式の計算

1章

1教科書

P.13~16式の加法，減法

1

単項式と多項式，式の次数1▶ 5 x，ab， a 2 などのように，数や文字の乗法だけでできている式を，単項式という。a や −2 のよ2うな 1 つの文字や 1 つの数も単項式と考える。

学習▶−7 ab＋2 c のように，単項式の和の形で表された式を多項式といい，その 1 つ 1 つの単項式を，多項式の項という。
▶単項式でかけあわされている文字の個数を，その式の次数という。多項式の次数は，各項の次数のうちでもっとも大きいものになる。次数が 1，2，…である式を，それぞれ一次式，二次式，…という。
次の問いに答えなさい。

例題 1

4 a−5 b＋3 の項を答えなさい。また，a，b の係数をそれぞれ答えなさい。
答えな⑴⑵ 4 x 2 y，a 4−3 a 2 b＋2 b はそれぞれ何次式ですか。

elp

4 a−5 b＋3 は 4 a＋＋33 と単項式の和の形で表される。
a （−5−5 bb）
単項式で表される。
3個

項

4 a，−5の係数…−5a，−−5 b，3，ab，3，3，aa の係数…4，bの係の答⎜⑴

解き方⎧ ⎜⎨⎜ ⎩⎜字の個3 個だから，三次式である。
だから，三次式である。
三次式である4 x 2 y＝4×x×x×y より，文字の個数は⑵maもっと大きい項
項 a 4 の次数が 4 だから，四次式
だから，だから，四次式である。
る。
a 4＋（−3 a 2 b）＋2 b のもっとも次数の大きい項
次数 4

次数 3

次数数1

答

Sの問いなさい。
さい。
1 次の問いに答えなさい。

確認問題

y…三次式，aa 4−3 a 2 b＋2 b…四次式
4 x 2 y…三多項式の項を答えなさい。また，文字の項の係数を答えなを答えなさい。また，文字の項の係答えなさい。また，文字の⑴ 次の多項式の項を答えなさい。また，文字の項の係数を答えなさい。
＋b3 a＋b−2□①答□②

3 a，b，−2，aaa の係数…3，bの係の係数…
3の係数…1係数…

答

7 x−3 y＋5
7x，−3 y，5，x の係数…7，y の係数…−3何次⑵ 次の式は何次式ですか。
−3 xy

□①

□②答

学習

2a5 a−b二次式

□③答

一次式

x 4−4 x 2＋4
次数 4答□④ 2 a 2 b＋5 ab−6 a四次式

次数 3答

三次式

同類項をまとめる▶式 4 a＋3 b−a＋2 b で，4 a と−a，3 b と 2 b のように，文字の部分が同じ項を同類項という。同類項
は，分配法則 ma＋na＝（m＋n）
a を使って，1 つの項にまとめることができる。
例題 2⑴

次の式の同類項をまとめなさい。

8 a−5 b−4 a＋2 b＝8 a−4 a−5 b＋2 b＝（8−4）a＋（−5＋2）
b＝4 a−3 b注意

項を並べかえる。
同類項をまとめる。

⑵ 4 x 2＋6 x−7 x 2＋2 x＝4 x 2−7 x 2＋6 x＋2 x（6＋2）x＝（4−7）
x 2＋項を並べかえる。
同類項をまとめる。

＝−3x2＋8x−3 x 2 と 8 x のように次数が異なる項は同類項でないので，1 つの項にまとめることはできない。

啓12 数学 2 年／○

2 次の式の同類項をまとめなさい。

確認問題x 2−4 xy＋3 x 2＋2 xy□⑶ 4 x＋3 y−2 x＋4 y＝8 a−a−3 b＋5 b＝x2＋3x2−4xy＋2xy＝4x−2x＋3 y＋4 y＝（8−1）a＋（−3＋5）b＝（1＋3）
x＋（−4＋2）
xy

＝
（4−2）
x＋（3＋4）y8 a−3 b−a＋5 b□⑴□⑵

2＝7 a＋2 b＝2x＋7 y2

＝4x −2xy□⑷ −5 a＋10 b＋4 a−2 b□⑹ 3 x 2−4 x−2＋x 2＋3 x−9□⑸ 2 ab＋12 a−6 ab−15 a＝−5 a＋4 a＋10 b−2 b＝2 ab−6 ab＋12 a−15 a＝3x2＋x2−4x＋3x−2−9＝（−5＋4）a＋（10−2）b＝（2−6）
ab＋（12−15）
a＝（3＋1）x 2＋（−4＋3）x−11＝−a＋8 b＝−4 ab−3 a＝4x2−x−11学習

3多項式の加法，減法▶多項式の加法は，それらの多項式のすべての項を加え，同類項をまとめる。
。
和として表す。
▶多項式の減法は，ひくほうの多項式の各項の符号を変えたものの和として表す。
例題 3次の計算をしなさい。

