(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
投影縞を使用して、不連続表面を有することがある物体の形状を測定する方法において、縞のピッチを時間の経過につれて変化させかつ一連の位相段階付けされた画像を記録し、これから３次元複素強度分布を計算することを特徴とする方法。
【請求項２】
前記分布の位相が時間軸に沿ってアンラップされる、請求の範囲第１項に記載の方法。
【請求項３】
前記分布のフーリエ変換が時間軸に沿って計算される、請求の範囲第１項に記載の方法。
【請求項４】
位相マップが画素像として記録される、請求の範囲第１項〜第３項のいずれか１項に記載の方法。
【請求項５】
縞のピッチが圧電装置手段により変えられる、請求の範囲第１項〜第４項のいずれか１項に記載の方法。
【請求項６】
縞がマイケルソン干渉計により形成される、請求の範囲第１項〜第５項のいずれか１項に記載の方法。
【請求項７】
縞の位相および空間周波数が平面鏡により変えられる、請求の範囲第６項に記載の方法。
【請求項８】
縞が、異なる光路を進行するレーザ光間の干渉により発生され、前記光路のうちの少なくとも一方を変化させて位相および空間周波数を変えることができる、請求の範囲第１項〜第７項のいずれか１項に記載の方法。
【請求項９】
縞が、空間光変調器により非コヒーレント光から発生される、請求の範囲第１項〜第４項のいずれか１項に記載の方法。
【請求項１０】
投影縞を使用して、不連続表面を有することがある物体の形状を測定する装置において、測定すべき物体上に縞を投影する縞発生手段と、縞の位相を変化させる位相段階付け手段および発生された縞のピッチを時間の経過につれて変化させる縞ピッチ変化手段と、一連の位相段階付けされた画像を記録する記録手段と、３次元複素強度分布を計算すべくプログラムされた計算手段とを有することを特徴とする装置。
【請求項１１】
前記計算手段は時間軸に沿って３次元複素強度分布の位相をアンラップするようにプログラムされている、請求の範囲第１０項に記載の装置。
【請求項１２】
プログラミング手段は、分布の時間軸に沿ってフーリエ変換を計算するようにプログラムされている、請求の範囲第１０項に記載の装置。
【請求項１３】
前記縞発生手段がマイケルソン干渉計手段を有している、請求の範囲第１２項に記載の装置。
【請求項１４】
縞の位相およびピッチを変える手段が平面鏡手段を有している、請求の範囲第１３項に記載の装置。
【請求項１５】
干渉計手段が、直交隣接面を備えたビームスプリッタキューブと、該隣接面に並置される調節可能な鏡とを有している、請求の範囲第１４項に記載の装置。
【請求項１６】
１つの鏡がその関連する面に近づく方向および離れる方向に調節でき、少なくとも１つの鏡が傾動を調節できる、請求の範囲第１５項に記載の装置。
【請求項１７】
少なくとも１つの鏡が圧電装置により調節できる、請求の範囲第１５項または第１６項に記載の装置。
【請求項１８】
前記縞発生手段は、２つの異なる光路を形成するレーザ照明形光ファイバ手段を有している、請求の範囲第１０項に記載の装置。
【請求項１９】
前記位相を変える手段が、光ファイバの長さを変える手段からなる、請求の範囲第１８項に記載の装置。
【請求項２０】
前記長さを変える手段は圧電シリンダを有し、該シリンダの周囲に光ファイバが巻回され、シリンダはその直径を変えるため電気的に付勢される、請求の範囲第１９項に記載の装置。
【請求項２１】
前記縞は、空間光変調器による非コヒーレント光から発生される、請求の範囲第１０項に記載の装置。
【請求項２２】
前記縞発生手段は白色光源と、コンデンサレンズシステムと、空間光変調器と、測定すべき物体上に縞を投影する投影レンズとを有している、請求の範囲第２１項に記載の装置。
【請求項２３】
前記記録手段はビデオシステムのような画素像記録器からなる、請求の範囲第１０項〜第２２項のいずれか１項に記載の装置。
【請求項２４】
前記計算手段は、全画素像こまに、同時に簡単な並列算術演算を行なうことによりリアルタイムで演算するように構成されたプロセッサを有している、請求の範囲第１０項〜第２３項のいずれか１項に記載の装置。
