(57)【要約】【課題】ゴム材料の大変形を精度良く疑似化する。【解決手段】  ゴム材料の変形計算を微小な時間増分で行うシミュレーション方法であって、数値解析が可能な複数個の要素でゴム材料をモデル化したゴム解析モデルを設定する処理（ステップＳ１）と、該ゴム解析モデルが実質的に非圧縮特性を示すように、前記ゴム解析モデルの体積変化を規定する第１の材料パラメータの値を設定する処理（ステップＳ２）と、少なくとも前記第１の材料パラメータと予め定めた解析条件とを用いて前記ゴム解析モデルの第１の変形計算を行う処理（ステップＳ５）と、前記第１の変形計算後の各要素の歪又は応力を計算する処理（ステップＳ６）と、前記歪又は応力が予め定めた値を超えているときに、当該要素に実質的な体積変化が生じるように前記第１の材料パラメータの値を変更するパラメータ変更処理（ステップＳ８）とを含む。【選択図】図２
2009259043.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
ゴム材料の変形計算を微小な時間増分で行うシミュレーション方法であって、
数値解析が可能な複数個の要素でゴム材料をモデル化したゴム解析モデルを設定する処理と、
該ゴム解析モデルが実質的に非圧縮特性を示すように、前記ゴム解析モデルの体積変化を規定する第１の材料パラメータの値を設定する処理と、
少なくとも前記第１の材料パラメータと予め定めた解析条件とを用いて前記ゴム解析モデルの第１の変形計算を行う処理と、
前記第１の変形計算後の各要素の歪又は応力を計算する処理と、
前記歪又は応力が予め定めた値を超えているときに、当該要素に実質的な体積変化が生じるように前記第１の材料パラメータの値を変更するパラメータ変更処理とを含むことを特徴とするゴム材料のシミュレーション方法。
【請求項２】
前記第１の材料パラメータがポアソン比であり、
前記パラメータ変更処理は、前記要素の歪又は応力に基づいて前記ポアソン比の値を減少させる請求項１記載のゴム材料のシミュレーション方法。
【請求項３】
前記ポアソン比の初期の値が０．４９以上かつ０．５未満である請求項２記載のゴム材料のシミュレーション方法。
【請求項４】
前記第１の材料パラメータが体積弾性率である請求項１記載のゴム材料のシミュレーション方法。
【請求項５】
前記体積弾性率の初期の値が、ゴム解析モデルの要素の弾性率の２０倍以上であり、かつ
前記パラメータ変更処理は、前記ゴム解析モデルの歪又は応力に基づいて前記体積弾性率を減少させる請求項４記載のゴム材料のシミュレーション方法。
【請求項６】
前記パラメータ変更処理の後、変更された第１の材料パラメータを用いて第２の変形計算を行う処理と、
この第２の変形計算の結果と前記第１の変形計算の結果との差を計算する処理と、
前記差が予め定めた値を超えているときに、前記時間増分を小さくする処理とをさらに含む請求項１乃至５のいずれかに記載のゴム材料のシミュレーション方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、ゴム材料の大変形を精度良く再現するのに役立つシミュレーション方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
近年、各種ゴム材料の性能評価を能率良く行うために、有限要素法を用いたコンピュータシミュレーション方法が種々行われている（例えば、下記特許文献１ないし２参照）。これらのシミュレーションでは、例えば、ゴム材料を有限個の要素で分割したゴム解析モデルに材料特性を定義し、予め定めた境界条件などを適用してその変形挙動が微小な時間増分毎に計算される。
【０００３】
また、前記ゴム解析モデルには、通常、変形した場合でも実質的に体積変化が生じない非圧縮特性が定義される。具体的には、ゴム解析モデルの材料特性として、ポアソン比を０．５に近い値に設定することや、体積弾性率を大きく設定することが行われている。
