(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
２つの連続するシンボル要素はシンボル時間τ0により区別され、一連のシンボルに対応づけられている、要素となる搬送波それぞれを周波数軸上で多重化し、デジタル受信機へ送信するように設計された多重搬送波信号において、
二つの隣り合った搬送波の間隔ν0は、該シンボル時間τ0の逆数の半分に等しく、
各搬送波は、そのスペクトラムの成形のためにフィルタ処理されることで、搬送波間隔ν0の２倍より大きい帯域幅を有していることを特徴とする多重搬送波信号。
【請求項２】
前記多重搬送波信号の複素包絡が次式に対応しており：
0003784834.tif 000146
ここで、
ａm,nは変調に関して予め決められたアルファベットの中で選択された実数の係数；
ｍは周波数の位置を示す整数；
ｎは時間の位置を示す整数；
ｔは時間；
ｘm,n（ｔ）は実数又は複素数を取る同一の偶数次のプロトタイプ関数ｘ（ｔ）の時間−周波数の空間に変換された基本関数、即ち：
ν0τ0＝１／２であり
0003784834.tif 000147
ここに、φは任意の位相変数、
関数ｘ（ｔ）のフーリエ変換Ｘ（ｆ）は区間［−ν0，ν0］を越えて広がるサポートを有し、
前記基本関数｛ｘm,n｝は相互に直交し、２つの異なる基本関数のスカラ積の実数部分はゼロである、
ことを特徴とする請求項１に記載の多重搬送波信号。
【請求項３】
前記プロトタイプ関数ｘ（ｔ）は区間［−τ0，τ0］の外では０である偶数次の関数であり、次の関係式；
0003784834.tif 000148
を満たすことを特徴とする請求項２に記載の多重搬送波信号。
【請求項４】
前記プロトタイプ関数ｘ（ｔ）が次式：
0003784834.tif 000149
により定義されることを特徴とする請求項３に記載の多重搬送波信号。
【請求項５】
前記プロトタイプ関数ｘ（ｔ）が次式により定義され：
0003784834.tif 000150
関数ｙ（ｔ）はそのフーリエ変換Ｙ（ｆ）により定義され：
0003784834.tif 000151
ここで、
Ｇ（ｆ）は次式の正規化ガウス関数であり：
0003784834.tif 000152
αは厳密に正の実数の変数であることを特徴とする請求項２に記載の多重搬送波信号。
【請求項６】
変数αが１に等しいことを特徴とする請求項５に記載の多重搬送波信号。
【請求項７】
所定のアルファベットから選択された実数のデジタル係数ａm,nを用いて送信されるデジタル信号のチャネル符号化を行うステップと、
次式に従う信号ｓ（ｔ）
0003784834.tif 000153
ここで、
ｍは周波数の位置を示す整数；
ｎは時間の位置を示す整数；
ｔは時間；
ｘm,n（ｔ）は実数又は複素数を取る同一の偶数次のプロトタイプ関数ｘ（ｔ）の時間−周波数の空間に変換された基本関数、即ち：
ν0τ0＝１／２であり
0003784834.tif 000154
ここに：
φは任意の位相変数、ν0は二つの隣り合った搬送波の間隔、τ0はシンボル時間であり、
関数ｘ（ｔ）のフーリエ変換Ｘ（ｆ）は区間［−ν0，ν0］を越えて広がるサポートを有し、
前記基本関数｛ｘm,n｝は相互に直交し、２つの異なる基本関数のスカラ積の実数部分はゼロ、
を構成するステップと、
前記信号ｓ（ｔ）を、複素包絡線の信号として、少なくとも１の受信機に送信するステップと、
を有することを特徴とするデジタル信号の送信方法。
【請求項８】
伝送される前記デジタル信号又はチャネル符号化から来るデジタル係数ａm,nを形成する二値の要素に適用される周波数及び／又は時間のインターリーブのステップを有することを特徴とする請求項７に記載の送信方法。
【請求項９】
信号の複素包絡として信号ｒ（ｔ）を受信するステップと、
位相応答θm,n及び振幅応答ρm,nの推定を備えた伝送チャネルの応答を評価するステップと、
プロトタイプ関数ｘ（ｔ）と前記信号ｒ（ｔ）を乗算し、２τ0を法としフィルタを通した波形のエイリアシングを行い、フーリエ変換（ＦＦＴ）を適用し、伝送チャネルにより生ずる位相θm,nを訂正し、項ｉm+nに対応した位相を訂正し、伝送チャネルの振幅応答ρm,nにより重み付けられて送信された係数ａm,nに対応して得られた係数
0003784834.tif 000155
の実数部分を選択することにより前記信号ｒ（ｔ）の復調を行うステップと、
を備えていることを特徴とする請求項１から７のいずれ１項に記載の信号の受信方法。
【請求項１０】
前記実数のデジタル係数
0003784834.tif 000156
、及び出来ればチャネルの振幅応答の対応する値ρm,nの伝送時に行なわれたインターリーブと対称である周波数及び／又は時間の、デインターリーブのステップ、及び／又は、伝送時に行われたチャネルの符号化で適用された重み付け決定の復号のステップとを備えていることを特徴とする請求項９に記載の受信方法。
【請求項１１】
次のタイプの正規化ガウス関数Ｇ（ｆ）の選択ステップと、
0003784834.tif 000157
次の様な前記プロトタイプ関数ｘ（ｔ）
0003784834.tif 000158
ここで、関数ｙ（ｔ）は次のフーリエ変換Ｙ（ｆ）により定義される
0003784834.tif 000159
の決定ステップと、
を備えていることを特徴とする請求項２から６のいずれか１項に記載の信号のためのプロトタイプ関数ｘ（ｔ）の構成方法。
【請求項１２】
２つの連続するシンボルがシンボル時間τ0により区別され、一連のシンボルにそれぞれが対応づけらている、要素となる搬送波を周波数軸上で多重化し、デジタル受信機へ送信するように設計された多重搬送波信号を変調する方法において、
二つの隣り合った搬送波の間隔ν0は、該シンボル時間τ0の逆数の半分に等しく、
各搬送波は、そのスペクトラムの成形のためにフィルタ処理されることで、搬送波間隔ν0の２倍より大きい帯域幅を有していることを特徴とする多重搬送波信号変調方法。
【発明の詳細な説明】
１．発明の分野
１．１  一般的な分野
本発明の分野は、特に移動受信器により受信される様に設計されたデジタルのデータ、即ちアナログの標本化データの伝送又は放送の分野である、より詳細には、本発明は新しい形式の変調手段により形成された信号、及びそれに対応した変調及び復調の技術に関する。
移動受信器に向けて送信するチャネルの様に、非常に不安定なチャネルに適応した変調方式を作ることが長い間求められていた。このようなチャネルでは、送出された信号はフェージング及びマルチパス現象の影響を受ける。欧州プロジェクトのユーレカ（ＥＵＲＥＫＡ）１４７（ＤＡＢ：デジタルオーディオ放送）の組織内のＣＣＥＴＴにより行われた研究により、この種のチャネルに対する多重搬送波変調及び特にＯＦＤＭ（直交周波数分割多重）の価値が示されている。
ＯＦＤＭは、ＤＡＢ規格の基準として欧州プロジェクトの組織内で選択されている。この技術は更にテレビジョン番組を放送する変調技術として考えることもできる。しかし、例えばデジタルテレビジョンへの応用に必要な変調の様にスペクトル効率を高くして符号化した変調を扱う場合（後述する）数種の制限があることが知られている。
１．２  可能な応用分野
本発明は多くの分野、特に高いスペクトル効率が要求される場合、及びチャネルが非常に不安定である場合に適用できる。
応用の第一の範疇は、画像、音声及び／又はデータのいずれであろうが地上デジタル無線放送に関している。特に、本発明は本質的に長期間のマルチパスを発生する同期放送に適用できる。本発明は更に、好都合なことに移動受信器に対する放送にも適用できる。
応用の他の範疇はデジタル無線通信に関している。本発明は例えばＵＭＴＳ内の組織内（レース（ＲＡＣＥ）プロジェクト）で高いビットレートで移動受信器とデジタル通信を行うシステムに特に適用できる。本発明は更に（ハイパーラン（ＨＩＰＥＲＬＡＮ）タイプの）高いビットレートのローカル無線ネットワークに対しても考えることができる。
応用の第三の範疇は、水中伝送への応用である。水中音響内での伝送チャネルは、水中内での音響波の伝送速度が遅いので非常に乱される。これによりマルチパス及びドップラースペクトルの広がりが大きくなる。多重搬送波変調の技術、及び特に本発明の対象である技術は、この分野に良く適合する。
２．従来の技術
２．１  信号の表示に関する理論的な説明
本発明に基づく信号を示す前に、以下に周知の信号を記載する。この記載は発明者が定義する多重搬送波信号に対する全体の方法の基礎である。この方法はそれ自体が新規な方法である。この全体の方法は従来の技術と少しも等しいところが無く、当業者に明らかな方法でない。それ故本方法は本発明の一部であると考えるべきであり、従来の技術を構成する部分と考えられない。
検討の対象となる信号は実信号であり（例えば電気的な大きさ）、有限のエネルギーを有し、時間の関数である。
該信号はそれ故実関数Ｌ2（Ｒ）で表される。更に、これらの信号は限定された帯域ｗの信号であり、該信号のスペクトラムはｆcが信号の“搬送波周波数”の時、
0003784834.tif 000002
内に含まれている。それ故、分析フィルターをＦAで示すと、従来と同等な方法で次式
0003784834.tif 000003
の複素包絡信号ｓ（ｔ）により実在の信号ａ（ｔ）を表すことができる。
該信号ｓ（ｔ）は総和可能な自乗関数Ｌ2（Ｒ）を有した実数値変数の複素関数におけるベクトル空間のベクトル部分空間（±Ｗ／２まで帯域制限により特徴づけられる）に属している。このベクトル空間は、複素数の領域か実数の領域で構成されているかにより２つの異なる方法で定められる。これらの空間のそれぞれに対し、Ｃ又はＲ内の値が取るスカラ積を関連させ、ヒルベルト空間を作ることができる。Ｈは複素数の領域に作られたヒルベルト空間を示し、ＨRは実数の領域に作られたヒルベルト空間を示している。
