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軌跡の方程式の求め方の研究
むらかみ村上せんずい仙瑞伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊

特集 教材研究伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊§1．はじめに軌跡を求める手順として，教科書には (または受験参考書には) 次のようなことがかかれている。
1.

過ぎず，同値変形でないということなのである。このことを押さえておく必要がある。
同値とは，わかりやすくいえば，式の言い換えで求める軌跡上の動点の座標を (，) と表し,ある。 2 つの対象が“ある意味で”同じである，あ与えられた条件を座標の間の関係式で表す。

るいは同一視できるという関係を一般化した概念である。

2.

軌跡の方程式を導き，その方程式の表す図形を求める。

結局，軌跡を求めるときの 3 という操作は，与えられた十分条件から必要条件である式が出たが，同値性が成り立っているかどうか調べよと述べている

3.

その図形上の点が条件を満たしていることをのである。要は同値性を確認しながら，軌跡の方程確かめる。(これが明らかな場合は，これを式を求めればよいのである。

省略することがある)
1. 2となっている。特に，この 3 番目の手順において，生徒からの質問をよく受ける。

授業での取り組み

同値性を確認する問題として， 1 次方程式を利用する。例えば， 1 次方程式 3−1=−2+4 を解

教科書や受験参考書を読むと，最初の方の軌跡のくと，=1 を得るが，これは等式の性質を利用

例題は，式で証明することなく，とってつけたようした同値変形から解が求まるのである。この 1 次方に逆に求めた式の任意の点は，条件を満たすと程式の両辺を 2 乗して， 2 次方程式  +2−3=0

いうようにかいているのであるが，いつの間にか省として，=1，−3 としないはずである。もちろん，かれている。
明らかなときに省いていいのであ=−3 は元の 1 次方程式の解ではない。何も考えるが，その明らかさも本人によりけりである。

ずに両辺を 2 乗すると同値性が失われる例である。

これでは，生徒が疑問に思うのも無理もない。明ら

また，= のグラフをかかせるときに， =  とかなときとはどういうときか，どうして逆を確かめ両辺を 2 乗して = と =− をかかないはずる必要があるのか。数学を勉強していく場合，明である。グラフをかかせることによって，2 乗をすらかという言葉は御法度である。明らかというると解の存在範囲が変わってくるということも授業ところを，いざ証明したり，説明したりしようとすでは伝える。簡単に式の両辺を 2 乗してはいけない，ると難しい場合が多々ある。数学的な理由があるか軌跡の分野こそ同値関係とは何かを理解させることらこそ， 3 の作業が必要なのである。なぜ必要なののできる分野だと考えている。

か，それをこのレポートで私の研究成果を発表していきたい。

軌跡の方程式を求めるパターンとしては，
1.

1. 1

図形的な条件から式をたてて得られる軌跡の方程式

軌跡の方程式を求めるということ与えられた条件から式変形をして軌跡の方程式を導くわけだが，これは十分条件(与えられた条件) から必要条件(軌跡の方程式) に変形したに

2.

媒介変数で与えられた座標が描く軌跡の方程式

11と大きく 2 つある。それぞれについて，同値関係を意識しながら解説していきたいと思う。その前に，軌跡の問題では，条件式の両辺を 2 乗することが多いが，このときに同値性を注意して確認する必要があり，生徒にはまず，補題

a>0，b>0 のとき，a=b  a =b

長さ 2a の線分 AB がある。∠APB=90° となる点の軌跡の方程式を求める。
【考え方】(同値関係を保ちながら式を変形してい線分 AB を  軸，線分 AB の中点を原点にとり，A(−a，0)，B(a，0) とする。条件を満たす点をであることを確認させる。

P(，) とすると，A，P，B が一直線上にあるとき，《証明》∠APB=90° とならないので (直角三角形ができな

a=b ⇒ a=b  の証明いので)，つまり，点 P が A，B にあるときの点 P は

a=b の両辺を 2 乗すれば a=b 

直角三角形の軌跡けばよい)

