数理解析研究所講究録 1242 巻 2002 年 1-15

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第 2 超局所解析と波の回折

森岡達史

阪大理

(Tatsushi MORIOKA)

Abstract.
In this note, we explain the summary of the second microlocalization by Lebeau.
By applying the second microlocalization, we can observer the amplitude of the lightdiffracted by a strictly convex obstacle.

\S 0. 序.
余接束上で偏微分方程式の構造を局所的に解析する手法を超局所解析という。余接束上で考察することにより、 方程式を標準形に帰着して解くことが可能になる。

一方で、偏微分方程式は現象を記述する数学として現れる。 そこで、 方程式を標準形に帰着して解く方法を波に適用すると何がいえるのか問題となる。偏微分方程式に支配される現象としては、 古典的な波以外に熱、 物質波等があるが、 有限伝播性をもつことから、 古典的な波への適用を考えることは基本的であるといえる。 この問題に関して、 Lebeau [3]は狭義凸な障害物により光が回折する現象において、 影\rho 部分における光の強さを理論的に評価できることを示した。

光のふるまいを数学により観測しようとすると、 波動方程式の漸近解を構或することが必要になる。 漸近解を構或するとき、 あらかじめその形を定めてから Eikonal

方程式と輸送方程式を解くのが従来の方法である。解の形を先に決める以上、 それが本当に正しいかどうかは実際に方程式を解いてみるまではわからないのが注意すべき点である。狭義凸な障害物により光が回折する現象を考えるとき、 従来の方法を適用すると、 影の部分における解のふるまいは誤差項の中に埋込まれてしまう。 そこで、誤差項から主要項をとり出すことが必要になる。 このとき、 先に決めた解の漸近形は適切かどうかという問題が生ずる。 Grazing ray の近傍における漸近解の各項を定める輸送方程式は複雑なので、 この問題を直接考察するのは困難である。 そこで方程式を標準形に帰着して解く方法が必要になる。
行列の場合、 標準形の構或は行列が作用するベクトル空間の基底のとりかえによりなされる。 これは、 ベクトル空間の線型構造を保つ変換になっている。偏微分方程式を標準形にする場合、 余接束の symplectic 構造がベクトル空間の線型構造に相当する。余接束の symplectic 構造を保つ座標のとりかえを正準変換という。偏微分作
用素が実際に作用するのは基底空間上の関数空間なので、 正準変換を作用素の変換に

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翻訳することが必要になる。 この翻訳作業を量子化という。佐藤

-

河合

-

柏原は余

接束上に Microfunction の層を定義し、 そこで正準変換の量\mp 化が可能であることを示した。 Egorov, H\"ormander は Fourier 積分作用素とその相関数の幾何により正準変換の量子化を実現した。 Sj\"ostrand [4] は複素相関数をもつ Fourier 積分
作用素を用いて、 Microfunction の層 (Sj\"ostrand 空間) において正準変換の量子化を行う理論を確立した。 ここで用いられる Fourier 積分作用素は FBI 変換とよばれる。 FBI 変換は、 佐藤

-

河合

-

柏原の理論におけるスペクトル写像の役割をする。 FBI 変換による distibution の像は複素領域上の正則関数になっているが、 相関できる点が重要である。 Lebeau[2] は余接束の等方的部分多様体から規準的に定まる symplectic 多様体 ( \’Eclat\’e数の幾何により、複素領域を余接束と規準的に同一$)$$\dagger \mathrm{E}$を考察し、 余接束からこの symplectic 多様体への symplectic 同型写像を FBI変換により量子化した。 この操作を等方的部分多様体上における第 2 超局所化とよぶ。 影の部分における光のふるまいを考察するとき、 方程式の標準形を余接束上のMicrofunction の層において構或できないことが問題となる。 そこで、 部分正則性(Cf. 柏原) を Module としてとることが必要になる。 部分正則性を Module とする解析は、 第 2 の parameter を導入することによりなされる。 \’Eclat\’e は、 この
第 2 の parameter の幾何を表しているといえる。 Lebeau [3] は第 2 超局所化を波動方程式に適用し、 後で記述する境界値問題 (1) に対する Dirichlet -Neumann
作用素は、 Glancing 領域の conormal 束上の Microfunction の層に作用する第2 超局所作用素として楕円型であり、 余接束上の Microfunction の層に作用する
unilateral 作用素として Gevrey 3 の局所性をもつことを示した。 [3] における解析から次のような結論が得られる。

狭義凸な障害物に接する方向から光が入射したとする。 このとき、入射点から障害物の測地線に沿って伝わる光が現れる。光の伝わる測地線において、 観測点を入射点の近く

でひとつ固定する。 このとき、観測点における光の強さは、 もとの強さの $\exp(-C\lambda^{1/3})$倍になる。 ここで、$\lambda$

は障害物に入射する光の周波数、 $C$ は$\lambda$に独立な正の数である。

[3] の解析を弾性波に適用することにより得られる結果 [森岡] を述べておく。
ある種の物体に力を加えると変形するが、 力を加えるのをやめるともとにもどる。 このような性質を弾性という。弾性をもつ物体を弾性体とよぶ。弾性波とは、 弾性体を伝わる波のことをいう。波の媒質のもとの状態からのずれを変位とよぶ。変位3と進行方向とが互いに平行な波を縦波といい、 垂直な波を横波という。弾性体が等方性をもつ場合、 そこを伝わる弾性波は一般に縦波と横波の重合わせになっている。
縦波と横波について、 それぞれの進行方向に対する変位の自由度を考えてみる。