⑴ （3 a＋5 b）＋（a−8 b）

かっこをはずす。

＝3 a＋5 b＋a−8 b＝3 a＋a＋5 b−8 b＝4 a−3 b

同類項をまとめる。
める。

しなさ
3 次の計算をしなさい。

確認問題□⑴ （2 a＋b）＋（4 a＋3 b）＝2 a＋b＋4a＋3 b＋bS

＝2 a＋44 a＋b＋3b＝6a＝6 a＋4a＋4 b□⑶ （−5 a＋b）b））＋（6 a−7 b）＝−5 a＋b＋66 a−7baelp⑵ （2 x 2＋3 x）−（5 x 2−4 x）
x
ひくほうの式の各項
ほう22を変の符号を変える。
x−−5 x ＋＋44 x＝2 x ＋3 x−5
5 x 2＋＋33 x＋4x＋4 x＝2 x 2−5＋7x7x＝−−3x2＋7＝−3xma

同類項をまとめる。
同る。

□⑵ （5 x−2x−−2 y）＋（33 x−6 y）＝y＋3＝5x−2y＋3x−6y＝5x＋3x−2y−6 y＝8x−8 y
5x＋3□⑷ （7 x−2 y＋3）＋（3 x＋6 y−11）＝7x−2 y＋3＋3x＋6 y−11＝−5 a＋6 a＋b−7b− b＝a−6 b＝7x＋3x−2 y＋6 y＋3−11＝10x＋4 y−8□⑸ （9 x＋3 y））−（2 x＋66 y）□⑹ （−6 a＋3 b）−（5 a−2 b）＝9x＋3 y−2x−6 y＝−6 a＋3 b−5 a＋2 b＝9x−2x＋3 y−6 y＝−6 a−5 a＋3 b＋2 b＝7x−3 y＝−11 a＋5 b□⑺ （5 a＋7 b−3）−（−a−3 b＋2）□⑻ （2 x 2−x＋3）−（4 x 2−7 x−8）

＝5 a＋7 b−3＋a＋3 b−2＝2x2−x＋3−4x2＋7x＋8＝5 a＋a＋7 b＋3 b−3−2＝2x2−4x2−x＋7x＋3＋8＝6 a＋10 b−5＝−2x2＋6x＋11□⑼

3 x−2 y＋5□⑽

12 a−7 b−3＋） 4 x＋7 y−6−） 15 a−2 b−9

7x＋5 y−1−3 a−5 b＋6
啓／数学 2 年○13練 習 問 題
1 ［単項式と多項式，式の次数］ 次の多項式の項を答えなさい。また，それぞれ何次式ですか。
8 x−5 y□⑴

次数 1
答

5 x 2−7 x＋1□⑵□⑶ 6 a 2＋3 a 2 b 2−4 b 2

次数 2項…8x，−5 y，一次式

答

例題 1

次数 4項…5x2，−7x，1，二次式

答

項…6a2，3a2b2，−4b2，四次式2 ［同類項をまとめる］ 次の式の同類項をまとめなさい。
□⑴

5 a＋2 b−3 a＋b

例題 2−x＋3 y−8−2 x＋y□⑵□⑶ −8 ab＋5 a−3 ab−6 a＝5 a−3 a＋2 b＋b＝−x−2x＋3 y＋y−8＝−8 ab−3 ab＋5 a−6 a＝（5−3）a＋（2＋1）
b＝（−1−2）x＋（3＋1）
y−8＝（−8−3）ab＋（5−6）a＝2 a＋3 b＝−3x＋4 y−8＝−11 ab−ax−3 y＋6 x＋9＋4 y−7□⑷

1.2 x＋3.2 y−0.8 x＋1.4 y□⑸＝x＋6x−3 y＋4 y＋9−7＝1.2x−0.8x＋3.2 y＋1.44 y＝（1＋6）x＋（−3＋4）
y＋2＝（1.2−0.8）x＋（3.2＋1.4）
2＋1 y＝7x＋y＋2＝0.4x＋4.6 y［多項式の加法，減法①］ 次の計算をしなさい。
算をしな

132
1＋ b− a＋ ba＋42321231＝ a− aa＋ b＋ b2
34234
32a＋＋b＝−＋6644
15＝− a＋ b64□⑹

elp（）（ma＝12x−9＝1212xx−99 y−15x＋10y−15x＋ y＝3 a＋11 b＋4 a＋5 b＝12x−15x−9y＋100 y＝121 x−15x＝3 a＋4 a＋11 b＋5 b＝7 a＋16 bS＝−3x＋y＝−3x□⑶ （3 a−8− b−12 c）（7 a−5 b＋6 c））＋（7□⑷ （8 x＋3 y）−（2 x＋6 y）＝3 a−8 b−12c＋7 a−5b−5 b＋6b ＋6 c

＝8x＋3y−2x−6 y＝8＝3 a＋7 a−8−8 b−5 b−12
122 c＋6c＋ 6 c＝10 a−13 b−6−6 c＝8x−2x＋3 y−6 y＝6x−3 y□⑸ （−a＋6 b）−（6 b−a）b−（−5 x−2 x 2）□⑹ （5 x 2−9 x＋3）＝−a＋6 b−6 b＋aa

