論文

注入同期のロックレンジを最大化する入力信号波形—— CMOS リングオシレータを例として ——
矢部

洋司†

西川

功†

中田

一紀†∗

関屋

大雄††

安藤

芳晃†

田中

久陽† a)

守川

知行†

Input Signal Waveforms for Maximal Injection-Locking Range—An Application to CMOS Ring Oscillators—
Yoji YABE† , Isao NISHIKAWA† , Kazuki NAKADA†∗ , Tomoyuki MORIKAWA† ,Hiroo SEKIYA†† , Yoshiaki ANDO† , and Hisa-Aki TANAKA†a)

あらまし 注入同期により発振器の周波数安定性の向上が可能である．そのため様々な応用を念頭に盛んに研究が進められている．ところがわれわれの知る限り，注入同期の性能を最適化する理論や解析的設計手法は，これまで確立されていなかった．本論文において，注入同期の一つの物理的限界が存在し，これが実現可能である
ことを示す．具体的には CMOS リングオシレータを例として，実用上有用な発振器における引き込み周波数帯（ロックレンジ）の最大化が実現可能であることを理論的かつ数値的に検証する．
キーワード

注入同期，引き込み周波数帯（ロックレンジ），アドラーの方程式，CMOS リングオシレータ

1. ま え が きことが必要になる．従来の解析手法では，発振器の弱非線形性や入出力波形が正弦波に近いという前提が必

近年の電子機器の高周波数化，省電力化，微細化に要であった [6]〜[12]．しかし，例えば多段の CMOSともない，注入同期という古くからの基盤技術は現在

リングオシレータやパルス入力を含む注入信号源の多の様々な応用にも有効に活用されている．注入同期と様化（例として [13]）に対応するためには，より一般

は自励発振系に外部信号を強制注入すると発振系が外的かつ適用範囲の広い解析の枠組みが必要になってき

部信号に同期する基本的な物理現象である．これを利ている．これと独立に，非線形振動論や非線形物理の用する技術は真空管時代に端を発し，現在のミリ波等

分野では，発振器の発振状態を，その発振位相についの高周波数帯での利用，省電力設計，回路の微細化のて閉じた微分方程式に縮約する理論が構築され，従来要請から，更に進展している．例えば，無線通信信号のアドラーの方程式の一般化に相当する枠組みが得らの低位相雑音化 [1] や無線電力伝送の安定化 [2] のたれている（例として [14]）．その結果，CMOS リング

めの要素技術として，また CMOS リングオシレータ

オシレータを含む強い非線形性をもつ発振器の位相ノそのものの周波数安定性向上も含め，研究が盛んであイズ [15], [16] や注入同期 [17]〜[20] についての解析がる [3]〜[5]．

可能となっている．このアドラーの方程式の一般化に

注入同期を現実の諸問題に適用するためには，発振より，この数年で注入同期の性能を最大化する理論的器の注入同期特性を解析し，実際の設計に反映させる

枠組みも整備され [21], [22]，注入同期の性能向上限界の存在も明らかになっている [23], [24]．

†

本論文は，上記の理論的成果を援用し，実用上有用

電気通信大学，調布市
The University of Electro-Communications, Chofu-shi, 182–
8585 Japan††∗な発振器の引き込み周波数帯を最大化する入力信号の千葉大学，千葉市

設計が可能であることをはじめて示すものである．すChiba University, Chiba-shi, 263–0022 Japan

なわち CMOS リングオシレータを対象として，諸々現在，広島市立大学a) E-mail: htanaka@uec.ac.jp298

電子情報通信学会論文誌の現実的制約条件のもとに，その引き込み周波数帯
c 一般社団法人電子情報通信学会 2016
C Vol. J99–C No. 6 pp. 298–313 

論文／注入同期のロックレンジを最大化する入力信号波形——CMOS リングオシレータを例として——（ロックレンジ）を最大化する注入信号が存在することをまず示し，具体的にこの信号を構成する．この結果より所与の発振器の注入同期に関する性能向上限界が明らかとなり，そこへどの程度近づくことが可能かという設計ガイドラインを議論する基礎が整備される．

2. 注入同期の解析手法
この章では，注入同期の解析を目的として本論文に直接関係する先行研究について概説する．注入同期の性能を評価する尺度として，ロックレンジ (locking

range) は重要である．ロックレンジとは注入同期が成立する外部信号 (入力) の周波数帯域のことであり，これが広ければ，より柔軟かつロバストな注入同期が得られるからである．これを図 1 (a) に示す．ここで，縦軸の Δω は発振器の自励発振周波数と入力周波数の差 (離調) を表し，横軸は入力の強度を表す．この，
くさび状のロックレンジ（注 1）の外では，同期が成立せず利用不可能となる．以下では入力の強度が十分小さな，弱入力の場合を仮定する．この仮定は，先に述べたベースバンド通信などの現在の電子機器においても，

図 1 最適注入同期の概要．(a) ロックレンジ，(b) 位相
結合関数，(c) 最適入力の様子．
Fig. 1 Schematic view of the optimal injection locking. (a) Locking range, (b) a phase coupling
function, (c) optimal input waveforms.

入力 (電流) がデバイスを損傷しないために，また省電力性の要請からも，自然で合理的なものである．

2. 1 従来知られている注入同期の解析手法
工学分野での注入同期の先行研究は，アドラー [6] にはじまり，その後，大黒ら [7]，黒川 [8] と一般化が進み，かつ応用の対象も広くなっている（例として [26]）が，その本質は，次のいわゆるアドラーの方程式により理解される．

dα= Δω −  sin α
dt(1)

ここで α は発振器の発振位相と入力信号の位相差を示
し，Δω は離調， は入力の強度に対応するパラメー
ターを示す．これによって，ロックレンジが定まるの
みならず，同期へ至る過渡状態や同期の安定性解析が可能になる．最近では，[12] により所与の発振回路をアドラーの方程式に帰着するエレガントな手法が提供されている．この先行研究の枠組みは，諸々の対象において有用である (例として [3]) が，その前提条件が発振器は弱非線形，あるいは入出力はほぼ正弦波と仮定しており，発振器の非線形性が強い場合や，入力が正弦波から大きく外れる場合には，その適用が一般に困難となる．
（注 1）：非線形ダイナミクスの分野では，これをアーノルドタングとよぶ．

2. 2 位相方程式の導出と注入同期の解析
次にアドラーの方程式の一般化とみなされる，位相方程式の導出と，それによる注入同期の解析について説明する．ここで扱う発振器はリミットサイクル解をもつ非線形振動子とみなせる．その（回路）方程式は一般に，次のように表現される．

dx= F (x) + I(t)dt(2)

ここで，x(∈ Rn ) は状態変数，I(t)(∈ Rn ) は周期的入力を表す．ここでは，簡単のため (一般性を失わず)，入力 I(t) は回路中の 1 点に注入される入力

f (t) ∈ R とする．このとき，リミットサイクル解を
x0 (∈ Rn ) とすると，これに沿って発振位相に相当する ψ(∈ [0, 2π] ≡ S) という (局所的な) 変数が導入される．その結果，入力 f が弱入力という仮定の下で，式 (2) は x = x0 の近傍において次の ψ についての方
程式に縮約される [14], [27]．

dψ= ω + Z(ψ) · f (t)dt(3)

ここで，ω は自励発振周波数，Z(ψ) は位相感受関数とよばれる周期関数である．更に入力の周波数を Ω(∼ ω)とすると，ψ に代わる変数 φ = ψ − Ωt が定義される．
299

電子情報通信学会論文誌 2016/6 Vol. J99–C No. 6

これは発振状態と入力の位相差に対応する「遅い」変

ここで，R[f ] は f に対し (図 1 (b) のように，一般に数とみなされ，速い動きに関する平均化により，φ に一意に定まる) ロックレンジを与え，具体的にはついて閉じた次の位相方程式が得られる [14], [27]．

dφ= Δω + Γ (φ),
dt

R[f ] = Γ (φ+ ) − Γ (φ− )= {Z(θ + φ+ ) − Z(θ + φ− )}f (θ)

(4)

(7)

ただし Γ (φ) = Z(θ +φ)f (θ)．ここで，· は θ ≡ Ωtと表示される．ここで φ+ 及び φ− は，それぞれ位相についての 1 周期にわたる平均（注 2）を示し，Γ (φ) は位結合関数 Γ (φ) が最大・最小となる φ を表している．

