(57)【要約】【課題】物理的システムで生ずる波動伝播を評価する方法等を提供する。【解決手段】方法は、少なくとも２つの次元及び複数の第１グリッドセルを有する第１グリッドと、少なくとも２つの次元及び複数の第２グリッドセルを有する第２グリッドを有する計算領域の定義ステップと、所与の時間段階で全てのセルの１以上の解点の値を得る更新プロシージャ実行ステップとを有する。第２グリッドは第１グリッドの一部のリファインメントである。第１及び第２のグリッドセルの夫々は、シミュレーションされる物理的システムの物理量を表す値が得られる１以上の解点を有する。計算領域定義ステップは、一の次元で第１グリッドと比較される第１リファインメント係数を、他の次元で第１グリッドと比較される第２リファインメント係数を有する第２グリッドの定義ステップと、第２リファインメント係数と異なる第１リファインメント係数の定義ステップとを有する。【選択図】図８
2009129465.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって前記物理的システムで生ずる波動伝播を評価する方法であって、
少なくとも２つの次元及び複数の第１グリッドセルを有する第１グリッドと、少なくとも２つの次元及び複数の第２グリッドセルを有する第２グリッドを有する計算領域を定義するステップと、
所与の時間段階で全てのセルの少なくとも１つの解点について値を得るよう更新プロシージャを実行するステップと
を有し、
前記第２グリッドは、前記第１グリッドの少なくとも一部のリファインメントであり、
前記第１グリッドセル及び前記第２グリッドセルの夫々は、シミュレーションされる前記物理的システムの物理量を表す値が得られる１又はそれ以上の解点を有し、
前記計算領域を定義するステップは、
前記少なくとも２つの次元のうちの一方で前記第１グリッドと比較される第１リファインメント係数を有し且つ前記少なくとも２つの次元のうちの他方で前記第１グリッドと比較される第２リファインメント係数を有するよう前記第２グリッドを定義するステップと、
前記第２リファインメント係数とは異なるよう前記第１リファインメント係数を定義するステップと
を有する方法。
【請求項２】
前記計算領域を定義するステップは、前記第１リファインメント係数及び前記第２リファインメント係数のうちの一方を１に等しくなるよう定義するステップを有する、請求項１記載の方法。
【請求項３】
前記計算領域を定義するステップは、
第３の次元を有するよう前記第１グリッド及び前記第２グリッドの夫々を定義するステップと、
前記第３の次元で前記第１グリッドと比較される第３リファインメント係数を有するよう前記第２グリッドを定義するステップと、
前記第１リファインメント係数及び前記第２リファインメント係数のうちの少なくとも１つと異なるよう前記第３リファインメント係数を定義するステップと
を有する、請求項１又は２記載の方法。
【請求項４】
前記計算領域を定義するステップは、前記第１リファインメント係数及び前記第２リファインメント係数の両方と異なるよう前記第３リファインメント係数を定義するステップを有する、請求項３記載の方法。
【請求項５】
前記計算領域を定義するステップは、
少なくとも２つの次元及び複数の第３グリッドセルを有し、前記第２グリッドの少なくとも一部のリファインメントである第３グリッドを定義するステップと、
前記少なくとも２つの次元のうちの一方で前記第２グリッドと比較される第１リファインメント係数を有するよう前記第３グリッドを定義するステップと、
前記少なくとも２つの次元のうちの他方で前記第２グリッドと比較される第２リファインメント係数を有するよう前記第３グリッドを定義するステップと、
前記第３グリッドの前記第２リファインメント係数とは異なるよう前記第３グリッドの前記第１リファインメント係数を定義するステップと
を有する、請求項１乃至４のうちいずれか一項記載の方法。
【請求項６】
シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって前記物理的システムで生ずる波動伝播を評価する装置であって、
少なくとも２つの次元及び複数の第１グリッドセルを有する第１グリッドと、少なくとも２つの次元及び複数の第２グリッドセルを有する第２グリッドを有する計算領域を定義するよう構成される領域回路と、
所与の時間段階で全てのセルの少なくとも１つの解点について値を得るように更新プロシージャを実行するよう構成される更新回路と
を有し、
前記第２グリッドは、前記第１グリッドの少なくとも一部のリファインメントであり、
前記第１グリッドセル及び前記第２グリッドセルの夫々は、シミュレーションされる前記物理的システムの物理量を表す値が得られる１又はそれ以上の解点を有し、
前記領域回路は、
前記少なくとも２つの次元のうちの一方で前記第１グリッドと比較される第１リファインメント係数を有し且つ前記少なくとも２つの次元のうちの他方で前記第１グリッドと比較される第２リファインメント係数を有するよう前記第２グリッドを定義し、
前記第２リファインメント係数とは異なるよう前記第１リファインメント係数を定義するよう構成される装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、シミュレーションされるシステムの数値近似のためのコンピュータで実施される技術に関し、具体的に、このような技術を用いた電磁界の解析に関する。本発明は、マクスウェルの公式を解いて、所与の環境及び条件に関し電磁波伝播のダイナミクスをシミュレーションし予測するために有限差分時間領域（ＦＤＴＤ；Finite-Difference  Time-Domain）技術を用いる電磁界解析への特定の、しかし限定されない応用を見出す。
【背景技術】
【０００２】
様々な環境で生ずる、例えば電磁波伝播のような、多種多様な波動現象の効果をシミュレーションし考慮する必要性が、これまで増している。例えば、流体伝播のダイナミクスをシミュレーションすることができるならば、熱伝達又は電磁放射は多数の産業で大いに有利である。特に、電磁界シミュレーションは、電子製品の設計及び開発において重要な役割を担っている。この急速に変化する技術において、製品を市場に持ち込むのに要する時間は、商業上の利点を保つ際に決定的に重要な意味を有しうる。この点に関し、電磁シミュレーションは、装置の開発を進める際に設計エンジニアにとって極めて有利なツールを提供することができる。例えば、それは、複雑な電子体で生ずる表面電流及び内部磁界を近似するために用いられ得る。電磁シミュレーションは、また、電子装置、特にモバイル通信装置に関する健康上及び安全上の問題を評価するために、かかる装置によって発せられる電磁放射を解析するためにも用いられる。更に、電磁散乱の調査は、構造物表面の設計及び形状を最適化するために、例えば航空機のような、多数の複雑な構造物の設計において中心的な役割を果たす。対流熱伝達のシミュレーションは、例えば電子装置で用いられるもののように、換気（冷却及び／又は加熱）システムの解析及び開発において有用な助けである。それは、また、エレクトロニクス産業及び他の産業で生ずる潜在的な火災原因を検討しようとする火災シミュレーション方法での使用に適したツールを提供する。
【０００３】
一般的に言えば、如何なるモデル化プロセスにも含まれる主なステップは：
１）有限のグリッド及び材料特性に境界条件を設ける必要性を考慮しながら、構造化されたグリッドで考慮されるシステム（すなわち、構造又は環境。）のジオメトリを定義すること（例えば、電磁モデリングに関し、磁気誘電率ε、透磁率μ、及び導電率σが定義されるべきである。）；
２）所与の時点でグリッド内の各ノードで考慮される物理的現象に関し数値解を計算すること；及び
３）先の計算の各時間ステップで得られる解を視覚化して潜在的に操作する手段を提供すること
である。
【０００４】