＝5x2−9x＋3＋5x＋2x2＝−a＋a＋6 b−6 b＝5x2＋2x2−9x＋5x＋3＝0＝7x2−4x＋32 a＋4 b

例題 3□⑵ （12（121 x−9x−−9 y）y）（−15 x＋10 y）＋（−15□⑴ （3 a＋11 b）＋（4 a＋5 b）

□⑺）

□⑻

x−2 y−6□⑼−6 a＋5 b□⑽

12 x 2＋5 xy−7 y 2＋） 3 a−8 b＋）−3 x＋2 y−9−） −6 a−5 b−）12 x 2−9 xy＋3 y 2

5 a−4 b−2x−15

10 b14xy−10 y 2

4 ［多項式の加法，減法②］ 次の 2 つの多項式をたしなさい。また，左の式から右の式をひきなさい。
□

例題 33 a−4 b， −a＋3 b啓
14 数学 2 年／○−（−a＋3 b）
たす…（3 a−4 b）＋（−a＋3 b） ひく…（3 a−4 b）＝3 a−4 b−a＋3 b＝3 a−4 b＋a−3 b＝2 a−b＝4 a−7 b

答

たす…2 a−b
ひく…4a−7b応 用 問 題
1 次の計算をしなさい。
□⑴ （3 ab＋7 bc−ca）＋（−15 ab−4 bc＋9 ca）＝3 ab＋7 bc−ca−15 ab−4 bc＋9 ca＝3 ab−15 ab＋7 bc−4 bc−ca＋9 ca＝−12 ab＋3 bc＋8 ca（−4 x 2＋5 x＋1）□⑵ （−2 x 2＋7 x−8）−＝−2x2＋7x−8＋4x2−5x−1＝−2x2＋4x2＋7x−5x−8−1＝2x2＋2x−9321

3（ 5 x −8 xy＋ 3 y ）−（ 4 x −6 xy− 8 y ）□⑶22223213125169＝ x2−8xy＋ y 2− x2＋6xy＋ y 2＝ x2− x2−8xy＋6xy＋ y 2＋ y 2
2453482020244
725＝ x2−2xy＋ y 2
20
24＋（−5 a＋3 b）□⑷ （7 a−4 b）−（3 a−8 b）

elp＝7 a−4 b−3 a＋8 b−5 a＋3 b＝7 a−3 a−5 a−4 b＋8 b＋3 b＝−a＋7 b）−（x−0.2 y＋0.4 z）−（0.7 x＋1.4 y−z）□⑸ （0.3 x−y−1.2 z）＝0.3x−y−1.2 z−x＋0.2 y−0.44 z−0.7x−1.4y＋zz−ma＝0.3x−x−0.7x−y＋0.22 y−1.4
y−1 y−1.2 z−0.4−0.4 z＋z＝−1.4x−2.2z＋＋z＝−−1.4x−−2.2 y−0.6
y−0.6 zなさい。
2 次の問いに答えなさい。
□⑴にたしたら，ら，33 a＋b−1a＋bb−1 になった。ある式を求めなさい。になった。ある式になった。あるめなさ
9 a−3 b−22 にある式をたしたら，3をある式をSとすると，
ると，と，（9（9 a−33 b−2）b−2）＋＝33 a＋b−1＝a＋b−＝（3 a＋b−1）−（9（9 a−3a−3 b−2）b−2）＝−6＝−6 a＋4a＋4 b＋1b＋答−6 a＋4 b＋1をひいたら，をひx 2＋5 x−8 になった。ある式を求めなさい。
から 3 x 2−2 x＋1 をひいたら，4□⑵ ある式からある式をとすると，と−（3（3x2−2x＋1）＋1）＝4x＝ 2＋5x−8＝（4x2＋5x−8）
5x＋（3x2−2x＋1）
1）＝7x＝7 2＋3x−7

答

7x2＋3x−712
3x− y＋ z になった。ある式を求めなさい。
432
123とすると，x−y＋z−＝ x− y＋ z
ある式を
43212
3311311答＝x−y＋z−x− y＋ z ＝ x− y− z
x− y− z432432432ある式をひいた□⑶ x−y＋z からある式をひいたら，（）

3 右の表で，縦，横，斜めに並んだ 3 つの式の和がどれも等しくなるように□する。このとき，ア，イにあてはまる式をそれぞれ求めなさい。

3 x−2 y−3 yイ

6 x−yア3 つの式の和は，（3x−2 y）＋（6x−y）＋9x＝18x−3 y（3x−2 y）−3 y＋ア＝18x−3 y より，
ア＝18x−3 y−（3x−5 y）＝15x＋2 y（3x−2 y）＋イ＋ウ＝（15x＋2 y）＋（6x−y）＋ウ より，
イ＝21x＋y−（3x−2 y）＝18x＋3 y答

ウ9xア…15x＋2 y，イ…18x＋3 y

啓／数学 2 年○15