2 乗するときの同値性


2. 3除く。よって，次のような展開ができる。

a=b  ⇒ a=b の証明
a−b =(a+b)(a−b)=0 で，仮定からa>0，b>0 なので a+b>0

点 P は，∠APB=90° を満たす。ただし，点 P がA，B にあるときの点 P は除く。

よって，a−b=0 つまり，a=b()，より同値関係が証明できた。

点 P は AB=AP+BP を満たす。ただし，点それでは，軌跡のそれぞれのパターン問題を，同値関係を意識しながら解いて確かめてみる。

P が A，B にあるときの点 P は除く。
()(2a)={(+a)+ }+{(−a)+ }
ただし，A(−a，0)，B(a，0) を除く。
()§2．図形的な条件から式をたてて得られる
 + =a ただし，A(−a，0)，B(a，0) を除く。

軌跡の方程式の問題
2. 1となり，求める軌跡は， + =a ただし，点円の方程式

軌跡の方程式の代表格である  + =r  も実は，同値性で式変形された円の方程式である。つまり，


原点から距離が r である点の集合は，  + =r

A(−a，0)，B(a，0) を除く となる。以上のように同値関係で展開すれば，逆にを調べなくてよいのである。

であるが，  +  >0，r>0 であるから，  +  =r   + =r が成り立つことに注意する。

2. 4

楕円の方程式

これは，数学 C の範囲になるが，楕円の方程式を求めるとき，2 回 2 乗して求めるわけであるが，証

2. 2

アポロニウスの円

2 点 A(−4，0)，B(2，0) からの距離の比が2：1 である点の軌跡の方程式を求める。
【考え方】(同値関係を保ちながら式を変形していけばよい)
条件を満たす点を P(，) とすると，AP：BP=2：1  AP=2BP
 AP=4BP
(なぜなら，AP>0，2BP>0 だから) (+4)+ =4{(−2)+ }
 (−4)+ =1612

明の最後には必ず，逆に∼を満たすので…と断りがきして同値関係の証明を簡単にすましている。中にはこの最後の逆にの部分を省く教科書まである。2 次曲線の方程式こそ，軌跡の同値関係を考えるのにふさわしい教材である。今回は同値関係を考えながら，式を展開していきたい。細かい条件などは教科書を参考にしていただきたい。
楕円の定義
F(c，0)，F′(−c，0) の 2 点からの距離の和が2a である点の集合の方程式を求める。
【考え方】

楕円上の点を P(，) とおくと，

双曲線の定義

PF+PF′>FF'=2  c  より，a>c>0 とする。
PF+PF′=2a より，
 (−c)+  + (+c)+  =2a⑴つまり， (−c)+  =2a− (+c)+ ⑵ここで， (−c)+  >0， (+c)+  >0，2a>0 より，右辺 2a− (+c)+  >0 であるので，両辺を 2 乗しても同値である。つまり， 2 乗して整理すると，a (+c)+  =a+c⑶を得るが，この式の左辺は正であるが，右辺は  によって正になるか，負になるかはわからないので，両辺を 2 乗しても同値とはいえないが，とりあえず2 乗して整理すると，

=1
 + 
aa −c ⑷F(c，0)，F′(−c，0) の 2 点からの距離の差が2a である点の集合の方程式を求める。
【考え方】

双曲線上の点を P(，) とおき，c>a>0 とする。PF−PF′=±2a より，
 (−c)+  − (+c)+  =2a⑼

 (−c)+  − (+c)+  =−2a⑽またはである。今回はとりあえず⑼の式だけ変形をしてみる。⑼より，
 (−c)+  = (+c)+  +2a⑾で両辺が正で(ただし  (−c) + >
 (+c)+  ，つまり <0 のときであることに注意)，よって，両辺を 2 乗して整理すると，a (+c)+  =−a−c⑿を得る。⑶から⑷という点 (，) の集合が得られを得るが，⑾⇔⑿であることに注意。次に，⑿の右たが，⑷の式より  の範囲 −a≦≦a も得られる。

