非線形問題とヘルダーの不等式
Nonlinear Problems and Hölder’s Inequality

田中久陽 Hisa-Aki TANAKA

アブストラクト ヘルダーの不等式は，1888 年数学者のロジャーズと 1889 年ヘルダーにより独立にその基礎が見いだされ，以降，関数解析等の解析学の基本的不等式として日常的に多用されている．しかし，意外なことに，この不等式の物理的解釈の例は，2014 年にようやく知られるようになった．本稿は，この不等式が最近の非線形問題の未解決な問題のエレガントな解答を与え，更に情報通信分野にも浸透しつつある Tsallis（ツァリス）統計の一つの基礎にもなり，更に現代制御理論を補強する可能性について解説する．
キーワード

ヘルダーの不等式，不等式の物理的解釈，非線形問題，Tsallis（ツァリス）統計，現代制御理論

Abstract Since the basis of Hölder’s inequality was found by mathematicians, i.e., independently by Rogers in 1888 andHölder in 1889, the inequality has been frequently utilized as a basic inequality in mathematical analysis such as functional analysis. However, surprisingly, no physical interpretation of the inequality was introduced until 2014. In thisarticle, I show that the inequality gives an elegant solution to a recent open nonlinear problem. It is also asserted
that the inequality can be a fundamental basis in Tsallis statistics, studied recently in information and communications
technology. Furthermore, it is argued that the inequality can make a useful addition to modern control theory.
Key words Hölder’s inequality, physical interpretation of the inequality, nonlinear problem, Tsallis statistics, modern control
theory起源をもち，今後どう発展し，その本質が何であるか，何であ

1. は じ め にりうべきなのか，そういったことがらを本当にわかっている者
は，実のところただのひとりもいないのだ．

本稿では，非線形性や最適性が本質となる幾つかの問題で筆僕自身だって，かれこれ十数年以上も SF を読みつづけ，考え者の最近経験したことを紹介し，非線形問題並びに関連する分

ながら，これらの問に正しい解答を見つけたとは決していえな

野には，まだまだ紙と鉛筆で開拓する余地の多いことを示した

い．またいいきれる自信だってない．

いと思う．そこで唐突ではあるが，まず，敬愛する先輩であるとしても，この SF の大陸の探検時代を，なるべく早くおわら

SF 作家の先駆的な論考の冒頭部分を引用しよう．本稿の文脈でせて，そこから，資源を，収穫をつかみとることのできる段階

は，以下の「SF」や「ファン」という字句を，それぞれ「非線へ進展させたいとも願うのである．むろん，それが恒久的，永形問題，情報理論，信号処理」や「研究者」などと適宜読み換

遠不変だといいきれるはずはないが，ともかく，試みにでも一えて頂きたい．

本の鉄路を敷設してみよう，それによってこの大陸から何らか『SF という，このいわば未知の大陸へ，SF ファンたちは，それぞれの動機で，上陸し，孤独な探検に旅立っていった．そしの価値を運び出せたらという文字通りの野心が，この小論の意（1）図でもある．
』（荒巻義雄「術の小説論」
から）て，SF というこのファンの心情を捉えて離さないジャンルを，

非線形性や最適性という一筋縄ではいかない大陸に，1 本の人はそれぞれ，興味や知識や生活環境などの個別的な背景と照有用な鉄路を敷設できないものだろうか？ それも，お金（=大合して，さまざまな受けとり方をする．

型研究予算）や大規模土木工事（=超高度な数学，あるいはマン

僕たちが，ファンの溜り場の中でする議論も，ちょうど大陸

パワー）に頼らずに！ 意外なことに，その余地は今の時代にもの探検者たちが，酒場のテーブルをかこんで，いい争う光景をありそうである．このことを以下の各章で例証していこう．こ

おもわせる．この不思議な未知の大陸の正体について，どこにこで必要となる「土木工事」は，ヘルダーの不等式という初等的な不等式と，紙と鉛筆と安価なパソコンのみによる . . . ．そし田中久陽 正員：シニア会員 電気通信大学大学院情報理工学研究科
htanaka@uec.ac.jp
E-mailHisa-Aki TANAKA, Senior Member (Graduate School of Informatics
and Engineering, University of Electro-Communications, Chofu-shi,
182–8585 Japan).

て土木工事の対象となるのは，注入同期と呼ばれる有用な技術

電子情報通信学会 基礎・境界ソサイエティ
Fundamentals Review Vol.9 No.3 pp.219–228 2016 年 1 月
c 電子情報通信学会 2016⃝

象は限定されるものの，ポントリャーギンの最大値原理を補強

IEICE Fundamentals Review Vol.9 No.3の性能向上限界（2.），一般化フィッシャー情報，クラメール・
ラオの不等式や Tsallis エントロピー最大化（3.），更に適用対219

する一つの観点（4.）である．

2. 1 注入同期の解析の一つの枠組み
2. 注入同期の最適化問題
まずはじめに，注入同期の解析を目的として利用可能な解析
現在の情報通信の基盤として，「注入同期 (injection locking)」

的アプローチについて概説する．注入同期の性能を評価する尺という技術は，近年，地味に注目を集めているトピックである．

度として，ロックレンジ (locking range) は重要である．ロック

注入同期現象とは自励発振器（非線形振動子）に外部信号を強レンジとは注入同期が成立する外部信号（入力）の周波数帯域

制注入すると発振器が外部信号に同期する基本的な物理現象でのことであり，これが広ければ，より柔軟かつロバストな注入ある．これを利用する技術は真空管時代に端を発し，現在のミ

同期が得られるからである．これを図 2(A) に示す．ここで，縦リ波等の高周波数帯での利用，省電力設計，回路の微細化の要

軸の ∆ω は発振器の自励発振周波数と入力周波数の差（離調）

請から，現在リバイバルが進んでいる．例えばミリ波帯を用いを表し，横軸は入力の強度を表す．この，くさび状のロックレるベースバンド通信において，注入同期回路は通信の品質を保ンジ（注 1）すなわち同期化領域（3）の外では，同期が成立せず利用証する必須構成要素である．図 1 に示すようにベースバンド通

不可能となる．以下では入力の強度が十分小さな，弱入力の場

信では，送信側は高レートのデータ信号そのものを搬送波にダ合を仮定する．この仮定は，先に述べたベースバンド通信など

イレクトに重畳して送信し，受信側はこの「搬送波」を外部信の現在の電子機器においても，入力（電流）がデバイスを損傷

号（入力）として，受信機の発振器の注入同期により，搬送波のしないために，また省電力性の要請からも，自然で合理的なも周波数に正確に追従，同期する．これにより，送信されたデーのである．

