第 485 回電波研連 F 分科会
開催日: 2004 年 6 月 18 日

空間サンプルデータを用いた散乱体の部分再構成について
成瀬 洋介 † ,高田 潤一 †

† 東京工業大学大学院理工学研究科 〒 152-8550 東京都目黒区大岡山 2-12-1-S6-4
E-mail: †{naruse, takada}@ap.ide.titech.ac.jp

1

背景屋内・屋外での電波電波環境の解析・モデル化は，アダプティブアレー，アンテナダイバーシチ，MIMO 伝送などの空間的な伝搬特性を利用し，アレーアンテナを用いた通信方式の検討に必要とされ，研究されている．
その中でも MUSIC や ESPRIT[1], ISI-SAGE[2][3][4]などの到来方向推定の手法を利用した解析 [5][6] では，
基本的には観測した空間サンプリングベクトルを，平面波や球面波のモードベクトル (ステアリングベクトル) で分解することを目的としている．よって解析結果は伝搬の様子を平面波や球面波などの単純な波の重ね合わせとして表現されることになる．しかし，実際には伝搬環境には複雑な形状の散乱体が存在し，それらから発生した複雑な散乱波も同様に，球面波などに分解されることになってしまい，それらの分解された

図 1: 散乱中心のクラスタリングと提案手法の模式図

波から散乱波を構成するものを選んで特徴付けることが検討されている．例えば，これまでは球面波の散乱
中心の分布をクラスタリングすることによって散乱波成分のうち，それを観測した範囲内で，部分的にどのを表現することがなされてきたが，本研究では散乱波程度のことが分かるのか，また散乱体モデルとして利をより数学的に定式化する手法の基礎的な部分を検討用する場合，モデルとしてどの程度の情報を持っていする．

るのかを数学的に定式化し，それに関するモデル化の今回提案する手法では，散乱波は散乱体周囲の電磁手法や推定手法を，信号・画像復元 [8] などの分野で研場によって表現される．これは，もし散乱体の周囲の究されてきたヒルベルト空間上の数学や情報量基準・電磁場が観測によって推定できたならば，その散乱体

モデル選択などの手法を利用して解決するアプローチ

を外部から観測した場合の特性が全て分かるためであを提案する．

る．このような，空間サンプリングなどの観測によって，離れた場所の波面を推定する手法として，ホログ
ラフィー [7] (波面の完全な再構成) があるが，これは必要とされるサンプリングが完全に与えられた状況でのものであり，実際問題としては散乱体周囲の電磁場を完全に再構成できるほどの観測ができることは稀れ問題の定式化

2.1

散乱波の観測ここでは，散乱体の観測や推定を線形逆問題としてである．
よって，提案する手法では，散乱体周囲の電磁場の2定式化する．これは信号・画像復元の分野での手法を

1

内積を利用すると，式 (1) は次のように表現できる．

gi =< f, K(r|θi ) >,(3)

K(r|θi ) ≡ Di (k̂(r, r i ))G(r|r i )(4)

ここで，K(r|θi ) は式 (1) の積分核であり，θi =(r i , Di (k̂)) は積分核を特徴付ける全てのパラメータであり，いわば観測条件である．
観測として N 個のサンプリングをそれぞれ条件
図 2: 問題の定式化

θ1 , θ2 , · · · , θN で行い，観測された複素電圧をそれぞれ g1 , g2 , · · · , gN とすると，g = (g1 g2 · · · gN )T ∈ CNとして，参考にしたものであり，詳しくは文献 [8] を参考にされたい．

g = Af,散乱波を観測する手法として，離散的なサンプリン

A=

N


ei ⊗ K(r|θi )

(5)

i=1

グを想定する．これは例えば，と表現できる．ただし，ei は CN の標準基底，(· ⊗ ·)(a) アンテナの位置を少しずつ動かして測定

は Neumann-Schatten 積1 である．これは，二次波源
分布 f を作用素 A で観測すると，観測結果 g が得ら(b) アンテナの指向性を少しずつ変えて測定れるというものであり，A は観測作用素又はサンプリなどが考えられる．具体的な例では，(a) は合成開口，

