Ｃ NSCA JAPAN

Volume 21, Number 3, pages 12-17

特集feature

論文の書き方 6

分散分析（その 2 ）
星川佳広 CSCS, NSCAジャパン編集委員, 東海学園大学准教授
本稿は、「論文の書き方 1：投稿論文を書こう」（ 2013 年 10 月号）の続編パート 5 です。NSCAジャパンウェブサイトに掲載中の「投稿論文（事例報告）の書き方」を参照しながら読み進めてください。
NSCAジャパンウェブサイトTOP【投稿論文（事例報告）の書き方】→ [指導者の育成］ → ［事例報告・研究論文］、「投稿要領」
部分

前号、「分散分析（その 1 ）」で紹介し果の有意性を調べるものであったのレーニングAで効果が大きい（図 1 下段

たのは、1 つの要因（要因Ⅰ）の効果ので、二元配置分散分析が 2 つの要因の中央）、というような要因の組み合わ有無を判断する一元配置の分散分析で効果を調べるものということは、おおせによる効果が考えられるからです。

した。今回紹介するのは二元配置分散

よそ想像がつくかと思います。例えば、

すなわち、二元配置分散分析では、③分析で、2 つの要因（要因Ⅰ、要因Ⅱ）異なるトレーニング方法を異なる対象若者（あるいは高齢者）のみに変化が大の効果と、その 2 つの要因の交互作用に当てはめる場合を考えます。今、A、きいトレーニング方法があるかも調べの効果を判断する方法です。本記事でBという 2 つのトレーニング方法（要ることができます。このことを交互作は、二元配置分散分析を理解する上因Ⅰ）があって、トレーニングを実施用効果（要因Ⅰ×要因Ⅱ）といいます。

での基本事項について理解を深めたする対象が若者と高齢者の 2 つの年齢

二元配置分散分析は、単にそれぞれの後、Excelの分析ツールを使った二元層（要因Ⅱ）であるとします。このとき要因について一元配置分散分析を 2 回配置分散分析を紹介します。本稿のトレーニング効果（トレーニング前後繰り返すことと同じではなくて、交互

第 4 節、「繰り返しのない二元配置分の変化量）に対して二元配置分散分析作用の効果も併せて検証することが特散分析」は、対応する群による一元配を実施すると、①A、Bのトレーニン徴ともいえます。つまり、二元配置分置分散分析と実質同じで、私たちS&Cグ方法に違いがあるか（要因Ⅰの主効

