パティンキン・マクロモデルにおける大域的安定性と正値性＊

佐久間

敬

1． 序
Olechの定理〔3〕は大域的安定性の十分条件を与えるもので，動学的経済分析にしばしば利用される。しかし，この定理は体系の解の初期値と均衡点が正忌現にあっても，体系の解の経路の正値性を保証していない。Ito〔1〕はOlechの定理を修正することにより解の経路の正値性を保証する条件を示した。この小論の目的はltoの示した条件を用いて，パティンキンのマクロモデルの大域的安定性について論ずることにある。

H． モデル
パティンキンの基本的マクロモデルでは，次のような仮定がなされている9）（1）需要および供給関数に貨幣錯覚は存在しない。
（2）価格の予想弾力性は1である。
（3）分配効果は存在しない。

（4）価格および賃金率は完全に伸縮的である。
（5）名目貨幣量は外生的に与えられ，そして一定である。

以下で使用される記号の意味は次のとおりである。Y一実質国民所得， Nd
一労働需要量，NS一労働供給量， C一実質消費需要，1一実質投資需要，．Bd
一名目債券需要量，BS一名目債券供給量， Md＝名目貨幣需要量， Ms一名目＊ 本稿の作成に際し，山岸憲治（徳山大学），三野和雄（広島大学），筒井修二（九州産業大学）の諸先生より多くの御教示を得た。ここに深く感謝の意を表したい。
もちろん，ありうべき誤りは全て筆者の責任である。

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徳山大学論叢第20号

貨幣供給量，M。＝総貨幣量， MII。＝家計の初期名目貨幣保有量，鵡一企業の初期名目貨幣保有量，W＝貨幣賃金率， P一価格水準， r ・＝利子率。

労働，商品，債券および貨幣に対する需要関数および供給関数は次のようにあらわされる。2）労働に対する需要関数はNd‑Nd（P）であり，供給関数はNs一両号）である。

商品に対する需要は家計による消費支出と企業による投資支出の合計である。消費関数はc‑c （y， r， 一21L％）であり，投資関数はH（Y・・，野）で示される。したがって，商品に対する需要関数はF（い，艶≡c（Y，・，野）＋1 （y，' r， 一illFlo）である。商品の供給関数は
Y一￠ （N）
で示される。

債券に対する実質需要関数は
注 1）Patinkin〔4〕PP．199‑202，邦訳書185‑188ページを参照。

2）Patinkin〔4〕PP．202‑227，邦訳書188‑210ページを参照。

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1983年12月 佐久間 敬：パティンキン・マクロモデルにおける大域的安定性と正値陸芸H（Y，・，鄭であり，実質供給関数はβ5‑v（Y， r，P）である。

貨幣に対する需要関数は
Md＝p'L （y， r， 一211L'）で示され，貨幣の供給関数は仮定より
Ms＝＝Moである。ここでM。は定数である。

以上より，労働，商品，債券および貨幣市場における均衡条件は次のとおりである。

副努）一N・（WP）
F（MoY， r，P）一Y

労働市場
商品市場

H（Y，・，鄭一v（Y，一r，野）債券市場
P・L（MoY， r， P）一M。 貨幣市場

皿1． 安定分析
パティンキンのマクロモデルの安定性について，完全雇用の仮定のもとで吟味してみよう。ワルラスの法則により労働市場，商品市場そして貨幣市場の3市場にお』ける動学過程について検討すればよい。単純化のために，労働市場の均衡状態が撹乱されずに維持されると仮定すれば，動学分析を商品市
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徳山大学論叢第20号

場と貨幣市場の2市場に限定しうる。3）また，ある市場の超過需要がその市場の価格のみに影響すると仮定する。4）

パティンキンの動学体系は

1罫一ん・〔F（Y・…y'）一Y・〕（PS）

釜一ん、〔L （y o， r， llL'）一警〕

ゆで示される。ここで砺，砺は正の定数である。
体系 （PS）の大域的安定性について， Itoにより示された次の定理を用いて吟味しよう。6）定理 自励系

x＝9（x，ツ）ツ＝h（x，ツ）を考察する。ここで（x，y）は正象限R＋2にあり， gとhはC1級とする。
均衡点（x＊，or＊）∈R＋2が存在し，次の条件が満されるならば，（x＊，〉，＊）

はR＋2にお・いて大域的に漸近安定である。
（i） g．一g （x， y）／x＋h，一h （x， or ）／y〈o： v（x，y）ER'2，（ ii ） （g ．一g （x， or ） ／ x） （ h ，一 h （ x ， g ）／ y ） 一 g ，h ． ＞