【発明の詳細な説明】
本発明は、物体の形状を測定する技術に関する。
表面輪郭の測定に投影縞（projected fringes）を使用することは、例えば、V.Srinivasan, H.C. LiuおよびM. Halioua著「３次元拡散物体の自動位相測定プロフィロメトリ（“Automated phase-measuring profilometry of 3-D diffuse objects”）」により説明されている非常に進歩した技術である。物体表面上には、慣用的な結像システムまたはコヒーレント光干渉パターンにより、平行縞が投影される。投影方向および観察方向が異なる場合には、測定した縞パターンの位相分布は、物体の表面光輪郭に関する情報を有している。感度は、線格子を介して観察することにより向上され、この技術は投影モアレと呼ばれている。
縞パターンの自動分析は、通常、フーリエ変換法（M Takeda, H InaおよびS Kobayashi著「コンピュータベース断層トポグラフィおよびインターフェロメトリの縞パターン分析を行うフーリエ変換法（“Fourier-transform method of fringe-pattern analysis for computer-based topography and interferometry”）」J Opt. Soc、Am 72、第156〜160頁（1982年）参照）または縞パターンの位相段階付け（J.H. Bruning, D.R. Herriott, J.E. Galla-gher, D.P. Rosenfeld, a.d. WhiteおよびD.J. Brangaccio著「光学的表面およびレンズを試験するデジタル波先測定干渉計（“Digital wavefront measuring interferometer for testing optical surface and lenses”）」、Appl. Opt. 13、第2693〜2703頁（1974年）参照）により行われる。両方法は、ラップ状位相マップ（すなわち、−πから＋πの範囲内にある位相値）を形成する。この場合、位相アンラッピング（phase unwrapping）として知られた技術により２π位相ジャンプを除去して、表面形状を復元しなければならない。位相アンラッピング（phase unwrapping）は、通常、隣接画素の位相を比較しかつ２πの倍数を加算または減算して両画素間の相対位相を−πから＋πの範囲内に入れることにより行われる。これは、この技術を実際の工学的物体に適用するときに問題がある。なぜならば、このような物体は、しばしば、輪郭に急激なジャンプ部分があるからである。この場合には、このような実際の不連続部を正確にアンラップすることは不可能であり、大きな（２πの倍数）位相誤差が画像の全体に及んでしまう。この問題は、異なる感度で幾つかの位相マップを測定することにより大体は軽減される。この場合、唯一のアンラップされたマップのみが、全てのラップされたマップと矛盾しないものとなる。白色光インターフェロメトリ法も完全な表面高さを測定するが、高さ変化が圧電変換器（ＰＺＴの範囲（一般に、数分の１ミリメートル）を超える場合には適用が困難である。
本発明は、不連続物体の輪郭を迅速かつ確実に測定できる方法および装置を提供する。
本発明は、投影縞を使用し、縞のピッチを時間の経過につれて変化させることにより、不連続表面を有することがある物体の形状を測定する方法からなる。縞のピッチが変えられる度毎に、縞パターンの一連の位相段階付けされた画像が記録され、これから３次元複素強度分布が計算される。このような一連のマップは、３次元複素強度分布（three-dimensional complex intensity distribution）を形成する。この分布の位相は、次に、時間軸に沿ってアンラップされるか、時間軸に沿ってフーリエ変換が計算され、表面の形状を表すデータをつくり出す。
強度マップは画素像として記録することができる。
