(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
ピニオンとギアの歯車対からなり、いずれか一方の歯車が
インボリュートヘリコイドを歯面とする第１歯車であり、他方がこれと共役な歯面を有する第２歯車であるハイポイドギアを設計する方法であって、
前記歯車に対して、(a)互いに直交する３座標軸のうちの１つがその歯車の回転軸に一致し、他の２座標軸のうちの１つが、その歯車の回転軸とその歯車が噛み合わされるべき相手歯車の回転軸との共通垂線に一致する静止座標系と、(b)互いに直交する３座標軸のうちの１つが前記静止座標系の３座標軸のうち前記歯車の回転軸に一致するものに一致し、その一致する座標軸を中心にしてその歯車と共に回転するとともに、その歯車の回転角が０であるときに他の２座標軸が前記静止座標系の他の２座標軸にそれぞれ一致する回転座標系と、(c)前記静止座標系を前記歯車の回転軸を中心に、かつ、その静止座標系の前記他の２座標軸のうちの１つが前記歯車の作用面と平行になるように回転変換した媒介座標系とをそれぞれ想定する工程と、
前記媒介座標系において、前記歯車の回転中、その歯車と前記相手歯車との間で互いに噛み合う歯面対の接触点が描く軌跡と、その歯面対に対する各接触点における法線である共通法線の傾き角とをそれぞれ、前記歯車の回転角を助変数とする第１関数によって記述する工程と、
前記静止座標系において、前記第１関数と、その静止座標系と前記媒介座標系との相対位置関係とに基づき、前記接触点軌跡と共通法線傾き角とをそれぞれ、前記回転角を助変数とする第２関数によって記述する工程と、
静止座標系における接触点軌跡と共通法線傾き角とをそれぞれ取得し、前記回転座標系において、前記第２関数と、その回転座標系と前記静止座標系との相対位置関係とに基づき、前記接触点軌跡と共通法線傾き角とをそれぞれ、前記回転角を助変数とする第３関数によって記述される歯形曲線を取得する工程と、
前記歯形曲線を有する歯面対の接触領域を取得する工程と、
前記接触領域上に、二つの歯車軸の正射影としての作用限界線を取得し、前記第２歯車の歯面に基づき、前記接触領域上に第２歯車の歯先線を取得し、前記作用限界線と前記歯先線とで挟まれた有効接触領域を取得する工程と、
前記有効接触領域がギアの歯幅全体にわたって存在することを判定する工程と、
を有するハイポイドギアの設計方法。
【請求項２】
請求の範囲１に記載のハイポイドギアの設計方法であって、
前記第１歯車の歯が適切な強度を有するように、当該第１歯車の正転側歯面と逆転側歯面のそれぞれの接触点軌跡相互の角度を取得する工程、
を有するハイポイドギアの設計方法。
【請求項３】
請求の範囲２に記載のハイポイドギアの設計方法であって、
前記正転側、逆転側それぞれの歯面の接触点軌跡に基づく歯面を有する等価ラックの諸元を取得する工程と、
前記等価ラックの諸元に基づき前記第２歯車の正転側歯面と逆転側歯面のそれぞれの歯先線の間隔を取得し、この値が所定の値以上であるかを判定する工程と、
を有するハイポイドギアの設計方法。
【請求項４】
請求の範囲１に記載のハイポイドギアの設計方法であって、
前記歯面対を取得する際に、設計基準点をギア歯幅中央付近に設定し、
前記有効接触領域がギア歯幅の小端側で不足すると判断された場合は、前記設計基準点をギア歯幅の小端側へ移動し、再度有効接触領域を取得する、
ハイポイドギアの設計方法。
【請求項５】
請求の範囲３に記載のハイポイドギアの設計方法であって、
前記歯面対を取得する際に、設計基準点をギア歯幅中央付近に設定し、
前記歯先線の間隔が大端側で不足すると判断された場合は、前記設計基準点をギア歯幅の大端側に移動し、再度有効接触領域を取得する、
ハイポイドギアの設計方法。
【請求項６】
請求の範囲３に記載のハイポイドギアの設計方法であって、
前記歯面対を取得する際に、設計基準点をギア歯幅中央付近に設定し、
前記有効接触領域がギア歯幅の小端側で不足し、かつ前記歯先線の間隔が大端側で不足すると判断された場合は、ギア歯幅を縮小する、
ハイポイドギアの設計方法。
【請求項７】
請求の範囲１から６のいずれかのハイポイドギアの設計方法をコンピュータに実行させるためのプログラム。
【請求項８】
歯車対の一方の歯車の歯面がインボリュートヘリコイド面であるハイポイドギアであって、前記インボリュートヘリコイド歯面を有する歯車の基礎円の半径が正転側と逆転側で異なっている、ハイポイドギア。
【請求項９】
請求の範囲８に記載のハイポイドギアであって、インポリュートヘリコイドを与えた歯車の、正転側と逆転側の歯面のリードが、略等しいハイポイドギア。
【請求項１０】
請求の範囲８に記載のハイポイドギアであって、当該ハイポイドギアを構成するピニオンとギアの各々の軸どうしの最短距離であるオフセットＥと、ギアの設計点における半径Ｒ20との比（Ｅ／Ｒ20）が０．２５より大きい、ハイポイドギア。
【請求項１１】
請求の範囲８に記載のハイポイドギアであって、ギア比ｉ0が２．５以上５以下のハイポイドギア。
【請求項１２】
請求の範囲８に記載のハイポイドギアであって、ねじれ角ψ0が３５°以上７０°以下のハイポイドギア。
【発明の詳細な説明】
技術分野
本発明は、ハイポイドギアの歯面形状の設計方法に関する。
背景技術
本願出願人は、特開平９−５３７０２号公報において、歯車対の歯面を統一的に記述する方法について提案した。すなわち、最も広く用いられている平行な軸を有する歯車対から、二つの歯車の軸が交わらず、平行でもない位置（ねじれの位置）にある場合にまで統一的に適応できる歯面の記述方法が示された。また、動力伝達用歯車において、歯車の軸を支持する軸受の荷重変動をなくすためには、歯車歯面の接触点の軌跡が直線となることが必要であることが示された。そして、少なくとも一方の歯面がインボリュートヘリコイド面であり、他方の歯面がこれに共役な面である場合が、前記の接触点軌跡が直線となるという条件を満たすことを明らかにした。この結論は、平歯車、はすば歯車などの平行軸歯車において、従来の設計方法と同一の結論となる。
また、対をなす歯車の軸が平行でない場合の従来の歯車設計方法は、経験的に求められるものであった。
対をなす歯車の軸が平行でない場合、一方がインボリュートヘリコイド歯面を有し、他方がこれと共役な歯面を有する歯車対が現実に存在し得るか、またこのような歯面対の効率的な求め方が不明であった。
発明の開示
本発明は、特に、二つの歯車軸が交わらず、かつ平行でもない場合の歯車対の設計方法を提供することを目的とする。
本発明は、交わらず、かつ平行でもない軸を有する歯車対、例えばハイポイドギアの設計方法を提供する。以下、ハイポイドギアの小径歯車をピニオン、大径歯車をギアと呼ぶ。また、本明細書におけるハイポイドギアは、ピニオンが円筒面上に歯が形成された歯車で、ギアが円盤の軸に直交する面に歯が形成された、いわゆるフェースギアも含む。
ハイポイドギアの歯面は、前記の特開平９−５３７０２号公報に示された方法により記述することができる。
まず、(a) 互いに直交する３座標軸のうちの１つがその歯車の回転軸に一致し、他の２座標軸のうちの１つが、その歯車の回転軸とその歯車が噛み合わされるべき相手歯車の回転軸との共通垂線に一致する静止座標系と、(b) 互いに直交する３座標軸のうちの１つが前記静止座標系の３座標軸のうち前記歯車の回転軸に一致するものに一致し、その一致する座標軸を中心にしてその歯車と共に回転するとともに、その歯車の回転角が０であるときに他の２座標軸が前記静止座標系の他の２座標軸にそれぞれ一致する回転座標系と、(c) 前記静止座標系を前記歯車の回転軸を中心に、かつ、その静止座標系の前記他の２座標軸のうちの１つが前記歯車の作用面と平行になるように回転変換した媒介座標系とをそれぞれ想定する。次に、前記媒介座標系において、前記歯車の回転中、その歯車と前記相手歯車との間で互いに噛み合う歯面対の接触点が描く軌跡と、その歯面対に対する各接触点における法線である共通法線の傾き角とをそれぞれ、前記歯車の回転角を助変数とする第１関数によって記述する。また、前記静止座標系において、前記第１関数と、その静止座標系と前記媒介座標系との相対位置関係とに基づき、前記接触点軌跡と共通法線傾き角とをそれぞれ、前記回転角を助変数とする第２関数によって記述する。さらに、静止座標系における接触点軌跡と共通法線傾き角とをそれぞれ取得し、前記回転座標系において、前記第２関数と、その回転座標系と前記静止座標系との相対位置関係とに基づき、前記接触点軌跡と共通法線傾き角とをそれぞれ、前記回転角を助変数とする第３関数によって記述される歯形曲線を取得する。
取得された歯形曲線から、当該歯面対の接触領域を取得する。このとき、一方の歯車（第１歯車）の歯面をインボリュートヘリコイドとし、他方の歯車（第２歯車）は第１の歯車の歯面と共役な歯面を有するものとする。前記取得された接触領域において、歯面対の有効な接触が実現する領域（以下、有効接触領域）はその一部に限定される。まず、この有効接触領域は、接触領域に対する二つの歯車軸の正射影である作用限界線の間に存在する。また、歯車の歯先が形成する面、すなわち歯車の回転によって歯先が描く軌跡面より歯元側に、有効接触領域が存在する。よって、有効接触領域は、前記歯先が形成する面と接触領域の交線（以下、歯先線）と、前記作用限界線の間に存在する。したがって、作用限界線と歯先線により囲まれる領域（すなわち、有効接触領域）が少なくとも歯車の歯幅全体にわたって存在することが望ましい。有効接触領域が歯幅の一部にしか存在しないということは、残りの歯幅部分は、歯車として役に立っていないことになり、このような設計は無意味または無駄である。
また、現実に歯車の歯を形成するためには、歯が必要な強度を有することが必要である。具体的には、正転側と逆転側の歯面に所定の歯厚を与え、また歯の直交する断面形状において歯元を太くする。歯元を太くするためには、正転側の歯面と逆転側の歯面のそれぞれの接触点軌跡がなす角度を適切に選定する必要がある。正転、逆転側歯面の接触点軌跡の交わる角度は、従来のラックの頂角である３８〜４０°が経験的に適切である。また、正転側の接触点軌跡を、後述する限界軌跡（ｇ2Z、ｇt、ｇ1K）の一つにほぼ一致させるように選択することが経験的に適切である。
前記の歯を第１歯車に創成するために、等価ラックの形状を取得することが必要となる。等価ラックは、インボリュート平歯車のラックが一般化されたものと考えることができる。
また、前記決定された接触点軌跡により、第２歯車の歯面を取得し、第２歯車の歯先面を与えれば、正転側、逆転側双方の歯先線が求められ、その間隔も取得できる。この間隔が少ない場合、第２歯車の歯先が尖っていることを示している。
有効接触領域はギア小端側で不足しやすく、第２歯車の歯先線間隔（歯先の歯厚）は、大端側で不足しやすい。有効接触領域が小端側で不足した場合は、設計基準点をギアの小端側に移動して再度歯形曲線および有効接触領域の取得を実行する。また、歯先線の間隔が大端側で不足した場合には、設計基準点をギアの大端側に移動して再度歯形曲線および有効接触領域の取得を実行する。小端側で有効接触領域が不足し、同時に大端側で歯先線の間隔が不足した場合には、歯幅を減少させる。
以上の設計過程を、所定のコンピュータプログラムにより記述することにより、コンピュータに実行させることができる。コンピュータには、ギア諸元や変数の選択を受け付ける入力手段が接続され、また設計結果または設計過程の中間段階までの演算結果を出力する出力手段が接続される。
発明を実施するための最良の形態
以下、本発明の実施の形態（以下実施形態という）を、図面に従って説明する。まず、特開平９−５３７０２号公報にて提案された歯車の設計方法について説明する。
Ａ．新しい歯形論
１．新歯形論における歯形曲線
図１は、ある瞬間に角速度ω1i，ω2i（図示方向が正のベクトル）で回転し、一定の入出力トルクＴ1 ，Ｔ2 （それぞれω1iとω2iと同方向が正のベクトル）を伝達する歯面Ｉ，IIが点Ｐi で接触し、歯面IIに集中荷重の法線力ＦN2i 、歯面Ｉ上にその反作用としてＦN1i （＝−ＦN2i ）を受けている状態を示している。接触点Ｐi における歯面Ｉ，IIの共通法線を単位ベクトルｎi で表わすものとすれば、ｎi は集中荷重の法線力の作用線（有向）をも同時に表わしている。
歯車対がある任意の角度だけ回転したとき、接触点はＰj に移り、角速度はω1j，ω2jに、集中荷重の法線力はＦN1j ，ＦN2j に変化したと仮定すれば、ＰiＰj は各接触点において共通法線がそれぞれｎi ，ｎj となる接触点の軌跡を描くことになる。この接触点の軌跡Ｐi Ｐj と共通法線ｎi ，ｎj とを各歯車と共に回転する空間に変換すれば、歯形曲線Ｉ，IIが歯面Ｉ，IIと全く同じ運動を伝達する空間曲線として定義され、歯面上の集中荷重の移動軌跡（歯当り）を表わすことになる。この歯形曲線Ｉ，IIが新歯形論における歯形曲線であり、各点で法線（または面素）をもつ空間曲線になっている。
したがって、歯面Ｉ，IIの接触点近傍の接触状態とこの歯車対の力学的な運動を考える場合には、歯面Ｉ，IIの替わりに歯形曲線Ｉ，IIを考えれば十分である。また、歯形曲線Ｉ，IIが与えられれば、全く同じ力学的運動を伝達する歯面Ｉ，IIは歯形曲線Ｉ，IIを含むとともに互いに干渉しない一対の曲面であればよく、互いに共役な歯面対はその一つであるに過ぎない。
ここで集中荷重とその作用点とは任意の歯面対の分布荷重（接触楕円を形成している）の合力とその作用点を意味している。したがって、接触点は同時に集中荷重の作用点であり、集中荷重に応じたたわみを含んでいる。また、各歯面対は１ピッチの位相差をもつ同一曲面であるから、負荷状態に応じて静止空間に同一の接触点の軌跡（たわみを含む）を描くことになり、複数かみあいの場合には、任意の回転角における隣接する歯面対の分担する集中荷重がピッチ分だけ位相をずらして上記接触点の軌跡上に並んでいる。
２．基本座標系
図２は、接触点の軌跡Ｐi Ｐj 上の任意点をＰとし、点Ｐおよび点Ｐにおける集中荷重の法線力ＦN2，ＦN1、共通法線ｎ（集中荷重の作用線）を座標系Ｃ1 ，Ｃ2 、座標系Ｃq1，Ｃq2を用いて示したものである。
２軸Ｉ，IIの軸角Σ、オフセットＥ（≧０，点Ｃ1 と点Ｃ2 との距離）およびその角速度ω1 ，ω2 の方向が与えられている。２軸の共通垂線にω2 ×ω1 の方向を正とする方向をもたせ、有向共通垂線ｖc とするとき、２軸Ｉ，IIと共通垂線ｖc との交点をＣ1 ，Ｃ2 とし、ｖc 軸に関してＣ2 がＣ1 の上にある場合を扱うものとする。ただし、Ｃ2 がＣ1 の下にある場合も全く同様である。
集中荷重の法線力ＦN2（共通法線ｎ）を含み、各歯車軸Ｉ，IIに平行な平面を作用面Ｇ1 ，Ｇ2 と定義する。したがって、ＦN2（共通法線ｎ）は作用面Ｇ1 ，Ｇ2 の交線上にある。作用面Ｇ1 ，Ｇ2 に接し、各歯車軸を軸とする円筒を基礎円筒と定義し、その半径をＲb1，Ｒb2とする。
歯車IIの座標系Ｃ2 ，Ｃq2を次のように定義する。座標系Ｃ2 （ｕ2c，ｖ2c，ｚ2c）はＣ2 を原点とし、II軸上ω2 の方向にｚ2c軸をとり、共通垂線ｖc 上にこれと同方向にｖ2c軸、両軸に垂直にｕ2c軸を右手系となるようにとる。座標系Ｃq2（ｑ2 ，ｖq2，ｚ2c）は、原点Ｃ2 およびｚ2c軸を共有し、ｚ2c軸を回転軸として平面ｖ2c＝０が作用面Ｇ2 に平行になるように座標系Ｃ2 をχ2 （図示方向が正）だけ回転させた座標系であり、ｕ2c軸はｑ2c軸に、ｖ2c軸はｖq2c 軸になっている。
作用面Ｇ2 は座標系Ｃq2を用いれば、ｖq2c ＝−Ｒb2で表わされ、座標系Ｃ2に対しては、平面ｖ2c＝０に対する傾き角がχ2 であり、かつ、基礎円筒（半径Ｒb2）に接する平面となっている。
座標系Ｃ2 とＣq2との関係は、ｚ2c軸は共通であるから、
ｕ2c＝ｑ2c cosχ2 −ｖq2c sinχ2
ｖ2c＝ｑ2c sin χ2 ＋ｖq2c cosχ2
となる。作用面Ｇ2 はｖq2c ＝−Ｒb2であるから、基礎円半径Ｒb2を用いて表わせば、次式（１）、すなわち、
ｕ2c＝ｑ2c cosχ2 ＋Ｒb2 sinχ2
ｖ2c＝ｑ2c sinχ2 −Ｒb2 cosχ2
ｚ2c＝ｚ2c                      ・・・（１）
なる諸式が成立する。
共通法線ｎは作用面Ｇ2 上にあり、そのｑ2c軸成分が正となる方向を向くものと定義すれば、そのｑ2c軸からの傾き角をψb2（図示方向が正）で表わすことができる。そこで、共通法線ｎの座標系Ｃ2 における傾き角は、有向共通垂線ｖcに対する作用面Ｇ2 の傾き角φ2 （χ2 の余角）とψb2によってｎ（φ2 ，ψb2）の形で表わすものと定義する。
集中荷重の法線力ＦN2の方向は共通法線はｎの方向を正とし、ＦN2のｑ2c軸方向成分、ｚ2c軸方向の成分をそれぞれ、Ｆq2，Ｆz2とする。
