♧本書の特色と構成♧●
本書の特色と構成 ●本書は，高校1年生が学習する数学Aの主な内容について，基本事項の徹底理解
本書は，数学Ａの主な内容について，基本事項の徹底理解から標準的な応用問題が解けるまでの実力養成を目的として編集されています。
から標準的な応用問題が解けるまでの実力養成を目的として編集されています。
全体は6講座から成り，各講座とも1〜1.5時間が標準授業時間です。
各講座の構成は以下の通りです。
①基本の整理…基本事項を，1つ1つの問題を解くことで確認します。

②演…例題として取り上げた最も重要でかつ応用範囲の広い問題や，

習

その類題を解くことによって解法を修得します。さらに，例題の関連問題や，やや発展的な問題についても練習して，さまざ
まなタイプの問題に対応できる応用力を養成します。

も

く

も く じ

じ



 第1講座 集合の要素の個数，順列 ………………………… 2  第2講座 組 合 せ …………………………………………… 5  第3講座 確 率 ⑴ …………………………………………… 8  第4講座 確 率 ⑵ …………………………………………… 11 
 第5講座 図形の性質⑴ ……………………………………… 14 
 第6講座 図形の性質⑵ ……………………………………… 17 

高校数学Aテキスト冬期̲目次.indd 1

12.10.24 9:32:14 PM

第 1 講座

第集合の要素の個数，順列

1

第 1 講座講座 集合の要素の個数，順列集合の要素の個数，順列

基本の整理
基本の整理
〈要素の個数〉▶集合Aの要素の個数を n(A)で表す。n(A¡B)=n(A)+n(B)-n(A⁄B)

演 習
1 100から200までの整数のうち，3の倍数全体の集合をA，5の倍数全体の集合をBとして，
第

2

講座

組合せ

次の集合の要素の個数を求めよ。
⑴

⑵ B

A

⑶ A⁄B

⑷ A¡B

SA

〈補集合の要素の個数〉▶集合Aの補集合 A の要素の個数は，n(A)=n(U)-n(A)

3

確 率⑴

A，B は全体集合Uの部分集合で，n(U)=50，n(A( )=15，n(B)=20，n(A( ¡B)=30
2 集合第講座のとき，n(A( )，n(A( ⁄B)を求めよ。

〈和の法則・積の法則〉▶同時に起こらないとき (m+n) 通り，ひき続いて起こるとき (m*n) 通り

3 次の問いに答えよ。

4

確 率⑵

⑴

大小2個のさいころを同時に投げるとき，出た目の積が素数になる場合は何通りあるか。

⑵

360の正の約数の個数を求めよ。また，これら約数全体の和を求めよ。

講座

M

第

〈順列〉▶異なるn個のものからr個を取り出して並べた順列の総数は，nPr=

5

4 次の問いに答えよ。

図形の性質⑴n!
(n-r) !

第講座
1から9までの9個の数字から異なる4個を使ってできる4桁の整数の個数を求めよ。

⑵

0から9までの10個の数字から異なる4個を使ってできる4桁の整数の個数を求めよ。

⑶

男子2人，女子4人の6人が1列に並ぶとき，男子2人が隣り合う並び方は何通りあるか。

⑷

a，b，c，d，e の5文字を並べるとき，両端に子音の文字がくるものは何通りあるか。

第

6

講座

PL

⑴

図形の性質⑵〈円順列〉▶異なるn個のものを円形に並べる順列の総数は (n-1) !
⑴

色の異なる8個の玉を円形に並べる方法は何通りあるか。

⑵

色の異なる8個の玉で首輪をつくる方法は何通りあるか。

E

5 次の問いに答えよ。

〈重複順列〉▶異なるn個のものから，重複を許してr個取り出す順列の総数は nr

6 次の問いに答えよ。
⑴

数字 1，2，3，4，5 を重複を許して使ってできる4桁の整数は何通りあるか。

⑵

数字 0，1，2，3 を重複を許して使ってできる4桁の整数は何通りあるか。

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12.10.24 9:32:21 PM

高校数学A

基本の整理演
演
7

第 1 講座集合の要素の個数，順列

習習

集合の要素の個数
集合の要素の個数
□
例例題
題 □
整
例
題
1
1から1000までの整数のうち，2，3，5 のそれぞれの倍数全体の集合を A，B，C とするとき，次の集合の要素の個数を求めよ。
⑴例A¡C
題

