(57)【要約】  本発明は、作動可能な材料からなる形状可変部材を作動させる方法に関する。本発明はさらに、形状可変部材、および、かかる形状可変部材と磁場装置とを含むシステムに関する。
2020509280.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
高さ（ｈ）、幅（ｗ）および長さ（ｌ）を有し、かつ繋留されていない形状可変部材（１０）を作動させる方法であって、
少なくとも形状可変部材（１０）の長さ（ｌ）にわたって少なくとも１つの空間方向に当該部材の形状変化をもたらす少なくとも１つの刺激によって、形状可変部材（１０）を作動させ、これにより形状可変部材（１０）内にトルクを誘導するステップと、
少なくとも１つの空間方向における部材（１０）の誘導された形状変化によって部材（１０）の運動に作用するステップと、
形状変化部材（１０）を少なくとも１つの空間方向に移動させるステップと、
を含む方法。
【請求項２】
前記誘導トルクは、前記少なくとも１つの空間方向に前記形状可変部材を操舵するために使用される、請求項１に記載の方法。 
【請求項３】
前記形状変更可能部材（１０）の運動の形式が、水泳、歩行、反転、クローリング、ローリング、ダイビング、潜水、浮上、ジャンプ、上陸、サーフェスクライミング、液体メニスカスクライミング、ホッピング、限られたスペース内でのクローリング、スピン、飛行、滑走、からなる群から選択される、請求項１または２に記載の方法。、
【請求項４】
前記形状変化は、前記形状変化部材（１０）の作動可能材料の、変形、収縮、撓み、回転、波動、および伸張、の少なくとも１つを含む、先行する請求項のいずれか一項に記載の方法。
【請求項５】
前記刺激が外部刺激である、先行する請求項の少なくとも一項に記載の方法。
【請求項６】
前記外部刺激が、少なくとも一次元、好ましくは二次元、最も好ましくは三次元、で印加される時間変化磁場の形態で存在する、請求項５に記載の方法。
【請求項７】
印加される時間変化磁場の大きさが、０〜１０００ｍＴの範囲内、特に０〜５００ｍＴの範囲内、好ましくは０〜５０ｍＴの範囲内、特に１０〜２０ｍＴの範囲内で選択される、請求項６に記載の方法。
【請求項８】
印加される前記時間変化磁場の大きさが、０〜１０００ｋＨｚの範囲内、特に０〜１ｋＨｚの範囲内、好ましくは０〜２００Ｈｚの範囲内、特に０〜５０Ｈｚの範囲内で選択された周波数で変化する、請求項７に記載の方法。
【請求項９】
印加される前記時間変化磁場の方向が、０〜１０００ｋＨｚの範囲内、特に０〜１ｋＨｚの範囲内、好ましくは０〜２００Ｈｚの範囲内、特に０〜５０Ｈｚの範囲内で選択された周波数で変化する、請求項６〜８のいずれか一項に記載の方法。
【請求項１０】
少なくとも１つの機能を追加的に実行するように前記形状可変部材（１０）を作動させるステップをさらに含む、先行する請求項のいずれか一項に記載の方法。
【請求項１１】
前記少なくとも１つの機能が、把持機能、吸収機能、脱着機能、解放機能、保持機能、落下機能、締付け機能、および、ピックアップ機能、のうちの少なくとも１つの機能を含む、請求項１０に記載の方法。 
【請求項１２】
請求項３に従属する請求項４に記載の方法であって、前記形状可変部材（１０）は、クローリングまたは歩行の形式の運動を引き起こすように正弦状形状ないし余弦状形状に変形し、特に、小さな大きさの回転磁場Ｂシーケンスを形状可変部材（１０）に印加して形状可変部材（１０）の波状の運動を可能にし、印加磁場は、好ましくは、０．１〜２００ｍＴの範囲内、好ましくは０．２〜５ｍＴの範囲内、特に３ｍＴから選択される、小さな大きさ｜Ｂ｜を有する、方法。  
【請求項１３】
請求項３に従属する請求項４に記載の方法であって、前記形状可変部材（１０）は、ローリングまたはメニスカスクライミングの形式の運動を引き起こすように部分円形、特に半円形に変形し、特に、大きな大きさの回転磁場Ｂシーケンスを形状可変部材（１０）に印加して形状可変部材（１０）のローリング運動を可能にし、印加磁場は好ましくは時計回りのローリング形式の運動を引き起こし、印加磁場は好ましくは０．１〜１０００ｍＴの範囲内、特に１２〜２０ｍＴの範囲内、特に１５ｍＴ、から選択された大きな大きさ｜Ｂ｜を有し、特にメニスカスクライミング形式の運動を引き起こすように、大きな一定の磁場Ｂを印加した後に大きな大きさの回転磁場Ｂシーケンスを印加し、印加磁場は、好ましくは、０．１〜１０００ｍＴの範囲内、特に１２〜２０ｍＴの範囲内、特に約１２ｍＴ、特に１１．７ｍＴ、から選択された大きい大きさ｜Ｂ｜を有する、方法。
【請求項１４】
請求項３に従属する請求項４に記載の方法であって、前記形状可変部材（１０）は、限られた空間内の水泳形式の運動またはクローリング形式の運動を引き起こすように、波動し部材上に進行波を発生させるように変形する方法。 
【請求項１５】
請求項３に従属する請求項４に記載の方法であって、クラゲ状水泳形式の運動を引き起こすように、前記形状可変部材（１０）の形状が第１の形状から第２の形状に反転し、かつ第１の形状に戻り、ここで、第１の形状および第２の形状は、好ましくは、部分円特に半円形の形状に似た形状をなす、方法。 
【請求項１６】
請求項３に従属する請求項４に記載の方法であって、前記形状可変部材（１０）は、ジャンプ形式の運動を引き起こすように少なくとも１つの刺激でパルスされる、方法。
【請求項１７】
請求項３に従属する請求項４に記載の方法であって、潜水形式の運動を引き起こすように、回転Ｂシーケンスを有する磁場が印加され、前記磁場は液面との接触を低減するように反時計回りの前記形状可変部材の回転を引き起こし、印加磁場は、好ましくは１〜２００ｍＴの範囲内、特に１５〜３０ｍＴの範囲内、特に２０ｍＴ、から選択された大きさを有する、方法。
【請求項１８】
請求項３に従属する請求項４に記載の方法であって、上陸形式の運動を引き起こすように、大きさが変化する回転Ｂシーケンスを有する磁場が印加され、初期Ｂシーケンスは高い大きさを有し次いで低い大きさに減少し、高い大きさの磁場は、好ましくは１〜１０００ｍＴの範囲内、特に１０〜１５ｍＴの範囲内で選択され、低い大きさの磁場は０．１〜１００ｍＴの範囲内、特に３〜８ｍＴの範囲内で選択される、方法。 
【請求項１９】
請求項３に従属する請求項４に記載の方法であって、歩行形式の運動を実現するように、揺動シーケンスの磁場が印加され、特に、４つの異なる種類の磁場が印加される４つのフェーズを用いて前記歩行形式の運動が行われる、方法。
【請求項２０】
請求項３に従属する請求項４に記載の方法であって、前記形状可変部材のクラゲ状水泳運動モードの運動を引き起こすように、印加磁場を正の磁場から負の磁場へと順次反転して前記形状可変部材の形状を反転させる、方法。
【請求項２１】
前記刺激が内部刺激である、先行する請求項の少なくとも一項に記載の方法。
【請求項２２】
作動可能材料からなる形状可変部材であって、この形状可変部材（１０）は、繋留されておらず、幅（ｗ）、高さ（ｈ）および長さ（ｌ）を有し、この形状可変部材（１０）は、少なくとも形状可変部材（１０）の長さ（ｌ）にわたって当該部材の形状変化をもたらす少なくとも１つの刺激によって作動するように構成され、形状可変部材（１０）は、少なくとも１つの形式の運動を引き起こすように先行する請求項の少なくとも一項に記載の方法によって作動するように構成されている、形状可変部材。
【請求項２３】
前記形状変化が、前記形状可変部材（１０）の前記作動可能材料の変形、収縮、回転、撓み、および伸張、の少なくとも１つを含む、請求項２２に記載の形状可変部材。
【請求項２４】
前記運動の形式がジャンプである、請求項２２または請求項２３に記載の形状可変部材。
【請求項２５】
前記形状可変部材（１０）は、少なくとも２種類の運動を実行するように構成され、前記少なくとも２種類の運動は、水泳、歩行、反転、クローリング、ローリング、ダイビング、潜水、浮上、ジャンプ、上陸、サーフェスクライミング、液体メニスカスクライミング、ホッピング、限られたスペース内でのクローリング、スピン、飛行、滑走、からなる群から選択される、請求項２２〜２４のいずれかに記載の形状可変部材。
【請求項２６】
前記刺激が、少なくとも一次元、好ましくは二次元、最も好ましくは三次元で印加される磁場の形態の外部刺激であり、前記磁場は、形状可変部材（１０）の予めプログラムされた磁化プロファイルと相互作用し、当該部材は、好ましくは疎水性表面を有する、請求項２２〜２５のいずれかに記載の形状可変部材。
【請求項２７】
請求項２２〜２６のいずれかに記載の形状可変部材と、磁場装置と、を備え、前記磁場装置（Ｍ）が前記少なくとも１つの刺激の供給源である、作動システム。
【請求項２８】
前記磁場装置（Ｍ）は、前記システムの中心に一様な３Ｄ磁場を生成するように構成されている、請求項２７に記載の作動システム。
【請求項２９】
前記磁場装置（Ｍ）が、少なくとも２つ、好ましくは３つ、特に４つ、の対の磁気コイル（Ｃ）を含み、前記各対のコイル（Ｃ）が共通軸上に配置され、それぞれの共通軸は、前記システムの中心において互いに少なくともほぼ垂直に配置されている、 請求項２７または２８に記載の作動システム。 
【請求項３０】
前記形状可変部材（１０）は、印加された磁場内で当該形状可変部材（１０）が少なくとも１つの形式の運動を実行するように、前記対の磁気コイル（Ｃ）によって作動するように構成されている、請求項２９に記載の作動システム。
【請求項３１】
各対の磁気コイル（Ｃ）の各コイルが、前記中心から少なくとも実質的に等距離に配置されている、請求項２９または請求項３０に記載の作動システム。
【請求項３２】
前記一対の磁気コイル（Ｃ）が、前記中心に時間変化磁場を生成するように構成されている、請求項２９〜３１のいずれかに記載の作動システム。
【請求項３３】
各対のコイル（Ｃ）が前記中心に磁場を生成するように作動可能であり、その磁場の強度が、０〜１０００ｍＴの範囲内、特に０〜５００ｍＴの範囲内、好ましくは０〜１００ｍＴの範囲内、特に０〜５０ｍＴの範囲内で変化可能である、請求項２９〜３２のいずれかに記載の作動システム。
【請求項３４】
各対のコイル（Ｃ）が前記中心に磁場を生成するように作動可能であり、その磁場の強度が、少なくとも０〜１００ｋＨｚの範囲内、特に０〜１ｋＨｚの範囲内の周波数で変化可能である、請求項２９〜３３のいずれかに記載の作動システム。 
【請求項３５】
前記電磁コイルシステムは、空間平面Ｘ−Ｙ、Ｘ−Ｚ、Ｙ−Ｚのうちの１つの中で変化する方向を有する磁場を生成するように作動可能である、請求項２９〜３４のいずれかに記載の作動システム。
【請求項３６】
前記方向は、少なくとも０〜１００ｋＨｚの範囲内、特に０〜１ｋＨｚの範囲内で選択された周波数で変化可能である、請求項３５に記載の作動システム。 
【請求項３７】
３対の磁気コイル（Ｃ）が使用される場合に、２対の磁気コイルが少なくとも実質的に等しいサイズを備え、かつ、第３の対の磁気コイルの各コイルは、他の２対の磁気コイルのそれぞれのコイルよりも大きいサイズを有する、請求項２９〜３６のいずれかに記載の作動システム。
【請求項３８】
前記形状可変部材（１０）が、Ｙ方向およびＺ方向の少なくとも一方に印加された磁場によって操舵されるように構成されており、さらに、Ｘ−Ｙ方向に印加された磁場によって形状が変化するように構成され、印加された磁場によって動くように構成されている、請求項２９〜３７のいずれかに記載の作動システム。 
【請求項３９】
前記形状可変部材（１０）の局所Ｘ−Ｙフレームに対して前記磁場が印加され、前記磁場の存在によって前記形状可変部材の形状が前記Ｘ−Ｙフレーム内で変形し、前記形状可変部材（１０）が、Ｙ方向およびＺ方向の少なくとも一方に印加された磁場によって操舵される、請求項２９〜３８のいずれかに記載の作動システム。 
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、作動可能な材料からなる形状可変部材を作動させる方法に関する。本発明はさらに、形状可変部材、および、かかる形状可変部材と磁場装置とを含むシステムに関する。
【背景技術】
【０００２】
ミニチュア部材は、狭くかつ遠隔の未調査の環境へのアクセスおよび検査を容易にすることができるものとして考えられている。しかし、ミニチュア部材の可動性が制限されていると、高度に構造化されていない分野での目標とする用途の実現が妨げられ得る。
【０００３】
今日までに製造されたミニチュア部材は一般に繋留部材であり、これは、これらが一般に他の構造に接続されて、この他の構造に対して動くように適合させることができることを意味している。繋留していないミニチュア部材も存在するが、これらのミニチュア部材は一般に１つのモードの運動の実行のみが可能であり、１つの単一モードの運動を実行するように特に設計されている。しかしながら、限られた数の運動モードだけを実行し得る部材を使用することは、このような部材によって実行されることができる可動能力および用途を妨げてしまう。
【発明の概要】
【０００４】
上記に鑑み、本発明の目的は、遠隔の未調査の環境により容易にアクセスでき、かつ複数の運動モードを実行することができる形状可変部材を提供することにある。
【０００５】
この目的は、請求項１に記載の形状可変部材を作動させる方法に従って達成される。
【０００６】
一例として、形状可変部材を作動させる方法は、高さ、幅および長さを有し、かつ繋留されていない形状可変部材を作動させる方法であって、
少なくとも形状可変部材の長さにわたって少なくとも１つの空間方向に当該部材の形状変化をもたらす少なくとも１つの刺激によって、形状可変部材を作動させ、これにより形状可変部材内にトルクを誘導するステップと、
少なくとも１つの空間方向における部材（１０）の誘導された形状変化によって部材（１０）の運動を引き起こすステップと、
形状変化部材（１０）を少なくとも１つの空間方向に移動させるステップと、を含む。
【０００７】
繋留されていない部材を使用することで、このような部材の移動能力が増加する。さらに、部材の様々な形状変化を生じさせて様々な形式の運動を引き起こすように部材内に様々な異なるモーメントを誘起させる少なくとも１つの刺激を使用することで、部材の動きのモードの多様性が増加する。部材の動きの多種のモードは、多種の形式の運動に変換され、これらは、これまでは１つの同じ部材を用いては不可能であったものである。
【０００８】
従って、狭い遠隔の環境に効果的にアクセスしナビゲートすることができる可動性のミニチュア部材を提供することができる。これらのミニチュア部材は、マイクロファクトリー、バイオエンジニアリング、環境改善、およびヘルスケアにおいて、新規な用途を可能にし得る。さらに、多種の運動モードを本質的に実行することができる１つの同じミニチュアデバイスが提供される。 
【０００９】
これに関連して、モーメントはトルクとも呼ぶことができ、誘導された部材の形状変化が部材の小さな変形を引き起こすとき、誘導されたトルクは一般に小さいことに留意されたい。さらに、変形した部材の正味の磁気モーメントが印加磁場などの印加した刺激と整列すると、トルクが消滅することに留意されたい。
【００１０】
好ましくは、前記誘導トルクは、前記少なくとも１つの空間方向に前記形状可変部材を操舵するために使用される。
【００１１】
好ましくは、前記形状変更可能部材の運動の形式は、水泳、歩行、反転、クローリング、ローリング、ダイビング、潜水、浮上、ジャンプ、上陸、サーフェスクライミング、液体メニスカスクライミング、ホッピング、限られたスペース内でのクローリング、スピン、飛行、滑走、からなる群から選択される。
【００１２】
近年、泳ぐ、歩く、転がる、ジャンプする、またはクロールすることができる器用なミニチュア部材が提案されている。しかしながら、これらの部材は、１つの特定の運動モードを実行することしかできず、液体環境から固体地域に脱出するには不適当である。これとは対照的に、前記形状可変部材は、いくつかの運動モードを次々に実行するように作動できる。これは、部材が、例えば液体を通って移動し、かつ液体を離れ、固体表面上を移動することができ、またその逆も可能であることを意味する。
【００１３】
例えば、複数の運動モードが可能な、繋留されておらず水陸両用のミリメータースケールの軟質（ゴム状）部材を提供することができ、これは、液体および固体の構造化されていない地形を横切ってあるいは通して移動する。
【００１４】
これに関連して、軟質とは、ゴムからなる部材のように部材が本質的に可撓性であり、非可撓性の金属片や木材片のような硬い／堅い部材ではないことを意味する。 
【００１５】
前記部材は、運動モード特有の外部磁場によって作動させることができ、予めプログラムされた磁化プロファイルおよび疎水性表面を有する磁気弾性シート状部材は、液体の中および表面上を泳ぐことができ、液体メニスカスクライミング、ローリング、地上での歩行、障害物を越えるジャンプ、狭いスペースでのクローリング、が可能である。このような部材は、液体の表面から内部へと、そして液体表面から硬い地面へと、可逆的に移動することができる。
【００１６】
有利には、前記形状変化は、形状変化部材の作動可能材料の、変形、収縮、撓み、波動、および伸張、の少なくとも１つを含む。このようにして、前記部材は、様々な方法でその形状を変えることができ、各々の形状変化は、ある形式の運動に使用することができる。
【００１７】
一例として、前記形状可変部材は、歩行の形式の運動を引き起こすように正弦状形状ないし余弦状形状に変形でき、特に、小さな大きさの回転磁場Ｂシーケンスを形状可変部材に印加して形状可変部材の波状の運動を可能にし、印加磁場は、好ましくは、０．１〜２００ｍＴの範囲内、特に２〜５ｍＴの範囲内、特に３ｍＴから選択される、小さな大きさ｜Ｂ｜を有する。
【００１８】
一例として、前記形状可変部材は、ローリングまたはメニスカスクライミングの形式の運動を引き起こすように半円形などの部分円形に変形でき、特に、大きな大きさの回転磁場Ｂシーケンスを形状可変部材に印加して形状可変部材のローリング運動を可能にし、印加磁場は好ましくは時計回りのローリング形式の運動を引き起こし、印加磁場は好ましくは０．１〜１０００ｍＴの範囲内、特に１２〜２０ｍＴの範囲内、特に１５ｍＴ、から選択された大きな大きさ｜Ｂ｜を有し、特にメニスカスクライミング形式の運動を引き起こすように、大きな一定の磁場Ｂを印加した後に大きな大きさの回転磁場Ｂシーケンスを印加し、印加磁場は、好ましくは、０．１〜１０００ｍＴの範囲内、特に１０〜２０ｍＴの範囲内、特に約１２ｍＴ、から選択された大きい大きさ｜Ｂ｜を有する。
【００１９】
一例として、前記形状可変部材は、水泳形式の運動またはクローリング形式の運動を引き起こすように、波動し部材上に進行波を発生させるように変形が可能である。
【００２０】
一例として、クラゲ状水泳形式の運動を引き起こすように、前記形状可変部材の形状が第１の形状から第２の形状に、さらに第１の形状に戻るように反転することができ、ここで、第１の形状および第２の形状は、好ましくは、部分円の形状に似た形状をなす。
【００２１】
さらに一例として、前記形状可変部材は、ジャンプ形式の運動を引き起こすように少なくとも１つの刺激でパルスされる。
【００２２】
さらに一例として、潜水形式の運動を引き起こすように、回転Ｂシーケンスを有する磁場が印加され、前記磁場は液面との接触を低減するように反時計回りの前記形状可変部材の回転を引き起こし、印加磁場は、好ましくは１〜２００ｍＴの範囲内、特に１５〜３０ｍＴの範囲内、特に２０ｍＴ、から選択された大きさを有する。
【００２３】
さらに一例として、上陸形式の運動を引き起こすように、大きさが変化する回転Ｂシーケンスを有する磁場が印加され、初期Ｂシーケンスは高い大きさを有し次いで低い大きさに減少し、高い大きさの磁場は、好ましくは１〜１０００ｍＴの範囲内、特に１０〜１５ｍＴの範囲内で選択され、低い大きさの磁場は０．１〜１００ｍＴの範囲内、特に３〜８ｍＴの範囲内で選択される。
【００２４】
さらに一例として、歩行形式の運動を実現するように、揺動シーケンスの磁場が印加され、特に、４つの異なる種類の磁場が印加される４つのフェーズを用いて前記歩行形式の運動が行われる。
【００２５】
さらに一例として、前記形状可変部材のクラゲ状水泳運動モードの運動を引き起こすように、印加磁場を正の磁場から負の磁場へと順次反転して前記形状可変部材の形状を反転させる。
【００２６】
好ましくは、前記刺激は、外部刺激および内部刺激のうちの一方である。
【００２７】
内部刺激の例は、例えば、加圧空気であり、これは、部材の特定の領域を膨張または収縮させてその形状の作動を引き起こすために部材に供給される。
【００２８】
外部刺激の例は、磁場、電場、熱、またはレーザー光、の印加である。例えば、部材上へのレーザの直接照射は、材料の放出および部材の運動を引き起こす。 
【００２９】
主な刺激源として磁場の印加を含まない外部刺激によって作動させることができる部材の例は、熱膨張材料、レーザ光によって局所的に加熱される感光材料である。例えば、形状記憶ポリマーを使用でき、これは熱によって刺激されたときに変形し得る。これらのポリマーを予めプログラムすることによって、ポリマーの異なる領域が異なる曲率を形成することができる。
【００３０】
しかし、前記外部刺激が、少なくとも一次元、好ましくは二次元、最も好ましくは三次元、で印加される時間変化磁場の形態で存在する、ことが好ましい。
【００３１】
時間変化磁場は、実現が簡単であり、費用効果の高い方法で実施することができ、様々な種類の媒体を通して様々な部材を動かすために使用することができる。
【００３２】
さらに、時間変化磁場は、その大きさだけでなくその方向も変えることができ、この磁場強度および方向の変動は、様々な形態の運動を利用する磁場によって動くように、その長さと高さをすばやく連続して形状変化させるために、所定の磁化プロファイルを有する形状可変磁性部材によって利用することができる。
【００３３】
好ましくは、印加される時間変化磁場の大きさが、０〜１０００ｍＴの範囲内、特に０〜５００ｍＴの範囲内、好ましくは０〜５０ｍＴの範囲内で選択される。このような磁場は、液体環境でも乾燥環境でも、部材を動かすために使用することができる。
【００３４】
有利には、印加される時間変化磁場の大きさが、例えば、０〜１０００ｋＨｚの範囲内、好ましくは０〜２００Ｈｚの範囲内、特に０〜５０Ｈｚの範囲内で選択された周波数で変化する。これらの周波数は、形状可変部材の運動をもたらすために有利であることがわかった。
【００３５】
印加される時間変化磁場の方向が、０〜１００ｋＨｚの範囲内、特に０〜１００ｋＨｚの範囲内で選択された周波数で変化することが好ましい。これらの周波数は、部材の形状の変化をもたらし、そして様々な種類の運動を誘発するのに有利であることがわかった。
【００３６】
少なくとも１つの機能を追加的に実行するために、形状可変部材を作動させることができるのが好ましい。これにより、例えば、荷物のピックアンドプレース機能および形状変形による解放を実行可能なロボットを提供することができる。
【００３７】
例えば、少なくとも１つの機能は、把持機能、保持機能、落下機能、締付け機能、および、ピックアップ機能、のうちの少なくとも１つの機能を含む。
【００３８】
本発明の他の態様は、作動可能材料からなる形状可変部材に関する。この形状可変部材は、繋留されておらず、幅、高さおよび長さを有する。この形状可変部材は、少なくとも形状可変部材の長さにわたって当該部材の形状変化をもたらす少なくとも１つの刺激によって作動するように構成されている。形状可変部材は、前述した形状可変部材の作動方法によって作動するように構成されている。これに関連して、形状可変部材は、本発明による方法に関して前述したものと同様の特徴を使用してさらに発展させることができることに留意されたい。
【００３９】
このような最小限でプログラム可能でかつ多用途の柔らかい部材は、環境モニタリングや人体内での最小限の傷による医療手術における用途を可能にし得る。
【００４０】
多用途で堅牢な複合的運動能力を有する提案された部材は、環境モニタリングおよび最小限の傷の医療手術を含む多様な用途に合わせて調整することができる。遠隔の部材位置特定方法の実施、部材の器用さ、精度、安全性および機能性の改善、例えば人体内で部材が移動する間の部材のモニタリングによる閉ループフィードバック制御の機能的な使用、によって、さらなる進歩が予想される。
【００４１】
好ましくは、刺激は、少なくとも一次元、最も好ましくは三次元で印加される磁場の形態の外部刺激であり、この磁場は、形状可変部材の予めプログラムされた磁化プロファイルと相互作用し、部材は、好ましくは疎水性表面を有する。
【００４２】
磁場中で動く磁化部材を提供することは、例えば人体内での医薬の搬送に必要な様々なモードの運動を実現する上で有利な方法である。
【００４３】
多様な環境下での複合的な運動能力を有するミニチュアデバイスを開発するための実行可能な解決策は、エコフレックス、形状記憶合金、液体金属、シリコーンゴム、シリコーン系材料、ポリウレタン、ソフトゲル（ハイドロゲル、オイル系ゲル、エアロゲル）、さらには、ＤＮＡないしプロテインなどの天然ポリマ、のようなソフト活性材料を用いることであり、これらは、強磁性、常磁性、あるいは反磁性の粒子が埋め込まれ、これにより、機械に高度な自由度を与え、プログラム可能な形状変化をサポートし、デリケートな環境との安全な相互作用を保証する。
【００４４】
さらに、磁気作動場はほとんどの生物学的材料を無害に貫通することができ、これにより、特に生物医学的用途に有望なものとなる。
【００４５】
本発明のさらに他の態様は、前述の形状可変部材と、磁場装置と、を含む作動システムに関する。磁場装置は、少なくとも１つの刺激の供給源である。
【００４６】
作動方法および形状可変部材に関連して前述した利点は、システムにも同様に当てはまる。
【００４７】
好ましくは、磁場装置は、システムの中心に時間変化する一様な３Ｄ磁場を生成するように構成されている。これにより、形状可変部材は、異なる形式の運動をもたらすように磁場によって作動させることができる。このようなシステムは、次いで、例えばミニチュアロボットを用途の様々な位置に操舵するように使用され得る。
【００４８】
好ましくは、磁場装置は、少なくとも２つ、好ましくは３つ、特に４つ、の対の磁気コイルを含み、各対のコイルが共通軸上に配置され、それぞれの共通軸は、システムの中心において互いに少なくともほぼ垂直に配置されている。
【００４９】
このようなコイル配置は、形状可変部材を動かすのに適した非常に正確な時間変化磁場を生成することができる。
【００５０】
これに関連して、４対のコイルが使用される場合、第４の対のコイルは印加される磁場の勾配を制御するように構成される、ということに留意されたい。
【００５１】
有利には、形状可変部材は、印加された磁場内で形状可変部材が少なくとも１つの形式の運動を実行するように、前記対の磁気コイルによって作動するように構成されている。
【００５２】
好ましくは、各対の磁気コイルの各コイルが、前記中心から少なくとも実質的に等距離に配置されている。これにより、印加される磁場の方向および印加される磁場の大きさの両方に関して時間に依存して変化させることが可能な相同の磁場を発生させることができる。
【００５３】
このようにして、対の磁気コイルが、前記中心に時間変化磁場を生成するように構成され得る。
【００５４】
前記中心に時間変化磁場を生成するために、各対のコイルが前記中心に磁場を生成するように作動可能であり、その磁場の強度が、好ましくは０〜５００ｍＴの範囲内、特に０〜５０ｍＴの範囲内で適宜に変化可能である。実際、各対のコイルが前記中心に磁場を生成するように作動可能であり、その磁場の強度が、少なくとも０〜１ｋＨｚの範囲内、特に０〜５０ｋＨｚの範囲内の周波数で変化可能である、
実際、各対のコイルは、空間平面Ｘ−Ｙ、Ｘ−Ｚ、Ｙ−Ｚのうちの１つの中で変化する方向を有する磁場を生成するように作動可能である。種々の平面の中で磁場が印加される方向が変化することにより、形状可変部材が空間の３方向の全てに運動し得ることを意味する。
【００５５】
好ましくは、印加される磁場の方向の変化は、０〜１００ｋＨｚの範囲内、特に０〜２００ｋＨｚの範囲内で選択された周波数で変化可能である。
【００５６】
有利には、各対のコイルの各コイルは、１コイルで０〜２０Ａの範囲の電流を流すように構成され、各層が６０本のワイヤからなる３層のワイヤを含み、１．０５ｃｍの直径を有する。
【００５７】
好ましくは、３対の磁気コイルが使用される場合に、２対の磁気コイルが少なくとも実質的に等しいサイズを備え、かつ、第３の対の磁気コイルの各コイルは、他の２対の磁気コイルのそれぞれのコイルよりも大きいサイズを有する。
【００５８】
このようにして、均一な磁場を生成するための簡単な構成が利用可能となる。
【００５９】
有利には、少なくとも実質的に等しいサイズである２対の磁気コイルの４つのコイルの各々の直径は、５０〜６５ｃｍの範囲内で選択され、少なくとも実質的に等しいサイズである第３の対の磁気コイルの２つのコイルの各々の直径は、１００〜１４０ｃｍの範囲内で選択される。
【００６０】
好ましくは、形状可変部材が、Ｙ方向およびＺ方向の少なくとも一方に印加された磁場によって操舵されるように構成されており、さらに、Ｘ−Ｙ方向に印加された磁場によって形状が変化するように構成され、Ｘ−Ｙ方向に印加された磁場によって動くように構成されている。
【００６１】
有利には、形状可変部材の局所Ｘ−Ｙフレームに対して磁場が印加され、磁場の存在によって形状可変部材の形状が前記Ｘ−Ｙフレーム内で変形し、形状可変部材が、Ｙ方向およびＺ方向の少なくとも一方に印加された磁場によって操舵される。
【００６２】
以下、本発明の実施の形態について図面を参照しながら詳細に説明する。
【図面の簡単な説明】
【００６３】
【図１】（ａ）磁気弾性形状可変作動部材の設計、（ｂ）この磁気弾性形状可変作動部材の磁気応答、を示す図。
【図２】磁気弾性形状可変作動部材の種々の形式の運動および対応する遷移モードを示す図であり、（ａ）水泳、（ｂ）メニスカスクライミング、（ｃ）潜水、（ｄ）上陸、（ｅ）ローリング、（ｆ）歩行、（ｇ）クローリング、（ｈ）ジャンプ、である。
【図３】磁気弾性形状可変作動部材による液体−固体複合環境にわたる複合運動を示す図であり、（ａ）ローリング、ダイビングおよび水泳、（ｂ）潜水、（ｃ）浮上、（ｄ）メニスカスクライミング、上陸、ジャンプおよび歩行、（ｅ）歩行およびクローリング、である。
【図４】（ａ）磁気弾性形状可変作動部材による荷物への接近および拾い上げ、（ｂ）磁気弾性形状可変作動部材による荷物の運搬および配置、を示す図。
【図５】軟質磁性弾性形状可変作動部材の磁化プロセスを示す図であり、（ａ）ＮｄＦｅＢ微粒子を加えたエラストマ状梁を、円筒形ガラス管（周囲：３．７ｍｍ）の周りに巻き付け、振動試料磁力計によって生成された均一な１．５Ｔ磁場によって磁化した状態、（ｂ）βR＝４５°の巻き付けられていない部材におけるプログラムされた磁化プロファイル、を示す図。
【図６】磁気弾性形状可変作動部材を作動させるための６コイル電磁装置の図。
【図７】軟質形状可変作動部材の準静的解析を示す図。
【図８】磁気弾性形状可変作動部材の波状運動を可能にする回転Ｂシーケンスを示す図であり、（ａ）は、部材１０を右方向に波状にするために時間に依存した必要なＢを、座標系のｘ軸およびｙ軸に沿った磁場を示す変数ＢｘおよびＢｙとともに示す図、（ｂ）は、２つの主な形状を示す図。
