(57)【要約】【課題】本発明は、ポートフォリオのリスク評価の計算速度を大幅に向上させ、資産再構成の効率的運用を図って資産再構成の頻繁な実施を支援できるようにしたもの。【解決手段】本発明に係るリスク評価装置は、多様な資産のリスク量をポートフォリオ価値が所定の確率で低下してしまう価値の境界を表わすリスク指標で評価するものである。このリスク評価装置１０は、特に、リスク指標を決定論的数列を用いる準モンテカルロ法で評価するリスク評価手段１９あるいは演算処理手段１５を設け、そのリスク指標の出力結果を資産再構成選択手段１７にフィードバックするフィードバック手段２０を設け、資産再構成選択手段１７で資産の再構成を実施することを支援するようにしたものである。【選択図】  図３
2009134337.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
資産のリスク量をポートフォリオ価値が所定の確率で低下してしまう価値の境界を表わすリスク指標で評価するリスク評価装置において、
前記リスク指標を決定論的数列を用いる準モンテカルロ法で評価するリスク評価手段あるいは演算処理手段を設け、
前記リスク評価手段からのリスク指標の出力結果を資産再構成選択手段にフィードバックするフィードバック手段を設け、
前記資産再構成選択手段で資産の再構成を実施することを支援することを特徴とするリスク評価装置。
【請求項２】
前記準モンテカルロ法を適用するに当り、同時確率密度関数の値が相対的に大きい部分に重点的に乱数もしくは準乱数を発生させることを特徴とする請求項１記載のリスク評価装置。
【請求項３】
前記準モンテカルロ法の適用には、低食い違い数列の発生範囲を限定し、必要な領域のみをサンプリングすることによりリスク指標の評価をすることを特徴とする請求項１または２記載のリスク評価装置。
【請求項４】
前記準モンテカルロ法の適用には、低食い違い数列にＦａｕｒｅ列またはその変形を用いることを特徴とする請求項１または２記載のリスク評価装置。
【請求項５】
前記準モンテカルロ法を適用した高速化には、低食い違い数列にＳｏｂｏｌ列またはその変形を用いることを特徴とする請求項１または２記載のリスク評価装置。
【請求項６】
前記準モンテカルロ法を適用した高速化には、低食い違い数列にＨａｌｔｏｎ列またはその変形を用いることを特徴とする請求項１または２記載のリスク評価装置。
【請求項７】
前記準モンテカルロ法を適用した高速化には、低食い違い数列にＮｉｅｄｅｒｒｅｉｔｅｒ列またはその変形を用いることを特徴とする請求項１または２記載のリスク評価装置。
【請求項８】
資産のリスク量をポートフォリオ価値が所定の確率で低下してしまう価値の境界を表わすリスク指標で評価する場合において、準モンテカルロ法でリスク指標を評価し、
評価されたリスク指標の出力結果をフィードバックして資産の再構成を実施することを支援することを特徴とするリスク評価方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、種々の資産を組み合せたポートフォリオのリスク評価技術に係り、特に、準モンテカルロ法でバリューアットリスク（ＶａＲ）を評価し、資産再構成の効率的な運用、実施を支援するリスク評価装置およびその評価方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
種々の金融資産、例えば銀行預金、証券などを組み合せたポートフォリオにおいて、個々の資産の特性を生かしてどのようなポートフォリオで資産運用するのが最適であるかの問題がポートフォリオ問題であり、数理計画法、動的計画法によって最適なポートフォリオ政策が求められる。
【０００３】
［ポートフォリオ問題］
一般的なポートフォリオ問題では、資産の確率的変動に正規分布（ガウス分布）または対数正規分布を仮定することが多い。特に、ポートフォリオ問題で解析的表現をするには正規分布や対数正規分布に限定せざるをえない。
【０００４】
