(57)【要約】【課題】本発明は、標本化データ群から、隣接する標本点どうしの途中の任意の点の微係数を求めるデータ補間方法に関し、標本点以外の任意の点の微係数を高精度に求める。【解決手段】Ｊ次元の周期アナログ信号が標本化されることにより得られる標本化データ群を取得し、  取得した標本化データ群に基づいて、Ｊ次元空間内の任意の点のデータｆｐ（ｔ１，…，ｔＪ）の微係数を、式【数１】2009163320.tif 000184に従って求める。【選択図】        図１
2009163320.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
Ｊ次元（Ｊは１以上の正の整数）の周期アナログ信号が標本化されることにより得られる標本化データ群を取得し、
取得した標本化データ群に基づいて、Ｊ次元空間内の任意の点のデータｆｐ（ｔ１，…，ｔＪ）の微係数を、式
【数１】
2009163320.tif 000163
但し、
【数２】
2009163320.tif 000164
は、ゼロも許す整数、
（ｔ１，…，ｔＪ）はＪ次元空間内の任意の点
（ｔ1，0，…，ｔＪ，０）は、Ｊ次元空間内の任意の参照点
（Δｔ１，…，ΔｔＪ）は、標本間隔
（Ｎ１，…，ＮＪ）は、一周期（Ｔ１，…，ＴＪ）に渡る標本数
ｆｐ，ｎ１，…，ｎＪは、標本化データであって、
ｆｐ，ｎ１，…，ｎＪ＝ｆｐ（ｔ１，０＋ｎ１・Δｔ１，…，ｔＪ，０＋ｎＪ・ΔｔＪ）
である、および
ψ１（ｔ），…，ψＪ（ｔ）は内挿関数であって、
【数３】
2009163320.tif 000165
（ｊ＝１，…，Ｊ）
である、
に従って求めることを特徴とするデータ補間方法。
【請求項２】
Ｊ次元（Ｊは１以上の正の整数）の周期アナログ信号が標本化されることにより得られる標本化データ群を取得する取得部と、
取得した標本化データ群に基づいて、Ｊ次元空間内の任意の点のデータｆｐ（ｔ１，…，ｔＪ）の微係数を、式
【数４】
2009163320.tif 000166
但し、
【数５】
2009163320.tif 000167
は、ゼロも許す整数、
（ｔ１，…，ｔＪ）はＪ次元空間内の任意の点
（ｔ1，0，…，ｔＪ，０）は、Ｊ次元空間内の任意の参照点
（Δｔ１，…，ΔｔＪ）は、標本間隔
（Ｎ１，…，ＮＪ）は、一周期（Ｔ１，…，ＴＪ）に渡る標本数
ｆｐ，ｎ１，…，ｎＪは、標本化データであって、
ｆｐ，ｎ１，…，ｎＪ＝ｆｐ（ｔ１，０＋ｎ１・Δｔ１，…，ｔＪ，０＋ｎＪ・ΔｔＪ）
である、および
ψ１（ｔ），…，ψＪ（ｔ）は内挿関数であって、
【数６】
2009163320.tif 000168
（ｊ＝１，…，Ｊ）
である、
に従って求める演算部とを備えたことを特徴とするデータ補間装置。
【請求項３】
プログラムを実行する情報処理装置内で実行され、該情報処理装置を、Ｊ次元（Ｊは１以上の正の整数）の周期アナログ信号が標本化されることにより得られる標本化データ群を取得する取得部と、
取得した標本化データ群に基づいて、Ｊ次元空間内の任意の点のデータｆｐ（ｔ１，…，ｔＪ）の微係数を、式
【数７】
2009163320.tif 000169
但し、
【数８】
2009163320.tif 000170
は、ゼロも許す整数、
（ｔ１，…，ｔＪ）はＪ次元空間内の任意の点
（ｔ1，0，…，ｔＪ，０）は、Ｊ次元空間内の任意の参照点
（Δｔ１，…，ΔｔＪ）は、標本間隔
（Ｎ１，…，ＮＪ）は、一周期（Ｔ１，…，ＴＪ）に渡る標本数
ｆｐ，ｎ１，…，ｎＪは、標本化データであって、
ｆｐ，ｎ１，…，ｎＪ＝ｆｐ（ｔ１，０＋ｎ１・Δｔ１，…，ｔＪ，０＋ｎＪ・ΔｔＪ）
である、および
ψ１（ｔ），…，ψＪ（ｔ）は内挿関数であって、
【数９】
2009163320.tif 000171
（ｊ＝１，…，Ｊ）
である、
に従って求める演算部とを備えたデータ補間装置として動作させることを特徴とするデータ補間プログラム。
【請求項４】
Ｊ次元（Ｊは１以上の正の整数）の周期アナログ信号が標本化されＪ次元離散フーリエ変換が施されることにより得られるＪ次元離散スペクトルを取得し、
取得されたＪ次元離散スペクトルに基づいて、Ｊ次元周波数空間内の任意の点のスペクトル値
【数１０】
2009163320.tif 000172
の微係数を、式
【数１１】
2009163320.tif 000173
但し、
【数１２】
2009163320.tif 000174
は、ゼロも許す整数
（ω１，…，ωＪ）はＪ次元周波数空間内の任意の点
（ω１，０，…，ωＪ，０）はＪ次元周波数空間内の任意の参照点
（Δω１，…，ΔωＪ）は離散スペクトルの間隔
（Ｎ１，…，ＮＪ）は、一周期（ωＳ１，…，ωＳＪ）に渡る標本数
Ｆｐ，ｋ１，…，ｋＪは、離散スペクトルの値であって、
Ｆｐ，ｋ１，…，ｋＪ＝Ｆｐ（ω１，０＋ｋ１・Δω１，…，ωＪ，０＋ｋＪ・ΔωＪ）
である、および
Ψ１（ω），…，ΨＪ（ω）は内挿関数であって、
【数１３】
2009163320.tif 000175
（ｊ＝１，…，Ｊ）
である、
に従って求めることを特徴とするスペクトル内挿方法。
【請求項５】
Ｊ次元（Ｊは１以上の正の整数）の周期アナログ信号が標本化されＪ次元離散フーリエ変換が施されることにより得られるＪ次元離散スペクトルを取得する取得部と、
取得されたＪ次元離散スペクトルに基づいて、Ｊ次元周波数空間内の任意の点のスペクトル値
【数１４】
2009163320.tif 000176
の微係数を、式
【数１５】
2009163320.tif 000177
但し、
【数１６】
2009163320.tif 000178
は、ゼロも許す整数
（ω１，…，ωＪ）はＪ次元周波数空間内の任意の点
（ω１，０，…，ωＪ，０）はＪ次元周波数空間内の任意の参照点
（Δω１，…，ΔωＪ）は離散スペクトルの間隔
（Ｎ１，…，ＮＪ）は、一周期（ωＳ１，…，ωＳＪ）に渡る標本数
Ｆｐ，ｋ１，…，ｋＪは、離散スペクトルの値であって、
Ｆｐ，ｋ１，…，ｋＪ＝Ｆｐ（ω１，０＋ｋ１・Δω１，…，ωＪ，０＋ｋＪ・ΔωＪ）
である、および
Ψ１（ω），…，ΨＪ（ω）は内挿関数であって、
【数１７】
2009163320.tif 000179
（ｊ＝１，…，Ｊ）
である、
に従って求める演算部とを備えたことを特徴とするスペクトル内挿装置。
【請求項６】
プログラムを実行する情報処理装置内で実行され、該情報処理装置を、
Ｊ次元（Ｊは１以上の正の整数）の周期アナログ信号が標本化されＪ次元離散フーリエ変換が施されることにより得られるＪ次元離散スペクトルを取得する取得部と、
取得されたＪ次元離散スペクトルに基づいて、Ｊ次元周波数空間内の任意の点のスペクトル値
【数１８】
2009163320.tif 000180
の微係数を、式
【数１９】
2009163320.tif 000181
但し、
【数２０】
2009163320.tif 000182
は、ゼロも許す整数
（ω１，…，ωＪ）はＪ次元周波数空間内の任意の点
（ω１，０，…，ωＪ，０）はＪ次元周波数空間内の任意の参照点
（Δω１，…，ΔωＪ）は離散スペクトルの間隔
（Ｎ１，…，ＮＪ）は、一周期（ωＳ１，…，ωＳＪ）に渡る標本数
Ｆｐ，ｋ１，…，ｋＪは、離散スペクトルの値であって、
Ｆｐ，ｋ１，…，ｋＪ＝Ｆｐ（ω１，０＋ｋ１・Δω１，…，ωＪ，０＋ｋＪ・ΔωＪ）
である、および
Ψ１（ω），…，ΨＪ（ω）は内挿関数であって、
