せん断抵抗角(φp)を用いた斜面の安定計算式の誘導とその適用性（その２）1214207

菅野健

はじめに2011 年 3 月 11 日に発生した東北地方太平洋沖地震などの大規模地震やその余震に伴い，地すべりや盛土の滑動崩落など多くの斜面災害が発生した。地すべりを含む斜面の地震動に対する危険度評価に関して，数値解析法や極限平衡法に基づく震度法を適用した安定解析法が用いられている。震度法を適用した地すべりの耐震安定性に関する近年の研究として，たとえば森脇寛(2011)1)などの研究がある。これらの解析上の課題の一つとして，すべり面強度(c,φ)の設定が挙げられている。安定計算に用いるすべり面強度(c,φ)の設定には，土質試験あるいは c-φ 逆算法などを適用しているが，その設定に苦慮しているのが実情である。
本研究では，クーロンの破壊規準に準拠した垂直応力(σ)とせん断応力(τ)の関係から求まる、せん断抵抗角(φp)
を用いた常時・地震時安定計算法(φp 法)を提案 2)している。φp 法は、c,φ を用いない安定計算法で、その適用範囲は逆算法を適用した安定計算法に用いることが出来る。今年度は、平成 25 年度卒業論文 3)で検討した平均せん断抵抗角法(φpver 法)に引き続き，スライスごとのせん断抵抗角(φpi)を用いる φpi 法の計算式の誘導とその適用性について検討した。
１． 研究目的
スライスのせん断抵抗角(φpi)を用いた安定計算法の誘導とその適用性に関する検討
表-1

２． せん断抵抗角(φp)法の主な研究課題① せん断抵抗角(φp)用いた常時・地震時安定計算式の確立

検討年度

従来法

平成25年度

平成27年度

平成28年度以降

解析手法

c-φ法

φpver 法の展開

φｐi法の展開―

すべり面強度及びすべり面強さ係数c,φφpverφｐi―

すべり面の強さ（τ）

τ=c+σ・tanφ（クーロン則）

τ=σ・tanφpver

τi=σi・tanφpi――② すべり面強さ係数としてのせん断抵抗角(φp)逆算手法の確立③ せん断抵抗角(φp)用いたすべり面強度(c,φ)への変換法の確立

すべり面強度の求め方

本研究の研究計画を，表-１に示す。今年度は，せん断抵抗角(φpi)法による安定計算式の展開とせん断抵抗角(φpi）の逆検討を行った。

主な課題と解決方法

キーワード：極限平衡法、安定計算、せん断強さ、震度法
No.1‐27(千葉研究室)

φｐi逆算法―①常時平均φp法①常時φｐi法―②地震時②地震時平均φp法 ②地震時φｐi法―
す べ り 面 強 度 の逆 平均φｐの逆算にお φpiの逆算に用い 事例解析に算に関して多くのマ い て 用 い る Fs の 仮 るFsiの仮定よるc- φ法
ニュアルで示されて 定→ c- φ 法 か ら 求 を順 計 算しいる。
→ c- φ 法 の ① 法、 めら れる スライス た φ pver
①C=H法
②法に準拠
ご と の 安 全 率 法 、 φｐ i法
H= 移 動 層厚 max②（Fsi）を採用の整合性のFsの仮定
検証

せん
断τp3
応力
τp2o1τp1τc)示す。せん断抵抗角(φp)とは、垂直応力(σ)と関連付けて原点 o 点からクーロンの破壊規準に交差する線と横軸の角度を表す。

―

φpver 逆算法

震度法
海洋型
（野田、上部式）
直下型（黒田、鳥居式）

o σp1

図-1

震度法
海洋型
（野田、上部式）
直下型（黒田、鳥居式）

特性値分析

s(τ)=σtanφo3

φo2(

５．せん断抵抗角(φp)法による常時・地震時安定計算式および φp 逆算式の誘導
図-1 にク－ロンの破壊基準とせん断抵抗角(φp)の関係を―②c-φ逆算法

震度法
海洋型（野田、上部式）
直下型（黒田、鳥居式）

４．研究から得られる主な成果
・せん断抵抗角(φp)を用いた c,φ を用いない斜 面の常時・地震時安定計算手法の提案(φpver 法、φpi 法)
・せん断抵抗角(φp)から粘着力(c)，内部摩擦角(φ)の変換手法の提案