縞のピッチは圧電装置手段により変えることができる。
縞はマイケルソン干渉計により形成でき、この場合、縞の位相および空間周波数は、干渉計手段の一部を形成する平面鏡により変えられる。
しかしながら、縞は、異なる光路を進行するレーザ光間の干渉により発生され、前記光路のうちの少なくとも一方を変化させて位相および空間周波数を変えることができる。
縞はまた、空間光変調器（ＳＬＭ）により、非コヒーレント光から発生され、空間光変調器は、縞の位相および空間周波数を変えるべく作動される。
本発明はまた、投影縞を使用して、不連続表面を有することがある物体の形状を測定する装置において、測定すべき物体上に縞を投影する縞発生手段と、縞の位相を変化させる位相段階付け手段および発生された縞のピッチを時間の経過につれて変化させる縞ピッチ変化手段と、縞ピッチが時間の経過につれて変化されるとき、一連の位相段階付けされた画像を記録する記録手段と、３次元複素強度分布を計算すべくプログラムされた計算手段とを有し、時間軸に沿って３次元複素強度分布の位相のアンラップするか、時間軸に沿うそのフーリエ変換を計算して、表面の形状を表すデータをつくり出す装置からなる。
任意の２つの連続位相マップ間の縞ピッチの変化は、結果として得られるアンラップされた位相変化が、測定領域内のあらゆる点で−πから＋πの範囲内にあるように、充分に小さくなくてはならない。これは、縞ピッチが変化する間に中央縞の位置が変化しないように維持されるならば、２つの連続位相マップを獲得する間に１つの縞も投影縞に付加する必要がないという条件と同じである。しかしながら、この条件は、或る状況では緩和できる。
縞発生手段は、縞の位相およびピッチを変える手段が平面鏡からなるマイケルソン干渉計手段で構成できる。干渉計手段は、直交隣接面を備えたビームスプリッタキューブと、該隣接面に並置される調節可能な鏡とで構成できる。干渉計手段の１つの鏡はその関連する面に近づく方向および離れる方向に調節でき（位相を変えるため）、他方の鏡は傾動を調節できる（空間周波数を変えるため）。或いは、傾動作動および並進作動を単一のミラーマウントに結合することもできる。少なくとも１つの鏡は、圧電装置により調節することができる。
縞発生手段は、２つの異なる光路を形成するレーザ照明形光ファイバ手段で構成できる。位相を変える手段は、光ファイバの長さを変える手段で構成できる。該長さ変更手段は圧電シリンダを有し、該シリンダの周囲には光ファイバが巻回され、シリンダはその直径を変えるため電気的に付勢される。第２圧電装置は、光ファイバの隣接する光出力端部を相対変位させ、縞の空間周波数を変えることができる。
縞発生手段は、伝達された光の強度がほぼ正弦波の輪郭をもつような合成縞を形成するように、非コヒーレント白色光源と、外部信号源により駆動される空間光変調器とで構成できる。この縞発生手段は、コンデンサレンズシステムと、測定すべき物体上に縞を投影する投影レンズとを設けることができる。
空間光変調器の送信は波長準拠形とし、異なる位相または空間周波数をもつ幾つかの縞パターンを、単一投影画像内の異なる色パターンとして同時に投影できるように構成できる。
記録手段は、物体がレンズにより感光像検出器上に結像される、ビデオシステムのような画素像記録器で構成できる。像検出器の感度は波長準拠形であり、このため、異なる位相または空間周波数をもつ幾つかの縞パターンを、単一着色画像として記録できる。
計算手順には、全画素像こま（entire pixel image frame）に、同時に簡単な算術演算を行なうことによりリアルタイムで演算するように構成されたプロセッサを設けることができる。並列プロセッサまたは高速直列プロセッサを使用できる。もちろん、必ずしもリアルタイムで演算する必要はない。プロセッサは、全３次元複素強度分布を記憶し、時間軸に沿って１次フーリエ変換を計算できるように、充分なランダムアクセスメモリをもつもので構成できる。
以下、添付図面を参照して、本発明による投影縞を使用して不連続部を有する物体の形状を測定する方法および装置を説明する。
第１図は、物体のラップされた位相マップ（黒色から白色に至る範囲の灰色陰影は、−πから＋πの範囲の位相値を示す）である。
