首都圏一貫模試

小６ 適性検査Ⅰ

注意

１． 「はじめ」の合図があるまで、問題用紙を開いてはいけません。
２．問題は、大問３題で７ページあります。
３．氏名などを解答用紙の決められたところに記入しなさい。
４．声を出して読んではいけません。
５．解答は、すべて解答用紙の決められたところに記入しなさい。
６．適性検査Ⅰの時間は４５分です。

1次の会話文を読んで、あとの問いに答えなさい。
１た ろう

太郎：神社の秋祭りで見たビー玉のパチンコを、ま２３ねして作ってみたよ。
花子：上手に作ったね。
だん め

太郎：はね方を考えて、一段目のくぎに当たったビ

12

一段目

12ー玉が、二段目の左右のくぎにちょうど当たむずかるように工夫するのが難しかったよ。

二段目

次郎：ビー玉は、実際にはどういう動きをして転がっていくのかな。
太郎：それでは、２からスタートして ①一段目の真ん中のくぎに当たるようにビー玉を転がして、どのような動きでどこに転がっていくのかを三段目

四段目
くぎ確かめてみよう。
次郎：ビー玉が 16 個あるので、さっそく転がしてＡ

ＢＣＤＥみよう。
花子：何だかワクワクするわね。
問題１── 線部①について、太郎君たちはビー玉の動きを確かめるために、一段目の真ん中の1
くぎにぶつかるようにビー玉 16 個を転がしてみました。くぎにぶつかったビー玉は常に2
かくりつ
わくの確率で左右に分かれるものとして、Ａ～Ｅの枠にいくつずつ入ったかを答えなさい。

太郎：面白い結果になったね。せっかくだから、ゲーム性を持たせるためにルールを決めて、当たりの枠とはずれの枠を作るとよいのではないかと思うんだけど。
花子：それなら１～３のどこからスタートしてもよいことにして、５つの枠を当たり２つとはずれ３つにわけておくのがよいと思うよ。
次郎：どこを当たりにして、どこをはずれにするかだね。
花子：１～３のそれぞれからビー玉を転がしてみて、最も入りにくい枠から順番に２つを当たりにするというのがよいのではないかな。
かべ

次郎：ところで、１や３からスタートして壁にぶつかったビー玉は、そのあとどう壁動くのかな。
太郎：試してみたところ、壁にぶつかったビー玉は、右の図のように一段とばして真下にあるくぎにぶつかることが分かっているよ。
太郎：それでは花子さんの言うように、調べた結果で当たりとはずれの枠を決めて、みんなで遊んでみよう。

－－くぎ適性検査Ⅰ問題２ ３人は調べた結果をもとに、どの枠を当たり枠として決定したのかを答えなさい。また、
はんだん

そのように判断した理由を数値を使ってくわしく説明しなさい。
花子：ところで、お祭りですくった金魚が、最近元気がなくて少し心配なんだけれど。
太郎：それなら 0.5 ％くらいのうすい食塩水に入れてやると元気になるかもしれないよ。
次郎：そういえば、そんなことを聞いたことがあるね。
しんとうあつたんすいぎょ太郎：浸透圧の関係で、金魚のような淡水魚は体液がうすまってしまうので、塩分を体内に残しなにょうがら、うすい尿を出すことでバランスをとっているんだ。その塩分調整がうまくいかなくな
のう どって弱ってしまうことが多いので、水そうの中の水を体液に近い濃度にしてやることで、調整の必要がなくなって元気になるみたいだね。
花子：浸透圧って何？
太郎：ちょっと待って。理科辞典で調べてみるから。

ぜんとうまく全透膜

全透膜

浸透圧

はんとうまく半透膜

半透膜
りゅう しかくさん

太郎：自然界では濃度のちがいがあれば同じ濃度になるように、こい方からうすい方に粒子が拡散していくということらしいよ。上の図のように、すべての物質を通す全透膜であれば、やがて粒子がこい方からうすい方へと移動して、全体として同じこさになっていくようだね。ただし、粒子が移動できない半透膜の場合は、膜の両側で同じこさになるように水だけが移動するらしい。このとき、膜の両側で発生した圧力のちがいが浸透圧ということだね。
花子：ということわざがあるけれど、これも浸透圧の問題と関係があったのね。