【図９】他の形式の運動についての図８（ａ），（ｂ）と同様の図。
【図１０】他の形式の運動についての図８（ａ），（ｂ）と同様の図。
【図１１】他の形式の運動についての図８（ａ），（ｂ）と同様の図。
【図１２】他の形式の運動についての図８（ａ），（ｂ）と同様の図。
【図１３】他の形式の運動についての図８（ａ），（ｂ）と同様の図。
【図１４】他の形式の運動についての図８（ａ），（ｂ）と同様の図。
【図１５】磁気弾性形状可変作動部材による直線的および指向性のジャンプのスナップショットであり、（ａ）第１の形式の直線ジャンプ、（ｂ）第２の形式の直線ジャンプ、（ｃ）一形式の指向性ジャンプ、（ｄ）ａ〜ｃで用いられる形状可変磁気部材の磁化プロファイルおよびその大きな｜Ｂ｜における磁気応答、を示す図。
【図１６】形状可変作動部材の振動解析図。
【図１７】図１５（ａ）に示すタイプ１の直線ジャンプの境界条件を示す図。
【図１８】磁気的に起動する貨物解放のための形状可変作動部材の変形例の設計を示す図であり、（ａ）部材１０に追加された追加のストラップ、（ｂ）貨物を間に配置した状態で、部材の本体の孔にロックされた追加のストラップ、（ｃ）ストラップの開動作、を示す。
【図１９】（ａ）長方形のシート状磁気ソフトロボットの寸法と磁化プロファイルｍを示す。（ｂ）磁気的に変形したミリロボットの理論的に予測されたおよび実験的な形状を示す。αは、x軸からの時計回りの角度で、Ｂxyの方向を表すのに使われる。（Ｉ）ロボットはヌルＢxyで静止状態にある。離型プロセスから生じる予備応力によって小さな残留曲率が誘発される。（ＩＩ−ＩＩＩ）ｘｙ平面内の２つの主方向（正弦波形状に対してα＝２２５°、余弦波形状に対して３１５°）に沿って並んだ小さな大きさのＢxy（Ｂ x y＝５ｍＴ）の下で小さい変形形状が生じる。対照的に、大きな大きさのＢxy（Ｂxy＝２０ｍＴ）が主軸（それぞれα＝１３５°および３１５°）に沿って整列すると、ロボットはＣ字型（ＩＶ）または Ｖ字型（Ｖ）に変形する。離型プロセスにより誘発された予備応力は、特に（ＩＩ）と（Ｖ）とに関して、予測した形状と実際の形状との間に乖離を生じさせ得る。各形状に対するロボットの理論上のＭnetが右側に示されている。（ｃ）Ｃ字型ロボットの時計回りの回転は、Ｂxyを回転させることによって引き起こされる。スケールバー：１ｍｍ。
【図２０】（ａ）における水泳運動のサブパネルは、それぞれの間の相対的な垂直変位を示すために水平方向に並べて表示されている。残りの運動のサブパネルは、それぞれの間の相対的な水平方向の変位を示すために垂直方向に並べられている。それぞれ対応するタイムスタンプおよびＢが、サブパネル内の右下の角と左上の角にそれぞれ示されている。（ａ）時間的に対称だが速度的に非対称の歩みを使った水中でのクラゲのような水泳、（ｂ）水メニスカスクライミング。 反時計回りの磁気トルクは、浮力のためにロボットが変形して上昇するにつれて、ロボットの姿勢を徐々に適応させる。（ｃ）上陸、すなわち、水面から固体地面への移行。時計回りに回転するＢがロボットを水面から引き剥がし、プラットホーム上に立たせる。（ｄ）潜水、すなわちカーリングと剛体回転の組み合わせによる水面から水中への移行。（ｅ）時計回りに回転する大きなＢによるローリング。（ｆ）歩行。ロボットは、傾斜しその曲率を変化させることで、各サイクルにおいて正味の歩幅を生成する。（ｇ）０．６４５×２．５５ｍｍ2の断面を有する管状チャンネルの内側でのロボット本体に沿った進行波を利用したクローリング。（ｈ）指向性のジャンプ。ロボットはその剛体運動と形状変化を利用してジャンプ運動量を誘導する。この図には複数のロボットが使用されているが、我々は、これらのロボットはすべて同じ設計であることを強調する（スケールバー：１ｍｍ）。
【図２１】（ａ）運動モードの組み合わせを使用して合成胃模型を横切って移動するソフトロボット。（ｂ）超音波誘導運動：ロボット（点線で印を付けた）は、超音波画像化によって視覚化されるように、生体外（ex vivo）のニワトリ組織の隠れた領域内を転がる。（ｃ）ロボットは、平坦な硬い表面上を歩行して貨物アイテム（ナイロン、１×０．８×１．５ｍｍ3）に接近し、Ｃ字形にカーリングすることによって貨物をピックアップし、そのＣ字状構成を維持しつつローリングして貨物を搬送し、新たな位置で非カーリングとなることによって貨物を解放する。（ｄ）動的かつ選択的な貨物解放。紙組織（０．５×０．５×０．１ｍｍ3、薬品容器のモデルとして使用される）は追加の付属物によってロボットに結び付けられる。ロボットを予め曲げた後、Ｂは付属物を開いて貨物を解放するように素早く反転される（貨物は白い点線で強調表示されている）（スケールバー：1 ｍｍ）。
【図Ｓ１】軟質磁気弾性ロボットの磁化過程、異なる質量比をもつ類似の磁気エラストマーの磁化の大きさとヤング率の実験結果、および異なる静止状態の残留曲率を示す実験である。（ａ）ＮｄＦｅＢ微粒子を充填したエラストマーの梁を、円柱状のガラス棒（周囲：３．７ｍｍ）の周りに巻き付け、振動サンプル磁力計（ＶＳＭ）によって生成された均一な１．６５Ｔの磁場Ｂによって磁化した、スケッチ。相対配向βRは、結果として生じる磁化プロファイルにおける位相シフトを決定する。（ｂ）その局所ｘｙｚフレーム（βR＝４５°）内の巻き付けられていないロボット本体におけるプログラムされた磁化プロファイル。（ｃ）質量比が異なる軟質磁性材料の磁化の大きさの実験値。（ｄ）質量比が異なる軟質磁性材料のＥの実験値。質量比は、Ｅｃｏｆｌｅｘ−１０の質量に対するＮｄＦｅＢ粒子の質量の比として定義され、例えば０．２５：１、０．５：１であり、我々は、これらの比が常にＥｃｏｆｌｅｘ−１０側の一部にあるように正規化する。（ｃ）および（ｄ）の各データ点は、３つのサンプル（ｎ＝３）で評価された。（ｅ）ロボットは２つの静止状態の残留曲率（ＩＩＩ、Ｖに示す）を有し、これは形状変化を介して交互となる。ロボットの５つの形状は、スナップショットの下に指定されているＢ場シーケンスにロボットをさらすことによって順次に達成される。
【図Ｓ３】ソフトロボットの準静的解析。ジオメトリのスケッチは、表現目的のために縮尺が合っていない。定常状態の変形の下でロボットの微小要素に作用する曲げモーメントが挿入図に示されている。
【図Ｓ４】ジャンピング運動を実行するソフトロボット。（ａ）βR＝４５°のソフトロボットによる指向性ジャンプ（図２０ｈにも示す）。（ｂ）βR＝−９０°のソフトロボットによる直線ジャンプ。（ａ、ｂ）に示されているロボットの磁化プロファイルおよび印加磁場に対する対応する応答が（ｃ）に描かれている。スケールバー：１ｍｍ。
【図Ｓ５】指向性ジャンプ運動に必要なＢ。（ａ）Ｂの時間シーケンス。ＢxおよびＢyはグローバル基準系のＸ軸およびＹ軸に投影したＢの大きさを表す。（ｂ）ジャンプ前のソフトロボットの初期形状を示す（βR＝４５°。図２０ｈから再現）。スケールバー：１ｍｍ。
【図Ｓ６】直線ジャンプ運動の分析のためのスケッチ（原寸に比例しない）。
【図Ｓ７】直線ジャンプ運動におけるＨmaxについての実験結果およびモデル予測結果。（ａ）元のロボット（図１９ａに定義された寸法）についての結果。（ｂ）元のロボットと異なるｈを有するロボットに関する結果。（ｃ）元のロボットと異なるＬを有するロボットに関する結果。（ｄ）元のロボットと異なるｗを有するロボットに関する結果。各実験データポイントは、３回の試行の平均と標準偏差を表す。モデル予測値のエラーバーは、画像解析における分散を反映している（ｎ＝３）。
【図Ｓ８】ロボットの寸法が直線ジャンプ運動におけるＨmaxにどのように影響するかを示すようにまとめた実験データ（Ｈmax対Ｂ）。（ａ）異なるｈを有するロボットについてまとめた実験結果。（ｂ）Ｌが異なるロボットについてまとめた実験結果。（ｃ）ｗが異なるロボットについてまとめた実験結果。各実験データポイントは、３回の試行の平均と標準偏差を表す。
【図Ｓ９】ローリング運動に必要なＢ、（ａ）回転Ｂの時間シーケンス。ＢxおよびＢyはグローバル基準系のＸ軸およびＹ軸に投影したＢの大きさを表す。（ｂ）ローリングする前のロボットの初期のＣ字形構成を示すビデオスナップショット（図２０ｅから再現）。スケールバー：１ｍｍ。
【図Ｓ１０】ローリング運動の分析のためのスケッチ（原寸に比例しない）。この図は、ロボットの（ａ）回転前および（ｂ）φRの回転移動量だけ回転した状態、を示す。重心は黒い点でマークされている。このスケッチは、ロボットがローリングするときにロボットに加えられる力とトルクも示している。
【図Ｓ１１】ローリング運動の実験結果およびモデル予測の結果（Ｖroll対ｆ）。すべてのロボットに適用されるＢは、これらのロボットが、Ｂ＝１８．５ｍＴにさらされたときの元のロボットの曲率と同様の曲率を生成できるように調整される。（ａ）Ｂ＝１８．５ｍＴが印加された元のロボット（図１９ａに定義されている）についての結果。（ｂ）元のロボットとは異なるｈを有するロボットについての結果。（Ｉ）Ｂ＝６．３ｍＴ、（ＩＩ）Ｂ＝３７ｍＴ。（ｃ）元のロボットとは異なるＬを有するロボットについての結果。（Ｉ）Ｂ＝４４ｍＴ、（ＩＩ）Ｂ＝１０ｍＴ。（ｄ）元のロボットとは異なるｗを有するロボットについての結果。（Ｉ）および（ＩＩ）の両方についてＢ＝１８．５ｍＴ。各実験データポイントは、３回の試行の平均と標準偏差を表す（ｎ＝３）。
【図Ｓ１２】ロボットの寸法がローリング運動におけるＶrollにどのように影響するかを示す実験データのまとめ（Ｖroll対ｆ）。Ｂは、すべてのロボットが、Ｂ＝１８．５ｍＴにさらされたときの元のロボットの曲率と同様の曲率を生成できるように調整される。（ａ）異なるｈを有するロボットについての実験結果のまとめ。Ｂ＝１８．５ｍＴ（ｈ＝１８５μｍ）、Ｂ＝６．３ｍＴ（ｈ＝１０８μｍ）、Ｂ＝３７ｍＴ（ｈ＝２６４μｍ）。（ｂ）異なるＬを有するロボットについての実験結果のまとめ。Ｂ＝１８．５ｍＴ（Ｌ＝３．７ｍｍ）、Ｂ＝４４ｍＴ（Ｌ＝２．４ｍｍ）、Ｂ＝１０ｍＴ（Ｌ＝５ｍｍ）。（ｃ）異なるｗを持つロボットについての実験結果のまとめ。すべての３つのケースについてＢ＝１８．５ｍＴ。各実験データポイントは、３回の試行の平均と標準偏差を表す。
【図Ｓ１３】歩行運動に必要なＢ。（ａ）Ｂの時間シーケンス。このシーケンスは、３つのフェーズ、すなわち、１）前方に傾斜する、２）後方に傾斜する、および３）その前端を延ばす、に細分することができる。ＢxおよびＢyはグローバル基準系のＸ軸およびＹ軸に投影したＢの大きさを表す。（ｂ）歩行中のＣ字形構成を示すビデオスナップショット（図２０ｆから再現）。スケールバー：１ｍｍ。
【図Ｓ１４】（ａ）歩行サイクル中のロボットの伸張状態および（ｂ）カールした状態（一定の縮尺ではない）。
【図Ｓ１５】歩行運動に関する実験結果およびモデル予測結果（Ｖmaxを１０ｍＴに固定したときの、Ｖwalk対ｆ）。（ａ）元のロボット（図１９ａに定義されている）についての結果。（ｂ）元のロボットと異なるｈを有するロボットに関する結果。（ｃ）元のロボットと異なるＬを有するロボットに関する結果。（ｄ）元のロボットと異なるｗを有するロボットに関する結果。各実験データポイントは、３回の試行の平均および標準偏差を表す（ｎ＝３）。
【図Ｓ１６】歩行運動に関する実験結果およびモデル予測結果（ｆを５Ｈｚに固定したときの、Ｖwalk対Ｂmax）。（ａ）元のロボット（図１９ａに定義される）に関する結果。（ｂ）元のロボットと異なるｈを有するロボットに関する結果。（ｃ）元のロボットと異なるＬを有するロボットに関する結果。（ｄ）元のロボットと異なるｗを有するロボットに関する結果。実験データポイントは、３回の試行の平均および標準偏差を表す（ｎ＝３）。
【図Ｓ１７】ロボットの寸法が歩行運動におけるＶwalkにどのように影響するかを表す、実験データのまとめ（Ｖmaxを１０ｍＴに固定したときの、Ｖwalk対ｆ）。（ａ）ｈが異なるロボットの実験結果のまとめ。（ｂ）Ｌが異なるロボットの実験結果のまとめ。（ｃ）ｗが異なるロボットの実験結果のまとめ。各実験データポイントは、３回の試行の平均および標準偏差を表す（ｎ＝３）。
【図Ｓ１８】ロボットの寸法が歩行運動におけるＶwalkにどのように影響するかを表す、実験データのまとめ（ｆを５Ｈｚに固定したときの、Ｖwalk対Ｂmax）。（ａ）ｈが異なるロボットの実験結果のまとめ。（ｂ）Ｌが異なるロボットの実験結果のまとめ。（ｃ）ｗが異なるロボットの実験結果のまとめ。各実験データポイントは、３回の試行の平均および標準偏差を表す（ｎ＝３）。
【図Ｓ１９】メニスカスクライミング運動に必要なＢ。（ａ）Ｂの時間シーケンス。ＢxおよびＢyはグローバル基準系のＸ軸およびＹ軸に投影したＢの大きさを表す。（ｂ）ビデオスナップショットは、体内に巻き込まれた空気によって証明されるように、Ｃ字形構成（Ｂがα＝３１５°の場合）が、水面に固定されたまま、水と空気の界面から水を追い出すことを示している。スケールバー：１ｍｍ。
【図Ｓ２０】５ｍｍのＬを有する磁気ソフトロボットによるメニスカスクライミング。連続スナップショットは、外部Ｂによって引き起こされる本体の曲率の値を増加させるために、正の水メニスカスに沿ってロボットによって想定される、選択された安定した位置の側面図を示している。ロボットは水中に完全に沈んでおり、そしてその上部表面は水−空気界面に固定されている。
【図Ｓ２１】メニスカスクライミングモデルの幾何学のスケッチ。ａ）弧状メニスカスクライミングモデルの幾何学。ＣＧおよびＣＢは、それぞれ、浸漬されたロボットの重心および置換された水量の浮力の中心を表す。ｂ）コサイン形メニスカスクライミングモデルの幾何学。このモデルは、正の水メニスカスの最上部の隣接する壁のすぐ近くにあるソフトロボットを具体的に記述したもので、重心と浮力中心の一致を仮定している。スケッチは、説明のために、縮尺通りには描かれていない。
【図Ｓ２２】メニスカスクライミング運動の結果（ロボットの曲率対ロボットの寸法）。水メニスカスの全高を昇るソフトロボットについての実験値とモデル予測値の曲率半径の比較（すなわち、ｄ→０の場合、図Ｓ２１ａ）。
【図Ｓ２３】メニスカスクライミング運動の結果（ロボット寸法の関数としての、Ｂmin）水メニスカスの全高を昇るためにソフトロボットに必要とされるＢminの実験値とモデル予測値との比較（すなわち、ｄ→０の場合、図Ｓ２１ａ）。
【図Ｓ２４】波状水泳運動に必要なＢ。（ａ）Ｂの時間シーケンス（ｆ＝４０Ｈｚ、Ｂ＝３ｍＴ）。ＢxおよびＢyはグローバル基準系のＸ軸およびＹ軸に投影したＢの大きさを表す。（ｂ）ビデオスナップショットは、元のロボット（図１９ｂ）の対応する小さな変形形状を示す。スケールバー：１ｍｍ。
【図Ｓ２５】ソフトロボットの振動解析。ロボットの微小要素に作用する力とトルクを強調したジオメトリのスケッチ（縮尺は一定ではない）。
【図Ｓ２６】波状水泳運動についての実験結果およびモデル予測結果（Ｖswim対ｆ。Ｂは５ｍＴに固定）。（ａ）元のロボット（図１９ａで定義）の結果。（ｂ）元のロボットと異なるｈを有するロボットに関する結果。（ｃ）元のロボットと異なるＬを有するロボットに関する結果。（ｄ）元のロボットと異なるｗを有するロボットに関する結果。各実験データポイントは、３回の試行の平均および標準偏差を表す（ｎ＝３）。
【図Ｓ２７】波状水泳運動についての実験結果およびモデル予測結果（Ｂの関数としてのＶswim。ｆは４０Ｈｚに固定）。（ａ）元のロボット（図１９ａで定義）の結果。（ｂ）元のロボットと異なるｈを有するロボットに関する結果。（ｃ）元のロボットと異なるＬを有するロボットに関する結果。（ｄ）元のロボットと異なるｗを有するロボットに関する結果。各実験データポイントは、３回の試行の平均および標準偏差を表す（ｎ＝３）。
【図Ｓ２８】ロボットの寸法がどのように波状水泳運動におけるＶswimに影響を与えるかを示す、実験データのまとめ（ｆの関数としてのＶswim。Ｂは５ｍＴに固定）。（ａ）ｈが異なるロボットの実験結果のまとめ。（ｂ）Ｌが異なるロボットの結果。（ｃ）ｗが異なるロボットの実験結果のまとめ。各実験データポイントは、３回の試行の平均および標準偏差を表す（ｎ＝３）。
【図Ｓ２９】ロボットの寸法がどのように波状水泳運動におけるＶswimに影響を与えるかを示す、実験データのまとめ（Ｂの関数としてのＶswim。ｆは４０Ｈｚに固定）。（ａ）ｈが異なるロボットに対する実験結果のまとめ。（ｂ）Ｌが異なるロボットの実験結果のまとめ。（ｃ）ｗが異なるロボットの実験結果のまとめ。各実験データポイントは、３回の試行の平均および標準偏差を表す（ｎ＝３）。
【図Ｓ３０】クローリング運動に必要なＢ。（ａ）Ｂの時間シーケンス。ＢxおよびＢyはグローバル基準系のＸ軸およびＹ軸に投影したＢの大きさを表す。（ｂ）クローリングサイクル中にロボットがサイン形状（上）とコサイン形状（下）に変形したときを示す。スケールバー：１ｍｍ。
【図Ｓ３１】ロボットの寸法がクローリング運動におけるＶcrawlにどのように影響するかを示す、実験データのまとめ（ｆの関数としてのＶcrawl。Ｂは１０ｍＴに固定）。（ａ）ｈが異なるロボットの実験結果のまとめ。（ｂ）Ｌが異なるロボットの実験結果のまとめ。（ｃ）ｗが異なるロボットの実験結果のまとめ。各実験データポイントは、３回の試行の平均および標準偏差を表す（ｎ＝３）。
【図Ｓ３２】ロボットの寸法がクローリング運動におけるＶcrawlにどのように影響するかを示す、実験データのまとめ（Ｂの関数としてのＶcrawl。ｆは２０Ｈｚに固定）。（ａ）ｈが異なるロボットの実験結果のまとめ。（ｂ）Ｌが異なるロボットの実験結果のまとめ。（ｃ）ｗが異なるロボットの実験結果のまとめ。各実験データポイントは、３回の試行の平均および標準偏差を表す（ｎ＝３）。
【図Ｓ３３】Ｂの関数としての元のロボットのクローリング速度および内部トンネル表面との間の接触長さ（ｆは２０Ｈｚに固定）。接触長さは上部の分図で定義され、ロボットの幅にわたって一様であると仮定される、すなわち、接触面積＝接触長さ×ｗである。接触長さの平坦な並びは、クローリング速度の飽和と相関している。各実験データポイントは、３回の試行の平均および標準偏差を表す（ｎ＝３）。
【図Ｓ３４】クローリング運動の実験結果およびモデル予測結果（ｆの関数としてのＶcrawl。Ｂは１０ｍＴに固定）。（ａ）元のロボット（図１９ａに定義されている）についての結果。（ｂ）元のロボットと異なるｈを有するロボットに関する結果。（ｃ）元のロボットと異なるＬを有するロボットに関する結果。（ｄ）元のロボットと異なるｗを有するロボットに関する結果。各実験データポイントは、３回の試行の平均および標準偏差を表す（ｎ＝３）。
【図Ｓ３５】クローリング運動の実験結果およびモデル予測結果（Ｂの関数としてのＶcrawl。ｆは２０Ｈｚに固定）。（ａ）元のロボット（図１９ａに定義されている）についての結果。（ｂ）元のロボットと異なるｈを有するロボットに関する結果。（ｃ）元のロボットと異なるＬを有するロボットに関する結果。（ｄ）元のロボットと異なるｗを有するロボットに関する結果。各実験データポイントは、３回の試行の平均および標準偏差を表す（ｎ＝３）。
【図Ｓ３６】クラゲ状水泳運動に必要なＢ。（ａ）Ｂの時間シーケンス。ＢxおよびＢyはグローバル基準系のＸ軸およびＹ軸に投影したＢの大きさを表す。（ｂ）ビデオスナップショットは、回復ストロークの前（上）およびパワーストロークの前（下）にそれぞれ想定されるロボットのＣ字形構成およびＶ字形構成を示す。スケールバー：１ｍｍ。
【図Ｓ３７】クラゲ状水泳運動中のパワーストロークによって発生する流体渦。（ａ）および（ｂ）のビデオスナップショットは、それぞれ、別々に記録された２つの実験過程の正面図と側面図をそれぞれ示す。ポリスチレン粒子（直径：４５μｍ）を用いて流れを追跡した。この実験には、元のロボット（図１９ａに定義された寸法）を使用した。２０００ｆｐｓで記録された４０フレーム（２０ｍｓの期間に対応する）を重ね合わせて画像を作成した。スケールバー：１ｍｍ。
【図Ｓ３８】ロボットの寸法がクラゲ状水泳運動のＶjfにどのように影響するかを示す、実験データのまとめ（ｆの関数としてのＶjf。Ｂmaxは２０ｍＴに固定）。（ａ）元のロボットと異なるｈを有するロボットの実験結果のまとめ。（ｂ）元のロボットと異なるＬを有するロボットの実験結果のまとめ。（ｃ）元のロボットと異なるｗを有するロボットの実験結果のまとめ。各実験データポイントは、３回の試行の平均および標準偏差を表す（ｎ＝３）。
【図Ｓ３９】ロボットの寸法がクラゲ状水泳運動のＶjfにどのように影響するかを示す、実験データのまとめ（Ｂmaxの関数としてのＶjf。ｆは２０Ｈｚに固定）。（ａ）元のロボットと異なるｈを有するロボットの実験結果のまとめ。（ｂ）元のロボットと異なるＬを有するロボットの実験結果のまとめ。（ｃ）元のロボットと異なるｗを有するロボットの実験結果のまとめ。各実験データポイントは、３回の試行の平均および標準偏差を表す（ｎ＝３）。
【図Ｓ４０】クラゲ状水泳運動の実験結果およびモデル予測結果（ｆの関数としてのＶjf。Ｂmaxは２０ｍＴに固定）。（ａ）元のロボット（図１９ａで定義されている寸法）の結果。（ｂ）元のロボットと異なるｈを有するロボットに関する結果。（ｃ）元のロボットと異なるＬを有するロボットに関する結果。（ｄ）元のロボットと異なるｗを有するロボットに関する結果。各実験データポイントは、３回の試行の平均および標準偏差を示す（ｎ＝３）。
【図Ｓ４１】クラゲ状水泳運動の実験結果およびモデル予測結果（Ｂmaxの関数としてのＶjf。ｆは２０Ｈｚに固定）。（ａ）元のロボット（図１９ａで定義されている寸法）の結果。（ｂ）元のロボットと異なるｈを有するロボットに関する結果。（ｃ）元のロボットと異なるＬを有するロボットに関する結果。（ｄ）元のロボットと異なるｗを有するロボットに関する結果。各実験データポイントは、３回の試行の平均および標準偏差を示す（ｎ＝３）。
【図Ｓ４２】潜水運動に必要なＢ。（ａ）Ｂの時間シーケンス。ＢxおよびＢyはグローバル基準系のＸ軸およびＹ軸に投影したＢの大きさを表す。（ｂ）ビデオスナップショットは、潜水のためのロボットの初期構成を示す（図２０ｄから再現）。スケールバー：１ｍｍ。
【図Ｓ４３】上陸運動に必要なＢ。（ａ）Ｂの時間シーケンス。ＢxおよびＢyはグローバル基準系のＸ軸およびＹ軸に投影したＢの大きさを表す。（ｂ）ビデオスナップショットは、上陸のためのロボットの初期構成を示す（図２０ｃから再現）。
【図Ｓ４４】超音波ガイドによる運動。ここで、ロボットの寸法は元のロボット（図１９ａ）と同様であり、すなわち、Ｌ＝３．７ｍｍ、ｗ＝１．５ｍｍ、ｈ＝０．１８５ｍｍである。ロボットはａ−ｃの赤い点線でマークされている。（ａ）βR＝−９０°のロボットは、以下のパラメータのＢシーケンスでクラゲ状水泳運動を使用する：ｆ＝３０ＨｚおよびＢmax＝３０ｍＴ。この実験は、水泳用タンクの下部と上部がニワトリの筋肉組織で作られた模型内で行われる。（ｂ）βR＝４５°のロボットは、以下のパラメータの回転Ｂシーケンスを用いてクローリングする：ｆ＝１０ＨｚおよびＢ＝１０ｍＴ。この実験は、ニワトリの筋肉組織の内側に埋め込まれたシリコンチューブ（内径２ｍｍ）で行われた（拡大画像については、（ｅ）を参照）。（ｃ）βR＝４５°のロボットは、以下のパラメータの回転Ｂシーケンスを用いてローリングする：ｆ＝２ＨｚおよびＢ＝１５ｍＴ。これは図２１ｂの再プロットである。ローリング実験は、２層のニワトリ筋肉組織の間に形成されたギャップ内で行われる。（ｄ）図Ｓ２に示す電磁構成の中に配置された超音波走査ヘッドおよびニワトリ筋肉組織模型。（ｅ）ロボットが埋設されたチューブ内にあるときの拡大画像。スケールバー：１ｍｍ（ａ−ｃ）および１ｃｍ（ｄ）。
【発明を実施するための形態】
【００６４】
図１ａは、帯状材料の形態をなす形状可変作動部材１０の設計を示す。形状可変作動部材１０は、磁気弾性部材１０とも呼ばれる。部材１０は、ｘ方向に長さｌ、ｙ方向に高さｈ、ｚ方向に幅ｗを有する。この例では、部材１０は、微小セグメントｄｓの連続体から形成されており、説明のためにｘ方向に沿って９個のセグメントｓが示されている。セグメントｓ（ｄｓ）の各々は、同じ材料からなるが、矢印で示すように異なる磁化方向を有している。
【００６５】
ｘ方向の最後のセグメントｓfは磁化プロファイルの位相シフトβRを示し、この位相シフトは以下で論じるように重要である。
【００６６】
部材１０は磁気弾性であり、５μｍのＮｄＦｅＢ粒子を充填した疎水性シリコーンゴムシートから製造される。 図５および後続の説明は、このような部材１０を形成するために実行することができるステップを詳述している。部材１０は、シートの長さｌに沿ってそのｍx成分およびｍy成分について単一周期正弦関数として、またシートの幅ｗおよび厚さｈに沿って等しく、磁化される。
【００６７】
図１ｂは、４つの異なる励起状態にある図１の部材１０を示す。励起の異なる状態は、マルチコイル電磁石システム（これに関しては図６を参照）による遠隔磁気作動によってもたらされる。このマルチコイル電磁石システムは、繋留されていない操作を可能にする、すなわち部材１０はホストや基板などに接続されておらず、実際に空間内を自由に動くことができる。
【００６８】
第１の状態は、磁場Ｂが印加されていないときに静止状態にあるβR＝４５°の部材１０を示している。スケールバーも示されており、１ｍｍの寸法を有する。この例に示す部材１０は、３．７×１．５×０．２４ｍｍ3の寸法を有する。
【００６９】
部材の典型的な寸法は、０．００１〜１００×０．００１〜１００×０．００１〜２０ｍｍ3の範囲内、特に０．０１〜１０×０．０１〜１０×０．０１〜２ｍｍ3の範囲内で選択することができる。これに関して、不均一な形状の部材１０を製造することもできることに留意されたい。しかしながら、以下では、簡略化のために、帯状形状の部材１０を説明する。
【００７０】
第２の状態は、α＝２２５°の主方向でＸ−Ｙ平面内に整列している３ｍＴの磁場強度の磁場を印加した状態を示している。第２の状態では、磁性部材１０は正弦波形状をなす。
【００７１】
第３の状態は、α＝１３５°の主方向でＸ−Ｙ平面内に整列している３ｍＴの磁場強度の磁場を印加した状態を示している。第３の状態では、磁性部材１０はコサイン状の形状をなす。すなわち磁場のアライメントの位相を９０°変えることによって部材の全体形状が９０°シフトする。
【００７２】
もし同じ振幅で磁場の主方向を継続的に変化させると、部材１０を通して移動する進行波を観察することができる。このようにして、部材１０を波状にすることができ、これによって水泳のような形式の運動を行うことができる（図３ａも参照）。
【００７３】
この点に関して、０〜１０００ｍＴの範囲内、特に０〜５００ｍＴの範囲内で選択される磁場強度、および０〜１０００ｋＨｚの範囲内、特に０〜１ｋＨｚの範囲内で選択される周波数で大きさが変化する、時間変化磁場を印加することができることに留意されたい。同様に、印加磁場の方向を、０〜１ｋＨｚの範囲内で選択された周波数で変えることができる。
【００７４】
図示された第４の状態は、第３の状態と主磁化方向が同じで第３の状態と比較して著しく大きい磁場を印加した状態を示している。この磁場において、｜Ｂ｜が大きいときに、部材１０は、馬蹄状ないし半円形状に歪む。
【００７５】
４つの状態は、印加磁場の主方向および／または強度を変えることによって部材１０の形状を変えることができることを示している。 実際、所望の磁場を発生させることによって、正味の磁気モーメントが部材１０に生じる。電磁石は、柔らかい部材１０が時間的に変化する形状だけでなく、様々な運動モードを引き起こすことができる様々な磁気モーメントを生み出すことを可能にする。磁気モーメントは外部から印加された磁場Ｂと整列するので、磁気トルクはすべての運動モードにおいて部材１０を３次元（３Ｄ）に操舵することができる。
【００７６】
図２は、磁気弾性形状可変作動部材１０の様々な形式の運動モードおよび関連する遷移モードを示す。図２に示すスケールバーは、実際のサイズ１ｍｍに関する。
【００７７】
図２ａは、部材１０が完全に水に浸されているときのクラゲ状の水泳に似ている、部材１０の運動モードを示す。実際、部材１０は、重力に逆らって上方に泳ぐことができることが判った。この水泳は、垂直方向に沿った時間非対称のＢの反転によってもたらされる。使用した最大磁場強度は、｜Ｂ｜max＝３０ｍＴである。従って、垂直方向に沿った時間的に変化する大きさを有する周期的磁場Ｂが、部材１０のクラゲ状の水泳運動を引き起こし、部材１０を水面に到達させるよう推進する（図３ｃ）。浮上すると、柔らかい部材１０は、その疎水性の体表面を空気にさらすことによって水−空気境界面に強く固定される。
【００７８】
図２ｂは、水メニスカスクライミングに似ている部材１０の運動モードを示す。反時計回りの磁気トルクが、部材１０の姿勢をメニスカス形状に漸進的に適合させ、その質量中心を上昇させる。この例で使用されている最大磁場は、｜Ｂ｜max：１２ｍＴである。
【００７９】
異なる磁場を印加することによって、図２ａに示す形状からプログラムされた形状変化が生じ、部材１０が水面の毛細管現象を利用して、凹面メニスカスの傾斜に沿って上方に移動することを可能にする（図２ｂ）。メニスカスクライミングは、一般に、昆虫が摩擦のない液体バリアを越えて泳ぐことができないときに昆虫が用いるものであり、従って、部材１０は、昆虫のような運動モードを採用することができる。
【００８０】
すなわち、Ｂの大きさおよびＢの方向を制御すると、部材１０が上方に湾曲し、水面の局所的な曲率に一致するように徐々に回転することが判った。この湾曲および回転は、余分なエネルギーを消費せずに、部材１０が毛細管変位を受けることを可能にする。逆に、急速な一連の下方への曲げおよび回転は、図２ｃに示すように、部材１０を水−空気境界面から解放する。
【００８１】
図２ｃは、潜水に似た部材１０の運動モードを示し、すなわち、カーリングと剛体回転との組み合わせによる水プールの表面から水プールの水中への移行を示す。この例で使用される最大磁場は、｜Ｂ｜max：３０ｍＴである。
【００８２】
図２ｄは、上陸に類似した部材１０の運動モード、すなわち、水面から固体地面への移行を示す。時計回りに変化する磁場Ｂが部材１０を水面から剥がし、かつプラットホーム上に立たせる。この例で使用されている最大磁場は、｜Ｂ｜max：１２ｍＴである。メニスカス上昇時に、部材１０は、効果的に回転して水面から剥離して隣接する固体基板上に立つことができる。部材１０の微視的に粗いエラストマー表面の低い濡れ性（後退水接触角〜７８°）により、後退三重接触線を固定しないままにし、変位中に部材１０の表面の水を容易に除去できる。
【００８３】
図２ｅは、ローリングに似た部材１０の運動モードを示し、これは、大きさが大きく低周波の回転Ｂ磁場による。この例で使用されている最大磁場は、｜Ｂ｜max：２０ｍＴである。大きさが大きく低周波数のＢによるローリングすなわちｚ軸の周りの剛体回転によって、部材１０は、固体基板上を指向的に前進することができ、かつ固体から液体表面上に飛び込むことができる（図３ａ参照 ）。しかしながら、カールした部材１０は、部材１０の直径よりも広い基板のギャップを横切って転動することはできない。ギャップを橋渡しするために、部材１０は、歩行モードの運動に変わる。
【００８４】
