しない。

３－３．結び目の個数
交点数が１個の結び目を考える。まず交３－４．ライデマイスター移動

点を１個用意し、その１つの端と他の３つの端をつなぐ。これは次の３通りが考えられる。
平面上で同値である、この２つの結び目を射影図として、変化の過程を見てみる。

③ライデマイスター移動Ⅲ
図６ ライデマイスター移動
空間内の同値な変形はすべて、このライ
デマイスター移動の組み合わせで実現できる。つまり、「結び目の空間内の同値変形」
は、「結び目の射影図の平面上の同値変形」と「ライデマイスター移動」によって可能になるのである。
３－５．階数
交点の数が n の結び目の射影図では、 n個の曲線ができる。これらの曲線のことを結び目の「射影図の定める弧」という。

図５

射影図の変形過程

この変形は、平面上の図形としての同値
変形ではないが、空間内の結び目としての同値変形であり、一定のパターンがある。
(交点数)＝1(交点数)＝3

図７ 交点数と弧の本数

p を自然数として、１つの弧に 0 から

p − 1 までの整数のうちの１つを対応させたものをその弧の「重み」といい、すべての弧に重みがついた射影図を「重みのつい①ライデマイスター移動Ⅰた射影図」とよぶ。また、 p を２以上の整数とする。整数 a と b に対して、a − b が p
で割り切れるとき、 a と b は「 p を法として合同である」といい、 a ≡ b (mod p ) と表す。重みのついた射影図において１つの②ライデマイスター移動Ⅱ

交点の周りに着目したとき、

交点 B ： 2 × 1 ≡ 2 + 0(mod 3) 、交点 C ：(mod 3) となっている。さらに④では、交点 A：2 × 0 ≡ 2 + 3 (mod 5) 、交点 B ： 2 × 3 ≡ 0 + 1 (mod 5) 、交点 C ：2 × 1 ≡ 0 + 2 (mod 5) であり、交点 D ：2 × 2 ≡ 1 + 3 (mod 5) となっている。
2× 0 ≡ 2 +1となっている( x, y , z は重み)。ここで、条件

2x ≡ y + z(mod p ) を考える。図を 180

また、これらの図はすべての交点で交点度回転させると y , z が入れ替るが、この条条件をみたす結び目の射影図である。この件は y と z のどちらを選んでも矛盾なく定ような重みのことを「適切な重み」という。

義されている。これを「交点条件」という。

そして、結び目の斜影図に対して、適切な重みのついた斜影図の個数のことを( p を①法とした)「階数」と呼ぶ。

p=5②

交点のない斜影図に対しては交点条件が存在しないので、適切な重みとして 0 から

p − 1 までのどれを選んでもよく、p 個の値をとることができる。だから、階数は p である。また、交点が１個の斜影図に対する③

交点条件は 2 x ≡ x + x

p=3(mod p ) であり、

これはすべての x について成り立つ。だから、斜影図の階数は p であるとわかる。

４．今後の課題④

本年度は、参考文献を輪読し、結び目を

p=5

数学的にみることについて考えたので、今後は「結び目の斜影図の階数が結び目の不変量となっている」ことを証明し、また、結び目を生物分野まで広げて DNA にも関連づけていきたい。

図８

さまざまな結び目の事例

図８①の交点 A では、x = y = z = 3 であるから、 2 × 3 ≡ 3 + 3(mod 5) となり、交点条件をみたす。図８②の交点 A では x = 1 ,y = 4 , z = 1 なので 2×1≢4＋1 (mod 5) となり、交点条件をみたさない。

③では、交点 A：2 × 2 ≡ 1 + 0(mod 3) 、

５．参考文献[1]「結び目のはなし」、村上斉、遊星社(1990)

６．謝辞
顧問の川口先生には、さまざまな面でご指導いただきました。ありがとうございました。

ブレファリズマの膜形成反応についての研究
５年Ｂ組 井上 なずな
指導教諭 櫻井 昭

１. 要約
昨年から引き続き、ブレファリズマの膜形成についての研究を行った。前研究においてはブレファリズマに膜形成を誘導する薬品を発見した。今回はその追実験と、新たに他の薬品を使用し膜形成が誘導されるときの条件を探る実験を行った。今回はその過程と成果について報告する。
キーワード マルチプレート、遠心分離機、ニュートラルレッド、サフラニン、
食紅、メチルグリーンピロニン

２. 研究の背景と目的
ブレファリズマは、ストレス付加条件下

赤い染色液の酢酸オルセインは細胞を固定してしまうため除外した。

で膜状のものを形成することが知られている。これまでの研究で、ブレファリズマに ３.
ニュートラルレッドを加えると膜形成が生

研究内容＜実験の準備＞

じることを確認した。ニュートラルレッド

実験条件を常に同じにするために、実験で確認できたのは粘液状の膜だったが、そに用いるブレファリズマの密度を揃えた。

れとは別にカプセル状の膜をブレファリズ

ブレファリズマの培養液を質量が同じになマが形成する現象も観察されている。そこ

るように２本、ないし４本の遠沈管にわけ、で、今回はニュートラルレッドを使った追1000 rpm で５分間遠心分離機にかける。そ

実験を行うことで、粘液状の膜形成はカプの後フィルターに通して、溶液中に浮遊すセル状の膜形成と同じ現象なのかを確かめるゴミを取り除く。これを濃縮ブレファリ

る。さらに、なぜニュートラルレッドが膜

ズマ（密度は 200μℓ 中 127 匹）と呼ぶこ形成を引き起こすのか、他の薬品を使ってとにする。マルチプレートに濃縮ブレファ実験を行い、その共通点について考察する。

リズマ 500μℓをいれ、実験に使用した。

上記２つを本研究の目的とし、新たな薬品として、サフラニンと食紅を使用すること＜実験Ⅰ＞赤色色素に対するブレファリズとした。ニュートラルレッドと似た特性(赤マの膜形成実験

くて細胞を固定しない)を持つものならばニュートラルレッドが膜形成反応を引き

膜形成を引き起こすのではないかと考えた

起こすか追実験を行い、またニュートラル

ためである。生物の実験でよく使用される、レッドに似た性質を持つ薬品を使い、その物質に対する反応を見る。各薬品の濃度は前回の研究で使用した、0.1%のニュートラ
ルレッドを基準とした。

④まとめ
サフラニンに関してはほとんどの個体が死んでしまい、食紅はブレファリズマになんの影響も与えていそうにないという結果①ニュートラルレッドを得た。ここから、細胞膜を通り抜けるこ

これまでに膜形成を引き起こすことがとが可能な物質がブレファリズマの膜形成

わかっているニュートラルレッドの確認に影響を与えるのではないかという仮説を実験を行った。準備した濃縮ブレファリズ立てた。メチルグリーンピロニンという染マに 0.1％ニュートラルレッドを 20μℓ 加

色液は細胞内部にある RNA と DNA を染色えたものを顕微鏡で観察した。その結果、するため、この条件に見合うのではと考え、膜形成が確認できた(図１)。それに加え、これを使って実験を行うことにした。

自身が作った膜から抜け出そうともがいているブレファリズマを観察できた(図２)。

＜実験Ⅱ＞核(酸)染色液に対するブレファ

また、すでに本体がぬけでた後と思われる

リズマの膜形成実験

抜け殻の膜も発見した(図３)。抜け殻には核染色液であるメチルグリーンピロニ

上部にやぶれた後があり、やはりブレファンが膜形成反応を引き起こすかどうか確

リズマは膜を作った後に自分で膜を破っかめるための実験を行った。結果、ニューて外に抜け出していると思われる。

トラルレッドで確認したものと類似の膜形成反応が見られた。また、膜を抜け出し②サフラニンて泳いでいく個体を確認し動画に収める

濃縮ブレファリズマに 0.5％サフラニン

ことができた(図６および図７)。この実験

溶液を 20μℓ 加えたところ、サフラニンがでメチルグリーンピロニンが膜形成を引

濃すぎて観察することができなかった。そき起こすことが確認できた。

こで 10μℓ に変更したところ観察することができ、ブレファリズマは細胞壁が破れ中身が流出したようになり、すべて死んでしまった(図４)。

４．考察
今回の実験では以下のことがわかった。
①食紅は膜形成を引き起こさない、②ニュートラルレッドとメチルグリーンピロニン③食紅はブレファリズマの膜形成を引き起こす。

食紅 0.01g に対して水を 100μℓ 加え、溶さらに、ニュートラルレッドとメチルグリ液を作った。この食紅溶液 20μℓ を、濃縮

ーンピロニンの共通点として、核(DNA)を

ブレファリズマに加えて顕微鏡で観察した。

染色する染色液であることが挙げられる。

食紅は大きめの赤い粒子のようにみえた。

ブレファリズマが膜を形成する条件としブレファリズマは食紅の粒子のなかで特にて、高密度の粒子が細胞外にあることでな

問題なく活動していた(図５)。

く、それらの粒子が細胞内に入り込もうとすることが必要である。では、どのような性質をもつ物質が細胞に入り込むことがで試すなどし、その結果を考察していきたい。

きるのだろうか。私は、(ⅰ)小さい粒子であ

また、物質を膜に吸着させてその場から抜る、(ⅱ)脂質と親和性がある、という性質をけ出すという仮説が正しいかどうか確かめ考えた。これは、実験Ⅰの結果から立てたたい。そのために、赤以外の色の薬品を使仮説とも一致している。ブレファリズマは、用して実験を重ねる。赤い薬品を加えても、核を染色する染色液の粒子を体内に入れな膜についている赤色が薬品に由来するもの

