(57)【要約】【課題】光の像の画素値分布にノイズが混入していても、ノイズが混入する前の本来の解析対象となる光の像を正確に解析する。【解決手段】光の像の画素値分布を計測し、モデル画素値分布を含むノイズを考慮に入れた修正モデル画素値分布を生成し、前記画素値分布及び修正モデル画素値分布に基づいて前記光の像の画像を解析する。【選択図】図２
2009031109.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
光の像の画像解析方法において、前記光の像の画素値分布を計測し、モデル画素値分布を含むノイズを考慮に入れた修正モデル画素値分布を生成し、前記画素値分布及び修正モデル画素値分布に基づいて前記光の像の画像を解析することを特徴とする画像解析方法。
【請求項２】
前記画素値分布及び修正モデル画素値分布に対して非線形最小２乗問題の目的関数を定式化している請求項１に記載の画像解析方法。
【請求項３】
前記画素値分布を
ｆ（ｉ）
ただし、ｉは異なる画素を区別するための符号である。
とし、前記モデル画素値分布
Ｆ（ｉ，｛ｚ｝）
ただし、ｉは異なる画素を区別するための符号であり、｛ｚ｝は前記モデル画素
値分布の設計変数である。
とし、前記修正モデル画素値分布を
Ｓ（ｉ，Ｆ（ｉ，｛ｚ｝），｛ｃ｝）
ただし、｛ｃ｝はノイズを考慮に入れたことによる未定係数である。
と表し、前記非線形最小２乗問題は前記設計変数｛ｚ｝及び前記未定係数｛ｃ｝を未知数とし、前記非線形最小２乗問題を解いて設計変数｛ｚ｝を決定するようになっている請求項２に記載の画像解析方法。
【請求項４】
前記修正モデル画素値分布を
Ｓ（ｉ，Ｆ（ｉ，｛ｚ｝），ｃ）＝Ｆ（ｉ，｛ｚ｝）＋ｃ
で与え、モデル画素値分布とノイズ項とに分けて、前記ノイズ項は前記画素値分布の全域に亘る一定量のオフセットノイズを表すために定数ｃで与えられ、前記定数ｃは前記ノイズ項の未定係数であり、前記非線形最小２乗問題の目的関数が、
2009031109.tif 000048
と表される請求項３に記載の画像解析方法。
【請求項５】
前記修正モデル画素値分布を
Ｓ（ｉ，Ｆ（ｉ，｛ｚ｝），ａ，ｂ，ｃ）＝Ｆ（ｉ，｛ｚ｝）＋ａｘ＋ｂｙ＋ｃ
で与え、モデル画素値分布とノイズ項とに分けて、前記ノイズ項は傾斜のあるオフセットノイズを表すためにａｘ＋ｂｙ＋ｃ（ただし、ａ、ｂ及びｃは前記ノイズ項の未定係数であり、ｘ及びｙは直交座標である。）で与えられ、前記非線形最小２乗問題の目的関数が、
2009031109.tif 000049
と表される請求項３に記載の画像解析方法。
【請求項６】
前記修正モデル画素値分布をＳ（ｉ，Ｆ（ｉ，｛ｚ｝）；ｔ０）で与え、前記修正モデル画素値分布が、
2009031109.tif 000050
となる性質を有するようにすることによって、測光センサが飽和することにより生じるノイズを考慮に入れるようにし、前記非線形最小２乗問題の目的関数が、
2009031109.tif 000051
と表される請求項３に記載の画像解析方法。
【請求項７】
前記修正モデル画素値分布を
2009031109.tif 000052
ただし、ｊは異なる画素を区別するための符号であり、ｂ（ｊ）はポイントスプ
レッド関数である。        
とし、非線形最小２乗問題の目的関数を
2009031109.tif 000053
とすることによって、前記修正モデル画素値分布がにじみノイズを考慮に入れるようにした請求項３に記載の画像解析方法。
【請求項８】
前記修正画素値分布を
2009031109.tif 000054
で与え、モデル画素値分布とノイズ項とに分け、前記ノイズ項は点ｘｌでピーク値を有するゴマシオノイズを表すために、
2009031109.tif 000055
で与えられ、前記非線形最小２乗問題の目的関数が、
2009031109.tif 000056
と表される請求項３に記載の画像解析方法。
【請求項９】
前記光の像が光のスポット像であり、前記画像解析方法が前記スポット像の収差解析方法であり、前記画素値分布がスポット像強度分布｜ｆ｜であり、モデル画素値分布がスポット像強度分布のモデル強度分布であり、前記モデル強度分布は有限級数モデル
Ｆ（｛ｚ｝）＝｜［Ｄ］｛ｚ｝｜
ただし、｛ｚ｝は前記モデル強度分布の設計変数である。
で与え、前記修正モデル画素値分布は修正モデル強度分布
Ｓ（Ｆ（｛ｚ｝），｛ｃ｝）
ただし、｛ｃ｝はノイズを考慮に入れたことによる未定係数である。
であり、前記設計変数｛ｚ｝と前記未定係数｛ｃ｝とを未知数とし、前記非線形最小２乗問題を解いて前記未知数を決定して、前記設計変数｛ｚ｝を求めるようになっている請求項２に記載の画像解析方法。