【数２１】
2009163320.tif 000183
（ｊ＝１，…，Ｊ）
である、
に従って求める演算部とを備えたスペクトル内挿装置として動作させることを特徴とするスペクトル内挿プログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、Ｊ次元の周期アナログ信号が標本化されることにより得られた標本化データ群から、隣接する標本点どうしの途中の任意の点の微係数を求めるデータ補間方法およびデータ補間装置、および、コンピュータ等の情報処理装置内で実行されてその情報処理装置をデータ補間装置として動作させるデータ補間プログラム、並びに、上記のＪ次元標本化データ群にＪ次元離散フーリエ変数を施すことにより得られたＪ次元離散スペクトルから、その離散スペクトルにはあらわれていない、隣接する離散点の間の任意の周波数のスペクトルの微係数を求めるスペクトル内挿方法およびスペクトル内挿装置、および、コンピュータ等の情報処理装置内で実行されてその情報処理装置をスペクトル内挿装置として動作させるスペクトル内挿プログラムに関する。
【背景技術】
【０００２】
従来より様々な分野で標本化データ群から標本点以外の点のデータを求めるデータ補間演算が行なわれている。
【０００３】
従来採用されているデータ補間法の１つにゼロ点追加法がある。このゼロ点追加法は、標本化データ列の隣接する標本点どうしの間に内挿したい数だけゼロ点（データ値ゼロを持つ標本点）を等間隔に追加し、このようにして標本点を何倍にも増やした上でディジタルの低域通過フィルタを通過させる、という手法である。このゼロ点追加法によれば、最初の標本化にあたってエイリアジングノイズを防止するためのフィルタリング処理をきちんと行なっている限りにおいて、ゼロ点として追加した標本点のデータを正確に再生することができる。
【０００４】
しかしながら、このゼロ点追加法では、もともとの標本点どうしの間にゼロ点を等間隔に追加する必要があり、追加点数で決まる固定点のデータは正確に再生できるものの、任意の時刻のデータを再生することは不可能である。
【０００５】
また、従来採用されているデータ補間法のうちの他の方法として、染谷＆シャノン（Ｓｈａｎｎｏｎ）の標本化定理を利用する方法がある。詳細は省略するが、この標本化定理を採用すると、やはり最初の標本化にあたってエイリアジングノイズ防止のためのフィタリング処理がきちんと行なわれてさえいれば、数学的には、任意の時刻ｔのデータを再生することができる。
【０００６】
しかしながら、この標本化定理は、無限個の標本点を必要とする。しかしながら現実的には、有限個の標本点のデータで演算を行なう必要を生じ、その分ある程度大きな誤差を含む結果しか求めることができないという問題がある。
【０００７】
これに対し、本出願人は、特許文献１で、有限個の標本化データに基づいて、任意の点のデータを高精度に（数学的には厳密に）求めるデータ補間法を提案している。
【０００８】
しかしながら、この特許文献１で提案されたデータ補間法は一次元データにのみに適用可能なものであって、例えば二次元画像データ等の複数次元のデータには適用することはできない。
【０００９】
また、従来より様々な分野で例えば時間的に変化する波形のスペクトル解析が多用されており、このスペクトル解析にはＦＦＴの演算手法が用いられており、このＦＦＴでは、時間波形を周期関数と見なして所定の時間間隔でサンプリングし、一周期分のＮ個の離散的なサンプリング点の値を得て、それらのサンプリング点の値を基に演算してＮ個の離散的な周波数のスペクトル成分が求められる。
【００１０】
しかしながら、上記のＦＦＴの手法では、求めることができるのは離散的な周波数のスペクトル成分であるため、離散点どうしの間の周波数のスペクトル値は分からず、詳細なスペクトル解析を行なうには限界がある。サンプリング点の数（上記のＮ）を増やすことも考えられるが、その場合、ＦＦＴの計算量が厖大となり現実的ではなく、しかもサンプリング点の数を増やしても離散的であることには変わりなく、任意の周波数のスペクトル値を求めることはできない。
【００１１】
これに対し、本出願人は、特願２００６−１５００５７で、離散スペクトルから任意の周波数のスペクトル値を極めて高精度に内挿することのできるスペクトル内挿法を提案している。
【００１２】
しかしながら、このスペクトル内挿法は、一次元スペクトルにのみに適用可能のものであって、例えば二次元画像データに二次元ＦＦＴ演算を施して得た二次元スペクトル等の複数次元のスペクトルには適用することはできない。
【００１３】
さらに、本出願人は、特願２００７−１４９９７１で、複数次元にも適用可能なデータ補間法およびスペクトル内挿法を提案している。
【００１４】
しかしながら、例えば特願２００７−１４９９７１で提案しているデータ補間法あるいはスペクトル内挿法により、任意の点のデータや任意の点のスペクトルを求めたとしても、その点の、微係数についてはどのようにして厳密に求めるかが問題となる。通常であれば、その点を含む周囲の複数の点のデータを求めておいて差分を求めることにより近似的な微係数を求めることになるが、この手法は、あくまでも微係数の近似値を求めることにしかならない。
【００１５】
尚、以下の説明のために非特許文献１〜５を挙げておく。
【特許文献１】特開２００２−２７８９４８号公報
【非特許文献１】牧野康一，横田考俊，山本貢平，岡田恭明、吉久光一，“相互相関法を利用した自動車走行騒音の指向性の測定，”日本音響学会講演論文集，ｐｐ．８２７−８２８，２００７年３月．
【非特許文献２】難波  仁，棟安実治，“ＰＯＣを用いた移動物体追跡法の一手法，”信学技報，  ＥＡ２００７−１５，ｐｐ．４９−５４，２００７年５月．
【非特許文献３】越山朋洋，西川清史，貴家仁志，“位相限定相関法に基づくオーディオ信号のサンプリングレート変換比の推定法，”信学技報，  ＥＡ２００７−１６，ｐｐ．５５−６０，２００７年５月．
【非特許文献４】Ｌ．  Ｅ．  フランクス（猪瀬  博、加藤誠巳、安田浩  訳），信号理論，産業図書，１９７４，東京．（Ｌ．  Ｅ．  Ｆｒａｎｋｓ，  “Ｓｉｇｎａｌ  Ｔｈｅｏｒｙ，”  Ｐｒｅｎｔｉｃｅ−Ｈａｌｌ  Ｉｎｃ．  Ｅｎｇｌｅｗｏｏｄ  Ｃｌｉｆｆｓ，  １９６９，  Ｎ．Ｊ．）
【非特許文献５】Ａ．  Ｐａｐｏｕｌｉｓ，  “Ｔｈｅ  Ｆｏｕｒｉｅｒ  ｉｎｔｅｇｒａｌ  ａｎｄ  ｉｔｓ  ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，”  （  ＭｃＧｒａｗ−Ｈｉｌｌ，  Ｉｎｃ．，  Ｎｅｗ  Ｙｏｒｋ，  １９６２（Ｒｅｉｓｓｕｅｄ  １９８７）），  ｐ．１３４．
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１６】