歯車Ｉについても全く同様にして座標系Ｃ1 （ｕ1C，ｖ1c，ｚ1c）、Ｃq1（ｑ1C，ｖq1c ，ｚ1c)、作用面Ｇ1 、基礎円半径Ｒb1、共通法線ｎの傾き角ｎ（φ1 ，ψb1）を定義することができる。座標系Ｃ1 とＣq1との関係も、ｚ1c軸は共通であるから全く同様にして、次式（２）、すなわち、
ｕ1c＝ｑ1c cosχ1 ＋Ｒb1 sinχ1
ｖ1c＝ｑ1c sinχ1 −Ｒb1 cosχ1
ｚ1c＝ｚ1c                      ・・・（２）
なる諸式で表される。
座標系Ｃ1 とＣ2 との関係は、次式（３）、すなわち、
ｕ1c＝−ｕ2c cosΣ−ｚ2c sinΣ
ｖ1c＝ｖ2c＋Ｅ
ｚ1c＝ｕ2c sinΣ−ｚ2c cosΣ  ・・・（３）
なる諸式で表される。
ここで定義された座標系Ｃ1 ，Ｃ2 、座標系Ｃq1，Ｃq2が本発明者が新しく提案する新歯形論の基本座標系である。この基本座標系によって応用範囲を円筒歯車のみならず、ハイポイドギヤ，かさ歯車まで含めて考えることを可能としているのである。
共通法線ｎの傾き角ｎ（φ1 ，φb1）とｎ（φ2 ，φb2）との関係は、ｎが作用面Ｇ1 ，Ｇ2 の交線上にあることから次のように求められる。ｎの座標系Ｃ2 の各軸方向成分は、
Ｌu2c ＝ cosψb2 sinφ2 （Ｌu2c ：ｎのｕ2c軸方向成分）
Ｌv2c ＝ cosψb2 cosφ2 （Ｌv2c ：ｎのｖ2c軸方向成分）
Ｌz2c ＝ sinψb2        （Ｌz2c ：ｎのｚ2c軸方向成分）
と表すことができる。ただし、共通法線ｎの絶対値は１である。
座標系Ｃ1 の各軸方向成分を座標系Ｃ2 の各軸方向成分で表せば、前記式（３）を用いて、
Ｌu1c ＝−Ｌu2c cosΣ−Ｌz2c sinΣ（Ｌu1c ：ｎのｕ1c軸方向成分）
Ｌv1c ＝  Ｌv2c                   （Ｌv1c ：ｎのｖ1c軸方向成分）
Ｌz1c ＝  Ｌu2c sinΣ−Ｌz2c cosΣ（Ｌz1c ：ｎのｚ1c軸方向成分）
となる。したがって、次式（４）、すなわち、
0003733908.tif 000002
なる式と、次式（５）、すなわち、
0003733908.tif 000003
なる式とが得られる。ここで、
φ1 ＝π／２−χ1
φ2 ＝π／２−χ2
なる式が成立する。
３．接触点の軌跡とその共通法線
図３は、接触点の軌跡上の点Ｐと共通法線ｎ、接平面Ｗ（作用面Ｇ2 との交線ｗで示されている）および微小角△θ2 だけ回転した後の接触点Ｐd と共通法線ｎd 、接平面Ｗd との関係を座標系Ｃ2 ，Ｃq2上に示したものである。任意の接触点Ｐおよびその共通法線ｎの傾き角を歯車IIの回転角θ2 を助変数として、座標系Ｃ2 によって、
Ｐ｛ｕ2c (θ2 )，ｖ2c (θ2 )，ｚ2c (θ2 )｝
ｎ｛φ2  (θ2 )，ψb2 (θ2 )｝
と表わすものとする。ただし、回転角θ2 は図に示す方向が正である。ここで、
φ2 ( θ2 )＝π／２−χ2 ( θ2 )
なる式が成立する。
点Ｐを前記式（１）により座標系Ｃq2を用いて表わせば、
Ｐ｛ｑ2c (θ2 )，−Ｒb2 (θ2 )，ｚ2c (θ2 )｝
となり、また、接触点の軌跡の接線の作用面Ｇ2 上の傾き角をηb2 (θ2 )とすれば、次式（６）、すなわち、
(dｚ2c/dθ2 )/(dｑ2c/dθ2 ) ＝ tanηb2 (θ2 ) ・・・（６）
なる式が成立する。
歯車IIが微小角△θ2 だけ回転し、接触点ＰはＰd に、共通法線ｎはｎd に変化したと仮定すれば、Ｐd ，ｎd は、
Ｐd ｛ｑ2c (θ2 )＋△ｑ2c，−Ｒb2 (θ2 )＋△Ｒb2，ｚ2c (θ2 )＋△ｚ2c｝
ｎd ｛π／２−χ2 (θ2 )−△χ2 ，ψb2 (θ2 )＋△ψb2｝
と表すことができる。
点Ｐd を通る作用面をＧ2dとし、Ｇ2dが作用面Ｇ2 に平行になるように歯車IIをΔχ2 だけ回転させたとき、作用面Ｇ2dはＧ2de に、点Ｐd はＰdeに移動したと仮定する。さらに、点Ｐdeの作用面Ｇ2 への正射影をＰdfとする。作用面Ｇ2dと点Ｐd における接平面Ｗd との交線がｗd で表され、ｗd は上記の移動により作用面Ｇ2 上に投影されて点Ｐdfを通るｗd ′で表わされ、また、ｎd はｎd ′で表されている。ｗd ′と点Ｐを通る軸直角平面との交点がＰdgである。Δθ2 の回転により、ｗd ′はｗに対して作用面Ｇ2 上で△θ2 −△χ2 だけ回転した位置にあり、また、ｗd ′は点Ｐdfにおいてｗに対してΔψb2だけ傾いているから、ｗd ′のｗに対するｑ2c軸方向の移動量ＰＰdgは、
0003733908.tif 000004
と表すことができる。したがって、微小角△θ2 による作用面Ｇ2 上の微小変位△ｚ2cは、
△ｚ2c〔 tan｛ψb2 (θ2 )＋△ψb2｝＋１／ tan｛ηb2 (θ2 )＋Δηb2｝〕
＝Ｒb2 (θ2 )（△θ2 −△χ2 ）
となる。２次の微小量を省略して、
△ｚ2c
＝Ｒb2 (θ2 )(△θ2 −△χ2 )/｛ tanψb2 (θ2 ) ＋1/ tanηb2 (θ2 ) ｝
と表すことができる。前記式（６）を用いれば、△ｑ2cは、
△ｑ2c
＝Ｒb2 (θ2 ) (△θ2 −△χ2 )/｛ tanψb2 (θ2 )tanηb2 (θ2 )＋１｝
と表すことができる。
△Ｒb2，△χ2 ，△ψb2，△ηb2はθ2 の関数であるから、△θ2 によって形式的に、
△Ｒb2＝(dＲb2/dθ2 )△θ2
△ηb2＝(dηb2/dθ2 )△θ2
△χ2 ＝(dχ2 /dθ2 )△θ2
△ψb2＝(dψb2/dθ2 )△θ2
と表すことができる。これらを０からθ2 まで積分すれば、次式（７）、すなわち、
0003733908.tif 000005
なる諸式が得られる。
積分定数はθ2 ＝０のときの接触点Ｐ0 の座標とその共通法線ｎ0 の傾き角および接触点の軌跡の接線の作用面上の傾き角を示している。この式（７）が接触点の軌跡とその共通法線を座標系Ｃq2によって表わす、θ2 を助変数とする方程式である。この式（７）を決定するには、設計基準点Ｐ0 （θ2 ＝０）における諸元、すなわち、
Ｐ0 ｛ｑ2c (0)，−Ｒb2(0) ，ｚ2c(0)｝
ηb2(0)
ｎ0 ｛π／２−χ2 (0), ψb2(0) ｝
dＲb2/dθ2
dηb2/dθ2
dχ2 /dθ2
dψb2/dθ2
という合計１０個の変数を与えることができればよい。この式（７）が新歯形論の歯形曲線を記述するための基礎式である。また、この式（７）が本発明における第１関数である。
点Ｐを座標系Ｃ2 （ｕ2c，ｖ2c，ｚ2c）に変換すれば、ｚ2cが共通であるから、前記式（１）を用いて、次式（８）、すなわち、
ｕ2c (θ2 )＝ｑ2c (θ2 )cosχ2 (θ2 )＋Ｒb2 (θ2 )sinχ2 (θ2 )
ｖ2c (θ2 )＝ｑ2c (θ2 )sinχ2 (θ2 )−Ｒb2 (θ2 )cosχ2 (θ2 )
ｚ2c (θ2 )＝ｚ2c (θ2 )                                     ・・・（８）
なる諸式が成立する。この式（８）が本発明における第２関数である。前記式（２），（３），（４）および（５）を用いれば、接触点Ｐおよびその共通法線ｎの傾き角を座標系Ｃ1 とＣq1とにより、θ2 を助変数として、次式（９）、すなわち、
Ｐ｛ｕ1c (θ2 )，ｖ1c (θ2 ) ，ｚ1c (θ2 ) ｝
ｎ｛φ1 ( θ2 )，ψb1 (θ2 )｝
Ｐ｛ｑ1c (θ2 )，−Ｒb1 (θ2 ) ，ｚ1c (θ2 ) ｝  ・・・（９）
なる式で表すことができる。
４．接触の条件式と歯車Ｉの回転角θ1
接触点Ｐの共通法線ｎは平面Ｇ1 ，Ｇ2 の交線上にあるから、接触の条件式は、次式（１０）、すなわち、
Ｒb1 (θ2 ) (dθ1 /dｔ)cosψb1 (θ2 )
＝Ｒb2 (θ2 ) (dθ2 /dｔ)cosψb2 (θ2 )  ・・・（１０）
なる式で表される。したがって、角速度比ｉ（θ2 ）および歯車Ｉの回転角θ1 は、次式（１１）、すなわち、
0003733908.tif 000006
なる式で表される。ただし、θ2 ＝０のとき、θ1 ＝０とする。
５．歯形曲線の方程式
５．１  歯形曲線IIの方程式
図４は、点Ｐを歯車IIと共に回転する座標系Ｃr2（ｕr2c ，ｖr2c ，ｚr2c ）で示したものである。座標系Ｃr2は座標系Ｃ2 に対して、原点Ｃ2 とｚ2c軸とを共有し、ｚ2c軸の周りにθ2 で回転する座標系であり、θ2 ＝０のときｕr2c 軸はｕ2c軸と一致しているものとする。接触点の軌跡およびその共通法線は前記式（７）によって与えられるから、座標系Ｃr2で表した点Ｐ（ｕr2c ，ｖr2c ，ｚr2c ）およびその法線ｎ（φr2，ψb2）は、次式（１２）、すなわち、
χr2＝χ2 ( θ2 )−θ2 ＝π／２−φ2 ( θ2 )−θ2
φr2＝φ2 ( θ2 )＋θ2
ｕr2c ＝ｑ2c (θ2 )cosχr2＋Ｒb2 (θ2 )sinχr2
ｖr2c ＝ｑ2c (θ2 )sinχr2−Ｒb2 (θ2 )cosχr2
ｚr2c ＝ｚ2c (θ2 )                                 ・・・（１２）
なる式で表される。この式（１２）が、本発明における第３関数である。
５．２  歯形曲線Ｉの方程式
全く同様にして座標系Ｃ1 に対して、θ1 で回転する座標系Ｃr1（ｕr1c ，ｖr1c ，ｚr1c ）を定めれば、点Ｐ（ｕr1c ，ｖr1c ，ｚr1c ）およびその法線ｎ（φr1，ψb1）は前記式（９），（１１）を用いて、次式（１３）、すなわち、
χr1＝χ1 ( θ2 )−θ1 ＝π／２−φ1 ( θ2 )−θ1
φr1＝φ1 ( θ2 )＋θ1
ｕr1c ＝ｑ1c (θ2 )cosχr1＋Ｒb1 (θ2 )sinχr1
ｖr1c ＝ｑ1c (θ2 )sinχr1−Ｒb1 (θ2 )cosχr1
ｚr1c ＝ｚ1c (θ2 )                                ・・・（１３）
なる諸式で表される。ただし、座標系Ｃr1と座標系Ｃ1 とは、θ1 ＝０のとき一致しているものとする。上記式（１２），（１３）は一般には角速度比が変化する歯形曲線を表している。
以上説明した３次元歯形論は、歯車対の基本諸元（接触点の軌跡）をピッチ回転体（ピッチ円筒あるいはピッチ円錐）を介さずに直接、歯車対の２回転軸と角速度とによって決まる静止空間に定義するものである。したがって、この歯形論によれば、歯面がインボリュートヘリコイドまたはその近似曲面である円筒歯車からハイポイドギヤまでの全ての歯車対の歯面とその接触の問題を、この静止空間に定義された統一概念（例えば作用平面、歯直角平面、圧力角、ねじれ角等）を用い、共通の比較的簡単な式によって扱うことが可能となる。
６．歯車対の運動と軸受荷重
６．１  歯車IIとＩの運動方程式と軸受荷重
図５は、図２の接触点Ｐにおける歯車IIの集中荷重の法線力ＦN2および軸受荷重Ｂz2，Ｂvq2f，Ｂvq2r，Ｂq2f ，Ｂq2r の関係を、座標系Ｃq2を用いて示したものである。歯面の潤滑は十分であり、集中荷重の摩擦力成分は無視できるものとする。また、歯車IIは軸受ｂ2a，ｂ2f，ｂ2rによって軸方向にも、半径方向にも剛に支えられていて、軸の剛性も十分大きいものとする。なお、図中、「′」および「”」はそれぞれ、点またはベクトルの対象平面への正射影であることを示すために付されている。
歯車IIは入（出）力トルクＴ2 および歯車Ｉから集中荷重の法線力ＦN2を受けて固定軸IIの周りに回転運動をしているから、歯車IIの運動方程式および軸受荷重の式は、座標系Ｃq2の各軸に関するトルクと力の釣り合いから、次式（１５）、すなわち、
Ｊ2 (d2 θ2 /dｔ2 ) ＝Ｆq2Ｒb2 (θ2 )＋Ｔ2
Ｂz2＝−Ｆz2＝−Ｆq2 tanψb2 (θ2 )
Ｂvq2rｂ20＝Ｆz2Ｒb2 (θ2 )
Ｂq2f ＋Ｂq2r ＝−Ｆq2
Ｂq2f ｂ20＝−Ｆq2｛ｚ2c (θ2 )-ｚ2cr ｝＋Ｆq2ｑ2c (θ2 )tanψb2 (θ2 )
Ｂvq2f＋Ｂvq2r＝０                                        ・・・（１５）
なる諸式が成立する。
ここに、
Ｊ2 ：歯車IIの慣性モーメント
θ2 ：歯車IIの回転角
Ｔ2 ：歯車IIの入（出）力トルク（一定）
Ｆq2，Ｆz2：Ｆ2Nのｑ2c，ｚ2c軸方向成分
Ｂz2：軸受ｂ2aのｚ2c軸方向荷重
Ｂq2f ，Ｂq2r ：軸受ｂ2f，ｂ2rのｑ2c軸方向荷重
Ｂvq2f，Ｂvq2r：軸受ｂ2f，ｂ2rのｖq2c 軸方向荷重
ｚ2cf ，ｚ2cr ：軸受ｂ2f，ｂ2rの荷重作用点のｚ2c座標
ｂ20: 軸受ｂ2f，ｂ2rの間隔（ｚ2cf −ｚ2cr ＞０）
ただし、荷重方向は座標系Ｃq2の各軸方向に正である。歯車Ｉについても全く同様である。
６．２  歯車対の運動方程式
歯車ＩとIIの運動方程式と前記接触の条件式（１０）とを連立させれば、歯車対の運動方程式は次式（１６）、すなわち、
Ｊ1 (d2 θ1 /dｔ2 ) ＝Ｆq1Ｒb1 (θ2 )＋Ｔ1
Ｊ2 (d2 θ2 /dｔ2 ) ＝Ｆq2Ｒb2 (θ2 )＋Ｔ2
−Ｆq1/cosψb1 (θ2 )＝Ｆq2/cosψb2 (θ2 )
Ｒb1 (θ2 ) (dθ1 /dｔ)cosψb1 (θ2 )
＝Ｒb2 (θ2 ) (dθ2 /dｔ)cosψb2 (θ2 )  ・・・（１６）
なる諸式となる。
接触点とその共通法線は前記式（７）によって与えられているから、前記式（１６）は未知数θ1 ，θ2 ，Ｆq1，Ｆq2の連立方程式になっていて、歯形曲線が与えられた歯車対の運動を記述するための基礎式である。ただし、前記式（１６）は接触点の軌跡が連続かつ微分可能な領域でのみ成立する。したがって、接触点の軌跡が微分不可能な点（例えば、噛み合い歯数が変化する点）を含む場合には、その点近傍の運動は別に求める必要があり、前記式（１６）だけで歯車対の定常運動を表すことは一般的にはできない。
７．軸受荷重の変動を０とするための条件
歯車対の回転によって歯車IIに生じる荷重変動は、軸受ｂ2a，ｂ2f，ｂ2rの荷重の静止座標系Ｃ2 に対する変動としてとらえることができる。そこで、座標系Ｃq2で表された各軸受荷重を座標系Ｃ2 の各軸方向成分に変換すれば、次式（１７）、すなわち、
Ｂz2c ＝Ｂz2                          （軸受ｂ2aのｚ2c軸方向荷重）
Ｂu2cf＝Ｂq2f cos χ2 −Ｂvq2f sinχ2   （軸受ｂ2fのｕ2c軸方向荷重）
Ｂv2cf＝Ｂq2f sin χ2 ＋Ｂvq2f cosχ2   （軸受ｂ2fのｖ2c軸方向荷重）
Ｂu2cr＝Ｂq2r cos χ2 −Ｂvq2r sinχ2   （軸受ｂ2rのｕ2c軸方向荷重）
Ｂv2cr＝Ｂq2r sin χ2 ＋Ｂvq2r cosχ2   （軸受ｂ2rのｖ2c軸方向荷重）                                                  ・・・（１７）
で表される。
軸受荷重の変動分は上記式（１７）の微分を用いて、
（ａ）軸受ｂ2aのｚ2c軸方向荷重の変動分
△Ｂz2c ＝△Ｂz2＝−ΔＦz2
△Ｆz2＝△Ｆq2 tanψb2＋Ｆq2Δψb2／ cos2 ψb2
△Ｆq2＝｛△（Ｊ2 (d2 θ2 /dｔ2 ) ）−Ｆq2△Ｒb2｝／Ｒb2
（ｂ）軸受ｂ2fのｕ2c，ｖ2c軸方向荷重の変動分
0003733908.tif 000007
（ｃ）軸受ｂ2rのｕ2c，ｖ2c軸方向荷重の変動分
0003733908.tif 000008
と表すことができる。
任意の回転角θ2 における歯車IIの軸受荷重の変動分は、
Δｑ2c
ΔＲb2
Δｚ2c
Δχ2
Δψb2
Δ(d2 θ2 /dｔ2 )
という６個の変数の変動分で表すことができる。
入（出）力トルク一定の条件下で歯車IIが回転するとき、回転位置によらず歯車IIの軸受荷重の変動が常に０となるためには、少なくともその変動分が０でなければならないから、次の関係、
ΔＢz2c ＝ΔＢu2cf＝ΔＢv2cf＝ΔＢu2cr＝ΔＢv2cr＝０
が成立する。したがって、歯車IIの軸受荷重の変動が０となる条件は、次式（１８）により、
(1) △χ2 ＝０
(2) △ψb2＝０
(3) △Ｒb2 (θ2 ) ＝０
(4) △ｚ2c (θ2 ) ＝△ｑ2c (θ2 )tanψb2 (θ2 )
(5) △(d2 θ2 /dｔ2 ) ＝０                ・・・（１８）
以上の５項目に整理される。ただし、ここにｔは時間を表している。
上記（１）〜（５）の各項目について順次説明する。
(1) △χ2 (θ2 )＝０の条件
作用面Ｇ2 の傾き角χ2 (θ2 )は一定（χ20とする）である。すなわち、
χ2 (θ2 )＝χ2 (0) ＝χ20＝π／２−φ20
となる。
(2) △ψb2 (θ2 ) ＝０の条件
接触点における共通法線の作用面Ｇ2 上の傾き角ψb2 (θ2 ) は一定（ψb20 ）である。すなわち、
ψb2 (θ2 )＝ψb2(0) ＝ψb20
となる。
(3) △Ｒb2 (θ2 ) ＝０の条件
