Horizon-penetrating Transonic Accretion Disks
around Rotating Black Holes with Causal Viscosity
高橋労太（東大総合文化）

ホライズンの内側まで解かれた
ADAFの遷音速流のサンプル解(４元速度のｒ成分)

要旨ブラックホール周りの定常降着流の遷音速解を外側の領域からホライズンの中 まで計算できるようになった。以前の計算との大きな違いは、座標特異性が ホライズンに位置にないので、ブラックホールに流入する降着流の全ての物理量 をホライズンの超近傍と真上で正確に評価できるようになったことである。
shear stressの部分は、kinematic viscosityを用いてcausalityを破らない shear stressとして定式化した。また、よく使われているalpha粘性の他に、 輻射による粘性、convectionによる粘性なども用いることが出来るような 一般的な形で基礎方程式を定式化した。
状態方程式も任意のものを用いること が出来る。今回、遷音速解を音速点から内外に数値積分する形で計算する方法を 用いているので、外側内側の境界条件に拠らずに方程式系が満たす全ての可能な解 を計算することができる。今回は、以上の性質をもつ基礎方程式の定式化と解の 計算方法を示した後に、相対論的の状態方
程式移流優勢降着流 (ADAF)に対するサンプル解を提示する。

Kerr-Schild 座標 ⇔ Boyer-Lindquist 座標
計量 ( Kerr-Schild 座標)：ホライズンに座標特異性をもたない

ds 2 = −α 2 dt 2 + γ ij (dx i + β i dt )(dx j + β j dt )⎛⎝α = ⎜1 +2mr ⎞⎟Σ ⎠−1/ 2

Δ = r 2 − 2mr + a 2 ,Σ = r 2 + a 2 cos 2 θ2mr / Σrβ=,,
1 + 2mr / ΣA = (r 2 + a 2 ) 2 − a 2 Δ sin 2 θ2mrA sin 2 θ⎛ 2mr ⎞, γ θθ = Σ, γ φφ =γ rr = 1 +, γ rφ = γ φ r = − a sin 2 θ ⎜ 1 +⎟.
ΣΣΣ⎝⎠

Kerr-Schild 座標とBoyer-Lindquist 座標の変換則
2mrdt BL = dt KS −drKS ,
Δ
drBL = drKS ,dθ BL = dθ KS ,dφBL = dφKS −∂∂=,∂t BL ∂t KS∂∂
2mr ∂a ∂=++,∂rBL ∂rKSΔ ∂t KS Δ ∂φKS
∂adrKS ,Δ∂θ BL∂∂φBL==∂∂θ KS∂∂φKS,,→エネルギー E (= −ut ) 、角運動量 A(= uφ ) は同じ表現。
rφt(uΩ(=u/u)
角速度、r成分の４元速度 , ur ) は異なる表現。

Locally Non-rotating Reference Frame (LNRF)
Boyer-Lindquist座標の場合と大きく異なる部分がある！
Stationary Congruence (by Future-directed Observer orthogonal to t = const.)

ut = −α , uk = 0 (k = r , θ , φ )*このcongruenceではspin tensor=0となるので、このcongruenceが構成するフレームはLocally Non-rotating Reference Frame (LNRF) と呼ばれる。
*また、specific angular momentum=0 ともなるので、このcongruenceを持つ観測者はZero Angular Momentum Observer (ZAMO)と呼ばれる。
*このcongruenceを持つ観測者の物理的な意味は、Boyer-Lindquist 座標を用いた場合とKerr-Schild座標を用いた場合とで大きく異なる。
即ち、Boyer-Lindquist 座標の場合

Kerr-Schild 座標の場合

ブラックホール回転による角速度
BH

ω=ブラックホールに速度βr θru = − , u = uφ = 0αで落下する観測者

2mar
Aで回転する観測者

BH

Frames & Frame Transformations
以下の３種類のフレームを用いる。

ＢＨ

Ｋｅｒｒ-Ｓｃｈｉｌｄ 系
ds 2 = −α 2 dt 2 + γ ij (dxi + β i dt )(dx j + β j dt )ほとんどの計算はこのフレームで行う

