数理解析研究所講究録 1257 巻 2002 年 210-222

210『圓理弧背綴術』の著者について 一兼庭撰と関連して
内田

孝俊 (Takatoshi UCHIDA)

0. 緒言『{?}理 M 背術 1 あるいは『圓理綴術」という書名の写本があるが、これら ta 全く内容力 “同一、本稿の参考文献としては『圓理綴術肋燭い里如 T『圓理綴術』としておく。とであってれも巻首尾誌語ともに本多利明誌となって る。今井兼庭も同題名の写本ころで、こ[林 913])1,\yen 述を ており、幸いにも本多利明自筆の写本が、両方 (不休撰 [林 911]、兼 g 撰$\mathrm{A}\mathrm{a}$$\sigma\supset \mathrm{n}u$$\text{の}$}にある。そこで の 2 本を底本とするが、 この写本は他の写本と違った特徴がある。特 こ、な( 内こ gt、他}こ\yen 題に ae げた書名のように、共に『円理弧背綴術 1 となっており、不休撰
1ゝ
題名があって、「円理弧背術解 全」 となっている。
そして、重 . なポイン となるが、 「不休撰」を 2 つの部分に分}} て考えた 1 。そ を仮$<$ 後 >)。
とく後編 $>$ とする。 (略して、
く前 $>$ は半背巾 く後 $>$に、$>$ に考え方の重大なミスカくあ
く後は\not\in 背巾の展開式 (級数形) を求める違いに留まらず、$\llcorner\vee$$\mathrm{a}$$\mathfrak{l}\mathrm{h}$$*\iota$$\lambda$$|\text{、}$$<\mathrm{f}\overline{\mathrm{l}’\downarrow}>,$$\text{、}$$<\mathrm{f}\tilde{\mathrm{l}^{1}\mathrm{J}}\not\in^{\overline{-}}>$

題るとと捕、 え れらでる ると。から こ兼れ庭も撰は前後編 方と 後、径編矢に分、弧けたい の (ここをで求はめ本る稿$\text{の}>$$\text{あ}\llcorner\vee$$\text{。}\mathrm{f}_{\mathrm{B}}7$$|\mathrm{h}<$$\text{、}_{arrow}^{\vee}$$t^{\mathrm{a}}\downarrow’ \mathcal{D}$$l\ovalbox{\tt\small REJECT}$の趣旨から $<$ 後 $>$ は採りあげない。)と$\vec{\mathrm{e}_{-}}$

ろで、本多の誌語であるが、誰が見ても直ちに巻首尾に根本的な違いがある、 こと.ae

れをそのまま、つ(こナに気づく。 藤利貞は写本にそのことを書き添えてあり (の継*から、
『円理
\Re
術
1
もある。
)
[
林
912]
巻首尾に共通した書した写本
加えて、れも不 flfl な点があるかもしれないが) 今は誌語通り、利明は兼庭から受け継いだものとし$[\hslash 083\S]_{\text{。}そ}$$i_{\mathrm{R}}^{\mathrm{g}}$て考え、この不休撰と兼庭撰を採り上げた。
とこ 6 で、本表題の [ $\cdots$ の著者について」 とある著者を特定したわけで} なく、建$\mathrm{h}$ろしうが、) 内お のしい要と思記われしてる所が批あ判るのを仰で、ぎた賢弘と思 , た対わ間け違わ$\text{も}$言い弘き$\text{の}\mathrm{g}*\iota r_{\overline{\mathrm{A}}}$$\tilde{.\sim}|.\backslash \backslash$い

そこで、巻首尾誌語を記し、次の節から I.

後編
最後に
$<$

$>$

.

$\text{であ}t_{\overline{\mathrm{A}}}\mathrm{t}^{\mathrm{a}}$$\acute{\theta}^{\tau}\theta_{A}^{\mathrm{a}}$$\text{ }.$$\text{ }$. 節として、不休撰のく前編

$>$

とる。

、

そして 兼庭撰の く前編 $>$ のそれぞれの内容の概要を書き、 ミスを指摘しつつ. 節結語として、 その違いの部分の大略を比較してみた 1 と思うのである。

先ず、巻首尾誌語を挙げておく。
巻首誌語
延宝年間 — 関家絶\hslash 其
此書 関孝和先生 / 遺書ニシテ関流一派 / 長器ナリ
7 造製
此円理弧
謀
/
倶
—
後先生生 / 高弟タル建部家 馬客タリ建部生$f$ #.\acute J‘. 師今井兼庭コレ (^7 マ)#\acute
後又コレ
授
シテ名 7 綴術 云而コレヲ門弟子—の印
魯鈍斎利明誌計ヲ
授 $f$ 以 鴻賓トス文化五成辰年五月望
巻尾誌語$\ovalbox{\tt\small REJECT}\overline{\tau}$$/\backslash$$\text{背}\Psi_{\mathrm{J}}\not\in$$\overline{\tau}$$\text{ト}$$7^{\overline{-}}$$\text{ト}$. 此書、建部不休先生之製作也、其向授時暦之起源詳解社 ‘Bl 獣鳩沖撰者之時、製$’\mathrm{a}\mathrm{L}\eta\beta \mathrm{g}$$\#_{\backslash }--$$\overline{\tau}$

率之密法、而秘蔵於殊者
為至實至賓秘蔵焉、本多利明謹

作円$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\grave{\eta}$

此書也、 . 師兼庭授之復重賓突、$\#$$\#_{\backslash }$再授之、而

$\ovalbox{\tt\small REJECT}-$

I. 不休撰 く前編 $>$ の内容の概要『圓理弧背綴術 1 の写本の内容としての構或上、 見逃すことのできな (‘保管状況から述べる。本体は濃紺のクロス張りの厚紙に挟まれて紐で結ばれて 1 る。 {?}のクロス張りを開
くと \Xi 側のひだり (クロス張りの裏表紙の内側) に、 いま時の茶封$\ovalbox{\tt\small REJECT}$が貼りつけされて、その中に縁のボサボサした和紙が人っている。この和紙に前述の巻首誌語と称される文が書かれていて、末尾に三十六方位盤の朱印が押され、 に、改行して上部に、大きく円理綴る。従ってこの別紙は、本多が書いたものと見てよく、本文 1 こ 41 綴術と書かれて るの$\Sigma$$\mathrm{A}\mathrm{a}$$\text{であ}$じられていないのである。2 ゝ$\mathrm{I}-1$

さて、

. 開方式

*体であるが、三十六方位盤の朱印の一 T 後から、文頭題名があって本文が始まる。
$\mathrm{B}\text{理}\mathfrak{W}\text{背^{}\prime}\text{術}$$\not\in \mathrm{B}\hslash l$$\text{ト日_{。}-\llcorner/87}7\text{、}\mathrm{f}\mathrm{f}\text{先生}\mathrm{a}\mathrm{e}\overline{\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\text{ト}}\mathrm{Z}}$

日。求之術
長7弦
弧形トハ圓欽 7 云ナリ。中閑 7 矢 日。
弦ト
7‘ 是ヲ
7
股トシ。全圓径
7
鉤トシ。傍弦
。其斜弦
/
7
容
内
—
数万斜
7
弧形
以 矩トシテ。依句股互換之術各矢 7 求 。全径及#其半斜数幕 7fflae テ a々汎
例 7 探索シテ設本術也。
半幕トシ。諸差 / 極限 7 探会シテ。定半背幕 7 得 。諸$\text{ト}$$\mathrm{T}/$$\triangleright$$\circ$$\grave{\backslash }y$$\overline{\tau}$$\overline{\tau}$$\grave{\text{差}}/$$\overline{\tau}$211
以上は、定半背幕 g 求める方法を順に説明し、その間の図形につぃて必要な用語を、定る。 次に 「演段」 として、弧をっぎっぎに 2 等分して弦でっなぎ、弦 中 に.

義し$\text{て}1^{\mathrm{a}}$$\text{の}$$\beta_{\backslash }.$に\Delta -.L つ線分を、矢と呼 ff‘ て各矢長を順に求めると述べて、 「演段図 oe」 「勾之図」があり、相似 (直角) 三角形より、径・矢斜巾 であ @ ことを証明してぃる。
垂$\text{直}$$\text{し}$$\Re\Xi \mathrm{R}$$=$$\mathrm{r}\frac{\mathrm{R}}{*}$$\bullet \mathrm{a}\backslash \mathrm{a}$$\wedge$

回

図

1

2

$+-\cdot+-$$524288\mathrm{d}^{9}$

G)$1048576\mathrm{d}^{10}$

第 1 項を元数、ae 2 項以 T を一差、二差、三差、...、と呼称してぃる。上式は十差の 11 項まで求 ているが、規則性を見っけ出せるので、 六差位でょいといい、 そして、次のよう$\text{め}$に、変形している。 (下式。 六差位でょいといってぃるのは、規則性を見い出変形した T 式をいっているのであろう。 乙矢を求めるときの下記を参照)$\mathrm{h}1=\mathrm{A}_{10}+\mathrm{A}11+\mathrm{A}_{12}+\cdots\cdots$$\mathrm{h}$1$\mathrm{h}$

1

$\#$

るので、

とすると :

