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GeoGebra シミュレーションコンテンツ集(ICT 活用)
むらかみ

せんずい

村上 仙瑞伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊§1．GeoGebra についてシミュレーションを作った。

GeoGebra というフリーソフトをご存じでしょ

三角不等式 (三角形ができる辺の長さの条件) 生徒うか。このフリーソフトは数学のいろいろな単元にから，△ABC において三角不等式 c−b<a が成

汎用性がとても高く，少し学習しただけで簡単に生り立たなければならないというイメージがわかな

徒の理解度を促すインタラクティブなシミュレーシ

いという申し出から作成した。

ョンコンテンツを作ることができる。シミュレーシ
ョンがあるとやはり生徒の理解度は格段に違う。今§3．空間図形

回すべてを紹介することは難しいので，このレポー立方体の断面図

トでは授業中に使ってきた中で，私自身オススメな断面を考えることのできるシミュレーション。

立方体の 3 点を自由に動かして切もの，生徒の反応が良かったもの，生徒から依頼のあったものを厳選して作成のポイントを示しながら§4．1 次関数解説する。HP に整理した順番に紹介する (中学の1 次関数の応用 (動点が作る三角形の面積とグラフ)内容も含む)。GeoGebra のよいところは，ネット三角形の面積の変化の様子が台形の形になる有名なで公開できて，コンテンツを共有でき，しかもタッ

1 次関数の応用問題。実際に点が動いて，それと同チパネル対応でスマホでもシミュレーションができ時にグラフが現れるように作成した。

るという至れり尽くせりのソフトである。

2 元 1 次方程式のグラフ (=定数，=定数)

まず百聞は一見にしかず。私がいままで作った生徒に=定数の形が方程式であるというとこ

GeoGebra コンテンツを私自身のサイト (http:

ろから説明しないといけない。グラフで表すにしてessential-math.main.jpvisitorsgeogebrahp)も，この形のままではそれぞれ  や  の値がなく座にまとめている。

標平面に点をとることすらできない。そこで，たとえば =3 のグラフであれば，+0×=3 とかきなおした式をヒントで用意してどのように解が配置されていくかをアニメーション化した。生徒の理解度は格段に上がった。

§2．平面図形
最短距離

中 1 の幾何で学ぶ有名な最短距離の問題。

§5．2 次関数

生徒にタブレット導入されたことによって，各自で2 次関数の応用制動距離のシミュレーション 制動シミュレーションができるようになりグループ学習

距離イメージがわかないとの依頼から作成した。作を行った。

成ポイントとしては，速度を自由に変えることがで生徒からよくなきて，静止した距離をグラフにプロットして 2 次曲ぜ円周率が 3.14 なのですかと質問を受ける。円に線になるというシミュレーションができるように作内接する多角形と外接する多角形を挟んで近似する成した。

円周率を求めるシミュレーション26§6．高校の 2 次関数の交換法則のイメージが同時にわいていないようで定義域が動く ( 1 カ所) 2 次関数の最大最小 定義域あった。その後空間ベクトルでも交換法則のイメーの端を動かすことによって，グラフの最大，最小とジアニメーションを作った。

いう文字が連動して動いて生徒の理解を促すことができた。

ベクトルの差の公式のシミュレーション

AB=□B−□A という公式。この公式の図形的意

板を折り曲げる 2 次関数 生徒から板を折り曲げ味をあまり理解しないまま使っている生徒が多い。てできる溝の面積が変化していくというイメージが□の部分が図形的にどのような意味をなしているのか，AB と □B−□A が等しい図形的意味を理解でわかないという申し出を受けて作成した。

