電力系統工学ゼミ
章末問題解答集

システム設計研究室 平成 25 年度 4 年一同

作成日： 2013 年 5 月 28 日

電力系統工学ゼミ

2

電力系統と三相回路の基礎

2.1

担当：稲福 大実効値 35kV の電圧が加わっている．この抵抗に加えら時間を t[sec]，角周波数を ω[deg/sec] とするとき，単相回れる複素電力および皮相電力を求めよ．

2.2

担当：シヨウ シサイ
インピーダンスが 5+j3Ω の負荷の端子間に周波数 50Hz，路の電源端子において，端子間電圧 v = 14.1 sin(ωt)[kV],
電流 i = 28.2 sin(ωt + 15◦ )[A] であった．有効電力およ[解答]
複素電力 Ṡ はび無効電力の実効値を求めよ．

Ṡ = |V̇ |2 |Ẏ |∗ = |V̇ |2 |1/Ż|∗()∗
1= 35 × 35 ×= 180 + j108[M]
5 + j3[解答]˙ は，電圧の実効値 |V̇ |，電流の実効値 |I|
Vm
14.1 × 10|V̇ | = √ == 10[kV]
1.422Im28.2 × 103
˙ =√|I|== 20[A]1.42
23(2.1)

皮相電力 |Ṡ| は(2.2)|Ṡ| =となり，有効電力 P および無効電力 Q は，となる．

˙ cos θ = 10 × (20) cos 15◦
P = |V̇ ||I|= 193[kW](2.3)

˙ sin θ = 10 × (20) sin 15◦
Q = |V̇ ||I|= 51.8[kvar](2.4)となる．

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(2.5)

2√√
P 2 + Q2 = 1802 + 1082 = 210[MVA](2.6)

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2.3担当：守 恒典

2.4担当：叶 開線間電圧 300kV の母線が受電している三相電力は有効

ベース電圧 100kV，ベース容量 100MVA を選ぶとき，電力 60MW，遅れの無効電力 15Mvar である．母線のベース電流，ベースインピーダンスの値を求めよ．

相電圧を基準として，線電流を求めよ．

[解答]
ベース電圧 Vb は，[解答]
相電圧の大きさ |V̇a | は，|V̇ab ||V̇a | = √3Vb = 100 × 103 [V](2.7)

ベース容量 Sb は，Sb = 100 × 106 [VA]

1 相あたりの複素電力 Ṡ1 は，
Ṡ1 =P + jQ
3Ib =Ṡ ∗(P − jQ)/3I˙a = 1 =|V̇a ||V̇a |(60 × 106 − j15 × 106 )/3√=300 × 103 / 3

100 × 106
Sb== 1000[A]Vb
100 × 103(2.12)

ベースインピーダンス Zb は，

Zb =となる．

(2.9)となる．

システム設計研究室 平成 25 年度 4 年一同(2.11)

ベース電流 Ib は，(2.8)

これより線電流 I˙a は，= 115 − j29 [A](2.10)

3Vb
Vb 2(100 × 103 )2=== 100[Ω]Ib
Sb
100 × 106(2.13)

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2.5

担当：ENKHTUVSHIN MUNKHBAYASGALAN

2.6

担当：大野 正夫

ベース値として，問題 2.5 のベースを選ぶとき，線間電

線間電圧 60kV の負荷の 1 相のインピーダンスは

圧 V =250[kV]，線電流 I=3.5[kA]，1 相のインピーダŻ = 30 + j10[Ω]である．この負荷に供給される三相の有効電力，無効電

ンス Z=1.25+j45.7 [Ω] の pu 値を求めよ.

力および皮相電力を求めよ．

[解答]
既知のものとして，ベース電圧 Vb =100 [kV] とベース容量
Sb =100 [MVA] がある. すると，ベース電流 Ib とベースイン
ピーダンス Zb がすぐに分かる.