対応するスカラ積は次のように表される：
Ｈの場合：
0003784834.tif 000004
であり、ＨRの場合：
0003784834.tif 000005
である。
随伴基準は明らかに両方の場合等しい：
0003784834.tif 000006
２．２  ＯＦＤＭの一般的な原理
ＯＦＤＭの一般的な原理は、例えば１９８６年７月２日に出願されたフランス特許番号第ＦＲ−８６  ０９６２２号に示されている。この技術の基本的な考えは、要素となる波をできる限り時間周波数平面内に閉じ込め、要素となる波の係数として信号を符号化して送信することであり、該伝送チャネルは局所的に定常であると考えている。該チャネルは従ってライス又はレイリーの法則に従う係数の母数の分散により特徴づけられる簡単な乗数チャネルであると見ることができる。
従って、符号によりフェージング現象に対し保護が行なわれている。この符号は時間及び周波数のインターリーブと共同するソフト決定モードで使用されており、該時間及び周波数のインターリーブにより符号の最小メッシュ内の部分となる信号が独立したフェージング現象により最大限可能な範囲まで影響を受ける。
この時間周波数平面内でのインターリーブを用いた符号化の技術は、ＣＯＦＤＭとして知られている。この技術は例えば文献［２３］に記載されている（付録１を参照（読み易くするため、従来の技術の参考文献の全ては付録１に記載している。この付録は付録２及び３と同時に勿論この記載の必要不可欠な部分であると考える必要がある））。
周知のＯＦＤＭ変調には２つのタイプがある。文献に用いられている用語はしばしば多義的な用語である。この出願ではより正確である新しい名称を取り入れるが、現存の文献と一致しない。このグループ内の変調のタイプを示す接尾語のついた総称ＯＦＤＭを使用する。
２．３  ＯＦＤＭ／ＱＡＭ
２．３．１  理論的な原理
変調の第一の範疇は、ＱＡＭ（直交振幅変調）変調された搬送波又は二値データの要素が特別の場合ＱＰＳＫ（４位相偏移変調）変調された搬送波の多重であると考えられる。以下、本システムは、ＯＦＤＭ／ＱＡＭと呼ぶ。搬送波は全て同期しており、更に搬送波周波数はシンボル時間の逆数で配置される。これらの搬送波のスペクトルは重なり合っているが、システムを同期させることにより、異なる搬送波で送られたシンボル間を直交にすることができる。
参考文献［１］から［７］は、このテーマに対し利用出来る有効なアイデアの文献である。
記載をより簡単にするため、更に本発明の新規な方法に基づき、該信号は前述の複素包絡線で表される。これらの条件のもとで、ＯＦＤＭ／ＱＡＭ信号の一般式は次の様に書くことが出来る：
0003784834.tif 000007
係数ａm,nは送信データを表す複素数である。関数ｘm,n（ｔ）は同一のプロトタイプ関数ｘ（ｔ）の時間周波数空間に変換される：
0003784834.tif 000008
ここに、ψは０に設定出来る任意の位相である。関数ｘ（ｔ）は集中している、即ちその１次モーメントはゼロで、Ｘ（ｆ）はｘ（ｔ）のフーリエ変換を示している。
これらの条件のもとで、次式が成立する：
0003784834.tif 000009
それ故基本関数の重心は、図１に示す様にベクトル（τ0，０）と（０，ν0）により発生する時間周波数平面の格子を形成している。この格子は密度が１、即ちν0τ0＝１である。このテーマに関するより詳細な論述に対する文献［９］を参照にされたい。
プロトタイプ関数ｘ（ｔ）は特別な特性を有しており、その関数｛ｘm,n｝は相互に直交しており、より詳細には次式で与えられるＬ2（Ｒ）のヒルベルトの基底を構成している。
0003784834.tif 000010
この基底に信号を投影することは、簡単には該信号を時間をτ0によりシーケンスに分離し、これらのシーケンスのそれぞれを対応するフーリエ級数展開により表すことに等しい。このタイプの分解は、完全な周波数ローカリゼーションに時間情報の損失の全体を与える標準フーリエ解析に対立するものとして時間と周波数の両方でローカリゼーションに対する第１段階である。
残念なことに、時間的ローカリゼーションは優れているが、周波数ローカリゼーションはＸ（ｆ）がゆっくり減少する関数であるためかなり効率が低い。更に、バリアンローコイフマンシーメス（Balian-Low-Coifman-Semmes）の定理（［９］参照ｐ．９７６）により、Ｘがｘのフーリエ変換を示すならば、ｔｘ（ｔ）とｆＸ（ｆ）は同時に総和可能な自乗になることができないことが示されている。
２．３．２  保護間隔を有したＯＦＤＭ／ＱＡＭ
一般的に、マルチパスとドップラー広がりに対するＯＦＤＭ変調の許容誤差は、時間又は周波数の偏移の関数として符号間干渉のレベル（II）の変動を包括的に測定する変数により特徴付けられる。この概念の正当性は付録２に与えられている。この許容誤差の変数はξと呼ばれ、次の関係式により定義される：
ξ＝1/4πΔtΔf                                      （11）
ここに：
0003784834.tif 000011
ハイゼンベルグの不等式により、ξは１を越えることができない。
前述のバリアンローコイフマンシーメスの定理を適用すると、変数ξはＯＦＤＭ／ＱＡＭの場合０に等しい。これは前述の様にＯＦＤＭ／ＱＡＭ変調の大きな欠点である。これは実際には時間誤差、及びその結果のマルチパスに対する高い感度により特徴付けられる。
この欠点は、例えば［５］に記載した保護間隔を使用することにより回避することができる。これはプロトタイプ関数の長方形の窓を広げることからなる方策である。基底シンボルの格子密度は、従って１よりかなり小さくなる。
この技術が可能であるのは、初期シンボルを変換したものの無限大が保護間隔により広げられたシンボル内に見つかるからである。勿論、これが行われるのはプロタイプ関数が長方形の窓である時のみである。この意味で、保護間隔を有したＯＦＤＭ／ＱＡＭは独特かつ特異な点である。
保護間隔を有したＯＦＤＭ／ＱＡＭ変調は、ＤＡＢシステムの基礎である。この保護間隔により性能を下げることを犠牲にして符号間干渉を制限することが出来るが、これは伝送される情報の一部が実際には受信器により使用されるのではなくマルチパスを吸収するためにのみ使用されるからである。
この様に、ＤＡＢシステムの場合保護間隔が有効なシンボルの２５％を示すならば、その損失は１ｄＢである。更に、所定の包括的なスペクトル効率を得ることによる損失が追加され、使用する符号の効率を大きくすることにより保護間隔による損失を補償する必要がある。
この損失は、ＤＡＢシステムの場合スペクトル効率が小さいので僅かである。反対に、全体のスペクトル効率を４ビット／Ｈｚにしたいならば、シャノンの法則に基づき３ｄＢ台の損失を与える５ビット／Ｈｚの符号を使用する必要がある。それ故この場合、全体の損失は約４ｄＢである。
２．３．３  他のＯＦＤＭ／ＱＡＭシステム
ＯＦＤＭ／ＱＡＭタイプの他のシステムを考えることができる。残念なことに、フィルタ型ＱＡＭ変調、即ち従来のハーフナイキスト（即ちより詳細には“ナイキスト平方根”）タイプの波形成形を使用した変調は、直交の必要な制約を果たさない。直交の必要な基準を果たす周知のプロトタイプ関数は次の通りである：
−長方形の窓；
−基本的な正弦。
これらの二つの例は取るに足らない例であるが、フーリエ変換により互いにデュアル領域を有する様に現れる。長方形の窓の場合は、保護間隔の無いＯＦＤＭ／ＱＡＭに対応している。基本的な正弦の場合は実際には達成が難しい漸近的な場合であるロールオフが０％の標準周波数多重（即ち、搬送波が共通のスペクトルを持たないもの）に対応している。
これらの場合のいずれも、プロトタイプ関数は完全に時間又は周波数のいずれかで制限されているが、デュアル領域では平凡な減少（１／ｔ又は１／ｆ）を有している。
バリアンローコイフマンシーメスの定理は、更に満足な解決が存在するかもしれない期待が殆ど無い。前述の様に、この定理は、ｔｘ（ｔ）とｆＸ（ｆ）が同時に総和可能な自乗を有することが出来ないことを示している。それ故、ｘ（ｔ）とＸ（ｆ）が同時に−３／２より小さい指数で減少する関数ｘ（ｔ）を見出すことが期待できない。
これは更に技術者の観点から満足する関数が存在する可能性を捨て切れない。しかし、この問題を扱っている最近の論文［１０］は、必要な特性を有する他のプロトタイプ関数の例を示している。この論文で提案されたプロトタイプ関数の形は、時間集中に関して期待すべきものから非常に離れている。それ故、満足しないＯＦＤＭ／ＱＡＭタイプの解決策である可能性がある。
最後に、密度が１で複素係数がａm,nを有する格子を使用することに対応したＯＦＤＭ／ＱＡＭの方法は、長方形の時間の窓の場合と保護間隔を使用した場合のみ実施することが出来る。他の変調を捜している当業者は、それ故ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭの名称のもとで以下に記載する技術に変える必要があるであろう。
２．４  ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ
