1
前期量子論

1
2
3
4
5
6

1900 年前後に，古典物理学では説明のつかない現象が次々と発見された．例えば，黒体輻射，光電効果，水素原子のスペクトルなどはその代表的なものである．
これらの説明のために光量子仮説が提唱され，この仮説は多くの天才的な科学者たちによって量子論へと発展する．
この章においては黒体輻射について述べた後，光電効果について説明する．まず，プランク（Planck）の量子仮説やアインシュタイン（Einstein）の光量子仮説について触れる．次に，ボーア（Bohr）の水素原子モデルを取り扱う．ボーアはこのモデルを用い，初めて水素原子のスペクトルの説明に成功した．これは今日用いられる理論においても基礎となっている．さらに，ド・ブロイ（de Broglie）の物質波について説明する．これは，それまで粒子と考えられていた電子を波動と考えるものであり，その後，電子線回折の実験により立証されることとなる．
最後に，光量子仮説を立証したコンプトン（Compton）効果について説明する．
この辺りまでの理論を，前期量子論と称する．これらは古典力学とはまったく異なる革命的な変化をもたらした．

【学習目標】 1900 年頃に量子論の生まれた背景を踏まえ，天才たちの作り上げた新しい理論の初歩を理解する．また，数式を使ってそれらを理解する．

【Keywords】 黒体輻射，空洞放射，量子仮説，光電効果，仕事関数，しきい値
振動数，阻止電圧，水素原子のスペクトル，安定軌道条件，振動数条件，物質波，コンプトン波長

7
8
9
10
11
付
解

2

1.

前期量子論

1.1 黒 体 輻 射
高温の物体は熱を発しており，直接触らなくても，手をかざしただけで暖かい．この正体は電磁波（光）であり，この放射のことを熱輻射（thermalradiation）とよぶ．熱輻射により発せられた光の色（振動数1)）は温度と関係があることは昔から知られており，例えば，鍛冶職人は溶かした鉄の温度を測ることもなく，色を見て次の工程に移る時期を適切に判断していた2)．
19 世紀後半になると，ドイツで鉄鋼業が盛んになり，その頃設立された
国立物理工学研究所でも熱輻射の研究がされるようになった．この頃の研究における問題点は，物体からの光には熱輻射のみならず，反射光も混ざっていることであった．
これを解決するためには外からの光をいっさい反射せず，すべての波長の光を完全に吸収する物体があれば良かった．このような物体のことを黒体とよび，そこからの熱輻射を黒体輻射（black body radiation）とよぶが，実際にはそのような物体が存在するはずもなかった．
ところが，図 1.1 に示すような小さな穴の開いた空洞は，黒体とほぼ同じ
はたらきをすることがわかった．
小さな穴から入った光は，空洞内部で反射を繰り返し，やがて内壁に吸収されて熱平衡状態となる．
したがって，この穴から出てきた
光には反射光は含まれず，熱平衡状態の物体から発せられた熱放射のみであると解釈できる．

図 1.1 空洞吸収

1) 光の速さを c，振動数を ν，波長を λ とすると，c ＝ νλ の関係がある．ここで，cは一定であるので，ν と λ は互いに反比例の関係にある．
2) 光の色はその波長または振動数により決まる．可視光領域では波長の長い（振動数の小さい）光ほど赤く見え，波長の短い（振動数の大きい）光ほど紫色に見える．

1.1

黒 体 輻 射3

すなわち，空洞輻射（cavity radiation）を黒体輻射と見なすことができ，これを用いて黒体輻射の研究が進められた．この実験において，輻射のエネ

1

ルギーは温度 T に依存するが，この値はあらゆる振動数の電磁波からの寄2与を加え合わせた（積分した）量である．そこで，振動数 ν と ν ＋ dν の間3における単位体積当りの輻射のエネルギーを ρ(ν，T)dν とおいて，研究が進められた．以下にその歴史的経緯を紹介する．

5

1893 年，ウイーン（Wien）は実験結果を再現する経験式として
ρ(ν，T ) ＝ aν 3e −/B

4

(1.1)