本発明は、上記事情に鑑み、Ｊ次元（Ｊは１以上の正の整数）の有限個の標本化データからなる標本化データ群に基づいて、標本点以外の任意の点の微係数を高精度に求めることができるデータ補間方法およびデータ補間装置、および、コンピュータ等の情報処理装置内で実行されてその情報処理装置をそのような、標本点以外の任意の点の微係数を高精度に求めることができるデータ補間装置として動作させるデータ補間プログラム、並びに、Ｊ次元（Ｊは１以上の正の整数）の有限個の離散スペクトルから任意の周波数のスペクトルの微係数を極めて高精度に内挿することのできるスペクトル内挿方法およびスペクトル内挿装置、および、コンピュータ等の情報処理装置内で実行されてその情報処理装置をそのような任意の周波数のスペクトルの微係数を極めて高精度に内挿することのできるスペクトル内挿装置として動作させるスペクトル内挿プログラムを提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００１７】
上記目的を達成する本発明のデータ補間方法は、
Ｊ次元（Ｊは１以上の正の整数）の周期アナログ信号が標本化されることにより得られる標本化データ群を取得し、
取得した標本化データ群に基づいて、Ｊ次元空間内の任意の点のデータｆｐ（ｔ１，…，ｔＪ）の微係数を、式
【００１８】
【数１】
2009163320.tif 000003
【００１９】
但し、
【００２０】
【数２】
2009163320.tif 000004
【００２１】
は、ゼロも許す整数、
（ｔ１，…，ｔＪ）はＪ次元空間内の任意の点
（ｔ1，0，…，ｔＪ，０）は、Ｊ次元空間内の任意の参照点
（Δｔ１，…，ΔｔＪ）は、標本間隔
（Ｎ１，…，ＮＪ）は、一周期（Ｔ１，…，ＴＪ）に渡る標本数
ｆｐ，ｎ１，…，ｎＪは、標本化データであって、
ｆｐ，ｎ１，…，ｎＪ＝ｆｐ（ｔ１，０＋ｎ１・Δｔ１，…，ｔＪ，０＋ｎＪ・ΔｔＪ）
である、および
ψ１（ｔ），…，ψＪ（ｔ）は内挿関数であって、
【００２２】
【数３】
2009163320.tif 000005
【００２３】
（ｊ＝１，…，Ｊ）
である、
に従って求めることを特徴とする。
【００２４】
本発明のデータ補間方法によれば、上記の式の導出は後述するが、その式に従って任意の点の微係数を、少なくとも原理的には誤差なしで極めて高精度に求めることができる。
【００２５】
また、上記目的を達成する本発明のデータ補間装置は、
Ｊ次元（Ｊは１以上の正の整数）の周期アナログ信号が標本化されることにより得られる標本化データ群を取得する取得部と、
取得した標本化データ群に基づいて、Ｊ次元空間内の任意の点のデータｆｐ（ｔ１，…，ｔＪ）の微係数を、式
【００２６】
【数４】
2009163320.tif 000006
【００２７】
但し、
【００２８】
【数５】
2009163320.tif 000007
【００２９】
は、ゼロも許す整数、
（ｔ１，…，ｔＪ）はＪ次元空間内の任意の点
（ｔ1，0，…，ｔＪ，０）は、Ｊ次元空間内の任意の参照点
（Δｔ１，…，ΔｔＪ）は、標本間隔
（Ｎ１，…，ＮＪ）は、一周期（Ｔ１，…，ＴＪ）に渡る標本数
ｆｐ，ｎ１，…，ｎＪは、標本化データであって、
ｆｐ，ｎ１，…，ｎＪ＝ｆｐ（ｔ１，０＋ｎ１・Δｔ１，…，ｔＪ，０＋ｎＪ・ΔｔＪ）
である、および
ψ１（ｔ），…，ψＪ（ｔ）は内挿関数であって、
【００３０】
【数６】
2009163320.tif 000008
【００３１】
（ｊ＝１，…，Ｊ）
である、
に従って求める演算部とを備えたことを特徴とする。
【００３２】
さらに、上記目的を達成する本発明のデータ補間プログラムは、
プログラムを実行する情報処理装置内で実行され、該情報処理装置を、Ｊ次元（Ｊは１以上の正の整数）の周期アナログ信号が標本化されることにより得られる標本化データ群を取得する取得部と、
取得した標本化データ群に基づいて、Ｊ次元空間内の任意の点のデータｆｐ（ｔ１，…，ｔＪ）の微係数を、式
【００３３】
【数７】
2009163320.tif 000009
【００３４】
但し、
【００３５】
【数８】
2009163320.tif 000010
【００３６】
は、ゼロも許す整数、
（ｔ１，…，ｔＪ）はＪ次元空間内の任意の点
（ｔ1，0，…，ｔＪ，０）は、Ｊ次元空間内の任意の参照点
（Δｔ１，…，ΔｔＪ）は、標本間隔
（Ｎ１，…，ＮＪ）は、一周期（Ｔ１，…，ＴＪ）に渡る標本数
ｆｐ，ｎ１，…，ｎＪは、標本化データであって、
ｆｐ，ｎ１，…，ｎＪ＝ｆｐ（ｔ１，０＋ｎ１・Δｔ１，…，ｔＪ，０＋ｎＪ・ΔｔＪ）
である、および
ψ１（ｔ），…，ψＪ（ｔ）は内挿関数であって、
【００３７】
【数９】
2009163320.tif 000011
【００３８】
（ｊ＝１，…，Ｊ）
である、
に従って求める演算部とを備えたデータ補間装置として動作させることを特徴とする。
【００３９】
また、上記目的を達成する本発明のスペクトル内挿方法は、
Ｊ次元（Ｊは１以上の正の整数）の周期アナログ信号が標本化されＪ次元離散フーリエ変換が施されることにより得られるＪ次元離散スペクトルを取得し、
取得されたＪ次元離散スペクトルに基づいて、Ｊ次元周波数空間内の任意の点のスペクトル値
【００４０】
【数１０】
2009163320.tif 000012
【００４１】
の微係数を、式
【００４２】
【数１１】
2009163320.tif 000013
【００４３】
但し、
【００４４】
【数１２】
2009163320.tif 000014
【００４５】
は、ゼロも許す整数
（ω１，…，ωＪ）はＪ次元周波数空間内の任意の点
（ω１，０，…，ωＪ，０）はＪ次元周波数空間内の任意の参照点
（Δω１，…，ΔωＪ）は離散スペクトルの間隔
（Ｎ１，…，ＮＪ）は、一周期（ωＳ１，…，ωＳＪ）に渡る標本数
Ｆｐ，ｋ１，…，ｋＪは、離散スペクトルの値であって、
Ｆｐ，ｋ１，…，ｋＪ＝Ｆｐ（ω１，０＋ｋ１・Δω１，…，ωＪ，０＋ｋＪ・ΔωＪ）
である、および
Ψ１（ω），…，ΨＪ（ω）は内挿関数であって、
【００４６】
【数１３】
2009163320.tif 000015
【００４７】
（ｊ＝１，…，Ｊ）
である、
に従って求めることを特徴とする。
【００４８】
本発明のスペクトル内挿方法によれば、上記の式の導出は後述するが、その式に従ってＪ次元周波数空間内の任意の点のスペクトルの微係数を、少なくとも原理的には誤差なしで、極めて高精度に求めることができる。
【００４９】
また、上記目的を達成する本発明のスペクトル内挿装置は、
Ｊ次元（Ｊは１以上の正の整数）の周期アナログ信号が標本化されＪ次元離散フーリエ変換が施されることにより得られるＪ次元離散スペクトルを取得する取得部と、
取得されたＪ次元離散スペクトルに基づいて、Ｊ次元周波数空間内の任意の点のスペクトル値
【００５０】
【数１４】
2009163320.tif 000016
【００５１】
の微係数を、式
【００５２】
【数１５】
2009163320.tif 000017
【００５３】
但し、
【００５４】
【数１６】
2009163320.tif 000018
【００５５】
は、ゼロも許す整数
（ω１，…，ωＪ）はＪ次元周波数空間内の任意の点
（ω１，０，…，ωＪ，０）はＪ次元周波数空間内の任意の参照点
（Δω１，…，ΔωＪ）は離散スペクトルの間隔
（Ｎ１，…，ＮＪ）は、一周期（ωＳ１，…，ωＳＪ）に渡る標本数
Ｆｐ，ｋ１，…，ｋＪは、離散スペクトルの値であって、
Ｆｐ，ｋ１，…，ｋＪ＝Ｆｐ（ω１，０＋ｋ１・Δω１，…，ωＪ，０＋ｋＪ・ΔωＪ）
である、および
Ψ１（ω），…，ΨＪ（ω）は内挿関数であって、
【００５６】
【数１７】
2009163320.tif 000019
【００５７】
（ｊ＝１，…，Ｊ）
である、
に従って求める演算部とを備えたことを特徴とする。
【００５８】