相結合関数とよばれる．

また，f (θ) − C = 0 は入力 f の 1 周期平均が C と

図 1 (b) はロックレンジの導出を説明している．注入なる制約条件であり，特に C = 0 のときチャージバラ

同期が成立するための必要十分条件は，φ が dφ/dt = 0

ンス制約 [21], [22] とよばれる．その理由は，f を電流

かつ Γ  (φ) < 0 をみたすことであり，位相結合関数のとみなすと注入される正味の電荷がゼロになるためで最大値 Γ (φ+ ) と最小値 Γ (φ− ) の範囲内に離調 (−Δω)

ある．また式 (6) の λ はラグランジュの未定乗数であが入っていることが導かれる．

る．要するに (6) により，f (θ) ≡ C という制約を満(3) 以上は，1 : 1 同期 (すなわち，ω : Ω ≈ 1 : 1)

たす f のうち，R[f ] を最大にする最適解 fopt を決めの場合であるが，同様のことが m : n 同期 (すなわち，るための (f, λ) についての極値問題が定式化される．

ω : Ω ≈ m : n) の場合に成立する．その場合の位相方

以下では，簡単のため（一般性を失わず）C = 0 と制程式は，約した場合を取り扱かう．

dφ= Δω+Γm/n (φ),dt(5)

式 (6)，式 (7) により定義された極値問題を考える際に，どのような入力を許容するかが重要な前提となる．
例えばパワー＝一定とした入力，すなわち，f 2 (θ) =ただし Γm/n (φ) = Z(mθ+φ)f (nθ) となる．
式 (3) の局所変数 ψ の存在や，式 (4) の位相方程式
への縮約は数学的に厳密な結果であり [27]，非線形物理の分野でも独自に同等の結果が得られている [14]．
式 (1) のアドラーの方程式は式 (4) の最も簡単なケー一定という制約条件を課すと，その最適解 fopt は，変分法を用いて比較的容易に

fopt (θ) =1{Z(θ + φ+ ) − Z(θ + φ− )}2λ(8)スとして導かれる．また，上記の位相感受関数 Z は，と 求 ま り，そ の 極 大 性 も 確 認 さ れ る [21]．こ こ で

これまで工学分野でも独自に導入されている [15], [18]．

λ = 12

実際に所与の発振器に対し位相方程式を導く際，こφ+ ) − Z(θ + φ− )}2  であり，φ± は Z から導かれるの Z を正確にかつ効率良く求めることが重要である．

非線形方程式より数値的に得られる [21]．



Q/P ，ただし P = f 2 (θ), Q = {Z(θ +これは例えば [17], [20] のような複雑な発振器に対しまた，パワー=一定の制約のもとで，ロックレンジても，インパルス応答関数法 [28] により，回路シミュを最大化する代わりに引き込み状態の (線形) 安定性

レーター (SPICE) から直接に，数値的に得ることがを最大化することも可能である．この場合は R[f ] の可能になっている．

代わりに S[f ] = −Γ  (φ∗ ) として，その極値問題に帰3. ロックレンジを最大化する最適入力の存在と構成法着する [22]（注 3）．
要するに，パワー=一定の制約の場合には，変分法(オイラー・ラグランジュ方程式) が用いられ，これに以上の準備のもとで，注入同期を最適化する最適化

よる最適解は式 (8) の φ± に対し，一般に複数得られ問題が定式化される [21], [22]．例えばロックレンジをることも分かっていた [21], [22]．しかし，その他にも最大化する場合は，以下のように考える [21]．まず，最適解があるのか，更にそれらの中でベストな最適解

入力 f に対し，正のロックレンジ R[f ] を返す次の汎(すなわち実現可能限界) とは何であるか，という疑問

関数を定義する．

の解答は変分法によっては原理的に得られず，未解決J[f ] ≡ R[f ] + λ f (θ) − C1（注 2）：具体的には，· ≡ 2π

300

π
−π



· dθ である．

(6)のままであった．
（注 3）：ここで φ∗ は (4) の定常解を示し，一般性を失なわず 0 とおいてよい．

論文／注入同期のロックレンジを最大化する入力信号波形——CMOS リングオシレータを例として——

ところが，最近の研究により，このベストな最適解の以上のもとで，[21], [22] でのパワー制約のもとでの注存在や非存在，更により広いクラスの制約条件下での入同期のロックレンジの最大化は，次の最適化問題と最適解が議論でき，注入同期の物理限界の存在が明らして定式化される．

かになってきている [23], [24]．例えば，以下の基本的問
題は応用上も重要であるが，これらが解答可能となる．

P1 パワー制約された入力 (f 2 (θ) = P = 一定)に対し，1 : 1 同期のロックレンジを最大化するものは存在するか？ もし，存在するならば，それは唯一か？
また，その最大ロックレンジの物理的な意味はどのように特徴付けられるのか？

P2 P1 のパワー制約入力に代わり，面積制約されmaximize R[f ]subject to f (θ) = 0, f p = M.

(11)

こ れ に ，少 し 工 夫 を し て ，f p = M の も と で

J[f ] = R[f ] + λf (θ) を最大化する f と λ を求める問題に焼き直すことができ，この J[f ] は，式 (7) により次のように二つの関数 f と g の内積として表示が可能である：

た入力 (つまり，その値の絶対値の積分が一定値に抑えられた入力) に対し，1 : 1 同期のロックレンジを最大化するものは存在するか？ あるいは振幅制約された
入力 (つまり，その絶対値が一定値以内に抑えられた
入力) の場合はどうか？ それらはどのように特徴付けられるのか？

P3 P1，P2 での 1 : 1 同期の最適化問題は，一般の m : n 同期の場合にも解答可能か？ もし，そうならば，その場合の最大ロックレンジはどのように特徴付けられるのか？ また，1 : 1 同期の場合とどのような関係があるのか？
これらの基本問題 P1，P2，P3 に対し，ある意味で完全な解答の概要を (以下の S1, S2, S3 において)示す．その準備として，まず入力 f の属すクラスとして p 乗可積分な関数の空間 Lp (S) を仮定する．
1p p

f p ≡ |f (θ)| = M < ∞,

J[f ] = f (θ)[Z̄(θ) + λ] ≡ f (θ)g(θ),(12)

ただし g(θ) = Z̄(θ) + λ, Z̄(θ) ≡ Z(θ + Δφ) − Z(θ)
及び Δφ ≡ φ+ − φ− であり，この Δφ は変数 θ の座
標変換 θ + φ− → θ により自然に導入された．
一方，同期状態の (線形) 安定性最大化は，式 (11) において R[f ] を単に S[f ] = −Γ  (φ∗ ) = −f (θ)Z  (θ)とおき換えればよい．したがって，この場合は式 (12)の g(θ) を g(θ) = −Z  (θ) とおけば，同様の議論が可能となる [22], [23]．以下ではロックレンジ最大化のg(θ) = Z̄(θ) + λ の場合に集中して考える．
[21], [22] では，この J[f ] の最大化に変分法を用いたが，式 (12) に注目すると，この最大化問題は厳密に可解であることが判明する．そのキーとなるのが，次のヘルダーの不等式 (Hölder’s inequality) [29] である．

(9)

ただし，p ≥ 1 であり，M は正定数とする．特に p = 2の場合，式 (9) は f 2  = M 2 ，すなわち f のパワー
が M 2 に制約されることを示す．また，p = 1 の場
合，|f | = M ，すなわち f の「面積」が M に制約される．一方，p = ∞ では式 (9) は f ∞ = M に相当し，f ∞ は |f (θ)| の本質的上限 (ess. sup) なので |f (θ)| < M (殆んど全ての θ ∈ S) となる．要するf g1 ≤ f p gq ,(13)

ただし，この p，q は 1 ≤ p, q ≤ ∞, p−1 + q −1 = 1を満たす．この式 (13) より，式 (12) の J[f ] を最大化することは，

J[f ] = f g ≤ |f g|= f g1 ≤ f p gq = M gq

(14)に，これらの f には微分可能性や連続性も必要とせにおいて全ての等号が成立する入力 f を，所与のず，[21], [22] での変分法によるアプローチで暗黙に仮g(= Z̄(θ) + λ) について求めることに帰着する．紙面

定していたよりも広いクラスの関数となっている．
更に，式 (9) に加え，先に述べたチャージバランス

する．その大枠は，図 1 (c) の (1), (2), (3) に示すよう制約を導入する（注 4）．

f (θ) = 0.

