数理解析研究所講究録 1273 巻 2002 年 165-177

165
記録値に対する予測区間の構成について
筑波大・数学 飛田英祐 (Eisuke Hida)
筑波大・数学 赤平昌文 (Masafumi Akahira)

1. はじめに
通常の統計的推測理論では未知の母数をもつ母集団分布からの標本に基づ ‘て, その母数の推濱$\mathrm{A}$

方式の最適性などについて論じる. それに対して統計的予測論では未観測の確率変数を観損リデータに基づいて予測する方式を考える ([Gu70], [T75], [Ak90]). その際, 観測データカ\leq 従う分布 [ま未矢, ‘て十分統計の母数をもつから, そのことも考慮しなければならない. そこで, 指数型分布族}こおそ
量に基づいて予測区間を構成したり ([AkH00], [HOO]), また, ベイズ的観,\mbox{\boldmath $\zeta$}力 1 ら予測方式を考え,る ([Ge93]).
の際の事前分布の選択の適切性に関していろいろ論じられ記録値の区本論では, まず, 推測理論の区間推定に対応する区間予測を, 1 母数指数分布の場合}こ,間予測として考える. 本論では, 指数分布の場合に Awad and Raqab [AwR00] が論じた観損|」可能な(ま男 1」のベイズ
記録値 (record values) に基づいて未観測の記録値の予測区間につ ‘て述べ, それらと$|$$rightarrow \mathrm{C}1^{\mathrm{a}}$$\mathrm{V}$的方法および完備十分統計量を用いる方法によって予測区間を構成し, また, 数値的観, 依力] らもそれらの予測区間を比較検討する ([HAkOl]). さらに, 一般の分布の場合の記録値の区間予徂」の方法についても提案し, 具体的には, 切断指数分布, ワイブル分布, ガンマ分布の場合 [こつ ‘て, 数値的検討も含めて, 考察する. なお, 記録値に関する分布論および推測につ ‘て \mbox{\boldmath $\zeta$}ま Arnold et.
$1$$|_{\sqrt}$$al[\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{B}\mathrm{N}98]$$\mathrm{V}$参照.

2. 指数分布の場合の予測区間の構成
確率変数列$X_{1},$ $X_{2},$$\ldots$は互いに独立にいずれも確率密度関数 (probability density function 略

して p.d.f.)$f(x;\theta)=\{$$\theta e^{-\theta x}$$(x>0)$ ,0$(x\leq 0)$をもつ 1 母数指数分布 Exp(l/のに従うとする. ただし,
録時刻 (record time) を$\theta$は未知の正値母数とする. このとき, 記$N(1):=1$ ,$N(j):= \min\{k|k>N(j-1), X_{k}>X_{N(j-1)}\}$ ,$(j=2,3, \ldots)$とし, この記録時刻を用いて記録値を $\mathrm{Y}_{j}:=X_{N(j)}(j\geq 1)$ と表わす. 1 ‘ま, この指数分布に基づいて未観測の 番目 (こ更新される記録値から観測された記録値ベクトルに無関係に構成する方法につ ‘て考える.
$\mathrm{Y}_{n}(1\leq m<n)$ の予測区間を未知母数$Exp(1/\theta)$$n$$\mathrm{Y}:=(\mathrm{Y}_{1}, \ldots, \mathrm{Y}_{m})$$|_{\sqrt}$$\theta$

指数分布 Exp(l/のから観測された記録値ベクトル$\mathrm{Y}=(\mathrm{Y}_{1}, \ldots, \mathrm{Y}_{m})$(joint(j). p.d.f.) は$f_{\mathrm{Y}}(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{m}; \theta)=\prod_{i=1}^{m-1}[\frac{f(y_{i},\theta)}{1-F(y_{i}\cdot\theta)}.,]f(y_{m}; \theta)$の同時確率密度関数

166$\theta^{m}e^{-\theta y_{m}}$

$=\{$

となる.

$(0<y_{m}<\infty)$

0

,

(その他)

は Exp(l/のの累積分布関数 (cumulative distribution function 略して
ただし,
c.d.f.) とする. これより, 次のことが成り立っことが分がる (たとえば, Ahsanulah [A78], [A80]
参照).

(i)

$F(\cdot;\theta)$. はガンマ分布 $G(i, 1/\theta)$ に従う.

$\mathrm{Y}_{\dot{l}}=X_{N(1)}$(\"u) $Z_{n,m}:=\mathrm{Y}_{n}-\mathrm{Y}_{m}(1\leq m<n)$ とすると,$\mathrm{Y}_{m}$を与えたときの Zn,。の条件付分布は$G(n-m$ , 1/のとなる.