ング作用素と呼ばれる．

(b) は鋭い指向性を持つアンテナを回転させる方法に

一般に観測に伴いノイズ ε ∈ CN が加法的に混入す相当する．

ることから，

簡単のため，Z 軸方向に一様な 2 次元の問題として

g = Af + ε

議論を進めることにする．図 (2) のように散乱体を，場所 ri に配置した指向性 Di (k̂(r, ri )) のアンテナで観測(7)の関係が成り立つ．

する状況を考える．ここで，k̂(r, r i ) は ri から r への以降本文中において，観測は場所を変えてのみとい

方向ベクトルである．散乱体の周囲を境界 S で囲い，う場合が頻出するが，その場合には θ i を観測場所 r i

外部から観測した場合の境界上の等価二次波源分布をに置き換えて K(r|ri ) のように表記する．さらに指向

f (r) とし，散乱体以外に等価波源がないと仮定すると，
このときアンテナが受信する複素電圧は，
gi =f (r)Di (k̂(r, ri ))G(r|ri )dr(1)r∈S性を考えない場合では，具体的には，(2)

K(r|ri ) ≡ H0 (kr − r i )/4j(8)のように第 2 種 Hankel 関数を利用する．

と表現できる．上式において，G(r|ri ) は波動方程式のグリーン関数である．
ここで，式 (1) の積分を以下のように定義された関数空間 L2 上の内積であると考える．
< f, g >≡f (r)g(r)drr∈S

1 H , H をヒルベルト空間として，ブラケットを H 上の内積122とすると，Neumann-Schatten 積は，任意の元 f ∈ H1 ,g ∈ H2 について，次のように定義される．

(2)(f ⊗ g)h =< h, g > f

ただし，g(r) は g(r) の複素共役を示す．以降，一般

for∀ h ∈ H2

さらに，Neumann-Schatten 積には次のような性質がある．

にヒルベルト空間 (完備な内積空間) 上の問題として定• (f ⊗ g)∗ = g ⊗ f
素である．

式化する．

ただし，(f ⊗ g)∗ は f ⊗ g の共役作用• (f ⊗ g)(u ⊗ v) =< u, g > (f ⊗ v)

2

2.2

線形逆問題

前述したように，散乱波モデルを求めることは観測
データ g より f を求めることである．式 (7) のような一般に A の逆が存在せず，ノイズも存在するような線形逆問題を解く手法は，これまでにいろいろ研究されてきている．[8] それらの手法では，

f = Xg(9)のように線形作用素 X を作用させて f を求めるが，X

図 3: 汎化誤差の説明を選ぶ基準として，推定値 f をオリジナルの f (以降

f0 と表記) にどのような基準で近づけるのかを定義して求めている．今回の問題においても，f の散乱波モとなる．ここで例えば図 (3) のように，モデルとして

デルとしての良さを定義して，それを小さくするよう利用される範囲の観測条件として，観測場所を D 内とに X を選ばなくてはいけない．

制限した場合，推定誤差の D 内での平均を考えると，
式 (10) をアンテナ位置に関して D 内で積分し，さら2.3に，式 (7) のように，観測時にノイズ ε が混入する場

散乱波モデルの良さの基準

合には，ノイズによる推定値 f のバラツキを考えて，ノイズによる平均をとって，汎化誤差は，

J0 = Eε < f0 − f, K(r|r 0 ) > 2 dr0r ∈D 0 
2



= Eε
 1 ⊗ K(r|r 0 ) (f0 − f ) dr0
r ∈D
 0


= Eε
< 1 ⊗ K(r|r 0 ) (f0 − f ),
r0 ∈D


1 ⊗ K(r|r0 ) (f0 − f ) > dr 0



= Eε
< K(r|r 0 ) ⊗ K(r|r 0 )r0 ∈D(f0 − f ), (f0 − f ) > dr0

散乱波モデルに求められる条件を考えてみると，(a) モデルは観測データ g をもとに構成されるが，構成されたモデルを再び A で観測した場合，なるべ
く元の g に近いものが得られるのが望ましい．

