Scientific and Educational Reports of the Facultyof Science and Technology, Kochi University
Vol. 4 (2021), No. 7

キューブ・リングについての考察 (On Cube・rings)
小松和志 Kazushi Komatsu(高知大学理工学部)
靜川早希 Saki Shizukawa*
概要
8 個の立方体をつないでリング状にしたキューブ・リングはつなぎ目で折ることによりその形を変える。代表例には Infinity cube や Conway cube がある。
キューブ・リングが立方体の形状に配置されたものを 2 x 2 x 2 スタックと呼ぶ。
Conway が出した問題に関連して，変形を一直線状に並んだヒンジを軸として，その軸でだけ折るという折り変形に制限した場合に，2 x 2 x 2 スタック間の変形について調べて，ダイアグラムというグラフを用いて表現する。このとき，「Infinity cube であることと,ダイアグラムが単一のループ状になることは必要十分である」という特徴付けを得る。

§1. イントロダクション8 個の立方体を 1 つの立方体につき 2 か所，合計 8 か所を辺でつないで，リング状にしたものをキューブ・リングと呼ぶことにする。この辺のつなぎ目のことをヒンジと呼ぶ。キューブ・リングは bodyhinge フレームワークである。キューブ・リングという呼び名は著者のひとりが[3]において採用したものである。[1]においても一か所ではあるが，この呼び名が使われている。
キューブ・リングは次の 3 種類の変形操作を許す。キューブ・リングでは一直線状に並んだヒンジに対して，その直線を軸として折るという変形ができる場合がある。他の個所の軸での変形を伴わず，一つの軸に対して折る変形ができるとき，その変形またはそれらの列を折り変形と呼ぶことにする。平行であるが、異なる複数の軸に対して同時に折る変形をスライド変形と呼ぶことにする。平行でない複数の軸に対して同時に折る変形をねじり変形と呼ぶことにする。
キューブ・リングを成す立方体の辺が x , y , z 軸に平行になるように置いて，キューブ・リングの x ,y , z 軸方向の立方体の数がそれぞれ n , m , 個であるとき，その配置を n × m × スタックという([1])。

2 x 2 x 2 スタック

2 x 4 x 1 スタック*

令和 3 年(2021 年)，高知大学理工学部卒業。

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もっともよく知られているキューブ・リングは Infinity cube (無限キューブ, 無限展開⽴⽅体)であろう([2],[4],[5])。Infinity cube は折り変形だけを許す。考案者は物理学者の江⼝雅彦⽒である。1958 年刊⾏の[5]に紹介されていることから，これ以前に考案されていることになる。また、⾼木茂男⽒により「無限に開ける⽴⽅体」と呼ばれたのが，現在の呼び名の由来であるとされている([4])。何故，「無限に開ける⽴⽅体」と呼ばれるのかは実際に作って変形してみれば一⽬瞭然である。この「無限に開ける」ということは後で定義する 2 x 2 x 2 スタック間のダイアグラムにも現れている。
1971 年には Infinity cube の構造が⾒られる吉本キューブが造形作家である吉本直樹⽒により考案されている([2],[4])。
数学者の John Conway は別のタイプのキューブ・リングを考案した。それは Conway Cube と呼ばれている。下図のように, Conway Cube は，Infinity cube の緑のヒンジを内側に位置取ったものである。

Infinity Cube

Conway Cube

以下のように Conway Cube はねじり変形を許す。
①

⻘のヒンジを軸として，前⽅と後⽅に開く② 中央部分を両手で持ち軽く開きながら，左右で逆⽅向にねじる 。ここでは★の 2 つの⻘いヒンジを固定して残りのヒンジで同時に折るねじり変形を施す③ 2 x 2 x 2 スタックが得られる