図２ｆは、歩行に似た部材１０の運動モードを示す。磁場Ｂの方向および大きさが、部材１０の歩みを制御し、脚の間の歩幅をそれぞれ調整する。この例で使用されている最大磁場は、｜Ｂ｜max：７．７ｍＴである。破線は、１回の歩行サイクル後の正味の変位を示す。歩行は、構造化されていない地形を移動するための特に堅牢な方法であり、歩幅を細かく正確に調整することができる。指向性歩行は、磁場Ｂの向きおよび大きさをそれぞれ制御することによって、部材１０の傾斜角度および曲率を順次かつ周期的に適合させることによって達成することができる。
【００８５】
一例として、図２ｆに示される右への歩行は、以下の一連の磁場Ｂを使用することによってより詳細に説明される（図１３ａも参照）。
【００８６】
１．歩行の開始（フレームＩ）：磁場Ｂは、磁場強度｜Ｂ｜＝７．７ｍＴで、α＝１３５°の角度を有する。この条件下では、部材１０は、両脚が地面に触れた状態で上下方向に対称の姿勢をとる（図１２ｂも参照）。 
【００８７】
２．前脚の上昇（フレームＩおよびＩＩ）：Ｂは、｜Ｂ｜＝７．７ｍＴでもって、α＝１３５°から１２４°へと回転する。これにより、後方の脚を固定したまま前方の脚を（移動方向に対して）持ち上げる。
【００８８】
３．前脚の伸長および下降（フレームＩＩおよびＩＩＩ）：αを１２４°に保ちながら、｜Ｂ｜を７．７ｍＴから０ｍＴまで直線的に減少させる。これにより、前脚が下がり、部材１０が後脚を支点としつつ揺動して部材１０の水平方向のスパンがｄだけ延びる。 
【００８９】
４．後脚の収縮および上昇（フレームＩＩＩおよびＩＶ）：αを１４６°に保ちながら、｜Ｂ｜を０ｍＴから７．７ｍＴまで増大させる。これにより、部材１０は、その前側の脚を支点として固定したまま、そのスパンを縮めかつ後側の脚を持ち上げるようにカールする。
【００９０】
５．後脚の下降（フレームＩＶおよびＶ）（後脚の下降）：Ｂは、｜Ｂ｜＝７．７ｍＴでもって、α＝１４６°から１３５°へと回転する。これにより、部材１０はその初期位置に対して正味の右方向変位ｄだけ変位（フレームＩと比較）した開始姿勢に戻り、制御サイクルが終了する。
【００９１】
クラゲ状水泳（図１３）
図２ａに示すクラゲのような水泳は、以下のステップによって実現される。
【００９２】
１．部材は速いパワーストロークを実行するように起動される。
【００９３】
２．その後、部材はゆっくりとした回復ストロークを実行するように起動される。
【００９４】
このように垂直方向に沿ってＢを周期的に反転させて速い力（下向き）のストロークを与えることによって、レイノルズ数Ｒｅ〜３２．５で機能するロボット（部材）は、重力場に抗して上向きに泳ぐことが示され、さらに最終的に作業スペースの底部コイル近傍に存在する下向きの磁場勾配に対しても泳ぐことが示される。
【００９５】
メニスカスクライミング（図９）
図２ｂに示すメニスカスクライミングは、以下のステップによって実現される。
【００９６】
１．部材は、上向きの湾曲で上下方向に対称の姿勢をとるように起動される。部材は、初期のメニスカスプロファイルとデバイスの曲率の双方に依存することが知られているメニスカスに沿った安定位置を、４００ｍｓで達成する。
【００９７】
２．続いてＢを時計回りに回転させ、ロボットの位置をメニスカスに沿って徐々に変位させ、その質量中心を上昇させる。デバイスが固体基板と接触すると、Ｂはオフになり、ロボットは隣接するプラットホームの端に静止する（図２ｄのフレームＩ）。
【００９８】
潜水（図１０）
図２ｃに示す潜水は、以下のステップによって実現される。
【００９９】
１．部材は、最初は下方にカールするように起動される（図２ｃのフレームＩＩ）。
【０１００】
２．次に、部材は、反時計回りに回転して水−空気境界面との接触を最小にするように起動される（図２ｃのフレームＩＩ）。このステップの終わりにおいて、梁の一方の端は、まだ水面に付いている（図２ｃのフレームＩＩＩ）。
【０１０１】
３．外部Ｂ磁場を素早く１８０°反転させることで、部材の端部が水面から外れ、ロボットが沈む（図２ｃのフレームＩＶおよびＶ）。
【０１０２】
上陸（図１１）
図２ｄに示す上陸は、以下のステップによって実現される。
【０１０３】
１．部材は、プラットホームの端部を支点として利用しつつ時計回りの回転を保つように起動される。
【０１０４】
２．部材の第２の脚がプラットホームに達すると、外部Ｂ磁場が停止される（図２ｄのフレームＶ）。
【０１０５】
ローリング（図８）
図２ｅに示すローリングは、以下のステップを使用することによって実現される。
【０１０６】
１．ロボットを半円形状に似た歪んだコサイン形状に撓ませるように、１５７°の角度に沿った大きな大きさのＢ（１５ｍＴ）（図２５ｂ）。 
【０１０７】
２．外部Ｂが回転を開始し、剛体磁気トルクτrigid-bodyがロボットによって誘導される。
【０１０８】
これは、下記のように数学的に示すことができる。
【０１０９】
【数１】
2020509280.tif 000003
【０１１０】
外部Ｂが回転し始めると、エージェントであるロボットのＭnetがその最終方向に揃えられ、τrigid-bodyはヌルベクトルに縮小する。 
【０１１１】
歩行（図１２）
図２ｆに示す右方向への歩行は、以下のステップによって実現される。
【０１１２】
１．歩行の開始（フレームＩ）：磁場Ｂは、磁場強度｜Ｂ｜＝７．７ｍＴで、α＝１３５°の角度を有する。この条件下では、ロボットは、両脚が地面に触れた状態で上下方向に対称の姿勢をとる（図２８ｂ）。 
【０１１３】
２．前脚の上昇（フレームＩおよびＩＩ）：Ｂは、｜Ｂ｜＝７．７ｍＴでもって、α＝１３５°から１２４°へと回転する。これにより、後方の脚を固定したまま前方の脚を（移動方向に対して）持ち上げる。
【０１１４】
３．前脚の伸長および下降（フレームＩＩおよびＩＩＩ）：αを１２４°に保ちながら、｜Ｂ｜を７．７ｍＴから０ｍＴまで直線的に減少させる。これにより、前脚が下がり、部材１０が後脚を支点としつつ揺動してロボットの水平方向のスパンがｄだけ延びる。 
【０１１５】
４．後脚の収縮および上昇（フレームＩＩＩおよびＩＶ）：αを１４６°に保ちながら、｜Ｂ｜を０ｍＴから７．７ｍＴまで増大させる。これにより、ロボットは、その前側の脚を支点として固定したまま、そのスパンを縮めかつ後側の脚を持ち上げるようにカールする。
【０１１６】
５．後脚の下降（フレームＩＶおよびＶ）（後脚の下降）：Ｂは、｜Ｂ｜＝７．７ｍＴでもって、α＝１４６°から１３５°へと回転する。これにより、ロボットはその初期位置に対して正味の右方向変位ｄだけ変位（フレームＩと比較）した開始姿勢に戻り、制御サイクルが終了する。
【０１１７】
クローリングおよび波形の水泳（図７）
クローリングモードの運動（図２ｇ）は、波状の時間変化する形状を必要とする。エージェントは、大きさが小さく比較的高い周波数の回転Ｂを使用することによって、その波状変化を達成する。時間依存性の波によって生じる変形は、数学的には以下のように説明することができる。ここで、変数Ｔは回転Ｂの周期を表す。同様の動作は、波形の水泳にも適用される。
【０１１８】
【数２】
2020509280.tif 000004
【０１１９】
ジャンプ
図２ｈに示すジャンプは、以下のステップを使用することによって実現される。
【０１２０】
１．タイプ１の直線ジャンプでは、エージェントは最初に、上方にカールしその中心に立つように、磁場によって予め曲げられる（図２ｈのフレームＩ）。
【０１２１】
２．次に、Ｂの方向を素早く反転させて、エージェントが平坦になるようにし、（図２ｈのフレームＩＩおよびＩＩＩ）、その脚を基板に衝突させる。
【０１２２】
図２ｇは、円筒形の管（内径：１．６２ｍｍ）の内側でのクローリングに似た部材１０の運動モードを示す。時計回りの回転磁場Ｂ（１５ＨｚでＢ＝３ｍＴ）が、体のうねりによって右への動きを推進する。破線は、５回のクローリングサイクル後の正味の移動量を示す。歩行を妨げる可能性がある立ち上がった障害物の狭い開口部に面したときに、部材１０は、開口部を通ってクローリングするために、振幅の小さな体の波動を効果的に用いることができる。クローリング運動は、小さい大きさの回転磁場Ｂによって符号化され、磁気弾性部材１０に沿った可逆的な縦方向進行波を生成する。同様の制御シーケンスによって、さらに、部材１０は、複数の正弦波周期を特徴づけるｍを備えた部材１０内で作用することで、テイラースイミングシートに似た液面上で効率的に泳ぐことができる（図３ａ参照）。
【０１２３】
図２ｈは、指向性ジャンプに似た部材１０の運動モードを示す。部材１０は、最初に、印加された磁場Ｂによって９°傾斜している。次いで磁場Ｂは時計回りに反転し、２５ｍｓの間維持される。この例で使用される最大磁場は、｜Ｂ｜max：１８．９ｍＴである。矢印は、ＸＹ平面内でのＢの向きおよび部材１０の瞬間正味磁化ベクトルをそれぞれ示す。
【０１２４】
ローリングや歩行で越えるには高すぎる障害物に直面したときに、軟質部材１０は、剛体基材上に瞬間的な衝撃を与えることによるジャンプに頼ることもできる。直線ジャンプ（図１５参照）および指向性ジャンプの戦略（図２ｈおよび図１５参照）の双方を達成することができる。ジャンプモード運動を操舵するために、磁場Ｂの制御シーケンスは、ジャンプ方向を特定する部材１０の剛体回転と、基板に衝突する前の部材１０の運動量を最大化するための弾性変形と、の双方を促す。幾何学的な部材の設計および磁場Ｂの制御パラメータとともに、変形した部材の正味磁気モーメントは、さらに、磁気勾配による引っ張りによるジャンプ高さの調整を可能にする。磁気勾配による引っ張り単独で理論的には部材１０を浮揚させることができるが、実用的に実現するには、必要な勾配の大きさが大き過ぎる。 
【０１２５】
図３は、部材１０がその運動モードの全ての組み合わせを介してのみ十分に探索することができるハイブリッドな液体固体環境を示す。滑らかで親水性の固体プラットホームに隣接する長い距離の水メニスカスは、部材１０による毛細管クライミングを促し、次いで、他の方法では克服できない固定された障害物を越える方向にジャンプする。構造化されていない環境、例えば外科用ヒト胃模型、を横切るナビゲーションが、さらに、将来の潜在的な生物医学的用途に対する多様な部材運動の頑健性を示している。
【０１２６】
図３に示す環境は、脱イオン水を含有するプレキシグラスボックス（５２×３２×２５ｍｍ3）中のレーザーミリングしたポリ（メチルメタクリレート）プラットホーム（水接触角＜１０°）を特徴とする。図３に示されている様々な運動モードは、別々の動画から順次キャプチャしたものであり、そのフレームが示されている。これらの図で使用されているスケールバーは１ｍｍにスケーリングされている。
【０１２７】
以下、図３に示される部材１０の多様な運動モードを実施するための手順を説明する。図３ａでは、部材１０は、最初にそのローリング運動を用いて水面に着く。水に浸した後、部材１０は、メニスカスに沿ってプラットホームからわずかに離れるようにドリフトし、次いで、安定した後に水泳を始める。部材１０が右へ泳ぐように、時計回りの磁場Ｂ（｜Ｂ｜＝３ｍＴ、２５Ｈｚ）が印加される。その後、部材１０は、水面から離脱するように、水面上で連続的に下方に曲がる。次に、部材１０は反時計回りに回転して水中に沈み、続いて、水面に戻って再び水／空気境界面に交わる（図３ｂ−ｃ）。
【０１２８】
図３ｄは、陸上で４つの異なる運動モードを使用する部材１０を示す。メニスカスクライミングによって固体基板上に上った後、部材１０は、固体プラットホーム上に存在する。その後、部材１０の正味の磁化が、部材１０を他の方法では克服できない障害物を越えて移動させるために、指向性ジャンプのために必要な初期姿勢まで部材１０を回転させるように使用される。この後、部材１０は歩行を開始する。
【０１２９】
部材１０は、磁気勾配力によって障害物を飛び越える前後にわずかな滑りを受けることが観察されている。この場合のように、現在実施されている制御ループが開いているために、滑りが生じる可能性がある。部材１０は広い作業空間を横切り、空間内の各位置に対して、適切な磁気作動マトリックスが人間の制御装置によって選択される。従って、制御誤差に伴う小さな勾配力が存在する可能性がある。具体的には、滑りは、部材１０の片脚だけが基材と接触しているとき、すなわち摩擦が最小であり、小さな勾配力でも部材１０を変位させることができるときに起こる。
【０１３０】
注目すべきは、歩行は、部材１０を反対方向の磁気勾配引っ張り力に抗して前進させることができる、ということである。さらに、部材１０の正味の磁化が部材１０を操舵することができるので、歩行部材１０が最初に所望の進行方向と整列しておらず、歩行のいくらかの期間の後に、磁場Ｂの水平成分と整列し始めることが見られる。
【０１３１】
図３ｅにおいて、部材１０は最初にトンネル（内径：１．６２ｍｍ）を模したガラス毛細管１４に向かって歩く。ガラス毛細管１４の横断面は部材１０がその前脚を持ち上げてそれ以上の歩行を進めることを許容しないので、トンネルが部材１０の歩行を妨げ、部材１０がトンネル入口で動けなくなる。この障害を克服するために、次に、部材１０は、トンネルを通過するようにクローリング運動モードに切り換えられる。この時点で、入力は時計方向に回転する磁場Ｂに切り換えられ、部材１０はトンネルを通してクローリングを開始する。トンネルを通過した後、歩行運動が再開され、部材１０は最終的に作業空間を離れる。
【０１３２】
さらに、磁気弾性部材１０が機能的で形状変化可能なタスクを付加的に達成することができることも分かった。一例として、物体の把持および搬送を図４ａに示す。
【０１３３】
図４は、ピックアップおよび配置作業を実行している間に部材１０がとる種々の形状を描いた動画から取られた様々なフレームを示す。図４ａは、部材１０が貨物アイテム１４（ナイロン、１×０．８×１．５ｍｍ3）にどのように接近するかを示し、部材１０は、平坦で硬い表面上を歩行し、カーリング（フレームＶ、｜Ｂ｜＝２０ｍＴ）によって貨物をピックアップし、カーリング形状を維持しつつローリングによって貨物１４を搬送し、新しい位置でカーリングを解くことによって貨物１４を解放する。
【０１３４】
図４ｂは、動的かつ選択的な貨物１４の解放を示す。紙組織（０．５×０．５×０．１ｍｍ3、薬品容器のモデルとして使用される）は、追加の付属物によって部材１０に結び付けられる。部材１０を予め曲げた後（フレームＩ）、Ｂが素早く反転され（フレームＩＩ−ＩＶ）、付属物を開いて貨物を解放する（フレームＶ−ＶＩＩＩ；貨物１４を破線で示す）。これらの例で印加される最大磁場は、｜Ｂ｜max：３０ｍＴである。貨物１４の積載は、部材１０の運動多様性を妨げない。示されているスケールバーは、１ｍｍのスケールに関する。
【０１３５】
プログラム可能な磁性軟質複合部材１０を製造するために、例えば、長方形の磁化部材を形成するために長方形をなす、ネガ型ベースモールドが製造される（図示せず）。次に、部材１０がその長さｌにわたって様々な磁化方向で様々な大きさの磁化を有するべきであるか、それとも様々な磁化方向で一定の大きさの磁化を有するべきであるかどうか、が決定される。もし一定の大きさの磁化が望まれる場合には、ベースモールドは磁化可能な材料で充填される、すなわち、能動要素（作動可能要素）がネガティブモールド内に充填される。能動要素の例は、ＮｄＦｅＢとＥｃｏｆｌｅｘの混合物を含み得る。
【０１３６】
能動要素を含んだ部材１０を、次に、治具上に設置し、次いで、外部磁場に晒して部材１０のセグメントｓの異なる磁化方向を作り出す。部材１０を永久的に磁化するために、部材１０は、約１．５Ｔの強度を有する強い磁場に晒される。これは典型的には、電気コイルにより生成される磁場内に、部材１０および治具を配置および配向することによって達成される。
【０１３７】
不均一な大きさの磁化が必要とされる場合には、長方形の部材を形成するために、ベースモールドに受動要素が充填される。この目的のために、ＡｌとＥｃｏｆｌｅｘの混合物が受動要素として使用され、液体の形で単にモールド内に流し込まれそして硬化させられる。
【０１３８】
所望の大きさおよび向きが変化した磁化構成要素を形成するのに必要な理想的な形状を計算した後、磁化構成要素用のネガティブ構成要素モールド（やはり図示せず）が受動要素内に形成される。例えば、レーザーカッターを用いて受動要素の余剰材料を切り取ることにより、均一ないし不均一な幅を有する帯を形成する。帯の形状は、プログラムされた磁化プロファイルに基づいている。
【０１３９】
さらなるステップでは、磁化可能材料すなわち能動要素が、受動要素によって形成されたネガティブモールドに充填される。能動要素の例は、ＮｄＦｅＢとＥｃｏｆｌｅｘの混合物を含み得る。能動要素は、受動要素内に形成された要素モールドに流し込まれ、要素モールド内で硬化し、これにより受動要素に接着する。
【０１４０】
受動要素および能動要素を含む部材１０は、次に、治具上に設置され、部材１０のセグメントｓの異なる磁化方向を作り出すために外部磁場に晒される。やはり、部材１０は、永久的に部材１０を磁化するために、約１．５Ｔの強度を有する強い磁場に晒される。
【０１４１】
特に、磁気弾性部材１０の本体は、Ｅｃｏｆｌｅｘ−１０ポリマーマトリックス（密度：１．０４ｇ／ｃｍ3）に、ネオジム−鉄−ホウ素マイクロ粒子（ＭＱＰ−１５−７、 Ｍａｇｎｅｑｕｅｎｃｈ、；平均直径：５μｍ、密度：７．６１ｇ／ｃｍ3）を質量比１：１でもって充填して製造される。得られた軟質磁性エラストマーは、密度が１．９ｇ／ｃｍ3、引張試験機（Ｉｎｓｔｒｏｎ ５９４３、Ｉｎｓｔｒｏｎ Ｉｎｃ．）で測定したヤング率が、６．４×１０4Ｐａである。製造中、プレポリマーを平坦なポリ（メチルメタクリレート）プレート上で成形して、２４０μｍ厚のフィルムを形成する。熱的なポリマーの硬化後、デバイスは、所望の形状にレーザー切断される。
【０１４２】
図５ａは、ガラス棒によって形成された例示的な治具１６を示す。特定の磁化プロフィールを形成するために他の形態のジグを使用することができる。能動物質が導入される不均一幅のネガティブ要素モールドを使用することによって、不均一な磁化の大きさを有する磁性部材１０が形成され、その中の部材１０のセグメントｓも、磁化方向が変化している。本実施例では、部材１０を磁化するために１．５Ｔの磁場を印加した。
【０１４３】
これに関連して、ＮｄＦｅＢの磁化を飽和させるためには、少なくとも１．２Ｔの磁場が必要であることに留意すべきである。 
【０１４４】
埋め込みプロセスの詳細な説明は、Ｇ．Ｚ．Ｌｕｍらによる「形状プログラム可能な磁気ソフトマター」と題された、「Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ  ｏｆ  ｔｈｅ  Ｎａｔｉｏｎａｌ  Ａｃａｄｅｍｙ  ｏｆ  Ｓｃｉｅｎｃｅｓ  ｖｏｌ．１１３、Ｅ６００７−Ｅ６０１５（２０１６）」に掲載されている刊行物に記載されており、特に、図５および関連する説明に記載されている。Ｇ．Ｚ．Ｌｕｍらによる文献には、また、部材１０を形成するためにネガティブ要素モールドの形状を計算するのに必要とされる数式が詳述されている。欧州特許出願ＥＰ１６１７５３４１．３は、この製造方法のさらなる詳細を提供している。
【０１４５】
図５ａに示される治具１６を形成するガラス棒は、ＮｄＦｅＢ微粒子を含むエラストマー部材１０を示しており、これは、円筒形ガラス管（周囲：３．７ｍｍ）の周りに巻き付けられ、そして振動サンプル磁力計で生成される均一な１．５Ｔ磁場によって磁化される。相対配向βRは、磁化プロファイルにおける位相シフトを定義する。図５ｂは、βR＝４５°の場合の、図５ａの巻き付けられていない部材１０におけるプログラムされた磁化プロファイルを示す。
【０１４６】
この研究に使用される部材１０の寸法は図５ｂに示されており、ここでｌ、ｗ、およびｈは、それぞれ部材１０の長さ、幅、および高さである。
【０１４７】
磁化プロファイルｍ（図５ｂ）において位相シフトβRを生じさせるために、棒は部材１０の磁化の間に角度βRだけ回転される。特記しない限り、以下では、βRが４５°であると仮定する。
【０１４８】
複合エラストマー材料の本来の表面は疎水性であり、微視的には粗いことに留意すべきである。水接触角の静的な前進角（１１６°±３°）と後退角（７８°±２°）が、水滴体積を連続的に増加および減少させる自動ゴニオメータールーチンを通して、固着液滴法により測定された（Ｋｒｕｓｓ ＤＳＡ１００）。表面粗さ（Ｒａ＝０．６３±０．０２μｍおよびＲｚ＝４．３７±０．２８μｍ）がレーザー干渉法（Ｋｅｙｅｎｃｅ ＶＫ−Ｘ２００）により測定された。部材１０の表面は、実験前にいかなる処理も施されなかった。
【０１４９】
図６は、磁気弾性部材１０を作動させるための６コイルＣ電磁装置Ｍの一例を示す。Ｘ、Ｙ、Ｚのグローバル座標系が表示されている。磁気作動装置は、カスタムメイドの電磁石の３対の直交するペアで構成されている。電磁石を駆動する入力電流は、カスタム電子ボードを介したソフトウェア制御信号によって指定される。本装置では、較正磁気作動マトリックスが使用され、制御電流入力が作業空間内の実際の磁場にマッピングされる。Ｘ、Ｙ、Ｚ座標に沿った有効作業空間は、各コイルに近接している作動マトリックスの非線形成分の影響を排除するために、基準系の中心の周囲３０ｍｍに制限されている。
【０１５０】
特に図６は、共通軸にそれぞれ配置された３対のコイルＣを示しており、３つの共通軸は、装置の中心で互いに直交して交差している。中心から各コイルまでの間隔は同じであり、特定の例では、３７．５ｍｍである。コイルに電流を流すことにより、０〜５００ｍＴの大きさを有する磁場を装置の中心に発生させることができる。磁場強度は１ｋＨｚの周波数で変化させることができ、磁場の方向は１ｋＨｚの周波数で変化させることができる。
【０１５１】
【表１】
2020509280.tif 000005
【０１５２】
作業空間の全体的な中心では、コイルの電流と磁場の間の関係は次のとおりである。
【０１５３】
【数３】
2020509280.tif 000006
【０１５４】
ここで、
【０１５５】
【数４】
2020509280.tif 000007
【０１５６】
および、ＢX，ＢY，ＢZは、＋Ｘ、＋Ｙ、＋Ｚ方向の磁場であり、ｍＴ（ミリテスラ）である。
【０１５７】
【数５】
2020509280.tif 000008
【０１５８】
および、ＩX，ＩY，ＩZは、各々の方向に２つのコイルを含むコイル対を流れる電流であり、Ａ（アンペア）である。正の電流値は、その方向に正の磁場を発生させるように定義されている。我々のシステムでは、作動行列Ａは次のとおりである。
【０１５９】
【数６】
2020509280.tif 000009
【０１６０】
前述の磁化プロファイル（図５ｂ）に基づいて、種々異なる外部磁場Ｂが印加されたときに部材１０がその形状をどのように変化させるかを説明する。さらに、軟質部材１０に対する操舵方法が示されている。このセクションの分析は、以下で論じる実験についての簡単な理論的理解を提供する。
【０１６１】
準静的モデル
Ｂを受けたときに軟質部材１０がとり得る準静的形状を論じるために、部材１０の長さｓに沿った磁化プロファイルｍは、下記のように仮定される。
【０１６２】
【数７】
2020509280.tif 000010
【０１６３】
変数ｍおよびωsは、それぞれｍ（ｓ）の大きさおよび空間角周波数を表しており、ωs＝２π／ｌである。上記のｍ（ｓ）を用いかつ普遍性を失うことなしに、部材１０のローカルフレームは、作動磁場Ｂを説明するために使用される（図５ｂ）。磁場Ｂが磁化プロファイルと相互作用し、軟質部材１０は局所的に変化する応力を受け、望ましい偏向を生じさせることが可能となる。図７は、軟質部材１０の準静的解析を示している。部材１０が変形するとき、定常状態で微小要素に作用する曲げモーメントは、下記の通りである。
【０１６４】
【数８】
2020509280.tif 000011
【０１６５】
これらの静的な撓みは、オイラー−ベルヌーイの式で表すことができる。ここで、部材１０に沿った回転撓みθ（ｓ）は、作動磁気トルクτmによって下記のように表すことができる。
【０１６６】
【数９】
2020509280.tif 000012
【０１６７】
ここで、
【０１６８】
【数１０】
2020509280.tif 000013
【０１６９】
変数Ａ＝ｈｗ、Ｉ＝ｈ3ｗ／１２およびＥは、それぞれ部材１０の断面積、２次面積モーメントおよびヤング率を表しており、Ｒは、次式で与えられる標準ｚ軸回転行列である。
【０１７０】
【数１１】
2020509280.tif 000014
【０１７１】
物理的には、式Ｓ２の左側は部材１０を変形させる磁気作動を表し、右側は結果として生じる撓みを表す。定常状態では、梁に磁力が加わらないため、梁に沿ったせん断力はゼロになり、従って、準静的解析では無視することができる（図７を参照）。水泳やクローリングのような、小さな撓みの運動モードでは、式Ｓ２は、単純な３×３単位行列でＲを近似し、
【０１７２】
【数１２】
2020509280.tif 000015
【０１７３】
（本体フレームのｘ軸に沿って）とし、
【０１７４】
【数１３】
2020509280.tif 000016
【０１７５】
、ここでｙは垂直方向撓みである、とすることで単純化できる。従って、支配的な式は次のようになる。
【０１７６】
【数１４】
2020509280.tif 000017
【０１７７】
式Ｓ４を用いることで、部材１０の形状は、それぞれ余弦関数および正弦関数に似ている２つの主要な形状の線形結合によって記述することができる。第１の主要な形状は、磁場Ｂの方向が［ｃｏｓβR  ｓｉｎβR  ０］Tと平行であるとき、すなわち、Ｂ＝Ｂ［ｃｏｓβR  ｓｉｎβR  ０］Tであるときに実現でき、（１）に示されるように、式Ｓ４は、下記のように二重積分することができる。
【０１７８】
【数１５】
2020509280.tif 000018
【０１７９】
同様に、Ｂが［−ｓｉｎ（βR）  ｃｏｓ（βR）  ０］Tと平行であるとき、すなわち、Ｂ＝Ｂ［ｓｉｎ（βR）  −ｃｏｓ（βR）  ０］Tであるとき、式Ｓ４は、下記のように二重積分することができる。
【０１８０】
【数１６】
2020509280.tif 000019
【０１８１】
式Ｓ４〜Ｓ６は、水泳およびクローリング運動（図１ｂ参照）のために達成可能な形状を完全に記述することができるが、これらは、大きな撓みを利用する他の運動モードについては近似としてのみ用いることができる。このような制限にもかかわらず、［ｃｏｓβR  ｓｉｎβR  ０］Tと平行な大きな大きさの磁場Ｂが、半円に似た歪んだ余弦形状を作り出す（図１ｂ）ので、式Ｓ５は、梁（部材）の大きな撓みを近似するのに用いることができる。余弦関数は半円状の形状を完全に記述することはできないが、式Ｓ５は、余弦関数の振幅が増加すると、より大きい曲がりが達成され得ることを示唆している。大きな曲がりの半円のような形状を作成する機能は、ほとんどの運動モードおよび遷移モードを実現するために不可欠である。 
【０１８２】
操舵戦略
変形していない状態では、軟質部材１０は正味の磁気モーメントを持たない。部材１０は、変形時に正味の磁気モーメントを生じさせることができる。部材１０の正味の磁気モーメントＭnetは印加磁場Ｂと整列する傾向があるので、磁場Ｂの方向を制御して、部材１０が動く間に部材１０を操舵することができる。Ｍnetは下記のように表現できる。
【０１８３】
【数１７】
2020509280.tif 000020
【０１８４】
複数の運動モードを達成するために、Ｍnetを操舵するように磁場Ｂを用い、部材１０が意図された方向に沿って動くようにし、あるいは（例えば、歩行のために）必要な傾斜を生じさせることができる。
【０１８５】
以下では、図示の部材１０によって表される異なる運動モードの各々を達成するために必要とされる磁場Ｂの説明が与えられる。さらに、すべての運動モードを互いに組み合わせるために必要な追加の実験的詳細もまた提供されるであろう。異なることが記載されていない限り、以下に記載される部材１０は、４５°のβRを有する。
【０１８６】
大きさの小さな（＜５ｍＴ）回転Ｂ：波状水泳およびクローリング
波状の水泳およびクローリングの運動モードは、同様の波状の時間変化形状を必要とする。テイラースイミングシートと同様に、軟質部材１０は、小さい大きさでかつ比較的高い周波数の回転磁場Ｂを使用することによって、その波動を達成する。
【０１８７】
図８は、磁気弾性部材１０の波状運動を可能にする回転磁場Ｂのシーケンスを示している。図８ａは、部材１０を右に波動させるのに必要なＢを時間に対してプロットしたものを示す。変数ＢxおよびＢyは、図８ｂに示されるように、座標系のｘ軸およびｙ軸に沿った磁場を表す。図８ｂは、式Ｓ５，Ｓ６によって説明されるような２つの主要な形状を示す（図１ｂのフレームＩから再現される）。スケールバーは１ｍｍのスケールを示す。
【０１８８】
式Ｓ５，Ｓ６に基づき、αで表される磁場Ｂの磁場角が１３５°または２２５°である場合（図８ｂ）、小さな磁場｜Ｂ｜（３ｍＴ）によって、部材１０がそれぞれ余弦関数または正弦関数に似た形状を作り出すことが可能となる。続いてαが回転すると、部材１０は、その体に沿った進行波を生成する。時間依存性の波動によって生じる変形は、数学的には次のように表すことができる。
【０１８９】
【数１８】
2020509280.tif 000021
【０１９０】
ここで、変数Ｔは回転磁場Ｂの周期を表す。
【０１９１】
大きさが大きく（＞７ｍＴ）低周波（＜１５Ｈｚ）のＢ：ローリング、潜水、メニスカスクライミング、上陸
図９は、ローリングの運動モードを可能にする磁場Ｂの回転シーケンスを示す。図９ａは、時計回りに回転するように（１周期に正規化された）時間に対してプロットされた必要なＢを示す。変数ＢxおよびＢyは、図９ｂに示されるように、座標系のｘ軸およびｙ軸に沿った磁場を表す。図９ｂは、ローリング運動に必要な半円形状を示す（図２ｅのフレームＩから再現される）。スケールバーは１ｍｍの実寸を示す。
【０１９２】
例えば、図２ｅに示すローリング運動を実行するために、部材１０を半円状の形状に似た歪んだコサイン形状（図９ｂ参照）に撓ませるように、１５７°の磁場角に沿って大きな磁場Ｂ（１５ｍＴ）が最初に印加される。撓んだ部材１０は、式Ｓ７によって記述されるＭnetを生成し、磁場Ｂの方向が徐々に回転することを介して、部材１０が操舵される。この期間中、剛体の磁気トルクτrigid-bodyが部材１０によって誘起される。これは、数学的には下記のように記述される。
【０１９３】
【数１９】
2020509280.tif 000022
【０１９４】
磁場Ｂの回転が停止されると、部材１０のＭnetはその最終方向と整列し、τrigid-bodyはヌルベクトルに減少する。
【０１９５】
図１０は、メニスカスクライミングの運動モードを実行するための磁場Ｂのシーケンスを示す。図１０ａは、右側のメニスカスを登るために必要な磁場Ｂを時間に対してプロットしたものを示す。変数ＢxおよびＢyは、図１０ｂに示されるように、座標系のｘ軸およびｙ軸に沿った磁場を表す。磁場Ｂが３１５°の磁場角を有するとき、部材１０は、半円に似た形状を生成する。部材１０は、変形状態にあるその脚で水面に固定される。図示されているスケールバーは、１ｍｍの実際の大きさを示している。
【０１９６】
