(57)【要約】  離散信号近似システムにおいて、解析フィルタの特性が非線形であっても、最適な近似式を求めることを目的とする。ノルムが所定値以下である信号を原信号１とする。FIRフィルタで構成されている複数の解析フィルタ２、原信号１を単位フィルタで変換した信号の多項式で表現される信号を出力する。多項式を多次元関数に変換したフィルタ特性に基づいて、内挿関数を求める。解析フィルタ２の出力信号を一定時間ごとに標本化して離散信号とする。この離散信号を係数として、内挿関数を線形結合して、原信号の冪乗関数の近似関数を求める。この冪根を計算して、原信号の近似関数を求める。標本化タイミングごとの近似関数を合成して、全体の近似関数を求める。【特許請求の範囲】
【請求項１】
原信号を変換する複数の非線形解析フィルタと、前記非線形解析フィルタの出力信号を一定間隔の標本化タイミングごとに標本化して離散信号とする標本化手段と、内挿関数を前記離散信号で線形結合して第１近似関数を生成する複数の合成フィルタと、前記第１近似関数の冪根を求めて標本化タイミングごとの第２近似関数とする手段と、前記第２近似関数を合成して原信号の近似関数を求める手段とを具備する信号近似システムであって、前記原信号は、ノルムが所定値以下であるスペクトルから逆変換によって導かれる信号と等価な信号であり、前記非線形解析フィルタは、原信号を複数の線形フィルタで変換した信号の多項式で表現される信号を出力するフィルタであり、前記内挿関数は、前記多項式に対応して定まる関数であり、前記合成フィルタは、標本化タイミングごとに前記離散信号を係数として前記内挿関数を線形結合することにより、原信号または原信号の冪乗関数の近似である第１近似関数を生成するフィルタであることを特徴とする信号近似システム。
【請求項２】
原信号を変換する複数の非線形解析フィルタと、前記非線形解析フィルタの出力信号を一定間隔の標本化タイミングごとに標本化して離散信号とする標本化手段と、内挿関数を前記離散信号で線形結合して第３近似関数を生成する複数の合成フィルタと、前記第３近似関数の冪根を求めて標本化タイミングごとの第４近似関数とする手段と、前記第３近似関数と前記第４近似関数を合成して原信号の近似関数を求める手段とを具備する信号近似システムであって、前記原信号は、ノルムが所定値以下であるスペクトルから逆変換によって導かれる信号に基づいて作られる多次元信号と等価な信号であり、前記非線形解析フィルタは、原信号を複数の線形フィルタで変換した信号の多項式で表現される信号を出力するフィルタであり、前記内挿関数は、前記多項式に対応して定まる関数であり、前記合成フィルタは、標本化タイミングごとに前記離散信号を係数として前記内挿関数を線形結合することにより、原信号または原信号の冪乗関数の近似である第３近似関数を生成するフィルタであることを特徴とする信号近似システム。
【請求項３】
前記合成フィルタは、ＦＩＲフィルタで構成されていることを特徴とする請求項１または２記載の信号近似システム。
【請求項４】
ノルムが所定値以下であるスペクトルから逆変換によって導かれる信号と等価な原信号を、複数の非線形解析フィルタで変換し、前記非線形解析フィルタの出力信号を一定間隔の標本化タイミングごとに標本化して離散信号とし、複数の合成フィルタにより内挿関数を前記離散信号で線形結合して第１近似関数を生成し、前記第１近似関数の冪根を求めて標本化タイミングごとの第２近似関数とし、前記第２近似関数を合成して原信号の近似関数を求める信号近似方法であって、前記非線形解析フィルタは、原信号を複数の線形フィルタで変換した信号の多項式で表現される信号を出力するフィルタであり、前記内挿関数は、前記多項式に対応して定まる関数であり、前記合成フィルタは、標本化タイミングごとに前記離散信号を係数として前記内挿関数を線形結合することにより、原信号または原信号の冪乗関数の近似である第１近似関数を生成するフィルタであることを特徴とする信号近似方法。
【請求項５】
ノルムが所定値以下であるスペクトルから逆変換によって導かれる信号に基づいて作られる多次元信号と等価な原信号を、複数の非線形解析フィルタで変換し、前記非線形解析フィルタの出力信号を一定間隔の標本化タイミングごとに標本化して離散信号とし、複数の合成フィルタにより内挿関数を前記離散信号で線形結合して第３近似関数を生成し、前記第３近似関数の冪根を求めて標本化タイミングごとの第４近似関数とし、前記第３近似関数と前記第４近似関数を合成して原信号の近似関数を求める信号近似方法であって、前記非線形解析フィルタは、原信号を複数の線形フィルタで変換した信号の多項式で表現される信号を出力するフィルタであり、前記内挿関数は、前記多項式に対応して定まる関数であり、前記合成フィルタは、標本化タイミングごとに前記離散信号を係数として前記内挿関数を線形結合することにより、原信号または原信号の冪乗関数の近似である第３近似関数を生成するフィルタであることを特徴とする信号近似方法。
【請求項６】
前記合成フィルタは、ＦＩＲフィルタで構成されていることを特徴とする請求項４または５記載の信号近似方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、信号近似システムに関し、特に、信号の集合と解析フィルタ及び解析フィルタの出力信号を離散化する標本点が指定されたとき、いかなる最悪値誤差尺度をも同時に最小化する離散信号近似システムに関する。
【背景技術】
【０００２】
音楽や音声のように、時間的に連続して値を有する波形を連続信号という。この場合の信号は、時間の経過と共に値をもつが、距離やその他の量の連続的な変化に応じて値をもつ信号であっても、同様に連続信号という。また、連続信号に対して連続的に行われる信号処理を、連続信号処理という。同様に、画像のように、空間的に連続して値をもつ信号も、連続信号という。また、連続信号に対して空間的に連続して行われる信号処理も、同様に連続信号処理という。時間や距離などの一変数の変化に応じて値をもつ信号を、一次元連続信号という。画像などのように、空間的に連続して値をもつ信号を、多次元連続信号という。【０００３】
一方、ディジタル時計のように、飛び飛びの時間の系列や、碁盤の目のような、飛び飛びの空間的な点の系列を、離散的な標本点または簡単に標本点という。離散的な個々の標本点に対して一個ずつ定義された数を、標本値という。標本値の系列を離散信号という。この場合も、離散的な標本点が一つの軸上に置かれているとき、一次元離散信号という。標本値が空間的に置かれているとき、多次元離散信号という。標本値は、何らかの連続信号の標本点における値である場合もあるし、単に、標本点で定義された数値である場合もある。とくに、離散的な標本点における連続信号の標本値を求める操作を、または離散信号における離散的な標本点における一部または全部の標本値を求める操作を、標本化という。離散的な標本値は、例えばπなどのように、無理数となる場合もあるから、一般には、有限桁の２進数となるとは限らない。そこで、計算処理の便宜やデータの圧縮処理のため、与えられた有限桁の２進数で標本値を近似的に丸めたり打ち切ったりしてしまう処理を、量子化という。【０００４】
２個の信号ｆとｈがあり、信号ｆと信号ｈの一方を、それぞれシステムＳに入力して得られる出力信号をｙとｚとする。すなわち、ｙ＝Ｓ(ｆ)、ｚ＝Ｓ(ｈ)とする。このとき、信号ｆと信号ｈの和(ｆ＋ｈ)を、そのシステムに入力して得られる出力信号が、常に個々の出力信号ｙと出力信号ｚの和(ｙ＋ｚ)になるときに、すなわち、
Ｓ(ｆ＋ｈ)＝(ｙ＋ｚ)
＝S(f)+S(h)
となるとき、そのシステムＳを線形システムという。一般には、ａとｂとを複素定数とするとき、
Ｓ(ａｆ＋ｂｈ)＝(ａｙ＋ｂｚ)
＝ａS(f)＋ｂS(h)
となるシステムを線形なシステムという。線形でないシステムを非線形システムという。非線形システムでは、入力を２倍しても出力は２倍されるとは限らない。通常の通信用フィルタやレンズあるいはカメラは、線形システムと考えて良い。しかし、例えば通信用フィルタも、量子化処理を行えば非線形システムである。レンズやカメラも、材料の特性によっては、厳密には非線形システムとなることがある。【０００５】
信号は、周波数の異なる正弦波の集まりに分割出来る場合が多い。信号を形成している、周波数の異なる正弦波の集まりを、信号の周波数スペクトルまたは周波数特性という。このとき、信号自身から信号の周波数スペクトルを導く数学的な変換を、フーリエ変換という。逆の操作をする変換を、フーリエ逆変換という。フーリエ変換やフーリエ逆変換は、エネルギーが有限な信号に対して定義される。エネルギーの概念を一般化すると、ノルムの２乗と呼ばれる量になる。ノルムの２乗が有限であるような信号を集めたヒルベルト空間という信号集合が、数学の世界で知られている。ヒルベルト空間において定義される変換式としては、例えばレンズ系の解析で用いられるハンケル変換や、レーダなどに用いられるウエーブレット変換など、多数ある。ヒルベルト空間においても信号とそのスペクトルを定義することは出来るが、その場合には信号を変換してスペクトルを与える式とその逆とが同時に成り立つとは限らない。例えば、スペクトルがまず定義されて、スペクトルの逆変換により信号が定義されるという場合もある。【０００６】
現在の工業分野や医療分野における各種のシステムを良く観察すると、その内部に、以下のような信号推定や処理を行う装置を含んでいる場合が多い。
（１）一つあるいは並列に分割された数個の与えられた線形システムまたは非線形システムを通して、未知の外部信号を取得するという前処理を行う。
（２）このような前処理を行った信号に関して、離散的な標本点において標本化して、信号の標本値を求める。それらの標本値の一部または全部に量子化などの後処理を行って、離散的なデータを作成する。
（３）この離散的なデータに対して、何らかの信号処理を行い、未知の外部信号を推定する。【０００７】
このとき、（１）に述べた未知の信号を取得するシステムとしては、カメラや光学装置、アナログフィルタ、コンピュータトモグラフィやNMR装置のように、連続信号を対象とするシステムが使われる場合もある。ディジタル信号処理システムや時分割通信システムなどで用いられる離散フィルタのように、信号を離散化して前処理するシステムもある。【０００８】
しかし、何れの場合においても、近年のLSI技術の急速な進歩に伴って、処理の大部分は、離散的な信号処理であることが多い。このため、これらの装置は、上述したような信号処理システムとなる場合が多い。すなわち、前処理を行って得られた信号が、連続信号であるか離散信号であるかを問わず、それらの信号に対して標本値を求めて離散的なデータを作成する。それらの離散的なデータに基づいて、離散的な信号処理を行って、未知信号を近似的に推定することが多い。そのとき、離散的なデータのすべてを用いる装置も離散的なデータの一部を用いる装置もある。最終的な推定信号そのものが離散信号であることもあるし、未知信号を近似的に推定して得られた離散信号を内挿処理によって連続信号に直して最終的な推定信号とすることもある。【０００９】
