数理解析研究所講究録 1246 巻 2002 年 110-122

110
バナッハ空間における Rogosinski 型近似法について
琉球大 理 西白保敏彦 (ToshihikoNishishiraho)・

1. 序
C2\pi は実軸$\mathrm{R}$上で定義ざれた周期 2\pi を持つ連続関数全体のなすバナツ\acute ‘空間を表す. 各 f\in C21 のノノレムは

11 fll\infty =n 論 x{l $f(t)|$ :である.

を正の整数全体の集合とし,$\mathrm{N}$$|t|\leq\pi$$\mathrm{N}_{0}=\mathrm{N}\cup\{0\}$数全体の集合を表す. 各 n\in N。に対して,

$n$

次の

$B_{n}(f)(x)= \frac{1}{2\pi}[_{-\pi}b_{n}(t)f(x-t)dt$}

とおく. また,$\mathrm{Z}$. 作用素は

はすべての整$\mathrm{R}_{D}\wp \mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{h}$$(\forall f\in C_{2\pi},x\in \mathrm{R})$によって定義される. 但し,$b_{n}(t)= \frac{1}{2}\{D_{n}(t+\frac{\pi}{2n+1})+D_{1*}(t-\frac{\pi}{2n+1})\}$

であり,$D_{n}(u)= \sum_{\mathrm{j}=-n}^{n}e^{j\mathrm{u}}.\cdot$

は $n$ 次の$\mathrm{D}\ddot{\mathrm{m}}\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{t}$$(\forall u\in \mathrm{R})$核である (cf. [3, 13, 14]). f の Fouri\mbox{\boldmath $\varpi$} 級数を$f(t)$$\sum\infty\hat{f}\circ)e^{\mathrm{j}t}.\cdot$$(\forall t\in \mathrm{R})$$\mathrm{j}=-\infty$とし, その第 $n$ 部分和を
$S_{n}(f)(t)= \sum|*\hat{f}(j)e^{\dot{l}\mathrm{j}t}$$\mathrm{j}=-n$とすれば,$B_{n}(f)(x)= \frac{1}{2}\{S_{n}(f)(x+\frac{\pi}{2n+1})+S_{n}(f)arrow-\frac{\pi}{2n+1})\}$と表される. さて, 次の収束定理が成り立つ ([1, Proposition 134] 参照){?}石$narrow\infty$$||B_{n}(f)-f||_{\infty}=0$$(\forall f\in C_{2\pi})$

.

(1)

111
に対して,
の間の距離を各$n\in \mathrm{N}_{0}$$\mathfrak{T}_{n}$$E_{n}$と書き, これを$\mathfrak{T}_{n}$は $n$ 次以下の三角多項式全体の集合を表し, $f\in C_{2\pi}$ と

(

f)=in

$C_{2\pi};$$\mathrm{f}\{||f-g||_{\infty} :$\mathfrak{T}_{n}$g\in \mathfrak{T}_{\iota},\}$

に関する f の $n$ 次最良近似度と言う. \mbox{\boldmath $\tau$}1 はーの条件を満たす$2n+1$ 次元の線形部分空間であるから, 任意の $f\in C_{2\pi}$ は唯一の最良近似$g_{n}$

を持っ.

すなわち,
$E_{n}(C_{2\pi};f)=||f-g_{n}||_{\infty}$となる gn\in \mbox{\boldmath $\tau$}n が一意に存在する (例えば, [11, 定理 61.8] 参照). 古典的な Weier-straes の三角多項式近似定理は$(\forall f\in C_{2\pi})$$\lim_{1\iotaarrow\infty}E_{n}(C_{2\pi};f)=0$. と同値である.
各 $f\in C_{2\pi},$$\delta\geq 0$[こ対して,$\omega(C_{2\pi};f, \delta)=\sup\{||f(\cdot-t)-f(\cdot)||_{\infty} :|t|\leq\delta\}$$\omega^{*}(C_{2\pi};f, \delta)=\sup\{||f(\cdot+t)+f(\cdot-t)-2f(\cdot)||_{\infty} :,0\leq t\leq\delta\}$はそれぞれ f の連続率, f の一般連続率と呼ばれる ([1, Definitions L51and L53],

