Ｃ NSCA JAPAN

Volume 21, Number 4, pages 6-11

特集

feature

論文の書き方 7

相関と回帰（その 1 ）
星川佳広 CSCS, NSCAジャパン編集委員, 東海学園大学准教授
本稿は、「論文の書き方 1：投稿論文を書こう」（ 2013 年 10 月号）の続編パート 6 です。NSCAジャパンウェブサイトに掲載中の「投稿論文（事例報告）の書き方」を参照しながら読み進めてください。
NSCAジャパンウェブサイトTOP【投稿論文（事例報告）の書き方】→ [指導者の育成］ → ［事例報告・研究論文］、「投稿要領」
部分

前回までに紹介した t 検定や分散分くらい向上すると考えられるのか？

フを作ります。その様子を示した例が

析は、2 つもしくは 3 つ以上のグルー「相関」、「回帰」を理解すると、このよ

図 1 です。図 1 左では、x が大きくな

プ間で観察された差が本当に差といえうなことを数値として示すことができると y も大きくなっています。身長とるかどうか調べるものでした。今回かるようになります。

体重も一般的にはこのような関係にあ

らの
「相関」
、
「回帰」はそれらと異な今回（その 1 ）では、
「相関」
、
「回帰」

ると思います。一方で、図 1 中央では、り、2 つの変数間の関係性を調べるもの基礎とExcelの関数やグラフ作成機

x と y はあまり関係がないようにみえのです。私たちS&C専門職には 2 つの能を使ったその分析法、結果を解釈すます。被検者を肥満傾向の人と限定す事項がお互いに関係しているのか、全る際の注意事項について説明します。

れば、身長と体重は図 1 中央のようにく関係ないのかを知りたいときもよく

次号（その 2 ）では、Excelの「データ分なることもあると思います。図 1 右のあります。例えば、あなたが野球選手

析」機能を使って「相関」、「回帰」をよ

データは、x が大きくなると y は小さにスクワットの指導をしたとします。

り詳しく理解していきます。

くなっています。例えばXを最大酸素
摂 取 量、Yを 3,000 m走 タ イ ム な ど と指導後には選手のプレースピードが大幅に改善されたように見えました。し1．相関係数すると、このような関係になります。

かし、論文を書こうとすれば単にそ

今、ここにXとYという 2 つの事項

このように 2 つの事項の関係性を調う見えただけでは説明になりません。

があるとします。例えばXが身長、Yべるのが相関分析です。そして 2 つのスクワット 1 RMの増加がスピード増

が体重などをイメージしてください。

変数間の関係性の強さを表すのが相関加（ 50 m走タイムなど）と関係していこの 2 つはお互いにどのような関係に係数で、一般的に小文字の r を使って

るのか？

あるのか？

それを調べるためにXの表現します1。 r は－1 ～ 1 の間の数値

スクワット 1 RM

データ
（x1, x2, x3…）を横軸に、Yのデーをとります。x と y に関係性がない（弱が 1 ㎏増加すると 50 m走タイムはどれ

タ（y1, y2, y3…）を縦軸に配置してグラい）場合は、r は 0 に近い数値になりま関係しているとすればそれはどの程度か？

1

Excelは r を自動的に計算してくれるが、その中身は

6

May 2014

Volume 21r=

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XとYの共分散=（Xの標準偏差×Yの標準偏差）∑（xi－x）（yi－y）
22√∑（yi－y）√∑（xi－x）

す。図 1 では中央のグラフがそうです。

y

y

y

一方で、x と y の関係性がより強くなるほど r は 1 もしくは－1 に近づきます。x が大きくなると y も大きくなる
場合（図 1 左）は、r がプラスで正の相関、逆に x が大きくなると y が小さくなる場合
（図 1 右）は、r がマイナスで負xの相関です。 r が 1 もしくは－ 1 ならば、x と y は完全に一直線上にプロットされます。
どれくらいの相関係数であれば“強い”相関といえるのか、あるいは相関があまりないと考えたほうが良いの
か？

