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数学Ⅱ

確認テスト

100

1 次の等式，不等式を証明せよ。
⑴

a+b+c=0 のとき

得 点

氏 名

1 式と証明，方程式（各18点×2）⑵

x2+25y2≥10xy

a3+b3 +c3=-3(a+b)(b+c)(c+a)

2 2 次方程式 2x2-6x+5=0 の 2 つの解を a，b とするとき，次の式の値を求めよ。 （各16点×2）⑴⑵

a2+b 2(2a-1)(2b-1)

3 次の問いに答えよ。

（各16点×2）⑴

整式 f(x)=x -2x +6 を x+1 で割ったときの余りを求めよ。

⑵

整式 f(x)=x3+3x2+kx-4 が x-2 で割り切れるように，定数 k の値を定めよ。

32

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数学Ⅱ

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得 点

氏 名

2 図形と方程式100

1 次の問いに答えよ。
⑴（各14点×3）

2 点 A(-3，2)，B(5，6)を結ぶ線分 AB を 3：1 に内分する点，外分する点の座標をそれぞれ求めよ。

内分点
⑵

外分点

点(2，-3)と直線 4x-3y+8=0 との距離を求めよ。

2 次の問いに答えよ。

（各14点×2）⑴

点(4，-5)を中心とし，半径10の円の方程式を求めよ。

⑵

円 x2+y2=9 上の点(- 5 ，2)における接線の方程式を求めよ。

3 次の不等式，連立不等式の表す領域を図示せよ。
⑴

y⑵x-2y+2>0

2x +y ≤4yx+y≤011O（各15点×2）
21xO

1x高校ゼミ サポートselectⅢ
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確認テスト数学Ⅱ確認テスト
得 点氏 名3 三角関数

100

1 次の関数㋐，㋑のグラフをかけ。

（各10点×2）㋐y=sin iy㋑

ry=sin⎛ i+ ⎞⎝
3⎠

1-2r

O-r2r ir

-12 0≤ i<2r のとき，次の等式，不等式を満たす i の値，または i の値の範囲を求めよ。
（各11点×2）⑴

2 sin i+1=0⑵2 cos i>1

3 次の値を求めよ。
⑴

sin 15°⑶

sin a=（各12点×3）⑵ tan 105°4のとき，cos 2a の値
54 次の式を r sin(i+a) の形に変形せよ。ただし，r>0，-r<a≤r とする。
⑴

3 sin i+ 3 cos i⑵-sin i+cos i（各11点×2）高校ゼミ サポートselectⅢ
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数学Ⅱ

