ーム : 訟 認 盟

晴窃調理掠鴫鵬珊潤~ 1.1 ベ き 関 数

質量 mの物体が自然落下する場合，はたらく力は重力 mgで，その運動方
程式はd2xm 否 τ =mg

d2x苛2=g(1.
1)

この解， 距離 xは時間 tの 2次式で表される.

x‑=qt22(1.
2)

これは距離が時間のべ き関数 で表現され， 2次までとれば十分であることを示す. 自然現象のかなり複雑な時間的な変化でも原理的には時間の次数を無限大までとれば再現できるが，普通は適当な次数までとれば再現できる .
座標 zが時間 tのべき関数で表されるとする.

3+…
x(t) = Ao+Atl+A2t2+A3t
田A

一一2日(1.3)

係 数 Anは運動方程式によってその関係が決まり ，具体的な値は 初期条件 によって決まる.初期条件とは決められた時刻における座標，速度などの値のことである.一般に，初期時刻を t=0にとることが多い.
式(1.3) を時間で微分すると

豆主+2A2t+3A3t2+…
dt=‑ A，J. Ll『物理学のすすめ物理数学とは何か~I

41.L..L4::"

IoJ.L.I..j(1.4)(和田正信・中川公子共著/裳華房)

2

1. いろいろな関数

d与=2A2+6A3t+.
，.
dt2

LJ~ .t..~

I

(1.5)

V~ .I."

式(1.1)は 2次の微分が定数 gの場合に対応する.自然落下の初期条件，

t=0で V
o=0，Xo=0を用いると

笠子
t+…= g2+6A
3dt =2AA2 =す ん =0，二d:;;A
3t2+…=0dt=‑A +2Ad+，3A..
l.1J.

ILJA‑.1.<!"

VA‑J.
.
;
jA1 =02十 … =0X
o=Ao+Ad+A2t
Ao=0
これらの係数を(1.3) に代入すると(1.2) が求まる .
放射性物質が崩壊する場合，原子の数 xの時間的変化(減少)は原子の数に比例することが知られている .簡単のため，比例定数を 1とする.

dx

dt =‑X(1.6)

この式に(1.3)， (1.4) を代入すると，係数 Aiが求まる .

2十・・・二 ‑ Ao‑A1t‑A
A1 +2At+3At
2t2‑.
.
23
各次数の係数 を比較すると‑ A l A0‑一~2 = 一 ‑~oA1 =‑Ao， A2‑= 一‑‑2‑2・1' A333・2・1'n23t， t t ， ¥=Ao(1一一一+一一一+…}
1!'2!
3!'( 1X

(1.
7)

¥ A

初期条件によ って A。が決まる.ここで，n!=n(n‑ l)… 2'1，O!=1である.

ばね振動の場合，振 l
隔 Z の時間的 2次変化は振幅に比例する .簡単のため，比例定数を lとする.

~l.l<< き 関 数

3d2x
否 r=‑X(1.
8)

この式に (1.3).(1.5) を代入すると，係数 Aiが求まる .
2‑ •••2A
At+12A
3t2 + ・・・ =‑Ao‑ Ad‑A2t32 +6各次数の係数を比較すると

Aa=A一2=AoA2=
A‑l‑‑‑‑
一4・3 4・3・2・1
3.
2・1'

A‑2 =
一A‑o2・1'

句

A5=‑A主Al ー5・4 5・4・3・2・1'

中‑十五‑.
‑)+Al(t‑壬+十 )

x=A

(1.9)
初期条件によ って Ao，Alが決まる.
このように，物理現象はべき級数で表現できることがわかる . これらのべって， 運動方程式はべき級
き級数は指数関数や三角関数と一致する. したカず
数を用いないで，指数関数や三角関数を解とする方法を使う.
よく用いられる 三角関数や指数関数の無限次数のべき関数で， 関数の引数(独立変数:argument) が小さい場合は，展開の数項をとれは、十分で、ある .

1ヌ
1 ."
5i
nt=t一 一';‑t"+~L. t3!
'.5! ‑.

Ei噌'A守•)唱﹃ムq(フ1t.• ー ・
st=1一 一l7t.
+‑;:‑，!
乙!' ， 4(1.10)

1• I 1 .2 I 1 .3=l+t+
一t'+.
‑t"+ ・・・乙.
，+3!

(1.
12)

1
u
1.
3+・
=1‑ t++.
‑t'一 一T‑t"・・2!' 3!

(1.
13)

1̲

‑1 ̲1•I

このような関係は後でくわしく議論する.