右乗 (和数字$\rangle$$\mathrm{h}_{1}=-+-44\mathrm{A}_{10}-+-\mathrm{d}2\mathrm{A}_{11^{\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{d}}+\frac{5}{8}}}\mathrm{A}_{12^{\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{d}}+\frac{7}{10}}}\mathrm{A}_{18}\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{d}}+\frac{3}{4}\mathrm{A}_{14}\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{d}}+\frac{11}{14}\mathrm{A}_{15}\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{d}}$$\mathrm{h}$1$\mathrm{h}$3$\mathrm{h}$57$\mathrm{h}$9$\mathrm{h}$$\mathrm{h}$11

左除 (和数率)$\mathrm{h}$$(^{*}\mathrm{A}_{1}$$=-+-44\mathrm{A}_{10}+-\mathrm{d}6\mathrm{A}_{11}-+-\mathrm{d}8\mathrm{A}_{1\mathrm{z}_{\mathrm{d}10}^{-+-}}\mathrm{A}_{1\mathrm{s}_{\mathrm{d}12}^{-+-}}\mathrm{A}_{14}-+-\mathrm{d}14\mathrm{A}_{15}-\mathrm{d}$ぃK$i するも a は

かれてぃな )$|\iota$数係数を、. 一般的に書くと、(IK) 式に$\mathrm{i}=2$$\mathrm{m}$差の数係数 :

$1+2(\mathrm{m}-1)$$2\mathrm{m}-1$$4+2(\mathrm{m}-1)$$2\mathrm{m}+2$

$t$

)

7ゝ

と置いて 、開方式 :$-\mathrm{d}\mathrm{h}1+4\mathrm{d}\mathrm{h}_{2}-4\text{、}\mathrm{h}_{2^{2}}=0$(I$\mathrm{x}_{-2)}$

として、乙矢 (22 斜矢) を求めるのであるが、: 甲矢 (2 斜矢) の十差まで (G)式) を実としている。 かくして求めた: 乙矢 (22 斜矢) は$\mathrm{h}_{1}$$\mathrm{h}_{2}$$\mathrm{h}$$5\mathrm{h}^{2}$$21\mathrm{h}^{\epsilon}$$429\mathrm{h}^{4}$$2431\mathrm{h}^{5}$$29393\mathrm{h}^{0}$$\mathrm{h}_{2}=-+16\overline{256\mathrm{d}}+++++\frac{185725\mathrm{h}^{7}}{67108864\mathrm{d}^{6}}2048\mathrm{d}^{2}65536\mathrm{d}^{\}524288\mathrm{d}^{4}8388608\mathrm{d}^{5}$

212$611656755\mathrm{h}^{11}$$383631595\mathrm{h}^{10}$$64822395\mathrm{h}^{9}$$++-+-+-\underline{9674845\mathrm{h}^{\epsilon}}$$\mathrm{h}2=\mathrm{A}_{20}+\mathrm{A}_{21}+\mathrm{A}_{22}+\cdots\cdots$$3\cdot 5$$\mathrm{h}$$7\cdot 9$$\mathrm{h}$とすると :$11\cdot 13$$\mathrm{h}$(2)$4 93046511104\mathrm{d}^{10}$$549755813888\mathrm{d}^{9}$$34559738368\mathrm{d}^{\epsilon}$$4294967296\mathrm{d}^{7}$$\mathrm{h}$$15\cdot 17$$\mathrm{h}_{2}=-+-\mathrm{A}_{20}-+-\mathrm{A}_{21}-+-\mathrm{A}_{22}-+\mathrm{d}\overline{18\cdot 20}\mathrm{A}_{2\}\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{d}}+.\frac{19\cdot 21}{22\cdot 24}\mathrm{A}_{24}\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{d}}+\frac{23\cdot 25}{26\cdot 28}\mathrm{A}_{25}\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{d}}$16$6\cdot 8$$10\cdot 12$$\mathrm{d}$$14\cdot 16$$\mathrm{d}$とまで、変形している。(ここでは、A2 に相当する元数、一差、二差、... は書かれていて、左除右乗は共に和数字となっている。 もちろん傍書法である。 )$\mathrm{i}$ここで、「以原矢直設諸矢」として、各矢の各差を帰納的に求める方法を示している。例えば、例を挙げて、現代式に書くと ((別表) 参照) :乙矢五差:A2$\mathrm{s}^{===}\mathrm{a}_{25}4^{5}\mathrm{a}_{15}+2\mathrm{a}_{20}\mathrm{a}_{24}+1\cdot \mathrm{a}_{21}\mathrm{a}_{2l}+2\mathrm{a}_{22}^{2}\underline{29393\mathrm{h}^{t}}$(22 斜矢)4$\mathrm{b}_{25}$4$\mathrm{a}_{ 5}$

丙矢五差:

’

$8388608\mathrm{d}^{5}$$\mathrm{b}_{15}$$\mathrm{a}_{25}+2\mathrm{a}_{\mathrm{s}\mathrm{o}}\mathrm{a}_{ 4}+1\cdot \mathrm{a}_{ 1}\mathrm{a}_{}+2\mathrm{a}_{ 2}^{2}$$= \frac{3202465\mathrm{h}^{t}}{34359738368\mathrm{d}}5$$\mathrm{A}_{ 5}=\overline{\mathrm{b}_{ 5}}$(23 斜矢)$4^{5+1}\mathrm{b}_{25}=$

一般の矢については、次のようになる:1$4\mathrm{a}_{\mathrm{n}-1}.1+\mathrm{a}_{\mathrm{n}0^{2}}$44$\mathrm{a}_{\mathrm{n}-1.2}+\mathrm{a}_{\mathrm{n}0}\mathrm{a}_{\mathrm{n}1}$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}-1}$(2 n 斜矢): $\mathrm{h}_{\mathrm{n}}=-+-++4^{\mathrm{n}}\overline{4^{\mathrm{s}}\mathrm{b}_{\mathrm{n}-1\prime 2}}$$4^{2}\mathrm{b}_{\mathrm{n}-1}.1$......
$+-+\cdot$
4.

$’+4\mathrm{a}_{\mathrm{n}0}\mathrm{a}_{\mathrm{n}2}+\mathrm{a}_{1}^{2}$$4^{4}\mathrm{b}_{\mathrm{n}-1,\}$$+-$$4^{4}\mathrm{a}_{\mathrm{n}-1.4}+\mathrm{a}_{\mathrm{n}0}\mathrm{a}_{\mathrm{n}\}+2\mathrm{a}_{\mathrm{n}1}\mathrm{a}_{\mathrm{n}2}$$\mathrm{b}_{\mathrm{n}-1.4}$

4$\mathrm{a}_{\mathrm{n}-1}$.

$\tau+8\mathrm{a}_{\mathrm{n}0}\mathrm{a}_{\mathrm{n}0}+4\mathrm{a}_{\mathrm{n}1}\mathrm{a}_{\mathrm{n}5}+8\mathrm{a}_{\mathrm{n}2}\mathrm{a}_{\mathrm{n}4}+\mathrm{a}_{\mathrm{n}\}^{2}$$4^{\epsilon}\mathrm{b}_{\mathrm{n}-1,7}$

この方法は七差までで、次に、次の様なことが書いている。[諸矢八差以上 7 求 例術
開方開除 / 法— 隨 。商方相乗シテ実級— 聚 ’ 所 7 以 如前索之ヘキナリ。の 八差以上求開方開除 / 労ナク容易諸矢 7 求ル術喜之シテ繁 $p$ 不記也。」 段 げて [右 / 術— 因$>$ に戻っ$/$とあって、再ひくホーナー法」
両矢 ’ 設 開方式 7 順丙尚前例 7 試ゝ(
八斜矢)を求めている。
て、 乙矢から丙矢(I りにと置いて、開方式 :
(I
)
$-4
ここの
には (2 ) 式の五差までしか代入していない。得た結果も同様である。
$2$.

$J\triangleright$$\mathrm{T}$$J\backslash$。

$7^{\overline{-}}$$7^{\overline{-}}$$J\mathrm{I}$$\overline{\tau}$$r\triangleright$$\overline{T}\text{。}$$/\triangleright\grave{k}$$r\triangleright$$\mathrm{T}$$\text{ス_{。}}$$\epsilon$$\mathrm{i}=3$$\mathrm{r}_{-3}$$\mathrm{h}\mathrm{s}^{2}=0$$-\mathrm{d}\mathrm{h}_{2}+4\mathrm{d}\mathrm{h}$$\mathrm{h}_{2}$I–3. 汎半背巾の式「求汎半背巾」の項として、書かれていることを現代風に書き表す。
二斜面巾・半斜数巾 $1=$ 原汎半背巾
原矢・径 二斜面巾
四斜面巾・半斜数巾 $4=$ 甲汎半背巾
甲矢・径 四斜面巾
八斜面巾・半斜数巾 1 $6=$ 乙汎半背巾
乙矢・径 八斜面巾
「丙矢以上依前術得各汎半背巾」 とある。
$=$
$=$

$=$

かくして、 甲矢\sim 発矢までの 10 個の矢に半斜数巾と径 :(21)汎半背巾の各項 (表 2) となるのである。

2$\mathrm{d}\mathrm{h}\iota$を掛けて、各I-4. 定半背巾の式「探索元数及諸差極限」の項として 、原数から五差まで、 甲 \sim 発までの 10 個の分数

