自治体特性と非効率性
共同研究１15

地方財政理論の新展開―地方分権と公共経済学

自治体特性と非効率性
̶確率フロンティア分析による予備的考察̶林

正 義

１．はじめに
地方財政の生産性に関する欧米の研究ではフロンティア分析は標準的に用いられており（e.g.,Deller and Rudnicki 1992, Duncombe and Miner 1997, Grosskopf and Yaisawarng 1990, Grossman
et al. 1999, Hayes and Chang 1990, Kalseth and Rattø 1995），わが国においても同手法を用いる幾つかの研究がみられるようになっている（國崎・中村1994 ，山下1999 ，川崎2000 ，山下ほか
2001）。特にわが国では，補助金（財政移転）と非効率性の関連に関心がもたれており，例えば，山下（1999）は地方公営企業のバス事業における財源補填と非効率性を，山下ほか（2001）は自治体の非効率性と地方交付税交付金の対歳入比率との関連を考察している。典型的なフロンティ
ア分析は費用関数を
lnci = lnc (・) + vi + uiと特定化する。ここで ci は地方自治体 i の支出，c(・) は費用関数，vi は通常の撹乱項である。
ui は非負値の確率変数である「非効率項」であり，確率フロンティア（lnc(・)+vi）からの乖離を表す。この推定からの残差を利用して各自治体の非効率性がしばしば数量化されるが，これから政策的な含意を得ることは難しい。非効率性（ui）は確率変数であるから，全く同じ特徴の自治体でも事後的には異なった非効率性が発生する可能性を排除できないからである。一方，自治体特性が非効率項の分布に与える影響（有無を含めて）の分析は，政策的にも意味のあることであろう。個々の非効率は統制できないとしても，当該特性が操作可能であれば集計値としての非効率性はコントロール可能かもしれないからである。
本稿の目的は既存のフロンティア分析のフレームワークをそのまま用いて，自治体特性が非効率性の分布に与える系統的な影響に関して仮説検定を行うことである。本稿が先行研究と異なる点は次の３つである。第１は，先行研究では主に財政移転と非効率性との関連に関心が払われていたが，本稿ではさらに，自治体規模と効率性との関連にも考察を加える。これは，自治体規模の増大は市民選好の多様化による調整費用の増加を通じて地方の非効率性を増加させるという公共選択論的な主張（e.g., Duncombe and Miner 1997, 西川 2001）を検証するものである。これは，公共サービスの「規模の経済」とは逆方向に働く効果であり，規模の経済の推定との関連からも研 究 所 年 報

16適切に考慮されるべきものであろう。
第２は，非効率項 ui の生成過程に関する。わが国の先行研究では非効率項の平均の変動にのみ関心が払われているが，本稿では非効率項の分散の変動も検定の対象とする。特に，財政移転と自治体規模によって非効率項の分散が系統的に変動するように特定化が行われる。
第３は，確率変数の前提と推定方法に関する。最尤法を用いる先行研究では，非効率項 ui および撹乱項 vi の分布がパラメトリックに特定化されてきたが，最小二乗法を用いる本稿ではそれらの確率項に課される仮定を最小限に抑えることができる。非効率項に関してはスケール関数（後述）のみにパラメトリックな特定化が行われ，非負条件および独立分布のみが想定される。
撹乱項 vi に関しては既存研究が想定している分散均一性の仮定を緩め分散不均一性が想定される。

2 ．モ デ ル
標準的な分析では（e.g., Bradford et al. 1969, Duncombe and Yinger 1993），地方公共サービスの生産は次の２段階に分けられる。第１段階は，地方政府が生産要素 x を投入して直接産出物 gを生産する技術的関係（＝生産関数）（1）g=f(x)

である。第２段階は，直接産出物 g が住民が消費する公共サービス水準 z に転換される過程である。これは直接産出物 g ，公共サービスの利用者数 n および環境要因 a によって影響をうける混雑関数（2）z = z ( g, n, a )によって表される。この２段階過程を前提として，地方の支出（費用）関数は以下のように導出される。まず第１段階では，費用最小化行動を前提として費用関数（3）c = c ( w, g )≡min { w · x | f ( x ) = g } 。
xが定義される。ここで w は生産要素価格である。z の値が政治的過程の結果として外生的に与えられると，混雑関数（2）を通じて g の値も与えられる。つまり，（4）g =γ( z, n, a )≡z−1 ( z, n, a )を得る。これと（3）より，推定の対象となる費用関数（5）c = c ( w , γ( z, n, a ))が導出される。
推定にあたっては，地方政府 i の支出 ci は確率過程（6）

ci = c ( wi , γ( zi, ni, ai )) · exp ( vi ) · exp ( ui )に従うと仮定する。推定では（6）を対数化した（7）lnci=lnc (w, γ(z, n, a)) + vi + uiが用いられる。ここで，確率項 vi は通常の回帰分析における撹乱項に相当し，最も素朴な分析
では平均 0 ，均一分散σ2vの正規分布にしたがうとされる。しかし，横断面データが用いられる

