第8回湯川記念財団・木村利栄理論物理学賞受賞記念講演
2015年1月21日 於 京都大学基礎物理学研究所

高次元の一般相対論とブラックホール

石橋明浩
近畿大学理工学部

お話しすること• 何に興味をもってきたか。
• 何をやっているのか。
• これから。

（高次元）一般相対論研究の進展
1916: Schwarzschild 解
1963: Kerr 解
1965～1970: 特異点定理

1992: 2次元BH CGHSモデル
1993: 3次元BH BTZ
Gregory-Laflamme 不安定性
1993： 開いたインフレーション

1970 Zerilli 方程式
1972 BHの面積則

何に興味をもってきたか。

1973 BHとエントロピー
1973 BH 力学と熱力学
1974 Hawking 輻射
1967～1982: 一意性定理
1981 インフレーション宇宙

1997 AdS/CFT 対応
1998 特異インスタントン
宇宙の加速膨張
大きな余剰次元1999 RSブレーンワールド
2001 Black Ring 解

1979～1983: 正エネルギー定理
1986: Myers-Perry 解

dS AdS BH

何をやっているのか。

お話しすること• 何に興味をもってきたか。
時空特異点と負曲率インフレーション• 何をやっているのか。

• これから。

1916: Schwarzschild 解
1963: Kerr 解
1965-70: 特異点定理
1970 Zerilli 方程式
1972 BHの面積則1973 BHとエントロピー
1973 BH 力学と熱力学
1974 Hawking 輻射
1967～1982: 一意性定理
1981 インフレーション宇宙
1979～1983: 正エネルギー定理
1986: Myers-Perry 解

1992: 2次元BH CGHSモデル
1993: 3次元BH BTZ
Gregory-Laflamme 不安定性
1993： 開いたインフレーション

東工大
細谷研 3D AdS
坂井研 2D gravity

何に興味をもってきたか。

1997 AdS/CFT 対応
1998 特異インスタントン
宇宙の加速膨張
大きな余剰次元1999 RSブレーンワールド
2001 Black Ring

d=4

One Bubble Open Inflation
1998以前ダークエネルギーでなく曲率項で宇宙の内容物を補う

第一段のインフレーション（ｄＳ）宇宙の中に，一つのバブル（ドメインウォール）が発生
ドメインウォールの世界面の対称性⇒ ホライズンの中で負曲率の空間断面へOpen (負曲率) 宇宙の生成
内部で2度目のインフレーション

ドメインウォールと重力波

ゲージ不変量による時空とドメインウォールの摂動論
ドメインウォールの自己重力効果を考える

位相欠陥は固有の重力波を放出するか？
初期宇宙相転移を検証するプローブになりうるか？
重力波？

重力波？
自己重力を考慮すると、ドメインウォール固有の振動数の重力波放射はないことが分かった。
AI & Ishihara ’97 ‘99
w/ Tanaka 05

時空次元を一般化 ⇒ ＲＳブレーン宇宙モデルの摂動論(Kodama-AI-Seto 2000)

宇宙論的ホライズンと対称性• コーシー地平面がヌル方向に閉じていると対称性が存在• 軌道が閉じない場合には，別の対称性が存在する

特異点とインフレーション宇宙

コンパクト負曲率インフレーションと特異点

3次元負曲率コンパクト空間上の測地線は一般に閉じないが，その流れはエルゴード的な様相をなす．
その結果コーシー地平面を越えた領域にトポロジカルな特異点が稠密に発生する．

Open inflation と裸の特異点

Hawking-Turok ⇒ 特異点での摂動の振る舞い
境界条件は臨界的（AdS でのＢＦバウンドに対応）
Garriga : 重力の反作用効果を取り入れる⇒ 境界条件は一意（AdSでのユニタリーバウンド）

