(57)【要約】  本発明は、物品、及び該物品の設計及び製造方法を提供する。該物品は、その中に構築されるエネルギーバンドギャップに依存して、エネルギー、特にフォトニック／電磁エネルギー波がそれを伝播するのを制限又は禁止する。物品の構造は、超均一分布を有する点のパターンまで減少させてもよい。該点パターンは、結晶対称性、準結晶対称性を有してもよく、非周期的でもよい。いくつかの実施形態において、点パターンは長距離秩序を示さない。好ましくは、点パターンは等方的である。すべての実施形態において、物品は、完全ＴＥ最適化及びＴＭ最適化したバンドギャップを有する。不規則超均一フォトニック構造において見出される特別な透過現象は、光マイクロ回路（伝送の全光学的、電気的又は熱的スイッチ）、近接場光学的探査、熱光起電及びエネルギー効率のよい白熱光源において使用を見出している。
2012530945.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
凝縮状態又は固体状態で超均一に配列した複数の材料エレメントを含むヘテロ構造を有する製品。
【請求項２】
前記へテロ構造は、電子、フォトン、フォノン及びスピン波から成る群から選択される励起子と相互作用する請求項１記載の物品。
【請求項３】
前記へテロ構造は、完全バンドギャップを有する請求項２記載の物品。
【請求項４】
前記バンドギャップは、ＴＥ最適化及びＴＭ最適化している請求項３記載の物品。
【請求項５】
前記へテロ構造は、平面内の超均一点パターンで、互いに間隔を空けて配列した複数の点から得られる請求項３記載の物品。
【請求項６】
前記へテロ構造は、アジマス対称性を有する請求項５記載の物品。
【請求項７】
前記点パターンは、空間内に配列している請求項５記載の物品。
【請求項８】
前記へテロ構造は、多面体を有する請求項７記載の物品。
【請求項９】
前記へテロ構造は、準結晶対称性を示す請求項１記載の物品。
【請求項１０】
前記へテロ構造は、並進等方的である請求項１記載の物品。
【請求項１１】
前記へテロ構造の前記材料エレメントは格子を有し、
前記格子は、複数の交差線によって規定される複数のセルを有し、
前記線は、セルエッジを規定し、
前記交点は頂点を規定し、
各前記セルは、そこで多角形セル空間を規定する請求項１記載の物品。
【請求項１２】
前記格子は、複数の多面体セルを有し、
各前記セルは、多面体セル空間をそこで規定する複数の多角形セル面を有する請求項１１記載の物品。
【請求項１３】
前記エッジ、頂点及び面は、そこに配列した第１材料エレメントを有し、
前記セル空間は、第２材料エレメントで満ちている請求項１２記載の物品。
【請求項１４】
前記第１材料エレメントは、前記第２材料エレメントよりも大きい誘電率を有する請求項１３記載の物品。
【請求項１５】
前記第１材料エレメントはシリコンを含み、前記第２材料エレメントは空気を含む請求項１４記載の物品。
【請求項１６】
前記第１材料エレメントは、前記エッジ又は前記面上に有限の厚さで配列し、各前記頂点は、有限の厚さ及び有限の半径を有する円柱の重心と一致する請求項１５記載の物品。
【請求項１７】
完全バンドギャップを有する超均一へテロ構造の作成方法であって、
Ｉ）前記へテロ構造について構造因子を選択するステップと、
ＩＩ）大きさＬのボックスを構成するステップであって、前記ボックスは点の第１点パターンを有し、前記点は、並進的に不規則に間隔を空けられており、前記間隔を空けられている点は、平均間隔を有し、平均間隔≪Ｌの関係があるステップと、
Ｉ）前記第１点パターンからドロネー三価タイルを構成し、各前記タイルについて重心をプロットして重心点パターンを作成するステップと、
ＩＶ）前記重心点パターン内の各重心について、前記タイルの最近接部を特定するステップと、
Ｖ）複数の線を構成して、各前記近接部内の前記重心を、
ａ）前記複数の線は、頂点を有する複数のエッジ又は面を規定し、
ｂ）前記複数のエッジ又は面は、そこにセル空間を有する超セルを規定し、
ｃ）各前記超セルは、前記第１点パターン内の特異点を包囲するように接続するステップと、
ＶＩ）前記エッジ又は面及び頂点上に第１材料エレメントを配列することと、前記セル空間を第２材料エレメントで満たすことと、及び複数の前記超セルから前記へテロ構造を組み立てることとにより、ヘテロ構造を構成するステップとを含む方法。
【請求項１８】
前記第１点パターンは、ペンローズタイルの頂点を有する請求項１７記載の方法。
【請求項１９】
前記第１点パターンは、ブリルアンゾーン内で構造因子Ｓ（ｋ）が正確にゼロへ向かうような波数ｋの割合を決定するパラメータχを有し、χが増加するに従って、ｋｃはχが臨界値χｃに達するまで増加し、χｃ未満では、前記不規則パターンは長距離並進秩序を達成する請求項１７記載の方法。
【請求項２０】
前記第１材料エレメントは、前記第２材料エレメントより大きい誘電率を有する請求項１７記載の方法。
【請求項２１】
前記第１材料エレメントはシリコンを含み、前記第２材料エレメントは空気を含む請求項１７記載の方法。
【請求項２２】
前記第１材料エレメントは、前記エッジ又は前記面上に有限の厚さで配列し、各前記頂点は、有限の厚さ及び有限の半径を有する円柱の重心と一致する請求項２１記載の方法。
【請求項２３】
前記重心点パターンは、半径Ｒの球形サンプリングウインドゥ内で、分散＜ＮＲ２＞−＜ＮＲ＞２∝Ｒｐの関係を示し、ｐ＜ｄである請求項２２記載の方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
（連邦政府による資金提供を受けた研究開発の記載）
本願で説明した研究は、全米科学財団から助成金番号０６０６４１５によって助成されている。アメリカ合衆国政府は、本発明について一定の権利を有する。
【０００２】
本発明の実施形態は、フォトニックバンドギャップ、電子バンドギャップ、フォノニック(phononic)バンドギャップを有する材料、かかる材料を設計する方法、及びそれらを有するデバイスに関する。
【背景技術】
【０００３】
結晶は、全体構造に波状形態を付与する繰返し規則で配列した元素で構成された材料である。これらの「波」は、かかる構造を移動する波状励起子と相互作用する傾向がある。例えば、かかる構造を通じた振動の伝播は、直接的ではないが、材料の波動構造についての充分な知識を仮定すると充分予想通りに説明する（フォノンとして）ことができる。フォトニック結晶は、フォトン（即ち電磁波。これは、波／粒子の二重性に関する、より直接的に選択した名前である。）が、電磁波に当てはまるマクスウェル方程式に従う反射の法則に従って相互作用する２つ以上の周期的繰返し誘電体材料を含む。フォトニック結晶は、有効な放射線源、センサ及び光学的コンピュータチップとして多くの応用を有する。
【０００４】
フォトニック結晶の繰返し構造の結果、特定の方向(direction)及び方位(orientation)へ移動する特定波長（又は、波長の逆数である「周波数」）の光（又は「偏光(polarization)」）は、結晶中を伝播しないことになる。つまり、波長の全スペクトルに渡って、特定の周波数範囲（又は「バンド」）は、構造を通過することができない。従って、伝送されたスペクトルは、それの中に「ギャップ」を有する。一般に、伝送されたスペクトル内にギャップを発生する構造の特性は、「バンドギャップ」と呼ばれる。方向又は偏光に無関係に、ある周波数帯を拒絶するバンドギャップは、「完全バンドギャップ」と呼ばれる。かかるバンドギャップ、例えば半導体内の電子バンドギャップの有用性は、構造に意図的に導入した欠陥によって損なわれやすいことにある。結晶の誘電体材料エレメントの完全な周期配列を破ることによって、上述の禁止周波数帯が結晶を通過することができ、そこでそれを捕捉し、方向を変え、又は変更することができる。
【０００５】
しかしながら、周期構造における完全バンドギャップの有用性は、まさにそれらが依存する周期性によって制限される。周期性は、フォトニック結晶の設計を、非常に高い誘電コントラスト(dielectric contrast)を生じる誘電率を有する誘電体材料以外の誘電体材料に適合しない対称性に限定する。さらに、多くの応用について、周期構造におけるバンドギャップは、それらの異方性により、それらを用いて作成したデバイスが非常に方向依存するため、有用性が限定される傾向がある。周期性はまた、設計を制限して欠陥の選択肢を狭くし、製造中に意図しない欠陥を導入する危険性を増加させる。これらの周期性誘導された制限は、フォノン及び電子の通過を制御するように形成された構造にも当てはまる。
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
周期性によって課される制限を緩和する一方、技術者が好ましくは方向又は偏光に依存しない完全バンドギャップの設計することも可能にする材料が必要とされている。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