第２図は、第１図の位相マップを一連の増分位相マップでラッピングした結果を示すものである。
第３図は、第１測定装置を示す概略図である。
第４図は、縞発生手段を示す概略図である。
第５図は、他の縞発生手段を示す概略図である。
第６図は、第２測定装置を示す概略図である。
第７図は、３つの画素（ａ）、（ｂ）および（ｃ）での測定強度を、第６図の測定体積の位相ずれインデックス（縦軸：ｐ）および時間（横軸：ｔ）の関数として示すものである。
第８図は、第７図の３つの画素（ａ）、（ｂ）および（ｃ）のアンラッピングした時間履歴を示すものである。
第９図は、第７図に示す３つの画素についての強度分布の２次元フーリエ変換の輪郭マップを示し、横軸および縦軸は、時間ｔおよび位相ずれインデックスｐに沿う空間周波数を表すktおよびkpである。
第１０図は、第９図の輪郭マップの線ｋp＝１に沿う断面図であり、縦軸は、第９図の輪郭間隔に相当する５００目盛りの任意単位である。
第１図は、プラスチックの平部片に機械加工された６mmセンタ上の３つの４mm幅垂直溝を備えた試験物体の慣用的な投影縞により得られる典型的な位相マップである。第１溝および第３溝の縁部は、画像の左側および右側に見ることができる。３つの溝の深さは、約１mm、２mmおよび４mmである。溝の縁部の位相ジャンプが範囲（−π、＋π）外に入るので、この位相マップを慣用的な空間方法（spatial methods）でアンラップすることは不可能である。従って、溝の相対深さは、２πの整数倍については不確実である。試験物体は、陰影の発生を防止するため、溝に沿って照明される。
この問題は、一時的位相アンラッピングの技術を適用することにより解決される（J M HuntleyおよびH O Sandner著「自動干渉写真分析のための一時的位相ラッピングアルゴリズム（“Temporal phase-unwrapping algorithm for automated intrferogram analysis”）」（Appl. Opt. 32、第3047〜3052頁（1993年）参照）。しかしながら、縞の位相および空間周波数の両方またはピッチを変える方法が得られなくてはならない。
第３図は、マイケルソン干渉計構成を用いたこのような１つの方法を示すものである。レーザからのコヒーレント光は、空間フィルタＳＦおよび対物レンズＯＬ1を通ってビームスプリッタキューブＢＳに導かれ、ここから、縞が測定領域Ｒに導かれる。縞は、対物レンズＯＬ2を通ってＣＣＤカメラで撮影される。
符号Ｍ1、Ｍ2は、圧電変換装置ＰＺＴ1、ＰＺＴ2により移動される平面鏡である。Ｍ2はキューブＢＳの１つの面に並置されかつそのＰＺＴによりによりキューブＢＳに近づく方向および離れる方向に移動され、測定領域Ｒでの縞の位相が変えられる。Ｍ1はキューブＢＳの、前述の面とは直角な面に並置されかつそのＰＺＴによりにより傾動されて、縞の空間周波数が変えられる。
本発明の方法では、平面鏡Ｍ1は、両ビーム間の角度を多段階（例えば２２段階）で傾動させる。各傾斜段階で、４つの位相段階画像が必要である。平面鏡Ｍ2を移動させることにより、連続する４つの各画像間にπ／２の位相変化が導入される。
ｆ：3.5で１００mmの焦点距離をもつ８０mWの周波数倍化ダイオードポンプ形ＹＡＧレーザ（frequency-doubled diode-pumped YAG laser）を使用すると、3.5μmのスペックル直径が得られる。ＣＣＤカメラのアクティブ画素領域は、単位画素当たり幾つかのスペックルを与える5.8×7.4μm2であり、これは、スペックルノイズの効果を大幅に低減させる。
第１図の画像を作るのに、角度α（第３図）は２０°に設定される。
得られた連続画像は、分析のために高速コンピュータに伝送される。引用する上記HuntleyおよびSaldnerの文献中の式９（下記式（３））を使用して、増分位相マップ（incremental phase map）が決定される。これらに式１０（下記式（１））を加算して、アンラップされた位相マップを得る。一定の位相ランプ（phase ramp）を減算すれば、第２図に示すようなアンラップされた位相マップとなる。表面輪郭が正確かつ確実に測定された。