(b) モデル化することによって，モデルを作るために利用していない (実際に観測していない) 観測条件においても，観測結果がある程度正確に予測できるのが望ましい．

(b) はモデルは一般化されている，つまり汎化能力を持つのが望ましいという意味である．モデルの汎化能力を評価するものとして汎化誤差があるが，これはモ=

Eε < W (f0 − f ), (f0 − f ) >デルの起こり得る全ての推定誤差を足し合わせたもの=

Eε f0 − f 2W ,
K(r|r0 ) ⊗ K(r|r0 )dr 0r0 ∈Dであり，小さいほど良いモデルであるとされる．

W

今回の場合，モデルによって推定されるのは観測値であり，モデルをいろいろな条件で観測した場合の誤(11)となり，作用素 W による重みつき二乗ノルムとなる．

差の平均を汎化誤差と定義することにする．

ここで，Eε はノイズ ε に関する平均である．

アンテナ位置が r0 の場合に，真の境界上の波源分

この J0 が小さくなるようにモデルを求めることに布 f0 の場合に観測される複素電圧 g0 (r 0 ) と，推定しなるが，ここで注意しなくてはならないのは，J0 が小た波源分布 f の場合に観測される複素電圧 g(r0 ) の二

さくなるように推定された f は，必ずしも真の波源分

乗誤差は、

g0 (r0 ) − g(r 0 )=布 f0 に近いとは限らないということである．あくま
2

でもそれを観測した値が近いかどうかで評価している= < f0 , K(r|r 0 ) > − < f, K(r|r 0 ) > 2=

 < f0 − f, K(r|r0 ) > 2

(10)ためである．J0 を最小にすることは，重みつき最小二乗問題であるともいえる．

3

定式化されている．具体的には，波源分布 f0 を近似

式 (11) では，モデルとして利用する観測場所は連する自由度 p のモデルとして，続的な領域でも評価できるが，重積分が必要であるため，評価する領域が離散的な M 個のサンプリング点

f (r) = β1 ψ1 (r) + β2 ψ2 (r) + · · · + βp ψp (r)D = {p1 , p2 , · · · , pM } である特別な場合も考えておく．この場合は積分がΣに変わるだけであり，さらにのように表現して，β1 , β2 , · · · , βp は，そのモデルのパ各点での誤差の平均を考える場合，ラメータとなる．つまり，モデルは関数空間 H の部分

M

W =

1 
K(r|pi ) ⊗ K(r|pi )
M i=1

p

空間 S = span{ψi (r)}i=1 となっている．ここで一般(12)に，式 (5)(9) のような体系では，モデル S は，となる．さらに特別な場合として，評価する点が観測

S ⊆ R(A∗ )点と同じ場合，つまり D = {r1 , r2 , · · · , rN } では，

W =

1 ∗
A A
N

(14)

(15)

となるように選ばなくてはならないことが知られてい(13)

る．[8][14][15] ここで，R(A∗ ) は作用素 A∗ の値域3 である．これは f0 の R(A∗ )⊥ = N (A) に属する成分はと表現できる．

A によっては観測できないことに起因している．

3

SIC による散乱波のモデル選択

3.1

情報量基準とモデル選択

このようなモデルでは基底関数の数がモデルの自由度となるが，まずモデルの自由度が与えられたとき，どのように基底関数を選べばいいのかを検討する．
作用素 A の特異値分解は次のように表現される．

