虹に見える漸近解析
頁島 秀行
まえがき

平成13（2001）咋12月24日14帖−16特に講演を行った「湘南現代
数学入門市民講座」の状況および内容について以Fに報焦する．

6月末に学術委員会委員の小鳥定吉氏から依頼を受け，2001年は過剰虹の発竺：l三原理を波動光学で説朋し，今日エアリー関数とよばれる積分で定義される関数を導入したエアリーの生誕200年（誕生日は1801年7月27口）に当ることもあり，「虹の数学」の話をさせていただくことにした．
以前に書いた原稿を編集してA4二段組6ページの講演要旨を作成し配イIiした．また，A4サイズの人工虹スクリーンを作成しておき配布し人工
虹を見てもらった．小島定吉氏にはこの件でも財政的援助を受けたので，ここに記し感謝の意を表しておく．

講演は，2台のパソコンを使いブロジェクターで原稿を見せながらおこなったが，虹の写莫など給を多く見せ数式はあまり入れなかった．これは受人れ易くしたかったのと，式を多く苦くと難しいE「J象を持たれる危険があると考えたからである．
参加者120名相で‥満前後の「現代数学入門市民講座アンケート」の回
収数は8巨首分であった．聴灘の年齢晰は小学生から70才代までと広く，また数学的張瀾湘識の面から見てもまったくの素人から専門家までと広かったが，内容が巾＝tlいとした方が40名，普通38名，つまらなかった1
名という結果だったので，まず成功と思われる．

講漬初めの＝情問ほどは数式を山さず，その後の30分でもあまり数式を人れなかったが，この本文では入れる．しかし，カラーではないので写
ホ等はかなり割愛する．

虹に見える漸近解析（真島秀行）

0．はじめに此というのはl■キから人々の閲心を引いてきたし二】然朋象でト虻族学者の人

相式良氏がまとめた分厚い資料集的な本「銀河の道 虹の架け橋」（小学館）などが山版されたり，小．説の題名や歌詞，俳句，短歌の小にもかなり
Lj．1ており，文系「研こも十分に興味の対象となっているが，ここでは理系的な興味で諷リ丁したい．特に，虹を数学的観点から見て，数学との関連を話し，特に漸近働新という数学にどうつながって行くかを説明したい．雨粒
を球と理想化して考えると自然卯の虹は二次曲線として捉えられること，

過剰虹という現象がエアリー関数という特殊関数の挙動で捉えられ，それを明らかにするのに行ったエアリー，ストークスの解析が【rl心的話題である．過剰虹が見えるのはエアリー関数の一方向の挙動が正弦関数的である
ことによるので，そこから標題を「虹に見える漸近解析」にした．

1．虹の写真虹は，雨l二がりのときに太陽を背にして見えるものである．雨上がりの虹の写莫は新聞の写莫展などにもよく掲職されている．

（例えば，第57回国際写頁サロン展審盛委員特別買「草原の少女」伊藤栄一氏撮影など．）
次の二′末顛は，ロンドンで筆者が投影したものである．

写真1 主虹．副虹，過剰虹が見えている．

〔市民講座当日は，この写勇の後，2001年10月−2002年3月のNIIK
連続テレビ小説「ほんまもん」の最後の出演者とともに出ていた虹，大学

現代数学 入 門 市民講座の同僚である松Illか左彦氏がう；ざ郁で椙影した虹，カレンダーに掲職された雄大な虹なども見せた．〕
雨上がりでなくても，沌など水しぶきが舞い」二がっているところ，散水しているとき，榊こ朝㌶カしl桝こ凍っているときなどにも見える．〔市民
言ノ帥匡当「±1は，NctノS（明）C世舛のフォト・ニュース2001年8月】［はりアルゼンチン・イグアスの滝で見えた虹（Reut即S／Grogg NLIWLon），朝日新聞
タ川に掲職された韓国のワールド・カップ開催会場前の噴水で見えた虹なども紹介した．〕
さらに，人二工虹スクリーンを使っても見える．これは内川共雄氏（元鳥取大学），浜崎修氏（鳥取大学附属中学校）らによって20年程前に開発され1998年から市販されている「虹ビーズ」「虹シート」から容易に製作できる．写真2は，人工虹スクリーンに太陽光を当てて山現させた虹の写勇である．