の制約から詳細は [23], [24] に譲り，得られる結果を(先の P1，P2，P3 にそれぞれ対応して) 以下に整理に，1 < p < ∞ (特に p = 2), p = 1, p = ∞ の 3 通り

(10)

（注 4）
：f (θ) = C = 0 とすることも可能であるが，ここでは簡潔さのために C = 0 のみ取り扱う．C = 0 の場合は別報に譲る．

に分類される．おのおのの概要は以下のとおりである．

S1 1 < p < ∞ の場合，1 : 1 同期において，最適な入力 (≡ fopt, p ) が Lp(S) 内で存在する．この301電子情報通信学会論文誌 2016/6 Vol. J99–C No. 6

図 2 最適入力波形の例．(a) 1 : 1 同期，(b) 1 : 2 同期，(c) 位相感受関数 Z の一例．
Fig. 2 Examples of the optimal input waveforms. (a) 1 : 1 synchronization, (b)1 : 2 synchronization, (c) a phase sensitivity function Z.

fopt, p は，次式のように Z により陽に与えられる．


fopt, p (θ) = M sgn[g(θ)]|g(θ)|
gq

これに対応する最大ロックレンジは，ヘルダーの不等式の右辺で p = ∞, q = 1 とおいたものに相当する．

1
 p−1

,

(15)

S3 ここでは簡単のため Z ，f ，及び以下で定義す
る Zn ，fm はいずれもフーリエ級数表示が可能なクラ

ただし，g(θ) = Z̄(θ) + λ．このベストな最適入力に対応する最大ロックレンジとは，ヘルダーの不等式 (13)の右辺に他ならない．また，式 (15) に含まれる二つのパラメーター Δφ, λ は [23], [24] のアルゴリズムにより数値的に得られる．

スの関数と仮定する：

(aj cos jθ + bj sin jθ),
jc0
f (θ) = 2 + k (ck cos kθ + dk sin kθ),Zn (θ) ≡ a20 + j (anj cos njθ + bnj sin njθ),

c0
（注 5）
Z(θ) = a20 +fm (θ) ≡ 2 +k(cmk cos mkθ + dmk sin mkθ)．

S2 p = 1 の場合の 1 : 1 同期においても，最大ロッ

ま た 対 応 す る Γm/n (φ) = Z(mθ + φ)f (nθ) も ，

クレンジに上限が存在する．すなわち一般的な Z に対Z, f の フ ー リ エ 級 数 か ら 項 別 積 分 に よ り，フ ー

し，L1 (S) 内に次の形の正負一対のパルス入力

リエ級数表示可能とする．このとき三角関数の積

fopt, 1 (θ) = M [Δ(θ) − Δ(θ + Δφmax )],Zn (mθ + φ)fm (nθ) である．この式は，S1，S2 で(16)

和 の 公 式 よ り Γm/n (φ) = Zn (mθ + φ)f (nθ) =
得られている 1 : 1 同期の最適入力を得るアルゴリズム

1
ただし，Δ(θ + Δφ) =(|θ + Δφ| ≤ なるθ),2
(17)0 (その他のθ),において，Z を Zn とおきかえるのみで一般の m : n
同期の最適入力が 1 : 1 同期の fopt,p (θ) に対し，上記の fm (nθ) の形で得られることを示している [23]（注 6）．

が存在し，このパルスの幅  を細くするにつれ，この以上の結果を，Hodgkin-Huxley ニューロンモデ

上限にいくらでも漸近可能である．式 (16) のパルス

ル [22], [27] を一例としてまとめたものが図 2 である．

入力の形状は上記の S1 での最適入力（式 (15)）にお図 2 (a)，図 2 (b) はそれぞれ 1 : 1 同期と 1 : 2 同期

ける p → 1 の極限と整合し，このロックレンジの上限の最適入力を示すが，1 : 2 の場合は 1 : 1 の場合に比は，ヘルダーの不等式 (13) の右辺で p = 1, q = ∞ とべ波形がシンプルになっている．これは Zn において，おいたものに相当する．また，Δφmax は [23], [24] の

図 2 (c) に示す元の Z での高調波からの寄与が相対的

アルゴリズムにより，Z より直に得られる．

に小さくなるためであり，一般に n が大きくなるにつ

一方，p = ∞ の場合の 1 : 1 同期において，次の形

れこの傾向が顕著になる．

の最適入力

fopt, ∞ (θ) = M sgn[Z̄(θ) + λ],(18)

が L∞ (S) 内で 存在し，Z により陽に表示され，S1の最適入力（式 (15)）で p → ∞ の極限に一致する．
302

（注 5）
：直観的には Zn , fm はそれぞれ Z, f のフーリエ級数を nj,
mk 項のみ残して間引いたものである．
：ただし，m : 1 同期の場合のみ例外的に，その最適入力が（注 6）(m : m = 1 : 1 同期の場合と一致するため) 存在しないことになる．しかし，これが漸近的には，1 : 1 同期の最適入力と一致するとみなすことは可能である．

論文／注入同期のロックレンジを最大化する入力信号波形——CMOS リングオシレータを例として——

図3

対象とするリングオシレータ．(a) 回路構成，(b) 自励発振波形（3 段，バイアス電
圧 Vb = 2 V）．(c) 自励発振波形（7 段，バイアス電圧 Vb = 2 V）．
Fig. 3 Relevant ring oscillators. (a) The circuit structure, (b) self-sustained oscillations (3 stages, bias voltage Vb = 2 V), (c) self-sustained oscillations(7 stages, bias voltage Vb = 2 V).

これらの結果により，P1, P2, P3 への解答が得ら

タには，それ自体の位相ノイズが大きいという問題や，れた．その S1, S2, S3 及びこれらに関する最適化ア

電源電圧の変動や温度の変化による周波数ドリフトのルゴリズムの基礎として，幾つかの定理が得られていような発振周波数の安定性の問題が内在している．

る [24]．そのご利益として，先行研究 [21], [22] ではできなかったことが可能になる．それは例えば，次の事

4. 2 注入同期型 CMOS リングオシレータとその動作柄である．(1)「注入同期の物理限界」の存在証明・本

上記の問題を解決するために，注入同期を利用した質を示すこと，(2) パルス入力の取り扱い，(3) ロック回路が提案され実装されてきている．そこでは，位相レンジの最大化，安定性の最大化，一般の m : n 同期

ノイズの小さい信号源を入力として用い，リングオシでの最適化問題が系統的に解答可能となること．要す

レータの出力信号の位相ノイズの低減と周波数変動のるに，以上により弱入力の場合の注入同期の実現可能抑制が実現されている．本研究では，注入同期型リン限界が存在し，それを構成可能であることが明らかとグオシレータとして，[3], [4] に倣い 3 段構成のシングなった．

ルエンド型インバータチェーンを対象とし，更に比較

4. CMOS リングオシレータのロックレンジ最大化
以 上 で 得 ら れ た 最 適 化 理 論 を も と に ，以 下 で は検討のため，同一デバイスパラメータの 7 段のリング
オシレータについても解析を行う．図 3 (a) に，nMOS
ゲートによる入力段とバイアス回路を付加した回路構成を示す．ここで，入力段の nMOS ゲートは，入力

CMOS リングオシレータの注入同期におけるロッ

信号の注入端子として機能し，リングオシレータの 2

クレンジ最大化設計の一例を示す．ここでは [6]〜[8]段目と 3 段目のノードをつなぐ可変抵抗の役割を果た等に倣い，まず発振器内のノイズの無視できる場合かす．また，バイアス回路は，入力段の電位レベル（動らはじめ，後の 4.4 でノイズの存在する場合を取り扱作点）を一定に設定するためのものである．

かい，ノイズの無視できる場合との整合性を検証する．

以下では，HSPICE による回路シミュレーションに

4. 1 CMOS リングオシレータとその問題点基づいて解析を行う．回路内の全ての MOS トランジ

CMOS リングオシレータは複数の遅延回路をリング

スタのサイズは，ゲート長 L = 1.6/1.2 μm，ゲート状に接続した発振器である．遅延回路の構成に応じて，

幅 W = 200/100 μm (pMOS/nMOS) に設定した．

様々な回路が考えられる [3]〜[5]．ここでは，遅延回路

図 3 (b) に，3 段のリングオシレータの場合の発振として CMOS インバータを用いた回路を考える．そ

波形を示す．図 3 (b) 内の破線，点線，実線は，それの動作機構は，各段の出力電圧を次段のゲート駆動電

ぞれ 1 段目，2 段目，3 段目のインバータの出力波形

圧とし，ループ構成とすることで，自励発振が持続的（図 3 (b) の端子 1, 2, OUT 端子）を表す．このときリに生じることを利用するものである．近年の半導体素