いように、膜に吸着させてその場から抜けなのか、ブレファリズマが持っている赤色出すという方法で身を守っているのではな

色素のブレファリズミンなのかがわからないだろうか。このことに加えて、食紅が膜いからだ。さらに、膜形成を誘導する物質

形成を引き起こさなかったという結果から、の条件が、小さい粒子であることなのか、

ブレファリズマが膜形成反応を起こすのは、脂質と親和性を持つことなのかを突き止め

細胞膜を通り抜けられるほどの小さな粒子

たい。この２つの条件に見合う物質についの物質か、細胞膜の主成分である脂質と親て、それぞれ実験を行っていく。これらを和性がある物質だと推測できる。

明確にできれば、膜形成の仕組みが解明さ

しかし、この仮説には疑問も残る。今回れると考える。

の実験ではサフラニンは膜形成を引き起こさなかった。サフラニンもニュートラルレ

６．参考

ッドやメチルグリーンピロニンと同様に核

http://www.sigmaaldrich.com/japan/prodを染色する染色液であるのに、なぜこのよ

uct-catalog-jp.html

うな結果になったのだろうか。

７．謝辞
５．今後の課題
今後の課題として、サフラニンで膜形成

この研究に関して櫻井先生に多くのご指導をいただきました。深く感謝します。

が起こらなかった理由を突き止めたいと思う。ここで、濃度が濃すぎたということが８．画像推測できる。実験ではニュートラルレッド
は濃度 0.1%のものを、サフラニンは 0.5%

ブレファリズマ本体のものをニュートラルレッドのちょうど半量使用した。観察中もサフラニンは他の薬形成された膜品と比べて濃いように感じ、ブレファリズ
マもすぐに死んでしまっていた。また、サフラニンはアミノ基をもつため塩基性である(図８参照)。塩基性の物質は細胞に害をなすため、サフラニンは膜形成を引き起こした他の薬品よりも毒性が強いということも考えられる。次は、より濃度の低いもので

図１

ニュートラルレッド(膜形成)

本体

膜

本体

膜
図２ ニュートラルレッド

図６ メチルグリーンピロニン(抜け出そうとしている。)

図７ チルグリーンピロニン(抜け殻)図３ ニュートラルレッド(抜け殻)

図８ サフラニン
図４ サフラニン(死亡)ブレ ファリズマ

図５ 食紅

猿沢池の水質から七不思議を考える
４年Ｂ組 野依 莞奈
４年Ｃ組 浪江 智子
４年Ｃ組 坂田咲

１年Ｂ組 赤木 美穂
１年Ｃ組 狩田 帆乃夏
指導教諭 矢野 幸洋

１．要約
猿沢池の水質およびプランクトンについて調査した。その結果から、猿沢池の七不思議についての考察および検証実験をした。また、プランクトンの培養実験では、様々な状況下での実験を行った。
キーワード

プランクトン、培養、クロロフィル

２．研究の背景と目的
古くから、奈良八景として親しまれてき

３．研究内容活動Ⅰ，活動Ⅱは主にデータ班が、活動

た池、猿沢池。本校近くの猿沢池には

Ⅲは培養班が担当し、次の実験を行った。

『澄まず 濁らず 出ず 入らず

Ⅰ.環境データとプランクトンの採集、観察

蛙はわかず 藻が生えず魚が七分に 水三分』という七不思議がある。

（１）実験方法(1) プランクトンネットを使用し、あらかじ

約一年間の調査により、気象条件によっめ決めた５か所(次ページの図参照)できれて発生するプランクトンの種類や個体数に

いに水洗いしたフィルムケースに１本分の変化があることがわかった。

水を採集した。気温、天候を①の場所で調発展として、上記の七不思議に焦点をあべた。

て、七不思議は事実であるのか、また、な(2) 採集した直後に、その水を利用して pH，ぜそのような現象が起こるのかを調査する

COD，リン酸，硝酸，水温を調べた。

ため、今までの定期調査に加え、クロロフ(3) 持ち帰ったサンプルを、それぞれ 30ml

ィルの抽出実験とプランクトンの培養を行

ずつ遠心分離管に入れ、約２分間遠心分離

うことにした。

した。

これらの実験を行うために、定期調査を(4) 底に沈殿したプランクトンを吸い上げ、行うデータ班と、培養実験を行う培養班とプレパラートに１滴ドロップし、スライドに分かれて活動した。

ガラスを１枚ずつ作製した。

(5) スライドガラスを端から順にまんべん
なく観察した。このとき、植物プランクト
ンについては、個体数の少ないもののみカ
ウントし、個体数の多いものはどの種類が主に多かったのかを記録した。動物プラン
クトンについては、形の残っている物のみカウントし、すべての種類について数を数えた。pH，気温，水温の測定はデジタル pH

図１ 猿沢池全体図計を用いて、COD，硝酸，リン酸について
は、パックテストを用いて測定した。天気は肉眼で確認した。原則的に定期的な調写真はすべて 2010 年 7 月 22 日に撮影したものである。

査・観察を目標としているが、行事などにより抜ける場合があった。
池全体の様子をより詳しく調査するため、（２）実験結果
表２の 8 月 6 日より、５か所の pH とプ

周囲の状況や、環境に特徴のある５か所を

ランクトンについての測定を、表４の 10 月設定した。各箇所を回る時間差は、それぞ

21 日より５か所すべてにおいて測定を始れ約 10 分以内なので、気象条件の影響などめた。

は特に考慮しないことにする。

表４の⑤の水温と pH については、pH 計の不具合により、参考値とする。各表にお＜調査地点＞①②

ける空欄は、測定ができなかったために結・池沿いの歩道

果がないことを表す。なお、観察できたお・地面は石畳もなプランクトンの写真を、本論文の最後

・水深は約 55cmに掲載した。

・池沿いの歩道

実験結果は、以下の表のとおりである。
表１

・地面は石畳・近くに鳩が多い③④

・池沿いの植え込み

14:30~① 14:00~①
天気

雨

・地面は砂

気温

28.5

・他の場所より

水温
pH

27
9.75

人の往来が少ない・池沿いの道路

COD

20

硝酸塩

0.2

リン酸

0.02

種類数

11

・地面はアスファルト
・池中に排水溝がある⑤

07/13(火) 07/21(水)・池沿いの道路
・地面はアスファルト
・柳の木の真横

晴れ
28
9.87

表２

天気
気温

表６

2010年

08月

06日

(木)

14:00

①

②

③

④

⑤

晴れ
36

水温
pH

9.62

COD

20

時々

天気

曇り

34.4
9.44

9.44

9.26

9.33

2010年

11月

04日

(木)

16:00

①

②

③

④

⑤

晴れ

気温

19

水温

17.9

17.2

17.2

18

17.7

9.37

9.34

9.42

9.44

16.5

17

17

pH

9.41

COD

18

硝酸

0.2未満

硝酸

0.2未満

リン酸

0.05

リン酸

0.05

種類数

12

種類数

7

11

11

9

11

0.2未満 0.2未満 0.2未満
0.05未満 0.05未満

0.05

5

5

9

表３

9

表７

2010年

10月

14日

(木)

16:00

2010年

11月

18日

(木)

①

②

③

④

⑤

①

②

③

④

⑤

25.7

25.7

25.7

25.7

25.7

気温

14.8

水温

24.8

24.7

24.4

24.4

24.6

水温

12.9

12.8

12.3

14.1

15.1

pH

9.81

9.8

9.78

9.84

9.72

pH

9.13

9.19

8.96

9.24

8.96

7

10

11

19

12

天気
気温

晴れ

天気

COD

COD

硝酸

硝酸

リン酸

0.05

0.05

0.05

0.1

0.05

種類数

12

11

11

9

11

晴れ

0.2未満 0.2未満 0.2未満 0.2未満 0.2未満

リン酸 0.02未満 0.02未満 0.02未満 0.02未満 0.02未満
種類数

表４

天気

表８

2010年

10月

21日

(木)

16:00

①

②

③

④

⑤
天気

晴れ

2010年

11月

25日

(木)

①

②

③

④

⑤

晴れ

気温

気温

23.5

水温

22.6

21.9

21.6

21.6

23.7

pH

9.97

9.88

9.86

9.56

COD

20

17

20

20

水温

15.7

15.8

14.7

15.8

15.8

9.8

pH

8.6

8.75

8.71

8.6

8.5

20

COD

12

12

12

15

12

硝酸 0.2未満 0.2未満 0.2未満 0.2未満 0.2未満

硝酸 0.2未満

0.2 0.2未満 0.2未満 0.2未満

リン酸 0.05未満

リン酸 0.02未満

0.02 0.02未満 0.02未満

種類数

0.05

0.05

11

8

13

0.05 0.05未満
9

13

種類数

10

11

表５

5

0.02

4

5

表９

2010年

10月

28日

(木)

16:00

①

②

③

④

⑤

天気 曇り時々 雨

天気

気温

気温

17.9

2010年

12月

16日

(木)

①

②

③

④

⑤

曇り
6.5

水温

18.1

15.5

15.6

17.5

16.9

水温

7.6

7.5

7.5

7.4

8.1

pH

9.81

9.66

9.73

9.71

9.68

pH

7.89

8.75

7.91

7.51

8.01

COD

18

15

18

20

19

COD

6

5

5

5

8

硝酸

0.2 0.2未満 0.2未満

0.2

0.2

硝酸

0.2未満 0.2未満 0.2未満 0.2未満 0.2未満

リン酸 0.05未満 0.05未満 0.05未満 0.05未満 0.05未満

リン酸 0.02未満 0.02未満 0.02未満 0.02未満 0.02未満

種類数

種類数

4

5

表 10 観察されたプランクトン
藍藻

緑藻

鞭 原生生物

珪藻

ワムシ

節足動物
ィ

ォ

フ
ス セ
S
テ タア
ケ
フアア タ ネ
フ
A
ウ
リ
ト
ラ
.
ヅ
M
M ナナ ウ デ
アヒ
ツ
ウ
ヒ
ア
ン
チ
ゾ
ラ ノラ .
チ
ホサジ
クス
メミ
シ リ
ヒゲ
ミ
. M M M . ルベベ ラ ド ス
グ
ス クコア
ウ ス
ヒ
カ
ヨ
ウ
ン
ハシサ ハ
ノ メケ
チチ
ナ ド ハテネロ ニフ ゲナゾ. イ ミ ナナ スルム
ベ
ビ シ アサポ ヒ セ ンミ
ム パ カゾナ ツゲ
メツ. .
エ クデ ･ ・ ア ト スオヤラ ビン イ ビ リ ガ ノ ウネ ・ シ ニ ン ウ ノ オ ベ 特ボナガ リ ノ ナマズヅウア ク ナガウ ロジネン
デノビシゼ
ルチ マ フ ・ ル ･ ミ ミ ・ ミ ラ グケ タ ハジケ ヒ デ チ パ リ ス バ カ 定 ワガネ ゾ コ ビ リ ミ ノ デ タ ロ不ガケ ミ ノ ン コ ミ 不ン
バリン
ギオウク ロ リ ム オ ド ド ラ ド ･ ア イ ケケケ イル デ ネ ム フ ラ ム 不ムワズウワワワワツワ ワ明 ミ ン ジ ロ 卵コゼジ 明
テセデベノ ブムロ スム ･ ポロ ロ ク ロ ウア ソ イ イ イ ソ ン ウ ラ シ ン リ 可 シム ミ リ ムムムムボム ・ ム ジ ミ ン ？モ ミ ン
モ
ウソソソウ
ウ
リチ
ワム シシシワ ミ シ ンジ コ
ジコル
ラ ･ スアネセ リ
ン変
デ ム
シ
シ
シ
ド
ス
キス
フ
ウウウ
コン
ム
ウウ
ムシ
ム ナ
ン
ギ
ザ テポク チバ エ
ビ
ト
キ
変 種
ムム
シ
シ リ
コ
コ
ベヌ アカル ングネ
リエ ラ エ デルシ
種
ス
ア
ラ
ス
ムス
3
1
45
2
●● ○
●●○
2010/07/13(火)① ○
1 ●●○
3
8
16
② ○○
●
○
1
1
6
20
③ ○○
●
○
●●○
3
18
1
④ ○○
●
●●○
1
50
1
⑤ ○○
●
●●○ 1
1
1
1 7
1
#
149
4
合計
ュ