さらに、上記目的を達成する本発明のスペクトル内挿プログラムは、
プログラムを実行する情報処理装置内で実行され、該情報処理装置を、
Ｊ次元（Ｊは１以上の正の整数）の周期アナログ信号が標本化されＪ次元離散フーリエ変換が施されることにより得られるＪ次元離散スペクトルを取得する取得部と、
取得されたＪ次元離散スペクトルに基づいて、Ｊ次元周波数空間内の任意の点のスペクトル値
【００５９】
【数１８】
2009163320.tif 000020
【００６０】
の微係数を、式
【００６１】
【数１９】
2009163320.tif 000021
【００６２】
但し、
【００６３】
【数２０】
2009163320.tif 000022
【００６４】
は、ゼロも許す整数
（ω１，…，ωＪ）はＪ次元周波数空間内の任意の点
（ω１，０，…，ωＪ，０）はＪ次元周波数空間内の任意の参照点
（Δω１，…，ΔωＪ）は離散スペクトルの間隔
（Ｎ１，…，ＮＪ）は、一周期（ωＳ１，…，ωＳＪ）に渡る標本数
Ｆｐ，ｋ１，…，ｋＪは、離散スペクトルの値であって、
Ｆｐ，ｋ１，…，ｋＪ＝Ｆｐ（ω１，０＋ｋ１・Δω１，…，ωＪ，０＋ｋＪ・ΔωＪ）
である、および
Ψ１（ω），…，ΨＪ（ω）は内挿関数であって、
【００６５】
【数２１】
2009163320.tif 000023
【００６６】
（ｊ＝１，…，Ｊ）
である、
に従って求める演算部とを備えたスペクトル内挿装置として動作させることを特徴とする。
【発明の効果】
【００６７】
以上の本発明によれば、有限個の離散データからＪ次元空間内の任意の点の微係数を極めて高精度に求めることができ、また、有限個の離散スペクトルからＪ次元周波数空間内の任意の点のスペクトルの微係数を極めて高精度に求めることができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００６８】
以下では、先ず本発明の理論的な背景について説明する。
１．はじめに
ここでは、１次元信号に対し証明された周期信号に対するサンプリング定理を、多次元の周期関数に対するサンプリング定理として拡張し、その副産物として、標本点を用いた周期信号の内挿公式を導出する。更に、この結果から、多次元の周期関数に対する導関数を算出する公式を導出する。
２．１次元の時間域での周期信号に対するサンプリング定理のまとめ（特許文献１参照）
今、周期
【００６９】
【数２２】
2009163320.tif 000024
【００７０】
の周期アナログ信号を
【００７１】
【数２３】
2009163320.tif 000025
【００７２】
とする。すなわち、
【００７３】
【数２４】
2009163320.tif 000026
【００７４】
とする。
【００７５】
【数２５】
2009163320.tif 000027
【００７６】
は周期信号だから、フーリエ級数展開が可能であり、次のように表される。
【００７７】
【数２６】
2009163320.tif 000028
【００７８】
特に、信号が帯域制限されていて、
【００７９】
【数２７】
2009163320.tif 000029
【００８０】
であったとする。この時には、
【００８１】
【数２８】
2009163320.tif 000030
【００８２】
なる内挿公式が成り立つ。ただし、内挿関数は、
【００８３】
【数２９】
2009163320.tif 000031
【００８４】
で与えられる。
（註２．１）（２．３）の条件は、（２．２）から、
【００８５】
【数３０】
2009163320.tif 000032
【００８６】
の範囲のスペクトル成分がゼロということ、あるいは、スペクトル成分がゼロでないのは、
【００８７】
【数３１】
2009163320.tif 000033
【００８８】
なる区間内に限られるということを意味することが容易に示される。ただし、
【００８９】
【数３２】
2009163320.tif 000034
【００９０】
をサンプリング時間間隔とし、
【００９１】
【数３３】
2009163320.tif 000035
【００９２】
とした。
３．１次元の周波数域での周期信号に対するサンプリング定理のまとめ（付記Ａ  参照）
今、周期
【００９３】
【数３４】
2009163320.tif 000036
【００９４】
の周期スペクトル関数を
【００９５】
【数３５】
2009163320.tif 000037
【００９６】
とする。すなわち、
【００９７】
【数３６】
2009163320.tif 000038
【００９８】
とする。
【００９９】
【数３７】
2009163320.tif 000039
【０１００】
は周期信号だから、フーリエ級数展開が可能であり、次のように表される。
【０１０１】
【数３８】
2009163320.tif 000040
【０１０２】
今、信号が時間域で局在していて、
【０１０３】
【数３９】
2009163320.tif 000041
【０１０４】
であったとする。この時には、
【０１０５】
【数４０】
2009163320.tif 000042
【０１０６】
なる内挿公式が成り立つ。ただし、
【０１０７】
【数４１】
2009163320.tif 000043
【０１０８】
あるいは、
【０１０９】
【数４２】
2009163320.tif 000044
【０１１０】
である。
（註３．１）
【０１１１】
【数４３】
2009163320.tif 000045
【０１１２】
という条件は、（３．２）より、時間域で言えば、
【０１１３】
【数４４】
2009163320.tif 000046
【０１１４】
なる範囲の時間域成分がゼロと見做し得ること、あるいは、時間域成分がゼロでないのは、
【０１１５】
【数４５】
2009163320.tif 000047
【０１１６】
なる区間内に限られるということを意味している。ただし、
【０１１７】
【数４６】
2009163320.tif 000048
【０１１８】
をサンプリング角周波数間隔とし、
【０１１９】
【数４７】
2009163320.tif 000049
【０１２０】
とした。
４．多次元周期関数に対するサンプリング定理と内挿公式（その１）
今、周期
【０１２１】
【数４８】
2009163320.tif 000050
【０１２２】
の周期アナログ信号を
【０１２３】
【数４９】
2009163320.tif 000051
【０１２４】
とする。すなわち、
【０１２５】
【数５０】
2009163320.tif 000052
【０１２６】
が成り立つものとする。この２次元信号は帯域制限されているものとすると、第２節の結果を利用すれば、
【０１２７】
【数５１】
2009163320.tif 000053
【０１２８】
を得る。以上のことを、更に、一般化すると次のようになる。
【０１２９】
今、周期
【０１３０】
【数５２】
2009163320.tif 000054
【０１３１】
の周期アナログ信号を
【０１３２】
【数５３】
2009163320.tif 000055
【０１３３】
とする。すなわち、
【０１３４】
【数５４】
2009163320.tif 000056
【０１３５】
が成り立つものとする。このＪ次元信号は、帯域制限されているものとすると、第２節の結果を利用すれば、
【０１３６】