41. いろいろな関数~ 1.2 指 数 関 数 と 対 数 関 数

指数関数 とその逆関数である 対数関数は物理現象の記述において重要で、ある. ある変数の変化がその変数に比例する現象は指数関数で表現される . たとえは、，速度に比例する抵抗力による物体の運動，放射性元素の崩壊などがある.変数をふ比例定数を kとするとdxdt‑4)(1.1

この解はlogx=‑kt+C

C =logA

積分定数 C を任意の定数を用いて logAで表すと，後の表現は簡明になる .

x(t)=Ae‑kt=A exp(‑kt)(1.15)

指数関数の 引数が複雑な場合は expone
ntialから記号 expを用いる .

[1] 指 数 関 数αをある定数と して，ポを 指数関数 という .特に

a を自然対数の底

e=2.
718281828459045…=
2.
71828…

(1.
16)ととる場合の eI を一般に指数関数という .指数関数はべき級数 (1.
12)で表されることを述べたがeI 一会 Xk'一一日ok!

r=lu(1+す(1.17)という 重要 な関係式が成り立つ.また eは次の式で表される .

e=民r1(+す指数関数のいくつかの間係式をあげると

(1.
18)

5~ 1.2 指数関数と対数関数

U01

図1.1 指数関数の変化

2 x(1.19)

obt一計I."Y ̲ .
.
.x+Ye‑'e' e(1.20)

eO=1(1.
21)

品骨髄咽 例 題 1 .1a‑骨骨骨骨骨@式(1.17)について ， n= 2， n= 4の場合を調べ よ.

zl一4Z++一一右η =4:

辺[考え方] n=2: 左辺 =l+z+tt，

1 . ， 1 .， 1
左 辺 =1+X + 2~ 2 ++n~.4X，ー6が~， 2+x

3 . ， 1 .， 1 4
右 辺 =1+X +‑;:;‑X2+.~~'+
一一rX8~， 16X~， 256

nが大きくなると右辺が左辺に近づくことがわかる.

[2J 対 数 関 数
対数関数は指数関数の逆関数でXaI =y(1.22a)=logay(1.22b)

ここで aを底 という .eを底とする対数を 自然対数 loge
，10を底とする対数を常用対数 loglOという .特に，自然対数の場合， logeの eを省略し logで表16

いろいろな関数

UOZ

図1.2 対数関数の変化

すか，記号 lnを用いる.
対数のいくつかの間係式をあ げると

logxy=logx +logy(1.
23)

log

す=logx‑ logy(l.24)

logxY =ylogx

(1.
25)

log1=0(l.26)

次の級数展開式が成り立つ.

一手+子一千+log(1汀 )=x
なお logの具体的な数値として

logel
0=2.
302
585092・・・
lo
glOe=0.
4342
94481・・・がよく用いられる .

2<!
‑骨 骨 髄 骨 骨 骨品 価 骨 骨 例 題 1 .

X(1) loge=x(2) eJOgX =xを示せ.
[考え方] (1) logeX=xlogee=x(.: logee=1)(2) e!
Og
X= x の両辺の logをとる.

左 辺 =logx'log
ee= logx， 右辺 = logx

7~ 1.3 三 角 関 数

三角関数は物理学に現れるもっともありふれた関数で，周期関数という.
その理由は，自然の至る所に周期現象が現れるからである .周期現象は周期関数で表現される.
周期現象とは，ある変数 Z の 2次の変化率 d2x/dt2が変数 Z に比例する
場合に対応する .

d2x ̲dt2.
.2(1.27)

山 時

このような微分方程式の解は 三角関数となる.

x=A sinωt+B cosωt=Ccos(wt+δ)

(1.
28)

A， B， C は振幅， oは初期位相である.
三角関数の定義: 正弦 (sine)，余弦(cosine)，正接 (tangent)111θp
立OP(1.29)

osO=OQ‑(1.30)

OPetanθ p
皇 ‑豆旦‑ OQ‑ cosθ

(1.31)

Uz

図1.3 三角関数の定義図

8

いろいろな関数

Lnu‑xJF ‑ z︐r‑04︑︑F︐ ︐Adr 一円U

A‑唱¥耳¥ ノト¥(a)sin(J〈(b)cos(J(c)tan(J。
図1.4 三角関数の変化図

表1.1 特定の角度での三角関数の値

θ0'sinθ 0/2= 04/2= 1cos8 1tanθ30。

45'60'1/2J
す/2J玄/2Jす/2 14/2= 1。 11/31/32

90'1/20/2= 0J
す00

余割 (cosecant)，正割 (secant)，余接 (cotangent)(l.33)

smσn
しPdc﹄

一O一FL

一14 QUnu(l.32)

一一万U。

で上方=cosec

H.
3三9角関数ーよー=
cotθ
tane(1.34)

sin(x:ty) =si
nxcosy:tcosxsiny(1.35)

cos(x:ty)=cosxcosy 芋 sinxsiny(1.
36)

加法定理

ここで y=xとおき，それぞれ 2つの複号の式はsin2x=2sinxcosx2xcos2x=cos2X ‑ sin(1.38a)

cos0=1=cos2X +sin2x(1.38b)

(1.
37)

倍角の関係
式 (1.
38) の和と差をとると次の関係が求まる .