係差数はを 7 小数掛 直るとし$\mathrm{F}|\check{\mathrm{e}.}$, 者る。は 9(が並表び)められるが、五差は$)$。者元数 8 が、“ –ぶ、 差と} , たに推約察術 . れよ 6t\mbox{\boldmath $\tau$}‘ . 極、ニ、が求四$1^{\mathrm{a}}\mathrm{a}\text{直}$$|^{\vee}\text{さ}$$\backslash \text{。}\backslash ^{\backslash }--$$\text{、て_{}\mathrm{f}\frac{1^{\mathrm{a}}}{\mathrm{l}J}}$$\text{、}$7 も 9 も掛けても、汎背巾の商一十件 ( 甲 \sim 発) では分からないので、重ねてー十三四件の商を求めて、極限を求めてさだめるべきである。 ( けれども)故に五差を用いないで、 元数と四差までで諸差の極限を探索する。 とある。 ((表 3))
ここで、 「細術」の項として極限 C 値) をまとめている。 ((表 3) の T 欄に極限値)「元数者各一個ナル故真以一個為極限、然者四分之一ナリ、 」とある。 この項最後に「列原、四差如左」 とあって各行毎に数及、 -、
一差極数
三分之.–
四分之一
原極数
三十五分之四三差極数
四十五分之八
二差極数
一千五百七十五分之一百二十八
四差極数「極数」なる呼称が出てくるのである。極とあって、 ここで初めてで、ここだけであるが、限と違うのは原極数だけである。 9 ゝ– —、$y\backslash$。

213
ここからく前編 $>$ の最終段階、定半背巾の式に入る。
「探索逐除術的例」
元数、一差 四差の各差毎に書いている一連の表現を、和の形で続けて書いて行く。
$(\mathrm{s}/2)^{2}=\mathrm{B}0+\mathrm{B}1+\mathrm{B}2+\mathrm{B}$$+B 4 とすると :$\sim$

18

4$\mathrm{h}^{\epsilon}$128$\mathrm{h}^{4}$

1$\mathrm{h}^{5}$$( \frac{\mathrm{s}}{2})=\mathrm{d}\mathrm{h}+-\mathrm{h}^{2}+--+-+-23$

45

1

35

$\mathrm{d}$8$\mathrm{h}$$\mathrm{h}$$\mathrm{d}^{2}$

9$\mathrm{h}$

1575
32

3
1

$\mathrm{d}^{\mathrm{s}}$$\mathrm{h}$$=\mathrm{d}\mathrm{h}+-\mathrm{B}_{0}-+-\mathrm{B}_{1}-+-\mathrm{B}_{2}-+-\mathrm{B}_{\epsilon}-$3

15$\mathrm{d}$14$\mathrm{d}$分母・子に奇数番目の差:$2\cdot 2$$4\cdot 4$$\mathrm{h}$45$\mathrm{d}$$\mathrm{B}_{1}$,$6\cdot 6$$\mathrm{h}$

に

3

45

$\mathrm{d}$4480$\mathrm{h}$280$\mathrm{d}$$2\cdot 4$$\mathrm{h}$$\mathrm{d}$$3\cdot 3$$\mathrm{h}$$3\cdot 5$$\mathrm{d}$$2\cdot 7$$\mathrm{d}$4 を掛け、偶数番目 :$8\cdot 8$$\mathrm{h}$180$\mathrm{h}$$\mathrm{h}$6300$\mathrm{d}$$4\cdot 8$$\mathrm{h}$$\mathrm{h}$$=\mathrm{d}\mathrm{h}+-\mathrm{B}_{0}-+-\mathrm{B}_{1}-+-\mathrm{B}_{2}-+-\mathrm{B}_{\epsilon^{-}}$$\mathrm{d}$$\mathrm{B}_{\mathrm{g}}$24$\mathrm{h}$$=\mathrm{d}\mathrm{h}+-\cdot \mathrm{B}_{0}-+-\mathrm{B}_{1}-+-\mathrm{B}_{2}-+-\mathrm{B}_{\epsilon}-$$\mathrm{B}_{2}$,$\mathrm{B}_{4}$$5\cdot 9$$\mathrm{d}$に$\mathrm{d}$2 を掛けて、$\mathrm{h}$$=\mathrm{d}\mathrm{h}+-\mathrm{B}_{0}-+-\mathrm{B}_{1}-+-\mathrm{B}_{2}-+-\mathrm{B}_{\epsilon^{-}}$$3\cdot 4$$5\cdot 6$$\mathrm{d}$$2^{2}$$4^{2}$$\mathrm{h}$$7\cdot 8$$\mathrm{d}$$\mathrm{h}$6$9\cdot 10$$\mathrm{d}$$8^{2}$$\mathrm{h}$$\mathrm{d}$$\mathrm{h}$$=\mathrm{d}\mathrm{h}+-\mathrm{B}_{0}-+-\mathrm{B}_{1}-+-\mathrm{B}_{2}-+-\mathrm{B}_{\}-$(HX は BI に$3 するものは g かれてぃな )3579
これは、「不休綴術」及び「乾坤之巻」の結果と同じである。これを現代風に一般的に書くと:$\cdot 4$$\cdot 6$$\mathrm{d}$$\mathrm{d}$$\cdot 8$$\cdot 10$$\mathrm{d}$$\mathrm{d}$$\{\iota$$\Sigma\underline{(2\mathrm{m})2}\mathrm{B}_{\mathrm{m}-1}\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{d}}$$( \frac{\mathrm{s}}{2})=\mathrm{d}\mathrm{h}+2$$\mathrm{m}=1(2\mathrm{m}+1)(2\mathrm{m}+2)$. 不休撰 く後編 $>$ の内容の概要
冒頭は「間」 「答云」 「術日」文の形式をとっている。

(図斗》

術日置径矢相乗四因而得数為原数、乗矢

四因之、 以径乗之三除四除而為–. 差、置一差乗矢
又乗一十六 (計\Uparrow ) 以径除之五除六除而為二差、置二差乗矢
又乗三十六 神) 以径除之七除八除而為三差、置三差乗矢
又乗六十四 (八神) 以径除之九除一十除為四差、置四差乗矢
又乗一百
以径除之一+一除一十二除而為五差、置五差乗矢$\langle^{[perp]}/\backslash$$(rightarrow 0\mathrm{f}\Uparrow)$

又乗–百四十四以径除之一十三除一十四除而為六差、

これを現代式に表すと、次のようになる。
$+ $\cdots$$\mathrm{s}=\mathrm{B}2+0\mathrm{B}1+\mathrm{B}2+\mathrm{B}$24$\mathrm{h}$$+\mathrm{B}6$$\mathrm{h}$6とすると :$8^{2}$$\mathrm{h}$$\mathrm{h}$1012$\mathrm{h}$$\mathrm{h}$$\mathrm{s}2=4\mathrm{d}\mathrm{h}+-\mathrm{B}_{0}-+-\mathrm{B}_{1}-+-\mathrm{B}_{2}-+-\mathrm{B}_{\theta}-+-\mathrm{B}_{4}-+-\mathrm{B}_{5}-$$3\cdot 4$$\mathrm{d}$$5\cdot 6$$\mathrm{d}$$7\cdot 8$$9\cdot 10$$\mathrm{d}$$\mathrm{d}$$11\cdot 12$$\mathrm{d}$$13\cdot 14$$\mathrm{d}$–1. 各矢の式

次いで、 「列所得依前術甲乙丙 T 成) 矢各商五位如左」の項として、各矢をく前 $>$ から拾っているのであるが、 面白いことに、成から甲の逆順に 5 矢の「五位」 (’ 5 項。$<$ 前
では発までの 10 矢の五差 (6 項。 ここでぃう 「六位」)までを記載してぃる。
–2. 各汎半背巾の式
いで「列甲矢以圓径乗之得数為乙弦巾則甲汎半背巾也、」 ) なる重要な定義のある項目で る。ここは、 甲 順序で書いてぃて 「従上逐 除 T 乃
頒クナリ」 とあって、「逐除
$>$

$)$

$10$

$\text{次}$$\text{あ}$$\text{の}$$\check{7}$$\neq S\overline{\tau}\mathfrak{F}$$\lambda \mathrm{R}$.ffi」の計 g の仕方まで示して、順次「逐除商」の形式を整えてぃるので、 その一連の式を

$\Re$

けて記す。
汎半背巾

$=$

甲弦巾

$=$

(*原矢・径):$\mathrm{S}0^{2_{=}}\mathrm{d}\mathrm{h}$$\mathrm{s}12_{=\mathrm{B}}$’’$\mathrm{I}0+\mathrm{B}$$11+\mathrm{B}’12+\mathrm{B}’$

1$+ B

$1$

‘

$(\mathrm{i}=1, 2, \cdots, 5)$

とすると:

214

215
となるのである。
.