(\"ui)$(\mathrm{Y}_{m}, \mathrm{Y}_{n})$の j.p.d.f. t ま$\frac{1}{\Gamma(m)\Gamma(n-m)}\theta^{n}y_{m}^{m-1}(y_{n}-y_{m})^{n-m-1}e^{-\theta y_{n}}$$(0<y_{m}<y_{n}<\infty)$$f_{Y_{m},Y_{n}}(y_{m}, y_{n}; \theta)=\{$(iv)$\mathrm{Y}$,0(その他).
に基づく \mbox{\boldmath $\theta$}の最尤推定量は.
$\hat{\theta}_{ML}$$:=m/\mathrm{Y}_{m}$に基づいて Awad and Raqab[AwR00] が論じた
そこで,の区間予測 (A), (匍, (P),(H) について述べる. また, ベイズ的観点と完備十分性の観点がらの予測区間の構成法 (B),$(\mathrm{i})\sim(\mathrm{i}\mathrm{v})$$\mathrm{Y}_{n}$$\mathrm{Y}_{n}$$(\emptyset$についても考え, 数値的に比較検討する.

(A) 近似法 (approximate method)
統計量は, 自由度 $2n-2m$ のカイニ乗分布$0<\alpha<1$ とし, $\chi_{\alpha}^{2}(2n-2m)$ を\chi 22n-2。分布の下側 100\mbox{\boldmath $\alpha$}% 点とすると,$W:=2\theta(\mathrm{Y}_{n}-\mathrm{Y}_{m})$$\chi_{2n-2m}^{2}$分布に従う. そこで,$\mathrm{P}\mathrm{r}\{\chi_{\alpha/2}^{2}(2n-2m)\leq W\leq\chi_{1-\alpha/2}^{2}(2n-2m)\}=1-\alpha$となる. これより,$\mathrm{Y}_{n}$の信頼係数 $1-\alpha$ の予測区間は, 未知母数$\theta$の代ゎりに$\mathrm{Y}$に基づく$\hat{\theta}_{ML}$用いて,$\mathrm{P}\mathrm{r}\{(1+\frac{1}{2m}\chi_{\alpha/2}^{2}(2n-2m))y_{m}\leq \mathrm{Y}_{n}\leq(1+\frac{1}{2m}$から得られる. また,$\mathrm{Y}_{n}$\chi 21-。/2 $(2n-2m))y_{m}\}=1-\alpha$の信頼係数 $1-\alpha$ の下側, 上側予測限界はそれぞれ$\{1+\frac{1}{2m}\chi_{\alpha}^{2}(2n-2m)\}y_{m}$,$\{1+\frac{1}{2m}\chi_{1-\alpha}^{2}(2n-2m)\}y_{m}$になる.

(W) Wald 法の p.d.f. は$\mathrm{Y}_{n}$$\frac{\theta^{n}}{\Gamma(n)}y_{n}^{n-1}e^{\theta y_{n}}$$(y_{n}>0)$$f_{Y_{n}}(y_{n})=\{$

0$(y_{n}\leq 0)$

,

を

167
になる. この p.d 工において未知母数を$\theta$$\mathrm{Y}$に基づく$\hat{\theta}_{ML}$で置き換えたものを$(0<y_{m}<y_{n}<\infty)$$\frac{1}{\Gamma(n)}(\frac{m}{y_{m}})^{n}y_{n}^{n-1}e^{-my_{n}/y_{m}}$$g(\cdot)$

とすると

,

$g(y_{n})=\{$

0(その他)となる. ここで,$Z:=2m\mathrm{Y}_{n}/\mathrm{Y}_{m}$どすると, $Z$ は$\chi_{2n}^{2}$分布に従うので,$\mathrm{Y}_{n}$の信頼係数 $1-\alpha$ の予測

区間は$\mathrm{P}\mathrm{r}\{\frac{y_{m}}{2m}\chi_{\alpha/2}^{2}(2n)\leq \mathrm{Y}_{n}\leq\frac{y_{m}}{2m}\chi_{1-\alpha/2}^{2}(2n)\}=1-\alpha$から得られる. また,$\mathrm{Y}_{n}$の信頼係数$1-\alpha$の下側, 上側予測限界はそれぞれ$\frac{y_{m}}{2m}\chi_{\alpha}^{2}(2n),$$\frac{y_{m}}{2m}$\chi 21-。(2n)になる.

(P) 枢軸法 (pivot method)$W=2\theta(\mathrm{Y}_{n}-\mathrm{Y}_{m})$と $T:=2\theta \mathrm{Y}_{m}$ は互いに独立に, それぞれ $\chi_{2n-2m}^{2}$ 分布, \chi 22。分布に従うこと

から,”m,2。分布 (自由度 $2n-2m,$ $2m$ の$F:= \frac{W}{2n-2m}/\frac{T}{2m}=\frac{m(\mathrm{Y}_{n}-\mathrm{Y}_{m})}{(n-m)\mathrm{Y}_{m}}\sim \mathrm{F}_{2}$となる.