⑵ B⁄C

2 整

⑶ A⁄B⁄C⑷ A¡B¡C⑴⑵ ド・モルガンの法則を利用する。 ⑶⑷ n(A( ¡B¡C)=n(A( )+n(B)+n(C)-n(A( ⁄B)-n(B⁄C)-n(C⁄A)+n(A( ⁄B⁄C) が成り立つ。

解法のポイント
解法のポイント

SA
例題

1 整

8 類題 1から200までの整数のうち，3，5，7 のそれぞれの倍数全体の集合を A，B，C とするとき，次の集合の要素の個数を求めよ。
A⁄B
例題

⑴

2 整

確
認問題
B⁄C

⑷

⑵ A

⑶

A¡B

⑸ A⁄B⁄C⑹

A¡B¡C

M

9 次の問いに答えよ。
⑴

1から200までの整数のうち，6と互いに素である数の個数を求めよ。

習問題
Y Z とするとき，集100以下の自然数のうち，4，5，6⑵ 練の倍数全体の集合をそれぞれ X，Y，Y
Z の要素の個数を求めよ。
合 (X⁄Y)¡

確認問題

とき，次の問いに答えよ。
⑴

PL

10 あるクラス40人の生徒のうちで，兄弟のいる人は24人，姉妹のいる人は19人であった。このひとりっ子は何人以下か。

練習問題
11 次の問いに答えよ。

⑵

兄弟だけいる人は何人以上何人以下か。

5g，10 g，20 g の3種類の分銅を使って 60 g のものをはかるとき，使う分銅の組合せは⑴

何通りあるか。ただし，どの分銅も少なくとも1個は使い，何個使ってもよいものとする。

E⑵ 1080と1200の正の公約数の個数を求めよ。また，これらの公約数の総和を求めよ。

12 6個の数字 0，1，2，3，4，5 を並べて6桁の整数をつくるとき，次の問いに答えよ。
⑴

5の倍数は何通りできるか。

⑵ 4の倍数は何通りできるか。

13 発展 1，2，3，4，5 の5個の数字から異なる3個を使って3桁の整数をつくるとき，その総和を求めよ。
ヒント

9:32:21 PM

一，十，百の各位に同じ回数ずつ5個の数字が使われることに注意する。

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12.10.24 9:32:21 PM

第 1 講座

集合の要素の個数，順列

例
題
1 □整
例題
条件つきの並べ方□例
題 条件つきの並べ方

14 computer の8文字を並べるとき，次のような並べ方は何通りあるか。
⑴

例どの母音も隣り合わない並べ方
題 2 整解法のポイント
解法のポイント ⑴⑵cとpの間に文字が2つある並べ方

3文字の母音は，5文字の子音の間および両端の6か所から3か所選んで並cとpとその間の2文字をまとめて1つと考える。

べる。 ⑵

例題

1 整

15 類題 男子 A，B，C，女子 a，b，c，d の7人が1列に並ぶとき，次のような並び方は何通りあるか。

例題 2 整どの男子も隣り合わない

SA
⑴

認問題
⑶ 確
左から3番目までにaとbが並ぶ⑵

A，B の間に3人が並ぶ⑷ BとCが隣り合うか，またはcとdが隣り合う

16 5個の数字 1，2，3，4，5 の全部を1列に並べて5桁の整数をつくるとき，万の位に1がくることも千の位に2がくることもないようなものは何通りあるか。

練習問題

M

17 1から9までの9個の数字の中から異なる8個の数字を選んで1列に並べるとき，次のよう確認問題
な並べ方は何通りあるか。
⑴

奇数が隣り合わない⑵

7，8，9 が隣り合う

18 次の問いに答えよ。

PL

練習問題

⑴

5題の問題に○か*で答えるとき，○，*のつけ方は何通りあるか。

⑵

机の上に異なる本が7冊ある。その中から，少なくとも1冊以上何冊でもすきなだけ本を取り出すとすれば，その取り出し方は何通りあるか。

19 男子 A，B，C，D，女子 a，b，c，d の8人が円形のテーブルに着席するとき，次のような場合は何通りあるか。
⑴

男女が交互に着席する⑵

c，d がともにAと隣り合う

E

20 立方体の6つの面に，青，白，赤，黄，緑，紫の6色を1色ずつ塗るとする。このとき，異なる塗り方は何通りあるか。

21 発展 異なる3つの箱に，10個の玉を入れる方法は何通りあるか。ただし，どの箱にも少な
くとも1つの玉を入れるものとする。
ヒント