ングオシレータの自励発振周波数は約 1.1GHz であっ子の集積微細化に伴い，CMOS デバイスを高周波数でた．更に，図 3 (a) と同様の構成で，7 段のリングオシ駆動できるようになってきた．これにより CMOS リン

レータの 6 段目と 7 段目のノード間に入力段の nMOS

グオシレータを高速無線通信用のアナログフロントエ

ゲートを付加した場合の発振波形を図 3 (c) に示す．7

ンドとして搬送波生成等に応用する研究が進展してい段のリングオシレータの自励発振周波数は約 450MHzる（例えば [3], [4]）．しかし，CMOS リングオシレー

であった．
303

電子情報通信学会論文誌 2016/6 Vol. J99–C No. 6

図 4 (a)，(b) に，パルス注入同期型 CMOS リング
オシレータの位相感受関数 Z を示す．これを取得するために回路シミュレータ（HSPICE）によりインパル
ス応答関数法 [28] を用いた．Z を取得する際に用いる
単一のパルスは，発振周期に対するパルス幅の比，すなわち Duty 比を 1%とし，振幅を 0.1 V とした（このパルスは注入同期を意図するものでなく，Z を得るための仮想的な入力である）．この設定は [15], [28] 等のルーチンによる．また，各発振位相において，パルスを注入してから 100 周期経過後の位相のシフト量を
入力パルスの面積で正規化することにより Z の値を得ている（その詳細は例えば [28] を参照のこと）．図 4の結果より，Z の形状はバイアス電圧 Vb の値に応じ大きく異なることがわかる．これは入力段の nMOS
ゲートのゲート電圧に依存してドレイン‐ソース間の電流が大きく変化することを反映している．
図 4 (c), (d) は，3. の S2 で述べた最適なパルス入力を示す．この入力の制約条件は式 (9) で p = 1，

M = 0.032π としたものである．この波形を特徴付ける Δφmax は，[23], [24] のアルゴリズムにより Z から数値的に得られる．S2 で述べたように，理想的には
限りなく細いパルスを想定しているが，ここでは入力
電圧を ±0.4 V としたために (数値シミュレーションの都合上) 幾分太いパルス (Duty 比=2%) と設定している．一方，図 4 (e), (f) は，3. の S1 で述べた制約
条件 (9) で p = 2 の場合（ただし，M = 1）の最適入力を示す．これらも [23], [24] のアルゴリズムにより Zから直に得られる．
理論的にロックレンジを求めることには，その結果の正しさの裏付けを与えるのみならず，計算量を大幅に削減する利点がある．理論では，位相感受関数 Z を

図 4 対象とする回路の位相感受関数 Z 及び入力波形の例．図中の Vb はバイアス電位，M は式 (9) で定義される値，Δφ は正負一対のパルスの位相差を示す．(a) 3 段の場合の Z ，(b) 7 段の場合の Z ，(c)3 段の場合の最適パルス（面積制約）入力波形，(d)7 段の場合の最適パルス入力波形，(e) 3 段の場合の最適パワー制約入力波形，(f) 7 段の場合の最適
パワー制約入力波形．
Fig. 4 Examples of the phase sensitivity function Z
and input waveforms in the relevant circuits.
Vb represents the bias voltage, M represents
the value deﬁned in Eq. (9), and Δφ is thephase diﬀerence between a pair of positive andnegative pulses. (a) Z for the 3-stage case, (b)Z for the 7-stage case, (c) the optimal pulse(area-reduced) input waveform for the 3-stage
case, (d) the optimal pulse input waveform
for the 7-stage case, (e) the optimal powerreduced input waveform for the 3-stage case,(f) the optimal power-reduced input waveform
for the 7-stage case.

一度得ることができれば，任意の入力波形に対して，
ロックレンジを即座に求めることができる．この Z は，

HSPICE の過渡応答解析を 100 回程度くり返すことで領域の境界のみで一定回数繰り返す．このように同期・求められる．一方で，回路シミュレーションからロッ

非同期領域の境界付近では周波数ステップを細かくす

クレンジを求める場合は，入力の強度を一定とした上る一方，それ以外の箇所では周波数ステップを粗くす

で周波数を掃引しながら時間波形を取得する．そして，るという手順をとることで効率的に掃引を行っている．

この波形から同期・非同期を判定する．具体的な手順

このような手順を用いたとしても，後述される各図のは，まず自励発振周波数と等しい周波数を起点とし，データ点を得るためには，入力 1 種類あたり HSPICE

そこから一定の粗い周波数ステップで入力の周波数をの過渡応答解析を 130 回程度くり返す必要がある．

変化させ，非同期状態を検出するまで掃引する．つぎ4. 3 ロックレンジとその最大化に同期・非同期領域の境界では，同期状態を検出した

CMOS リングオシレータを無線通信向けの搬送波点と非同期状態を検出した点の中央の周波数において，生成へ応用することを目的とした場合，他の通信チャ

同期・非同期を新たに判定する．これを同期・非同期

ネルへの妨害を最小とするために，発振波形の高調波

304

論文／注入同期のロックレンジを最大化する入力信号波形——CMOS リングオシレータを例として——成分（スプリアス）を抑えることが必要になる．4.2の回路は，ある程度大きな注入信号により発振波形のひずみを生じ得るため，スプリアスの抑制には，注入信号を連続的な正弦波とするより，入力段の nMOS
ゲートがオンになる時間が短くなるパルス波が有効である [4]．これを踏まえ，本研究では注入信号として，
おもにパルス波を想定し解析を行う．また，4.2 の回路は，周波数分周器 [3] と周波数逓倍器 [4] のいずれにも用いられるが，以下では紙面の制約により，逓倍動作についての結果のみを示す．
まず図 3 の 3 段のリングオシレータを対象に，4.2で得られた Z （図 4 (a)）をもとに，注入信号を正弦波と正負一対のパルス入力とした場合のそれぞれの

1 : 1 同期のロックレンジの理論値を示す（図 5 (a)）．
その際，バイアス電位を Vb = 2.0 V と設定した．正負一対のパルス入力は，パルス間の位相差 Δφ の値により定まるが，この正負一対のパルスが最適入力となる Δφmax は，f の制約条件を |f (θ)| = M （一定）とした場合のアルゴリズム [23], [24] により与えられる．ここでは，Δφ = 0.46π(= Δφmax ) と Δφ = π の

2 通りのパルス入力を対象とする．ここで，図 5 (a)の実線は式 (4) による理論値，○，▽，◇の各データ
点は，それぞれに対応する異なる入力における回路シ
ミュレーションの結果を示している．理論値とシミュ
レーション結果は例外なく整合し，特に小振幅のところで高い精度で一致している．理論では入力 f が弱入力であると仮定しているため，大振幅のところでは，
理論値とシミュレーション結果に誤差が生じうる．また，位相感受関数 Z を取得する際のパルス幅が，理論的には無限小としているところを有限の幅としている
ことも，誤差が生じうる原因となる．
次に，10 逓倍動作（10 : 1 同期）の場合のロックレンジを示す（図 5 (b)）．一般に n 逓倍動作の場合，発振器とおなじ周期をもつ波形を時間軸上で n 倍に伸長する引き伸ばし入力とよばれる波形（図 5 (b) の◇），あるいは発振器の n 周期のうち 1 周期のみ入力を与える間引き入力（図 5 (b) の▽，○）とよばれる波形（付録 1. 参照），が入力の候補として考えられる．例
えば [4] の実験は，正弦波を入力する場合は引き伸ばし入力，パルスを入力する場合は間引き入力の信号を用いている．本研究においても，相互の比較のため同様の波形の構成を用いた．[4] の結果と同様に，正弦波

図53 段のリングオシレータのロックレンジ．実線は理論値，▽，○，◇のデータ点はそれぞれ図中の入力波形に対して得られるシミュレーション結果を示す．
opt, sin はそれぞれ式 (15) で p = 2 における最適
入力，及び正弦波を表す．Δφ は正負一対のパルスの位相差を表す．(a) 面積制約のもとでの 1 : 1 同期の場合，(b) 10 : 1 同期（10 逓倍動作）の場合，(c) パワー制約のもとでの 1 : 1 同期の場合．
Fig. 5 Locking range of the 3-stage ring oscillators.
The solid lines represent the theoretical values, the data points ▽, ○, ◇ represent simulation results obtained for the input waveforms in this ﬁgure. opt and sin respectively
represent the optimal input for p = 2 in
Eq. (15) and the sine wave. Δφ is the phase
diﬀerence between a pair of positive and negative pulses. (a) Cases of 1 : 1 synchronization for the area-reduced constraint, (b) casesof 10 : 1 synchronization (10th-order subharmonic injection locking), (c) cases of 1 : 1 synchronization for the power-reduced constraint.

