(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
第１のサンプリング周波数を有するデジタル信号列を第２のサンプリング周波数を有するデジタル信号列に変換するサンプリングレート変換装置において、
時系列的に隣接するサンプル間にｎ−１個の０点データを挿入してサンプリング周波数をｎ（ｎは２以上の整数）倍にするアップサンプラ、及び、アップサンプリングされたサンプルから成る信号の帯域を制限する低域通過型の第１のデジタルフィルタから成るインタポレータと、
ダウンサンプリングによるエリアシングに起因する信号劣化を回避するための低域通過型の第２のデジタルフィルタ、及び、該第２のデジタルフィルタにより得られる信号列の隣接するｍ個のサンプルに１個の割合でサンプルを間引くダウンサンプラから成るデシメータとを含み、
第１及び第２のデジタルフィルタは、
元のアナログ信号ｗｃを帯域制限したものとアナログ／デジタル／アナログ変換を通して得られるアナログ信号との誤差信号ｅｃをＨ∞ノルムの意味で設計基準値γよりも小さくするようにＩＩＲ型フィルタを設計すべく設定した次の条件式
【数１】
0003851757.tif 000033
但し、Ｔewはアナログ信号ｗｃから誤差信号ｅｃへ変換するシステムの伝達関数
に対し、サンプル値Ｈ∞制御理論を用い、ファーストサンプル−ファーストホールド近似を適用して有限次元離散時間系に変換して近似計算式を導出し、前記条件式において設計基準値γを最小又はそれに近い状態にするように設定した条件に基づいて前記近似計算式をＨ∞制御により解くことによって算出されたパラメータを係数とするＩＩＲ型フィルタにより成る、ことを特徴とするサンプリングレート変換装置。
【請求項２】
前記インタポレータ及び／又は前記デシメータは、第１及び第２のサンプリング周波数の比に応じた整数比の少なくとも一方の整数を複数の整数の乗算に分解し、該分解の結果得られた整数に応じたアップサンプラ及びデジタルフィルタ、又はデジタルフィルタ及びダウンサンプラを直列的に接続して構成したことを特徴とする請求項１に記載のサンプリングレート変換装置。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、デジタルオーディオ信号、デジタル画像信号等のデジタル信号のサンプリングレート（サンプリング周波数）を変換するためのサンプリングレート変換装置に関する。
【０００２】
【従来の技術】
ＣＤプレーヤやＭＤレコーダ／プレーヤを代表とするデジタルオーディオ機器は、既に一般に広く普及している。また、ＤＶＤプレーヤやＭＰ３レコーダ／プレーヤといった新たな機器も市場に登場し始めており、今後、大きな普及が期待されている。更にまた、デジタル画像処理が普及し、質の良い画像の圧縮や解像度変換なども今後大きな需要が見込まれている。
【０００３】
これら機器で扱われるデジタル信号は、元の連続的なアナログ信号を所定のサンプリング周期でもってサンプリングして離散信号として変換されたものである。上に挙げたようなオーディオ機器では、そこで取り扱われるデジタルオーディオ信号のサンプリング周波数は必ずしも同一ではなく、主なものだけみても、ＣＤやＭＤでは４４．１ｋＨｚ、ＤＡＴでは４８ｋＨｚ、ＤＶＤでは９６ｋＨｚが使用されている。また、サンプリング周期はオーディオ特性（具体的には周波数特性）を左右する要素であるため、将来的には更に異なるサンプリング周波数が使用されることも考えられる。
【０００４】
例えば、ＣＤプレーヤによる再生信号をＤＶＤレコーダに記録しようとする場合、一旦、ＣＤプレーヤにおいてアナログ信号に変換したあとＤＶＤレコーダで再びデジタル信号に変換するという方法を採ることができる。しかし、一般に、Ｄ／Ａ、Ａ／Ｄを通すと音質が劣化することから、アナログ信号を介すことなしにデジタル信号のまま接続することが好ましい。これが、いわゆるデジタルインターフェイスと呼ばれるものである。信号の送り出し側と受け側とのサンプリング周波数が同一であるとき、場合によってはジッタを吸収するＰＬＬなどを利用する必要はあるものの、基本的に両者を直結することが可能である。ところが、信号の送り出し側と受け側とのサンプリング周波数が相違する場合には、両者の間に、サンプリング周波数を変換するためのサンプリングレート変換器というインタフェース装置が必要となる。また、画像の圧縮や、画像を拡大／縮小するのにもサンプリングレート変換の技術が必要であり、元のアナログ画像の画質を保存するような変換が望まれる。
【０００５】
図２７は、従来のサンプリングレート変換装置の原理構成図である。この装置は、Ｌ倍のアップサンプラ３０と、伝達関数がＣ（ｚ）であるデジタルローパスフィルタ３１と、１／Ｍのダウンサンプラ３２とから構成される。
【０００６】
サンプリングレートの変換比が３／２である場合を例に挙げて、図２８の信号波形図を参照しながらサンプリングレートの変換原理を説明する。この場合、Ｌ＝３、Ｍ＝２である。まず、アップサンプラ３０により、原信号のサンプル点の間に（Ｌ−１）個、つまり２個の０点を挿入し、サンプリング周波数をＬ倍つまり３倍に引き上げる（図２８（ｂ）参照）。そのあと、間引き後に折返し雑音が発生しないように、アップサンプラ３０の処理により発生したイメージング成分を、１／Ｌ帯域又は１／Ｍ帯域のうちの帯域が狭い方の一方のＬＰＦ３１により除去する。そして、ダウンサンプラ３２により１個おきにサンプル点を間引いて、サンプリング周波数を１／Ｍつまり１／２に落とす（図２８（ｃ）参照）。
