ユタ大学及びソルトレイクでの工学系の数学教育
佐藤 文敏*

Math Education at University of Utah and Salt Lake
Fumitoshi SATO
概要

高専機構の在外研究制度で米国にあるユタ大学に１年間滞在した。ユタ大学では米国の伝統的な大学１・２年生のカリキュラムを改変し、工学部へ配属希望の学生のためだけの１・２年生の数学の必修科目のカリキュラムを別箇に作り、伝統的なカリキュラムと平行して２０１２年から運用している。この論文ではこの新しいカリキュラムの内容・進度等について報告する。また、ソルトレイクの公立高校の微分積分の授業内容・進度についても言及する。

Keywords : 数学教育、工学系

1. はじめに香川高等専門学校において２０２１年度以降にカリ分の授業をとる学生が増えたことである。現在、ユタキュラムを大幅に改変するために現在、改変に向け様州最大の都市であるソルトレイクには入学試験を課さ々な教科でカリキュラム作成の最中である。香川高専

ない公立の普通高校が４つあるが４つ全ての高校で１の数学カリキュラム改変の参考になればと思い高専機年間の微分積分(Calculus AB)を受講することができる。

構の在外研究制度で１年間滞在した米国にあるユタ大内容としては日本の高等学校の数学 III から平面上の学の工学部における１・２年生の数学の必修科目のカ曲線と複素平面を除いたものである。また、この４校リキュラムについて報告する。

中３校では２年目の微分積分(Calculus BC)も受講でき

ユタ大学に限らず、アメリカの大学では特殊な科目る。

以外ほぼ全ての数学の科目は数学科の教員が教える。

内容としては平面及び空間の曲線・曲面、ベクトルここでは数学科の教員が担当している工学部の数学のの微分積分、ロピタルの定理を使った極限、級数の収

１・２年生の必修科目のカリキュラムについて主に記束、広義積分、冪級数の収束半径、テイラー展開であ述する。

る。また残りの１校もソルトレイクコミュニティカレッジと提携しており、コミュニティカレッジで高校における微分積分(Calculus BC)よりも進度の早い授業の2. ユタ大学での数学教育の実情受講が可能である。したがって全ての公立高校で１変
ユタ大学においては２０１２年に以下の３つの理由

数の微分積分について日本の大学内容またはアメリカにより工学部の数学カリキュラムを伝統的なカリキュの大学の２セメスター分の授業を受けることが可能でラムから改変した。

ある。もちろん、なんらかの入学試験を課している他の公立のマグネットスクールまたは私立高校等ではさ１つ目の理由としては以前に比べ高等学校で微分積らに先の内容を教えている学校もある。ちなみにこれ＊ら公立４校の Great!schools.org でのユタ州の共通テス

香川高等専門学校専攻科 一般教育科

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独立行政法人国立高等専門学校機構香川高等専門学校研究紀要9(2018)

内容としては行列や行列式の計算だけでなく線形空トの結果をもとにした学力評価は１０段階評価で４～５であり決して学力が高い学校ではない（ソルトレイ 間、内積空間を含む線形代数とラプラス変換、連立のクにはもう１校、無試験の公立高校があるが職業訓練 ものや冪級数解を含む常微分方程式である。２セメスを主とした学校なのでここでは４校とした）。

ター目も週４回の講義と週１回の演習でベクトル解析２つ目の理由は伝統的なカリキュラムでは卒業まで と（フーリエ解析を含む）偏微分方程式を教えている。の年数が５年を超える学生が大多数であったことであ 線形代数・ベクトル解析・常微分方程式・偏微分方程る。米国では１セメスターに１２～１６単位分の授業 式を週５回の１年間の授業で微分積分同様に終了してを登録するのが普通であるが工学部を４年で卒業する いる。
微分積分後の１セメスター目で線形代数と常微分方には８セメスター中３セメスターは１７単位以上単位を所得しなくてはいけない。ちなみに１２単位以上が 程式を行うのはアメリカでは伝統的なカリキュラムでフルタイムの学生として認められる要件である。

あるが、ベクトル解析は普通、微分積分の授業の中で３つ目の理由はアメリカの伝統的なカリキュラムで 教えられるので、伝統的なカリキュラムでは２セメスは医学部、工学部、理学部のほぼ全ての学生が３セメ ター目は偏微分方程式のみの内容で週３回の授業で行スターからなる微分積分の授業を一緒に受けていたこ われる。とである。そのため数学科や生物学科など物理が必修でないまたは卒業までに履修すればよい学生も同じ授 4. ユタ大学での学習および卒業支援業を受けていたため速度、加速度等と微分積分を関連ユタ大学には数学科が運営する数学チュータリン付けて教えることですら躊躇する状態であった。