離散的なデータの個数と標本点の間隔は、直ちに後処理に要する計算量に関係する。実際、近年重要性が益々増大してきた自然画像や医用画像の処理、あるいはSARレーダやロボットの眼などのイメージ処理のように、多次元信号の処理を内部に含むシステムでは、信号の推定精度を上げるため、標本点の間隔を狭くすると、たちまち処理に必要な標本点の個数が増大し、高価な高速ＬＳＩを多数必要とすることになる。このため、データ作成時に標本値の間引きを行い、間引かれた標本値の間の入力信号の値を近似的に復元する内挿処理、あるいは標本点が存在する領域の外側の入力信号の値を予測する外挿処理によって、入力信号を近似的に復元することが行われている。ここに、信号の内挿近似や外挿近似に伴う近似誤差の最小化という問題が生ずることになる。【００１０】
標本値を線形処理して原信号を近似する方法を説明する。ヒルベルト空間における重み付きノルムが、与えられた正数より小であるような関数またはベクトル関数を考える。これらをスペクトルと呼ぶことにする。簡単に言えば、エネルギーがある値以下のスペクトルを対象とするのであって、これは実用上妥当な設定である。このスペクトルから、積和や積分あるいはそれらの一般化である線形変換である逆変換により導かれる連続または離散信号を、近似処理の対象信号とする。このような信号が外部の未知信号として与えられ、以下の一連の処理を実行することを想定する。【００１１】
（１）前処理システムを通して、未知の外部信号を取得する。
（２）前処理を行った信号に関して、離散的な標本点において標本化して、信号の標本値を求める。それらの標本値に量子化などの後処理を行って、離散的なデータを作成する。
（３）この離散的なデータに対して何らかの信号処理を行い、未知の外部信号を推定する。【００１２】
（３）の処理として、個々の標本値に係数に相当する関数を掛けてその全体または一部を総和するという近似式を用いる。個々の標本値に掛けられる関数を内挿関数と言う。近似結果と原信号との誤差に関する多くの種類の関数を考え、原信号全体に亘るそれらの上限を、誤差の尺度として採用する。誤差の尺度は、絶対値の誤差尺度、２乗面積の誤差尺度など、多種類である。【００１３】
一次元信号を対象とし、線形システムによる前処理を行う場合について、概要を説明する。先ず、FIRフィルタについて説明する。図５は、FIRフィルタと呼ばれる回路である。図５に示すように、入力ｆ(ｔ)は、信号を単位時間τずつ進ませる進み回路、あるいは信号を単位時間τずつ遅らせる遅延回路を通過する。その後、複素数の係数ｋn（ｎ＝−Ｎ,−Ｎ＋1,・・・,Ｎ）が乗算される。さらに、その結果は、加算回路によって総和され、出力ｆ0(ｔ)となる。【００１４】
ここで、進み回路の個数と遅延回路の個数に依存して、上述の総和の限界が決定される。実際には、進み回路の実現は不可能なので、進み回路の個数だけ出力を遅延させる。従って、現実には、ｆ(ｔ)は、図５の回路の一番左端の端子に入力される。このため、FIRフィルタによって信号処理をすれば、ある遅れを覚悟しなければならない。この遅れは、当然進み回路の個数で決まり、この個数が大となれば、それだけ大きな遅れが生じる。ここでは、上述した遅れのことは一応無視して、進み回路と遅延回路からなる図５に示すFIRフィルタを考える。【００１５】
信号を単位時間τだけ遅らせる単位遅延回路に着目する。この回路に信号
ｆ(ｔ)＝exp(ｊωｔ)  （ｊは虚数単位）
を入力したとする。このとき当然、出力は単位時間τだけ遅れて、次のようになる。
ｆ(ｔ−τ)
＝exp{ｊω(ｔ−τ)}
＝exp(−ｊωτ)・exp(ｊωｔ)
＝exp(−ｊωτ)・ｆ(ｔ)
つまり、複素正弦波ｆ(ｔ)はexp(−ｊωτ)倍されることになる。このことは、単位遅延回路の（角）周波数領域での伝送関数がexp(−ｊωτ)に他ならないことを示している。よって、信号をｔ＝ｎτだけ遅延させる回路の伝送関数はexp(−ｊｎωτ)である。この事実から直ちに、図５のFIRフィルタの伝送関数は、
Ｈ(ω)＝Σn=-NNｋn・exp(−ｊｎωτ)
になることがわかる。【００１６】
従って、FIRフィルタの伝送関数は、複素形式のフーリエ級数となる。複素形式のフーリエ級数は、実用的な範囲であれば、総和の限界Ｎを増加させ、係数ｋn（ｎ＝−Ｎ,−Ｎ＋１,・・・,Ｎ）をうまく選べば、−π＜ωτ＜πの周波数帯域のほとんど全ての関数を、十分な精度で近似できる。従って、FIRフィルタのタップ数と係数を選んで、−π＜ωτ＜πの周波数帯域で、それぞれ低域通過型の伝送特性をもたせたり、帯域通過型の伝送特性をもたせたりすることが可能である。【００１７】
FIRフィルタの伝送関数がフーリエ級数となるので、FIRフィルタの伝送関数は、−π＜ωτ＜πの周波数範囲を基本周期とする、周期２πの周期関数となる。ディジタル信号処理では、基本周期の周波数帯域を主として用いることが多い。そのため、入力信号ｆ(ｔ)も、−π＜ωτ＜πにフーリエスペクトルが限定された帯域制限信号か、あるいは近似的にこの帯域に帯域制限された信号とすることが多い。しかし、近似に伴う誤差を覚悟すればこの条件は満たされなくてもよいが、この条件を大幅に違えるとそれに応じて大きな誤差を生じることもある。【００１８】
FIRフィルタバンクについて説明する。FIRフィルタバンクは、FIR低域通過フィルタや帯域通過フィルタや高域通過フィルタを並べて作った、図６のような構成のシステムのことである。解析フィルタと合成フィルタは、それぞれFIRフィルタである。解析フィルタは、入力ｆ(ｔ)を、サブバンドと呼ばれる狭い周波数領域の帯域に分割する働きをする場合がある。これは、ディジタル計算機で数値処理するときのデータの量を節約する場合などのように、データ量を圧縮するためなどに使われることがある。例えば、各サブバンドの出力信号を、２進小数などの与えられた有限の桁の小数で近似的に表現し、あるサブバンドの出力が、ある時間幅に亘って小さければ、これを近似的に０とするなどの処理でデータ量の圧縮をするのである。FIRフィルタは、多くの伝送関数を実現できるので、観測装置やセンサなどの伝送関数を、図６の解析フィルタとしてモデル化することができる。【００１９】
解析フィルタを通過した出力は、時間軸上に間隔Ｔで周期的に配置された標本点ｔ＝ｎＴ（ｎは整数）において標本化され、標本値ｆm(ｎＴ)(ｎは整数、ｍはパス番号)が得られる。これらの標本値はｆ(ｔ)の部分的な情報であり、一般にはｆ(ｔ)を一意的には決定できない。ある条件の下では、これらの標本値がｆ(ｔ)を一意的に決めることがある。このような条件と、ｇ(ｔ)からｆ(ｔ)への再生公式とを、標本化定理と言う。特に断らない限り、ここでは、標本値からではｆ(ｔ)が一意的に決まらないとする。【００２０】
これらの標本値またはそれらの一部が対応する標本点において、合成フィルタであるFIRフィルタに順番に入力される。その結果生じる合成フィルタの出力が、最後に加算回路で総和されて、最終的な出力ｇ(ｔ)となる。出力ｇ(ｔ)を、入力ｆ(ｔ)に、できるだけ近づけることが求められる。次の事実は、自明ではあるが重要である。入力ｆ(ｔ)が唯一つで既知であれば、このような煩雑な近似を行うまでもなく、ｇ(ｔ)としてｆ(ｔ)をあらかじめ用意しておくことができる。当然、近似誤差は、
ｅ(ｔ)＝ｆ(ｔ)−ｇ(ｔ)＝ｆ(ｔ)−ｆ(ｔ)＝０
である。この場合については、ここでは対象としない。逆に、ｆ(ｔ)がどのようにでも激しく変化できるときには、ｆ(ｔ)の部分的な情報である標本値からは、ｆ(ｔ)の復元は不可能である。すなわち、標本値だけは与えられた値となるが、それ以外では極めて大きな変動をする信号がいくらでも存在し、事実上近似が不可能である。【００２１】
よって、適当な信号ｆ(ｔ)の集合を設定して、その集合に対して最適な近似を考えることが必要である。従って、ある近似式の近似性能が良いという場合でも、ある既知の特定の信号に対して近似がいいというのでは、前の議論に逆戻りしてしまう。信号集合を設定し、それに属する信号ｆ(ｔ)に対して、総体的に近似性能を良くすることを考える。【００２２】
そこで、対象とした上限誤差の尺度と問題を、もう少し正確に記述する。いま、信号集合とそれに属する信号を対象にした、ある近似式が与えられたとする。その信号集合をΞ、近似結果をｇ(ｔ)、近似誤差をｅ(ｔ)と書く。さらに、その近似式は、信号ｆ(ｔ)を、解析フィルタＨm(ω)(ｍ＝０，１，２，・・・，Ｍ−１)に印加したときの出力ｆm(ｔ)の標本値ｆm(ｎＴ)(ｍ＝０，１，２，・・・，Ｍ−１；ｎ＝Ｎm1，Ｎm1＋１，Ｎm1＋２，・・・，Ｎm2；Ｎm1とＮm2は解析フィルタＨm(ω)(ｍ＝０，１，２，・・・，Ｍ−１)の番号ｍに対応して定まる与えられた整数)をデータとして用いて、信号ｆ(ｔ)を近似するような近似式であるとする。このとき、上限誤差の尺度を次のように定義する。Ｎm1 及びＮm2は解析フィルタＨm(ω)(ｍ＝０，１，２，・・・，Ｍ−１)の番号ｍに依存しない場合もある。そのときはＮm1 ＝Ｎ1 及びＮm2 ＝Ｎ2とする。【００２３】
上限誤差の尺度：与えられた信号集合をΞ、近似結果をｇ(ｔ)、近似誤差をｅ(ｔ)と書く。さらに、誤差ｅ(ｔ)のある正の関数（一般には演算子や汎関数でも良い）β[ｅ(ｔ)]が定義されているとする。このとき、信号集合Ξに属する信号ｆ(ｔ)全体に亘って、信号ｆ(ｔ)に対する近似誤差ｅ(ｔ)を全て考え、これらのｅ(ｔ)に関するβ[ｅ(ｔ)]の上限を、
Ｅmax(ｔ)＝sup{β[ｅ(ｔ)]}（supの範囲はｆ(ｔ)∈Ξ）
と書き、上限誤差の尺度Ｅmax(ｔ)という。上限誤差の尺度Ｅmax(ｔ)は各時点ｔ毎に定義される。【００２４】
ここで、「入力信号ｆ(ｔ)の集合Ξ、標本点間隔Ｔ、解析フィルタの伝送関数、合成フィルタのタップ数が与えられたとき、上述の上限誤差の尺度の全てを同時に一斉に最小にする合成フィルタを求めよ。」という問題を考える。以下、このような近似式を最適な近似式と呼ぶことにする。さらに、このような近似式は、全ての上限誤差の尺度を同時に最小にするから、当然βを含まない場合の上限誤差の尺度
Ｅmax(ｔ)＝sup{|ｅ(ｔ)|}（supの範囲はｆ(ｔ)∈Ξ）
を最小とする。この上限誤差の尺度を最小とする近似式が、一意的に容易に求められる場合には、近似式の一意性から、その近似式とは、まさしく容易に求められた近似式そのものに他ならないことになる。このようなことが実際にありうるであろうか。【００２５】
