数理解析研究所講究録 1297 巻 2002 年 145-153

145

ランクつき投票データ分析手法による集団の意思の反映について
大分大学工学部小畑経史 (Tsuneshi OBATA)

Faculty of Engineering, Oita University
obata@csis.oita-u.ac.j
大阪大学大学院情報科学研究科石井博昭 (Hiroaki ISH$\mathrm{P}$)

Graduate School of Information Science and Technology, Osaka University
ishii@ist.osaka-u.ac.jp

Abstract: Ranked voting data arise when voters select more than one candidate
according to their preference. Cook and Kress (1990) introduced data envelopment
analysis (DEA) to analyze ranked voting data. By using DEA, each candidate may
use the most favorable weights forown preferenceto estimate
score. However DEA often suggests that more than one unit have same efficiency.
Also in this case, more than one candidate are judged as efficient. So, amethod todiscriminate these efficient candidates is needed. Green, Doyle and Cook (1996),
Hashimoto (1997) and Obata and Ishii (2002)
methods for such purpose,respectively. In this paper, we investigete with simulation whether these methods
reflect the intent of voters.
Keywords: Data envelopment analysis, Preference voting, Ranked voting data$\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{s}/\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}$$\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{m}/\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}$$\mathrm{p}\mathrm{r}\dot{\mathrm{o}}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{d}$1

ランクつき投票データと DEA

投票者が候補者の中から一人だけでなく複数の候補を望ましい順に選ひ投票するという投票シ
ステムのもとで得られる投票データがランクつき投票データである. いま, 人の投票者の各々が $m$ 人の候補者の中から 人を順位付きで投票するとする. これを集計し, 候補が第 位として得た票数をは, 何らの総合的な好感度スコアで表す. このとき候補$n$$\mathrm{C}_{1},$$\mathrm{C}_{i}$$j$$\ldots,\mathrm{C}_{m}$$\mathrm{V}_{1},$$\ldots,\mathrm{V}_{n}$$k$$Z_{i}$$\mathrm{C}_{\mathrm{i}}$$v_{ii}$かのウエイト $w=(w_{1},w_{2}, \ldots,w_{k})^{\mathrm{T}}$ によって

$Z_{i}(w)= \sum_{i^{=1}}^{k}w_{j}v_{\mathrm{i}j}$.

(1)と評価するのが妥当であろう. このスコアが大きいほど投票者の総意としてより望ましい候補と判断される.
このとき, 通常はこのウェイト $w$ をあらかじめ決定しておき, すべての候補について同じウエイトを使用してスコアを評価するという方法がよくとられる. このようなウエイトの決め方の代表的なものとして, Borda 法$w_{1}=m-1$ ,$w_{2}=m-2$ ,...,$w_{m}=0$146
かしながらこの方法では, あらかじめ決められたウェイトの値しだいで, 結果として得られる好感度スコアが変わり, 候補者の順位付けも変化する. 各々の候補はできるだけが知られている [6].

$\llcorner$

自分に有利なウェイト付けを望むであろう.
そこで, Cook and Kress [31 はランクつき投票データの分析にデータ包絡分析法 (DEA; dataenvelopment analysis) の導入を提案した. DEA とは多人力多出力のいくつかの事業体の効率を測定するために Chames らによって提案された手法である [2]. DEA では各出力の加重和と各入力の加重和の比で効率性をあらわすが, 加重和の際のウェイトづけをあらかじめ先天的に決定して固定するのではなく 2 各事業体が自分に有利なウェイト付けを行うことができる.
ランクつき投票データの分析に DEA を導入することで, 各々の候補者は自分にとって最も有利なウェイトによりスコアを評価することができる. これは次のような線形計画モデルで表現さ
れる:

,

(2)

1,

$i=1,$ $\ldots,m$ ,(3),$i=1,$ $\ldots k-\prime 1$ ,(4)

$Z_{\mathit{0}}^{*}= \max\sum_{i=1}^{k}wjv\mathit{0}i$subject to$\sum w_{j}v_{i}ki$$\leq$$i=1$$w_{j}-w_{i+1}$$\geq$$\epsilon$$w_{k}$$\geq$$\epsilon$.

