研究論文
サープラス最適なポートフォリオ構成
田中英治*

概要
近年公表された国内の退職給付会計の基準改定案では，確定給付型企業年金については時価主義をより強める内容になっている．この改定の実現を視野に確定給付型企業年金の運用においてはサープラスの管理が重要な課題となりつつある．本稿は，任意の積立比率の確定給付型企業年金においてサープラスの投資効率性が最適となるポートフォリオ構成を導出する新たな理論的手法を説明する．それは，安全資産とリスク資産を投資対象とした通常の１期間の平均分散アプローチで，特別な仮定を必要としない手法である．あわせて導出構成から得られる年金運用に関するインプリケーションとして LDI の有効性などについて理論的に考察する．

キーワード：企業年金，確定給付型，ALM，LDIの変化がより如実に母体BSへ影響することから，企1 はじめに

業DB基金の運用では積立状況を示すサープラスの

近年IFRSとのコンバージェンスが日本の会計基

投資効率性が以前にも増して重要なテーマとなって準の大きなテーマとなっているが，その一環で退職きている．そこで本稿は，サープラスの投資効率性

給付の会計基準も改定の検討が進められている．特が最適となるポートフォリオの選択問題を取り上げ，に確定給付型企業年金（以下企業DB）では，予定利

解析的な導出方法の解明を進める．ここで投資効率率の廃止，年金負債評価の公正化，母体BSの即時認

性は母体企業から分離独立した企業DB基金を投資

識，など時価反映をより徹底する方向で検討がなさ主体とした場合の１期間リターンを対象に考える．

れている 1．この改定案が実現すれば年金の積立状況

関連する先行研究としてSharpe & Tint[1990]がま
ずはあげられる．彼らの研究は，任意の積立比率の*(財)年金シニアプラン総合研究機構〒108-0074

企業DB基金におけるサープラスの投資効率性を最

東京都港区高輪 1 丁目 3 番 13 号

適とするポートフォリオの選択問題を 1 期間の平均

email:e-tanaka@nensoken.or.jp
本稿の内容は所属組織の意見を表明するものではない．

1 2010 年 3 月公表の ASBJ 公開草案．
本稿では改定案とする．

1

分散法で定式化した初期の研究として有名である 2．

そこで本稿は，年金資産と年金負債のリターンにフ

但し解析解は得られていない．一方，ベンチマークァクターモデルの成立を仮定せずに，任意の積立比

運用の観点からRoll[1992]は相対効率的なポートフ率の企業 DB 基金におけるサープラス効率的なポーォリオについて研究し，相対有効フロンティアを解

トフォリオの構成（３ファンド定理）を導出する解

析的に導出した．これはSharpe & Tintの問題設定に析的方法を構築する．あわせて，導出される構成かおける積立均衡（積立比率１）の場合の解析解と解ら得られる企業 DB 基金の運用へのインプリケーシ

釈することができる．このRollの研究と同質の内容をョンとして，LDI のタイプ別の有効性，積立過不足

Grinold & Kahn[1999]はファクターモデルを使ってにおける信用リスクの影響，給付の確実性などにつ説明した．彼らはベンチマーク運用における相対効

いて考察を加える．

率的なポートフォリオについて，ベンチマークリタ
ーンをファクターとしたシングルファクターモデル

2 問題設定を用いて説明している．但しRollと同様に積立均衡に相当するケースのみで任意の積立比率に対応してい任意の積立比率の企業DB基金において１期間のない．近年このファクターモデルを用いるアプロー

年金負債に対する相対効率性が最適となるポートフ

チでWaring はSharpe & Tintと同種の問題を研究

ォリオを平均分散法により求めることを問題とする．

している．特にWaring & Whitney [2009]は，任意基金は母体企業から分離独立した投資主体と捉え 4，の積立比率の企業DB基金において年金負債と年金基金の母体企業に対するポジション 5は無いものと資産のリターンがマルチファクターモデルで表され考える．投資主体はリスク回避的とするが，効用関ると仮定して，相対効率的なポートフォリオの構成数は特定化しない．市場の前提として１つの安全資を解析的に導出した．彼らはその導出解が３種類の産と複数のリスク資産がある無裁定な完全市場を仮

ポートフォリオから構成されることから３ファンド定する．負債は会計上定義される所与のものとし，定理と呼んでいる．このWaring & Whitneyの研究が負債キャッシュフローはリスク資産に含まれる割引

