◇Original Contribution◇

不均一な壁厚を有する管の局所壁弾性率の計測法
1

長谷川英之
2
小岩 喜郎

金井

1

浩

星宮

1

望

Evaluation of Regional Elastic Modulus of Cylindrical Shell
with Nonuniform Wall Thickness
Hideyuki HASEGAWA1 , Hiroshi KANAI1 , EJSUM
Nozomu HOSHIMIYA1 , and Yoshiro KOIWA2

Abstract
We have been attempting to evaluate the elasticity of the arterial wall by measuring the small changes in its thickness causedby heartbeat in order to provide a method for diagnosing atherosclerosis noninvasively . Although the elasticity of the arterial
wall has been evaluated noninvasively by measuring change in artery diameter and pulse-wave velocity, no method fornoninvasively evaluating the elasticity of the arterial wall from change in its thickness has yet been reported . Using the phased
tracking method proposed by our group, we measured small changes in thickness, changes of less than 100 m, in each regionalarea, which corresponds to the diameter of the ultrasound beam . From change in thickness, the elasticity of the arterial wall
can be evaluated with better spatial resolution than that obtained with measurement of change in arterial diameter and pulse
wave velocity. Here we propose a method for evaluating the elastic modulus of the arterial wall with nonuniform wall thickness
by measuring changes in its thickness. In basic experiments employing silicone rubber tubes with nonuniform wall thickness asa model of the artery, the elastic modulus of each silicone rubber tube is evaluated from the determined change in wall thickness.
These experimental results confirm the promise of the method proposed here .

Keywords
atherosclerosis, change in thickness of arterial wall, elastic modulus, small vibration on arterial wall

1.

はじめに

を評価する手法等が提案されている. 脈波速度は,Moens-Korteweg の式により動脈壁の円周方向の弾性

近年, 食生活の欧米化, 高齢化社会の到来に伴い,率との関係が示されており2), 径変化を用いた弾性特

心筋梗塞・脳梗塞等の循環器系疾患が増加しており,性の評価指標として, 増分弾性係数3), スティフネス

その原因となる動脈硬化症の早期診断が重要となってパラメータ4), 圧力弾性係数5)等が提案されている.

きている. 動脈硬化による組織変性にともない, 動脈

一方, 著者らは, 超音波を用いて拍動に伴う数十壁の弾性特性は変化するものと考えられ1), 動脈硬化

m という微小な動脈壁厚変化を計測することによ症の診断において, 壁の弾性特性を非侵襲的に評価でり, 動脈壁の弾性特性の非侵襲的評価を試みている7).

きることは有用である.

脈波伝搬速度や動脈の径変化により評価される壁弾性従来の動脈壁弾性特性の非侵襲的評価法としては,特性は, それぞれ, 軸方向数十 cm 間, または円周全体心拍に伴う圧力波の 2 点間の伝搬速度を計測する脈波の平均的なものであることに対して, 本手法により計速度法, 拍動に伴う動脈の径変化を計測し, 弾性特性

測された壁厚変化を用いて弾性特性を評価できれ

1

東北大学大学院工学研究科電気・通信工学専攻, 2 東北大学大学院医学系研究科第一内科 (1 Department of Electrical and Communication
Engineering, Tohoku University Graduate School of Engineering, Aramaki-aza-Aoba 05, Aoba-ku, Sendai 980 8579, Japan, 2 First
Department of Internal Medicine, Tohoku University Graduate School of Medicine, Seiryo-cho 11, Aoba-ku, Sendai 9800572, Japan)(Received June 9, 2000 ; Revision accepted on October 19, 2000)

J Med Ultrasonics Vol.28 No.1 (2001)

J3

ば, 超音波のビーム幅に相当する 1 mm 程度の局所ごで, 生体内では 1,540 m/s と仮定する.

とに弾性特性の評価が可能であり, 空間分解能を向上

以上のようにして動脈壁の振動速度 v(t) を算出するできる. そこで本論文では, 内圧変化に伴う管壁の厚ことにより, 動脈壁の厚み変化 h(t) を算出する. 動

み変化を用いた管壁弾性率の算出法について検討し,

脈壁の厚み変化 h(t) は, 動脈壁の内膜側の変位 xin

シリコーンゴム管を用いた基礎実験において管壁の弾(t) と外膜面の変位 xad(t) の差で表される. したがっ性率を算出できることを示す.

て, 内膜面と外膜面それぞれについて振動速度 vin(t),2.