(5)はより上位の票がより大きな重みを持つように設定されたパラメータである 1.
の値を候補 C。の好感度スコアとす
このモデルを各候補 C。に対して解き, 得られた最適値である候補を非効率候補と呼ぶことである候補を効率的候補,
る. DEA にならい,
ここで$\epsilon\geq 0$$Z_{\mathit{0}}^{*}$$Z_{\mathit{0}}^{*}<1$$Z_{\mathit{0}}^{*}=1$にする.

通常の DEA と同様, ランクつき投票データの分析においても, 複数の候補が効率的候補としてトップ集団を形成し, この集団の中では優劣がつけられない. たいていの投票が, ただ一人の勝者を選出する, あるいは候補者の明確な順位付けを行うことを目的として実施されることを考えると, これはいささか都合が悪い. そのため何らかの方法で効率的候補をさらに差別化する必要がある.

2

効率的候補の差別化
効率的な候補をさらに差別化するために以下のような手法が提案されている.

21Cook and Kress の方法
Cook and Kress [3] 自身が提案しているのが, パラメータ$\epsilon$を最大化する方法である.

$e$

を大

きくすると上位の得票のウエイトと下位の得票のウエイトのギャツプがより大きくなる. 彼らは,ギャップを大きくしても効率的でいられる候補ほど, より効率のよさが安定していると考え, 効率
的でなくなる の値によって効率的候補の差別化を行った.
$e$

1 本来

$\emptyset-$

Cook and Kress のモデノレでは,$\epsilon$の代わりに, discrimination intensityfi $nct_{i}on$ と呼ばれる関数$d(\cdot, \epsilon)$

が使

147
しかしこの方法は, ウェイトをあらかじめ固定して評価することと事実上同じであることがGreen ら [4] によって指摘されている.

22Green らの方法
Green ら [4] はクロス評価行列 (cross evaluafion mahix) を利用する方法を提案している. 彼らは, 自分にとって有利なウェイトで評価したスコアだけでなく, 他の候補にとって有利なウエイ
トを使って評価したスコアをも優れている候補ほど, より高く評価されるべきだと考えた. つまり, 候補にとって最も有利なウェイト, すなわち Cook and Kress のモデルの最適解, を用$\mathrm{C}_{\mathrm{i}}$$w^{(i)}$のいて評価した候補 C。の高感度スコアを求め, これらを平均化した値を候補を並べてできる行列がクロス評価行列である.
総合評価 (overall rafing) とみなす. これら
ここで, 実際には各候補にとって最も有利なウェイト, すなわち
and Kress のモデルの最適解, は通常一意には決まらないため, 最適解のうちどのウェイトを用いるかを決定するためにさ個のらに線形計画問題を解く必要がある. そのため彼らの手法では $m$ 人の候補の順位付けに
線形計画問題を解くことになる.
一般的にこの手法が採用されることが多い.
$Z_{io}=Z_{\mathit{0}}(w^{(i)})$$\mathrm{C}_{\mathit{0}}$$Z_{io}$$\mathrm{C}\infty \mathrm{k}$$m^{2}$

2.3 Hashimoto の方法
Hashimoto [5] は DEA 除外モデル [1] を利用した手法を提案している. DEA 除外モデルとは制約の中から評価対象の事業体に関する制約を取り除いて考えるモデルである. つまり通常の DEA
が自分を含めた集団の中での自分の位置づけを評価するのに対して, 自分を除いた集団から自分がどれくらい抜きんでているかを評価するものといえる. この考え方をランクつき投票データに適用すると, 制約 (3) を, 評価対象の候補 C。についての条件式を取り除いた条件,$\sum_{j=1}^{k}w_{j}v_{ij}\leq 1$,$i\neq 0$で置き換えた線形計画モデルを考えることになる. これが Hashimoto の方法である.
この手法では $m$ 個の問題を解くことで, 効率・非効率に関係なくすべての候補の順位付けが得られる.