6

3)

を提案した ．ここで，a，bは定数であり，実験結果をできるだけうまく再現するように決定される．また，B はボルツマン（Boltzmann）定数，T7は絶対温度である．その後，1900 年にレイリー（Rayleigh）とジーンズ

8（Jeans）は独立に，古典統計力学を用いて

9

8πν 2
BT
ρ(ν，t) ＝
c3

(1.2)

4)

のような理論式を導出した（付録 A 参照) ．

11

ウイーンの式は高振動数側では実験と良く合うが，低振動数側ではあまり合わなかった．一方，レイリー - ジーンズの式は低振動数側では実験と良く1900 年，プランクは輻射のエネルギーが離散的であると仮定して，全振動数領域で実験結果を良く再現する理論式
hν8πν 2c 3 e /B − 1(1.3)

を導出した．この h は今日でもプランク定数として知られており，
h ＝ 6.62606957 × 10−34 Js
3)付
解合うが，高振動数側では発散してしまった．

ρ(ν，t) ＝

10

(1.4)

ρ(λ)dλ のような表現もあるが，これは波長 λ と λ ＋ dλ の間における輻射の単位体
積当りのエネルギーを示す．c ＝ νλ を用いると，二つの表現の一方から他方へ移行できる．ここで c は光速度である．
4) ここでは，輻射のエネルギーを連続量と考えているが，それは，当時としてはごく当たり前のことだった．

4

1.

前期量子論

という値を持つ．プランクの式はウイーンの式において a ＝ 8πh/c 3，b ＝ hとし，さらに e −/B ＝ 1/e /B を 1/(e /B − 1) としたものである．
分母から 1 を引くというアイデアは最初は助手が出し，その後プランクに
より理論的に証明された．その際，エネルギーが連続値を取るのではなく，hν の整数倍の離散的な値しか取らないという仮定がなされたのは前述の通りであり，これがプランクの量子仮説である（付録 A 参照）．この式は，全ての振動数領域において実験結果を良く再現した．
これは余談であるが，プランクはある日娘に「お父さんは大変な発見をしてしまったのかもしれない．」と語ったという．そして彼は 1900 年 12 月 10日の講演で正式に量子仮説を発表している．したがって，この日が量子論の誕生日であるといわれている．
最後にこれらの公式を用いて，T ＝ 500 K において計算した黒体輻射のエネルギー密度を振動数の関数として図 1.2 に示す．これを見ると，確かにレイリー - ジーンズの公式とプランクの公式による結果は低振動数側で一致し，ウイーンの公式とプランクの公式による結果は高振動数側で一致している．なお計算に当たっては，ウイーンの公式において a ＝ 8πh/c 3，b ＝ h
レイリー‑ジーンズ

3r［10−19 Js/m3］

プランク

2＝ 500 K
ウイーン
1

0
0

2

4

6

8

o［10 s ］
13

−1

10

12

図 1.2 各公式により計算した黒体輻
射のエネルギー密度

1.2

光 電 効 果

5

とした．
例題 1

プランクの式で h → 0 とすると，レイリー - ジーンズの式と一1致することを示せ．

2

解答 (1.3)において単純に h → 0 とすると，分母がゼロとなる．しかし，分子も3ゼロとなるので，ロピタルの定理を用いて極限を計算すると，

lim
→0

d
(8πhν 3)dhdc 3(e /B −1)
dh

＝ lim
→0

3

4
2

8πν
8πν
＝
BT
ν
c3
/B
ec
BT
3のように(1.2)と一致する．（このことは，量子論において h → 0 とすると，古典

67

論と一致することを示唆している．）

問題 1

5

ウイーンの公式を，c ＝ νλ を用いて波長の関数に直すと
c 3 −/Beρ(λ，T ) ＝ aλ のように書ける．この関数を縦軸 ρ，横軸に λ を取ってグラフ化すると，やはり図1.2 と似た中央にピークのある形となる．その際，極大を与える波長を λmax とす
5)

