数学の常識・非常識【由緒正しい聯入力法

小田忠雄

序

数学を印刷する際には，長年にわたって培われてきた様々の合理的な慣習がある．これまで，
数学者は黒板やレポート等に手書きしたりタイプライターを使用するだけで，印刷時の指定は専門家（copyeditor）に任せていたので，これらの慣習に無関心でもあまり差し支えなかった．
しかし，聯を使用して作成したファイルを直接印刷に利用することも多くなってきた現在では，伝統に従って由緒正しく一班入力する必要がある．最近，権威ある出版社から出版される数学書であっても，慣習に無知な著者によるT餅ファイルを，印刷の専門家がチェックせずそのまま印刷に使用したと思われるものが多くなっていて嘆かわしい限りである．

特に多い間違いは，冒頭の§§1．1−1．2に述べるローマン体（立体）の慣習の無視である． ら抜き言葉 のように，従来からの慣習を無視したものが圧倒的多数になりそうな勢いであるが，ローマン体とすべき合理的理由のある慣習であるので，是非守って頂きたい．
一方，印刷上の慣例とは無関係ではあるが，論文を書く際に心掛けるべき事項も数々ある．
本稿では，聯入力に関する重要な心得を§1で述べ，1鮮入力とは必ずしも関係ないが是非必要と思われる心遣いの例を§2においていくつか挙げることにしたい．また，ちょうど良い機会なので，初学者が犯しがちな数学論文における英語用法の間違いを§3において列記する．
本稿の内容は，n）hokuMathematicalJournal等の編集に際して度々出会い，いささかウン
ザリしていた実例に基づいている．その意味で，初めて論文を書く方々のための実践的ガイドとして役立っことを期待している．元々は1996年1月に東北大学理学部で開催した代数幾何学シンポジウムにおいて講演した内容であるが，編集部のお勧めもあって，東北大学数学教室

向けニュースグループでの掲示に対して寄せられた意見や，4年・大学院用に最近数年間実施してきた集中講義の経験に基づいて手直したものを提出させて頂くこととした．
最後に，本稿の素晴らしいタイトルは伊藤浩行氏の提案によるものであることを付記する．

1数学印刷の慣習と由緒正しい聯入力
詳しくは，文献軋［礼【3］，［4］を参照して頂きたい．

尚，聯を使用したことのある方々には周知のことであるが，文中で聯入力を例示する
際に，
日本語キーボードでは円記号回を使用する箇所が本稿では回となってしまっていることに注意して頂きたい．また，本稿は抄TbX2ど偏重の記述になっているので，plain聯や4りβ−1排便用の場合には手直しが必要である．

数学の常識・非常識十由緒正しいT遮Ⅹ入力法（小田忠雄）

まず全般的な注意として，聯入力する際には，COntrOIsequenceを活用し，全体を秩序立てて入力すべきである．記法を後で一斉に変更する際にもその方が便利である．入力用．texファ
イルで，出力に殆ど影響しない改行を多用したり，％つきのcommentedout行で説明を付けることによって，他人が見ても，また自分が後で見ても全体の構造が分るように入力することを勧めたい．また】聯入力に限らず，語法や記法は論文を通じて首尾一貫すべきである．

1．1 略語由来の記号にはローマン体を使用すべし
通常の欧文本文には，特別な理由がない限り，ローマン体（立体，最近のTtjXではuprightshapeと呼び，rOmanfamilyとは別物になった）のアルファベットを使用し，数学記号として用いるアルファベットはイタリック体（斜体，ThXではmathitalic体）を使用する．このことは比較的良く知られている．

例えば，f（Ⅹ）やa∈Sはおかしく，J（∬）やα∈5とすべきである・T鮮を使用する際には，＄記号で挟んだ数学モードの箇所は，自動的にイタリック体の活字が使用される．しかしながら，略語に由来する複合数学記号では，mathroman体を使用するのが慣例であり，特別な配慮が必要である．これは，イタリック体の文字が個々に数学記号と誤解される虞があるためである．例えば，dim，1im，log，Sin，minがそうである・

dimV，lo9X，Sinxは滑稽であり，dimV，log二ご，Sinxとすべきである．
例えば成mγでは，数学記号d，壱，m，Ⅴの積の意味になってしまう．
ただし，例外がある・Gユ（町R），5エ（m，C），0（m），軸（れ）等の線形群の場合には，略号に由来するにもかかわらずイタリック体を使用するのが普通のようである．〝3曲面の場合もそうであり，いつも＄K3＄と入力することにしておけば，定理等の環境中でも字体が変化しない（§1．3
参照）．
ちなみに，外微分のdは，数学ではイタリック体で印字するが，物理等の他分野ではローマン体で印字するのが慣例のようであり，ISOの基準にもなっている．
仮定や条件等にアルファベット含みの番号を付ける場合には，例えば 仮定（Hl） や 条件（A） のようにローマン体とすべきである．その際，定理等の環境中でイタリック体となってしまわないよう注意が必要である（§1．3参照）．

