2P1.

電磁気学に必要な数学(1)P1 電磁気学に必要な数学(1)すべての電磁気現象を説明するマクスウェル方程式は，ベクトルや微分を用いて表されます．本章では，これらの数学を 1 つずつていねいに解説していきます．P1-1節でベクトルとスカラー，P1-2 節では微分，P1-3 節では積分について解説します．
数学に自信がある人は，第 1 章から読み始めても構いません．

P1-1 ベクトルとスカラー◆ ベクトルとスカラー
ベクトルとは向きと大きさをもつ矢印のことで，A ，B ，C や，A，B，Cといった文字で表します．本書では，A ，B ，C のように文字の上に矢印を付けて表すことにします．
ベクトルの例

ABCC

ベクトルは，向きが違っても大きさが違っても違うものになりますが，向きと大きさが同じならば，平行移動は自由にしても構いません(C を参照)．
x，y，z 軸のような直交する座標軸でベクトル A の成分を表す際には，
A ＝ (A，A，A)とします．このとき，その大きさは
 A  ＝ A ＝  A2 ＋ A 2 ＋ A2zAzとなります．
矢印の始点(出発点)を固定したベクトルをA

位置ベクトルといいます．本書では，位置ベクトルを r ＝ (x，y，z) と表すことにします．
また，数のことをスカラーといいます．

Ox

Ax

Ayy

P1-1ベクトルとスカラー

3◆ 単位ベクトルと法線ベクトル
大きさ 1 のベクトルを単位ベクトル，注目した面に垂直なベク面トルを法線ベクトル，大きさ 1 の法線ベクトルを単位法線ベクト
ルといいます．単位法線ベクトルは，一般に n という文字を使っ裏n表て表します．
物理では，面の「表」と「裏」は単位法線ベクトル n を用いて指定するのが一般的で，図のように矢印の先の方が「表」を意味します．
◆ 場
たとえば部屋に吹く風は，この点(場所)では西向きに 1.2 cm/s，あの点では北東向きに 1.5 cm/s というように，空間の各点(つまり，そこらじゅう)で向きと大きさをもちます．
部屋の温度も，この点では 25.2 ℃，あの点では 25.4 ℃というように，空間の各点で値をもっています．このような，各点が性質をもっている空間のことを場といいます．
風の分布のように，各点でベクトルが存在する空間のことをベクトル場といい，温度分布のように，各点でスカラーが存在する空間のことをスカラー場といいます．
場のイメージ

ベクトル場

スカラー場

ベクトル場とスカラー場は，ともに「どの位置か」という位置ベクトルr ＝ (x，y，z) によっても値が変わりますし，「どの時刻か」という時刻 t によっても値が変わります．そのため，ベクトル場を h ，スカラー場を T と表すと，
それぞれ h ＝ h (r，t)，T ＝ T(r，t) と表すことができます．

4

P1.

電磁気学に必要な数学(1)◆ 内積と外積
A×B

A×B
B

Bθ

A×BB

θ
AAAB sin θ

右ねじA
ベクトル A ＝ (A，A，A)，B ＝ (B，B，B) の内積は，図形的には，A ，
B の大きさ A，B と，A と B のなす角度 θ を用いて
 A ･B ＝ AB cos θ(P1.1)と定義され，成分としては，
 A ･B ＝ AB ＋ A B ＋ AB

(P1.2)と定義されます．

また，ベクトル A ，B の外積は，図形的には

向き A から B へと右ねじを回したときに，ねじが進む向き(P1.3)

大きさ AB sin θ(θ：A と B のなす角度，0 ≦ θ ≦ π)と定義され，成分としては，

A ×B ＝ (A B − AB，AB − AB，AB − A B)(P1.4)と定義されます．
コメント
右ねじの回る向きと進む向きの関係は，右手の親指を突き立てて 4 本指を握ったときの，4 本指の向きと親指の向きの関係と同じです．

また，A ×B の向きは，右から 2 番目の図のように左手の親指と人差し指を伸ば
して中指を内側に向けるように曲げて，中指を A ，人差し指を B の向きにしたときの，親指の向きという言い方もできます．さらには，1 番右の図のように右手の 4 本
指をそろえて広げて，親指を A ，4 本指を B の向きにしたときの，手のひらの向きという言い方もできます．
A×BA×BBBθθA
右ねじ右手左手A右手28

P2.

