油圧アクティブサスペンションの乗心地向上– H∞ 出力フィードバック制御 –M2004MM033 西川 晶子
指導教員

はじめに

1

高見 勲とができるものである. 概要を図 1 に示す [2].

車の制御の中で前後 (ピッチ)・左右 (ロール) の揺れは穏やかな運転方法で小さくすることができるが, 上下 (バウンス) の揺れは自力ではどうすることもできないと感じたことから, 乗り心地を良くするということは上下振動を小さくすること (バウンス制御) が重要である. よって, 車体の振動を積極的に打ち消すアクティブサスペンションに着目した.
近年の振動制御の手法としては, 周波数整形が特徴である H∞ 制御の試みが多く行われており, 有効性も示されて

図1

いる. なかでもアクティブサスペンションに関しては, 文アクティブサスペンションの単輪等価モデル

献 [1] で H∞ 制御が試されている.

1.1

目的と課題

制御系設計

3

路面からの上下変位を外乱とみなし, 車体変位が 0 メートルを目標値として, 安定化制御器を求める. また, コントローラ設計にあたって低減する周波数帯は,ISO 規格に基づき内臓が共振する約 18.8〜50.3rad/s(3〜8Hz) とする.

3.1

モデル化

状態量を x, 外乱を w, 操作量を z とすると, 状態方程式を以下のように求められる.

その手順としてまず, アクティブサスペンションの状態

ẋ = Ax + B1 ω + B2

(1)

z = C1 x + D12 u, y = ẍ2(2)方程式を車及び油圧系の物理モデルから導出する. つぎに,求めた状態方程式から状態フィードバック制御系を構成し, これに加速度フィルタを付け加え, システム全体の閉ループ伝達関数を求める. そして, その周波数特性から特定の周波数に対して, ゲインを低下させていることをボー

状態量 x, 外乱 ω, 操作量 u, 制御量ベクトル z を次のようにした.

ド線図により確認する.

hx = x01

また, 最適レギュレータ制御を用いた制御系では目的を達成することができたが, モデル化したものと現実モデル

能を落とさずに安定を確保でき, 観測可能な状態量から推定値を求めるオブザーバの機能を持つ H∞ 出力フィードバック制御を用いることを考える. そして, パラメータ変動時のロバスト性を確認する.

3.2ẋ1ẋ2x01

qcix12iTẍ2iT(3)可制御性

可制御性とは, 任意の目標とるす状態に移すことができる操作量が, システムに存在することを言う. システムの可制御性は可制御行列のランクで判別する. 可制御行列

Vc はアクティブサスペンション

2vcih
ω = ẋ0 , u = I, z = Iとでは誤差が生じる可能性が高く, 実際に状態量が全て観測できないことも多い. そこで、今回は誤差が生じても性x12h
Vc = B2AB2

A2 B2...

A5 B2i(4)

本研究では車体の操縦安定性ではなく, 乗り心地向上を目的としているため, 四輪ではなく単輪からなるモデルをで表すことができ, このランクは 6 でフルランクである.

制御対象としている.

よって, この系は可制御であると言える.

2.1

アクティブサスペンションとは

3.3

加速度フィルタの設計

アクティブサスペンションは, 各種センサーによって走制御しやすくするために,3〜8Hz(18.8〜50.3rad/s) の行状態を把握し, 外部からエネルギーを供給し油圧によっ周波数帯でゲイン (ペナルティ) が大きい加速度フィルタてタイヤの上下運動を電子制御でコントロールすることを作用させる. これにより, 閉ループ系において特定周波により, 車体の姿勢変化がほとんどない状態で走行するこ数帯のゲインを低下させることができる. フィルタは図 2のような周波数特性を持つものを用いる.

(2) リカッチ方程式(A − B1 DT21 C2 )Q + Q(A − B1 DT21 C2 )T
1+ Q( 2 C1T C1 − C2T C2 )Q + B1 (I − DT21 D21 )BT1 = 0γを満たし, かつ A − B1 DT21 C2 + Q(13)!
1 TTCCC−C
12 2 が漸γ2 1近安定である.
図2(3)フィルタの周波数特性λmax (PQ)<γ2λmax (PQ) は PQ の最大固有値を表す.

図 2 の伝達関数を求める.

リカッチ方程式で解くための条件

3.5

11
1
1= 3.76,= 18.8,= 50.3,= 251.5
T1T2T3T4(5)

一般化プラントを求めようとすると外乱 ω は B1 から内部に入力されているため, ブロック線図から求めるコマンドが使えないことが分かった. そこで, 状態方程式を元とおく. だたし,

T 1 >T 2 , T 3 >T 4 , T 2 T 3 = T 1 T 4(6)W(s) =に求める方法を述べる.

H∞ 制御問題を解くにあたって以下の仮定を全て満たす必要がある [3].