の引き伸ばし入力（◇）のロックレンジは著しく狭いことが認められる．なお，付録 1. に記載の定理は，本305

電子情報通信学会論文誌 2016/6 Vol. J99–C No. 6

論文ではじめて得られたものである．
ま た ，1 : 1 同 期 の 場 合 に 入 力 の パ ワ ー 一 定（f 2 = M ）の制約のもとでのロックレンジの理論値とシミュレーションの結果を示す（図 5 (c)）．この場合，正負一対のパルス入力のロックレンジは相対的に小さすぎるため，ここでは省いている．
以上の図 5 (a)，(b)，(c) のいずれにおいても，最適
入力（▽）の最適性が認められる．

7 段のリングオシレータにおいて，以上の 3 段のリングオシレータの場合と同様にロックレンジを理論，
シミュレーションの両方から求めた結果を図 6 に示す．
バイアス電位を Vb = 2.0 V と設定した．3 段のリング
オシレータの場合と同様に，理論値とシミュレーショ
ン結果は例外なく整合し，特に小振幅のところで高い精度で一致している．また，最適入力（▽）の最適性も明らかである．
以上の正負一対のパルス入力の最適性をより詳しく調べるために，正負のパルスの位相差 Δφ に対し，これに対応するロックレンジ R を求めた（図 7）．ここ
で，理論値は [23], [24] のアルゴリズムにより得られ，データ点は上記の数値シミュレーションから得られた．
両者は高い精度で一致し，最適なパルス入力（Δφmaxに相当）は，一定間隔のパルス入力（Δφ = π ）に比べ，3 段のリングオシレータの場合は約 1.6 倍，7 段のリングオシレータの場合は約 1.2 倍のロックレンジを実現することが認められた．

4. 4 注入同期時の位相ノイズの低減
4.3 では，先行研究（ [6]〜[8] 等）を踏まえ，式 (2)で記述される状況，すなわち回路内のノイズが充分弱く無視可能な場合を取り扱った．この節では，回路に比較的弱いノイズが存在する場合を想定し，注入信号とノイズが共存する場合の先行研究 [15], [25] の設定にしたがい，位相ノイズなどについて得られる結果を示す．
（位相ノイズの定義は付録 2. を参照）

[15], [25] にしたがい，回路方程式は 2. の式 (2) を踏まえ，dx= F (x) + f (t) + ξ(t),
dt

(19)

により与えられるとし（注 7），ξ(t) が発振器に影響するノ
イズ（白色ガウスノイズ）を表すとする．この式 (19)で記述される回路シミュレーションの概要は次のとお（注 7）： [15] の p.185 の 10〜12 行目，[25] の p.3169 の 9〜11 行目に記載されている．

306

図6

7 段のリングオシレータのロックレンジ．実線は理論値，▽，○，◇のデータ点はそれぞれ図中の入力波形に対して得られるシミュレーション結果を示す．
opt, sin はそれぞれ式 (15) で p = 2 における最適
入力，及び正弦波を表す．Δφ は正負一対のパルスの位相差を表す．(a) 面積制約のもとでの 1 : 1 同期の場合，(b) 10 : 1 同期（10 逓倍動作）の場合，(c) パワー制約のもとでの 1 : 1 同期の場合．
Fig. 6 Locking range of the 7-stage ring oscillators.
The solid lines represent the theoretical values, the data points ▽, ○, ◇ represent simulation results obtained for the input waveforms in this ﬁgure. opt and sin respectively
represent the optimal input for p = 2 in
Eq. (15) and the sine wave. Δφ is the phase
diﬀerence between a pair of positive and negative pulses. (a) Cases of 1 : 1 synchronization for the area-reduced constraint, (b) casesof 10 : 1 synchronization (10th-order subharmonic injection locking), (c) cases of 1 : 1 synchronization for the power-reduced constraint.

論文／注入同期のロックレンジを最大化する入力信号波形——CMOS リングオシレータを例として——

図 7 正負のパルスの位相差 (Δφ) とロックレンジの大きさ (R) の関係．入力の面積は M = 0.016π V · s とした．(a) 3 段のリングオシレータの 1 : 1 同期の場合，(b) 3 段のリングオシレータの 10 : 1 同期（10逓倍）の場合，(c) 7 段のリングオシレータの 1 : 1
同期の場合，(d) 7 段のリングオシレータの 10 : 1
同期（10 逓倍）の場合．
Fig. 7 Relationships between the phase diﬀerence(Δφ) of positive and negative pulses and themagnitude (R) of locking range. The areaof the inputs is set at M = 0.016π[V · s].
(a) Cases of 1 : 1 synchronization for the
3-stage ring oscillators, (b) cases of 10 : 1
synchronization (10th-order subharmonic injection locking) for the 3-stage ring oscillators, (c) cases of 1 : 1 synchronization forthe 7-stage ring oscillators, (d) cases of 10 : 1
synchronization (10th-order subharmonic injection locking) for the 7-stage ring oscillators.

りである．対象とするのは，4.3 の 3 段と 7 段のリング
オシレータと同一のものであり，そこに式 (19) の ξ(t)の項のみが追加される．ここでは特に断りがない限り，
注入信号 f (t) は高さ 0.4V，Δφ = Δφmax = 0.46πの正負一対のパルスとする．その際の数値積分は確率微分方程式（ランジュバン方程式）に有効なもの（例図 8

入力の周波数がロックレンジ内の場合の位相ノイズの比較．(a) 発振（出力）波形のパワースペクト
ル．fout はそれぞれの発振波形の基本周波数を表す．ロックレンジ（赤の点線）は，4.4 で定義されている．(b) 基本周波数からの周波数差 Δf （オフセット周波数）での位相ノイズ．Δf = 1MHz の位置での位相ノイズの比較は，先行研究 [4], [25] にならっている．
Fig. 8 Comparison of the phase noise in the casewhere the input frequencies are in the locking range. (a) The power spectra of the oscillation (output) waveforms. fout is the oscillation frequecy of each oscillation waveform.
The locking range (red dotted line) is deﬁned
in 4.4. (b) Phase noise at frequency diﬀerenceΔf (oﬀset frequency) from the oscillation frequency. The comparison of the phase noise at
Δf = 1MHz is from previous studies [4], [25].

として [30]）を採用し，ξ(t) の強度の設定は，数値積分の 1 ステップにおける，f (t) と ξ(t) の増分が相対的に同じ程度となるレベルとする．これはノイズが強過ぎず，かつ微弱過ぎて無視可能となることを避けるものである（詳細は付録 2. を参照）．
上記のシミュレーションを系統的に行った結果，観測される事実は次のとおりである．

O1 位相ノイズは，先行研究 [15], [25] などで知られているオフセット周波数 Δf に対する Δf −2 のス
ケーリング則にしたがう（オフセット周波数の定義は
付録 2. を参照）．

[15], [25] などで白色ガウスノイズのもとでは，位相ノイズが（注入同期の成立している，していない場合のいずれにも）Δf −2 のスケーリング則にしたがう部
分をもつことが示されている．4.4 の式 (19) におけるシミュレーションにおいても，このスケーリング則が認められ（図 8 (b), 図 9 (b) を参照），[15], [25] などの結果と整合することがわかる（注 8）．

O2 注入同期成立時には位相ノイズが低減する．
ノイズの存在下で注入同期の成立・不成立を定義す（注 8）： [15] の p.184 の最後の段落，[25] の p.3167 の Fig. 12 に記載されている．

307

電子情報通信学会論文誌 2016/6 Vol. J99–C No. 6

図 10

図 9

入力の周波数がロックレンジ外の場合の位相ノイズの比較．(a) 発振（出力）波形のパワースペクト
ル．fout はそれぞれの発振波形の基本周波数を表す．ロックレンジ（赤の点線）は，4.4 で定義されている．(b) 基本周波数からの周波数差 Δf （オフセット周波数）での位相ノイズ．Δf = 20MHz の整数倍のところにピークが見られる [15]．
Fig. 9 Comparison of the phase noise in the casewhere the input frequencies are out of thelocking range. (a) The power spectra of theoscillation (output) waveforms. fout is theoscillation frequecy of each oscillation waveform. The locking range (red dotted line) is
deﬁned in 4.4. (b) Phase noise at frequency
diﬀerence Δf (oﬀset frequency) from the oscillation frequency. Peaks are observed at the
integer multiples of Δf = 20MHz [15].