自治体特性と非効率性

17場合は，分散均一性の仮定は厳しすぎるかもしれない。したがって，本稿では，正規分布から単なる独立分布へ，また，分散均一から分散不均一（σ2vi ）へと仮定を緩め，推定を行うこととする。
非効率項 ui への系統的な影響は次のスケール関数（8）ui =ψ( si ) · ηiによって特定化する（Bhattacharyya et al. 1995; Caudill et al. 1994; Simar et al. 1994）。ここで
ηi は，ηi < 0の部分が切断された平均１，均一分散ση2 の独立分布に従う確率変数である（ηi〜iid +(1, ση2 )）。ψ(・) はηi をスケール変換する関数であり，その値は要因 si の関数となる。なお，
E ( ui ) =ψ( si ), V ( ui ) =ψ( si )2ση2であるから，環境要因 si が非効率項の平均と分散の双方に影響を与えることがわかる。
回帰式（7）は（8）を用いて（9）

lnci = lnc ( w,γ( z, n, a )) +ψ( si ) +ξiと再表現できる。誤差項として機能する，ξi = ui−ψ( si ) + vi は，iid かつ E (ξi ) = 0であるから，ψ( si ) を含む（9）の最小二乗推定量は一致性をもつ。なお，分散不均一性 V (ξi ) =σ2vi ＋ψ ( si ) 2 ση2により分散共分散行列の最小二乗推定量は一致性を持たないが，HCCME（heteroskedasticity
consistent covariance estimator）を用いることにより一致性を確保できる。また，複数の制約を検定する場合でも，HRGNR（hetero-robust Gauss-Newton regression）を用いれば適切な検定量を得ることができる（Davidson and MacKinnon 1993, pp. 399-402）。したがって，パラメトリックな分布の特定化を必要とする尤度法を用いずに，（9）を最小二乗法によって推定することによって適切な推定値を得，HCCME もしくは HRGNR によって要因 si の非効率項への効果を検定することができる。

３．特定化と推定生産関数（1）に関しては，生産要素を労働と資本に集計し，コブ･ダグラス型で特定化する。
混雑関数（2）は，Hayes（1986）および Hayes and Slottje（1987）を拡張して（10） z = g · n−(λ +λ lnn +Σ λ a )0njjjとしよう。スケール関数に関しては si の要素を財政移転を示す指標（ s1i ）と自治体規模の指標（s2i）を有する以下の２つの特定化を用いる。
（11a）ψA ( s1i , s2i ) =α1 s1i +α2 s2i（11b）ψB ( s1i , s2i ) = exp (θ1 s1i +θ2 s2i ) 。
したがって，推定される回帰式は以下の２つとなる。

( (Σλ a ) · lnn ) +α s +α s +ξ（B） c = B +β lnw +β · ( lnz + (λ +λ lnn +Σλ a ) · lnn ) + exp (θ s +θ s ) +ξ（A） ci = B0 +βw lnwi +βg · lnzi + λ0+λn lnni +j

ji

ijji

i

1 1i

2 2ii

ji

0wi

gi

0ni

j

1 1i

2 2ii

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研 究 所 年 報

ここで wi は労働価格，aji は j 番目の環境要因，B0ならびにギリシャ文字は推定されるべきパラメータである。なお，全国共通の資本価格を仮定し（Kitchen 1976, Stevens 1978），横断面データを用いると，資本価格の効果は B0に含まれることとなる。
推定には，政令指定都市，東京都特別区，ならびに，阪神淡路大震災罹災都市を除く1995年の全国506市のデータを用いた。なお，使用するデータを完備していない市もサンプルから除外されている。
費用 ci には『市町村決算状況調』から「歳出」をそのまま用いた。労働投入量の価格 wi は，『市町村決算状況調』掲載の「人件費」を「職員数」で除して用いている。人口 ni は『国勢調査』掲載データである。公共サービス水準 zi には日本経済新聞社（1998）の「行政サービス水準：総合得点」を用いた。混雑関数の環境要因としては，利用者特性として，① DID 人口比率（a1i），②昼夜間人口比率（a2i），③15歳以下人口比率（a3i），④65歳以上人口比率（a4i），また，空間特性として，⑤総面積（a5i），⑥ DID 面積比率（a6i），⑦森林面積比率（a7i），⑧耕地面積比率（a8i）を用いた。森林面積比率および耕地面積比率は『農業センサス』，他の変数は『国勢調査』による。なお，環境要因は全て対数変換されている。
財政移転の指標（s1i）としては，1975年から1994年までの20年間のうち普通交付税が交付された年の比率を用いた。これは，自治体が地方交付税制度に組み込まれる時間が長いほど非効率になりやすいという考えに基づいている。一方，自治体規模の指標（s2i）として，サンプル内での最大値で基準化された成人人口を用いた。成人人口を用いたのは，自治体規模と非効率性の関連の議論のなかでも，自治体規模の増加が市民の選好を多様化させ意思決定の調整コストを増大させるという命題が重要と考えたからである。なお基準化が行われたのは，スケール関数の特定化に関連した数値演算上の理由による。
表１は推定結果であり，７通りの推定式が検討されている。即ち，①非効率項を含まない費用関数（第１列）。非効率項が（11a）で，②地方交付税と自治体規模の双方が含まれているもの（第２列），③地方交付税のみの（第３列），そして，④自治体規模のみのもの（第４列），さらに，非効率項が（11b）で，⑤地方交付税と自治体規模が含まれているもの（第５列），⑥地方交付税のみのもの（第６列），そして，⑦自治体規模のみのもの（第７列）である。
パラメータ推定値は非線型最小二乗推定量，括弧内の P 値は HCCME に基づいているが，どのケースにおいても，生産技術にかかわるパラメータ（ B0, βw, βG ）は，理論値と矛盾しない有意な値を示している。混雑関数内のパラメータは，人口，DID 人口比率，昼夜間人口比率，高齢者比率，総面積にかかる係数が予想通りの符号をもち，有意となっている。ただし，他の４つの係数（若年人口比率，DID 面積比率，森林面積比率，耕地面積比率）は有意となっていない。
非効率性にかかわるパラメータ（θ1, θ2 ）は，どのケースにおいても，有意な結果とはなって（1）いない。双方にゼロ制約を課した HRGNR による検定でも同様である。
2
さらに分散関数 V (ξi ) =σvi＋ψ ( si ) 2ση2に関する仮説検定からも，地方交付税と自治体規模の効果を考察した。ここでの検定量は V (ξi ) の特定化を前提とした GNR による（Davidson and自治体特性と非効率性

