Ｃ NSCA JAPAN

Volume 21, Number 5, pages 20-25

特集

feature

論文の書き方 8

相関と回帰（その 2 ）
星川佳広 CSCS, NSCAジャパン編集委員, 東海学園大学准教授
本稿は、「論文の書き方 1：投稿論文を書こう」（ 2013 年 10 月号）の続編パート 7 です。NSCAジャパンウェブサイトに掲載中の「投稿論文（事例報告）の書き方」を参照しながら読み進めてください。
NSCAジャパンウェブサイトTOP

前々号までにすでに紹介済みです【投稿論文（事例報告）の書き方】→ [指導者の育成］ → ［事例報告・研究論文］、「投稿要領」
部分認することにしました。

す。「出力オプション」で分析結果を出が、Excelには代表的な統計や検定を

その結果が表 1 のA 1：E 17 の領域

力する場所を指定しますが、任意の場実施するための「分析ツール」が用意さであったとします。表 1 のワークシー

所を選びOKをクリックすると図 2 がれています（メニュー→データ→デー

トは、目的変数（y）としてトレーニン

出力されます。図 2 は「相関クロス」とグ前後の 50 m走タイムの変化、説明呼ばれるものですが、50 m走タイムおても分析ツールを利用することができ

変数（x1, x2, x3）としてトレーニング前

よび各 1 RMの変化の 2 つの変数間のます。前号ではグラフ作成や関数に後のスクワット、ベンチプレス、レッ

相関係数が一覧にて示されています。

よって「相関」、「回帰」の諸指標を得る

グカールの 1 RMの変化としています。

相関係数は、前号紹介したcorrel関数

方法を紹介しましたが、今回は「分析

列Fの重回帰式については後述します。

によっても計算することができます

1

タ分析）。
「相関」と「回帰」分析についが、分析ツールを使うとすべての変数ツール」を利用する方法を紹介します。
「分析ツール」ではより詳細に分析に付

1．相関間の相関係数を一気に計算してくれる分析ツールにおいて「相関」を選択すので、特に変数が多い場合は作業を短

さて前号の続きで、あなたはある大ると図 1 のボックスが出現します。こ

時間に済ますことができて便利です。

学野球チームでS&Cコーチをしているのボックスの「入力範囲」には、表 1 の

ただし、残念ながら分析ツールも相とします。そして選手に対してレジス

例ではB 2：E 17 とします。
「先頭行を関係数の有意性までは計算してくれま

タンストレーニングの指導を始めましラベルとして使用」をチェックすると、せん。前号第 4 節で紹介した脚注の式2た。一定期間の後、1 RMの向上と 50 m

B 2：E 17 の先頭行つまりB 2：E 2 の行に従ってご自身で各相関係数が有意か

走タイムの改善が関係しているかを確はデータでなくラベルとして扱われまどうか計算してみてください。 50 m走

随する数値を知ることができます。

1 「データ分析」
がリボン内にない場合は、ファイル→オプション→アドイン→データ分析
2t=r × n－2
1－r 2

20r 相関係数、n 被検者数

June 2014

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タイムの変化とスクワット間の r ＝－

表1

0.7457 は、p = 0.00071…、スクワット

Aとレッグカール間の r ＝0.544762 は、

1

p ＝ 0.0178… に な る は ず で す。 と も2に p < 0.05 ですから 5 ％水準で有意な相関関係にあると判断できます。一方、50 m走タイムの変化とレッグカー
ル間の r ＝－0.4225 は p ＝0.0583…と計算されるはずです。したがって 5 ％B

ワークシート例

C

D

E

F

１RMの変化（㎏）選手

50m走タイムの スクワット ベンチプレス レッグカール
変化（秒）

重回帰式

3

a

0.21

5

0

2.5

－0.0478399

4

b

0.1

10

0

7.5

－0.1523328

5

c

0.05

0

20

5

0.0934765

6

d

0.01

25

20

5

－0.3835222

水準では有意と判断できません。

7

e

－0.05

10

15

5

－0.1099388

8

f

－0.2

20

10

7.5

－0.3179007

9

g

－0.21

5

12

0

－0.0130153

2．回帰分析

10

h

－0.33

10

10

5

－0.1225546

前号のベースランニングタイム
（目

11

i

－0.38

15

2

5

－0.238140

的変数）と 50 m走タイム（説明変数）の

12

j

－0.44

20

12

5

－0.3083078

関係では、目的変数はひとつの説明変数によって説明されていました。このような回帰を「単回帰」といい、回帰式はy=ax+bと表現されます。その一方で今回の表 1 では、50 m走タイムの