写真2 人二l二虹スクリーンに太陽光を当て著者臓儲′写j！卓l，2を親察すると，虹のいろいろな様相が見える．すなわち，主虹の色，形，位置，副虹，（アレクサンダー）暗帯，過剰虹などが見える．
二†三虹は外側から内側に亦，橙，典，緑，苗，藍，董が比較的はっきりと見えているもの，その外側に借用，さらにその外側にうすく副虹が見える．

虹に見える漸近解析（真島秀行）

副此の也の配列は▼j三血二の逆になっている．圭虹の内側に過剰虹も見えている．副虹の外側にも過剰虹が見える可能性があるが写莫では見えていない．
写貞2では昭描ははっきりしているが副虹は見えていない．〔以上のことはここに掲載された写貢がカラーではないので濃淡しかわからないであろうが，カラーならばわかることである．写莫の右横に輪郭を描き、虹の見えている位置と見えている大休の色を示した図を配置しておいたので参考にして欲しい．〕

2．虹の科学的研究小史
虹を自然科学的にとらえる試みは，アリストテレス以来らしい．「太陽の反対側にある水滴が鎚である」ことを発見した，その後，グロステスト
やビテロが「水i剛こよる光の屈折による」と説明し，さらに，ベーコンが「水油の集まりが鏡のような役割をする」と説明した．デイートリッヒやドミニスが「水滴による光の屈折と反射による」と説明し，そしてデカル
トが「光の屈折と反射の原理」を確立し，いわゆるデカルト光（焦棉の漸近線方向の光）に注目し，ニュートンが「光の屈折率の違いによる分散」
を説明しひとまず完結した．（このとき，ロマン派の人々が虹に対する光学の勝利に詩的感性の死を見た，などと嘆いていたことが，アーサー・ザ
イエンス著，林大訳「光と視覚の科学」（白揚社）やリチャード・ドーキ
ンス著，福岡伸一訳：「虹の解体」（早川書房）に書いてある．）
しかし，「過剰虹」や「雨粒の大きさと虹の関係」などについてはエアリーの什ヨ手を待たねばならなかった．また，過剰虹の研究を完結したのはストークスであり．さらに，カスブ虹などの研究はブリストール大学のペリー等によりなされてきたが∴現在でも多次元虹の解析のようなまだ残された問題もある・〔当日の・甘民講座では，ニュートンの生家にかかった虹の写莫を紹介した．川期ま，13ishof），RoyL．，RainbowoverWooIsthorl）e
Manor．NotノC・Snn（11i（1COr（1sRoy．Soc．Lon（lon36（1981／82），nO．1，3‥11（11）lal二C）．この写莫では副虹も見え，さらに，ニュートンが説明しえなかった主虹の過剰軋も見えている．〕

現代数学入門市民講座：i．幾何光学による虹の説明
雨粒を理想化して球であると考え，太陽光紺が完全に 平行北紺になっていると足って雨粧をどのように迫っていくか主虹の場合に図を使って，幾イl巾℃学的に説明しよう．

即想化して1つの北紺に注l］すると，光綿は屈折して空Illから，水球（雨粒）小に入ったりノlはりする．というのは屈折率が空気と水では違うからであり，スネル・デカルトの法則に従っている．それは「▲J．＼カ、ら他の点に至る＝用巨な径路のうちで光は最小の帖間を要する径路をとる」というフェルマーの原理の反映であり．数学「研こはここに，関数の極小の考えが入ってくる．
水球lいで反射するところも，やはりフェルマーの原理によるが，数学的には円の性質（接線と弦の関係）も反映している．（図1）
次に水球に人った平＝光線の東がどのように山て行くか見てみよう．

虹に見える漸近解析（真島秀行）

′ノ′′′
／

ヽ ／／一

虹角方向

図2 （左）2（〕本の平行光線の北路，焦線，波面，（右）特に焦緑，波面と虹角方向

デカルトは8本の平行光線を抑いた図を示したが，ここでは，20本の平行光線を揃いた図を示そう．元々は，左図はfIumI）hreys，WJリPllySicsofl′h（一＾ir，McGraw−11ill，1920，にある．右図はAiryの1838年の論文に出ている．（波面が3次関数のようであることに注目されたい．5節参照．）
光線那の焦線，数学的にはすべての光線に対する包絡線の漸近線を考えると，その方「和こ光絨が集まっているのが見て取れる．入射角f，屈折角rの光線の偏向角DはD＝180＋2オー4rをみたす．水の屈折率を71とするとき，スネル法則によれば，Slnl ＝ プ1Sln rというI対係式が成り立ち，従って，