最も進んだ先行研究と認識しているが，彼らの導出

債（金利が負債評価金利と一致する種類）で完全に方法には改善の余地があると考える．それは年金資複製できるものとする．以下この割引債による複製

産と年金負債のリターンがファクターモデルで表さポートフォリオを負債ポートフォリオと呼ぶ．サーれることを仮定している点で，この仮定により彼ら

プラスのリスク要因 6は資産リスクと負債リスクのの導出理論には次のような制約が付随してしまって要因に分けられ，負債リスクの要因はさらに評価金いる．

利リスクと基礎率リスクの要因に分けることができる．このうち基礎率リスクは運用による効果的なヘ・前提や仮定が多いほど理論の特殊性が強まり，モッジが困難として除いて考える 7．

デルの成立に依存した限定的な理論となる．

１期間のサープラスリターンは Waring[2004]と・分散化されていないポートフォリオではスペシフ同様に次式で定義する．

ィックの影響が無視できず 3，導出理論を厳密には適用できない．
4 基金の運用は一義的には基金のために行うがリスク許容度は投資リスクを負担している母体企業に配慮すると考える．同様な考え方は米澤[2003]にも見られる．
5 例えば母体企業の基金に対する積立不足分の補填義務や積立超過分の母体企業への還元である．後に考察で言及する．

2 以下サープラスベースの視点を「相対」とし、アセットオン
3 米澤[2003]は最適化計算へのスペシフィックの影響を説明し6 制度の見直しなどイレギュラーな変動要因は除く
7 ヘッジ可能とすれば基礎率リスクを含めた形に本論を拡張すている．

ることもできる．

リーベースの視点を「絶対」と表現する。

2

S = A− L(1-1)

加えたポートフォリオのリターンと解釈できる 9．

SR = G ⋅ AR − LR
∆A
∆L
A
AR =
， LR =
，G =
L
A
L

(1-2)

このポートフォリオをP’とすれば，2-3 式は次の(1-3)形に改めることができる．

SR x >0 = x ⋅ (RP′ − r )S ：サープラス，L ：年金負債額，A ：年金資産額，SR ：サープラスリターン， LR ：年金負債リターン， AR ：年金資産リターン，A, L ： A と L の期初の確定値，G ：ここに， R P′ = R P + (R P − R L ) x

（2-4）
（2-5）

サープラスリターンの期待値をαとし，サープラス

期初の積立比率

リターンの標準偏差をωとすると，α／ωはインフォメーションレシオ（以下 IR ）を意味し，次式で3 最適構成の導出算出される．

わかりやすさのため，積立比率が１の場合(積立IR x >0 =均衡の状態)で最適ポートフォリオの導出を説明しµ P′ − r
σ P′

（2-6）

た後に，任意の積立比率における最適ポートフォリ
μ： R の期待値，σ： R の標準偏差オの導出を説明する．

2-6 式はアセットオンリーにおけるシャープレシオ

3.1 積立比率が 1 の場合（以下SP）を表す形になっており， IR x >0 はSPの最任意の資産リターンは次の 2-1 式で表すことがで大値を超えることはないことがわかる．SPの最大値

き，サープラスリターンは 2-2 式のように表すこと

は図 1 でわかるとおりアセットオンリーの有効フロができる．

ンティア上にある接点ポートフォリオTのSPである

AR = x ⋅ (RP − r ) + RP
SR = x ⋅ (RP − r ) + RP − RL

ことから， IR x >0 は次の不等式を満たす 10．

（2-1）
（2-2）

SPT =

µT − r≥ IR x >0
σT

（2-7）

x ：レバレッジ比率， R ：単位期間リターン， r ：安全
資産の利子率，添字 P ：任意のリスク資産ポートフォリ
オ，添字 L ：負債ポートフォリオ

等号が成立するのは P’が T の時だが，P’が T で2-2 式のサープラスリターンが平均分散の観点で最ある場合 2-5 式は次の 2-8 式となり，この式を R P に適となるPと x を求めることが目標となる．以下レバついて整理すると 2-9 式となる．

レッジ 8の有無によりポートフォリオを二種類

RT = RP + (RP − RL ) x
1x
RP =⋅ RL +
⋅ RT
1+ x
1+ x

（ x > 0 ， x ≤ 0 ）に分けて考えていく．
① レバレッジ有り（ x > 0 ）の場合

(2-9)

つまり，P が L と T を１対 x の比で合成したポートフォリオであれば 2-7 式の等号が成立し， IR x >0 の最2-2 式を次のように変形する．

(R − R L ) SR x >0 = x ⋅  R P + P
− r
x



(2-8)