ると λmax ∝ T −1 となることを示せ ．

8
9
10
11
付

1.2 光 電 効 果1887 年にヘルツ（Hertz）は，放電管の陰極に紫外線を照射すると放電が起こりやすくなることを発見した．これが光電効果（photoelectric effect）
研究の始まりといわれている．
これに続き 1902 年，レナード（Lenard）の研究により，金属に光を照射した際に飛び出す電子のエネルギーは，光の強さにはよらず光の振動数によることが明らかになった．その際，強い光を照射しても飛び出す電子の数が増えるだけで，電子 1 個当りのエネルギーは変わらなかった．また，ある振動数よりも大きな振動数の光を照射しなければ電子が飛び出さないこともわ
5)

これをウイーンの変位則とよぶ．

解

6

1.

前期量子論

かった．
この頃光は電磁波と考えられていたが，光が金属中の電子にエネルギーを与えることにより電子が飛び出すのであれば，光が強いほど飛び出した電子のエネルギーも大きいはずであり，古典電磁気学ではその理由を説明できなかった．
1905 年，アインシュタインは振動数 ν，波長 λ の光がE ＝ hν

(1.5)

h
λ

(1.6)

p＝

のエネルギーおよび運動量を持った粒子としてはたらくという光量子（lightquantum）仮説を提唱し，光電効果の理論的説明に成功した．アインシュ
タインは 1921 年にノーベル物理学賞を受賞するが，受賞理由は有名な相対性理論（theory of relativity）を提唱したからではなく，光電効果を理論的に説明したからであった．
なお，(1.5)および(1.6)において h はプランク定数であるが，この定数は黒体輻射や光電効果のみならず，量子論全般において極めて重要な役割を果たす．
これに続き 1916 年，ミリカン
単色光（Millikan）は 図 1.3 に 示 す よ う
な装置を用いて精密な実験を行い，アインシュタインの理論を実光電子証した．この実験では，まず真空容器中に置かれた一対の金属電極の一方に，分光器で分光した単色

可変電圧

A

電流計

光を照射する．すると電子が電極から飛び出して，反対側の電極に到達し，電流計で感知される．

図 1.3 光電効果実験装置の概念図

1.2

光 電 効 果7

その際に，飛び出す電子はさまざまな大きさの運動エネルギーを持つが，両電極間に印加された電圧を調節すれば，最大の運動エネルギー Emax を持

1って飛び出した電子でさえ反対側の電極に到達できなくなる．この電圧を阻

2止電圧（blocking voltage）というが，その値は電流計の針が振れなくなっ

3

た時点の電圧 Vb にあたる．この値を読み取れば，
Emax ＝ eVb

(1.7)

4
5

により，最大エネルギーを計算できる．この Emax を，振動数 ν の関数と金属 Aして測定すると結果は図 1.4 のように

7

max

なる．

6

金属 B

これより次のことがわかる．金属
A および B についての結果は，平行89な直線となり，その傾きは定数 h と0一致する．これに対し，光電効果が起−A

こるために必要な照射光の最低振動数

−

B

o

10
11

は，A と B で異なる．また，直線を延長して縦軸と交差するところの値も付
図 1.4 光電効果測定結果の概念図

A と B で異なる．これらは次式により解釈できる．
Emax ＝ hν − W(1.8)(1.8)は，エネルギー hν を持った光量子が金属中の電子にエネルギーを与え，そのエネルギーが金属を脱出するのに必要なエネルギー W を超えると，エネルギー Emax を持った光電子が金属の外に飛び出すことを意味している．ここで W は仕事関数（work function）とよばれ，金属ごとに固有の数 eV 程度の値を持つことが知られている．
また図 1.4 において，直線が横軸と交わる点は，しきい値振動数（threshold frequency）とよばれ，それよりも大きな振動数の光を照射しなければ

解

8

1.