ー

ィ

ー

ェ

ィ
ィ

(

ョ

ィ

ー
ィ
ッ

(

ー

)

ィ

(

ェ

ー

ー

)

ィ

)

2010/07/21(水)① ○ ○
② ○○
③1
④ ○○
⑤ ○○
合計

○ ● 1
○ ●
●
○
●
●○
1

2010/08/05(木)① ● ○
② ●○
③ ●○
④ ③○
⑤ ③○
合計

●○ ○
②
●
○
②
②
○

2010/10/21(木)① ● ○
② ○○
③ ○○
④ ○○
⑤ ○○
合計

○
○
1
○
○ ○

○

1
1
○

○

1

1

3
2

2
7

1
1

○

○①○
○①○
○①○
○①○
○①○

3
2
2
6
8
21

1

1
5 4

1

1
2

1

5
1
2
2 9

1
2

2
2
2
1
3
#

1

1

20 2
59 1
103 9
27 3
36
344

1
2

2
2

1
1
5

1
2
7

1

○

○
○

○
○
○

○

●●○
●●
○●
●●○
○●○
○●
●○
●
○●
●

1

1

1
1
1

2

3

1

3
1 3

1

1

4
1
2
7

1

1

1

○2
3

1
1
2

2
1

○●
●

2010/11/04(木)① ● ○
② ●○
③ ○○
④ ●○
⑤ ●○
合計

7 2
10 2

8 3
9 3

2

3
8

1
● 1
1
3
1

1 1

1
5

○：複数確認

4 3
1

○●○
②①○
●●○
○①○
●①○

2010/10/28(木)① ○ ○
② ○○
③
④
⑤
合計

2010/11/25(木)① ● ●
② ●●
③ ●○
④ ●○
⑤ ●○

○●○
●●○
●●○
○●○
○○○

1
1 1 7

1

1

●：他の種類よりも多く確認 ①～②：特に多かったものの順を示す

12

以上より、次のことがわかった。
(1) 表 10 より、プランクトンは、特定の種類が急激に個体数が増える傾向にあった。
(2) 表 10 とグラフ 3 より、気温と水温が下がると、COD も低下し、個体数や種類数も減少した。また、夏場の暑い時期は特に動物プランクトンの数が増えた。
(3) 表 10 より、年中を通して藍藻類が多く確認できているが、緑藻類は少なかった。
また、珪藻類は、暑い時期に種類数、個体数ともに多く確認できた。
(4) 11 月 25 日の観察時に、顕微鏡下で受精卵と思われるのを複数個確認した。
(5) 冬場気温が下がると、池の水は澄み、夏
場気温が高い時期になると、濁りが濃くなっていた。
(6) リン酸、硝酸は年間を通して大きな変化はなかった。
(7) ①～⑤の各箇所おいて、pH は大きな違いはなかったが、COD は排水溝近くの④のみ、数値が低かった。

図３→
図４

図２

表 12

＜参考：2009 年 4 月から 2010 年 6 月までの観察・調査＞（１）調査・観察方法(1) 地点①において、アルコール温度計で気温、水温を測定する。
(2) プランクトンネットで約 200ml の水を採集する。
(3) 池から吸い上げた水で、パックテストを用いて COD を測定する。

天気 気温 水温 pH COD 硝酸 リン 種類数

2009/04/20(金) 曇り

22

22

2009/05/12(月) 晴れ

27

28

17

4

2009/06/08(火) 晴れ
2009/07/13(月) 晴れ

28

27

17

5

35

32

22

4

2009/08/21(金) 晴れ

32

30

20

8

2009/10/22(木) 晴れ
2009/11/09(月) 晴れ

23

20

30

10

24

18

20

4

2009/12/14(月) 晴れ

15

11

7

1

5

2010/01/13(水) 雪

2

3

5

3

2010/04/19(月) 曇り

20

18

7

16

17

7

2010/04/22(木) 雨

1217

2010/05/11(火) 雨

18

21

7.7

20

9

2010/05/18(火) 晴れ
2010/05/22(土) 晴れ

25

26

9.6

20

14

27

25

9.6

10

0.2

0.1

19

2010/06/07(月) 晴れ

25

26

9

10

0.2

0.1

18

2010/06/12(土) 晴れ

28

27

9.7

15

0.5

0.3

17

2010/06/15(火) 雨

24

26

9.7

20

0.2

0

11

(4) 学校に戻り、採集した水を用いて pH を
測定する。

図５

(5) 採集した水 40ml を遠心分離し、沈殿したプランクトンをプレパラートに２滴ドロップし、スライドガラスを３枚作成する。
(6) ３枚すべてを隅から隅まで顕微鏡で観察し、発見したプランクトンを記録する。

（２）調査・観察結果
結果は、以下のとおりである。
表 11
藍藻

緑藻

珪藻

鞭 原生生物ワ ムシ

フ
ウ
ヒ
ツ
テ
メ ミ
ツ
シ
リ ヒ ゲ
ヒ
カ
マ
ヨ
ハ
ナド
ノ ネロ
ニゲ ナ
ツゲ
メ
リ
ツ
ガリ
テズヅ
ナ
アナ ガ
ボナ
ノ
ワ
ウ
マ ミ ノ
ネゾ
ビ
タガ ケ
コ
ム
デ
ワガ
ズウ
ワ
リ ワツ
ミ ン
ワ
ムワ
ワ
シ
ム
ミ リ
ワムボ
・ ジ ミ
ム
シム
モ
ム
ワム
シ
ムシ ワ
ミン ジ
シ
ド
シ
シ
シ
ム
ナコ ン
ムシ
キ
シ
シ
リ
コ
ス

ー

ィ
ィ

ィ

(

ィ

ェ

ー

)

ィ

10/05/11(火)● ○10/05/18(火)● ○ ○10/05/22(土)● ○ ○ ○10/06/07(月)● ○ ○10/06/12(土)● ○ ○ ○ ○10/06/15(火)● ○

ー

ィ

ー
ー
ィ
ッ
ー

09/04/20(金)○09/05/12(月) ○09/06/08(火) ○ ○ ○ ○09/07/13(月) ○○09/08/21(金)○ ○ ○09/10/22(木) ○ ○ ○09/11/09(月)○ ○ ○09/12/14(月) ○10/01/13(水) ○○10/04/19(月)● ○ ●○10/04/22(木) ● ●○○○節足 動 物

ィ

ォ

ス
セ
S
テ
ア
ケ
フアア タ
ネ
.
ト
ウA
ラ
M
M
ナナウ
デ
.
ド
ラ
ラ
チ
ホサ
チ
. M M M . ルベベ ラ ルスス
コア
ウ ス
. イ ミ ナ ナ ス シ ムアサポ ヒ セ ン ハシ サ ム パ ン カベ. .
エ ク デ ･ ・ ト デス オヤ ラ ビ イ ビ リ ガ ノ ・ シ ニ ン
ノビ
･
ケタハ
チ
マフル
ルチ
ゼ
ミ ミ ・ ミ ラグ
ン
ヒ デ パ
バリ
デ
ン
ギオウ ク ロムテオ ド ド ラ ド ･ ア イ ケケ ル
ネ
セデ
ム
ロ
ス
･
ポ
ソ
イ
イ
ベ
ノブ
ロロクロア
ン ウ
ラ
ウソソ
ウ
ル
ラ ･ スアセフ リ
ス
ン変
デ ム
キス
テポ クバ
エ
ウウ
ム
ザ
ギ
ト
ビ種
アル
ン
ベヌ
ル
リ
グ
ネ
エ ラ エデ
シ
ム
ス
ア
ラ
ス

ゾ
ウ
ミ
ジ
ン
コ

ア
ゾ
ミ
ウ
メ ケ
ミ
ネ ン
ジ
ノ
コ ミ
ン
ロ
ゼ ジ
コ
ミ ン
モ
ジ コ
ド
ン
キ
コ

○

○○
○
○

○
○○
○○○
○

○
○
○

○

○

○

○○

○
○ ○
●○○
○ ○
● ○
○

○●○
○
プ
ラ
ン
○ ○
○ ○
○ ○
○ ○
○○
○○○
○●● ●○○○● ○●
●○○

○○○
ク

ト

1
2

2
4
6 1
38

○
ン

ネ

○
ッ

1

ト

変

1
8

○

○
○ ○
○ ○ ●

○
○
○

更

4
●●

3
7
2

○

1 1 1 1○91 11
91
33 3 42
1 1
1
1
11
27
7
5

Ⅱ.クロロフィルの抽出実験

表 13 はそれぞれの植物プランクトンが（１）実験方法

どのクロロフィルを保有しているかを示し①プランクトンのろ過たものである。保有しているものに○をつ実験Ⅰ(1)と同じ方法で採集した水 200mlける。

をメスシリンダーで測りとり、ろ過装置でろ過をする。このろ紙の吸着物を使用する。
②90％アセトンの作製90%のアセトンを 60ml つくる。

表 13 ( [4]参照)③クロロフィルの抽出①でろ過したろ紙を、ろ過した面が下に（３）実験結果なるように、90%アセトン 50ml を入れた
ビーカーに入れ、超音波洗浄機で 30 秒間洗浄する。
④吸光度の測定
２本のセルに、③の上澄み液と 90%アセトンをそれぞれ３分の２ほど入れ、分光光度計で 750nm，663nm，645nm，630nm
で吸光度を測定する。
⑥クロロフィル数の測定