注︓②において固定する⻘いヒンジを変えてねじる⽅向を逆にすることもできる。

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[1]によると，1996 年に John Conway は実物を⾒せながら, 次の問題提起をしたそうである。
「8 つのヒンジで結合された 8 つの⽴⽅体のリングであって, 少なくとも 2 つの異なる 2 x 2 x 2 スタックをもち，それらスタック間の変形操作を許すこの種のオブジェクトは他にもあるか︖」[1]において，George Escher は全ての変形操作を許す場合に，Conway の問題の答えとして 17 種類のキューブ・リングの群をリストアップしている。さらに，それぞれの取り得る 2 x 2 x 2 スタックの数が述べられている。また，ねじり変形を許すかどうかについても調べられている。
[1]においては 2 x 2 x 2 スタック間の変形パターンの数については調べられていない。そのため，私たちはスタック間の変形操作を視覚化するために，2 x 2 x 2 スタック間のダイアグラム(以下では単にダイアグラムと記す)という定義を導入しよう。
キューブ・リングにおいて，取りうる 2 x 2 x 2 スタックに頂点を対応させ，２つの 2 x 2 x 2 スタックが変形で移りあえるとき，対応する頂点を辺で結ぶ。いくつかの異なるパターンの変形で移りあえるならば，その変形のパターンの数だけの多重辺で結ぶようにする。このようにして得られるグラフをダイアグラムと呼ぶことにする。
例えば，Infinity cube のダイアグラムは次のようになる。

図1「無限に開ける」ということは，ダイアグラムの作るループをグルグルと回るようにたどることに対応している。
私たちは，まず変形操作を折り変形だけに制限して調べ，次の結果を得た。そのあとスライド変形をもつ場合についても考察をし，２つの発⾒をした。こちらは§3 で述べる。
定理
折り変形だけを許容するとき，少なくとも 2 つの異なる 2 x 2 x 2 スタックをもち，それらスタック間の変形操作を許すキューブ・リングは Infinity cube と Conway cube を含めて 6 種類だけである。
Infinity cube は図 1 のダイアグラムをもつ。Conway cube は図 1 のダイアグラムを連結成分のひとつとしてもつ。その他の 4 種類については次の図 2 のダイアグラムをもつ。

図２
注意︓この定理のキューブ・リングは[1]において，A5, A6, A7, A8, A9 と記号付けされたキューブ・リングと A9 の一対のヒンジの位置をずらしたキューブ・リングに一致している。A5 が Conway cube であり，A8 が Infinity cube である。上でも述べたように Infinity cube の一対のヒンジの位置をずらして Conway cube が得られるが，このずらし⽅と同様のやりかたで A9 から最後のキューブ・リングが得られる。

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§2 定理の証明
2 x 2 x 2 スタックの形から，折り変形で別の形に変形されるためには，2 x 2 x 2 スタックを⼤きな⽴⽅体とみなして，辺の中点と辺の中点を結んで面を中分する図のような軸についての折り変形をすることになる。キューブ・リングである(各⽴⽅体は 2 つのヒンジをもち，リング状につながる)ことから，軸上に２つのヒンジが配置されることが分かる。別の 2x 2 x 2 スタックに変形できるかどうかを考慮に入れると，試⾏錯誤をす

図3ることにより，最初の 2 x 2 x 2 スタックから 2 x 4 x 1 スタックへと変形されないものは除外することができる。

図4

図5

図 4, 図 5 は 2 x 4 x 1 スタックを z 軸の正の⽅向から⾒た図である。

はキューブの上面にあるヒンジを表し,は下面にあるヒンジを表す。

図7

図6

さらに，図 6 のような軸での折り変形をすることを考えると，キューブ・リングであることから，軸上のヒンジの位置は図 7 のいずれかに定まることが分かる。
図 7 も 2 x 4 x 1 スタックを z 軸の正の⽅向から⾒た図である。図 4, 図 5 と同様にヒンジの位置を表す。
次の(1),(2),(3),(4)の手順で試⾏錯誤をして場合を尽くすことにより，定理を得ることができる。

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(1) 最初の 2 x 2 x 2 スタックを用意する。図 4, 図 5 のヒンジ配置のいずれかを採用すること

