経済ラグの類型とモデル化について

若

井 ，具

宜

1 はじめに2種類以上の異なる経済時系列間の相互関係をみた場合，説明変量と結果変量との対応関係に時間的なズレが生じることがしばしばある。すなわち，経済変量．yが別の経済変量Xの関数であると考えられるとき，Y，?（X'，） ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…（1）

よりも，Y，?（ x，， x，一，，． ． ．）一一・・・・・…一・…一・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…一一一（2）の方が，説明力の高いことがしばしばある。ここで，tは時系列データ特定化のための時点を示し，ノ'は単に関数関係を示している。（2）式において，κご一、などが，いわゆる「遅れのある変数」（lagged variable）であり，われわれは，これによって，xによるyの反応の「遅れ」（ラグ：1ag）の問題を取り扱う1）。

ところで，われわれが現実の消費行動を考察した場合においても，今期の消費水準が，前期ないし1はそれ以前の所得水準に依存して決定されることは，

極めて自然なことであり，また，そうした消費行動をひとつの学習プロセスと考えるならぼ，それは常に，現在および過去のデータに依存しており，その結果形成される「基準」（standard）が，行動決定の重要な因子となるのは

注1）これらの推定等の問題は，計量経済学の分野においては，いわゆる「分布ラグ」の問題として扱われている。Pindyk， R． s and D． L． Rubinfeld， Eooηo〃￠6師6 Models

and Econometric MethodS， McGraw‑Hill，1981， pp．230‑236．あるいは， Johnston，

J．，Econometric MethodS， McGraw・Hill，1972， pp．292‑321等を参照。

21

徳山大学論叢第25号

明らかである2）。以下においては，このような経済現象におけるさまざまなラグについて，その経済的意義を考慮しながら類型化を行うとともに，上記（2）式の具体化という方向で統計的モデルとしての定式化の問題を取り上げる3）。

II経済的類型
さて，上の消費（者）行動においてもみられるように，過去の経験から形成される「基準」が，現在ないし将来にわたって，「慣性」効果あるいは「履歴」現象として作用し，これが反応の遅れを説明する一種の行動原理にもなっているが，一般に，経済変量間の反応に遅れが生起する要因は，次の3種類に大別できる4）。

a 技術的要因
財の生産過程などで生じるもの。たとえば，新製品の研究開発投資を行ってから，それらが実現し，実際に生産力が上昇するまでの期間において，い
くつかの段階にわたるラグが発生する5）。

b 制度的要因
財政政策や金融政策等が施行される際にガ各種の行政機関等を経由するた
2）いわゆる「消費関数論争」においても，デューゼンベリーの相対所得仮説中での「習慣形成効果」等に，ラグ効果が直接間接利用されている。たとえば，蓑谷千鳳彦『計量経済学』，東洋経済新報社，1983年，129〜148ページ等。
3）消費，投資，需要等の定式化をまとめたものとしては，たとえば，Chow， G． C．，
Econometn'cs， McGraw・Hill，1983， pp．126‑151等。

4）この分類区分等は，Gupta， Y． P．， Statistical Estimation of Linear Economic
RelationshiPs， Rotterdam University Press，1971， pp．17‑20に従った。

5）Grilichesは，さらに，これを3段階のラグに区分している。第1段階のラグは，資金が投資されてから，意図した発明が実現されるまでの間に生じる。第2段階のラグ
は，この発明されたアイデアや工夫が経済（商業）ベースに乗るまでの発展過程で，また，第3段階のラグは，開発され，経済ベースに乗った機械設備等が古いものに取って代わる普及過程で生じる。Griliches， Z．，

Distributed Lags：A Survey

Econbmetrica， Vol． 35， N o． 1 （January 1967）， pp． 16‑20．

22，

1986年6月 若井血忌：経済ラグの類型とモデル化について

め，最終機関を経て実行されるまでに，ラグが発生する。企業組織等についても，その機構や環境が大きく，複雑であれば，それだけラグの発生可能性
が大きくなる。

c 心理的要因
個人ま牽は経済主体等に付随する習慣（habit），慣習（custom），慣性（inertia）

および市場に対する不完全な知識等によって，経済行為の効果（ないし反応）出現までにラグが発生する。

経済諸変量問に反応の遅れが生起する要因は，一応，以上のように大別できるが，現実のラグは，これらの要因の複合した形で発生するものと考えられる6）。

さて，われわれは，このような経済ラグ（経済反応の遅れ）の分析を進めていくために，それらを具体的な経済関係式に定式化しなければならない。
こうしたラグ関係が定式化（関数化）されたものを，一般に分布ラグ・モデ
ルと呼んでいる7）。以下では，経済学的意義をもつもっとも基本的な分布ラグ・モデルについて，一応，4つのタイプに類別することとする。

