0.1

まず問題を解いてみよう

1

第 0 章
いかにして力学の問題を解くか
少しだけ想像してみてほしい．あなたがキャンパスで初めて誰かと会話する場面を．もし，あなたが「私は物理が苦手なんです」と話すと，多くの場合，相手は「私もそうなんですよ」と相づちを打って，すぐに打ちとけるだろう．しかし，初対面の人に「私は物理が大好きなんです」といえば，相手・・ ・ ・ ・ ・ ・・はちょっと引くかもしれない．
『物理』という言葉を耳にしただけで，おそらく多くの人は，「物理は難しい」，「いろいろな公式を覚えなければならないから面倒だ」，「問題が解けないから嫌いだ」などと思うだろう．
・ ・ ・

・ ・

・

物理の愉しさは（もしあるとすれば)，私たちの身近な現象を簡潔に，そして明解に説明してくれることだろう．もしそうであるならば，物理の問題を実際に解けなければ，その愉しさは実感できないことになる．
いい換えれば，物理の問題が解けるようになれば，物理がわかり，愉しさが実感できることになる．
そのためには，物理 ─ 特に力学 ─ の問題を解くスキルを身に付けるのが肝要になるだろう．

0.1 2 3 4問題を解いてみよう
まず，次のような情景を思い浮かべてみよう．広いグランドでキャッチボールをしている

2 人の少年がいる．少年たちは，交互にボールをキャッチできるようにうまく投げている．それを遠くから眺めているあなたには，ボールの軌道が放物線のようにみえる．しばらく眺めた
後に，「本当に，ボールの軌道は放物線なのだろうか」と，あなたは疑問をもったとしよう．
ボールの軌道の形を表す関数は何か？
この問題は，これから力学を初めて学ぶ人にはまだ解けないが（解けなくても気にせず，
まずは読み進めて下さい），高等学校で物理を学んだ人なら，「あ，あの法則を使えば解ける」と思ったかもしれない．そして，次のような考えや方針を立てて問題を解くだろう．
問題をよく理解する

手を離れる瞬間のボールの速さを，水平方向は v，垂直方向は v

とする．ボールを投げた後，ボールにはたらく力は（鉛直下向きの地球からの）重力だけだか
ら，水平方向は等速運動，鉛直方向は等加速度運動をする．そして，この 2 つの運動を組み合わせれば，軌道の形が決まることに気づくだろう．
図を描いて式を立てる

次に，問題をわかりやすくするために，ボールにはたらく重力や速さなどを図 0.1 のように描くだろう．座標の原点は少年の位置にとり，y 軸の正方向を鉛直
上向き，水平方向を x 軸にとる．ボールを投げた瞬間を時刻 t ＝ 0 とすれば，時刻 t でのボール

2

第0章

いかにして力学の問題を解くか
y

vy
mg
vx

x

図 0.1

ボールの軌道の位置 x，
y は次のように表される (ただし，簡単のため，ボールを手放す高さを y ＝ 0 とする)．
x 軸方向：x ＝ vt，
解を求める

y 軸方向：y ＝ vt −

1 2
gt
2

(0.1)

ボールの軌道は x と y の関係を表すものだから，(0.1)から t を消去すれば求まるはずだ．そこで，t ＝ xv と変形して y の右辺を書き換える．
y＝−



2vv
g
x x−
g
2v2



(0.2)

この式は，x ＝ 0 と x ＝ 2vvg の 2ヶ所で y ＝ 0 となる x の 2 次関数で，上に凸の放物線を表す．このことから，確かにボールの軌道は放物線であることがわかった．
解をチェックする(0.2)を
y＝−vv 2
v 2
g
＋
2 x −
g
2g
2v





(0.3)

のように書き換えると，ボールは中点 x ＝ vvg で頂点 y ＝ v 22g を通ることがわかる．具
体的な数値はわからないので，定量的な計算はできないが，(0.2)や(0.3)のような代数式で表すと定性的な特徴がつかめて，物理的な意味も明瞭になる．そのため，公式や物理法則を代数式で表すことは重要なのである．
気づき

ボールの初速度の大きさ v0 や投げる角度 θ を測定するのは難しいだろうが，キャッチボールする 2 人の少年の間の距離 L とボールの飛行時間 T は容易に測定できる．そこ
θ の簡単な測定法ができる．これは実用性のある面
で，v0，θ を T，L で表す式をつくれば，v0，θ
白い気づきである（演習問題［4A.9］を参照）．また，なぜ T と L の 2 つの情報だけで v0，が決まるのか？という疑問をもてば，それは自由度という概念や 2 階微分方程式で表される運動方程式の解の理解に繋がる本質的な気づきになる（4.1 節，4.2 節を参照）．

1

0.2 3 4

解法のストラテジー
前節では，ある特定の力学の問題を具体的に解く方法や，求めた解のチェック方法などを述べた．この具体的な解法の中には，問題固有のものがあるとしても，どのような問題に対しても適用できるような一般的な考え方や解法のストラテジー（戦略）があるようにも思われる．
それらを敢えて列記すれば，次のようなものであろう．

0.2

(S1)

作図と座標軸：解法のストラテジー

3

問題をよく読み，座標系を設定し，題意に適した図や自由物体図などを描く．自由物体図（free-body diagram）とは，1 つの物体に作用するすべての力を周囲の物体と分離して示した図（力の作用図，例えば図 3.1）のことである．
(S2)

データの整理：既知量と未知量のデータを整理する．

(S3)

法則・公式を利用して代数式をつくる： 基礎的な関係式や運動方程式を立てる．

そして，未知量を与える代数式を導く．ただし，未知量の数と式の数は一致していなけ
ればならない．
(S4)

数値の計算： その代数式に正しい単位を付けた既知量の値を代入して数値計算

し，未知量の数値（つまり，解）を求める．
(S5)

解のチェック： 求めた解は，単位や次元，正負の符号に関して誤りはないか，

物理的に意味のある解であるかなどをチェックする．
(S6)