種々の実施形態において、本発明は、物品並びに前記物品の設計及び製造方法を提供し、該物品は、好ましくは凝縮状態又は固体状態で非結晶又は準結晶の超均一な等方的分布でのヘテロ構造として、互いを基準として配列した複数の材料エレメントを有する。本発明を具現する物品は、エネルギー波の形態で、励起子がそれらを通って伝播するのを可能にし、又は波の周波数及び伝播方向に依存し、反射又は捕捉によってかかる通過を禁止する。さらに、前記物品は、好ましくはＴＥ最適化及びＴＭ最適化した完全バンドギャップを有する。
【０００８】
好ましい実施形態において、物品は、複数の材料エレメント及び完全バンドギャップを含む非結晶、超均一へテロ構造を有する。一実施形態において、前記へテロ構造は、点の超均一パターンから得られる。一実施形態では、前記点パターンは、平面内に配列した複数の点を含む。別の実施形態において、前記点パターンは、ｄ次元空間に配列した複数の点を含み、ｄ次元点パターンを作成する。一実施形態において、前記へテロ構造は多角形へテロ構造である。一実施形態において、前記へテロ構造は、アジマス(azimuthal)対称性を有する多角形へテロ構造である。別の実施形態において、ヘテロ構造は多面体へテロ構造である。一実施形態において、前記へテロ構造は、準結晶対称性を示す。一実施形態において、前記へテロ構造は、長距離秩序で配列した材料エレメントを含む。別の実施形態において、前記へテロ構造は、不規則材料エレメントを含む。一実施形態において、前記へテロ構造は並進等方的である。一実施形態において、前記へテロ構造は回転等方的である。一実施形態において、前記へテロ構造の前記材料エレメントは格子を含み、前記格子は、複数の多角形セルを有し、複数の交差線が前記複数の多角形セルを規定し、前記線はセルエッジを規定し、前記交点は頂点を規定し、各前記セルはそこで多角形セル空間を規定する。別の実施形態では、前記格子は複数の多面体セルを有し、前記複数の交差線は前記多面体を規定し、各前記セルは、複数の面、複数の頂点を含み、多面体セル空間をそこで規定する。
【０００９】
一実施形態において、前記エッジ、面及び頂点は、そこに第１材料エレメントを配列させ、前記セル空間は第２材料エレメントで満ちている。一実施形態において、前記第１材料エレメントは、前記第２材料エレメントよりも大きい誘電率を有する。好ましい実施形態において、前記第１材料エレメントはシリコンを含み、前記第２材料エレメントは空気を含む。さらに、本実施形態では、前記第１材料エレメントは、前記エッジ又は前記面上に有限の厚さで配列し、各前記頂点は、有限の厚さ及び有限の半径を有する円柱の重心と一致する。
【００１０】
一実施形態において、本発明は次のステップを含む完全バンドギャップを有する超均一へテロ構造を作成する。即ち、
Ｉ）前記へテロ構造について構造因子を選択するステップと、
ＩＩ）点の第１点パターンを有する、サイズＬのボックスを構成するステップであって、前記点は、並進的に不規則に間隔を空けられており、前記間隔を空けられている点は、平均間隔を有し、前記平均間隔≪Ｌであるステップと、
）前記第１点パターンからドロネー三価タイルを構成し、各前記タイルについて重心をプロットして重心点パターンを作成するステップと、
ＩＶ）前記重心点パターン内の各重心について、前記タイルの最近接部を特定するステップと、
Ｖ）複数の線を構成して、各前記近接部内の前記重心を、
（Ｉ）前記複数の線は、頂点を有する複数のエッジ又は面を規定し、
（ＩＩ）前記複数のエッジ又は面は、内部にセル空間を有する超セルを規定し、
（ＩＩＩ）各前記超セルは、前記第１点パターンで特異点を包囲する
ように接続するステップと、
ＶＩ）前記エッジ又は面及び頂点上に第１材料エレメントを配列し、第２材料エレメントを用いて前記セル空間を満たすステップである。
【００１１】
一実施形態において、前記方法の第１点パターンは、ペンローズタイルの頂点を有する。
【００１２】
好ましい実施形態において、前記第１点パターンは、ブリルアンゾーン内で構造因子Ｓ（ｋ）が正確にゼロへ向かうような波数ｋの割合を決定するパラメータχを有し、χが増加するに従って、ｋｃはχが臨界値χｃに達するまで増加し、χｃ未満では、前記不規則パターンは長距離並進秩序を達成する。
【００１３】
一実施形態において、前記第１材料エレメントは、前記第２材料エレメントより大きい誘電率を有する。好ましい実施形態において、前記第１材料エレメントはシリコンを含み、前記第２材料エレメントは空気を含む。さらに、本実施形態において、前記第１材料エレメントは、前記エッジ又は前記面上に有限の厚さで配列し、各前記頂点は、有限の厚さ及び有限の半径を有する円柱の重心と一致する。
【００１４】
好ましい実施形態において、前記重心点パターンは、半径Ｒの球形サンプリングウインドゥ内で分散＜ＮＲ２＞−＜ＮＲ＞２∝Ｒｐを示し、ｐ＜ｄである。
【図面の簡単な説明】
【００１５】
【図１ａ】等方的であるが超均一でない散乱エレメントの分散を有する構造についての散乱関数Ｓ（ｋ）の点パターン及び回折画像を与える。
【図１ｂ】等方的で超均一であるが不規則である散乱エレメントの分散を有する構造についての散乱関数Ｓ（ｋ）の点パターン及び回折画像を与える。
【図１ｃ】異方的で超均一な分散を有し、五回対称性（準結晶パターン）を有する構造についての散乱関数Ｓ（ｋ）の点パターン及び回折画像を与える。
【図２】超均一点パターンから構築されるフォトニック構造の二次元マップを示す。
【図３】五回対称性を有する準結晶フォトニック構造の二次元マップ（左パネル）と、ＴＭブロッキング（円）、ＴＥブロッキング（正方形）及び完全ブロッキングについての分数バンドギャップ（Δω／ωｃ）（散乱エレメント数の関数として）とを示す。
【図４】完全バンドギャップについて最適化した不規則超均一フォトニック構造の二次元マップ（左パネル）と、ＴＭ、ＴＥ及び完全バンドギャップがχの関数としてどのように振舞うかを表すグラフを示す。
【図５】最適フォトニック結晶の先行技術についての説明図を示す。左上パネルは、結晶のセルの二次元充填形を示す。右上パネルは、その回折パターンを示し、グラフはそのバンドギャップによって結晶構造を表現している。
【図６】準結晶の五回対称性を与えるのに充分な並進周期性を有する超均一構造の説明図（充填形、散乱パターン及びバンドギャップ構造）を示す。
【図７】χ＝０．３５について最適化した不規則な超均一構造の説明図（充填形、散乱パターン及びバンドギャップ構造）を示す。
【図８】χ＝０．４について最適化した不規則な超均一構造の説明図（充填形、散乱パターン及びバンドギャップ構造）を示す。
【図９】χ＝０．５について最適化した不規則な超均一構造の説明図（充填形、散乱パターン及びバンドギャップ構造）を示す。
【図１０】不規則な超均一点パターンの充填マップ（図１０続き内）、及び該マップをベースとし、誘電体ポリマーから製造される実際のヘテロ構造の写真を示す。
【図１１】図１０に示すヘテロ構造を通じてマイクロ波放射線を伝送することにより作成されるパターンの画像である。矢印で特定している同心の環は、構造においてＴＥフォトニックバンドギャップに起因して画像内に生じる。
【発明を実施するための形態】
【００１６】
（定義）
本発明の種々の実施形態の理解を容易にするために、いくつかの用語（この定義セクションで引用符で強調する場合もある）を以下で定義する。本明細書で定義する用語は（特に指定しない限り）、本発明に関連する分野の当業者に一般に理解される意味を有する。本明細書及び添付する請求項で使用する限り、「一つの」(a, an)及び「その」(the)は、単数形のみを指すが、文脈上そうでないことが示されない限り、説明に使用できる具体例の一般的な集合を含む。本明細書の専門用語は、本発明の特定の実施形態を説明するのに使用するが、特定の用語は、請求項で要点を述べたものを除いて、いずれも本発明を限定するものでない。
【００１７】
本明細書で使用する「Ａ、Ｂ及びＣ」などの表現は、Ａ、Ｂ、Ｃの１つ以上を選択することを意味する。
【００１８】
本明細書で使用する限り、逆を意味することが明確に示されていなければ、Ａ及びＢが組成物、生産物などを指す場合、「Ａ又はＢ」という表現における用語「又は」(or)は、一方若しくは他方又は両方を意味する。本明細書で使用する限り、用語「含む、備える、有する」(comprising)が方法のステップを列挙する前に置かれた場合、該方法は、明示的に列挙されるステップに付加する１つ以上のステップを包含することと、追加の１つ以上のステップを列挙したステップの前、ステップの間及び／又はステップの後に実施してもよいことと、を意味する。例えば、ステップａ、ｂ及びｃを含むステップは、ステップａ、ｂ、ｘ及びｃから成る方法、ステップａ、ｂ、ｃ及びｘから成る方法、ステップｘ、ａ、ｂ及びｃから成る方法を包含する。さらに、用語「含む、備える、有する」が方法のステップを列挙する前に置かれた場合、文脈が明確にそうでないことを指示しない限り、記載したステップの連続的な実施は必要としない（必要とする可能性はある）。例えばステップａ、ｂ及びｃを含む方法は、例えばａ、ｃ及びｂの順序、ｃ、ｂ及びａの順序、並びにｃ、ａ及びｂの順序でステップを実施する方法を包含する。
【００１９】