きるように作成した。もちろん各点は平面上を自由§7．三角比に動くことができる。

単位円とタンジェント (tan) 三角比の値，特にタベクトルの和と差の具体的な成分計算

ンジェントの不等式は，GeoGebra のコンテンツが和，差，実数倍の成分計算が自由に設定できる。ベあるかどうかでかなりの理解度が変わってくる。

クトルの成分は座標と違うということを促すために単位円で三角比を定義したときの座標のイメージベクトルが平面上を自由に動けるようにした。また

単位円でコサインやサインを表したとき，コサインベクトルの成分の計算結果が図形的にどのような意

は単位円の  座標，サインは単位円の  座標になる

味をなすのか，理解を促すアニメーションを付け加というシミュレーション。特に三角定規の有名角関えた。

連のところは，分数・根号表示になるように作成し内分の位置ベクトルイメージアニメーション (内分た。また単位円上の点に連動して角度の表記も変化

グラウンド編) 線分 AB の頂点がどこにあっても，していくように作成した。

始点がどこにあっても線分 AB を m：n に内分す nOA+mOB
る点 P は，OP=で与えられるが，こm+n正弦定理の証明アニメーション

三角形に外接円を描き頂点を移動して外接円の半径を使うという流れはなかなかイメージがわきにくい。その一連の流れをアニメーション化した。

§8．平面ベクトル
私が力を入れた分野である。ベクトルが始点から終点まで伸びるようにアニメーションを作って，ベクトルは方向と大きさをもっているということを生徒に意識させるように工夫した。またベクトルは平面のどこに点があっても，始点がどこにあっても式が成り立つということを理解させるために，点を自由に動かしても成り立つようなコンテンツ作りに注

ベクトルのの形式だと図形的意味がわかりにくい。そこで，
nmOA+OB と分解して表すことにしm+nm+nて，アニメーションを付け加えることによって式の意味を図形的に理解できるようにコンテンツを作成した。そして生徒のイメージを促すためにあえて背景を学校のグラウンドにした。生徒の評判はよかった。
重心の位置ベクトルイメージアニメーション (重心グラウンド編)

三角形の頂点と始点 O は平面上を自由に動くことができる。どこに頂点があっても，1
 1
 1

OA+ OB+ OC
333

力した。

どこに始点があろうとも，ベクトルの交換法則イメージアニメーション 教科  
書では u +v =v +u と簡単に式をかいているだけ方向に歩けば，三角形の重心にたどり着くというアだが，この意味を本当に理解している生徒は少ない。

u 方向に進んだ後，v 方向に進んだ方向と距離と，v方向に進んだ後，u 方向に進んだ方向と距離が同じ，促すためにあえて背景を学校のグラウンドにした。

ニメーションを作成した。そして生徒のイメージをベクトルの 1 次独立と 1 次従属のイメージシミュレつまり始点と終点が同じであるという意味である。

ーション

平行でないかつゼロベクトルでない 2 つ 
のベクトル a ，b に対して，sa +tb が 0 になるのは，コンテンツを作ることによって生徒の理解度が格段

s=t=0 のときだけというシミュレーションを作に上がった感じがした。これを解説した後，これはった。

空間でも成り立つのですかと質問を受けた。空間で27

法線ベクトルを使って 2 つの直線のなす角度を求めつで始点をそろえてなす角度がわかるように作った。

る

2 つの直線のなす角度を法線ベクトルを使って2 つの空間ベクトルが平行とその応用シミュレーシ求める問題。法線が動くことによって，理解を促す

ョン 2 つの空間ベクトルが平行とはどういう意味シミュレーションコンテンツ。もちろん直線は自由か。2 つのベクトルが空間内で自由に動けるようにに動くことができる。

した。

ベクトル方程式 (点 P が線分 AB 上にある) 方程
式 OP=sOA+tOB において，点 P が線分 AB に空間座標 (空間ベクトル) の内分外分重心あるときと，直線 AB 上にあるとき，係数にどのよきて，式の意味を理解できるようにアニメーションうな特徴があるかシミュレーションできるようにした。それと同時に 2 つのベクトル OA と OB がど化した。のような大きさで動くかもわかるようなアニメーシ応用問題も対応した。

平面ベクトル同様に，頂点，始点を自由に動かすことがで球の方程式半径や通る 2 点を自由に変更できて，ョンを付け加えた。

§10．数列ベクトル方程式 (変数が独立して動く点の範囲)用意された頂点はすべて自由に平面上を動く。点 P図形のみでなく，数列にも応用できる。少し時間の存在範囲は，手動アニメーションで点 P の残像ををかけると等差数列の和の公式のシミュレーション残すようにして，シミュレーションできるようにしも作ることができる。

た。また存在範囲の解答をチェックボタン形式にし等差数列の和た。

るとき，教科書でも反対から足して長方形を作ると等差数列の和の公式を導く説明をすいうイメージ図があるが，図の中に…があるのでな§9．空間ベクトル

かなか生徒はイメージがわきにくいようだ。そこで

私が 1 番力を入れた分野である。空間認識が乏し回転すると長方形ができ，縦が項数，横が (初項+い生徒が多く，きちんと理解を促すコンテンツが必末項) というコンテンツを作ることによってイメー要であった。特に GeoGebra の優れているところジを促すことができる。コンテンツは，初項，項数，は，3 次元空間を自由に回転できあらゆる方向から公差を自由に変更できる。