拍動に伴う動脈壁厚の微小変化の計測原理

vad(t) を各々算出し, それらの差をとって時間積分することにより動脈壁の厚み変化 h(t) が得られる.

拍動に伴う動脈壁の厚み変化 h(t) を算出するために, まず動脈壁の微小振動速度 v(t) を計測する
 


6)7)

.そ



の計測原理の概略を以下に示す.
Fig . 1 に模式的に示されるように, 超音波診断装置

3.





 




(2)

動脈壁厚の微小変化を用いた壁弾性率の算出法

3.1

動脈が壁厚の均一な円筒管と見なせる場合

動脈硬化性プラークが存在しない場合には, 動脈を壁厚の均一な円筒管と仮定する. このとき, 時刻 t における内圧の拡張期圧 p0 からの増分 p(t) による動脈壁半径方向の増分ひずみ εr (t) は次式で示され
る8).






 
 




(3)



ここで, Er, Eθ, Ez は各々, 半径方向, 円周方向,
σθ(t), σz(t) は各々, 半径
軸方向の弾性率, σr(t), 
Fig . 1 Method used to measure small velocity on the arterial wall .

方向, 円周方向, 軸方向の増分応力,νはポアソン比である. (3)式の右辺第 2 項と第 3 項はそれぞれ, 円周方の超音波プローブから送信された超音波パルスは, 動σz(t) による円周方向
向と軸方向の増分応力 σθ(t), 

脈壁により反射されて超音波プローブに戻るまでに,

σz(t)/Ez に伴いポアソと軸方向のひずみ σθ(t)/Eθ, 

伝搬距離による位相遅れθ(t) が生じる. 対象までの距

ン比νを介して生じる径方向のひずみの減少分を示し

離変化を高精度に決定するために, 受信波の直交検波ている.

出力を用いて, 連続して送受信された 2 つの超音波パ

動脈は, 生体内では軸方向に非常に強く拘束されてルス間の位相偏移 θ(t)＝θ(t＋T)−θ(t) を推定する.

いるため9), 軸方向のひずみは無視できるものと仮定

ここで, T は超音波パルスの送信繰り返し周期であすると(σz(t)/Ez

る.

る.

さらに, 推定された位相偏移 θ(t) をもとに, 動脈壁の微小振動速度 v(t) は, 連続して送受信された 2 つのパルスの中間時点 t＋T/2 での値として, 次のよう  



 


(1)

ここで, は送信超音波の中心角周波数, c は音速
J4



 



(4)



次に, 動脈が心拍に伴う内圧変化 p(t) により Fig .
2 のような変形をしているときの Fig . 2 の斜線部分のに求められる.






0), (3)式は次式のように近似でき

力のつり合いについて考える. Fig . 2 の斜線部分を拡大したものを Fig . 3 に示す. 時刻 t における内圧と外圧 (大気圧) をそれぞれ p1(t), p2(t) とし, 血管壁が拡
J Med Ultrasonics Vol.28 No.1 (2001)

と表すことにより次式が得られる10).



(7)h(t)0 の場合には, (7)式は次式のように表され, ラプラスの式と呼ばれる10).


(8)(7)式の張力 T を壁厚 h(t) で割ることにより, 円周方向の応力σθ(t) が得られる.
Fig . 2 Change in diameter and thickness of the arterial






wall caused by change in internal pressure .

  



 (9)

 


血管壁は大気圧 p2(t) 中に存在するため, 大気圧と拮
抗するように血管壁を拡張させる方向に応力 p2(t) が働いているから, (9)式に p2(t) を加えることにより,円周方向の応力σθ(t) が次式により得られる.
  







(10)

時刻 t における内圧の計測値 p(t) は, p1(t)−p2(t) に相当する. 以下では, Fig . 2 a のように心臓拡張期圧 p0時の内半径 r0 と壁厚 h0 を基準とし, Fig . 2 b に示す
ように心臓拡張期からの増分をそれぞれ p(t),r(t), h(t) とすると, (10)式は次式で示される.








 
 
  (11)

実際には, p(t)＞0, r(t)＞0 であるが, 心臓収縮期
Fig . 3 Balance of force in a small region of the arterialには壁が薄くなるため, h(t)＜0 である.
一方, 径方向の応力σr(t) は内腔で−p1(t), 外径でwall .

−p2(t)であるから, 壁内の平均値として次式が得られ張する方向を正とする.

る.