全部の入れ方から，2箱が空き箱の場合と1箱が空き箱の場合を除く。

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12.10.24 9:32:22 PM

高校数学A

1

第

講座

集合の要素の個数，順列
第 2 講座組 合 せ

2

第 2 講座講座 組合せ
組 合 せ

第

基本の整理
基本の整理

演

3習

〈組合せ〉▶異なるn個のものからr個取り出して1組とした組合せの総数は nCr=

確 率⑴

n!
r ! (n-r) !

第講座
1 男子6人，女子4人の中から4人を選ぶとき，次のような選び方は何通りあるか。
⑴

全体から4人を選ぶ⑵

男子から2人，女子から2人を選ぶ

SA〈順列と組合せ〉▶組合せで選んでから，順列で並べる。

4

2 次の問いに答えよ。

確 率⑵

⑴

第
講座
男子4人，女子6人から男子2人，女子3人を選んで1列に並べる並べ方は何通りあるか。

⑵

1から9までの整数から，異なる3数を選び，3桁の整数をつくる。3数の和が奇数になるような3桁の整数は何個あるか。

5図形の性質⑴〈同じものを含む順列〉▶p個，q 個，r 個，……が同じものである順列の総数は

講座

M

第

n!
p ! q ! r ! ……

3 SUCCESS の7文字を並べるとき，次のような並べ方は何通りあるか。
⑴

7文字の並べ方の総数⑶

UがEより左側にある

6⑵ U，E が隣り合わない

図形の性質⑵PL

第講座▶平行四辺形…縦〈組合せと図形〉
2本，横2本の平行線で1つ決まる。

4 等間隔に引いた5本の平行線と，それに垂直に交わる等間隔の5本の平行線がある。これらの平行線によってできる長方形(正方形を含む)は何個あるか。また，正方形は何個あるか。

〈最短距離〉▶↑と→の順列で考える。各区間で，↑と→の数を数えて同じものを含む順列を利用。

5 右の図で，次の場合，最短距離で行く道順は何通りあるか。
⑴ AからPを通ってBへ行く

AからQを通らないでBへ行く

P

E

⑵

B

Q

A

〈重複組合せ〉▶異なるn個のものから重複を許してr個取る組合せの総数は n+r-1Cr

6 次の問いに答えよ。
⑴

4個の文字 a，b，c，d から重複を許して7個取り出す方法は何通りあるか。ただし，1つも取り出さない文字があってもよいとする。
⑵

9:32:22 PM

候補者3名に対し，25名が1人1票の無記名投票を行う。票の分かれ方は何通りあるか。

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12.10.24 9:32:22 PM

合 整
せ 理
基 本組の

第 2 講座

演
演

習習

組分け
例題
□
□
例
題 組分け

7 12人の生徒を次のように分ける方法は何通りあるか。
題 1 整⑴ 例5人，4人，3人の3つの組に分ける。
⑵

4人ずつ3組に分ける。

⑶⑷

6人，3人，3人の3つの組に分ける。
2 整
3人ずつ A，B，C，D の4組に分ける。

例題

解法のポイント
解法のポイント 同じ数に分けるときに注意が必要である。

SA
例題

1 整

8 類題 7人の生徒を次のように分ける方法は何通りあるか。
⑴⑵

3人，2人，2人の3つの組に分ける。
例題 2 整A，B，C の部屋に4人，2人，1人に分ける。

確認問題



M

9 男子10人，女子5人の中から合計3人の代表を選ぶ方法は何通りあるか。また，代表3人のうちに女子が少なくとも1人含まれるような選び方は何通りあるか。

練習問題
確認問題

10 赤玉4個，青玉3個，白玉2個がある。次のような場合の並べ方は何通りあるか。
9個全部を1列に並べる。

PL⑴⑵ 8個を取り出して1列に並べる。

11 白い碁石7個と黒い碁石3個を1列に並べるとき，黒い碁石が隣り合わないような並べ方は
練習問題
何通りあるか。

E

12 1，2，3，4，5，6 の数字のうち，2種類の数字を用いて表される3桁の数字はいくつあるか。

13 発展 1つのさいころを4回振るとき，ちょうど2種類の目が出る場合は何通りあるか。また，4つの同じ大きさのさいころを同時に振るとき，ちょうど2種類の目が出る場合は何通り
あるか。
ヒント