兼庭撰 く前編 $>$ の内容の概要. 開方式
文頭題名は、 不休撰が兼庭撰に変わっただけで、三十六方位盤の朱印の一 T 後に同じ」 となって、 説明力坏休撰より省略されている
今井兼庭撰「円理弧背術が、解法の方針を、次のように示している。
弧背術者、弧形之内容数萬斜、依勾股互換術、 EK’k 敷 ff\hslash F. 輯#叡各求矢以円径與-#uM\pi n#ナリ、各汎背巾トシ、諸差) 極限、定背巾 7 得十六相乗、而
諸差) 例 7 探索 テ設本術、以下の径・矢 $=$ 斜「図解」 と「勾股互換之図」がある。
次に同じく 「演段」があり、$\text{ }-1$$\langle$$\ovalbox{\tt\small REJECT} 1^{[}\# 2$$\beta_{l}\mathrm{B}\mathrm{f}\mathrm{f}’k$$\mathrm{N}\mathrm{F}’\backslash hRe^{\text{二}}\#\mathrm{Z}-$$f\text{探會}\backslash \cdot/$$\mathbb{R}^{\backslash }+$$\overline{\mathcal{T}}_{\text{、}}$、$\backslash /\backslash$$14\rangle$15巾の証明は全く同じ。 ゝ開方式は、四約すると断って、 I 章とは、次のように変わっている。 これを I 章と同じく表して行く。
( り-(1/4)-2. 各矢の式
解法は、「 除求商術」の呼称が抜けているだけで、 「命傍書如常平方開之得甲矢、如左」 とあって、 I 章より省略し、整頓されて書かれている。 同様にして、$\mathrm{d}\mathrm{h}\mathrm{i}-1+\mathrm{d}\mathrm{h}\mathrm{i}-\mathrm{h}1=02$$\text{ }$$\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{R}$-(1/4)
は (兼庭撰では、すべて和数字で書かれ、初項から一商、二
これより、 甲矢 (二斜矢) :商, 三商、... と呼称している。 )$\mathrm{d}\mathrm{h}+\mathrm{d}\mathrm{h}1-\mathrm{h}1^{2}=0$$(\text{ ^{}\mathrm{r}}-1)$$\mathrm{h}_{1}$$\mathrm{h}1--\underline{1\cdot \mathrm{h}}\underline{1\cdot \mathrm{h}}^{2}\underline{1\mathrm{h}^{3}}\underline{5\mathrm{h}^{4}}\underline{7\mathrm{h}^{5}}++\cdot++$

4$32\mathrm{d}^{2}$$16\mathrm{d}$$512\mathrm{d}^{4}$$256\mathrm{d}^{\theta}$「探索甲矢/ 商的例」 とあって、沢山項を求めなくてもよい。四五件でよいとして J 逐而以前

商逐除後商而得数」とあって、不休の「逐除商」の形にしている。
$\mathrm{h}_{1}=\mathrm{A}11+\mathrm{A}12+\mathrm{A}_{1\mathrm{s}}+\mathrm{A}14+\mathrm{A}15$

1$1\cdot \mathrm{h}$3$\mathrm{h}$$\mathrm{h}$5とすると :

7$\mathrm{h}$右乗$\mathrm{h}$$\mathrm{h}1=+\overline{4}-4\mathrm{A}_{11}-+-\mathrm{d}6\mathrm{A}_{12}-+-\mathrm{d}8\mathrm{A}_{1\epsilon_{\mathrm{d}10}^{-+-}}\mathrm{A}_{14}-\mathrm{d}$左乗
これを見ると、二商より右者は 1, 3, 5, 7 と奇数、左者は 4, 6, 8, 10 と偶数、 そこで
右、左に順に、 3, 5, 7, 9 を掛けて、 甲矢率 (各率も、 A1 を除いたもの) と呼称する :$\mathrm{J}$$1\cdot 3$$1\cdot \mathrm{h}$$\mathrm{h}$$3\cdot 5$$\mathrm{h}$$5\cdot 7$$\mathrm{h}$$7\cdot 9$$\mathrm{h}$$\mathrm{h}_{1}=\overline{4}+\overline{3\cdot 4}\mathrm{A}_{11}-+\mathrm{d}\overline{5\cdot 6}\mathrm{A}_{12}-+\mathrm{d}\overline{7\cdot 8}\mathrm{A}_{1\epsilon_{\mathrm{d}\overline{9\cdot 1}0}^{-+}}\mathrm{A}_{14}-\mathrm{d}$

(一率)
(二率)
更に、A11 を具体的に代人して元に戻す :

(三率)

: 甲矢率

(四率)

1575
45
$\mathrm{h}_{1}=-+-+-+-+\underline{99225\mathrm{h}^{5}}$$1\cdot\grave{\mathrm{h}}$$1\cdot 3\mathrm{h}^{2}$448$\mathrm{d}$$\mathrm{h}^{4}$$\mathrm{h}^{\theta}$

1440$\mathrm{d}^{2}$

80640

7251600$\mathrm{d}^{8}$$\mathrm{d}^{4}$

次に、乙矢 (四斜) を求めるのであるが ‘「術日、立天元一為乙矢......」として、この度の開方(I’) のに 2 を代人した開方式となっている。
式は、四約した ( 靴蠅砲任呂$\langle$$\mathrm{i}$$-\mathrm{d}\mathrm{h}1+4\mathrm{d}\mathrm{h}2-4\mathrm{h}2=02$$(\text{ ^{}\mathrm{K}}-2)$に、元に戻したすぐ上の五商までの上式をと同じで、甲弧の代人して実としているが、しかし、その T 方に、( *-1) と同様に、廉級の四個で、実方廉三級を約して「如常平方開之得乙矢、 如左、 」とあって、 同じ大きさ、 同じ書体で、 やや薄」 と重めであるが、 「此式四約スル故 実級者甲矢四分之一也、 方級者円径也、廉級一個也、ねて、 断っている。 こうして、商欄に五商までの解が書かれていて J 右所得一、—- 、—–、四、に 2 を代入した形に戻っている) 、乙五商、相併為乙矢、」とあり (, つまり ( 靴蠎阿矢から続く後矢の求め方を説明している。この求め方は、帰納的な方法で、 章の帰納的方法とは異なり、単純明快になっている。 16)$\text{ }-3$
. 各汎背巾の式
この開方式は$(\mathrm{I}*-2)$$\mathrm{h}_{1}$$’\backslash$$\mathrm{i}$$\mathrm{I}$...

(1 ) 「求各汎背巾」「右所得見甲、乙、丙、T、成) 矢、以て原矢求甲矢、 以甲矢求乙矢、以 T 矢求成矢也、 置甲、乙、丙、T、成) 矢、 以圓径與一十六相乗之、得原甲、乙、丙、T、成汎、

背巾、」
これを現代風に書くと、次の様になるが、下端に小文字で、各弧の定義があるので、大事なので、つけ加えておく。

.

:
原甲汎背巾 乙矢乙甲矢矢.. 16 . 径
径:
$=$

$116$

$\sim$$=$$\mathrm{S}0^{2_{=}}16\mathrm{d}\mathrm{h}_{1}$$\mathrm{s}1^{2_{=}}16\mathrm{d}\mathrm{h}2$rF‘弧取二分 Z-Wr トス」

216

..
.

(☆)
「 rN #Z-乙 r トス」
丙矢. 16 径:弧トス」「乙 r 取二=T 矢. 16 径:[F 弧取二分 Z-T 弧トス」
成矢. 16 径:
最後に、 [原甲、 乙、丙、 T 之汎背者、次第取二分之一 5 其次々汎背トス、故 求其巾数者、)以一十六為率、委細依園可知之、」 $17$ (表 2)(2 ) 「探索原甲乙丙汎背巾 / 例」
ここで、不休撰の呼称する 「逐除商」の形をとる。「. $\ldots.$ 逐而以前商逐而除後
商而得数列左」 とあるのが、 (表 3) である。
乙$\sim$

丙$\sim$$=$$=$$\sim$$\mathrm{T}$$\mathrm{s}22_{=}16\mathrm{d}\mathrm{h}_{\}$$\mathrm{s} 2_{=}16\mathrm{d}\mathrm{h}_{4}$$\#\mathrm{Z}-\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathrm{s}4=216\mathrm{d}\mathrm{h}_{5}$$-\sim$.

$\mathrm{T}/$[探索各一商及各分母子例」(3 )出来上がった汎背巾 (表 3) の各分母子の数について、分析を試み、規則性を捕らえている。 先ず、分母 ( 一商) について、

原乙汎背$|\mathfrak{n}_{\sim}\text{の}$分母 $=$$\sim$$\mathrm{T}$

原甲矢汎率背の分母 1$6*_{=4}$$=$

原汎背巾. 16

$=$

原

)

丙甲

の分母 $=$$\sim$、丙$\text{、、}$$=$$\sim$

原原原$\sim\cdot 4$、$\sim\cdot 64$$\cdot 256$$\sim$「原、 甲、乙、丙、 T) 分母逐四因ナルコトヲ探會 」 (’ 分母の二商以降については、言$\text{ス}$

及していない。 )ついで、分子について、

原汎背巾の分子 甲矢率の分子 $(^{*}=1)$
T 汎背巾の分子の二商以降は、 (表 3) の数値を (表 4) のように、 2 数
甲、 乙、
分子各奇数相乗ナルコトヲ探會 」と、二商の奇数の積に変換していて、最後に [原甲乙丙以降を締めくくっているが、一商については、次のようにある。
「各一商者、原甲乙丙 T 共逐而四分之一 ; 取 h 数也、故各一商之分母 7 四トス、」 とあって、不休撰 $<$ 後 $>$ (表 2) の原欄の T 記と同じことを言っている。 かくして (表 4) となるので$=$$\sim$$\mathrm{T}f$$\text{ス_{、}}$

