(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
入力デジタル信号ｘnを、偶数指標付きサンプルｙ2nおよび奇数指標付きサンプルｙ2n+1を有する複数の出力デジタル信号ｙnに変換するフィルタリング方法であって、
第１の重み付け係数α0,jにより重み付けされた重み付け奇数指標付きサンプルα0,j・ｙ2n+mjの関数により偶数指標付きサンプルｙ2nを変更する第１演算工程と、
第２の重み付け係数β0,jにより重み付けされた重み付け偶数指標付きサンプルβ0,j・(ｙ2n−ｙ2n+2)の関数により奇数指標付きサンプルｙ2n+1を変更する第２演算工程と、
前記第１演算工程と前記第２演算工程による変更処理を１回以上反復する反復工程とを備え、
前記ｊは前記反復の回数を示すパラメータであり、各反復で、前記ｍｊの値が交互に１、−１となることを特徴とするフィルタリング方法。
【請求項２】
奇数指標付きサンプルｙ2n+1を変更する前記第２演算工程が、偶数指標付きサンプルｙ2nを変更する前記第１演算工程に続いて実行されることを特徴とする請求項１に記載のフィルタリング方法。
【請求項３】
前記第２の重み付け係数β0,jが前記第１の重み付け係数α0,jの関数であることを特徴とする請求項１または２に記載のフィルタリング方法。
【請求項４】
前記第２の重み付け係数β0,jが、前記第１の重み付け係数α0,jに対して
【数１】
0003796431.tif 000046
のように依存し、ここで、ｉは整数であり、ｍjが、Ｌ0を所定の整数としたときにｍ0＝(−１)L0およびｍj＝−ｍj-1の反復によって定義される値であることを特徴とする請求項３に記載のフィルタリング方法。
【請求項５】
前記デジタル入力信号ｘnがイメージを表すことを特徴とする請求項１乃至４のいずれか一項に記載のフィルタリング方法。
【請求項６】
偶数指標付きサンプルｙ2nおよび奇数指標付きサンプルｙ2n+1を有する複数の入力デジタル信号ｙnを、出力デジタル信号ｘnに変換するフィルタリング方法であって、
第３の重み付け係数β0,jにより重み付けされた重み付け偶数指標付きサンプルβ0,j・(ｘ2n−ｘ2n+2)の関数により奇数指標付きサンプルｘ2n+1を変更する第１演算工程と、
第４の重み付け係数α0,jにより重み付けされた重み付け奇数指標付きサンプルα0,j・ｘ2n+mjの関数により偶数指標付きサンプルｘ2nを変更する第２演算工程と、
前記第１演算工程と前記第２演算工程による変更処理を１回以上反復する反復工程とを備え、
前記ｊは前記反復の回数を示すパラメータであり、各反復で、前記ｍｊの値が交互に１、−１となることを特徴とするフィルタリング方法。
【請求項７】
偶数指標付きサンプルｘ2nを変更する前記第２演算工程が、奇数指標付きサンプルｘ2n+1を変更する前記第１演算工程に続いて実行されることを特徴とする請求項６に記載のフィルタリング方法。
【請求項８】
前記第３の重み付け係数β0,jが前記第４の重み付け係数α0,jの関数であることを特徴とする請求項６または７に記載のフィルタリング方法。
【請求項９】
前記第３の重み付け係数β0,jが、前記第４の重み付け係数α0,jに、
【数２】
0003796431.tif 000047
のように依存し、ここで、ｉは整数であり、Ｌ0を所定の定数としたときにｍjがｍ0＝(−１)L0  およびｍj＝−ｍj-1の反復によって定義される値であることを特徴とする請求項８に記載のフィルタリング方法。
【請求項１０】
前記デジタル出力信号ｘnがイメージを表すことを特徴とする請求項６乃至９のいずれか一項に記載のフィルタリング方法。
【請求項１１】
入力デジタル信号ｘnを、偶数指標付きサンプルｙ2nおよび奇数指標付きサンプルｙ2n+1を有する複数の出力デジタル信号ｙnに変換するフィルタリング方法であって、
第１の重み付け係数αにより重み付けされた重み付け奇数指標付きサンプルα・ｙ2n-1の関数により偶数指標付きサンプルｙ2nを変更する第１演算工程と、
第２の重み付け係数βにより重み付けされた重み付け偶数指標付きサンプルβ・（ｙ2n−ｙ2n+2）の関数により奇数指標付きサンプルｙ2n+1を変更する第２演算工程とを備えることを特徴とするフィルタリング方法。
【請求項１２】
偶数指標付きサンプルｙ2nおよび奇数指標付きサンプルｙ2n+1を有する複数の入力デジタル信号ｙnを、出力デジタル信号ｘnに変換するフィルタリング方法であって、
第３の重み付け係数βにより重み付けされた重み付け偶数指標付きサンプルβ・（ｘ2n−ｘ2n+2）の関数により奇数指標付きサンプルｘ2n+1を変更する第１演算工程と、
第４の重み付け係数αにより重み付けされた重み付け奇数指標付きサンプルα・ｘ2n+1の関数により偶数指標付きサンプルｘ2nを変更する第２演算工程とを備えることを特徴とするフィルタリング方法。
【請求項１３】
入力デジタル信号ｘnを、偶数指標付きサンプルｙ2nおよび奇数指標付きサンプルｙ2n+1を有する複数の出力デジタル信号ｙnに変換するフィルタリング装置であって、
第１の重み付け係数α0,jにより重み付けされた重み付け奇数指標付きサンプルα0,j・ｙ2n+mjの関数により偶数指標付きサンプルｙ2nを変更する第１演算手段と、
第２の重み付け係数β0,jにより重み付けされた重み付け偶数指標付きサンプルβ0,j・(ｙ2n−ｙ2n+2)の関数により奇数指標付きサンプルｙ2n+1を変更する第２演算手段と、
前記第１演算手段と前記第２演算手段による変更処理を１回以上反復する反復手段とを備え、
前記ｊは前記反復の回数を示すパラメータであり、各反復で、前記ｍｊの値が交互に１、−１となることを特徴とするフィルタリング装置。
【請求項１４】
奇数指標付きサンプルｙ2n+1を変更するための前記第２演算手段が、偶数指標付きサンプルｙ2nを変更するための前記第１演算手段の下流側に配置されることを特徴とする請求項１３に記載のフィルタリング装置。
【請求項１５】
前記第２の重み付け係数β0,jが前記第１の重み付け係数α0,jの関数であることを特徴とする請求項１３または１４に記載のフィルタリング装置。
【請求項１６】
前記第２の重み付け係数β0,jが、前記第１の重み付け係数α0,jに、
【数３】
0003796431.tif 000048
のように依存し、ここで、ｉは整数であり、Ｌ0を所定の整数としたときにｍjがｍ0＝(−１)L0およびｍj＝−ｍj-1の反復によって定義される値であることを特徴とする請求項１５に記載のフィルタリング装置。
【請求項１７】
入力デジタル信号ｘnがイメージを表すことを特徴とする請求項１３乃至１６のいずれか一項に記載のフィルタリング装置。
【請求項１８】
偶数指標付きサンプルｙ2nおよび奇数指標付きサンプルｙ2n+1を有する複数の入力デジタル信号ｙnを、出力デジタル信号ｘnに変換するフィルタリング装置であって、
第３の重み付け係数β0,jにより重み付けされた重み付け偶数指標付きサンプルβ0,j・(ｘ2n−ｘ2n+2)の関数により奇数指標付きサンプルｘ2n+1を変更する第１演算手段と、
第４の重み付け係数α0,jにより重み付けされた重み付け奇数指標付きサンプルα0,j・(ｘ2n+mj)の関数により偶数指標付きサンプルｘ2nを変更する第２演算手段と、
前記第１演算手段と前記第２演算手段による変更処理を１回以上反復する反復手段とを備え、
前記ｊは前記反復の回数を示すパラメータであり、各反復で、前記ｍｊの値が交互に１、−１となることを特徴とするフィルタリング装置。
【請求項１９】
偶数指標付きサンプルｘ2nを変更するための前記第２演算手段が、奇数指標付きサンプルｘ2n+1を変更するための前記第１演算手段の下流側に配置されることを特徴とする請求項１８に記載のフィルタリング装置。
【請求項２０】
前記第３の重み付け係数β0,jが前記第４の重み付け係数α0,jの関数であることを特徴とする請求項１８または１９に記載のフィルタリング装置。
【請求項２１】
前記第３の重み付け係数β0,jが、前記第４の重み付け係数α0,jに、
【数４】
0003796431.tif 000049
のように依存し、ここで、ｉは整数であり、Ｌ0を所定の整数として、ｍjがｍ0＝(−１)L0およびｍj＝−ｍj-1の反復によって定義される値であることを特徴とする請求項２０に記載のフィルタリング装置。
【請求項２２】
前記デジタル出力信号ｘnがイメージを表すことを特徴とする請求項１８乃至２１のいずれか一項に記載のフィルタリング装置。
【請求項２３】
入力デジタル信号ｘnを、偶数指標付きサンプルｙ2nおよび奇数指標付きサンプルｙ2n+1を有する複数の出力デジタル信号ｙnに変換するフィルタリング装置であって、
第１の重み付け係数αにより重み付けされた重み付け奇数指標付きサンプルα・ｙ2n-1の関数により偶数指標付きサンプルｙ2nを変更する第１演算手段と、
第２の重み付け係数βにより重み付けされた重み付け偶数指標付きサンプルβ・（ｙ2n−ｙ2n+2）の関数により奇数指標付きサンプルｙ2n+1を変更する第２演算手段とを備えることを特徴とするフィルタリング装置。
【請求項２４】
偶数指標付きサンプルｙ2nおよび奇数指標付きサンプルｙ2n+1を有する複数の入力デジタル信号ｙnを、出力デジタル信号ｘnに変換するフィルタリング装置であって、
第３の重み付け係数βにより重み付けされた重み付け偶数指標付きサンプルβ・（ｘ2n−ｘ2n+2）の関数により奇数指標付きサンプルｘ2n+1を変更する第１演算手段と、
第４の重み付け係数αにより重み付けされた重み付け奇数指標付きサンプルα・ｘ2n+1の関数により偶数指標付きサンプルｘ2nを変更する第２演算手段とを備えることを特徴とするフィルタリング装置。
【請求項２５】
入力デジタル信号ｘnを、偶数指標付きサンプルｙ2nおよび奇数指標付きサンプルｙ2n+1を有する複数の出力デジタル信号ｙnに変換するフィルタリング方法をコンピュータに実行させる制御プログラムであって、前記フィルタリング方法が、
第１の重み付け係数α0,jにより重み付けされた重み付け奇数指標付きサンプルα0,j・ｙ2n+mjの関数により偶数指標付きサンプルｙ2nを変更する第１演算工程と、
第２の重み付け係数β0,jにより重み付けされた重み付け偶数指標付きサンプルβ0,j・(ｙ2n−ｙ2n+2)の関数により奇数指標付きサンプルｙ2n+1を変更する第２演算工程と、
前記第１演算工程と前記第２演算工程による変更処理を１回以上反復する反復工程とを備え、
前記ｊは前記反復の回数を示すパラメータであり、各反復で、前記ｍｊの値が交互に１、−１となることを特徴とするプログラム。
【請求項２６】
偶数指標付きサンプルｙ2nおよび奇数指標付きサンプルｙ2n+1を有する複数の入力デジタル信号ｙnを、出力デジタル信号ｘnに変換するフィルタリング方法をコンピュータに実行させる制御プログラムであって、前記フィルタリング方法が、
第３の重み付け係数β0,jにより重み付けされた重み付け偶数指標付きサンプルβ0,j・(ｘ2n−ｘ2n+2)の関数により奇数指標付きサンプルｘ2n+1を変更する第１演算工程と、