1回目から4回目までの中で，2種類の目のどちらが出てもよい。(重複順列の考え方)

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高校数学A

第 2 講座

組 合 せ

重複組合せ
□
□
例
題 重複組合せ
例題
例
題
1 整 A，B，C の3人に分ける方法について，次の問いに答えよ。
7個の同じ品物を14⑴

品物を1個ももらえない人がいてもよいとすると，分け方は何通りあるか。

⑵ 例A，B，C
がいずれも，少なくとも1個の品物をもらう分け方は何通りあるか。
整題

2⑴ A，B，C の3個から重複を許して7個取る重複組合せ。 ○|○○○○|○○
B
C→7個の○と2本の仕切り|の並びかえで考えることができる。 A

解法のポイント
解法のポイント

15 類題 次の問いに答えよ。

SA

例題 1 整玉 A，B，C，D の4つの箱に分けて入れる方法は何通りあるか。ただし，8個の同じ球を⑴

球を1個も入れない箱があってもよいとする。
玉確
認 2問を満たす次のような整数の組(≈，¥，z)は何組あるか。
≈+¥+z=9
整題
例題

⑵

①

負でない整数の組② 正の整数の組



16 excellent の9文字を並べるとき，次のような並べ方は何通りあるか。

練習問題⑵ eはすべてlより左側にある

M⑴ c，n，t がこの順序で並ぶ⑶

eとlはすべて奇数番目に並ぶ確認問題

17 1つの正六角形の辺と対角線は合計分を選ぶ組合せは⑵⑴本ある。これらの線分全体から異なる2本の線通りである。これらのうち，⑶

通りである。

PL

選んだ2本の線分が平行である場合は選んだ2本の線分が頂点以外の点で交わる場合は

練習問題

⑷

通りである。

A，B，C の3つの箱に分けるとき，次のような分け
玉
玉
18 赤球5個，白球9個がある。これらを方は何通りあるか。ただし，同じ色の球は区別しないものとする。
玉⑴

玉
すべての箱に白球を同数ずつ入れ，すべての箱に赤玉を少なくとも1つは入れる。

⑵

玉
球が1つも入っていない箱があってもよいとして入れる。

E

19 発展 互いに身長の異なる8人を，山の形に整列させる。すなわち，i番目に並ぶ人の身長を hi とするとき，あるk(2≤k≤7) があって，h1<……<hk (この部分を「登り坂」という)か
つ hk>……>h8 (この部分を「下り坂」という)が成立するようにする。次の問いに答えよ。

9:32:22 PM⑴

k=2 となる並べ方は何通りあるか。

⑵

k=3 となるとき，登り坂に並ぶ人の定め方は何通りあるか。

⑶

並べ方は全体で何通りあるか。

ヒント

k番目に1番身長の高い人を並べて，「登り坂」の (k-1)人の選び方を考える。

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12.10.24 9:32:22 PM

解 答《 selectⅢ 数学 A》《Ｗ高１数学Ａ》
⑷

第第1 1
講座
集合の要素の個数，順列
講座 集合の要素の個数，順列n(A( ¡B¡C)=n(A( )+n(B)+n(C)-n(A
( ⁄B)

【p.2】

-n(B⁄C)-n(C⁄A)+n(A( ⁄B⁄C)1 ⑴ 332( )=35
第n(A
講座

⑵

21

組合せ

⑶

7

⑷

n(A
( ⁄B)={6·1，6·2，……，6·166} より，求47

める要素の個数は，500+333+200-166-66-100+33=734⑴ n(A( ⁄B)=13⑵ n( A)=134n(A( ⁄B)=n(B)-n(A( ⁄B)=20-5=15
3 ⑴ 一方の目が1，他方の目が素数の場合だか3