1．2 mathoperators
例えばlogxでのlogとxとの問のスペースにも注目すべし・また，本文中（intext）では，

1imれ→∞αmとなり，display式ではとなることにも注意が必要である．聯でcontroIsequenceが用意されている場合には，これらは自動的に処理される，例えば＄＼log x＄， ＄＼1im＿（n＼rightarrov＼infty）a＿n＄とすればよい．しかし，TEiKでcontroIsequenceが用意されていない場合には注意が必要である．例えば

数学の常識・非常識一由緒正しいT鮮入力法（小田忠雄）

coれγ（γ1，γ2，…，U乃）やガom月（〟，Ⅳ）は間違いで，conv（vl，V2，‥・，Vn）やHomR（M，N）とすべきである・
この場合，＼10gのようなcontroIsequenceが用意されていないので，例えば次のようにmath
operatorとして取り扱う．
＄（＼mathop（＼mathrm（Hom））＼nolimits）＿R（M，N）＄とすればHomR（M，N）となる．jtMS一聯や4明S−FIPでは，＄＼。PeratOrname（HomLR（M，N）＄とすればよい・いちいち上記のように入力するのは大変なので，例えば抄1鮮2Eでは，＼newcommand（＼Hom）（＼mathop（＼mathrm（Hom））＼nolimitslとしてcontroIsequence＼Homをファイルのpreambleに新たに登録し，＄＼Hom＿R（M，N）＄とす
れば簡単である

聯でcontroIsequenceが用意されているローマン体mathoperators（いわゆる Log−1ike
functions ）はarccos，arCSin，arCtan，arg，COS，COSh，COt，COth，CSC，deg，det，dim，eXp，gCd，hom，

inf，ker，1g，1im，1iminf，1imsup，1n，log，maX，min，Pr，SeC，Sin，Sinh，SuP，
tanh

である．その他にローマン体のmathoperatorsとすべき記号の例は

ad，Ad，Ass，Aut，BMO，Ch，Char，Chow，Cl，COdim，COnV，dirlim，diDom，End，Ext，Flag，Gal，gr，grad，Grass，Hilb，Hol，Hom，Im，indlim，i

int，Ker，1ength，1cm，Lie，NS，Ord，Pic，prOjlim，Proj，Re，relint，reS，Res，Sign，Sgn，Sing，SPan，Spec，Supp，Td，Todd，Tor，Tr，Trace，Vol，VOl，Weight，である．mathoperatorではない演算子のmodもローマン体で印字する．TbXには＄＼bmod＄と＄＼pm。d＄の2種類のcontroIsequenceが用意されており，X＝amOdpやx≡a（modp）と出来る．それぞれの入力は＄Ⅹ＼eq11iv a＼bmod p＄および＄Ⅹ＼eqlユiv a＼pmod p＄である．mathoperatorではないがローマン体とすべきものの例としては

ess，Id，id，nS，pt，red，reg，tOp，ur，a．e， ローマ数字のⅠ，II，ⅠII，．．．，i，ii，iii，．
がある．

1．3 定理環境等での括弧と数字
定理環境等では，本文の書体と異なるイタリック体やslant体が使用される．その際controI
sequenceによりローマン体が指定されているものは影響を受けずにローマン体で印字されるが，括弧や数字の書体は変更されてしまって

数学の常識・非常識一由緒正しいTが入力法（小田忠雄）

pr如ec如e「re叩．叩αβ才一prOブec如eノブ 肌γr巾rd周，椚β視げαCe，∴ ∫−．・＝∴／小／りご・り・／′Jい・．、／JJのようにおかしなものになってしまう．
prqグec如e（re叩．叩αβ哀−pmブec如e），〟祝〝巾rd［3］，∬3β㍊rわce，§2，（1），（ii），娩e九卯0兢e5五β（Hl）とすべきであろう．叩2どでの自動参照および自動引用の機能を使う際にも注意が必要である．これらを，周りの環境の如何にかかわらず正しく出力するためには，例えば
Mumford＄［3］＄，＄K3＄ surface，＼S＄2＄，＄（1）＄，＄（＼mathrm（ii））＄，＄＼cite（ega）＄，＼S＄＼ref（sec＿nOtation）＄のようにすればよい．

1．4 文中・指数・Su］阻Ⅹにおける分数表記］堺では分数が容易に入力できるため，本文中や指数にもやたらに分数表記を使う著者が多い．何も指定しないと，TbXでは小さな分数で印字されてしまい，大変見苦しく，読みづらい．

文中や指数中の分数表記には，…，藍，α喜，喜ぶのようにせずに，2／3，斬／血，α1／2，2▲1β，（1／2）Sのように斜線（solidus）表記や逆数表記を使用すれば極めて見易くなる，本文中で｛＼displaystyle｝を使ってとするのも，行間が乱れて見苦しい・

1．5 句読点，省略記号
句読点としてピリオド，コンマ，コロン，セミコロン等を使用するときは，直前の文字との間にスペースを空けるべきではない・括弧何等の直後および回等の直前も同様である・そう
でないと大変見苦しく，また聯に正しく禁則処理をさせるためにも不可欠である．例えば（cf・［10］），thehllowing‥は間違いで（cf・［10］），thehllowing：とすべきである．