第４の重み付け係数α0,jにより重み付けされた重み付け奇数指標付きサンプルα0,j・ｘ2n+mjの関数により偶数指標付きサンプルｘ2nを変更する第２演算工程と、
前記第１演算工程と前記第２演算工程による変更処理を１回以上反復する反復工程とを備え、
前記ｊは前記反復の回数を示すパラメータであり、各反復で、前記ｍｊの値が交互に１、−１となることを特徴とするプログラム。
【請求項２７】
入力デジタル信号ｘnを、偶数指標付きサンプルｙ2nおよび奇数指標付きサンプルｙ2n+1を有する複数の出力デジタル信号ｙnに変換するフィルタリング方法をコンピュータに実行させる制御プログラムであって、前記フィルタリング方法が、
第１の重み付け係数αにより重み付けされた重み付け奇数指標付きサンプルα・ｙ2n-1の関数により偶数指標付きサンプルｙ2nを変更する第１演算工程と、
第２の重み付け係数βにより重み付けされた重み付け偶数指標付きサンプルβ・（ｙ2n−ｙ2n+2）の関数により奇数指標付きサンプルｙ2n+1を変更する第２演算工程とを備えることを特徴とするプログラム。
【請求項２８】
偶数指標付きサンプルｙ2nおよび奇数指標付きサンプルｙ2n+1を有する複数の入力デジタル信号ｙnを、出力デジタル信号ｘnに変換するフィルタリング方法をコンピュータに実行させる制御プログラムであって、前記フィルタリング方法が、
第３の重み付け係数βにより重み付けされた重み付け偶数指標付きサンプルβ・（ｘ2n−ｘ2n+2）の関数により奇数指標付きサンプルｘ2n+1を変更する第１演算工程と、
第４の重み付け係数αにより重み付けされた重み付け奇数指標付きサンプルα・ｘ2n+1の関数により偶数指標付きサンプルｘ2nを変更する第２演算工程とを備えることを特徴とするプログラム。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、デジタル・フィルタリング方法および装置に関する。
【０００２】
本発明は、特に、現在立案されている「ＪＰＥＧ  ２０００」に従ってイメージを圧縮するために、デジタル・イメージをフィルタリングすることに有利に適用されるものである。
【０００３】
【従来の技術】
ウェーブレット・フィルタを用いてデジタル信号のフィルタリングを実施するために、２つの技法が特に周知である。このウェーブレット・フィルタは、
−  たたみこみによるフィルタリングと、
−  「リフティング」によるフィルタリングを含む。
【０００４】
以下において、ウェーブレット・フィルタに関するいくつかの基本的な概念を説明し、次いでリフティングに関するいくつかの基本的な概念を説明する。
【０００５】
一次元信号Ｘiのウェーブレット・フィルタリングが以下のように定義することができることは周知である。すなわち、
−  低域通過フィルタＨ0（ｋ）を信号Ｘiと共にたたみこみ、そのたたみこみから得られる信号Ｙnは、
【数９】
0003796431.tif 000002
のように２の係数によってダウンサンプリングされ、
かつ、
−  高域通過フィルタＨ1（ｋ）を信号Ｘiと共にたたみこみ、そのたたみこみから得られる信号Ｙnは、
【数１０】
0003796431.tif 000003
のように２の係数によってダウンサンプリングされる。
【０００６】
このフィルタリングの結果は、ウェーブレット・フィルタリング演算（Ｈ0、Ｈ1）と呼ばれ、信号Ｙiを生成する。この信号Ｙiでは、各偶数指標付きサンプルＹ2nが低域係数であり、各奇数指標付きサンプルＹ2n+1が高域係数である。
【０００７】
低域通過フィルタおよび高域通過フィルタは、信号Ｙiからの信号Ｘiの完全再構築が可能となるように、完全再構築条件とよばれるある条件を満たさなければならない。
【０００８】
有限インパルス応答フィルタに対してｚ変換の表記、すなわち、
【数１１】
0003796431.tif 000004
を用いる場合、フィルタが満たさなければならない完全再構築条件は、
【数１２】
0003796431.tif 000005
となる。
【０００９】
一部のウェーブレット・フィルタが対称な特性を有することは周知である。
【００１０】
奇数長対称ウェーブレット・フィルタＨ（ｋ）またはＷＳＳ（全サンプル対称：Whole-Sample Symmetric）フィルタは、フィルタのすべての係数間で、ＷＳＳ対称性と呼ばれる以下の式、
【数１３】
0003796431.tif 000006
によって定義される。
【００１１】
偶数長対称ウェーブレット・フィルタまたはＨＳＳ（半サンプル対称：Half-Sample Symmetric）フィルタは、フィルタのすべての係数間で、ＨＳＳ対称性と呼ばれる以下の式、
【数１４】
0003796431.tif 000007
によって定義される。
【００１２】
偶数長非対称ウェーブレット・フィルタ、すなわちＨＳＡ（半サンプル非対称：Half-SampleAntisymmetric）フィルタは、フィルタのすべての係数間で、ＨＳＡ非対称性と呼ばれる以下の式、
【数１５】
0003796431.tif 000008
によって定義される。
【００１３】
前述のリフティングの技法は、フィルタリングステップをリフティング・ステップと呼ばれる等価な基本フィルタリング演算に分解することによってフィルタリングステップを実施することからなる。この分解は、リフティング因数分解と呼ばれる。リフティング因数分解に関するこれ以上の詳細については、Ingrid DAUBECHIESおよびWin SWELDENSによる「Factoring wavelet transformsinto lifting steps」と題する論文、J. Fourier Anal. Appl., vol.4, No.3， 247〜269ページ， 1998年を参照されたい。
【００１４】
詳細には、信号Ｘiを信号Ｙiに変換するためにフィルタリング演算がリフティング・ステップの形態で実行されるとき、フィルタリング演算は、一般に信号Ｘiのすべてのサンプルを信号Ｙiにコピーする（すなわちＹi＝Ｘi）ことによって開始され、次いで信号Ｙiの偶数指標付きサンプルおよび奇数指標付きサンプルが交互に変更されることを述べておく。
【００１５】
２つのタイプのリフティング・ステップ、すなわち、
−  高域通過リフティング・ステップと、
−  低域通過リフティング・ステップ
がある。
【００１６】
高域通過リフティング・ステップは、重み付けまたはフィルタされる偶数指標付きサンプルのサンプル関数を奇数指標付きサンプルに加えることによって、奇数指標付きサンプルを変更することからなる。この変更は、
【数１６】
0003796431.tif 000009
により行われる。
【００１７】
一般項中の関数Ｒは、変数ｘの何らかの近似である。関数Ｒは、実数値ｘを整数（最も近い整数など）に丸める丸め演算子とすることができ、または単に識別関数：Ｒ（ｘ）＝ｘとすることができる。
【００１８】
低域通過リフティング・ステップは、重み付けまたはフィルタされる奇数指標付きサンプルの関数を偶数指標付きサンプルに加えることによって、偶数指標付きサンプル（低域）を変更することからなる。この変更は、以下の式
【数１７】
0003796431.tif 000010
によりなされる。
【００１９】
Ｒ（ｘ）＝ｘの場合、各リフティング・ステップで、各低域サンプルＹ2nは、信号Ｘiの低域通過フィルタリングに対応する、信号Ｘiのサンプルの線型結合の形で表すことができる。したがって、各低域通過リフティング・ステップを低域通過フィルタに関連づけることができる。
【００２０】
各低域通過リフティング・ステップは、低域通過フィルタ（前の低域通過リフティング・ステップに関連する低域通過フィルタ）を別の低域通過フィルタ（現在の低域通過リフティング・ステップに関連する低域通過フィルタ）にリフティングすると言われる。リフティングという用語は、得られる低域通過フィルタのサポート（すなわちフィルタの係数の数）が前のステップの対応する低域通過フィルタのサポートよりも大きいということを反映する。リフティングによって最後に得られる、より大きいサポートを有する低域通過フィルタは、「等価な低域通過フィルタ」と呼ばれる。
【００２１】
同じことが高域通過フィルタおよび高域通過リフティング・ステップに当てはまる。すなわち、各高域通過リフティング・ステップは、高域通過フィルタを、「等価な高域通過フィルタ」と呼ばれるより大きいサポートを有する高域通過フィルタにリフティングすることとして見ることができる。
【００２２】
近似関数Ｒが識別ではない場合でも同じ用語が使用される。
【００２３】
したがって、ウェーブレット・フィルタリング演算（Ｈ0、Ｈ1）のリフティング・ベースの実施は、演算のシーケンスとして見ることができる。その演算のシーケンスの間、低域通過フィルタがＨ0に等しくなり、かつ高域通過フィルタがＨ1に等しくなるまで、交互にかつ反復的に、低域通過フィルタがより大きいサポートを有する等価な低域通過フィルタにリフティングされ、高域通過フィルタがより大きいサポートを有する等価な高域通過フィルタにリフティングされる。
【００２４】
いくつかのタイプの対称性もリフティング・ステップで遭遇する。すなわち、−  ２つのタイプの対称リフティング・ステップ、すなわち、
・ＷＳＳ対称性を有するリフティング・ステップと、
・ＨＳＳ対称性を有するリフティング・ステップがあり、かつ、
−  ２つのタイプの非対称リフティング・ステップ、すなわち、
・ＷＳＡ非対称性を有するリフティング・ステップと、
・ＨＳＡ非対称性を有するリフティング・ステップがある。
【００２５】
奇数長対称リフティングまたはＷＳＳリフティング（「全サンプル対称リフティング：Whole-Sample Symmetric lifting」）ステップは、リフティング・ステップのフィルタリング係数間のＷＳＳ対称関係によって定義される。すなわち、
ａ-k＝ａk                                          （１０）
のように定義される。
【００２６】
偶数長対称リフティングまたはＨＳＳリフティング（「半サンプル対称リフティング：Half-SampleSymmetric lifting」）ステップは、リフティング・ステップのフィルタリング係数間のＨＳＳ対称関係によって定義される。すなわち、
ａ-k＝ａk-1                                                （１１）
のように定義される。
【００２７】
奇数長非反対称リフティングまたはＷＳＡリフティング（「全サンプル非対称リフティング：Whole-SampleAntisymmetric lifting」）ステップは、リフティング・ステップのフィルタリング係数間のＷＳＡ対称関係によって定義される。すなわち、
ａ0＝０およびａ-k＝−ａk                                    （１２）
のように定義される。
【００２８】
偶数長反対称リフティングまたはＨＳＡリフティング（「半サンプル反対称リフティング：Half-Sample Antisymmetric lifting」）ステップは、リフティング・ステップのフィルタリング係数間のＨＳＡ対称関係によって定義される。すなわち、