汎化誤差である式 (11) は，その式中に本来未知である真の波源分布 f0 が入っていて，そのままでは評

A=

N




λi ui ⊗ ϕi (r) ,|λ1 | ≥ |λ2 | ≥ · · · ≥ |λN | (16)i=1

価できない．このように，本来評価できない汎化誤差を近似的に評価するものが情報量基準であり，統計のこ こ で ，ui ,ϕi (r),λi

分野では AIC(Akaike’s Information Criterion)[9] なN

は そ れ ぞ れ ，R(A)⊆∗C ,R(A ) ⊆ H を張る正規直交基底とそれに対どが有名である．AIC はモデルとして確率分布を扱っ応する特異値である．

ているので，汎化誤差として確率分布の近さを測る

これはつまり，g = Af を考えると，f の各 ϕi (r) にKullback-Leibler 情報量を評価している．しかし今回沿う成分がそれぞれ λi 倍されて，g の ui に沿う成分

汎化誤差は，式 (11) のようにヒルベルト空間上のノとして観測されるということであり，p 次元のモデル

ルムとして表現されているため，SIC(Subspace Infor-

を考えるならば，固有関数 ϕi (r) のうち，最も強調しmation Criterion) [10][11][12] という情報量基準を利用する．

て観測されることになる，対応する特異値が大きいもMDL(Minimum Description Length) 原理として知られているように，一般にモデルの自由度が大きくなるのが妥当だと考えられる．よって，p 次元のモデル

ると観測点における尤度は大きくなるが，自由度が大にする．また明らかに，Sp ⊆ R(A∗ ) である．

のから順に p 個の固有関数の線形結合によって表現すpとして部分空間 Sp = span{ϕi (r)}i=1 を利用することきすぎると過学習 [13] と呼ばれる現象で，汎化能力は次に，モデル Sp による f0 の最良近似を与える推定低下してしまう．これを避けるために適切なモデルの

作用素 Xp は，ノイズが無い環境において，自由度を求めるのがモデル選択である．

Xp = A∗ Yp ,3.2

カーネル回帰モデルp

1(ui ⊗ ui )
2
|λ
i|
i=1

(17)

空間ではないため，弱干定式化が異なっている．また，今回は汎化
誤差のノルムに重み W がついている点も異なっている．
3 作用素 A ∈ B(H , H ) について A の値域と零空間はそれぞれ，
1
2

SIC ではモデルをカーネル回帰モデル2 ，つまり複数の基底関数の線形結合によって表現したものとして
2 SIC においてのモデルは，再生核ヒルベルト空間とされていて，基底関数はその再生核となるが，今回はモデルが再生核ヒルベルト

Yp =

4

R(A) = {g|g = Af,f ∈ H1 }N (A) = {f |Af = 0,f ∈ H1 }で定義される．

で与えられることを示す．

ると，

Xp A に式 (17) と A の特異値分解を代入して計算す

J1

ると，

Xp A

=

N


λi (ϕi (r) ⊗ ui )

i=1

p


1
(uj ⊗ uj )
2
|λ
j|
j=1

N


=

p




λk uk ⊗ ϕk (r)k=1

ϕi (r) ⊗ ϕi (r) = PSp

B

(18)

i=1

=

Eε fS − f 2W = Eε A∗ α − Xp g2W=

Eε A∗ (α − Yp g)2W=

Eε < W A∗ (α − Yp g), A∗ (α − Yp g) >=Eε < AW A∗ (α − Yp g), (α − Yp g) >=Eε < B(α − Yp g), (α − Yp g) >=Eε α − Yp g2B==となり，部分空間 Sp への直交射影作用素となる．f0の部分空間 Sp 内での最良近似を与えるのは，f0 の Sp

AW A
N M N
1 

=Sp による f0 の最良近似を与える作用素だと言える．

ei ⊗ K(r, r i )

M i=1 j=1
k=1

K(r, pj ) ⊗ K(r, pj ) (K(r, rk ) ⊗ ek )Nへの直交射影つまり，PSp f0 であるので，Xp はモデル

(22)

∗

M

N

1 
< K(r, pj ), K(r, ri ) >M i=1 j=1
k=1

次に，J0 を SIC で評価するために，文献 [10] の手法< K(r, rk ), K(r, pj ) > ei eTkと同様にして J0 を分解する．式 (15) より明らかであ(23)