前期量子論

光電効果は起こらない．Emax ＝ 0 における振動数が，しきい値振動数 νth に当たるので，(1.8)を用いて
νth ＝

W
h

(1.9)

により計算できる．また，直線の傾きが(1.8)のようにプランク定数と一致することも実験により確かめられている．こちらは金属の種類にはよらず一定値をとる．
なお，しきい値振動数の光の波長を限界波長（threshold wavelength）といい，その値は，c ＝ νthλth により計算される．
例題 2

しきい値振動数が 1.04 × 1015 s−1 のとき，仕事関数を求めよ．

ただし，単位は eV とし，有効数字を 3 ケタとすること．
解答 仕事関数を W，しきい値振動数を νth とすると，以下のように計算できる．
W ＝hνth ＝

問題 2

6.62606957 × 10−34 × 1.04 × 1015
≒ 4.30 eV
1.602176565 × 10−19

ある金属の光電効果の限界波長は 6855 Å である．この金属に波長4000 Å の単色光を照射した際の阻止電圧を求めよ．

1.3 水素原子のスペクトル
光は波長により屈折率が異なり，プリズムを通すと，さまざまな波長（色）の光が混ざっていてもこれを単色光に分光することができる．例えば，空に架かる虹は，さまざまな波長を含んだ太陽光が自然のプリズムを通った結果である．虹は連続的に色が変わるが，これは直観的にも自然なことのように思われる．
ところが，19 世紀後半，水素ガスを充填した放電管から発せられる光を分光すると，連続スペクトルではなく線スペクトルが得られることがわかった．そして，当時はそれを理論的に説明することができなかった．

1.3

水素原子のスペクトル91885 年，バルマーは線スペクトルの波長 λ が
n2
λ∝ 2
n −4

(n＝3，
4，
5，
…)

1
(1.10)に従うことを発見した．バルマーの式に従うようなスペクトル線はバルマー系列とよばれている．

 (m ＝ 1，2，3，…，n ＝ m ＋ 1，m ＋ 2，…)
(1.11)

を提案した．ここで，定数 RH はリュードベリ定数とよばれ，現在では RH＝ 1.0973731568539 × 107 m−1 であることが実験結果からわかっている．
バルマーの発見に続き，リュードベリの式に従うさまざまな系列が発見された．それらを発見者の名前と発見年で整理すると以下のようになる．
m ＝ 1，n ＝ 2，3，4，
… ライマン(Lyman)系列

1906 年

m ＝ 2，n ＝ 3，
4，5，
… バルマー(Balmer)系列

1885 年

m ＝ 3，n ＝ 4，
5，6，
… パッシェン(Paschen)系列

1908 年

6，7，…
m ＝ 4，n ＝ 5，

ブラケット(Brackett)系列

1922 年

m ＝ 5，n ＝ 6，7，8，…

プンド(Pfund)系列

1924 年

m ＝ 6，n ＝ 7，8，9，…

ハンフリーズ(Humphreys)系列

1953 年(1.11)は経験式であるが，これを古典力学を使って理論的に導出しようとしてもそれは不可能であった．なぜなら，この頃は水素原子の線スペクトルが発生するメカニズムが不明であったからである．
問題 3

リュードベリの式で，m ＝ 2 とするとバルマーの式と一致すること

を示せ．

問題 4

ライマン系列において，最も波長の長い光が発せられるのはどのような場合で，その波長はいくらか？

3
4

さらに 1890 年，リュードベリ（Rydberg）は
1
1
1
− 2
＝ RH
λ
n
m2

2

5
6
7
8
9
10
11
付
解

36

3.