Ｎ個の資産を組み合わせたポートフォリオの価値Πは、
【数１】
2009134337.tif 000003
【０００５】
これらの資産Ｉが正規分布（ガウス分布）に従うとすると、ポートフォリオの価値の変動ΔΠは以下のようにして求められる。
【０００６】
まず、ポートフォリオの価値の変動ΔΠは、資産の変動ΔＦｉと派生商品（デリバティブズ）の価値の変動ΔＤｉｊとの間に次の関係式が成立する。
【数２】
2009134337.tif 000004
【０００７】
しかし、派生商品（デリバティブズ）の価値の変動ΔＤｉｊの評価に幾つかの問題が生じる。
【０００８】
派生商品とは資産価値Ｆｉで１対１に価値が決まる商品で、例えば先物、オプション、スワップ等がある。派生商品は、一般的に資産価値Ｆｉの１価関数である。このとき資産Ｉを派生商品の原資産という。
【０００９】
一般的な評価方法は、派生商品を一次のテーラー展開で近似してポートフォリオの価値の変動ΔΠを求める。
【数３】
2009134337.tif 000005
【００１０】
【数４】
2009134337.tif 000006
【００１１】
【数５】
2009134337.tif 000007
【００１２】
（５）式において、ｖｉｊは資産Ｉと資産ｊ間の共分散であり、正規分布ｐ（Π）は、
【数６】
2009134337.tif 000008
【００１３】
ポートフォリオの価値Πが正規分布に従うことから、ポートフォリオ価値Πが低下してしまう確率（リスク指標）、例えば５％の確率で低下してしまう価値の境界をＶａＲ（Ｖａｌｕｅ  ａｔ  Ｒｉｓｋ）と称し、リスク量の目安として用いられることが多い。
【数７】
2009134337.tif 000009
【００１４】
このように派生商品を資産価値Ｆｉの一次のテーラー展開で近似したモデルをデルタ近似と呼ぶ。
【００１５】
派生商品であるオプションは資産価値Ｆｉの関数で、資産価値の二次の導関数までが連続であると仮定して決められている。資産の変動ΔＦｉが小さい場合にはデルタ近似は有効であるが、資産の変動ΔＦｉが大きい場合には二次の項が無視できなくなりデルタ近似の誤差が大きくなる。
【００１６】
このときは、派生商品の価値を原資産の価値の二次のテーラー展開で近似する。すなわち、ポートフォリオの価値変動ΔΠは、
【数８】
2009134337.tif 000010
【００１７】
【数９】
2009134337.tif 000011
【００１８】
分散も単なる共分散のみの合成ではなく、より高度のモーメントが必要となり、複雑なものとなる。これをデルタ・ガンマ近似と呼ぶ。
【００１９】
デルタ・ガンマ近似の問題点は、式が複雑になることばかりではなく、ポートフォリオが従う確率密度が正規分布でなくなる可能性がある。例えば、派生商品がオプションの場合、ブラック・ショールズの式で評価したものであれば、デルタ・ガンマ近似でも確率密度は正規分布となるが、最近ではブラック・ショールズ式を拡張しているために厳密には正規分布には従わなくなっている。
【００２０】
そのために、（７）式で簡単にＶａＲを評価できなくなる。ポートフォリオの価値変動の期待値を（４）式とし、分散を（５）式とした正規分布を強引に仮定してＶａＲを求めることもできる。しかし厳密性に欠けることに変わりはない。
【００２１】
このような厳密な議論が求められる背景には、資産価値の一意性がある。これは無裁定価格原理とも言われ、同一物に異なる価値（価格）がつくことはありえない（一物一価）という前提である。
【００２２】
もしも、同一物に異なる価格がつけば、安価な価格で購入し高価な価格で売却することにより、安価な価格は買いのみなので上昇し、高価な価格は売りのみなので下落して、その間に均衡して１価になるという説明がされるが、実際は提示した価格が異なれば取引が成立しないことに問題がある。
【００２３】
ＶａＲは、総資産価値が下落する可能性を表すものであるが、これもポートフォリオの価値（価格）の表現とみなすことができる。
【００２４】