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得 点

氏 名

4 指数関数，対数関数

100

1 次の計算をせよ。
⑴(26×5-4 )（各12点×2）

12⑵39 ×4 9 ÷6 32 次の計算をせよ。
⑴

log6（各12点×2）

1-2 log6 34⑵log4 2+log8 4⑵y=log x3 次の関数のグラフをかけ。
⑴

y=3x-1（各14点×2）
y12y1
O

1x1
O

1x4 次の方程式を解け。
⑴

4x-6･2x +8=0

（各12点×2）⑵ log2(x-1)2=3

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得 点

氏 名

5 微分法

100

1 次の問いに答えよ。

（各16点×3）x2 -9を求めよ。
x2+2x-15⑴

極限値 lim⑵定義にしたがって，関数 f(x)=3x-2 の x=2 における微分係数を求めよ。

⑶

定義にしたがって，関数 f(x)=x2+5x を微分せよ。

x→32 公式を用いて，次の関数を微分せよ。
⑴

2f(x)=3x -2x+4（各18点×2）⑵

32f(x)=x -5x -x-2

3 曲線 y=-x2+4x 上の点(1，3)における接線の方程式を求めよ。

（16点）

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100

1 次の関数の極値を求め，そのグラフをかけ。
⑴

得 点

氏 名

6 微分法の応用（各12点×4）⑵

f(x)=x3+3x2+1f(x)=-x3+3x-1yyO

Ox2 次の関数について，( )内の範囲における最大値と最小値を求めよ。
⑴

f(x)=x3-12x+4(-3≤x≤4)⑵

f(x)=-x3+3x2+9x-10

3 次の問いに答えよ。
⑴

次の方程式の実数解の個数を求めよ。
32

2x -6x +5=0x（各12点×2）(1≤x≤5)（各14点×2）⑵

x>0 のとき，次の不等式を証明せよ。
x3+3x2+28≥24x

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100

1 次の不定積分を求めよ。
⑴(3x2+4x-5)dx（各16点×2）⑵

x2(x-6)dx⑵

22 次の定積分を求めよ。
⑴

30(x2-4x+5)dx（各16点×2）

3 次の問いに答えよ。
2

⑴

定積分

⑵

関数 f(x)=(2x3+3x2-5x+4)dx を求めよ。

-2x0

得 点

氏 名

7 積分法

(t+1)(t-2)dt の極値を求めよ。

-1(x-1)(x+3)dx（各18点×2）

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1 次の面積を求めよ。
⑴

区間［-1，2］において，曲線 y=x2+1 と x 軸にはさまれる部分⑵

曲線 y=x2-2x-3 と x 軸で囲まれる部分⑶

区間［0，3］において，曲線 y=-x2+4 と x 軸にはさまれる部分

2 次の曲線または直線によって囲まれる部分の面積を求めよ。
⑴

y=x ，y=x+6⑵y=x2 -4，y=-x2+2x⑶y=-x2+4x-2，x 軸

得 点

氏 名

8 積分法の応用

100（各16点×3）（⑴16点，⑵⑶各18点×2）

2Y─①─1

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得 点

氏 名

1 式と証明，方程式100

1 次の等式，不等式を証明せよ。
⑴（各18点×2）

a+b+c=0 のとき⑵

x2+25y2≥10xy

a3+b3 +c3=-3(a+b)(b+c)(c+a)［証明］ c=-(a+b) を代入すると，［証明］ x2+25y2-10xy

左辺=a3+b3-(a+b)3=x2-10xy+25y2=(x-5y)2≧0=a3+b3-(a3 +3a2b+3ab2+b3)

よって，x2+25y2≧10xy=-3ab(a+b)
右辺=-3(a+b)･(-a)･(-b)

は成り立つ。
等号は x=5y のとき成り立つ。

=-3ab(a+b)
よって，等式は成り立つ。

2 2 次方程式 2x2-6x+5=0 の 2 つの解を a，b とするとき，次の式の値を求めよ。 （各16点×2）⑴⑵

a2+b 2解と係数の関係より，a+b=3，ab=与式=4ab-2(a+b)+1=4･与式=(a+b)2-2ab=32 -2･52(2a-1)(2b-1)
5-2･3+12=552=4453 次の問いに答えよ。
⑴（各16点×2）

整式 f(x)=x -2x +6 を x+1 で割ったときの余りを求めよ。
32f(-1)=(-1)3 -2･(-1)2+6=33⑵

整式 f(x)=x3+3x2+kx-4 が x-2 で割り切れるように，定数 k の値を定めよ。
f(2)=23 +3･22+2k-4=0 より，2k+16=0，k=-8k=-8

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得 点

氏 名

2 図形と方程式100

1 次の問いに答えよ。
⑴（各14点×3）

2 点 A(-3，2)，B(5，6)を結ぶ線分 AB を 3：1 に内分する点，外分する点の座標をそれぞれ求めよ。
1･(-3)+3･5 1･2+3･6 ⎞-1･(-3)+3･5 -1･2+3･6 ⎞
内分…⎛=(3，5) 外分…⎛=(9，8)，，⎝⎝⎠
3+13+1 ⎠
3-1
3-1

内分点
⑵

外分点

(3，5)