辺であるが，今の段階では  によって正負の判断が今度は逆に，⑷を仮定して，等式の性質を使ってつかないので，とりあえず 2 乗して整理すると同値変形をして，
a {(+c) + }=(a +c)⑸を得る。ここで，仮定から −a≦≦a，a>c>0より，a +c>0 を得て，よって，式⑸は，
{a (+c) + −(a +c)}⑹と因数分解でき，a (+c)+  +(a+c)>0 なので，a (+c)+  =a+cを得る。ここで，仮定が⑼の式から <0 で，⒀か今度は逆に，⒀から，⑼が得られるか証明してみ

×{a (+c)+  +(a+c)}=0⑺を得ることができて，⑶と⑷が同値関係であることが証明された。
つまり，⑴⇔⑵⇔⑶⇒⑷⇒⑶という順序をたどっる。⒀より，
等式の性質を使って同値変形をすると，{a (+c)+  }=(−a−c)
{a (+c)+  +(−a−c)}
×{a (+c)+  −(−a−c)}=0て，a−c =b  とおいて，楕円の方程式a (+c)+  +(−a−c)>0 となるので，を得て，⑴の点の集合と⑻の点の集合が同じであることがわかるのである。
2. 5 双曲線の方程式
双曲線の軌跡の方程式を同様に同値性を考えてみる。

⒂と因数分解できるわけだが，≦−a かつ c>a>0より，−a−c≧a−ac>0 がいえ，⑻⒁を得る。よって，て，⑴⇔⑷という同値関係を得る。ここで⑷におい + =1a b ⒀ら，さらに ≦−a を得る。

=1 − ac −aa (+c)+  =−a−c⒃を得ることができた。以上の証明をまとめてみると，⑼ ⇔ ⑾ ⇔ ⑿ ⇒ ⒀ ⇒ ⑿ と な り，⑼ ⇔ ⒀ ( た だ し，≦−a の範囲の部分) という同値関係が得られる。
これは，式⑼の点の集合と式⒀の ≦−a の範囲の部分の集合は同じであることをいっているのである。同様にして，⑽⇔⒀ (ただし，≧a の範囲の部分) が証明できて，これらをまとめると⒀において，c −a=b  とおくことによって，

13 − =1a b ⒄となり，⑼または⑽⇔⒄という同値関係を得て，⑼または⑽と⒄の点の集合は同じであることが証明され，双曲線の方程式が導かれたわけである。

はある図形をつくる。m に全ての実数を当てはめて，点をとっていって交点の動く様子を見ることは物理的に不可能である。
そこで発想を転換して，交点の座標が存在したとして，交点の座標が存在するための条件で式を作る

次にパラメーター表示の軌跡について考える。このパラメーターの軌跡は図形の方程式と違い，実は写像という考えが必要になって，これも必要十分な考えが必要になる。これを詳しくひもといてみたい。

§3．媒介変数で与えられた座標が描く軌跡の方程式の問題のである。例えば，(1，3) は交点となり得るか。⒅，⒆ の 式 に，=1，=3 を 代 入 す る と，⒅ か ら は
m=3，⒆からは m=1を得て，(1，3) は交点とな2らない。(2，1) は交点となり得るか。⒅，⒆の式に，
=2，=1 を代入すると，⒅からは m=らは，m は全ての実数が答えより，m=青チャート数学 Ⅱ+B に掲載されていた直線の1，⒆か21として21を得て，(2，1) は交2交点の軌跡の問題を考えることにする。

よく，⒅，⒆から共に m=3. 1について，交点になるかどうか調べるわけにはいか点としてよいといった具合である。全ての (，)
媒介変数の交点の軌跡の方程式ないので，そこで次のような解法の発想が生まれる。

m は実数の変数とする。 2 直線，m−=0⒅+m−m−2=0⒆の交点 P はどのような図形を描くか。
まずこの問題の解き方として指針部分を読んでみると，⒅，⒆を連立して交点の座標

m+2m+2m，(，)=m +1m+1， の関係式を求めるのは計算が大変。だから，交点 P の座標を (，) とすると，(，) は⒅，⒆を同時に満たすから，⒅，⒆はmをつなぎの文字とみた軌跡の条件式であるといえる。よって，⒅，⒆からmを消去して P の  と  の関係式を求める
確かにその通りかもしれないが，この短い文章で高校生がその真意を読み取ることは難しい。そこで，
まず問題文を素直にとらえ，この問題の意味をしっかり考えてみることにする。そうすれば，この問題の意味がわかってくるであろう。
問題文を読むとmは実数全体を動くとかいてあるので，m の値を 1 つ決めると，2 本の直線が定まり交点が 1 つ決まる。つまり，

