NAZCA-TR-22-013
Larrabee の方法によるプロペラの設計ツールと性能計算ツール
2022/7/5
滝
1.

敏美

目的
Larrabee の方法を使って，ゴム動力飛行機のプロペラの設計と性能計算を行う手順を示し，解析ツールを作成する．
目次

2.

1.

目的........................................................................................................................................... 12.

参考資料................................................................................................................................... 1

3.

Larrabee の方法 ....................................................................................................................... 2

3.1

ブレードの翼素の空気流の速度........................................................................................... 2

3.2

プロペラ後流の速度............................................................................................................... 3

3.3

ブレードに作用する力........................................................................................................... 43.4推力と後流の軸方向速度との関係....................................................................................... 6

3.5

Larrabee のプロペラ設計手順 ............................................................................................... 73.6プロペラの性能計算手順....................................................................................................... 74.

計算式の無次元化................................................................................................................... 85.

２次元翼の空力データ........................................................................................................... 95.1

失速後の２次元翼の空力データの推定方法 ....................................................................... 95.2

２次元平板翼の空力データ................................................................................................. 106.

プロペラ設計ツール............................................................................................................. 137.

プロペラ解析ツール............................................................................................................. 157.1

プロペラ性能計算例............................................................................................................. 15

参考資料[1] A. Capitao Patrao, “Implementation 0f Blaed Element Momentum/Vortex Methods for the Design of
Aero Engine Propellers,” Chalmers University of Technology, 2017. Downloaded from:http://publications.lib.chalmers.se/publication/253423.
[2] E. E. Larrabee, “Design of Propellers for Motorsoarers,” NASA. Langley Res. Center The Sci. andTechnol. of Low Speed and Motorless Flight, Pt. 1, pp.285-303, 1979.
[3] C. N. Adkins and R. H. Liebeck, “Design of Optimum Propellers,” J. Propulsion and Power, Vol.10,No.5, Sept-Oct., 1994, pp.676-682.
[4] H. Hidaka and M. Okamoto, “An Experimental Study of Triangular Aifoils for Mars Airplane,” Trans.
JSASS Aerospace Tech. Japan, Vol.12, No. ists29, pp..Pk_21-Pk_27,2014.
[5] C. D. Perkins and R. E. Hage, “Airplane Performance, Stability and Control,” John Wiley & Sons,Inc., 1949.
1/16

[6] Viterna, L. A. and Corrigan, R. D.,”Fixed pitch rotor performance of large horizontal axis windturbines,” Technical report, NASA Lewis Research Center, 1982.
[7] R. MacNeill and D. Verstraete, “Blade Element Momentum Theory Extended to Model Low
Reynolds Number Propeller Performance,” 20th Australasian Fluid Mechanics Conference, Perth,Australia, 5-8 December 2016.

3.

Larrabee の方法
図 3-1 の上の図に示すような直径 D = 2R のプロペラを考える．ブレード枚数を B とする．

このプロペラが回転角速度  で回転しており，前進速度が V であるとする．

図 3-1 プロペラの運動

3.1 ブレードの翼素の空気流の速度
半径 r の位置にあるブレード断面を考える．図 3-2 に示すように，弦長 c の翼素（翼角）を考え，この翼素にあたる空気の速度ベクトル w の成分を次のように表す．
𝑤 = 𝑉(1 + 𝑎)(1)

𝑤 = 𝛺𝑟(1 − 𝑎′)

(2)
2/16

𝑤=𝑤

tan 𝜙 =+𝑤

(3)𝑤
𝑉(1 + 𝑎)=𝑤
𝛺𝑟(1 − 𝑎′)(4)

ここで，a は軸方向誘導速度係数，a’は接線方向誘導速度係数である．

図 3-2 プロペラブレードの断面

3.2 プロペラ後流の速度プロペラ後流の軸方向の速度の変化を v’ とする．軸方向速度変化率 を次のように定義す
る．
𝜁=𝑣′𝑉

(5)

