(57)【要約】  構成依存の力学的パラメータを有するシステムで有用である振動抑制の方法が提供される。この方法は、結果として振動挙動を低減する力学的システムへの入力の組を取得するための汎用的且つ実用的な解決策である。新規の離散時間バッファ実施が利用され、これにより、加えられたインパルスの一定の１の値の和に起因した振動の低減がもたらされる。この方法は、連続的に更新されるフィルタを用いて位置入力を整形し、且つ数値微分を使用して、位相シフトのない一貫したフィードフォワード導関数を取得することを含む。
2020526403.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
力学的特性が変化する物理的システムへの入力を生成する方法であって、
・時間瞬間ｔにおいて、前記物理的システムの入力信号を取得するステップと、
・前記時間瞬間ｔにおいて、前記物理的システムの前記力学的特性を取得するステップと、
・前記時間瞬間ｔにおいて、前記力学的特性に基づいてインパルス列を提供するステップであって、前記インパルス列は一定数のインパルスを含むステップと、
・時間瞬間ｔにおいて、前記入力信号及び前記インパルス列に基づいて前記物理的システムの改変入力信号を提供するステップと、
・前記物理的システムの入力として前記改変入力信号を使用するステップと
を含み、
前記方法は、
・前記時間瞬間ｔにおいて、前記入力信号の入力を入力バッファに記憶するステップであって、前記入力バッファは前記入力信号の過去の入力を含むステップ
を含み、
前記改変入力信号を提供する前記ステップは、
・前記インパルス列で前記入力バッファの少なくとも一部を畳み込むステップ
を含む、方法。
【請求項２】
前記インパルス列の前記インパルスは、インパルス大きさ及び関連付けられたインパルス遅延を有し、
前記インパルス列で前記入力バッファを畳み込む前記ステップは、前記入力バッファの前記過去の入力の１つで前記インパルス大きさのそれぞれを乗算するステップを含み、
前記入力バッファの前記過去の入力は、前記インパルスに関連付けられた前記インパルス遅延を前記時間瞬間ｔから差し引いたものに対応する前回時間瞬間ｔｐｒｅｖｉｏｕｓにおいて受信されている、請求項１の方法。
【請求項３】
・前記物理的システムの入力信号を提供する前記ステップと、
・前記物理的システムの前記力学的特性を取得する前記ステップと、
・前記力学的特性に基づいてインパルス列を提供する前記ステップであって、前記インパルス列は一定数のインパルスを含む前記ステップと、
・前記入力信号及び前記インパルス列に基づいて前記物理的システムの改変入力信号を提供する前記ステップと、
・前記物理的システムの入力として前記改変入力信号を使用する前記ステップと、
・前記入力信号の入力を入力バッファに記憶する前記ステップと、
・前記インパルス列で前記入力バッファの少なくとも一部を畳み込む前記ステップと
は、異なる時間瞬間において複数回繰り返される、請求項１又は２の方法。
【請求項４】
前記インパルス列の前記インパルスは、インパルス大きさ及び関連付けられたインパルス遅延を有し、
前記インパルス列で前記入力バッファを畳み込む前記ステップは、前記過去の入力の少なくとも１つを前記インパルス列の前記インパルス遅延の少なくとも１つに関連付けるステップを含む、請求項３の方法。
【請求項５】
前記少なくとも１つ過去の入力の少なくとも１つを前記インパルス遅延の少なくとも１つに関連付ける前記ステップは、異なる時間瞬間に取得された少なくとも２つの建設的な過去の入力に基づいて、前記インパルス遅延に関連付けられた前記少なくとも１つの過去の入力の前記大きさを取得するステップを含む、請求項４の方法。
【請求項６】
前記インパルス列の前記インパルスは、インパルス大きさ及び関連付けられたインパルス遅延を有し、
前記インパルス列を提供する前記ステップは、前記異なる時間瞬間に対応する関連付けられたインパルス遅延で前記インパルスを提供するステップを含む、請求項３の方法。
【請求項７】
前記異なる時間瞬間に対応する関連付けられたインパルス遅延で前記インパルスを提供する前記ステップは、前記インパルス大きさを少なくとも２つの建設的な異なる時間瞬間に分割するステップを含む、請求項６の方法。
【請求項８】
前記力学的特性は、
・前記入力信号と、
・前記改変入力信号と、
・前記物理的システムの特性を示す少なくとも１つのセンサと
の少なくとも１つに基づいて取得される、請求項１〜７のいずれか一項の方法。
【請求項９】
前記入力信号は、
・前記物理的システムの少なくとも一部の位置と、
・前記物理的システムの少なくとも一部の速度と、
・前記物理的システムの少なくとも一部の加速度と、
・前記物理的システムの少なくとも一部のトルクと、
・前記物理的システムの少なくとも一部の力と、
・前記物理的システムの少なくとも一部の電流と
の少なくとも１つを示す、請求項１〜８のいずれか一項の方法。
【請求項１０】
前記力学的特性は、
・前記物理的システムの減衰比率と、
・前記物理的システムの固有周波数と、
・前記物理的システムの減衰固有周波数と
の少なくとも１つを示す、請求項１〜９のいずれか一項の方法。
【請求項１１】
複数のロボットジョイントを含むロボットであって、
前記ロボットジョイントは、ジョイントモータを含み、
前記ロボットは、前記ロボットの入力信号に基づいて前記ジョイントモータによって提供されるトルクを制御するように構成されたロボットコントローラを含み、
前記ロボットコントローラは、
・時間瞬間ｔにおいて、前記ロボットの前記入力信号を取得することと、
・前記時間瞬間ｔにおいて、前記ロボットの力学的特性を取得することと、
・前記時間瞬間ｔにおいて、前記力学的特性に基づいてインパルス列を提供することであって、前記インパルス列は一定数のインパルスを含むことと、
・時間瞬間ｔにおいて、前記入力信号及び前記インパルス列に基づいて前記ロボットの改変入力信号を提供することと、
・前記ロボットジョイントの前記ジョイントモータを制御するために前記改変入力信号を使用することと
を行うように構成され、
前記コントローラがさらに、
・前記時間瞬間ｔにおいて、前記入力信号の入力を入力バッファに記憶することであって、前記入力バッファは前記入力信号の過去の入力を含むこと
を行うように構成されることと、
前記コントローラが、前記インパルス列で前記入力バッファの少なくとも一部を畳み込むことにより、前記改変入力信号を提供するように構成されることと
を特徴とする、ロボット。
【請求項１２】
前記インパルス列の前記インパルスは、インパルス大きさ及び関連付けられたインパルス遅延を有し、
前記ロボットコントローラは、前記入力バッファの前記過去の入力の１つで前記インパルス大きさのそれぞれを乗算することにより、前記インパルス列で前記入力バッファを畳み込むように構成され、
前記入力バッファの前記過去の入力は、前記インパルスに関連付けられた前記インパルス遅延を前記時間瞬間ｔから差し引いたものに対応する前回時間瞬間ｔｐｒｅｖｉｏｕｓにおいて受信されている、請求項１１のロボット。
【請求項１３】
前記ロボットコントローラは、複数の異なる時間瞬間において、
・前記ロボットの前記入力信号を取得することと、
・前記入力信号の入力を前記入力バッファに記憶することと、
・前記ロボットの前記力学的特性を取得することと、
・前記力学的特性に基づいて前記インパルス列を提供することであって、前記インパルス列は一定数のインパルスを含むことと、
・前記インパルス列で前記入力バッファの少なくとも一部を畳み込むことにより、前記ロボットの改変入力信号を提供することと
を繰り返すように構成される、請求項１１又は１２のロボット。
【請求項１４】
前記インパルス列の前記インパルスは、インパルス大きさ及び関連付けられたインパルス遅延を有し、
前記ロボットコントローラは、前記入力バッファの前記過去の入力の少なくとも１つを前記インパルス列の前記インパルス遅延の少なくとも１つに関連付けるように構成され、
前記ロボットコントローラは、前記インパルス列の前記インパルス遅延との前記入力バッファの前記過去の入力の前記関連付けに基づいて、前記インパルス列で前記入力バッファを畳み込むように構成される、請求項１３のロボット。
【請求項１５】
前記ロボットコントローラはさらに、異なる時間瞬間において取得された前記入力バッファの少なくとも２つの建設的な過去の入力に基づいて、前記インパルス遅延に関連付けられた前記少なくとも１つの過去の入力を提供するように構成される、請求項１４のロボット。
【請求項１６】
前記インパルス列の前記インパルスは、インパルス大きさ及び関連付けられたインパルス遅延を有し、
前記ロボットコントローラは、前記インパルス遅延の少なくとも１つを前記異なる時間瞬間の少なくとも１つに関連付けるように構成される、請求項１３〜１６のいずれか一項のロボット。
【請求項１７】
前記ロボットコントローラは、少なくとも１つのインパルス大きさを少なくとも２つの分割インパルス大きさに分割し、且つ前記少なくとも２つの分割インパルス大きさを等しい数の建設的な異なる時間瞬間に関連付けるように構成される、請求項１３〜１７のいずれか一項のロボット。
【請求項１８】
前記ロボットの前記力学的特性は、
・前記入力信号と、
・前記改変入力信号と、
・前記ロボットの特性を示す少なくとも１つのセンサと
の少なくとも１つに基づいて取得される、請求項１１〜１７のいずれか一項のロボット。
【請求項１９】
前記入力信号は、
・前記ロボットの少なくとも一部の位置と、
・前記ロボットの少なくとも一部の速度と、
・前記ロボットの少なくとも一部の加速度と、
・前記ロボットの少なくとも一部のトルク又は力と、
・前記ロボットの少なくとも一部の電流と
の少なくとも１つを示す、請求項１１〜１８のいずれか一項のロボット。
【請求項２０】
前記力学的特性は、
・前記ロボットの減衰比率と、
・前記ロボットの固有周波数と、
・前記ロボットの減衰固有周波数と
の少なくとも１つを示す、請求項１〜１９のいずれか一項のロボット。
【請求項２１】
物理的システムのアクチュエータへの入力を生成する方法であって、
前記入力は、前記物理的システムの少なくとも一部の位置を示す位置信号と、前記物理的システムの少なくとも一部の前記位置の導関数を示す少なくとも１つの位置導関数信号とを含み、
前記方法は、
・時間瞬間ｔｉにおいて、前記位置信号を取得するステップと、
・前記時間瞬間ｔｉにおいて、前記位置信号の入力を位置入力バッファに記憶するステップであって、前記位置入力バッファは前回時間瞬間において取得された前記位置信号の入力を含むステップと、
・前記位置入力バッファの前記入力の少なくとも２つに基づく数値中心差分微分に基づいて、前記少なくとも１つの導関数信号を取得するステップと
を含み、
前記導関数信号を取得するステップは、前記瞬間時間ｔｉ前に生じた時間瞬間ｔｉ−ｍにおいて、
・前記時間瞬間ｔｉ−ｍの前に取得された時間瞬間ｔｉ−ｎにおいて取得された前記位置入力バッファの少なくとも１つの入力と、
・前記時間瞬間ｔｉ−ｍの後に取得された時間瞬間ｔｉ−ｌにおいて取得された前記位置入力バッファの少なくとも１つの入力と
に基づく数値中心差分微分によって一次導関数信号を取得するステップを含み、
前記物理的システムの前記アクチュエータへの前記入力は、少なくとも、
・前記瞬間時間ｔｉの前に生じた前記時間瞬間ｔｔ−ｍにおいて取得された前記位置信号、及び
・前記瞬間時間ｔｉの前に生じた前記時間瞬間ｔｔ−ｍにおける前記取得された一次導関数信号
として提供される、方法。
【請求項２２】
前記時間瞬間ｔｉ−ｍにおいて生じた前記一次導関数信号は、前記時間瞬間ｔｉにおいて取得された前記位置入力バッファの前記入力及び前記瞬間時間ｔｉの２つの時間期間前に生じた時間瞬間ｔｉ−２において取得された前記入力バッファの前記入力に基づく数値中心差分微分により、前記瞬間時間ｔｉの１つの時間期間前に生じた時間瞬間ｔｉ−１において取得される、請求項２１の方法。
【請求項２３】
前記位置入力バッファの前記入力の少なくとも３つに基づく数値中心差分微分に基づいて二次導関数信号を取得するステップを含み、
・一次導関数信号を、前記瞬間時間ｔｉ−ｍの後に生じた時間瞬間ｔｉ−ｏにおいて、
〇前記時間瞬間ｔｉ−ｏの後に生じた時間瞬間ｔｉ−ｏ＋ｊにおいて取得された前記位置入力バッファの少なくとも１つの入力、及び
〇前記時間瞬間ｔｉ−ｏの前に生じた時間瞬間ｔｉ−ｏ−ｊにおいて取得された前記位置入力バッファの少なくとも１つの入力
に基づく数値中心差分微分によって取得するステップと、
・一次導関数信号を、前記瞬間時間ｔｉ−ｍの前に生じた時間瞬間ｔｉ−ｋにおいて、
〇前記時間瞬間ｔｉ−ｋの後に生じた時間瞬間ｔｉ−ｋ＋ｊにおいて取得された前記位置入力バッファの少なくとも１つの入力、及び
〇前記時間瞬間ｔｉ−ｋの前に取得された時間瞬間ｔｉ−ｋ−ｊにおいて生じた前記位置入力バッファの少なくとも１つの入力
に基づく数値中心差分微分によって取得するステップと、
・前記時間瞬間ｔｉ−ｍにおいて生じた二次導関数信号を、
〇時間瞬間ｔｉ−ｏにおいて生じた前記取得された一次導関数信号、及び
〇時間瞬間ｔｉ−ｋにおいて生じた前記取得された一次導関数信号
に基づく数値中心差分微分によって取得するステップと
を含み、
前記物理的システムの前記アクチュエータへの前記入力はさらに、前記時間瞬間ｔｔ−ｍにおける前記取得された二次導関数信号として提供される、請求項２１又は２２の方法。
【請求項２４】
・時間瞬間ｔｉ−ｏにおいて生じた前記一次導関数信号は、前記時間瞬間ｔｉにおける前記入力バッファの前記入力及び前記瞬間時間ｔｉの１つの時間期間前に生じた前記時間瞬間ｔｉ−１における前記入力バッファの前記入力に基づく数値中心差分微分により、前記瞬間時間ｔｉの半時間期間前に生じた時間瞬間ｔｉ−１／２において取得され、
・時間瞬間ｔｉ−ｋにおいて生じた前記一次導関数信号は、前記瞬間時間ｔｉの２つの時間期間前に生じた前記時間瞬間ｔｉ−２における前記入力バッファの前記入力及び前記瞬間時間ｔｉの１つの時間期間前に生じた前記時間瞬間ｔｉ−１における前記入力バッファの前記入力に基づく数値中心差分微分により、前記瞬間時間ｔｉの３つの半時間期間前に生じた時間瞬間ｔｉ−３／２において取得され、
・時間瞬間ｔｉ−ｍにおける前記取得された二次導関数信号は、前記瞬間時間ｔｉの半時間期間前に生じた前記時間瞬間ｔｉ−１／２における前記取得された一次導関数信号及び前記瞬間時間ｔｉの３つの半時間期間前に生じた時間瞬間ｔｉ−３／２における前記一次導関数信号に基づく数値中心差分微分により、前記瞬間時間ｔｉの１つの時間期間前に生じた瞬間ｔｉ−１において取得され、
前記物理的システムの前記アクチュエータへの前記入力はさらに、前記瞬間時間ｔｉの１つの時間期間前に生じた前記時間瞬間ｔｔ−１における前記取得された二次導関数信号として提供される、請求項２３の方法。
【請求項２５】
複数のロボットジョイントを含むロボットであって、
前記ロボットジョイントは、ジョイントモータを含み、
前記ロボットは、前記ロボットの少なくとも一部の位置を示す位置信号と、前記ロボットの少なくとも一部の前記位置の導関数を示す少なくとも１つの位置導関数信号とを含む入力に基づいて前記ジョイントモータを制御するように構成されたロボットコントローラを含み、
前記ロボットコントローラは、
・時間瞬間ｔｉにおいて、前記位置信号を取得することと、
・前記時間瞬間ｔｉにおいて、前記位置信号の入力を位置入力バッファに記憶することであって、前記位置入力バッファは前回時間瞬間において取得された前記位置信号の入力を含むことと、
・前記位置入力バッファの前記入力の少なくとも２つに基づく数値中心差分微分に基づいて、前記少なくとも１つの導関数信号を取得することと
を行うように構成され、
前記導関数信号を取得する前記ステップは、前記瞬間時間ｔｉの前に生じた時間瞬間ｔｉ−ｍにおいて、
・前記時間瞬間ｔｉ−ｍの前に生じた時間瞬間ｔｉ−ｎにおいて取得された前記位置入力バッファの少なくとも１つの入力、
・前記時間瞬間ｔｉ−ｍの後に生じた時間瞬間ｔｉ−ｌにおいて取得された前記位置入力バッファの少なくとも１つの入力
に基づく数値中心差分微分によって一次導関数信号を取得するステップを含み、
前記ロボットコントローラは、少なくとも、
・前記瞬間時間ｔｉ前に生じた前記時間瞬間ｔｔ−ｍにおいて取得された前記位置信号、及び
・前記瞬間時間ｔｉ前に生じた前記時間瞬間ｔｔ−ｍにおける前記取得された一次導関数信号
に基づいて前記ジョイントモータを制御するように構成される、ロボット。
【請求項２６】
時間瞬間ｔｉ−ｍにおける前記一次導関数信号は、前記時間瞬間ｔｉにおいて取得された前記位置入力バッファの前記入力及び前記瞬間時間ｔｉの２つの時間期間前に生じた前記時間瞬間ｔｉ−２において取得された前記入力バッファの前記入力に基づく数値中心差分微分により、前記瞬間時間ｔｉの１つの時間期間前に生じた時間瞬間ｔｉ−１において取得される、請求項２５のロボット。
【請求項２７】
前記ロボットコントローラは、前記位置入力バッファの前記入力の少なくとも３つに基づく数値中心差分微分に基づいて二次導関数信号を取得するように構成され、
前記ロボットコントローラは、
・一次導関数信号を、前記瞬間時間ｔｉ−ｍの前に生じた時間瞬間ｔｉ−ｏにおいて、
〇前記時間瞬間ｔｉ−ｏの後に生じた時間瞬間ｔｉ−ｏ＋ｊにおいて取得された前記位置入力バッファの少なくとも１つの入力、及び
〇前記時間瞬間ｔｉ−ｏ前に生じた時間瞬間ｔｉ−ｏ−ｊにおいて取得された前記位置入力バッファの少なくとも１つの入力
に基づく数値中心差分微分によって取得することと、
・一次導関数信号を、前記瞬間時間ｔｉ−ｍ前に生じた時間瞬間ｔｉ−ｋにおいて、
〇前記時間瞬間ｔｉ−ｋの後に生じた時間瞬間ｔｉ−ｋ＋ｊにおいて取得された前記位置入力バッファの少なくとも１つの入力、及び
〇前記時間瞬間ｔｉ−ｋの前に生じた時間瞬間ｔｉ−ｋ−ｊにおいて取得された前記位置入力バッファの少なくとも１つの入力
に基づく数値中心差分微分によって取得することと、
・二次導関数信号を、時間瞬間ｔｉ−ｍにおいて、
〇時間瞬間ｔｉ−ｏにおいて生じた前記取得された一次導関数信号、及び
〇時間瞬間ｔｉ−ｋにおいて生じた前記取得された一次導関数信号
に基づく数値中心差分微分によって取得することと
を行うように構成され、
前記ロボットコントローラはさらに、前記時間瞬間ｔｔ−ｍにおいて生じた前記二次導関数信号に基づいて前記ジョイントモータを制御するように構成される、請求項２５又は２６のロボット。
【請求項２８】
・時間瞬間ｔｉ−ｏにおける前記一次導関数信号は、前記時間瞬間ｔｉにおいて取得された前記入力バッファの前記入力及び前記瞬間時間ｔｉの１つの時間期間前に生じた前記時間瞬間ｔｉ−１として取得された前記入力バッファの前記入力に基づく数値中心差分微分により、前記瞬間時間ｔｉの半時間期間前に生じた時間瞬間ｔｉ−１／２において取得され、
・時間瞬間ｔｉ−ｋにおける前記一次導関数信号は、前記瞬間時間ｔｉの２つの時間期間前に生じた前記時間瞬間ｔｉ−２において取得された前記入力バッファの前記入力及び前記瞬間時間ｔｉの１つの時間期間前に生じた前記時間瞬間ｔｉ−１として取得された前記入力バッファの前記入力に基づく数値中心差分微分により、前記瞬間時間ｔｉの３つの半時間期間前に生じた時間瞬間ｔｉ−３／２において取得され、