上澄み液 90%アセトン

2010.11.06
750nm

0.0742

0.0568663nm

0.15720.0715645nm

0.11120.0713630nm

0.10450.0742

このとき、A=0.0638，B=0.0225，C=0.0129
これを代入して計算すると、Chl.a=34.8，Chl.b=8.66，Chl.c=0.67となる。

上澄み液の測定値から、90%アセトンの測 定 値 を 引 き (引 い た も の を そ れ ぞ れ の波長における測定値とする)、以下の式に数値を当てはめてそれぞれのクロロフィ
ル量を算出する([1]参照)。

上澄み液 90%アセトン

2010.11.27
750nm

0.0634

0.058

663nm

0.11680.0695645nm

0.09050.0695

630nm

0.087

0.072

このとき、
A=0.0419，B=0.0156，C=0.0096

Chl.a （ 11.64A-2.16B＋0.10C） a÷(VL)
Chl.b （ 20.97B-3.94A-3.66C） a÷(VL)
Chl.c （ 54.22C-14.81B-5.53A ） a÷(VL)

これを代入して計算すると、Chl.a=15.1，Chl.b=6.34，Chl.c=2.88となる。

・A＝750nm の測定値－663 nm の測定値
・B＝750nm の測定値－645 nm の測定値
・C＝750nm の測定値－630 nm の測定値
・V＝濾過量 = 0.2 L
・L＝セルの長さ = 5 cm
・a＝アセトン溶液の量 = 50 ml
このとき、上澄み液の測定値から、90%
アセトンの測定値を引いておく。

上澄み液 90%アセトン

2011.01.29
750nm

0.07040.0634663nm

0.08650.0743645nm

0.08370.0746630nm

0.0856

0.0768

このとき、A=0.0052，B=0.0021，C=0.0018
これを代入して計算すると、

Chl.a=2.8，Chl.b=0.85，Chl.c=1.89

しているか調べる。

※Chl はクロロフィルの略である。
（１）実験方法
図６① A：水道水、B：水道水(滅菌済)、C：
蒸留水、D：蒸留水(滅菌済)、E：汲み置き
水、F：汲み置き水(滅菌済)をそれぞれ用意する。
② A～F を、試験管に 10ml ずつ入れ、ハ
イポネックスを１，２滴入れる。
③ A～F にそれぞれ 0.3ml ずつ遠心分離した資料を入れる。
④ 23℃の常温庫で５日間保管する。
⑤ ５日後 A～F をそれぞれ約 3 ml ほど遠
心分離し、顕微鏡で観察する。
（２）実験結果
表 14
藍 藻(1)図６より、11 月から 1 月にかけて、植物

ィ

ァ

る。
(2)クロロフィル b をもつ緑藻類は減少して

ア
ミ
ウ
ク
ロ
テ ラ
キ
ト コ
M
ス
ラ セ
ホ ジ ヌ
･
テ M
ア ス イ
サ
イ フ ポ ラ ハ シ･リ ガ ウ ガクス ノラ ･ケ タ ジ タチ･ バ
ノ ･ ア
イ ケ ケ ケオ
ベ セ
カ ラ ン
ソ イ イ イブビ
プ ク
ウ ソ ソ ソ
ラ
サ ス グ
ゼ キ
ウ ウ ウ
ト ア
ン
ベ
リ
ベ
ス 変
ル
ギ
種

ュ

プランクトンの数が減っていることがわか

緑 珪 藻

ー

いる一方で、クロロフィル c をもつ珪藻類

ッー2010/4/26は増加していることがわかる。

((3)緑藻類が表 10 の結果よりも多いことが

ー

わかる。

)

水道水

Ⅲ．プランクトンの培養及び純粋培養
培養班の目的は、今までのデータから、猿沢池には藍藻類が多いことがわかったので、その藍藻類を増やし、特徴を調べるこ

水道水 滅菌

●
○

△
△

○

○ ○

○

○

蒸留水

○ ●

○ ○

蒸留水 滅菌

○ ○

△

汲み置き水

○ ○

汲み置き水 滅菌 ● ○△△ ○ ● ○
○ ○ ○とによって池の環境を推測することである。 ●…多く確認された ○…確認された△…少数確認されたⅢ‐１．実験その 1
身近な水のなかで、どれが一番培養に適表 14 より、汲み置き水もしくは B では

他に比べて種類数が多く確認できた。それに比べ、D ではミクロキスティス属以外ほとんど確認できなかった。

Ⅲ‐３．実験その３
プラナリアなどを培養する際によく使われる Volvic と、SMB（繊毛虫類の生理食塩水）中でプランクトンの培養を試みる。

Ⅲ‐２．実験その２

また、SMB と Volvic の成分は表 17 の通どの液性のものが、珪藻や藍藻が増えやりである。

すいのかを調べる。

Volvic SMB（１）実験方法

Mg

0.33

0.1

Na

0.5

1.5

Ca

0.29

0.4

K

0.16

0.05 (mM)① 蒸留水に pH 計で測りながら NaOH
を加え、pH 9 のアルカリ性水溶液を作る。
② 蒸留水に pH 計で測りながらストローで

表 17

息を吹き込み pH6.2 の酸性水溶液を作る。
③ ①と②で作った水溶液と、中性の蒸留水（１）実験方法

を試験管にそれぞれ 10ml を３本ずつ取る。

①Volvic 500ml、SMB 500ml にそれぞれ遠④ 各水溶液に、それぞれ 1 ml の遠心分離

心分離済みの試料を 5 ml ずつ加える。

したプランクトンを入れ、23℃の常温庫で②そのまま常温で３週間保管した後、顕微７日間保管した後、顕微鏡で観察する。

鏡で観察する。

（２）実験結果（２）実験結果

表 15

表 18
藍 藻 緑 藻○ ○2

1 15 1 4

pH：7.651

アルカリ性 16 1

3

5 1

ィ

3

セ ク
ネ ン
デ シ
ス
ム ウ
ス モ

セ
レ
サ ナ
ハ
コ
ハ サ ス
ル
ル
リ ノ ト
ン
ピ
ケ ハ ル
ト
デ
イ ケ ム
マ
ソ イ
ン
ウ
ウ ソ グ
ネ
ム
ウ ラ
ラ
キ
レ

水温：10.8℃)

中性 8Volvic 珪 藻 緑 原 生

(

ィ

ー

酸性 5

SMB 緑 藻

ョ

ッ

ー

ア
ウ
テ ラ
ト コ
ラ セ
ホ ジ
ス イ
ハ シ
サ ポ ラ
リ ガ ウ
ヤ ラ ･
ケ タ ジ
ミ ・ ア
イ ケ ケ
ド ラ ン
ソ イ イ
ロ ク ビ
ウ ソ ソ
ス グ
ウ ウ
ト ア
リ
ス 変
種

ュ

ィ

ミ
ク
ス
ロ
タ
キ
ウ
ス
ラ
テ M
ス
･
ト
ス ノ
ル
2010/6/22 ･ バ
ム
ベ セ
･
セ
ゼ キ
バ
ン
ル
ベ
デ
ル
ギ

表 19

珪 藻

● ● ○ △ △水温：11.5℃

pH：8.42表 16
藍 緑 珪 計酸性 5

6 20 31中性 99アルカリ性 17

9 26

合計 33 6 29

(1) 双方の水は緑に濁り、水面に藻のようなものが張っていた。
(2) Volvic は全体的にみると SMB に比べ無機塩類が多く、見られたプランクトンの種

各表の数値は、個体数を表す。

類、特に珪藻類はケイ素がない所では発生しないのにも関わらず、多く確認できた。

Ⅲ．プランクトンの培養及び純粋培養(3) SMB では緑藻類が多く確認できた。

Ⅲ‐１．実験その 1
表 13 より、D にプランクトンが少なかっ

５．考察

たのは、蒸留水は栄養素となる物質をほと

Ⅰ.環境データとプランクトンの採集、観察

んど含んでおらず、さらに滅菌することに

図２，図３，図４のグラフと②～⑥より、

よってさらにプランクトンの栄養素となる

気温が上昇するとプランクトンの活動が活ものが無くなってしまったためと考えられ発になり、種類数個体数ともに増え、10 月る。

頃に産卵した後、動物プランクトンは気温

この実験での課題としては、プランクトの低下とともに減少し、植物プランクトン

ンの栄養素となるものを調べ、それらを加も減ることにより、池が夏場より澄んでい

えて実験することが挙げられる。

たのではないかと考えられる。
このことより、七不思議の『澄まずまた、今回動物プランクトンが確認でき
濁らず』の部分は、植物プランクトンが関係なかったため、それについての培養方法も調べていきたい。

しているのではないかと考えられる。
また、夏場に生物が活発化することによⅢ‐２．実験その 2り、池内に有機物が増え、養分が豊富にな

表 15 と表 16 から珪藻類は酸性の環境でったことで珪藻類が増え、池の濁りが増し、増えやすい傾向があり、藍藻類はアルカリ

光合成によって生きている藍藻類が珪藻類性の環境で増えやすい傾向があるというこよりも少なくなったと考えられる。

とがわかる。

今のところ、５か所の調査地点は、変化の様子はほとんど同じであり、大きな差はⅢ‐３．実験その 3

見受けられないことから、周囲の環境や排(2)より、無機塩類が多いとプランクトン

水溝などは池にさほど影響を与えていないが増えやすいと考えられる。珪藻類が増えと考えられる。

たのは、元々体内に持っていたケイ素、まリン酸と硝酸の値はほとんど毎回一定値た元々池の中にあったケイ素が試料の中にであり、猿沢池ではこれらはあまり重要で紛れ込んでいたためではないかと考えられないと考えられる。

