フラクタル図形
４年Ｃ組 金池 綾夏
指導教員 川口 慎二

１．概要
私はフラクタル図形とフラクタル次元について、その定義や簡単な性質を学んだ。自然界にも多く見られるというフラクタル図形について、学習したいくつかの事例を紹介しながら、フラクタル図形の意味について考えてみた。その経過を報告する。
キーワード

自己相似性、フラクタル図形、フラクタル次元、非整数次元

２．緒言の各辺をそれぞれ５等分した場合、１次元

自然に存在する植物の葉脈や巻貝の殻な1では 5 = 5 (個)の線分ができ、２次元ではどには同じ形を繰り返していくものが多い

5 2 = 25 (個)の正方形ができる。また、３ことを知った。私はそれらに興味を持った次元では 5 3 = 125 (個)の立方体ができる。

ので、フラクタル図形について学ぶことにした。

このように、１辺を1に分割すると、線n12分、正方形、立方体ではそれぞれ n ， n ，３．研究内容

n 3 個の相似な図形ができる。この指数が■フラクタルとは「次元」の数字を表している。

1975 年にマンデルブロが「砕けた石」という意味のラテン語から命名した非整数次■フラクタル図形の事例元を持った図形や構造のことをいう。この[１] カントール集合ような図形は、自己相似性自己相似性という特徴があ自己相似性る。
■フラクタル次元
フラクタル図形は、そのミクロな部分をカントール集合は次のように構成される。

1 2
3 3

①線分 C0 = [0,1] から  ,  を取り除き、

1 2
3 3

これを C1 ＝[0,1]＼  ,  とする。

見ると、非常に複雑な形をしている。この②この C1 から複雑さのレベルを定量化するために用いら 1 2  7 8 
 2 , 2 ∪ 2 , 2 
3 3  3 3 を取り除き、 C 2 とする。つまり、れている量がフラクタル次元
フラクタル次元である。
フラクタル次元■直線、平面、立体からわかる次元の性質
１辺の長さが 1 の線分、正方形、立方体

 1 2   1 2   7 8 
C 2 = [0,1]＼ , ＼ 2 , 2  ∪  2 , 2 
 3 3   3 3   3 3 

分の本数を n k とすると、

 1 2   1 2   7 8 
= [0,1]＼ ,  ∪  2 , 2  ∪  2 , 2  3 3   3 3   3 3 となる。
③この C 2 から

1 2 7 8
 25 26  3 , 3  ∪  3 , 3  ∪L∪  3 , 3 
3 3  3 3 
3 3 を取り除く。これを C 3 とする。つまり、

C0 のとき、 L0 ＝1， n0 ＝1，1C1 のとき、 L1 = ， n1 ＝2，3C2 のとき、 L2 =1， n2 = 4 ，32

C 3 のとき、 L3 =1， n3 = 8 ，…
33となるため、

C3
 1 2   7 8  25 26 = C 2 ＼ 3 , 3  ∪  3 , 3  ∪ L ∪  3 , 3 
 3 3  3 3   3 3  1 2   1 2   7 8 = [0,1]＼ ,  ∪  2 , 2  ∪  2 , 2  3 3   3 3   3 3 k1 1
C k のとき、 Lk = k =   ， nk = 2 k3
3となることがわかる。
すると、カントール集合 C ∞ の構成方法か1 2 7 8
 25 26 ∪  3 , 3  ∪  3 , 3  ∪ L ∪  3 , 3  ら、
3 3  3 3 
 3 3 k1
L∞ = lim   = 0k →∞  3 となる。
④以下、この操作を繰り返していく。
⑤このとき、C ∞ =∞カントール集合I C をカントール集合となる。この式の意味は、 k を ∞ まで大きkk =0kという。

1
くしていくと、  の値は限りなく 0 に近3C0づくということである。また、線分の本数については、

n∞ = lim 2 k = ∞C1k →∞と限りなく大きくなることがわかる。

C2[２] コッホ曲線
コッホ曲線
コッホ曲線の構成は次のようである。

C3⋮C∞
図１ カントール集合①線分 K 0 = [0,1]を用意する。
②中央の11を取り除いた上に、１辺が の33テントを貼り付ける。これを K1 とする。
さて、C k の長さを Lk 、C k を構成する線

③次に、長さが1である K1 の各辺に同じ操3作を繰り返し、長さが1のテントをそれぞ32れ貼り付けて、 K 2 とする。
④この作業を無限回くりかえす。
コッホ⑤このとき、得られた曲線を K ∞ をコッホ曲線という。
曲線