・時間瞬間ｔｉ−ｍにおける前記二次導関数信号は、前記瞬間時間ｔｉの半時間期間前に生じた前記時間瞬間ｔｉ−１／２における前記取得された一次導関数信号及び前記瞬間時間ｔｉの３つの半時間期間前に生じた時間瞬間ｔｉ−３／２における前記一次導関数信号に基づく数値中心差分微分により、前記瞬間時間ｔｉの１つの時間期間前に生じた瞬間ｔｉ−１において取得され、
前記ロボットコントローラはさらに、前記瞬間時間ｔｉの１つの時間期間前に生じた前記時間瞬間ｔｔ−１における前記取得された二次導関数信号に基づいて前記ジョイントモータを制御するように構成される、請求項２７のロボット。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、構成依存の力学的パラメータを有するシステムの振動抑制の方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
高速軽量構造に関する機械システムの要件は、常に現在の運動制御技術の限界を押し広げている。軽量構造は、高速動作、モバイル機器、エネルギー効率的な機構及び大きい構造等の様々な状況で望まれる。軽量構造は、弾性挙動をシステムにもたらし、その結果、運動作業中及び後の機械的振動等の揺動運動を含む力学的応答を生じさせる。機械的振動は、システムの精度及び生産性に悪影響を及ぼし、したがって振動量を最小に抑えることが望まれる。
【０００３】
重く剛性の高い設計からより高度の機械的柔軟性を有する軽量構造にシフトする傾向が見られる一産業は、ロボット工学である。ロボット工学における最新の進展は、協働ロボット［１］と呼ばれる新しい分野を含む。協働ロボットとは、人間と直接相互作用するように設計されたロボットである。従来の重い鋳鉄構造の産業ロボット［１］とは対照的に、協働ロボットは、多くの場合、低質量及び低慣性特性を有し、運動中、ロボットに蓄えられる運動エネルギー量を低減するように設計される。これは、衝突状況で人間又は資材が破損するリスクを下げる。しかしながら、多くの場合、質量及び慣性を下げると、システムの剛性が低下すると共に、制振が低下し、それによりシステムの振動挙動が高まる。
【０００４】
システムの振動量を低減する問題は、この１０年を通して徹底的に取り組まれてきた。一般に、様々な手法は、３つの大きいグループに分割することができる：ハードウェア設計、閉ループ振動制御及び開ループ振動抑制。
【０００５】
ハードウェア設計による振動低減は、通常、高い剛性及び制振を通して又は潜在的な周期的負荷状況での周波数エリアにおける固有周波数を避ける設計を通して振動挙動を低減しようとする機械的な設計の最適化を含む。
【０００６】
振動がない運動への閉ループ手法は、最も普及している手法である。これは、所望のシステム状態と比較した誤差を低減するために、フィードバック制御、すなわちリアルシステムからのセンサデータ等の観測の使用を含む。有効な閉ループ振動抑制は、多くの場合、複雑な制御構造及び加速度計等の追加のセンサを含む。閉ループ振動抑制の大きい欠点は、センサノイズが増幅されて、システム振動が増大し得ることである。
【０００７】
振動低減への閉ループ手法とは対照的に、開ループ振動制御は、システムの挙動を予測し、システムへの入力を形成する際、予測を考慮に入れることに依拠する。予測挙動に起因して、開ループ振動抑制は、一般に、閉ループ振動制御よりも応答性が高いように設計することができる。開ループ振動低減法では、追加のセンサの必要性を回避しながら、より単純な制御構造の使用も可能になり、したがって全体的により単純なシステムを達成する。
【０００８】
フィードフォワード／フィードバック制御
システム、例えばロボット［１］の一種の動作は、特定の位置軌道を辿るものである。この種の運動では、１つ又は複数の位置コントローラが実施される。これらのコントローラは、経時変化することができる標的位置を維持する目的を有する。コントローラは、フィードフォワード機能及びフィードバック機能を含むことができる。フィードフォワード／フィードバックコントローラでは、フィードフォワード信号は、位置誤差が生じる前に動作を行うことができるように主入力を補足する。これは、コントローラの応答性を高める。
【０００９】
図１は、導関数により補足される標的位置軌道生成器１０１を用いたセットアップの一例を示す。この例では、ｑは、標的位置を示し、
【数１】
2020526403.tif 000003
は、標的速度を示し、
【数２】
2020526403.tif 000004
は、標的加速度を示し、τは、標的トルクを示し、Ｉαは、実際の電流を示し、
【数３】
2020526403.tif 000005
は、実際の速度を示し、ｑαは、実際の位置を示す。標的位置ｑの導関数
【数４】
2020526403.tif 000006
及び
【数５】
2020526403.tif 000007
と一緒に、逆動力学１０２を実行し、モータコントローラ１０３に標的トルクτを提供し、標的トルクに基づいて力学的システム１０４のモータの電流Ｉαを調整することが可能である。理想的には、これにより所望の運動が生じる。しかしながら、多くの場合、フィードバック制御は、なお不確実性及び外乱を考慮する必要がある。このため、この例では、センサフィードバックが実施されて、力学的システムからモータコントローラまでの実際の速度
【数６】
2020526403.tif 000008
及び実際の位置ｑαを返す。
【００１０】
コントローラは、その入力が互いに一貫する場合にのみ、すなわち導関数が真の導関数であり、トルクが軌道に一致する場合にのみ良好に実行することができる。そうでない場合、コントローラは、矛盾した標的を達成しようとすることになり、一般に、標的入力と比較して高い誤差及び高レベルの振動が生じる。したがって、あるタイプのフィルタを任意の入力に適用して振動を低減する場合、すなわちその特定の入力を変更する場合、フィルタリングされた入力と一貫するように他の入力もそれに従って変更しなければならない。
【００１１】
コマンド整形
最近の研究で高い注目を集めている振動をなくす一手法は、コマンド整形である。コマンド整形は、参照整形とも呼ばれる。コマンド整形を用いる場合、システム入力は、システム振動モードが相殺されるようにインテリジェントに形成される。コマンド整形の最も初期の記述の１つは、ポジキャスト制御と呼ばれ、同様の方法についてのＣａｌｖｅｒｔｓ特許［４］と同時に１９５７年にＳｍｉｔｈにより提示された［２、３］。しかし、ポジキャスト制御と同様の手法がＣＡＭプロファイル設計で実施される前、Ｓｍｉｔｈは、コマンド整形プロセスの最初の構造化記述を提示した。
【００１２】
ポジキャスト制御の基本概念は、入力信号を２つの構成要素に分割し、システム入力の一部に時間遅延を与えることである。非遅延入力構成要素は、システムに振動を導入する。遅延構成要素は、正確なタイミング及び大きさで振動を相殺する。制振を有する二次動力システムへの、インパルスからなる単純な入力の場合のポジキャスト原理の一例を図２に示し、図２では、大きさＡ１を有する第１のインパルスが時間０において提供され、大きさＡ２を有する第２のインパルスが時間０．５において提供される。大きさＡ１を有する第１のインパルスに起因した第１の振動応答２０５は、破線で示され、大きさＡ２を有する第２のインパルスに起因する第２の振動応答２０６は、点線で示される。合計振動応答２０８は、実線で示され、第１の振動応答及び第２の振動応答が互いに相殺することを見て取ることができる。この方法は、１つの振動モードの振動を抑制することを意図する。
【００１３】
１９９０年、Ｓｉｎｇｅｒ及びＳｅｅｒｉｎｇは、今日、主に入力整形と呼ばれているポジキャスト制御のより一般的な記述を提示した［５、６］。Ｓｉｎｇｅｒ及びＳｅｅｒｉｎｇは、振動のないインパルスの組を達成するために解かれる制約方程式の組を決定する方法を記述した。制約は、振動振幅の制約を含む。２つのインパルスを有する最も単純な入力整形法は、ゼロ振動（ＺＶ）整形と呼ばれる。ＺＶ整形は、単にポジキャスト制御へのより一般的な手法である。Ｓｉｎｇｅｒ及びＳｅｅｒｉｎｇは、モデリング誤差へのロバスト性を上げるために、周波数領域において振動振幅の導関数をいかに制約するかも記述した。この方法は、３つ１組のインパルスを生成し、ゼロ振動及び導関数（ＺＶＤ）整形と呼ばれる。ロバスト性を更に上げるために、任意の数の導関数を制約に含めることができ、ＺＶＤＤ整形器、ＺＶＤＤＤ整形器等に繋がる。追加の導関数が制約に含められる都度、制約に準拠するために追加のインパルスが必要になる。追加のインパルスを追加するコストは、運動持続時間の増大である。
【００１４】
入力構成要素のスケーリング及びタイミングは、インパルスの大きさ
【数７】
2020526403.tif 000009
及び遅延
【数８】
2020526403.tif 000010
からなるこれらのインパルス列により記述される。入力整形では、一般に、インパルス列は、ｎ個のインパルスからなり、ｎは、正の整数である。ｎ個のインパルスからなるインパルス列は、式１及び式２のように提示される。
【数９】
2020526403.tif 000011
【００１５】
ｎ＝３を有する一例のインパルス列３０９を図３に示し、図３では、大きさＡ１を有する第１のインパルスは、時間Δ１において提供され、大きさＡ２を有する第２のインパルスは、時間Δ２において提供され、大きさＡ３を有する第３のインパルスは、時間Δ３において提供される。
【００１６】
３インパルス列応答の一例を図４に示し、図４では、大きさＡ１を有するインパルスは、時間Δ１＝０において提供され、大きさＡ２を有する第２のインパルスは、時間Δ１＝０．５において提供され、大きさＡ３を有する第３のインパルスは、時間Δ２＝１において提供される。大きさＡ１を有する第１のインパルスに起因した第１の振動応答３０５は、破線で示され、大きさＡ２を有する第２のインパルスに起因した第２の振動応答３０６は、点線で示され、大きさＡ２を有する第３のインパルスに起因した第３の応答３０７は、小さい円として示される。合計振動応答３０８は、実線で示され、時間Δ２＝１後、第１の振動応答、第２の振動応答及び第３の振動応答が互いに相殺されることを見て取ることができる。
【００１７】
図４の図示される３インパルス整形器は、ＺＶＤ型のものである。
【００１８】
既知の動力学を有するシステムの振動のないインパルス列を確立する複数の方法が開発されている。これには、例えば、モデリング誤差に対して高いロバスト性を有する整形器［７、８、９、１０、１１、１２］、マルチモード整形器［１３］、マルチ入力システム整形器［１４、１５］及び時変整形器［１６、１７］がある。［１８］には、負の大きさのインパルスを含め、他のインパルス生成方式が記載されている。振動振幅を厳密なゼロに制約せず、何らかの許容値に制約するエクストラインセンシティブ（ＥＩ）整形器と呼ばれる方法が導入される。これにより、モデリング誤差に対するロバスト性が増大する。［１９］は、スタガードポジキャストフィルタを利用してロバスト性を上げる。［２０］は、最適任意時間遅延（ＯＡＴ）フィルタリングを紹介している。ＯＡＴフィルタリングは、高速応答を得るために、負のインパルス大きさ及び潜在的に大きい大きさのインパルスを含む。［２１］は、入力整形と平滑基線関数コマンド整形とを組み合わせる。ここで、入力整形は、特定の周波数における振動の抑制に使用され、平滑基線関数コマンド整形は、より高い周波数の影響を低減するために実施される。［２２］は、負のインパルス大きさ及びフィードバック逆整形を含むハードディスクドライブの入力整形方法を提示する。
【００１９】
全てのインパルス列確立方法に共通するのは、固有周波数と制振との比率がモデリング、ルックアップテーブル、測定又は組合せのいずれかにより推定されなければならず、制約方程式の組を解いてインパルスの大きさ及び遅延を得ることである。例えば、制約は、残留振動振幅、インパルス大きさ、周波数誤差へのロバスト性及び制振誤差へのロバスト性の制約を含み得る［２３］。振動のないインパルスの組が分かると、任意のシステム入力を変更して、無振動系の運動をもたらす。この変更プロセスは、整形と呼ばれる。入力信号を整形するプロセスは、初期入力信号とインパルス列との畳み込みとして定義される。インパルス列とのこの畳み込みは、式３によって記述され、ここで、ｑ（ｔ）は、時間の関数としての入力であり、ｑ＊（ｔ）は、時間の関数としての整形された入力である。
【数１０】
2020526403.tif 000012
【００２０】
レストツーレスト位置曲線を整形する一例を図５に示し、図５では、レストツーレスト位置曲線は、０から１への移動を示す。図５において、チャート５１０は、時間の関数としての非整形入力信号５１１を示し、チャート５１２は、時間の関数としての整形済み入力信号５１３を示す。非整形入力信号は、時間０において提供された大きさＡ１を有する第１のインパルスと、時間０．８において提供された大きさＡ２を有する第２のインパルスとを含むインパルス列で畳み込まれる。第１のインパルスの畳み込みから生じる整形済み入力信号の部分は、破線５１４で示され、第２のインパルスの畳み込みから生じる整形済み入力信号の部分は、点線５１５で示される。
【００２１】
今日、入力整形は、クレーン、ハードディスクドライブ及び測定機械のようなシステムで広く使用されている。このタイプのシステムに共通するのは、周知であり、一定又はゆっくりと変化する動態を有することである。
【００２２】
複数の依存する入力の整形
時不変入力整形フィルタの場合、図６に示すように、同一の整形器を用いて位置及び全ての導関数をフィルタリングすることが可能であり、それでもなお位置及び全ての導関数が一貫する。したがって、標的位置軌道生成器１０１からの出力ｑ、
【数１１】
2020526403.tif 000013
及び
【数１２】
2020526403.tif 000014
は、入力整形フィルタ６１６によりフィルタリングされ、整形済み位置ｑ＊並びにその導関数
【数１３】
2020526403.tif 000015
及び
【数１４】
2020526403.tif 000016
を生成することができ、これらは、図１の逆動力学１０２及びモータコントローラ１０３への入力として使用される。例えば、この手法は、［２４］において実施される。同一の整形器を用いて全ての入力を整形する方法論は、フィードフォワードコントローラの一貫したフィードフォワード入力の問題を解決する。しかしながら、フィルタが時間変化する場合、一貫しない導関数が生じるため、これは、可能ではない。以下のセクションにおいて、この問題について更に説明する。
【００２３】
時変入力の整形
従来の入力整形は、時不変システム、すなわち力学的特性が変化しないシステムで容易に実施される。しかしながら、複数のシステムは、位置又は時間に伴って変化する動態を有する。時変動態の例は、１度以上の自由度を有するシステムで見られる。幾つかのもの、主に変化する質量分布（慣性）、非線形剛性、時変制振及び時変搭載物が時変挙動の一因となる。産業ロボット［１］は、構成依存動態を有するシステムのよい例である。ここで、構成は、アクチュエータの位置である。したがって、ロボット工学での有効な振動制御戦略は、例えば、産業ロボット及び協働ロボットにおける時変動態に対応可能でなければならない。
【００２４】
時変動態とは、非一定の固有周波数と制振との比率を意味する。効率的な振動抑制方法は、この時変挙動に対応可能でなければならない。時変動態を考慮に入れる概念は、［６］において紹介されている。それ以降、時変入力整形への様々な手法が提示されてきた。時変入力整形という言葉は、入力整形方法を包含し、ここで、インパルス列のタイミング及び／又はスケーリングは、経時変化する。これにより、被制御システムの時変動態を考慮に入れることが可能になる。最初の時変インパルス系列は、１９９０年代に紹介された［１６、１７、２５、２６］。Ｐａｒｋ及びＣｈａｎｇは、ジョイント弾性に基づく周波数推定に簡易化された動的モデルを使用して、頑丈な産業ロボットでの時変入力整形を実施した［２７、２８］。
【００２５】
動的モデリング、周波数テーブル、測定又は上記の組合せのいずれかを使用することにより、各時間ステップの固有周波数及び／又は制振比率が推定され、インパルス列がそれに従って更新される。
【００２６】
他の者は、異なるタイプのセグメント化入力整形を提示した［２９、３０、３１、３２］。セグメント化入力整形は、あらゆる時間ステップでインパルス列を更新するわけではなく、特定の間隔でのみ更新する。セグメント化の主な利点は、次のセクションで対処される離散時間実施で生じる実施問題を回避することである。セグメント化は、システムが定常状態にない場合、インパルス列が更新されるとき、システム入力にジャンプを生成する。セグメント化は、持続時間がかなり長い運動を生じさせ、これは、望ましくない。
【００２７】
離散時間実施
入力整形をリアルタイム用途で実施する場合、離散時間実施が必要になる可能性が最も高い。その性質により、入力整形方法は、離散時間で機能する場合、制約を有する。これらの制約は、特定の時間量だけシステム入力の部分を遅延させることが望ましく、入力整形実施に合うように時間増分が特に設計されない限り、この量が略確実に離散時間ステップの１つに適合しないことから生じる。
【００２８】
入力整形の一般的な実施は、将来のフィルタ出力のバッファを利用し、ここで、入力は、
【数１５】
2020526403.tif 000017
によりｎ個の部分にスケーリングされる。スケーリングされた各部分は、
【数１６】
2020526403.tif 000018
に対して遅延し、離散インパルス列７１９で離散入力信号７１８を畳み込むことから生じる離散整形済み入力信号７２０を示す図７Ａ及び図７Ｂに示されるように、バッファに追加される［１６、１７］。図７Ａは、時間ステップ０における信号を示し、図７Ｂは、時間ステップ６後の信号を示す。離散整形済み入力信号７２０は、インパルス列の大きさＡ１を有する第１のインパルスとの離散入力信号７１８の畳み込みから生じる寄与（暗いグレーで示される）と、インパルス列の大きさＡ２を有する第２のインパルスとの離散入力信号７１８の畳み込みから生じる寄与（明るいグレーで示される）とを含む。離散時間入力信号でインパルス系列を畳み込む場合、それは、有限インパルス応答（ＦＩＲ）フィルタと通常呼ばれるタイプのデジタルフィルタに対応する。今日、これは、なお入力整形を実施する合意された方法である［３３、３４、３５］。この実施を使用して、システム動態が推定され、インパルス列は、フィルタ入力を出力バッファに追加する前に更新される。動態は、例えば、フィルタ入力、実際の構成又はセンサ読み取り値に基づいて推定することができる。上記動態推定手法のいずれも、インパルス作用時ではなく入力時にシステム動態を推定するため、実際には好ましくない。時変フィルタの場合、インパルスタイミングの変化がある時間ステップから別の時間ステップへのインパルスジャンプを生じさせ、それにより、これが生じるとき、フィルタ出力にジャンプ又はスパイクを導入するため、時間離散化が難しい。
【００２９】