①土質試験
①常時

安定計算式

３．研究計画算手法，およびせん断抵抗角(φpi)からの c，φ への変換手法のφp 法に関する研究計画

φp3
φp1 φp2σp2
σp3
垂直応力(σ)

垂直応力(σ)とせん断応力(τ)の関係図

5.1 c-φ 法による安定計算式とすべり面強度逆算式
土の強さ(τ)は，クーロンの破壊基準に基づき粘着力(c)，内部摩擦角(φ)を用いて，式(1)で示される。

    tan  c------------- (1)
ここで，σ は，すべり面底面に垂直に作用する垂直応力である。式(2)に分割(スライス)法による Fellenius 式(1927)を示す（簡便法とも呼ばれている）。

 w cos   u l   tan  'c' lFs  w sin  nniiii iii--------------------- (2)niiiFellenius の式を地震時の安定計算式で示すと式(3)となる。

 w cos  u l  ks  w sin    tan  'c' l Fse  w sin   ks  w cos   nniiii iiiii-------------- (3)niiiii

ここで，α は，地震波の入力角度である。入力角度は，地震慣性力が最も大きくなる角度として，水平方向(α =0)から入波するものとして検討している。また，安定計算に用いる地震係数(ks)は，最大加速度(αs)を重力加速度(g)で除することにより，式(4)で求められる。地震係数(ks）の設定には，海洋型タイプとして，野田らの式 3)などがある。なお，本研究で用いる地震係数(ks)は，耐震設計で用いている設計水平震度係数(kh)とは区別する。

αks  sｇ---------------- (4)5.2 せん断抵抗角(φp）法による安定計算式とすべり面強さ逆算式の誘導
φp 法は，クーロンの破壊基準に準拠したせん断抵抗角(φp)を用いる手法である。せん断抵抗角(φp)を用いた土の強さ(s)は，式(5)で与えられる。
-------------- (5)s p     tan  pすなわち，c-φ 法の土の強さ(scφ)と φp 法の土の強さ(sφp)は，対象となるブロックの垂直応力(σ)と関連づけて式(6)のように表される。
すなわちs c .   s p  tan   c   tan  p--------------- (6)

せん断抵抗角(φp)をスライス法に適用すると解析上の安定計算式は，平均せん断抵抗角(φpver)を用いた計算式と垂直応力(σ)に関連付けたせん断抵抗角(φpi)用いた計算式がある。
5.2.1 平均せん断抵抗角を用いた安定計算式（φpver 法）と φpver の逆算法(平成 25 年度卒論)2)
式(7)に常時安定計算式，式(8)に φpver の逆算式を示す。

 w cos   u l  tan  w sin  nFs iiii inii

(7)tan  p ver i w cos  u l Fs  i wi sin inpVerniii(8)i i

せん断抵抗角(φpver)は，ブロック全体の安全率(Fs)を仮定することで，求めることができる。式(9)に地震時安定計算式，式(10)に地震時 φpver の逆算式を示す。

 w cos  u l  ks  w sin    tan  w sin ＋ks  w cos   
nFse iiii iiiniiii

Fs  i wi sin  i  ks  wi cos i   np Ver(9)itan  p ver  w cos  u l  ks  w sin   niiii ii(10)iφpver から c，φ を変換する場合，粘着力(c)を仮定して内部摩擦角(φ)を求めると式(11)が得られる。また，内部摩擦角(φ)を仮定して粘着力(c)を求めると式(12)が得られる。
tan   tan  p ver c'(11)

c   ' tan  p ver  tan (12)

