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October/2006■ 技術講座知りたいトライボロジー講座④「弾性流体潤滑理論（EHL理論）」
機能部品事業
油圧Things to know about Tribology"Elastohydrodynamic lubrication Theory (EHL Theory)"〈キーワード〉

粘性係数・圧力粘度係数・
油膜厚さ・油膜圧力・EHL

部品事業部／技術一部

渡辺 孝一
Kouichi Watanabe「弾性流体潤滑理論（EHL理論）」

要

旨

飛行機がなぜ空を飛ぶことができるのか、不思議

1）油の引きずり力をあらわす粘性方程式に思われたことはないでしょうか？本当のところは今

いろんな物体には粘性という性質があることをごこう考でもわかっていないといわれてます。ですが、存知でしょうか？自動車のエンジンオイルのような油えると事実を説明できるという論文は多く発表されてその性質があることは日常生
はネバネバしてますし、います。

活で理解できます。ネバネバの程度を表すものが粘ここで述べます潤滑理論は、飛行機が空を飛ぶ性という単位です。

理屈を説明した仮説とほぼ同じ仮説に基づいていたとえば、図1のように平板2枚の間に油を引いてます。こう考えることで、ほとんどの自然現象が理解

片方の板をある速さＵで移動させたとします。すると、できますし、
このような仮設に基づく応用は期待通り

中の油は移動する板に引きずられるように変形しての結果が得られることもわかっています。

いきます（これを「剪断ひずみ」といいます）。移動

ここでは、金属と金属が力を受けて接触し、相対板の部分では、油は板の移動速度Ｕの数値で引き運動している部位で、潤滑油が介在したとき、油がどづられて移動していますが、固定板の部分では油のような挙動をするのかを解明した弾性流体潤滑の移動は生じていません。

理論がどのように形成されていったかを、論じてみた
いと思います。

Abstract

1

1.粘さのメカニズムと応用

Have you ever wondered what makes an airplane go up and fly in the air? It is said thatthe true logic is still unknown even now. However, many papers have been published to explain the fact.
Elastohydrodynamic Lubrication Theory is
supported by the similar hypothesis that explains the logic of plane aviation. Using thetheories based on hypotheses, almost all thenatural phenomena can be understood, and theapplication based on a hypothesis can bring
the result as expected.
Elastohydrodynamic Lubrication Theory explicates the movement of a lubricant when a lubricant lies between two contacting metals thatare making relative motion under load. Discussed here is the development of the Elastohydrodynamic Lubrication Theory.

そこで、油の中に仮想的に厚み方向に∠┃ｚの長さを持 つ□ＡＢＣＤを描いてみると、この四角 形は平行四辺形Ａ Ｂ ＣＤのように変形するだろうと考えられます。
単位時間当たり
の変形量∠
Ιu

速度u
移動板

A

A

B B

厚み∠
Ιz

C

D

固定板

図1

粘性による剪断

∠┃ｚの長さの根元と上部で、油にどれだけの引きにしっかり把握しておかないと、特に潤滑理論ではずり差があるかを表す尺度として、
たとえば1秒間の理解が難しくなってくることがよくあります。要は単間（これを単位時間当たりの変形量と呼びます）∠┃ｕ