離散時間実施に起因して生じる精密ではないインパルスタイミングの問題は、Ｍｕｒｐｈｙにより対処されてきた［３６］。Ｍｕｒｐｈｙは、インパルスを２つに分割し、それらを隣接した時間ステップに適用するにより、この問題を解決する手法を提示した。Ｍｕｒｐｈｙのインパルス分割は、計算的に重い計算を表す多数の三角関数を評価する必要がある。インパルスを隣接する離散時間ステップに分割する同様の解決策、例えば線形外挿［１６］、最適化を使用した厳密数値解法［３７］及び制約として離散化を用いる厳密解析表現［１８］が提案されている。インパルス分割と共に将来のフィルタ出力をバッファリングする原理を図８に示し、図８では、離散入力信号８１８は、インパルス列８０９を用いて畳み込まれ、これは、連続時間で説明される。この離散時間ステップは、インパルス列の下の点８２１として示され、インパルス列の大きさＡ２及びＡ３を有するインパルスは、２つの離散時間ステップ間の時間において提供される。これを解くために、大きさＡ２及びＡ３を有するインパルスは、隣接する離散時間ステップに分割され、矢印で示されるように、これらの間でインパルスを提供すべきである。出力は、インパルスが離散時間ステップに分割された場合、インパルス列で離散入力信号８１８を畳み込むことによって得られる離散整形済み入力信号に対応する。
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【００３０】
本発明の目的は、従来技術に伴う上記制限又は従来技術の他の問題に対処することである。これは、独立請求項による物理的システム及びロボットへの入力を生成する方法によって達成され、物理的システム／ロボットへの改変入力信号は、インパルス列で入力バッファの少なくとも一部を畳み込むことにより提供され、入力バッファは、物理的システム／ロボットの入力信号の過去の入力を含み、インパルス列は、物理的システム／ロボットの力学的特性に基づいて生成される。これにより、物理的システム／ロボットの変化する力学的特性を有する状況下で物理的システム／ロボットの振動を低減することができる。
【課題を解決するための手段】
【００３１】
従属請求項には、本発明によるロボット及び方法の可能な実施形態が記載される。本発明の更なる利点及び恩恵は、本発明の詳細な説明に記載される。
【００３２】
更に、本発明は、振動挙動を低減させる力学的システムへの入力の組を取得する汎用的で実用的な解決策である。新しい離散時間バッファ実装を利用すべきであり、それにより、印加されたインパルスの一定の１の値の和に起因した振動の低減がもたらされることを本発明者らは発見した。
【００３３】
位置入力は、整形され、中心差分微分を使用して数値的に微分されて、位相ラグのない一貫したフィードフォワード導関数を取得する。
【００３４】
本発明をより詳細に理解するために以下の説明及び添付図面を参照する。
【図面の簡単な説明】
【００３５】
【図１】フィードフォワード導関数を用いるシステムを示す。
【図２】ゼロ振動整形（ＺＶ整形）としても知られる単純なインパルス入力のポジキャスト制御の応答を示す。
【図３】３つのインパルスを有するインパルス列を示す。
【図４】ゼロ振動及び導関数整形（ＺＶＤ整形）の応答を示す。
【図５】インパルス列で入力を畳み込むことによる整形の原理を示す。
【図６】同一の整形フィルタを使用することにより、導関数を用いて入力を同時に整形することの原理を示す。
【図７Ａ】時間ステップ０における将来のフィルタ出力のバッファを用いるリアルタイム畳み込みの原理を示す。
【図７Ｂ】時間ステップ６における将来のフィルタ出力のバッファを用いるリアルタイム畳み込みの原理を示す。
【図８】将来のフィルタ出力のバッファ及びインパルス分割を用いるリアルタイム畳み込みの原理を示す。
【図９】ｂａｎｇ−ｃｏａｓｔ−ｂａｎｇ加速度プロファイルの非整形位置、速度及び加速度を示す。
【図１０】加速度が時変入力整形を使用して整形され、速度及び位置が加速度の積分を通して見出された、ｂａｎｇ−ｃｏａｓｔ−ｂａｎｇ加速度プロファイルの位置、速度及び加速度を示す。
【図１１】入力を整形し、フィルタ出力を数値的に微分して導関数を得るフィルタの原理を示す。
【図１２】位置が時変入力整形を使用して整形され、速度及び加速度が位置の数値微分を通して見出された、ｂａｎｇ−ｃｏａｓｔ−ｂａｎｇ加速度プロファイルの位置、速度及び加速度を示す。
【図１３】後退差分微分の方法を示す。
【図１４】中心差分微分の方法を示す。
【図１５Ａ−１５Ｂ】遅延付き中心差分微分の方法を示す。
【図１６】単純なばねマスダンパシステムを示す。
【図１７】非整形ｂａｎｇ−ｃｏａｓｔ−ｂａｎｇ加速度プロファイルに露出された場合の位置依存力学系を有するばねマスダンパシステムの挙動を示す。
【図１８】将来の出力バッファあり及びインパルス分割なしでのｂａｎｇ−ｃｏａｓｔ−ｂａｎｇ加速度プロファイルの時変ＺＶ整形位置に露出された場合の位置依存力学系を有するばねマスダンパシステムの挙動を示す。
【図１９】将来の出力バッファ及びインパルス分割ありでのｂａｎｇ−ｃｏａｓｔ−ｂａｎｇ加速度プロファイルの時変ＺＶ整形位置に露出された場合の位置依存力学系を有するばねマスダンパシステムの挙動を示す。
【図２０】インパルス分割を適用する場合の印加インパルス列の和を示す。
【図２１】過去のフィルタ入力のバッファ及びバッファ補間を用いたリアルタイム畳み込みの原理を示す。
【図２２】畳み込み前の入力バッファ及びインパルス列の更新の原理を示す。
【図２３】過去の入力バッファが補間されたｂａｎｇ−ｃｏａｓｔ−ｂａｎｇ加速度プロファイルの時変ＺＶ整形位置に露出された場合の位置依存力学系を有するばねマスダンパシステムの挙動を示す。
【図２４】過去のフィルタ入力のバッファ及びバッファ補間を適用する場合の印加インパルス列の和を示す。
【図２５】複数の整形フィルタを用いて入力を整形し、微分して導関数を取得する原理を示す。
【図２６】２つ以上のインパルス列が順次印加される場合の、畳み込み前に入力バッファ及びインパルス列を更新する原理を示す。
【図２７】慣性が回転する単純な回転系を示す。
【図２８】図２７の単純な回転系の変化する力学的特性を示す。
【図２９】異なる方法によって得られた図２７の単純な回転系の様々な入力及び出力を示す。
【図３０】インパルス分割を用いるＩＢＭ及び傾斜位置におけるインパルス分割を用いるＯＢＭの場合での初期減衰系周波数のパラメータ掃引の残留振動加速度振幅及び周波数比を示す。
【図３１】インパルス分割を用いるＩＢＭ及び直線ビューにおけるインパルス分割を用いるＯＢＭの場合での初期減衰系周波数のパラメータ掃引の残留振動加速度振幅及び周波数比を示す。
【図３２】異なる状況において、異なる方法によって得られた図２７の単純回転系の位置、位置誤差及びインパルス入力及び出力の和を示す。
【図３３】変化する力学的特性を有する物理的システムへの入力を生成する方法を示す。
【図３４】変化する力学的特性を有する物理的システムへの入力を生成する方法の別の実施形態を示す。
【図３５】変化する力学的特性を有する物理的システムへの入力を生成する方法の別の実施形態を示す。
【図３６】本発明により構成されたロボットアームを示す。
【発明を実施するための形態】
【００３６】
本発明では、システムの力学的パラメータ及び対応するインパルス列は、現在の構成に関して各時間ステップで更新される。これは、任意のセグメント化戦略とは対照的に、システムに振動を誘発させずに軌道に急激な変更を常に行えることを保証するために実行される。また、あらゆる時間ステップでインパルスを更新することが、フィルタ時間変動を考慮に入れて整形入力導関数を特定する機会をいかに開くかについても説明する。
【００３７】
しかしながら、インパルス列が更新されるとき、整形位置は、未知である。整形位置及びインパルス列について解くことができるが、２つの時間ステップ間のシステム動態の小さい変化を仮定することで十分であることが多く、したがって前の時間ステップの整形位置のシステム動態を使用してインパルスの組を確立することができる。
【００３８】
整形加速度の積分
時不変であれ、時変であれ、任意のシステムにおいて、加速度を整形して積分し、一貫した速度及び位置を達成することが可能である。一般的な手法は、トルクプロファイルを整形し、加速度を計算し、加速度を２回積分して、速度及び位置をそれぞれ取得するというものである［３８、３９、３２］。しかしながら、これは、２回積分された整形加速度が所望の位置にならないため、特定の終了位置が望まれる場合、時変システムに望ましくない。この挙動は、図９及び図１０における位置が増大すると周波数が低減する時変システムの一例に示されている。ここで、図９は、時間の関数として非整形加速度９２２、速度９２３及び位置９２４の入力を示し、速度９２３は、加速度９２２の積分により取得されており、位置９２４は、速度９２３の積分によって取得されている。図１０は、整形加速度１０２２の整形入力を示し、速度１０２３は、整形加速度１０２２の積分によって取得されており、位置１０２４は、速度１０２３の積分によって特定されている。図１０の最終位置が図９の最終位置に等しくないことが留意される。図１０の最終速度が非ゼロであることも留意される。これらの現象は、インパルスのタイミング及び／又はスケーリングが変化し、したがって加速局面及び減速局面の持続時間及び／又は大きさが等しくなくなるようなフィルタ変動から生じる。
【００３９】
整形位置の微分
整形加速度を積分する問題に対処するために、位置は、代わりに、整形され、微分されて、その導関数を取得する。他の者、例えば［４０］は、整形位置信号を数値的に微分して、フィードフォワード目的で速度及び加速度を取得した。本発明の微分構造を図１１に示し、図１１において、ｑは、軌道生成器１０１からの標的位置を示し、ｑ＊は、入力整形フィルタ１１１６により整形された後の整形位置を示し、ｑ＊＊は、数値微分器１１２５後の整形位置を示し、
【数１７】
2020526403.tif 000019
は、ｑ＊＊の一次時間導関数を示し、
【数１８】
2020526403.tif 000020
は、ｑ＊＊の二次時間導関数を示す。加速度ではなく整形位置の結果を図１２に示し、図１２は、整形位置１１２４、整形位置の微分によって取得された速度１１２３及び位置１０２４の二重微分によって取得された加速度を示す。位置入力を整形する場合、
【数１９】
2020526403.tif 000021
における全てのインパルス大きさの和が１に等しい限り、すなわち、
【数２０】
2020526403.tif 000022
である限り、終了位置は、常に望ましい終了位置になる。
【００４０】
加速度を積分する一般的な手法には、数値積分により、位置と導関数との間の位相シフトがゼロになり、すなわち一貫したシステム入力という利点がある。これは、数値微分、すなわち後退差分微分への一般的な手法に当てはまらない。後退差分微分は、その原因となるシステム挙動、すなわち過去及び現在の入力に依存するが、将来の入力に依存しないことに起因して、信号処理において最も一般に使用される微分手法である。後退差分微分の方法を式４及び式５に提示し、式中、ｑｉは、現在位置であり、
【数２１】
2020526403.tif 000023
は、現在速度であり、
【数２２】
2020526403.tif 000024
は、現在加速度であり、Ｄｂａｃｋｑｉは、
【数２３】
2020526403.tif 000025
の後退差分近似であり、Ｏ（Δｔ）は、切り捨て誤差であり、Δｔは、時間ステップサイズである。
【数２４】
2020526403.tif 000026
【００４１】
後退差分微分における位相シフトの問題を図１３に示し、図１３では、ｔｉは、現在の離散時間ステップを示し、ｔｉ−１は、ｔｉの直前に生じた離散時間ステップを示し、２は、ｔｉの２ステップ前に生じた離散時間ステップを示し、ｔｉ−１／２は、ｔｉとｔｉ−１との間の仮想時間ステップを示し、ｑ＊は、整形位置を示し、
【数２５】
2020526403.tif 000027
は、ｑ＊の一次時間導関数を示し、
【数２６】
2020526403.tif 000028
は、ｑ＊の二次時間導関数を示し、
【数２７】
2020526403.tif 000029
は、システムに渡されるベクトルを示す。ここで、渡される速度は、実際には時間ｔｉ−１／２に対応する速度であり、渡される加速度は、時間ｔｉ−１に対応していることが分かる。換言すれば、速度は、位相遅延Δｔ／２を有し、加速度は、位相遅延Δｔを有する。フィードフォワード位置導関数は、次の標的位置に向かうことを意図するため、これは、フォワードシステムの主な問題である。フィードフォワード導関数が位相シフトを有する場合、フィードフォワード及びフィードバック制御は、矛盾する標的を有することになり、一般に、位置誤差がより高くなり、より高レベルの振動が生じる。
【００４２】
後退差分微分への代替は、中心差分微分である。中心差分微分は、後退差分微分よりも優れた２つの主な利点を有する。中心差分微分は、二次精度であり、位相シフトを有さない。しかしながら、非因果的である、すなわち過去、現在及び将来の入力への依存性を有するという問題が伴う。中心差分微分の方法を式６及び式７に提示し、式中、ｑｉは、現在位置であり、
【数２８】
2020526403.tif 000030
は、現在速度であり、
【数２９】
2020526403.tif 000031
は、現在加速度であり、Ｄｃｔｒｑｉは、
【数３０】
2020526403.tif 000032
の中心差分近似であり、Ｏ（Δｔ２）は、切り捨て誤差であり、Δｔは、時間ステップサイズである。なお、切り捨て誤差は、後退差分微分での一次の切り捨て誤差と比較して二次である。
【数３１】
2020526403.tif 000033
【００４３】
中心差分微分の性質を図１４に示し、図１４では、ｔｉは、現在の離散時間ステップを示し、ｔｉ−１は、ｔｉの直前に生じた離散時間ステップを示し、ｔｉ＋１は、ｔｉの直後に生じた離散時間ステップを示し、ｔｉ−１／２は、ｔｉとｔｉ−１との間の仮想時間ステップを示し、ｔｉ＋１／２は、ｔｉとｔｉ＋１との間の仮想時間ステップを示し、ｑ＊は、整形位置を示し、
【数３２】
2020526403.tif 000034
は、ｑ＊の一次時間導関数を示し、
【数３３】
2020526403.tif 000035
は、ｑ＊の二次時間導関数を示し、
【数３４】
2020526403.tif 000036
は、システムに渡されるベクトルを示す。
【００４４】
式６及び式７に示されるように、中心差分微分の非因果的挙動は、次の時間ステップの位置についての情報を必要とする。これは、様々な方法で対処することができる。一手法は、各時間ステップで実際の位置と共に次の位置を計算することである。この手法を図１４に示し、図１４では、時間ｔｉ＋１における位置ｑ＊は、予め決まっている。この手法には、時間遅延がないという利点と、軌道の急激な変更が生じる場合、フォードフォワード導関数が次の時間ステップの位置と一貫しないという欠点とがある。また、幾つかの追加の計算という欠点である。
【００４５】
別の手法は、図１５Ａに示すように、時間ｔｉにおいて新しい位置ｑｉを受信するが、前に受信した位置ｑｉ−１を渡すというものである。この方法では、追加の計算が回避され、急激な軌道変更の状況であっても、フィードフォワード導関数は、過去及び将来の時間ステップの位置に関して二次精度である。欠点は、上記手法と比較して入力が１時間ステップだけ遅延し、したがって全体的なシステム応答性が下がることである。本明細書では、この方法を遅延付き中心差分微分と呼ぶ。
【００４６】
遅延付き中心差分微分の方法は、例えば、入力が物理的システムの少なくとも一部の位置を示す位置信号と、物理的システムの少なくとも一部の位置の導関数を示す少なくとも１つの位置導関数信号とを含む物理的システムのアクチュエータへの入力を生成する方法において使用することができる。
【００４７】
図１５Ｂは、時間瞬間ｔｉにおいて、位置信号ｑ＊が取得され、位置信号の入力が、前の時間瞬間において取得された位置信号の入力を含む位置入力バッファに記憶される、遅延付き中心差分微分法の原理を示す。位置入力バッファの入力は、黒い円として示されている。
【００４８】
方法は、以下に基づく数値中心差分微分により、瞬間時間ｔｉの少なくとも１つの時間期間前に生じた時間瞬間ｔｉ−ｍにおいて生じた一次導関数信号
【数３５】
2020526403.tif 000037
を取得するステップを含む：
・時間瞬間ｔｉ−ｍ前の時間瞬間ｔｉ−ｎにおいて取得された位置入力バッファの少なくとも１つの入力。位置入力バッファの入力は、ｔｉ−ｎと記された実線の括弧で示され、時間瞬間ｔｉ−ｍ前の入力の１つ又は複数を数値中心差分微分に使用できることが理解される。
・時間瞬間ｔｉ−ｍ後の時間瞬間ｔｉ−ｌにおいて取得された位置入力バッファの少なくとも１つの入力。位置入力バッファの入力は、ｔｉ−ｌと記された実線の括弧で示され、時間瞬間ｔｉ−ｍ後の入力の１つ又は複数を数値中心差分微分に使用できることが理解される。
時間瞬間ｔｉ−ｍにおいて生じた一次導関数信号
【数３６】
2020526403.tif 000038
は、グレーの陰影の破線の円で示されている。
【００４９】
方法は、位置入力バッファの入力の少なくとも３つに基づく数値中心差分微分により、瞬間時間ｔｉの少なくとも１つの時間期間前に生じた時間瞬間ｔｉ−ｍにおいて生じた二次導関数信号
【数３７】
2020526403.tif 000039
を取得するステップを含む。この例では、時間瞬間ｔｉ−ｍにおける二次導関数信号
【数３８】
2020526403.tif 000040
（点線の円で示される）は、点線矢印によって示されるように、時間瞬間ｔｉ−ｏにおいて生じた一次導関数信号（破線の円で示される）と、時間瞬間ｔｉ−ｋにおいて生じた一次導関数信号（破線の円で示される）とに基づく数値中心差分微分により取得される。
【００５０】
瞬間時間ｔｉ−ｍの少なくとも半時間期間後に生じた時間瞬間ｔｉ−ｏにおける一次導関数信号は、以下に基づく数値中心差分微分により取得される：
・時間瞬間ｔｉ−ｏ後に生じた時間瞬間ｔｉ−ｏ＋ｊにおいて取得された位置入力バッファの少なくとも１つの入力。位置入力バッファの入力は、ｔｉ−ｏ＋ｊと記された破線の括弧で示され、時間瞬間ｔｉ−ｏ後の入力の１つ又は複数を数値中心差分微分に使用できることが理解される。
・時間瞬間ｔｉ−ｏ前に生じた時間瞬間ｔｉ−ｏ−ｊにおいて取得された位置入力バッファの少なくとも１つの入力。位置入力バッファの入力は、ｔｉ−ｏ−ｊと記された破線の括弧で示され、時間瞬間ｔｉ−ｏ前の入力の１つ又は複数を数値中心差分微分に使用できることが理解される。
【００５１】
瞬間時間ｔｉ−ｍの少なくとも半時間期間前に生じた時間瞬間ｔｉ−ｋにおける一次導関数信号は、以下に基づく数値中心差分微分により取得される：
〇時間瞬間ｔｉ−ｋ後に生じた時間瞬間ｔｉ−ｋ＋ｊにおいて取得された位置入力バッファの少なくとも１つの入力。位置入力バッファの入力は、ｔｉ−ｋ＋ｊと記された破線の括弧で示され、時間瞬間ｔｉ−ｋ後の位置入力の１つ又は複数を数値中心差分微分に使用できることが理解される。
〇時間瞬間ｔｉ−ｋ前に取得された時間瞬間ｔｉ−ｋ−ｊにおいて生じた位置入力バッファの少なくとも１つの入力。位置入力バッファの入力は、ｔｉ−ｋ−ｊと記された破線の括弧で示され、時間瞬間ｔｉ−ｋ前の入力の１つ又は複数を数値中心差分微分に使用できることが理解される。