ここで，σ’ は，式(13)で示され，各スライスのすべり面に作用する単位垂直応力で，スライスの抵抗力成分をすべり面長(li)で除することにより求められる。

 '  wi cosi  uili  ks  wi cosi   / li ----------------------- (13)5.2.2 せん断抵抗角(φpi)を用いた安定計算式（φpi 法）と φpi の逆算法（平成 27 年度卒論）
式(14)に常時安定計算式，式(15)に φpi の逆算式を示す。

 w coos   u l  tan   w sin  iiii ipi(14)nii Fs w sin   w cos  u l nn

FFs tant pi iiiiniiii(15)i i

各スライスの各の安全率(Fsi)を仮定する)ことで，各ススライスのせせん断抵抗角((φpi)を求めるることができる。ここで，φpi法ででは、各スラライスの安全全率(Fsi)を設定定する必要ががある。この各スライスのの安全率(Fsii))は，逆計算の結果 c-φ 法で法求めたすべり面面強度(ｃ,φ)かから求めた安安全率(Fsi)をを用いることにより，各ススライスのせせん断抵抗角(φpi)を求める
るこができる。式
式(16)に地震時安定計算式
式，式(17)に 地震時 φpi の逆算式を示すのす。とが w cos  u l  ks  w sin    tan   w sin  ＋ks  w cos   nFse iiiii ii

pi

niiii

 Fsse w sin  kss  w cos    w cos  u l  kks  w sin   n(16)tann  p ver iiiniiiiiii iii

(17)

i

φpi から c,φ を変換する場
場合，粘着力力(c)を仮定しして内部摩擦角角(φ)を求める
ると式(18)がが得られる。ままた，内部摩摩擦角((φ)を仮定してて粘着力(c)をを求めると式式(19)が得られれる。
nc tan i   i  tan  pi  'i ci  i tanpip  tan
n(18)

(19)

（ks)の設定
６．
．震度法に用用いる最大加加速度(PGA)とと地震係数（最大加速度(P最PGA)の設定は，防災科学学技術研究所
所の K-NET，KIK
K-net（強震観観測網），大大学（例えばば東北工業大 学：アレー強強震観観測網）などどから抽出すする。また，地地震係数(ks))の設定は，海海4)洋型型タイプは野野田・上部のの式 ，直下型型タイプは鳥鳥居・黒田の式式5)などを用いてなて設定することができる。
．Excel(VBAA)を活用した
た φp 法によるる安定計算シ ステム
７．
φp 法の安定定計算は，EXXCEL の VBA
A（Visual Bassic forAppplications）をを活用して，φpi 法，φpverr 法，c-φ 法をを一連計算算ができる。スプレッド
ドシートを，図-2 に示す。
。計算
シスステムは，ユユーザーフォォームを活用して箇所名ななどの基本本データ，ススライス座標データを効率率よく入力でできる。
またた，計算結果果も，印刷フフォームにより一覧表で出出力される仕様となっっている。