cf. [19] . 常に,$)$$\omega^{*}(C_{2\pi};f, \delta)\leq$

加 $(C_{2\pi}; f, \delta)$$(\forall f\in C_{2\pi}, \delta\geq 0)$

及ひ$\lim_{\deltaarrow+0}\omega(C_{2\pi};f,\delta)=0$

,

従って,

s\rightar ow +olin$\omega^{*}(C_{2\pi};f,\delta)=0$$(\forall f\in C_{2\pi})$が成立する. 更に, (1) は次のような評価式で精密化される:$||B_{n}(f)-f||_{\infty} \leq(2\pi+1)E_{n}(C_{2\pi};f)+\frac{1}{2}\omega^{*}(C_{2\pi};f,$ $\frac{\pi}{2n+1})$$([1, \mathrm{T}\mathrm{h}\infty \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}2.4.8])$$(\forall f\in C_{2\pi}, n\in \mathrm{N}_{0})$, 従って,$||B_{n}(\downarrow f)-f||_{\infty}\leq(2\pi+1)R(C_{2\pi};f)+\omega(C_{2\pi};f,$$\frac{\pi}{2n+1})$$(\forall f.\in C_{2\pi}, n\in \mathrm{N}_{0})$([6, Chap. 10, Sec. 4,).
同様な事が $1\leq p<\infty$ とし,上で周期 2\pi を持ち, 且っ $[-r\tau,\pi]$ 上で 乗絶対ル
ベーグ可積分関数 f の全体で$\mathrm{T}\mathrm{h}\infty \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}]$$\mathrm{R}$$p$.

$||f||_{p}$$=( \frac{1}{2\pi}[_{-\pi}|f(t)|^{p}dt)^{1/\mathrm{p}}$112をノルムとするバナッハ空間

においても成り立つ.

$\mu$

本講演では, 一般のバナッハ空間において Fourier 展開の視点から =一型をの作用素を導入し, それによる近似問題を考える. 更に? C2t や含む一般の斉次バナッハ空間の場合への応用を試みる. 従って, 上で述べた結果が一般化される. 詳細な取り扱いについては, [12] を参照.
$L_{2\pi}^{\mathrm{p}}(1 \leq p<\infty)$

2. マルチプライヤー作用素
をバナッハ空間とし, $B[X]$ は X からそれ自身への有界線形作用素全体のなす通は $B[X]$ \dagger こ
常の作用素/ルムを持つバナッハ環を表す.
$X$$\mathfrak{P}=\{P\mathrm{j} :$||\cdot \mathrm{I}1B[X|$j\in \mathrm{Z}\}$

属する射影作用素の列で次の条件を満たすとする). ここで, \mbox{\boldmath $\delta$}j 講は Kronecker のデルタ関数を(P-1)PjPk=\mbox{\boldmath $\delta$}j 講 Pj 酌,$k\in \mathrm{Z}$表す.

で生或される線形部分空間は X で稠密である.
(P-2)
ならば $f=0$ である.
に対して,(P-3) すべての
任意の f\in X に対して, その に関する (形式的な)Fourier 級数$\bigcup_{\mathrm{j}}{}_{\in \mathrm{Z}}P_{j}(X)$$P_{\mathrm{j}}(f)=0$$j\in \mathrm{Z}$$\mathfrak{P}$$\sum\infty P_{\mathrm{j}}(f)$

$f$

.