プロペラ後流の速度変化と翼素の接線方向速度との関係は図 3-3 より
𝑤 = 𝑤 sin 𝜙 = 𝑣 sin 𝜙 cos 𝜙(6)半径 r の単位幅円環のブレード１枚あたりの循環をとすると，プロペラの円環の循環は
𝐵𝛤 = 2𝜋𝑟𝑤 𝐹 = 2𝜋𝑟𝑣 sin 𝜙 cos 𝜙 𝐹(7)

ここで，F はプラントルの翼端損失係数と呼び，翼端渦の影響を考慮する係数であり，次のように定義される．
𝐹=2cos𝜋𝑒(8)ここで，f は V，，r で決まる係数
この循環に現れる角度 を近似的に表す（図 3-2 で a と a’を小さいとして無視）と次のようになる．
sin 𝜙 =1(9)√1 + 𝑥3/16

cos 𝜙 =𝑥(10)√1 + 𝑥

ここで，𝑥 = 𝛺𝑟⁄𝑉(11)これらの式を使って循環の式を書き直すと
𝐵𝛤𝛺𝑥=
𝐹=𝐺2𝜋𝑣′ 1 + 𝑥(12)f は次のように表される．
𝐵 √𝜆 + 1(1 − 𝜉)2 𝜆
ここで，𝜆 = 𝑉⁄𝛺𝑅 , 𝜉 = 𝑟⁄𝑅

𝑓=(13)(14)プロペラの円環の循環をさらに書き換えると
𝛤=2𝜋𝑉𝑣′𝐺 2𝜋𝐺=𝑉 𝜁𝐵𝛺
𝐵𝛺

(15)

図 3-3 プロペラ後流3.3 ブレードに作用する力
ブレードの翼素に作用する力を図 3-4 に示す．
ブレード単位幅に作用する推力 T’ とトルク Q’ は次のように表される．
𝑇 == 𝐿′ cos  − 𝑇′ sin  = 𝐿 cos  (1 − 𝜖 tan )𝑄′ 𝑑𝑄
𝜖== 𝐿 sin  1 +𝑟
𝑟𝑑𝑟
tan (16)(17)

ここで，ϵ は２次元翼の揚抗比の逆数である．

4/16

𝜖=𝑐𝑐(18)

循環と揚力の関係（クッター・ジューコフスキーの定理）と図 3-2 を使うと，上の式は次のように書き換えられる．
𝑇 = 𝐵𝜌𝑤𝛤 cos  (1 − 𝜖 tan ) = 𝐵𝜌𝛤𝛺𝑟(1 − 𝑎′)(1 − 𝜖 tan )(19)𝑄′𝜖𝜖= 𝐵𝜌𝑤𝛤 sin  1 += 𝐵𝜌𝛤𝑉(1 + 𝑎) 1 +𝑟tan tan (20)

ここで， は空気の密度接線方向誘導速度係数 a’を後流 wt の 1/2 であると仮定すると
𝑎 =1𝑤1 𝑣′ sin  cos  1
1== 𝜁2 𝛺𝑟 2𝛺𝑟
2 1+𝑥(21)

この式を推力の式に代入して
11𝑇 = 𝐵𝜌𝛤𝛺𝑟 1 − 𝜁2 1+𝑥(1 − 𝜖 tan )(22)

さらに書き換えると11𝑇 = 2𝜋𝑟𝜌𝐺𝑉 𝜁 1 − 𝜁2 1+𝑥1−𝜖𝑥(23)同様に，
1𝑎= 𝑣(2)

1𝑥= 𝜁2 1+𝑥(24)