変調の第二の範疇は、ＯＱＡＭ（オフセット直交振幅変調）変調された搬送波の多重を使用している。以下では、このシステムをＯＦＤＭ／ＯＱＡＭと呼ぶ。搬送波は全て同期しており、搬送波周波数はシンボル時間の逆数の半分だけ離れて配置される。これらの搬送波のスペクトルは重なっているが、該システムの同期と搬送波の位相の選択は異なる搬送波により出されるシンボル間の直交性を保証するため使用される。このテーマに関し利用できる文献の明快な図面は、参考文献［１１−１８］に与えられている。
記載をより簡単にするため、該信号は分解の形で表現される。これらの条件のもとで、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ信号の一般式は、次の様に書くことができる：
0003784834.tif 000012
係数ａm,nは送信されるデータの要素を表す実数と仮定している。関数ｘm,n（ｔ）は同一のプロトタイプ関数ｘ（ｔ）の時間周波数空間内に変換される：
0003784834.tif 000013
ここに、ν0τ0＝１／２。
ψは、０に設定出来る任意の位相である。
基本関数の重心は、それ故図２に示す様に、ベクトル（τ0，０）と（０，ν0）により形成される時間周波数平面の格子を形成している。
この格子は密度が２である。関数ｘm,n（ｔ）はＲ内でスカラ積に対し相互に直交している。周知の方法では、該プロトタイプ関数は各搬送波のスペクトルが隣の搬送波のスペクトルのみと重なる様に周波数内に制限されている。実際には、対象とするプロトタイプ関数は次の関数式を満たす偶数次の関数（実数又は可能ならば複素数）である：
0003784834.tif 000014
ｘ（ｔ）に対する可能な選択は、ロールオフが１００％のハーフナイキストフィルタのパルス応答である、即ち：
0003784834.tif 000015
ｘ（ｔ）とそのフーリエ変換が判ると、Ｘ（ｆ）は限定されたサポート（support）を有し、ｘ（ｔ）はｔ-2で減少する、即ちこれはバリアンローコイフマンシーメスの定理から得られた理論的な制限よりかなり良い結果であることを示している。基本波形はＯＦＤＭ／ＱＡＭの場合より時間周波数平面においてより集中しており、これによりこの変調はマルチパスとドップラー現象がある場合より良好な動作が与えられる。上述の様に、遅延及びドップラー現象に対し変調の許容誤差を測定する変数ξを定めることが出来る。この変数ξは０．８６５に等しい。
３．従来のシステムの欠点
これらの周知のシステムは、特にチャネルが非常に不安定な時、及び高い効率が要求される時多くの欠点と制限がある。
３．１  ＯＦＤＭ／ＱＡＭ
ＯＦＤＭ／ＱＡＭの最大の問題はいやおうなしに保護間隔を使用することが必要なことである。上述の様に、これによりスペクトルの効率の値を高くする目的の時かなり効率に損失が生ずることである。
更に、送信信号は周波数領域での集中が悪く、これにより、非常に不安定なチャネルで動作特性も制限される。特に、この周波数の広がりにより等価器の使用が難しくなる。
３．２  ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ
逆に、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭの周波数特性はむしろ満足できるものであり、保護間隔に関する損失の問題は生じない。反対に、プロトタイプ関数のパルス応答は比較的時間的な減少がゆっくりであり、即ち１／ｘ2で減少する。
これは二つのタイプの困難を意味している。最初のものは、短い時間間隔で波形を切断することが難しい。これは、受信器内で処理が複雑であることを意味している。更に、これは又実現できる等化システムを意味している。
言い換えれば、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ技術の効率はＯＦＤＭ／ＱＡＭ技術の効率より良いが、これらの技術は実現がより複雑であることが判っており、従って特に受信器が高価となる。
４．本発明の提示
４．１  本発明の目的
本発明の目的は、特に従来の技術の種々の欠点と制限を解決することである。
この様に、本発明の目的は、受信器に対し送信又は放送される様に設計されたデジタル信号で、不安定なチャネル、特に非常に不安定なチャネル内で、より良好な動作特性を得るため使用できるデジタル信号を提示することである。
本発明の目的は、又は高いスペクトル効率を得るため使用出来るこの種の信号を与えることでもある。
本発明の他の目的は、プロトタイプ関数の時間応答をできるだけ集中して保ち、特に受信側での処理を簡単にするようにしながら、同時に保護間隔に関するＯＦＤＭ／ＱＡＭの方法の欠点を避けるような信号を与えることである。
本発明の目的は、また、特に復調器と等化器に関して、複雑でなく価格も高くない受信器を作ることが出来るこの種の信号を与えることである。
本発明に付加された目的は、送信器、受信器、送信又は放送の方法、受信の方法及び製造の方法、即ちこの様な信号に対応した変調の定義与えることである。
４．２  本発明の主な特徴
以下に示す本発明に基づくこれらの目的と後で明らかにする他のことがらは、特に不安定なチャネルにおいて、２つの連続するシンボルがシンボル時間τ0により区別され、一連のシンボルにそれぞれが対応づけられている、要素となる搬送波を周波数軸上で多重化し、デジタル受信機へ送信するように設計された多重搬送波信号で、第一に二つの隣り合った搬送波の間隔ν0は、該シンボル時間τ0の逆数の半分に等しく、第二に各搬送波は、そのスペクトラム成形のためにフィルタ処理されることで、搬送波間隔ν0の２倍より大きい帯域幅を有し、前記スペクトラムは、各シンボルの要素が時間領域及び周波数領域で可能な限り集中するように選択されている。
特に、この種の信号は次式に対応している：
0003784834.tif 000016
ここに、
ａm,nは変調に関して予め決められたアルファベットの中から選択された信号源を示す実数の係数；
ｍは周波数の位置を示す整数；
ｎは時間の位置を示す整数；
ｔは時間を示し；
ｘm,n（ｔ）は実数又は複素数を取る同一の偶数次数のプロトタイプ関数ｘ（ｔ）の時間周波数空間に変換された基本関数、即ち：
0003784834.tif 000017
ここにψは任意の位相変数、
関数ｘ（ｔ）のフーリエ変換Ｘ（ｆ）は区間［−ν0，ν0］を越えて広がるサポートを有し、
更に、前記基本関数｛ｘm,n｝は相互に直交し、２つの異なる基本関数のスカラ積の実数部分はゼロである。
記号“±”は、ｘm,n（ｔ）が平等に負の符号又は正の符号を取ることを示している。ｘm,n（ｔ）は両方の値を取ることは勿論意味していない。
この様に、本発明は出来るだけ時間周波数平面に集中するプロトタイプ関数を使用する変調システムに基づいている。この方法の値は、受信器での処理を簡単にするため出来る限り集中したプロトタイプ関数の時間応答を保ちながら、同時に保護間隔に関連したＯＦＤＭ／ＱＡＭの欠点を避ける信号を作る変調を有効に有する値である。
言い換えれば、本発明の対象は周波数が制限されたサポートを有する関数のあらゆる方法により、プロトタイプ関数の範囲を越えて密度２の直交格子上にＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ変調の様に作られた新規の変調システムに関している。提案された変調のタイプの中には、時間が制限されたサポートを有するプロトタイプ関数か、時間又は周波数のいずれかが制限されておらず反対に時間と周波数の両方の減少が早く時間周波数平面でほぼ最適に集中する特性を有するプロトタイプ関数のいずれかを使用した変調がある。
この種の信号は、従来の技術を考慮しても当業者には決して明らかでない。上記に示した様に、基本的にはＯＦＤＭタイプの変調の形成には２つの方法がある。
第一の周知の形成の方法は、密度１の格子を使用している。この第一の方法は、全ての信号が間隔に分割され、次に各間隔が次にフーリエ級数の形に分解される該信号を分解するための基底を使用している。これはＯＦＤＭ／ＱＡＭの方法である。同じ格子上に形成される数少ない例の方法の文献であり、得られた結果は実際的な利点は殆どない［１０］。
更に、該ＯＦＤＭ／ＱＡＭ技術は保護間隔の方法から利点を得ることが出来る唯一の技術である。該ＯＦＤＭ／ＱＡＭの方法は、それ故拡張出来ない珍しい方法である。
第二の周知の（ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ）形成の方法は、密度２の格子を使用している。同一の周波数又は隣りの周波数上に中心があるシンボルの間が直交することは、ハーフナイキストの成形により、及び信号の位相を適当に選択することにより行われる。最後に隣の周波数を越えて直交することは、周波数バンドがオーバーラップしないことにより行われる。
従って、この特性を有しない新しい変調を形成することは明らかに容易で無い。以下に記載する本発明の変形の全ては時間領域で制限されるか、又は関数が容易に短くできる様に減少を早くするかのいずれかのプロトタイプ関数を使用する利点を有している。
第一の変形によれば、前記のプロトタイプ関数ｘ（ｔ）は区間［−τ0，τ0］の外がゼロである偶数次関数であり、次の関係を満たす：
0003784834.tif 000018
好ましくは、前記プロトタイプ関数ｘ（ｔ）は次式により定義される：
0003784834.tif 000019
第一の場合（以下ではＯＦＤＭ／ＭＳＫと呼ぶ）、ドップラー現象及びマルチパスに対する性能の特徴は、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ変調に等しく、受信器の製造が簡単になる。
本発明の第二の変形によれば、前記プロトタイプ関数ｘ（ｔ）は次式により特徴づけられる：
0003784834.tif 000020