ＶａＲの評価には、資産価値の変動率（ボラティリティ）が重要であるが、これらを同一にしても、デルタ近似かデルタ・ガンマ近似かで答えは異なる。総資産価値が高ければＶａＲも必然的に大きくなり、相対的にはわずかな差でも、絶対値に換算すると大きな値になることも稀ではない。そのために、ＢＰＶ（Ｂａｓｉｓ  Ｐｏｉｎｔ  Ｖａｌｕｅ）として０．０１％が求められることもある。
【００２５】
［モンテカルロ法］
ＶａＲ問題は多次元積分の問題であり、数値積分の手法としてモンテカルロ法がある。モンテカルロ法は、確率統計におけるランダムサンプリング手法の応用であるが、その原理を簡単に述べる。
【００２６】
被積分関数ｆ（ｘ）のａ＜ｘ＜ｂの区間での積分Ｉは、
【数１０】
2009134337.tif 000012
【００２７】
非特許文献１に開示された、ａ＜ｘ＜ｂ区間での積分Ｉは、
【数１１】
2009134337.tif 000013
【００２８】
ここで、ｕ（ｘ）は、
【数１２】
2009134337.tif 000014
【００２９】
したがって、積分Ｉは、
【数１３】
2009134337.tif 000015
【００３０】
ここでは統計的ランダムサンプリングを用いているので、積分Ｉの精度も標準偏差σの形式で求めることができる。
【数１４】
2009134337.tif 000016
【００３１】
統計的ランダムサンプリングに基づいたモンテカルロ法は、標準偏差σが標本数Ｎの平方根に逆比例して小さくなることが特徴である。このことは、精度を１０倍向上させるためには計算時間が１００倍になり、要求精度が高くなると極端に計算時間を要することを意味し、モンテカルロ法固有の欠点として認識されている。
【００３２】
モンテカルロ法にはこのような欠点があるが、多次元積分では計算時間が次元に比例して増加するが、決定論的な手法は次数の３乗に計算時間が比例するために高多次元積分ではモンテカルロ法が唯一の解法となっている。
【００３３】
ＶａＲは典型的な高多次元積分問題であるために、厳密な評価にはモンテカルロ法以外の手法は考えられない。そのために、標準偏差（誤差）σが計算時間の平方根に反比例する問題は、深刻なものとして受け取られている。特に０．０１％の精度を求められると、１％の精度の１万倍の計算時間が必要となるため、モンテカルロ法での評価は非常に困難なものとなる。
【００３４】
モンテカルロ法での評価が困難であるという課題に応える手法として、準乱数（低食い違い数列）にもとづいてモンテカルロ法と類似した数値積分法、すなわち、準モンテカルロ法がある。（１０）式は確率統計の概念から数値積分であることを示すものである。しかし、（１０）式は通常の数値積分と同じとみなすこともできる。通常の数値積分では、定義域を細かく規則的に刻んでいく。その場合、ランダム性は必ずしも必要ではなく、できるだけ効率的に定義域を刻むことが重要である。通常の数値積分では定義域を一定方向に順次刻んでいくが、これが刻み数の３乗で計算時間を増やす原因となる。
【００３５】
乱数のように、定義域全体をフォローするように刻みを設定できると計算効率が大幅に改良されることはわかっている。その手法の一つに準乱数（低食い違い数列）を用いる準モンテカルロ法がある。
【００３６】
準モンテカルロ法は、計算精度が計算時間に反比例するために、従来の確率的サンプリングを用いたモンテカルロ法よりも計算時間が短いという長所がある。この特性は、１９９０年代ごろから特に金融の分野で注目されてきた。金融の分野では数千、数万の資産を組み合わせた多次元ポートフォリオ問題の観点から、モンテカルロ法と準モンテカルロ法の適用が検討されてきた。準乱数モンテカルロ法の適用については、特許文献１に開示されたものである。
【００３７】
しかし、特許文献１に記載された準乱数モンテカルロ法を通常の統計的サンプリング手法に基づくモンテカルロ法に適用するのは容易ではない。なぜなら、準乱数はランダムに発生するものではないので、確率モデルに適用するにはサンプリングに準乱数を用いても確率事象を再現できないからである。この問題は、金融工学の世界でも指摘されていて、例えば、非特許文献２ではランダムウォークを準乱数でシミュレートしたときの問題点をまとめている。