気づき： 問題から派生する新たな課題や応用に気づく可能性もある．

この（S1)〜(S6）のステップを踏めば，次のような処理が着実に進むはずである．
まず，（S1）に従って，自由物体図を描けば，必要な物理法則に気づいたり，符号の誤りを正すことができる．図に単位を含ませることは大切である．
次に，(S2）に従って，既知量と未知量とを注意深く選別すれば，ケアレスミスを予防できる．
さらに，（S3）に従って，既知量の記号を用いて未知量を求める代数式をつくれば，設問に正しく答えられる式が完成する．また，記号で表した未知量（解）は，与えられた問題を様々な角度から検証したり，考察するとき（（S5）のとき）に威力を発揮する．
具体的な数値を入れて解を求める（S4）のプロセスでは，単位が合っているかがポイントになる．また，数値の大きさが妥当であるかを考えることも大切である．
最後に（S5）に従って，単位と次元のチェックをすれば，（S3）の代数式の妥当性がわかる．
また，（S3）の代数式の既知量に極端な数値を代入して得られる結果が，物理的に納得できるか吟味することも重要である．これによって，合理的な解釈ができれば，その問題に対する解は正解であることが確信でき，きっと腑に落ちるはずである．そして，このようなチェックや考察を通して，新たな課題や応用などに気づき，物理に対する興味が深まるだろう（S6）．
力学の問題は多岐にわたるので，すべての問題に対して効く解法の万能薬のようなものは存在しないだろうが，どのような問題であっても，考える糸口や解法に導く論理，そして，解を吟味する方法などはあるはずだ．そのような一つのアイデアとして提示したのが，図 0.2 の解法のストラテジーである．本書では，力学の基礎的な問題をこのストラテジーに沿って解いていこS1 図を描く

S4 計算する

S2 データの整理

S5 解のチェックS3 式を立てる

S6 気づきうと考えている．日頃から，このようなストラテ
ジーで問題を解く習慣を身に付けておけば，より高度な問題にチャレンジするときに大いに役立つはずである．

図 0.2 解法のストラテジー

18

第2章

運動を表現する

第 2 章
運動を表現する ― 理想化 ―これから「物体」の様々な運動を考えていきたい．普段の生活において「物体」という言葉を使う
とき，私たちは「大きさ」，「広がり」，「重さ」をもったモノをイメージしている．そして，そのようなモノを投げたり蹴ったりすれば，「変形」，「振動」，「回転」などの複雑な動きが生じる．このような複雑さを取り除いて，物体の運動をシンプル，かつ，本質的に考察するためには，ある種の理想化が必要になる．その中で質点は最も重要な概念で力学の土台になるものだから，しっかり理解しよう．

2.1 2 3 4
質

点例えば，ボールを蹴り上げると，図 2.1 のように空間を飛んでいくが，ボールは回転したり振動したり変形したりする．ボールの運動を調べるときに，そのような運動まで考慮すると問題が難しくなる．また，ボールには大きさがあるので，ボールの位置（座標）を一意的に決めることも難しい．
そこで，図 2.2 のようにボールの中心にボールの全質量が集まっている仮想的な「点」を考え，この点でボールを表せれば，位置の指定にあいまいさがなくなり，大きさもないので，回転，振動，変形も存在しないことになる．このような仮想的な点のことを質点という．
大きさをもった物体を質点と見なし，その運動を調べるのが質点の力学である．一方，物体の大きさを無視せずに，多数の質点で構成された系 ―質点系― を考え，その運動を調べるの「質点の力学」では質点は仮想的な点であるが，「質点系の力学」
が質点系の力学である．なお，
では重心が質点として登場する（8.1 節を参照）．このため，「質点の力学」の学習は，質点系の力学を理解する上で不可欠なプロセスであることを強調しておきたい．

図 2.1 ボールの軌道

図 2.2 質点の軌道

2.2

1

座標系と自由度

19

2.2 3 4

座標系と自由度
すでに 1.3 節で「座標」と「直交座標系」の用語を使っz

たが，「座標」とは点の位置を明確にするために与える実数の組のことであり，その座標を定義する基準となる枠（フレーム）が「座標系」である．

P（x，y，z）

z

うまく座標系を選ぼう

yO

質点の位置を表すために用いられる座標系はたくさんあyxる．質点が空間の特定の位置にあれば，その位置はどのような座標系をとっても変わらない．
そう考えると，図 2.3 のよ・・ ・うな素朴な 3 次元直交座標系だけで十分のように思える．

x
図 2.3 3 次元直交座標系

しかし，世の中には実にたくさんの座標系が存在するのはなぜだろうか．その理由は，問題が解けるような座標系

yをうまく選ぶ必要があるからだ．座標系の選び方を誤ると，問題が解けなくなることもある．ここでは，力学の問

P（x，y）

題でよく使われる座標系 ―2 次元直交座標系，2 次元極座
標系，円筒座標系― について解説しよう．

y

2 次元直交座標系（xy 系)
3 次元直交座標系で z ＝ 0 として定義される座標系がO

2 次元直交座標系で，(x，y) 平面を表す（図 2.4）．点 P の

x

x
図 2.4

2 次元直交座標系

位置は座標 (x，y) で決まり，この座標系は，放物運動や
y

回転運動を扱うときに使う．
2 次元極座標系（rθ 系)
点 P の座標 (x，y) は，図 2.5 のように原点 O からの距

P（r，θ）

離 r と x 軸の正の方向からの角 θ（この測り方が θ の正の向きの定義でもある）で定義される極座標 (r，θ) を使っyて次のように表せる．

θ

x ＝ r cos θ，2r

2

y ＝ r sin θ

(2.1)

O

2

y) と極座標
ピタゴラスの定理 (r ＝ x ＋ y ) から，(x，xx
図 2.5 2 次元極座標系(r，θ) の間には
r ＝  x2 ＋ y2 ，

θ ＝ arctan

y
x

(2.2)

の対応関係がある．2 次元極座標系は，中心力の問題を扱うときに便利である．
こど

弧度法で定義される角度 θ は，円弧 s と円の半径 l との比 θ ＝ sl である．θ は無次元 ([θ]＝ [LL] ＝ 1) だが，ラジアン（rad）という特別な単位をもっている．角度を表す 360 度法

30

1

第3章

2

運動の法則

3.3 4 5

第 2 法則（運動の法則）
慣性系では，物体に力がはたらかない（あるいは，はたらいても，その合力が 0 である）限り，物体の運動状態は変化しない（これが慣性系の定義！）．そのため，物体の速度が変化（つまり加速度が発生）すれば，物体に力がはたらいたことになる．要するに，物体の運動状態を変えるものが力であり，これが次の第 2 法則である．
物体に外力がはたらくと，
外力の方向に加速度が生じる．
その加速度の大きさは，外力の大きさに比例し，物体の質量に反比例する．

