Ｃ NSCA JAPAN

Volume 21, Number 2, pages 9-13

特集feature

論文の書き方 5

分散分析（その 1 ）
星川佳広 CSCS, NSCAジャパン編集委員, 東海学園大学准教授
本稿は、「論文の書き方 1：投稿論文を書こう」（ 2013 年 10 月号）の続編パート 4 です。NSCAジャパンウェブサイトに掲載中の「投稿論文（事例報告）の書き方」を参照しながら読み進めてください。
NSCAジャパンウェブサイトTOP【投稿論文（事例報告）の書き方】→ [指導者の育成］ → ［事例報告・研究論文］、「投稿要領」
部分

前回解説した t 検定は、レギュラー自ずと説明に限界があります。実際に分散分析の帰無仮説（前号参照）は、とサブの比較、あるいはトレーニング分散分析を使ってデータ分析する場合

例えば「身長はポジション間で差がな前後の比較のように、2 つのグループは、本記事のみならず次ステップの知い」です。つまり、分析しようとして間の差異を検定するときに使うもので識が必要になります。まず今回は、分いるデータ（標本）が同一の正規分布すした。しかし、私たちS&C専門職にとっ散分析の基礎と一元配置分散分析につる母集団から得られたものと仮定したては 2 つ以上のグループ間を比較した

いて、次回は二元配置分散分析についときに、実際に手元にあるデータのよいということもよくあります。例えば、て基本的な事項を解説します。

うにバラつく確率がどれくらいかを計算するわけです。そしてその確率

ポジション間（FW、MF、DF、GKなど）、学年間（高 1、高 2 、高 3 など）、シー

1．分散分析の考え方が 5 ％（もしくは 1 ％）未満しかありえズン間（オフシーズン、プレシーズン、分散分析にはいくつかの種類があっないならば、帰無仮説を棄却し、「身インシーズン）で比較したい場合などて、データの構造によって利用する方長はポジション間で有意に異なる」と1考えるわけです。

です。このようなときに便利な検定法法が異なります 。その中で最も基本とが分散分析です。英語では「Analysis

なり利用頻度も高いのが一元配置の分

表 1 のポジション間の身長データ例

of Variance」な の で、ANOVAと 略 し散分析です。一元配置分散分析は、1 つで 見 て み ま し ょ う。FW、MF、DF、て言われます。の要因（要因Ⅰ）により分類された複数GKの 4 水準に各 4 名の被検者の身長分散分析は、t 検定と比べると理解すのグループ間を比較します。例えば、データがあります。ポジションごとるためのハードルがぐっと高くなりま

身長をポジションという要因で比較すの平均値は、それぞれ 177.5 、173.3 、す。以下では、本連載の目的である「論る場合などです。ポジションという要175.3 、180.5 cmで、 全 体 の 平 均 値 は4文を書く」ための入り口 としての知識因の中のFW、MF、DF、GKといった176.6 cmです。

を整理していきますが、短い文章では複数のグループは、水準といいます。

144

もし帰無仮説が正しいならば、標一元配置、二元配置等の他に、ノンパラメトリックな方法がいくつかあります。ノンパラメトリックな方法は、グループ間の分散が異なる場合や標本データの分布が正規分布とみなせない場合などに使います。

Ｃ National Strength and Conditioning Association Japan9

2．F分布本（ 各 デ ー タ ）は、176.6 cm（ 全 体 平 均りずっと大きくなる確率は低いはずで値）を中心とする同一の母集団から抽分散分析で確率を計算する際にはFす。一元配置分散分析では、個々のデー出されていると仮定されるわけです

分布を利用します。今、同じ正規分タのばらつき（総変動）を、①要因Ⅰにか ら、16 個（ 4 水 準 × 4 名 ）の デ ー タ布する母集団から 2 組のデータ群（標よる変動（グループ間変動）と②誤差には 176.6 を中心に一定の誤差範囲内で本）を抽出したとします。そして、そよる変動（グループ内変動）に分解しま