関数ｙ（ｔ）はそのフーリエ変換Ｙ（ｆ）により定義される：
0003784834.tif 000021
ここに、Ｇ（ｆ）は次式の正規化ガウス関数である：
0003784834.tif 000022
αは厳密に正の実数の変数であり、ｋは−∞から∞まで変化する。
好ましくは、変数αは１に等しい。この変調を以下ではＯＦＤＭ／ＩＯＴＡと呼ぶ。この場合、
0003784834.tif 000023
で示す相当のプロトタイプ関数はフーリエ変換に等しい。
受信器の製造は前述の場合より若干複雑であるがＯＦＤＭ／ＯＱＡＭの場合より簡単であり、動作特性はかなり良い。
本発明は更に特に不安定な伝送チャネルにおけるデジタル信号の伝送方法にも関しており：
−所定のアルファベットから選択された実数のデジタル係数ａm,nを用いて、送信されるデジタル信号のチャネル符号化のステップと；
−前述で定義された式を満たす信号ｓ（ｔ）の構成のステップと；
−複素包絡線として信号ｓ（ｔ）を有する信号を、少なくとも１つの受信器に伝送するステップと；
を備えている。
好ましくは、伝送される前記デジタル信号又はデジタル係数ａm,nを形成する二値の要素に、周波数及び／又は時間インターリーブを適用する、更なるステップを備えている。
これにより不安定なチャネルに最適な動作特性を与えることが出来る。
本発明は更にこの種の信号の送信器にも関する。
本発明は更に、前述の信号を受信する方法であって：
−送信側の信号ｓ（ｔ）に対応した複素包絡信号ｒ（ｔ）を受信するステップと；
−位相応答θm,nと振幅応答ρm,nの推定を備えた伝送チャネルの応答を評価するステップと；
−前記信号ｒ（ｔ）を；
−プロトタイプ関数ｘ（ｔ）と前記信号ｒ（ｔ）の乗算を行い；
−２τ0を法としフィルタを通した波形のエイリアジング（aliasing）をし；
−フーリエ変換を適用（ＦＦＴ）し；
−伝送チャネルにより生ずる位相θm,nを訂正し、；
−項ｉm+nに対応した位相を訂正し、；
−伝送チャネルの振幅応答ρm,nにより重み付けられて送信された係数ａm,nに対応して得られた係数
0003784834.tif 000024
の実数部分を選択；
することにより復調するステップとを備えた方法にも関する。
好ましくは、この受信法は前記実数のデジタル係数
0003784834.tif 000025
の、可能であればチャネルの振幅応答ρm,nの対応する値の周波数及び／又は時間デインターリーブ、ここで、デインターリーブは伝送時に行われたインターリーブの逆、及び／又は伝送時に行われたチャネルの符号化に適合した重み判定の復号ステップとを備えている。
本発明は更に対応する受信器にも関する。
次に、本発明は更に前述の信号に対するプロトタイプ関数ｘ（ｔ）の良好な構成の方法にも関し；
−次のタイプの正規化ガウス関数Ｇ（ｆ）を選択するステップと；
0003784834.tif 000026
−次の様なプロトタイプ関数ｘ（ｔ）を決定するステップと；
0003784834.tif 000027
−ここで、関数ｙ（ｔ）を次のフーリエ変換Ｙ（ｆ）により定義する；
0003784834.tif 000028
を備えている。
この方法により特に前述のプロトタイプ関数
0003784834.tif 000029
が決定される。
５．本発明の特別な実施態様の記載
５．１  図の一覧
−図１は周知のＯＦＤＭ／ＱＡＭの場合に実施される格子に対応し、密度１の格子を示す図である；
−図２は周知のＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ変調の場合、及び本発明の場合に実施される格子に対応した密度２の格子を示す図である；
−図３Ａから３Ｄ，４Ｃから４Ｄ，５Ａから５Ｄ，６Ａから６Ｄ及び７Ａから７Ｄは、周知のＯＦＤＭ／ＱＡＭ変調（３）、保護間隔を有したＯＦＤＭ／ＱＡＭ変調（４）、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ変調（５）、本発明で使用した変調のタイプ、即ちＯＦＤＭ／ＭＳＫ変調（６）、及びＯＦＤＭ／ＩＯＴＡを示しており、それぞれ次の様相に基づいている；
・Ａ：プロトタイプ関数ｘ（ｔ）；
・Ｂ：プロトタイプ関数の線形フーリエ変換；
・Ｃ：線形の曖昧な関数の母数（付録２に定義している）；
・Ｄ：符号間関数（付録２に定義する様に）；
−図７Ａは対数目盛りの信号ＯＦＤＭ／ＩＯＴＡの減少を示す；
−図８はガウス関数の曖昧な関数を示す；
−図９は本発明に基づき使用される送信器（及び対応する送信法）のブロック図である；
−図１０は本発明に基づき使用される受信器（及び対応する受信法）のブロック図である；
−図１１は図１０の受信器で実施される変調方法のより詳細な図である。
５．２  本発明に基づく信号の主な理論
（１５）で定義されるＯＦＤＭ／ＯＱＡＭの基本信号の全ては、次の形に書くことができる：
0003784834.tif 000030
基本関数の重心は、それ故ベクトル（τ0，０）と（０，ν0）により発生する時間周波数平面の格子を形成している（図２を参照）。この格子は密度２、又はν0τ0＝１／２を有している。［１６］に示す様に、これらの関数はＨRのヒルベルト基底を構成している。記載を簡単にするため、以下では符号の反転を省略している。
一般的に、グループ｛ｘm,n｝がＨRのヒルベルト基底を構成する様にｘ（ｔ）に対し条件を有することが求められる。ｘ（ｔ）は偶数次の関数であるとする。
ｘm,nとｘm',n'のスカラ積は、次の様に書くことが出来る：
0003784834.tif 000031
即ち、
ｔ’＝ｔ−（ｎ＋ｎ’）τ0／２ａｎｄτ’0＝（ｎ−ｎ’）τ0
の仮定により、
0003784834.tif 000032
と書くことが出来る。
直交はそれ故、積分の係数が純粋に虚数であれば得られる。この係数の分析はこの目的に対しｍ−ｍ’、又はｎ−ｎ’が奇数であれば十分であることを示している。
該格子は、それ故図２に示す様に、（｛ｍが偶数、ｎが偶数｝、｛ｍが偶数、ｎが奇数｝、｛ｍが奇数、ｎが偶数｝、｛ｍが奇数、ｎが奇数｝）の４つのサブ格子に分割され、それぞれは互いに直交である（サブ格子の１つのあらゆる関数は、他のサブ格子のあらゆる関数に対し直交である）。｛ｘm,n｝がヒルベルト基底を構成する十分な条件はそれ故次の通りである：
<xm,n|xm',n'>R＝０∀m−m'even,∀n−n'even,(m,n)≠(m',n')        (21)
それ故次の様なタイプの偶数パリティ関数ｘ（ｔ）を見つければ十分である：
0003784834.tif 000033
このタイプの関数は、Ｒ内のスカラ積に対し互いに直交である。更に、この様な場合、これらの関数も前述の関数と同様に対称である理由からＣ内のスカラ積に対し直交である。この条件を表す他の方法は曖昧なｘの関数を使用することができる［１９］：
0003784834.tif 000034
次に、次の様な偶数次の関数を見つければ十分である：
Ａx（２ｎτ0，２ｍν0）＝０，∀（ｍ，ｎ）≠（０，０）  (24)
この様に取りあげた問題をＣ内のスカラ積に対しヒルベルト基底を見つける問題と比べると、直交の制約は関係する格子が半分の密度なので非常に小さくなる。実際には、基本関数は格子｛２ｍν0，２ｎτ0｝、即ち密度１／２の格子の点上に中心がある。バリアンローコイフマンシーメスの定理を適用出来ない理由から、ここでは直観的に明らかな方法で見ることができる。
ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ方法の場合、関数ｘ2m,2n（ｔ）の互いの直交は異なる性質の２つの制限から得られる。実際には、ｍ≠ｍ’ならば、〈ｘ2m,2n｜ｘ2m',2n'〉はこれらの関数が互いに離れたスペクトルを有するのでゼロである。更に、Ｘ（ｆ）はハーフナイキストタイプの形を有するので、〈ｘ2m,2n｜ｘ2m',2n'〉はゼロである。
すでに示した多数の文献で判る様に、当業者はこれら２つの制限を守ることが絶対不可欠であると見なしている。特に、これらの制限はプロトタイプ関数が必ず周波数制限されたサポートを有する関数であるという考えからの制限である。
５．３  発明の包括的な原理
本発明は、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭタイプの多重搬送波信号に対する全く新規な方法に基づいている。この新規な方法によれば、直交はもはや前述の２つの制限に対する関係により得られるのではなく、プロトタイプ関数の特別な定義により得られる。
言い換えれば、本発明の目的はプロトタイプ関数が周波数を制限したサポートを有するあらゆる方法の関数であることを意味することなしに、密度２の直交格子上にＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ変調の様に作られた変調システムに基づく新しい信号である。
使用された原理は、密度１／２の直交な格子を作る原理であり、従って該信号の位相を上手に選択することにより密度２の格子を作り出す原理である。
非常に多くの信号を本発明の技術に基づき構成することができる。この様な信号でこれに限定されない２つの例であり、それぞれＯＦＤＭ／ＭＳＫとＯＦＤＭ／ＩＯＴＡと呼ぶ例を以下に提示する。この種の信号を作る特別な方法もこれに限定されない例として付録３に示す。この方法は勿論本発明の一部を形成しており、本記載を読み易くするのみのため付録の中に置いている。
５．４  ＯＦＤＭ／ＭＳＫ変調