ａ-k＝−ａk-1                                              （１３）
のように定義される。
【００２９】
単一係数リフティング、すなわちＳＣリフティング（「Single-Coefficient lifting」）ステップは、リフティング・ステップの１つのフィルタリング係数（ａk'と示す）以外のすべてのフィルタリング係数がゼロであるということによって定義される。
【００３０】
低域通過リフティング・ステップに対して、
−    ｋ'＝０である場合、リフティング・ステップは、右側単一係数低域通過リフティング、すなわちＲＳＣ低域通過リフティング・ステップ（Right-side Single Coefficient low-pass lifting step）と呼ばれ、
−    ｋ'＝−１である場合、リフティング・ステップは、左側単一係数低域通過リフティング、すなわちＬＳＣ低域通過リフティング・ステップ（Left-side Single Coefficient low-pass lifting step）と呼ばれる。
【００３１】
同様に、高域通過リフティング・ステップに対して、
−    ｋ'＝１である場合、リフティング・ステップは、右側単一係数高域通過リフティング、すなわちＲＳＣ高域通過リフティング・ステップ（Right-side Single Coefficient high-pass lifting step）と呼ばれ、
−    ｋ'＝０である場合、リフティング・ステップは、左側単一係数高域通過リフティング、すなわちＬＳＣ高域通過リフティング・ステップ（Left-side Single Coefficient high-pass lifting step）と呼ばれる。
【００３２】
現時点で、ますます多くの信号圧縮アルゴリズムにより、信号の非相関性のためにウェーブレット・フィルタリング演算が使用されると仮定すると、これらのフィルタリング演算の、利用可能な効果的な実施態様を有することは非常に興味あることである。様々なイメージの圧縮アルゴリズムでは、２次元ウェーブレット変換が使用され、その２次元ウェーブレット変換は、冒頭に説明したタイプの一次元変換を次々に適用することからなる。
【００３３】
ウェーブレット・ベースの一次元フィルタリングの効果的な実施態様は、リフティング・ベースのフィルタリングである。
【００３４】
実際、リフティング・ベースのフィルタリングにより、フィルタリング演算（かけ算およびたし算）の数が減少し、そのサンプル値が整数である信号の場合に、ウェーブレット・ベースのフィルタリングの可逆の実施態様、すなわち情報の損失のない、完全な再構築を有する実施態様も提供される。
【００３５】
加えて、リフティング・ステップの逆であるステップが、前述の式（８）および（９）で与えられる近似関数Ｒの前の符号を変更することによって自明の方式で得られる。これにより特に、順方向ウェーブレット変換および逆方向ウェーブレット変換の両方に対応するハードウェア内に同じ組み込み回路を使用することが可能となる。
【００３６】
ウェーブレット・フィルタ（Ｈ0，Ｈ1）の所与の対に対して、問題は、ウェーブレット変換を実施することになるリフティング・ステップのシーケンスを発見することからなる。これはリフティング因数分解の問題である。
【００３７】
良好な信号非相関特性を有するウェーブレット・フィルタの２つのファミリが周知である。すなわち、ＷＳＳと略されるファミリＷＳＳ／ＷＳＳと、ファミリＨＳＳ／ＨＳＡである。表記Ａ／Ｂは、低域通過フィルタＨ0が対称性Ａを有し、高域通過フィルタＨ1が対称性Ｂを有するという意味である。
【００３８】
ＨＳＳリフティング・ステップを用いてＷＳＳウェーブレット・フィルタを実施することよりなる問題は、解決されており、上記で引用したIngrid DAUBECHIESおよびWim SWELDENSによる論文に記載されている。
【００３９】
ＨＳＳ／ＨＳＡウェーブレット・フィルタを実施することより生ずる問題は、ＷＳＡリフティング・ステップを用いることにより部分的に解決されている。
【００４０】
【発明が解決しようとする課題】
しかし、従来技術のこの実施態様は、限定されたＨＳＳ／ＨＳＡウェーブレット・フィルタの組だけにしか適用されず、これらのフィルタのすべてに適用されるわけではないので、この解法は部分的なものに過ぎない。
【００４１】
さらにE.MAJANIによる刊行物「Low-complexity waveletfilter design for image compression」，TDA Progress Report 42〜119，NASA JetPropulsion Laboratory, Pasadena, CA, 1994年11月15日には、一対のフィルタ（Ｈ0，Ｈ1）がより大きいサポート（Ｈ'0，Ｈ'1）を有する１対のフィルタへの同一のサポートを有する場合、この２つのフィルタのリフティングのためにＷＳＡリフティング・ステップを使用することが可能であることが示されている。しかし、この刊行物には、フィルタ（Ｈ0，Ｈ1）の対が同一のサポートを有し、このサポートが２よりも大きい場合に、この２つのフィルタをリフティング・ステップによって実施する方式については示されていない。
本発明の目的は、この欠点を改善することである。
【００４２】
【課題を解決するための手段】
本発明は、ＨＳＳ／ＨＳＡ等の偶数長のウェーブレット・フィルタのリフティングを行える技術を提供する。
【００４３】
したがって本発明は、フィルタ（Ｈ0，Ｈ1）の対が同一のサポートを有し、このサポートが２よりも大きい場合に、この２つのフィルタをリフティングによって実施する問題への解法を形成する。
【００４４】
この目的で、本発明は、入力デジタル信号ｘnを、偶数指標付きサンプルｙ2nおよび奇数指標付きサンプルｙ2n+1を有する複数の出力デジタル信号ｙnに変換するフィルタリング方法を提案する。この方法は、
第１の重み付け係数α0,jにより重み付けされた重み付け奇数指標付きサンプルα0,j・ｙ2n+mjの関数により偶数指標付きサンプルｙ2nを変更する第１演算工程と、
第２の重み付け係数β0,jにより重み付けされた重み付け偶数指標付きサンプルβ0,j・(ｙ2n−ｙ2n+2)の関数により奇数指標付きサンプルｙ2n+1を変更する第２演算工程と、
前記第１演算工程と前記第２演算工程による変更処理を１回以上反復する反復工程とを備え、
前記ｊは前記反復の回数を示すパラメータであり、各反復で、前記ｍｊの値が交互に１、−１となる。
【００４５】
したがって本発明により、特にＨＳＳ／ＨＳＡウェーブレット・フィルタの任意の対のリフティングによる実施、直交フィルタの任意の対のリフティングによる実施、および等しいサポートを有する任意のウェーブレット・フィルタの任意の対のリフティングによる実施が可能となる。
【００４６】
本発明により、リフティングによるフィルタリングの技法によって、従来のたたみこみフィルタリングと比較してフィルタリング演算（かけ算およびたし算）の数を減少させることも可能となり、そのサンプル値が整数である信号の場合にウェーブレット変換の可逆性、言い換えれば信号の完全な再構築も保証される。
【００４７】
また、特定の特徴によれば、奇数指標付きサンプルを変更する演算は、偶数指標付きサンプルを変更する演算に続いて実行される。
【００５０】
また、特定の特徴によれば、第２の重み付け係数は、第１の重み付け係数の関数である。
【００５１】
また、第２の重み付け係数は、例えば以下の式、
【数５】
0003796431.tif 000011
ように第１の重み付け係数に依存することができる。ここで、上式において、α0,iは第１の重み付け係数を表し、β0,jは第２の重み付け係数を表し、ｉは整数であり、ｍjは、Ｌ0を所定の整数として、ｍ0＝(−１)L0およびｍj＝−ｍj-1の反復によって定義される値である。
【００５５】
また、デジタル・イメージのフィルタリングへの本発明の適用例では、入力デジタル信号はイメージを表す。
【００５６】
また、本発明の第２の態様によれば、偶数指標付きサンプルｙ2nおよび奇数指標付きサンプルｙ2n+1を有する複数の入力デジタル信号ｙnを、出力デジタル信号ｘnに変換するフィルタリング方法が提案される。この方法は、
第３の重み付け係数β0,jにより重み付けされた重み付け偶数指標付きサンプルβ0,j・(ｘ2n−ｘ2n+2)の関数により奇数指標付きサンプルｘ2n+1を変更する第１演算工程と、
第４の重み付け係数α0,jにより重み付けされた重み付け奇数指標付きサンプルα0,j・ｘ2n+mjの関数により偶数指標付きサンプルｘ2nを変更する第２演算工程と、
前記第１演算工程と前記第２演算工程による変更処理を１回以上反復する反復工程とを備え、
前記ｊは前記反復の回数を示すパラメータであり、各反復で、前記ｍｊの値が交互に１、−１となる。
【００５７】
また、特定の特徴によれば、偶数指標付きサンプルを変更する演算は、奇数指標付きサンプルを変更する演算に続いて実行される。
【００５９】
また、特定の特徴によれば、第３の重み付け係数は第４の重み付け係数の関数である。
【００６０】
また、第３の重み付け係数は、例えば以下の式、
【数６】
0003796431.tif 000012
ように第４の重み付け係数に依存することができる。ここで、α0,iは第４の重み付け係数を表し、β0,jは第３の重み付け係数を表し、ｉは整数であり、ｍjは、Ｌ0は所定の定数として、ｍ0＝(−１)L0およびｍj＝−ｍj-1の反復によって定義される値である。
【００６４】
デジタル・イメージのフィルタリングへの本発明の適用例では、出力デジタル信号はイメージを表す。
【００６８】
上記に示したのと同じ目的で、本発明の第３の態様によれば、入力デジタル信号ｘnを、偶数指標付きサンプルｙ2nおよび奇数指標付きサンプルｙ2n+1を有する複数の出力デジタル信号ｙnに変換するフィルタリング装置が提案され、この装置は、
第１の重み付け係数α0,jにより重み付けされた重み付け奇数指標付きサンプルα0,j・ｙ2n+mjの関数により偶数指標付きサンプルｙ2nを変更する第１演算手段と、
第２の重み付け係数β0,jにより重み付けされた重み付け偶数指標付きサンプルβ0,j・(ｙ2n−ｙ2n+2)の関数により奇数指標付きサンプルｙ2n+1を変更する第２演算手段と、
前記第１演算手段と前記第２演算手段による変更処理を１回以上反復する反復手段とを備え、
前記ｊは前記反復の回数を示すパラメータであり、各反復で、前記ｍｊの値が交互に１、−１となる。
【００６９】
上記に示したのと同じ目的で、本発明は、第４の態様により、偶数指標付きサンプルｙ2nおよび奇数指標付きサンプルｙ2n+1を有する複数の入力デジタル信号ｙnを、出力デジタル信号ｘnに変換するフィルタリング装置が提案される。この装置は、
第３の重み付け係数β0,jにより重み付けされた重み付け偶数指標付きサンプルβ0,j・(ｘ2n−ｘ2n+2)の関数により奇数指標付きサンプルｘ2n+1を変更する第１演算手段と、
