(57)【要約】【課題】節点数が非常に多い大規模な問題でも、計算効率を向上させ、高速化を図る。【解決手段】まず、節点データを読み込み、第１節点リストに登録し（ステップＳａ１）、対象領域を包含する構造格子を生成する（ステップＳａ２）。次に、セル管理テーブルを作成する（ステップＳａ３）。次に、（＾ｍ）←ｍとし（ステップＳａ４）、以降、各評価点について繰り返す。まず、検索した節点情報を管理するため、第２節点リストを作成し（ステップＳａ５）、第２節点リストを（￣ｒｉ）の昇順にソートし（ステップＳａ６）、取り出したｎ個の節点で、基底関数値行列［Ｒｍｍ］を計算し、［Ｒｍｍ］の正則性を検定する（ステップＳａ９）。そして、［Ｒｍｍ］の正則性が良ければ、（￣ｒｎ）を基準半径とする（ステップＳａ１０）。【選択図】図１
2009037472.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
空間内に不規則に分布した節点データを構造格子上に配置し、各節点と評価点との距離に基づいて基準半径を求める節点探索方法であって、
節点データを読み込み、第１節点リストに登録するステップと、
全節点を包含する構造格子を生成するステップと、
前記構造格子の節点情報を管理するセル管理テーブルを作成するステップと、
前記セル管理テーブルの節点データを第２節点リストに登録する第１のステップと、
第１の基底関数値行列［Ｒｍｍ］を計算するステップと、
前記第１の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性を検定するステップと、
前記第１の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性検定に合格すれば、前記セル管理テーブルから所定層までの節点データ群を取り出し、各節点と評価点との距離を計算し、前記第２節点リストに登録する第２のステップと、
前記第２節点リストの節点データを、評価点との距離の昇順に並べ替えするステップと、
前記並べ替えされた順に、第２節点リストから取り出し、第２の基底関数値行列［Ｒｍｍ］を計算するステップと、
前記第２の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性を検定するステップと、
前記第２の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性検定に合格すれば、該距離を基準半径とするステップと
を更に含むことを特徴とする節点探索方法。
【請求項２】
前記第２節点リスト内の節点を包含する円環構造を生成するステップと、
前記円環構造に基づいて、円環管理テーブルを作成するステップと、
前記円環管理テーブルから、円環構造の最内側から順に節点データを取り出して、第３節点リストに登録するステップと、
前記第３節点リスト内のすべての節点を使って第３の基底関数値行列［Ｒｍｍ］を計算するステップと、
前記第３の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性を検定するステップと、
前記第３の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性検定に合格すれば、前記円環管理テーブルの現円環に属する節点のみを対象に、第３節点リストを評価点との距離の昇順に並べ替えするステップと、
前記並べ替えされた順に、前記第３節点リストから現円環より内側の円環に属する節点を含めて取り出し、第４の基底関数値行列［Ｒｍｍ］を計算するステップと、
前記第４の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性を検定するステップと、
前記第４の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性検定に合格すれば、該距離を基準半径とするステップと
を含むことを特徴とする請求項１記載の節点探索方法。
【請求項３】
前記円環構造を生成する際に、円環構造の最大半径を規定するステップを更に含むことを特徴とする請求項２記載の節点探索方法。
【請求項４】
空間内に不規則に分布した節点データを構造格子上に配置し、各節点と評価点との距離に基づいて基準半径を求める節点探索プログラムを実行するコンピュータに、
節点データを読み込み、第１節点リストに登録するステップと、
全節点を包含する構造格子を生成するステップと、
前記構造格子の節点情報を管理するセル管理テーブルを作成するステップと、
前記セル管理テーブルの節点データを第２節点リストに登録する第１のステップと、
第１の基底関数値行列［Ｒｍｍ］を計算するステップと、
前記第１の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性を検定するステップと、
前記第１の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性検定に合格すれば、前記セル管理テーブルから所定層までの節点データ群を取り出し、各節点と評価点との距離を計算し、前記第２節点リストに登録する第２のステップと、
前記第２節点リストの節点データを、評価点との距離の昇順に並べ替えするステップと、
前記並べ替えされた順に、第２節点リストから取り出し、第２の基底関数値行列［Ｒｍｍ］を計算するステップと、
前記第２の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性を検定するステップと、
前記第２の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性検定に合格すれば、該距離を基準半径とするステップと
を実行させることを特徴とする節点探索プログラム。
【請求項５】
前記第２節点リスト内の節点を包含する円環構造を生成するステップと、
前記円環構造に基づいて、円環管理テーブルを作成するステップと、
前記円環管理テーブルから、円環構造の最内側から順に節点データを取り出して、第３節点リストに登録するステップと、
前記第３節点リスト内のすべての節点を使って第３の基底関数値行列［Ｒｍｍ］を計算するステップと、
前記第３の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性を検定するステップと、