D＝180＋2i＿4Arcsin（）〃となるので，最小偏向角は，＝2（ト2・）＝0〟〜

をみたすときだから，

現代数学入門市民講座（：（）Hlとなる′＝J．‖川に対して最ノト偏向仰こなるとし，それに応ずるDをDll、1‖とし，その余拍を計算すると，． 8＝1糾）−D＝、i．1＝4∧r（：Sln

1

〃

＿トJJ、

＿2Arcsin
3となる．i訓、偏向／りとなる光線をデカルト光と呼ぶ．
4．虹曲線は二次曲線
デカルト光線の入射角と用射角との差を虹角というが，光線の色（光線の振動数）により異なり，赤色が42021′，着色が40058′などとなっている．従って，分散が起こり，ニュートンが七色としたスペクトルに分解する（実は連続的に変化する）．

さて，一つの水附こ注目したとき，焦緑の漸近線の集まりは，一つの円錐をなす．

l稟13 太陽）■仁線が水球に刷斤して入射し，l．度反射して屈折して日射することによりできる光の円錐

一九観測者の［1を・I一心に考えると，一つの色の焦絨の漸近線は目を頂点とする太l陽光と平行な・1一心棚をもち，それとのなす角が虹角に等しい円錐の母紺になることがわかる．すなわち，全休としてはll了錐を形成してい虹に見える漸近解析（真島秀行）

る．

文相

細潮音の日
、一−

−− −−

、■一

対日点

図4 屈折率71となる色の光が，観測者の目を頂点とし，それを起点にもつ太陽光とilえ行な線を中心軸とする，中心角が8の円錐を形成する．

雨上がりのときは眼前に雨粒の屑スクリーンができていることになるから，円錐を平面で切った断面の曲線が虹として観測されることになる．
すなわち，高校で習う円錐曲線が観測されるのである．通関は，楕円が，まれに，放物線・双曲線の一部が観測者に見える．

図51リ錐と平耐こよる断面図．楕円，放物線，双曲線になっている．（筆者が使った数学l川の教科書（泉信一・近藤基吉・穂刈四三二共各 日本

書院，19（；9より）

現代数学入門市民講座

放物紺や双l川繍の虹は，敬二草地に朝ぶが降りそこに人陽光が注ぐときに見えることがあり長香川眞理イさんがその体験を「料ご芋のl］科学のこころ」（万 ；披新≠；‥（；2ニう（】f）ざ）f）））のーいに「牧場の地面に降りた虹」と題して苦いている．元々は糀，誌『科ザ』に適職されたエッセイの−→つとして書かれ，この（㌶虹とか水平虹として知られている）現象の説肌を読三削こ求めたところ，寄稿がいくつかあり，そのユつが収録されている．
その説l抑はおよそ良いのだが，そこに使われている仙絨の呼称は，一般読者を想定して「放物綿状」という言葉を用いたそうだが，これは数学的でない．正しく言うならば，その虹は，（切断面の連絡阻こ注意すると）すべての色について（軸のとても長い）楕円か，一つの色だけ放物線で他の色は楕円か双曲線かどちらか，すべての色について双曲線か，のいずれかである．郡会ではこの杵の虹は見られないが，人二t二虹スクリーンを使え
ば，（虹の全休は見えないが）容易に曲繍の変化を見ることができる．
人l二郎スクリーンで虹を見るコツは仁1分の頭の岩をスクリーンに映すような角比にもつことで，その場合は頭の川りに山1二ができる（写頁2参照）．
次の写桑3の場合はそれより遠ざけてかなり大きな楕円の虹がみえていることになる．

写真3 楕円の虹（筆者撮影）

虹に見える漸近解析（真島秀行）

写莫4 写莫3と5の中間（筆者撮影）

写貞5 太陽光線が切断面と平行だから双曲組の虹（筆者撮影）〔市民清輝針tう口は，MHtノ1】emalノi（：aで作成した円錐曲線虹をお見せした．〕

色の配列が主虹と逆のものが観測されるが，水球中で光が2回反射してできるものであり，それを副虹という．この場合の虹角は，赤色が50025′，
青色が52048′ などとなっている．
ところで，焦経といえば，【三†常よく［享1にするのは，太陽光が当たったカップの小にできるI抑暗の境の明るい経である．ネフロイドという名前が付いている．エビ（外）サイクロイドの一種で，一つの円の外側に沿ってその半分の＃径の′川1jが転がるときある1点が描く軌跡である．