この式をトルクの式に代入して
𝑄′1𝑥= 𝐵𝜌𝛤𝑉 1 + 𝜁𝑟
2 1+𝑥1+𝜖tan (25)さらに書き換えると𝑄′ 2𝜋𝜌𝐺𝑉 𝜁1𝑥=1+ 𝜁𝑟𝛺
2 1+𝑥1+𝜖tan 5/16(26)図 3-4 ブレードの翼素に作用する力

3.4 推力と後流の軸方向速度との関係
推力 T から後流の軸方向速度 v’を求めるには，推力をプロペラ半径で微分して𝑇 =𝑑𝑇 1𝑑𝑇= 𝜌𝑉 𝜋𝑅
𝑑𝑟 2𝑑𝜉(27)

ここで，Tc は推力係数で
𝑇 =2𝑇
𝜌𝑉 𝜋𝑅(28)推力の式を代入して次の式が得られる．
𝑑𝑇𝜖= 4𝜉𝐺𝜁 1 − − 2𝜉𝐺𝜁𝑑𝜉𝑥1−𝜖𝑥 +1(29)

この式をプロペラの半径方向に積分して， について解くと次の式が得られる．
𝜁=𝐼2𝐼

1− 1−4𝐼 𝑇(30)𝐼

ここで，I1，I2 は積分で次のように表されるので数値積分することができる．
𝐼 =𝐼 =4𝜉𝐺 1 −2𝜉𝐺𝜖𝑑𝜉𝑥𝜖1−𝑥𝑥 +1(31)𝑑𝜉(32)

 が求められると，a，a’ を計算できるので，流れの角度 を次の式で計算でき，迎角もわ
6/16

かる．

 = tan𝑉(1 + 𝑎)𝛺𝑟(1 − 𝑎′)(33)

3.5 Larrabee のプロペラ設計手順目標とする推力が与えられたときに翼角と翼弦長の分布を求める Larrabee のプロペラ設計
手順は以下のとおり．
(1) プロペラ半径 R，回転速度，前進速度 V と目標とする推力 T を与える．
(2) 設計揚力係数，設計抗力係数，迎角分布を与える．
(3) プラントルの翼端損失係数を計算する．
(4) G を計算する．
(5) ２次元翼の揚力係数と抗力係数のデータから，𝜖 = 𝑐 ⁄𝑐 を求める．
(6) 数値積分により，積分 I1 と I2 を計算する．

を求める．

(7) a と a’を計算する．流れ速度 w を計算する．
(8) 流れの角度 を計算する．翼角 を計算する．
(9) 数値積分により，推力，トルク，効率を計算する．
プロペラ効率は次の式で計算される．
𝜂 =𝑇𝑉𝑄𝛺(34)(10) 翼素の循環を計算し，次の式で翼素の翼弦長を求める．
12𝛤
𝜌𝑊𝛤 = 𝜌𝑊 𝑐𝑐 → 𝑐 =2𝑊𝑐

(35)

3.6 プロペラの性能計算手順
翼角分布，翼弦長分布が与えられたときにプロペラの性能を計算する手順は以下のとおり．
(1) プロペラの寸法（R，翼角分布，翼弦長分布 c）を与える．
(2) 前進速度 V を与える．
(3) 流れの角度 を仮定する． = tan𝑉⁄𝛺𝑟 を使えばよい．

(4) 迎角を計算する．
(5) ２次元翼の揚力係数 cl，抗力係数 cd を求める．
(6) プラントルの翼端損失係数を計算する．
(7) 揚力係数と抗力係数を推力係数とトルク係数に座標変換する．
7/16

(8) a，a’を計算し，速度 w を計算する．
(9) 新しい流れ角度new を計算する．
(10) 流れ角度を更新して，(4)に戻って再計算を行う．
(11) 流れ角度が収束したら，推力，トルク，パワー，効率を計算する．
必要な計算式を以下に示す．
𝑐 = 𝑐 (cos  − 𝜖 sin )(36)

𝑐 = 𝑐 (sin  + 𝜖 cos )(37)1
𝑇 = 𝜌𝑊 𝐵𝑐𝑐
2(38)𝑄′ 1= 𝜌𝑊 𝐵𝑐𝑐
𝑟
2𝜎𝑐𝑎=4𝐹(sin ) − 𝜎𝑐(39)(40)

𝜎𝑐4𝐹 sin  cos  + 𝜎𝑐(41)ここで，𝜎 = 𝐵𝑐 ⁄(2𝜋𝑟)(42)

𝑎 =𝑃 = 2𝜋𝑟 tan 𝛽(43)ここで，P は翼素のピッチ
4.

