「統計物理学」
統計物理学」研究者からの研究者からのメッセージからのメッセージ
早川尚男（京都大学基礎物理学研究所）(講談社基礎物理学シリーズ第１１巻 現代物理学の世界 第２部 「トップ研究者からのメッセージ」より抜粋)
定義：統計物理学とは微視的な素子からなる巨視的な統計集団を扱う学定義
問である。統計物理学を大別すると平衡状態の統計状態に関心がある平衡統計物理と非平衡現象を扱う非平衡統計物理がある。方法論の学問だけに対象は様々であり、理学を超えて工学や経済学まで応用範囲は広い。

図１：ボルツマンの墓。S=k log W は量子論の祖プランク（Planck）の発案による。
（著者撮影）
現状：統計力学は歴史的に熱力学の力学的基礎付けをする目的でボルツ現状マン(Boltzmann)によって導入された。1ボルツマンの関心はむしろ平衡現象がどのように実現するのかということで現在の分類で言うところの非平衡統計物理にあったと思われる。しかし多くの歴史書を紐解くまでもなく、また現在も盛んに枠組を構成しようと研究者が努力をしていることから分かるようにその一般論の構築は難しい。そこで 20 世紀初頭にギッブス(Gibbs)が平衡統計物理学を統計物理から分離し、その枠組を一挙に完成しその当時、可逆なミクロ力学系から不可逆なマクロ熱力学系がどのように導かれるかという深刻な論争があった。その辺りの議論と物理については拙著「非平衡統計力学」（サイエンス社 2007）を含め多数の本で紹介されている。

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た。現在に至るまで平衡統計物理の枠組は揺らぐことはなく、研究者の多くは様々な応用問題で具体的に如何に分配関数を計算するのかに腐心しているだけと言って過言ではない。平衡統計力学の顕著な成功した応用例は磁性体の自発磁化がどう低温で現れるかを論じた臨界現象に対するものであり、その解明によって 1982 年にウィルソン(Wilson)はノーベル賞を受賞している。また一般に統計力学の大きな仮定とされているアンサンブル平均と長時間平均が等しいというエルゴード仮説の検証については、力学系を論じる数学者によって研究が続けられているが、少なからぬ統計物理の専門家はその統計物理学への有効性を疑問視している。
一方で、非平衡統計物理はまだ枠組が完成されていない。平衡状態近傍の線形非平衡領域を除く非線形領域では一般的枠組そのものが存在しないのではないかという疑問すらある。実際に、非線形領域では境界の影響が強く2、一般論が成り立たない可能性があるばかりか、例えば普遍的な流体方程式であるナビエ・ストークス(Navier-Stokes)方程式を含め多くの非平衡現象を扱う問題が線形非平衡の枠内で扱えるからである。その辺りの事
情を含め、本稿では著者の馴染みのある非平衡統計物理に焦点を当てて紹介していこう。
まず、簡単に平衡近傍の線形非平衡領域で成り立つ一般論を簡単に紹介しよう。古くはアインシュタインが議論したゆらぎと散逸の関係を結びつける揺動散逸定理と、久保亮五等により完成されたカレントの時間相関関数と輸送係数の関係を結ぶ線形応答理論が良く知られた強力な定理となっている。勿論、例えば線形応答理論によって熱伝導率、電気伝導率、粘性率等の輸送係数を計算する枠組を与えた事と具体的な輸送係数を計算することは別問題であり、その計算のためには複雑な多体問題を解かなければならない。一般にそういった多体問題は非線形問題であり、完全に解くことが出来ず、様々な近似を駆使する必要がある。例えばコロイド系の粘性率は溶媒のそれよりちょっと大きいことはアインシュタインによって密度の一次補正として計算された。しかしそれを高密度まで拡張するのは難し
く、高密度になったときにどのように粘性率が発散するかについては殆ど何も分かっていないと言ってよい。ここでは、そこの詳細には立ち入らないことにしよう。
それとは別に揺動散逸定理や線形応答理論を超えて非平衡現象の一般論を構築しようという流れは近年になってようやく盛んになってきている。

