もくじ
第1回
分数のかけ算／身のまわりの生物と環境⑴基 分数のかけ算 ･････････････････････････ 4

第6回
比／身のまわりの自然現象⑴基 比 ･･････････････････････････････････ 64
基 身のまわりの自然現象⑴ ･･････････････ 70

基 身のまわりの生物と環境⑴ ････････････ 10

第2回
分数のわり算／料金の問題

第7回
比の利用／図形と割合の問題
用／図形と割合の問

elpmaS

基 分数のわり算 ････････････････････････ 16

基 比の利用 ････････････････････････････････････････････････76適 図形と割合の問題と割合の問題 ･･･････････････････････
82

適 料金の問題 ･･････････････････････････ 22

第3回
分数の計算の応用 /身のまわりの生物と環境⑵の生物⑵

基 分数の計算の応用
計算･････････････････････････････････････ 28
適 身のまわりの生物と環境⑵り
環境⑵ ･････････････････････
34

第4回
分数と時間・速ささ/る問題
式を立てて計算する問題

第8回
面積と体積／身面積と体積／身のまの自然
面積と体積／身のまわりの自然現象⑵基 面積と体積面積と･･･････････････････････････････
88
適 身のりの自身のまわりの自然現象⑵･･････････････ 94

第第9回
データの活用／多面体の問題
基 データの活用 ･･････････････････････ 100
適 多面体の問題 ･･････････････････････ 106

基 分数と時間・速さ ････････････････････ 40
適 式を立てて計算する問題 ･･････････････ 46

第10回

総合

第6回〜第9回のまとめ 算数編 ･･････ 112

第5回

総合

第1回〜第4回のまとめ 算数編 ････････ 52
第1回〜第4回のまとめ 理科編 ････････ 58

第6回〜第9回のまとめ 理科編 ･･････ 118第11回
小数や分数の計算／
身のまわりのものの性質⑴基 小数や分数の計算 ･･････････････････ 124

第16回
速さ／身のまわりの道具⑴
基 速さ ･･････････････････････････････ 184
基 身のまわりの道具⑴ ････････････････ 190

基 身のまわりのものの性質⑴ ･･････････ 130

第12回
整数の性質／図形の移動の問題

第17回
平面図形／数の性質を使った問題
形／数の性質を使っelpma
S

基 整数の性質 ････････････････････････ 136

基 平面図形 ･･････････････････････････････････････････････
196
適 数の性質を使った問題
性質を使った問 ････････････････
202

適 図形の移動の問題 ･･････････････････ 142

第13回
規則性／身のまわりのものの性質⑵りのも性質⑵

基 規則性 ･････････････････････････････････････････････････････ 148

第18回
立体図形／身の立体図形／身のまわ
道具⑵立体図形／身のまわりの道具⑵基 立体図
立体図形 ･････････････････････････････････
208
適 身のりの道
身のまわりの道具⑵････････････････ 214

適 身のまわりのものの性質⑵わの性質⑵性質 ･･･････････････ 154

第14回
量の計算／
体を使った問題
身のまわりの立体を使った問題

基 量の計算 ･･･････････････････････････････････
160
適 身のまわりの立体を使った問題 ･･････ 166

第15回

総合

第11回〜第14回のまとめ 算数編 ･･･ 172
第11回〜第14回のまとめ 理科編 ･･･ 178

第第19回
場合の数／面積・体積の問題
基 場合の数 ･･････････････････････････ 220
適 面積・体積の問題 ･･････････････････ 226

第20回

総合

第16回〜第19回のまとめ 算数編 ･･･ 232
第16回〜第19回のまとめ 理科編 ･･･ 238

第９回 データの活用／多面体の問題

多面体の問題テーマ
例題 1① 立体図形の表面積や体積を求める。
② 正多面体や多面体の性質を考察する。

立体図形と表面積・体積

図1は三角柱，図2は四角すいです。あとの問いに答えなさい。
図1

図25cm13cm12cm6cm10cm10cm4cm3cm。
図1の三角柱の表面積は何 cm2 ですか。

⑴

STEP1ma＋側面積 で求められます。
られます。
底面積× 2 ＋側STEP2

図1の三角柱の表面積は，図1の三表面積は，（3 ×（①⑵elp

表面全体の面積を表面積，積を表
側面全体の面積を側面全体の面積を側面積といいます。角柱の表面積は，体の面積を側面積面積といいます
とい柱の表S）÷ 2）× 2 ＋ 6 ×（（②）＋ 3 ＋ 4）＝（（③（すい体の体積は，底面と高さがそれぞれ等しい柱体の体積のの体積は， 底面と高さがそれぞれ等しい柱体底面と高さがそ底面と高さがそれぞれすかは何 cm3 ですか。
STEP1）（cm2））