第４の重み付け係数α0,jにより重み付けされた重み付け奇数指標付きサンプルα0,j・ｘ2n+mjの関数により偶数指標付きサンプルｘ2nを変更する第２演算手段と、
前記第１演算手段と前記第２演算手段による変更処理を１回以上反復する反復手段とを備え、
前記ｊは前記反復の回数を示すパラメータであり、各反復で、前記ｍｊの値が交互に１、−１となる。
【００７０】
このフィルタリング装置の特定の特徴および利点は、本発明によるフィルタリング方法に類似するので、それらについてここでは述べない。
【００７２】
また、本発明の他の態様によるフィルタリング方法は、
入力デジタル信号ｘnを、偶数指標付きサンプルｙ2nおよび奇数指標付きサンプルｙ2n+1を有する複数の出力デジタル信号ｙnに変換するフィルタリング方法であって、
第１の重み付け係数αにより重み付けされた重み付け奇数指標付きサンプルα・ｙ2n-1の関数により偶数指標付きサンプルｙ2nを変更する第１演算工程と、
第２の重み付け係数βにより重み付けされた重み付け偶数指標付きサンプルβ・（ｙ2n−ｙ2n+2）の関数により奇数指標付きサンプルｙ2n+1を変更する第２演算工程とを備える。
更に本発明の他の態様によるフィルタリング方法は、
偶数指標付きサンプルｙ2nおよび奇数指標付きサンプルｙ2n+1を有する複数の入力デジタル信号ｙnを、出力デジタル信号ｘnに変換するフィルタリング方法であって、
第３の重み付け係数βにより重み付けされた重み付け偶数指標付きサンプルβ・（ｘ2n−ｘ2n+2）の関数により奇数指標付きサンプルｘ2n+1を変更する第１演算工程と、
第４の重み付け係数αにより重み付けされた重み付け奇数指標付きサンプルα・ｘ2n+1の関数により偶数指標付きサンプルｘ2nを変更する第２演算工程とを備える。
【００７３】
また、本発明の他の態様によるフィルタリング装置は以下の構成を備える。すなわち、
入力デジタル信号ｘnを、偶数指標付きサンプルｙ2nおよび奇数指標付きサンプルｙ2n+1を有する複数の出力デジタル信号ｙnに変換するフィルタリング装置であって、
第１の重み付け係数αにより重み付けされた重み付け奇数指標付きサンプルα・ｙ2n-1の関数により偶数指標付きサンプルｙ2nを変更する第１演算手段と、
第２の重み付け係数βにより重み付けされた重み付け偶数指標付きサンプルβ・（ｙ2n−ｙ2n+2）の関数により奇数指標付きサンプルｙ2n+1を変更する第２演算手段とを備える。
更に本発明の他の態様によるフィルタリング装置は以下の構成を備える。すなわち、
偶数指標付きサンプルｙ2nおよび奇数指標付きサンプルｙ2n+1を有する複数の入力デジタル信号ｙnを、出力デジタル信号ｘnに変換するフィルタリング装置であって、
第３の重み付け係数βにより重み付けされた重み付け偶数指標付きサンプルβ・（ｘ2n−ｘ2n+2）の関数により奇数指標付きサンプルｘ2n+1を変更する第１演算手段と、
第４の重み付け係数αにより重み付けされた重み付け奇数指標付きサンプルα・ｘ2n+1の関数により偶数指標付きサンプルｘ2nを変更する第２演算手段とを備える。
【００７４】
コンピュータまたはマイクロプロセッサによって読み込むことができ、装置中に組み込まれるか、または組み込まれず、場合によっては取外し可能な情報記憶手段は、上記のようなフィルタリング方法を実施するプログラムを記憶する。
【００７５】
本発明は、上記のようなフィルタリング方法を実施するための命令のシーケンスを含むコンピュータ・プログラム製品にも関する。
【００７６】
信号処理装置、デジタル機器、デジタル写真機器、符号化および圧縮装置および方法、記憶手段、およびコンピュータ・プログラム製品の特定の特徴および利点は、本発明によるフィルタリング方法に類似するので、それらについてここでは述べない。
【００７７】
本発明の他の態様および利点は、非限定的な例によって与えられる特定の実施形態の以下の詳細な説明を読むことによって明らかとなろう。この説明では、添付の図面を参照する。
【００７８】
【発明の実施の形態】
図１に示す選ばれた実施形態によれば、本発明によるデータ処理装置は、符号化されていないデータの信号源１がそれに接続される入力部２４を有するデータ符号化装置２である。このデータ処理装置は、例えばコンピュータ、デジタル写真機器、またはファクシミリ・マシンなどのデジタル機器に一体化することができる。
【００７９】
信号源１は、例えばランダム・アクセス・メモリ、ハード・ディスク、ディスケット、またはコンパクト・ディスクなどの、符号化されていないデータを記憶するためのメモリ手段を有し、このメモリ手段は、そこからデータを読み込むための適切な読込み手段と協働する。また、メモリ手段の中にデータを記録するための手段を提供することができる。更に、信号源１は、デジタル機器に一体化することもできる。
【００８０】
符号化すべきデータはイメージＩＭを表す一連のデジタル・サンプルであることをより詳細に以下で考慮する。
【００８１】
信号源１は、符号化回路２の入力でデジタル・イメージ信号ＳＩを供給する。イメージ信号ＳＩは、一連の、例えばバイトなどのデジタル・ワードである。各バイト値は、ここでは２５６レベルのグレー・イメージ、または白黒イメージを有するイメージＩＭのピクセルを表す。このイメージは、例えば赤−緑−青の３つの周波数帯の構成要素を有するカラー・イメージ、または輝度およびクロミナンス・タイプなどの多重スペクトル・イメージとすることができる。次いで各バンドは、単一スペクトル・イメージと同様に処理される。
【００８２】
符号化データを用いる手段３は、符号化装置２の出力部２５と接続される。
【００８３】
ユーザ手段３は、例えば、符号化データを記憶する手段、および／または符号化データを送信する手段を含む。
【００８４】
符号化装置２は、一般に、入力部２４につづく、変換回路２１を有する。本発明は、より詳細にはこの変換回路２１に関するものであり、この変換回路２１の例示的実施形態を以下で詳述する。ここで想定する変換は、データ信号の周波数サブバンドへの分解であり、それによって信号の解析を実施する。
【００８５】
変換回路２１は、量子化回路２２に接続される。この量子化回路は、変換回路２１から供給される周波数サブバンドの係数または係数のグループの、本質的に周知の量子化、例えばスカラ量子化またはベクトル量子化を実施する。
【００８６】
量子化回路２２は、エントロピー符号化回路２３に接続される。エントロピー符号化回路２３は、量子化回路２２で量子化されたデータのエントロピー符号化、例えばハフマン符号化または算術符号化を実施する。
【００８７】
図２に、装置２で符号化されたデータを復号化するための装置５の形態としての、本発明による別のデータ処理装置を示す。
【００８８】
符号化データを用いる手段４は、復号化装置５の入力部５４に接続される。手段４は、例えば、符号化データを記憶するための手段、および／または伝送手段３によって送られた符号化データを受け取るように適応された、符号化データ受け取りのための手段を含む。
【００８９】
復号化データを用いる手段６は、復号化装置５の出力部５５に接続される。ユーザ手段６は、処理されたデータの性質に従って、例えばイメージディスプレイ手段であったり、または音再生手段であったりする。
【００９０】
復号化装置５は、全体として、符号化装置２の演算の逆の演算を実行する。装置５はエントロピー復号化回路５１を有し、エントロピー復号化回路５１は、回路２３の符号化に対応するエントロピー復号化を実行する。回路５１は、量子化回路２２に対応する逆量子化回路５２に接続される。
【００９１】
回路５２は、変換回路２１に対応する逆変換回路５３に接続される。本発明は、より詳細には逆変換回路５３に関するものであり、その例示的実施形態は以下で詳述する。ここで想定する変換は、周波数サブバンドからのデジタル信号の合成の実施である。
【００９２】
符号化装置および復号化装置は、同じデジタル機器、例えばデジタル・カメラに一体化することができる。この場合、データ処理装置はデータの符号化および復号化を実施する。
【００９３】
図３を参照しながら、本発明を実施する装置１０の例を説明する。この装置は、デジタル信号を変換するように適応され、以下で詳述する例により、デジタル信号を解析するように、または解析してそれを合成するように適応される。したがって図３は符号化装置または復号化装置を示す。
【００９４】
装置１０は、ここでは通信バス１０１を有するマイクロコンピュータであり、この通信バス１０１に、
−  中央演算処理装置１００、
−  読取り専用メモリ１０２、
−  ランダム・アクセス・メモリ１０３、
−  画面１０４、
−  キーボード１１４、
−  ハード・ディスク１０８、
−  ディスケット１１０を受け入れ可能なディスク・ドライブ１０９、
−  通信ネットワーク１１３と通信するためのインターフェース１１２、および
−  マイクロフォン１１１に接続される入出力カード１０６が接続される。
【００９５】
ランダム・アクセス・メモリ１０３は、メモリ・レジスタ・ベアリング中にデータ、変数、および中間処理結果を記憶する。本説明では、それらが記憶しているデータとしてそれらの名前を用いる。ランダム・アクセス・メモリ１０３は、特に、
−  以下で定義する変数ｋの現在値を含むレジスタ「ｋ」、
−  以下で定義する変数ｊの現在値を含むレジスタ「ｊ」、
−  変換されたイメージのサンプルｙiの値が計算されるときに、それが記憶されるレジスタ「ｙi」、
−  以下で定義する重み付け係数βk,jの値が記憶されるレジスタ「βk,j」、
−  以下で定義するパラメータｍjの値が記憶されるレジスタ「ｍj」、および
−  以下で定義する係数γの値が記憶されるレジスタ「γ」を含む。
【００９６】
図３が符号化装置である場合には、読取り専用メモリ１０２は、特に、
−  レジスタ「Program」に、中央演算処理装置１００のオペレーティング・プログラムを、
−  レジスタ「ｋmax」に、変数ｋの最大値ｋmaxを、
−  レジスタ「Ｌk」に、０とｋmaxの間の変数ｋのすべての値に対する、以下で定義するパラメータＬkの値と、
−  レジスタ「αk,j」に、重み付け係数αk,jの値を記憶するように適合される。
【００９７】
一方、図３が復号化装置である場合もじゃ、レジスタ・プログラムはやはり読取り専用メモリ中にあるが、レジスタ「ｋmax」、「Ｌk」、および「αk,j」はランダム・アクセス・メモリ中にあることに留意されたい。
【００９８】
中央演算処理装置１００は、図５および図７のフローチャートを実行するように適応される。
【００９９】
ハード・ディスク１０８は、本発明を実施するプログラム、ならびに符号化すべきデータおよび本発明による符号化データを記憶する。これらのプログラムは、ディスケット１１０から読取ることもでき、または通信ネットワーク１１３を介して受信することもでき、または読取り専用メモリ１０２中に記憶することもできる。
【０１００】