また，ピリオド，コンマ，コロン，セミコロン等の直後には，i．e．やe．g．やa．e．等のベタ組を慣例とする場合を除き，必ずスペースを空けるべきである．

P・A・Gri阻thsやIndeed，Wehave．．．等が間違いの例で，P・A．GrifBthsやIndeed，Wehave．．．とすべきである．日本文で全角のピリオド・コンマや句読点を使用し慣れている所為か，半角のピリオド・コンマ等のあとに半角スペースが必要であることをうっかり忘れてしまう人がかなり多い．

数学の常識・非常識一曲緒正しい二晩X入力法（小田思齢

文末用でない，省略用ピリオドの直後には注意が必要である．大文字の直後のピリオドは1餌が自動的に省略用と判断してくれるが，小文字の直後のピリオドは，何も指定しないと文末と判断されてしまう．例えば，J．Math．Soc．Japanは間違いでJ．Math．Soc．Japanが正しい．
前者では，小文字の次の省略用ピリオドの後にスペースが空きすぎていて見苦しい．後者のようにするためには」．LJMath．＼LJSoc．＼LJJapanのように円マークとスペースを入れる必要がある．
ついでながら，省略用ピリオドで文が終わる場合，その省略用ピリオドが文末用のピリオドも兼ねる．ピリオドを2個重ねるのはおかしい． ．．A，B，etC‥Thuswehave C． は間違いである．

省略記号の…（＼1dots）および・・・（＼cdots）も区別して使用すべきである．例えば
ごn：＝ご；1ご冒2…辟， Jl＋ご2＋…＋ごm

ご1，ご2，…，ごm，の区別である．

1．6 特殊記号等のT鮮入力
1．6．1 ハイフン，enダッシュ，emダッシュ
表記quasi−PrOjectiveではハイフンを，P，23−35でほ
emダッシュ

enダッシュ

を， 非常識¶由緒 ではを使用している，● ハイフン入力は−である．
enダッシュ

はp． 23−−35のようにハイフン2ケを入力する．
は非常識−−一由緒のようにハイフン3ケを入力する．

数学モードでのハイフンは，自動的にマイナスとなるので要注意．
Pl−fibrationが正しくPl一打〕rationは間違い．
上記の入力の違いは，＄＼mathbf（P）〈1＄一fibrationと＄＼mathbf（P）〈1−＄fibrationである．

ついでながら，n−pOintsingeneralpositionはTIPOintSingeneralpositionとすべきである．
また（Tl＋1）pointsはn＋1pointsとし，n＋1−〔1imensionalは（n＋1）−dimensionalとすべきである．

1．6．2 引用符，アポストロフイ，プライム等

引用符は，開始時に を2臥終了時にアポストロフィ，を2五入カナる．通常の二重引用
符t■は正しく機能しない．

＝Quotation，，は Quotation と， Quotation■一は Quotation となる．

数学の常識・非常識一由緒正しいT鮮入力法（小田忠雄）

通常の文中での，は［至司のようにアポストロフィと認識されるが，数学モードでは［至司のようにプライムとなる．これらの入力の違いは＄P＄，sと＄P，s＄である．番号にプライムを付ける際にも（1り，（ii，）等でなく（1′），（ii′）となるように＄（1リ＄，＄（＼mathrm（il）リ＄と入力する必要がある．

1．6．3 角括弧

角括弧に不等号を使うべきではない．＜ご，y＞は正しくなく不格好であり，〈ご，y〉とすべきである．これらの入力の違いは

間違いの＄＜Ⅹ，y＞＄ と 正しい＄＼1angle x，y＼rangle＄
である・左角括弧は＼1angleであり，右角括弧は＼rangleである・数学モードでの回，［∃は2項関係子であり，前後にスペースが空いてしまう．

1．6．4 空集合
空集合にはのを使うべきで，ギリシャ文字の￠を使うべきではない．ガロy＝￠ではなく，
片口y＝￠とすべきである．これらの入力の違いは＄Ⅹ＼cap Y＝＼phi＄と＄Ⅹ＼cap Y＝＼emptyset．＄
である．

1．6．5 逆斜線と集合の引算＄＼backslash＄と＄＼setminus＄とを正しく区別すべきである．例えば左群作用による商はCげとなり，一方集合の引算はy＼ズとなるのが正しい・後者のロは2項演算子であり，前後に少しスペースが空いている．

＄G＼backslash X＄と＄Y＼setminus X＄の入力で G＼XとY＼Xとなる・4MS一間や4MS−FIbX（amssymbpackage）では，＼smallsetminusも集合の引算に使用できる．

1．6．6 小文字の工ル
手書きでは／」＼文字のエルをgと書くが，これは手書きに際して数字の1と区別するのが容易でないためである．Tlポを使用する場合には，特別な理由がない限り数学用イタリックのJを数学の常識・非常識一由緒正しいT鮮入力法（小田忠雄）

使用すべきである．数字の1とはハツキリ区別できる．e−adicでなくl−adicで充分である．また半単純群のrank（例えばルート系AJ）や，アルチン加群の長さg（〟）は，ゼでなくgで充分である．入力の違いはgが＄＼ell＄であり，〜が＄1＄である．