井戸型ポテンシャル

3
井戸型ポテンシャル

無限に深い 1 次元井戸型ポテンシャルの問題は，シュレディンガー方程式が簡単に解ける典型的な例である．この章では，無限に深い井戸について 1 次元と 3次元の場合を，その後に井戸の深さが有限な場合について取り扱う．この場合は，少し工夫して図を用いて解を求める．

【学習目標】 最も簡単な例を学習して，シュレディンガー方程式の解き方を理解する．

【Keywords】 境界条件，線形結合，規格直交性，基底状態，励起状態

3.1 無限に深い 1 次元井戸型ポテンシャル
ここでは，最も簡単な例の一つとして，図 3.1 に示すような無限に深い
1 次元井戸型ポテンシャル（square well potential）中でのシュレディンガー方程式の解について考える．
このポテンシャルを式で表すと，
V (x) ＝0(0 ≤ x ≤ L；領域Ⅰ)∞ (上記以外；領域Ⅱ)(3.1)と書ける．これを用いると，質量 m，エネルギー E の粒子に関するシュレ

3.1
＋∞

無限に深い 1 次元井戸型ポテンシャル

37

＋∞

1
2
3
4

領域Ⅱ

図 3.1 無限に深い 1 次元井戸型ポテンシャル

x

0
領域Ⅱ

領域Ⅰ

5
6
7

ディンガー方程式は，

8





2 d 2−＋ V (x) ϕ(x) ＝ E ϕ(x)2m dx 2(3.2)

と表される．

3.1.1

9
10
11

境界での解の接続

まず領域Ⅱにおいては V(x) ＝ ∞ であるので，この壁に阻まれて粒子は領域にまったく侵入できない．したがって領域Ⅱにおいて，ϕ(x) ＝ 0 であることは自明である．また領域Ⅰにおいては V(x) ＝ 0 であるので，シュレディンガー方程式は−

2 d 2ϕ(x) ＝ E ϕ(x)2m dx 2

(3.3)

となる．ここで，正の実数  を用いて E ＝  2 2 /2m とおくと，(3.3)の一
般解はϕ(x) ＝ A sin x ＋ B cos x(3.4)と表される．
ところで，領域Ⅰにおける解と領域Ⅱにおける解は境界において一致していなければならない．そのためには

付
解

38

3.

井戸型ポテンシャル

ϕ(0) ＝ ϕ(L) ＝ 0(3.5)

が成り立つ必要があり，これを境界条件（boundary condition）とよぶ．このような境界条件を満たす解は
＝

π
n
L

(n＝1，
2，3，
…)

ϕ(x) ＝ A sin x

(3.6)
(3.7)

のように書ける．
ここで，sin L ＝ 0 を満たすためには n ＝ 0，
±1，
±2，…とすべきようにも思える．しかし，n ＝ 0 の場合，波動関数は x によらず常にゼロとなってしまうので除外した．また，n ＝ −1 の場合は n ＝ ＋1 の場合の波動関数の2

符号を反転させる違いしかなく， ϕ  が確率密度を表すという立場から考えると両者に本質的な差はない．よって負の整数も除外した．
例題 6(3.4)を導出せよ．

解答 E ＝  2 2/2m とおくと(3.3)は
d2
ϕ(x) ＝ − 2 ϕ(x)dx 2のような 2 階の線形常微分方程式となる．この式の特殊解は sin x および cos xであるので，これらの線形結合を取ると，以下の一般解が得られる．
ϕ(x) ＝ A sin x ＋ B cos x

例題 7(3.4)に示された一般解が，(3.5)のような境界条件を満たすよ

うにせよ．
解答 (3.5)が成り立つためには，定数 A および B は
ϕ(0) ＝ B ＝ 0(3.8)

ϕ(L) ＝ A sin L ＋ B cos L ＝ 0(3.9)

を満たさなければならない．このためには B ＝ 0，sin L ＝ 0 であり，境界条件を満たす解は＝πnL(n ＝ 1，2，3，…)(3.10)

3.1

無限に深い 1 次元井戸型ポテンシャル

ϕ(x) ＝ A sin x

39(3.11)のように書ける．

問題 11(3.3)の特殊解として e  と e − を採用しても，最終結果は(3.6)，(3.7)と同じになることを示せ．

3.1.2

4
5

ここで，(3.7)を  ϕ(x) dx ＝ 1
2(3.12)

0により規格化する．そこで，(3.7)を(3.12)に代入すると
A

2

 sin  L x dx ＝  A  
2

nπ

2

0



0

1 − cos {(2nπ/L) x}
2 L
dx ＝  A 
＝1
2
2

8

(3.13)

