数理解析研究所講究録 1246 巻 2002 年 1-5

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An Equilibrium Point of the Fractional Metagame
秋田県立大学
秋田県立大学
秋田県立大学1.

経営システム工学科
経営システム工学科
経営システム工学科

寛 ( YUTAKA KIMURA ) *満博 ( MITSUHIRO HOSHINO ) \dag er
弓雄 ( YUMIO YATO) \d ag er

木村
星野矢戸

Introduction

制約付き分数形非協力$n$人ゲームを次の集合(MGP)(1.1)$(N, X, f_{i},g_{i}, G^{i}, S^{i})$で与える. ここで,(i) $N:=\{1,2, \cdots, n\}$ をプレイヤーの集合とし, 番目のプレイヤーを $i=1,2,$表す.
$i$(ii) $E$ をバナッハ空間とし, 各々のプレイヤー $i\in N$ は戦略集合を選び, また $X:=\Pi_{i=1}^{n}X_{i}$ とおき, $X\ni x=(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})$ で
これを多価戦略 (multistrategies) と呼ぶ.

$X_{i}\subset E$(iii) 任意のし,$i$に対して, 関数$R_{+}=(0, +\infty)$(iv) 各 $i\in N$ に対して,$f_{i},$$g_{i}$を: $Xarrow R_{+}\cup\{0\},$$f_{i}$$g_{i}$$n$$\cdots,$ $n$から戦略で$x_{i}$人の戦略を表し,: $Xarrow R_{+}$ で与える.

ただ.
$X$から $R_{+}\cup\{0\}$ への関数

$G^{i}$を$G^{i}:=Lg\dot{.}.\cdot$と定義し, 関数$G^{\dot{\iota}}$をプレイヤー $i\in N$ の損失関数とする.

(v) 各 $i\in N$ に対して, 集合値写像とし,$S:=\Pi_{i=1}^{n}S^{i}$

Definition 1.

$\overline{x}\in X$$S^{i}$:$X^{\hat{i}}arrow 2^{X_{i}}$をプレイヤー $i\in N$ の decision rule

とおく.

がゲーム (M $GP$ ) において consistent であるとは, すべての $i\in N$に対して,(1.2)$\overline{x}_{i}\in S^{i}(\overline{x}^{\hat{i}})$

り立つことをいう. ただし, 記号はを表し, 集合はを表すものとする. っまり, consistent multistrategies の集合は集合値写$S:Xarrow2^{X}$
像の不動点の集合である.
が$\overline{x}^{\hat{i}}$$ffi^{\backslash }$$\overline{x}^{\hat{i}}=(\overline{x}_{1}, \cdots, \overline{x}_{i-1}, \overline{x}_{i+1}, \cdots, \overline{x}_{n})$$X^{\hat{i}}$$\Pi_{j\neq i}X_{j}$”$\overline{\mathrm{T}}015-0055$\dag er$\overline{\mathrm{T}}015-0055$\d ag er$\overline{\mathrm{T}}015-0055$

秋田県本荘市土谷字海老ノロ 84-4
秋田県本荘市土谷字海老ノロ 84-4
秋田県本荘市土谷字海老ノロ 84-4$\underline{\mathrm{E}}$$\underline{\mathrm{E}}$$\underline{\mathrm{E}}$yutaka\copyright akita-pu. .jp
hoshino\copyright akita-pu.
jpyato\copyright akita-pu.
jp$\mathrm{a}\mathrm{c}$$\mathrm{a}\mathrm{c}.$$\mathrm{a}\mathrm{c}.$2
次に均衡点 (social equilibrium point) の定義を与える.
がゲーム (M $GP$ ) の social equilibrium point (forshort, s.e.p.) であるとは, 任意の $i\in N$ に対して,Definition 2.

$\overline{x}=(\overline{x}_{1}, \cdots,\overline{x}_{n})\in X$$\overline{x}_{i}\in\prime S^{i}(\overline{x}^{\hat{i}})$

and

inf .

$G^{:}(\overline{x})=$(1.3)$G^{:}(y_{i}, \overline{x}^{\hat{\dot{l}}})$$\wedge$$y:\in S:(_{X}^{\neg})$が成り立つことをいう.

Main Results2.

Proposition 1. 次の (1) (2) は同値である.
(1)$\overline{x}\in X$がゲーム (M $GP$ ) の s.e.p. である.

