Ⅰベクトルと行列の演算§1

ベクトルの演算

(2，
0，
−1)，

 23 ， 2 ， 2  のように 3 個の数を一列に並べて書いたものを 3 次元の数ベクトル，または略して単に 3 次元のベクトルという)．一つの 3 次元ベクトルを構成する 3 個の数をそのベクトルの成分という．一般に n 個（n は任意の正の整数）の数を一列に並べたものを n 次元のベクトルといい，その n 個の数をそのベクトルの成分という．この節ではこのようなベクトルの演算について説明するが，そのためにはまずベクトルやその成分を表わすのに都合のよい記法を導入する必要がある．
ベクトルの演算の定義や法則を述べるためには，どうしてもN一般のOベクト
ル，すなわち成分が任意の数であるようなベクトルを使用しなければならない．3次元の一般のベクトルは 3 個の文字 a，b，c を用いて (a，b，c) と表される．
（a，b，cはそれぞれ独立に任意の数を表わす．）しかしこのような記法では次元の高いベク
トル，あるいは一般的に n 次元ベクトルを表わそうとする場合に都合が悪い．そこで 3 個の文字 a，b，c のかわりに，1 個の文字 a に添数（index）1，2，3 をつけたものを用いて，(a1，a2，a3) のように表わす．この記法を使えば，例えば 100 次元のベクトルの場合にも全く同様にして，(a1，a2，a3，…，
a99，a100)，また一般に n 次元のベクトルの場合には，(a1，a2，…，a) と書くことができる．
ベクトル (a1，a2，…，a) は略して (a) と書かれる場合が多い．これはそのベクト)
われわれは III，
§ 6 においてベクトルのより抽象的な定義を与える．また幾何学的に導入されるベクトルと I 〜 III で扱うベクトルとの関係については附録，§ 1，§ 4 で触れることにする．

2Ⅰベクトルと行列の演算

ルの第 i 番目 (i ＝ 1，2，…，n) の成分が a で与えられることを示すのである．
またわれわれは個々の数 a1，a2，…，a ではなく，その組 (a1，a2，…，a) を一つのa) のように一つ数学的対象として取り扱うのであるから，それを a ＝ (a1，a2，…，の文字で表わす方が考えやすい．本書ではベクトルを表わすのに a，b，…，，y，…
等の太字を用いることにする．
このように記号を定めた上で，もう一度念のために n 次元ベクトルの定義からやり直すことにしよう．n 個の数 a（i ＝ 1，2，…，n) の順序づけられた組
a ＝ (a1，a2，…，a)を n 次元(数)ベクトルといい，a をその第 i 成分という．二つのベクトルa ＝ (a1，a2，…，a)，b ＝ (b1，b2，…，b′)はその次元数 n と n′とが相等しく，かつ対応する成分 a と b とが相等しいとき，
またその時に限って相等しいという．すなわち，a ＝ b なる等式は，次元数が相等しいこと (n ＝ n′
) を前提として，n 個の等式
a  ＝ b(i ＝ 1，2，…，n)と同値である．この定義によれば，例えば (1，2)  (2，1)，また (1，2)  (1，2，0，0)．
さて同じ次元（以下，次元は n とする）のベクトル a ＝ (a)，b ＝ (b)，… に対して次の二つの演算が定義される．
(I) 加法：a ＋ b ＝ (a1 ＋ b1，a2 ＋ b2，…，a ＋ b)．
これを a，b の和という．
(II) スカラー乗法 )：c を任意の数とするとき
ca ＝ (ca1，ca2，…，ca)．
これを a の c 倍という．
これらの演算は成分ごとに行う演算をまとめて書いたものに過ぎないから，数に関する演算法則がほとんどそのまま成立する．以下それらの法則のうち特に基本的なものについて説明しよう．
まず(1)(a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋ (b ＋ c)，(結合の法則)(2)

a ＋ b ＝ b ＋ a．

(交換の法則)これらは対応する数の法則（§ 5 参照）から直ちに証明される．例えば，（2）は((a ＋ b)の第 i 成分) ＝ a ＋ b ＝ b ＋ a)