このようなモデリング方法での使用を見出す１つのスキームはＦＤＴＤ法である。それは、１９６６年にＹｅｅによって最初に提案され、１、２又は３次元領域内の電磁伝播の挙動を解析するための多数の計算シミュレーションツールで使用されている。大まかに言えば、かかるスキームは、マクスウェルの公式の微分形式をディスクリタイズ（discretise）するために有限差分及び有限時間領域アプローチを用いる。この方法によって、マクスウェルの公式で必要とされる電界変数及び磁界変数の微分は、空間的な有限差分によって近似され、次いで、計算は一連の時間ステップで続く。
【０００５】
ＦＤＴＤ法に従って、シミュレーションが実行されうる計算領域又は“空間”は、１、２又は３次元における複数のセルを有して、時間及び空間の両方で離散したデカルトグリッドによって表される。図３は、セルの各点が整数の組（ｉ，ｊ，ｋ）によって表される３次元セルを示す。ここで、ｉ、ｊ及びｋは、夫々、ｘ軸、ｙ軸及びｚ軸の方向でのグリッド座標数である。セルの夫々は、所与の時点で電界及び磁界に関し多数の解点（solution  point）又はノードを有する。この図で、電界成分はセルの面上に定義され、電界成分はセルの端に定義される。ＦＤＴＤ原理に従って、電界は、磁界から空間的及び時間的にねじれている。
【０００６】
計算領域にグリッド構造を用いる如何なる明示的な数値モデリング技法とも同様に、安定性を確かにするためにセルサイズに対する時間ステップΔｔの制限が存在する。ＦＤＴＤ法の中で、これは：
【数１】
2009129465.tif 000003
によって与えられる。ここで、νは自由空間での光の速度である。
【０００７】
このような安全性の条件は、クーラン・フリードリッヒ・レービー（ＣＦＬ；Courant-Friedrichs-Lewy）条件として知られており、グリッドのセルディメンジョン（dimensions）に対する時間ステップΔｔのサイズに制限を課す。
【０００８】
多数の例で、モデル化されるべき対象又は環境は、例えば複雑な若しくは小規模なジオメトリ、又は曲面境界のような、所謂不均一性（inhomogeneities）を示す。かかる不均一性の影響を正確にシミュレーションし考慮するために、計算領域は、望ましくは、数値解法プロシージャがシステム全体にわたって様々なディテール（detail）レベルを捕らえることを可能にすべきである。入り組んだ又は小規模の構造を適切に解くことができないグリッドを用いて電磁界を解析することは、多数の用途で重大な結果を有しうる不正確なシミュレーションをもたらす。不十分な正確性のモデルを得ることは、例えば、モバイル通信装置からの電磁放射による人体への影響を解析する、ヒトの安全性を調査中である用途では、特に受け入れられない。更に、複雑な多次元の状況では、例えば、ラップトップコンピュータのような複雑な対象に関し電磁ダイナミクスをシミュレーションし予測しようとする場合に、構成要素レベルでラップトップ内で生ずる電磁相互作用を解明して正確に表すことができる必要がある。
【０００９】
従って、シミュレーションのために如何なるグリッド化された領域でも用いられるグリッドディメンジョン（Δｘ、Δｙ、Δｚ）が、かかるモデルにおいて最小特徴を正確に表すのに十分に小さくなければならないことは明らかである。当然、精細な幾何学的特徴は、緻密な表現のために精細なグリッドセルを必要とし、従って、グリッドが、３つの次元に関しΔｘ＝Δｙ＝Δｚである領域全体にわたって用いられる場合に、小さなディテールを解くために必要とされる如何なる空間リファインメント（refinement）も、計算グリッドディメンジョンの全体的なリファインメントをもたらす。同様に、高周波で変化する如何なる波動現象のシミュレーションも、時間とともに波の伝播を正確に表すよう精細なグリッドセルを必要とする。考慮中の対象、又はその部分が、例えばワイヤのような、小規模の又は複雑な幾何学的構造である場合に、精細なグリッドが、電流がワイヤを通って流れる場合に、そのワイヤの近くに生ずる場を正確にモデル化するために必要とされる。同様に、曲面をモデル化する場合にそれらがデカルトグリッドに適合するよう階段状にされるところの方法により生ずる誤差は、グリッドのより高いレベルのリファインメントを用いることによって軽減され得る。
【００１０】
従って、正確性を得るためには、精細なグリッドセルが絶対不可欠である。均一な計算グリッドで精細なグリッドセルを用いる必要性により、結果として、かかるモデルにおいて、セル数、ひいては解点の数が増大することは明らかである。言い換えると、これは、メモリ及び計算時間に対してより高い計算コストをもたらす。ＦＤＴＤスキームの例で、問題は、グリッドサイズに関して時間ステップΔｔを抑制するＣＦＬ安定性条件によって更に悪化する。すなわち、グリッドセルが細かくなればなるほど、また、時間ステップΔｔが小さくなればなるほど、計算作業負荷は更に増大する。従って、３次元の極めて入り組んだ高周波モデルを解析するために開発されたソフトウェアツールは、実行にかなりの時間を要するシミュレーションを行うために、大規模メモリ及び高処理能力の中央演算処理装置の形で十分な計算リソースを必要とする。
【００１１】
グリッドが解を得るよう集合的な計算に利用可能な処理要素の間で分割されるところの並列処理は、数値近似の計算時間を削減可能な１つの手段を提案する。しかし、このアプローチは、計算時間の削減で得られる如何なる利点も余分の処理要素の付加に伴う相当のコストによって相殺され得るために、特に複雑な状況において、しばしば費用効果的でない。
【００１２】
計算領域全体を精細なセルのグリッドに分割することよりむしろ、かかる領域にわたって全体的に粗いグリッドを用いて、１又はそれ以上の精細なグリッドを適用することが知られる。各精細なグリッドは、それらが必要とされる領域で複数の精細グリッドセルを有する。粗いグリッドを有し且つ精細なグリッドを埋め込まれた領域は、図１Ａ及び図１Ｂに示される。図１Ａは、粗いグリッド２０のセルごとに９つのセルを有する精細グリッド２１によって一様に精緻化される２次元粗グリッド２０を示す。図１Ｂは、粗いグリッド２２のセルごとに１６のセルを有する精細グリッド２３によって一様に精緻化される３次元粗グリッド２２を示す。従って、サブグリッド化（subgridding）として知られるこのような技術は、小規模構造体を解くために又は曲面境界のモデル化を改善するために粗グリッドモデル内で精細グリッドが必要とされる領域で局所的に精細グリッドを理知的に埋め込むことによって、計算リソースの必要条件を減らすことができる。当該技法は実質上解の正確性を精細グリッドモデルによって得られるそれに維持するが、メモリ及び計算時間の両方の節約は十分でありうる。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１３】
計算領域全体にわたって極めて小さい時間ステップを用いる必要性を回避するという、このような技法によって達成され得る重要な計算上の利点にも関わらず、サブグリッド化方法は、主として粗グリッドと精細グリッドとの間のインターフェースで生ずる数値的不安定により、少なくともＦＴＤＴにおいて、一般に適用されない。数値的不安定は、粗グリッドと精細グリッドとの間のインターフェースでの解点の数の不連続性の結果として起こる。具体的に、誤差は、２つのグリッド間のインターフェースで情報を伝えるのに必要とされる時間的及び空間的補間によって導入される。しばしば単一グリッドシステムで使用される不均一グリッド（すなわち、セルのサイズ及び形状が変化する個々のグリッド。）は、概して、均一グリッドよりも高い誤差を欠点とする。結果として、如何なる今まで使用されていたマルチグリッド法も、当該方法の各グリッドで均一な規則的な形状のセルを有するグリッドしか用いていない。
【課題を解決するための手段】
【００１４】