2.4 Obata and Ishii の方法
Green らの方法, Hashimoto の方法は, 特定の非効率候補の有無によって効率的候補の順位が入れ代わり得るという難点を持つ. 我々は非効率候補の存在にまったく影響されない手法を提案
した $[8, 9]$ . 我々の手法は Cook and Kress の基本モデル (2)$-(5)$ によりいったん効率的候補を特定した後に, その候補にとって最も有利なウェイトを正規化したウェイトを用いてスコアを評価するというアイデアにもとづく. これは以下のようなモデルで表される.
$1/2_{o}^{*}= \min||w||$

,

148

$=$

1,

$\sum_{j=1}^{k}w_{j}v_{i}i$$\leq$

1,$w_{j}-w_{j+1}$$\geq$$e$$w_{k}$$\geq$$\sum_{j=1}^{\hslash}w_{j}v_{\mathit{0}j}$

ここで$||\cdot||$$\epsilon$,$i\neq 0$,(6)$j=1,$ $\ldots,k-1$ ,.

は適当なノルムとする. 最適値の逆数$2_{\mathit{0}}^{*}$

が候補 C。の (正規化) 好感度スコアとなる.

実際には制約 (6) は効率的な候補に関するもののみ考えればよい. したがって, 効率的候補の (正規化) 好感度スコアを評価する際に非効率候補についての情報を使用せず, 先に述べた順位入れ代
わりの問題は生じない. また, 候補 C。が非効率ならこの問題は実行可能解を持たない.
ウェイトを正規化するノルムとして,ノルムを使用すると, 目的関数は$L_{1}$$\sum^{k}w_{j}$

,

$i=1$

となり, したがって線形計画問題となる. またそれ以外のノルムを考える場合でも線形制約のもとでの凸関数の最小化問題となる.
この手法では候補が効率的かどうかの判定と, 効率的であった場合のスコアが得られる. 非効率な候補の順位付けには別に Cook and Kress のモデルを解く必要がある. そのためすべての候補の順位付けを行うには $m$ 個ないし $m+(m-1)$ 個の問題を解くことになる.
ルムはノルムを使用した.
次節の実験では $e=10^{-8}$ とし$\sqrt$$L_{1}$

3 集団の意思のモデルと実験
前節で挙げたこれらの手法はあくまでも, 得られた投票データをもとにいかに合理的な順位付けを行うかという立場に立ったものであり, さらにいえば DEA の基本的な考え方を反映して, 各
候補がいかに自分に有利な評価を獲得するか, という視点に立つものである. これは DEA に基づ
く以上逃れられない立場といえる.
しかし, 投票であるからには候補者側の意思だけでなく投票者側の意思も当然反映すべきであろう. そこでこれらの手法がどの程度投票者の意思を反映しているのかを評価することができないだろうか.

まず投票者全体の集団としての意思とその表出のモデルとして次のようなものを考える.

1. 候補

に対する投票者全体としての集団好感度が数値候補ほど, 投票者全体にとってより望まれる候補)$\mathrm{C}_{i}$2. 各々の投票者$\mathrm{V}_{l}$の候補$\mathrm{C}_{i}$に対する好感度が, 平均$P_{i}$$P_{i}$

で表される (集団好感度$\mathrm{V}_{l}$は好感度$p_{li}$

の順に

$k$

の大きい

の確率分布に従う確率変数の値

される

3. 投票者$P_{i}$

番目までの候補に投票する

このモデルのもとで, これまでに以下のような実験を行った [7].

$p_{li}$で表149

Step 1 集団好感度 , $i=1,$$P_{\mathrm{i}}$$\ldots,$$m$を$i=1,$ $\ldots,m-1$$P_{i}>P_{i+1\prime}$

が最高の好感度を, 以下を満たすように, すなわち候補
低の好感度を持つように, 与える.
$\mathrm{C}_{1}$Step 2 各投票者

について,$\mathrm{V}_{l}$$\mathrm{C}_{2},$$\mathrm{C}_{3},$$\cdots$, の順で, 候補$N(P_{i},\sigma^{2})$ にしたがう正規乱数として生成する.
’ を$\mathrm{V}_{l}$$i$が投票する候補を決定する.