前記第３の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性検定に合格すれば、前記円環管理テーブルの現円環に属する節点のみを対象に、第３節点リストを評価点との距離の昇順に並べ替えするステップと、
前記並べ替えされた順に、前記第３節点リストから現円環より内側の円環に属する節点を含めて取り出し、第４の基底関数値行列［Ｒｍｍ］を計算するステップと、
前記第４の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性を検定するステップと、
前記第４の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性検定に合格すれば、該距離を基準半径とするステップと
を更に含むことを特徴とする請求項４記載の節点探索プログラム。
【請求項６】
前記円環構造を生成する際に、円環構造の最大半径を規定するステップを更に含むことを特徴とする請求項５記載の節点探索プログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、節点探索方法及び節点探索プログラムに関する。
【背景技術】
【０００２】
有限要素法は、コンピュータとともに目覚ましい発展を遂げ、微分方程式の数値解析法として最も実用的で普及している方法と言える。しかし、大規模な解析がＰＣ（パーソナルコンピュータ）でも可能になった現状では、メッシュ分割（二次元の場合には、三角形や、四角形など、三次元の場合には、四面体や、五面体、六面体などの要素と呼ばれる微少領域により解析対象を重複することなく埋め尽くす処理）に多大な人手と時間を要することが、有限要素法の最も大きな課題の１つとなっている。
【０００３】
これに対し、メッシュフリー法は、メッシュ分割を必要としない微分方程式の数値解法として、近年、盛んに研究開発が行われてきた。メッシュフリー法の代表的な関数近似法である移動最小自乗法（Moving Least Square Method；以下、ＭＬＳＭと称する）では、空間の任意の評価点（￣ｘ）（￣はｘの上部に付く、以下、同様）において、その周りに設定した小さな領域（影響領域）内の離散点（以降、節点）の情報から近似関数の未知係数を決定する（例えば、非特許文献１参照）。
【０００４】
未知関数φ（ｘ）の近似を次のように記述すると、次式（１）で表わされる。
【０００５】
【数１】
2009037472.tif 000003
【０００６】
ここで、｛ｐｍ（ｘ）｝は基底であり、一般には多項式が用いられる。二次元の線形基底であれば、次式（２）で表わされる。
【０００７】
【数２】
2009037472.tif 000004
【０００８】
三次元の線形基底であれば、次式（３）で表わされる。
【０００９】
【数３】
2009037472.tif 000005
【００１０】
未知係数｛ａｍ（￣ｘ）｝は、次式（４）の重み付きＬ２ノルムの最少条件から決定される。
【００１１】
【数４】
2009037472.tif 000006
【００１２】
ここで、Ｎは評価点（￣ｘ）の周りに設定した影響領域の中にある節点群の数である。図１３は、影響領域内に７個の節点が存在する例である。ｘｉは、ｉ番目の節点の空間座標値であり、φｉはｘ＝ｘｉにおけるφの値である。ｗ（ｘｉ−（￣ｘ））は重み関数であり、影響領域の中でのみ値を持ち、影響領域内の節点群の関数近似への寄与分（重み）を与える。
【００１３】
上記数式（４）の最少条件から求められる未知係数｛ａｍ（￣ｘ）｝を、数式（１）に代入にして整理すると、次式（５）で示すように、有限要素法と同様の形状関数を得る。
【００１４】
【数５】
2009037472.tif 000007
【００１５】
ここで、｛ｇＮ（ｘ，（￣ｘ））｝は形状関数である。このように、ＭＬＳＭは、有限要素法のような要素の情報を使用することなく、領域内の任意の評価点において、近傍の節点群を使って関数近似を可能にする。
【００１６】
ＭＬＳＭにおいて非常に重要な役割を演じるのが重み関数である。適切な重み関数を選択することにより、領域全体で滑らかな近似を行うことも可能になる。よく用いられる次の四次スプラインは、近似関数の２階微分までの連続条件を満足することができるように設計されている。影響領域の半径をｄＩとすると、次式（６）で表わされる。
【００１７】
【数６】
2009037472.tif 000008
【００１８】
ＭＬＳＭによる近似の善し悪しには、重み関数の関数系だけでなく、影響領域の大きさも強く影響する。しかし、最適な大きさを設定する方法は報告されていない。影響領域は、一般に、二次元では円、三次元では球に設定され、半径は、評価点近傍の節点分布密度との関係から経験的な値に設定されているのが実状である。このとき、節点群の分布に粗密がなく、空間内に一様に分布している場合には、影響領域の大きさを一定として陽に設定することが可能であるが、節点群の分布に粗密がある場合には、節点群の密度に応じて影響領域の大きさを変化させる必要がある。影響領域の中の節点群は、少なくとも数式（１）を一意に定めることができなければならないので、節点の分布に粗密があり、影響領域の大きさを一定に保とうとすると、分布の粗い場所で影響領域の大きさが決まり、密な部分での近似の局所性が失われ、結果に悪影響を及ぼすからである。
【００１９】
ＭＬＳＭの欠点として計算効率が悪いことが知られている。例えば、弱形式のメッシュフリー法では、領域積分のために解析領域内に密に配置された積分点においてＭＬＳＭにより数式（５）の形状関数を構築し、関数値を求める。影響領域に入る節点群を各積分点（評価点）周りで検索する処理にも計算時間を要するが、節点の粗密に応じた影響領域の大きさを設定する処理にはそれ以上に多大な計算時間を要する。最も端的な方法は、評価点（￣ｘ）から近い順に節点を検索し、数式（１）の基底を一意に定める最少の節点群を集め、その中で、評価点から最も遠い節点との距離を基準半径とし、上述の経験値に対応するスケール・ファクタを乗ずる方法である。
【００２０】
［最も端的な方法］
なお、以降の説明で、「←」は右辺の計算結果を左辺の変数に代入することを意味する。
基底関数の項数をｍとすると、各評価点において、
【００２１】
（ＳＡ１）節点データを読み込み、節点リストに登録する（図１４の左から４列まで）。
（ＳＡ２）評価点と各節点ｉとの距離（￣ｒｉ）（￣はｒｉの上部に付く、以下、同様）を計算し、節点リストに入れる（図１４の第５列）。
【００２２】
（ＳＡ３）節点リストを（￣ｒｉ）の昇順にソート（並べ替え）する（図１５）。