【００５２】
物理的システムのアクチュエータへの入力は、時間瞬間ｔｔ−ｍにおいて取得された位置信号、時間瞬間において生じた取得された一次導関数信号及び瞬間ｔｔ−ｍにおいて生じた取得された二次導関数信号として提供される。したがって、物理的システムに提供される位置信号及びその導関数が同じ時間瞬間に関連し、したがって互いに関連して時間的にシフトされないことが保証される。それにより、物理的システムのよりロバストな制御を提供することができる。
【００５３】
図１５Ａは、時間瞬間ｔｉ−ｍにおいて生じた一次導関数信号が、時間瞬間ｔｉにおいて取得された位置入力バッファの入力と、瞬間時間ｔｉの２つの時間期間前に生じた時間瞬間ｔｉ−２において取得された入力バッファの入力とに基づく数値中心差分微分により、瞬間時間ｔｉの１つの時間期間前に生じた時間瞬間ｔｉ−１において取得される一実施形態を示す。時間瞬間ｔｉ−ｏにおいて生じた一次導関数信号は、時間瞬間ｔｉにおける入力バッファの入力と、瞬間時間ｔｉの１つの時間期間前に生じた時間瞬間ｔｉ−１における入力バッファの入力とに基づく数値中心差分微分により、瞬間時間ｔｉの半時間期間前に生じた時間瞬間ｔｉ−１／２において取得される。時間瞬間ｔｉ−ｋにおいて生じた一次導関数信号は、瞬間時間ｔｉの２つの時間期間前に生じた時間瞬間ｔｉ−２における入力バッファの入力と、瞬間時間ｔｉの１つの時間期間前に生じた時間瞬間ｔｉ−１における入力バッファの入力とに基づく数値中心差分微分により、瞬間時間ｔｉの３つの半時間期間前に生じた時間瞬間ｔｉ−３／２において取得され、時間瞬間ｔｉ−ｍにおいて取得された二次導関数信号は、瞬間時間ｔｉの半時間期間前に生じた時間瞬間ｔｉ−１／２において取得された一次導関数信号と、瞬間時間ｔｉの３つの半時間期間前に生じた時間瞬間ｔｉ−３／２における一次導関数信号とに基づく数値中心差分微分により、瞬間時間ｔｉの１つの時間期間前に生じた瞬間ｔｉ−１において取得され、物理的システムのアクチュエータへの入力は、瞬間時間ｔｉの１つの時間期間前に生じた時間瞬間ｔｔ−１において取得された二次導関数信号として更に提供される。
【００５４】
遅延付き中心差分微分の方法は、例えば、複数のロボットジョイントを含むロボットであって、ロボットジョイントは、ジョイントモータを含み、ロボットは、ロボットの少なくとも一部の位置を示す位置信号と、ロボットの少なくとも一部の位置の導関数を示す少なくとも１つの位置導関数信号とを含む入力に基づいてジョイントモータを制御するように構成されたロボットコントローラを含み、ロボットコントローラは、段落［００４３］〜［００５１］に記載されるような記載された遅延付き中心差分微分を実施することにより、位置入力及び位置導関数入力を生成するように構成され、ロボットは、例えば、図３６に示され、段落［０１２１］〜［０１３０］に記載されるロボットのようであり得る、ロボットにおいて使用することができる。
【００５５】
離散時間実装形態
インパルス分割あり又はなしの記載された離散時間バッファ実装形態を任意の数値差分方式と組み合わせることにより、幾つかの興味深い発見が明らかになる。説明のために、図１６に示されるように、ばね１６２６、ダンパ１６２７及び質量１６２８を含む単純なばねマスダンパシステムに対してケーススタディを実行し、ここで、ｋは、ばね剛性を示し、ｍは、システム質量を示し、ｃは、システム減衰を示す。質量は、位置入力を与えることにより、ある位置から別の位置に移動すべきである一方、位置出力は、関心のあるパラメータである。構成依存動態をシステムに導入するために、システム質量を構成依存にする。非整形入力位置は、従来のｂａｎｇ−ｃｏａｓｔ−ｂａｎｇ加速度プロファイルに従う。非整形コマンドへのシステムの力学的挙動を図１７に示し、図１７では、黒色の線は、システム入力であり、入力加速度１７２２、入力速度１７２３及び入力位置１７２４を示す。グレーの線は、システム出力であり、出力加速度１７２９、出力速度１７３０及び出力位置１７３１を示す。なお、出力位置１７３１及び入力位置１７２４は、一致するように見えるが、出力速度１７３０及び出力加速度１７２９から、図１７では振幅が小さすぎて見えないが、出力位置１７３１が振動を有することを当業者は認識するであろう。
【００５６】
将来の出力の記載されたバッファを有する時変ゼロ振動入力整形位置フィルタが導入され、その挙動を図１８に示し、図１８では、黒色の線は、システム入力であり、整形入力加速度１８２２、整形入力速度１８３２及び整形入力位置１８２４を示す。グレーの線は、システム出力であり、出力加速度１８２９、出力速度１８３０及び出力位置１８３１を示す。図において、振動周期が特定の量だけ変化すると、遅延付きインパルスが別の離散時間ステップにジャンプし、インパルス分割を用いないこの実装形態で位置スパイクが生じ、システムにおいて深刻な量の振動が発生することが分かる。
【００５７】
記載されるバッファ方法及びＭｕｒｐｈｙのインパルス分割を用いた時変ゼロ振動入力整形位置フィルタが導入され、その挙動を図１９に示し、図１９では、黒色の線は、システム入力であり、整形入力加速度１９２２、整形入力速度１９２３及び整形入力位置１９２４を示す。グレーの線は、システム出力であり、出力加速度１９２９、出力速度１９３０及び出力位置１９３１を示す。インパルス分割の導入に伴い、スパイクは、低減し、方法は、効果的な振動抑制方法であることが示される。しかしながら、小さいジャンプがなお整形入力位置１９２４において生じる。これらは、容易に監視されるが、数値微分の導入に伴い、導関数におけるスパイクは、この方法が完全からはほど遠いことの明確な証拠である。振動は、インパルス分割の実施に伴って有意に低減するが、それでもなおシステムに導入される。
【００５８】
インパルス分割あり又はなしのフィルタ出力バッファリングの別の問題は、印加されるインパルスの和が１と異なることである。これは、畳み込み後、システムへの所望の入力からのずれに繋がる。この挙動の一例を図２０に提示し、図２０は、図１９におけるインパルス分割を用いる例で、時間の経過に伴って印加されたインパルス２０３２の和を示す。プロットは、ジャンプが離散時間ステップで生じる場合のスパイクを含め、インパルスの和の変化する挙動を明らかにする。
【００５９】
時変入力整形の離散時間実装形態の問題に対処するために、新しい手法を使用して本発明を実施する。従来、将来のフィルタ出力のバッファが使用されてきたが、本発明によれば、過去のフィルタ入力のバッファが代わりに使用される。この新しい実装形態の主な動機は、１）ジャンプ又はスパイクのないフィルタ出力の達成、２）より精密な固有周波数と制振との比率の推定値の取得、３）フィルタ出力においてゼロの定常状態誤差を生成する、印加インパルス列の一定の１の値の和に起因したより精密な運動の取得により振動抑制を改善することである。従来の実装形態よりも優れた新しい実装形態の他の利点は、計算コストの低減を含む。
【００６０】
本発明の実装形態の原理は、従来のバッファ実装形態と非常に異なる。一般的な手法は、入力を受信し、その一部を実際の時間ステップの出力に追加し、残りを１つ又は複数の将来時間ステップの出力に追加するというものである。特に、その時点であるものを見送り、後のために幾つかをキューに入れるという概念、すなわち時間的に将来に目を向ける視点によるものである。
【００６１】
本発明の方法は、時間的に後ろを見るという視点を有する。本発明の方法は、入力を受信し、その一部を使用し、出力の残りの部分について時間的に後ろを見るという概念に基づく。これは、物理的システムの力学的特性が変化する場合でも印加インパルスの和が常に１であることを保証し、それにより整形入力信号の最終位置が非整形入力信号と同じであり、物理的システムの振動も低減することが保証される。
【００６２】
フィルタ出力の代わりに過去のフィルタ入力をバッファリングすることにより、インパルス分割の計算が重いという問題は、単純な補間問題と交換に無視することができる。デジタルオーディオ処理では、このタイプのフィルタは、小数遅延有限インパルス応答（ＦＤＦＩＲ）フィルタ［４１］と呼ばれる。図２１は、本発明のバッファ手法を用いた３インパルス整形器の実装形態の一例である。
【００６３】
図２１の例は、フィルタが、バッファ２１３３に追加される現在時間ステップｔの離散非整形入力信号２１１８の形態でフィルタ入力をいかに受信するかを示す。系列におけるインパルス２１０９の遅延
【数３９】
2020526403.tif 000041
は、現在時間ステップｔに対するものである。遅延は、正の値を有するため、時系列上の遅延の位置は、負の符号を用いて示される。振動のないインパルス系列を特定する一般的な方法では、第１のインパルスの遅延Δ１は、この例の場合と同様にゼロに等しく、したがってｔ−Δ１＝ｔである。他の場合、他の影響をいずれも有さない遅延が導入される。したがって、現在時間ステップｔのフィルタ入力は、畳み込みにより、第１のインパルスの大きさＡ１で直接乗算されて、現在時間ステップｔの出力に追加することができる。フィルタの出力は、離散整形入力信号２１２０を形成する。しかしながら、ｔ−Δ２及びｔ−Δ３は、いかなる従来の離散時間フィルタ入力の時間とも一致しない。したがって、インパルス大きさＡ２及びＡ３は、畳み込みにより、ｔ−Δ２及びｔ−Δ３における推定フィルタ入力と乗算され、現在時間ステップｔにおいてフィルタ出力に追加される。したがって、このフィルタは、式３に記載されるようなフィルタ入力とインパルス系列との畳み込みを実施する方法である。ｔ−Δ２及びｔ−Δ３の時間におけるフィルタ入力の推定は、離散時間フィルタ入力間の関係の記述を使用することにより実行される。関係のこの記述は、隣接する離散時間フィルタ入力間の線形補間、すなわち一次のラグランジュ補間からなる。現在時間ステップｔにおけるインパルス系列は、時間ｔにおけるシステムの力学的パラメータ又はその推定の定量化に基づいて確立される。
【００６４】
図２１の例から見られるように、バッファが長さを有することが重要であり、それにより記述子が時間ｔ−Δｎにおける入力信号を近似するのに十分な情報を有することを保証し、ここで、ｎは、系列の最後のインパルスである。例えば、物理的なシステムが、当技術分野で既知のような協働ロボットである場合、インパルス生成方式がＺＶＤ型である場合、最低制振周波数ｆｄは、約４Ｈｚであり、約
【数４０】
2020526403.tif 000042
後に最後のインパルスを印加する必要があるシステムになる。ロボットコントローラが５００Ｍｚのサンプリングレートｆｓを有する場合、バッファは、少なくともｆｓ・Δｎ＝１２５個の入力サンプルを記憶可能でなければならない。この数は、補間器の選択に応じてわずかにより高いこともある。
【００６５】
本発明の実装形態は、フィルタ入力時ではなくフィルタ出力時にインパルススケーリング
【数４１】
2020526403.tif 000043
及びインパルスタイミング
【数４２】
2020526403.tif 000044
を確立し、適用することができるという、一般的な実装形態よりも優れた非常に大きい利点を有する。フィルタ出力は、被制御システムの実際の物理的状態により近くなるため、これは、それ自体、システム動態のより精密な推定をもたらす。
【００６６】
更に、本実装形態の性質は、出力におけるジャンプを回避し、出力に基づいてインパルスを確立する機会を開く。例えば、図２２に示されるように、各時間ステップでの動態の変化が小さいと仮定して、最後の整形出力に基づいてインパルスを確立することが可能である。図２２は、入力信号２２１８からの入力が入力バッファ２２３３に記憶され、インパルス列２２１９が、前に整形された入力信号２２３４（出力）に基づいて更新され、入力バッファが、更新されたインパルス列で畳み込まれて（２２４６）、整形入力信号（出力）を取得し、前の入力信号が、いずれのインパルス列が生成されたかに基づいて物理的システムの力学的特性を取得するのに使用されたシステム又は方法の図を示す。システムの現在構成の動態を推定するため、これは、ここでも、推定されるシステム動態の精度を上げる。
【００６７】
本発明の有効性の図を図２３に提示し、図２３では、黒色の線は、システム入力であり、整形入力加速度２３２２、整形入力速度２３２３及び整形入力位置２３２４を示す。グレーの線は、システム出力であり、出力加速度２３２９、出力速度２３３０及び出力位置２３３１を示す。ここで、数値微分の実施を用いる場合でも、導関数は、図１８及び図１９におけるフィルタ出力バッファリング実装形態の場合のようなジャンプ又はスパイクを有さないことが分かる。印加インパルス列２４３２の和を図２４に示し、図２４は、印加インパルス列の和が、図２０におけるインパルス分割での印加インパルス列の変化する和とは対照的に、一定の１であることを明らかに示す。運動のｃｏａｓｔフェーズ中、入力速度２３２３が一定であることも留意される。運動の持続時間は、フィルタ出力バッファと厳密に同じであり、したがって、本発明は、従来技術よりも優れていると考えられる。
【００６８】
備考
整形位置を使用する代わりに、センサを使用してシステムの実際の構成を特定することにより、更に精密な推定を達成できる。これにより、標的構成の代わりに実際の構成に基づいて力学的推定を行う。
【００６９】
本発明の振動制御戦略は、任意の振動のないインパルス列生成方式と共に機能する。リアルタイム用途では、各時間ステップでの計算量を低減するために、閉形態で記述されるインパルス列が好ましい。
【００７０】
図２５に示されるように、複数のフィルタ２５１６Ａ、２５１６Ｂ、２５１６Ｃを直列に追加して、例えば複数の振動モードをなくし、且つ／又はモデリング誤差へのロバスト性を上げることができる。複数のフィルタを直列に実施する場合、図２６に示されるように、最後のフィルタの出力に基づいて個々のインパルス系列を更新することができる。図２６は、入力信号２６１８からの入力が入力バッファ２６３３に記憶され、入力バッファがインパルス列２６１９Ａ、２６１９Ｂ及び２６１９Ｃでそれぞれ問題なく畳み込まれ（２６４６Ａ、２６４６Ｂ、２６４６Ｃ）、整形入力信号（出力）２６２０を生成するシステム又は方法の図を示す。インパルス列２６１９Ａ、２６１９Ｂ及び２６１９Ｃは、前の整形入力信号２６３４（出力）に基づいて更新される。
【００７１】
２度以上の自由度を有するシステムの場合、個々のジョイントに別個のインパルス列を使用することが可能であるか、又は同一のインパルス列を全てのジョイントに使用することができる。別個のインパルス列は、潜在的に、低い時間遅延でマルチモード振動抑制を提供する一方、同一のインパルス列は、アクチュエータ位置間でのよりよい一貫性を提供する。低周波数振動モードを抑制する同一インパルス列と高周波数振動を抑制する別個のインパルス列との組み合わせを実施することができる。
【００７２】
提示された例では、整形フィルタは、閉ループ制御外部に位置していた。フィルタは、フィードバックループの内部に配置することもできる。
【００７３】
システム動態推定の場合、モデル、テーブル、測定又は上記の組合せを使用することが可能である。多くのシステムでは、アクチュエータ及びギアの柔軟性がシステム全体にとって支配的であり、残りの機械的構造は、剛体として推定することができる。しかしながら、軽量構造を開発するには、例えば協働ロボットに構造的柔軟性を包含することが必要であり、リンク及びジョイント柔軟性の両方をモデリングする必要があり得る。
【００７４】
本発明の振動抑制方法と併用することができる動態推定の異なるモデリング手法の例は、有限要素法［４２、４３］、シンボリックラグランジュ法［４４］、集中定数法［４５］、転送行列法［４６、４７］及び仮定モード法［４８］である。
【００７５】
数値結果
本発明による方法をテストし、従来技術による時変入力整形法と比較するために数値シミュレーションの組を実行した。数値シミュレーションで使用される力学的システムは、図２７に示され、ばね１６２６、ダンパ１６２７及び質量１６２８を含む図１６のばねマスダンパシステムと同様のシステムであり、ここで、ｋは、ばね剛性を示し、ｍは、システム質量を示し、ｃは、システム減衰を示す。これらのシミュレーションでは、システムは、回転系であり、入力角θｉを定義する回転入力２７６１は、出力角θｏを定義する回転出力２７６２を生成する。質量の慣性Ｊ（θｏ（ｔ））は、その向きをθａからθｂに変えるとき、出力角θｏと共に線形に変化するように設定される。したがって、このシステムは、自由度１（１ＤＯＦ）を有するロボットアームの時変慣性を模倣する。シミュレーションを通して、入力信号は、Ｌｉｎｅａｒ  Ｓｅｇｍｅｎｔ  ｗｉｔｈ  Ｐａｒａｂｏｌｉｃ  Ｂｌｅｎｄｓ（ＬＳＰＢ）［４９］としても知られる非常に一般的なｂａｎｇ−ｃｏａｓｔ−ｂａｎｇ軌道として提供される。
【００７６】
以下で出力バッファ法（ＯＢＭ）と呼ばれる従来技術による入力整形法に関連して、以下で入力バッファ法（ＩＢＭ）と呼ばれる提案される方法の有効性を実証するために異なる研究を実行した：
１）選択された組のシステムパラメータへのＩＢＭ法及びＯＢＭ法の性能を実証するケーススタディ、
２）様々な異なるシステムパラメータにわたりＩＢＭ整形の性能がＯＢＭ整形と比較されるパラメトリック掃引、及び
３）ＯＢＭ法及びＩＢＭ法の入力信号と整形出力信号との間の実証位置差。
【００７７】
全てのシミュレーションは、単純なＺＶ整形器インパルス方式（段落［００１３］に記載されている）を使用して実行された。ＺＶ整形器は、この研究で２つの理由で選択された：１）完全な条件下において、インパルス生成方式は、ゼロ振動を生成すべきであり、２）ＺＶ整形器は、モデリング誤差の影響を受けやすいことが証明され、互いに対して畳み込み法をベンチマーク評価するのに適する。
【００７８】
選択されたケーススタディパラメータは、Ｕｎｉｖｅｒｓａｌ  Ｒｏｂｏｔｓ  Ａ／Ｓからの一般的な協働ロボットからの観測に基づき、最低固有周波数及び最大振動振幅は、最大搭載物及び最大ベース−搭載物水平距離で経験される。これらの状況では、第１の固有周波数は、４Ｈｚのオーダであり、減衰比率は、約０．１４であることが分かった。
【００７９】
研究のコントローラのサンプリングレートは、５００Ｈｚであるように選択され、これは、産業ロボット、例えば５００Ｈｚを有するＵｎｉｖｅｒｓａｌ  Ｒｏｂｏｔ及び１ｋＨｚを有するＫＵＫＡ  Ｌｉｇｈｔｗｅｉｇｈｔ  Ｒｏｂｏｔの通常スパン内である。システムパラメータ及び軌道の運動限界を表１に列挙する。
【００８０】
【表１】
2020526403.tif 000045
【００８１】
図２８は、システム減衰周波数ｆｄ（θｏ）２８６３及び減衰比率ζｄ（θｏ）２８６４の時変性のグラフを示す。ここで、θｏが増大すると、ｆｄ（θｏ）及びζｄ（θｏ）の両方がいかに低減するかが分かる。これは、θｏが増大すると、慣性の質量モーメントＪ（θｏ）が増大することに起因する。
【００８２】
ケーススタディを図２９に示し、図２９では、
・行２９７０におけるチャートは、入力位置（実線のグレーの線）及び出力位置（破線の黒色線）を示し、