第４図は、レーザ光をファイバ４１に沿ってカプラに導き、同位相のコヒーレント光が同じ大きさでファイバ４１Ａ、４１Ｂ内を進行し、該ファイバの端部で再結合されて干渉縞を形成する装置を示す。ファイバ４１Ａは圧電シリンダPZT1の周囲に巻回されている。圧電シリンダＰＺＴ1は、印加電圧に従って膨張および収縮してファイバ４１Ａを種々の度合いに伸長させ、これにより再結合ビームの相対位相をずらす。ファイバ４１Ａ、４１Ｂの端部は、縞間隔を変化させる第２圧電装置ＰＺＴ2によりファイバ軸線に対して垂直な方向に相対的にずらされる。
第５図は、光源５１から、コンデンサ５２を通って、信号発生器５４により制御される空間光変調器５３および投影レンズ５５に導かれる白色非コヒーレント光を使用する装置を示す。
計算機能を内蔵した包括的システムに本発明の種々の実施形態の装置を組み込んで、種々の測定を行なうことができる種々の機器を作ることができる。このような機器は、数ある中で、注文仕立て服を含む衣服製造のための人体測定、生産ラインでの品質およびプロセス制御、ロボット視界、例えば補綴物の医療的および歯科的測定、例えば精巧な美術品の複製、ＣＡＤ／ＣＡＭ製品が設計仕様に一致することの確認、復旧工学およびバーチャルリアリティシステムでの非接触インターフェースを容易にする。
位相マップの計算は種々の方法でなされる。引用する上記HuntleyおよびSaldnerの文献では４つの位相段階付けされた画像（phase-stepped images）を使用するのに対し、或るものは３つの位相段階付けされた画像を使用すればよい。
上記技術には、有益な種々の変更を行なうことができる。
例えば、ｔ＝１、２、３、４、５・・・ｓ（ｔは視界を横切る縞の数）のシーケンスで一連の縞を投影する代わりに、ｔ＝１、Ｋ、Ｋ2、Ｋ3・・・ｓ（Ｋは、１より大きい任意の数（整数である必要はない）で、例えば、Ｋ＝２）のシーケンスが投影される。
これにより、アンラッピング手順のサクセス速度（success rate）の向上および画像獲得および計算に要する時間の短縮が可能になる。Ｋ＝２のとき、アンラッピング信頼性と計算コストとの間に良好な妥協が得られる。
高さ誤差実効値を低減させるため、線形最小２乗分析により、中間位相値を計算に導入できる。
第６図の例に示すように、縞ピッチは、単一縞が最初に空間光変調器ＳＬＭから測定体積内の視界領域に投影されるように、時間の経過につれて変化させることができ、これにより、縞位相は、一方で−πから他方で＋πまでの範囲に入る。連続時間値（ｔ＝２、３・・・ｓ）に対し、縞の数もｔに等しく設定され、これにより、位相範囲は（−ｔπ、ｔπ）に増大する。第６図は、ｔ＝２の場合の状況を示す。各ｔの値に対し、多数の位相段階付けされた画像（ｐ＝１、２・・・ｑ）が得られる。従って、測定強度Ｉは４つの変数（視界における座標（ｍ、ｎ）、ｐおよびｔ）の関数となる。
第７図は、ｑ＝４で、位相段階がπ／２の３つの画素についてのＩ（ｐ，ｔ）を示す。第１画素（第７図（ａ））は、投影縞の位相が時間につれて増大する視界内の一点からの光を受ける。第７図（ｂ）は、時間の経過につれて位相が大きく変化しない平面（投影視界の中央で、例えば、縞が投影視界の両側から出る平面）に一致する。第７図（ｃ）は、位相が時間ｔとともに減少する反対側の位置に一致する。
任意の点（ｍ、ｎ）の位相計算には、連続位相マップ間のラップされた位相変化を合計することにより、時間とともに変化するアンラップされた位相を計算する段階を有している。すなわち、
0003856838.tif 000002
ここで、ΔΦ（ｉ、ｊ）＝Φ（ｉ）−Φ（ｊ）                      （２）
また、Φ（０）は０であると定義する。添字ｗは、ラップされた位相値（すなわち、範囲（−π、π）内にある値）を示し、添字ｕは、アンラップされた位相値（すなわち、２πの適当な整数倍した値を加算することにより調節される）を示す。位相変化ΔΦw（ｉ、ｊ）は、下記公式（３）を用いて、ｔ＝ｉ、ｔ＝ｊの時点での２組の強度値から直接計算される。すなわち、
