205■研究紹介

ユニタリー三角形の角度 φ3 の測定
KEK 素粒子原子核研究所

阿 部和 雄kazuo.abe@kek.jp
2004 年 12 月 15 日

1

一方、三角形の角度については CP 非対称度から求める

はじめにため、ハドロン効果が分母と分子でキャンセルする場合が標準理論ではクォーク間の相互作用を記述する Cabibbo-

多く、一般的には理論の不定性の影響は小さい。もっとも

小林-益川（CKM）行列はユニタリー条件を満足しなけれきれいな例が B 0 → J / ψK S0 の CP 非対称度の崩壊時間分布ばならない。このため行列要素はいくつかの関係式に従わから決まる sin 2φ1 である。この崩壊の振幅は B 0 → J / ψK S0

なければならないが、そのうち実験との関わりが一番大き

直接崩壊と混合を介した B 0 → B 0 → J / ψK S0 との和になっいのが、図 1 に示す複素空間でのユニタリー三角形である。ている。B 0B 0 混合はトップクォークが介在するボックスダイヤグラムによって起きるのでVtb*Vtd で表される。つまり、干渉項がVtd の位相 φ1 の情報を持つ。sin 2φ1 の値は現在 5%の精度で求まっているが、理論の不定性による誤差はφ2Vub* Vud1 − 2% 程度にすぎないと考えられている。

V*tb Vtd

このため、標準理論で sin 2φ1 を与えるはずの崩壊モードだけすべてを精密に測定して、 B 0 → J / ψK S0 からの sin 2φ1

φ3φ1とのずれから新しい物理を探索する手法も進められている。
最 近 話 題 に な っ て い る B 0 → φK S0 と B 0 → J / ψK S0 でsin 2φ1 がおよそ 2.4σ ずれているという観測結果 [1] はまさ

V*cb Vcd
図1にこのアプローチによるもので、さらなる精密測定は現在ユニタリー三角形の高エネルギー物理学の最重要課題の一つだ。

小林-益川理論ではVtd とVub だけがそれぞれ φ1 と φ3 の位相を持つ。φ2 はVtd とVub の間の位相に相当する。したがって、標準理論が正しければ三つの角度 φ1, φ2, φ3 の和は 180° になり、三つの辺の長さは閉じた三角形を構成するはずである。この制約は標準理論の検証とそれを越える新しい物理の探索にとって強力な実験手段となる。すなわち、ユニタリー三角形がどこまで厳密に成り立っているかをあらゆる

φ3 の測定では B 崩壊過程のうち振幅がVub を含むプロセスと含まないプロセスの和になっているものを選び、干渉項を測る手法が取られる。φ1 の場合の B 0 → J / ψK S0 のようなきれいな決定的方法はない。しかも、Vub を含むダイヤグラムの寄与は一般的には非常に小さい。したがって、可能な方法すべてを試みる必要がある。本稿では最近 Belle で進行中の φ3 測定について紹介する。

方向から測定すればよい。とはいえ、ハドロンレベルの観測量からクォークレベル2B ± → DK ± の D の振る舞いの量である CKM 要素を求めるには非摂動領域の QCD 理論

B + → DK + 崩壊には図 2 に示すような二つのダイヤグラが必要で、多くの場合その不定性が障害になる。たとえば、

ムが寄与する。ここで生成される中性 D 中間子は、(a)ではB 0B 0 混合パラメターの測定から決められる Vtb*Vtd は、混合

D 0 、(b)では D 0 である。中性 D 中間子の崩壊を観測するとパラメターが 1.5% の精度で測定されているのに対して、き、終状態によって D 0 か D 0 か区別がつく場合もあるがそ*
ub ud

19% の精度でしか決まっていない。V V*
cb cdとV Vも理論うでない場合もある。D 0 → K −π + (D 0 → K +π− ) では K との不定性のためにそれぞれ 13% と 7% の精度に留まっていπ の電荷からはっきりと区別できるが、 K S0π +π− への崩壊る。