1 ． adaptive expectations model

予想価格（P，＋r）は，その増分（△P'）が，前期の実現価格（P，）と予想価格（Pわの差に比例するような形で決定されるものと想定すれぼ，AP，＝P （P，一P，） ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…（3）なる定式化ができる。ただし，比例定数βについては，

6）Koyckは，（1）および（2）を客観的要因，（3）を主観的要因と規定している。 Koyck， L．
M：， Distributed Lags and lnvestment Analysis， Amsterdam ： North‑Holland Publi‑
shing Co．，1954， pp．5‑9。参照。

7）いわゆる「分布ラグ」は，遅れをもつ各変量の係数が，時間の上で分布することに由来する。

一 23 一

徳山大学論叢
0＜β〈1

第25号

………・・…・…・・…………・……・……………・・……（4）を仮定する。このラグ付き価格決定の基本形は，Caganによって提案されたもので，adaptive expectations modelと称されている8）。
定差方程式である（3）式を予想価格について解くと，

ね
P，＋r＝βΣ（1一β）iP＿i………・…・…・………・……・……・…（5）f＝0となり，予想価格は，過去の実現価格の系列で説明されることになる。
ここで，さらに，予想価格を説明変数とすることによって，
y，＝αPt・・……………・・…………・……・・…・……………・……（6）なる供給関数を作ることができる。ただし，αは比例定数である。yは，財の供給量が，生産者の予想市場価格に依存して決定されることを陽表的に示したものであり，（5）式を（6）式に代入すれば，のy，＋・＝αβΣ（1一β）iPt‑i…………………………・…・…・．…（7）ピ＝0となり，結局，生産者サイドで決定する財の供給量は，過去の価格データの加重平均に比例することになる9）。

8 ） Cagan， P．，

The Monetary Dynamics of Hyper lnflations， in M． Friedman， ed．，

Stndies in the Ouantily Theory of Mone），． Chjcago ： University of Chicago Press，
1956， pp． 37‑47．

9）Caganは，物価に関して，予想される変化率が，現実変化率と予想された変化率の差に比例して修正されるとし，これを微分形で示している。すなわち，（一！：／lll一' ）tL＝／B （nrt‑zt'）

'

'

'

'

''''

'一一・・・・・・・・…一・・・・・・・・・・・・・…一…（8）となり，ここで，Pを物価とすれば，物価の現実変化率πは，@一E！一1／？fgl‑ogP ＝一ll一 ・…一………・一・一一・…・・・・・・…一・・・…．・・…一……・・・・・・……・・・・・・・・・…（g）．＝＝であり，π＊はπの予想水準である。（8）式は定差方程式（4）式に対応している。

一 24 一1986年6月 若井具宜：経済ラグの類型とモデル化について

2 partial adjustment model

経済変量ytの望まれる，あるいは最適な量y t＊を，他の経済変量．Xtの線型関数として，Yt＝＝axt ''

・・

・

'

・

'''''''''

・・・・・・…'・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…（10）と表わすものとする。ただし，αは比例定数である。
いま，ここで，夕詳を今期におけるある産業の望まれる労働雇用量とする。
もし，このかと前期における実現雇用量．y't一、とのギャップがかなりの大きさをもっていれば，種々の制度的要因のために，望まれる水準への調整は，即時的には完了せず，一定の時間的経過を必要とする。したがって，単位期間内においては，望まれる雇用量への調整は，部分的にのみ達成されると考えるのが妥当であり，これを定式化すれば，△y・、一、＝γ（ホ．yt一．Y t一 1）一………………・…・……………・…・・（ll）となる。ただし，△y，一、は前期から今期までの実現雇用調整量（純増分）を示
し，γは定数で，
O〈7〈1 ・・一一…一・・一・一・一・一・・・・・・・…一・・・・…一…一一・・…一・一・（12）である。
（10）式と（11）式から，yt＝ （1

7） Yt‑i十a7 x，・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…（13）が得られる。分布ラグのこの形のモデルは，Nerloveの提案によるものである10）。