1．6．7 和集合■共通集合，外積

和集合XuYや共通集合XnYには＄＼cup＄や＄＼cap＄を使うが，Ui∈］Xiやni∈IXlの場合には，＄＼bigcup＄や＄＼bigcap＄を使用すべきである・Ui∈IXiやni∈IXiはおかしい．
＄＼bigcup＄や＄＼bigcap＄を使用すれば，display式でも正しく∪ズi， ∩ズまi∈Ji∈∫となる．外積∧や∨の場合も∧や∨というbig版を使うべきである．軌㊦，㊤，⑳も同様である・∑，n，Uはそれら自身がbig版である・外積に大文字のラムダAは使うべきではない．

1．7 日本語で聯を使用する場合
日本数学会の雑誌 数学 の投稿規程でも採用されているが，日本語で数学を一群入力する
場合，句読点には日本語の 。 や 、 よりも半角の ． や ， を使った方が良い．さもないと，日本語部分の句読点と，数式部分の句読点が違ってしまって見苦しい．エディター・ソフト
用の日本語FEPやIMEを，半角英数入力モードで使用することにすれば，いちいち入力モー
ドを切り替える必要がなくなる．（もっとも，半角英数入力モードでは，一括変換は使えず，せいぜい連文節変換となってしまうが−）また，半角英数入力モードにしておけば，聯には有害
な全角スペースをうっかり使う危険が少なくなる．

数字には半角を使う方が種々の観点からして相応しいと考えるが，半角英数入力モードでは，
この点でも問題が無くなる．

TbXでは，全角文字と半角の英数文字・記号との間には，自動的に適当なスペースが挿入される．従って余分なスペースを入力する必要はない．

日本語で数学論文を書く場合，theorem環境等で通常の英単語を使うとイタリック体となってしまって見苦しい．＼begin（theoreml等の直後に＼upshapeによって立体指定を行っておくべきである．

1．8 0HPとT魅X
オーバーヘッド・プロジェクター（OHP）にT打こを使用することの評判が良くない（例えば，「学会講演でのOHPの原稿について」会報91，数学通信第3巻第3号，p．42）が，それは使い方に問題があるからである．以下に述べる注意を守れば】手書よりもはるかに読みやすく，原
稿作成の労も少なくて済む．

数学の常識・非常識一由緒正しいTbX入力法（小田忠雄）●OHP用紙1枚に内容を詰め込まない．
・一度に表示できるのはA4用紙のせいぜい2／3の長さ程度であることに留意する．
・文章は完結している必要はなく，簡潔を旨とすべきである．論文や予稿の原稿をそのま
まOHPに使用する等は論外である．

・行間を十分あける．例えばIFIkX2Eの場合なら，＼begin（docl皿ent）前のpreambleで次のようにすればよい．

＼renevcommand（＼baselinest．retch）（1．2）
・大きく太い字を使用する．例えば，叩2どの場合，本文を大きく太く，更に数学記号を全て太く書くため＼begin（document）直後に＼h11ge＼bfseries＼mathversion（bold）と指定する．結果は次のようになる．

OHP用に相応しい文字の大きさや太さ．

J（諾）∈C∞（ズ），基軸J（諾）＝J（α）・
2 論文執筆時の心得
丁鮮入力とは無関係だが，論文執筆の際に心すべき事項が色々ある・詳しくは参考文献［1］，［2］，［4，第3，6−8章】等に譲り，いくつかを列挙する・

2．1著者名のfu11spelling
論文冒頭に著者名を書くときは，少なくとも日本人の場合には，姓・名ともにfu11spellingで書くべきである．Math．ReviewsやZentralblattftirMath．等の2次情報誌や論文データベースでの同姓同イニシャルの混乱を避けるためである．
参考文献欄では，名のイニシャルを挙げるだけで充分であろう．また，本文中でそれらの文献を著者名付きで引用する際には，同姓等の特別の場合を除いてイニシャルは不要である．文
献欄に載っているからである．

謝辞を捧げる相手の姓・名も，少なくとも日本人の場合には，fullspellingで書くべきである．
Thanks areduetoProfessorA．Bcdbr．‥でなくThanks areduetoProfessor AkioBcdfor．．．とすべきである．

数学の常識・非常識一由緒正しい一宮（入力法（小田忠雄）

姓名の表記は国によっで慣習が異なる．アメリカ人の場合には，middlenameのイニシャルを普段使う人と使わない人があり，］．WilliamFulbrightのようにmiddlenameの方をfullspelling
で書く人もある．ロシア名の場合には，firstnameやmiddlename（父親の名前にvichを付ける所謂 父称 ）があまりにも長いためイニシャルで済ますのが普通のようである・一方南インド系の名前の場合には，伝統として姓に相当するものがなく，欧米との交流の際の便宜上出身地や父親の名前のイニシャルと本人の名前のfullspellingとを書くのが普通のようである．
また，主義としてfirstnameとmiddlenameを一貫してイニシャルで通している数学者も少数ながら存在する．Math．Reviews等により本人の慣習を調査した上で，混乱の起らない取扱いを選択すべきであろう．