A
1

B

x

図1

XとYの関係性表1

ワークシート例

C

D

x

E

F

G

ベースランニ選手

50m走（秒）

A

6.6

15.1

相関係数

0.84820908

ング（秒）これは後述するようにデータ数2によって異なり一概にはいえません。

3

B

6.1

13.6

回帰係数

1.55918031

4

C

7

15.5

切片

4.32530915

5

D

6.4

13.9

6

E

7.2

16.1

被検者数

7

F

6.3

14.2

t

8

G

7.4

16.2

P

9

H

7.6

16.4

10

I

6.8

14.7

2

しかしおおよその目安 としては、0 ～0.3 相関がない or 弱い、0.3 ～ 0.5 ふつう、0.5 ～ 0.7 強 い、0.7 ～ 0.9 と て も 強い、0.9 ～ 1 ほぼ完全な相関とみてよいと思います（負の相関の場合も同様）。

2．グラフを描こう

11

J

7

14.9

Excelのグラフ作成機能（散布図）を

12

K

7.3

14.6

使うと、「相関」や「回帰」分析の理解が

13

L

6.5

14.2

深まります。まずはともかくデータを

14

M

7.1

14.7

15

N

6.8

15.2

16

O

6.7

15.7

17

P

7.8

16.3

18

Q

6.6

14.7

19

R

7.2

15.4

20

S

7.7

16.5

21

T

7.2

15.8

使ってグラフを描いてみましょう。あなたは大学野球チームでS&Cコーチを務めているとします。あなたは「直線
で足の速い選手がベースランニングも速いかどうか？」について知りたいと思いました。選手 20 名を対象に、直20
6.79423759
1.155E-06 ＊＊線 50 m走のタイムとベースランニング（ 1 周約 110 m）のタイムをストップ
ウォッチで測定し、表 1 ワークシート

向にあることが読み取れます。しかし

数字で示すのが相関係数です。また、

例のA 1：C 21 の領域のデータを得ま

その一方で、50 m走が速い割にはベー

ベースランニングタイム（Y）と 50 m走した。

スランニングが遅い選手も見受けられタイム（X）の関係式を求めたり、それ

図 2 左は、表 1 のB 2：C 21 の領域をます。両者は完全に一致しているわけを使って 50 m走タイムからベースラ

選択しグラフ（散布図）を作成したもの

ではありません（完全に一致している

ンニングタイムを予測したりすることです。図 2 左からは、やはり 50 m走がときが r ＝ 1 ）。では、両者の関係性はが回帰分析になります。

速い選手はベースランニングも速い傾

どれくらいといえるだろうか。それを2

Hopkins,W.G.:A scale of magnitudes for eﬀect statistics https://www.sportsci.org/resource/stats/index.html

相関分析では x と y の 2 つの変数を参照

Ｃ National Strength and Conditioning Association Japan

7

対等に扱います。一方、回帰分析ではy は説明されたり予測されたりする変数なので「目的変数」とか「従属変数」と呼び、x は y を説明する変数なので「説

ベースランニング（秒）したりします。そこで回帰分析では、

ベースランニング（秒）x を基準にして y を関係づけたり予測

明変数」とか「独立変数」と呼びます。
回帰分析によって 2 つの事項の関係性
50m走
（秒）

を調べる際、どちらを説明変数として
図2

どちらを目的変数とするかは、分析の

50m走
（秒）

散布図グラフの例（右は、左を元に近似線、回帰式、R2 値 を追加したもの）

目的や書こうとしている論文の目的、あるいはデータの解釈の仕方（ 5 節参照）によって決める必要があります。
さて、Excelで作った図 2 左のグラ
フに回帰直線――XとYの関係性を最も適切に表す直線3を引いてみましょう。それにはグラフ上の任意のデータ（●）にマウスを当て右クリック→「近似曲線の追加」を選択します。すると
Excel 2007 以降では図 3 のボックスが出現します（Excelの以前のバージョン
でも同様のボックスが出現）。このボッ
クスは図 2 左のグラフの各データ（●）
に対する回帰直線（曲線）の描き方を指定するものです。
今、図 2 左のグラフではXとYの両
図3

