数理解析研究所講究録 1244 巻 2002 年 1-7

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10GCM におけるカオス的遍歴について
北海道大学大学院理学研究科

数学専攻

阿部智 (Satoru Abe)

Department of Mathematics, Faculty of Science,
Hokkaido University

1. Introduction
カオス的遍歴は 1990 年頃に金子、池田、津田によって提唱され、 高次元の力学系において、 い

くつかのほぼ安定な状態が存在して、安定した状態のひとつにしばらくの間滞在した後、 B|‘|の安定した状態に移り、 いくつかの秩序状態のカオスを経て遍歴する現象である.
このカオス的遍歴が観測できる系の代表的な例として、 大域結合写像 (Globally Coupled Map,
GCM) がある. GCM は同一のカオス的な系をいくつか相互に結合したものである.
本研究では、特に 10 個の 1 次元写像を相互に結合させた IOGCM において、 カオス的遍歴が起こる仕組みについて実験結果を元に考察する.
パラメータ

$a$

を持つ 1 次元写像

$g_{a}$:$\mathrm{R}arrow \mathrm{R}$,$x\vdash*1-ax^{2}$に対して、 IOGCM はパラメータ$\epsilon$を持つ次の写像で与えられる.
$\mathrm{f}_{a,\epsilon}$:$\mathrm{R}^{10}arrow \mathrm{R}^{10}$,$(x_{1},x_{2}, \cdots,x_{10})\vdasharrow(y_{1},y_{2}, \cdots,y_{1}\mathrm{o})$$y. \cdot=(1-\epsilon)g_{a}(x:)+\frac{\epsilon}{10}\sum_{j=1}^{\iota 0}g_{a}(x_{j})$$(1 \leq i\leq 10)$

ここではカオス的な系としてロジスティックマップを用いている. このロジステイックマップを振動子とみなして話を進める.
いくつかの振動子が結合したシステムでは、 ばらばらの振動をしていた振動子が同期して同一の振動を始める現象が知られている. この現象を 「引き込み」 と呼ぶ. 金子は GCM に対して$(a,\epsilon)$を変化させたときの引き込み方を図 2 のように分類した [1].

1. コヒーレント相 : 全ての要素が完全に引き込んで振動する.
2. 秩序相 : 数個のクラスターに分かれて振動する.
3. 部分秩序相 : クラスターの組み換えが間欠的に起きる.
4. 非同期相 : 各要素が全くばらけて振動する.
カオス的遍歴が起きるのは部分秩序相にいるときで、 ほぼ同期状態にあった振動子が時間発展により乱れ始め、 ばらばらの状態になる. しばらくすると別の同期状態になりしばらくの間その状態を保つが、 しばらく時間が経つとまた乱れ始めばらばらの状態になる. このような準安定な状態の間を遍歴する現象が、 カオス的遍歴と呼ばれている.
小室は IOGCM において、 $a=1.9$ と固定したとき、の値を変化させて秩序相から部分秩序相に変わるときのカオス的遍歴の発生機構を研究した [3]. 今回は小室の結果を下にカオス的遍歴が起きる現象と階層的な構造の関係について実験結果を下に考察した.
$\epsilon$

2
2. 準備
座標の置換によって不変な部分空間の定義

10 次対称群における置換$P_{\sigma}$:$\sigma$に対して、座標の置換を次の写像で与える.

$\mathrm{R}^{10}arrow \mathrm{R}^{10}$,$(x_{1},x_{2},\cdots,x_{10})|arrow(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)}, \cdots,x_{\sigma(10)})$

このとき、 P\sigma ー不変な部分空間 H。を以下のように定義する.
$H_{\sigma}=\{x\in \mathrm{R}^{10};X:=x_{\sigma(\cdot)}., 1\leq i\leq 10\}$横断$\mathrm{L}\mathrm{p}\varphi \mathrm{u}\mathrm{n}$源愎瑤猟蟲H。の横断リアプノフ指数は$\sigma$$H_{\sigma}$

上にある軌道の補空間方向への安定性を見積もる量である.