$\mathrm{F}_{\alpha}(a, b)$を$\mathrm{F}_{a,b}$

分布の下側 100\mbox{\boldmath $\alpha$}% 点とすると,$\mathrm{Y}_{n}$$\mathrm{F}$分布)の信頼係数 $1-\alpha$ の予測区間は$\mathrm{P}\mathrm{r}\{(1+\frac{n-m}{m}\mathrm{F}_{\alpha/2}(2n-2m, 2m))y_{m}\leq \mathrm{Y}_{n}\leq(1+\frac{n-m}{m}\mathrm{F}_{1-\alpha/2}(2n-2m, 2m))y_{m}\}$$=1-\alpha$から得られる. また,$\mathrm{Y}_{n}$の信頼係数 1-$(1+ \frac{n-m}{m}\mathrm{F}_{\alpha}(2n-2m, 2m))y_{m}$,$\alpha$の下側, 上側予測限界はそれぞれ$($ $1+ \frac{n-m}{m}\mathrm{F}_{1-\alpha}(2n-2m,2m))y_{m}$[こなる.

(H) 最大条件付密度法 (highest conditional density method)の条件付密度はを与えたときの$\mathrm{Y}_{n}$$\mathrm{Y}=(\mathrm{Y}_{1}, \ldots, \mathrm{Y}_{m})$(0<y。$<y_{n}<\infty$ ),”$\frac{1}{\Gamma(n-m)}\theta^{n-m}(y_{n}-y_{m})^{n-m-l}e^{-\mathit{0}(y-y_{m})}$$f_{Y_{n}|Y_{m}}(y_{n}|y_{m};\theta)=\{$

0(その他)になり, ここで, 未知母数$\theta$を$\mathrm{Y}$に基づく$\hat{\theta}_{ML}$で置き換えたものを$\frac{1}{\Gamma(n-m)y_{m}}m^{n-m}(\frac{y_{n}-y_{m}}{y_{m}})^{n-m-1}$$\hat{f}_{Y_{n}|Y_{m}}(y_{n}|y_{m})=\{$$\hat{f}$とすると$e^{-m(y_{n}-y_{m})/y_{m}}$$(0<y_{m}<y_{n}<\infty)$,

0(その他)となる.

$\hat{f}$は未知母数$\theta$に無関係であるので,$\mathrm{Y}_{n}$の信頼係数 $1-\alpha$ の最大条件密度法 (HCD) 予測

区間は$\mathrm{P}\mathrm{r}\{(1+w_{1})y_{m}\leq \mathrm{Y}_{n}\leq(1+w_{2})y_{m}\}=1-\alpha$168から得られる. ただし, $(w_{1}, w_{2})$ I ま$\int_{(1+w_{1})ym}^{(1+w_{2})y_{m}}\hat{f}_{Y_{n}|Y_{m}}(y_{n}|y_{m})dy_{n}=1-\alpha$

,

$\{$

$\hat{f}_{Yn1^{Ym}}$((l+wl)ym|ym)=f^YelY\supseteqq ((l+w2)ym|ymを同時に満たすものとする.

次に, [AROO] とは別の観点から,$\mathrm{Y}n$の予測区間を構成する方法 (B), (C) を考える.

(B) ベイズ法 (Bayesian method)
ベイズの観点から, 未知母数 の事前密度として, Hartigan の漸近局所不変事前密度 $pH(\theta)=$$(0<c<\infty)$ をとる. このとき,の同時事後密度との事後密度はそれぞれ$\theta$$(\mathrm{Y}_{n}, \mathrm{Y}_{m})$$c,$$\mathrm{Y}_{m}$$f(y_{n}, y_{m})= \int_{0}^{\infty}f_{Y_{n},Y_{m}}(y_{n}, y_{m};\theta)p_{H}(\theta)d\theta$$\propto y_{m}^{m-1}(y_{n}-y_{m})^{n-m-1}/y_{n}^{n+1}$,,$f(y_{m})= \int_{0}^{\infty}f_{Y_{m}}(y_{m}; \theta)p_{H}(\theta)d\theta$$\alpha y_{m}^{-2}$となることから,$\mathrm{Y}_{n}$の予測密度は$K( \frac{y_{m}}{y_{n}})^{m+1}(1-\frac{y_{m}}{y_{n}})^{n-m-1}\frac{1}{y_{n}}$$(0<y_{m}<y_{n}<\infty)$$f(y_{n}|y_{m})= \frac{f(y_{n},y_{m})}{f(y_{m})}=\{$,

0(その他)となる. ただし, $K:=1/B(m+1, n-m)$ とする. この予測密度より,区間は$\mathrm{Y}_{n}$の信頼係数 $1-\alpha$ の予測$\int_{\underline{b}}^{\overline{b}}f(y_{n}|y_{m})dy_{n}=1-\alpha$を満たす [$\underline{b},$$\neg b$で与えられる. また,となる$\overline{b}^{*}$$\underline{b}^{*},$.

.

$\int_{0}^{\underline{b}}$について,$\mathrm{Y}_{n}$$f(y_{n}|y_{m})dy_{n}=\alpha$,$\int_{0}^{\overline{b}}$$f(y_{n}|y_{m})dy_{n}=1-\alpha$の信頼係数 $1-\alpha$ の下側, 上側予測限界はそれぞれ$\vec{b}$$\underline{b}^{*},$になる.