より一般的に述べれば、本発明によるプログラムは、記憶手段中に記憶される。この記憶手段の内容は、コンピュータまたはマイクロプロセッサによって読取ることができる。また、この記憶手段は、装置内に一体化されるか、または一体化されず、取外し可能とすることができる。例えばこの記憶手段は、磁気テープ、ディスケット、またはＣＤ−ＲＯＭ（固定メモリ・コンパクト・ディスク）を含むことができる。
【０１０１】
また、装置１０は、デジタル写真機器、またはスキャナ、またはデータを獲得或は記憶する他の何らかの手段などの周辺装置１０７から来る符号化すべきデータを受け取ることができる。
【０１０２】
また、装置１０は、通信ネットワーク１１３を介して遠隔装置から来る符号化すべきデータを受信することもでき、同様に、通信ネットワーク１１３を介して遠隔装置に符号化データを送信することもできる。
【０１０３】
また、装置１０は、マイクロフォン１１１から来る符号化すべきデータを受け取ることもできる。この場合、これらのデータは音響信号である。
【０１０４】
画面１０４により、ユーザは、特に符号化すべきデータを表示することが可能となり、画面１０４は、キーボード１１４と共にユーザ・インターフェースとして機能する。
【０１０５】
次に、図４を参照すると、変換回路２１または解析回路は、２つのレベルを有するダイアディック分解回路である。この実施形態では回路２１は、それぞれ垂直および水平な２つの方向のイメージ信号を、高空間周波数および低空間周波数のサブバンド信号中にフィルタする２倍のデシメータにそれぞれ関連する従来のフィルタの組である。高域通過フィルタと低域通過フィルタの関係は、信号の完全再構築の条件によって決定される。以下でフィルタの異なる例を想定する。実際に垂直分解フィルタおよび水平分解フィルタは、一般には同一であるが、必ずしも同一である必要はないことに留意されたい。ここでは回路２１は、２つの解像度レベルによりイメージＩＭをサブバンド信号に分解するための、２つの連続する解析ユニットＢ１およびＢ２を有する。
【０１０６】
一般的にいって、信号の解像度は、この信号を表すために使用されるユニット長あたりのサンプル数である。イメージ信号の場合、サブバンド信号の解像度は、このサブバンド信号を水平および垂直に表すために使用されるユニット長あたりのサンプル数に関連する。この解像度は、実施されるデシメーションの数、デシメーション因子、および初期イメージの解像度に依存する。
【０１０７】
第１の解析ユニットＢ１は、デジタル・イメージ信号を受け取り、それを高域デジタル・フィルタ２１０および低域デジタル・フィルタ２２０に印加する。これらのフィルタは、信号を第１の方向に、例えばイメージ信号の場合水平方向にフィルタする。２倍のデシメータＤ２１０およびＤ２２０を通過した後、得られるフィルタ済み信号は、２つの低域通過フィルタ２３０および２５０と、２つの高域通過フィルタ２４０および２６０にそれぞれ印加される。これらのフィルタは、信号を第２の方向、例えばイメージ信号の場合垂直方向にフィルタする。得られる各フィルタ済み信号は、２倍のデシメータＤ２３０、Ｄ２４０、Ｄ２５０、Ｄ２６０をそれぞれ通過する。ユニットＢ１は、分解の最高解像度ＲＥＳ1を有する４つのサブバンド信号ＬＬ1、ＬＨ1、ＨＬ1、ＨＨ1を出力する。
【０１０８】
サブバンド信号ＬＬ1は、イメージ信号の両方の方向の低周波数の構成要素または係数を含む。サブバンド信号ＬＨ1は、イメージ信号の第１の方向の低周波数の構成要素と、第２の方向の高周波数の構成要素とを含む。サブバンド信号ＨＬ1は、第１の方向の高周波数の構成要素と、第２の方向の低周波数の構成要素とを含む。更に、サブバンド信号ＨＨ1は、両方の方向の高周波数の構成要素を含む。
【０１０９】
各サブバンド信号は、元のイメージから構築される１組の実係数であり、所与の周波数帯での、イメージの輪郭のそれぞれ垂直、水平、および対角線の方向に対応する情報を含む。各サブバンド信号は、イメージに同化させることができる。
【０１１０】
サブバンド信号ＬＬ1は、解像度レベルＲＥＳ2の４つのサブバンド信号ＬＬ2、ＬＨ2、ＨＬ2、ＨＨ2を供給するために、前の解析ユニットと類似の解析ユニットＢ２によって解析される。
【０１１１】
解像度ＲＥＳ2のサブバンド信号のそれぞれも、イメージの方向に対応する。
【０１１２】
その構造が解析回路の構造から導出される合成回路は、従来の方式で所与の解析回路２１に対応する。
【０１１３】
図５は、本発明による順方向ウェーブレット変換を実施するリフティング・ステップの遷移を示す。逆変換については、図６を参照してその後に説明する。
【０１１４】
そのランクが２つの整数ｉ0とｉ1の間（ｉ1は除く）であるサンプルを有する入力信号ｘnを、そのランクがｉ0とｉ1の間（ｉ1は除く）であるサンプルを有する出力信号ｙnに変換する場合について考える。
【０１１５】
初期設定ステップ５００は、まず出力信号ｙnのサンプルの値を入力信号ｘnのサンプルの値にすべて設定することからなる。
【０１１６】
ステップ５００の間、その現在値をそれぞれｋおよびｊと示す２つのカウンタも値０に初期設定される。
【０１１７】
また、ステップ５００の間、図３と関連して上記で述べたパラメータｍjも値ｍ0＝(−１)L0に初期設定される。ただしＬ0は以下で定義する別のパラメータである。
【０１１８】
そのランクがｉ0とｉ1の間（ｉ1は除く）であるサンプルを有する信号ｙnを考慮する場合、そのランクがｉ0とｉ1の間（ｉ1は除く）である出力信号のすべてのサンプルを計算することができるのに十分となるように、信号ｙnをこの範囲を超えて拡張しなければならない。このことは、以下で示す例の説明で理解されよう。
【０１１９】
したがって信号拡張手順（図５には示さず）は、所定の間隔ｉ0≦ｉ＜ｉ1から出て行く値ｉに対して出力信号ｙiの値を、
【数２２】
0003796431.tif 000013
によって計算することからなる。
ここで、
0003796431.tif 000014
であり、ｍｉｎ（ａ，ｂ）はａとｂとの小さい方を供給する関数を表し、ｍｏｄ（ａ，ｂ）は、０とｂ−１（ｂ−１を含む）の間にあり、ａからｂの倍数内の整数を表す。
【０１２０】
上記に示した拡張手順の非限定的な例は、行ｉ0およびｉ1が偶数であるような信号に当てはまる。行ｉ0およびｉ1のうちの少なくとも一方が奇数である場合には、他の拡張手順を使用することができる。それでもこの説明の残りは、すべてのパリティの場合に当てはまる。さらに、例えば直交フィルタの分野の技術者に周知のいわゆる環状拡張など他のタイプのフィルタのための他の拡張手順もある。
【０１２１】
フィルタリング方法の後続のステップ５０２は、第１のリフティング・ステップである。これは高域通過リフティング・ステップである。
【０１２２】
好ましい実施形態では、このリフティング・ステップは、パラメータｍ0＝(−１)L0の値に従って、ＬＳＣまたはＲＳＣタイプのいずれかであり、以下の式、
【数２３】
0003796431.tif 000015
により定義される。
【０１２３】
このリフティング・ステップは、ｍ0の値により、ＨＳＡ高域通過フィルタＨ1（ｚ）＝ｚ−１または１−ｚに対応する。これは、同等の高域通過フィルタのサポートの１ユニットの増加に対応する。
【０１２４】
リフティング・ステップ５０２の終わりに、カウンタｊがＬ0に等しいかどうかを判定するためにテスト５０４が実施される。
【０１２５】
テスト５０４の結果が否定である間、ステップ５０６が繰り返される。ステップ５０６は、本質的に、信号ｙnの偶数指標付きサンプルまたは奇数指標付きサンプルを変更し、重み付けする演算のシーケンスからなる。
【０１２６】
これは、ステップ５０６の間に、０とＬ0−１の間にあるカウンタｊの値に対応する、リフティング・ステップのＬ0個の対の遷移が実施されるからである。ただし、第１のリフティング・ステップは、単一係数低域通過リフティング・ステップ、
【数２４】
0003796431.tif 000016
であり、第２のリフティング・ステップは、ＨＳＡ高域通過リフティング・ステップ、
【数２５】
0003796431.tif 000017
である。
【０１２７】
式（１７）で用いられる非ゼロのパラメータα0,jは、ウェーブレット・フィルタ（Ｈ0、Ｈ1）の対の係数の関数であり、その計算を以下で詳述する。
【０１２８】
後で説明するようにｍjの値が−１または＋１のいずれかであることを考えると、サンプルｙ2n+mjのランクは２ｎ−１または２ｎ＋１のいずれかであり、すなわち現在変更されているサンプルｙ2nのランクから続く。奇数指標付きサンプルｙ2n+mjはサンプルｙ2nに隣接すると言われる。
【０１２９】
単一係数低域通過リフティング・ステップは、ｍj＝−ｍj-1によって反復的に定義されるパラメータｍjの値により、ＬＳＣまたはＲＳＣタイプのいずれかとなる。
【０１３０】
後続の単一係数低域通過リフティング・ステップ（すなわち後続のｊの値に対応する）の系統的な反復がある。例えば、最初がＲＳＣタイプである場合、２番目はＬＳＣタイプであり、逆も同様である。最後の単一係数低域通過リフティング・ステップは常にＬＳＣタイプである。
【０１３１】
式（１７）の低域通過リフティング・ステップにより、同等の低域通過フィルタのサポートが、前の高域通過リフティング・ステップの同等の高域通過フィルタのサポートの値、すなわち最も近くのより大きい偶数値に達するまで、増加することが保証される。
【０１３２】
本発明の好ましい実施形態によれば、式（１８）の高域通過リフティング・ステップは、ＨＳＡタイプであり、ＨＳＳ／ＨＳＡウェーブレット・フィルタのリフティングによる実施に対して単一リフティング・ステップおよびＷＳＡリフティング・ステップだけを使用する従来技術とは異なる。
【０１３３】
式（１８）の高域通過リフティング・ステップにより、同等の高域通過フィルタのサポートが、前の高域通過リフティング・ステップの同等の高域通過フィルタのサポートに対して２だけ（すなわち最も近くのより大きい偶数値に達するまで）増加することが保証される。
【０１３４】
式（１８）の高域通過リフティング・ステップの同等の高域通過フィルタは、前の高域通過リフティング・ステップの同等の高域通過フィルタがＨＳＡであり、式（１８）で使用される非ゼロのパラメータβ0,jがパラメータｍjの関数であり、かつ前の単一係数低域通過リフティング・ステップから生ずるパラメータα0,jの関数である場合にのみ、ＨＳＡタイプである。この関数は例えば、
【数２６】
0003796431.tif 000018
以下のように定義される。
【０１３５】
高域係数から低域係数を交互に左および右にリフティングする式（１７）の低域通過リフティング・ステップとは異なり、等式（１８）の高域通過リフティング・ステップは、左側低域係数および右側低域係数の両方から高域係数をリフティングする。
【０１３６】
テスト５０４の結果が肯定であるとき、すなわちｊ＝Ｌ0であるとき、ＳＣ低域通過リフティング・ステップおよびＨＳＡ高域通過リフティング・ステップの反復は終了し、その後に以下の式、
【数２７】
0003796431.tif 000019
のように定義されるＲＳＣ低域通過リフティング・ステップ５０８が続く。
【０１３７】
