(57)【要約】【課題】固体領域と液体領域とを有する物体の変形に対する有限要素法であって、理論値と合致した結果を与えるものを提供すること。【解決手段】固体と流体との境界面では、固体同士の境界面と異なり、垂直変位は一致するが水平変位が独立しているので、従来の方法により固体と液体との境界面を記述すると有限要素法の結果が理論値から外れる。そこで本発明では、流体と固体の境界面に存在する節点において、境界面に垂直な変位を固体側と液体側で同一に設定し、境界面に平行な変位については固体側と液体側でそれぞれ独立して設定する。【選択図】図２
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
固体領域と液体領域とを有する物体の変形に対する有限要素法であって、
前記固体領域と前記液体領域との境界面に存在する節点において、前記境界面に垂直な変位は、前記固体領域と前記液体領域とで同一に設定し、前記境界面に水平な変位は、前記固体領域と前記液体領域とで独立に設定するステップ
を含むことを特徴とする有限要素法。
【請求項２】
前記ステップは、前記境界面に存在する節点のそれぞれに第１および第２の節点を設け、前記第１の節点の垂直な変位と前記第２の節点の垂直な変位とを同一に設定することを特徴とする請求項１に記載の有限要素法。
【請求項３】
前記有限要素法で用いる要素は、２次元であることを特徴とする請求項１または２に記載の有限要素法。
【請求項４】
前記有限要素法で用いる要素は、３次元であることを特徴とする請求項１または２に記載の有限要素法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、有限要素法に関し、より詳細には、固体領域と液体領域とを有する物体の変形に対する有限要素法に関する。
【背景技術】
【０００２】
有限要素法は、固体や液体等の物体の現象論的挙動を説明する連続体力学において用いられる偏微分方程式を数値計算により解析する方法の１つであり、固体力学の分野で広く利用されている。
【０００３】
図１は、２種類の固体が接している物体の変形に対する有限要素法を説明するための図であり、ここでは、２次元のモデルを考える。物体１００は、固体１０１と固体１０２が点線で示した境界面で接している。黒丸は節点を表し、４つの節点で囲まれた区域を「要素」と呼ぶ。
【０００４】
物体１００全体の移動を無視すると、物体１００の変位は、各節点に一次独立な２方向の変位を設定することで記述することができる。図１中の矢印は、各節点に与えられた２自由度を示す。境界面では固体１０１側の変位と固体１０２側の変位が一致するため、境界面に存在する節点に与える自由度は２で十分である。このようにして、有限要素法では異種材料の境界面を自然な形で取り込むことができる。
【０００５】
【非特許文献１】矢川元基、吉村忍著、「有限要素法」、培風館、１９９１
【非特許文献２】H. Sato, M. Lebedev and J. Akedo, Jpn. J. Appl. Phys., 46, 2007, 4251
【非特許文献３】K. Yamanaka, Y. Nagata and T. Koda, Appl. Phys. Lett., 58, 1991, 1591
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
しかしながら、固体と流体との境界面を有する物体の変位について有限要素法を用いると、数値計算の結果が理論値から大きく離れてしまう問題があった。これは、固体側と液体側とで境界面に水平な変位が独立していることに起因する。
【０００７】
本発明はこのような問題に鑑みてなされたものであり、その目的は、固体領域と液体領域とを有する物体の変形に対する有限要素法であって、理論値と合致した結果を与えるものを提供することにある。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
このような目的を達成するために、請求項１に記載の本発明は、固体領域と液体領域とを有する物体の変形に対する有限要素法であって、前記固体領域と前記液体領域との境界面に存在する節点において、前記境界面に垂直な変位は、前記固体領域と前記液体領域とで同一に設定し、前記境界面に水平な変位は、前記固体領域と前記液体領域とで独立に設定するステップを含むことを特徴とする。