(C) 完備十分統計 (量による方) 法 (complete sufficient statistic method)(A), (W), (P), (H) の方法では未知母数 の代わりににするのが特徴であり, (B) では の事前密度として Hartigan のものを用いるのが特徴である. しかし, この場合には完備十分統計量が存在するから, それに基づいて区間予測を行う方が自然であり, 妥当に思われる. そこで, 一般的に$\theta$$\hat{\theta}_{ML}$$\theta$

169.をを観測された確率変数, $Y$ を未観測の確率変数とし, $(X, Y)$ のに依存する $Y$ の値域の部分集合として, 予測関数
する. このとき, $S(x)$ を$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{Y},(x, y;\ovalbox{\tt\small REJECT}(\theta\in\ovalbox{\tt\small REJECT})$$\mathrm{j}\mathrm{p}\mathrm{d}\mathrm{f}$$X$$X\ovalbox{\tt\small REJECT} x$$\phi(x, y):=\{$

によって定義する. そして,$\mathcal{Y}\subset \mathrm{R}^{1}$

1$(y\in S(x)\sigma)k\mathrm{S})$$\phi(x,$$\emptyset$

と

を

,

0( $y\not\in S(x)$ のとき)とし, $0<\alpha<1$ について

$1-\alpha=\mathrm{P}_{\theta}\{\mathrm{Y}\in S(X)\}=\mathrm{E}_{\theta}[\phi(X, \mathrm{Y})]$$= \int\int\phi(x,y)f_{X,Y}(x, y;\theta)dxdy$を定めるとき, これをに対する完備十分統計量とする. (2.1) よりとなるように区間$\mathrm{Y}$が$\theta$$S(X)(\subset \mathcal{Y})$$\mathrm{Y}$,$\theta\in\Theta$(2.1)の信頼係数 $1-\alpha$ の予測区間という. 次に,$\int\int\phi(x, y)f_{X|Y}(x|y)f_{Y}^{\theta}(y)dxdy=1-\alpha$,$\theta\in\Theta$

であるから$\int\{\int\phi(x, y)f_{X|Y}(x|y)dx-(1-\alpha)\}f_{Y}^{\theta}(y)dy=0$となる. よって,$\mathrm{Y}$が$\theta$,$\theta\in\Theta$の完備であるから$\int\phi(x, y)f_{X|Y}(x|y)dx=1-\alpha$

,

$a.a$

.

(2.2)

$y$

となる. いま, $U:=T(X, \mathrm{Y})$ とし, $X=g(U, \mathrm{Y})$ と表わせたとすると, (2.2) は$\int\phi(g(u, y),$ $y)f_{U|Y}(u|y)du=1-\alpha$

,

$a.a$

.

(2.3)

$y$

となる. ここで,$f_{U|Y}(u|y)=f_{U}(u)$$\{$$\phi(g(u, y),$ $y)=\psi(u)$であると仮定すると, (2.3) より$1- \alpha=\int\psi(u)f_{U}(u)du=\mathrm{P}_{\mathrm{U}}\{\underline{u}\leq U\leq\overline{u}\}$となる$\overline{u}$$\underline{u},$が存在する. よって$1-\alpha=\mathrm{P}_{\mathrm{X},\mathrm{Y}}\{\underline{u}\leq T(X, \mathrm{Y})\leq\overline{u}\}=\mathrm{P}_{X,Y}\{a(X)\leq \mathrm{Y}\leq b(X)\}$となれば, 区間 $[a(X), b(X)]$ は の信頼係数 $1-\alpha$ の予測区間となる.
とおくと,そこで, 前記の記録値の場合について$\mathrm{Y}$$X:=\mathrm{Y}_{m},$$\mathrm{Y}:=\mathrm{Y}_{n}$$\frac{\theta^{n}}{(m-1)!(n-m-1)!}x^{m-1}(y-x)^{n-m-1}e^{-\theta y}$$(X, \mathrm{Y})$の同時密度は$(0<x<y<\infty)$ ,$f_{X,Y}^{\theta}(x, y)=\{$

0(その他)

170
は未知母数
より,
件付密度は
$\mathrm{Y}$$\theta$に対する完備十分統計量になる. したがって,$\mathrm{Y}\ovalbox{\tt\small REJECT} y$$\frac{1}{B(m,n-m)}(\frac{x}{y})^{m-1}(1-\frac{x}{y})^{n-m-1}\frac{1}{y}$$f_{X|Y}(x|y)=\{$を与えたときの $X$ の条$(0<x<y<\infty)$ ,0(その他)となり, に無関係になる. この条件付密度を用いて, $U:=X/\mathrm{Y}$ とおけば, $U$ はベータ分布 Be(m, $n-$$m)$ に従うから,の信頼係数 $1-\alpha$ の予測区間は$\theta$$\mathrm{Y}$$1- \alpha=l\mathrm{b}\{\underline{u}\leq U\leq\overline{u}\}=P_{X,Y}\{\underline{u}\leq\frac{X}{\mathrm{Y}}\leq\overline{u}\}=P_{X,Y}\{\frac{X}{\overline{u}}\leq \mathrm{Y}\leq\frac{X}{\underline{u}}\}$

より得られる. また,$h\{U\leq\underline{u}^{*}\}=\alpha,$となる$\underline{u}^{*},$$\vec{u}$について,$\mathrm{Y}$$P_{U}\{U\leq\vec{u}\}=1-\alpha$の信頼係数 $1-\alpha$ の下側, 上側予測限界はそれぞれ $X/\vec{u},$$X/\underline{u}^{*}$になる.

