第7講

２次 関 数 ⑴基

12 次 関数とグラフ

礎学

習関数に関することば
右の図のように，周囲 12 km の池のまわりを時速3kmで歩き 1 周する。A 地点を出発してからx時間後の進んだ道のりは ❶Aykm

池1 周 12 kmkm であり，残りの道のりをykmとすると，y＝12− ❶3x kmである。このとき，0≦x≦4 の範囲で，xの値を定めると，対応するyの値がただ 1 つ定まる。

時速 3 km で，12 kmのこのように， 2 つの変数 x，y があり，x の値を定めると，対応するyの池を 1 周するので，かかる値がただ 1 つ定まるとき，yはxの ❷であるといい，y＝f（x）のようよって，0≦x≦4っに表す。

elpmay＝f（x）
において，x＝a のときのyの値を ❸x＝a における関数の値という。

2時間は4 時間である。
時関数のグラフ
平面上で座標軸を定めた平面をを❹と表し，この値を表しといい，といい
い， ❹上の点を実数の組（a，b））で表したものを座標という。
で表しを座標という。
いう。

しょううげん関数 y＝f（x）に対し，等式y＝f（x）を満たす点（x，y）
対し（x）たす点（（xx，y））全体が作る図形を，全体が作る図形全体が作（象限）に分けられる。

関数 y＝f（x）のグラフといい，y＝f（をそのグラフの方程式という。のグラ，y＝ff x）
x）
をそのグラフの方程式といS❺＝f
いてて，x のとりうる値の範囲を，この関数ののとりうる値の範囲 ，この関のとりうる値の範囲を関数 y＝f（x）において，xyのとりうる値のといい，このxの範囲におけるyのとりうる値の範囲をこのにおけるyにおけるのとりうを❻x）の ❺関数 y＝f（x）という。

yが a≦x≦ba≦x≦ であることあるこ

y=-3x+12

この値を ❽

第 1 象限xO
第 3 象限 第 4 象限

どの象限にも属さないもの
点（−2，5）は第 2 象限Aといい， ❻第 2 象限とする。に最大の値があるとき，この値をの値があるとき❼yなお，座標軸上の点は，12≦x
うにことがを，y＝f（x）（a≦x≦b）のように書くことが多い。
❻

座標平面は座標軸によ
面は次のよ
り，次のような4 つの部分に最小の値があるとき，最大にあり，点（0，−3）はどの象限にも属さない。という。

例えば，関数 y＝−3x＋12（1≦x≦3）のグラフは右の図のようになり，定義域は ❾は❿，値域B最小である。

また，x＝ ⓫のとき最大値 ⓬x＝ ⓭のとき最小値 ⓮O

13 4❺

定義域xをとる。
解答 ❶ 3x❽62

最小値❷関数❾❸1≦x≦3f（a）❹

座標平面❿ 3≦y≦9⓫1⓬9⓭❻値域3⓮❼3最大値

例題１ ［関数の値］ ➡ 1次の関数 （f x）について，f（0），f（5），f（−3），f（a−1）の値を，それぞれ求めよ。
⑵ （f x）＝x2＋4⑴ （f x）＝2x−5⑴ （f 0）＝2･0−5＝ 1（f 5）＝2･5−5＝ 2（f x）のxに は， 数 の他に a−1 のような式を代（f −3）＝2･（−3）−5＝ 3（f a−1）＝2･（a−1）−5＝⑵ （f 0）＝02＋4＝ 5入してもよい。
4（f 5）＝52＋4＝ 62（f −3）＝（−3）
＋4＝ 7

例題１の答
2（f a−1）＝（a−1）＋4＝（a2−2a＋1）＋4＝ 8f x）
について，f（3），f（−2），f（a＋2）の値を，それぞれ求値を求
類題１ 次の関数 （めよ。
2⑴ （f x）＝−3x＋7⑵ （f x）＝2x ＋x−53−11−42a−754