Fig . 3 の斜線部分は y 軸に関して対称であるから,
x 方向の力のつり合いは保たれていると考えられる.
したがって, まず内腔部分が内圧 p1(t) から受ける力の y 方向成分のつり合いについて考える. Fig . 3 の微

´



(5)

´

である. 同様に, 外圧 p2(t) により外径部分 Q Q が受θである. 内圧とける y 方向の力は, −2 p2(t)r2(t)sin
外圧から受ける y 方向の力が, 張力 T の y 方向の成分





(12)






   



(13)

が得られる.
また, r(t), r(t) は, r0 と h0 に比べ十分小さいと仮定すると, 円周方向と半径方向の心臓拡張期におけとつり合うから, 次式が得られる.
















  

この場合にも, 大気圧と拮抗する応力 p2(t) を加えて,


小部分 P P に働く y 方向の力の大きさは,













(6)

σθ(t),
る各々の応力 r0 p0/h0, −p0/2 からの増分応力 
σr(t) は以下のように表すことができる.

さらに, 血管壁の厚さ h(t) を用いて r2(t)＝r1(t)＋h(t)J Med Ultrasonics Vol.28 No.1 (2001)

J5








  
 









     
 


(18)

Fig . 4 の実線は, (異方性 Er /Eθ )と((17)式で評価される弾性率 Eθ)との関係である. Fig . 4 において,(14)

仮に p(t)/
εr(t)＝200 kPa とした. また, 心臓拡張期における内半径と壁厚の比 r0/h0 の値については次




  




 




 





のように決定している. Fig . 5 は, 動脈硬化性プラー
クの認められない, つまり壁厚が均一と見なせる N＝



 


(15)
11)

68 例の被験者の総頸動脈において超音波断層法によさらに, 動脈壁は非圧縮性と見なせるため , ν＝り計測された r0/h0 をプロットしたものである. r0/h0

0 . 5 とすると, (4)式に(14)式と(15)式を代入することの平均値は 4 . 7 であった. したがって, Fig . 4 においにより, 増分内圧と径方向の増分ひずみの比 p(t)/εr(t) は次式で示される.










 


  

(16)

さらに, (16)式を変形することにより,


 




 
   




(17)

が得られる.
(17)式においては, 異方性 Eθ/Er が分からなければ
円周方向弾性率 Eθを算出できない. そこで, 半径方向の増分ひずみ εr (t)＝h(t)/h0 から円周方向弾性率
Eθ を算出するために, Er ＝Eθ と仮定できる根拠について考える. ErEθと近似して, 半径方向の増分ひずみ εr(t) を用いて算出される弾性率 Eθh を(18)式で定義する.

Fig . 5 Ratio of wall thickness, h0 , to inner radius, r0 ,Fig . 4 Relationship between elastic modulus, Eθ, obtained

obtained from 68 human common carotid arteries

by Eq (17) and anisotropy Er /Eθ. Broken line

without atherosclerotic plaques . (a) Wall thickness

shows the elastic modulus, E , obtained by Eq

h0 . (b) Inner radius r0 . (c) Inner radius-wall thick-(18), which is derived by approximating Er by Eθ.

ness ratio r0 / h0 .

h
θ

J6

J Med Ultrasonics Vol.28 No.1 (2001)

ては r0 /h0 ＝4 . 7 とした. 一方, Fig . 4 の破線は(18)式により評価された弾性率 Eθh である. 文献9)によれば,生理的条件下において Er /Eθ＝0 . 8 である. その場合に(17)式と(18)式により算出された弾性率の差 Eθh−E
θは, Fig . 4 での Er/Eθ＝0 . 8 における実線と破線の差に対応し, (17)式の弾性率 Eθに対して 3％程度である
ことが分かる. したがって, 動脈硬化による組織変化に伴う弾性率の変化が 200％以上である 1)ことを考えると, (18)式の近似は妥当であると考えられる. したがって, 壁厚が均一と見なせる場合には, (18)式により壁の弾性率を径方向の増分ひずみ εr (t) を用いて

Fig . 7 Distribution of internal pressure in the radial direction .

評価できると言える.
動脈が壁厚の均一な円筒管と見なせない場合

で p2(t) であるから, 壁内の圧力分布は Fig . 7 のよう動脈壁に動脈硬化性プラークが存在する場合には,に内腔面からの距離に比例して変化し, 外径において壁厚は不均一であり, 通常の動脈壁に比べ肥厚が顕著

p2(t) となるものと仮定する. したがって, 第 n 層 (n＝である. また, 本研究では弾性特性の空間分布から動1, 2,……, N) の内腔側における圧力 pn(t) は次式で示

脈硬化性プラークの易破裂性診断を目的としており,

される.