・行２９７１におけるチャートは、入力速度（実線のグレーの線）及び出力速度（破線の黒色線）を示し、
・行２９７２におけるチャートは、入力加速度（実線のグレーの線）及び出力加速度（破線の黒色線）を示し、
・行２９７３におけるチャートは、位置誤差（破線の黒色線）を示し、
・行２９７４におけるチャートは、インパルスの和（実線のグレーの線）を示し、
・列２９７５におけるチャートは、非整形入力信号に関連し、
・列２９７６におけるチャートは、インパルス分割なしのＯＢＭを使用して整形された入力信号に関連し、
・列２９７７におけるチャートは、インパルス分割ありのＯＢＭを使用して整形された入力信号に関連し、
・列２９７８におけるチャートは、インパルス分割なしのＩＢＭを使用して整形された入力信号に関連し、
・列２９７９におけるチャートは、インパルス分割ありのＩＢＭを使用して整形された入力信号に関連する。
【００８３】
ＯＢＭの位置ピーク２９８０は、明確に識別される。例えば、非整形状況での位置誤差と比較して位置誤差を見た場合、ＯＢＭがいかに振動量の増大に繋がるかが分かる。これらのピークの原因を研究するために、インパルスの和σ［ｎ］を描画する。システム入力をインパルスの和と比較することにより、σ［ｎ］におけるピークの存在２９８１が入力位置におけるピーク２９８０と同時に発生することが明らかに分かる。
【００８４】
インパルス分割がＯＢＭに含まれると、入力位置におけるこれらのピークがいかに消失して見えるか及びこの方法が、非整形状況における位置誤差との位置誤差比較により、有効な振動抑制方法であると証明されることも容易に留意される。表２に列挙されるように、インパルス分割ありのＯＢＭは、元の運動と比較して残留振動量を１０．３％に低減する。しかしながら、入力位置の数値微分は、位置信号に小さい不完全性がなお存在することを明らかにする。これは、入力速度２９８２のピーク及び加速度２９８３のピークから分かる。
【００８５】
【表２】
2020526403.tif 000046
【００８６】
ピーク２９８４がインパルス和に存在する場合には常に、入力速度２９８２及び加速度２９８３のピークが存在することが見出された。しかしながら、インパルス和が台形のような形状を有し、加速度のピークがこの台形プロファイルの角のときに存在することも留意される。
【００８７】
ＩＢＭを実施する場合、いかなるインパルス分割もないにもかかわらず、可視の位置ピークは見られない。ピーク２９８５は、ＯＢＭの入力速度になお見られ、ピーク２９８６は、ＯＢＭの入力加速度に見られるが、インパルス分割なしのＯＢＭ及びインパルス分割ありのＯＢＭの場合よりも驚くほど小さいことに留意されたい。挙動が異なり、これは、速度ピーク及び位置誤差プロットの両方で見られる。分かるように、インパルスの和は、常に１の値であり、これがピークの原因ではないことを意味する。
【００８８】
ＩＢＭの場合での速度のピークが、インパルス分割ありのＯＢＭの場合の速度の双方向ピークとは対照的に単方向であることも留意され得る。これらの違いは、インパルス分割ありのＯＢＭの位置信号に見られる小さいピークではなく、インパルスがある離散時間ステップから別の離散時間ステップに切り替わるときには常に、ＩＢＭ位置信号が小さい段差を含むために生じる。これは、位置誤差の鋸刃形状の理由でもある。
【００８９】
ＩＢＭと一緒に線形外挿インパルス分割を一緒に実施すると（すなわち一次ラグランジェ補間ＦＤ−ＦＩＲ）、システム入力位置及びその導関数における全てのピークをなくすことが可能であることが明らかに分かる。ピーク回避の他に、ＯＢＭからＩＢＭに切り替えることにより、振動量が低減することも明かである。表２から、インパルス分割ありのＩＢＭが元の運動と比較して０．４％に残留振動量を低減することが可能であることが読み取られ、これは、インパルス分割ありのＯＢＭと比較して１／１０未満である。
【００９０】
選択されたケーススタディが単にＩＢＭの最適な条件の組であるか否かを調べるために、パラメトリック掃引を以下の段落［００８６］〜［００９５］に提示する。
【００９１】
パラメトリック掃引の掃引パラメータは、初期及び最終の減衰周波数の比率
【数４３】
2020526403.tif 000047
と一緒に初期減衰周波数
【数４４】
2020526403.tif 000048
であるように選択された。実際には、慣性における係数Ｊ（θｏ（ｔ））及び減衰係数ｃを調整することにより、これらのパラメータの変動が得られる。減衰係数は、掃引での全てのポイントを通して一定の初期減衰比率ζａ＝０．１４を維持するように調整される。これは、掃引全体を通して同等の残留振動を保証する。同じ理由で、周波数が高くなるにつれて低減する位置誤差振幅ではなく、残留振動の加速度振幅を比較することが選択されている。
【数４５】
2020526403.tif 000049
及び
【数４６】
2020526403.tif 000050
を変更すると、図３０及び図３１にあるように提示し得る表面プロットが得られる。
【００９２】
図３０及び図３１は、インパルス分割ありのＩＢＭの残留振動３０９０及びインパルス分割ありのＯＢＭの残留振動３０９１を示すグリッドプロットであり、ＩＢＭの点は、円で示され、ＯＢＭの点は、十字で示される。図３０は、グリッドプロットの斜視図であり、図３１は、グリッドプロットの平面図である。
【００９３】
掃引プロットからかなりの数の興味深い観測を行うことができる。第１に、両方の方法が、
【数４７】
2020526403.tif 000051
である、すなわちシステム動態が時不変であるときに理想に近い振動抑制にいかに繋がるかに留意されたい。
【００９４】
第２に、ＩＢＭ応答がまさに本質的である場合、
【数４８】
2020526403.tif 000052
が１から離れてシフトするとき、ＯＢＭの残留振動が急速に増大し、動態が急速に変化する場合でも効率的な振動抑制を生じさせることが留意される。
【００９５】
第３に、ｚが増大する場合、ＯＢＭ応答が一層確率的であるように見える。しかしながら、これは、該当しない。この確率的に見える挙動の理由は、周波数が増大すると、運動中、インパルス和のピーク数が増大し、ピークが最終位置の直前に現れる場合には常に、これが残留振動に顕著に影響するためである。インパルス和にピークがないため、この挙動は、ＩＢＭでは見られない。
【００９６】
次の段落は、減衰比率が変化する場合、ＯＢＭ、特にインパルス分割と組み合わせたＯＢＭに存在する、段落［００３６］において紹介されたような非整形位置信号と比較した整形位置信号がずれる現象を実証する。２つの異なる状況を図３２の図に使用し、図３２では、
・行３２７０におけるチャートは、入力位置（実線のグレーの線）及び出力位置（破線の黒色の線）を示し、
・行３２７３におけるチャートは、位置誤差（破線の黒色の線）を示し、
・行３２７４におけるチャートは、インパルス和（実線のグレーの線）を示し、
・列３２７７Ａにおけるチャートは、
【数４９】
2020526403.tif 000053
である場合、インパルス分割ありのＯＢＭを使用して整形された入力信号に関連し、
・列３２７７Ｂにおけるチャートは、
【数５０】
2020526403.tif 000054
である場合、インパルス分割ありのＯＢＭを使用して整形された入力信号に関連し、
・列３２７９Ａにおけるチャートは、
【数５１】
2020526403.tif 000055
である場合、インパルス分割ありのＩＢＭを使用して整形された入力信号に関連し、
・列３２７９Ｂにおけるチャートは、
【数５２】
2020526403.tif 000056
である場合、インパルス分割ありのＩＢＭを使用して整形された入力信号に関連する。
【００９７】
例えば、
【数５３】
2020526403.tif 000057
という状況（すなわちｆｄが増大する）では、運動中、σ［ｎ］＞１であり、これが整形位置信号の小さい位置オーバーシュートに繋がり、次に、これは、最終位置に急速に近づき、位置導関数の不連続性に繋がることが分かる。
【００９８】
他方では、
【数５４】
2020526403.tif 000058
である（すなわちｆｄが低減する）場合、運動中、σ［ｎ］＜１であり、オーバーシュートが見られないことが分かる。しかしながら、導関数の不連続性が位置信号においてなお観測される。これは、アンダーシュートと呼ばれる。
【００９９】
位置信号のこれらの急激な静止は、急速な速度変更を無限に必要とし、これには、無限の加速も必要とされ、これは、当然ながら物理的に可能ではない。位置誤差を見ると、オーバーシュート又はアンダーシュートのこの現象がσ［ｎ］のピークよりも残留振動に影響するように見える。
【０１００】
ＩＢＭでは、オーバーシュート又はアンダーシュートが見られない。これは、ＯＢＭよりもＩＢＭを選択する強力な根拠である。
【０１０１】
図３３は、本発明による、力学的特性が変化する物理的システムへの入力を生成する方法の一実施形態の流れ図を示す。物理学的システムへの入力は、例えば、物理的システムの少なくとも一部の位置、速度及び／又は加速度を示すことができ、且つ／又は物理的システムの１つ又は複数のモータにより提供すべき所望のトルク又は物理的システムのモータに提供すべき電流を示すことができる。
【０１０２】
方法は、時間瞬間ｔにおいて物理的システムの入力信号を取得するステップ３３４１を含む。入力信号は、物理的システムの少なくとも一部の位置、速度及び／又は加速度を示す信号等の物理的システムへの入力として機能する任意の信号として取得することができ、且つ／又は物理的システムの１つ又は複数のモータにより提供すべき所望のトルクを示すか、又は物理的システムのモータに印加すべき電流として提供することができる。入力信号は、アナログ信号、デジタル信号及び／又はコントローラシステム内部でパッケージされるデータとして提供することができる。入力信号は、例えば、段落［０００９］及び［００１０］に記載のように、標的位置軌道１０１生成器により提供することができる。
【０１０３】
入力信号は、別のデバイス、プロセッサ、コントローラ等から入力信号を受信することにより取得することができ、且つ／又はプロセッサ、コントローラ等において内部的に入力信号を提供することにより取得することができる。ロボットジョイントがジョイントモータを含む、複数のロボットジョイントを含むロボットに関連して、入力信号は、ロボットの一部の位置を示す信号として提供することができ、ロボットを制御する予め定義されたプログラムに基づいてロボットコントローラにより提供され得る。
【０１０４】
方法は、時間瞬間ｔにおいて物理的システムの力学的特性を取得するステップ３３４２を含む。力学的特性は、例えば、時間瞬間ｔにおける物理的システムの少なくとも一部の固有周波数又は減衰周波数及び減衰比率を示すことができる。物理的システムの力学的特性は、物理的システムの力学的モデリング、物理的システムの力学的特性を含むルックアップテーブル、物理的システムの一部の測定又は上記の組合せに基づいて取得することができる。
【０１０５】
方法は、時間瞬間ｔにおいて物理的システムの力学的特性に基づいてインパルス列を提供するステップ３３４３を含む。インパルス列は、例えば、式１及び式２により記述したように、インパルス大きさ及び関連するインパルス遅延を有する幾つかのインパルスを含む。インパルス列は、例えば、段落［００１１］〜［００２９］に記載されるように、入力整形に使用することができるインパルス列として提供される。インパルス列は、例えば、ロボットコントローラのメモリに記憶することができる。
【０１０６】
方法は、時間瞬間ｔにおいて入力信号の入力を入力バッファに記憶するステップ３３４４を含む。入力バッファは、入力信号の過去の入力を含み、例えば異なる時間瞬間における入力信号の入力を含むデータアレイとして提供することができる。入力バッファは、例えば、ロボットコントローラのメモリに記憶することができる。入力バッファは、例えば、必要なプロセッサ演算量を低減するために循環バッファとして実施することができる。循環バッファの場合、入力信号の最も古い入力は、時間瞬間ｔにおいて、時間瞬間ｔにおける入力信号の入力によって上書きされる。これは、メモリ内の入力信号の過去の入力を移動させる必要性をなくす。
【０１０７】
方法は、入力信号及びインパルス列に基づいて物理的システムの改変入力信号を提供するステップ３３４５を含み、このステップは、インパルス列で入力バッファの少なくとも一部を畳み込むステップを含む。インパルス列での入力バッファの畳み込みは、例えば、段落［００２０］及び式３に記載されるように、畳み込みの分野で既知のように実行することができる。
【０１０８】
インパルス列でのこの畳み込みは、式３により記述され、式中、入力バッファは、ｑ（ｔ）として使用され、ｑ＊（ｔ）は、改変入力信号であり、Ａｉは、インパルス遅延Δｉに関連付けられたインパルスの大きさであり、ｎは、インパルスの数である。離散時間では、入力バッファとインパルス列との間の畳み込みは、入力バッファの過去の入力の１つで各インパルスを乗算するステップを含み、入力バッファの過去の入力は、時間瞬間ｔから、インパルスに関連付けられたインパルス遅延を差し引いた時間瞬間に対応する前回時間瞬間ｔｐｒｅｖｉｏｕｓにおいて受信されている。次に、改変インパルス信号は、乗算された過去の入力及びインパルスの和として提供することができる。
【０１０９】
改変入力信号が提供されると、方法は、物理的システムの入力として改変入力信号を使用するステップを含む。例えば、改変入力信号で、標的位置軌道１０１により提供された入力信号を置換し、これは、次に、入力として、段落［０００９］及び［００１０］に記載される逆動力学１０２、モータコントローラ１０３及び／又は力学的システム１０４に提供される。
【０１１０】
方法は、幾つかの異なる時間瞬間において、物理的システムの入力信号を取得するステップ３３４１、物理的システムの力学的特性を取得するステップ３３４２、物理的システムの力学的特性に基づいてインパルス列を提供するステップ３３４３、時間瞬間ｔにおいて入力信号の入力を入力バッファに記憶するステップ３３４４、インパルス列で入力バッファの一部を畳み込むことにより、改変入力信号を提供するステップ３３４５及び物理的システムの入力として改変入力信号を使用するステップ３３４７を繰り返すステップ３３４８を含む。したがって、方法は、リアルタイムで実行することができ、物理的システムの改変入力信号は、リアルタイムで適合させることができる。
【０１１１】
図３４は、本発明による、力学的特性が変化する物理的システムへの入力を生成する方法の一実施形態の流れ図を示す。この方法は、図３３に示される方法のようであり、同様の方法ステップには図３３と同じ参照番号が与えられ、更に説明しない。この実施形態では、インパルス列で入力バッファの少なくとも一部を畳み込むステップ３３４６は、入力バッファの過去の入力の少なくとも１つをインパルス列のインパルス遅延の少なくとも１つに関連付けるステップ３４４９を含む。これにより、インパルス列のインパルスが、インパルス時間遅延により提供される時点で提供されることを保証することが可能になる。時間瞬間ｔに最も近い前回時間瞬間ｔｐｒｅｖｉｏｕｓから、過去の入力に関連付けられるインパルス遅延を差し引いた時間において受信された入力バッファの過去の入力を識別することにより、入力バッファの過去の入力は、例えば、インパルス遅延に関連付けられ得る。
【０１１２】
この実施形態では、入力バッファの過去の入力の少なくとも１つをインパルス列のインパルス遅延の少なくとも１つに関連付けるステップ３４４９は、異なる時間瞬間において取得された少なくとも２つの過去の入力に基づいて、インパルス遅延に関連付けられた少なくとも１つの過去の入力の大きさを取得するステップ３４５０を含む。これにより、インパルス遅延時間において入力信号の過去の入力の良好な推定を提供することが可能である。インパルス遅延時間における過去の入力の大きさは、例えば、図２１に示され、段落［００６１］に記載されるように、入力バッファの過去の入力の少なくとも２つを使用して補間することにより提供することができ、インパルス遅延に関連付けられた過去の入力の大きさは、インパルス遅延が建設的な過去の入力間にある少なくとも２つの建設的な過去の入力に基づいて取得することができる。したがって、入力信号の過去の入力は、入力バッファの過去の入力間の補間として表現することができる。例えば、補間方法は、一次、二次、三次、四次又は五次以上のラグランジュ補間であり得る。
【０１１３】
図３５は、本発明による、力学的特性が変化する物理的システムへの入力を生成する方法の一実施形態の流れ図を示す。この方法は、図３３に示される方法のようであり、同様の方法ステップには図３３と同じ参照番号が与えられ、更に説明しない。この実施形態では、物理的システムの力学的特性に基づいてインパルス列を提供するステップ３３４３は、インパルス列のインパルスを、異なる時間瞬間に対応するインパルス遅延に関連付けるステップ３５５１を含む。これは、インパルスが、入力バッファの過去の入力を取得した時間間隔に関連して正しいタイミングで入力バッファの過去の入力に適用できることを保証する。これは、例えば、段落［００２９］に記載されるように、インパルス大きさを少なくとも２つの建設的な異なる時間瞬間に分割するステップ３５５２により取得することができる。
【０１１４】
なお、図３３〜図３５に示される方法は、１つの方法に結合することができ、方法の方法ステップは、代替の順序で実行することができ、例えば、入力信号を入力バッファに記憶するステップ３３４４は、物理的システムの力学的特性を取得するステップ３３４２及び／又はインパルス列を提供するステップ３３４３前に実行することができる。
【０１１５】
一実施形態では、ステップ３３４２において取得された力学的特性は、
・入力信号、
・改変入力信号、
・物理的システムの特性を示す少なくとも１つのセンサ
の少なくとも１つに基づいて取得される。
【０１１６】
入力信号は、物理的システムの所望の状態を示し、したがって、例えば様々な段階での物理的システムの力学的特性を含むルックアップテーブルと一緒に入力信号を使用して、物理的システムの力学的特性を取得するのに使用することができ、同様に、入力信号は、入力信号により示される様々な入力状態の関数として、物理的システムの力学的特性を示す公式への入力として使用することができる。同様に、改変入力信号は、物理的システムの力学的特性の特定に使用することができる。例えば、力学的特性の特定に、前に取得された改変入力信号を使用することにより、物理的システムの実際の物理的状態の良好な推定であり得る。入力信号及び／又は改変入力信号に基づいて物理的システムの力学的特性を特定することにより、物理的システムの状態を取得するエンコーダ及び又はセンサを使用することなく、物理的システムの力学的特性を特定することが可能になり、それにより、そのようなセンサの最終的な測定誤差を回避することができる。
【０１１７】