【数５５】
2009163320.tif 000057
【０１３７】
を得る。
（註４．１）帯域制限条件は、１次元の場合の多次元への拡張として、
【０１３８】
【数５６】
2009163320.tif 000058
【０１３９】
の範囲のスペクトル成分がゼロということ、あるいは、スペクトル成分がゼロでないのは、
【０１４０】
【数５７】
2009163320.tif 000059
【０１４１】
なる区間内に限られることを意味することが容易に示される。ただし、
【０１４２】
【数５８】
2009163320.tif 000060
【０１４３】
をサンプリング時間間隔とし、
【０１４４】
【数５９】
2009163320.tif 000061
【０１４５】
とした。
５．多次元周期関数に対するサンプリング定理と内挿公式（その２）
今、周期
【０１４６】
【数６０】
2009163320.tif 000062
【０１４７】
の周期アナログ信号を
【０１４８】
【数６１】
2009163320.tif 000063
【０１４９】
とする。すなわち、
【０１５０】
【数６２】
2009163320.tif 000064
【０１５１】
が成り立つものとする。この２次元信号は、時間域で局在しているものとすると、第３節の結果を利用すれば、
【０１５２】
【数６３】
2009163320.tif 000065
【０１５３】
を得る。以上のことを、更に、一般化すると次のようになる。
【０１５４】
今、周期
【０１５５】
【数６４】
2009163320.tif 000066
【０１５６】
の周期アナログ信号を
【０１５７】
【数６５】
2009163320.tif 000067
【０１５８】
とする。すなわち、
【０１５９】
【数６６】
2009163320.tif 000068
【０１６０】
が成り立つものとする。このＪ次元信号は、時間域で局在しているものとすると、第３節の結果を利用すれば、
【０１６１】
【数６７】
2009163320.tif 000069
【０１６２】
を得る。
（註５．１）時間域局在という条件は、１次元の場合の多次元への拡張として、
【０１６３】
【数６８】
2009163320.tif 000070
【０１６４】
なる範囲の時間域成分がゼロと見做し得ること、あるいは、時間域成分がゼロでないのは、
【０１６５】
【数６９】
2009163320.tif 000071
【０１６６】
なる区間内に限られることを意味している。ただし、
【０１６７】
【数７０】
2009163320.tif 000072
【０１６８】
をサンプリング角周波数間隔とし、
【０１６９】
【数７１】
2009163320.tif 000073
【０１７０】
とした。
６．多次元周期関数の導関数に対するサンプリング定理と内挿公式（その１）
前出の内挿公式に於いて、内挿関数は微分可能な関数であるので、内挿公式の両辺を微分することにより、導関数に対する内挿公式が得られる。まず、（４．４）を微分することにより、
【０１７１】
【数７２】
2009163320.tif 000074
【０１７２】
を得る。ただし、
【０１７３】
【数７３】
2009163320.tif 000075
【０１７４】
は、ゼロも許す整数である。特に、一つの変数に関する１次の導関数を与えておく。
【０１７５】
【数７４】
2009163320.tif 000076
【０１７６】
【数７５】
2009163320.tif 000077
【０１７７】
【数７６】
2009163320.tif 000078
【０１７８】
での極限値を求めるために、分母、分子を２回微分し、
【０１７９】
【数７７】
2009163320.tif 000079
【０１８０】
の極限を取ると次式を得る。
【０１８１】
【数７８】
2009163320.tif 000080
【０１８２】
【数７９】
2009163320.tif 000081
【０１８３】
【数８０】
2009163320.tif 000082
【０１８４】
【数８１】
2009163320.tif 000083
【０１８５】
での極限値を求めるために、分母、分子を２回微分し、
【０１８６】
【数８２】
2009163320.tif 000084
【０１８７】
の極限を取ると次式を得る。
【０１８８】
【数８３】
2009163320.tif 000085
【０１８９】
更に、高次の微分も原理的には計算可能だが、
【０１９０】
【数８４】
2009163320.tif 000086
【０１９１】
での極限値を求めることが困難なので、一階微分に相当する標本値を求め、それに一階微分の内挿公式を適用するという方法でもよいであろう。
【０１９２】
すなわち、高次導関数も同様に求められるが、
【０１９３】
【数８５】
2009163320.tif 000087
【０１９４】
での極限操作は更に面倒になる。そこで、標本点のみで、一つ手前の階数の導関数を求め、それを基に、一階微分を行うという操作を繰り返すというのも、一つの方法であろう。あるいは、
【０１９５】
【数８６】
2009163320.tif 000088
【０１９６】
が２の冪乗であるならば、ＦＦＴなどを利用して、標本点のみでの当該階数の導関数値を求め、それを基に、単純内挿を行うというのも、一つの方法であろう。
７．多次元周期関数の導関数に対するサンプリング定理と内挿公式（その２）
前出の内挿公式に於いて、内挿関数は微分可能な関数であるので、内挿公式の両辺を微分することにより、導関数に対する内挿公式が得られる。まず、（５．４）を微分することにより、
【０１９７】
【数８７】
2009163320.tif 000089
【０１９８】
を得る。ただし、
【０１９９】
【数８８】
2009163320.tif 000090
【０２００】
は、ゼロも許す整数である。
【０２０１】
以下では、特に、一つの変数に関する１次の導関数を与えておく。１次の導関数は、
【０２０２】
【数８９】
2009163320.tif 000091
【０２０３】
あるいは、
【０２０４】
【数９０】
2009163320.tif 000092
【０２０５】
で与えられる。
【０２０６】
この場合も、
【０２０７】
【数９１】
2009163320.tif 000093
【０２０８】
での極限値を求めておく。その際、（７．４）の第２項の関数形が、（６．８）で考えたものと同じであること、従って、（７．４）の第２項は
【０２０９】
【数９２】
2009163320.tif 000094
【０２１０】
になることに注意する。この時、（７．４）から、
【０２１１】
【数９３】
2009163320.tif 000095
【０２１２】
を得る。
【０２１３】
前述のデータ補間法の場合と同様、高次導関数も同様に求められるが、
【０２１４】
【数９４】
2009163320.tif 000096
【０２１５】
での極限操作は更に面倒になる。そこで、標本点のみで、一つ手前の階数の導関数を求め、それを基に、一階微分を行うという操作を繰り返すというのも、一つの方法であろう。あるいは、
【０２１６】
【数９５】
2009163320.tif 000097
【０２１７】
が２の冪乗であるならば、ＦＦＴなどを利用して、標本点のみでの当該階数の導関数値を求め、それを基に、単純内挿を行うというのも、一つの方法であろう。