この剛体トルクは、メニスカスクライミングに必要である。メニスカスクライミングを実行するために必要な磁場Ｂシーケンスが、図１０ａに示されている。部材１０が上向きの曲がりを有する垂直方向に対称な姿勢（図１０ｂ）をとるようにするために、初期の磁場Ｂ（｜Ｂ｜＝１１．７ｍＴ、α＝３１５°）が与えられる。４００ｍｓで、部材１０は、初期メニスカスプロファイルとデバイスの曲率の両方に依存することが知られているメニスカスに沿って、安定した位置を達成する。続いて、部材１０の位置がメニスカスに沿って徐々に変位し、その質量中心が上昇するように、磁場Ｂがα＝１５７°に向かって時計回りに回転する。デバイスが固体基板と接触すると、磁場Ｂは遮断され、部材１０は隣接するプラットホームの端部上で休止する（図２ｄのフレームＩも参照）。
【０１９７】
図１１は、潜水を実行するために必要な回転Ｂシーケンスを示す。図１１ａは、反時計回りに回転させて水中に浸すのに必要なＢを時間（１周期に正規化）に対してプロットしたものを示す。変数ＢxおよびＢyは、図１１ｂに示されるように、座標系のｘ軸およびｙ軸に沿った磁場を表す。図１１ｂは、潜水のための部材１０の初期湾曲を示す（図２ｃのフレームＩから再現される）。図示されているスケールバーは、１ｍｍの実際の大きさを示している。
【０１９８】
潜水のための磁場Ｂのシーケンスが図１１に示されている。この運動モードでは、部材１０は、反時計回りに回転して、水−空気境界面との接触を最小限に減らし、Ｂの方向の素早い反転の直前に、解放されて沈降する（図１１ａの０．９時間単位）。
【０１９９】
図１２は、上陸を実行するための回転Ｂシーケンスを示している。図１２ａは、水との毛細管引力から逃げるために必要な磁場Ｂを、時間に対してプロットして示したものである。変数ＢxおよびＢyは、図１２ｂに示すように、座標系のｘ軸およびｙ軸に沿った磁場を表す。図１２ｂは上陸のための部材１０の初期湾曲を示す（図２ｄのフレームＩから再現）。
【０２００】
上陸の運動モードの間、部材１０の表面は、その高い後退接触角が後退接触線を固定されないままにするので、容易に水に濡れないことができる。印加磁場Ｂの大きさは、図１２ａの０．２時間単位において、１１．７ｍＴから５ｍＴへと減少する。この時点までに、部材１０の大部分は水面から剥離しており、大きな磁場Ｂはもはや必要ではない。
【０２０１】
図１３は、歩行の運動モードを実行するために必要とされる磁場Ｂの揺動シーケンスを示す。図１３ａは、右に歩くために必要な磁場Ｂを、時間に対してプロットして示す。この作動は、図２ｆのフレームＩ〜Ｖに対応する４つのフェーズに分けられる。この作動は周期的であり、従って、フレームＩはフレームＶに対応することに注意されたい。図１３ｂは、磁場Ｂが３１５°の磁場角を有するときに、部材１０がどのように半円形に似た形状（図２ｆのフレームＩから再現される）を生成するか、を示している。図示されているスケールバーは１ｍｍの実際の大きさを示している。
【０２０２】
図１４は、磁気弾性部材１０のクラゲのような水泳運動モードを可能にする反転磁場Ｂシーケンスを示す。図１４ａは、部材１０がクラゲのように水中で上方へ泳ぐようにするために必要なＢを時間に対してプロットしたものを示す。変数Ｂyは、図１４ｂに示すように、座標系のｙ軸に沿った磁場を表す。期間を通してＢxはゼロである。図１４ｂは、水泳中に部材１０によって想定される２つの形状を示す。図示されているスケールバーは１ｍｍの実際の大きさを示している。
【０２０３】
液体中での図１４に示すクラゲのような水泳は、垂直方向に沿って磁場Ｂを周期的に反転させて、速い力（下向き）のストロークと遅い回復ストロークを与えるようにすることによって実施される。このようにして、レイノルズ数Ｒｅ〜２．３で機能する部材１０は、重力場に抗して、そして作業空間の底部コイルの近くに最終的に存在する下向きの磁場勾配に対してさえも、上方へ泳ぐことが示される。
【０２０４】
磁場Ｂの反転は、また、部材１０をジャンプさせることができる。これに関し、図１５は、磁気弾性部材１０による直線的なジャンプおよび指向性ジャンプを示すために取られたフレームのスナップショットを示す。最初の６つのビデオフレームとタイムラプス（最後の列）は、各々のジャンプシーケンスのために示されている。全ての場合において、βR＝−９０°の同じ部材１０を使用した。記録速度は、各ジャンプ形式のダイナミクスに適合させた。図１５ａは、タイプ１の直線ジャンプ（５５０ｆｐｓ）を示す。部材１０がほぼ平坦であるので、第２のフレームには、ほとんど正味の磁化はない。この例では、最大磁場Ｂmaxは１２ｍＴである。
【０２０５】
図１５ｂは、タイプ２の直線ジャンプ（３５５ｆｐｓ）を示す。この例では、最大磁場Ｂmaxは１８．９ｍＴである。図１５ｃは、指向性ジャンプ（７２０ｆｐｓ）を示し、これは図２ｅにも示されている。印加される磁場Ｂ（１８．９ｍＴ）の方向が、１８９°から０°に切り換えられ、２５ｍｓの間維持される。磁場Ｂが印加されているフレームには、部材１０の瞬間の正味磁化ベクトルが矢印で示されている。図１５ｄは、（ａ−ｃ）において部材１０に使用される磁化プロファイル、および、大きな｜Ｂ｜の下での磁気応答を示している。図示されているスケールバーは、１ｍｍの実際の大きさを示している。
【０２０６】
すべての種類のジャンプは、ステップ関数もしくは高速傾斜関数を介して、磁場Ｂの方向を素早く反転させることによって達成される。これを効果的に行うために、好ましくは単一対のコイルを使用して、グローバル基準系のＹ軸に沿って（垂直）磁場Ｂおよびジャンプ性能に影響を与える因子を生成するのが好ましい。
【０２０７】
βR＝４５°が使用されるとき、Ｘ−Ｙ平面内の（１，１）方向に沿った磁場Ｂを使用することができるが、これは２対のコイルが使用されなければならないのでより多くの誤差を生じやすい。
【０２０８】
タイプ１の直線ジャンプでは、部材１０は、最初に磁場によって、上方にカールしかつ中心に立つように、予め曲げられる（図１５ａのフレームＩ）。次に、部材１０を平らにし（図１５ａのフレームＩＩおよびＩＩＩ）かつ脚が基板に衝突するように、磁場Ｂの方向が素早く反転される。このタイプのジャンプを最適化するために使用されるモデリングフレームワークの例を以下に示す。これとは対照的に、タイプ２の直線ジャンプは、ジャンプのために部材１０をカールさせるように磁場Ｂが印加されるだけなので、事前の曲げを必要としない（図１５ｂ）。このようなタイプ２とタイプ１のジャンプの違いは、以下の使用によって特徴付けられる。１）外部磁場Ｂの異なる傾斜時間。２）使用される磁場Ｂの大きさの相違。３）磁場Ｂの空間勾配の相違。４）２種類のｍ。
【０２０９】
指向性ジャンプ（図１５ｃ）はまた、図３ｂに示されている多様な運動の実験によって特徴付けられる。図３ｅに示される結果は、図１５ｃにさらに詳細に再プロットされている。この形式のジャンプでは、部材１０は、最初に余弦関数に似た形状に変形される。次いで、ジャンプ中の回転方向を特定するために、印加磁場Ｂの方向を部材１０の長手軸を中心に僅かに（〜９°）回転させる。
【０２１０】
これに続いて、磁場Ｂの方向の段階的変化が与えられる。これは、同時に、剛体回転（ここでは時計回りに、正味の磁化が外部磁場Ｂの方向に整列するように）および形状変化（図１５ｃのフレームＩ−ＩＩＩ）の双方を開始する。回転中に、部材１０の形状は逆コサインに変化し、部材１０が基板に衝突する前に部材１０の運動量を増加させる（図１５ｃのフレームＩＩＩ−Ｖ）。
【０２１１】
これに関連して、部材１０の運動のジャンプモードは、部材１０の初期の姿勢および形状に敏感であることに留意されたい。同じジャンプを正確に連続して再現することは、部材１０の本体の固有の粘弾性および関連する形状ヒステリシスによって妨げられる可能性がある。
【０２１２】
以下では、部材１０の寸法が各運動モードの性能にどのように影響するか、特に部材１０の寸法が水泳速度およびクローリング速度にどのように影響するか、について説明する。この議論を容易にするために、各運動モードの物理学を近似することができる簡単な理論的モデルを用いる。これらのモデルの導出は、多モードの運動モードを有するミニチュア軟質部材１０の完全な物理学を理解することへの第一歩である。
【０２１３】
水泳モードおよびクローリングモードの運動の速度は、部材１０が応答することができる磁場Ｂの最高回転周波数に依存し、部材１０の機械的帯域幅、すなわちその非ゼロ基本固有振動数は演算が可能である。この計算は、部材１０の小さな撓みが想定される単純な振動解析を使用することによって達成することができる。この仮定を使用して、ニュートンの第二法則が、時間ｔにおける、部材１０の任意の微小要素ｄｘを解析するために最初に使用される。図１６は、部材１０の微小要素に作用する力およびトルクを示すことによる部材１０の振動解析を示す。
【０２１４】
ニュートンの力の法則に基づいて、垂直軸に沿ったそのような要素の運動方程式は次のように与えられる。
【０２１５】
【数２０】
2020509280.tif 000023
【０２１６】
ここで、Ｃ、ｖ、およびρは、部材１０の本体に沿った減衰係数、せん断力、および密度をそれぞれ表す。式Ｓ１０において、
【０２１７】
【数２１】
2020509280.tif 000024
【０２１８】
および
【０２１９】
【数２２】
2020509280.tif 000025
【０２２０】
は、それぞれ、要素に作用する減衰力および慣性力を表す。
【０２２１】
同様に、τ＝Ｊαを使用して、この要素の曲げ軸を中心とした回転運動方程式を得ることができる。
【０２２２】
【数２３】
2020509280.tif 000026
【０２２３】
変数Ｍbは要素に作用する曲げモーメントを表し、オイラー−ベルヌーイ方程式に基づくと、下記式と等価である。
【０２２４】
【数２４】
2020509280.tif 000027
【０２２５】
従って、式Ｓ１１を式Ｓ１０に代入すると、梁についての支配方程式を得ることができる。
【０２２６】
【数２５】
2020509280.tif 000028
【０２２７】
この偏微分方程式を評価するために、よく確立されたモード形状解析が使用される。部材１０のモード形状を得るために、自由振動解析が最初に使用される。すなわち、減衰効果および磁気作用は式Ｓ１２から一時的に取り除かれる。その後、ｙの変数分離方法が次のように使用される。
【０２２８】
【数２６】
2020509280.tif 000029
【０２２９】
ここで、Ｆ（x）はもっぱらｘの関数であり、Ｇ（t）は単に時間の関数である。式Ｓ１３を式Ｓ１２（減衰効果および磁気作用なし）に代入して項を整理すると、次のようになる。
【０２３０】
【数２７】
2020509280.tif 000030
【０２３１】
古典的な振動解析に基づいて、式Ｓ１４の両側は、ｘおよびｔから独立しており、これらは、部材１０（４）のＲ番目の固有振動数ωn,R2の関数となると見なすことができる。
【０２３２】
【数２８】
2020509280.tif 000031
【０２３３】
【数２９】
2020509280.tif 000032
【０２３４】
式Ｓ１６における同次方程式を解くと、部材１０のωn,R2およびＲ番目モード形状（ＦR）の双方を得ることができる。
【０２３５】
【数３０】
2020509280.tif 000033
【０２３６】
ここで、
【０２３７】
【数３１】
2020509280.tif 000034
【０２３８】
変数ＡR、ＢR、ＣR、およびＤRは、部材１０の境界条件に依存する定数である。部材１０は自由端を有するので、以下の自由−自由境界条件が式Ｓ１７に代入される。
【０２３９】
【数３２】
2020509280.tif 000035
【０２４０】
物理的には、式Ｓ１８における境界条件は、部材１０の自由端に作用するせん断力および曲げモーメントがないことを定めている。これらの境界条件に基づいて、部材１０について以下の特性式を得ることができる。
【０２４１】
【数３３】
2020509280.tif 000036
【０２４２】
特性方程式が数値的に解かれると、部材１０の２つの最も低い固有振動数は次のように与えられる。
【０２４３】
【数３４】
2020509280.tif 000037
【０２４４】
第１のモードωη,1は部材１０の剛体運動を表し、第２のモードは部材１０のゼロでない基本固有振動数を示す。第１のモードは、作動磁場の周波数に対する部材１０の形状変化を記述していないので、提示された周波数応答解析は、２番目に低い固有周波数、すなわちｓωη, 2から始まる。式Ｓ２０に基づいて、この固有振動数は次のように表すことができる。
【０２４５】
【数３５】
2020509280.tif 000038
【０２４６】
式Ｓ２１およびテイラースイミングシートモデルを用いると、部材１０の達成可能な水泳速度ｖswimに近似することができる。選択された流体境界条件は結果的にテイラーモデルからわずかに逸脱する、すなわち、提示された部材１０は水面上を壁からそれほど離れずに泳ぐが、次の方程式は依然として水泳運動の基本的動力学を捉えることができると仮定する。
【０２４７】
【数３６】
2020509280.tif 000039
【０２４８】
ここで、ｆは進行波の周波数（Ｂの回転周波数と一致する）を表す。vswimは最大のｆを適用することによって最大化することができ、最大のｆは、ｆ＝ωn,2／２πで制限されるため、式Ｓ２０は下記のように書き換えられる。
【０２４９】
【数３７】
2020509280.tif 000040
【０２５０】
式Ｓ２３に基づいて、部材１０の水泳速度は、そのｌおよびｈがそれぞれ増加および減少すると、増加することができる。
【０２５１】
水泳モードの運動と同様に、部材１０は、部材１０がより速い波動振動数を生み出すことができるときに、より速いクローリングが可能となる。しかしながら、クローリング速度を高めるためには、部材１０の２番目に低い固有振動数を増加させなければならず、式Ｓ２１は、式Ｓ２３とは対照的に、ｌを減少させつつｈを増加させることが必要である。
【０２５２】
ローリングモードの運動は、また、軟質部材１０を制御するために回転磁場Ｂを使用する。しかしながら、この場合、磁場Ｂの回転周波数ｆは、部材１０がその本体に沿った進行波を生成することを防止するために、水泳モードやクローリングモードの運動で用いられる周波数よりもはるかに遅く（本例ではｆ＜１５Ｈｚ）なければならない。従って、この運動モードの性能を評価するために振動解析を使用する必要はない。
【０２５３】
ローリングモード運動は車輪の運動に類似していると仮定されるので、部材１０がより丸くなるとより効率的になる。より丸みのある形状は、大きな曲率を有する変形を生み出す柔らかい部材１０を必要とする。一方、式Ｓ５の余弦関数は、ローリングモード運動についての部材１０の半円形状を完全に説明することはできないが、この式は、この余弦関数の振幅、すなわち、ｍＡｌ3Ｂ／８π3ＥＩ、が大きいときにより大きな曲率を達成できることを示唆する。ｍ、Ｂ、Ｅおよび他の定数は部材１０の寸法とは無関係であるので、Ａｌ3／Ｉが最大のときに、より大きい曲率を容易に達成することができると結論付けることができる。（Ａｌ3／Ｉ）＝[ｈｗｌ3／（ｗｈ3／１２）]＝（１２ｌ3／ｈ2）であるので、より大きな曲率は、ｌを増加しｈを減少することによって達成できる。
【０２５４】
ローリングモード運動と同様に、メニスカスクライミングの有効性は、部材１０の達成可能な最大曲率に大きく依存する。従って、部材１０の寸法が部材１０のクライミング挙動にどのように影響を及ぼし得るかを近似するために、式Ｓ５および上述のローリングに関する記述を用いることができる。この式は、ｌを増加しｈを減少することでより大きな曲率を達成できることを示唆している。
【０２５５】
ジャンプ
図１７は、タイプ１の直線ジャンプの境界条件を示す（図１５ａも参照）。部材１０の中心点は回転も変位もせず、運動はこの点に関して対称的であるので、解析は、固定されていない半分の梁を考慮することによって単純化することができる。
【０２５６】
部材１０の寸法がそのジャンプ性能にどのように影響を及ぼし得るかを正確に説明することができる数学モデルを導き出すことは非常に困難であるので、この運動モードの理解に向けた第一歩として、単純な振動解析のみが提供される。提示された分析は、最も単純なジャンプモード、すなわち図１５ａのタイプ１の直線ジャンプに近似するように実行される。この振動解析を進めるために、部材１０の形状はステージＩにおいて余弦関数で始まると仮定する（図１７ａ）。さらに、部材１０がＢ方向にステップ的に変化した（すなわち、Ｂを１８０°反転）後、部材１０の形状は、逆コサイン関数に変化する傾向がある。この移行中、部材１０は基板との衝突を経験し、それ自体がジャンプすることを可能にする（ステージＩＩ）。
【０２５７】
ジャンプ運動は回転も変位もしない部材１０の中心点に関して対称であるので、梁の半分だけを解析するように式を削減でき、その境界条件を固定−自由型に単純化することができる（図１７）。
【０２５８】
以下の式を容易にするために、ｌ／２を表すためにｌ’を使用し、ｘ’＝ｘ−ｌ’を使用することができる。これらの変数を使用して、部材１０の半分に対する境界条件を次のように数学的に表すことができる。
【０２５９】
【数３８】
2020509280.tif 000041
【０２６０】
ジャンプモード運動の境界条件は水泳モード運動とは異なるが、式Ｓ１０−１７からの振動解析はまだ有効である。式Ｓ２４の境界条件を式Ｓ１７に代入することで、次の特性式が得られる。
【０２６１】
【数３９】
2020509280.tif 000042
【０２６２】
式Ｓ２５中のＲ番目の固有振動数が数値的に解かれたら、対応するモード形状を得るために、この値が式Ｓ１７に代入される。
【０２６３】
【数４０】
2020509280.tif 000043
【０２６４】
得られたモード形状を式Ｓ１２に代入し、項を整理し、慣性項を正規化すると、以下の式が得られる。
【０２６５】
【数４１】
2020509280.tif 000044
【０２６６】
式Ｓ２７の右側の磁気作動は次のように計算できる。
【０２６７】
【数４２】
2020509280.tif 000045
【０２６８】
従って、式Ｓ２７は次のようになる。
【０２６９】
【数４３】
2020509280.tif 000046
【０２７０】
説明を簡単にするために、基本的な固有振動数とモード形状のみを使用して、ジャンプモード運動を説明する。他のモード形状を除外するとこの予測に誤差が生じる可能性があるが、基本モード形状は式Ｓ２８で最も重要な要素であるため、この説明はまだ有効であると確信する。従って、振動の直交性を利用し、式Ｓ２８にＦ1を掛け、その後、両側をｘ’＝０からｘ’＝ｌ’までｘ’にわたって積分すれば、次式を得る。
【０２７１】
【数４４】
2020509280.tif 000047
【０２７２】
式Ｓ２５の特性式は下記のように評価される。
【０２７３】
【数４５】
2020509280.tif 000048
【０２７４】
この値を使って、下記のように数値的に決定される。
【０２７５】
【数４６】
2020509280.tif 000049
【０２７６】
【数４７】
2020509280.tif 000050
【０２７７】
これらの値を式Ｓ２７に代入し、慣性項を正規化することで、次式が得られる。
【０２７８】
【数４８】
2020509280.tif 000051
【０２７９】
ステージＩでは、部材１０の初期形状は以下のように表すことができる。
【０２８０】
【数４９】
2020509280.tif 000052
【０２８１】
ここで、Ａ0は余弦関数の振幅を表す正の実数である。式Ｓ２７と同様に、古典振動解析の直交特性を使用して、Ｇ1（ｔ＝０）の初期条件を抽出することができる。すなわち、部材１０の初期形状にＦ1を掛け、その後、新しい関数をｘ’について０からｌ’まで積分することができる。数値評価に基づいて、Ｇ1（ｔ＝０）＝Ｇ1,0ｌが得られる。ここで、Ｇ1,0は正の実数である。部材１０は初期速度を有していないので、第２の初期条件は次式で表すことができると結論付けることができる。
【０２８２】
【数５０】
2020509280.tif 000053
【０２８３】
従って、これらの２つの初期境界条件を使用し、システムが減衰不足（すなわち、Ｃの大きさが小さい）であると仮定することによって、式Ｓ３０を下記のように解くことができる。
【０２８４】
【数５１】
2020509280.tif 000054
【０２８５】
部材１０が基板に衝突する前の時間ｔfにおける部材１０の運動エネルギーＥkE,iは、以下のように数値的に概算することができる。
【０２８６】
【数５２】
2020509280.tif 000055
【０２８７】
ここで、Ｖは部材の体積を表す。基板に衝突した後、ニュートンの反発の法則は、部材１０の運動エネルギーＥkE,fが下記のようになると決定する。
【０２８８】
【数５３】
2020509280.tif 000056
【０２８９】
ここで、γは反発係数を表し、０から１の間の正の実数である。ＥkE,fが重力ポテンシャルエネルギーに完全に変換できると仮定すると、下記のようになる。
【０２９０】
【数５４】
2020509280.tif 000057
【０２９１】
ここでｚはジャンプの最高点である。従って、式Ｓ３２およびＳ３３を式Ｓ３４に代入し、式を整理すると、ｚを次のように近似できる。
【０２９２】
【数５５】
2020509280.tif 000058
【０２９３】
ｚを最大にするためには、
【０２９４】
【数５６】
2020509280.tif 000059
【０２９５】
およびγ2が最大である必要がある。しかし、
【０２９６】
【数５７】
2020509280.tif 000060
【０２９７】
は、Ｃ、ρ、Ｅ、ｔfのような他のパラメータに強く依存しているので、このような複雑な関数においてｈおよびｌの影響を推定することは難しい。同様に、ρ2と部材１０の寸法すなわちそのｗ、ｈおよびｌとの間の数学的関係を推定することも困難である。結果として、部材１０がｚを最大にすることができるようにｈ、ｗおよびｌの最適値を決定するために、数値最適化を実行することが必要であると考えられる。
【０２９８】
歩行およびクラゲ状の水泳
１回の歩行サイクルにおける部材１０の正味の歩幅は、ステップ３とステップ４における部材１０の曲率の差に依存する。従って、ステップ４においてより大きな曲率が達成できるときに、部材１０は、より大きな歩幅を生み出すことができる。上記で提示されたものに類似した分析を使用することによって、ｌが増加しｈが減少するときに、より大きな歩幅がサイクル当たりに達成され得ると推論することができる。
【０２９９】
一方、歩行速度は部材１０の帯域幅、すなわち高周波周期磁場Ｂに応答する能力に依存する。この場合、部材１０の帯域幅はその基本固有周波数で近似される。式Ｓ２１に基づいて、ｌが減少しｈが増加すると、帯域幅を増加させることができる。より大きな歩幅を生成するためのクライテリアはより高い帯域幅のためのクライテリアに反するので、部材１０の最適寸法を決定するために数値最適化方法を実行することが可能である。
【０３００】
同様に、パワーストロークと回復ストロークとの間の速度差が大きくなると、１回の水泳サイクル（クラゲ状の水泳）で、より大きな水泳推進力を生み出すことができる。達成可能な最も速い速度は、部材１０の帯域幅によって決まる。従って、部材１０の基本固有振動数が最大となるように、ｌを小さくしｈを大きくすることが有益である。
【０３０１】
しかしながら、ｈを減少させｈを増加させることは、部材１０の全体的な剛性を増加させ、大きな推進力を発生させるのに必要な大きなストローク長を作り出すことをより困難にする。より大きなストロークを生成するためのクライテリアはより高い帯域幅のためのクライテリアに反するので、部材１０の最適寸法を決定するためには、数値最適化が必要であると考えられる。
【０３０２】
表２は、ごくわずかな設定時間での磁気コイル装置の制御の下における部材１０について上述した設計上の考慮事項をまとめたものである。
【０３０３】
磁気的な作動においては、部材１０の運動を向上させるために、部材１０に磁気的な引っ張り力を加えるように磁場Ｂの空間的勾配を使用することが可能である。例えば、部材１０がジャンプした後、変形した部材１０は正味の磁気モーメントを有し、これにより、ジャンプの高さおよび距離を調整するために勾配による引っ張りの使用を可能にする。
【０３０４】
理論的には、磁気勾配引っ張りはまた、磁性部材１０を浮揚させ、部材１０を様々な地形および障害物を横切って横断させる。しかし、この方法は実用的ではない。第１には、閉ループフィードバック制御が存在しない場合、勾配引っ張りによって生成される軌跡は、提案している運動によって達成可能なものよりも、一般的にぎくしゃくしたものとなる。第２に、部材１０がすべての障害物および地形を横切るように浮揚するのに必要な空間的な磁場Ｂの勾配は、３．８Ｔ／ｍと推定され、これを得ることは困難である。さらに、ヘルスケアにおける部材１０の使用を想定している場合に、磁場Ｂの高い空間勾配は、例えば医学用途では有害であると考えられる。なぜなら、それらは患者の体内に埋め込まれた物体、例えば埋込型除細動器（ＩＣＤ）、に望ましくない力を生み出す可能性があるからである。ＩＣＤの設計における進歩は進行中であるが、多くのＩＣＤのショックコイルは強磁性であり、これらがそのような高い空間的勾配に晒されると、有害な移動を生じる可能性がある。対照的に、ＩＣＤ装置は必要な磁気作動によっても影響を受けるが、ほとんどのＩＣＤ装置は、磁場Ｂの大きさが５００ｍＴより低いときには完全に機能することができ、そしてこの値は、本明細書で提示される軟質部材１０に利用される電磁場強度（〜２０ｍＴ）よりもかなり上である。
【０３０５】
選択的かつ磁気的に起動される薬物放出のための改変した部材１０の設計を図１８に示す。この目的のために、図１８ａは、追加のストラップ１８が元の部材１０の本体に追加されていることを示している。明確にするために、追加のストラップ１８上の磁化の主成分のみが図１８ａに記入されており、これは、貨物１４として提供される薬物を放出する際の主要かつ機能的な成分である。部材１０本体の磁化は、図５ｂに示すものと同じである。
【０３０６】
運動中、貨物１４は、ストラップ頭部２０を本体２４の孔２２に挿入することによって部材１０に機械的に拘束される（図１８ｂ）。大きな磁場Ｂがｙ軸に沿って印加される（〜１９ｍＴ）と、磁気トルクがストラップを曲げて解放し、貨物を解放する（図１８ｃ）。他の磁場成分（ＢX、ＢZ）も存在し得ることに留意されたい。孔２２の制限のために、より小さいＢy（我々のケースでは、＜１８ｍＴ）はストラップ１８を開くのに十分ではなく、この磁場は、通常の運動を可能にする。この設計は、また、液ないし粉体ベースの荷物を貨物１４として搬送するように最適化され得る。
【０３０７】
上記のおおよその準静的モデルおよび動的モデルは、各モードの運動の最適化（表２も参照）のために、部材１０の幅ｗ、長さｌ、および厚さｈをどのように設計することができるかを説明するために示した。それゆえ、ｗはジャンプおよびクラゲ状水泳にのみ影響し、他方、ｌおよびｈは、他の運動モードでは相反する要件に晒される、という観察がなされた。ｌを増加しｈを減少すると、部材の曲げコンプライアンス（∝（ｌ3／ｈ2））が増加するため、メニスカスクライミングとローリングが改善されると予測される。逆に、速く効率的なクローリングでは、高周波制御信号に追従する能力を維持するために部材のコンプライアンスを制限することを必要とする。歩行の足取りは、それ自体が、ｌおよびｈに関し相反する要求を課す。より柔軟な部材本体が、より大きな正味の歩幅およびより大きな本体の曲率を生成するために好ましく、これはｌの増加およびｈの減少を意味する。しかしながら、これはまた、部材の帯域幅を効果的に減少させ、歩行足取りにおける各ステップの最大周波数を減少させてしまう。本研究は、すべての報告された運動モードを可能にする実現可能な設計を単に引き出すものである。
【０３０８】
【表２】
2020509280.tif 000061
【０３０９】
表２は、多様な運動モードのための部材１０の設計上の考慮事項を示す。矢印は、長さ、高さ、または幅の増加または減少が、前述した部材１０と比較して、どの形式の運動に有利に作用するかどうかを示し、それによって特定の移動モードに最適化しようとするものである。
【０３１０】
磁気弾性矩形シート状のソフトロボット１０は、平均直径５μｍの硬い磁性ネオジム−鉄−ホウ素（ＮｄＦｅＢ）微粒子を埋め込んだシリコーンエラストマー（Ｅｃｏｆｌｅｘ００−１０）でできている。ロボットの表面は疎水性であり、それらは潜在的に生体適合性にすることができる（ＳＩセクションＳ１Ｃ）。ＳＩセクションＳ１Ａに記載された磁化プロセスを行うことによって、ロボットは、その本体に沿って単一波長の調和磁化プロファイルｍを有するようにプログラムすることができる（図１９ａおよび図２２）。ｍがプログラムされた後、異なる運動モードを生じさせるように、ロボットは時間変化磁場Ｂによって制御され得る。特に指定しない限り、Ｂは空間的に一様であるため、ロボットを平行移動させるような磁気力は作用しない（ＳＩセクションＳ１５）。しかしながら、一様なＢは、ロボットの形態を制御でき、所望の方向に沿って動くように操舵することができる。Ｂの効果を説明するために、我々は、ロボット本体のフレームに関して、Ｂ＝［ＢxyT  Ｂz］Tと表記する。ここで、Ｂxyは、Ｂのｘｙ平面成分を表し、すなわち、Ｂxy＝［Ｂx  Ｂy］Tである。Ｂxyとｍの間の相互作用は、空間的に変化する磁気トルクを生成し、これがロボットを変形させる。従って、Ｂxyを制御することで、所望の時間変化するロボットの形状を生成することが可能となる。変形したロボットは、Ｂと整列する傾向がある有効磁気モーメントＭnet（図１９ｂ）を持っているので、ロボットをそのｙ軸の周りに回転させて希望の方向に操舵するように、Ｂzを制御することができる（ＳＩセクションＳ３Ｂ（ＩＩ）参照）。 
【０３１１】
Ｂxyの大きさ、すなわちＢxyに応じて、ロボットは異なる形状変化メカニズムを示す（図１９ｂおよびＳＩセクションＳ３Ａ−Ｂ）。Ｂxyが小さく（例えば、Ｂxy≦５ｍＴ）かつＢxyが図１９ｂ（ＩＩ−ＩＩＩ）に示す２つの主方向に沿って整列している場合、所定のｍが、ロボットに対して正弦形状または余弦形状を生成する。このような条件ではロボットの変形は小さいため、Ｂxyを主方向から離れる方向に向けると、２つの基本構成の加重重ね合わせが生成される。従って、小さな一定の大きさを持つ回転Ｂxyを使用することによって、ロボットの本体に沿って進行波を生成できる。小さな撓み条件では、ロボットのＭnetは常に印加されたＢxyと平行であるため、ロボットは剛体磁気トルクおよびこれに伴うｚ軸周りの回転を生じることがない（ＳＩセクションＳ３Ｂ（Ｉ））。逆に、Ｂxyが大きい大きさ（例えば、Ｂxy＝２０ｍＴ）で、かつ図１９ｂ（ＩＶ−Ｖ）に示す主軸に沿って整列している場合には、ロボットは大きな撓み形状変化を受けて、Ｃ字形ないしＶ字形に変形する。しかし、Ｂxyの方向がこの主軸に沿っていない場合には、変形したロボットは印加された磁場と一般に平行ではない大きなＭnetを生成し、これによりそのＭnetがＢxyと整列するまで、ロボットはｚ軸を中心に回転する（図１９ｃおよびＳＩセクションＳ３Ｂ（Ｉ））。この回転の終わりに、ロボットはＣ字形またはＶ字形の構成となる。これは、これらの構成で生成されたＭnetが、印加されたＢxyと自然に整列するためである。このようなメカニズムを使用して、ロボットのｚ軸周りの角変位を制御することができ、ローリング、歩行、ジャンプなどの運動モードを可能にする。