1です。図2の四角すいの体積3

図2のように，多角形の底面と三角形の側面で囲まれた立体を角すいといいます。のように，多角形のが四角形の角底面が四角形の角すいを四角すいといいます。

STEP

2

図2の四角すいの底面積は，（④（⑥）×（ ④ ）＝（⑤）（cm2），高さは）cm だから，体積は，（ ⑤ ）×（ ⑥ ）÷ 3 ＝（⑦）
（cm3）
（）

（）

⑶ 図2の四角すいの表面積は何 cm ですか。
2STEP

1 角すいの表面積は，底面積＋側面積 で求められます。

STEP

2 側面の 4 つの三角形は合同だから，図2の四角すいの表面積は，（ ⑤ ）＋ 10 × 13 ÷ 2 ×（⑧106）＝（⑨）
（cm2）

算数

例題 2

正多面体

いくつかの面で囲まれた立体を多面体といい，すべての面が合同な正多角形で囲まれていて，すべての頂点に同じ数の面が集まっている立体を正多面体といいます。正多面体には図1の 5 種類があります。図1の正四面体について，あとの問いに答えなさい。
図1

正四面体

⑴

正六面体
（立方体）

正八面体

正十二面体

図2は， 図1の正四面体を真正面から見た図です。真上から正二十面体

図2見た図を図2にかき加えなさい。

elp
真正面から正見た図STEP

1

正四面体を真上から見た図は， 底面の底面の正三角形をを表します。真上から見ると， 6 本す本すべての辺が見え辺が見ええます。

STEP

⑵

ma

2 同じ頂点を点線で結びます。
線で結S

真上から
真見見た図

イーエフエーシー

ビーディー

図3は， 図1の正四面体の頂点に記号をつけたもので，
点 E， F は， それぞれ辺 AC， 辺 B D
1の正四面体の頂点に記号をつ体の頂点
てんかい ずの真ん中の点です。図4は，す。
図3の正四面体の展の正四開図です。点 E，F は図4のどの点になりますか。
図4の（F の記号をか）に E，Fの記号をかき入れなさい。
Ａ

図3ＥＤ（ＢＣ1） （②）

（）（）

（）

（）

（①）

（）

（）

（④）

（）

（③）

まず， 正四面体の頂点 A 〜 D が展開図のどこになるかを考えます。図4に頂点の記号をかき入れると，（①STEP）

（ＦＢ

STEPＡ

図4），（②），（③），（④）になります。

2 よって，点 E，F が展開図でどの点になるかがわかります。
107第９回 データの活用／多面体の問題

例題 3

多面体の頂点・辺・面
図1

図1は，正四面体の見取図です。次の問いに答えなさい。
正四面体の辺の数は 6 本です。正四面体の辺の数を求める式を，「1 つの⑴面にある辺の数」，「面の数」ということばを使ってつくりなさい。
STEP

1 面の形は正三角形だから，1 つの面にある辺の数は（①本です。面の数は（②））個です。

よって，辺の数は，（ ① ）×（ ② ）と考えられます。
STEP

2 しかし，正四面体では，1 本の辺に（③）個の正三角形が集まっているから，同じ辺を（ ③ ）回数えていることがわかります。
（⑵）

を求め「 1 つの面にある頂点のの面正四面体の頂点の数は 4 個です。正四面体の頂点の数を求める式を，数」，「面の数」ということばを使ってつくりなさい。
STEPelp

1 面の形は正三角形だから，1 つの面にある頂点の数は（④頂点の数は（④の数は（④（ ② ）個です。

ma）個です。
個です。面の数はの数は （ ④ ）×（ ② ）と考えられます。
よって，頂点の数は，STEP2 しかし，正四面体では，正四面，1 個の頂点にの頂点に（⑤）個個の正三角形が集まっているから，個の正三が集まじ頂点を（ ⑤ ）回数えていることがわかります。
ることがわかります。
同じ頂点をS（

図四面体に記号をつけ四面体に記号をつけたもの
点 A，B，C，D，E，⑶ 図2は，図1の正四面体に記号をつけたもので，点）

図2体の各辺の真ん中の点です。図のように真ん中の点です。
ん中の点
F は正四面体の各辺の真ん中の点です。図のようにこれらの点を結んだ

STEP

1ＦＢ

図3のように考えると，のように考える面の数はもとの正四面体よりも，（⑥STEPＣＡ個ありますか。また，この立体か。また立体に面は何個ありますか。また，この立体の名前を答えなさい。

ＥＤ）の数だけ増えると考えられます。の数

2 よって，できる立体に面は（⑦）個あることがわかり

図3ます。
STEP3できる立体の面はすべて合同な正三角形になり， すべてのＣＡ
Ｂ

頂点に同じ数の面が集まるから，正多面体になります。

108

面の数（）

名前（）

ＦＤＥ算数基 本 問 題1 底面が右の図のような台形で，高さが5cm の四角柱があります。

8cm

次の問いに答えなさい。
□⑴

10cm

この四角柱の体積は何 cm3 ですか。
（）

（）

8cm

10cm20cm□⑵ この四角柱の表面積は何 cm ですか。
2□2

右の図の四角すいの体積は何 cm ですか。
35cm

elpma6cm6c6cm）（ら見たから見た図でた図で3 右の図は，ある正多面体を真正面から見た図と真上から見た図です。次の問いに答えなさい。

どんなすか。最も適切なものを答
最も適切なものを答
この立体の 1 つの面はどんな図形ですか。最も適切なものを答

□⑴

えなさい。

（□⑵

S

真正面
真正面から真正見た図）

次の文の①〜⑤にあてはまる数や式を答えなさい。
文の①あてはまる数や式を答えなさあてはまる数や式を答えなさい。
1 つの面にある辺の数はこの立体のの②①個です。辺の数は，個の数は，数では
この式では同じ辺をる式は，④③×①②本で， 面の面の数は真上から見た図と考えられますが，と考え回数えているので，回数いるので 辺の数を求めで，辺の数は辺の数⑤本です。
本①（） ②（④（4 図1は，1 辺の長さが 8cm の立方体です。点（ ）図1） ③（）） ⑤（）