ある。 10)(4 ) 「探索分母子 / 例」
さて、 いよいよ汎背巾の極限を求めるのであるが、 I法をとっているので、ここで、表にしてお蕎呂砲覆し彁撒蚕僂陵イ譴進

$\text{、}$$\langle$。

(表 4) の各商毎に共通な分母 : $3\cdot 4,5\cdot 6,7\cdot 8,9\cdot 10$ を除外した分母子を考える。19 ゝ[林 91$](別表)$–ffi$

原汎背巾

$ffi_{\backslash }i\mathrm{A}\#\mathrm{N}1$

Effi$\mathrm{H}\mathrm{R}$$\underline{=}ffi$$-\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}1\cdot 3=2^{2}-1-$$3 \cdot=4^{2}-1\frac{=}{5}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}$$5\cdot 7=6^{2}-1\mathrm{H}\text{商}$$7\cdot 9=8^{2}-1\mathrm{E}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}$$1\cdot 3=2^{2}-1$$3\cdot 5=4^{2}-1$$5\cdot 7=6^{2}-1$$7\cdot 9=8^{2}-1$$\langle 2^{0}\#*)$

甲$l–1$1$—-4^{2}--$
4
4
4

1

$3\cdot 54^{2}-1$$\sim$$\Psi\sim$

a乙

4

4

4

$7\cdot 98^{2_{-}}1$$\sim$$—2^{2}--$$-\ae$$5\sim$丙 $\sim$

16
1

16

16

$15\cdot 1716^{\cdot}-1$64

64$31\cdot 3332^{2_{-}}1$$\sim$$\mathrm{T}\sim$$\mathrm{T}$$31\cdot 3332^{2_{-}}1--\theta 2-$$—2^{2}-$–‘25$
24 斜#)
256 256
一般に 2 斜汎背巾$\langle$$\mathrm{I}$$\mathrm{i}$-16$—4^{2}--$$\overline{6464}$

-6464

’

64

64
1

64

$64^{2}-1$$63\cdot
65$ 6564^{2}-1$$63\cdot$—4^{2}-$$-\mathrm{s}$——-A-$\langle 2^{4}fl\#)$$-^{\underline{-}}=\mathrm{Q}2--$—– $=8^{2}--$4$23\cdot 25$$24^{2}-1$——––$47\cdot 49$—

23 斜 k)$\underline{-}-fl^{2_{-}}-$$—6^{\mathrm{a}_{-}}-$

4

4

4

$\overline{4}\overline{4}\mathrm{u}$$32^{2}-1$$31\cdot 33$3332^{2}-1$$31\cdot$48^{2}-1$

256

25

商の係数

$\langle$

1$-\mathrm{v}$6464$95\cdot
97$9796^{2}-1$$96^{2}-1$$95\cdot$—-6^{2}-$$–\mathrm{v}$641$-\underline{--}fl 2_{-}$$2_{-}$

256

——–

25

256

$\mathrm{i}\geqq 2)=\{2 \langle \mathrm{i}-1)\}$

256

-

16

16

16
1

$63\cdot 6564^{\mathrm{a}}-1$$63\cdot
65$ $64^{\mathrm{a}}-1$$-\cup$

$64-$

64

64
1

64

$128^{2}-1$$127\cdot$127\cdot129$
129128^{2}-1$$-^{\underline{-}}=\mathrm{A}^{2}-$$=8^{2}-$—–25$2-1/2^{21}arrow$$—\mathrm{u}$

256

256

$\{2 \langle \mathrm{i}-1)\}$

結局 :

4

$\mathrm{h}$$5\cdot 6$$\mathrm{d}$$\mathrm{h}$6$\mathrm{h}$$7\cdot 8$$\mathrm{d}$$8^{2}$$\mathrm{h}$10$\mathrm{h}$12$\mathrm{s}=42\mathrm{d}\mathrm{h}+-\mathrm{B}_{1}-+-\mathrm{B}_{2}-+-\mathrm{B}_{\mathrm{s}}-+-\mathrm{B}_{4}-+-\mathrm{B}_{5}-+-\mathrm{B}_{0}-\mathrm{h}$$3\cdot 4$$14^{2}$$\mathrm{d}$$\mathrm{h}$16$9\cdot 10$. 結語$11\cdot 12$(Bn の は nr の )$\blacksquare$$+\overline{15\cdot 16}\mathrm{B}_{7}-+\mathrm{d}\overline{17\cdot 18}\mathrm{B}_{\epsilon_{\mathrm{d}}^{-}}$

一般に、$\mathrm{d}$$\mathrm{h}$$\blacksquare$$\mathrm{s}=42\mathrm{d}\mathrm{h}+\sum_{-=2}\frac{(2\mathrm{m}-2)2}{(2\mathrm{m}-1)(2\mathrm{m}+1)}\mathrm{B}.-1^{\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{d}}}$$\mathrm{d}$$13\cdot 14$$\mathrm{d}$

25

$2$

これから、定背巾を得るのであるが、それが (表 5) で、汎背巾の各商に同じものが、蕎(表 4) のようにーまとめにせず、 そのまま書いた。 20)

書かれているが、汎背巾の順序が逆になっており、対応した矢も書いているので、

2

1—– $=8^{2}--$-v$\underline{31\cdot 3332^{*}-1--}A$ $2_{--^{1}}$$—-2^{\mathrm{z}_{-}}-$—-‘$\langle$$-^{\underline{-}}=\mathrm{n}^{\mathrm{p}_{--}}$$\overline{1\}\overline{16}$$\underline{15\cdot 17}\underline{16^{*}-1}--02_{-}-^{1}$$\langle 2^{s}fl k)$$\overline{4}\overline{4}4\cup--$4$15\cdot 1716^{2}-1$
1
1 $23\cdot 2524^{2}-1$–v$—6^{2_{-}}-$$—-4^{2}--$ $\underline{-}-fi^{2_{--}}$
16
16 16
16
16
16
$31\cdot 3332^{*}-1$
1
1 $47\cdot 4948^{2}-1$
’

—

(

-44

$—-8^{\mathrm{a}_{-}}-$$\underline{15\cdot 17}\underline{1-}\epsilon^{2}-1-A\mathrm{z}_{--^{1}}$$\underline{7\cdot 9}\underline{8^{2}-1}--0\mathrm{a}_{-}-^{1}$$2^{2}\#*\rangle$$(2^{2}\#*\rangle$$\underline{15\cdot 17}16^{l}-11\underline{--}\mathrm{n}\mathrm{a}_{--}$$—-6^{2}--$$\overline{4}\overline{4}4\mathrm{s}--$1

1$15\cdot 1716^{2}-1$$\underline{11\cdot 13}\underline{12^{2}-1}--\theta 2--1$$\underline{7\cdot 9}\underline{8^{2}-1}--A$$\overline{4}\overline{4}-\iota--4$$(2^{1}\#*)$

1$11\cdot 1312^{2}-1$$7\cdot 98^{2}-1$$3\cdot 54^{2}-1---02_{-}-1$$-^{-}-=2^{2}--$$\langle \mathrm{i}arrow\infty$

217
不休撰を仮に分

前編 $>$ と $<$ 後編 $>$ とは、基本的な考え方の違いがあるのではな
1 から来るのが、それとも他の理由から来るのか。(妄想を逗くする&
っと て本多が $<$ 前禾後 $>$ を一冊にまとめてしまったがとも ?) と 1 う とのご批
評を仰ぎ
、兼 E 撰の $<$ 前 ffi- $>$ も併#、 それらの内容の概要を 3\doteqdot \Rightarrow にゎたっ \mbox{\boldmath $\tau$}連 、兼\not\in 撰のく前編 $>$ は不休撰の $<$ 後編 $>$ の系列に入り、不休撰の $<$ 前編 >&\emptyset 連の甲、 Z、 丙背、 $\ldots$ (兼庭撰では、 甲、 乙、 ff 弧、 $\ldots$ )のとり方にあり、特に、-1.
開方式の に ける m 法の方針 説明し ぃる
兼庭撰では、 契疔粗文字) の所で、何 斜 巾を乗じなくてもよい、 とまでうたってぃ。各弧のと 方は. 項 $(\star)$ にも明記されてぃる。
$<$$[] I_{arrow}^{\sim}$、

いか。それは、人の違$\sigma*$$\text{し}$、$\check{\mathrm{L}}$$.\sim$$\langle$$\wedge^{\backslash ^{\backslash }}$$(1^{\backslash \backslash }\mathrm{Z} 4)$$\mathrm{t}^{\mathrm{a}}[] \mathrm{J}$、$.\oplus$$\text{も}$$k^{\backslash }$$\text{を}$$\text{て}$$k_{/\backslash }\text{文}(/\downarrow\backslash$$\text{数}$$\text{る}$$\mathfrak{v}$$\text{、}$$\mathrm{m}-3$