は D 0 でも D 0 でも起きるので区別はつかない。したがって、

Vusu-+K3432(a)2.52

すると D 0 と D 0 の混ざった状態を見ていることになる。

m+ (GeV /c )B + → DK + で生成された D を K S0π +π− 崩壊モードで観測

m2- (GeV2/c4)

206(b)

2.5

22

1.5

1.5

11s
*-+-WVcbb
B+ uc-0u D

0.5(b)

(a)

0.5
0.5

11.5

2

30.5

11.5

22.5

m+2 (GeV2/c4)

B + → DK + に寄与するダイヤグラム

図22.5

図33m2- (GeV2/c4)

Dalitz プロット+(a) B → DK +(b) B − → DK −(b)の寄与は(a)の 10 − 20% と予想されるが、Vub によって起きるので(a)に対して位相 φ3 + δ を持つ。ここで、 δ は位

図 3(a)を見ると m+2  0.8GeV2 / c 4 近辺に事象が集中して相のうち強い相互作用の部分である。一方、 B − → DK − でいて、これらの縦軸への投影分布がスピン 1 の粒子の特徴は位相が −φ3 + δ になる。粒子反応を反粒子反応に変えたとを示すことから、 D 0 → K * (892)+ π− の寄与が大きいことがき、弱い相互作用の位相は反転するが、強い相互作用の位わかる。この寄与は(b)では予想通り m−2  0.8GeV2 / c 4 近辺相は変わらないからだ。つまり B+0S+−と B からの−D → K π π はそれぞれ次のような振幅で記述される。

M − = f (m−2 , m+2 ) + re −iφ3 +iδ f (m+2 , m−2 )2−0S+0S(1)−

ここで f (m , m ) は K π 系と K π 系の不変質量 m+ と00
S+−m− で記述される D → K π π の振幅で、これが決まれば
00S+−2−2+ら（ r , φ3, δ ）が決まる。
図 4 は Dalitz プロットの縦軸への投影図である。太い実M + = f (m+2 , m−2 ) + re iφ3 +iδ f (m−2 , m+2 )2+に現れている。式(1)を使った図 3 のパターンのフィットか

2+2−D → K π π の振幅は f (m , m ) で表される。f (m , m ) は

線は位相の違いを含めたフィットの結果を示し、細い実線は含まないフィット結果である。まだ統計誤差が大きく、二つのフィットの違いはごくわずかに見えるが、Dalitz プ
ロットの持つ三次元情報がすべて使われているので、フィットから（ r , φ3, δ ）を有意に決めることは可能で、われわれのデータにふんだんに含まれている e +e − → cc かr = 0.21 ± 0.08 ± 0.03 ± 0.04

らのフレーバータグをつけられた D 0 → K S0π +π − を使って

φ3 = 64° ± 19° ± 13° ± 11°求めることができる。ただし K S0π +π− への三体崩壊が K *π

δ = 157° ± 19° ± 11° ± 21°

や K ρ など共鳴状態を介する 13 個の準二体崩壊の振幅と非(2)共鳴状態を介する 1 個の振幅の和で記述されると仮定して、の結果を得た。誤差は統計と系統によるものの他に、14 個の振幅間の位相を決める必要がある。

f (m+2 , m−2 ) を決める際の不定性によるものを三番目に入れ式(1)からわかるように、もし φ3 がゼロでないと、干渉項2てある。

2が違うために M + と M − の間に違いが生じる。つまり、
12B + → DK + からの D と B − → DK − からの D の振る舞いに14違いが現れる。この違いから φ3 と δ 、および(a)と(b)の寄12与の比（r と呼ばれる）を決めることが可能だ。

10886

これまでに 2 億 5 千万個の BB 対から選び出された事象

6

数は B + → DK + → K S0π +π−K + が 139 個、 B − → DK − →4K S0π +π−K − が 137 個である。 D → K S0π +π− のような三体崩2壊の振る舞いを調べるには、Dalitz 解析の手法を使う。図0(a)4200.511.5