接触点における共通法線の接する基礎円筒半径Ｒb2 (θ2 )は一定（Ｒb20 とする）である。すなわち、
Ｒb2 (θ2 )＝Ｒb2(0) ＝Ｒb20
となる。
(4) △ｚ2c (θ2 )＝△ｑ2c (θ2 )tanψb2 (θ2 ) の条件
ψb2 (θ2 )＝ψb20 および前記式（７）を用いれば、
△ｚ2c＝△ｑ2c (θ2 )tanψb20
ηb2 (θ2 )＝ψb20 ＝ηb2(0)
となる。すなわち、接触点の軌跡の接線の作用面Ｇ2 （ｑ2c−ｚ2c平面）上の傾き角は共通法線のそれに一致しなければならないのである。
条件(1) 〜(4) の結果を前記式（７）に代入し、座標系Ｃ2 を用いて表せば、接触点の軌跡およびその共通法線の傾き角は、
ｑ2c (θ2 )＝Ｒb20 θ2 cos2 ψb20 ＋ｑ2c(0)
ｕ2c (θ2 )＝ｑ2c (θ2 )cosχ20＋Ｒb20 sin χ20
ｖ2c (θ2 )＝ｑ2c (θ2 )sinχ20−Ｒb20 cos χ20
ｚ2c (θ2 )＝Ｒb20 θ2 cos ψb20 sin ψb20 ＋ｚ2c(0)
ｎ（φ20＝π／２−χ20，ψb20 ）                      ・・・（１９）
で表される。この式（１９）は、接触点の軌跡が座標系Ｃq2上で点Ｐ0 ｛ｑ2c(0) ，−Ｒb20 ，ｚ2c(0) ｝を通り、座標系Ｃ2 に対する傾き角ｎ（φ20＝π／２−χ20，ψb20 ）の共通法線に一致する直線であることを表している。また、この式（１９）は、Ｒb20 ，ψb20 ，ｑ2c(0) ，χ20およびｚ2c(0) という５個の変数を特定することによって、接触点軌跡を特定可能となる。
この式（１９）を座標系Ｃ1 ，Ｃq1に変換すれば、前記式（９）を用いて点Ｐ0 ｛ｑ1c(0) ，−Ｒb10 ，ｚ1c(0) ｝を通り、座標系Ｃ1 に対する傾き角ｎ（φ10＝π／２−χ10，ψb10 ）の直線として表すことができる。したがって、角速度比および歯車Ｉの回転角は前記式（１１）を用いて、
0003733908.tif 000009
と表すことができる。角速度比は一定（ｉ0 とする）である。
(5) △(d2 θ2 /dｔ2 ) ＝０の条件
(d2 θ2 /dｔ2 ) は一定、すなわち、等加速度運動を意味している。ここで対象としている歯車対は入出力一定の定常運動を仮定しているから、(d2 θ2 /dｔ2 ) ＝０、すなわち、等速運動を意味している。さらに、前記式（２０）を用いれば、(dθ1 /dｔ) も一定となるから、歯車Ｉについても、(d2 θ1 /dｔ2 ) ＝０が成立する。したがって、前記式（１６）により、
Ｆq2Ｒb20 ＝−Ｔ2
Ｆq1Ｒb10 ＝−Ｔ1
が得られる。前記式（２０）と作用反作用の式を用いれば、
ｉ0 ＝Ｆq2Ｒb2／（−Ｆq1Ｒb10 ）＝−Ｔ2 ／Ｔ1
となる。すなわち、歯車対の角速度比ｉ0 は、与えられたトルク比（この場合には入出力についての仮定から一定）でなければならない。
歯車Ｉに生じる荷重変動についても全く同様にして前記式（１８）の条件によって軸受荷重変動０が実現している。したがって、入出力一定で定常運動する歯車対から発生する軸受荷重変動を０にするためには、接触点の軌跡とその共通法線は、次の条件、すなわち、
(a) 接触点が静止空間（座標系Ｃ2 上）に任意に与えられたとき、接触点の軌跡はその接触点の共通法線に一致する直線で、しかも、静止空間に固定された直線でなければならない、
(b) しかも、その接触点における角速度比ｉ0 は一定であり、与えられたトルク比に一致しなければならない、
を満たさなければならない。
図６に、軸受荷重変動が０となる作用平面Ｇ20、基礎円筒（半径Ｒb20 ）、接触点の軌跡（共通法線ｎ）、集中荷重の法線力ＦN2の関係を、座標系Ｃ2 ，Ｃq2によって示している。接触点の軌跡がすべての接触領域（複数噛み合い領域を含めて）で同一直線であれば、それは全領域で連続かつ微分可能となるから、軸受荷重変動０の定常運動を実現できることになる。
８．軸受荷重の変動が０となる歯形曲線
８．１  歯形曲線II
座標系Ｃ2 に対して原点Ｃ2 とｚ2c軸を共有し、ｚ2c軸の周りにθ2 で回転する座標系を座標系Ｃr2（ｕr2c ，ｖr2c ，ｚr2c ）とすれば、前記式（１９）を座標系Ｃr2に変換して、軸受荷重の変動が０となる歯形曲線IIは、
χr2＝χ20−θ2 ＝π／２−φ20−θ2
ｕr2c ＝ｑ2c (θ2 )cosχr2＋Ｒb20 sin χr2
ｖr2c ＝ｑ2c (θ2 )sinχr2−Ｒb20 cos χr2
ｚr2c ＝ｚ2c (θ2 )
ｎ（φ20＋θ2 ，ψb20 ）                ・・・（２１）
で求められる。ただし、θ2 ＝０のとき、ｕr2c 軸がｕ2c軸に一致すると仮定する。
８．２  歯形曲線Ｉ
全く同様にして座標系Ｃ1 に対して、ｚ1c軸の周りにθ1 で回転する座標系を座標系Ｃr1（ｕr1c ，ｖr1c ，ｚr1c ）とする。前記式（１９）を座標系Ｃ1 ，Ｃq1に変換すれば、点Ｐ0 ｛ｑ1c(0) ，−Ｒb10 ，ｚ1c(0) ｝を通り、座標系Ｃ1 に対する傾き角ｎ（φ10＝π／２−χ10，ψb10 ）の直線となり、この直線上の任意の点は前記式（９）によって与えられているから、この直線を座標系Ｃr1に変換すれば、軸受荷重の変動が０となる歯形曲線Ｉは、
χr1＝χ10−θ1 ＝π／２−φ10−θ1
ｕr1c ＝ｑ1c (θ2 )cosχr1＋Ｒb10 sin χr1
ｖr1c ＝ｑ1c (θ2 )sinχr1−Ｒb10 cos χr1
ｚr1c ＝ｚ1c (θ2 )
ｎ（φ10＋θ1 ，ψb10 ）                ・・・（２２）
で求められる。ただし、θ1 ＝０のとき、ｕr1c 軸がｕ1c軸に一致すると仮定する。
ここで、θ1 ＝ｉ0 θ2 であることを用い、改めてθ1 を助変数として、ｑ1c (θ2 )とｚ1c (θ2 )をｑ1c (θ1 )とｚ1c (θ1 )とで置換し直せば、
ｑ1c (θ1 )＝Ｒb10 θ1 cos 2 ψb10 ＋ｑ1c(0)
ｚ1c (θ1 )＝Ｒb10 θ1 cos ψb10 sin ψb10 ＋ｚ1c(0)
χr1＝χ10−θ1 ＝π／２−φ10−θ1
ｕr1c ＝ｑ1c (θ1 )cosχr1＋Ｒb10 sin χr1
ｖr1c ＝ｑ1c (θ1 )sinχr1−Ｒb10 cos χr1
ｚr1c ＝ｚ1c (θ1 )
ｎ（φ10＋θ1 ，ψb10 ）                      ・・・（２３）
が得られる。
実用上はこの式（２３）の方が前記式（２２）よりも使い易い。前記式（２１），（２３）は、歯形曲線Ｉ，IIがインボリュートヘリコイド上の前記接触点の軌跡に対応する曲線になっていることを示している。歯面としてはこの歯形曲線Ｉ，IIを含む任意の互いに干渉しない曲面が使用可能であるが、インボリュートヘリコイドまたはその修整歯面以外の曲面は、実際上上記のような接触点の軌跡とその共通法線を実現することは難しいから、動力伝達用歯車としては不向きである。
前記式（１９）を特定するための前記５個の変数Ｒb20 ，ψb20 ，ｑ2c(0) ，χ20，ｚ2c(0) に代入すべき値を決定する具体的方法を詳細に説明する。
９．対象歯車対
軸受荷重変動が０となる対象歯車対は、前述のように、次のように定義されている。
(1) ２軸の位置関係（軸角Σ，オフセットＥ），角速度ω10，ω20（ω10≧ω20とする）が与えられ、定角速度比（ｉ0 ）の運動を伝達している。なお、角速度ω10，ω20はいずれもベクトルである。
(2) 接触点の軌跡が、接触点の共通法線ｎに一致する、静止空間に固定された有向直線ｇ0 として与えられ、その作用面がＧ10，Ｇ20とされている。ただし、ｇ0 は接触点の軌跡の方向を表す単位ベクトルであり、ｎに一致している。
(3) 座標系Ｃ1 ，Ｃq1，Ｃ2 ，Ｃq2が与えられ、接触点の軌跡ｇ0 は座標系Ｃ2 ，Ｃq2によって次のように与えられている。ただし、ｇ0 を座標系Ｃ1 ，Ｃq1および歯車Ｉの回転角θ1 で表すには、添字２を１に変えればよい。
ｑ2c (θ2 )＝Ｒb20 θ2 cos 2 ψb20 ＋ｑ2c(0)
ｕ2c (θ2 )＝ｑ2c (θ2 )cosχ20＋Ｒb20 sin χ20
ｖ2c (θ2 )＝ｑ2c (θ2 )sinχ20−Ｒb20 cos χ20
ｚ2c (θ2 )＝Ｒb20 θ2 cos ψb20 sin ψb20 ＋ｚ2c(0)   ・・・（２５）
ここで、
θ2 ：歯車IIの回転角
ｑ2c(0) ，ｚ2c(0) ：θ2 ＝０の接触点のｑ2c，ｚ2c座標
χ20：歯車IIの作用面Ｇ20の傾き角
ψb20 ：ｇ0 の作用面Ｇ20上の傾き角
Ｒb20 ：作用面Ｇ20の接する基礎円筒の半径
したがって、対象歯車対が、与えられた角速度比ｉ0 の運動を伝達するためには、ｑ2c(0) ，ｚ2c(0) ，Ｒb20 ，χ20，ψb20 の５個の定数を適切に選択する必要がある。
１０．相対回転軸と座標系ＣS
１０．１  相対回転軸
図７は、相対回転軸と座標系ＣS との関係を示している。２軸ＩとIIの位置関係およびその角速度ω10，ω20が与えられた時、２軸の共通垂線ｖc （ω20×ω10の方向に正）と各軸Ｉ，IIとの交点をそれぞれＣ1 ，Ｃ2 とし、ｖc に関してＣ1 がＣ2 の下にあるものとする。相対角速度ωr （ベクトル）をωr ＝ω10−ω20、その軸を相対回転軸Ｓとする時、相対回転軸Ｓを含み、かつ、共通垂線ｖc に垂直な平面を平面ＳH とし、その平面ＳH と共通垂線ｖc との交点をＣs とすれば、相対回転軸ＳはＣs を通る直線となっていて、相対回転軸Ｓの位置は次のように決定することができる。
２軸Ｉ（ω10），II（ω20）の平面ＳH への正射影をそれぞれＩs （ω10”），IIs （ω20”）とし、共通垂線ｖc の正方向から負方向に向かって平面ＳH を見たとき、ＩS のIIS に対する角をΩとすれば、ω20×ω10の定義により、Ｉs はIIs に対し、０≦Ω≦π（反時計方向が正）の領域にある。平面ＳH 上で相対回転軸Ｓ（ωr ）のIIs に対する角をΩS （反時計方向が正）とすれば、相対回転軸の定義（ωr ＝ω10−ω20）により、ω10”，ω20”の平面ＳH 上の相対回転軸に直交する成分が等しくなければならないから、Ωs は次式（２６）、すなわち、
sinΩs ／ sin（Ωs −Ω）＝ω10／ω20
または、
sinΓs ／ sin（Σ−Γs ）＝ω10／ω20    ・・・（２６）
となる。ここで、Σ ＝π−Ω（軸角）、Γs ＝π−Ωs である。ただし、いずれも図示の方向に正である。
共通垂線ｖc 上のＣs の位置は次のようにして求められる。図８は、点Ｃs の相対速度Ｖs （ベクトル）を示している。仮定により共通垂線ｖc に関してＣ1 がＣ2 の下にあり、かつ、ω10≧ω20であるから、ＣS はＣ2 の下にある。点Ｃs における歯車Ｉ，IIの周速度をＶs1，Ｖs2（いずれもベクトル）とすれば、相対速度Ｖs ＝Ｖs1−Ｖs2は相対回転軸Ｓ上にあるから、Ｖs1，Ｖs2（平面ＳH 上にある）の相対回転軸に直交する成分が常に等しくなければならない。したがって、点Ｃs における相対速度Ｖs ＝Ｖs1−Ｖs2は、相対回転軸Ｓの位置（Γs ）によって、平面ＳH 上で同図に示すようになり、Ｃ2 とＣs との距離Ｃ2 とＣs は、次式（２７）、すなわち、
Ｃ2 Ｃs ＝Ｅ tanΓs ／｛ tan（Σ−Γs ）＋ tanΓs ｝   ・・・（２７）
で求められる。この式は０≦Γs ≦πの範囲で成り立つが、Ｃs の位置はΓs と共に変化し、０≦Γs ≦π／２のときはＣ1 より上、π／２≦Γs ≦πのときはＣ1 より下となっている。
１０．２  座標系Ｃs の定義
前記式（２６），（２７）によって相対回転軸Ｓを静止空間に決定することができるから、座標系ＣS を図７に示すように定義する。座標系ＣS （ｕc ，ｖc ，ｚc ）は、Ｃs を原点とし、有向共通垂線ｖc をｖc 軸、相対回転軸Ｓをｚc 軸（ωr の方向が正）、そして、両軸に垂直に右手系となるようにとられたｕc 軸によって構成される。対象歯車対は定角速度比の運動を伝達することが仮定されているから、座標系Ｃs は静止空間に固定された座標系となり、先に定義された座標系Ｃ1 ，Ｃ2 およびその派生座標系と共に、定角速度比の運動伝達を行う歯車対を扱う場合における基本座標系である。
１０．３  座標系Ｃs ，Ｃ1 ，Ｃ2 の関係
点Ｃ1 ，Ｃ2 を座標系Ｃs を用いて、Ｃ1 （０，ｖcs1 ，０），Ｃ2 （０，ｖcs2 ，０）と表せば、ｖcs1 ，ｖcs2 は、次式（２９）のようになる。すなわち、
0003733908.tif 000010
となる。
ｖc 軸に関してＣ2 は常にＣs の上にあることに注意すれば、ｖcs1 ，ｖcs2およびΣ，Γs とによって、座標系Ｃs と、座標系Ｃ1 ，Ｃ2 の関係は次式（３０），（３１）のようになる。すなわち、
ｕ1c＝ｕc cos(Σ−Γs ) ＋ｚc sin(Σ−Γs )
ｖ1c＝ｖc −ｖcs1
ｚ1c＝−ｕc sin(Σ−Γs ) ＋ｚc cos(Σ−Γs )   ・・・（３０）
ｕ2c＝−ｕc cos Γs ＋ｚc sin Γs
ｖ2c＝ｖc −ｖcs2
ｚ2c＝−ｕc sin Γs −ｚc cos Γs     ・・・（３１）
となる。座標系Ｃs と、座標系Ｃ1 ，Ｃ2 の関係は、図９に概念的に示されている。
１１．座標系Ｃs による接触点の軌跡ｇ0 の定義
１１．１  相対速度と接触点の軌跡ｇ0 との関係
図１０は、与えられた接触点の軌跡ｇ0 とそのｇ0 上の任意点Ｐにおける相対速度Ｖrs（ベクトル）との関係を示している。なお、図中の「′」，「”」は、点またはベクトルの対象平面への正射影であることを示している。歯面が接触点の軌跡ｇ0 上の任意点Ｐで接触しているとき、相対回転軸Ｓ上の任意点からのＰの位置ベクトルをｒとすれば、点Ｐにおける相対速度Ｖrsは次式（３２）で表わすことができる。すなわち、
Ｖrs＝ωr ×ｒ＋Ｖs     ・・・（３２）
ここで、
ωr ＝ω10−ω20
ωr ＝ω20 sinΣ／sin(Σ−Γs ) ＝ω10 sinΣ／ sinΓs
Ｖs ＝ω10×〔Ｃ1 Ｃs 〕−ω20×〔Ｃ2 Ｃs 〕
Ｖs ＝ω20Ｅ sinΓs ＝ω10Ｅsin(Σ−Γs )
である。ただし、〔Ｃ1 Ｃs 〕はＣ1 を始点、Ｃs を終点とするベクトルを表し、〔Ｃ2 Ｃs 〕はＣ2 を始点、Ｃs を終点とするベクトルを表している。
相対速度Ｖrsは相対回転軸Ｓを軸とする円筒面の接平面上にあって、この接平面上におけるＶs に対する傾き角ψは次式（３３）で表わすことができる。すなわち、
cosψ＝｜Ｖs ｜／｜Ｖrs｜   ・・・（３３）
となる。接触点の軌跡ｇ0 は接触点における歯面の共通法線でもあるから、ｇ0 は相対速度Ｖrsと点Ｐにおいて直交している。すなわち、
Ｖrs・ｇ0 ＝０
である。したがって、ｇ0 は点ＰにおけるＶrsに垂直な平面Ｎ上の有向直線になっている。平面Ｎと平面ＳH との交線をＨn とするとき、Ｈn は一般には相対回転軸Ｓに交わる直線となり、ｇ0 は交点が無限遠であることを含めれば必ずＨn を通ることになる。ｇ0 と平面ＳH との交点をＰ0 とすれば、Ｐ0 は交線Ｈn 上にあって、ｇ0 およびＰ0 は歯車対の種類に応じて次のようになる。
(1) 円筒歯車またはかさ歯車の場合（Σ＝０，πまたはＥ＝０）
Ｖs ＝０であるから、Ｖrsは単に相対回転軸Ｓ周りの周速度を意味する。したがって、平面ＮはＳ軸を含むから、Ｈn はＳに一致し、接触点の軌跡ｇ0 は必ず相対回転軸Ｓを通ることになる。すなわち、点Ｐ0 は相対回転軸Ｓ上にあるのである。したがって、これらの歯車対では、接触点の軌跡ｇ0 は相対回転軸上の任意点Ｐ0 を通る任意の有向直線となっている。
(2) 上記以外の歯車の場合（Σ≠０，πまたはＥ≠０）
ハイポイドギヤ、ねじ歯車またはウォ−ムギヤの場合であり、接触点Ｐをある位置に選ぶと、その点Ｐに固有の相対速度Ｖrs，平面Ｎ，直線Ｈn が決定される。接触点の軌跡ｇ0 はＨn 上の任意点Ｐ0 を通る直線になっていて、一般には相対回転軸Ｓを通らない。点Ｐは任意であるから、ｇ0 は平面ＳH との交点Ｐ0 における相対速度Ｖrs0 に垂直な平面上の点Ｐ0 を通る任意の有向直線でもある。すなわち、前記式（３２）は次のように表すことができるのである。すなわち、
Ｖrs＝Ｖrs0 ＋ωr ×〔Ｐ0 Ｐ〕・ｇ0
ただし、〔Ｐ0 Ｐ〕は、Ｐ0 を始点、Ｐを終点とするベクトルを表している。したがって、Ｖrs0 ・ｇ0 ＝０ならば、Ｖrs・ｇ0 ＝０となり、ｇ0 上の任意点Ｐは接触点である。
１１．２  設計基準点の選択
