タグチメソッドにおける ËÆ 比の統計的分布について 堀井 里佳子

指導教員：松田眞一

 静特性（望目特性）

はじめに
タグチメソッドは近年、日本の中で注目を浴びている実験計画法の つである。実際に、年 月に行われた日本品質管理学会第回（中部支部第回）研究発表会においても、タグチメソッド導入における成功例が報告された。タグチメソッドでは田口によると、あまり統計学的根拠を示さずに成功事例によって手法を学ぶという方法をとっている。そこで、本研究では比の統計的分布について研究していく。

 タグチメソッドとは 
 

データを表 のように得たと仮定する。
これは、 回の繰り返し実験である。

水準

表  データ形式 静特性  平均 不偏分散比       

タグチメソッドとは田口玄一氏が年代から約半世紀に渡り、構築してきた実験計画法の手法の一つである。
日本国内では品質工学と呼ばれることもある。タグチメ
ソッドの特徴は、実験中どうしても変化してしまうもの（温度、湿度など）を誤差因子として水準を決めて実験
ここで は制御因子、 は誤差因子を表している。まを行う。タグチメソッドの一般的な手順を以下の図 にた、繰り返しとは制御因子と誤差因子の各組み合わせで表す。
回実験を繰り返すという意味である。  は制御因子が 水準のときの平均を、  は制御因子 が 水準のときの不偏分散とする。このときの標本比は、



 

      となる。ここで得られたデータ  の構造を制御因子の各水準での母平均（     ）と  水準における誤差因子  水準の影響の大きさ（     ）とデー¼タを取る際に生じる誤差因子以外の誤差（  ）から成り立つと想定する。つまり、

       図とする。
 （ここで誤差  は 、  、 
ると母比は、 一般的なタグチメソッド

タグチメソッドには大きく分けて静特性と動特性とに分けられる。入出力関係において出力の目標値が変化しない場合を静特性と呼び、出力が入力につれて動く場合、となる。誤差つまりエンジニアード・システムそのものを動特性と呼ぶ。次の節で静特性と動特性のそれぞれの細かい分類および比について紹介する。 田口 、立林参照

 比と統計的分布
永田 に基づいて  、     、）す   である。

            
¾ に正規性を仮定して確率分布を求める。

     

比の統計的分布について述べる。
         ¾            ¾       

比は、ある。）すると母これから以下の分布になることがわかる。

     〜      



¼¼



２重非心 分布の  

 乗は２重非心  分布となるので

  〜     Æ Æ

 


Æ   Æ   

¼¼





 

 を仮定する。

 データ形式 動特性  … 傾き 残差分散  …  
  …   すべてで   …      …    すべてで   表
¾¾  となる。ここで、誤差  に正規性を持たせ、望目特性と同様に式変形を行うと以下の分布に従うことがわかる。

    〜                 ¼¼となる。これより静特性（望目特性）は上記で表される２重非心 分布に従うことがわかる。
●動特性（ゼロ点比例式）
入力信号を とし、表  比

これより、動特性（ゼロ点比例式）は、

    〜    Æ Æ    Æ   Æ    となり、動特性も２重非心  分布に従うことがわかる。
¼¼

 二重非心  分布の近似法
 二重非心  分布とは

二重非心 分布数で定義される。

     は以下のような確率変     



½¾

½



¾

 、 はそれぞれ自由度  、非心度  の非心  二乗分布    、自由度  、非心度  の非心  二乗分
布     に従う確率変数とする。二重非心  分布
    の密度関数は、½½
表  と同様に  を水準 の制御因子と設定する。また、       も表  と同様に誤差因子である。ここでは簡便のため
 ・ 各  水準間の等分散性は仮定しないことにする。このと   

きの標本比は、                                  となる。（ である。）
 
各々  のデータ構造式を、各  全体の傾きと入力信号  、  を誤差因子  で場合分けしたときの傾きと誤差  で成り立つものとする。つまり、            とする。（ここで誤差 は  、     で      ½¾である。ここにおける は、自由度
の中心 分布の密度関数のことである。
つまり、

                            
½½½¾

 二重非心  分布のプログラムと結果となる。以上のように二重非心 分布はとても複雑であるため、近似式を用いてパーセント点を求めプログラミングをする。

 二重非心  分布の近似 !"#$!"#%&!'( !"#$!"#%
&!%&!'( &) &!% &*を元によく使われる従来のパーセン
ここでは、鳥越ト点近似と展開を用いたパーセント点近似について述べる。また、本研究では従来のパーセント点近似法を法と呼び、展開を用いたパーセント点近似法を法と呼ぶことにし、表中では法を法、法を法と略して記載する。

&!'( 法（&!'( + 鳥越  ）       の分布を  次以下のモーメントを等置することによって自由度    の中心  分布    で近似する。
これより、以下の近似式を得ることが出来る。
（鳥越 
では積分区間に誤りがあるため &!'( を元に修正した。）

この章では、Ｒを使ってパーセント点近似の精度比較を行う。式の積分部分は中点則を使用してパーセント点近似値を求めた。式は方程式で表されているので、ニュートン・ラプソン法を用いてパーセント近似値を求めた。真値は元々Ｒに入っているカイ２乗乱数を用いたモンテカルロ法のプログラムで求めた。その乱数を組発生させて、式を計算し、それを回繰り返してそのパーセント点の平均を真値とした。標準誤差は平均で真値として十分である。ここではとのプログラミング結果をそれぞれ記載する。根号の中身が負値となり、値が出なかったところはで表示している。





