Un problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classificationsÀ la recherche d’invariants
Dix ans de l’IREM de la RéunionJérôme Germoni (IREM de Lyon - UCBL)

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Nick Hornby, High fidelity : le narrateur a 4000 disques.
Il les classe...
En mathématiques, une bonne part de l’activité consiste enla recherche d’invariants,
des classifications.

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Question
Trois cas, deux invariantsPlan
1

Un problème de pavage
Question
Trois cas, deux invariants

2D’où est prise la photo ?
Se repérer par les azimuts
Projections et birapport
Résolution du problème

3

Invariants et classifications
Des invariants
Classifications
Conclusion

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Question
Trois cas, deux invariants

La question
Paver un rectangle écorné par des dominos 1 × 2.

Côtés du rectangle entiers, carrés de côté 1.
Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Question
Trois cas, deux invariants

Un exemple
Rectangle de départ : 6 × 9

0

1

2
Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Question
Trois cas, deux invariantsCas de deux côtés impairs
Rectangle de départ : a × b, avec a et b impairs

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Question
Trois cas, deux invariantsCas de deux côtés impairs
Rectangle de départ : a × b, avec a et b impairs

Impossible ! L’aire à recouvrir est impaire.
Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Question
Trois cas, deux invariantsCas de d’un côté pair et un côté impair
Rectangle de départ : a × b, avec a pair et b impair

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Question
Trois cas, deux invariantsCas de d’un côté pair et un côté impair
Rectangle de départ : a × b, avec a pair et b impair

Possible !
Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Question
Trois cas, deux invariantsCas de deux côtés pairs
Rectangle de départ : a × b, avec a et b pairs

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Question
Trois cas, deux invariantsCas de deux côtés pairs
Rectangle de départ : a × b, avec a et b pairs

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Question
Trois cas, deux invariantsCas de deux côtés pairs
Rectangle de départ : a × b, avec a et b pairs

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Question
Trois cas, deux invariantsCas de deux côtés pairs
Rectangle de départ : a × b, avec a et b pairs

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Question
Trois cas, deux invariantsCas de deux côtés pairs
Rectangle de départ : a × b, avec a et b pairs

Vraiment pas possible ?
Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Question
Trois cas, deux invariantsCas de deux côtés pairs : indication
Rectangle de départ : a × b, avec a et b pairs

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Question
Trois cas, deux invariantsCas de deux côtés pairs : indication
Rectangle de départ : a × b, avec a et b pairs

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Question
Trois cas, deux invariantsCas de deux côtés pairs : indication
Rectangle de départ : a × b, avec a et b pairs

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Question
Trois cas, deux invariantsCas de deux côtés pairs : preuve !
Rectangle de départ : a × b, avec a et b pairs
Invariant :nb caseshachurées

Dix ans de l’IREM de la Réunion−Invariants

nb caseslissesUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Question
Trois cas, deux invariantsCas de deux côtés pairs : preuve !
Rectangle de départ : a × b, avec a et b pairs
Invariant :nb caseshachurées

Dix ans de l’IREM de la Réunion−Invariants

nb caseslisses=2

Un problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Se repérer par les azimuts
Projections et birapport
Résolution du problèmePlan
1

Un problème de pavage
Question
Trois cas, deux invariants

2D’où est prise la photo ?
Se repérer par les azimuts
Projections et birapport
Résolution du problème

3

Invariants et classifications
Des invariants
Classifications
Conclusion

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Se repérer par les azimuts
Projections et birapport
Résolution du problème

Se repérer par beau temps

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Se repérer par les azimuts
Projections et birapport
Résolution du problème

Se repérer par beau temps

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Se repérer par les azimuts
Projections et birapport
Résolution du problème

Se repérer par beau temps
Azimut du Grand Bénard : 110◦ E
Azimut du Piton des neiges : 143◦ E

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Se repérer par les azimuts
Projections et birapport
Résolution du problème

Se repérer par beau temps
Azimut du Grand Bénard : 110◦ E
Azimut du Piton des neiges : 143◦ E

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Se repérer par les azimuts
Projections et birapport
Résolution du problème

Se repérer par beau temps (2)Deux faits
1 La réalité et la carte sont semblables.
L’angle est un invariant de similitude : coı̈ncide dans la réalité
et sur la carte.
2

L’ensemble des points p d’où l’on voit a avec un azimut
donné est une droite bien déterminée.

Mesurer dans la réalité, tracer sur la carte.
Idée : déterminer un point comme l’intersection de deux courbes.

