M-理論とブレーンの不思議

2013.1.23

細道和夫

1

第2次ひも革命（1995）（私が大学院に入学した年。）＊ ひもの双対性の発見＊ D-ブレーンの発見
超弦理論へのアプローチが一新した。

2

ひもの双対性：
弱結合のひも理論

強結合のひも理論
表裏一体Type I

５つの超弦理論が1つのネットワークにつながる。

Het SO 32Type IIB

Het E 8 ×E 8

Type IIA(11-dim)ブレーン：
高次元に拡がった膜状ソリトン物体。
双対性のもとで、ひもと役割が入れ替わる。

3

M-理論（Witten '95）
IIAひもの結合定数 g s を強めてゆくと、11番目の次元が見えてくる。
M2-ブレーン

M-理論

R11 = g s l s（ l s はIIAひもの基本長）

IIA弦理論
ひも定義がない。
要請：低エネルギーで11次元超重力理論に帰着する。
M2-brane, M5-brane がある。

4

11次元超重力理論

計量

重力微子

3階反対称テンソルゲージ場

Newton定数とPlanck長無次元のパラメータが１こもない。
究極理論。
5

無次元のパラメータが１こもない理論。
しかし、無数の真空がある。例えば、１０次元の IIA 超弦理論
半径R の円周

4次元の「素粒子模型」
Einstein方程式を満たす7次元空間・・・選び方が無数にある。

理論の分類から幾何の分類へ6

M-理論のブレーン
M2-brane (2+1次元) :の電荷。

M5-brane (５＋１次元) :の磁荷。 (の電荷。)

作用と張力cf) 相対論的荷電粒子の作用

7

今日の話題：M2-brane, M5-brane の多体理論における最近の目覚ましい進展を紹介する。

8

1. M2-brane 多体理論-- BLG模型・ABJM模型 --9

M2-brane : 研究の動機
1. M2-brane の量子化で11次元量子重力を定義？
(cf. IIA string の量子化で10次元量子重力を定義）
M2-ブレーン

M-理論

もっともな取り組みだが、このためのメンブレーンの量子化はどうも難しすぎる。

IIA弦理論ひも10M2-brane : 研究の動機
2. ゲージ・重力対応 (Maldacena '97)
M2-brane N 枚の多体理論（= 3次元場の理論）=上の超重力理論（= 4次元重力理論）

1. より「小さい」問題だが超弦理論からブラックホールの謎に迫ることのできる重要な問題。

11

D-brane を N 枚重ねると、その上の開いたひもの運動から非可換ゲージ対称性 U(N) が現れる。

j A  iji

1 2N

M2-brane を N 枚重ねると何が起こるか？
2007年の時点でほとんど手がかりなし。

12M2-brane 多体理論の満たすべき性質
1. 3次元超対称な共形場理論。

- Chern-Simons 型の理論？

- YM相互作用、 CS相互作用を含む一般の理論では以上の超対称性は実現できない。

2. 自由エネルギー F が計算できたとすると、（AdS/CFT対応からの要請）- N x N 行列の理論ではないおそれがある。

13

M2-brane “ミニ革命” (200７)
SUSYの壁を破る理論が発見され始めた。
Bagger-Lambert(-Gustavsson) 理論
SUSY.
SO(4) C-S ゲージ場 ＋ 物質場の理論
3-代数：
Gaiotto-Witten 理論
SUSY.
Lie 超代数で特徴づけられる。
14

M2-brane “祭り” (2008)
SUSYの壁を破る理論に多くの人が集まった。
Bagger-Lambert(-Gustavsson) 理論
SUSY.
SO(4) C-S ゲージ場 ＋ 物質場の理論
3-代数：
Gaiotto-Witten 理論
SUSY.
Lie 超代数で特徴づけられる。
15