(2)

$\mathrm{j}=-\infty$を考える.
$\{\tau \mathrm{j} :$T\in B[X]$ が X 上のマルチプライヤー作用素であるとは

j\in \mathrm{Z}\}$

スカラー列が存在してすべての f\in X に対して,$\sum\infty\tau_{i}P_{\mathrm{j}}(f)$$T(f)$$\mathrm{j}=-\infty$が成り立つことである. そして, 次の表記法を用いる$T$$. \sum\infty\tau_{\mathrm{j}}P_{j}$$g=-\infty$(cf. [2, 7, 8, 17]). $M[X]$ は X 上のすべてのマルチプライヤー作用素全体の集合を表はす. これは $B[X]$ の恒等作用素 I を含む可換な閉部分環である.
$\mathfrak{T}=\{T_{t} :t\in \mathrm{R}\}$$M[X]$ に属する作用素の族で$A= \sup\{||T_{t}||_{B[X]} :$\sum\infty e^{-jjt}P_{\mathrm{j}}$$T_{t}$$\mathrm{j}=-\infty$,t\in \mathrm{R}\}<\infty$$(\forall t\in \mathrm{R})$

.

(3)

113
とする 6 このとき,$D(G)$ とすればその生成作用素 $G$ の定義域を$\sum\infty(-ij)P_{j}(f)$$G(f)$$(\forall f\in D(G))$$j=-\infty$が成立する ([7, Proposition 2]).

各$r\in \mathrm{N}_{0},$ $t\in \mathrm{R}$$\Delta_{t}^{\mathrm{O}}=I$

に対して,

,

$\Delta_{t}^{r}=(T_{t}-I)^{r}=\sum_{k=0}^{r}(-1)^{r-k}(\begin{array}{l}rk\end{array})T_{kt}$$(r\geq 1)$と置く. このとき, \Delta [は $M[X]$ [こ属し,$||\Delta_{t}^{r}||_{B[X]}\leq A_{r}(\forall t\in \mathrm{R},r\in \mathrm{N}_{0})$,但し,$A_{r}$=min $\{(A+1)^{r},2^{r}A\}$ ,そして科$(e^{-\cdot \mathrm{j}t}.-1)^{r}P_{\mathrm{j}}$$\Delta_{t}^{r}$$(\forall t\in \mathrm{R}, r\in \mathrm{N}_{\mathrm{O}})$$\mathrm{j}=-\infty$が成り立つ. 各$r\in \mathrm{N}_{0},$$f\in X,$ $\delta\geq 0$ に対して,$\omega_{r}(X;f,\delta)=\sup\{||\Delta_{t}^{r}(f)||\mathrm{x} :と定義し, これを$\mathfrak{T}$|t|\leq\delta\}$に関する f の r 次連続率という. これが持っ基本的な性質の 1

つは$\omega_{r+\iota}(X;f,\delta)\leq A_{r}\omega\sim(X;f,\delta)$,$(\forall r\in \mathrm{N},s\in \mathrm{N}_{0},\delta\geq 0,f\in X)$

特に$\deltaarrow+01\dot{\mathrm{m}}\omega_{r}(X;f,\delta)=0$である ([9,$r\in \mathrm{N},$$(\forall f\in X, r\in \mathrm{N}_{0})$1(c)]).
とする. X の要素 f がオーダー と定数 $K>0$ を持つ r 次 Lipchitz

皿$\alpha>0$$\alpha$

条件を満たす, またはクラス L 哄 $(X; \alpha, K)$ に属するとは,$\omega_{r}(X;f,\delta)\leq K\delta^{\alpha}$$(\forall\delta\geq 0)$が成り立つことである. また$Li_{h}(X;\alpha)=\cup Li_{h}(X;\alpha,K)\kappa>0$

114
はオーダー\mbox{\boldmath $\alpha$}の r 次垣戸

各 $f\in X,$$\delta\geq 0$$.\mathrm{t}\mathrm{z}$クラスと呼ばれる.