【請求項１０】
前記修正モデル強度分布をＳ（Ｆ（[{ｚ}]，ｃ）＝｜[Ｄ]{ｚ}｜２＋ｃで与え、モデル強度分布による項とノイズ項とに分け、前記ノイズ項は前記スポット像の全域に亘る一定量のオフセットノイズを表すために定数ｃで与え、前記定数ｃは前記ノイズ項の未定係数であり、前記非線形最小２乗問題の目的関数が、
2009031109.tif 000057
ただし、ｉは異なるスポット像を区別するための符号、ｎは用いるスポット像の
数、［Ｗｉ］は分布に対する重み行列である。
と表される請求項９に記載の画像解析方法。
【請求項１１】
前記修正モデル強度分布をＳ（Ｆ（[{ｚ}]，ｃ）＝｜[Ｄ]{ｚ}｜２＋ａｘ＋ｂｙ＋ｃで与え、モデル強度分布による項とノイズ項とに分け、前記ノイズ項は傾斜のあるオフセットノイズを表すために、ａｘ＋ｂｙ＋ｃ（ただし、ａ、ｂ及びｃは前記ノイズ項の未定係数であり、ｘ及びｙは直交座標である。）と表される前記非線形最小２乗問題の目的関数が、
2009031109.tif 000058
ただし、ｉは異なるスポット像を区別するための符号、ｎは用いるスポット像の
数、［Ｗｉ］は分布に対する重み行列である。
と表される請求項９に記載の画像解析方法。
【請求項１２】
前記修正モデル強度分布をＳ（Ｆ（{ｚ}）；ｔ０）で与え、前記修正モデル強度分布が、
2009031109.tif 000059
なる性質を有するようにすることによって、測光センサが飽和することにより生じるノイズを考慮に入れるようにし、前記非線形最小２乗問題の目的関数が、
2009031109.tif 000060
ただし、ｉは異なるスポット像を区別するための符号、ｎは用いるスポット像の
数、［Ｗｉ］は分布に対する重み行列である。
と表される請求項９に記載の画像解析方法。
【請求項１３】
記修正モデル強度分布を、
2009031109.tif 000061
ただし、ｉは異なるスポット像を区別するための符号、ｋ及びｌは異なる画素を
区別する符号、ｂ（ｌ）はポイントスプレッド関数である。
とし、前記非線形最小２乗問題の目的関数を、
2009031109.tif 000062
ただし、ｉは異なるスポット像を区別するための符号、ｎは用いるスポット像の
数、ｋ及びｌは異なる画素を区別する符号、［Ｗｉ］は分布に対する重み行列で
ある。
とすることによって、前記修正モデル強度分布がにじみノイズを考慮に入れるようにした請求項９に記載の画像解析方法。
【請求項１４】
前記修正モデル強度分布を
2009031109.tif 000063
で与え、モデル強度分布による項とノイズ項とに分け、前記ノイズ項は点ｘｌでピーク値を有するゴマシオノイズを表すために、
2009031109.tif 000064
で与えられ、前記非線形最小２乗問題の目的関数が、
2009031109.tif 000065
ただし、ｉは異なるスポット像を区別するための符号、ｎは用いるスポット像の
数、［Ｗｉ］は分布に対する重み行列である。
と表される請求項９に記載の画像解析方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、モデルを用いた光の像の画像解析方法に関し、特に光の像のモデル画素値分布を用いた画像解析を行う際に、ノイズを考慮に入れた修正モデル画素値分布を用いて解析精度を向上した収差解析方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
近年、ＤＶＤピックアップに代表されるレーザによる情報の書き込みや読み出しの評価においては、正確で信頼性の高い情報の授受のために、コマ収差、非点収差、球面収差等の収差解析が必須不可欠の技術となっている。そして、レーザ光を収束させたレーザスポット像の収差解析をする際には、通常光位相分布の測定を行う。光位相分布には、光源の波面形状、透過物体の屈折率分布、反射物体の表面形状等の情報が含まれている。
【０００３】
従来の有限級数モデルによる収差解析システム１は、図１に示されるように、レーザ光２Ａを出力するレーザ光源２と、レーザ光２Ａが透過してレーザスポット像を形成するための１枚又は複数枚のレンズ等で成る光学系３と、光学系３を透過したレーザ光２Ｂを受光するための測光センサ４とで構成されている。そして、画像解析システム１の測光センサ４からはレーザスポット像｜ｆ｜が計測されて出力され、レーザスポット像｜ｆ｜の強度分布と、有限級数モデルによるモデルｆ（ｚ）＝｜[Ｄ]{ｚ}｜の強度分布とから、両強度分布が等しくなるように繰り返し計算により、有限級数モデルの係数を同定する。この繰り返し計算は重み付き非線形最小２乗問題に帰着されるので、下記数１で与えられる非線形最小２乗問題の目的関数として定式化できる。