【０００７】
【発明が解決しようとする課題】
しかしながら、上述したような従来のサンプリングレート変換法では、次のような問題がある。
【０００８】
まず第１には、聴感上の音質劣化の問題である。上述したようなＬＰＦは図２９に示すような特性、つまり帯域内は平坦な周波数特性であって、帯域外では急激に大きく減衰が得られるような特性が理想的である。このような特性をそのままハードウエアで実現することは不可能であるから、一種の近似手法として、等リップル法、窓関数法、ジョンストンフィルタ等の設計手法が用いられる。しかしながら、一般に、急峻な減衰特性を得ようとすると通過帯域内のリップルが大きくなる傾向にある。また、時間応答ではギブス（Gibbs）現象として知られるリンギングが発生する傾向にあり、特に音の急峻な立ち上がり及び立ち下がり時に顕著に現れる。すなわち、従来のこの種のデジタルフィルタは、聴音上で最良になるように考慮して設計されたものではなく、サンプリングレート変換を行うとアナログオーディオとしての音質が損なわれてしまうという問題がある。なお、このような問題は、サンプリングレート変換装置のみならず、オーバーサンプリング変換を行うＤ／Ａ変換器などにも共通する問題であって、例えば、一般に、ＣＤ等のデジタルオーディオの音は「硬い」、「刺激が強い」或いは「冷たい」等と言われることが多いが、上述のような現象がその一因であるものと推察できる。
【０００９】
第２には、ハードウエアの構成上の問題である。すなわち、変換前後の周波数比が簡単な整数比になる場合、例えば３２ｋＨｚと４８ｋＨｚとの間の変換では、上述したように２乃至３倍にオーバサンプリングしたデータに対してフィルタリング処理を実行すればよい。しかしながら、４４．１ｋＨｚと３２ｋＨｚ又は４８ｋＨｚとのようにサンプリング周波数の比が簡単な整数比にならない場合、オーバサンプリングの次数が非常に大きくなり、例えば３２０倍にオーバサンプリングしたデータに対してフィルタリング処理を行わなければならない。このため、フィルタの次数は非常に大きなものとなり、或る程度の精度をもった演算を行おうとすると、ハードウエア規模は膨大なものとなってしまう。
【００１０】
本発明はこのような点に鑑みて成されたものであり、その第１の目的とするところは、音質や画質の劣化の少ない、具体的に言えば、サンプリングレート変換したあとのデジタルオーディオ信号をアナログオーディオ信号に戻したときに、特に聴感上、自然な音楽信号を得ることができる、或いは、サンプリングレート変換したあとのデジタル画像信号を復元して表示したときに、良質でごく自然な画像を得ることができるようなサンプリングレート変換装置を提供することにある。また、本発明の第２の目的は、サンプリングレート変換前後の周波数比が簡単な整数比にならない場合であっても、ハードウエア構成の規模を抑えることができるサンプリングレート変換装置を提供することにある。
【００１１】
【課題を解決するための手段】
上記課題を解決するために成された本発明は、第１のサンプリング周波数を有するデジタル信号列を第２のサンプリング周波数を有するデジタル信号列に変換するサンプリングレート変換装置において、
時系列的に隣接するサンプル間にｎ−１個の０点データを挿入してサンプリング周波数をｎ（ｎは２以上の整数）倍にするアップサンプラ、及び、アップサンプリングされたサンプルから成る信号の帯域を制限する低域通過型の第１のデジタルフィルタから成るインタポレータと、
ダウンサンプリングによるエリアシングに起因する信号劣化を回避するための低域通過型の第２のデジタルフィルタ、及び、該第２のデジタルフィルタにより得られる信号列の隣接するｍ個のサンプルに１個の割合でサンプルを間引くダウンサンプラから成るデシメータとを含み、
第１及び第２のデジタルフィルタは、
元のアナログ信号ｗｃを帯域制限したものとアナログ／デジタル／アナログ変換を通して得られるアナログ信号との誤差信号ｅｃをＨ∞ノルムの意味で設計基準値γよりも小さくするようにＩＩＲ型フィルタを設計すべく設定した後述の(3)式による条件式に対し、サンプル値Ｈ∞制御理論を用い、ファーストサンプル−ファーストホールド近似を適用して有限次元離散時間系に変換して近似計算式を導出し、前記条件式において設計基準値γを最小又はそれに近い状態にするように設定した条件に基づいて前記近似計算式をＨ∞制御により解くことによって算出されたパラメータを係数とするＩＩＲ型フィルタにより成る、ことを特徴としている。
【００１２】
本発明に係るサンプリングレート変換装置に含まれる第１及び第２のデジタルフィルタは、理想周波数特性等に着目して設計を行う従来の手法とは全く発想を異にする手法で設計されるものである。すなわち、従来の手法では、標本化される連続時間信号は完全に帯域制限されていると仮定しているが、実際にはエリアシング（折返し）の影響が無視できない。そこで、より良い信号復元性を達成するには、デジタル信号のサンプルを単に離散時間信号としてのみ捉えるのではなく、サンプル間応答に含まれるアナログ特性をも考慮した設計を行う必要がある。このようなことから、本発明者は連続時間特性を扱うことができるサンプル値制御理論、より詳しくはサンプル値Ｈ∞制御をデジタルオーディオ信号を扱うＤ／Ａ変換技術やサンプリングレート変換技術に導入する試みについて長年研究を続けてきた。
