SDS-14
ノイズを含む多次元非定常時系列への新しいフィルタリング法と応用
国友直人
February 2020

Statistics & Data Science Series back numbers:
http://www.mims.meiji.ac.jp/publications/datascience.html

ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用
国友直人
研究の動機

ノイズを含む多次元非定常時系列への新しいフィルタリング法と応用

マクロ経済データの例
非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程

国友直人

データの直交分解
フィルタリング法
実例と展望

明治大学

2020 年 1 月

非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用国友直人
研究の動機2020 年 1 月 11 日「関西計量経済研究会」(一橋大学) における講演内容。
佐藤整尚氏との共同研究 Kunitomo-Sato (2019),
Kunitomo-Awaya-Kurisu (2019, published), Kunitomo-Sato(2017) に基づく (基本的アイデアは高頻度データに関する研究をまとめた Kunitomo, Sato and Kurisu(2018, Springer)にある)。研究への高橋明彦氏からの示唆に感謝する。

マクロ経済データの例
非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程
データの直交分解
フィルタリング法
実例と展望
非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望Outline
研究の動機
マクロ経済データの例
非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程

ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用国友直人
研究の動機
マクロ経済データの例
非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程
データの直交分解

データの直交分解

フィルタリング法
実例と展望

フィルタリング法
実例と展望
非共和分・共和分 I(1) 時系列の推定
まとめと展望非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望研究の動機▶ 多くのマクロ経済データにおいては非定常性、季節性、定常的な循環、観測ノイズなどがしばしば観察される。
例えば GDP 統計の季節調整・複数系列の合成 (内閣府)、複数のマクロ消費系列から月次合成指標 (統計局)などについて幾つかの問題がある。
▶ 政府統計で広く利用されている季節調整法のX-12-ARIMA では一次元 Box-Jenkins 法 (Reg-ARIMAモデル) が古典的な移動平均法 (Moving Average) とともに (十分な理解があるといえない中でも) 広く利用されている。
▶ 統計数理研究所で開発された赤池・石黒の BAYSEA、
北川の DECOMP（Kitagawa(2010)）においてはガウス
尤度関数に基づくカルマン・フィルタリングにより 1次元時系列の成分分解が実用化されている。多次元化はかなり困難。高次元の分解 はかなり困難.

ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用国友直人
研究の動機
マクロ経済データの例
非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程
データの直交分解
フィルタリング法
実例と展望
非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用国友直人▶ Econometrics では Hodorick-Prescot (1997), Baxer-King(1999) が知られているが、前者は Decomp において
d=2, 分散比を適当に設定と解釈可能 (seeHarvey-Trimbur (2009))。後者の両側対称移動平均(Band-Path-Filter) はアドホック側面があるが、SIML
フィルター (後述) と関係あり。
▶ Muller-Watson (2018) は Kunitomo-Sato (2017,
unpublished) の特別な場合における効率的でない推定法と解釈が可能。SIML フィルターに基づく SIML 推定
は一般に consistent となる.

研究の動機
マクロ経済データの例
非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程
データの直交分解
フィルタリング法
実例と展望
非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望▶ 多くのマクロ時系列では全く同一ではないが似たような季節性や (景気) 循環変動などの共変動が観察されている。Engle-Granger(1987) では非定常系列においてVAR(vector AR) による共和分 (co-integration) 分析を提唱しているが、(現実的な) 季節性や観測ノイズの存
在は無視している。
▶ Co-integrated processes は興味深いが、現実の時系列には制約的すぎないだろうか。例えば厳密に co-integrate
してないと、co-integrated 状態に近い場合でも従来のかなりの議論が破綻する。(回帰係数の一致性 etc.) こ
こで重要なのは非定常多次元データ間の関係を損なわないフィルタリング方法が必要なこと。
実例
xt = (

yt = (x1,txϵ) = ( 1,t−1 ) + ( 1,t ) ,x2,tx2,t−1ϵ2,ty1,tx + βx2,tv) = ( 1,t
) + ( 1,t ) .
y2,t
x2,t
v2,t

ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用国友直人
研究の動機
マクロ経済データの例
非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程
データの直交分解
フィルタリング法
実例と展望
非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望▶ 四半期データ (20 年) では 80、月次データでは 120 程
度の時系列データを想定、時系列としては小標本デー
タである。
▶ 他方、Kunitomo, N. , Sato and D. Kurisu (2018) では
金融高頻度データ分析において分離最尤推定法を提案している。（Separating Information Maximum
Likelihood Estimation for High Frequency Financial
Data, Springer）本稿で提唱する方法は SIML をマクロ
(離散時間) 時系列に発展させた方法と理解できる。
▶ 本稿では多次元非定常時系列がしたがう分布にほぼ依存しない新しいフィルタリング法を開発したので報告する。応用可能性は広範に及ぶと判断している。例えばトレンド抽出、トレンド間の回帰、季節調整、季節性間の分析、などの問題が実例である。マクロ消費に関する実験的分析結果にも言及する。

ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用国友直人
研究の動機
マクロ経済データの例
非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程
データの直交分解
フィルタリング法
実例と展望
非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望マクロ経済データの例
マクロ経済データとして重要な系列である実質 GDP と実質消費の二次元時系列、マクロ消費系列の三系列を例として議論する予定。

ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用
国友直人
研究の動機

11.30

マクロ経済データの例

11.20

Kn 変換と Zn 過程

11.15

データの直交分解

11.10

フィルタリング法
実例と展望

11.05

RCONSUMPTION(log)11.25

非定常変数誤差モデル

非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
11.60

11.65

11.70
RGDP(log)

11.75

11.80

まとめと展望125000

国友直人
研究の動機

110000

RGDP

ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用

1995

2000

2005

2010

2015

マクロ経済データの例

75000

非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程

65000

RCON

Time

データの直交分解
1995

2000

2005

2010

2015

Time

フィルタリング法
実例と展望
非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望図 2.2 : 実質 GDP vs. 実質消費1500012000

data$KAKEI

ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用
0

50

100

150

国友直人

Time

14000

マクロ経済データの例

11000

data$SYOUDOU

研究の動機

0

50

100

150

Time

非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程

115

フィルタリング法

90 100

data$SANNJI

データの直交分解

実例と展望
0

50

100

150

Time

非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望図 3.1 : マクロ消費 3 系列

非定常変数誤差モデル

ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用

簡単な離散時間の変数誤差モデル

yi = xi + vi (i = 1, · · · , n),を考察する。ここで xi (i = 1, · · · , n) は非定常 I(1) 過程であり(x)∆xi = (1 − L)xi = vi
ラグ作用素 Lxi = xi−1 , ∆ = 1 − L,

vi =

∞
∑

(x)

=

(x)

マクロ経済データの例
非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程

フィルタリング法(v ) (v )Cj ei−j ,実例と展望
非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定∞∑

まとめと展望(x) (x)Cj ei−j ,

j=0
(v )

研究の動機

データの直交分解

j=0

vi

国友直人

(v )

(x)

ei , ei , は i.i.d. 系列、E(ei ) = 0, E(ei ) = 0,(v ) (v )′(v )(x) (x)′(x)E(ei ei ) = Σe (正定). E(ei ei ) = Σe (非負定), 係
数和の絶対値収束性を仮定

f∆x (µ), fv (µ) をそれぞれ ∆xi ,vi (i = 1, · · · , n) の (p × p)
スペクトル密度行列f∆x (µ) =∞∞1 ∑ (x) 2πiµj (x) ∑ (x)′ −2πiµj
1
1 国友直人
(
Cj e
)Σe (
Cj e
) (− ≤ µ ≤ ) ,π22研究の動機
j=0

fv (µ) =ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用j=0

マクロ経済データの例∞∞
1 ∑ (v ) 2πiµj (v ) ∑ (v )′ −2πiµj
1
1 非定常変数誤差モ
(
Cj e
)Σe (
Cj e
) (− ≤ µ ≤ )デル
π
2
2
j=0