現代数学入門市民講座

なお，カルジオイドは，一つの円の外側に沿ってそれと同じ半径の円が転がるときある1点が描く軌跡でありネフロイドとは少し追う．

6．人工虹スクリーンによる点光源の虹
人工虹スクリーンを使えば，観測者に近い点光源の虹も観測できる．
一′√￣｝￣￣￣、−一、 田
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図6 観測者の日と点光源を結ぶ細分を弦にもつ2つの円
この場合は，緋洲者のHAと点光源Hを結ぶ線分ABを弦にもつ角度一定のノ．tli全休の集合，すなわち，円周角一定の円孤（図6参照）をその弦を軸

虹に見える漸近解析（真島秀行）

として回転させてえられる曲乱それには名前が付けられていて円環面（トーラス）というが，それを平面で切って得られる断耐の形の虹が見える・（tl1赤肌利氏「点光源による人工虹の理論」物理教育通信84号（199G），l）1）・f）・15，右近修治氏「3Ⅰ〕人工虹」同掲乱1）1）．16−17を参照．）

ただし，通常のトーラスは，穴の開いたドーナッツの表面の形だが，今の場合は，穴のないでき損ないのドーナッツの表面である．
y州と垂庖でⅩ鮒寸近を通る平面，Ⅹy平耐こ平行なⅩy平面付近を通る平軌 y棚に直交しないある平面などで切ると，いくつかの異なる4次
l肛組が現れる（2つの二次曲線に分解する場合もある）．

現代数学入 門 市 民講座

ノ￣ ＿−−−￣￣ノ ．√￣′Jノン】■￣＝：＝

ー

図9

‑‑‑r‑

〔市民講座当日は，MtlLhematノicaで作成したトーラス断面此のアニメーシ
ョンをお見せした．〕

5．過剰虹の解析
此の光は偏光しているが，9G％の偏光についてはエアリーの理論によく合っていることが確認されている．
虹の分散した各色の光の波面が㌻次関数であると近似（仮定）すると振l隔はエアリー積分という複素広義債分が表す関数（エアリー関数）

坤）＝

去ぷ：exp（か；）d′＝去￡：ご

exp（喜一叫ゆでほぼ記述され，光の強さはその関数の絶対値の二乗で記述される．

囲u 円 仙丹 旧＼＼ ▲■−−」￣10l（〉＼ノ ■ S
図10 エアリーl蓑】数のグラフ

虹に見える漸近解析（真島秀行）

ー⊥0

−5

5

1（l

図11エアリー関数の絶対値の二乗のグラフ
このようないろいろな色（振動数）の光がそれぞれエアリー関数で表され次のように合わさって虹が見えている．

人／カタ、

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1・∴

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図12 いろいろな光がエアリー関数で振幅関数が記述され，その2乗がその死の強さを表す．それを重ね合せたもの．（Walk叩Jeartl〕」Mult：il）1eminl）OWSl romsln如（1roJ）SO【■wat（1rnn（lotherli（1ui（ls，Amer・Jour・Of【）hysics、VoIs．勅No．い97G，l）1）42］・433・のl）A31より）

現代数学入門 市民講座

エアリーl是j数の挙動は今IIでは数式処理ソフト（上記グラフはM；1仙cnlヱ11′i（：ilで川力させた）が一瞬のうちに教えてくれるが，エアリーの岨代は人変なflJllであった．エアリーは，ノ己々】8ニ18咋の論文，（二）11（二ll（†
1n血1HilpyoH．Jghl．inl′h（一neL再1t）Ourhoo（loL a C；luHl′icl）y（］．1）．＾iry，
rJlrilnS．CflrTll）．［−11il．S（）C．Ⅵ）1．VIl）T）：378−403では次の形で関数を定めた．

