2010.1.22（金） 基礎物理学研究所
木村利栄理論物理学賞 受賞記念講演

高次元の世界を観る

京都大学理学研究科
早田次郎

低次元からの教訓

Abbott 1884

あり得ない！
３次元が存在するならば４次元も存在するのではないか？

スフィア氏
スクウェア氏フラットランド

スペースランド４次元から高次元へ
４次元アインシュタイン重力

リーマン幾何学 1854

（一般相対性理論 1915）

４次元ローレンツ多様体

埋め込まれている空間は必要ないという正しい？理解に到達

膨張する宇宙はどこかにひろがっているのではなく、intrinsicな幾何学量だけで記述される

Nordstrom 1914

Kaluza 1921

アインシュタイン＋マックスウェル＝５次元アインシュタイン

Klein

５次元めは小さくまるまっていて（コンパクト化）ゼロモード以外は excite されない（見えない）

1926

4次元アインシュタイン重力

高次元重力＋コンパクト化

誰も疑わない高次元の世界
現実の世界

U (1) 対称性
対称性の自発的な破れ

ミクロの世界SU (2) U (1) 対称性
ワインバーグ・サラム理論

繰りこみ可能な弱い相互作用の理論をつくるために高い対称性とその破れが必要であった

誰もが疑う高次元の世界
現実の世界

4次元の時空自発的コンパクト化

ミクロの世界

高次元の時空宇宙論の３つの謎• Dark matter ?
• Dark energy ?
• Inflaton ?

高次元を考える一つの動機
ストリング理論


重力を含む唯一の無矛盾な量子重力理論



紫外発散がない

10次元理論の欠点か偉大な予言か？
Kaluza-Klein
コンパクト化

4次元世界

内部空間

我々の世界

M理論？

1995 ~

 D-brane in Superstring Theory
IIA
T双対

S双対

Polchinski 1995

Townsend, WittenSen, Maldacena, … many

E8×E8ヘテロ

IIB

M理論
T双対

Type I

SO(32)へテロ
S双対

Horava-Witten 1996

1998年 天体核中間発表会にて

Horava-Witten 1996

arXiv:hep-th/9905012, Non-conventional cosmology from a brane-universe , P. Binetruy, C. Deffayet , D. Langlois
arXiv:hep-ph/9905221, A Large Mass Hierarchy from a Small Extra Dimension , L. Randall, R. SundrumarXiv:hep-th/9906064, An Alternative to Compactification , L. Randall, R. SundrumarXiv:hep-ph/9906523, Cosmological Expansion in the Presence of an Extra Dimension , J.M. Cline, C. Grojean, G. Servant
arXiv:gr-qc/9910076 , The Einstein Equations on the 3-Brane World , T. Shiromizu, K. Maeda, M. Sasaki
arXiv:hep-th/9910219, Brane cosmological evolution in a bulk with cosmological constant , P. Binetruy et al.
arXiv:hep-th/9911055, Gravity in the Randall-Sundrum Brane World , J. Garriga, T. Tanaka
arXiv:hep-th/9911165, Brane-world solutions, standard cosmology, and dark radiation , S. Mukohyama
arXiv:gr-qc/9912002, Brane-world cosmology, D. Ida

arXiv:hep-th/0005239, Evolution of Cosmological Perturbations in the Brane World , K. Koyama, J. Soda
arXiv:hep-th/0009160, Quantum Fluctuations of Bulk Inflaton in Inflationary Brane World, S. Kobayashi, K. Koyama, J. Soda
arXiv:hep-th/0205188, Brane World Effective Action at Low Energies and AdS/CFT Correspondence , S. Kanno, J. Soda
arXiv:hep-th/0207029, Radion and Holographic Brane Gravity, S. Kanno, J. Soda
arXiv:0803.1371, Stability of Five-dimensional Myers-Perry Black Holes with Equal Angular Momenta, K. Murata, J. Soda