【０００４】
なお、弾性体の材料定数として、体積弾性率ｋ、弾性率Ｅ及びポアソン比νは下式（１）の関係を満たす。
ｋ＝Ｅ／｛３（１−２ν）｝  …（１）
上記式（１）において、ポアソン比νを０．５とおくと、体積弾性率ｋが無限大になり、コンピュータ計算時にエラーが生じる。これまでのゴム材料の変形シミュレーションでは、このような不具合を防止するために、ポアソン比として０．５にきわめて近似した値、例えば０．４９０〜０．４９５程度が設定されている。
【０００５】
【特許文献１】特開２００３−３２０８２４号公報
【特許文献２】特許第３３１４０８２号公報
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
ところで、ゴム材料に引張荷重を負荷して変形させると、破壊直前のような大変時では、ゴム材料の内部に部分的な破壊や空隙等が発生し、ゴム材料の見かけ上の体積を増大させる。しかしながら、ポアソン比が非圧縮特性を示すように一定値に固定された従来のゴム解析モデルでは、このような体積変化を再現することが難しい。このため、大変形時のゴム解析モデルの変形挙動は、現実のゴムのそれとは大きく乖離することが多く、正確な再現が困難であるという問題があった。
【０００７】
本発明は、以上のような実情に鑑み案出なされたもので、変形後のゴム解析モデルの要素の歪又は応力が予め定めた値を超えているときに、当該要素に実質的な体積変化が生じるように該体積変化を規定する第１の材料パラメータの値を変更する処理を含ませることを基本として、破壊直前のような大変形時の挙動をも精度良く再現するのに役立つゴム材料のシミュレーション方法を提供することを主たる目的としている。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
本発明のうち請求項１記載の発明は、ゴム材料の変形計算を微小な時間増分で行うシミュレーション方法であって、数値解析が可能な複数個の要素でゴム材料をモデル化したゴム解析モデルを設定する処理と、該ゴム解析モデルが実質的に非圧縮特性を示すように、前記ゴム解析モデルの体積変化を規定する第１の材料パラメータの値を設定する処理と、
少なくとも前記第１の材料パラメータと予め定めた解析条件とを用いて前記ゴム解析モデルの第１の変形計算を行う処理と、前記第１の変形計算後の各要素の歪又は応力を計算する処理と、前記歪又は応力が予め定めた値を超えているときに、当該要素に実質的な体積変化が生じるように前記第１の材料パラメータの値を変更するパラメータ変更処理とを含むことを特徴とする。
【０００９】
また請求項２記載の発明は、前記第１の材料パラメータがポアソン比であり、前記パラメータ変更処理は、前記要素の歪又は応力に基づいて前記ポアソン比の値を減少させる請求項１記載のゴム材料のシミュレーション方法である。
【００１０】
また請求項３記載の発明は、前記ポアソン比の初期の値が０．４９以上かつ０．５未満である請求項２記載のゴム材料のシミュレーション方法である。
【００１１】
また請求項４記載の発明は、前記第１の材料パラメータが体積弾性率である請求項１記載のゴム材料のシミュレーション方法である。
【００１２】
また請求項５記載の発明は、前記体積弾性率の初期の値が、ゴム解析モデルの要素の弾性率の２０倍以上であり、かつ前記パラメータ変更処理は、前記ゴム解析モデルの歪又は応力に基づいて前記体積弾性率を減少させる請求項４記載のゴム材料のシミュレーション方法である。
【００１３】
また請求項６記載の発明は、前記パラメータ変更処理の後、変更された第１の材料パラメータを用いて第２の変形計算を行う処理と、この第２の変形計算の結果と前記第１の変形計算の結果との差を計算する処理と、前記差が予め定めた値を超えているときに、前記時間増分を小さくする処理とをさらに含む請求項１乃至５のいずれかに記載のゴム材料のシミュレーション方法である。