裸の特異点

裸の特異点のある静的時空における時間発展（ハミルトニアン）演算子のディリクレ条件による自己共役拡張

エルミートと自己共役の違いが肝心特異点の波動によるプローブ
自己共役拡張と一般の境界条件

お話しすること• 何に興味をもってきたか。
時空の特異点とインフレーション宇宙• 何をやっているのか。
高次元一般相対論とブラックホール• これから。

（高次元）一般相対論研究の進展
1916: Schwarzschild 解
1963: Kerr 解
1965-70: 特異点定理

1992: 2次元BH CGHSモデル
1993: 3次元BH BTZ
Gregory-Laflamme 不安定性
1993： 開いたインフレーション

1970 Zerilli 方程式
1972 BHの面積則

何に興味をもってきたか。

カルツァ・クライン型
1973 BHとエントロピー（プランク・スケール）
1973 BH 力学と熱力学とは異なるコンパクト化
1974 Hawking 輻射

実体的（古典的）な高次元時空の研究動機
1967～1982: 一意性定理
1981 インフレーション宇宙

一般相対論・宇宙論
1979～1983: 正エネルギー定理
研究者の多くが高次元重力研究に
1986: Myers-Perry 解
本格参入

1997 AdS/CFT 対応
1998 特異インスタントン
宇宙の加速膨張
大きな余剰次元1999 RSブレーンワールド
2001 Black Ring

何をやっているのか。

何をやっているのか。

１．AdS 時空のダイナミクス
２．高次元ブラックホール• ＡｄＳ/CFT 対応において，ＡｄＳ時空の共形無限遠での境界条件とAdSバルク内部のダイナミクスの関係に興味 …

AdS 時空は静的かつ非大域的双曲的• AdS 時空は完備で完全に正則な時空だが，波動については共形無限遠は裸の特異点的• 特異点の波動プローブの手法が適用可能 2001年の夏Wald さん基研に滞在• ＡｄＳ時空上の線形波動について，時間発展演算子の可能な自己共役拡張を決定⇒

全ての可能な境界条件とスペクトルの正負を同定

BF 制限AdS上の線形波動方程式はポアンカレ座標で次の様に書ける：

シュワルツの不等式より（のときは 安定に対応するスカラー場の質量 ⇒BF-boundの場合に対応）

• ＢＦ制限-1/4 （特異インスタントン：Hawking-Turok に対応）
これ未満だと全ての自己共役拡張が負のスペクトル⇒ すごく不安定• ユニタリー制限 -1/4 + 1 = 3/4 （Garriga 摂動に対応）⇒ これ以上だとディリクレ条件のみ正のスペクトル• その中間： 自己共役拡張のスペクトルの正負は境界条件に依存

１．AdS 時空のダイナミクス
２．高次元ブラックホール

「宇宙はなぜ3次元空間の拡がりをもつのか？」
１．一般次元における時空・重力の理解が必要
重力の極端に強い状況 ⇒ ブラックホール
２．量子時空の基礎理論
超弦理論 ⇒ 高次元時空を要請
高次元ブラックホール

4次元宇宙のブラックホール

 面積則：(Hawking 71)

ブラックホールのイべント・ホライズンの断面積は減少

しない：• Remark： 熱力学第２法則との類似
エントロピーは減少しない：(Bekenstein 73)“平衡” 熱力学系との対応は？
“定常”ブラックホール（ダイナミクスの終状態）

定常回転ブラックホール (Kerr 63)• トポロジー：

２次元球面• パラメーター： 質量
角運動量に上限：
電荷も持てる角運動量(Newman et al 65)• 安定： 線形重力摂動論(Teukolsky 72 - Whiting89)

ブラックホール力学(Bardeen-Carter-Hawking 73)• 質量や角運動量が微妙に違う２つの定常ブラックホールを比べる： ホライズンの断面積κ：

表面重力：ホライズンの角速度

定常ブラックホールの力学 平衡熱力学第０、第１法則と対応

量子効果

温度の決定：(Hawking 74)

ブラックホールのエントロピー：４次元定常ブラックホール熱力学と一意性
定常ブラックホールが平衡熱力学系と対応するなら、いくつかの少数のパラメーターで完全に特徴付けることが可能なはず…
 一意性定理：(Israel-Carter-Robinson-Mazur-Bunting)
定常な漸近平坦ブラックホール解は３つのパラメーター
質量電荷角運動量で一意に定められる

宇宙のブラックホールは、その材料や形成過程の詳細によらず、最終（定常）状態は Kerr 計量で記述される

物体を特徴づける

一意性定理の物理的意義
宇宙に存在する膨大な数のブラックホール

それらの全てが，高々２つのパラメータを含むカー計量で正確に記述される

４次元ブラックホールのまとめ（真空・定常）• トポロジー

2次元球面

• 安定性

安定

• 一意性

質量と角運動量のみで完全に定まるカー（Kerr）解⇒ダイナミクスの終状態

とても強い制限
詳しく理解することが可能

高次元ブラックホールの場合• トポロジー

球面的である必要はない

• 安定性

不安定

• 一意性

成り立たない多様なブラックホールの可能性

多様な高次元ブラックホール

複数の回転軸をもつ
高次元ブラック・ホール

５次元ブラック・リング高次元時空は一般に不安定？

高速回転ブラックホールの不安定性
では、いくらでも早く回転できる
c.f. ４次元の場合には回転に上限があった
ホライズンの存在

軸対称数値解析
非軸対称の場合(Emparan-Myers 03)
数値解析(Dias et al 09)(Shibata-Yoshino 10)ブラック・ストリング• 階層的に潰れてゆく
Lehner-Pretorius 10)