9
10

したがって，規格化された解は
ϕ(x) ＝

 L2 sin  nπL x (n＝1，2，3，…)(3.14)

22m

2

 Lπ  n2(3.15)となる．
(3.14)で表される波動関数は

 ϕ*(x) ϕ (x) dx ＝ δ


0







11
付

と書ける．また，エネルギーは
E ＝

6
7

となり，A ＝  2/L である．

(3.16)

を満たすことが証明でき，この性質を規格直交性1) とよぶ．ここで，δ はクロネッカー（Kronecker）のデルタとよばれ，

1)

2
3

規格直交性



1

(3.16)左辺を，関数 ϕ と ϕ の内積とよぶ．今まで内積といえば，ベクトル同士の内積を意味し，計算結果がゼロになれば両者は直交すると考えたと思う．これと同様のことが関数同士の内積にもいえ，計算結果がゼロになれば両者は直交するという．

解

40

3.

井戸型ポテンシャル

δ ＝



1 (n ＝ m)
0 (n ≠ m)(3.17)

により表される．また，ϕ* は関数 ϕ の複素共役（complex conjugate）を示
す．ただし，この場合は実関数であるので，＊をつけなくても結果は同じである．
ところで，(3.15)は E ＝ E1n 2 と書けるが，E1 ＝ ( 2/2m)(π/L)2 は L
が小さくなるほど大きくなる．すなわち，より狭い井戸のエネルギー準位ほど間隔が大きくなる．これは，より狭い井戸に粒子を閉じ込めるほどエネル
ギーの量子化（quantization）が顕著になることを意味している．
同様のことが粒子の質量 m についてもいえ，より軽い粒子のエネルギー
準位ほど間隔が大きくなる．このことは自由粒子の場合は起こらず，ポテン
シャル内に粒子が閉じ込められた際にのみ起こる．
最後に，波動関数を図 3.2 に示す．ここで，基底状態（ground state）は
n ＝ 1 の状態である．また，第 1 励起状態（first excited state）は n ＝ 2 の状態である．第 2 励起状態（second excited state）は n ＝ 3 の状態である．
いずれも境界で値が 0 になっている．また，山と谷の数を合わせると n の値と等しくなっている．

基底状態

0

/2
図 3.2 無限に深い 1 次元井戸型ポテンシャル中の粒子の波
動関数
第 2 励起状態

第 1 励起状態

3.2

問題 12

箱の中の粒子41(3.16)を証明せよ．

1
2

3.2 箱の中の粒子

3

一辺の長さが L の立方体状の箱に閉じ込められた，質量 m の粒子に対する時間独立シュレディンガー方程式
∇ ＋ V (r) Ψ (r) ＝ E Ψ (r)
− 2m
2

2

(3.18)

456の解法を以下に示す．
この問題は，前節で取り扱った問題の 3 次元版といえるが，3 次元になる

7と 1 次元のときには見られなかった現象も生ずる．まず，箱の外において

8は，Ψ ＝ 0 は自明である．したがって箱の表面で Ψ ＝ 0 になるように，箱の内側の解を求める．

10

すなわち箱の内側において，−

2∇2Ψ (r) ＝ E Ψ (r)2m(3.19)

Ψ (0，y，z) ＝ Ψ (x，0，y) ＝ Ψ (x，y，0) ＝ 0(3.20)

Ψ (L，y，z) ＝ Ψ (x，L，z)＝Ψ (x，y，L)＝0(3.21)の下に解けばよい．これは，粒子を閉じ込めた立方体の 6 個の表面上で波動関数がゼロになることを示している．

境界条件を満たす解

この問題は，2.5 節で示した 3 次元の自由粒子の問題と同様に，3 成分に変数分離できる．例えば，x 成分に関してはX(x) ＝ Ae  ＋ Be −
が境界条件

11
付

を，境界条件3.2.1

9(3.22)解42

3.