ここでは、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ変調（式１４及び１５）と同じ一般式に基づき作られているが、異なるプロトタイプ関数を使用した新しい変調を検討する。この新しい変調はそれぞれの搬送波がＭＳＫ変調されているのでＯＦＤＭ／ＭＳＫと呼ぶ［２０］。そのプロトタイプ関数は次の様に書かれる：
0003784834.tif 000035
実際には、この変調は時間及び周波数軸の取り替えに対応しているので、この変調はＯＤＦＭ／ＯＱＡＭに対し二重であると考えられる後部（ポステリオリ：posteri-ori）基底上に該プロトタイプ関数が認められる。ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭに対するこの変調の必須の値は、該プロトタイプ関数が厳密に時間内に制限されていることである。入力フィルタの係数の数がかなり少なくなるので、特に受信器の実現が簡単になる。更に、マルチパスがある場合動作特性は変化しないし、変数ｘは同じである。
５．５  ＩＯＴＡ変調
ＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ変調は、上記とは反対に付録３に記載したＩＯＴＡ（等方性直交変換アルゴリズム）変換と呼んでいる信号処理の分野に対し、全体的に新規で独創的な方法から得られている。
５．５．１  信号に対する式
ここでは、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ変調（式１４及び１５）と同じ一般式に基づくが、異なるプロトタイプ関数の基底の上に作られた新しい変調を検討する。該変調はプロトタイプ関数の選択によりＯＦＤＭ／ＩＯＴＡと呼ばれている。プロトタイプ関数は次の様に書かれる：
0003784834.tif 000036
0003784834.tif 000037
は付録３で定義する関数ＩＯＴＡを示している。
付録３は解の無限大を得るため使用され、関数ＩＯＴＡは注目すべき解を有していることに注意する必要がある。ＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ変調の基底関数はそれ故次の様に書かれる：
0003784834.tif 000038
送信された信号はそれ故次の様に書くことが出来る：
0003784834.tif 000039
ここに、
0003784834.tif 000040
５．５．２  図に関する注釈と急速な減少に関する利点
目に見える形で本発明の利点を強調するため、前述の各変調に対し次の様に表す：
・Ａ：プロトタイプ関数ｘ（ｔ）；
・Ｂ：プロトタイプ関数の線形フーリエ変換；
・Ｃ：線形曖昧な関数の母数（付録２に記載）；
・Ｄ：符号間関数（付録２に定義）。
曖昧な関数の示す図（Ｃの参照の付いた図）により、時間周波数平面内でプロトタイプ関数の制限を判断することができる。符号間関数の示す図（Ｄの参照の付いた図）により、遅延とドップラー現象に対し変調の感度を評価することができる。位相誤差は変調の全てがこの点に関して等しいので検討する必要がない。
図３Ａから３Ｄは、従来のＯＦＤＭ／ＱＡＭ変調の周知の場合に関している。この変調の大きな欠点は、プロトタイプ関数の周波数応答により考えられる様に、小さなローブのレベルの減少が遅くない。
実際には、周波数誤りに対するＯＦＤＭの感度は対象とする他のタイプの感度より若干大きい。反対に、IIはロールオフがゼロの変調のアイ（eye）に等しいアイを水平に閉じることにより表される異なる組の統計値を有している。それ故明らかに重要であり、符号化が行われない時システム的な誤りを生ずる可能性のあるトレースがある。この詳細は不都合なものであり、符号化がある場合には実際上重要で無い。反対に、このゆっくりした減少はIIエネルギーが多数の隣接したシンボルにわたり分散され、これにより平等化での多くの試みが難しくなることを意味している。
逆説的に、実際の問題は軸に沿って三角形である曖昧な関数に対応する時間的応答が突然制限されることから生ずる。これにより時間的誤りに非常に高い感度を有した符号間関数が与えられる：傾斜は垂直であり、変数ξはそれ故ゼロである。これは保護間隔の使用が正当であることである。
図４Ｃと４Ｄは、保護間隔を有したＯＦＤＭ／ＱＡＭ変調に関している（そのプロトタイプ関数とフーリエ変換は、図３Ａと３Ｃに示すＯＦＤＭ／ＱＡＭのものに等しい）。保護間隔の使用により、曖昧な関数のレベルに平らな領域が生ずる。実際には、この場合に使用されるべき用語はむしろ“組み合わさった（cross）曖昧性”の用語が好ましい。明かに、この平らな部分は符号間関数に見つけることができ、時間的誤りをなくす。図には保護間隔が０．２５τ0の場合を示している。
周波数誤りの段階では、特性はＯＦＤＭ規格の場合と同じである。
保護間隔の損失は、関心のある分野がスペクトル効率の低い変調に関している時容認できる。反対に、高いスペクトル効率を有することが求められている時は、容認できない：例えば、有効なシンボルの４分の１に等しい保護間隔を取るとする。これらの条件のもとで、正味の効率を４ビット／ｓ／Ｈｚにするためには、概略の効率が５ビット／ｓ／Ｈｚの変調と復号化のシステムを有する必要があり、シャノンの限界容量に対し３ｄＢの損失が与えられる。更に、この損失に対し、保護間隔内に送信される“不必要な”パワーにより１ｄＢの損失を追加する必要がある。それ故全体では、最適な場合に対し４ｄＢが失われる。
図５Ａから５Ｄは、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭの場合を示している。
ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭの時間応答は、ＯＦＤＭ／ＱＡＭの時間応答より良い形状を有している。それにも拘らず、時間的な減少は１／ｔ2内にある。曖昧な関数は密度１／２を有した格子上で相殺される。周波数誤りに対する感度は、時間誤りに対する感度より大きい。変数ｘは０．８７６５に等しい。
図６Ａから６Ｄは、ＯＦＤＭ／ＭＳＫ変調に対応した発明の第一の実施態様に関している。該実施態様は時間と周波数の目盛りを逆にしたＱＡＭの特性に厳密に等しい特性を有していることが確かめられている。変数ｘは変わらない。
次に、図７Ａから７ＤはＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ変調を示している。この変調は時間と周波数の減少（用語の数学的な意味に於て）が早く、これにより可能性の最も大きい効率を有する等化が可能である。
該変調は２つの軸に対し完全に対称である。その符号間関数はほぼ理想的である。一般に、その動作はガウス関数の動作にほぼ等しい。変数ｘは０．９７６９に等しい。
関数Ａの曖昧な関数（図７Ａ）は、図８に示す様にガウス関数の曖昧な関数と比較される。これら２つの関数の一般的な形は、頂点に於て非常に似ている。反対に、基底では異なっている。
図７Ｅは、ＩＯＴＡ信号の時間が減少する対数目盛りの図である。該信号の大きさが対数目盛り（２つの様相は同じなので、勿論時間及び周波数でも）で直線的に、すなわち線形目盛では指数的に減少することが判る。それ故、この特性により実際の実施態様では波形を切断し、受信器の複雑性を制限することが出来る。
５．６  送信器の原理
図９は、本発明に基づく信号の送信器の簡略化したブロック図を示している。送信の方法はこの図から直接導き出される。
ビットレートの高い（典型的には数１０メガビット／ｓ）の二値のデータ源を検討する。二値のデータ源の用語はあらゆる種類（音、画像、データ）の１以上の標本化されるデジタル、又はアナログの源信号９１に対応した一連のデータ要素を意味すると理解される。これらの二値データ要素は、フェージングチャネルに適応した二値対二値チャネル符号化９２を受ける。例えばリードソロモン符号で結合された格子符号化変調を使用することができる。より詳細には、４ビット／Ｈｚのスペクトル効率が必要ならば、８つの振幅レベルを有する８ＡＭ変調に関連した効率２／３の符号を使用することが可能である。
次に、特許第ＦＲ−８８  １５２１６号に説明されている原理に基づき、これらの符号化されたデータ要素は時間周波数空間に分散され（９３）、送信されたシンボルに影響を与えるレイリーフェージングに必要なダイバーシティとデコレレイト(decorrelate)が与えられる。
より一般的には、第一の二値対二値の符号化と、時間及び周波数インターリーブと、マッピング操作が行われる。該インターリーブは必要性及び使用される符号により該マッピングの前後で無差別に行われることは明かである。
この符号化操作の終わりには、送信される実数のシンボルａm,nがある。ＯＦＤＭ／ＭＳＫ又はＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ変調器９４を作る原理は、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ送信器の場合と同様である。プロトタイプの波形のみが異なる。該変調システムの詳細な記載は参考文献［１５］に行っている。送信される信号を作るため、同じ次数ｎのシンボルが一緒にされ、次式の様に計算される：
0003784834.tif 000041
この操作は同じ次数ｎの全てのシンボルに関して高速フーリエ変換（ＦＦＴ）によりデジタル的に行われ、その後プロトタイプ関数ＩＯＴＡにより形成された波形に掛け算と、最後に異なるランクのシンボルの付加（指数ｎに基づく加算）が行われることが好都合である。