3.3.1

ニュートンの運動方程式

物体の質量を m，外力を F，加速度を a とすれば，この法則はma ＝ F(3.4)のように，ベクトルの式で表現できる．この(3.4)がニュートンの運動方程式であり，力学で最も重要な基礎方程式である．ここで注意してほしいことは，この第 2 法則は（意外に思うかもしれないが）数学の定理のように証明できるものではないことだ．第 2 法則は，一見なんら関係のなさそうなもの（質量，力，加速度）を結び付けた単なる経験的法則である．そのため，
この法則の正しさは，法則から導かれる現象や予測される現象が自然をよく記述し，説明できるか否かで判断されたものであるということを忘れないでほしい．
[例題 3.1

ひもの張力]

図 3.1(a)のように，物体 A（質量 m1）と物体 B（質量 m2）を質量 m0 のひもでつなぎ，物体 A に
力 F を加えて上に引き上げる．ひもが物体 A を引く力を T1，ひもが物体 B を引く力を T2，全体の加速度を a とする．このとき，a，T1，T2 は次式で与えられることを示せ．ただし，M ＝ m0 ＋ m1 ＋ m2とする．
a＝解法のストラテジー

F
− g，
M
(S1)

T1 ＝

m0 ＋ m2
F，
M

T2 ＝

m2
F
M

(3.5)

物体 A と物体 B とひもをそれぞれ別の系であると考えて，自由物体図を描く．図 3.1(b)は物体 A にはたらく力，図 3.1(c)は物体 B にはたらく力である．図 3.1(d)

F
m1

A

T1

T1
m0

F

a

a
T2
B

m2

（a）

m0 g
A

T2
m1g
B

T1
（b）

m2g
（c）

T2
（d）

図 3.1

ひもの張力

3.3

第 2 法則（運動の法則)

31

はひもにはたらく力であるが，T1 は物体 A にはたらく力の反作用としてひもを引き上げる方向に，
T2 は物体 B にはたらく力の反作用としてひもを引き下げる方向にはたらく．ただし，ひもの質量 m0は図 3.1(d)のように 1 点に集中しているとみなして描く（この仮定は物理的に妥当なものである）．
系の加速度 a は上向きとする．
(S2)

既知量は，引き上げる力 F，物体 A の質量 m1，物体 B の質量 m2，ひもの質量 m0 である．

未知量は，加速度 a と張力 T1，T2 である．
(S3)

図 3.1(b)から，物体 A にかかる力 G は G ＝ F − T1 − m1g である．図 3.1(c)から，物体 Bに か か る 力 H は H ＝ T2 − m2g で あ る．そ し て，図 3.1 (d) か ら，ひ も に か か る 力 S は S ＝ T1 −T2 − m0g である．これらを使って，ニュートンの運動方程式を立てる．
(S5)

解のチェックをする．

[解]

物体 A にかかる力は G ＝ F − T1 − m1g だから，運動方程式(3.4)は
m1a ＝ F − T1 − m1g(3.6)

物体 B にかかる力は H ＝ T2 − m2g だから，
m2a ＝ T2 − m2g(3.7)

ひもにかかる力は S ＝ T1 − T2 − m0g だから，
m0a ＝ T1 − T2 − m0g

(3.8)

となる．
未知量は 3 個（a と T1 と T2）で，運動方程式も 3 個なので，未知量は決まる．(3.6)と(3.7)の和をとると F − (m1 ＋ m2)(a ＋ g) ＝ T1 − T2 となるので，この T1 − T2 を(3.8)に代入すれば a が求
まり，T1，T2 も求まることになる．
解のチェック

もし，物体 A をつり上げる力 F が 0 であれば，この系（A と B とひもからな

る系）は物理的に自由落下するだろう．そのため，加速度は −g（負符号は下向きだから）で張力は0 になるはずである．実際，F ＝ 0 のとき(3.5)は a ＝ −g，T1 ＝ 0，T2 ＝ 0 となるので，結果が正しいことを確信できる．
気づき

興味深いことがある．ひもの張力 T1 と T2 は，素朴に考えれば等しくてよいはずだが，結果は T1 ≠ T2 である．この原因は明らかに，ひもの質量 m0 にある．もし m0 ＝ 0 であれば，(3.5)
から T1 ＝ T2 となる．この考察から，ひもの質量が無視できるときだけ，ひもの張力は一定になることがわかる．普通，このような問題を解くときには「ひもの質量は無視する」と仮定されているが，このような事情があったことに気づく．

力の単位
ニュートンの運動方程式(3.4)の左辺は，質量（kg）と加速度（ms2）の積だから，単位は
kg･ms2 となる．そこで，質量 m ＝ 1 kg の物体に加速度 a ＝ 1 ms2 を生じさせる力の大きさを次のように 1 N（ニュートン）と決める．
1 N ＝ 1 kg･ms2(3.9)

力の実用単位普段は質量と重さを区別しないで用いることが多いかもしれないが，両者は異なる量である．質量は物体に固有な量であり，（質量は文字どおり物質の量，つまり原子の数だから）場
所によらず一定である．しかし，物体の重さは地球が物体に及ぼす力の大きさだから，場所（緯度や経度）によって変化する．地球の重力加速度は g ＝ 9.8 ms2 である．そこで（日常生活で使う）力の実用単位は，質量 1 kg の物体にはたらく重力の大きさ 1 kg 重（記号 kgw）
で表す．また，運動方程式は mg ＝ F となり，F ＝ 1 kg 重，m ＝ 1 kg，g ＝ 9.8 ms2 を代入

5.1

仕

事

53

第 5 章
エネルギーの保存 ― 力と仕事 ―例えば，「今日もエネルギッシュに仕事をがんばろう！」と思うと，なんとなく気持ちに気合いが入り，一仕事を終えると，エネルギーを消耗したと感じる．このように，日常生活では，「仕事」も「エネルギー」もフィーリングで使っているように思えるが，力学に登場する「仕事」と「エネルギー」は，これから解説するように，もっと広くて豊かな内容をもっている．

