宇宙原始密度揺らぎの非ガウス性

須山 輝明
東工大理学院

2020/1/22 基礎物理学研究所

1

原始揺らぎの非ガウス性に関連した共著者(敬称略)田中貴浩、横山修一郎、高橋智、市川和秀、高橋史宣、川崎雅裕、中山和則、関口豊和、Christophe Ringeval、Mark
Hindmarsh、横山順一、渡辺悠貴、本橋隼人、Jerome Martin、
中間智弘、郡和範、Yi-Peng Wu

複数場インフレーション、カーバトン、非一様再加熱、等曲率揺らぎ、宇宙ひも、プレヒーティング、ungaussiton、ultra-slow rollなど

皆様、どうもありがとうございました2

宇宙原始密度揺らぎとは宇宙初期から存在した密度のムラムラ

現在の宇宙にあるあらゆる構造は、原始揺らぎが進化したもの
原始揺らぎから、宇宙の超高エネルギー時代の情報が3得られる

非ガウス性は２１世紀に入って急速に活発になった研究分野
非ガウス性の研究に対する日本人の貢献は非常に大きい＊私の貢献はその中のごく一部です4

背景＊私のバイアスがかなり入っています＊文献もかなり不十分です5インフレーション：宇宙の標準パラダイム
インフレーション𝒂(𝒕) ≈ 𝐞𝐱𝐩⁡(𝑯𝒕)

𝑯 ≈const
6

インフレーションが説明できること• 宇宙の平坦性• 一様・等方性• モノポールの非検出

𝒂𝒆𝒏𝒅= 𝒆𝑵𝒂𝒊𝒏𝒊𝑵 ≃ 𝟔𝟎• 原始密度揺らぎの生成
7スカラー場𝜙(インフラトン)𝑉(𝜙)1ℒ = − 𝛻𝜙 2 − 𝑉(𝜙)2

𝜙 = 𝜙(𝑡)ほぼ平らな領域

1 2
𝜌 = 𝜙 + 𝑉(𝜙)2𝜙

1 2
𝑃 = 𝜙 − 𝑉(𝜙)2放射の生成(再加熱)𝜙 が小さいと、近似的に宇宙項支配の宇宙となり、インフレーションが実現
8

スローロールパラメター
𝑀𝑃
𝜀=22𝑉,𝜙𝑉2

𝜂 = 𝑀𝑃2 𝑉,𝜙𝜙𝑉𝜀, |𝜂| ≪ 1であれば、長い間インフレーションが持続

9インフレーションが説明できること• 宇宙の平坦性• 一様・等方性• モノポールの非検出

𝒂𝒆𝒏𝒅= 𝒆𝑵𝒂𝒊𝒏𝒊𝑵 ≃ 𝟔𝟎• 原始密度揺らぎの生成(定量比較が可能)
10原始揺らぎの生成
𝑀𝑃 2𝑆=2𝑑 4 𝑥⁡ −𝑔 ⁡𝑅 +𝑑 4 𝑥 −𝑔 −1
𝛻𝜙 2 − 𝑉(𝜙)2量子揺らぎ𝑔𝜇𝜈 = 𝑔𝜇𝜈 + 𝛿𝑔𝜇𝜈 (𝑡, 𝑥)

𝜙 = 𝜙 𝑡 + 𝛿𝜙(𝑡, 𝑥)

𝑆を揺らぎの２次まで展開

𝑔𝑖𝑗 = 𝑎(𝑡)2 𝑒 2𝜁 𝛿𝑖𝑗𝑆=

𝑑𝑡𝑑 3 𝑥⁡𝜁：曲率揺らぎ
𝑎3 𝜙 21 𝑖2−⁡𝜁𝜕 𝜁𝜕𝑖 𝜁
2𝐻2𝑎2

摩擦ありバネ定数が時間減衰する調和振動子
11フーリエ成分ℛ𝑘 =𝑑3 𝑥⁡𝑒 −𝑖𝑘𝑥 ⁡ℛ(𝑡, 𝑥)

𝑘 = 𝑎𝐻𝑘 ≲ 𝑎𝐻で揺らぎが凍結
揺らぎのパワースペクトルℛ𝑘1 ℛ𝑘2 = 2𝜋 3 𝛿(𝑘1 + 𝑘2 )𝑃𝜁 (𝑘1 )※この近似ではℛの分布はガウス統計に従う12インフレーション
Lengthk=一定の𝜁
ホライズン再突入