10） Nerlove， M．，

Commodities

Estimates of the Elasticities of Supply of Selected Agricultural，ノburnal（of Farm Economics， No．38，1956．に代えて， Griliches， Z．，

oP． cit．， pp．17‑18を参照した。

一25一

徳山大学論叢第25号

3 dynamic demand paodel
動態において，相対価格を不変と仮定すれば，代替効果はゼロであるから，価格を落とした需要関数を線型で，
XJ't＝ ao ＋aiYt＋ a2 lt

'

''

'

'

・''

・・

''''''''''（i4）と設定できる。ここで，Xtはt期におけるある財に対する需要量， y，はt期の実質所得を示し，α。，α1，α2は定数である。また，1は，
Al，一， ＝P， 1，一，＋P， 一X ， ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…（15）なる関数を有し，「習慣継続現象」を表わす観測不可能な変量である。ただし，燭，β1は定数を示す。

（15）式は，Zの変化が，1の（前期の）大きさに比例する消散成分（dissipation
component）B。 lt一ユと，現行消費量（需要量）に比例する増大成分（accretion

component）B，．x，OD和となることを意味しており，通常， p。〈0，β1＝1が仮定される。（15）式より1，を解き，（14）式に代入すれば，Xt， ytに関する分布ラグ・モデルが得られる。このモデルは，HouthakkerとTaylorの提案によるものである11）。

4 g'eometrically declining model

Koyckは，経済反応の遅れを次式のように具体化している12）。
y，＝αXt＋αβ X，一 i＋αβ2X t．2＋……
セ＝αΣβf娩＿ご………………・……………・・…・・……………・・（16）i＝o ．

ただし，α，βは定数で，特にβについて，

11） Houthakker， H． S． and L． D． Taylor， Consumer Demand in the United States，
1929‑1970， Harvard Unive'i sity Press， 1966， pp． 2‑15．
12） Koyck， L． M．， oP． cit．， pp． 10‑16．

一26一

1986年6月 若井品品：経済ラグの類型とモデル化について

OS6〈1 一・・一・一一・一・・・・・・・・・・・・・・・・…一・一・・…一…一・・一・一一・一・（17）なる制約条件が課される13）。㈹式は，原因現象x．の結果現象．yにおよぼす影

響力が，過去に回るほど幾何数列的に減少していくことを示している。いいかえれば，原因現象Xは，将来に向かって，その影響力を幾何数：列的に減少させながら，結果現象に作用する。
（16）式から，直ちに，．Y'，＝cux，＋1（3 y，一， ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…（18）を得る14）。

このモデルは，観測可能な変量のみを当初から使用している点で，上の3モデルとは異なっており，実用性に長じている。

III ラグ構造の特性以下で取り扱う分布ラグ・モデルを，説明変数Ct， Xt‑1， Xt‑2，……に関する次の線型関数に限定する。
．yt＝i（3。 Xt＋18， t，一1＋庫κオー2十●・・

めBi Xt＿i…・…・……・…………・……・・……………・…・・…（19）＝Σ
f＝0
ここで，係数：β1，焼，'■・・の集合，

諄｛β、；i‑o，・，2，…｝…………一……・・………（20）をラグ構造（lag structure），また，その個々の要素，

β，∈β，i＝0，1，2，・… ……・…………………………（21）13）後述のように，これは収束（安定）条件である。

14）この結果はreduction procedureによっても，また，定差式を解くことによっても導かれる。Griliches， Z．， op． cit．， p．17。参照。

一 27 一

徳山大学論叢

第25号

を，ラグ係数（lag coefficient）と呼ぶこととし，特に，ラグ係数については次の条件を付すこととする。

〔条件1〕 βゴキ0，i≧1 なるiが少なくともひとつは存在する。
〔条件2〕 β痔0 なるB，はすべて同じ符号である。

この条件下で，β庁0，i＞んなるkが存在するとき，そのラグ構造をもつモデルを有限分布ラグ・モデル，しからざるモデルを無限分布ラグ・モデルという。また，⑲式右辺で定義される関数を分布ラグ関数（distributed lag func‑tion）という15）。

さて，ここで。。 def一∞＜Σβf＝δ＜∞……………・・…・……………………………（22）i＝oと仮定すれば，

w，一一21一 pi・ i ＝ 9・1・2・・………………………・…（23）なる変換が可能であり，（19）式は，
ツご＝δ（zρoXt十z｛ノ1κt＿1十w2 Xt＿2十・・●）・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…（24）と書き直すことができる。上記の変換によって，
の