２軸の位置関係と角速度とが与えられた歯車対において、接触点の軌跡ｇ0 が同じ歯車対は同じ歯形曲線をもち、そのどの部分を有効部分とするかの差しかない。したがって、歯車対の設計においては接触点の軌跡ｇ0 を２軸によってきまる静止空間のどこに配置するかが重要であって、設計基準点は接触点の軌跡ｇ0を静止空間に定義するための点にすぎないから、接触点の軌跡ｇ0 上のどこに選んでも本質的な差はない。任意の接触点の軌跡ｇ0 を与えたとき、ｇ0 は交点が無限遠であることも含めて必ず平面ＳH と交わるから、逆にこの交点を設計基準点としても一般性を失わない。そこで、本実施形態においては、平面ＳH （円筒歯車、かさ歯車の場合は相対回転軸）上の任意点Ｐ0 を設計基準点として与えるものとする。
図１１は、設計基準点Ｐ0 および接触点の軌跡ｇ0 を座標系Ｃs を用いて示したものである。座標系Ｃs によって表示された設計基準点をＰ0 （ｕc0，ｖc0，ｚc0）とすれば、各座標値は、
ｕc0＝Ｏs Ｐ0
ｖc0＝０
ｚc0＝Ｃs Ｏs
と表わすことができる。ただし、円筒歯車、かさ歯車の場合はｕc0＝０である。また、点Ｏs は設計基準点Ｐ0 を通り相対回転軸Ｓに垂直な平面Ｓs と相対回転軸Ｓとの交点である。
１１．３  接触点の軌跡ｇ0 の傾き角の定義
点Ｐ0 における相対速度Ｖrs0 は前記式（３２）を用いて、
Ｖrs0 ＝ωr ×〔ｕc0〕＋Ｖs
となる。ここで、〔ｕc0〕は、Ｏs を始点、Ｐ0 を終点とするベクトルを表している。点Ｐ0 において相対回転軸Ｓに平行で、かつ、平面ＳH に垂直な平面（ｕc ＝ｕc0）をＳp とすれば、Ｖrs0 は平面Ｓp 上にあって、Ｖrs0 の平面ＳH （ｖc ＝０）からの傾き角ψ0 は、前記式（３３）を用いて、
0003733908.tif 000011
で表される。ただし、ψ0 はｕc0≧０のとき正とし、図１０にその方向が示されている。
点Ｐ0 を通ってＶrs0 に垂直な平面をＳn とすれば、平面Ｓn は平面Ｓs に大してψ0 だけ傾いた平面になっていて、接触点の軌跡ｇ0 は点Ｐ0 を通り平面Ｓn 上にある任意の有向直線になっている。したがって、ｇ0 の座標系Ｃs 上における傾き角は、平面Ｓn の平面Ｓs （またはｖc 軸）からの傾き角ψ0 と、平面Ｓn 上における平面Ｓp からの傾き角φn0とによって定義することができ、これをｇ0 （ψ0 ，φn0） と表わすことにする。φn0は図１１に示す方向を正としている。
１１．４．座標系Ｃs によるｇ0 の定義
図９は、座標系Ｃs と平面ＳH ，Ｓs ，Ｓp ，Ｓn およびＰ0 ，ｇ0 （ψ0 ，φn0）との関係を示したものである。ここで定義された平面ＳH は従来の理論では、円筒歯車の場合のピッチ平面、かさ歯車の場合の軸平面に対応している。平面Ｓs は正面であり、平面Ｓp は円筒歯車の軸平面、かさ歯車のピッチ平面に対応している。また、平面Ｓn は一般の歯車に拡張された歯直角平面であり、φn0，ψ0 もまた一般の歯車に拡張された歯直角圧力角、ねじれ角と考えることができる。これらの平面によって、一般の歯車対の圧力角やねじれ角が、接触点の共通法線（この場合はｇ0 ）の各平面に対する傾き角として静止空間に対して統一的ただし、ここで定義された平面Ｓn ，φn0，ψ0 は従来理論のかさ歯車の場合に一致し、他の歯車の場合のそれとは異なる。これは従来理論が、個々の歯車のピッチ平面を基準とし、それは歯車の種類によって静止空間に対して変化するからである。従来の理論では、基準となるピッチ回転体（円筒あるいは円錐）を決めれば、このピッチ回転体に任意の曲面を歯面として固定し、相手歯面を創成すればよく、与える歯面（接触点の軌跡とその法線）に製作上の制限以外に条件はなかったから、むしろＰ0 の選択（ピッチ回転体の議論）に重点があり、ｇ0 （すなわちｇ0 を実現する歯面）をどう設計するかの議論は歯面が存在するかどうか以外には殆どなされなかった。歯車対の設計において軸受荷重変動０を実現するためには、Ｐ0 の選択よりもｇ0 の設計が重要である。
軸角ΣとオフセットＥおよび角速度の方向とが与えられた歯車対では、接触点の軌跡ｇ0 は一般には設計基準点Ｐ0 （ｕc0，ｖc0，ｚc0）と傾き角ｇ0 （ψ0 ，φn0）との５個の独立変数によって座標系Ｃs で定義できる。本実施形態においては、設計の条件として角速度比ｉ0 およびｖc0＝０が与えられるから、接触点の軌跡ｇ0 の独立変数は３個になる。すなわち、円筒歯車の場合には、ｚc0が実質的な意味を持たないから、（ｚc0），φn0，ψ0 の２個、かさ歯車の場合には、ｚc0，φn0，ψ0 の３個、ハイポイドギヤやウォームギヤ，ねじ歯車の場合には、ｚc0，φn0，ψ0 （またはｕc0）の３個の独立変数の選択によって静止空間に決定することになる。点Ｐ0 を与えたとき、ハイポイドギヤやウォ−ムギヤの場合には、ψ0 は同時に決定され、φn0だけが自由に選べる変数であるが、円筒歯車やかさ歯車の場合には、Ｐ0 を相対回転軸上に選ぶから、ψ0 もφn0も自由に選べる変数になっている。
１２．接触点の軌跡ｇ0 の座標系Ｏ2 ，Ｏ1 への変換
１２．１  座標系Ｏ2 ，Ｏq2，Ｏ1 ，Ｏq1の定義
図１２は、接触点の軌跡ｇ0 を座標系Ｏ2 ，Ｏq2，Ｏ1 ，Ｏq1によって示したものである。座標系Ｏ2 （ｕ2 ，ｖ2 ，ｚ2 ），Ｏq2（ｑ2 ，ｖq2，ｚ2 ）は、設計基準点Ｐ0 を通る歯車II軸の軸直角平面Ｚ20とII軸との交点Ｏ2 を原点とする座標系であり、座標系Ｃ2 ，Ｃq2をｚ2c軸方向にＣ2 Ｏ2 だけ平行移動したものである。全く同様に座標系Ｏ1 （ｕ1 ，ｖ1 ，ｚ1 ），Ｏq1（ｑ1 ，ｖq1，ｚ1 ）は、点Ｐ0 を通る歯車Ｉ軸の軸直角平面Ｚ10とＩ軸との交点Ｏ1 を原点とする座標系であり、座標系Ｃ1 とＣq1とをｚ1c軸方向にＣ1 Ｏ1 だけ平行移動したものである。
１２．２  接触点の軌跡の座標の変換式
座標系Ｃ2 とＯ2 ，Ｃq2とＯq2，Ｏ2 とＯq2との関係は、次のようになる。
(1) 座標系Ｃ2 とＯ2
ｕ2 ＝ｕ2c
ｖ2 ＝ｖ2c
ｚ2 ＝ｚ2c−ｚ2c0
ここで、ｚ2c0 ＝Ｃs Ｏ2s＝−（ｕc0 sinΓs ＋ｚc0 cosΓs ）
(2) 座標系Ｃq2とＯq2
ｑ2 ＝ｑ2c
ｖq2＝ｖq2c
ｚ2 ＝ｚ2c−ｚ2c0
ここで、ｚ2c0 ＝Ｃs Ｏ2s＝−（ｕc0 sinΓs ＋ｚc0 cosΓs ）
(3) 座標系Ｏ2 とＯq2（ｚ2 は共通）
ｕ2 ＝ｑ2 cos χ2 ＋Ｒb2 sinχ2
ｖ2 ＝ｑ2 sin χ2 −Ｒb2 cosχ2
χ2 ＝π／２−φ2
以上となる。
全く同様にして座標系Ｃ1 とＯ1 ，Ｃq1とＯq1，Ｏ1 とＯq1との関係は、次のようになる。
(4) 座標系Ｃ1 とＯ1
ｕ1 ＝ｕ1c
ｖ1 ＝ｖ1c
ｚ1 ＝ｚ1c−ｚ1c0
ここで、ｚ1c0 ＝Ｃs Ｏ1s＝−ｕc0sin(Σ−Γs ) ＋ｚc0cos(Σ−Γs )
(5) 座標系Ｃq1とＯq1
ｑ1 ＝ｑ1c
ｖq1＝ｖq1c
ｚ1 ＝ｚ1c−ｚ1c0
ここで、ｚ1c0 ＝Ｃs Ｏ1s＝−ｕc0sin(Σ−Γs ) ＋ｚc0cos(Σ−Γs )
(6) 座標系Ｏ1 とＯq1（ｚ1 は共通）
ｕ1 ＝ｑ1 cos χ1 ＋Ｒb1 sinχ1
ｖ1 ＝ｑ1 sin χ1 −Ｒb1 cosχ1
χ1 ＝π／２−φ1
(7) 座標系Ｏ1 とＯ2 との関係は、
ｕ1 ＝−ｕ2 cos Σ−（ｚ2 ＋ｚ2c0 ）sin Σ
ｖ1 ＝ｖ2 ＋Ｅ
ｚ1 ＝ｕ2 sin Σ−（ｚ2 ＋ｚ2c0 ）cos Σ−ｚ1c0
以上となる。
１２．３  接触点の軌跡の傾き角の変換式
ｇ0 を含み歯車軸IIに平行な平面を作用面Ｇ20とすれば、座標系Ｏ2 上におけるｇ0 の傾き角は、作用面Ｇ20のｖ2 軸からの傾き角φ20（χ20の余角）と作用面Ｇ20上のｑ2 軸からの傾き角ψb20 とによってｇ0 （φ20，ψb20 ）と表わすことができる。全く同様にして作用面Ｇ10を定義し、ｇ0 の傾き角を座標系Ｏ1 によってｇ0 （φ10，ψb10 ）と表わすことができる。
図１３は、ｇ0 （ψ0 ，φn0）とｇ0 （φ10，ψb10 ）とｇ0 （φ20，ψb20 ）との関係を示したものである。歯車対の回転によって、接触点が接触点の軌跡ｇ0 上をＰ0 からＰに移動したものとし、変位Ｐ0 Ｐ＝Ｌg （θ2 ＞０のとき正）とすれば、座標系Ｃs の各軸方向成分は、
Ｌuc＝−Ｌg sin φn0        （Ｌuc：Ｌg のｕc 方向成分）
Ｌvc＝Ｌg cos φn0 cosψ0   （Ｌvc：Ｌg のｖc 方向成分）
Ｌzc＝Ｌg cos φn0 sinψ0   （Ｌzc：Ｌg のｚc 方向成分）
と表わすことができる。
座標系Ｏ2 の各軸方向成分は、前記式（３１）を用いて、座標系Ｃs の各軸方向成分によって、
Ｌu2＝−Ｌuc cosΓs ＋Ｌzc sinΓs （Ｌu2：Ｌg のｕ2 方向成分）
Ｌv2＝Ｌvc                        （Ｌv2：Ｌg のｖ2 方向成分）
Ｌz2＝−Ｌuc sinΓs −Ｌzc cosΓs （Ｌz2：Ｌg のｚ2 方向成分）
と表わされる。
したがって、ｇ0 （φ20，ψb20 ）は、
0003733908.tif 000012
のようになる。全く同様にしてｇ0 （φ10，ψb10 ）は、
0003733908.tif 000013
のようになる。式（３５），（３６），（３７），（３８）によって、ｇ0 （ψ0 ，φn0）とｇ0 （φ10，ψb10 ）とｇ0 （φ20，ψb20 ）との関係が定まる。実際には上式はφn0，ψ0 以外の変数を与える場合には使いにくいので、ｇ0 （φ10，ψb10 ）とｇ0 （φ20，ψb20 ）とを与えた場合の関係式を以下に求めておく。
(1) ｇ0 （φ20，ψb20 ）からｇ0 （ψ0 ，φn0）とｇ0 （φ10，ψb10 ）とを求める関係式
0003733908.tif 000014
(2) ｇ0 （φ10，ψb10 ）からｇ0 （ψ0 ，φn0） とｇ0 （φ20，ψb20 ）とを求める関係式は、
0003733908.tif 000015
以上である。
１２．４  接触点の軌跡ｇ0 の座標系Ｏ2 による表示
次に座標系Ｏ2 による接触点の軌跡の方程式について説明する。図１４は、接触点の軌跡ｇ0 および対応する歯形曲線IIを示している。θ2 ＝０のとき、設計基準点Ｐ0 で接触し、そのときの接平面をＷ0 （同図では作用面との交線で表す）とする。歯車IIがθ2 だけ回転した後、接触点はＰ、接平面はＷに移動しているものとする。
(1) 設計基準点Ｐ0
設計基準点は座標系Ｃs によりＰ0 （ｕc0，０，ｚc0） で与えられている。ただし、ｚc0≧０とし、特に円筒歯車やかさ歯車の場合はｕc0＝０とする。したがって、座標系Ｏ2 により表示された設計基準点をＰ0 （ｕ2p0 ，−ｖcs2 ，０）とすれば、式（３１）を用いて、ｕ2P0 は、
ｕ2p0 ＝Ｏ2sＰ0 ＝−ｕc0 cosΓs ＋ｚc0 sinΓs ・・・（４７）
となる。ｇ0 （φ20，ψb20 ）は前記式（３５），（３６）によって与えられるから、Ｐ0 （ｕ2p0 ，−ｖcs2 ，０）を座標系Ｏq2に変換し、Ｐ0 （ｑ2p0 ，−Ｒb20 ，０）で表わせば、ｑ2p0 ，Ｒb20 は、
ｑ2p0 ＝ｕ2p0 cos χ20−ｖcs2 sin χ20
Ｒb20 ＝ｕ2p0 sin χ20＋ｖcs2 cos χ20
χ20＝π／２−φ20                   ・・・（４８）
となる。
(2) 接触点の軌跡ｇ0 の方程式
前記式（２５）を座標系Ｏ2 ，Ｏq2に変換し、その変換後の式（２５）に式（４８）を代入すれば、接触点の軌跡ｇ0 の方程式は回転角θ2 における接触点Ｐの座標として、座標系Ｏ2 によって次のようになる。ただし、θ2 ＝０のとき、設計基準点Ｐ0 で接触している。すなわち、
ｑ2 ( θ2 ) ＝Ｒb20 θ2 cos 2 ψb20 ＋ｑ2p0
ｕ2 ( θ2 ) ＝ｑ2 ( θ2 ) cosχ20＋Ｒb20 sin χ20
ｖ2 ( θ2 ) ＝ｑ2 ( θ2 ) sinχ20−Ｒb20 cos χ20
ｚ2 ( θ2 ) ＝Ｒb20 θ2 cos ψb20 sin ψb20    ・・・（４９）
となる。
１２．５  接触点の軌跡ｇ0 の座標系Ｏ1 による表示
図１５は、接触点の軌跡ｇ0 および対応する歯形曲線Ｉを示している。ｇ0 （φ10，ψb10 ）は前記式（３７），（３８）によって与えられるから、座標系Ｏ2 の場合と全く同様にして、設計基準点Ｐ0 （ｕc0，０，ｚc0）を座標系Ｏ1 ，Ｏq1に変換し、Ｐ0 （ｕ1p0 ，−ｖcs1 ，０），Ｐ0 （ｑ1p0 ，−Ｒb10 ，０）で表せば、前記式（３０）を用いて、ｕ1p0 ，ｑ1p0 ，Ｒb10 は、
0003733908.tif 000016
となる。
したがって、接触点の軌跡ｇ0 の方程式は、前記式（２５）を座標系Ｏ1 ，Ｏq1およびθ1 で表せば、
θ1 ＝ｉ0 θ2   （θ2 ＝０の時、θ1 ＝０）
ｑ1 ( θ1 ) ＝Ｒb10 θ1 cos 2 ψb10 ＋ｑ1p0
ｕ1 ( θ1 ) ＝ｑ1 ( θ1 )cosχ10＋Ｒb10 sinχ10
ｖ1 ( θ1 ) ＝ｑ1 ( θ1 )sinχ10−Ｒb10 cosχ10
ｚ1 ( θ1 ) ＝Ｒb10 θ1 cos ψb10 sin ψb10   ・・・（４９−１）
となる。接触点の軌跡ｇ0 が静止空間に固定された直線として与えられ、しかも、角速度比が一定であるから、接触点の軌跡の方程式は２軸の位置関係によらず、全く同じ形で表現できることになる。
１３．歯形曲線の方程式
１３．１  歯形曲線IIの方程式
図１４に、歯形曲線IIを歯車IIと共にθ2 で回転する座標系Ｏr2（ｕr2，ｖr2，ｚr2）で示している。座標系Ｏr2は座標系Ｏ2 に対して原点Ｏ2 およびｚ2 軸を共有し、θ2 ＝０のとき一致しているものとする。接触点の軌跡ｇ0 は前記式（４９）によって与えられるから、回転座標系Ｏr2で表わした歯形曲線IIの方程式は、
χr2＝χ20−θ2 ＝π／２−φ20−θ2
ｕr2＝ｑ2 ( θ2 )cosχr2＋Ｒb20 sin χr2
ｖr2＝ｑ2 ( θ2 )sinχr2−Ｒb20 cos χr2
ｚr2＝Ｒb20 θ2 cos ψb20 sin ψb20        ・・・（５０）
となる。
１３．２  歯形曲線Ｉの方程式
図１５は、歯形曲線Ｉを座標系Ｏ1 および歯車Ｉと共にθ1 で回転する座標系Ｏr1（ｕr1，ｖr1，ｚr1）で示したものである。座標系Ｏr1は座標系Ｏ1 に対して原点Ｏ1 およびｚ1 軸を共有し、θ1 ＝０のとき一致しているものとする。接触点の軌跡ｇ0 は前記式（４９−１）によって与えられているから、回転座標系Ｏr1で表わした歯形曲線Ｉの方程式は、
χr1＝χ10−θ1 ＝π／２−φ10−θ1
ｕr1＝ｑ1 ( θ1 )cosχr1＋Ｒb10 sin χr1
ｖr1＝ｑ1 ( θ1 )sinχr1-Ｒb10 cos χr1
ｚr1＝Ｒb10 θ1 cos ψb10 sin ψb10     ・・・（５３）
となる。
次に、決定された歯形曲線から歯面を決定する具体的方法を図面に基づいて詳細に説明する。
１４．対象歯車対の定義
対象とするインボリュート歯車対は次のように定義されているものとする。接触点の軌跡ｇ0 に対応する歯形曲線をそれぞれ歯形曲線Ｉ，IIとするとき、歯面IIとして歯形曲線IIを含むインボリュートヘリコイドを与え、歯面IIによって定角速度比ｉ0 で創成された曲面を歯面Ｉ（したがって、歯形曲線Ｉを含む）とする。このように定義されたインボリュート歯車対の歯面を修整して歯形曲線Ｉ，IIに沿って接触させれば、軸受荷重変動は０となるから、動力伝達用歯車対としては荷重変動の点から最も有利な歯車対となる。そこで、以下、インボリュート歯車対の関係式、すなわち、インボリュートヘリコイドとその接触領域、共役歯面Ｉの方程式を説明する。
１５．インボリュートヘリコイド（歯面II）の方程式
１５．１  作用面Ｇ20の方程式
図１６は、前記式（２５）によって与えられた設計基準点Ｐ0 および接触点の軌跡ｇ0 を含む作用面Ｇ20（傾き角χ20＝π／２−φ20）を座標系Ｏ2 ，Ｏq2によって示したものである。点Ｐ0 における接平面Ｗ0 とＧ20との交線が直線ｗ0 で表されている。歯車IIがθ2 だけ回転したとき、接触点Ｐ0 はＰに、ｗ0 はｗに移動したものとする。
インボリュートヘリコイドの定義によりｗ上の任意点の歯面法線ｎは作用平面Ｇ20上にあって、しかもそのｑ2 軸からの傾き角ψb20 は一定であるから、ｗはｇ0 上の点Ｐを通りｇ0 に直交する直線になっている。したがって、インボリュートヘリコイドは、歯車IIの回転（回転角θ2 ）と共にＧ20上をｑ2 軸方向にＲb20 θ2 だけ平行移動する交線ｗが、歯車IIに固定された回転する空間（座標系Ｏr2）上に描く軌跡面と定義できる。そこで、直線ｗ上の任意点をＱとし、点Ｑを座標系Ｏr2で表わせば、求めるインボリュートヘリコイドはＱの集合として表わすことができる。
ｗ上の任意点Ｑを通り、ｗに垂直な作用面Ｇ20上の有向直線をｎ（ｇ0 と同方向を正）とし、ｎとｗ0 との交点をＱ0 とすれば、座標系Ｏq2によって表示された点Ｑ0 （ｑ20，−Ｒb20 ，ｚ20）は次のようになる。