電磁気学に必要な数学(2)P2 電磁気学に必要な数学(2)
本章では，マクスウェル方程式からの一般的な導出事項を解説する際に必要となる数学を 1 つずつていねいに解説していきます．

P2-1 積 分 定 理◆ ガウスの定理
任意の領域 V を用意して(すなわち，どんな領域でもよいので領域を用意して，それを領域 V と書いて)，その領域内でベクトル場 h のダイバージェンス 
div h ＝ ∇･h の体積積分を考えます．
Point
h ：どんなベクトル場でもよい．

ベクトル h閉曲面 S

V：どんな領域でもよい．

領域 V

S：V の表面
するとそれは，領域 V の表面 S 上における h の面積積分(内から外向きを正の向きとする)に等しくなります．これをガウスの定理とよびます．
ガウスの定理どんなベクトル場 h に対しても次の関係式が成り立つ．

 ∇･h dV ＝  h･dS
Vどんな領域 V でもよいので， ∇･h の体積積分はS(P2.1)

領域 V の表面 S におけるh の面積積分に等しくなる．

 は S が閉曲面という意味．
S

コメント
S を「任意の閉曲面」，V を「閉曲面 S に取り囲まれた領域」として，ガウスの定理を記述することもできます．

P2-1

積 分 定 理29

◆ ガウスの定理の証明
この証明は長いので，以下のように( i )と(ii)の 2 つに分けて行います．まず( i )では，考えるべき閉曲面がどんな形であっても，それを細かく分割していくことで，小さな直方体の閉曲面の集まりと考えればよいことを示します．
そして(ii)では，その小さな直方体の閉曲面に注目することを通じて証明を完成させます．
(i)

分割


任意の閉曲面 S についてのベクトル場 h の面積積分 h･dSSについて考えます．

分割閉曲面 S

曲面 Sa曲面 Sbここで，閉曲面 S を図のように 2 つの曲面 Sa と Sb に分割し，

 h･dS ＝  h･dS ＋  h･dS
SSa

曲面 Sa

曲面 SabSb(P2.2)とします．

閉曲面 S1曲面 Sba曲面 Sb

閉曲面 S2

そして，図のように切り口に曲面 Sab と Sba をつけ加えてふたをすることで，それぞれを閉曲面 S1 ＝ Sa ＋ Sab と S2 ＝ Sb ＋ Sba とします．それにともない，閉曲面 S1 と S2 の面積積分は h･dS ＝  h･dS ＋  h･dS h･dS ＝  h･dS ＋  h･dSとなります．

S1SaS abS2SbS ba(P2.3)(P2.4)

1-2

マクスウェル方程式

731-2 マクスウェル方程式◆ マクスウェル方程式


マクスウェル方程式とは，電場 E ，磁束密度 B ，電荷密度 ρ，電流密度 j についての相互の関係(相関関係)を表す次の 4 つの方程式のことです．
マクスウェル方程式

ρ
∂B
 



① ∇･E ＝② ∇×E ＝ −ε0∂t




∂E
 



③ ∇･B ＝ 0④ ∇×B ＝ μ0 j ＋ ε0μ0∂t
(1.11)

こ こ で，ε0 は 真 空 の 誘 電 率 (ま た は 電 気 定 数) と よ ば れ る 定 数 で ε0 ＝8.854… × 10−12 F/m という値をもちます．また，μ0 は真空の透磁率(または磁気定数)とよばれる定数で μ0 ＝ 1.256… × 10−6 N/A2 という値をもちます．
このマクスウェル方程式と，電場と磁束密度の定義であるローレンツ力の式
F ＝ q(E ＋ v×B )によって，電磁気学のすべての現象を説明できます．
コメント
マクスウェル方程式のざっくりとしたイメージは，次のようになります．

①


Eのの法則

②


Eのの法則

③


Bのの法則

④


Bのの法則

わ
1 番目の法則は，電場 E が湧き出したり，吸い込んだりする形をするときの法則
で，2 番目の法則は，電場 E が回転する形をするときの法則です．3 番目の法則は，

磁束密度 B が湧き出したり，吸い込んだりする形をするときの法則で，4 番目の法
則は，磁束密度 B が回転する形をするときの法則です．

ちなみに，ε0 と μ0 と光速 c の間には ε0 μ0 c 2 ＝ 1 という関係があり，この関係を用いてマクスウェル方程式を書き換えることもできます(5 章の発展を参照)．

74

1.