3 段のリングオシレータの，面積制約のもとでの
1 : 1 同期の場合のロックレンジ．▽，○，◇のデー
タ点はそれぞれ図中の入力波形に対して得られるシミュレーション結果（ノイズなし）を示し，▼，●，◆のデータ点はそれぞれ図中の入力波形に対して得られるシミュレーション結果（ノイズあり）
を示す．Δφ は正負一対のパルスの位相差を表す．
点線はノイズなしの場合の 4.3 で得られる理論値．
Fig. 10 Locking range for cases of 1 : 1 synchronization under the area-reduced constraint, inthe 3-stage ring oscillators. The data points▽, ○, ◇ represent simulation results (withno noise) obtained for the input waveforms
in this ﬁgure, while the data points ▼, ●, ◆represent simulation results (with noise) obtained for the input waveforms in this ﬁgure.
Δφ is the phase diﬀerence between a pairof positive and negative pulses. The dottedlines represent the theoretical values in thecase of no noise obtained in 4.3.

は，fout の周りに著しく急なピークが確認できる．このパワースペクトルの裾野は，図 8 (a) の青線の入力
無しの自励発振の場合に比べて低減する．次に，離調が 6MHz（ロックレンジの境界内側）のとき，図 8 (a)の緑線のデータにおいて，パワースペクトルの形状には，fout の周りに比較的急なピークが確認できる．
更に，パワースペクトルの裾野は入力無しの場合に比べ低減する．また，図 8 (b) より，Δf = 1MHz におけるそれぞれの位相ノイズを比較すると，離調がるためには，注入信号の周波数 finj (≡ Ω/2π) と発振0MHz（離調無し）で注入同期が成立しているときは

周波数 fout の差が充分小さいか否かを確かめればよ

位相ノイズが約 34dBc/Hz 低減し，離調が 6MHz のい．ここでは |finj − fout |/finj < 10−4 で注入同期がとき，位相ノイズが約 15dBc/Hz 低減している．これ成立するとしている（この条件は任意性を含むもの

らのことは，先行研究 [25] の結果と一致する．一方，の，[31] などで理論的に妥当であることが知られてい注入同期が成立していない場合，図 9 に示すようにる）．この注入同期の成立条件より図 8 (a) に示すロッ|finj − fout | = Δf (〜20MHz) の整数倍の値でパワー

クレンジが定義される．まず，離調がロックレンジのスペクトル及び位相ノイズのピークが生じる．このこ内側に収まる場合を考える（ここでの離調は，ノイズ

とも [15], [25] の結果と整合している（注 9）．

の存在下で発振器の自然周波数と finj の差のことである）．離調が 0MHz（離調無し）のとき，図 8 (a) の
赤線のデータにおいて，パワースペクトルの形状に
308

（注 9）
：引き込みの成立する場合は [25] の p.3172 の 20〜22 行目，引き込みの外れた場合は [25] の p.3172 の 16〜20 行目にそれぞれ記載
されている．

論文／注入同期のロックレンジを最大化する入力信号波形——CMOS リングオシレータを例として——

O3 4.3 でのノイズがない場合の異なる注入信号

coupling-insensitive transcutaneous power and dataに対するロックレンジの大小関係は，比較的弱いノイtransmission via an inductive link,” IEEE Trans.

ズのもとでも同様に成立する．
図 10 に 示 す よ う に ，4.3 で の 注 入 信 号 f (t) をBiomed. Eng., vol.37, no.7, pp.716–722, July 1990.
[3]

injection-locked frequency divider with 2.3-GHz lock-Δφ = Δφmax = 0.46π, Δφ = π の二通りの正負

ing range,” IEEE J. Solid-State Circuits, vol.40, no.3,
pp.671–677, March 2005.

一対のパルス，及び正弦波として，ロックレンジの大小関係（図 5 (a)）は，弱いノイズのもとでも同様に成[4]less Compon. Lett., vol.15, no.10, pp.676–678, Oct.
2005.
[6]

R. Adler, “A study of locking phenomena in oscilla-[7]

K. Daikoku and Y. Mizushima, “Properties of injec-

tors,” Proc. IRE, vol.34, no.6, pp.351–357, 1946.
tion locking in the non-linear oscillator,” Int. J. Elec-

測結果は著者の知るかぎり，CMOS リングオシレー
タにおいてはこれまで報告されていないようである．

L.-H. Lu and J.-C. Chien, “A wide-band CMOS
injection-locked ring oscillator,” IEEE Microw. Wire-

以上に得られた O1，O2，O3 の 1 : 1 同期のシミュ

これらは紙面の制約により割愛する．なお，O3 の観

and M. Fujishima,

Solid-State Circuits Conference, pp.336–338, 2007.
[5]

では 4MHz 程度となる．

倍動作（10 : 1 同期）の場合にも同様に成り立つが，M. Motoyoshi,

monic pulse-injection locking,” Proc. IEEE Asian

では，発振器の自然周波数に若干の差が生じることがレーション結果は，7 段のリングオシレータ，更に逓K. Takano,“4.8GHz CMOS frequency multiplier with subhar-

立する．弱いノイズの存在する場合と存在しない場合
知られているが [31]，この周波数差は図 10 に示す例

K. Yamamoto and M. Fujishima, “A 44-μW 4.3-GHz

tronics, vol.31, no.3, pp.279–292, Oct. 1971.
[8]

K.

Kurokawa,“Injection

lockingofmicrowave

solid-state oscillators,” Proc. IEEE, vol.61, no.10,

5. む す び

pp.1386–1410, Oct. 1973.
[9]

L.J. Paciorek, “Injection locking of oscillators,” Proc.

[10]

X. Zhang, X. Zhou, B. Aliener, and A.S. Daryoush,

注入同期の性能を最大化する理論 [23], [24] をもとに，実用上有用な発振器のロックレンジ最大化に適用

IEEE, vol.53, no.11, pp.1723–1727, Nov. 1965.
“A study of subharmonic injection locking for local

する手続きを整備した．具体例として，CMOS リング

oscillators,” IEEE Microw. Guid. Wave Lett., vol.2,

オシレータに対し理論と系統的な数値シミュレーショ
ンによる解析を行った．その結果，1 : 1 同期のみならpp.97–99, March 1992.
[11]

in oscillators,” IEEE J. Solid-State Circuits, vol.39,

ず，逓倍動作（10 : 1 同期）の場合にも，ロックレンジの最大化が可能となることが検証された．このロッ

no.9, pp.1415–1424, Sept. 2004.
[12]

クレンジを最大化する最適入力設計の枠組みは，同期の安定性を最大化する入力の設計並びに回路自体の同期能力の向上にも応用可能であり [23], [24]，現在これ[13]

らの結果を回路上で確認する検証実験を行っている．

助金（課題番号 26286086），並びに電気通信普及財団[14]

Y. Kuramoto, Chemical Oscillations, Waves, and[15]

A. Hajimiri and T.H. Lee, “A general theory of phase

Turbulence, Springer, Berlin, 1984.
noise in electrical oscillators,” IEEE J. Solid-State

クロ波研究会の諸先生方，並びに本城和彦先生，高山Circuits, vol.33, no.2, pp.179–194, Feb. 1998.
[16]

merical methods for characterization,” IEEE Trans.

めて感謝いたします．
[1]

Circuits Syst. I, vol.47, no.5, pp.655–674, May 2000.