ｑ20＝ｑ2p0 −ｚ20 tanψb20
したがって、点Ｑを座標系Ｏq2によって表せば、Ｑ（ｑ2 ，−Ｒb20 ，ｚ2 ）は、
ｑ2 ( θ2 ，ｚ20 )＝Ｒb20 θ2 cos 2 ψb20 ＋ｑ20
＝Ｒb20 θ2 cos 2 ψb20 ＋ｑ2p0 −ｚ20 tanψb20
ｚ2 ( θ2 ，ｚ20 )＝Ｒb20 θ2 cos ψb20 sin ψb20 ＋ｚ20
となる。さらに点Ｑを座標系Ｏ2 によって表わせば、Ｑ（ｕ2 ，ｖ2 ，ｚ2 ）は、
ｑ2 ( θ2 ，ｚ20 )＝Ｒb20 θ2 cos 2 ψb20 ＋ｑ2p0 −ｚ20 tanψb20
ｕ2 ( θ2 ，ｚ20 )＝ｑ2 ( θ2 ，ｚ20)cosχ20＋Ｒb20 sin χ20
ｖ2 ( θ2 ，ｚ20 )＝ｑ2 ( θ2 ，ｚ20)sinχ20−Ｒb20 cos χ20
ｚ2 ( θ2 ，ｚ20 )＝Ｒb20 θ2 cos ψb20 sin ψb20 ＋ｚ20      ・・・（５４）
となる。この式（５４）が座標系Ｏ2 によって表わしたθ2 とｚ20とをパラメータとする作用面Ｇ20の方程式であり、θ2 を固定すれば、接平面Ｗと作用面Ｇ20との交線ｗを、ｚ20を固定すれば作用面上の有向直線ｎを表わすことになる。接触点の軌跡ｇ0 は点Ｐ0 を通る有向直線ｎでもあるから、ｚ20＝０と置けば前記（４９）が求められる。
１５．２  インボリュートヘリコイドの方程式
図１６における直線ｗを歯車IIと共に回転する座標系に変換すれば、直線ｗの軌跡はインボリュートヘリコイド（基礎円筒半径Ｒb20 、ねじれ角ψb20 ）を描くから、これを歯面IIとして与えるものとする。この時、点Ｑにおける有向直線ｎは歯面法線ｎになる。
図１７は、回転角θ2 における直線ｗを通るインボリュートヘリコイド（歯面II）上の任意点Ｐm を座標系Ｏ2 上で示したものである。歯面IIがｗからさらにξ2 だけ回転したとき、ｗはｗm にきているとすれば、ｗm とｎとの交点Ｑm は、
0003733908.tif 000017
と表すことができる。
回転座標系Ｏr2m を回転角θ2 のとき座標系Ｏ2 に一致し、ｚ2 軸回りにξ2 だけ回転する座標系とすれば、座標系Ｏr2m によってＱm （ｕr2m ，ｖr2m ，ｚr2m ）は、
0003733908.tif 000018
と表わすことができる。
座標系Ｏr2m をξ2 だけθ2 の逆方向に回転させて座標系Ｏ2 に重ねれば、Ｑm はＰm に移動する。座標系Ｏr2m 上の点Ｑm が座標系Ｏ2 上の点Ｐm であり、両者は同じ座標値であるから、点Ｐm を座標系Ｏ2 によって表示すれば、Ｐm （ｕ2m，ｖ2m，ｚ2m）は、
0003733908.tif 000019
となる。この式（５５）が任意の回転角θ2 における接触点の軌跡ｇ0 上の点Ｐを通るインボリュートヘリコイド（歯面II）のｚ20とξ2 とをパラメータとする、座標系Ｏ2 による方程式である。θ2 ＝０とすれば、設計基準点Ｐ0 を通る歯面IIとなり、さらにｚ20＝０とすれば、式（５０）、すなわち点Ｐ0 を通る歯形曲線IIとなる。または、この式（５５）は、作用面Ｇ20上の点Ｑm をξ2 だけθ2 の逆方向に回転させた平面Ｇ2m上の点Ｐm の座標系Ｏ2 による方程式と考えることができ、点Ｐを通るインボリュートヘリコイドを座標系Ｏ2 上で考えるときには、この方が考えやすい。
１６．接触線と接触領域
歯面IIが前記式（５５）によって与えられている時、点Ｐを通る接触線は、θ2 を固定したときの接触の条件式を満たすｚ20とξ2 との組合せであるから、ξ2 をパラメータとして次のように求められる。
１６．１  接触点の共通法線ｎm （Ｐm0Ｐm ）
図１８は、接触点Ｐm における接触線ＰＰm および共通法線ｎm （Ｐm0Ｐm ）を示したものである。歯車IIがθ2 だけ回転し、接触点は接触点の軌跡ｇ0 上の点Ｐにあるものとする。歯面II上にＰ以外の接触点Ｐm をとり、その相対速度をＶrsm 、その共通法線をｎm （｜ｎm ｜＝１）とする。ｎm と平面ＳH との交点をＰm0、点Ｐm0の相対速度をＶrsm0とすれば、Ｐm は接触点であるから次の関係式、
0003733908.tif 000020
が成り立つ。ここで、〔Ｐm0Ｐm 〕は、Ｐm0を始点、Ｐm を終点とするベクトルを表している。
相対速度Ｖrsm0はＰm0を通り平面Ｓp に平行な平面Ｓpm上にあるから、平面Ｓpm上で平面ＳH に対する傾き角をψm0とする。点Ｐm0を通りＶrsm0に垂直な平面をＳnmとすれば、平面Ｓnmはｎm （Ｐm0Ｐm ）を含むから、点Ｐm の歯直角平面（ねじれ角ψm0）となっている。一方、接触点Ｐm およびその共通法線ｎm は、Ｐ0 を通る作用面Ｇ20からξ2 だけ傾いた平面Ｇ2m上にあるから、座標系Ｏ2 で表したｎm の傾き角はｎm （φ20＋ξ2 ，ψb20 ）で与えられる。共通法線ｎm は平面ＳnmとＧ2mとの交線上にあることから、座標系Ｃs と座標系Ｏ2 の間の傾き角の変換式（４０）を用いれば、平面Ｓnmのねじれ角ψm0を、
tanψm0＝tan(φ20＋ξ2 )sinΓs − tanψb20 cos Γs ／cos(φ20＋ξ2 )
と表すことができる。点Ｐm0の位置を座標系Ｃs を用いてＰm0（ｕcm0 ，０，ｚcm0 ）とすれば、ψm0とｕcm0 との関係式（３４）から、
ｕcm0 ＝Ｏm Ｐm0＝Ｅ tanψm0sin(Σ−Γs )sinΓs ／ sinΣ
ｚcm0 ＝Ｃs ０m                                     ・・・（５６）
を得る。
点Ｐm0を座標系Ｃs から座標系Ｏ2 に変換して、Ｐm0（ｕ2m0 ，−ｖcs2 ，ｚ2m0 ）で表せば、
ｕ2m0 ＝−ｕcm0 cos Γs ＋ｚcm0 sin Γs
ｖcs2 ＝Ｅ tanΓs ／｛tan(Σ−Γs )＋ tanΓs ｝
ｚ2m0 ＝−ｕcm0 sin Γs −ｚcm0 cos Γs −ｚ2cs
ｚ2c0 ＝−ｕc0 sinΓs −ｚc0 cosΓs             ・・・（５７）
となる。ここで、ｕc0，ｚc0は、設計基準点Ｐ0 のｕc ，ｚc 座標値である。
この式（５７）からｚcm0 を消去すれば、
ｕ2m0 cos Γs ＋（ｚ2m0 ＋ｚ2cs ）sin Γs ＝−ｕcm0 ・・・（５８）
を得る。この式（５８）が接触点の共通法線ｎm の平面ＳH 上の軌跡Ｐ0 Ｐm0を示している。Ｐm0は、軌跡Ｐ0 Ｐm0（前記式（５８））と、作用面Ｇ2mと平面ＳH との交線Ｈg2m との交点であるから、座標系Ｏ2 によってξ2 をパラメータとして、
ｕ2m0 ＝Ｒb20 ／cos(φ20＋ξ2 ) −ｖcs2 tan(φ20＋ξ2 )
ｖcs2 ＝Ｅ tanΓs ／｛tan(Σ−Γs ) ＋ tanΓs ｝
ｚ2m0 ＝−ｚ2c0 −（ｕ2m0 cos Γs ＋ｕcm0 ）／ sinΓs   ・・・（５９）
と表すことができる。点Ｐm0を、座標系Ｏq2を用いてＰm0（ｑ2m0 ，−Ｒb20 ，ｚ2m0 ）で表せば、ｑ2m0 は、
ｑ2m0 ＝ｕ2m0 cos χ2m−ｖcs2 sin χ2m
χ2m＝π／２−φ20−ξ2 ＝χ20−ξ2
となる。これらの式によって共通法線ｎm を、点Ｐm0を通り、傾き角がｎm （φ20＋ξ2 ，ψb20 ）の有向直線として、ξ2 をパラメータとして作用面Ｇ2m上に表すことができる。
１６．２  接触線と接触領域の方程式
図１９は、点Ｑm0（Ｐm0），Ｑm （Ｐm ），Ｑと点Ｐとの関係を作用面Ｇ20上で示したものである。Ｐm0，Ｐm を回転座標系Ｏr2m で表わすと、作用面Ｇ2mは位相差ξ2 だけ回転して、作用面Ｇ20に重なり、ｎm はｎに、Ｐm0はＱm0に、Ｐm はＱm に移動する。歯面IIと作用面Ｇ20との交線をｗとし、ｗとｎとの交点をＱとすれば、座標系Ｏq2を用いて、既知点Ｑm0（ｑ2m0 ，−Ｒb20 ，ｚ2m0 ），Ｐ（ｑ2p，−Ｒb20 ，ｚ2p）と未知点Ｑ｛ｑ2 ( θ2 ，ξ2 ) ，−Ｒb20 ，ｚ2( θ2 ，ξ2 ) ｝との間には次の関係、
0003733908.tif 000021
が成り立つ。したがって、点Ｑは座標系Ｏq2を用いて、
0003733908.tif 000022
ここに、ｑ2p＝ｑ2p0 ＋Ｒb20 θ2 cos 2 ψb20
ｚ2p＝Ｒb20 θ2 cos ψb20 sin ψb20
と表すことができる。点Ｑm はξ2 をパラメータとして座標系Ｏq2を用いて、
ｑ2m( θ2 ，ξ2 ) ＝ｑ2 ( θ2 ，ξ2 ) ＋Ｒb20 ξ2 cos 2 ψb20
ｚ2m( θ2 ，ξ2 ) ＝ｚ2 ( θ2 ，ξ2 ) ＋Ｒb20 ξ2 cos ψb20 sin ψb20
と表わすことができる。したがって、座標系Ｏ2 によって接触点Ｐm をＰm （ｕ2m，ｖ2m，ｚ2m）で表わせば、各座標値は前記式（５５）を用い、ξ2 をパラメータとして、
0003733908.tif 000023
となる。
この式（６１）が任意の回転角θ2 におけるξ2 をパラメータとする接触線（ＰＰm ）の座標系Ｏ2 による方程式である。ここで、前記式（５５）のパラメータｚ20は接触の条件式からξ2 の関数になっている。したがって、θ2 を変化させることによって、接触線の集合として接触領域を表わすことができる。また、前記式（６１）は任意のξ2 におけるθ2 をパラメータとする共通法線ｎm （Ｐm0Ｐm ）の方程式であり、ξ2 を変化させることによって共通法線ｎm の集合として接触領域を表わしていると考えることもできる。歯面IIとしてインボリュートヘリコイドを用いれば、接触領域は、作用面上のねじれ角ψb20 の有向直線（Ｐm0Ｐm ）が歯車II軸方向変位と共にその傾き角φ20＋ξ2 を変化させることによって描くねじれた曲面になっている。
１７．歯面IIによって創成される歯面Ｉの方程式
図２０は、接触点Ｐm および共通法線ｎm （Ｐm0Ｐm ）を座標系Ｏ1 とＯq1で示したものである。前記式（６１）で与えられる接触点Ｐm を座標系Ｏ1 ，Ｏq1で表わし、座標系Ｏr1に変換すれば歯面Ｉを表わすことになる。点Ｐm は前記式（６１）でＰm （ｕ2m，ｖ2m，ｚ2m）として与えられるから、点Ｐm を座標系Ｏ1 上でＰm （ｕ1m，ｖ1m，ｚ1m） と表わせば、座標系Ｏ2 とＯ1 との座標変換式によって、各座標値は、
ｕ1m＝−ｕ2m cosΣ−（ｚ2m＋ｚ2c0 ）sin Σ
ｖ1m＝ｖ2m＋Ｅ
ｚ1m＝ｕ2m sinΣ−（ｚ2m＋ｚ2c0 ）cos Σ−ｚ1c0
ｚ10＝−ｕc0 sin（Σ−Γs ）＋ｚc0 cos（Σ−Γs ）
と表わすことができる。共通法線ｎm の傾き角はｎm （φ20＋ξ2 ，ψb20 ）で与えられるから、座標系Ｏ2 とＯ1 との傾き角の変換式である前記式（４１）、（４２）を用いて、ｎm （φ1m，ψb1m ）を、
0003733908.tif 000024
と求めることができる。
共通法線ｎm を含む作用面をＧ1mとし、座標系Ｏq1で点Ｐm をＰm （ｑ1m，−Ｒb1m ，ｚ1m）と表わせば、座標系Ｏ1 とＯq1との変換式である前記式（５２）を用いて、
ｑ1m＝ｕ1m cosχ1m＋ｖ1m sinχ1m
Ｒb1m ＝ｕ1m sinχ1m−ｖ1m cosχ1m
χ1m＝π／２−φ1m
となる。点Ｐm を座標系Ｏr1に変換すれば、共役な歯面Ｉは、
θ1 ＝ｉ0 θ2 （θ2 ＝０の時、θ1 ＝０）
χr1m ＝π／２−φ1m−θ1
ｕr1m ＝ｑ1m cosχr1m ＋Ｒb1m sin χr1m
ｖr1m ＝ｑ1m sinχr1m −Ｒb1m cos χr1m
ｚr1m ＝ｚ1m                            ・・・（６２）
と表すことができる。
１８．同一インボリュートヘリコイドを一方の歯面とする歯車対の群（インボリュート歯車群）
歯車II軸と歯面IIとして同一インボリュートヘリコイド（基礎円半径Ｒb20 、ねじれ角ψb20 ）およびこの歯面上に点Ｐ0 （半径Ｒ20）が与えられているものとする。座標系Ｏ2 によって、点Ｐ0 およびその法線ｎ0 は、
Ｐ0 （ｕ2p0 ，ｖ2p0 ，０）
ｎ0 （φ20， ψb20 ）
φ20＋ε20＝ cos-1( Ｒb20 ／Ｒ20 )
ε20＝ tan-1( ｖ2p0 ／ｕ2p0 )
Ｒ20＝√（ｕ2p0 2 ＋ｖ2p0 2 ）
と表すことができる。本実施形態においては、Ｐ0 は平面ＳH 上に選ばれ、ｖ2p0 ＝−ｖcs2 となるから、軸角Σと角速度比ｉ0 （または相対回転軸の軸角Γs ）とを与えれば、Ｅが求められ、相対回転軸Ｓおよび相手歯車軸Ｉ、すなわち、歯車対が決定される。
図２１は、歯車IIを回転させ、点Ｐ0 およびその法線ｎ0 を座標系Ｏ2 の適当な位置に選択固定し、設計基準点および接触点の軌跡とした場合の、インボリュート歯車群を概念的に描いたものである。また、図中、「Ｓ」は、はすば歯車とウォームギヤ（またはねじ歯車）の相対回転軸を示し、「Ｓb 」は、かさ歯車の相対回転軸を示し、「Ｓhy」は、ハイポイドギヤの相対回転軸を示している。点Ｐ0 の位置によってインボリュート歯車群は次のように変化する。
(1) Ｐ0 がｖ2 軸上にあるときには、Σの値によって変化する。
(a) Σ＝０またはπのときは、外歯はすば歯車または内歯はすば歯車となる。Γs ＝０またはπとなり、共役な相手歯面Ｉもインボリュートヘリコイドとなる。(b) Σ≠０のときは、ウォームギヤまたはねじ歯車となる。ウォームギヤとしてはウォームまたはウォームホイールのいずれかをインボリュートヘリコイドとしたものが実用化されている。特に相手歯面Ｉにも歯形曲線Ｉを含むインボリュートヘリコイドを採用した歯車対がインボリュートねじ歯車として使われている。(2) Ｐ0 がｕ2 軸上（Ｐ0B）にあるときには、かさ歯車となる。相手歯面にも歯形曲線Ｉを含むインボリュートヘリコイドを与えたかさ歯車がコニカルギヤとして実用化されている。
(3) Ｐ0 が上記以外（Ｐ0H）にあるときには、ハイポイドギヤと転位ウォームギヤまたは転位ねじ歯車となる。Ｐ0Hが、｜ε20｜の比較的小さい領域に選ばれれば（図示）、かさ歯車に使いハイポイドギヤを意味し、｜ε20｜がπ／２の近傍に選ばれれば（Ｐ0 付近）、転位ウォームギヤまたは転位ねじ歯車を意味することになる。
Ｂ．インボリュートヘリコイドをピニオン歯面とするハイポイドギアの設計
以上、述べてきたように、特開平９−５３７０２号公報において、最も普及している平歯車、はすば歯車などの２軸が平行な歯車から、ハイポイドギアのように２軸が交わらず平行でもない食い違い歯車に関し、その設計方法を統一的に記述する方法が提案された。しかし、特に、食い違い歯車においては、変数の選択によっては、十分な接触領域を得られない場合があった。
以下、食い違い歯車について、有効な噛み合い領域を形成するための変数の選定の方法について説明する。
１．従来の食い違い歯車の設計方法
ここで、食い違い歯車の設計に関し、従来の用いられてきたいくつかの方法について簡単に説明する。
(1) インボリュートフェイスギア
インボリュートフェイスギアは、ピニオンをインボリュート平歯車とし、ギアは円盤の側面（円盤の軸に直交する面）にピニオン歯面と共役の歯面を形成した歯車対である。従来からよく知られ、設計、製作が比較的簡単である軽負荷用として利用されているギアである。平歯車の代わりにはすば歯車を使ったものもあるが、設計製作が難しくなるため平歯車を用いたものに比べて一般的ではない。
(2) スピロイドギア
基準ピニオン円錐（または円筒）を与え、これに接する相手ギア回転体と接触する曲線（ピッチコンタクトローカス）上の相対速度に接する歯筋曲線をピニオン歯筋とし、ギア有効歯面を得るために経験値として軸を含む平面上の圧力角１０−３０°を与えてピニオン歯面を形成し、相手ギアを創成するものである。しかし、ピニオン歯面は、本発明のインボリュートヘリコイドとは異なり、スクリューヘリコイドになっている。この設計方法においては、ピニオンにインボリュート歯面を採用した場合、ギア比の小さい、すなわちピニオン径の大きいギアに対して、ギアの有効歯面が得られない場合があると考えられる。
(3) グリーソン式ハイポイドギア
グリーソン式ハイポイドギアは、円錐面を使用し、ピニオンもギアも円錐面状に歯を刻んでいる。この方式の諸元決定方法では、ピニオンのねじれ角ψ0p（本発明でいうねじれ角ψ0とは厳密には異なる）をほぼ５０°付近に固定して、この付近で経験的に成り立つギア比、オフセット、ギア幅を標準として与えることによって、ほぼ一定した非対称圧力角（例えば１４−２４°、または１０−２８°）が成り立つように諸元が与えられる。標準となるギアの形状に対し、いわば幾何学的に相似なギア形状を決定する方法である。したがって、グリーソン方式で推奨する標準から外れたハイポイドギア（例えば高オフセット、ねじれ角の小さいフェースギア）を設計する場合には、経験値がないために、新たに標準から設計をする必要が生じる。