第１の態様に従って、シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって前記物理的システムで生ずる波動伝播を評価する方法であって、
少なくとも２つの次元及び複数の第１グリッドセルを有する第１グリッドと、少なくとも２つの次元及び複数の第２グリッドセルを有する第２グリッドを有する計算領域を定義するステップと、
所与の時間段階で全てのセルの少なくとも１つの解点について値を得るよう更新プロシージャを実行するステップと
を有し、
前記第２グリッドは、前記第１グリッドの少なくとも一部のリファインメントであり、
前記第１グリッドセル及び前記第２グリッドセルの夫々は、シミュレーションされる前記物理的システムの物理量を表す値が得られる１又はそれ以上の解点を有し、
前記計算領域を定義するステップは、
前記少なくとも２つの次元のうちの一方で前記第１グリッドと比較される第１リファインメント係数を有し且つ前記少なくとも２つの次元のうちの他方で前記第１グリッドと比較される第２リファインメント係数を有するよう前記第２グリッドを定義するステップと、
前記第２リファインメント係数とは異なるよう前記第１リファインメント係数を定義するステップと
を有する方法が提供される。
【００１５】
意外にも、本発明者は、マルチグリッド法に対する先入観にも関わらず、計算負荷を減らすことができる安定したマルチグリッド法を提供することが可能であることを見つけた。
【００１６】
好ましい本発明の実施形態に従って、異なる次元において異なる範囲に第１グリッドを精緻化することによって、余分の解点を不必要に計算することを回避するように、各次元におけるフィールド特性に従って、前記物理量の値が得られるべき解点の数を変えることによって計算負荷を減らすことが可能である。本発明者は、安定したスキームを洗練しながらこれを達成することができている。
【００１７】
“リファインメント係数（refinement  factor）”は、セルがｘ、ｙ及びｚ方向の１つで分割される数を表す。代替的に、それは、ｘ、ｙ及びｚ方向の１つでの粗セルのサイズと、該粗セルのリファインメントであるより細かいセルの（同じ方向での）サイズとの間の比として定義されても良い。（語“より粗い（coarser）”及び“より細かい（finer）”の使用より、それらの語がより粗いグリッド以外の他のグリッドに用いられ得ることが理解されるべきである。すなわち、それらは、一次レベルの精細グリッド及び二次レベルの精細グリッドに用いられ得る。）従って、３次元セルが精緻化される場合には、ｘ、ｙ及びｚ方向の夫々につき１つずつである、３つの異なるリファインメント係数が存在しうる。これらのリファインメント係数は、例えば、ｋｘ、ｋｙ及びｋｚと符号を付され得る。従って、より粗いセルが、その中に埋め込まれたリファインメント係数［ｋｘｋｙｋｚ］＝［１２３］のより細かいセルを有する場合は、ｘ方向にはより粗いセルごとに１つのより細かいセルがあり、ｙ方向にはより粗いセルごとに２つのより細かいセルがあり、ｚ方向にはより粗いセルごとに３つのより細かいセルがある。
【００１８】
当然、幾つかのリファインメントレベルを有する領域が考えられ得る。このような領域では、より高いリファインメントレベルを有する精細グリッドは、より低いリファインメントレベルを有する精細グリッド内に埋め込まれ得る。例えば、一次レベル精細グリッドは、一次レベル精細グリッドセルの１又はそれ以上の中に埋め込まれた少なくとも１つの二次レベル精細グリッドを有することができる。従って、粗グリッドの十分なリファインメントが特定の特徴又は不均一性の原因を解くために必要とされる状況で、必要とされるレベルのリファインメントは、一連のリファインメント段階で達成され得る。このようにして、粗グリッドと必要とされるリファインメントレベルの最終的なグリッドとの間の不連続性は、より高いレベルの安定性を計算プロシージャにもたらしながら、より次第に導入される。
【００１９】
前記第１グリッドが前記次元の１つで前記第２グリッドによって精緻化されない場合がありうる。この場合に、前記計算領域を定義するステップは、前記第１リファインメント係数及び前記第２リファインメント係数のうちの一方を１に等しくなるよう定義するステップを有することができる。このような状況は、例えば、図８に示される。図８では、ｙ方向にはリファインメントは存在せず、ｘ方向にのみリファインメントがある。
【００２０】
前記計算領域が第３の次元を有する必要がある場合がありうる。この場合に、前記計算領域を定義するステップは、
第３の次元を有するよう前記第１グリッド及び前記第２グリッドの夫々を定義するステップと、
前記第３の次元で前記第１グリッドと比較される第３リファインメント係数を有するよう前記第２グリッドを定義するステップと、
前記第１リファインメント係数及び前記第２リファインメント係数のうちの少なくとも１つと異なるよう前記第３リファインメント係数を定義するステップと
を有することができる。前記計算領域を定義するステップは、前記第１リファインメント係数及び前記第２リファインメント係数の両方と異なるよう前記第３リファインメント係数を定義するステップを有することができる。このように、前記第３の次元におけるリファインメント計数は、前記第１及び第２の次元におけるリファインメント係数の一方又は両方と異なりうる可能性が導入され、更なる柔軟性及び／又は計算負荷の削減が可能となる。
【００２１】
第３グリッドが前記計算領域において有用である場合がありうる。この場合に、前記計算領域を定義するステップは、
少なくとも２つの次元及び複数の第３グリッドセルを有し、前記第２グリッドの少なくとも一部のリファインメントである第３グリッドを定義するステップと、
前記少なくとも２つの次元のうちの一方で前記第２グリッドと比較される第１リファインメント係数を有するよう前記第３グリッドを定義するステップと、
前記少なくとも２つの次元のうちの他方で前記第２グリッドと比較される第２リファインメント係数を有するよう前記第３グリッドを定義するステップと、
前記第３グリッドの前記第２リファインメント係数とは異なるよう前記第３グリッドの前記第１リファインメント係数を定義するステップと
を有することができる。このように、前記第３グリッドが、それ自体前記第１グリッドの不均等なリファインメントである前記第２グリッドの不均等なリファインメントでありうる可能性が導入される。
【００２２】
第２の態様に従って、シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって前記物理的システムで生ずる波動伝播を評価する装置であって、
少なくとも２つの次元及び複数の第１グリッドセルを有する第１グリッドと、少なくとも２つの次元及び複数の第２グリッドセルを有する第２グリッドを有する計算領域を定義するよう構成される領域回路と、
所与の時間段階で全てのセルの少なくとも１つの解点について値を得るように更新プロシージャを実行するよう構成される更新回路と
を有し、
前記第２グリッドは、前記第１グリッドの少なくとも一部のリファインメントであり、
前記第１グリッドセル及び前記第２グリッドセルの夫々は、シミュレーションされる前記物理的システムの物理量を表す値が得られる１又はそれ以上の解点を有し、
前記領域回路は、
前記少なくとも２つの次元のうちの一方で前記第１グリッドと比較される第１リファインメント係数を有し且つ前記少なくとも２つの次元のうちの他方で前記第１グリッドと比較される第２リファインメント係数を有するよう前記第２グリッドを定義し、
前記第２リファインメント係数とは異なるよう前記第１リファインメント係数を定義するよう構成される装置が提供される。
【００２３】
前記領域回路は、前記第１リファインメント係数及び前記第２リファインメント係数のうちの一方を１に等しくなるよう定義するよう構成され得る。
【００２４】
前記領域回路は、前記第１リファインメント係数及び前記第２リファインメント係数のうちの一方を２又はそれ以上に等しくなるよう定義するよう構成され得る。