次郎：まるでしおれたように元気がなくなるという意味だったね。
問題３ 花子さんの会話文の空らんにあてはまることわざを考えて答えなさい。
問題４ 会話文を参考にして、海水魚が海の中でどのようにして塩分調整をしているのかを考えて説明しなさい。
－－2次の会話文を読んで、あとの問いに答えなさい。

先生：今日は、面白いパズルをしようと思います。
花子：わぁ、先生楽しそう。どんなパズルですか。
たい

先生：てんびんパズルというパズルです。いろいろな問題があってけっこう頭を使います。頭の体そうた ろう

操にはもってこいのパズルです。

太郎：先生、早く出して下さい。
先生：それでは、さっそくやってみましょう。
＜問題Ａ＞
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５つの球があります。このうち３つはちょうど１ kg の重さですが、１つは 1.1kg で、もう一つは 0.9kg だということがわかっています。これらは見かけだけでは区別できないので、てんびんを使って 1.1kg と 0.9kg の球を見つけようと思います。てんびんを３回使えば見つけることができます。どのようにしたらいいでしょう。

むずか

太郎：たった３回ですか。ずいぶん難しそうですね。
先生：いや。よく考えればそれほど難しくありませんよ。君たちは初めてだから、すこし説明します。まず１つは、次の＜ケース１＞の場合です。
＜ケース１＞
Ｂ

Ｃ
ＤＣＥ

Ａ
１回

２回

３回

最初にＡとＢを比べてＡの方が重くて、そのあとＣとＤを比べたらつりあった場合です。このときは、つりあったＣとＤのどちらかと残ったＥを比べます。それで２つの球がどれかわかるはずですよ。
花子：本当ですか。それでは考えてみます。まず、ＡとＢを比べてＡの方が重かったから、Ａが1.1kg の球かしら。
太郎：ちがうよ。そうかもしれないけど、Ｂが 0.9kg の球の場合もそうなるでしょ。だから、この話だけ考えてもだめだと思うよ。ＣとＤがつりあった次の話とあわせて考えればいいんだよ。
ＣとＤは 1kg の球で決定するから、Ａ、Ｂ、Ｅの中に 1.1kg と 0.9kg の球が入っているよね。
これだけだと、Ａが 1kg Ｂが 0.9kg 、Ａが 1.1kg Ｂが 0.9kg 、Ａが 1.1kg Ｂが 1kg の３通りが考－－適性検査Ⅰ
えられるんだよね。このことから、残りのＥも３通り考えられるんだ。だから、Ｅを調べればＡとＢも決められるよね。そこでＣとＥを比べて、もしつりあえばＥは 1kg 、Ｅの方が重ければＥが 1.1kg 、Ｅの方が軽ければＥが 0.9kg だとなって全部わかるということだと思います。だから、＜ケース１＞ではＥが 1.1kg 、Ｂが 0.9kg です。
すじみち

先生：太郎君すばらしいね。そんなふうに筋道を立てて考えればわかりますよね。それでは、＜ケース２＞はどう考えられますか。
＜ケース２＞

ＡＤ
Ｂ
１回

ＡＣＥ
２回

３回

問題１ ＜ケース２＞の場合のそれぞれの球の重さを求めなさい。
花子：先生、とても面白いからほかにもてんびんパズルをもっと出してください。
なん

先生：てんびんパズルはたくさんの種類があって、先生がうんうんうなってもなかなか解けない難もん

問もあります。それでは、こんどは説明なしで次の問題を解いてもらいましょう。
＜問題Ｂ＞
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｉの９つの球があります。このうち８つは同じ重さですが、１つだけ他の球より少し軽い球があります。てんびんを２回だけ使って、軽い球がどれかを調べる方法を考えなさい。

太郎：こんどは１つだけですか。それも他より軽いということがわかっているんですね。考えてみます。
問題２ 先生が追加した問題Ｂに答えなさい。どのように調べて、その結果がどうなったらどの球が軽い球だとわかるのかを、わかりやすく説明しなさい。

－－

3

次の会話文を読んで、あとの問いに答えなさい。
えどよさん じゅつ先生：江戸時代の日本では、「和算」と呼ばれる算術が行われていました。
花子：私たちが学んでいる、現在の算数と同じですか。
先生：算数に近い内容もあれば、中・高校生が学習するような数学
ほう のうレベルの内容もあったようです。写真は神社に奉 納 されたさん がく