【０３１２】
操舵および形状変更のメカニズムを使用することによって、我々は、図２および図３において、ロボットの全ての運動モードを示す。完全に水に浸されたときに、ロボットは上方向に泳ぎ、重力に抗することができる（図２０ａ、ＳＩセクションＳ１０）。主軸に沿って時間的に変化する大きさを有する周期的なＢは、Ｃ字形とＶ字形との間で交番するロボットの形状を可能にし、クラゲの水泳に似た足取りを作り出す。レイノルズ数が７４から１９０の範囲での慣性効果は、この時間対称だが速度非対称な水泳歩行を可能にし、ロボットが水面に到達するように推進する流体渦を生成する（図３ｃ、ＳＩ図Ｓ３７）。浮上すると、ソフトロボットはその疎水性表面を空気にさらすことによって、水−空気境界面に強く固定される。
【０３１３】
液体−空気境界面で準静的な作業を行うことによって、摩擦のない障壁を克服しうる甲虫の幼虫に触発されて、ソフトロボットは、余分なエネルギー消費なしにその液体浮力を強化すべくＣ字形に変形することによって水メニスカスを登ることができる（図２０ｂ、およびＳＩセクションＳ７）。メニスカスクライミングおよび隣接する固体プラットホームとの接触の際に、低速の回転Ｂによって、Ｃ字形ロボットをそのｚ軸の周りに回転させる。その表面の疎水性は、この回転によって、ロボットを水面から引き剥がすことを可能にする（図２０ｃ、およびＳＩセクションＳ１１Ｂ）。メニスカスクライミングとは対照的に、ロボットは、急速な下方への曲げ、回転および反転のシーケンスを介して、水−空気境界面から離れて液体中に飛び込むこともできる（図２０ｄおよびＳＩセクションＳ１１Ａ）。
【０３１４】
自然界では、軟質な体の毛虫がローリング運動を使用して捕食者から逃げる。これは、硬い地形を横切って動くのに効率的で速い方法であるからである。このような毛虫に触発されて、私たちのロボットは、また、固体基材上を一方向に回転したり、固体から液体表面へと飛び込むことができる（図２０ｅおよび３ａ）。この運動は、ロボットがそのＣ字形構成で転がることを可能にする大きな大きさの回転Ｂ（例えば、Ｂ＝１８．５ｍＴ）によって可能となる（ＳＩセクションＳ５）。しかしながら、丸められたロボットは、その直径よりも広い基材ギャップを横切って転動することはできず、その代わりに、歩行によって達成することができる。
【０３１５】
歩くことは、構造化されていない表面上を移動するための特に堅牢な方法であり、歩幅と周波数の正確な調整を可能にする（図２０ｆ、およびＳＩセクションＳ６）。シャクトリムシの足取りに触発されて、周期的なＢを使ってロボットの傾斜角度と曲率を順次適応させると、ロボットは所望の方向に沿って歩くことができる。各歩行サイクルにおいて、ロボットは、最初にその前端を固定して前方に傾斜し、これにより、後端を前方に引っ張ることができる。その後、ロボットは後端を固定して後方に傾斜し、前端を伸ばして、１サイクルで正の歩幅を達成する。
【０３１６】
狭い開口部によって歩行ロボットがブロックされているとき、ロボットは別のキャタピラ運動を模倣し、障害物を通ってクローリングするように波状の足取りを使用することができる（図２０ｇ、およびＳＩセクションＳ９）。クローリングは縦方向の進行波を生成するように回転Ｂによって符号化され、この進行波が波の方向に沿ってロボットを推進する。同様の制御シーケンスにより、追加的に、ロボットは液面で効率的に泳ぐための波状の足取りを生成することができる（図３ａ）。しかし、クローリングとは対照的に、波状の遊泳方向は、進行波の方向と逆平行である。多波長の調和磁化プロファイルを有する従前のロボットも、波状水泳運動を可能にすることができるが、このようなロボットは、多モード運動を実現するのに必要な重要なＣ字形およびＶ字形を作り出すことができなかった。
【０３１７】
線虫と同様に、柔らかいロボットは、固体表面に衝撃的な衝撃を与えることによってジャンプし、ローリングや歩行では高すぎるか時間がかかる障害物を飛び越えることができる（図２０ｈ、およびＳＩセクションＳ４）。Ｂ制御シーケンスは、ジャンプ方向を指定するロボットの剛体回転と、基板に当たる前に自由端の運動量を最大化する弾性変形と、の双方を促す。このＢシーケンスは、ロボットの局所ｙｚ平面内で指定され、Ｂyが形状変化メカニズムを誘導するために使用されるとともに、ロボットの剛体回転がＢyとＢzの双方によって誘導される。
【０３１８】
構造化されていない環境を横切って進むロボットの能力を説明するために（ＳＩセクションＳ１３）、我々は、ロボットが一連の運動モードを使用して、液体−固体混合環境（図３）および手術用のヒトの胃模型（図２１ａ、およびＳＩセクションＳ１４Ａ）を探索できることを示す。生体内超音波ガイド手術に向かって、我々はまた、ロボットが生体外のニワトリ筋肉組織の隠れた領域内をローリングするときに、超音波医用撮像装置によって視覚化され得ることを示す（図２１ｂ、ＳＩセクションＳ１４Ｂ、図Ｓ４４）。ソフトロボットはさらに、物体を掴んでそれを目標位置に輸送するといった機能的タスクを達成することができ（図２１ｃ）、また、ロボットに縛り付けられている貨物を排出することができる（図２１ｄおよびＳＩセクションＳ１４Ｃ）。
【０３１９】
磁場誘起トルクに加えて、磁気勾配に基づく引っ張り力も運動性能（例えば、速度、ジャンプ高さ）を向上させるために使用され得る。この方向に沿って移動して、我々は、ジャンプの高さが磁気勾配に基づく引っ張り力を加えることによって増加することができることを示す。将来的に、我々は、他の同様の可能性を探求するであろう。しかしながら、この作動方法の動力学は本質的に不安定であるので、勾配に基づく引っ張りを排他的に使用することは有害であり得る。実用的な観点から、勾配に基づく引っ張り方法はまた、磁場に基づくトルクを介して推進される運動よりもエネルギー効率が低い（ＳＩセクションＳ１５）。
【０３２０】
搭載型の作動方法がないため、提案されたロボットは広いオープンスペースで動作することはできず、環境の探査や監視などの屋外での使用には適していない。さらに、現在の離型プロセスは、磁気弾性材料内に予備応力を生成し、これが、静止状態にあるときにロボット内に小さな残留曲率を誘起する（図１９ｂ（１）およびＳＩセクションＳ１Ｄ）。予備応力は、ロボットが複数の運動モードを達成するのを妨げることはなく、製造の改良により低減することができるが、予測されるロボット形状に小さな誤差を引き起こし（図１９ｂ（ＩＩ、Ｖ））、歩行および波状水泳速度に関する実験データのモデルマッチングに部分的に影響を及ぼす（ＳＩセクションＳ６およびＳ８）。
【０３２１】
小型のソフトボディ運動をよりよく理解するために、ロボットの寸法（図１９ａに示すＬ、ｗ、およびｈ）が、ジャンプ、ローリング、歩行、メニスカスクライミング、波状水泳の運動様式（ＳＩセクションＳ４−８）にどのように影響するかに関して、我々は、スケーリング解析を実行する理論モデルを考案した。クローリングおよびクラゲ状水泳の運動の理論モデルを導き出すことは非常に困難であるので、我々は、代わりに対応する適合モデルを導き出すために、ＳＩセクションＳ９−１０の実験データを使用した。我々の理論的モデルおよび適合モデルに基づけば、より大きいＬおよびより小さいｈは、ロボットがより速く移動し、より高くジャンプするのを助けることができるので、常に多様な運動に好ましいと予測される。これらのモデルはまた、ｗがクラゲのような遊泳移動にのみ影響を及ぼし、ｗを最小にすることが遊泳速度を速めることを示唆している。しかしながら、我々の現在の製造技術は、ｈ＜４０μｍおよびｗ＜０．３ｍｍを有するロボットを作成することが困難であるため、ｈおよびｗの両方に実用的な下限がある。同様に、Ｌの実際的な上限は、通常、特定の用途の寸法要件および空間的に均一なＢを生成する電磁コイル設定の最大許容作業スペースによって制限される。スケーリング解析および製造限界に関するより詳細な要約は、ＳＩセクションＳ１２に見られる。
【０３２２】
理論的モデルを検証するために、我々は、異なる寸法を有するロボットにわたって行われた広範な実験的特徴付けに対して、理論的モデルを比較した。一般に、波状水泳運動を除いて、実験データは我々のモデルとよく一致する（ＳＩセクションＳ４−８、ＳＩセクションＳ１２、および表Ｓ４参照）。波状水泳運動の理論的および実験的な不一致に関する詳細な議論は、ＳＩセクションＳ８に見ることができる。本研究はすべての報告された運動モードを可能にする実現可能なロボット設計を引き出すだけであるが、これらの分析は、また、多様な運動を有する招来のミニチュアロボットの性能を最適化するための有用な設計ガイドラインを提供することができる。
【０３２３】
将来的には、我々は、非ニュートン流体内や粒状媒体内など、他の複雑な地形上の小型ソフトボディの運動を研究するために、提案したロボットを使用するつもりである。さらに、我々は、提案されたロボットをミリメーター未満の寸法にスケールダウンし、それらの潜在的な生体内医療用途を実証するつもりである。
【０３２４】
データ利用性ステートメント
この研究中に生成または分析されたすべてのデータは、公開された記事とその補足情報ファイルに含まれている。本試験中に生成および／または分析されたデータセットは、合理的な要求により、対応する著者から入手可能である。
【０３２５】
Ｓ１−ロボット製作と特徴付け  
このセクションでは、ロボットの製造プロセスおよび機械的特性（セクションＳ１Ａ）、その表面特性（セクションＳ１Ｂ）、それを生体適合性にする方法（セクションＳ１Ｃ）、さらにその残留歪みエネルギー（セクションＳ１Ｄ）について説明する。
【０３２６】
Ａ．ロボットの製作工程と機械的特性
磁気弾性ロボット本体の基材は、ネオジム−鉄−ホウ素（ＮｄＦｅＢ）磁性微粒子（ＭＱＰ−１５−７、Ｍａｇｎｅｑｕｅｎｃｈ；平均直径：５μｍ、密度：７．６１ｇ／ｃｍ3）を、１：１の質量比（Ｅｃｏｆｌｅｘ−１０エラストマーの質量に対するＮｄＦｅＢ微粒子の質量の比）で充填したＥｃｏｆｌｅｘ  ００−１０ポリマーマトリックス（Ｓｍｏｏｔｈ−Ｏｎ  Ｉｎｃ．；密度：１．０４ｇ／ｃｍ3）である。ＮｄＦｅＢ微粒子の高い残留磁化は、ロボットのための効果的な磁気駆動を生成することを可能にし、かつこれらの高い磁気保磁力が、磁気駆動中にロボットの磁化プロファイルが維持されることを確実にする。ＮｄＦｅＢ微粒子は、消磁に６００ｍＴ以上必要であるが、我々の最大Ｂは、５０ｍＴに制限されている。得られた磁性エラストマーは、１．８６ｇ／ｃｍ3の密度（ρr）を有する。
【０３２７】
ロボットを製造するために、プレポリマーを平らなポリ（メチルメタクリレート）プレート上に流し込んで１８５μｍ厚のフィルムを形成する。熱によるポリマーの硬化後、基板プレートから取り外す前に、レーザーを使用してデバイスを所望の形状に切断することによってデバイスを型から取り出す。ロボットの寸法は図Ｓ１ｂに示されている。ここで、Ｌ、ｗ、ｈは、それぞれロボットの長さ、幅、高さを表す。特記しない限り、Ｌ＝３．７ｍｍ、ｗ＝１．５ｍｍ、ｈ＝１８５μｍ、が想定される。これらは、例えば図１９に記載されているロボットの寸法である。ロボットの調和磁化プロファイルは、その軟質本体を円周３．７ｍｍの円柱状のガラス棒の周りに巻き付け、それに１．６５Ｔの大きくて均一な磁化磁場をかけることによって実現される（図Ｓ１ａ）。磁化プロファイルｍに位相シフトβRを生じさせるために（Ｓ１ｂ）、ロボット磁化プロセスの間、棒は、角度βRに維持される。特記しない限り、βRは４５°であると仮定される。我々は、質量比が１：１のロボットでは、ｍの大きさを６２０００±１００００Ａ／ｍと実験的に評価した（図Ｓ１ｃ）。
【０３２８】
１：１の質量比を有するロボットの有効ヤング率（Ｅ）は、卓上試験システム（ＭＴＳ  Ｎａｎｏ  Ｂｉｏｍｉｘ、Ａｇｉｌｅｎｔ  Ｓｙｓｔｅｍｓ）および付属のソフトウェア（Ｎａｎｏ  Ｓｕｉｔｅ  Ｖ５、Ａｇｉｌｅｎｔ  Ｓｙｓｔｅｍｓ）を用いて、実験的に８．４５×１０4±２．５×１０3Ｐａであると評価される。図Ｓ１ｃ−ｄは、異なる質量比を有する類似の磁性エラストマーについて、｜ｍ｜およびＥの特性をそれぞれまとめたものである。これらの図の各データ点の平均および標準偏差は、３つのサンプルの実験結果から計算される。これらの実験データによれば、ポリマーマトリックス中の磁性粒子の含有量を増加させると、Ｅの増加よりもより顕著に｜ｍ｜が増加する。これは、より高いＮｄＦｅＢ含有量（より大きな質量比）を持つロボットは、わずかに硬くなるものの、より高い磁気トルクを発生させることができるので、より容易に変形することができることを示唆している。製造の観点からは、１：１の質量比を超えてＮｄＦｅＢ質量含有量をさらに増加させることは、基材のＥｃｏｆｌｅｘ−１０がもはや十分に硬化しないので、困難である。従って、この研究で使用されるすべてのロボットは、製造の容易さを維持しながらＮｄＦｅＢ含有量を最大化するために、１：１の質量比に基づいて製造されている。
【０３２９】
Ｂ．ロボットの表面特性
複合エラストマー材料の本来の表面は疎水性であり、顕微鏡観察的には粗い。静的な前進水接触角（１１６°±３°）および後退水接触角（７８°±２°）は、水滴体積を連続的に増加および減少させる自動ゴニオメータールーチン（Ｋｒｕｓｓ  ＤＳＡ１００および付随するソフトウェア）を介して、静止液滴法により測定した。表面粗さ（Ｒa＝０．６３±０．０２μｍおよびＲz＝４．３７±０．２８μｍ）はレーザー干渉法（Ｋｅｙｅｎｃｅ  ＶＫ−Ｘ２００）によって測定した。製作されたままのロボットの表面は、実験前にいかなる処理も受けていない。
【０３３０】
Ｃ．ロボットの生体適合性
Ｅｃｏｆｌｅｘ−１０ポリマーマトリックス自体は生体適合性であるが、マトリックス内にＮｄＦｅＢ微粒子が存在するため、現在の我々のソフトロボットの組成は、部分的にしか生体適合性がない。我々のソフトロボットの完全な生体適合性は、ロボット内で微粒子を安全にシールすることによって回復することができる。これは、例えば、ロボットをコーティングし、Ｅｃｏｆｌｅｘ−１０ポリマーからなる追加の外側の薄いシェル内に入れることによって達成できる。本来のＥｃｏｆｌｅｘ−１０はそれ自体疎水性であり、微視的に粗い表面を有するので、この解決法は、上記の表面特性も維持するであろう。さらに、純粋なＥｃｏｆｌｅｘ−１０は、図Ｓ１ｄに示す我々の複合材よりもＥが低いため、追加の層が十分に薄い限りは、ロボットは、提案された運動モードおよび機能性のすべてを実行するように十分に柔軟なものとなる。そのようなロボットの挙動を確実に予測できるようにするには、この新しい構成のヤング率を特徴付ける必要がある。
【０３３１】
Ｄ．残留歪みエネルギー  
我々の製造プロセスは完全ではなく、離型プロセスから生じる予備応力がロボットにいくらかの歪みエネルギーを保持させるので、我々は２つの最も低いエネルギー構成があると仮定する。この現象の結果として生じる影響の１つは、Ｂが印加されていないときに、提案されたロボットが２つの異なる静止状態の曲率を示すことである（図１Ｓ１ｅ）。比較的小さい第１の静止状態の曲率は、図Ｓ１ｅ（Ｉ、Ｖ）に示されており、大きい方の第２の静止状態の曲率は、図Ｓ１ｅ（ＩＩＩ）に示されている。我々は、ロボットが異なる形状変化を受けるとき、ロボットがこれら２つの静止状態の曲率の間で交替し得ることを見出した。特に、比較的平らな曲率は、ロボットが図Ｓ１ｅ（ＩＶ）に特定された形状から回復した後に、回復することができ、より大きい残留曲率静止状態は、ロボットが図Ｓ１ｅ（ＩＩ）に特定された形状から回復した後に、起動される。我々の実験は、これら２つの異なる曲率の静止状態が繰り返し切り換えられることを示している。
【０３３２】
２つの静止状態曲率を有することは、ロボットが２つの異なる最低エネルギー構成を有することを意味する。ロボット内の歪みエネルギー量を変えるように形状変化を引き起こすことによって、ロボットは、Ｂが取り除かれた後に、これら２つの最低エネルギー構成の間で切り換わることができる。理論的には、残留歪みエネルギーが存在しない場合には、ロボットの最低エネルギー構成は完全に平坦になるはずである。
【０３３３】
前述および図１９の説明で述べたように、残留歪みエネルギーもまた、予測されるロボット形状に小さな誤差を誘発し得る。このような製造の不確実性は、ロボットによって異なる可能性があるため、異なるロボットでは予測形状の誤差がわずかに異なることが予想される。このような不確実性を減らすために、我々は、常に同じバッチのロボットを用いて各運動モードを特徴付ける（ＳＩセクションＳ４−１０）。
【０３３４】
残留歪みエネルギーを持っているにもかかわらず、我々のロボットは、複数の運動モードを達成することができる。これは、図３に示したマルチ運動デモンストレーションによってサポートされている。ここで、我々は、１つのロボットですべての提案された運動モードを実現できることを示している。将来的には、Ｂを較正することでこれらの影響を考慮し、また、製造されたロボットの残留歪みエネルギーが少なくなるように製造プロセスを改善するつもりである。
【０３３５】
Ｓ２−磁気作動設定  
Ａ．実験設定  
磁気作動設定は、３つの直交するカスタムメイドの電磁石の対で構成され、６５ｍｍ×６５ｍｍ×６５ｍｍの内部チャンバー寸法を有する（６）。電磁石を駆動する入力電流は、カスタム電子ボードを介したソフトウェア制御信号によって指定される。我々は、較正された磁気作動マトリックスを使用して、制御電流入力を作業空間内の実際の磁場Ｂにマッピングする。図６に定義された基準系の中心と一致する作業空間の中心に関して、９５％の均一場領域は、Ｘ軸およびＹ軸に沿った幅が１６ｍｍ、Ｚ軸に沿った幅が５０ｍｍである。ロボットの最大変位が約３０ｍｍである図３ａ、ｄ、ｅの多様な運動実験を除いて、個々の運動モードのすべてのデモンストレーションは、この均一な場領域内で行われた。これらの状況では、我々は、ロボットのために比較的空間的に均一なＢを生成するように、我々の作動行列を再較正すべきである。単純化のために一対のヘルムホルツコイルが使用されているジャンプおよびクラゲ状水泳の特徴付けを除いて、セクションＳ４−Ｓ１１におけるすべての特徴付けは、この均一な場領域内において行われた。
【０３３６】
空間的に均一な場を提供しようとする我々の努力にもかかわらず、これらの領域内に制御されていない空間勾配が依然として存在するかもしれない。例えば、歩行中のロボットを作業空間の中心に向かって引っ張る望ましくない磁力が観察されている（図３ｄ）。これらの力が歩行運動に望ましくない外乱を誘発するが、我々は、ロボットが勾配に反してもうまく歩行することができることを述べる（詳細については、ＳＩセクションＳ１３参照）。我々はさらに、現在の設定が、複数の運動モードを持つ非常に可動性のあるミニチュアソフトロボットを生成し得る可能性を示すという概念実証目的のために設計されたものであることを述べる。これらの問題に対処し、ロボットシステム全体をＳＩセクションＳ１４に記載された潜在的な生物医学的用途にさらに適したものにするために、より大きな均一な作業空間を有する電磁コイルの設定を考えることができる。
【０３３７】
Ｂ．座標フレーム
ここでは、グローバルフレームは磁気作動設定の座標フレームによって定義され、我々は、このフレーム内の軸を大文字、例えばＸ軸、Ｙ軸、Ｚ軸、ＸＹ平面など、で定義する。このグローバルフレームを図１９に示すロボットの変形されていないローカルフレームと区別するために、ローカルフレームの軸に、小文字、例えばｘ軸、ｙ軸、ｚ軸、ｘｙ平面など、を割り当てる。ソフトロボットはＢによって操舵できるので、我々は、それに応じてグローバルフレームに対してロボットのローカルフレームを方向付けることができる（Ｓ１セクションＳ３Ｂ参照）。例えば、ＸＹ平面の構成要素のみを有するＢを適用することで、ロボットのローカルｘｙ平面をグローバルＸＹ平面と平行にすることができる。
【０３３８】
ロボットのローカルフレームに記述されるのがより直観的であるＳＩセクションＳ３Ａの本文と形状変化分析を除いて、ＳＩ内の他のすべての分析と特徴付けは、グローバルフレームに記述される（ＳＩセクションＳ４−１１）。これらの分析と特徴付けにおいては、ロボットのローカルｘｙ平面をグローバルＸＹ平面と平行になるように配置した。
【０３３９】
Ｓ３−一般理論  
ここでは、我々のソフトロボットが外部磁場にどのように反応するかを説明する一般的な理論を提供する。我々は、磁気的に作動するソフトロボットのためにどのように作動場が所望の時間変化形状を生成することができるか、の準静的数学的解析を提供することから始める（セクション３Ａ）。続いて、我々は、どのように作動場を使用してロボットの本体を回転させることができるか（セクションＳ３Ｂ）、また、Ｂの動作範囲を決定するのに我々の理論をどのように使用するか（セクションＳ３Ｃ）を説明する。そして、ＳＩセクションＳ４−１１では、各運動モードについてより詳細なモデルと議論を提案する。ソフトロボットのスケーリング分析の要約は、最後にＳＩセクションＳ１２および表Ｓ４に提示される。我々は、また、表Ｓ１のすべての数学記号の命名法と表Ｓ２のロボットの物理的特性の要約を示す。
【０３４０】
我々は、ここと後述のＳＩセクションで提示された分析および議論が、ソフトボディ運動に関する将来の研究を容易にすることを目的としていることを述べる。この分析は、また、設計指針を提供することができ、これは、多様な運動能力を有するミニチュア軟質磁性ロボットを設計しかつ最適化するための第一段階として使用することができる。
【０３４１】
Ａ．準静的解析
図Ｓ１ｂに規定された磁化プロファイルｍが与えられたとして、ここで我々は、ロボット形状を制御するために外部磁場Ｂ＝［Ｂx  Ｂy  Ｂz］Tをどのように使うことができるかを記述するために、準静的解析を用いる。ロボットの長さｓに沿った磁化プロファイルｍは、次のように表される。
【０３４２】
【数５８】
2020509280.tif 000062
【０３４３】
変数ｍxおよびｍyは、それぞれｘ軸とｙ軸に沿ったｍの成分を表し、ｍおよびωsは、それぞれｍ（ｓ）の大きさと空間角周波数を表し、ωs＝２π／Ｌである。上記のｍ（ｓ）を用い、一般性の損失がないものとして、我々は、時間ｔの関数であるＢを記述するために、図Ｓ１ｂにおけるロボットのローカル参照フレームを使用する。所与のｔにおいて、Ｂとｍ（ｓ）との間の相互作用がソフトロボット内に空間的に変化する応力を生成し、所望の撓みを生成する（図Ｓ３）。要素上のこれらの静的撓みは、梁に対するオイラー−ベルヌーイの式、すなわち、曲げモーメント
【０３４４】
【数５９】
2020509280.tif 000063
【０３４５】
によって記述することができる。ここで、ロボットに沿った回転撓みθ（ｓ）は、作動磁気トルクτmに関して次のように明示的に表される。
【０３４６】
【数６０】
2020509280.tif 000064
【０３４７】
ここで、
【０３４８】
【数６１】
2020509280.tif 000065
【０３４９】
変数＝ｈｗ、Ｉ＝ｈ3ｗ／１２、およびＥは、それぞれロボットの断面積、２次面積モーメントおよびヤング率を表す。Ｒは、ロボットの回転撓みによるｍの方向の変化を説明する標準のｚ軸回転行列である。
【０３５０】
【数６２】
2020509280.tif 000066
【０３５１】
物理的には、式（Ｓ３．２）の左側はロボットを変形させる磁気作動を表し、右側は結果として生じる撓みの関数である。ロボットに磁気的力を加えないため、ロボットに沿ったせん断力は定常状態ではゼロであり、従って、準静的解析では無視される（図Ｓ３）。波状水泳のように、撓みが小さい運動モードについては、式（Ｓ３．２）は、３×３単位行列でＲを近似し、
【０３５２】
【数６３】
2020509280.tif 000067
【０３５３】
（本体フレームのｘ軸に沿って）とし、
【０３５４】
【数６４】
2020509280.tif 000068
【０３５５】
、ここでｙは垂直方向撓みである、とすることで単純化できる。この単純化により、式（Ｓ３．２）は次のようになる。
【０３５６】
【数６５】
2020509280.tif 000069
【０３５７】
式（Ｓ３．５）を用いることで、小さい撓み条件下でのロボットの形状は、それぞれ正弦関数および余弦関数に似た２つの主要な形状の線形結合によって記述することができる（図１９ｂ（ＩＩ、ＩＩＩ））。 第１の主要な形状は、Ｂの方向が［ｃｏｓβR  ｓｉｎβR  ０］Tと平行であるとき、すなわち、Ｂ＝Ｂ［ｃｏｓβR  ｓｉｎβR  ０］Tであるときに実現できる。そして、式（Ｓ３．５）は、ｘに関して三重積分でき、下記のようになる。
【０３５８】
【数６６】
2020509280.tif 000070
【０３５９】
ここで、ＢはＢの大きさを表し、ｋ1、ｋ2およびｋ3は積分定数であり、ロボットの撓みが小さい限りは、すなわち、
【０３６０】
【数６７】
2020509280.tif 000071
【０３６１】
であれば、Ｂ＝０の場合を含み、すべてのＢ値に対して有効である。Ｂ＝０の場合は、ロボットがＢの不在下で変形しないので、式（Ｓ３．６）の左辺はすべてのｘに対してゼロでなければならない。これは式（Ｓ３．６）が下記のようになることを意味する。
【０３６２】
【数６８】
2020509280.tif 000072
【０３６３】
ｘは０からＬまで変化し得るので、式（Ｓ３．７）は、ｋ1＝ｋ2＝ｋ3＝０の場合に限り、全てのｘにわたって満たされることができるだけである。従って、式（Ｓ３．６）は次のように書き換えることができる。
【０３６４】
【数６９】
2020509280.tif 000073
【０３６５】
同様に、Ｂが［−ｓｉｎ（βR）  ｃｏｓ（βR）  ０］Tと平行であるとき、すなわち、Ｂ＝Ｂ［−ｓｉｎ（βR）  ｃｏｓ（βR）  ０］Tであるとき、式（Ｓ３．５）は、下記のように三重積分できる。
【０３６６】
【数７０】
2020509280.tif 000074
【０３６７】
そして、ｋ1、ｋ2およびｋ3と同じ理由を用いることで、式（Ｓ３．９）は、ｋ4＝ｋ5＝ｋ6＝０の場合に限り、全てのｘにわたって有効である、と導き出すことができる。従って、式（Ｓ３．９）は下記のようになる。
【０３６８】
【数７１】
2020509280.tif 000075
【０３６９】
本文中で述べたように、Ｂの方向が主方向に沿って整列されていない場合、ロボットは、式（Ｓ３．８）および式（Ｓ３．１０）の重み付き重ね合わせによって記述できる形状をとることとなる。式（Ｓ３．８）および式（Ｓ３．１０）は、波状水泳およびメニスカスクライミングで使用される小さな撓み形状を完全に記述するために使用することができるが、ローリング、歩行、ジャンプ、クラゲ状水泳に必要な大きな撓み形状変化を記述するのには不十分である。大きな撓み形状は、［ｃｏｓβR  ｓｉｎβR  ０］Tと平行ないし反平行な大きな大きさのＢを印加することによって達成される。このような条件下でのロボットの形状を予測するためには、我々は、以下の自由−自由境界条件を用いて式（Ｓ３．２）を数値的に解かなければならない。
【０３７０】
【数７２】
2020509280.tif 000076
【０３７１】
物理的には、この境界条件は、梁の自由端に作用する曲げモーメントがゼロであることを定めている。数値解は、−［ｃｏｓβR  ｓｉｎβR  ０］Tと平行な大きな大きさのＢを印加したときに、ロボットがＣ字形状に似た大きな撓み構成を生成すること、を明らかにしている（図１９ｂ（ＩＶ））。一方、同じ境界条件を使用して、［ｃｏｓβR  ｓｉｎβR  ０］Tに平行な大きな大きさのＢを印加すると、式（Ｓ３．２）の数値解は、Ｖ字形状をもたらす（図１９ｂ（Ｖ））。これら両方の構成において、曲率はＢが増加するにつれて増加する。さらに、Ｂの方向が図１９ｂ（ＩＶ、Ｖ）に示す主軸に沿っていない場合には、ロボットのＭnetがＢと整列するまで、ロボットは剛体回転する。この回転の最後に、ロボットはＣ字形またはＶ字形になる（詳細は次のサブセクションを参照）。
【０３７２】
Ｂ．剛体回転 
ロボットの正味の磁気モーメントは外部磁場と一致する傾向があるため、磁場の方向を使用して磁気ロボットの方向を制御することができる。我々のロボットは変形していない状態では正味の磁気モーメントを持っていないが、ロボットが変形すると正味の磁気モーメントが発生する。数学的に、正味の磁気モーメントＭnetは次のように表される。
【０３７３】
【数７３】
2020509280.tif 000077
【０３７４】
Ｍnetを備えると、Ｂを制御することで、ロボットに剛体トルクを生成できる。この磁気トルクτRBは、次のように表すことができる。
【０３７５】
【数７４】
2020509280.tif 000078
【０３７６】
物理的には、式（Ｓ３．１３）は、ＭnetがＢと整列していない限り、磁気トルクがロボットに加えられることを意味する。ロボットに他の外部トルクが作用していなければ、磁気トルクは最終的に定常状態で印加されたＢの方向に沿うようにＭnetを整列させる。以下のサブセクションでは、ｚ軸およびｙ軸を中心にしてロボットをいかに回転させるか、について説明する。
【０３７７】
Ｉ．ｚ軸周りの回転  
ここでは、小さな撓みがある（つまりＢが小さい）ときになぜロボットがそのｚ軸の周りを回転できず、大きな撓み条件の下では（つまりＢが大きい）回転できるか、を説明する。我々は、この説明を、ロボットのＭnetが常に小さな撓み条件下でＢと整列し、これによりロボットには剛体の磁気トルクが作用せず、ロボットはｚ軸の周りを回転できない、ということを示すことから始める。この数学的証明を確立するために、我々は、最初に、ロボットが図１９ｂ（ＩＩ−ＩＩＩ）に示す主方向に平行なＢにさらされたときに、その結果生じる変形が対応する主方向に平行なＭnetを生成することを示す。続いて、重ね合わせの原理を用いることによって、小さな撓み条件下ではロボットのＭnetが常に印加されたＢと整列することを一般化して結論付けることができる。
【０３７８】
式（Ｓ３．８）に基づいて、Ｂがその第１の主方向に平行であるとき、すなわち、Ｂ＝Ｂ［ｃｏｓβR  ｓｉｎβR  ０］Tであるとき、ロボットは余弦形状を生成する。この形状の変形は小さいので、その回転撓みは次のように近似できる。
【０３７９】
【数７５】
2020509280.tif 000079
【０３８０】
式（Ｓ３．１４）の小さな回転撓み表記を用いて、ｃｏｓθおよびｓｉｎθをそれぞれ１およびθに近似できる。これらの近似により、式（Ｓ３．１２）および式（３．４）における合成回転行列Ｒを次のように単純化する。
【０３８１】
【数７６】
2020509280.tif 000080
【０３８２】
式（Ｓ３．１５）を式（Ｓ３．１２）に代入すると、変形したロボットのＭnetは次のように表すことができる。
【０３８３】
【数７７】
2020509280.tif 000081
【０３８４】
単純な三角法の恒等式に基づいて、
【０３８５】
【数７８】
2020509280.tif 000082
【０３８６】
および
【０３８７】
【数７９】
2020509280.tif 000083
【０３８８】
は、下記のように書き直せる。
【０３８９】
【数８０】
2020509280.tif 000084
【０３９０】
式（Ｓ３．１７Ａ−Ｂ）を式（Ｓ３．１６）に代入して、式を整理すると、変形したロボットのＭnetは次のように表すことができる。
【０３９１】
【数８１】
2020509280.tif 000085
【０３９２】