ら，(大の目，小の目)の順に表すと，
講座 確率⑴(1，2)，(1，3)，(1，5)，(2，1)，(3，1)，⑶

n( A¡B)=187⑸

n(A( ⁄B⁄C)=1(5，1)の6通り。

⑹

第

M
SA
⑵

9

360=23·32 ·5 より，

4 講座 確 率⑵約数の個数は，4*3*2=24
約数の和は，

第n(B⁄C)=195n(A( ¡B¡C)=108⑴

6=2·3 より，2の倍数でも3の倍数でもない数の個数を求める。1から200までの整数(20+21 +22+23)*(30+31+32)*(50+51)のうち，2の倍数は100個，3の倍数は66個，=1170

6の倍数は33個あるから，=9·8·7·6=3024
4 第⑴ 59P4講座
図形の性質⑴⑵ 千の位は1から9までの9通り，一，十，百

6 講座 図形の性質⑵第(または，10P4-9P3 と考える。)⑶

隣り合う2人を1まとめにして考える。隣り200-100-66+33=67
Z={6·1，6·2，……，6·16}⑵の位は0を含めた残りの9個の数から3個選んで並べると考えて，9*9P3=4536

X⁄Y={20·1，20·2，……，20·5}X⁄Y⁄Z={60·1} より，
YZ)=16+5-1=20n((X⁄Y)¡

10 全体をU，兄弟のいる人をA，姉妹のいる人を合う2人の並び方を考えて，

Bとする。

（通り）
2 P2 * 5 P5 =240⑴⑷

両端の子音の並べ方が 3 P2 通り。残りの文字

ひとりっ子の人数を≈とすると，≈=n(U)-n(A( )-n(B)+n(A
( ⁄B)
=n(A
( ⁄B)-3

よって，3P2 *3P3=36（通り）

ここで，n(A( ⁄B)≤19 であるから，≈≤19-3=16(8-1)!=7!=5040（通り）⑵(8-1)! 7 !
= =2520（通り）2
2

6 ⑴ 54=625（通り）⑵

3*43=192（通り）

【p.3】

PL

の並べ方が 3P3 通り。
⑴

n(A( )=500，n(B)=333，n(C)=200⑴ A⁄C={10·1，10·2，……，10·100}

よって，16人以下⑵

z=2 のとき，(≈，¥)=(2，1)
よって，組合せは，4通り。
⑵=1000-100=900
B⁄C={15·1，15·2，……，15·66} より，最大公約数は 23·3·5 であるから，公約数の個数は，(3+1)(1+1)(1+1)=16（個）n(B¡C)=n(B)+n(C)-n(B⁄C)=333+200-66=467

公約数の総和は，(1+2+22+23 )(1+3)(1+5)=360n(B⁄C)=n(B¡C)=n(U)-n(B¡C)=1000-467=533
A⁄B⁄C={30·1，30·2，……，30·33}E(≈，¥)=(6，1)，(4，2)，(2，3)=n(U)-n(A( ⁄C)⑵

兄弟だけいる人は n(A( )-n(A( ⁄B)

また，3≤n(A( ⁄B)≤n(B) より，
5人以上21人以下
11 ⑴ 5g，10 g，20 g の分銅の個数を，それぞれ≈，¥，z とすれば，5≈+10¥+20z=60
z=1 のとき，

ド・モルガンの法則より，A¡C=A⁄C
よって，n(( A¡C)=n(A
( ⁄C)