タ信号が正しく復号，受信されることになる．このベースバン

工学分野での注入同期の先行研究は，アドラー（6）に始まり，ド通信を用いると，例えば PC やビデオのような機器内部の大その後，黒川（7），大黒ら（8）と一般化が進み，かつ解析の対象も容量のデータ通信に必要となる配線が近距離無線により置き換広くなっているが，その本質は，次のいわゆるアドラーの方程えられ，大量の配線が削減される大きなメリットが生じる．こ式により理解される．

のような背景で，VLSI 技術のオリンピックと呼ばれる国際会議dα= ∆ω − ϵ sin α
dt

ISSCC では，注入同期回路に関連する発表が過去数年間，継続的に報告されている．
（例えばソニーは 3 年連続して，その研究成果を発表している（2）．
）一方で，サイエンスとしての重要性からも Nature，Science
誌等を筆頭に注入同期に関連する物理や生体リズム（生物時計）の研究が継続的に報告されてきている．ここでは，注入同期は(1)

ここで α は発振器の発振位相と入力信号の位相差を示し，∆ωは離調を示す．これによって，ロックレンジが定まるのみならず，同期へ至る過渡状態や同期の安定性解析が可能になる．この先行研究の枠組みは，現在でも諸々の対象に適用されている

周波数引き込み (entrainment) と呼ばれることが多く，この引(A)

き込みを外れたところで不規則遷移現象（3）が見いだされたこと(B)も衆知のとおりである．また，この引き込みが非線形振動子集（5）団のパターン形成の基礎にもなっている（4），．ところが，この注入同期において引き込みの成り立つところで，かつ単一の振動子であっても，その物理限界（実現可能限界）には一つの未ロックレンジ
入力強度知の仕組みが潜んでいた．これを以下で説明しよう．

(C)

入力強度 :

発振器

送信機

重畳

アーノルドタング

ロックレンジ :所与の位相感受関数

送信データ 1, 0, ...
ミリ波
搬送波
受信データ

復調器

受信機
受信信号
パワー制約最適入力

発振器
注入同期

面積制約最適入力

振幅制約最適入力

図 2 (A) ロックレンジ，(B) 位相結合関数，(C) 最適
入力の様子（（43）より転載）

図 1 注入同期の応用例: ベースバンド通信（（43）よ
り転載）

220

（注 1）：非線形ダイナミクスの分野では，これをアーノルドタングと呼ぶ．

IEICE Fundamentals Review Vol.9 No.3

（例として文献（9），（10））が，その前提条件が発振器は弱非線程式を導く際，この Z を正確にかつ効率良く求めることが重要

形，かつ入力はほぼ正弦波と仮定しており，発振器の非線形性である．これは例えば文献（14），（15）のような複雑な発振器にが強い場合や，入力が正弦波から大きく外れる場合には，その対しても，インパルス応答関数法（16）により，回路シミュレータ

適用が一般に困難となる．

(SPICE) から直接に，数値的に得ることが可能になっている．

次にアドラーの方程式 (1) の一般化とみなされる，位相方程式の導出と，それによる注入同期の解析について説明する．こ2. 2 最適入力の存在: 変分法によるアプローチ

こで扱う発振器はリミットサイクル解を持つ非線形振動子とみなせる．そのダイナミクスは一般に，次の方程式に従う．

dx= F (x) + I(t)dt

以上の準備の下で，注入同期を最適化する最適化問題が定式(2)

ここで，x (∈ Rn ) は状態変数，I(t) (∈ Rn ) は周期的入力を（18）化される（17），．例えばロックレンジを最大化する場合は，以下のように考える（17）．まず，入力 f に対し，次の汎関数を定義
する．

⟨⟩
J[f ] ≡ R[f ] + λ f (θ) − C

表す．ここでは，簡単のため（一般性を失わず），入力 I(t) は回路中の１点に注入される入力 f (t) ∈ R とする．このとき，リミットサイクル解を x0 (∈ Rn ) とすると，これに沿って発振位相に相当する ψ (∈ [0, 2π] ≡ S) という（局所的な）変数が(6)

ここで，R[f ] は f に対し (図 2(B) のように，一般に一意に定まる) ロックレンジを与え，具体的には

R[f ] = Γ(ϕ+ ) − Γ(ϕ− )導入される．その結果，入力 f が弱入力という仮定の下で，式(2) は x = x0 の近傍において次の ψ についての方程式に縮約= ⟨{Z(θ + ϕ+ ) − Z(θ + ϕ− )}f (θ)⟩

(7)

される．
と表示される．ここで ϕ+ 及び ϕ− は，それぞれ位相結合関数dψ= ω + Z(ψ) · f (t)dt(3)

は入力 f の 1 周期平均が C となる制約条件であり，特に C = 0

ここで，ω は自励発振周波数，Z(ψ) は位相感受関数と呼ばれる周期関数である．更に入力の周波数を Ω (∼ ω) とすると，ψ に代わる変数 ϕ = ψ − Ωt が定義される．これは発振状態と入力の位相差に対応する「遅い」変数とみなされ，速い動きに関する平均化により，ϕ について閉じた次の位相方程式が得られる．

dϕ= ∆ω + Γ(ϕ),dt(4)のときチャージバランス制約と呼ばれる．これはつまり，注入される正味の電荷がゼロになるという制約である．また式 (6)の λ はラグランジュの未定乗数である．要するに式 (6) により，⟨f (θ)⟩ ≡ C = 0 という制約を満たす f のうち，R[f ] を最大にする最適解 fopt を決めるための (f, λ) についての極値問題が定式化される．
この極値問題が一意に解を持つためには，もう一つ制約条件が必要である．例えばパワー＝一定とした入力，すなわち，