ΣWi＝1

た

0＜Wi〈1， i＝0， 1， 2，● ・ ● ・・・・… 。。・。。・・・・・・・・・・・・… （25）が成立する。このような勧の集合，

漣伽；i‑0，1，2，…｝……………・…………・…（26）を標準化ラグ構造（normalized lag structure），その要素，

Wi∈w，

i＝0，1，2，。… …………・…・………・…（27）15）この辺りの定義等については，Ibid．， pp．16‑20等参照。

一28一

1986年6月 若井具宜：経済ラグの類型とモデル化についてを標準化ラグ係数（normalized lag coefficient）という。また，㈱式において，ωは無限実数列で定義されており，（25）式成立の必要条件は，
lim wi＝O ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…（28）i'coが成立することである16）。

いま，Zが， i＝0，1，2，…

を実現値とし，それらの確率が，それぞれ，Pr ｛Z＝i｝＝wi， i＝O， 1， 2，…

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…（30）なる離散確率変数と定義すれば，標準化ラグ構造は，ひとつの確率分布に対応することになる。この対応によって，ラグ構造の分析に，すでに開発された確率分布の諸概念を導入することが可能となる。
さて，ここで，ラグ・オペレーター（lag operator）と呼ばれる演算子Lを，Lh x，al＝efx，一，， k＝O， 1， 2， ． ． ． ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…（31）と定義すれば，⑲式は，Y，＝ （P，＋P，L＋P，L2＋．．．） x｝

deftB（L） X，
：6 （ W，十 W，L十 W，L2十． ． ．） x，
a＝ef6 W（L） x， ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…一・…（32）と書き直される17）。ここで，B（L）， W（五）は，それぞれ，系列βおよび
16）これは，（22）式の条件のもとで，βf∈βについて，
lim 6，一一 O 一一一・一・一・一一・・…一・一一・一・一・・一一・…・一・・一一・一一・一一・一・一一・・一一・一・・一…一・（29）i一' caが成立することをその必要条件とし，Xのyへの影響力が，時間の経過とともに，ゼロまで減少することを示している。
17）ラグ・オペレーターLは，時間を潮るオペレーター（backward shift operator）であるが，（次頁脚注へ続く）

一29一

第25号

徳山大学論叢系列ωのラグ母関数（lag generating function）と呼ばれ，特に， W（L）
は，（30）式で定義された確率との関係で，確率母関数（probability generating
function）とみなすことができる18）。

このように，系列Wとそのラグ母関数W（L）との関係は，そのまま，確率変数の密度関数と確率母関数との関係に対応する。かかる意味において，標準化ラグ構造の示す分布は，ラグ分布と称し得るのである。このラグ分布と確率分布の対応関係を用いて，次節における統計的類型や定式化を行う。

確率母関数あるいはラグ母関数を用いることによって，ラグ分布ないしラグ構造の諸特性を明らかにすることができる。まず，平均ラグ（mean Iag）は，
E（θ）努伽両脚）・…：・・……・………・…・………………・・（39）ごEO
で定義される19》。ただし，Fk x，de＝（x，．，， fe＝O， 1， 2，． ． ． ・一・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…一・（33）なるオペレ「ター（forward shift operator）Fを定義サることもできる。ラグ・オペ
レーターしとの間には，
F＝L‑i ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…1・・・・・・・・・・…t…i，・・・・・・・・・・・・・・・・・・…（M）

なる関係が成立する。Griliches， Z．， Ibid．， p．21等を参照。

18）一般に，Xを確率変数， tを実変数とするとき，母関数（generating function）または階乗積率母関数は，
Gx （t）de＝iE （tx） ・一・…一…一・・・・・…一・・・・・・・・・・・・・・…

・・

'

'''''

'''

'

''''

（35）

で定義される。Xが，
xde＝i（x， ； i＝o， 1， 2，． ． ．］ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…（36）なる離散変数であり，その確率が，
f （Xi）de?Pr ｛X＝＝Xi｝ ''''''''''''''

'

''''

'

'''''