他に示さない限り、材料の量、分子量などの特性、反応条件などを表すすべての数字は、明細書及び請求項で使用する限り、用語「約」(about)によって、すべての例で修正されるものとして理解されることになる。従って、これに反する記載がない限り、明細書及び請求項における数値パラメータは、本発明によって得ようとする所望の特性に依存して変化する可能性がある近似値である。控えめに言っても、そして請求項に均等論の適用を制限することなく、各数値パラメータは、報告されている有効桁数の観点で、及び通常の丸め技術を適用することにより解釈するべきである。本発明の広い技術的範囲を説明する数値範囲及びパラメータは近似値であるにもかかわらず、具体例の数値は可能な限り正確に報告している。しかしながら、任意の数値は、本質的に、数値検査測定で発見される誤差を必然的に生じる標準偏差を含む。
【００２０】
用語「〜でない」(not)は、特定の名称の組成物又は現象の前にあって、それを参照する場合、特定の名称の組成物又は現象のみが除外されることを意味する。
【００２１】
いずれかの物質及び／又は現象のレベルに関して本明細書で使用する用語「変更する(altering)」及び文法的に同等のものは、物質及び／又は現象の量の、増加及び／又は減少を指す。これは、該量が、客観的に決定するか否か、及び／又は主観的に決定するか否かに無関係である。
【００２２】
第２例と比較した第１例において、物質及び／又は現象のレベルを参照する際に使用する場合、用語「増加させる」「上昇させる」「上げる」及び文法的に同等のものは、技術が許す(art-accepted)いずれかの統計的分析方法を使用する統計的に重要な量において、第１例における物質及び／又は現象の量は第２例よりも大きい、ということを意味する。増加は、例えば主観的な痛みの認識を参照する場合などは主観的に決定することができ、人の観測可能な行動が痛みを示す場合は客観的に決定することができる。それに対応して、「減らす」(reduce)「抑止する」(inhibit)「弱める」(diminish)「抑制する」(suppress)「減少させる」(decrease)及び文法的に等価なものは、第２例と比較した第１例の物質及び又は減少の量のレベルを指すのに使用する場合は、第１例の物質及び又は現象の量は、技術が許す任意の統計的分析方法を使用する統計的に重要な任意の量で第２例よりも小さいことを意味する。
【００２３】
本明細書で使用する用語のいくつかは、幾何学的に定義される。例えば、本発明のいくつかの実施形態は、物理的材料(physical material)を有する物体、系などの「作図(construction)」を除いて、鉛筆、紙及びコンパスを用いた、又はコンピュータプログラムによる幾何学的図形の「作図」に関する。該用語は、本明細書において両方の意味で使用してもよく、いずれの例においてもその意味は、文脈によって決定することになる。本明細書で作図する「線」は、文脈が許す限り、直線、曲線、連続線、不連続線又は分割線でもよく、連結性、方向、分離などを意味する。種々の幾何学的形状、限定はされないが、例えば「三角形」「三面体」「箱」「面」「壁」「セル」「軌跡(locus)」「点」「重心(centroid)」「円柱」が本明細書で登場する。該して、これらの用語は、本明細書において、ユークリッド空間又はユークリッド平面での意味の範囲内で使用することになるが、数学的変換による他の空間で表してもよい。従って、本明細書において、用語「空間」は、次元に関係なく、位相幾何学で規定されるいずれの空間をも包含する。これに関連して、用語「三価(trivalent)」は、平面三角形及び三面体を指すに等しい。
【００２４】
本明細書でする他の幾何学的な参照は、別の形状との形状の同一性（空間での向きを除く)を指す「合同」と、大きさを除いて合同である形状を指す「相似」と、少なくとも並進、回転、鏡映又は反転操作を実施して元のオブジェクトを再現することができる場合に幾何学的なオブジェクトが有する性質を指す「対称」とを含む。この用語は「規則」と混同されるものではない。これらの対称性検査を不規則パターンにも規則パターンにも適用することができる。すべての回転について対称であるオブジェクトは、「回転等方的」である。すべての並進について対称であるオブジェクトは、「並進等方的」である。本明細書で使用する「並進不変」(translational invariance)は、ベクトル（即ち、規定した方向）に沿った検査オブジェクト上を、検査オブジェクトの同一複製物を移動させる（又は中を通過させる）ことによって、また、複製オブジェクト内で規定した点（又は点パターン）がオブジェクト内の点の無限離散集合と合同であることを見出すことによって、検査オブジェクトが示しうる状態を指す（即ち、検査オブジェクトは該状態で検査されるオブジェクトである）。この定義は、少なくともベクトルの向きを基準として無限の大きさのオブジェクトである（即ち、「エッジ」を有しない）ことを意味することに留意する。
【００２５】
本明細書で使用する用語「構造」は、従来の機械的エレメントの組立品の概念を限定することを意図してはいない。本明細書において、いくつかの「構造」（例えば、以下で説明する第１ブリルアンゾーン）は、実空間よりも逆格子空間でよりよく表現し分析することができる。位相幾何学的に定義された構造を従来の機械的エレメントの組立品と区別するために、後者は本明細書で、「材料」（例えばシリコン）から成る「材料エレメント」(material-element)を使用して組み立てられた「組成物」「物品」(article)「製品」(article of manufacture)で参照する。所定の組成物は、１種類以上の材料を含んでもよい。即ち、「材料エレメント」は、かかる各エレメントが唯一の大きさ、形状、構成又は機能を有することを意味するのではない。
【００２６】
「結晶」は通常、周期的繰返しサブシステム（「セル」)内で配列する結合原子の系を指す。本明細書で、該用語をより広く、限定的でなく用いて、点、線、平面、立体又は周期的に配列した他のエレメントの任意の集合を指してもよい。かかるエレメントは、幾何学的な抽象概念（「点」）でもよく、或いは実際の物理的な材料を備えてもよい。通常、二次元以上の系において、周期的に配列したエレメントは、格子形状で相互に関連して配置される。通例、格子を有する「点」は、格子面の頂点で互いに化学結合した原子に占有される。また、かかる各原子と結合した電子の「雲」が、全体として、格子を通過する電磁エネルギー（例えばＸ線)の通過を妨害する原因となる。かかる格子は、二次元、三次元又はｎ次元を有してもよく、無限である、つまり、実質的に無限のセルを含む不定の(indefinite)境界を有するとして取り扱ってもよい。分析目的の特定の有用な基本セルは、いわゆる「ウィグナー・サイツ」(Weigner-Seitz)セルであり、選択した頂点について、格子内で他のどの点よりも選択した点に近い頂点の位置（又は「軌跡」）を特定することにより見つける。これらの点は、選択した点の「近傍」又は「点近傍」にある（選択した点で頂点を有する三角形は、「三角形近傍」である）。複数のかかるセルを、間に「ギャップ」又は「重複」がない状態で（即ち、セルは「充填」している）集めることができ、その結果は、格子の全体構造を描く。電磁場の波（例えばＸ線）が実在結晶を通過するようにでき、その結果、該波は結晶内の電子雲と相互作用して回折し、最終的に一定距離隔ててスクリーンを照射する。スクリーン上に明暗の斑、線及び／又は円のパターン（即ち、「回折パターン」）を観測することになる。該パターンは、結晶の画像ではないが、かかる画像に対応するものである。それは、「逆格子空間」における結晶格子である。それを用いて、結晶全体の格子構造（の逆構造）を捕捉する基本セルを構成することができる。この基本セルは、「第１ブリルアンゾーン」（又は、実際は単に「ブリルアンゾーン」）と呼ばれている。
【００２７】
「フォトニック結晶」は、特に、結晶を含む、２つ以上の材料間で周期的に生じる境界に起因して、フォトン（即ち電磁波）の通過に影響を与える。材料は、さまざまな屈折率を有するので、それらの材料間の境界で、ある材料から別の材料へ移動する光は減速（又は加速）し、光の通路を曲げる。フォトニック結晶中のかかる境界の集まりは、光を散乱する点格子内で分布しているかのように集合的に振舞う。特定の方向からかかる結晶に入射する特定波長（より正確には、波長の特定の範囲又は「バンド」内）の光は、屈折の仕方に依存して、結晶中を進むことも進まないこともある。光波は、平面内で振動する電磁励起であるため（以下を参照）、その進行はまた、該波が移動する平面の方向に依存する。
【００２８】
光は、電荷又は磁石を振動させることによって生み出されるエネルギーの電磁波である。真空において、該波は伝播方向と呼ばれる直線に沿って１秒毎に３０００００キロメートル伝播する。誘電体材料中では、それは屈折率で知られる因子ｎによって１／ｎに減少した速度で移動する。誘電体ヘテロ構造において、光はさまざまな誘電率、従ってさまざまな光速を有する材料の不均一混合物を通じて移動する。
【００２９】
光波に沿った任意の点で、電場は、伝播方向に垂直な軸に沿って振動し、磁場は、電場軸及び伝播方向に垂直な軸に沿って振動する。電場軸が波全体で同じ方向を向いている場合、光は直線偏光と呼ばれる。電場軸振動の軸は、偏光又は偏光方向と呼ばれる。一般に、特定の方向に伝播する光波は、２つの独立した、慣習的に互いに垂直（及び伝播方向に垂直）であるように選択した偏光の組み合わせに分解可能である。光源からの光は偏光している可能性がある。これは、同じ方向に移動する光波の大部分は同じ電場振動軸を有することになる、ということを意味する。代替として、それは、両偏光を有する光を同量混合したものを含んでもよい。