5.1 2 3 4
仕

事

・

・

・

・

・

・

・

物理では，物体が力を受けて移動するときに，この力は物体に仕事(work)をした，という．
そのため，物理での「仕事」と日常生活での「仕事」は必ずしも一致はしない（例題 5.1 の(2)
を参照）．

5.1.1

経路と力の向き

まっすぐな経路
図 5.1(a)のように，物体が一定の力 F を受けながら水平な直線上を r だけ移動（変位）したとき，力がする仕事 W は次式で定義される．
W ＝ Fr(F ＝  F )

(5.1)

もし，変位と力の向きが異なれば（図 5.1(b)），(5.1)の F を運動方向の力の成分 Fh ＝ F cos θに変えたものが仕事を表し（θ は力と変位のなす角），次のようになる．
W ＝ Fhr ＝ Fr cos θ(5.2)(5.2)は，力 F と変位ベクトル r のスカラー積を使うと次のように表される．
W ＝ F･r
F

(5.3)
（a）

r
Fh
θ
（b）

F

r

図 5.1 仕事と力

54

第5章

仕事の単位

エネルギーの保存

J（Joule の略で，ジュールと読む）

仕事の定義(5.1)より，仕事の SI 単位は 1 J ＝ 1 N･m．つまり，物体に 1 N の力を加えながら 1 m 移動させたときに力がする仕事が 1 J である．
力のする仕事の符号
力と変位のなす角 θ が鋭角（0°≤ θ < 90°）のとき，仕事は正（W > 0）である．一方，鈍角（90°< θ ≤ 180°）のとき，仕事は負（W < 0）になる．例えば，床の上を運動する物体に），動摩擦力がす
床が作用する動摩擦力の向きは物体の運動の向きと逆向きなので（θ ＝ 180°
る仕事は負の量である．力と変位が直角（θ ＝ 90°）のときは，仕事は 0（W ＝ 0）となる．
これは垂直抗力や単振り子の糸がおもりに作用する張力のように，力の方向と運動の方向が垂直（θ ＝ 90°）のときに起こる．
［例題 5.1

仕事をした？

してない？］

次の問いに答えよ．
(1)

あなたが重い台車を一定の力 F で押して坂道を距離 r だけ登った場合，力 F が台車にした仕事を求めよ（図 5.2(a)）．
(2)

あなたが坂の途中で立ち止まって，力 F で台車を支えている場合の仕事を求めよ（図 5.2

(b)）．
(3)

あなたの力が足りなくて，力 F で押しているのに，台車が距離 r だけ下に向かってずり落ち

た場合，力 F が台車にした仕事を求めよ（図 5.2(c)）．
（a）

（b）

F

（c）
F

F
r

F
F
r

r＝0
図 5.2

解法のストラテジー

(S1)

仕事の解釈

それぞれの場合に対する，自由物体図を描く．力の大きさを F と

する．
(S3)

仕事の式(5.2)を，(1) θ ＝ 0°，(2) r ＝ 0，(3) θ ＝ 180°として使う．

(S5)

解のチェックをする．

［解］ (1)

θ ＝ 0°だから，(5.2)より仕事は W ＝ Fr である．

(2)

変位は 0（r ＝ 0）だから，力が台車にした仕事は 0 である．

(3)

変位と力の向きは逆なので，仕事は W ＝ −Fr で負になる．

解のチェック(1)は正の仕事である．一方，(3)は負の仕事だから，力 F は「負の仕事」をしたことになるが，見方を変えれば，台車が「正の仕事をした」ことになる．負の仕事に対するこの解釈は理に適っているので，正しい結果であると考えてよい．
気づき(2)の場合は，台車は止まったままなので，力学的な意味では仕事をしたことにはなら
・

・

・

・

・

・

・

・

・

ない．しかし，台車が動かないように支える仕事をしたあなたは，疲れたはずである．つまり，普通の意味で仕事をした実感があったとしても，物理的な意味では「あなたの仕事は 0」であることがわ
かる．

78

第7章

運動量と力積第 7 章
運動量と力積 ― 衝撃を扱う ―日常生活では，意識しないで物理法則をうまく利用していることがよくある．例えば，高いところ
から地面に飛び降りるとき，膝を曲げながら着地しようとする．あるいは，キャッチボールで飛んでくる硬球をとるとき，手を後方に引きながら捕球するだろう．これらの動作の背後には，これから解説する力積と運動量に関する物理法則が存在する．これらの法則は，もっと後の章でも活躍するので，しっかりと理解しよう．

7.1 2 3 4
力

積

7.1.1

力積 - 運動量の定理

まず，運動方程式(6.2)を dp ＝ F dt と変形して，両辺を次のように定積分する．

 dp ＝ [p] ＝ p − p ＝  F dt
p2

p2
p1

p1

2

2

1

1

(7.1)

t2 での運動量を p1 ＝ p(t1)，p2 ＝ p(t2) と書いた．左辺は，「運動量の差 Δp
ここで，時刻 t1，＝ p2 − p1」であり，右辺は時間 Δt ＝ t2 − t1 の間にはたらいた「力 F の時間積分」で，このりきせき

ベクトル量のことを力積という．したがって，(7.1)を
Δp ＝

 F dt
2

(7.2)

1

のように書くと，「運動量の変化 Δp は，その間にはたらく力積に等しい」ということになる．
これを力積 - 運動量の定理という．この定理は運動方程式の単なる書き換えだから，特に目新しいものはない．では，この書き換えで何がうれしいのか？

それは，撃力を扱うときにわかることになるだろう（7.1.2 項を参照）．
[例題 7.1

雨粒の運動]

雨粒が重力 F によって空から落ちてくるとき，その表面に水蒸気が凝結するので，雨粒は次第に大き く な っ て い く．時 刻 t の と き の 雨 粒（質 量 m，速 さ v）が，時 間 Δt の 後 に 質 量 m ＋ Δm，速 さ
v ＋ Δv になったとすると，次式が成り立つことを示せ．
d(mv)
＝F
dt
解法のストラテジー

(S2)

(7.3)

既知量は雨粒の質量 m，速さ v，雨粒にはたらく重力 F である．

(S3)