マクスウェル方程式◆ マクスウェル方程式 ①(1.11)の 1 番目のマクスウェル方程式はガウスの法則とよばれる法則で，電わ場の湧き出し，吸い込みがあるときは電荷(電荷密度)が存在していることを意味しています．本書では，マクスウェル方程式 ①と表すことにします．
マクスウェル方程式 ①

ρ
 

∇･E ＝
ε0
電場 E の湧き出し，電荷密度 ρ が存在している．
吸い込みがあるときは
ε0 は真空の誘電率とよばれる定数．

 
電荷密度 ρ が正の場合は ∇･E > 0 となり，これは，正の電荷のまわりには
電場 E の湧き出しが生じていることを意味しています((P1.9)を参照)．一方，
 
電荷密度 ρ が負の場合は ∇･E < 0 となり，これは，負の電荷のまわりには電
場 E の吸い込みが生じていることを意味しています．
次の図は，点電荷と面電荷(すなわち，平面上に分布した電荷)のまわりの電場のようすを示しています．正の電荷のまわりには電場の湧き出しがあり，負の電荷のまわりには電場の吸い込みがありますね．

EE＋−

正の点電荷

負の点電荷

E

正の面電荷

E

負の面電荷

1-2

マクスウェル方程式

75◆ マクスウェル方程式 ②(1.11)の 2 番目のマクスウェル方程式はファラデーの法則とよばれる法則で，電場が回るときは磁束密度が時間変化していることを意味しています．本書では，マクスウェル方程式 ②と表すことにします．
マクスウェル方程式 ②
∂B
∇×E ＝ −∂t
電場 E が回るときは 磁束密度 B が時間変化している． 
電場 E の向きと −∂B /∂t の向きは，右ねじの回る向きと進む向きに対応しています(ローテーションの意味のまとめを参照)．
−∂B∂t−E∂B∂tE

高等学校の物理で習った，固定してあるコイルに磁石を遠ざけたり，近づけたりする話を思い出して下さい．このとき，コイルには起電力が発生しまし
た．これに対応しているのが，∇×E ＝ −∂B /∂t の関係です．
たとえば，図のように磁石を近づけるとき(すなわち，コイルを貫く上向き
の磁束密度 B が増加するとき)，コイルには上から見て時計回りの起電力が発生します．これは，上から見て時計回りに回転する電場 E が発生することを意味します．
B が増加し，−∂B/∂t が負磁石を近づけるとき対応NS起電力が発生する．

E
この電場 E の線積分が起電力に対応する．

80

2.

2

一般的な導出事項

一般的な導出事項

本章では，マクスウェル方程式からの一般的な導出事項について解説していきます．2-1 節でマクスウェル方程式の積分形，2-2 節で電気量保存則，2-3 節で重ね合わせの原理，2-4 節でポテンシャルについて解説します．

2-1 積分形のマクスウェル方程式◆ 積分形のマクスウェル方程式 ①(1.11)のマクスウェル方程式 ①を，固定した領域 V で体積積分すると，次のようになります．
ρ ∇･E ＝ε0

両辺を領域 V で体積積分して，

1∇･E dV ＝ ε  ρ dVV0V

定数 ε0 を積分の前に出した．

ここで，領域 V の表面を S として左辺にガウスの定理(P2.1)を用い，領域V 内の電気量を Q として右辺に電荷と電荷密度の関係(1.1)を用いると，次の関係式が得られます．
Q E･dS ＝ εS0