⑶

⑷

12 ⑴ 一の位が0または5となるから，0のとき…5 P5=120

よって，n(A( ⁄B⁄C)=33

5のとき…4*4 P4=96
─1─

高校数学Aテキスト冬期̲KKp01-12.indd 1

12.10.24 9:31:01 PM

よって，120+96=216（通り）⑵4の倍数席させる方法は，(4-1)!=3 !(通り)
その1つの方法について，女子 a，b，c，d を

下2桁が4の倍数であるから，下2桁の数字は，04，12，20，24，
32，40，52の7通り。0を含むものと含まない

残った席に着席させる方法は 4 ! 通りより，
3 !*4 !=144（通り）⑵ c，d がともにAと隣り合うのは2通り。

ものに分けて考えると，
P4 *3+3*3P3*4=144（通り）A，c，d を1人と考えて6人の円順列より，一，十，百の各位に，5P3÷5=12(回) だけ各

2*(6-1)!=2*5 !=240（通り）4

数字が使われることから

20 立方体の上面の色を決めると，下面の塗り方が5通り。

(1+2+3+4+5)*12*(100+10+1)=19980
【p.4】
14 ⑴

4つの側面の塗り方は，円順列により(4-1)!=6(通り)
よって，異なる塗り方は全部で 5*6=30（通り）子音5文字の並べ方は 5 P5 通り。

母音3文字は，5文字の子音の間と両端の6ヶ21 空き箱があってもよいとすると，全部で 310 通り。

M
SA

所から3ヶ所を選んで並べればよいから，

P3 通り。よって，5 P5*6P3=14400（通り）c，p の間の文字の並べ方は 6P2 通り。
c，p の並べ方は2通り。4文字を1文字と考また，2箱が空き箱の場合は3通り。

えると，6P2 *2*5P5 =7200（通り）

るが，そのうち2通りは10個とも1つの箱に入っ

P4 *5P3 =1440（通り）ている場合であるから，3*(210 -2)通り。
第講座 集合の要素の個数，順列
よって，どの箱にも少なくとも1つの玉を入れる

6

⑵

15 ⑴
⑵

4

1箱が空き箱の場合，どの箱が空き箱かで3通り，2つの箱に10個の玉を入れる入れ方は 210 通りあA，B 間の並び方は 5P3 通り。
A，B の並び方は2通り。5人を1人と考える

1

方法は，310 -3-3*(210 -2)=55980（通り）と，5 P3 *2*3P3 =720（通り）左から3番目のうちの2ヶ所にaとbが並び，⑶

講座 組 合 せ2第講座 2組合せ

第【残りの5人は，残りの5ヶ所に並ぶと考えると， 【p.5】3

P2 *5P5=720（通り）

BとCが隣り合うのは，6 P6*2(通り)cとdが隣り合うのも同様に，6 P6*2(通り)確=60+180=240（個）

7!
3 ⑴ 3 ! 2 ! 1 ! 1 ! =420（通り）第 6 講座 図形の性質⑵⑵5!
=10(通り) あるから，
3!2!

奇数が隣り合わないように並べられるのは，

6

奇数4個の選び方は5通りあるから，⑶

5*4 P4 *5P4 =14400（通り）
7，8，9 以外の6個の数字のうち1個は使わ

18 ⑴ 25=32（通り） ⑵ 27-1=127（通り）19 ⑴ まず，男子 A，B，C，D を1つおきに着P2*10=300（通り）UとEを置く場所を○で表 S○CC○SS↑↑
して，左から順にU，E とす
UEると，並べ方が1通りに決まるから，UとEを同じものと考えればよい。

ないから，その選び方は6通り。7，8，9 を1まとめにして考えると，
6*6 P6 *3P3 =25920（通り）子音5文字の間と両端の6ヶ所に母音 U，Eを入れて並べればよい。また，子音の並べ方は，奇数を4個，偶数を4個選んだときである。

⑵=14400（通り）

E

⑴

率⑵

5

P5-(4 P4 +4 P4-3 P3)=120-(24+24-6)
=78
（通り）

6!
4!
*
=90（通り）
4!2! 2!2!

3数の和が奇数になるのは，3数とも奇数の場合と，1つが奇数で2数が偶数の場合である。
第よって，
講座C 図形の性質⑴5 3 *3 P3 +5 C1 *4 C2 *3 P3

よって，万の位に1がくることも千の位に2がく5

C2 *4 C2 =⑵

万の位が1の整数は 4P4 通り。
千の位が2の整数は 4P4 通り。
万の位が1で，千の位が2の整数は 3 P3 通り。
ることもないような5桁の整数は

6

4

PL

16 5桁の整数は全部で 5P5 通り。

10

2 第⑴ 44C講座
2 * 6 C3 * 5 P 5 =6*20*120

P5 *2*2(通り)よって，6P6 *2+6P6 *2-5P5*2*2=1440+1440-480=2400（通り）10·9·8·7C===210（通り）! 6 ! 率⑴4·3·2·1
第 3 講座 4確⑵

BとC，cとdがともに隣り合うのは，
5

10 !

1 ⑴

⑷

よって，

7!
=210（通り）
3!2!2!