【００１３】
その研究の過程で、本発明者らはＨ∞制御を用いてＦＩＲ型デジタルフィルタを設計する方法について明らかにしている（例えば「マルチレートＤ／Ａ変換器のサンプル値Ｈ∞，Ｈ２／Ｈ∞設計」（システム制御情報学会論文誌、Vol.11,No.10,pp.585-592,1998）等を参照）。しかしながら、全周波数帯域において最適性を保証するために、次数を限定したＦＩＲ型デジタルフィルタを対象とするという制約があった。また、その制約のため、一般的なＨ∞制御の解法でなく、数理計画法の中の凸最適化問題の一つに帰着させて解く必要があるが、これが高次元であるため、Ｈ∞制御の解法を与える一般に入手可能なツールで容易に解くことが困難であった。
【００１４】
これに対し、本発明者は、更なる研究の結果、次数の制限を設けず、またＦＩＲ型のみならず一般的なＩＩＲ型フィルタを対象とした最適設計問題がサンプル値制御の問題に帰着されること、更にそのサンプル値制御系の設計にＦＳＦＨ（ファーストサンプル・ファーストホールド）の手法を導入することにより有効な近似最適化解法が得られるという知見を得るに至った。この手法によれば、ＦＩＲ型デジタルフィルタに対象を限らないで、しかも一般に次数が少なくて済むＩＩＲ型デジタルフィルタを容易に設計することができる。また、フィルタの次数の制約等がない、一般的な形式での最適性が保証されると共に、特殊な解法を用いることなく一般的なＨ∞制御理論の解法が適用できる。そのため、一般に入手容易な種々のソフトウエア等を利用して設計を行うことができる。
【００１５】
また、上記課題を解決するために、本発明に係るサンプリングレート変換装置において、前記インタポレータ及び／又は前記デシメータは、第１及び第２のサンプリング周波数の比に応じた整数比の少なくとも一方の整数を複数の整数の乗算に分解し、該分解の結果得られた整数に応じたアップサンプラ及びデジタルフィルタ、又はデジタルフィルタ及びダウンサンプラを直列的に接続して構成したものとすることができる。
【００１６】
この構成によれば、複数に分割された各段のオーバーサンプリング次数又はダウンサンプリング次数は元の周波数比の整数に比べて小さくなり、それに応じて各デジタルフィルタの次数も小さくすることができる。また、複数に分割されたインターポレータ及びデシメータをそれぞれ縦続に接続することにより、複雑な周波数比を有するサンプリングレート変換装置を容易に構成することができる。
【００１７】
【発明の実施の形態】
本発明に係るサンプリングレート変換装置の設計方法の原理を以下に説明する。図２７に示したようなサンプリングレート変換装置は、デジタルフィルタを２つに分割することにより、図１に示すように構成することができる。すなわち、このサンプリングレート変換装置は、アップサンプラ１ａ及び第１デジタルフィルタ１ｂから成るインタポレータ１と、第２デジタルフィルタ２ａ及びダウンサンプラ２ｂから成るデシメータ２とから構成される。
【００１８】
また、上記構成において、整数Ｌ、ＭをそれぞれＬ１Ｌ２…Ｌｍ、Ｍ１Ｍ２…Ｍｎに分解することができる場合には、図２に示すように、インタポレータ１をそれぞれ複数のアップサンプラ１ａ１，…，１ａｍ及びデジタルフィルタ１ｂ１，…，１ｂｍの縦属接続で構成するとともに、デシメータ２も複数のデジタルフィルタ２ａ１，…，２ａｎ及びダウンサンプラ２ｂ１，…，２ｂｍの縦属接続で構成する。これにより、各デジタルフィルタ１ｂ１，…，１ｂｍ，２ａ１，…，２ａｎの次数は元のデジタルフィルタ１ｂ，２ａの次数と比べてかなり小さくすることができる。勿論、通常、上記のように分解できないような整数Ｌ、Ｍであれば、それ自身があまり大きくなく、フィルタの次数も比較的小さい。
【００１９】
ここで一例として、ＤＡＴの規格周波数である４８ｋＨｚからＣＤの規格周波数である４４．１ｋＨｚにサンプリングレートを変換する場合について考える。この場合、図１の構成では、Ｌは１４７、Ｍは１６０となるから、Ｌ＝３×７２、Ｍ＝２５×５と分解することができる。したがって、上述した縦属接続の手法を用いれば、このサンプリングレート変換装置は図３に示す構成とすることができる。インタポレータ１はアップサンプリングが３倍及び７倍の２種類、デシメータ２はダウンサンプリングが１／２及び１／５の２種類をそれぞれ設計し、それらを図３に示すように複数段縦属接続すればよい。
【００２０】
本発明では、図１〜図３に示すようにインタポレータ１とデシメータ２とにそれぞれ含まれるデジタルフィルタは、それぞれ別個に設計される。次に、このデジタルフィルタの設計方法を説明する。以下の説明により、ＩＩＲ型フィルタを設計すべく設定した条件式、その条件式を有限次元離散時間系に近似的に変換する方法が明らかになる。
【００２１】
まず、インタポレータ１側のデジタルフィルタの設計方法を説明する。
（Ａ１）設計の命題の設定
図４は、インタポレータによる信号復元系モデルを示すブロック図である。連続時間信号である入力ｗｃは、Ａ／Ｄ変換部１０に含まれるアンチエリアシングフィルタ１１で帯域制限されたあと、サンプラ１２においてサンプル周期ｈでサンプリングされ離散時間信号ｙｄとなる。この離散時間信号ｙｄが続くインタポレータによりレート変換される。まず、この離散時間信号ｙｄをアップサンプラ１４によりサンプル周期ｈ／Ｍの離散時間信号ｘｄに変換する。その際、次の(1)式のようにｙｄに０信号が挿入される。
【数１】
0003851757.tif 000002