(9，8)

点(2，-3)と直線 4x-3y+8=0 との距離を求めよ。
d=│4･2-3･(-3)+8│ 25= =5542+(-3)25

2 次の問いに答えよ。
⑴（各14点×2）点(4，-5)を中心とし，半径10の円の方程式を求めよ。
(x-4)2+{y-(-5)}2=102 より，(x-4)2+(y+5)2=100(x-4)2+(y+5)2=100⑵円 x2+y2=9 上の点(- 5 ，2)における接線の方程式を求めよ。
- 5 x+2y=9 より， 5 x-2y+9=0

5 x-2y+9=0

3 次の不等式，連立不等式の表す領域を図示せよ。 図の斜線部分。
⑴

2y⑵x-2y+2>0y<

1x+1
2x +y ≤4O

（各15点×2）
y2x+y≤01

1-2

境界線を含まない

21xO

境界線を含む12 x高校ゼミ サポートselectⅢ
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得 点氏 名3 三角関数100

1 次の関数㋐，㋑のグラフをかけ。
㋐y=sin i㋑ry=sin⎛ i+ ⎞⎝3⎠（各10点×2）㋐㋑のグラフは㋐のグラr
フを i 軸方向に 3y㋑

15r3r-3- 43 r-2r2r
3O-r2r ir-1

平行移動したもの。

2 0≤ i<2r のとき，次の等式，不等式を満たす i の値，または i の値の範囲を求めよ。
（各11点×2）⑴⑵

2 sin i+1=0yO

sin i=-1

12y

1 x1

711r， r660≤i<r7， r<i<2r
443 次の値を求めよ。
⑴（各12点×3）⑵ tan 105°

sin 15°与式=sin(45°-30°)

与式=tan(45°+60°)==sin 45° cos 30°-cos 45° sin 30°=⑶

sin a==

131
16- 2･･ =2422 26- 24tan 45°+ tan 60°
1- tan 45° tan 60°

1+ 3(1+ 3 )2=
(1- 3 )(1+ 3 )1-1･ 3=-2- 3-2- 34のとき，cos 2a の値
54 2
7
cos 2a=cos2 a- sin2 a=1-2 sin2 a=1-2･⎛ ⎞ =⎝5⎠25

4 次の式を r sin(i+a) の形に変形せよ。ただし，r>0，-r<a≤r とする。
⑴

12cos i>

12
1 xOi=- 122 cos i>13 sin i+ 3 cos ir
与式= 32+( 3 )2 sin⎛ i+ ⎞⎝6⎠r=2 3 sin⎛ i+ ⎞⎝6⎠r⎞⎛
2 3 sin⎝ i+ ⎠6⑵-725（各11点×2）-sin i+cos i3
与式= (-1)2+12 sin⎛ i+ r ⎞⎝4 ⎠3= 2 sin⎛ i+ r ⎞⎝
4 ⎠

3 ⎞
⎛
2 sin⎝ i+ r ⎠4

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得 点

氏 名

4 指数関数，対数関数

100

1 次の計算をせよ。
⑴(26×5-4 )与式=2（各12点×2）

121
6× 2⑵×5

1-4× 2

9 ×4 9 ÷6 3

与式=3 32 ×4 32 ÷6 32=23×5-2=32

1=3 3 ×3 4 ÷3 6211=3 3 + 2 - 6

825=31=3825

32 次の計算をせよ。
⑴（各12点×2）

1-2 log6 34log6

与式=log6=log6⑵11⎞⎛1-log6 32=log6⎝ × 2 ⎠44 3

log4 2+log8 4
与式=

1=log6 6-2 =-2
36=log2 2 log2 4+log2 4 log2 8log2 22 1
12 7+= + =log2 22 log2 23 2
3 67
6－2