不休撰の
く後編

前編 $>$ の汎半背巾は、各矢に円径を掛け、 それに半斜数巾を掛けたものであは (図 4) 各矢にただ単に円径を掛け 原数を 1/4(I–3 項の原文)とし \mbox{\boldmath $\tau$}、 その後、 定 巾にした ) のであり、兼庭撰のに円径を掛け、更に 16したであって、 それがため、 背がーっ上がった定背巾である。 (表にはそれに*’f 応し矢が記入される) 。従って、兼庭撰の定背巾は、不休撰の <\uparrow \acute k 編 $>$の系列に る & 言える。
理解し ffl いが、2 者の原\Re 、 –商のと、彼らなりの拠り所 あ 6 ように,る
それに関する
不休撰 $<$ 前編
項の 「細術」における元数 a)\Phi 限でとであるが、る。 そ \emptyset 初には 「元数者各一個ナル故真以一個為極限、然者四分之一ナリ、」 そうして$p_{\mathrm{J}_{\text{、}}}$

$<$

$>$

$\text{の}$$\text{、}$$\mathrm{F}5$$\xi$$l\mathrm{J}\text{矢}$$\mathrm{p}_{\mathrm{D}}$$\text{もの}$$f_{-}^{-}$$\text{て}l^{\mathrm{a}}$$J\backslash$$\acute{\mathrm{r}}\mathrm{k}^{\text{の}}$$\text{り方}t^{\grave{\grave{\mathrm{a}}}}$$t\backslash ^{\backslash }\backslash$$\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}|\dot{.}\backslash .\check{\wedge}_{-}$$\text{。}$$\check{}$$>\mathrm{I}-4$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

この項最後に 「原極数 四分之一ナリ、」 「極数」の呼称は、初めて出てく(ffi\emptyset --.、—- 四差 極数は、 極限と同じ値である。

$\text{。}$$/\backslash$$\text{。}$$\text{の}$–、、$\text{の}$

)

のであり、

原極数の 1/4 が何を意味$<$
後 ffi-. $>$ (表 2) の 欄の下方に 「原数四除故以四分之一 ffi 限」とる (注 12)
こは、 明らがに間違った考 の下にあ 6 が、 これが g 弘のいたもの あるのかどぅ 、迷う所なのである。 <R‘‘’J^編 $>$く\upar ow \acute kf i- $>$するものか。 不休撰$)$

こ$6\not\in$$B_{\backslash }$$\mathrm{j}\mathrm{g}\mathrm{j}_{arrow\ovalbox{\tt\small REJECT}}$$\ell\cdot k$$\text{あ}$$)t\backslash \backslash ^{\backslash }$$\chi_{l}$$\check{\mathrm{z}}_{-}$、$\text{書}$$\text{て}*$は半背巾、$l\backslash$の計展算開式 違はい あ撰り、の$m\prime \text{の_{}\overline{\mathrm{J}}}$$7|\mathrm{a}_{\mathrm{a}}$

$<<$

後編

$>>$

は、く前 曲埓 >\emptyset \epsilon k当りn- - .-f\emptyset ck\emptyset う優\l corner \check 問て題

形 b をあとは定背巾$\pi_{\acute{\text{る}^{}:\mathrm{r}_{\tilde{\mathrm{L}}}}}^{\prime\eta \text{の_{と}}}\mathrm{a}$$\vee\supset \text{て_{、}}-\supset \text{て}$る。を$1^{\mathrm{a}}\text{極}-$純明快になっており、兼庭 ffl のは更に本文 (別表) のよう fA‘h2 限を
求 b@\equiv l-l+算は、に近 ( 的なにおいのするものと言えるのではなかろうか。
賢弘の先駆的創造に対して、後人は計算の向上はあって然るべきであろう。
とる零$*_{\backslash }\prime \mathit{5}\backslash$

術等は遥$\iota_{\vee}^{arrow}\mathrm{g}^{\backslash }$$\not\in.\not\equiv$$\star$あるいは、 不審に思う所を重点に検討して、 ご批判を仰げ 良かったかと思いもしたのですが、 全体像を掴め
は作者の違いも分がらない、 と思案した . 果の であります。
幾多 和算研究の先覚者が 摘しなかった事を、ここに記す事は、大変に、怖じけさせま$\downarrow \mathrm{J}^{\cdot}$$t_{\overline{\mathrm{A}}}$$\langle$$\text{て}$$\#_{\mathrm{B}}^{\pm}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\text{の}$$\mathrm{f}\mathrm{g}$

すが、若し筆者のミスであれば、ご寛恕のほどを翼うものでありま \mbox{\boldmath $\tau$}。
注)
1)

文中、 参\yen 文 ffl は X 献中の [番号] で ffi 示する。

独自の三十三 $+$ ニ ?

$\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathfrak{R}2$の朱印は右書き縦書きの二段になってぃる。 利

方位盤の朱印が、 文頭題名の一 前に半部を使っ 押されてぃる。 庭撰にも、 全く同じ両印が押されてぃる。
2) [2] も巻首が本文に書かれてぃない。 これは別紙にががれた紙片が貼付され、 これには [建部先生$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\langle$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\rangle$$\mathrm{T}$$\mathrm{T}_{-}\mathrm{h}$$\text{て}$$1 \mathrm{n}\backslash \mathrm{n}\simeq\Rightarrow\pm\frac{-}{5}\mathrm{r}$ノ製作也」 と改行して改めて付け加えてある。 尚、巻尾誌語は何故か記載されてぃない。 [1] も含め\mbox{\boldmath $\tau$}、 これら周辺の事は$\text{、}$目 11 p. 318\sim 319 を参照されたい。

3) [lllp. 321 参照。
4) $<$ ホー $\star-$ (Willian George Horner 英解法で$\text{あ}$1786\dashv 837 法>(比 19 年に発表) は数係数の高次方程式の近似$\rangle$

るが、 関孝和は、 『古今算法記』 (澤ロー之著) ([11 [-\S p348 で [謹 X 垣,(1671)‘ [12]p9lrttc+ff の F$\mathrm{t}$ある)で用いられている中国から渡った方法を、 更に発展させてぃる。 ここでは文字係数に適用した解法である。
5) 極めて T 寧に書かれてぃる。
初めてのことで大変な苦労だったと思ゎれる。 その解法の部分及び (. 表 1)まで、傍書式に書かれた左側 (乗数) の分子の部分は算木式数字で書かれてぃる。
6)
は筆者の書き入れであって、 それと分がる場合、書き入れないこともある。
$\mathrm{s}$$)$$\langle$

7) この後五差まで、 元数、 各差毎にA1 に相当するものが、 文章として書かれてぃる。
8)$l$「以原矢直設諸矢」の方法は完全には一般化出来ない。 各差の甲が分かれば乙以下右ならえでょいのであろう \mbox{\boldmath $\theta$}\‘ 、$\text{そ}$れも七$\not\cong-$までの話であるという。 兼庭になると、 これが一般化されてぃる。 (注 16) 参照)

9) ただここで分からない$\mathrm{T}$) は、「元数者各一個ナル故真以一個為極限、然者四分之一ナリ、」とある 「である。 本稿の不休く後編 $>$ 、兼庭く前編 $>$ (不休では元数、兼庭では一商)$\theta$$*_{\backslash \backslash }\text{者}$

てか 1/4
この 2 者の論旨は何れも間違ってぃるけれども、 (語参照) ここでいう極数は何かを意味してぃるように思える。
10)
く $\ ’$ 編 $>$ の (. 図 4を見れば、 $<$ 前編 $>$にひっかかりがあるように見える。

この定義は、$\rangle$」以の何れも何かの理 ffi にょっ$\mathrm{I}\mathrm{V}$. 結の汎半背巾とは全く異なる定義となってぃる

ことは、 明らかであろう。 多少の違いこそあれ、基本的には兼庭撰も同系統のものである。
11) 傍書法では、 括弧で括るということが出来ないがら、
ここでは手数を省くためと見やすくするために、$\{\}$ で括った。
実際は分配した形になって、 -っ–っ元数、各差に書き加えてぃる。
1 2 ) $(\text{表}2)$ の「原」の T 欄に [原数者逐四除故以四分之一為極限」 とある。
項の原文も参照。
$\mathrm{I}\mathrm{I}-3$13) 「汎半背巾」 と「汎」がつぃてぃることに注意。

$<\overline{\mathrm{B}^{1}\mathrm{J}}>$の汎半背巾の原が異なってぃる。

218. 節当初の図 4) はないが、以 T の文章で、 甲背、乙背、 丙背、 $\ldots$ は、 甲弧、乙弧、 丙弧、倍して$\ldots$ となっている。 汎半背巾の作り方が、違っていて、前者は単に円径を、後者は円径 t こ更 1 こ 16と明記してあ龍軒
それにしても小文字で「いることである。 そうすると背が一つ上がった定背になる。
商」 と呼称している) が、違っても二商以 T の形るのは何故か。 「逐除商」の形は初項 (ここ兼庭ではていれば事足りるということであろうか。然し論理的で41 なが変わらないので、一商だけ確実に分か
この互換之図のと「勾股互換之図」がある。
字はないが「図解」「演段」の2
節不休撰と同じく
その後
14)$1\mathrm{I}$$\langle$$*$$ll\mathrm{J}$$\vdash$$l^{\mathrm{a}}$。

$\text{っ}$I.

