数理解析研究所講究録 1295 巻 2002 年 93-98

93Projective Moduli Space for the Polynomials ofDegree n or Less
藤村 雅代 *

西沢 清子 \dag er

防衛大学校

城西大学

Abstract

The moduli space, consisting of all affine conjugacy classes of the maps, is considered as a smoothcorrespondencecomplex $(n-1)$ -manifold under some condition. In [2], we proved the projectionof each conjugacy class of maps on the moduli space to the elementary symmetric functions of themultipliers of the fixed points, is not surjective for $n\geq 4.$ The image of the moduli space underand called theis denoted by
The complement of
this projection
is denoted by.
exceptional set. It is very interested to analyze the exceptional set
In this paper, we show that the projective moduli space corresponds to the projective space. On the exceptional set are the stratified conjugacy classes ofof compactification of
afimily of degenerate polynomials. And, the polynomials with degree $n-1$ or less systematically.
corresponds to the hyperplane at infinity of$\Psi_{n},$$\Sigma(n)$$\Sigma(n).$$\Psi_{n}$$\mathcal{E}(n),$$\mathcal{E}(n)$$\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}$$\Sigma(n)$$\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}$

1

はじめに
$n$

次多項式全体からなる空間は $n+1$ 次元複素多様体をなすが、$n$次多項式空間の共役類の空間である

モジュライ空間は、 ある条件のもとで $n-1$ 次元複素多様体としてみなすことができる。 このモジュライ空間の各点において、 不動点の乗数の基本対称式を対応させることによって得られる $n-1$ 次元複素空間には全射にならないことが [2] で得られている。
への射影を考えたとき、 $n\geq 4$ の場合、 射影
をと書き、 除外集合と呼ぶ。
とし、 その補集合
よるモジュライ空間の像を次有理関数族のモジュライ空間に 次多の解析をすることは大変興味深いことである。 [2] においても$\Psi_{n}$$\Psi_{n}$$\Psi_{n}$$\mathbb{C}^{n-1}\backslash \Sigma(n)$$\Sigma(n)$

$n$

$n$

項式のモジュライ空間を埋め込むことによって、 除外集合部分には$\mathcal{E}(n)$$\mathcal{E}(n)$$n$次有理関数の共役類が対応するという 1 つの解釈を述べた。

この論文では別の視点から除外集合
影空間$\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}$$\mathcal{E}(n)$を考えることができる。 そこで空間を定義し、 射影空間$\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}$の自然な意味でのコンパクト化として射次以下の多項式のモジュライ空間である射影モジュライの解釈をする。
$n$$\Sigma(n)$との対応づけをする。

第 2 節では、 準備としてモジュライ空間の定義と [1], [2] で得られた結果を書き出す。
第 3 節では、 射影モジュライ空間を定義し’masayo@nda. ac iP\dagger kiyoko@math.josai.ac$\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}$との対応づけについて述べる。

$.\mathrm{j}\mathrm{p}$

XIV-I

94
2

準備

2.1

$n$

次多項式空間のモジュライ空間
をそれ自身に写す全ての空間$\mathrm{P}\mathrm{o}1\mathrm{y}_{n}(\mathbb{C})$をの空間$\mathrm{P}\mathrm{o}1\mathrm{y}_{n}(\mathbb{C})$上での作用を$\mathbb{C}$$g\circ p\circ g^{-1}\in \mathrm{P}\mathrm{o}1\mathrm{y}_{n}(\mathbb{C})$$n$次多項式写像からなる空間とする。 アフィン変換群

ただし$g\in \mathfrak{U}(\mathbb{C}),$$\mathfrak{U}(\mathbb{C})$$p\in \mathrm{P}\mathrm{o}1\mathrm{y}_{n}(\mathbb{C})$

で与えることにする。

に対して、 $g\circ p_{1}\circ g^{-1}=p_{2}$ をみたすアフィン変換群の元 が存在次多項式角,と $n$ はアフィン共役であるといい、 $P1\sim$ 力と記す。 この作用による
するとき、
の商空間
を
と記す。
次多項式空間のモジュライ空間といいの作用に上り “monic”(主係数が 1) かつ “centered”(不動点の重心が原点に
任意の 次多項式 はある) な多項式とアフイン共役になる。しかし同じ共役類には $(n-1)$ 個の monic で centered な 次多項式が存在し、それらは互いに 1 の $(n-1)$ 乗根から成る群 $G(n-1)$ の作用で写り合う。このような $G(n-1)$ の作用を無視すれば、共役類に属する monic で centered $fpn$ 次多項式 p(z) $=z^{n}+c_{n-2}z^{n-2}+c_{n-3}z^{n-3}+\cdots+c_{1}z+c_{0}$