いくつかの条件下における不敗の近似の存在を説明する。ここでは、先ず、ある２個の条件を満たす近似式が存在すれば、その近似式が上述した最適な近似式であることを示す。さて、ある信号集合Ξに対して、次の２条件を満たす近似式が存在したとする。【００２６】
条件１：その近似式を用いたとき、信号集合Ξに属するｆ(ｔ)に対する近似誤差ｅ(ｔ)は、信号集合Ξに属する。すなわち、その近似式に対する近似誤差ｅ(ｔ)の集合Ξeは、Ξに含まれる。【００２７】
条件２：近似誤差ｅ(ｔ)は、信号集合Ξに属するから、ｅ(ｔ)を信号と考えて、その最適な近似式を、信号ｅ(ｔ)に適用したとする。このとき、ｅ(ｔ)を解析フィルタＨm(ω)(ｍ＝０，１，２，・・・，Ｍ−１)に印加したときの当該解析フィルタの出力ｅm(ｔ)の標本値ｅm(ｎＴ) (ｍ＝０，１，２，・・・，Ｍ−１；ｎ＝Ｎm1，Ｎm1＋１，Ｎm1＋２，・・・，Ｎm2；Ｎm1とＮm2は解析フィルタＨm(ω)(ｍ＝０，１，２，・・・，Ｍ−１)の番号ｍに対応して定まる与えられた整数)は全て０である。【００２８】
いま、与えられた近似式が上記の２条件を満たすとき、それは上述した最適な近似式であることを示す。図７は、最適な近似式の候補と他の近似式の図である。図７の上側は、最適な近似式に対応する。下側は、比べるための他の近似である。図７に示すように、それぞれの近似式は、ｇ(ｔ)及びｙ(ｔ)であり、対応する近似誤差はｅ＝ｅ(ｔ)及びＥ＝Ｅ(ｔ)である。誤差ｅもＥも、入力ｆ(ｔ)で決まるのであるから、ｅ(ｆ,ｔ)及びE(ｆ,ｔ)と書くことが出来る。【００２９】
簡単のため、最適な近似を自分の近似、他の近似を相手の近似という。このとき、自分の近似の近似誤差
ｅ＝ｅ(ｔ)＝ｅ(ｆ,ｔ)
を信号として解析フィルタに入力すると、図８に示す結果が得られる。図８に示すように、条件２から
ｆ(ｔ)＝ｅ(ｆ,ｔ)
すなわち
ｆ＝ｅ
を信号として解析フィルタに入力したときの標本値は０であるから、この場合には、データは何もないことになる。そこで、妥当な仮定として、そのときの相手の近似の近似式は
Ｏ(ｔ)＝E(ｆ,ｔ)＝Ｅ(ｅ,ｔ)≡０
と仮定する。すると、図８に示すように、相手の誤差について、
Ｅ(ｅ,ｔ)＝ｅ(ｆ,ｔ)−Ｏ(ｔ)＝ｅ(ｆ,ｔ)＝ｅ
が成立することになる。この結果、図９に示すような不等式が成立する。【００３０】
すなわち、信号ｆ＝ｆ(ｔ)を、はじめの信号集合Ξの中で変えたときの、相手の近似誤差Ｅ＝Ｅ(ｆ,ｔ)の最大値（上限）は、ｆを選ぶ範囲をΞから近似誤差ｆ＝ｅ(ｆ,ｔ)の集合Ξeに縮小すれば、上限というものの宿命として当然増大しない。したがって、図９の上から２番目の式が成り立つ。ここで、文字ｆを文字ｅに単に取り替える。すると、３番目の式が得られる。然るに、図８から、
Ｅ(ｅ, t)＝ｅ(ｆ,ｔ)−Ｏ(ｔ)＝ｅ(ｆ,ｔ)＝ｅ
であった。従って、４番目の式が成り立つ。さて、信号ｆと誤差信号ｅとの対応関係から、信号
ｅ＝e(t)＝ｅ(ｆ,ｔ)
を誤差信号ｅ(ｆ,ｔ)の集合の中で取り替えながらβ[ｅ(ｔ)]の上限をとることは、信号ｆ＝ｆ(ｔ)を、信号集合Ξの中で取り替えながら、β[ｅ(ｔ)]の上限をとることと同じである。よって、最後の５番目の式が得られる。一番目の式と５番目の式に着目すると、自分の近似は常に、相手の近似よりも大ではない近似誤差の尺度を持つことになる。よって、証明された。【００３１】
具体的な例で説明する。いま、各標本点では入力信号を単に標本化するだけの例を考える。この例では、前処理回路の入出力特性グラフは原点を通る傾き１の直線であるとする。【００３２】
自分の近似回路は、標本点では、標本値が０のとき０を出力し、０でないときは原信号の近似信号を出力する。すなわち、標本点においては、信号の標本値をそのまま出力する回路である。標本点以外では、ここで述べたような近似値を出力する。相手の近似回路は、標本値が０のとき０を出力し、０でないときはその値とは異なる値を出力する場合を許すとする。このとき、自分の近似信号は標本点では原信号に一致するから、標本点における近似誤差ｅ(ｔ)の標本値は全てゼロである。よって、条件２が満たされる。この近似誤差ｅ(ｔ)に相手の近似を適用すると、標本値が全て０なので相手の近似式も０であるとしてよいであろう。つまり、自分の近似誤差に相手の近似を適用すると、そのときの相手の近似誤差は入力ｅ(ｔ)引く相手の近似式０であるからｅ(ｔ)−０＝ｅ(ｔ)である。すなわち、入力がｅ(ｔ)であるときには、自分の近似と相手の近似は同じ近似性能をもつ。しかし、入力がｆ(ｔ)であるときには、相手の近似はｅ(ｔ)より大なる近似誤差をもつかもしれない。この場合は、自分の近似が良い近似値を出すことになる。もしも、相手の近似式がある特定の入力ｆ(ｔ)に関してｅ(ｔ)より小なる近似誤差を出したとしても、条件１からｆ(ｔ)＝ｅ(ｔ)という信号が原信号の中に存在するから、それを原信号として選ぶことにすれば、そのような入力に対しては、相手の近似は誤差近似ｅ(ｔ)をもつので、上限誤差を採用している限りこの場合でも自分の近似と相手の近似は同じ上限誤差の尺度
Ｅmax(ｔ)＝sup{|ｅ(ｔ)|}（supの範囲はｆ(ｔ)∈Ξ）
をもつことになる。つまり、自分の近似は上の上限誤差の尺度では相手の近似に勝さるか同じ性能である。【００３３】
一般的に線形変換を行う前処理回路の例を示す。入力信号ｆ(ｔ)を、ｆ(τ)、ｆ(２τ)、・・・、ｆ(Ｎτ)とする。τは正定数である。これをベクトルｆとする。前処理回路を、ベクトルｆの線形変換回路とする。例えば、ｙ＝Ａｆとする。ただし、ＡはＭ×Ｎ行列である。ｙのＭ個の要素を標本化回路の出力とする。後処理回路を、ｚ＝Ｂｙとする。ただし、ＢはＮ×Ｍ行列である。このとき、Ａを通してＢで処理した出力を再びＡに通したものが、単にＡを通すだけの結果と同じである、つまり、出力ＢＡｆの標本値Ａ（ＢＡｆ）と入力ｆの標本値Ａｆが同じ、すなわちＡＢＡｆ＝Ａｆ、であれば、条件２を満たす。何故ならば、そのときの誤差はｅ＝ｆ−ＢＡｆであるから、誤差ｅの標本値はＡ（ｆ−ＢＡｆ）＝（Ａ−ＡＢＡ）ｆとなり、ＡＢＡ＝Ａであれば誤差ｅの標本値は０となるので、条件２が満たされるのである。このとき、誤差ｅ＝(Ａ−ＡＢＡ)ｆがｆの集合Ξに含まれているという条件が、条件１である。このように出来るかが問題となるわけである。【００３４】
以上の考察から、「上述の２条件を満たす実用的な信号集合と、そのときの最適な近似式を求めよ。」という課題が考えられる。そのような第１の例として、次のような信号集合を考える。すなわち、図10に示すように、ソース信号ｈ(ｔ)のフーリエスペクトルをＨ(ω)とし、ソース信号ｈ(ｔ)のエネルギーが与えられた正数Ａ以下であると仮定する。このとき、ソース信号ｈ(ｔ)を所与の正なる伝送関数√(Ｗ(ω))をもつフィルタに印加した出力をｆ(ｔ)とし、そのフーリエスペクトルをＦ(ω)とする。図10に示すように、Ｆ(ω)は、図10に示す不等式を満たすことになる。このような制約を満たすＦ(ω)をもつ信号ｆ(ｔ)の集合を、信号集合Ξとする。【００３５】
関数Ｗ(ω)を重み関数と言い、その例を図11に示す。例えば、ｈ(ｔ)は肺の中での急激な空気の流れ、Ｗ(ω)の平方根が喉の声道関数、ｆ(ｔ)が実際に口から出る音声と考えれば、その音声そのものの集合を信号ｆ(ｔ)の集合として想定した信号近似となる。このとき、図11のωcは、近似的な音声のカットオフ周波数、例えば４kHz、に相当する。このとき、標本点が有限個に固定されている場合に、条件１及び２を満たす最適な近似式を求めることができる。その近似式は、標本点毎に異なる関数形の合成フィルタΨm,n(ω)を用いる。ｍはパスの番号であり、ｎは標本点の番号である。標本点毎に異なるフィルタである点は、図６の回路とは異なっている。最適なΨm,n(ω)は、−π＜ωτ＜πの範囲に帯域制限されている。τは原信号の標本化周期であり、標本点周期Ｔの１/Ｍであるとする場合が多い。これを満たさない場合に近似が理論的に破綻するわけではないが、誤差が増大することがある。【００３６】
この場合には、合成フィルタΨm,n(ω)のインパルス応答ψm,n(ｔ)は無限の長さを持つので、実際には、それを有限の固定した時間幅で打ち切って使用することになる。よって、この近似は、その時間幅の中での近似となる。この場合には、ψm,n(ｔ)は、その時間幅で時間制限されるので、離散近似を行うときには、ψm,n(ｔ)を、有限タップのFIRフィルタとして実現することが出来る。このとき、近似誤差の尺度
Ｅmax(ｔ)＝sup{|ｅ(ｔ)|}（supの範囲はｆ(ｔ)∈Ξ）
は、
Ｅmax(ｔ)＝(√Ａ)/(２π){∫-∞∞Ｗ(ω)2
×|exp(ｊωｔ)−Σm=0M-1Σn=N1N2ψm,n(ｔ)Ｈm(ω)exp(ｊωｎＴ)|2dω}1/2
と積分表現できる。ここに、ψm,n(ｔ)は、最適な合成フィルタのインパルス応答である。【００３７】
最適なψm,n(ｔ)を具体的に求める方法は、次の通りである。先ず、上記の上限誤差の尺度の積分の中身に含まれる複素関数の絶対値を、複素関数とその共役複素関数の積と書き直して展開し、ψm,n(ｔ)に関して整理すると、ψm,n(ｔ)に関する項は、ωとは無関係なので、全て、ωに関する積分の外に出てしまう。従って、容易にψm,n(ｔ)に関して微分できる。上記の誤差の尺度を、このようにして全てのψm,n(ｔ)に関して微分して０とおくと、得られた結果は連立一次方程式となる。【００３８】
その連立一次方程式のψm,n(ｔ)以外の項は、Ｗ(ω)Ｈm(ω)やＷ(ω)Ｈm(ω)とＨm(ω)の複素共役との積のフーリエ逆変換（または、特定の時間でのその値）に比例している。そこで、FFTなどのフーリエ逆変換の高速計算法が利用できる。この連立一次方程式を解くと、最適なψm,n(ｔ)が求められる。詳論は省略するが、このとき、当該連立方程式の係数行列は定数行列となり、一度計算すれば、あとはその数値を記憶させておくだけで良く、再計算を時間ｔ毎に行う必要はない点が重要である。また、ψm,n(ｔ)自身を、そもそも誰かが一度計算してしまえば、他の人はその数値だけを利用すればいいのである。【００３９】
また、ψm,n(ｔ)を導く式が、連立一次方程式となる点は、数値計算上極めて有利である。実際、LU分解法などの高速計算法を利用できる点が、この近似の計算機ソフトウェアの有利な点である。このような数々の利点を有する帯域制限された合成フィルタのインパルス応答ψm,n(ｔ)が、あらゆる上限誤差の尺度を同時に一斉に最小とするという事実は、極めて重要である。【００４０】