図-2 φp 法のスプレ ッドシート(西西山研究員作成成)図-3

福島
島県いわき市上上釜戸地すべり断面図．φp 法の整合合性検証（2011.04.11
1，東日本太平平洋沖地震の余余震で被災）
８．
6)
福島県いわき福き市上釜戸地地すべり を事例にをc-φ
表-2 上釜釜戸地すべり 計算結果一覧
覧表
法を順計算としして φp 法(φpi 法，φpver 法)の比較計算計算手法
φ法
c-φ 法
φ i法（単位）行った。上釜
釜戸地すべりは 2011 年 3 月 11 日にを行
φ ic、 φφ(° ）発生
生した東北地地方太平洋沖沖地震の 1 ヶ月後，4 月 ・ す べ り 面 強 度 係 数 ( φ p i , φ p ） 2 5 . 9 6 ～ 7 6 . 4 027.29
11 日の福島県浜浜通り地震でで発生した。計算断面図 ・ 算 定 す べ り 面 抵 抗 力 （ Σ τ ）36219.05
36216.53
36212.29(kN/m )
を表-2 に示すす。すべり抵 す べ り 面 強 度 （ ｃ 、 φ ） 逆 算 値を図-3 に示す。計算結果を・ 単 位 垂 直 応 力 （ σ '）
計算表参照
339.0
339.04(kN/m )力(s)は，φpi 法法，φpver 法，c-φ 法ともほぼ同値と 「 Σ σ ( σ - U - σ e v ） / Σ L 」
抗力
25.0
25.0・ 設 定 粘 着 力 （ c）
25.0(kN/m )見なせる。平均均 φp 法で得らられた地震時の極限せん
・変換内部摩擦角（φ）
23.86(° ）
23.86
23.86
抵抗角（φpverr）は，27.29 が得られた。
。φpi 法によ ・ 地 震 時 安 全 率 （ F s e )
断抵
1.00
1.00
1.00
る常
常時安全率はは、2.18 でああり、φpver 法による常時 ・ 常 時 安 全 率 の 検 証 （ F s ）2.20－2.18（ φ pi、 φ pver値 ）安全
全率は、2.200 である。ままた，粘着力力(c)を 25.0 ・ 常 時 安 全 率 の 検 証 （ F s）
2.19
2.19
2.19－
（変換ｃ、φ値）kN
N/m2 として変変換した内部部摩擦角は，φφpi 法、φpver法，，c-φ 法とも 23.86°が得らられ，地震前前の常時安全全率は φpi 法、φpver 法、c-φφ 法とも Fs=22.19 が得られれた。
ppverppverver

222(φp)(c、 φ )

９．
．近年の地震震地すべり・滑動崩落の事例解析
表-3
表 に近年のの大規模地震
震で発生した地震地すべり落の事例計算結結果を示す。各箇所の最最大加速度(PGGA)り・滑動崩落は 260gal~400ggal，地震係数数(ks)は 0.21~0.25 である。地震時の安安全率=1.00(極極限安全率)ととした時，せんん断抵抗角 φpver
おおよそ 27°°~33°の範囲にに分布していいる。また， 常時安全率(Fs)は，2.00~3.00 の範囲囲に分布している。
はお表-3検討箇所
県名地区名

近年の地震地すべり・滑動崩落の事例解析

地震時
基準安全率
地震時極限
地震係数
安全率

地震時極限
すべり面強度

検討地震の諸元
対象地震名

PGA(gal ）（ksh）

Fs eCe

すべり抵抗力比較（計算法の検証）

算出されたφ（内部摩擦角）

φe

φp verφp iτc、φτφp verτφp ic-φ 法

φp ver 法

φp i法（kN/m 2 ) (°）

（°）

（°）

(kN/m 2 )(kN/m 2 )(kN/m 2 )