ハッブルホライズン
揺らぎの生成再加熱
時間𝜻が観測量である

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原始揺らぎのパワースペクトル𝑷𝜻 (𝒌) =𝑽
𝟏𝟐𝝅𝟐 𝑴

𝟑𝒑𝒍

𝟔𝑽,𝝓𝟑𝒌 = 𝒂𝑯

CMBの観測から𝑃𝜁 ≈ 2 × 10−9スペクトル指数 𝑛𝑠𝑑ln𝑃𝜁
𝑛𝑠 − 1 == −6ε + 2𝜂 ≪ 1𝑑ln𝑘

インフレーションで作られる揺らぎは、ほぼガウシアン、ほぼスケール不変

14原始揺らぎの生成
𝜙 𝑡, 𝑥 = 𝜙 𝑡 + 𝛿𝜙(𝑡, 𝑥)
𝛿𝜙 𝑡, 𝑥 =𝑑3 𝑘𝑖𝑘𝑥 + 𝑢 ∗ (𝑡)𝑎 † 𝑒 −𝑖𝑘𝑥
𝑢𝑡𝑎𝑒𝑘𝑘𝑘(2𝜋)3 𝑘𝑘2𝑢𝑘 + 3𝐻𝑢𝑘 + 2 + 𝑉,𝜙𝜙 𝑢𝑘 = 0𝑎𝑘 = 𝑎𝐻𝑘 ≲ 𝑎𝐻で揺らぎが生成𝐻
𝛿𝜙 ≈2𝜋15timeBA𝑉(𝜙)𝛿𝑡𝐴 = −𝛿𝜙𝐴 /𝜙𝛿𝑡𝐵 = −𝛿𝜙𝐵 /𝜙𝛿𝜙𝐴 𝛿𝜙𝐵𝛿𝜙𝐴𝜙

𝛿𝜙𝐵𝑑𝑠 2 ≈ −𝑑𝑡 2 + 𝑎(𝑡)2 𝑒 2𝜁(𝑡,𝑥) 𝑑𝑥 2
𝜁(𝑡, 𝑥) = 𝐻𝛿𝑡(𝑡, 𝑥) = −𝐻𝜙𝛿𝜙

インフレーションの持続時間の差 ⇒ 曲率揺らぎ 16

原始重力波(ℎ𝑖𝑗,𝑖 = 𝛿 𝑖𝑗 ℎ𝑖𝑗 = 0)

𝛿𝑔00 = 0, 𝛿𝑔0𝑖 = 0, 𝛿𝑔𝑖𝑗 = ℎ𝑖𝑗

𝑯𝟐𝑷𝒉 (𝒌) =𝟐𝝅𝟐 𝑴

𝒑𝒍𝟐𝒌 = 𝒂𝑯

テンソルスカラー比: 𝑟

𝑷𝒉𝒓=𝑷𝜻
17

Bahcall+ 1999

Hinshaw+ 2003

WMAPの出現で、原始揺らぎの精密検証の時代が到来した18Planck blue book 2005

さらにより強力なPlanckが１０年後くらいにやってくる

19

原始揺らぎの生成機構を調べられる機運が盛り上がってきた20

揺らぎの非ガウス性の先駆的論文
小松氏

astro-ph/0005036
21

パラメータ𝒇𝑵𝑳 の導入

ガウシアン

非ガウシアンΦ𝑘1 Φ𝑘2 Φ𝑘3 = 2𝑓𝑁𝐿 2𝜋 3 (𝑃Φ 𝑘1 𝑃Φ 𝑘2 + 2⁡perms)𝛿 3 (𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3 )

Φ𝑘1 Φ𝑘2 Φ𝑘3 = 2𝜋 3 𝐵Φ (𝑘1 , 𝑘2 , 𝑘3 )𝛿 3 (𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3 )バイスペクトル22