Ib =

Sb
100 × 106 [VA]== 1[kA]
Vb
100 × 103 [V]Vb
100 × 103 [V]Zb === 100[Ω]Ib
1 × 103 [A][解答]
相電圧の大きさは，式 (2.30) (教科書 p.21) : |V˙ab | = |V˙bc | =√˙|Vca | = 2|Vp | cos 30◦ = 3 |Vp | より，60|Vp | = √ = 34.6 [kV]3(2.14)と求まる．

(2.15)
相電流の実効値は，式 (2.20) を用いて，相電圧の大きさ Vp は250[kV]
250[kV]Vp = √== 144.34[kV]
1.732
3(2.20)|Ip | =
(2.16)

|Vp |
34.6
=√
= 1.10 [kA]|Ż|302 + 102(2.21)と求まる．

これらの値を使って、pu 値をそれぞれ求める. 線間電圧

Vpu 、電流 Ipu 、インピーダンス Zpu は
Vpu =

Vp
144.34[kV]== 1.44[pu]Vb
100[kV]I
3.5[kA]Ipu === 3.5[pu]
Ib
1[kA]

Zpu =

相電流の位相角は，()( )Im(ż)
10
ϕ = tan−1= tan−1= 18.43◦
Re(ż)
30(2.17)(2.22)

であり，相電圧より 18.43◦ 遅れている．

(2.18)式 (2.20)，(2.21)，(2.22) を用いて，1 相の有効電力および無効電力を求めると，以下のようになる．

Z
1.25 + j45.7[Ω]== 0.0125 + j0.457[pu]Zb100[Ω](2.19)

P1ϕ = |Vp ||Ip | cos ϕ = 34.6 × 1.10 × cos 18.43◦= 36.0 [MW]となる．

(2.23)

Q1ϕ = |Vp ||Ip | sin ϕ= 34.6 × 1.10 × sin 18.43◦= 12.0 [Mvar]
˙ | = |Vp ||Ip ||S1ϕ(2.24)= 34.6 × 1.10= 38.1 [MVA](2.25)

よって，負荷に供給される有効電力 P3ϕ [W]，無効電力 Q3ϕ [var]˙ |[VA] はそれぞれ，および皮相電力 |S3ϕ

P3ϕ = 3P1ϕ = 108 [MW]Q3ϕ = 3Q1ϕ = 36.0 [Mvar]
˙ | = 3|S1ϕ
˙ |= 114 [MVA]|S3ϕと求まる．

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4電力系統工学ゼミ

2.7

担当：福原 拓弥となる．なお単位の大きさが問題で設定されていないため, 単

図 1 に与えられた回路の両端部の２個のアドミタンス位は省略する．

を除いた部分を ∆ 回路に変換することにより, 全回路を１個の ∆ 結線の回路に書き改めた場合のインピーダンス値と２個のアドミタンス値を求めよ．

図 1: Y 結線を含む回路[解答]Y-∆ 変換はアドミタンスで考えた方が容易なので図のように各素子を置き, 変換を行う．
Ẏ2 Ẏ1Ẏ1 + Ẏ2 + Ẏ3Ẏ2 Ẏ1Ẏ13 =Ẏ1 + Ẏ2 + Ẏ3Ẏ2 Ẏ1Ẏ23 =Ẏ1 + Ẏ2 + Ẏ3Ẏ12 =(2.26)(2.27)(2.28)と変換でき、Ẏ1 = Ẏ2 = Ż2 なので Ẏ13 = Ẏ23 となる．ここで

図 2: ∆ 結線を含む回路両端部の２個のアドミタンスを考える．並列接続においてアドミタンスは和になり， Ẏ4 = Ẏ5 , Ẏ13 = Ẏ23 なので二つのアドミタンス値 Y1 , Y2 は等しく, Y と表せ,Ẏ = Ẏ13 + Ẏ4(2.29)となる．
以上の式に値を代入して整理すると, インピーダンス値 Z は()Ż Ẏ
1= 1+Ż =Ż
(2.30)
12Ẏ12２個のアドミタンス値 Y は()
1 1 + Ż18Ẏ
Ẏ =Ẏ
2 1 + Ż Ẏ

(2.31)

