Ｃ NSCA JAPAN

Volume 20, Number 10, pages 10-14

特集feature

論文の書き方 3

基本統計量
星川佳広 CSCS, NSCAジャパン編集委員, 東海学園大学准教授
本稿は、「論文の書き方 1：投稿論文を書こう」（ 2013 年 10 月号）の続編パート 2 です。本文中のWEB例とは、NSCAジャパンウェ
ブサイトに掲載中の「投稿論文（事例報告）の書き方」のことです。WEB例を参照しながら読み進めてください。
【投稿論文（事例報告）の書き方】WEB例NSCAジャパンウェブサイトTOP → [指導者の育成］ → ［事例報告・研究論文］、「投稿要領」
部分

事例報告で被検者数が少ない場合、もよく使われるのが「平均値」であり、の被検者がいて、各被検者のあるテス「手持ちの材料」一つひとつをすべて検後者においては「標準偏差」が使われまトの得点結果とします。チームの特徴討し、それを論文に記述することも可す。

を知るためにまずは平均値を求めてみ論文を読んだとき、図表や本文中にましょう。すぐにわかると思いますが強い主張はしにくいものです 。やは「被検者の年齢は 17.5 ± 0.3 歳であっどのチームも平均は 50.0 点です。です

り、ある程度の被検者数やデータ数をた」などの記述を見たことがあるかとから、平均でみればこの 3 チームには基に、集団としての傾向を示したほう思います。これは、被検者全体の年齢違いがないことになります。この結果が論文の主張もしやすくなります。こは、平均が 17.5 歳で標準偏差が 0.3歳から、「どのチームも平均は 50 点で、こで、集団の特徴を数値で表すためにであることを意味します。±の代わりチームごとの差異はなかった」と言う『統計』の出番となります。今回は「手に、17.5（ 0.3 ）歳のようにカッコで表ことは間違っていません。が、何か物持ちの材料」を整理するための基本的現することもあります（WEB例参照）。

足りないような気がしませんか。

な統計量、平均値、標準偏差、分布に標準偏差はSD（Standard Deviation）とついて説明します。

略すこともあります。

能です。しかし、少ないデータを元に1平均値については多くを説明しなく1．平均値と標準偏差最重要な指標です。しかし、それだけで十分かといえばそうではありませてもよいでしょう。各データの集計値

集団の特徴を表そうとする場合、そをデータ数で割ったものが平均値での集団を代表する数値と、その集団のす。標準偏差については、以下、例をバラつき具合を表す数値（散布度とい挙げながら説明します。

います）が必要になります。前者で最1

平均値は、確かに集団の特徴を表す

表 1 は、A、B、Cの 3 チームに各 5名

表1

データ例

チームA

40、45、50、55、60

チームB

30、40、50、60、70

チームC

10、30、50、70、90

データが持つ価値が高ければ、少ないデータでも十分に強い主張ができます。オリンピック選手を対象とした報告、特殊な状況の報告では、被検者数 1 でも十分に報告に値します。

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ん。チームAは得点が 40 ～ 60 点、チー集団内の各データが平均値を中心にいうことを意味しています。

ムBは得点が 30 ～ 70 点、チームCは得

表 1 の例では、チームA、B、Cそれ対称的にバラついている場合、中央値点が 10 ～ 90 点と、各チームで得点のぞれの標準偏差は、7.1 、14.1 、28.3 には平均値に等しくなります。しかし私バラつき（散布度）が違います。この集なります。ですから、「チームA、B、たちが取得するデータは、必ずしもそ団内のバラつきの程度を表現しようとCの得点結果はそれぞれ、50.0 ± 7.1 、のように理想的にバラついてくれるとするのが、標準偏差です。平均値と標50.0 ± 14.1 、50.0 ± 28.3 点」であったは限りません。集団の傾向を表す代表準偏差がそろうと、その集団の特徴はと記述されていれば、読者は、チーム値として、平均値よりも中央値のほうかなり明確になります。

A、B、Cで平均値は同じでもチーム内が適している場合も多いことが実際でメンバーの得点は、チームAはバラつす。

標準偏差は、

きが小さく、チームCには良い得点のΣ ( xi － x )2・・・①n

ただし、xi は各データ、x は平均、n はデータ数

例えば、あるサッカークラブの年俸ものも悪い得点のものも含まれているがここ数年どう変わっているか？とのだな、ということが読み取れます。

いうことを調べたいとします。この場
合、全選手の年棒の一覧を手に入れて、ちなみに、①式の√の中、年度ごとに「平均値」を出してみること難解な式に見えるかもしれませんΣ ( xi － x )nが、①式の ( xi － x ) の部分は、各デーも「分散」という散布度を表す統計量の年は 1,254 万円、次の年は 1,350 万円、

