解説

半線型周期型 Schrödinger 方程式の解の爆発現象藤 原 和 将Kazumasa FUJIWARA

先端理工学部数理・情報科学課程

准教授

Associate Professor, Applied Mathematics and Informatics Courseに つ い て 概 説 す る．第 4 節 で は，半 線 型 周 期 型

1．はじめにSchrödinger 方程式の概要とその解の爆発現象につ本 解 説 は，一 昨 年 に 解 明 し た 半 線 型 周 期 型

いて解説する．第 5 節で，何故そのような現象が発

Schrödinger 方程式の初期値問題に対する，極端な生するのかを，解の振動の影響を考察しながら解説

不安定性についての解説である．即ち，如何に微細する．第 5 節は，極力平易な解説を心掛けたが，読な 振 動 で あ っ て も，後 述 の 半 線 型 周 期 型

み辛さを感じた読者は，読み飛ばして最後の段落だ

Schrödinger 方程式に従って時間発展をすると，適

けでも読んでいただければ幸いである．全体を通し当な時間で振幅が無限大に発散してしまう現象（解て，数学の前提知識をあまり仮定せずに説明を試みの爆発現象）について説く．そもそも純粋数学の研ているが，正確性を補填する為に注釈を多くつけて究は，学生の頃の自分を省みても，専門外の人間かいる．注釈の為に読み辛さを覚えられる様であれ

ら見れば，さっぱり検討がつかない浮世離れした話

ば，読み飛ばされて構わない．

1

だと思われる．しかし，その理論の根幹は非常に素朴である場合や，思いもよらない帰結が導かれる場

2．微分方程式合がある事が，数学の面白さの一端だと筆者は考え

Schrödinger 方程式は「微分方程式」の一類であている．この題材を選んだのも，題目はいかにも難る．「方程式」とは，未知の数学的な対象が満たす解であるが，結果が極端で単純だからであって，そべき関係式の事であり，2 次方程式などは中学校でれでいて非自明だからである．
（途中計算を理解す扱ったはずである．
「微分方程式」は単に，「微分」

る為には，学部レベルの数学を熟知している必要がを伴った「方程式」の事である．
「微分」とは大まある）．本解説によって，筆者の専門である爆発解かにいって変化の割合の事である2．例えば速度は

析のあらましを読者が掴めれば幸いである．本解説

位置の時間変化の割合であるという事は，小学校のの構成は以下である．次節において，本解説で扱う「きはじ」から触れているだろう．ただ，「きはじ」

微分方程式とは何か，なぜ用いられるのか，なぜ数では不足がある．例えば小学校の問題であれば，点学者は方程式を考えるのかを概説する．第 3 節でP やたかし君は一心不乱に等速で移動するが，現実は，非線型微分方程式論における解の自己崩壊現象

では速度は常に変動している．このため，「きはじ」―１―

を非常に短い区間3 で扱う必要が出てくる．この非方程式は計算機で解けるという印象を持たれている

常に小さな変化を，割合として捉える手法が「微様である8．然し，数値計算によって得られる数値分」である．なので「微分方程式」とは，求めたい解が，本物の解と同じであるという保証は必ずしも

4関数（函数） の変化の割合が満たすべき関係式でない．この理由は，数値計算を執り行う計算機が，ある．

有限の 2 進数を有限回しか操作できない点にある．

微分方程式は，いろいろな所で使われている．高5

この為，計算機が算出するものは，記号的に捌ける

校物理で扱う抛物線（放物線） をはじめ，今日で既知の解か，解によく似ていると期待される折れ線

は感染者数の推移の予測［N2］や，咳をした際のでしかない．だからといって無用の産物では決して唾液の飛散予測［T2］など，応用例は枚挙にいとないのだが，四則演算ですら誤差を伴う計算を有限

まがない．読者の中には，方程式など用いずに，直回行っただけで，微分方程式の解を精度よく算出す接計算する方法を出した方が簡単だと考える者もいる事は，とてつもなく困難な事なのである9．