えまさん ぱい「算額」と呼ばれる算術問題の絵馬です。解答が示されていないため、参拝客はこの「算額」を見て問題を解き、見事に解けたときには解法を書いた絵馬を奉納するという、まるでクイこう こ げんズ大会のようなやりとりをしていたようです。
そこで今日は、「和算」の中から「鉤股弦の定理」について考えてみようと思います。

た ろう

太郎：鉤股弦って何ですか。
先生：わかりやすく言うと、直角三角形のことです。直角

図１

三角形の３つの辺にはある特別な関係があるので、ＡふくざつＦ

それを利用して複雑な図形の問題を解くことができＤます。ためしに、次の問題を考えてみてください。
１辺 12cm の正方形があります。その正方形の中に15cmおさまった図１のような三角形の面積を求める問題

Ｅです。
太郎：三角形の面積の出し方はわかるけれど、これでは高さがわからないので面積は求められません。
花子：という方法で求め13cmＢＣられるのではないかしら。
太郎：それにしても、わかっているのは辺ＡＢと辺ＢＣの 12cm だけだから、やっぱり求められないのではないかな。
問題１ 太郎君と花子さんの会話文をヒントに、図１の三角形の面積の出し方を、花子さんの会話文の空らんに入る形で説明しなさい。

先生：最終的には図１のような図形の問題も解けるようになりますが、鉤股弦の定理について話す
かくにん

前に、いくつか確認しておくことにしましょう。正方形の面積の求め方は知っていますね。
太郎：１辺×１辺、です。
先生：そうですね。正方形はすべての辺の長さが等しいので、たとえば１辺２ cm の正方形であれば、１辺×１辺は２×２で面積は４となります。この２×２のように同じ数を２つかけることをじょう２乗といって２² と書き表します。２×２×２なら、同じ数を３つかけているので３乗といって２³ と書き表すのです。
－－適性検査Ⅰ太郎：２×２×２×２は４乗で２⁴ となるのですね。
みぎかた花子：右肩にいくつかけたのかを表す数字を小さく書く約束なのですね。
２cm２cm２ × ２＝２２＝４（１辺 ×１辺）＝（２乗）＝（面積）花子：なるほど。いままで深く考えずに使っていたけれど、 ① cm² や cm³ の意味がようやくわかりました。

問題２

── 線部①について、cm² 、cm³ という単位の意味を、会話文を参考にしてくわしく説明しなさい。

し すう

先生：この右肩に書く数字のことを指数と呼び図２ます。それでは、鉤股弦の定理について①②説明しましょう。図２の①のように、直角三角形の各辺を、短いものから順にｃｂａ・ｂ・ｃとしたとき、常にａ 2 ＋ｂ 2 ＝ｃ 2５ａ４３という関係が成り立つというのが鉤股弦の定理です。たとえば図２の②の直角三角形の場合、ａ² ＋ｂ² ＝ｃ² は３² ＋４² ＝５² となりますね。
花子：本当だ。３² ＋４² ＝９＋ 16 ＝ 25 ＝５² となっています。
先生：この鉤股弦の定理は、すべての直角三角形にあてはまりますが、特に３辺の長さがすべて整数となる場合はめずらしいのです。
花子：先生、３・４・５をそれぞれ２倍した６・８・10 も３辺の長さがすべて整数になっています。
先生：よく気がつきましたね。それでは、このような考え方を利用して、いくつかの問題を解いてしゃへんみましょう。 ②図３の三角形ＡＢＣは斜辺が 10cm の直角二等辺三角形です。この直角二等辺三角形において鉤股弦の定理が成り立っていることを、実際の数値を用いて説明してみましょう。
太郎：ａ² ＋ａ² ＝ 10² であることを、実際の数値を使って説明すればよいのですね。
花子：ａ² というのは正方形アの面積のことですね。

－－図３Ａイ10cmａＢａアＣア問題３── 線部②について、図や会話文を参考にして、直角二等辺三角形ＡＢＣにおいて鉤股弦の定理が成り立っていることを、数値や式を用いて説明しなさい。

先生：それでは、最後に今日の授業の最初に用意した問題を解いてみましょう。

問題４ 図１の、三角形ＢＥＦの面積を求めなさい。

図１
ＦＡ

Ｄ15cm
Ｅ13cm
Ｂ－－Ｃ