(2) 任意の $i\in N$ において, すべての$y_{i}\in S^{i}(x.)\neg\wedge$に対して, 次が成り立つ.

(2.1)$G^{i}(\overline{x})\leq G^{:}(y:,\overline{x}^{\hat{i}})$

Proof.

(1)
次に, (2)$\Rightarrow(2)$$\Rightarrow(1)$立する. また,$(\leq)$

であることは $\inf$ の定義より明らか.
について (1.3) であることをいう. $(\geq)$ はであることは, 仮定 (2.1) はすべての$\overline{x}\in X$$y_{i}\in S^{:}(x.)\neg\wedge$

よりの定義より成$\inf$で成立しているので,$G^{i}(\overline{x})\leq$$\inf_{\wedge,y:\in S(x)\neg}.\cdot.G^{i}(y:,\overline{X}^{\hat{\dot{l}}})$

が得られる. よって, 以上より (1.3) であることがいえ, (i) であることが示された.

各 $i\in N$ において, 関数$\varphi_{i}$: $X\cross Xarrow R$ をつぎで定義する.

$\varphi_{i}(x, y):=f_{i}(x)g_{i}(y_{i}, x^{\hat{\dot{l}}})-g:(x)f_{\dot{l}}(y:, x.\cdot)\wedge$

更に,$\varphi$

口$\forall(x, y)\in X\cross X$

.

(2.2)

: $X\cross Xarrow R$ をつぎで定義する.
$\varphi(x, y):=.\sum_{|=1}^{n}\varphi:(x,y)$$\forall(x, y)\in X\cross X$

.

(2.3)

Proposition 2. 次の (1) (2) は同値である.
(1)$\overline{x}\in X$

がゲーム (M $GP$ ) の s.e.p. である.

(2) 任意の $y\in X$ [こ対して,Proof.

$\varphi(\overline{x}, y)\leq 0$であることは,(1)
Proposition 1. から,$\Rightarrow(2)$$\forall i\in N,$.

$\overline{x}\in X$$y_{i}\in S^{i}(\overline{x}^{\hat{i}})$がゲーム (M $GP$ ) の s.e.p. であることより,

で$G^{i}(\overline{x})\leq G^{i}(y:, \overline{x}^{\hat{i}})$3が成り立つ. よって,

.

(2.4)

$\varphi_{i}(\overline{x}, y)=f_{i}(\overline{x})g_{i}(y_{i}, \overline{x}^{\hat{i}})-g_{i}(\overline{x})f_{i}(y_{i}, \overline{x}^{\hat{i}})\leq 0$

この(2.4) はすべての $i\in N$ で成立するので,(2.5)$\varphi(\overline{x}, y)=\sum_{i=1}^{n}\varphi_{i}(\overline{x}, y)\leq 0$である.

次に, (2)であることは, 任意の $i\in N$ を固定し,であることより,$\Rightarrow(1)$$\varphi(\overline{x}, y)\leq 0$$y=(y_{i}, \overline{x}^{\hat{i}})$

今,をとる.

(2.6)$\varphi_{i}(\overline{x}, y)+\sum_{j\neq i}\varphi_{j}(\overline{x}, y)\leq 0$を得る. ここで,$=$$\sum_{j\neq i}\varphi_{j}(\overline{x}, y)$$=$$\sum_{j\neq i}(f_{j}(\overline{x})g_{j}(y_{j}, \overline{x}^{\hat{j}})-g_{j}(\overline{x})f_{j}(y_{j}, \overline{x}^{\hat{j}}))$$\sum_{j\neq i}(f_{j}(\overline{x})g_{j}(\overline{x_{j}}, \overline{x}^{\hat{j}})-g_{j}(\overline{x})f_{j}(\overline{x_{j}}, \overline{x}^{\hat{j}}))$(今 $j\neq i$ より,$-x=(\overline{x_{j}},\overline{x}^{\hat{j}})=(y_{j},$$\overline{x}^{\hat{j}})$)$=$$\sum_{j\neq i}(f_{j}(\overline{x})g_{j}(\overline{x})-g_{j}(\overline{x})f_{j}(\overline{x}))$$=$

よって, 以上より$\varphi_{i}(\overline{x}, y)\leq 0$0.

である.

