量子エンタングルメントとゲージ/重力対応西岡辰磨 (京大基研)

2022 年 1 月 19 日
第 15 回湯川記念財団・木村利栄理論物理学賞受賞記念講演

西岡辰磨 (京大基研)

2022/1/19

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目次

1 ブラックホールのエントロピーの 2 次元共形場理論による記述
2 質量ギャップを持つ理論におけるエンタングルメント・エントロピー
3 超対称 Rényi エントロピー
4 今後の展望西岡

辰磨 (京大基研)

2022/1/19

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目次

1 ブラックホールのエントロピーの 2 次元共形場理論による記述
2 質量ギャップを持つ理論におけるエンタングルメント・エントロピー
3 超対称 Rényi エントロピー
4 今後の展望西岡

辰磨 (京大基研)

2022/1/19

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ブラックホールの物理

ブラックホールとは何か？
重力場が強すぎるため、光すら抜け出すことができない領域[Event Horizon Telescope]

実験的：この宇宙に多数存在!
EHT による直接観測 (2019)
理論的：アインシュタイン方程式の解
量子重力構築への重要な手がかり

西岡辰磨 (京大基研)

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ブラックホールの熱力学
ブラックホール

熱力学
第零法則：
熱平衡状態で温度 T は一定

表面重力 κ は一定

第一法則：
エネルギー保存則

ブラックホールエントロピー

dE = T dS − p dV
第二法則：
エントロピー増大則dS ≥ 0西岡辰磨 (京大基研)

T =

S=

κ
2πA
4GN

(A：ホライズンの面積)
面積増大則
dA ≥ 02022/1/195 / 36

ブラックホールエントロピーの解釈?
重力理論：ブラックホールエントロピー [Bekenstein 72, Hawking 75]
SBH =A,4GN

A : ホライズンの面積

統計力学：Boltzmann エントロピー
S = kB log W ,W : 微視的状態数

情報理論：Shannon エントロピー [Shannon 48]
X
H=−p(xi ) log p(xi ) ,{p(xi )} : 確率分布i

ブラックホールエントロピーは統計力学的および情報理論的な解釈を持つか?
西岡辰磨 (京大基研)

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ブラックホールエントロピーの謎
体積ではなく面積に比例

I+

特異点ズン

(ホログラフィー原理 [’t Hooft 93, Susskind 94])

キホー

量子効果 (ホーキング輻射) によりエントロピーは減少し、蒸発後は始状態に（ほとんど）依存しない: [Hawking 76]

ン
グホラ

輻

イ射

⇒ 重力の自由度はホライズンに局在?

I−ρ純粋 −−−−−→ ρ混合
蒸発過程⇒ ユニタリティーと矛盾! （情報喪失問題）

ブラックホールの理解には内部状態を記述する微視的理論が必要
西岡

辰磨 (京大基研)

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いくつかのアプローチ

超弦理論（D ブレーン）によるブラックホールの微視的な構成[Strominger-Vafa 96, · · · ]ホログラフィー原理（ゲージ/重力対応）を通して対応する場の量子論による理解 [Maldacena 97, Witten 98, · · · ]非摂動効果（ワームホール解）を取り入れた重力理論の解析[Pennington 19, Pennington-Shenker-Stanford-Yang 19, Almheiri-Engelhardt-Marolf-Maxﬁeld 19,
Almheiri-Mahajan-Maldacena-Zhao 19, Almheiri-Hartman-Maldacena-Shaghoulian-Tajdini 19, · · · ]西岡辰磨 (京大基研)

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ホログラフィー原理
ホログラフィー原理（ゲージ/重力対応）
ある時空 M 上の（量子）重力理論=

境界 ∂M 上の場の量子論

例：超弦理論での D ブレーンの二つの見方：

閉弦重力理論西岡

辰磨 (京大基研)

=開弦

ゲージ理論
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ホログラフィー原理の具体例：AdS/CFT 対応

AdS/CFT 対応 [Maldacena 97]