【００３８】
［準モンテカルロ法］
【数１５】
2009134337.tif 000017
【００３９】
準モンテカルロ法における決定論的数列は、正式には低食い違い数列（Ｌｏｗ−ｄｉｓｃｒｅｐａｎｃｙ  ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ）と呼ぶが、通常は準乱数と呼ばれている。これらの数列は完全に決定論的なものでランダム成分は全くない。低食い違い数列の利点は、その一様性にある。
【００４０】
よく知られている低食い違い数列には、Ｈａｌｔｏｎ列、Ｓｏｂｏｌ列、Ｆａｕｒｅ列がある。これらの中でＦａｕｒｅ列は、多次元積分に関して極めて優れている。
【００４１】
ｓ次元Ｆａｕｒｅ列の生成について説明する。γを２とＳのどちらか大きい方の整数以上で最小の素数とする。規定γに関する任意の整数ｎを以下の多項式で記述する。
【数１６】
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【００４２】
ｎ番目のＦａｕｒｅ数列について、第１次のＦａｕｒｅ数は
【数１７】
2009134337.tif 000019
【００４３】
【数１８】
2009134337.tif 000020
【００４４】
したがって、第ｋ次のＦａｕｒｅ数は、
【数１９】
2009134337.tif 000021
【００４５】
このようにして、ｎ番目のＳ個のＦａｕｒｅ数列を決めることができ、それを
【数２０】
2009134337.tif 000022
【００４６】
準乱数と擬似乱数の違いを図１の乱数散布図に示す。準乱数と擬似乱数は、２つの系列の数列ｘ１，…，ｘＮとｙ１，…，ｙＮとを発生し、（ｘ１，ｙ１）…（ｘＮ，ｙＮ）の点をプロットしたものである。図１（Ａ）の符号１は、擬似乱数で点列を生成した擬似乱数散布図で、図１（Ｂ）の符号２はＦａｕｒｅ擬似乱数で生成した準乱数散布図である。擬似乱数１はランダムに面を埋めていくが一様性に劣るために、ランダムに隙間ができていることがわかる。Ｆａｕｒｅ擬似乱数２では規則的に隙間ができ一様に面を埋めていくことがわかる。
【００４７】
モンテカルロ法によるπの計算は円の数値積分の例としてよく引用される。モンテカルロ法によるπの計算は、
【数２１】
2009134337.tif 000023
【００４８】
モンテカルロ法では実数ξｉに０から１の一様乱数を用いる。準モンテカルロ法では低食い違い数列（準乱数）を用いる。これらの結果を図２に示す。図２の符号３はモンテカルロ法によるπの評価値とπとの差の絶対値を、図２の符号４は準モンテカルロ法による評価値との絶対値を標本数についてプロットしたものである。符号３で示すモンテカルロ法では誤差が標本数の平方根に反比例するが、符号４で示す準モンテカルロ法では標本数に反比例することがわかる。
【特許文献１】特開２００１−１１７９７４号公報
【非特許文献１】津田孝夫編、“モンテカルロ法とシミュレーション”、第１１巻、培風館
【非特許文献２】田村勉“ランダム化した低食い違い量列に潜在する特性がデリバティブ評価に与える影響”、第２１回ＪＡＦＥＥ  夏季大会予稿集、２００４年８月４・５日
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００４９】
リスク評価装置では、多種類のリスク資産の情報を基に、ユーザが資産の構成を指定し、リスク指標（ＶａＲ）を数値積分にて求める。類似積分にはモンテカルロ法が用いられるが、計算が複雑で計算時間がかかる。このためＶａＲ出力結果をフィードバックして資産を頻繁に再構成することが困難である。
【００５０】
多種類の資産のリスク量評価にモンテカルロ法が多用される。多数の資産を組み合せたポートフォリオのリスク評価は典型的な多次元問題であり、モンテカルロ法が有効な計算手段である。