るだろう．然し，その計算方法を見つけるには，現象を支配すると期待される法則を，実験を通して発

3．非線型性と解の自己崩壊

見しなければならない．法則の中で最もはっきりす

方程式によっては，解がないものがある事を見た

るのは，「何か」と「何か」が等しいという関係でが，微分方程式の場合は状況がもう少し複雑になあり，ここに方程式の有用性を見出すことができる．特に，時間経過に対する変動を記述する方程式

る．そして等しい「何か」には，変化の割合がよくを考えると，方程式によっては，解の「寿命」があ用いられる為，「微分方程式」が自然に登場する．

る事に気づく事ができる．つまり，未来永劫，方程

さて，法則を実験によって発見したのだから，そ式を満たす関数を解とすると，解は存在せず，妥協の法則の表現たる方程式には，解があって然るべき

して適当な時間まで方程式を満たす関数を解とすれであると考える読者もいるだろう．然し，方程式をば，解が見つかるような事態である．このような，書き下す事は，方程式の解を把握する事は全く異な時間変化に関する微分方程式に対して，初期条件をる事である．方程式が見つかると，方程式の「解」

与えて，解の時間経過の様子を探る問題を初期値問とは何か，存在するか，存在するとしたらどの様な題と呼ぶ．そして，初期値問題の解の「寿命」と解が見い出せるか，といった問題が発生するが，こは，即ちその時刻以降に解が方程式を満たせなくな

れらは全て数学的に扱わなければならない問題である時刻の事である10．特に，解の変化の割合が自分る6．最初の問い「方程式の「解」とは何か」に違自身の形で決まる様な，自己相互作用を伴う方程式

和 感 を 持 っ た 読 者 が い る と 思 う が，例 え ば

においては，寿命が有限になる現象を「解の自己崩""#!!という代数方程式の解を考えれば違和感"を実数として探すと解はないが，複素数として探せば，"!という虚は晴れると思われる．実際に

7壊現象」と呼ぶ．筆者の興味は，この「解の自己崩壊現象」を把握する事にある．この自己崩壊現象の興味深い点は，一見取るに足らない自己相互作用

数単位を用いた解が見出される ．この様に，何をが，解の将来に致命的な影響をもたらす点にある．

解とするかは問題意識によって異なっており，その解の自己崩壊現象は，自己相互作用による非線型11性（非線形性）の帰結の一つである．作用が非線

定義に応じて，その後の議論も当然異なる．
微分方程式の解を，数値計算によって求めた事が型とは，物理的に言えば，重ね合わせの原理が成りある読者もいるやもしれない．実際，微分方程式を立たない性質の事である．この最も単純な例は 2 次利用する工学分野では，数値計算によって得られる関数である．そして単純な関数によって与えられて数値解の方が実用的である．そして一般にも，微分いる場合でさえ，（非線型）自己相互作用による解―２―

への影響の理解は，一筋縄ではいかないのである．

己相互作用と他の相互作用が拮抗するために自己相

仮に自己相互作用がない自由 Schrödinger 方程式

似解や孤立波解の様な特別な解が出現する場合もあを例に見る．自由 Schrödinger 方程式は量子の確率

る15．このような非線型現象は，様々な方程式に対波の基本方程式であるが，物理的な側面は筆者の専して，現在も精力的に研究されている16.

門ではないので，ここでは割愛する．重要なのは，

さて，次節で周期型 Schrödinger 方程式に対する解が時間と座標で振動する（複素数値の）波である話を進める前に，こういった解の挙動を把握する研事であ る．自 由 Schrödinger 方 程 式 の 解（自 由 解）

究は，解の関数形を求めることで行われていない事を観察すれば，自由解は空間周波数12 毎に独立したを最後に断っておく．残念ながら，非線型微分方程波が重ね合わさったものであると事が分かる．さら式の解を，高校までで学習するような初頭関数で書に，一つ一つの波は，空間に関する単振動と時間にき下すことは殆どできない．初頭関数の外にも，特関する単振動に分解でき，空間に関する振動数と時殊関数と呼ばれる微分方程式の解の一類があるが，間に関する振動数の間に関係式を見出す事ができこれらを総動員したところで，やはり状況に決定的る ．そして自由 Schrödinger 方程式は，線型 で あ