運動量の増加は重力の力積に等しいから(7.2)を使えばよい．

(S5)解のチェックをする．

7.1

[解]

力

積

79

時間 Δt の間の運動量の増加 Δp が外力 F の力積に等しいから
Δp ＝ (m ＋ Δm)(v ＋ Δv) − mv ＝

 F dt


0

(7.4)

となる．いま，Δt は微小なので，力積は F Δt と書ける．Δm と Δv も微小量だから，積 Δm Δv ＝ 0としてよい．その結果，(7.4)は次のようになる．
m Δv ＋ v Δm ＝ F Δt

→

m

Δm
Δv
＝F
＋v
Δt
Δt

(7.5)

Δt → 0 の 極 限 を 考 え る と，記 号 Δ は 微 分 の 記 号 d に 変 わ る の で，(7.5) の 右 側 の 式 はm(dvdt) ＋ v(dmdt) ＝ d(mv)dt となり，(7.3)を得る．
解のチェック(7.3)は，運動量表示のニュートンの運動方程式(6.2)が「質量の変化する現象」にも適用できることを示している．これは，妥当な結果である．

この例題からわかるように，雨粒を質量が変化する質点と考えて，(6.2)をそのまま使うことができる．要するに，質量 m が時間の関数であっても，ニュートンの運動方程式(6.2)は成り立つのである．
コメント 7.1

第 2 法則の表現

実は，ニュートン自身が提唱した式は，(3.12)ではなく(6.2)の方であった．偶然ではあるが，科学史的には面白い話が続く．アインシュタイン（1879 - 1955）の特殊相対性理論によれば，光速に近い速さで運動する物体の質量は時間的に変化する．ところが，この場合にも(6.2)が厳密に成り立つ．これはニュートンにとって想定外のことだったと思うが，興味深い話ではあるだろう．

7.1.2

¶

撃力近似

瞬間的にはたらく大きな力を撃力という．瞬間的な力だから，Δt 間の撃力の大きさ ( F  ＝F) は一定とみなせる．このとき運動量の大きさの変化 Δp は，(7.2)から次式で近似される．
（これを撃力近似という）Δp ＝ F Δt(7.6)

撃力そのものは求めにくいが，運動量の変化 Δp を測定することにより，力積という形で撃力の情報が得られる．硬い物体同士の衝突，ビリヤード，ゴルフ，野球のバッティングのように，物体に対して力が瞬間的にはたらく問題を扱うときに(7.6)を使う．
撃力の緩和法(7.6)から，運動量の変化 Δp が一定のとき，衝突時の撃力 F を減少させたければ時間 Δt
を大きくすればよいことがわかる．例えば，キャッチボールをしているとき，高速で飛んでくる硬いボールを手で受けとめた瞬間に手をすばやく後方へ引く動作をするだろう．この動作は
Δt を増加させることに当たるので，手が受ける撃力 F をやわらげる．
同様に，自動車のエアバッグも理解できる．エアバッグとは，自動車が何かに衝突して強い衝撃を受けた瞬間に風船のように膨らんで，そのクッションで運転手や同乗者を守る安全装置である．衝突後，車内の人たちがハンドルやフロントガラスなどに激突するまでの時間 Δt を
このエアバッグによって延ばし，撃力 F を激減させる（あるいは激突しないようにする）の
である．

80

第7章

[例題 7.2

運動量と力積安全に飛び降りる]

図 7.1 のように，高さ h m の所から人（質量 m kg）が地面に飛び降りたとき，着地時に足の受ける圧力が臨界値 Pcr 以上になると，足は骨折する．地面から受ける撃力を F N，足の骨の断面積を S m2とし，着地時の衝突時間 Δt s を次の tcr よりも長くとれば，足は骨折しないことを示せ．
tcr ＝
[解]

m 2gh
PcrS

(7.7)

h

質量 m の人が高さ h から落下すると，地面にぶつかるとFきの速さ v は v ＝  2gh である（簡単のために，質点の落下として考える）．このときの運動量の変化は Δp ＝ mv ＝ m 2gh だから，
撃力は F ＝ Δp Δt である．したがって，着地時に足の受ける圧力
は P ＝ F S ＝ Δp(S Δt) となる．この圧力 P が Pcr よりも小さけ

F
図 7.1 撃力れば骨折しないから，P < Pcr を満たすように Δt を決めればよい．
ちなみに，臨界圧力のオーダーは Pcr ＝ 108 Nm2 程度である．質量 m ＝ 60 kg，高さ h ＝ 1 m とすると，tcr ＝ 0.06 s である．

1

7.2 3 4

運動量保存則いま 2 つの質点が運動していて，質点の間にはたらく力は内力（互いに及ぼし合う力）だけで，外力（内力以外の力）ははたらかないとする．ここで，質点 1 が質点 2 に及ぼす力 F を
1 から 2 への力 (1 → 2) という意味がわかるように F1→2 と書き，同様に，質点 2 が質点 1 に及ぼす力を F2→1 と書くことにする．質点 1 の運動量を p1，質点 2 の運動量を p2 とすると，それぞれの運動方程式は次のようになる．
dp1＝ F2→1，
dt

dp2＝ F1→2dt(7.8)

いま，(7.8)の 2 式を加え，作用・反作用の法則(3.14)に注意すれば
dp2
dp1
＋
＝ F2→1 ＋ F1→2 ＝ 0
dt
dt

→

d(p1 ＋ p2)
＝0
dt

(7.9)

となる．これは運動量の和 p1 ＋ p2 が時間によらずに一定であることを意味するから，任意の時刻で次の運動量保存則が成り立つことになる．
p1 ＋ p2 ＝ 一定

(7.10)

なお，この法則は 3 個以上の質点系でも成り立つ．
[例題 7.3

2 人のスケーター]

少年（体重 M ＝ 60 kgw）と少女（体重 m ＝ 40 kgw）がスケート靴をはいて氷上で互いに向き合っている．少年は少女を北向きに速さ v ＝ 6 ms で押した．少年のその後の運動について述べよ．ただし，靴底と氷との摩擦は無視する．
[解]2 人が押し合う力（作用・反作用の力）は内力で，外力は存在しないから，全運動量は保存す