【００５１】
しかし、モンテカルロ法は計算精度が計算時間の平方根に反比例するため、計算精度を求めると、計算が複雑で多大な計算時間が必要となり、ポートフォリオのリスク評価には、複雑な作業と多大な計算時間が要求される。
【００５２】
また、ポートフォリオ問題のＶａＲ評価は、多次元積分問題であるが、この多次元積分問題では計算時間がかかるため、ＶａＲを迅速にリスク評価し、資産再構成の効率的運用、頻繁な実施を支援することが困難であった。
【００５３】
ポートフォリオ問題を解決する手段として、低食い違い数列を用いた準乱数モンテカルロ法が提案されている。この低食い違い数列を用いると、計算精度は、計算時間に反比例するので、計算時間の平方根に反比例する通常のモンテカルロ法より、計算時間は飛躍的に早くなる。しかし、多次元問題では、低食い違い数列の特徴、効果が発揮できにくいと認識されてきた。
【００５４】
本発明は、上述した事情を考慮してなされたもので、多次元問題でも決定論的数列を用いる準モンテカルロ法を用いて低食い違い数列の特徴を発揮し、資産のリスク評価の計算速度を向上させ、資産再構成の効率的な運用、頻繁な実施を支援可能なリスク評価装置およびその評価方法を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００５５】
本発明に係るリスク評価装置は、上述した課題を解決するために、資産のリスク量をポートフォリオ価値が所定の確率で低下してしまう価値の境界を表わすリスク指標で評価するリスク評価装置において、前記リスク指標を決定論的数列を用いる準モンテカルロ法で評価するリスク評価手段あるいは演算処理手段を設け、前記リスク評価手段からのリスク指標の出力結果を資産再構成選択手段にフィードバックするフィードバック手段を設け、前記資産再構成選択手段で資産の再構成を実施することを支援することを特徴とするものである。
【００５６】
また、本発明に係るリスク評価方法は、上述した課題を解決するために、資産のリスク量をポートフォリオ価値が所定の確率で低下してしまう価値の境界を表わすリスク指標で評価する場合において、準モンテカルロ法でリスク指標を評価し、評価されたリスク指標の出力結果をフィードバックして資産の再構成を実施することを支援することを特徴とする方法である。
【発明の効果】
【００５７】
本発明においては、多次元問題であるポートフォリオのリスク評価に、低食い違い数列の特徴を発揮させて、リスク評価の計算速度を大幅に向上させ、資産再構成の効率的運用を図り、資産再構成の頻繁な実施を支援したものである。
【発明を実施するための最良の形態】
【００５８】
以下、本発明に係るリスク評価装置およびその評価方法の実施の形態について添付図面を参照して説明する。
【００５９】
図３は、本発明に係るリスク評価装置の一実施形態を示す構成図である。
【００６０】
このリスク評価装置は、多様な資産を格納した資産データベース１２が備えられる。資産データベース１２は、パソコン等のコンピュータ（図示せず）内に格納される一方、各資産１１には、原資産１３およびこの資産から派生した派生商品（デリバティブ）１４が収納される。各資産１１を表わすデータは、記録媒体内に収納させてもよい。
【００６１】
リスク評価装置１０は、多種類のリスク資産１１の情報を基に演算処理手段１５で数値積分し、リスク指標（ＶａＲ：Ｖａｌｕｅ  ａｔ  Ｒｉｓｋ）を求める。リスク指標（ＶａＲ）は、ポートフォリオ価値が低下してしまう確率、例えば５％の確率で低下してしまう価値の境界を表わし、入力手段１６を操作してユーザが資産構成選択手段１７に入力して資産の構成を指定することにより、演算処理手段１５は指定された資産構成からリスク指標（ＶａＲ）を例えば（７）式によって数値積分で求める。リスク評価装置１０は、資産のリスク量を、ポートフォリオ価値が所定の確率で低下してしまう価値の境界を表わすリスク指標で評価している。
【００６２】