$\mathrm{T}$にやや小さめの字で、不休の言わんとする所を付け加えている。 「小勾股形与大勾股形同矩也故矢与径相

乗成斜巾是以此通用圓内容圭形及三斜形勾股形之矩合適等無非」[10] にも記載されて$\text{。}$15) 以
も、 I 章不休撰く前編 $>$ (1 ’) 式を四約した開方式と各矢を商毎に一般化して書いてお16)表 1) の T 方に一商 1\sim 五商$\mathrm{h}_{1}=21$
斜矢 $=\mathrm{A}11+\mathrm{A}12+\cdots+\mathrm{A}15$ ( $\mathrm{i}=1,2$ , 3, 4, 5 ; 甲、乙、$\mathrm{T}$$\langle$

そのものは、各商の数値を表した原本にある表で、

(表 1)

る。

$\iota\mathrm{a}$...

$\mathrm{A}_{15}$$\mathrm{A}$$l^{\mathrm{a}}$式を使った形で展開して$\langle \mathrm{m}^{\mathrm{r}}\rangle$$l^{\mathrm{a}}$$2/r$ 所の数字の脱落とる。

た。
、成矢) である。

1$P$

所のミスカ《見られたが訂正しておいた。
17) (☆) 式を含めて I 章の不休撰 $<$ 前編 $>$ の各 (汎) 背の定義が明らかに異なること力く分力 るであろう。
これは不休撰の $<$ 後編 $>$ と同系統のものである。 汎背巾の違いは、 ここでは 16 倍して るので、汎背巾 +1
一つずつ繰り上がっている。 (注 14) 参照)18)
表 2 の「十六」 (表 3) の一商についての「十六」が、他の数字と並ひが悪かったり、薄力. たり、付け足したような、何となく整一斎を欠いているようであるが、 それ程、問題にすること Ct な力 ろう。
$\backslash$$\iota\mathrm{a}$$\text{っ}$$\langle$$\rangle$$\backslash$.

定背巾の式の最初
19)
蕎 不休撰 $<$ 後編 $>$ の 表 3) の極限を求める分母子に相当する。 (の部分参照) 。今で言えば、 単純な計算であるが、 奇麗な求め方である。
である。 ( -3 項も同じ) 極めてあ ま ( である。 甲、乙、20) ここに問題になるのが、一商の 4(逐$\ldots$ の各弧が順に 1/2 をとることを考えると、 当然零でなくてはならない。 「従上商而除 T 商」)でる。
(
因数として、前商が掛かるが、原本の表11
除除商) の形式は、一商のみ異なっても二商以降$\mathrm{I}-3$$\langle$$\backslash$$l^{\mathrm{a}}$$\mathrm{d}\mathrm{h}$$\iota\mathrm{a}$は同じものになるのであり、極めて残念な手法と言うより、 どうして、 これでよ
(建部賢弘は晩年になって、 この手法をとったのであろうか)$\iota\mathrm{a}$と断って$\mathrm{t}^{\mathrm{a}}$$\iota\mathrm{a}$るのだろう力 ‘o

疑問は、尽きな \sim ‘。

$\text{。}$

参考文献日] 表題名 『圓理弧背綴術 内題名「圓理弧背綴術解全」文頭題名 圓理弧背術 gH 鵬建不休先生撰とある).
1114111 の*5. は「林文庫 911)(本多利明筆写)(*巻騙[2 ] 表題名 『圓理綴術 建部不休撰内題名「圓理綴術」文頭題名 圓理弧背術 g 日鵬建不休先生撰$\mathrm{H}\Pi\prod 2$$\mathrm{J}$$\mathrm{X}\{\mathrm{U}\mathfrak{k}\mathrm{J}(1808)$$\langle$$\langle$$\mathrm{J}$19929 $\cdot 1\cdot 9064$ )なし) (狩野文庫.

圓理綴術 漫髄 完 内題名 \vdash 本題円理弧背綴術」 文頭題名 圓理弧背術 建不休[3] 表題名 [碍 1 頷
三\downarrow 鳳 k しるす」と b る。 (岡本文庫・写 70
三上義夫筆写) 「E 埋 n の l に l す」の 「1 四先生撰16993)
建不休先生撰 (遠藤利貞筆写)[4
表題名 r 圓理綴術全」 内題名 「圓理綴術」 文頭題名 圓理弧背術 g 日
学士院 0838)[5 ] 表題名 [圓理綴術全 内題名「圓理綴術」文頭題名 圓理弧背術建不休先生撰 $.[4]$ の藤が 關に#け札
林文庫 912)
たコメントも 6 めたままの学士院 0794)
g 日鮪」 文頭題名 圓理弧背術 g 日鵬建不休先生撰[6 ]$\mathrm{J}$$\downarrow$$*\mathrm{R}\mathrm{K}$$+\langle.1907\rangle*+\#\mathrm{t}\#$$\langle$$\text{鵬}$$\rfloor$$\langle$$\langle$$\epsilon\epsilon$$\mathrm{J}$$*5\rangle$$\langle$

表題名『圓理弧背術[7 ] 表題名『圓理弧背術 XI^W 鵬 (I から HI 謹 L の k うで\sim l&lE6 よう。) 文頭題名 圓理弧背術 gB 鵬建不休先生撰$\langle$$\mathrm{J}$(学士院 0795)[8 ] 表題名 『圓理弧背術 鉢\downarrow 巻.

302

内題名 圓理弧背術 上巻$\mathrm{T}3\mathrm{J}$.

T 巻 文頭題名 圓理弧背術(国会図書館$\cdot 2\cdot 250$ )林文庫 913)今井兼庭撰[9 ] 表顕名 『圓理弧背綴術 兼庭撰文頭題名 圓理弧背術 g 日
0839)
学士院
今井兼庭撰
[10] 表題名 圓理綴術全 文頭題名 圓理弧背術 g 日
日本学士院 日本科学史刊行会編纂補訂 大矢真一.T 平和夫・平山
目 1] 表題名 [\eta 鋪 日本数学史沖諦)1983 Bh58)* 付き 1994C 威 6 P 岩波書店
[1 2] 表題名 『増修日本数学史遠藤利貞遺著三上義夫編平山諦補訂 18156(.1981) 年恒星社厚生閣」
題名 「円理の発明に関する論鐙 \dashv 本幹牡帽
[1 31 表題名 『史学雑誌 *計-5 r 億・計 t 計 l. 計(-.、–、 、四完) B 和 $5\langle.1930$ ) 史学会$\mathrm{H}\tau \mathrm{z}$$\text{鵬}$$\langle$$\mathrm{J}$$\langle$$\text{鵬}$$\mathrm{r}$$\mathrm{J}$$\langle$$8\mathrm{J}$$\rangle$$\langle$-$-1-\mathrm{J}$

$*$

$-=$

本稿所載に関連ある和算家及び和算研究家を思いつくまま、 その生存年を示しておく。 (縛家は [12]Klf )遠藤 利貞 1843 X 保 l4 \sim l9l5 妊 4関孝和
1640 麩 17 ?\sim 1708 鉢 5)$\langle$$\rangle$$\langle$$\sim 1733\langle qf18$$\mathrm{X}2$$\sim 1739\langle\vec{n}\mathrm{X}4$$\langle$$\langle$$\rangle$$\langle$$\rangle$$\langle$$\rangle$$\langle$)
中根元圭
1662 寛 ))1\epsilon 64 叡 4)
建部賢弘$\sim 1744\langle 2*1$ )?
松永良弼?\sim 1757 宝
久留島義大
1718(f保3\sim 1780 安永 9)
今井兼庭
寛保
3)
\sim 1820 X 政 3)
本多利明
1743
$\langle$$\langle$$\langle$$17\rangle$

菊地 大麓 1855($r2)\sim l9l7(大 6)岡本 則録 1847(1U)\sim l93l 昭和 6)
林鶴– 1873(\Pi #6)\sim 1935(昭]0)藤原松三郎 1881 \Gamma 治 14)\sim 1946 T2l)
三上 義夫 1875 Ifi8)\sim l950(昭 r25
小倉金之助 1885 rbl8)\sim l962 昭和 37)$\langle$$\langle$$\langle$$\rangle$$\langle$$\langle$$\langle$219

上表の分子即ち、原文では、傍書法の右側$\langle$

右乗の数字は算木式で表してぃる。 く後 $>$ の表を含$\rangle$

めて、算木式で表しているのは、本稿で断ってぃる個所を含めてここまでである。 (\iota 舷 bu#の ‘.‘ス\sim られ t$\mathrm{A}_{1}.1^{arrow \mathrm{g}}\mathrm{l}$.

$;/\mathrm{b}\mathrm{l}.$ここに、各汎半背巾 :-,$(1. \mathrm{J}-\mathrm{O}.

$(\cdot \mathrm{t}/2)^{*}${ 前表$\langle$

1.

2.

\epsilon, 4.

5 )$

とする.

A0. ・は原矢の元数$\mathrm{h}$である.

の各元数. 各差

1) の 各元数. 各差$\langle$$\rangle$}$\bullet$$\rangle$$(2 \mathfrak{l}).\mathrm{d}\mathrm{h}1-4{}^{\mathrm{t}}\mathrm{d}\mathrm{h}\mathrm{t}(1-0$. 1. 2.

$\cdots$. 10$i\mathrm{h}_{\bullet}-\mathrm{h}\rangle$

220

この

$\blacksquare$の下榔に書 て$\mathrm{t}\backslash$-曹厘 分分骨子$–$. .