を満たす. すると伝達関数は,

1 + T2 s 1 + T4 s·
1 + T1 s 1 + T3 s(7)となる.
この時, 入力は ẍ2 のみにしたいので, 式 (2) からその要h素を取り出す必要がある. Cw = 00 001i0 とす

ると, yw = ẍ2 = Cw y となる.
状態方程式は以下となる.

3.4(14)ẋw = WA xw + WB yw(8)ỹw = WC xw + WD yw(9)(A1) (A, B2 ) は可安定, かつ (C2 , A) は可検出である.
 hi
0
(A2) D12 =   で縦長列フルランク, かつ,D21 = 0 I
Iで横長列フルランクである.
A − jωI B2  は全ての ω に対して列フルランク(A3) C1D12 である.
A − jωI B1  は全ての ω に対して行フルランク(A4) C2D21 である.

H∞ 出力フィードバック制御制御器を u = K(s)x とすると, この系の ω から z への閉る. 仮定 (A2) は全ての制御入力が評価されること, およびループ伝達関数 Φ(s) は以下となる.

Φ(s) = (C1 + D12 K(s))(sI − (A + B2 K(s)))−1 B1

全ての測定出力に外乱が入力されていることを意味する.

(10)

これを伝達行列の演算を容易にするために以下の表記法が用いられることが多い.

 AΦ(s) =  C1C2

B1D11D21

仮定 (A1) は制御器が安定であるために必要なものであB2 
D12 D22仮定 (A3) と (A4) はリカッチ方程式を解く際に, ランク落ちしないために必要なものである.

3.5.1

等価変換

世の中の制御対象の多くは非線形システムであり, 上記の条件を満たさないものがほとんどである. 本研究のアク(11)これは,A + B2 K(s) を漸近安定にし,kΦ(s)k∞ <γ を満たす安定化制御器 K(s) を求める問題であると言える. このとき γ の値は 1 以下が良い性能を補償できる. K(s) が存在するための十分条件は, 次の条件を満たす実準正定解 P, Qが存在することである.
(1) リカッチ方程式
P(A − B2 DT12 C1 ) + (A − B2 DT12 C1 )T P
1T+ P( 2 B1 BT1 − B2 BT2 )P + C12(I − D12 DT12 )C1 = 0 (12)γ!
1を満たし, かつ A − B2 DT12 C1 + 2 B1 BT1 − B2 BT2 P が漸γ近安定である.

ティブサスペンションも (A2) と (A4) を満たしていない.
そのため満足する等価問題へ変換する必要がある.

• 仮定 (A2)
D12 は仮定を満たすが,D21 = 0 で満たさない. そこで, 仮想外乱  を用い [3], D21 =  × I6 とし, は本来の仕様に大きな影響を与えないよう十分に小さい値 10e − 6 とする. ここで, 式 (11) と照らし合せると,D21 が 6 行 6 列になったためランクを合わせる必要がある. そこで,B1 は (1, 1) 要素が 1 で残り

h iは 0 の 6 × 6 行列とし, D11 = 0 (4 × 6) とする.

• 仮定 (A4) を満たすために C2 = I6 と仮定する.
式 (11) の拡大系を Φ̂(s) とする.

H , −(QC2T + BT1 D21 )

拡大系

3.6

制御対象だけでなく重みやフィルタを使って制御器のZ , (I −設計を行うために, それぞれを合わせた系を作る. これを拡大系という.

3.6.1

(22)

1QP)−1γ2(23)とおくと, 式 (20) の係数行列はそれぞれ以下のように得ら

定数重みれた.

制御量の要素全部を抑制することを考え, 定数重み1.27 000  0000 
Wa (s) = WaD =  00 1.550 0000.05

AK = A + B2 F +11B1 BT1 P + ZH(C2 + 2 D21 BT1 P) (24)γ2γ(15)

BK = −ZH(25)CK = F(26)を用いた [1].Wa (s) の行列要素は

WaA = 0, WaB = 0, WaC = 0
1.27 000 
 0000 
WaD =  001.550 0000.05

シミュレーションとその結果

5図 3 にシミュレーションで使用するブロック線図を示 す. 本 研 究 で は シ ミ ュ レ ー シ ョ ン ソ フ ト

simulink

MATLAB[4] を用いた.

である.

ˆ と式 (15) を合わせた系はΦ(s) Â B̂1
G(s) =  Ĉ1 D̂11Ĉ2 D̂21
B̂2 

D̂12 

D̂22(16)となり, それぞれの要素は次のように得られる.
Â = A, B̂1 = B1 , B̂2 = B2 , Ĉ1 = WaD C1Ĉ2 = C2 , D̂11 = D11 , D̂12 = WaD D12
図3D̂21 = D21 , D̂22 = D22

5.13.6.2

加速度フィルタ

出力フィードバック制御系のブロック線図

外乱応答

実用性を考えてシミュレーション時間を 10 秒で行った.