ただし Γ(ϕ) = ⟨Z(θ + ϕ)f (θ)⟩．ここで，⟨·⟩ は θ についての 1（注 2）

周期にわたる平均Γ(ϕ) が最大・最小となる ϕ を表している．また，⟨f (θ)−C⟩ = 0を示し，Γ(ϕ) は位相結合関数と呼ばれる．

⟨f 2 (θ)⟩ = 一定という制約条件を課すと，その最適解 fopt は，変分法を用いて以上の局所変数 ψ の存在や，式 (4) の位相方程式への縮約は数
学的に厳密な結果であり（11），非線形物理の分野でも独自に同等

fopt (θ) =1{Z(θ + ϕ+ ) − Z(θ + ϕ− )}2λ（5）の結果が得られている ．なお，式 (1) のアドラーの方程式は式 (4) の一つの例とみなされる．本稿では，式 (3) や式 (4) への縮約を以降，「位相縮約」と呼ぶ．
図 2(B) はロックレンジの導出を説明している．注入同期が成立するための必要十分条件は，ϕ が dϕ/dt = 0 かつ Γ′ (ϕ) < 0
を満たすことであり，位相結合関数の最大値 Γ(ϕ+ ) と最小値

Γ(ϕ− ) の範囲内に離調 (−∆ω) が入っていることが導かれる．
以上は，1 : 1 引き込み (すなわち，ω : Ω ≈ 1 : 1) の場合であるが，同様のことが m : n 引き込み (すなわち，ω : Ω ≈ m : n)

√
Q/P ，

ただし P = ⟨f 2 (θ)⟩, Q = ⟨{Z(θ + ϕ+ ) − Z(θ + ϕ− )}2 ⟩ であり，ϕ± は Z についての非線形方程式から数値的に得られる（17）．
またロックレンジを最大化する代わりに，引き込み状態の（線形）安定性を最大化することも可能である．この場合は R[f ] の代わりにS[f ] = −Γ′ (ϕ∗ )として，その極値問題に帰着する（18）
（注 4）

．

以上においては，変分法（オイラー・ラグランジュ方程式）が用いられ，これによる最適解は式 (8) の ϕ± に対し，一般に複の場合に成立する．その場合の位相方程式は，dϕ= ∆ω+Γm/n (ϕ),
dtと求まり，その極大性も確認される（17）．ここで λ = 21(8)数得られることが判明した．しかし，その他にも最適解がある(5)

ただし Γm/n (ϕ) = ⟨Z(mθ+ϕ)f (nθ)⟩ となる．上記の位相感受関数 Z は，これまで工学分野でも独自に見いだされ，ISF（12）やのか，更にそれらの中でベストな最適解（すなわち物理的限界）とは何であるか，についての情報は変分法によっては原理的に得られず，もやもやした感じが残っていた．

（注 3）
PPV（13）と呼ばれている．実際に所与の発振器に対し位相方1（注 2）：具体的には，⟨·⟩ ≡ 2π∫π
−π

· dθ である．

（注 3）：文献（13）では，式 (4) を式 (1) のアドラーの方程式と対比して，一般化ア
ドラー方程式と呼んでいる．

IEICE Fundamentals Review Vol.9 No.3

（注 4）：ここで ϕ∗ は式 (4) の定常解を示し，一般性を失わず 0 と置いてよい．

221

となるが，2.1 と同様に，少し工夫をして，∥f ∥p = M の下で

2. 3 注入同期の物理限界の存在: 不等式によるアプ

J[f ] = R[f ] + λ⟨f (θ)⟩ を最大化する f と λ を求める問題に焼き直すことができる．更に，この J[f ] は，式 (7) により次のよ

ローチ

うに二つの関数 f と g の内積として表示が可能である:（19）

ところが，最近の筆者の研究により，このベストな最適解

J[f ] = ⟨f (θ)[Z̄(θ) + λ]⟩ ≡ ⟨f (θ)g(θ)⟩,の存在や非存在，更により広いクラスの制約条件下での最適解が議論でき，注入同期の物理限界の存在が明らかになってきた．

(12)

た だ し g(θ) = Z̄(θ) + λ, Z̄(θ) ≡ Z(θ + ∆ϕ) − Z(θ) 及

例えば，以下の基本的な問題は応用上も重要であるが，これらび ∆ϕ ≡ ϕ+ − ϕ− であり，この ∆ϕ は変数 θ の座標変換

が解答可能となる．

θ + ϕ− → θ により自然に導入された．一方，引き込み状P1 上で述べたパワー制約された入力 (⟨f 2 (θ)⟩ = P = 一定)

態の (線形) 安定性最大化は，式 (11) において R[f ] を単にに対し，1 : 1 引き込みのロックレンジを最大化するものは存在

S[f ] = −Γ′ (ϕ∗ ) = −⟨f (θ)Z ′ (θ)⟩ と置き換えればよい．したするか？ もし，存在するならば，それは唯一か？ また，そのがって，この場合は式 (12) の g(θ) を g(θ) = −Z ′ (θ) と置けば，最大ロックレンジの物理的な意味はどのように特徴付けられる同様の議論が可能となるので，以下ではロックレンジ最大化ののか？

g(θ) = Z̄(θ) + λ の場合のみを考える．

P2 上記のパワー制約入力に代わり，面積制約された入力（つ2.1 では，この J[f ] の最大化に変分法を用いたが，式 (12) をまり，その値の絶対値の積分が一定値に抑えられた入力）に対見れば，この問題はしかるべき構造を持つことに気が付く．そし，1 : 1 引き込みのロックレンジを最大化するものは存在するのキーとなるのが，次のヘルダーの不等式 (Hölder’s inequal-か？ あるいは振幅制約された入力（つまり，その絶対値が一定

ity)（20）である（注 5）．

値以内に抑えられた入力）の場合はどうか？ それらはどのよう∥f g∥1 <= ∥f ∥p ∥g∥q ,に特徴付けられるのか？

P3 以上での 1 : 1 引き込みの最適化問題は，一般の m : n
引き込みの場合にも成り立つか？ もし，そうならば，その場合

(13)

−1
ただし，この p，q は 1 <+ q −1 = 1 を満た= p, q <= ∞, pす．この式 (13) から，式 (12) の J[f ] を最大化することは，の最大ロックレンジはどのように特徴付けられるのか？ また，J[f ] = ⟨f g⟩ <= ⟨|f g|⟩1 : 1 引き込みの場合とどのような関係があるのか？

= ∥f g∥1 <= ∥f ∥p ∥g∥q = M ∥g∥q

これらの基本問題 P1，P2，P3 に対し，ある意味で完全な(14)解答が可能であることを（以下の S1，S2，S3 において）示す．
その準備として，まず入力 f の属すクラスとして p 乗可積分なにおいて全ての等号が成立する入力 f を，所与の g (= Z̄(θ)+λ)関数 Lp (S) を仮定しよう．

