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アニメーションを利用した順列・組合せの指導
むらかみ

せんずい村上 仙瑞伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊§1．はじめに生徒が苦手とする，場合の数という単元の順列§2．順列の応用
1 ．男子 3 人，女子 2 人が横 1 列に交互に並ぶ並びの応用 (人の並び方の総数)
円順列
組合せ
同じものを含む順列
組分けの総数。生徒の多くは方は何通りあるか。
2 ．男子 4 人，女子 3 人が横 1 列に並ぶ。次のよう解き方のみパターンで覚えて解く。パターンで覚えな並び方の総数を求めよ。

た生徒は，少しひねられた問題が出題されると，解⑴

左端には必ず女子がいる並び方けなくなる。その理由の 1 つは，求め方の仕組みを⑵両端には必ず男子がいる並び方理解していないことと考える。これらの内容は，解⑶女子 3 人が続いて並ぶ並び方

き方のパターンを覚えることは簡単だが，きちんとである。それぞれの答えは，1 は 3 !×2 !，2 の⑴はC×6 !，2 の⑵は P×5 !，2 の⑶は 3 !×5 ! で求め理解しようと教科書を読んでもイメージがわきにくい。そこで，それらの求め方の仕組みを，パワーポることができるが，なぜ掛け算をするのか，その意

イントを用いて動き (アニメーション) を入れて解味について 1 つを固定してその固定してできた塊説したところ今までになく生徒の理解度が上がった。

がさらに何個あるかという視点から説明した。特

今回のレポートは，その授業で用いたスライドをに⑶についてパターンとして女子 3 人を 1 人の人間

ネット上で紹介して，そのスライドについての作成として考えるというテクニックが使われるが，長年の思い入れと，スライド作りでどのように工夫したの指導上生徒はいまいちイメージがつかめない。そかのポイントを述べるという今までの数研通信に掲

こで 3 人を 1 人とするというアニメーションを作り，載されたようなものと趣向を変えた。

そうすることによって常に女子が 3 人続いて並ぶこどのようなスライドを使ったか，どのような工夫とができるという理解を促すことができた。

をしたかは百聞は一見にしかずで，直接サイトにアクセスしてご覧いただきたい。サイトのアドレスまたは QR コードは最後 (p. 17) に掲載している。

§3．順列の総数を“割る”という統一的な指導各単元をクリックすると，問題とその動画解説組合せについて，各社の教科書や受験参考書を読(パワーポイントを動画にしたもの)，パワーポインみ比べてみても，だいたい同じようなことがかいてトの埋め込みを 1 つのページに用意している。パワあり，1 つの組合せの具体例を出し，ーポイントの埋め込みファイルは，タブレットやス組合せの数×r !=P

マホなどのタッチパネル対応であれば画面をタッチと簡単に説明をすませている。生徒の方も最初に公することで次に進むことができる。また，アップし式ありきの感じを受ける。なぜ，理解しにくいのか。ているパワーポイントファイルはダウンロードする

それは式だけではイメージがわきにくいからである。

こともできるので，もしご利用したければメールで

円順列，組合せ，同じものを含む順列，組分けの総使う旨を書いていただけたら，授業で使っていただ

数を求めるとき，計算で共通することは，順列の総いても構わない。またその際感想などいただけたら数を数字 (階乗) で割るということ。生徒はこれら幸いである。

すべてを別々のものと考えている場合が多いし，ど14うしてそのような計算をするのか理解できていない

3．2

しかし，これらの求め方の仕組みは共通している。

組合せ

A，B，C，D の 4 個の中から，3 個取り出すとき人も多いように思える。の組合せの総数。

教科書を通じた解説では，断片的になっているので，ポイント生徒はその共通に仕組みになかなか気づかずにいる。

4 個の中から 3 つ選んで並べる順列をすべてかき

そこで根底にある共通している考え方をアニメーシ出すアニメーションをつくる。全部で P=24 通ョンで説明できたらイメージで理解度も増すと考え，りある。その中から，3 個の文字の種類が同じもの

パワーポイントでスライドを作り解説した。

を，たとえば ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，スライドを作るに当たってのポイントは，先ほどCBA を横 1 列に並べる。このように同じ種類ででの問題の求め方の仕組みは共通しているということきているものはそれぞれ 6 つあり，6 個ずつのグルを意識させるために，ープごとに並び替えて，長方形の形を作り，組合せ⑴