に対して,$\omega(X;f,\delta)=\omega_{1}(X;f,\delta)=\sup\{||T_{t}(f)-f||\mathrm{x} :$\omega^{*}(X;f,\delta)=\sup\{||T_{t}(f)+T_{-t}(f)-2f||\mathrm{x} :|t|\leq\delta\}$0\leq t\leq\delta\}$と定義する (cf. [7, Dffinitions3and 4]). このとき,$\frac{1}{A}\omega_{2}(X;f,\delta)\leq\omega^{*}(X;f,\delta)\leq A\omega_{2}(X;f,\delta)$$(\forall f\in X,\delta\geq 0)$(4)が成立する. 従って, 特に, $A\leq 1$ (よって, $A=1$ ) ならば$\omega_{2}(X;f,\delta)=\omega^{*}(X;f,\delta)$$(\forall f\in X,\delta\geq 0)$である.
$\alpha>0$とする. Lip*(X;\mbox{\boldmath $\alpha$}) はある定数 $K>0$ に対して$\omega^{*}(X;f,\delta)\leq K\delta^{\alpha}$$(\forall\delta\geq 0)$を満たす f\in X の全体から成るクラスを表す. (4) によって,L り\acute (X; ) $=Lip^{*}(X;\alpha)$$(\forall\alpha>0)$$\alpha$.

で生成される線形部分空間を表
任意の n\in No に対して, Mn はす. これは X の閉線形部分空間である. 各 $f\in X$ に対して,$\{P\mathrm{j}(X) : \mathrm{D}1 \leq n\}$$E_{n}(X;f)= \inf\{||f-g||x :g\in M_{n}\}$と定義し, これを M=に関する f の 次最良近似度という. ノルム空間における最良近似理論の解説については, [11] を参照. 明らかに,$n$$R(X;f)\geq E_{1}(X;f)\geq\cdots\geq R(X;f)\geq\cdots\geq 0$

で, 条件 (P-2) によってn\rightar ow \infty lin 翫$(X^{\vee}, f)=0$$(\forall.f\in X)$$(\forall f\in X)$

115
3. Rogosinski 型作用素$\chi\in L_{2\pi}^{1},$$W\in M[X]$ で$\sum\infty\lambda_{j}P_{j}$$W$$\sim$$\mathrm{j}=-\infty$とする. このとき, 任意の $f\in X$ に対して$( \chi*W)(f)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\chi(t)T_{t}(W(f))$

癒は常に BO&ner 積分として存在する. これによって定義される作用素$\chi*W$ を と$\chi$W からつくられる合成積作用素という (cf. [7, 9]). \chi *W は $B[X]$ こ属し,(5)$||\chi*W||_{B[X]}\leq A||\chi||_{1}||W||_{B[X]}$である. 更に, \chi *W は $M[X]$ に属し,

(6)$\sum\infty\hat{\chi}(j)\lambda_{j}P_{\mathrm{j}}$$\chi*W$$\sim$$j=-\infty$が成り立つ ([10, Lemma 1], cf. [9, hmmn 2]).

補題 1 すべての$t\in \mathrm{R}$

に対して,
(7)

$\chi(\cdot-t)*W=^{2}T_{t}(\chi.*W)$が成立する.

証明 (6) によって,$\sum\infty e^{-\dot{l}jt}\hat{\chi}(j)\lambda_{j}P_{j}$$\chi(\cdot-t)*W$$(\forall t\in \mathrm{R})$.

(8)$j=-\infty$$\forall j\in \mathrm{Z},f\in X$とする. このとき, (8), (6) 及ひ (3) [こよって,$,\mu$$P_{\mathrm{j}}((\chi(\cdot-t)*W)(f))=e^{-\cdot \mathrm{j}t}.\hat{\chi}(j)\lambda_{j}P_{j}(f)$$=e^{-\dot{l}jt}P_{j}((\chi*W)(f))=P_{\mathrm{j}}(T_{t}((\chi*W.)(f)))$.