【００２５】
前記領域回路は、
第３の次元を有するよう前記第１グリッド及び前記第２グリッドの夫々を定義し、
前記第３の次元で前記第１グリッドと比較される第３リファインメント係数を有するよう前記第２グリッドを定義し、
前記第１リファインメント係数及び前記第２リファインメント係数のうちの少なくとも１つと異なるよう前記第３リファインメント係数を定義する
よう構成され得る。
【００２６】
前記領域回路は、前記第１リファインメント係数及び前記第２リファインメント係数の両方と異なるよう前記第３リファインメント係数を定義するよう構成され得る。
【００２７】
前記領域回路は、
少なくとも２つの次元及び複数の第３グリッドセルを有し、前記第２グリッドの少なくとも一部のリファインメントである第３グリッドを定義し、
前記少なくとも２つの次元のうちの一方で前記第２グリッドと比較される第１リファインメント係数を有するよう前記第３グリッドを定義し、
前記少なくとも２つの次元のうちの他方で前記第２グリッドと比較される第２リファインメント係数を有するよう前記第３グリッドを定義し、
前記第３グリッドの前記第２リファインメント係数とは異なるよう前記第３グリッドの前記第１リファインメント係数を定義する
よう構成され得る。
【００２８】
第３の態様に従って、コンピュータで実行される場合に、該コンピュータに、前出の第１の態様の方法を実行させるコンピュータプログラムが提供される。
【００２９】
第４の態様に従って、コンピュータに読み込まれる場合に、該コンピュータを、前出の第２の態様の装置として動作させるコンピュータプログラムが提供される。
【００３０】
前出の第３又は第４の態様のコンピュータプログラムは、キャリア媒体に伝えられ得る。
【００３１】
前記キャリア媒体は記録媒体でありうる。
【００３２】
前記キャリア媒体は伝送媒体でありうる。
【００３３】
第５の態様に従って、シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって前記物理的システムで生ずる波動伝播を評価するコンピュータプログラムであって、
少なくとも２つの次元及び複数の第１グリッドセルを有する第１グリッドと、少なくとも２つの次元及び複数の第２グリッドセルを有する第２グリッドを有する計算領域を定義するステップと、
所与の時間段階で全てのセルの少なくとも１つの解点について値を得るよう更新プロシージャを実行するステップと
を有し、
前記第２グリッドは、前記第１グリッドの少なくとも一部のリファインメントであり、
前記第１グリッドセル及び前記第２グリッドセルの夫々は、シミュレーションされる前記物理的システムの物理量を表す値が得られる１又はそれ以上の解点を有し、
前記計算領域を定義するステップは、
前記少なくとも２つの次元のうちの一方で前記第１グリッドと比較される第１リファインメント係数を有し且つ前記少なくとも２つの次元のうちの他方で前記第１グリッドと比較される第２リファインメント係数を有するよう前記第２グリッドを定義するステップと、
前記第２リファインメント係数とは異なるよう前記第１リファインメント係数を定義するステップと
を有するコンピュータプログラムが提供される。
【００３４】
前記第２グリッドの境界線上にある第２のグリッドセルの解は、空間的及び時間的補間によって、同一の場所に配置される第１グリッド値から得られる。同様に、前記第３グリッドの境界線上にある第３グリッドセルの解は、空間的及び時間的補間によって、同一の場所に配置される第２グリッド値から得られる。
【００３５】
前記計算領域は、コンピュータで実行されるコンピュータプログラムによって生成され得る。システムのジオメトリ及び材料特性を表す入力データは、ユーザによって入力され得る。更に、前記更新プロシージャは、コンピュータにインストールされて実行されるコンピュータプログラムによって実行され得る。
【００３６】
上記の態様は、ＦＤＴＤ（有限差分時間領域）法に基づく電磁界の数値近似に用いられ得る。この方法で、各セルは、電界
（外１）
2009129465.tif 000004
の解点が磁界
（外２）
2009129465.tif 000005
の解点に対して直角にねじれているところの電磁界に関し解点の配置を保つ。更新プロシージャは、ＦＤＴＤ更新式を用いて電界及び磁界に関し解を得るよう実行され得る。かかる式は、所与の時点及び空間内の点で第１場成分（第１場成分はＥ又はＨの一方である。）の新しい値を、第１場成分の空間内の所与の点での第２場成分（第２場成分はＥ又はＨの他方である。）の勾配項に関して定義する。勾配項は、第１場成分の空間における所与の点の１つの側にある第２場成分の値と、第１場成分の空間における前記所与の点の反対の側にある第２場成分の値との間の差によって近似され得る。
【００３７】
所与の時点での場（フィールド）に関し解を更新するために実行される更新プロシージャの間、最も粗いグリッドの全体は、１又はそれ以上のより細かいグリッドが存在する領域においてさえ更新され得る。これは、ＦＤＴＤ法の明示的な性質による。かかる性質は、当該グリッドの更新を完了して、領域全体にわたって電磁伝播を近似するために、特定のリファインメントレベルの長方形グリッドにおける全ての点で得られる値に依存する。例えば、最も粗いグリッドに関する解が、精細グリッドが存在する領域で中断する場合には、この最も粗いグリッドには“ホール（hole）”が有効に存在しうる。その場合、その近くの最も粗いグリッドの必要とされる値は欠落しているので、より細かいグリッドの近くの解点で最も粗いグリッドを更新することは不可能である。
【００３８】
前記計算領域は、デカルト（Cartesian）タイプのグリッドを有することができる。
【００３９】
更新プロシージャの間、解は、空間的及び時間的補間によって、前記第２グリッドの境界線において決定され得る。
【００４０】
前記第２グリッド及び／又は前記第３グリッドは、シミュレーションされる前記物理的システムで生ずる不均一性をマッピングするように前記計算領域内に位置付けられ得る。
【００４１】
前記第１グリッド、前記第２グリッド及び前記第３グリッドのいずれか１つ又はそれ以上は、形状において不規則（non-regular）でありうる。
【００４２】
前記計算領域は、コンピュータで実行されるコンピュータプログラムによって生成され得る。
【００４３】
前記更新プロシージャは、コンピュータで実行されるコンピュータプログラムによって実行され得る。
【００４４】
第６の態様に従って、シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって前記物理的システムで生ずる波動伝播を評価する方法であって、
マルチグリッド計算領域の少なくとも１つのグリッドの少なくとも一部の不均一リファインメントを有する方法が提供される。
【００４５】
第７の態様に従って、シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって前記物理的システムで生ずる波動伝播を評価する装置であって、
マルチグリッド計算領域の少なくとも１つのグリッドの少なくとも一部の不均一リファインメントのために構成される領域回路を有する装置が提供される。
【００４６】
これらの第６の態様の方法又は第７の態様の装置は、前出の態様のいずれか１つ又はそれ以上の特徴を有しうる。
【００４７】
本発明の実施例は、構造化されたデカルトグリッドを有する領域を用いる数値近似法で特定の使用を見出すことができる。
【００４８】
本発明は、その組み合わせにおいて又は単独で具体的に挙げられている（請求されている）かどうかに関わらず、単独で又は様々な組み合わせで１又はそれ以上の態様、実施例又は特徴を有する。
【００４９】
「課題を解決するための手段」は単なる例示を目的として記載されており、本発明を限定するものではない。
【発明の効果】
【００５０】
