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October/2007■ 技術講座知りたいトライボロジー講座⑥「転がり接触面下の応力」
機能部品事業
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Things to know about Tribology"Stress below the Contact Surface of Rolling Element"〈キーワード〉最大剪断応力・繰り返し剪断応力・格子間ひずみ・半価幅・残留応力部品事業部／技術一部

渡辺 孝一
Kouichi Watanabe知りたいトライボロジー講座⑥「転がり接触面下の応力」

要旨

転がり接触の稿では、接触面がどれくらいの大きさになり、転がり接触面に外力がどのように分散していくかを論じてみました。

1.二次元解析
1）極座標応力
転がり運動とは、「荷重を受けている接触点が移動している」ということです。道路がタイヤの転がり

ここでは、外力が接触面を通じて、接触面下にど運動により疲弊していくように、軸受の材料もいずのように分散していき、内部がどのような応力状態れ疲弊の道をたどります。その解明には、接触点のになっているかを論じてみたいと思います。

内部はどうなっているのかを、まず明らかにしなけれ

転がり接触では、材料の疲労や強度を論じるときばなりません。転がり接触点の内部に、単位面積あには面圧分布よりも接触面下の応力状態を論じなたりどんな力が作用しているか（これを応力といいまこの後のければなりません。ここで述べますことは、す）を、単位長さあたりPの荷重（これを線分布荷重

転がり軸受の耐久性を論じるときにも使われることといいます）が作用している状態で、最初に解析しになります。

たのはブシネスク（Joseph Valentin Boussinesq；

ここでは、耐久性を論じるに必要な応力に限って、その基礎を述べることと致します。

Abstract
The previous session regarding the contact ofrolling surface discussed the size of the contact surface and dispersion of an external forceto the rolling surface.
Here we will discuss how the external force
will spread below the contact surface and how
the stress will be applied inside.
When the material fatigue or strength is discussed in terms of rolling contact, the stressplaced on the lower contact surface rather than
the surface pressure distribution must be argued. We will focus only on the stress that will
be discussed in relation to endurance and will
explain the basics that will be argued again
with respect to the rolling bearing endurance.という人でした。
仏 1842〜1929）
これによれば、接触点から角度θの方向にｒだけ深くなった位置の応力は、次のように表わされます。
P kgf／mm

1 ∂φ
1 ∂2φ＋ ｒ2∂ｒ2r ∂ｒ2P cosθ＝π ｒ
∂2φσθ＝ ∂ｒ2 ＝0∂ 1 ∂φτｒθ＝ ∂ｒ（ｒ）＝0∂ｒ
σｒ＝

ここにφ＝θP cosθπ ｒｒσθτｒθσｒ

図1 ブシネスクの与えた2次元解

この解析結果は、半径方向の応力しか発生しないという結果になっています。
ｒ＝0を代入すれば分かりますように、接触点そのものの位置での応力値は無限大になるという欠点をもっていますが、定性的に論じる限りにおいて、この解析結果は精密解と大差のないことが分かっています。
ブシネスクの解は、以降の接触問このようにして、題を扱う式の基礎となっています。

12）XY座標応力※1

この数式はモール（Mohr）の円を描くことにより、次のように、XY座標での数値に変換することができこれらの応力値がX方向にどのように変化するかを調べると、図3のような線図になります。

ます。分かりやすくするため、Z方向は深さaの位置、ここでは、z＝a位置に限定して、aの倍率のX位置

X方向はx＝a・tanθと表わすことにして、任意のX、Zでの応力値を表わす形にしました。計算数値の結位置の発生応力値を計算すると、次のような式にな

果がマイナスになれば、応力は大きさが同じで、方向ります。

が図と逆になることを示してます。
（σz）z＝a ＝2P cos4θ
πa（σx）z＝a ＝2P sin2θcos2θπa（τxz）z＝a ＝

この解析結果は、線状の荷重分布に限られてますが、現実の3次元面圧分布と非常に近いことが検証されています。
この結果によれば、接触荷重がX方向に移動して2P sinθcos2θπa