【０００４】
【数１】
2009031109.tif 000003
ただし、ｉは異なるスポット像を区別するための符号、ｎは用いるスポット像の
数、［Ｗｉ］は分布に対する重み行列、｛ｚ｝は設計変数である。
数１の非線形最小２乗問題を準ニュートン法等の手法を適用して解くことにより、設計変数｛ｚ｝を決定することができ、レーザスポット像｜ｆ｜の収差を解析することができる。
【０００５】
特開２００６−２３４３８９号公報（特許文献１）には、収差解析のために必要な光位相分布測定方法が開示されている。ここでは、モデル強度分布を有限級数に表すためにゼルニケ（Ｚｅｒｎｉｋｅ）級数展開が用いられており、ゼルニケ係数を決定するための非線形最小２乗問題を解くことにより、光位相分布を測定するようなっている。
【０００６】
また、上述のレーザスポット像の収差解析方法と同様の方法は、スポット像以外の線や、四角、文字等の形状が既知の対象物の像に対しても適用でき、また、収差解析以外の強度分布の解析や対象図形又は対象物の姿勢や位置などを解析する画像解析に適用できる。この場合、測光センサでは光の像の画素値分布
ｆ（ｉ）
ただし、ｉは異なる画素を区別するための符号である。
が計測される。画像解析を行うために、モデル画素値分布
Ｆ（ｉ，｛ｚ｝）
ただし、ｉは異なる画素を区別するための符号であり、｛ｚ｝はモデル画素値分布の設計変数である。
を構築し、画素値分布とモデル画素値分布とによって、下記数２で与えられる非線形最小２乗問題の目的関数
【０００７】
【数２】
2009031109.tif 000004
を定式化する。数２の非線形最小２乗問題を準ニュートン法等の手法を適用して解くことにより、設計変数｛ｚ｝を決定することができ、光の像の画像解析を行うことができる。
【特許文献１】特開２００６−２３４３８９号公報
【非特許文献１】田中康弘著、「スポット強度分布によるレーザ光学系の収差評価」、光学、第２２巻、第８号、ｐ．４５６、１９９３年
【非特許文献２】天谷賢治、堀田修平、上島正史、「強度画像からの光位相分布の同定逆問題」、日本機械学会論文集Ｃ編、第７２巻、第７１７号、ｐ．１４７８−１４８５、２００６年
【非特許文献３】上島正史、天谷賢治、「強度画像を用いた位相分布同定法の高精度化および効率化」、日本機械学会論文集Ｃ編、第７２巻、第７１７号、ｐ．１４８６−１４９１、２００６年
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００８】
ここにおいて、測光センサで計測される画素値分布には、ノイズが混入している。それにも拘わらず上述の画像解析方法では、モデル画素値分布にノイズの混入が全く考慮されていない。そのため、ノイズが混入した画素値分布とノイズが考慮に入れられていないモデル画素値分布による非線形最小２乗問題を解き、設計変数｛ｚ｝を求めて画像解析を行ってしまうのでは、解析により得られる結果と本来解析すべき光の像とにズレが生じてしまう。つまり、正確な画像解析を行うことができない。
【０００９】
また、多くの場合、測光センサで計測された画像データにノイズを除去するための前処理を行ってから、像の画素値分布を与えるようにしている。しかし、この前処理を行っても、画像全域に一定量の値が加わったようなオフセットノイズ等のある種のノイズは、除去することができない問題がある。オフセットノイズ等のある種のノイズは、フィルタなどの前処理では除去できない。
【００１０】
本発明は上述のような事情によりなされたものであり、本発明の目的は、光の像の画素値分布にノイズが混入していても、ノイズが混入する前の本来の解析対象となる光の像を正確に解析できる画像解析方法を提供することにある。
【課題を解決するための手段】
【００１１】
本発明は光の像の画像解析方法に関し、本発明の上記目的は、前記光の像の画素値分布を計測し、モデル画素値分布を含むノイズを考慮に入れた修正モデル画素値分布を生成し、前記画素値分布及び修正モデル画素値分布に基づいて前記光の像の画像を解析することによって達成される。
【００１２】
本発明の上記目的は、前記画素値分布及び修正モデル画素値分布に対して非線形最小２乗問題の目的関数を定式化していることによって、或いは前記画素値分布を
ｆ（ｉ）
ただし、ｉは異なる画素を区別するための符号である。
とし、前記モデル画素値分布
Ｆ（ｉ，｛ｚ｝）
ただし、ｉは異なる画素を区別するための符号であり、｛ｚ｝は前記モデル画素
値分布の設計変数である。
とし、前記修正モデル画素値分布を
Ｓ（ｉ，Ｆ（ｉ，｛ｚ｝），｛ｃ｝）
ただし、｛ｃ｝はノイズを考慮に入れたことによる未定係数である。