話の流れ
 ブレーン世界
 宇宙論的摂動理論
 微分展開法 ブラックホールの安定性
 展望

ブレーン世界
フラットランドへの回帰

Dブレーン

Polchinski 1995

 D-brane in Superstring Theory
高次元のバルクには重力子だけOpen string~ matter

ブレーン（膜）上には標準モデルの粒子
つまり、我々が棲むDp-brane
Closed string~ graviton

Horava-Witten 1996

ブレーン世界

Akama 1982
Rubakov & Shaposhnikov 1983
Antoniadis et al. 1998
Nima Arkani-Hamed et al. 1998

4-d (mem)brane is embedded in higher-dimensions
 Matter on the brane Gravity in the bulk
4-dimensionse, p, photon
etc.

Bulk space-time

graviton階層性問題
 電弱相互作用 1TeV
16桁の開きがなぜあるか？
1610 TeV 統一理論
ニュートン力FGn  4 M  Gn  4  M
 n  2n2r
 L r(4+d) 次元重力定数

4 次元重力定数 =L=1mm、d=2
新たな階層問題？

1016 mm  1TeV1

内部空間の体積

１ＴｅＶ で重力の量子効果
階層性問題の解決

重力実験

ワープコンパクト化
Randall & Sundrum (1999)

6
 2L2

deSitter 時空ds  d  e L  dw   ij dx dx 6
 2L ianti-deSitter 時空222  iyds 2  dy 2  e

2yiw  it dx  dx
Minkowski 時空y が無限に伸びても体積は有限Two-brane を考えるとワープ因子   e



y分だけのスケールのヒエラルヒーを作り出すことができる

j5-d AdS spacetime

外部曲率nds 2  dy 2  g  ( y, x  ) dx  dx1 K    n  g2 yds 2  dy 2  e2y  dx  dx
1K   有効アインシュタイン方程式
Shiromizu, Maeda, Sasaki 2000
(5)

(4)

R  R  K  K   K 2

ガウス・コダッチ方程式(5)yG   G  K  , y  K  K  g   T  ( y )K   T

Junction conditionG  g   K  , y  T TT   g   T

 3
 4 2 G   2 
 g   T  T T  C y y
12 
Bulk EffectH 2

 4
366
 21


2

 4
18

Undetermined!

436

2

High Energy EffectCa4
Bulk Effect宇宙論的摂動理論
動く境界のある時空の摂動

RS ブレーンとインフレーション
brane tensionH 36
4

2bulk cosmological constant <02


8 G


63

 2

36
4

High Energy EffectCa4
Bulk Effect

Kobayashi, Koyama,Soda 2001
Himemoto, Sasaki 2001

inflatonin the bulk

inflatonon the Brane新たなパラダイムか?
Conventional picture of the evolution ofcosmological structure.

How the evolution of cosmological structure ismodified in the braneworld picture?

Observed by WMAP  const.

?
Effects of thebulk geometry

Fluctuations are generated by inflation

宇宙膨張はAdS時空上の運動で決まる
ds 2  n2 (t , z )dt 2  b2 (t , z )dz 2  a 2 (t , z ) ij dxi dx j

解析的には困難 G   2 T

Koyama & Soda における着眼点

ds  dy  e222y  dx  dx

y = const. はMinkowski brane
運動しているブレーンの軌跡y  f (t , z)  g (t, z)

y = 無限大 から y が負の方向へ運動するとFriedman 方程式

H2 

 4
36

1

 2

 4
18



4362

宇宙論的摂動理論 Koyama & Soda 2000
ds 2  dy 2  e2y  dx  dx

 G   2 T
Bulk では解ける

座標変換

y  f (t , z)  g (t, z)

+
ゲージ変換

Junction condition からブレーン上の揺らぎを決定

世界で初めて摂動理論の具体的な解析を行い低エネルギーの極限でアインシュタイン理論に帰着することを明確に示した。
また、アインシュタイン理論にたいする補正項を求めた