計算式の無次元化
参考資料[5] によると，プロペラの推力とトルクは無次元係数 CT と CQ を使って次のように表すことができる．
プロペラの推力 T は
𝑇 = 𝐶 𝜌𝑛 𝐷(44)プロペラのトルク Q は
𝑄 = 𝐶 𝜌𝑛 𝐷(45)

ここで， は空気密度，n は単位時間のプロペラ回転数，D はプロペラ直径である．
相似形のプロペラで，同じ半径 r/R 位置での翼素の角度 が同じであるとき，翼素の迎角 を等しくするには図 4-1 により，
𝑉𝑉𝑉𝑉
=→
=
=𝐽
2𝜋𝑛 𝑟
2𝜋𝑛 𝑟𝑛 𝐷𝑛 𝐷(46)であれば，同じ無次元係数となる．無次元量 J を前進係数（Advance Ratio）という．
プロペラ効率は次のように表される．
𝜂 =𝑇𝑉𝑇𝑉𝐶 𝜌𝑛 𝐷 𝑉
𝐶 𝑉
𝐶 𝐽
====
𝑄𝛺 2𝜋𝑛𝑄 2𝜋𝑛𝐶 𝜌𝑛 𝐷
2𝜋𝐶 𝑛𝐷 2𝜋𝐶

8/16(47)

図 4-1 相似形のプロペラ

レイノルズ数，マッハ数の影響が無いと仮定すれば，ひとつのプロペラの性能曲線があれば，相似形のプロペラの性能は無次元量を使って容易に計算することができる．
5.

２次元翼の空力データ
解析ツールの入力データとして，失速後の大きな迎角における２次元翼の揚力係数と抗力係数を必要とする．
5.1 失速後の２次元翼の空力データの推定方法
失速後の迎角における２次元翼の空力データを推定する方法としては Viterna and Corriganの方法（参考資料[6]）がある．
失速前𝑐 = 𝑐 (𝛼 − 𝛼 )(48)

𝑐 =𝑐(49)+ 𝑘𝑐

失速後
𝑐 = 𝐴 sin 2𝛼 + 𝐴(cos(𝛼 − 𝛼 ))sin(𝛼 − 𝛼 )(50)

𝑐 = 𝐵 (sin(𝛼 − 𝛼 )) + 𝐵 cos(𝛼 − 𝛼 )𝐴 =(51)𝑐(52)2𝐴 = 𝑐−𝑐sin 𝛼cos 𝛼sin 𝛼(cos 𝛼𝐵 =𝑐)

(53)
(54)

9/16

𝐵 =𝑐𝑐(sin 𝛼−𝑐cos 𝛼)(55)= 1.11 + 0.018𝐴𝑅(56)

ここで，AR はブレードのアスペクト比
ただし，低レイノルズ数の場合は(56)式が成り立たないので，失速後の空力データとのマッチングを行って Cdmax を決める必要がある．

図 5-1 失速後の２次元翼空力データの推定（参考資料[7]より）

5.2 ２次元平板翼の空力データ
低レイノルズ数におけるプロペラを解析するための２次元平板翼のデータを設定する．参考資料[4]に載っている２次元平板翼の空力データを図 5-2 に示す．このデータと前項の計算式を使って設定した空力データを以下に示す．失速後を含む空力データを図 5-3 に示す．

