基本公式
1. 式の計算
a2+2ab+b2=（α＋ b)2

因数分解

a2‑2ab+b2=(a‑b)
2−

az‑bz=（α＋ b（）α b)

α＋ b)x+ab= (x＋ α（）x+b)xz+（αd+bc)x+bd＝（αx+b)(cx+d)
acx2+（ab2＋が＝（ α＋b)
3a3+3a2b+3−

a3‑3
a2b+3ab2‑b3= （α b)
3α＋ b)(a2‑ab+ b2)
a3＋ グ＝（（立方の和）a3‑b3= （α b（）αZ十 ab+b2)（立方の差）−

剰余の定理

整式 f(x）を z一α で割った余り R:R＝
！
（ α）

因数定理

整式 f(x）が因数 x α をもつ

2重根号

Ja+ b+2J五百 ＝ fa+lb （α＞ O, b>0)−−

Ja+b‑2長百 ＝J互 lb （α＞ b>0)

E

戸Z ＋二ax2+bx+c=O

叫二解の公式

d2. 方程式と不等式

一に＝今／（ α）＝Oa2α2次方程式 ax2+ bx+ c=Oの解を α，3とする．

1z d 二三解と係数の関係α＋ β＝2次式の因数分解

ax2+ bx+ c＝ α（x α（）x β）− −判別式 D = b2‑4ac と解 （α三五 β）

α＞ OD>Oax2+ bx+ c=O

異なる 2つの実数解

αx2+bx+c>Ox＜ α， x＞ βェキ α

実数全体

αx2+bx+ c<0αく xく自解なし

解な し『問題集 基礎の数学』

D =OD<O

2重解 α 異なる 2つの虚数解（矢野健太郎・石原繁 編 ／ 裳 華 房）

2. 方程式と不等式§1. 2次方程式
基本問題
1. 次の 2次方程式を解け．
(1) 3x(x+3)=lO(x+1)(2) (x‑3)
2‑(x‑3)=632=O(3) x2‑~ x＋一(4)(5) (2x+1)
2+4(2x+1)+5=0x‑J5)
2‑5(x‑J5)+5=0(6) (!
x2‑ ~ x+1=02. 次の 2次方程式の解を判別せよ．
(1) x2+3x‑3=0(2) 2x2‑5x+9=0(3) x2+2(J2+l)x+2J2=0(4) 4(x‑2)
2=4x‑93. 次の 2次方程式の解の 1つは 3である．他の解と定数。を求めよ．
(1) 2x2+ax‑8= 0(2) 3x2‑7x+a=04. 次の zについての 2次方程式の解を判別せよ．ただし， aは実数とする．
(1) 2x2+2ax+a2= 0(2) x2一（α＋ 2)x＋ α＝ O5. 次の 2次方程式が 2重解をもつように，定数 kを定め， 2重解を求めよ．
(1) x2‑2(k‑l)x+k+5= 0(2) (k‑l)
x2+2(k‑l)x+2=02＋ρ1x+q=O を作れ．
6. 次の 2つの数を解にもつ 2次方程式 x2(1） 一53

一 一 （ 2) 3+Jz, 3‑J25(3) 4+3i,4‑3i7. 連続 した 2つの自然数の平方の和が 113になると いう．この 2つの数を求めよ．

8. 2次方程式 x2‑6x+m=Oの 2つの解の平方の和が 20になるという．定数m を定め，解を求めよ．

9. 次の計算をせよ．

i5(1) (2+i)(3‑2i)(2） 最(3） 一−
一＋3一/(4) (/3+Fz)(J2‑F3)

(5)