（ＳＡ４）先頭のｍ−１個の情報を節点リストから取り出し、ｎ←ｍ−１とする。
【００２３】
（ＳＡ５）次の１つの情報を節点リストから取り出し、ｎ←ｎ＋１とする。
（ＳＡ６）取り出したｎ個の節点で、次式（７）に従って、次の基底関数値行列［Ｒｍｍ］（以下、単に［Ｒｍｍ］と称する）を計算する。
【００２４】
【数７】
2009037472.tif 000009
【００２５】
なお、［Ｄｍｎ］は、次式（８）で表わされる。
【００２６】
【数８】
2009037472.tif 000010
【００２７】
（ＳＡ７）［Ｒｍｍ］の正則性が悪ければ上記（ＳＡ５）に戻る。
（ＳＡ８）（￣ｒｎ）（￣はｒｎの上部に付く、以下、同様）を基準半径とする。
【００２８】
簡単のため二次元の場合を例に図を参照して説明する。図１６では、不規則に分布する節点（節点番号が四角内）に、白丸（○）の評価点（￣ｘ）に近い順の順番が右肩に付与されている。すなわち、上記（ＳＡ３）まで処理が終わった状態に対応する。数式（１）の｛ｐｍ（ｘ）｝が二次元の線形基底であれば（ｍ＝３）、同一直線上にない３点が検索された時点で基準半径が決まる。図１６では、順番が１〜３番までの節点は、同一直線上にあるので、上記（ＳＡ７）の正則性の検定で（ＳＡ５）に戻り、順番が４の節点１１で基準半径が決まることになる。しかし、この方法は、領域内の全評価点において、すべての節点を対象に距離計算とソート処理とを行う必要がある。評価点は、ガラーキン法における領域積分のように、領域内に密に分布するため、計算効率が非常に悪い。
【００２９】
空間内に不規則に分布した点群を検索する際に、図１７に示すような構造格子がしばしば用いられる。予め適当な構造格子を発生させ、各セルが含む点群情報を調べておき、点を検索する際にセルのアドレスを利用する方法である。この方法は、ＭＬＳＭの影響領域の大きさが予め決まっていて、影響領域に入る節点を検索する場合には、大変有効である。しかし、評価点近傍の節点の粗密に応じて影響領域の大きさを決定する際には、必ずしも効率的な方法ではない。検索方法としては、評価点が属するセルから順に、そのセルを取り囲むセル群に属する節点を放射状に検索することになる。評価点が属するセルを第１層、それを取り囲むセル群を第２層というように、放射方向にセル群の層を数え、最も外側の層番号をｌｍａｘとする。
【００３０】
［構造格子を用いたアルゴリズム］
（ＳＢ１）節点データを読み込み、第１節点リストに登録する（図１４の左から４列まで）。
（ＳＢ２）対象領域を包含する構造格子を生成する（図１７）。
（ＳＢ３）各セルのアドレスとセルが含む節点情報を管理する対応表（セル管理テーブル）を作る（図１８）。
以降、各評価点について繰り返す。
【００３１】
（ＳＢ４）ｌ←０、検索した節点情報を管理するため、空の第２節点リストを準備する。
（ＳＢ５）ｌ←ｌ＋１
（ＳＢ６）ｌ＞ｌｍａｘならば、全ての処理を中断し、終了する（ｍ個以上の節点が存在しない）。
【００３２】
（ＳＢ７）セル管理テーブルから第ｌ層の節点群を取り出し、第２節点リストに入れる。
（ＳＢ８）第２節点リスト内の節点数（〜ｎ）（〜はｎの上部に付く、以下、同様）がｍより小さければ、（ＳＢ５）へ戻る。
（ＳＢ９）第２節点リスト内の各節点ｉと評価点との距離を計算する。
【００３３】
（ＳＢ１０）第２節点リストを（￣ｒｉ）の昇順にソート（並べ替え）する。
（ＳＢ１１）先頭のｍ−１個の情報を第２節点リストから取り出し、ｎ←ｍ−１とする。
（ＳＢ１２）次の１つの情報を第２節点リストから取り出し、ｎ←ｎ＋１とする。
【００３４】
（ＳＢ１３）取り出したｎ個の節点で数式（７）の［Ｒｍｍ］を計算する。
（ＳＢ１４）［Ｒｍｍ］の正則性が良ければ、（ＳＢ１７）に進む。
（ＳＢ１５）ｎ＜（〜ｎ）であれば、（ＳＢ１２）へ戻る。
【００３５】
（ＳＢ１６）ｌ←ｌ＋１とし、セル情報から第ｌ層の節点群を取り出し、（ＳＢ９）に戻る。
（ＳＢ１７）（￣ｒｎ）を基準半径とする。
【００３６】
しかし、この方法では、正しい検索が行えない。図１９は図１６と同じ条件であるが、図１９の例では、第２層（白丸（○）で表した評価点（￣ｘ）が属するセルに隣接する斜線部分の格子層）まで検索した時点で条件を満たす節点（図１９の距離の昇順が４の節点２３）が検索されたことになる。しかし、実際に評価点を中心とする円を描くと、図のように円の中には検索したセルの２層分外側の斜線部分の第４層の節点も含まれる。
【００３７】
正しくは、星印（★）の節点で基準半径が決まらなければならない。二次元では、条件を満たす節点が第ｌ層で検索されたとしたら、第ｉｎｔ（ｌ√（２）＋２）層（ｉｎｔ（ａ）は、ａの小数点以下を切り捨てる演算である、以下同様）までの節点を集めて、再度評価点との距離を計算した後、上記（ＳＢ９）以降の処理を行う必要がある。ソートの回数は、決して少ないと言えないし、アルゴリズムも複雑である。
【非特許文献１】櫻井英行：移動最小自乗法の計算機処理と問題点，日本機械学会２００６年度年次大会講演論文集，pp.43-44,2006
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００３８】
しかしながら、上述した従来技術では、計算効率が悪いため、節点数が非常に多い大規模になると、多大な計算時間を要するという問題がある。
【００３９】
本発明は、このような事情を考慮してなされたものであり、その目的は、節点数が非常に多い大規模な問題でも、計算効率を向上させることができ、高速化を図ることができる節点探索方法及び節点探索プログラムを提供することにある。
【課題を解決するための手段】
【００４０】
本発明は、空間内に不規則に分布した節点データを構造格子上に配置し、各節点と評価点との距離に基づいて基準半径を求める節点探索方法であって、節点データを読み込み、第１節点リストに登録するステップと、全節点を包含する構造格子を生成するステップと、前記構造格子の節点情報を管理するセル管理テーブルを作成するステップと、前記セル管理テーブルの節点データを第２節点リストに登録する第１のステップと、第１の基底関数値行列［Ｒｍｍ］を計算するステップと、前記第１の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性を検定するステップと、前記第１の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性検定に合格すれば、前記セル管理テーブルから所定層までの節点データ群を取り出し、各節点と評価点との距離を計算し、前記第２節点リストに登録する第２のステップと、前記第２節点リストの節点データを、評価点との距離の昇順に並べ替えするステップと、前記並べ替えされた順に、第２節点リストから取り出し、第２の基底関数値行列［Ｒｍｍ］を計算するステップと、前記第２の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性を検定するステップと、前記第２の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性検定に合格すれば、該距離を基準半径とするステップとを更に含むことを特徴とする。