入力信号及び／又は改変入力信号に基づいて物理的システムの力学的特性を特定することへの追加又は代替として、力学的特性は、物理的システムの物理的状態を示すセンサに基づいて特定できる。これにより、物理的システムの実際の状態を取得し、したがって物理的システムの力学的特性を取得することが可能になり、更に、これにより、物理的システムの実際の状態と、入力信号及び／又は改変入力信号により示される物理的システムの状態との間の最終誤差を補正することが可能になる。センサは、例えば、物理的システムの物理的状態を取得し、それにより物理的システムの力学的パラメータを取得するのに使用することができる加速度計、重力センサ、物理的システムの向き／位置を示すエンコーダ、カメラのような視覚システム、３Ｄ深度カメラであり得る。
【０１１８】
一実施形態では、物理的システムの力学的パラメータは、入力信号、改変入力信号及び物理的システムの特性を示す少なくとも１つのセンサの少なくとも２つの組合せに基づいて特定することができる。
【０１１９】
入力信号は、例えば、物理的システムの少なくとも一部の位置を示すことができる。これにより、入力信号に基づいて物理的システムの一部の位置を変更することにより物理的システムを調整することが可能になり、物理的システムの少なくとも一部の位置を示す改変入力信号に基づいて物理的システムを調整することにより、最終的な振動を低減することができる。例えば、入力信号は、ロボットアーム等の機械的システムの一部の位置を示すことができ、ロボットのベースに関連した工具フランジの位置を示すことができ、ロボットジョイントの角度又はロボットの一部の任意の他の位置を示すことができる。
【０１２０】
入力信号は、例えば、物理的システムの少なくとも一部の速度を示すことができる。これにより、物理的システムの一部の速度を変更することにより物理的システムを調整することが可能になる。物理的システムの少なくとも一部の速度を示す改変入力信号を提供することにより、最終的な振動を低減することができる。例えば、入力信号は、ロボットアーム等の機械的システムの一部の速度を示すことができ、ロボットのベースに関連した工具フランジの速度を示すことができ、ロボットジョイントの角速度又はロボットの一部の任意の他の速度を示すことができる。
【０１２１】
入力信号は、例えば、物理的システムの少なくとも一部の加速度を示すことができる。これにより、入力信号に基づいて物理的システムの一部の加速度を変更することにより物理的システムを調整することが可能になり、物理的システムの少なくとも一部の加速度を示す改変入力信号に基づいて物理的システムを調整することにより、最終的な振動を低減することができる。例えば、入力信号は、ロボットアーム等の機械的システムの一部の加速度を示すことができ、ロボットのベースに関連した工具フランジの位置を示すことができ、ロボットジョイントの角加速度又はロボットの一部の任意の他の加速度を示すことができる。
【０１２２】
物理学の分野で既知のように、物理的システムの一部の位置、速度及び加速度は、導関数により互いに関連する。したがって、位置を示す入力信号を使用して入力信号を微分することにより、速度を示す入力信号及び／又は加速度を示す入力信号を取得することができる。
【０１２３】
入力信号は、例えば、物理的システムの少なくとも一部に加えられた力／トルクを示すことができる。これにより、入力信号に基づいて物理的システムの一部の力／トルクを変更することにより物理的システムを調整することが可能になり、物理的システムの少なくとも一部の力／トルクを示す改変入力信号に基づいて物理的システムを調整することにより、最終的な振動を低減することができる。例えば、入力信号は、ロボットアームの工具フランジに加えられた力等のロボットアーム等の機械的システムの一部に加えられた力／トルクを示すことができ、且つ／又はロボットジョイントに提供されたトルクを入力信号により示すことができる。
【０１２４】
入力信号は、例えば、物理的システムの少なくとも一部の電流を示すことができる。これにより、入力信号に基づいて物理的システムの一部の電流を変更することにより物理的システムを調整することが可能になり、物理的システムの少なくとも一部の電流を示す改変入力信号に基づいて物理的システムを調整することにより、最終的な振動を低減することができる。例えば、入力信号は、ロボットアームのロボットジョイントのジョイントモータを通る電流を示すことができ、それにより、電流を示す入力信号及び／又は改変入力信号に基づいて、モータにより提供される力／トルクを調整することができる。
【０１２５】
力学的特性は、物理的システムの減衰比率ζ、物理的システムの固有周波数ωｎ及び／又は物理的システムの減衰周波数ωｄを示すことができ、減衰比率ζは、システムの振動が時間に伴っていかに迅速に減衰するかを記述する無次元尺度を示し、固有周波数は、振動系の振動の周波数を示し、ここで、減衰効果は、考慮に入れられず、減衰周波数は、振動系の振動の周波数を示し、ここで、減衰効果は、考慮に入れられる。例えば、図１６の力学的システムでは、
【数５５】
2020526403.tif 000059
であり、式中、ｋは、ばね剛性を示し、ｍは、システム質量を示し、ｃはシ、ステム減衰を示す。ここで、ωｎ及びωｄは、単位ｒａｄ／ｓを有する。減衰周波数をｆｄ＝ωｄ／（２π）として表すことが好都合であり得、これは、単位Ｈｚを有する減衰周波数である。
【０１２６】
一実施形態では、物理的システムは、複数のロボットジョイントを含むロボットであり、ロボットジョイントは、ジョイントモータを含む。ロボットは、改変入力信号に基づいてジョイントモータにより提供されるトルクを制御するように構成されるロボットコントローラを含み、ロボットコントローラは、上述した方法を利用することにより、ロボットの入力信号に基づいて改変入力信号を取得するように構成される。したがって、ロボットの運動中の振動を低減することができ、上述した利点を達成することができる。
【０１２７】
図３６は、ロボットベース３６９１及びロボット工具フランジ３６９２を接続する複数のロボットジョイント３６９０Ａ、３６９０Ｂ、３６９０Ｃ、３６９０Ｄ、３６９０Ｅ、３６９０Ｆを含むロボットアーム３６８９を示す。ベースジョイント３６９０Ａは、回転矢印３６９４Ａにより示されるように、ベース軸３６９３Ａ（一点鎖線で示される）の周りでロボットアームを回転させるように構成され、ショルダジョイント３６９０Ｂは、回転矢印３６９４Ｂにより示されるように、ショルダ軸３６９３Ｂ（軸を示す十字として示される）の周りでロボットアームを回転させるように構成され、エルボージョイント３６９０Ｃは、回転矢印３６９４Ｃにより示されるように、エルボー軸３６９３Ｃ（軸を示す十字として示される）の周りでロボットアームを回転させるように構成され、第１の手首ジョイント３６９０Ｄは、回転矢印３６９４Ｄにより示されるように、第１の手首軸３６９３Ｄ（軸を示す十字として示される）の周りでロボットアームを回転させるように構成され、第２の手首ジョイント３６９０Ｅは、回転矢印３６９４Ｅにより示されるように、第２の手首軸３６９３Ｅ（一点鎖線で示される）の周りでロボットアームを回転させるように構成される。ロボットジョイント３６９０Ｆは、回転矢印３６９４Ｆで示されるように、工具軸３６９３Ｆ（一点鎖線で示される）の周りを回転可能なロボット工具フランジ３６９２を含む工具ジョイントである。したがって、図示のロボットアームは、自由度６を有する６軸ロボットアームであるが、より少数又はより多数のロボットジョイントを含むロボットアームに本発明を提供できることが留意される。
【０１２８】
各ジョイントは、ロボットジョイントに関連して回転可能な出力フランジを含み、出力フランジは、近傍のロボットジョイントに直接又は当技術分野で既知のアームセクションを介して接続される。ロボットジョイントは、例えば、ギアを介して又は直接、モータシャフトに接続された出力フランジを回転するように構成されたジョイントモータを含む。
【０１２９】
ロボットアームは、ロボットの力学的モデル及びジョイントセンサ信号に基づいてジョイントモータに提供されるモータトルクを制御することにより、ロボットジョイントを制御するように構成された少なくとも１つのロボットコントローラ３６９５を含む。ロボットコントローラ３６９５は、ユーザがロボットアームを制御し、プログラムできるようにするインターフェースデバイス３６９６を含むコンピュータとして提供できる。コントローラは、図３６に示されるように、外部デバイスとして提供することができるか、又はロボットアームに統合されたデバイスとして提供することができる。インターフェースデバイスは、例えば、有線又は無線通信プロトコルを介してコントローラと通信することができる、産業ロボットの分野から既知のティーチペンデントとして提供することができる。インターフェースデバイスは、例えば、ディスプレイ３６９７及びボタン、スライダ、タッチパッド、ジョイスティック、トラックボール、ジェスチャ認識デバイス、キーボード等の幾つかの入力デバイス３６９８を含むことができる。ディスプレイは、ディスプレイ及び入力デバイスの両方として機能するタッチスクリーンとして提供し得る。
【０１３０】
ロボットコントローラは、時間瞬間ｔにおいてロボットの入力信号を取得するように構成される。入力信号は、例えば、ロボットアームの少なくとも一部の位置、速度及び／又は加速度を示すことができ、且つ／又はロボットジョイントの１つ又は複数のロボットモータにより提供すべき所望のトルク又はロボットモータに印加すべき電流を示すことができる。入力信号は、入力信号を別のデバイス、プロセッサ、コントローラ等から受信することにより取得することができ、且つ／又はロボットコントローラ内で内部的に取得することができる。例えば、入力信号は、ロボットコントローラのメモリに記憶され、ロボットの幾つかの命令を含むロボットプログラムに基づいて生成され得る。例えば、入力信号は、ロボットベースに関連したロボット工具フランジの位置、速度及び／又は加速度、ロボットジョイント／ロボットモータの角位置、角速度及び／又は角加速度を示し得る。
【０１３１】
ロボットコントローラは、時間瞬間ｔにおいて入力信号の入力を入力バッファに記憶するように構成され、入力バッファは、入力信号の過去の入力を含む。入力バッファは、例えば、異なる時間瞬間における入力信号の入力を含むデータアレイ等のロボットコントローラのメモリに記憶することができる。入力バッファは、例えば、必要なプロセッサ演算量を低減するために循環バッファとして実施することができる。循環バッファの場合、入力信号の最も古い入力は、時間瞬間ｔにおいて、時間瞬間ｔにおける入力信号の入力によって上書きされる。これは、メモリ内の入力信号の過去の入力を移動させる必要性をなくす。
【０１３２】
ロボットコントローラは、時間瞬間ｔにおいてロボットの力学的特性を取得するように構成される。ロボットの力学的特性は、例えば、時間瞬間ｔにおけるロボットの少なくとも一部の自然周波数（固有周波数）、減衰周波数及び／又は減衰比率を示すことができる。ロボットの力学的特性は、ロボットの力学的モデリング、ロボットの力学的特性を含むルックアップテーブル、ロボットの一部の測定又は上記の組合せに基づいて取得することができる。
【０１３３】
ロボットコントローラは、時間瞬間ｔにおいて力学的特性に基づいてインパルス列を提供するように構成され、インパルス列は、幾つかのインパルスを含む。インパルス列は、例えば、式１及び式２により記述されるようなインパルス大きさ及び関連付けられたインパルス遅延を有する幾つかのインパルスを含む。インパルス列は、例えば、段落［００１１］〜［００２９］に記載されるように、入力整形に使用することができるインパルス列として提供される。インパルス列は、例えば、ロボットコントローラのメモリに記憶することができる。
【０１３４】
ロボットコントローラは、インパルス列で入力バッファの少なくとも一部を畳み込むことにより、入力信号及びインパルス列に基づいて改変入力信号を提供するように構成される。インパルス列での入力バッファの畳み込みは、例えば、段落［００２０］及び方程式である式３に記載されるように、畳み込みの分野で既知のように実行することができる。インパルス列でのこの畳み込みは、式３により記述され、式中、入力バッファは、ｑ（ｔ）として使用され、ｑ＊（ｔ）は、改変入力信号であり、Ａｉは、インパルス遅延Δｉに関連付けられたインパルスの大きさであり、ｎは、インパルスの数である。離散時間では、入力バッファとインパルス列との間の畳み込みは、入力バッファの過去の入力の１つで各インパルスを乗算するステップを含み、入力バッファの過去の入力は、時間瞬間ｔから、インパルスに関連付けられたインパルス遅延を差し引いた時間瞬間に対応する前回時間瞬間ｔｐｒｅｖｉｏｕｓにおいて受信されている。次に、改変インパルス信号は、乗算された過去の入力及びインパルスの和として提供することができる。
【０１３５】
次に、ロボットコントローラは、改変入力信号に基づいてロボットを制御し、入力信号を取得することと、入力信号の入力を入力バッファに記憶することと、ロボットの力学的特性を取得することと、力学的特性に基づいてインパルス列を提供することと、インパルス列で入力バッファの一部を畳み込むことにより改変入力信号を提供することと、改変入力信号に基づいてロボットを制御することとを繰り返すように構成される。したがって、ロボットは、リアルタイムで駆動することができ、ロボットの振動を低減する。
【０１３６】
なお、ロボットコントローラは、図３３〜図３５に示され、段落［００９５］〜［０１１９］に記載されるように方法ステップを実行するように構成することができる。
【０１３７】
本願全体を通して、インパルス列は、物理的システム／ロボットの振動を低減するように構成されたインパルス列として記載されたが、インパルス列は、特定の振動を物理的システム／ロボットに導入するようにも生成できることに留意されたい。例えば、物理的システム／ロボットが振動する物体に配置され、振動する物体とは別個の参照点に関連して物理的システム／ロボットの振動を低減するために、振動が物理的システム／ロボットに追加される状況におけるものである。
【０１３８】
本発明は、ローマ数字が付番された以下の文章により説明することができる。
【０１３９】
Ｉ．システム応答での不要な時変動態を低減する、力学的挙動が変化する物理的システムへの入力を生成する方法であって、
・時間瞬間ｔにおいて、不要な時変動態の定量化を取得するステップ、
・システムの２つ以上の入力インパルスの系列を含むフィルタを確立するステップであって、フィルタは、不要な時変動態の力学的応答を低減する、ステップ、
・時間瞬間ｔまで又はそのサブセットまで入力の関係の記述をフィルタに提供するステップ、
・提供された記述を使用してインパルス系列でフィルタ入力を畳み込むステップ
を含む方法。
【０１４０】
ＩＩ．物理的システムは、ｉ）２、３、４、５、６、７、８若しくは９以上の自由度を有するロボット、ｉｉ）２、３、４、５、６、７、８若しくは９以上の自由度を有する協働ロボット、ｉｉｉ）２、３、４、５、６、７、８若しくは９以上の自由度を有するマニピュレータ、ｉｖ）２、３、４、５、６、７、８若しくは９以上の自由度を有するロボットデバイス、又はｖ）２、３、４、５、６、７、８若しくは９以上の自由度を有する産業ロボットからなる群から選択される、文章Ｉに記載の方法。
【０１４１】
ＩＩＩ．前のフィルタ入力段階の関係の記述は、データ点間の補間として表現される、文章Ｉ又はＩＩに記載の方法。
【０１４２】
ＩＶ．補間は、一次、二次、三次、四次又は五次以上のラグランジュ補間である、文章ＩＩＩに記載の方法。
【０１４３】
Ｖ．定量化された不要な動態は、非減衰固有周波数ω１及び減衰比率ζ１を特徴とする振動を構成し、インパルス系列は、
【数５６】
2020526403.tif 000060
を解くことにより確立され、式中、
【数５７】
2020526403.tif 000061
であり、Ｎ＝２、３、４、５、６、７、８又は９以上は、系列中のインパルスの数であり、Ｍは、制約方程式における最高次導関数であり、及びＡ１．．Ｎは、インパルスの大きさであり、Δ１．．Ｎは、インパルスのタイミングである、文章Ｉ〜ＩＶのいずれか１つに記載の方法。
【０１４４】
文章Ｖの方程式の式８〜式１８は、以下として説明することができる。
式８は、インパルス列内の全てのインパルス大きさの和が１の値を有することを制約する制約方程式である。
式９は、最初のインパルスの遅延が０であることを制約する制約方程式である。これは、フィルタにより導入される不必要な遅延を回避するためである。
式１０及び式１１は、インパルス列が物理的システムに印加された後、合計システム応答がゼロであることを制約する制約方程式である。
式１２〜式１５は、Ｍ次導関数まで非減衰固有周波数ω１に関して式１０及び式１１の導関数を制約する制約方程式である。例えば、Ｍ＝０である場合、ＺＶ（ゼロ振動）フィルタが取得され、Ｍ＝１である場合、ＺＶＤ（ゼロ振動及び一次導関数）フィルタが取得され、Ｍ＝２である場合、ＺＶＤＤ（ゼロ振動及び一次＋二次導関数）フィルタが取得される。
式１６は、インパルスｊを発端とした力学的応答の振幅に関連するＢｊを導入する簡易式である。
式１７は、インパルスｊを発端とした力学的応答の位相角に関連するφｊを導入する簡易式である。
式１８は、非減衰固有周波数に関してＭ次導関数の大きさを制約するフィルタを取得するのに必要なインパルスの数Ｎを表現する。
【０１４５】
ＶＩ．不要な動態は、数学的モデリング又は有限要素法、シンボリックラグランジュ法、集中定数法、転送行列法、仮定モード法若しくはこれらの組合せに基づく数学的モデリングを使用して定量化される、文章Ｉ〜Ｖのいずれか１つに記載の方法。
【０１４６】
ＶＩＩ．不要な動態は、最新のフィルタ入力、フィルタ出力又は最新のフィルタ出力に基づいて定量化される、文章６に記載の方法。
【０１４７】
ＶＩＩＩ．不要な動態は、ルックアップテーブル等の予め推定された値の使用に基づいて定量化される、文章Ｉ〜Ｖのいずれか１つに記載の方法。
【０１４８】
ＩＸ．不要な動態は、測定された加速度、測定された位置若しくは角度又は加速度、位置若しくは角度以外の測定値からなるセンサ読み取り値に基づいて定量化される、文章Ｉ〜Ｖのいずれか１つに記載の方法。
【０１４９】
Ｘ．２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１、１２又は１３個以上のインパルス系列は、直列に畳み込まれる、文章Ｉ〜ＩＸのいずれか１つに記載の方法。
【０１５０】
ＸＩ．２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１、１２又は１３個以上のインパルス系列は、直列に畳み込まれ、各インパルス系列の確立に使用される不要な動態は、フィルタからの前の出力についての情報を利用することにより定量化される、文章Ｉ〜ＶＩＩＩのいずれか１つに記載の方法。
【０１５１】
ＸＩＩ．フィルタ入力は、位置又は角度信号であり、及び整形フィルタ出力は、数値的に微分されてその導関数を取得する、文章Ｉ〜ＸＩＩのいずれか１つに記載の方法。
【０１５２】
ローマ数字ＸＩＩＩ〜ＸＩＶが付番された以下の文章により、本発明の別の態様を記載することもできる。
【０１５３】
ＸＩＩＩ．導関数における位相シフトがない位置信号及び位置導関数からなるアクチュエータの依存性入力を取得する方法であって、
・３、５、７、９、１１、１３又は１４個以上の位置データ点が導関数近似に使用される、数値中心差分微分のステップ、