【発明の効果】
【００１４】
本発明のゴム材料のシミュレーション方法において、ゴム解析モデルには、当初、非圧縮性を示すように第１の材料パラメータの値が設定される。一方、変形後のゴム解析モデルの要素の歪又は応力が予め定めた値を超えているときに、当該要素に実質的な体積変化が生じるように該体積変化を規定する第１の材料パラメータの値を変更する処理が行われる。このため、ゴム解析モデルは、その変形計算において、変形が小さいときには非圧縮性特性を示す一方、変形が大きいときには、体積変化が生じる圧縮特性を示すことができる。従って、本発明のシミュレーション方法によれば、ゴム解析モデルは、現実のゴム材料が示す大変形時の体積変化を伴った形状変化を再現できる。従って、コンピュータシミュレーションであっても、ゴム材料の実物の変形挙動を精度良く再現することが可能になる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１５】
以下、本発明の実施の一形態が図面に基づき説明される。
本発明では、ゴム材料の変形挙動を調べるためのゴム材料のシミュレーション方法が提供される。このようなシミュレーション方法は、図１に示されるようなコンピュータ装置１を用いて行われる。該コンピュータ装置１は、本体１ａ、キーボード１ｂ、マウス１ｃ及びディスプレイ装置１ｄを含んで構成される。前記本体１ａには、演算処理装置（ＣＰＵ）、ＲＯＭ、作業用メモリー、磁気ディスクなどの記憶装置及びディスクドライブ装置１ａ１、１ａ２などが適宜設けられる。なお、記憶装置には、後述する方法を実行するための処理手順（プログラム）が予め記憶される。
【００１６】
図２には、本実施形態のシミュレーション方法のフローチャートを示す。
本実施形態では、先ずゴム解析モデルが設定される（ステップＳ１）。ゴム解析モデルは、解析対象となるゴム材料（実在するか否かは問わない。）を、数値解析が可能な要素でモデル化することにより設定される。ゴム材料は、ゴムを主要部に含むものであればいかなる形状のものでも良い。例えば、ゴム材料は、全てがゴムからなる塊状のブロックやシートでも良いし、ゴムとコード材料とを複合させた複合体であっても良い。さらに、ゴム材料は、例えばゴルフボールや空気入りタイヤなどのより具体的なゴム製品（ともに図示せず）の形状を有するものでも良い。
【００１７】
図３（ａ）には、本実施形態で解析対象となるゴム材料２の斜視図を示す。前記ゴム材料２は、全体が薄肉六面体をなし、その中央に幅が小さい切り込みからなるスリット２ａが形成されている。本実施形態のシミュレーション方法では、このようなゴム材料２にそのスリット２ａを開くような引張荷重Ｐを与えたときの変形挙動が調べられる。ただし、ゴム材料２の形状等は、例示の態様に限定されるものではなく自由に定めることができるのは言うまでもない。
【００１８】
図３（ｂ）には、前記ゴム材料２をモデル化したゴム解析モデル３の側面図を視覚化して示す。該ゴム解析モデル３は、前記ゴム材料２を有限個の小さい要素ｅを用いて分割（メッシュ分割）することにより設定される。この処理は、ユーザーがコンピュータ装置１上でメッシュ作成ソフトウエア等を使用して任意に行うことができる。
【００１９】
また、ゴム解析モデル３は、前記コンピュータ装置１で取り扱いが可能な数値データとして特定される。具体的には、各要素ｅの節点座標値や節点番号、要素番号などが数値データとして互いに関連づけられて定義される。これらの数値データは、コンピュータ装置１にて計算に用いられるとともに、ソフトウエアを用いて図３（ｂ）のように容易に視覚化される。
【００２０】