22.5

D 中 間 子 事 象 を プ ロ ッ ト し た も の で あ る 。 図 3(b) に

図4B − → DK − のケースを示す。ただし、(b)では横軸と縦軸が(a) B + → DK +D の D 0 と D 0 の割合は B − → DK − では逆になっているはずなので、このようにして二つの Dalitz プロットのパターンを比べると、もし二つの間に先に述べた位相の違いがない場合は両者は正確に同じになるはずだ。

3000.511.5m2− GeV23(a)は横軸に m+2 、縦軸に m−2 を取って、 B + → DK + からの(a)の場合とは逆に取ってある。B + → DK + から生成された(b)1022.53

m+2 GeV2Dalitz プロットの縦軸への投影図(b) B − → DK −太い実線は位相の違いを含めたフィットの結果、細い実線は含まないフィット結果を示す。

同様の解析を B + → D *K + と B − → D *K − それぞれ 35 個と 34 個についても行い、二つの結果から

20714°
φ3 = 68°−+15° ± 13° ± 11°(3)の値を得た[2]。これは世界で最初の φ3 直接測定の結果である。ユニタリー三角形の三辺、 K 0 系の ε, sin 2φ1 の測定結果を使ったフィットで間接的に得られた φ3 = 64° ± 14° とよく合っている。

ついてプロットしたものである。もし CP 対称性が保存するなら、（a） B 0 → D +π − と（d） B 0 → D −π + の分布は同じになるはずだ。お互いに粒子と反粒子を入れ換えた反応に対応しているからだ。同様に、（b） B 0 → D −π + と（c）

B 0 → D +π− の分布も同じになるはずだ。
四つの分布を同時にフィットして求められた値は2R sin(2φ1 + φ3 + δ) = 0.087 ± 0.054 ± 0.018

B 0 → D(∗)−π + の崩壊時間分布

32R sin(2φ1 + φ3 − δ) = 0.037 ± 0.052 ± 0.018

中性 B 中間子が電荷を持つ D と π に崩壊する現象には(6)である[3]。誤差の一つ目が統計によるもの、二つ目が系統四つの組合せがある。

誤差である。図 5 の D 中間子をベクトルパートナーの D * 中−0

B →D π+間子で置き換えてもダイヤグラムは同じなので、まったくB 0 → D +π −同じ手法が B → D *π についても成り立つ。ただし δ と R のB 0 → D +π −値は D π と D *π では同じである必要がないので、観測から−0B →D π+（4）決めなければならない。

0−00+B → B → D π （図 5(b)）の和になる。(b)のダイヤグラ
ムの寄与は(a)に比べて CKM ファクターが小さいため、約2% 程 度 の 大 き さ に な る と 予 想 さ れ る 。 こ の た め (a) はCabibbo-Favored-Decay （ CFD ） と 呼 ば れ 、 (b) は標準理論では、これらの干渉項のために崩壊頻度の時間（ ∆t ）分布が四つの組合せすべてにおいて微妙に違ってく

1401208060
40200∆t(ps)510 150-15 -10 -510 151614 (d)121086420-15 -10 -51201008060る。ずれの部分は40202R sin(2φ1 + φ3 + δ)sin(∆m ∆t )2R sin(2φ1 + φ3 − δ )sin(∆m ∆t )(5)

0-15 -10 -50∆t(ps)5

図6の二つで表される。ここで ∆m = 0.502ps−1 は B 0B 0 混合パ

510 150510 15∆t(ps)D π 事象の崩壊時間分布(a) B → D π (b) B → D −π + (c) B 0 → D +π− (d) B 0 → D −π +うちの強い相互作用の部分である。先に述べた B ± → DK ±実線はフィットの結果、斜線部はバックグラウンドの寄与を示す。

0では位相が φ3 ± δ の形で現れたのに対して、ここでは B B−0∆t(ps)ラメター、 R は DCSD と CFD の大きさの比、 δ は位相の0+(b)100(c)