13

k

－0.44

35

25

10

－0.5707991

14

l

－0.46

25

0

12.5

－0.4476253

15

m

－0.65

25

15

10

－0.4052313

16

n

－0.7

40

5

5

－0.7075688

17

o

－0.75

30

10

7.5

－0.5087002

変化（目的変数）がスクワット、ベンチプレス、レッグカールの 1 RMの変化という複数の説明変数によって説明されます。このような回帰を「重回帰」といいます。重回帰での回帰式は、
y=ax1+bx2+cx3＋…＋zのように表現されます。表 1 の例では、50 m走タイムの変化＝a×スクワットの変化＋b×ベ
ンチプレスの変化＋c×レッグカールの変化＋dとなります。ここでa、b、cの値が負（マイナス）であれば、スク

図1

ワット、ベンチプレス、レッグカール

データ分析
（相関）

の変化は目的変数を減らす方向（ 50 m
走タイムタイムを短縮する方向）に作

トレーニングが最も貢献しているかを
3

析」を選択すると図 3 のボックスが出用するはずです。このように重回帰分

数字として知ることができます 。こ現します。分析ツールの「回帰分析」
は、析を利用すると、目的変数に対してそれは私たちS&C専門職にとっては非常

もともと重回帰分析での利用を想定しれぞれの説明変数がどの程度どのようにありがたい分析方法ではないかと思たつくりになっています。そこで本稿に貢献しているか、つまり 50 m走タいます。

でもそれに沿って分析ツールの使い方

イムの変化に対してどのレジスタンス
3

さて、分析ツールにおいて「回帰分を重回帰分析によって説明しますが、

重回帰式 y=ax1+bx2+cx3＋・・・＋zのa, b, cを「偏回帰係数」といいます。偏回帰係数の値が、目的変数に対してx1、x2、x3それぞれの説明変数がどの程度貢献しているかの情報を与えますが、a, b, c にはx1、x2、x3の値の大きさそのものも影響するので、偏回帰係数を標準化して「標準偏回帰係数」を計算する必要があります。この計算方法はここでは割愛しますが、標準偏回帰係数は非常に重要な数値です。「重回帰分析」を理解するには、ここで記述する以上の様々なことを知る必要があります。他書で「重回帰分析」の理解を深めつつ勉強してください。

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理解の順番としては単回帰→重回帰の50m走タイム

ほうがわかりやすいと思います。した

の変化
（秒）

スクワット

ベンチプレス レッグカール

がって、次節の単回帰の説明も見なが50m走タイムの変化（秒）ら読み進めてもらえればと思います。

スクワット－0.74547

1

分析ツールによって重回帰分析を

ベンチプレス－0.03199

0.131111

行なう場合、図 3 ボックスの「入力Y

レッグカール－0.42250.544762

0.023277

範囲」には目的変数が入力されている

1

図2

データ分析
（相関）
の結果

図3

4
データ分析
（回帰分析）

1

セル（列）を指定します。例えば表 1 では 50 m走タイムの変化が目的変数ですから$ B $ 2：$ B $ 17 です。
「入力X範囲」には説明変数が入力されている複数の列を指定するので、表 1 の例では$ C $ 2：$E $ 17 です。ここでもし「入力X範囲」に$C $ 2：$C $ 17 のようにひとつの列を指定すれば、それはひとつの説明変数による単回帰分析を行なうことになります（次節参照）。
「ラベル」
をチェックすると先頭行はデータでなくラベルとして扱われます。
「定数に 0 を使用」にチェックすると出力される回帰式は強制的に切片が 0 になります。
「有意水準」は 99 ％としておきましょう。各係数の 99 %信頼区間を算出してくれます（ 95％信頼区間は、ここの指定にかかわらず自動的に算出しチプレスの変化－0.0018×レッグ