この様にして発生した複素信号は、次にアナログの形態９８に変換され、２チャネル直交変調器９９（Ｉ＆Ｑ変調器）により最後の周波数に置き換えられ、最終的に増幅９１０されてから送信９９１される。
５．７  受信器の原理
図１０は、本発明に基づく信号の受信器の該略図（同様に対応する受信方法も）を示している。
ＯＦＤＭ／ＭＳＫ又はＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ受信器はＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ変調に適合した受信器と同様である。入力段階は従来通りである。信号は予め増幅１０１され、中間周波数１０２に変換され、チャネルフィルタリング１０３が行われる。該中間周波数信号は次の１０５で直交した２つのチャネルのベースバンドに変換される。更に、自動利得修正（ＡＧＣ）機能１０４が行われる。こららのＡＧＣ機能は前置増幅１０１を制御している。
他の方法は、該中間周波数信号を低い搬送波周波数に置き換え、単独のチャネルに該信号を標本化することからなり、複合の表現はデジタルフィルタリングにより得られる。ＲＦ信号は直接ベースバンドに置き換えられ（直接変換）、該チャネルフィルタリングは二つのチャネルＩ＆Ｑのそれぞれの上で交互に行われる。いずれの場合も、受信信号に対応した複合の包絡信号である個別の表現に戻すことができる。
ベースバンドでのデジタル処理を詳細に表現するため、次式の送信信号の複合包絡の式により特徴づけられる多重搬送波タイプの変調を検討する：
0003784834.tif 000042
可変伝達関数Ｔ（ｆ，ｔ）により特徴づけられる伝送チャネルとする（付録２を参照）。受信信号ｒ（ｔ）の複合包絡は次の様に書くことができる：
0003784834.tif 000043
復調器は例えば特許第ＦＲ−９０  ０１４９１号に基づき明示された搬送波の基準格子を使用している従来の手段により伝達関数Ｔ（ｆ，ｔ）を推定している（１０６）。信号を正しく復調するため（１０７）、該チャネルは例えばＴ（ｆ，ｔ）の値に対応した振幅と位相及び対象とする周波数により特徴づけられる乗数チャネルに部分的に例えられる。ａm,n（ｔ）を推定するため、受信信号はそれ故次の信号と見なされる：
0003784834.tif 000044
次のことを仮定する：
0003784834.tif 000045
復調器はそれ故次の処理操作を行う：
0003784834.tif 000046
伝達関数ρｅiθを有する定常チャネルの場合、次のことが明らかに判る：
0003784834.tif 000047
実際には、処理１０７は図１１に示す方法に基づきデジタルの形態で行われる。該受信器はＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ受信器と同様に動作する［１３−１６］。該受信器は次の処理操作を行う：
−前記受信信号ｒ（ｔ）にプロトタイプ関数ｘ（ｔ）１１２を掛け算すること１１１；
−法２ｔ0フィルターを通した波形“エイリアジング(aliasing)”をすること；
−フーリエ変換（ＦＦＴ）の適用１１４；
−例えば伝送チャネルの振幅応答の推定ｒm,nと、位相応答の推定ｑm,nを備えたチャネルの推定１１６の関数として位相ｑm,nの修正１１５；
−項ｉm+nに対応した位相の修正１１７であって、データ要素は交互に同相と直交している；
−伝送チャネルの振幅応答ｒm,nにより重み付けられた伝送された係数ａm,nに対応して得られた係数
0003784834.tif 000048
の実数部分の選択１１８。
それ故このアルゴリズムにより所定の指数ｎの全ての係数の総合的な計算が可能になる。対応する複雑性の大きさは、ＯＦＤＭ／ＱＡＭに対し使用されたアルゴリズムの複雑性のほぼ２倍である。
この様に得られた係数は、送信時に行われたインターリーブと対称的にデインターリーブされ１０８、次に例えばビタービのアルゴリズム型のアルゴリズムを実施するソフト決定復号化技術に基づき好適に復号される１０９。チャネルの復号にチャネルｒm,nの振幅応答の推定を考慮すると、対応する値もデインターリーブされる１１０。更に、該デインターリーブはインターリーブが送信で行われた時の時間内の点に左右されるマッピングの前後で行われることは勿論である。
付録１：参考文献
0003784834.tif 000049
0003784834.tif 000050
0003784834.tif 000051
付録２
１．チャネルのモデル化
１．１  一般的モデル
分散性チャネルは、時間的に変化するパルス応答を有する線形システムであると考えられる。このパルス応答を定義するには２つの方法がある。この方法は［２１］で提案された規則に広く基づいている：
・入力でのパルス応答即ち入力遅延広がり関数ｇ（ｔ，τ）は次式により定義される：
0003784834.tif 000052
ここにｓ（ｔ）とｒ（ｔ）はそれぞれ送信信号と受信信号を表している、
・出力でのパルス応答即ち出力遅延広がり関数ｈ（ｔ，τ）は次式により定義される：
0003784834.tif 000053
明らかにｈ（ｔ，τ）＝ｇ（ｔ＋τ，τ）を有し、ｈ（ｔ，τ）は時点ｔでチャネルのパルス応答を表す。これらの規則が成立し、次の特性関数を定義することが出来る：
遅延ドップラー広がり関数Ｕ（τ，ν）の特性が次式により定められる：
0003784834.tif 000054
及び
0003784834.tif 000055
ドップラー−遅延広がり関数Ｖ（ν，τ）の特性は次式により定められる：
0003784834.tif 000056
及び
0003784834.tif 000057
又は全く簡単に：
Ｖ（ν，τ）＝ｅi2πντＵ（τ，ν）
時間変化伝達関数Ｔ（ｆ，ｔ）の特性は次の通りである：
0003784834.tif 000058
及び
0003784834.tif 000059
それ故定常チャネルの場合と同じ式が再び得られ、単に伝達関数が時間で変わることが異なる。この伝達関数Ｔ（ｆ，ｔ）はＵ（τ，ν）の２Ｄフーリエ変換である、即ち：
0003784834.tif 000060
いかなる場合も、Ｕ（τ，ν）は制限されたサポートを有していると仮定している。これは、伝達関数Ｔ（ｆ，ｔ）が標本化定理により分散した値の格子により表されることを意味している。
１．２  静的な遅延ドップラーモデル
遅延ドップラーモデルは次式により定義される：
0003784834.tif 000061
この式は振幅、位相、時間オフセット及び周波数オフセットにより特徴付けられる基本チャネルの和としてチャネルを示している。それ故、静的な遅延ドップラーモデルと呼ばれるこの種のタイプのチャネルに対し種々の現存の変調の動作に関心を持つことは正しいことである。
チャネルの式は次の簡略化した形で書かれる：
ｒ（ｔ）＝Ａｅiθｓ（ｔ−τ）ｅi2πvt
２．非定常チャネル内でのＯＦＤＭの動作特性
２．１  一般の場合
次の一般式により特徴付けられるあらゆるタイプのＯＦＤＭ多重搬送波変調（ＯＦＤＭ／ＱＡＭ，ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ，又はＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ）を検討する：
0003784834.tif 000062
ａkは実変数であり、Ｅは時間周波数空間での密度２の２Ｄ格子であり、関数ｘk（ｔ）は同一のプロトタイプ関数ｘ（ｔ）の時間内と周波数内の変換関数であり、Ｌ2（Ｒ）のヒルベルト基底を構成する。
0003784834.tif 000063
格子Ｅの構造の上にはいかなる仮定も無いことに注意する必要がある。ＯＦＤＭ／ＱＡＭの特別な場合、この格子は位相が直交の２つの同じ場所に集中されたサブ格子に分けられる。
復調動作は次の様に書くことが出来る：
0003784834.tif 000064
φは復調器により推定された位相で、ｒ（ｔ）は受信された位相の複合包絡である。それ故、次の様に書くことが出来る：
0003784834.tif 000065
ところで：
0003784834.tif 000066
これにより次式が導き出される：
0003784834.tif 000067
φの最適な値は係数
0003784834.tif 000068
を最大にする値であり、次式で与えられる：
0003784834.tif 000069
これらのことは一般的であるが、前述の式は殆ど利用されない。しかし、これらのことは有効な信号と符号間が遅延ドップラー広がり関数により重みを付けられた曖昧な関数の積分として表されることを示している。
２．２  静的チャネルの場合
位相θ、遅延τ及びオフセットν（振幅Ａは１で正規化されている）により特徴付けられる静的遅延ドップラータイプのチャネルの場合、復調は推定量に位相変数φを導入することにより同様に行われる。この操作の結果は次の様に書ける：
0003784834.tif 000070
復調された信号はそれ故最終的に次の様に書ける：
0003784834.tif 000071
第二の項は符号間干渉（II）を表している。データの要素ａkが分散σ2を有した独立したランダム変数であるとすれば、IIの分散Ｉは次の様に書ける：
0003784834.tif 000072
ここで、係数ｃkは関数ｘk（ｔ）のヒルベルト基底の上で１に等しいノルム（norm）で関数ｅi(φ-θ)ｅ-2iπν(t+τ)ｘn（ｔ＋τ）を分解した係数であるとする。その結果次式を得る：
0003784834.tif 000073
及びＩ＝（１−ｃn2）σ2