続いて、この離散信号ｘｄはＫ（ｚ）で表現されるデジタルフィルタ１５で処理されることにより上記挿入された０信号が適宜な値に修正され、周期ｈ／Ｍで動作する０次ホールド１６により連続時間信号ｕｃとなる。最後に、この信号ｕｃをアナログローパスフィルタ（ＬＰＦ）１７により平滑化し復元信号ｚｃを得る。このインタポレータ（つまりアップサンプラ１４及びデジタルフィルタ１５）、０次ホールド１６及びＬＰＦ１７により構成されるシステムは、速いサンプル周期で動作するホールド回路によりデジタル信号をアナログ信号に変換するオーバーサンプリング型Ｄ／Ａ変換器１３と看做すことができる。
【００２２】
オーディオ分野では、このような信号復元には或る程度の時間遅延が許される。そこで、この時間遅れを考慮して信号復元の際の誤差系モデルを考えると、図５に示すようになる。図５では、下側の信号経路がインタポレータによるレート変換の信号処理系であり、上側の信号経路がその信号処理系による時間遅れを考慮した遅延系である。時間遅れ要素１８は帯域制限信号ｙｃに上述した信号処理による時間遅れｍｈを与え、減算器１９により復元信号ｚｃと遅延した帯域制限信号との誤差信号ｅｃを取り出す。この誤差信号ｅｃも連続時間信号であるから、次の(2)式のようにおく。
ｅｃ（ｔ）＝ｚｃ（ｔ）−ｙｃ（ｔ−ｍｈ）        …(2)
【００２３】
ここでは、この誤差信号ｅｃができる限り小さくなるようにＩＩＲ型デジタルフィルタを構成する。すなわち、安定な連続時間フィルタ（アンチエリアシングフィルタ１１及びＬＰＦ１７）と正の整数ｍ、Ｎ、Ｍとが与えられている条件下で、ＩＩＲ型デジタルフィルタを設計する。そのために、連続時間信号ｗｃから誤差信号ｅｃへ変換するシステムをＴｅｗとおいたとき、与えられたγに対し、次の(3)式を満たすようなＫ（ｚ）を求める。
【数２】
0003851757.tif 000003
つまり、この(3)式が上述したＩＩＲ型フィルタを設計すべく設定した条件式である。ここでγは誤差の大きさを支配するものであり、小さいほどよい。Ｈ∞制御では、これを繰り返し計算によって最小化する方法が採られる。
【００２４】
（Ａ２）単一レート系への変換
まず、図５に示したアップサンプラ及びむだ時間系を含む系（マルチレート系）を単一のサンプル周期の有限次元系（単一レート系）に変換する。そのためには、次の式(4)で定義される離散時間リフティングＬＭ及び逆リフティングＬＭ−１を導入する。
【数３】
0003851757.tif 000004
ただし、↓Ｍはダウンサンプラであり次の(5)式で定義される。
【数４】
0003851757.tif 000005
【００２５】
上記離散時間リフティング及び逆リフティングを用いてＫ（ｚ）（↑Ｍ）、つまりアップサンプラ１４とデジタルフィルタ１５とによる処理を変換する。
【数５】
0003851757.tif 000006
ここで、Ｋ’（ｚ）は１入力Ｍ出力の線形時不変（ＬＴＩ：Linear Time-Invariant）システムであり、Ｋ（ｚ）との関係は次の(7)式で与えられる。
【数６】
0003851757.tif 000007
【００２６】
次に、(8)式で示される一般化ホールド〈Ｈｈ〉’を導入する。
【数７】
0003851757.tif 000008
【００２７】
このとき次の等式(9)が成り立つ。
【数８】
0003851757.tif 000009
(6)式及び(9)式より、次の(10)式が成り立つ。
【数９】
0003851757.tif 000010
すなわち、図５に示したマルチレート系のモデルは図６に示す単一レート系のモデルに等価的に変換される。
【００２８】
続いて、連続時間むだ時間要素であるｅ−ｍｈｓを有限次元化するために、系の入力をｍステップだけ遅らせるような変換を行う。これにより、所望の設計問題は、Ｋ’（ｚ）の代わりに非因果的なフィルタｚｍＫ’（ｚ）を設計する問題に変換される。また、これを更に有限次元離散時間系の設計問題に帰着させることもできる。その手法の詳細は、カルゴネカー、山本：「ディレイド・シグナル・リコンストラクション・ユージング・サンプルド−データ・コントロール」、プロシーディングス・オブ・３５ス・コンファレンス・オン・デシジョン・アンド・コントロール、１２５９頁〜１２６３頁（１９９６年）（P.P.Khargonekar and Y.Yamamoto:"Delayed signal reconstruction using sampled-data control"; Proc. of 35th Conf. on Decision and Control, pp.1259-1263(1996))に記載されている。ただし、これには近似は入らないものの、中間段階での設計フィルタの非因果性により、最終的に因果的なフィルタを得るために、後述するような強い制約条件が課せられており、その仮定は本デジタルフィルタの設計問題では余り満たされないことに注意しておく必要がある。したがって、より実際的な離散時間問題への変換法が求められる。
【００２９】
（Ａ３）離散時間系への変換