【０００９】
また、請求項２に記載の本発明は、請求項１において、前記ステップは、前記境界面に存在する節点のそれぞれに第１および第２の節点を設け、前記第１の節点の垂直な変位と前記第２の節点の垂直な変位とを同一に設定することを特徴とする。
【発明の効果】
【００１０】
本発明によれば、固体領域と液体領域との境界面に存在する節点において、境界面に垂直な変位は両領域で同一に設定し、境界面に水平な変位は固体領域と液体領域とで独立に設定するので、固体領域と液体領域とを有する物体の変形に対する有限要素法であって、理論値と合致した結果を与えるものを提供することができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１１】
以下、図面を参照して本発明の実施形態について詳細に説明する。  
図２は、固体と液体が接している物体の変形に対する有限要素法を説明するための図であり、ここでは、図１と同様に２次元のモデルを考える。物体２００は、固体２０１と液体２０２が点線で示した境界面で接している。
【００１２】
上述したように、固体と流体との境界面では固体同士の境界面と異なり垂直変位は一致するが水平変位が独立している。したがって、図１を参照して説明した従来の方法により固体と液体との境界面を記述すると、有限要素法の結果が理論値から外れる。
【００１３】
そこで本発明では、流体と固体の境界面に存在する節点において、境界面に垂直な変位を固体側と液体側で同一に設定し、境界面に平行な変位については固体側と液体側でそれぞれ独立して設定する。図２の例では、垂直変位と、固体２０１側および液体２０２側の水平変位の合計３自由度を設定する。本発明は３次元のモデルにも適用でき、その場合、垂直変位と、固体側および液体側のそれぞれにおける一次独立な２つの水平変位の合計５自由度を設定すればよい。
【００１４】
また、図２では正方形の要素を例示したが、これに制限する意図はなく、有限要素法で用いられているものであればよい。
【００１５】
実施例 
内部に水を満たした１／８”ＰＦＡチューブを伝搬するガイド波（弾性波）の変位について理論値と本発明による数値計算結果とを比較する。まず理論値を求めるにあたり、図３のように座標を設定した。ｒ＝ａ＝０．７９５ｍｍは水とＰＦＡとの境界面、ｒ＝ｂ＝１．５８５ｍｍはＰＦＡの外周である。ガイド波は、＋ｚ方向に伝播する。
【００１６】
図４は、ガイド波の変位量の振幅の理論値を示している（非特許文献２を参照）。縦軸は半径方向の位置、横軸は変位量の振幅、±の符合は位相の違いである。ｕθはθ方向の変位、ｕｒはｒ方向の変位、ｕｚはｚ方向の変位である。図示の理論値は、ガイド波のモードをＬ（０，３）、周波数ｆを３５０ｋＨｚ、位相速度Ｖを８０６ｍ／ｓとして求めた。
【００１７】
図５は、ガイド波の群速度の理論値を示している（非特許文献２を参照）。縦軸は群速度Ｖｇ、横軸は周波数ｆであり、ガイド波のモードＬ（０，１）、Ｌ（０，２）、Ｌ（０，３）、およびＬ（０，４）について示した。黒丸と黒四角については後述する。
【００１８】
図６は、本発明による有限要素法のモデルを示している。内部に水を満たした１／８”ＰＦＡチューブ６００は、ＰＦＡチューブ３００と同様のものであるが、水とＰＦＡとの境界面を０．８ｍｍ、ＰＦＡの外周を１．６ｍｍで近似した。
【００１９】
このモデルは、形状が円柱であり、かつ変位が軸対称なモード（ｕθ＝０）であるので、軸対称の有限要素法を用いてシミュレーションすることができる（たとえば、非特許文献１を参照されたい。）。そこで、図６中に斜線で示した、１５０ｍｍ×１．６ｍｍの長方形の範囲内のみをモデルとした。
【００２０】
要素サイズは５０μｍ×５０μｍとした。ガイド波を励起するための外力（応力）は、左端から４０ｍｍ離れた要素を中心にして位相速度走査法（非特許文献３を参照）を模擬することにより与え、＋ｚ方向に伝搬する特定のガイド波（Ｌ(０，３））を選択的に励起した。
【００２１】
図７は、従来の有限要素法による過渡応答解析から得られた輝度変調像を示している。この輝度変調像は、ガイド波を励起し始めてから１００μｓ後のものであり、図７（ａ）はｕｒ、図７（ｂ）はｕｚの像である。図７（ａ）および（ｂ）両方において、正の変位は白、負の変位は黒で表されている。Ｌ（０，３）の励起条件で励起された振動の変位はｚ＝９０ｍｍ近傍に存在するので、図７（ａ）および（ｂ）のｚ＝９０ｍｍ近傍におけるｕｒおよびｕｚを図４の理論値と比較することで従来の有限要素法の精度が分かる。