この関係式は積分形のガウスの法則とよばれる法則で，本書では積分形のマクスウェル方程式 ①と表すことにします．
積分形のマクスウェル方程式 ①Q

 E･dS ＝ εS0

閉曲面 S における真空の誘電率とよばれる定数
E の面積積分○印は S が閉曲面であることを意味．

閉曲面 S を表面とする
領域 V 内の電気量

(2.1)

2-1

積分形のマクスウェル方程式81

この関係式はwどんな閉曲面でもよいので閉曲面を用意してそれを S と書
くと，その S における電場 E の面積積分は，その S で囲まれた領域内の電気量 Q に 1/ε0 をかけ算したものに等しいという意味です(ε0 は真空の誘電率とよばれる定数)．
参考
非常にざっくりした言い方をするならば，左辺の E･dS は閉曲面 S におけるw電S場の大きさ × 面積に等しいです．そして，これは閉曲面をつらぬく電気力線の本数に対応しています((1.8)を参照)．
また，Q > 0 なら E･dS > 0 となり，これは閉曲面 S から全体として湧き出すS
向きに電場 E がつらぬくこと，すなわち電気力線が出ていくことを意味します．逆に，Q < 0 なら E･dS < 0 となり，これは閉曲面 S へと全体として吸い込まれるS
向きに電場 E がつらぬくこと，すなわち電気力線が入っていくことを意味します．

以上から，この積分形のマクスウェル方程式 ①を電気力線の本数を用いて述べるのであれば，
w電気力線が，電荷 ＋Q からは Q/ε0 本出て，電荷 −Q へと Q/ε0 本入るといえます．
Q＝ 4πQ 本ε0Q
＝ 4πQ 本
ε0＋Q−Q

なお，第 3 章の(3.8)でクーロンの法則の比例定数とよばれる定数  を
＝14πε0と定義しますが，これを用いると，Q/ε0 本は 4πQ 本とも書き換えができます．これが高等学校の物理でしばしば出てくる，電気力線を用いた積分形のマクスウェル方程式 ①(積分形のガウスの法則)です．
電気力線を用いた積分形のマクスウェル方程式 ①
電気力線は

Q＝ 4πQ 本出る．
ε0Q＝ 4πQ 本入る．
−Q へと
ε0＋Q から(ε0 ：真空の誘電率，：クーロンの法則の比例定数)

862.

一般的な導出事項

2-2 電気量保存則◆ 電気量保存則(1.11)のマクスウェル方程式 ④
∂E

∇×B ＝ μ0 j ＋ ε0 μ0∂tの両辺のダイバージェンス(∇･)をとると，
∂E
∇･(∇×B ) ＝ ∇･ μ0 j ＋ ε0 μ0∂t  ∂E＝ μ0∇･ j ＋ ε0 μ0∇･∂t

定数 ε0 と μ0 を∇ の前に出した．

∂   ＝ μ0∇･ j ＋ ε0 μ0∇･E∂t

微分等式 ②を用いた．となります．ここで左辺に div(rot) の定理 ①(P2.24)を，右辺にマクスウェル方程式 ①を用いると∂
 0 ＝ μ0∇･ j ＋ ε0 μ0∂t ερ 0より，∂ρ ∇･ j ＝ −∂tという関係式が得られます．これを電気量保存則とよびます．
電気量保存則∂ρ ∇･ j ＝ −∂t( j ：電流密度，ρ：電荷密度，t：時刻)

(2.5)

コメント
電気量保存則は，電荷保存則や電気量の連続の式ともよばれます．

この電気量保存則の意味を考えてみましょう．
 
電流密度 j が湧き出す形をしているときには ∇･ j は正，吸い込む形をして いるときには ∇･ j は負となります．また，電荷密度 ρ が減少するときには(∂ρ/∂t は負となるので)−∂ρ/∂t は正となります．増加するときは(∂ρ/∂t は正となるので)−∂ρ/∂t は負となります．