従って, 条件 (P-3) によって, (7) が成り立っ.

さて, 各 n\in N。に対して,$n$Rn(f)=(b、$*I$ )次 Rogoeinski 型作用素 $h$ を$(f)= \frac{1}{2\pi}r_{-\pi}$b、(t)Tt(f) $dt$$(\forall f\in X)$

..

116
によって定義する. 各 n\in N。に対して, S.*を Fourier 級数 (2) による第 $n$ 部分和作
用素とする
$S_{n}= \sum_{\mathrm{j}=-n}^{n}P_{\mathrm{j}}$$(\forall n\in \mathrm{N}_{0})$.

補題 2 すべての n\in No に対して,$R_{n}= \frac{1}{2}(T/(\mathit{2}n+1)+\pi T-\pi/(\mathit{2}n+1))S_{n}=\sum_{k=-n}^{n}\alpha\ovalbox{\tt\small REJECT}(\frac{k\pi}{2n+1})P_{j}$$\mathrm{B}\mathrm{i}ffi\text{立する}$(9).

証明 (6) に鑑み,
$S_{n}=D_{1\iota}*I$$(\forall n\in \mathrm{N}_{0})$.

従って, 補題 1 によって
$R_{n}= \frac{1}{2}\{D_{n}$(.

十 $\frac{\pi}{2n+1})*I+D_{n}(\cdot-\frac{\pi}{2n+1})*I\}$$= \frac{1}{2}\{T_{-\pi/(2n+1)(D_{n}*I)+T_{\pi/(2n+1)}(D_{n}*I)\}}$$= \frac{1}{2}$(T-,/(h+1)+7\pi バ h+1))S\sim .

また,$b_{n}(t)= \sum n\mathrm{m}(\frac{k\pi}{2n+1})e^{k<}.\cdot$$(\forall n\in \mathrm{N}_{\mathrm{O}}, t\in \mathrm{R})$$k=-n$と表されるから, (6) によって (9) の第 2 の等式も成立する.
に対して,補題 3 各$k\in \mathrm{Z}$(10)$\lim_{\mathfrak{n}arrow\infty}n^{2}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{e}(\frac{k\pi}{2n+1})-1)=-\frac{1}{8}(k\pi)^{2}$が成立する.
証明

coet$= \sum_{\dot{\mathrm{r}}=0}^{\infty}\frac{(-1)^{j}}{(2j)!}t^{2j}$$(\forall t\in \mathrm{R})$であるから,,$n^{2}( \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{e}(\frac{k\pi}{2n+1})-1)=-\frac{1}{2}(k\pi)^{2}(\frac{n}{2n+1})^{2}+I_{n}(k)$ここで$I_{n}(k)=n^{2} \sum_{\mathrm{j}=2}^{\infty}\frac{(-1)^{\mathrm{j}}}{(2j)!}(\frac{k\pi}{2n+1})^{2\mathrm{j}}$

.

117

$n^{2}$$(_{21}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT},)arrow 4$,

0$(k\pi)^{2j}$$arrow 0$$\mathbb{N}(k)|\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$(2n+1)^{4}$.

$(narrow \mathrm{o}\mathrm{o})$.

$(2j)\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}2$

故に, (10) が成り立つ.
補題 4 すべての n\in N0 に対して,$||b_{n}||_{1}< \pi(1+\frac{1}{4}\log 3+\frac{2\sqrt{3}}{27})<2\pi$が成立する.

証明これは [6, C 石 p. $10,$ &虹] の証明から従う.
定理 1 すべての $f\in X$ ,n\in N。に対して,$\mathrm{t}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$||R_{n}(f)-f|| \mathrm{x}\leq A(1+B)E_{n}(X;f)+\frac{1}{2}\omega^{*}(X;f,$ $\frac{\pi}{2n+1})$が成立する. 但し,$B= \pi(1+\frac{1}{4}\log 3+\frac{2\sqrt{3}}{27})$.