者は直線的な関係にあるように見受

近似直線
（曲線）
の書式設定
（Excel2007以降）

けられるので、ここでは「線形近似」を 選 択 し ま し ょ う。 ま た 図 3 ボ ッ ク

定係数（R 2 ）が出現します。

つまり両者は相関係数約 0.85 の関係に

スの下方にある「グラフに数式を表示

ここで決定係数（R 2 ）は相関係数
（r ）

する」と
「グラフにR－ 2 値を表示する」とは定義が異なる指標ですが、結論とにチェックを入れます。
「グラフに数

しては決定係数は相関係数の二乗値とまた回帰式 y = 1.5592 x＋ 4.3253 は、

式 を 表 示 す る 」の 上 に あ る「 切 片 」に等しくなります（次号解説）。すなわち

回帰直線を一次関数（y=ax+b）の形であり、とても強い関係にあると理解できます。

チェックを入れると、下で述べる回帰2

2

R = r 。図 2 右の例ではR ＝ 0.7195 な

表 現 し た も の で す。 つ ま り、 表 1 の直線が強制的にその切片を通るようにので、r =±

0.7195 =± 0.848…で、相データに基づくと、平均的には「ベー計算されてしまうのでここではチェッ関係数は 0.848 か－ 0.848 のどちらかとスランニングのタイム（秒）＝ 1.5592

クを入れません。そして「閉じる」をクいうことになります。今、50 m走タイ

× 50 m走 の タ イ ム（ 秒 ）＋ 4.3253 」

リックすると、図 2 右のようにグラフ

ムとベースランニングタイムは、明らとなると考えられるわけです。ここ上に回帰直線、およびその回帰式、決かに正の相関関係にあるので 0.848 、で a のことを「回帰係数（あるいは傾3

2

各データ（●）から直線（曲線）までのy軸方向の距離を「予測の誤差」あるいは「残差」という。すべてのデータに対して予測の誤差を計算し、その二乗値の総和（残差平方和）が最も小さくなるような、つまり予測の誤差が最も小さくなる直線（曲線）がxとyの関係性を最も適切に表す直線（曲線）。それを回帰直線（曲線）と呼ぶ。
Excelは回帰直線（曲線）を自動的に計算してくれる。

8

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Number 4き）」、bを「切片」といいます。回帰係には 15.7 秒と 14.8 秒よりも 0.9 秒も遅“=INTERCEPT（C 2 ：C 2 1 , B 2 ：

数 a が 1.5592 と い う こ と は、50 m走い。つまり被検者Oに関していえば、

B 21 ）”と入力されていて、それぞれ回タイムが 1 秒速く（あるいは遅く）なれ

走るスピードそのものというよりは

帰係数 1.559 …と切片 4.325 …が示さば、ベースランニングのタイムは平均

ベースランニングのコース取りなどのれています。それぞれの数値は図 2 右的には 1.5592 秒速く（あるいは遅く）

技術的な部分に課題があるのだろうとの回帰式と確かに同じになっていまなることを表します。

考えられます。一方で被検者Kの場合、す。相関分析ではxとyを対等に扱うの

通 常、 論 文 で 何 も 断 り な く 相 関・

ベースランニングタイムをさらに短縮

で“=CORREL（B 2：B 21 , C 2：C 21 ）”回 帰 分 析 と 書 か れ て い れ ば、 そ れ

しようとすれば、まずは単純な直線走のようにB 2：B 21（説明変数）とC 2：

は x と y の関係性を直線で結んでいるの走力向上に取り組むべきだと考えら

C 21（目的変数）が入れ替わっても同と考えて良いです。このような回帰をれます。

じ 数 値 が 得 ら れ ま す が、slope関 数、「線形回帰」といいます。しかし、デー

このように回帰分析を用いると、トintercept 関 数 で は、C 2：C 21 , B 2：

タによっては x と y は直線的な関係にレーニングの方向性を合理的に判断す

B 21 の順を間違えると異なる数値が計なく、y が x に対して二次関数や指数ることができます。また論文を書くと算されるので注意してください。

関数的な増え方をすることもあると思きにおいても、回帰分析の結果に基づいます。そのような場合、図 3 においいて被検者をグループ分けしたり抽出て指数近似、対数近似、累乗近似などしたりする――例えば 50 m走タイム