の巡回置換表示を$\sigma=(i_{11,1m_{1}}\ldots,\dot{\iota})(:_{21}, \cdots,i_{2m_{2}})\cdots(:_{k1}, \cdots,:_{km_{k}})$で表わすとき、 H。の横断 Lyapunov 指数を次の式で与える.
$\log(1-\epsilon)+\lim_{1*arrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{m=0}^{1*-1}\log|Dg_{a}(\pi_{1j.1}.\mathrm{o}f_{a,\mathrm{e}}^{m}(x))|$

但し、$\pi_{f.1}.\cdot$

は $x$ から

$x-_{J\cdot 1}$$H_{\sigma}$$x\in H_{\sigma},j=1,$ $\cdots,k$成分への射影で$\pi_{f.1}.\cdot$である. つまり、,:,$\mathrm{R}^{10}arrow \mathrm{R}$x\mapsto x り.l ,の横断 Lyapunov 指数は$H\sigma$$j=1,$$\cdots,$$k$

上での編 Lyapunov 指数$\lambda_{\mathit{3},1}.\cdot=\lim_{narrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{m=0}^{n-1}\log|Dg_{a}(\pi_{1}.\circ f_{a,\epsilon}^{m}f,1(x))|$,$x\in H_{\sigma},j=1,$ $\cdots,k$に $\log(1-\epsilon)$ を加えた値に等しい.

を巡回置換表示したとき、 巡回置換の長さを大きい方から順に並べてできる列をで表わす.
い、$\sigma$$\sigma$の型とい$[\sigma]$$\sigma$の巡回置換表示の型が$[\sigma]=[m_{1}m_{2}\cdots m_{k}]$のように表わされている場合、 H。を$H_{m_{1}m_{2}\cdots m_{k}}$と書くことにする.

ここで、小室の研究結果に従って、 カオス的遍歴が起こるように 1 次元写像のパラメータの値をとする.

$\mathrm{a}=1.9$

小室の結果を以 T に記す.
$a=1.9$ での $H_{322111}$ 上の IOGCM

3
IOGCM

$\emptyset H_{322111}\wedge\emptyset \mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}|\mathrm{J}\beta \mathrm{f}\mathrm{l}\ddagger \mathrm{I}_{\backslash }P\mathrm{D}\ovalbox{\tt\small REJECT}$.

$y_{1}$[322111]$\# 6’\supset 6$$=(1- \epsilon)g(x_{\dot{\iota}})+\epsilon\sum_{j=1}^{10}c_{j}g(x_{j})$GCM&L$\mathrm{T}\Re\emptyset \mathrm{R}^{-}\mathrm{C}’ 5\dot{\mathrm{x}}\mathrm{b}\#\iota o$.

$(1 \leq i\leq 6)$$(c_{1},c_{2},c_{8},c_{4},c_{5},c_{6})= \frac{1}{10}(3,2,2,1,1,1)$

このとき、 次の結果が成り立つ.

(1) $\epsilon=0.187$ のとき、
(2) $\epsilon=0.1867$ のとき、が存在し、補空間方向に安定である.
の内部を動いていた軌道は、外の領域
はクライシスを起こし、$H\mathrm{s}22111$$\Lambda_{1}$上にアトラクタ$\Lambda_{1}$$\Lambda_{1}$$\Lambda_{1}$に出られるようになる.

$\mathrm{A}_{2}$

さらに、軌道が$\mathrm{A}_{1}$内にいるときは、補空間方向に安定であるが、$\Lambda_{1}$

外に出たときは、補空間方向に不安定となる.

(3)$\epsilon$

がクライシス分岐点から離れるに従い、 $H_{322111}$ 上にアトラクタ$\Lambda_{1}$の痕跡はなくなり、 A2 は一様に補空間方向に不安定となる.

3. 主張
小室の結果をもとに、 詳しく考察した結果を以下に記す. 特に、 IOGCM に対して、 6 次元部分
空間 $H_{322111}$ 上に力学系に注目する.

主張
上に 33 の置換と 22 の置換について対称なアト(1) $\epsilon=0.187$ のとき、 4 次元不変部分空間
ラクタが存在する. このアトラクタは補空間方向に安定である. (補空間方向の 4 つの Lyapunov 指数のうちの 1 個は 0 に近い負の値となる.)はクライシスを起こし、 それぞれのアトラクタのとき、 アトラクタ(2)の内の軌道は、 4 つのアトラクタを含むある領域 A に出られるようになる. (アトラクタの構造の$H\mathrm{s}\mathrm{s}22$$\Lambda_{i}(1\leq i\leq 4)$$\Lambda_{:}(1\leq i\leq 4)$$\epsilon=\mathrm{O}\mathrm{J}867$

対称性から、 同期している要素の組替えが起きている.)(3) A 内の軌道が$\Lambda_{:}$を出て$\Lambda_{j}$に入る過程で、 2 次元部分空間$H_{55}$に近づく.

