JOUKKALOr

NIJMBER

THEORY40, 146.-164(1992)

Grandes dtjviations
pour certaines
fonctions arithmktiques
M. BALAZARD
CeReMaB.

Universik
de Bordeaux,351 Cour.r de la Lib&ration,
F-33405 Talence Cider, France

J.-L. NICOLAS
Mathkatiques,
69622

UniversitP
Villeurbanne.

Claude Bernard,
FranceC. POMERANCE*
Department

q/ Mafhematics,
Athens. Georgia

Universityof Georgia,
30602, U.S.A.

ET
G.
Maihtkatiques,
8. P. 239, 54506

TENENBAUM
Universite de Nancy I,
Vandwvre
les Nancy, France

CommunicatedReceived

Decemberby H. Zassenhaus

8, 1987; revised

December

20, 1990

Althoughthe mean value of the number-of-divisors
functionr(n) for n <.Y
is log x, there are actually only very few n < x with r(n) > log x. Let S(x) denotethe numberof n <.u with r(n) > log x. Partiallysolvinga problemof Steinig,
Nortonhas shown that there are positive constantsc,, c2 with c, < R(x) cc2
for
all
large
x,
where
R(x) = x~‘S(x)(logx)’ (loglog x)Ii7_
and
where
6 = 1 - (1 + loglog 2)/lag 2. In this paper we show that R(x) does not tend to alimit as x -+ co. Instead we have R(.x) - CK( { (loglog x)/log 2}) where { ) denotes
the fractionalpart, C is an explicit, computable
constant,
and K is an explicit,
computablefunction on [0, l[ which is continuous
but for countably
many jump
discontinuities.
This result is obtained
as a corollary
to a more general theorem
which deals with the distributionof integers for which a multiplicative
function g(n)“resembling”
r(n) is far from its normal value. The case where g(n) is the numberof square free divisors of n was previously
handled by Delange.
0 1992 Academic
Press, Inc.

* Researchsupportedin partby an NSF

grant.

1460022-314X/92$3.00

CopyrIght CI 1992 by Academic Press, Inc
All rights of reproductmn
in any form reserved

147

CERTAINES FONCTIONS ARITHMBTIQUES

I. INTRODUCTION
Si n est un entier positif, notons r(n) le nombre des diviseurs de n. 11 est
bien connu depuis Hardy et Ramanujan que la valeur moyenneu’~~~~t(n)=logx+O(l)
-.

pour

x22,

(1)

ne reflete pas l’ordre de grandeur normal de la fonction r(n), qui vautlog2+0(1)(cf. [ 3, paragraphe 22.131). Dans ce contexte, Steinig a(log n)pose le probleme d’tvaluer la quantite
S(x) = Card(n <x: T(H) > log x}.
Une reponse partielle
I’estimationa ite fournie par Norton

(2)

[S],

sous forme des(x)Xx(logx)~~(log,x)-“2(3)

oti l’on a pose
6 = 1 - (1 + log, 2)/lag 2 = 0,08607... .

(4)

Ici et dans la suite, nous notons log, la k-i&me ittree de la fonction
logarithme.
Dbignons
respectivement par Q(n) et w(n) le nombre de facteurs
premiers de l’entier n comptts avec ou sans leur ordre de multiplicite.
L’evaluation(3) est obtenue dans [S] comme sous-produit d’intgalitts
gentrales concernant la quantitt
N(x, 2; g) =si ;1>1
si A61,Card{nQx: g(n)>llog,x}Card{n<x:g(n)<Ilog,x}(5)

oh g est une fonction additive a valeurs entieres telle que 0 d g(n) <Q(n).
L’encadrement classique20’“) < z(n) < p(n)implique

pour

n>l,

(6)

en effet
N(x, l/log 2; 0) d S(x) < N(x, l/log 2; 9).