るが，モデル Sp はどのように選んでも最大で R(A∗ )以 上 を 踏 ま え て ，J1 を モ デ ル Sp に つ い て SIC

であるので，f0 は次のように，本質的にモデルによっ[10][11][12] によって評価すると，て近似できる部分とできない部分に一意に分解される．

SIC = (Yp − YN )g2B

f0 = fS + fS⊥ ,fS ∈ R(A∗ ),−tr [B(Yp − YN )Q(Yp − YN )∗ ] + tr BYp QYp∗

fS⊥ ∈ R(A∗ )⊥ (19)

wherefS はモデルによって近似可能な成分，fS⊥ はモデルにおいて，YN = (AA∗ )−1 が α の不偏推定量を与える(11) に代入して，=

Eε f0 − f 2W = Eε fS + fS⊥ − f 2W=

Eε fS − f 2W + fS⊥ 2W(∵(α = Eε YN g) ことを利用している．(不偏推定量になることについては文献 [10] を参照)
さらに式 (24) において，ノイズが白色で Q = σ 2 I(20)と表現される場合，かつ汎化誤差の評価点が観測点とf ∈ Sp ⊆ R(A∗ ))同じ場合を考えると，式 (13) を代入して整理して，


N
1  
SIC =
 < g, ui > 2 − σ 2 N + 2σ 2 p (25)Nのように分解できる．式 (20) の第２項は，モデルや fの選び方によっては変化しないため無視し，第１項を

i=p+1

J1 とおき，これを SIC で評価することになる．

となる．ここで，ui は式 (16) にある A を特異値分解

ところで，fS ∈ R(A∗ ) であることより，

fS = A∗ α(24)となる．Q はノイズ ε の共分散行列である．式 (24) によって近似不可能な成分となる．これを汎化誤差の式

J0

Q = Eε (ε ⊗ ε)

した際のベクトルである．

(21)

4

と表現できる．ここで，α = (α1 , α2, · · · , αN )T は fSと等価な情報を持つベクトルであるが，これは f0 がシミュレーションで想定した状況として，周波数は未知であるので，同様に未知である．

J1 の定義式に式 (21)(9)(17) (12) を代入して変形す

シミュレーション

5

5.2GHz，２次元の問題として，K(r|θi ) には式 (8) を使い，アンテナによるサンプリングは原点から順に +x軸方向に 0.4λ 間隔で 20 点とした．散乱体は，中心を

1(-3,3)[m] として，任意の半径で円形の境界を配置した．
等価波源としては，(10,10)[m] の位置に電流源がある

0.8

場合に，完全導体の円柱による散乱波の厳密解を利用

0.7

Magnitude of Singular Value

した．

4.1

作用素 A の特異値の評価

散乱体の境界の大きさや観測の条件によって，どの

0.6

0.5

0.4

0.3

ように A の特異値の大きさが変化するのかを調べる．

0.2

式 (16) より，作用素の特異値の大きさは，

0.1

0

∗

2

AA ui = |λi | ui

r = 0.05 [m]r = 1.8 [m]r = 3 [m]

0.9

2

4

(26)

6

8

10

12

14

16

18

20

Index

のように，行列 AA∗ の固有値から求められることを

図 4: 作用素 A の特異値の大きさの比較∗利用する．AA は式 (5) より，次のように計算する．

AA∗

=

N 
N 


ei ⊗ K(r|ri ) (K(r|r j ) ⊗ ej )で２点の格子上，合計１６点により汎化誤差の重み W
を式 (12) として，式 (24) によって評価した．

i=1 j=1= < K(r|r j ), K(r|r i ) > ei eT
j

グラフより，情報量基準による推定は本来の誤差を(27)下回る傾向にあるが，これは式 (20) の誤差のうち，第図 (4) に，散乱体の半径を変えた際の |λi | を大きい順２項を評価していないためだと考えられる．また，散から並べたものを示す．ただし，各場合について比較