縦波の変位は進行方向に対して一意的に定まるので、 変位の自由度は無いといえる。
一方、 横波の変位は進行方向に対して 2 次元の自由度を持っている。 そこで、横波については、 偏りが問題になる。 ここで、 波が偏りをもつとは、 その変位が特定方向に集中していることをいう。

一般に波が障害物に当たると反射が起こる。弾性波の場合、 入射波が縦波または横波のみであっても、 一般には反射波として縦波と横波の両方が現れる。 このように、 波の種類が変わる現象を Mode の変換とよぶ。

等方性をもつ弾性体の内部に狭義凸な障害物が存在すると仮定する。 障害物の境界上の一点を固定する。 ある方向からこの点に周波数の高い横波が斜めに入射すると、 Mode の変換により、 縦波が障害物に接する方向に現れて回折が起こる。 さらに、 障害物の境界を伝わる縦波に Mode の変換が起こって、 障害物の境界から弾性体の内部に向かって伝播する横波が現れる。 障害物の境界を伝わる弾性波を単に表面
波とよぶことにする。今の場合、 回折により現れる表面波は、 縦波と横波の重合わせになっている。 この現象において、 障害物に入射する横波が偏っていると仮定する。

このとき、 入射点の近くで次が成り立つ。

1. 回折により現れる表面波は偏りをもつ。
2. その偏りの方向は、 入射波の偏りの方向に依存して定まる。
本稿では、 Lebeau [2] に従って第 2 超局所解析の理論的な枠組みを説明する。

\S 1 では、 symplectic 幾何に関して必要となる予備知識を整理した。 \S 2 では、 余接束の等方的部分多様体から規準的に定まる symplectic 多様体 (\’Eclat\’e) について説明した。 \S 3 では、 第 2 超局所解析に現れる考え方について、 その概略を述べた。
最後に、 狭義凸な障害物による光の回折の定式化について述べる。 考える方程式は次のようになる。

(1)$\{\begin{array}{l}\square u=0\mathrm{i}\mathrm{n} \mathrm{R}\cross\Omega u|_{\mathrm{R}\cross\partial\Omega}=g\end{array}$

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口$\Omega\subset \mathrm{R}_{x}^{3}$$\Omega$in$=\partial_{t}^{2}-\triangle$:,$\mathrm{R}_{t}\cross \mathrm{R}_{x}^{3}$

外部領域。

については次を仮定する。

$(\mathrm{H}.1)\partial\Omega$(H.2)

は解析的である。

$\mathrm{R}^{3}\backslash \Omega$

は strictly convex である。

定理を記述するために、 いくつかの記号を準備する。

記号.
$N=\mathrm{R}\cross\partial\Omega$$\sigma(\triangle_{\partial\Omega})$:$\triangle_{\partial\Omega}$$\triangle_{\partial\Omega}$$\partial\Omega-\mathrm{h}\text{の}\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{p}1\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}_{\text{。}}$の主表象。

$q\in C^{\infty}(T^{*}N, \mathrm{R})$$\beta\in T^{*}(\partial\Omega)$::$q(\tau, \beta)=-\tau^{2}-\sigma(\triangle_{\partial\Omega})(\beta)$,$\tau\in \mathrm{R}$,により定義される関数。

: $T^{*}N$ から $N$ への射影。
: $q(\rho)=0$ , $\pi(\rho)=(0, z),$を満たす固定された点。
: $\gamma(s)=\exp sH_{q}(\rho)$ にょり定義される $T^{*}N$ 内の曲線 (零陪特性帯)の法線方向に沿った微分。
:$m$ :$1\leq m<3$ を満たす固定された実数。
$WF_{A}(*)$ : 解析的波面集合。
: Gevrey 級波面集合。
$\pi$$z\in\partial\Omega$$\rho\in T^{*}N\backslash \mathrm{O}$$\gamma$。

$\partial\Omega$$/\partial n$$k$$WF_{G}^{k}(*)$(Lebeau [3] )定理 1.

(H.1) と (H.2) が成り立っと仮定する。 $0<s_{0}<s_{1}$ ,は十分小、,は十分小、 $WF_{A}(g)\subset\omega_{0},$は(1) の outgoing 解とする。 . このとき、 次の (i), (ii) が成り立つ。
(i) $\gamma([s_{0}, s_{1}])\cap WF_{G}^{3}((\partial u/\partial n)|_{N})=\phi$ .
(ii) $\gamma([s_{0}, s_{1}])\cap WF_{G}^{m}((\partial u/\partial n)|_{N})=\phi$ または$\omega_{0}\subset T^{*}N\backslash 0$$s_{1}$$\rho\in\omega_{0},$$\gamma([s_{0}, s_{1}])\subset WF_{G}^{m}((\partial u/\partial n)|_{N})$$\omega$$u$が成り立つ。

\S 1 Symplectic 幾何の復習.
$W$は有限次元の実ベクトル空間、$\sigma$は $W\cross W$ がら$\mathrm{R}$への実双線型写像とす

る。

定義 LL

$\sigma$が非退化であるとは、 次が成り立つことをいう。

$a\in W$ , 任意の $b\in W$

に対して $\sigma(a, b)=0$ ならば、 $a=0$ である。

5
定義 L2.