例えばオホーツクの流氷はアムール川由来であり、冬に済州島の南側に出来るカルマン渦列は北風が境界である済州島の山という境界の影響で生じる。このように境界の影響で非平衡現象が生じるのが普通である。
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例えば 1993 年に、考えている位相空間での粒子軌道と時間反転した逆軌道の間の実現確率の比とエントロピー生成率を結びつけた「ゆらぎの定理」
が提案され3、1997 年にはジャロチンスキー（Jarzynski）によって非平衡仕事と自由エネルギー差の間に成り立つ等式が発見された4。このゆらぎの定理の線形極限では線形応答理論と輸送係数間の対称性を表すオンサーガー(Onsager)の相反定理を回復するものになっている。またジャロチンスキ
ーの等式の線形極限は熱力学第二法則の一表現を回復している。一方で、ランジュバン方程式と呼ばれる揺動力に駆動されるモデルとは言え、応答関数と相関関数の間の揺動散逸定理の破れを一般的に表現した原田・佐々の関係式5も注目されている。これらの一般論が具体的な問題でどの程度有用なのかは未だ明らかでないが、非平衡相転移であるガラス転移等では従来の線形応答理論だけでは歯が立たないことだけは確かであり、一般論と具体的計算の共同歩調が強く求められている。また実験技術の進展に伴い従来の物性分野の現象だけではなく最近のハドロン・コライダーの実験に伴う急激な熱化や非平衡現象がホットな話題になっている原子核から、惑星形成や重力多体系の統計が問題になる宇宙物理、地震現象や火山現象、地形の数理といった複雑な多体系である地球科学、微小生物や生物機械の運動や熱効率、遺伝情報の発現の統計を扱う生物物理、化学、工学の諸分野から為替変動の予測等の経済学に及ぶ幅広い分野で非平衡統計力学の概念が使われ同時にその基礎分野の発展が強く求められるというフィードバックがかかっている。
これらの諸分野でのホットな応用例や発展について述べてもきりがないのでやめておこう。様々な分野で応用が期待できるのは統計物理が方法論の学問であり、その方法論は対象を選ばないからである。従って方法論としては開発が急務であるのは非線形領域の一般論であり、同時にそれが有効である現象に対してその有用性を示すことである。
ここでは古い問題であるがガラス転移の物理を取り上げてみよう。それは、ガラスが古代メソポタミアやエジプトで造られて、今も窓ガラスに限らず重要な物質形態である点と、それにも拘わらず統計熱力学的性質はよく分かっておらず、未だに研究のフロンティアであり続けるからである。
またガラスに関連した状態はスピングラス、超伝導ガラスやハドロンのカラーグラス等で普遍的に観測されている。現在では、少なくとも古典的なガラス相は熱力学的な相ではなく粘性率が異常に大きい過冷却液体の準安