２．対象ハイポイドギア
前述の公報に示された方法により、軸角ΣとオフセットＥによって静止空間を、ギア比ｉ0 によって相対速度の場を与えた場合、設計基準点Ｐ0 （Ｒ20，ψ0 ）と点Ｐ0 を通る２本の歯面法線ｇ0D（ψ0 ，φn0D ；Ｃs ）とｇ0C（ψ0 ，φn0C ；Ｃs ）とを与えれば、インボリュートヘリコイド歯面ＤとＣを決定できる。ここで歯面Ｄ，Ｃは、歯車対の正転側歯面、逆転側歯面であり、ｇ0D，ｇ0Cは、それぞれの歯面の法線、すなわち接触点の軌跡である。前述したフェースギアの設計方法では、軸角Σ、オフセットＥ、ギア比ｉ0 、設計基準点の半径Ｒ20またはＲ10が与えられるが、歯面の接触状態とψ0 ，φn0D ，φn0C の３変数の関係が明確にされていないから、その選択を適切に行うことができず、有効歯面が得られない場合があった。軸角Σ＝９０°の場合を例にとると、オフセットＥが大きく（Ｅ／Ｒ20＞０．２５）、ギア比が小さく（ｉ0 ＝２．５〜５）、ねじれ角ψ0がψ0＝３５°〜７０°の少なくとも一つの場合には、歯幅大端における歯先の尖り、小端における切り下げを不正で、有効な歯面Ｄ，Ｃを形成することができなかった。
本実施形態においては、以下説明するように、インボリュートヘリコイドを一方の歯面とする歯車対の接触領域を求め、これを利用してピニオンとギアによって与えられた噛み合い領域内に有効歯面の存在するψ0 ，φn0D ，φn0C の３変数の選択方法、および後述する等価ラックを利用した歯先尖りや、切り下げのない歯の諸元を決定する。
図２２及び以下には、ハイポイドギアの寸法諸元が示されている。
0003733908.tif 000025
上記のような諸元によって、座標系Ｃs ，Ｃ1 ，Ｃ2 が決定している。歯車Ｉをピニオン、歯車IIをギアとする。以下の説明においては、ピニオンを円筒形状とし、これにインボリュートヘリコイドを与えた場合に、円板上のギアの与えられた大端および小端半径で囲まれる領域内に有効なギア歯面Ｄ，Ｃを得るために、ピニオンのインボリュートヘリコイド面をどのように決定するかについて述べる。
３．等価ラック
本項では、正転側、逆転側歯面Ｄ，Ｃの接触点軌跡ｇ0D，ｇ0Cが設計基準点で交わる２本の有向直線として与えられたとき、２本の接触点の軌跡が作る平面上を移動するラック（等価ラック）に関して説明する。このラックを利用することにより、設計基準点付近で歯車の歯として有効な歯を形成することができる。なお、本項の等価ラックに関する説明は、ハイポイドギアに限らず他の形式のギアについても適用可能である。
３．１  接触点の軌跡ｇ0 ，φn0D ，φn0C
対象とする接触点の軌跡は、前述の公報に従って、次のように与えられるものとする。
(1) ２軸Ｉ，IIとその軸角Σ、オフセットＥ（≧０）と角速度比（ギア比）ｉ0 （≧１、一定）とが与えられ、２軸と共通垂線とによって座標系Ｃ1 ，Ｃ2 、相対回転軸Ｓと共通垂線とによって座標系ＣS が定義され座標系相互間の座標値および有向直線の傾き角の変換が可能になっている。
(2) 軸受荷重変動を０とする接触点の軌跡ｇ0 が、設計基準点Ｐ0 （ｕC0，ｖC0，ｚC0；ＣS ）およびその傾き角ｇ0 （ψ0 ，φn0；Ｃs ）によって座標系Ｃs 上に与えられ、ｇ0 を含む作用面Ｇ10，Ｇ20を用いて座標系Ｃq1，Ｃq2が定義されている。
(3) 設計基準点Ｐ0 を通る２軸Ｉ，IIの軸直角平面と各歯車軸の交点をＯ1 ，Ｏ2 とするとき、座標系Ｃ1 ，Ｃq1，Ｃ2 ，Ｃq2を原点がＯ1 ，Ｏ2 となるまで各歯車軸方向に平行移動し、座標系Ｏ1 ，Ｏq1，Ｏ2 ，Ｏq2を定義すれば、座標系Ｏq2，Ｏ2 によってｇ0 上の任意の点Ｐ（ｑ2 ，−Ｒb2，ｚ2 ；Ｏq2）およびＰ（ｕ2 ，ｖ2 ，ｚ2 ；Ｏ2 ）は、前述した式（４９）より、
ｑ2 ( θ2 ) ＝Ｒb20 θ2 cos 2 ψb20 ＋ｑ2p0
Ｒb2( θ2 ) ＝Ｒb20
ｚ2 ( θ2 ) ＝Ｒb20 θ2 cos ψb20 sin ψb20
χ2 ( θ2 ) ＝χ20＝π／２−φ20
ｕ2 ( θ2 ) ＝ｑ2 ( θ2 ) cosχ20＋Ｒb20 sin χ20
ｖ2 ( θ2 ) ＝ｑ2 ( θ2 ) sinχ20−Ｒb20 cos χ20     ・・・（６３）
ここで  θ2 ：歯車IIの回転角
Ｐ（ｑ2 ，−Ｒb2，ｚ2 ；Ｏq2）：点Ｐの座標系Ｃq2表示
ｇ0 （φ20，ψb20 ；Ｏ2 ）：ｇ0 の傾き角の座標系Ｏ2 表示
と表すことができる。
(4) 点Ｐおよびｇ0 の傾き角を座標系Ｏ1 ,Oq1に変換すれば、
Ｐ｛ｑ1 ( θ1 ) ，−Ｒb10 ( θ1 ) ，ｚ1 ( θ1 ) ；Ｏq1｝
ｇ0 （φ10，ψb10 ；Ｏ1 ）                            ・・・（６４）
ただし、θ1 ＝ｉ0 θ2
と表すことができる。
(5) 正転側と逆転側の接触点の軌跡は点Ｐ0 で交わり、しかも点Ｐ0 付近で切り下げや干渉を起こさない２本の有向直線として与えられるものとする。前述のように、正転側、逆転側の接触点の軌跡の座標系Ｃs による表示を、それぞれ正転側ｇ0D（ψ0 ，φn0D ；Ｃs ）、逆転側ｇ0C（ψ0 ，φn0C ；Ｃs ）とする。
３．２  限界軌跡ｇt の定義（平面Ｓn が、共通垂線を含まない場合）
図２３は、ハイポイドギアの平面ＳH ，Ｓp ，Ｓn そして点Ｐ0 における速度Ｖ10，Ｖ20の作る平面Ｓt の関係を概念的に示したものである。ここで、平面ＳH は座標系Ｃs のｖc ＝０平面、平面Ｓp はｕc ＝ｕc0平面、平面Ｓn はＰ0 における相対速度Ｖrs0 に垂直な平面である。
設計基準点Ｐ0 は平面ＳH 上にあるから、相対速度Ｖrs0 は平面Ｓp 上にある。一方平面Ｓt もＶrs0 を含むから、平面Ｓt と平面Ｓp とは相対速度Ｖrs0 を交線として交わっている。また、平面Ｓt と平面Ｓn とは、直交していて、平面Ｓt 上の法線速度Ｖgt0 をその交線ｇt （Ｖgt0 の方向に正）としている。すなわち平面Ｓt は、平面Ｓp をＶrs0 を軸として平面Ｓn 上でφntだけ回転した平面で、従来のピッチ平面に相当している。
平面Ｓn と歯車軸Ｉ，IIとの交点をＯ1n，Ｏ2nとするとき、点Ｐ0 の周速度Ｖ10，Ｖ20は、
Ｖ10＝ω10×〔Ｏ1nＰ0 〕
Ｖ20＝ω20×〔Ｏ2nＰ0 〕                        ・・・（６５）
となる。ただし、〔Ａ  Ｂ〕は点Ａを始点、点Ｂを終点とするベクトルを表す。Ｏ1nＰ0 は、平面Ｓn 上にあるから相対速度Ｖrs0 に垂直であり、上式からＶ10にも垂直であるから、平面Ｓt に点Ｐ0 で、垂直になっている。全く同様にＯ2nＰ0 は、Ｖrs0 とＶ20に垂直であるから、平面Ｓt に点Ｐ0 で垂直になっている。すなわち、点Ｏ1n，Ｐ0 ，Ｏ2nは一直線上にあるから、これを設計基準垂線Ｃn （Ｏ1nからＯ2nの方向に正）とする。Ｃn は点Ｐ0 を通る歯車対の中心線である。この関係は点Ｐ0 の位置によらない。
点Ｐ0 を通る歯面の接平面は相対速度Ｖrso を含む任意の平面が可能であるから、設計基準垂線Ｃn を含む接平面ＷN （平面Ｓt に垂直）をもつ歯面は、ｇt をその接触点の軌跡（接触法線）としている。一般の歯車では点Ｐ0 を通る歯面の接平面はこのＶrso とＣn の作る平面ＷN に対して適当に傾けられるから、その接触点の軌跡ｇ0 （接触法線）はｇt を基準に平面Ｓn 上で傾けられることになる。そこで、ｇt を限界軌跡ｇt と呼ぶことにすれば、その傾き角ｇt （ψ0 ，φnｔ ；Ｃs ）は、次のように求めることができる。
図２４は、平面Ｓn 上の設計基準垂線Ｃn およびＣn に垂直な限界軌跡ｇt を描いたものである。点Ｏ1n，Ｏ2nから平面Ｓp （平面Ｓn に垂直）に下ろした垂線の足をＯ1np ，Ｏ2np とすれば、φntは、
0003733908.tif 000026
と求められる。ただし、各有向線分は座標系Ｃｓ  の各軸の正方向を正とする。  ハイポイドギアにおいては、ｖcs2 ，ｖcs1 ，ｕc0，ｚc0は、座標系Ｏ1 ，Ｏ2 を用いて、
ｖcs2 ＝Ｅ tanΓs ／｛ tanΓs ＋tan(Σ−Γs ) ｝
ｕc0＝Ｅsin(Σ−Γs )sinΓs tan ψ0 ／ sinΣ
ｚc0＝（ｕ2p0 ＋ｕc0 cosΓs ）／ sinΓs
ｕ2p0 ＝−ｖcs2 ／ tanε20    （ε20≠０）
ｖcs1 ＝−Ｅtan(Σ−Γs ) ／｛ tanΓs ＋tan(Σ−Γs ) ｝
ｚc0＝｛ｕ1p0 −ｕc0cos(Σ−Γs ) ｝／sin(Σ−Γs )
ｕ1p0 ＝−ｖcs1 ／ tan0    （ε10≠０）
と表すことができる。
上式を用いて、式（６６）からｕc0，ｚc0，ｖcs1 ，ｖcs2 を消去し、整理すれば、
tanφnt＝ cosΓs ／(cosψ0 ／ tanε20 sinΓs sin ψ0
＝cos(Σ−Γs ) ／｛ cosψ0 ／ tanε10−sin(Σ−Γs )sinψ0 ｝
となる。限界軌跡ｇt は平面Ｓp に対して平面Ｓn 上でφntだけ傾いている。φntはｚc 軸の正方向にみて時計方向が正である。
３．３  等価ラックの定義
図２５は、相対速度Ｖrs0 の正方向からみた平面Ｓn 上の等価ラックを示したものである。点Ｐ0 における周速度Ｖ10，Ｖ20、相対速度Ｖrs0 ＝Ｖｓ10  −Ｖｓ20  、法線速度Ｖgt0 （限界軌跡ｇt 方向）、平面Ｓn 上の接触点の軌跡ｇ0D，ｇ0Cおよびｇ0D，ｇ0Cをもつ歯面Ｄ，Ｃの接平面ＷD ，ＷC （図２５では、平面Ｓn との交線ｗsD，ｗsCとで表されている）とが示されている。
周速度Ｖ10，Ｖ20は、平面Ｓt 上で、
Ｖ10＝Ｖgt0 ＋Ｖs10
Ｖ20＝Ｖgt0 ＋Ｖs20
と表すことができる。接平面ＷD は、平面Ｓt と相対速度Ｖrs0 を共有しているから周速度Ｖ10，Ｖ20は、
Ｖ10＝（Ｖg0D ＋ＶWsD ）＋Ｖs10
Ｖ20＝（Ｖg0D ＋ＶWsD ）＋Ｖs20
ここで  Ｖg0D ：接平面ＷD の法線速度（ｇ0D方向）
ＶWsD ：接平面ＷD 上のｗsD方向速度
と表すことができる。したがって、点Ｐ0 において、常に次の関係
Ｖgt0 ＝Ｖg0D ＋ＶWsD
が成立している。接平面ＷC についても全く同様にして
Ｖgt0 ＝Ｖg0C ＋ＶWsC
ここで  Ｖg0C ：接平面ＷC の法線速度（ｇ0C方向）
ＶWsC ：接平面ＷC 上のｗsC方向速度
と表すことができる。
したがって、法線速度Ｖg0D ，Ｖg0C は、Ｖgt0 のｇ0D，ｇ0C方向成分として、
Ｖg0D ＝Ｖgt0 cos(φn0D −φnt)
Ｖg0C ＝Ｖgt0 cos(φnt−φn0C )     ・・・（６７）
として求められる。一方、Ｖgt0 ，Ｖg0D ，Ｖg0C は、
Ｖgt0 ＝Ｒb2gt(dθ2 /dｔ)cosψb2gt
Ｖg0D ＝Ｒb20D(dθ2 /dｔ)cosψb20D
Ｖg0C ＝Ｒb20C(dθ2 /dｔ)cosψb20C
ここで  Ｒb2gt，Ｒb20D，Ｒb20C：
ｇt ，ｇ0D，ｇ0Cの歯車II（ギア）基礎円筒半径
ψb2gt，ψb20D，ψb20C：
ｇt ，ｇ0D，ｇ0Cの歯車II（ギア）作用面上の傾き角
と表すことができる。ｇt やｇ0Dおよびｇ0Cは、静止空間に固定された直線であるから、法線速度Ｖgt0 ，Ｖg0D ，Ｖg0C は常に一定となっている。したがって、ｇ0Dおよびｇ0C上の任意の点ＰD ，ＰC の法線速度Ｖg0D ，Ｖg0C は、常に式（６７）で表すことができる。
これは歯車の回転によるｇ0D，ｇ0C上の接触点は、ｇt を基準線とし、かつ同一接触点の軌跡ｇ0D，ｇ0Cをもち（ｗsD，ｗsCを歯形とし）、ｇt 方向にＶgt0 で移動するラックの接触点によって表されていることを意味している。このラックを等価ラックと定義すれば、等価ラックはインボリュート平歯車のラックが一般化されたものである。軸受荷重変動が０の条件を満たすように接触点の軌跡の与えられた全ての歯車（円筒歯車からハイポイドギアまで）の接触の問題はこの等価ラックの接触の問題として扱うことができる。
３．４  等価ラックの諸元
(1) ｗsD，ｗsCのＣn に対する傾き角（圧力角）
ｗsD，ｗsCはＣn （ｇt に垂直）に対してそれぞれφn0D −φnt，φnt−φn0C だけ傾いている。φn0D ＝φn0C ＝φntが、等価ラックの圧力角０を表している。
(2) ピッチｐgt
限界軌跡ｇt が等価ラックの基準線を示し、そのピッチｐgtおよび法線ピッチｐn0D ，ｐn0C は、
0003733908.tif 000027
と表すことができる。ただし、Ｎ2 は歯車IIの歯数である。
(3) 作用歯丈ｈk
図２５において、ｗsDから１ピッチ（１pg0D）離れた位置をｗsDA とし、ｗsCとｗsD，ｗsDA との交点をＲCD，ＲCDA とすれば、等価ラックの歯先幅が０の限界歯丈ｈcr（ＲCDＲCDH ）はＲCDＲCDH がｇt に直交していることに注意すれば、
0003733908.tif 000028
と表すことができる。等価ラック上の工具歯先幅をｔcn，クリアランスをｃr とすれば、等価ラックの作用歯丈ｈk （Ｃn 方向）は、
0003733908.tif 000029
と表すことができる。
(4) 設計基準点Ｐ0 （ｗsD）に対するｗsCの位相角
図２５において、Ｃn 上の点Ｐ0 周辺にｈk ＝Ｑ1nＱ2nとなるようにＱ1n，Ｑ2nをとり、アデンダムＡd2，Ａd1を、
Ｐ0 Ｑ2n＝Ａd2      （歯車IIのアデンダム）
Ｐ0 Ｑ1n＝Ａd1＝ｈk −Ａd2    （歯車Ｉのアデンダム）
と定義する。ただし点Ｑ2nは、接触点の軌跡ｇ0D，ｇ0Cの双方が有効な領域の中に含まれるように選ぶこととし、Ｑ2nが点Ｐ0 に対してＯ1n側にあるときＡd2≧０とする。
ｇ0CとｗsCとの交点をＰC とすれば、Ｐ0 ＰC は、
Ｐ0 ＰC
＝−｛Ａd2+(ｈcr−ｈk)/２｝sin(φn0D −φn0C ) ／cos(φn0D −φnt)
として求められる。ただし、Ｐ0 ＰC はｇ0Cの方向に正である。
点Ｐ0 の回転角θ2 ＝０であるから、点ＰC の位相角θ2wsCは、
θ2wsC＝（Ｐ0 ＰC ／ｐg0C ）（２θ2p）    ・・・（７０）
となる。ここで、２θ2pは歯車IIの角ピッチである。ｗsCは、ｗsDに対してθ2wsCだけ遅れた位置にある。これによって点Ｐ0 （ｗsD）に対するｗsCの位置が決定したことになる。
ｗsDに対するｗsCはの位相角は従来の歯車設計における歯圧の概念（ｇｔ上のラックの歯厚をどう決めるか）を一般化したもので、本実施形態では作用歯丈とアデンダムを与えることによって決定する。
４．作用限界点
任意に与えられた接触点の軌跡に対して、数学的には必ず対応する歯形曲線が存在する。しかし、同時に実現できる歯形曲線は、歯車軸を中心とする同一の半径の円弧上において、一つだけしか存在しえない。したがって、歯車軸を軸とする円筒面と接触点軌跡との接点の両側にわたって続く歯形曲線は現実的には存在しない。よって、この接点が接触点軌跡の作用限界点である。また、このことは、作用限界点は、歯車軸から接触点軌跡に対して下ろした垂線の足であること、すなわち歯車軸の正射影であることを示している。
接触点軌跡と歯車軸を軸とする円筒面（半径Ｒ2 ）との交点をＰとすれば、
Ｒ2 2 ＝ｑ2 2 ＋Ｒb22
と表すことができる。接触点Ｐが作用限界点であるとすれば、点Ｐで接触点軌跡と円筒面は接しているから、
Ｒ2 (dＲ2 /dθ2 ) ＝ｑ2 (dｑ2 /dθ2 ) ＋Ｒb2(dＲ2b/dθ2 ) ＝０
が成立する。式（７）を用いて(dｑ2 /dθ2 )を消去すれば、
ｑ2 （１− dχ2 /dθ2 ）／（ tanψb2 tanηb2＋１）＋ dＲb2/dθ2 ＝０
となる。ここで、ｇ0D，ｇ0Cが法線に一致する直線を仮定しているから、dχ2 /dθ2 ＝０，dＲ2b/dθ2 ＝０となり、式は簡単となって、ｑ2 ＝０となる。
この式をθ2 について解けば、歯車IIに関する作用限界点Ｐ2kが求められる。歯車Ｉに関する作用限界点Ｐ1kについても同様にして、
ｑ1 （１− dχ1 /dθ1 ）／（ tanψb1 tanηb1＋１）＋ dＲb1/dθ1 ＝０
すなわち、上式と同様にして、ｑ1 ＝０を解けば、作用限界点Ｐ1kが求められる。
５．ハイポイドギアにおける設計基準点Ｐ0 および平面Ｓn の傾き角ψ0 の選択  平行な歯車軸を有する歯車対の場合、接触領域の形状は比較的単純であり、常識的な範囲であれば設計基準点Ｐ0 の取り方によって、歯面が形成できなくなるということはない。また、与えた設計基準点Ｐ0 によって歯面が形成できなかったとしても、これを修正するのは比較的容易である。
しかしながら、後述するように、ハイポイドギアの接触領域は、非常に複雑であり、有効な歯面が形成できなかった場合に、どのように修正すれば有効な歯面を形成できるかは、理解しづらい。以下、ハイポイドギアを効率的に設計する方法、すなわち諸元の選択方法を説明する。