3.2

肥厚した壁をいくつかの層 (N 層) に分割し, 各層ごとに弾性率を算出することが必要となる. 本節では,






 (19)


この場合の壁の各層ごとの弾性率の算出法について述したがって, Fig . 6 の斜線の微小部分の y 方向の力のべる.

つり合いは, 前節(6)式と対応して次式で示される.

Fig . 3 と同様に, 厚さ h0 の壁を N 等分した Fig . 6の斜線の領域が内圧 p1(t) と外圧 p2(t) から受ける力のつり合いについて考える. 圧力は内腔面で p1(t), 外径














(20)

ここで, ρn(t)と Tn はそれぞれ, 第 n 層内腔側の曲率半径と第 n 層に働く張力である. 1 層の厚み h(t)/Nを用いてρn＋1 (t)＝ρn (t)＋h(t)/N と表すと, 前節(7)式と対応して次式から得られる.




(21)

張力 Tn を層の厚み h(t)/N で割ることにより, 第 n 層の円周方向の応力σθn(t) が次式により得られる.
 
  




 













(22)

心臓拡張期圧 p0 時の内腔側曲率半径ρn0 と層の厚み
h0 /N を基準とし, 心臓拡張期からの各々の増分をFig . 6

Small region within the arterial wall .

p(t), ρn(t), hn(t) とすると, (22)式に大気圧に拮抗する応力 p2(t) を加えることにより, 前節(11)式J Med Ultrasonics Vol.28 No.1 (2001)

J7

式が得られる.

に対応して次式が得られる.







   









 




(28)







  
  






 



 

(23)

また, 第 n 層の径方向の応力σrn(t) は, 前節(13)式て, 第 n 層の円周方向弾性率 Eθnh を前節(18)式の近似と対応して次式で示される.




と対応して次式により定義する.


  

(28)式において, Eθn /Ern 1 と仮定することによっ





 




  





 



(24)

 









 (23)式と(24)式の妥当性については付録に示した.

(29)

さらに, hn(t)≪h0/N, ρn(t)≪ρn0 と仮定すると,

なお, 特殊な場合としてひずみが均一な場合を想定

第 n 層の円周方向と径方向の増分応力 σθn (t),し , (29) 式 に 曲 率 半 径 ρn0 ＝ρ10 ＋(n − 1)h0 /N とσrn(t) は前節(14), (15)式と対応して次式のように

εrn(t)＝εr0(t) を代入すると,









  





 

示される.




  
  
 の層において同一の弾性率が得られることが分かる.
また, (29)式において層数を 1 としてρ10＝ r0 とおけ

 

 

ば,


(25)









 


 







 

 

(31)

であり, (18)式と同一となる.

 

  



(30)

となる. したがって, ひずみが均一な場合には, 全て    


 
 




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








 



 









4.

  




4.1

シリコーンゴム管を用いた評価実験

管が壁厚の均一な円筒管と見なせる場合

まず, 壁厚の均一な円筒管壁の弾性率が(18)式に(26)

よって評価できることを示すために, 次の基礎実験を行なった. ここでは, 人工心臓を用いてシリコーンゴ

また, 径方向の増分ひずみ εr n (t)＝N･hn (t)/h0

コーンゴム管の壁厚変化を計測した. 実験システム図

は前節(4)式に対応して次式で示される.







(27)

ここで, Er n と Eθn は第 n 層の半径方向と円周方向の弾性率である. ν＝0 . 5 と仮定し, (25)式と(26)式を(27)式に代入することにより前節(17)式と対応して次J8ム管内に圧力変化を発生させ, 圧力変化に伴うシリを Fig . 8 に示す. また, 用いたシリコーンゴム管 (ゴム管 A) の寸法, 音速は Table 1 に示してある. このとき, 管内圧波形と人工心臓駆動波形も同時に計測している. 以下に実験結果を示す.
Fig . 9 上部は超音波診断装置により撮影したシリJ Med Ultrasonics Vol.28 No.1 (2001)

Fig . 8 Illustration showing the experimental setup formeasuring the elastic modulus of the silicone
rubber tube .