1.075
1.075
=
= 6.16°1010×𝜋180= 0.03𝑐 =𝑐𝑐= 0.85𝛼=𝑐= 0.15

0.85= 0.138 rad = 7.91 deg
6.16

10/16

𝑘=𝑐−𝑐=𝑐0.15 − 0.03
= 0.1660.85

𝑐= 2.0 とする（低レイノルズ数）．

𝐴 =2.0= 1.0
2

𝐴 = (0.85 − 2.0 × sin 0.138 cos 0.138)

sin 0.138= 0.08099(cos 0.138)

𝐵 = 2.0𝐵 =0.15 − 2.0 × (sin 0.138)= 0.1132
cos 0.138

図 5-2 ２次元平板翼の空力データ（参考資料[4]より）

11/16

図 5-3 失速後を含む２次元平板翼の空力データ

12/16

6.

プロペラ設計ツール
MS-Excel を使ったプロペラ設計ツールを作成した．設計ツールで得られた翼角と翼弦長を入力として次項に示すプロペラ解析ツールを使って推力とトルクをチェックしたところ，誤差 1%程度で一致した．
設計結果の例を表 6-1，図 6-1 に示す．

表 6-1 プロペラ設計ツールによる計算結果
プロペラ設計ツール -- Larrabee の方法
入力データ
空気密度

rho

(kg/m^3)

プロペラ直径D(mm)

160(m)

0.16

プロペラ半径
ブレード枚数

R(mm)

80(m)

0.08

B

２次元翼の空力係数 -- Viterna and Corrigan の方法

2

プロペラ回転数 n
前進速度

1.225

cl_a(1/rad)a0(deg)0(rad)

0(deg)

7.906073(rad)

0.137987

(回/s)

25

cl_stallOmega(rad/s)157.07963

a_stallV(m/s)

lambda4
0.3183099
0.03

0.85

cd_0

0.03

cd_stall

0.15

推力T(N)

トルク

Q(N-m)

プロペラ効率

eta_p

前進係数

J

推力係数

CT

0.0597895

トルク係数

CQ0.0140746

B1

20.1522528

B20.113237

rAR

0.0011299

clcd2

k1(m)

6

cd_max0.6760964

Tcxi

計算結果

6.16

alphacxi(deg)

0.16609

A1

1A20.080969

c/R

P

P/D(m)