演算処理手段１５の数値積分処理で求められた積分値は、リスク評価手段１９に入力されてリスク評価され、リスク指標がＶａＲ出力として出力される。この数値積分には一般にはモンテカルロ法が用いられるが、計算時間がかかるため、ＶａＲの出力結果を資産の再構成にフィードバックすることが困難である。
【００６３】
しかし、このリスク評価装置１０では、演算処理手段１５の数値積分処理で得られたＶａＲを、前記演算処理手段１５あるいはリスク評価手段１９で決定論的数列を用いる準モンテカルロ法を用いて評価しているので、計算時間を大幅に短縮することができる。このため、ＶａＲの出力結果をフィードバック手段２０で資産構成選択手段１７にフィードバックし、資産の再構成を頻繁に実施し、資産再構成の効率的運用を図り、実施を支援することができる。
【００６４】
準モンテカルロ法を適用した高速演算処理は、同時確率密度関数の値が相対的に大きい部分に重点的に乱数もしくは準乱数を発生させ、インポータンスサンプリングを用いて高速化してもよい。
【００６５】
また、リスク評価手段１９あるいは演算処理手段１５にて、低食い違い数列（Ｌｏｗ−ｄｉｓｃｒｅｐａｎｃｙ  ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ：準乱数）の発生範囲を限定し、必要な領域のみをサンプリングしてＶａＲ評価を高速化してもよい。
【００６６】
さらに、演算処理手段１５あるいはリスク評価手段１９での準モンテカルロ法の適用には、低食い違い数列（準乱数）に前述したＦａｕｒｅ列またはその変形を用いても、また、準モンテカルロ法を適用した高速化には、低喰い違い数列にＳｏｂｏｌ列またはその変形を用いても、さらに、準モンテカルロ法を適用した高速化には、低喰い違い数列にＨａｌｔｏｎ列またはその変形を用いても、さらにまた、準モンテカルロ法を適用した高速化には、低喰い違い数列にＮｉｅｄｅｒｒｅｉｔｅｒ列またはその変形を用いても、計算時間をモンテカルロ法に較べ大幅に短縮することができ、その分、資産再構成の実施を頻繁にかつ効率よく行ない、支援することができる。
【００６７】
一方、ＶａＲ評価の従来手法において、ＶａＲは多次元数値積分であることを述べた。例えば、ポートフォリオの価値Πは正規分布に従うことから、ポートフォリオの価値Πが低下してしまう確率、例えば５％の確率で低下してしまう価値の境界（リスク指標：ＶａＲ）は、
【数２２】
2009134337.tif 000024
【００６８】
ここで話を単純化するために、ポートフォリオの派生商品はなく原資産のみとすると、ポートフォリオの価値Πは、
【数２３】
2009134337.tif 000025
【００６９】
また、原資産の数量が変わらないとすると、ｆｉ＝ａｉＦｉとおくことができ、
【数２４】
2009134337.tif 000026
【００７０】
このように、ポートフォリオ価値のリスク評価方法においては、資産のリスク量をポートフォリオ価値が所定の確率で低下してしまう価値の境界を表わすリスク指標で評価する場合において、準モンテカルロ法でリスク指標を評価し、評価されたリスク指標の出力結果をフィードバックして資産の再構成を実施することを支援することにある。
【００７１】
一方、ＶａＲの問題をわかり易く説明するため、２資産のポートフォリオ価値を検討する。ポートフォリオ価値Πは、２資産では図４（Ａ），（Ｂ）に示すように、
【数２５】
2009134337.tif 000027
【００７２】
Ｎ資産の場合には、ポートフォリオの価値がしたがう確率密度関数はｆｉの同時確率密度関数
【数２６】
2009134337.tif 000028
【００７３】
この同時確率密度関数は、共分散行列Ｖが定義できるものとすると、共分散行列Ｖの成分ｖｉｊは、
【数２７】
2009134337.tif 000029
【００７４】
共分散行列Ｖは正定値対称行列なので、直交行列Ｑと対角行列Λで
【数２８】
2009134337.tif 000030
【００７５】
【数２９】
2009134337.tif 000031