(x)

j=0

(s)

Kn 変換と Zn 過程(v )基準化 C0 = C0 = C0 = Ip , i 2 = −1。階差変換∆yi (= yi − yi−1 ) の p × p スペクトル密度行列f∆y (µ) = f∆x (µ) + (1 − e 2πiµ )fv (µ)(1 − e −2πiµ ) .

データの直交分解
フィルタリング法
実例と展望
非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望各成分の長期分散共分散行列 (g , h = 1, · · · , p) は(x)

Ωx

= f∆x (0) (= (ωgh )) ,Ωv

= fv (0) = (ωgh ) .

(v )ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用季節性を含む加法モデル

国友直人

yi = xi + si + vi (i = 1, · · · , n),において正整数 s (s > 1), N, n = sN とした季節要素を(s)si (i = 1, · · · , n) は (1 + L + · · · + Ls−1 )si == vi , を満足と仮定 (Kitagawa (2010), Kunitomo and Sato (2017)),
(s)
vi =

∞
∑

研究の動機
マクロ経済データの例
非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程
データの直交分解(s) (s)Cjs ei−sj ,

j=0
(s)
(s)
(s) (s)′(s)ei は i.i.d. 系列、E(ei ) = 0, E(ei ei ) = Σe 、係数和の絶対値収束性を仮定する。
他の定式化, 例えば (1 − L)si が定常過程, あるいは
Box-Jenkins の定式化なども可能。

フィルタリング法
実例と展望
非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望例えば (1 − L)si が定常過程との定式化なら f∆s (µ) を ∆siの (p × p) スペクトル密度行列
∞

∞

j=0

j=0

ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用国友直人
研究の動機

1 ∑ (s) 2πiµsj (s) ∑ (s)′ −2πiµsj
11f∆s (µ) = (
),
Csj e
)Σe (
Csj e
) (− ≤ µ ≤ マクロ経済データ
の例
π
2
2
(s)

非定常変数誤差モ
デル

基準化 C0 = Ip , i 2 = −1。階差変換 ∆yi (= yi − yi−1 ) のp × p スペクトル密度行列

Kn 変換と Zn 過程

f∆y (µ) = f∆x (µ) + f∆s (µ) + (1 − e 2πiµ )fv (µ)(1 − e −2πiµ ) .

実例と展望

長期分散共分散行列 (g , h = 1, · · · , p) は

1(s)
Ωs = f∆s ( ) (= (ωgh )) .
s

データの直交分解
フィルタリング法

非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望Kn 変換と Zn 過程′

データ行列に対して Kn − 変換（Yn より Zn (= (zk ))）は()
Zn = Kn Yn − Ȳ0 , Kn = Pn C−1
n ,

(n)
(n)
Pn = (pjk ) , pjk =研究の動機

非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程
データの直交分解
フィルタリング法
実例と展望

]
[
1
1
2
2π
(k − )(j − ) .
cos
2n + 1
2
2
n + 12′

国友直人

マクロ経済データの例

により定義。ただし

10 ··· 00
 −1 10 ··· 0 −1

0 ··· Cn =  0 −1 1,
 0
0 −1 10 
000 −1 1n×n√

ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用′−1 = P D P D はこのときスペクトル分解により C−1
n n n
n
n Cn
対角行列、第 (k,k) 要素は
2 π 2k−1
dk = 2[1 − cos(π( 2k−1
2n+1 ))] = 4 sin ( 2 ( 2n+1 )) (k = 1, · · · , n) 。

非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用国友直人

Kn − 変換された系列 Zn に対するフィルタリングを考える。
m × n 選択行列 Jm = (Im , O) として n × p 行列′′X̂n = Cn Pn Jm Jm Pn C−1
n (Yn − Ȳ0 )研究の動機
マクロ経済データの例
非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程

ただし

Zn = Pn C−1
n (Yn − Ȳ0 )n × n 変換

データの直交分解
フィルタリング法
実例と展望′

Qn = Pn Jm Jm Pn .