2 つの

$n$

$\mathfrak{U}(\mathbb{C})$$p_{2}$$g$$\mathrm{P}\mathrm{o}1\mathrm{y}_{n}(\mathbb{C})$$p_{1}$$\mathrm{M}_{n}(\mathbb{C})$$n$$\mathrm{P}\mathrm{o}1\mathrm{y}_{n}(\mathbb{C})/\sim$$n$$\mathfrak{U}(\mathbb{C})$

$p$

$n$

が一意に定まる。
全ての monic かつ centered な多項式の空間にとすると、 空間$\mathcal{P}_{1}(n)$から$\mathrm{M}_{n}(\mathbb{C})$で座標を入れたアフィン空間を$(c\mathit{0}, c_{1}, \cdots, c_{n-2})$の上への $(n-1)$ 対 1 の自然な射影る。 したがって、 群 $G(n-1)$ の分だけ曖昧さが残るものの、$\mathcal{P}_{1}(n)$を$\Phi_{n}$:$\mathrm{M}_{n}(\mathbb{C})$$\mathcal{P}_{1}(n)arrow \mathrm{M}_{n}(\mathbb{C})$$\mathcal{P}_{1}(n)$が存在すの座標空間とみなすことができる。 これを係数座標系と呼ぶ。

一方、 ある関数族の変換群によるモジュライ空間に座標を入れる研究は多項式族以外でも行われている。
例えば 2 次有理関数族に対して J. Milnor ([4] 参照) が導入した不動点における微分係数による座標の入れ方がある。 この方法を 次多項式族に適用する。
次多項式 に対し、 の不動点を
$n$

$n$

$p$

$p$

$z_{1},$$\cdots,$$z_{n},$$z_{n+1}=\mathrm{o}\mathrm{o}$とし、$z_{i}$

での乗数を $\mu_{i}=p’(z:)(1\leq i\leq n)$とする。 ただし、 多項式では無限遠点における乗数は $\mu n+1=0$ である。 次に、 これら $n+1$ 個の乗数に対して次の基本対称式を考える:$\sigma_{n,1}=\mu_{1}+\mu_{2}+\cdots+\mu_{n}$.. . ,,$\sigma_{n,2}=\mu_{1}\mu_{2}+\mu_{1}\mu_{3}+\cdots+\mu_{n-1}\mu_{n}$$\sigma_{n,n}=\mu_{1}\mu_{2}\cdots\mu_{n}$,,$\cdot$..

$\sigma_{n,n+1}=0$

これら $n+1$ 個の乗数は、 アフィン共役のもとで不変であることに注意しておく。
ここで、 これら $n+1$ 個の基本対称式の間の関係式を求めるために、 不動点における正則指数の概念を導入する。 有理関数 $f$ の不動点$\zeta\in \mathbb{C}$(もし無限遠点力坏動点の楊合には M\"obius 変換で、 無限遠点が不動点でないようにすればよい) に対し、
$i(f, \zeta)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{dz}{z-f(z)}$を$\zeta$における $f$ の正則指数と呼ぶ。 ただし、 右辺の積分は$\zeta$.

を中心とする十分小さい円 $C$ 上を正の向きに沿って計算するものとする。
この正則指数には、 次のような性質があることが知られている。 (Fatou’s Index Theorem)

.