順列の総数をすべてかき出す。

⑵

すべてかき出した順列の要素で，同じ特徴の⑶の総数を冒頭で述べた要領に従って計算する。

ものを横に並べ，束にして長方形の形になる

3．3

同じものを含む順列

アニメーションを作る (ここがポイント！)。

⑴

A，A，A，B，B が横 1 列に並ぶ並び方の総数

長方形の形になった要素の総数は，順列の総⑵A，A，B，B，C が横 1 列に並ぶ並び方の総数数と同じで，この順列の総数を長方形の面積ポイントとみなす。

まずはすべて違うものと区別して (Aを A，A，横に並べた束の数を数え (横の長さとみなす)，A，B を B，B などとおく) 順列を考え，樹形図をその束にしたものが何セットあるか (問題の使って 5 !=120 個すべてかき出すアニメーション

求める総数：縦の長さとみなす) を考える。

を作る。この 120 個のうち，同じ特徴のもの，たとというのが統一的な考えであり，図形の言葉を使っえば AAABB の順番になっているもの，AABBCてイメージ化させた。このような考えをスライド上の順番になっているものを横 1 列に並べる。前者はでアニメーションにすることによって，ばらばらだ

3 !⋅2 !=12 通り，後者は 2 !⋅2 !=4 通りある。これった問題が統一的なポイントとして集約される。

らの 12 個，4 個ずつのグループごとに並び替えて長⑷

この統一的な視点で解説できる問題について，以下の問題についてアニメーション部分のポイントの方形の形を作り，同じものを含む順列の総数を冒頭で述べた要領に従って計算する。

みを述べる。詳しい解説はスライドの中を参照されたい。これらの問題は授業で扱った問題のみである。

3．4

組分けの総数

1 ．A，B，C，D，E，F の 6 人を次のように分ける
3．1 円順列
A，B，C，D の 4 人が円になって座るとき，座り方は全部で何通りあるか。
ポイント

4 人の順列 4 !=24 通りをすべてかき出した後，ABCD，BCDA，CDAB，DABC の 4 つを取り出し，とき，分け方は何通りあるか。
⑴

ア，イ，ウの 3 つの部屋に，2 人ずつ分ける。

⑵

2 人ずつ 3 つの組に分ける。

2 ． 8 人を次のように分けるとき，分け方は何通りあるか。
⑴

3 人部屋ア，イと 2 人部屋ウの 3 つの部屋に一番前と一番後ろ，前後でロープでつなぐと円になり，これら 4 つの円は回転すると重なる。このように 24 通りのうちにロープでつないで円を作り回転分ける。
⑵

3 人，3 人，2 人の 3 つの組に分ける。

3 ．A，B，C，D，E の 5 人を次のように分けるとすると重なるものは 4 つずつのグループを作ること

き，分け方は何通りあるか。

ができる。24 個かき出した順列を，4 つずつのグル⑴

ープごとに並び替えて，長方形の形を作り，円順列

3 人部屋アと 2 人部屋イの 2 つの部屋に分けの総数を冒頭で述べた要領に従って計算する。

る。
⑵

3 人，2 人の 2 つの組に分ける。

15ポイント

別した並び方の総数であるということ (つまり順列)，

まず，組分けの問題で，どういうときに階乗で割そして，その順列には束ができ，束の要素の順列がるのか。その仕組みが理解できていないといけない。

分母の部分であるということを気づかせることで，上記のような，入る部屋に関係なく，組分けのみをすべて考え方としては共通している。生徒の中には，考える問題は，すべて階乗で割るとは限らない。仕例題が変わるたびにこれらの使う式は全く違うもの

組みを理解するためにアニメーション作りでは，次だと認識してしまう生徒も多々いる。根底にある考のことに留意して作った。

え方は全く同じであることに気づいてほしいと授業

1 から 3 の問題で共通することは，樹形図を使っを展開している。順列の総数を“割る”というポイて，それぞれ 6 人を 2−2−2，8 人を 3−3−2，5 人

ントは，すべてのものを区別した順列は，同じ特徴を 3−2 に分けた場合，それぞれの組は順番がつけの束を作ることができ，その束が何個あるか数えるられていることを強調する。つまり，組分けの順列ことである。理解を深めるには，かき出したすべての総数を求めたことになり，それぞれの⑴の解答との順列の要素をその束ごとに並び替えるという動きなっている。