4 長方形…5C2*5C2=100（個）正方形…平行線の1つの間隔を1とすると，

─2─

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高校数学A

1辺が1の正方形は (5-1)2=16(個)これから，求める並べ方は560+420+280=1260（通り）
白い碁石の間(両端を含む)の8ヶ所から3ヶ所

1辺が3の正方形は (5-3)2=4(個)1辺が4の正方形は (5-4)2=1(個) できるから，
16+9+4+1=30（個）を選んで黒い碁石を並べればよいから，

3!

5 ⑴ AからPへの行き方が 2 ! 1 ! 通り，

8

選んだ2つの数字のうち，どちらを2回用いるかで2通り。また，選んだ2種類の数字でつくられ

3!
5!
*=30（通り）
2!1! 3!2!

る3桁の数字は，

8!
AからBへの行き方が=56(通り)5!3!

13 1回の試行で2種類の目の出方は 6C2 通り。

AからQを通ってBへ行く行き方が4!
4!
*=24(通り)2!2! 3!1!

1回目から4回目までの中で，この2種類の目のよって，56-24=32（通り）2*2*2*2=24 =16(通り)
この中に，4回とも同じ目が出る場合が2通り含

6 ⑴

4+7-1

⑵

どちらが出てもよいので，4回の目の出方は，

C7 =10C7 =10 C3 =120（通り）

まれている。

3個の異なるものから，重複を許して25個取り出して1組とした組合せだから
3+25-1

よって，1つのさいころの場合は，

C25=27C25=27C2=351（通り）C2 *(16-2)=210（通り）
また，4つのさいころは区別ができないから，目
6

【p.6】

7 ⑴

12

C5 *7 C4 =の出方は3つが同じ目か，2つずつ同じ目の場合

12·11·10·9·8 7·6·5*
5·4·3·2·1
3·2·1

となる。

=27720（通り）⑵12

それぞれ，6*5=30(通り)，6 C2 通りであるから，4つのさいころの場合は，

C4 *8 C4 12·11·10·9 8·7·6·5 1=**
3!
4·3·2·1
4·3·2·1 6

30+6C2 =45（通り）=5775（通り）C
12·11·10·9·8·7 6·5·4 1
C6 * 6 3 =**2!
3·2·1 2
6·5·4·3·2·1

⑴

12

⑷

=9240（通り）
12 C3 * 9 C3 * 6 C3○|○ ○ ○ ○|○ ○A
B
C

品物を1個ももらえない人がいてもよいから，7個の○と2本の|を並べた順列に等しい。

⑵

C3 =120(通り) であるから，女子が少なくとも

に等しい。
A
B
○|○ ○|○>

1人含まれる選び方は，455-120=335（通り）E

また，女子が1人も含まれない選び方は

○

C

○

○

よって，6ヶ所から2ヶ所選ぶ組合せになるか

9!

10 ⑴ 4 ! 3 ! 2 ! =1260（通り）⑵少なくとも1個はもらえるときは，7個の○の間から2ヶ所選んで仕切り|を置く場合の数

9 3人の代表を選ぶ方法は 15C3=455（通り）
10

9!
=36
（通り）
7!2!

>

C4*3 C2 =105（通り）

よって，

>

7

C
C3 * 4 2 =105（通り）
2!

>

7

>

8 ⑴
⑵

|の並びかえで考えることができる。

12·11·10 9·8·7 6·5·4**=369600（通り）
3·2·1
3·2·1 3·2·1=

下の図のように，7個の○と2本の仕切り

PL

⑶

。

，

【p.7】

>

，

3!
=3(通り)
2!1!

よって，15*2*3=90
（個）

M
SA

⑵

C3 =56（通り）12 どの2つの数字を用いるかで 6C2=15(通り)5!
PからBへの行き方が通りあるから，3!2!

。

8!
=280(通り)
4!3!1!

白玉を除くとき

1辺が2の正方形は (5-2)2=9(個)ら，6C2=15（通り）別解 あらかじめ3人に1つは与えておくと考除く1個の玉の色で場合分けをする。
赤玉を除くとき8!
=560(通り)
3!3!2!

えて，4個の○と2本の仕切り|を並べる順

青玉を除くとき8!
=420(通り)
4!2!2!

6!
=15（通り）
4!2!

