黄金比と植物
3 年 C 組 山田莉彩 出水明日香 古川紗帆
指導教員 櫻井 昭
１．要約
植物と黄金比との関連性を調べようと、キク科の頭状花序の花の並びとセイタカアワダチソウの葉のつき方を調べた。当初は黄金比との関連性について調べていたが、キク科の頭状花序の花の並びに関連性は見られたものの、セイタカアワダチソウには見られないことが分かった。
キーワード

フィボナッチ数列

黄金比

黄金角 セイタカアワダチソウ

２．研究背景私たちは、黄金比やフィボナッチ数列という値が、植物の形態に見ることができる

３．研究内容3.1

基本事項●黄金比・黄金角ということを本で読んで知り、興味を抱い

黄金比 1：φは人類が最も美しいと感じた。そこで、植物に対して実際にどのようる比率であるとされている。例として、パに利用されているのか、自分たちの手で確ルテノン神殿や、様々な絵画などの長方形認することとした。の比率に使われている。この黄金比は、自これまでの研究で、頭状花序でキク科のものは、花のつき方にフィボナッチ数列の螺旋がみられた。これにより、少ない面積然界によく見られる値である。その比は

1 :φ= 1 :1+ 5
2 で表すことができる。に、より多く花をつけることで子孫を残す

黄金角とは、円周 360°を 1：φに分けた角

確率を高められるため、進化の過程でも生度の 1 に当たる部分のことで、約 137.5°

き残ってきたのではないかということが分になる。(図 1)

かった。また、セイタカアワダチソウの葉の付き方(葉序)の回転角に黄金角がみられるのではないかということを検証するため、2 年間で 3 回にわたって採集および計測を続けてきた。しかし、過去 3 回のデータでは調査個体数が少なく、誤差が大きかったため、再度セイタカアワダチソウの葉序の回転角の計測を行った。また、今までの計測結果をまとめ、黄金角に近似しているのかを再考察することにした。

図１：黄金比と黄金角の関係●フィボナッチ数列
また黄金比に関連性の深いフィボナッチ数列という数列があり、それは次のような数列のことである。

つ目の付け根に、針を葉の中心に沿うよう0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，に刺す。 次に、茎の真上から写真撮影を行

89，144…

う。以上の操作を、全ての葉の付け根に対この数列は、して繰り返す(図 2)。撮影した写真を使って、

a1 = 1葉と葉の間の角を計測する。

a2 = 1a n = a n −1 + a n − 2(n ≥ 3)

3.4

実験結果という漸化式で表すことができ、数列上の以下のグラフは、縦軸は調べた葉と葉の間ある数の直前の２つを足すとその数になるの数、横軸は角度を表している。という規則性がある。
この数列の前項と次項の比は、

1:1 1: 22:3

3: 55:88 : 13 …となり、黄金比 1:φに収束するという性質がある。
3.2 仮説基本事項を踏まえ、葉の配列には黄金角が最も適していると考えた。ゆえに、セイタカアワダチソウの茎に対する葉のつき方は、黄金角に従っていると考えられる。
3.3 方法標本
平城宮跡のセイタカアワダチソウを採集
1 回目

2012 年 10 月～

2本

2 回目

2013 年 4 月～

3本

3 回目

2013 年 10 月～ 7 本

4 回目 2014 年 5 月～

15 本

方法
セイタカアワダチソウを採取し、葉の付け根を残して葉を切る。その後、1 つ目と 2

4 回目: 平均値 138.14° 中央値 140°

４．考察
以前は、
「セイタカアワダチソウの葉のつ図２

き方は黄金角に従っている」と考察で結論付けていた。

2/5 葉序

しかしこの研究の間、黄金比と植物に関する本やソースを調べているうちに、セイタカアワダチソウの葉と葉の間の角は、黄金角よりも「フィボナッチ数列に関する葉序」の方がより近いのではないかと思われるようになった。
ここで、フィボナッチ数列に関する葉序について説明する。
このフィボナッチ数列に関する葉序は、葉序の配列がフィボナッチ数列に出現する数によって成り立っている。