非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望次により一般の Kn − 変換された系列 Zn に対するフィルタ
リングを考える。例えば季節性は離散時間の季節周期
s (> 1) と理解できる。m2 × [m1 + m2 + (n − m1 − m2 )] 選
択行列 Jm1 ,m2 ,n = (O, Im2 , O), n × p 行列′′Ŵn = Cn Pn Jm1 ,m2 ,n Jm1 ,m2 ,n Pn C−1
n (Yn − Ȳ0 )n × n 行列′

Qn = Pn Jm1 ,m2 ,n Jm1 ,m2 ,n Pn .
′ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用国友直人
研究の動機
マクロ経済データの例
非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程を利用する。このとき (j, j )-要素
データの直交分解′
Qn = Pn Jm1 ,m2 ,n Jm1 ,m2 ,n Pn (= (qj,j ′ )) はフィルタリング法[
実例と展望 ]
1 +m2 )π1 )πsin 2(m2n+1(2j − 1) − sin 2(m
− 1)
1
2m2
2n+1 (2j
非共和分・共和分+,
qj,j =π
I(1) 時系列の推定
2n + 1 2n + 1
sin 2n+1 (2j − 1)
まとめと展望[′′1 1+m2 )π1 )πsin 2(m2n+1(j + j − 1) − sin 2(m
(j
+
j
−
1)
1
2n+1
qi,j ′ =′π
2n + 1
sin 2n+1 (j + j − 1)]′′
1 +m2 )π1 )π(j − j ) − sin 2(msin 2(m2n+1′
2n+1 (j − j )(j ̸= j ) .
+′π
sin 2n+1 (j − j )データの直交分解

ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用国友直人

2π
記号 θjk = 2n+1
(j − 12 )(k − 12 ) ,(n)

pjk = √

研究の動機1(e iθjk + e −iθjk )2n + 1を利用して非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程(n)∆λ z(n) (λk ) =n∑

データの直交分解(n) (n)pjk rj(n), rj= yj − yj−1 ,j=1と表現すると、変換系列 Zn はデータのある種の実フーリエ(n)変換 ∆λ z(n) (λk ) (k = 1, · · · , n) はデータの周波数(n)

マクロ経済データの例

λk (= (k − 1/2)/(2n + 1)), におけるフーリエ変換、データ直交増分過程である。

フィルタリング法
実例と展望
非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望定理 5.1(離散時間) 確率過程 rj (j = 1, · · · , n) はエルゴード的定常過′程、Γ(h) = E(rj rj−h ) は
∞
∑

国友直人
研究の動機

∥Γ(h)∥ < ∞ .

h=0を満たす (有界性を）。
∑(n)(n) (n) (n)(i) ∆λ z(n) (λk ) = nj=1 pjk rj , rj がエルゴード的定常過程で E[rj ] = 0, 対称化実スペクトル密度行列

fSR (λ) = Γ(0) +ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用∞∑マクロ経済データの例
非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程
データの直交分解
フィルタリング法
実例と展望

cos(2πhλ)[Γ(h) + Γ(−h)] ,h=1

非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望(n)は正定符号、有界性を仮定。λk → s,(n)

λk ′ → t(0 < s < t < 21 ). n −→ ∞ のとき
[
]
[
]
(n)
∆λ z(n) (λk )fSR (s)0w−→ N2p 0, [
] .
(n)
0
fSR (t)∆λ z(n) (λk ′ )ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用∑[tn] ∑(n) (n)(ii) 増分過程 Zn (t) − Zn (s) = √1n k=[sn] nj=1 pjk rj(0 < s < t < 1). n −→ ∞ のときw