共著論文の著者の順序は，数学の世界では姓のアルファベット順が通例であるが，数学以外の世界では必ずしもそうではない．第一著者中心主義を採用する科研費報告書式やScience
CitationIndexはその状況を反映している．

2．2 タイトルおよびアブストラクト
論文のタイトルやアブストラクトには，数学記号や式を使用すべきでない．ASCII文字しか使用しない論文データベースに収録された場合のことに配慮してである．またアブストラクトには引用文献番号を使っても無意味である．引用が必要なら人名のみを挙げるべきである．

2．3 序文Introductionは論文の表看板である．最初少しに目を通して面白くなければ，その論文は読んで貰えない．多少専門外の人にもどんなことが書いてあるかが判るような書き方で始め，主要結果をあまりテクニカルでない形で早いうちに紹介すべきである．また歴史的な流れの中でのその論文の位置づけも行うべきである．

2．4 所属と所在地
論文に記載する所属と所在地は，読者と著者との連絡に際しても重要な役割を演ずるので，出来る限り永続性のある確実なものを記載すべきである．謝辞を兼ねて一時的な所属・所在地を書くべきではない．謝辞は第1ページ脚注，序文の最後，あるいは論文末の参考文献欄の直前に書けばよい．

また所在地を書く際，1−2−3Kasumigaseki等と書くべきではない．丁目は町名の一部なので
2−3Kasumigasekil−Chome等と書くべきである．

数学の常識・非常識一由緒正しい聯入力法（小田忠雄）

2．5 図版および表
図版や表は，ページの関係で印刷時に原稿と同じ箇所に収容できるとは限らない．従って，本文中で図版や表を参照する場合には，位置とは独立な形にするべきである．

．．．asinthefollowlngfigure・ …aSinthetableabove．
では，図や表が直後や直前に来ることを前提としているので良くない．

．．．asinFigurel． ‥aSinTable2・（cf．Figure3）
等とすべきである．

2．6 文献の引用●被引用文献からの検索のことも考えて，正当なcredit，正しい引用を心掛けるべきである．
・文献の引用に際しては，引用箇所を［3，Theorem2］のように具体的に表示すべきである．
その際には，連番の論文を［3，4］等と引用すると混乱するので，［3］，［4］とすべきである．
・論文末の引用文献に関しては，なるべく詳しいデータ（proceedingsの場合のsymposium
開催地・開催年，論文集の場合の編者名，出版社の所在地等）を挙げるべきである．また雑誌名の略記も，考え抜かれたMath．Reviewsの方式を使うと読者が戸惑わないで済む．
（http：／／vwv．ams．org／で略記一覧表を取得可能．）

2．7 その他
・C−VeCtOrSpaCeは日本語では，C−ベクトル空間とするよりも，Cベクトル空間とハイフンを省く方が自然であろう．

・英語ではGri瓜ths−HarrisやShimura−Taniyamaとするが，日本語では 志村一谷山 とするよりも，中点を使って 志村・谷山 とする方が自然である．モーデルーヴュイユでは日本語の長音記号と紛らわしく，しかも不格好であり，モーデル・ヴェイユの方が好ましい．
縦書での縦2本棒に倣って，等号を使いモーデル＝ヴェイユとすることもあるが，これも横書ではカタカナの ニ と紛らわしい．

ついでながら，ハイフンが短く見える所為なのか，Gri阻ths−Harrisのように enダッシュ （§1・6・1参照）を使っている例を見受けるが，間違いである．（ただし，Commun．
Math・Physicsのように enダッシュ を要求している雑誌もあるようである，）また，
GrifBths−Harrisのようにハイフンの前後にスペースを入れるのも間違いである．ただし，Swinnerton−Dyerのようにハイフンのある姓が共著者名の一つである場合にはBirch−Swinnerton−Dyerのようにすればよい・（［3，§5・94］参照・）
・文がいくつかの文節を持つ場合，記号で一つの文節が終り，次の文節も記号で始まると極
めて読みづらい．工夫が必要であろう．例えば，

数学の常識・非常識一由緒正しいTbX入力法（小田忠雄）

Sinceノ4≧β，A≧C．
では非常に読みづらいので，

SinceA≧B，WehaveA≧C．またはA≧C，SinceA≧B．
のいずれかとすべきである．

●文中では記号の∀や］を使うべきではない．forall，hranyやthereexists，forsomeを使うべきである．

●行列等のように行間を乱すものは必ずdisplayすべきである．本文中に入れると，行間が乱れて見苦しい．簡単で重要でない式はやたらにdisplayすべきではない．しかし長い式はそれ程重要でなくともdisplayした方が良い．
・むやみやたらに新しいparagraphを作るべきではない．またスタイルにも依るが，従来からの慣習では，ParagraPhindentの無い新しいparagraphはあり得ない．また，欧文のparagraphindentの長さは，全角1文字の和文のそれとは異るので注意が必要である．
●上極限や下極限も1imsupや1iminfを使った方が見易い．帰納極限や射影極限も同様である．

