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必要・十分条件と必要十分条件の指導
むらかみ

せんずい

村上 仙瑞伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊§1．はじめに

ここでは定義に従って，集合に着目して解説した

必要条件，十分条件，必要十分条件は大学入試頻こと，またパワーポイントのアニメーションを使う出分野で，問題の解き方のパターンがいろいろなとことによって理解度が上がったことを紹介したい。

ころで解説されている。
出題形式といえば，たとえば次のように，
 n が自然数のとき，n が 6 の倍数であることは n が 3 の倍数であるための条件であるというようなクイズ形式で，この解き方はパターン化していて，n が 6 の倍数である  n が 3 の倍数であると矢印をかき，この命題は真であり，また逆にn が 3 の倍数である  n が 6 の倍数である§2．なぜ必要条件，十分条件というのか
必要条件，十分条件の定義は，2 つの条件 p，q について，命題 p  q が真であるとき，p は，q であるための十分条件である，q は p であるための必要条件であるという。
つまり，p(十分条件)  q(必要条件)と矢印をかき，これは偽であるから，答えは十分条である。この表現のうらに隠された本質的な意味に件である，となる。

ついて，なぜ必要条件，十分条件といわれるのか考生徒の方は，答えが出ればそれがよいわけで，こえよう。の問題の意味について深くは考えようとしない。答

まず命題が真であるとは教科書に解説されているえを埋めればそれでよいという状態になっている。

ように，条件 p，q を満たすものの集合 P，Q につい単に答えを求めるだけで，この先どういう応用がまて，命題 p  q が真であるとき，っているのかも述べられていないので，はっきりいってこの問題を解いたら終わりである。

P⊂Qが成り立っているということである。またこの部分

しかし，必要，十分条件はその後数学を解く過程

集合 P，Q を考える以上，もちろんこれらを包む全において目立たないが礎になっている。入試問題で体集合があるわけで，生徒にまず意識させたのは，も同値 (必要十分条件) をきちんと示さないと，正解P，Q を包む全体集合 U を考えさせることである。

を与えないあえて同値性に気づくかを試している問つまりこれらの命題とそれぞれの条件の意味は次の題もたくさん出題されている。だからこそ，この分ようにまとめられる。

野については，きちんと理解をして論理力を鍛えないといけないということである。また数学Ⅰの最初の方にでてくるというのもその重要さ故だと考える。
また生徒もなぜ必要条件，十分条件という名前がついているのかもきちんと理解できていない生徒も多い。そこでこの必要条件，十分条件の授業準備研究をしていく中で，生徒がこの意味を理解して私自身が授業で手応えをつかんだ指導，授業研究について共有できたらと思い筆をとった。私自身の授業研究を紹介していきたい。

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この十分条件，必要条件の意味は，P，Q を包む全体集合 U を考え，全体集合 U の要素 が集合 P に属するには Q に属することが (少なくとも) 必要で，Q に属するには集合 P に属していれば十分。だから p が十分条件で，q が必要条件といわれる所以である。ということである。この解説ではあまりに抽象的であるので，もっと身近な話題で解説した。たとえば次のようなものである。

神戸市民であることは，兵庫県民であるためのこの意味について，文章にして考えよう。全体集条件である。ここでまずは神戸市民という集合 U をたとえば，実数全体としよう。ある U の元，合 P，兵庫県民という集合を Q，そして P と Q を含∈U をとり， が Q に属するには，P に属せば十むような全体集合，たとえば日本人の集合 U とい分で (  が 3 であれば十分で)，P に属するには，Qう集合を考える。そして日本人の集合 U から 1 人に属することが少なくとも必要である (つまり，の日本人を考え，この日本人が神戸市民といわれるが 2 乗して 9 になる実数の集合 Q に属していることには兵庫県民の集合に属することが少なくとも必要が少なくとも必要) という意味である。

で，兵庫県民であるには神戸市民の集合に属していれば十分であるという意味である。また逆は，兵庫県民 Q⊄ 神戸市民 P であるので，逆は成り立たな§3．必要十分条件 (同値) の本質的な意味
次に必要十分条件 (同値) について，本質的な意味を解説する。定義は次の通りである。

い。よって答えは十分条件となる。
冒頭で述べた具体例に関しても，全体集合 U を自然数の集合として (別に実数の集合や整数の集合

2 つの命題p  q，q  pがともに真であるとき，でもかまわない)，この U から 1 つの自然数 n を選

p  qんで，この自然数 n が 6 の倍数の集合に属するにはと表し，p は，q であるための必要十分条件という。

3 の倍数の集合に属することが少なくとも必要で，また，q は，p であるための必要十分条件でもある。

また自然数 n が 3 の倍数の集合に属するには少なくp  q であるとき，p と q は同値でもあるともとも 6 の倍数の集合に属していれば十分であるといいう。このとき，すなわち P のすべての元が Q に属うことである。

し (P⊂Q)，かつ Q のすべての元が P に属している

このように，(Q⊂P) であるので，条件 p，q を満たすものの集
合 P，Q について，P=Q が成り立つ。

⑴

全体集合を考える。

⑵

全体集合の元 (主語) は何であるかをはっきり

8 割以上が合格の資格試験があったとする。全体させる。
⑶

授業で用いた具体例は次のようなものである。

その元が与えられた条件の集合に属するには少なくとも何が必要で，どこに属していれば十分集合を受験した人全員とし，命題

p：8 割以上の点数をとる
 q：資格試験に合格するであるかを考える。
が十分条件，必要条件の本質である。以上の解説かを考える。この命題の意味は， 8 割以上の点数をらわかるように，どちらかというと必要は緩い条件，とった人すべては，資格試験に合格するという意