で，折り変形でその 2 x 4 x 1 スタックに折られる 2 x 2 x 2 スタックとなる。
(2) 別の 2 x 2 x 2 スタックへの折り変形を得るために必要なヒンジの配置を考えると，次の 3 つの場合(a), (b), (c) が得られる。
(a) 図 4 のヒンジのいずれかと図 5 のヒンジのいずれかの両⽅をもつ。残りの２つのヒンジはリング状になればどのようにつないでも，2 x 2 x 2 スタック間の変形操作は変わらない。
(b) 図 4 のヒンジのいずれかをもち，さらに折り変形のために図 7 のヒンジののいずれかを加えたものである。図 7 のヒンジを軸として折り変形を⾏うと別の 2 x 4 x 1 スタックを得る。さらに折り変形をするためには，この得られたスタックに図 5 のヒンジのいずれかを加えなければならない。
(c) 図 5 のヒンジのいずれかをもち，さらに折り変形のために図 7 のヒンジののいずれかを加えたものである。図 7 のヒンジを軸として折り変形を⾏うと別の 2 x 4 x 1 スタックを得る。さらに折り変形をするためには，この得られたスタックに図 4 のヒンジのいずれかを加えなければならない。
(b)と(c)は 2 x 2 x 2 スタック間の変形操作とその逆操作に対応していて，同じヒンジ配置が得られることに注意しよう。
(a)では上面または下面のヒンジの組み合わせにより，[1]で A6, A7 と記号付けされたキューブ・リングが得られる。
(b),(c)では上面または下面のヒンジの組み合わせにより，[1]で A5, A8, A9 と記号付けされたキューブ・リングと A9 の一対のヒンジの位置をずらしたキューブ・リングが得られる。
(3) (2)までに得られたキューブ・リングが実際に別の 2 x 2 x 2 スタックへの折り変形を許すかどうかを確認する。ここで 2 x 2 x 2 スタック間の折り変形のパターンの数についても調べる。折り変形可能な軸になるかを網羅的に調べ上げることにより，複数の折り変形のパターンをもつのは，A5(Conway cube)と A8 (Infinity cube)であり，そのパターン数は 2 であることが示される(後で，この変形過程を図で表す)。
(4) (3)までに得られたキューブ・リングに対して，そのヒンジ配置から，取りうる 2 x 2 x 2 スタックを調べる。そのために，得られたキューブ・リングのひとつのヒンジの所を切り離す。それを切り離した端から，2 x 2 x 2 スタックの範囲内に納まるように切り離していないヒンジを折りたたんでゆく。ヒンジの折りたたみ⽅にはバリエーションがあり，それを尽くすように試⾏錯誤をする。2 x 2 x 2 スタックの形状に折りたたまれたもののうちで切り離したヒンジの位置が一致するものが，そのヒンジ配置から取りうる 2 x 2 x 2 スタックのひとつとなる。最初のヒンジでは 2 つの⽴⽅体の位置関係だけなので 2 通り，以下は 6 つ⽬のヒンジまではヒンジでつながれた⽴⽅体が 2 x 2 x 2 スタック内に納まる可能性のある配置なので 3 通り，7 つ⽬のヒンジは 2 x 2 x 2 スタック内に納まるか，切り離したヒンジ同⼠の位置が合うかの確認だけなので，1 つのキューブ・リングにつき，多く⾒積
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もって 2× 3 =486 通りを調べればよいことになる。実際には，途中の段階でそれまでの外形が2 x 2 x 2 スタック内に納まらなくなれば以降は調べなくていいので，はるかに少ない場合を調べれば十分である。A5(Conway cube)以外では(3)で確認された 2 x 2 x 2 スタックだけが得られた。A5(Conway cube)では(3)で確認された 2 x 2 x 2 スタックの他に２つの 2 x 2 x 2スタックが得られた。これら２つの 2 x 2 x 2 スタックに対して，折り変形では変形が⾏えないこと5