位を力でまとめるか、質量でまとめるかの違いなのでだけの変形差が生じるとしますと∠┃ｕ／∠┃ｚが、いわすが、単位のとり方の違いだけで

ゆる□ＡＢＣＤの単位時間当たりの剪断ひずみとしてとらえることができます。一般的に、ひずみと力は2

1cP＝1×10−2gr／cm・sec＝1.02×10−3Ｎ・sec/ｍということになります。

比例関係にありますので、油の引きずり力τ（これを

このように、単位により数値は異なりますので、数剪断応力といいます）は次のように表すことができ式を見たときには、単位は次元に分解して、都度確ます。

認しておくことが望ましいです。だったら単位にあま
┃ｕ
ｕ
μ ddz
τ＝μ ∠
∠┃ｚ または※2

りこだわりたくない、という気持ちがわくのは当然です。
そこで定義されたのが、動粘度係数νと呼ばれる（Isaac Newton；英1643
この数式は「ニュートン

ものです。粘性係数μを密度ρで割ったもので

μν＝ ρ〜1727）の粘性方程式」と呼ばれています。また、
比例係数μが粘性係数または粘度と呼ばれているもので、各々の液体、気体で固有な数値をもち、粘っと表されます。この定義を行なうことで、単位を力でこい液体、気体ほど大きい固有の数値を持ちます。

まとめても質量でまとめても同じ単位系を持ちます。

2

例えば、20℃の水では1.02×10 Ｎ・sec/ｍ の値−3です。この式の意味は、2ヶの並行板の間に液体を

単位はストークス（S：George Gabriel Stokes；英およびセンチストークスcStで1819〜1903）
2

その必要な力は介して、一方の板を移動させるとき、

1S＝cm ／sec

移動する速度が速いほど、距離が小さいほど、面積

1cSt＝1／100・S＝mm ／sec

が大きいほどそして粘っこい液体ほど、より大きな力が必要だということを示しています。
※1

なお、使用する単位系は、質量単位系で統一すべきなのですが、
計算式形成過程を説明する場合は、※1

原式を尊重するため、工学単位系も併用して記述することにします。

2です。
このcStという単位は頻繁に出て潤滑理論では、きますのでぜひとも覚えてほしい単位です。

3）空気の粘性
水の粘性係数は先に書きました。空気にも粘性2

ｓｅｃ/ｍ の値があります。20℃で約μ=1.75×10−4Ｎ・

2）粘さの尺度

ちゃです。水の約１／６の粘性係数しかありませんが、粘度の研究は古くからあったのですが、試験管に液体を流して粘性抵抗を調べたのが最初だといわんとあります。それを納得させる事象として、学校とかで教わったことで流れ星があります。

れています。この人の名にちなんで、粘性係数μの流れ星は、地球の外にある隕石とかチリなどが、単位にポアズ（P：Jean Louis Poiseuille；仏1797〜

地球の引力にひっぱられて大気圏へ突入するときに、というのがあります。
1869）

発熱して燃え尽きるために発生する光だと、教わっ1P＝1gr/cm・sec

この空てきたと思います。なぜ熱が発生するかは、（ｃＰ）です。この1／100の単位のものがセンチポアズ

気の粘性によるものです。粘性係数が小さくても、です。20℃の水は、1ｃＰの粘性係数を持っています。

超高速で大気圏に突入するので、粘性による発熱

単位がややこしくなってきてますが、実は単位を常が生じるのです。

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「弾性流体潤滑理論（EHL理論）」

4）粘性を利用している翼ただ、層流であることが前提なのですが、飛行機

この空気の粘性を積極的に利用しているのが、の離発着時は速度が不充分で、層流がうまく形成さ飛行機の翼です。図2には、飛行機の翼の断面をれなくなります。これを補うのが補助翼です。飛行流れる空気の流れを模式的に示しました。飛行機

機の離発着時には、翼の後ろからこれが延び出てきが高速で移動すると、翼の上下に空気の流れが作ます。大きな鳥が舞い降りてくるときは、何かを翼でられます。空気の粘性のおかげで、翼の表層部にちょうど、抱え込むように翼を湾曲させていますが、空気の層が形成され、膜を張ったように滑らかな流これと似た形状をするわけで、このことで層流状態