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Se repérer par les azimuts
Projections et birapport
Résolution du problème

Que fait l’appareil photo ?

Tout se passe comme si...

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Se repérer par les azimuts
Projections et birapport
Résolution du problème

Que fait l’appareil photo ?

Tout se passe comme si...

l’appareil faisait une projection centrale.

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Se repérer par les azimuts
Projections et birapport
Résolution du problème

Qu’est-ce que l’appareil photo ne fait pas ?
Pas de conservation des distances

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Se repérer par les azimuts
Projections et birapport
Résolution du problème

Qu’est-ce que l’appareil photo ne fait pas ?
Pas de conservation des distances ni des angles.

Alors, quel invariant ?

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Se repérer par les azimuts
Projections et birapport
Résolution du problème

Invariants des projections

Projection “parallèle” : cas particulier

Distances invariantes : AB = A0 B 0 .

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Se repérer par les azimuts
Projections et birapport
Résolution du problème

Invariants des projections (2)Projection “parallèle” : cas généralDistances non invariantes :AB 6= A0 B 0

Rapports de distances invariants :AB
A0 B 0= 0 0
ACACDix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Se repérer par les azimuts
Projections et birapport
Résolution du problème

Invariants des projections (3)Projection centrale

Rapports de distances non invariants :Rapports de rapports invariants :Dix ans de l’IREM de la Réunion

Invariants

AB
A0 B 0
6= 0 0AC
AC
AB DB
A0 B 0 D 0 B 0:= 0 0 : 0 0
AC DC
AC DC

Un problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Se repérer par les azimuts
Projections et birapport
Résolution du problème

Birapport

Étant donné quatre points a, b, c, d, définir le birapport de ces
quatre points vus de p :choisir une droite,
faire la projection centrale depuis p : A, B, C , D,AB DB
calculer:.
AC DC
Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Se repérer par les azimuts
Projections et birapport
Résolution du problème

Utilisation du birapport

Deux faits
1 Le birapport est un invariant projectif : coı̈ncide dans laréalité, sur la carte et sur la photo.
2

L’ensemble des points p d’où l’on voit a, b, c, d avec unbirapport donné est une conique bien déterminée.

Mesurer sur la photo, tracer sur la carte.

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Se repérer par les azimuts
Projections et birapport
Résolution du problème

Mesurer sur la photo
Sur la photo :Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Se repérer par les azimuts
Projections et birapport
Résolution du problème

Mesurer sur la photo
Sur la photo :repérer quatre points connus,

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Se repérer par les azimuts
Projections et birapport
Résolution du problème

Mesurer sur la photo
Sur la photo :repérer quatre points connus,
les projeter et mesurer les abscisses,
calculer le birapport (rapport de rapports).

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Se repérer par les azimuts
Projections et birapport
Résolution du problème

Tracer sur la carte
Sur la carte :repérer les quatre points,

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Se repérer par les azimuts
Projections et birapport
Résolution du problème

Tracer sur la carte
Sur la carte :repérer les quatre points,
tracer la conique correspondant au birapport calculé,Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Se repérer par les azimuts
Projections et birapport
Résolution du problème

Tracer sur la carte
Sur la carte :repérer les quatre points,
tracer la conique correspondant au birapport calculé,recommencer avec quatre autres points.

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Des invariants
Classifications
ConclusionPlan
1

Un problème de pavage
Question
Trois cas, deux invariants

2D’où est prise la photo ?
Se repérer par les azimuts
Projections et birapport
Résolution du problème

3

Invariants et classifications
Des invariants
Classifications
Conclusion

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Des invariants
Classifications
Conclusion

Interprétation

SystèmeTransformations
Invariants

Pavage partiel
Ajouter ou retirer un domino
Parité surface à couvrir
Nb cases bches − nb cases noires

Preuve d’impossibilitéCalculs (“contrôle”) du système

Dix ans de l’IREM de la Réunion

Invariants

Points du plan
ProjeterBirapport
Alignement

Un problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Des invariants
Classifications
Conclusion

Autres exemples d’invariants

Vie courante : clé n◦ INSEE, clé compte bancaire, ISBN.
Clé INSEE = 97 - (reste mod 97) : détection d’erreurs,
Exemple : 1710983137215 = 57 + 97×? ; clé : 40.