と表し、前記非線形最小２乗問題は前記設計変数｛ｚ｝及び前記未定係数｛ｃ｝を未知数とし、前記非線形最小２乗問題を解いて設計変数｛ｚ｝を決定するようになっていることによって、或いは前記修正モデル画素値分布を
Ｓ（ｉ，Ｆ（ｉ，｛ｚ｝），ｃ）＝Ｆ（ｉ，｛ｚ｝）＋ｃ
で与え、モデル画素値分布とノイズ項とに分けて、前記ノイズ項は前記画素値分布の全域に亘る一定量のオフセットノイズを表すために定数ｃで与えられ、前記定数ｃは前記ノイズ項の未定係数であり、前記非線形最小２乗問題の目的関数が、
2009031109.tif 000005
と表されることによって、或いは前記修正モデル画素値分布を
Ｓ（ｉ，Ｆ（ｉ，｛ｚ｝），ａ，ｂ，ｃ）＝Ｆ（ｉ，｛ｚ｝）＋ａｘ＋ｂｙ＋ｃ
で与え、モデル画素値分布とノイズ項とに分けて、前記ノイズ項は傾斜のあるオフセットノイズを表すためにａｘ＋ｂｙ＋ｃ（ただし、ａ、ｂ及びｃは前記ノイズ項の未定係数であり、ｘ及びｙは直交座標である。）で与えられ、前記非線形最小２乗問題の目的関数が、
2009031109.tif 000006
と表されることによって、或いは前記修正モデル画素値分布をＳ（ｉ，Ｆ（ｉ，｛ｚ｝）；ｔ０）で与え、前記修正モデル画素値分布が、
2009031109.tif 000007
となる性質を有するようにすることによって、測光センサが飽和することにより生じるノイズを考慮に入れるようにし、前記非線形最小２乗問題の目的関数が、
2009031109.tif 000008
と表されることによって、或いは前記修正モデル画素値分布を
2009031109.tif 000009
ただし、ｊは異なる画素を区別するための符号であり、ｂ（ｊ）はポイントスプ
レッド関数である。        
とし、非線形最小２乗問題の目的関数を
2009031109.tif 000010
とすることによって、前記修正モデル画素値分布がにじみノイズを考慮に入れるようにしたことによって、或いは前記修正画素値分布を
2009031109.tif 000011
で与え、モデル画素値分布とノイズ項とに分け、前記ノイズ項は点ｘｌでピーク値を有するゴマシオノイズを表すために、
2009031109.tif 000012
で与えられ、前記非線形最小２乗問題の目的関数が、
2009031109.tif 000013
と表されることによって、より効果的に達成される。
【００１３】
また、本発明の上記目的は、前記光の像が光のスポット像であり、前記画像解析方法が前記スポット像の収差解析方法であり、前記画素値分布がスポット像強度分布｜ｆ｜であり、モデル画素値分布がスポット像強度分布のモデル強度分布であり、前記モデル強度分布は有限級数モデル
Ｆ（｛ｚ｝）＝｜［Ｄ］｛ｚ｝｜
ただし、｛ｚ｝は前記モデル強度分布の設計変数である。
で与え、前記修正モデル画素値分布は修正モデル強度分布
Ｓ（Ｆ（｛ｚ｝），｛ｃ｝）
ただし、｛ｃ｝はノイズを考慮に入れたことによる未定係数である。
であり、前記設計変数｛ｚ｝と前記未定係数｛ｃ｝とを未知数とし、前記非線形最小２乗問題を解いて前記未知数を決定して、前記設計変数｛ｚ｝を求めるようになっていることによって、或いは前記修正モデル強度分布をＳ（Ｆ（[{ｚ}]，ｃ）＝｜[Ｄ]{ｚ}｜２＋ｃで与え、モデル強度分布による項とノイズ項とに分け、前記ノイズ項は前記スポット像の全域に亘る一定量のオフセットノイズを表すために定数ｃで与え、前記定数ｃは前記ノイズ項の未定係数であり、前記非線形最小２乗問題の目的関数が、
2009031109.tif 000014
ただし、ｉは異なるスポット像を区別するための符号、ｎは用いるスポット像の
数、［Ｗｉ］は分布に対する重み行列である。
と表されることによって、或いは前記修正モデル強度分布をＳ（Ｆ（[{ｚ}]，ｃ）＝｜[Ｄ]{ｚ}｜２＋ａｘ＋ｂｙ＋ｃで与え、モデル強度分布による項とノイズ項とに分け、前記ノイズ項は傾斜のあるオフセットノイズを表すために、ａｘ＋ｂｙ＋ｃ（ただし、ａ、ｂ及びｃは前記ノイズ項の未定係数であり、ｘ及びｙは直交座標である。）と表される前記非線形最小２乗問題の目的関数が、
2009031109.tif 000015
ただし、ｉは異なるスポット像を区別するための符号、ｎは用いるスポット像の
数、［Ｗｉ］は分布に対する重み行列である。
と表されることによって、或いは前記修正モデル強度分布をＳ（Ｆ（{ｚ}）；ｔ０）で与え、前記修正モデル強度分布が、
2009031109.tif 000016
なる性質を有するようにすることによって、測光センサが飽和することにより生じるノイズを考慮に入れるようにし、前記非線形最小２乗問題の目的関数が、