十分条件は強い条件ということもいえる。これらを味で，この場合，真であり，教科書の定義をそのま意識させて解説させ，生徒が問題演習するときも上ま適用すると，資格試験に合格することは， 8記のやり方によって作文を作らせることによって，割以上の点数をとるであるための必要条件になる

生徒の理解度が飛躍的に伸びた。という数学特有の表現で，理解することが難しい文章になってしまう。そこで集合の登場である。受験

2 ．1

した人が，
 8 割以上の点数をとった人の集合 Pに練習問題
a=3 は，a =9 であるための条件である。

属するには，少なくとも資格試験に合格した人のまずは矢印を使った命題の形にかえる。つまり，集合 Qに属することが必要であるということであ

p：a=3  q：a=9り，また資格試験に合格した人の集合 Qに属すを考える。条件 p を満たす集合 P は実数が 3 である

るには 8 割以上の点数をとった人の集合 Pに属集合，つまり，P={3}，条件 q を満たす集合 Q は 2すれば十分であるということである。

命題

乗したら 9 になる実数の集合，つまり Q={3，−3}

さて，今度は先ほどの命題の逆を考えよう。

である。明らかに，P⊂Q であるので，この命題はつまり，真である。またこの命題の逆は，Q⊄P なので偽で命題ある。よって答えは十分条件である。

q：資格試験に合格する p：8 割以上の点数をとる11を考える。これもまた真である。よって，十分条件，この問題を解くときは，まず判別式 D で実数をも必要条件を考えることができ， 8 割以上の点数をつための条件を求める。つまり，D=9a−4a>0とることは，資格試験に合格するための必要条件であり，資格試験に合格することは， 8 割以上の点数をとるための十分条件となる。これは，受験した人が，資格試験に合格した人の集合 Qに属するには， 8 割以上の点数をとる人の集合 Pに属することが少なくとも必要であるし，ある人がと解いて，a<0，a>9を出す。次に，2 つの実数4解がともに正である条件を，2 つの解を α，β とおき，解と係数の関係を使って，α+β=3a>0 かつ αβ=a>0として，これらの共通部分の範囲が，2 つとも正の 8 割以上の点数をとる人の集合 Pに属するには，解をもつ条件だったはずである。つまり，求める範資格試験に合格した人の集合 Qに属しておけば，囲は a>十分であるということである。
よって，p：8 割以上の点数をとる  q： 資格試験に合格するは真で，しかもその逆q：資格試験に合格する  p：8 割以上の点数をとる
も真であるから，条件 p と q は，お互い必要十分条件で，同値である。つまり，
 8 割以上の点数をとった人の集合 P
=
資格試験に合格した人の集合 Q
が成り立っているということで，集合 P と Q は，人数はもちろんのこと，中の人まで同じであるということである。
つまり，

9である。
4

ただどうして，2 つの解が正のとき，α+β>0，αβ>0 で置き換えて解いてよいのか。和が正という条件であると，2 つのうち 1 つが負であっても成り立つので，もう 1 つ条件を加えたというように理解をしている人も多いのではないだろうか。これらの 2 つの式をみただけで，なんとなく解がともに正ということがいえているような気がする。これを理解することこそが，同値 (必要十分条件) を考えることなのである。
つまり，2 つの解 α，β がともに正 α+β>0 かつ αβ>0がいえるということで，表現こそ違うが，
 2 つの解α，β がともに正である集合とα+β>0，αβ>0

条件 p と q が必要十分条件 (同値) とは，条件を満たす集合が同じであるということを示せばよ

p と条件 q と見た目は違うけど (表現こそ違うい。これは図 1 をみれば一目瞭然で，集合が同じでが)，条件を満たす集合は同じ。

あるから同値で，2 つの解が正のとき，α+β>0，ということを生徒に理解させた。
ちなみに，世間一般でいう (日常会話でいう)合
格の必要条件は，8 割以上の点数といういい方には，合格するには 8 割以上の点数が必要であるし，8 割以上の点数をとれば合格するという意味が含まαβ>0 で置き換えて解いてよいということがいえたのである (ただし，境界線は含まない)。もちろん，αβ 平面で考えること自体，両者が実数であるという前提があってこそである。この置き換えには，本来このような意味があったのである。

れており，実は数学でいう必要十分条件の意味で使われていたということである。
3 ．1

必要十分条件の具体例 ( 2 次方程式)

 −3a+a=0 の 2 つの実数解が 2 つとも正となるような a の値の範囲を求めよ。
という 2 次方程式の問題を考える。 2 次関数とみなして解くこともできるが，ここでは基本通り方程式で解くことにしよう。

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図 1：解の条件式の同値性

§4．最後に必要条件，十分条件を考えるとき，矢印を引いて，最後であるが，私が授業で使ったパワーポイントのファイルを自身のサイト高校動画参考書

左から右が成り立つかのみを考え，穴埋め問題に正(http://essential-math.main.jp/visitors/hdougasankou/)

解するかどうかに終始した問題が多いが，しっかりに掲載している。ご興味がある読者の方は一度アク定義の意味を考え，命題の意味することを考えていセスしていただいたら幸いである。

くことが大事である。問題を解くときに必要，十分条件を考えられるように習慣をつけることが大事である。受験のパターンに終始して，答えが出ればよいのではなく，きちんとこの必要条件，十分条件の独特な言い回しを平易な文に書き直して理解して，

図 2：高校動画参考書

常に問題を解くときにイメージをもてるようにしておかないといけない。

《参考文献》〔 1 〕 数学Ⅰ(数研出版)(兵庫県甲南高等学校・中学校)

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