そこで工学部への配属希望の学生用の微分積分のク グセンター以外にも物理学科、工学部、図書館、寮、ラス(Engineering Calculus I, II)を作ることにした。もち 体育会等が運営しており、合計１４のチュータリング
ろん時間はかかるが伝統的な微分積分のカリキュラム センターがある。また、その大半が無料である。

数学科の運営するチュータリングセンターは TA・
RA をしている大学院生は全員週１時間割り当てがあ
3. 工学部用の新カリキュラムり、その他のチューターは学部生を主とするアルバイトである。平日はほぼ毎日朝の８時から夜の８時まで
伝統的なカリキュラムでは微分積分は Calculus I, II,
空いており、常時３～４名のチューターが待機し、だIII と３セメスターあり、それぞれ５０分の講義が週れでも予約なしにきて無料で質問に答えてもらえる。に４回、４回、３回というように時間配分されていた。また、機械工学科のチュータリングセンターも朝の９内容としては Calculus I、II で１変数の微分積分、III時から５時まで空いており、数学・物理・機械工学ので多変数の微分積分と２次元のベクトル解析を教え１～３年生までの大抵の科目の質問ができこちらもる（３次元のベクトル解析まで教える大学もある）。 無料である。
講義のみで演習の時間は特に設けられていない。
早く卒業できるように学期と学期の間ごとおよび新カリキュラムでは微分積分を２セメスターにし、 春休み、秋休みに１週間の短期の科目を開講している。
両セメスターとも５０分の講義が週４回と（参加任意 大抵の科目は一般教養科目に分類される科目で体の）演習の時間が１回の計５回で教えている。１セメ 育・音楽・食の文化などがある。授業は５日間、朝のスター目の内容は日本の高校の数学 III の内容に数値 ８時から夕方５時まであり３単位所得できる。このシ計算や速度・加速度や仕事や重心などの物理的な内容 ステムを利用すれば早く卒業でき、通常の学期に一般を加えたものである。２セメスター目の内容は教養科目をとらなくてもよいので授業時間数が減らCalculus BC の内容に多変数の微分積分に追加したも せ自分の専攻の授業に集中できる利点がある。蛇足でのである。したがって日本で通常、微分積分といわれ はあるが、通常の学期よりも１単位当たりの学費が安る内容は週４回の講義と（参加任意の）１回の演習の計、く設定されている。
週５回の１年間の授業で終了している。
数学科では短期の科目としては単位にはならない
２年目の数学の１セメスター目は線形代数と常微分 科目であるが秋学期および春学期の直前にそれぞれ5方程式を週４回の講義と週１回の演習で行っている。 科目開講している。そのうち４科目が工学部にも関連
講義は線形代数と微分方程式が平行に進むのではなく しているので紹介する。１つ目は新入生を主に対象と直列で行っている。
した微分積分に必要な予備知識の確認のための授業を受講しても工学部での卒業は可能である。

88佐藤 文敏:ユタ大学及びソルトレイクでの工学系の数学教育である。これは４日間で計１１時間の授業である。残りの２つは Calculus I または II の成績が C 未満の学生を対象とした補習及び再試験である。４日間で計８時間からなる。再試験で C 以上の成績であれば次の科目が履修できる。４つ目は Calculus I を履修した学生が Engineering Calculus II に移行できるように、Calculus I で習わない Engineering Calculus I の内容の授業である。これも４日間で計８時間からなる。
これらの科目はすべて有料（＄１０５～＄１９５)である。
5.

まとめ
高専本科終了（大学２年終了）の時点で香川高専では級数の収束の判定法、冪級数の収束半径、抽象的な線形空間の扱いが全くない。また、ベクトル解析、微分方程式についてもアメリカの標準的な内容に比べると見劣りしてしまう。これは時間数によるところもあるがユタ大学では評定が C 未満の学生は次の関連する科目を履修できないという規則および１～２年の成績により学部・学科の配属が決まるためある程度できる学生しか授業に登録できないところが大きいと思われる。
また、ソルトレイクの数学教育において特筆すべきことは高校終了時に１変数の微分積分の授業を終了している生徒が少なからず入学試験を課さない各公立高校に居ることである。ソルトレイクでは９月１日基準で学年が決まるので４月から８月生まれの学生は高専３年生の５月末で 1 変数の微分積分の内容が終わるということである。
6. 謝辞
本論文を作成にあたり様々な情報提供をしてくたユタ大学数学科の Peter Alfeld 教授、およびローランド
ホール高校の Emina Alibegovic 博士両名に感謝申し上げます。

参考文献
1) University of Utah Mathematics Catalog 20172) Great!schools https:///greatschools.org/

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