2009031109.tif 000017
ただし、ｉは異なるスポット像を区別するための符号、ｎは用いるスポット像の
数、［Ｗｉ］は分布に対する重み行列である。
と表されることによって、或いは記修正モデル強度分布を、
2009031109.tif 000018
ただし、ｉは異なるスポット像を区別するための符号、ｋ及びｌは異なる画素を
区別する符号、ｂ（ｌ）はポイントスプレッド関数である。
とし、前記非線形最小２乗問題の目的関数を、
2009031109.tif 000019
ただし、ｉは異なるスポット像を区別するための符号、ｎは用いるスポット像の
数、ｋ及びｌは異なる画素を区別する符号、［Ｗｉ］は分布に対する重み行列で
ある。
とすることによって、前記修正モデル強度分布がにじみノイズを考慮に入れるようにしたことによって、或いは前記修正モデル強度分布を
2009031109.tif 000020
で与え、モデル強度分布による項とノイズ項とに分け、前記ノイズ項は点ｘｌでピーク値を有するゴマシオノイズを表すために、
2009031109.tif 000021
で与えられ、前記非線形最小２乗問題の目的関数が、
2009031109.tif 000022
ただし、ｉは異なるスポット像を区別するための符号、ｎは用いるスポット像の
数、［Ｗｉ］は分布に対する重み行列である。
と表されることによって、より効果的に達成される。
【発明の効果】
【００１４】
本発明に係る光の像の画像解析方法によれば、ノイズが混入した光の像の画素値分布に対して、ノイズを考慮に入れた修正モデル画素値分布を用いて非線形最小２乗問題を解いて画像解析を行うようにしているので、オフセットノイズ等のノイズ除去のための前処理で除去することができないノイズが混入していても、ノイズが混入する前の本来の解析対象となる光の像の画像を正確に解析することができる。
【００１５】
また、修正モデル画素値分布は適宜変更することができるので、オフセットノイズ以外の各種のノイズが混入していても、光の像を正確に解析することができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１６】
本発明に係る画像解析方法では、測光センサで計測された光の像の画素値分布と、ノイズを考慮に入れた修正モデル画素値分布とから非線形最小２乗問題を定式化することによって、ノイズが混入する前の本来の解析対象となる光の像を正確に解析するようにしている。解析対象のみをモデル化するのではなく、ノイズも積極的にモデル化し、解析対象及びノイズを同時に解析するのである。
【００１７】
本発明は、テンプレートマッチングなどに代表されるモデルを用いた画像認識や画像解析に対して適用することができる。
【００１８】
以下、本発明の実施形態について図面を参照して説明する。
【００１９】
本発明に係る画像解析方法を適用した収差解析方法では、図１に示されるような収差解析システム１によって、レーザ光のスポット像の強度分布を計測する。測光センサ４によってレーザ光２Ｂのスポット像｜ｆ｜の強度分布を計測する。レーザスポット像｜ｆ｜の強度分布を得る際に、画像処理部で、測光センサ４において計測された画像データにノイズを除去するための前処理を行っても良い。
【００２０】
本発明では、レーザ光の収差を解析するために、レーザスポット像｜ｆ｜の複素振幅分布のモデルを構築する。複素振幅分布のモデルは、下記数３のように表すことができる。
【００２１】
【数３】
2009031109.tif 000023
ここで、ｉは虚数を表し、Ｇ＊はＧのフーリエ変換を表す。また、Ｈ＊は光伝播モデルの積分核のフーリエ変換であり、下記数４で表される。
【００２２】
【数４】
2009031109.tif 000024
ただし、ｋは光の波数、Ｚはレーザ光の計測位置の焦点位置からのずれを表すデ
フォーカス距離である。
また、モデル複素振幅分布は下記数５の関係を満たす。
（数５）
｜Ｇ｜２＝｜ｆ｜２
ここでは、収差関数φを下記数６で表されるように、ゼルニケ級数で展開する。
【００２３】
【数６】
2009031109.tif 000025
ここで
2009031109.tif 000026
はゼルニケ基底関数の半径依存項、
2009031109.tif 000027
はゼルニケ基底関数の角度依存項であり、
2009031109.tif 000028
は各基底に対するゼルニケ係数である。
上記数３を収差関数φについて１次近似を行って数５を代入すると、下記数７が得られる。
【００２４】
【数７】
2009031109.tif 000029
モデル複素振幅分布の離散表現を｛Ｇ｝のように表し、低次のゼルニケ係数のベクトル表現を｛ｚ｝のように表すと、上記数７は下記数８のように離散化される。