（2-3）

大値は SPT となる．図 2 のようにω-α平面で考えた
場合， IR x >0 を最大にするポートフォリオを示す点は2-3 式で R P − R L の部分は「PとLのロングショート

原点を通る傾き SPT の直線ｍ上にあり，この直線ｍはポジション（以下LSP）」のリターンと解釈でき，

ω-α平面においてサープラスの有効フロンティア

R P + (R P − R L ) x はPに「PとLのLSP」を 1 x 単位
9 LSP は追加資金無しに任意のポートフォリオに加えることができる．
8 本稿では現金（安全資産）ショートの意味で用いる．

10 接点ポートフォリオ T が存在し，T の SP は正の値とする．

3図1となっている．なぜなら，任意のポートフォリオを示す点はすべてこの直線ｍより下の領域（α≦ SPT ･σ-μ平面図 1μω）にあり，任意のαにおいて最小のωとなるポー
トフォリオを示す点は直線ｍ上にあるからである．
最適なポートフォリオはこのサープラス有効フロン

e2

ティア上に存在し，例えば期待効用の無差別曲線とe1の接点として見出されることになる．2-9 式を 2-1 式と 2-2 式に入れると次式を得る．

SRE = x ⋅ (RT − r )ARE = x ⋅ (RT − r ) + RL

IRE = SPT =µT − rσTT(2-10)(2-11)(2-12)

Fσ

添字 E：サープラス有効フロンティア上のポート
フォリオ

図 1 注) F:安全資産，T:接点ﾎﾟｰﾄﾌｫﾘｵ，e1:ﾘｽｸ資産のみの有効ﾌﾛﾝﾃｨｱ，e 2:有効ﾌﾛﾝﾃｨｱ② レバレッジ無し（ x ≤ 0 ）の場合
レバレッジを使わない場合，レバレッジを使う場合のサープラス有効フロンティアより効率的になりえ

図2

るかが問題となるが，結論としてはなりえない（こω-α平面図 1αの証明は付録に記す）．
以上，①②より①のサープラスの有効フロンティアmが最も効率的であり，その有効フロンティア上にある最適なポートフォリオは次のような構成となる．
但し，単位は負債額基準で，接点ポートフォリオの構築にはレバレッジを用いる．
・負債ポートフォリオ ： 1 単位・接点ポートフォリオ ： x 単位 ( x > 0 )0
図 2 注) m:ｻｰﾌﾟﾗｽ有効ﾌﾛﾝﾃｨｱ

4ω3.2 任意の積立比率の場合④

現金（安全資産）の保有額は積立過不足と同額になる（不足の場合は借入）．

任意の積立比率におけるサープラスリターンは次式で表される．

先述したように既に Waring & Whitney[2009]がこSR = G ⋅ AR − LR
= G ⋅ {x ⋅ (RP − r ) + RP } − RLの導出結果を得ていて３ファンド定理と呼んでいるが，本論は負債や資産のリターンを説明するファク= (G − 1) ⋅ r + (G ⋅ x + G − 1) ⋅ (RP − r ) + R P − RL

ターモデルの成立を必要としていない点で彼らとは導出方法が異なり，ファクターモデルの仮定に伴う（3-1）

制約が無い．本論により，絶対効率性の最適ポート

ここで， (G ⋅ x + G − 1) を y に置き直すと次のように

フォリオ選択における分離定理と同様に，相対効率なる．

性の最適ポートフォリオ選択でも普遍的に成立する

SR = (G − 1) ⋅ r + y ⋅ (RP − r ) + RP − RL

分離定理（３ファンド定理）が存在することを示す（3-2）

ことができたと考えている．

3-2 式は (G −1) ⋅ r の項以外は 2-2 式と同じ形になっ本論では接点ポートフォリオへの投資量と積立水ている． (G −1) ⋅ r は定数項で最適解の導出には影響

