Plans projectifs, arithmétique modulaire et Dobble
M. Deléglise
27 février 2013

RésuméLe jeu de Dobble édité par Asmodée est une excellente occasiond’introduire des objets mathématiques importants : Les plans projectifs, l’arithmétique modulaire et les nombres premiers. C’est le sujet
de ce texte élémentaire à la portée d’un élève des classes secondaires.

1Le plan affine réel

Le choix d’une origine O du plan réel et de deux axes Ox et Oy permetd’associer à tout point M du plan deux nombres réels appelés l’abscisseet l’ordonnée de M , comme indiqué sur le dessin ci-dessous. Dans la suiteon écrira parfois le point (x, y) pour désigner le point M d’abscisse x etd’ordonnée y.

Figure 1 – Correspondance points ↔ couples de nombres réelsPente d’une droite non verticale. Si une droite D n’est pas verticale
on calcule sa pente t de la manière suivante : on choisit deux points distincts
A = (xa , ya ) et B = (xb , yb ) sur D. Le nombre t est alors donné part=yb − ya·xb − xa

La figure 2 donne un exemple de calcul de pente.
1(1)Figure 2 – La pente de AB est

yb − ya3−2
1==xb − xa
4−1
3

Une droite horizontale, c’est à dire parallèle à l’axe Ox a une pente 0.
Une droite verticale n’a pas de pente. Par abus de langage on dit parfois
qu’elle a une pente infinie. La pente de D est l’accroissement de l’ordonnéey d’un point M qui s’est déplacé le long de D en augmentant son abscisse
x d’une unité. Contrairement à une erreur souvent entendue, une droite quia pour pente 100% = 100/100 = 1 n’est pas une droite verticale, mais une
droite qui fait un angle de 45˚ avec l’axe Ox.

2

Le plan projectif réelOn construit le plan projectif réel de la manière suivante : Pour chaquedirection de droite on ajoute un nouveau point, qu’on appelle le point à
l’infini de cette direction. Deux droites parallèles définissent donc le mêmepoint à l’infini. La figure 3 illustre cette construction. L’ensemble des points
ordinaires, qu’on appelle le plan affine, est représenté par la surface de lamer. Les points que l’on rajoute au plan affine, pour le transformer en plan
projectif, sont les points de la ligne d’horizon. (Sur cette figure le ciel est
un décor ; ses points ne représentent pas d’objet mathématique.) Les deux
droites affines de couleur noire sont transformées en droites projectives enleur adjoignant le point a. Les droites rouges sont enrichies du point b. Dansle plan affine les deux droites rouges (resp. noires) sont parallèles et n’ont
pas de point commun. Dans le plan projectif elles se coupent en a (resp. b).
Les droites du plan projectif sont donc les droites du plan affine, chacune
enrichie du point à l’infini de sa direction. À ces droites on rajoute la droite
dont les éléments sont tous les points à l’infini, c’est à dire la ligne d’horizon.
2Figure 3 – Le plan affine complété par une droite à l’infini

Le plan projectif jouit de la propriété suivante :Proposition 1
1. Par deux points distincts, il passe une droite et une seule.
2. Deux droites distinctes se coupent toujours en exactement un point.
Essayez de démontrer cette propriété. Pour démontrer l’assertion 1) vousconsidérerez 3 cas : a) Les deux points sont dans le plan affine, b) l’un desdeux est à l’infini, l’autre dans le plan affine et c) les deux points sontà l’infini. Pour l’assertion 2) vous considérerez les cas : a) L’une des deuxdroites est la droite à l’infini, b) Les deux droites n’ont pas de point commun
dans le plan affine, et c) les deux droites ont un point commun dans le planaffine.
On note P2 (R) le plan projectif que l’on vient de définir. La lettre P est
la première lettre du mot projectif, l’indice 2 indique que l’objet que l’on
vient de construire est de dimension 2, donc un plan, et la lettre R est lesymbole qui représente l’ensemble des nombres réels.