22

適当に（ランダムに）バラついて分布すれぞれのデータ群の分散（S1 , S2 ）を求す。そして、①要因Ⅰによる分散（S12、る は ず で す。 し か し 今、 表 1 のMF、め、その比をとります（S12 / S22）。このグループ間分散）と②誤差による分散

22

GKそれぞれの 4 つのデータは、その比をF値といいます。F値（=S1 / S2 ）は（S22、グループ内分散）の比（F値）を計

平均値がそれぞれ173.3 、180.5 cmであ2 組のデータ群をどのように抽出する算します。そしてF値が 1 よりずっとるように、全体平均の 176.6 cmからはかによって変わるはずです。そこでこ大きければ、要因Ⅰによる変動（グルー偏って分布しているようにみえます。の作業を何回も繰り返します。その結プ間変動）が大きい――要因Ⅰの主効帰無仮説を前提としたとき、このよう果、F分布と呼ばれる分布が出現しま果が存在すると考えます。に偏ってしまう確率がどれくらいなのす。 2 組のデータ群は同じ母集団から

図 1 左は、表 1 のデータをグラフ化

その確率が5 ％未満と低ければ得られているので、S1 ＝S 2 、つまりし た も の で す。 一 方、 図 1 右 は ポ ジ

帰無仮説を棄却して、ポジション間にS1 / S2 = 1（F= 1 ）になる確率が高いはションごとの平均値は図 1 左と同一でか？

22有意差ありとしよう、というのが分散

2222

表1

ポジション間の身長データ例

ず で す。 一 方 で、F（=S1 / S2 ）が 1 よすが、個々のデータはバラつきが大き分析になります。つまり、分散分析は個々のデータを、「個々のデータ＝全体の平均＋誤差」とみるべきか、「個々のデータ＝全体の平均＋ポジションの2効果＋誤差」とみるべきかの判断基準

ポジションFWMFDFGK（㎝）

174.0

169.0

172.0

179.0

177.0

173.0

174.0180.0

178.0

175.0

175.0

181.0

181.0

176.0

180.0

182.0

173.3

175.3

180.5

を与えます。前者はポジションの影響は小さく、個々のデータは単に誤差として、ポジションとは無関係に全体平ポジションの平均177.5

均まわりにバラついているだけである

全体の平均176.6とみなします。すなわち、MF、GKの各身長データは、たまたま高かったり、低かったりしただけだということです。一方で後者は身長にポジションの影響が存在するとみなす場合で、個々のデータはポジションの影響を受けた上でバラついていると考えます。ここでポジションの影響があることを、分散分析では「ポジションの効果がある」とか「要因Ⅰの主効果」（上記下線部）と呼びます。つまり身長はポジション間に有意差があるということになります。
図1
2

分散分析の考え方

例えば最後のデータ（GK 4 番目）の 182.0 cmで考えてみましょう。この 182.0 cmを全体平均 176.6 cm＋誤差 4.4 cmとみるべきか、全体平均 176.6 cm+GKポジションの効果 3.9 cm（GK平均 180.5 cm－全体平均 176.6 cm）＋誤差 1.5 cmとみるべきか。

10March 2014

Volume 21

Number 2くなるよう変更してあります。図 1 の左右 2 つのグラフの違いは、要因Ⅰの効果（各ポジション平均と全体平均の差異）に対して個々のデータのバラつきが小さいか大きいかです。図 1 右では、要因Ⅰの効果に対して個々のバラつきが大きすぎます。こういう場合、

図2F値は 1 に近いはずです。つまり、個々Excelの分析ツールのデータは要因Ⅰの効果とは関係がなく、単に誤差によって全体平均のまわ表2りにバラついているだけで、今回はたワークシート例（一元配置）
AB

1レッスンA

レッスンB

レッスンC

2－1.5

0.7－1.6

3－0.2－0.8－1.2

40.9－0.1－1.8

50.3

0.7－0.7

60.1－0.90.2

値が 1 より大きいということは、個々7－0.7－0.20.5のデータのバラつきには、要因Ⅰによ

8－0.3－0.9－2.190.5

またま図 1 右のように分布した――このように分布する確率は、「身長はポジション間に差異がない」という帰無仮説の下ではよくある（ 5 ％以上）、とみなします。一方、図 1 左のようにFる変動のほうが誤差による変動よりもずっと大きく影響していることを意味します。帰無仮説の下では、個々のデー