れ二十(1+cos2x)， si加n山

co3ι
∞
COS3，
ぶX ∞
cosぷ
4X
ι い.
… 討
sinxs
討in4ι
x υ…
υ.
. も加法定理を用いて同様に求めることカfでで、きる.
逆関数x=sinθを Oについて解いて
1x= a
θ= sin‑rcsinx(1.39)と書き ，これ を逆正弦間数 (アーク サイ ン)という .同様に，逆余弦関数

os‑1X，逆正接関数(アークタ ンジ ェント) tan‑1xなど(アークコ サイ ン) cが定義さ れる.
三角関数の合成

cosと sinを合成して cosで表すか sinで表すかは任意である .
22十 B
Acose+Bs
ine=J+ ，.
(JYA./1‑十]5‑¥A
可 否2COseI.
rl.

"e)

ine)
♂可子s"l.J"sin(1.40)
図1.5(a) の ように Sをとる.

101. いろいろな関数

BAAB

図1.5 三角関数の合成

jA
寸 亨 =cosδBjA
寸 亨 =Slnδ(l.41)e， y=a とおくと， (l.40)はAcose+ B sinθ=jA2τB2cosθ( 一 δ(1.42)となり，加法 定 理 (l.36)で Z二となる .次に ，角 度 δを図 l.5(b)のようにとる .

マ?τ言言ニ sinδ， マ
万BT吉'2=cosδ

(l.43)となり， (l.40) は加法 定 理 (l.35) よりeeAcos + Bsin =j
互2 + B2 sinθ( +a)(l.44)と表すことができる.

3< ' Y 砂 飽 骨 髄 骨 @@筋骨骨 例 題 1 .

coh=?cosz+十cos3xを示せ.
2[考え方] 左 辺 =cosXcosXす(cosx +cos2xcosx)=÷(1+cosh)cosx==す(… +÷(cosz+C∞山s3制3叫x)=十COSX+士ω z
ω凶O Z

11~ 1.4 複 素 数

物理現象は観測を通して認識し ，物理量は実数で表現されるが，虚数も含めた複素数に広げることによって表現が豊富になる.

2次方程式 X2+1=0の解は，実数の範囲内では解をもたないが一 lという虚数単位 iを導入すると2i

二土 iという解をもっ.

X

2つの実数 X， y，.m.数単位 iを用いて 複素数 zを表す.

Xz=X +iy5)(1.4=Re(z)， y =Im(z)(1.46)

Reは実数部分(実部)， 1mは虚数部分(虚部)を表す.
複素数の和(差)は実数部分と虚数部分のそれぞれの和(差)である .

z，:tZ2=X，:tX2+i(め± ω (1.47)複素数の積と商はz，・Z2 =(X，X2 ‑ y，Y2) +i(ぬれ +X2Y)，(1.48)z， X，
X2+.1/1.1/̲' ‑ X'
Y2十 X u/l(1.49)+Y222X2ゐ"+Y222X2

複素数を 複素平面 で表す.図のように rを大きさ，。を偏角とする .

y(虚軸)

図1.6 複素平面O=rcose， Y=rsinez= X +iy= r(cosθ +isine)X

複素数を指数関数で表すため，指数関数の展開式を用いる.

(1.
50)

(1.51)

いろいろな関数

1+z一4++3z一引z五z一日+

EA
唱puZ+‑
‑

12(1.
52)

上式を x =i8とおきかえる.
i8(iθ)
2(i8)
3(i8)
4
=1+一
一+ー2
→
一ー一+
1!'!ー十一一
3!一+一4!
IiOI

θ2，84I， .
(θθ3θ¥4'BA

一一P3

月U

0C

0一2

次の cosθ， sinθの展開式

一︒+=1一一ー+.
.+¥il‑.
'=
一 一一+一一)
2!
'一4 !
1!
3!
'5! .}

8 θ 3， 85smt
f一一・・・V ‑1!一3! 十一5!一I

(1.
53)

(1.54)(1.55)

を用いると (1.53) は次のようになる.

eiO = cos8+isin8(1.56)

これを オイラーの公式 という. この式の n乗をつくるとeino = (cos8+isinθ)n=cosn8+isinn8(1.57)

これを ド・モアブルの定理 という.

4串 骨 骨 骨 骨 骨 宙

品骨骨骨 例 題 1 .

ド・モアブルの定理で n= 2の場合，オイラ ーの公式から 三角関数の 2倍角の 公式が導けることを 示せ.
[考え方](cosB+isinθ)2=cos2
θ ‑sin2B+i2cosθsinθ=cos2B+isin2B

実数部分と虚数部分はそれぞれ等しくなければならないから

cos2B=cos2B‑ sin2Bsin2θ=2cosθsinθよって， オイラーの公式を用いて 三角関数の加法定理が求まる.