3. 数値的検討
前節において論じた近似法 (A), Wald 法 (W), 枢軸法 (P), 最大条件密度法 (H), ベイズ法 (B), 完
備十分統計法 (C) について $\theta=0.1,0.2,0.5;m=3;n=5$ の場合に, 10000 回繰り返しシミュレー
ションを行い, それぞれの予測区間の被覆確率, 区間の幅, 予測区間を得た (表 1\sim 3 参照).

171

4. 応用例
1997 年から現在までの関東地方 (北緯 345\sim 372 度, 東経 1381\sim 1410 度の地域)で起こった地震のマグニチュードの大きさに関して次のような記録値がある.

3.7, 3.9, 4.4, 4.5, 4.7, 4.9, 5.0, 5.1, 5.2, 5.4, 5.8, 6.1 (M).
このとき, 10 番目までの記録値 $y_{1}0=5.4$ から, $y12$ を予測したときの信頼係数$1-\alpha$の予徂 区間 [ま$|\mathrm{J}$5. 一般の分布の場合の予測区間の構成
一般に, 確率変数 $X$ が p.d.f. $p(x)$ , c.d 工 $F(x)$ をもつときに, $U:=F(X)$$[0, 1]$ 上の一様分布 $U(0, 1)$ &こ従う. 従ってとすれ$1\mathrm{f}$

,

$U$

[ま区間

(5.1)

$\mathrm{Y}:=-\log(1-F(X))$

とおくと,$\mathrm{Y}$[ま.

$\mathrm{p}.\mathrm{d}.\mathrm{f}$$f_{Y}(y)=\{$$e^{-y}$$(y>0)$ ,0$(y\leq 0)$の J[減少関数であるこ{まをもつ指数分布 $Exp(1)$ l こ従うことが分かる. ここで, (5.1) 力] らがたがいに独立に| ‘ずれも p.d.f. $p(x, \theta)$ をもつ分布 (こ従とに注意. そこで, いま,とする. まず, $X:=(X_{1}, \ldots, X_{n})$ として, 母数 の適 な推定量うとする. ただし,をつを用 て,
$X=x=(x_{1}, \ldots, x_{n})$ のときの推定値(こつい$\mathrm{Y}$$X_{1},$$\ldots,$$X_{n}$$X$$\sqrt$$\theta$$\pm^{\backslash \prime}$$\theta\in\Theta$$\hat{\theta}(x)$$\hat{\theta}=\hat{\theta}(X)$$|_{\sqrt}\backslash$$\hat{p}(\cdot)=p(\cdot,\hat{\theta}(x))$$\vee C$がたがいに独立にいずれも p.d.f. に従うと見なして変換 (5.1) &こよっ
はたがいに独立に 1‘ずれも指数分布て $\mathrm{Y}_{i}=-\log(1-\hat{F}(X_{i}))(i=1, \ldots, n)$ とすれば,は を p.d.f. としてもつ c.d.f. とする. 従って, 後{ま第 2 節の$Exp(1)$ に従うことになる. ただし,くる. そして,$X_{1},$$\ldots,$$\hat{p}$$X_{n}$$\mathrm{Y}_{1},$$\hat{F}$$\hat{p}$指数分布の場合の予測区間の構成に帰着できる.

$\mathrm{Y}_{n}$$\ldots,$

172
5.1. 切断指数分布の場合
まず,$X_{1},$$\ldots,$$X_{n}$をたがいに独立に, いずれも p.d.f.
$(0<x<\alpha)$$c_{\alpha,\beta}e^{-x/\beta}$$p(x;\alpha, \beta)=\{$,

0(その他)をもつ切断指数分布に従うとする. ただし,$\alpha,$$\beta$は未知とし,$c_{\alpha}, \rho=\frac{1}{\beta(1-e^{-\alpha/\beta})}$とする.

がこのとき, 統計量に対する十分統計量になる. いま, $X:=$$(X_{1}, \ldots, X_{n})$ の実現値を $x:=(x_{1}, \ldots, x_{n})$ とすると, 母数の尤度関数は$( \max_{1\leq i\leq n}X_{i},\overline{X})$$(\alpha, \beta)$$(\alpha,\beta)$$L( \alpha, \beta;x):=c_{\alpha,\beta}^{n}\exp(-\sum_{\dot{l}=1}^{n}x_{i}/\beta)$になり, 尤度方程式$\log L/\partial\beta=0$$(0<x_{(1)}\leq x_{(n)}<\alpha)$

より

(5.2)

$\beta=\overline{x}+\frac{\alpha e^{-\alpha/\beta}}{1-e^{-\alpha/\beta}}=:\overline{x}+\alpha\gamma$[こなる. ただし, x(l)=ninl\leq i\leq n $xi,$ $x(n)= \max 1\leq:\leq nxi,\overline{x}=(1/n)\sum_{i=1}^{n}x:,$ $\gamma=e^{-\alpha/\beta}/(1-e^{-\alpha/\beta})$

とする.