C－0.4－1.8

10－1.6－211－1.2

図3

表 2データのグラフ

タがこのように分布する確率はきわめて低い（ 5 ％以下）――つまり、個々のタ→データ分析」（Excel 2007 以 上 ）、りだが、本当にそう言って良いのかどデータはポジションの効果が存在した「ツール→分析ツール」（Excel 2003 ）うか。 10 週間の講座前後で体脂肪率上でバラついており、「身長はポジショで、図 2 が開けます。

を測定してみて、その変化が表 2 のよンで有意に異なる」と判断できるわけ「データ分析」には、一元配置分散分うなデータであったとします。ここでです。

析、繰り返しのある二元配置分散分

レッスンA、B、Cは、それぞれ異なる

析、繰り返しのない二元配置分散分析

クライアントが受けていたとします。の 3 種類の分散分析が用意されていま

また、体脂肪率が減少する程度には体Excelに は、 分 散 分 析 を 行 な う たす。手持ちのデータの構造に合わせて脂肪率の初期値が影響するので、開講めのアドイン（ 追 加 ）機 能
「分析ツー選択します。今回は一元配置分散分析

前のクライアントの体脂肪率はだいたル」が用意されています。分析ツールについて説明します。

い同じであったと仮定します。このよ3．Excelによる分散分析

うに対応のない 3 群以上のデータ、つを 利 用 す れ ば、 面 倒 く さ い 分 散 やF値、確率の計算を代行してくれます。

4．一元配置分散分析

まり異なる 3 群以上の被検者間のデータを比較する3ときに、一元配置分散

Excel 2007 以 上 の バ ー ジ ョ ン で は、あなたはエアロビクスのインストラ「ファイル→オプション→アドイン→クターで、レッスン内容としてA、B、分 析 ツ ー ル →OK」で、Excel 2003 でCの 3 パターンを持っているとします。

さ て、 表 2 を グ ラ フ 化 し た も の がは、「ツール→アドイン→分析ツール」

A、B、Cのうちどれが最も体脂肪率

図 3 です。確かにレッスンCは、狙いをチェックすることで、分析ツールがを下げる効果が大きいか？

自分としどおり体脂肪率の減少程度が大きいよ利用できる状態になります。一旦アドて は、A、Bよ り はCの レ ッ ス ン を 体うにもみえますが、そうだと強くも言インを追加したらそれ以降は、「デー

脂肪燃焼を狙った構成にしているつもいにくい結果です。当然ながら、体脂分析を利用します。

3 同じクライアントがレッスンA、B、Cをすべて受けて比較する場合（対応がある場合）は、繰り返しのない二元配置分散分析を利用します（次号解説）。

Ｃ National Strength and Conditioning Association Japan11

肪率の変化にはレッスン内容だけではに対し、確率的に考えて判断基準を提します。「先頭行をラベルとして使用」

なくて、レッスン以外での身体活動や供してくれるのが統計的検定です。

をチェックすると入力範囲の先頭行食事、その他諸々の影響を受けるので、

分 析 ツ ー ル の「 分 散 分 析： 一 元 配（レッスンA ～と書かれている行）がこういう何とも判断しにくい結果にな置」を開きます（図 4 ）。入力範囲にはデータとしてではなくて、ラベルとしることも多いはずです。こういう結果

表 2 の例では、$A $ 1 : $C $ 11 を指定て利用されます。出力先を$A $ 13 に指定 し てOKを す る と、表 3 のA13 : G 27までが出力されます。
出力された「概要」（A 15 ）にはレッ
ス ンA ～ Cそ れ ぞ れ の 標 本 数（=被 検者数）や平均値などが記されています。
出力でより重要なのは「分散分析表」（A 22 ）です。分散分析表には、前述のグループ間分散やF値、確率などが記されています。分散分析の結果を正し