ベクトル算においては普通の数のことをNスカラーOという場合がある．

§1

ベクトルの演算3＝ ((b ＋ a)の第 i 成分)．
ゆえに定義により a ＋ b ＝ b ＋ a．
次にすべての成分が 0 に等しいベクトルを 0 で表わし，n 次元の零ベクトルという．すなわち，0 ＝ (0，0，…，0)．そのとき，任意の n 次元ベクトル a に対して
(3)

a ＋ 0 ＝ a，また (−1)a ＝ (−a1，−a2，…，−a) を −a で表わせば(4)

a ＋ (−a) ＝ 0

が成立する．
（これらのことも定義からほとんど明らかであろう．
）さて二つのベク
トル a，b が与えられたとき，方程式＋a＝bを満たすベクトル  はただ一つ存在し，b ＋ (−a) ＝ (b − a) で与えられる．実際，上式を満足するベクトル  ＝ (x) が存在したとすれば，両辺の第 i 成分を比
較 し て，x ＋ a ＝ b．ゆ え に x ＝ b − a．逆 に  ＝ (b − a) と お け ば，(( ＋a) の第 i 成分) ＝ (b − a) ＋ a ＝ b．ゆえに  ＝ (b − a) は上式を満足する．
ベクトル (b − a) を b − a で表わす．このようにして加法の逆演算であるN減法Oが可能となった．
例

 ＋ (4，5，6) ＝ (1，2，3) の解： ＝ (−3，−3，−3)．
 ＋ (6，5，4) ＝ (1，2，3) の解： ＝ (−5，−3，−1)．

スカラー乗法に関しても，数の乗法の場合と同様な法則が成立する．すなわち，c，d，… を任意の数とするとき(5)c(a ＋ b) ＝ ca ＋ cb，(ベクトルに関する分配の法則)(6)(c ＋ d)a ＝ ca ＋ da，(スカラーに関する分配の法則)(7)(cd)a ＝ c(da)．

(結合の法則)また任意のベクトルの 1 倍はそのベクトル自身に相等しい：(8)

1 a ＝ a．

スカラー c  0 およびベクトル a が与えられたとき，方程式c ＝ aを満たすベクトル  はただ一つ存在し

 

a
1
a＝
で与えられる．一方，任意のベccクトルの 0 倍，および零ベクトルの任意のスカラー倍はつねに零ベクトルになる．
すなわち
(9)

0 a ＝ c 0 ＝ 0．

Ⅱ
行

§1

置

列

式

換

行列式を定義するための準備としてこの節では置換について説明する．置換とはものを置きかえる操作であるが，それを数学的に表現すれば，一つの集合を自分自身の上へ一対一にうつす写像（対応，変換）である．われわれは有限集合の置換だ
け に つ い て 考 え る か ら，簡 単 の た め に 1 か ら n ま で の 正 の 整 数 の 集 合
M ＝ 1，2，…，n を 基 礎 に お き，そ の 置 換 に つ い て 考 え る こ と に し よ う．
1，2，…，n の置換を n 文字の置換ともいう．すなわち，n 文字の置換とは集合 Mの自分自身（の上）への一対一対応のことである)．
i に置換を σ，τ，… 等で表わす．置換 σ によって 1，2，…，n がそれぞれ i1，i2，…，
うつされるときσ() ＝ i， またはσ：  i( ＝ 1，
2，…，
n)，

または
(1)

σ＝



1
i1

2

…

n

i2

…

i



とかく．i1，i2，…，i は 1，2，…，n の一つのZ順列\であるが，逆に 1，
2，…，n の任意の順列 i1，i2，…，i に対して（1）となるような置換 σ がただ一つ定まる．よって n文字の置換は全体で n ! 個ある．
（1）の右辺の記号は 1 → i1，2 → i2，…，n → i なる対応を表わしさえすればよいのであるから，1，2，…， を 1，2，…，n の任意の順列とし)有限集合の自分自身への一対一の写像は必ず上への写像になる．
（有限集合の定義！）また有限集合の自分自身の上への写像は必ず一対一の写像になる．

