パワー・リバース・デュアル・カレンシー債の評価とその数値計算
M2004MM009 堀田 雅文
指導教員

澤木 勝茂
で保有でき, また, 為替相場によっては固定利付債を購入

1 はじめにするよりも大きな運用収益が得られるという魅力がある．

仕組債はオプションや先物などのデリバティブが組み込

しかし, しばしば投資家にはもっと高い利回りの運用商品まれた複合的な債券である．デリバティブを債券のキャッニーズがある．リバース・デュアル・カレンシー債の特徴

シュフローに組み込むことによって, 満期期間やクーポン,を維持しながら, より高いクーポンレートをとり, 為替反償還金等を比較的自由に設定できるなど, 投資家の個別応度を高めたものがパワー・リバース・デュアル・カレンのニーズに合わせたキャッシュフローの実現を目指すこと

シー債 (以下では PRDC と表記) である．PRDC のク−ができる．つまり, オーダーメイド発行が可能となる．投ST− 10%, 0 として算
ポンレ−トは例えば max 13%・100

資家固有のポートフォリオのバランスや, 将来のクーポン定できる．ただし ST は満期時点での為替レートである．

収入に合わせて, あるいは, ポートフォリオのヘッジやアリバース・デュアル・カレンシー債のクーポンレート例

セット・アロケーション・マネジメントの観点から, 仕組と PRDC のクーポンレート例を比較したものが図 1 であ債が用いられる．近年, 仕組債への投資は, 法人はもとよる．この図の例では, 為替レートが 1 ドル 93．5 円よりもり個人の投資家にまで広がりを持つようになってきてい円安の場合はリバース・デュアル・カレンシー債よりも高る．一般の債券では金利リスクと発行体の信用リスクをい利回りを得ることができ, 逆に 93．5 円よりも円高の場負うが, 仕組債の場合にはその他のリスク（為替や株価の合はリバース・デュアル・カレンシー債よりも低い利回り変動）も負うことになる．代表的な仕組債としては, デュとなる．また, 為替レートが 1 ドル 76．9 円よりも円高

アル債や日経平均株価連動債, 他社株転換債（EB）などの場合はクーポン支払いが発生しない．これより, PRDCがある．本研究ではこのデュアル債の 1 つであるパワー・は為替リスク (円高リスク) を高める代償として, 円安メ

リバース・デュアル・カレンシー債 (PRDC) についてのリットを拡大したものに他ならないことが分かる．

評価を行なう．

3 クーポン支払いが満期において１回限りのPRDC

2 パワー・リバース・デュアル・カレンシー債£¤

この節ではクーポン支払いが満期において 1 回ある

PRDC の価格評価を行なう．
3.1 記号の定義
各記号の定義を以下で与える．

図1

クーポンレート例

元本の払い込み, 利払い, 償還などが単一の通貨で行われるのではなく, 異なる通貨で行われる債券のことを二重通貨債あるいはデュアル・カレンシー債という．リバース・デュアル・カレンシー債はこの二重通貨債の 1 つで,払い込みと償還を円建てで行い, 利払いを外貨建てで行うタイプのものである．つまり, 元本の通貨と利払いの通貨

St：時刻 t での為替レート (単位：円/ドル)
rd：国内のリスクフリーレート
rf ：対象となる外国のリスクフリーレート
σ：ボラティリティ
F ：PRDC の額面価格
g：初期に設定する為替レート (単位：円/ドル)
α：クーポンレートの決定定数 (為替部分の係数) < 1
β：クーポンレートの決定定数 (クーポン発生因数)
<α<1
T ：満期
V (St , t)：PRDC の価値
3.2 評価モデルの定式化
以下の仮定の下での PRDC の価格評価を行なう．

が異なり, 利払いの部分だけ為替リスクを負うものである．外貨での受け取り利息を支払い時点の為替レートで円

仮定 1

残存期間中に繰り上げ償還がないものとする

転するものとみなせば, リバース・デュアル・カレンシー

仮定 2

満期での償還金は為替の変動による影響を受けな債は為替レートに連動した変動利付債である．リバース・
デュアル・カレンシー債は, 元本は円建てであるので薄価い円価によるもので, 元本 F を保証する
仮定 3 クーポン支払いは満期においての 1 回のみとする

仮定 4

また, 為替レートのプロセスは (1) 式に従うものとする.