(7)

On dispose m&me, en fait, de formules asymptotiques pour N(x, A; g)lorsque g = w ou g = Q. Le cas A= 1 + o( 1) entre dans le cadre d’application du celebre thtoreme d’Erdos-Kac (cf. [l, chapitre 12]), utilement
complete par un resultat de Kubilius (cf. [4, theoreme 9.21). Le cas

148

BALAZARDET AL.

I,?- 11$ 1, qui nous intiresse plus particulierement
ici, correspondgrandes deviations.
Erdiis et Nicolas
reproduisentdans [2]demonstrationde Delange fournissant l’approximation; ,“gz\; 41 + o;.(mg*N(.u, i; o) =(log x)Q’;, JG(oti .( } designe la partie fractionnaire)
avec

F(A)=

.y))

aux
une

(8)

valable pour chaque A fixe, A # I.

(9)&+(l+$T)(l-$)iP

etQ(;l)=AlogI.-A+

1.

(10)

Pour dtduire (8) de la proposition 3 de [a], on observe d’abord que leterme d’erreur O(l/log, x) qui y figure est en fait uniforme en a si
1 < CI, < cr< t12< + CO, ou CI, et CI? sont fixes. On definit ensuite CI par
CIlog, x = - 1 - [-A log, x]. Les conditionso(n) 2 1 log, x et w(n) <A log, x equivalent respectivementa o(n) > c1log, x (qui est entier) et
w(n) Q 01log, x; enfin la formule de Taylor donne:

Q(a) = Q(j.)-

1- (-;llog,xj
log, xlog~+Q((log:x)2).

Sous la condition supplementaire
0 < A< 2, le rlsultat
s’etend sansdifficulte a la fonction SZ-le facteur F(L) devant Ctre remplace dans laformule correspondanteparF*(l)=&q(l-$)l(*-;)i.

En reportant darts (7), on obtient un encadrement de S(x) relativement
plus precis que celui de Norton,
mais pas d’iquivalence
asymptotique,puisque F*(l) # F(A) pour tout A # 1. Designons respectivement par I et I’les limites inferieure et superieure de S(x)/(x(logx)-~ (log, x))I’*).
On
obtient en particulier lorsque A = l/log 2:

I’ < ;;:A1) t13’* N 1,80.

CERTAINESFONCTIONSARITHMkTIQUES149

La mtthode utilisee par Delange pour etablir (8) nest pas facilementtransposable a une large classe de fonctions arithmetiques. Elle repose, en
effet, sur l’emploi de la formule de Cauchy(oti r> 1, k= r1 log, xl, r 1 designant le plafond: TV] = min{n E Z:n 2 y } = - C-y]) et utilise done, de man&e essentielle, le fait que g est
a valeurs entieres.
Pour chaque fonction arithmetique reelle A dtfinissons N(x, A; f) commedans (5) et posons fo(n) = (log t(n))/(log 2). La methode de Delange est
inadequate pour &valuer N(x, 1; f,,) car f0 nest pas a valeurs entieres. 11 est
egalement inefficace de recourir a l’inttgrale de Perron:(11)
Elle affecte dun coefficient l/2 les entiers n < x pour lesquels&(n) = jl log, x, et I’on peut montrer facilement que cela implique une
erreur systematique qui nest pas o(N(x, A; fO)). Nous pouvons cependant
tirer avantage du fait que fO(p) est constant en utilisant la decomposition
n=qd,

ou ,u designe la fonction
l’ensemble((qvd) = 1, dd*

de Mobius= 1, x(4 = 1)

et x la fonction caracttristique

S:= {d: p)d=p*)d}.

(12)

de
(13)

On a alorsfcdn) = Mn) + PC&)

pour

n>l,

oti la fonction p,, ainsi delinie est telle que p,(p) = 0 pour tout p. Lesbonnes proprittes de croissance et de regularite de la suite des elements de
S permettent alors une evaluation satisfaisante de la distribution conjointede o et de p0 qui fournit a son tour, apres re-sommation, une formule
asymptotique pour N(x, 1; fO).
En vue d’applications ulterieures, nous enoncons nos resultats dans un
cadre assez general.
Soit W la classe des fonctions rtelles additives p telles que p(p) = 0 pour
tout p premier. Pour toute fonction p de 9 nous dtfinissons l’ensemble
E(p)= (a>O: 3cr<l, ~p~V~2ap(pv)p~y0<+co}, et nous posons:m(p) = inf E(p),WP) = sup E(p).