が歪対称であるとは、任意の $a,$$\sigma$$b\in W$ に対して、 $\sigma(a, b)=-\sigma(b, a)$が成り立つことをいう。

定義 L3.

$(W, \sigma)$が symplectic ベクトル空間であるとは、$\sigma$が歪対称かつ非退化であることをいう。

symplectic ベクトル空間とする。 $W$ の部分集合

は$(W, \sigma)$$A^{[perp]}=\{a\in W : \sigma(a, b)=0, \forall b\in A\}$

定義 1.4.

(i)

$A$

$A$

$\Leftrightarrow \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}$$A\supset A^{[perp]}$$A$$\Leftrightarrow \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}$$A$$\Leftrightarrow \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}$$N$は$\sigma$の$(N, \theta)$$\theta$$A=A^{[perp]}$

は $A$ 上非退化である。

$\sigma|A$$A\cross A$

は実解析的多様体、

定義 L5.

と定義する。

$\Leftarrow A\subset A^{[perp]}$(ii) A は包合的である(iii) は lagrangian である(i) は symplectic である$\sigma|_{A}$に対して、は $W$ の部分空間とする。

は等方的である

ここで、$A$への制限を表す。

は $N$ の 2 形式 (すなわち、 2 次の微分形式)

が symplectic 多様体であるとは、 次のとする。

(i), (ji) が成り立つことをいう。

(i) 任意の $a\in N$ に対して、(ii) $d\theta=0$ が成り立つ。
$(N, \theta)$

定義 L6.

$\theta_{a}$は $T_{a}N$ で非退化である。

は symplectic 多様体、$\Gamma$$\Gamma$は $N$ の部分多様体とする。

が $N$ の [等方的、 包合的、 Lagrange, symplectic ] 部分多様体であるとは、 任意の $a\in N$ に対して、
において、 それぞれ、$T_{a}\Gamma$

は symplectic ベクトル空間$(T_{a}N, \theta_{a})$[等方的、 包合的、 lagrangian, symplectic ] であることを

いう。
$N$

から

微分写像

$\chi$$\mathrm{R}^{n}$への実解析的関数全体の集合をが与えられたとき、$\chi$の引戻しを$C^{\omega}(N, \mathrm{R}^{n})$$\chi^{*}$で表す。

で表す。 $N$ 上の可6
定義 L7.

$\chi$

は $N$ 上の可微分同型写像とする。

$\chi$

が正準変換であるとは、$\chi^{*}\theta=\theta$が成り立つことをいう。

が与えられたとする。 このとき、 $N$ 上のあるベクトル場$f\in C^{\omega}(N, \mathrm{R})$が一意的に存在して、$\langle df, *\rangle\tau*N\cross TN=\theta(*, Hf)$

Hamilton ベクトル場とよぶ。 定義より、あることがわかる。 $f$ の零点を通る$f,$の$g\in C^{\omega}(N, \mathrm{R})$$H_{f}$$H_{f}$

が成り立つ。

$H_{f}$

を$H_{f}$$f$のの積分曲線上において $f$ は定数での積分曲線を $f$ の零陪特性帯とよぶ。

に対して $\{f, g\}=Hfg$ と定義する。 $\{f, g\}$ を $f$ と$g$Poisson bracket とよぶ。

補題$\mathrm{L}\mathrm{L}$

次が成り立つ。

(i) $\{f, g\}=-\{g, f\}$ ,(ii) $\{\{f, g\}, h\}+\{\{g, h\}, f\}+\{\{h, f\}, g\}=0$ ,(iii) $[H_{f}, H_{g}]=H_{\{f,g\}}$ ,$\forall_{f},$$g\in C^{\omega}(N, \mathrm{R})$$\forall f,$

補題 L2.

$V$$\forall f,$$g,$$g\in C^{\omega}(N, \mathrm{R})$は $N$ の部分多様体とする。次の (i), (ii) は同値である。

(i) $V$ は $N$ の包合的部分多様体である。
.
(ii) $f,$ $g\in C$‘ $(N, \mathrm{R}),$ $f|v=g|v=0$ ならば $\{f, g\}|_{V}=$$\dim N=2n$ ,$(x, \xi)$$h\in C^{\omega}(N, \mathrm{R})$$x\in C^{\omega}(N, \mathrm{R}^{n})$,$\xi\in C^{\omega}(N, \mathrm{R}^{n})$$0$が成り立つ。

とする。 さらに、

は $N$ の実解析的座標になっているとする。

定義 L8.