為替レートに連動した円価でクーポン
hi(max α・SgT − β, 0 ・F ) を受け取る

以上の仮定より, この債券の満期 T でのペイオフは以下で与えられる．

また, 為替レ−トのプロセス {St : t ≥ 0} がdSt= (rd − rf )dt + σdWt
St(1)以上の仮定より, この債券の満期 T でのペイオフは以下で与えられる．

¸STmax α・ − β, 0 ・F + Fg
したがって, 期首から期末までの途中のペイオフはないので, 期首 0 でのこの債券の価格は上記のペイオフをリスク中立測度において期待値をとり, 国内のリスクフリーレートで割り引いたものである．したがって,¸¸··ST−rd T
V (S0 , 0) = e
Ep max α− β, 0 ・F + Fgである. ただし, Ep はリスク中立確率 p の下での期待値.

3.3

評価式

評価式は以下のように表現できる．導出方法は [2], [3]を参照.

αS0 F e−rf T Φ(h1 ) − βe−rd T F Φ(h2 ) + e−rd T Fg(2)µ µ¶ µ¶ ¶αS0
1 21log+ rd − rf + σ T (3)h1 = √βg
2
σ Tµ µ¶ µ¶ ¶1
αS01 2h2 = √log+ rd − rf − σ T (4)
βg
2
σ T

V (S0 , 0) =4 クーポン支払いが満期においての 1 回限りのトリガー付 PRDC(ルックバックタイプ)
この節ではクーポン支払いが満期において 1 回あるトリガー付 PRDC の価格評価を行なう．PRDC の残存期
間中において, 為替レートがトリガーを越えるとクーポン支払いが行なわれないモデルを考える．この節では記号 gを, トリガーとなる初期に設定する為替レート (単位：円/ドル) と再定義し, g > S0 の制約を課す.

4.1

評価モデルの定式化

以下の仮定の下での PRDC の価格評価を行なう．
仮定 1
仮定 2

残存期間中に繰り上げ償還がないものとする
償還金は為替の変動による影響を受けない円価によるもので, 元本 F を保証する

仮定 3
仮定 4

したがって, 期首から期末までの途中のペイオフはないので, 期首 0 でのこの債券の価格は上記のペイオフをリスク中立測度において期待値をとり, 国内利子率で割り引いたものである．よって,·−rd T

V (S0 , 0) = eEp¸¸ST− β, 0 F 1(ŜT ≤g) + F
max αg·である. ただし, Ep はリスク中立測度の下での期待値．
4.2 評価式
評価式は以下のように表現できる．導出には同時分布を用いた [1], [2], [4].

αS0 F (Φ(d1 ) − Φ(d3 ))gf)µ ¶ 2(rd −r+1σ2g−rf T α−eS0 F(Φ(d2 ) − Φ(d4 ))gS0V (S0 , 0) = e−rd T F + e−rf T− e−rd T βF (Φ(d5 ) − Φ(d7 ))f)µ ¶ 2(rd −r−1σ2g−rd T−eβF(Φ(d6 ) − Φ(d8 )) (5)S0µµ¶ ¶1gσ2
d1 = √log− rd − rf +T(6)S02σ Tµµ¶ ¶S01σ2log
d2 = √− rd − rf +T(7)g2σ Tµµ¶ ¶βgσ21log− rd − rf +T(8)d3 = √αS02σ Tµµ¶ ¶1βS0σ2d4 = √log
− rd − rf +T(9)αg2σ Tµµ¶ ¶1gσ2d5 = √log
− rd − rf −T(10)S02σ Tµµ¶ ¶1S0σ2d6 = √log
− rd − rf −T(11)g2σ Tµµ¶ ¶βg
σ21log− rd − rf −T(12)d7 = √αS02σ Tµ¶ ¶µ1
σ2βS0d8 = √− rd − rf −T(13)logαg2σ T

5 クーポン支払いが満期においての 1 回限りのトリガー付 PRDC(参照日判定タイプ)
この節ではクーポン支払いが満期において 1 回あるトクーポン支払は満期においての 1 回のみとする

リガー付 PRDC の価格評価を行なう．為替参照日におい残存期間中に為替レートがある一定の水準よりもて, 為替レートがトリガーを越えるとクーポン支払いが行円安になった場合, クーポンは支払われない
仮定 5

ただし, ŜT = max St である．
0≤t≤Tで与えられるものとする [5].

·¸·STmax α・ − β, 0 ・F 1(ŜT ≤g) + Fg

為替レートの最大値が g 以下ならば,円価でクーポン (max[α・SgT − β, 0]・F ) を受け取るなわれないモデルを考える．この節では記号 g を, トリガーとなる初期に設定する為替レート (単位：円/ドル) と再定義する.

5.1

また, 為替レートのプロセスは (1) 式に従うものとする.