言い換えれば、受信信号の分散は一定で、“有効な”信号ｃnａnとIIの間に分散Ｉ＝（１−ｃn2）σ2を有して分散されている。係数ｃnは次式により計算される：
0003784834.tif 000074
ここで、ｘnの曖昧な関数は次の様に書ける：
0003784834.tif 000075
従って、次の様に書くことが出来る：
0003784834.tif 000076
復調の位相φはφopt＋Δφの形で書くことを仮定しており、ここに、φoptはIIを最小にする、即ちｃnを最大にする復調の位相で次式の様に与えられる：
φopt＝θ＋πντ＋２π（τnν−νnτ）
次に、IIの分散は簡単に次の様に書くことが出来る：
0003784834.tif 000077
プロトタイプ関数が偶数次の関数の時（これはこの文書の主な部分に記載したヒルベルトの基底を構成する方法の場合に対応している）、曖昧な関数は実数で、それ故次式を得る：
Ｉ＝（１−Ａx2（τ，ν）ｃｏｓ2Δφ））σ2
この結果は非常に注目すべきことであり、これはあらゆる多重搬送波変調の遅延とドップラー現象に対する感度がプロトタイプ関数の曖昧な関数のみに左右されるからである。これ以下は用語“符号間関数”（厳密な意味で無く符号間干渉の関数を示すため使用する）は、一般には関数
0003784834.tif 000078
を示すため使用され、最適な位相が推定される場合データ要素に関する平均の二次式の値により正規化された符号間の平均の二次式の値を示している。
３．異なるタイプのＯＦＤＭの分析の比較
３．１  理論的限界
以下の記載では符号間関数の特性を論ずる。多重搬送波変調の感度は、（０，０）の近くで対応するプロトタイプ関数の曖昧な関数の動作に直接関係していることが知られている。生ずる問題はレーダーの分野で生ずる不確定性の問題と全く同じで、このテーマに関する多数の文献が参考文献としてある（例えば［２２］を参照）。一般性を少しも損なうことなく、適切な時間と周波数変換の１次モーメントがゼロである様に、即ち次式が成り立つ様な該変換により関数ｘ（ｔ）を選ぶことが出来る：
0003784834.tif 000079
この様な条件のもとでは、１次の部分導関数は次の様に互いに相殺されることが容易に証明される：
0003784834.tif 000080
２次部分導関数をもとに（０，０）の回りで曖昧な関数の動作を次の様に特徴ずけることができる：
0003784834.tif 000081
を仮定すると
0003784834.tif 000082
次に（０，０）において曖昧な関数のテーラーヤングの展開を検討する：
Ax(dτ,dν)＝1−2π2(Δt2dν2＋Δf2dτ2)＋μdνdτ＋o(dν2＋dτ2)
符号間の分散に関してテーラーヤングの展開から次の様に演繹できる：
Ｉ＝（１−（Ｒｅ［Ａx（τ，ν）］）2ｃｏｓ2Δφ）σ2
即ち：
I(dτ,dν,dφ)＝σ2[4π2(Δt2dν2＋Δf2dτ2)
−2μdνdτ＋dφ2＋o(dν2＋dτ2＋dφ2)]
符号間関数Ｉｓは、最初に次式を有した接線円錐を受け入れることが演繹できる：
0003784834.tif 000083
平面ｚ＝１とこの円錐との交差（最大符号間）は、面積ξが遅延とドップラー現象に対する感度の測定値として考えられる楕円の外形により表面の限界を定める。μxがゼロの時、この楕円は対称な軸として時間と周波数軸を有し、該時間軸に沿って±１／２πΔｆから広がり、該周波数軸に沿って±１／２πΔｔから広がっている。それ故、次式を得る：
ξ＝１／４πΔｔΔｆ
ハイゼンベルクの不等式を考慮すると、ξは１を越えることができない。この結果はμxが０と異なる時一般化される。関数ｘ（ｔ）とウォブレーション（wobbula-tion）を掛けることにより得られる関数ｙ（ｔ）を検討する：
0003784834.tif 000084
それ故次の様に書くことが出来る：
0003784834.tif 000085
従って、βを適切に選択することによりμyを削除することが常に可能である。ところで、ウォブレーションとの乗算の操作により、面積を保つことに関連する曖昧な関数の軸を簡単に変えられる。これにより、変数ξが０と１の間に常にあることが演繹される。
この結果が極めて重要であるのは、単独の変数を基に分散チャネル内で全てのＭＣＭの動作特性を比較することが出来るからである。それ故、これらの動作特性は関連するプロトタイプ関数の集中のみに左右されることが判る。実際にはガウス関数により最適化が行なわれるが、この最適化はガウス関数によりヒルベルト基底が作られないので得ることが難しい。
付録３
１．はじめに
この付録では直交性に関し必要な基準を確かめるプロトタイプ関数の構成方法を与える。該方法は関数の無限大を得るため、即ち関数の中でフーリエ変換に等しい特別な特徴を有する特別な解（ＩＯＴＡ関数と呼ばれる）を得るため使用される。
２．曖昧な関数
この章では曖昧な関数の主な特性を再度示し、この関数に行なわれる種々の演算子を記載する。
２．１  曖昧な関数に関する再認識
２．１．１  定義
関数ｘ（ｔ）とそのフーリエ変換Ｘ（ｆ）を考える。この関数を用いて、次式で定義されるそれぞれ時間積と周波数積を考えることができる：
0003784834.tif 000086
ウィグナービレ（Wigner-Ville）変換及びｘの曖昧な関数は従って次の様に与えられる：
0003784834.tif 000087
２．１．２曖昧な関数の対称な特性
関数ｘ（ｔ）を考える。表記ｘ-及び
0003784834.tif 000088
は次の様に定義される関数にそれぞれ用いられている：
0003784834.tif 000089
従って次の関係式が得られる：
0003784834.tif 000090
即ち、ｕ＝−ｔであると仮定すると：
0003784834.tif 000091
これにより、特に関数ｘが偶数次の値、即ちｘ＝ｘ-であるならば、その曖昧な関数は実数であると結論される。更に、次の関係式に注目すべきである：
0003784834.tif 000092
これら二つの関係式を結合することにより、次式を得る：
0003784834.tif 000093
２．１．３  曖昧な関数とフーリエ変換
次の様に曖昧な関数の定義を書き直すことが出来る：
0003784834.tif 000094
即ち、再度ＡX（τ，ν）＝Ａx（−ν，τ）
２．１．４  曖昧な関数と時間周波数変換
あらゆるプロトタイプ関数の変換関数、即ち次式を検討する：
0003784834.tif 000095
関連した曖昧な関数は次の様に書ける：
0003784834.tif 000096
即ち、ｕ＝ｔ−τkであると仮定すると、
0003784834.tif 000097
２．２  直交と曖昧な関数
２．２．１  一般的な場合
同一の関数ｘ（ｔ）の２つの変換関数を検討する、即ち：
0003784834.tif 000098
これら２つの関数のスカラ積は次の様に書ける：
0003784834.tif 000099
即ち、ｕ＝ｔ−（τk＋τk'）／２
であると仮定すると：
0003784834.tif 000100
３．直交格子上のヒルベルト基底
３．１  構成の一般的な原理
次式により定義される関数の集合｛ｘm,n｝を検討する：
0003784834.tif 000101
及びν0τ0＝１／２
集合｛ｘm,n｝がＨRのヒルベルトの基底である様にｘ（ｔ）に関する条件を捜す。ｘ（ｔ）が偶数関数で、その曖昧な関数ＡXがそれ故実数であると規定する。
ｘm,nとｘm',n'のＲ内のスカラ積は次の様に書ける：
0003784834.tif 000102
法２の合同式について次の関係式に注意する必要がある：
(m-m')+(n-n')+(m-m')(n+n')≡1-(m-m'+1)(n-n'+1)
従って、法２で（ｍ，ｎ）≠（ｍ’，ｎ’）ならば、スカラ積はゼロである。格子｛ｘm,n｝はそれ故次式により特徴付けられる４つのサブの格子に分解できる：
｛ｍが偶数、ｎが偶数｝、｛ｍが偶数、ｎが奇数｝、
｛ｍが奇数、ｎが偶数｝、｛ｍが奇数、ｎが奇数｝。それ故、異なるサブ格子に属する関数の間の直交性は、この関数が偶数の値であるので、自動的に行われプロトタイプ関数の特性に左右されない。
従って、これからしなければならないことは同一のサブの格子の関数を相互に直交にすることである。この目的のため曖昧な関数ＡＸは次式を満たすことで十分である：
Ａx（２ｎτ0，２ｍν0）＝０  ∀（ｍ，ｎ）≠（０，０）
それ故、密度２で直交格子上にＨRのヒルベルト基底を構成する問題は、曖昧な関数が密度１／２の格子上で打ち消される偶数のプロトタイプ関数を構成する問題となることが判る。
３．２直交の方法
３．２．１  時間的直交
定義
フーリエ変換Ｘ（ｆ）を有する関数ｘ（ｔ）を検討する。名称Ｏtは関数ｙ（ｔ）をｘ（ｔ）に関係付ける時間的直交に対して与えられ、この関数ｙ（ｔ）はそのフーリエ変換Ｙ（ｆ）により定義される：
0003784834.tif 000103
解釈により次式を得る：
0003784834.tif 000104
即ち逆フーリエ変換により：
0003784834.tif 000105
又は再び：
Ａy（２ｎτ0，０）＝０  ∀ｎ≠０  及び  Ａy（０，０）＝１
直交はそれ故実際には時間軸上で行なわれる。更に、この演算子はｙを正規化することに注意する必要がある。
Ｘをガウス関数とし、ｙ＝０tｘとする。次の式を検討する：
0003784834.tif 000106
Ｘがガウス関数なので、次の様に書くことができる：
Ｘ（ｆ＋ｍν0）Ｘ*（ｆ−ｍν0）＝ｃm｜Ｘ（ｆ）｜2
ここに、ｃmは一定である。これから次の様に演繹できる：
Γy（ｆ，２ｍν0）＝ｃmΓy（ｆ，０）
逆フーリエ関数により次式を得る：