2-2

電気量保存則87

このことから，電気量保存則は次のように解釈ができます．
電気量保存則の解釈 ( i ) ∇･ j > 0 のとき
ρ 減少j

∂ρ
 
∇･ j ＝ −∂tj が湧き出す形をρ が減少しているときにはしている．

 (ii) ∇･ j < 0 のとき
ρ 増加j∂ρ ∇･ j ＝ −∂tj が吸い込む形をρ が増加しているときにはしている．

 
なお，∇･ j ＝ 0 のときには ∂ρ/∂t ＝ 0 となります．これは，電流密度 j が湧き出しも吸い込みもない場合には，電荷密度 ρ が時間変化しないことを意味します．
◆ 積分形の電気量保存則(2.5)の電気量保存則を，固定した領域 V で体積積分すると，∂ρ ∇･ j ＝ −∂t∂ρ ∇･ j dV ＝ − ∂t dVd j･dS ＝ − dt  ρ dVVVS

V

両辺を領域 V で体積積分して，マイナスを積分の前に出した．
左辺にガウスの定理(P2.1)を使い，右辺は時間微分を積分の前に出した．という関係式が得られます．これを積分形の電気量保存則といいます．
コメントρ は時刻 t のみならず位置 r の関数なので，その時間微分は偏微分 ∂/∂t になりますが，ρ を体積積分したものは単なる時刻 t のみの関数になるので，その時間微分は単なる微分 d/dt になります．

166

6.

静 磁 気 (2)

[例題 6-2]
点 O を中心とする半径 r の円周上を一定の電流が流れています．電流は水平面上にあり，上から見てこのとき，以下の問に答えなさい．ただし，真空の透磁率を μ0 とします．

Or

反時計回りに流れており，その大きさを I とします．
電流素片（長さ Δl）

I
長さ Δl の電流素片が中心点 O につくる磁束密度 ΔB の大きさと向きを求めな

(1)

さい．


円形電流全体が中心点 O につくる磁束密度 B の大きさと向きを求めなさい．

(2)
[解]
(1)

求める磁束密度の向きは，図のように電流素片に対して右ねじが回る向きで表されるので，鉛直上向きとなります．
ΔB
Or

ΔB

ΔB

Ir

O

右ねじIO
θ ＝ 90°I

また，求める磁束密度の大きさは，電流素片と点 O との距離が r となることと，電流の向きと，電流素片から点 O へと向かう向きが角度 θ ＝ 90° をなすことより，
ΔB ＝(2)μ0 I sin 90°
μ0 I
Δl ＝Δl4πr 24πr 2(鉛直上向き)

求める磁束密度の大きさは，円周に沿ってこの電流素片がつくる磁束密度をたし合わせたものなので，円周を経路 C として，
B＝と表されます．ここで，定数である

μ0 I

 4πr dl
C2μ0 Iを前に出して，4πr 2

 dl ＝ (半径 r の円周) ＝ 2πrCであることを用いると，
B＝となります．

μ0 Iμ0 Iμ0 I 4πr dl ＝ 4πr ･2πr ＝ 2r
C22(鉛直上向き)

6-2

ビオ - サバールの法則

167

BOr

III
右手右ねじこの例題の(2)の結果を見直してみると，円形電流によって生じる磁束密度の向きは，電流を右ねじの回る向きとしたときに，ねじが進む向き(または電流を右手の四本指の向きとしたときに，親指の向き)ともいえます．
円形電流が中心につくる磁束密度B

円形電流 I に対して右ねじが進む向きに
大きさr

B＝OI

μ0 I2r(r：半径，μ0：真空の透磁率)

コメント
直線電流がつくる磁束密度のコメントで述べた磁場 H を用いれば，半径 r の円形電流が中心につくる磁場 H は，電流に対して右ねじが進む向きに，大きさ
H＝I2rになります．これが高等学校の物理で学ぶ，円形電流が中心につくる磁場の式に対応します．
[例題 6-3]
点 O を中心とする半径 r の円周上を一定の電流が流Pれています．電流は水平面上にあり，上から見て反時計回りに流れており，その大きさを I とします．点 O

hから鉛直上向きに距離 h だけ離れた点 P における磁束密度の大きさと向きを求めなさい．ただし，真空の透磁率を μ0 とします．

OIr