授業研究第 3 日目

日本の測量における六分儀

2年 組
氏名

授業者：筑波大学大学院修士課程

教育研究科教科教育専攻数学教育コース 1 年
今居利彦
10. 前回の内容
・「八線表」と呼ばれる幕末版三角関数があった。
・六分儀を用いて、実際に高さを測ってみた。

1.

ビデオで高さを確認してみよう

2.

視差について

地上測量に用いる場合、視差が生じる
目標物：無限遠点(太陽などの天体)六分儀で読んだ角度：2α2 点間の実際の角度：2α+θ
目標物が十分遠い場合は、θは非常に小さいので無視。
即ち、2α≒2α+θ
しかし、目標物が近い場合、θは無視できない。
元々そういう装置ではないので近い目標物の角度を測るのには向かない。

地上測量する場合、視差が現れるので要鏡と対鏡が平行のままだと像が一致しない。
像が一致しないと角度を測り始める基準にならない。対鏡を調整するのはこのためである。
2ここまでを振り返って、六分儀が恐らく鎖国という特殊事情のもとで、日本では本来の使用法から外れて簡便な測量器具として変容していったということはみていけた。更に、この書(『六分圓器量地手引草』)には六分儀をより発展させた「新製写角簡儀」という装置が載せてある。これはどんな道具なのか見ていこう。

写角簡儀
3.

書き下し文

新 製写 角 簡 儀の一の図

総長六尺余反射線六尺

十分

図のように要鏡対鏡とも総て六分儀と全く同じである︒目(盛が刻まれた 弧)度は円周三百六十度分の三度半を取る︒ 即(ち七度まで測れる︒ )要鏡の中心まで の 距離 即ち 反 射 線の 長さを 六 尺と して 作る︒ ま(たはその二倍の一丈二尺︑三倍一丈八尺の物もあったという︒ )対鏡の向きは反射線に対して四十五度の角におく︒対鏡の中心より反射線とで省略する︒

直角に見口を見る︒鏡の調整も六分儀と同じなの

現代語訳

3書き下し文4

○ 同 測法図説
図の如く海岸或いは砦や城を目的とし︑5それを対鏡の透明ガラス越しに見通し遊表を回して︑目的が一体に見定まるようにする︒下図のように見えている︒ そ(の測り得た 度) 数で左に著した表を査検し表写角簡儀て町数及び間数を直に知る︒

現代語訳

さお

更に使用法を詳しく言うと、まず距離 10 間の距離に立てた棹をこの装置で狙う。
かん（視準部には小型望遠鏡を備えている。〕この時、指度捍の目盛を零度に合わせておく。そして固定鏡と指度鏡とにおける棹の像が一致するように固定鏡の向きを微調整する。10 間より遠い目標に対しては、視差のために両像が一致する目盛は零度ではない。器械の長さは 6 尺(＝1 間)にしてあるから、この角度と距離の関係を予め計算で表にしておき、測定角度からこの表を用いて距離を求めた。即ち写角簡儀は距離計である。
cf）1 尺＝約 30cm

ではどのようにしてこの表を作ったのだろう。
書かれてあることと六分儀の原理から考えてみよう。

6

測得角度４度の時、対応する目的距離を読むと 33 間 5 分であるが、この距離 33 間 5 分はどのようにして出すのか。
これを示そう。
図ｊ

このようにして予め表を作っておいた。
78・ 表を見ていくと最も遠距離の表値は 11 町 9 間 5 分 2 厘(約 1200m)で、対応する角度は 5 度 37.5 分になっている。
・ この装置が実際にどのように使用されたかは不明だが、図から読み取れるよ
うに、地上の測量が目的ではなく、恐らく海上にある外国船を砲撃するための一種の軍事技術という色彩が強い。1853 年(嘉永六年)春、ペリーが来航した。この書が書かれたのは嘉永六年秋でありこのことからもこの頃の時勢が現れているように思われる。
・ 写角簡儀は、2 つの窓から入った光線で合わせる距離計連動カメラの原理と同様である。