な変化はない17．読者の中には，具体的な関数形がり，重ね合わせの原理が成り立つ．この為，各振動書けないのだから，解の存在も議論できないのでは数で振動する自由解は，時間の経過に際して互いにないかと考える方もいるかもしれないが，大体の場

不可侵を守りつつ，独立して自由 Schrödinger 方程合は，解の具体的な関数形が不明なまま，解の存在

式に定められた将来を進んでいく事が分かる．

や解の性質が議論される．寧ろ，具体形を調べる為

13

一方で，自己相互作用を伴う半線型 Schrödingerに，解の性質などを議論するのである．微分方程式

方程式の場合，重ね合わせの原理は一般に成立しな論には，解が方程式を適当な意味で満たすという18

い．即ち，時間の経過に際して，或る周波数で振動前提にのみ基づいて，解の情報をいかに引き出すかする解の成分は，他の周波数で振動する解の成分とという手法が，今も開発され蓄積されているのであ相互干渉を起こす事になる．この相互干渉は，一般

る19.

に無限個の成分間で引き起こされるものであり，時間が連続である事も相まって，自己相互作用は非常

4．半線型周期型 Schrödinger 方程式に複雑で，その把握は容易ではない．特に自己相互長い前置きをとったが，本節では次の定理につい作用によって，特定の成分の自己増幅や，各成分がて解説する．今まで，数式を書かずに説明を心掛け

互いに増強しあった場合，解の振幅が或る時刻で無てきたが，ここだけは数式での記述を許してほし

限大に発散し，それ以降解が構成できない場合があい．

る．この様に，振幅が無限大に発散する事で，解が!
$%#$# $"!##""#&"!
$%$$&%%#!!" #$%!
##&"%"!&"#&"!
に対して， "が自乗可積分とすると，解が時間大域的に存在する事 （"%!） と，"!&"%#!
なる正定数 !が存在する事は同値である．
定理 FG［FG］：初期値問題

自己崩壊する現象を解の爆発現象14 と呼ぶ．
ここで，自己相互作用による解の挙動への帰結
は，解の爆発現象だけではない事を断っ て お く．
Schrödinger 方程式に限らず，初期値問題の解の爆発現象は，自己相互作用の影響が，方程式の有する分散効果や拡散効果，消散効果などの種々の効果を圧倒する場合に生じる現象である．一方で，自己相互作用が他の効果よりも弱い場合，時間経過に伴って自己相互作用の影響が薄れていく散乱現象や，自―３―

さて，読者の中で多変数の微積分学を学んだ事の$とは何かという疑問を持して，本結果を紹介している．研究の現場で扱ってたれたに違いない．この記号は偏微分という微分作いる問題では，このように解の分類が解決している

用素の記号である．つまり， "の意味は，空間変ものは稀である．実際には，初期値の形や方程式の数については固定して，時間変数の変化の割合を求

何らかの性質を用いて議論している為，理論の適用ない方がいれば，まず$#めるという作用素である．また $$ は時間変数を固範囲が限定的である場合や，取り扱える性質が部分定して空間変数について 2 階の微分を計算するとい的な場合が殆どである．上記定理の様に，解の爆発

うものである．次に現象に対応する必要十分な初期値が得られる理由#$%"#!!!"→!