24
K 2 のとき、 L2 =   ， N 2 = 16 ，
3
3

4
K 3 のとき、 L3 =   ， N 3 = 64 ，…
3となるため、
j

K∞M

4
K j のとき、 L j =   ， N j = 4 j
3となることがわかる。したがって、

N ∞ = lim N j = ∞ ，j →∞L∞ = lim L j = ∞K3j →∞となる。

K2[３] シェルピンスキーのギャスケット
シェルピンスキーのギャスケットは次のように構成される。
①１辺の長さが 1 である正三角形を用意し、これを S 0 とする。

K1②この正三角形 S 0 の３辺の中点を結んでできた、辺の長さが S 0 のK0
図２ コッホ曲線1である４個の正2三角形のうち、中央の正三角形のみを取り除く。これを S1 とする。
③この操作をもう一度繰り返すと、 S 1 を構

ここで、K j の長さを L j 、K j を構成する成する３個の正三角形の３辺の中点を結んでできた、辺の長さが S1 の辺の本数を N j とすると、

K 0 のとき、 L0 ＝1， N 0 ＝1，K1 のとき、 L1 =4， N1 ＝4，31、つまり S 0 の21である 12 個の正三角形のうち、それぞ4れの中央にある正三角形３個を取り除く。
これを S 2 とする。
③この作業を無限回繰り返す。

④このとき、得られた曲線を S ∞ =∞IS を
kk =0

シェルピンスキーのギャシェルピンスキーのギャスケットギャスケットという。
スケット

ここで、S k の周の長さを l k 、面積を ∆ k とすると、

S 0 のとき、 l 0 = 3 ， ∆ 0 =S1 のとき、 l1 =S03，
4323， ∆1 = 2 ，24S 2 のとき、 l 2 =333， ∆2 = 3 ，224S 3 のとき、 l 3 =334， ∆ 3 = 4 ，…
324となるため、

3 k +13S k のとき、 l k = k ， ∆ k = k +124S1となることがわかる。したがって、

l ∞ = lim l k = ∞ ，k →∞∆ ∞ = lim ∆ k = 0k →∞となる。

S2■フラクタル次元
フラクタル図形は一般に「非整数次元非整数次元」非整数次元をもち、これがフラクタル図形の複雑さを表しているといえる。
元の図形を n 個に分割し、できた同じ図
相似次元 D を形の個数を m とするとき、相似次元

S3D = log n m ==log10 m
log10 nlog(元の図形と相似な同じ図形の数）log(等分割した数）と定める。相似次元などを総称して、フラフラクタル次元ともいう。
クタル次元

MS∞
図３ シェルピンスキーのギャスケット

そこで、実際に上述のフラクタル図形のフラクタル次元を計算してみよう。
まずは、カントール集合 C ∞ のフラクタ
ル次元を DC とすると、

DC = log 3 2 =log10 2 0.301= 0.6310≒
log10 3 0.477となる。これより、カントール集合は、０次元(点)よりは複雑であるが、 １次元(線分)よりは単純ということができる。
次に、コッホ曲線 K ∞ のフラクタル次元
を DK とすると、

DK = log 3 4 =log10 4 0.602= 1.262≒
log10 3 0.477

習するとともに、なぜ自然界にフラクタル図形の構造をもつものが多く存在するのかについても考察していきたい。
また、フラクタル次元のなかには、ハウスドルフ次元というものもあると知った。
かなり計算が難しいようであるが、調べてみたいと考えている。

５．参考文献となり、非整数次元になることがわかる。

[1]「フラクタル」、本田勝也、朝倉書店

これは、コッホ図形の複雑さが「２次元に[2] 「 フ ラ ク タ ル 幾 何 学 」、 Kenneth近い直線的な性質」をもっているが、直線Falconer 著、服部久美子、村井浄信訳、のように単純ではなく、「２次元的な複雑共立出版さ」もあわせてもっているということを示

６．謝辞

している。
また、シェルピンスキーのギャスケット

S ∞ のフラクタル次元 D S は、
DS = log 2 3 =log10 3 0.477≒= 1.585
log10 2 0.301となり、コッホ図形より複雑であるが、２次元までの複雑さをもたないような図形であるといえる。
このように、フラクタル次元は図形の複雑さをはかる指標となっている。
また、コッホ図形において、コッホ図形を描く操作を繰り返すと、長さは無限大になる。ギャスケット図形において、図形を描く操作を繰り返すと、面積は無限小になる。このことから、フラクタル図形の見かけの大きさは有限であっても、長さが無限大、面積がゼロという状態が生じることがわかった。これはフラクタル図形の重要な性質であるといえる。

４．今後の課題
今後はさらにフラクタル図形の性質を学

顧問の川口先生には、さまざまな面でご指導いただきました。ありがとうございました。