7.3

衝

突

81

る．少年の速度を V とすると mv ＋ MV ＝ 0 より V ＝ −(mM)v である．したがって，V ＝ −4 msとなり，少年が南向きに 4 ms で運動する．
解のチェックV に負符号が付くのは，少年が少女と逆方向に進むことを表しているから，妥当な答えである．

1

2

衝

7.3 4

突

運動量保存則(7.10)と力学的エネルギー保存則(5.24)が

m1
m1

v1

活躍する現象として，衝突問題を考えよう．図 7.2 のように，2 つの粒子（質量 m1 と m2）が衝突したとする．衝突

u1

衝突
m2

m2

前 の 速 度 を v1 と v2，衝 突 後 の 速 度 を u1 と u2 と す る．

v2

2 つの粒子には互いに力を及ぼし合う内力だけがはたら

u2
図 7.2 衝突き，外力はないとすれば，前節でわかったように，質点系の全運動量は保存する．したがって，衝突の前後で運動量は保存するから，(7.10)より次式が常に成り立つ．
m1v1 ＋ m2v2 ＝ m1u1 ＋ m2u2

(7.11)

一般に，衝突によって熱や音が発生するので，その分のエネルギーを失う．このエネルギー
ロスを ΔE とすると，力学的エネルギー保存則(5.24)から，衝突前後の運動エネルギーの間には次式が成り立つ．
1
1
1
1
m v 2 ＋ m1v22 ＝ m1u12 ＋ m1u22 ＋ ΔE
2
2
2
2 1 1

(7.12)

なお，衝突の前後で運動エネルギーが変化しない場合 (ΔE ＝ 0) を弾性衝突，変化する場合(ΔE ≠ 0) を非弾性衝突という．
(7.11)と(7.12)だけでは解けない

2 体の衝突問題で知りたい情報は衝突後の速度 u1，u2の 値 で あ り，そ れ ら は ベ ク ト ル だ か ら 未 知 量 は 6 個 で あ る（u1 ＝ (u1，u1，u1) と u2 ＝．一方，使える式は 4 個しかない（ベクトル式の(7.11)による x，y，z 成分の(u2，u2，u2)）
3 個の式，スカラー式の(7.12)による 1 個の式）
．未知量の数と方程式の数は同じでなければ解けないので，式が 2 個足らないのである．
でも，直線上の衝突だけは解ける
A

図 7.3 のように一直線（1 次元，例えば x 軸）上を運

衝突前

v1

B

m2

m1

v2

衝突後

u1

u2

図 7.3

2 球の衝突

86

第7章

運動量と力積μd 2x＝ −(x − l)dt 2

(7.33)と表される．これを y ＝ x − l で書き換えると d ydt ＋ ω ＝ 0 となり，これは角振動数 ω ＝  μ222の単振動を表す方程式で，これから，AB 間の距離 x は x ＝ a cos(ω t ＋ α) ＋ l となる（a と α は定数）．そして，これを(7.32)に代入すれば，(7.30)と(7.31)を得る．
解のチェック

2 質 点 は 内 力 だ け で 運 動 す る か ら，(7.28) に よ っ て 決 ま る 換 算 質 量 μ ＝

m1m2(m1 ＋ m2) をもった 1 個の質点と同じ運動である（図 7.6(b))．もしバネの左端を固定すれば，
m1 ＝ ∞ とすることに相当する (m2m1 ＝ 0) から μ は m2 になり，(7.33)は単振動の式（(4.40)）に一致する．したがって，運動方程式(7.33)は正しいことがわかる．

演

習 問 題

[A：基礎的な問題][7A.1]

2 つの球の弾性衝突

図 7.7(a)のように，球 A（質量 m）が，同じ大きさで同じ質量の静止している球 B に速度 v1 で弾性衝突したとき，図 7.7(b)のように，衝突後の速度 u1，u1 が互いに直交することを示せ．

[☞ 7.3 節]
u2
B

90°
m
A

m
v1

A
u1

B

（ a ） 衝突前

[7A.2]

2 台のカート

図 7.7 2 つの球の弾性衝突（ b ） 衝突後

図 7.8 のように，水平な床の上のカート A（質量 mA ＝ 10 kg）とカート

B（質量 mB ＝ 5 kg）をロープで連結し，カート A を力 F ＝ 60 N で引っ張ると，2 台のカートは動き出した．カート間には，それぞれ FA→B，FB→A の力がはたらくとき，A と B の共通の加速度 a を文字式で表せ．次に，数値を入れて a の大きさ a を計算せよ．

[☞ 7.4 節と 3.4 節]

FA→B FB→A
B

A

a
F
図 7.8

[7A.3]

2 台のカート

壁に激突した車 頑強で垂直な壁に，車（質量 M ＝ 1000 kg）が時速 vi ＝ 60 kmh(＝16.7 ms) で正面衝突し，0.1 s 後に大破して停止した (vf ＝ 0)．壁が車に作用した撃力の大きさ F を求めよ．
[7A.4][☞ 7.1.2 項]
ビリヤード球の弾性正面衝突

2 個のビリヤードの球がそれぞれ v1 ＝ 2.0 ms および

v2 ＝ −0.5 ms の速さをもって，弾性正面衝突した．衝突後のそれぞれの速さ u1，u2 を求めよ．
[☞ 7.3 節][7A.5]

スーパーボール 子供が歩道でスーパーボールをバウンドさせている．バウンドの時間は(1800) s で，歩道がスーパーボールに与える力積の大きさを J とすると J ＝ 2 N･s である．このとき，歩道がスーパーボールに及ぼす撃力の大きさ F を求めよ．

[☞ 7.1.2 項]

演 習 問 題[7A.6]

地球の反跳

質量 m ＝ 2000 kg の流星が地球と正面衝突する直前の速さが v ＝ 120 msのとき，衝突後の地球（質量 M ＝ 5.98 × 1024 kg）の速さ u を求めよ．
[7A.7]
(1)

弾道振り子

87

[☞ 7.2 節]

例題 7.5 の「弾道振り子」について，次の問いに答えよ．

衝突前後の運動エネルギー K0，K の比 K K0 を，弾丸の質量 m とブロックの質量 M を用いて

表せ．
(2)

m ＝ 8 g，M ＝ 2 kg として ΔK ＝ (K0 − K)K0 を計算し，衝突後に残るのは衝突前のエネ

ルギーの何％であるかを答えよ．
(3)