上記の第１の例は、有限個の標本点が固定されている場合の結果である。次は、第２の例として、FIRフィルタを用いる、図６に示す通常のフィルタバンクの場合の近似について述べる。この場合の信号集合は、図10と図11の周波数帯域を、−（Ｔ＋Ｍ）π≦ωＴτ≦（Ｔ＋Ｍ）πまで拡大した場合に相当するものとする必要がある。このとき、次の特徴をもつ合成フィルタΨm(ω)のインパルス応答ψm(ｔ)(ｍ＝０，１，２，・・・，Ｍ−１)を導く。ψm(ｔ)(ｍ＝０，１，２，・・・，Ｍ−１)は、上記の拡大された帯域で帯域制限されている。離散時間ｔ＝ｎτ(ｎは整数)で、ψm(ｎτ)(ｍ＝０，１，２，・・・，Ｍ−１)は、与えられた有限の時間幅以上では０である。従って、ψm(ｔ)(ｍ＝０，１，２，・・・，Ｍ−１)を、離散的な時間ｔ＝ｎτ(ｎは整数)だけで利用するときは、有限個のタップをもつFIRフィルタとして実現できる。さらに、重要なことは、まず、ψm(ｔ)(ｍ＝０，１，２，・・・，Ｍ−１)を用いるこの近似式は、条件２を満足することが証明できることである。【００４１】
以上から、この場合には、離散的な時間ｔ＝ｎτ(ｎは整数)における近似を対象とする、いわゆる離散近似に議論を限定する限り、焦点は、条件１を満足する実用的な信号集合があるか、に絞られる。実際、多次元信号まで拡張した形式で、十分実用的な信号集合が得られている。【００４２】
ディジタル多重通信装置への応用について説明する。上記の第２の例に相当する離散的な信号近似の場合を、２パスのフィルタバンクを例にして示すと、図12のようになる。図12において、入力信号が解析フィルタを通過後、間隔Ｔで標本化される結果として、いわゆるエイリアジング現象が生じ、図12の中に示すように、フィルタバンクの中間点における標本化の直後では、スペクトルの重なりが生じる。その結果、図12の下部に示すように、Ｆ(ω)とＦ(ω0−ω)を変数とする連立一次方程式が成立する。従って、これが解ければ、フィルタバンクの中間点における標本化によって得られる、重なり合ったスペクトルから、Ｆ(ω)とＦ(ω0−ω)が求められる。このとき、この連立方程式が解けるためには、係数行列の行列式が非零となる必要がある。これを、解析フィルタの独立性の条件と呼ぶ。パス数は２としたが、３パス以上の場合もこれと同様である。【００４３】
解析フィルタが独立であれば、フィルタバンクの中間点における標本化の直後の標本値から、入力ｆ(ｔ)が復元できることになる。このようなフィルタバンクの解析フィルタを、図13に示すように接続したとする。すると、図13に示すように、当該フィルタバンクが十分に優秀な近似性能をもつとすると、
ｆ(ｔ)＝ｇ(ｔ)
が近似的に成立し、似た信号からは似た出力が出るということを仮定すれば、図13に示すように、理解の便宜のため赤と緑で示した信号は分離よく出力に出現し、図13の左端の回路を排除すれば、近似の良いディジタル多重通信装置が得られる。【００４４】
当該ディジタル多重通信装置の入力は、図13では、左側のフィルタバンクの中間の標本値であり、当然ｆ(ｔ)のある（汎）関数である。また、当該ディジタル多重通信装置の出力は、図13では右端の標本値であり、当然ｇ(ｔ)の同じ（汎）関数である。議論は勿論線形なので、当該多重通信装置のチャネル毎の入出力の差は、結局ｆ(ｔ)−ｇ(ｔ)の汎関数となる。さて、上記の第２の例の場合には、この近似は、
ｅ(ｔ)＝ｆ(ｔ)−ｇ(ｔ)
の如何なる汎関数の上限も最小とする。したがって、結局、この近似は、多重通信装置のチャネル毎の入出力の差の任意の演算子や汎関数あるいは関数の上限を最小とする。つまり、この近似は、ディジタル多重通信装置の設計においても極めて有利である。なお、当該多重通信装置の入出力の時間刻みはＴであることに注意されたい。【００４５】
解析フィルタは、独立性の仮定を満たせば、十分に広く設定可能であり、その計算ソフトウェアは、FFTや線形計算程度である。従って、例えば、災害時に回線の伝送特性が変化してしまっても、その変化した回線特性を解析フィルタと考え、簡単な計算で、とっさに最適な合成フィルタを求めて、柔軟に事態に対応できる。特に、この近似を用いるディジタル多重通信装置は、図13の右側の回路であり、従って、右端の回路は、フィルタバンクとしては、解析フィルタに使われているフィルタである。そして、図13の真ん中の回路が、当該ディジタル多重通信装置としては、入力回路に当たり、これは、フィルタバンクにおいては、合成フィルタに相当する。すなわち、当該ディジタル多重通信装置の最適な設計は、多数のユーザ側の受信フィルタ（フィルタバンクでは解析フィルタに相当するフィルタ）を与えて、放送局側の送信フィルタ（フィルタバンクでは合成フィルタに相当）を最適化するという問題であり、この意味でも、災害時等に回線の伝送特性が変化してしまっても、その変化した回線特性を解析フィルタと考え、簡単な計算でとっさに最適な合成フィルタを求めて柔軟に事態に対応できるという目的に適している。【００４６】
本発明者は、非特許文献１において、多次元信号を補間する近似方法を提案した。この近似方法では、入力信号が線形な前処理フィルタを通過したのち、離散的な標本点で標本化される。得られた標本値から、入力信号を近似的に推定する。入力信号と再生近似信号の間の誤差は、種々の誤差尺度で最小である。【００４７】
本発明者は、非特許文献２、３において、帯域制限された信号の最適離散近似方法を提案した。非特許文献４において、フィルタバンクを用いる最適補間方法を提案した。非特許文献５、６、７、９において、多次元信号の最適近似再生方法を提案した。非特許文献８、10、11において、多次元直交展開関数の補間評価方法を提案した。非特許文献12、13、14において、最適な線形内挿近似方法を提案した。【００４８】
【非特許文献１】Takuro Kida: "Theory of Generalized Interpolation Approximation of Multi-Dimensional Signals", Journal of Signal processing, Vol.6, No.1, pp.3-8, January 2002, No.2, pp.71-77, March 2002, No.3, pp.137-141, May 2002.
【非特許文献２】Y. Kida and T. Kida, "The Optimum Discrete Approximation of Band-Limited Signals without Necessity of Combining the Set of the Corresponding Approximation Errors," IEICE Trans. Fundamentals, Vol.E85, No.3, pp.610-639, March 2002.
【非特許文献３】Y. Kida and T. Kida, "The Optimum Discrete Approximation of Band-Limited Signals with an Application to Signal Processing on Internet," IEICE Trans. Fundamentals, Vol.E82-A, No.8, pp.1592-1607, Aug. 1999.
【非特許文献４】T. Kida and Y. Kida, "Consideration on the Optimum Interpolation and Design of Linear Phase Filterbanks with High Attenuation in Stop Bands," IEICE Trans. Fundamentals, Vol.E81-A, No.2, pp.275-287, Feb. 1998.
【非特許文献５】T. Kida and Y. Zhou, "The Optimum Approximate Restoration of Multi-Dimensional Signals Using the Prescribed Analysis or Synthesis Filter Bank," IEICE Trans. Fundamentals, Vol.E79-A, No.6, pp.845-863, June 1996.
【非特許文献６】T. Kida, "The Optimum Approximation of Multi-Dimensional Signals Based on the Quantized Sample Values of Transformed Signals," IEICE Trans. Fundamentals, Vol.E78-A, No.2, pp.208-234, Feb. 1995.
【非特許文献７】T. Kida, "On Restoration and Approximation of Multi-Dimensional Signals Using Sample Values of Transformed Signals," IEICE Trans. Fundamentals, Vol.E77-A, No.7, pp.1095-1116, July 1994.
【非特許文献８】T. Kida, S. Sa-Nguankotchakorn, K. Jenkins, "Interpolatory Estimation of Multi-Dimensional Orthogonal Expansions with Stochastic Coefficients," IEICE Trans. Fundamentals, Vol.E77-A, No.5, pp.900-916, May 1994.
【非特許文献９】T. Kida, "The Optimum Approximation of Multi-Dimensional Signals Using Parallel Wavelet Filter Banks," IEICE Trans. Fundamentals, Vol.E76-A, No.10, pp.1830-1848, Oct. 1993.
【非特許文献１０】T. Kida, S. Sa-Nguankotchakorn, "Generalized Optimum Interpolatory Estimation of Multi-Dimensional Orthogonal Expansions with Stochastic Coefficients," IEICE Trans. Fundamentals, Vol.E75-A, No.12, pp.1793-1804, Dec. 1992.
【非特許文献１１】T. Kida, H. Mochizuki, "Generalized Interpolatory Approximation of Multi-Dimensional Signals Having the Minimum Measure of Errors," IEICE Trans. Fundamentals, Vol.E75-A, No.7, pp.794-805, July 1992.