●指数関数が複雑な指数を持つ場合はexpを使用した方が見易く，かつ印刷し易い．
・集合の写像芽→yと，元の対応ごト＋J（ご）とを使い分ける必要がある．前者は＄＼rightarrov＄であり，後者は＄＼mapsto＄である．
●定義を述べる際に空等を使用せず，印刷が容易で読み易い：＝を使うべきである．
・［∬］をガウス記号と呼ぶのは，我が国以外では通じないようである・

thegreatestinteger［x］notgreaterthanxと呼ぶべきである．
・長い式に山印，波印，上付き線を付ける場合には，r（ズ），r（ズ），両等とせずに，（r（ズ））∧，（r（方））〜，（r（片））￣等とした方が読み易く，見栄えが良い．
●ご′の平方は，〇′2やご′2ではなく（ヱ′）2とすべきである．

3 数学英語の常識
本節では，数学論文において初学者が犯しがちな英語用法に関する間違いを列記する・［5］は数学英語に関する本格的解説である・［6］や［4，第4章］も参考になる．

・定冠詞 少なくとも英語では，Theoreml，Proposition2，Lemma3，Corollary4，Figure
5，Table6，Section7等の番号付きのものは大文字で始め定冠詞を付けない．theorem
l，thetheoreml，theTheoreml等はおかしい．ついでながら，例えば番号付きのもの
が複数個の場合には，

数学の常識・非常識一由緒正しい聯入力法（′八田忠雄）

Theoremsland2やPropositions2through10等とする．
theと所有格とは普通両立出来ない．

theH61der，sinequalityは間違いであって，
theH61derinequalityかH61der，sinequalityのどちらかを使うべきである．thereferee，scommentがおかしくないのは， thereferee のcommentだからである．
グリーン関数をGreen，sfunctionと書いてしまうと，冠詞や数の処理に困ることが多い．

the Greenfunctionの方が問題が少ない．
bydefinition，byassumption，byinductiononn，

acirclewithcenterattheorlglnのように定冠詞を付けない用法が多いが，特定のものを指す場合には

bythedefinitionofX，bytheassumptioninTheorem2のように定冠詞を付ける．

・発音に応じた表記 不定冠詞aとanとの区別は，次に来る名詞の最初の文字の発音が子音か母音かによる．

aunique，anL2−eStimate，anS−mOdule，aOne−tO−Onemap，aEuclideanspaceが正しく，
anunique，aL2−eStimate，aS−mOdule，anOne−tO−Onemap，anEuclideanspaceは間違一いである・一方，序数表記における（n＋1）−th，（n＋2）−th，（n＋3）−thは間違いであり，−

口頭ではnplusfirst等と読むためである．

Riemannianmetric，Hilbertspace，Banachspace，HermitianSymmetricspace，Jacobian，Hessian，Archimedean，Euclidean
等の固有名詞に由来する語は大文字で始めるべきであろう．フランス語風のriemannian
metricはおかしい・ただしabelianは小文字の方が普通になってしまったようであるが，Abelianvarietyとabelianvarietyはどちらも良く使われる．abeliangroupは小文字の方が普通のようである．

・過去形・現在進行形 例えばglueingではなくgluing，gluedが正しい．疑問のある場合にはいちいち辞書で確かめるべきである．

一● 固有名詞 少なくとも英語では−−−−＝I−⁚I−r■−−−（n＋1）−St，（n＋2）−nd，（n＋3）−rdが正しい．

数学の常識・非常識一由緒正しいT瓦X入力法（小田忠雄）●現在分詞と過去分詞 動詞にingを付けた現在分詞と動詞の過去分詞（規則動詞ではedが付く）を形容詞句に使用することがある・しかし
過去分詞をそのように使うのは他動詞を受身の意味に使う場合だけであるので注意を要する．

theconcept Cinlroducedintheprevioussection
は他動詞introduceを受身の形で使っており，受身の意味上の主語はtheconceptCである．必ずしも過去の意味は持たず，未来に起る

theconceptDinlroducedinthenextsectionという使い方も充分あり得る．例えば「前節に現れた概念」のつもりと思われる

theconceptC appeart：dintheprevioussectionは絶対に間違で，（1）theconceptCwhichappearedintheprevioussection（2）theconceptC appearin9intheprevioussection（3）theconceptChavin9aPPearedintheprevioussection
等としないとおかしい．（もっともこの例のような場合には，態々（3）のような形を使う必
要はなかろう，しかし特に過去に起ったことであることを強調したい場合であれば，（3）のように現在完了形を使うしかない．）appearは自動詞であって受身は考えられないから，過去分詞形は（3）のように現在完了に使う場合に限る・appearingは現在進行形と同じ形をしているが，前節に現れたという過去の意味を充分に持ち得る．意味の上での主語はtheconceptCである．
・懸垂分詞 danglingparticiple（懸垂分詞）等の主語不一致は避けるべきである．

Expandingtherighthandsideof（1）intermsofq，thetheoremfbllows．は誤りである．expandの主語がthetheoremとなってしまっておかしい．
・LetとIfとの相違 文頭にあるLetやAssumeは，Ifのように条件文を導く機能はない．
従ってLetGbeagroup，then．‥は間違いで，
LetGbeagroup．Then…と文を切るべきである．
●語頭の接続詞 AndやButで文章を始める用法は英語圏の新聞でも最近しばしば見受けるが，本来は前述のことを受けて接続するための単語であり，避けることが望ましい．
Howeverを使えば，Butは使わなくて済む．
●慣用前置詞 理由を述べる場合には