【００４１】
本発明は、前記第２節点リスト内の節点を包含する円環構造を生成するステップと、前記円環構造に基づいて、円環管理テーブルを作成するステップと、前記円環管理テーブルから、円環構造の最内側から順に節点データを取り出して、第３節点リストに登録するステップと、前記第３節点リスト内のすべての節点を使って第３の基底関数値行列［Ｒｍｍ］を計算するステップと、前記第３の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性を検定するステップと、前記第３の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性検定に合格すれば、前記円環管理テーブルの現円環に属する節点のみを対象に、第３節点リストを評価点との距離の昇順に並べ替えするステップと、前記並べ替えされた順に、前記第３節点リストから現円環より内側の円環に属する節点を含めて取り出し、第４の基底関数値行列［Ｒｍｍ］を計算するステップと、前記第４の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性を検定するステップと、前記第４の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性検定に合格すれば、該距離を基準半径とするステップとを含むことを特徴とする。
【００４２】
本発明は、前記円環構造を生成する際に、円環構造の最大半径を規定するステップを更に含むことを特徴とする。
【００４３】
本発明は、空間内に不規則に分布した節点データを構造格子上に配置し、各節点と評価点との距離に基づいて基準半径を求める節点探索プログラムを実行するコンピュータに、節点データを読み込み、第１節点リストに登録するステップと、全節点を包含する構造格子を生成するステップと、前記構造格子の節点情報を管理するセル管理テーブルを作成するステップと、前記セル管理テーブルの節点データを第２節点リストに登録する第１のステップと、第１の基底関数値行列［Ｒｍｍ］を計算するステップと、前記第１の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性を検定するステップと、前記第１の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性検定に合格すれば、前記セル管理テーブルから所定層までの節点データ群を取り出し、各節点と評価点との距離を計算し、前記第２節点リストに登録する第２のステップと、前記第２節点リストの節点データを、評価点との距離の昇順に並べ替えするステップと、前記並べ替えされた順に、第２節点リストから取り出し、第２の基底関数値行列［Ｒｍｍ］を計算するステップと、前記第２の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性を検定するステップと、前記第２の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性検定に合格すれば、該距離を基準半径とするステップとを実行させることを特徴とする。
【００４４】
本発明は、前記第２節点リスト内の節点を包含する円環構造を生成するステップと、前記円環構造に基づいて、円環管理テーブルを作成するステップと、前記円環管理テーブルから、円環構造の最内側から順に節点データを取り出して、第３節点リストに登録するステップと、前記第３節点リスト内のすべての節点を使って第３の基底関数値行列［Ｒｍｍ］を計算するステップと、前記第３の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性を検定するステップと、前記第３の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性検定に合格すれば、前記円環管理テーブルの現円環に属する節点のみを対象に、第３節点リストを評価点との距離の昇順に並べ替えするステップと、前記並べ替えされた順に、前記第３節点リストから現円環より内側の円環に属する節点を含めて取り出し、第４の基底関数値行列［Ｒｍｍ］を計算するステップと、前記第４の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性を検定するステップと、前記第４の基底関数値行列［Ｒｍｍ］の正則性検定に合格すれば、該距離を基準半径とするステップとを更に含むことを特徴とする。
【００４５】
本発明は、前記円環構造を生成する際に、円環構造の最大半径を規定するステップを更に含むことを特徴とする。
【発明の効果】
【００４６】
この発明によれば、節点データを読み込み、第１節点リストに登録し、該第１節点リストの節点データを所定の座標上に配置した構造格子を生成し、各節点データの節点情報を管理するセル管理テーブルを作成し、セル管理テーブルの節点データを第２節点リストに登録し、第１の［Ｒｍｍ］を計算して正則性を検定し、正則性検定に合格すれば、セル管理テーブルから所定層までの節点データ群を取り出し、各節点と評価点との距離を計算し、第２節点リストに登録し、第２節点リストの節点データを、評価点との距離の昇順に並べ替え、該並べ替えされた順に取り出し、第２の［Ｒｍｍ］を計算して正則性を検定し、正則性検定に合格すれば、該距離を基準半径とする。したがって、節点数が非常に多い大規模な問題でも、評価点との距離計算、及び、距離に基づくソート（並べ替え）処理を行う対象節点が非常に少なくなり、高速化を図ることができる。
【００４７】