きたならば、表 1 のF列の数値と実際てくれます）。出力オプションで分析

カールの変化＋0.0521…（＊）の 50 m走タイムの変化であるB列の数結果を出力する任意の場所を指定して（小数点第5位を四捨五入）

OKをクリックすると図 4 が出現しまの重回帰式が得られました。＊式を使

図 4 の上部、回帰統計と書かれた部す。

値は完全に一致するはずです。

えば、スクワット、ベンチプレス、レッ

分の“重相関Ｒ”は、重回帰式（＊）によ

図 4 の重要な点のみをピックアップ

グカールの 1 RMの変化から 50 m走タる予測値（F列）と実測値（B列）との相して説明します。まず先に図 4 の下方

イムの変化を予測することができるわ

関係数で、「重相関係数」といいます。

に示された
“切片”
、
“スクワット”、“ベ

けです。表 1 のワークシートF列には、

重 相 関 係 数 は 一 般 的 に 大 文 字 のRをンチプレス”、“レッグカール”と書か＊式を各被検者のスクワット、ベンチ

使って表現します。すなわち重相関係

れている表を見てください。そのすぐプレス、レッグカールの変化データに数は、重回帰式（＊）が実際の値をどれ右隣の係数と書かれている列にある数

当てはめて求めた 50 m走タイム変化

くらい適切に予測しているかのあては

字が切片および回帰係数になります。

の予測値が入力されています。仮にス

まりの良さを示しています。当然ながすなわち、クワット、ベンチプレス、レッグカー

ら r（前号参照）と同じように－1 ～ 1の50 m走タイムの変化＝－0.0191×

ルの変化という 3 つの説明変数のみで間を取ります。
“重決定 R 2 ”とは「決定

スクワットの変化＋0.0025×ベン

完璧に 50 m走タイムの変化を予測で係数（R2 ）」を表します。決定係数（R2 ）4

ボックス下部の「残差」や「正規確率」のオプションは、回帰分析に慣れてきたらチェックを入れて出力される内容を確かめてください。重回帰による予測値と実測値の差異の分析などを行なうことができます。

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概要
回帰統計
重相関 R

0.74858186

重決定 R20.5603748

補正 R20.44047701

標準誤差0.22546041

観測数

15

分散分析表
変動

分散

回帰

自由度
3

0.71273697

0.23757899

残差

110.55915637

0.0508324

合計

14

1.27189333

係数

標準誤差

t

下限95%

上限95%

下限99.0%

上限99.0%切片

0.05210651

0.15520235

0.33573272

0.74338872－0.2894916

0.39370458－0.429922

0.53413498－0.01907995

0.00617652－3.08910846

0.01030245－0.0326744－0.00548551－0.038263

0.00010314

ベンチプレス

0.00252316

0.00772512

0.32661760

0.75008743－0.0144797

0.01952604－0.0214696

0.02651589

レッグカール－0.00181865

0.02310717－0.07870508

0.93868071－0.0526772

0.04903988－0.073585

0.06994774

スクワット

図4

観測された分散比
4.67377112

P-値

有意 F
0.02432569

データ分析（回帰分析）の結果 1（重回帰）は、結果的に重相関係数（R）の二乗値

図 4 中段の分散分析表では、“有意F”

存在することを表します。逆にいえばと等しくなりますが、その定義は、重と記された列に 0.0243…と出力されてスクワットの回帰係数がこれらの範囲

回帰式による予測値の分散（表 1 F列

います。これは＊式が 5 ％水準で有意外になる確率はそれぞれ 5 ％、1 ％未満の分散）／実測値の分散（表 1 B列の分であることを表します。つまり、＊式ということです。

散）です。この式は、実測値の分散のは意味ある予測ができていることにな

うち重回帰式の予測によって説明できります。

スクワットの回帰係数が上限 95％
信頼区間の上限においてもマイナス

る分散の割合を意味しており、決定係

再 度 図 4 下 の“ 切 片 ”、“ ス ク ワ ッ（－0.0054855 ）ということは、スクワッ

数（図 4 の場合 0.56…）を使って
「重回

ト”
、
“ ベ ン チ プ レ ス ”、“ レ ッ グ

ト 1 RMの 回 帰 係 数（ －0.0190799 ）帰式が実測値を 56 ％説明する」といっ

カ ー ル ”と 書 か れ て い る 表 に 戻 り まは5%水準で有意に0 より小さいこた表現をしたりします。
“補正R 2 ”は、す。 表 の 6 ～ 7 列 目 に は“ 下 限 95 ％”とを意味します。つまり、スクワッ