【非特許文献１２】木田拓郎、望月浩史：「線形内挿近似の最適性に関する統一的考察」、電子情報通信学会論文誌A、Vol.J75-A、No.10、pp.1556-1568. 1992年10月。
【非特許文献１３】木田拓郎、ソムサック・サグァンコットチャコーン：「標本化定理における母関数と各種の尺度を最小とする最適内挿関数に関する研究」、電子情報通信学会論文誌A、Vol.J74-A、No.8、pp.1332-1345. 1991年8月。
【非特許文献１４】木田拓郎、吉岡秀樹レオポルド、高橋貞良、金田一：「多次元波形の拡張された内挿近似理論」、電子情報通信学会論文誌A、Vol.J74-A、No.6、pp.829-839. 1991年6月。
【非特許文献１５】Yuichi Kida and Takuro Kida: "Theory of the optimum approximation of vector-signals with some applications," The 2004 IEEE International Midwest Symposium on Circuits and Systems (MWSCAS 2004).平成16年7月。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００４９】
しかし、従来の離散信号近似システムでは、解析フィルタが非線形の場合には近似式を求めることができないという問題がある。一見すると単に非線形変換の逆変換を合成フィルタの前に行い、その後で通常のフィルタバンクの合成手段を実行すればよいではないかと思われる。しかし、
ｖ(ｔ)＝ａ・{ｙ(ｔ)}2＋ｂ・ｙ(ｔ)
の標本値
ｖ(ｍＴ)＝ａ・{ｙ(ｍＴ)}2＋ｂ・ｙ(ｍＴ)
からｙ(ｍＴ)を求めようとすると、二次方程式は一般には２個の解を持つため、一般にはｙ(ｍＴ)は２個得られるから、その中でどちらの値を使うか不明である。【００５０】
これを避けるため、
ｖ(ｔ)＝ａ・{ｙ(ｔ)}2＋ｂ・ｙ(ｔ)
において、ｙ(ｔ)の正である部分のみを用いれば、当然のようにｙ(ｔ)が負の場合を表現できない。２個のいずれを選ぶかという事態は、一つの原信号ごとに各標本値毎に生じるので、一つの信号ごとに用いる標本点が例えば30点程度であれば２の30乗個の場合という巨大な個数の場合が生じることとなる。原信号が異なれば２個のいずれを選ぶかも異なってしまう。原信号は無数なので到底現実的な近似方法となり得ない。【００５１】
例えば、原信号と比べて近似が良いほうを採用すればよいと考えたとしても、そもそもここで対象としている近似問題においては、原信号は不明であるという立場に立っている。原信号が既知ならば、近似を行わずにその原信号そのものを使えばよいということになり自明な問題になってしまう。原信号が不明である以上、これらの多数の近似の中でどれを使うかは決められない。すなわち、単に非線形変換の逆変換を合成フィルタの前に行い、その後で通常のフィルタバンクの合成手段を実行すればよいという手段は、この意味では無意味である。【００５２】
さらに、内挿関数の一部が同一であるという条件が課されたときには、その部分をまとめて式を表現することによって、異なる標本点において非線形変換されたものの和に、その内挿関数が掛けられることになる。このとき、非線形変換の逆変換は、異なる標本点において非線形変換されたものの和全体にわたって実行する必要が生じ、結果として、連立非線形方程式を解き、その総ての解を求める必要が生じる。一般にはこの解法は極めて困難であり、解が複数であると、また標本点と原信号ごとの場合分けが生じるなど、到底解くことができない。【００５３】
それでは、一回の計算ごとに、近似信号を部分的に求め、そのスペクトルなどを調べて、複数の標本値の候補のなかである解を採用するのがよさそうだということを順次に行っても、多数解の実行の後に、実ははるか前に採用した解と異なる解を採用すべきであったという結論になってしまうかも知れず、またそれにしても前のどの時点で選択を誤ったかはわからないという事体に陥る上に、このようなことを原信号と標本値を取り替えるたびに無限に繰り返す必要が生じてしまう。【００５４】
本発明の目的は、上記従来の問題を解決して、離散信号近似システムの解析フィルタが非線形の場合に、近似式を求めることができるようにすることである。
【課題を解決するための手段】
【００５５】
上記の課題を解決するために、本発明では、離散信号近似システムを、ノルムが所定値以下であるスペクトルから逆変換によって導かれる信号と等価な信号を原信号とし、原信号を単位フィルタで変換した信号の多項式で表現される信号を出力する複数の解析フィルタと、解析フィルタの出力信号を一定間隔の標本化タイミングごとに標本化して離散信号とする標本化手段と、多項式に対応する多次元関数で表現される信号を出力する多次元線形フィルタの特性に基づいて内挿関数を求める演算手段と、標本化タイミングごとに離散信号を係数として内挿関数を線形結合することにより、原信号の冪乗関数の近似である第１近似関数を生成する複数の合成フィルタと、第１近似関数の冪根を求めて標本化タイミングごとの第２近似関数を求める手段と、第２近似関数をすべて合成して原信号の近似関数を求める手段とを具備する構成とした。
【発明の効果】
【００５６】
本発明では、上記のように構成したことにより、解析フィルタが非線形の場合でも、原信号の最適な近似式を求めることができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００５７】
以下、本発明を実施するための最良の形態について、図１〜図４を参照しながら詳細に説明する。
【実施例】
【００５８】
本発明の実施例は、FIRフィルタで構成されている複数の解析フィルタで、ノルムが所定値以下である原信号を単位フィルタで変換した信号の多項式で表現される信号を出力し、解析フィルタの出力信号を一定時間ごとに標本化して離散信号とし、多項式に対応する多次元関数で表現される信号を出力する多次元線形フィルタの特性に基づいて内挿関数を求め、FIRフィルタで構成されている複数の合成フィルタで、離散信号を係数として内挿関数を線形結合して、原信号の冪乗関数である第１の近似関数を生成し、第１の近似関数の冪根を求めて標本化タイミングごとの第２の近似関数を求めて合成して原信号の近似関数を求める信号近似システムである。【００５９】
図１は、本発明の実施例における離散信号近似システムの構成を示す概念図である。図１において、原信号１は、近似対象の未知信号であり、ノルムが所定値以下であるスペクトルから逆変換によって導かれる信号と等価な信号である。解析FIRフィルタ２は、FIRフィルタで構成されている単位フィルタを、乗算回路と加算回路で組み合わせて構成したフィルタであり、原信号を単位フィルタで変換した信号の多項式で表現される信号を出力する。標本化手段３は、解析フィルタの出力を一定のタイミングごとにサンプリングする手段である。【００６０】
内挿関数生成手段４は、解析FIRフィルタ２の特性を表現した多項式に対応する多次元関数で表現される信号を出力する多次元線形フィルタの特性に基づいて内挿関数を求める演算手段である。内挿関数記憶手段５は、生成した内挿関数を格納しておくメモリである。近似式生成手段６は、離散信号を係数として内挿関数を線形結合して、原信号の冪乗関数である第１の近似関数を生成するFIRフィルタである。冪根演算手段７は、第１近似関数の冪根を求めて標本化タイミングごとの第２近似関数を求める手段である。合成手段８は、第２近似関数をすべて合成して原信号の近似関数を求める手段である。近似関数９は、原信号の近似関数である。【００６１】
図２は、離散信号近似システムの動作手順を示す流れ図である。図３は、離散信号近似システムの解析フィルタの等価回路図である。図４は、離散信号近似システムの多次元化解析フィルタの等価回路図である。【００６２】
最初に、図１を参照しながら、本発明の実施例における離散信号近似システムの動作の概略を説明する。ノルムが所定値以下であるスペクトルから逆変換によって導かれる信号と等価な信号を原信号１とする。原信号１を、FIRフィルタで構成されている単位フィルタを組み合わせた解析フィルタ２で変換する。単位フィルタを乗算回路と加算回路で組み合わせて構成された複数の解析フィルタ２は、原信号を単位フィルタで変換した信号の多項式で表現される信号を出力する。解析フィルタ２の出力信号を、標本化手段３で一定間隔（Ｔ）の標本化タイミングごとに標本化して離散信号とする。【００６３】
解析FIRフィルタ２に対応する多次元線形フィルタを想定する。この仮想的多次元線形フィルタは、解析FIRフィルタ２の特性を表現した多項式に対応する多次元関数で表現される信号を出力するものである。この仮想的多次元線形フィルタの特性に基づいて、内挿関数生成手段４で内挿関数を求める。生成した内挿関数を、内挿関数記憶手段５に格納しておく。標本化タイミングごとに、離散信号を係数として、複数のFIRフィルタで構成されている合成フィルタの近似式生成手段６で内挿関数を線形結合し、原信号の冪乗の第１の近似関数を生成する。冪根演算手段７で、第１の近似関数の冪根を求めて、標本化タイミングごとの第２の近似関数を求める。標本化タイミングごとの近似関数を、合成手段８で合成して、原信号の近似関数９を求める。【００６４】