５次元ブラックホールとリングの相図

高次元ブラックホールの分類問題• 高次元ブラックホールは安定か？
安定・不安定性 ⇒ 自然界に存在するのか？
新しい解系列への分岐？
重力波・シグナル• どんな対称性をもっているのか？
可能な形状（トポロジー）など、多様性への制限

安定性
ブラックホールの重力摂動論

６テンソル型摂動に着目
ホライズンが非自明なアインシュタイン多様体の場合に不安定ベクトル型やスカラー型摂動については議論されていない．
ＲＳブレーン宇宙モデルの摂動論 (Kodama-AI-Seto 00)でのベクトル型やスカラー型摂動の基礎方程式系は高次元ブラックホールにも適用可能。

ベクトル・モードのポテンシャル

ホライズン近傍で負になる ⇒ 不安定モードの存在？

Newton Institute,Cambridge 05

Kodama & AI‘03

重力摂動マスター方程式
高次元静的ブラックホールの安定性は固有値問題に帰着

AI & Kodama ‘03

高次元ブラックホールの相図
Ｓ ： ホライズンの断面積＝ＢＨエントロピー

少なくともここは安定
AI & Kodama

Ｊ ： ＢＨの角運動量

高次元ブラックホールの位相空間は広大…

対称性• 「ブラックホールの剛性定理」
定常ブラックホールは剛体回転する

意義

・ 時空対称性の拡大
・ ブラックホール熱力学の基礎
・ 一意性定理の証明の要定常ブラックホールは剛体回転するか？

2004年 クリスマス Santa Barbara

最初のアプローチ方法• 5次元の場合 ⇒ ホライズン断面は3次元細谷研の研究が使えないか？

• 一般次元の場合

定常ブラックホールは剛体回転するか？

2004年 クリスマス Santa Barbara

2006年2月 Santa Barbara
高次元ブラックホール研究会

ブラックホールの剛体定理 証明の要
4次元のブラックホール： Hawking 73
2次元球面上の軌道は必ず閉じる。

高次元ブラックホールの問題点：
3次元以上では一般に軌道が閉じない。

閉じない軌道に沿った積分を解きたいブラックホールの剛体定理 証明の要
4次元のブラックホール： Hawking 73
2次元球面上の軌道は必ず閉じる。

高次元ブラックホールの問題点：
3次元以上では一般に軌道が閉じない。
解決のアイディアエルゴード定理を利用“閉じない軌道に沿った時間積分”をホライズン閉曲面での“空間平均”で置き換える
Hollands-AI-Wald ’07

剛性定理 ＝ 剛体回転

まとめ: 高次元ブラックホール理論
4次元

⇒

一意性：

安定高次元

⇒

多様性： 不安定

⇒

カー解

課題
厳密解の系統的分類・相図
剛性・対称性の大きさ
安定・不安定性（一般の場合）
超弦理論の実験場
4次元宇宙との接点

お話しすること• 何に興味をもってきたか。
時空特異点と負曲率インフレーション• 何をやっているのか。
高次元一般相対論とブラックホール• これから。
ひらけゆく新しい宇宙像

d=4
高次元の痕跡を探査4次元有効理論とブラックホール
高次元重力理論を4次元にコンパクト化
多様な超軽量ボソン場（アクシオン）が不可避的に生成される
Arvanitaki-et al 0905.4720

多様なアクシオン宇宙のブラックホールによる探査
Kodama-Yoshino, etal 2014

超弦理論の余剰次元コンパクト化，ブレーン宇宙モデルなど
高次元理論から4次元宇宙への様々な可能性が増えるとともに“物理的実体としての高次元時空”の可能性がひらけてきた。

理論と観測の突合せ方法の考案、検証可能性を探る基礎研究を突き詰める必要。

高次元空間がもし存在すれば、私たちの宇宙像を一新する。

一方で• ホログラフィー原理
時空（重力）の自由度 ⇒ 他の物理的自由度で理解実体としての（高次元）時空は不要（！？）
新しい時空描像

さらにホログラフィック超伝導 etc AdSブラックホールと様々な強結合・強相関の量子多体系の対応関係
宇宙物理や素粒子論・超弦理論の文脈を超えた
ブラックホール物理の多様な拡がり

異なる現象・理論をつないで交流する

量子熱力学

情報？

ブラックホールはシルクロードブラックホールで拓く
新しい宇宙像