境界上の共形場理論（CFT）[Circle limit III, Escher]=(d + 1) 次元 AdS 時空上の重力理論
d 次元（ラージ N）共形場理論∫GKP-W 関係式 e −IAdS [ϕ0 ] = ⟨ e ϕ0 O ⟩CFT を用いて様々な物理量の比較が可能!
AdS ブラックホール = 有限温度の CFT
BH エントロピーは CFT の熱力学エントロ
ピーとして理解できる [Witten 98]

反ド・ジッター (AdS) 時空上の重力理論

SAdS BH = SCFT, therm西岡

辰磨 (京大基研)

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より現実的なゲージ/重力対応?

AdS 時空 → 負の宇宙項を持つ我々の宇宙 → （ほぼ）平坦時空 → AdS/CFT 対応が使えない!
しかし、4 次元の漸近平坦な極限（ゼロ温度）ブラックホールのホラ
イズン近傍は普遍的な構造を持つ [Kunduri-Lucietti-Reall 07]
dr 22ds = Γ(θ) − r dt + 2 + α(θ) dθ + γ(θ) (dϕ + k r dt)2r
222

極限ブラックホール/CFT 対応 [Hartman-Murata-TN-Strominger 08, Compere-Murata-TN 08]
この計量の上の量子重力はカイラルな 2 次元 CFT と双対である
西岡

辰磨 (京大基研)

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11 / 36漸近対称性

漸近対称性
計量の空間無限遠付近に適切な「境界条件」を課して、その条件を満たす一般座標変換の一部
ζ ∈ 漸近対称性に対して保存電荷（生成子）
Qζ が存在（Noether の定理）
多くの場合、漸近対称性 = 計量の対称性
非自明な例：[Brown-Henneaux 86]
AdS3 時空の漸近対称性 = Virasoro 対称性

ゲージ対称性の生成子の優れた解説書⇒ AdS3 /CFT2 対応を示唆!
西岡辰磨 (京大基研)

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極限ブラックホール/CFT 対応
極限ブラックホールのホライズン近傍は古典的には U(1) × SL(2, R) 対称性を持つ
漸近的にホライズン近傍に近い計量を考えると「漸近対称性」として中心電荷Z π pcL = 3kdθ Γ(θ) α(θ) γ(θ)

有限温度のCFT

ホライズン0の（カイラルな）Virasoro 対称性が表れる

極限ブラックホール

極限ブラックホールのエントロピーは双対な CFT の統計的エントロピーとして説明できる!

1π2cL TL = SCFT, therm
TL =SExtreme BH =32πk

西岡

辰磨 (京大基研)

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目次

1 ブラックホールのエントロピーの 2 次元共形場理論による記述
2 質量ギャップを持つ理論におけるエンタングルメント・エントロピー
3 超対称 Rényi エントロピー
4 今後の展望西岡

辰磨 (京大基研)

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14 / 36量子エンタングルメント
古典論：系は一つ状態（決定論的）
量子論：系は複数の状態の重ね合わせ（確率論的）
特に量子系が二つの部分系からなる場合
X√
Xpi |i⟩A ⊗ |ĩ⟩B , (pi = 1)|ψ⟩ =iABABi

系 A の状態に応じて系 B の状態は異なる（量子相関）
例：二準位系（EPR/Bell ペア）1|ψ⟩ = √ [| ↑⟩A ⊗ | ↓⟩B + | ↓⟩A ⊗ | ↑⟩B ]2

西岡

辰磨 (京大基研)

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15 / 36エンタングルメント・エントロピー
状態 |ψ⟩ の量子相関の「強さ」を定量化できるか？

部分系 A のエンタングルメント・エントロピー
密度行列 ρtot で記述される量子系 Htot = HA ⊗ HB に対してSA ≡ −trA [ρA log ρA ] ,一般に純粋状態 ρtot = |ψ⟩ ⟨ψ|, |ψ⟩ =X√