このとき,

$\alpha,$$\beta$のそれぞれの推定量を$\hat{\alpha},\hat{\beta}$とすれば, (5.2) から,$\gamma$の推定量として(5.3)$\ovalbox{\tt\small REJECT}=e^{-\hat{\alpha}/\hat{\beta}}/(1-e^{-\hat{\alpha}/\hat{\beta}})$を考える. そこで, 実際には, $\hat{\alpha}_{1}:=X=(n)\max 1\leq:\leq nX_{\dot{l}}$ とし, (5.2) より代入して$\hat{\beta}=\overline{X}+\hat{\alpha}_{1}\hat{\gamma}$

を (5.3) に$\hat{\gamma}=\frac{e^{-\hat{\alpha}_{1}/(\overline{X}+\hat{\alpha}_{1}\hat{\gamma})}}{1-e^{-\hat{\alpha}_{1}/(\overline{X}+\hat{\alpha}_{1}\hat{\gamma})}}$から$\hat{\gamma}=\hat{\gamma}_{1}$を求めて, 再ひ (5.2) より$\hat{\beta}_{1}=\overline{X}+\hat{\alpha}_{1}\hat{\gamma}_{1}$を得る. 次 [こ,$\hat{\beta}_{1},\hat{\gamma}_{1}$を用いて$\hat{\alpha}_{2}:=X_{(n)}+\frac{\hat{\beta}_{1}}{n\hat{\gamma}_{1}}$とし, (5.2) より$\hat{\beta}=\overline{X}+\hat{\alpha}_{2}\hat{\gamma}$

を (5.3) に代入して$\hat{\gamma}=\frac{e^{-\hat{\alpha}_{2}/(\overline{X}+\hat{\alpha}_{2}\hat{\gamma})}}{1-e^{-\hat{\alpha}_{2}/(\overline{X}+\hat{\alpha}_{2}\hat{\gamma})}}$から$\hat{\gamma}=\hat{\gamma}_{2}$を求めて, (5.2) より$\hat{\beta}_{2}=\overline{X}+\hat{\alpha}_{2}\hat{\gamma}_{2}$を得る. さらに$\hat{\alpha}_{3}:=X_{(n)}+\frac{\hat{\beta}_{2}}{n\hat{\gamma}_{2}}$として, 以下, 同様の手続きを繰り返して,の $karrow\infty$ のときの極限をそれぞれる. そこで,をで推定する.
$\hat{\alpha}k,\hat{\beta}k$$p(\cdot ; \alpha, \beta)$$p(\cdot ; \hat{\alpha}^{*},\hat{\beta}^{*})$$\hat{\alpha}^{*},\hat{\beta}^{*}$

を得

173
例 5.1 ある p.d.f.
になった.

$p(\cdot ; \alpha, \beta)$をもつ切断指数分布から大きさ 30 の無作為標本を求めると, 次のよう704878, 758511, 723118, 73.4242, 71.492, 74.6821, 72.0552, 80.2314, 72.4681, 74.3722,
80.4015, 730246, 73 .7204, 80.4591, 77.78, 80.9469, 78.1324, 75.6065, 77.5339, 72.6765,
73.7422, 701697, 766218, 76.9422, 78.997, 73.7404, 79.3767, 77.5787, 71.5385, 77.7493.
このデータから第 2 節の意味での記録値を求めると704878, 758511, 80 .2314, 80.4015, 80.4591, 80.9469となる. このとき, まず, この切断指数分布の p.d.f. の母数
それぞれ $\hat{\alpha}^{*}=81.136,\hat{\beta}^{*}=$ -5.665 となる.に従う確率変数の変換 (5.1) を用
次に, p.d.f.

$\alpha,$$p(\cdot ; \hat{\alpha}^{*},\hat{\beta}^{*})$$\beta$$\iota\backslash$の推定値を上記の方法で求めると,ると, 上記の記録値 [ま0.165657, 0.499961, 1.91368, 2.10735, 2.18409, 3.41782$=2.10735$ 力] ら 6 番目の記録値 $\mathrm{Y}_{6}(=3.41782)$ のとなる. この記録値において, 4 番目の記録値
予測区間を第 2 節の各方法で構成し, さらに (5.1) の逆変換で元 (こ戻すと, X4=80.4015&こ基づくの値力 S‘ずれの場合 [こも,信頼係数 $1-\alpha$ の $X_{6}(=80.9469)$ の予測区間は次の表のよう {こなる. 1$\mathrm{Y}_{4}$$X\epsilon$

予測区間に含まれていることが分かる.