"は 1 次元トーラスの!であるものを同じもことで，実数の中で，差が #は複素数値未知関数である．
20

は，"#"#から来る自己相互作用の影響が，比較的単純だったからに過ぎない．そして定理 FG でも，分かるのは寿命が有限か無限かだけであり，崩壊の様のと見做した集合である ．特に，この設定のおい相の描画としては精度が高いわけではない．より鮮ては， は空間に際して周期明に解を掌握する為には，より精細な方程式の構造###!の周期関数のみを"#"は 二 次 の 自 己 相 互 作 用 で あ る．
そして初期時刻 "#"における初期値 をここでは"と置く ．"が自乗可積分とは """#が可積分の事考える．次にの把握を行う必要がある．
もう一点，この節の最後に，定理 FG は我々から

21

22

しても予想外であった事を告白しておく．というのをいう．そして，この定理の意味する所は，初期値

も，我々は定理 FG の様な極端な不安定性は想定し問題（S）に従って変動する解が永続する場合は，ておらず，永続する解の周辺では，解は同様に永続初期値が適当な純虚数として振動しない場合に限る

すると想定していた．加えて，数値計算によって解という事である．くどいようだが，もし初期値の平の挙動の「あたり」をつける際にも，微細な振動を均が虚数単位と 1 億の積であり，1 無量大数23 分の伴う解は 0 に減衰していたので，この様な不安定性

1 の振幅の振動を伴っていたならば，この微小な振は全くの想定外であった．次節に説明する証明の方動が為に，解は将来崩壊する事が運命づけられるの針においても，当初は剰余部として消滅すると考えである．

ていた振動を評価すると，想定通り消滅しない事をこのような極端な状況は，数値計算では捉えられないとう事を再度断っておく．実際，プログラミン
グで用いられる倍精度浮動小数点（IEEE 754 binary示す事で，定理 FG が証明される．

5．証明のあらまし

64）で扱える最小の値である機械 ε は高々約 5 千

初期値問題（S）は周期関数に対する問題であ兆分の 1 であり，1 無量大数分の 1 は 0 として扱わる．周期関数を考察する理由は，周波数が整数となれてしまう ．ところが，初期値の振動を 0 とする

り，各周波数の単振動の級数として解を表現できると，上記 Schrödinger 方程式の初期値問題の解の寿からである．これを数直線上の関数について考察す

命は無限大であるから，まったく異なった結末を迎ると，周波数が実数全体に分布する為，考察対象がえている事が分かる．無論これは倍数浮動小数点の増加し，取り扱いが難しくなる．この様に，周期関設計の問題ではなく，原理的に数値解でこういった

数 を 単 振 動 で 分 解 す る 概 念 を 体 系 化 し た の は，類の現象を観測する事は不可能と言って過言ではな

Fourier 先生であり，彼の 1800 年代の熱方程式の研い．計算機では捉えようのない極端な状況が，紙面究等に始まる［S2］．現代では，単振動の級数とし上の手計算で導ける点は，数学の興味深い点の 1 点て関数を表現する Fourier 級数は，純粋数学だけでではないだろうか．

なく，現実世界にも広く応用されている．このた24

ところで，今回は「分かりやすく極端な結果」と

め，数学を専攻していない理系大学生も，Fourier―４―級数を学習する様にカリキュラムが組まれているこ

発散する事を示す事ができる．
このため，定理 FG で実際に証明を考えなければとが多い．
初期値問題（S）の解を，Fourier 級数を用いて考察する場合，自己相互作用!

"!"は，解 !の Fourier

ならないのは，解の平均値の自己増幅のみに焦点を当てて，解の爆発現象が判定できない初期値に対し級数の係数を用いて単純に分解できる．この「単純て，解が爆発するかどうかである．ここで鍵となるに分解できる」という性質が，定理 FG を導くためのが，解の平均値に対して，解の振動が与える増幅に重要な性質である．このように「単純に分解できである．ところが，従来の様に単純に方程式の平均る」という性質は，希な性質である．実際 Fourier

値をとった瞬間に，解の振動の影響を殆ど排除して級数を，一般に重ね合わせが成立しない自己相互作しまう事になる．これは，Fourier 級数の理論では，用に対して考えると，解の Fourier 級数の夫々の振各単振動が自乗可積分空間において直交している事

動が，どこにどう作用しているかを見るのは非常に困難である．一方，自己相互作用"!"は !!!としが原因である27．解の振動に着目する為に，方程式に逆位相をかけて28 平均値をとってみると，今度はて解の単純な積として書き下せる為，この自己相互自己相互作用の制御が非自明なものとなる為，これ作用を元々の解の振動を用いて「単純に分解する」

までの研究では手をつけられていなかった．

事ができる．ここで25!