19

表１．推定結果

� ��� ��������α�����α�����θ�����θ����

非効 率 項なし �観 測 値数自由 度�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
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���������

定 数 項�

��

賃金�

β�

産出 量�

β�

定 数 項λ�人 口�λ�

���人 口比 率�λ�

昼 夜間 人口比 率�
若 年人 口比 率
高齢 者比 率�λ�λ�λ�

総面 積 �λ����面 積比 率λ�

森林面 積
比 率λ�

耕 地面 積比 率λ�

地方交付 税α��θ�

成人 人 口α��θ������（ α�＝ α�＝ �� θ�＝ θ�＝ ��）χ���������������� � ���������註 � 括 弧 内 は � 値。 全 て のケ ース で ��有 意（ 両側 ） の変 数 に は �が記さ れて いる。

MacKinnon 1993, pp. 396-399）。表２に示すとおり，（11a）と（11b）のいずれの場合も，地方交� ������ �������������

付税は分散（= 非効率性）に有意な影響を与えないという結果となった。一方，自治体規模の効θ�����θ����
非効率項����α�����α�����
果はいずれにおいても有意と判定された。２つの変数に制約を課す場合も，おそらく自治体規模

α�＝ α�＝ � （2） α�＝ �α�＝ �θ�＝ θ�＝ �
θ�＝ 2�
θ�＝ �
帰無 仮説の影響から同様の結果となった。この結果は，撹乱項 vi の分散が均一である（σvi＝σv2 ）ならば，
�値�
������������������������������������������
結果棄 却棄 却し な い棄 却棄 却
棄 却し な い棄 却

研 究 所 年 報20非効率項 ui の分散が自治体規模に依存することとなり，表１の推定結果と矛盾することになる。
しかし，撹乱項 vi の分散が均一である必要はなく，むしろ，表１と２の結果は，自治体規模が通常の撹乱項 vi の分散に系統的な影響を与えており，先行研究で想定されている vi の分散均一の仮定が不適切であることを示唆している。
表２．GNP による分散不均一の検定結果

�1��2�0exp(�1s1i+�2s2i)

�1�0

�2�0

�1��2�0�1s1i+�2s2i
�1�0�2�0P�

0.01540.38630.02100.01540.37740.0211��

��

�����

���������������������

結 語
本稿では既存のフロンティア分析の枠組みをそのまま用い，地方自治体の非効率性を費用フロンティアからの乖離を表す確率変数として概念化し，地方交付税と自治体規模が非効率項の平均と分布に影響を与えるように特定化を行った。そして，確率分布に関し既存のフロンティア分析よりも緩い仮定を用いて，費用関数ならびに非効率項に関わるパラメータを推定した。その結果，地方交付税ならびに自治体規模は地方財政の非効率性に系統的な影響を与えないことが示された。
ただし本稿の分析は予備的考察であり，これらの結論には幾つかの注意が必要である。まず，ここでの「非効率性」とは確率フロンティアからの乖離として定義される技術的非効率性を意味しており，自治体規模や財政移転が地方政府の意思決定に与える「歪み」を必ずしも捉えていないことである。
「インセンティブ効果」とも呼べる，そのような意思決定上の非効率性を捉えるには費用関数自体の特定化を適切に変更する必要があろう。この点に関しては，Hayashi（2002）
によってさらなる考察を加えている。また，財政移転や自治体規模に関して異なった指標を用れば違った結果が得られるかもしれない。この点に関しては今後の研究の課題である。

注:⑴ HRGNR を用いる検定量は（11a）と（11b）の場合，同一となる。
⑵ （11a）および（11b）における si には同じ変数が使用されているので，ここでも同一の検定量となる。
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