開示のシステムによれば、シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって前記物理的システムで生ずる波動伝播を評価することが可能となる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００５１】
本発明のより良い理解のために、及びどのように本発明の効果が得られるのかを示すために、以下、一例として、添付の図面を参照する。
【００５２】
電磁放射をシミュレーションするためのＦＤＴＤスキームに関連する以下の背景理論は、本発明の理解を助けるのに有用であると考えられる。
【００５３】
図１は、２次元で、粗グリッド２０及びそれに埋め込まれる精細グリッド２１を有する計算領域の一部を示す。９つの粗グリッドセルの領域内に埋め込まれている精細グリッドの境界線Ｐは、粗グリッドと精細グリッドとの間のインターフェースを形成する。図１Ｂは、３次元で、粗グリッド２２とそれに埋め込まれる精細グリッド２３を有する計算領域の一部を示す。
【００５４】
図２Ａは、リファインメント係数［ｋｘｋｙ］＝［４４］の精細グリッドを有する粗グリッド１を有する２次元領域を示す。精細グリッドは、６つの隣り合う粗グリッドセルＳ１乃至Ｓ６のリファインメントである。Ｐは、精細グリッドの境界線を定義し、粗グリッドと精細グリッドとの間の外部インターフェースから成る。共通インターフェースｉは、精細グリッドセルの端が粗グリッドセルの端と一致する精細グリッド２内の各点に存在する。各グリッド点は、一対の整数（ｉ，ｊ）によって表され得る。ここで、ｉ及びｊは、夫々、ｘ及びｙ方向でのグリッド座標数である。セルの夫々は、所与の時点で解かれる数値近似に関して多数の解点を有する。従って、グリッド上の数学解からシミュレーションされる画像は、所与の時点ｎでシミュレーションされる物理的システムの代表的なものである。この図で、解点は、粗グリッドセルＳ４内の精細グリッドに関して表されるように、セルの端及びセルの面の夫々で提供される。
【００５５】
解点の夫々で値を更新するために、明示的な時間進行解法プロシージャが実行され、解は前の時点の値を参照して所与の時点で得られる。解は、最初に、このようにして、粗グリッドに関して得られる。更新プロシージャの間、更に精細グリッドの夫々の解点を更新するために、精細グリッド２内の各共通インターフェースでの精細グリッド値は、空間的及び時間的補間によって当該共通インターフェースでの粗グリッド解から得られる。従って、値ａ５、ａ６、ａ９及びａ１０を得るために、補間はＡ３及びＡ５を用いて行われる。標準的な線形補間関数が、時間的及び空間的補間のために使用されても良い。具体的に、時間補間関数は、T（An,An+1,j）＝An＋j（An+1−An）によって与えられうる。ここで、ｊは、欠落している精細グリッド時間値である。例えば、図２Ａで、場所Ａ３で欠落している時間値ｎ＋１／４は、an+1/4＝T（A3n,A3n+1,1/4）によって与えられる。更に、空間補間関数は、S（Ai,Aj,d）＝Ai＋d（Aj−Ai）によって与えられ得る。ここで、ｉ及びｊは、値Ａの粗グリッド位置に関する座標であり、ｄは、ｉ−ｊ経路に沿ってｉからの正規化された距離である。例えば、図２Ａで、ａ５に関する欠落した空間値はa5＝S（A5,A5,d5）である。
【００５６】
精細グリッドセルの解点は、このようにして、欠落した精細グリッド値を埋める補間方法に続く更新の方向に適した粗グリッドインターフェースから更新される。
【００５７】
図２Ｂは、精細グリッドの最初の境界で値を得るために必要とされる補間プロシージャを説明するために、図２Ａの粗グリッドセルＣ（ｉ，ｊ＋１）及びＳ４を拡大表示したものである。粗グリッドセルＣ（ｉ，ｊ＋１）及び非粗グリッドセルＳ４は精細グリッド３によって精緻化される。解は、シミュレーションのための適切な数値更新ステンシル（stencils）を用いて粗グリッド解点Ａ１及びＡ２に関し得られる。精細グリッド解点の更新を開始するために、空間値は、解点ａ１乃至ａ４で必要とされる。これらの解点は、同じ場所に置かれた粗グリッド点Ａ２と少なくとも１つの他の粗グリッド点との間の空間的及び時間的補間を用いて得られる。上述される線形補間関数は、解点ａ１乃至ａ４で精細グリッド解を得るために使用され得る。従って、場所Ａ２での欠落している時間値ｎ＋１／４は、an+1/4＝T（A2n,A2n+1,1/4）によって与えられる。更に、空間補間関数は、S（Ai,Aj,d）＝Ai＋d（Aj−Ai）によって与えられ得る。ここで、ｉ及びｊは、値Ａの粗グリッド位置に関する座標であり、ｄは、ｉ−ｊ経路に沿ってｉからの正規化された距離である。
【００５８】
図３は、セルの各点が整数（ｉ，ｊ，ｋ）によって表される３次元セルを示す。ここで、ｉ、ｊ及びｋは、夫々、ｘ、ｙ及びｚ方向でのグリッド座標数である。セルは、所与の時点での電界及び磁界に関し多数の解点又はノードを有する。この図で、電界成分はセルの面上に定義され、電界成分はセルの端に定義される。ＦＤＴＤ原理に従って、電界の解点は、磁界の解点から空間的及び時間的にねじれている。このことは、解が同じ時点で又は空間内の同じ位置では電界及び磁界の両方に関し得られないことを意味する。むしろ、電界は、所与の時点で、すなわち、ｎ＝０，１，２．．．で解かれ、磁界は、次の時点で、すなわち、ｎ＝０．５，１．５，２．５．．．で解かれる。これは、図４で図式的に表されている。図４は、最初のフィールド条件が空間内の全ての点で零である場合に中心源点から伝播する単純な電磁波を示す。
【００５９】
如何なる電磁界も、マクスウェルの公式：
【数２】
2009129465.tif 000006
によって完全に記述される。ここで、Ｅ＝（Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚ）は電界（Ｖ／ｍ）であり、Ｈ＝（Ｈｘ，Ｈｙ，Ｈｚ）は磁界（Ａ／ｍ）であり、εは時間誘電率（Ｆ／ｍ）であり、μは透磁率（Ｈ／ｍ）であり、σは導電率（Ｓ／ｍ）である。
【００６０】
成分形式で式（３）及び（４）を記載すると：
【数３】
2009129465.tif 000007
が得られる。
【００６１】
式（３）から明らかなように、Ｈ場の時間微分はＥ場のカール（Curl）（すなわち、空間にわたるＥ場の変化。）に依存する。同様に、式（４）から、Ｅ場の時間微分は空間にわたるＨ場の変化に依存する。これは、空間内の所与の点でのＥ場の新しい値ＥＮ＋１が、ｉ）空間内の同じ点でのＥ場の古い値ＥＮと、ｉｉ）空間内のＥ場の点の一方の側でのＨ場の古い値ＨＮ＋１／２と空間内のＥ場の点の他方の側での値ＨＮ＋１／２との間の差とに依存する基本的なＦＤＴＤの式を我々に与える。同様に、Ｈ場の新しい値は、Ｈ場の古い値と、Ｈ場の点のいずれか一方の側でのＥ場の古い値の間の差とに依存する。従って、式（５）乃至（１０）の空間微分を近似することは、電磁界のための以下のＦＤＴＤ中心差分更新ステンシル：
【数４】
2009129465.tif 000008
を与える。ここで：
【数５】
2009129465.tif 000009
である。
【００６２】
計算シミュレーションの間に、式（１１）乃至（１６）は、時間ステップΔｔによって時間において前方にＥ場及びＨ場を増加的に進めるようリープフロッグ（leap-frog）法で解かれる。
【００６３】
図５は、信号線の近くで生ずる電磁放射のモデルが必要とされる信号線構造５を示す。図５Ａは、信号線構造の数値的近似を得るのに必要とされる領域に適用される大きな精細グリッド６を示す。明らかなように、より高いレベルのリファインメントを必要とする特徴を含まないが、処理すべき精細グリッドの計算リソースを必要とする領域の有効な範囲が存在する。図５Ｂは、複数の精細グリッド７ａ、７ｂ及び７ｃが、信号線の幾何学的外形を実質上マッピングするように計算領域内に位置付けられ得る方法を表す。複数の精細グリッドを有する精細グリッド範囲を理知的に位置付けることは、システムで生ずる不均一性の原因が効果的に処理されて解消されることを可能にする。