式（Ｓ３．１８）の右側の最初の要素は、１つの全波長にわたって調和関数を積分したものであり、この成分はゼロになるように計算される。従って、式（Ｓ３．１８）の右側の２番目の要素の積分を完了すると、この式は次のように単純化できる。
【０３９３】
【数８２】
2020509280.tif 000086
【０３９４】
式（Ｓ３．１９）中のＭnetの方向は、Ｂの第１の主方向に平行、つまりＢ＝Ｂ［ｃｏｓβR  ｓｉｎβR  ０］Tである。
【０３９５】
次に、Ｂが第２の主方向に平行であるとき、すなわちＢ＝Ｂ［−ｓｉｎ（βR）  ｃｏｓ（βR）  ０］Tであるとき、同様の導出を繰り返す。式（Ｓ３．１０）に基づけば、ロボットは、このＢにより正弦形状を生成する。小さな撓み条件であると仮定すると、その回転撓みは次のように近似できる。
【０３９６】
【数８３】
2020509280.tif 000087
【０３９７】
そして、式（Ｓ３．１２）中の対応する回転行列は、下記のようになる。
【０３９８】
【数８４】
2020509280.tif 000088
【０３９９】
式（Ｓ３．２１）を式（Ｓ３．１２）に代入し、式（Ｓ３．１６−Ｓ３．１８）に提示されたものと同様のステップを使用すると、変形したロボットのＭnetは次のように表すことができる。
【０４００】
【数８５】
2020509280.tif 000089
【０４０１】
そして、これは、生成されたＭnetがＢの第２の主方向に平行であることを示す。
【０４０２】
式（Ｓ３．１９）と式（Ｓ３．２２）は、大きさの小さいＢが主方向のいずれかに平行に印加されたときに、変形したロボットはそのｚ軸を中心に回転できない、つまり、ロボットの撓みが小さいときは回転が生じない、と結論づける。重ね合わせの原理は、式（Ｓ３．１４−Ｓ３．２２）に示す解析に適用可能であるため、我々は、小さな撓み条件（すなわち、Ｂが小さい）の下では、ロボットはそのｚ軸を中心に回転することができない、と結論づける。従って、このような状況では、ロボットは、本文およびＳＩセクションＳ３Ａに記載されているように、ｘ−ｙ平面内で形状変化を経験するだけである。
【０４０３】
逆に、重ね合わせの原理は大きなＢには適用できなくなるので、そのような状況でのロボットのＭnetは、必ずしも印加されたＢと平行になる必要はない。これにより、ロボットはそのＭnetがＢと整列するまで回転し、ロボットは、回転を停止すると、Ｃ字形状またはＶ字形状をとる。それらの生成されたＭnetは常に印加されたＢと自然に整列するので（図１９ｂ（ＩＶ−Ｖ）に示されるように）、Ｃ字形状またはＶ字形状は、定常状態の配置である。従って、大きな撓みの場合は、ＸＹ平面内のＢの方向を調整して、Ｃ字形またはＶ字形のロボットをそのｚ軸を中心に回転させることができる（図１９ｃ）。ロボットのｚ軸周りの角変位を制御する能力は、いくつかの運動モードを達成する上で重要であり、これにより、ジャンプおよび歩行のためにロボットが必要な傾斜を生み出し、ローリング運動を可能にする（ＳＩセクションＳ５）。
【０４０４】
最後に、我々はまた、中間レンジのＢ、すなわち十分に小さくも大きくもないＢが印加されたときに何が起こるかについて論じる。この状況では、２つの考えられるシナリオが発生し得る。中間レンジＢが特定のしきい値より低いときは、変形したロボットは、効果的な剛体回転を生成できない。その結果得られるロボットの形状は、式（Ｓ３．２）を数値的に解くことによって予測することができる。一方、中間レンジＢがこのしきい値を超えると、ロボットは、そのＭnetがＢと整列するまで回転し、定常状態でＣ字形状またはＶ字形状構成のいずれかになる。理論的には、このしきい値は、変形したロボットが印加場と非平行なＭnetを生成するために必要な最小のＢを表す。しかしながら、実際には我々の製造プロセスは完全ではないので、このしきい値を正確に定量化することは容易ではない。従って、中間レンジＢを避け、小さいＢまたは大きいＢを採用することが、ロボットがすべての運動モードを確実に達成できるようにするために最善となる。実際に、我々は、十分に小さいかまたは十分に大きいＢの範囲を使用することによって、すべての運動モードを実行できることを示している。
【０４０５】
ＩＩ．操舵戦略（ｙ軸周りの回転）
ロボットのＭnetは常にｘｙ平面内にあるため（図１９ｂ）、これはＸＹ平面成分のみを持つＢがロボットに印加されたときに、磁気トルクがロボットを、その局所的なｘｙ平面が図６に示すグローバルＸＹ平面に平行になるまで再方向付けできることを意味する。同様に、ロボットのｘｙ平面をグローバルＸＹ平面と平行にさせた後、Ｂzを使用して磁気トルクを生成し、このトルクがロボットをそのｙ軸の周りで回転させて、望ましい方向に沿って操舵することができる。ｚ軸を中心にロボットを回転させるのとは対照的に、Ｂの大きさに関係なく、常にｙ軸を中心にロボットを回転させることができる。所望の方向に沿った正味の磁気モーメントを有する磁気ロボットを操舵するために外部磁場をどのように用いるか、に関するより詳しい情報は、参考文献１、３に見出すことができる。
【０４０６】
Ｃ．Ｂの動作範囲の予測
セクション３Ａ−Ｂに提示された理論モデルは、ロボットが種々異なる運動モードを可能にするために必要な時間変化形状を生成することができるようにＢの動作範囲を決定するのを助けることができる。小さいＢによって可能な運動モードについて、必要な時間変化形状を生成するために必要なＢを予測するために、式（Ｓ３．８）および式（Ｓ３．１０）を使うことができる。しかしながら、大きいＢを必要とする運動モードのために必要とされるＢを決定するためには、再帰的手法が使用されなければならない。この再帰的手法は、最初にＢを指定し、それを式（Ｓ３．２）に代入することによって実行され、Ｃ字形またはＶ字形構成の曲率を数値的に解く。得られた曲率が不十分な場合は、別のＢに変更し、適切なＢが得られるまで同じ手順を繰り返す。
【０４０７】
Ｓ４−ジャンプのための分析  
ジャンプ運動を分析するために、まず必要なＢ信号を指定する（セクションＳ４Ａ）。続いて、我々は、Ｂを変化させたときにロボットがどれだけ高くジャンプできるかを予測し得る理論モデルを提供する（セクションＳ４Ｂ）。次に、このモデルを使用して、ソフトロボットのジャンプの高さがその寸法によってどのように影響されるかを説明する（セクションＳ４Ｃ）。
【０４０８】
Ａ．実験の詳細  
ロボットが所望の方向に沿ってジャンプするように（図２０ｈ、図Ｓ４ａ）、我々は、次のＢシーケンスを指定する（図Ｓ５ａ）：
１．ロボットは最初に、Ｂ＝１６．５ｍＴおよびα＝−９０°（図Ｓ４ａでは０ｍｓ）を指定することによって、Ｃ字形構成に曲げられる。
【０４０９】
２．続いて、ステップ関数を使ってＢの方向を変え、その方向を時計回りに１６２°回転させる。ロボットのＭnetがＢの方向に整列する傾向があるため、このステップ関数は同時に剛体回転（この場合は時計回り）を引き起こし、また、ロボットの形状は、図Ｓ４ａの０−１３．５ｍｓに示されるように変化する。
【０４１０】
３．ロボットの端部が地面に当たるまで（図Ｓ４ａでは１３．５ｍｓ）Ｂ（Ｂ＝１６．５ｍＴ、α＝７２°）を維持し、ロボットをジャンプさせる（図Ｓ４ａの１３．５−１６．９ｍｓ）。
【０４１１】
前述のように、このようなＢシーケンスは、ロボットが指向性ジャンプを実行するときに２つの異なるメカニズムを促す。１つ目のメカニズムは、ロボットの剛体回転であり、Ｍnetおよび反転したＢの相互作用から生じる剛体トルクによって引き起こされる（図Ｓ４ａの０−１３．５ｍｓ）。第２のメカニズムは、形状変化であり、ロボットがその最初のＣ字形（図Ｓ４ａでは０ｍｓ）からより平坦なシート（図Ｓ４ａの１０．２ｍｓ）へ変化し、そして、その後、Ｃ字形構成（図Ｓ４ａの１０．２−１３．５ｍｓ）へと戻る。これら双方のメカニズムは、ロボットが基板に衝突するまでロボットの運動量を増加させるのを助ける。衝突すると、基板が、ロボットがジャンプするための垂直方向および水平方向の双方の運動量を誘起する。
【０４１２】
以下の説明では、我々は、形状変化メカニズムに焦点を当て、このメカニズムについて「直線」（垂直）ジャンプ戦略を考案した（図Ｓ４ｂ）。βR＝−９０°のロボットを使用すると、実験的な特性評価に必要な設定は、Ｙ軸に沿った１対の電磁コイルに削減される（図６）。βR＝４５°のロボットも直線ジャンプをすることができるが、より複雑な実験設定、すなわちα＝１３５°方向に沿ってステップＢを生成する２対の電磁コイル、が必要であり、これにより、不要な実験的誤差が引き起こされうる。さらに空間的に均一なＢを確保するために、我々は、２つのコイルの距離を調整してヘルムホルツ配置を形成した。これらの実験条件を使用して、グローバル基準系のＹ軸に沿ってＢのステップ変化を指定すると、ロボットはジャンプする。数学的には、Ｂは、Ｂ＝［０  Ｂ  ０］Tと単純に表すことができる。
【０４１３】
Ｂ．理論モデル  
ここでは、我々は、直線ジャンプ戦略のモデルを提供する。このモデルは、エネルギー保存アプローチに基づいており、最初に、１）基板上で最初に平らになったとき、および２）基板を離れたとき、の２つの際だった瞬間のソフトロボットのエネルギー状態を分析する。エネルギー保存の原理に基づいて、ソフトロボットは、これら２つの状態の間の磁気トルクＷによって行われる仕事からエネルギーを獲得する。次に、このエネルギーは、３つの要素に再分配される：すなわち、ロボットの歪みエネルギーの変化ΔＳ、ロボットの運動エネルギーの変化ΔＫ、ロボットのジャンプ中の摩擦損失ｆLである。数学的には、次の通りである。
【０４１４】
【数８６】
2020509280.tif 000090
【０４１５】
摩擦損失には、基板との接触摩擦によるエネルギー損失、空気抵抗、およびソフトロボット内の粘弾性損失が含まれる。分析を簡単にするために、ここでは摩擦損失の影響を無視し、ｆLがゼロに等しいと仮定する。従って、式（Ｓ４．１）は次のように単純化できる。
【０４１６】
【数８７】
2020509280.tif 000091
【０４１７】
オイラー−ベルヌーイの式に基づいて、ΔＳは次のように表すことができる。
【０４１８】
【数８８】
2020509280.tif 000092
【０４１９】
ここで、θf（ｓ）は基板を離れる前のロボットの最終的な角度変形を表し、我々は、ロボットの初期形状は平坦である、すなわちθi（ｓ）＝０である、と仮定する。
【０４２０】
一方、なされた磁気仕事量Ｗは、二重積分として表すことができる。
【０４２１】
【数８９】
2020509280.tif 000093
【０４２２】
内部積分は、ロボットに沿った任意の無限小体積要素に対する磁気トルクによって行われる仕事を表す（図Ｓ６）。この積分の上限は、ロボットが基板を離れる前の要素の最終的な角度変形を表し、下限は、θi（ｓ）＝０である。従って、Ｗは、ロボットに沿ったすべての微小要素にわたってなされた合計仕事量を合計したときの外部積分によって得ることができる。式（Ｓ３．３−Ｓ３．４）を使用して、内部積分は次のように評価できる。
【０４２３】
【数９０】
2020509280.tif 000094
【０４２４】
磁化プロファイル成分ｍx、ｍy、および作動磁場Ｂx、Ｂyは、θから独立しているので、式（Ｓ４．５）は次のように評価できる。
【０４２５】
【数９１】
2020509280.tif 000095
【０４２６】
最後に、式（Ｓ４．６）と我々の磁気作動信号（Ｂ＝［Ｂx  Ｂy  ０］T＝［０  Ｂ  ０］T）を式（Ｓ４．４）に代入することで、Ｗを次のように表すことができる。
【０４２７】
【数９２】
2020509280.tif 000096
【０４２８】
物理的には、式（Ｓ４．７）は、なされた仕事が、磁化プロファイルおよび作動磁場の大きさに比例し、また、ロボットが基板を離れる前のロボットの最終形状にも依存する、ことを意味する。式（Ｓ４．７）と式（Ｓ４．３）を式（Ｓ４．２）に代入することによって、ΔＫについての数学的表現を得ることができる。ΔＫが分かったら、ロボットが基板を離れてから最大高さＨmaxに達するまでの間、再びエネルギー保存の原理を適用する。我々は、次のように、最大の高さでは、ジャンプに使用されるすべての運動エネルギーが、完全に重力ポテンシャルエネルギーに変換されると仮定した。
【０４２９】
【数９３】
2020509280.tif 000097
【０４３０】
ここで、ＭRobとｇは、それぞれロボットの質量と重力定数を表す。式（Ｓ４．８）は単純化されたモデルであることに注意すべきであり、ここでは摩擦損失を考慮しておらず、また式（４．２）の必ずしもすべての運動エネルギーがジャンプのために使用されない、すなわち、運動エネルギーの一部はロボットの他の振動モードを励起するように変換される。式（Ｓ４．３）および（Ｓ４．７）を式（Ｓ４．８）に代入し、そして式を整理することによって、Ｈmaxが下記のように得られる。
【０４３１】
【数９４】
2020509280.tif 000098
【０４３２】
式（Ｓ４．９）を使うことで、異なるＢを横切るソフトロボットの理論的Ｈmaxを予測することができる。式（Ｓ４．９）は、Ｈmaxがｗに依存しないことを示しているが、その非線形性が高いため、ｈおよびＬに関して単純なスケーリング則を導出するのは困難である。それにもかかわらず、我々は、次のサブセクションにおいて、このモデルによって、図７のサンプルロボットが、ｈが小さく（図Ｓ７ａ、ｂ）Ｌが大きければ（図Ｓ７ａ、ｃ）より高くジャンプできる、という予測が可能である、ということを示す。
【０４３３】
Ｃ．検討
ソフトロボットの寸法が変化したときにジャンプ性能がどのように変化するかを調べるために、我々は、それぞれが図１９ａに示す元のロボットとは異なるＬ、ｗ、またはｈを有する６つの追加のロボットを製作した。これらの追加のロボットについて、１３．５  ｍＴ＜Ｂ＜２３．５ｍＴに対する最大ジャンプ高さを測定した。ＭＡＴＬＡＢの画像検出技術と標準的なスプラインフィッティング法を使用して、実験からロボットが基板を離れる前の最終的な形状、すなわちロボットのθfを抽出した。Ｈmaxの実験値およびモデル予測値を図Ｓ７に示す。θfは各実験点で異なる可能性があるので、図Ｓ７のモデル予測値には誤差範囲も示す。
【０４３４】
一般に、式（Ｓ４．９）のモデルは実験の傾向と一致しているが、図Ｓ７におけるＨmaxのモデル予測値は、摩擦損失がなくロボットのすべての運動エネルギーがジャンプに使用されると仮定しているため、実際の値より過大に見積もられている。
【０４３５】
ロボットの寸法によってパラメータ化されたＢでのジャンプ高さの実験的依存性を図Ｓ８に示す。実験データに基づけば、ロボットは、より長いＬまたはより薄いｈを有すれば、より高くジャンプすることができ、ｗが変更されたときの影響は観察されなかった。この傾向は式（Ｓ４．９）で指定されたモデルと一致する（図７のモデル予測曲線参照）。
【０４３６】
要約すると、我々の実験結果は、直線ジャンプ戦略に関して、Ｌを増加させるかあるいはｈを減少させると、ソフトロボットはより高くジャンプできることを示唆している。理論モデルの予測は実験データと一致する。
【０４３７】
Ｓ５−ローリングについての分析
ここでは、最初に必要なＢシーケンスを指定し（セクションＳ５Ａ）、次にＢのローリング周波数ｆを変化させたときにロボットがどのように速くローリングできるかを予測できる理論モデルを提供することで（セクションＳ５Ｂ）、ローリング運動を分析する。最後に、ロボットの寸法を変えると、ロボットのローリング速度Ｖrollがどのように影響を受けるかを説明する（セクションＳ５Ｃ）。  
【０４３８】
Ａ．実験の詳細  
図２０ｅにおけるロボットのローリングの概略図を図Ｓ１０に示す。この運動は、ＸＹ平面内で下記のＢシーケンスを用いることによって実現される（図Ｓ９ａ）：
１．初期Ｂ（Ｂ＝１８．５ｍＴ、α＝０°）が、図Ｓ９ｂに示すようにロボットをＣ字形に丸めるために課される。
【０４３９】
２．変形したロボットは、式（Ｓ３．１２）で指定されたＭnetを有し、これによりＸＹ平面内で回転するＢによって操舵されることが可能となる。図２０ｅでは回転周波数は５Ｈｚである。
【０４４０】
３．Ｂが時計回りに回転し始めると、ロボットのＭnetがＢと整列しようとするので、剛体磁気トルクτRollがロボットに誘起される。このトルクはロボットをローリングさせる。  
【０４４１】
４．Ｂが回転を停止すると、ロボットのＭnetはＢと完全に整列し、τRollはヌルベクトルに減少する。従って、ロボットはローリングを停止する。
【０４４２】
数学的には、上記のＢのシーケンスは次のように表すことができる。
【０４４３】
【数９５】
2020509280.tif 000099
【０４４４】
ここで、ｆは回転するＢの周波数を表しており、我々のすべての実験では、０＜ｆ≦４０Ｈｚの範囲である。寸法が異なるロボットのＶrollを公平に評価するために、すべてのロボットが同じ曲率を生成できるように各ロボットのＢを調整した。この調整は次のサブセクションで説明されている。
【０４４５】
Ｂ．理論モデル  
ローリング運動を可能にするために、回転するＢの大きさは、ロボットがＣ字形に湾曲するように大きくなければならない。図１９ａに示した元のロボットについては、１０ｍＴより大きいＢが、十分に大きいロボットの撓みを保証するために選択される。
【０４４６】
我々は、ローリング運動が、平らな基板上を転がる車輪の運動に似ていると仮定する。この仮定は、回転Ｂを印加したときにロボットは円形の車輪に似たＣ字形に曲がることができるという観察結果によって支持されている。支配的な式（Ｓ３．２）を数値的に解くためにＭＡＴＬＡＢ  ２０１６（境界値問題ソルバー）を使用し、次に、式（３．１２）を用いてＣ字形構成におけるロボットの正味磁気モーメントＭnetを計算した。ローリング運動では、Ｍnetはロボットの回転変位φRの関数になる（図Ｓ１０）。これは数学的には次のように表すことができる。
【０４４７】
【数９６】
2020509280.tif 000100
【０４４８】
ここでスカラーＭnetは正味の磁気モーメントの大きさを表す。  
【０４４９】
Ｂが回転し始めると、その正味の磁気モーメントが場と整列しようと試みるので、剛体トルクτRollがロボットに加えられる。数学的には、τRollは次のように表すことができる。
【０４５０】
【数９７】
2020509280.tif 000101
【０４５１】
τRollの大きさはＭnetとＢ、およびそれらの間の角度に依存する。ロボットが回転すると、地面が押圧力Ｆを発生させ、これが、ロボットの移動を推進する（Ｓ１０）。ロボットの並進運動方程式は、次の通りである。
【０４５２】
【数９８】
2020509280.tif 000102
【０４５３】
ここで、ＣTは並進減衰を表す。同様に、ｚ軸を中心としたロボットの運動方程式は次のように表すことができる。
【０４５４】
【数９９】
2020509280.tif 000103
【０４５５】
ここで、ＣR、ｒeff、Ｊはそれぞれ、回転減衰係数、車輪の半径、車輪の慣性モーメント、を表す。ロボットが基板上をローリングするときにロボットがスリップしないと仮定すると、ｘとφRとの間の運動学的関係は次のように表すことができる。
【０４５６】
【数１００】
2020509280.tif 000104
【０４５７】
この非スリップ条件を式（Ｓ５．４）に代入し、それにｒeffを乗じ、最後にこれを式（Ｓ５．５）に加えると、ローリング運動の支配動的方程式は、次のように表すことができる。
【０４５８】
【数１０１】
2020509280.tif 000105
【０４５９】
ここで、Ｊeff＝ＭRobｒeff2＋Ｊであり、Ｃeff＝ＣTｒeff2＋ＣRである。ロボットの寸法は比較的小さいので、その小さいＪeffによってロボットは定常速度に素早く達することができる。これは、次のように書き換えることができる。
【０４６０】
【数１０２】
2020509280.tif 000106
【０４６１】
ミニチュア磁気作動式回転ロボットの一般的な現象は、作動磁場とロボットの角度変位との間の角度が、定常速度で一定になることである。数学的には、これはｓｉｎ（２ｎｆｔ−φR）が式（Ｓ５．８）で定数になることを意味する。式（Ｓ５．８）はまた、場とロボットの角度変位との間の角度が９０°になるとき、すなわち、
【０４６２】
【数１０３】
2020509280.tif 000107
【０４６３】
であるときに、ロボットの最大角速度が生じることを明らかにしている。この最大角速度は、ソフトロボットの脱調周波数として知られており、それは次式で表される。
【０４６４】
【数１０４】
2020509280.tif 000108
【０４６５】
Ｂの回転周波数が脱調周波数を超えると、すなわち、
【０４６６】
【数１０５】
2020509280.tif 000109
【０４６７】
となると、Ｂの周波数がロボットの角速度と同期しなくなり、
【０４６８】
【数１０６】
2020509280.tif 000110
【０４６９】
を予測するのは困難となる。しかしながら、そのような条件についての議論はこの明細書の範囲を超えている。
【０４７０】
我々は、我々が使用した制御信号の下では我々のロボットが脱調周波数を超えないことを実験的に検証した。従って、２ｎｆｔ−φR＝ｋであり、ここで、ｋはＢとφRとの間の一定の遅れ角であり、ロボットが定常速度に達すると時間に伴う変化はない。この表現を時間微分することによって、次のことを意味する。
【０４７１】
【数１０７】
2020509280.tif 000111
【０４７２】
式（Ｓ５．１０）および式（Ｓ５．６）の非スリップ条件に基づけば、我々のローリング運動の支配的な式は次のようになる。
【０４７３】
【数１０８】
2020509280.tif 000112
【０４７４】
ｒeffは最初に、ＭＡＴＬＡＢ  ２０１６（境界値問題ソルバー）を使用して、ローリング形状すなわちＣ形状を決定するために、数値的に式（Ｓ３．２）を解くことで決定できる。次に、それに最も適合する円のパラメータを決定する。我々は、適合円の有効円周、すなわち２πｒeffは、一般にロボットの長さより約１０％大きいことを指摘する。もし、
【０４７５】
【数１０９】
2020509280.tif 000113
【０４７６】
と近似すれば、単純なスケーリング解析は、式（Ｓ５．１１）に基づいて導出することができ、これは、Ｖroll∝Ｌを示唆する。
【０４７７】
ｍ、Ｂ、Ｅおよびその他の定数はロボットの寸法に依存しないので、より堅いロボット、すなわちより小さなＬまたはより大きなｈを有するロボット、を回転させるためには、より高いＢが必要であると結論付けることができる。実際のところ、異なる寸法のロボットについてローリング運動性能の公平な比較を可能にするために、我々は、全てのロボットが同じ曲率を生み出すことができるようにＢを調整した。基準のＬとは異なる長さＬnewを有するロボットでは、Ｂの大きさＢL,rollが次のようになったときに同じ曲率を得ることができた。
【０４７８】
【数１１０】
2020509280.tif 000114
【０４７９】
同様に、厚さｈnewを有するロボットについて、Ｂの大きさＢh,rollを次のように変更することで、同じ曲率を得ることができる。
【０４８０】
【数１１１】
2020509280.tif 000115
【０４８１】
最後に、Ｂが変わらない場合、変数ｗは曲率を変えることがない。従って、我々は実験の際に式（Ｓ５．１２−Ｓ５．１３）を用い、異なる寸法のロボットに対して対応するＢを調整し、全てのロボットが、Ｂ＝１８．５ｍＴのもとでの元のロボットの曲率と同等の曲率を生成するようにした。
【０４８２】
Ｃ．検討
ここでは、回転速度Ｖrollが、回転Ｂの周波数ｆとロボットの寸法によってどのように変化するかを説明する。この目的のために、我々は、それぞれが元のロボットとは異なるＬ、ｗ、またはｈを有する６つの追加のロボットを製作した。
【０４８３】
図Ｓ１１に示されている実験データは、Ｖrollが、ｆが低い値例えば図２のｆ＜１０Ｈｚにおいて、ｆに対して線形関係を有することを示す。一般に、我々の理論モデルはデータと一致しているが、Ｖrollを過小に見積もっている。この矛盾は、モデルで仮定しているように、ロボットの実際のＣ字形構成が完全な円ではないという事実によって正当化され得る。また、Ｖrollの標準偏差は、ｆが高くなると、例えば、図Ｓ１１ａ−ｂにおいて２０Ｈｚ≦ｆ≦４０Ｈｚの場合に、増加する。これは、このような高いｆでは、ロボットの端部が大きな力で基板に衝突し、ロボットをジャンプさせるようになることから発生する。このあまり予測できない現象を避けるために、Ｖrollをその線形レジーム内に制限することを推奨する。
【０４８４】
ロボットの寸法によってパラメータ化された、ｆに対するＶrollの依存性についての図Ｓ１２に示した実験データは、ｗおよびｈに対してＶrollが有意な変動を示さないことを示している。しかし、ロボットのＬが大きくなると、Ｖrollは増加する。この傾向は、Ｌが増加するとｒeffが大きくなるので、式（Ｓ５．１１）の予測と概ね一致する。
【０４８５】
要するに、ロボットの回転速度は、低いｆと線形の関係にある。より大きいＬを持つロボットはより速くローリングすることができる。ローリングはまた、比較的低いｆ（例えば、我々のロボットではｆ≦４Ｈｚ）では、はるかに制御しやすい。最後に、式（Ｓ５．１２）および（Ｓ５．１３）によれば、より大きなＬまたはより小さなｈを有するロボットでは、ローリングに必要な曲率をより容易に誘起できる（すなわち、より低いＢを使用して同じ曲率を誘起することができる）。これに関して、異なるｗを有するロボットに対して同じ曲率を達成するために同じＢを使用することができる。
【０４８６】
Ｓ６−歩行の分析
このセクションでは、最初に歩行に必要なＢのシーケンスを指定し（セクションＳ６Ａ）、次にｆおよびＢmax、つまり１歩行サイクルにおける最大Ｂ値（セクションＳ６Ｂ）、を変化させたときのロボットの歩行速度を予測できるモデルを提供する。最後に、ロボットの寸法が歩行速度にどのように影響するかをセクションＳ６Ｃで説明する。
【０４８７】
Ａ．実験の詳細
図Ｓ１３ａに示すＸＹ平面内のＢシーケンスによって駆動されることで、ソフトロボットは、図２０ｆに示すように右方向に歩くことができる。Ｂシーケンスは次のように記述できる。
１．ロボットは最初にその前端に固定され、前方に傾き始める。回転するにつれて、Ｃ字形に変形し始める（図２０ｆの０ｍｓ−６２ｍｓ）。この運動シーケンスを実現するために、Ｂの方向はα＝１５０°に固定され、ＢはＢmax＝１０ｍＴのピークに達するまで直線的に増加される。
２．ロボットはＣ字形を維持し、後方に傾くことができるように、その後端に固定し始める。（図２０ｆの６２ｍｓ−１２２ｍｓ）。この運動を実現するために、Ｂを１０ｍＴに保ちながら、Ｂの方向をα＝１５０°からα＝１２０°まで直線的に変化させる。
３．最後に、ロボットはその前端を伸ばして、前方への正味の歩幅を形成することを可能にする（図２０ｆの１２２ｍｓ−２１０ｍｓ）。この運動を実現するために、方向Ｂはα＝１２０°に固定され、その大きさは１０ｍＴから０ｍＴまで直線的に減少する。
【０４８８】
歩行運動がソフトロボットの寸法によってどのように影響されるかを調べるために、我々は、元のロボットと比較して、異なるＬ、ｗ、またはｈを有する６つの追加のロボットを製作した。これらのロボットを使用して、２種類の実験を行った。ここでは、Ｂmaxを１０ｍＴに固定したときのロボットの歩行速度Ｖwalkと異なるｆ（２Ｈｚから２０Ｈｚ）との関係、および、ｆを５Ｈｚに固定したときのＶwalkと異なるＢmax（８ｍＴから１６ｍＴ）との関係、をそれぞれ評価した。
【０４８９】
Ｂ．理論モデル  
我々の歩行戦略に基づけば、１歩行サイクルにおけるロボットの正味の歩幅Ｓwalkは、図２０ｆの時間０ｍｓと１０２ｍｓで示される状態におけるロボットの曲率間の差の関数である。より明確に言えば、Ｓwalkは次のように表現できる。
【０４９０】
【数１１２】
2020509280.tif 000116
【０４９１】
ここで、Ｓ1およびＳ2は、図１４に示すようにロボットの端部間の距離を表す。図Ｓ１４ａにおいて、Ｂ＝０であるから、Ｓ1はＬであると近似することができる。一方、図Ｓ１４ｂにおけるＳ2は、最初にＭＡＴＬＡＢ  ２０１６（境界値問題ソルバー）を使用して数値的に式（Ｓ３．２）を解くことによって計算することができる。
【０４９２】
我々は、Ｂの周波数が低いときには、ソフトロボットは作動場に応答できると仮定する。これらの状況では、歩行速度Ｖwalkは、Ｓwalkと歩行周波数ｆの積として近似できる。
【０４９３】
【数１１３】
2020509280.tif 000117
【０４９４】
式（Ｓ６．２）の有効性は、固定端部でスリップがない状態を仮定している。式（Ｓ６．２）および式（Ｓ３．２）は、Ｖwalkがｗに比例しないことを示唆し、また、Ｓ２が式（Ｓ３．２）によって数値的に解かれるだけなので、ＶwalkがＬおよびｈに対し非線形関係であることも示唆する。しかし、式（Ｓ３．２）は、大きいＬおよび薄いｈを備えたロボットは、小さいＳ2を作成するためにより変形できることを示唆している。これはひいては、式（Ｓ６．２）が、Ｌが大きくｈが薄いロボットほど速く歩行すると予測している、ことを示唆している。
【０４９５】
Ｃ．検討
図Ｓ１５は、Ｖwalkとｆとの関係について実験データと式（Ｓ６．２）および式（Ｓ３．２）に基づく対応する理論的予測とを比較している。実験結果は、Ｖwalkが低周波数でｆと線形関係にあることを示唆している。しかしながら、より高いｆの値については、Ｖwalkが非単調傾向を有すること、例えば、Ｌ＝３３３μｍの場合に、Ｖwalkが１４Ｈｚ以降はゼロまで低下する場合があることを示している（図Ｓ１５ｂ（１１））。これは、そのような条件下では、ロボットの端部が基板に非常に速く接近し（Ｓ１セクションＳ６Ａのステップ２の最後に）、ロボットが接触すると後方に跳ね返されるために起こる。このような跳ね返りは、歩行サイクル当たりの実効正味歩幅を減少させ、ロボットをより遅くさせる。Ｓ１５ｂ（１１）に示すケースでは、Ｖwalkが０ｍｍ／ｓになる。
【０４９６】
図Ｓ１６は、ＶwalkとＢmaxとの関係について実験データと式（Ｓ６．２）および式（Ｓ３．２）に基づく対応する理論的予測とを比較している。実験結果は、ＶwalkがＢmaxと正の相関関係にあることを示している。これは、より大きなＢmaxが各歩行サイクルにおけるより大きな正味歩幅、すなわち（Ｌ−Ｓ2）、を誘起できると予測する我々の理論モデルと一致する。
【０４９７】
ロボットの寸法によってパラメータ化されたｆおよびＢmaxへのＶwalkの依存性についての実験データが、それぞれ図Ｓ１７および図Ｓ１８に示されている。図Ｓ１７の結果  は、ｆ≦１１Ｈｚである線形レジームにおいては、Ｂmaxが固定されるときに、より柔軟なロボット（すなわち、より大きなＬまたはより小さなｈを有する）がより速く歩く、ことを示唆する。これは、より柔軟なロボットは、歩行サイクルあたりの正味歩幅が大きくなるためである。さらに、Ｌが大きいロボットは、体の長さが比較的大きいことで、より速く歩くことが期待される。我々の実験データは、Ｖwalkとｗの間には明らかな相関関係がないことを示している。
【０４９８】