失われたエネルギーは何になったか答えよ．

[7A.8]

陽子同士の弾性衝突[☞ 例題 7.5 と 7.3 節]
7x 軸方向に v0 ＝ 1.00 × 10 ms の速さで飛んでいる陽子が，静止している陽子と弾性衝突した後，1 個の陽子は xy 平面内で x 軸に対して角度 30°の方向に動いた．このときの 2 個の陽子の速度 v'1 と v'2（速さと向き）を求めよ．
[7A.9][☞ 7.3 節]

完全非弾性衝突 一直線上を速さ v1 で飛んでいる粒子（質量 m1）が静止している標的粒子（質量 m2）と完全非弾性衝突した．このとき，衝突によって失われた力学的エネルギー ΔE が
ΔE ＝m1m2 2v
2M 1(7.34)となることを示せ（M ＝ m1 ＋ m2）．
[7A.10]チェインを引き上げる力[☞ 7.3 節]
テーブルの上にある鎖（線密度 λ）の端を手にもって，鉛直

上方に引き上げる．引き上げられている鎖の長さが x のとき，引き上げる力の大きさ F を次の場合に
求めよ．
(1)

一定の速さ v で引き上げる場合(2)

速さ v，加速度 a で引き上げる場合[☞ 例題 7.1 と 7.2 節][B：標準的な問題][7B.1]

非弾性衝突 速さ V ＝ 10 ms の粒子（質量 m ＝ 1.0 kg）が，静止している物体（質量M ＝ 4.0 kg）に衝突した後，この粒子は入射方向に速さ VF ではね返った．衝突のときに h ＝ 20 J の熱が発生したとして，VF を求めよ．
[7B.2]

陽子と原子核の弾性衝突[☞ 7.3 節]
運動エネルギー 1 MeV をもった陽子が，静止している原子核と弾性衝突して運動方向を 90°変えた．衝突後の陽子の運動エネルギーは 0.80 MeV であるとして，標的核の質量 M を陽子の質量 mp を単位として求めよ．
[7B.3][☞ 7.3 節]

反発係数 小さな鋼球を鋼板の上に落として小球のはね返りを観察する実験をする．はね返り直後の小球の上向きの速さ u は，はね返り直前の小球の下向きの速さ v に反発係数 e を掛けた大きさに減少するので，はね返りの度に u ＝ ev が成り立つ．いま，時刻 t ＝ 0 で小球を高さ h ＝ 50 cm
から鋼板上に落とすと，T ＝ 30 s 後にはね返りが終わった．この結果から，反発係数 e の値を求めよ．
[☞ 7.3 節][7B.4]

銃弾で壁が受ける力 壁に対して直角に飛んでくるたくさんの弾丸がある．弾丸の質量はどれも m g，速さ v ms で，1 s 間に壁に当たる弾丸の数を n として，次の値を求めよ．
(1)

弾丸が壁の中で止められる場合，壁が平均的に受ける力 F1 N

(2)

弾丸が壁で完全弾性的にはね返る場合，壁が平均的に受ける力 F2 N

[7B.5][☞ 7.1 節と 7.2 節]

棒と球の衝突と回転 図 7.9(a)のように，両端に質量 m の小球 B と小球 C を取り付けた

長さ 2a の軽い棒を滑らかな水平面の上に置く．そして，この棒の中心 O を固定して，その周りに棒が自由に回転できるようにする．いま，図 7.9(b)のように，この水平面上を速さ v0 で直線運動して

8.1

重心と重心座標系

89

第 8 章
質点系と剛体 ― 大きさを考える ―現実の物体は大きさがあり，変形したり伸びたり縮んだりする．物体の「大きさ」を素朴に取り入れるアイデアが質点系である．そして，この質点系をガチガチに固めて，完全な固体にしたモデルが剛体である．現実の物体の運動を解析するときには剛体についての考え方が基礎になるので，よく理解してほしい．

8.1 2 3重心と重心座標系

8.1.1

質点系の重心N 個 の 質 点 か ら な る 質 点 系 を 考 え よ う（図2

8.1）．i 番目の質点の質量を m とする．そして，（慣性系の）原点 O から測った m の位置を位置

1

ri

G

N

r2

ベクトル r  で 指 定 する．このとき，ベクトル 量mr  を i ＝ 1 から N まで足し合わせた量 ∑ mr ＝1を全質量 M(＝ m1 ＋ …＋m ) で割ると
R＝m1r 1 ＋ … ＋ m r 
m1 ＋ … ＋ m＝∑ mr 
M

R

rN

O



＝1

r1

図 8.1 質点系の重心(8.1)のようなベクトル R が定義できる．この R が，質点系の全質量が仮想的に 1 点に集中しているとみなしたときの重心あるいは質量中心という特別な点 G を指す位置ベクトルである（重心は，第 7 章ですでに登場している）．なお，剛体（8.3 節を参照）のように質量が連続的に分布している物体の重心の求め方は，演習問題［8B.3］を参照してほしい．
N ＝ 2 の場合，(8.1)は R ＝ (m1r 1 ＋ m2r 2)M となる（(7.25)を参照）．この場合の重心
G は，2 つの質点をつなぐ線分の長さ PQ を m2：m1 に内分する点になる（演習問題 [8A.8]を参照）．
[例題 8.1

直角三角形の重心]

図 8.2 の直角三角形の各頂点にある 3 つの質量の重心 G ＝ (X，Y ) を求めよ．

90

第8章

質点系と剛体
y
2M
3

G
2M
O M

[解]

X＝

[例題 8.2

4

8
M × 0 ＋ 2M × 4＝ 1.6 m，
＝
5
5M

x

図 8.2

Y＝

直角三角形の重心

6
M × 0 ＋ 2M × 3＝ 1.2 m＝55M

ボートと人の動き]

図 8.3 のように，ボート乗り場から 3 m 離れたボー卜の最後尾にいる少年（質量 30 kg）が，前後対称のボート（質量 100 kg）の最先端まで歩いて行った．ボートに対する湖水の抵抗は無視できるとして，次の問いに答えよ．
4m
3m

図 8.3 ボートと人の動き(1)

最後尾にいる少年とボートの重心 XG を求めよ．

(2)

少年が最先端に行ったときのボートの最後尾とボート乗り場の間隔 s を求めよ．

[解]