・不動点
$f$

$\zeta$での乗数が $\mu\neq 1$ のとき $i(f, \zeta)=\frac{1}{1-\mu}$が恒等写像でなければ $\sum_{\zeta=f(\zeta)}i(f, \zeta)=1$

XIV-2

95
$n$

次多項式で考えると、 無限遠点は乗数 0 の不動点であるので、$\mathbb{C}$

内の

$n$

個の不動点における正則指数の和は 0 になる。 この性質を用いると次の線形関係を得るが、 これは [2] における、 Key Lemma であった。
・基本対称式 $\sigma_{n,i}(1\leq i\leq n)$ の間には、 次の線形関係がある。
$n-1 \sum(-1)^{k}(n-k)\sigma_{n,k}=0$

(1)

$k=0$

ただし $\sigma_{n,0}=1$ とおく。

このことから、 各点$\omega\rangle$$\in \mathrm{M}_{n}(\mathbb{C})$

ことにより、 基本対称式の対に対して、 代表元$p$の不動点とその乗数を計算し、 基本対称式を求める$(\sigma_{n,1}, \sigma_{n,2}, \cdots, \sigma_{n,n-2}, \sigma_{n,n})\in \mathbb{C}^{n-1}$$\Psi_{n}$:$\mathrm{M}_{n}(\mathbb{C})arrow \mathbb{C}^{n-1}$を得る。 この写像が全射であるか否か、 すなわち、 複素数の対から求めたとき、 基本対称式がを対応させる写像:$(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{n-2}, \sigma_{n})$を与え、$\sigma_{n-1}$を (1)となるような不動点の乗数を持つ 次多項式を決定す
ることは興味深いことである。 この問題を全射問題 (Surjective Problem) と呼ぶことにする。
$\sigma_{i}(i=1,2, \cdots, n)$$n=3$ の場合、 この全射問題はうまく解け

ら、 小節 22 で述べるように $n\geq 4$ の場合
ここで$\Psi_{n}$による$\mathrm{M}_{n}(\mathbb{C})$の像を$\Psi_{3}$$\Psi_{n}$$n$は全単射であることが [3] で得られている。 しかしながは全射ではない。

と書き除外集合と呼ぶ。
の補集合を$(s\neq 6)$ であることが [5] で得られている。

とおく。 また$\Sigma(n)$は $(\sigma_{4,1}, \sigma_{4,2}, \sigma_{4,4})=(4, s, s^{2}/4-2s+4),$$\Sigma(n)$$\mathcal{E}(n)$$\mathcal{E}(4)$『全射問題] の結果から

2.2

ここでは、 [2] で得られた結果のうち、 この論文で必要なものを説明無しで述べる。 まず、 全射問題の部

分的解決である定理について述べるため、 記号をいくつか準備する。
添字の集合を $\Omega=\{1,2, \cdots,n\}$ とおく。
を次で定義する:の部分集合$\Sigma(n)$集合は$\Sigma_{*}(n)$応する乗数をCase A1.
2.
3.
Case
1.
$\mathrm{B}$$\mu_{1},\mu_{2},$$\cdots,\mu_{n}$$\mathrm{C}$.
.

$\omega$に対して$\sum_{i\in\{v}\frac{1}{1-\mu-}\neq 0$

をみたすものだけを並べかえ、新たに、である。

$(\mu_{1}, \cdots, \mu_{N})$とおいたとき、は $1\leq N\leq n-2$ をみたす。 かつ、$\Omega’=\{1,2, \cdots, N\}$$\sum_{i\in\omega’}\frac{1}{1-\mu}\dot{.}\neq 0$

Case$\mathrm{A}\sim \mathrm{C}$かつ、の任意の真部分集合$\mu_{\dot{*}}\neq 1$に対して、 根と係数の関係から対のいずれかをみたすものとする。

$(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{n-2}, \sigma_{n})\in\Sigma_{*}(n)$かつ、$\sum_{i\in\Omega}\frac{1}{1-\mu}.\cdot=0$$\Omega$$\Sigma_{*}(n)$とおいたとき、 次の条件 Case$\mu_{i}\neq 1(i\in\Omega)$

$N$

2.

の部分集合であり、$\mathbb{C}^{n-1}$

とおいたとき、$\Omega’$の任意の部分集合$\omega’$に対してである。 (“真” 部分集合ではないことに注意)$\mu:=1(i\in\Omega)$

このとき次の定理が成り立つ。

Theorem(Polynomial case [2]) 任意の動点における乗数の基本対称式の値が$(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{n-2}, \sigma_{n})\in\Sigma_{\mathrm{r}}(n)$$(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{n-2}, \sigma_{n})$する。

Corollary ([2])

除外集合は疎集合である。

XIV-3に対して、 不となる $n$ 次多項式 $p(z)$ が存在

96
この定理より、 多項式の場合の Fatou’s index theorem の恒等式 $\sum_{\zeta=f(\zeta)}i(f;()=0$ が 2 つ以上の “部次多項式の存在が保証される。 この事実は、 3 節の定理 3 の写像
分和 $=0$ ” の部分に分割不可能ならの構成において “Key” となるものである。
$n$.