・１、２、３、４、５、６又は７個以上の離散時間ステップでフィルタ出力信号を遅延させるか、又は時間的に１、２、３、４、５、６又は７個以上の離散時間ステップ分先の位置信号を予め決定して、中心差分微分の非因果的性質に対処するステップ
を含む方法。
【０１５４】
ＸＩＶ．数値微分は、後退差分微分又は文章ＸＩＩＩに記載の方法である、文章ＸＩＩに記載の方法。
【符号の説明】
【０１５５】
１０１  軌道生成器
１０２  逆動力学
１０３  モータコントローラ
１０４  力学的システム
２０５、４０５  第１の応答
２０６、４０６  第２の応答
４０７  第３の応答
２０８、４０８  合計応答
３０９、８０９、２１０９  インパルス列
５１０  非整形入力信号のチャート
５１１  非整形入力信号
５１２  非整形入力信号のチャート
５１３  非整形入力信号
５１４  第１のインパルスで畳み込まれた入力信号
５１５  第２のインパルスで畳み込まれた入力信号
６１６、１１１６、２５１６Ａ、２５１６Ｂ、２５１６Ｃ  入力整形フィルタ
７１８、８１８、２１１８、２２１８、２６１８  離散入力信号
７１９、２２１９、２６１９Ａ、２６１９Ｂ、２６１９Ｃ  離散インパルス列
７２０、８２０、２１２０、２２２０、２６２０  離散整形入力信号（出力信号）
８２１  離散時間
９２２、１０２２、１７２２、１８２２、１９２２、２３２２  時間の関数としての入力加速度
９２３、１０２３、１７２３、１８２３、１９２３、２３２３  時間の関数としての入力速度
９２４、１０２４、１７２４、１８２４、１９２４、２３２４  時間の関数としての入力位置
１１２５  数値微分器
１６２６  ばね
１６２７  ダンパ
１６２８  質量
１７２９、１８２９、１９２９、２３２９  時間の関数としての出力加速度
１７３０、１８３０、１９３０、２３３０  時間の関数としての出力速度
１７３１、１８３１、１９３１、２３３１  時間の関数としての出力位置
２０３２、２４３２  印加されたインパルスの和
２１３３、２２３３、２６３３  入力バッファ
２２３４  前の整形入力信号（出力）
３３４１  入力信号を提供する
３３４２  力学的特性を取得する
３３４３  力学的特性に基づいてインパルス列を提供する
３３４４  入力信号の入力を入力バッファに記憶する
３３４５  入力信号を改変する
２２４６、２６４６Ａ、２６４６Ｂ、２６４６Ｃ、３３４６  入力列で入力バッファを畳み込む
３３４７  改変入力信号を入力信号として使用する
３３４８  異なる時間瞬間において繰り返す
３４４９  過去の入力をインパルス遅延に関連付ける
３４５０  建設的な過去の入力に基づいて改変入力振幅を推定する
３５５１  インパルスを時間瞬間に関連付ける
３５５２  インパルスを建設的な時間瞬間に分割する
２７６１  回転入力信号
２７６２  回転出力信号
２８６３  減衰周波数
２８６４  減衰比率
２９７０、３２７０  入力位置及び出力位置のチャート
２９７１  入力速度及び出力速度のチャート
２９７２  入力加速度及び出力加速度のチャート
２９７３、３２７３  位置誤差のチャート
２９７４、３２７４  インパルスの和のチャート
２９７５  非整形入力信号に関連するチャート
２９７６  インパルス分割なしのＯＢＭを使用して整形された入力信号に関連するチャート
２９７７、３２７７Ａ、３２７７Ｂ  インパルス分割ありのＯＢＭを使用して整形された入力信号に関連するチャート
２９７８  インパルス分割なしのＩＢＭを使用して整形された入力信号に関連するチャート
２９７９、３２７９Ａ、３２７９Ｂ  インパルス分割ありのＩＢＭを使用して整形された入力信号に関連するチャート
２９８０  ＯＢＭの位置ピーク
２９８１  ＯＢＭのインパルス和のピーク
２９８２  ＯＭＢ＋分割の入力速度のピーク
２９８３  ＯＭＢ＋分割の入力加速度のピーク
２９８４  ＯＢＭ＋分割のインパルス和のピーク
２９８５  ＩＢＭの入力速度のピーク
２９８６  ＩＢＭの入力加速度のピーク
３０８７  インパルス分割ありのＩＢＭ法の残留振動のグリッドプロット
３０９０  インパルス分割ありのＯＢＭ法の残留振動３０９１のグリッドプロット
３６８９  ロボットアーム
３６９０  ロボットジョイント
３６９１  ロボットベース
３６９２  ロボット工具フランジ
３６９３  回転軸
３６９４  回転矢印
３６９５  ロボットコントローラ
３６９６  インターフェースデバイス
３６９７  ディスプレイ
３６９８  入力デバイス
【０１５６】
参考文献
［１］ＩＳＯ８３７３：２０１２−ｒｏｂｏｔｓ  ａｎｄ  ｒｏｂｏｔｉｃ  ｄｅｖｉｃｅｓ−ｖｏｃａｂｕｌａｒｙ
［２］Ｏ．Ｊ．Ｍ．Ｓｍｉｔｈ．Ｐｏｓｉｃａｓｔ  ｃｏｎｔｒｏｌ  ｏｆ  ｄａｍｐｅｄ  ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｙ  ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ  ｏｆ  ｔｈｅ  ＩＲＥ，４５（９）：１２４９−１２５５，Ｓｅｐｔ  １９５７．
［３］Ｏ．Ｊ．Ｍ．Ｓｍｉｔｈ．Ｆｅｅｄｂａｃｋ  ｃｏｎｔｒｏｌ  ｓｙｓｔｅｍｓ．ＭｃＧｒａｗ−Ｈｉｌｌ，１９５８．
［４］Ｊｏｈｎ  Ｆ．Ｃａｌｖｅｒｔ  ａｎｄ  Ｄｏｎａｌｄ  Ｊ．Ｇｉｍｐｅｌ．Ｍｅｔｈｏｄ  ａｎｄ  ａｐｐａｒａｔｕｓ  ｆｏｒ  ｃｏｎｔｒｏｌ  ｏｆ  ｓｙｓｔｅｍ  ｏｕｔｐｕｔ  ｉｎ  ｒｅｓｐｏｎｓｅ  ｔｏ  ｓｙｓｔｅｍ  ｉｎｐｕｔ，１９５７．米国特許第２，８０１，３５１号明細書．
［５］Ｎｉｅｌ  Ｃ．Ｓｉｎｇｅｒ．Ｒｅｓｉｄｕａｌ  ｖｉｂｒａｔｉｏｎ  ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ  ｉｎ  ｃｏｍｐｕｔｅｒ  ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ  ｍａｃｈｉｎｅｓ．ＰｈＤ  ｔｈｅｓｉｓ，Ｍａｓｓａｃｈｕｓｅｔｔｓ  Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ  ｏｆ  Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ．Ｄｅｐｔ．ｏｆ  Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ  Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．，１９８９．
［６］Ｎ．Ｃ．Ｓｉｎｇｅｒ，Ｗ．Ｐ．Ｓｅｅｒｉｎｇ，ａｎｄ  Ｋ．Ａ．Ｐａｓｃｈ．Ｓｈａｐｉｎｇ  ｃｏｍｍａｎｄ  ｉｎｐｕｔｓ  ｔｏ  ｍｉｎｉｍｉｚｅ  ｕｎｗａｎｔｅｄ  ｄｙｎａｍｉｃｓ，Ａｐｒｉｌ  １０  １９９０．米国特許第４，９１６，６３５号明細書．
［７］Ｎｅｉｌ  Ｃ．Ｓｉｎｇｅｒ  ａｎｄ  Ｗａｒｒｅｎ  Ｐ．Ｓｅｅｒｉｎｇ．Ｐｒｅｓｈａｐｉｎｇ  ｃｏｍｍａｎｄ  ｉｎｐｕｔｓ  ｔｏ  ｒｅｄｕｃｅ  ｓｙｓｔｅｍ  ｖｉｂｒａｔｉｏｎ．Ｊｏｕｒｎａｌ  ｏｆ  Ｄｙｎａｍｉｃ  Ｓｙｓｔｅｍｓ，Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ，ａｎｄ  Ｃｏｎｔｒｏｌ，１１２（１）：７６−８２，１９９０．
［８］Ｗ．Ｅ．Ｓｉｎｇｈｏｓｅ，Ｗ．Ｐ．Ｓｅｅｒｉｎｇ，ａｎｄ  Ｎ．Ｃ．Ｓｉｎｇｅｒ．Ｓｈａｐｉｎｇ  ｉｎｐｕｔｓ  ｔｏ  ｒｅｄｕｃｅ  ｖｉｂｒａｔｉｏｎ：ａ  ｖｅｃｔｏｒ  ｄｉａｇｒａｍ  ａｐｐｒｏａｃｈ．Ｉｎ  Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ．，ＩＥＥＥ  Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ  Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ  ｏｎ  Ｒｏｂｏｔｉｃｓ  ａｎｄ  Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ，ｐａｇｅｓ  ９２２−９２７  ｖｏｌ．２，Ｍａｙ  １９９０．
［９］Ｗ  Ｓｅｅｒｉｎｇ  ａｎｄ  Ｎ  Ｓｉｎｇｅｒ．Ｒｅｓｉｄｕａｌ  ｖｉｂｒａｔｉｏｎ  ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ  ｕｓｉｎｇ  ｖｅｃｔｏｒ  ｄｉａｇｒａｍｓ  ｔｏ  ｇｅｎｅｒａｔｅ  ｓｈａｐｅｄ  ｉｎｐｕｔｓ．Ｊｏｕｒｎａｌ  ｏｆ  Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ  Ｄｅｓｉｇｎ，１１６（２），１９９４．
［１０］Ｗｉｌｌｉａｍ  Ｓｉｎｇｈｏｓｅ，Ｌｉｓａ  Ｊ．Ｐｏｒｔｅｒ，ａｎｄ  Ｎｅｉｌ  Ｓｉｎｇｅｒ．Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ  ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ  ｕｓｉｎｇ  ｍｕｌｔｉ−ｈｕｍｐ  ｅｘｔｒａ−ｉｎｓｅｎｓｉｔｉｖｅ  ｉｎｐｕｔ  ｓｈａｐｅｒｓ，１９９５．
［１１］ＷＥ  Ｓｉｎｇｈｏｓｅ，Ｗａｒｒｅｎ  Ｐ  Ｓｅｅｒｉｎｇ，ａｎｄ  Ｎｅｉｌ  Ｃ  Ｓｉｎｇｅｒ．Ｉｎｐｕｔ  ｓｈａｐｉｎｇ  ｆｏｒ  ｖｉｂｒａｔｉｏｎ  ｅｄｕｃｔｉｏｎ  ｗｉｔｈ  ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ  ｉｎｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ  ｔｏ  ｍｏｄｅｌｉｎｇ  ｅｒｒｏｒｓ．Ｊａｐａｎ−ＵＳＡ  Ｓｙｍ．ｏｎ  Ｆｌｅｘｉｂｌｅ  Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ，１：３０７−１３，１９９６．
［１２］Ｊｉｎｊｕｎ  Ｓｈａｎ，Ｈｏｎｇ−Ｔａｏ  Ｌｉｕ，ａｎｄ  Ｄｏｎｇ  Ｓｕｎ．Ｍｏｄｉｆｉｅｄ  ｉｎｐｕｔ  ｓｈａｐｉｎｇ  ｆｏｒ  ａ  ｒｏｔａｔｉｎｇ  ｓｉｎｇｌｅｌｉｎｋ  ｆｌｅｘｉｂｌｅ  ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ．Ｊｏｕｒｎａｌ  ｏｆ  Ｓｏｕｎｄ  ａｎｄ  Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，２８５（１）：１８７−２０７，２００５．
［１３］Ｔ．Ｄ．Ｔｕｔｔｌｅ  ａｎｄ  Ｗ．Ｐ．Ｓｅｅｒｉｎｇ．Ａ  ｚｅｒｏ−ｐｌａｃｅｍｅｎｔ  ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ  ｆｏｒ  ｄｅｓｉｇｎｉｎｇ  ｓｈａｐｅｄ  ｉｎｐｕｔｓ  ｔｏ  ｓｕｐｐｒｅｓｓ  ｍｕｌｔｉｐｌｅ−ｍｏｄｅ  ｖｉｂｒａｔｉｏｎ．Ｉｎ  Ａｍｅｒｉｃａｎ  Ｃｏｎｔｒｏｌ  Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ，１９９４，ｖｏｌｕｍｅ  ３，ｐａｇｅｓ  ２５３３−２５３７  ｖｏｌ．３，Ｊｕｎｅ  １９９４．
［１４］Ｌｕｃｙ  Ｙ  Ｐａｏ．Ｍｕｌｔｉ−ｉｎｐｕｔ  ｓｈａｐｉｎｇ  ｄｅｓｉｇｎ  ｆｏｒ  ｖｉｂｒａｔｉｏｎ  ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ．Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ，３５（１）：８１−８９，１９９９．
［１５］Ｊ．Ｖａｕｇｈａｎ  ａｎｄ  Ｗ．Ｓｉｎｇｈｏｓｅ．Ｒｅｄｕｃｉｎｇ  ｖｉｂｒａｔｉｏｎ  ａｎｄ  ｐｒｏｖｉｄｉｎｇ  ｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ  ｗｉｔｈ  ｍｕｌｔｉ−ｉｎｐｕｔ  ｓｈａｐｅｒｓ．Ｉｎ  ２００９  Ａｍｅｒｉｃａｎ  Ｃｏｎｔｒｏｌ  Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ，ｐａｇｅｓ  １８４−１８９，Ｊｕｎｅ  ２００９．
［１６］Ｂ  Ｗｈｉｔｎｅｙ  Ｒａｐｐｏｌｅ．Ｍｉｎｉｍｉｚｉｎｇ  ｒｅｓｉｄｕａｌ  ｖｉｂｒａｔｉｏｎｓ  ｉｎ  ｆｌｅｘｉｂｌｅ  ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｍａｓｔｅｒ’ｓ  ｔｈｅｓｉｓ，ＭＩＴ  Ａｒｔｉｆｉｃｉａｌ  Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ  Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ，１９９２．
［１７］Ｄａｖｉｄ  Ｐ  Ｍａｇｅｅ  ａｎｄ  Ｗａｙｎｅ  Ｊｏｈｎ  Ｂｏｏｋ．Ｔｈｅ  ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ  ｏｆ  ｉｎｐｕｔ  ｓｈａｐｉｎｇ  ｔｏ  ａ  ｓｙｓｔｅｍ  ｗｉｔｈ  ｖａｒｙｉｎｇ  ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ｉｎ  Ｊａｐａｎ／ＵＳＡ  Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ  ｏｎ  Ｆｌｅｘｉｂｌｅ  Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ，ｖｏｌｕｍｅ  １，ｐａｇｅｓ  ５１９−５２６，１９９２．
［１８］Ｗ．Ｅ．Ｓｉｎｇｈｏｓｅ，Ｎ．Ｃ．Ｓｉｎｇｅｒ，Ｓ．Ｊ．Ｄｅｒｅｚｉｎｓｋｉ，Ｂ．Ｗ．Ｒａｐｐｏｌｅ，ａｎｄ  Ｋ．Ｐａｓｃｈ．Ｍｅｔｈｏｄ  ａｎｄ  ａｐｐａｒａｔｕｓ  ｆｏｒ  ｍｉｎｉｍｉｚｉｎｇ  ｕｎｗａｎｔｅｄ  ｄｙｎａｍｉｃｓ  ｉｎ  ａ  ｐｈｙｓｉｃａｌ  ｓｙｓｔｅｍ，Ｊｕｎｅ  １０  １９９７．米国特許第５，６３８，２６７号明細書．
［１９］Ｒ．Ａ．Ｆｏｗｅｌｌ．Ｒｏｂｕｓｔ  ｒｅｓｏｎａｎｃｅ  ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ  ｕｓｉｎｇ  ｓｔａｇｇｅｒｅｄ  ｐｏｓｉｃａｓｔ  ｆｉｌｔｅｒｓ，Ｍａｒｃｈ  １１  １９９７．米国特許第５，６１０，８４８号明細書．
［２０］Ｄ．Ｐ．Ｍａｇｅｅ  ａｎｄ  Ｗ．Ｊ．Ｂｏｏｋ．Ｏｐｔｉｍａｌ  ａｒｂｉｔｒａｒｙ  ｔｉｍｅ−ｄｅｌａｙ（ｏａｔ）  ｆｉｌｔｅｒ  ａｎｄ  ｍｅｔｈｏｄ  ｔｏ  ｍｉｎｉｍｉｚｅ  ｕｎｗａｎｔｅｄ  ｓｙｓｔｅｍ  ｄｙｎａｍｉｃｓ，Ｊｕｎｅ  ２０  ２０００．米国特許第６，０７８，８４４号明細書．
［２１］Ｒ．Ｆ．Ｅｌｏｕｎｄｏｕ  ａｎｄ  Ｗ．Ｅ．Ｓｉｎｇｈｏｓｅ．Ｃｏｍｍａｎｄ  ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ  ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ  ｉｎｐｕｔ  ｓｈａｐｉｎｇ  ａｎｄ  ｓｍｏｏｔｈ  ｂａｓｅｌｉｎｅ  ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，Ｊｕｌｙ  １９  ２００５．米国特許第６，９２０，３７８号明細書．
［２２］Ｎ．Ｓｉｎｇｅｒ．Ｄｙｎａｍｉｃ  ｓｙｓｔｅｍ  ｃｏｎｔｒｏｌ  ｍｅｔｈｏｄ，Ｏｃｔｏｂｅｒ  ７  ２００８．米国特許第７，４３３，１４４号明細書．
［２３］Ｗｉｌｌｉａｍ  Ｓｉｎｇｈｏｓｅ．Ｃｏｍｍａｎｄ  ｓｈａｐｉｎｇ  ｆｏｒ  ｆｌｅｘｉｂｌｅ  ｓｙｓｔｅｍｓ：Ａ  ｒｅｖｉｅｗ  ｏｆ  ｔｈｅ  ｆｉｒｓｔ  ５０  ｙｅａｒｓ．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ  Ｊｏｕｒｎａｌ  ｏｆ  Ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ  Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ  ａｎｄ  Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇ，１０（４）：１５３−１６８，２００９．
［２４］Ｃｈｅｏｌ  Ｈｏｏｎ  Ｐａｒｋ，Ｄｏｎｇ  Ｉｌ  Ｐａｒｋ，ａｎｄ  Ｊｏｏ  Ｈａｎ  Ｐａｒｋ．Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ  ｃｏｎｔｒｏｌ  ｏｆ  ｆｌｅｘｉｂｌｅ  ｍｏｄｅ  ｆｏｒ  ａ  ｂｅａｍ−ｔｙｐｅ  ｓｕｂｓｔｒａｔｅ  ｔｒａｎｓｐｏｒｔ  ｒｏｂｏｔ．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ  Ｊｏｕｒｎａｌ  ｏｆ  Ａｄｖａｎｃｅｄ  Ｒｏｂｏｔｉｃ  Ｓｙｓｔｅｍｓ，１０，２０１３．
［２５］Ａ．Ｔｚｅｓ  ａｎｄ  Ｓ．Ｙｕｒｋｏｖｉｃｈ．Ａｎ  ａｄａｐｔｉｖｅ  ｉｎｐｕｔ  ｓｈａｐｉｎｇ  ｃｏｎｔｒｏｌ  ｓｃｈｅｍｅ  ｆｏｒ  ｖｉｂｒａｔｉｏｎ  ｓｕｐｐｒｅｓｓｉｏｎ  ｉｎ  ｓｌｅｗｉｎｇ  ｆｌｅｘｉｂｌｅ  ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ．ＩＥＥＥ  Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ  ｏｎ  Ｃｏｎｔｒｏｌ  Ｓｙｓｔｅｍｓ  Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，１（２）：１１４−１２１，Ｊｕｎ  １９９３．
［２６］Ｊｕｎｇ−Ｋｅｕｎ  Ｃｈｏ  ａｎｄ  Ｙｏｕｎ−Ｓｉｋ  Ｐａｒｋ．Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ  ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ  ｉｎ  ｆｌｅｘｉｂｌｅ  ｓｙｓｔｅｍｓ  ｕｓｉｎｇ  ａ  ｔｉｍｅ−ｖａｒｙｉｎｇ  ｉｍｐｕｌｓｅ  ｓｅｑｕｅｎｃｅ．Ｒｏｂｏｔｉｃａ，１３（３）：３０５−３１３，００５  １９９５．