散分析は、個々のデータを専門職としては、その利用のほうが多果）、②年齢（若者と高齢者）に違いが「個々のデータ＝全体の平均＋要因Ⅰ

いかと思いますので、それに沿った紹あるか（要因Ⅱの主効果）を調べることの効果＋要因Ⅱの効果＋要因Ⅰ×Ⅱの介をします。

ができます（図 1 ）。

交互作用の効果＋誤差」

しかし、それだけではありません。

1．二元配置分散分析の概要

要因が 2 つになると、若者はトレーニ

一元配置分散分析が 1 つの要因の効

12

April 2014

Volume 21

ングBで効果が大きいが、高齢者はトNumber 3とみなすことができるかどうかの判断基準を提供します（前号 1 節参照）。

元配置と、“繰り返しのない”二元配置が用意されています。
“繰り返しのあ若者
高齢者若者
高齢者

若者

トレーニング効果

分散分析として、“繰り返しのある”二トレーニング効果

Excelのデータ分析には、二元配置

トレーニング効果

2．Excelによる二元配置分散分析1

高齢者る”とは、要因Ⅰと要因Ⅱの組み合わトレーニングAです。
“繰り返しのない”とは、要因Ⅰ

要因Ⅰ
要因Ⅱ
交互作用と要因Ⅱの組み合わせに対して 1 つのも同時に検定できますが、繰り返しのない二元配置分散分析では、計算上、要因Ⅰ
要因Ⅱ
交互作用

トレーニングB

効果あり
効果なし
効果なし

高齢者

トレーニングA

A<B

要因Ⅰ
要因Ⅱ
交互作用

若者

トレーニング効果

ある二元配置分散分析では、交互作用

トレーニングA

若者
トレーニング効果

データしかない場合です。繰り返しのトレーニングB

効果なし
効果なし
効果なし

高齢者

トレーニングB

効果なし
効果あり
効果なし

高齢者<若者

若者

トレーニング効果

せに対して、データが複数ある場合

高齢者

交互作用効果を検定できません。したがって、繰り返しのない二元配置分散

トレーニングA

分析は、交互作用がないとわかってい要因Ⅰ
要因Ⅱ交互作用る場合にしか適用できません。

図1

トレーニングB

効果あり
効果あり
効果なし

トレーニングA
要因Ⅰ
要因Ⅱ
交互作用

A<B
高齢者<若者

トレーニングB

トレーニングA

効果なし
効果なし
効果あり

要因Ⅰ
要因Ⅱ
交互作用

トレーニングB

効果あり
効果あり
効果あり

A<B
高齢者<若者

トレーニング方法（要因Ⅰ）と年齢（要因Ⅱ）の二元配置分散分析のイメージ

3．繰り返しのある二元配置分散分析
前号の続きで、あなたはエアロビク
スのインストラクターで、レッスン内

表1

A

B

C

レッスンA

レッスンB

レッスンC

－1.5

0.7

－1.6

3

－0.2

－0.8

－1.2

4

0.9

－0.1

－1.8

5

0.3

0.7

－0.7

6

0.1

－0.9

0.2

7

－0.7

－0.2

0.5

8

－0.3

－0.9

－2.1
－1.8

容としてA、B、Cの 3 パターンをもっ1ているとします。前号の一元配置分散2分析の結果は、レッスンCがレッスン
Aよりも体脂肪率の減少効果が有意に大きい、というものでした。ここで前号で分析したデータ例（前号表 2 ）は、対象が大学生であったとします。そうワークシート例（繰り返しのある二元配置）

大学生

D

すると、もしかしたらクライアントの90.5－0.4

年齢層が変わると、レッスン効果も異

10－0.4－1.6－2なる可能性があります。そこで新たに

11－1.5－0.3－3.6

12－1.2－0.8－2.2

13－0.1－0.1－2.8

14－0.7－0.3－1.7

150.1－0.9－1.6

16－1.7－0.2－2

データが表 1 のように得られたとしま

17－0.3－0.9－3.1

す。

180.5－1.4－2.8

19－0.4－1.0－4

中高年のクライアント 3 群（各 9 名）を対象にして、同じようにレッスンA ～Cを実施し、体脂肪率の減少効果を検証することにしました。そして、その表 1 のデータ構造は、レッスン（要中高年

因Ⅰ）とクライアントの年齢層（要因1

実際には、分散分析後の事後検定や多重比較、対応のある群での分散分析など、分散分析を十分かつ柔軟に実施しようとすると、Excelのデータ分析ツールのみでは力不足。もちろんExcelの関数を駆使して自分で計算することは可能だが、統計専用のソフト（SPSSなど）のほうが利便性は高い。

Ｃ National Strength and Conditioning Association Japan

13Ⅱ）の組み合わせにデータが複数（9ずつ）あります。したがって、ここでは“繰り返しのある”二元配置分散分析を利用します。そうすることで、体脂肪率減少効果について、レッスンA、B、Cの違い（要因Ⅰの主効果）とクライアントの年齢層の違い（要因Ⅱの主効果）と、さらに、レッスンとクライアント

図2の年齢層の交互作用効果の有無につい分析ツール（繰り返しのある二元配置）て、検証することができます。
表2

Excelでデータ分析を呼び出し、分散分析：繰り返しのある二元配置を選択します。そうすると図 2 のボックスが出現します。表 1 の例では、入力範囲に「$ A $ 1：$ D $ 19 」を指定します。

A
24252627

分散分析（繰り返しのある二元配置）の出力結果

BCDE

概要

28レッスンA

レッスンB

レッスンC

合計

標本数

99927

合計

－1.3－3.5－10.5－15.3

31

平均－0.14444－0.38889－1.16667－0.56667

出力先に$ A $ 25 を指定してOKをしま

32
33

分散

0.500278

0.581111

0.92750.815385

す。その結果、表 2（A 25：G 54 の領域）

35

標本数

9992736

合計－5.3－5.9－23.8

－35

37

平均

－0.58889－0.65556－2.64444－1.29633839
40

分散0.558611

0.1977780.700278

1.39267841

標本数18181842

合計－6.6－9.4

－34.3

43

平均－0.36667－0.52222－1.90556

44454647

分散0.550588

0.385359

1.344085

変動自由度が現れます。
概要（A 27：E 44 の領域）には、レッ
スンA、B、Cそれぞれに関して、大学生、中高年、および合計（大学生と中高年の全データ）の標本数や平均、分散などの基本的な統計量が記されています。図 3 は、これらの基本統計量を使って、レッスン（要因Ⅰ）と年齢層（要因Ⅱ）の組み合わせの平均値をグラフ化したものです。
表 2 において大事なのは、分散分析表（A 47：E 54 の 領 域 ）に 出 力 さ れ ている内容です。変動要因（セルA 49 ～H