献

[17]

H.-A. Tanaka, A. Hasegawa, H. Mizuno, and T. Endo,

K. Kawasaki, Y. Akiyama, K. Komori, M. Uno, H.

“Synchronizability of distributed clock oscillators,”

Takeuchi, T. Itagaki, Y. Hino, Y. Kawasaki, K. Ito,

IEEE Trans. Circuits Syst. I, vol.49, no.9, pp.1271–
1278, Sept. 2002.

and A. Hajimiri, “A millimeter-wave intra-connect
solution,” IEEE ISSCC Digest of Technical Paper,[2]

A. Demir, A. Mehrotra, and J. Roychowdhury,“Phase noise in oscillators: a unifying theory and nu-

島大）から貴重なアドバイスを戴きました．ここに改文る，” 信学論（C），vol.J96-C, no.12, pp.454–462, Dec.
2013.
堤 恒次，津留正臣，谷口英司，“複数のパルス信号を
MW2011-180, March 2012.

研究調査助成を受けて行われた．本研究に関し，マイ洋一郎先生（電通大），藤島実先生，高野恭弥先生（広大平 孝，“疑似線形理論による発振回路注入同期現象の定式化–紙と鉛筆でロックレンジと Q ファクタを探求す用いたサブハーモニック注入同期発振器，” 信学技報，これらについては稿を改めて報告の予定である．
謝辞 本研究の一部は平成 27 年度文科省科研費補

B. Razavi, “A study of injection locking and pulling[18]

X. Lai and J. Roychowdhury, “Capturing oscillator

pp.414–415, 2010.

injection locking via nonlinear phase-domain macro-

C.M. Zierhofer and E.S. Hochmair “High-eﬃciency

models,” IEEE Trans. Microw. Theory Tech., vol.52,309電子情報通信学会論文誌 2016/6 Vol. J99–C No. 6[19]

no.9, pp.2251–2261, Sept. 2004

期の最適入力をもとに以下で構成される m : 1 同期のP. Maﬀezzoni, “Analysis of oscillator injection lock-「間引き」入力は，1 < p < ∞ では最適ではないもの

ing through phase-domain impulse-response,” IEEE
Trans. Circuits Syst. I, vol.55, no.5, pp.1297–1305,[20]の，p = 1 では例外的に最適入力と同等のロックレン
ジに漸近可能であることを以下に示す．

June 2008.
T. Nagashima, X. Wei, H.-A. Tanaka, and H. Sekiya,“Locking range derivations for injection-locked class-

まず，1 < p < ∞ での間引き入力 fclip, p (θ) は次により与えられる．

E oscillator applying phase reduction theory,” IEEE⎧ C
m⎪fopt, p ( θ) =
⎪
⎪
M
n
⎪
⎪
⎪
⎨
m
m

Trans. Circuits Syst. I, vol.61, no.10, pp.2904–2911,
Oct. 2014.
[21]

T. Harada, H.-A. Tanaka, M.J. Hankins, and I.Z.
Kiss, “Optimal waveform for the entrainment of a
weakly forced oscillator,” Phys. Rev. Lett., vol.105,

Csgn[g(fclip, p (θ) =θ)|/||g||q

1
 p−1

n
n
⎪
⎪
⎪
⎪
(−π ≤ θ ≤ −π + 2πn/m なるθ),⎪⎪⎩

no.8, 088301, 2010.
[22]θ)] |g(A. Zlotnik, Y. Chen, I.Z. Kiss, H.-A. Tanaka, and0, (その他のθ).

,

(A·1)

J.S. Li, “Optimal waveform for fast entrainmentof weakly forced nonlinear oscillators,” Phys. Rev.
Lett., vol.111, no.2, 024102, 2013.
[23]

[24]

H.-A. Tanaka, “Synchronization limit of weaklyの fopt, p を m 周期並べ，そのうちの m − 1 周期分

forced nonlinear oscillators,” J. Phys. A: Mathemat-

を間引き（すなわち 0 とする），fclip, p p = M とな

ical and Theoretical, vol.47, 402002, 2014.

るように振幅を増大することによる（図 A· 1）．一方，H.-A. Tanaka, “Optimal entrainment with smooth,

チャージバランス制約 (10)：fclip, p  = 0 は自動的に

pulse, and square signals in weakly forced nonlinear oscillators,” Physica D: Nonlinear Phenomena,
vol.288, pp.1–22, 2014.
[25]

この fclip, p (θ) を間引き入力とよぶ理由は，1 : 1 同期満たされる．fclip, p p = M の制約により，式 (A·1)の C は，次のように C = m1/p M と決まる．

A. Elkholy, M. Talegaonkar, T. Anand, and P.K.
Hanumolu, “Design and analysis of low-power highfrequency robust sub-harmonic injection-locked clock||fclip, p ||pp = C p

multipliers,” IEEE J. Solid-State Circuits, vol.50,
no.12, pp.3160–3174, Dec. 2015.
[26]=

A. Buonomo, A.L. Schiavo, M.A. Awan, and M.S.

 −π+ 2π m−π

 −mπ+2π

Cp||g||qq|g(θ̄)|q−mπ|g(mθ)|||g||q

p
 p−1

dθ

dθ̄ C p=
≡ M p ,(A·2)
mm

Asghar, “A CMOS injection-locked frequency divider
optimized for divide-by-two and divide-by-three op-

ただし，θ̄ = mθ．更に式 (5) と式 (A·1) より，次を

eration,” IEEE Trans. Circuits Syst. I, vol.60, no.12,

得る．

pp.3126–3135, Dec. 2013.
[27]

F.C. Hoppensteadt and E.M. Izhikevich, Weakly
Connected Neural Networks, Springer, New York,Γm/1 (φ) =

1997.
[28]

[29]

太田大輔，田中久陽，毎野裕亮，“同期現象の解析に必要” 信
な位相方程式の導出アルゴリズムに関する比較検討，学論（A），vol.J89-A, no.3, pp.190–198, March 2006.
G. Hardy, J.E. Littlewood, and G. Pólya, Inequal-

1
=
2π
=

ities, Second ed., Cambridge Mathematical Library,
1988.
[30]

C.W. Gardiner, Handbook of Stochastic Methods,
pp.66–106, Springer, 2004.

[31]

K. Yoshimura and K. Arai, “Phase Reduction of

=

 π

1
2π

 π
Z(mθ + φ)fclip, p (θ)dθ−πZ(mθ + φ) ·
−π

C
2πM

 −mπ+2πCfopt, p (mθ)dθM

Z(θ̄ + φ)fopt, p (θ̄)
−mπ

1−p
C
Γ1/1 (φ) = m p Γ1/1 (φ).
mM

dθ̄
m
(A·3)

同様のことは p = ∞ の場合にも成立する．すなわち，

Stochastic Limit Cycle Oscillators,” Phys. Rev. Lett.,

C
式 (A·1) において， M
fopt, p (mθ) は fopt, ∞ (mθ) =vol.101, 154101, 2008.

1
Γ1/1 (φ)
M sgn[g(mθ)] となり，その結果 Γm/1 (φ) は m

付録と得られる．
したがって，1 < p ≤ ∞ において，次の性質 (i) 及

1. 間引き入力の定義と得られる性質について

び (ii) が式 (A·3) より得られる：

本文で述べたように，一般に所与の Z に対し，m : n(i) m : 1 同期において式 (A·1) の間引き入力に対し，同期の最適入力が構成可能である．しかし，1 : 1 同

ロックレンジは 1 : 1 同期の最大ロックレンジと比べ，310

論文／注入同期のロックレンジを最大化する入力信号波形——CMOS リングオシレータを例として——いては [24] の Appendix F の証明による．
以上により，次の性質 (iii) が得られる．

(iii) p = 1 の場合，式 (A·5) の間引き入力（パルス）に対するロックレンジは，パルス幅  が 0 の極限で（1 : 1 同期の）最大ロックレンジに漸近する．
m : n 同期 (例：m = 2，n = 1) における間引き (clipped) 入力の模式図．青線は，周期 T0 の
1 : 1 同期の最適入力（式 (15)）を m(= 2) 周期並べたものである．黒の点線は，これに対応する
間引き入力を示す．
Fig. A· 1 Schematic illustration of a clipped input form : n synchronization (e.g., m = 2, n = 1).
The blue line represents m(= 2) sets of the
optimal input (Eq. (15)) for 1 : 1 synchronization of period T0 . The dotted line isthe corresponding clipped input.