タ xi が平均値 x からどれくらい離れて一つです。つまり標準偏差=√分散でなどの平均値が出てくると思います。

いるか、つまりこの値が大きければそす。

で計算されます。

2が手っ取り早いです。おそらくある

ところが、ある年だけ非常に有名なのデータは平均値から遠く、この値

Excelでは関数を使うことで、簡単外国人選手が移籍してきて、その選手が 0 に近ければ平均値に近いというわに平均値、標準偏差、分散を知ることに 3 億円の年棒を払っていたらどうでけです。この（各データ－平均値）のこができます。それぞれ“=AVERAGE（範しょう。年棒の「平均値」はその年だとを「偏差」といいますが、データごと囲）”、“=STDEVP（範囲）”、“=VARP（範け 3,000 万円などと、かさ上げされるに偏差を出し、それを合算すれば集団囲）”で求めることができます

2、3。

ことになってしまいます。事情を知っている人ならばそれでも構いません

内のバラつきが大きいか小さいかわかるということになります。しかし、偏2．中央値が、数字だけを見る人は、その年はあ差はプラスの場合もマイナスの場合も「平均値」に似たものに「中央値」があたかも選手全員の年棒が上がったかのあるので、全部の偏差を足し合わせるります。
「中央値」は「平均値」とともに、ような印象をもちかねません。とプラスとマイナスが相殺されて 0 に教科書には必ず載っている重要な統計

このようなとき、中央値をその集団なってしまいます。これでは集団内の量ですが、実際にはS&Cに関する論文の代表値とすればよいわけです。中央

バラつきの程度がわかりません。そこ

で、平均値ではなく中央値が利用され値は、真ん中の値であるので、3 億円で偏差を 2 乗、すなわち ( xi － x ) とすることはほとんどありません。しかし、の選手が入った年も、例年と異ならずれば、必ずプラスになるので、集団内中央値の概念を知っておくことは重要

1,200 ～ 1,400 万円の数字に落ち着くの各データが平均値からどれくらい離だと思います。と思います。このように、特に離れ値2れているかを確実に足し合わせること

中央値とは、データを小さい順（まを含む集団では、平均値よりも中央値ができます。したがって①式は、各デー

たは大きい順）に並べたときに、ちょのほうがその集団の特性を適切に表す

タの偏差の 2 乗値を全部合計し（「偏差うど中央にくる値のことです（データ場合があります。

平方和」といいます）、それをデータ数が複数の場合は、中央の 2 つのデータ

被検者数が少ない場合、平均値を集（n ）で割ったものを、ルート（√）によの平均値）。例えば 5 つのデータがあ団の代表値として使うと、離れ値が強り 2 乗する前の元の状況に戻した、とるならば 3 番目の値が中央値です。

く影響することを知っておく必要があ2 範囲には、例えばセルA 2 からA 8 までデータの平均をするならば、「A 2 : A 8 」が入る。
3 =STDEVP（範囲）
や=VARP（範囲）は、範囲にあるデータを母集団データとした場合の標準偏差、分散です。Excelには似た関数に=STDEV（範囲）、=VAR（範囲）がありますが、これらは範囲にあるデータを標本データとした場合で、①式のnの部分が n - 1 で計算されます。母集団と標本については次回ご説明します。

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ります。Excelを使うと、あまりよく表2

考えないでも簡単に平均値を求めるこ

被検者A ～ U 20 名のBMIと度数分布表

ABとができてしまうので、より一層この1

被検者BMI点には注意が必要です。Excelで中央

2

A

3

B

4

値は“=MEDIAN（範囲）”で計算できます。

3．度数分布論文を書き出す段階までくれば、集団を平均値と標準偏差のみで集約してOKですが、「手持ちの材料」を吟味する段階では、「度数分布」を調べて集団の全体像を捉えておくことも役に立ちます。
例として、表 2 に被検者 20 名のBMI値（A 2：B 21 ）と、それを元にした度数分布表（D 1：E 10 ）のワークシート例を示しました。度数分布とは、ある基準範囲内に何名が入るか、表 2 で言え ばBMIが 19 ～ 21 の 人 が 3 名、BMIが 21 ～ 23 の人が 5 名、といったことを示すものです。Excelでは度数分布