!は解 !の値を複素共軛（共自己相互作用の制御が困難になる点の一つに，振役） にしたものである．であるから，3 次の自己動の影響を考察し始めると，周波数は整数全体に分相互作用布している為，振動に対する 2 次無限連立微分方程""!"を考察すると，この自己相互作用は同様に「単純に分解する」事はできず，ここで紹介

式を解く必要が出てきてしまう点が挙げられる29．

する手法で解の寿命を調べる事は，現状できない26.

当然，人間にも機械にも無限個の連立方程式を計算

解を夫々の単振動によって分解した場合，解の爆する事は困難であるから，元々の Schrödinger 方程発現象の鍵を握るのは，空間について全く振動しな

式の解についても一層混乱してしまう．

い平均値の挙動である．解の平均値に着目する為

そこで定理 FG の証明では，Bourgain 先生の証明に，思い切って方程式全体の平均値をとってみるに倣って，分解の方法を若干修正する事から始めると，解の平均値が自己増幅する事が分かる．実際， ［B1, B2］．Fourier 先生の方法では，解を単振動で空間方向の微分の平均値は，微積分学の基本定理と分解するが，Bourgain 先生の方法では，自由解に

周期境界条件によって消滅する．更に，自己相互作

よって初期値問題（S）の解を分解する．もちろ

用は，都合よく解の単振動の係数で分解できる為，ん，単に解を分解しているだけで，表現が変わって

自己相互作用の平均値から解の振動の影響を削り，いるだけであるから，状況が劇的に改善するわけで解の平均値の影響を抽出する事ができる．結果としはない．然しこの表現によって，各振動の係数関数て，解の各時刻における平均値の満たす微分「不等の成す無限連立微分方程式の項数を削減する事がで式」を Schrödinger 方程式から導出するに至る．こきる．ここで，平均値に該当する自由解は定数であの微分「不等式」を満たすという性質が，解の平均るので，平均値は自由解による分解をしても形が変値が相互干渉による増幅をしているだけではなく，

わらないことを付け加えておく．

自己増幅をしている事を示している．そして，微分定理 FG の証明での新規な点は，平均値を除外し「不等式」の解と，対応する微分方程式の解との間た，振動する全ての自由解に対する係数関数の平方には，大小関係が保存される比較原理が成立する．

和を，一つの量に纏め上げてしまう点である．元々

この比較原理によって，初期値によっては，解の平考慮しなければいけない，振動する自由解は無限個

均値が自己増幅の影響のみで，有限時刻で無限大にあるのだが，十把一絡げに扱う事で問題を簡単にす―５―

るのである．もちろん，元々は無限個の相互干渉す論において影響しない31．従って，我々は解の平均る振動であるから，この様なぞんざいな扱いでは，

値と振動の平方和の成す，2 連立微分不等式に辿り情報量が激減してしまい，詳細な情報が得られなく着く．

なる恐れがある．然し幸運な事に，解が爆発するか

考察対象はたかだか 2 つの関数となったのだか否かの判定には，各自由解の係数関数の平方和を考ら，すぐに挙動を理解できると読者は考えるかもし慮すれば十分である．この様に重要な特徴量を見出れないが，実際はそうではない．特に連立方程式です作業は，本研究に限らず理論の進展では必要不可

は比較原理を一般に使用できないので，解の挙動を欠なのだが，現状は人間が紙面で発見する以外の方探る手段を別に考える必要すら出てくる．定理 FG

法はおそらくない．

の証明で更に幸運であった点は，「振動する自由解

では，何故平方和だけを見て十分かというと，この係数関数の平方和」を「解の平均値」の関数と見の場合でもし解が永続するのであれば，解の平均値做して，この 2 連立不等式を一本化できる点にあは減衰して 0 にならざるを得ないからであり，そうる．そして，その一本化した不当式に対応する方程でなくとも平均値は一度 0 にならなければならない