【００７６】
したがって、同時確率密度関数は、
【数３０】
2009134337.tif 000032
【００７７】
例えば、２資産のポートフォリオ問題で、共分散行列Ｖが
【数３１】
2009134337.tif 000033
【００７８】
この対角化は
【数３２】
2009134337.tif 000034
【００７９】
【数３３】
2009134337.tif 000035
【００８０】
したがって、
【数３４】
2009134337.tif 000036
【００８１】
これを２資産のポートフォリオの価値Πの場合で説明すると、図４（Ａ）を時計回りに４５度回転し、縦軸を２倍程度に拡大したことに相当する。したがって、複雑なポートフォリオ問題も相関のないＮ個の原資産で、それらの確率密度関数が皆等しい問題に帰着できる。
【００８２】
ここで、各資産の確率密度関数が正規分布であれば、同時確率密度関数も厳密に正規分布になり、各資産の確率密度関数が正規分でなくても原資産の数が大きければ中心極限定理から正規分布で近似できる。しかし、派生商品のような非線形性の強いものが加わると正規分布にはならない。
【００８３】
しかし、モンテカルロ法では確率密度関数を正規分布に限定する必要はないので、説明のためだけであれば確率密度関数を正規分布としても問題ではない。
【００８４】
正規分布の場合、ＶａＲの解析解を求めることができる。Ｎ個の資産の期待値も皆等しく、標準偏差も等しく、無相関であればポートフォリオの価値Πの確率密度ｐ（Π）は、
【数３５】
2009134337.tif 000037
【００８５】
ＶａＲは
【数３６】
2009134337.tif 000038
【００８６】
これは、２次元の場合には図５の符号２１で示す斜線（積分境界）の下全体を積分したことになる。ただし、資産価値は負になりえないので、実際は塗りつぶした部分（積分範囲）２２になるが、標準偏差σが小さく負の部分の確率が十分に小さければよい近似となる。
【００８７】
しかし、図５の塗りつぶした部分２２を積分することは解析的に求めることはできない。また差分法のような空間を細かく刻む方法も資産の数が増えると計算量のかかる問題となる。モンテカルロ法は、このような問題に対して有効となる。本発明では、準モンテカルロ法を前提にしているので、確率統計的サンプリングの概念を排除して、純粋に数値積分の概念で考える必要がある。
【００８８】
２資産問題の例で説明する。図５の塗りつぶした三角形の部分２２のみを積分するのが最も効率がよいことは明らかである。基本的には、図５中符号２３に示すような等間隔のメッシュ（積分メッシュ）を形成することが考えられる。
【００８９】
積分メッシュは、モンテカルロ法で０からｆｍａｘまでの一様乱数を形成することを意味する。準乱数では、準乱数列にｆｍａｘを乗算したものをそのまま用いることになる。０からｆｍａｘまでの一様乱数または準乱数を２点発生させ、１番目を横軸に、２番目を縦軸の座標とすると、図５中に点を描くことができる。この点での同時確率密度関数を求め足しあわせると同時確率密度関数の積分になるが、この場合、図５に示す塗りつぶした三角形の範囲２２外の点も含むので実際にはメッシュ２３で刻んだ正方形の領域の積分となる。この正方形領域の積分の場合には、正方形の塗りつぶしていない範囲２５の同時確率密度関数の値を０におけばよい。
【００９０】
この方法は、有効に見えるが効率は極めて悪い。何故なら、同時確率密度関数の値が低い部分も高い部分も均等に評価していく。積分に寄与する部分は、塗りつぶした三角形の斜線部分の領域２２である。これを実現するには、同時確率密度関数の値が相対的に大きい部分に重点的に乱数もしくは準乱数を発生させればよい。
【００９１】
これを簡便に実現するには、変数ｆ１とｆ２の両者について、それぞれの確率密度関数の値にしたがって、擬似乱数もしくは準乱数を発生させればよい。これは、正式にはインポータンスサンプリングと呼ばれる手法である。
【数３７】
2009134337.tif 000039