(6）
一！
一−一｝
＋1(1+i)2~:::§I. 2次方程式

1310. 次の 2次式を因数分解せよ．
(1) x2‑lOx+1(2) 4x2‑8x+1(3) 9x2+6x+3

発展問題
11. 次の 2次方程式を解け．
(1) x2+(J3‑Jz)x=J6(2） が ＋ (1‑2v'Z)
x=4+J2*(3) (v'5‑2)x2‑2x+4=0(J3‑l)x=6(2一点）*(4) x2+212.
＊次の方程式を解け．
(1) x+2lx‑ll=4(2) lx+31+2
1x‑21=8xI(3) x2‑2=I(4) xlx‑41=313.＊次の zについての方程式を解け．
(1) 似 2一（ a‑2)x=2(a+2)(2) αbx2+（α2+b2)
x＋αb=O14. 次の zについての方程式の解を判別せよ．ただし， G は実数とする．
(1) a2x2+3x‑1=0(2) x2+（α−l)x‑a=O(3) ax2‑（α2)x‑1=0(4) (2a‑l)x2+2ax+1=015. 2次方程式 3x2+5x+3=0の 2つの解を α，β とする．次の 2つの数を解にもつ 2次方程式 を作れ．

(1) ct,/32(2)/3+1 α ＋ la，ー /3•ac o16. 2次方程式 ax2+bx+c‑O一b一の と き ， 異 な る 2つの実数解をも‑ は'2ー‑ニ25つことを示せ．また， 2つの解の比を求めよ．

17. 2次 方 程 式 x2‑4kx+3k2+6= 0の 2つ の 解 の 比 が 3:5に な る よ う に 定数 kを定めて，その解を求めよ．

18. 縦が横より 8cm長い長方形のブリキ板がある．この四すみから 1辺 6cmの正方形を切り取り，折り曲げて容積 768cm3の直方体の容器を作ることができたという，このブリキ板の縦と横の長さを求めよ．

19. 次の 2次式を因数分解せよ．
(2) 6x2+17x‑ J
2(1) 2x2 7x+J320. 4次式 6x4‑7x2‑3 を次の範囲で因数分解せよ ．
(1) 有理数(2) 実 数(3) 複素数

4. 平面図形と式§1. 直線基本問題
1. 次の 2点聞の距離を求めよ．
(1) (2, ‑3),(‑4,5)(2) (4, ‑2),(‑8,3)(3) (Jz+J3,J3),(‑J3, 2J2)(4) (a,a2),(‑a,1)

2. 次の 3点 A,B,Cを頂点とする三角形の 3辺の長きを求めて，それぞれの三角形の形をいえ．

(1) A(3,0),B(O, ‑1),C(l,2)(2) A(‑4,4), B(‑2,2),C(2,6)(3) A(l, ‑3),8(7,5), C(‑7,3)α，3a), B（α，a), C（α＋ J3a,2a)(4) A（(a>0)

3. 点P, Qは 2点（− 1,4),(3，めから等距離にあり，しかも Pは z軸上に， Qは u軸上にある．点 P, Qの座標を求めよ．

4. 次の 3点から等距離にある点の座標を求めよ．
(1) (0, ‑5),(‑1,2),(‑3,2) (2) (2, ‑3),(5,2),(‑4, ‑1)

5. 次の 2点 A,Bを結ぶ線分の中点 M および 2:3の比に内分する点 P，外分する点 Qの座標を求めよ．
(1) A
(4,3)
, B(‑1,7)(2) A(‑6,3),8(4, ‑2)

6. 次の 3点を頂点とする三角形の重心の座標を求めよ．
(1) (2, ‑1),(8,2),(‑1, ‑7)(2) (J3.Jz).(2+J3. 1‑Jis),(1一江2, 5‑Jz)

7. 次の直線の方程式を求めよ ．
(1) 2点（ ‑l, ‑4),(‑3,2）を通る直線．
(2) 点（− 2,3）を通り， 2点（ 3,2),(‑l,4）を通る直線に平行な直線．
(3) 点（ ‑2, 4）を通り，z切片と u切片が等しい直線．

(4) 2点（ ‑ 3,6),(5,2）を結ぶ線分の垂直 2等分線．

8. 2直線 2x‑y=1, 5x‑ 4y=‑5の交点を通り，次の条件を満たす直線の方程式を求めよ．

,.
,§I. 直 線

27(2) 直線 2x+y=3に垂直(1) 直線 4x‑3y= 2 に平行発展問題
9.＊三角形 ABCの 3辺 AB,BC,CAを m ：η の比に内分する点をそれぞれ P,Q,R とする．ム ABCの重心 G とム PQRの重心 G＇は一致する．このことを証明

せよ
10.＊三角形 ABCの辺 BCを 1:2の比に内分する点を D とする．次の等式を証明せよ．

2AB2+AC2=3(AD2+2BD2)