図 A· 1（ 注 記：一 般 に m : n 同 期 の 最 大 ロック レ ン ジ は

1 : 1 同期のそれを超えることはない．このことは
1 < p < ∞ については [24] の Lemma 1，2 に示され）ており，p = 1, ∞ においても同様のことが成立する．
以上をまとめ，次の性質が得られる．
定理

m : 1 同期において，次を仮定する．まず，

1 < p < ∞ に対し，Z は（ [24] の Theorem 1 に記載の）滑らかな周期関数とする．また，p = 1，∞ に対し，Z は [24] の Theorem 3 と 2 に記載の周期関数で1−p

1 < p < ∞ の場合 m p の率で減少し，p = ∞ の場あるとする（本論文で対象とする Z は，明らかにこ合 m−1 の率で減少する．更に，れらの仮定を満足している）．このとき，以下が成立(ii) p → 1 の極限で，この減少率は 1 に漸近する．す
なわち，m

1−p
p

→ 1 (p → 1)．

する．

(i) m : 1 同期において式 (A·1) の間引き入力に対し，以上の性質 (ii) は p = 1 の場合においても，式 (A·1)

そのロックレンジは 1 : 1 同期の最大ロックレンジと1−pのような間引き入力が最大ロックレンジを実現するこ

比べ，1 < p < ∞ の場合は m pとを示唆している．事実，このことは次のように確か

p = ∞ の場合は m−1 の割合に減少する．

められる．式 (A·1) と同様に，fclip, 1 を次のように構(ii) また p → 1 の極限で，この減少率は 1 に漸近する．

成する．

すなわち，m p

fclip, 1 (θ) =1−pの割合に減少し，→ 1 (p → 1)．

⎧⎪⎨ mM Δ(mθ) − Δ(mθ + Δφmax ) ,(iii) p = 1 の場合，式 (A·5) の間引き（パルス）入力⎪⎩（1 : 1 同期の）最大ロックレンジに漸近する．

(−π ≤ θ ≤ −π + 2π/m なるθ),0, (その他のθ).

(A·4)

に対するロックレンジは，パルス幅  が 0 の極限で2. 位相ノイズの定義と数値計算の方法について
位相ノイズは発振波形のパワースペクトルを次のよ

この fclip, 1 に対し，次が成り立つ．

1
Γm/1 (φ) =
2π
=

1
2π

 −π+ 2π：
うに規格化することにより定義される（例として [15]） πZ(mθ + φ)fclip, 1 (θ)dθ
−π

m

−π





ギー），Psideband (fout + Δf, 1Hz) は発振周波数 fout −mπ+2πからの周波数差，すなわちオフセット周波数が Δf のZ(θ̄ + φ)−mπ周波数を中心とする幅 1Hz 帯域幅内でのパワーを表す．

× Δ(θ̄) − Δ(θ̄ + Δφmax ) (dθ̄/m)

4.4 の式 (19) に対し，ノイズ ξ(t) を平均 = 0，分散

= 8.0 × 10−14 と設定し，その数値積分は，[30] に記載→ (M/4π) Z(φ + Δφmax ) − Z(φ)= Γ0 (φ) (一様収束，
 → 0),



ここで Psig は信号の全パワー（1 周期ごとのエネル

×mM Δ(mθ) − Δ(mθ + Δφmax ) dθmM=
2π

Psideband (fout + Δf, 1Hz)
Ltotal {Δf } = 10·log
Psig
(A·6)

Z(mθ + φ)





(A·5)

の確率微分方程式に有効な方法を HSPICE 上で用いている．具体的には，（無次元量である）時間刻み幅 h

ただし，Δφmax は 1 : 1 同期において，式 (16) で与を h = 2.0 × 10−12 と固定し，[30] にしたがい，時間刻

えられるパルス入力を最適とする Δφ であり，Γ0 (φ)

み幅ごとの ξ(t)，入力 f (t) の増分をそれぞれ ξ(t) h，はこれに対応する Γ(φ) を表す．なお，一様収束につf (t)h と設定している．両者の大小関係は，図 A· 2 に√

311

電子情報通信学会論文誌 2016/6 Vol. J99–C No. 6

中田 一紀

（正員）

1999 北大・理・数学卒．2002 同大学大学院工学研究科修士課程修了．2005 同大学
院工学研究科博士課程修了．博士（工学）．

同年より，九工大大学院生命体工学研究科研究員/助手 2007〜2010 同大学院生命体
工学研究科助教．2008 ドイツフラウンホー
ファー研究所客員研究員．2011 九大稲盛フロンティア研究センター学術研究員．2013 同大学院理学研究院物理学部門学術研究員．2013 電通大大学院情報理工学研究科研究員，現在に
図 A· 2 数値積分の 1 ステップにおける，f (t) と ξ(t) の増分．
Fig. A· 2 The increments of f (t) and ξ(t) at one stepsof the numerical integration.

至る．半導体集積デバイス，磁性体集積デバイス，及び自律分
散通信ネットワーク上に生じる非平衡協同現象の機能的役割の
数理的解析及びその工学的応用の研究に従事．

守川 知行
示すとおり，ほぼ同等のオーダーであり，ノイズの強度が妥当であることがわかる（紙面の制約により，4.4
では ξ(t) の平均 = 0，分散 = 8.0 × 10−14 の入力ノイズの場合の結果のみ示すが，分散 = 1.3 × 10−13 にお2013 電通大・電気通信・情報工卒．2015
同大大学院修士課程修了．同年，NEC ソ
リューションイノベータ (株) 入社，現在に至る．在学中はベキ分布を示すシステムとTsallis エントロピーの研究に従事．

いても同様の結果が得られる）．
（平成 27 年 9 月 21 日受付，28 年 1 月 10 日再受付，
5 月 12 日公開）

関屋 大雄

（正員）

1996 慶大・理工・電気卒．2001 同大大学

矢部

洋司

（正員）

2012 電通大・電気通信・電子卒．2014
同大大学院修士課程修了．同年より，新光電子 (株) 勤務．2015 より，電通大大学院博士課程に在学中．CMOS リングオシレー
タの注入同期能力の最適化に関する研究に従事．

院博士課程了．同年千葉大・大学院自然科
学研究科・助手．現在，同大学院融合科学研
究科・准教授．2007〜2009 Wright State
University 訪問研究員．主として，電力増
幅器，通信の信号処理に関する研究に従事．
博士 (工学)．2008 船井情報科学奨励賞，同年安藤博記念学術奨励賞，同年エリクソンヤングサイエンティストアワードをそれぞれ受賞．IEEE シニア会員，情報処理学会，信号処理学会
各会員．

安藤 芳晃
西川

功

（正員）

2006 東大・教養・基礎科学科卒．2008 京大大学院情報学研究科修士課程修了．2011
東大大学院情報理工学系研究科博士課程修了．博士（情報理工学）．同年より，東大生
産技術研究所特任助教．2015 電通大大学
院情報理工学研究科研究員，現在に至る．
非線形物理を専門とし，非平衡協同現象の数理的解析及び，注入同期現象や自律分散通信ネットワークなどに対する工学的応
用研究に従事．2011 東大情報理工学系研究科修了者副総代．

312

（正員）

1995 千葉大・工・電気電子卒．1997 同大学大学院工学研究科修了．2000 同大学
大学院自然科学研究科修了．博士（工学）．
2000 電気通信大学助手，2005 同助教授
（現在，情報理工学研究科准教授）．電磁界
解析，計算電磁気学，及び電磁界問題の最適化に関する研究に従事．

論文／注入同期のロックレンジを最大化する入力信号波形——CMOS リングオシレータを例として——

田中

久陽（正員：シニア会員）

1990 早大電気卒．1992 同大学大学院理工学研究科修士課程修了．1995 同大学院
理工学研究科博士後期課程修了．博士 (工学)．同年より，日本学術振興会特別研究員(PD)．1996 カリフォルニア大バークレー校客員研究員．1997 ソニーコンピューター
サイエンス研究所研究員．2001 電通大電気通信学研究科助教授(現在，情報理工学研究科・准教授)，現在に至る．情報通信シ
ステム，非線形物理等の分野横断的領域の研究に従事．2006，
2007，2009 第 22 回電気通信普及財団賞 (テレコムシステム
技術賞), 第 23 回，第 25 回電気通信普及財団賞 (テレコムシ
ステム奨励賞) 各受賞．2015 電子情報通信学会平成 27 年度
NOLTA ソサイエティ功労賞受賞．著書に「非線形ダイナミク

スとカオス数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで」（中尾裕也，千葉逸人と共訳 2015）等がある．

313