（Ｊ次元周期関数の導関数に対するサンプリング定理と内挿公式の応用例について）
８．はじめに
ここでは、別紙に於いて導出した、多次元周期関数の導関数に対するサンプリング定理と内挿公式の応用について、幾つかの例を挙げておく。
９．直接的な応用例
最も単純な応用例としては、例えば、変位信号に対する標本点が与えられた時に、速度、加速度の値を、標本点以外にも、内挿を含めた形で推定することが挙げられる。
【０２１８】
図１は、シミュレーションにより、変位信号に対する標本点から確定した速度および加速度の値を示したグラフである。
【０２１９】
○印は、横軸の０，１，…５，６，７，…１０の各離散点における変位信号、グラフａは、０〜５の５つの離散点の変位信号から求めた速度の変化カーブを表わしたグラフ、グラフｂは、６〜１０の５つの離散点の変位信号から求めた加速度の変化カーブを表わしたグラフである。
【０２２０】
グラフａ，ｂは変位信号の標本点のみでなく、標本点以外の任意の点における速度、加速度を正確に表わしている。
１０．相互相関関数のピーク位置探索に微分内挿法を利用した遅延時間の高精度推定法
相互相関関数のピーク位置を利用した遅延時間の推定に於いて、ディジタル信号処理による場合には、サンプリング時間間隔がその精度に制限を与えている（非特許文献１〜３）。この制限を打破する手段として、内挿公式を利用することが挙げられる。この方法では、ピーク位置を連続的に探索出来ることにより、精度は飛躍的に上がるが、探索点がピーク近くになると、探索精度はどうしても落ちてくる。この段階で、微分内挿手法を用いれば、すなわち、ピーク位置ではその微分値がゼロになることを利用し、導関数のゼロ点探索に切り替えれば、探索精度は、更に、向上する。この手法は、１次元問題だけでなく、多次元の相互相関関数のピーク位置探索にも適用可能である。
１１．瞬時周波数の推定
付記Ｂに示したように、信号
【０２２１】
【数９６】
2009163320.tif 000098
【０２２２】
の瞬時周波数は、
【０２２３】
【数９７】
2009163320.tif 000099
【０２２４】
で与えられる。ただし、
【０２２５】
【数９８】
2009163320.tif 000100
【０２２６】
のヒルベルト変換である。これをディジタル信号処理で計算する場合、標本点での値は判るが、標本点以外の点での値、すなわち、内挿値がほしい場合には、内挿法、あるいは、微分内挿法を用いればよいことになる。具体的には、
【０２２７】
【数９９】
2009163320.tif 000101
【０２２８】
を標本点で求め、内挿法、微分内挿法を利用して、（１１．１）から直接求める方法も考えられるし、ＦＦＴを利用して標本点でのみ（１１．１）の瞬時周波数を求め、これを標本化データと見做して内挿をする方法も考えられる。
１２．群遅延時間の推定
付記Ｃに示したように、周波数応答が、
【０２２９】
【数１００】
2009163320.tif 000102
【０２３０】
で与えられるシステムの群遅延時間は、
【０２３１】
【数１０１】
2009163320.tif 000103
【０２３２】
で与えられる。これも、標本点以外の内挿値がほしい場合には、内挿公式、あるいは、微分内挿公式が有用となる。群遅延時間は伝送系のひずみを論ずる場合など広い応用範囲がある。
（付記Ａ  周波数域での周期関数に対するサンプリング定理と内挿公式）
今、周期
【０２３３】
【数１０２】
2009163320.tif 000104
【０２３４】
の周期スペクトル関数を
【０２３５】
【数１０３】
2009163320.tif 000105
【０２３６】
とする。すなわち、
【０２３７】
【数１０４】
2009163320.tif 000106
【０２３８】
とする。
【０２３９】
【数１０５】
2009163320.tif 000107
【０２４０】
は周期信号だから、フーリエ級数展開が可能であり、次のように表される。
【０２４１】
【数１０６】
2009163320.tif 000108
【０２４２】
【数１０７】
2009163320.tif 000109
【０２４３】
他方、離散フーリエ変換、逆変換は、
【０２４４】
【数１０８】
2009163320.tif 000110
【０２４５】
【数１０９】
2009163320.tif 000111
【０２４６】
と表される。ただし、
【０２４７】
【数１１０】
2009163320.tif 000112
【０２４８】
をサンプリング角周波数間隔とし、
【０２４９】
【数１１１】
2009163320.tif 000113
【０２５０】
【数１１２】
2009163320.tif 000114
【０２５１】
と略記した。この時、（Ａ．２）、（Ａ．５）から、
【０２５２】
【数１１３】
2009163320.tif 000115
【０２５３】
が言える。特に、信号が時間域で局在していて、
【０２５４】
【数１１４】
2009163320.tif 000116
【０２５５】
であったとする。
（註１）
【０２５６】
【数１１５】
2009163320.tif 000117
【０２５７】
という条件は、（Ａ．２）より、時間域で言えば、
【０２５８】
【数１１６】
2009163320.tif 000118
【０２５９】
なる範囲の時間域成分がゼロと見做し得ることを意味している。
この時には、（Ａ．８）より、
【０２６０】
【数１１７】
2009163320.tif 000119
【０２６１】
となる。（Ａ．９）、（Ａ．１０）を（Ａ．２）に入れて、
【０２６２】
【数１１８】
2009163320.tif 000120
【０２６３】
を得る。そこで、
【０２６４】
【数１１９】
2009163320.tif 000121
【０２６５】
と置くと、（Ａ．１１）は、
【０２６６】
【数１２０】
2009163320.tif 000122
【０２６７】
となる。
【０２６８】
（Ａ．１２）で与えられる
【０２６９】
【数１２１】
2009163320.tif 000123
【０２７０】
は、以下の性質を有することが容易に示される。
１）周期性
【０２７１】
【数１２２】
2009163320.tif 000124
【０２７２】
２）選点性（
【０２７３】
【数１２３】
2009163320.tif 000125
【０２７４】
、および、
【０２７５】
【数１２４】
2009163320.tif 000126
【０２７６】
での値）
【０２７７】
【数１２５】
2009163320.tif 000127
【０２７８】
３）
【０２７９】
【数１２６】
2009163320.tif 000128
【０２８０】
のまわりの対称性
まず、
【０２８１】
【数１２７】
2009163320.tif 000129
【０２８２】
と置く。ここに、
【０２８３】
【数１２８】
2009163320.tif 000130
【０２８４】
【数１２９】
2009163320.tif 000131
【０２８５】
である。まず、実部については、
【０２８６】
【数１３０】
2009163320.tif 000132
【０２８７】
より、
【０２８８】
【数１３１】
2009163320.tif 000133
【０２８９】
のまわりの対称性があることが判る。次、虚部については、