が大事だと考える。そして，視覚的にイメージで理次に，かき出した組分けの順列の総数で，同じ特解することだと思っている。

徴のあるものを 1 つの束にして，横 1 列に並び替えまたこれらの問題について長方形の形に並べ直していく。たとえば，1 であれば，AB−CD−EF，たプリントを私のサイト (巻末にアドレス) に掲載

AB−EF−CD，CD−AB−EF，CD−EF−AB，したので，ダウンロードをして自由に使っていただ

EF−AB−CD，EF−CD−AB を横 1 列に並び替いても構わない。

える。2 であれば，ABC−DEF−GH，DEF−ABC−GH を横 1 列に並び替える。同じよ§4．最後にうにして同じ人間の組のパターンが同じものを横 1

アニメーションを用いて，これらの問題を解説し列に並べ直して長方形を作っていく。1 であれば，ようと思ったきっかけは，数学が苦手な生徒は，式横の数は，AB，CD，EF の順列の総数で 3 !=6 通

変形の背景をイメージできないということを指導経りあり，2 であれば，横の数は，GH は固定で，ABC験から感じたからである。詳しいプリントを作ってと DEF の順列の総数で 2 !=2 通りあり，3 であれみても，もっと理解してくれる生徒が増えてもいい

ば，人数の違うグループを作ると，同じ人間の組ののではないかとも思った。プリントではある程度のパターンが 1 通りしかないことに気づく。つまり 3効果はあったが，ある程度以上までは伸びなかった。

は，⑴で求めた順番をつけた組分けの数と同じであ

その越えられない壁は，
動きがあるかないかである。これも横の数が 1 通りしかなくても，あえて長る。数年前の教育状況と違って，ICT 教育が盛んに方形の形に並べることによって，イメージでより理唱えられ，その教育の時代の流れに乗れないかと考解が深まるはずである。

えたわけである。マイクロソフトのパワーポイント

こうして長方形の形に並べかえることによって，で無限の可能性を見つけ，これを数学教育に生かす組分けの総数を冒頭で述べた要領に従って計算する。

ことができないかと考える中，このようなアニメーすべての順列をかき出すことによって，1 や 2 のションを使った指導法を思いついた。

同じ数が含まれる順番のついた組分けをした場合，ファイルを作ることによって，数十分で何回も解同じ組分け方のものが存在することに気づくはずで説でき，繰り返すことによってしかもイメージを植ある。この部分がきちんと視覚化されると理解しやえ付けることができる。復習も楽である。またスラ

すい。教科書や参考書などでは，計算式だけで並べイドは動画にして，You Tube や自分の HP にア方の総数を求めているので，順番をつけて並べた場ップロードして，ネットにつながっていればいつで合，1 の場合に同じ 2 人組が 2 番目，3 番目に現れるもどこでも，授業の復習ができるようにした。休んことがなかなかイメージできない。

だ生徒や理解が遅れている生徒も対応できるのがと

以上，今回は階乗で割って組合せを求めるテーマを取り扱ったが，とにかく分子の部分がすべてを区16ても大きかった。
ただ勉強の基本は手を動かして考えることが基本であることを忘れてはいけない。順列，組合せ，確これらが双璧をなしていることを忘れてはいけない。

率で何よりも大事なことは，まず手でかいて数えるという作業である。生徒はやたらこの分野で公式を使いたがるが，公式に頼るのは最終手段であり，公《参考文献》〔 1 〕 数学A ，数研出版

式の意味を心底理解した者のみが許されるものだと思っている。かき出して数えることが確率の分野のスライド掲載サイト基礎であり基本である。生徒の感想もやはり先生，

http://essential-math.main.jp

手でかいてみないとわかりませんね。かき出してよ
うやくわかりましたという意見が多々聞かれ，す/visitors/hdougasankou/
QR コード

ごく印象に残っている。これを怠ったらこの分野の理解はなかなか得られないと思っている。
まず数式変形の背景をイメージで理解して，手を動かして演習する。数学ができるようになるために，(兵庫県甲南高等学校・中学校)

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