$\square$をバナッハ空間とする. このとき集合値写像 $S:Xarrow 2^{Y}$ が upper
Definition 1. $X,$に対して, 関数
hemicontinuous (for short, $u.h.c.$ ) であるとは, 任意の$\mathrm{Y}$$y^{*}\in \mathrm{Y}^{*}$(2.7)$x \mapsto\sup_{y\in S(x)}\langle y^{*}, y\rangle$が上半連続関数になることである. ただし,$\mathrm{Y}^{*}$は$\mathrm{Y}$の共役空間を表す.

Lemma 1. $X$ をバナッハ空間, $K$ を $X$ のコンパクトな凸部分集合とし, $K$ から $X$ へのは $u.h.c$ . かつ任意の $x\in K$ に対して, $S(x)$ は閉凸集合かつ集合値写像と仮定する. また, 実数値関数 $\varphi:X\cross Xarrow R$ は次の条件 (1) (2) $(3)$ を満たすものとする.
$S$$S(x)\neq\emptyset$(1)$\forall y\in K$,$x\vdasharrow\varphi(x, y)$; 下半連続関数.

(2)$\forall x\in K$,$y\vdasharrow\varphi(x, y)$; 凹関数.

(3) $\sup_{y\in K}\varphi(y, y)\leq 0$ .4
更に, 集合 $M$ を次で定義し,$M$は閉集合であるとする.

$M:= \{x\in K|\sup_{y\in S(x)}\varphi(x, y)\leq 0\}$

このとき, 次を満たす$\overline{x}\in K$が存在する.
$l>\vee\supset$$\overline{x}\in S(\overline{x})$$y\in S(^{\frac{\mathrm{p}}{x}})\mathrm{s}\mathrm{u}\varphi(\overline{x}, y)\leq 0$

この Lemma 1.

Lemma 2. $X,$.

(2.8)の証明は, 参考論文 [5] を参考せよ.
$\mathrm{Y}$をバナッハ空間とし,続関数であるとする. また $f$ はるとする. このとき関数$X\cross \mathrm{Y}$$S$への集合値写像であり, 下半連への関数であるとし, 下半連続関数であは $X$ からから

$R$$\mathrm{Y}$$x- \sup_{y\in S(x)}f(x, y)$は下半連続関数である.
この Lemma 2.の証明は, 参考論文 [4] を参考せよ.
からはコンパクトな凸部分集合とし,.
はに対して,は $u.h.c$ . かつ下半連続であり, 任意のと仮定する. また, 関数: は次の条件 (1)(2) を満たすもの

Theorem 1. 各 $i\in N$ において,への集合値写像閉凸集合かつとする.

$S^{i}$$X^{\hat{i}}$$X_{:}\subset E$$x^{\hat{\dot{l}}}\in X^{1}\wedge$$S^{:}(x.\cdot)\wedge\neq\emptyset$(1) 各 $i\in N$ に対して,(2) 各 $i\in N$ に対して,このとき,$\overline{x}\in X$$f_{1}.,$$f_{i}$$g_{i}$

は $X$ 上で連続関数であり,は $X$ 上で連続関数であり,Proof.

$\overline{x}\in X$$S^{i}(x^{\hat{\dot{l}}})$$g$$X_{:}$$X_{\dot{l}}$上で凸関数である.

上で凹関数である.

が存在し, 次が成り立つ.
$\overline{x}\in S(\overline{x})$従って,$2^{\mathrm{x}_{:}}$

かつ$y\in S(^{\frac{\mathrm{p}}{x}})\mathrm{s}\mathrm{u}\varphi(\overline{x}, y)\leq 0$.

(2.9)

はゲーム (MGP) の s.e.p. である.

. もコンパクト, 凸である. ここはコンパクト, 凸よりは連続で: $X\cross Xarrow R$ を (2.3) として定義する. このとき, $\forall y\in X,$
で,$\alpha\in(0,1)$$\forall
x\in
X,$
$z\in
X,$任意のある. また,は凹関数となる. なぜなら,$y,$に対して,各 $i\in N$ で

$X= \prod_{\dot{l}=1}^{n}X_{1}$$X_{i}$$x\vdasharrow\varphi(x, y)$$\varphi$$y\mapsto t\varphi(x, y)$$\varphi_{i}(x, \alpha y+(1-\alpha)z)$$=$$\geq$.