テトラド変換Ｏｒｔｈｏｎｏｒｍａｌ系 （ＬＮＲＦ、ＺＡＭＯ系）
ds 2 = −[eμ t dx μ ]2 + [eμ rˆ dx μ ]2ˆ

+ [eμ ϑ dx μ ]2 + [eμ φ dx μ ]2ˆˆ

→ 一般相対論的効果
ｅ．ｇ． 重力赤方偏移
Ｆｒａｍｅ Ｄｒａｇｇｉｎｇ
Ｎｅｇａｔｉｖｅ Ｅｎｅｒｇｙ

ローレンツ変換

流体静止系 (u (t ) , u ( x ) , u ( y ) , u ( z ) ) = (1, 0, 0, 0)
ds 2 = − d (t ) 2 + d ( x) 2 + d ( y ) 2 + d ( z ) 2
通常の輻射プロセス （ｅ．ｇ． シンクロトロン）←素粒子の相互作用距離<<時空の曲率半径→ 特殊相対論的効果
ｅ．ｇ． ビーミング効果

保存則と基礎方程式
エネルギー運動量テンソル（流体＋粘性＋輻射）T μν = ρ0η u μ uν + pg μν + t μν + q μ uν + qν u μ
保存則と基礎方程式 今回は赤道面上のflowのみを考える
静止質量保存M = 4π r 2 H θ2 ρ 0 ( − u r )∇ μ ( ρ 0u μ ) = 0
エネルギー運動量保存∇ν T μν = 0* 運動量保存(ｒ成分)hμr ∇ν T μν = 0

熱が質量項となる相対論的効果

h rr dpa =−+n⇔「r 方向の加速度=流体の圧力勾配＋熱慣性」
ρ0η dr HI2r

ϑμν
* 運動量保存(θ成分) hμ ∇ν T = 0* 運動量保存(φ成分)Hϑ2 =hμφ ∇ν T μν = 0as
A 2* / r 2 ⇔「円盤の厚さ」

ρ0u r (η A − j ) = tφr + (q r A + qφ u r ) ⇔「角運動量保存則」
エネルギーフラックス(t 成分) hμ ∇ν Ttμν

=0E （今回は用いない）（輻射がなく非相対論的な場合 

E / M =1uμ ∇ν T = 0* エネルギー保存
ds+−= ρ 0T+ qradqvis⇔「粘性加熱＝移流冷却＋放射冷却」
drμν）

Heat Inertia Effects
粘性がある場合に熱が質量項となる相対論的効果。
質量降着率が大きく、粘性加熱がＢＨ近傍で効く場合に重要となる。
* 運動量保存(ｒ成分)hμr ∇ν T μν = 0

熱が質量項となる相対論的効果

h rr dpa =−+n⇔「r 方向の加速度=流体の圧力勾配＋熱慣性」
ρ0η dr HIr

ここで nHI は次のように定義され、書き下される。
nHI ≡ −=−1ρ0ηhμr (∇ν t μν + q μ uν + qν u μ )Θ ≡ ∇μu μ1 ⎡⎛ + 1 γ
νμ ⎞ rrν
γrr
μr⎤−Θ+∇+∇+∇+Θ+∇qtuuqutuqqquμννγμ⎟⎥ρ0η ⎢⎣⎝⎜ vis 3 γ⎠⎦+qvisの項：最も重要な項。粘性加熱の効果が慣性項として運動方程式の中で作用する効果を表す項。

1− Θtγγ の項：流体の体積の変化(expansion又はcompression)による3冷却または過熱が、慣性項として作用するという効果。

q μ を含む項：輻射による冷却または過熱が慣性項として作用するという効果。

Vertical Structure (General Form)
定常降着流のθ方向のeffectiveな厚さは、θ方向の運動量バランスを仮定することにより導出される。
ϑμν* 運動量保存(θ成分) hμ ∇ν T = 0

Hθ ⇔「円盤の厚さ」

Hθ の一般形は次のように与えられる。
Hθ2 = as2 ⎡A 2* / r 2 − u r ∂ r uϑ + uθ ( uθ − u r ∂ r ln η ) − ∇ν ( qν uθ + qθ uν ) ρ0η ⎤⎣⎦1

この形は、ブラックホールのホライズンでsingularでないHθ を与える。
ここで、A 2* = A 2 − a 2 ( E 2 − 1) と定義される。ここで、as2 = p / ρ 0η 。
＊θ方向の速度成分とその勾配を無視し、輻射の効果も無視すると次のような簡単な式に帰着する。
2aHϑ2 = 2 s 2
A* / r

ブラックホールが回転し、かつ、エネルギーが相対論的になっている場合には、このエネルギーの効果により円盤の厚さは厚くなる。同じエネルギーの場合ブラックホールの回転が速いほど厚くなる。

Turbulent Shear Stress & Causal Viscosityr

1. Shear stress tensor t φ は、流体静止系で評価する。

t rφ = 2 ⎡⎣ e r ( r ) eφ(φ ) + e r (φ ) eφ( r ) ⎤⎦ t ( r )(φ ) = FS

ここで流体静止系でのshear stressは（テトラドによる変換）

S ≡ t( r )(φ )と定義する。
t( r )(φ であり、)