一般的には、式（Ｓ６．２）および式（Ｓ３．２）の理論的予測は、Ｖwalkを過大に見積もりやすいが、これらは実験データの傾向と一致している（図Ｓ１５およびＳ１６）。実際、我々のモデルは、ｈが小さくＬが大きいロボットはより速く歩き、ｗはＶwalkに影響しない、と予測する。ロボットは基板上の固定点でスリップすることが観察され、このスリップが各歩行サイクルにおけるロボットの正味歩幅を減少させるため、予測速度は実験速度よりも大きい。さらに、製造の不確実性（セクションＳ１Ｄ）のために、ロボットはＢ＝０に対しても完全に平らではない。従って、またＳ1をＬで近似することによって、我々のモデルは、各歩行サイクルにおける正味の歩幅を過大に見積もる傾向がある。
【０４９９】
Ｓ７−メニスカスクライミングの分析
このセクションでは、ロボットのメニスカスクライミングを、この運動に必要なＢシーケンスを指定し（セクションＳ７Ａ）、次に、ロボットを効果的にポジ型液体メニスカスの最上部まで上昇させる必要最小限の場の大きさＢminを予測できる準静的な力ベースのモデルを提案する（セクションＳ７Ｂ）ことで、ロボットのメニスカスクライミングを分析する。最後に、セクションＳ７Ｃで、ロボットの寸法がメニスカスクライミングにどのように影響するかを説明する。
【０５００】
Ａ．実験の詳細  
図Ｓ１９におけるＸＹ平面内のＢシーケンスによって駆動されることで、隣接するプラットホームへの後続の上陸を促す図２０ｂに示される水メニスカスクライミングは、以下のステップによって達成される。
１．初期のＢ（Ｂ＝１８．５ｍＴ、α＝３１５°）が、ロボットを上向きの曲率を有するＣ字形とするために課される。ロボットは、５２０ミリ秒でメニスカスに沿って安定した位置を達成する。
２．続いてＢを反時計回りにα＝１５７°に向かって回転させて、ロボットをさらに上昇させる。Ｂがオンになって４．６秒後、ロボットはプラットホームの壁に接触する。その後の回転で、ロボットの湾曲した下部によってメニスカス上で支持されながら、ロボットの上部が徐々に水から押し出される（４．８秒−１２．１秒）。
３．最後に、Ｂがオフになり、ロボットは隣接するプラットホームの端の上で休止する。
【０５０１】
上記の説明は、メニスカスを登るのにＣ字型の構成を使用する。ロボットの上部を水から押し出す必要がない場合には、メニスカスクライミング運動は、ロボットが余弦形状の小さな撓みである場合にも実現できることに留意されたい（図１９ｂｌｌｌ）。次のセクションでは、我々は、ロボットがプラットホームの壁に触れるまでのプロセスを記述した、ソフトロボットの水メニスカスクライミングの準静的モデルを提案する。対応する実験を図Ｓ２０に示す。ロボットを漸進的に湾曲させるために上向きで大きさが増加するＢを課し、ロボットをメニスカスの上部で壁に接触させる最小の大きさＢminを記録した。ロボットのＭnetは小さな撓み条件下では常にＢと整列するため（セクションＳ３Ｂ）、次のモデルでは磁気トルクは考慮していない。
【０５０２】
Ｂ．理論モデル
空気から水に接触したときに、我々のソフトロボットはほぼ完全に水に浸かるようになり（図Ｓ２０）、そして、メニスカスクライミング中のロボットの周囲に対する三重接触線の等角付着によって確認されるように、水／空気界面で強く固定される（例えば図３ｄ参照）。
【０５０３】
ロボットは、一般化されたアルキメデスの原理、すなわち、水と接触するロボットの表面に作用する浮力と、それらの接触周囲に作用する表面の曲率と、の複合効果によって、水／空気界面に安定して存在する。一般化された浮力は、ロボットによって排除された水の総重量によって定量化され、これには、ロボットの本体（つまり接触線の内側）によって排除された水と、その周囲に沿ったメニスカス（すなわち外側の）によって排除された水と、の双方が含まれる。等角接触線がその周囲に沿って固定されていると仮定すると、フローティング本体は、水界面を伸長および／または湾曲させることによってシステムが本体に及ぼす準静的仕事によって重力ポテンシャルを昇るに必要なエネルギーを補償し、正の液体メニスカスに沿って上方に移動することができる。
【０５０４】
ここでは、まず、メニスカスクライミングのメカニズムを説明するために、また、公知の幾何学的および材料的パラメータを有するロボットが傾斜した水メニスカスの高さを登るようにするための本体の曲率を予測するために、円弧形のソフトフローティングロボットの２次元力ベース解析モデル（略して円弧形モデル）について説明する。次に、コサイン型ロボットのモデル（すなわちコサイン型モデル）を導出して、ロボットがメニスカスの完全な高さに達するようにするＢの最小値Ｂminを予測する。
【０５０５】
Ｉ．円弧形モデル  
二次元の幾何学的形状が図Ｓ２１ａに描かれている。実験によれば、我々は、疎水性ロボット本体は、その上面のみが空気と接触している状態で水中に完全に浸されていると仮定する。その結果、三重接触線はロボット上面の周囲に固定される。接触線の固定は、エッジ角θ1およびθ2を未決定のままにし、従って、特にギブスの基準によるキャンソタクシス（canthotaxis）によって課される限度内の境界条件に自由に適合する。これは２つの重要な結果をもたらす。第１に、エッジ角は材料特性によって課されるものではないので、それらは、ロボットの姿勢（傾斜角αによって記述される）および曲率（曲率半径Ｒおよび角φによる）とはほとんど無関係である。当然の結果として、メニスカスクライミングの物理的な原因は、我々の場合、表面張力効果とは主たる関係がない。第二に、キャンソタクシス・セクターを広げることによって、ロボットの表面疎水性は接触線の固定を強化し、ひいては水面上のロボット位置の安定性を強化する。
【０５０６】
ソフトロボットのメニスカスクライミングのメカニズムは、浮力に基づいている。湾曲形状を仮定すると、ロボット（密度ρr）は表面で追加の量の水（密度ρw）を排除する（図２０ｂ参照、図Ｓ１９ｂに複製）。正の水メニスカスの存在下においては、追加の浮力によって、ロボットは界面のプロファイルに沿って上昇できる。問題となる５つの変数（θ1、θ2、α、Ｒ、φ、図Ｓ２１ａを参照）は、隣接する垂直壁からの距離ｄにおける湾曲したロボットの機械的および静水学的平衡に関する条件を満たすことによって決定することができる。壁は、一定の接触角θ0で水面のプロファイルＨ（ｘ）と交差する。実験では、壁での接触線の垂直位置Ｈ（０）およびθ0の両方は、ロボットの存在によって影響されなかった（図Ｓ２０）。
【０５０７】
静水圧平衡における液体界面の形状は、下記のヤング−ラプラスの式によって記述される。
【０５０８】
【数１１４】
2020509280.tif 000118
【０５０９】
メニスカスの乱れていないプロファイルＨu（すなわち、ロボットが存在しない場合）は、境界条件
【０５１０】
【数１１５】
2020509280.tif 000119
【０５１１】
およびＨ（＋∞）＝０、によって決定され、下記のようになる。
【０５１２】
【数１１６】
2020509280.tif 000120
【０５１３】
ここで、毛細管の長さは、
【０５１４】
【数１１７】
2020509280.tif 000121
【０５１５】
と定義する。Ｈu（０）＝Ｌcｃｏｔθ0である。
【０５１６】
壁と最も近いロボットのエッジとを接合する水面のプロファイルＨrは、ヤング−ラプラスの式、および境界条件Ｈ’（ｘ）＝ｃｏｔθ0ならびにＨ’（ｄ）＝ｃｏｔθ1によって決定され、次のようになる。
【０５１７】
【数１１８】
2020509280.tif 000122
【０５１８】
実験によりＨu（０）＝Ｈr（０）と仮定すれば、以下の条件がθ1にリンクする。
【０５１９】
【数１１９】
2020509280.tif 000123
【０５２０】
機械的平衡は、αによって特定される方向に関して垂直力と接線力とのバランス、およびトルクバランス、によって課される。３つのバランスはそれぞれ次のように表される。
【０５２１】
【数１２０】
2020509280.tif 000124
【０５２２】
ここで、
【０５２３】
【数１２１】
2020509280.tif 000125
【０５２４】
であり、そして曲率中心から円形セグメントの重心までの距離は、
【０５２５】
【数１２２】
2020509280.tif 000126
【０５２６】
である。式（Ｓ７．５−Ｓ７．７）において、最初の項は表面張力の対応する投影を表し、後者の項は重力と浮力の影響を表す。最後に、ロボットの長さを保存すると、最後の式は下記のようになる。
【０５２７】
【数１２３】
2020509280.tif 000127
【０５２８】
非線形方程式系は数値的に解かれた（ＭＡＴＬＡＢ  ２０１６、非線形システムソルバー）。図Ｓ２２では、最初にメニスカスの最上部の壁と接触したときの（すなわち、ｄ→０の場合の）ロボット本体の曲率の実験値と予測値とを比較する。変形したロボット本体の実際の形状には、ＳＩセクションＳ５ｂと同じ方法で、円形の輪郭をはめ込んだ。  
【０５２９】
ＩＩ．コサイン型モデル  
本体の曲率を規定のＢに関連付けるために、我々は、水メニスカスの最上部に位置するコサイン形ロボット、すなわちｄ→０、を特に説明するために、前のモデルのコサイン形状バージョンを導出した。基準二次元幾何学形状が図Ｓ２１ｂに描かれている。この場合、ロボットの端部が水・空気の境界面に固定されており、後者は一定の（直線的な）勾配を持っていると仮定しており、これは、式（Ｓ７．２）から、Ｈ’（０）＝−ｃｏｔθ0と記述できる。式（７．４）から、θ1＝π−θ0が得られる。これらの条件から、水平力のバランスにより、θ2＝θ0と定まる。従って、ロボットの端部に作用する表面張力の引張成分は、水−空気界面と整列する。表面張力の垂直方向の投影は大きさが等しく方向が反対であるので、垂直力のバランスはロボットの重量と浮力の平衡を課す。これは、重心と浮力の中心が一致していること、そしてトルクのバランス、を意味する。大きさＤおよび空間周波数ωsのコサイン形状を持つロボットの浮力は、次のように計算できる。
【０５３０】
【数１２４】
2020509280.tif 000128
【０５３１】
そして、ロボットの浮力とロボットの重量とのバランスから、次のようになる。
【０５３２】
【数１２５】
2020509280.tif 000129
【０５３３】
ここで、２番目の要素は、ρr＞ρwについて常に正の値である。最後に、式（Ｓ３．８）を用いることで、メニスカスの全ての高さを昇るための規定のＢminは、以下のように計算される。
【０５３４】
【数１２６】
2020509280.tif 000130
【０５３５】
上記の式は、Ｂmin∝Ｌ-3，ｈ3を示している。Ｂminの実験値とモデル予測値との比較を、図Ｓ２３に示す。
【０５３６】
Ｃ．検討
メニスカスの全高を昇るためのＢの規定された最小値Ｂminがロボットの寸法に対してどのように変化するかを議論するために、我々は、元のロボット（図１９ａ）と比較して異なるＬ、ｈを有する４つの追加ロボットの実験データを含める。図Ｓ２２に示すように、円弧状モデルは、Ｌおよびｈがメニスカス上昇性能にどのように影響を与えることができるかを正しく予測しており、短くかつ厚いロボットは、メニスカス全高を昇るには、それだけ小さなＲ（つまり大きな曲率）を必要とする。同様に、図Ｓ２３は、式（Ｓ７．１１）のコサイン形状モデルが、水メニスカスの最上部で壁と接触しているロボットについて、実験的に記録された値と一致するＢの上限境界値の推定値を提供することができる、ということを示している。
【０５３７】
後者のモデルに関して、水−空気界面の一定の線形勾配の単純化した仮定は、長さＬ＜＜Ｌcの本体に対して原則的に成り立ち、これについては、指数メニスカスプロファイルのテイラー級数展開（式（Ｓ７．２））はその線形項で近似できる。この条件は、明らかに我々のロボットでは完全には満たされていない。この矛盾にもかかわらず、モデルは、規定のＢminについて妥当な値をもたらしている。
【０５３８】
モデルの２次元性は暗黙のうちに無限に広いロボットを仮定しているので、すべての場合において、ｗは考慮から除外される。実験では、実際のロボットの幅が有限であるため、２Ｄモデル平面に垂直な方向に、水面の曲率が増加する（図３ｄ）。この横方向の湾曲は、モデルでは考慮されていない。そのような固有の食い違いは、結果の食い違いに部分的に考慮されるかもしれない。追加の置換された水の量が、湾曲したロボットによって範囲を定められた円形セグメントのものと等しいと仮定することによって、追加の近似が円弧状モデルに導入される。これは明らかに水面から追加的に置換された水量を単純化して過大に見積もることとなり、それはモデルの系のＲの過大な見積もりを説明し得る。
【０５３９】
Ｓ８−波状水泳の分析
このセクションでは、まず必要なＢシーケンスを提供し（セクションＳ８Ａ）、次にロボットの水泳速度に近似できるモデルを提供することにより（セクションＳ８Ｂ）、波状水泳を分析する。最後に、セクションＳ８Ｃで、ロボットの寸法が水泳速度にどのように影響するかについて説明する。
【０５４０】
Ａ．実験の詳細
ローリング運動（ＳＩセクションＳ５Ａ）と同様に、我々は、波状水泳を可能にするためにＸＹ平面内で回転するＢを使用する（図Ｓ２４）。これら２つの運動モードの間の主な違いは、ロボットがＣ字形に丸まるのを防ぐために、ここではＢをかなり小さくしなければならないことである（例えば、１ｍＴ−５ｍＴ）。この回転Ｂにより、ロボットは、体に沿って波状の進行波を作り出すことができ、これによりテイラー水泳シートと同様の効果的な水泳の歩みを生み出すことができる。波状水泳運動の場合、回転Ｂの周波数ｆは、４０Ｈｚ＜ｆ≦１６０Ｈｚの範囲であり、Ｂは、以下のように表現される。
【０５４１】
【数１２７】
2020509280.tif 000131
【０５４２】
Ｂ．理論的モデル  
波状水泳の速度は、ロボットが反応できるＢの最高周波数に大きく依存する。従って、ロボットの機械的帯域幅、すなわち、その２つの最低の非ゼロ基本固有振動数ωn,2およびωn,3を推定する必要がある。この計算は、ロボット内の小さな変形を想定した単純な振動解析によって実現できる。この仮定を用いて、時刻ｔにおけるロボットの任意の微小要素ｄｘを解析する（図Ｓ２５参照）。ニュートンの力の法則に基づいて、垂直軸に沿ったこのような要素の運動方程式は、次のように与えらる。
【０５４３】
【数１２８】
2020509280.tif 000132
【０５４４】
ここで、Ｃとｖはそれぞれ減衰係数と内部せん断力を表し、ρrはロボットの密度を表し、ｙは垂直方向の撓みを表す。物理的には、式（Ｓ８．２）おける
【０５４５】
【数１２９】
2020509280.tif 000133
【０５４６】
および
【０５４７】
【数１３０】
2020509280.tif 000134
【０５４８】
は、それぞれ要素に作用する減衰力および慣性力を表す。
【０５４９】
同様に、τ＝Ｊαを使用して、この要素の曲げ中心軸周りの回転運動方程式を取得できる。
【０５５０】
【数１３１】
2020509280.tif 000135
【０５５１】
変数Ｍbは要素に作用する曲げモーメントを表し、オイラー−ベルヌーイ方程式に基づいて、小さい撓みについて
【０５５２】
【数１３２】
2020509280.tif 000136
【０５５３】
と近似することができる。
【０５５４】
従って、式（Ｓ８．３）を式（Ｓ８．２）に代入すると、梁の支配的方程式を次のように得ることができる。
【０５５５】
【数１３３】
2020509280.tif 000137
【０５５６】
この偏微分方程式を評価するために、よく確立されたモード形状解析を利用する。最初に、自由振動解析を実行してロボットのモード形状を取得し、つまり、式（Ｓ８．４）から減衰力と磁気トルクを一時的に取り除く。次に、次のようにｙに対して変数分離法を使用する。
【０５５７】
【数１３４】
2020509280.tif 000138
【０５５８】
ここで、Ｆ（ｘ）はもっぱらｘの関数であり、Ｇ（ｔ）は単に時間の関数である。式（Ｓ８．５）を式（Ｓ８．４）に代入（減衰効果および磁気作動を伴わない）し、項を整理すると、次のようになる。
【０５５９】
【数１３５】
2020509280.tif 000139
【０５６０】
古典的な振動解析に基づいて、式（Ｓ８．６）の両側はｘおよびｔから独立しており、これらはロボットのＲ番目の固有振動数ωn,R2の関数になると見なすことができる。
【０５６１】
【数１３６】
2020509280.tif 000140
【０５６２】
式（Ｓ８．８）の同次方程式を解いた後、ωn,R2でロボットのＲ番目のモード形状（ＦＲ）を表現することができる。
【０５６３】
【数１３７】
2020509280.tif 000141
【０５６４】
ここで、β4＝ＥＩ／ρrＡおよび変数ＡR、ＢR、ＣR、ＤRは、ロボットの境界条件に依存する定数である。ロボットには自由端があるので、以下の自由境界条件を式（Ｓ８．９）に代入する。
【０５６５】
【数１３８】
2020509280.tif 000142
【０５６６】
物理的には、式（Ｓ８．１０）の境界条件は、ロボットの自由端に作用するせん断力および曲げモーメントがないことを指示する。これらの境界条件に基づいて、ロボットの次の特性方程式を得ることができる。
【０５６７】
【数１３９】
2020509280.tif 000143
【０５６８】
特性方程式を数値的に解くと、ロボットの３つの最低固有振動数が次のように与えられる。
【０５６９】
【数１４０】
2020509280.tif 000144
【０５７０】
最初のモードωn,1はロボットの剛体運動を表し、２番目と３番目のモードωn,2およびωn,3は、ロボットの２つの最も低い非ゼロ基本固有振動数である。第１のモードは作動磁場の周波数に関するロボットの形状変化を記述していないので、我々は、ωn,2およびωn,3でもって周波数応答解析を始める。式（Ｓ８．１２）に基づいて、これらの２つの固有振動数は次のように表現できる。
【０５７１】
【数１４１】
2020509280.tif 000145
【０５７２】
ωn,2およびωn,3に対応するモード形状は、それぞれ、図１９ｂ（１１−１１１）に示す小さな撓みの余弦および正弦形状に影響を与える。従って、式（Ｓ８．１３）、式（Ｓ８．９）および式（Ｓ８．５）を使用して、ソフトロボットの本体に沿って発生する波状の進行波は次のように表すことができる。
【０５７３】
【数１４２】
2020509280.tif 000146
【０５７４】
ここで、変数Ｒ1およびＲ2は、理想的な２次系のボード振幅関数の漸近近似を表し、次のように表すことができる。
【０５７５】
【数１４３】
2020509280.tif 000147
【０５７６】
式（Ｓ８．１４）をよりよく分析するために、その項を次のように並べ替える。
【０５７７】
【数１４４】
2020509280.tif 000148
【０５７８】
物理的には、式（Ｓ８．１６）の右辺の１番目と２番目の要素は、それぞれ、ロボットの本体に沿った進行波および定常波を表す。定常波成分は時間対称の運動であるので、低いレイノルズ数領域、すなわちＲｅ＜＜１、ではロボットを推進しない。従って、この成分は除外することができ、ロボットの有効な波状水泳の歩み、すなわち有効な進行波、は、次のように表すことが可能である。
【０５７９】
【数１４５】
2020509280.tif 000149
【０５８０】
テイラーの水泳シートモデルに基づいて、この有効な波状水泳の歩みの水泳速度Ｖswimは、次のように表すことができる。
【０５８１】
【数１４６】
2020509280.tif 000150
【０５８２】
ここで、ｆは進行波の周波数を表す（Ｂの回転周波数と一致する）。この式は、（１）ｆ＜ωn,2の場合は、Ｖswim∝Ｌ5，ｈ-4、（２）ｆ＞ωn,2の場合は、Ｖswim∝Ｌ-3、であることを意味する。この運動はローパスシステムとして表すことができるので、我々のスケーリング分析は、ωn,2より小さいｆの範囲に基づく。
【０５８３】
式（Ｓ８．１８）は、次の２つのタイプの境界条件に対して有効である：（１）ロボットが流体の中を泳いでいる、（２）ロボットが空気−流体界面を泳いでいる。しかし、式（Ｓ８．１８）におけるテイラーの水泳シートモデルの主な仮定は、低いレイノルズ数、すなわちＲｅ＜＜１を仮定し、また波長が進行波の振幅よりはるかに大きい、すなわち
【０５８４】
【数１４７】
2020509280.tif 000151
【０５８５】
ということである。
【０５８６】
Ｃ．検討  
波状水泳速度Ｖswimがロボットの寸法によってどのように変化するかを議論するために、我々は元のロボットと比較してＬ、ｗまたはｈが異なる６つの追加ロボットの実験データを含める（図１９ａ）。我々は、これらのロボットに対して２種類の実験を行い、それぞれ、（１）Ｖswimとｆの関係、（２）ＶswimとＢの関係、をそれぞれ評価した。これらの全ての実験において、ロボットは、空気／水界面に固定されていた。
【０５８７】
最初の種類の実験では、Ｂを５ｍＴに固定し、ｆを４０Ｈｚから１６０Ｈｚまで変化させた。実験結果を、式（Ｓ８．１８）に基づく理論的予測とともに、図Ｓ２６に示す。実験データによると、すべてのロボットで、Ｖswimはロボット固有の周波数でピークに達し、これらのピーク周波数は６０Ｈｚから１００Ｈｚの範囲である。我々の理論的モデルは、ロボットのピーク水泳速度の存在を予測するが、ピーク速度が生じる特定のｆを得ることはできない。この制限にもかかわらず、モデルは、ｆに対するＶswimを１桁の大きさ付近に近似することができる。理論的予測と実験結果との間の最大の食い違いは、図Ｓ２６ｃ（１１）に示されており、ｆ＞１００Ｈｚの場合、実験的に得られたＶswimは予測速度の約２０倍速い。
【０５８８】
第２の種類の実験では、ｆを４０Ｈｚに固定しながらＢを１ｍＴから５ｍＴまで変化させた。実験結果を、式（Ｓ８．１８）に基づく理論的予測とともに、図Ｓ２７に示す。我々の実験結果は、ＶswimがＢと正の相関を持つことを示し、これは我々の理論的予測と一致する。一般に、このモデルは、すべてのロボットについて、同じオーダーの大きさの範囲内で、Ｂに対するＶswimの近似値を求めることができる。
【０５８９】
ロボットの寸法によってパラメータ化されたｆおよびＢに対するＶswimの依存性についての実験データを図Ｓ２８，Ｓ２９に示す。一般に、これらの実験データは、Ｌが大きいロボットほど速く泳ぐことができ、ｗはＶswimと明白な相関がないこと、を示し、これらの現象は、我々の理論的予測と一致する。しかしながら、我々の理論的予測とは対照的に、我々の実験は、より大きいｈを有するロボットがより速く泳ぐことを示す。
【０５９０】
実験結果と理論的予測との間の矛盾は、いくつかの要因に起因し得る。まず、式（Ｓ８．１８）のテイラー水泳シートモデルは、Ｒｅ＜＜１と仮定するが、図Ｓ２８，Ｓ２９に示される我々の特性評価実験では、本文で使用されている元のロボットではＲｅが４．６から１９０の間であり、ＳＩでテストされたすべてのロボットでは２．５４から６７６の間であることを示している。モデルには慣性効果は含まれていないため、モデルとデータの間の不一致が予想される。確かに、我々の知る限りでは、高いレイノルズ数での水泳の正確な解が通常数値的に解かれるべきであり、我々の解析モデルに慣性効果を含めることはトリビアルではない。第二に、振幅と波長が条件によっては同じオーダーになるため、ソフトロボットは、水泳者の波長はその進行波の振幅よりはるかに大きい、というモデルの仮定に違反する。第三に、我々の製造プロセスにおける不確実性によって、我々のロボットが、その休止状態においても残留の小さな曲率を有することが生じる（ＳＩセクション１Ｄおよび図Ｓ１ｅ）。このような不確実性は、正弦波形の振幅を予測よりも小さくする（図１９ｂ（１１）参照）。ロボット本体を横切るその後の理想的でない進行波は、モデルと実験結果との間にさらなる不一致をもたらす。最後に、我々は、モデルで表面張力の影響を考慮していない。その理由は、ロボットのエッジにおいて水によって形成される動的角度は、進行波の振幅と周波数に依存し、かつロボットの材料組成に依存し、考慮すべきトリビアルなものではないためである。
【０５９１】
要約すると、我々の実験データは、より大きなｈおよびＬを有するロボットはより速く泳ぐことができることを示唆するが、Ｖswimとｗとの間の明らかな相関は観察されなかった。ほとんどの場合、私たちの理論モデルは、Ｖswimについてあるオーダーの大きさの正確な近似を提供する。従って、このモデルは、同様の水泳の歩みを生み出すことができる将来のソフトロボットの水泳速度を推定するための設計者のためのガイドとして使用できる。我々は、招来的に、高いＲｅレジュームにおけるＶswimを予測でき、ロボットの表面効果を考慮に入れた、より正確なモデルを開発するつもりである。我々はまた、ロボットがその本体に沿ってより良い波状の進行波を作り出すことができるように製造方法をさらに改良するつもりである。  
【０５９２】
Ｓ９−クローリングの分析  
クローリング運動を分析するために、ここでは、この運動を生じさせるに必要なＢシーケンスを指定し（セクションＳ９Ａ）、異なる寸法の７つのソフトロボットに対して行われた実験からの観察（セクションＳ９Ｂ）に基づいて、それを説明する適切な適合モデルを提案する（セクションＳ９Ｃ）。
【０５９３】
Ａ．実験の詳細  
図２０ｇに示されているクローリング運動は、２０Ｈｚの周波数ｆ（反時計回り）および３０ｍＴのＢを有するＸＹ平面内の回転Ｂを使用して、長方形断面（０．６４５ｍｍ×２．５５ｍｍ）のガラストンネル内で行われた（図Ｓ３０）。ここでのＢシーケンスは、式（Ｓ８．１）によって記述することができる。元のロボットでは、Ｂ＞２ｍＴでクローリング運動が可能であるが、図２０ｇの実験では、１サイクルあたりの顕著なクローリング変位を得るために、Ｂ＝３０ｍＴを使用した。クローリングするロボットは、壁によって拘束されていたので、大きなＢが印加されても、撓みは小さかった。
【０５９４】
クローリング移動をよりよく理解するために、図１９ａに示される元のロボットと比較して異なるＬ、ｗ、またはｈを有する６つの追加のロボットを製造し、それぞれ、（１）Ｂを１０ｍＴに固定してｆ（２０Ｈｚから１４０Ｈｚ）とクローリング速度Ｖcrawlとの関係、（２）ｆを２０Ｈｚに固定してＶcrawlとＢ（２ｍＴから１８ｍＴ）との関係、を研究するために、２つの種類の実験を行った。
【０５９５】
Ｂ．検討  
セクションＳ８で示したテイラー水泳歩みと同様に、クローリング運動を可能にすべくロボットの本体に沿って進行波を発生させるために回転Ｂが使用される（図Ｓ３０）。しかしながら、クローリングと波状水泳との重要な違いは、クローリング方向が進行波の伝播方向と平行であるのに対して、水泳の歩みは進行波と逆平行であることである。
【０５９６】
図Ｓ３１の実験結果は、ロボットの寸法によってパラメータ化されたｆに対するＶcrawlの変動を示す。これは、ほとんどすべてのロボットのＶcrawlが、ｆ＝４０Ｈｚまでは、ｆと線形に増加することを示唆している。ｆが６０Ｈｚに達すると、ｈ＝３３３μｍのロボットについて、Ｖcrawlは低下し始める。ｆがより大きくなると、このような現象は、他のロボットにも影響を与える。進行波がもはや一定の振幅を生成することができなくなると、これが起こることに注意されたい。ロボットはまだクローリングできるが、Ｖcrawlとｆの間の関係はもはや線形ではない。
【０５９７】
ロボットの寸法によってパラメータ化されたＢに対するＶcrawlの依存性の実験データを図Ｓ３２に示す。一般に、比較的大きいＢでＶcrawlが飽和し始めるまで、ＶcrawlとＢの間には正の相関関係が見られる。Ｖcrawlのこのような飽和は、Ｂを変化させたときのロボットとトンネルの接触面積の変化によって説明できる（図Ｓ３３）。例えば元のロボット（寸法３．７ｍｍ×１．５ｍｍ×０．１８５ｍｍ）を使用して、我々は、Ｂが１４ｍＴを超えた後にＶcrawlが飽和し始め、これがロボットとトンネル内表面との間の接触長の飽和に対応することを観察する（図Ｓ３３）。トンネル内のロボットの本体の長さを横切る進行波の振幅はトンネルの断面によって最終的に制約されるので、これは予想されることである。
【０５９８】
最後に、ロボットの移動速度とその寸法Ｌ、ｗ、またはｈの間に明確な相関関係は見られなかった。ｆおよびＢの特定の値について、Ｖcrawlはすべてのロボットについて同様である。
【０５９９】
Ｃ．適合モデル
前のサブセクションで報告された観測は、Ｖcrawlがｆの多項式関数とＢの指数関数で近似できることを示唆している。その結果、我々は、以下の適合モデルを提供する。
【０６００】
【数１４８】
2020509280.tif 000152
【０６０１】
ここで、ａ、ｋ0、ｋ1、およびｋ2は、適合パラメータである。ロボットの寸法は、実験的なクローリング速度との明らかな相互関係を示していないため、モデルには含まれていない。最適な適合パラメータを推定するために、我々は、次の最適化問題を定式化した。
【０６０２】
【数１４９】
2020509280.tif 000153
【０６０３】
ここで、下付き文字ｉは、図Ｓ３１および図Ｓ３２のプロットにおける対応するｉ番目のデータ点を表す。ＭＡＴＬＡＢ  ２０１６による式（Ｓ９．２）の数値解で、最適な適合パラメータは、ａ＝０．６０６、ｋ2＝０．００５、ｋ1＝０、ｋ0＝−０．００９、であることがわかった。適合モデルを使用して各ロボットについて予測されたＶcrawlを図Ｓ３４およびＳ３５にプロットする。我々は、この適合クローリングモデルの適用可能性が、１８５μｍ≦ｈ≦３３３μｍ、２．４ｍｍ≦Ｌ≦５ｍｍ、０．７５ｍｍ≦ｗ≦２ｍｍの寸法を有し、０．６４５ｍｍ×２．５５ｍｍの長方形断面のガラストンネル内をクローリングし、２ｍＴ≦Ｂ≦１８ｍＴおよび２０Ｈｚ≦ｆ≦１４０Ｈｚの範囲のパラメータを有する回転Ｂを使用した、ソフトロボットに限定されることを述べる。
【０６０４】
Ｓ１０−クラゲ状水泳の分析
クラゲ状水泳を説明するために、我々は、最初にこの運動を可能にするために必要な典型的なＢのシーケンスを指定し（セクションＳ１０Ａ）、次に異なる寸法の７つのロボットに対する我々の実験結果を説明する（セクションＳ１０Ｂ）。このような複雑な水泳の歩み（Ｒｅ＞１）のための包括的な解析モデルを導き出すことは、オープンな探求であり、この明細書の範囲を超えている。そのため、ここでは、我々のロボットの観察された水泳速度を近似できる適合モデルを提供する（セクションＳ１０Ｃ）。  
【０６０５】
Ａ．実験の詳細
図２０ａに示す元のロボットにおいてクラゲ状水泳運動を実行するために、我々は、図Ｓ３６ａに示すＸＹ平面内のＢのシーケンスを使用し、ここでは、Ｂの最大、Ｂmax＝１７ｍＴ、ｆ＝２５Ｈｚである。理論的には、Ｂは、図１９ｂに示されている同様のＣ字形およびＶ字形構成を作り出すために、α＝１３５°（等価的にα＝３１５°）に沿って振動しなければならない。しかし、製造上の不確実性のため、図Ｓ３６ｂは、Ｂがα＝１０５°およびα＝２８５°の方向に沿って振動しているときにロボットがこの運動を実行できることを示している。それ故、我々は、我々の実験において、この特定のロボットに印加されるＢを較正した。
【０６０６】
クラゲ状水泳を特徴付けるために、元のロボットと比較してＬ、ｗまたはｈが異なる６つの追加のロボットも製作した。ＳＩセクションＳ４で説明されているジャンプ運動のように、ここでの特徴付けは  βR＝４５°の代わりにβR＝−９０°を持つロボットを使って行った。これにより、我々の設定が、一対のヘルムホルツコイルとして単純化される。これらの実験条件を使用して、グローバル基準システムのＹ軸に沿って時間変化する大きさを持つＢシーケンスを指定すると、ロボットはクラゲ状水泳運動を生成できる。数学的には、Ｂは、Ｂ＝［０  Ｂ  ０］Tと単純に表すことができる。