行くにつれて、線図のように応力値が変化していくτ

すが、 xzは接触点の移動前後でプラスからマイナxスへ変化する、つまり応力の方向が逆転するということが分かります。

θaが効くことが予測され、実際に転がり疲労した現物

τxz

※2σxz

方 向に、
この剪 断 応を観 察すると、接 触 面 下 4 5 °τ

力 xzの方向と一致する組織変化が認められ、
こ

図2 ブシネスクの解のXY座標表示の応力が疲労に関与する量として考えられるようになりました。

2P
0.4 πａ-4-3-2-10（τxz）
z=a12-0.2-0.4τ

このことから、転がり疲労にはこの の方向逆転

σz0.2

σ σ

ことになり、 zと xは圧縮応力の増減繰り返しでP kgf／mm

34 xxaP

移動（σx ）
z= aτxz-0.6

剥離方向-0.8

図4-1（σz ）z=a-1.2移動Pτxz

接触面下の1点における転がり移動前後の応力方向の変化
転がり方向

図3 ブシネスクの解による、z＝aの深さに発生する応力のx方向分布
疲労層

図5
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転がり疲労した接触面下の断面写真
2

知りたいトライボロジー講座⑥「転がり接触面下の応力」

3.三次元解析
実際の面圧分布はブシネスクの解析モデルのよ

そのため、転がり接触では、剪断応力の大きさやうな、線荷重分布ではなく、立体的な分布です。ブ

その発生位置を吟味することがよく求められます。

ｒ＝0において無限大の解
シネスクの解析結果は、長径2a、短径2bの接触楕円に最大面圧 q oが回転になるため、ｒの小さい領域においては解とすること

楕円体面圧分布するときの、接触面下に発生するはできなかったのですが、接触面下の1点に限定して、最大の剪断応力値その部分が他の各分布荷重から受ける影響量を同ある深さの位置で発生することが分かっています。

じくブシネスクの式を使い計算して積分すると、ｒ＝0においても有限確定値をもつようになります。
ただし、計算式は複雑で、任意の位置における応力を簡単な式に表わすことはできなくなります。
ここでは転がり疲労を論じるときに必要とされる応力値について、結果のみ示すこととします。

τmaxは、接触面の中央直下のτ

そしてその大きさ maxとそれが発生する深さZ1は、接触楕円の長短径の比b／aにより、図6の線図のように求められます。
このとb／a＝0は線接触での解になるのですが、τmax／qo＝0.786 Z1／b＝0.3になります。潤きはこの数値です。
滑便覧などで良く利用されているのが、

τmaxは、材料の静強度を検証する

この剪断応力1）最大剪断応力τmax

ときに使用されますが、転がり疲労の検証には一般

転がり軸受に使用される材料は、一般的には硬く、的に使用されません。

耐摩耗性に優れています。このような材料は、高硬度材とよばれていますが、このような材料は圧縮には強いのですが、剪断や引張りには比較的弱いのqoが特徴です。
2b0.82a0.7

τmax
qo0.6

qo-bb0.5

Z10.4τ45

τ1b0.30.2

τmax
00.2

図630.4 0.6
b／a0.81τ45

接触楕円中央直下の最大剪断応力τmaxの大きさおよびその作用する深さZ12）繰り返し剪断応力τo
ブシネスクの2次元解でも得られていますが、接触

τxzが、点の移動に伴い方向が反転する剪断応力τ

これらの数値も、 maxの数値と同様に、潤滑便覧よく引用されています。などでは、材料の疲労にかかわる応力としてとらえられています。

もっともひずみの影響を受ける深さZoは、形成さ長径2a、短径2bの接触楕円に最大面圧qoが回転れる接触楕円の大きさに比例し、接触楕円は外力

楕円体面圧分布するときの、接触面下にもこの応力に比例するので、Zoは外力の大きさに依存することは発生します。

が分かります。

τ

この繰り返し剪断応力 o の大きさとそれが発生する深さZoは、接触楕円の長短径の比b／aにより、図7の線図のように求められます。b／a＝0は線接τ

触での解になるのですが、このときは2 o／qo＝0.5
Zo／b＝0.5になります。

0.520.500.48

転がり方向

2τoqo

0.460.44

Zob0.42
qo-b2τobZo

τo0.400.380.36
0.340.320

図70.2

0.4 0.6
b／a10.8

接触点移動により、方向転換する剪断の繰り返しを受ける最大応力τoの大きさおよびその作用する深さZo※34.格子間ひずみ（ブラッグ（Bragg）の法則と残留応力式の構成）