I.50

BALAZARDET AL.

En considkrant stparkment les termes de la somme double selon le signede p(p’), on montre facilement que E(p) est un intervalle. D’autre part,
1 E E(p) done m(p) d 1 < M(p).
Nous dkfmissons Cgalement, pour toute valeur du paramitre positif 2,
une fonction multiplicative/I -’h(n; i) := n 1 +;!
PI= (et le produit eulkriende sorte que l’on aF(l) = H(n) +f y
d= 1

I”“%(d;A).

(14)

Une fonction p Ctant supposte fix&e dans 9, nous dksignons respectivement par F*(ll; y), F * (A; y), le membre de droite de (14) lorsque lasommation en d est soumise A la condition suppltmentairep(d) 2 y, ou
P(d) < Y.
Nous obtenons les rksultats suivants.
TH~OR~~ME

1. Soit p E9? et a, b, A des Gels &r$ant:m(p)<aBl

A>O.

db<M(p),On a u@ormPment pour x 2 3, 1 d k d A log, x et y E R:

Card{n<x:=-o(n)=ket p(n)> yj

x (log* x)&- ’log x (k- l)! (F* (&$i

.Y)
(15)

Card{n<x:o(n)=ket p(n)< y)=- x (log* xy-1
logx(k-l)!
+O A.&P(1 +a-‘)-’
log, x>>151

CERTAINES FONCTIONS ARITHMkTIQUESTHBORBME 2. Soit p une fonction de W et f la fonction additive difinie
par f(n) = w(n) + p(n) pour n >, 1.
Pour tous lo, I, tels que 1 <A, < A, <M(p) (resp. m(p) < A0-c 1, < 1) ona uniformkment pour x >, 3, 2, < 1< I,,wJ;f)=,~-l(x(1+o(m& x))

H(A)(log x)Q@)JG(17)

oti l’on a posP
K(d)

:=

A0 +f

icy

h(d;

k)

~CfW)

+ I-

(0<8<

01

1).

(18)

d=l

La constante implicite dans le symbole 0 dkpend au plus de &,, A, et p,

Lorsque f est a valeurs entieres, la serie (18) se met sous forme deproduit eulerien. Le thtoreme 2 permet ainsi de retrouver (8).
COROLLAIRE.

On a

S(x)= CK1%- xx(1+ O(w%, xl)(1 log 2 I)(log XY &G

(19)

avec
c

=

H(Wg

21

l-log2

1%

I-- 7%

2

N

378

o

’

forsque K est la fonction dkfinie par (18) pour f(d) = (log r(d))/(log(20)2), etA= l/log 2.
Nous terminons ce paragraphe par quelques remarques concernant lafonction K definie par (18). Supposons A> 1 (les conclusions dans le cas
A -=z1 sont analogues). Pour tout d fixe dans S, la fonction

est continue et strictement croissante sur chacun des intervalles [0, {p(d) >]et ](p(d)j, I[. En 6= {p(d)), il y a une discontinuite a droite: la fonction
prend la valeur 11f(d)+ ’ et la limite a droite vaut ,&f(d)< AfCd)+‘. Notons U
l’ensemble des parties fractionnaires {p(d)}, d decrivant S. La convergencenormale de la strie K(8) et la remarque qui precede impliquent que1”) K est continue en tout point de [0, 1 [ \U,2”) En tout point 8 E U, K est continue a gauche mais discontinue adroite, avec K( 8 + ) < K( t3);3”) K est strictement croissante dans tout intervalle [u, v] c [O, 1]
tel que [u, v[ c [0, l[\U.