ρA ≡ trB [ρtot ]pi |i⟩A ⊗ |ĩ⟩B の場合

i

SA = −Xpi log pii

SA は確率分布 {pi } の Shannon エントロピーと一致する

西岡辰磨 (京大基研)

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場の量子論におけるエンタングルメント
EPR ペア場の量子論では時間一定面を二つの部分系に分けて考えるA
B

SA は領域 A の形に依存するエンタングルメント
エントロピー

時間一定面=

境界 ∂A をまたぐ
“大域的な相関”d 次元場の量子論の場合：(ϵ: 紫外カットオフ)
SA = cd−2Area(∂A)ℓd−4+cd−4 d−4 + · · ·d−2ϵ| ϵ {z }(ℓ : 系 A のサイズ)

面積則

場の量子論が重力双対を持つとき、エンタングルメント・エントロピーはどのように計算されるのか？
西岡

辰磨 (京大基研)

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ホログラフィックエンタングルメント・エントロピー

重力双対を持つ場の量子論では次が成立：

笠-高柳公式 [Ryu-Takayanagi 06]
SA =境界上にいる CFT[Circle limit III, Escher]Area(γA )4GN
A

ブラックホールエントロピーの一般化
AdS/CFT 対応を通して強結合場の量子論のエンタングルメント・エントロピーが計算できる
情報と幾何を結ぶ式 → 時空の量子化を示唆!

西岡辰磨 (京大基研)

最小曲面 γA
AdS 時空上の重力理論

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ホログラフィック公式の検証
強劣加法性の幾何的証明 [Headrick-Takayanagi
07, Headrick 13, Wall 14]

SA∪B + SB∪C ≥ SA∪B∪C + SB
CFT の普遍項の再現
Area(∂A)
SA = cd−2+ ··· +ϵd−2(d(−1) 2 +1 A log ℓϵ + (有限項)d−1(−1) 2 Fd :偶d :奇A, F は紫外カットオフの選び方に依存しない物理的な量（普遍項）
特に A は（A 型の）共形アノマリーの中心電荷
Einstein 重力の場合はdA=
西岡辰磨 (京大基研)

Ld−1 π 2 −1
 ,2GN Γ d2

dF =Ld−1 π 2
4GN Γ d2

(L : AdS 半径)2022/1/19

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くりこみ群と C-定理
ホログラフィックくりこみ群：
二つの漸近 AdS 時空を繋ぐ重力解

漸近 AdS 時空(UV)

漸近 AdS 時空(IR)LUV ≥ LIR
ホログラフィック C-定理 [Myers-Sinha 10]
重力双対をもつ d 次元場の量子論では次が成立：(Ad :偶F̃UV ≥ F̃IR ,F̃ ≡Fd :奇UVCFTIRCFT

ホログラフィック方向(粗視化の度合い)

この主張は一般の場の量子論でも成立するか？
d = 2: c-定理 [Zamolodchikov 86], d = 4: a-定理 [ Komargodski-Schwimmer 11] は証明済み
偶数次元では A-定理予想に帰着
西岡辰磨 (京大基研)

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20 / 36奇数次元の C-定理：F -定理

d: 奇数の場合は以下が予想されていた

F -定理 [Jaﬀeris-Klebanov-Pufu-Safdi 11, Klebanov-Pufu-Safdi 11]
FUV [Sd ] ≥ FIR [Sd ] ,Sd

F [Sd ] ≡ − log Z [Sd ]理論が CFT で A が球状領域の場合：

d 次元場の量子論[Casini-Huerta-Myers 11]

F [Sd ] ≡ − log Z [Sd ] = F(d : 奇)球面分配関数 Z [Sd ] とエンタングルメント・エントロピーを結びつける驚くべき関係式!