(1)

乗り場の端から重心までの距離 XG は次式で与えられる．
XG ＝

(2)

30 × 3 ＋ 100 × 5＝ 4.54 m
130

(8.2)

外力はなく，内力だけがはたらいているので重心の位置 XG は変わらないことに注意すれば，

間隔 s を使ってXG ＝

30 × (s ＋ 4) ＋ 100 × (s ＋ 2)
＝ 4.54 m
130

(8.3)

が成り立つ．これより，s ＝ 2.07 m を得る．

8.1.2

重心座標系

一般に，質点系の運動は複雑であるが，座標系をうまく選ぶと，重心を質点のように扱えて理解しやすくなる．そのような座標系の 1 つが重心座標系である．これは，座標原点を質点系の重心 G にとり，そこから各質点の運動を観測するというものである．そこで，重心 G からみた各質点の位置を図 8.4 のように r ' で指定すると，図 8.4 より次式が成り立つ．
r  ＝ R ＋ r '

(8.4)

y，z)，R ＝ (X，Y ，Z)，r ' ＝ (x'，y'，z') とすると
これを座標成分で書けば，r  ＝ (x，x ＝ X ＋ x'，y ＝ Y ＋ y'，z ＝ Z ＋ z'となる．ここで，(8.4)を使って(8.1)を書き換えると，次式を得る．

(8.5)

11.1

[例題 11.1

ガリレイ変換123

等速度の列車の中で]直線の水平なレール上を一定の速さ V で走る列車の中にいる人が，ボールを高さ h から静かに落とした（図 11.2(a)）．ボールの軌道が次のようにみえることを示せ．
V

V

（a）
V
h

−mg

K

V
（b）
K′
−mg
図 11.2 等速度の列車の中で(1)

地上（K 系）でみていると，ボールの軌道は次の放物線になる．
y＝−

(2)

g
x2 ＋ h2V 2(11.4)

列車内（K' 系）でみていると，ボールは自由落下運動になる．
x' ＝ 0，解法のストラテジー(S1)y' ＝ −

1 2
gt ＋ h2(11.5)

地上（K 系）から列車内のボールをみれば，ボールには重力−mg がはたらき，x 方向に速さ V で動いている（図 11.2(a)）．列車内（K' 系）でみればボールは静止しており，重力だけがはたらく（図 11.2(b)）．
(S3)

K 系と K' 系はともに慣性系であるから，それぞれに慣性系での運動方程式を立てて軌道を

求める．
(S5)

解のチェックをする．

[解]K 系と K' 系は慣性系だから，x，x' 方向の運動方程式は(4.11)の m(dvdt) ＝ 0，y 方向の運動方程式は(4.12)の m(dvdt) ＝ −mg で，（1）と（2）の違いは初期条件の違いだけである．
（1)

初期条件は x0 ＝ 0，y0 ＝ h，v0 ＝ V ，v0 ＝ 0 だから，解(4.15)は(11.4)の放物線に一致する．

(2)

初期条件は x0' ＝ 0，y0' ＝ h，v0' ＝ 0，v0' ＝ 0 だから，(11.5)になる．

解のチェック

一定の速さで一直線に走る電車の中で，私たちは地上と同じように振る舞うことができる．列車内を普通に歩くことができるし，重いものを落とせば，まっすぐ下に落ちる．これらが(11.5)の内容だから，(11.5)は正しい結果である．地上からみれば，放物線を描いて落下する(11.4)の結果も，理に適っている．
気づき

ガリレイ変換で運動方程式が変わらないために，日常の経験と矛盾しないことがわかる．ただし，質点の位置の運動自体は座標系（K 系か K' 系か）によって異なることが理解できる．

124

1

第 11 章運動座標系

11.2 3 4

加速度座標系

K' 系の原点が加速度をもって動いている場合には（r 0 ≠ 0，これを加速度座標系とよぶ），
運動方程式(11.3)の右辺の第 2 項が残るので，運動方程式の形は変わる．しかし，この場合にも「ニュートンの第 2 法則」がそのまま成り立つようにするために，「(11.3)の右辺にある余分な項 −mr 0 も力」とみなして，運動座標系での質点は力 F ' ＝ F − mr 0 のもとで運動すると考える．
このように，運動座標系（非慣性系）で新たに必要となる力を慣性力（見かけの力）という．
原点の加速度運動にともなう慣性力は，質点の位置や速度には依存しない．ジェット機の離陸時に受ける力，電車や自動車が発進・停止するときに乗客に加わる力，エレべーターの動き始めに感じる力などは，すべて慣性力である．
一方，慣性力を全く考える必要がない座標系が慣性座標系である．慣性座標系とガリレイ変換で結ばれる座標系は，すべて慣性座標系である．
[例題 11.2

等加速度の列車の中で]一定の加速度 a で一直線の水平なレール上を走る列車（K' 系）の中で，ボールを高さ h から静かに落とす（図 11.3(a)）．ボールの軌道が次の直線になることを示せ．
y' ＝
[解]

g
x' ＋ ha(11.6)

x'，y' 軸を列車に固定した座標系として，図 11.3(b)のように列車の進行方向に x' 軸，鉛直上方に y' 軸をとる．ボールには重力 −mg と見かけの力 −ma がはたらくので，運動方程式は mx
' ＝−ma，my ' ＝ −mg になる．この運動方程式の解は
x' ＝ −

1 2
at ，
2

y' ＝ −

1 2
gt ＋ h2となり，t 2 を消去すれば(11.6)が得られる．
解のチェック（θ ＝ tanx' 方向の −ma と y' 方向の −mg の合力がボールにはたらくから，合力の方向−1(mamg)）に直線運動するという結果は理に適っている．ボールが落下する位置 xf' は

xf' ＝ −(ag)h である．a > 0 ならば落下位置は真下より −(ag)h だけ後方（a < 0 ならば前方）である．
地上の人には，mx
 ＝ ma，my ＝ −mg が成り立つから，ボールの軌道は y ＝ −(ga)x ＋ h のようにみえる．ボールの落下位置は xf ＝ (ag)h であり，進行方向に向かって落下するから，理に適っ

（b）

（a）

a

y′

−ma
θ

K′

−mg

h
O
図 11.3等加速度の列車の中でx′