ヱ 血←ト、三卜 ‥・二・ト

3刀「区分求積法により近似計算をして用が−4．0から＋4．0までの関数のグラフの概形を（2つのILlまで）f［ ITいた．その10年後の補遺（Sul）l）1cmcntto‡l（）とIl）（lr （）ntノh（りntノ（1nSil．yofLighl」inHl（†n（jlghl）Ourhoo（lorIIC；1uSlノic ，rLlmnH．Ctlml）．Phil．Soc．u）1．VllTl）I）5f）5−599）では，

ト、卓、こ、卜■＝打1花車（一泊￣lγ），椚
のγ＝0におけるテイラー展開∵ 1〆 41 γd

一一−＋

7 41 γり3 2・3 3 3 2・3‥・6 3 3 3 2・3‥・9−＋帥）c（−S言・γ【 ●4 5 2 γ7⊥＿．】．

85 2 γ1（l＿▼．＿．＿．【

3 2・3・4 3 3 2・3‥・7 3 3 3 2・3‥・10をド・モルガンに教わりその節4ト填まで川いて，∽が−5．（；から＋5．（；までの範1川で数仙iil・算をして3つのIlほで揃いている．r二のグラフのようにズが¶1（）から＋1（）までの計算しようとするとテイラー屁闘の8（川ー亘以1二を計算しなくてはいけない．その後，ストークスが1850咋の論文（Orlt′lln
ntlrm前（号1t（：；1t（：し1】こIl′ion（）l−；1（：】；1SSO上■（l（−1■illit′（−int堵rills；lll（li11l▲jrl汗es（汀i（1S，「IlrヱInS．（】ill吊）．l）1】il．So（∴Ⅵ）1．1XI−artノ1，1）1）：j79−407）でエアリー関数を拡張された複素平面l二の無限遠点に不確定特異点をもつ微分方程式

虹に見える漸近解析（真島秀行）

l／

．／ご、

〃−ZIJ＝0の解として捉え，その無限遠点における線形独立な二つの形式解

【′】＝Z

ヰcxp

を利川して，複素領域での漸近挙動を計算することにより，ズ＞0で指数関数的に減少し，ズ＜0では，正弦関数のように振動する，すなわち，￣

Ag（Z）彩÷z￣才cxp（largzト）

左zも「；z；）Ag（Z）＃去z￣三け）羞

′ ￣＋−−−一ニーZ 4

2∬（largz一方l＜言）

閏

とくに自制しとで

十＿−1ト ー＝．二・ミ￣二∑ 〃＝0

3

4 2
（ズ＞0）

（2／‡）！

現代数学入 門市民講座という湖近挙動をもつl蓑傲であることをホし，アレクサンダー唱帯の存在と過剰虹の発生とを説明した．それは同‖itfに，今し1ストークス現象といわれることの雅兄でもあった．
i掃こカップにできるプ．欄i！の図を見たが，実はこのような形の 虹 もと
らえらることができる．カスプ虹とよばれるもので，滑らかな凹凸のあるガラスに懐丹電灯の光を絞ってさlてて，シャッターをl用いたままで掘影すればよい．抜循を習得するのに多少苦労するが面白い体験ができる，と思う．

写莫7 バルブ投影したカスプ虹（筆者撮影）

りプユー享8 レーザー光によるいろいろな形（筆者描影）

虹に見える漸近解析（真島秀行）

形だけ見るなら，少し暗いところにスクリーンを川志し，レーザー光を滑らかなl配！1のあるガラスに過して見ればよい．（写莫8）．二十数年前の論文にil二‡いてあるがペリー＝身がつい最近の研究集会でも見せてくれた方法である．これは杏易に再現できる．

カスブ山1二はパーシー積分というもので定義される関数を用いて説明できる．さらに，トムのカタストロフの理論に出てくる初等カタストロフ写
像のポテンシャル関数Vが，v＝＋㍑（折り目）
1

3

v＝十竺∬2用（くさび）42v三＋竺ズ3＋上方2＋昭（つばめの尾）53

2v＝‡＋‡γ4＋；γ㌧㌢叩（蝶）1

V＝ズ3＋γ￣十l似ツー鵬−サ（双曲型のへそ）

V＝エコー叫′2＋W（ズ2り2）一肌−り（楕円型のへそ）
22v＝ズーγ十‡十比叩−−α−サ（放物型のへそ） つとなっているときそれを使って苔ける積分で定義される関数について同様の現象と即諭がある．その一般化の特殊関数論もいろいろな意味でとても耐l封＼．〔市民講座当日は，楕l斗型のへそや双曲型のへその虹の写勇もお見せした．〕