る。また、(3) より、緑藻類は養分となる無機塩類が少ないところでも、日光さえ当た

Ⅱ.クロロフィルの抽出実験
11 月 27 日のデータより、a が c を上回っっていれば培養することができるのではな
いかと考えられる。

ていることと、毎回の観察（表 10）ではあまり緑藻類が観察されないことから、緑藻

６．今後の課題

類は持っているクロロフィルの量が多いとⅠ．環境データとプランクトンの採集、観考えられる。

察(1) データの欠落が多いので、管理やまとめ

を徹底する。

(1994)(2) 一週間に一度の採集を目標にする。また、 [4]『改訂版
次回採集時から、濁度の計測も行う。

フォトサイエンス生物図録』、

鈴木孝仁、数研出版(2007)(3) １時間おきに採集と観察を行い、時間単位での池の変化の様子を調べ、今までのデータと比較する実験を行う。

８．謝辞
今回の研究にあたり、実験や調査の方法(4) 『澄まず 濁らず』以外の七不思議も解を教えてくださいました、高津高校生物研

明していきたい。

究部の顧問の元根先生はじめ部員の皆様、(5) また、猿沢池の地理的状況について、役

指導してくださいました矢野先生、櫻井先所に問い合わせる。

生に、深く感謝申し上げます。

Ⅱ.クロロフィルの抽出実験(1) なるべく隔月で実験を行うようにする。
(2) ろ過実験の際の環境データを必ず採集時にとっておく。
(3) プランクトンの観察も行うようにする。
(4) 実験方法やろ過量などは、現在安定した結果が得られているので、この方法で実験を続けていきたい。
Ⅲ．プランクトンの培養及び純粋培養
珪藻類、緑藻類は培養の手掛かりをつかむことができたので、さらに研究を進め純粋培養が出来る段階までもっていきたい。
藍藻類は上手く培養できなかったので、研究をすすめ、藍藻類の純粋培養を進めたい。

７．参考文献[1]『新編 湖沼調査法』、西條八束、三田村
緒佐武、講談社サイエンティフィク(1995)[2]『やさしい 日本の淡水プランクトン
図解ハンドブック』、一瀬諭、若林徹哉
合同出版株式会社(2005)[3]『奈良公園内の池沼、河川の水質』、一伊達統、久良美幸、上岡岳、奈良教育大学

フタヅノクンショウモ(変種)

プロトプラストの作成と細胞融合
４年Ｂ組 東美弦

４年Ｂ組 藤岡 侑里
４年Ｂ組 細井 映美
４年Ｂ組 増田 奈津実
指導教諭 矢野 幸洋

１．要約
さまざまな植物の細胞を、細胞壁を分解して薬品を用いて融合させることに成功した。
その結果、植物の種類によってプロトプラストのできやすさや細胞融合のしやすさに差があることがわかった。
キーワード プロトプラスト、酵素液、細胞融合、細胞融合液、遠心分離

２．研究の背景と目的

ンニトール 13.2 g をメスフラスコに入れ、酵素液によって細胞壁を分解した状態の蒸留水を加えて酵素液 100 ml を作る。ビー

細胞を「プロトプラスト」という。異種のカーに細かく刻んだ試料、酵素液を入れて植物のプロトプラストを混ぜ合わせて薬品

25℃に設定したインキュベータに入れ、一で処理すると、プロトプラスト同士がくっ晩放置後おだやかに撹拌する。液をホール

ついて細胞融合が起こり、雑種細胞が作ら

スライドガラスにとって顕微鏡で観察する。

れる。これまでにも、細胞融合によって、ジャガイモとトマトの雑種である「ポマト」＜細胞融合液の作成手順＞

やオレンジとカラタチの雑種である「オレポリエチレングリコール 33 g、グルコー

タチ」、ハクサイとキャベツの雑種である

ス 3.6 g、塩化カルシウム 0.05 g、リン酸二「バイオハクラン｣などが作られている。こ水素カリウム 0.01 g に蒸留水を加え、100

れらの同じ科の植物同士による細胞融合に

ml にする。これを「細胞融合液」とよぶ。

よる新植物の開発は既に行われていたが、今回私たちは様々な違う科同士の植物を用いて細胞融合を行い、新種の植物の雑種細胞の作成を試みた。

＜融合の手順＞
プロトプラストが入った酵素液をろ過してから、遠心分離を行って、濃縮されたプ
ロトプラストを含む液を作る。

３．研究内容＜プロトプラストの作成手順＞
セルラーゼ 1 g、ペクチナーゼ 0.4 g、マホールスライドガラスの二ヶ所にプロト
プラストの入った液を１滴ずつ滴下した後、その間に細胞融合液を１滴滴下する。細胞

が崩れないように気をつけながらゆっくり日ずらした。その結果を次に示す。

と混ぜ合わせる。10 分位放置した後、混ぜ合わせた液にカバーガラスをかけて顕微鏡

表２ 実験２の結果で観察する。

２日目

３日目

色

○

△

橙

ホウレンソウ○

緑

材料に、ホウレンソウ、サツマイモ、ニ

ジャガイモ

×

－

ンジンを用い、その結果を示す。数字は酵

ダイコン

×

－

ニンジン
＜実験１＞

素液に入れてから経過した日数を表す。
１日目にニンジンだけを酵素液に入れ、
表１ 実験１の結果

２日目にホウレンソウ、ジャガイモ、ダイ

２日目

３日目

色

ホウレンソウ

○

△

緑

サツマイモ

×

×

－

ニンジン

×

○

橙

コンを酵素液に入れた。

○…プロトプラストができた△…プロトプラストが分解され過ぎていた×…プロトプラストができなかった－…不明
図２ ニンジンのプロトプラスト

図１ ホウレンソウのプロトプラスト＜実験２＞

図３ ホウレンソウのプロトプラスト

材料にニンジン、ホウレンソウ、ジャガ
イモ、ダイコンを用いる。
実験１から、ニンジンはホウレンソウよりもプロトプラストができるのが遅かったので、同じ日にプロトプラストができて融合できるように酵素液に入れる日にちを１

ニンジンとホウレンソウのプロトプラス
トを細胞融合させたところ、うまく融合できなかった。

図６ ブロッコリーのプロトプラスト
図４ 分解されたニンジンの次に、以下の組み合わせで細胞融合を行プロトプラストった。その結果を示す。

＜実験３＞

表４ 組み合わせと実験結果

実験２より、ニンジンのプロトプラスト

ニンジンとホウレンソウ○

は酵素液に入れて２日目には分解されすぎ

ホウレンソウとブロッコリー○てしまうことがわかったので、酵素液に入ニンジンとブロッコリー

×

れる日は、ずらさないことにした。

○…細胞融合ができた、×…できなかった

材料にはニンジン、ホウレンソウ、ジャガイモ、ブロッコリースプラウト（ブロッ
コリーと表示）を用いた。その結果を次に示す。
表３ 実験３の結果
ニンジン○

ホウレンソウ

○

ジャガイモ

×

ブロッコリー○

図７ ホウレンソウとブロッコリー
の細胞融合
＜実験４＞
材料にサニーレタス、ニンジン、サザン
カ、チンゲンサイ、ハクサイ、アスパラガ
ス、ホウレンソウを用いた。その結果を次
に示す。(
す。

図５ ホウレンソウのプロトプラスト)内はプロトプラストの色を示

表５ 実験４の結果
プロトプラストの可否
ホウレンソウ○

サニーレタス

○

(緑と赤)

サザンカ

○

(ピンク)

チンゲンサイ

○

(緑)

ニンジン

○

ハクサイ

×

アスパラガス×

図９ サニーレタスとニンジン

次に、以下の組み合わせで細胞融合を行った。その結果を示す。
表６ 組み合わせと実験結果
チンゲンサイとサニーレタス

×

チンゲンサイとニンジン○

チンゲンサイとサザンカ◎

サニーレタスとニンジン○

サニーレタスとサザンカ◎

ニンジンとサザンカ○

図 10 サニーレタスとサザンカ①◎は特に明確に確認できたもの。
図 11 サニーレタスとサザンカ②
酵素液を入れて２日目に観察したものの中で、きれいに融合できたものを、翌日もう一度観察したところ、全体的にプロトプ
ラストの数が減少していて、チンゲンサイとサザンカ、サニーレタスとニンジンは分
図８ チンゲンサイとサザンカ

解され過ぎていた。

編、啓林館(2004)[2]「わかりやすいバイオテクノロジー」三位正洋、評伝社(1985)
７．謝辞
サイエンス研究会生物班の活動において、
図 12 チンゲンサイとサザンカ

矢野先生には多大なご指導を賜りました。
この場で深く感謝申し上げます。

図 13 サニーレタスとニンジン
４．考察
サツマイモ、ジャガイモ、ダイコン、ハ
クサイ、アスパラなどの硬くて色が薄い植物ではプロトプラストが確認できなかった。
植物の種類によって多少の差はあるが、酵素液に入れてからほぼ１日できれいなプ
ロトプラストができる。また、硬い植物より柔らかい植物のほうが、プロトプラスト
ができるまでの時間が短いことがわかった。
ツバキ科とアブラナ科、ツバキ科とキク科の植物同士で、特に明確に細胞融合が観察できた。他にも、違う科の植物同士で細胞融合が観察できたため、同じ科同士でなくても細胞融合は行えることがわかった。
５．今後の課題
今回、細胞融合に成功したので、実際に雑種植物の栽培についての研究を進めたい。
６．参考文献[1]「高等学校生物Ⅱ」太田次郎、本川達雄

音波と植物の成長の関連性
５年Ａ組 小山 諒子
指導教論 矢野 幸洋

１．概要
巷で「植物に音楽を聴かせるとよく育つ」や「モーツァルトの曲が特に良いらしい」などといわれているのを耳にすることがある。しかしそれが本当かどうか、真偽を科学的に調べたいと思い今回の研究を行った。
キーワード

植物、成長、音楽、音波

２．研究の背景と目的

３.