DE

基準

度数（人数）

23.8

19未満

222.2

19 ～ 21未満

3C28.121 ～ 23未満

55D

23.9

23 ～ 25未満

56E20.925 ～ 27未満

37F32.3

27 ～ 29未満

18G21.630 ～ 31未満

09H21.5

31 ～ 33未満

110I26.1以上

011K

26.2

12L

23.2

13M

19.8

14N

18.7

15O

26.4

16P

18.0

17Q

21.0

18R

22.3

19S

21.8

20T

24.7

21U

23.1

22

平均値

23.3

23

標準偏差

3.4

6

グラムによって、簡単に作ることがで5きます。

4度数（人）

表も、データ→データ分析4→ヒスト

図 1 は、表 2 の度数分布表をグラフにしたものです。このように度数分布をグラフ化したものは「ヒストグラF

32ム」（histogram）といいます。通常なら

1ば、ヒストグラムは富士山のような形

019未満 〜 21になって、平均値近くで度数が多く、

C〜 23〜 25〜 27〜 29〜 31〜 33

BMI（kg/m ）2

両端に離れるほど度数が少なくなりま

図1す。表 2 のBMIの平均値は 23.3（セル表 2 のデータを元にしたヒストグラムB 22 ）ですが、ヒストグラムを作成す限らないことです。例えば、「 100 点変わらず 50 点です。仮に図 2 右のよると、この「平均値」が集団を適切に代満点のテストで平均は 50 点であった」

うな場合は、平均値を集団の代表値と表するかどうかを確認することができと聞けば、通常は図 2 左のようなヒスして「手持ちの材料」を整理しても、適ます。また、被検者F（BMI= 32.3 ）がトグラムのイメージを持つと思いま切な論文は書けないでしょう。むしろ離れ値であることも押さえておくことす。しかし、最近はよく二極化などと二極化しているそのことを論文のテーができます。

言われますが、図 2 右のようなヒストマとするほうが良いと判断すべきでここで注意が必要なことは、ヒストグラムになっている可能性もあるわけす。これは「分布」を検討してはじめてグラムは必ずしも富士山型になるとはです。この場合も、平均値は図 2 左と見えてくることです。

4Excelのバージョンによっては、ツール→分析ツール。メニューに分析ツールがない場合、事前にアドインで「分析ツール」を挿入しておく必要がある。

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77665

度数（人）

度数（人）

8543

4322

1

100

15点未満 〜 30点 〜 45点 〜 60点 〜 75点 〜 90点 90点以上

15点未満 〜 30点 〜 45点 〜 60点 〜 75点 〜 90点 90点以上

平均値

平均値

図2

ヒストグラムの例（平均値に度数が多い例［左］と少ない例［右］）

4．正規分布
度数分布を発展させて、正規分布に平均値± 1σ内に全体の約68.3％ついても簡単に説明しておきます。次回から紹介する統計的検定では正規分布を仮定することが多いので、正規分平均値± 2σ内に全体の約95.4％

布とは何かについて事前の知識があると都合が良いです。
図 1 、図 2 のヒストグラムは、たか- 2σ

だか数十人のデータを元につくられた- 1σ

図3ものでした。これを 1 万人、10 万人と0+ 1σ+ 2σ

正規分布（σ：標準偏差）被検者数を増やしたときに描かれるでの位置はどこになるでしょうか。コイ

繰り返したとしても、確率的に、位あろうヒストグラムが正規分布です。

ンの表と裏が出る確率は等しく 1 / 2 と置 0 、1 、2 に 1：2：1 のヒストグラムに正規分布は図 3 の太線のような形をしします。

なるはずです。同様のことを、コインます。つまり、被検者数が少ない状況

駒の位置は、コインの表裏の出方にを 4 回、6 回振ったあとの駒の位置の度では図 2 右のような偏ったヒストグラ

よって変わるので、何試行かやってみ数分布を検討すると、図 4 B、Cのヒムが出現することもありえますが、非て駒の位置の度数分布を検討してみまストグラムになるはずです。そして、常に多くの被検者のデータが得られれす（ 1 試行終わったらまた原点に戻っコインを振る回数をもっと増やしていば、平均値を中心に対称的なきれいなて再試行とします）。