；'''''''''''''（37）で定義される度数関数f（X）を有するとき，母関数は，
Gx （t ）＝2 t xif （x ，） ・・・・・・・・・・・・・・・・・…一・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…一・・・・・・・・・・・・・・…（38）

i＝o
となる。
19）ここで，dVV （L）

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…（40）VV' （L）＝dL（次頁脚注へ続く）

一30一

1986年6月 若井具宜：経済ラグの類型とモデル化について
ロ
W（1）＝ΣWi・………・・……・…・・…・…・………・…・……・…・……・（43）i＝ oね
B（1）＝Σβ，＝δ……………・・………・……・…・………………・…（44）i＝oに留意すれば，（32）式より，．B（L）。●・・。・。・・●。・。・。。。・・。…
。・・・・… 。・・・・・・・・・・・・・・・… ●・・●・・（45）
w（L）＝

B（1）

なる関係力『成立するから，平均ラグは次式で表わすことができる。
E（θ）一器………∴………・…・………・……・…・……・……・・㈲次に，ラグ分布の分散は，
Var（θ）璽脚）＋例・）一〔W・（1）〕2……………・・…………・…㈲と定義され20），㈲式を利用すれば，
1
セある。また，ti t Gx （t）＝＝E （st／tX ）＝E （xt（x'i）） …一・一…・一・・一・……・…・…一一・：・一gDであるから，t＝1とおけば，
Gx'（1）＝E （X） '''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''（42）が成立する。

d220） Gx （t） ＝E （X （X‑1） t｛X'2'） …・一・一…・・・・……・一一一・・・……・・一（47'）

dt2であるから，
Gx（1）＝E （X （X‑1））＝E （X2）一E （X） ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…（47r'）となり，したがって，
Var （X） ＝E （X2）一 ｛E （X）｝2＝G

x（1）十G'x（1）一 ｛G'x（1）｝2 ・・・・・・・・・・・・・・…一・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…（4s）tが成立する。なお，一般に，（次頁脚注へ続く）

一31一

徳山大学論叢

第25号

Var（θ）一器）＋号8一［器〕2…・・……一i一……・・……・（50）とも表わすことができる。
ところで，

めy，＝〔Σβ，Li）Xt
ゴ需0
＝B（L）

tt・・・・・・・・・・… ●・… 。。●・・… 。●・・… ●・・●・・●・・・… ●・・…

●・・●●・●・…

●（51）にお'いて，ラグ母関数B（L）がしの有理関数であれば，B（L）一ヂ1ぢ・・………・・…・……………・…・…・……………・・（52）と表わされる。ただし，σ（L），V（L）は，σ（五）＝Σ UiLi， m＜∞ …………・…………………・………（53）i＝ ov（五）＝2'Vi、乙i， n〈∞ ……・………・…・……・・……………（1④i＝ o'なる多項式で表わされるしの関数である。（51）式のような関数を有理分布ラグ関数（rational distributed lag function）と呼んでいる21）。（51）式は（52）式によ'り，

V（L）タォ・＝σ（L）Xt……・………・…・…………・…一…・…・…∴（55）と変換され，有限個のyt‑i，κ婦を含む方程式となる。たとえぼ， II．「4のgeometrically declining model，dk
Gx （t）＝G｛k）x （t）

dtk＝E ［（ ig．：（X‑i）｝ t （X‑h｝］ ・・・・・・・・…一・・・・・・・・・…一・・・・・・・・・・…一・（49）であり，t＝1とおけば， Xのk二階乗積率が得られる。
21） Jorgenson， D． W．，

Rational Distributed Lag Functions

No，1（January 1966）， pp．135‑139参照。

一 32 一， Econometn'ca， Vol． 32，

1986年6月 若井具宜：経済ラグの類型とモデル化について

め
ツt＝α〔Σβjしつxご
i＝0

1
＝α'

P一βLXt@ （56）
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…

においては，
U（L）＝a '''''''''''''''''''''''''''''''

・

''''

（57）

V（L） ＝＝ 1‑PL ・…一・・…一一・・・・・・・・・・・…一・・・・・・…一・・一・・・・・・・… 一（58）であるから，有理分布ラグ関数として，（55）式に対応する変換，（ 1

一βL乙） ニソt＝αxt'。…

。・・・・・・・・・・・・・・… 。… 。・・。。。。。・・●。・… 。・・・…

●…

（59）

が得られる22）。

一方，分布ラグ・モデルは，従属変数（ここでは夕1）に関する一種の三差方程式ともみなすことができ，動態モデルとして，その体系が安定であることが要求される場合もある。一般に，線型定差方程式が安定であるための必要十分条件は，その特性根の絶対値がすべて1回目小なることである。上記の，geometrically declining modelでは，
1 ，（3 1 〈 1 ・・・・…一・一・・…一・・・・・・・・・・・・・・・・・・・………・・・・・・・・・・・…一・…（60）が体系の安定条件となる。

