、式、
h2[2次式 (2次関数y)1 2次関数y= ax2+bx+c(α キ 0)(1)を次のように変形できる .

や+会y‑宅ιzfy=

この変形を 平方完成 という .

l 2次式(1)は￨最大値・最小値

bx= 2aのとき ， a<0ならば，のとき ， a >0ならば，

b‑ 4ac4a2

最小値最大値

2‑ 4bac4aをとる .

をとる .

D = b‑ 4ac を 2次式(1)の判別式 という .
2D<0のとき ， 2次 式 (1)の符号は←定であ り， すべての Z について
α<0ならば，α>0ならば，ax+bx十 c>O

ax2+bx十 c<02で、ある .

で、ある .

￨因数分解I 2次方程式 ax+bx+c= 0の解を α，sとす れば，
2ax2+比 十 c=α (x‑α)(
x‑s)
例

す2次方程式 4x2‑ 8x+1=0の解は x= (2土庁)であるから ，4x2‑ 8x+1=4{x‑ ~ (2+/3)}{x‑ ~ (2‑/3)}= (2x‑ 2‑/3)(2x‑ 2+/3)『大学数学の基礎~(石 原 繁 編/裳華房)

3[2次関数のグラ フ 1 z次関数 y =ω2+比 +cの グラフ は放 物 線 であ ってx軸 との関係は下のよ うである .
D >0D=O

D <0bbx= 2ax=‑2aI¥iノα。

x=‑2abα> 0の とき

1旦 <04abbbx=一一2一ax=‑2a•

一一一一一一ー
一一"xa< OZ

J2.>04a一一D
一 =04αx=‑2aB‑'z/ :¥zZのとき

D

α4、Av

D ̲^D4α4av

この図表 でU軸に平行な直線 x=

去を 放 物線の軸，一一を 放 物 線 の頂点•一‑τ
点(‑Zbα~)2a'とい う(.
.
.16参照).

3

指数関数

α>0， aキ 1 とする . X の関数
y = aXを指数関数 といい

aをその底 という .

l指数関数の性質 )(1) 指数関数 y = aX の定義域は実数全体，値域は正の実数全体である .
x(2) y=aのグラフは点 (0，1)を通り

X 軸はその漸近線で、ある .

(3) a> lのと き， y =aX は増加関数である .すなわち ，Xl<X2

争

0< a<1のとき ， yXl

αXI<aX'

ポは減少関数である .すなわち，

<X2

ニキ

aX1 >αX，U

U

y=a"

Z

y=日ZOz7

例 題 1 紅 百 と 何Eの大小を 比べよ .
紅百=沼I=2t，[解答]

何2=伝言=2+4， 5x
きて ，y=2は増加関数であり ，‑i‑>3/ 4 であるから ，2
ま>2+紅百>侭E

例 題 2 次の指数方程式を解け .

+2x3x‑ 3= 0

(1) 42x= 25‑X(2) gx

2X= (242x=2'x)2[解答] (1)であるから ，問題の方程式は次のようになる:
2'x=25‑X

したがって，両辺の指数を比較して4x=5‑X.
'.

ヂ =(32)x(2)X=1= (3X)2であるから ，問題の方程式は次のようになる :x‑ 3=0(3X)2十 2・3(3x‑ 1)(3X +3)= 0xx
しかし ，3>0であるから ，3+3>0であって

x3‑1=0x =330x
3=1x=O

例 題 3 次の不等式を解け .
2Xx3・3‑ 3<2x
[解答] 3=tとすれば，問題の不等式は次のようになる
2‑ 3<2tt(t+1)(t‑3)<0
き て 十 1=3 +1>0であるから ，xt‑3<0t<3x3は増加関数であるから ，x<1x3<36比

角[鋭 角 の 三 角 比i 右下の図の直角 三角形で
cosA=主.
C'sinA =.
2:.
‑C 'すtanA=をそれぞれ サイン A，コサイン A，タンジェン卜 A とよむ.これらを合わ0。である .すなわち ，Aは鋭角であせて三角比 という .ここで， 0<A<9る.特別な角 A の三角比は下の表のようである:

A。
3045。

60・

f3sinA

l

12!2

cosA

f3tanA

f32l

B

211!22I

f3A

なお，

cosecA=→
l7・SInA 'secA =‑i 7・
COSA 'otA=一」一tanAをそれぞれ セカン卜 A，コセカント A， コタンジェン卜 A とよ ぶ.