図２６は、平面Ｓn に限界軌跡ｇ2z，ｇt 、接触点の軌跡ｇ0D，ｇ0Cおよびその等価ラックの関係を示したものである。ここで、限界軌跡ｇ2zは平面Ｓn とギア軸直交平面Ｚ20の交線であり、限界軌跡ｇt は平面Ｓn と点Ｐ0 の線速度により作られる平面Ｓt の交線である。設計基準点Ｐ0 の選択は等価ラックの形状を静止空間のどの位置で与えるかを選択することである。本実施形態においては、ピニオンを円筒形状とし、その歯の形状は軸の方向に一定（位相角だけが変化）とする。ギアは小端から大端まで歯の形状は変化する。そして、設計基準点Ｐ0 はギアの歯幅中央に選ぶ。すなわち、設計基準点Ｐ0 のギア軸に対する半径Ｒ20は、
Ｒ20＝（Ｒ2h＋Ｒ2t）／２    ・・・（７１）
となる。与えられたギア小端および大端で歯面を成立させるためには、等価ラックの形状または設計基準点Ｐ0 の位置を修正する必要がでてくる場合がある。だから、式（７１）は、Ｒ20の第１近似値を与えていると考えればよい。
設計基準点Ｐ0 における相対速度に垂直な平面Ｓn の傾き各ψ0 は次のように選択する。平面Ｓn と点Ｐ0 を通るギア軸の軸直角平面Ｚ20の交線が限界軌跡ｇ2zであるから、その傾き角ｇ2z（ψ0 ，φn2z ；Ｃs ）およびｇ2z（φ2z，０；Ｃ2 ）は、
tanφn2z ＝ sinψ0 ／tan Γs
tanφ2z＝ tanψ0 ／sin Γs     ・・・（７２）
から求められる。本実施形態ではギアの歯先および歯底面は、ギア軸直角平面としているから、ギアの歯が通常の台形形状となるためには、ギア歯面の接平面はギア軸直角平面に対して互いに逆方向に傾かなければならない。したがって、任意の接触点の軌跡ｇ0D，ｇ0Cとは、限界軌跡ｇ2zの周辺にあって、しかもｇ2zに対して互いに逆方向に傾かなければならない。接触点軌跡ｇ0D，ｇ0Cのギア側の作用限界半径（基礎円半径）Ｒb20D，Ｒb20Cは、限界軌跡ｇ2zの基礎円筒半径Ｒb2z に近いから、ギア歯面がギア小端半径Ｒ2t以上で有効であるためには、近似的に次の関係、すなわち
Ｒ2t≧Ｒb2z ＝Ｒ20cos(φ2z＋ε20)
sin ε20＝−ｖcs2 ／Ｒ20            ・・・（７３）
を満たさなければならない。ただし、かさ歯車の場合は、ε20＝０である。
式（７２）、（７３）からψ0 を求めることができる。ｉ0 が大きければ、式（２）からφ2z≒ψ0 であるから、式（７３）は、次式
Ｒ2t≧Ｒ20cos(φ2z＋ε20)   ・・・（７４）
で十分である。Ｒ20およびψ0 から設計基準点Ｐ0 および限界軌跡ｇ2z，ｇt が座標系Ｃs によって平面ＳH 上に、
Ｐ0 （ｕc0，０，ｚc0；Ｃs ）
ｇ2z（ψ0 ，φn2z ；Ｃs ）
ｇt （ψ0 ，φnt；Ｃs ）
ｕc0＝Ｅ sinΓs cos Γs tan ψ0
ｚc0＝｛√（Ｒ202 −ｖcs2 2 ）＋ｕc0 cosΓs ｝／ sinΓs
tan φn1＝ cosΓs ／（−cos ψ0 ／ tanε20＋ sinΓs sin ψ0
と決定される。
以上のようにして決定したＲ20およびψ0 は第１近似値とみなすべきものであって、この結果得られる歯面の状態によって修正する場合もある。またオフセットやギアの歯幅の要求値が大きすぎる場合、満足できる歯面を与えるＲ20およびψ0 が存在しないこともある。
座標系Ｏ1 ，Ｏq1，Ｏ2 ，Ｏq2を定めれば、設計基準点Ｐ0 および限界軌跡ｇ2z，ｇt の傾き角を各座標系で表すことができる。
６．接触点の軌跡ｇ0D，ｇ0C
６．１  平面Ｓn 上のφn0D ，φn0C の変域
ギアの歯に必要な強度を有するようにするため、ギア歯面の接平面ｗsDとｗsCは、ギア軸直角平面Ｚ20に対して互いに逆方向に傾けることが好ましい。よって、接触点軌跡ｇ0D，ｇ0Cは限界軌跡ｇ2zに対して互いに逆方向に傾くように選ばなければならない。つまり、接触点軌跡ｇ0D，ｇ0Cの傾きは、
φn0C ≦φn2z ≦φn0D   ・・・（７５）
と選ばれる。さらに、接触点軌跡ｇ0D，ｇ0Cは、平面Ｓn 上で、頂角３８°の等価ラックを作るものとすれば、
φn0D −φn0C ＝３８°  ・・・（７６）
式（７５），（７６）からφn0D ，φn0C の組み合わせは、
Ａ．  φn0C ＝φn2z ，      φn0D ＝φn2z ＋３８°
Ｂ．  φn2z ＝φn0D ，      φn0C ＝φn2z −３８°
Ｃ．  φn0C ＝φn2z −１９°φn0D ＝φn2z ＋１９°  ・・・（７７）
の３通り、またはその周辺で表すことができる。
６．２  インボリュートヘリコイドの接触領域と作用限界線
図２７〜３０は、ピニオンに限界軌跡ｇ2zを歯面法線とするインボリュートヘリコイド（基礎円筒半径Ｒb12z、作用面ねじれ角ψb12z）を与えた場合の接触領域を示している。図２７は、曲面全体の形状を理解しやすくするための見取り図である。接触領域の式は、ギアにインボリュートヘリコイドを与えた場合と全く同様で、式（６１）の添え字２を１に代えることによって求められる。
接触領域は接触点の軌跡とそれにほぼ直交する接触線とによって表されていて、ｇ2z（φ12z ＝０）から接触点の軌跡がφ1 ＞０の方向に回転しながらｚ1 ＞０の方向に移動して描かれる曲面（接触領域Ｃ）と、φ1 ＜０の方向に回転しながら、ｚ1 ＞０の方向に移動して描かれる曲面（接触領域Ｄ）とから構成されている。インボリュートヘリコイドの歯面法線のうちで接触の条件を満たすものだけが接触法線となり、しかも一本の歯面法線は基礎円筒との接点を挟んで、必ず２カ所で接触法線となりうるから、図２８〜３０に示すような曲面を描くことになる。
接触点の軌跡のピニオンおよびギアの作用限界点の軌跡（作用限界線）がＬ1A（ピニオン基礎円筒上にある）およびＬ2AD ，Ｌ2AC で示されている。またギア軸の接触領域への正射影（ギア軸側の作用限界線）が、接触領域とｚ2 平面との交線と、ギア軸を軸とする円筒面との接点の軌跡Ｌ3AD ，Ｌ3AC とで示されている。本実施形態では、接触領域はピニオン側に与えられたインボリュートヘリコイドによって決定しているから、ピニオン軸の接触領域への正射影（ピニオン側の作用限界線）はＬ1Aになっている。円筒歯車では接触領域が平面となり、よって、ピニオン軸およびギア軸の接触領域の正射影は単純な直線となる。しかし、ハイポイドギアの接触領域は、図示されるように、複雑な曲面であるため、ピニオン軸、ギア軸の正射影は、直線とならないばかりか、複数存在し、さらに枝分かれを生じる場合もある。設計基準点Ｐ0 に最も近い作用限界線で囲われた領域が実質的に利用できる歯面となる。
さらにギア歯先面をｚ2h＝０（ｇ2zを含むギア軸直角平面）、ギア大端および小端円筒と接触領域の交線がそれぞれＲ2h，Ｒ2tで示されている。
限界軌跡ｇ2zを含みＬ3AD とＬ3AC とによって囲まれる接触領域はこの例ではＰ0 近傍の狭い領域に限られるから、実質的に利用できる歯面は存在しない。したがって、作用限界線、ギアの歯先面、大小端円筒によって囲われる有効接触領域は次に説明するようになる。
有効接触領域Ｃeff ：接触領域Ｃ上の作用限界線Ｌ3AC 、ギア境界面ｚ2h＝０，Ｒ2hとによって囲まれる領域（凸凹接触）。
有効接触領域Ｄeff ：接触領域Ｄ上のギア境界線ｚ2h＝０，Ｒ2h，Ｒ2tとによって囲まれる領域（凸凸接触）。
６．３  接触点の軌跡ｇ0D，ｇ0Cの選択
(1) 式（７７）Ａの場合
接触点の軌跡ｇ0Cをｇ2zにとった場合で、有効接触領域Ｃeff は、図２８〜３０によって与えられている。有効接触領域Ｃeff のギア小端側の境界は、作用限界線Ｌ3AC によって決まっているから、Ｌ3AC よりもギア小端側にはギア歯面は存在しないことになる。したがって、このままの状態で歯面Ｃを実現するためには、有効接触領域Ｃeff に合わせてギアの領域（Ｒ2t〜Ｒ2h）をより大端側に設定し直す必要がある。
(2) 式（７７）Ｂの場合
接触点の軌跡ｇ0Dをｇ2zにとった場合で、有効接触領域Ｄeff はやはり図２８〜３０で与えられている。ギアの境界面と接触領域との交線、ｚ2h＝０，Ｒ2t，Ｒ2hは作用限界線Ｌ1A，Ｌ3AD ，Ｌ2AD よりも内側にあるから、式（７７）Ｂの組合わせは与えられたギアの領域内（Ｒ2t〜Ｒ2h）に有効な歯面Ｄを実現できる。
図３１〜３３は、このときの歯面Ｃ（φn0c ＝φｎ2z−３８°）の有効接触領域Ｃeff を示したものである。ｇ0Cの基礎円筒半径Ｒb10Cが小さくなったため、Ｌ3AC はギア内側に移動子、点Ｐ0 の位置で比較すれば図２８〜３０のＣeff に比べてかなり改善されていることがわかる。したがって、ｇ0Cに若干の修正によってギアの領域内（Ｒ2t〜Ｒ2h）に歯面Ｃをほぼ実現できることを示している。(3) 式（７７）Ｃの場合
設計基準点Ｐ0 の周辺で有効接触領域Ｃeff （凸凹接触）を確保するためには、上記のようにｇ0Cをｇ2zからできるだけ傾けて、ピニオン基礎円筒半径を小さくし、Ｌ3AC がギアの小端側（できればその内側）に位置させる必要がある。一方、ｇ0Dをｇ2zからできるだけ傾けて基礎円筒形を小さくすることは噛み合い率を小さくするだけで、ほとんど意味をもたない。特に自動車用ハイポイドギアのように歯面Ｄを前進側に利用する場合には、むしろｇ0Dを、ｇ2zにできるだけ近づけた方が有利である。与えられたギアの領域（Ｒ2t〜Ｒ2h）で、歯面Ｄと歯面Ｃとを同時に成立させるためには、式（７７）Ｂに近い選択（Ｒb10D＞Ｒb10C）がほとんどの場合に有利である。
インボリュートヘリコイドをピニオンの歯面とする歯車対においては、上記のように凸凹接触側の作用限界線（この場合はＬ3AC ）をギア小端よりも内側にもってくる必要があり、これが非対称圧力角（異なる基礎円筒）を採用する原因となっている。
以上の検討結果から接触点の軌跡ｇ0D，ｇ0Cのそれぞれの傾き角は、
ｇ0D（ψ0 ，φn0D ＝φn2z ；Ｃs ）
ｇ0C（ψ0 ，φn0C ＝φn2z −３８°；Ｃs ）  ・・・（７８）
と決定される。ただし、φn0D は余裕をとってφn2zよりも若干大きくとる方が実用的である。
７．等価ラックと歯車対の境界面
７．１  等価ラックの諸元
図２６には、平面Ｓn 上の等価ラックの形状が示されている。設計基準点Ｐ0 および等価ラックの基準線（限界軌跡）ｇt および接触点の軌跡ｇ0D，ｇ0Cとが与えられたとき、等価ラックの諸元および設計基準点Ｐ0 に対する位置は、次のように求められる。
（１）法線ピッチ  ｐg0D ，ｐg0C
ｐg0D ＝２πＲb10D cosψb10D／Ｎ1 （ｇ0D方向）
ｐg0C ＝２πＲb10C cosψb10C／Ｎ1 （ｇ0C方向）  ・・・（７９）
ここで、Ｎ1 ：歯車Ｉの歯数
（２）作用歯丈ｈk
ｈk ＝ｐg0D cos(φnt−φn0C ) ／sin(φn0D −φn0C )
−２ｔcn／｛tan(φn0D −φnt) ＋tan(φnt−φn0C ) ｝  ・・・（８０）    ここで、ｔcn：等価ラック上の工具歯先幅
ｃr ：クリアランス
（３）ギアのアデンダムＡd2
Ｐ0 Ｑ2n＝Ａd2＝（ｕ1p0 −Ｒb10D）sin(φn0D −φnt)/ cosφ10D /cosψb10D
Ｐ0 Ｑ1n＝Ａd1＝ｈk −Ａd2                                  ・・・（８１）（４）点Ｐ0 （ｗsD）に対するｗsCの位相角θ2wsC
0003733908.tif 000030
ここで、２θ2p：ギアのピッチ
７．２  ギア歯先面
接触点の軌跡ｇ0D，ｇ0Cは、互いにギア軸直角平面に対して互いに逆方向に傾くから、双方を無理なく実現するためにはギア歯先および歯底面は円錐面であるよりもむしろギア軸直角平面である方が有利である。そこで、点Ｑ2nを通るギア軸直角平面をギア歯先面とする。したがって、
ギア歯先面    ｚ2h＝ｚ2Q2n                      ・・・（８３）
ここで、Ｑ2n（ｕ2Q2n，ｖ2Q2n，ｚ2Q2n；Ｏ2 ）
となる。
７．３  ピニオン歯先円筒面
ギア歯先面に対応して、ピニオン歯先面を点Ｑ1nを通る円筒面とすれば、ピニオン歯先円筒半径は、
Ｒ1Q1n＝√（ｕ1Q1n2 ＋ｖ1Q1n2 ）  ・・・（８４）
ここで、Ｑ1Q（ｕ1Q1n，ｖ1Q1n，ｚ1Q1n；Ｏ2 ）
となる。
７．４  ピニオン内外端面
ピニオン大小端面はギア大小端円筒面とピニオン軸との交点を通るピニオン直角平面とする。したがって、ピニオン大小端面は、座標系Ｏ1 において、
ピニオン大端面  ｚ1h＝√（Ｒ2h2 −Ｅ2 ）−ｚ1c0
ピニオン小端面  ｚ1t＝√（Ｒ2t2 −Ｅ2 ）−ｚ1c0   ・・・（８５）
ここで、ｚ1c0 ：座標系Ｃ1 からＯ1 への変換定数
８．ピニオンインボリュートヘリコイドの修整
上記のように決定したピニオンインボリュートヘリコイドは、歯面Ｄ，Ｃは互いに異なるリードをもっていて歯先面を円筒とする場合には、例えばピニオン歯先幅が一定にならない、またはピニオン軸方向の位置決めが必要、そして別々に歯面を製作する必要があるなどの実用上の不利益がある。そこで、本実施形態では、歯面Ｄ，Ｃのリードを等しくするため、次のようにピニオンインボリュートヘリコイドを若干修整する。歯面Ｄ，Ｃのリードを等しくする方法は種々考えられるが、ここでは歯面Ｄは与えられたままとし、歯面Ｃは次のようにねじれ角ψb10Cだけを調整して（基礎円筒半径Ｒb10Cはそのまま）歯面Ｃｃとする。
(1) 歯面Ｃｃのねじれ角ψb10CC
歯面Ｃｃのリードは歯面Ｄのそれに等しいから、ねじれ角ψb10CC は、
tanψb10CC ＝Ｒb10C tanψb10D／Ｒb10D  ・・・（８６）
より求められる。
(2) 歯車Ｃｃの接触点の軌跡ｇ0CC
設計基準点Ｐ0 を通る歯面Ｃの作用面Ｇ10C 上の歯面Ｃｃの接触法線を新たに接触点の軌跡ｇ0CC とすれば、その傾き角は、
ｇ0CC （φ10C ，ψb10CC ；Ｏ1 ）  ・・・（８７）
と表される。したがって、座標系Ｃs で表した、平面ＳH との交点をＰ0CC（ｕc0CC，０，ｚc0CC；Ｃs ）は、
sinφn0CC＝− cosψb10CC sin φ10C sin Γs ＋ sinψb10CC cos Γs
tanψ0CC ＝ tanφ10C cos Γs ＋ tanψb10CC sin Γs ／ cosφ10C
ｕc0CC＝Ｅ tanψ0CC cos Γs sin Γs
ｚc0CC＝（ｕ1p0 −ｕc0CC sinΓs ）／ cosΓs      ・・・（８８）
より求められる。
座標系Ｏ1 ，Ｏq1で表せば、
Ｐ0CC （ｕ1p0 ，−ｖcs1 ，ｚ1p0CC ；Ｏ1 ）
Ｐ0CC （ｑ1p0C，−Ｒb10C，ｚ1p0CC ；Ｏq1）
ｚ1p0CC ＝−ｕc0CC cosΓs ＋ｚc0CC sinΓs −ｚ1c0   ・・・（８９）
となる。
(3) 歯面Ｃｃの位相角
図３４は設計基準点Ｐ0 に対する回転角θ1 ＝０における歯面Ｃｃ（ｇ0CC ）の接触点ＰwsCCの関係を示したものである。回転角θ1 ＝０のとき歯面Ｃｃは、点Ｐ0 に対して位相角θ1wsCだけ回転して、しかもｇ0CCとは点ＰwsCCで交わっているから、点ＰwsCCの点Ｐ0CC に対する位相角θ1wsCC は、
Ｐ0CC ＰwsCC＝Ｒb10Cθ1wsC cosψb10CC −ｚ1p0CC sinψb10CC
θ1wsCC ＝２θ1p（Ｐ0CＰwsCC）／ｐg0CC
ｐg0CC＝２πＲb10C cosψb10CC ／Ｎ1     ・・・（９０）
ここで、２θ1p：ピニオンの角ピッチ
から求められる。
(4) 接触点の軌跡ｇ0CC の方程式
以上の修整によって最終的に決定する接触点の軌跡ｇ0CC の方程式を座標系Ｏ1 ，Ｏq1で表せば、
0003733908.tif 000031
となる。設計基準点Ｐ0 を通る歯面Ｃｃの法線ｎ0Cは接触法線にはならない。
９．  共役ギア歯面と歯先幅
９．１  共役ギア歯面
図３５および図３６は、上記のように決定したピニオンインボリュートヘリコイド歯面Ｄが描く有効接触領域（図３５）と創成されたギア共役歯面Ｄ（図３６）とを描いたものである。Ｒ1hはピニオンの歯先円半径を表している。歯面Ｄの噛み合い率が最大となる接触点の軌跡はｇ0Dよりも大端側に存在し、約２．１となる。したがって、歯面Ｄの歯当たりは噛み合い率の最大となる接触点の軌跡に沿って大端側に付けなければならない。
図３７および図３８は、全く同様にピニオン歯面Ｃｃが描く有効接触領域（図３７）と創成されたギア共役歯面Ｃｃ（図３８）とを描いたものである。選択されたピニオン歯面Ｃｃによって与えられたギアの領域内（Ｒ2t〜Ｒ2h）に有効接触領域およびギア共役歯面Ｃｃが実現されていることが分かる。接触点の軌跡に沿った噛み合い率は０．９となる。したがって、歯面Ｃｃの歯当たりは歯筋かみ合いを利用するため小端側につけざるを得ない。歯面Ｃｃでは軸受荷重変動０の条件を満たしていない。