152

BALAZARD

On a I’encadrement

ETAL.

suivant, pour 0 < 6’ < 1:Dans le cas du corollaire (f=fb et E.= l/log 2), ces co&antes d’encadrement valent approximativement
2,28 et 3,29 et cela donne I>O,86 et1’~ 1,24. On peut dtmontrer a partir de 1”) 2”) et 3”) que
inf K(B)=jrtK(B+)
O<B<l

et

sup K(@=sup K(B)O<t?<lBEU

mais nous laissons ce raisonnement au lecteur. La determination explicite
de ces bornes parait diffkile en general; cependant, le second auteur pense
pouvoir ttablir ailleurs que I= CK(O+ ) N 0,93 et que 1’ = C&O) z 1,15
(cf., M. Deleglise, These, Universite C. Bernard (Lyon l), 1991).

II. CINQ LEMMES

Nous regroupons dans ce paragraphe les rtsultats auxiliaires servant a lademonstration des theoremes 1 et 2.
Si Res>l
et zEC, on pose:

I(s)z=n(lPq+zp-‘+g!+~+. ..)(1 -p-J)-’P

LEMME 1. Soit F(s, z) = C,“=, a,(n) n-.’ une sPrie de Dirichlet dkpendantdu parambtre complexe z. On suppose que les conditions suivantes sontrkaliskespour IzI < A:(i)les d&i&es d’ordre < 3 + [ lz[] de la sPrie de Dirichlet
G(s, z) = c(s)-‘F(s,z) = fb,(n) KSn=lsont absolument convergentes en s = 1 et
nt, lb=(n)/ (log 3n)[izi1+3 n-l d B,(ii)

la fonction y(z) = G( 1, z)/T(z + 1) v&rifie
Ir”(z)l d D,

CERTAINES(iii)

la fonction

a,(n)FONCTIONS

153

ARITHMiiTIQUES

est, pour chaque n > 1, developpable en serie

entierea,(n) = 2cJn) zk.

k=O

Alors on a untformement pour 1 Q k < A log, x
1

ck(n)

n i .x=--x (log* x)k- l
logx(k-l)!
D(k - 1)

+ *A

(21)

(log, x)’ +Demonstration.
11 s’agit essentiellement d’un resultat classique deSelberg (cf. [6] et, pour une version detaillee, [7, chapitres II.5 et 11.61).
LEMME
2. Soit g une fonction
multiplicativecomplexe telle que
C,+==“, Ig(n)] converge. Alors, pour toute fonction p E 9 et tout nombre reelY, on af s(n)= f x(d)g(d)n (I+ g(p)).

fl=lP(H) > Yd=lp(d) 2 J

Pld

Demonstration.
Chaque entier positif n s’ecrit de facon unique sousn=qd,
oii Ip(=x(d)=
1 et (q, d)= 1 (on a q=nplln p et
d=n pVI,n,v~2 P”). Comme P ~9, on a p(n)=p(q)+p(d) =p(d).
Par

forme

consequent, la serie de l’enonct peut encore s’ecrire“F, s(n) = dFlPC”;>yp(d)>?

x(4 g(d)

1
g>l

(4.4

Ad*

g(q).

= 1

L’hypothese de convergence absolue de la serie C g(n) implique que lasomme interieure vaut &,d (1 + g(p)). Cela acheve la demonstration.
LEMME
3. Soient p une fonction de 9 et a, 6, n, K des nombres reels 3 1
tels que ci6 % r] < M(p). II existe alors o. = ao(n, p) E ] l/2, 1[ tel que I’on ait,
untformement pour y E R:
ooKW(d)ap(d)Grc*tl,p(1 + P-1.

p(dpd)dDemonstration.

Comme r~E E(p), choisissons rro E ] l/2, 1 [ tel que:

ccs
p

v32

P(P")p--voo<

+ co.

154

BALAZARDETAL.