前記要素ｅには、例えば、四つの節点を有する四面体要素又は六つの節点を有する六面体要素といった三次元のソリッド要素が好適に用いられる。本実施形態のゴム解析モデル３は、全てが正六面体のソリッド要素でモデル化されている。なお、切り欠き効果が現れるスリット３ａ周辺の変形をより詳細に調べるために、該スリット３ａの周辺部を他の部分に比して相対的に小さい要素で構成する（節点を密とする）ことが望ましい。また、ゴム材料２がコード層等の複合材を含む場合、要素ｅには、例えば直交異方性が定義されたシェル要素などの二次元平面要素が用いられても良い。
【００２１】
次に、本実施形態では、ゴム解析モデル３に、材料特性と全体剛性マトリックスとが設定される（ステップＳ２）。これらは、前記コンピュータ装置１を使用してユーザーにより入力、設定される。
【００２２】
前記材料特性として、例えばゴム解析モデル３の各要素ｅの弾性率Ｅ、密度ρ及び体積変化に関する第１の材料パラメータであるポアソン比などが定義される。材料特性の各値は、解析対象となるゴム材料２に即して定められ、その値が各要素ｅに割り当てられる。本実施形態のゴム解析モデル３は、均質な材料からなるため、全ての要素ｅに同一の材料特性が定義される。
【００２３】
また、ポアソン比は、初期値として、ゴム解析モデル３が実質的に非圧縮特性を示す値に設定される。即ち、上述した通り、計算エラーが生じないように０．５ではないけれども、それに近い値、好ましくは０．４９以上かつ０．５０未満の範囲（本実施形態では０．４９）で設定されるのが望ましい。従って、「ゴム解析モデル３が実質的に非圧縮特性を示す」とは、ポアソン比が０．５である完全な非圧縮特性を意味するのではなく、上述のように０．５に近似したポアソン比を具える物体が示す特性で足りるものとする。
【００２４】
前記全体剛性マトリックス「Ｋ］は、各要素に設定される要素剛性マトリックス［Ｄ］をモデル全体について足し合わせたもので、要素剛性マトリックス［Ｋ］e を用いて下記式（２）により得ることができる。
［Ｋ］＝Σ［Ｋ］e   …（２）
また、要素剛性マトリックス［Ｋ］eは、下記式（３）のように、剛性マトリックス［Ｄ］とＢマトリックスとを用いて計算される。剛性マトリックス［Ｄ］は、要素の荷重に対する変形し難さ、即ち下記式（４）のように、応力σと歪εとの関係を示し前記材料特性に応じて決めることができる。さらに、Ｂマトリックスは下記式（５）のように、変位δと歪εとの関係を示すものである。
［Ｋ］e ＝∫［Ｂ］−１［Ｄ］［Ｂ］ｄｖ  …（３）
［σ］＝［Ｄ］｛ε｝                  …（４）
｛ε｝＝［Ｂ］｛δ｝                  …（５）
なお、本実施形態では、剛性マトリックス［Ｄ］は、次式（６）のように第１の材料パラメータとしてのポアソン比を含むものとなる。
【数１】
2009259043.tif 000003
【００２５】
次に、解析終了か否かがコンピュータ装置１によって判断される（ステップＳ３）。解析を終了させる条件は、必要に応じて種々定めることができ、例えば荷重負荷時からの経過時間、ゴム解析モデル３の破断の有無等を挙げることができる。本実施形態では後者が採用される。そして、解析終了条件を満たす場合、処理を終える（ステップＳ３でＹ）。
【００２６】
また、解析終了ではないと判断された場合（ステップＳ３でＮ）、本実施形態のシミュレーション方法では、境界条件が更新される（ステップＳ４）。更新される境界条件としては、
引張荷重Ｐの大きさ、向き、荷重速度及び／又は変形計算のための時間増分などが挙げられる。
【００２７】
次に、ゴム解析モデル３の第１の変形計算が有限要素法により行われる（ステップＳ５）。該第１の変形計算では、前記各要素ｅの節点変位、即ち、変形後のゴム解析モデル３の変形形状が計算される。前記全体剛性マトリックス［Ｋ］、各節点の変位を示す節点変位ベクトル｛δ｝及び外力ベクトル｛Ｐ｝は、下記式（７）の関係があるので、全体剛性マトリックスの逆マトリックス［Ｋ］−１を求めることにより、節点変位ベクトル｛δ｝を得ることができる。