nb一﹁匂内一一AndAA一n一回

sir
仕 +cos2A = 1[三 角 比 相 互 の 関 係

1十 tan2A = sec2A

l sin(90"‑A)=∞sA， cos(90"‑A)=sinA190"‑ A の 三 角 正tan(90"‑A) = cotA

13I
鈍角の三角比 1 原点を 中心 とする半径 rの円において x軸の正の 向きから左まわりに角 。をとったとき ，半径 OPを考え， 円周上の点 Pの座標を(x，y) とする . このとき ，次のように定める:
sin8= JLtan8=~乞cos8= 王 .

r'xr'U。は鋭角U。は鈍角γ一γγ zZ

一γ0xγ Z

このとき ，Oが鋭角 (0<θ<90)ならば，0。が鈍角(90 <8<180)ならば，000sin8>0， cos8>0smθ>0， cos8<0tanθ>0tan8<0

なお， 8=90。の とき， x=0であるから tan8は定義き れない.
。壬 O壬 180 の三角 比は 次の表の ようである :おもな角 。(00)。 0・ 30 45 60 90 120 135 150 18013。 21 J1 123。
smθ22113 1。 21 1 !23 ‑1cosθ
221 。
。 !13 1 Jtanθ
‑13 ‑1 !
3000。

0l

玄00ll0/2‑/2/2すL一一一[180。一 θ の三角比l sin(180 8)= sinθ ，c (180 8)=一 cos。
0回‑tan(1800‑0‑8)= ‑ tan8

10空間の直線

空間で点 P(a，b，c) を通 り
， ベク トル u = (A，B，C) に平行で、ある直線 fの方程式は主 二 乏 = 之 二 立 = 三 二i

ABC

この直線の媒介変数表示は

lx=a十 Aty=b十 Bt(tは媒介変数)Z

z=c+Ctベク トル U を直線 Jの方向ベクトル という .
異なる 2点 P(a，b，c) と Q(a'，b'，c') を通る直線の方程式は

x‑a 一 之 二 土a'‑ab'‑bzニic'‑c

この直線の媒介変数表示は

lz=α+α( ‑a)ty=b+(b'‑b)tz= c+(c'‑ c)t
平行でない 2平面π ax +by +cz +d =07[': a'x十 b'y+c'z+d'= 0の交わりである直線 Jの方程式は ，次の連立方程式で与えられる :lGZ+何 十 cz +d =0
a'x+b'y+c'z+d'=0(tは媒介変数)21

2つの直線(平行条件・垂直条件 1) と u'= (a'，b'，c') であに対し，それぞれの方向ベクトルは u= (a，b，cる.方向ベクトル U と u'によって定まる 2つの角のうち 90 以内の角を直0線 g と Jのなす角という .

2つの直線 g と fが平 行で、あるための必要十分条件は
aa'bb'cc'

直線 g と Jが垂直 で、あるための必要十分条件は

aa'+bb'+cc'= 0+斗o斗。 + +<4。
斗。
斗。サ。斗。+斗。++

例題 1 点 (2，一2，4) を通り，方向ベクトルが u = (3，2，4)である直線の方程式を次の形で表せ.

(2) 媒介変数表示(1) 達比1) 求める直線の方程式を連比で表すと，[解答] (三二i 一之土三一三二生
324(2) 前問 (1)で得た 比の値を tとおくと ，求める 直線の媒介変数表示は[z=2+3ty=‑2+2tz=(tは媒介変数 )4+4t

例題 2 次の 2直線が垂直になるように
z+2x +l= y‑3=一万一 ，aの値を定めよ.

王土 3‑4JL‑3.
.
.
ニ生
aa十 2

[解答] 2直線の垂直条件より

1‑(‑4)+l‑a+α(a+2) =0a +3a‑4=02

ゆえに，求める aの値は α=1， ‑4:‑α‑1)(α+4)=0

20 関数の増減と極大・極小￨関数の増減 ￨定理

関数 f(x) は閉区間 [a，b]で連続， 開区間 (a，b)で微分可 能 であるとする .

(1) (a，b)で /'(x) >0ならば，f(x) は [a，b] で増加関数である.