次に、図２を参照しながら、離散信号近似システムの動作手順の概略を説明する。ノルムが所定値以下である未知の原信号を入力する。FIRフィルタで構成されている複数の解析フィルタで、原信号を単位フィルタで変換した信号の多項式で表現される信号を出力する。解析フィルタの出力信号を一定時間ごとに標本化して離散信号とする。多項式に対応する多次元関数で表現される信号を出力する多次元線形フィルタの特性に基づいて、あらかじめ内挿関数を求めておく。FIRフィルタで構成されている複数の合成フィルタで、離散信号を係数として内挿関数を線形結合して、原信号の冪乗関数である第１の近似関数を生成する。第１の近似関数の冪根を求めて、標本化タイミングごとの第２の近似関数を求める。これを、すべての標本化タイミングについて行い、第２の近似関数を合成して原信号の近似関数を求める。【００６５】
次に、非線形近似方法の原理を説明する。非線形近似について説明する前に、線形近似の基本的な筋道を簡単な例で説明する。実数ａ、ｂ、ｃを係数とする信号
ｆ(ｔ)＝ａ＋ｂ{cos(ｔ)}＋ｃ{cos(２ｔ)}
を考える。ここでは、簡単な例であるのでコサイン級数の３項からなる信号に限定している。実際には、同様な理論は極めて広い範囲で成立し、例えば各種の直交展開やフーリエ積分変換あるいは関数解析を用いた一般化が可能である。また、上式で、ａやｂ{cos(ｔ)}あるいはｃ{cos(２ｔ)}のどれかが擾乱であると考えてもよい。【００６６】
さて、信号集合を限定する条件として、この例では、（ａ2/２＋ｂ2/２＋ｃ2）が１以下であると仮定する。このような条件を満たすｆ(ｔ)の集合を信号集合Ｓとする。このとき、ａ、ｂ、ｃは３次元の楕円体の中に制限されるが、その軸はａ、ｂ方向に長くｃ方向に短い。実際は重みを変え、信号集合や擾乱に対する制約を既知のデータや知識に合わせる工夫が必要である。【００６７】
既知の観測装置のモデルとして、ｆ(ｔ)を理想的なローパスフィルタとハイパスフィルタに同時に入力し、出力信号
ｆ0(ｔ)＝ａ＋ｂ{cos(ｔ)}
ｆ1(ｔ)＝ｂ{cos(ｔ)}＋ｃ{cos(２ｔ)}
を得たと仮定する。信号の周波数帯域を重複した帯域を許す小帯域に分割するフィルタ群を解析フィルタバンクといい、ある種の独立性を満たせば特性は任意であるが特性は既知と仮定する。【００６８】
ここで、ｆ0(ｔ)、ｆ1(ｔ)のｔ＝０における標本値
ｆ0(０)＝ａ＋ｂ
ｆ1(０)＝ｂ＋ｃ
を用いるｆ(ｔ)の近似信号として、
ｇ(ｔ)＝ｆ0(０)・ｍ0(ｔ)＋ｆ1(０)・ｍ1(ｔ)
を考える。便宜上、ｍ0(ｔ)とｍ1(ｔ)を（拡張された）内挿関数と呼ぶ。この例ではｆ(ｔ)に含まれる未知数がａ,ｂ,ｃの３個なので、これより個数の少ない２個の標本値からｆ(ｔ)を推定する問題設定をした。より複雑な一般形では勿論標本値の個数も時間分点も多くしてよい。【００６９】
さらに、ここでは例題なので天下りだが、次のように置いてみる。
ｍ0(ｔ)＝{３＋cos(ｔ)−cos(２ｔ)}/４
ｍ1(ｔ)＝{−１＋cos(ｔ)＋cos(２ｔ)}/２
これをｇ(ｔ)に代入すると
ｇ(ｔ)＝ｐ＋ｑ{cos(ｔ)}＋ｒ{cos(２ｔ)}
となる。但し、
ｐ＝(３ａ＋ｂ−２ｃ)/４
ｑ＝(ａ＋３ｂ＋２ｃ)/４
ｒ＝(−ａ＋ｂ＋２ｃ)/４
である。【００７０】
改めて、ｇ(ｔ)をフィルタバンクに入力すると、
ｇ0(ｔ)＝ｐ＋ｑ{cos(ｔ)}
ｇ1(ｔ)＝ｑ{cos(ｔ)}＋ｒ{cos(２ｔ)}
を得る。従って、
ｇ0(０)＝ａ＋ｂ＝ｆ0(０)
ｇ1(０)＝ｂ＋ｃ＝ｆ1(０)
が成り立ち、ｆ(ｔ)に関する標本値と同じ標本値をｇ(ｔ)はもつ。【００７１】
また、
ｍ0(ｔ)＝{３＋cos(ｔ)−cos(２ｔ)}/４
をフィルタバンクに入力すると、それぞれ、
ｍ00(ｔ)＝{３＋cos(ｔ)}/４
ｍ01(ｔ)＝{cos(ｔ)−cos(２ｔ)}/４
が得られるから、
ｍ00(０)＝１
ｍ01(０)＝０
が求まる。【００７２】
また、
ｍ1(ｔ)＝{−１＋cos(ｔ)＋cos(２ｔ)}/２
をフィルタバンクに入力すると、それぞれ、
ｍ10(ｔ)＝{−１＋cos(ｔ)}/２
ｍ11(ｔ)＝{cos(ｔ)＋cos(２ｔ)}/２
が得られるから、
ｍ10(０)＝０
ｍ11(０)＝１
が求まる。この性質を、内挿関数が選点直交性をもつという。【００７３】
近似誤差を
ｅ(ｔ)＝ｆ(ｔ)−ｇ(ｔ)
と定義すると
ｅ(ｔ)＝ｕ＋ｖ{cos(ｔ)}＋ｗ{cos(２ｔ)}
となる。ただし、
ｕ＝−ｖ＝ｗ＝{ａ−ｂ＋２ｃ}/４
である。今、ｅ(ｔ)をフィルタバンクに入力すると、
ｅ0(ｔ)＝ｕ＋ｖ{cos(ｔ)}
ｅ1(ｔ)＝ｖ{cos(ｔ)}＋ｗ{cos(２ｔ)}
が得られる。従って、ｅ0(０)＝０、ｅ1(０)＝０が成り立つ。つまり、ｅ(ｔ)に対応する出力の標本値は零となる。【００７４】
また、計算すると
ｕ＝−ｖ＝ｗ＝{ａ−ｂ＋２ｃ}/４
から
(ａ2/２＋ｂ2/２＋ｃ2)−(ｕ2/２＋ｖ2/２＋ｗ2)
＝(１/８){(ａ＋ｂ)2＋２(ａ−ｃ)2＋２(ｂ＋ｃ)2}
が成り立つ。従って、ａ2/２＋ｂ2/２＋ｃ2が１以下という仮定から、ｕ2/２＋ｖ2/２＋ｗ2も１以下となり、誤差信号ｅ(ｔ)も信号集合Ｓに属す。近似誤差ｅ(ｔ)の集合をＳ0とすると、上に述べたことからＳはＳ0を含む。【００７５】
さて、標本値
ｆ0(０)＝ａ＋ｂ
ｆ1(０)＝ｂ＋ｃ
を用いるｆ(ｔ)の他の任意の近似信号を
ｙ(ｔ)＝Ｙ(ｆ0(０),ｆ1(０),ｔ)
とする。ただし、
ｆ0(０)＝ｆ1(０)＝０
であるときは、ｙ(ｔ)は恒等的に零とする。この近似式の近似誤差を、
ｚ(ｔ)＝ｆ(ｔ)−ｙ(ｔ)
とする。ｆ0(０)、ｆ1(０)はｆ(ｔ)から定まるので、ｚ(ｔ)もｆ(ｔ)に依存する。これを
ｚ(ｔ)＝Ｚ{ｆ(ｔ)}
と表す。【００７６】
近似を比較する尺度として、ｔを固定してｆ(ｔ)を信号集合Ｓの中で取り替えたときのｚ(ｔ)やｅ(ｔ)の絶対値の上限尺度
Ｅ(ｔ)＝supβ[ｚ(ｔ);Ｓ]
Ｅ0(ｔ)＝supβ[ｅ(ｔ);Ｓ]
を採用する。βは任意の正の演算子や汎関数である。また、ｆ(ｔ)を選ぶ信号集合をＳ0に制限したときはsupβ[ｚ(ｔ);Ｓ0]などと書く。【００７７】
特に、Ｓ0の信号
ｆ(ｔ)＝ｅ(ｔ)
に限ると、
ｆ0(０)＝ｅ0(０)＝０、
ｆ1(０)＝ｅ1(０)＝０
であるから、
ｙ(ｔ)＝Ｙ(ｆ0(０),ｆ1(０),ｔ)
＝Ｙ(ｅ0(０),ｅ1(０),ｔ)
＝Ｙ(０,０,ｔ)＝０
であり、
ｚ(ｔ)＝Ｚ{ｅ(ｔ)}
＝ｅ(ｔ)−ｙ(ｔ)＝ｅ(ｔ)−０＝ｅ(ｔ)
が成立する。ｆ(ｔ)を選ぶ集合の範囲を狭めれば、当然誤差の上限Ｅ(ｔ)は減少（正確には非増大）する。ＳとＳ0では、
Ｅ(ｔ)＝supβ[ｚ(ｔ);Ｓ]≧supβ[ｚ(ｔ);Ｓ0]
＝supβ[ｅ(t)−ｙ(ｔ);Ｓ0]＝supβ[ｅ(ｔ);Ｓ0]
となりＥ(ｔ)の下界が得られた。【００７８】
さて、信号ｆ(ｔ)を
ｆ(ｔ)＝ｅ(ｔ)
の集合Ｓ0の中で取り替えながら,ｅ(ｔ)に関するβ[ｅ(ｔ);Ｓ0]の上限を取ることは、結局は誤差がｅ(ｔ)となるＳ中の信号ｆ(ｔ)をＳの中で取り替えながら同じ誤差ｅ(ｔ)に関するβ[ｅ(ｔ);Ｓ]の上限を取ることと同じである。以上から、例に挙げた内挿関数を用いる線形近似の誤差の尺度
Ｅ0(ｔ)＝supβ[ｅ(ｔ);Ｓ]
は、非線形近似を含む全てのＥ(ｔ)の下限を実現し、しかもどのようなβに関する上限誤差の尺度も同時に一斉に最小にすることになる。例えば、βは２乗誤差や微分や積分などの絶対値の上限でもよい。【００７９】
さらに、信号から擾乱を除く線形処理Ｘが数学的には定義できるとする。例えば、ｂ{cos(ｔ)}が擾乱であり、
ｆs(ｔ)＝ａ＋ｃ{cos(２ｔ)}
が目的の信号と仮定しよう。この例で設定した観測装置である解析フィルタではこの擾乱は排除できないが、cos(ｔ)の周波数付近では０、他の周波数では１である線形フィルタＸで排除できる。然るに、
ｆs(ｔ)−Ｘ(ｇ(ｔ))
＝Ｘ(ｆ(ｔ))−Ｘ(ｇ(t))
＝Ｘ(ｆ(ｔ)−ｇ(ｔ))
＝Ｘ(ｅ(ｔ))
であるから、このＸをβの一種と考えると擾乱を含む標本値を用いる近似式Ｘ(ｇ(ｔ))は目的の信号ｆs(ｔ)の最適な近似式である。【００８０】
最適内挿関数は、βの最簡形である絶対誤差の場合について誤差尺度を求め微分処理で求まるが省略する。この方法は、多次元信号や多次元ベクトル信号にまで拡張できる。例えば、ｆ(ｔ)の代わりにｆ(ｘ,ｙ)なる２変数の信号に対しても同様な最適近似を構成することが出来る。当然、この近似は
ｆ(ｘ,ｙ)＝ｆ(ｘ)ｆ(ｙ)
なる変数分離型の信号に対しても良好な近似特性を発揮する。【００８１】
前に述べた２条件を満たす実用的な信号集合と、そのときの最適な近似式を求めよという課題に再度着目する。このような例として、次のような信号集合を挙げた。すなわち、図10に示すように、ソース信号ｈ(ｔ)のフーリエスペクトルをＨ(ω)とし、ソース信号ｈ(ｔ)のエネルギーが与えられた正数Ａ以下であると仮定する。このとき、ソース信号ｈ(ｔ)を所与の正なる伝送関数√(Ｗ(ω))をもつフィルタに印加した出力をｆ(ｔ)とし、そのフーリエスペクトルをＦ(ω)とする。図10に示すように、Ｆ(ω)は、図10に示す不等式を満たすことになる。このような制約を満たすＦ(ω)をもつ信号ｆ(ｔ)の集合を、信号集合Ξとする。このとき、関数Ｗ(ω)を重み関数と名付けた。【００８２】
いま、信号を変数分離型の２変数の信号に拡張し、ソース信号
ｈ(ｘ,ｙ)＝ｈa(ｘ)ｈb(ｙ)
が線形フィルタＨa(ｕ)Ｈb(ｖ)を通過したとする。ただし、周波数変数ｕは変数ｘに対応する周波数変数であり、周波数変数ｖは変数ｙに対応する周波数変数である。このとき得られる線形フィルタＨa(ｕ)Ｈb(ｖ)の出力信号はやはり変数分離型であり
ｆ(ｘ,ｙ)＝ｆa(ｘ)ｆb(ｙ)
という形をしている。【００８３】
それでは、次に２次の非線形操作を含む場合の例を示す。いま、例えば、上の例で、
ｆ(ｘ,ｙ)＝ｆ(ｘ)[a{ｍ0(ｙ)＋ｍ1(ｙ)}＋ｂｆ(ｙ)]
という信号を考える。ただし、ａとｂは与えられた定数である。ｍ0(ｙ)とｍ1(ｙ)は上の例の内挿関数ｍ0(ｔ)とｍ1(ｔ)の変数ｔを変数ｙに取り替えた関数である。【００８４】