【００３０】
二次元フォトニック材料（又はアジマス対称性を有する三次元フォトニック材料）において、該材料は、光が二次元に沿って（又はアジマス方向に垂直な平面内で）伝播する光路で使用する。伝播方向と垂直である必要がある偏光方向は、完全にアジマス方向にあってもよい。これは、ＴＭ、ＴＭ偏光又はＴＭ偏光された光と呼ばれている。代替として、偏光方向は、二次元平面（及び伝播方向に垂直な平面）内にあってもよい。これは、ＴＥ又はＴＥ偏光された光と呼ばれている。該光はまた、ＴＭ及びＴＥ偏光された光を含んでもよい。同じ用語を使用して、アジマス対称性を有しない三次元フォトニック材料において独立した２つの偏光を参照する。
【００３１】
材料の組成物を通過するエネルギーの電磁波（例えば光波）が、エネルギーの自由通過に対する「障害」として該組成物内に分布した誘電体エレメントと相互作用する範囲では、特定方向に移動する特定周波数の波だけが実際には通過することになる。その他は、反射、屈折又は回折干渉に起因して通過しない。光の所定の移動方向について、組成物は、１つ以上の異なる範囲、又は周波数の「バンド」が通過するのを可能にする一方、他の状態の電磁エネルギーが完全に通過するのを禁止する。これらの禁止範囲は、組成物中に「バンドギャップ」を規定する。それは、用語「バンド」及び「バンドギャップ」が、本明細書で電磁波のみと関連性を有することを意図しているのではない。エネルギーは、電磁的、電気的、音響的又は他のエネルギーであっても、特定の状態（周波数、偏光など）においてのみ組成物中に存在可能である。該エネルギーは、制限的でなく、フォトニック（電気絶縁体、即ち誘電体「障害物」によって影響を受ける）、電子（一時的に材料中の原子核と結合する電子によって影響を受ける）、音響（拘束されるが弾性的に振動する原子又は「フォノン」の質量によって影響を受ける）、又は水体上の表面波（その途中の巨視的な物体によって影響を受ける）でもよい（論文：Jeong et al. , Applied Physics Letters 85:1645-1647, 2004）。
【００３２】
示唆したように、フォトニックバンドギャップは、すべての光波を排斥するわけではなく、特定の方向に特定のモードで移動する特定波長の光波のみが排斥される。本明細書で使用する用語「完全バンドギャップ」は、ＴＥモード偏光とＴＭモード偏光の両方の通過を妨げるバンドギャップである。その一方、完全バンドギャップは、必ずしも各モードで移動する光を妨害する能力が高い必要はない。例えば、所定の完全バンドギャップは、ＴＥ偏光を強く、そしてＴＭ偏光を弱く妨害することもできる。該バンドギャップは、完全であっても「最適」でない。実際、ＴＥモードについて排斥された周波数範囲は、概してＴＭモードについて排斥された周波数範囲と実質的に異なる。よって、該バンドギャップは、２つの範囲が交差するところ、即ち両偏光が排斥される範囲でのみ完全である。本発明の好ましい実施形態は、ヘテロ構造内での最適完全バンドギャップの構築を可能にする。
【００３３】
エネルギーは、電磁波を反射し、吸収し、遅延させ（「屈折」に等しい）、又は歪ませ（「散乱」に等しい）物体に当たるまで、電磁波、又は光速で（真空中を）無限に一方向に振動する「場」の形で運ばれる。電磁波はまた、互いに相互作用（「干渉」）し、相加的に作用して振幅が増加し、或いは減法的に作用してすべての振幅が消失する可能性がある。
【００３４】
任意の時間間隔で物体に衝突する電磁エネルギーの量は、該間隔に、物体に達する波の数（例えば、それらの「頂点」で計数する）（「周波数」）、及び波高（「振幅」）に依存する。短い波長は、大きい周波数を意味し、所定の振幅に対して、より大きいエネルギーを意味する。従って、電磁エネルギーを周波数で表示し、或いは、所定の空間を所定の速度で通過する波の数（「波数」）で表示することができる。波は速さ（又は大きさ）及び方向の両方を有するのでベクトルであることに留意する。ｋの大きさは｜ｋ｜である。電磁波の（角）波数（ｋ）は、波長に逆比例し、｜ｋ｜に等しい。
【００３５】
本明細書で使用する用語「点パターン」(point pattern)は、マップ、及びそれに基づいて本発明を具現する物品を製造可能な「設計図」(map or bluepoint)を得るのに使用できる点のパターンを指す。かかる物品を製造して、波が運ぶエネルギー流を制御することができる。該エネルギーは、光のエネルギーを含むが、それに限定されない。例えば、音響波が運ぶエネルギー流は、本発明のいくつかの実施形態において制御可能である。いくつかの実施形態において、本発明は、二次元点パターンを有するマップを与える。いくつかの実施形態において、本発明は、三次元点パターンを有するマップを与える。好都合なことに、パターン又はマップは、コンピュータで使用可能である。この形態において、それらが表す構造は、無制限(unbounded)が可能である（コンピュータが許容する範囲で）。一実施形態において、点パターンは二次元であり、その範囲内で規定可能な完全に凸面（通常円形）を有する可変の半径Ｒの「サンプリングウインドゥ」を有し、所望の製造を設計する際に有用である。一実施形態において、点パターンは三次元であり、完全に凸面（通常球形）をその範囲内に有する。それは、実施形態を二次元又は三次元に限定することを意図しているのではない。一次元及びｎ次元点パターンも考えられる。
【００３６】
構造の「構造因子」は、該構造因子は、構造が波数ｋの波を散乱することになる確率の基準であるいう意味で、興味ある点が、あらゆる状況下での構造に集団的に仮定する「規則」を指し、該確率はまた、構造内の散乱点の配列によって影響を受ける。構造因子はまた、「構造関数」「パワースペクトル」「パワー密度スペクトル」又は「Ｓ（ｋ）」と呼んでもよい。本明細書で、構造の点パターンの「規則」は、線に沿ったアレイ内に配列又は分布した集団(population)が示す性質を指す。その性質は、「分散」(number variance)によって測定してもよい。構造の領域を検査する任意のサンプリングウインドゥにおいて、特定の点密度（例えば点／単位体積）を見出すことになる。大きさ（即ち、三次元構造での体積）を変えることなく、繰り返し検査ウインドゥを移動し、ウインドゥが移動する毎にウインドゥ内に入る点の数を計数することによって、観測する点の平均の数及びそのウインドゥの大きさについて観測される分散を容易に決定することができる。ウインドゥの大きさ（面積又は体積）を変更する場合、観測される点密度の分散は、集団内の点がどのように配置しているかに依存する態様で変化することになる。点が構造内でランダムに分布している場合（即ち、ポアソン統計に従って）、観測ウインドゥの体積の増加は、分散の増加に等しくなる。超均一に分散している場合、分散は、体積の増加の割合としてのみ増加する。
【００３７】
物理的系において、構造関数及び出力スペクトルは、該系内で質量、電荷、エネルギーなどを有する点がどのように分布するかに関する情報を提供する。結晶は、入射放射線を散乱する点「散乱点」を含む物理的系の例である。結晶から散乱する放射線は、結晶の構造関数に依存し、同様に、散乱点密度が結晶を通じて揺らぐ程度や揺らぐ態様に依存する。
【００３８】
点パターンの「秩序、規則(order)」という概念を合理化するために、本明細書では、少なくとも３種類の「秩序、規則」を参照する。「ランダム規則」(random order)は、任意の（規格化した）構造サンプル（例えば標本分散）における点密度揺らぎの統計が、ランダム（又は「ポアソン」）分布と一致するようにした点パターンを有する構造を指す。定量的に述べると、二次元又は三次元での複数のランダムな点パターンの分散は、ウインドゥの面積（ｄ＝２）又は体積（ｄ＝３）に応じて変化する。「均質」又は「均一」な規則は、点密度の揺らぎがサンプル間で統計的に同一である構造を指す。別の言い方をすると、統計的に均質で、等方的な点パターンの分散は、ウインドゥの体積が大きくなるよりも低速で大きくなるが、ウインドゥの表面が大きくなるよりも低速で大きくなることはできない。超均一点パターンの分散は、厳密に１より小さい割合でウインドゥの体積よりも低速で大きくなる。
【００３９】
しかしながら、均質で等方的な点パターンの主要な部分集合の分散は、表面が大きくなるに従って大きくなる。この部分集合もまた、本明細書で「超均一」(hyperuniform)又は「超均質」(superhomogeneous)と呼ぶ。この超均一パターンの一部分集合は、「ステルス的」と呼ばれる。なぜなら、特定の波長の組（即ち、波数範囲がｋ＝０からｋ＝±ｋｃまでの範囲である場合）について、かかる点パターンに従って構築される光散乱構造は、光を散乱しないからである。即ち、その波長の組について、構造因子は正確にゼロ（Ｓｋ＝０）である。定量的に、＜ＮＲ２＞−＜ＮＲ＞２＝ＡＲｐである。ここでブラケットは、半径Ｒの多くの独立サンプリングウインドゥについての平均値を示す。その関係は、半径Ｒの平均ウインドゥでの分散を決定する（ＮＲはウインドゥ内の点の数である）。ここでｐ≧ｄ−１及びｐ＜ｄである。これは、三次元（即ち、２≦ｐ＜３）内のウインドゥの体積よりも低速で、又は二次元内（１≦ｐ＜２）内のウインドゥの表面積よりも低速で大きくなる必要があることを意味する。例えば、三次元又は二次元において、ｐは通常、それぞれ２又は１に等しい。点パターンでの超均一性についての検査が論文（Torquato et αl. in Phys. Rev. E 68: 41113, 2003）に非常に詳細に与えられている。上記の関係について比例定数Ａは、超均一の度合いを決定し、より優れた超均一性を反映したより小さい値である。