また、 除外集合

は、$\mathcal{E}(n)$$\hat{\Psi}_{n}$に含まれることから疎集合である。

$\mathbb{C}^{n-1}\backslash \Sigma_{*}(n)$Theorem (Exceptional set is nonempty [2])に対して、 除外集合

$n\geq 4$$\mathcal{E}(n)\neq\emptyset$

で

ある。

2.3

力学曲線

ここでは、 モジュライ空間上で力学系を研究する上で重要な役割を果たす 2 つの曲線の定義をする。

“critical orbit” の型によって分類するときにその境界の一部になるである。
あり、 もう一つは、 モジュライ空間の特異部分である symmetry locus

つは、 モジュライ空間を$\mathcal{P}\mathrm{e}\mathrm{r}(m;\mu)$

–

で

$S$

の $m$ 周期点を持つようなすべての共役類 (P) からなる集合をにおいて、 乗数がある多項式の空間の場合には、 簡単のためと書くことにする。
と書くことにする。
多項式 に対して $g\circ p\circ g^{-1}=p$ をみたすアフィン変換群の元 を の自己同型写像と呼ぶ。 このよう$\Omega$$\mu$$\Omega=\mathrm{P}\mathrm{o}1\mathrm{y}_{n}(\mathbb{C})$$\mathcal{P}\mathrm{e}\mathrm{r}_{\Omega}(m;\mu)$$\mathcal{P}\mathrm{e}\mathrm{r}_{n}(m;\mu)$

$g$

$p$

な自己同型写像全てからなる群を$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(p)${$S_{n}=$

によって定義する。 [1] より、

$n$

$p$

と書く。 集合 symmetry locus$\mathrm{t}p)\in \mathrm{M}_{n}(\mathbb{C});\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(p)$$S_{n}$

を

is non-trivial}

次多項式は次の形の多項式と共役であるときに限り non-trivial な自己同形群を持つことがわかっている:$z^{n}+.

ただし、

$k$

\sum_{1\leq 1\leq[n/k]}A_{k}(i)z^{k1}.+|+Bz$

は $k|(n-1),$ $k\neq n-1$ を満たす素数であり、 $A_{k}(i),$$B\in \mathbb{C}$はパラメータである。

このとき、 次のことがわかる。 証明は省略する。

命題 1
空間

において

$\Sigma(n)$$\mathcal{P}\mathrm{e}\mathrm{r}_{n}(1;\mu)$

は $n-2$ 次元超平面をなす。

命題 2

symmetry locus3$S_{n}$

は、 超平面族の包絡部分に含まれる。

射影モジュライ空間

3.1

$n$

次以下の多項式空間と射影モジュライ空間

射影モジュライ空間をを$\{\mathcal{P}\mathrm{e}\mathrm{r}_{n}(1;\mu)\}_{\mu}$$\overline{\mathrm{P}\mathrm{o}1}\mathrm{y}_{n}(\mathbb{C})$ここで、$(c : c_{n-2} :$n$\cdots :と記す。

$\hat{\mathrm{M}}_{n}(\mathbb{C})=\oplus_{k=1}^{n}\mathrm{M}_{k}(\mathbb{C})$$\overline{\mathrm{P}\mathrm{o}1}\mathrm{y}_{n}(\mathbb{C})$は$\mathbb{C}^{n+1}$

によって定義する。 次以下の多項式の空間$n$$\oplus_{k=1}^{n}\mathrm{P}\mathrm{o}1\mathrm{y}_{k}(\mathbb{C})$と同型である。

次以下の monic で oentered な多項式 $p(z)=z^{k}+c_{k-2}z^{k-2}+\cdots+c\mathit{0}(1\leq k\leq n)$ に対して
c_{1} :

c_{0})$

で座標を入れた $n-1$ 次元複素射影空間$\hat{\mathcal{P}}_{1}(n)$を考える。 ただし、 座標の入れ方は次のようにする:$n$次のとき 1: $c_{n-2}$ :
:
:
次のとき
2
0: 0:

...,

$($

$\cdots$$($$c_{1}$$c_{0})$, $n-1$ 次のとき 0: 1::: 0:1:1 , 1 次のとき 0: 0:$\cdots$

$($

$)$

XIV-4

$c_{n-3}$$($$\cdots$$\cdots$: :: 0:1$c_{1}$$c_{0}),$$)$$\cdots$97
ここで、 集合 $\Sigma(n)$ の閉包が次元複素射影空間
そこで、$\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}$全体であることから$\mathbb{C}^{n-1}$$\mathcal{E}(n)$:: ) による射影空間
このとき次の写像が構成できる。

$\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}$$\ldots$$\sigma_{n-2}$の自然な意味でのコンパクト化として $n-1$をとることができる。

の部分集合である$\mathbb{C}^{n-1}$$\Sigma(n)$$\sigma_{n}$やに対して、 写像$\Sigma(n)$への埋め込みを$(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{n-2}, \sigma_{n})-’(1$$\sigma_{1}$:$\sigma_{2}$

:

とおく。

$\Sigma^{1}(n)$$\mathcal{E}^{1}(n),$

:

定理 3

射影モジュライ空間

対応させる上への写像$\hat{\Psi}_{n}$の各点に対して、 不動点の乗数の基本対称式の組 $(s_{0} :s_{1} : \cdots : s_{n-2} : s_{n})$ を$\hat{\mathrm{M}}_{n}(\mathbb{C})$$\hat{\Psi}_{n}$:が構成できる。

$\hat{\mathrm{M}}_{n}(\mathbb{C})arrow \mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}$の構成は次の通りである:$\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}$に対して $U_{0}(n-1)=\{(s_{0} : s_{1} : \cdots : s_{n-2}=s_{n})\in \mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}$ ; $s_{0}\neq 0\}$ とおく。 以後$\mathbb{C}^{n-1}$と同一視できる $U_{0}(n-1)$ を中心に考える。
ここで $n\geq 4$ の楊合に ( $n=3$ の場合には [6] 参照のこと)と無限遠超平面 (hyperplane at infinity
次で定める。
$\mathbb{C}^{n-1})$$\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-2}$$\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}$$\text{、}$をアフィン部分 (affine $(n-1)$ -space) に分けて、 それぞれに対応する原像 (preimage) をアフイン部分 (afflne $(n-1)$ -space) 上$\Sigma^{1}(n)$

上:

次多項式
の
への制限を、 写のモジュライ空間における全射問題が解けている。 したがって、 写像と $(s_{1}, s_{2}, \cdots, s_{n-2}, s_{n})-*(1 : s_{1} : s_{2} : \cdots : s_{n-2} : s_{n})$ の合成写像であると定めれば全射であ
像
次数の落ちない$n$次多項式について、$\mathrm{M}_{n}(\mathbb{C})$から$\Sigma(n)$への写像$\Psi_{n}$$\hat{\Psi}_{n}$

が存在し

$n$

$\mathrm{M}_{n}(\mathbb{C})$$\Psi_{n}$り、 逆像が存在する。
$\mathcal{E}^{1}(n)$上:Theorem (Polynomial Case) 上り$\mathcal{E}^{1}(n)$上では、 $n-2$ 次以下の多項式の正則指数の条件が 2上の各点に対する原像がそれら次数の退化した多項式のは全射になる。
共役類すべてを集めたものであると定義すれば、 写像
つ以上満たされている。 したがって、$\mathcal{E}^{1}(n)$$\hat{\Psi}_{n}$無限遠超平面 (hyperplme at inflnity) 上
射影空間

2) は

$\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}$において $U_{0}(n-1)$ を中心に考えたときの無限遠超平面を $H_{\infty}(n-2)$ とおく。 $H_{\infty}(n-$と同一視できる。したがって、無限遠超平面上ではその原像が$\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-2}$$\hat{\mathrm{M}}_{n-1}(\mathbb{C})$になるように再帰的 [こ定義する。すなわち、この $H_{\infty}(n-2)\}$ こ対して $U_{1}(n-2)=\{(0:s_{1} : \cdots : s_{n-2} : s_{n})\in \mathbb{C}\mathrm{P}^{n-2}$ ; $s_{1}\neq 0\}$