以下の定式化等の展開のために，上で述べた基本的仮定および制約条件を整理しておくと，次のようになる。
a）非負性の仮定（本節〔条件1〕および〔条件2〕のもとで（25）式が成立すること）。

b）収束性の仮定（（22）式のもとで㈱式が成立すること）。
22）前節では，側式相当式を導出するために，reduction procedure等が施されたが，こ

こでは，ラグ・オペレーターによる変換を通して，極めて簡単に，同式を導出できる点に留意すべきである。ただし，この場合，σ（L）はラグ・オペレーターしのゼロ
次式，V（L）は同じく1次式表現となっている。

一33一

第25号

徳山大学論叢。）安定条件23）。

IV 定式化の類型

経済理論的分析は，すでに定義した精密分布ラグ・モデル（exact distributed
lag model），

y，＊＝6W（L） X， ・・・…一・一・一…一・一一一…一・一・…・一一・・・・・・・…一・（61）で行われることが多い。ただし，
W（五）＝w。＋ wiL＋ψ，L2＋…

……・…・………・・………・（62）W（1）＝1 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…（63）である。しかし，実証分析ないし計測の問題においては，㈹式の右辺に撹乱
項z・tlを追加した確率分布ラグ・モデル（stochastic distributed lag model），
yt＝ vt＊十 ut＝＝δ レ多／ （1二，） xt一十一 z4t ●●・・…

●・・・・・・…

。・・。・・・・・…

●。・・・・…

●・●。…

。匿・・・…

（64）を必要とする。（M）式において，ytはt期における従属変数の実測値，タノはそのsystematic part， u tはそのnon‑systematic partである24）。

さて，われわれは，ラグ分布に各種の統計的分布を仮定し，W（L）にラグ母関数を具体化することによって，モデルの定式化を進めることができる。

以下では，ラグ分布に，幾何分布とパスカル分布を想定し，特に前者については，撹乱項の設定によって，さらに細分化しながら定式化の問題を考えていく。

23）（59）式は，1階線型定差方程式であるが，2階以上の線型定差方程式では，安定条件の外に実根条件も要求される。Griliches， Z．，（〜ρ． cit．， pp．23‑32．等参照。

24）本論においては，撹乱項に関して，その分布は想定せず，モデルの変換によって生ずる結果のみを問題にする。

一34一

1986年6月 若井六出：経済ラグの類型とモデル化について

1 幾何分布を仮定した場合
ラグ分布に幾何分布（geometric distribution）を仮定するとき，その度数関数は次式のようになる。
プ（の＝ （1一β）β∫，i＝0， 1， 2，…

…・…………・（65）ただし，βについては，
0＿≦ge＜1…

。…

。・・・・・・・・・…

。・・・・…

．・・・・・・…

。・…

。。・・・・…

。・●●・．●・r・・…

（66）である。これよりラグ母関数は，
め
W（L）＝Σ（1一β）βiLi
i＝o

一一罎一………・……・一……………・…………佃
となる。これを，（61）式に代入し，

め
y，＝〔ΣβiLi〕xt＋Ut
i＝o
一α1竜x・＋・zat…・……・・…………・……・……………・（68）なる分布ラグ・モデルを設定できる。ただし，この式で，
α＝δ（1一β）…・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… …・・・・・・…（69）とした。このモデルは，IIですでに述べたgeometrically declining modelに撹乱項を付加したものである。

そこで，㈹式から平均ラグを求めると，
E（θ）一青…・………………………・…・…・……………・（7①であり，また，ラグ分布の分散は，Var（0）＝m（i‑ztilAi｝m一一p）2 ・・'・'・'''

mm''''''

35

'''''

'm''''

m'（7D

徳山大学論叢第25号となる。このラグ分布は，反応が時間の経過と．ともに幾何数列的に衰退していくところに特徴をもっており，経済反応のみならず，多くの自然現象や社会現象に広く当てはまる。しかしながら，経済現象において，長期のラグ要因などが存在するときには，反応の最大点が初期時点に現出するとは限らず，その場合には1適合はよくない25）。