【００４０】
特定の構造のために好ましい、いずれの散乱特性からも点パターンを設計するための「集団座標」方法 （論文：Uche et αl., Phys. Rev. E 74:031104, 2006）の「逆」(inverse)の使用を以下で説明する。集団座標は、粒子の密度場における座標又は位置（波数ベクトルとしてプロットする)の測定値から導出される。「逆」では、所望の散乱に関係する波数ベクトルを採用して、構造に好適な散乱点を配置する。基本的に、運動は、一部の座標の拘束（即ち、自由度を減らす）に至り、他の座標の拘束には至らない。系の量χは、拘束された自由度の、系の自由度の総数に対する比である。基本的に、それは、ブリルアンゾーン内でゼロへ向かう波数ｋの割合に等しい。長距離秩序を示さない「ステルス的」超均一構造特有の傾向は、χが増加しても、次元依存臨界値χｃに達するまで持続する。パターンは、χｃ未満で、長距離並進秩序を達成する。二次元系の場合、χｃは約０．７７である。
【００４１】
（詳細な説明）
一態様において、本発明の実施形態は、エネルギー又はエネルギー量を放出、伝送、増幅、検出及び調節する際に使用する構造を設計する方法を提供する。該方法は、光（即ちフォトン）の量、又はそれに相当する電磁波を放出、伝送、増幅、検出又は調節する構造を設計することに特に適合する。該方法は、フォトン、本願でより適切に言うと電磁波に影響を与える周期性依存構造（例えば結晶）が必要とする精度を有しない組立可能な構造に適用可能である。
【００４２】
一般に、光の通過に影響を与える構造は、光を散乱するエレメントを備える。これらのエレメントは、点又は「散乱点」の集合として図で表すことができるさまざまな幾何学的パターンを形成する。散乱点の所定の集合を通過する光は、それが構造の外側から発生する場合も内側から発生する場合も、現れる場合は回折パターンを形成する。該回折パターンは、図１に示すように、幾何学的散乱点パターンの結果である。検査によって、パネルＡに示す点パターンが不規則化していることがわかる。パネルＢの点パターンの検査もまた不規則性を示すが、「クラスタリング」の影響は顕著ではない。近接点は、互いに非常に近くてもよいが、視野全体で非常に高密度なクラスタを識別できるわけではない。ランダムさの認識力は弱められる。より正式にいうと、密度の揺らぎは、面積よりむしろ、円周や半径に伴って大きくなる。これは、均質性（均一性）の特徴である。
【００４３】
多くの超均一構造は、並進周期性を示す。超均一パターンは、並進的に不規則的又は規則的に、及び等方性又は異方性を有するようにすることができる。通常の（周期的な）結晶は、異方性を有し並進的に不規則であり、先に規定した基準によると超均一である。該して、準結晶もまた適している。準結晶は、実空間で並進対称性を欠くという意味では非周期的であるが、回折パターン（即ち、その逆格子）は、周期性と矛盾しない。該回折パターンは、ブラッグピークから成り、分散及びＳ（ｋ）は、超均一性の定義と矛盾しない。五回対称性及び超均一構造を有する準結晶の例は、図１のパネルＣ及び図６に示している。ポアソン（即ちランダム）分布に従う点パターンは、周期的でなく、超均一でない。しかしながら、本発明の特定の実施形態で実現する一部の不規則（及び非周期的）点パターンは、超均一である。
【００４４】
フォトニック結晶を設計する際の主要な目的は、それらの中に完全フォトニックバンドギャップを構築することである。光の流れを操作する能力は、かかるバンドギャップに依存する。一般に、周期性が、結晶の完全フォトニックバンドギャップを収容する能力の決定因子であると考えられてきた。出願人が、シュミレーションにおいて、不規則材料を含む非結晶（即ち非周期的な）材料に完全バンドギャップを組み込むことができることを見出したことは驚くべきことであった。それゆえ別の態様において、本発明の実施形態は、組成物に周期性を付与して該組成中に完全フォトニックバンドギャップを付与する必要のない構造エレメントの配列を有する製品を提供する。実際、本発明の実施形態は、機能性について完全フォトニック、フォノニック又は電子バンドギャップに依存し、非結晶（即ち、非周期的）であるが「不規則／超均一」であるいずれかの製品を含む。かかるいずれかの物品を作成するために、周期的な型の物品を作成するための先行技術が与える誘導に従って開始するが、不規則／超均一の非結晶パターンが容易に代替する。非制限的例によって、米国特許第６８６９３３０号(Gee et al)は、効率が改善した白熱灯に使用するために、タングステンからフォトニック結晶を製造するための方法を開示している。モールドは、フォトリソグラフィエッチングマスクで決定するパターンに従ってシリコン基板内でリソグラフィで形成されている。マスクパターンは、周期性によって特徴付けられるが、本発明に従って、その代わりに不規則／超均一基準によって特徴付け、それにより従来のタングステンフィラメントと比較して効率が改善した非結晶の白熱発光体を製造してもよい。米国特許第６４６８８２３号(Scherer et al)は、二次元フォトニック結晶構造を使用した、フォトニック結晶を有するデバイス（例えば導波路、キャビティ、フィルタ、共振器、レーザー、スイッチ、及び変調器）を作成可能な方法を開示している。該構造は、マスクリソグラフィによるパターニングをベースとしている。また、不規則/ 超均一条件を達成するようにパターニングを設計することにより、本発明を導波路、マイクロキャビティ、フィルタ、共振器、レーザー、スイッチ、変調器などの中で実施してもよい。三次元フォトニック結晶もまた、リソグラフィによって製造可能である。米国特許第７５８８８８２号(Romanato et al)は、その例である。また、不規則／超均一非結晶を従来の結晶パターンに置換することによって、例えばロマントらに記載されているデバイス内で本発明を実施してもよい。不規則/ 超均一非結晶型の選択的バンドパスフィルタ及び光起電力太陽電池もまた、本発明の技術範囲内であり、例えば米国特許（第６０６４５１１号）(Fortmann et al)に記載されている層成長技術を使用して、Ｘ線、紫外線、可視光線、赤外線及びマイクロ波電磁放射線領域に対して作成可能である。この場合、水素ラジカルビームが、所望のパターンで構成された複数のコリメータを通じて基板に照射されており。該パターンは、不規則／超均一パターンでもよい。
【００４５】
音響領域(regime)はまた、フォノニックバンドギャップを有する不規則／超均一構造の調節に影響を受けやすい。米国特許公報第２００９／０２９５５０５号(Mohammadi et al)は、特定波長の波動力学的エネルギーを通過させるのを禁止するいわゆる「フォトニック結晶」を作成する方法を説明している。同じ方法を使用して、機械的エネルギーを除去、閉じ込め又は誘導し、従ってワイヤレス通信及びセンシングを含むさまざまな応用について有用である不規則／超均一非結晶フォトニックデバイスを作成することができる。不規則／超均一パターンをモハマディらが使用する非結晶パターンに置換することのみが必要である。
【００４６】
電子バンドギャップを有する結晶材料（例えばシリコン）を通じた電子の選択的透過は、半導性及びそれをベースとした数多くのデバイスを基礎とする。電子バンドギャップはまた、アモルファス（非結晶）シリコン中で、好ましくは自己イオンを結晶シリコンに埋め込むことによって作ることができる（論文：Laaziri et al. Physical Review Letters 1999, 82:3460-3463)。従って、本発明と調和する方法と結びついたこの方法を採用した場合、電子領域はまた、不規則／超均一構造内で制御を受ける可能性がある。
【００４７】
最後に、本発明の実施形態に従って、ヘテロ構造を製造する別の非制限的方法が、米国特許公報第２００９／０２１２２６５号(Grier et al)で説明されている。
【００４８】
以上で例として引用される特許及び特許出願は、発明の範囲を限定するものでなく、すべての目的についてその全体が本明細書に組み込まれる。
【００４９】