$(x, \xi)$

が $N$ の正準座標であるとは、$\theta=\sum_{k=1}^{n}$夫$k\wedge dx_{k}$が成り立っことをいう。

$f\in C^{\omega}(N, \mathrm{R})$,$(x, \xi)$

は $N$ の正準座標とする。

$H_{f}$

すと次のようになる。

(1.1)$H_{f}= \sum_{k=1}^{n}(\frac{\partial f}{\partial\xi_{k}}\frac{\partial}{\partial x_{k}}-\frac{\partial f}{\partial x_{k}}\frac{\partial}{\partial\xi_{k}})$を $(x, \xi)$ を用いて表7の積分曲線を$H_{f}$で表す。

$\gamma$とする。 このとき、 $(x(t), \xi(t))$$\gamma(t)\ovalbox{\tt\small REJECT}(x(t), \xi(t))$

は常微分方程式(1.2)$\{\begin{array}{l}\dot{x}(t)=(_{\nabla\xi}f)(x(t),\xi(t))\dot{\xi}(t)=-(_{\nabla x}f)(x(t),\xi(t))\end{array}$の解になっている。

は実解析的多様体、 $G=T^{*}M$ ,$\mathrm{A}l$の 1 形式$\pi$

は $G$ から$M$への射影とする。 $G$ 上を、$\alpha$$\langle\alpha, \varphi\rangle_{T_{\rho}^{*}G\cross T_{\rho}G}=\langle r, \pi_{*}\varphi\rangle_{T_{\kappa}^{\mathrm{r}}M\cross T_{\kappa}M}$により定義する。 ここで、,$\varphi\in T_{\rho}G$$\rho\in G$,$\rho=(\kappa, r)$,$\kappa=\pi(\rho)$,$r\in$である。

$T_{\kappa}^{*}M$$G$

上の 2 形式$\alpha$

を

$G$

を、

$\omega$$\omega=d\alpha$の正準 1 形式、$\dim M=n$ ,$\omega$をにより定義する。

$G$の正準 2 形式とよぶ。

$x\in C^{\omega}(M, \mathrm{R}^{n})$は $M$ の実解析的座標であるとする。 このとき、 各 $\kappa\in M$ に対して、 $T_{\kappa}^{*}M=\langle dx_{1}, \ldots, dx_{n}\rangle$ となっている。

1 次結合で表される。 このことから定まると書くことにする。
の座標 $(x, \xi)$ による表示は、,は基底$\{dx_{k}\}_{k=1}^{n}$の$\alpha=\sum_{k=1}^{n}\xi_{k}dx_{k}$となる。

(1.3) より、の元の座標を $(x, \xi)$$\omega$$\alpha$

(1.3)

$G$

$T_{\kappa}^{*}M$$\omega$,$\omega=\sum_{k=1}^{n}d\xi_{k}\Lambda dx_{k}$は非退化である。 また、 $\omega=d\alpha$ より、 必 $=0$ となることがわかる。 従って、 $(G, \omega)$ は symplectic 多様体である。 (1.3) より、 $(x, \xi)$は$G$の正準座標である。

とする。

$\varphi\in C^{\omega}(M, \mathrm{R})$$(x, (d\varphi)_{x})$,$x\in M$

$M$

から

$G$

への可微分写像

により定義する。

補題 L3.

(i)(ii)$j_{\varphi}$

は $M$ から

$j_{\varphi}(M)$$G$

への埋込みである。

は $G$ の Lagrange 部分多様体である。

$j_{\varphi}$を、$j_{\varphi}(x)=$

8
$M$

は

$\mathrm{R}^{n}$の開集合、 $P$ は $M$ 上の $m$ 階偏微分作用素であって、(1.4)$P= \sum_{|\beta|\leq m}a_{\beta}D^{\beta}$と表されているとする。 ここで、 $n\beta=$$D_{n}^{\beta_{n}}$

る。

,

,

$D_{k}=-i\partial/\partial x_{k}$$P$の主表象 $\sigma(P)$ を、(1.5)$(\beta_{1}, \ldots , \beta_{n})$に対してである。 また、$| \beta|=\sum_{k=1}|\beta_{k}|$$D^{\beta}=D_{1}^{\beta_{1}}$$a_{\beta}\in C^{\omega}(M, \mathrm{C})$...
とす$\rho=(y, \eta)\in M\cross \mathrm{R}^{\mathrm{n}}$$\sigma(P)(\rho)=\sum_{|\beta|=m}a_{\beta}(y)\eta^{\beta}.$’により定義する。 このとき、 $\sigma(P)\in C^{\omega}(G, \mathrm{C})$ が成り立つ。すなわち、 $\sigma(P)$ は$M$の座標のとり方によらずに余接束 $G$ 上の関数を定める。 特に、 $P$ が $M$ 上の実解析的ベクトル場の場合には、(1.6)$\sigma(P)(\rho)=i\langle r, P\rangle_{T_{\kappa}^{*}M}$が成り立つ。 ここで、 $\rho\in G$ ,$\rho=(\kappa, r)$,$T_{\kappa}M$、$\kappa=\pi(\rho)$,$r\in T_{\kappa}^{*}M$である。

\S 2. 等方的部分多様体の \’Eclat\’e.
$M$は実解析的多様体、 $G=T^{*}M$ ,た、 $G$ の正準 2 形式を$\omega$$\Gamma$は $G$ の等方的部分多様体とする。 まで表わす。 $G$ における可微分曲線の集合 $E$ を、$E=\{\gamma\in C^{\infty}(\mathrm{R}, G) : \gamma(0)\in\Gamma,\dot{\gamma}(0)\in(T\Gamma)^{[perp]}\}$

により定義する。
定義 2.1.