Step 4 候補者の順位を決定し, もともとの投票者全体の意思, すなわち候補$\cdots$, の順で, 候補$\mathrm{C}_{m}$$\mathrm{C}_{1}$が最高位, 以下 C2,が最下位, という意思, をどの程度反映しているか評価を行う.

候補者の人数 $m=10$ , 投票者の人数

好感度パターンが最$p_{i}$

Step 3 得られた乃 に基づき投票者$\mathrm{C}_{3},$$\mathrm{C}_{m}$$n=1\mathrm{O}\mathrm{O}$とし

1. 等間隔に配置 (線型). $P_{i}=(m-i)/(m-1)$ .

2. 上位の候補ほど好感度の差力吠きい (凸型). $P_{\mathrm{i}}=((m-i)/(m-1))^{2}$ .

3. 上位の候補ほど好感度の差が小さい (凹型). $P_{i}=\sqrt{(m-i)}/(m-1)$ .
分散 $\sigma^{2}=1.0^{2},1.5^{2}$ .
投票人数 $k=2,3,5$ .

を組み合わせ, Green らの方法, Hashimoto の方法, 我々の方法の 3 種類について評価を行った.
評価指標として, 上位 位までの一致度 $(r=1,3,10)$ :$r$$d_{r}= \sum^{r}|I_{j}-i|$$i=1$(ここで は評価の結果, 第が示された.
$\mathrm{I}_{i}$$i$位に順位付けられた候補の本来の順位を表す) を調べたところ以下

・手法による違いは, Green の手法が最もよい. ただしそれほど極端に大きな違いはない.
・好感度パターンによる違いは凸型が最もよく, ついで線形である.

・分散による違いは, 分散が小さいほどよい結果が得られた.
・投票人数による違いは, ひとりの投票者が多くの候補を投票するほどよい結果が得られた.
ただ, その違いは予想したほどには大きくなかった.

この結果をふまえて, 今回は次のような視点で新たな実験を行った.

・浮動票を想定
集団の意思に従って投票を行う投票者の他に, 集団の意思とは無関係にランダムに決定される好感度を持つ投票者がある割合 で含まれるとする. このような投票者はすべての投票者に対する好感度が標準正規分布に従うとする. $\alpha=0,0.25,0.5,0.75$ として実験.
$\alpha$$\ovalbox{\tt\small REJECT} 1:\neq\grave{\mathrm{Y}}\ovalbox{\tt\small REJECT} l\subset\ovalbox{\tt\small REJECT} T$$d_{1}$.
$\mathrm{f}\mathrm{f}\mathfrak{W}^{\backslash }$$\mathrm{B}$150$k=3(\mathrm{s}t\mathrm{f}k=1),$ $\alpha=0.0$$\mathrm{H}$$\mathrm{G}$$\mathrm{s}$

0.513
0.371
0.408
0.6705015 0.4337928 0.492028$\mp^{\backslash \prime}fl$$9\ovalbox{\tt\small REJECT}$

0.449
0.559959$\mathrm{O}$

0.488
0.6224785$,\ovalbox{\tt\small REJECT}\backslash \mp \mathrm{f}\mathrm{l}\text{散}2.76652552.0189752.10754352.1919159^{\cdot}21\ovalbox{\tt\small REJECT} 2.1711.6381.7581.826.\cdot 876383007d_{3}\mathrm{s}\mathrm{B}\mathrm{G}\mathrm{H}\mathrm{O}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\text{分散}0.29029030.23974370.2490240.25779380.2577938}^{\mathrm{B}\mathrm{G}\mathrm{H}\mathrm{O}}\backslash \exists \mathrm{Z}B0.50.3\mathit{6}40.3850.4080.408e_{3}\mathrm{s}$表 2: 手法に関する比較. $k=3$ ( は $k=1$ ), $\alpha=0.25$$\mathrm{s}$$\mathrm{B}$$d_{1}$$\mathrm{G}$$\mathrm{s}$$\mathrm{H}$$\mathrm{O}$