297elpma26132a −2a＋52a8

例題２ ［関数のグラフ］ ➡ 251

また最小値があれば値があれば，それを求めれを求め
次の関数の値域を求めよ。また，最大値，最小値があれば，それを求めよ。
（−1≦
y＝2x−1 （−1≦x＜3）

S与えられた関数のグラフは，直線れ
グラフは
ラフは，，直線 yy＝2x−1＝22x−1 の−1≦x＜3 の部の部分である。
る。

x＝3 のとき

よって，与えられた関数のグラフは図の実線部分である。値域は11ラフのことを，直線y＝2x−1 という。

-1

y＝2・3−1＝ 10

1 次 関 数 y＝2x−1 の グ

5

y＝2x−1 におにおいて，x＝−1＝−1＝−1 のときの−y＝2・（−1）−1＝ 9

y＝2x−1 のグラフ

y=2x-1yO-1

3x-3≦y＜ 12

らか片方または両方ともな

また，最大値，最小値について最大値はない

関数の最大値・最小値
最大値，最小値は，どちい場合がある。

x＝−1 のとき最小値 13（注） グラフで，端点を含む場合は ，含まない場合は で表す。

最大値，最小値を答える際は，なるべくそのときのxの値も示す。

類題２ 次の関数の値域を求めよ。また，最大値，最小値があれば，それを求めよ。
y＝−2x＋3 （−2＜x≦3）

例題２の答
9−310511−312513−363y＝ax2＋bx＋c（a0）のように，yがxの 2 次式で表されるとき，y はxの2 次関数であるという。以下，第11講まで，a30 とする。

y=ax2 のグラフ
a＞0 のときa＜0 のとき

y-1O

y1x2 次関数のグラフは放物⑵頂点： ❶⑶グラフの形

aa2次関数のグラフ

軸：y軸（直線 x＝0）⑴線であり，軸と頂点がある。
とつa＞0 のとき，下に凸軸

a＜0 のとき，上に凸-1O1（参考） グラフは， 2 点（1，a），x頂点（−1，a）を通る。

4y＝ax2＋bx＋c でy=ax2＋q のグラフ
a＞0 のとき

y軸方y＝ax2 のグラフをy軸方向にa＜0 のときyqだけ平行移動したグラフ
移動しyelpmaSqOqO

5xx⑴軸：y軸（直線 x＝0）0）⑵

頂点： ❷⑶

グラフの形
ラフの形
形

a＞0下に凸aa＜0上に凸y＝ax＝a 2 の グ ラ フ が 基。
本となる。

a＞0 のときのとき，とき， ❸に凸に凸a＜0 のときのとき，，❹a＜0に凸に

平行移動
移動
図
平面上で，図形を形を変えず定の向えずに一定の向きに一定の離だけ動距離だけ動かすことを平行移動移動という。

2y=a(x−p)a(xのグラフラaa＜0＜0 のときのa＞0 ののとき

yypOOxxpy＝ax2 のグラフをx軸方向にpだけ平行移動したグラフ
⑴

軸： ❺⑵

頂点： ❻

点（p，0）を通りy軸に平行な直線を直線 x＝p⑶という。

グラフの形

ya＞0 のとき， ❼に凸a＜0 のとき， ❽に凸O

解答 ❶ 原点(点(0，0))
❼64

下

❽上

❷

点(0，q)❸下❹上❺

直線 x＝p

直線 x=p(p, 0)❻ 点(p，0)x例題３ ［ y=ax2 のグラフ］ ➡ 3
次の 2 次関数のグラフの特徴を答えよ。
⑴

y＝2x2⑵ y＝−1 2x2y＝ax2 のグラフ⑴

軸は 1軸：y軸（直線 x＝0）（頂点：原点（点（0，0））），（−1，に凸の放物線で， 2 点 1， 43軸は 5⑵，頂点は 2a＜0 のとき，上に凸（y⑴a＞0 のとき，下に凸，頂点は 6），（−2，に凸の放物線で， 2 点 2， 87）を通る。

4）を通る。

8y⑵-2O2x放物線をかくときには，頂点に加えて少なくとももう 1 点の座標も示す。
例題３の答

2-1 O1x

類題３ 次の 2 次関数のグラフをかけ。
2⑴ y＝ x2
31y軸（直線 x＝0）y2

原点（点（0，0））elpma-2⑵ y＝−3x−3x223

下5y軸（直線（直 x＝0）6原点（点点（0，0）
（）

7

上

4−28＋q，y＝a(x−p)2 のグラフ］
グラフ］ ➡ 4，5
例題４ ［ y＝ax2＋q
次の 2 次関数のグラフの特徴を答えよ。
数のグ徴を答えよ。
えよ⑴y＝−x−x2＋3⑴y＝−x2 のグのグラフを 9
軸は 11⑵y＝軸方向に 10軸方向

y＝ax2＋q のグラフだけ平行移動したものでy軸方向にqだけ，頂点は 121 2フを 133
x のグラフを3軸は 15⑴S

12⑵ yy＝＝ （x−3）
3平行移動

軸方向に 14だけ平行移動したもので

y＝ax2 のグラフ

，頂点は 16yy＝a（x−p）2 のグラフ⑵

yx軸方向にpだけ3平行移動
32-1 O1

y＝ax2 のグラフ（pの符号に注意する。
）xO

3x

例題４の答
9（参考） ⑵では，x＝0 のとき，y＝3 である。このように，グラフとy軸の交点のy座標がかけるときは，なるべくかいておくとよい。

類題４ 次の 2 次関数のグラフをかけ。
⑴ y＝2x2−4⑵2y＝−（x＋2）y10

311y 軸（直線 x＝0）

12点（0，3） 1314

316点（3，0）15x

直線 x＝3656

y＝a(x−p)2＋q のグラフ
a＞0 のときa＜0 のとき
yy2＋q のグラフ
y＝a（x−p）(p, q)qO

y軸方向にqだけqOp(p, q)