あとがき

アンケートの集計結果を掲載しておく．

1〜与Tl．セミナーの内容は面白かったですか，
問2．内矧ま難しくありませんでしたか．
という㌻択の回答を求めるものについて以下のようだった．
（間1．1仙三1かった，問2．難しかった）17

現代数学入門 市民講座

（問1．面白かった，「．■与J2．普通）

22（附1．拍＝二lかった，川2．やさしすぎた）

0

川iTl．普池，l告12．難しかった）21

佃Jl．普通，問2．普通）15

川口1．普池，問2．やさしすぎた）

1（「こ〜Jl．つまらなかった，問2．難しかった）2（l悶1．つまらなかった，問2．普通）0（問1．つまらなかった，間2．やさしすぎた）

0

理解できる範岡では面白かったがともかく難しかった

1

耐r∴lかったが，部分的に難しく大部分は普通

1

内容は普通で，前半は普通だったが後半は難しかった

1

無回答

2

コメントとして，「この内容についてこの時間ではやってもらえないかもしれぬが何の【三l的でどう言う研究なのか，全体像を初めに話しもらえれ
れば，もっと理解しやすかったのではないかと思う」，「初心者向けのレジ
ュメ，数式の紹介プリントが欲しかった」，「数式をもっと印刷質料に入れて欲しかった」ということが寄せられた．これらのコメントを考慮しつつ今桓】の識別録を書いたつもりだが，成功しているか分からない．

講胡後の質問のうち本文に取り込まなかったものを3つ収録しておく．

問．新聞に「月虹」が掲減され「柿にしか見えない」とあるがどうしてか．
答．佼はあまり人は川歩かないから機会が少ない．月の光は太陽のより弱く見え難い．新聞掲職の写莫も光を経めるために何時間もバルブ撮影をしたと書二いてある．

間．漸近屁闘論はポワンカレ（I）ojncar6）で尽きているのではないのか．
筈∴1変数l美】数の・▲・一般論としてはある意味でそうだが，精密な評価付きの
漸近展開ジュプレー漸近展開，総和可能性，剰余項の精密な評価を伴った
漸近展L札多変数関数の漸近展開など研究され発展している．

虹に見える漸近解析（真島秀行）「札エアリーノ〃甘式の働としてA〜（ズ）は右舛であるが，非有罪な解はあるのか．

答・βぺズ）で表される解があり，これは負の方では制限関数他に振動し，正のカで無限大に発散する・−一一般解はA〜（ズ）とβ′（∬）の線形結合
CAJ（ズ）＋〟β′（ズ）の形で表され，dが零でなければ非有罪な解を表す・

参考文献は慣用に従わず，その都度引用したが，参考としたペリーの論文および筆者関係のは以下のものである．

参考文献【0］BerryM．：Stokes

Phenomenon；SmoothingaVictorianDiscontinuit動

Pub．Ⅰ．H．軋Sリ68（198軌Ⅰ）Ⅰ）211−22】【］］莫島秀行：虹にまつわる数学一朝二曲線は二次曲線，日本評論社数学セミ
ナー，2000年5月号，1）1）G4−68＋カラー2ページ；虹にまつわる数学，「大学でどのような数学を学ぶのか」（数学セミナー編集部編）日本評諭礼，2002．2，1）Ⅰ）．58−68＋カラー4ページ［2】莫鳥秀行：虹の形，朝E†新聞社AERAMookNo．Gl，2000，1）PlO2−105［3】渡辺久子：虹を題材とした計算機支援教材の研究，2001．3，お茶の水女子大学大学院博士前期課樺数理・情報科学専攻修士論文（教材用の1止mlファイルを作成してあり，虹の形のシミュレーションについてはこれに負う．）
最後になったが，学術委員会の斎藤政彦委員長，小鳥定吉委員をはじめとする委員諸兄ぶよび理事会の方々には講演の機会を与えてくださり，ここに謝意を表し御礼巾し上げる．また，湘南国際村センターの方々にもお世話になり感謝している．講浜後に見た夕日に映えた富士山は美しかった．

（まじま ひでゆき，お茶の水女子大学理学部数学科，同大学院博士
前期課種数理・情報科学専攻，同大学院博士後期課程複合領域科学専攻）