0.125

0.01 0.4300491 0.0607171

40.1750.014 0.4300491 0.0607171

40.2 0.011527 0.144083 0.201892 1.261826

0.225

0.018 0.4300491 0.0607171

40.25 0.014402 0.180022 0.198442 1.240265

0.275

0.022 0.4300491 0.0607171

40.3 0.016428 0.205353 0.196861 1.230381

0.325

0.026 0.4300491 0.0607171

40.35 0.017675 0.220934 0.196294 1.226838

0.375

0.03 0.4300491 0.0607171

4

0.4

0.425

0.034 0.4300491 0.0607171

40.45 0.018468 0.230846 0.196786 1.229915

0.475

0.038 0.4300491 0.0607171

4

0.5 0.018316 0.228947 0.197507 1.234419

0.525

0.042 0.4300491 0.0607171

40.55 0.017944 0.224303 0.198425 1.240154

0.575

0.046 0.4300491 0.0607171

4

0.6

0.625

0.05 0.4300491 0.0607171

40.65 0.016778 0.209731 0.200663 1.254144

0.675

0.054 0.4300491 0.0607171

4

0.7

0.725

0.058 0.4300491 0.0607171

40.75 0.015153 0.189411 0.203255 1.270341

0.775

0.062 0.4300491 0.0607171

4

0.8 0.014091 0.176138

0.825

0.066 0.4300491 0.0607171

40.85 0.012729 0.159116 0.206071 1.287944

0.875

0.07 0.4300491 0.0607171

4

0.925

0.074 0.4300491 0.0607171

40.9375 0.008953 0.111912 0.208662 1.304136

0.15 0.007968 0.099603 0.209415 1.308845

0.0183 0.228745 0.196341 1.227129

0.01742 0.217745 0.199488 1.246802
0.016030.20037 0.201925 1.262028

0.9 0.010838 0.135478

0.20464 1.279001
0.20754 1.297122

0.95

0.076 0.4300491 0.0607171

40.9625 0.007036 0.087952 0.209419 1.308867

0.975

0.078 0.4300491 0.0607171

40.9875

10.08 0.4300491 0.0607171

40.00293 0.036623 0.210182 1.313638

13/16

ピッチ比分布

翼弦⾧比 c/R 分布
1.4
1.3
1.2
1.1
10.90.8
0.70.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
00.25
0.2
0.15
0.1
0.05
000.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

100.1

0.2

0.3

0.40.5半径比半径比図 6-1 プロペラ設計ツールによる計算結果

14/16

0.60.7

0.8

0.9

1

7.

プロペラ解析ツール
MS-Excel を使ったプロペラ解析ツールを作成した．

7.1 プロペラ性能計算例
性能計算例として，表 7-1 に示す直径 160 mm，ピッチ比 1.2 一定のプロペラの性能計算を行った．翼型は平板翼とし，図 5-3 の空力データを使用した．翼弦長分布は図 7-1 に示す PeckPolymers 社製の直径 5.5 インチのプロペラと相似とした．
性能計算結果（無次元プロペラ性能曲線）を図 7-2 に示す．

表 7-1 解析対象のプロペラ
プロペラ解析ツール -- Larrabee の方法

xi

beta

P

(m)

(deg)

(m)

P/D

c/R

rho

(kg/m^3)

プロペラ直径D(mm)

160

0.125

0.01

0.004 71.87936

0.192

1.2

0.05(m)

0.16

0.175

0.014

0.00776 65.38517

0.192

1.2

0.097

(mm)

80

0.225

0.018

0.0112 59.49985

0.192

1.2

0.14(m)

0.08

0.275

0.022

0.0144 54.24806

0.192

1.2

0.18

20.3250.026

0.01648 49.60727

0.192

1.2

0.206

0.375

0.03

0.01816 45.52769

0.192

1.2

0.227

0.425

0.034

0.01936 41.94785

0.192

1.2

0.242

0.475

0.038

0.02008 38.80455

0.192

1.2

0.251

0.525

0.042

0.0204 36.03834

0.192

1.2

0.255

0.575

0.046

0.02056 33.59604

0.192

1.2

0.257

0.625

0.05

0.02072

31.4314

0.192

1.2

0.259

0.675

0.054

0.02064 29.50484

0.192

1.2

0.258

0.725

0.058

0.02056 27.78285

0.192

1.2

0.257

0.775

0.062

0.02032 26.23716

0.192

1.2

0.254

0.825

0.066

0.02008 24.84396

0.192

1.2

0.251

0.875

0.07

0.01992 23.58316

0.192

1.2

0.249

0.925

0.074

0.01976 22.43781

0.192

1.2

0.247

0.95

0.076

0.0196 21.90386

0.192

1.2

0.245

0.975

0.078

0.01952 21.39356

0.192

1.2

0.244

1

0.08

0.01936 20.90545

0.192

1.2

0.242

ブレード枚数

R

1.225

B

0.025

0.02

0.015

0.01

0.005

00c(m)

空気密度

プロペラ半径

翼弦⾧
c (m)

r

0.2

0.4

0.6

0.8

115/16

図 7-1 Peck-Polymers 社のプロペラの翼弦長比分布

0.7

hp
0.6CT
10×CQ

0.50.4hp

10×CQ

0.30.2

CT0.1

000.1

0.20.30.4

0.50.60.70.8

前進係数 J

図 7-2 無次元プロペラ性能曲線
16/160.9

11.1

1.21.3