3 次の関数のグラフをかけ。
⑴

y=3x-1（各14点×2）
y y=3xy=3x-1⑵y=log xy1
2y=3 のグラフ

底 a は 0<a<1を x 軸方向に 1右下がりの曲線で，x3だけ平行移動する。

y= 12x( )1y=⎛ ⎞ のグラフ
⎝2⎠

1x1OOと直線 y=x につ12x1 12xy=log 12 xいて対称。

4 次の方程式を解け。
⑴

y=x（各12点×2）⑵ log2(x-1)2=3

4x-6･2x +8=0
(2x -2)(2x-4)=0 より，log2(x-1)2=log2 23 より，2x=2，2x=4(x-1)2=8x=1，2x=1±2 2x=1，2x=1±2 2

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得 点

氏 名

5 微分法

100

1 次の問いに答えよ。
⑴（各16点×3）

極限値 limx2 -9を求めよ。
x2+2x-15

与式=lim(x+3)(x-3)
x+3 6 3=lim= =(x+5)(x-3) x→3 x+5 8 4x→3x→334⑵定義にしたがって，関数 f(x)=3x-2 の x=2 における微分係数を求めよ。
f'(2)=lim
h→0=limh→0f(2+h)-f(2)3(2+h)-2-(3･2-2)=lim
hhh→03h=3h3⑶定義にしたがって，関数 f(x)=x +5x を微分せよ。
2f(x+h)-f(x)(x+h)2+5(x+h)-(x2+5x)=lim
hhh→0h→0f'(x)=lim

2xh+h2+5h=lim(2x+h+5)=2x+5hh→0h→0=lim

2x+52 公式を用いて，次の関数を微分せよ。
⑴（各18点×2）⑵2f(x)=3x -2x+4f'(x)=(3x2)'-(2x)'+(4)'32

f(x)=x -5x -x-2
f'(x)=(x3)'-(5x2)'-(x)'-(2)'=3x2-10x-1

=6x-2

6x-2

3x2-10x-1

3 曲線 y=-x2+4x 上の点(1，3)における接線の方程式を求めよ。

（16点）

f(x)=-x2+4x とする。
f'(x)=-2x+4 より，接線の傾きは，f'(1)=2
よって，接線の方程式は

y-3=2(x-1)
y=2x+1y=2x+1

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得 点氏 名6 微分法の応用

100

1 次の関数の極値を求め，そのグラフをかけ。
⑴（各12点×4）⑵

f(x)=x3+3x2+1

f(x)=-x3+3x-1

f'(x)=3x2+6x=3x(x+2)
x… -2 …

f '(x) +0-0…

0+f'(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1)
y5

x… -1 …

f '(x) -f(x) ↗ 極大 ↘ 極小 ↗

0+1…

0-yf(x) ↘ 極小 ↗ 極大 ↘

f(-2)=5

f(-1)=-3f(0)=1f(1)=1

1-1
O

1-1

x

1-2

O

x

1-3

極大値

f(-2)=5

極大値

f(1)=1

極小値

f(0)=1

極小値

f(-1)=-32 次の関数について，( )内の範囲における最大値と最小値を求めよ。
⑴

f(x)=x3-12x+4⑵(-3≤x≤4)

2-3 … -2 …

2…

0+f '(x)+0-f(x) 13↗

20↘ -12 ↗

最大値

f(x)=-x3+3x2+9x-10

f'(x)=-3x +6x+9=-3(x+1)(x-3)
4

x1…
+0-1

↗

17

↘ -15

f '(x)f(x)20…

320 (x=-2，4)

最小値 -12 (x=2)

17(x=3)