Entries/ps

Doubly-Cabibbo-Suppressed-Decay（DCSD）と呼ばれる。

140

Entries/ps

B 0 → D −π + （図 5(a)）と B B を介してVub によって起きる
01614 (a)1210864
20-15 -10 -5

Entries/ps寄与する。たとえば、 B 0 → D −π + は Vcb によって起きる

Entries/ps

それぞれには直接崩壊と B 0B 0 混合を介した崩壊過程が00混合が介在するため 2φ1 + φ3 ± δ の形で現れる。原理的には

われわれはこの測定も行い、統計的に B → Dπ と同じ程度の結果を得た。さらに、 B → D *π の解析では、 D *± がほこれらのずれの測定から φ3 を決めることが可能だ。と ん ど の 場 合 140MeV 程 度 の π ± を 放 出 し て 特 徴 的 な
uVud-*

Vcdπ+Dd-bB0*+VcbWd(a) CFD
図5-d-cd

D *± → D 0π ± 崩壊を起こすことを利用すると、D 0 を測定し-cD--B0bVubW--u-dπ+d(b) DCSDなくても事象の同定が可能で、その分統計量を増やすことも可能だ。Belle ではこの解析も行われた[4]。
これらの結果を足し合わせてもまだ統計的に有意な測定にいたっていないが、解析手法が確立されたことの意義は

B 0 → D −π + に寄与するダイヤグラム大きい。 B → D (∗)π では図 5 のような external tree と呼ばれるダイヤグラムだけが寄与し、ハドロン効果も R と δ の

図 6 に D π 崩壊の時間分布の観測結果を示す。1 億 5 千万0個の BB 対から選び出された D π イベントのうち、 B か0B かのフレーバータグが比較的うまくいった約 1,300 個に形で実験から求めることができる。このため φ3 を決めるう
えでの理論的不定性は極めて小さく、統計さえ増えれば精度のよい測定が可能だからだ。

208
り、 CP マイナスには D2 → K S0π 0 , K S0φ, K S0ω などがある）

直接的CP の破れと φ340+で観測すると、次のような CP 非対称度が生じる。

−B → K π で直接的 CP の破れが起きていることが、
A1,2 ≡

2004 年夏に BaBar と Belle によって発見された[5]。Belleによる 2004 年 1 月の B 0 → π +π− での発見以来 B 中間子系=

では二つ目の直接的 CP の破れの観測である。このようなチャームを含まない B 中間子の二体崩壊には図 7 のようにtree と penguin の二つのダイヤグラムが寄与すると考えられている。

Br (B − → D1,2K − ) − Br (B + → D1,2K + )Br (B − → D1,2K − ) + Br (B + → D1,2K + )±2r sin δ sin φ3
1 + r 2 ± 2r cos δ cos φ3( ± for 1, 2)(9)

ここに r と δ は図 2 の場合と同じである。 δ と φ3 の両方がゼロからずれていると、A1 と A2 はゼロからはずれた値をとる。8,600 万個の BB 対を使った解析から-u+ +b- - π,Kd,s0Buπdd-0bBd(a)図7_ __u,c,t--d,s + +π ,Kuu πdA1 = 0.06 ± 0.19 ± 0.04
A2 = −0.19 ± 0.17 ± 0.05

(10)の結果を得た[6]。

(b)中性 D 中間子を D 0 → K −π + (favored) と D 0 → K +π −B 0 → K +π−, π +π− に寄与する(suppressed) モードの両方で観測すると次のような関係が(a) tree ダイヤグラム と (b) penguin ダイヤグラム生じる。

Penguin ダイヤグラムはトップクォークが主に寄与する+RDK ≡−ので位相を持たないが ( π π は Vtd が入るので位相が出てくる)、tree の方はVub で起きるので φ3 が入っている。このBr (B + → DsupK + )Br (B + → DfavK + )= r 2 + rD2 + 2rrD cos φ3 cos δ