図2は，頂点と，各辺に 2cm ごとにうってあります。このとき，点の数を計算で求めるために，まいさんは図2のように考えました。次の問いに答えなさい。
□⑴

まいさんの考え方にあう，点の数を求める式を答えなさい。
（）

けんたさんは， 求める式を 5 × 12 − 2 × 8 として点の数を求めました。けんたさんの考え方を□⑵

説明しなさい。

（）
109第９回 データの活用／多面体の問題

演 習 問 題14cm

底面が右の図のような六角形で，高さが8cm の六角柱について，次の問いに答えなさい。

5cm□⑴ 体積は何 cm ですか。

3cm

（）

（3cm4cm5cm□⑵ 表面積は何 cm ですか。
25cm4cm

35cm4cm）

すいちょく□⑶

この六角柱を底面の点線のところで底面と垂直に切って， 6 個の角柱に分けます。分けた角柱の表面積の合計は，もとの六角柱の表面積より何 cm2 大きいですか。
（2次の会話文を読んで，あとの問いに答えなさい。

elp）

かの角柱に分けたときに，面や頂点，たときに，たけし：八角柱を底面と垂直に切って，いくつかの角柱に分けたときに，面や頂点，辺の数の増え方にきまりはあるのかな？に底面と垂直に切って，三角柱と七角柱に分けたとに切って，三角柱と七角柱に，三角柱と七角柱
みさと：まず，八角柱を図1のように底面と垂直に切って，三角柱と七角柱に分けたときについて考えてみましょう。

maS

えるとを図2のように対角線で三角形と七のように対角線で三角に分けたけし：底面の形で考えると，八角形を図2のように対角線で三角形と七角形に分けると，図形は1 個増えて3 個，七角形にて2個個になるよね。そして，頂点の数は三角形によね。そして，頂点の数は三角形にして，頂点の数は三角
七角形 7 個だから，①個増え，辺の数は三角形に個辺の数は三角形には三角形に 3 本，七角形に本，七角形 7 本本だから，から，②本増えるね。

じ八角柱を角柱を図1
図 のように底面と垂直に切のように底面，三角
みさと：じゃあ，八角柱を図1のように底面と垂直に切って，三角柱と七角柱に分けたときについて，面の数は面の数はて考えると，面の数は③個，頂点の数は個個，頂点④個，辺の数は⑤本増えるね。

6 個の三角柱に分けうすると，と， 八角柱をのようたけし：そうそうだね。そうすると，八角柱を図3のように底面と垂直に切って，と，面や頂点，辺の数は全部でいく
点 辺の点，辺の数はると，面や頂点，辺の数は全部でいくつ増えるのか，調べてみようよ。
ね。
みさと：そうね。
図1

図2

図3

□⑴ 上の会話文の①〜⑤にあてはまる数を答えなさい。
①（） ②（） ③（）④（） ⑤（）□⑵ 八角柱を図3のように底面と垂直に切って， 6 個の三角柱に分けたときに面， 頂点， 辺の数の合計はそれぞれいくつ増えるか求めなさい。
面（110） 頂点（） 辺（）算数

3

たくみさんともえさんは，体育の授業でサッカーをしました。授業の後，サッカーボールの形について，先生といっしょに話をしました。
たくみ：学校で使っているサッカーボールは，図1のように，五角形の皮と六角形の皮を組み合わせて作られていますね。
もえ ：そうね。わたしは，サッカーボールを見て，正五角形だけで作られていたら，図2のような，正十二面体になるのにと思いました。
先生 ：2 人ともいいところに気づきましたね。図3の正二十面体を使って， サッカーボールとにている立体を作ることができますよ。
たくみ：どうやって作るのですか。
先生 ：図4のように， 正二十面体の各辺を 3 等分する点のうち頂点に近いほうの点を結んで， かどを切り取ります。これをすべての頂点で行うと，図5のように，サッカーボールとにた立体ができますよ。
。あとの問いたくみさんともえさんは，これらの立体について，考えました。あとの問いに答えなさい。

図3elpma
図2

図1S

図4

図5図□⑴ もえさんは，正十二面体の頂点の数を求めるために次の式をつくりました。
5 × 12 ÷ 3

どのように考えてつくった式か，説明しなさい。

（□⑵

□⑶）
図5の立体の面の数は何個ですか。
（）（）

図5の立体の辺の数は何本ですか。

111