42

Ⅱ

σ＝



行

列

式

1

2

…



i1

i2

…

i 



のようにかく場合もある．

 1  ＝ 1 ， 2 文字の置換： 1 2  ＝ 1， 2 1  ＝ (1，2)，
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 文字の置換： 1 2 3  ＝ 1， 2 3 1 ＝ (1，2，3)， 3 1 2  ＝ (1，3，2)，
1 2 3
1 2 3
1 2 3
 1 3 2 ＝(2，3)，2 1 3  ＝ (1，2)，3 2 1  ＝ (1，3)．

例

1 文字の置換：

1

1

)

2

1

2

また例えば次の記号はいずれも同じ置換を表わすものである．

 2 3 1  ＝  3 1 2  ＝  1 2 3  ＝  2 1 3  ＝  1 3 2  ＝  3 2 1 ．
1

2

3

2

3

1

3

1

2

1

3

2

3

2

1

2

1

3

一次変換の場合と同様に，置換についてもその合成，逆などを考えることができる．すなわち，二つの置換 σ，τ に対し，それらを合成して得られる変換 στ も一つの置換になる．これを σ，τ の積という．
τ＝





1 2 … n，j1 j2 … j

σ＝



 

1 2 … nj1＝
i1 i2 … i
1

j2

…

j

2

…





とするとき，
στ ＝



j2

…

j

1 2

j1

…





1
j1

2

…

n

j2

…

j

 
＝

1
1

…

n

2 …

2





，

別の記号でかけば，(στ)() ＝ σ(τ())（ ＝ 1，2，…，n）である．
このように定義された置換のZ乗法\に関して次のような法則が成立する．まず(2)(στ)ρ ＝ σ(τρ)．

(結合の法則)実 際，((στ)ρ)() ＝ (στ)(ρ()) ＝ σ(τ(ρ()))，一 方 (σ(τρ))() ＝ σ((τρ)())＝ σ(τ(ρ()))．よって，任意の  (1 ≦  ≦ n) に対し，((στ)ρ)() ＝ (σ(τρ))()が成立する．しかし，行列の乗法の場合と同様に交換の法則は一般に成立しない．
例えば




1
1

2
3

3
2

1
3

2
2

3
1




 
 




1
3

2
2

3
1
＝
1
2

2
3

3
，
1

1
1

2
3

3
1
＝
2
3

2
1

3
．
2

よって，これらの積は交換可能でない．
すべての文字を動かさない置換を恒等置換（単位置換）といい，1 で表わす．す)

これらの式の右辺の意味は後で説明する．

§1

置

換



1

2

…

n

1

2

…

n

43

なわち
1＝



．

σ を任意の置換とすれば，明らかに(3)

1σ ＝ σ1 ＝ σが成立する．また，任意の置換 σ に対して，その逆の変換 σ −1 も一つの置換である．これを σ の逆置換という．すなわち
σ＝



1
i1

2

…

n

i2

…

i



に対し， σ −1 ＝



i1 i2

…

i

1

…

n

2



である．これに関して明らかに(4)

σ −1σ ＝ σσ −1 ＝ 1が成立する．これから，正則な n 次正方行列の場合と同様に，(στ)−1 ＝ τ−1σ −1，(σ −1)−1 ＝ σ 等を証明することができる．また，置換 σ，τ が与えられたとき，σξ＝ τ，または ξσ ＝ τ となるような置換 ξ が一意的に存在し，それぞれ ξ ＝ σ −1τ，ξ ＝ τσ −1（これらは一般に相異なる）で与えられる．
（I，
定理 1 参照．）
一般にZ乗法\の定義された集合 G において，（i）結合の法則が成立し（交換の法則は必ずしも成立しなくてよい），（ii）
Z単位元\と称する特別な元 1 が存在しすべての σ ∈ Gに対して（3）が成立し，（iii）すべての σ ∈ G に対しZ逆元\と称する元 σ −1 が存在して（4）が成立するとき，G は群を作るという．正則な n 次正方行列全体の集合，n 文字の置
換全体の集合等は（それぞれの乗法に関して）群を作る．前者を n 次の全行列群（または全一次変換群），後者を n 文字の対称群といい，普通それぞれ，GL(n，R)， で表わす．
また，一つの体 K において 0 以外の元全体は（体の乗法に関して）群を作る．K 自身も（体の加法に関して）群を作る．このように演算が加法で表わされている群を加群という．
n 次元ベクトル空間も一つの加群である．このように群の例は非常に多いが，上記の公理(i)〜(iii) だけを基礎にして一般的な議論をしておけば，ある「乗法の定義された集合」Gが群になることが証明されたとき，G の元がどのようなものであろうと，また G の乗法がどのような仕方で定義されていようと，G に対してその一般論を適用することができるであろう．例えば，(στ)−1 ＝ τ−1σ −1 は群の公理だけから証明されることであるから，任意の群において成立する．このような一般論を展開するのが現在Z群論\と呼ばれる数学の一分野なのである．
標語的にいえば，静的な順列よりも動的な置換に着目し，また個々の置換ではなくそれら全体の集合（置換群）に着目すること，このようなことが近代数学の方法論上の大きな特徴なのである．