井戸型ポテンシャル

X(0) ＝ X(L) ＝ 0(3.23)

を満たすようにすればよい．そのためにはX(0) ＝ A ＋ B ＝ 0
X(L) ＝ Ae



＋ Be

(3.24)−＝ (A ＋ B)cos L ＋ i(A − B)sin L ＝ 0(3.25)

より，A ＋ B ＝ 0 および sin L ＝ 0 が成り立てばよい．
ここで後者を満たす波数は，任意の整数 n に対し  ＝ nπ/L を満たすものに限られ，解はX(x) ＝ X0 sinn π L x (n ＝ 1，2，3，…)(3.26)

と書ける．ここで，n として 0 以下の整数を採用しない理由は，前節で述
べた通りである．同様にして，y，z 成分に関しても
nπ L y (n ＝ 1，2，3，…)nπ
Z (z) ＝ Z sin 2，3，…)
z (n ＝ 1，L Y(y) ＝ Y0 sin


0





(3.27)

(3.28)

を得る．
したがって，全波動関数はΨ(x，y，z) ＝ X0Y0Z 0 sin

n π

nπ

n π

 L x sin  L y sin  L z(n，n，n ＝ 1，
2，
3，
…)

(3.29)となる．このときエネルギーはE ＝

2
2 π 2 2(2 ＋ 2 ＋ 2) ＝(n ＋ n2 ＋ n2)
2m
2m L

 

(3.30)
によって表される．
ここで，基底状態のエネルギーは，E111 ＝ 3( 2/2m)(π/L)2 である．また，第 1 励起状態のエネルギーは，E211 ＝ E121 ＝ E112 ＝ 6( 2/2m)(π/L)2

3.2

箱の中の粒子43である．その際 Ψ211，
Ψ121，
Ψ112 は，いずれも異なる関数であり，3 つの異なる状態が同一のエネルギーを取ることになる．このように，異なる状態が同1

じエネルギー固有値を取ることを，縮退（degenerate）とよぶ．特に，こ2の場合は 3 重縮退とよぶ．

3

問題 13

3.2.2

3 次元の立方体に閉じ込められた粒子の第 2 励起状態は，何重縮退か．

5

規格化された波動関数

次に波動関数の規格化を，6

  X  dx ＝  X   sin 


0



2

0



2

2

0

n π
x dx ＝ 1L(3.31)

により行う．これは(3.13)と同じ計算であり，結果は X0 ＝  2/L となる．
また，Y，
Z についても同様であり，全波動関数は以下のようになる．
Ψ(x，y，z) ＝

n π
nπ
n π
2 3/2
sin
x sin
y sin
z
L
L
L
L

 



 

 

(n，n，n ＝ 1，
2，
3，
…)


(3.32)

なお，波動関数が求まったので図示したいところだが，それを 2 次元の紙面上に描画するのは不可能である．そこで，一辺 L の正方形状の箱に閉じ込められた粒子の波動関数として取り扱う．この場合の波動関数およびエネ
ルギー固有値は，
Ψ(x，y) ＝

n π
nπ
2
sin
x sin
y
L
L
L



 

 (n ，n ＝ 1，2，3，…)(3.33)
E ＝

4

2

 

2


π
(n2 ＋ n2)2m L

(3.34)

によって表される．
y)を図 3.3 に，Ψ23 (x，y)を図 3.4 に示す．描画範囲はこれを用い Ψ11 (x，両方の場合ともに箱の内側であり，0 < x < L および 0 < y < L である．図
3.3 および図 3.4 を見ると，x 方向の山および谷の数は n 個，同じく y 方向

7
8
9
10
11
付
解

44

3.

井戸型ポテンシャルの山および谷の数は n 個であることがわかる．また，箱の表面（ふち）でx

図 3.3 2 次元の箱に閉じ込められた粒子の波動関数 ;11（x, y）

x（x, y）;11は波動関数がゼロとなっており，境界条件が満たされていることがわかる．

図 3.4 2 次元の箱に閉じ込められた粒子の波動関数 ;23（x, y）（x, y）;23yy