Zn (t) − Zn (s) −→ Np [0, FSR (t) − FSR (s)] ,ただし FSR (t) は p × p (対称化実) スペクトル分布行列∫ t
FSR (t) =で与えられる。

研究の動機
マクロ経済データの例
非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程
データの直交分解
フィルタリング法

fSR (λ)dλ .
0

国友直人

実例と展望
非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用(実) スペクトル経験分布 (行列) は
FSR,n (t) =1 ∑(n) (n)(n) (n) ′(∆t zk (λk ))(∆t zk (λk )) .
n

国友直人
研究の動機

k≤[2nt]マクロ経済データの例となる。
KS(2017) における SIML 推定量は非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程

Gm =

1
m

m
∑

(n)

(n)

データの直交分解′∆0 zk (λk )∆0 zk (λk ) .

フィルタリング法

k=1

実例と展望
非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定

より一般にはまとめと展望Gm (t) =1m[2nt]+ m2n

∑

(n)

(n)

(n)

(n)

′

(∆t zk (λk ))(∆t zk (λk )) .

k=[2nt]− m2n +1

ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用国友直人

定理 5.2 : (離散時間) 確率過程 rj (j = 1, · · · , n) がエルゴー′
ド的定常過程、Γ(h) = E(rj rj−h ) とする（有界性を仮定）。
(i) mn = [nα ] (0 < α < 1) とおくと、任意の t ∈ (0, 21 ) に対し n −→ ∞ のとき
p

Gm (t) −→ fSR (t)

研究の動機
マクロ経済データの例
非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程
データの直交分解
フィルタリング法(ii)n −→ ∞ のとき

実例と展望

p

FSR,m (t) −→ FSR (t) .

非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用国友直人

伝統的時系列論ではスペクトル分布 F を持つ定常 (離散時間) ベクトル過程 rk∗ に対して右連続な直交増分 (ベクトル,複素数値) 過程 z∗ (λ) (−1/2 ≤ λ ≤ 1/2) が存在し、∫∗
rk =e i2πikν dz∗ (ν) (k = 1, · · · , n).
(−1/2,1/2]と表現されることが知られている。(Doob (1953), Hannan(1971), Brockwell and Davis (1990).)

研究の動機
マクロ経済データの例
非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程
データの直交分解
フィルタリング法
実例と展望
非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望(今回のフィルタリング法)

ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用国友直人
研究の動機

本稿における実ベクトル値をとる確率過程 (理論値)∫(u)cos(2πkν)hu (cos(2πkν)dz(ν) (k = 1, · · · , n)rk =(0,1/2]

マクロ経済データの例
非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程
データの直交分解(u = x ,u = s) に対する (離散時間) フィルタリング値はフィルタリング法
∫
実例と展望
(n,u)
rk
=
cos(2πkν)hu,n (cos(2πkν)dzn (ν) (k = 1, · · · , n) 非共和分・共和分(0,1/2]

I(1) 時系列の推定
まとめと展望(u = x ,u = s) と表現される（h(·) はカーネル関数)。

ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用国友直人
研究の動機▶ 多期間の予測誤差を最小化するような最適なカーネル
選択法 hu,n (·) を考察中
▶ 離散時間確率過程 ∆λ z(n) (λ(n)
k ) は右連続な直交増分(ベクトル, 実数値) 過程 z∗ (λ) (−1/2 ≤ λ ≤ 1/2) に弱収束する：フィルタリングの理論的誤差評価を考察中

マクロ経済データの例
非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程
データの直交分解
フィルタリング法
実例と展望
非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望データの直交分解

ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用国友直人
研究の動機

幾つかのマクロ系列を利用して本稿で考察しているフィル
タリング法の妥当性が高いことが分かった。伝統的な時系
列解析では定常過程にもとづくスペクトル密度の推定に高い関心を示していたが、その方法では非定常系列では上手
くいかない理由が明らかになる。また例えば Box-Jenkin 法
で推奨されている季節階差法には基本的な問題がある、ことなどがここでの分析から分かる。ここでは幾つかのデー
タ分析の例示にとどめる。