0003856838.tif 000003
ここで、
ΔＩk1(ｔ)＝Ｉ(k、t)−Ｉ（ｌ、ｔ）                            （４）
全部のアンラップされた位相Ψは、次式（５）で与えられ、
Ψ＝Φu（ｓ）                                                （５）
拡散点を含む平面を定義する。第８図は、第７図（ａ）〜（ｃ）の強度データから、この方法で計算したアンラップされた位相を示す。
次に、測定体積内の拡散点の空間のユニークな座標を、この平面と、画素（ｍ、ｎ）からカメラレンズの中心を通って測定体積内に引かれる線との交点により定める。実際には、定位相変化表面は、縞発生手段の不完全性により一平面から偏倚することがある。同様に、カメラレンズの中心を通る画素（ｍ、ｎ）から測定体積内に引いた線は、記録手段の不完全により真直から偏倚することがある。これらの両誤差は、装置のキャリブレーションにより補正されるであろう。
アンラッピングは、少数の位相マップを用いて、および信頼できる殆どの条件下で、場合Ｋ＝２に相当するシーケンスｔ＝１、２、４・・・ｓでの位相値のみを求めて行なうことができる。このシーケンスの全期間は、ｔ＝２νとなる（ここで、ν＝０、１、２、・・・log2ｓ）。次に、連続こま間のラッされた位相変化は、ｔ＝１：２：４・・・ｓ／２に付いて下記の帰納的方程式を用いて、かつ位相値ΔΦu（１、０）＝Φw（１）から出発してアンラップされる。
ΔΦu（２ｔ、ｔ）＝Ｕ｛ΔΦw（２ｔ、ｔ）、ΔΦw（ｔ、０）｝（６）
ΔΦu（２ｔ、０）＝ΔΦu（２ｔ、ｔ）＋ΔΦu（ｔ、０）      （７）
Ｕ｛Φ1、Φ2｝は、Φ1−Φ2線が−π〜＋πの範囲内にあるようにΦ1から２πの整数倍を減算するアンラッピング演算子を表す。すなわち、
0003856838.tif 000004
ここで、ＮＩＮＴは、最も近い整数への切上げ（rounding）を示す。
測定位相値は、実際には、これらに付随する誤差を有する。この誤差が付加的なガウス差（Gaussian）である場合には、アンラップされた位相値の測定リニアシーケンスは、下記のように表現できるであろう。
Φ（ｔ）＝ωｔ＋εφ                                        （９）
ここで、εφは、ゼロ平均ガウス確立分布（zero-mean Gaussian probability distribution）をもつ確立変数である。ωは無次元周波数であり、無次元時間ｔすなわち第８図に示すグラフの傾斜をもつ位相の変化率を表す。
ノイズが存在する場合には、最終的にアンラップされた位相値を単に用いるよりも優れたωの見積り方は、式Φ＝ωｔにより定義される線を分析される画素についての全ての実験データに最小２乗概念でフィッティングさせることである。
最小２乗フィッティング（least squares fitting）は、縞周波数の指数関数的に増大するシーケンスを用いるときに、ωの見積りを大幅には改善しない。この理由は、使用される位相値が、全て、Φ−ｔグラフの低ｔ値側端部の回りに密集することにある。低ｔ値は、勾配の信頼できる見積りを与えず、このため、ωの最小２乗見積りには大きく寄与しない。しかしながら、最大縞密度（ｔ＝ｓ）で出発しかつ縞の数を１、２、４、８・・・ｓ／２だけ減少させることによりアルゴリズムを補正できる。これは、測定した位相値が、今やΦ−ｔグラフの高ｔ値側端部に密集されることを確保する。式（６）および（７）は、ｔ′＝１、２、４・・・ｓ／２に対し、下記のように補正される。すなわち、
0003856838.tif 000005
ここで、出発位相値ΔΦu（ｓ、ｓ−１）＝ΔΦw（ｓ、ｓ−１）である。
この方法のアンラッピングの信頼性および計算時間の両方とも、前方指数関数的シーケンス（forward exponential sequence）についてのアンラッピングの信頼性および計算時間と同一であるが、測定精度は、約√log2sのファクタだけ改善される。従って、これは、データ獲得時間および処理時間を最短にしなくてはならないときに、最適なアルゴリズムとして推奨される。