大学生

30グループの被検者数）9 を入力します2。

G

分散分析: 繰り返しのある二元配置

29

1 標本あたりの行数には、標本数
（各F34

中高年

合計

分散分析表

48P－値

F 境界値

49

標本

7.186852

17.186852

12.44277

0.000935

4.042652 ＊＊50

列25.83593

212.9179622.36518

1.36919E-07

3.190727 ＊＊

51

交互作用

3.849259

2

1.924633.332158

0.044146

52

繰り返し誤差27.72444

48

0.577593

合計

64.59648

53

変動要因

分散

観測された分散比

3.190727 ＊

53
5455

A 51 ）には、標本、列、交互作用と記されていますが、この場合、標本＝年齢層（要因Ⅱ）、列＝レッスン（要因Ⅰ）、ます。すなわち、体脂肪率減少効果

されています。

交互作用＝要因Ⅰ×Ⅱに相当します。

そして分散分析表の中で最も重要は、レッスンごとに有意差があり、まセルD 49 ～ D 51 にそれぞれの分散がな の が セ ルF 49 ～ F 51 に あ るP－ 値

た、年齢層によっても有意に異なると出力されていて、これと繰り返し誤差です。表 2 の例だと、標本、列のP－判断することができます。さらには交の分散（セルD 52 ）の比、すなわちF値値はいずれも非常に小さく 、1 ％水準互作用についてもP－値= 0.0441 …な（前号参照）がセルE 49 ～ E 51 に出力（ p < 0.01 ）で有意な効果があるといえので、5 %水準（ p < 0.05 ）で有意な効果

32 Excelのデータ分析での繰り返しのある二元配置分散分析は、繰り返しの数（標本数）が水準ごとに同一である必要があります。
3 1.37 E-07（セルF 50 ）は、1.37 × 10-7を表す。したがって、0.000000137…

14

April 2014

Volume 21

Number 3

を受けたとすると、その人がもつ特性

文例では、シーズン間の体脂肪率を二0.5がデータに影響し、異なるクライアン

元配置分散分析で分析したことが記さ

0

トがレッスンを受けた場合に比べて誤れていますが、この方法によっていま－0.5差（バラつき）が小さくなるからです。

す。そこで以下では、繰り返しのない前節の要因Ⅱが、例えば年代（大学二元配置分散分析というよりは、対応生と中高年）ではなくて、レッスン時のある一元配置の分散分析の例として－2.5間（朝、昼、晩）であったとしましょう。

説明します。

－3

体脂肪率減少効果が最も大きいのは、あなたはレッスンCがAよりも体脂－3.5

どのレッスンをどの時間帯に行なうと肪率減少の効果が大きいことを知り、良いか、を調べるイメージです。この次に、レッスンA、B、Cでどの程度の場合、同じ被検者がレッスンA、B、C身体負荷がクライアントにかかっていを受けて効果の違いを比較したり、あるかを定量的に確認したいと思いましるいは同じ被検者がレッスンを朝、昼、た。そこで、心拍計を使ってレッスン晩と受けて効果の違いを比較したりし中の心拍数を調べることにしました。