乱体の大きさが小さい方が両者はよく一致する傾向にしやすくするために各特異値は，それぞれその最大のある．

ものとの比で表した．傾向として，散乱体が小さくなるほど，特異値の大きさは少ない次元に集中するよう

4.3になり，例えば，半径 5cm の場合には，観測されたサモデルの最適な自由度の選択

ンプリングベクトルは，ほぼ 3 次元の空間に入ってい図 (6)(7) に，散乱体の大きさやノイズの大きさを変るだろうと予測される．これは散乱体が点状散乱体にえた際の，各モデルに対する情報量基準を式 (25) にまで小さいものを仮定した場合，それによる散乱波はよって評価したものを示す．傾向として，散乱体半径球面波となり，観測されるベクトルは球面波のモード

が小さくなるほど，少ない次元でより正確な推定がでベクトル，つまり散乱中心を固定した場合，自由度はきるようになる．散乱体が小さい場合には，図 (6) の１にまで小さくなることから考えて妥当なことである．

半径 8cm の場合のように，次元が大きすぎると観測時のノイズの影響で逆に推定誤差が大きくなるという影

4.2

響が顕著に見られる．また，図 (7) と比較して，ノイ汎化誤差と情報量基準の比較

ズが少なくなると，より正確に推定できるようになり，最適であるモデルの次数は大きいほど良くなる傾向が

SIC によって評価した汎化誤差が，実際にシミュレー
ションによって得られた汎化誤差の近似となっているか

支配的になる．

どうか調べる．図 (5) は，横軸をモデルの次元，縦軸を推定誤差の平均 (推定誤差と観測値の大きさの比) とし5て両者をプロットしたものである．散乱体半径は 20cm，
ノイズは散乱波に対しての比で 20dB としている．汎

本研究では，散乱波モデルを散乱体周囲の等価波源

化誤差の評価としては，評価点として (2.2λ, −0.2λ) から +x 方向に 0.4λ 間隔で８点，+y 方向に 0.4λ 間隔

結論と今後の方針分布として表現する手法を提案し，それをモデル化す

6

0

0
r = 0.08 [m]r = 0.2 [m]r = 1.2 [m]r = 0.08 [m]r = 0.2 [m]r = 1.2 [m]
-5

-5

-10

Mean Estimation Error [dB]

Mean Estimation Error [dB]

-10

-15

-20

-15

-20

-25

-25

-30

-30

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-35

2

4

6

Dimension of the Model

8

10

12

14

16

18

20

Dimension of the Model

図 6: ノイズ 20dB においてのモデル自由度と情報量基準 図 7: ノイズ 30dB においてのモデル自由度と情報量基準

るための手法として，カーネル回帰モデルや情報量基
準 SIC を導入した．また，シミュレーションによって，散乱波モデルの最適な自由度は一般的に，想定する散乱体の大きさが小さいほど小さくなるという結果を得た．これは例えば，アンテナから散乱体を観測する際に，アンテナから臨む散乱体の大きさが，アンテナのInfo Criterion
Estimation Error0

ビーム幅の何倍くらいかによって観測できる情報量が決まるという直感的な結果から考えても妥当なものである．

-2

Mean Estimation Error [dB]

今後の方針としては，-4(1) 観測に条件をつけての一般的な 3 次元の問題への-6

拡張．

(2) 散乱体が伝搬環境上に複数存在している場合に，-8それぞれをどのように推定するのか，またモデル
-10

-12

の選択方法．
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

(3) モデルを少ないサンプリングで効率的に推定する

12

Dimension of the Model

ための最適なサンプリング位置の見当付けへの応用．

図 5: 半径 20cm ノイズ 20dB においての実際の汎化
誤差と情報量基準の比較(4) 観測したサンプリングデータから，空間上に配置されている散乱体の位置や大きさ推定への応用．

(5) 具体的な観測データを必要としないで散乱体の大きさや配置だけからの伝搬環境の推定．
などについて，このようなアプローチで検討していく

7

予定である．

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