また、本発明によれば、第２節点リスト内の節点を包含する円環構造を生成し、該円環構造に基づいて、円環管理テーブルを作成し、該円環管理テーブルから、円環構造の最内側から順に節点データを取り出して、第３節点リストに登録し、第３節点リスト内のすべての節点を使って第３の基底関数値行列［Ｒｍｍ］を計算して正則性を検定し、正則性検定に合格すれば、該円環管理テーブルの現円環に属する節点のみを対象に第３節点リストを評価点との距離の昇順に並べ替え、近い順に第３節点リストから現円環より内側の円環の節点を含めて取り出し、第４の［Ｒｍｍ］を計算して正則性を検定し、正則性検定に合格すれば、該距離を基準半径とする。したがって、構造格子に円環構造を組み合わせることにより、節点数が非常に多い大規模な問題でも、さらに、評価点との距離計算、及び、距離に基づくソート（並べ替え）処理を行う対象節点が非常に少なくなり、より高速化を図ることができる。
【００４８】
また、本発明によれば、円環構造を生成する際に、円環構造の最大半径を規定する。したがって、構造格子に円環構造を組み合わせることにより、節点数が非常に多い大規模な問題でも、さらに、評価点との距離計算、及び、距離に基づくソート（並べ替え）処理を行う対象節点が非常に少なくなり、より高速化を図ることができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００４９】
以下、本発明の一実施形態を、図面を参照して説明する。
【００５０】
本発明では、構造格子を用いる方法と、更に同心円群を組み合わせる方法とを考案した。以降の説明においては、データは、三次元で例示するが、図は三次元表現が困難なため、二次元で表す。
【００５１】
Ａ．第１実施形態
［構造格子のみを用いる高速アルゴリズム］
図１は、本第１実施形態による、構造格子のみを用いる高速アルゴリズムを説明するためのフローチャートである。前述した図１７と同様に、評価点が属するセルを第１層、それを取り囲むセルを第２層というように、放射方向にセル群の層を数える。層番号をｌ、最も外側の層番号をｌｍａｘとする。まず、節点データを読み込み、第１節点リストに登録する（ステップＳａ１）。前述した図１４の左から４列までに相当する。次に、前述した図１７に示すように、対象領域を包含する構造格子を生成する（ステップＳａ２）。次に、前述した図１８に示す、各セルのアドレスとそのセルが含む節点を管理する対応表（セル管理テーブル）を作成する（ステップＳａ３）。次に、（＾ｍ）←ｍとし（ステップＳａ４；＾はｍの上部に付く、以下、同様）、以降、各評価点について繰り返す。
【００５２】
まず、検索した節点情報を管理するため、第２節点リストを作成する（ステップＳａ５）。なお、該第２節点リストの作成の詳細については後述する。次に、第２節点リストを（￣ｒｉ）の昇順にソート（並べ替え）し（ステップＳａ６）、先頭のｍ−１個の情報を第２節点リストから取り出し、ｎ←ｍ−１とする（ステップＳａ７）。次の１つの情報を第２節点リストから取り出し、ｎ←ｎ＋１とし（ステップＳａ８）、取り出したｎ個の節点で、数式（７）の基底関数値行列［Ｒｍｍ］を計算し、［Ｒｍｍ］の正則性を検定する（ステップＳａ９）。そして、［Ｒｍｍ］の正則性が悪ければ、ステップＳａ８に戻り、次の１つの情報を第２節点リストから取り出し、同様に、［Ｒｍｍ］の正則性を検定する。一方、［Ｒｍｍ］の正則性が良ければ、（￣ｒｎ）を基準半径とする（ステップＳａ１０）。
【００５３】
次に、上述したステップＳａ５における第２節点リストの作成について説明する。
図２は、本第１実施形態による、第２節点リストの作成処理を説明するためのフローチャートである。まず、ｌ←０とし、空の第２節点リストを準備し（ステップＳｂ１）、第２節点リストへ登録する処理に入る（ステップＳｂ２）。なお、該第２節点リストへの登録の詳細については後述する。次に、第２節点リスト内の節点数（〜ｎ）が（＾ｍ）より小さいか否かを判定し（ステップＳｂ３）、小さければ、ステップＳｂ２へ戻る。
【００５４】
一方、第２節点リスト内の節点数（〜ｎ）が（＾ｍ）より大きければ、第２節点リスト内の（〜ｎ）個の節点全てを用いて、次式（９）、（１０）に従って、次の基底関数値行列［（〜Ｒｍｍ）］（以下、単に［（〜Ｒｍｍ）］と称する）を計算し（距離計算とソートは行わない）、［（〜Ｒｍｍ）］の正則性を検定する（ステップＳｂ４）。そして、［（〜Ｒｍｍ）］の正則性が良ければ、第ｉｎｔ（ｌ√（２）+２）層までの節点群を取り出し、評価点との距離（￣ｒｉ）を計算し、第２節点リストに登録する（ステップＳｂ７）。
【００５５】
【数９】
2009037472.tif 000011
【００５６】
【数１０】
2009037472.tif 000012
【００５７】
一方、［（〜Ｒｍｍ）］の正則性が悪ければ、第２節点リストへ登録する処理に入る（ステップＳｂ５）。なお、該第２節点リストへの登録の詳細については後述する。次に、第２節点リスト内の（〜ｎ）個の節点全てを使って次の［（〜Ｒｍｍ）］を計算し（距離計算とソートは行わない）、［（〜Ｒｍｍ）］の正則性を検定する（ステップＳｂ６）。そして、［（〜Ｒｍｍ）］の正則性が悪ければ、ステップＳｂ５に戻り、同様の処理を繰り返す。そして、［（〜Ｒｍｍ）］の正則性がよければ、更に、第ｉｎｔ（ｌ√（２）+２）層までの節点群を取り出し、評価点との距離（￣ｒｉ）を計算し、第２節点リストに登録する（ステップＳｂ７）。
【００５８】
次に、図３は、本第１実施形態による、上述したステップＳｂ２、Ｓｂ７の第２節点リストへの登録処理を説明するためのフローチャートである。まず、ｌ←ｌ＋１とし（ステップＳｃ１）、ｌ＞ｌｍａｘであるか否かを判定し（ステップＳｃ２）、ｌ＞ｌｍａｘであるならば、全ての処理を中断して当該処理を終了する。つまり、ｍ個以上の節点、もしくは目的の節点が存在しないことを意味する。一方、ｌ＞ｌｍａｘでなければ、セル管理テーブルから第ｌ層の節点群を入手し、評価点との距離（￣ｒｉ）を計算し、第２節点リストに登録する（ステップＳｃ３）。
【００５９】
なお、三次元の場合には、ステップＳｂ７において第ｉｎｔ（ｌ√（３）+２）層までの節点群を追加すればよい。この方法は、ステップＳｂ７までの処理で、目的の節点を確実に含む節点群に絞り込んで処理を行うので、最初に示した［最も端的な方法］に比べれば格段にソートの対象となる節点数が少なくて済む。
【００６０】