【００６４】
図６は、２次元で、異なるリファインメントレベルの２つのグリッドによって保持される解点の数における不連続性が扱われ得る方法を表す。具体的に、図６Ａ及び図６Ｂは、精細グリッドが存在する範囲内で粗グリッド解点を更新するためのプロシージャを表す。
【００６５】
図６Ａは、粗グリッド１０の２つの粗グリッドセル１１及び１２を示す。セル１２には、リファインメント係数［ｋｘｋｙ］＝［３３］の精細グリッド１３が埋め込まれている。星１４はインターフェース上の点を示す。かかる点は、値Ｅｙ２から空間的及び時間的補間によって決定されるべきであり、一定の境界条件を形成する。
【００６６】
粗グリッド解Ｈｚを得るために、勾配項のｙ成分
（外３）
2009129465.tif 000010
は、ＦＤＴＤ更新公式によって用いられる空間差分近似に従って、（ｅｙｂ−Ｅｙ２）によって求められ得るＥｙｘ＋１−Ｅｙｘによって決定される。
【００６７】
図６Ｂは、粗グリッド１５の２つの粗グリッドセル１６及び１７を示す。セル１７には、リファインメント係数［ｋｘｋｙ］＝［２２］の精細グリッド１８が埋め込まれている。星１９はグリッドインターフェース上の点を示す。かかる点は、値Ｅｙ２から空間的及び時間的補間によって決定されるべきであり、一定の境界条件を形成する。
【００６８】
この場合に、粗グリッド解Ｈｚを得るために、勾配項のｙ成分
（外４）
2009129465.tif 000011
は、ＦＤＴＤ更新公式によって用いられる空間差分近似に従って決定される。ＦＤＴＤ中心差分法によって必要とされるＥ場の値は、値ｅｙａ及びｅｙｂから空間補間によって得られる。
【００６９】
シミュレーションが実行されるべき領域は、通常、コンピュータで実施されるコンピュータプログラムによって生成される。シミュレーションされるシステムのジオメトリは、（零でありうる）初期フィールド条件、少なくとも１つの電磁放射源を表す関数及び材料特性の詳細とともに、ユーザによって前処理で特定されるべきである（例えば、磁界誘電率ε、透磁率μ及び導電率σが定義され得る。）。更に、マクスウェルの公式について正確な解を生成するために、結果は、無限の空間にわたって解を表すべきである。しかし、コンピュータの能力及びメモリの実際上の限界は、計算グリッドの終点を必要とする。如何なるこのような終点（termination）法も、有限な計算グリッド内で計算に影響を及ぼしてはならない。従って、このような効果に対する境界条件は、シミュレーションが実行される前に、計算領域の境界に定められる。ＦＤＴＤ法の明示性により、ディリクレ（Dirichlet）（固定値）インターフェース境界条件は、埋め込まれている精細グリッド境界に最も適する。
【００７０】
可能ならば変化するリファインメントレベルの精細グリッド範囲が、例えば、小規模構造体又は曲面境界の幾何学的外形をマッピングするように領域内に位置付けられるところの一実施例で、ユーザは、精細グリッド範囲を構成する各精細グリッドの位置、リファインメントレベル及び境界周囲を、精細グリッド範囲内の他の精細グリッドへのその接続性とともに特定することができる。
【００７１】
図７は、第１グリッド７０と、第２グリッド７２と、第３グリッド７４とを有するマルチグリッド領域を示す。各グリッドは均一なセルを有する。図示されるように、第２グリッド７２は、リファインメント係数［ｋｘｋｙ］＝［２２］による第１グリッド７０のリファインメントであり、第３グリッド７４は、リファインメント係数［ｋｘｋｙ］＝［２２］による第２グリッド７２のリファインメントである。図７は、２次元空間での一般的なマルチグリッドＦＤＴＤグリッド構造を表す。当然、均一なグリッドリファインメントは、必要でない範囲においてさえ、どこでも且つ各次元において精緻化する。これは、３次元モデルにおいて極めて重大である。
【００７２】
図８は、第１グリッド８０と、第２グリッド８２と、第３グリッド８４とを有するマルチグリッド領域を示す。第２グリッド８２及び第３グリッド８４は、夫々、不均等なセルを有する。図示されるように、第２グリッド８２は、リファインメント係数［ｋｘｋｙ］＝［２１］による第１グリッド８０のリファインメントであり、第３グリッド８４は、リファインメント係数［ｋｘｋｙ］＝［２１］による第２グリッド７２のリファインメントである。言い換えると、リファインメントは、１つの次元、すなわちｘ次元でのみ行われる。図２乃至６を参照して上述された更新プロシージャ並びに空間的及び時間的補間の議論は、図８に示されるグリッドにも同じように適用可能であることが分かる。
【００７３】
図９は、第２グリッド８２による第１グリッド８０のリファインメントをより詳細に示す。具体的に、図９は、Ａ１乃至Ａ５の符号を付され且つ円印によって表される解を含む第１グリッド８０のセルＳ１を示す。更に、第２グリッド８２のセルｓ１が示されている。このセルは、ａ１乃至ａ５の符号を付され且つバツ印によって表される解を含む。
【００７４】
当業者は、グリッド８０、８２、８４の間で空間的及び時間的補間を実行し、更に、上述されたアプローチと同様のアプローチを用いて更新プロシージャを考え出すことが可能である。
【００７５】
例えば、この実施例で、第１グリッド８０及び第２グリッド８２の時間ステップは等しく、従って、時間補間は必要とされない（他の実施例では、第１グリッド８０の時間ステップごとに第２グリッド８２には１よりも多い時間ステップが存在しうる。この場合には、時間補間は、例えば、式T（An,An+1,j）＝An＋j（An+1−An）を用いて実行され得る。ここで、ｊは、第２グリッド８２の欠落している時間値である。）。次いで、空間補間が実行され得る。例えば、第２グリッド８２のセルｓ１の解点ａ４の値を得るために、空間補間は、第１グリッド８０のセルＳ１の解点Ａ４と第１グリッド８０のセルＳ２の解点Ａ４との間で、式S（Ai,Aj,d）＝Ai＋d（Aj−Ai）を用いて実行され得る。ここで、ｉ及びｊは、夫々、セルＳ２の第１グリッド値Ａ４及びセルＳ１の第１グリッド値Ａ４の場所のｘ座標であり、ｄは、ｉ−ｊ経路に沿って解点ａ４からの正規化された距離である。領域の他の部分では、空間補間は必要とされ得ない。例えば、第２グリッド８２のセルｓ１の解点ａ１では、空間補間は第１グリッド８０のセルＳ１の解点Ａ１から必要とされない。
【００７６】
次いで、更新プロシージャが実行され得る。例えば、第２グリッド８２のセルｓ１の解点ａ５でＨｚに関して値を求めるために、勾配項
（外５）
2009129465.tif 000012
のｙ成分は、ＦＤＴＤ更新式によって用いられる空間差分近似に従って決定される。ＦＤＴＤ中心差分法によって必要とされるＥ場の値は、セルｓ１の解点ａ３及びａ４でＥｙに関する値から空間補間によって得られる。
【００７７】
当然、図８及び図９を参照して記載される配置は、１又はそれ以上の一様に精緻化されたサブグリッドを有する領域と比較して削減された計算負荷を提供する。簡単な例で、Ｎ３（Ｎ×Ｎ×Ｎ）個のセルを有する粗グリッドに対する２の均一リファインメントは、粗グリッドサイズの８倍である８Ｎ３（２Ｎ×２Ｎ×２Ｎ）の精細グリッドを与えうる。リファインメントがＸ方向でしか必要でない（明瞭さのために、Ｘにおいてのみ均一に精緻化される）場合に、不均一リファインメントは、２Ｎ３（２Ｎ×Ｎ×Ｎ）の精細グリッドサイズを与える。これは、均一リファインメントの場合を不均一リファインメントの場合と比較して、３差分の総グリッドサイズ係数（Ｎ３＋８Ｎ３）／（Ｎ３＋２Ｎ３）を示す。
【００７８】
表１は、５つのレベルについてグリッドリファインメント処理を示す。各レベルは、明瞭さのために、埋め込み領域全体に関して、２によって精緻化されている。第５のレベルで、総グリッドサイズ差は、ちょうど６００を下回る係数である。当然、存在するレベルが多くなればなるほど、均一リファインメントの場合と非均一リファインメントの場合との間の差はますます大きくなる。