【００２２】
図４をみると、ｕｒはｒが大きくなるにつれ（絶対値は大きくなるが）小さくなり、水とＰＦＡチューブ３００との境界面を過ぎると二度節のような箇所がある。一方、ｕｚはｒが大きくなるにつれ（絶対値は大きくなるが）小さくなり、境界面で位相が反転する。ＰＦＡチューブ３００においては節のような箇所が１箇所あり、境界面とＰＦＡチューブ３００の表面とでは、振幅の絶対値が大きくなるが位相が反転している。
【００２３】
ここで図７（ａ）および（ｂ）についてみると、図７（ａ）は垂直変位ｕｒの分布を定性的に再現しているが、図７（ｂ）では水の部分で計算が発散しており、水平変位ｕｚの分布を再現できていない。境界面（ｒ＝ａ＝０．８ｍｍ）を境にＰＦＡチューブ６００部分と水部分のｕｚが逆位相にならなくてはならないのだが、そうはなっていない。
【００２４】
また、ガイド波の群速度を図５に黒四角でプロットした。理論値より倍以上速く伝搬していることになり、理論値から大きくずれている。
【００２５】
図８は、本発明の有限要素法による過渡応答解析から得られた輝度変調像を示している。この輝度変調像は、ガイド波を励起し始めてから２００μｓ後のものであり、図８（ａ）はｕｒ、図８（ｂ）はｕｚの像である。境界面に存在する節点のみにおいて、同一の位置に固体（ＰＦＡチューブ）と流体（水）の２個の節点、合計４自由度を設定し、垂直変位ｕｒを同一にすることで３自由度を実現した。ここでは、４自由度を設定し、垂直変位に関する条件により１自由度減らして３自由度を実現したが、境界面に存在する節点に対して直接に３自由度を設定することも可能である。
【００２６】
４自由度を設定し、垂直変位に関する条件により１自由度減らして３自由度を実現する方法は、計算効率やメモリ効率よりプログラミングの効率を優先したものである。４自由度を設定すると、その分メモリを余計に確保する必要がある。また、直接に３自由度を設定する場合に比べて一自由度減らす計算が必要なので計算効率が低下する。しかしながら、４自由度を設定することは、同一の節点に２個の設定番号を与え、固体側と液体側の要素にそれぞれの節点番号を与えるだけで実現できるので、有限要素法の中でもプログラミングに労力を要する剛体マトリックスの計算ルーチンに境界面以外の節点と同一のルーチンを使用することができる。したがって、バグの混入防止等のプログラミング効率向上を図ることができる。
【００２７】
ｕｒは境界面（ｒ＝０．８ｍｍ）を通して連続であるが、ｕｚは固体領域（ｒ≧０．８ｍｍ）と流体領域（ｒ≦０．８ｍｍ）で位相が反転していることが見て取れる。垂直変位ｕｒの分布（図８（ａ））だけでなく、水平変位ｕｚの分布（図８（ｂ））も図４に示した理論的な計算結果を再現できている。図５に黒丸でプロットしたガイド波の群速度もほぼ理論値と一致した。このように、境界面の節点に３自由度を設定することによって、固体と流体の相互作用を再現できることが確認された。
【図面の簡単な説明】
【００２８】
【図１】２種類の固体が接している物体の変形に対する有限要素法を説明するための図である。
【図２】固体と液体が接している物体の変形に対する有限要素法を説明するための図である。
【図３】理論値を求めるにあたり設定した、ＰＦＡチューブの座標を示す図である。
【図４】ガイド波の変位量の振幅の理論値を示す図である。
【図５】ガイド波の群速度の理論値を示す図である。
【図６】本発明による有限要素法のモデルを示す図である。
【図７】従来の有限要素法による過渡応答解析から得られた輝度変調像を示す図である。
【図８】本発明の有限要素法による過渡応答解析から得られた輝度変調像を示す図である。
【符号の説明】
【００２９】
１００  物体
１０１、１０２  固体
２００  物体
２０１  固体
２０２  液体
３００、６００  ＰＦＡチューブ
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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