Table 1Size, Speed of Sound, and Elastic Moduli of
Three Different Silicone Rubber Tubes

Tube
Rubber tube A
Rubber tube B
Rubber tube DInternal
Wall
Diameter Thickness
4 . 0 mm
7 . 5 mm
5 . 1 mmSound
Velocity

1 . 5 mm 992 m/s
2 . 5 mm 1291 m/s
0 . 7 mm 947 m/s

Elastic
Moduli5 . 7 MPa
1 . 9 MPa
1 . 2 MPa

Fig . 9 Measured change in thickness and internal pressure. Top, B-mode image of the silicone rubber
tube , obtained using conventional ultrasonic diagnostic equipment. (a) M-mode image. Both xin (t)and xad (t) show traces of tracking for the innersurface and external surface of the tube. (b) Drive
signal of the artificial heart. (c) Internal pressure .
(d) Velocity signal of the external surface vad (t).
(e) Velocity signal of the inner surface vin(t). (f)コーンゴム管の B モード断層像である. シリコーンゴ

Change in wall thickness Δh(t).

ム管上の 1 点に対して超音波ビームを送受信することにより得られた M-mode 像を Fig . 9 a に示す. Fig . 9式から弾性率 Eθh を算出した結果, 5 . 8 MPa であった.

b, c はそれぞれ, 人工心臓駆動信号, 内圧波形であ

この弾性率 Eθh を, 内圧外径試験により評価した円

る. シリコーンチューブ前壁外側面と内側面について

周方向弾性率と比較する. 計測システム図を Fig . 11

微小振動速度 vad (t), vin (t) を算出し, (Fig . 9 d, e 参に示す. ここでは, ポンプにより管内圧を 5 kPa 程度照), その差をとって時間積分することにより算出し上昇させ, その時の内圧 (NEC 三栄 9E02P16) と外た管壁の厚み変化 h(t) を Fig . 9 f に示す. この管壁径の変化 (KEYENCE VG035) を計測した. また, 円の厚み変化 h(t) をもとに, Table 1 に示した壁の厚周方向弾性率は, 増分弾性係数 Einc3)により評価した.

み h0 を用いて管壁半径方向の増分ひずみ εr (t)＝h(t)/h0 を算出し, Fig . 9 の点線のタイミングの管内





 










 


(32)

圧を基準とした場合の増分内圧 p(t) との関係をプ

ここで, re と re(t) は各々, 変形前の外半径と外半ロットしたものを Fig . 10 に示す. Fig . 10 a の増分内

径の re からの変化分(re(t)＞0)である. 計測された

圧増分ひずみ関係の傾き p(t)/
εr(t) を最小二乗法

内圧と外径から得られた増分内圧 p(t) と増分ひずみにより算出し, シリコーンゴム管の寸法をもとに(18)re(t)/re との関係を Fig . 12 に示す. Fig . 12 の結果か

J Med Ultrasonics Vol.28 No.1 (2001)

J9

Fig . 12 Results of testing the relationship between internalpressure and external diameter (tube A).

Table 2

Fig . 10 Relationship between internal pressure and strain
in the radial direction (tube A). (a) Relationshipbetween internal pressure and strain in the radial
direction. (b) Drive signal of the artificial heart .

Evaluation of Elastic Moduli of Three Different
Silicone Rubber Tubes
Tube

Eθ

Rubber tube A
Rubber tube B
Rubber tube X (first layer)
Rubber tube X (second layer)

5 . 8 MPa
2 . 0 MPa
1 . 4 MPa
1 . 2 MPa(c) Internal pressure . (d) Strain in the radial
direction .

MPa となり, 超音波による計測値 5 . 8 MPa と良く一致する.
さらに, 径と壁厚の異なる 2 種のシリコーンゴム管において同様に計測を行った. Table 1 に, 用いたシリコーンゴム管 (ゴム管 B) の寸法, 音速を示す. ゴム
管 B を用いて計測を行った結果, Table 2 に示すように Eθh＝2 . 0 MPa, Einc＝1 . 9 MPa となり, ゴム管 A の場合と同様に Eθh と Einc は良く一致する.
以上の結果から, EθEr である場合には, 壁厚が均一と見なせる円筒管壁の弾性率を(18)式により評価できることが示された.
4.2

管が壁厚の均一な円筒管と見なせない場合

次に, 壁厚の均一でない動脈のモデルの 1 つとして, 内腔の偏心した 2 層のシリコーンゴム管 (ゴム管
Fig . 11 Illustration of system used to test the relationshipbetween internal pressure and external diameter .

C) を作成し, 前節と同様な計測を行った. 2 層とも材質は同じである. Fig . 13 に, シリコーンゴム管の寸法

ら最小二乗法により傾き rep(t)/re(t) を算出し,を示す. シリコーンゴム中の音速は 947 m/s である.