2. 流体静止系でshear stressを拡散過程として計算する。

S − S0dS
u=−drτvr

τ v ：拡散の時間スケール

kinematic viscosity ν より与えられる有限の拡散速度が導入される。

cv = (ν / τ v )1/ 2：拡散速度

S0 ：shear stress の平衡値。ここでは、Navier-Stokes的に与える。
この際にも、kinematic viscosityの効果が導入される。

３. 角運動量保存則からdS/dr を計算することによりshear stress Sは次のように計算される。

S=S0 + ⎡⎣ ρ 0ητ v (u r ) 2 ( ∂ r A + A∂ r ln η ) + u rτ v QS ⎤⎦ F

1 − u rτ v ( 2 / r + ∂ r ln F + ∂ r ln Hθ )この式には、テトラドの微分、 Hθ の微分、輻射の効果が含まれる。

Sonic Point とViscous Pointでの境界条件
１. Sonic Point での境界条件 Sonic Point (音速点)：流体の速度＝音速となる点
流体はブラックホールに超音速で流入するので、どこかで亜音速から超音速に移る遷音速点を通る。

du r N s=Dsdr

音速点で N s = Ds = 0 という境界条件を課すことによって音速点をスムーズに通過することが出来る。

２. Viscous Point での境界条件 Viscous Point ：流体の速度＝拡散速度となる点
今回の定式化では、有限の拡散速度を導入することによりshear stressを計算したので、角運動量の変化を記述する式は、「流体の速度＝拡散速度」となる点でsingularになる。

dA Nv=dr Dv

Viscous Pointで N v = Dv = 0という境界条件を課すことによって音速点をスムーズに通過することが出来る。

一般に、Viscous Pointの位置は音速点の外側に存在する。

計算方法
以上の基礎方程式を以下の手順に従って解き、遷音速解を得る。
この手順により、方程式系が満たす全ての可能な解を網羅的に得ることができる。
手順 1 音速点での物理量を指定
まず、音速点の位置 rSと角運動量の定数 jを選ぶ。この値の元で、
音速 aS (または温度TS )を一時的に適当な値を選ぶ。これらの値をr用いて音速点での u 、 A と aS (または T )の微分量を計算する。
手順２ Sonic Point とViscous Pointの間の解を計算
音速点での音速(又は温度)の値をいろいろ変えて、Sonic Point とViscous Point での境界条件を満たす解を得る。この際、境界条件を満たす解が得られるまで手順１を繰り返す。
手順３ Viscous Point より外側の領域の解を計算
手順２で境界条件を満たす解が得られているので、同じ物理量を用いてViscous Point より外側の領域の解を計算する。
手順４ Sonic Point より内側の解をホライズンの中まで計算
手順３と同じようにSonic Point より内側の解を計算する。今回はホライズンでの特異性がないので、ホライズンの内側まで計算可能。

サンプル解（ADAF + 相対論的状態方程式の場合）

ru
相対論的状態方程式を用いたADAF解の４元速度のｒ成分

ホライズンの部分で何も起こらずにスムーズに解が解かれている。

サンプル解（ADAF + 相対論的状態方程式の場合）

相対論的状態方程式を用いたADAFのサンプル解の角速度。
今回選んだパラメータでは、BHスピンの違いはあまりない。
→Boyer-Lindquist 座標の場合には、ホライズンでBHの角速度と一致する。
BHスピンの違いがあまり出ないのはKerr-Schild座標を用いたためである。

まとめと今後の作業
まとめ
1. 定常降着流の遷音速解を外側の領域からホライズンの中 まで計算できるようになった。
以前の計算との大きな違いは、座標特異性が ホライズンに位置にないので、降着流の全ての物理量 をホライズンの超近傍と真上で正確に評価できる。

2. shear stressの部分は、kinematic viscosityを用いてcausalityを破らない shear stressとして定式化した。
3. 相対論的の状態方程式を用いた場合の移流優勢降着流 (ADAF)に対するサンプル解を提示した。
今後の作業（例）
1. 現在までに求められている様々な降着流モデルに適用する。
2. これらの計算結果を用いてブラックホールスピンの変化率と質量降着率の関係を調べていく。
3. Shear stressの部分を現実的なものに置き換える。

補足：Kerr-Schild 座標での自由落下運動

ホライズンはスムーズに通過する。
ポテンシャル障壁にぶつかる部分まで解は存在する。