［２７］Ｈｙｕｎｇ−Ｓｏｏｎ  Ｐａｒｋ，Ｐ．Ｈ．Ｃｈａｎｇ，ａｎｄ  Ｊｏｎｇ−Ｓｕｎｇ  Ｈｕｒ．Ｔｉｍｅ−ｖａｒｙｉｎｇ  ｉｎｐｕｔ  ｓｈａｐｉｎｇ  ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ  ａｐｐｌｉｅｄ  ｔｏ  ｖｉｂｒａｔｉｏｎ  ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ  ｏｆ  ａｎ  ｉｎｄｕｓｔｒｉａｌ  ｒｏｂｏｔ．Ｉｎ  Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ  Ｒｏｂｏｔｓ  ａｎｄ  Ｓｙｓｔｅｍｓ，１９９９．ＩＲＯＳ’９９．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ．１９９９  ＩＥＥＥ／ＲＳＪ  Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ  Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ  ｏｎ，ｖｏｌｕｍｅ  １，ｐａｇｅｓ  ２８５−２９０  ｖｏｌ．１，１９９９．
［２８］Ｐｙｕｎｇ  Ｈｕｎ  Ｃｈａｎｇ  ａｎｄ  Ｈｙｕｎｇ−Ｓｏｏｎ  Ｐａｒｋ．Ｔｉｍｅ−ｖａｒｙｉｎｇ  ｉｎｐｕｔ  ｓｈａｐｉｎｇ  ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ  ａｐｐｌｉｅｄ  ｔｏ  ｖｉｂｒａｔｉｏｎ  ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ  ｏｆ  ａｎ  ｉｎｄｕｓｔｒｉａｌ  ｒｏｂｏｔ．Ｃｏｎｔｒｏｌ  Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ  Ｐｒａｃｔｉｃｅ，１３（１）：１２１−１３０，２００５．
［２９］Ｋ．Ｇ．ＭｃＣｏｎｎｅｌｌ  ａｎｄ  Ｗ．Ｓ．Ｊａｎｇ．Ｒｏｂｏｔ  ｃｏｎｔｒｏｌ  ｓｃｈｅｍｅ，Ｊａｎｕａｒｙ  １４  １９９７．米国特許第５，５９４，３０９号明細書．
［３０］Ｒ．Ｋｉｎｃｅｌｅｒ  ａｎｄ  Ｐ．Ｈ．Ｍｅｃｋｌ．Ｃｏｒｒｅｃｔｉｖｅ  ｉｎｐｕｔ  ｓｈａｐｉｎｇ  ｆｏｒ  ａ  ｆｌｅｘｉｂｌｅ−ｊｏｉｎｔ  ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ．Ｉｎ  Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ  ｏｆ  ｔｈｅ  １９９７  Ａｍｅｒｉｃａｎ  Ｃｏｎｔｒｏｌ  Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ（Ｃａｔ．Ｎｏ．９７ＣＨ３６０４１），ｖｏｌｕｍｅ  ３，ｐａｇｅｓ  １３３５−１３３９  ｖｏｌ．３，Ｊｕｎ  １９９７．
［３１］Ｖ．Ｍ．Ｂｅａｚｅｌ  ａｎｄ  Ｐ．Ｈ．Ｍｅｃｋｌ．Ｃｏｍｍａｎｄ  ｓｈａｐｉｎｇ  ａｐｐｌｉｅｄ  ｔｏ  ｎｏｎｌｉｎｅａｒ  ｓｙｓｔｅｍｓ  ｗｉｔｈ  ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎ−ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ  ｒｅｓｏｎａｎｃｅ．Ｉｎ  Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ  ｏｆ  ｔｈｅ  ２００５，Ａｍｅｒｉｃａｎ  Ｃｏｎｔｒｏｌ  Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ  ２００５．，ｐａｇｅｓ  ５３９−５４４，Ｊｕｎｅ  ２００５．
［３２］Ｗ．Ｃｈａｔｌａｔａｎａｇｕｌｃｈａｉ，Ｖ．Ｍ．Ｂｅａｚｅｌ，ａｎｄ  Ｐ．Ｈ．Ｍｅｃｋｌ．Ｃｏｍｍａｎｄ  ｓｈａｐｉｎｇ  ａｐｐｌｉｅｄ  ｔｏ  ａ  ｆｌｅｘｉｂｌｅ  ｒｏｂｏｔ  ｗｉｔｈ  ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎ−ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ  ｒｅｓｏｎａｎｃｅ．Ｉｎ  ２００６  Ａｍｅｒｉｃａｎ  Ｃｏｎｔｒｏｌ  Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ，ｐａｇｅｓ  ６ｐｐ．−，Ｊｕｎｅ  ２００６．
［３３］Ｔ．Ｒ．Ｋｕｒｆｅｓｓ．Ｒｏｂｏｔｉｃｓ  ａｎｄ  Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ  Ｈａｎｄｂｏｏｋ．ＣＲＣ  Ｐｒｅｓｓ，２００４．
［３４］Ｍ．Ｏ．Ｔｏｋｈｉ  ａｎｄ  Ａ．Ｋ．Ｍ．Ａｚａｄ．Ｆｌｅｘｉｂｌｅ  Ｒｏｂｏｔ  Ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｓ：Ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ，Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ  ａｎｄ  Ｃｏｎｔｒｏｌ．Ｃｏｎｔｒｏｌ，Ｒｏｂｏｔｉｃｓ  ａｎｄ  Ｓｅｎｓｏｒｓ  Ｓｅｒｉｅｓ．Ｉｎｓｔｉｔｕｔｉｏｎ  ｏｆ  Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ  ａｎｄ  Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００８．
［３５］Ｐｅｔｅｒ  Ｈｕｂｉｎｓｋ’ｙ  ａｎｄ  Ｐｅｔｅｒ  Ｈａｅｕｐｔｌｅ．Ｒｅｄｕｃｉｎｇ  ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｓ  ｄｕｒｉｎｇ  ｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇ  ｏｆ  ａ  ｓｅｒｖｏｍｅｃｈａｎｉｓｍ  ｈａｖｉｎｇ  ｆｌｅｘｉｂｉｌｉｔｙ．Ｊｏｕｒｎａｌ  ｏｆ  Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ  Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，６３（４）：２０１−２１２，２０１２．
［３６］Ｂ．Ｒ．Ｍｕｒｐｈｙ  ａｎｄ  Ｉ．Ｗａｔａｎａｂｅ．Ｄｉｇｉｔａｌ  ｓｈａｐｉｎｇ  ｆｉｌｔｅｒｓ  ｆｏｒ  ｒｅｄｕｃｉｎｇ  ｍａｃｈｉｎｅ  ｖｉｂｒａｔｉｏｎ．ＩＥＥＥ  Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ  ｏｎ  Ｒｏｂｏｔｉｃｓ  ａｎｄ  Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ，８（２）：２８５−２８９，Ａｐｒ  １９９２．
［３７］Ｊ．Ｍ．Ｈｙｄｅ  ａｎｄ  Ｗ．Ｐ．Ｓｅｅｒｉｎｇ．Ｕｓｉｎｇ  ｉｎｐｕｔ  ｃｏｍｍａｎｄ  ｐｒｅ−ｓｈａｐｉｎｇ  ｔｏ  ｓｕｐｐｒｅｓｓ  ｍｕｌｔｉｐｌｅ  ｍｏｄｅ  ｖｉｂｒａｔｉｏｎ．Ｉｎ  Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ．１９９１  ＩＥＥＥ  Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ  Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ  ｏｎ  Ｒｏｂｏｔｉｃｓ  ａｎｄ  Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ，ｐａｇｅｓ  ２６０４−２６０９  ｖｏｌ．３，Ａｐｒ  １９９１．
［３８］Ｗ．Ｓｉｎｇｈｏｓｅ  ａｎｄ  Ｌ．Ｐａｏ．Ａ  ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ  ｏｆ  ｉｎｐｕｔ  ｓｈａｐｉｎｇ  ａｎｄ  ｔｉｍｅ−ｏｐｔｉｍａｌ  ｆｌｅｘｉｂｌｅ−ｂｏｄｙ  ｃｏｎｔｒｏｌ．Ｃｏｎｔｒｏｌ  Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ  Ｐｒａｃｔｉｃｅ，５（４）：４５９−４６７，１９９７．
［３９］Ｖｉｃｔｏｒ  Ｍａｘｗｅｌｌ  Ｂｅａｚｅｌ．Ｃｏｍｍａｎｄ  ｓｈａｐｉｎｇ  ａｐｐｌｉｅｄ  ｔｏ  ｎｏｎｌｉｎｅａｒ  ｓｙｓｔｅｍｓ  ｗｉｔｈ  ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎ−ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ  ｒｅｓｏｎａｎｃｅ．ＰｈＤ  ｔｈｅｓｉｓ，Ｐｕｒｄｕｅ  Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００４．
［４０］Ｇｉｕｓｅｐｐｅ  Ｐｒｉｓｃｏ  ａｎｄ  Ｄａｖｉｄ  Ｊ．Ｒｏｓａ．Ｒｏｂｏｔｉｃ  ｓｕｒｇｉｃａｌ  ｓｙｓｔｅｍ  ｗｉｔｈ  ｊｏｉｎｔ  ｍｏｔｉｏｎ  ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ  ａｄａｐｔｅｄ  ｔｏ  ｒｅｄｕｃｅ  ｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔ  ｔｉｐ  ｖｉｂｒａｔｉｏｎｓ，２０１０．米国特許出願公開第２０１０／１４５５２１号明細書．
［４１］Ｔ．Ｉ．Ｌａａｋｓｏ，Ｖ．Ｖａｌｉｍａｋｉ，Ｍ．Ｋａｒｊａｌａｉｎｅｎ，ａｎｄ  Ｕ．Ｋ．Ｌａｉｎｅ．Ｓｐｌｉｔｔｉｎｇ  ｔｈｅ  ｕｎｉｔ  ｄｅｌａｙ−ｔｏｏｌｓ  ｆｏｒ  ｔｈｅ  ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ  ｄｅｌａｙ  ｆｉｌｔｅｒ  ｄｅｓｉｇｎ．ＩＥＥＥ  Ｓｉｇｎａｌ  Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ  Ｍａｇａｚｉｎｅ，１３（１）：３０−６０，Ｊａｎ  １９９６．
［４２］Ｍ．Ｇｅｒａｄｉｎ  ａｎｄ  Ａ．Ｃａｒｄｏｎａ．Ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ  ａｎｄ  ｄｙｎａｍｉｃｓ  ｏｆ  ｒｉｇｉｄ  ａｎｄ  ｆｌｅｘｉｂｌｅ  ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ  ｕｓｉｎｇ  ｆｉｎｉｔｅ  ｅｌｅｍｅｎｔｓ  ａｎｄ  ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ  ａｌｇｅｂｒａ．Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ  Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，４（２）：１１５−１３５，１９８８．
［４３］Ｐａｒｖｅｅｎ  Ｋａｌｒａ  ａｎｄ  Ａｎａｎｄ  Ｍ  Ｓｈａｒａｎ．Ａｃｃｕｒａｔｅ  ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ  ｏｆ  ｆｌｅｘｉｂｌｅ  ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｓ  ｕｓｉｎｇ  ｆｉｎｉｔｅ  ｅｌｅｍｅｎｔ  ａｎａｌｙｓｉｓ．Ｍｅｃｈａｎｉｓｍ  ａｎｄ  Ｍａｃｈｉｎｅ  Ｔｈｅｏｒｙ，２６（３）：２９９−３１３，１９９１．
［４４］Ｓａｂｒｉ  Ｃｅｔｉｎｋｕｎｔ  ａｎｄ  Ｗａｙｎｅ  Ｊ  Ｂｏｏｋ．Ｓｙｍｂｏｌｉｃ  ｍｏｄｅｌｉｎｇ  ａｎｄ  ｄｙｎａｍｉｃ  ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ  ｏｆ  ｒｏｂｏｔｉｃ  ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｓ  ｗｉｔｈ  ｃｏｍｐｌｉａｎｔ  ｌｉｎｋｓ  ａｎｄ  ｊｏｉｎｔｓ．Ｒｏｂｏｔｉｃｓ  ａｎｄ  Ｃｏｍｐｕｔｅｒ−Ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ  Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇ，５（４）：３０１−３１０，１９８９．
［４５］Ｗ．Ｋｈａｌｉｌ  ａｎｄ  Ｍ．Ｇａｕｔｉｅｒ．Ｍｏｄｅｌｉｎｇ  ｏｆ  ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ  ｓｙｓｔｅｍｓ  ｗｉｔｈ  ｌｕｍｐｅｄ  ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ．Ｉｎ  Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ  ２０００  ＩＣＲＡ．Ｍｉｌｌｅｎｎｉｕｍ  Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ．ＩＥＥＥ  Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ  Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ  ｏｎ  Ｒｏｂｏｔｉｃｓ  ａｎｄ  Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ．Ｓｙｍｐｏｓｉａ  Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ（Ｃａｔ．Ｎｏ．００ＣＨ３７０６５），ｖｏｌｕｍｅ  ４，ｐａｇｅｓ  ３９６４−３９６９  ｖｏｌ．４，２０００．
［４６］Ｅ．Ｃ．Ｐｅｓｔｅｌ  ａｎｄ  Ｆ．Ａ．Ｌｅｃｋｉｅ．Ｍａｔｒｉｘ  Ｍｅｔｈｏｄｓ  ｉｎ  Ｅｌａｓｔｏ  Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ．ＭｃＧｒａｗ−Ｈｉｌｌ，１９６３．
［４７］Ｘｉａｏｔｉｎｇ  Ｒｕｉ，Ｇｕｏｐｉｎｇ  Ｗａｎｇ，Ｙｕｑｉ  Ｌｕ，ａｎｄ  Ｌａｉｆｅｎｇ  Ｙｕｎ．Ｔｒａｎｓｆｅｒ  ｍａｔｒｉｘ  ｍｅｔｈｏｄ  ｆｏｒ  ｌｉｎｅａｒ  ｍｕｌｔｉｂｏｄｙ  ｓｙｓｔｅｍ．Ｍｕｌｔｉｂｏｄｙ  Ｓｙｓｔｅｍ  Ｄｙｎａｍｉｃｓ，１９（３）：１７９−２０７，２００８．
［４８］Ｇ．Ｈａｓｔｉｎｇｓ  ａｎｄ  Ｗ．Ｂｏｏｋ．Ａ  ｌｉｎｅａｒ  ｄｙｎａｍｉｃ  ｍｏｄｅｌ  ｆｏｒ  ｆｌｅｘｉｂｌｅ  ｒｏｂｏｔｉｃ  ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｓ．ＩＥＥＥ  Ｃｏｎｔｒｏｌ  Ｓｙｓｔｅｍｓ  Ｍａｇａｚｉｎｅ，７（１）：６１−６４，Ｆｅｂｒｕａｒｙ  １９８７．
［４９］Ｌ．Ｂｉａｇｉｏｔｔｉ，Ｃ．Ｍｅｌｃｈｉｏｒｒｉ，Ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ  Ｐｌａｎｎｉｎｇ  ｆｏｒ  Ａｕｔｏｍａｔｉｃ  Ｍａｃｈｉｎｅｓ  ａｎｄ  Ｒｏｂｏｔｓ，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ−Ｖｅｒｌａｇ  Ｂｅｒｌｉｎ  Ｈｅｉｄｅｌｂｅｒｇ，２００８．
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７Ａ】
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【図７Ｂ】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５Ａ】
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【図１５Ｂ】
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【図１６】
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【図１７】
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【図１８】
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【図１９】
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【図２０】
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【図２１】
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【図２２】
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【図２３】
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【図２４】
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【図２５】
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【図２６】
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【図２７】
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【図２８】
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【図２９】
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【図３０】
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【図３１】
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【図３２】
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【図３３】
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【図３４】
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【図３５】
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【図３６】
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【国際調査報告】
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