本発明がいずれかの実施形態においてどのように作用するかを理解することは、特許性にとって必ずしも必要でないが、出願人は、超均一性が役割を果たすだろうと信じている。いずれの場合も、内部に完全バンドギャップを構築された非周期構造は、材料の新しい集合を構成し、その一部は、少なくとも多くの周期的構造と同程度に有用であるだろう。即ち、非周期的（即ち、並進的不規則な）構造は充分大きくてもよい。それらのアクセシビリティは、回転対称制限を受けにくい（それらは、回転等方的である）。また、光の流れを制御するための欠陥の配置における拘束は緩和される。周期的フォトニック結晶内の対称面が導波路の製造に課す制限は減少し、又は除去される。達成可能なバンドギャップの大きさ（Δω／ωｃ）は、約５％より大きく、好ましくは約１０％より大きく、より好ましくは約２０％より大きい（ここで、Δωは、バンドギャップの「幅」、即ち禁止される波の周波数範囲であり、ωｃはその幅の中間点である）。好ましい実施形態において、本発明は、高誘電コントラストを有するヘテロ構造を提供する。一実施形態において、ヘテロ構造は、シリコン及び空気を含む。シリコンに対する非制限代替は、アルミナ、タングステンなどを含む。超均一構造がこれらの利点を有するという認識は、かかる構造内の超均一性の程度を向上させる努力を動機付け、続けて当業者が多くの目的で本発明の実施形態を使用することを可能にする。
【００５０】
本発明の好ましい実施形態に従って完全バンドギャップを有する歪んだヘテロ構造を作成するために、まず、並進的不規則な超均一点パターンをレイアウト（即ち、「構成」）することができる。バッテンら(Batten et al(2008))による「集団座標」プロトコルは、構造関数Ｓ（ｋ）について大規模集合の目標とする機能形態を使用することによって、調整した超均一点パターンの大規模集合を作成することを可能にする。所望の超均一点パターンに対応する目標の構造関数Ｓ（ｋ）を考えた場合、アルゴリズムは、シミュレーションボックス内の点の初期の任意配置で開始する。次に、点の連続的配置は、最終ステップで目標の構造因子をもたらす最適化技術に従って順次移動する。不規則なヘテロ構造を作成するのに使用可能な超均一点パターンの集合の例は、「ステルス」点パターンである。かかるパターンは、臨界波数ｋｃの選択（正の）値について、すべての｜ｋ｜（＜ｋｃ）で正確にゼロに等しい構造因子Ｓ（ｋ）を有し、大きいｋの値に対して一致する傾向がある。かかる構造は、「ステルス的」でるといわれる。それらは、完全に｜ｋ｜（＜ｋｃ）について散乱を抑制するからである。それゆえ、該構造は、この基準を満たす波長では眼に見えない。ｋｃがある閾値より大きい場合、これらのステルス的パターンから得られる不規則ヘテロ構造は、完全バンドギャップを有することになる。ｋｃを調整することによって、バンドギャップの大きさを増加させて一部のフォトニック結晶と同程度の大きさにすることができる。
【００５１】
さらに詳細には、該方法は、逆のアプローチを使用する。即ち、散乱特性（例えば絶対的透明性）を規定し、これらの目標の特性を生じる多体配置を構成する。まず、構造を有しない（即ち、点）粒子に対して最初に方法論を適用し、構造化した粒子、コロイドなどに一般化する。
【００５２】
系統的に系の大きさを増加させることは、不規則の程度に影響を与えないことに留意すべきである。構成した配置は、無限体積の制限内（即ち、粒子間距離は、系の大きさよりも充分小さいところで）で不規則を保つ。
【００５３】
「ステルス」材料は、一連の波数ベクトルについて入射放射線の散乱を完全に抑える多粒子配置を指し、従ってこれらの波長について透明である。周期的（即ち、結晶）配置は、定義通り「ステルス的(stealthy))である。なぜなら、それらは、ブラッグ散乱と関連した波長以外すべての波長について散乱を抑制するからである。しかしながら、本明細書で説明する方法は、他のどの波長でも制限がない所定の波長でのみ散乱するのを妨害する、不規則ステルス配置を構成する。
【００５４】
集合の局所的秩序を特徴付けるために、実空間においては対相関関数ｇ２（ｒ）を用いて、逆格子空間では、構造因子Ｓ（ｋ）を通じて対の情報を使用する。なぜなら、これらの関数は、実験的に利用可能であり、多体理論で広く用いられているからである。
【００５５】
対相関関数は、規格化した二粒子確率密度関数ρ２（ｒ）であり、原点に存在する粒子に対してｒに存在する粒子の中心を観測する確率に比例する。統計的に均質で等方的な媒質の場合、対相関関数は、ｒの大きさ（≡｜ｒ｜）にのみ依存し、一般に動径分布関数ｇ２（ｒ）を指す。
【００５６】
構造因子は、Ｎ粒子の配置に起因する入射放射線の散乱強度に比例し、下記の式（Ｍ１）で定義される。
【００５７】
【数１】
2012530945.tif 000003
【００５８】
ここで、ρ（ｋ）は、集団座標であり、ｋは、系の体積及び境界条件に関連する波数ベクトルである。集団座標は、下記の式（Ｍ２）で表される密度場を拡張する際のフーリエ係数である。
【００５９】
【数２】
2012530945.tif 000004
【００６０】
ここで、ｒｊは、粒子ｊの位置を表す。Ｓ（ｋ）がｋの大きさ（≡｜ｋ｜）のみに依存する場合、構造因子Ｓ（ｋ）は、ｇ２（ｒ）−１のフーリエ変換に関する。ｋ＝０と結びつく前方散乱は無視する。
【００６１】
【数３】
2012530945.tif 000005
【００６２】
ここで、ρは数密度である。非常に秩序化された系の場合、ｇ２（ｒ）及びＳ（ｋ）の両方が、一連のδ関数又はより大きいｒ及びｋでのピークを含む。これは、関連する対距離(pair distance)で強い相関を示す。長距離秩序のない配置において、ｇ２（ｒ）及びＳ（ｋ）の両方が、より大きいｒ及びｋで、一致に近づく。
【００６３】
該方法は、逆格子空間における対情報を目標とし、構造因子が一組の波長について対象となる構造因子に正確に一致する配置を構成するという利点を有する。さらに、該手順は、生じる配置がポテンシャル関数の集合に関して基底状態の構造であることを保証する。
【００６４】
数値最適化手順は、構造因子の小さなｋの振る舞いを調整するのに使用する論文（Uche, Stillinger and Torquato, Phys. Rev. E 74, 031104 (2006)）の手順に従う。式Ｍ１及び式Ｍ２で定義する構造因子Ｓ（ｋ）及び集団座標ρ（ｋ）は、量Ｃ（ｋ）に関連する。
【００６５】
【数４】
2012530945.tif 000006
【００６６】
ここで、Ｃ（ｋ）は、下記の式で表される。
【００６７】
【数５】
2012530945.tif 000007
【００６８】
対ポテンシャルｖ（ｒｉ−ｒｊ）を通じて相互作用する系の場合、全ポテンシャルエネルギーは、Ｃ（ｋ）で記述することができる。
【００６９】
【数６】
2012530945.tif 000008
【００７０】
ここで、Ω及びＶ（ｋ）は、双ポテンシャル関数のフーリエ変換である。
【００７１】
【数７】
2012530945.tif 000009
【００７２】
一次元、二次元又は三次元における寸法Ｌｘ、Ｌｘ×Ｌｙ又はＬｘ×Ｌｙ×Ｌｚを有する空間領域の場合、周期的境界条件を条件として、対応する波数ベクトルの無限の組は、下記の式で表される成分を有する。
【００７３】
【数８】
2012530945.tif 000010
【００７４】
ここでｎγは、正若しくは負の整数又はゼロであり、γは必要とされるｘ、ｙ、ｚに等しい。例えば、三次元で波数ベクトルの組は、下記の式で表される。
【００７５】
【数９】
2012530945.tif 000011
【００７６】
ゼロではない｜ｋ｜（＜Ｋ）についての任意のＶ（ｋ）に対して、Ｍ６の全ポテンシャルエネルギーの大域的最小点は、Ｃ（ｋ）又はＳ（ｋ）をすべての｜ｋ｜についての最小値にすることによって達成することは明らかである（論文：Uche et al,Phys. Rev. E 74: 31104, 2006）。
【００７７】
簡単のため、「平方マウンド」(square mound)Ｖ（ｋ）、即ち、すべてのｋ（∈Ｑ）に対して正の定数Ｖ０である関数を利用してもよい。ここでＱは、０＜｜ｋ｜＜Ｋであるような波数ベクトルの組であり、他のすべてのｋに対してはゼロである。これは、無限体積極限において、有界であり、減衰し、大きいｒでゼロ付近で振動する実空間双ポテンシャル関数により相互作用する粒子系に対応する（論文：Fan et al, Phys. Rev. A 44: 2394, 1991; Uche et al, Phys. Rev. E 70: 46122, 2004; Uche et al, Phys. Rev. E 74: 31104, 2006）。この対ポテンシャルの選択は、数値ツールとして調整した散乱特性のみを有する多粒子配置を生成するための直接的な目的を果たす。かかるソフトポテンシャル(soft potential)は、ソフトマター物理学において物理的に重要であり、理論的に扱うほうが容易である（論文：Torquato and Stillinger, Phy. Rev. Lett. 100: 20602, 2008）。Ｖ（ｋ）の特定の形態は、それが正で有界であり、最大｜ｋ｜＝Ｋのコンパクトサポートを有する限り、散乱パターンの設計において大部分は無関係である。物理的系を概算するために、小さいｒに対してｖ（ｒ）に強い反発があるようにＶ（ｋ）を選択してもよい。カットオフ半径Ｋについて、集合Ｑで２Ｍ（ｋ）の波数ベクトルが存在する。ここで、Ｍ（ｋ）は独立して束縛された集団座標の数である。即ち、Ｃ（ｋ）を束縛することは、下記の式の関係に起因してＣ（−ｋ）を束縛することを内在する。
【００７８】
【数１０】
2012530945.tif 000012