とおく。
ここで

$\mathbb{C}^{n-2}$と同一視できる $U_{1}(n-2)$ を中心に、 上で記述したことを繰り返し考える。

最後に、 一点 $H_{\infty}(0)=\{(0:0:\cdots : 0:1)\}$ の原像がこのように$\hat{\Psi}_{n}$を定めれば、$\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}$$\mathrm{M}_{1}(\mathbb{C})$となるように定義する。

の任意の点に対して逆像が存在するので、$\hat{\Psi}_{n}$は全射である。 対応を表にまとめると表 3.1 のようになる。

3.2

射影力学曲線

ここでは、 小節 23 で述べた力学曲線を

代数曲線
$\mu$

$\mathcal{P}\mathrm{e}\mathrm{r}_{n}(1;\mu)$$\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}$内の曲線に拡張したものについての結果のみを述べる。

は $\Sigma(n)$ 上で定義されているが、 曲線族に関する連続性を用いて定義方程式から方程式から写像
を定義方程式とする代数曲線を$(s_{1}, s_{2}, \cdots, s_{n-2}, s_{n})\mapsto*(_{s\mathrm{o}}^{\lrcorner}s :$\mathbb{C}^{n-1}$\frac{s}{\epsilon}\mathrm{Z}\mathrm{o} :$\overline{\mathcal{P}\mathrm{e}\mathrm{r}}_{n}(1;\mu)$\cdots :$\{\mathcal{P}\mathrm{e}\mathrm{r}_{n}(1;\mu)\}_{\mu}$の $\sigma:(i=1, \cdots, n-2,n)$ と上の代数曲線として解釈できる。 したがって、 この定義によって変換し分母を払って得られた式\frac{mathfrak{n}-2}{\epsilon_{\mathrm{O}}} :

と書く。
XIV-5

\Delta \mathrm{L}\epsilon s0)$

98$\Sigma^{1}(n)$$n$アフィン n-空間次多項式の共役類が対応$U_{0}(n-1)$

次数が $n-2$ 以下の多項式の共役類が 2 組以上対応$\mathcal{E}^{1}(n)$アフイン$\Sigma^{1}(n-1)$$n-1$ 次多項式の共役類が対応$\epsilon^{1}(n)$次数 $n-3$ 以 T\sigma ) 多項式 0共役類が 2 組以上対応(n–l\succ 空間$\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}$

無限遠超平面$\hslash$$U_{1}(n-2)$$H_{\infty}(n-2)$

アフイン$=\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-2}$

無限遠超平面(n-2)-空間$H_{\infty}(n-3)$$=\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-3}$

無限遠超平面

表 1: 射影
このとき$\overline{\mathcal{P}\mathrm{e}\mathrm{r}}_{n}(1;\mu)$は$\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}$

上で$\dot{\prime y}$$\hat{\Psi}_{n}$の構成

まく定義された “等乗数” 曲線であるという次の定理を得る。 証

明は省略する。
定理 4

代数曲線$\overline{\mathcal{P}\mathrm{e}\mathrm{r}}_{n}(1;\mu)$

は、 空間$\hat{\Psi}_{n}(\hat{\mathrm{M}}_{n}(\mathbb{C})),$$(=\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1})$

上の力学曲線

Per^\Psi 、$(\hat{\mathrm{M}}_{n}(\mathbb{C}))(1;\mu)$に一致する。

参考文献[1] Fujimura, M. and Nishizawa, K.: Moduli spaces and symmetry loci of polynomial maps, Proceedingsof the 1997 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computahon, (K\"uchlin, W., ed.),$\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{M},$$1997,342-348$ .

[2] Fujimura, M.: Moduli Space of Polynomial Maps: Surjective Problem, in preparation.
[3] Fujimura, M.: Moduli spaces of maps with two critical points, RIMS Kokyuroku 988: Some Problemsin Complex Dynamical Systems, (Morosawa, S., ed.), 1997, 57-66.

[4] Milnor, J.: Geometry and Dynamics of Quadratic Ftational Maps, Experimental Mathematics, $2(1)$ ,1993, 37-83.
[5] Nishizawa, K. and Fujimura, M.: Moduli space of polynomial maps with degree four, Josai Infoma-tion Sciences Researchers, 9, 1998, 1-10.
[6] Nishizawa, K. and Fujimura, M.: Projective Moduli Space of Polynomials: Cubic Case, Josai Mathemahcal Monographs, 2, 2000, 1-10.

XIV-6