９．２  ギア歯先幅
図３９は、ギア軸の方向からギアの歯のひとつを観た状態で、上記共役ギア歯面Ｄ，Ｃｃとギア軸直角平面Ｚ2h＝０（歯先面），Ｚ2h＝３，Ｚ2h＝６との交線を描いたものである。図中Ｚ2h＝０，３，６のそれぞれにおける２本の線の幅がギアの歯厚となる。歯先Ｚ2h＝０の歯厚（図中斜線を施した領域）がギア歯先面である。なお、Ｚ2h＝０との交線が点Ｐ0 で止まっているのは、φn0D ≒φn2z であるから、歯先面での歯面がこれ以上は存在しないことを意味している。
また、図中、前記の平面Ｚ2h＝３，６と歯面Ｃｃの交線が、作用限界線Ｌ3ACcの左側には延びていないが、これは、この部分に切り下げが生じていることを示している。しかし、７．１項で検討したように、歯先部分ではギア領域内に歯面が実現されている。
一般に円筒ピニオンと円板ギアの組み合わせでは、ギア大端側で歯先尖りを生じるが、本実施形態ではやや大端に向かって歯先幅は狭くはなっているが、ほぼ実用上許容しうる歯先幅は実現している。これは次のような理由による。
本実施形態の場合には、接触点の軌跡ｇ0D，ｇ0Cは互いに限界軌跡ｇ2zの周辺にあってしかもｇ2zに対して互いに逆方向に傾いているから、ｇ0Dとｇ0Cのギア側の基礎円筒半径Ｒb20D，Ｒb20Cは、ｇ2zの基礎円筒半径Ｒb2z に近く、その差は小さい。そして、歯面Ｃを歯面Ｃｃ（点Ｐ0Cを点Ｐ0CC ）に修整することによって結果としてその差はさらに小さくなっている。
ピニオンのインボリュートヘリコイドによって描かれる接触点の軌跡ｇ0D，ｇ0Cの周辺の接触領域上の任意の接触点の軌跡をｇm とするとき、座標系Ｏ1 で与えられたその傾き角ｇm （φ1m，ψb1m ；Ｏ1 ）を座標系Ｏ2 に変換すれば、その傾き角ｇm は、
tanφ2m＝ tanψb10 ／ cosφ1m
sinψb2m ＝− cosψb10 sin φ1m          ・・・（９２）
ただし、Σ＝π／２、ψb1m ＝ψb10 （一定）
と表すことができる。
この設計例のように、ｉ0 が大きく、ψ0 も大きい（６０°）場合には、ψb10 は大きく、図２８〜３０に示すように接触点の軌跡の傾き角φ2mの変化は小さい。したがって、式（９２）からψb2m の変化はさらに小さなものとなる。
一方、ギア歯面は、インボリュートヘリコイドの共役歯面であるから、
Ｒb2m cos ψb2m ＝ｉ0 Ｒb10 cos ψb10   ・・・（９３）
という関係が成り立っている。式（９３）からψb2m の変化が小さければ、Ｒb2m の変化も小さくなる。したがって、ギア歯面Ｄ，Ｃｃは近似的に基礎円筒がＲb20DとＲb20Cであるインボリュートヘリコイドとみなすことができ、その軸直角断面は近似的にインボリュート曲線になっている。Ｒb20DとＲb20Cの差は小さいから二つの近似インボリュート曲線はほぼ平行となっていて、ギアの歯先幅は小端から大端までほぼ一定にある。
以上のように設計変数ψ0 ，φn0D ，φn0C を選ぶことによって従来のフェースギアの欠点であった小端における切り下げと大端における歯先尖りを克服して動力伝達用のインボリュートハイポイドギアを設計することができる。
また、インボリュートヘリコイド歯面を有するハイポイドギアの設計指針として、以下の点が明らかになった。
(1) 設計基準点Ｐ0 の半径Ｒ20は、ギアの内外半径の中央にとり、点Ｐ0 における相対速度に垂直な平面Ｓn の傾き角ψ0 を、およそ
Ｒ20＝（Ｒ2t＋Ｒ2h）／２
ε20＝ sin-1（−ｖcs2 ／Ｒ20）
ψ0 ＝± cos-1（Ｒ2t／Ｒ20）−ε20
複号は、＋の場合：通常のハイポイドギア（ψ0 ≧−ε20）
−の場合：フェースギア（ψ0 ＜−ε20）
となるように決定する。このように定めたψ0 によって、接触領域を構成する個々の接触点の軌跡の作用限界線の半径がギア内半径Ｒ2tよりも小さくなる。つまり、作用限界線を歯幅の外側とすることができ、歯幅全体を歯車の噛み合いに利用することが可能となる。
(2) 設計基準点Ｐ0 を通るギア軸直角平面Ｚ20と平面Ｓn との交線を限界軌跡ｇ2zとする。限界軌跡ｇ2zの平面Ｓn 上の傾き角をｇ2z（ψ0 ，φn2z ；Ｃs ）とする。点Ｐ0 を通る歯面Ｄの法線（接触点の軌跡）ｇ0Dを限界軌跡ｇ2zの近くに選ぶ。すなわち、ｇ0Dの平面Ｓn 上の傾き角をｇ0D（ψ0 ，φn0D ；Ｃs ）とするとき、φn0D を、
φn0D ≒φn2z     （φn0D ＞φn2z ）
のように選択する。この条件は、点Ｐ0 における歯面Ｄの接触がψ0 選択の結果凸凸接触になっている場合（ψ0 ≧−ε20）である。一方、凸凹接触の場合（ψ0 ＜−ε20）は反対側歯面Ｃの法線が上記のように選ばれる。
(3) 点Ｐ0 を通る歯面Ｃの法線（接触点の軌跡）ｇ0Cの平面Ｓn 上の傾き角をｇ0C（ψ0 ，φn0C ；Ｃs ）とするとき、φn0C は、
φn0C ＝φn0D −２φn0R
ただし、２φn0R は等価ラックの頂角であり、３０〜５０°であり、
通常は３８°または４０°
のように選ぶ。上記のようにφn0D ，φn0C を選ぶことによって、設計基準点Ｐ0 の周囲に、広い有効接触領域を形成することができる。言い換えれば、有効接触領域の境界となる作用限界線の半径がギア内半径Ｒ2tよりも小さくすることができる。
(4) (2),(3) で決定された接触点の軌跡ｇ0D，ｇ0Cより定まる基礎円筒の外側にギア歯先面（ギア軸直角平面）を定め、設計基準点Ｐ0 の周速度のつくる平面Ｓt と平面Ｓn との交線（限界軌跡ｇt ）を基線とし、ｇ0D，ｇ0Cを歯面法線とする等価ラックを用いて、与えられたピニオンとギアの歯先幅をもつ歯丈およびピニオン歯先面（円筒）を定める。この選択によって、ギア歯先面は、ピニオンの基礎円筒半径Ｒb10D，Ｒb10Cの外になる。
(5) 接触点の軌跡ｇ0D，ｇ0Cを歯面法線とするインボリュートヘリコイドをピニオン側またはギア側に与え、さらに相手歯面を創成する。このとき、ピニオン側の歯面Ｄと歯面Ｃがほぼ等しいリードとなるように、そしてギア側のｇ0D，ｇ0Cの接する基礎円筒半径がほぼ等しくなるようにｇ0Dまたはｇ0Cを修整する。ピニオンの歯面Ｄ，Ｃを等しいリードに修整することによって、ピニオンの歯先幅が軸方向に一定となる。また、ギア側の基礎円筒半径の修整によって、ギアの歯先幅も半径方向にほぼ等しくなる。
以上のハイポイドギア設計において、図４０に示すコンピュータ支援設計システム（ＣＡＤシステム）により、設計支援がなされるようになっている。このＣＡＤシステムは、プロセッサ１およびメモリ２を含むコンピュータ３と入力装置４と、出力装置５と、外部記憶装置６を備えている。外部記憶装置６においては、記録媒体に対してデータの読み書きが行われる。その記録媒体には、前述した歯車設計方法を実施するための歯車設計プログラムがあらかじめ記録されており、必要に応じてプログラムが、ここから読み出され、コンピュータ３により実行される。
このプログラムは、より具体的には、前述したハイポイドギアの設計指針 (1)〜(5) に従って、演算を実行するものである。図４１には、演算フローの概略が示されている。まず、ハイポイドギアの設計要求値から、設計基準点Ｐ0 の半径Ｒ20、平面Ｓn の傾き角ψ0 を定める（Ｓ１００）。次に、限界軌跡ｇ2Zから、設計基準点Ｐ0 を通る歯面Ｄの法線（接触点の軌跡）ｇ0Dを定める（Ｓ１０２）。また、設計基準点Ｐ0 を通る歯面Ｃの法線（接触点の軌跡）ｇ0Cを定める（Ｓ１０４）。さらに、接触点の軌跡ｇ0D，ｇ0Cに基づきギア歯先面、ピニオン歯先面を定める（Ｓ１０６）。そして、接触点の軌跡ｇ0D，ｇ0Cを歯面法線とするインボリュートヘリコイドをピニオン側またはギア側の一方にあたえ、さらに相手側を創成する（Ｓ１０８）。形成されたピニオンの歯面Ｃ，Ｄがほぼ等しいリードとなっているかが判定され（Ｓ１１０）、そうでない場合にはステップＳ１０２に戻り、接触点軌跡を再度求める。また、形成されたギアの、接触点軌跡ｇ0D，ｇ0Cに接触する基礎円筒半径がほぼ等しくなっているかが判定され（Ｓ１１２）、そうでない場合にはステップＳ１０２に戻り接触点軌跡を再度求める。
表１に、計算されたハイポイドギアの諸元を一例を示す。
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【図面の簡単な説明】
図１  各座標系の座標軸、歯車の歯面、歯形曲線および接触点の軌跡の概観を示す図である。
図２  各座標系間の関係を説明するための図である。
図３  接触点の軌跡と歯形の求め方を説明するための図である。
図４  接触点の軌跡と歯形曲線を示す図である。
図５  歯車IIに作用する集中荷重と、集中荷重に対する軸受荷重の関係を示す図である。
図６  軸受荷重の変動が０である場合の接触点軌跡を示す図である。
図７  接触点軌跡から歯形曲線を求めるために特定することが必要な５個の変数の値を決定する具体的方法（以下、単に「変数決定方法」という）を説明するために、相対回転軸Ｓと座標系ＣS とをそれぞれ示す図である。
図８  上記変数決定方法を説明するために点ＣS における相対速度ＶS を示す図である。
図９  上記変数決定方法を説明するために平面ＳH ，ＳS ，ＳP およびＳn と共に設計基準点Ｐ0 ，相対速度Ｖrs0 および接触点軌跡ｇ0 をそれぞれ示す図      である。
図１０  上記変数決定方法を説明するために点Ｐにおける相対速度Ｖrsと接触点の軌跡ｇ0 との関係を示す図である。
図１１  上記変数決定方法を説明するために設計基準点Ｐ0 における相対速度
Ｖrs0 と接触点軌跡ｇ0 とをそれぞれ座標系Ｃs により示す図である。
図１２  上記変数決定方法を説明するために設計基準点Ｐ0 と接触点軌跡ｇ0 とをそれぞれ座標系Ｏ2 ，Ｏq2，Ｏ1 およびＯq1によって示す図である。
図１３  上記変数決定方法を説明するために接触点軌跡ｇ0（ψ0 ，φn0），ｇ0 （φ10，ψb10 ）およびｇ0 （φ20，ψb20 ）の関係を示す図である。
図１４  上記変数決定方法を説明するために座標系Ｏ2 とＯr2とによって接触点軌跡ｇ0 と歯形曲線IIとをそれぞれ示す図である。
図１５  上記変数決定方法を説明するために座標系Ｏ1 とＯr1とによって接触点軌跡ｇ0 と歯形曲線Ｉとをそれぞれ示す図である。
図１６  歯形曲線から歯面を決定する具体的方法（以下、単に歯面決定方法という）を説明するために、作用面Ｇ20を示す図である。
図１７  上記歯面決定方法を説明するために回転角θ2 におけるインボリュートヘリコイドを示す図である。
図１８  上記歯面決定方法を説明するために共通法線ｎm （Ｐm0Ｐm ）と接触線ＰＰmとをそれぞれ示す図である。
図１９  上記歯面決定方法を説明するために作用面Ｇ20上における点Ｑm0（Ｐm 0），Ｑm （Ｐm ），ＱおよびＰの関係を示す図である。
図２０  上記歯面決定方法を説明するために座標系Ｏ1 とＯq1とによって点Ｐm と共通法線ｎm とをそれぞれ示す図である。
図２１  上記歯面決定方法を説明するために一方の歯面が同一のインボリュートヘリコイドである歯車対の群を示す図である。
図２２  ハイポイドギアの諸元を示す図である。
図２３  かさ歯車およびハイポイドギアにおける平面ＳH ，ＳP ，Ｓn ，Ｓt およびＷN の関係を示す図である。
図２４  ハイポイドギアの設計基準垂線Ｃn と限界軌跡ｇt を示す図である。
図２５  平面Ｓn と等価ラックを示す図である。
図２６  接触点軌跡ｇ0D，ｇ0C、限界軌跡ｇ2z，ｇt および等価ラックの関係を示す図である。
図２７  接触領域を示す斜視図である。
図２８  ハイポイドギアの有効接触領域と作用限界線の一例を示した図であり、図２７のｚ1 軸に沿って、負の方向に観た図である。
図２９  ハイポイドギアの有効接触領域と作用限界線の一例を示した図であり、図２７のｖ1 軸に沿って、負の方向に観た図である。
図３０  ハイポイドギアの有効接触領域と作用限界線の一例を示した図であり、図２７のｕ1 軸に沿って、負の方向に観た図である。
図３１  ハイポイドギアの有効接触領域と作用限界線の一例を示した図であり、図２８に対応し、基礎円筒をより小さくした場合の接触領域を示している。
図３２  ハイポイドギアの有効接触領域と作用限界線の一例を示した図であり、図２９に対応し、基礎円筒をより小さくした場合の接触領域を示している。
図３３  ハイポイドギアの有効接触領域と作用限界線の一例を示した図であり、図３０に対応し、基礎円筒をより小さくした場合の接触領域を示している。
図３４  設計基準点Ｐ0 に対する回転角θ1 ＝０における歯面Ｃｃの接触点ＰwsCCの関係を示した図である。
図３５  ピニオン歯面Ｄが描く有効接触領域を示す図である。
図３６  図３５に示すピニオン歯面Ｄにより創成されたギア共役歯面Ｄを示す図である。
図３７  ピニオン歯面Ｃｃが描く有効接触領域を示す図である。
図３８  図３７に示すピニオン歯面Ｃｃにより創成されたギア共役歯面Ｃｃを示す図である。
図３９  共役ギア歯面Ｄ，Ｃｃとギア軸直角平面（Ｚ2h＝０，３，６）の交線を示す図である。
図４０  歯車設計を支援するシステムの概略構成図である。
図４１  歯車設計の流れを示すフローチャートである。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
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【図１７】
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【図１８】
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【図１９】
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【図２０】
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【図２１】
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【図２２】
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【図２３】
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【図２４】
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【図２５】
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【図２６】
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【図２７】
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【図２８】
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【図２９】
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【図３０】
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【図３１】
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【図３２】
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【図３３】
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【図３４】
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【図３５】
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【図３６】
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【図３７】
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【図３８】
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【図３９】
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【図４０】
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【図４１】
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