れができるのです（これを「層流」と呼びます）。

の確保を図り、失速を防いでいるわけなのです。

このとき、翼の上の空気の流れの速さが翼の下よ

このようにして、約300ｋｍ/ｈｒの速さになれば、大りも速くなるように、翼の断面構造が設計されている

概の飛行機は浮き上がることができるといわれていその部のです。空気には、流れる速度が速くなると、ます。ここで述べる潤滑に関することも、層流を利用

分の圧力が小さくなるという性質があります。これをした上記の原理とまったく同一のものです。

※3

利用して、翼の上の圧力を小さくしているのです。

空気の流れが速い

この結果、翼の下の圧力が上の圧力よりも大きく

主翼

この圧力差で浮きあげる力を発生させているのなり、（これを「揚力」といいます）
です。

補助翼

空気の粘性で空気が翼に張り付いている（層流状態） 空気の流れが遅い

図2

翼の空気の流れ2.粘性を利用した転がり運動のメカニズム（基礎式の構成）
液体の粘性を利用した転がり軸受での応用分野
は潤滑理論です。軸受には転動体という、内部を

座標を図のように、
Ｙ軸、Ｚ軸をとれば、油が流れていることで速いところは圧力が低くなるからdPdτdy ＝ dz

転がり運動する、ころまたはボールがあります。これらが転がり運動すると、粘性により潤滑油が回転する
表面に張り付きます。そして、張り付いた油の層は、
ボーの式が構成されます。
τはこれまでと同様、油の剪断ルまたはころと軌道輪の接触面に侵入し膜を形成し応力です。

て（これを「油膜」といいます）、結果的に軸受に損

これに「ニュートンの粘性方程式」を代入すると傷を起こしにくくさせているのです。
ここでは、どれだけの粘度をもった油は、どれだけ

dP μ d2u
dy ＝ dz2の膜厚を構成するかを解明した理論の基礎式を扱となりますが（これは「圧力方程式」と呼ばれているいます。

ものです)、

1）転がり運動と油膜厚さの関係式−レイノルズ方程式
油などの液体には粘性があることを言いました。

3（計算
これを積分し、境界条件を設定していくとは長く複雑ですので省略します）

そこで、図3のように、平板の上に半径Ｒの円筒こdh3 dP ＝ 6μU dh
dy
dy
dy

ろを距離hoだけ離して、ある回転数でころを回転さにまとめられます 。これが「レイノルズ（ O s b o r n e

どれくらいの圧力がこのhoのスキマに発生せたとき、Reynolds；英1842〜1912）の方程式」と呼ばれてするかを考えます。

いる潤滑理論の基礎式です。

粘性のおかげで油はころに貼り付いています。

回転体部位にどれだけの力を与えてどれだけのですから、ころの外径部では油はころの回転数ωに回転数を与えたら、どれだけの粘 度の油のときに応じた速度Uが発生しています。平板の上では0です。

を与えてくれる
どれだけの油膜厚さができるのか、
基本式となったものです。

ここに μ；実際の圧力下での粘度 kgf・sec／mm2）油膜厚さの最初の式

μｏ；大気圧での粘度

kgf・sec／mm

Ｐ；実際の圧力kgf／mm2
2

2

実際に「レイノルズ方程式」を積分して計算してと呼ばれていこのαは、圧力粘度係数［mm /kgf］

みましょう。計算はかなり複雑で面倒になりますので、るもので、圧力に対する粘度増加割合を示しています。

2

ここでも途中経過は割愛しますが、油膜厚さhoは例えば、15cStと一口に同じ粘度の油でも、圧力（μU） Rho ＝ 0.491
2／3
Pmax

粘度係数は異なることがあります。ですが、通常扱う

2／3

1／3

潤滑油ではそう大きい差はないといわれています。

と誘導されます。Pmaxはこの部位に発生している

どうすれば
圧力粘度係数がわからない場合は、いいのでしょう？その場合は次の近似式があるので最大面圧です。
ですが、結論的にはこの構成式は失敗に終わっ

これを使うと便利です。

てます。生みの苦しみはどの世界も同様のようです。

ここでも単位をきちっとする必要がありますので定実際に転がり軸受の緒言を使って計算してみると、義しておきます。

例えば、通常使われている15cStの油で、径7ミリのころをピッチ円形38ミリの位置で、4000rpm回転でα＝（0.6＋0.965lgo CP）×10
ここにCP；大気圧下での粘度