従って, 特に$||R_{n}(f)-f||x\leq A(1+B)E_{n}(X;f)+\omega(X;f,$ $\frac{\pi}{2n+1})$

証明$\forall g\in M_{n}$.

とする. このとき, Sn(g)=g であるから, 補題 2[こよって,$R_{n}(g)-f= \frac{1}{2}(T_{\pi/(2n+1)}+T_{-\pi/(2n+1)})(g)-f$$= \frac{1}{2}(T_{\pi/(2n+1)}+T_{-\pi/(2n+1)})(g-f)$$+ \frac{1}{2}\{T_{\pi/(2n+1)}(f)+T_{-\pi/(2n+1)}(f)-2f\}$.

故に,$||R_{n}(g)-f|| \mathrm{x}\leq\frac{1}{2}(||T_{\pi/(2n+1)}||_{B[X]}+||T_{-\pi/(2\mathrm{n}+1)}||_{B[X]})||g-f||x$$+ \frac{1}{2}||T_{\pi/(2n+\iota)}(f)+T_{-\pi/(2n+1)}(f)-2f||\mathrm{x}$$\leq A||g-f||\mathrm{x}+\frac{1}{2}\omega^{*}(X;f,$ $\frac{\pi}{2n+1})$.

従って, (5) に鍾み,$||R_{n}(f)-f||_{X}\leq||R_{n}(f-g)||\mathrm{x}+||R_{n}(g)-f||\mathrm{x}$

(11)

118
$\leq||h||_{B[X]}||f-g||_{X}+A||g-f||_{X}+\frac{1}{2}\omega^{*}(X;f,$ $\frac{\pi}{2n+1})$$\leq A(||b_{n}||_{1}+1)||f-g||_{X}+\frac{1}{2}\omega^{*}(X;f,$ $\frac{\pi}{2n+1})$.

故に, 補題 4 によって, (11) が成り立つ.
系 1\Re ={九 :} は X 上の近似法である$n\in \mathrm{N}_{0}$$narrow\infty 1\dot{\mathrm{m}}||R_{n}(f)-f||_{X}=0$$(\forall f\in X)$.

補題 5 すべての $f\in X,n\in \mathrm{N}$ に対して,$E_{n}(X;f)\leq K\omega^{*}(X;f,$$\frac{1}{n})$が成立する. ここで, K は $f$ と $n$ に依存しない正の定数である.
証明
において, $r=2$ の場合を考え, (4) を用いる.
$[9, \mathrm{T}\mathrm{h}\infty \mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{m}2]$

F[四を$\Re=\{R_{n} :n\in \mathrm{N}_{0}\}$の共通不動点集合とする$F[ \Re]=.\bigcap_{\Leftarrow 0}^{\infty}\{f\in X : R_{n}(f)=f\}$

以下においては, 各 f\in X に対して Mn に関する f の最良近似が存在すると仮定する.
補題 6 $0<\alpha<2$ とする. このとき,$L\dot{l}p^{\wedge}(X;\alpha)=\{f\in X:R(X;f)=O(n^{-a}) (narrow\infty)\}$.

] から従う.
証明これは (4) と [10, 屋
定理 2 $f\in X$ とする. このとき, 次のことが成立する$\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\pi \mathrm{y}$$9(\mathrm{b})$(a) $0<\alpha<2$ とする. このとき
$f\in h.\dot{p}(X;\alpha)$$\Leftrightarrow$$||R_{n}(f)-f1|_{X}=O(n^{-a})(narrow\infty)$.

(b)$f\epsilon Lip^{*}(X;2)$$\Rightarrow$$||R_{n}\mathrm{t}f)-f1|\mathrm{x}=O(n^{-2})(\hslasharrow\infty)$.