（数８）
{Ｇ}＝{Ｄ}{ｚ}
レーザスポット像のモデル強度分布は下記数９によって表される。
（数９）
Ｆ（{ｚ}）＝｜Ｇ｜＝｜{Ｄ}{ｚ}｜
測光センサ４で計測されるレーザスポット像の強度分布には、種々のノイズが混入している。また、画像処理部で測光センサ４において計測された画像データに対してノイズを除去するための前処理を行っても、オフセットノイズのようなある種のノイズを除去することはできない。そのため、測光センサ４で計測されるレーザスポット像の強度分布、或いは画像処理部で前処理を行うことによって得られる強度分布を適切にモデル化するためには、強度分布のモデルを構築する際にノイズを考慮に入れる必要がある。そこで、本発明では、下記数１０で表されるノイズを考慮に入れた修正モデル強度分布Ｓを用いる。
（数１０）
Ｓ（Ｆ（{ｚ}，{ｃ}））
ここで、｛ｃ｝は、ノイズを考慮に入れることによって生じる未定係数である。
本発明では、測光センサ４によって計測されるレーザスポット像の強度分布と修正モデル強度分布とを用いて、ゼルニケ係数｛ｚ｝を設計変数として、設計変数｛ｚ｝と未定係数｛ｃ｝とを未知数とする非線形最小２乗問題の目的関数を定式化する。非線形最小２乗問題の目的関数を準ニュートン法等によって解き、設計変数｛ｚ｝を決定することによって、ノイズを除去した本来の解析の対象となるレーザスポット像の収差解析を行う。
【００２５】
なお、上述に説明される実施形態では、モデル強度分布をゼルニケ級数で展開したが、本発明はそれに限定されることはなく、他にもフーリエ級数展開、ラグランジュ級数展開、スプライン関数による展開やベッセル関数による展開等を利用することができる。
【００２６】
上記数１０で与えられる修正モデル強度分布Ｓの具体的な形態として、スポット像の全域に亘る一定量のオフセットノイズを考慮に入れた場合、修正モデル強度分布は下記数１０のように設定する。
【００２７】
（数１１）
Ｓ（Ｆ（{ｚ}，{ｃ}））＝｜[Ｄ]{Ｚ}｜２＋ｃ
定数ｃはスポット像の全域に亘る一定量のオフセットノイズを表している。修正モデル強度分布が数１１で与えられる場合、非線形最小２乗問題の目的関数は下記数１２で与えられる。
【００２８】
【数１２】
2009031109.tif 000030
ただし、ｉは異なるスポット像を区別するための符号、ｎは用いるスポット像の
数、［Ｗｉ］は分布に対する重み行列である。
数１２で与えられる非線形最小２乗問題を、設計変数｛ｚ｝及びノイズを考慮に入れることによって生じる未定係数ｃを未知数として解くことにより、設計変数｛ｚ｝を求めて、収差解析を行うことができる。
【００２９】
図２は、縦軸｜ｆ｜２がレーザスポット像の強度、横軸ｘがレーザスポット像の強度のピーク位置を通過する直線上の位置を表しており、曲線（ａ）がｘ軸上のレーザスポット像の強度分布を表している。従来の方法では、強度分布（ａ）に対して直接数８で与えられるモデル強度分布で非線形最小２乗法によるフィッティングを行っていたので、設計変数｛ｚ｝を正確に決定することができず、正確な収差解析を行うことができなかった。これに対し、本発明では、数１０で与えられる修正モデル強度分布を用いることによって、ｘ軸上全体に亘って強度分布（ａ）からオフセットノイズに対応する定数ｃの分だけ減じた曲線（ｂ）に対して、数８のモデル強度分布で非線形最小２乗法によるフィッティングを行うことになるので、設計変数｛ｚ｝を正確に決定でき、正確な収差解析を行うことがきる。
【００３０】
図３には、模擬スポット像データに、従来の数１を目的関数とする非線形最小２乗問題を解いてフィッティングを行った例と、数１１で与えられる修正モデル強度分布を用いて数１２を目的関数とする非線形最小２乗問題を解いてフィッティングを行った例とが示されている。模擬スポット像データにはオフセットノイズ“０．１”が加えられており、以下に示される条件でシミュレーションを行うことによって得られたデータである。
【００３１】
波長：６５０[ｎｍ]
光学系の開口数ＮＡ：０．６
デフォーカス距離：６００[ｎｍ]
解析領域：３６００[ｎｍ]×３６００[ｎｍ]、６１×６１点に離散化
図３において、模擬スポットデータは＋印で示され、従来法によるフィッティングを行った結果が×印で示され、数１１で与えられる修正モデル強度分布でフィッティングを行った結果が＊印で示されている。模擬スポットデータに“０．１”のオフセットノイズが加えられているため、従来法ではフィッティングが収束していない。一方、数１１で与えられる修正モデル強度分布でフィッティングを行うと、強度が微弱な領域においても十分に良好なフィッティング結果が得られていることが分かる。