【表１】
2009129465.tif 000013
【００７９】
上記の例は、マルチレベルのグリッドリファインメントの場合において、数十から数百のグリッドサイズ減少係数が、不均一グリッドリファインメントを用いて得られることを示す。これは、同様の規模の計算速度へ言い換えられる。非均一リファインメントの一例は、リファインメントが一般的に唯１つの方向で必要とされるところの信号線タイプの構造を含むモデルでありうる。
【００８０】
表２は、不均一リファインメントが、例となる場合に完全に適用される場合に達成され得るデータを表す。表１で、ｘ方向は均一に精緻化された。表２で、リファインメントは、必要とされる範囲でのみ行われる。各レベルでの平均セル増加は係数１．５（ｘ方向の半分で２のリファインメント）であるとする。第５のレベルで、１８００の総グリッドサイズの減少係数が達成される。このような減少は、メモリ及び計算の両方での実質的な減少を意味する。言い換えると、１０００及びそれ以上のセル態様スケール変化を伴うマルチサイズシミュレーションは、１０００倍速く行われ得る。結果として、以前は計算に数週間を要していたマルチサイズモデルは、この場合には数時間で行われ得る。
【表２】
2009129465.tif 000014
【００８１】
更に、全ての空間方向で精緻化する必要性を伴わずに、タイムステップ（Δｔ）のサイズは、数値安定のためのＣＦＬ条件に従って、より大きくされ得る。より大きいΔｔは、時間ステップの数を減らす。これは、所要時間期間に達するよう計算の数を減らす。
【００８２】
時間及び空間ステップを満足するためのＣＦＬ条件は：
【数６】
2009129465.tif 000015
である。ここで、ｃは光の速度であり、ｔ、ｘ、ｙ及びｚは夫々の時間及び空間の大きさである。立方空間グリッド（Δｘ＝Δｙ＝Δｚ）に関し、ＣＦＬ条件は：
【数７】
2009129465.tif 000016
となる。
【００８３】
【表３】
2009129465.tif 000017
表３は、立法空間グリッド（立方体グリッドは明瞭のためにのみ用いられる。）に対するＣＦＬ条件から計算されるタイムステップ限界を示す。リファインメント２で、不均一な場合におけるΔｔ限界は、大きくなればなるほど、粗グリッドと埋め込み精細グリッドとの間の時間同期に起因して有効に活用され得ない。すなわち、２時間ステップが依然として必要とされる。これは、リファインメント３ではそれほどでない。リファインメント３で、不均一なΔｔ限界は、リファインメント２の均一な場合においてよりも大きい。これは、埋め込みグリッドで、３に代えて、２時間ステップのΔｔが可能にされることを意味する。これは、１つの粗グリッド時間ステップごとに埋め込みグリッドで１時間ステップが削減されること（すなわち、３３％の計算時間）に相当する。時間ステップの数が増大するにつれ、総体的な計算時間の削減は３３％の数値へ向かう。これは、正確性を妥協することなく達成される。
【００８４】
マルチレベルグリッド埋め込み処理は、グリッドの夫々の部分の不均一なリファインメント及び均一なグリッドリファインメントの両方を含みうる。
【００８５】
不均一グリッドリファインメントの実施は、以下の特徴のいずれか１つ又はそれ以上を含みうる：
・均一及び不均一グリッドリファインメント；
・最小数の時間ステップのための埋め込みグリッドの夫々についての最良のΔｔの計算；
・入力パラメータ、モデルライブラリデータベース、及びユーザ好みに基づく最良のグリッドリファインメント・ストラテジ（strategy）の選択；
・正確なジオメトリ表現；
・高品質且つ計算効率の高いマルチレベルグリッドの生成；及び
・ＧＵＩシステムへの直接の一体化。
【００８６】
図１０は、シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって、その物理的システムで生ずる波動伝播を評価する方法を示す。この方法は、少なくとも２つの次元及び複数の第１グリッドセルを有する第１グリッド８０と、少なくとも２つの次元及び複数の第２グリッドセルを有する第２グリッド８２とを有する計算領域を定義するステップ（Ｓ１）を有する。第２グリッド８２は、第１グリッド８０の少なくとも一部のリファインメントであり、第１グリッドセル及び第２グリッドセルの夫々は、シミュレーションされる物理的システムの物理量を表す値が得られる１又はそれ以上の解点を有する。計算領域を定義するステップ（Ｓ１）は、前記少なくとも２つの次元の一方で第１グリッド８０と比較される第１リファインメント係数を有するよう且つ前記少なくとも２つの次元の他方で第１グリッド８０と比較される第２リファインメント係数を有するよう第２グリッド８２を定義するステップと、第１リファインメント係数を第２リファインメント係数と異ならせるよう定義するステップとを有する。当該方法は、更に、所与の時間段階で全てのセルの少なくとも１つの解点に関して解を得るよう更新プロシージャを実行するステップ（Ｓ２）を有する。
【００８７】
図１１は、シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって、その物理的システムで生ずる波動伝播を評価する装置１００を示す。装置１００は、第１グリッド８０及び第２グリッド８２を有する計算領域を定義するよう構成される領域回路１０２と、更新プロシージャを実行するよう構成される更新回路１０４とを有する。
【００８８】
図１２は、シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって、その物理的システムで生ずる波動伝播を評価するコンピュータプログラム２００を示す。プログラム２００は、第１グリッド８０及び第２グリッド８２を有する計算領域を定義するよう構成される領域コンポーネント２０２と、更新プロシージャを実行するよう構成される更新コンポーネント２０４とを有する。
【００８９】
当然、本発明の様々な態様は、単独で又は単一の実施例で組み合わされて使用され得る。
【００９０】
以上の実施形態に関し、更に以下の付記を開示する。
（付記１）
シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって前記物理的システムで生ずる波動伝播を評価する方法であって、
少なくとも２つの次元及び複数の第１グリッドセルを有する第１グリッドと、少なくとも２つの次元及び複数の第２グリッドセルを有する第２グリッドを有する計算領域を定義するステップと、
所与の時間段階で全てのセルの少なくとも１つの解点について値を得るよう更新プロシージャを実行するステップと
を有し、
前記第２グリッドは、前記第１グリッドの少なくとも一部のリファインメントであり、
前記第１グリッドセル及び前記第２グリッドセルの夫々は、シミュレーションされる前記物理的システムの物理量を表す値が得られる１又はそれ以上の解点を有し、
前記計算領域を定義するステップは、
前記少なくとも２つの次元のうちの一方で前記第１グリッドと比較される第１リファインメント係数を有し且つ前記少なくとも２つの次元のうちの他方で前記第１グリッドと比較される第２リファインメント係数を有するよう前記第２グリッドを定義するステップと、
前記第２リファインメント係数とは異なるよう前記第１リファインメント係数を定義するステップと
を有する方法。
（付記２）
前記計算領域を定義するステップは、前記第１リファインメント係数及び前記第２リファインメント係数のうちの一方を１に等しくなるよう定義するステップを有する、付記１記載の方法。
（付記３）
前記計算領域を定義するステップは、
第３の次元を有するよう前記第１グリッド及び前記第２グリッドの夫々を定義するステップと、
前記第３の次元で前記第１グリッドと比較される第３リファインメント係数を有するよう前記第２グリッドを定義するステップと、