上記事情に鑑み、原問題が制約条件のない近似的な離散時間系設計問題に帰着できることを示す。そのために、ここではＦＳＦＨ（ファーストサンプル・ファーストホールド）手法を適用する。ＦＳＦＨ手法はサンプル値制御系の性能を評価する一手法であって、ｈ周期のサンプル値系の連続時間入出力をｈ／Ｎ（Ｎは自然数）周期で動作するサンプラとホールドによって離散化し、十分に大きなＮに対する離散時間信号で連続時間信号を近似する方法である。なお、ＦＳＦＨ手法の詳細は、山本、マディエフスキ、アンダーソン：「コンピュテーション・アンド・コンバージェンス・オブ・フリクエンシ・レスポンス・ビア・ファスト・サンプリング・フォー・サンプルド−データ・コントロール・システムズ」、プロシーディングス・オブ・３６ス・コンファレンス・オン・デシジョン・アンド・コントロール、２１５７頁〜２１６２頁（１９９７年）（Y.Yamamoto, A.G.Madievski and B.D.O.Anderson:"Computation and convergence of frequency response via fast sampling for sampled-data control systems"; Proc. of 36th Conf. on Decision and Control, pp.2157-2162(1997))に記載されている。
【００３０】
設計のために図６を一般化プラント形式に描き直したものが図７である。この図７中に示したサンプル値系ｇｓ は次の(11)式で定義される。
【数１０】
0003851757.tif 000011
ＦＳＦＨ手法を用いれば、このサンプル値系ｇｓの近似離散時間系は次の(12-1)式で与えられる。ただし、ＦＳＦＨにおいてＮ＝Ｍｌ（ｌは自然数）としている。
【数１１】
0003851757.tif 000012
ＧｄＮ（ｚ）の各行列及び作用素は次のように定義される。
【数１２】
0003851757.tif 000013
【００３１】
上記近似離散時間系ＧｄＮを用いて上記(3)式は次の(13)式で近似され、(3)式を満たすようなＫ（ｚ）を求めるということは近似的に有限次元離散時間系の問題に帰着される。
【数１３】
0003851757.tif 000014
ただし、
【数１４】
0003851757.tif 000015
である。すなわち、図７は図８に示す有限次元離散時間系に変換されることになる。
【００３２】
ここで注意すべきことは、条件‖Ｄ１１‖＜γの下で図７のサンプル値系とＨ∞ノルム上界等価な離散時間系を計算する方法が従来提案されているが（藤岡、臼井、山本：「マルチレートフィルタバンクのサンプル値Ｈ∞設計−Ｍチャンネルの場合−」、第２７回制御理論シンポジウム（１９９８年）参照）、ここでは通常のサンプル値Ｈ∞制御とは異なり、‖Ｄ１１‖＜γは(3)式において非常に強い制約となる。これが上述したようなＦＳＦＨ近似を必要とする（また上記のカルゴネカー及び山本による文献に記載の、近似無しの離散時間系への変換手法を適用し難い）理由である。ただし、
【数１５】
0003851757.tif 000016
であり、（ＡＦ，ＢＦ，ＣＦ）はアンチエリアシングフィルタ１１のＦ（ｓ）の実現である。
【００３３】
而して、式(13)を求め、ごく一般的な離散時間Ｈ∞制御問題を解けば、所望のＩＩＲ型フィルタＫ（ｚ）が得られることになる。
【００３４】
次に、デシメータ２側のデジタルフィルタの設計方法を説明する。デシメータの設計方法も上記インタポレータ１側のデジタルフィルタの設計方法と基本的に同一の手法であるので、重複する部分については説明を簡単に済ませる。
【００３５】
（Ｂ１）設計の命題の設定
図９はデシメータによる信号復元系モデルを示すブロック図である。連続時間信号である入力ｗｃは、アンチエリアシングフィルタ２１で帯域制限されたあと、サンプラ２２においてサンプル周期ｈ／Ｍでサンプリングされ離散時間信号ｙｄとなる。この離散時間信号ｙｄが続くデシメータによりレート変換される。まず、この離散時間信号ｙｄはＨ（ｚ）で表現されるデジタルフィルタ２３で処理され、そのあとダウンサンプラ２４によりサンプル周期ｈの離散時間信号ｘｄに変換される。このｘｄが周期ｈで動作する０次ホールド２６によって連続時間信号ｕｃに変換され、最後に、この信号ｕｃをアナログローパスフィルタ（ＬＰＦ）２７により平滑化し復元信号ｚｃを得る。フィルタ２１、サンプラ２２及びデシメータ（つまりデジタルフィルタ２３及びダウンサンプラ２４）により構成されるシステムは、速いサンプル周期で動作するサンプラにより離散化したあと、遅い周期の離散時間信号に変換するオーバーサンプリング型Ａ／Ｄ変換器２０と看做すことができる。
【００３６】
上記インタポレータ設計の場合と同様に、時間遅れを考慮して信号復元の際の誤差系モデルを考えると、図１０に示すようになる。図１０では、下側の信号経路がデシメータによるレート変換の信号処理系であり、上側の信号経路がその信号処理系による時間遅れを考慮した遅延系である。この誤差信号ｅｃができる限り小さくなるようにＩＩＲ型デジタルフィルタを構成することを考えると、上記(3)式がＩＩＲ型フィルタを設計すべく設定した条件式となる。
【００３７】
（Ｂ２）単一レート系への変換
このダウンサンプラ及びむだ時間系を含む系（マルチレート系）を単一のサンプル周期の有限次元系（単一レート系）に変換する。そのためには、上述したような離散時間リフティング及び逆リフティングを導入する。この離散時間リフティング及び逆リフティングを用いて、（↓Ｍ）Ｈ（ｚ）つまりデジタルフィルタ２３とダウンサンプラ２４とによる処理を変換すると次の(14)式となる。
【数１６】
0003851757.tif 000017