平行移動

x2
y＝a（x−p）のグラフ

px軸方向にpだけ

xy＝a(x−p)2＋q のグラフは y＝ax2 のグラフをx軸方向にp，y軸方向にqだけ平行移動したもので
⑴

軸： ❶⑵

頂点： ❷a＞0 のとき， ❸⑶

7グラフの形

elpmaに凸（y＝ax2＋bx＋c を変形すると，y＝ay＝a x＋b 2 b2−4ac4ac−4a2a）（2bb −4−4ac4acに−，y軸方向に22a4a移動でだけ平行移動したもので
軸：❺S，頂点：，頂点：22（＝−2）x−−❼−❼）
2bb2（x＋ 2a ）−（ 2a ） ＋cb2222（ 2a ）− 4ab ＋cb＝a（x＋ 2a ）− b −4ac
4a＝a x＋❻y（この変形を平方完成とい23う）＋12 次関数 y＝ax2＋bx＋c1＝−2（x−1）2＋＋32

よって，グラフは，y＝−2x のグラフをx軸方向に ❽bx ＋ca＝ay＝−2x ＋＋4x＋1 のグラフについて
グラフについてラフにつ
y＝−2（x2−2x）＋1

y＝ax2＋bx＋cbx＝a x2＋となるので，y＝ax2＋bx＋c＋c のグラフは，y＝axのy＝ax2 のグラフをx軸方向に −y＝ax2 のグラフに凸a＜0 のとき， ❹y＝ax2＋bx＋c のグラフ

平行移動のグラフを，単にO 1x放物線 y＝ax2＋bx＋cと呼ぶこともある。

，y軸方向に ❾だけ平行移動したグラフである。

8y＝ax2＋bx＋c のグラフの平行移動
一般に，x2 の係数が等しい 2 つの放物線は合同であるので，平行移動する線上の他の点も重なる。

ことにより，重ね合わせることができる。
平行移動を考えるときは，平方完成して，頂点がどう動くかを調べればよい。
解答❶

直線x＝p❻点 −❷点(p，q)

266( 2ab ，− b −4ac4a )❼

頂点が重なれば，放物

❸

下1

❽ 1

❹

上❾❺
3

直線 x＝−b2a例題５ ［ y＝ax2＋bx＋c のグラフ］ ➡ 7
次の 2 次関数のグラフの軸と頂点を求めよ。また，そのグラフをかけ。
⑴

y＝x2＋4x＋5⑵ y＝−2x2＋12x−14⑴22y＝x2＋4x＋5＝（x＋2）−22＋5＝（x＋2）＋1

平方完成は2

よって，グラフは y＝x のグラフを平行移動したもので
軸は 1⑵

をくくる

，頂点は 22の形を用いて，（x＋○）

2＝−2｛（x−3）−32｝−14＝−2（x−3）2＋4を作る

よって，グラフは y＝−2x2 のグラフを平行移動したもので軸は 3x=-2x の係数の半分の 2 乗②y＝−2x2＋12x−14＝−2（x2−6x）−14⑴x2 の係数で x2，x の項①ことがポイントである。

，頂点は 4y⑵5y4elpma2

1-2OO

3 42xx=3xフの軸求めよ。また。また，そのグラフをかけ。
そのグラフをか
類題５ 次の 2 次関数のグラフの軸と頂点を求めよ。また，⑴

22⑵ y＝−y＝−x＝−xx−−8x−148xx−14y＝2x −8x＋11S

例題５の答
例題

1

直線 x＝−2＝2点（−2，1）3直線線 x＝3x＝4点（3，4）［グラフの平行移動］
行移動 ➡ 8
例題６ ［グ2y
放物線 y＝x＋2x は，平行移動して放物線は，，平行移動して放物線 y＝x2−8−8x＋17 に重ねに重ねることができる。どのように平行移動すればよいか。
ど平行移動すればよい
平行移動すればよいか。

2y＝x2＋2x＝＝（x（x＋1）−1y2より，放物線 y＝xx＋＋2x の頂点はは52（x−4）−42＋17y＝x2−8x＋17＝2＝（x−4）＋1より，放物線 y＝x −8x＋17 の頂点はx8(-1, -1)