【０２９０】
【数１３２】
2009163320.tif 000134
【０２９１】
より、
【０２９２】
【数１３３】
2009163320.tif 000135
【０２９３】
のまわりの歪対称性があることが判る。
【０２９４】
特に、
【０２９５】
【数１３４】
2009163320.tif 000136
【０２９６】
が偶数の場合には、
【０２９７】
【数１３５】
2009163320.tif 000137
【０２９８】
での値については、
【０２９９】
【数１３６】
2009163320.tif 000138
【０３００】
【数１３７】
2009163320.tif 000139
【０３０１】
が言える。
（付記Ｂ  瞬時周波数について（非特許文献４参照））
今、信号
【０３０２】
【数１３８】
2009163320.tif 000140
【０３０３】
のヒルベルト変換、逆変換を、
【０３０４】
【数１３９】
2009163320.tif 000141
【０３０５】
【数１４０】
2009163320.tif 000142
【０３０６】
で定義する。ここで、記号
【０３０７】
【数１４１】
2009163320.tif 000143
【０３０８】
は、Ｃａｕｃｈｙの主値積分を表す。これらより、信号
【０３０９】
【数１４２】
2009163320.tif 000144
【０３１０】
の解析信号は、
【０３１１】
【数１４３】
2009163320.tif 000145
【０３１２】
で与えられる。今、正弦波
【０３１３】
【数１４４】
2009163320.tif 000146
【０３１４】
を考え、これを、複素包絡線関数
【０３１５】
【数１４５】
2009163320.tif 000147
【０３１６】
で振幅変調した狭帯域信号、
【０３１７】
【数１４６】
2009163320.tif 000148
【０３１８】
を考える。この時、信号
【０３１９】
【数１４７】
2009163320.tif 000149
【０３２０】
の瞬時角周波数は、
【０３２１】
【数１４８】
2009163320.tif 000150
【０３２２】
で与えられる。
（付記Ｃ  群遅延時間について（非特許文献５参照））
今、システムの周波数応答が、
【０３２３】
【数１４９】
2009163320.tif 000151
【０３２４】
で与えられるものとする。この系は、
【０３２５】
【数１５０】
2009163320.tif 000152
【０３２６】
を中心に狭い帯域に通過域が集中しているものとする。この時、系のインパルス応答は、
【０３２７】
【数１５１】
2009163320.tif 000153
【０３２８】
ただし、
【０３２９】
【数１５２】
2009163320.tif 000154
【０３３０】
とした。すなわち、包絡線の遅延時間を群遅延時間と定義したことになる。
【０３３１】
群遅延時間の具体的な計算法は、以下のようにして与えられる。（Ｃ．１）を角周波数で微分することにより、
【０３３２】
【数１５３】
2009163320.tif 000155
【０３３３】
として、群遅延時間は与えられる。
【０３３４】
以下、本発明の実施形態について説明する。
【０３３５】
図２は、コンピュータの外観斜視図である。このコンピュータは、後述するプログラムの実行により本発明の一実施形態としてのデータ補間装置およびスペクトル内挿装置として動作するものである。
【０３３６】
この図２に示すコンピュータ１００は、外観構成上、本体装置１１０、その本体装置１１０からの指示に応じて表示画面１２１上に画像を表示する画像表示装置１２０、本体装置１１０に、キー操作に応じた各種の情報を入力するキーボード１３０、および、表示画面１２１上の任意の位置を指定することにより、その位置に表示された、例えばアイコン等に応じた指示を入力するマウス１４０を備えている。この本体装置１１０は、外観上、フレキシブルディスク（以下、ＦＤと略記する）を装填するためのＦＤ装填口１１１、およびＣＤ−ＲＯＭを装填するためのＣＤ−ＲＯＭ装填口１１２を有する。
【０３３７】
図３は、図２に外観を示すコンピュータ１００のハードウェア構成図である。
【０３３８】
本体装置１１０の内部には、図３に示すように、各種プログラムを実行するＣＰＵ１１３、ハードディスク装置１１５に格納されたプログラムが読み出されＣＰＵ１１３での実行のために展開される主メモリ１１４、各種プログラムやデータ等が保存されたハードディスク装置１１５、ＦＤ４００をアクセスするＦＤドライブ１１６、ＣＤ−ＲＯＭ４０１が装填され、その装填されたＣＤ−ＲＯＭ４０１をアクセスするＣＤ−ＲＯＭドライブ１１７、外部のセンサ等から信号を入力する入力インタフェース１１８、演算結果を外部装置に出力する出力インタフエース１１９が内蔵されており、これらの各種要素と、さらに図２にも示す画像表示装置１２０、キーボード１３０、およびマウス１４０は、バス１５０を介して相互に接続されている。
【０３３９】
ＣＤ−ＲＯＭ４０１には、このコンピュータ１００を本発明のデータ補間装置やスペクトル内挿装置の一実施形態として動作させるためのプログラムが記憶されている。そのＣＤ−ＲＯＭ４０１はＣＤ−ＲＯＭドライブ１１７に装填され、そのＣＤ−ＲＯＭ４０１に記憶されたプログラムがこのコンピュータにアップロードされてハードディスク装置１１５に記憶される。そして、このプログラムが起動されて実行されることにより、コンピュータ１００は、本発明のデータ補間装置やスペクトル内挿装置の一実施形態として動作する。
【０３４０】
尚、上記では、プログラムを記憶する記憶媒体としてＣＤ−ＲＯＭ４０１が例示されているが、プログラムを記憶する記憶媒体はＣＤ−ＲＯＭに限られるものではなく、それ以外の光ディスク、ＭＯ、ＦＤ、磁気テープなどの記憶媒体であってもよい。
【０３４１】
図４は、データ補間プログラムが記憶されたＣＤ−ＲＯＭを示す概念図である。
【０３４２】
この図４に示すＣＤ−ＲＯＭ４０１には、取得部４１１と演算部４１２とからなるデータ補間プログラム４１０が格納されている。
【０３４３】
図２，図３に示すコンピュータ１００には、Ｊ次元の標本化データ群を外部から取り込まれ、取得部４１１は、そのコンピュータ１００に取り込まれて例えばハードディスク装置１１５に格納されていた標本化データ群をそのハードディスク装置から読み出させることによりその標本化データ群を取得させる役割りを担っているプログラム部品である。尚、この取得部４１１は、コンピュータ１００がＡ／Ｄ変換器を備え、そのコンピュータ１００にアナログ信号を入力させてＡ／Ｄ変換させることにより標本化データ群を生成させる処理を行なわさせるプログラム要素を含めて取得部とするものであってもよい。
【０３４４】
また、演算部４１２は、取得した標本化データ群に基づいて、Ｊ次元空間内の任意の点のデータｆｐ（ｔ１，…，ｔＪ）の微係数を、式
【０３４５】
【数１５４】
2009163320.tif 000156
【０３４６】
但し、
【０３４７】
【数１５５】
2009163320.tif 000157
【０３４８】
は、ゼロも許す整数、
（ｔ１，…，ｔＪ）はＪ次元空間内の任意の点
（ｔ1，0，…，ｔＪ，０）は、Ｊ次元空間内の任意の参照点
（Δｔ１，…，ΔｔＪ）は、標本間隔