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Des invariants
Classifications
Conclusion

Autres exemples d’invariants

Vie courante : clé n◦ INSEE, clé compte bancaire, ISBN.
Clé INSEE = 97 - (reste mod 97) : détection d’erreurs,
Exemple : 1710983137215 = 57 + 97×? ; clé : 40.
Physique : équations de la mécaniquetranslations dans le temps ; conservation de l’énergie
translations dans l’espace ; quantité de mouvement
rotations de l’espace ; moment cinétique

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Des invariants
Classifications
Conclusion

Autres exemples d’invariants

Vie courante : clé n◦ INSEE, clé compte bancaire, ISBN.
Clé INSEE = 97 - (reste mod 97) : détection d’erreurs,
Exemple : 1710983137215 = 57 + 97×? ; clé : 40.
Physique : équations de la mécaniquetranslations dans le temps ; conservation de l’énergie
translations dans l’espace ; quantité de mouvement
rotations de l’espace ; moment cinétique

Physique : observables de la mécanique quantique

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Des invariants
Classifications
Conclusion

Les triangles
Transformations : déplacements (isométries).
Invariants : distances, angles.
Cas d’égalité des triangles : un côté, deux angles
Interprétation
Cas d’égalité des triangles : classification des triangles / isométrie

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Des invariants
Classifications
Conclusion

Les triangles
Transformations : déplacements (isométries).
Invariants : distances, angles.
Cas d’égalité des triangles : un côté, deux angles
Interprétation
Cas d’égalité des triangles : classification des triangles / isométrie
Transformations : similitudes ; invariants : angles
Triangles semblables : trois angles égaux
Attention (cf. High fidelity)
Classification : un système et des transformations

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Des invariants
Classifications
Conclusion

Classifications en mathématiques
Triangles
Classifications des coniques (par type, excentricité, demi-axes)

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Des invariants
Classifications
Conclusion

Classifications en mathématiques
Triangles
Classifications des coniques (par type, excentricité, demi-axes)
Polyèdres réguliers

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Des invariants
Classifications
Conclusion

Classifications en mathématiques
Triangles
Classifications des coniques (par type, excentricité, demi-axes)
Polyèdres réguliers

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Des invariants
Classifications
Conclusion

Classifications en mathématiques (2)Algèbre linéaire :1 e.v. : existence d’une base + dimension
2 e.v. + morphisme : théorème du rang
1 e.v. + endomorphisme : forme normale de Jordan
1 e.v. euclidien : base orthonormée
1 e.v. réel + forme quadratique : théorème de Sylvester

Groupes finis simples (env. 10 000 pages)

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Des invariants
Classifications
Conclusion

Classifications en mathématiques (2)Algèbre linéaire :1 e.v. : existence d’une base + dimension
2 e.v. + morphisme : théorème du rang
1 e.v. + endomorphisme : forme normale de Jordan
1 e.v. euclidien : base orthonormée
1 e.v. réel + forme quadratique : théorème de Sylvester

Groupes finis simples (env. 10 000 pages)NœudsDix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Des invariants
Classifications
Conclusion

Classifications dans d’autres sciences
Informatique : programmation orientée objet (classes)
Chimie : tableau périodique de Mendeleiev

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Des invariants
Classifications
Conclusion

Classifications dans d’autres sciences
Informatique : programmation orientée objet (classes)
Chimie : tableau périodique de Mendeleiev
Biologie : arbre phylogénétique des espèces

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Des invariants
Classifications
Conclusion

Classifications dans d’autres sciences
Informatique : programmation orientée objet (classes)
Chimie : tableau périodique de Mendeleiev
Biologie : arbre phylogénétique des espècesMédecine : classer les microbes pour mieux les attaquer

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Des invariants
Classifications
Conclusion

Classifications dans d’autres sciences
Informatique : programmation orientée objet (classes)
Chimie : tableau périodique de Mendeleiev
Biologie : arbre phylogénétique des espècesMédecine : classer les microbes pour mieux les attaquer
Psychiatrie : individus pénalement responsables ou pas

Dix ans de l’IREM de la Réunion

InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Des invariants
Classifications
Conclusion

Conclusion

Leitmotiv en sciences
Pour étudier un système :trouver des transformations (symétries) qui le conservent
trouver des invariants
Assez d’invariants (“invariant complet”) ; classification.
Choix des transformations - critères de classification.

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InvariantsUn problème de pavage
D’où est prise la photo ?
Invariants et classifications

Des invariants
Classifications
Conclusion

Conclusion

Leitmotiv en sciences
Pour étudier un système :trouver des transformations (symétries) qui le conservent
trouver des invariants
Assez d’invariants (“invariant complet”) ; classification.
Choix des transformations - critères de classification.
Classer pour comprendre, classer pour agir.
Savoir ne pas classer.

Dix ans de l’IREM de la Réunion

Invariants