評価モデルの定式化

以下の仮定の下での PRDC の価格評価を行なう．
仮定 1

残存期間中に繰り上げ償還がないものとする

仮定 2

償還金は為替の変動による影響を受けない円価によるもので, 元本 F を保証する

仮定 3

クーポン支払は満期においての 1 回のみとする

仮定 4

為替参照日において為替レートがある一定の水準よりも円安になった場合, クーポンは支払われない

仮定 5

為替参照日とクーポン支払い日は同じ日とする

仮定 6

為替参照日において為替レートが g 以下ならば,円価でクーポン (max[α・SgT − β, 0]・F ) を受け取る

また, 為替レートのプロセスは (1) 式に従うものとする.
以上の仮定より, この債券の満期 T でのペイオフは以下で与えられる．

·¸ST
max α・ − β, 0 ・F 1(ST ≤g) + Fg

で, 期首 0 でのこの債券の価格は上記のペイオフをリスク中立測度において期待値をとり, 国内利子率で割り引いたものである．よって,

V0 = e··¸¸STEp max α− β, 0 F 1(ST ≤g) + Fgである. ただし, Ep はリスク中立測度の下での期待値．

5.2

レートで割り引いた現在価値を足しあわせたものとして計算できる．したがって,¸¸··StV (S0 , 0) = e−rd tc Ep max α c − β, 0 ・Fg¸¸··ST+ e−rd T Ep max α− β, 0 ・F + Fgである. ただし, Ep はリスク中立確率 p の下での期待値．
6.2 評価式
評価式は以下のように表現できる．

したがって, 期首から期末までの途中のペイオフはないの−rd T

PRDC は, 元資産が株価であるタイプのオプションとは異なり, クーポン支払いによる元資産 (為替レート) の値に対する影響は無い．したがって以上の仮定より, 期首0 でのこの債券の価格は各時点でのキャッシュフローをリ
スク中立測度において期待値をとり, 国内のリスクフリー評価式

評価式は以下のように表現できる．

¡¢αV (S0 , 0) = S0 F e−rf tc Φ(h3 ) + e−rf T Φ(h1 )g¡ −r tc¢d−β eF Φ(h4 ) + e−rd T F Φ(h2 ) + e−rd T F(15)µ µ¶ µ¶ ¶1αS01
h3 = √log+ rd − rf + σ 2 tc (16)βg
2σ tc
¶ µ¶ ¶µ µ1
1αS0
h4 = √+ rd − rf − σ 2 tc (17)log
βg2σ tc

7 クーポン支払いが複数回 (2 回) あるトリガー付 PRDC(参照日判定タイプ)
この節では, クーポンを残存期間中のクーポン支払い日

αF S0 (Φ(d1 ) − Φ(d3 ))g− e−rd T βF (Φ(d5 ) − Φ(d7 )) + e−rd T F

V (S0 , 0) = e−rf Tに１回, そして満期においてクーポンと元本を受け取るトリガー付 PRDC の価格評価を行なう．為替参照日におい(14)て, 為替レートがトリガーを越えるとクーポン支払いが行なわれないモデルを考える．この節では記号 g を, トリ6 クーポン支払いが複数回 (2 回) ある PRDC
この節では, クーポンを残存期間中のクーポン支払い日に１回, そして満期においてクーポンと元本を受け取る

PRDC の価格評価を行なう. また, 記号 tc をクーポン支払い日と定義し, tc < T の制約を課す.

6.1

評価モデルの定式化

以下の仮定の下での PRDC の価格評価を行なう．
仮定 1
仮定 2ガーとなる初期に設定する為替レート (単位：円/ドル) と再定義する.

7.1 評価モデルの定式化
以下の仮定の下での PRDC の価格評価を行なう．
仮定 1

残存期間中に繰り上げ償還がないものとする

仮定 2

満期での償還金は為替の変動による影響を受けない円価によるもので, 元本 F を保証する

仮定 3 クーポン支払いは残存期間中の利払い日に１回と満期においてと合計 2 回あるものとする

残存期間中に繰り上げ償還がないものとする
満期での償還金は為替の変動による影響を受けな

仮定 4 為替参照日において為替レートがある一定の水準よりも円安になった場合, クーポンは支払われないい円価によるもので, 元本 F を保証する
仮定 3

クーポン支払いは残存期間中の利払い日に１回と満期においてと合計 2 回あるものとする

仮定 4

為替参照日とクーポン支払い日は同じ日とする

仮定 6

為替参照日において為替レートがgi 以下ならば,hS

円価でクーポン (max α・ gtc − β, 0 ・ F ) を受けクーポン支払い日に為替レートに連動した円価でihクーポン (max仮定 5仮定 5Sα・ gtc − β, 0 ・F ) を受け取る

満期に為替レートに連動した円価でクーポン
hi(maxα・SgT − β, 0 ・F ) を受け取る

取る
仮定 7

満期において為替レートがhig 以下ならば, 円価でクーポン (max α・SgT − β, 0 ・F ) を受け取る

また, 為替レートのプロセスは (1) 式に従うものとする.