(i)(ii)$\gamma_{2}\in E$$\gamma_{1},$とする。

\gamma 1\sim \gamma 2\Leftarrow \rightarrow 次の (i) $-(iii)$ が成立。

$\gamma_{1}(0)=\gamma_{2}(0)$$\forall f\in C^{\infty}(G, \mathrm{R})$,$f|\mathrm{r}=0$$f\circ\gamma_{1}(s)-f\circ\gamma_{2}(s)=O(s^{2})$(iii)$\forall f\in C$ “ $(G, \mathrm{R})$,,,$sarrow 0$$f|\mathrm{r}=0,$$f\circ\gamma_{1}(s)-f\circ\gamma_{2}(s)=O(s^{3})$,$H_{f}|\mathrm{r}\in T\Gamma$$sarrow 0$,9\’Eclat\’e)$\overline{\Gamma}k\Gamma\sigma$$\acute{\mathrm{x}}\ovalbox{\tt\small REJECT}\backslash 2.2.\overline{\Gamma}=E/\sim k^{m}\mathrm{x}\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\backslash }\mathrm{T}$$\mathrm{o}$$kX\nu\xi_{\mathrm{Y}_{\mathrm{O}}}^{\backslash }\backslash$

以下、 $M=\mathrm{R}^{n},$ $n\geq 2,$ $\dim\Gamma=1$ と仮定する。

定義 2.3.

$(x, \xi)$

は $G$ の正準座標とする。

$(x, \xi)$が$\Gamma$に適合した $G$ の座標であるとは、 $|b’|=1$ をみたすある $b’\in \mathrm{R}^{n-1}$ が存在して、$\Gamma=\{(x, \xi)\in G : x_{1}\in \mathrm{R}, x’=0, \xi_{1}=0, \xi’=b’\}$が成り立つことをいう。 ここで、 $x=(x_{1}, x’)\in \mathrm{R}\cross \mathrm{R}^{n-1}$

以下、$(x, \xi)$$\Gamma$に適合した $G$ の座標が存在すると仮定する。

をひとつ固定する。

$\gamma_{2}\in E$$\gamma_{1},$$\Gamma$。

に適合した $G$ の座標とする。

補題 2.1. \gamma 1\sim \gamma 2\Leftarrow \rightarrow 次の $(i)-(iii)$ が成立。

(i)
(ii)
(iii)

$\gamma_{1}(0)=\gamma_{2}(0)$$\dot{\gamma}_{1}(0)-\dot{\gamma}_{2}(0)\in T\Gamma$$\ddot{\gamma}_{1}(0)-\ddot{\gamma}_{2}(0)\in(T\Gamma)^{[perp]}$$\overline{\Gamma}$

から$\mathrm{R}^{2n}$への写像 $(y, \eta)$ を、$y_{1}(\overline{\gamma})=(x_{1}\circ\gamma)(0)$,$y_{k}(\overline{\gamma})=(d/ds)(x_{k}\circ\gamma)(s)|_{s=0}$$\eta_{1}(\overline{\gamma})=\frac{1}{2}(d/ds)^{2}(\xi_{1}\circ\gamma)(s)|_{s=0}$$\eta_{k}(\overline{\gamma})=(d/ds)(\xi_{k}\circ\gamma)(s)|_{s=0}$$1\leq k\leq n$,$\overline{\gamma}\in\overline{\Gamma}$,$y=(y_{1}, \ldots, y_{n})$,$\gamma\in E$

,

,

,
:

$\overline{\gamma}$の代表,$\eta=(\eta_{1}, \ldots, \eta_{n})$により定義する。
補題 2.2.

$(y, \eta)$はから$\overline{\Gamma}$

補題 2.2 より、 $(y, \eta)$ は$\Psi\in C^{\infty}(\mathrm{R}, TG)$る。 ここで、$\mathrm{R}^{2n}$$\overline{\Gamma}$

への全単射である。

に実解析的可微分構造を定める。

が与えられたとき、 $\Psi(s)=(\gamma(s), v(s))$ と表すことにす$\gamma(s)\in G$,$v(s)\in T_{\gamma(s)}G$

である。

10
定義 2.4. 次の (i), (ii) をみたす $\Psi\in C^{\infty}(\mathrm{R}, TG)$ の全体の集合を $F$ で表す。

(i)
(ii)

$\gamma\in E$,$v(0)\in T\Gamma$,$\forall f\in C^{\infty}(G, \mathrm{R});f|_{\Gamma}=0$$H_{f}|\mathrm{r}\in T\Gamma$$\langle(df)_{\gamma(s)}, v(s)\rangle_{T_{\gamma(s)}^{*}G\cross T_{\gamma(s)}G}=O(s^{2}),$

定義 2.5.