準（拠出の調整）の最適決定については触れていなしないことから 2-2 式と同様に考えることができ，

いが，この問題は多期間の問題を扱う動学的アプロ

最終的に一般形として次式を得る．

ーチにより研究されるテーマである．一般に企業DB

ARE = (G − 1) ⋅ r + y ⋅ (RT − r ) + RL

SRE = (G − 1) ⋅ r + y ⋅ (RT − r )の運営戦略には拠出と運用があり，1 期間モデルが運（3-3）

用だけを研究対象とするのに対して動学的アプロー（3-4）

チは拠出と運用の両方を対象にする．よって，動学

よって，任意の積立比率 G における最適ポートフォ

的アプローチの先行研究においても効率的運用に関リオの構成は次のようになる（単位等は先述と同様）．

する成果が得られている．しかし，動学的アプロー
チの理論展開では一般に効用関数（評価関数）を用

・負債ポートフォリオ ： 1 単位・接点ポートフォリオ ： y 単位 (y＞0)
・現金（安全資産）： G－1 単位いるが，次のような相対的リスク回避型の効用関数
ではサープラス（S）が正の状況しか扱えないという問題が指摘（例えば内山[2005]）されており，積立不足を含めたサープラス最適なポートフォリオ構成は

4 考察導出されていない 11．

4.1 本導出の意義

U (S ) =導出した任意の積立比率の企業 DB 基金における

S 1−γ
1− γ

（ 0 < γ < 1）

(4-1)

サープラス最適なポートフォリオの構成について確

逆に本論で得られた最適なポートフォリオ構成を動認すると次のような特徴があげられる．

学的アプローチに組み込むことで，残された投資量①

負債ポートフォリオ，接点ポートフォリオ，現と積立水準（拠出の調整）の最適決定の問題の研究金（安全資産）から構成される．

に資することができるかもしれない．

②

負債ポートフォリオの保有額は負債と同額になる．

③

11 この問題を避けるためサープラスリターンではなく積立比率リターンで最適ポートフォリオを求める方法もあるが，米澤[2003]が指摘するように積立比率リターンは積立比率に依存しないため，積立比率の影響を見ることはできない．

接点ポートフォリオの保有にはレバレッジを利用し，保有比率は投資家のリスク許容度による．

5

4.2 積立過不足の影響

体企業に信用リスクがある状態で積立不足のある基金が母体企業の信用リスクをヘッジしないならば，

図 3 にω-α平面における積立状態別のサープラス

母体企業には金利負担の点では基金に対して借入のの有効フロンティアを示した．積立均衡のフロンテ

状態（積立不足の状態）を選ぶインセンティブがあィアは原点を通る傾きが SPT の直線となり，積立超過ると考えられる 15．この点，基金への積立を一定以上と積立不足は同じ傾きでα方向に (G −1) ⋅ r だけシフに促す規制には，母体企業が無制限に基金への借入トした直線となる．これが基金の投資に対する母体を拡大することを防ぎ，信用リスクを遮断する意味

企業の負担を考慮に入れない場合のサープラス有効で効果があることが確認できる．

フロンティアである．ここで，基金の母体企業に対するポジションを追加的に考えてみる．前提として，

図3

積立不足は母体企業に補填義務があり，積立超過は将来の掛金負担の軽減により母体企業に還元される

ω-α平面図 2αものとする 12．この場合，積立不足分は１期間の母体

m

m1

企業への貸付金で，積立超過は逆に同様な借入金と見ることができ，これらは最適ポートフォリオの現m2

金のポジションを埋め合わせる形になる．つまり，母体企業に対するポジションを考慮すると積立超過と積立不足のフロンティアは積立均衡のフロンティ
アに一致することになる 13．但し，母体企業の信用リ

0

スクの存在を意識するならば，積立不足については
最適ポートフォリオの構成に追加ポジションが必要ωとなる．母体企業への貸付金は母体企業の社債（満期は１期間後）の保有と見なせるが，この社債に付

図 3 注) m1, m 2:積立過不足のｻｰﾌﾟﾗｽ有効ﾌﾛﾝﾃｨｱ

随する信用リスクへの投資は明らかにポートフォリ
オの最適性の点で不要である．よって，基金には母

4.3 分離管理の有効性

体企業の社債をショートして現金を得るポジショ
ン 14が追加で必要となる．母体企業側から見ると，社導出した最適ポートフォリオの構成からポートフ

債ショートが無ければ基金に対する借入金の金利はォリオの管理は二つに分けて独立に考えることが有信用リスクを反映していない低い金利となり，市場効であることがわかる．二つとは，負債ポートフォ

で信用リスクを反映した高い金利で資金調達をしてリオを保有する「負債ヘッジ」部分とリスク資産を基金の積立不足を埋めるより金利負担の点で有利に保有する対負債の「超過収益追求」部分である 16．こなる．それに対して社債ショートがある場合は，基れはLDIに通じるポートフォリオの管理手法であり，金に対する借入金の金利も信用リスクを反映した高LDIは相対効率性の点で理論的に有効な特徴を有す