On a, pour tout rtel J’:

En associant cette majoration avec celle qui correspond au choix 6 = 1,
on obtient la borne min (1, 6 - “) < (1 + 6 -“)-I, d’oti le rksultat annonck.
LEMME

4. Soient v et p des rtels positifs. On a:l/2(1 Fp)-lCv~'/2e-~Q(o"si p<l;e-u~<(2n)-"2(~--1)~l~li2v-112e~"Q(1')(22)
si p> 1.

(23)

m2pcv
Dkmonstration.

Voir [S, (lemmes (4.5) et (4.7))].

5. On a uniformkment pour tous nombres rPels r, y, t tels que
et -lgt<l:

LEMME

r31

F*(r + t; y) = F*(r; y) + O( ItI F(r(r;y))avec
F(r; y) =y(r + 2)“(d’.

d=lp(d) 2 r

DPmonstration. Comme
F*(A; y) = H(A)f

(X(d)/d) A”‘d’h(d; A),

d=l,p(d)>.v

le thCtorbme des accroissements finis montre qu’il sufit de virifier que, pourr-l<l<r+l
et dal:A (H(A) Awcd’h(d;A)) = O((r + 2)“‘d’).

155

CERTAINES FONCTIONS ARITHMbTIQUES

Cela rtsulte des faits suivants:
H(L) et H’(1) sont born&es uniformement
w(d)(rpour i 3 0,(24)

+ 1 )w(d)p ’ < (r + 2)“(d) pour r > 1 et d entier 2 1,

(25)

(26)

pour 13 r - 1 et d entier > 1.
Pour demontrer(24) on observe que si I > 0:nlog(l-p~‘)+log(l+ll/j7)b-L/p+@=0

done on a pour tout p,O<(l-p-‘)“(l+il/p)<let
0 <H(l)< l/r(n + 1)

En calculant la dtrivee logarithmiquer’(n + 1)

H’(~)=fm)- r(A+l)((2 2 0).

de H(A), on obtient:l%W)f&

+I

3

P (

)J

done
I-(2+
w'(n)lGI

r(1+1)2

1)
I+&cj&p.
P

Nous laissons (25) et (26) a verifier par le lecteur.
III.

DEMONSTRATIONDU TH~OR~ME

1

Nous nous contenterons d’etablir (15) (la demonstration
similaire). Avec les notations du lemme 1, la quantite
Card{nQx:o(n)=kde (16) est

et p(n)>,y}n’est autre que xnSx ck(rz) lorsque F(s, z) = C,“= ,, p(nJa )‘ ~~‘~)rr pS. Vtrilions
maintenant les hypotheses (i) et (ii) de ce lemme.
Pour tous nombres complexes z et s tels que Re s > 1, appliquons lelemme 2 a cp(n) = z”(“)n pS. Nous obtenons:

156

BALAZARD

ET AL

Oil

Gd(.s, z) := x(d) zw(d)d-s n (1 - p --y)zAd
x n (1 -p-“)‘(lPldoti Pd(m; z) est la fonction multiplicative
l-t

f

v=l

+zp-“)de m dkfinie par:(1 -w)=

si pld~l-w~;~l+zw~

si P14Bd(f;Z)WY=

pour tout nombre complexe w tel que (WI < 1
Sipld, on a donefid(J7”;Z)=(-l)V

=
0V

(27)

Si p / d, on a Bd(p; z) = 0 et, par la formule de Cauchy:

Lorsque IzI Q A, la fonction w + (1 -w)’
cercle (WI = (1 + E) ~ I. Par constquent:l~d(P”;

z)i

@,4,e

t1

(1 + zw) est O,,,( 1) sur le

(28)

+ 6)’

pour p premier, p j d, v > 2, IzI d A et EE 10, l[.
Avec les notations du lemme 1. on aG(s, z) =fd=l
P(d) z .L

X(d) zWcd’ *,f, P&F

Z)(md)-”

CERTAINESFONCTIONS

157

ARITHMbTIQUES

de sorte quebz(n)=P(d)>.Vcdin
11 now faut majorer:B=<f Ib,(n)((logn=lf3n)C’=“+3K-I

X(d)lzpd’d=lp(d) a Jf

Ij?Jm; z)l(log 3md)[‘=“+3(md)-1.