図４は、本第１実施形態による、構造格子と評価点とを含むセルを中心とする放射状の層番号を示す概念図である。図において、四角内の数字が節点番号を示し、その近傍に付された数字が検索された節点の格子層番号を示している。該図４では、先の図１６、及び、図１９と同じ条件であり、ｌ＝２層で、ステップＳｂ４の条件を満足し、ステップＳｂ７のｉｎｔ（ｌ√（２）＋２）＝４層まで節点を取り出した状態に対応する。ここまでには、一度もソート処理は行われていない。図５は、４層までの節点のみを対象にして評価点との処理計算を行い、評価点に近い順の番号が付与された状態を表しており、上述したステップＳａ６に対応する。この後、ｎ＝４で、ステップＳａ９の正則性の検定に合格し、ステップＳａ１０に至り、正しい基準半径が求まる。ソートは、１２節点を対象とした１回のみである。
【００６１】
Ｂ．第２実施形態
次に、本発明の第２実施形態について説明する。
多項式の項数が多い場合、特に、三次元では、ステップＳａ６のソートの対象節点が多くなる。そこで、本第２実施形態では、評価点を中心とする同心円群により節点位置を管理することで、ステップＳａ６以降の処理を更に高速化する。
【００６２】
［構造格子と円環構造を併用する第１の高速アルゴリズム］
図６は、本第２実施形態による、構造格子と円環構造を併用する第１の高速アルゴリズムを説明するためのフローチャートである。なお、以下では、最も内側の円環を第１環として、円環番号をｋで数え、最も外側の円環番号をｋｍａｘとする。
【００６３】
まず、節点データを読み込み、第１節点リストに登録する（ステップＳｄ１）。前述した図１４の左から４列までに相当する。次に、全節点を包含する構造格子を生成する（ステップＳｄ２）。次に、各セルのアドレスとそのセルが含む節点を管理する対応表（セル管理テーブル）を作成し（ステップＳｄ３）、（＾ｍ）←ｍとし（ステップＳｄ４）、以降、各評価点について繰り返す。
【００６４】
まず、検索した節点情報を管理するため、前述した図２に示すフローチャートに従って、第２節点リストを作成する（ステップＳｄ５）。次に、図９に示すように、評価点を中心とし、第２節点リスト内の節点を包含する円環構造（適当な同心円群）を生成する（ステップＳｄ６）。次に、図１０に示すように、円環番号と円環が含む節点とを管理する対応表（円環管理テーブル）を作成し（ステップＳｄ７）、節点情報を管理するため、第３節点リストを作成する（ステップＳｄ８）。なお、該第３節点リストの作成の詳細については後述する。
【００６５】
次に、第３節点リストの第ｋ環に属する節点群のみを対象に距離（￣ｒｉ）の昇順にソート（並べ替え）する（ステップＳｄ９）。次に、第１環から第ｋ−１環までに属する節点数をｎとし（ステップＳｄ１０）、ｎ←ｎ＋１とし（ステップＳｄ１１）、第３節点リストからｎ番目までの節点を取り出す（ステップＳｄ１２）。次に、取り出したｎ個の節点で数式（７）の［Ｒｍｍ］を計算し、該［Ｒｍｍ］の正則性を検定する（ステップＳｄ１３）。そして、［Ｒｍｍ］の正則性が悪ければ、ステップＳｄ１０に戻り、上述した処理を繰り返す。一方、［Ｒｍｍ］の正則性が良ければ、距離（￣ｒｎ）を基準半径とする（ステップＳｄ１４）。
【００６６】
次に、上述したステップＳｄ８における第３節点リストの作成について説明する。
図７は、本実施形態による、第３節点リストの作成処理を説明するためのフローチャートである。まず、ｋ←０とし、空の第３節点リストを準備し（ステップＳｅ１）、第３節点リストへ登録する処理に入る（ステップＳｅ２）。なお、該第３節点リストへの登録の詳細については後述する。次に、第３節点リスト内の節点数（〜ｎ）がｍ個より小さいか否かを判定し（ステップＳｅ３）、小さければ、ステップＳｅ２へ戻る。
【００６７】
一方、第３節点リスト内の節点数（〜ｎ）がｍ個より大きければ、第３節点リスト内の（〜ｎ）個の節点全てを用いて、上述した数式（９）に従って、次の［（〜Ｒｍｍ）］を計算し、該［（〜Ｒｍｍ）］の正則性を検定する（ステップＳｅ４）。そして、［（〜Ｒｍｍ）］の正則性が良ければ、当該処理を終了し、図６に示すステップＳｄ９に進む。
【００６８】
一方、［（〜Ｒｍｍ）］の正則性が悪ければ、第３節点リストへ登録する処理に入り（ステップＳｅ５）、第３節点リスト内の（〜ｎ）個の節点全てを用いて、数式（９）の［（〜Ｒｍｍ）］を計算し、該［（〜Ｒｍｍ）］の正則性を検定する（ステップＳｅ６）。そして、［（〜Ｒｍｍ）］の正則性が悪ければ、ステップＳｅ５に戻り、第３節点リストへ登録を繰り返す。一方、［（〜Ｒｍｍ）］の正則性が良ければ、当該処理を終了し、図６に示すステップＳｄ９に進む。
【００６９】
次に、図８は、上述したステップＳｅ２、Ｓｅ５の第３節点リストへの登録処理を説明するためのフローチャートである。まず、ｋ←ｋ＋１とし（ステップＳｆ１）、ｋ＞ｋｍａｘであるか否かを判定し（ステップＳｆ２）、ｋ＞ｋｍａｘであれば、全ての処理を中断し、終了する（不測の異常終了）。一方、ｋ＞ｋｍａｘでなければ、円環管理テーブルから第ｋ環の節点群を取り出し、第３節点リストに登録する（ステップＳｆ３）。
【００７０】
本第２実施形態によれば、円環で管理するので、図６のステップＳｄ９では、第ｋ−１環までの節点群は、明らかに第ｋ環に属する節点より評価点に近いので、ソートの対象から外すことができる。先の円環構造を用いない第１実施形態（図５を参照）では、ソートの対象節点が１２節点であったが、本第２実施形態では、円環で管理することにより、ソート対象節点は３節点となった（図９を参照）。但し、前述した第１実施形態による［構造格子のみを用いる高速アルゴリズム］に比べ、正則性の検定が増加するので、条件によって使い分けが必要である。本第２実施形態は、三次元の多項式の項数が多い場合に、特に、有効である。
【００７１】
Ｃ．第３実施形態
次に、本発明の第３実施形態について説明する。
上述した第２実施形態による［構造格子と円環構造を併用する第１の高速アルゴリズム］では、図６に示すステップＳｄ５までの処理で、確実に目的の節点を含む節点群に絞り込むことができるが、絞り込むまでに、正則性の検定を必要とする。正則性検定には、非常に多くの行列演算が含まれるので、この検定を回避できれば、更なる高速化を実現することができる。条件に依っては、目的の節点を含むと予想される評価点周りの十分な節点の数、あるいは、十分大きな円（三次元では球）の半径を指定することができる。
【００７２】
［構造格子と円環構造を併用する第２の高速アルゴリズム］
図１１は、本第３実施形態による、構造格子と円環構造を併用する第２の高速アルゴリズムを説明するためのフローチャートである。なお、十分な数の節点数を指定する場合、その数を（＾ｎ）とし、構造格子の幅を（＾ｄ）として説明する。
【００７３】