cPα；cm ／kgf
２2

面圧が100kgf/mm 程度の通常の使い方で計算し
−5

−3

10

てみると、1.03×10 ミリ程度の計算値となるのです。

潤滑理論の分野では、式を誘導された人たちにより、この式が構成された当時は、油膜の厚みを実測

単位が異なることが多いのですが、
ここでも、先の２

これだけの厚み
検証することはできませんでしたが、と［cm /kgf］とつの式のαの単位は、［mm /kgf］

であれば早いうちに軸受は損傷するはずなのに、現いう具合に、異なってますので注意してください。

実には損傷は生じることはない事実を説明できなかっより現実を説明できる仮説がたのです。そのため、必要となってきました。

2

2

このようにして形成された式が｛ho ＝ 0.491
です。

αPmax
（μoU） R
1−exp（−αPmax）
Pmax

｝
2／3

2／3

1／3

2／3

ですが、
これでも結果的には失敗に終わりました。

R

2

15cStの粘度の、100kgf／mm の面圧下では、粘度は17倍程度に増加しているのですが、油膜の厚
h

0

U

ho

y

らです。
Z

図3

みは7倍程度にしか増加しない計算結果になったか

平板上を回転するころの速度分布と油膜厚さ

3）粘度補正した改善式

4）弾性変形も考慮した改善式
そこで最後に出てきたのが、接触しあう面の弾性変形も考慮に入れた計算式です。

どこがいけなかったのでしょう？ 転がり軸受の荷重

ただし、一口に弾性変形量を考慮するといってもそを受けている部位は、数平方ミリの接触面積に数百んなに簡単にいくわけではありません。
というのは、図キロという荷重を受けているのです。

3のような解析モデルではY＝0の位置だけのつりあ「接触部位にくるとそのため、油はその高圧によりい状態を考えればよかったのですが、接触楕円内で粘度を増加させるのではないか」というのが、改善さの変形は本講座の接触理論でも書きましたようにＹれた内容でした。どの程度増加していくかは、ASMEの位置により異なるからです。ですから、Yに依存した（American Society of Mechanical Engineers）など解析が必要になってきたのですが、結果的には電算で公表されていますが、 圧力に対し対数的に増加機による裏づけをとった上で油膜厚みは接触部分でしていきます。

はほぼ平行になるとした計算式が構成されました。

ここは単位をきちっとしないと間違えるので、単位を定義しておきます。

hydrodynamic lubrication theory）略して、EHL理

ｅｘｐ(αＰ）
μ＝μｏ・
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この理論が今日、弾性流体潤滑理論（Elasto論と呼ばれているものです。

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4

「弾性流体潤滑理論（EHL理論）」

3. 弾性流体潤滑理論による油膜厚さの計算式
この理論の結果を誘導するまでの理論展開はかなり複雑な計算式が続きます。

なお、現在では、ドウソンが行なった要素分解よりもさらに細かい分解で、数値解析ができるようになりそのため、ここでも途中経過は省略し、結果式とそましたので、
その検証を再度行なったところ、
ドウソン

れがもたらす意味についてのみ、論じることにします。

がいうほど圧力スパイクは大きくはないという報告が1）
ドウソンの数値解析
弾性変形も考慮した場合に、接触楕円内で、油が任意のＹの位置に、どれだけの流体圧をもちどれおよそ一つの計だけの油膜厚みを持っているかは、算式で表すことはできません。

多々あります。
いずれにしてもドウソンの功績により油膜厚みは
その計算式を構成できるようになりました。
油膜圧力中心線とヘルツ面圧分布中心線はややオフセットする

圧力スパイク

油膜圧力分布ドウソン（Duncan Dowson；英）は、Y方向
そこで、に接触部分を細かく分解して、あたかも有限要素法
解析のような手法を使い、細分化された領域の任ho