図4

表3Aく理解するためには、この分散分析表分析ツール（分散分析：一元配置）

Bの意味を十分に読み取る必要がありますが、現時点では割愛します4。セル

一元配置分散分析の出力結果
CDEFG

13 分散分析：一元配置
1415 概要
16

グループ判断基準になります。表 3 の例ではP値は 0.043 …なので、この分散分析の標本数

合計

平均結果、5 %水準でレッスン間に有意差が分散

17 レッスンA8-0.9-0.1125

0.56125

18 レッスンB

10-4.7-0.470.582333333

19 レッスンC
2021
22 分散分析表

9-10.5-1.166666667

0.9275変動

自由度

24 グループ間

4.95987963

22.479939815

25 グループ内

16.58975

240.691239583

21.54962963

2623

F 24 に記されたP値が有意かどうかのあると判断することができます。

5．事後検定ここまで一元配置分散分析を使っ

変動要因

分散 観測された分散比
3.587670432

P-値

F 境界値

0.043331166

3.402826105

26272829

合計30

最小有意差法て、レッスン間に有意差があることを示しました。しかし、分散分析が示すのはレッスン間に差異があることまでで、ではどのレッスン間に差があるか

95％信頼区間平均の差下限

上限どうかは、別途検討しなければなりま31（0.05）
t

A,B間

0.3575-0.45644284

1.17144284

せん。このように分散分析によって全32

2.063898562

B,C間

0.696666667-0.091754353

1.485087686

A,C間

1.054166667

0.220368644

1.887964689 ＊体としての有意な結果を得たのちに、

33
34
35

95％信頼区間36 シェッフェの方法

平均の差下限上限

37F（0.05）

A,B間

0.3575-0.671322455

1.386322455

38

3.402826105

B,C間

0.696666667-0.299896247

1.693229581

A,C間

1.054166667

0.000247293

2.108086041 ＊394

レッスンAとB、レッスンAとC、レッ
スンBとCのように、ペアごとにさらに検定を行なうことを事後検定といいます５。

大まかに言えば、グループ間の分散（D 24 、レッスンA、B、Cの平均値のバラつき）とグループ内の分散（D 25 、各レッスン内での個々の被検者のバラつき）の比がセルE 24（F値）。このF値をF分布から確率を求めたのがF 24 のP値。すなわち、E 24 が大きいほどグループ間分散がグループ内分散よりも大きいことを表す。
このことはつまり、グループ間のバラつきが個々のデータのバラつきよりも大きいことを意味し、各グループは同一の母集団から得られたデータとは考えにくい→グループ間に差異がある、と判断する。
5 わざわざ分散分析で全体の有意性を検定しなくても、初めから個々のペアの有意差を t 検定で調べればよいのでは？ →有意差検定を個々のペアで複数回行なうと、有意差が出現しやすくなる（危険率 5 %と言いながら 5 ％以上になってしまう）。したがって、まずは分散分析で、「少なくとも 1 つのグループは他のグループと違う」
ことを 5 ％水準で検定した後、事後に個々のペアを検討しなければならない。

12March 2014

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Number 2残念ながら、Excelの分析ツールは事後検定まではやってくれません。自分でExcel関数を使いこなしつつ計算しなければいけません。事後検定には
６

E 33：=D 33－A 32＊SQRT（（1/B17＋1/B 19）＊D 25）
F 33：=D 33＋A 32＊SQRT（（1/B 17＋1/B 19）＊D 25）

それと比較して大きいかという点をみます。
まず、セルA 38 に自由度がグループ内、グループ間それぞれの自由度のF分布の上側確率 0.05 のF値をFINV関様々な方法 がありますが、ここでは、

ここで 95 ％信頼区間とは、各レッス

事後検定として最小有意差法とシェッン間の差は今回はたまたまセルD 31 ～フェの方法の 2 つについて、表 3 にあD 33 の値になったけれども、各レッス

A38：=FINV（0.05,C24,C25）てはめた計算例を紹介します。

ン内の個々のデータのバラつきを考慮

セルD 37 ～ D 39 は各レッスン間の数によって求めます。

すれば、その値はある幅をもって変動差異で、セルD 31 ～ D 33 に同じです。

●最小有意差法（表 3 A 30：F 33の領域）

しうる――その変動は、95 ％の確率でセルE 37 ～ F 39 には、各レッスングループ間の差が有意になるための下限（セルE 31 ～ E 33 ）から上限（セル間の差異の 95 ％信頼区間の下限と上最小の値を求めて、実際のグループ間F 31 ～ F 33 ）の間に位置することを意限を求めます。の差がそれ以上かどうか検討する方法味しています。逆に考えると、両者のです。