Ａy（τ，２ｍν0）＝ｃmＡy（τ，０）
従って：
∀ｍ，∀ｎ≠０  Ａy（２ｎτ0，２ｍν0）＝０
時間的直交演算子０tは、それ故周波数軸の場合を除いて全ての格子を直交にする。
定理１
ｘをガウス関数でｙ＝０tｘであるとすると、次式を得る：
∀ｍ，∀ｎ≠０  Ａy（２ｎτ0，２ｍν0）＝０
３．２．２周波数直交
定義
関数ｘ（ｔ）を検討する。０fは関数ｙ（ｔ）をｘ（ｔ）に関連付ける周波数直交演算子に対し与えられた名称であり、該関数ｙ（ｔ）は次式により定義される：
0003784834.tif 000107
解釈により次式を得る：
0003784834.tif 000108
フーリエ変換により次式が与えられる：
0003784834.tif 000109
及びν0τ0＝１／２
又は、再び：
Ａy（０，２ｍν0）＝０  ∀ｍ≠０  及び  Ａy（０，０）＝１
直交はそれ故実際には周波数軸の上で行なわれる。更に、この演算子によりｙが正規化されることに注意する必要がある。
ｘをガウス関数とし、ｙ＝０tｘの時ｚ＝０fｙとする。次式を検討する：
0003784834.tif 000110
それ故次の様に書くことができる：
γz（ｔ，２ｎτ0）＝γy（ｔ，２ｎτ0）Ｐ（ｔ）
ここに、Ｐ（ｔ）は
0003784834.tif 000111
のタイプのフーリエ級数の展開を受ける周期τ0の周期関数である。
フーリエ変換により、次式を得る：
0003784834.tif 000112
ここに、
∀ｍ，∀ｎ≠０，Ａy（２ｎτ0，２ｍν0）＝０⇒
∀ｍ，∀ｎ≠０，Ａz（２ｎτ0，２ｍν0）＝０
更に、解釈により、
∀ｍ，≠０，Ａz（０，２ｍν0）＝０
結局、次式を得る：
∀（ｍ，ｎ）≠（０，０），Ａz（２ｎτ0，２ｍν0）＝０
この様に、ｚの曖昧関数は２τ0及び２ν0の全ての倍数に対し（０，０）以外で打ち消され、格子は密度が１／２になる。
定理２
ｘをガウス関数としｚ＝０f０tｘとすると：
∀（ｍ，ｎ）≠（０，０），Ａz（２ｎτ0，２ｍν0）＝０
３．３  直交演算子０
前述の点から、式の記載を対称にする時間周波数目盛りがあることが明らかに判る：このためにはτ0＝ν0＝１／√２を選ぶことで十分である。目盛りはそれ故証明の一般的な性質を損なうことなく再び正規化できる。
３．３．１  定義
名称０は次式により定められる関数ｘ，関数ｙと関連する直交演算子に適用される：
0003784834.tif 000113
更に、フーリエ変換演算子を以下Ｆで示す。
３．３．２  演算子０の等ベキ
ｚ＝０ｙ及びｙ＝０ｘとする。次の様に書くことが出来る：
0003784834.tif 000114
それ故、演算子０の等ベキを示す００ｘ＝０ｘを有する。同様に、二重演算子Ｆ-1ＯＦも次式から等ベキである：
Ｆ-1０ＦＦ-1０Ｆ＝Ｆ-1００Ｆ＝Ｆ-1０Ｆ
３．３．３  補助定理１
Ｐを周期が１／√２の周期関数し、Ｄを次の形を有する超関数とする：
0003784834.tif 000115
ｘをあらゆる関数とすると：
0003784834.tif 000116
補助定理１
Ｐを周期が１／√２の周期関数とし、Ｄを
0003784834.tif 000117
の超関数とする。ｘをあらゆる関数とすると次式を得る：
Ｄ＊（Ｐｘ）＝Ｐ（Ｄ＊ｘ）
補助定理２
0003784834.tif 000118
を有し、Ｄが
0003784834.tif 000119
の形を有する超関数としｙα＝Ｄ＊ｘαにより定義される関数ｙαを検討する。
その結果次の様に書くことができる：
0003784834.tif 000120
和を取ると次の様になる：
0003784834.tif 000121
即ち再び付録（§４）で与えられる結果を適用すると次の様になる：
0003784834.tif 000122
更に指数を組み替え、ｋをｋ＋ｋ’＋ｋ”と再定義すると、
0003784834.tif 000123
従って次の様に書くことができる：
0003784834.tif 000124
ここに、
0003784834.tif 000125
係数ｃは、上述の関係式を次の形で書き直すことにより容易に推計できる：
0003784834.tif 000126
フーリエ変換により次式を与えると：
0003784834.tif 000127
特にこの式から次のことが演繹できる：
0003784834.tif 000128
それ故、最終的に次の様になる：
0003784834.tif 000129
補助定理２
0003784834.tif 000130
を有し、Ｄが
0003784834.tif 000131
の形を有する超関数とし、ｙα＝Ｄ＊ｘαにより定義される関数ｙαを用いると次式の様になる
0003784834.tif 000132
３．３．５  演算子０及びＦ-1０Ｆの可換特性
次に演算子０とＦ-1０Ｆは、これらがガウス関数に適用出来る時変換することができることを示す。
0003784834.tif 000133
とする。
次にＦｘα＝ｘ1/α
及び、０ｘα＝Ｐαｘα
とすればＰαは次の関係式により定義される：
0003784834.tif 000134
更にそのフーリエ変換Ｄαは次式の通りである：
0003784834.tif 000135
ｙα＝Ｆ-1ＯＦｘα、及び、ｚα＝０ｙαとすると次の様に書くことができる：
ｙα＝Ｆ-1ＯＦｘα＝Ｆ-1ＯＸ1/α＝Ｆ-1（Ｐ1/αｘ1/α）＝Ｄ1/α＊ｘα
更に
0003784834.tif 000136
ｘα及びｙαは１に等しいノルム（norm）を有しているので、補助定理２を適用することにより、次の様に書くことができる：
0003784834.tif 000137
同様に、次式が定義できる：
ｗ1/α＝ＦＯｘα＝Ｆ（Ｐαｘα）＝Ｄα＊ｘ1/α
次の様に書くことができる：
0003784834.tif 000138
ｘ1/α及びｗ1/αは１に等しいノルム（norm）を有しているので、補助定理２を適用すると、次の様に書くことができる：
0003784834.tif 000139
逆フーリエ変換により次式を与えると：
Ｆ-1ＯＦＯｘα＝Ｆ-1Ｏｗ1/α＝Ｄ1/α＊（Ｐαｘα）
ここで、次の様に補助定理１を適用すると：
Ｄ1/α＊（Ｐαｘα）＝Ｐα（Ｄ1/α＊ｘα）
これから次式が演繹できる：
０Ｆ-1０Ｆｘα＝Ｆ-1０Ｆ０ｘα
定理３
あらゆるガウス関数ｘに対し、演算子０とＦ-1０Ｆは次式の様に、組み替えられる：
０Ｆ-1０Ｆｘ＝Ｆ-1０Ｆ０ｘ
推論１
0003784834.tif 000140
を用いてｚα＝０Ｆ-1０Ｆｘαとすると、Ｆｚα＝ｚ1/αとなる。
証明：
Ｆｚα＝ＦＦ-1０Ｆ０ｘα＝０Ｆ-1０ｘα＝０Ｆ-1０Ｆｘ1/α＝ｚ1/α
注目すべき特別な場合
Ｆｚ1＝ｚ1
この特別な関数により時間と周波数軸に対し完全な対称が与えられ、それ故ＩＯＴＡ変換の原型関数を構成できる（等方性直交変換アルゴリズム）。この特別な関数
0003784834.tif 000141
は注目する必要がある。
推論２
ｘをガウス関数としｚ＝０Ｆ-1０Ｆｘとすると、０ｚ＝ｚとなる。
証明：
０ｚ＝００Ｆ-1０Ｆｘ＝０Ｆ-1０Ｆｘ＝ｚ
推論３
ｘをガウス関数としｚ＝０Ｆ-1０Ｆｘとすると、Ｆ-1０Ｆｚ＝ｚとなる。
証明：
Ｆ-1０Ｆｚ＝Ｆ-1０ＦＦ-1０Ｆ０ｘ＝Ｆ-1００Ｆ０ｘ＝Ｆ-1０Ｆ０ｘ＝ｚ
３．３．６  関数ｚαの曖昧な関数
正規化τ0＝ν0＝１／√２を用いて定理２を検討する。つまり：
０f＝０  及び  ０t＝Ｆ-1０Ｆ
従って、定理２は次の様に書き直すことができる：
定理４
ｘをガウス関数としｚ＝Ｆ-1０Ｆ０ｘとすると、
∀（ｍ，ｎ）≠（０，０），Ａz（ｎ√２，ｍ√２）＝０
４．付録
次式で定義されると正規化ガウス関数ｘαを用いる：
0003784834.tif 000142
それ故積ｘα（ｕ−ａ）ｘα（ｕ−ｂ）は次の様に書ける：
0003784834.tif 000143
ここで次の恒等式が成り立つ：
0003784834.tif 000144
結局次の様に書くことができる：
0003784834.tif 000145
【図１】
0003784834.tif 000160
【図２】
0003784834.tif 000161
【図３Ａ】
0003784834.tif 000162
【図３Ｂ】
0003784834.tif 000163
【図３Ｃ】
0003784834.tif 000164
【図３Ｄ】
0003784834.tif 000165
【図４Ｃ】
0003784834.tif 000166
【図４Ｄ】
0003784834.tif 000167
【図５Ａ】
0003784834.tif 000168
【図５Ｂ】
0003784834.tif 000169
【図５Ｃ】
0003784834.tif 000170
【図５Ｄ】
0003784834.tif 000171
【図６Ａ】
0003784834.tif 000172
【図６Ｂ】
0003784834.tif 000173
【図６Ｃ】
0003784834.tif 000174
【図６Ｄ】
0003784834.tif 000175
【図７Ａ】
0003784834.tif 000176
【図７Ｂ】
0003784834.tif 000177
【図７Ｃ】
0003784834.tif 000178
【図７Ｄ】
0003784834.tif 000179
【図７Ｅ】
0003784834.tif 000180
【図８】
0003784834.tif 000181
【図９】
0003784834.tif 000182
【図１０】
0003784834.tif 000183
【図１１】
0003784834.tif 000184