好ましい実施形態では、対応する低域通過フィルタがＨＳＳであることを保証するために、係数γは、前の高域通過リフティング・ステップで使用された重みづけ係数により、以下の式、
【数２８】
0003796431.tif 000020
で計算される。
【０１３８】
低域通過リフティング・ステップ５０８により、同等な低域通過フィルタのサポートが、前の高域通過リフティング・ステップの同等な高域通過フィルタのサポートの値、すなわちここで説明する好ましい実施形態では最も近くのより大きい偶数整数値に達するまで、増加することが保証される。
【０１３９】
この好ましい実施形態では、ステップ５０８の終わりで、等しい偶数サポートを有し、それぞれＨＳＳおよびＨＳＡである、低域通過フィルタと高域通過フィルタの対応する対が得られる。
【０１４０】
次にＷＳＡ低域通過リフティング（ステップ５１２）およびＷＳＡ高域通過リフティング（ステップ５１８）のステップの反復が実施される。すなわち、合計ｋmax−１のＷＳＡリフティング・ステップであり、カウンタｋの値は１からｋmax−１まで増加する。
【０１４１】
この目的で、ステップ５０８に続いて、カウンタｋの値が１ユニットだけステップ５１０で増分される。ｋの値は、ステップ５１２の通過後（図５のステップ５１４を参照）およびステップ５１８の通過後（図５のステップ５２０を参照）にそれぞれやはり増分される。
【０１４２】
ステップ５１２、５１４、５１８、および５２０は、ｋの値がｋmaxに等しくなるまで反復される（増分ステップ５１４および５２０の後にそれぞれ実施される、ｋに関するテスト５１６および５２２を参照）。
【０１４３】
ＷＳＡ低域通過リフティング・ステップ５１２は以下の式、
【数２９】
0003796431.tif 000021
によって定義される。そして、ＷＳＡ高域通過リフティング・ステップ５１８は以下の式、
【数３０】
0003796431.tif 000022
によって定義される。
【０１４４】
これらのステップは本質的に周知である。これらの効果は対応するフィルタ（ステップ５１２に対する低域通過フィルタとステップ５１８に対する高域通過フィルタ）のサイズが４倍に増加することである。
【０１４５】
単一直接電流利得および２のナイキスト利得、すなわちいわゆる（１，２）正規化を有するウェーブレット・フィルタを生成するために、Ｇを実数値として、タイプｙi＝Ｇ・ｙiの特定の正規化ステップは必要ではない。他方、ＤＣ利得Ｇ1およびナイキスト利得２Ｇ2を有する（Ｇ1，２Ｇ2）正規化などの異なる正規化が必要である場合、最終正規化ステップ、すなわちｙ2n＝Ｇ1・ｙ2nおよびｙ2n+1＝Ｇ2・ｙ2n+1が必要である。
【０１４６】
近似関数Ｒがそれに対して使用されるすべてのリフティング・ステップについて同一である必要はない。
【０１４７】
ＨＳＳ／ＨＳＡフィルタのリフティング実施のために選ぶべきパラメータは、各リフティング・ステップでのＬk、αk,j、ｋmax、および関数Ｒである。したがって完全再構築ＨＳＳ／ＨＳＡウェーブレット・フィルタの任意の対の、これらのパラメータと係数と長さの間の１対１マッピングを確立することが可能である。
【０１４８】
図６に、本発明による逆ウェーブレット変換を実施するリフティング・ステップの流れを示す。
【０１４９】
そのランクが２つの整数ｉ0とｉ1の間（ｉ1は含まず）であるサンプルを有する変換すべき入力信号ｙnと、そのランクがｉ0とｉ1の間（ｉ1は含まず）であるサンプルを有する出力信号ｘnとを考慮する。
【０１５０】
初期設定ステップ６００は、まず出力信号ｘnのサンプルの値を入力信号ｙnのサンプルの値にすべて設定することからなる。
【０１５１】
逆リフティング実施におけるすべてのステップは、順方向変換で実行されるリフティング・ステップの逆の演算である。さらに逆リフティング実施のステップは、順方向リフティング実施のステップと反対の順序で実行される。
【０１５２】
解析処理と、その後に続く同じ信号の合成処理について、逆変換のすべてのパラメータは、順方向変換に対して選ばれるパラメータと同一である。
【０１５３】
図６に示すように、初期設定ステップ６００の間に、その現在値がｋで示されるカウンタも値ｋmax−１に初期設定される。
【０１５４】
そのランクがｉ0とｉ1の間（ｉ1は含まず）であるサンプルを有する信号ｘnを考慮する場合、信号ｘnは、そのランクがｉ0とｉ1の間（ｉ1は含まず）のすべてのサンプルを計算することができるのに十分となるように、信号ｘnをこの範囲を超えて拡張しなければならない。このことは、以下で示す例の説明で理解されよう。
【０１５５】
したがって信号拡張手順（図６には示さず）は、所定の間隔ｉ0≦ｉ＜ｉ1から出て行く値ｉに対して出力信号ｘiの値を計算することからなり、
−    mod(i-i0,2(i1-i0))＜i1-i0となるようなｉの値に対しては、ｘiは以下の式（２４）
【数３１】
0003796431.tif 000023
によって定義される。ここで、mod(a,b)は、０とｂ−１（ｂ−１を含む）の間にあり、ａからｂの倍数内の整数を表し、そして、
−    mod(i-i0,2(i1-i0))≧i1-i0となるようなｉの偶数値に対しては、ｘiは以下の式（２５）
【数３２】
0003796431.tif 000024
によって定義され、
−  そして、mod(i-i0,2(i1-i0))≧i1-i0となるようなｉの奇数値に対しては、ｘiは以下の式（２６）
【数３３】
0003796431.tif 000025
によって定義される。
【０１５６】
例えば直交フィルタの分野の技術者に周知のいわゆる環状拡張などの他のタイプのフィルタのための他の拡張手順もある。
【０１５７】
単一ＤＣ利得および２のナイキスト利得、すなわちいわゆる（１，２）正規化を有するウェーブレット・フィルタを生成するために、タイプｘi＝Ｇ・ｘiの特定の正規化ステップは必要ではない。ここで、Ｇは実数値である。他方、ＤＣ利得Ｇ1およびナイキスト利得２Ｇ2を有する（Ｇ1，２Ｇ2）正規化などの異なる正規化が必要である場合、逆正規化ステップが必要である。すなわちｘ2n＝（１／Ｇ1）・ｘ2nおよびｘ2n+1＝（１／Ｇ2）・ｘ2n+1
図６に示すように、ＷＳＡ低域通過リフティング（ステップ６０２）および高域通過リフティング（ステップ６０８）のステップの反復が実施される。すなわち、合計ｋmax−１のＷＳＡリフティング・ステップであり、カウンタｋの値はｋmax−１から１まで減少する。
【０１５８】
この目的で、カウンタｋの値は、ステップ６０２の通過後（図６のステップ６０４を参照）およびステップ６０８の通過後（図６のステップ６１０を参照）にそれぞれ増分される。
【０１５９】
ステップ６０２、６０４、６０８、および６１０は、ｋの値が１に等しくなるまで反復される（減分ステップ６０４および６１０の後にそれぞれ実施される、ｋに関するテスト６０６および６１２を参照）。
【０１６０】
ＷＳＡ低域通過リフティング・ステップ６０２は以下の式、
【数３４】
0003796431.tif 000026
によって定義される。そして、ＷＳＡ高域通過リフティング・ステップ６０８は以下の式、
【数３５】
0003796431.tif 000027
によって定義される。
【０１６１】
これらのステップは本質的に周知である。
【０１６２】
テスト６０６および６１２の結果が正であるとき、すなわちｋ＝１であるとき、ＷＳＡ低域通過リフティングおよびＨＳＡ高域通過リフティングの反復は終了し、その後に以下の式、
【数３６】
0003796431.tif 000028
によって定義されるＲＳＣ低域通過リフティング・ステップ６１４が続く。
【０１６３】
好ましい実施形態では、係数γは、後続の高域通過リフティング・ステップで使用される重みづけ係数の関数として、以下の式、
【数３７】
0003796431.tif 000029
によって計算される。
【０１６４】
ステップ６１４の間に、パラメータｍjが値１に初期設定され、カウンタｊも値Ｌ0−１に初期設定される。
【０１６５】
低域通過リフティング・ステップ６１４の終わりに、カウンタｊが０に等しいかどうかを判定するためにテスト６１６が実行される。
【０１６６】
テスト６１６の結果が否定である限り、ステップ６１８は繰り返される。ステップ６１８は、本質的に、信号ｘnの偶数指標付きサンプルまたは奇数指標付きサンプルを変更し、重み付けする演算のシーケンスからなる。
【０１６７】
これは、ステップ６１８の間に、Ｌ0−１と０の間にあるカウンタｊの値に対応する、リフティング・ステップのＬ0の対の遷移が実行されるからである。ただし、第１のリフティング・ステップは、ＨＳＡ高域通過リフティング・ステップ、
【数３８】
0003796431.tif 000030
であり、かつ第２のリフティング・ステップは、単一係数低域通過リフティング・ステップ、
【数３９】
0003796431.tif 000031
である。
【０１６８】
テスト６１６の結果が肯定であるとき、すなわちｊ＝０であるとき、最後のリフティング・ステップ６２０が実行される。このリフティング・ステップ６２０は、順方向変換で実行された最初の高域通過リフティング・ステップの逆である。好ましい実施形態では、このリフティング・ステップは、パラメータｍ0＝(−１)L0の値に従って、ＬＳＣまたはＲＳＣタイプのいずれかであり、
【数４０】
0003796431.tif 000032
ように定義される。
【０１６９】
図７に、冒頭で出てきた式（４）、（６）、および（７）によって定義されるＨＳＳ／ＨＳＡウェーブレット・フィルタの何らかの所与の対に対してリフティング・パラメータを決定するための手順を示す。この手順は、直交フィルタ、および特定の対称性のない、等しいサポートを有するどんなフィルタにも当てはまる。以下で現れる「UNLIFT」手順は、その後で詳述する。
【０１７０】
図７に示すように、第１のステップ７００は、整数変数ｋを０に、変数ｎ0を−１に初期設定し、長さ、すなわち中間低域通過フィルタＨ0および中間高域通過フィルタＨ1の係数の数（すなわち、いわゆる等価フィルタの係数の数）を変数ｌi，ｉ∈｛０，１｝に記憶する。
【０１７１】
次に、ステップ７０２では、ｌ0＜ｌ1であるかどうかをテストする。
【０１７２】
テスト７０２の結果が肯定である場合、図５のＷＳＡ高域通過リフティング・ステップ５１８の係数を決定するステップ７０４が、手順UNLIFT_H1（図８Ｂを参照）を適用することによって実行され、ステップ７０４の終わりには、リフティング係数Ｌkの数、０≦ｉ＜Ｌkに対するＬk係数αk,i、および新しい中間高域通過フィルタＨ1が得られる。
【０１７３】
ステップ７０４では、ｋの値が１ユニットだけ増分され、中間フィルタの長さｌiが更新され、値１が変数ｎ0に記憶される。
【０１７４】
テスト７０２の結果が否定である場合は、ステップ７０６でｌ0＞ｌ1かどうかをテストする。
【０１７５】
テスト７０６の結果が肯定である場合、図５のＷＳＡ低域通過リフティング・ステップ５１２の係数を決定するステップ７０８が、手順UNLIFT_H0（図８Ａを参照）を適用することによって実行される。ステップ７０８の終わりには、リフティング係数Ｌkの数、０≦ｉ＜Ｌkに対するＬk係数αk,i、および新しい中間低域通過フィルタＨ0が得られる。