決定係数を目的変数と被検者の数で補および“ 上 限 95 ％”と 書 か れ て い ま

ト 1 RMの 増 加 は 目 的 変 数（ 50 m走 タ

正したものです。なぜなら、説明変数

す が、 こ れ は ＊ 式 の 各 係 数 の 95 ％イムの増加）に対して 95%の確率でマを増やすとその説明変数が目的変数と信 頼 区 間 を 表 し ま す。 同 様 に 表

イ ナ ス（ 50 m走 タ イ ム を 短 縮 す る 方

無関係であっても、決定係数は 1 に近の 8 ～ 9 列 目 に は、 各 係 数 の 99 ％ 信向）に作用する、あるいは逆に、スクづく（表面上、良い予測ができるよう

頼区間が出力されています 。例え

ワット 1 RMの増加が目的変数を増やになる）性質があるからです。そこでば“スクワット”については、回帰係

す方向に作用する確率は 5%未満しか“補正R 2 ”のほうで重回帰式の当ては数 は 95 ％ の 確 率 で －0.0326744 ～ －ないわけです。その一方でベンチプレ

まりの良さを評価することもありま

0.00548551 の範囲内に、99％の確率でス、レッグカールの回帰係数は 95%信す。

－0.038263 ～ 0.00010314 の 範 囲 内 に

頼区間の上限が 0 を超えてしまってい5

5

95 %信頼区間は自動的に出力され、99 %信頼区間は図 3 の有意水準で 99 %としたため出力される

Ｃ National Strength and Conditioning Association Japan23

ます。つまり係数が 0 となることもあに 50 m走タイムの変化に有意に貢献

単回帰分析を重回帰分析の説明変数がりうるわけで、この場合、ベンチプレしていたのはスクワット 1 RMの増加

ひとつの場合として、重回帰と単回帰

ス、レッグカールの 1 RMが増えよう

6のみであった。」

を区別なく扱っているようです。しかし、皆さんが単回帰分析を行なって論が減ろうが目的変数（ 50 m走タイムの変化）には全く影響しません。したがっ3．回帰分析（単回帰）

文を書く場合は、相関係数はRではなて、ベンチプレス、レッグカールにつ

前号で紹介したとおり、単回帰の場

くr を使って表現しましょう。結局は、

いては回帰係数（それぞれ 0.00252…、合（y=ax+b）、回帰係数 a と切片 b はそ

図 5 の“重相関R”によって（±の違い－0.00181…）が出力されていますが、れぞれslope関数、intercept関数によっがありますが）実質的にxとyの相関係

この係数は 5 %水準で 0 と差がなく有ても知ることができます。しかし、分

数 r を 知 る こ と が で き ま す。 図 5 の意ではありません。すなわち、ベンチ析ツールの回帰分析を利用すれば上述“ 重 相 関R”の 数 値 0.7454… と 図 2 相

プレス、レッグカールの 1 RMの増加

どおりそれらの 95 %信頼区間をも知る

関クロス内の 50 m走タイムの変化とは 50 m走タイムの変化に貢献しないことができます。

スクワット 1 RMの変化の相関係数－

図 5 は、図 3 の「入力X範囲」に表 1 の0.7454…は±の違いがありますが同じ

図 4 の出力結果をまとめれば以下のスクワットのデータ（$C $ 2：$ C $ 17 ）であることを確認してください。また、ようになります。
「目的変数（ 50 m走タの み を 指 定 し た 場 合 の 出 力 で す。