マクロ経済データの例
非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程
データの直交分解
フィルタリング法
実例と展望
非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望6e+05
2e+05

国友直人
研究の動機
マクロ経済データ
の例

0e+00

RCON

4e+05

ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用−2e+05

非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程
データの直交分解
0

20

40

60

80

freq

100

フィルタリング法
実例と展望
非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望図 7.1 : 実質消費 (原系列)

国友直人

−5000

研究の動機
マクロ経済データの例
非定常変数誤差モ
デル−10000RCON

0ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用Kn 変換と Zn 過程
データの直交分解
0

20

40

60

80

freq

100

フィルタリング法
実例と展望
非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望図 7.2 : 実質消費 (階差系列)

0.8

1.0

ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用

0.6

国友直人

0.4

マクロ経済データ
の例

0.2

Fn

研究の動機

非定常変数誤差モデル

0.0

Kn 変換と Zn 過程
データの直交分解
0

20

40

60

80

100

freq

フィルタリング法
実例と展望
非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望図 7.3 : 実質消費 (経験スペクトル分布)

real GDP (unadjusted, 1994.Q1−2018.Q2)

n=98

国友直人
研究の動機

11.70

マクロ経済データの例

11.65

非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程

11.60

データの直交分解
フィルタリング法
実例と展望

11.55

log(gdp)

11.75

11.80

original series
official S.A.seriessimlfilter(alpha=0.99,z[48:52]<− 0)

ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
0

20

40

60
Time

図 7.5 : 実質 GDP

80

100

まとめと展望

0

国友直人
−8000

KAKEI

ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用

0

50

100

150

研究の動機

freq

非定常変数誤差モ
デル

0
−8000

SHOUDOU

マクロ経済データ
の例

0

50

100

150

freq

Kn 変換と Zn 過程
データの直交分解

−20

実例と展望

−60

SANJI

20

フィルタリング法

0

50

100
freq

図 7.6 : 消費系列

150

非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用Macro-SIML
Theorem 4.1 (Kunitomo-Sato, 2017) Assume that(x)(x)
wi = (wji ) and vi = (vji ) are a sequence of independent(x)4

random variables with E[wig ] < ∞ andE[vig4 ] < ∞ (i, j = 1, · · · , n; g , h = 1, · · · , p).
Then (i) For mn = [nα ] and 0 < α < 1, as n −→ ∞pΣ̂x − Σx −→ O .

国友直人
研究の動機
マクロ経済データの例
非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程
データの直交分解
フィルタリング法(ii) For mn√= [nα ] and 0 < α < 0.8, as n −→ ∞

(
] )
]
[
[
L
(x) (x)
(x) 2
(x)
(x)
.
mn σ̂gh − σgh −→ N 0, σgg σhh + σgh

The covariance of the limiting distributions of
√
√
(x)
(x)
(x)
(x)
mn [σ̂gh − σgh ] and mn [σ̂kl − σkl ] is given by(x) (x)(x) (x)σgk σhl + σgl σhk (g , h, k, l = 1, · · · , p).

実例と展望
非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望非共和分 I(1) 時系列の推定
n=
true
mean
SD

Table 1 : Simulations (Direct LS)
200
1000
30000
1.2000000 1.2000000 1.2000000
2.20160362 2.2287208 2.091839
0.09298806 0.2182666 1.489691

Table 2 : Simulations (MW)
n=
200
1000
30000
true
1.2000000 1.2000000 1.2000000
mean 1.1417666 1.2128945 1.1875414
SD
0.5278531 0.5300892 0.5337179

ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用国友直人
研究の動機
マクロ経済データの例
非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程
データの直交分解
フィルタリング法
実例と展望
非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望

n=
true
mean
SD

Table 3 : Simulations(SIML)
200
1000
30000
1.2000000 1.2000000 1.2000000
1.0827566 1.180712 1.20200982
0.3277927 0.190392 0.07657053

まとめと展望▶ 多くのマクロ経済データにおいては非定常性、季節性、定常的な循環、観測ノイズなどが観察される。応用上
では例えば GDP 統計の季節調整・系列の合成 (内閣府)、複数のマクロ消費系列から総合指標の作成 (統計局) など、幾つかの重要な問題がある。これまでよく利用されている季節調整法の X-12-ARIMA、DECOMP、VAR による共和分分析などはいずれも改善が必要である。
▶ 本稿では多次元非定常時系列の分布にあまり依存しな
いマクロ SIML 法にもとづく新しいフィルタリング法を開発した。計測誤差を含む多次元非定常系列の実務的課題、例えば、トレンド抽出、トレンド間の回帰、
季節調整、季節性間の回帰、集計系列の合成、などへの応用可能性は広範と考えられる。

ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用国友直人
研究の動機
マクロ経済データの例
非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程
データの直交分解
フィルタリング法
実例と展望
非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望References▶ Akaike, H. (1973), ”Information Theory and an extension of the
maximum likelihood principle,” 2nd International Symposium on
Information Theory, B.N. Petrov and F. Csaki edited, Academiai
Kiado, Budapest, 267-281.
▶ Anderson, T.W. (1971), The Statistical Analysis of Time Series,
John-Wiley.
▶ Harvey, A. and T. Trimbur (2008), ”Trend Estimation and The
Hodorick-Prescott Filter,” J. Japan Statistical Society, 38-1,
41-49.
▶ Kitagawa, G. (2010), Introduction to Time Series Analysis, CRC
Press.
▶ Baxter, M. and G. King (1999) ,”Measuring Busines Cycles :Approximate Band-Path Filters for Econimc Time Series,” Review
of Economics and Statistics, 81-4, 575-593.
▶ Hodrick, R.J and K.J. Prescott (1997), ”Postwar US Business
Cycles : An Empirical Inveatigation,” Journal of Money, Credit
and Banking, 29, 1-16.
▶ Kunitomo, N. , Sato and D. Kurisu (2018), Separating
Information Maximum Likelihood Estimation for High Frequency
Financial Data, Springer.

ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用国友直人
研究の動機
マクロ経済データの例
非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程
データの直交分解
フィルタリング法
実例と展望
非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定
まとめと展望▶ Kunitomo, N. and S. Sato (2017), ”Trend, Seasonality andEconomic Time Series : the Non-stationary Errors-in-variables
Models,” SDS-4, MIMS, Meiji University,
http://www.mims.meiji.ac.jp/publications/2017-ds.
▶ Kunitomo, N., N. Awaya and D. Kurisu (2019), ”Some Properties
of Estimation Methods for Structural Relationships inNon-stationary Errors-in-Variables Models,” Japanese Journal of
Statistics and Data Science, Springer, Open Access.

ノイズを含む多次元
非定常時系列への
新しいフィルタリ
ング法と応用国友直人
研究の動機
マクロ経済データの例
非定常変数誤差モデル

Kn 変換と Zn 過程▶ Kunitomo, N. and S. Sato (2019), ”A Robust-filtering Method for
Noisy Non-Stationary Time Series,” SDS-9, MIMS, Meiji
University,

データの直交分解▶ Müller, U. and M. Watson (2018), ”Long-run Covariability,”
Econometrica, 86-3, 775-804.

非共和分・共和分
I(1) 時系列の推定▶ Nishimura, G. K., Seisho Sato, Akihiko Takahashi (2019), ”Term
Structure Models During the Global Financial Crisis: A
Parsimonious Text Asic-Pacific Financial Markets.

フィルタリング法
実例と展望

まとめと展望