い金利となるため，市場調達による積立不足の補填る手法であると考えることができる．一般にLDIはヘと金利負担の点では無差別になる．よって，もし母ッジを意識した運用手法といった広い意味で現在使12 大森･米澤[2009]も同じ仮定を置いている。
13 問題設定の前提に同様な基金の母体企業に対するポジショ

15 より実務的には税金等も考慮する必要がある．税金を考慮す
る場合は節税と金利負担軽減の大小が問題となり，節税<金利負担軽減だとインセンティブ有り，逆の場合は無しとなる．

ンを考慮するならば，積立過不足はそもそも存在しないことになる．

16 積立過不足により現金（または借入金）の部分が生じるが，リスク資産の管理では二つの部分である．

14 母体企業の CDS（満期は１期間後）の購入に相当する．

6

われているが，提案され始めた当初の原型はレバレ

図4ッジを利用してオーバーレイの形で負債のフルヘッ

ω-α平面図 3

αジを行う運用手法であった．この原型LDIは「レバレッジ利用」と「負債フルヘッジ」の点でサープラス
最適な構成の特徴を持つ 17．レバレッジを利用する

m

LDIをType1 とし，利用しないLDIをType2 とすると，積立均衡では図 4 のようにω-α平面上においてType1 は直線ｍ上に，Type2 は直線ｎ上に存在する．

n

直線ｎはレバレッジを使わない場合のサープラス有効フロンティアである．Roll[1992]は，リスク資産のみのサープラス有効フロンティアがω-α平面では原点を通る直線（図 4 のｎ）となり，この直線の傾

0

きはベンチマーク（ここでは負債)によらないことを示した．付録の補論から直線ｍの傾きは直線ｎの傾きより大きいことが示されており，LDIはType2 より

ω

図 4 注) n:ﾘｽｸ資産のみのｻｰﾌﾟﾗｽ有効ﾌﾛﾝﾃｨｱ

Type1 の方が効率的であることがわかる．このこと
4.4 効率性と確実性

は同時に相対効率的な運用にはレバレッジの利用が重要であることも示している．ちなみに直線ｍと直サープラスの有効フロンティアとアセットオンリ

線ｎの傾きが共に負債（ベンチマーク）によらないーの有効フロンティアをσ-μ平面に描くと図 4 のよ

点は興味深い．

うになる 20．この図から絶対効率性の観点ではサープ

また，「負債ヘッジ」部分では基金固有の負債にラスの有効フロンティアはアセットオンリーの有効

連動した投資成果を目標とするパッシブ運用が基本

フロンティアより劣ることが確認できるが，この劣となり，「超過収益追求」部分では負債とは無関係

化は負債に対する連動性を得ることの代償を表してに絶対リターン型 18での絶対効率性を追求した運用

いる 21．負債ポートフォリオは負債キャッシュフローとなる．この「超過収益追求」部分ではレバレッジ

を正確に実現するので，1 期間の連動性は同時に給コストを超える収益が求められるが，レバレッジコ

付 22の確実性を意味する．つまり，給付の確実性を得

スト率は短期金利であって負債コスト率 19より一般る代償として絶対効率性が劣化していると解釈できに低いと考えられるので，負債を時価評価せずに負る．年金では一般に運用の絶対効率性だけでなく給債コストを目標として運用する場合と比較すると，付の確実性も重要であり，この両方の観点を内包し「超過収益追求」部分の運用に要求されるハードル

た相対効率性で年金の投資効率性は評価する方が絶は軽減されることになる．

対効率性だけで評価するより適切であろう．ちなみに給付の確実性の質は負債の評価金利の信用度によって変化し，その信用度が低くなれば確実性の質は低くなる．保有する負債ポートフォリオの信用度は17 「負債ヘッジ」部分をすべてレバレッジ構築する形は必ずしもサープラス効率的ではない．ただ，実務上レバレッジを作り出すのは資産のどの部分であってもよく，作り出しやすいのは
Siegel[2010]が指摘するように債券部分であろう．