くと、正規分布（図 4 D）に近づきます。

分布になるであろう、と考えるわけで

1 試行目：コインは、表→表と出ました。

このコインの例でわかる重要なこと

駒の位置は、2 です。

は、正規分布に従うデータは、平均値す。実際に私たちのまわりの多くの指標、 身 長、 体 重、BMI、 腹 囲、1 RM、50 m走タイム…いずれもデータがたく5さん集まると、正規分布が現れます 。
もうひとつ、違う例を使って正規分布を説明します。今、コインを振って、コインの表が出たら、駒を+ 1 前進し、2 試行目：コインは、表→裏と出ました。
駒の位置は、1 です。
3 試行目：コインは、裏→表と出ました。
駒の位置は、1 です。
4 試行目：コインは、裏→裏と出ました。
駒の位置は、0 です。

を中心にある確率でバラつく（分布する）ということです。コインを 6 回振ったときに、表→表→表→表→表→表と表が連続して 6 回続く確率は、64 回に1回（ 1.56 ％）しかありません（図 4 Cの位置 6 ）。しかし、珍しいことではあ裏が出たらその場に留まることをしま

4 試行の度数分布は、位置 0 が 1 回、るけれども可能性が全くない（確率がす。駒ははじめ原点（0）にいます。コ

1 が 2 回、2 が 1 回で図 4 Aのヒストグ0 ）ということでもありません。つまりインを振ることを 2 回行なった後、駒ラムになります。このあと何試行か正規分布のカーブは度数の分布である

5

厳密には、「現れると考えられます」のほうが適切。必ずしも正規分布ではないために生じる問題も別にあるのですが、ここでは正規分布すると考えてください。

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13371度数（回）52度数（回）

度数（回）6432100012

位置A0B12304

位置

2120191817161514131211109876543210C123456位置

D

図 4 度数分布から正規分布
A：2 回、B：4 回、C：6 回コインを振ったときの駒の位置の度数分布（本文参照）、D：正規分布内に集団データの 68.3 ％が含まれるしているともいえます。平均値周りのことがわかっています（図 3 ）。した

さらに、集団データの 95.4 %は平均値は出現する確率が高くて、山の両端が っ て、 論 文 内 で「 被 検 者 10 名 の 年値から± 2 標準偏差内に含まれることの値は出現確率が低い。そしてこの確齢は 17.5 ± 0.3 歳であった」と書かれがわかっています。逆に考えれば、平率が、次回から説明する統計的検定にている場合、被検者 10 名のうち 6 名

均値より 2 標準偏差以上大きいか、小つながってきます（この駒の位置の確か 7 名の年齢は、17.2 ～ 17.8 歳の間でさいデータというのは、全体の 4.6 ％率は次回も使いますので覚えておいてあるということが推測できます。またしかなく、もしそういうデータが存在ください）。

面白いことに平均± 1 標準偏差のとこしていればそれはかなり稀なデータ

集団データが正規分布に従う場合、ろで、正規分布のカーブは、上が凸のだ、とわかるわけです。◆

確 率 的 に、 平 均 値 か ら ± 1 標 準 偏 差

カーブから下に凸のカーブに切り替わInformationと同時に、ある値が出現する確率を表ります。

NSCAジャパン＆日本健康運動指導士会 第 2 回合同学術大会テーマ：「健康的に年を重ねるために」■日時：2014年3月1日（土） 9：00 ～ 17：45■会場：国立オリンピック記念青少年総合センター 大ホール
■講演者（予定）：
寛仁親王妃信子殿下
下光 輝一（公益財団法人健康・体力づくり事業財団理事長）
森谷 敏夫（NSCAジャパン理事長）
安部 孝（インディアナ大学客員教授）
阿部 良仁（NSCAジャパン事務局長）
斉藤 智子（健康運動指導士、日本健康運動指導士会群馬県支部長）
谷ノ口 昭太郎（CSCS＊D、NSCA-CPT＊D、認定検定員、有限会社オールフォア）
藤竹 晃平（CSCS、NSCA-CPT、レベルⅠ認定）■受講料：
NSCAジャパン会員・健康運動指導士会会員 6,000円
非会員 12,000円

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Number 10■CEU：0.6（カテゴリー A）■その他資格： 健康運動指導士・健康運動実践指導者、ADI/JAFA AQUA、高齢者体力つくり支援士※それぞれ単位申請予定
12月上旬、受付開始予定です。詳細は受付開始後、ウェブサイトにてご覧ください。