について求めることに帰着する．誌面の制約から詳細はほかに譲り，（先の P1，P2，P3 にそれぞれ対応して）得られる結果
1∥f ∥p ≡ ⟨|f (θ)|p ⟩ p = M < ∞,(9)

ただし，p >
= 1 であり，M は正定数とする．特に p = 2 の場
合，式 (9) は ⟨f 2 ⟩ = M 2 ，すなわち f のパワーが M 2 に制約されることを示す．また，p = 1 の場合，⟨|f |⟩ = M ，すなわ
ち f の「面積」が M に制約される．一方，p = ∞ では式 (9)は ∥f ∥∞ = M に相当し，∥f ∥∞ は |f (θ)| の本質的上限 (ess.

sup) なので |f (θ)| < M （ほとんど全ての θ ∈ S ）となる．要するに，これらの f には微分可能性や連続性も必要とせず，2.1の変分法によるアプローチで暗黙に仮定していたよりも広いクラスの関数となっている．
更に，式 (9) に加え，先に述べたチャージバランス制約を導入する．

を以下に整理しよう．その大枠は，図 2(C) の (a)，(b)，(c) に示すように，1 < p < ∞ （特に p = 2）, p = 1, p = ∞ の 3
通りに分類される（注 6）．各々の概要は以下のとおりである．

S1 1 < p < ∞ の場合，1 : 1 引き込みにおいて，最適な入力(≡ fopt, p ) は Lp(S) 内で唯一存在する．この fopt, p は，Z により陽に与えられ，このベストな最適入力に対応する最大ロッ
クレンジとは，ヘルダーの不等式 (13) の右辺にほかならない．

S2 p = 1 の場合の 1 : 1 引き込みにおいても最大ロックレン
ジに上限が存在する．一般的な Z に対し L1 (S) 内でしかるべき
正負一対のパルス入力 (≡ fopt,1 ) を設計することにより，この上限へパルスの幅を細くするにつれ，幾らでも漸近可能である．
このパルス入力の形状は上記の S1 での最適入力における p → 1の極限と整合し，このロックレンジの上限は，ヘルダーの不等式⟨f (θ)⟩ = 0.

(10)以上の下で，2.1 でのパワー制約の下での注入同期のロックレ(13) の右辺で p = 1, q = ∞ と置いたものに相当する．一方，
p = ∞ の場合の 1 : 1 引き込みにおいて，最適入力 (≡ fopt,∞ )（注 5）：実は式 (13) の不等式は，1888 年のロジャーズの論文，1889 年のヘルダーの論文にもなく，その後 Riesz によって示されたものである．しかし，上記のロンジの最大化は，次の最適化問題として定式化される．愚直にジャーズの論文には式 (13) に近い不等式が例題として導かれている．したがって式書くと(13) を Rogers-Hölder-Riesz の不等式，あるいはロジャーズの不等式と呼ぶのが筋である．しかし，ここでは慣例に従いヘルダーの不等式とする．
（注 6）：本稿では，周期的自発発火を示す Hodgkin-Huxley ニューロンモデル（18）maximize R[f ]subject to ⟨f (θ)⟩ = 0, ∥f ∥p = M

222

(11)

から得られる Z を一例とする．これは，図 2(C) の (d) 及び図 3(c) に示すとおりである.

IEICE Fundamentals Review Vol.9 No.3

(a)

(d)

･･･

･･･

(e)
(b)

･･･

･･･

(c)

･･･

･･･

図 3 最適注入同期の概要と Tsallis エントロピー最大化の概要

は L∞ (S) 内で 唯一存在し，Z により陽に表示され，S1 の最上の S1，S2，S3 及びこれらに関する最適化アルゴリズムの基

適入力で p → ∞ の極限に一致する．これに対応する最大ロッ

礎として，幾つかの定理が得られている（19）．御利益として，2.1

クレンジは，ヘルダーの不等式の右辺で p = ∞, q = 1 と置い（18）の先行研究（17），ではできなかったことが可能になる．それたものに相当する．

1 「注入同期の物理限界」の存在は例えば，次の事柄である．⃝

S3 ここでは簡単のため Z ，f ，及び以下で定義する Zn ，fm
はいずれもフーリエ級数表示が可能なクラスの関数とする:∑

Z(θ) = a0 /2 + j (aj cos jθ + bj sin jθ),∑k (ck cos kθ + dk sin kθ),∑Zn (θ) ≡ a0 /2 + j (anj cos njθ + bnj sin njθ),∑fm (θ) ≡ c0 /2 + k (cmk cos mkθ + dmk sin mkθ)（注 7）．
f (θ) = c0 /2 +2 パルス入力の取扱，⃝
3 ロックレン
証明・本質を示すこと，⃝ジの最大化，安定性の最大化，一般の m : n 引き込みでの最適化問題が系統的に解答可能となること．要するに，以上により
弱入力の場合の注入同期の物理限界に対し，一般的に成立する「基本法則」のようなものがあると分かった．

3. べき分布に絡む最適化問題

また対応する Γm/n (ϕ) = ⟨Z(mθ + ϕ)f (nθ)⟩ も，Z, f のフー

それでは，この「基本法則」が当てはまる「物理」はほかにリエ級数から項別積分により，フーリエ級数表示可能とする．こもあるだろうか？ 実は，近年，地味に盛り上がっている Tsallisのとき三角関数の積和の公式から（ツァリス）統計（22）が該当する．この Tsallis 統計は，従来のシャノンエントロピーを基礎とするボルツマン-ギブズ統計の一

Γm/n (ϕ) = ⟨Zn (mθ + ϕ)f (nθ)⟩ = ⟨Zn (mθ + ϕ)fm (nθ)⟩

般化として，Tsallis により Tsallis エントロピーの導入により切り開かれ（23），その後，理論的整備・体系化が進んでいる（24）．

である．この式は，S1，S2 で得られている 1 : 1 引き込みの最この Tsallis 統計により物理のべき分布に絡む本質的に非線形な適入力を得るアルゴリズムにおいて，Z を Zn と置き換えるの諸問題に有効な解析のツールが提供され，その結果膨大な数のみで一般の m : n 引き込みの最適入力が fm (nθ) の形で得られ論文が出版されてきた（22）．一方，情報通信分野においても相当ることを示す（注 8）．図 3 の (a)，(b) はそれぞれ 1 : 1 引き込みな数の論文が出版されている（例えば Sharma（25））．渋滞時のと 1 : 2 引き込みの最適入力を示すが，1 : 2 の場合は 1 : 1 の場