みることができることである。
空間座標対称点のシミュレーション基準となる空間座標は自由に設定でき，対称は点をビジュアル的GeoGebra は複素数平面にも対応している。
複素数の和と差のイメージに理解できるように作成した。
座標平面に平行な平面シミュレーション§11．複素数平面
複素数の和や差はベク

トルと同じイメージで考えることができる。

同じ

=2 の方程式のグラフも，平面と空間では表す図複素数形は違う。その違いがわかるように，平面と空間を拡大をイメージできるようなコンテンツ。角度と拡並べて表示した。

大は自由に設定できる。

空間ベクトルの成分あり和と差のシミュレーション

複素数平面における線対称の仕組み

ベクトルの和，差，実数倍の成分計算が自由に設定の応用問題の 1 つとして原点を通る直線に関してのできる。ベクトルの成分は座標と違うということを点の対称移動がある。複素数平面での点対称移動は促すためにベクトルが空間内を自由に動けるようにどのような作業で行われるのか一連の流れをアニメした。またベクトルの成分の計算結果が図形的にどーション化した。スタートとなる点は自由に移動でのような意味をなすのか，理解を促すアニメーショ

きる。

ンを付け加えた。

点Aでの複素数のなす角度の仕組み成分を指定する 2 つの空間ベクトルのなす角度

2つの空間ベクトルが離れていてもベクトルのなす角度を考えることができるというコンセプトで作った。
ベクトルの成分は自由に変えることができ，操作 128

乗法による原点中心の回転と拡大

回転と複素数平面でα，β，γ が同γ−α一直線上だったら，が実数になることが実感
β−αできる解説アニメーション。α，β，γ は平面上を自由に動くことができる。

§12．2 次曲線
楕円の方程式

区分求積シミュレーション + =1 において，a>b，a=ba b (つまり，円)，a<b の場合を 1 つの平面で表した。
a や b の点を動かすだけでいろいろな楕円の形を表現でき，しかも和が常に一定という表示をつけた。
a=b のときの焦点はどうなるかというシミュレーションもできる。
放物線 (横) の軌跡

焦点，準線が連動して，焦点の座標を自由に変えることのできる放物線の軌跡のコンテンツ。
双曲線 (  軸と交点をもつ) − =1 においてa b 

区分求積はコマンドが用意されていて，簡単に作成できる。分割する数を大きくすると上方和と下方和が近づいていくという設定にした。

§14．微分積分学の基本定理
これは，GeoGebra のコンテンツではなく，パワーポイントで作成したコンテンツである。この機会に紙面を借りて紹介させていただきたい。数Ⅱの教科書で解説されている方法では，なぜ微分の逆算で面積を求めることができるのか理解が難しい生徒が経験上多いと感じる。なぜ積分 (面積を求める) 計 f () d が， f () の原始関数 F() を使って，a，b の値を自由に動かすことができ，いろいろな双算曲線の形を表現でき，しかも差が常に一定という表F(b)−F(a) で求めることができるのか。図形的意

示をつけた。

味のみで解説を試みた。やはり積分の導入は区分求離心率 1 つの平面で離心率の値を変えて，2 次曲積から積分記号の意味とこの定理の歴史を説明しな線がどのように変化するかシミュレーションできる。

がらするのが一番よいと思われる。

サイクロイド

サイクロイドの軌跡の点が動くと同時に座標が変化していく。また円弧の長さを色づけた。

§13．微分・積分
微分の導入 (接線の傾き)

h の値を 0 に近づけたと

き 2 点を通る直線は，接線になるというシミュレーション。ポイントは h0 の状態で h  0 ということを強調するために，h=0 のときは，平均変化率は存在しないが，微分係数は存在するという式を表示した。

§15．最後に私が公開している GeoGebra のコンテンツは断り無しで自由に使っていただいてもかまいません。
ただ感想をいただけると幸いです。またコンテンツ
でもこういう設定だったらもっとよいかもしれないというご意見も受け付けます。よろしくお願い申し上げます。
(兵庫県甲南高等学校・中学校)

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