(X，Y) が交点になったとするとして，X と Y は問題文の⒅，⒆の式を満たすので，
mX −Y =0⒇

X +mY −m−2=0

が成り立つ。

 から m を消去して，m+2mm+2，mm+1m+1解答

よって，交点 (X ，Y ) が存在するための必要十分条件は，⒇のmとのmとが同じであること(⒇とを満たすmが存在することである) ということである。
したがって，⒇よりmについて解くと，m=Y(X 0)X

よりmについて解くと，
m=2−X(Y −10)
Y −1となるので，(X ，Y ) が存在するための必要十分条
件は式でかくとY2−X=(X 0，Y −10)
X Y −1と書き直すことができる。これを整理すると，
X +Y −2X −Y =0を得る。この式は，(X ，Y ) が交点となるための必という対応ができ (写像ができ)，m を実数の範囲要十分条件として求めた式であるから，X =0，m +2m，
 mm+2
m +1 +1る。よって，の式は，条件を満たすための軌跡ので動かすと，この交点の座標14

Y =1 以外は求める軌跡の方程式としてよいのであ式として良いのであるが，同値性が確かめられていない X =0，Y =1 の場合は，きちんと調べないといけない。ここで導入部分の手順 3 を考えるとすると，X =0 と Y =1 はの式を満たすとは限らないので， 1 つずつ調べることにするのである。
X =0 のとき，より，Y =1，0 を得て，Y =1のとき，より，X =2，0 を得る。したがって，まとめると，(0，0)，(0，1)，(2，1) は上の点であるが，これが⒅，⒆の交点になっているか調べないといけないのである。
交点が (0，0) になることはあるか。
(X ，Y )=(0，0) を⒅，⒆に代入すると，⒅よりmはすべての実数，⒆より m=−2 を得て，よって(X ，Y )=(0，0) となる m は m=−2 で，(0，0)
は交点になり得る。
交点が (2，1) になることはあるか。
(X ，Y )=(2，1) を⒅，⒆に代入すると，⒅よりm=1，⒆よりmはすべての実数，よって2(X ，Y )=(2，1) となるmは m=1で，(2，1) は2交点になり得る。
交点が (0，1) になることはあるか。
(X ，Y )=(0，1) を⒅，⒆に代入すると，⒅より解なし，⒆より解なし，よって (X ，Y )=(0，1) となるmは存在しない。(0，1) は交点になりえない。
以上より，求める軌跡の方程式は，円

 + −2−=0 で，点 (0，1) を除くとなる。
チャートの解答では，m=として代入してmを消去しているが，この解法をみてもわかるように，m を消去するにも意味があるということである。
X と Y の関係をただ導くためにmを消去するのではなく，交点が存在するための必要十分として，mを消去するということである。このように媒介変数の入った軌跡の方程式を求める場合は，対応 (写像)という概念を用いることがよいと思う。

§4．最後にこのレポートでは，必要条件や十分条件や同値など頻繁に使ってきたが，授業をしていても生徒がその内容の理解を完全に理解している生徒はたくさんはいない。必要・十分条件は数Aで学ぶことになっているが，数Ⅱの軌跡のところであらためてその重要性が試されるものだと考えている。
いざ楕円や双曲線の方程式を同値変形で証明してみると大変なことがわかる。軌跡の方程式の求め方の本質を理解しているかどうか，大学入試に出題してみてもおもしろいと考える。
《参考文献》〔 1 〕 数学 C，数研出版〔 2 〕 チャート式 基礎からの数学Ⅱ+B，数研出版(兵庫県甲南中学高等学校)

15