研究内容

人間は音楽を聴くと気分が高揚したり、一定の周波数の音波を出し、その音波に落ち着いたりする。これは音楽が人間の脳近い場所に置いた植物、少し離れた場所にに影響を与えているからであり、その効果

置いた植物、ほぼ無音の状態の場所に置いは音楽療法という分野でも証明されている。

た植物の間に、成長の差が見られるかを調

しかし、脳を持たない植物にも音楽は影響べた。

するのだろうか。
「植物に優しい言葉をかけて育てるとよ
く育ち、逆に罵ると枯れてしまう」というまた、条件を揃えるために今回はカラス
ムギの種子をあらかじめ発芽させておき、長さを切り揃えて実験に用いた。

俗説がある。以前、それを自宅のパンジーを使って試したところ、罵った株は枯れず、４.

どちらの花もほとんど差はなくきれいに咲＜準備＞いたことがあった。

①雑巾にカラスムギの種子を 100 粒程撒き、よって、要約で述べた、「植物に音楽を聴実験

２～３日おいて発芽させる。

かせるとよく育つ」という説も本当かどうか疑わしく思えてきた。
そこで私は、まず「音波」が植物の成長に影響を与えるかどうか調べることにした。

②芽が 10cm ほどに伸びたもの(図１)を摘み取り、先端 10 mm を切り取って実験前の芽の長さを全て同じにしておく。

また、仮に植物に音波を当て続けることによって成長に変化が見られるというぼので③切り取った芽の先端を１つずつ、水を張あれば、音が植物のどの器官に影響を与えったフィルムケースに入れる (図２) 。このているのか、直接的な要因を突き止めたい

ようにして、水分不足および重力の影響をと考えて今回の研究を行った。

受けないよう工夫した。

④音源装置(図３)を発泡スチロールの音源装置

フィルムケース

箱の中に置く。
⑤10 mm に切り揃えた芽の入ったフィル
ムケース(図４)を音源装置のスピーカー部
分に近い場所(半径 5 cm～10 cm)と少し離れた場所に各数個ずつ設置する。
⑥箱の蓋を締めて外部からの音と光を遮断し人気のない静かな場所に置く。このとき、箱に布を被せて音が漏れにくくした。
＜実験＞⑦箱の中の音源装置から周波数 1 kHz の音
波を絶えず流し続け、日を置いて芽の長さを測定する。

図３ 音源装置を入れた箱内部の模式図⑧対照実験として、別の発砲スチロールの箱に数個のサンプルを置いて蓋を閉め、外部からの音と光を遮断して人気のない静かな場所に置く。こうすることによって、なるべく無音の環境を作った。

５．仮説
実験を行うにあたって、３つの仮説を立てた。
なお、スピーカーに近い場所に置いたケースを A，少し離れた場所に置いたケースを B，対照実験に用いたケースを C とする。

図１

＜仮説１＞

発芽・成長した「音が芽の成長を助長し、芽は A, B, C

カラスムギの順に早く成長する」＜仮説２＞「音が芽の成長を妨げ、芽は C, B, Aの順に早く成長する」

図２
フィルムケースに＜仮説３＞

入れた芽の先端「音は芽の成長に影響を及ぼさず、A,
B, C の成長の早さに差は見られない」

６.

観察結果

日ごとに観察した芽の長さの測定結果を表にまとめ、長さの平均を求めた。それから、どの長さの芽がどれくらいあるかを集計し、グラフにまとめた。

表１ 実験結果

一日後(cm)Ａ
Ｂ
Ｃ
1.3 1.1 1.1
1.1 1.2 1.2
1.2 1.3 1.4
1.3 1.3 1.3
1.1 1.1 1.3
1.1 1.2 1.5
1.4 1.1 1.4
1.3 1.4 1.2
1.2 1.3 1.3
1.3 1.4 1.3
1.4 1.2 1.2
1.3 1.2 1.1
1.2 1.3 1.4
平均 1.25 1.24 1.28
一週間後(cm)
A
B
C
1.7 1.5 1.7
1.8
2 1.8
1.3 1.72
1.6 1.8 1.8
1.9 1.92
1.8 1.7 1.72
2 1.9
1.8 1.82
1.5
2
2
1.8 1.9 1.4
1.9 1.8 1.8
2 1.6 1.9
2 1.7 1.5
平均 1.78 1.8 1.81

二日後(cm)A
B
C
1.2 1.4 1.5
1.4 1.4 1.2
1.4 1.3 1.5
1.3 1.3 1.4
1.2 1.5 1.3
1.5 1.4 1.2
1.2 1.4 1.4
1.4 1.3 1.3
1.5 1.4 1.3
1.4 1.3 1.4
1.4 1.3 1.3
1.3 1.2 1.3
1.4 1.3 1.4
平均 1.35 1.35 1.35

図４ 実験結果のグラフ
縦軸：本数(本)／横軸：長さ (cm）

７.

実験結果

伸びた芽の長さを測っていったところ、３種類とも伸び方や長さの平均値には大きな差は見られなかったが、長さと個体数の分布を調べると、１日後は差がないが２日後には差が見られた。
平均値だけを見ると今回の実験では、
仮説３「音は芽の成長に何の影響も及
ぼさず、A, B, C ともに成長の早さに差は見られない」が正しかったといえる。
しかし、長さと個体数の分布の面から見て見ると、何も影響がないと言い切ること連性があるかどうか大まかな傾向を掴んでみてから精密な実験を行うこともよいであろう。

もできないように思われた。

10.
８.

考察

謝辞

今回の研究・実験を行うにあたり、実験装

実験では大きな差は見られなかったもの

置と「音」についての情報を提供して下さっの、ごく僅かな変化が起こっているかもした物理の米田先生、そして多大なご指導、丁れないということを考えた。それに今回の寧なアドバイスをして下さった指導教論の実験で用いた個体数はそれぞれ 10 数個程

矢野先生に、この場を借りて深く御礼申し上度だったので、かなり大雑把なデータしかげます。本当にありがとうございました。

取れなかったようにも思う。
また、「音波は植物の成長に何の影響も及ぼさない」という結論はあくまで今回の実験においての話なので、例えば土に根を張った植物を用いる、音源装置の周波数を変える、音波ではなく何らかの楽曲を流すな
ど、条件を変えるとまた異なった結果が得られるかもしれないと考えた。

９．今後の展望
今回は、対象植物に切り揃えた芽を用い、音源に単調な音波を用いて実験を行った。
しかし、条件を変えると結果も多少は変わるのではないかという仮説を立てた。今後の実験では、・個体数をもっと増やし、実験データをより確かなものにする・果物、花をつける植物を使う（味や色に変化はあるかを見る）。
・成長したものを用いるのではなく、種子または球根の状態から実験を行う。
・単調な音波ではなく、ヒーリング効果があるとされている楽曲を流す。
などのことを試してみたい。
それから、最低限の条件だけを揃え、関奈良公園のフン虫の研究
３年Ａ組 高田 桃子
３年Ｂ組 室 采音
３年Ｂ組 薮内晶友美
３年Ｃ組 宮井 萌子
３年Ｃ組 寒河 智美
指導教諭 矢野 幸洋

１．要約
フン虫はにおいを手がかりにしてフンに集まる。フンのにおいが弱い時や紙粘土で作った偽のふんでも、フンに近い色に集まった。地面の色については生活している場所に近い色に集まった。ASTY Camp における生物ワークショップでの実験、観察の結果を紹介する。
キーワード フン虫、シカのフン、色、におい
２．研究の背景と目的(図１)を使って実験を行なった。

私たちの通っている学校は奈良公園の近

具体的には、フン虫がフンを巣まで運ぶ

くにあり、登下校の時は鹿を見かける。鹿ときに、フンを何によって判別しているののフンは牛や馬のフンに比べて、虫が集まか、においなのか、色を区別しているのかっているところをあまり見ない。しかし、などについて調べた。

鹿のフンにも虫が集まるということを矢野先生から聞き、そのフン虫について興味を持った。
夏休みにフン虫について韓国や台湾の生徒とともに研究する ASTY Camp という機会を私たちは得た。7 月 30 日に予備調査を行い、8 月 17 日～8 月 22 日まで本調査を行った。調査をしているときに、フン虫が

図１ ルリセンチコガネ

フンを巣まで運ぶところを見つけ、ビデオに撮ることができた。

３．研究内容フン虫には「フンの中で生活するもの」＜実験Ⅰ＞フンの色およびにおいについてと「フンを巣に運び生活するもの」の２種の研究類がいる。今回、私たちは「フンを巣に運（１）目的

び生活するもの」であるルリセンチコガネ

フン虫はフンの色とにおいのどちらによっ1

て自分に必要なフンを区別しているのかを（４）結果調べる。そのために人間にとってにおいの４匹のフン虫がフンに近づいた延べ回数

異なる湿ったフン、乾いたフン、アクリルを次に示す。

絵の具、食紅を用いた。
6

（２）仮説

4

フン虫はシカのフンを色ではなく、におAB

2

いで区別しているのであろう。

0

無着色

食紅

ピンク 黄緑（３）方法①奈良公園に行き、においが強いものとし

図２ 実験結果て湿ったシカのフン、においが弱いもの
として乾いたシカのフンおよびフン虫を湿ったフンの無着色、食紅、ピンク色の採集する。

絵の具、黄緑色の絵の具の順に多く集まり、②食紅、アクリル絵の具(ピンク色と黄緑

フンを食べていた。乾いたフンには無着色色)を使ってフンに色をつけ、下表のよでも集まらなかった。

うに記号で表す。
表１ フンの乾湿と色の分類
無着色

湿った
フン
乾いた
フン

※１

食紅

ピンク

(紅色)

色

黄緑色

A1

A2

A3

A4

B1

B2

B3

B4

図３ 無着色のフンに集まり食べている様子ピンクと赤はフンの色（茶色）に近い色として、黄緑は草に近い色として使用した。
※２ 人間にとってのにおいの強さは
アクリル絵の具＞湿ったフン＞乾いた
フン＞食紅 となった。
③白色のトレー（縦 20 cm×横 30 cm）にフン虫を４匹と A1 と B1 を入れ、30
図４ 食紅のフンに集まり、分間観察する。また、A2 と B2、A3 と食べている様子