さて置換 σ によって固定される文字があるとき，（1）のような書き方においてその固定される文字のところは省略する場合がある．例えば

Ⅴ
テンソル代数

この章においては双対空間，テンソル積等，与えられたベクトル空間から新しいベクトル空間を作りだす操作（演算）について説明する．§ 5 以外では考えるベクトル空間はすべて共通の係数体 K をもつものとし，便宜上記号をあらため，一般にベクトルを普通のローマ文字 a，b，…，x，y，… 等で表わし，スカラー（すなわちK の元）をギリシャ文字 α，β，…ξ，η，… 等で表わす．また K に成分をもつ n 次元
数ベクトル空間を K  で表わす．K は任意の（可換）体でよいが，§ 3 の後半以後
では標数 0 と仮定する．
（p. 221 参照．
）抽象体に不馴れな読者は，今までのように
K ＝ R（実数体），または K ＝ C（複素数体）の場合を念頭において読まれると
よい．

§1

双対空間

1.1

双対空間の定義

双対空間についてはすでに述べたが（III，§ 6，例 4），もう一度要点を復習しよう．V を体 K 上の n 次元ベクトル空間とする．V 上の（斉）一次函数，すなわちV から K への一次写像全体の集合を V  で表わす．f，g ∈ V ，α ∈ K に対し，和f ＋ g およびスカラー倍 αf を
(1)

(f ＋ g)(x) ＝ f (x) ＋ g(x)，(αf )(x) ＝ α･f (x)(x ∈ V )により定義する．そのとき
定理 1

V  は上記の演算に関して K 上の n 次元ベクトル空間になる．

§1

証

双対空間

201

まず上の演算に対して III，§ 6 に述べたベクトル空間の公理（I），（II）が成立することは直ちに検証される．特に零ベクトルに当るものは恒等的に 0 の函数（それをやはり 0 で表わす：0(x)＝0（x ∈ V )）で与えられる．V  が n 次元であることを証明するために，V の K 上の底（e1，…，e）をとる．
x ∈ V，

x ＝ ∑ ξ e，ξ ∈ K

とすれば，f ∈ V に対し
f(x)＝∑ ξ f (e)
従って f は n 次元数ベクトル（ f(e1)，…，f(e)）によって一意的に定まる．
（これがこの場合，一次写像 f に対応する行列である．）逆に任意の（λ1，…，λ) ∈ K  に対し，f (e) ＝ λ と な る よ う な f ∈ V  が 存 在 す る．
（x ＝ ∑ ξ e に 対 し，f (x) ＝∑ λ ξ とおけばよい．）対応 f  (λ) により V  と K  とは一対一に対応するが，
f  (λ），g  (μ) とすれば，明らかに
f ＋ g  (λ ＋ μ），αf  (αλ)である．よって K 上のベクトル空間として，V  ≅ K  )．従って特に dim V  ＝n である．
（証終）V  を V の双対空間という．
上の証明からわかるように，V の底（e1，…，e）をとれば
i)(f (e1)，…，f (e)) ＝ (0，…，1，…，0)，
あるいは
(2)

f (e) ＝ δ(Kronecker のデルタ)となるような f  ∈ V が一意的に定まり，（f 1，…，f ）は V  の一つの底になる．
これを与えられた V の底（e）と双対的な V  の底，または単に（e）の双対底という．
V  V  は与えられたベクトル空間 V から新しいベクトル空間 V  を作りだ
す一つの操作であるが，それを繰返して V  ＝ (V ) を作ると一体何が得られる
か？