差が下限から上限の間以外になる確率

A32：=TINV（0.05, C 25 ）の 95 ％ 信 頼 区 間 は 0.220 ～ 1.887（ セセルD 31 は、レッスンA、B間の平ルE 33 、F 33 ）で あ る こ と が わ か り

均値の差異で、セルE 31 、F 31 は、そました。つまり、レッスンAとCの差の 95 ％信頼区間の下限と上限です。

は 95 ％の確率をもって 0 以上である

E 37： =D 37－SQRT（C 24＊A 38＊（1/B17＋1/B 18）＊D 25）
F 37：=D 37＋SQRT（C 24＊A 38＊（1/B 17＋1/B 18）＊D 25）
E 38：=D 38－SQRT（C 24＊A 38＊（1/B 18＋1/B 19）＊D 25）
F 38：=D 38＋SQRT（C 24＊A 38＊（1/B 18＋1/B 19）＊D 25）
E 39：=D 39－SQRT（C 24＊A 38＊（1/B 17+1/B 19）＊D 25）
F 39：=D 39+SQRT（C 24＊A 38＊（1/B 17+1/B 19）＊D 25）

わけです。すなわち、上式の√内は、グループ間変動の自の自由度（=C 25 ）における t 分布の両側 確 率 0.05 で の t 値 をTINV関 数 によって求めておきます。

D 31：=＋D 17 －D 18
E 31：=D 31－A 32＊SQRT（（1/B17＋1 /B 18）＊D 25）
F 31：=D 31＋A 32＊SQRT（（1/B 17＋1/B 18）＊D 25）

こ こ で、 セ ルE 31 、F 31 は、 セ ル
D 31 ±A 32 ＊ √（SQRT 関 数 ）の 形 には 5 ％未満しかない、ことを意味します。
今、レッスンA、C間を見てみましょう。計算の結果、レッスンAとCの差

レッスンA－レッスンC＞0

由度（C 24 ）、F値（A 38 ）、グループ内⇔

まず、セルA 32 にグループ内変動分散（D 25 ）の積を被検者数で除していレッスンA>レッスンC（レッスンAとC間には 5 ％水準で有意ます。
計 算 の 結 果、 レ ッ ス ン 間 の 差 異の 95 ％信頼区間に 0 が含まれていな差がある）なっています。√内は、グループ内変

一 方、 レ ッ ス ンAとB、 レ ッ ス ンB

いのは、やはりレッスンAとC間のみ動の分散（D 25 ）を被検者数で除していとCでは、95 ％信頼区間内に 0 が含までした。つまり、シェッフェの方法でることを表します。レッスンB、C間、れます。このことは、それぞれの差もレッスンAとC間には 5 ％水準で有レッスンA、C間も同様にして、各平は 0 で あ る こ と も 起 こ り う る ―― 両意差があることが導かれました。◆

均値の差異の 95 ％信頼区間を求める

レッスン間には差がない、ということことができます。すなわち、になります。

D 32：=＋D 18－D 19
E 32：=D 32－A 32＊SQRT（（1/B 18＋1/B 19）＊D 25）
F 32：=D 32＋A 32＊SQRT（（1/B 18＋1/B 19）＊D 25）
D 33：=＋D 17－D 19

6●シェッフェの方法（表 3 A 36：F 39 の領域）
シェッフェの方法では有意判定する
F値を求め、各レッスン間でのF値が事後検定は利用する方法により、ある方法では有意でも他の方法だと有意とならないということがありうる。一般に最小有意差法は有意差が出やすく、シェッフェの方法は有意差が出にくい、といわれます。

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