この信号は、
ｆ(ｘ,ｙ)＝ｒ(ｘ)ｓ(ｙ)
という形の変数分離型の信号である。ただし、
ｒ(ｘ)＝ｆ(ｘ)
であり、
ｓ(ｙ)＝ａ{ｍ0(ｙ)＋ｍ1(ｙ)}＋ｂｆ(ｙ)
である。【００８５】
さらに、上の例における内挿関数に関して、
ｍ0(ｔ)＝{３＋cos(ｔ)−cos(２ｔ)}/４
をフィルタバンクに入力すると、それぞれ、
ｍ00(ｔ)＝{３＋cos(ｔ)}/４
ｍ01(ｔ)＝{cos(ｔ)−cos(２ｔ)}/４
が得られるから、
ｍ00(０)＝１
ｍ01(０)＝０
が求まる。また、
ｍ1(ｔ)＝{−１＋cos(ｔ)＋cos(２ｔ)}/２
をフィルタバンクに入力すると、それぞれ、
ｍ10(ｔ)＝{−１＋cos(ｔ)}/２
ｍ11(ｔ)＝{cos(ｔ)＋cos(２ｔ)}/２
が得られるから、
ｍ10(０)＝０
ｍ11(０)＝１
が求まる。この性質を、内挿関数が選点直交性をもつといった。【００８６】
いま、
Ｈ0(ｕ,ｖ)＝Ｈ0(ｕ)Ｈ0(ｖ)＋Ｈ0(ｕ)Ｈ1(ｖ)＋Ｈ1(ｕ)Ｈ1(ｖ)
Ｈ1(ｕ,ｖ)＝Ｈ0(ｕ)Ｈ0(ｖ)＋２Ｈ0(ｕ)Ｈ1(ｖ)−３Ｈ1(ｕ)Ｈ1(ｖ)
なる２次元のフィルタからなる２次元フィルタバンクを考える。ただし、Ｈ0(ｕ）およびＨ1(ｕ)は上の例題で想定した理想的なローパスフィルタおよびハイパスフィルタである。【００８７】
このとき、このような２次元のフィルタバンクに信号
ｆ(ｘ,ｙ)＝ｆ(ｘ)[ａ{ｍ0(ｙ)＋ｍ1(ｙ)}＋ｂｆ(ｙ)]
＝ｒ(ｘ)ｓ(ｙ)
を入力した出力は、それぞれ、
ｆ0(ｘ,ｙ)＝ｒ0(ｘ)ｓ0(ｙ)＋ｒ0(ｘ)ｓ1(ｙ)＋ｒ1(ｘ)ｓ1(ｙ)
ｆ1(ｘ,ｙ)＝ｒ0(ｘ)ｓ0(ｙ)＋２ｒ0(ｘ)ｓ1(ｙ)−３ｒ1(ｘ)ｓ1(ｙ)
となる。ただし、ｒ0(ｘ)、ｓ0(ｘ)、ｒ1(ｘ)、ｓ1(ｘ)はそれぞれｒ(ｘ)とｓ(ｘ)がフィルタＨ0(ｕ)とＨ1(ｕ)を通過したときの出力信号である。また、この２次元フィルタバンクは例として挙げただけであり、変数分離型のフィルタの任意の線形和でよいが、関数形は既知とする。【００８８】
従って、特に、ｘ＝ｙ＝０なる標本点におけるｆ0(ｘ,ｙ)およびｆ1(ｘ,ｙ)の標本値は、内挿関数ｍ0(ｘ)およびｍ1(ｘ)の選点直交性を考慮すると、それぞれ、
ｆ0(０,０)＝ｒ0(０)ｓ0(０)＋ｒ0(０)ｓ1(０)＋ｒ1(０)ｓ1(０)
＝ｆ0(０)[ａ＋ｂｆ0(０)]＋ｆ0(０)[ａ＋ｂｆ1(０)]
＋ｆ1(０)[ａ＋ｂｆ1(０)]
ｆ1(０,０)＝ｒ0(０)ｓ0(０)＋２ｒ0(０)ｓ1(０)−３ｒ1(０)ｓ1(０)
＝ｆ0(０)[ａ＋ｂｆ0(０)]＋２ｆ0(０)[ａ＋ｂｆ1(０)]
−３ｆ1(０)[ａ＋ｂｆ1(０)]
というｆ(ｘ)がフィルタＨ0(ｕ)とＨ1(ｕ)を通過したときの出力信号の標本値が入り混じった複雑な標本値となる。この例は簡単であるから、ｘ＝ｙ＝０という標本点だけを考えているが、勿論前述したように、この理論は更に複雑な場合に拡張されており、その場合にはフィルタの数も標本点の数も多いから、そのような場合の標本値は、ｆ(ｘ)が一般には異なる複数のフィルタを通過した出力に関する一般には異なる標本点における標本値が、複雑に入り混じった形式の非線形変換を受けた標本値となる。【００８９】
しかし、これを、単なる２変数のフィルタバンクに、変数分離型の信号
ｆ(ｘ,ｙ)＝ｒ(ｘ)ｓ(ｙ)
が入力した時の出力の標本値を用いて、最適近似式を２次元信号の場合に適用したと考えれば、標本値ｆ0(０,０)およびｆ1(０,０)を用いて
ｆ(ｘ,ｙ)＝ｒ(ｘ)ｓ(ｙ)
の近似式が求まることになる。そこで、その近似式をｇ(ｘ,ｙ)とする。【００９０】
さて、信号ｆ(ｘ,ｙ)および近似式ｇ(ｘ,ｙ)において、ｘ＝ｙとおいてみよう。すると、１次元信号
α(ｘ)＝ｆ(ｘ,ｘ)＝ｆ(ｘ)[ａ{ｍ0(ｘ)＋ｍ1(ｘ)}＋ｂｆ(ｘ)]
＝ｆ(ｘ)[ａ{{１＋３cos(ｘ)＋cos(２ｘ)}/４}＋ｂｆ(ｘ)]
ｚ(ｘ)＝ｇ(ｘ,ｘ)
が求まる。【００９１】
この近似は、これまで説明したような意味で最適な近似性能をもつので、ｇ(ｘ,ｘ)は、α(ｘ)＝ｆ(ｘ,ｘ)の良好な近似となっている。さらに、例えば、ｘ＝π/２＋２ｎπという離散的な分点では、
α(π/２＋２ｎπ)＝ｂｆ(π/２＋２ｎπ)2
である。従って、当然{ｇ(ｘ,ｘ)/ｂ}1/2は、ｆ(ｘ)が、一般には異なる複数のフィルタを通過した出力に関する一般には異なる標本点における標本値が、複雑に入り混じった形式の非線形変換を受けた標本値を用いて、等間隔の離散的な分点（π/２＋２ｎπ）におけるｆ(ｘ)の値を近似するという、極めて複雑な問題に対する解答となっているのである。【００９２】
図３を参照しながら、具体的な近似方法を説明する。ｆ(ｔ)は、近似対象の未知の信号である。解析フィルタの等価回路は、LPFとHPFと乗算回路と加算回路からなっている。解析フィルタを通って観測される信号は、
Ｆ0(ｔ)＝ｆ0(ｔ)2＋ｆ0(ｔ)ｆ1(ｔ)＋ｆ1(ｔ)2
Ｆ1(ｔ)＝ｆ0(ｔ)2＋２ｆ0(ｔ)ｆ1(ｔ)−３ｆ1(ｔ)2
である。ｆ0(ｔ)は、ｆ(ｔ)のLPF出力信号であり、ｆ1(ｔ)は、ｆ(ｔ)のHPF出力信号である。LPFやHPFなどの線形フィルタを、単位フィルタと呼ぶことにする。入力信号を単位フィルタに通した出力信号の２次式を出力する解析フィルタを、２次の多項式特性を有するフィルタあるいは２次特性フィルタと呼ぶことにする。２次の多項式からは直接に近似を行うことができないので、２次元の式に変換した式を使って近似関数を計算する。【００９３】
図４に示すように、ｘｙ空間の未知信号ｆ(ｘ)ｆ(ｙ)を、線形の解析フィルタに入力して、２次元の出力信号
ｆ0(ｘ)ｆ0(ｙ)＋ｆ0(ｘ)ｆ1(ｙ)＋ｆ1(ｘ)ｆ1(ｙ)
ｆ0(ｘ)ｆ0(ｙ)＋２ｆ0(ｘ)ｆ1(ｙ)−３ｆ1(ｘ)ｆ1(ｙ)
を得るようにすることを考える。この系は線形であるので、ｆ(ｘ)ｆ(ｙ)の近似式を求めることができる。ｔ＝０における出力信号の標本値は、ｘ＝ｙ＝０における出力信号の標本値と同じであるので、ｔ＝０における出力信号の標本値で内挿関数を線形結合した近似関数により、ｆ(ｘ)ｆ(ｙ)の近似式を表すことができる。【００９４】
ｆ(ｘ)ｆ(ｙ)の近似式をｇ(ｘ,ｙ)とすると、
ｇ(ｘ,ｙ)＝Ｆ0(０)ｇ0(ｘ,ｙ)＋Ｆ1(０)ｇ1(ｘ,ｙ)
と表わされる。ｇ0(ｘ,ｙ)は、ｘ＝ｙ＝０における第１フィルタの出力信号の標本値が１になり、第２フィルタの出力信号の標本値が０になる内挿関数である。ｇ1(ｘ,ｙ)は、ｘ＝ｙ＝０における第１フィルタの出力信号の標本値が０になり、第２フィルタの出力信号の標本値が１になる内挿関数である。【００９５】
内挿関数は、例えば次のようにして求めることができる。LPFとHPFに対応する内挿関数であるｍ0(ｔ)とｍ1(ｔ)を組み合わせて、ｍ0(ｘ)ｍ0(ｙ)、ｍ0(ｘ)ｍ1(ｙ)、ｍ1(ｘ)ｍ0(ｙ)、ｍ1(ｘ)ｍ1(ｙ)の線形結合の関数を第１フィルタと第２フィルタに入力して、出力信号の条件から係数を求めると、内挿関数は次のようになる。
ｇ0(ｘ,ｙ)＝(3/5)ｍ0(ｘ)ｍ1(ｙ)＋(2/5)ｍ1(ｘ)ｍ1(ｙ)
ｇ1(ｘ,ｙ)＝(1/5)ｍ0(ｘ)ｍ1(ｙ)−(1/5)ｍ1(ｘ)ｍ1(ｙ)【００９６】
ｇ(ｘ,ｙ)は、ｆ(ｘ)ｆ(ｙ)の近似式であるので、ｇ(ｘ,ｘ)は、ｆ(ｘ)ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ)2の近似式となる。したがって、√ｇ(ｘ,ｘ)は、ｆ(ｘ)の近似式となる。√ｇ(ｘ,ｘ)の符号は、ｆ(０)の符号などを測定して決めることができる。【００９７】
解析フィルタの特性が、３次以上であっても、同様にして、３次元以上の多次元の線形フィルタを想定して、近似式を求めることができる。例えば、３次式が、
Ｆ0(ｔ)＝ｆ0(ｔ)3＋ｆ0(ｔ)2ｆ1(ｔ)＋ｆ1(ｔ)3＋・・・
Ｆ1(ｔ)＝ｆ0(ｔ)3＋２ｆ0(ｔ)ｆ1(ｔ)2−３ｆ1(ｔ)3＋・・・
であれば、３次元のフィルタの出力は、
ｆ0(ｘ)ｆ0(ｙ)ｆ0(ｚ)＋ｆ0(ｘ)ｆ0(ｙ)ｆ1(ｚ)
＋ｆ1(ｘ)ｆ1(ｙ)ｆ1(ｚ)＋・・・
および
ｆ0(ｘ)ｆ0(ｙ)ｆ0(ｚ)＋２ｆ0(ｘ)ｆ1(ｙ)ｆ1(ｚ)
−３ｆ1(ｘ)ｆ1(ｙ)ｆ1(ｚ)＋・・・
となる。当然、２次以下の項があってもよい。各単位フィルタの伝送関数とこれらの式に基づいて、各標本タイミングにおける内挿関数を求めることができる。各標本タイミングにおける標本値を係数として、内挿関数の線形結合を求めると、原信号の３乗の近似式となる。この近似式の立方根を求めれば、原信号の近似式が得られる。一定間隔の各標本タイミングで求めた各近似式を、標準補間関数を使って合成する。このようにして、多項式で表される非線形信号でも、最適近似式を求めることができる。【００９８】
さらに、詳しく述べる。いま、ｘ軸上に離散的な標本点ｘ0,ｘ1,・・・,ｘpが定義されているとする。更に、下記のフーリエ逆変換で定義される信号
ｆ(ｘ)＝(１／２π)∫-ππＦ(ｕ)exp(ｊｘｕ)dｕ
を定義する。このとき、ｆ(ｘ)のフーリエ変換Ｆ(ｕ)は
∫-ππ|(Ｆ(ｕ)／Ｗ(ｕ))|2≦Ａ
を満たしているとする。このような、条件を満たすｆ(ｘ)の集合をΞとする。【００９９】
さて、Ξに属すｆ(ｘ)及び標本点ｘ0,ｘ1,・・・,ｘpについて、例えば、
ｆ0(ｘp)＝Σk=0LΣm=0LΣn=0Lαk,m,nｆ(ｘp−ｋ)ｆ(ｘp−ｍ)ｆ(ｘp−ｎ)
＋Σk=0LΣm=0Lβk,mｆ(ｘp−ｋ)ｆ(ｘp−ｍ)
＋Σk=0Lλkｆ(ｘp−ｋ)＋σ  (ｐ＝0,1,2,・,P)