(2) α(，b)で /'(x) <0ならば，f(x) は [a，b] で 減 少 関 数 である .
UU

y=f(x)¥/ObOZzaj'(x)>0

j'(x)く O

吟。司号。司号。吟。 サ。 斗。吋告。斗。++ 寸。~。寸。寸。

例題 1 関数 f(x) は Z で 2回微分可能で、あり ，f(O)= 0，，/(0)= 0 であるとする .

x >0 で !"(x) >0であ れば

x >0にお いて f(x) >0であることを証明せよ .
[解答] g(x)=/'(x) とすれば，g'(x)=!
"(x) である .ゆえに ，x>0でg'(x)=fぺx) >0であるから ，x >0で g(x) は増加関数である . したが って ，g(O)=/，(0)=0であるから ，x>0 においてg(x) >043すなわち ，x >O で !
'(x) >0である .まとめて ，/(0)=0であり ，x > O にお'(x) >0である .ゆえに ，x >0においていて !
/(x) >0である .

例題 2 x>0のとき ， 次の不等式を証明せよ .
I(1) e>1I(2) e>1十 Z[解答] (1) /(x) =eI ‑ 1 とすれば，!
'(x) =eI >0/(0)=0，したか って ，x>0のとき ，/(x) >0

eI ‑1>0eI >1(2) g(x) =e ‑ (1+x) とすれば，IIg'(x)= e‑ 1

ゆえに，上の(1)によ って，x>0のとき，g(O)=0，g'(x) >0ゆえに ，x>0のとき ，g(x) >0eI ‑ (1+x) >0
Ie>1+x

例題 3 /(x) = 2X3+3x2+12x+1 とする .x 孟 Oのとき ;/(x)).0であることを証明せよ .
[解答/(x) = 2X3+3x2+1
2x+1とすれば，!
'(x) =6(x2+x+2)
2‑ 4
きて， 2次式 x2+x+2の判別 式は D =1・1・2=‑7 であって ，D <0である (.
.
.1参 照 ). したがって，すべての zに対して!
'(x) =6(x2+x+2) >0となる .
きて， /(0)=1>0であり ，!'(x) >0であるから ，x 孟 Oのとき ，/(x) >0で、ある .

1 2次方程式・ 2次不等式[2次 方 程 式 の 解 の 公 式 l・2次方程式

ax十 bx+c=O2(α キ 0)(1)の解の公式は

x=‑b‑:
t必て石Z2a.2次方程式

ax2+2b'x+c= 0(α キ 0)(2)の解の公式はb'‑:t行b')2て acx=

[解 の 判 別 1

十αα+β=c一α
一一ρμ￨解 と 係 数 の 関 係 1 2次方程式(1)の解を α，β とすれば2次方程式(1)について
D = b2 ‑ 4acをその判別式 という .

2次方程式 (1)はD>0のとき ，D= 0のとき，D <0のとき，注意
カずある .

異なる 2つの実数解 α，s をもっ.
た だ Iつの実数解(2重解 )αをも っ.

虚数解 U 十 vi
， u ‑ vi(vキ 0) をもっ.

2次方程式 (2)については，判別式 D の代りに ， D'= (b')
2‑ ab を用いること

79
程式=C妨+中時

白つhuiijd'

式一ー
十一︑d一碍一

一qA

一一次一

(a>0)

(3)に対して，s[1] (3)が 異 な る 2つ の 実 数 解 αy=ax'+bx+c(α <s) をもっとする .(すなわち ，D=グ ‑ 4ac>0 とする)

•ax2+bx十 C>O(α>0)の解はZx <α•x>sax +bx+c<02(α >0)y=αx'+bx+cの解はα< x < s口1] (3)が 2重 解 αを も っ と す る .
c= 0 とする)(すなわち ，D = b2‑ 4a•ax2+bx+c>0(α>0)αの解はZZキ α•

ax +bx+c<02(α >0)を満足する Z は存在しない .

y= ax'+bx+c[m] (3)が虚数解をもっとする . (すなわち ，D = b2‑ 4ac<0 とする)•

ax2+bx+c>0(a>0)の解はすべての x.

•

ax2+bx+c<0を満足する Z は存在しない .

(a>0)

・4Z

曲 線
1 1次分数関数と無理関数
a一z

一一ud(1) 1次分数関数 (直角双曲線 上UUzz=fzJ+q(図は α>0，p>0，q>0の場合)

yU

qly=qL
x=pOpZ