微分展開法非線形重力の解析

微分展開法Kanno & Soda 2002    R 2     1
L
2

Energy density on the brane<< brane tension

 0AdS 時空

ds 2  dy 2  e2 y /  dx  dx
物質があるとO( ) ずれるLds 2  dy 2  e2 y / h ( x  ) dx  dx

もはや解ではなくなる！
バルクの解が変更される

Junction condition

 g  h  O( )  h  R (h)   
Z 2 symmetryG 

2 K

2   K   T y 02T   
Dark Radiation      ;  0
これ以上は境界条件が与えられないと決まらないTwo-brane systems
Kanno & Soda 2002

Einstein Eq. on the positive tension braneG (h ) 2 T    

Einstein Eq. on the negative tension braneG  (2 h )   

2 TRadion4 ( x  )  1  2Warp factor

3|
442S
d x h  R  |    d x h L   d x h (1   ) L
2 2 2(1  )
4  1 2S

1 |
1 2
14dx
hR



 R  Veff ( ) |
12
2 
2126




Conformally coupled scalar何が分かったか？
 AdS/CFT 対応とRSモデルの関係を明らかにした Shiromizu-Maeda-Sasaki 方程式の未決定項の計算が可能になった ブレーンモデルにおけるCMB揺らぎへの具体的な予言が可能になった

 他のモデルにも適用可能な定式化である
 Dブレーンインフレーションモデルの問題点が簡単に分かる

CMB の揺らぎへの予言へと発展
Koyama 2003

Brane Inflation

インフレーションの幾何学化

Dvali & Tye 1999AV  2T3 1  4  r ``Inflaton’’rTension drives the inflation!

D3

D3
End of inflation

annihilation

D3

Warped brane Inflation
Kachuru et al (KKLMMT 2003)

フラックス付きカラビ・ヤオ

AdS5  S 5

インフラトンKSスロート

 : warp factor 4 A V  2T3 1  4 r 
4

D3ブレーンeta problem

反D3ブレーン161 |
1 24S  2  d x h  R   |   R  Veff ( ) 
21212
2 2H 

ブラックホールの安定性多様性をコントロールする大きな余剰次元とブラックホール
4次元理論の場合

陽子‐陽子衝突pp

1TeV  1017 cm1
陽子の重力半径1052 cmrg 1 MM pl M pl 10高次元ブラックホール

33

 M 
 5  cm
 10 g   rg n 1 dr 22222ds   1     dt rdn2  r    rg n 1 
1      r  

1 M rg M  M 1n 1M   1TeV  1017 cm1ならば加速器で十分到達可能！

加速器でブラックホールをつくる
Giddings & Thomas 2002

ホーキング輻射prgp
LHC (Large Hadron Collider)5-d Myers-Perry black holes
Murata & Soda 2008

General 5-d Myers-Perry black holes

5-d Black ring

どっちだ？

２方向の角運動量が等しい場合対称性が高くなる安定性を示すことができた
現在まで、唯一、安定性を解析的に示した例となっている

展望
as of 2010.1.22

宇宙論の難問は解決したか？
•特異点問題AdS/CFT 対応•ダークエネルギー
DGP brane model•ダークマター
KK particles•インフラトンBrane inflation

高次元宇宙論は、まだ始まったばかり
今後の方向性は？

宇宙、素粒子で高次元の世界を観るds 2  f 1/ 2 (r ) g  dx  dx  f 1/ 2 (r ) dr 2  ds X2 5



内部空間の幾何学

CMBの物理Cosmic inversion

LHCの物理４次元有効理論を越えた理論的枠組みが必要
37

物性で高次元の世界を観る
AdS/CFT 対応
高次元重力

異なる次元の物理を結び付ける

高温超伝導

Hartnoll et al. 2008

r O
Superconducting
Phase
r00



Hairy (RN) AdS BH

NormalPhase

dual0Tc

表現方法の拡がり
AdS/CFT 対応を宇宙論の理論的な記述方法として積極的に取り入れることが重要になるに違いないTご清聴ありがとうございました