ところで，IIで展開したadaptive expectations modelとpartial adjust‑ment mode1は， geometrically declining modelすなわちy．本節で展開しているこの幾何分布を仮定したタイプに誘導できる。まず，adaptive expectations
modelは，（5）式を（6）式に代入し，撹乱項Utを付加すると，

め
乳＝αβΣ（1一β）iPt＿
i＿、＋ui・…・………………………………（72）f諸0となる。上式のαβ，（1一β）をそれぞれ，㈹式のα，βに読み代えれば，
geometrica11y declining mode1と一致することを確かめることができる26）。・
また，partial adjustment modelについては，（10）式に撹乱項utを付加し，（11＞式に代入す．れば，

物＝αγ Xt十（1一γ）．y ，＿1十γUt ・……………・……・…………・（74＞となり，αγ，（1一γ）をそれぞれα，βと読み代えることにより，（1一βL）y＝αXt十（1一β）ut…・……・………・…・………・…（75）または，y・一α、呈ダ・＋＋老一勿・…・7・……・・……………個を得る。このモデルは，geometribally declining modelになっているものの，
25）特に，四半期別や月別の時系列データを使用するときに，この短所が問題にされる。
26）その場合，
ニソt＝αΣβガXt＿i＿1十ut'…・…・………………・…………・………・…・………・・…・・…（73）のゴ塁qとなり，形式的には，即時的反応κ、が生起しないモデルとなっている。

一36一

1986年6月 若井具宜：経済ラグの類型とモデル化について

鮒式と比較したとき，systematic partは全く同一であるが，撹乱項に相違のあることに留意しておく必要がある27）。

そこで，このような撹乱項の差異によって，幾何分布を仮定した場合の統計的定式化は，次の3種類に区分できる。

a Koyckのモデル
ニyt＝ακt＋β夕ご一1＋Ut一β u．t一 1'●'●'''''''''

●''

●●''

●

●'．◆●

…・（78＞

ただし，撹乱項Utは，
ut＝ p ut‑i十et

''''

''''

''''''''''''''''''''

・一一・・・・…（79）1 p 1 〈 i ・・…一・…・・・・・・・・・・・…'・一・・・・・・・・・・・・・…一・一一・・・・・…一・…・・（so）

であり，etは自己回帰を示さない，時間に関して独立な確率変数である。㈹式は，本節の原型㈹式と同一であり，これをKoyckのモデルと呼ぶことにする28）。

b Grilichesのモデル
Y，＝： af x't＋IB Y，一，＋ u・， ''''

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…（81）

Grilichesは，撹乱項を上のように簡略化しており，partial adjustment model（75）式がこの型に属する。（8D式をGrilichesのモデルと呼ぶことにする29）。
27）㈹式を変形すると，
Y，＝＝a x，＋P Y ，一，＋u，一B u ，一， ・・・・・・・・・・・・・・・・…一一・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…（77）となり，推定モデルとしては，通常，これを用いる。㈲式と比較して，（77）式の撹乱項（iU't一β〃凹）は自己回帰型である点が異なっている。
28）Koyck， L． M．， op． cit．． pp．5‑9．においては，（68）式にreduction procedureを施す

ことによって，（78）式を導出している。なお，（79）式は，撹乱項Utに1階のマルコフ過程を仮定したものであり，推定問題において重要性を有している。
29）（81）式は変形すると，

1 ，
1Yiatt．
L xt＋tt．
L Ut（次頁脚注へ続く）

一37一

徳山大学論叢第25号。 Dhrymesのモデル
Yt＝＝axt＋iByt‑i＋et‑i（3etmi '

'

・'・'

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…（83）または，ロ：ソt＝αΣβ枕ご＿ガ＋et'………・・…・…………・…・・………………・・（84）i＝ oDhrymesは， Koyckのモデル㈹式のutの代わりに，上式のような撹乱項を設定している。これをDhrymesのモデルと呼ぶことにする30。
分布ラグ・モデルの推定問題においては，これら3種類が目的に応じて使い分けられているが，いずれにしても，ラグ構造に幾何分布を仮定したタイプがもっとも多く用いられている。その理由は，

a）ラグ分布が多くの経済現象において広く妥当することb）変形が容易であり，推定すべきパラメーターが少ないこと等である。

2 パスカル分布を仮定した場合 「
幾何分布を仮定した場合の短所は，反応の最大点が初期時点に出現することであった。この点を修正するために，Solowは，ラグ分布にパスカル分布（pascal distribution）を仮定した31）。パスカル分布の度数関数は，
f（i）＝ （ ）i＋li'1）（1一，a．）rAi， i＝o， 1， 2， ・ ・ ・ ・・・…（85）であり，ここで，λについては，＝ tu2 ，Bx t‑i十 2． ，6iu t‑i ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…（82）i＝o i＝oとなり，撹乱項は無限多項式となる。このモデルは，推定式の撹乱項を単純化する目的をもったものである。
30） Dhrymes， P． J．， Distn'buted Lags ； Problems of Estimation and Eormorlation， San
Francisco ： Holden‑day lnc．， 1971， pp． 13‑18．
31） Solow， R． M．，