アンラッピングの必要性を回避する他のデータ分析方法は、各画素で測定した２次元強度分布のフーリエ分析に基づくものである。第７図に示す３つの画素からの強度分布の２次元変換が第９図に示されている。横軸および縦軸は、それぞれ、ｔ（時間）およびｐ（位相ずれインデックス）に沿う空間周波数ｋtおよびｋpを表す。変換は３つのピーク、すなわち、ｋt＝ｋp＝０上に中心をもつｄｃ区間と、該ｄｃピークの回りで対称的に配向された２つの副ローブとからなる。使用される位相ずれアルゴリズムが１つの全サイクルをカバーする場合には、副ローブが、線ｋp＝±１上に常に現れるであろう。このとき、対象とする画素を通って掃引する縞がωに比例するので、線ｋp＝１に沿うピークの位置は位相の変化速度に比例する。第１０図は、第９図の３つの変換についての交差セクションｋp＝１を示している。
実用的な区間において、第１０図に示す曲線は、１次元複素配列を形成することにより直接計算される。すなわち、
ｈ（ｔ）＝ΔＩ13（ｔ）＋ｉΔＩ42（ｔ）                      （１２）
ここで、ｉは、−１の平方根であり、そのとき、１次元フーリエ変換法は、
0003856838.tif 000006
となる。
計算の目的は、｜Ｈ（ｋt）｜2を最大にする値ｋt＝κを見出すことにある。これは、２段階プロセスとして行なわれ、先ず式（１３）が、高速フーリエ変換アルゴリズムを用いてｋtの積分値として評価される。次に、｜Ｈ（ｋt）｜2を最大にする値ｋtが、有界ニュートンラフソン（bounded Newton-Raphson）アルゴリズム（ここでは、ｋtはもはや積分されるものとして拘束されない）に基づいて最適化する出発点として使用される。この方法から生じる偶然誤差は、ｈ（ｔ）とexp（−２πｉκ／ｓ）とを掛けると信号ピーク（一般に複素数である）が実数になるということに留意すれば一層小さくできる。この場合、{Rh[H（ｋt）］}2を最大にするための最終反復が、変換の虚数部分が寄与するノイズを排除する。
式（１２）は、ここで使用される４こま用の位相段階付けアルゴリズム（phase-stepping algorithms）以外の位相段階付けアルゴリズムに使用できるように一般化される。このような全てのアルゴリズムから、２つの数、すなわち、h(t)の実数部分を形成するのに使用される、cos(Φ)に比例する数、およびｈ（ｔ）の実数部分を形成する、sin(Φ)に比例する他の数が得られる。
この方法による計算時間はｏ(slog2s)であり、これは、線形フィッティング法（linear fitting method）の場合より長いファクタlog2ｓである。しかしながら、フーリエ変換法は２つの重要な理由から興味あるものである。第１の理由は、フーリエ変換が、ノイズに対する信号を集中することである。ｓの値が大きいほど、ピークの近傍における信号対雑音比（Ｓ／Ｎ比）は大きくなる。従って、信頼性が高く、かつｓの増大につれて信頼性は更に高くなる。これは、ｓの増大につれて信頼性が低下するアンラッピング法とは異なる。第２の理由は、輪郭を形成する物体が円滑表面をもつ場合に多重反射が生じることである。所与の画素で受けた光は表面上の２つ以上の異なる点から出て、異なるωの値を有する。位相アンラッピング法では、この結果は、Φ−ｔグラフ上に小さな波として現れ、勾配見積りに系統誤差を引き起こす。これに対し、フーリエ変換法は干渉しない２つ以上のピークを発生し、周波数は少なくともｋt＝±１で分離される。また、直接反射および間接反射も、主として、異なる観察方法または照明方法から物体の測定を行いかつどのピークが一定の位置測定を行なうかをチェックすることにより区別することができる。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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