トラヒックに関するべき分布の情報が得られているとき，これ合に比べ波形がシンプルになっている．これは Zn（ただし，こが Tsallis エントロピーを最大化する Tsallis 統計に従うというこでは n = 2）において，図 3(c) に示す元の Z での高調波か仮定の下で待ち行列やバッファのオーバフロー率など諸々の性らの寄与が少なくなるためであり，一般に n が大きくなるにつ質が解析的に与えられるからである．

れこの傾向が顕著になる（21）．
これらの結果により，P1，P2，P3 への解答が得られた．以

まず Tsallis エントロピーを定義しよう．連続版の Tsallis エントロピーは，ある物理量 x の確率密度分布 f (x) に対し，次で定義される量（汎関数）により与えられる（注 9）．

（注 7）：直観的には Zn , fm はそれぞれ Z, f のフーリエ級数を nj, mk 項のみ
残して間引いたものである．
（注 8）：た だ し ，m : 1 の 引 き 込 み の 場 合 の み 例 外 的 に ，そ の 最 適 入 力 が(m : m = 1 : 1 引き込みの場合と一致するため) 存在しないことになる．しSq [f ] ≡1 − ⟨f (x)q ⟩x
,
q−1

(15)

ただし，q は（通常，正の値の）与えられたパラメータであり，かし，これが漸近的には，1 : 1 引き込みの最適入力と一致するとみなすことは可能
である．

IEICE Fundamentals Review Vol.9 No.3

（注 9）：x が離散的な値をとる場合は須鎗（24）の説明が詳しい．

223

⟨·⟩x は ⟨·⟩x =∫∞· dx を示す．Tsallis エントロピー最大化の適解 fopt, q の構成・唯一性についての議論が可能になる．ここ問題とは，f の規格化条件 ⟨f ⟩x = 1 と，以下に定義される f にでは計算の詳細を省略するが，この fopt, q はヘルダーの不等

対するエスコート関数 F の制約下で，この式 (15) を最大にす

式の等号成立条件から以下のとおり得られる．

−∞

る fopt, q を求めるものである．具体的には，次で与えられる．

fopt, q (x) =maximize Sq [f ](16)subject to ⟨f (x)⟩x = 1, ⟨h(x)F (x)⟩x = σ 2 ,

−

βq x2
σ2

)
,

(18)

うに定義される．

f (x)q /⟨f (x)q ⟩x であり，例えば h(x) = x2 とすると，F の（注 10）

二次モーメント = σ と制約される

(

（24），
（26）
ただし，expq (·) は q-指数関数（22），と呼ばれ，次のよ

た だ し ，こ の F は f に 対 す る エ ス コ ー ト 関 数: F (x) ≡
2

1
expq
Zq

．この枠組みの御利益

expq (x) ≡の一つは，Tsallis エントロピーを最大化する分布関数 fopt, q
2
は，1 < q < 3 の q に対し，その裾野においてべき指数 = q−1を持つべき分布を与えることであり，このことが冒頭に述べた
1
 [1 + (1 − q)x] 1−q,(1 + (1 − q)x > 0 なる x)(それ以外の x)

0.

(19)

この q-指数関数 (19) に対応し，式 (18) が先に述べた q-ガウス分布と呼ばれるものである．また Zq は q, σ により定まるパラ（25）
諸々の分野での応用（22），に結び付いている．

（24），
（26）
メータ，βq は q のみに依存するパラメータである（22），．

3. 1 ヘルダーの不等式から見た Tsallis エントロ
ピー最大化

以上の「構成的」証明の御利益は以下のとおりである．まず，先行研究（26）で（文献（26）の方法でも不可能ではないと考えられるものの）実行されていない，q < 0 の場合の取扱，並びに確率変数 x ∈ Rn とした多次元の場合に，ヘルダーの不等式

以上の極値問題の解の構成・唯一性などに関する厳密な証明
は比較的最近文献（26）により，初めて与えられている．では，これまではどうだったかというと，文献（22）にあるように極値を与える解の必要条件としてオイラー・ラグランジュの方程式（変分法）からのアプローチのみであった（注 11）．古市（26）の方法
は，相対エントロピーの一般化（Tsallis relative entropy）の導入から始め，エントロピーを最大化する関数（q-ガウス分布=q-Gaussian distribution）と任意の分布関数のエントロピー
を相対エントロピーを経由して比較することにより，必要十分条件として q-ガウス分布が極値問題の解になることを示している．この方法はエレガントであるが，q-ガウス分布をあらかじめ与えた地点からスタートするので、そもそも，この問題の枠組
みからなぜ q-ガウス分布が現れるかというメカニズムについての情報は多くない．一方，筆者らのヘルダーの不等式による方法は，これとは大きく異なる「構成的な」証明を与える（27）．そのあらましは以下のとおりである．まず，簡単な式変形により，式 (15) は以下と等価であることが分かる．

という一つの視点から光が当てられる．そして，もう一つの御利益は式 (16) に現れる ⟨h(x)F (x)⟩x = σ 2 という一見，不思議な制約条件の「必然性」が，ヘルダーの不等式を経由して式(17) の極値問題の解を「構成」する際に，クリアとなることである．しかし，その「物理的解釈・意味」は Tsallis 自身の言葉によっても「However, a clear-cut physical interpretation interms of the dynamics and occupancy geometry within thefull phase-space Γ is still lacking.」とあり（22），依然謎のままである．
さて，結局式 (12) の Z̄ と最適入力 (=fopt, p ) が，それぞれ
式 (16) の h(x) = x2 と最適なエスコート関数 Fopt, q に対応することが分かる．それらの形状を図示したものが，それぞれ図 3の (b)，(c) であり，両者間の類似性を見ることができる．要す
るに，注入同期の最適化と Tsallis エントロピーの最大化とは，いずれも p 乗ノルムの制約下での内積の最大化が本質と分かる．
蛇足かもしれないが以下のことを述べておきたい．Tsallis の
式 (16) による極値問題の枠組みで ⟨x2 F (x)⟩x = σ 2 のエスコート関数への制約を，むしろ通常の ⟨x2 f (x)⟩x = σ 2 ，つまり fmaximizef (x)の分散 = 一定の制約にしてみるとどうなるだろうか？ 実はこ