図 5 の補正R 2 は、図 4 の補正R 2 よりイムの変化）に対してスクワット、ベ

図 5 をみておわかりになるとおり、分も高い値になっています。これは 3 つンチプレス、レッグカール 1 RMの変

析ツールの回帰分析では単回帰分析を（スクワット、ベンチプレス、レッグ

化の 3 つを強制的に説明変数として組行なったとしても、重回帰分析と同カールの変化）の説明変数による回帰

み込み重回帰分析を行なった結果、＊じフォーマット（“重相関R”、“重決定式よりも、スクワットというひとつの式を得ることができた。しかし、実際

R 2 ”な ど ）で 出 力 さ れ ま す。Excelは説明変数による回帰式のほうが予測がと判断できます。

概要
回帰統計
重相関 R

0.74547241

重決定 R20.55572912

補正 R2

0.52155444

標準誤差0.20848634

観測数

15

分散分析表
自由度

変動

分散

観測された分散比

回帰

10.70682816

0.70682816

残差

130.56506517

0.04346655

合計

14

1.27189333

係数

標準誤差

t

下限95%

上限95%

下限99.0%

上限99.0%切片

0.06787931

0.10224703

0.66387562

0.51837119－0.153012

0.28877059－0.2401169

0.37587557

スクワット－0.0191207

0.00474159－4.032546

0.00142227－0.029364－0.0088771－0.0334037－0.0048377

図5616.2614271

有意 F

P-値

0.001422266

データ分析（回帰分析）の結果 2（単回帰）

図 2 の相関クロスでは、50 m走タイムの変化に対して、スクワットだけでなくレッグカールの変化も相関係数は有意であったのに、重回帰分析ではスクワット
のみしか有意にならなかった！ →これはスクワットとレッグカールの変化が相関関係にあるために起こる。このような現象を「共線性」といい、本来、重回帰分析での説明変数は互いに無関係な（共線性のない）変数を選ぶことが前提となる。

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まっているように感じます。実際に何● y=a2x＋b2y○女

人かの読者から「論文を書いてみようと思います」という嬉しい反響もいた●男

だきました。ぜひとも投稿が増えることを願っています。
○ y=a1x＋b1

しかし一方で、想定が合致せずに十分に噛み砕けていなかったり、むしろ簡単すぎることもあったと思います。
ご容赦ください。特に統計については
短い文章の中で十分に説明できていません。ここまで読まれたことを期に、

x
図6

次のステップの本にぜひともあたってふたつの回帰式の比較例

ほしいと思います。
皆さんに「論文を書こう」と諭しなが良い（当てはまりが良い）ことを意味し

女 性：y=a1x+b1、 男 性：y=a2x+b2のら、私自身もこのように書くという作ます。

回 帰 式 が 得 ら れ た と し ま す。 図 6 で業をすると何回も止まってなかなか進

図 5 下方の“切片”、“スクワット”のは a2 が a1 よ り 大 き い（回帰直線のめませんでした。書くのは口で説明す係数からは、50 m走タイムの変化（y）

傾 き が 大 き い ）よ う に み え ま す が、るのとは比較にならないプレッシャーをスクワットの変化（x）のみで回帰しa2 の 95 %信頼区間の下限が a1 の 95 ％があります。しかし終わるとひとつた場合、y=－0.019 x＋ 0.068 の回帰式

信 頼 区 間 の 上 限 よ り も 大 き け れ ば、

まっとうした感とともに自分が成長し（少数点第 4 位を四捨五入）になること

a2 は a1 より 5 %水準で有意に大きいとたことも感じます。ありがとうございがわかります。そして各係数の 95 %信いうことができます。同様にして切片ました。◆

頼区間は、切片については－0.153012

についてもb1、b2 に有意差があるかど～ 0.28877059、回帰係数についてはうか調べることができます。これらの－0.029364 ～－0.0088771であること

手順を踏めば、逆に回帰式には有意差が読み取れます。

がないということを主張する場合にもこの回帰係数の 95%信頼区間は、ふ応用可能です。

たつの回帰式の違いを検定するときなどに有効です。例を図 6 に挙げてみま

4．おわりにしょう。図 6 の○は女性、●は男性の「論文の書き方」として 8 回にわたりデータとします。男性も女性もxとyは連載をしてきました。ここで一区切り

相関関係にありますが、xが大きくなとさせていただきます。
「論文とは何るとyが大きくなる程度は男性のほうか」からはじまり、手持ちのデータをが女性よりも大きいように見受けられ

整理する手段として、グラフの書き方ます。今、このデータよりxとyの関係

やExcelを使った統計・検定方法につ

性に男女差があることを示したい場合

いて解説してきました。

はどうすればよいでしょうか？

その想定した読者は、「論文を作る意思

ためには女性○、男性●の回帰式が有があり、見よう見まねで試みてはいる意に異なることを示せばよいわけで、

ものの、なかなかうまく書き出せない

各係数の 95 %信頼区間を利用します。

人」でした。自分が行なっている指導

まず男女それぞれで分析ツールをや取り組みを成果として残したい、と利用して回帰式を求めましょう。今、

い うNSCAジ ャ パ ン 会 員 の 要 望 は 高Ｃ National Strength and Conditioning Association Japan

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