$f_{\dot{l}}(x)g:(\alpha y:+(1-\alpha)z_{i}, x^{\dot{i}})-g_{i}(x)f_{1}.(\alpha y_{1}$ $+(1-\alpha)z:, x^{1}.)\wedge$$f_{i}(x)[\alpha g_{i}(y:, x^{\hat{i}})+(1-\alpha)g_{i}(z_{i}, x^{\hat{i}})]$$+g_{i}(x)[-f_{i}(\alpha y:+(1-\alpha)z_{i}, x^{\hat{\dot{l}}})]$$(g: : X_{\dot{\iota}}arrow R_{+}, \text{凹})$$\geq$$\alpha f_{i}(x)g:(y_{\dot{l}},x^{\hat{\dot{l}}})+(1-\alpha)f_{i}(x)g_{i}(z_{\dot{l}}, x^{\hat{i}})$$+_{\mathit{9}:}(x)[-\alpha f_{\dot{l}}(y:, x^{\hat{\dot{l}}})-(1-\alpha)f_{i}(Z:, X^{\hat{i}})]$($=$$f_{i}$: $X:arrow R_{+}$ , 凸)$\alpha[f_{\dot{l}}(x)g_{i}(y:, x^{\hat{i}})-g_{i}(x)f_{\dot{l}}(y_{i}, x^{1}.)]\wedge$$+(1-\alpha)[f_{\dot{2}}(x)g_{i}(z_{i}, x^{i})-g_{i}(x)f_{\dot{l}}(z:, x^{\hat{\dot{\iota}}})]$$=$$\alpha\varphi_{i}(x, y:)+(1-\alpha)\varphi_{i}(x, z_{i})$.

5は凹関数. したがって,よって,$y\oplus
X$ に対して,$iCN$ で任意の$\varphi_{i}(x, )$$\varphi(x, )\ovalbox{\tt\small REJECT}\sum\ovalbox{\tt\small REJECT}_{1}\varphi_{i}(x$.

$)$

も凹関数である. 更 (こ, 各$=$$f_{i}(y)g_{i}(y_{i}, y^{\hat{i}})-g_{i}(y)f_{i}(y_{i}, y^{\hat{i}})$$=$$f_{i}(y)g_{i}(y)-g_{i}(y)f_{i}(y)$–0$\varphi_{i}(y, y)$より, 任意の $y\in X$ に対して,$\varphi(y, y)=\sum_{i=1}^{n}\varphi_{i}(y, y)=0$.

また, 集合 $M$ を$M:= \{x\in X|\sup_{y\in S(x)}\varphi(x, y)\leq 0\}$で定義すると, $S,$
$M$ は閉集合である.

$\varphi(\cdot, y)$Lemma 2. から,が存在し, 次が成り立つ.

が $x\in X$ について下半連続関数であることより

よって, 以上より Lemma 1. から,かつ$\overline{x}\in S(\overline{x})$従って, Proposition 2. から, この$\overline{x}\in X$$\overline{x}\in X$$\sup_{y\in S(^{\frac{}{x}})}\varphi(\overline{x}, y)\leq 0$

はゲーム (MGP) の.

$\mathrm{s}.\mathrm{e}.\mathrm{p}$(2.10). であることがいえ示された.

口References[1] J.P.Aubin, Mathematical Methods of Game and Economic Theory, Revised Edition (North-Holland,Amsterdam 1982).

[2] J.-P. Aubin and A. Cellina, Differential Inclusion, Springer-Verlag, Grundlehren der math, (1984).
[3] J.-P. Aubin and I. Ekeland, Applied Nonlinear Analysis, AWiley-Interscience Publication, (1984).

[4]$\mathrm{J}.\mathrm{P}$. Aubin and H. Frankowska, Set-Valued Analysis, Birkh\"auser Boston, (1990).

[5] J.P.Aubin, Optima and Equilibria (Springer-Verlag, New York, 1993).

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[8] D.G.Luenberger, Optimization by Vector Space Methods (John Wiley&Sons, inc., 1969).
[9] K. Tanaka and K. Yokoyama, On -Equilibrium Point in aNoncooperative
J. Math. Anal. Appl., 160 (1991) 413-423.
$\epsilon$$n$-person Game,[10] R.T.Rockafellar, Extension of Fenchel’s duality theorem for convex functions, Duke Math. J. 33(1966) 81-89.