(c)$f\in M_{0}\Leftrightarrow f\in F[\Re]\Leftrightarrow||.R_{\hslash}(f)-f||\mathrm{x}=o(n^{-2})$$(narrow\infty)$

証明 (a): $f\in L-p^{*}(X,\alpha)$ とすれば, 定理 1 及ひ補題 5 によって$\mathrm{I}1h(f)-f||x=o(R(X;f)+\omega.(X;\frac{\pi}{2n+1}))$$=o( \omega.(\frac{\pi-}{2n+1}))=O(n^{-\alpha})$$(narrow\infty)$$(narrow\infty)$

.

.

119
$\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\backslash }[\subset,$$E 2$||R_{n}(f)-f||_{X}=O(n^{-\alpha})(narrow\infty)\prime x\mathrm{b}\dagger \mathrm{J}^{\cdot},$$\mathrm{I}’.\mathrm{X}’\supset \mathrm{C}\vee$$E_{n}(X;f)\leq||R_{n}(f)-f||_{X}=O(n^{-a})$$(narrow\infty)$.

従って, 補題 6 によって f は $Lip^{*}(X;\alpha)$ に属する.
(b):(a) において, 必要性はすべての $\alpha>0$ に対して成り立っことに注目すればよい.

(c): $f\in M_{0}$ とすれば, $f=P\mathrm{o}(f)$ であるから, 補題 2 と条件 (P-1) によって
$R_{n}(f)= \sum_{k=-\cdot*}^{n}\prec\frac{k\pi}{2n+1})P_{k}(P_{0}(f))=P_{0}(f)=f$

再ひ, 補題 2 と条件 (P-1) によって, すべての$\ovalbox{\tt\small REJECT}(R_{n}(f))=\{$$j\in \mathrm{Z},$$(\forall n\in \mathrm{N}_{0})$.

$f\in X$ に対して,\prec 獄 h)Pj(f)$(|j|\leq n)$0(化| $>n$)が成立する. 今,$\forall j\in \mathrm{z},$$f\in F[\Re]$とする. このとき,$\ovalbox{\tt\small REJECT}(f)=P_{\mathrm{j}}(P_{0}(f))$

0 く化|$\leq n$. $(j=0)$ .

ならば,$( \cos(\frac{J^{\pi}}{2n+1})-1)P_{\mathrm{j}}(f)=P_{j}(R_{n}(.f))-P_{\mathrm{j}}(f)=0$であるから $P_{\mathrm{j}}(f)=0$. 従って,
$P_{j}.(f)=0=\delta j,\mathrm{o}P\mathrm{o}(f)=P\mathrm{j}(P\mathrm{o}(f))$$(0<|j|\leq n).$.

また,
$P_{j}(P_{0}(f))=0=P_{\mathrm{j}}$(R、(f)) $=P_{j}(f)$$(\downarrow j|>n)$.

-3 1 こよって $f=P_{0}(f)\in M_{0}$ . さて,と仮定する. このとき, 補題 2, 補題 3 及ひ [8, PrOpoeitiOn 1 (i)] (cf. [2,

故 [ニ, 条件$)$$(\mathrm{P}$$||R_{\hslash}(f)-f||\mathrm{x}=\mathit{0}\langle n^{-2})(n^{\backslash }-..arrow.\infty)$

によってすべての$6\cdot 1(\mathrm{b})])$

注意 1$\{f\mathrm{j} :j\in \mathrm{Z}\}$と$n\in \mathbb{N}0$$\{f_{j}^{*} :に対して Rn $(f)=f$ が成り立つ.

j\in \mathbb{Z}\}$はそれぞれ $X$ と X*(X の共役空間) の中の要素列で, システム $S=$ { $fj$ ,f;}iez は次の条件を満たすとする (cf. [5, 16]):
(F-1)
.
(F-2)
で生成される線形部分空間は X で稠楢である.
(F-3) すべてのに対して, $f\mathrm{j}(f)=0$ ならば $f=0$ である.}
このとき,$f_{\mathrm{j}}^{*}(f_{k})=\delta_{j,k}$$\{g\mathrm{j} :$(\forall j, k\in \mathrm{Z})$j\in \mathrm{Z}\}$$j\in \mathrm{Z}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}(f)$$\mathrm{T}\mathrm{h}\infty \mathrm{r}\mathrm{m}$$=f_{\mathrm{j}}^{*}(f)f_{j}$$(\forall\dot{j}\in \mathrm{Z},f\in X)$.