【０１７６】
ステップ７０８では、ｋの値がやはり１ユニットだけ増分され、中間フィルタの長さｌiが更新され、値０が変数ｎ0に記憶される。
【０１７７】
テスト７０６の結果が否定である場合、ステップ７１０が実行され、ｎ0がゼロかどうかがテストされる。
【０１７８】
テスト７１０の結果が肯定である場合、ステップ７１２が実行され、値０を変数Ｌkに記憶し、ｋの値を１ユニットだけ増分する。
【０１７９】
ステップ７１２の終わり、またはテスト７１０の結果が否定である場合、図５のステップ５０６に含まれる単一係数低域通過リフティング・ステップの係数を決定するステップ７１４が、手順UNLIFT_EQ（図８Ｃを参照）を適用することによって実行される。そして、ステップ７１４の終了時には、リフティング係数Ｌ0および０≦ｉ＜Ｌ0に対するＬ0係数α0,iが得られる。
【０１８０】
ステップ７１４では、ｋの値がやはり１ユニットだけ増分される。
【０１８１】
ステップ７１４が終わると、
（Ｌ0，Ｌ1，．．．，Ｌk-1）＝（Ｌk-1，Ｌk-2，．．．，Ｌ0）
（α0,i，α1,i，．．．，αk-1,i）＝（αk-1,i，αk-2,i，．．．，α0,i）
のようにリフティング係数を再順序付けすることによって得られるリフティング係数の更新からなる再配置ステップ７１６が実行される。
【０１８２】
ステップ７１６の間、値ｋmaxも変数ｋに記憶される。
【０１８３】
まとめると、
−    ｌ0＞ｌ1のとき、リフティング係数は、手順UNLIFT_H0（Ｈ0，Ｈ1）によって得られ、
−    ｌ0＜ｌ1のとき、リフティング係数は、手順UNLIFT_H1（Ｈ0，Ｈ1）によって得られ、
−    ｌ0＝ｌ1のとき、リフティング係数は、手順UNLIFT_EQ（Ｈ0，Ｈ1）によって得られる。
【０１８４】
次いでこれらの３つの手順をより詳細に説明する。
【０１８５】
手順UNLIFT_H0を示す図８Ａに示すように、初期設定ステップ８００Ａは、Ｈ0の長さの半分を変数ｌ0に記憶し、Ｈ1の長さの半分を変数ｌ1に記憶する。また、ステップ８００Ａの間、変数ｉおよび変数Ｌkが値０に初期設定される。
【０１８６】
次いでステップ８０２Ａにおいて、ｌ0＞ｌ1かどうかをテストする。
テスト８０２Ａの結果が否定である場合、手順UNLIFT_H0は終了する。
【０１８７】
テスト８０２Ａの結果が肯定である場合、ステップ８０４Ａにおいて、αk,iおよびＨ0（ｚ）を、
【数４１】
0003796431.tif 000033
のように計算する。
【０１８８】
ステップ８０４Ａの終わりにおいて、ｌ0の値は２ユニットだけ減分され、ｉの値およびＬkの値は１ユニットだけ増分される。
次いでこのステップ８０４Ａはｌ0＞ｌ1である限り反復される。
【０１８９】
次に、手順UNLIFT_H1について説明する。図８Ｂに示すように、図８Ａのステップ８００Ａと同一の初期設定ステップ８００Ｂがまず実行される。
【０１９０】
次いで、ステップ８０２Ｂにおいて、ｌ0＞ｌ1であるかどうかをテストする。テスト８０２Ｂの結果が否定である場合、手順UNLIFT_H1は終了する。
【０１９１】
テスト８０２Ｂの結果が否定である場合、ステップ８０４Ｂにおいて、αk,iおよびＨ1（ｚ）を、
【数４２】
0003796431.tif 000034
のように計算する。
【０１９２】
ステップ８０４Ｂの終わりにおいて、ｌ1の値は２ユニットだけ減分され、ｉの値およびＬkの値は１ユニットだけ増分される。
次いでこのステップ８０４Ｂはｌ1＞ｌ0である限り反復される。
【０１９３】
次に、手順UNLIFT_EQについて説明する。図８Ｃに示すように、初期設定ステップ８００Ｃは、Ｈ0の長さの半分を変数ｌ0に記憶し、ｌ0の値を変数ｌ1に記憶する。また、ステップ８００Ｃの間、変数Ｌ0が値ｌ0−１に初期設定され、変数ｉが値Ｌ0−１に初期設定される。
【０１９４】
後続のステップ８０２Ｃにおいては、Ｈ0（ｚ）およびパラメータγを、
【数４３】
0003796431.tif 000035
のように計算する。
【０１９５】
ステップ８０２Ｃの終わりにおいて、ｌ0の値は１ユニットだけ減分され、変数ｑは値０に初期設定される。
【０１９６】
次いでステップ８０４において、ｌ0＞０かどうかがテストされる。
テスト８０４Ｃの結果が否定である場合、手順UNLIFT_EQは終了する。
【０１９７】
テスト８０４Ｃの結果が肯定である場合、ステップ８０６Ｃにおいて、ｑ＞０かどうかがテストされる。
【０１９８】
テスト８０６Ｃの結果が肯定である場合、後続のステップ８０８Ｃにおいて、β0,i、Ｈ1（ｚ）、α0,i、およびＨ0（ｚ）が
【数４４】
0003796431.tif 000036
のように計算される。
【０１９９】
ステップ８０８Ｃの間、Ｈ1（ｚ）を計算した後に、ｌ1の値は１ユニットだけ減分され、Ｈ0（ｚ）を計算した後に、ｌ0の値およびｉの値は１ユニットだけ減分され、値１が変数ｑに記憶される。
このステップ８０８Ｃは、ｌ0＞０である限り反復される。
【０２００】
一方、テスト８０６Ｃの結果が否定である場合、後続のステップ８１０Ｃにおいて、β0,i、Ｈ1（ｚ）、α0,i、およびＨ0（ｚ）が、
【数４５】
0003796431.tif 000037
のように計算される。
【０２０１】
ステップ８１０Ｃの間、Ｈ1（ｚ）を計算した後に、ｌ1の値は１ユニットだけ減分され、Ｈ0（ｚ）を計算した後に、ｌ0の値およびｉの値は１ユニットだけ減分され、値０が変数ｑに記憶される。
次いでこのステップ８１０Ｃは、ｌ0＞０である限り反復される。
【０２０２】
図９および図１０に、２つの特定の実施形態での、本発明によるフィルタリング装置に含まれる基本変換ユニットを略図で示す。図９に順方向リフティング変換ユニットをより詳細に示し、図１０に逆方向リフティング変換ユニットをより詳細に示す。
【０２０３】
図９に略図で示すフィルタリング装置９００は、図４に示すユニットＢＥのフィルタリング装置と同等である。
【０２０４】
フィルタリング装置９００は、変換すべき信号がそこに印加される入力部Ｅ20を含む。変換すべき信号は、一連のサンプル｛ｘi｝を含む。ただし、ｉはサンプル・ランク指標である。
【０２０５】
入力部Ｅ20は、まず２倍のデシメータＤ20に接続される。２倍のデシメータＤ20は、偶数指標付きサンプル｛ｘ2i｝を送達する。
【０２０６】
入力部Ｅ20は、アドバンス部ＡＶ21と、それに続く第２のデシメータＤ21にも接続される。デシメータＤ21は、奇数指標付きサンプル｛ｘ2i+1｝を送達する。
【０２０７】
第１のデシメータＤ20は、第１のフィルタＡ0に接続される。第１のフィルタＡ0は、重み付け係数β0,jと、式（１８）で記述されるような近似関数とを偶数指標付きサンプルに適用することによって偶数指標付きサンプルをフィルタし、それを加算器ＡＤ20に供給する。
【０２０８】
フィルタＡ0および加算器ＡＤ20によって形成されるアセンブリは、図面でＦＨＰと示す高域通過リフティング・モジュールである。
また、第２のデシメータＤ21の出力も加算器ＡＤ20に接続される。
したがって加算器ＡＤ20は、式（１８）に従って計算される中間サンプルｙ2i+1を送達する。
【０２０９】
次に、加算器ＡＤ20の出力は、第２のフィルタＡ1に接続される。第２のフィルタは、重み付け係数α0,jと、式（１７）で記述されるような近似関数とを奇数指標付きサンプルに適用することによって奇数指標付きサンプルをフィルタし、それを加算器ＡＤ21に供給する。
【０２１０】
フィルタＡ1および加算器ＡＤ21によって形成されるアセンブリは、図面でＦＬＰと示す低域通過リフティング・モジュールである。
ここで、 第１のデシメータＤ20の出力も加算器ＡＤ21に接続される。
【０２１１】
加算器ＡＤ21の出力は、低周波数サンプルｙ2iを含むデジタル信号を送達する変換ユニットの第１の出力Ｓ20である。
加算器ＡＤ20は、基本ユニットの第２の出力Ｓ21に接続され、基本ユニットは高周波数サンプルｙ2i+1を含むデジタル信号を送達する。
【０２１２】
図１０に略図で示すフィルタリング装置１０００は、図９に略図で示すフィルタリング装置９００によって実施される変換と逆の変換を実施する。
【０２１３】
この変換ユニットは、変換すべき第１の信号が印加される第１の入力Ｅ30と、変換すべき第２の信号が印加される第２の入力Ｅ31とを有する。
【０２１４】
ここでは、変換すべき信号は、図９の解析ユニットによるデジタル信号の解析フィルタリングの後に得られるサンプルを含む。これらのサンプルは、場合によっては、解析と合成の間に別の処理によって変更されている。
【０２１５】
より正確には、変換すべき第１の信号は、低周波数サンプル｛ｙ2i｝を含み、変換すべき第２の信号は、高周波数サンプル｛ｙ2i+1｝を含む。
【０２１６】
合成ユニットは、解析ユニットの構造と類似の構造を有し、解析ユニットから単純に導出することができる。詳細には、合成ユニットは解析ユニットと同じフィルタＡ0およびＡ1を使用する。
【０２１７】
入力Ｅ30は減算器ＳＯ30に接続される。
入力Ｅ31はフィルタＡ1に接続され、フィルタＡ1が減算器ＳＯ30に接続される。
【０２１８】
フィルタＡ1および減算器ＳＯ30によって形成されるアセンブリは、図面でＩＬＰと示す低域通過リフティング・モジュールである。
【０２１９】
減算器ＳＯ30の出力は、式（３２）に従って計算される中間サンプルｙ2iを含むデジタル信号を送達する。
減算器ＳＯ30の出力は、フィルタＡ0に接続され、フィルタＡ0が減算器ＳＯ31に接続される。減算器ＳＯ31には入力Ｅ31も接続される。
【０２２０】
フィルタＡ0および減算器ＳＯ31によって形成されるアセンブリは、図面でＩＨＰと示す高域通過リフティング・モジュールである。
【０２２１】
減算器ＳＯ31の出力は、再構築された奇数指標付きサンプルｘ2i+1を含むデジタル信号を送達する。
また、減算器ＳＯ30の出力は、再構築された偶数指標付きサンプルｘ2iを含むデジタル信号を送達する。
【０２２２】
減算器ＳＯ30の出力は２つのＩＮ30によって補間回路に接続され、減算器ＳＯ31の出力はそれ自体が遅延Ｒ31に接続される２つのＩＮ31によって補間回路に接続される。補間回路ＩＮ30および遅延Ｒ31は、加算器ＡＤ32に接続され、加算器ＡＤ32に再構築されたサンプルｘiを含む信号を出力Ｓ30として送達する。
【０２２３】
次いで、本発明によるウェーブレット・フィルタの実施のためのリフティングによる順方向および逆方向変換の非限定的な例を示す。
【０２２４】
この例でのフィルタの対は、
【数４６】
0003796431.tif 000038
【数４７】
0003796431.tif 000039
と表される。
【０２２５】
このフィルタの対に対応するリフティング・パラメータは、
ｋ＝１、Ｌ0＝１、およびα0,0＝α                        （３７）
である。
【０２２６】