D. J. Evans, E.G. D. Cohen and G. P. Morriss, Phys. Rev. Lett. 71,
71 2401 (1993).
C. Jarzynski, Phys. Rev. Lett. 78,
78 2690 (1997).
5 T. Harada and S. Sasa, Phys. Rev. Lett. 95.
95 130602 (2005).
34定な状態を指すものと理解されている。そのため、動的にガラス転移を理解する必要があるが、それには誰も成功していない。ここで記憶力の良い読者は高密度系の粘性率の発散の仕方が理解できていないというアインシ
ュタイン以来の古典的課題を思い出すだろう。粘性率がどのように大きくなるのかが分からないが故にガラス転移の物理が理解されていないと言い換えても良い。またガラス状物質にせん断等の外力をかけた非平衡定常状態の統計的性質は未だ解明されていないが、続々と揺動散逸定理の破れや非線形応答理論の必要性が報告されている。即ち外力下での粘性率と外力がない場合の粘性率の意味が若干違うことがまさに問題になっているのである。また後述の液体状態と固体的な硬さや降伏応力を持つ相への相転移であるジャミング転移の問題も注目されている。これについては改めて筆者の研究テーマの項目で説明しよう。
ガラス転移についての特徴付けは密度の時間相関関数の時間発展によって行われる。この密度の時間相関は異なった時間で密度を測ってその積の二体関数によって初期の情報がどのように失われていくかどうかの指標になっている。完全に凍結すればその密度相関関数は有限値を持ち続けることになる。実験等によると高温の液体状態では時間の指数関数に従いゼロまで減衰するが、ガラス転移点より低温になると途中で一定の値を持つ二段階緩和が観測されるようになる。この密度相関関数が一定の値を持つ領域では、粒子が自ら作ったケージの中にトラップされて構造がほぼ凍結された準安定状態となっている。逆に言えばガラス状態は完全に構造が凍結した状態ではない。この二段階緩和は、未だにミクロなモデルから出発した統計物理的な理論解析で説明することに成功していない。最もスタンダードな統計物理学的理論では液体状態を仮定し、リュウビル(Liouville)方程式と呼ばれる位相空間の分布関数から出発し、密度相関関数の従う四体相関を含む発展方程式を形式的に導き、その四体相関を二体相関の積に書き換えることで得られた方程式を用いている。この理論はモード結合理論と呼ばれ、1970 年前後に臨界現象に伴う系の遅い変数のダイナミックスを記述するときに大きな成功を収めた理論と基本的に同じである。しかし相関長が発散し、長距離構造の遅いダイナミックスで閉じ、ミクロの詳細に依存しない臨界現象に比べて、ガラス転移では相関長の増大が自明には見えず、粒子スケールの構造が重要で、かつ単分散の液体では観測できない等ミクロ構造の詳細に依存する現象であるからである。モード結合理論は、単分散の単純液体の理論であるが故に低温での完全な凍結を予言してしまい、二段階緩和の予言に成功していない。またモード結合理論の考え方に従って粘性率を密度の時間相関関数の積分形で表すことが可能である。その式を用いると完全な凍結は粘性率の発散を意味し、二段階緩和は大きな粘性率ではあるが発散をないことを意味している。実験は言うまでもなく後者をサポートしている。
この現状を打破するために様々な角度から様々な努力がなされている。
未来：読者諸兄には非平衡物理を通してより豊かで彩りが鮮やかな物理
未来像を描いて欲しい。例えば、中谷宇吉郎が、ミクロな物理学がどのように発展しても、東京タワーの上から落した紙がどう落ちるかを答えることは出来ない点を指摘していた6が、まさにその問題はハイゼンベルク(Heisenberg)が博士学位論文の対象とした乱流の問題であり、量子力学より遥かに奥の深い難しい問題である。そのような問題にも積極的に取り組んで欲しい。また遊び心も必要であり、非平衡統計物理の研究者である複数の友人等7はイグ・ノーベル賞を貰っている。見た目に面白い現象を追求することが思わぬ発見を生むことのある分野でもある。
同時に気が遠くなるように長い歴史を持った手強い問題にもひるまずに取り組み必要がある。例えば線形非平衡領域を超えた非平衡統計物理の一般論に希望が見えてから、まだそれほどの時間は経っていないが、それが単なる数学的一般化ではなく本当に役に立つものであるかどうかを具体的に示していく必要がある。従って単に演繹的に議論を展開するだけでなく、個別の問題を帰納的に解決していくタフさと泥臭さも要求される。同時に境界の影響がどれくらい大事であるかをはっきり抑える必要がある。実際、そうすることで現実的設定を無視したナンセンスな一般化を避けることができるようになる。
応用として最も期待できるのは生物関係の問題であろう。実際に可能であるかどうかは別にして、生物は非平衡現象の最たるものであり、そのメカニズムを物理的に理解し、行動を予測することがチャレンジングな非平衡物理の課題である。また「現状」で詳しく触れなかったが、ジャロチンスキーの等式を確認した対象は RNA 分子であるように非平衡統計物理学の概念の有効性をまさに発揮するのが生物現象を司る時空スケールである。
従って生物現象を理解するために、非平衡物理を深く理解する必要がある。
同時に非平衡統計物理は万物の科学の礎として重要な役割を担って欲しい。科学史を紐解くまでもなく２０世紀に量子論が勃興するまでの主要な研究対象は統計熱力学に関連したものが多く、アインシュタインの初期の中谷宇吉郎「科学と方法」（岩波書店 1958）
例えば 2008 年イグ・ノーベル賞受賞の中垣俊之・小林亮氏や 2007 年受賞の L. Mahadevan氏等である。

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論文でもその題材を扱ったものが多い。１世紀経って巡り巡って非平衡統計物理学が重要な課題になっている。物理学の中でも未解決な基礎的な問題が多く残っているのがまさに非平衡統計物理学であり、それらが解決できれば今迄とは全く違った物理学像が浮かび上がって来ると思われる。
筆者の筆者の研究テーマ
研究テーマ：筆者はここ十年来粉体の物理に関わってきた。粉体
テーマとは砂のような散逸のある巨視的粒子である。それのどこが非平衡統計物
理と関係があるのであろうか。
高密度粉体の物理も実のところ余りガラス転移の物理と違わないことがリュー(Liu)とナーゲル(Nagel)によって指摘された。この図（ここではカット）はガラス相と液体を隔てる境界線がどのように引かれるかを示したものである。平衡状態のガラス転移は密度を固定して温度を変えたときに低温側でガラス状態になる転移であると説明してきた。しかし温度ゼロの極限でせん断等の外力をコントロールした場合、或いは密度を変えた場合には液体状の状態からガラス状の相に変化する。この転移をジャミング転移と呼ぶ。ジャミング転移は液体状態では物質の硬さがないものが硬さを持つ固体的な状態へ変化する相転移とも言えるし、或いはせん断率がゼロの極限で降伏応力のない状態（接線応力がゼロ）から有限の降伏応力を持つ状態への相転移と捉えることも可能である。
筆者達はこのジャミング転移の性質を調べるために、個々の粉体粒子の接触モデルとして接線方向に働く摩擦力を無視したつるつるの粒子に対して現象論を導入し、そのジャミング転移が連続転移であり、その連続転移を特徴付ける臨界指数を予言し、その予言が正しいことを数値的に検証した。またその副産物として粉体集団の粘性率がジャミング転移点近傍で臨界密度からのずれの４乗に反比例して発散することを発見した。更に粒子接触のモデルを固定したらこれらの臨界指数は空間次元に依存しないことも見出した。これは新しいタイプの非平衡相転移の性質を明らかにしたという意味で興味深い結果であると思われる。