【０６０７】
これらのロボットを使用して、我々は、それぞれ、（１）Ｂmaxを２０ｍＴに固定してｆ（２０Ｈｚから４０Ｈｚ）とロボットのクラゲ状水泳速度Ｖjfとの関係、（２）ｆを２０Ｈｚに固定してＶjfとＢmax（２０ｍＴから４０ｍＴ）との関係、を評価するために、２つの種類の実験を行った。
【０６０８】
Ｂ．検討
規定のＢシーケンス（図Ｓ３６ａ）は、ロボットがそのＣ字形構成からＶ字形構成に変化する緩慢な回復ストローク（図２０ａの０ｍｓ−１９．５ｍｓ）、および、再びＣ字形構成に戻る速いパワーストローク（図２０ａの１９．５ｍｓ−３２ｍｓ）、をロボットに実施させることを意味する。図Ｓ３８とＳ３９に基づいて、この水泳の歩みのレイノルズ数は、本文に記載されている元のロボットでは、７４から１９０であり、ＳＩでテストされたすべてのロボットでは、３９から４２１である。この歩みは実際のクラゲ水泳のそれに類似している。その研究によれば、クラゲ状水泳の著しい効率の一部は、一連のパワーストロークと回復ストロークとによって生成された渦輪を利用することに起因する。我々は、直径４５μｍのポリスチレン・トレーサー・ミクロスフェア（Ｐｏｌｙｓｃｉｅｎｃｅｓ、Ｉｎｃ）を使用し、我々のロボットのクラゲ状水泳運動の後流での流体渦の発生を、図Ｓ３７で証明した。
【０６０９】
実験的なＶjfのｆへの依存性を図Ｓ３８に示しており、ここでは、３つの部分図によって、ロボットの寸法を変えるに伴うロボットの水泳速度の傾向を、よりよく識別することができる。図示するように、Ｌ＝４．３５ｍｍ（図Ｓ３８ｂ）およびｗ＝２ｍｍ（図Ｓ３７ｃ）のロボットを除いて、Ｖjfは、３０Ｈｚ≦ｆ≦４０Ｈｚの範囲内でピークに達し、その後低下し始める。実際、ｆ＞４０Ｈｚでは、ロボットは各期間内に回復ストロークとパワーストロークを完全に完了できなくなることが観察される。
【０６１０】
実験的なＶjfのＢmaxへの依存性が図Ｓ３９に示されている。一般的に、Ｂmaxを増加させるにつれてロボットがより速く泳ぐことが観察される。しかしながら、より柔軟なロボットのＶjfは、Ｂmaxがロボット固有の閾値を超えると、減少し始める。例えば、ｈ＝１０８μｍのロボットは、Ｂmaxが２５ｍＴを超えると、泳ぎがより遅くなり始めた（図Ｓ３９ａ）。これは、Ｂmax＞２５ｍＴになると、ロボットの回復ストロークの速度が非常に速くなり、ロボットが明らかに下向きの動きを生じることが観察されるため、おそらく間違いなく起こる。このような遅延効果は、図Ｓ３９ａのｈ＝１４２μｍのロボットや図Ｓ３９ｂのＬ＝５ｍｍのロボットのような他のロボットにおいても観察される。
【０６１１】
図Ｓ３８およびＳ３９に示す実験データに基づいて、我々は、より柔軟なロボット（すなわち、より大きなＬ、より小さなｈ）は、Ｂmax＜３０ｍＴについて、より速く泳ぐことを観察する。これらのロボットは、同じＢmaxにさらされたときに、より堅いロボットと比較して、より大きなパワーストロークを生み出すことができるので、これは予想されることである。図Ｓ３８ｃとＳ３９ｃに基づいて、ｗはＶjfのｆへの依存性にのみ影響し、Ｂmaxには影響しない。図Ｓ３８ｃに基づいて、ｗが大きいロボットは一般にｆが大きくなるにつれてＶjfが比較的小さくなる。
【０６１２】
Ｃ．適合モデル
上記の観察結果は、ｆおよびＢmaxの両方に多項式関数を当てはめることができることを示唆している。さらに、異なる寸法を有するロボットは、異なる値のｆおよびＢmaxに対してピーク速度を有するので、多項式関数の係数は、ｈ、Ｌおよびｗの関数である必要がある。これらの観察を考慮して、我々は以下の適合モデルを提案する。
【０６１３】
【数１５０】
2020509280.tif 000154
【０６１４】
ここで、ｋi、ａi、ｂi、ｃiは適合パラメータである。最適な適合パラメータを推定するために、次の最適化問題を定式化する。
【０６１５】
【数１５１】
2020509280.tif 000155
【０６１６】
ここで、下付き文字ｋは、図Ｓ３８と図Ｓ３９に提示されたプロットのｋ番目の対応データ点を表す。式（Ｓ１０．２）をＭＡＴＬＡＢ  ２０１６を用いて数値的に解くことによって、我々は得られた適合パラメータを表Ｓ３に示す。式（Ｓ１０．１）の適合モデルは、Ｖjfとロボットの寸法との関係が非常に非線形であることを示している。
【０６１７】
適合モデルによる各ロボットの予想されるＶjfの値を図Ｓ４０および図Ｓ４１に示す。この適合水泳モデルの適用可能性は、１０８μｍ≦ｈ＜１８５μｍ、３．７ｍｍ≦Ｌ≦５ｍｍ、１．５ｍｍ≦ｗ≦２．５ｍｍの寸法を有し、かつ、２０ｍＴ≦Ｂmax≦４０ｍＴおよび２０Ｈｚ≦ｆ≦４０Ｈｚのパラメータ範囲のＢシーケンスを使用したソフトロボットに対するものである、ことに注意されたい。
【０６１８】
Ｓ１１−移行モード
Ａ．潜水  
図Ｓ４２ａに示すＸＹ平面内のＢシーケンスによって駆動されることで、図２０ｄに示される潜水が、以下のステップによって実現される。
【０６１９】
１．初期Ｂ（Ｂ＝２０ｍＴ、α＝９０°）が、ロボットを下方にカールさせるために課される（図２ｄの３２ｍｓ）。
【０６２０】
２．ロボットを反時計回りに回転させて、水／空気界面との身体接触を最小限に抑え（図２０ｄの４１ｍｓ）、ロボットの片端を水面に固定したままにする。
【０６２１】
３．外部Ｂを素早く１８０°反転させると、ロボットの固定されていた端部が水面から外れる（図２０ｄの６６ｍｓ、図Ｓ４２の０．８６時間単位に対応する）。その結果、水よりも密度の高いロボットが沈む。
【０６２２】
主寸法が
【０６２３】
【数１５２】
2020509280.tif 000156
【０６２４】
である我々のロボットでは、Ｂｏｎｄ  ｂｅｒは
【０６２５】
【数１５３】
2020509280.tif 000157
【０６２６】
であり、従って、表面張力の影響の大きさは重力によるものと比較して無視できない。液中に潜水することは、ロボットが水の表面張力を破ることを必要とする。ロボットの一つの端部と水／空気界面との間の接触（図３ｂのロボット構成のように）を破るのに必要な最小の力Ｆimは、γρのオーダーであり、ここでρ＝２（ｗ＋ｈ）はロボットの断面の周囲長であり、γ＝７２ｍＮ・ｍ-1は、室温における純水の表面張力である。元のロボットの場合、室温で純水の表面張力において、
【０６２７】
【数１５４】
2020509280.tif 000158
【０６２８】
である。Ｂは上記のステップ３の通りである。
【０６２９】
Ｂ．上陸
図Ｓ４３に示すＸＹ平面内のＢシーケンスによって駆動されることで、図２０ｃに示すように、水メニスカスの頂部から隣接するプラットホームへの移行が、以下のステップによって実現される。
【０６３０】
１．ロボットをカールさせるために、初期Ｂ（Ｂ＝１１．７ｍＴ、α＝２７０°）が課される（図２０ｃでは２．８秒、図Ｓ４３ａでは０時間単位）。この動きの間に、水は容易にロボット表面を濡らすことができる（次のサブセクションを参照）。
【０６３１】
２．次いで、Ｂは時計回りに回転し始める。図Ｓ４３ａの時間単位では０．２６時間単位から、Ｂの大きさが４．７  ｍＴに減少する。これは、ロボットの大部分が水面から剥がれていて、もはや大きなＢが不要となるためである。
【０６３２】
ここで我々は、製造の不確実性（セクションＳ１Ｄ）に起因する残留歪みエネルギーのために、図２０ｃのこの特定のロボットは、Ｂが４．７ｍＴでなくなった場合でも、剛体回転を実行できる、ことを強調したい。それ故、我々の実験において我々はこの特定のロボットに対して印加されるＢを較正した。
【０６３３】
Ｃ．ロボットの表面特性の影響
ロボットの天然エラストマー表面は疎水性でかつ顕微鏡的には粗い（Ｓ１セクションＳ１Ｂ）。ロボット表面の低い濡れ性、特に高い後退水接触角（〜７８°、Ｓ１セクションＳ１Ｂ参照）は、ロボットの回転中に後退三重接触線が自由に動くことを可能にする。従って、ロボットは水面から容易に剥離して、隣接する固体基板上に立つことができる（図２０ｃ）。
【０６３４】
表面疎水性はまた、ロボット本体上の接触線の位置をずらすことなくエッジ角度がわたる角度範囲を広げるので、水／空気界面でのロボットの固定を高める。その微小スケールでの粗さと相まって、表面の疎水性は、空気からの水への浸漬時に、ロボット表面上の微視的な気泡の捕捉および付着を促進する。プラストロン、すなわち、微小気泡のまばらな層の存在は、気泡の水／空気界面で屈折する光によって引き起こされる水中でのロボットの光沢のある外観によって明らかにされる。プラストロンは、水中のロボットによって押しのけられる水の量をわずかに増加させ、その浮力を増加させる。
【０６３５】
さらに、表面疎水性は、水中から水面へのロボットの出現をエネルギー的に促進する。これは、出現中に、エラストマー／水界面が完全にエラストマー／空気界面に置き換わることが、系の界面エネルギーを減少させるためである。他方、同じ理由で、疎水性はまた、潜水中にロボットが水面から離脱することをより困難にする。
【０６３６】
Ｓ１２−スケーリング分析のまとめ
Ａ．ロボットの物理パラメータのスケーリング分析  
ここでは、ロボットの物理的パラメータについて簡単なスケーリング分析を提供する。まず、図Ｓ３に示す微小元素の磁化プロファイルの大きさは、ｈおよびｗに比例し、ロボットの質量と正味磁気モーメントの大きさＭnetは、ｈ、Ｌ、ｗに比例する。第２に、ロボットの２次慣性モーメントＩは、Ｉ∝ｈ3およびＩ∝ｗのスケール則を有する。パラメータＩは、ロボットの曲げ剛性を記述するために重要になる。
【０６３７】
Ｂ．運動様式についてのスケーリング分析  
ＳＩセクションＳ４−１０で論じたモデル化および実験結果に基づいて、このサブセクションおよび表Ｓ４は、各運動様式についてのスケーリング分析の概要を提供する。我々はまた、各運動様式についてのｆの動作範囲を提案する。ｆがこの範囲内である限り、我々がテストしたすべてのロボットは、所望の運動をうまく実行することができる。表Ｓ４はまた、各運動様式から観察された最良の性能指数も含む。
【０６３８】
我々は、我々の分析および検討が、軟質体の運動に関する将来の研究を促進することを意図していることを注意する。将来的には、我々は、これらの分析を拡張して、多様な運動可能性を備えたミニチュアロボットの性能を最適化するために使用できるようにするつもりである。
【０６３９】
１．ジャンピング。性能指数：最大ジャンプ高さ、Ｈmax。
【０６４０】
理論的には、Ｈmaxはｗから独立しており、Ｌおよびｈとの関係は非常に非線形である。しかしながら、理論は、ＨmaxがＬと正の相関を持ち、ｈと負の相関を持つことを依然として示唆している。
【０６４１】
実験的に、我々は、より大きなＬとより薄いｈを有するロボットが、より高くジャンプすることができることを観察する。データは、ｗについては観測可能な傾向を示していない。従って、これらの実験結果は、理論によって予測された傾向と一致する。
【０６４２】
２．ローリング。性能指標：ローリング速度、Ｖroll。
【０６４３】
理論的には、ローリングロボットが同様の曲率を有する場合、Ｖrollは、ｗおよびｈから独立している。単純な近似を使用することによって、Ｖroll∝Ｌを推論することができる。実験的に、ｆが０Ｈｚと４Ｈｚの間にあるとき、すべてのロボットについてローリングの良好な制御が達成される（図Ｓ１２）。また、我々のデータは、ロボットが同様の曲率を有する場合、Ｌが大きいロボットの方が速くローリングすることを示唆する。ｗとｈについては観察可能な影響はない。これらの実験結果は、理論によって予測された傾向と一致する。
【０６４４】
３．歩行。パフォーマンス指標：歩行速度Ｖwalk。
【０６４５】
理論的には、Ｖwalkはｗから独立しており、Ｌとｈに対する関係は非線形である。しかし、この理論は、ＶwalkがＬと正の相関を持ち、ｈと負の相関を持つことを意味している。
【０６４６】
実験的に、歩行に対する良好な制御は、２Ｈｚ≦ｆ≦１１Ｈｚの場合に達成される（図Ｓ１７）。Ｌが大きくｈが薄いロボットは、同じＢmaxを受けたときに、より速く歩くことが観察される（図Ｓ１８）。データはｗについては観測可能な傾向を示していない。これらの実験結果は、理論によって予測された傾向と一致する。
【０６４７】
４．メニスカスクライミング。性能指数：Ｂの最低必要量、すなわちメニスカスの頂点に達するためのＢmin。
【０６４８】
理論的には、Ｂmin∝Ｌ-3，ｈ3。  現在のモデルは、ｗの影響を考慮していない。
【０６４９】
実験的には、テストされたすべてのロボットは、Ｂmin＞６ｍＴ（図Ｓ２３）の場合に、図Ｓ２０に示されている水メニスカスの最上部まで昇ることができる。Ｌが大きくｈが薄いロボットは、最上部へ昇るのに、より小さいＢminを必要とする。これらの実験結果は、理論によって予測された傾向と一致する。
【０６５０】
５．波状水泳。性能指標：水泳速度Ｖswim
理論的には、我々は、次の結果を得た：（１）ｆ＜ωn,2の場合は、Ｖswim∝Ｌ5，ｈ-4、（２）ｆ＞ωn,2の場合は、Ｖswim∝Ｌ-3。ロボットシステムはローパスシステムであるため、我々は、スケーリング分析について、第１の条件のみを考慮するつもりである（つまり、ｆ＜ωn,2の場合）。Ｖswimは常にｗと無関係である。
【０６５１】
実験的には、ｆが４０Ｈｚから１６０Ｈｚの間であれば、テストされたすべてのロボットがうまく泳ぐことができる（図Ｓ２８）。大きいＬと厚いｈのロボットは、より速く泳ぐことができる（図Ｓ２９）。実験データは、ｗについては観測可能な傾向を示していない。ｈについての実験的スケーリングと理論的スケーリングの間には食い違いがある。
【０６５２】
６．クローリング。性能指標：クローリング速度Ｖcrawl。
【０６５３】
実験的には、２０Ｈｚ≦ｆ≦４０Ｈｚの場合に、クローリングに対する良好な制御が達成される（図Ｓ３１）。データは、Ｖcrawlが、Ｌ、ｗ、ｈに対し観測可能な依存関係を持たないことを示唆している。
【０６５４】
実験データに基づいて、適合モデルは、Ｖcrawlが、ｗ、Ｌ、ｈから独立していることを示唆している。
【０６５５】
７．クラゲ状水泳。性能指標：水泳速度Ｖjf。
【０６５６】
実験的には、全てのテストされたロボットは、３０Ｈｚ≦ｆ≦４０Ｈｚの間で、うまく泳ぐことができる（図Ｓ３８）。特定のロボット設計に依存して、Ｖjfが特定のＢmaxでピークに達し得ることが観察されている（図Ｓ３９）。このＢmaxを超えると、ロボットは非常に速い回復ストロークを生み出す可能性があり、これがＶjfを減少させる。このＢmaxに達する前に、より大きなＬおよびより薄いｈを持つロボットが、より速く泳ぐことが観察される。寸法ｗは、ｆに対するＶjfの依存性にのみ影響を与えるが、Ｂには影響を与えない。つまり、ｗが大きいロボットは、一般にｆが大きくなるにつれて、比較的低いＶjfを持つ。
【０６５７】
実験データに基づいて、適合モデルは、ＶjfがＬ、ｈ、ｗに対し非常に非線形の関係を持つことを示唆している。適合パラメータの値を表Ｓ３に示す。
【０６５８】
我々が調査した寸法範囲においては、我々の理論的モデルおよび適合モデルは、より大きいＬおよびより小さいｈは、ロボットがより速く移動しかつより高くジャンプするのを助けることができるので、常に多様な運動の上で好ましい、と予測する。これらのモデルは、また、ｗがクラゲ状水泳運動にのみ影響し、ｗの最小化がその水泳速度の増加を助けることができる、ことを示唆している。
【０６５９】
Ｃ．Ｌ、ｗ、ｈの上限と下限
上で検討した我々のモデルに基づいて、そのＬが小さすぎる場合、またはそのｈおよびｗが大きすぎる場合は、ロボットはすべての運動モードを満たすことができないかもしれない。さらに、Ｌ、ｗ、およびｈの上限は、通常、空間的に均一なＢを生成する電磁コイル設定の最大許容作業スペースだけでなく、特定の用途のサイズ要件によっても制約される。ｈおよびｗの下限は、我々の現在の製造限界によって設定され、我々は、ｈ＞４０μｍおよびｗ＞０．３ｍｍのロボットのみを反復的に離型することができる。Ｌの下限は１ｍｍである。これは、磁化プロセス中に、図Ｓ１ａに示すように、ミリ未満の梁を円形治具に手動で巻き付けることが非常に困難であるためである。
【０６６０】
Ｓ１３−多様式の運動
ここでは、図３に示すロボットの多様式の運動を実現するための手順について説明する。図３ａ−図３ｄにおいて、環境は、レーザーミリングされたポリ（メチルメタクリレート）プラットホームからなる。プラットホームは酸素プラズマで処理され、１０°未満の水接触角を有する。プラットホームは、プレキシグラス箱（５２ｍｍ×３２ｍｍ×２５ｍｍ）に入れられている。この環境の液体は脱イオン水である。
【０６６１】
図３ａでは、ロボットは最初にローリング運動を使用して水面上に落下する。水に浸かった後、ロボットはメニスカスに沿ってプラットホームからわずかに離れてドリフトし、安定した後に泳ぎ始める。時計回りのＢ（Ｂ＝３ｍＴ、２５Ｈｚ）を印加して、ロボットを右に泳がせる。図３ｂでは、ロボットは水面上で順次下向きに曲がり、反時計回りに回転して水中に沈み、続いてクラゲ状運動を用いて図３ｃの水面に戻る。
【０６６２】
図３ｄは、４つの運動モードを使用して液体表面および固体表面をナビゲートするロボットを示す。固体基板上に登った後、ロボットは、他の方法では克服できない障害を乗り越えるために、指向性ジャンプ戦略を使う。ロボットの正味磁気モーメントを利用して、指向性ジャンプを実行するために必要な初期姿勢にロボットを回転させる。ロボットがこの障害物を飛び越えると、ロボットは歩き始める。ロボット１０は、障害物を飛び越える前後にわずかな滑りを生じる。この滑りは、Ｂの空間勾配によって発生する不要な磁気勾配に基づく引っ張り力によって引き起こされるものであり、Ｂの空間勾配は、ロボットのために空間的に一様なＢを提供することができる均質領域の９５％をロボットが超えたために存在する（Ｓ１セクションＳ２参照）。我々はまた、この滑りが、一般にロボットの一端のみが基材と接触しているときに起こることに注目している。この時点で摩擦が最も小さいので、小さな磁気勾配に基づく引っ張り力でも、ロボットを変位させ得る。しかし、我々のロボットにはこのような外乱があるが、障害物を飛び越えた後でも、勾配に対してロボットがうまく歩くことができることは注目すべきである。さらに、変形したロボットは正味の磁気モーメントを持っているので、磁気勾配に基づく引っ張り力によって乱された後でも、ロボットを所望の方向に操舵することができる（ＳＩセクションＳ３Ｂを参照）。
【０６６３】
図３ｅでは、ロボットはまずガラストンネル（内径：１．６２ｍｍ）に向かって歩き、このガラストンネルは最終的にその経路を遮る。トンネルはロボットがその中を歩くには小さすぎるので、磁場入力を回転Ｂに変えることによって、ロボットはクローリング運動に切り替わる。ロボットがトンネルを通ってクローリングした後、ロボットは、作業スペースを離れるまで、歩行運動を再開する。
【０６６４】
Ｓ１４−生物医学的応用に向けて
Ａ．手術模型内での運動
ここで我々は、我々のロボットが、手術用の人間の胃模型を完全に探索するために、メニスカスクライミング、上陸、ローリングおよびジャンピングの組み合わせを使うことができることを示す（図２１ａ）。
【０６６５】
ロボットは、空間勾配によって生じる不要な磁気勾配に基づく引っ張り力によって引っ張られるため、ロボットは非常に早く出発点に戻る。空間勾配は、ロボットが空間的に一様なＢを提供できる領域の外側にあるために存在する（Ｓ１セクションＳ２を参照）。我々のロボットにはそのような外乱があるが、そのような状況下でも、ロボットは正常にローリングできることに留意すべきである。
【０６６６】
Ｂ．超音波ガイドによる運動
ここで我々は、我々のロボットが低侵襲手術のような潜在的な現場応用の実現に向けて生物医学的画像システムと統合される可能性があることを実証する。特に、我々は、超音波ガイド下での運動を実証する（図２１ｂ、図Ｓ４４）。実験のために、我々は生物医学的地形を模倣するために３つの異なる生物学的模型、すなわち水タンク、トンネルおよびギャップ、を使用した。我々は、我々の磁気装置の上からシステム（Ｆｕｊｉｆｉｌｍ、Ｖｅｖｏ３１００イメージングシステム）の超音波走査ヘッドを挿入し、超音波ゲルの薄層を通して模型と接触させた。超音波システムは、ロボットがニワトリの筋肉組織によって隠された狭いスペースの中でクラゲ状水泳、クローリング、ローリングを行っている間、我々のロボットの位置を追跡することができることがわかった。これにより、ロボットが模型内をナビゲートするときにロボットをイメージングおよび追跡することができた。我々は、作動システムを中断することなくロボットの鮮明な画像を作り出すことができた。
【０６６７】
我々はまた、超音波装置について我々とともに作業した技術者が超音波画像からロボットの動きを簡単に検出できる一方で、将来的には、このプロセスを自動化するイメージングアルゴリズムを開発することが可能であることを報告する。
Ｃ．貨物配達  
薬物を選択的かつ磁気誘起的に放出するために、図２１ｄに提示された改良型ロボットの設計を、図１８に示す。追加のストラップが元のロボット本体に追加されている。明確にするために、我々は、ストラップの磁化プロファイルのｍy成分のみをマークしており、これは、薬物を放出することにおいて支配的で機能的な成分である。運動中は、ストラップの頭部をロボットの本体の孔に挿入することによって、貨物がロボットに機械的に拘束される。ｙ軸に沿って大きいＢy（〜１９ｍＴ）が加えられると、磁気トルクがストラップを曲げ、ストラップを解放して貨物を解放する。孔の拘束のため、小さなＢy（我々の場合では＜１８ｍＴ）では、ストラップを開くのに十分強くはなく、従って、我々の運動モードを継続することが可能である。
【０６６８】
Ｓ１５−Ｂの空間勾配
空間的に不均一なＢを作成することによって、正味の磁気モーメントＭnetを持つミニチュアデバイスに磁力を及ぼすことができる。これらの加えられた力の数学的記述は次の通りである。
【０６６９】
【数１５５】
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【０６７０】
ミニチュアロボットを変位させるためにＢの空間的勾配を使用する方法は、通常、磁気勾配ベース引っ張りまたは勾配引っ張りとして知られている。我々のロボットは、変形時に効果的なＭnetを持つことができるので、ロボットの運動能力を高めるように、Ｂの空間的勾配を使ってロボットに磁気勾配ベースの引っ張りを与えることができる。例えば、磁気勾配ベースの引っ張りを使用して、ジャンピング運動におけるロボットのジャンプ高さを調整することができる。
【０６７１】
理論的には、磁気勾配ベースの引っ張りは、磁気ロボットを浮揚させ、異なる地形や障害物を横断させることもある。しかしながら、この作動モードの動力学は本質的に不安定であり、特に小型ロボットを重力に抗して浮揚させなければならない場合には不安定であるため、このアプローチは実用的ではない。さらに、アボットらは、波状水泳の歩みのような時間非対称の運動が、単純な磁気勾配引っ張り作動方法よりもエネルギー効率が高いことを示しており、すなわち、これらはより高い推進力を生成する。また、外部電磁石からのそれらの距離が大きいとき、空間的勾配を使用するよりもＢを使用してミニチュア磁気ロボットを作動させることが、より容易である。多くの生物医学的用途は外部電磁石を人体の外側に配置することを必要とするので、電磁石と提案されたロボットとの間のかなりの距離によって、磁気勾配に基づく引っ張り方法は魅力的ではない。
【０６７２】
【表３】
2020509280.tif 000160
【０６７３】
【表４】
2020509280.tif 000161
【０６７４】
【表５】
2020509280.tif 000162
【０６７５】
【表６】
2020509280.tif 000163
【０６７６】
【表７】
2020509280.tif 000164
【０６７７】
【表８】
2020509280.tif 000165
【０６７８】
【表９】
2020509280.tif 000166
【図１】
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【図２】
2020509280.tif 000168
【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
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【図１７】
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【図１８】
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【図１９】
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【図２０】
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【図２１】
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【図Ｓ１】
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【図Ｓ３】
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【図Ｓ４】
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【図Ｓ５】
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【図Ｓ６】
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【図Ｓ７】
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【図Ｓ８】
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【図Ｓ９】
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【図Ｓ１０】
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【図Ｓ１１】
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【図Ｓ１２】
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【図Ｓ１３】
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【図Ｓ１４】
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【図Ｓ１５】
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【図Ｓ１６】
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【図Ｓ１７】
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【図Ｓ１８】
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【図Ｓ１９】
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【図Ｓ２０】
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【図Ｓ２１】
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【図Ｓ２２】
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【図Ｓ２３】
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【図Ｓ２４】
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【図Ｓ２５】
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【図Ｓ２６】
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【図Ｓ２７】
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【図Ｓ２８】
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【図Ｓ２９】
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【図Ｓ３０】
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【図Ｓ３１】
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【図Ｓ３２】
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【図Ｓ３３】
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【図Ｓ３４】
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【図Ｓ３５】
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【図Ｓ３６】
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【図Ｓ３７】
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【図Ｓ３８】
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【図Ｓ３９】
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【図Ｓ４０】
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【図Ｓ４１】
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【図Ｓ４２】
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【図Ｓ４３】
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【図Ｓ４４】
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【国際調査報告】
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