Tq [f, λ] ≡ σ 2 ⟨f (x)q ⟩x + λ⟨(x2 − σ 2 )f (x)q ⟩xの問題は今を遡る約 60 年前に森口繁一先生が変分法と巧妙な不= ⟨f (x)q [λx2 + (1 − λ)σ 2 ]⟩x ,等式評価を組み合わせた方法により解答を得られている（29）．更subject to⟨f (x)⟩x = 1,

(17)に森口先生は，コーシー・シュワルツの不等式（ヘルダーの不等式 (13）で p = q = 2 のケースに相当) から統計数理の極値問題

ただし 0 < q < 1．一方，q > 1 並びに q < 0 の場合は Tq の最を解決されている（30）！しかし，恐らくは，ヘルダーの不等式に小化となる（注 12）．ここで式 (17) の f q と λx2 + (1 − λ)σ 2 を，踏み込むまでには致らなかったのではなかろうか... というのも，それぞれ式 (12) の f, g とみなせば，2.3 でのヘルダーの不等分散 ⟨x2 f (x)⟩x を有限とする前提では，一般のべき分布は現れ式を用いた論法が，ここでも同様に適用され，元の式 (15) の最ず，エスコート関数 F (x)，ひいてはヘルダーの不等式の出る幕は少ないからである（注 13）．

（注 10）：h(x) = x としても 3.1 と同様のことが実行可能である（26）.
（注 11）：更に，「極大」となることまでの議論はなく，文献（23）にあるように，q < 0での「極小」となる解との混同も生じている．
（注 12）：この場合，ヘルダーの不等式の逆である reverse Hölder’s inequality（28）（注 13）：とはいうものの，筆者らのヘルダーの不等式からの方法は森口先生の問を用いる．

題（29）にも適用可能である．

224

IEICE Fundamentals Review Vol.9 No.3

るわあるわ... 文献（31），（32）の成果を筆頭に，情報理論・信号

3. 2 一 般 化 フィッシャー 情 報 (q-Fisher information) とヘルダーの不等式

処理分野の賢い方々（実質，数学者）が，まさにこのヘルダーの不等式から q-フィッシャー情報の最小化（並びに Rényi エント
ロピー最大化）について鋭い結果に到達していることを知ったの存在を知ったのは実はごく最近のであった．この「土木作業」から筆者の得た経験は，「非線形であり，3.1 で述べた Tsallis エントロピーの最大化において問題の理論を作るとき，情報理論・信号処理分野の先行研究もヘルダーの不等式が本質的であることを示す文献（27）が受理見落とすな．
」というところだろうか...

（26）

筆者が上記の先行研究された後である．ところが，この文献（26）の理論は Tsallis エ

4. 最適制御の問題との関連

ントロピーの最大化のみならず，従来のフィッシャー情報の一般化である q-フィッシャー情報の最小化が，先の q-ガウス分布
によって与えられる，という結果にまで到達していた！この q-

現代制御理論，特にポントリャーギンの最大値原理（33）は高度

フィッシャー情報 Jq は分布関数 f に対し，フィッシャー情報のに磨き上げられた理論で面白そうではあるものの，実際のとこ

対数ゆう度関数 lnf (x) を一般化して次のように与えられていろ今の非線形な問題でどれほど役に立つものかと，筆者はどち．

らかというと懐疑的であった．ところが，最近の米国の近しいdJq [f ] ≡ ⟨F (x){ lnq f (x)}2 ⟩x ,dx

使いようによっては重要な応用に有用な知見を与えてくれるも

（26），
（31），
（32）

る

研究者の仕事（例えば文献（34），（35））を見ると，この理論も(20)のであると思うようになった．例えば，文献（34）は医療の現場で必須の MRI で用いる核磁気共鳴のパルス入力制御を最適化

ただし，F は f のエスコート関数，lnq は式 (19) の q-指数関数

することに成功し，文献（35）はパーキンソン病やてんかんの発に対応する q-対数関数である（22）．また式 (20) は，q → 1 で通作をソフトに緩和させるパルス注入制御（36）の基礎開拓を目的と常のフィッシャー情報に漸近する．このフィッシャー情報はパラ

し，現代制御理論をうまく援用している．ここでは文献（35）のメータの不偏推定において，そのパラメータを含む分布関数 f問題に注目し，ここでもヘルダーの不等式が本質的となり，ポが，そのパラメータについてどれほどの情報を持つかを示す量

ントリャーギンの最大値原理の枠組みを越えたところに踏み込であり，具体的には f のパラメータについての対数ゆう度関数

むことが可能であることを示そう．

dlnf (x)．ただし本稿の式 (20)の微分（すなわちスコア関数 dx

Dasanayake ら（35）の目的とするのは，周期的に発火（振動）では簡単のために分布のシフト量推定を仮定している．
）の二次する様々なペースメーカニューロンの集団に対して，どのようのモーメントとして与えられる．式 (20) の q-フィッシャー情報な制御（外部入力）がその発火の頻度を最も高く，あるいは低は，この「対数」尤度関数を「q-対数」に一般化したものであくするかを明らかにすることである．文献（35）ではニューロン

り，これによりクラメール・ラオの不等式の一般化が可能とな間の相互作用が十分小さく無視できるとして，振幅を M に制限る．そのため従来のパラメータ推定の誤差の二次モーメントのした入力電流 f により個々のペースメーカニューロンの周期的下界についての性質が，一般の（二次以上の）モーメントへ拡発火の時間間隔 T を最小化あるいは最大化する次の問題 CT1

張され，誤差の大きな部分を強調して評価することが可能となに帰着している．

る御利益がある．
古市（26）の理論は先駆的であり，文献（26）の出版後，関連する多数の論文による引用が継続している．そのアプローチは，
文献（26）で Tsallis エントロピーの最大化を議論するのと同様であって，クラメール・ラオの不等式を一般化した不等式 (q-Cramér-Rao inequality) を用意した後に，q-ガウス分布が確かに q-フィッシャー情報を最小化することを不等式から示すものである．
先の Tsallis エントロピーの最大化においてヘルダーの不等式

最適時間制御問題 CT1 :minimize T, (あるいは maximize T, )f (τ )f (τ )

TTdθ=
ω+Z(θ)f (τ ),dτ
2π2π|f (τ )| <= M, ∀τ ∈ [0, 2π],∫ 2πθ(τ = 0) = 0, θ(τ = 2π) = 2π,
f (τ )dτ = 0,

subject to

(21a)
(21b)
(21c)