【００９２】
この場合、各資産の分布が正規分布とすると、０から１の一様乱数もしくは準乱数ξに対して、
【数３８】
2009134337.tif 000040
【００９３】
（４０）式を満足するηがそれに相当する。（４０）式の近似計算に関しては、種々のプログラムが公開されている。ここで、準乱数の場合棄却法のような確率事象を用いる方法は推奨できない。
【００９４】
最も効率的な方法は、同時確率密度関数をインポータンスとすることである。本例では正規分布を仮定しているので、同時確率密度関数も正規分布となるので、同時確率密度関数をインポータンスにすることは可能である。しかし、各資産の確率密度関数が正規分布でない場合には、同時確率密度関数が不明なので、同時確率密度関数をインポータンスに用いることはできない。ただし、資産の数が多い場合には、中心極限定理が成立することが多いので、各資産の共分散と期待値を多次元正規分布に代入したものをインポータンスとして用いることも有効である。
【００９５】
各資産の確率密度関数ｐ（ｆ）が正規分布でない場合にも
【数３９】
2009134337.tif 000041
【００９６】
従来のＶａＲの評価をモンテカルロ法もしくは準モンテカルロ法で実施する場合にも同等な操作を行っているが、資産価値を乱数で発生させる際に、−∞から＋∞の正規乱数を発生させることが多い。そのために、図５中の符号２６で示す点もサンプリングし、効率が悪い。
【００９７】
なぜなら、サンプリングした点の多くは図５中の塗りつぶした三角形の範囲２３外となるためである。このような非効率的なことをせざるをえない理由として、加算していく量を決めがたい点にある。−∞から＋∞の範囲であれば、その間をとる確率は１であるから、１を加算していけばよいが、本例では、０からｆｍａｘと発生させる範囲が限定されている。この場合にもインポータンスサンプリングの変形である重み付きモンテカルロ法で解決できる。この場合、１ではなく、
【数４０】
2009134337.tif 000042
【００９８】
以上のようにして、それぞれ平均値が１０、標準偏差が１の例えば１００の資産について、これらの合計（平均値が１０００、標準偏差が１０）が下側５％の範囲をモンテカルロ法と準モンテカルロ法で評価した結果を図６に示す。図６は横軸が発生させた擬似乱数および準乱数の発生点数で計算時間に相当する。縦軸が正解との標準偏差である。１００次元の問題でも準乱数の結果は発生点数（計算時間）に相対標準偏差が反比例することがわかる。この結果、準乱数を用いることで多資産のＶａＲも通常のモンテカルロ法よりも、例えば１００倍程度大幅に高速化でき、計算時間を短縮することができる可能性があることがわかる。
【図面の簡単な説明】
【００９９】
【図１】（Ａ）および（Ｂ）は準乱数と擬似乱数の違いを示す乱数分布図。
【図２】（Ａ）はモンテカルロ法による誤差（標本数の平方根に反比例）と、（Ｂ）は準モンテカルロ法による誤差（標本数に反比例）とをそれぞれ示す図。
【図３】本発明に係るリスク評価装置の一実施形態を示す構成図。
【図４】（Ａ）および（Ｂ）は、２資産および３資産のポートフォリオ価値のＶａＲ評価の説明図。
【図５】モンテカルロ法および準モンテカルロ法によるＶａＲ評価の模式図。
【図６】資産の合計が下側５％の範囲をモンテカルロ法と準モンテカルロ法で評価した結果を示す図。
【符号の説明】
【０１００】
１０  リスク評価装置
１１  資産
１２  原資産
１３  派生商品（デリバティブ）
１４  資産データベース
１５  演算処理回路
１６  入力手段
１７  資産構成選択手段
１９  ＶａＲ出力手段
２０  フィードバック手段
２１  積分境界
２２  積分範囲
２３  積分メッシュ
２６  過度なはずれ点
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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