交互作用の有意な効果とは、図 3 にたくなるものです。しかし、Excelのクライアントには、レッスンA、B、Cよって理解できると思います。レッス

データ分析ツールを使って、2 つの要すべてを体験してもらうことにしまし

ンCは、対象が大学生、中高年者いず因の効果を検証する場合には、“繰りた。

れであっても、レッスンA、Bよりも返しのない二元配置分散分析”であろ

表 3 は、被検者No. 1 ～ 8 までの 8 名

体脂肪率の減少効果が大きいが、レッ

うと“繰り返しのある二元配置分散分がレッスンA、B、Cすべてを受けて、スンCを中高年が受けた場合の体脂肪析 ”で あ ろ う と、 レ ッ ス ンA ～ Cと、そのレッスン中の平均的な心拍数デー率減少効果は、大学生が受けた場合とレッスンを行なう時間帯（朝、昼、晩）タとします。このデータに対して、繰比べるときわめて大きい。このようなでクライアントは違っていなければなり返しのない二元配置分散分析によっ要因Ⅰ、要因Ⅱのある水準間の組み合りません。この点には注意しましょう。て、レッスン間に心拍数の差があるかわせでほかとは異なる傾向のデータがそ の 一 方 で、 私 た ちS&Cの 分 野 にどうかを検証します。計算上は、繰り得られているときに交互作用が有意にあっては、データ分析ツールの繰り返返しのない二元配置分散分析と同じになります。ちなみに、今回のデータとしのない二元配置分散分析が有用な場なりますが、ここでは、レッスン間（要は異なり、レッスンCと中高年の組み面が別にあります。それは、一元配置因Ⅰ）の差異のみを検証し、被検者間合わせが、大学生の結果と異なりむし分散分析において 1 つの要因内のすべの差異は重要な意味をもちません。まろ体脂肪率が増えてしまった、というての水準に対して、同じ被検者から反た、レッスンと被検者の交互作用もなデータであっても交互作用は有意にな復してデータが得られている場合でいものと考えます（あったとしても効ります。

す。例えばレッスンA、B、Cを同じク果の有無を検証できません）。図 4 はライアントが行なった場合で、すなわ

表 3 のデータをグラフ化したもので

4．繰り返しのない二元配置分散分析

ち要因間のデータに対応のある場合です。

Excelに用意されている分散分析は、す。この場合、検討する事項はレッス

Excelでデータ分析を呼び出し、分一元配置、二元配置いずれにおいても、ン間（要因Ⅰ）のみの比較ですが、実質散分析：繰り返しのない二元配置を選水準間で独立した（対応のない）データ的に繰り返しのない二元配置分散分が択します。そうすると図 5 のボックスであることを前提とします。前節の例

利用できます 。私たちS&Cの分野でが出現します。表 3 の例では、入力範でいうとレッスンA、B、Cを受けるクは、むしろこちらのほうが利用頻度が囲に$ A $ 1：$ D $ 9 を指定します。ラライアントは異なっていることが前提高いと思います。ウェブサイト掲載中

ベルをチェックすると、1 行目がデーです。もし同じ人が反復してレッスンの「投稿論文（事例報告）の書き方」の論タではなくてラベルとして利用され体脂肪率の変化（%）

1－1

大学生－1.5

中高年－2－4

レッスンA レッスンB レッスンC

図3

表 2 概要のデータをグラフ化があると判断できます。

44

一元配置分散分析において、同じヒトやものから反復してデータを取るようにすると、異なるヒトやものからデータを取るよりも誤差が減って水準間の差異を表出させやすくなる。S&C分野では被検者がヒトであることが多いので被検者内要因というが、一般にはヒト以外のこともあるのでブロック要因という。

Ｃ National Strength and Conditioning Association Japan15

ワークシート例（繰り返しのない二元配置）
ABCDレッスンA

レッスンBレッスンC

No.1

150

158160

3

No.2

145

150

150

4

No.3

157

155

151

5

No.4

143

144

154

6No.5

132

133

138

7

No.6

165

163

171

8No.7

179

182

185

9No.8

123

131128

1

被検者

2190

180170

心拍数（拍／分）

表3

No.1

160

No.2
No.3

150

No.4
No.5
No.6

140

No.7
No.8

130120110

ま す。 出 力 先 に $A $ 15 を 指 定 し て

レッスンA

レッスンB

図4

OKをします。その結果、表 4（A 15：レッスンC

表 3 データのグラフ

G 38 の領域）が現れます。
表4 の分散分析表内の行「（セルA 34 ）」は被検者間の差異になります。
図 4 のグラフをみて当然ながら、被検者の個人差は非常に大きいので、セルF 34 のP－値は非常に小さい値になります。しかし「論文を書く」場面ではこのことは重要ではなく、論文内に記述する必要もありません。重要なのは「列図5（レッスン間の差異）」におけるP－値分析ツール（繰り返しのない二元配置）のセルF 35 の値です。今、列のP－値も 0.020 …ですから、5 %水準でレッスンという要因に有意な効果を認める結