$F$から$\mathrm{R}$

への写像

,

$\Psi\in F$

補題 2.3. 任意の $\Psi\in F$ に対してあるの$sarrow \mathrm{O}$が成り立つ。

を、$\alpha 0$$\alpha_{0}(\Psi)=\lim_{sarrow 0}\frac{1}{2s}\omega(\dot{\gamma}(s), v(s))$

に対して{こより定義する。

$\varphi\in C^{\infty}(\mathrm{R}_{s}\cross \mathrm{R}_{t} , G)$が存在して、 次$(i)-(iii)$ が成立する。

(i) $\varphi(s, 0)=\gamma(s)$ ,
(ii)
(iii)
$\varphi(*, t)\underline{\in E,}$$(\partial\varphi/\partial t)(s, t)|_{t=0}=v(s)$,$\forall_{s\in \mathrm{R}}$$\forall t\in \mathrm{R}$$[tarrow\varphi(*, t)]\in C^{\infty}(\mathrm{R},\overline{\Gamma})$

定義 2.6.

$F$から$T\overline{\Gamma}$への写像

により定義する。 ここで、$h$を、 $h(\Psi)=\dot{\beta}(0)$ ,$\Psi\in F$

は補題 23 の $(\mathrm{j})-(iii)$ をみたす$\varphi$,$\beta(t)=\varphi\overline{(*,t})$$C^{\infty}(\mathrm{R}_{s}\cross \mathrm{R}_{t}, G)$の元である。
補題 2.4.

$h$

補題 2.5.

$\Psi_{k}\in F$$\alpha 0(\Psi_{2})$は $F$ から$\overline{\Gamma}$, $k=1,2$ とする。 $h(\Psi_{1})=h(\Psi_{2})$ ならぼ

上の 1 形式義する。 また、式、への全射である。
$\alpha_{0}(\Psi_{1})=$

が成り立つ。

定義 2.7.

$\overline{\omega}$$T\overline{\Gamma}$を$\overline{\Gamma}$$\overline{\Gamma}$$\tilde{\alpha}$

を、上の 2 形式$\overline{\omega}$$\langle\overline{\alpha},\tilde{\Psi}\rangle_{T^{*}\overline{\Gamma}\cross T\tilde{\Gamma}}=\alpha_{0}(\Psi)$

を、$\overline{\omega}=d\overline{\alpha}$,$h(\Psi)=\overline{\Psi}$により定義する。

$\overline{\alpha}$を$\tilde{\Gamma}$にょり定の正準 1 形の正準 2 形式とよぶ。

補題 2.6.

(i) は で非退化である。
(ii) 必 $=0$ が成り立っ。
$\overline{\Gamma}$$\tilde{\omega}$

補題 26 より、$(y, \eta)$

した

$G$

を

$(\overline{\Gamma},\overline{\omega})$$(x, \xi)$は symplectic 多様体である。

により定まるの座標である。

$\overline{\Gamma}$の座標とする。 ここで、 $(x, \xi)$ は$\Gamma$に適合

11
補題 2.7. 次が成り立つ。

(i)$\overline{\alpha}=\eta_{1}dy_{1}+\frac{1}{2}\sum_{k=2}^{n}(\eta_{k}dy_{k}-y_{k}d\eta_{k})$(ii)$\overline{\omega}=\sum_{k=1}^{n}d\eta_{k}\Lambda dy_{k}$補題 27 の (ii) より、

定義 2.8.
ここで、$\overline{\gamma}$$\mathrm{R}_{+}$の$\overline{\gamma}$$(y, \eta)$への作用$\overline{K}$は), $t>0$ により定義する。

を、は $\gamma\in E$ を代表元とするの正準座標である。

$\overline{\Gamma}$$\overline{K}_{t}\overline{\gamma}=\gamma\overline{(t\cdot*}$の元である。

$\overline{\Gamma}$

補題 2.8. 任意の $t>0$ に対して、 次が成り立つ。

(i)
(ii)

$(\overline{K_{t}})^{*}\overline{\alpha}=t^{2}\overline{\alpha}$$(\overline{K_{t}})^{*}\overline{\omega}=t^{2}\overline{\omega}$$K_{t}$の座標による表示は次のようになる。

補題 2.9.
$\overline{K_{t}}\overline{\gamma}=$$\overline{\gamma}\in\overline{\Gamma}$,$\overline{\gamma}=(p, q)$$T^{*}\Gamma$が成り立つ。 ここで、 $p=(p_{1}, p’)\in \mathrm{R}\cross \mathrm{R}^{n-1}$ ,$(p_{1}, tp’ ; t^{2}q_{1}, tq’)$$q=(q_{1}, q’)\in \mathrm{R}\cross \mathrm{R}^{n-1}$から$\overline{\Gamma}$

られたとする。

への写像$g\in C^{\infty}(G, \mathrm{R})$である。

を次のように定義する。

$j$$q|\tau_{\kappa}\mathrm{r}=\theta$, $t>0$ とする。 このとき、をみたす$q\in T_{\kappa}^{*}G$$\kappa\in\Gamma$,$\theta\in T_{\kappa}^{*}\Gamma$が与えを固定する。 $(dg)_{\kappa}=q$ をみたすを固定する。

補題 2.10. ある $\gamma\in E$ が存在して、 次の (i), (ii) が成り立つ。

(i) $\gamma(0)=\kappa,\dot{\gamma}(0)=0$$f|_{\Gamma}=0,$(ii)$\forall f\in C^{\infty}(G, \mathrm{R}),$$H_{f}|_{\Gamma}\in T\Gamma$$f \mathrm{o}\gamma(s)=\frac{1}{2}s^{2}\{f, g\}(\kappa)+O(s^{3}),$$sarrow 0$

に対して、
,
は
は補題 2.10 の (i), (ii) をみたす ,定義 2.9.