列で考えると，

─3─

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15 ⑴ 8個の○と3本の|を並べた順列に等しい。

の○と2本の|を並べた順列に等しい。

11 !
よって，
（通り）
=165
8!3!

11 !

7!

*
=1155（通り）2! 5!2!
1 講座9 !集合の要素の個数，順列

よって，

第

9個の○と2本の|を並べた順列に等しい。 19 ⑴ 2番目に身長の1番高い人を並べて，1番○ ○|○ ○ ○ ○|○ ○ ○目は残り7人のうちから選ぶことになるから
≈=2
¥=4
z=3
（通り）
7 C1 =7⑵①2 講座 組合せ

第

よって，
②

11 !
=55（組）
9!2!

⑵

7

C2=21
（通り）

⑶

7

C1+7 C2+……+7C6=126（通り）≈，¥，z は1以上の整数であるから，あらかじめ1ずつ ≈，¥，z に分けておくと，整数
6を3組に分ける方法として考えられる。
よって，6個の○と2本の|を並べた順列よ

【p.8】
⑴

16 ⑴ c，n，t を同じものと考える。
9!
=5040（通り）
3!2!3!1!

⑵

3個のeと2個のlを ○xc○○○○nt↑↑↑↑
置く場所を○で表して， ↑eeell
左から順に e，e，e，l，4 講座 確

⑵

1
8

⑵
⑶

⑷

C2 +5 C2 4
=
9
9 C2
20

C

3

4
9

⑵

1- 6
8

C3
9
=
C3 14

【

⑵

P3 *7 P7
1
=
12
9 P9

5
6

A，B，C の場所のとり方が 5C3 通りでそのそれぞれに対し，D，E の並び方が 2 ! 通りある

あらかじめ1個ずつ入れておき，残りの2個を
A，B，C の箱に分けると考えると，2個の○⑶

4

2 !*5C3 1
=
6
5 P5

E

玉
ので分け方は1通り。赤球は，それぞれの箱に

2*5P5 1
=
3
6 P6

P5 1
=
P6 6

から，求める確率は，玉の箱に3個ずつ入れる
8 ⑴ 白球は，A，B，C

⑵

C2 1
=
C2 6

7 ⑴

C2 -3-6*3 C2=15（通り）C2 *5 C1
5
=
14
9 C3

8 ⑴ 一方が他方の数の約数となる組合せは(1，≈)…8通り，(2，≈)…3通り(3，≈)…2通り，(4，≈)…1通りより，と2本の|を並べた順列に等しい。
よって，1*

4⑶

組，各頂点から3本の対角線が出ていてそのう
950+33+20-16-6-10+3
74
37
=
=
100
100 506 ⑴対角線は9本あり，このうち平行なものが3
ち2本の組合せは 3C2 通りより

50-16 17
=
100
50

【p.9】

辺と辺が3通り，辺と対角線が6通り，対角線どうしが3通りであるから，合計して，
3+6+3=12（通り）

⑵

1
8

PL

C2 =15 より，15
15 C2 =105 より，105

6

よって，3枚とも表の出る確率は，
第講座 図形の性質⑵5 ⑴ 1- 2C2 = 21
7 2

残りの文字の並べ方は 4P4 通り

6

C1 *2 C1 2
=
3
4 C2

(3，0)は1通 り，(2，1)は3通 り，(1，2)は

4

5!
通り
3!2!

17 ⑴

2

5 講座 図形の性質⑴第⑶eとlを奇数番目に並べる並べ方は，

5!
* P =240（通り）
3!2! 4 4

⑶

3+6
1
=
63
24

3通り，(0，3)は1通りで合計8通り。

9!
=3024（通り）
5!1!1!1!1!

よって，

率⑵

あるから，求める確率は，50+33-16
67
=
3 ⑴
100
100

よって，eとlを同じものと考えて，⑶{1，1，6}が3通 り，{1，2，3}が6通 り

第

M
SA

8!
り，
=28（組）
6!2!

l とすればよい。

3 第
講座
講座 3確
率⑴確 率 ⑴

第4!
=6（通り）
2!2!

合計して14通りから，求める確率は，⑵

白球の分け方は，9個の○と2本の|を並べ
玉た順列に等しい。また，赤球の分け方は，5個
玉

⑵

14
7
=
C2 18

9

P5 189
=
105
625

10

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