12

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5電力系統工学ゼミ

2.8

担当：市川 貴章

2.9

担当：大関 濯三相送電線の一相のインピーダンスは問題 (8) において，基準値として線間電圧 150kV，三相Żp = 15 + j30 [Ω]である．送電端の三相電力は，容量 100MVA を選び，受電端の三相電力と線間電圧のpu 値を求めよ．

Ṡ = 120 + j30 [−]線間電圧は 150kV である。受電端の三相電力と線間電圧を求めよ．

[解答]
まず, 与えられたベース値から基準インピーダンス Zb を求める．

[解答]
Zb =一相について考える．基準位相として送電端の相電圧を選

2Vb,l−lVb== 225 [Ω]Ib
Sb,3ϕ(2.40)

ぶものとする．

150V̇s = √ = 86.6∠0◦ [kV]3

ベース値を用いて送電端電圧，三相電力，一層分のインピー(2.32)

ダンスを変換すると
150


= 1.0∠0◦ [pu]
V̇
= 150

 s,l−l= 1.2 + j0.3 [pu]Ṡ3ϕ = 120+j30100
Ż = 15+j30 = 0.067 + j0.133 [pu]送電端の一相あたりの電力はṠ1ϕ =120 + j30= 40 + j10 [−]3(2.33)pとなる．V̇s I˙∗ = Ṡ1ϕ から，V̇s I˙∗ = 40 + j10225

求めたこれらの pu 値を用いて，問題 (8) 同様ある一相について解く．

(2.34)なのでI˙ = 0.46 − j0.12 [kA]

(2.41)

Ṡ = V̇ I˙∗ から
S1ϕS3ϕI˙∗ ==√= 0.693 + j0.173
Vs3Vs,l−l(2.35)となる．受電端の電圧は V̇s から電圧降下 ∆V̇1ϕ を引いた値に(2.42)よって電流は，等しいので，

I˙ = 0.693 − j0.173 [pu]V̇r = V̇s − I˙Żp(2.43)となる．

= 86.6 − (0.46 − j0.12)(15 + j30)
受電端電圧は送電端の電圧から電圧降下を考慮した値であ= 76.1 − j12.0= 77.0∠ − 9.0◦ [kV]るから

(2.36)

V̇r = V̇s − I˙Żp = 0.508 − j0.081となり，受電端の線間電圧の大きさは√77.0 3 = 133.4 [kV]となり，受電端側の線間電圧の大きさは√| V̇r,l−l |=| V̇r | × 3 = 0.891 [pu](2.37)となる．

(2.44)(2.45)となる．
次に，受電端側の一相分の電力はまた，受電端相の複素電力はṠr,1ϕ = V̇r I˙∗ = 0.366 + j0.032

Ṡr = V̇r I˙r∗ = (76.1 − j12.0)(0.46 + j0.12)= 36.4 + j3.6 [−]であるから、求める三相電力(2.38)

Ṡr,3ϕ = 3 × Ṡr,1ϕ = 1.098 + j0.096 [pu]なので，三相電力は

P = 109.2 [MW] Q = 10.8 [Mvar](2.46)(2.47)

を得る．

(2.39)

求めた受電端電力と電圧の pu 値にベース値を掛けるとそれぞれとなる．

V̇

r,l−l = 0.891 × 150 = 134 [kV]Ṡr,3ϕ = (1.098 + j0.96) × 100 = 109.8 + j9.6 [MVA](2.48)
これは，問題 (8) で求めた kV 値,MVA 値に一致する．
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6電力系統工学ゼミ

5潮流計算

5.1

担当：河野 大器Ẏ13 = Y14 = Y31 = Y41 = 0Ẏ22 =1 図 3 に示す 4 ノード系統のノードアドミタンス行列⃝を求めよ.

+ j0.05 + j0.05 = 6.79 − j130.9

2 ノード 2 は浮遊ノードである. 浮遊ノードの条件であ⃝
1 のノードアドるノード 2 の注入電流 I2 = 0 を用いて,⃝ミタンス行列からノード 2 を消去せよ.
1 のノードアドミタンス行列を Y˙1 ,⃝2 のノードアド
注：⃝
ミタンス行列を Y˙2 とすれば, 以下の関係式が成り立つ.