3Le corps F5 des entiers modulo 5F5 est l’ensemble {0, 1, 2, 3, 4}. L’addition de F5 est définie de la manièresuivante : Pour calculer a + b on calcule la somme ordinaire a + b, maissi le résultat est supérieur ou égal à 5 on en retranche 5. Par exemple :1 + 2 = 3 et 3 + 4 = 7 − 5 = 2. Cette opération est appelée l’addition modulo
3Figure 4 – Tables d’addition et de multiplication de F5+01234001234112340223401334012×012344401230000001012342024133031424043215. On définit la multiplication sur F5 de manière semblable : Pour calculer leproduit de a par b on calcule d’abord de produit ordinaire, et, si le résultat
est supérieur ou égal à 5 on le remplace par le reste de sa division par 5.
Ainsi 3 × 4 = 12 − 10 = 2. On appelle cette opération la multiplication
modulo 5. Avec ces 2 opérations F5 satisfait les propriétés suivantes :Proposition 2 Soit F5 = {0, 1, 2, 3, 4} muni de l’addition et de la multiplication modulo 5. Alors
1. Chaque nombre x a un unique opposé, c’est à dire un nombre qui,ajouté à x, donne 0. On note ce nombre −x.
2. Chaque x non nul a un unique inverse, c’est à dire un nombre qui,multiplié par x, donne 1. On note ce nombre 1/x.
On peut vérifier sur les tables d’addition et de multiplication de la figure
4 l’existence et l’unicité de l’opposé de x, et de son inverse lorsque x 6= 0. La
figure 5 donne la table des opposés de éléments de F5 et la table des inverses
des éléments non nuls.
Figure 5 – Tables des opposés et des inverses dans F5x-x

001
42332

41x
1/x

1
123

3
244La soustraction dans F5 . On définit a − b comme la somme de a et del’opposé de b, opposé que l’on trouve dans la tables des opposés de la figure
5. Par exemple
2 − 3 = 2 + (−3) = 2 + 2 = 4.
acomme leb
produit a × (1/b) de a par l’inverse de b. Choisissons par exemple a = 2 etb = 3. La table des inverses de la figure 5 nous dit que l’inverse de 3 est 2.
Donc2
1= 2 × = 2 × 2 = 4.
3
3
La division dans F5 . Lorsque b n’est pas nul on définit4

Figure 6 – Tables d’addition et de multiplication modulo 6+01234
54001234511234
50223450133450124450123×0123455501234000000010123452024024303030340420425054321Le corps Fp

On rappelle qu’un entier p > 1 est un nombre premier si ses seuls diviseurs positifs sont 1 et p. Euclide a démontré, il y a environ 2300 ans, qu’ilexiste une infinité de nombres premiers. Il y a 15 nombres premiers plus
petits que 50, les nombres 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
Pour tout nombre premier p, la proposition 2 est encore vraie en y remplaçant l’ensemble F5 par l’ensemble Fp = {0, 1, 2, . . . , p − 1} et l’additionet la multiplication modulo 5 par l’addition et la multiplication modulo p(on effectue l’addition ou la multiplication ordinaire, et, lorsque le résultat
est supérieur ou égal à p, on le remplace par le reste de sa division par p).
Remarque. Rien n’empêche de définir l’addition et la multiplication modulo n lorsque n n’est pas premier, mais, dans ce cas, la propriété 2 de laproposition 2 est fausse. Par exemple, pour n = 6 qui n’est pas premier,puisque 6 = 2 × 3, dressons les tables d’addition et de multiplication modulo 6 (cf. figure 6). On voit sur la table de multiplication que seuls 1 et 5
admettent un inverse. En particulier, modulo 6, on ne peut pas diviser par2, 3 et 4 parce que ces nombres n’ont pas d’inverse.

5Géométrie affine sur F5

Comme nous l’avons fait dans le cas des nombres réel (cf. figure 1), à
tout couple (x, y) d’éléments de F5 on associe un poin du plan affine sur F5 .
Puisque F5 a 5 éléments, le plan affine sur F5 a 5 × 5 = 25 points. Ces points
sont les petits disques rouges sur la figure 7.
Les verticales et les horizontales. Pour chaque abscisse x = 0, 1, 2, 3, 4
il y a une droite verticale d’abscisse x, et pour chaque ordonnée y = 0, 1, 2, 3, 4
une horizontale d’ordonnée y. Chacune de ces droites est composée de 5points, et on les reconnait facilement sur la figure 7.