乗り心地を重視するという意味で車体加速度のみに定時間と共に周波数が 18.8〜50.3rad/s(3〜8Hz) に変動す

数重み以外に式 (7) のフィルタを作用させる. 式 (7) と式る正弦波を入力. 図 4 より入力直後に大きさ 0.17〜0.33(16) を合わせた系 Ḡ(s) を作る.
 Ā B̄1Ḡ(s) =  C̄1 D̄11C̄2 D̄21に低減していることが分かる.

B̄2 
D̄12 
D̄220.4(17)0.30.2となり, 状態方程式は以下となる.

x̄˙ = Ā x̄ + B̄1 ω + B̄2 u(18)z̄ = C̄1 x̄, ȳ = C̄2 x̄

(19)

Gain(dB)0.1

0-0.1-0.2-0.3

4

ゲイン決定
-0.4
0

12345678910Time(sec)

抑制したいものは加速度フィルタを含む拡大系の制御
図 4 時間と共に周波数が変動する入力に対するシミュレーション

出力 z̄ であるので, Ā + B̄2 K(s) を漸近安定にし,kḠ(s)k∞ <γを満たす制御器を求める. γ = 0.4688 で, 制御器 K(s) は以下の状態空間表現で求めることができた.

ξ̇ = AK ξ + BK y, u = C K ξ

5.2(20)式 (12), 式 (13), 式 (14) を満足する P と Q が存在する時,

ボード線図比較

図 5 より特定の周波数帯域でゲイン特性が約 10dB から定数重みのみの系で約 10.3dB 減少, 定数重みと加速度フィルタの系で約 10.5dB 減少していることが分かる. ま

F , −(BT2 P + DT12C1 )(21)

た, 共振点付近の振動も低減されていることが分かる.

2101Acceleration(dB)

10010-110-210-310010121010310Frequency(rad/s)

図7

図 5 実線が制御前, 鎖線が定数重みのみで設計したもの, 破線が定数重みと加速度フィルタを用いて設計したもの8最適レギュレータ制御を用いた結果おわりに本研究の目的は, 乗心地向上のため体が最も不快に感じ

6る周波数帯 18.8〜50.3rad/s(3〜8Hz) の平均車体加速度特ロバスト性の確認性を抑制させることである. この手段として, この周波数制御器に対するもう一つの評価であるロバスト性について調べる. 人間 1 人の体重を 50kg から 80kg に増やし帯のみゲインが高い加速度フィルタを結合させた拡大系を構築し, それに対して H∞ 制御器を設計する.

た場合について確認する. この時, 制御器は定数重みと加ステップ入力, 正弦波入力, 周波数変動型正弦波の入力速度フィルタを用いて設計した. 結果をボード線図で比較に対して抑制効果があることが確認でき, ボード線図比較する. 図 6 より基準特性同様にゲイン特性を低減させておにより周波数領域においてゲインを低下させるという本り, その差が小さいのでロバスト性が高いといえる.

研究の目的も達成できたといえる. そして, パラメータ変動が起こった場合の安定性に対しても, 今回用いた手法は210有効であることが確認できた. また, 最適レギュレータ制御との比較を行ったが, 共振点付近の変動幅が抑制できて110Acceleration(dB)いることから, H∞ 制御器のほうが実用的で有用性もあることが分かった.

010

参考文献-110-210-310010121010310Frequency(rad/s)

図 6 破線がパラメータ変動前の基準特性, 点線がパラメータ変動後の特性

7最適レギュレータ制御との比較卒業研究で検証した最適レギュレータ制御により設計したもの [5] と図 5 を比較する. なお, 図 7 の y 軸の値は10−40 なとの指数を表している.
見て分かるとおり,H∞ 出力フィードバック制御を用いた場合は, ほとんど零の理想的な制御が出来ていると言える. また, 共振点付近もゲイン特性を低減できているので,最適レギュレータ制御よりも実用的で安定な手法であると検証できた.

[1] 川谷亮治, 山下勝司, 藤森一雄, 木村英紀: H∞ 制御理論に基づくアクティブサスペンションの制御, 計測自動制御学会論文集, Vol.27, No.5, pp.554-561 (1991).
[2] カヤバ工業株式会社:自動車のサスペンション, 山海堂(1993).
[3] 吉川恒夫, 井村純一: 現代制御理論, 昭晃堂 (1994).
[4] MATLAB/Simulink は米国 the MathWorks 社の登録商標です.
[5] 西川晶子: フィードバック制御による油圧アクティブサスペンションの乗り心地向上, 南山大学数理情報学
部数理科学科卒業論文 (2004.3).