$\kappa\in\Gamma$$\theta\in T_{\kappa}^{*}\Gamma$$\overline{\gamma}$$\alpha_{\Gamma}$と定義する。 ここで、 $\gamma\in E$$\gamma\in E$ を代表元とするの元である。

$j(\theta)=\overline{\gamma}$$\gamma$

T 丁の正準 1 形式を,, 正準 2 形式を$\overline{\Gamma}$$\omega_{\Gamma}$

で表す。

12
補題 2.11.

(i)
(ii)

は

$j$

)

$\backslash ,\lambda\mathrm{B}^{\grave{\grave{\mathrm{a}}}}\text{成^{}\backslash }\gamma$$[perp]|"’\supset\text{。}$への埋込みである。

$T^{*}\Gamma \text{の}\overline{\Gamma}$$j^{*}\tilde{\alpha}=\alpha_{\Gamma}$$(iii)j^{*}\tilde{\omega}=\omega_{\Gamma}$の T 丁への作用を$\mathrm{R}_{+}$$K$で$\text{表}$補題 2.12. 任意の $t>0$ に対して
写像わす。

が成り立つ。

$\overline{K}_{t}\mathrm{o}j=j\mathrm{o}K_{t^{2}}$を座標で表示すると次のようになる。

$j$

補題 2.13.

$(m$, \mu \in T 丁とする。 このとき、 $j(m, \mu)=(m, 0, \ldots 0;\mu, 0, \ldots, 0)$$)$が成り立つ。
から$\Gamma$$\gamma(s)=\kappa$

立つ。
$\Gamma$への写像$\overline{\Gamma}$,$\forall s\in \mathrm{R}$$\iota(\kappa)=\overline{\gamma}$$\iota$を次のように定義する。

$\kappa\in\Gamma$が与えられたとする。

をみたす $\gamma\in C^{\infty}(G, \mathrm{R})$ をとる。 このとき、 $\gamma\in E$ が成りと定義する。 ここで、は $\gamma\in E$ を代表元とする$\overline{\gamma}$の T 丁への、 零断面としての埋込みを$\mathcal{O}$$\tilde{\Gamma}$の元である。

で表わす。

補題 2.14.

(i)
(ii)

は

$\iota$$\Gamma$のが成り立つ。

$j\circ \mathcal{O}=\iota$

定義 2.10.

への埋込みである。

$\overline{\Gamma}$$\tilde{\Gamma}$から

ここで、 $\gamma\in E$ は$T^{*}\Gamma$から$\Gamma$$\Gamma$$\overline{\gamma}$への写像$\overline{\pi}$を、の代表元である。

への射影を$\pi_{\Gamma}$$\overline{\pi}(\overline{\gamma})=\gamma(0)$$\overline{\pi}$を$\tilde{\Gamma}$の$\Gamma$,$\overline{\gamma}\in\overline{\Gamma}$により定義する。

への射影とよぶ。

で表す。

補題 2.15.

(i)
(ii)
(iii)

$\overline{\pi}$は$\overline{\Gamma}$$\Gamma$への全射である。

$\overline{\pi}\circ\iota=id_{\Gamma}$が成り立つ。

$\overline{\pi}\circ j=\pi_{\Gamma}$が成り立つ。

$\kappa\in\Gamma$のから$\kappa$とする。

$(\tilde{\Gamma})_{\kappa}\subset\tilde{\Gamma}$

を、$(\overline{\Gamma})_{\kappa}=\tilde{\pi}^{-1}\{\kappa\}$における繊維とよぶ。 定義より、

は、 disjoint union になっている。

により定義する。

$\overline{\Gamma}=\cup\{(\overline{\Gamma})_{\kappa} :\kappa\in\Gamma\}$$(\overline{\Gamma})_{\kappa}$

を$\tilde{\Gamma}$

が成り立っ。 これ

13
補題 2.16.
$\ovalbox{\tt\small REJECT})$

任意の$\kappaarrow \mathrm{F}$と任意の $t>0$ に対して

任意の $t>0$ に対して$\ovalbox{\tt\small REJECT} i)$

定義 2.11.

$K_{\mathrm{Z}}((\mathrm{F})\mapsto\ovalbox{\tt\small REJECT}(\mathrm{F})$$K\cdot(v)^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}id_{t}(v)$$f\in C^{\infty}(G, \mathrm{R}),$$f|\mathrm{r}=0,$.

が成り立つ。

が成り立つ。

$H_{f}|\mathrm{r}\in T\Gamma$とする。

$\overline{f}\in C^{\infty}(\overline{\Gamma}, \mathrm{R})$を、$\overline{f}(\tilde{\gamma})=\lim_{sarrow 0}s^{-2}f\circ\gamma(s)$により定義する。 ここで、 $\gamma\in E$ は$\overline{\gamma}\in\overline{\Gamma}$の代表元である。

\S 3. 特異性伝播.