½¾

½¾¼

なお、詳しい導出法は参考文献を参照されたい。
¼¼        ¼¼¼  

½¾ ¾



ただし、

      !  
¼

½¾

#

¼



表  ', の結果    真値 &) 法 &* 法     
        $              

¼

この式を元にプログラミングを行う。

&!%,$表  ' , の結果    真値 &) 法 &* 法              $      $     $¼

 ½  ¾ ½¾  !   " ¼      ,●

●法（鳥越 ）
式の左辺がＦ分布で近似できること（カイ２乗分布でも表すことが出来ること）を利用し、新たな統計量分布を得て、その分布を展開して新しい近似式を求める。これより、以下の近似式が成り立つ。なお、詳しい導出法は鳥越を参照されたい。

 !"#$!"#%
 パーセント点近似値の誤差は &!'( 法が最大 、平均が   となり、&!% 法が最大 、平均 となった。また、 パーセント点近似値の誤差は &!'( 法が最大   、平均  となり、&!% 法が最大 、平均  となった。&!% 法が計算できない所がある  $  !$ 
ことを考えると両方ともあまりいい近似とはいえないこ  $  !   $ とがわかった。
%   %  ・ タグチメソッドへの応用   $  !   $  
 動特性の実例
  !    
データは  種の金属材料  と  の劣化試験を行った      
ときのデータである。 田口  参照 データは表 と表   $%! %  $    !   の通りである。 このデータから制御因子の各水準ごとにパーセント点を求めると、  の場合の求める分布は、ここで、% は    の上側パーセント点を表し、!       となり、 の場合の求める分布!    を表し、$ は、& 〜 のとき $  &  は、      となる。以上の求められた分と計算されるものを表す。この式を元にプログラミング 布のパーセント点を第５章で作成した真値のプログラム
及びパーセント点近似のプログラムで求めると、表  がを行う。
¼¼¾¼¼¾¼¼¾¼¼¼¼¼¼¼¾¼¼¼¼¼得られる。パーセント点近似ではあまり値を求めること表誤差因子誤差因子誤差因子




-
 信号因子 


ゼロ点比例式のデータ信号因子信号因子

 ゼロ点比例式のデータ -
信号因子  信号因子  信号因子 誤差因子 
誤差因子 

誤差因子 
表ができず、この実験では実用的ではないと思われる。真値を求めるプログラムでは誤差はあるが実用にまったく向いてないとは言えない位の誤差であり、実用性が望めることがわかった。そこでどの程度、非心度が大きくなると求めた値に信頼度がなくなるかを調べることにする。

 シミュレーション      

今回の実データでの結果をふまえて非心度 を 、 、、と変化させ、非心度 をそれぞれ 、 、 、 、 、に変化させてパーセント点を求める。また、自由度は誤差因子 で信号入力が の場合に固定した。結果の一部を表 に記載する。
真値を求めるプログラムでの標準誤差の結果は相対的に非常に小さいものとなった。ゼロ点比例式で取りうる非心度では、シミュレーションで求めた真値は信頼できる値であることがわかる。以上からゼロ点比例式では、比の統計的分布を考えることが有効であり実用的であると結論付ける。また、パーセント点近似を用いた場合、真値との誤差が大きい場合も出てくる。しかし、おおよそ小数点第 位の誤差であり、まったく実用的ではないとは言えず、場合によっては求められた値が有効となることもあることがわかる。また、非心度 が小さければ特に求められた値が有効となることがわかった。

 






,
,,,,,,,

ゼロ点比例式実データ結果
表
パーセント点真値法水準



表&) &* 法   $  $ $$ $$ $$ $$  $$ $$

 動特性：シミュレーション結果  ,    真値 &) 法 &* 法
          $$                        $おわりに



永田において２重非心 分布に従うことが報告されたタグチメソッドにおける比は、実データにおいて実際に有効なものとなるのかそれともまったく使い物にならない机上の空論となるのかを調べた。その結果、複雑な密度関数を持つ２重非心 分布のパーセント点近似
では実用化は難しいとの結論になったが、真値を求めるプログラムによって求めたパーセント点は実用化が望めるとの結論に至った。今回信頼の出来るパーセント点が求めることができ、それを用いて信頼区間や工程能力指数も導出できるようになったことで、今後における品質向上の更なる飛躍が望めるだろう。

参考文献

 永田 靖 統計的手法における 比+ 第１回横幹連合
総合シンポジウム 
真値を求めるプログラムは非常に高い精度を持つことが  田口 玄一 実験計画法（第  版）+ 丸善 わかった。一方、パーセント点近似式は &!'( 法も &!%  田口 玄一 技術開発のためのタグチメソッド+ 日科技
法もあまり良い近似値を得られず、あまり精度がよくな
連 いことがわかった。タグチメソッドへの応用可否は、動  立林 和夫入門タグチメソッド+ 日科技連 
特性においては真値を求めるプログラムでは統計分布を &!'(+  . %!%" %/01 "! 2 #% 3(45  $考えることが効果的であると考えられるが、パーセント6% 1 $3!"!4(!     + + $点近似式では非心度  が低い場合では、良い近似値を得  ることができ、パーセント点近似が効果的となることがわかった。また、静特性においてもシミュレーションを  鳥越 規夫  重非心  分布のパーセント点の近似について+行った。その結果、真値を求めるプログラムでは統計分#077888'(!9"'5$(16:07 '53布を考えることが効果的であると考えられ、パーセント7''5('(76 % "70327$032 
点近似式では実用化は難しいという結論に至った。
まとめ