【００７９】
ｄ次元のＮ粒子系の場合、Ｎｄの全自由度がある。好都合なように、無次元パラメータχを導入して、自由度の総数に対する束縛された自由度の数の比を表す。
【００８０】
【数１１】
2012530945.tif 000013
【００８１】
式Ｍ６で規定されるポテンシャルエネルギーの大域的最小値は、χ＜１の場合に必然的に生じる、課される制約のすべてを満たす粒子配置が存在する場合かつその場合に限り、下記の式で表される値を有する。χ＜１について、式Ｍ６を大域的最小値まで最小化することにより、すべてのｋ（≡Ｑ）についてステルス的である基底状態配置を生じる。
【００８２】
【数１２】
2012530945.tif 000014
【００８３】
構造因子の特定の形態をゼロでない特定の値、例えばＳ（ｋ）＝１にすることを目標として、第２の負でない目的関数を導入する。
【００８４】
【数１３】
2012530945.tif 000015
【００８５】
ここで、Ｃ０（ｋ）は、式Ｍ４による目標構造因子と関連する。式Ｍ１１をＮ体系のポテンシャルエネルギーに取り込む場合、二体、三体及び四体相互作用が存在する（論文：Uche et al, Phys. Rev. E 74: 31104, 2006）。式Ｍ１１は、課される制約のすべてを満たす配置が存在する場合かつその場合に限り、χ＜１について、ゼロという最小値を有する。式Ｍ１１の最小化を使用して、基底状態配置としての超理想気体及び等照度材料(equiluminous material)を構成する。
【００８６】
式Ｍ６及び式Ｍ１１を最小化するために、３つのアルゴリズムが、これまで採用されてきた。即ち、最急降下（論文：Fan et al, Phys. Rev. A 44: 2394, 1991）、共役勾配（論文：Uche et al, Phys. Rev. E 70: 46122, 2004）、及びＭＩＮＯＰ（論文：Uche et al, Phys. Rev. E 74: 31104, 2006）である。最急降下法及び共役勾配法は、探査方向の選択のみが異なる直線探索方法である(文献：Press, Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing, Cambridge Univ. Press, 1992）。ＭＩＮＯＰアルゴリズムは、信頼領域法である。解から離れている場合、プログラムは勾配方向を選択し、解に近い場合は、準ニュートン方向（論文：Dennis and Mei, J. Optim. Theory Appl. 28: 453, 1979; Kaufman, SIAM J. Optim. 10: 56, 1999）を選択する。それぞれの繰返しの際に、プログラムは好適な更新を行い、ヘッシアンの近似値を求める(論文：Kaufman, SIAM J. Optim. 10: 56, 1999)。
【００８７】
共役勾配法もＭＩＮＯＰアルゴリズムも、基底状態配置のいずれかの部分集合をあまり偏らせない。生じる配置は、視覚的に類似し、両方法が作成するアンサンブル平均化動径分布関数及び構造因子は、類似の特徴を有する。ＭＩＮＯＰアルゴリズムは、共役勾配法でなく集団座標手順により適していることが実証されてきたため、有利であるだろう（論文：Uche et al, Phys. Rev. E 74: 31104, 2006）。
【００８８】
３組の初期条件が考えられている。即ち、粒子のランダムな配置（ポアソン分布）、ランダム逐次付加（ＲＳＡ：random sequential addition）、摂動格子(perturbed lattice)（それぞれ一次元、二次元及び三次元における整数、三角形、面心立方）である。ＲＳＡプロセスの場合、粒子には直径が与えられ、粒子が重複しないような空間に、ランダムかつ不可逆的に配置される（文献：Torquato, Random Heterogeneous Materials: Microstructure and Macroscopic Properties, Springer Verlag, New York, 2002)。通常χ＞０．６である充分に大きいχで、構成した基底状態の系は、明らかに初期配置の記憶をすべて失う。次のセクションで与えられる分析は、ランダムな初期条件のものとなる。大きいχ（＜１）の場合の一部において、大域的最小点は見つからなかった。本明細書で説明した結果の場合、式Ｍ６及びＭ１１は、各最小値の１０−１７以内に最小化された。他のすべての試行を分析から除外した。
【００８９】
Ｎ粒子が占有する空間領域は、周期的境界条件を有する、一次元内では線、二次元内では正方形、及び三次元内では立方体に制限される。ステルス材料については、二次元及び三次元に対して特にＮの選択に注意を払った。大きいχ（＜１）に対して式Ｍ６を最小化して結晶基底状態を生じることが知られている（論文：Fan et al, Phys. Rev. A 44: 2394, 1991; Uche et al, Phys. Rev. E 70: 46122, 2004; Uche et al, Phys. Rev. E 74: 31104, 2006）。先行研究と矛盾しないように選択する。二次元では、すべての粒子を歪みなく三角格子内に配置することができるように、Ｎを整数の積２ｐｑと選択し、ｐ／ｑが３１／２の有理数近似であるようにした。通常、三次元では、Ｎ＝４ｓ３であるように選択し、その結果、粒子を歪みなく面心立方格子ないに配置することができた。ここでｓは整数である。式Ｍ１１を最小化する場合、Ｎに他の値を与える場合がある。
【００９０】
（バンドギャップの設計）
フォトニックバンドギャップ構造は、「ステルス」構造について計算してもよく、次のように、非結晶構造を含むが、非結晶構造に限定されるわけではない。所望の回転対称性及び並進規則を有する点パターンを選択及びプロットした後、次のステップでは、最大の完全バンドギャップを作成することになる、選択した点パターン周囲の誘電体材料の配置を決定する。出願人は、本明細書で、選択した点パターン（結晶、準結晶、又は不規則超均一であっても）を変形して、並進及び回転対称性を有するが最適に近いフォトニックバンドギャップ構造（１％以内又は絶対最適(absolute optimal)未満のバンドギャップを有する）を有しないセルの充填形にするための新規な方法を提供する。該手順は、自由度２に対してのみ変化することを要求するので、プロトコルは、他の方法よりも充分少ない計算資源を使用している。一実施形態において、本発明が提供する方法は、以下で説明するように、図２に示す白丸の不規則超均一点パターンから始まる。
【００９１】
目標が、単にＴＭ偏光（アジマス方向、即ち伝播平面に垂直であり同時にＴＥ平面に垂直な方向に沿って振動する電場）のみを妨害するバンドギャップを有することであれば、各点を円柱と置換し、円柱の半径を変えて構造が最大ＴＭバンドギャップを示すようにすれば充分であろう。しかし、本設計は、ＴＥ偏光（平面内で方向付けられた電場）を妨害するには乏しい。ＴＥモデルを最適に妨害する設計を得るために、初期二次元点パターンからドロネータイルを構成してもよく、各タイルの重心を見出してもよく（重心の代替もまた可能である）、及び各点を包囲する重心を結んで重心点パターンをセルの充填形に変更してもよい。次に、均一な幅ｗを有する誘電体材料の壁（アジマス方向に沿った）を有するセルエッジを装飾(decorate)してもよく、該壁の幅を変えて最大ＴＥバンドギャップを得てもよい。最後に、重複するＴＭ及びＴＥギャップを示すデザインを得るために、一つの他のステップを付加することによって、最適妥協構造を構成してもよい。即ち、半径ｒの円柱（図２の黒丸）を用いてセル壁の三面体網の頂点を装飾してもよい。誘電体材料の所定の組について、２つの自由パラメータ、セル壁の厚さｗ及び円柱の半径ｒのみを変化させて最適完全バンドギャップを達成してもよい。さらに最適化したバンドギャップは、周期的な系における基本的なバンドギャップに相当する。即ち、ｎＢ＝Ｎであり、ここで、ｎＢはバンドギャップ数及び、Ｎは単位セルごとの点の数である。
【００９２】
フォトニック準結晶及び不規則系でバンドギャップを作成する以前の試みは、ＴＭバンドギャップ又はＴＥバンドギャップの一方を作成することを報告しているが、両方は報告していない。焦点は、考えられる最も広いＴＭ又はＴＥバンドギャップを見出すことにあったが、結局のところ、一方について最適な設計は、他方については悪い設計であり、逆も同様である。これとは対照的に、超均一性をベースとする前述の手順は、両偏光に対する最も広いバンドギャップを見出すことを目的とした最適な妥協につながる。図４に示す、不規則／超均一フォトニック構造は例示的である。完全バンドギャップ（ダイヤモンド）は、ＴＥバンドギャップ（丸）及びＴＭバンドギャップ（正方形）の両方がかなり大きい点、χ（＞０．３）で開く。
【００９３】