｛Ｐ｝＝［Ｋ］｛δ｝  …（７）
【００２８】
次に、ゴム解析モデル３の各要素について最大主歪が計算される（ステップＳ６）。最大主歪は、各要素ｅの様々な方向に生じる歪の大きさをより代表的に示す。したがって、その値を調べることにより、各要素の変形度合いを的確に調べることができる。しかし、このようパラメータに代えて、最大応力や平均応力などの物理量が用いられても良い。
【００２９】
次に、この最大主歪の変化に基づいて、ゴム解析モデル３に実質的な体積変化が生じるように第１の材料パラメータ（ポアソン比）の値を変更する必要がある要素の有無が調べられる（ステップＳ７）。下記表１には、各要素ｅの最大主歪と、その値に基づいて設定されるべきポアソン比の値との関係の一例が示される。また、図４には、そのグラフを示す。  本実施形態では、要素の最大主歪が０〜３．０と比較的変形が小さい場合、ポアソン比は、初期の値（即ち０．４９）がそのまま用いられる。従って、変形が小さい要素は、実質的な体積変化が生じない非圧縮性を示すものとして取り扱われる。他方、最大主歪が３．０を超える大きな変形をなす要素のポアソン比は、最大主歪の増大に伴って小さい値に変更される。
【００３０】
【表１】
2009259043.tif 000004
【００３１】
また、ステップＳ７の判断について述べると、例えば、任意の１要素について、前回のステップ（時間増分前のステップ）で計算された最大主歪が１．０、今回のステップで計算された最大主歪が２．０のような場合、図４、表１によれば、当該要素は第１の材料パラメータを変更する必要はない。即ち、表１によれば、当該要素のポアソン比は０．４９のままで良い。従って、このような要素は、ステップＳ７において、「第１の材料パラメータを変更しなければならない要素」には該当しない。他方、任意の１要素について、前回のステップで計算された最大主歪が１．０、今回のステップで計算された最大主歪が４．０のような場合、表１によれば、当該要素のポアソン比は０．４９から０．４５に変更される必要がある。従って、このような要素は、ステップＳ７において、「第１の材料パラメータを変更しなければならない要素」に該当する。なお、この表に記載されていない最大主歪−ポアソン比の対応関係については、線形補間によって適宜計算される。このような判断が、全ての要素について行われる。
【００３２】
次に、第１の材料パラメータを変更しなければならない要素（以下、このような要素を「対象要素」と呼ぶ。）が存在しない場合（ステップＳ７でＮ）、解析終了条件を満たすまで、ステップＳ４〜６が繰り返し行われる。これにより、引張荷重が作用した瞬間から時間増分きざみで刻々と変化するゴム解析モデル３の形状が計算されかつ出力される。
【００３３】
他方、対象要素が存在する場合（ステップＳ７でＹ）、該対象要素の第１の材料パラメータ（ポアソン比）が表１に従って変更され（パラメータ変更処理）、他の境界条件を用いて全体剛性マトリックスが再度設定される（ステップＳ８）。そして、この新たに設定された全体剛性マトリックスを用いて変形形状の再計算、即ち第２の変形計算が行われる（ステップＳ９）。ここで、式（６）で示したように、剛性マトリックス［Ｄ］には、ポアソン比が含まれている。従って、変形度合いが大きい要素については、ポアソン比を小さく変更することで、第２の変形計算時、第１の変形計算に比べて体積変化を大きく発現させることができる。即ち、現実のゴム材料が大変形するときに示すような体積変化を伴った形状変化を、本来変化しない第１の材料パラメータを可変とすることにより再現できる。従って、実物の変形挙動を精度良く再現することが可能になる。
【００３４】