0.514
0.569
0.69
0.592
0.677
1.0249249 $0.u04444$ 0.6999389 0.8263624 0.9716426$*\mathrm{a}$$\mathrm{g}\mathrm{g}$$,\ovalbox{\tt\small REJECT}\backslash \mp \text{分散}3.95830932.66617722\mathrm{f}\mathrm{l}2.8432.183.3512.3662.4512.81461362.9149593.0346336d_{3}\mathrm{s}\mathrm{B}\mathrm{G}\mathrm{H}\mathrm{O}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\backslash *\text{分}\mathrm{f}\mathrm{f}0.32630130.27223620.28744640.292443400\mathrm{E}0.6550.5060.529.0.543.\cdot 5432924434e_{3}\mathrm{s}\mathrm{B}\mathrm{G}\mathrm{H}\mathrm{O}$・単一投票, Borda 法との比較
・別の評価指標の導入

順位にかかわらず, 上位数人が正しく得られたかどうかを表す指標として$e_{r}=\#\{i^{j}i\leq r, I_{j}>r\}$( は評価の結果, 第 位に順位付けられた候補の本来の順位) を考える. これは, 本来 位より下位の候補のうち何人が 位以上と評価されたかを表す値となる.
$i$$I_{i}$$r$$r$

今回の実験では好感度パターンは線形, 分散は $\sigma=1.0^{2}$ に固定し, 投票人数 $k=1,2,3,5(k=1$
は単一投票, それ以外は各手法により順位付けを行った), 浮動票の比率 $\alpha=0.0,0.25,0.5,0.75$ を変化させた. 1000 回の試行によって得られた各指標値の平均, 分散を表 14 に示す (実験結果の一部). 表中のはそれぞれ単一投票, Borda 法, Green らの方法, Hashimoto の方法,
我々の方法による順位付けを意味する.
$\mathrm{B},$$\mathrm{s},$$\mathrm{G},$$\mathrm{H},$$\mathrm{O}$$\ovalbox{\tt\small REJECT} 3:\neq\grave{7}\ovalbox{\tt\small REJECT} l=\ovalbox{\tt\small REJECT} T$$d_{1}$.
$\mathrm{f}\mathrm{f}\mathfrak{N}^{\backslash }$151$k=3(\mathrm{s}\#\mathrm{X}k=1),$$\mathrm{O}$$\mathrm{H}$$\mathrm{G}$$\mathrm{B}$$\alpha=0.5$$\mathrm{s}$$\mp^{\backslash \prime}fl-$$9\ovalbox{\tt\small REJECT}$

1.063
0.847
2.1151461 1.390982

1.026
0.981
0.901
1.4606597 1.7163554 1.8651892$,\ovalbox{\tt\small REJECT}\backslash \mp \mathrm{f}\mathrm{l}4.223.4353.6243.793.804\text{分散}7.29089094.79657165.06769175.47137145.435019d_{3}\mathrm{s}\mathrm{B}\mathrm{G}\mathrm{H}\mathrm{O}$$,\ovalbox{\tt\small REJECT}\backslash 4\mp \mathrm{f}\mathrm{l}0.930.7740.8\mathrm{I}60.8470.849*\text{散}0.42152150.35728130.38052450.3779690.3765756e_{3}\mathrm{s}\mathrm{B}\mathrm{G}\mathrm{H}\mathrm{O}$

表 4: 手法に関する比較. $k=3$ ( は $k=1$ ), $\alpha=0.75$$\mathrm{s}$$d_{1}$

平均$\mp\backslash ’fl$分散$\mathrm{a}\oplus$$\mathrm{O}$$\mathrm{H}$$\mathrm{G}$$\mathrm{B}$$\mathrm{s}$

2.113
2113
547971075.4797107

1.829
1829
1876
1.876
44101692 4399023
4.4101692
4.399023

2.07
20749680681
4.9680681

2.239
2239
560
あ 825
5.6034825$\ovalbox{\tt\small REJECT}\backslash 4\mp\prime \mathrm{f}56.8026.2226.4146.5266.565*\text{散}12.641437411.29601211.115719710.69001410.7605355d_{3}\mathrm{s}\mathrm{B}\mathrm{G}\mathrm{H}\mathrm{O}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}^{1.326}\backslash *\text{分散}0.48279380.47647650.490214201\hslash^{-}1.3831.3..3331.33447258360.4749189e_{3}\mathrm{s}\mathrm{B}\mathrm{G}\mathrm{H}\mathrm{O}$