一実施形態を図示するために（いずれの制限をも意図するものではない）、フォトニック材料がシリコン（誘電率ε＝１１．５６を有する）及び空気で構成されていることを仮定してもよい。不規則フォトニック構造の場合、単位セル毎の点の数Ｎが約１００〜約５００に及ぶ（図３の右側のグラフの水平軸参照）長さＬの正方形アレイ内で、前述した点の「ステルス的」不規則配列を用いて、一連の周期的近似結晶（approximant）（即ち、完全周期構造を扱うのと同じ方法で扱う不規則構造）を構成してもよい。固定したχに対して、シュミレートしたギャップ幅は、Ｎが１００〜５００の間で変化しても実質的に一定のままである（図３）。好都合なことに、長さスケールａ＝Ｌ／√ｎを使用してもよく、その結果、すべてのパターンは、同じ点密度１／ａ２を有する。重要なバンドギャップは、実空間の超均一パターン内（図４及び図７）の隣接点間に有限の排他域が出現する値で、充分大きなχ（約０．３５）（χｃよりは充分小さい）に対して開き始める。逆格子空間において、このχの値は、散乱が増加した状態でｋ＝ｋｃより下で円殻に包囲された一部の正のｋｃに対してｋ＜ｋｃであるｋについてＳ（ｋ）＝０である「禁止」散乱範囲の出現に対応する。χ＝０を有する超均一パターンの周囲に構築した構造は、著しく大きいＴＭ（３６．５％）及びＴＥ（２９．６％）フォトニックバンドギャップを示すことが見出されており、それらを周期的及び非周期的な相当物の多くと競合するようにする。より重要なことには、任意の有限のＬと独立して、χ＝０．５について約１０％の値に達する、かなりの大きさの完全フォトニックバンドギャップが存在する。図８はχ＝０．４の場合、図９はχ＝０．５の場合の最適フォトニックバンドギャップを示す。
【００９４】
比較のために、図５は、最適フォトニック結晶構造（ａ）、そのシュミレートした回折パターン（ｂ）、及びそのシュミレートしたフォトニックバンドギャップ構造（ｃ）の「構成」を示す。バンドギャップ構造のプロットは、フォトニック状態のエネルギー（又は周波数）（ω）が入射角（ｘ軸）に対してどのように変化するかを表す。角度を明示的に示す代わりに、入射角が一対称軸又は別の対称軸にどれほど近いかを示す慣習が次のようにある。即ち、対称軸をΓ、Ｋ、Ｍと表示し、また別のΓも対称軸を示す。例えば、正方形格子の場合、これは、エネルギーが、入射角がエッジ又は角部にどれだけ近く直接当たるようになるかに依存して変化するかを示すだろう。例えば、一番下の曲線は、エネルギーが大きく変化することを示している。ｙ軸上で大きさ０．５より上では、曲線は「交差」し、線に当たることなく左から右へ線を描くことができないことに留意する。これは、「バンドギャップがない」(NO BAND GAP)ことを意味する。つまり、このエネルギーで入射する光は、一部の入射角で格子を通過することになる。一方、左から右に線を描くことを許容する範囲は、一番下の曲線とその上の次の曲線との間に存在することに留意する。一部の入射角ではギャップが広く、その他ではより狭い。つまり、結晶構造は「異方的」である。図６の準結晶構造及び図７〜図９の不規則超均一構造は、はるかに「等方的」である。異方的であれ等方的であれ、多くの応用についての好ましい構造は、比較的狭いバンドギャップを有する。
【００９５】
例示的な準結晶の実施形態として、格子ベクトル及び内積についての式中の黄金分割を、整数比ρ（＝Ｆｎ＋１／Ｆｎ＝（１／１，２／１，３／２，５／３））で置換することによって、大きさＬのペンローズタイルパターン（又は他の純粋ランダムパターン）の一連の周期的近似結晶を得ることができる。ここで、Ｆｎはｎ番目のフィボナッチ数である。この非限定的なケースにおける単位セルは長方形であり、その面積は、ｎが増加し、有理数近似値(rational approximant)がｒ＝（√５＋１）／２に近づくにつれて大きくなる。近似値ｎが増加する際の収束判定法において、ＴＭ放射線のみについての最適なペンローズパターンは、各頂点に半径ｒ／ａ＝０．１７７（下にあるペンローズタイルの、菱形のエッジの長さに等しいａを用いて）の誘電体円盤(disk)を置くことによって達成される。ＴＭバンドギャップは、Δω／ωｃ＝３７．６％であり（ここで、Δωはギャップ幅であり、ωｃはギャップの中点での周波数の値である。）、これまでに報告されているものと一致する（論文：Rechtsman et al, Phys. Rev. Lett. 101 : 73902, 2008）。次に、エッジが最適に近いＴＥギャップを作成する構造を規定する充填形を構成してもよい。本実施形態における最適構造は、各エッジに沿った幅ｗ／ａ＝０．１０３の誘電体材料を有する。ＴＥバンドギャップは、Δω／ωｃ＝４２．３％である。限定的であることを意図していないが、この例で算出したＴＥバンドギャップは、準結晶格子について今まで報告されてきた中で最も大きい。ネットワークの三面体交点の各エッジに沿って半径ｒ／ａ（＝０．１５７）の円柱に沿って置き、セルの壁厚をｗ／ａ（＝０．０４２）に設定することにより、最終的に、完全バンドギャップについて、最適構造が達成する。図６に示すバンドギャップの結果は、超セル近似及び平面波展開形式によって得られる。好ましくは、最適完全バンドギャップを見出すプロセスは、図６にプロットで示すような系の大きさに依存する収束検査を含む。限定的であることを意図していないが、この例で生じる構造は、算出した１６．５％の完全（ＴＭ及びＴＥ）フォトニックバンドギャップを表示している。これは、五回対称性を有するフォトニック準結晶について今まで報告されており、同じ誘電率コントラストを有するフォトニック結晶について見出される最大バンドギャップ（２０％）と同程度の第１完全バンドギャップである。
【００９６】
フォトニック結晶はより大きい完全バンドギャップを有するが（図５）、準結晶及び不規則超均一ＰＢＧ材料は、多くの応用に対して利点を提供する。第１に、両方が充分大きく等方的であり、これは、高い効率の等方的熱放射線元及び任意の屈曲角を有する導波路に使用するのに好都合である。第２に、欠陥及び光の流れを制御するのに有用なチャネルの特性は、結晶、準結晶及び不規則構造によって異なる。準結晶は、結晶同様、特異な再生可能なバンド構造を有する。それに対して、不規則構造についてのバンドギャップは、さまざまな点分布に対して、それほど大きくない不規則揺らぎを有する。一方、その一般境界との適合性に起因して、不規則超均一パターン周囲に構成されたフォトニックバンドギャップ構造は、平面光回路のための可撓性を有する光絶縁体プラットフォームを提供することができる。さらに、フォトニック結晶或いは準結晶の光学特性を大きく悪化させる可能性がある最終的な製造フローは、不規則超均一構造にそれ程影響を与えず、従って、製造上の制約を緩和する。
【実施例】
【００９７】
図１０において、超均一不規則フォトニック構造を物理的に実現した画像を示す（図１０続き）。それは、図１０で最初に示した充填した点パターンから構成した。点パターン及び点パターンの充填形における円柱の設計は、前述の誘導に従って開発した。超均一不規則フォトニック構造を左側のパターン内で円柱についての座標をプログラミングすることによって製造し、紫外線レーザー重合によって固体のプラスチックモデルを製造するラピッドプロトタイピングステレオリソグラフィデバイス（商標(SLA-7000)、登録商標（3D Systems）社、サウスカロライナ州ロックヒル）に挿入した。商標(Accura25)（3D Systems社）をプレポリマーとして使用した。デバイスのプログラミングと操作は、製造者の指示に従って実施した。商標(WaterVlear Ultra 10122)と商標(Viper si2)と一緒に使用してもよい。製造したヘテロ構造は巨視的であるが、例えばナノ粒子又は他の粒子のために設計を小型化することができる。例えば、レーザーピンセットを粒子捕捉のために使用可能であり、又は二光子重合を使用可能である。かかる方法は、可視的なフォトニックバンドギャップを有する誘電体コンポーネントのマトリックスの構成を可能にする。
【００９８】
図１０のヘテロ構造についての透過率測定は、ＨＰモデルのベクトルアナライザを用いて、３つの帯域、即ち８〜１５ＧＨｚ、１５〜２６ＧＨｚ及び２６〜４２ＧＨｚで作成することができる。平面波を近似するために、シングルＴＥ１０モードは２つのオーダーメイドのポリスチレンマイクロ波レンズを有する２セットのホーン付き導波路を通じて接続されている。サンプルを置く前に、設定する透過スペクトルを規格化のために記録している。
【００９９】
図１０の写真の構造を透過したマイクロ波が形成する画像を図１１に再現している。矢印は、構造内のＴＥバンドギャップを特定する。本明細書で採用したポリマー材料も高い誘電コントラストを構造に与える材料を使用して、構造の完全バンドギャップを開く。前述のように、異なる電磁領域（例えば可視光線）に適合するように、構造を縮小している。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図１０−１】
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【図１０−２】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１１】
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【国際調査報告】
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