B3、A4 と B4 についても同様に行う。

2

②①でつくった偽のフンを緑色と茶色、緑色と白色、白色と茶色の組み合わせ
でそれぞれを順にケージ(縦 25 cm×横70 cm×高さ 30 cm)の中へ入れる。
③フン虫８匹を２種類の偽のフンが入っている②のケージの中へ入れる。
④フン虫の行動を観察する。
図５ 黄緑のフンを食べている様子[Ⅱ-b]地面の色を変える①フン虫が普段住んでいる地面の色(茶色 )の折り紙とその他 の色(今回は 桃
色・白色・緑色・紫色・黒色・黄色)をそれぞれ１枚ずつケージに入れる。
②①のケージの中へフン虫８匹を入れる。
③フン虫の行動を観察する。
図６ ピンクのフンを食べている様子（４）結果[Ⅱ-a] 偽のフンの色を変える＜実験Ⅱ＞フンの色と地面の色についての

偽のフンを入れた時のフン虫の様子を次研究の表に示す。

（１）目的
フン虫は地面の色やフンの色が違った場

表２ 実験Ⅱ-a の結果合において、どのような行動をとるのか調
色の組み

緑色と茶

緑色と白

茶色と白

合わせ

色

色

色

りして実験する。

フン虫の

茶色の方

どちらに

茶色の方

（２）仮説

様子

に近づき

も近づか

に近づき

フンの色が茶色ではなく、他の色ならば

フンの下

な か っ

フンの下

フン虫は寄り付かないだろう。また、地面

に穴を掘

た。

に穴を掘

も同様に自然に近い色(茶色)ではない色に

ろうとし

ろうとし

は寄り付かないだろう。

た。

た。

べる。そのために、フンの形をした紙粘土で偽のフンを作ったり、地面の色を変えた（３）方法[Ⅱ-a]偽のフンの色を変える①紙粘土とアクリル絵の具を用いて、茶色・緑色・白色のフンをそれぞれ複数個ずつつくる。

3

めの方は端のほうをゆっくりと動いて、しばらくして移動する場所に違いが見られた。

図７ 緑色と茶色で茶色に近づくフン虫
図９ 茶色と白色では白色に多く集まった

図８ 白色と茶色で茶色に近づくフン虫[Ⅱ-b] 地面の色を変える

図 10 茶色と黄色では茶色に地面の色を茶色と他の色とを比較した時多く集まったのフン虫の様子を次の表に示す。
４．考察
表３ 実験Ⅱ-b の結果（１）フンの色とにおいについての研究に

地面の色

茶

茶

茶

茶

茶

茶

ついての考察

(折り紙

と

と

と

と

と

と

・においが強い湿ったフンにフン虫が多く

の色)

桃

白

緑

紫

黒

黄

集まり、乾いたフンには全く集まらなか

フン虫が

茶

白

茶

茶

茶

茶

ったことから、フン虫はにおいによって

移動した

色

色

色

色

色

色

フンを見分けると考える。
・アクリル絵の具と食紅で着色したもので

色

は、アクリル絵の具のにおいが強くフンのにおいを弱くしてしまい、その結果食

表３のフン虫の行動は半数以上が移動し紅の方が多く集まったと考える。

ている色を示し、ほとんどが茶色へ移動し・食紅とアクリル絵の具でもフン虫の何匹た。白色へ移動した場合でも、何匹かは茶かは近づいており、しかも色によってフ色にも移動していた。

ン虫が近づいた数が違うので、色もある

また、すべての色において、フン虫は始4

程度は区別していると考える。

公園の自然、奈良教育大学(1994)

・フン虫が湿ったフンに、乾いたフンより[2]「糞虫」、谷 幸三、母と子のための奈良も多く集まってきたのは、本当ににおい

県の動物、奈良新聞社(1976）の違いだけなのか、湿ったフンの栄養成[3]「奈良公園」、谷 幸三、自然観察路ガイ分が多いことやフンのかたさなども原因

ド、平凡社(1984)となっていないか疑問点が残る。
７．謝辞（２）フンの色と地面の色についての研究

春日大社の皆さんには、快く飛火野の実についての考察験観察の許可証を発行していただきました。

・フン虫は、偽のフンでも地面の色でも茶感謝申し上げます。

色に多く集まったことから、フンを色の活動とまとめにおいては矢野先生のご指違いによって区別していると考える。

導を賜りました。また、現地での観察と討・フン虫は茶色の偽のフンの下へもぐろう

論では櫻井先生、本校卒業生の村井さんおとしていたことからも、色の違いが分か

よび英語科の宮本先生にはご指導を賜りまり、形もある程度区別できると考える。

した。この場で深く感謝申し上げます。

・フン虫は茶色の折り紙をしいた場所に多く集まったことから、普段生活している
地面の色を好むのではないかと考える。
５．今後の課題
次のような課題が浮かび上がった。今後、機会見つけてさらに研究していきたい。
・フン虫は本当にすべての色の区別ができるのか。あるいは人間が見えない色が見えるのか。
・白色と茶色で地面の色を比べた際に、なぜ白色の方にフン虫がより多く集まったのか。
・フン虫は湿ったフンの方に多く集まり、
乾いたフンには集まらなかった。その原因は本当ににおいの違いだけなのか、フンの栄養成分やフンのかたさは影響していないのだろうか。
６．参考文献[1]「奈良公園の糞虫」、佐藤宏明他、奈良5金属陽イオン水溶液の分離操作
２年Ｃ組 坂野 文香
２年Ｂ組 安浪 涼花
指導教諭 越野 省三

１．要約
サイエンス化学班は放課後に集まって研究活動を行っている。普段から疑問に思ったことを実験により解決するような展開してきた。今回は、イオンの性質についての実験を行い、考察した。本稿では、その一例を紹介したい。
キーワード 金属陽イオン水溶液、分離操作、電気、ろ過

２．研究の背景と目的
最近、美容・健康関係でよくマイナスイ

物質には、水溶液にすると電気を通す電
解質と電気を通さない非電解質がある。こオンなどイオンという言葉を耳にする。

のとき、電気を通すものは粒子にわかれてイオンとはどういうものなのか、どんな効いて、その電気を帯びた粒子をイオンとい能があるのか、知らなかった。

う。また、水に溶けてイオンに分かれる物

また、色の着いた水溶液を使ったり、作っ質を電解質(イオン性物質)、分かれない物質

たりしたいと思ったのでイオンの水溶液はを非電解質(分子性物質)という。

色がきれいなイメージがあったので、イオンの実験をして調べてみようと思った。
なぜ金属陽イオンをテーマとしたのかとⅠ．水溶液の中にイオンが含まれているかを調べる実験

いうと、以前炎色反応の実験をしたとき、調べた物質にアルカリ金属のイオンが含ま＜実験方法＞

れていることがわかった。そこで、今回も（１）エタノール・食塩水・石灰水・硫酸・金属陽イオンを調べることにした。

塩化銅水溶液を用意する。
（２）それぞれの薬品をビーカーに入れ、

３．研究内容実験の概要を説明する前にイオンについての基礎知識をまとめておく。

中に電池とプロペラを導線でつないだ陽極と陰極を入れて電気を通す。
（３）プロペラが回れば電気が通っていれ

金属陽イオン水溶液は、混ぜると沈澱しば、水溶液中にイオンを含んでいる。一方、てしまうもの、危険物質が発生するものがプロペラが回らなければ電気が通っていなあるので、慎重に使用する薬品を選ぶ必要

いため、水溶液中にイオンを含んでいない。

がある。

＜結果＞
塩化銅でこの実験をしたとき、この実験※水酸化ナトリウム水溶液とアンモニア水
溶液は少量と多量。

は電気分解と同じ現象であるから、陰極のほうはサビみたいになり、こすると光沢が＜結果＞出た。陽極の近くの水は脱色作用がある。

①塩化銅水溶液の場合

また、食塩水でこの実験をすると塩素ガス

NaOH 少→青白色沈澱

(有毒)が発生した。

NaOH 多→青白色沈澱

エタノールは金属陽イオンを含んでいな

NH3 多→青白色沈澱

い。それ以外の水溶液は金属陽イオンを含

NH3 少→深青色沈澱

んでいることがわかった。調べたところ、食塩水に入っている金属陽イオンはナトリ
ウムイオン、石灰水に入っている金属陽イ
オンはカルシウムイオン、塩化銅水溶液に入っている金属陽イオンは銅イオン、硫酸にはイオンが入っているが金属陽イオンでないことがわかった。
図２ 塩化銅水溶液の場合の様子②食塩水の場合
NaOH 少→沈澱を生じない
NaOH 多→変化なし
NH3 少→沈澱を生じない
NH3 多→変化なし

図１ 塩化銅水溶液の沈殿
Ⅱ．金属陽イオン水溶液が本当にイオンを含んでいるのか確かめる実験＜実験方法＞
実験Ⅰで調べてイオンを含むと分かった

図３ 食塩水の場合の様子

水溶液(塩化銅水溶液、食塩水、石灰水)に水
酸化ナトリウム水溶液とアンモニア水溶液を加える。

③石灰水の場合
NaOH 少→白色沈澱NaOH 多→白色沈澱
NH3 少→沈澱を生じない
NH3 多→変化なし

Ⅳ．金属陽イオン水溶液の分析
実験Ⅰ～Ⅲで金属陽イオンを含む水溶液はどれなのかはわかったので、それを分析する。今までにでてきた水溶液を混ぜると沈澱してしまうので、越野先生の指示のもと硝酸亜鉛、硝酸銅、硝酸銀、硝酸ナトリ
ウム、硝酸カルシウム、硝酸鉄の６つに絞って実験することにした。

図４ 石灰水の場合の様子
それぞれ銅イオン、ナトリウムイオン、
カルシウムイオンであることがわかった。
Ⅲ．電気を流してイオンを移動＜実験方法＞

図５ ６つの薬品を混ぜたもの（１）湿らせたろ紙の上に赤と青それぞれのリトマス紙を置く。

（１）前述の６つの薬品に希塩酸を加える。

（２）その上に各薬品を染み込ませた糸を置く。
（３）ろ紙の両端をワニ口クリップで付ける。
（４）その先に豆電球と電池をつなげる。
（５）電気を流し、結果をみる。
＜結果＞
反応しなかった。置く時間が短かったのか、方法が精密でなかったのが原因だったと思う。正しく実験すると、