TINV関 数 で 用 い る 自 由 度 は、 分 散Ⅲ、Ⅰ×Ⅲの交互作用効果、さらに要果となりました。すなわち、レッスン分析表内の“誤差要因”の自由度（セル因Ⅰ×Ⅱ×Ⅲの交互作用効果の有意性間で心拍数は異なる、と判断すること

C 36 ）で す。 さ ら に 平 均 の 差 の 95 %を検証することになります。私たちができます。

信頼区間を求めるとき（ セ ルE 42 ～S&C分野の研究対象としては、この構F 44 ）には、分散分析表内の“誤差要因”造は複雑すぎて何を明らかにしているの分散（セルD 36 ）を利用します。

かが分かりにくいです。
「論文を書く最後に、レッスン間の差異を最小有意差法で事後検定しましょう（前号参結果的に、レッスンCはレッスンAこと」を念頭に何かしらの実験や測定

A43：=TINV（0.05,C36）よりも有意に心拍数が高いことが分かを実施するならば、設定はなるべくシ

D42：=＋D27－D28

りました。

ンプルにし、要因は 2 つくらいまでが照）。

妥当でしょう。したがって、二元配置

E42：=D42－A43＊SQRT（（1/B27

5．二元配置分散分析以上＋1/B28）＊D36）
F42：=D42＋A43＊SQRT（（1/B27

原理的には 3 つ以上の要因を比較検分散分析までが現実的な使用範囲になります。

＋1/B28）＊D36)

討する三元、四元配置の分散分析もあまた、二元配置分散分析においてE43 ～ F44は、E42, F42と同様りえます。しかし、例えば三元配置のも、要因の各水準のデータに、対応がセルA 43 には、最小有意差法に用

分散分析は、要因Ⅰ、Ⅱ、Ⅲそれぞれある場合と対応がない場合が混在する

いるｔ値を求めています。このときの主効果に加えて、要因Ⅰ×Ⅱ、Ⅱ×と き も あ る と 思 い ま す。S&C分 野 で

16April 2014

Volume 21

Number 3

いうと、トレーニング群と非トレーニ群）において、トレーニング前、1 ヵ月

表4A

分散分析
（繰り返しのない二元配置）の出力結果

BC

DE

F

1516を追跡していくような実験設定の場合

18

No.1

3468

156

28

19No.23445

148.333333

8.33333333
9.33333333

グ群と非トレーニング群で差異が出るのか、差異が出るとしたらいつからか（ 1 ヵ月後？

3 ヵ月後？）を明らかにできます。しかしこの実験設定では、トレーニング群と非トレーニング群で

17概要

標本数合計

平均

分散

20No.33463

154.333333

21No.4

3441

147

37

22No.53403

134.333333

10.3333333
17.3333333

23No.63499

166.333333

24No.7

3546

182

925

No.8

3382

127.333333

16.3333333

26
27

レッスンA

81194

149.25319.642857

は被検者が異なり対応がない一方で、

28

レッスンB

81216

152

276.571429

29

レッスンC

81237

154.625

319.982143

トレーニング前、1 ヵ月後、3 ヵ月後の

30
31方は対応があるデータになります。こ32のような構造をもつデータに対して適切に分散分析を実施するには、分散分析表の自由度や分散の計算方法を熟知

分散分析表

3334

変動要因

分散

観測された分散比

P-値

7893.94642980.3547352

3.19452E-10

2.76419926 ＊

115.583333

257.7916667

5.19475655

0.02053404

3.73889183 ＊

155.751411.1256528.95833

23

変動

自由度

行6257.625

35

列36誤差
合計

F 境界値

37

していなければなりません。残念なが38

ら、Excelのデータ分析ツールや本連40載の目的の範疇を超えています。より

42（0.05）t

詳しい本で勉強してもらえればと思い43

2.1447867

ます。◆

45

39
41

95％信頼区間平均の差

下限

上限

A,B間―2.75―6.3268779

0.82687792

B,C間―2.625―6.2018779

0.95187792

A,C間―5.375―8.9518779―1.7981221 ＊最小有意差法44

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H

分散分析: 繰り返しのない二元配置

後、3 ヵ月後のように、被検者の変化です。この実験設定では、トレーニン

G

14

最終期限

2014年12月31日

Ｃ National Strength and Conditioning Association Japan

17

Information

ング群（あるいはトレーニングA群とB