軸受は回転しますので、回転輪の転動体の接触規則正しい格子配列に、X線をある入射角で照点は全周に亘り、固定輪は円周の一部において、射すると、照射部分から再放出される反射は格子

接触点直下の材料組織は剪断応力の繰り返しによの配列に応じて、特定の範囲に方向を強めあってる組織ひずみを受けることになります。

散乱されていきます。

その影響をもっともよく受ける場所は、上記の解析結果から、特定の深さのZoの場所であることが分か

この現象を「回折」といいますが、入射X線と回折X線のなす角度を回折角2θとすれば、ります。
したがって、軸受使用後の材料を調査して、

n・λ＝ 2d・sinθ

を特定す
ひずみのもっとも変化している場所（深さ）ここにd；結晶の格子間隔

そのデータから、軸受に負荷されていた外力をれば、n；任意の整数特定することができます。

λ；X線の波長θ；ブラッグ角が成立し、これを「ブラッグ（William Laurence Bragg；豪 1890〜1971）の法則」といいます。

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回折強度の分布

入射X線

ψ

回折X線

この数式を微分すると、△d ＝d2θcosθ・△θになるので、格子間ひずみ△ d／dとブラッグ角（回N'；材料の法線方向折角）の変化量△θが比例関係にあることが分かり

N ；回折格子面の法線方向

図8ます。ひずみは応力に変換できることから、）
σR ＝ K d（2θd（sin2ψ）

格子の回折条件（実験による検証）

ここに K；材料の回折面に依存する固有数値
n；材料法線と回折格子面法線のなす角度

同一条件で運転する一群の多数の転がり軸受について、その運転途中で部分的に取り外し、回転輪の軌道部の残留応力を深さ方向に測定すると、の計算式が誘導でき、これより材料内部に残留して回転時間と共に、つまり繰り返し応力を受ける頻度いる応力σRを推定できることになります。に比例して、残留応力が変化していくことが観測されています。残留応力の数値そのものは変化して（ψ変化量に対する回折強度の最大角度2θの変化量）いきますが、その変化点の位置は外力条件が変わ

入射X線の一つの角度に対して得られる回折Xらない以上は変わりません。ですから、この深さ方向線はある回折角度で最大の回折強度をもつ分布をの位置を特定することで、外力の大きさが特定できします。このときの角度2θを、入射X線と回折X線がるということは、今日では多くの方に支持されるよう決めるψをいろいろ変えて測定し、sin ψ〜2θのプロッになってきています。

2トを行なうと、これらの間には勾配をもった直線関係

図9には、単列深溝玉軸受6206を使用して、残留となります。
が得られます。これがd（2θ）／d（sin2ψ）

応力の経時変化を観測したときの実測例を示します。

このようにして、材料表面をわずかに化学研削な繰り返し剪断応力 oの発生位置Z oは約0.1と計算どで削りながら、これらの測定を深さ方向に繰り返すされるのですが、実験でも、ほぼその位置に発生しことで、深さ方向での残留応力の分布を測定するこてることが検証されました。とができます。材料内部では、初期の応力状態に対し、転がりによる繰り返し応力を受けた分の変化がτ

また、運転の比較的早い段階から、その兆候が認められることも分かってきました。

発生するはずです。変化する分は、先に述べました200

τoの分と考えられ、その極大値が特定の深さになるので、残留している応力のもっとも変化している深さつの関係に特定できることが分かっているので、こうして外力を特定できる手段が講じれることになります。