（Ｎ１，…，ＮＪ）は、一周期（Ｔ１，…，ＴＪ）に渡る標本数
ｆｐ，ｎ１，…，ｎＪは、標本化データであって、
ｆｐ，ｎ１，…，ｎＪ＝ｆｐ（ｔ１，０＋ｎ１・Δｔ１，…，ｔＪ，０＋ｎＪ・ΔｔＪ）
である、および
ψ１（ｔ），…，ψＪ（ｔ）は内挿関数であって、
【０３４９】
【数１５６】
2009163320.tif 000158
【０３５０】
（ｊ＝１，…，Ｊ）
である、
に従って求めさせるプログラム部品である。
【０３５１】
図５は、本発明の一実施形態としてのデータ補間装置の機能構成図である。
【０３５２】
この図５に示すデータ補間装置４２０は、取得部４２１と演算部４２２とから構成されている。これら取得部４２１および演算部４２２は、それぞれ、図４に示すデータ補間プログラム４１０の各プログラム部品である取得部４１１および演算部４１２がコンピュータ１００内で実行されることにより実現する機能である。したがって図５の取得部４２１および演算部４２２は、プログラム部品である図３の取得部４１１および演算部４１２のそれぞれとコンピュータ１００のハードウェアとで構成されている。
【０３５３】
本発明のデータ補間装置を用いると、前述したとおりの、変位信号に対する標本点のデータを取得し、そのデータに基いて、任意の時点の速度や加速度を厳密に求めることができる。
【０３５４】
また他の適用例として、本発明のデータ補間装置を用い、離散的な標本点の波形データを取得し、任意の時点の瞬時周波数を厳密に確定することができる。
【０３５５】
図６は、本発明の一実施形態としてのデータ補間方法のフローチャートである。
【０３５６】
この図６に示すデータ補間方法４３０は、取得ステップａ１と演算ステップａ２とから構成されている。これら取得ステップａ１および演算ステップａ２は、それぞれ、図３に示すデータ補間プログラム４１０の各プログラム部品である取得部４１１および演算部４１２がコンピュータ１００内で実行されることによりそのコンピュータ１００内で実施されるステップである。
【０３５７】
図７は、本発明の一実施形態としてのスペクトル内挿プログラムが記憶されたＣＤ−ＲＯＭを示す概念図である。
【０３５８】
この図７に示すＣＤ−ＲＯＭ４０１には、取得部５１１と演算部５１２とからなるスペクトル内挿プログラム５１０が格納されている。
【０３５９】
図２，図３に示すコンピュータ１００は、Ｊ次元の信号を外部から取り込んでＦＦＴ演算を行なって離散スペクトルを求めるＦＦＴアナライザの機能も搭載されており、取得部５１１は、そのコンピュータ１００に、Ｊ次元ＦＦＴ演算により得られて、例えばハードディスク装置１１５に格納されていた離散スペクトルを、そのハードディスク装置１１５から読み出させることによりその離散スペクトルを取得させる役割りを担っているプログラム部品である。尚、この取得部５１１は、コンピュータ１００にＦＦＴ演算を行なわさせるプログラム要素を含めて取得部とするものであってもよい。
【０３６０】
また、演算部５１２は、取得した離散スペクトルに基づいて、Ｊ次元周波数空間内の任意の点のスペクトル値
【０３６１】
【数１５７】
2009163320.tif 000159
【０３６２】
の微係数を、式
【０３６３】
【数１５８】
2009163320.tif 000160
【０３６４】
但し、
【０３６５】
【数１５９】
2009163320.tif 000161
【０３６６】
は、ゼロも許す整数
（ω１，…，ωＪ）はＪ次元周波数空間内の任意の点
（ω１，０，…，ωＪ，０）はＪ次元周波数空間内の任意の参照点
（Δω１，…，ΔωＪ）は離散スペクトルの間隔
（Ｎ１，…，ＮＪ）は、一周期（ωＳ１，…，ωＳＪ）に渡る標本数
Ｆｐ，ｋ１，…，ｋＪは、離散スペクトルの値であって、
Ｆｐ，ｋ１，…，ｋＪ＝Ｆｐ（ω１，０＋ｋ１・Δω１，…，ωＪ，０＋ｋＪ・ΔωＪ）
である、および
Ψ１（ω），…，ΨＪ（ω）は内挿関数であって、
【０３６７】
【数１６０】
2009163320.tif 000162
【０３６８】
（ｊ＝１，…，Ｊ）
である、
に従って求めさせるプログラム部品である。
【０３６９】
図８は、本発明の一実施形態としてのスペクトル内挿装置の機能構成図である。
【０３７０】
この図８に示すスペクトル内挿装置５２０は、取得部５２１と演算部５２２とから構成されている。これら取得部５２１および演算部５２２は、それぞれ、図７に示すスペクトル内挿プログラム５１０の各プログラム部品である取得部５１１および演算部５１２がコンピュータ１００内で実行されることにより実現する機能である。したがって図８の取得部５２１および演算部５２２は、プログラム部品である図７の取得部５１１および演算部５１２のそれぞれとコンピュータ１００のハードウェアとで構成されている。
【０３７１】
本発明のスペクトルの内挿装置を用いると、前述したとおり、周波数軸上で離散的な標本点の周波数データを取得し、それらの標本点の周波数データに基いて、群遅延時間を厳密に確定することができる。
【０３７２】
図９は、本発明の一実施形態としてのスペクトル内挿方法のフローチャートである。
【０３７３】
この図９に示すスペクトル内挿方法５３０は、取得ステップｂ１と演算ステップｂ２とから構成されている。これら取得ステップｂ１および演算ステップｂ２は、それぞれ、図７に示すデータ補間プログラム５１０の各プログラム部品である取得部５１１および演算部５１２がコンピュータ１００内で実行されることによりそのコンピュータ１００内で実施されるステップである。
【図面の簡単な説明】
【０３７４】
【図１】シミュレーションにより、変位信号に対する標本点から確定した速度および加速度の値を示したグラフである。
【図２】コンピュータの外観斜視図である。
【図３】図２に外観を示すコンピュータのハードウェア構成図である。
【図４】データ補間プログラムが記憶されたＣＤ−ＲＯＭを示す概念図である。
【図５】本発明の一実施形態としてのデータ補間装置の機能構成図である。
【図６】本発明の一実施形態としてのデータ補間方法のフローチャートである。
【図７】本発明の一実施形態としてのスペクトル内挿プログラムが記憶されたＣＤ−ＲＯＭを示す概念図である。
【図８】本発明の一実施形態としてのスペクトル内挿装置の機能構成図である。
【図９】本発明の一実施形態としてのスペクトル内挿方法のフローチャートである。
【符号の説明】
【０３７５】
１００    コンピュータ
１１０    本体装置
１２０    画像表示装置
１３０    キーボード
１４０    マウス
４０１    ＣＤ−ＲＯＭ
４１０    データ補間プログラム
４１１，４２１，５１１，５２１    取得部
４１２，４２２，５１２，５２２    演算部
４２０    データ補間装置
５１０    スペクトル内挿プログラム
５２０    スペクトル内挿装置
【図１】
2009163320.tif 000185
【図２】
2009163320.tif 000186
【図３】
2009163320.tif 000187
【図４】
2009163320.tif 000188
【図５】
2009163320.tif 000189
【図６】
2009163320.tif 000190
【図７】
2009163320.tif 000191
【図８】
2009163320.tif 000192
【図９】
2009163320.tif 000193