定義により V  は V  から K への一次写像全体の作るベクトル空間である．さて a ∈ V とするとき，対応V  ∋ f  f(a) ∈ K(3)


は明らかに V から K への一つの一次写像になる．実際（3）で定義される写像を
ϕ とおけば，定義から
)

二つのベクトル空間 V，V ′がÅ同型Èであるとき，V ≅ V ′とかく．
（p. 125 参照．）

202

Ⅴ

テンソル代数ϕ(f ＋ g) ＝ (f ＋ g)(a) ＝ f (a) ＋ g(a)((1）による)＝ ϕ(f ) ＋ ϕ(g)，ϕ(αf ) ＝ (αf )(a) ＝ α･f (a)((1）による)＝ α･ϕ(f )．
よって ϕ ∈ V．このようにして V から V  の中への写像
V ∋ x  ϕ ∈ V (4)が得られる．定義から，x，y ∈ V，α ∈ K に対し
ϕ＋(f ) ＝ f (x ＋ y) ＝ f (x) ＋ f (y)＝ ϕ(f ) ＋ ϕ(f ) ＝ (ϕ ＋ ϕ)(f )，ϕ(f ) ＝ f (αx) ＝ α･f (x)＝ α･ϕ(f ) ＝ (αϕ)(f )．
よって
ϕ＋ ＝ ϕ ＋ ϕ，ϕ ＝ αϕ．

すなわち写像（4）は線型である．それが実際 V から V  の上への同型になることは次のようにしてわかる．まず定理 1 により dim V  ＝ dim V  ＝ dim V ＝ nであることに注意しよう．V の任意の底（e1，…，e）をとり，その双対底を（f 1，…，f ）とすれば
ϕ(f ) ＝ f (e) ＝ δ．
よって（ϕ1，…，ϕ）は（f 1，…，f ）の双対底になる．写像（4）は V の一つの底（e）を V  の一つの底（ϕ）にうつすから，それは同型でなければならない．以上により次の定理が得られた．
定理 2写像（4）により V は V  に同型である．

同型対応（4）は底のとり方等に関係なく，自然に，内在的（intrinsic）に定義されるからÅ標準的È（canonical）な同型という．以下この同型対応により V とV  とを一致させて考える：
V ＝ V ．

(5)（すなわち，x ∈ V と ϕ ∈ V

とを同一視するのである．）（5）によって逐次双対空間を作ってもV  ＝ (V )** ＝ V ，
V  ＝ (V )** ＝ V  ＝ V ，…となり，もはや新しい空間は得られない．この意味で操作 V  V  はÅ回帰的È

附録
幾何学的説明§1

空間におけるベクトル

本書においてはベクトルの概念を最初，数ベクトルとして導入した．次に III，§
6 において n 次元数ベクトル全体の集合（n 次元数ベクトル空間）が満足する条件を反省し，それを0公理3として抽象的に n 次元ベクトル空間を定義した．その結果，n 次元数ベクトル空間は n 次元ベクトル空間の一例に過ぎなくなるのである
が，一方，任意の n 次元ベクトル空間 V において一つの底を定めるとき，V の元と n 次元数ベクトルとは一対一に対応し，従って V を n 次元数ベクトル空間と同一視することができた．
ところでベクトルの概念は歴史的には幾何学ないし物理学を通じて導入されたものである．すなわち，0有向線分3から（互に平行移動によって移りうるものを同一視して）得られる0幾何学的ベクトル3や，0速度3，
0加速度3，
0力3などいわゆる大きさと方向とをもつ物理的量がベクトルの性質をもつこと，すなわちそれらの間に自然に定義される演算に関してベクトル空間を作ること，が除々に認識されてきたのである．そこで以下このような幾何学的ベクトルについて説明する．それによって本文において述べたベクトルや行列に関する諸概念の幾何学的背景が明らかになるとともに，それらをさらに高度の幾何学的考察に応用できるようになるであろう．簡単のため最初は 3 次元 Euclid 空間において考えることにする．
E3 を 3 次元 Euclid 空間とし，その点を P，Q，… で表わす．二点 P，Q を結ぶ線