𝑘1

Φ𝑘1 Φ𝑘2 Φ𝑘3 ∝ 𝛿 3 (𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3 )𝑘3

Bは、𝒌𝟏 , 𝒌𝟐 , 𝒌𝟑 の関数
𝑘2

ローカル型

𝑘2 /𝑘1
10.5

0

1

𝑘3 /𝑘1

ローカル型のバイスペクトルは、squeezed limit(𝒌𝟑 → 𝟎)で大きくなる

23

24

単一場スローロールインフレーションのバイスペクトル
Maldacena 2003

𝑀𝑃 2
𝑆=2𝐵(𝑘1 , 𝑘2 ,𝑘3 ) =𝐻4116𝑀𝑃 4 𝜖1 𝑘1 3 𝑘2 3 𝑘3 3

𝑑 4 𝑥⁡−𝑔 ⁡𝑅 +𝑘1 𝑘2 2 𝑘3 21++𝑘𝑇
𝑘𝑇

𝑑4 𝑥

1−𝑔 − 𝛻𝜙 2 − 𝑉(𝜙)2𝑘1 ∙ 𝑘2 + 2⁡perms

𝑘 𝑘 +𝑘2 𝑘3 +𝑘3 𝑘1
𝑘𝑇−𝑘 𝑇 + 1 2

𝑩= 𝑶(𝜺, 𝜼)𝟐𝑷

𝐵 ∼ 10−20 : 非ガウス性は非常に微弱
𝑓𝑁𝐿 はスローロールパラメータの大きさ

25

単一場スローロールインフレーション
Squeezed limit

lim 𝐵 𝑘, 𝑘, 𝑘3 = 𝐵𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 (𝑘, 𝑘, 𝑘3 )𝑘3 →0𝑘35𝑓𝑁𝐿 =(1 − 𝑛𝑠 )12

ただし、観測量への焼き直しが必要

26

Moroi, Takahashi 2001
Enqvist, Sloth 2002
Lyth, Wands 2002

カーバトンモデル

インフラトンとは別の場(カーバトン)が原始揺らぎを作るモデル
軽い場がインフレーションによって揺らぐ𝛿𝜎 ⋍𝐻2𝜋(ガウシアン)

1𝑚𝜎 2 𝜎 22𝜎𝜎

𝛿𝜎

カーバトンはその後(𝐻 ≈ 𝑚𝜎 )振動し、ダスト成分として進化
カーバトンはその後(𝐻 ≈ Γ𝜎 )崩壊し、放射優勢宇宙へ

27

スーパーハッブルスケールでの揺らぎの生成は、局所的に起こる

𝜁 𝑥 = 𝐹(𝛿𝜎 𝑥 )⇒揺らぎの非ガウス性は、ローカル型カーバトンで作られる原始揺らぎ𝛿𝜎𝜁 ≃ 𝑟𝑑𝜎𝟏
𝒇𝑵𝑳 ≃𝒓𝒅

𝜌𝜎𝑟𝑑 =
𝜌𝑟𝑎𝑑 𝐻 = Γ𝜎𝑟𝑑 ≪ 1 ならば 𝑓𝑁𝐿 ≫ 1、𝑟𝑑 ∼ 1 ならば 𝑓𝑁𝐿 = 𝑂(1)28非一様再加熱モデル Kofman 2003, Dvali+ 2004
インフラトンの崩壊率が場所ごとに異なるモデル

Γ𝜙 = Γ𝜙 (𝜎)𝜌𝜙 ∝ 𝑎−3𝜌𝑟𝑎𝑑 ∝ 𝑎−41 𝛿Γ𝜁=−6 Γ

Γ𝜙 と𝜁の間の非線形性からの寄与

𝒇𝑵𝑳 = 𝟓29

一般にインフラトン以外の場が寄与すると、ローカル型の非ガウス性を持つ原始揺らぎが作られる
𝑓𝑁𝐿 の大きさはモデル依存

複数場スローロールインフレーションでは、大抵の場合
𝑓𝑁𝐿 はスローロールパラメータの大きさ
Yokoyama+ 2007
5
※ただし、𝑓𝑁𝐿 = (1 − 𝑛𝑠 )は成立しない
1230

非正準項インフレーション、高階微分、揺らぎの有効理論ℒ = 𝑃(𝑋, 𝜙)