0

ただし，以下の取り扱いの便利さから，元の時間 t から τ ≡ 2πtTが本質的であることを知った筆者は，当然，馬鹿の一つ覚えを発により T でスケールした時間 τ を導入している．ここで θ, ω

揮し，文献（26）のエレガントではあるが構成的ではない証明を，

はそれぞれニューロンの発振位相，自然周波数を示し，簡単のヘルダーの不等式一本から書き直す作業を開始した．約 1 週間

ため θ = 0 (= 2π) で発火するものとする．また，入力 f (τ )計算に明け暮れた後，出張先で完成し，ヘルダーの不等式（のはあくまでも τ ∈ [0, 2π] で定義され，それ以外の時間では等号成立条件）によれば，文献（26）の結果よりも強い主張（具f (τ ) = 0 となる．つまり，2.1 の式 (3)，(4) とは異なり入力 f

体的には，q-フィッシャー情報の最小化を与える必要「十分」条の周期性は不必要となる．この問題 CT1 は，ハミルトニアン件）が可能になることが判明した．そして，ひそかに「これは，H = λ0 + λ1 [ω + Z(θ)f ] + λ2 f （ただし，λ0 ，λ1 ，λ2 はラグ

いい仕事になる！」とほくそ笑んだのであるが...

ランジュの未定乗数）を導入することにより，ポントリャーギ

まあ，そんなおいしいことは続かないのであろうか，いざ論

ンの最大値原理の枠組みに入る．その結果，最適制御 f は，M

文にまとめようと文献（26）を引用する文献を調べてみると，あと −M の 2 値をとる，いわゆるバングバング (bang-bang) 制

IEICE Fundamentals Review Vol.9 No.3

225

御となることが導かれる（場合によっては，入力が 3 値となる
（35）

バング-特異-バング制御 (bang-singular-bang) にもなる） ．

数 λ は次のチャージバランス制約から得られる:∫ 2π

ところが，式 (21a) を式 (21c) の境界条件の下で，τ について積分すると，この問題 CT1 は次の問題 CT2 に等価である

すなわち，
∫ 2π
[
]−1
2π
fopt, p (θ) ω + Z(θ)fopt, p (θ)
dθ = 0. (25)T
0

ことが分かる．

∫ 2π
CT2 :

[Z(θ(τ )) + λ]f (τ )dτ,maximizef (τ )

fopt,p (τ )dτ = 0,00(あるいは minimizef (τ )∫ 2π[Z(θ(τ )) + λ]f (τ )dτ,

)

(22a)

0

subject to |f (τ )| <= M, ∀τ ∈ [0, 2π],(22b)

[ p = 1 の場合; パルス入力 ] これも 2.3 の議論の繰り返しであり，L1 空間中での最適化問題として，最適パルス入力を得ることが可能になる．この最適パルス入力は実用上重要であり，例
えば Danzl ら（37）のような先行研究が存在しているが，パルス

ただし，ここでラグランジュの未定乗数 λ を導入して式 (21c)のチャージバランス制約 ⟨f (τ )⟩ = 0 を組み込んでいる．CT1と CT2 が等価であることは，式 (21a) を式 (21c) の下で積分
∫ 2π
( 2π
)
して得られる関係式[Z(θ(τ )) + λ]f (τ )dτ = 2π−ωT0
より，T の最小化 (最大化) がそれぞれ ⟨[Z(θ) + λ]f ⟩ の最大化(最小化) に対応することから従う．

入力の最適化のためのきちんとした枠組みは筆者の知る限り存在しなかったようである．
上記の式 (23)，(24) において fmin と fmax の表式は − の符合を除き互いに一致しているが，それぞれの λ（更に θi ）は一
般に互いに異なる．したがって fmin と fmax の形状も一般に互いに異なるものになる．
以上の結果の意味することは何であろうか？

それは，ヘル

ここまで来れば，この最適化問題 CT2 において，式 (22a) のダーの不等式の存在に気が付けば，CT1 や CT2 の特定の問

f と Z(θ) + λ をそれぞれヘルダーの不等式 (13) の f と g とみ

題においては，ポントリャーギンの最大値原理という伝家の宝なすことが自然であることが分かる．その際に，式 (22b) の制刀を持ち出さずとも，より深いところまで踏み込むことができ

約条件 |f (τ )| 5 M は ∥f ∥∞ = M と書き直され，より一般にることである．つまり，ポントリャーギンの最大値原理におい∥f ∥p = M (1 5 p 5 ∞)(22c)ては，あくまでも（変分法ベースであり）最適解の必要条件としてその候補が得られるのみであり，かつ，その制約条件は式

による入力 f の制約条件が自然に見えてくる．このように，問(22b) の振幅制約に限られるからである．
（そのために，ポント

題 CT2 をヘルダーの不等式の等号成立条件の問題であること

リャーギンの最大値原理の枠組みで従来知られている必要十分を見抜けば，以下のようにポントリャーギンの最大値原理の枠条件として得られる最適解は，線形系などの自明なケースに限組みを越えたところに容易に踏み込むことが可能となる．結果られている．
）

として得られるのは，必要「十分」条件としての（本物のお墨

要するに，汎用性を重視した一般論（この場合，ポントリャー
ギンの最大値原理）の足元には，問題 CT1，CT2 や第 2 章で付きの）最適解である．その詳細は次のとおりである．

[ p = ∞ の場合; バングバング制御 ] CT2 の最適解 fmin (τ )の注入同期のように「豊かな各論」が潜んでいるようである．で（あるいは fmax (τ )）は，2.3 の議論（19）を繰り返し，おおよそは，この「各論」が本家のポントリャーギンの最大値原理や関次のように得られる．

連する現代制御理論のどれほどの部分を占めているのか？

このことについては稿を改めて議論したい．

fmin (τ ) = M sgn[Z(θ(τ )) + λ],fmax (τ ) = −M sgn[Z(θ(τ )) + λ],(23)

ただし，λ は文献（35）に現れるパラメータ α に相当し，λ = −αが成り立つ．この λ は，Z(θi ) + λ = 0 を満たす，入力 = Mと −M の切換点 θi とともに有限次元の方程式から求まる（35）．

[ 1 < p < ∞ の場合; 一般化パワー制約 ] 2.3 の議論（19）を繰り返すことで，通常のパワー制約（p = 2）も含め，次のように最適制御が得られる．