5

Figure 7 – Les 25 points du plan affine sur F5

Figure 8 – La droite D1 , de pente 2, passant par A0 = (0, 1)
Les droites de pente non nulle. Intéressons nous maintenant aux droites
qui ne sont ni horizontales ni verticales. Considérons par exemple la droite
D1 qui passe par le point A0 = (0, 1) et dont la pente est 2. Notons A1 , A2 ,A3 , A4 les points de cette droite d’abscisses 1, 2, 3, 4. Puisque la pente est
2, lorsqu’ on se déplace sur cette droite, chaque fois que l’abscisse x augmente de 1, l’ordonnée y augmente de 2. Autrement dit, si (x, y) sont lescoordonnées de Ai , celles de Ai+1 sont (x + 1, y + 2), en n’oubliant pas que
le signe + représente l’addition modulo 5. Ainsi les coordonnées des Ai sontdonnées par
A0 : (0, 1), A1 : (1, 3), A2 : (2, 0), A3 : (3, 2), A4 : (4, 4)
Ces point sont représentés sur la figure 8. Cet ensemble de points ne ressemble guère à un ensemble de points alignés au sens usuel de ce mot. Et
pourtant ils sont bien tous sur une même droite. Vérifions le en calculant
les pentes des segments qui joignent deux de ces points. Il y a 10 paires de6

points Ai , Aj , nous n’en considérerons que 3. Le lecteur pourra vérifier qu’on
obtient le même résultat avec les autres paires.
Nous utilisons pour ce calcul la formule (1) de la page 1, qui donne lapente d’une droite du plan ordinaire. Mais au lieu d’utiliser la soustraction
et la division des nombres ordinaires nous utiliserons la soustraction et ladivision dans F5 .
A0 A3 :

Pente

2−1
1
= = 2.
3−0
3A0 A4 :

Pente

4−1
31
= = 3 × = 3 × 4 = 2.
4−0
440−1−14== = 2.
2−022
Comme dans le cas réel, deux droites de pentes distinctes se coupent en
un point unique. Vérifions le sur un exemple en considérant une autre droite,
la droite D2 qui passe par le point B0 = (0, 2) et dont la pente est 1. Soit Bi
le point d’abscisse i sur D2 . Puisque la pente est 1, on passe des coordonnéesde Bi à celles de Bi+1 par la transformation (x, y) 7→ (x + 1, y + 1), et on
obtient :A0 A2 :

Pente

B1 = (1, 3), B2 = (2, 4), B3 = (3, 0), B4 = (4, 1).
La figure 9 montre les 2 droites D1 et D2 . On vérifie qu’elles ont un point
commun, le point A1 = B1 = (1, 3).

Figure 9 – A gauche D1 , à droite D2 , de pente 1, passant par B0 = (2, 0)

6

Le plan projectif P2 (F5 ) sur F5Dans le §2, nous avons construit le plan projectif réel à partir du planaffine réel. Dans cette section nous construisons, de la même manière, le plan7

Figure 10 – Une représentation des 31 points du plan projectif sur F5

Figure 11 – Les 6 points de la droite projective associée à D1 .
projectif sur F5 à partir du plan affine sur F5 , en rajoutant un point à l’infini
pour chaque direction de droite du plan affine. Dans le plan réel il y a une
infinité de directions, car il y a une infinité de pentes, donc une infinité depoints à l’infini. Dans le plan affine sur F5 , outre la direction verticale, il y a
5 pentes possibles, les pentes 0, 1, 2, 3, 4. Ceci donne 6 directions de droites
affines, donc 6 points à l’infini, les points que nous nommerons
verticale, pente 0, pente 1, pente 2, pente 3, pente 4.
La figure 10 donne une représentation des points du plan projectif surF5 . Il contient les représentations des 25 points du plan affine, et les 6 pointsà l’infini correspondant aux 6 directions possibles d’une droite affine.
L’ensemble des 6 points à l’infini est la droite à l’infini du plan projectif.
Les autres droites du plan projectif sont constituées d’une droite du planaffine, à laquelle on ajoute le point à l’infini associé à sa direction.
Soit D1 la droite du plan affine sur F5 représentée sur la figure 8 ou
encore à gauche de la figure 9. Puisque la pente de D1 est 2, les points de la
projective associée à D1 sont les points de D1 , auxquels on rajoute le pointà l’infini défini par la pente 2. Cette droite projective est représentée sur lafigure 11.