$\mathrm{t}\backslash \cdot$《係款》こと壷、鳴代式にー–r な膠て$.*\cdot$

分働
分子

二羞 :

畠.

$**$

$\ell$. 4.-1《雪.-1-1 》

II

.

分子

.

五I

$\mathrm{B}^{\cdot}‘$.

$:-*\cdot 0$

.

分子

.

$\underline{=}$.

$|.:-\cdot$

・雪.*

》

$\cdot$..

.

$4\cdot/\cdot$$\mathrm{C}1-t$$\blacksquare$.

$\backslash \backslash$) $-\cdot*4\mathrm{t}\cdot\cdot-\cdot-1$ 》$\star\cdots\cdot\cdot-\cdot-\cdot*\iota[1*\cdot*\cdot\cdot*\cdots*\cdot\cdot-\cdot)-\cdot*\cdot(\cdot\cdot-1-1)$

10. 4.-$\mathrm{t}1-1$$\mathrm{t}t$》. $.......$$..-\cdot$$\cdot 1\cdot.$) $-7*\cdot \mathrm{C}\cdot\cdot-\cdot-1$ 》》$\cdot$$.*10*10\cdot\cdot*10\cdot\cdot\cdot*\bullet\cdot\cdot 10\cdot V.-\cdot-\cdot*10\mathrm{C}1*$11

I とし\mbox{\boldmath $\tau$}Q.... ’ 練 表に鍵な\div 3.-り $-1*\cdot(\cdots 1-1$ 》$7*\cdot*\cdots*\cdot\cdot..*\bullet\cdot\bullet*\cdots\cdot\cdot-,-f*\cdot \mathrm{C}1*\cdot*\cdot\cdot*\cdots*\cdot\cdot-\cdot$$\bullet$$\blacksquare$$\alpha\cdot-1$$11*10\mathrm{C}\cdot\cdot-\cdot-1$

分骨$’/4^{\cdot}1.1$(各\iota の原、 -、=、

7$\cdot.$$.*\cdot(\cdot\cdot-\cdot-1$

分骨》$:::.*\cdot:.\mathrm{Z}*-|$$\mathrm{f}*0\mathrm{c}\cdot\cdot-\iota-1$$f\bullet$と次 Q よう \approx なる. 《各斜の厘、$-\sim$$*4*4\cdot\cdot*4\cdot\cdot\cdot*\cdot\bullet\cdot*4\cdot\ldots-\cdot-\cdot*4\mathrm{C}1*\cdot*\cdot\cdot*\cdot\cdot\bullet$ $*\cdot\cdot-\cdot$$.*4\mathrm{C}\cdot\cdot-,-1$』:$\langle$$4^{-1}1^{\cdot}*|*\cdots*\cdots\cdot*\cdots*\cdot\cdot.’.-\cdot-1*\cdot \mathrm{C}1*\cdot*\cdot\cdot*\cdots$.I$\sim\cdot$. . $....*$ .
$1$

$.$

)

$\mathit{1}t\cdot$

富◆ $..*\cdots*\cdot\cdot-\cdot$ ) $-$ ・十 10$\mathrm{C}\cdots\cdot-1$》.

. . $....10$ :$7$、四曽. 五着 としての$\epsilon\cdot..$/–0. 1. $..8.4$ .6) とする.
, は鳳 I には書いていない. ).

. .

$.i.|$$\frac{11}{|\cdot|}$$\frac{u}{|\cdot 1|}$$\frac{}{1\cdot\ell}$嫁.

$\iota’-6^{\cdot}.../\ell$

. .,
$,$

(I–1.

冨.

$\ldots.$

$.$

. 10:

$\downarrow-0$. 1. . $. . $)$.$$\ell$

七す尋.

(番鋳$.\backslash -\sim$

五. 1$l\mathrm{t}\Phi\cdot\cdot‘$.

. 健書 l ‘\mbox{\boldmath $\tau$}も ‘龜*‘.》$\frac{|||}{1\mathrm{I}\cdot 11}$

221

ここ

ところで、 ここ$\kappa_{\backslash }\mathrm{A}’$

.

$l-$

$\cdot$t. 1 /$\mathrm{b}_{1}$.

$(1. 1 -1 ’ 2. \theta, 4, f)$$|$$\mathrm{P}\mathrm{V}\text{矢}4\backslash bL\mathrm{X}**l*r\mathrm{r}*\mathrm{n}\alpha[][]\kappa \mathrm{r}\iota_{\backslash }$I 銀例有事 \acute 諏会セリ.

$\mathrm{R}\prime \mathrm{n}$成矢まで紘罷している. 「依 r 術求箇矢剛除功甚繁多也.

-.lL\iota tltnnl/‘}’kmmurun\mbox{\boldmath $\nu$}l‘\iota IBl、$\ldots\ldots$. 左所趨\sim 可凰舎.

$\mathrm{J}$.

$u\mathrm{n}\bullet-\text{求}\mathrm{z}\text{矢}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{r}*u\mathrm{r}\text{矢}\bullet\cdot\alpha\alpha[perp] \text{矢求}$とある.

く甲矢を傍書式に記して後、やの後の矢の求め方奄議明しながら成矢まで求めて、駅上のように、-3 の表として會とめている. 會た、量 0 徐く曹
再ひく $*-$ ナー鍮

$>$-冑 :A.1- $(1/4)\mathrm{A}.-1.1-11/4)\mathrm{t}\mathrm{h}/4.-1)-\mathrm{h}/4$
二冑

:

.

て寧めす、これらの求めた各料の矢をやの會ま利用して I をすすめてぃる. ) 以下にその求める弐を示して置《.

$\mathrm{A}..-(1/4\rangle \mathrm{A}.-1.1^{-\mathrm{A}}\cdot 11/\mathrm{d}$パ : $\mathrm{A}..-(1/4)\mathrm{A}.-1$.

$.+\mathrm{A}.11(\wedge\cdot 1/2)/\mathrm{d}$: $\mathrm{A}..-(1/4)\mathrm{A}.-1.2+\{\mathrm{A}.1+1\mathrm{A}..(\mathrm{A}.1/2)\}/4$)$.+$ {An五崗 :四冑$\mathrm{A}..-\mathrm{t}1/4$

ここに、各汎背巾 :

:

各商

ここに、

$\mathrm{B}^{\cdot}1$.

$\epsilon_{1-1}$$\mathrm{A}.-1$

.

’.1 ’

–

.

.

$’/\mathrm{d}|$$/\mathrm{d}$(各斜汎背巾における二商$(\mathrm{n}-2, \.

$(\mathrm{A}../2)+\mathrm{A}.\mathrm{e}(\mathrm{A}.\iota/2)\iota/\mathrm{d}$の各商$\mathrm{B}_{1}.1arrow \mathrm{c}1$$\prime^{=\mathrm{c}}$

.

. ,
$1.$

$\sim${(前表 1) の各矢}

. 16$\mathrm{d}$( $1\approx 1,$

$2$

4.

5)$

, 3, 4, 5$\rangle$(1. $\mathrm{J}-1,2.8.4,5\rangle$$l$$\langle$$\mathrm{i}=0,1$

五商、ここでは,2, 3, 4 .

$\mathrm{B}^{\cdot}\downarrow$

$|$

.

$l$

$\mathrm{J}=1$’

2, 3. 4, 5)は原表には書がれてぃない。 )$>$不休鯛のよう$\kappa_{\backslash }$222

右端の分子とは、各汎背巾の一真の係数 4 から始まる 2 数の積 (甲汎背巾以降の二商の最初の因数 1

れていない形になっている一除く) で、例えば原で言えば、 4. $1’$, $.5.5.7.7.9、甲で言え$?\cdot 0.16\prime 1?.lf\cdot l6.11\cdot u$ 等である。 ([誂以降は、一商の係数 4 を除き、例えば、乙で言えば、一原表には記載さ,15’17、乙$|f_{\text{、}}4,$ $\theta\cdot 5,7\cdot 0.11\prime 10$.

$0\mathrm{f}\theta 0$] の遠藤の写本 R、 す

4 から始まっている. ) 分母は二商から五商までの最初の因数 4. $lt$ 04. $50 を指す
また、一商について、次のように述へている.

へて「各一商者、原甲乙丙 T 共逐酉四分之\dashv 取繊也、故各一真之分母’ 四} 」
(1-0, 1. 2. $. 4 : I–1 2’ 8, 4, 6) (各斜汎背巾にお
ここに、
’.
.
.
$\mathrm{x}_{\backslash }$$\mathrm{B}^{\cdot}\iota$:$\mathrm{n}\cdot.$$|^{-\mathrm{C}\mathrm{I}}.$$|/4^{\cdot}$[.

’$\mathrm{B}^{\cdot}1.1-4\mathrm{d}\mathrm{h}$$\mathrm{t}P$る二真, 1 幻 1 表には書かれていない. 》

乗率

(

論率

(41 の係数)$\mathrm{C}1$の係散》

2$\epsilon\cdot 4$4’$\epsilon\cdot \mathfrak{g}$07$\cdot\epsilon$$\epsilon$

9.

$\cdot 10$10.
11$\cdot 12$1218$\cdot 14$

14
15

.

$\cdot 1\mathfrak{g}$10.
17$\cdot 1\epsilon$$\sim$

五r