ンマー投げ競技で日本記録を保持して
年から 2001 年までの新記録の成績が例 52 日本陸上競技において,,$r\backslash$$1_{\mathit{1}}\backslash$る室伏広治選手の 1998

76.65, 76.67, 77.35, 78.41, 78.57, 79.17, 80.23, 80.56, 81.08, 82.23, 82.60, 83.47 (m)の推ると考えて, 上記の方法力 1 ら母数であった. この記録値は, ある切断指数分布に従つを用 ると, 上記の記録
定値は, それぞれ $\hat{\alpha}^{*}=91.058,\hat{\beta}^{*}=1.82\cross 10^{8}$ となる. さら [こ, 変換 (5.1)$\alpha,$$-\mathrm{C}1^{\mathrm{a}}$$\beta$$1\backslash$

値は1844, L845, 1894, 1.974, 1.987, 2.036, 2.129, 2.160, 2.211, 2.334, 2.376, 2.485
力] ら 12 番目の記録値}12となる. この記録値において, 10 番目の記録値}10 $=2.334$
予測区間を第 2 節の各方法で構成し, さらに (5.1) の逆変換で元 (こ戻すと, Xlo=82.23&こ基づく信法}こよる予担 」区間 こつ て
頼係数 $1-\alpha$ の $X_{12}(=83.47)$ の予測区間は次の表のようになる. Waldの値力\leq 含まれる.
は, 区間の長さは他のものより長いが, いずれの予測区間にも$(=2.485)$ の$\mathrm{a}$$|$$X_{12}$$\mathrm{V}$174

5.2. ワイブル分布の場合$X_{1},$$X2,$ $\ldots,$ $X_{n},$ $\ldots$

をたがいに独立に, いずれも p.d.f.
$\alpha-1$$\frac{\alpha x}{\theta^{\alpha}}e^{-(x/\theta)^{\alpha}}$$p_{\alpha}(x, \theta)=\{$

0をもつワイブル (Weibull) 分布のとき, 巾母数$\alpha$$(x>0)$ ,(5.4)$(x\leq 0)$に従う確率変数列とする. ただし, $\theta>0,$ $\alpha>0$ とする.
について, Menon[M63] はの推定量として$W(\alpha, \theta)$

こ$\alpha^{-1}$$\tilde{\alpha}^{-1}:=$を提案した. ただし, $\overline{\log X}=(1/n)\sum_{i=1}^{n}\log X_{\dot{l}}$ とする. 推定量$\tilde{\alpha}^{-1}$は$\alpha^{-1}$

不偏性を持ち, その分散はの漸近正規性かっ漸近$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(\tilde{\alpha}^{-1})=\{1.1+O(\frac{1}{n})\}\frac{\alpha^{-2}}{n}$となり, その Cram\’er-Rao の下界に対する漸近効率は約 55%であることが知られてぃる (Johnson$el.al[\mathrm{J}\mathrm{K}\mathrm{B}94])$.

いま, 確率変数 $X$ が p.d.f. (5.4) をもっワイブル分布

おくと,
とき,

$\mathrm{Y}$$\tilde{\alpha}^{-1}$は指数分布$W(\alpha, \theta)$に従うとき,$\mathrm{Y}:=X^{\alpha},$(5.5)$(i=1,2, \ldots, n, \ldots)$

換を行って,がたがいに独立に, いずれも指数分布に従うと見なして, 第 2 節の議論に帰着できる.
変数$/\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathrm{Y}_{1},$$\mathrm{Y}2,$$\ldots,$

例 5.3 1993 年から 1997 年までに,得られた第 2 節の意味での記録値が$\mathrm{Y}_{n},$$\ldots$$Exp(\theta^{1/\tilde{\alpha}^{-1}})$

神通川の神通大橋観測所で観測された日平均流量データがら,

137.52, 156.4, 312.32, 339.97, 414.2, 418.69, 512.12, 839.59, 1183.8, 1315.86, 141007
であった.

定値は,

と

の実現値を計算して$\mathrm{Y}_{\dot{l}}:=X_{i}^{1/\tilde{\alpha}^{-1}}$$\ l\backslash \overline{\mathcal{D}}$$\eta:=\theta^{\alpha}$に従うことが分かる. そこで, $X_{i}=x:(i=1,2, \ldots, n, \ldots)$ である$Exp(\eta)$$(\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s})$この記録値は, あるワイブル分布に従ってぃると考えて, 上記の方法がら母数となる. さらに, 変換 (5.5) を用いると, 上記の記録値は, それぞれ$\alpha^{-1}$$\tilde{\alpha}^{-1}=0.48443$

25953.1, 33847.1, 141109, 168115, 252731, 258419, 391656,

108667 $\cross 10^{6},2.20857$ $\cross 10^{6},2.74743$$\cross 10^{6}$,3.16897$\mathrm{x}10^{6}$

の推

175
から 11 番目の記録値
この記録値において, 9 番目の記録値) の予測区間を第 2 節の各方法で構成し, さらに (55) の逆変換で元 (こ戻すと,
16897の予測区間は次の表のよう}こなる.
11838 に基づく信頼係数 $1-\alpha$ の $X.$

.

となる.