On a Family of Lag Distributions

2 （April 1960）， pp． 393‑399．

38 一， Econometrica ， Vol． 28， No．

1986年6月 若井具宜：経済ラグの類型とモデル化について

O 〈1〈 1 …一・・・・・… 一・・・・・・・・・・・・・・・・・・・……・・・……・・・・・・・・・・・・・・…（86）なる制約が付されている。ラグ母関数を求めると，
w（L） ＝＝ t9．，［（ i 一A）r （ 7＋ il一 i） AiLi］＝一，！1‑ltL＝，i1，．一L．）．r ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…'・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…（87）（1一λ五）「となる32）。これにより，パスカル分布を仮定したモデル，
y，＝ （s一（gitl！z lillzi1sl‑iiAAL'）r， ．x，＋u，・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…（sg）

を設定できる。
（87）式から，平均ラグは，E（0）?i？｛liflili‑lirA ''''''''''''''''''''''''''''''''''''

・・・・・・・・・・・・・…（90）となり，ラグ分布の分散は，Var（0）＝ 一（一it2Zli‑」［'lili yA）2 ''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''

m

（91）

となる。

ここで，γ＝1ならば，パスカル分布は，幾何分布に一致するから，上の幾

何分布を仮定したモデルは，このパスカル分布を仮定したモデルの特殊な場
合とみることもできる。しかし，γが2以上の整数をとりながら大きくなるに
つれて，ラグ分布は次第に異なってくる。これを第1図に示した。すなわち，γが2以上のとき，反応の最大点は，反応開始の初期時点ではなく，そのしば
32）（1‑x）一「をx＝0の近傍でテイラー展開すれば，（i‑x）一r＝，2i （）'＋ i． 一 i） xi ．

．．．
i88）
・・

となる。（87）式は形式的展開式を利用している。

一39一

第25号

徳山大学論叢
ノ（θ）

1一 A

r＝1

r＝3

！

kl 1．r＝2（1‑z）2（1一 a）3

se13 14 15
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 IG 11 12
'（ラグ）
第1図
らく後に出現する。つまり，ラグ分布が正の偏りを示しており，反応は，その一部のみが即時に出現し，次第に増大しながらピークに達し，やがて，無限の将来に向かって衰退していくパターンを示す。通常，'

V＝2または3のモデルが利用されるが，パラメータがやや多いのが難点である。

V おわりに上で述べた場合のほかにも，ラグ分布に何らかの統計的分布を仮定することによって，各種の定式化を行うことができる。たとえば，Grilichesは一様分布を仮定することによって，
yt＝：t

一，i‑Ni xt‑i＋u，・'''''''''''''''''''

'

'；

（g2）

なるタイプを提示しており，これは，もっとも単純なモデルである33）。
33）このモデルの推定に際しては，Xtの系列において，いくつかの長さの異なる移動平均を計算し，そのうち，もっとも適合度の高い長さを選べばよい。Griliches， Z．， op． cit．，
p： 25．

一40一

1986年6月 若井高宜：経済ラグの類型とモデル化について

また，Jorgensonは，ラグ分布を特定しない一般的な推定モデル，．y ，＝Σ Pi x，＿i十 za t……・・……………・…………………・…・…・・（93）i＝oを提示している34）。ただし，P，は定数である。このモデルは，ラグ係数に制約がなく，一一般的な適用可能性を備えている反面，変形が困難であることや，推定に際してパラメーターが多すぎる点に問題をもっている。

以上，経済現象に現われるラグの類型とモデル化について議論を整理してきた。しかしながら，統計モデルとしての定式化については，推定問題からのフィード・バックも必要であり，そうした情報も含めて，モデルの統計的判定を行わなけれぼならない。この問題は，ほとんど未解決の分野である。

34） Jorgenson， D． W．， op． cit．， pp． 135‑137．

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