m=l

Dtsignons par B, la somme en m, et posons
Hd(s, z) := f Ifid(m; z)((3md)-“.
m=l
On a

Sous les conditions

IzI <A, Re saa,>

4, (27) permet d’tcrire:et (28) avec E= 0,4 implique:od X(A) est une quantiti: positive ne dbpendant que de A.
64.40’2-3

158

BALAZARD

Ces majorations

ET AL.

conduisent done a:pour IzI <A, Res>a,>$et GJ> I.
La formule de Cauchy nous donne alors (toujours avec k = 3 + [ Izl]):
B,=3k!
<

H,(s, z)(s- l)-k-’

&
I

ds

J~s--l~=l--u~A,aod-uoY(A)“‘(d’.

Par consequent:B<fX(d)lzl”‘J’B,

d=lo(d) > ><A,co fX(d) d-““(AY(A))“‘d’.

d=lp(d) > .L’

11 dtcoule done du lemme 3 avec tc= 1, 6 = q = b, ti = A Y(A) (on peut
supposer A 2 1) que l’on peut choisir r~,, de sorte que l’hypothbe (i) dulemme 1 soit verifiee avec
B4 A,b,p (1 + by)-‘.

Posons maintenant
YdlZ)

=

Gd(1,

z)/&

+

I),

Dd=

sup IY:(z)l.
I=1<A

On a, pour IzI <A + 1:
Iyd(z)l GA y
~

x(4
A d

(A + l)w’d)~m:,Z(Apd’oli@d(m; z)l m-lZ(A)=(A+l)

d’oti Dd4A (X(d)/d) Z(A)“‘d’ par la formule de Cauchy.
Le lemme 3 avec CI= 1, 6 = v = b et K = Z(A), impliquereel y:c D,%,,,,
Ad, > v

(1 +b”-’

Y(A+l)

alors pour tout

159

CERTAINES FONCTIONS ARITHMBTIQUES

desorte que l’hypothese(ii) du lemme
1 est veritiee
A,6.0
(1
+
b”)-‘.
La
conclusion
de
ce
lemme
impliquebien (15).
D@

IV. DEMONSTRATION

avec

DU TH~OR~~ME 2

Nous ttablissons (17) dans le cas A> 1. Le cas i < 1 se traite de man&e
similaire.
Pour simplifier I’ecriture, nous posons 5 = log, x, 8 = (At) et N= [At].
Nous avons:N(x,A;f)=1
n< I

f(n,rx1=y&=Icn c .r

1 = s1+ s, + s,w(n)=kp(n)>1;-k

oti les Si correspondent aux domaines de sommation respectifs k < N - T,
Ik - NI < T, k > N + T, T etant un parametre arbitraire tendant vers l’infini
avec 5, T d t112.
Nous majorons d’abord S1 et S3. On a:

Pour majorer cette derniere quantite, nous appliquons la relation (8),qui est en fait uniforme en 1 sur tout compact de 10, 1 [ u ] 1, + cc [. On a:Q(n-{@I 5-‘+=Q(l,+(Tt-‘-

T5-‘1{At} 5~1)logA+O(T25~2)

done:(log x)Q(z- ial<-‘+ 7-c-l)= ,iQ(dl~T-{nQeo(r2;-‘)et:S3-%.i, xe -Q’“‘t(

-

112~
-T,

uniformement pour ~23, O<T<<“*et l<&,<I<A,<+co.
Supposons maintenantque 1~ A d ,I, < M(p). En prenant$(A1 + M(p)), l’assertion (15) du theoreme 1 implique:
S,<

2
k<N-T

xe-:5k’(k-l)!