$\mathrm{x}10^{6}$$3$$\mathrm{b}\ovalbox{\tt\small REJECT} 220857\cross 10^{6}$$\mathrm{h}_{1}(\ovalbox{\tt\small REJECT}$$X_{9}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$(\ovalbox{\tt\small REJECT} 1410 07)$5.3. ガンマ分布の場合$X_{1},$ $X_{2},$$\ldots,$$X_{n},$$\ldots$

をたがいに独立に, いずれも p.d.f.
$\frac{x^{\alpha-1}e^{-x/\beta}}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)}$$(x>0)$ ,(5.6)$p(x;\alpha, \beta)=\{$

0$(x\leq 0)$$\beta>0$ とする.に従う確率変数列とする. ただし,をもつガンマ (Gamma) 分布の尤度関数はき, $X=(X_{1}, \ldots, X_{n})$ の実現値 $x=(x_{1}, \ldots, x_{n})$ について,$G(\alpha, \beta)$$\alpha,$このと$(\alpha, \beta)$$L( \alpha, \beta|x)=\prod_{i=1}^{n}p(x_{i}; \alpha, \beta)=\frac{(\prod_{i=1}^{n}x_{i})^{\alpha-1}e^{-(1/\beta)\Sigma_{=1}^{n}x_{i}}}{\beta^{n\alpha}\Gamma(\alpha)^{n}}.\cdot$となるから, 尤度方程式 $(\partial/\partial\alpha)\log L=0,$ $(\partial/\partial\beta)\log L=0$ より$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\log X_{i}=\log\beta+\psi(\alpha)$

(5.7)

,

$\{$

(5.8)

$\overline{X}=\alpha\beta$を得る. ただし,を (5.7) に代入して$\psi(\alpha):=(\partial/\partial\alpha)\log\Gamma(\alpha)$とする. このとき, (5.8) より$\beta=\overline{X}/\alpha$となる力] ら, これ,$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\log X_{i}-\log\overline{X}=\psi(\alpha)-\log\alpha$

すなわち

(5.9)

$R_{n}:= \log\frac{\overline{X}}{(\prod_{i=1}^{n}X_{i})^{1/n}}=\log\alpha-\psi(\alpha)$はとする. ここで,になり, (5.9) の の解をの算術平均と幾何平均 ヒ[まとすれば,の対数 あることに注意. そして, これを (5.8) に代入しての\not\equivの最尤推定量になる ([JKB94]). 実際には, $X_{i}=xi(i=1, \ldots, n)$ のときをもつガをたがいに独立に, いずれも (5.6) の p.d.f.
として,現値を$\alpha$$R_{n}$$\hat{\alpha}=\hat{\alpha}(X)$$X_{1},$$\ldots,$$\sigma \mathit{3}1$$X_{n}$$(\hat{\alpha},\hat{\beta})$$\hat{\beta}:=\hat{\beta}(X)=\overline{X}/\hat{\alpha}$$-\mathrm{C}^{\backslash }\backslash$$\hat{\alpha}(X),\hat{\beta}(X)$$(\alpha, \beta)$$p(x;\hat{\alpha},\hat{\beta})$$\hat{\alpha}^{*},\hat{\beta}^{*}$

ンマ分布$G(\hat{\alpha},\hat{\beta})$$X_{1},$$\ldots,$$X_{n}$に従うと見なし, その c.d.f. を$\mathrm{Y}_{i}:=-\log(1-F$($F(x;\hat{\alpha}^{*},\hat{\beta}^{*})$$X_{i;}\hat{\alpha}^{*}$,\beta ^勺)として$(i=1, \ldots, n)$と変数変換して, 第 2 節の指数分布の場合に帰着させることができる.

(5.10)

176
例 54 ある$\mathrm{p}\mathrm{d}\mathrm{f}\ovalbox{\tt\small REJECT}(\cdot ; \alpha, \beta)$

をもっガンマ分布から大きさ 100 の無作為標本を 5

ら記録値を求めると101357, 638898, 754277, 827365, 926006, 104708, 113563, 129となった. このとき, まず, このガンマ分布の p.d.f. の母数
それぞれ $\hat{\alpha}^{*}=3.30488,\hat{\beta}^{*}=1.43078$ となる.

次に, p.d.f.

$p(\cdot ; \hat{\alpha}^{*},\hat{\beta}^{*})$$\alpha,$$\beta$の推定値を上記|に従う確率変数の変換 (5.10) を用いると, 上記の記鐸

00212516, 149216, 1.99346, 2.32937, 280147, 340568, 38621, 47:となる. この記録値において, 6 番目の記録値 $\mathrm{Y}_{6}=3.40568$ がら 8 番目の記録飴

予測する予測区間を第 2 節の各方法で構成し, さらに (5.10) の逆変換で元に戻 1に基づく信頼係数 $1-\alpha$ の $X_{8}(=12.9817)$ の予測区間は次の表のようになる.

以上では, 切断指数分布, ワイブル分布, ガンマ分布の場合に記録値の区間予濱的な検討の結果, Wald 法による予測区間が他の方法にょるものと比べて, やや区る傾向にある. 他の方法による予測区間は, それほど大差はないと言える.

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