数学の常識・非常識一由緒正しいT鮮入力法（小田忠雄）

j．orthisreasonやthereasonJor・とすべきである．bythisreasonやthereasonofは間違いである．同様に，
anexplanationfor，aneStimatehr，amOtivationfor，aCriterionfor，
an abbreviation forが慣用される前置詞である．その他にも

inasimilarway，inthesameway，byinduction onn
がある． 左側の や 右側の はOnthelefthandside，Ontherighthandsideを使うのが正しい．

・前置詞のto equivalenttoやbereducedtoやbedevotedtoにおけるtoは前置詞であって，不定詞用のものではない．従って，

equivalentto9ivin9．．．が正しく，equivalenttogive．．．は間違いである．同様に

Section3isdevotedtoprovin9．‥やSection3isdevotedtotheproofof‥．
Wearereducedtochecking…が正しい．
上述のものとは少し異なるが，Thekey toprovin9thetheoremis…の場合のtoも前置詞であり，動名詞のprovingを使うのが正しく，keytoprvvethetheoremは間違いである．

●他動詞と名詞形intersectは他動詞である．

AintersectswilhCは間違いであり，AintersectsCとすべきである．
しかし名詞の場合にはtheintersectionwithCとなる．同様に，COntradictも他動詞であり，

thiscontradictslothehypothesisは間違いである．
名詞の場合はacontradictiontothehypothesisである・動詞のthankも他動詞ゆえ，
wethank toProfessorXは間違いでありwethank ProfessorXとすべきである．名詞の場合はthankstoProfessorXで
ある．

に使う．

■；−︑−−−⁚＝⁚−−−

動詞のequalは他動詞ゆえ，Xequalsyであり，形容詞のequalはxisequaltoyのよう∴一

数学の常識・非常識一由緒正しい一群入力法（小田忠雄）●COntainとinclude 部分集合の場合にはcontainが普通である．例えばXis containedinYやY cont，ainsXが普通であって，XisincludedinYやYincludesXは使わない．ただし，X⊂Yのような包含関係自体はinclusionやoppositeinclusion等と言う．
● 同様 類似を表すsimilarはby anargumentsimilartothatin§1等と名詞の後に付け，続く前置詞はtoでありasではなく，名詞には不定冠詞が付く．byasimilarargumentasin§1は誤りである．
同じであることを表すsameの場合はthesameargument asthatin§1であり，定冠詞が付く．

・数の表記 個数等を表す2桁程度の小さい数は，数字ではなくtwo，tWenty−three等と綴るべきである．特に，数字の0や1は紛らわしいので，genuSZerO，Oneqdimensional，One−parameter等とすべきである．1−parameterは特に見苦しい．また， 1対1に対応している はinone−tO−OneCOrreSpOndenceとすべきである．inl−1correspondenceは極めて見苦しい．

・単複同形 名詞のthefollowingは単複同形であり，thefollowingsは間違いである．一般に形容詞にtheを付けて作る種類を表わす名詞は単複同形である．
●aS fb1lows： 次の通り という場合にはasfollows：と同格のコロンを使用する．セミ

コロンを使ったasfbllows；は間違いである．Weprovethefollowing‥の場合もコロンを使う．

●nOtation notationは通常単数形で用いsは付けない．

・複数形 最近は単数としても使うdataは元来datumの複数形である．一方gener
はgenusの複数形である・formulaや1emmaの複数形は，formulasや1emmasを使い，
brmulaeや1emmataは今ではあまり使わない．

●nOteS 講義録は1冊でも1ecturenotesと複数形を使用する． A君がとったノートの場合でも，thenotestaken by Mr．Aとする．講義録の序文等でもThesenotes aremeantforgraduatestudents．‥等と書く．
・anOther anotherは不定冠詞anとotherとの結合した単語であり，複数形の名詞には付けられない．

数学の常識・非常識一由緒正しい1鮮入力法（小田忠雄）●eaCh，eVery eaChやeveryの修飾する名詞は通常単数である． 2年毎に の意味で
everytwoyearsと使うこともあるが，これはeverysecondyearとも言う．
●2と3以上 betweenは2つのものの問に使用し，3つ以上の場合にはamongを使用する．同様に，eaChotherは2つのものの間に使用し，3つ以上の場合はoneanotherを使用する．

・個数 集合Xの元の個数にはthenumberofXではなくthecardinalityofXやthenumberofelementsinXを使う方が良い．
●実際 Indeed， と Infact， とはどちらも 実際 と訳せるが，意味が全く違う．前者