4. 実験結果
まず$\epsilon=\mathrm{O}\mathrm{J}87$とした時の結果を図 1\sim 図 3 に示した.

図 1 は $\epsilon=0.187$ のとき $H_{3322}$ 上の軌道を $H_{65}$ 上に射影したもので、 これは $H_{322111}$ 上からとった

初期値に対して$x_{4},x\epsilon,x\mathrm{e}$が結合した例である. 初期値をから 40000 までの時間における軌道をプロットした.

ぞれ同期した場合と、をした.

$H_{3822}$$x_{1}$と$x_{3\text{、}}x_{2}$$H\mathrm{s}22111$

この場合、上からランダムに取って、 30$H_{55}$は$x_{1}$と$x_{2\backslash }x_{3}$0と x。がそれと x。がそれぞれ同期した場合の 2 種類あるので二通りの射影

上のアトラクタは他にも 3 つ同期したものを組み替えたもの、 2 つ同期したものを組替えたもの、 3 つ同期したものと 2 つ同期したものをそれぞれ組み替えたものが存在する.

4
図 2 は $\epsilon=0.187$ のとき $H_{3322}$ 上の軌道に対して、すぺての要素を 1 つに重ねてプロットしたもので、各要素$x$: はそれぞれ 4 つの領域を循環している.

図 3 は $\epsilon=0.187$ のときのアトラクタの軌道に対する横断リアプノフ指数である. ただし、 この

回ごとの移動平均を取っている. 0 付近の値をとっているのが 3 つが同期しているに対する横断リアプノフ指数
に対する横断リアプノフ指数で、 もう一方の 3 つの同期している

場合は$3\mathrm{m}$$x_{1}$$x_{4}$

は負の値を取る.
$..\varpi\overline{-}u\mathfrak{m}- \mathrm{m}\omega$$\prime 0$’$()\mathrm{Q}\cdot n\iota)n_{0}$

$\}$

-10

0

’

$\mathrm{D}$OO\phi 禾 2)\acute 2

図 1: 一上のアトラクタの H\sim への射影

図 3: 横断リアプノフ指数
図 2: 一上のアトラクタの軌道

次に $\epsilon=0.1867$ の時の結果を図 4 以降に示した.
図 4 は $\epsilon=0.1867$ のとき $H_{3322}$ 上のアトラクタ内部から取った初期値に対して、軌道を$H\epsilon$’ 上に射影したものである. 軌道が疑似アトラクタの外部に出ているのが観測出来る.
図 5 は $\epsilon=0.1867$ のとき $H_{3322}$ 上のアトラクタ上の初期値に対してすべての要素を 1 つに重ねてプロットしたもので、軌道が疑似アトラクタの外部に出たときに 4 つの領域を循環していた各要
素の規則性が壊れているのが分かる.
図 6 は $\epsilon=0.1867$ のときのアトラクタ上の初期値に対する横断リアプノフ指数である. ただし、この場合は$1\alpha$] 回ごとの移動平均を取っている.

の値は急激に増加して正の値になっている.

軌道がアトラクタの外の領域に出たとき移動平均

5$\mathrm{g}\mathrm{b}\mathrm{p}=0\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}$-loooo$’\beta$..

.

.