11. 3点 A(l,1),B(4,1),C(2,3）を頂点とする 三角形がある．頂点 A, B より, Q とする．次のものを求めよ．
それぞれ対辺へ下した垂線の足を P(1) 垂線 AP, BQの方程式(2) ムABCの垂心の座標−

12. 2直線 z十 仰 ＋（α 3)=0, ax+（α＋ 2)
y 2=0 が次の性質をもつように定数 αを定めよ．

(1) 平行で、ある．

(2) 垂直である ．

13.＊直線 l:x+3y+3=0に関して，点 A(2, ‑1）と対称な点の座標を求めよ．
14. 直線 x+k(y+3)+1=0が 2点 A(O,5),B(3,1）を結ぶ線分 ABと交わる
ように実数 kの範囲を定めよ．

15. 3直線 x‑y=3‑2a,2x+y=5 a, x+2y=8‑a が同一点で交わるように定数 αを定めよ．

16. 2直線 x‑3y=0,x+2y‑10=0 の共有点を A とする．

(1) 直線 α（x‑3y)+(x+2y‑10)=0は， G のどんな値に対しでも常に点A を通ることを 証明せよ ．
(2) 点 A と点 B(l,1）を通る直線の方程式を求めよ．

17.＊方程式 2x2+xy y2+x+4y 3=0を満たす点（ x,y）はどんな図形を表すか．

18. 点P(xo，抑）から 直線 ax+by+c=O に垂線 PHを引き ，点 H の座標を（α，β）とする．次の等式を証明せよ．
α一品 ＿ /
3‑Yo
(1) 一 一 一 一 一 一 一一｜ ω 。＋旬。＋ cl(2) PH‑（点と直線の距離）

ふZ平吾E

ヒ ン
1. 式の計算§1. 整 式 （p.6〜 7),b, cで整理する．
12. (3) a13. (2) t=x2 とおく．
(3) t= x2+Zx とおし(4) t=x2+x+1 とおく．
(5) t= x(x+3）とおし)(x+2）とおし(6) t=(x 314. 与式を次のように変形する．
(1) (x4+2x2+1)‑x2(2) (x4+6x2+9)‑9x2§3. 分数式・無理式（ p.10〜 11)
8・（ 1） 第 1項を 2＋ 三 す と 変 形 する．他の項も同様に変形して計算をする．

9. 与式の右辺を通分し， 両辺の分子の係数を比較する．

10. (3) （与式） ＝（山 寺 ） （ 山会）−（x＋却 を 用 い る
12. まず， x,yの分母の有理化をする．

13. (3) 分母は（ 1+Jz)(l＋点）となる．

)‑4x2(3) (x4+4x2+42+4〆）− x2y2(4) (x4+4x2y15. (1) zについて整理する．
3)+(x2‑ xy+y2）の第(2) (x3+y1項をまず因数分解する．
(3), (4) αについて整理する．
x3y2‑x2y3)
16. (1) (xs‑x4y)+(+(xy4̲ ys）の各項を因数分解する．
) a3＋♂＝（ α＋ b)
3‑3ab（σ＋17. (2b）を用いる．

§2. 整式の除法（ p.8〜 9)
15. x/(x)=q'(x)(ax‑ b)+R＇ とお〈．余り R を定め，ついで／（ x)=q(x)(ax‑b)+R を代入し，因数ぽ−b を作る．

2. 方程式と不等式§1. 2次方程式（ p.12〜 13)
11. (3), (4) 解の公式を用いて， 2重根号をはずす．
12. 次の場合に分ける．

(1) x<l, x孟 1(2) x<‑3, ‑3三玉 z壬 2, x>2(3) x<.
ox孟 O(4) x<4, x孟 4

13. 次の場合に分ける．
(1) a=0, aキ O(2) αbキ 0,a, bのいずれか一方が0, a=b=0

16. 商を q(x），余りを ax+b とおけ(x)(x2+x‑12)+ax+bば，／（x)=q1
9. (1) §1問題 17(1）を利用する．

§2. いろいろな方程式（ p.14〜 15)
9. (1) (x4+4x2+4)‑x2 と変形して因数分解をする．

，．