20 σ-μ平面におけるサープラスの有効フロンティアはアセッ

18 レバレッジコストが課されるアセットオンリーの運用と見トオンリーの有効フロンティアが漸近線の双曲線となる．

ることもできる．

21 安全資産を含まないケースで Roll[1992]が同様な劣化を指

19 負債コストは勤務費用を除いた１期間の金利費用とする。負摘している．

債コスト率は負債ポートフォリオの利回りと考えることができ，一般に順イールドでは短期金利より大きくなる。

22 正確には年金給付のうち既に会計上確定した部分の給付．

7

評価金利の信用度と一致するので，評価金利の信用度が下がれば保有資産の信用度も下がる．もし，母体企業より低い信用度で評価するならば，基金に資金を積立てることがかえって給付の確実性の質を劣化させることになり，基金の分離独立の趣旨に反する．負債評価に用いる金利に関する議論ではこのような点にも注意が必要であろう 23．
図 5 σ-μ平面図 2

μ

e2
e1
T
e3
F

L
σ

図 5 注) e3:σ-μ平面におけるｻｰﾌﾟﾗｽ有効ﾌﾛﾝﾃｨｱ

5 おわりに企業年金の会計基準改定への対応として年金制度を変更することも考えられるが，まずは制度を維持した運用方法の見直しによる対応を検討することが大切であろう．また，改定案は基金および母体
BS に透明性を求める内容になっているが，基金運営
者は運用の合理性をよく理解して説明責任に備える必要があるだろう．現在，会計基準の改定はまだ確定していないが，改定内容の検討においては運用の観点も重要であろう．企業 DB に関係される方々に本稿がなんらかの参考となれば幸いである．

23 会計基準では信用度の高い債券の金利を用いるとの幅のある規定になっているが，浅野ら[2006]は理論的には信用リスクの無い債券(国債)の金利を用いるべきとしている．

8

（Ⅰ）（Ⅱ）より IRLSP < IRE であり， IRx =0 < IRE で

付録 － 補論ある．
レバレッジを使わない場合，レバレッジを使う場合② x < 0 の場合のサープラス有効フロンティアより効率的になりえないことの証明を以下に示す。

2-4 式からサープラスリターンおよび IR x <0 は次のようになる．

① x = 0 の場合
2-2 式のサープラスリターンは次のように「P と L の(A-5)

r − µ P′

(A-6)

IR x<0 =LSP」のリターンとして表される．

SR x =0 = R P − RL = RLSPSR x<0 = − x(r − RP′ )

(A-1)

σ P′

ここで補論①の導出不等式である IRLSP < IRE は任以下， IRLSP < IRE であることを背理法により示す．

意の LSP で成立することから，「T と P’の LSP

ここで P=L のケースは IR が定義できない特異な状（LSP’とする）」について次の不等式が成立する．

態なので除いて考える．

IRE =（Ⅰ）IRLSP ≥ IRE なる LSP が存在すると仮定する．

IRLSP =µ LSP µ T − r
≥
= IRE
σ LSP
σT

(A-7)

(A-2)

ρ ′ ：T と P’のリターンの相関
一般に，b > d ，c > a > 0 のとき d > d − b なので，（Ⅱ）接点ポートフォリオ T に A-2 式を満たす LSP
を１単位加えたポートフォリオを Q とするとポaµ LSP + (µ T − r )
σ

2
LSP

(A-3)

IRE =

c−a

µ − µ P′ r − µ P′
µT − r> IRLSP′ ≥ T>= IR x<0
σT
σ T + σ P′
σ P′
(A-8)

よって， IR x <0 < IRE である．

一般に，b ≥ d ，a > 0 ，c > 0 のとき b + d ≥ d

a c
a+c c
µ
µ
−
r
d
b
なので， = LSP ， = Tとおくと次のσTca σ LSP不等式を得る．

µ LSP + (µ T − r ) µ T − r≥= SPT
σ LSP + σ T
σT

c

る．

+ σ + 2 ⋅ r ⋅ σ LSP ⋅ σ T
2Tρ ：LSP と T のリターンの相関

SPQ ≥

c

b µ T − r ，d µ T − µ P′ とおくと次の不等式を得==σTc σ T + σ P′aートフォリオ Q の SP は次式で算出される．

SPQ =µT − rµ T − µ P′
µ − µ P′
> IRLSP′ =
≥ T
2
2
σT
σ T + σ P′ − 2 ⋅ r ′ ⋅ σ T ⋅ σ P′ σ T + σ P′

(A-4)

A-4 式はポートフォリオ Q の SP が接点ポートフ
ォリオ T の SP より小さくないことを示しているが，これは接点ポートフォリオ T が唯一最大の SP になることと矛盾する．よって仮定Ⅰは偽
である．

9

参考文献
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Asset Pricing Model with a Multi-Period
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Management, Vol.35, No.4, pp.111-13010