Ki-Myeong Lee（KIAS）

3-代数、というのは本質的でないような気がする。
普通のゲージ理論に書き直せたら、ゲージ対称性をSO(4) 以外に一般化できると思うんだけれど。

16

Ki-Myeong Lee（KIAS）

3-代数、というのは本質的でないような気がする。
普通のゲージ理論に書き直せたら、ゲージ対称性をSO(4) 以外に一般化できると思うんだけれど。
皆で調べてみると、確かに普通のゲージ理論に書き直せて、ゲージ対称性を一般化できない理由もよく分かった。
（この話は、他の人にすぐ論文を出された。）
取り敢えず、他に出来ることをまとめて最初の論文を書いた。
17

Ki-Myeong Lee（KIAS）

教訓
1. 一見 trivial に思える計算でも、やると何か分かる。
手を動かす時間を惜しんではいけない。
2. 祭りには、参加しなくてはならない。（楽しいから。）

18

KIASの談話室に当時貼ってあった絵

from Theodor W. Haensch, 2005 Nobel lecture slides

19Gaiotto-Witten理論
SUSY. Lie 超代数で特徴づけられる。
例： Lie 超代数 U(M|N)には反交換する数が入る。

quiver図形

C-S ゲージ場
物質場 （hyper多重項）20

Gaiotto-Witten理論は BLG理論を含んでいない。
両者を含むような拡張があるはず。
SUSYのもとで hyper 多重項と「鏡像」の関係にある物質場（twisted hyper多重項）を含めてみよう。

C-S ゲージ場
hyper多重項
twisted hyper多重項

Quiver Chern-Simons理論の発見(Hosomichi-Lee-Lee-Lee-Park '09)
21

特別な場合 : BLG模型

我々の quiver CS 理論にはBLG模型が含まれる。

22

特別な場合 : ABJM模型 (Aharony-Bergman-Jafferis-Maldacena)

SUSY.
オービフォルド

上のM2-brane 多体理論。

上の超重力理論と対応。
M2-brane多体理論の標準的な模型になった。

23

M2-braneの論文 topcite100+
2007/11----2008/03
2008/04

2008/05

2008/06

2008/07

2008/08----2009/09
2010/07

Bagger-Lambert----Van Raamsdonk
Distler-Mukhi-Papageorgakis-Van Raamsdonk
Lambert-Tong
Papadopoulos
Gaiotto-Witten
Ho-Matsuo
Gomis-Milanesi-Russo
Benvenuti-Rodrigues-Gomez-Tonni-Verlinde
Ho-Imamura-Matsuo
Ho-Imamura-Matsuo-Shiba
Hosomichi-Lee-Lee-Lee-Park
Bandres-Lipstein-Schwarz
Gomis-Rodriguez-Gomez-Van Raamsdonk-Verlinde
Aharony-Bergman-Jafferis-Maldacena
Benna-Klebanov-Klose-Smedback
Nishioka-Takayanagi
Minahan-Zarembo
Gaiotto-Giombi-Yin
Grignani-Harmark-Orselli
Hosomichi-Lee-Lee-Lee-Park
Bagger-LambertGromov-Vieira
Gomis-Rodriguez-Gomez-Van Raamsdonk-Verlinde
Bak-Rey-Song
KrishnanAharony-Bergman-Jafferis
Martelli-Sparks
Hanany-Zaffaroni-----Kapustin-Willett-Yaakov
Drukker-Marino-Putrov

“祭り”

24

自由エネルギーの謎
ABJM模型は行列の場の理論。

この自由エネルギーがなぜと振る舞うかというと、ABJM模型が弱結合
ここでは11次元重力の古典近似が良い。
ここで指数が減るのはABJM模型の強結合の効果。
ここで自由エネルギーを厳密に計算できるか。
25

分配関数の厳密公式 (Kapustin-Willett-Yaakov '09)
3次元球面上なら、局所化定理を用いて超対称ゲージ理論の経路積分を行列積分に簡単化できる。