(

広く知られているヘルダーの不等式が本質となる物理，工学
等の具体的問題が，これまで余り知られていなかったのは驚きでさえある．ヘルダーの不等式の 100 年を超える歴史と，数学
では日常的に使用されているにもかかわらず，である．
本 稿 の 2. の 注 入 同 期 に 関 す る 課 題 と し て は ，ま ず 文 献
（2），
（9），
（10），
（14），
（15）のような回路設計への応用が挙げら

) 1

p−1
|G(τ )|,∥G(τ )∥q) 1(
p−1|G(τ )|
fmax (τ ) = −M sgn[G(τ )],∥G(τ )∥q

5. 今後の課題・展望れる．例えば，2.1 の位相縮約の枠組みは，既にパワーエレク

fmin (τ ) = M sgn[G(τ )]トロニクス分野で有用な E 級発振器の実験系で有効であることが実証され（15），現在は 2.3 の結果により，実験系でその最適化(24)を実証する段階に至っている．
一方，4. に関連して，制御理論の最近の研究ではエネルギー

た だ し ，p−1 + q −1 = 1, G(τ ) = Z(θ(τ )) + λ で あ る ．

（パワー収支）制約下での最適制御が注目されているが，筆者ら

fmin , fmax を fopt,p とまとめて書くと，それぞれの未定乗の一般化パワー（p 乗ノルム）制約下での取組みは，そのよう

226

IEICE Fundamentals Review Vol.9 No.3

な研究に貢献をすることも期待される．更に制御理論の新規な方向性として，例えば振動子集団の「アンサンブル制御」（例え文献ば Li ら（34））が開拓されているが，そこで必要となるパルス列の入力による制御則の最適化のために，最適入力を L1 空間での極値問題として求める可能性がある．その文脈で筆者らの枠組み（2.3 の S2）は有用となると期待される．
また，本稿の最適化理論は，振動現象が式 (3) や式 (4) に帰着されれば，そのまま適用可能である．このことは最近の非線形物理における位相縮約の適用範囲の拡大が，時間遅れ系，局
在パルスの運動，更に流体系の時空間パターンにまで及んでいる現状（例えば河村ら（38）），SF 級の夢や希望をもたらしてくれるように思われる．例えば，一つの「心臓」を対象に，その病理の本質的理解や新規なペースメーカの「最適設計・制御」のようなものが可能になるのではないか？ もちろん，そこに至るには本稿の冒頭で述べた紙と鉛筆に加え，地球シミュレータ級のスパコンも必要となるだろう（39）．
本稿では，あくまでもヘルダーの不等式のみに絞って話題を提供した．もし，他の不等式まで議論すれば，筆者の力量を越え，また規定のページ数もはるかに越えるだろう．しかし，言うまでもなく他の不等式も重要，有用である．装備（高度な数学）を必要とする険しい岩峰（すなわち高度な理論．例えば Lieb（40））
を目指さずとも，日帰りの軽装で不等式の古典的教科書（28）や最近の成果（41）を渉猟することは可能である．そのような「不等式の森（注 14）」を歩くとき，一瞬雑事を忘れ，非線形な世界の生
き生きとした様子や豊かな芳香を感じるのは筆者だけではないだろう．今，解決を迫られている問題から，この不等式の森に，
非線形な世界の一つの秩序を表わす新たな「木」が見つかることはあり得る話である．事実，ヘルダーの不等式とヤングの不等式を内包する Brascamp-Lieb の不等式（40）という巨木が見いだされたのは，僅か 40 年ほど前のことである...
本稿では最近筆者の出会ったささやかな発見を鮮度良く皆様にお届けすることを目的とした．そのため詳細やその後の展開については割愛せざるを得なかった．これらについては末尾の文献，筆者の研究室のサイト（42）を参照されたい．
謝辞

本研究は，科研費基盤 B 研究の下に徳田功先生（立命館大），福田弘和先生（阪府大），関屋大雄先生（千葉大）との共同研究の一環として行われた．河村ら（38）などの流体系における時空間パターンの最近の成果について，中尾裕也先生（東工大），また Lieb の論文集（40）などの不等式に関する成果について大平徹先生（名大）に御教示頂きました．また，日頃議論頂く，唐沢好男先生（電通大），本城和彦先生（電通大），水柿義直先生（電通大），西川功先生（電通大）並びに研究室の各位に感謝致します．最後に荒巻義雄先生の御厚誼に感謝致します．
本研究の一部はテレコム先端技術研究支援センター SCAT 研究費助成を受けて行われた．

（注 14）：Gardner（41）によると，planet of inequality.

IEICE Fundamentals Review Vol.9 No.3

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（38） Y. Kawamura and N. Hiroya, “Phase description ofoscillatory convection with a spatially translationalmode,” Physica D, vol.295–296, pp.11–29, 2015.
（39） 岡田純一, “心電図の数理,” 応用数理, vol.22, no.4, pp.238–
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（40） E. H. Lieb, Inequalities: Selecta of Elliott H. Lieb.,
Springer-Verlag, Berlin, 2002.
（41） R. J. Gardner, “The Brunn-Minkowski inequality,” B.
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（42） http://synchro4.ee.uec.ac.jp/（43） 田中久陽，“注入同期の物理限界,” 応用数理, vol.24, no.3,
pp.7–13, 2014.

田中久陽（正員：シニア会員）
1990 早大・電気卒．1992 同大学院理工学研究科
修士課程了．1995 同大学院理工学研究科博士後期課程了．博士 (工学)．同年から, 日本学術振興会特別研究員 (PD)．1996 カリフォルニア大バークレー校客員研究員．1997 ソニーコンピューターサイエン
ス研究所研究員．2001 電通大大学院電気通信学研究科助教授 (現在, 情報理工学研究科准教授)，現在に至る．情報通信システム，非線形物理等の分野横断的領域の研究に従事．
本会通信ソサイエティのアドホックネットワーク研究専門委員会幹事，基礎・境界ソサイエティ庶務幹事，複雑コミュニケーションサイエンス研究専門委員会発起人，同副委員長などを務める．2015 本会 NOLTAソサイ
エティ功労賞, 2006，2007，2009 第 22 回電気通信普及財団賞 (テレコムシステム技術賞), 第 23 回, 第 25 回電気通信普及財団賞 (テレコムシ
ステム奨励賞) 各受賞．著書に「非線形ダイナミクスとカオス 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで」（中尾裕也，千葉逸人と共訳,

2015）等がある．

（NLP 研究会提案，平成 27 年 10 月 31 日受付）

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