まとめ1 日目…六分儀について 日本では測量に使用され、三角比(対辺対角法)を用いた
2 日目…八線表、対辺対角法、正角法を用いて実際に高さを測った
3 日目…六分儀を更に発展させた写角簡儀という装置があった。
六分儀を知っていた人も知らなかった人も六分儀を少しだけ詳しく知ってみて面白いと感じていただけたでしょうか。江戸時代の日本では六分儀が本来の使用法から外れ簡便な測量器具として変容していきました。具体的にどう使用されたのかを第一測法や第三測法を読み実際に行い、当時の人々の考え方を知り、そこで使われた数学が今現在私たちが学ぶ数学とどこが似ていてどこが違うのかなど感じ取っていただければ幸いです。
現在もほとんど形を同じくして残り、今尚引き付けてくれる魅力溢れる六分儀。
この変な道具ひとつを知ることで数学への興味を少しでも持って欲しい、今まで数学で味わってきた感動とはまた違った感動を少しでも味わって欲しいと思いました。
3 時間、授業を聞いてくださって、本当にありがとうございました。

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―補足 1―

バーニア副尺…指度捍の先にある小さな目盛(副尺)のこと

既に述べたように、六分儀の最も本質的な部分は、2 点からの光路を 1 つに重ねて、船が動揺しても精度良く 2 点の相対角距離を測定できることだった。もうひとつの重要な要素としてバーニア副尺の採用がある。
1631 年

ピエール・バーニアが発明

読み方

バーニアの A は 76°20′と 76°40′の間にある。
バーニアの 6 番目の目盛が主尺の目盛と一致している。
∴求める角度は 76°26′である。

数学的解説
バーニアの n 目盛が主尺の(n−1)目盛になるようにとる。即ち、nV = (n−1)S
S:主尺の最小 1 目盛の大きさ
V:バーニアの最小 1 目盛の大きさ
n:バーニアの目盛総数
m:主尺とバーニアの一致点までのバーニアの目盛

S–V=S–

n −1S
S=nn,

R = R0 + m(S−V) = R0 +mSn

上記の例の場合、主尺 19 目盛に対して、バーニア 20 目盛となるようにバーニアの目盛を取ってある。
n=20 , m=6 である。
S−Ｖ＝

S
1で n=20 より主尺の最小目盛 S のの精度で得られる。
n20

バーニア副尺は、主尺の最小目盛以下の端数を、主尺と副尺の目盛りが一致した箇所を知ることによって、迅速かつ正確に読み取ることができ、優れており普及した。このために六分儀は軽量で小型化可能になり、かつ角度 1 分から 30 秒まで(上記の場合 1 分まで)の測定精度が得られたのである。

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―補足 2―(前回の第三測法の別解 1
ガリレオ『Le Operazioni del Compasso Gemetirico et Militare 』に載っている解法)
甲所＝A 地点、乙所＝B 地点、丙所＝C 地点、戊所＝D 地点、AB 間の距離を l 、A 地点と B 地点の仰角をそれぞれα、βとおく。
ｈ=CD、x＝BD とすると、
h＝(x+ l )tanα …①h＝xtanβ…②①、②より h と x の連立方程式を解く。
x＝l tanαを出して、②に代入すると
tanβ− tanαh＝l tanα・tanβとなる。これに目線までの高さを加えて、目的の高さが得られる。
tanβ− tanα

(別解 2福田理軒『測量集成』に載っている解法)

tanα＝CDCDCDCD、tanβ＝より AD＝…①、BD＝…②ADBD
tanα
tanβ

①−②より AB＝ l ＝CD(lcotα−cotβ∴

CD＝cf)

cotα=11−)＝CD(cotα−cotβ)tanα tanβ
これに目線までの高さを加えて、目的の高さが得られる。

1であり、余切のこと。
tanα

当時の日本では未知数を文字で置くという方法はあまり普及していなかった。
この場合、 l ＝5、α＝16゜10′、β＝22゜である。

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