式の解が，Lambert 関数32 によって具体的に書き下からである．平均値が 0 になる時刻が有限の場合，せる点である．この手法によって，振動が消えない

一切の振動が停止するか，そうでないかの 2 つの場

事が分かり，解も爆発する事を証明する事ができ合が考えられる．然し，もし一切の振動が停止する

る．

のであれば，それ以降，解は 0 のまま息を吹き返す
30

この節の最後に，微分方程式を解析するに当たっ事はない のだが，Schrödinger 方程式は時間逆向て，上述の様に不等式を多用する事を指摘しておきに解く事ができる為，この場合は初期値も 0 でし

く．解の形が不明なまま，ある程度議論ができる理

かあり得ない．従って，初期値が振動しているなら

由は，不等式から解の存在や性質を調べる事ができば，平均値が 0 となる時刻でも解は振動している事る点にある．然し，不等式には誤差が伴う為，可能になるが，今度は解の振動に押されて平均値が爆発な限り「損」が少ない精度の高い不等式が要求されする方向に押し出される事になる．すると，自己増る．そして，適切な不等式を見出す為には，数学的幅の結果，解の平均値は爆発せざるを得なくなるのな構造の本質を抽出する必要がある．この高精度なである．従って，平均値が 0 になる時刻（有限か無不等式を用いた数学的な議論は，現在も人間が自分限かはこの時点では考えない）において，振動の係の頭で案出せざるを得ない．

数関数の平方和が 0 か正かを見れば，解が爆発する
か永続するかが判定できるのである．

6．おわりに

この為，解の平均値が 0 になる時刻において，振まず，ここまでお付き合いいただいた読者にお礼動する自由解の係数関数の平方和の値を調べる事に申し上げる．本解説では，数学者が研究している事なる．そしてこの値は，比較原理によって，平均値

は，計算機ができる事とどう違うのかといった点をが 0 になる時刻において正である事が分かる．実意識して執筆した．一般論を俯瞰して述べた方が，際，方程式に着目すれば，各自由解に対する無限連

広く受け入れられる文章になったかもしれない．然立常微分方程式から，平均値と「振動する自由解のしそういったものは，筆者がここで紹介するより係数関数の平方和」の 2 連立方程式の様な関係式をも，世の中には解説が既に存在しているので，敢え導出する事ができる．
「様な」と書いたのは，平方て筆者の研究成果に絞って解説することにした．因和に関する自己相互作用を平方和で纏め上げる事がみにこの研究は，筆者の大学院生の研究に端を発すできないからであるが，実は纏められない部分は本る．当時の筆者は，指導教員から平均値を利用した―６―

爆発解析の手法を伝授いただいたのだが，ここで何らぎは，常用漢字か否かによって主に生じている．一

故か見捨てられている振動の影が気になっていた．

方で，型・形の表記の揺らぎの原因を筆者は理解して

ただ，数年前までどう対処すればよいか分からず，
当時からの約 5 年間に進展は殆どなかった．数学はいない．
１２ 「周波数」と書いているが，多次元の場合「周波数」
はスカラー量（実数）ではなくベクトル量となる．

機材を殆ど使わない代わりに，自分の頭で何かを思１３ 空間周波数と時間周波数の関係を分散関係式と呼ぶ．

いつかなければ，一切の進展がない．この進展がな

１４ 英語では Blowup である．また「振幅」と言っている

い期間に，数学者は何もしていない訳ではないのだが，なかなか市井の方には，何をしているのか理解が，ここでは平均値も「振幅」と見做している．
１５ インターネットで公開されている解説としては，［N1, O2, T1］がある．もちろん，これらの解説が出て以いただけないものである33．この解説で，数学者が何を考え，どういったものを発見しているのかとい降も研究は進展している．
１６ 自己相互作用のない微分方程式についても，研究は進められている．