V以上の仮定より, 期首 0 でのこの債券の価格は各時点でのキャッシュフローをリスク中立測度において期待値をとり, 国内のリスクフリーレートで割り引いた現在価値を足しあわせたものとして計算できる．したがって,

¸··
¸S tc
V (S0 , 0) = e
Ep max α− β, 0 ・F 1(Stc ≤g)g··¸¸ST−rd T+e
Ep max α− β, 0 ・F 1(ST ≤g) + F
g−rd tcである. ただし, Ep はリスク中立測度の下での期待値．

7.2

S0
図 2 現時点での為替レート変化による PRDCとトリガー付 PRDC の価値の変化度合の比較

評価式

評価式は以下のように表現できる.

V (S0 , 0)α= F S0 e−rf T (Φ(d1 ) − Φ(d3 ))g¡¢α+ F S0 e−rf tc Φ(d¯1 ) − Φ(d¯3 )g− βF e−rd T (Φ(d5 ) − Φ(d7 ))¡¢− βF e−rd tc Φ(d¯5 ) − Φ(d¯7 ) + e−rd T F(18)µ¶ ¶µ21σgd¯1 = √− rd − rf +tc(19)log
S02σ tcµµ¶ ¶1βgσ2d¯3 = √log
− rd − rf +tc (20)αS02σ tcµµ¶ ¶1gσ2d¯5 = √log
− rd − rf −tc(21)S02σ tcµ¶ ¶µσ21βg− rd − rf −tc (22)d¯7 = √log
αS02σ tc

8 おわりにVS0

図 3 現時点での為替レート変化によるクーポン
2 回の PRDC とトリガー付 PRDC の価値の変化度合の比較に, クーポン支払いが 1 回のものと 2 回あるものを比べると, 2 回あるものの方が価値は当然高くなっている．また,評価式の性質もほぼ同じものが得られた．そして, それぞれの PRDC においての価値の下限は, クーポン部分を除いた, 元本部分を国内利子率で割り引いたもので共通と本研究では, 様々なタイプの PRDC の価格の評価をなっている．以上のことから, それぞれの PRDC におい行なった．これらそれぞれに同じパラメータを用いて比て妥当な評価式を求めることができたと思われる．今後較したのが図 2, 図 3 である．ただし, 図 2 の汎例のの課題としては, 早期償還型のトリガー付 PRDC や, ト

REF-PRDC は参照日判定タイプのトリガー付 PRDCを表わし, LB-PRDC はルックバックタイプのトリガー付 PRDC を表わすものとする．また, 図 3 の汎例の 2PRDC はクーポン支払いが 2 回ある PRDC を表わし,
2-REF-PRDC はクーポン支払いが 2 回ある参照日判定タイプのトリガー付 PRDC を表わすものとする．なお、
価値 V を縦軸, 現時点でのレート S0 を横軸にとった．
これらの数値例より, PRDC よりも参照日判定タイプのトリガー付 PRDC の方が価値 V は低く, 参照日判定タイプのトリガー付 PRDC よりもルックバックタイプのトリガー付 PRDC の方が価値 V が低くなっている．これは,PRDC に比べ, 参照日判定タイプのトリガー付 PRDC の方が, トリガーの存在によりクーポン支払いの有無に関わる条件が円安部分において厳しくなっていることと, 参照
日判定タイプのトリガー付 PRDC に比べ, ルックバックタイプのトリガー付 PRDC の方がトリガーの有効範囲が広いため, クーポン支払いの有無に関わる条件が円安部分リガーが時間に依存して変動するトリガー付 PRDC の評においてより厳しくなっていることから説明できる．次価が挙げられる.

参考文献[1] Conze. A, Viswanathan. S , “Path Dependent Options : The Case of Lookback Options”, Journal ofFinance,46.5,1893-1907,1991[2] Cox. D. R. and Miller. H. D. , The Theoryof Stochastic Processes, Chap-man &Hall, London(1965).
[3] Cox, J. C. and Rubinstein, M. , “Option Pricing :A Simplified Approach”, Journal of Financial Ecnomics, 7, 229-263, 1979[4] ドージェ・ブローディ, 現代ファイナンス数理, 日本評論社 (2000).
[5] 森平爽一朗, 小島裕, コンピュテ−ショナル・ファイナンス, 朝倉書店 (1997).