まず、節点データを読み込み、第１節点リストに登録する（ステップＳｇ１）。次に、全節点を包含する構造格子を生成し（ステップＳｇ２）、各セルのアドレスとそのセルが含む節点を管理する対応表（セル管理テーブル）を作成し（ステップＳｇ３）、（＾ｍ）←（＾ｎ）とし（ステップＳｇ４）、以降、各評価点について繰り返す。
【００７４】
まず、ｌ←０、検索した節点情報を管理するため、空の第２節点リストを準備する（ステップＳｇ５）。次に、前述した図３に示すフローに従って、第２節点リストへ登録する（ステップＳｇ６）。すなわち、まず、ｌ←ｌ＋１とし（ステップＳｃ１）、ｌ＞ｌｍａｘであるか否かを判定し（ステップＳｃ２）、ｌ＞ｌｍａｘであるならば、全ての処理を中断して当該処理を終了する。つまり、（＾ｎ）個以上の節点、もしくは目的の節点が存在しないことを意味する。一方、ｌ＞ｌｍａｘでなければ、セル管理テーブルから第ｌ層の節点群を入手し、評価点との距離（￣ｒｉ）を計算し、第２節点リストに登録する（ステップＳｃ３）。次に、第２節点リスト内の節点数（〜ｎ）が（＾ｍ）より小さいか否かを判定し（ステップＳｇ７）、小さければ、ステップＳｇ６へ戻る。
【００７５】
一方、第２節点リスト内の節点数（〜ｎ）が（＾ｍ）より大きければ、評価点を中心とし、最大（ｋｍａｘの外側）半径を（＾ｄ）×（ｌ−１）とする適当な同心円群を生成させる（ステップＳｇ８）。次に、図１０に示すように、円環番号と円環が含む節点とを管理する対応表（円環管理テーブル）を作成し（ステップＳｇ９）、節点情報を管理するため、前述した図７のフローチャートに従って、第３節点リストを作成する（ステップＳｇ１０）。
【００７６】
次に、第３節点リストの第ｋ環に属する節点群のみを対象に距離（￣ｒｉ）の昇順にソート（並べ替え）し（ステップＳｇ１１）、第１環から第ｋ−１環までに属する節点数をｎとし（ステップＳｇ１２）、ｎ←ｎ＋１とし（ステップＳｇ１３）、第３節点リストからｎ番目までの節点を取り出す（ステップＳｇ１４）。次に、取り出したｎ個の節点で数式（７）の［Ｒｍｍ］を計算し、該［Ｒｍｍ］の正則性を検定する（ステップＳｇ１５）。そして、［Ｒｍｍ］の正則性が悪ければ、ステップＳｇ１３に戻り、上述した処理を繰り返す。一方、［Ｒｍｍ］の正則性が良ければ、距離（￣ｒｎ）を基準半径とする（ステップＳｇ１６）。
【００７７】
上述した第３実施形態によれば、構造格子を利用し、（＾ｎ）まで集めて描いた円（三次元では球）の中に、目的の節点が存在するという仮定なので、前述した第１、第２実施形態による、ステップＳｂ４とＳｂ６の［（〜Ｒｍｍ）］の正則性の検定処理を省略できる。但し、必ずしも目的の節点が含まれるとは限らないので、数が足りなければ、ステップＳｆ２において目的を達成できずに終了することになる。このとき、終了せずに、（＾ｎ）を自動的に増やして、ステップＳｇ６に戻り、処理をやり直すことも可能である。
【００７８】
図１２は、目的の節点を含む十分な数の節点群として１０点を指定した例を示す概念図である。図において、ｌは、評価点を含むセルを１として、放射状に数えた格子層の層番号であり、ξ、ψは、セルのアドレス（紙面に垂直方向がζ）である。格子の層番号ｌ＝３までに５点、ｌ＝４で１２点集まるので、評価点を中心とし、格子幅の３倍の半径を最大とした同心円により、円環管理テーブルを作成する。それ以上大きな円では、図１２に斜線で示した検索済み領域より大きくなる可能性がある。
【００７９】
十分大きな円（三次元では球）の半径を指定する場合も本質的には同じである。十分な大きさの半径を（＾ｒ）とすると、Ｓｇ８の前までに、少し多めに節点を集めるという観点から、構造格子で、ｌ＝ｉｎｔ（（＾ｒ）／ｄｇ）＋２層までの節点を集める。あるいは、より多めに、ｌ＝ｉｎｔ（（＾ｒ）／ｄｇ）＋３、ｌ＝ｉｎｔ（（＾ｒ）／ｄｇ）＋４というように層数を増やしてもよい。
【００８０】
これらの方法は、節点の数あるいは円の大きさにより予め指定した評価点周りの領域の中に目的の節点が含まれるという仮定に基づいており、確実な方法ではない。しかし、節点が対象領域内に概ね一様に分布しており（分布に極端な偏りがない）、多項式の項数が比較的小さい場合には、実用的で最も高速な方法である。
【００８１】
上述した第１〜第３実施形態によれば、以下の効果を得ることができる。
（１）節点数が非常に多い大規模な問題でも、上述した第１〜第３実施形態で説明した構造格子を用いる方法により、評価点との距離計算、及び、距離に基づくソート（並べ替え）処理を行う対象節点が非常に少なくなる。
【００８２】
（２）構造格子を用いる方法に円環構造を用いる方法を組み合わせることにより、さらにソート処理を行う対象節点を減少させることができ、高速化を図ることができる。従来技術（非特許文献１）には、これらの組み合わせについて触れているが具体的なアルゴリズムについては、示されていない。
【００８３】
（３）本第１〜第３実施形態は、ＭＬＳＭに限るものではなく、空間内の任意の評価点において任意の多項式等を定める最小の点群を検索し、その中から評価点から最も遠い点を検索する問題に適用可能である。例えば、局所荷重回帰のadaptive spatial kernelsの大きさの設定のための点の検索（文献１「Geographically Weighted Regression, WILEY, pp.46-51」）や地球統計学の近傍の点群検索（文献２「地球統計学，地球統計学研究委員会編，森北出版，pp.99-100,2003」）などにも適用可能である。
【００８４】
なお、上述した第１〜第３実施形態において、各フローチャートは、コンピュータにより実行されるプログラムであって、該プログラムをコンピュータ読み取り可能な記録媒体に記録して、この記録媒体に記録されたプログラムをコンピュータシステムに読み込ませ、実行することにより、各フローチャートを実行するものである。なお、ここでいう「コンピュータシステム」とは、ＯＳや周辺機器等のハードウェアを含むものであってもよい。また、「コンピュータシステム」は、ＷＷＷシステムを利用している場合であれば、ホームページ提供環境（あるいは表示環境）も含むものとする。また、「コンピュータ読み取り可能な記録媒体」とは、フレキシブルディスク、光磁気ディスク、ＲＯＭ、フラッシュメモリ等の書き込み可能な不揮発性メモリ、ＣＤ−ＲＯＭ等の可搬媒体、コンピュータシステムに内蔵されるハードディスク等の記憶装置のことをいう。
【００８５】