(32)式から増分弾性率 Einc を算出した結果, Einc＝5 . 7

内側の層を第 1 層, 外側の層を第 2 層とする.

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J Med Ultrasonics Vol.28 No.1 (2001)

Fig . 13 Size of the section of the silicone rubber tube (tube
C). Oblique lines indicate the measured region .

Fig . 14 Measured strain in the radial direction (tube C).

Fig . 15 (a) Relationship between internal pressure and(a) Drive signal of the artificial heart . (b) Inter-strain in the radial direction of the inner layer

nal pressure . (c) Strain in the radial direction of(tube C). (b) Relationship between internal pres-the inner layer . (d) Strain in the radial direction

sure and strain in the radial direction of the outerof the outer layer .

layer (tube C).

Fig . 14 c, d は, 人工心臓を駆動して内圧変化を発生させることにより計測した第 1 層と第 2 層の径方向のひずみである. Fig . 15 a に第 1 層の増分内圧径方
向増分ひずみ関係を示す. シリコーンゴム管の寸法な
らびに増分内圧 p(t)半径方向増分ひずみ εr1(t) 関hを算係の傾きをもとに(29)式から第 1 層の弾性率 Eθ1

出した結果, 1 . 4 MPa となった. 同様に, Fig . 15 a は
第 2 層に関して厚み変化 h2(t) を計測することにより得られた増分内圧半径方向増分ひずみ関係である.
hを算第 2 層についても同様に(29)式により弾性率 Eθ2

出した結果, 1 . 2 MPa となり, どちらの層もほぼ同一の弾性率が得られた.
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Fig . 16 Results of testing the relationship between internalpressure and external diameter (tube D).
J 11

また, ゴム管 C と同じ材質で壁厚の均一なシリコー



ンゴム管 (ゴム管 D) を作成し, 内圧外径試験を行った. Table 1 にゴム管 D の寸法等を示す. Fig . 16 は内


圧外径試験から得られた増分内圧円周方向増分ひず
み関係である. Fig . 16 の結果をもとに, (32)式から増  





 (34) となり, これは(12)式と一致している.

分弾性率 Einc を算出した結果, Einc＝1 . 2 MPa となり,同様に, 円周方向の応力の場合においても, N 層の超音波による計測結果とほぼ一致する. ゴム管 C に関

各平均応力σθn(t) を用いて壁全体の張力 T を求め, そする実験結果を Table 2 にまとめる. 以上の結果かれを壁厚 h(t) で割った壁全体の平均応力σθ(t) は,ら, 壁厚の不均一な円筒管においても, (29)式により(23)式を用いて次のように算出できる.

弾性率を算出できることが示された.
5.

  


 


  あとがき   

本論文では, 内圧変化に伴う管壁厚の変化を計測することにより, 管壁弾性率を算出する手法について検討を行った. 本研究では, 動脈壁の弾性率の非侵襲的   

動脈硬化性プラークが存在する場合には壁厚は不均一となる. そこで, 壁厚が均一な円筒管と見なせる場合

と壁厚が均一と見なせない場合のいずれについても管 


計測を目的としており, 動脈硬化性プラークが存在しない動脈壁は, 壁厚が均一な円筒管と仮定できるが,



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
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

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


 





壁弾性率を算出できる手法を提案した. さらに, シリ
コーンゴム管を用いた基礎実験において, 提案した算出法により管壁弾性率を算出できることを示した. 本
算出法により, 超音波を用いて計測された動脈壁厚変化から壁弾性率を算出することが可能であり, 動脈硬算出式の妥当性













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 








  



化症の非侵襲的診断に有用であると考えられる.
付録：壁厚が不均一な場合の応力σrn(t),σθn(t)の  
 



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

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

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
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

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





(35)

この結果は, 壁を一層のみとして算出した(10)式と一致することが分かる.

壁厚が均一で, 壁全体を一層として扱える場合にお以上のように, (24)式と(23)式に示した径方向と円いても, さらに細分化して N 層あると考えることがで周方向の層別の応力は, 壁全体で平均すると(12)式ときる. この場合に, N 層分の径方向の応力の和をとっ(10)式に示される壁全体を一層として扱った場合の径て平均をとれば, (12)式から壁全体を一層と見なして方向と円周方向の平均応力と一致することが分かる.

算出した径方向の応力 





(33)
1)

に一致するはずである. (24)式を用いて N 層全体の平均応力σr(t) を算出すると,



 








 

12

2)

文
献
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