ここで、Ｈ’（ｚ）はＭ入力１出力の線形時不変システムであり、Ｈ（ｚ）との関係は次の(15)式で与えられる。
【数１７】
0003851757.tif 000018
【００３８】
次に、(16)式で示される一般化サンプラＳｈ’を導入する。
【数１８】
0003851757.tif 000019
【００３９】
このとき次の等式(17)が成り立つ。
【数１９】
0003851757.tif 000020
(14)式及び(17)式より、次の(18)式が成り立つ。
【数２０】
0003851757.tif 000021
すなわち、図１０に示したマルチレート系のモデルは図１１に示す単一レート系のモデルに等価的に変換される。
【００４０】
（Ｂ３）離散時間系への変換
更にＦＳＦＨ手法を適用して離散時間系への変換を行う。その設計のために図１１を一般化プラント形式に描き直したものが図１２である。上述したようにＦＳＦＨにより、この図１２中に示されたサンプル値系ｇｓ の近似離散時間系ＧｄＮを用いて、このデシメータ設計においても上記(3)式は(19)式で近似され、(3)式を満たすようなＨ（ｚ）を求めるということは近似的に有限次元離散時間系の問題に帰着されることになる。
【数２１】
0003851757.tif 000022
ただし、
【数２２】
0003851757.tif 000023
である。すなわち、図１２は図１３に示す有限次元離散時間系に変換される。
【００４１】
而して、(19)式を求め、ごく一般的な離散時間Ｈ∞制御問題を解けば、所望のＩＩＲ型フィルタＨ（ｚ）が得られることになる。
【００４２】
なお、この発明によるデジタルフィルタの設計方法はコンピュータで所定のプログラムを実行することにより実現される。そのプログラムの一部は後述の如く既存のものを利用することができる。
【００４３】
次いで、この発明に係る上記手法に従った具体的なフィルタ設計の一例を説明する。
【００４４】
まず、インタポレータの設計の単純な例として、アップサンプリング次数Ｍ＝２（つまり２倍オーバーサンプリング）、サンプル周期ｈ＝１、信号復元に許容する遅れのステップ数ｍ＝２とした場合を考える。アンチエリアシングフィルタ１１の特性Ｆ（ｓ）は、
0003851757.tif 000024
とする。したがって、ナイキスト周波数はπ［ｒａｄ／ｓｅｃ］＝０．５［Ｈｚ］となる。このフィルタの周波数特性は、０．１４２４８［ｒａｄ／ｓｅｃ］から１次特性で減衰し、更に１．４２４８［ｒａｄ／ｓｅｃ］から２次特性で減衰する。これをＣＤのサンプリング周波数ｆｓ＝４４．１ｋＨｚに換算すると、１ｋＨｚから１次特性で減衰し、更に１０ｋＨｚから２次特性で減衰するフィルタに相当する。
【００４５】
ＣＤは約２０ｋＨｚまでのオーディオ周波数帯域を有しているが、実際に収録されている音楽の周波数スペクトルはこの帯域内で平坦ではなく、高域において減衰している。実際、オーケストラなどの広帯域のソースで優秀録音と言われているものを観測しても、２０ｋＨｚまでほぼ平坦に伸びているものは殆どなく、１０ｋＨｚ以上でなだらかに減衰する特性となっている。したがって、上記のような特性のアンチエリアシングフィルタは、音楽信号の自然なエネルギー分布を反映したものと考えられる。すなわち、従来のように完全に帯域制限された信号を原音楽信号のモデルとするのではなく、このような周波数分布に対する重み付けを反映してＣＤに対応するデジタルフィルタを設計するのが、より自然なアプローチであると言える。
【００４６】
また計算を簡単化するために、ホールド後の信号平滑化のためのＬＰＦ１７の特性はＰ（ｓ）＝１としている。実際には１次遅れ型ＬＰＦなどが適当であるが、この場合でも減衰特性が緩やかであるため殆ど周波数特性には影響を与えず、本例と類似した結果が得られる。
【００４７】
上記条件の下で、上述したような設計手法によりデジタルフィルタの設計を行った。まず、Ｆ（ｓ）は次のような状態空間表現を持つ。
【数２３】
0003851757.tif 000025
ただし、ここで、
【数２４】
0003851757.tif 000026
である。
【００４８】
また、式(12-2)を用いて、
【数２５】
0003851757.tif 000027
とし、これから、
【数２６】
0003851757.tif 000028
が得られる。すなわち、これが図８の誤差系の一般化プラントｇｓに対応する式である。
【００４９】
このようにしてＡｃ、Ｂｃ１等、全てのパラメータが得られるので、以降は式(12−1)によりＧｄＮ（ｚ）を求める。この計算は、マトラブ（Ｍａｔｌａｂ）等、既存のＣＡＤを利用して行うことができる。更に、図９に従って離散時間Ｈ∞制御を利用して解を求める。この計算も例えばＭａｔｌａｂのミューツールズ（μTools）やロバスト・コントロール・ツールボックス（Robust Control Toolbox）を利用して行うことができる。
【００５０】
このようにして得られたＩＩＲ型デジタルフィルタの特性の計算を行った。このフィルタが２３次であって、次のような伝達関数を有する。
【数２７】
0003851757.tif 000029
【００５１】
また、比較対象のため、従来の設計手法によるデジタルフィルタとして、いわゆるジョンストンフィルタによる特性も計算した。このジョンストンフィルタは３１次であって、次のような伝達関数を有する。
【数２８】
0003851757.tif 000030
【００５２】