O： V（x ， y）E R‑2，（iii） （g．一 g （x， y ）／ x］ （h，一 h （x， 一〇r ）／ y） ＝t O

： V（x ， y）E R'2

または9yhx＋Q：V（x，9）∈R＋2．

注3'

jPatinkin〔4〕P．230，邦訳書212ページを参照。、

4）Patinkin〔4〕P．235，邦訳書217ページを参照。
5）Patinkin〔4〕P．487，邦訳書447ページを参照。完全雇用が仮定されている
ので，yはY・（y。は定数）で示されている。
6）Ito〔1〕P．313を参照。

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1983年12月 佐久間 敬：パティンキン・マクロモデルにおける大域的安定性と正値：性

いまR＋2において体系（PS）の均衡点（P＊，r＊）が存在すると仮定する。さらに，定理が用いられるために次の仮定が必要である。

仮定1V（P， r）∈R＋2について

霧〈o， aF／a（一21L'）〉・，多く・，・〈aL／∂（夢）〈1が成立する。

仮定2V（P， r）∈R＋2について（（1十ijF）一Yo／F） ＞Oが成立する。ここでη。一一早r・とする・

この仮定は商品市場が超過需要のときは常に成立するが，超過供給のときにはny Fが十分大きいこと，すなわち商品に対する需要の価格弾力性が十分大きい場合に成立する。

仮定3∀（P，r）∈R＋2について（（1＋ ny L） 一 （sc'）／L］ ＞Oが成立する・ここでηr募f＞・とする．
この仮定は貨幣市場が超過需要のときは常に成立するが，超過供給のときには77 しが十分大きいと，すなわち貨幣に対する需要の利子弾力性が十分大きい場合に成立する。

命題 仮定1，2，3のもとでは均衡点（P＊，r＊）はR＋2において大域的に漸近安定である。

証明 いまki CF （Ye， r ，k2 （L （Ye，r，Mg） 一Y，） if （p ， r）
P21'）一一ill'） 一i （p ， r）

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徳山大学論叢第20号とすれば∫。ゴ（P・・）／P＝＝ k・〔9P一（卜Y。）／P〕＝一 ki （一fl一） （（ 1＋ i」 F） 一Y，／ F） 〈O，

1．一1 （p，r）／r＝k2 （g／ 一（L一一21'）／ r］

一一 k， （一 L） （（ 1 ＋ i」 ．）一（LelL，） ／ L） 〈 o，fr 'p＝kik2'g／llL （3' 一（一一21÷／））一縞募（MoP2）〔aL／∂（警）一1〕＜・となり，定理の（i）（ii）そして（iii）を満す。（証明終り）

すなわち，体系（PS・）が仮定1，2，3を満足するならば，解の経路の正値性が保証されながら，均衡点（P＊，r＊）は大域的に漸近安定であるといえる。

N． 解の経路体系（PS）を満す（P，。）の経路を調べてみよう。いまF（y，，r，ll'iJ）一y，EE （p，r） ' （1）とする。（1）式の全微分を求めれば

誰P＋野・一・となる。これより

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1983年12月 佐久間 敬：パティンキン・マクロモデルにおける大域的安定性と正値性ft一一9b／警である蔀く・・寡く・であるのでdr〈odP lp一一〇となり，P‑0回線は右下りの曲線である。
いまL（Y。，・，蟹・）一勢≡X（P，の（2）とする。（2）式を全微分すれば誰P＋｛ひ一・となる。これよりft一一肇／募である瀦〉・…寡〈・より［lit÷ L＝o ＞oとなり，テー0曲線は右上りの曲線である。

P‑0曲線とr‑O曲線による4個の領域におけるPおよびrの変動方向を調べてみよう。P‑0曲線の上方の領域ではPは負，下方の領域では正である。r‑0曲線の上方の領域ではrは負であり，下方の領域ではrは正である。したがって変動方向は第1図のような矢印で示される。

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徳山大学論叢第20号

解の経路の正値性と変動方向により，解の経路を第1図のように描くことができよう。

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一一一一一e一一一Y一一一一〉

P＝一〇oPP＊第 1 図＝﹀

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口御 諺P 射／L2Mア＝芸十MP｝

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1983年12月 佐久問 敬：パティンキン・マクロモデルにおける大域的安定性と正値性

参考（1） lto， T． ，orem

文

献A Note on the Positivity Constraint in Olech's The‑

， Journal of Economic Theorg， vol． 17， 1978， PP． 312

318 ．

C2）

三野和雄「ケインズ体系の『準均衡』への覚書」『経済論叢』第3巻
1号，1979，119一 138ページ．

（3］

Olech， C．，

thePlaneOn the Global Stability of an Autonomous System on， Contributions to Differential Equations， Vol ． 1，No． 3， 1963， PP． 389‑400．
（4）

Patinkin ， D． ， Money ， ln terest and Pr ices （ 2 nd edition ）・，

Harper＆Rowe，1965．貞木展生訳『貨幣・利子および価格』勤草書房，1971．
（5）佐久間 敬「パティンキン・マクロモデルの大域的安定性について」『徳山大学論叢』第15号，1980，25‑31ページ．

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