というｆ(ｘ)に関して３次の非線形関数値に相当する標本値が与えられたとする。この、ｆ(ｘ)に関して３次の非線形関数値に相当する（Ｐ＋１）個の標本値ｆ0(ｘp)，(ｐ＝0,1,2,・,P)から、ｆ(ｘ)を近似的に推定する問題を考える。明らかに、ｆ(ｘ)に関して３次の非線形関数値に相当する（Ｐ＋１）個の標本値ｆ0(ｘp)，(ｐ＝0,1,2,・,P)から、ｆ(ｘ)の標本値を算出するためには、３次の非線形特性を示す（Ｐ＋１）個の式を連立させて得られる非線形連立方程式を解く必要が生じ、その解法は極めて困難である。【０１００】
そこで、次のような３変数の関数を考える。
ｆ0(ｘ,ｙ,ｚ)＝Σk=0LΣm=0LΣn=0Lαk,m,nｆ(ｘ−ｋ)ｆ(ｙ−ｍ)ｆ(ｚ−ｎ)
＋Σk=0LΣm=0Lβk,mｆ(ｘ−ｋ)ｆ(ｙ−ｍ)
＋Σk=0Lλkｆ(ｘ−ｋ)＋σ  (ｐ＝0,1,2,・,P)
この関数の３変数のフーリエ変換は次式のように表すことができる。
Ｆ0(ｕ,ｖ,ｗ)＝[Σk=0LΣm=0LΣn=0Lαk,m,nexp(-jku)exp(-jmv)exp(-jnw)]
×Ｆ(ｕ)Ｆ(ｖ)Ｆ(ｗ)
＋[Σk=0LΣm=0Lβk,mexp(-jku)exp(-jmv)]Ｆ(ｕ)Ｆ(ｖ)
＋[Σk=0Lλkexp(-jku)]Ｆ(ｕ)＋σ
＝Ｈ(ｕ,ｖ,ｗ)Ｆ(ｕ)Ｆ(ｖ)Ｆ(ｗ)
＋Ｈ(ｕ,ｖ)Ｆ(ｕ)Ｆ(ｖ)＋Ｈ(ｕ)Ｆ(ｕ)＋σ
＝[Ｈ(ｕ,ｖ,ｗ),Ｈ(ｕ,ｖ),Ｈ(ｕ),σ]
×[Ｆ(ｕ)Ｆ(ｖ)Ｆ(ｗ),Ｆ(ｕ)Ｆ(ｖ),Ｆ(ｕ),1]t
＝Ｈ^(ｕ,ｖ,ｗ)Ｆ→(ｕ,ｖ,ｗ)【０１０１】
ここに、Ｈ^(ｕ,ｖ,ｗ)及びＦ→(ｕ,ｖ,ｗ)はそれぞれ行ベクトル及び列ベクトルで
Ｈ^(ｕ,ｖ,ｗ)＝[Ｈ(ｕ,ｖ,ｗ),Ｈ(ｕ,ｖ),Ｈ(ｕ),σ]
Ｆ→(ｕ,ｖ,ｗ)＝[Ｆ(ｕ)Ｆ(ｖ)Ｆ(ｗ),Ｆ(ｕ)Ｆ(ｖ),Ｆ(ｕ),1]t
で定義される。[]tは、転置行列である。【０１０２】
上で定義した、ベクトルＦ→(ｕ,ｖ,ｗ)を入力信号のスペクトルベクトルと呼ぶ。入力信号のスペクトルベクトルＦ→(ｕ,ｖ,ｗ)から、フーリエ逆変換を用いて導かれるベクトル
ｆ→(ｘ,ｙ,ｚ)＝(１／２π)∫-ππ∫-ππ∫-ππＦ→(ｕ,ｖ,ｗ)
×exp(ｊ(ｘｕ＋ｙｖ＋ｚｗ))dｕdｖdｗ
＝[ｆ(ｘ)ｆ(ｙ)ｆ(ｚ),ｆ(ｘ)ｆ(ｙ),ｆ(ｘ),1]t
を入力信号ベクトルと呼ぶ。明らかに、ζを小なる実数とするとき、ベクトル
ζ→＝[ζ,ζ,1,ζ]
を定義すると、
ｆ(ｘ)≒ｆ(ｘ,ｙ,ｚ)
＝ζ→ｆ→(ｘ,ｙ,ｚ)
＝[ζ,ζ,1,ζ][ｆ(ｘ)ｆ(ｙ)ｆ(ｚ),ｆ(ｘ)ｆ(ｙ),ｆ(ｘ),1]t
が成立する。【０１０３】
さらに、ベクトルＦ~→(ｕ,ｖ,ｗ)を次式で定義する。
Ｆ~→(ｕ,ｖ,ｗ)＝[Ｆ-(ｕ)Ｆ-(ｖ)Ｆ-(ｗ),Ｆ-(ｕ)Ｆ-(ｖ),Ｆ-(ｕ),1]
また、行列Ｗ(ｕ,ｖ,ｗ)を次式で定義する。
【数１】
2006106713.tif 000002
【０１０４】
これらの、ベクトルと行列とを用いて、
∫-ππ∫-ππ∫-ππＦ~→(ｕ,ｖ,ｗ)Ｗ(ｕ,ｖ,ｗ)Ｆ→(ｕ,ｖ,ｗ)dｕdｖdｗ
≦(Ａ＋１)3
なる制約条件が入力信号のスペクトルベクトルＦ→(ｕ,ｖ,ｗ)に課されていると仮定する。この制約条件は具体的に書き下すと、
∫-ππ∫-ππ∫-ππ|(Ｆ(u)Ｆ(v)Ｆ(w))/(Ｗ(u)Ｗ(v)Ｗ(w))|2dudvdw
＋(3/(2π))∫-ππ∫-ππ∫-ππ|(Ｆ(u)Ｆ(v))／(Ｗ(u)Ｗ(v))|2dudvdw
＋(3/(2π)2)∫-ππ∫-ππ∫-ππ|Ｆ(u)／Ｗ(u)|2dudvdw
＋(1/(2π)3)∫-ππ∫-ππ∫-ππdudvdw
≦(Ａ＋１)3
となる。【０１０５】
上式から、直ちに
∫-ππ∫-ππ∫-ππ|(Ｆ(u)Ｆ(v)Ｆ(w))／(Ｗ(u)Ｗ(v)Ｗ(w))|2dudvdw
＋３∫-ππ∫-ππ|(Ｆ(u)Ｆ(v))／(Ｗ(u)Ｗ(v))|2dudv
＋３∫-ππ|Ｆ(u)／Ｗ(u)|2du＋１
≦(Ａ＋１)3
が導かれる。【０１０６】
従って、
[∫-ππ|Ｆ(u)／Ｗ(u)|2du]3＋３[∫-ππ|Ｆ(u)／Ｗ(u)|2du]2
＋３∫-ππ|Ｆ(u)／Ｗ(u)|2du＋１
＝[∫-ππ|Ｆ(u)／Ｗ(u)|2du＋１]3
≦(Ａ＋１)3
が成立し、結局
∫-ππ|Ｆ(u)／Ｗ(u)|2du≦Ａ
が求まり、上記の制約条件は実はＦ(u)に関する制約条件になる。【０１０７】
一方、
ｆ0(ｘp,ｘp,ｘp)＝ｆ(ｘp)
である。従って、
ｆ(ｘp)＝(1/2π)∫-ππ∫-ππ∫-ππＨ^(u,v,w)Ｆ→(u,v,w)
×exp(ｊｘp(u＋v＋w))dudvdw
が成立する。【０１０８】
以上示した定式化の下に、非特許文献15に示されている多次元ベクトル信号に対する最適近似式を入力ベクトルｆ→(ｘ,ｙ,ｚ)に対して適用して、
ｆ(ｘ,ｙ,ｚ)＝ζ→ｆ→(ｘ,ｙ,ｚ)≒ｆ(ｘ)
の最適近似式ｇ(ｘ,ｙ,ｚ)を得たとする。このとき、これまで述べた、近似の最適性から、ζを小とすれば、ｇ(ｘ,ｘ,ｘ)はｆ(ｘ)の良い近似を与える。【０１０９】
非特許文献15に示されているように、最適近似式ｇ(ｘ,ｘ,ｘ)を導く計算は線形連立方程式を解くだけでよく、非線形な演算を行う必要はない。ここでは、例で示したが、この方法は十分に一般性を有しており、標本値が
ｆi(ｘp)＝Σk=0LΣm=0LΣn=0Lαik,m,nｆ(ｘp−ｋ)ｆ(ｘp−ｍ)ｆ(ｘp−ｎ)
＋Σk=0LΣm=0Lβik,mｆ(ｘp−ｋ)ｆ(ｘp−ｍ)
＋Σk=0Lλikｆ(ｘp−ｋ)＋σi  (ｉ＝0,1,2,・,I；ｐ＝0,1,2,・,P)
のように表される場合にも、拡張できる。【０１１０】
すなわち、
Ｆi(u,v,w)＝[Σk=0LΣm=0LΣn=0Lαik,m,nexp(-jku)exp(-jmv)exp(-jnw)]
×Ｆ(u)Ｆ(v)Ｆ(w)
＋[Σk=0LΣm=0Lβik,mexp(-jku)exp(-jmv)]Ｆ(u)Ｆ(v)
＋[Σk=0Lλikexp(-jku)]Ｆ(u)＋σi
＝Ｈi(u,v,w)Ｆ(u)Ｆ(v)Ｆ(w)
＋Ｈi(u,v)Ｆ(u)Ｆ(v)＋Ｈi(u)Ｆ(u)＋σi
＝[Ｈi(u,v,w),Ｈi(u,v),Ｈi(u),σ]
×[Ｆ(u)Ｆ(v)Ｆ(w),Ｆ(u)Ｆ(v),Ｆ(u),1]t
＝Ｈi^(u,v,w)Ｆ→(u,v,w)【０１１１】
及び
Ｈi^(u,v,w)＝[Ｈi(u,v,w),Ｈi(u,v),Ｈi(u),σi]
と定義し、行列Ω^(u,v,w)を
【数２】
2006106713.tif 000003
とすると、
【数３】
2006106713.tif 000004
と拡張できる。【０１１２】
従って、
[ｆ0(ｘp),ｆ1(ｘp),・・・,ｆI(ｘp)]t
＝(1/2π)∫-ππ∫-ππ∫-ππΩ^(u,v,w)Ｆ→(u,v,w)
×exp(ｊｘp(u＋v＋w))dudvdw
が成り立ち、非特許文献15の最適近似法が同様に適用できる。【０１１３】
結局、線形連立方程式を解くことにより、一般には信号ｆ(ｘ)の多項式の離散的な標本値を用いて、ｆ(ｘ)を近似的に復元する有効な方法が示された。【０１１４】
上記のように、本発明の実施例では、信号近似システムを、FIRフィルタで構成されている複数の解析フィルタで、ノルムが所定値以下である原信号を単位フィルタで変換した信号の多項式で表現される信号を出力し、解析フィルタの出力信号を一定時間ごとに標本化して離散信号とし、FIRフィルタで構成されている複数の合成フィルタで、離散信号を係数とする内挿関数の線形結合により原信号の近似関数を生成する構成としたので、解析フィルタが非線形の場合でも、原信号の最適な近似式を求めることができる。
【産業上の利用可能性】
【０１１５】
本発明の離散信号近似システムは、音声や画像信号をできるだけ歪を少なく効率的に伝送したり通信したりすることが重要である放送・通信システムとして最適である。観測信号から３次元的な信号を少ない誤差で復元するコンピュータトモグラフィなど医用電子の分野、あるいはSARレーダや地中レーダなどを用いるリモートセンシングの分野や、バイオインフォマティクスにおけるタンパク質の形態の信号処理による解析などのような、多くの分野に応用可能である。パラメータの変更により、広い範囲の上限誤差尺度を最小とする多くの離散信号処理装置に応用可能である。レーダ、ソナー、ミサイル追尾、医療用信号処理装置、DNA解析装置など、多種類の装置の開発と性能向上に資する。
【図面の簡単な説明】
【０１１６】
【図１】本発明の実施例における離散信号近似システムの概念図、
【図２】本発明の実施例における離散信号近似システムの動作手順を示す流れ図、
【図３】本発明の実施例における離散信号近似システムの解析フィルタの等価回路図、
【図４】本発明の実施例における離散信号近似システムの多次元化解析フィルタの等価回路図、
【図５】FIRフィルタの説明図、
【図６】FIRフィルタバンクシステムの説明図、
【図７】最適な近似式の候補と他の近似式の回路説明図、
【図８】近似式に近似誤差信号を入力した場合の説明図、
【図９】近似の最適性を示す不等式の説明図、
【図１０】信号ｆ(ｔ)のスペクトルＦ(ω)の説明図、
【図１１】重み関数の例を示す図、
【図１２】パス数が２のフィルタバンクの説明図、
【図１３】ディジタル多重通信装置の説明図である。
【符号の説明】
【０１１７】
１  原信号
２  解析FIRフィルタ
３  標本化手段
４  内挿関数生成手段
５  内挿関数記憶手段
６  近似式生成手段
７  冪根演算手段
８  合成手段
９  近似関数
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【国際調査報告】
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