φ

φ

φ

常時安全率

Fs

ケース １

福島県いわ 上釜戸地す 2011東日本
き市
べり
大震災

382

0.243

1.000

25.0

23.9

27.3

26.0～76.4

3.62E+04

3.62E+04

3.62E+04

23.9°

23.9°

23.9°

2.19

ケース ２

福島県白河 葉ノ木平地 2011東日本
380.9
市
すべり
大震災

0.243

1.000

8.0

24.4

27.6

27.0～76.4

6.99E+03

6.99E+03

6.99E+03

24.4°

24.4°

24.4°

2.09

ケース ３

福島県あさ あさひ台団 2011東日本
329.1
ひ台団地 地滑動崩落
大震災

0.232

1.000

9.7

26.7

31.8

30.1～66.9

5.58E+03

5.58E+03

5.58E+0326.7°

26.7°

26.7°

2.23

ケース ４

宮城県仙台 N団地滑動 2011東日本
市
崩落
大震災

400

0.247

1.000

8.0

27.1

33.6

30.6～71.6

4.70E+03

4.70E+03

4.70E+03

27.1°

27.1°

27.1°

3.07

ケース 5

宮城県仙台 緑ヶ丘3丁 1978宮城県
市
目滑動崩落
沖地震

260

0.214

1.000

20.0

23.3

27.4

26.4～67.8

3.60E+04

3.60E+04

3.60E+04

23.3°

23.3°

23.3°

2.33

ケース 6

2008岩手・荒砥沢地す
宮城県栗駒
宮城内陸地
べり
震

330

0.232

1.000

50.0

24.7

27.2

25.7～43.0

5.35E+05

5.35E+05

5.34E+05

24.7°

24.7°

24.7°

3.08

10．まとめと今後の課題
本研究は，c,φ を用いない安定計算法として平成 25 年度卒論(φpver 法) に引き続き，スライスのせん断抵抗角を用いる φpi 法について検討した。φp 法の特徴と得られた知見は、次のようにまとめられる。
(1) φp 法はクーロンの破壊規準に準拠した c,φ を用いない計算法として位置付けられる。
(2) φp 法の適用範囲は、逆算法に準拠した安定計算法に適用できる。
(3) 逆算されたせん断抵抗角(φp)から、すべり面強度(c,φ)を変換することができる。
(4) せん断抵抗角(φpver)法の逆算は、すべりブロック全体の安全率(Fs)を与えることにより算定できる。
(5) せん断抵抗角(φpi)法の逆算は、スライスの安全率(Fsi)を与えることで、スライスのせん断抵抗角(φpi)を求めることが出来る。また、スライスのせん断抵抗角(φpi)を用いて、スライスのすべり面強度(c,φ)に変換することができる。
(6) c-φ 法を順計算として φp 法(φpi 法，φpver 法)の検証をした結果、計算式の整合性が確認できた。
(7) φpi 法の課題は、φpi を逆算する過程においてスライスごとの安全率(Fsi)が必要になることである。スライスごとの安全率は、逆解析の結果 c-φ 法で求めたすべり面強度(c,φ)による安全率を与えることにより、逆算できる。ただし、実用的ではない。
(8) φpver 法は、φpi 法のように c,φ に依存するという課題はなく，実用的である。
(9) 近年の地震地すべり・滑動崩落の事例計算から，せん断抵抗角(φpver)が 27°～33°の範囲に分布，常時安全率(Fs)が 2.00～3.00 程度の範囲に分布しているなど，広域的な耐震安定性を評価する上での重要な情報が得られた。
今後，多くの事例解析を行うことにより，最大加速度(αs)とせん断抵抗角(φp)・c,φ との関係，最大加速度(αs)と常時安全率(Fs)，せん断抵抗角(φp)と常時安全率(Fs)の関係などがより明確となり，広域的に分布する地すべり・滑動崩落の耐震安定性評価を行うための基礎資料が得られるものと考える。次年度は，2004 年新潟中越地震で発生した地震地すべりを中心に事例解析を進める予定である。
謝辞
本研究は，本学 工学部 都市マネジメント学科 西山卓客員研究員のご指導をいただきました。ここに記して感謝申し上げます。
参考文献1)

森脇寛(2011)：地すべり地形斜面の地震時危険度評価と崩壊予測システムの構築，日本地すべり学会誌，Vol.48，No.6，pp.305-317.
2)

西山卓,今西肇,千葉則行(2013)：宅地造成された盛土地盤の地震時安定性に関する簡易耐震性評価(φp)法の提案,土木学会

3)山田雅樹(2014)：斜面の安定解析に用いるすべり面強度設定手法(φp 法)の適用性について，東北工業大学工学部都市マネジ

東北支部技術発表会,講演概要集.
メント学科卒業論文．

4)

野田節男,他 2 名(1975)：重力式擁壁の震度と地盤加速度，港湾技術研究所報告，vol.14，No.4，pp.67-111.

5)

鳥居剛,他 2 名(2001)：震度法における盛土の限界水平震度と地盤加速度の関係について，第 26 回地震工学研究発表会．

6)

秦吉弥,他 2 名(2013)：余震観測記録に基づく 2011 年東北地方太平洋沖地震および 2011 年福島県浜通りの地震における上釜戸地すべり地での地震動の評価，日本地すべり学会誌，Vol.50，No.5，pp.209-218.