  I˙1V̇1˙  
I2 V̇2   = Ẏ1  I˙ V̇  3
 3
˙I4V̇41
1
1++j0.01 0.01 + j0.05 0.02 + j0.08

  I˙1V̇1˙  I3  = Ẏ2  V̇3 I˙4V̇4

Ẏ23 = Y32 = −1= −3.85 + j19.20.01 + j0.05

Ẏ24 = Y42 = −1
= −2.94 + j11.8
0.02 + j0.08

Ẏ33 =11++ j0.05 + j0.1
0.01 + j0.05 0.02 + j0.1

= 5.77 − j28.7
Ẏ34 = Y43 = −Ẏ44 =⇴∞⇯‣1= −1.92 + j9.62
0.02 + j0.1

1
1++ j0.05 + j0.1
0.02 + j0.08 0.02 + j0.1

= 4.86 − j21.2
j0.01

よって
⇴∞⇯‥

⇴∞⇯․


−j100
 j100
Ẏ =  0
00.01+j0.05
j0.06
j0.05

j0.05

0.02+j0.08

0−3.85 + j19.2−3.85 + j19.2 5.77 − j28.7
j100−1.92 + j9.62

0−2.94 + j11.8
−1.92 + j9.62
4.86 − j21.22⃝j0.05I˙2 = Ẏ21 V̇1 + Ẏ22 V˙2 + Ẏ23 V˙3 + Ẏ24 V˙4 = 00.02+j0.1

より

j0.1

j0.06

j100
6.79 − j130.9

1V˙2 = −(Ẏ21 V˙1 + Ẏ23 V˙3 + Ẏ24 V˙4 )
Ẏ22

⇴∞⇯…

これを代入すると()
Ẏ23 Ẏ12Ẏ13 −V˙2Ẏ22)(Ẏ24 Ẏ12V˙4+ Ẏ14 −Ẏ22()()
Ẏ21 Ẏ32Ẏ23 Ẏ32˙˙
I3 = Ẏ31 −V1 + Ẏ33 −V˙2Ẏ22Ẏ22()
Ẏ24 Ẏ32+ Ẏ34 −V˙4Ẏ22)()(Ẏ23 Ẏ42Ẏ21 Ẏ42˙˙
V1 + Ẏ43 −V˙2I4 = Ẏ41 −Ẏ22Ẏ22()
Ẏ24 Ẏ42+ Ẏ44 −V˙4Ẏ22

図 3: 4 ノード系統

I˙1 =[解答] ノード 1 とノード 2 の間の線路インピーダンス z12が j0.01, j0.1 のそれぞれにおいて計算する. まず,z12 =j0.01の場合について計算する.
1 ノードアドミタンス行列 Ẏ の各要素を計算すると次の⃝ようになる.

Ẏ11 =

1= −j100
j0.01

Ẏ12 = −1= j100
j0.01

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7Ẏ21 Ẏ12Ẏ11 −Ẏ22)(V˙1 +電力系統工学ゼミ

よってリスト 1
Ẏ12Ẏ23 Ẏ12Ẏ24 Ẏ12Ẏ11 − Ẏ21Ẏ
−Ẏ
−1314Ẏ22Ẏ22Ẏ22 Ẏ21 Ẏ32
Ẏ23 Ẏ32
Ẏ24 Ẏ32 
Ẏ2 = Ẏ
−Ẏ
−Ẏ
−
3133
34

Ẏ22Ẏ22
Ẏ22 
Ẏ23 Ẏ42
Ẏ24 Ẏ42
Ẏ42
Ẏ41 − Ẏ21Ẏ
−Ẏ
−
4344
Ẏ22Ẏ22Ẏ22

3.95 − j23.80 −2.17 + j14.80 −1.78 + j9.08= −2.17 + j14.80 4.78 − j25.93 −2.61 + j11.29
−1.78 + j9.08 −2.61 + j11.29 4.39 − j20.21次に,z12 = j0.1 の場合を計算してみる.
1⃝−j10.0 j10.0Ẏ =  00j10.0
6.8 − j40.9−3.85 + j19.2−2.94 + j11.8