う事を，少しでも多くの方に触れていただければ幸１７ 特殊関数については，膨大な研究と応用があり，決いである．

して特殊関数が役に立たないというわけではない．
１８ この「適当な意味」を理解するためには，それなり

注の訓練を要する．というのも，前述のように微分方程

１ シュレディンガーとカタカナ表記されることもある．

式の解には種類があり，変化の割合の意味で微分方程半線型とは，後述の非線型自己相互作用を伴うという式を満たす解ばかりではないからである．初頭的な微意味である．

分の意味で方程式を満たす解を古典解と呼び，そうで２ 微分方程式の理論では，微分の概念は拡張されていない解には，弱解や mild solution，粘性解等がある．

る場合が多く，もはや変化の割合とは見なせないもの

１９ もちろん，具体的な表示を与える研究もある．またもある．

具体形が分かっている解を土台とする議論もある．

３ 便宜的に非常に短いと書いているが，実際は幅を 0に近づけた時の割合の行き先を見ている．数学では時２０ このような集合を同値類と呼ぶ．
２１ 初期値というが，これは関数である．初期値と呼ぶ

間幅を際限なく狭めてよい．

理由は，方程式をベクトル空間上の微分方程式と見做４ 従来は函数と書いたが，この根拠は諸説ある．いず
れにしろ，「函数」は李善蘭先生による漢訳である．李しているからである．
２２!（U＋03C6, U＋03D5）はギリシャ文字で「ファイ」

善蘭先生の訳には，「微分」「積分」などがある．［K］と読む．空集合に用いられる記号∅（U＋2205）はノル

５ 抛る（ほうる）は，物を投げるの意味であり，放物

ウェー語の文字であり，無関係である．製図記号の直線は，物を抛った軌跡であるから，本来「抛物線」と径を意味する⌀（U＋2300）は「ま る，フ ァ イ」と 読 む

書く．物を放置しているわけではない．

が，調べてもギリシャ文字との関係はよく分からない．

６ 数学的にと書いたが，特別な事をするわけではない
事を断っておく．実際に行う事は，定義に基づいて理２３ 1 無量大数!"!#$

２４ この最小の値は，状況によっても異なっており，1 億

解するだけである．

との足し算を行う場合，扱える最小値はもっと大きく

７ 複素数は 16 世紀には Cardano 先生らによって利用さなる．これは，小数点の位置が「浮動」する為で，詳れていたが，数学的な定式化は 19 世紀に Hamilton 先生によって行われた［S1］．

しくは浮動小数点について調べていただきたい．［O1］２５ 軛（くびき）とは，牛車や人力車の前方に突き出し

８ 筆者が，計算機の技師と勘違いされた経験に基づく．

た 二 つ の 轅（な が え）に 渡 す 木 材 の 事．本 来 は 共 軛

９ 数値計算の精度を測る研究も行われている．2012 年（きょうやく）と書くが，共役で代用している（軛自体には，精度保障に関する研究で大石進一先生が紫綬褒が軶の異体字という説もある［S3］）．共軛は，二つの章を受賞された［W］．

結びつきを表していて，二人一役しているわけではな

１０ 同じ方程式でも，解の定義によっては「寿命」は異なってくる．

い．
２６ この単純に分解できる性質は，技術的な要請であっ１１ 非線型は非線形とも記され，表記が定まっていない
が，従来は「非線型」と書いた．［I］他の漢字表記の揺―７―て，本質的に解の寿命を左右するかどうかは，現在不明である．

5.0033101

２７ この直交性の証明は，実は数 III で扱われているが，高校生に周期関数を各振動で分解するといった Fourier［I］石井俊全，まずはこの一冊から意味がわかる線形代
数，ベレ出版，2011

理論を持ち込むわけにはいかないので，意味を消失した格好で高校数学に組み込まれている．なので，高校［K］片野善一郎，授業を楽しくする数学用語の由来，明治図書出版，1988