8

7

Le plan projectif P2 (Fp )Si p est un nombre premier quelconque, on construit le plan projectif
P2 (Fp ) exactement comme nous avons construit P2 (F5 ), en remplaçant 5 par
p. Chaque droite du plan affine sur Fp a p points, chaque droite projective
en a donc p + 1.
Le plan affine a p × p = p2 points. Il y a p pentes possibles pour lesdroites non verticales, plus la pente infinie pour la verticale, donc p + 1
directions possibles pour les droites, donc p + 1 points à l’infini. Ce plan
projectif contient donc p2 + p + 1 points. Démontrons que le nombre desdroites et aussi p2 + p + 1.
1. Il y a p droites affines verticales : les verticales d’abscisses x pourx = 0, 1, 2, . . . , p − 1.
2. Il y a p2 droites affines non verticales : une telle droite est caractériséepar sa pente t ∈ {0, 1, . . . , p − 1}, et par le point (0, y) où elle rencontre
l’axe Oy avec y ∈ {0, 1, . . . , p − 1} (elle le rencontre puisqu’elle n’est
pas verticale).
3. La droite à l’infini.

8

Application au jeu de Dobble

Dobble est un jeu de société, édité par Asmodée. Ce jeu est constitué de55 cartes, sur lesquelles sont dessinées 8 images. La propriété remarquablede ces cartes est la suivante : pour toute paire de cartes, il existe une image etune seule qui figure sur ces deux cartes. La figure 12 représente une paire decartes. On peut jouer de plusieurs manières, mais dans tous les cas, il s’agit,

Figure 12 – Paire de cartes de Dobble : l’unique image figurant sur ces
deux cartes est le marteau.

9pour chacun des joueurs, de trouver le plus rapidement possible l’image
commune au deux cartes situées devant lui.
La propriété pour toute paire de cartes, il existe une image et une seulequi figure sur ces deux cartes nous fait penser à la propriété fondamentale
des droites d’un plan projectif : Etant données deux droites du plan projectif,
il existe un seul point appartenant à ces deux droites.
Construire un jeu à N images. Supposons que l’on dispose d’un plan
projectif fini avec N points. Prenons par exemple N = 31, qui est le nombrede points du plan projectif P2 (F5 ). On construit un jeu à 31 images de lamanière suivante :On numérote de 1 à 31 les 31 images que l’on veut disposer sur les cartes
du jeu, ainsi que les points du plan. La figure 13 montre une numérotation
des points du plan.
Pour chacune des 31 droites D de P2 (F5 ) on fabrique alors une carte en
imprimant sur cette carte les images dont les numéros sont les numéros des
6 points de D.

Figure 13 – Numérotation des 31 points du plan projectif modulo 5Construisons, par exemple, la carte associée à la droite projective D1 . Lespoints de D1 sont les points de coordonnées (0, 1), (1, 3), (2, 0), (3, 2), (4, 4)
et le point à l’infini Pente 2. Avec la numérotation de la figure 13, lesnuméros de ces points sont (6, 17, 3, 14, 25, 28). La carte associée à D1 est
donc la carte sur laquelle figure les images de numéros 3, 6, 14, 17, 25 et 28.

Figure 14 – Les numéros des points de la droite D1 .
10

Figure 15 – Deux cartes d’un jeu à 133 images et 12 images par carte. On aassocié une image à chacun des 133 points du plan projectif P2 (F11 ). Chaquecarte contient les images des 12 points d’une droite du plan projectif.
Le jeu de Dobble commercialisé par Asmodée est obtenu pour p = 7.
L’espace projectif P2 (F7 ) contient 72 + 7 + 1 = 57 points, et 57 droites.
Chaque droite affine contient 7 points, et donc chaque droite projective
contient chacune 7 + 1 = 8 points. Ceci permet de construire un jeu de57 cartes avec chacune 8 images. Curieusement, ce jeu ne contient que 55cartes.
Choisissant le nombre premier suivant p = 11 on obtient un plan projectifà 112 + 11 + 1 = 133 points, qui, avec 133 images, permet de fabriquer un
jeu de 133 cartes contenant chacune 11 + 1 = 12 images. La figure 15 montre
2 cartes d’un tel jeu.
Complément. Un autre article consacré à ce jeu : Maxime Bourrigan,
Dobble et la géométrie finie, sur le site Image des Mathématiques du CNRS.
http ://images.math.cnrs.fr/Dobble-et-la-geometrie-finie.html

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