1 枚目の葉が 6 枚目の葉と 2 回転で重なる。
回転角は 144°
3/8 葉序例として、1/2 葉序、1/3 葉序、2/5 葉序、3/8 葉序、5/13 葉序などがあげられる。

1/2 葉序1 枚目の葉と 9 枚目の葉が 3 回転で重なる。
回転角は 135°
5/13 葉序1 枚目の葉が 3 枚目の葉と 1 回転で重なる。
回転角は 180°
1/3 葉序1 枚目の葉と 14 枚目の葉が 5 回転で重なる。
回転角は 138.45°
これらの葉序は、前の葉と次の葉の間の角度と 360°から回転角を引いた値の比が1 枚目の葉が 4 枚目の葉と 1 回転で重なる。
回転角は 120°

それぞれ1:1 1: 22:3

3: 55:8

となっていて、これは 1:φに、つまり黄金② セイタカアワダチソウの葉序は、もとも角に収束する。と黄金角だったが、環境などの要因によ

今回、中央値は 138.14°となった。これ

り黄金角からずれ、フィボナッチ数列には、黄金角の回転角の理論値 137.5°より関する葉序に近似したのではないか。

も、フィボナッチ数列に関する葉序の、5/13５．今後の展望葉序の回転角の理論値である 138.45°と近今回のデータの最頻値は 141°であった。

似している。従って、セイタカアワダチソ

平均値こそ 5/13 葉序の回転角に近かったもウの葉序の配列には、黄金角よりも、13 枚のの、最頻値は 5/13 葉序とは少し離れた数の葉が 5 回転すると 14 枚目が 1 枚目の葉に値になっている。このような結果になった重なるという 5/13 葉序の方が近似している理由を調べたいと思う。考察において、複とみられる。

数の仮説を立てることができたため、今後

このフィボナッチ数列に関する葉序は、1

その検証を立証するために、シュートでの周期にかかわる枚数が多くなればなるほど、 葉の発生状況を顕微鏡で観察し、5/13 葉序
その回転角は、黄金角に近づいていくといが環境に左右されたものでなく、本当に正う性質がある。そのため、セイタカアワダ

しいのかを標本数を増やす、できるだけ周

チソウは進化の過程で、回転角が黄金角に囲に障害物のない場所で標本を採集する、近づいていっているのではないかとも考えいくつかの地点で標本を採集するなどの方られる。

法で確認したいと思う。また、どこで葉とまた、花と葉は茎の先端(シュート)で同葉の間の角度が決まるのか、その植物の共じように発生する。キク科の植物は、花が通点を調べたいと思う。

ささっている台座(総苞)が、平面である。

６．参考文献花は平面上に敷き詰めることができるが、[1]「黄金比 自然と芸術にひそむもっとも

セイタカアワダチソウの葉は、茎に立体的不思議な数の話」，スコット・オルセンに配置される。茎から葉の芽がでるとき、

著,藤田優里子訳，創元社，2009

葉の回転角は黄金角でも、葉と葉を立体的[2]「不思議な数列 フィボナッチの秘密」，に配列するとき、つまりセイタカアワダチ

アルフレッド・S・ポザマンティエ，インソウが成長するときに環境などの要因で、グルマル・レーマン著，松浦俊輔訳，日黄金角からずれたのではないか。

経 PB 社，2010■立てられた仮説のまとめ① セイタカアワダチソウの葉序は、フィボナッチ数列に関する葉序である 5/13 葉序に従っている。現在の葉序は進化の過[3]「フィボナッチ数列と葉序‐大日本図書」
www.dainippon-tosho.co.jp/mathlab/fla
sh/no_002/math2.html

７．謝辞

程において光を得やすい黄金角に近づ

これまで私達を指導してくださった櫻井く過程なのではないか。(或いはそれ以先生、数学的な面において相談にのって下上黄金角に近づく必要がない何らかのさった河合先生、佐藤先生に、感謝の意を要因があると考えられる)示します。