【００３２】
オフセットノイズの大きさが位置によって変化して傾斜がある場合には、修正モデル強度分布を下記数１３のように設定する。
（数１３）
Ｓ（Ｆ（{ｚ}，{ｃ}））＝｜[Ｄ]{Ｚ}｜２＋ａｘ＋ｂｙ＋ｃ
ノイズ項は、“ａｘ＋ｂｙ＋ｃ”のように表される。ここで、ａ、ｂ及びｃはノイズを考慮に入れることによって生じる未定係数であり、ｘ及びｙは位置を表す直交座標である。この場合、非線形最小２乗問題の目的関数は下記数１４のように定式化される。
【００３３】
【数１４】
2009031109.tif 000031
ただし、ｉは異なるスポット像を区別するための符号、ｎは用いるスポット像の
数、［Ｗｉ］は分布に対する重み行列である。
数１４で与えられる非線形最小２乗問題を解くことにより、設計変数｛ｚ｝を決定し、収差解析を行う。このように、傾斜を有するオフセットノイズ“ａｘ＋ｂｙ＋ｃ”が存在する場合でも、修正モデル強度分布を数１３のように与えることによって、正確に収差解析を行うことができる。
【００３４】
測光センサ４の計測値が、図４に示されるように光の強度がある値ｔ０を超えると飽和する場合、修正モデル強度分布を下記数１５のように設定する。
（数１５）
Ｓ（Ｆ（{ｚ}）；ｔ０）
上記数１５の修正モデル強度分布は、下記数１６の性質を有する。
【００３５】
【数１６】
2009031109.tif 000032
この場合、非線形最小２乗問題の目的関数は下記数１７のように定式化される。
【００３６】
【数１７】
2009031109.tif 000033
数１７で与えられる非線形最小２乗問題を解くことによって、設計変数｛ｚ｝を決定して、正確な収差解析を行うことができる。
【００３７】
また、スミア等のにじみノイズを考慮に入れる場合、修正モデル強度分布は下記数１８のように与えられる。
【００３８】
【数１８】
2009031109.tif 000034
ここで、ｉは異なるスポット像を区別するための符号であり、ｋ及びｌは異なる
画素を区別する符号である。ｂ（ｌ）は、ポイントスプレッド関数であり、画素
ｋ−ｌが画素ｋに及ぼす影響を表している。
この場合、非線形最小２乗問題の目的関数は下記数１９のように定式化される。
【００３９】
【数１９】
2009031109.tif 000035
数１９で与えられる非線形最小２乗問題を解くことによって、設計変数｛ｚ｝を決定して、正確な収差解析を行うようにすることができる。
【００４０】
また、点ｘｌにおいてピーク値を有するような孤立して発生するゴマシオノイズ
2009031109.tif 000036
を考慮に入れる場合、修正モデル強度分布は下記数２０で与えられる。
【００４１】
【数２０】
2009031109.tif 000037
この場合、非線形最小２乗問題の目的関数は下記数２１のように定式化される。
【００４２】
【数２１】
2009031109.tif 000038
数２１で与えられる非線形最小２乗問題を解くことによって、設計変数｛ｚ｝を決定して、正確な収差解析を行うことができる。
【００４３】
また、上述のレーザスポット像の収差解析方法と同様の方法は、スポット像以外の一般の画像解析に適用できる。例えば、線や、四角、文字等の形状が既知の対象物の像に対しても適用できる。また、収差解析以外の強度分布の解析や対象図形又は対象物の姿勢や位置などを解析する画像解析にも適用できる。一般の画像解析では、測光センサにおいて光の像の画素値分布
（数２２）
ｆ（ｉ）
ただし、ｉは異なる画素を区別するための符号である。
が計測される。画像解析を行うために、モデル画素値分布
（数２３）
Ｆ（ｉ，｛ｚ｝）
ただし、ｉは異なる画素を区別するための符号であり、｛ｚ｝はモデル画素値分布の設計変数である。
を構築する。
本発明に係る画像解析方法では、モデル画素値分布にノイズを考慮に入れた修正モデル画
素値分布
【００４４】
（数２４）
Ｓ（ｉ，Ｆ（ｉ，｛ｚ｝），｛ｃ｝）
ただし、｛ｃ｝はノイズを考慮に入れたことによる未定係数である。
を用いる。画素値分布と修正モデル画素値分布によって、設計変数｛ｚ｝及びノイズによる未定係数｛ｃ｝を未知数とする非線形最小２乗問題の目的関数を定式化する。この非線形最小２乗問題を解くことによって、ノイズを除去した光の像の画像解析を行うことができる。
【００４５】
数２４の修正モデル画素値分布は、画素値分布全域に亘るオフセットノイズを考慮に入れる場合、下記数２５で与えられる。
（数２５）
Ｓ（ｉ，Ｆ（ｉ，｛ｚ｝），ｃ）＝Ｆ（ｉ，｛ｚ｝）＋ｃ