本発明によるデジタルフィルタとジョンストンフィルタとの特性の計算結果を図１４〜図１７に示す。図１４は両フィルタの利得の周波数特性（本発明によるフィルタを実線で、従来のフィルタを点線で示す。以下同様）、図１５は本発明による方形波パルス応答、図１６はジョンストンフィルタによる方形波パルス応答、図１７は図６に示したような誤差信号ｅｃの利得の周波数数特性を上記実施例とジョンストンフィルタとについて示したグラフである。
【００５３】
図１５と図１６とを比較するとわかるように、本発明によるデジタルフィルタでは立ち上がり及び立ち下がり時のリンギングがジョンストンフィルタよりも小さくなっている。既述したように、このような相違は特に音の「硬さ」や「刺激の強さ」等に影響を与えるものと考えられる。また図１７では、誤差信号が小さいほど原音（厳密にはアンチエリアシングフィルタの出力）に忠実に再生されていると言うことができ、本発明によるデジタルフィルタを用いれば広い周波数帯域において再現音の忠実性が高いことがわかる。これは、本発明によるフィルタと従来のジョンストンフィルタとにおける上記の時間応答の差異を反映した結果になっている。
【００５４】
また、デシメータのデジタルフィルタに関しても、ダウンサンプリング次数Ｍ＝２とし、サンプル値設計は上記インタポレータと同様の条件として設計した。その結果、フィルタの次数は６次となり、ジョンストンフィルタに比べて大幅に低い次数となる。このときの本発明によるデジタルフィルタと従来のフィルタとの特性の計算結果を図１８〜図２１に示す。図１８は両フィルタの利得の周波数特性、図１９は本発明による方形波パルス応答、図２０はジョンストンフィルタによる方形波パルス応答、図２１は図１１に示したような誤差信号ｅｃの利得の周波数数特性を上記実施例とジョンストンフィルタとについて示したグラフである。インタポレータの場合と同様に、本発明によるフィルタは広い周波数帯域において再現音の忠実性が高い。
【００５５】
なお、上記フィルタはいずれもＩＩＲ型フィルタとして設計したものであるが、実際にインパルス応答を計算してみると、所定のステップ数以降は実質的に応答は零となっている。これは、そのステップ数までで打ち切ったＦＩＲ型フィルタで実現可能であることを示している。このことは、実際にハードウエアで構成する場合に、規模を抑制するために非常に有利な性質である。
【００５６】
次に、サンプリング周期をｈ１＝１からｈ２＝４／３に変換するサンプリングレート変換装置の設計の一例を説明する。つまり、図１に示す構成において、Ｌ＝３、Ｍ＝４である。また、設計の際のパラメータは次の通りとした。
0003851757.tif 000031
【００５７】
このような条件の下で、上述したようなサンプル値設計によりそれぞれ得られたインタポレータ１のフィルタＫ（ｚ）とデシメータ側のフィルタＨ（ｚ）とを直列に接続したフィルタＣ（ｚ）＝Ｈ（ｚ）Ｋ（ｚ）は２３次となった。このフィルタＣ（ｚ）の伝達関数は次式のようになる。
【数２９】
0003851757.tif 000032
【００５８】
このデジタルフィルタＣ（ｚ）と従来の等リップルフィルタとの特性の計算結果を図２２〜図２４に示す。図２２は両フィルタの利得の周波数特性、図２３は本発明による方形波パルス応答、図２４は等リップルフィルタによる方形波パルス応答である。図２３及び図２４を見ればわかる通り、等リップルフィルタでは方形波のエッジの部分に大きなリンギングが生じているのに対し、本発明のフィルタによればこのようなリンギングが殆ど発生しない。また、図２５に示すような誤差系に対して、連続時間入力ｗｃから連続時間出力ｅｃまでの周波数応答の計算結果を図２６に示す。これにより、本発明のデジタルフィルタによれば、特に低周波域と高周波域とで約１０ｄＢ程度の改善効果が得られることがわかる。すなわち、各デジタルフィルタを上記手法により最適設計することにより、これらを組み合わせたフィルタでも高い原音忠実性が保たれる。
【００５９】
以上はコンピュータによりソフトウエア的にフィルタを構成した場合の計算結果であるが、このフィルタをハードウエアで具現化する際には周知の構成とすればよい（例えば、三谷：「ディジタルフィルタデザイン」昭晃堂（１９８７年）等を参照）。実際に、汎用のデジタルシグナルプロセッサ（ＤＳＰ）やワンチップのＬＳＩで容易に構成することができる。
【００６０】
なお、上記説明はオーディオ信号に関して本発明を適用した例であるが、同様の手法を画像信号に適用できることは当業者には明らかである。
【００６１】
【発明の効果】
以上説明した通り、第１の発明に係るサンプリングレート変換装置によれば、サンプリングレート変換によるアナログ信号の復元誤差が広い周波数帯域に亘って小さくなるように保証されているので、音質や画質の劣化が少なくなる。つまり、本発明をデジタルオーディオ信号に適用すれば、サンプリングレート変換後のデジタルオーディオ信号をアナログ信号に戻したときに、きわめて原音（集音又は録音時の音）に忠実なオーディオ信号を得ることができる。特に、聴感上きわめて滑らかで、高音がきわめて素直に伸びた再生音を得ることができる。また、本発明をデジタル画像信号に適用すれば、サンプリングレート変換後のデジタル画像信号を復元して画面上に表示したときに、きわめて元の画像に近い自然な画像を得ることができる。
【００６２】