数学の教員を志望する学生には，是非この背景を理解［N1］中西賢二，非線形分散波動の漸近解析，07 年度

してほしいものである．
２８ 一 見 こ れ は，ア ク テ ィ ブ ノ イ ズ キ ャ ン セ リ ン グ

日本数学会賞春季賞受賞講演，2007,（ANC）に見えるかもしれないが，ANC では逆位相のhttps://www.jstage.jst.go.jp/article/emath1996/2007/SpringMeeting/2007_Spring-Meeting_1/_pdf/-char/ja

波を「足している」のに対して，ここでは逆位相の波を「かけている」．そして，注目している振動のみを停［N2］中村力，感染症拡大の観点から，ライフサイエンス

止させる事で，対応する単振動の係数を抽出している．

と数学（その 2），公益財団法人日本数学検定協会，
https://same.su-gaku.net/life_science_math_02

逆位相を「かける」という動作は，複素関数の観点か
ら単振動を整備すると，一目瞭然に理解できるが，こ［O1］大貫徹，浮動小数点の計算方法と注意点，Inter-

face, 2009,

れは通常大学 2, 3 年のレベルの話になる．

https://www.cqpub.co.jp/interface/sample/200903/if03_101.

２９ 仮に単振動を初期値としても，自己相互作用によっpdfて，次の瞬間には全ての周波数で振動が始まる．
３０ これは所謂，発展作用素の半群理論で，初期値問題［O2］小澤徹，非線型 Schrödinger 方程式の散乱理論，数学，1998, 50 巻，4 号，p.337-349,

は，適当な時刻を初期時刻として解き直しても同じ結果が返ってくるといものである．この性質は，指数関

https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/50/4/50_4_

数に表れるもので，微分方程式論では「形式的な」指337/_pdf/-char/ja

数関数が解の表示に用いられる．また初期値問題（S）［S1］坂本茂，複素数の定義，数研出版，https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/17/17-

においては，或る関数空間の枠組みで解の一意性があ

4.pdf

る為，一つの初期状態に対して，解の取り得る道のり［S2］佐藤俊輔，フーリエ級数研究の系譜をたどって，生は，適当な枠組みでただ一つである．

産と技術，第 62 巻（2），2010,

３１ 数学の場合，「影響しない」についてもその都度定義

http://seisan.server-shared.com/622/622-13.pdfがあるので，筆者の感覚で無視して構わないとしてい［S3］白石静，字統［普及版］，平凡社，2014，第 7 版

る訳ではない．
３２ 特殊関数の一つ．おおよそ対数関数に近い挙動をす［T1］高岡秀夫，非線形分散型波動方程式 の 大 域 解 析，008 年度る．

日本数学会賞春季賞受賞講演，https://www.jstage.jst.go.jp/article/emath1996/2008/Spring-

３３ 同業でも不明な場合もある．

Meeting/2008_Spring-Meeting_1/_pdf/-char/ja［T2］坪倉誠，ウイルス飛沫・エアロゾル飛散シミュレー

参考文献・URL

ションと計算科学の社会貢献，2021 年度第 2 回計算科

［B1］J. Bourgain, Exponential sums and nonlinear Schrödinger
equations, Geom. Funct. Anal., 3（1993）, 157-178.

学フォーラム，2021,［B2］J. Bourgain, Fourier transform restriction phenomena for

https://hpcic-kkf.com/forum/2020/kkf_02/data/tsubokura_kkf

certain lattice subsets and applications to nonlinear evolution
equations. I. Schrödinger equations, Geom. Funct. Anal., 3

2020-02.pdf［W］大石進一理工学術院教授が紫綬褒章を受章（1993），107-156.

精度保証付き数値計算の研究が高く評価されました，早稲田［FG］K. Fujiwara and V. Georgiev, On global existence of!!solutions for 1D periodic NLS with quadratic nonlinear-ity, J. Math. Phys. , 62 （ 2021 ）, 091504, doi : 10.1063 /―８―

大学 NEWS,
https://www.waseda.jp/top/news/6307