は理由を説明する場合に使い，後者はInfact，WeCanSaymOre．のように，前述以上のことが言える場合に使用する．

●firstとatfirst atfirstは 最初の内ば，を意味する．従って まず最初に の意味では，むstを使うべきである．例えば

Atfirst，WeprOVePropositonlは間違いで
WefirstprovePropositionlが正しい．
・操作とその産物 写像のcompositeとcompositionとの違いは，前者が合成で得られた結果であるのに対して，後者は合成する操作のことである．

thecompositeg。foffand9，bythecompositionoffand9Wegetg。fが正しい．平行移動に関するtranslateとtranslationとの違いや，変換に関するtransformとtransfbrmationとの違いも同様である．

・analogとanalogy analog（又はanalogue）は類似物自体に使用し，類似現象を意味する場合にはanalogyを使用する．

・定義 定義を述べる際には，ifandonlyifは使用せず，単にifを使う．例えば
AsubgroupHofGissaidtobenormal，げxrlHT＝Hholdshral13：∈G．
・名称 最近無視されることが多くなっている用法であるが，名称のためのcallを状態の

ガis cαgge（才normalよりもガis5α戎dわみenormalの方が良い．

状態でなく名称の場合にはHiscalledanormalsubgroup．となる．
・略称 簡単のためXXと略称する という場合にはXX，brshortとするのが普通である．

●場合 何々の場合には はthecase whereとする．

︑11■L■■−−1⁚−−−−−−−●−⁚−〜⁝−ト▼−・場合に使わない方が良い．例えば

数学の常識・非常識一由緒正しい呼人力法（小田忠雄）●thatis

即ち の意味のthatisの前後にはコンマを付けるべきである．例えば

AandBareequlValent，thatis，thereexistsa…
である．文を一旦切る場合には， Thatis， ではなく Namely， を使う方が良い．
●一般性を失わない α＝0と仮定しても一般性を失わない． は普通次のように表現する．

Withoutlossofgenerality，WemayaSSumea＝0・・口語的表現 口語的省略iff，itisn，t，Wedon，t，W．r．t．等は論文には相応しくない．
ifandonlyif，itisnot，Wedonot，Withrespectto
等とキッチリ書くべきである．ついでながら，itの所有格はitsであってit，sではない．
it｝sはitisの省略である．

勿論 の意味でofcourseを使うのは，あまりにも口語的であり，論文に相応しくない．

naturallyやneedlesstosay，あるいはItgoeswithoutsayingthat．．．
等の論文らしい表現を使うべきである．

by the wayも口語的すぎる．Ⅵ存wouldlike to add．‥やHereis an additionalre−mark．．．等とすべきである．anywayもおかしく，せめてinanycaseかatanyrateを使うべきであろう．

wanttoよりもwouldliketoを使うべきである．
・存在 存在する の意味ではthereis，thereareでなく，thereexists，thereexistの方が論文らしい．

・日本語の直訳 日本語を直訳したと思われるInthissection，WeprepareSOmelemmas．
のような表現はおかしい．

Inthissection，WePrOVelemmasIleededlater．
のようにすべきであろう．

同様にTheauthorexpressesheartythankstoProfessor．．．もおかしい．
Thanks are due to Pro董bssor‥．

DeepappreciationgoestoProfessor…
TheauthorexpressesgratitudetoProfessor．．
等，英語での慣用表現を使うべきである．

数学の常識・非常識一由緒正しいTが入力法（小Ⅲ忠雄）

・英式，米式 fibreは英式の綴りであり，米式ではfiberである．もしfibreを使うなら，論文を通じ一貫して英式の綴りや表現に徹するべきである．例えば，英式ではneighborhood
ではなくneighbourhoodとすべきであり，prOgramではなくprogrammeとすべきである．他にも，英式ではpolarise，pOlarisation，generalise，generalisation等のように，米式の z が s となる．

● ラテン語等に由来する略語＊andetc・等という表現を見受けることがあるが，etC・がラテン語のetcetera（andsoforth，andsoonの意味）の略である．etがandであることを知れば如何に滑稽であるか判るであろう．

＊etal．はラテン語のetalii（andothersの意味）の略としてよく使用する．
＊i．e．はラテン語のidest（thatisの意味）の略である．
＊e．g．はラテン語のexempligratia（forexampleの意味）の略である．
＊Viz．はラテン語のvidelicet（namelyの意味）の略である．

＊q・e・d・はラテン語のquoderatdemonstrandum（whichwastobedemonstrated）の略である．

参考文献［1］A ManualforAuthorsofMathematicalPapers，Bull・Amer・Math・Soc・68（1962），
429−444．（アメリカ数学会からパンフレットとして発行されている．）［2］E・Swanson，MathematicsintoType，Amer・Math・Soc・改訂版1979．
［3］TheChicagoManualofStyle（14thedition），ChicagoUniv・Press，1993・［4］N・J・Higham，HandbookofWritingbrtheMathematicalSciences，Siam（Soc．forIndustrialandAppliedMathematics），1993；（奥村彰二，長谷川武光共訳）数理科学論
文ハンドブックー英語で書くために−，日本評論社，1994．

［5］野水克巳，数学のための英語案内（HowtoWriteMathematicsinEnglish），サイエンス社，1993．

［6］杉原厚吉，理科系のための英文作艶文章をなめらかにつなぐ四つの法札中公新書1216，
1994年．
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（おだただお，東北大学大学院理学研究科）