表 5: 投票人数に関する比較. $k=2,3,5$ は Green の手法, 評価指標$\alpha=0.0$$\mp^{\backslash \prime}$fl$9\ovalbox{\tt\small REJECT}$

$k=1$

2.171

$k=2$

1.908
2.7665255 2.3618979

$k=3$

$k=5$

1.758
2.1075435

1.558
1.9886246$\ovalbox{\tt\small REJECT}\alpha=0.5k=1k=23\backslash *\mathrm{f}\mathrm{l}4.223.984.6243.3k=3k=5\text{分散}7.29089095.91365775.06769174.2362362$$d_{3}$

152$\ovalbox{\tt\small REJECT} 6:\grave{\mathrm{y}}\not\in\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{z}\mathrm{r}\backslash }\Phi_{-\mathit{0})\oplus.\neg-\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{P}_{\mathrm{B}}\mathrm{F}d_{3}}-\mathrm{J}_{\mathrm{D}}^{\mathrm{A}}\downarrow=\ovalbox{\tt\small REJECT} To \mathrm{I}\mathrm{k}\Phi^{\backslash }k=3,\vec{\mathrm{r}\mathrm{J}}arrow \mathrm{T}\backslash$$\alpha=0.0$$\mathrm{s}$$\alpha=0.25$$\alpha=0.5$$\alpha=0.75$$\mp\backslash ’\hslasharrow$

2.171$9\ovalbox{\tt\small REJECT}$

2.7665255 3.9583093 7.2908909

2.843

4.22

6.802
12.6414374$\ovalbox{\tt\small REJECT}\backslash \yen \mathrm{f}\mathrm{l}\text{散}2.0189752.666177243\mathrm{H}1.6382.183.\cdot 4356.222796571611.296012\mathrm{B}\alpha=0.0\alpha=0.25\alpha=0.5\alpha=0.75$$\ovalbox{\tt\small REJECT}^{2.351}\backslash \mathrm{F}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}1.7583.6246.414\text{分散}2.10754352.81461365.067691711.1157197\mathrm{G}\alpha=0.0\alpha=0.25\alpha=0.5\alpha=0.75$$\ovalbox{\tt\small REJECT}^{2.366}\backslash \#\text{分散}2.19191592.91495953\mathrm{a}1.826.\cdot 796.526471371410.690014\mathrm{H}\alpha=0.0\alpha=0.25\alpha=0.5\alpha=0.75$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\backslash \exists \text{分散}2.38300732\mathrm{Z}\mathrm{E}1.876.\cdot 4513.8046.56503463365.43501910.7605355\mathrm{O}\alpha=0.0\alpha=0.25\alpha=0.5\alpha=0.75$

4まとめ

いずれの状況でも, また, いずれの指標でも, Borda 法が最もよ , 以下, Green らの手法, Hashimotoの手法, 我々の手法, 単一投票の順であった. DEA に基づく 3 手法については, 浮動票を混入した場合でも以前の実験と同様の傾向が示された.
Borda 法が最も優れていた理由は, 次のように推測される. 実験で想定した集団の好感度パター
ンが線形, すなわち好感度値が等間隔であったため, 同じく等間隔のウェイトにより好感度スコアを評価する Borda 法が本来の集団好感度に近いスコアを再現できたのではないだろうか. 他の好感度パターンについて調べることで, この点が明らかになるであろう.
また, 単一投票が最も悪い結果となることから, 単一投票では十分に集団の意思を反映することができないことが確認された.
どの手法でも, 浮動票の割合が増えるほど集団の意思を反映する順位付けを得ることが困難になる様子が見て取れる. 指標値の悪化の仕方については手法による違いは特に見受けられない.
と特に異なる傾向はみられなかった.
今回新たな指標として, を調査したが, 指標
これまでの実験により, 提案した集団の意思のモデルとそれに基づく評価が, 従来とは違った角度での順位付け手法の一つの評価法として利用できることが示されたのではないだろうか.
$\langle$$e_{r}$$d_{r}$

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