前記第１リファインメント係数及び前記第２リファインメント係数のうちの少なくとも１つと異なるよう前記第３リファインメント係数を定義するステップと
を有する、付記１又は２記載の方法。
（付記４）
前記計算領域を定義するステップは、前記第１リファインメント係数及び前記第２リファインメント係数の両方と異なるよう前記第３リファインメント係数を定義するステップを有する、付記３記載の方法。
（付記５）
前記計算領域を定義するステップは、
少なくとも２つの次元及び複数の第３グリッドセルを有し、前記第２グリッドの少なくとも一部のリファインメントである第３グリッドを定義するステップと、
前記少なくとも２つの次元のうちの一方で前記第２グリッドと比較される第１リファインメント係数を有するよう前記第３グリッドを定義するステップと、
前記少なくとも２つの次元のうちの他方で前記第２グリッドと比較される第２リファインメント係数を有するよう前記第３グリッドを定義するステップと、
前記第３グリッドの前記第２リファインメント係数とは異なるよう前記第３グリッドの前記第１リファインメント係数を定義するステップと
を有する、付記１乃至４のうちいずれか一項記載の方法。
（付記６）
シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって前記物理的システムで生ずる波動伝播を評価する装置であって、
少なくとも２つの次元及び複数の第１グリッドセルを有する第１グリッドと、少なくとも２つの次元及び複数の第２グリッドセルを有する第２グリッドを有する計算領域を定義するよう構成される領域回路と、
所与の時間段階で全てのセルの少なくとも１つの解点について値を得るように更新プロシージャを実行するよう構成される更新回路と
を有し、
前記第２グリッドは、前記第１グリッドの少なくとも一部のリファインメントであり、
前記第１グリッドセル及び前記第２グリッドセルの夫々は、シミュレーションされる前記物理的システムの物理量を表す値が得られる１又はそれ以上の解点を有し、
前記領域回路は、
前記少なくとも２つの次元のうちの一方で前記第１グリッドと比較される第１リファインメント係数を有し且つ前記少なくとも２つの次元のうちの他方で前記第１グリッドと比較される第２リファインメント係数を有するよう前記第２グリッドを定義し、
前記第２リファインメント係数とは異なるよう前記第１リファインメント係数を定義するよう構成される装置。
（付記７）
前記領域回路は、前記第１リファインメント係数及び前記第２リファインメント係数のうちの一方を１に等しくなるよう定義するよう構成される、付記６記載の装置。
（付記８）
前記領域回路は、
第３の次元を有するよう前記第１グリッド及び前記第２グリッドの夫々を定義し、
前記第３の次元で前記第１グリッドと比較される第３リファインメント係数を有するよう前記第２グリッドを定義し、
前記第１リファインメント係数及び前記第２リファインメント係数のうちの少なくとも１つと異なるよう前記第３リファインメント係数を定義する
よう構成される、付記６又は７記載の装置。
（付記９）
前記領域回路は、前記第１リファインメント係数及び前記第２リファインメント係数の両方と異なるよう前記第３リファインメント係数を定義するよう構成される、付記８記載の装置。
（付記１０）
前記領域回路は、
少なくとも２つの次元及び複数の第３グリッドセルを有し、前記第２グリッドの少なくとも一部のリファインメントである第３グリッドを定義し、
前記少なくとも２つの次元のうちの一方で前記第２グリッドと比較される第１リファインメント係数を有するよう前記第３グリッドを定義し、
前記少なくとも２つの次元のうちの他方で前記第２グリッドと比較される第２リファインメント係数を有するよう前記第３グリッドを定義し、
前記第３グリッドの前記第２リファインメント係数とは異なるよう前記第３グリッドの前記第１リファインメント係数を定義する
よう構成される、付記６乃至９のうちいずれか一項記載の装置。
（付記１１）
コンピュータで実行される場合に、該コンピュータに
付記１乃至５のうちいずれか一項記載の方法を実行させるコンピュータプログラム。
（付記１２）
コンピュータに読み込まれる場合に、該コンピュータを
付記６乃至１０のうちいずれか一項記載の装置として動作させるコンピュータプログラム。
（付記１３）
キャリア媒体によって伝えられる、付記１１又は１２記載のコンピュータプログラム。
（付記１４）
前記キャリア媒体は記録媒体である、付記１３記載のコンピュータプログラム。
（付記１５）
前記キャリア媒体は伝送媒体である、付記１３記載のコンピュータプログラム。
【図面の簡単な説明】
【００９１】
【図１Ａ】２次元で表される計算領域への埋め込み精細グリッドの適用を示す。
【図１Ｂ】３次元で表される計算領域への埋め込み精細グリッドの適用を示す。
【図２Ａ】２次元デカルトグリッド領域を示す。
【図２Ｂ】より大きいスケールで、図２Ａの領域の一部を示す
【図３】ＦＤＴＤ（有限差分時間領域）スキームで用いられる３次元セルを示す。
【図４】中心源点から伝播するシミュレーションされた電磁波を表す。
【図５Ａ】信号線構造への精細グリッドの適用を示す。
【図５Ｂ】信号線構造への、多数の精細グリッドを有する精細グリッド範囲の適用を示す。
【図６】同じ場所におかれるエッジで及びエッジに隣接して生ずる解点を表す。
【図７】均一なセルを夫々有する第１、第２及び第３グリッドを有するマルチグリッド領域を示す。
【図８】第２及び第３グリッドが不均一なセルを有する場合に第１、第２及び第３グリッドを有するマルチグリッド領域を示す。
【図９】第２グリッドによる第１グリッドの図８中のリファインメントをより詳細に示す。
【図１０】シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって、物理的システムで生ずる波動伝播を評価する方法を表すフローチャートである。
【図１１】シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって、物理的システムで生ずる波動伝播を評価する装置の概略図である。
【図１２】シミュレーションされる物理的システムの数値近似を得ることによって、物理的システムで生ずる波動伝播を評価するコンピュータプログラムの概略図である。
【符号の説明】
【００９２】
１００  装置
１０２  領域回路
１０４  更新回路
２００  コンピュータプログラム
２０２  領域コンポーネント
２０４  更新コンポーネント
８０    第１グリッド
８２    第２グリッド
８４    第３グリッド
Ｓ１    計算領域を定義するステップ
Ｓ２    更新プロシージャを実行するステップ
【図１Ａ】
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【図１Ｂ】
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【図２Ａ】
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【図２Ｂ】
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【図３】
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【図４】
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【図５Ａ】
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【図５Ｂ】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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