西岡辰磨 (京大基研)

R1,d−1tRA

2022/1/19

21 / 36エンタングルメントと 3 次元の F -定理
F

中心電荷 A や F は理論の「有効自由度」とみなせる

FUV

3 次元では SA の 強劣加法性とローレンツ不変性から F -定理が証明可能! [Casini et al 12,17]

FIR
粗視化の度合い ∼ R

具体的には半径 R の円板のエンタングルメント・エントロピー S(R)を使って以下の定理が示された

3 次元の F -定理
くりこまれたエンタングルメント・エントロピー F(R) = (R∂R − 1) S(R)が次の性質を満たす：
F(R)|CFT = F [Sd ]|CFT ,西岡

辰磨 (京大基研)

F ′ (R) ≤ 0
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質量ギャップを持つ 3 次元系の F -定理の検証
F -定理を検証するため質量ギャップ m を持つ系を考える
SA は m ≫ 1 で次の形をとる

外曲率 κ[Klebanov-TN-Pufu-Safdi 12]

SA = αℓ∂A1+ β m ℓ∂A − γ − c1ϵmIA

ds κ2 + O(1/m3 )∂A

相関長 1/m（自由場や重力双対を持つ場の量子論では c1 > 0）

特に A が半径 R の円板の場合（ℓ∂A = 2πR, κ = 1/R）
F(R) = γ +4π c1+ O(1/m3 )mRFγ+4π c1mR

確かに IR 領域 (mR ≫ 1) で単調減少する!
西岡辰磨 (京大基研)

mR
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F -定理と c-定理の違い
一方 UV 領域 (mR ≪ 1) では自由場でも解析解が知られていない
自由スカラー場の場合に F を数値的に調べると UV 領域でも単調減少している
しかし mR = 0 周り（UV 固定点）でF は定常ではない
F ′ |mR=0 ̸= 0
この性質は固定点で常に定常な 2 次元の c-定理とは大きく異なる[Klebanov-TN-Pufu-Safdi 12, TN 14]

3 次元でもくりこみ群の固定点で定常な関数 F が構成できるかどうかは分かっていない西岡

辰磨 (京大基研)

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目次

1 ブラックホールのエントロピーの 2 次元共形場理論による記述
2 質量ギャップを持つ理論におけるエンタングルメント・エントロピー
3 超対称 Rényi エントロピー
4 今後の展望西岡

辰磨 (京大基研)

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Rényi エントロピーとレプリカ法
経路積分形式を用いるとϕA2Rényi エントロピー

ϕA1ϕA3trA [ρnA ] =1(Z1 )nϕA2

ϕA1ϕAnZn=(Z1 )nZn : 領域 A にカットを持つ
n 重被覆空間上の分配関数
西岡辰磨 (京大基研)(n)

SA ≡n コピー

1Znlog1−n(Z1 )nn → 1 極限で(n)SA = lim SA
n→1

分配関数 Zn の計算に帰着!

2022/1/19

26 / 36共形変換 [Casini-Huerta-Myers 10]τ ∼ τ + 2πntr
τϕ共形変換ϕθ=0π/2

R3S3ds 2 = dt 2 + dr 2 + r 2 dϕ2

ds 2 = dθ2 + sin2 θ dτ 2 + cos2 θ dϕ2

3 次元 CFT, A = 円板Zn [R3 ] = Z [S3n ] ,西岡辰磨 (京大基研)

S3n : S3 の n 重被覆空間
2022/1/19

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CFT の Rényi エントロピー

3 次元 CFT で円板領域の Rényi エントロピー
Sn =1
Z [S3n ]log
1−n(Z [S3 ])n

自由場の場合、Z [S3n ] は 1-ループ計算で厳密に得られる[Klebanov-Pufu-Sachdev-Safdi 11]

超対称ゲージ理論の場合は Z [S3 ] (n = 1) が局所化の方法で厳密計算できる [Kapstin-Willet-Yaakov 09, Jaﬀeris, Hama-Hosomichi-Lee 10]⇒ F -定理の定量的検証 [Jaﬀeris-Klebanov-Pufu-Safdi 11]

西岡辰磨 (京大基研)