この節では偏微分方程式の解の解析的特異性伝播が \’Eclate’ を通じてどのようには $G$説明されるのか、 その考え方を述べる。 以下、 $M=\mathrm{R}^{n}$ , $G=T^{*}M$ ,の等方的部分多様体とする。 簡単のため、 $\dim\Gamma=1$ と仮定する。 その他の記号は$\Gamma$\S 2 に従うものとする。
$u\in \mathcal{E}’(M)$

波面集合

において
の第 2 解析的が与えられたとする。 このとき、が定まる。 第 2 解析的波面集合は次のような性質をもつ。
$\overline{\Gamma}\backslash \iota(\Gamma)$$u$$WF_{A\Gamma}^{2}u$

主張 3.1.

(i)$WF_{A\Gamma}^{2}u$は$\overline{\Gamma}\backslash \iota(\Gamma)$

において閉集合である。

(ii) 任意の $t>0$ に対して、(iii)$WF_{A\Gamma}^{2}u$$\overline{\pi}(WF_{A\Gamma}^{2}u)=\Gamma\cap WF_{A}u$

主張 3.2.

(j)
(ii)

$u$

は

$\rho$$\rho\in\Gamma$$\overline{K_{t}}$に関して不変である。

が成り立つ。

とする。 次の (i), (ii) は同値である。

で r 一部分正則である。

$j(T_{\rho}^{*}\Gamma)\cap WF_{A\Gamma}^{2}u=\phi$

主張 3.3.

は作用$\Gamma_{0}\subset\Gamma$,$\Gamma_{0}$が成り立つ。

は連結とする。 $u$ は$\Gamma_{0}$において F 一部分正則であると仮定する。 このとき、 $\Gamma_{0}\cap WF_{A}u=\phi$ または $\Gamma_{0}\subset WF_{A}u$ が成り立つ。
$P$

は $M$ 上の実解析的係数をもつ偏微分作用素、 $p=\sigma(P)$ とする。

Char $P=\{\rho\in T^{*}M\backslash \mathrm{O} : p(\rho)=0\}$
により定まる集合 Char $P$ を $P$ の特性集合とよぶ。 以下、 $p$ は実数値であると仮14
定義 3.1.

$P$が主要型であるとは、 次が成り立つことをいう。

(i) Char $P$ は空集合でない。
(ii) Ch $ar$ $P$ の各点において正準 1 形式
$P$$\alpha$と$dp$は一次独立である。

は主要型であると仮定する。 $p=\sigma(P)$ とする。 $p$ の零陪特性帯定する。 このとき、が成り立つ。
補題 3.4.

$\Gamma$の$\Gamma$は $G$ の等方的部分多様体であって、 $p|\mathrm{r}=0$ ,\’Eclate’ を$\overline{\Gamma}$$\Gamma$をひとっ固$H_{p}|\mathrm{r}\in T\Gamma$で表す。

に対して定義 2.11 にょり定まる関数とする。
$\rho\in j(T^{*}\Gamma)$とする。 このとき、 次の (i), (ii) は同値である。
が成り立つ。
(i)$\overline{p}\in C^{\omega}(\overline{\Gamma}, \mathrm{R})$は $p$$\rho\in\iota(\Gamma)$(ii)$\overline{p}(\rho)=0$$P$が成り立つ。

は主要型であって、 $Pu=0$ が成り立つと仮定する。

き、 補題 3.4 より
とと

$P$

は

$\Gamma$で楕円型であるといえる。 $P$ が$\overline{\Gamma}$$\Gamma$において考えるとで楕円型であるこ$Pu=0$ から $j(T^{*}\Gamma)\cap WF_{A\Gamma}^{2}u=\phi$ が従う。 主張 32 より、$u$は$\Gamma$でr 一部分正則であることがわかる。 ゆえに、 主張 33 より、 $\Gamma\cap WF_{A}u=\phi$ または $\Gamma\subset Wp_{A}u$ が成り立っ。 これは、 $Pu=0$ の解 $u$ につぃての解析的特異性伝播にほかならない。 このように、 第 2 超局所化とは、 作用素の特性集合の爆裂 (blowup) により、 作用素が楕円型になる特定方向を取り出す操作であるといえる。
ここでは、 第 2 超局所化について、 その考え方の概略のみを述べた。 これが理論として意味を持つためには、 余接束から \’Eclat\’e への symplectic 同型写像の量子化が必要になる。 これは、 FBI 変換により可能になる。
第 2 解析的波面集合の定義は Lebeau[2, page 192 の定義 4. 月、 r 一部分正則性の定義は [2, page 194 の定義] において与えられてぃる。

15
REFERENCES
1. G. Lebeau, Deuxi\‘eme microlocalisation \‘a croissance, S\’eminaire Goulaouic -Meyer .Schwartz (1982-1983).
2. G. Lebeau, Deuxi\‘eme microlocalisation sur les sous-vari\’et\’es isotropes, Ann. Inst.
Fourier Grenoble 35 (1985), 145-216.

3. G. Lebeau, R\’egularit\’e Gevrey 3pour la diffraction, Comm. P.D.E. 9(1984), 14371494.
4. J. Sj\"ostrand, Singularit\’es analytiques microlocales, Ast\’erisque 95 (1982).