ため、崩壊分岐比が干渉項の影響を受け、直接的 CP 非対(11)称度は φ3 と次のような関係式で繋がっている。

ACP ≡ここの r も図 2 の場合と同じで、 rD は D 中間子崩壊でのBr (B 0 → K −π + ) − Br (B 0 → K +π − )Br (B 0 → K −π + ) + Br (B 0 → K +π− )Tsin φ3 sin δ −2P

suppressed と favored の振幅の比である。 δ は D 中間子崩壊も含めた位相の強い相互作用の部分である。Belle は(7)

ここで T と P は tree と penguin 振幅の大きさで、 δ はその間の位相のうち強い相互作用の部分である。Belle の結果

1.6
RDK = (2.3−+1.4± 0.1) × 10−2(12)の結果を得た[7]。これらの結果はまだ統計的に有意でないが、今後の統計精度を上げた結果が期待される。

はACP (K +π − ) = −0.101 ± 0.025 ± 0.005(8)で BaBar の −0.133 ± 0.030 ± 0.009 とよく合っている。現在の理論では T / P と δ を直接的な方法で導くことができないので、 ACP から φ3 を決めるまでにはいたっていない。しかし有意にゼロからずれていることは φ3 がゼロではない
こ と を 意 味 す る 。 む し ろ 逆 に B + → K +π 0 , B + → K 0 π +,B 0 → π +π− など、できるだけ多くのケースで ACP を測定して、実験的に T / P, δ, φ3 を決めることによってチャームを持たない二体崩壊の QCD を理解しようする試みがすでに始まっている。

6

おわりにBelle では B ± → DK ± からの D 中間子を K S0π +π − 崩壊モードで観測する手法を使って、φ3 = 68° ± 23° の結果を得た。
これは直接測定によって得られた世界最初の φ3 結果である。この方法は Dalitz プロットを使って少ないデータ量から効果的に φ3 を抽出するもので、 Belle メンバーの A.

Bondar（Budker Institute of Nuclear Physics, Novosibirsk,Russia）と A. Giri, Yu. Grossman, A. Soffer, J. Zupan によって独立に提案された。この測定結果はフィットから間接的に得られた値とよく合っていて、標準理論が大まかなレベルでは正しいことがここでも検証されたことになる。

5±±

DCP K と DsupK 崩壊
B ± → DK ± からの中性 D 中間子を CP の固有状態になる終状態（ CP がプラスの状態には D1 → K +K −, π +π − があその他の方法での試みはまだ有意な測定にはいたっていない。しかし、解析手法は確実に確立されつつある。
φ3 の測定は φ1 に比べて飛躍的に難しい。しかし、ユニタリー三角形の精密検証のためには φ3 を避けて通るわけに209はいかない。いくつかの方法があり、それらはVub を含むダイヤグラムと含まないダイヤグラムが寄与する崩壊過程で干渉項を測定するという点では同じだが、ハドロン効果などの効き方はそれぞれで異なるため、知恵をしぼって一つ一つ解決していかなければならない。この測定は物理屋としての腕の見せ所であると同時に、 B 中間子研究のもう一つの重要テーマである非摂動領域での QCD 理論の発展に大きく貢献するはずである。

References[1] K. Abe et al. (Belle Collaboration), hep-ex/0408049.
[2] A. Poluektov et al. (Belle Collaboration), Phys. Rev. D
70 (2004) 072003; K. Abe et al. (Belle Collaboration)

hep-ex/0406067.
[3] T. R. Sarangi et al. (Belle Collaboration), Phys. Rev.
Lett. 93 (2004) 031802.
[4] K. Abe et al. (Belle Collaboration), hep-ex/0408048.
[5] B. Aubert et al. (BaBar Collaboration), Phys. Rev. Lett.
93 (2004) 131801; Y. Chao et al. (Belle Collaboration),

Phys. Rev. Lett. 93 (2004) 191802.
[6] S. K. Swain et al. (Belle Collaboration), Phys. Rev. D
68 (2003) 051101(R).

[7] M. Saigo et al. (Belle Collaboration), hep-ex/0412025.