(29)b = A, =160

BALAZARDET AL.

car k<N-T
entraine k<A[$;(lc.
fournit l’estimation
F*(rDe plus. si O<r<E.,,

1 .v)=H(r)C
x(d)I’(d) > ?’ cl<;,.,,

2;’(YEr”‘(d’ll(le lemme 3

d; r)

R)

en choisissant a = 1, S = q = iZ et K = 2,.
Par consequent:

Soit u = il, t et ,u d&i

par:

On a:

done C!(P) = Q(V&) - (T/i20

log(l/A,)+ 0(1/t)etexpbQ(A) =exp ~5log T -ng + &r - TIO~~+t

Ainsi, par l’intgalitt

0

o(n,)
-

.
>

(22) du lemme 4,s, -+ a,.p-ye--tQ’i’< - ‘I2 exp( - T(log R2- log 2)).
I1 reste a evaluer S,. D’aprb

le theoreme 1, on a:

car k G N + T entraine k d (2, + T/t) 5 < A,{ si x est assez grand.
La contribution des termes restes est:

En employant les inegalites (22) et (23) du lemme 4, comme dans lademonstration de la majoration (30), on obtient que cette contribution est:

CERTAINESFONCTIONS

Pour traiter le terme principal
At - 0 + h et nous utilisons:de Sz, nous posons k - 1 = N+ h =rk--l-c L p=,-QW(271~~)-V2

’

A-h+0

(k-l)!

Pour dtmontrer

161

ARITHMhTIQUES(1+0(y)).

(32)

cela, on utilise la formule de Stirling sous la forme

lo&k-l)!=(k-$logk-k+log&+O(kpl)
puis l’approximation
obtenirlog( 1 + t) = t + O(t’)(pourt voisinlog k = log(@) + log

L’haluation(32) en dtcoule par un calcul simple.
D’autre part, le lemme 5 nous fournit l’approximation:

En multipliant

cette dernikre relation par (32), on obtient:A-“+0=e -Q(“)t((2n~5)-‘/2-

Le terme principal

F*(l;At -k)de S, vaut done:xe -Q(i)C(2nlr)~l/210(C,+0(5~1~~)+o(~~l~l))F*(,$

A{ -k)de 0) pour

162

BALAZARDET AL.

oti 1’011a posk:

l),c,= c E.“F*(i.;H-hlllfII~7I,=l)F*(I.;e-h-l),~-“(l+lhl)~((n;e-h-1,.
clh+llGrI,=
Rappelons

2 “(h”+

c

I/r+ II < T

que:
F*(i;

I’)=

f
y(j(;l),d=lP(d) 2 I

Od

Par consiquent:

=

d;,

x4=

?dtA)

5
d=l

/zp

I)

-

pldl-I(1-~--1)-l

-c
4

ydtn)

La premiere somme de (33) se rCCcrit:on obtient done bien le terme principal

annonct

dans (17).

(33)

CERTAINES FONCTIONS ARITHtiTIQUES

163

Pour majorer
x4, observons que si p(d)< T, les conditions
h > 8 -p(d) - 1 et (h + 1) > T entrainent h > T- 1. I1 en resulte que:Ap’d’+f Yd(A)k7c, %.l, dg,Yd(A)
d=l

~(4

> T

ou l’on a applique le lemme 3 avec ~1= A, 6 = 1,/A, q = A2 et li = I,.
D’autre part,12 -c,=d$l r,(n)

c

h2Uh

lh+ II ~2 Th,B-p(d)-1Or

oti A,=(1 +1,y2.
Cela implique:et une manipulation
identique montre que la m&me majoration est valable
pour X3.
En regroupant les estimations obtenues, on en diduit le resultat
annonct, quitte a choisir par exemple T = r1j2.
En conclusion, les auteurs tiennent a remercier Jean-Pierre Massias pourles calculs numeriques du paragraphe I et l’arbitre pour de nombreusesameliorations du texte original.

REFERENCES
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New York, 1979.
2. P. ERD& ET J.-L. NICOLAS, Sur la fonction: Nombre de facteurs premiers de n. L’,%s.
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164

BALAZARDET AL.

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4. J. KLJBILIUS, Probabilistic
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Vol. 11, Providence.
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Elie Cartan
13, Nancy, 1990.
3. G. H.