相関分析によって論文を書こうとすを選択します。これらは線形回帰に対の割にベースランニングが遅い選手のる場合、相関係数のみならずその有して「非線形回帰」と呼ばれます。はじみを選んでトレーニングするなど――

意性も示せれば主張もしやすくなりめて「論文を書こう」とする場合は、基と、結果をよりクリアにすることがでま す。 論 文 内 に“ r = 0.56（ p < 0.05 ）”本となる線形回帰を利用することが多きます。

などと書かれているのを見たことがいので、本稿では線形回帰のみを扱います。非線形回帰についても知りたい
場合はより詳しい資料を参考にしてく

4．相関係数の有意性あるかと思います。これは相関係数

3．Excel関数による係数の算出

が 0.56 でその相関係数が 5 ％水準で有グラフを描くとXとYの関係性が視意であることを示していますが、とこ

覚的にわかるので、上述のようにまろで相関係数が有意とはどのようなこも う 一 度 図 2 に 戻 り ま す。 回 帰 直ずはグラフによってデータの全体像とを意味するのでしょうか？

線を引くことの利点のひとつは、回を把握することが肝要です。しかし、多くの場合、私たちが手にできる

帰直線から外れた傾向にあるデータ

Excelには相関係数や回帰係数、切片

データは標本です（ 1－2 月号参照）。標を表出できる点です。例えば図 2 右でを求めるための関数も用意されてい本でXとYに相関があるからといっては、↘のついた被検者KとOのデータて、関数を使えばグラフを作成しなく母集団でもそういえるとは限らない。

です。被検者Kの 50 m走は 7.3 秒とそてもすぐにそれぞれの数値を得ること

標本データから確率的に考えたときにれほど速くないのですが、ベースランが で き ま す。 相 関 係 数 はcorrel関 数、母集団にも相関があるといえる――こニングは 14.6 秒と全体の 5 位にランク

回帰係数はslope関数、切片はintercept

れが相関係数の有意性です。相関分析

しています。一方で被検者Oは、50 m関数によって求めることができます。

での帰無仮説は「母集団でXとYは関係

走 は 6.7 秒 と か な り 速 い に も か か わ

表 1 のワークシート例でいうと、セルない」つまり「母集団の相関係数＝ 0 」

らず、ベースランニングは 15.7 秒とF 2 には“=CORREL（C 2：C 21 , B 2：です。標本データからこの帰無仮説がどちらかと言うと遅いほうに分類さ”と 入 力 さ れ て い て、 そ の 関
B 21 ）

棄却されれば、母集団においてもXとれ ま す。 50 m走 が 6.7 秒 な ら ば、 上

数 の 結 果、50 m走 と ベ ー ス ラ ン ニ ン

Yは関係性がある――有意な相関とな

述 の 回 帰 式 に 基 づ く と 1.5592 × 6.7

グ の 相 関 係 数 0.848 … が 示 さ れ て いります。

＋ 4.3252 ≒ 14.8 秒でベースランニン

ま す。 同 様 に セ ルF 3 に“=SLOPE

4
この計算には脚注の計算式（ t 値）

グが走れるはずなのです。しかし実際（C 2：C 21 , B 2：B 21 ）”、 セ ルF 4 にが 自 由 度 n－ 2（nは 被 検 者 数 ）の t 分

ださい。

4

t=

r × n－2
1－ r 2r 相関係数、n 被検者数

Ｃ National Strength and Conditioning Association Japan9

布 に 従 う こ と を 利 用 し ま す。 表 1 のりません。もちろん、有意かどうかだ

XとYに因果関係があるとは限らない

ワークシートで相関係数の有意性を調けが論文の観点ではないので、有意性ことです。私たちは相関、回帰分析をべてみましょう。まずセルF 6 には被がなければ論文を書いてはいけないと行なうと、Xを原因、Yを結果として