2022/1/19

28 / 36超対称 Rényi エントロピー
∂A

素朴な疑問

化学ポテンシャルµ超対称ゲージ理論の場合、円板領域のRényi エントロピーも厳密に計算出来るか？
⇒ そのままでは超対称性が破れる(ボソンとフェルミオンの周期が合わない)

2πiϕ ∼ e n e iµQs ϕ

しかし超対称性を保つような変形を行えば可能!

n+1

ψ ∼ e πi n e iµQf ψ

超対称 Rényi エントロピー [TN-Yaakov 13]
Snsusy =1Znsusylog
1−n(Z1susy )nZnsusy : 化学ポテンシャル入りの分配関数
西岡

辰磨 (京大基研)

化学ポテンシャルを入れてボソンとフェルミオンの周期を合わせることができる
2022/1/19

29 / 36超対称 Rényi エントロピーの性質

強結合ゲージ理論でも厳密計算できる
通常の Rényi エントロピーと定性的に似た振る舞いをする�� ���� /�����
������

ラージ N 極限で簡単な n 依存性を示す

ラージ N 極限���������������

�

3n + 1S1Snsusy =4n双対な（超対称）重力解が存在し、CFT のラージ N 極限での計算と一致する [TN 14]

西岡辰磨 (京大基研)

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目次

1 ブラックホールのエントロピーの 2 次元共形場理論による記述
2 質量ギャップを持つ理論におけるエンタングルメント・エントロピー
3 超対称 Rényi エントロピー
4 今後の展望西岡辰磨 (京大基研)

2022/1/19

31 / 36F -定理の拡張：欠損演算子入り場の量子論の C-定理
より一般的な場合の C-定理の提唱 [Kobayashi-TN-Sato-Watanabe 18, TN-Sato 21]

一般化された C-定理予想

Sdp 次元の欠損演算子 D(p) について
 πp D̃ ≡ sinlog |⟨ D (p) ⟩|2は D(p) 上に局所化されたくりこみ群の下で単調減少する：
D̃UV ≥ D̃IRD(p)局所化されたくりこみ群

p = 1 [Cuomo-Komargodski-Raviv-Moshe 21], p = 2 [Jensen-O’Bannon 15] は証明された
Q. 一般の p でも証明できるか？
西岡辰磨 (京大基研)

2022/1/19

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ブラックホール情報喪失問題とアイランド公式
I+

特異点

ゲージ/重力対応における笠-高柳公式
を拡張した「アイランド公式」[Penington 19, Almheiriet
al. 19, · · · ]:
 



 Area(∂ΣI )SR = min ext + Smat (ΣR ∪ ΣI )
ΣI |{z} 4GN
 ΣIアイランドΣI

観測領域
ΣRI−

物質場の寄与ΣI : アイランド領域
SRホーキングの計算

非摂動効果（ワームホール解）を取りこむ

ページ曲線

ユニタリー性が回復し、ページ曲線を再現!
tPage

西岡

辰磨 (京大基研)

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アイランドとエンタングルメント比熱
熱・統計力学

量子情報量

逆温度
エントロピー
比熱

レプリカ変数：β = nRényi エントロピー
エンタングルメント比熱 [Yao-Qi
10, Nakaguchi-TN 16]

エ ン タ ン グ ル メ ン ト 比 熱 の 新 た な 応 用：

50

[Kawabata-TN-Okuyama-Watanabe 21]

4030

ホーキング輻射のエンタングルメント比熱はブラックホール解とワームホール解の間の相転移を検知する!

20
1010

2030

4050

Q. 重力双対でのエンタングルメント比熱の幾何学的表現？
西岡

辰磨 (京大基研)

2022/1/19

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今後の展望量子情報
BH 情報喪失問題
時空の因果構造
量子重力

くりこみ群
エネルギー条件
量子計算
量子エンタングルメント
場の量子論

ホログラフィー

AdS/CFT, dS/CFT, BH エントロピー

西岡辰磨 (京大基研)

2022/1/19

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ご清聴ありがとうございました。

西岡辰磨 (京大基研)

2022/1/19

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