最小値-15(x=5)（各14点×2）次の方程式の実数解の個数を求めよ。
3⑵2f(x)=2x3-6x2+5 とする。

yf '(x)=6x(x-2) より…

f '(x) +00…
-x>0 のとき，次の不等式を証明せよ。
x3+3x2+28≥24x

2x -6x +5=0x5

最大値

3 次の問いに答えよ。
⑴(1≤x≤5)2f'(x)=3x -12=3(x+2)(x-2)
x（各12点×2）

2
0…
+［証明］

5x>0 の と き，f(x)=x3+3x2+28-24x の2O-3f(x) ↗ 極大 ↘ 極小 ↗

最小値を調べる。
xf'(x)=3x2+6x-24=3(x+4)(x-2)
x>0 より，f(x)は x=2 で最小値 0 をとる。

f(0)=5，f(2)=-3

よって，x3+3x2+28-24x≥f(2)=0

x 軸と異なる 3 点で交わる。

すなわち，x>0 のとき，x3+3x2+28≥24x3個

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得 点氏 名7 積分法

100

1 次の不定積分を求めよ。 C は積分定数とする。
⑴⑵(3x2+4x-5)dx
1 3
1x +4･ x2-5x+C
32

与式=3･（各16点×2）

x2(x-6)dx
与式= (x3-6x2)dx==x3+2x2-5x+C=
3x4-2x3+C4

1 4
1x -6･ x3+C4
3x4-2x3+C
4

2x +2x -5x+C

2 次の定積分を求めよ。
⑴

30（各16点×2）⑵(x2-4x+5)dx
3x3-2x2+5x3
0

与式=

2-1

2

与式=

30
=⎛ -2･32+5･3 ⎛-⎛ -2･02+5･0 ⎛⎝3
⎝ ⎝3
⎝
3

(x-1)(x+3)dx(x2+2x-3)dx=-1

2x3+x2-3x3-12=⎛ +22-3･2 ⎛⎝3⎝3

3=6-(-1)3+(-1)2-3･(-1)
3=-3
6-33 次の問いに答えよ。
⑴

2

定積分（各18点×2）(2x3+3x2-5x+4)dx を求めよ。

-2与式=2202(3x2 +4)dx=2 x3+4x =32032⑵関数 f(x)=x0(t+1)(t-2)dt の極値を求めよ。

f'(x)=(x+1)(x-2)
f(x)=
=

x02

(t -t-2)dt

x… -1 …

f '(x) +0-2…

0+f(x) ↗ 極大 ↘ 極小 ↗

x3 x2- -2x32
710f(-1)= ，f(2)=63極大値f(-1)=

76極小値f(2)=-103

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得 点

氏 名

8 積分法の応用

100

1 次の面積を求めよ。
⑴（各16点×3）

区間［-1，2］において，曲線 y=x2+1 と x 軸にはさまれる部分
常に y>0S=2(x2+1)dx=-1

2x3+x =63-16⑵曲線 y=x -2x-3 と x 軸で囲まれる部分
2

x2 -2x-3=0 を解いて，x=-1，3 ［-1，3］において y≦03

S=--1

3x3
32-x2-3x =33-1(x2-2x-3)dx=-32
3⑶区間［0，3］において，曲線 y=-x2+4 と x 軸にはさまれる部分-x2+4=0 を解いて，x=-2，2 ［0，2］において y≧0，［2，3］において y≦0
S=20(-x2+4)dx-32(-x2+4)dx=

16 7 23+ =33323
32 次の曲線または直線によって囲まれる部分の面積を求めよ。
⑴（⑴16点，⑵⑶各18点×2）

y=x ，y=x+62

x2=x+6 を解いて，x=-2，3
S=3{(x+6)-x2}dx=--23(x2-x-6)dx=-21256

1{3-(-2)}361256⑵y=x2 -4，y=-x2+2xx2 -4=-x2+2x を解いて，x=-1，2S=

222{(-x +2x)-(x -4)}dx=-2-12-12(x -x-2)dx=91{2-(-1)}339⑶y=-x +4x-2，x 軸
2-x2+4x-2=0 を解いて，x=2± 2
S=

2+ 2
2- 2

(-x2+4x-2)dx=1
8 2{(2+ 2 )-(2- 2 )}3=
6
3
8 23Y─①─1