意のY位置による流体圧と油膜厚みを、電算機を用※4いた数値解析で求めました。
その結果、接触部分では図4のような状態になっているとしました。1965年頃の話です。接触部分に油膜厚さ分布0
Z ヘルツ面圧分布

y

図4 ドウソンによる平板上を回転するころの油膜厚さおよび油膜圧力分布

忍びこんだ油はヘルツ圧により粘度増加して、図のR

青線のような流体圧分布を生じさせて外力を支持

ヘルツ面圧分布

しています。流体圧（油膜圧力）分布は基本的にヘルツの面圧分布と基本的に似た形をとります。
「ヘル本講座の接触理論のところで書きました、

ho0Z

ツ面圧分布の接触部位は平面になっている」
ことを、思い出してください。こうでなくてはならないのだと「油膜圧力分布はその中心線はや思います。要は、やオフセットするものの、ヘルツ面圧分布と似た同じ形をとる」というのがここでの結論だったのです。

5

図5

y

油膜厚みの計算モデル

2）様々な油膜計算式
油膜厚さの計算モデルは、図5のようなモデルで、ですから「油膜厚みは、Y方向の位置に拠らずほ油のある空間は平行膜厚みとしています。計算式は、

ぼ一定（平行）になる」ということが概念的に理解で線接触と点接触に分けて作られています。その理きるようになったのです。ただ、微視的に見ると、油由は、玉軸受のような点接触を有する接触状態はの出口側では油膜圧力分布は局部的に大きくなる

接触断面が回転軸の位置により異なるので、軌道とドウソンは言っています。これは「圧力スパイク」と曲率形状を考慮しなければならないからです。

呼ばれているものですが、これに呼応して油膜厚み

これらをつくった人により様々
いずれの計算式も、

は、この部分でややくびれるように最も小さくなるとしに異なっていて、人の数だけ計算式があるといってました。

も過言ではありません。ですが、線接触ではグルー

この量を考慮しないと仮定すると、
２ヶの
ですが、

ビン
（A.N.Grubin；露）、点接触ではアーチャード

接触しあう物体の油膜厚み計算は、逐一数値解析（J.F.Archard；英）、
コーキング（E.W.Cowking；英）を行なわなくても、簡単な計算モデルを構成して、の式が比較的文献では支持されているようです。

ドウソンの計算式を作ることができるのです。そして、

この計算モデルで線接触の功績のあったドウソンも、解析結果は、
その計算モデル化の妥当性を証明し計算式を公表していますが、あまり支持はされていてくれたところに、大きい意義があると思われます。

ないようです。

いずれも簡易的にまとめ上げた項を使用して計算式を構成しています。

3）転がり軸受での具体的計算式
あま
これらの計算式で具体的に計算を行なうと、

Ｇｒｕｂ
ｉ
ｎ
ho
（G・U）0.727＝ 1.95R
W 0.091（線接触）

り実用的ではないことに気がつくと思います。計算

Ａｒｃｈａｒｄho（G・U）0.74
Ｃｏｗｋｉｎｇ Ry ＝ 2.04φ0.74
W 0.074（点接触）はなっているのですが、通常の転がり軸受での計算

式そのものは次元が統一してあるのでわかりやすく

G ＝αE

ここに

U＝

3

−10

Ｕは10
ではＧは10 程度、−4程度、Ｗは10 程度、と桁の上下が激しくなることに気づきます。
Ｇｒｕｂｉｎ
そこで、具体的に計算しやすくするために、

μoUの式を転がり軸受の内輪と円筒ころの接触部位に

2E R
W
W
W＝
また
E LR
E R2
（線接触） （点接触）

（

2Ry
3Rx

φ ＝ 1＋）

適用すると次のような式になります。これが文献で
ｆ-ｍｍ系またはｉｎｃｈｌ-ｂ
よく見られる式です。単位はｋｇ系です。それらの入力に応じた長さの単位で計算さμｏはηｏと表されてることれます。一般の文献では、−1が多いのですが、
ここでは本講座内での記号の統μｏで通しました。
一化を図るため、