図 4：接線応力 S のスケーリング。Φはジャミング密度からのずれ。

yφ , yγ はスケーリング指数。様々な次元、Φのデータを重ね書きしたもの。図の左側で水平に伸びている分枝はせん断速度がゼロの極限でも有限の降伏応力を持つことを示すジャミングを表し、左下に伸びている分枝はせん断速度がゼロになると接線応力がゼロになる液体的分枝を表す。(M. Otsuki and H. Hayakawa, Prog. Theor. Phys.121121,
121647 (2009)より)
また液体相では、よりシステマティックに理論を構成し、密度や運動量の同時刻相関に距離のべきに従う長距離相関が存在することを示した研究もある。更にこうした理論をより原理的なモデルから出発して一般論を構築すると共にガラス状物質に外力を加えた場合の一般論に拡張しようとしているところである。その他、ガラス転移を場の理論を用いてモード結合理論の微視的な基礎付けや、更に微視的モデルからの二段階緩和の再現に取り組んでいるところである。
研究に研究に進んだきっかけ：実は筆者の父親も物理学者であった。筆者が学んだきっかけ
生時代に完成された物理学の窮屈さと、発展性の乏しさを嘆いていた折に見せてくれた論文がカオスに関する Physics Today のレビュー論文であった。非常に簡単なマップが作り出す摩訶不思議な結果は、物理学が完成されたものではないことを強く印象付けるものであった。またやはり学部３年生の頃にプリゴジン(Prigogine)の本を何冊か読み、伝統的な物理教育の課程にない新しい学問の息吹とそれを開拓し推し進めるのに必要な深い洞察に感銘したことがこの研究分野に進んだ契機になっている。
研究者になってよかったこと
研究者になってよかったこと：子供の頃から、それ以外の道を考えていになってよかったことなかったのでその道を歩めることは良かった。
統計物理学
統計物理学の物理学の魅力とは魅力とは：既に触れた通り、非平衡統計物理は非常に汎用とは性の高い方法論の学問である。その一方で半世紀前に完成された線形応答理論等から本質的な発展がなかった。従って、新たな一般論が完成すればその影響力は計り知れないと思われる。またどの学問分野でも同じだと思うが、原理原則から出発して個人の研究の範囲内で森羅万象の多くを説明できることも魅力である。
筆者の師は九州大学名誉教授の川崎恭治氏である。川崎氏は、モード結合理論を初めて臨界現象のダイナミックスに適用し、大きな成功を収めた功績によって統計物理の最高の賞であるボルツマンメダルを 2001 年に受賞した斯界の世界的泰斗である。齢８０近くになっても精力的に研究を続けて、近年もガラス転移のモード結合理論に優れた研究発表を行う等、尊敬すべき師である。
ライバルと呼ぶべきかどうかは分からないが、大学入学以来の友人である佐々真一氏からは常に刺激を受けている。彼は本稿でも触れた原田・佐々関係式を導出した他、ガラス転移やジャミング転移の研究でも筆者の研究とオーバーラップが多い優れた研究成果を次々と出している優れた研究者であり、見習うことが多い。佐々氏と共同研究をしている田崎晴明氏も平衡統計物理で多くの優れた業績を残している。非平衡物理でも注目すべき成果を出している。その他、清水明氏や若手の笹本智弘氏、齊藤圭司氏、宮崎州正氏の研究には刺激を受け動向をチェックしている。海外の注目すべき現役の研究者はゆらぎの定理を発表した Evans, 自らの名前のつく恒等式を発表した Jarozynski, 非平衡物理に関わった数理モデルの解析での第一人者 Derrida, ガラス転移を含めたランダム系一般に優れた業績をっ多々残している Bouchaud, 粉体の実験において右に出る者がいない Nagel等が挙げられる。更に老大家として川崎恭治氏の他に、スピングラスや高分子、粉体の物理に先駆的な理論を発表し続けている Sam Edwards、統計物理の業績でノーベル賞を取った他、格子ゲージ理論の礎を築いた Wilson、その先駆けのスケーリング理論を作った Kadanoff 等である。
統計物理の研究者になるのは広く物理学の基礎を満遍なく勉強すると同時に数値計算に強いことが望ましい。更に物理現象そのものに興味を持ち、実験との対応を意識しつつ研究を進める必要がある。