ABJM模型の分配関数の厳密公式

これに large N 行列積分の伝統的手法を適用すると、(Drukker-Marino-Putrov '10)
26

まとめ： M2-brane 多体理論の発展* 新しい3次元ゲージ理論の発見* 分配関数の厳密公式を用いた、AdS/CFT対応の精密な検証

27

２. M5-brane 多体理論-- 6次元理論 --28

(2,0)-理論＊ Lagrangian を書けない、非自明な6次元CFT。
＊ M5-braneの数 N だけでラベルされる。
＊ コンパクト化により、低次元の多様なゲージ理論を生じる。
重力を含まない究極理論。

29

(2,0)-理論のコンパクト化の例：
5次元
半径

SYM理論

結合定数30(2,0)-理論のコンパクト化の例：
5次元
半径

結合定数

4次元
半径

SYM理論

SYM理論

結合定数31(2,0)-理論のコンパクト化の例：
4次元
半径

SYM理論

結合定数

＊ コンパクト化の順序を入れ替えると、結合定数結合定数の値が違うが、実は双対な（同じ）理論。

32

別の言い方：結合定数M5-brane の巻きつくトーラスの形を変形するにつれて、ゲージ結合がどう変わるか。

弱結合

強結合

弱結合
（双対な記述での）33

(2,0)-理論のコンパクト化の例：
4次元形

SYM理論

複素結合定数τMontonen-Olive の双対性
−1/ τ

結合定数0の理論との理論は同じ。

1ラグランジアンのない「理由」：
もし(2,0)理論のラグランジアンが書けたとすると、Montonen-Oliveの双対性がラグランジアンを書いて説明できてしまう。

34

Gaiotto の発見（2009）：

N 枚の M５-brane を点つきリーマン面に巻きつけて得られる4次元の場の理論を調べた。
2枚のときで充分面白いので、以下 N=2 の話に限る。

35

Gaiotto の発見（2009）：
P1形（点の位置座標を含む）： τP2P3P4

点 P a の尖りぐあい： m a

点つきリーマン面 ΣM5-brane を2枚巻きつけるとGaiotto のゲージ理論 T (Σ)
4次元超対称なゲージ理論。

τ ： 複素結合定数m a ： 物質場の質量36ゲージ理論の読み取り方：
m1P1a4a1P2P3P4m2a6a2a3a10a8a7a5m3a9m4

リーマン面の形を変形して、細い管の構造物に退化させる。
＝ ゲージ結合を弱くする。
上の例では、10本の細い管に2枚ずつ M5-brane が巻きついている。
弱結合のゲージ理論。

37

リーマン面の退化のさせ方は一通りでない。
例えば4点つき球面の場合は、異なる極限操作から3通りのゲージ理論が得られる。
s-channel
１3t-channel

3１3１422424u-channel

τ3１24

4次元ゲージ理論とリーマン面の幾何の精密な関係
38

AGT関係式(Alday-Gaiotto-Tachikawa '09)

4次元ゲージ理論の分配関数=2次元リウビルCFTの相関関数「謎の一致」

39

Gaiotto はこの年奇抜なアイデアを次々に発表していたので、ちょっと辟易していた。

40

AGT関係式: なぜ成り立つのか
4次元ゲージ理論 T (Σ) の球面上の分配関数(cf. Pestun '07)＝に巻きついた M5-brane 2枚の分配関数

球面に先に巻きつけたと思うと、＝ 2次元場の理論の、上の相関関数

答えがリーマン面にしか依らないので、CFTのはず。の形

41

2次元リウビル理論
結合定数：
作用関数：
演算子：
上の2枚のM5-brane=リウビル理論 (b=1)