$..\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{l}.i^{l- \mathrm{r}_{\dot{\rho}_{\backslash }^{\wedge}}^{\wedge}}\wedge.\cdot\dot{\prime}...$$\dot{}_{\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\dot{\mathrm{i}}\cdot..-}\acute{*}\mathrm{s}}^{i}..\neg _{\prec\cdot j^{-j_{*}^{\dot{}^{j^{\backslash }}}}}’i_{\backslash }^{^{1^{\wedge}}}.\cdot.\cdot.\backslash \vec{..}.....\cdot..\cdot.\cdot.\backslash \cdot \mathrm{a}_{}\overline{i}^{}|..\cdot..\check{.\cdot}.\cdot...\grave{.\cdot.}.*\cdot".\cdot.\grave{\hat{\acute{\dot{\ovalbox{\tt\small REJECT}}}}}_{\grave{\mathrm{P}}\backslash }\backslash .\cdot.,\cdot.\cdot\cdot..\cdot,\cdot.\cdot..\cdot.\cdot.,’.\cdot..\cdot\grave{.}..\cdot..\cdot...\cdot..\cdot.\cdot\ddot{\nu}_{\sim}^{\backslash }-j.-\mathrm{s}_{i}\backslash _{*}\grave{\tilde{*}}\dot{\ovalbox{\tt\small REJECT}}_{\dot{\mathrm{X}}}\sim\iota\cdot.\cdot.\cdot.\cdot.\cdot.\oint^{/}\backslash -\epsilon!\mathrm{s}^{\backslash }_{\dot{\mathrm{A}}_{\ddot{\mathrm{h}}}}r_{\dot{1}}’\backslash ^{\mathrm{c}\backslash }2^{\cdot}$.

$.\cdot..\cdot.,\cdot_{!^{j,}^{\backslash },}...\cdot..’...\cdot.\cdot’.$$(\mathrm{X}2+\mathrm{X}4)/\iota_{0}$

.
.
.

.

$\cdot$$H\mathrm{a}\theta 22$

上の軌道の$H\mathrm{s}5$.

$\cdot$

. .

(》

図 4:

$H\mathrm{a}\theta 22$$\mathrm{t}.*\cdot..\cdot\cdot...\cdot.\S\vee\dot{i}$$..\cdot..\cdot.\cdot...\backslash .\cdot.-..\cdot.\cdot..\cdot.\cdot.\cdot$$\cdot$0-10$\alpha*n)n$

図 5:.
$\ell$$\cdot.\cdot.\cdot..\backslash .\cdot.-..\cdot.\cdot..\cdot.\cdot.\ell_{\vee}.\mathrm{t}.*\cdot......\cdot.\S\backslash \dot{i}$’$\mathrm{n}$$\div\succ 3\mathfrak{d}_{1}2$

への射影

上の軌道

図 6: 横断リアプノフ指数$\epsilon=0.1867$のとき、 $H_{3322}$ 上の擬似アトラクタから外に出た軌道の$H_{55}$への近づく頻度を図 7 に示した. 上の図は 3 つ同期している要素と 2 つ同期している要素の差を取ることで、 5 つの結合具合を調べて$\mathrm{A}\backslash$る.

$|x_{1}-x_{3}|\geq|x_{2}-x_{4}|$なら $x_{1}-x_{3}$ を黒で、 $|x_{1}-x_{3}|<|x_{2}-x_{4}|$ なら $x_{2}-x_{4}$ を灰色で色分けした. 縦軸の値が 0 に近い場合は軌道は同期平面$H_{65}$の近くにある事を意味している. 下の図は 20000 から 70000 までの時間において、擬似アトラクタ上から取った初期値に対して、軌道が $H_{56}$に近づく頻度を表わしている. 軌道が$H_{66}$に近づく条件として、 $\max\{|x_{1}-x3|, |x2-x_{4}|\}<0.05$に近づく頻度を調べた. 図を見ると疑似アトラクタと疑似アトラクタの間でカウントされる数が増加している. つまり、 この図から疑似アトラクタから出た軌道がいずれかに近づいている事が分かる.
の疑似アトラクタに入るまでの間に上へ射影したものである.
に近づいているとき
図 8 は疑似アトラクタから出た軌道が擬似アトラクタの内部から取った初期値に対して、 50000 から 100000 までの時間に $\max\{|x_{1}-$ならカウントして$H_{55}$$H_{55}$$H_{65}$$x_{3}|,$$|x_{2}-x_{4}|\}<0.05$ を満たす場合にプロットした.

ある領域に近づいている事が観測できる.

$H_{56}$図を見ると $H_{55}$ に近づいている時、 $H_{55}$ 上の

6

.

’0

.

$\cdot$.

5\sear ow . 、ビ:.

-’ 僚

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$.49^{\epsilon}$$\cdot$.

$\cdot,$.

’.

$.^{*.\prime}\mathrm{r}’\dot{.}.^{-}..\backslash -\cdot$$\vee^{Y}.-’\dot{.}.-^{--}\#..\cdot’-\backslash .\cdot$.

$..:*^{[searrow]-} arrow.\cdot.\cdot..\bigwedge_{\mathrm{s}}\backslash .\cdot$$\cdot$. . .
.