ここで、ｃは画素値分布の全域に亘る一定量のオフセットノイズによる未定係数である。測光センサによって計測された画素値分布ｆ（ｉ）と数２５で与えられる修正モデル画素値分布によって、設計変数｛ｚ｝及び未定係数ｃを未知数とする下記数２６で与えられる非線形最小２乗問題の目的関数が定式化される。
【００４６】
【数２６】
2009031109.tif 000039
数２６で与えられる非線形最小２乗問題を解いて、設計変数｛ｚ｝を決定することによって、画素値分布全域に亘る一定量のオフセットノイズを除去した光の像の画像解析を行うことができる。
【００４７】
傾斜のあるノイズを考慮に入れる場合、修正モデル画素値分布は下記数２７で与えられる。
（数２７）
Ｓ（ｉ，Ｆ（ｉ，｛ｚ｝），ａ，ｂ，ｃ）＝Ｆ（ｉ，｛ｚ｝）＋ａｘ＋ｂｙ＋ｃ
ノイズ項は傾斜のあるオフセットノイズを表すためにａｘ＋ｂｙ＋ｃ（ただし、ａ、ｂ及びｃは前記ノイズ項の未定係数であり、ｘ及びｙは直交座標である。）で与えられる。この場合、非線形最小２乗問題の目的関数は下記数２８で与えられる。
【００４８】
【数２８】
2009031109.tif 000040
数２８で与えられる非線形最小２乗問題を解いて、設計変数｛ｚ｝を決定することによって、傾斜のあるオフセットノイズを除去した光の像の画像解析を行うことができる。
【００４９】
測光センサの計測値が飽和することにより生じるノイズを考慮に入れる場合、修正モデル画素値分布は下記数２９で与えられる。
（数２９）
Ｓ（ｉ，Ｆ（ｉ，｛ｚ｝）；ｔ０）
数２９で与えられる修正モデル画素値分布は下記数３０の性質を有するようにする。
【００５０】
【数３０】
2009031109.tif 000041
この場合、非線形最小２乗問題の目的関数は下記数３１で与えられる。
【００５１】
【数３１】
2009031109.tif 000042
数３１で与えられる非線形最小２乗問題を解いて、設計変数｛ｚ｝を決定することによって、測光センサが飽和することによるノイズを除去した光の像の画像解析を行うことができる。
【００５２】
にじみノイズを考慮に入れる場合、修正モデル画素値分布は下記数３２で与える。
【００５３】
【数３２】
2009031109.tif 000043
ただし、ｊは異なる画素を区別するための符号である。ｂ（ｊ）はポイントスプ
レッド関数であり、画素ｉ−ｊが画素ｉに及ぼす影響を表している。
この場合、非線形最小２乗問題の目的関数は下記数３３で与えられる。
【００５４】
【数３３】
2009031109.tif 000044
数３３で与えられる非線形最小２乗問題を解いて、設計変数｛ｚ｝を決定することによって、にじみノイズを除去した光の像の画像解析を行うことができる。
【００５５】
ゴマシオノイズを考慮に入れる場合、修正モデル画素値分布は下記数３４で与えられる。
【００５６】
【数３４】
2009031109.tif 000045
数３４のノイズ項
2009031109.tif 000046
は、位置ｘｌでピーク値を有するゴマシオノイズを表している。この場合、非線形最小２乗問題の目的関数は下記数３５で与えられる。
【００５７】
【数３５】
2009031109.tif 000047
数３５で与えられる非線形最小２乗問題を解いて、設計変数｛ｚ｝を決定することによって、ゴマシオノイズを除去した光の像の画像解析を行うことができる。
【００５８】
以上、本発明の実施形態について具体的に説明したが、本発明はこれに限定されるものではなく、その趣旨を逸脱しない範囲で適宜変更可能である。
【図面の簡単な説明】
【００５９】
【図１】収差解析システムの構成例を示すブロック図である。
【図２】スポット像の全域に亘る一定量のオフセットノイズを有する強度分布に対する修正モデル強度分布を用いてのフィッティングを説明する図である。
【図３】オフセットノイズを有する強度分布に対して、従来法によるフィッティングの結果と修正モデル強度分布を用いたフィッティングの結果を示す図である。
【図４】測光センサ４の計測値が光の強度がある値ｔ０を超えると飽和する場合の、測光センサの計測値と光強度の関係を示す図である。
【符号の説明】
【００６０】
１                              収差解析システム
２                              光源
３                              光学系
４                              測光センサ
【図１】
2009031109.tif 000066
【図２】
2009031109.tif 000067
【図３】
2009031109.tif 000068
【図４】
2009031109.tif 000069