K-inflation, DBI inflation, ghost inflationなど

等辺型(𝑘1 ∼ 𝑘2 ∼ 𝑘3 )のバイスペクトル

equil
𝑓𝑁𝐿 ∼𝑐𝑠2

1𝑐𝑠 2equil≪ 1ならば𝑓𝑁𝐿 ≫ 131

直交型(𝑘1 ∼ 𝑘2 ∼ 𝑘3 )のバイスペクトル

バイスペクトル𝐹(1) と𝐹(2) の内積

32

小まとめ𝑓𝑁𝐿 ≥ 𝑂(1)の検出は、単一場正準インフレー
ションをただちに棄却

バイスペクトルの波数依存性から揺らぎの生成機構が分かる

非ガウス性は、インフレーションのクリーンなテスト
33

𝒇𝑵𝑳 の観測的制限−3500 < ⁡ 𝑓𝑁𝐿 < 2000 (COBE 4-year data)−58 < ⁡ 𝑓𝑁𝐿 < 134(WMAP 1st year, 95CL)−54 < ⁡ 𝑓𝑁𝐿 < 114(WMAP 3 year, 95CL)−9 < ⁡ 𝑓𝑁𝐿 < 111(WMAP 5 year, 95CL)−10 < ⁡ 𝑓𝑁𝐿 < 74

(WMAP 7 year, 95CL)−3 < ⁡ 𝑓𝑁𝐿 < 77

(WMAP 9 year, 95CL)

この辺からザワザワ

この辺で鎮火𝑓𝑁𝐿 = 2.7 ± 5.8(Planck, 2014, 68CL)

𝑓𝑁𝐿 = −0.9 ± 5.1(Planck, 2015, 68CL)

有意な検出なし

34

Planck 2013

Planckの解析結果は、WMAPのそれと無矛盾
Planckによる非ガウス性への制限(2018年)

35４点相関関数(トリスペクトル)の観測可能性

Φ = Φ𝑔 + 𝑓𝑁𝐿 Φ𝑔2（ローカル型非ガウス性）

2ΦΦΦΦ ≃ 𝑓𝑁𝐿
Φ𝑔 Φ𝑔 Φ𝑔 Φ𝑔

トリスペクトルを調べる機運が高まった

36

４点相関関数𝜁 𝑥 =𝑁𝑎𝛿𝜙 𝑎 𝑥𝑎1+2𝑁,𝑎𝑏 𝛿𝜙 𝑎 𝑥 𝛿𝜙 𝑏 𝑥 + ⋯𝑎,𝑏

モデルごとに𝑁𝑎 , 𝑁,𝑎𝑏 ,..が異なる

𝛿𝑁 formalismを使って、展開係数が求められる𝜁 = 𝛿𝑁timeAB37トリスペクトル𝜁𝑘1 𝜁𝑘2 𝜁𝑘3 𝜁𝑘4 = 2𝜋 3 𝑇𝜁 (𝑘1 , 𝑘2 , 𝑘3 , 𝑘4 )𝛿 3 (𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3 + 𝑘4 )

𝜁 𝑥 =

𝑁𝑎𝑎

𝛿𝜙 𝑎 𝑥

1+2𝑁,𝑎𝑏 𝛿𝜙 𝑎 𝑥 𝛿𝜙 𝑏 𝑥 + ⋯𝑎,𝑏𝛿𝜙 𝑎 :ガウス揺らぎ

38

𝑓𝑁𝐿

𝜏𝑁𝐿

何かありそう39

次の不等式が成り立つ

36 2𝜏𝑁𝐿 ≥𝑓𝑁𝐿
25

Suyama&Yamaguchi 2007

• 寄与する揺らぎが単一の場合は等号が成立• 寄与する揺らぎが複数の場合は不等号• 非ガウス性はトリスペクトルが卓越する可能性

等号が成立するかどうかが測定できると、原始揺らぎに寄与した場が単数か複数か判別できる
40

TS+ 201041不等式の拡張

Assassi+ 2012𝐵𝜁 (𝑘1 , 𝑘2 , 𝑘3 )5𝑓𝑁𝐿 = ⁡ lim
12 𝑘3 →0 𝑃𝜁 (𝑘2 )𝑃𝜁 (𝑘3 )𝑘2𝑘3𝑘1𝑇𝜁 (𝑘1 , 𝑘2 , 𝑘3 , 𝑘4 )1
𝜏𝑁𝐿 = ⁡ lim
4 𝑘12 →0 𝑃𝜁 (𝑘1 )𝑃𝜁 (𝑘3 )𝑃𝜁 (𝑘12 )𝜁 2 (𝑥)𝜁 2 (0) =𝑘1
𝑘2𝑘4
𝑘3