リウビル理論は、弦理論の多くの場面で現れる重要なCFT。
が、まさか M5-brane から出てくるとは！

42

リウビル理論は自分の専門と思っていたのであせった。

43

リウビル相関関数
P1

P2

P3

P4

考えてみると、相関関数の計算法をよく知っているのは形への依存性が自明な場合だけだった。
（球面上の2点、3点関数）

そのような場合も「DOZZ公式」

への依存性は非自明。

Dorn-Otto-Zamolodchikov-Zamolodchikov

44

リウビル相関関数
一般の相関関数を書き下すためには、、、Conformal block 関数
共形不変性から従う Ward 恒等式（の正則線形微分方程式）の解。

: 独立解をラベルするパラメータ。

DOZZ公式から決まる部分

45

Conformal block のことを勉強しなければならない。
、、と思っていたら、東工大（今村さん・伊藤さん）から集中講義の依頼が来た。

46

Alexei Zamolodchikov (1952 -- 2007)47

Alexei Zamolodchikov (1952 -- 2007)

リウビル理論の開拓者。
2001年に基研の客員教授をされた。
リウビル理論の境界問題について書いた短い論文を、すごく褒めてくださった。
48

Alexei Zamolodchikov (1952 -- 2007)

1984年から、 conformal block 関数の研究に取り組まれた。
「Zamolodchikovの漸化式」は、AGT関係式の技術的証明にも応用されている。
49

係数 r m , n の話
Zamolodchikovの漸化式の中に、解析的な導出の説明されていない係数 r m , n があった。1984年の文献からくまなく探したが、当時の論文にはどこにも説明は見つからなかった。

50

係数 r m , n の話あるとき、別の話題についての ２００３年の論文の中に導出を見つけた。

(Zamolodchikov の漸化式)

51

Conformal block の完全系（基底）の取り方演算子積を展開する時の、掛け算の順序に応じて存在する。
4s-channel

3212t-channel

3u-channel

432411

異なる基底に移る ＝ ゲージ理論の双対性
52

基底変換
4s-channel

3212t-channel

431

この変換係数は、実はある3次元ゲージ理論の分配関数に対応すると予想。

53

AGT関係式の3次元版「双対壁」
43S-channel理論

212t-channel理論

431

2つの互いに双対なゲージ理論を3次元面で貼り合わせると、面上に3次元ゲージ理論が現れる。

＝ （双対壁理論の分配関数）
54

AGT関係式の3次元版
最近では、M5-brane をに巻きつける話に発展している。
（3次元双曲多様体）

例：一点つきトーラス＋＝55

歪んだ球面への拡張
これまでの話：球面（Q:）上のゲージ理論

リウビル理論 (b=1)

一般の b を持つリウビル理論を再現するにはどうすれば良いか?
SUSY を損なわないで、丸い計量を歪ませることができるか?
歪んだ球面上でも、分配関数の厳密計算ができるか?

リウビル理論
結合定数：
作用関数：56

歪んだ球面への拡張
これまでの話：球面（Q:）上のゲージ理論

リウビル理論 (b=1)

一般の b を持つリウビル理論を再現するにはどうすれば良いか?
SUSY を損なわないで、丸い計量を歪ませることができるか?
歪んだ球面上でも、分配関数の厳密計算ができるか?

A:（ c は任意）* ただし、計量以外の背景場を同時に立ち上げる必要ある。
Hama-Hosomichi-Lee '11, Hama-Hosomichi '1257

まとめ： M5-brane 多体理論の発展* 場の理論と幾何のあいだの精密な関係
ゲージ理論の双対性の精密な理解* 分配関数などの厳密公式を手がかりとした、いろいろな場の理論の間の次元をまたいだ関係の発見* まだ面白い発見がありそう。

58

今後の展望球面上のゲージ理論の分配関数、およびその拡張＝ゲージ理論を特徴づける新しいタイプの物理量局所化原理を用いた厳密計算のテクニックの発展、既存の手法（摂動論、繰り込み群、、）と融合

59

共同研究者の皆さん
基研の皆さんGCOEの皆さん「学術創成」研究の皆さん
江口先生
有難うございました。
今後ともよろしくお願いいたします。

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