が示すことができる。すなわち，Conway cube では４つの 2 x 2 x 2 スタックをもち，その中の２つは折り変形で移りあうことを得る。ダイアグラムは孤⽴した 2 点と図 1 のダイアグラムの互いに素な和集合となる。
証明の最後に，Infinity cube と Conway cube が図 1 のダイアグラムを一巡する変形過程を示す。Conway cube の変形過程は[3]により調べられている。
Infinity cube の変形過程︓① ⻘のヒンジを軸として，前⽅と後⽅に開く② 赤のヒンジを軸として，左右に開く③ 緑のヒンジを軸として，前⽅と後⽅から④ ⻘のヒンジを軸として，左右に開く折りたたむ⑤ 緑のヒンジを軸として，前⽅と後⽅に開く⑥ 赤のヒンジを軸として，左右から折りたたむ⑦ これで元に戻った。

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Conway Cube の変形過程([3])︓① ⻘のヒンジを軸として，前⽅と後⽅に開く② 赤のヒンジを軸として，左右に開く③ 緑のヒンジを軸として，前⽅と後⽅から④ ⻘のヒンジを軸として，左右に開く折りたたむ⑤ 緑のヒンジを軸として，前⽅と後⽅から⑥ 赤のヒンジを軸として，左右から折りたたむ折りたたむ⑦ これで元に戻った。

(証明終了)

7§3 さらなる考察
折り変形とスライド変形を許すキューブ・リングを考え、次の(I),(II)を発⾒した。
(I) スライド変形まで許すとき，図１のダイアグラムをもつキューブ・リングは Infinity cube 以外にも存在する。
その一例として[1]における A12 を挙げる。
A12 は右図のようなヒンジ配置をもつキューブ・リングである。
右図は 2 x 4 x 1 スタックを z 軸の正の⽅向から⾒た図である。
図 4 と同様にキューブの上面と下面のヒンジの位置を表す。

により，キューブの側面のヒンジの位置を表す。
実際に作成して変形してみると，Infinity cube や Conway cubeと同じような操作感が感じられるキューブ・リングとなっている。

A12(II) 図 2 のダイアグラムをもち，[1]の 17 種類に該当するものがないキューブ・リングで(右図)を⾒つけた。
Conway cube のねじり変形を調べる際，ねじり変形による変形を折り変形とスライド変形を用いて置き換えるようにヒンジの位置を変えようとしていて，⾒つけたものである。ダイアグラムは図 2 のものをもつ。
以下に 2 x 2 x 2 スタックから 2 x 2 x 2 スタックへの変形過程を載せる。

New① ⻘のヒンジを軸として，前⽅と後⽅に開く② 赤のヒンジを軸として，左右から折りたたむ8③ オレンジと緑のヒンジに対してスライド変形をする ④緑のヒンジを軸として，左右に開く⑤オレンジのヒンジを軸として，前⽅と後⽅から折りたたむ⑥2 x 2 x 2 スタックが得られる③のスライド変形について詳しく⾒る。
矢印が描かれたキューブが矢印のように回転することで，オレンジと緑のヒンジで同時に折り変形を生じて，スライド変形される。

上の図は z 軸の正の⽅向から⾒た図である。左右は 2 x 2 x 2 スタックの図であり，中央はスライド変形の途中の状態の図である。

により，キューブの側面のヒンジの位置を表す。

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参考文献
[1] G. Escher, Folding Rings of Eight Cubes, 343-352 in M.C.Escher's Legacy(eds.M.Emmer and D.Schattschneider),Springer-Verlag,2003[2] 秋山久義, キューブパズル読本, 新紀元社 (2004)[3] 靜川早希，キューブ・リングに関する研究，卒業論文，⾼知⼤学理⼯学部(数学)(2020 年度)
[4] ⾼木茂男, Play puzzle―パズルの百科 2, 平凡社 (1981)[5] 松田 道雄, パズルと数学 II (数学教育叢書〈第 4〉),明治図書 (1958)

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