𝜁 2 𝑥 |𝑛𝑞 𝑛𝑞 |𝜁 2 0𝑛,𝑞𝑑3 𝑥 ⁡𝑒 −𝑖𝑘∙𝑥 ⁡ 𝜁 2 (𝑥)𝜁 2 (0) =| 𝑛𝑘 |𝜁 2 (0) |2𝑛42

2 (0) |2|𝜁|𝜁𝑘𝑑 3 𝑥 ⁡𝑒 −𝑖𝑘∙𝑥 ⁡ 𝜁 2 (𝑥 )𝜁 2 (0) =+𝑃𝜁 (𝑘)𝑑 3 𝑞12𝜋 3

𝑑 3 𝑞2⁡𝑇 (𝑞 , 𝑘 − 𝑞1 , 𝑞2 , −𝑘 − 𝑞2 ) ≥2𝜋 3 𝜁 1𝑚22|
𝜁|𝜁(0)|𝑘| 𝑚𝑘 |𝜁 2 (0) |2 ≥𝑃𝜁 (𝑘)𝑑3𝑞⁡𝐵 (𝑘, 𝑞, 𝑘 − 𝑞)
2𝜋 3 𝜁2𝑃𝜁 (𝑘)一般化された不等式
𝑑 3 𝑞12𝜋 3𝑑 3 𝑞236 2⁡ 𝜏 −𝑓𝑃 𝑞 𝑃 𝑞 ≥0
2𝜋 3 𝑁𝐿 25 𝑁𝐿 𝜁 1 𝜁 2※単一場なら等号成立

36 2
𝑓𝑁𝐿
𝑓𝑁𝐿 , 𝜏𝑁𝐿 が定数ならば 𝜏𝑁𝐿 ≥2543

より高次相関関数の間の不等式
３点相関

𝑓𝑁𝐿

４点相関

𝜏𝑁𝐿TS+ 2011

𝑔𝑁𝐿

５点相関

６点相関

例

44

𝑔𝑁𝐿 について

𝑓𝑁𝐿 、𝜏𝑁𝐿 とは直接関係ない。個別の模型に強く依存する。
例: 自己相互作用ありカーバトン(e.g. Engvist&Nurmi 2005)

自己相互作用なし

自己相互作用あり

𝑔𝑁𝐿 は、ポテンシャルの形に強く依存する

45

TS+ 201046

𝑓𝑁𝐿 , 𝜏𝑁𝐿 , 𝑔𝑁𝐿 の間の整合性関係式

47TS+ 2010

４点相関の観測制限

𝜏𝑁𝐿 < 2800

(Planck 2013, 95CL)

𝑔𝑁𝐿 = −5.8 ± 6.5 × 104(Planck 2018, 68CL)

48

大きな非ガウス性を生み出すモデルは棄却された
マイルドな非ガウス性(𝑓𝑁𝐿 = 𝑂(1))のモデルは生き残っている
CMBでこれ以上制限が大幅に強まることはなさそう

49大規模構造と非ガウス性
𝛿𝑚𝛿gal = 𝑏𝛿𝑚
構造物(銀河など)は、物質揺らぎの情報を持つ50

ローカル型非ガウス性

Φ = Φ𝑔 + 𝑓𝑁𝐿 Φ𝑔2

Φ𝑔 = Φ𝑔,𝑠 + Φ𝑔,𝑙

Φ𝑔 : ガウシアンΦ𝑠 ≃ 1 + 2𝑓𝑁𝐿 Φ𝑔,𝐿 Φ𝑔,𝑠

𝛿𝑚

大スケールで大きくなるバイアス

𝑓𝑁𝐿Δ𝑏 ∝ 2𝑘51

１５万個ほどのクエーサーの観測−51 < ⁡ 𝑓𝑁𝐿 < 2152

将来制限Yamauchi+ 2014

Ferraro+ 201453

将来制限 Yamauchi+ 2015

∆𝑓𝑁𝐿 ≲ 1.5, ∆𝜏𝑁𝐿 ≲ 17 くらいまでいけそう
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まとめ
揺らぎの非ガウス性は、インフレーション模型や揺らぎの起源を明らかにするうえで重要な観測量となった。
非ガウス性の制限の重要な局面に入りつつある
今後は、大規模構造観測から非ガウス性をより精密に探査できると期待される。

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