α；圧力粘度係数 ｍｍ /kgf2μo；油の粘度
kgf・sec/ｍｍ2；ポアソン比 （鋼の場合0.3）ξＥ；縦弾性係数（鋼の場合21000kgf/ｍｍ2）
1
1−ξ2
＝
E
E
Ｕ；接触部位での転がり回転速度 ｍｍ/sec
Ｒ；接触部位の等価回転半径ｍｍ
Ｌ；線接触の接触（ころ）長さｍｍ
Kgf
Ｗ；転動体荷重Ｒｙ；回転方向の等価半径ｍｍ
Ｒｘ；回転方向と直角方向の等価半径 ｍｍ
ここでも単位は重要ですので記載して置きます。
なお、等価半径Ｒというのは潤滑理論ではよく出て

ho＝0.22

ここに

1.091
0.727
πE L 0.091
Da
1−γ 0.727
γ
μo
α
n
（1−
）
γ
2W
2

Ｄａ
；ころ径

γ＝Ｄａ/ｄｐｃ

Ｌ ；ころ長さ

ｄｐｃ；ころピッチ円径

Ｅ；縦弾性係数
Ｗ；ころ荷重
0.727

（αμｏ）

は図表を使って求めなさいとしているのが多いようです。その際の図表は、粘度のもうひを使とつの単位、
セイボルトユニバーサル秒（SUS）
用して書かれていることが多く、粘度の換算が必要なため、使いにくいことがあります。

くるのですが、接触しあう２ヶの物体の２ヶの接触半そこで、圧力粘度係数の近似式を使用して、cStのＲ２を１ヶの接触半径と平面の接触に置き換
径Ｒ１、

この数値を計算したものを図7に記載し粘度ごとに、えるもので、図６の計算式で求めることができます。

ました。使いやすさを考慮したものですが、文献に見られる数値とほとんど大差はありません。
このようにして、実際の転がり軸受で計算すると、油膜厚さは0.001mmの単位で計算され、現実をほぼ説明できる計算式が出来上がったわけです。

R2
R1

R1

R2
凸凹接触の等価半径
1／R＝1／R1−1／R2

図6

凸凹接触の等価半径
1／R＝1／R1＋1／R2

1.00E-06

1.00E-07

1.00E-08

等価半径の定義
1.00E-09

図7
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1

10

粘度cSt

100

1000

０．
７２７
０．
７4
粘度ｃＳｔと
（αμｏ）
または
（αμｏ）
の関係

6

4. 転がり軸受表面の鏡面性と油膜厚さ油膜ができるということは接触部分の直接的な接このように、事実を説明できる新しい計算式がで

触が回避できるということであり、摩耗などの低減をきても、限界を必ず抱えているわけであり、ひとつのこ図れるということです。転がり軸受の応用の場合、仮説はこれを乗り越える仮設に取って代わられる運の油膜厚さは通常の計算では、0.001mmの単位で命を必ず背負っています。油膜厚さの計算式は1960

計算されるわけですから、接触面の面粗度はこの油年代にできたばかりであり、今はスーパーコンピュータ

膜厚さよりも小さくしなければ、直接的な接触が生じの時代ですし、いずれこれを乗り越える新しい計算てしまいます（これを「金属接触」といいます）。転が式が作られていくと思われますし、
そうあらねばならり軸受の表面が鏡のようにピカピカになっているのは、ないと思います。いずれも採られている手法は、現このような理由によります。

象を細かく分解していることです。

また、油膜厚さの計算式は、速いほど（ｎが大きい）「分解」の2文字はともに「分かる」「解る」であり、油膜が形成されやすいことを示してくれます。実際

英語に直せばresolveであり、reを取ったsolveはにある程度までは、回転数に比例して油膜が形成さその名詞形「解る」の意味になっています。そして、その比れていくことは観測されています。現実には、のsolutionは、まさしく「解」です。