6(4, 1)

O27

よって， 2 つの放物線は，頂点の5を6点（a，b）から点（c，d）
への移動量はx 軸方向：c−aに移動するような平行移動で重ねるこ

y 軸方向：d−bとができる。
すなわち，x 軸方向に 7，y 軸方向に 8だけ平行移動すればよい。

類題６ 放物線 y＝−2x2＋4 は，平行移動して放物線 y＝−2x2−4x＋6 に重ねることができる。どのように平行移動すればよいか。

例題６の答
5点（−1，−1）

6点（4，1）

82

7567

確認問

題f x）について，f（0），f（4），f（−1），f（a−2）の値をそれぞれ求めよ。
1 次の関数 （例題１⑵ （f x）＝−2x2＋3x⑴ （f x）＝−4x＋22 次の関数の値域を求めよ。また，最大値，最小値があれば，それを求めよ。

例題２y＝3x＋4 （−3＜x≦2）

3 次の 2 次関数のグラフをかけ。
⑴ y＝3x2⑵をかけ4 次の 2 次関数のグラフをかけ。
1⑴ y＝ x2−32y＝−−2 2x5elpma
例題４題４（⑵ yy＝−2＝−22 x＝−x＋＋S数のをかけをかけ。
5 次の 2 次関数のグラフをかけ。
⑴ y＝3x2＋6x−1−1

例題３122）例題５５⑵y＝−x2＋6x−8

6 放物線 y＝3x2＋6x＋2 は，平行移動して放物線 y＝3x2−12x−13 に重ねることができる。どのように平行移動すればよいか。

68

例題６基

本問

題

1 次の問いに答えよ。
⑴

関数 （f x）＝ax＋b が （f 1）＝−5，f（−2）＝19 を満たすとき，a，b の値を求めよ。

⑵k を 0 でない定数とする。関数 （f x）＝x2−5x＋2 において，f（1）＝f（1＋k）が成り立つとき，kの値を求めよ。

1

また 最値が2 −2≦x＜4 であるとき，関数 y＝− 2 x＋3 の値域を求めよ。また，最大値，最小値があれば，それを求めよ。

Smaelp次関フの軸と頂点を求めよ。またの軸と頂点を求めよ。ま ，そのグかけ。
3 次の 2 次関数のグラフの軸と頂点を求めよ。また，そのグラフをかけ。
−⑴ y＝−

1 2x3⑵ y＝2xy＝2x2−3（⑶ y＝− x＋122）＋1

4 次の 2 次関数のグラフの軸と頂点を求めよ。また，そのグラフをかけ。
⑴ y＝−x2−4x＋1⑵y＝1 23x −x＋22695 次の 2 次関数のグラフをかけ。
⑴

6y＝−x（x−6）＋3⑵y＝（2x−1）2−3（1−x）

12 次関数 y＝ （x＋1）（x−4）について，次の問いに答えよ。
3⑴y＝0 のときのxの値を求めよ。

⑵

かけ。
この関数のグラフを，グラフと軸の交点の座標がわかるようにかけ。

7maelp3x2 のグラフを平行移動して，頂点を次のような点としたとき，そのグラフを表す
2 次関数 y＝3xの平行移動して動して，，頂点を次のような点
点を次のようなとき
2 次関S

数を y＝axx2＋＋bx＋c の形で表せ。
形で表せ。
で表せ
⑴ （0，−5）−（2，0）⑵ （（22，00）

2⑶ （−1，−4）

28 放物線 y＝x ＋2x＋1 をx軸方向に3，y軸方向に −2 だけ平行移動すると，放物線 y＝ax ＋bx＋c に重なるとき，a，b，c の値を求めよ。

70

応用問

題f x）＝ax＋b において，最大値が8，最小値が 2 であるとき，a，b の値1 定義域が 1≦x≦3 である関数 （を求めよ。

2

2 つの放物線 y＝2x2＋4ax＋25，y＝−3x2＋12x＋b の頂点が一致するような a，b の値を求めよ。

2elp

2に −2，y軸方向に−2向に 3 だけ平行移動すると放物線だけ平行移動すると放物 y＝4x ＋＋24x＋37 に3 放物線 y＝ax ＋bx＋c をx軸方向に重なった。このとき，a，b，c の値を求めよ。の値をS

maや点に関して対称な位置に移すこと対対称な位4 図形を直線や点に関して対称な位置に移すことを対称移動という。
2⑵y

放物線 y＝2x −8−8x＋9 を次の直線や点に関して対称移動したとき，や点にその放物線の方程式を式を y＝ax2＋bx＋＋bx＋c の形で表せ。
⑴ x軸

⑵ y軸

⑶

原点

O⑶

x⑴

71