$.\}_{-,\}.\cdot...\cdot.\cdot$\mbox{\boldmath $\alpha$}*刈)n

0

$..1$

$.. \cdot’..\cdot.\overline{\mathrm{q}}^{A}\backslash\cdot\bigwedge_{\iota_{\dot{9}}}.\cdot.\cdot..\cdot$$..\cdott^{^{\iota_{\dot{9}}}}\overline{.}\hat{d}^{A}\backslash.\cdot...\cdot\cdot...\cdot$

.

0

-’ 0

$\prime \mathrm{D}$\mbox{\boldmath $\omega$}\rightarrow g)々tt

図 8: Hae22 上の軌道の $Hu$ への近づき方
図 7: Hssae 上の軌道の次に$H_{\epsilon 5}$

図9は$H\epsilon s$へ近づく頻度上の力学系について調べた結果を図 9\sim 図 10 に示した.

上の初期値に対して軌道をプロットしたものと、横断リアプノフ指数で 30 回ごとの移動平均をとったものである. $\epsilon=0.1867$ ではアトラクタの痕跡のようなものが観測できる. の$H\epsilon\epsilon$$\epsilon$

値を変化させていき、 $\epsilon=0.2$ の時にはアトラクタが観測できる. さらに $\epsilon=0.1867$ の時は横断リ
アプノフ指数は正の値を取るが、 $\epsilon=0.2$ の時に横断リアプノフ指数が 0 に近い負の値で、 1(1)回での横断リアプノフ指数を計算したところ$\epsilon=\mathrm{O}\mathrm{J}867$

0.0632683 何 7 詔 9731 で、 $\epsilon=0.2$ のときは\lambda 1=-0.

であった.

のときは、 \lambda 1=0.0613745

6m8394495 的 ll3,\lambda 2

上の疑似アトラクタから出た軌道は$=$8295618,\lambda 2$=$-O.W519724778969641

上のアトラクタの痕跡に引きこまれるが、やがてアトラクタの痕跡の外に出で補空間方向への不安定性からから離れる.
$H_{3322}$$H_{55}$$H_{5}$,

図 9-2: 横断リアプノフ指数
図 9-1:$H_{\mathfrak{B}}$上の軌道
図 9: $\epsilon=0.1867$ の時の $Hu$ 上の力学系

7

図 10-2: 横断リアプノフ指数$\mathrm{X}1$

図 1 番 1 : $Hu$ 上の軌道

図 10: $\epsilon=0.2$ の時の$H_{\mathrm{b}\}$

上の力学系

5. 考察
以上の結果から、$H\mathrm{s}\mathrm{s}22$

上の 4 つのアトラクタは 3 つの同期した要素の組み替えと 2 つの同期しでの力学系を考えた
た要素の組み替えだから、 ランダムノイズを入れた GCM に対して、(
横断リアプノフ指数が0 に近い値をと場合 3 つの同期した要素の組み替えが影響して結合の弱い$H\mathrm{s}22111$

る) 方の要素の 3 つの結合が壊れてしまうのではないかと推測できる.

また、$H\mathrm{s}\mathrm{S}22$

上で力学系を考えた場合、$H_{56}$上のアトラクタの痕跡に近づいた軌道が$H_{66}$系に影響されて 5 つの結合が壊れてしまうと考えられる.
上での力学系に影響され、 $H_{3322}$ 上での力学系は上の力学系は、
つまり、$Hs\mathrm{s}22$$H\mathrm{s}22111$の力学$H_{56}$

上の力学系に影響されてカオス的遍歴が起きているのではないかと推測できる.
よって、 カオス的遍歴が起きる現象は階層的になっていると推測できる.

参考文献[1] K.Kaneko, Clustering, cording, switching, bierarchical ordering, and control in anetwork(1990)137-172
of chaotic elements, Physica[2] 金子邦彦、 津田一郎、「複雑系のカオス的シナリオ」複雑系双書 1 、朝倉書店、 1996
[3] 小室元政、 高次元力学系の解剖一大域結合写像のカオス的遍歴をめぐって- 、臨時別冊・数理科学「カオス研究の最前線一非線型科学の世紀へ向けて $-$ 」、サイエンス社、 $1999_{\text{ }}28- 36$$\mathrm{D}41$、