検 者 数 を 求 め る た め に“=COUNTA

いうことではありません。しかし分析

XとYを直接的な因果関係として解釈（A 2：A 21 ）”が入力されています。セ

結果の解釈は、たとえ高い相関係数でしたくなるものです。Yの理由を知りルF 7 には t 値を求めるために、セルあってもそれは有意でないことを踏またい！、その答えはXだ――こうすっF 2（相関係数）とセルF 6（被検者数）

えた上で行なうことになります。

きりと解釈できるならどれほど論文もこの逆で被検者数が非常に多い場

書きやすいかわかりません。しかしXSQRT（F 6 - 2 ）/SQRT（ 1 - F 2 ＊F 2 ）”合（ 100 名程度）は、r = 0.2 程度しかなとYは本当に因果関係にあるのか？

と 入 力 さ れ て い ま す。 セ ルF 8 に は、かったとしても相関係数は有意と判

このことは常に注意しつつデータを読

セルF 7 の t 値の t 分布
（自由度 n－ 2 ）に定されます。これは相関係数の有意む癖が必要です。

おける上側確率を求めるためにtdist関性が「母集団の相関係数＝ 0 」すなわち「朝食を摂る子どもほど学校のテス

数を用いて“=TDIST（F 7 ,F 6 - 2 , 1 ）”が「母集団でXとYは全く関係ない」といトの点が良い」――確かに朝食の摂取

入力してあります。その結果、セルF 8

う帰無仮説を棄却しているにすぎない

率とテストの点は相関関係にありまに は 1.155 E-06（ 0.000001155 …）とからです。つまり帰無仮説の棄却はす。しかしだからといって、朝食を食

非常に小さい値が計算されていま「XとYは全く関係ないことはない」とべたらすぐさまテストの点が上がるほす。 す な わ ち、 表 1 の 50 m走 と ベ ー

いっているだけなのです。したがって、

ど単純でしょうか。両者に直接的な因

スランニングのデータには、1 ％水準

有意な相関性を発見したからといっ果関係があるかは両者の相関関係だ（ p ＜ 0.01 ）で有意な相関があると判定て、r = 0.2 がどれほどの意味をもつかけからはわかりません 。最近“ビッグできます。

は、統計の結果とは別に論文や分析のデータ”がよく話題になりますが、ITどれくらいの相関係数ならば有意と目的とあわせて考える必要がありまの発達によりかつては分析対象にもな判定されるかは被検者数によって変わす。互いに全く関係ないと思われていらなかったデータ同士で相関関係が調ります。例えば同じ r = 0.5 が得られてた事項に実は弱いながらも相関性を認べられるようになってきています。今いるとしても、それが被検者 30 名のめたことを主張するならば r = 0.2 でも後ますます、「朝食」と「テスト」のようデータから得られている場合と、被検意味があるでしょう。しかし多くの場な予想外な事項間の相関関係はいろい

者 10 名から得られている場合では有合 r = 0.2 程度ならば、“相関がある”とろな場面で出てくることでしょう。し意性の判定が違います（前者ならば有主張するよりも、実質的な相関はない