12345


0−2.94 + j11.8
−1.92 + j9.62
4.86 − j21.2

7%各ブランチの対地容量アドミタンス

8

x23=0.05i;
x24=0.05i;
x34=0.1i;

101112%ノードアドミタンス行列の各要素

13

Y11=1/z12;
Y12=-1/z12;
Y13=0;

14
2
⃝

15



0.395 − j7.62−0.156 + j4.73−0.235 + j2.92

3.65 − j19.7−3.50 + j15.1

Ẏ2 = −0.156 + j4.73

 16−0.235 + j2.92
 17−3.50 + j15.1 18
3.73 − j17.9以上の計算は MATLAB で行った.m ファイルの内容を以下に示す.

z23=0.01+0.05i;z24=0.02+0.08i;
z34=0.02+0.1i;

690−3.85 + j19.2
5.77 − j28.7−1.92 + j9.62%各ブランチの線路インピーダンス
z12=0.01i;

1920
21
22
23
24
25
26
27
28

Y14=Y13;
Y21=Y12;
Y22=1/z12+1/z23+1/z24+x23+x24;
Y23=-1/z23;
Y24=-1/z24;
Y31=Y13;
Y32=Y23;
Y33=1/z23+1/z34+x23+x34;
Y34=-1/z34;
Y41=Y14;
Y42=Y24;
Y43=Y34;Y44=1/z24+1/z34+x24+x34;

29
30

Y1=[Y11 Y12 Y13 Y14;31

Y21 Y22 Y23 Y24;
Y31 Y32 Y33 Y34;
Y41 Y42 Y43 Y44;]

32
33
34
35

% のノードアドミタンス行列

36

Y2=[(Y11-Y21*Y12/Y22) (Y13-Y23*Y12/Y22)(Y14-Y24*Y12/Y22);(Y31-Y21*Y32/Y22) (Y33-Y23*Y32/Y22)

37
38
39

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40(Y34-Y24*Y32/Y22);(Y41-Y21*Y42/Y22) (Y43-Y23*Y42/Y22)

41(Y44-Y24*Y42/Y22)]8電力系統工学ゼミ

5.2

担当：菅原 幸平
図 3 に示す 4 ノード系統のノード 1 には発電機が, ノード３とノード４には負荷がつながれている。発電機の出力を 1.0 [pu], ノード４の負荷を 0.7 [pu] としたとき,各ブランチに流れる有効電力を直流法潮流計算により求めよ。なお, 図には直流法潮流計算で考慮しないデータも含まれるので, それらについては無視すること。

[解答] 直流法潮流計算をするにあたって図 3 を図 4 のように考える。

図 4: 直流法潮流計算
電圧を未知数として, ノード１，ノード２，ノード４でキルヒホッフの法則を用いて式を立てると以下のように表される。

2• ノード１: 1.0 = 0−V
0.1

V2 −V3V2 −V42• ノード２: 0−V
0.1 = 0.05 + 0.08−V42 −V4• ノード３: 0.7 = V0.08+ V30.1

この連立方程式を解くと V2 , V3 , V4 は以下のように求まる。
 V2 = −0.1 [pu]

V3V4= −0.1239 [pu]= −0.1417 [pu](5.1)

これらを用いて I12 , I23 , I24 , I34 を求めると以下のように求まる。

0 − (−0.1)= 1 [pu]
0.1−0.1 − (−0.1239)
I23 == 0.478 [pu]0.05
−0.1 − (−0.1417)= 0.52125 [pu]
I24 =
0.08
−0.1239 − (−0.1417)
I34 == 0.178 [pu]
0.1
I12 =

(5.2)
(5.3)
(5.4)
(5.5)

ちなみに図 3 においてノード 1, ノード 2 間のインピーダンスを j0.01 とした場合でも (5.2)〜(5.5) 式の結果は等しくなる。

システム設計研究室 平成 25 年度 4 年一同9