また、Ｅが整数部分を表すとして、Ｒ（ｘ）＝Ｅ（ｘ＋１／２）によって定義される、すべてのリフティング・ステップに対して同一の近似関数Ｒが選ばれる。
信号の長さは６と等しくなるように選ばれる。すなわちｉ0＝０およびｉ1＝６である。
【０２２７】
順方向リフティング式に関して、出力信号Ｙのすべての値が入力信号Ｘの値に初期設定される。次いで信号Ｙは、各制限で１サンプルだけ拡張される。すなわちｙ-1＝ｙ0およびｙ6＝ｙ5となる。
【０２２８】
以下の４つのリフティング・オペレーティングが実行される。まず初めに、サンプル（ｙ-1，ｙ1，ｙ3，ｙ5）の値が、
ｎ＝-1，0，1，2に対し、ｙ2n+1＝ｙ2n+1−Ｅ（ｙ2n+2＋１／２）    …（３８）
から計算される。
【０２２９】
次に、サンプル（ｙ0，ｙ2，ｙ4，ｙ6）の値が、
ｎ＝0，1，2，3に対し、ｙ2n＝ｙ2n−Ｅ（α0,0．ｙ2n-1＋１／２）      …（３９）
から計算される。ただし、ここで、
α0,0＝α                    （４０）
である。
【０２３０】
次いでサンプル（ｙ1，ｙ3，ｙ5）の値が、
ｎ＝0，1，2に対して、ｙ2n+1＝ｙ2n+1＋Ｅ［（β0,0・（ｙ2n−ｙ2n+2）＋１／２）］    （４１）
から計算される。ただし、上式において、
β0,0＝−１／（１−２α）    （４２）
である。
【０２３１】
最後に、（ｙ0，ｙ2，ｙ4）の値が、
ｎ＝0，1，2に対し、ｙ2n＝ｙ2n＋Ｅ［（γ．ｙ2n+1＋１／２）］    （４３）
から計算される。上式において、
γ＝−１／（２β0,0）          （４４）
である。
【０２３２】
逆方向リフティング式に関して、出力信号Ｘのすべての値が入力信号Ｙの値に初期設定される。次いで信号Ｘは、各制限で２サンプルだけ拡張される。すなわち、ｘ-2＝ｘ0，ｘ-1＝−ｘ1，ｘ6＝ｘ4，およびｘ7＝−ｘ5である。
【０２３３】
以下の４つの逆リフティング・演算が実行される。まず初めに、サンプル（ｘ-2，ｘ0，ｘ2，ｘ4，ｘ6）の値が、
ｎ＝-1，0，1，2，3に対し、ｘ2n＝ｘ2n−Ｅ（γ・ｘ2n+1＋１／２）    （４５）
から計算される。
【０２３４】
次に、サンプル（ｘ-1，ｘ1，ｘ3，ｘ5）の値が、
ｎ＝-1，0，1，2に対し、ｘ2n+1＝ｘ2n+1−Ｅ［β0,0・（ｘ2n−ｘ2n+2）＋１／２］］      （４６）
から計算される。
【０２３５】
次いでサンプル（ｘ0，ｘ2，ｘ4，ｘ6）の値が、
ｎ＝0，1，2，3に対し、ｘ2n＝ｘ2n−Ｅ（α0,0．ｘ2n-1＋１／２）  （４７）
から計算される。
【０２３６】
そして、最後に、（ｘ1，ｘ3，ｘ5）の値が、
ｎ＝0，1，2に対して、ｘ2n+1＝ｘ2n+1＋Ｅ（ｘ2n+2＋１／２）］    （４８）
から計算される。
【０２３７】
本発明の適用分野は、等しいサポートを有するＨＳＳ／ＨＳＡウェーブレット・フィルタに限定されず、一方では直交ウェーブレット・フィルタに、他方では等しいサポートを有するあらゆるウェーブレット・フィルタにと、より広範に拡張し得る。
【０２３８】
直交ウェーブレット・フィルタのリフティングによる実施への本発明の適用に関して、前で説明したものと比較した場合の差は、ＨＳＳ／ＨＳＡフィルタまたは直交フィルタを十分に等しく実施することを保証するための、リフティング・パラメータα0,i、β0,i、γの値と、これらのパラメータの間の関係とにある。図７および図８とに関連して上記で説明したリフティング・パラメータを計算する方法は、ＨＳＳ／ＨＳＡフィルタや直交フィルタについてのすべてのリフティング・パラメータα0,i、β0,i、γを生成するために使用することができることに留意されたい。
【０２３９】
すべての直交フィルタは、等しいサポートおよび偶数長を有するが、１つの自明な場合、すなわちＨ0（ｚ）＝（１＋ｚ）／２およびおよびＨ1（ｚ）＝−１＋ｚによって定義されるＨａａｒフィルタの場合を除いて、対称ではない。
【０２４０】
長さ４の直交フィルタは、自由度１を表すパラメータθによって特徴付けられ、
【数４８】
0003796431.tif 000040
【数４９】
0003796431.tif 000041
と表される。
【０２４１】
より一般的にいえば、直交フィルタは以下の式を満足する。
Ｈ1（ｚ）＝２ｚＨ0（−ｚ-1）        （５１）
ここに示す非限定的例では、前と同様に、すべてのリフティング・ステップに対して同一の近似関数が選ばれ、それはＲ（ｘ）＝ｘ＋１／２によって定義される。
また、信号の長さは６に等しくなるように選ばれ、ｉ0＝０およびｉi＝６となる。
【０２４２】
そのようなフィルタのリフティングによる実施は、ここではパラメータが以下のように選ばれることを除いて、前の例と同じステップを用いて実施される（以下で説明する拡張手順に関するものは除く）。すなわち、パラメータの選択は、
【数５０】
0003796431.tif 000042
で表される。
【０２４３】
上記で与えたリフティング因数分解手順は、直交フィルタについての手順と同様であり、その差異は、係数α0,i、β0,i、γの間の関係だけにある。
【０２４４】
ＨＳＳ／ＨＳＡフィルタに対して見てきたのと同様に、パラメータα0,iは、実施すべきウェーブレット変換のフィルタの係数の関数である。同じことが直交フィルタにも当てはまる。前述のリフティング・パラメータを計算する方法は不変である。
【０２４５】
また、ＨＳＳ／ＨＳＡフィルタに関して見てきたのと同様に、パラメータβ0,iは、α0,iの関数であり、各高域通過リフティング・ステップの同等の高域通過フィルタＨ1（ｚ）がＨＳＡであることを保証するようなものとなる。この状況は直交フィルタに対するものと同様である。すなわち、パラメータβ0,iがパラメータα0,iの関数であり、各高域通過リフティング・ステップの同等の高域通過フィルタＨ1（ｚ）がＨ0（ｚ）＝−ｚ・Ｈ1（−ｚ-1）／２のようになり、Ｈ1（ｚ）が直交ウェーブレット変換を定義することを保証するようなものとなる。前述のリフティング・パラメータを計算する方法は、パラメータβ0,iを計算するために使用することもできる。
【０２４６】
最後に、ＨＳＳ／ＨＳＡフィルタに関して見てきたのと同様に、パラメータγはパラメータβ0,L0-1  の関数であり、この低域通過リフティング・ステップの同等の低域通過フィルタＨ0（ｚ）がＨＳＳであることを保証するようなものとなる。この状況は直交フィルタに対するものと同様である。すなわち、パラメータγがパラメータα0,iおよびβ0,iの関数であり、この低域通過リフティング・ステップの同等の低域通過フィルタＨ0（ｚ）がＨ0（ｚ）＝−ｚ・Ｈ1（−ｚ-1）／２のようになることを保証するようなものとなる。前述のリフティング・パラメータを計算する方法は、パラメータγを計算するために使用することもできる。
【０２４７】
順方向リフティングによる変換に関して、出力信号Ｙのすべての値が入力信号Ｘの値に初期設定される。次いで信号Ｙは、各制限で１サンプルだけ拡張される。すなわちここで供給した例では、環状拡張の分野の技術者に周知の拡張手順が用いられ、ｙ-1＝ｙ5およびｙ6＝ｙ0となる。
すべての後続のステップは、式（５２）で与えられる値を用いる、前の例のステップと同様である。
【０２４８】
また、逆リフティングによる変換に関して、出力信号Ｘのすべての値が入力信号Ｙの値に初期設定される。次いで信号Ｘは、各制限で２サンプルだけ拡張され、ｘ-2＝ｘ4，ｘ-1＝ｘ5，ｘ6＝ｘ0，およびｘ7＝ｘ1となる。
すべての後続のステップは、式（５２）で与えられる値を用いる、前の例のステップと同様である。
【０２４９】
等しいサポートを有する任意のフィルタのリフティングによる実施への本発明の適用に関して、ＨＳＳ／ＨＳＡフィルタおよび直交フィルタについて前述したものと比較した場合の差異は以下の点のみとなる。すなわち、
−  パラメータα0,i、β0,i、γの間に依存関係がない。したがってこれらの値をＲＡＭで計算する必要がない。
−  リフティングによる順方向実施態様での第１の高域通過リフティング・ステップはどんなものでもよい。すなわち、
【数５１】
0003796431.tif 000043
であり、ここでδiは重み付け係数である。
【０２５０】
なお、例えば、式（１６）ではなく、以下の式の順方向変換、
【数５２】
0003796431.tif 000044
を使用する場合、逆変換では、最後のリフティング・ステップ６２０は、まさにその逆となる。すなわち、上記の場合は、
【数５３】
0003796431.tif 000045
となる。
【０２５１】
等しいサポートを有する任意の一対のウェーブレット・フィルタのリフティングによる実施に必要なすべてのリフティング係数α0,i、β0,i、γは、図７および図８との関連で上記で説明したリフティング・パラメータを計算する方法によって得ることができる。次いでリフティング係数δiは、図７に示すステップ７１４の式、（Ｌk，αk,j，Ｈ1，Ｈ0）＝UNLIFT_EQ（Ｈ0，Ｈ1）から得られるフィルタＨ1（ｚ）の偶数指標付き係数である。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明によるデータ処理装置の略図である。
【図２】本発明による別のデータ処理装置の略図である。
【図３】本発明によるデータ処理装置の実施形態を示す図である。
【図４】図１のデータ処理装置に含まれる変換回路の実施形態を示す図である。
【図５】第１の実施形態での、本発明によるフィルタリング方法の主要ステップを示す流れ図である。
【図６】第２の実施形態での、本発明によるフィルタリング方法の主要ステップを示す流れ図である。
【図７】ウェーブレット・フィルタの係数からのリフティング・パラメータの決定を実施する方法を示す流れ図である。
【図８Ａ】図７の流れ図において、UNLIFT_H0と示される計算手順を示す流れ図である。
【図８Ｂ】図７の流れ図において、UNLIFT_H1と示される計算手順を示す流れ図である。
【図８Ｃ】図７の流れ図において、UNLIFT_H2と示される計算手順を示す流れ図である。
【図９】本発明による基本変換ユニットの第１の実施形態を示す図である。
【図１０】本発明による基本変換ユニットの第２の実施形態を示す図である。
【図１】
0003796431.tif 000050
【図２】
0003796431.tif 000051
【図３】
0003796431.tif 000052
【図４】
0003796431.tif 000053
【図５】
0003796431.tif 000054
【図６】
0003796431.tif 000055
【図７】
0003796431.tif 000056
【図８Ａ】
0003796431.tif 000057
【図８Ｂ】
0003796431.tif 000058
【図８Ｃ】
0003796431.tif 000059
【図９】
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【図１０】
0003796431.tif 000061