さらに「コンピュータ読み取り可能な記録媒体」とは、インターネット等のネットワークや電話回線等の通信回線を介してプログラムが送信された場合のサーバやクライアントとなるコンピュータシステム内部の揮発性メモリ（例えばＤＲＡＭ（Dynamic Random Access Memory））のように、一定時間プログラムを保持しているものも含むものとする。また、上記プログラムは、このプログラムを記憶装置等に格納したコンピュータシステムから、伝送媒体を介して、あるいは、伝送媒体中の伝送波により他のコンピュータシステムに伝送されてもよい。ここで、プログラムを伝送する「伝送媒体」は、インターネット等のネットワーク（通信網）や電話回線等の通信回線（通信線）のように情報を伝送する機能を有する媒体のことをいう。また、上記プログラムは、前述した機能の一部を実現するためのものであっても良い。さらに、前述した機能をコンピュータシステムにすでに記録されているプログラムとの組み合わせで実現できるもの、いわゆる差分ファイル（差分プログラム）であっても良い。
【図面の簡単な説明】
【００８６】
【図１】本第１実施形態による、構造格子のみを用いる高速アルゴリズムを説明するためのフローチャートである。
【図２】本第１実施形態による、第２節点リストの作成処理を説明するためのフローチャートである。
【図３】本第１実施形態による、第２節点リストへの登録処理を説明するためのフローチャートである。
【図４】本第１実施形態による、構造格子と評価点とを含むセルを中心とする放射状の層番号を示す概念図である。
【図５】４層までの節点のみを対象にして評価点との処理計算を行い、評価点に近い順の番号が付与された状態を示す概念図である。
【図６】本第２実施形態による、構造格子と円環構造を併用する第１の高速アルゴリズムを説明するためのフローチャートである。
【図７】本第２実施形態による、第３節点リストの作成処理を説明するためのフローチャートである。
【図８】本第２実施形態による、第３節点リストへの登録処理を説明するためのフローチャートである。
【図９】本第２実施形態による、円環構造を用いたソート対象節点の削減を説明するための概念図である。
【図１０】本第２実施形態による、円環番号と円環が含む節点とを管理する対応表（円環管理テーブル）の一例を示す概念図である。
【図１１】本第３実施形態による、構造格子と円環構造を併用する第２の高速アルゴリズムを説明するためのフローチャートである。
【図１２】目的の節点を含む十分な数の節点群として１０点を指定した例を示す概念図である。
【図１３】移動最小自乗法による影響領域を示す概念図である。
【図１４】三次元の節点リストと距離の昇順の一例を示す概念図である。
【図１５】評価点との距離の昇順に基づく節点リストのソートの一例を示す概念図である。
【図１６】二次元の線形基底を定める点群の検索例を示す概念図である。
【図１７】構造格子と評価点とを含むセルを中心とする放射状の層番号を示す概念図である。
【図１８】各セルのアドレスとセルが含む節点情報を管理する対応表（セル管理テーブル）を示す概念図である。
【図１９】構造格子を用いた検索の不具合を説明するための概念図である。
【符号の説明】
【００８７】
Ｓａ１  第１節点リストへの登録ステップ
Ｓａ２  構造格子の生成ステップ
Ｓａ３  セル管理テーブルの作成ステップ
Ｓａ５  第２節点リストの作成ステップ
Ｓａ６  第２節点リストのソートステップ
Ｓａ７  第２節点リストからの節点の取り出しステップ
Ｓａ９  ［Ｒｍｍ］の正則性検定ステップ
Ｓａ１０  基準半径の特定ステップ
Ｓｂ１  空の第２節点リストの準備ステップ
Ｓｂ２  第２節点リストへの登録ステップ
Ｓｂ３  （〜ｎ）＜（＾ｍ）の判定ステップ
Ｓｂ４  ［（〜Ｒｍｍ）］の正則性検定ステップ
Ｓｂ５  第２節点リストへの登録ステップ
Ｓｂ６  ［（〜Ｒｍｍ）］の正則性検定ステップ
Ｓｂ７  追加節点の第２節点リストへの登録ステップ
Ｓｃ３  第ｌ層の節点群の評価点との距離算出、第２節点リストへの登録ステップ
Ｓｄ１  第１節点リストへの登録ステップ
Ｓｄ２  構造格子の生成ステップ
Ｓｄ３  セル管理テーブルの作成ステップ
Ｓｄ５  第２節点リストの作成ステップ
Ｓｄ６  円環構造の生成ステップ
Ｓｄ７  円環管理テーブルの作成ステップ
Ｓｄ８  第３節点リストの作成ステップ
Ｓｄ９  第３節点リストのソートステップ
Ｓｄ１２  第３節点リストからの節点の取り出しステップ
Ｓｄ１３  ［Ｒｍｍ］の正則性検定ステップ
Ｓｄ１４  基準半径の特定ステップ
Ｓｅ１  空の第３節点リストの準備ステップ
Ｓｅ２  第３節点リストへの登録ステップ
Ｓｅ３  （〜ｎ）＜ｍの判定ステップ
Ｓｅ４  ［（〜Ｒｍｍ）］の正則性検定ステップ
Ｓｅ５  第３節点リストへの登録ステップ
Ｓｅ６  ［（〜Ｒｍｍ）］の正則性検定ステップ
Ｓｆ３  第ｋ環の節点群の取り出し、第３節点リストへの登録ステップ
Ｓｇ１  第１節点リストへの登録ステップ
Ｓｇ２  構造格子の生成ステップ
Ｓｇ３  セル管理テーブルの作成ステップ
Ｓｇ５〜Ｓｇ７  第２節点リストの作成・登録ステップ
Ｓｇ８  円環構造の生成ステップ
Ｓｇ９  円環管理テーブルの作成ステップ
Ｓｇ１０  第３節点リストの作成ステップ
Ｓｇ１１  第３節点リストのソートステップ
Ｓｇ１４  第３節点リストからの節点の取り出しステップ
Ｓｇ１５  ［Ｒｍｍ］の正則性検定ステップ
Ｓｇ１６  基準半径の特定ステップ
【図１】
2009037472.tif 000013
【図２】
2009037472.tif 000014
【図３】
2009037472.tif 000015
【図４】
2009037472.tif 000016
【図５】
2009037472.tif 000017
【図６】
2009037472.tif 000018
【図７】
2009037472.tif 000019
【図８】
2009037472.tif 000020
【図９】
2009037472.tif 000021
【図１０】
2009037472.tif 000022
【図１１】
2009037472.tif 000023
【図１２】
2009037472.tif 000024
【図１３】
2009037472.tif 000025
【図１４】
2009037472.tif 000026
【図１５】
2009037472.tif 000027
【図１６】
2009037472.tif 000028
【図１７】
2009037472.tif 000029
【図１８】
2009037472.tif 000030
【図１９】
2009037472.tif 000031