助成番号５－２190999
研 究 成 果 報 告 書

研究テーマ
（和文）

閉じ込め構造を持つ弾性曲面の数学解析

研究テーマ
（英文）

Mathematical analysis of confined elastic surfaces

研究期間

研究代表者

２０１９年 ～ ２０２３ 年

氏
名

研究機関名

（漢字）

三浦達哉

（カタカナ）

ミウラタツヤ（英文）Tatsuya Miura

所属機関・職名

東京工業大学

東京工業大学 理学院数学系 准教授

（漢字）
共同研究者
＊２名 をこ える 場
合は、【別紙追加用紙】（P3）に３人目以降を追記してください。

氏
名（カタカナ）（英文）所属機関・職名（漢字）
氏
名（カタカナ）（英文）所属機関・職名
概要 （600 字～800 字程度にまとめてください。）
細胞膜の形状に関する数理モデルの典型例として弾性曲面のモデルがある。本研究では弾性曲面の中でも、例
えばミトコンドリアのようにある曲面が別の曲面に閉じ込められているような構造を持つものに焦点を当てる。この問題では「曲面の重なり」を考慮する必要があるため、いわゆる「通常の滑らかな曲面」に関する理論では不十分である。本研究の研究課題はこのような問題を純粋数学の立場から解析し、基礎理論の創始・展開を目指すことを目標とするものであった。
本研究課題では関連する高階幾何学変分問題を中心にいくつかの成果を挙げた。特に重要な成果として、「曲面の重なり」の研究のためまずは弾性曲線の解析から始め、弾性曲線に関する Li-Yau 型の不等式を得た。これは「曲線の重なり」を伴う弾性曲線モデルの解析の出発点となるものであり、具体的にはユークリッド空間内の閉曲線の曲げエネルギーと曲線の多重度に関する不等式である。特に重要なのは、不等式の等号が成立する場合の曲線の形状である。これらの形状を本研究では「m 葉エラスティカ」と名付けた。このクラスはオイラーの研究から知られている「８の字エラスティカ」を含む新しい形状のクラスであり、古典的な数学的問題設定では現れないが現実には現れるような形状を多く含むクラスであることが実験的に確認できた。この成果は単著論文としてすでに国際学術誌より出版されている。またその他関連する話題として、表面拡散流や極小曲面、および p-弾性曲線等に関する成果も得た。

- 1 -発表文献 （この研究を発表した雑誌・図書について記入してください。）
論文課題

On the Isoperimetric Inequality and Surface Diffusion Flow for Multiply Winding Curves

著者名

Tatsuya
Miura,Shinya Okabe

雑誌名Archive for Rational Mechanics and Analysis

ページ

1111-1129

発行年

2

雑誌

02

1

巻号

239(2)巻号

381

論文課題

Sharp boundary ε-regularity of optimal transport maps

著者名

Tatsuya Miura, FelixOtto

雑誌名Advances in Mathematics

ページ

Paper No. 107603

発行年

2

論文課題

Geometric inequalities involving mean curvature for closed surfaces

著者名Tatsuya Miura

雑誌

021

雑誌

ページ

Paper No. 80

雑誌名Selecta Mathematica

発行年

2021

巻号

27(5)

論文課題

A diameter bound for compact surfaces and the Plateau-Douglas problem

著者名

Tatsuya Miura

雑誌名

Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe diScienze

ページ

1707-1721

発行年

2

雑誌

論文課題

02

2

巻号

XXIII(4)巻号

3(4)Polar tangential angles and free elasticae

雑
著者名

Tatsuya Miura

雑誌名

Mathematics in Engineering

ページ

Paper No. 034

発行年

2誌
0

論文課題

Li-Yau type inequality for curves in any codimension

著者名

Tatsuya Miura

21

雑誌ページ

Paper No. 216

雑誌名Calculus of Variations and Partial Differential Equations

発行年

2023

巻号

論文課題

Optimal thresholds for preserving embeddedness of elastic flows

著者名

Tatsuya Miura, Marius
Müller, Fabian Rupp

雑誌名American Journal of Mathematics

ページ

To appear

発行年

巻号

62(8)

雑誌

論文課題

Pinned planar p-elasticae

著者名

Tatsuya
Miura,Kensuke Yoshizawa

雑誌名

ページ

To appear

発行年

雑誌

雑Indiana University Mathematics Journal
巻号

論文課題

Delta-convex structure of the singular set of distance functions

著者名

Tatsuya
Miura,Minoru Tanaka

雑誌名

ページ

To appear

発行年

誌

Communications on Pure and Applied Mathematics
巻号- 2 -論文課題

Complete classification of planar p-elasticae

著者名

Tatsuya
Miura,
Kensuke Yoshizawa

雑誌

ページ

雑誌名

Preprint (arXiv:2203.08535)

発行年

巻号

論文課題

General rigidity principles for stable and minimal elastic curves

著者名

Tatsuya
Miura,
Kensuke Yoshizawa

雑誌

ページ

雑誌名

Preprint (arXiv:2301.08384)

発行年

論文課題

Migrating elastic flows

著者名

Tomoya Kemmochi,
Tatsuya Miura

巻号

雑誌

ページ

雑誌名

Preprint (arXiv:2303.12516)

発行年

巻号

論文課題

Variational stabilization of degenerate p-elasticae

著者名

Tatsuya
Miura,
Kensuke Yoshizawa

雑誌

ページ

雑誌名Preprint (arXiv:2310.07451)

発行年

巻号

英文抄録 （100 語～200 語程度にまとめてください。）
In this research project, we obtained several results on related higher-order geometric variational problems. As astarting point for the study of “self-intersecting surfaces”, we first obtained Li-Yau type inequalities for elasticcurves. This is related to self-intersecting elastic curves; more precisely, it is a relation between the bending
energy of a closed curve in Euclidean space and the multiplicity of the curve. Of particular importance are theshapes of the curves when the equality of the inequalities holds. These shapes are named “m-leafed elasticae”
in this study. This is a new class of shapes, including the “figure-8 elastica” known from Euler's work, and it wasexperimentally confirmed that this class includes many non-classical shapes that appear in the real world. Other
related results for surface diffusion flows, minimal surfaces, and p-elastic curves were also obtained.

- 3 -