120と定義すれば,(2), (3) はそれぞれ$\mathfrak{P}\ovalbox{\tt\small REJECT}\{\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} jarrow \mathrm{Z}\}$は条件 (P-1), (P-2) 及ひ (P-3) を満たす. そして,$\sum\infty f_{\mathrm{j}}^{*}(f)f_{j}$$f$$(\forall f\in X)$$\sim$,$\mathrm{j}=-\infty$$T_{t}(f)$$(\forall f\in X,t\in \mathrm{R})$$\sum_{\mathrm{j}=-\infty}^{\infty}e^{-j\iota}.\cdot f\mathrm{j}(f)f_{j}$と同じである. 従って, この設定の下で 2 節及ひ 3 節の結果が適用される.

3. 斉次’《

空間$+\cdot//\backslash$

本節においては, X は斉次バナッハ空間とする. 即ち, X は次の条件を満たす関数空間である (cf. [4, 7, 15, 18]):を持つバナツハ空間である.
(H-1)X は L\mbox{\boldmath $\xi$}の線形部分空間でそれ自身ノルム$||\cdot||x$(H-2) ある定数 $K>0$ が存在して, $||f||1\leq K||f||\mathrm{x}(\forall f\in X)$ である.
に対して, 右移動作用素 Tl を $T_{l}(f)(\cdot)=f(\cdot-t)(\forall f\in X)$ によっ(H-3) 各て定義するとき, \eta は $B[X]$(H4) 任意の f\in X に対して, 写像 $t\mapsto T_{l}(f)$ は 上で強連続である.
である. その他の例に
斉次バナッハ空間の典型的な例は Q\pi や
ついては [7] (cfi 1415, 18]) を参照.
$t\in \mathrm{R}$$\mathrm{R}$$L_{2\pi}^{\mathrm{p}}(1\leq p<\infty)$

さて,$f_{\mathrm{j}}(t)=e^{-\mathrm{j}t}$,$f_{\mathrm{j}}^{*}(f)=f^{\wedge}(j)$と定義する. このとき, $6=$ {$f\mathrm{j}$($\forall j\in \mathrm{z}$, t\in R、 $f\in X$ ),f3}jcz は条件 (F-1), (F-2) 及ひ (F-3) を満たす. そこで,$P_{j}(f)(\cdot)=f^{\wedge}(j)e^{-\mathrm{j}}$.

$(\forall j\in \mathrm{Z},f\in X)$と定める (注意 1 参照). 各 \eta は展開 (3) を持ち $A=1$ である. また,$\omega_{2}(X;f,\delta)=\omega^{*}(X;f,\delta)$

Mn=\mbox{\boldmath $\tau$}、$(\forall f\in X,\delta\geq 0)$,$(\forall n\in \mathrm{N}_{\mathrm{O}})$である.

結局, 前節までに得ちれたすべての結果が上述の設定に下で適用される. 特に,, Chap. 10, Sec. 4,
系 1, 定理 1, 定理 2 はそれぞれ [1, Proposition 134] (), [ , Theorem(cf. [6, CImp. 10, Sec. 4,
Cbrollary]),$\mathrm{c}t[6$$[1, \mathrm{T}\mathrm{h}\infty \mathrm{m}2.4.8]$249] を一般の斉次バナッハ空間の場合へ拡張する.

$\mathrm{T}\mathrm{h}\infty \mathrm{r}\mathrm{m}]$

$1$

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