分を PQ で表わす．さらにその方向をも考慮したとき，それを有向線分といい PQ


で表わす．
（従って P  Q なるとき，PQ ＝ QP であるが，PQ  QP ．
）有向線分PQ は実質的には単に二点 P，Q の順序づけられた組によって定まる．P をこの有問題の解答Ⅰ§12§2

1 ＋ 23  2 ，−1，−24．

1(1，0，0) ＝ −11
1
1(0，1，1) ＋ (1，0，1) ＋ (1，1，0)．
2
2
2

条 件：B，C が 同 じ 型 で，A の 列 数 と B，C の 行 数 と が 相 等 し い こ と．

（11）の 証：A を (n，m) 行 列，B，C を (m，l ) 行 列，A ＝ (a)，B ＝ (b)，C ＝(c)，(1 ≦ i ≦ n，1 ≦ j ≦ m，1 ≦  ≦ l ) とする．そのとき






＝1

＝1

＝1

(A(B ＋ C) の (i，) 成分) ＝ ∑ a(b ＋ c) ＝ ∑ ab ＋ ∑ ac＝ (AB の (i，) 成分) ＋ (AC の (i，) 成分)＝ ((AB ＋ AC) の (i，) 成分)
よって A(B ＋ C) ＝ AB ＋ AC である．
2

§3

  

−2
2
2 ，，(2，1，−4)，(2，3，1，0)．
3
1

1 (i)

1
1
⋰

1

0





＝ E(ν：偶数)，＝



0

1
1
⋰

0

1



(ν：奇数)．

    
0

(ii)



0

0

1
0

0 0
1 0
0 1
0

0

2

＝

0

0
0

1
0
0

0
1
，
0
0

0

0

1
0

0
1
0

0
0
1
0

0

3

＝

0

0
0

0
0
0

1
0
，
0
0

索

Jordan normal form

欧文

K-型

affine 空間

affine space277

affine 変換

affine transformation

281

Cauchy の不等式
Cauchyʼs inequality

35

Kronecker product212，214

Kroneckerʼs delta

12

Laplace expansion

231

72

Lie 環

Lie algebra

194，197

183

Lie 群

Lie group

184

Cramerʼs rule66

Lorentz 群

Euclidean space

275

Menelaus の定理

Cayley transformation

Cramer の公式
Euclid 空間―― の部分空間276

Euclid の運動

Lorentz group

188

Menelausʼ theorem

266

Pfaffian

Euclidean motion

280

Frobenius の定理
Frobeniusʼ theorem
G-homomorphism
G-isomorphism

Gauss 平面

233

Kronecker 積

Laplace 展開

Cauchy-Lagrangeʼs equality
Cayley 変換

G-同型

157

K-formKronecker のデルタ

Cauchy-Lagrange の等式

G-準同型

引

Gaussian plane

Gram の行列式

Gramian155
243

Hamilton-Cayleyʼs theorem
Jacobian matrix

Jacobi の行列式

Plücker coordinates232

r-ベクトルr-vector

230

Schmidt の直交化法
orthonormalization of Schmidt
Schur の補題

30

Schwarz の不等式

97，124

Schurʼs lemma

Schwarzʼ inequality

173

Sylvesterʼs law of inertia

143

Sylvesterʼs determinant78

Toeplitz の定理

Toeplitzʼ theorem

Jacobian79

totally isotropic

Jacobiʼs formula70

Vandermonde の行列式

Jacobi の等式

Jacobiʼs identity

197

Jacobi の変形
Jacobiʼs transformation

35
167

Sylvester の行列式

Jacobi の公式

Jordan の標準形

106
244，249

Sylvester の慣性法則

Hamilton-Cayley の定理
Jacobi の行列

Plücker 座標

244

Hadamard の不等式
Hadamardʼs inequality

85，194

169

209

Vandermondeʼs determinant
Weyl の公理系

axioms of Weyl

Wronski の行列式
Young 図形

74
175

WronskianYoung diagram

55
275
138
253