たがって、なおさらその結果をどう解意で後者ならば有意ではないと判定さとして解釈したほうがスムーズに論文釈するかが重要になってきます。

れる）。なぜならば、被検者 30 名からが書けるように思います。

の値を利用しながら脚注の式“=F 2 ＊

環境の子どもは、生活習慣も規則正しのほうが、より確からしく母集団の相関係数も 0.5 に近いといえる――すな

おそらく朝食を毎日摂るような家庭

5．相関関係と因果関係

く、勉強する習慣が身についているの

わち、より確からしく「母集団の相関

さて相関係数や回帰式によって 2 つで、その結果学校のテストもよくなる

係数＝ 0 」の帰無仮説を棄却できるかの事項の関係性を数値で表すことがでのでしょう。この解釈の場合
「朝食」と

らです。

きたら、次はその結果の解釈です。論

「テスト」の相関関係の背景には、「家逆に言えば、被検者数が十分でない文ならば「考察」に記述する内容です。

庭環境」や「生活習慣」という共通の別と母集団の相関係数は、標本の相関係

統計は単に数字上の操作でしかないのの要因が作用しています。このような数から精度よく推定できないのです。

で、その結果をどう解釈するかは分析

XとYに共通に働く要因のことを交絡したがって事例報告などで被検者数がした人が自分で考えなければなりませ要因といいます（図 4 ）。交絡は、私た

少ない場合（ 6 名程度）
、r = 0.7 と一見ん。

ちS&C領域では非常に身近な問題で高く思える相関係数が得られたとして相関、回帰分析の結果を解釈するとす。例えば、NSCA会員ならばよくわ

も、「母集団の相関係数＝ 0 」の帰無仮きに注意しなければならないことは、

かると思いますが、身長の高さは多く説が棄却できずに相関係数は有意とな

XとYが相関関係にあるからといってのスポーツパフォーマンスと相関関係

10

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という 2 段階で考えるのが良いと思い有意な相関

説明変数 X

ます。筋力を上げれば足が速くなるの
目的変数 Yか？――実施が長期にわたり、選手にもあなた自身にも負担が大きいトレー
ニング実験にやみくもに取り組むよりは、まずは相関の程度を把握し、その上で試みたほうが見通しがつきやすい。また仮に、仮説どおりでなかった

別の要因

としても他の問題点にも気づきやすいAでしょう。相関があった→トレーニン
グ実験してみた→仮説どおりに成功し図4た（因果関係あり）。相関があった→ト交絡要因のイメージ

レーニング実験してみた→仮説どおりにはいかなかった（因果関係がなかっにあります。しかし、身長が高いことのレベルが異なります。例えば、タた）→他の要因が考えられそう。このそのものがスポーツパフォーマンスにバコ（原因X）とがん（結果Y）の因果関

一連の流れがまさに、論文を書くこと直接的にかかわっているよりは、交絡係を示そうとする際、単に喫煙習慣とを通してあなた自身の専門性が強化さ要因として体重や筋力、年齢（競技歴）

がんの罹患率の相関関係を示した場合

れていく過程なのだと思います。◆などが背景に存在していることは少なと、現時点でがんでない人がこれからくありません。したがって、私たちが喫煙する程度を記録し、何年後かにが相関、回帰分析によって論文を書こう

んが発生する頻度はどれくらいであっとする場合、あるいはそのために実験たかを示した場合では、後者のほうが設定を考える場合、交絡要因の可能性

エビデンスとしての信頼性は当然ながにも目配りしておく必要があります。

ら高いわけです。一般的に相関関係を相関、因果関係については、交絡以記述しただけの研究は、エビデンスの外にも様々に解釈上の注意点がありま

信頼性はあまり高くないとされています。ウィキペディア（インターネット

す（しかしだからといって報告の価値上のフリー百科事典）には「相関関係とがないわけではありません）。

因果関係」という項目が立てられていこのエビデンスの信頼性は私たちるくらいです。注意事例がいくつか掲

S&C領域においてもあてはまります。

載されているので参考にしてくださ

例えば、筋力（原因X）と足の速さ（結い。

果Y）の関係性を示そうとする際、単に現時点での「筋力」と「足の速さ」の相

6．エビデンスの信頼性関をとるだけよりも、実際にトレーニ

では、どうすれば因果関係を示すこ

ングによって筋力を高めたときに足のここでは深速さがどうなったかを検証したほう

く立ち入りませんが、これは研究デザが、両者の因果関係は主張しやすい。

インの問題になります。本連載 1 回目

したがって「論文を書く」ことを想定すに「根拠に基づく医療（エビデンス）」にれば、まずは比較的容易に調べること

ついて少し書きました。しかし一口にができる相関関係を報告し、次にそのエビデンスといっても、それが生みだ

相関関係からヒントを得た上で実際にされた研究のデザインによって信頼性

トレーニングをやって再度報告する、とができるでしょうか？

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