また、第２の発明に係るサンプリングレート変換装置によれば、サンプリング周波数の変換比が簡単な整数比にならないような場合であっても、デジタルフィルタの次数を抑えることができるので、適切なハードウエア規模でもって装置を構成することができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】  本発明に係るサンプリングレート変換装置の基本構成図。
【図２】  本発明に係るサンプリングレート変換装置を多段縦属接続した場合の基本構成図。
【図３】  本発明に係るサンプリングレート変換装置を多段縦属接続した場合の構成の一例。
【図４】  本発明に係るサンプリングレート変換装置のインタポレータの信号復元系モデルを示すブロック図。
【図５】  図４の信号復元系モデルに対する誤差系モデルを示すブロック図。
【図６】  図５の誤差系モデルを単一レート系モデルに変換したときのブロック図。
【図７】  誤差系の一般プラント形式のブロック図。
【図８】  図７の形式を有限次元離散時間系に変換したときのブロック図。
【図９】  本発明に係るサンプリングレート変換装置のデシメータの信号復元系モデルを示すブロック図。
【図１０】  図９の信号復元系モデルに対する誤差系モデルを示すブロック図。
【図１１】  図１０の誤差系モデルを単一レート系モデルに変換したときのブロック図。
【図１２】  誤差系の一般プラント形式のブロック図。
【図１３】  図１２の形式を有限次元離散時間系に変換したときのブロック図。
【図１４】  本発明の一実施例によるインタポレータ側のＩＩＲ型デジタルフィルタの利得の周波数特性を示す図。
【図１５】  このＩＩＲ型デジタルフィルタの方形波パルス応答を示す図。
【図１６】  従来のジョンストンフィルタの方形波パルス応答を示す図。
【図１７】  本発明によるＩＩＲ型デジタルフィルタと従来のジョンストンフィルタとの誤差信号ｅｃの利得の周波数数特性を示す図。
【図１８】  本発明の一実施例によるデシメータ側のＩＩＲ型デジタルフィルタの利得の周波数特性を示す図。
【図１９】  このＩＩＲ型デジタルフィルタの方形波パルス応答を示す図。
【図２０】  従来のジョンストンフィルタの方形波パルス応答を示す図。
【図２１】  本発明によるＩＩＲ型デジタルフィルタと従来のジョンストンフィルタとの誤差信号ｅｃの利得の周波数数特性を示す図。
【図２２】  本発明の一実施例によるサンプルレート変換装置のデジタルフィルタの利得の周波数特性を示す図。
【図２３】  このＩＩＲ型デジタルフィルタの方形波パルス応答を示す図。
【図２４】  従来のジョンストンフィルタの方形波パルス応答を示す図。
【図２５】  本発明の一実施例によるサンプルレート変換装置の誤差系モデルを示すブロック図。
【図２６】  本発明によるＩＩＲ型デジタルフィルタと従来のジョンストンフィルタとの誤差信号ｅｃの利得の周波数数特性を示す図。
【図２７】  従来のサンプリングレート変換装置の原理構成図。
【図２８】  サンプリングレートの変換動作を説明するための信号波形図。
【図２９】  理想的なフィルタの特性を示す図。
【符号の説明】
１…インタポレータ
２…デシメータ
１ａ、１ａ１〜１ａｍ、１４、…アップサンプラ
２ｂ、２ｂ１〜２ｂｎ、２４…ダウンサンプラ
１ｂ、２ａ、１ｂ１〜１ｂｍ、２ａ１〜２ａｎ、１５、２３…デジタルローパスフィルタ
１１、２１…アンチエリアシングフィルタ
１２、２２…サンプラ
１６、２６…０次ホールド
１７、２７…アナログローパスフィルタ
１８、２８…遅れ時間要素
１９、２９…減算器
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
0003851757.tif 000039
【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
0003851757.tif 000049
【図１７】
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【図１８】
0003851757.tif 000051
【図１９】
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【図２０】
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【図２１】
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【図２２】
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【図２３】
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【図２４】
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【図２５】
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【図２６】
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【図２７】
0003851757.tif 000060
【図２８】
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【図２９】
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