例増加にも限界があるのですが、そのことをこの計という行為が、ともに「解」
世界の東西圏で「分解」

この計算式が算式は教えてはくれません。理由は、を得る手法となっていることは興味深いことのように構成されていった前提である「層流」の条件が崩れ思われます。

ることと、油そのものの剪断による発熱がもたらす粘度低下などがあるからだと考えられています。
用語解説※1 工学単位系、質量単位系※3 ベルヌーイ
（Ｂｅ
ｒ
ｎｏｕ
ｌ
ｌ
ｉ）の定理

力の単位をＮ、ｄｙｎｅで現すのを質量単位系、
ｋｇｆまたはgrfなどであらわすのを工学単位系と呼びます。工学単位系では重さそのものは力と考えます。
ｆとは重力場で質量1ｋｇに作用する力のことを指し、
ｆはｆｏｒｃｅの意味を1ｋｇ
持っています。
2
換算すると1ｋｇ
ｆ＝1ｋｇ×9.8ｍ/ｓｅｃ ＝9.8Ｎということになります。
なお、工学単位系ではｋｇと表示したとき質量か力かわからないことがある
ので、質量のときはｋｇ＊力のときはｋｇｆと区別して現すこともあります。

※2 次元
物理量をあらわす単位の構成要素単位のことをいいます。
例えば、速度は［ｍ］［/ ｓｅｃ］という次元を持つことになります。
次元をあわせるというのは、求める計算の次元をあたかも数値と同じように扱ったとき、結果としての単位が妥当かどうかを調べるものです。
例えば、時速60キロメートルで10分走ったときの移動距離Ｓは60×10のよ
うに、単に速度×時間＝距離とすることはできません。
時速60キロメートルは60［km］［/ｈｒ］とあらわし、10分は10［ｍｉ
ｎ］
と考える
のです。
これを単に掛け算すると60［km］［/ｈｒ］×10［ｍｉｎ］となり、単位が［km］にｒ]ですので、この単位に置き換えることで、はなりません。10分は10/60［ｈ
60［km］［/ｈｒ］×10/60［ｈｒ］＝10［ｋｍ］のように、単位の［hr］を消すことができます。
このようなことを「次元をあわせる」といいます。複雑な計算式になると、このようなチェック方法は大変有効なことがあります。

密度ρの液体が、重力場のある高さＺの位置を、ある速度ｕで流れるとき、
２
その液体の持つ圧力Ｐとには【ρｕ ／２＋ρｇｚ＋Ｐ＝一定】の関係が成立します。これがベルヌ−イの定理で、油圧機器などの設計に使用されます。
翼の場合は、Ｚが同一ですので、ｕの差はＰの差となって現れてきます。

※4 数値解析
力と変位の釣り合い式のような場合は、一般的に微分方程式といって、変位の時間に 対する変化量と変位の釣り合い式を構成することがよくあります。一般的には、
これらは積分という作業を取れば解けるのですが、初等関数でない場合は、積分という行為を行なっても、数式に置き換えることはできなくなります。
このような場合、初期の位置や速度の状態を決めて、0.001秒後の速度や位置を力から計算して割り出し、再びその状態での速度や位置を使用した力を計算して0.001秒後の速度や時間を割り出す、というように時間などを細分化して解を求めていく解析のやり方のことをいいます。
惑星運動や人口衛星の運動の解析には、この手法が使われています。

関連記事
1）渡辺孝一：知りたいトライボロジー講座①「トライボロジー入門」
NACHI-BUSINESS news Vol.7 D1、May／2005
2）横山 良彦・渡辺 孝一：知りたいトライボロジー講座②「摩擦・摩耗」
NACHI-BUSINESS news Vol.9 D2、November／2005
3）高木 俊行・渡辺 孝一：知りたいトライボロジー講座③「転がり接触について」
NACHI-BUSINESS news Vol.10 D1、June／2006

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October / 2006

〈発行〉 2006年10月20日
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