0残留応力 Mpa

から、面圧の大きさを特定できて、面圧と外力とは一運転初期

100-100-200-300

20hrs後550hrs後-400-500-600-700-800

軌道直下方向深さmm：6206相当
・試験軸受：ラジアル荷重6000N
・外力：3000rpm
・回転数：ギアオイルバス
・潤滑・耐久寿命実測：2096hrs

図95・接触楕円計算値
2a＝3.907
2b＝0.418
b／a＝0.106
Zo＝0.497×0.418／2＝0.1046206に6000N負荷時の軌道面直下方向の残留応力の経時変化

5.開発への応用
以上のように、転がり接触面の内部ではどのようこのようにして、接触面下の状態が明らかになるな力が発生しているのかは、ほぼ解明できるようになっにつれ、必要な深さの範囲だけ必要な層を形成さてきました。そして、表面改質などを行なう軸受の設せることで材料の改善がさらにすすんでいくものと計には、この考え方が多用されています。

（Heinrich Rudolf Hertz；独思われます。ヘルツ

軸受に使用される材料は、耐摩耗性が必要なため、1857〜1894）やブシネスクの解析は、当時の反響は一般的には硬い材料が使用されます。それでも、軸あまりなかったようなのですが、転がり要素設計の最受の使用環境は次第に厳しくなってきており、接触適化にはなくてはならないものになっています。

τ面の改質により耐久性を向上させようとする開発がここで使った剪断応力 oとその発生深さZoは、すすんでいます。その改質層の深さを設定するとき、転がり疲労を論じるときに再度使われるもので、転この考え方が使用されているのです。

がり軸受の動定格荷重の計算式がつくられたとき※4

また、衝撃荷重が頻発する使用箇所では侵炭鋼の重要な因子になったものです。その意味においてを使用して衝撃力を吸収する技術が多用されます。

も、ヘルツやブシネスクは、不朽の解析結果を残してこの材料を使うときは、転がり面に「硬化層」を形成くれたといっても過言ではないと思われます。

させなくてはならないのですが、必要な層の厚みを決めるときにもこの考え方が使われています。

用語解説

関連記事

※1 モールの円（Mohr's circle）
ある断面での発生応力状態を、その断面とは異なる角度の断面での発（圧縮）応力σと剪断応生応力状態に変換するときに使用される引張り力τのダイヤグラム図。例えば単純引張り応力σoのみが作用している断面でのモールの円は、σ−τ軸上では円の中心が座標原点に位置する半径σoの円になる。

1）渡辺孝一：知りたいトライボロジー講座①「トライボロジー入門」
NACHI-BUSINESS news Vol.7 D1、May／2005
2）横山 良彦・渡辺 孝一：知りたいトライボロジー講座②「摩擦・摩耗」
NACHI-BUSINESS news Vol.9 D2、November／2005※2 剪断応力2つの面を平行ずれさせようとする単位面積あたりの力。

3）高木 俊行・渡辺 孝一：知りたいトライボロジー講座③「転がり接触について」
NACHI-BUSINESS news Vol.10 D1、June／2006※3 格子（こうし）物質を形成する原子群の配列および配列群を示す。例えば鋼鉄材料
では、サイコロの4角にFe原子、内部中央にC原子が配置された状態をしている体心立方格子や、空間が原子で埋め尽くされている面心立方格子などがある。

4）渡辺 孝一：知りたいトライボロジー講座④「弾性流体潤滑理論（EHL理論）」
NACHI TECHNICAL REPORT Vol.11 D1、October／2006※4 動定格荷重
転がり軸受の転がり疲労を示す尺度で、一群の軸受の90％が100万回の回転に耐えうる大きさと方向と変わらないラジアル荷重、またはスラスト荷重のことを示す。

NACHI TECHNICAL REPORTVol.

14D15）菅洞 英樹・渡辺 孝一：知りたいトライボロジー講座⑤「転がり運動について」
NACHI TECHNICAL REPORT Vol.13 D1、June／20076

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