図６ 希塩酸を加えた様子（２）硫化アンモニウムを加え、煮沸して酸性→青色リトマス紙が赤にからろ過する。

アルカリ性→赤色リトマス紙が青に（３）アンモニア水を加え、ろ過する。

という反応が見られたと思われる（４）硫化アンモニウムを加え、ろ過する。
（５）炭酸アンモニウムを加え、ろ過する。

（６）それぞれろ過した後の反応、沈殿物、できていないところがあったため、白にな色を観察する。

るはずが、黄色になってしまった。

４．考察
それぞれの実験からイオンは目に見えな
いこと、イオンにもいろいろな種類がある
ことがわかった。今回調べたイオンは最初の目的であった美容関係や健康関係のものではなかった。きっかけはマイナスイオン
を深く知ることだったけど、いろいろ調べていくとマイナスイオンは、今回私達の調べた化学的なイオンとは全く別物で、商品
図７ 硫酸アンモニウムを加えたところ名であることを知った。また、金属イオンの大部分は陽イオンであることもわかった。

５．今後の課題
今回の実験では簡単だと思ってやったものが意外とできなかったりした。だから、実験は丁寧にやろうと考えた。
また、資料に頼っていたので自分達でもう少しできるといいと思った。今後は資料に頼らないでできるようなもう少し簡単な実験や自分で考えた実験をやっていきたい。
図８ 得られた沈殿

６．参考文献[1] 「化学総合資料」(サイエンスビュー)、＜結果＞

島根正幸、実教出版株式会社(2010)（１）は白になるはずだったが、薄緑がか[2] 「理科資料」星沢芦也、東京法令出版株っているので失敗していると考えられる。

式会社（２）は黒くなっているので、（２）だけ[3]「スーパー理科辞典」、石井忠浩、受験を見ると成功だが（１）で失敗しているた

研究社(2008)

め、（１）の緑の影響を受けていると考えられる。
（３）、（４）も（１）の失敗の影響を受

７．謝辞
サイエンス研究会化学班の活動において、けたため、失敗したと考えられる。

越野先生に多大なご指導を賜りました。こ（５）では今まで少しずつのろ過がうまくの場で、深く感謝申し上げます。

天体までの距離の測定
２年Ｂ組 大本 真緒
２年Ｂ組 勝井 美有
２年Ｃ組 岩﨑 暖
指導教諭 藤野 智美

１．要約
サイエンス研究会地学班２年生は、天体について興味を持ち、星までの距離を測る方法
について研究を行っている。天体は遠く離れた高いところに位置しており、そのような物体までの距離を測定する方法を考察した。
キーワード

天体、距離、星、三角測量

２．研究の背景と目的＜測量方法＞
図１のように、以下の条件を満たす２つ宇宙の数多くの星々は、空にはりついたの三角形△ABC と△ABD を用意する。

ように見え、地球からの距離はすべて等し

条件１

AB の長さは等しい

いように思われる。しかし、実際には、広条件２∠B＝90°の直角三角形とする

大な宇宙の中に天体はまばらに散らばって

条件３△ABC の辺の比はおり、星と地球との距離はそれぞれ違って

AB：BC：CA=3：4：5,

いる。そこで、地学班は星までの距離を測△ABD の辺の比はることを目的とした。その測定データをも

AB：BD：DA＝1： 3 ：2とに星座の立体模型を作ろうと考えた。そとする。

の前段階として、遠くにある高さのある物

DC

体までの距離の測定方法を自分たちで考えることにした。
３． 研究内容＜方法 1＞ 自分たちのアイデア
地学班は最初、何も知らない状態からどのようにして遠く離れた物体までの距離を測定するかを考えた。以下にそのアイデア
を示す。

B

A

B

A

図１ △ABC と△ABD
この２つの三角形を、図２のように重ね、
図２の AB を測定したい物体の高さとする。
これらの条件のもと、以下の手順に従ってって、AB：CD＝3：1.1 の比を利用すると、測定を行った。

AB：59.8＝3：1.1 より、AB＝163.09 (cm）
とわかる。

A

実際に物体の高さを測定した値と比較したところ、ほとんど誤差を生じさせずに物体の高さをもとめることができた。以上のことから、この測量方法は離れた物体の高BCDさを求められる方法の１つであるといえる。

図２ ２つの三角形を重ねる

４．考察（１）△ABC と△ABD の縮図を作成し、ここまでの実験により、離れた物体の高∠BCA，∠BDA の大きさを測定した。このさを求める方法を１つ発見することができとき、上記の条件１～３を考慮し、△ABC

た。しかし、この測定方法の問題点として、については AB＝3 cm，BC＝4 cm，CA＝5

測定したい物体の頂点に紐をつけて測定しcm として、△ABD については、AB＝3 cm，なくてはいけないため、山のように、より

BD＝5.1 cm，DA＝6 cm とした。その結果、高い物体の高さの測定方法には向かないこ∠BCA＝37°，∠BDA＝30°となることがわとがわかる。天体までの距離にも応用は利かった。

かない。よって、今後の課題としては、遠（２）頂点 A(物体の頂点)からスズランテ

く離れたところにある、高さの大きい物体ープを用いて、∠BCA＝37°となるように△の高さを測定する方法を考察する必要性がABC を作り、頂点 B の位置を決めた。このある。文献等を調べていたら、三角測量ととき、辺 BC は辺 AB と垂直になるようにいう手法にたどり着いた。今度はこの測定注意した。

方法について調べていき、天体までの距離（３）△ABD の位置についても同様の作業の測定に生かしていきたい。

を行い、頂点 D の位置を決めた。このとき、∠BDA＝30°となるようにした。

５．謝辞（４）頂点 C と頂点 D の間の距離である

本論文を書くにあたり、指導していただ

CD の長さを測定した。△ABC と△ABD のいた藤野先生に深く感謝いたします。あり辺の比より、BC：BD＝4：5.1 なので、こがとうございました。

の２辺の比の差である 1.1 が CD の長さに相当することになる。その結果、AB：CD＝3：1.1 となるので、AB(すなわち物体の高さ)を求めることができる。
＜測量結果および計算の過程＞
測定の結果は CD＝59.8 cm であった。よ火山の噴火２年Ａ組 中森 春奈
２年Ｃ組 行松 美樹
指導教諭 藤野 智美

１．要約
サイエンス研究会地学班は、研究活動の１つとして、火山の噴火について調査を行っており、現在は特に火山からの噴出物に注目して火山噴火の仕組みを考察している。この論文では、その一例を紹介する。
キーワード

火山、噴火、マグマ、噴出物、火山灰、岩石

２．研究の背景と目的

ロの液体の状態になったものである。その私達が火山の研究を始めたのは、2010 年

中に溶け込んでいる水蒸気などの気体成分

4 月のアイスランドでの大規模な火山噴火

や、高温液体のマグマから結晶になってでの報道を目にしたことがきっかけである。

きた鉱物もすべて含んだものをマグマとよ

大きく上がる噴煙と被害の影響は、私たちんでいる。このマグマが地上に出てきて固の予想以上のものであり、火山の仕組みにまった岩石を火成岩という。マグマの性質興味を持ちはじめた。また、日本は世界有を分析するために、私たちはまず、火成岩

数の火山大国であり、2011 年になってからの薄片を偏光顕微鏡で観察した。

も鹿児島県にある新燃岳が噴火している。

＜観察＞火成岩の観察

このようなことから、火山噴火を身近な自群馬県の角閃安山岩、茨城県の黒雲母花然現象として感じるようになり、火山の噴崗岩・晶質石灰岩、千葉県の斑レイ岩など出物に注目しながら火山の仕組みについてを観察した。

詳しく調べていくことにした。

＜結果＞
一見、ただの石に見える岩石も、その薄３．研究内容片を観察すると、様々な色の物質が含まれ（１）火成岩の観察ていることがわかった。これが鉱物である。

火山の噴火の様式は、火山の形に由来し鉱物にはたくさんの種類があり、色、形、ている。その火山の形を決めるものがマグ

材質など様々な観点から違いがみられた。

マの粘性である。そのため、火山を知るた

中には、傷のような線が入っているものもめには、その火山をつくりあげているマグあったり、偏光板をかぶせた後、薄片を顕マについて調べることが重要である。

微鏡の上で回転させたりして角度を変えてマグマとは、高温の岩石が融けてドロド

みると、色が変わる鉱物があった。

（２）火山灰の観察

色など、様々な鉱物が含まれていることが（１）の観察の結果を受けて、さらにマ分かった。そこで、色ごとに１粒１粒ピン

グマからの噴出物について調べてみること

セットで取り分けていった。大小も様々で、にした。そこで、火成岩が細かくなってで簡単にとれる大きなものもあったが、粉のきた火山灰について調べた。マグマが爆発ような小さなものもあった。また、磁石やによってバラバラになった火山砕屑物の中鉄を近づけてみると、くっついたものもあで大きさが 2 mm 以下のものを火山灰といったので、磁石の性質を持っているものもう。火山からの小さな噴出物である火山灰

あるとわかった。

について調べることで、マグマに含まれる鉱物についてより詳細に観察を行うことが目的である。
＜観察＞火山灰の観察
まず、桜島の火山灰を洗うことからはじめた。容器の８分目まで水を入れ、押し洗いする。その後、濁った上澄み液を捨てる作業を 20 回程度行った。はじめは真っ黒だ
った上澄み液が、だんだんと透明になっていく様子が確認できた。同時に、火山灰が徐々に本来の色を取り戻していき、いくつかの鉱物が含まれていることが肉眼でもわかるようになっていった。

図２ 火山灰中に含まれていた鉱物

４．考察
火山灰は様々な種類から成り立っている
ことがわかった。これからは色ごとに取り分けた火山灰について、それぞれの成分を分析して、もっと探っていきたい。また、同じ黒色でも、磁石にくっついたものとく
っつかなかったものがあったので、そのことについても調べいきたい。火山灰はマグ
マが冷めて固まった中の一部なので、マグマの組成、冷め方などからこのような違いが生まれたのではないかと予想している。

５．今後の課題
図１(上)洗浄前／（下）洗浄後

その後、洗った火山灰を実体顕微鏡で観察した。黒、白、オレンジ、茶色、透明な色ごとにとりわけた鉱物の種類を調べ、火山の性質とどのような関係性があるかを調べたい。最終的には、火山灰をみるだけで、どんな火山なのかがわかるようになりたい。また、現地での観察も行いたい。

2010年度SSHサイエンス研究会
生徒研究論文集2011年(平成23年) 3月31日

発行

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