なお、本実施形態のシミュレーション方法では、第２の変形計算の後、該第２の変形計算結果と前記第１の変形計算の結果との差が計算され、その差が予め定めた許容範囲内か否かが判断される（ステップＳ１０）。この判断基準は、シミュレーションの内容に応じて適宜設定できる。一例として、ゴム解析モデル３の全節点数をＮ、第ｉ節点（ｉは１〜Ｎまでの整数）の第１の変形計算での変位をｄ１ｉ、第２の変形計算での変位をｄ２ｉとしたとき、変位の差｜ｄ１ｉ−ｄ２ｉ｜の最大値が、第１の変形計算での全要素の平均変位（Σｄ１ｉ／Ｎ）の所定パーセント以下の場合に許容範囲内とすることが望ましい。なお、数値範囲などは、材料に応じて変えることができるが、一例として５％程度が好適である。
【００３５】
そして、第２の変形計算結果と第１の変形計算の結果との差が許容範囲内の場合（ステップＳ１０でＹ）、十分な解析終了条件を満たすまでステップＳ４〜６が繰り返され、ゴム解析モデル３の変形形状が再度計算される。他方、計算結果の差が許容範囲外の場合（ステップＳ１０でＮ）、時間増分を小さくし（ステップＳ１１）、該対象要素の第１の材料パラメータ（ポアソン比）を変更前の値に戻し、他の境界条件を用いて全体剛性マトリックスが再度設定される（ステップＳ１２）。そして、ステップＳ４以降が実行される。
【００３６】
第１の材料パラメータを変更したことにより計算結果が急激に変化する場合、この変化の過程を細かく追跡しなければ正確な計算結果（正解）には到達できないおそれがある。従って、本実施形態のように、ステップＳ１０において、第１の変形計算の結果と第２の変形計算結果との差が許容範囲ではないと判断された場合には、境界条件の更新増分量を小さくして剛性マトリックス等を再設定することにより、計算精度を高めることができる。なお、境界条件更新増分量を小さくする態様としては、例えば計算の時間増分を小さくすることが挙げられる。また、静的な釣合計算の場合には、例えば本来１mm変形させるところを０．５mmとしたり、荷重の負荷量を減らすことなどを挙げることができる。なお、本実施形態によれば、ステップＳ１０でＮの場合、先の境界条件に基づいて計算された第１の変形計算結果及び第２の変形計算結果はいずれも破棄されることになる。
【００３７】
以上説明したシミュレーション方法の具体例を示す。図５には、図２の手順に従って行ったゴム解析モデルの引張試験のシミュレーション結果として、ゴム解析モデルの変形形状を示す。また、図６には、実物のゴム材料にシミュレーションと同様の引張試験を行ったときの側面図を示す。なお、引張荷重は、できるだけゆっくりかつ徐々に増大するように作用させ、モデルが破断することにより、シミュレーションを停止させた、他の条件は次の通りである。
ゴム解析モデルの形状：高さ３０mm×水平長さ３０mm×厚さ１mmの薄肉六面体
スリット：切り込み深さ１０mm
要素の弾性率：５ＭＰａ
ポアソン比：表１の通り可変
密度：１．１ｇ／cm3
【００３８】
図５及び図６から明らかなように、本実施形態のシミュレーションでは、実物のゴム材料と非常に近似した変形形状が得られていることが確認できる。他方、図７には、ポアソン比を０．４９で一定とした同一時刻の比較例のシミュレーション結果を示す。このものでは、体積変化が生じていないため、スリットの変形形状が、実物のそれと大きく異なっていることが分かる。
【００３９】
以上本発明のシミュレーション方法について説明したが、本発明はその要旨を逸脱しない範囲において種々の変更が可能である。例えば、上記実施形態では、第１の材料パラメータとして、ポアソン比を用いたが、その逆数であるポアソン数を採用しても良いのは言うまでもない。この場合、ポアソン数は、要素の変形の増大に伴って増加するように変更される。また、第１の材料パラメータとして、体積弾性率を採用することもできる。この場合、体積弾性率の初期の値は、ポアソン比０．４９に相当する程度に定められ、好ましくはゴム解析モデル３の要素ｅに定義される弾性率（縦弾性率）の２０倍以上かつ１０００倍以下に設定されるのが望ましい。そして、パラメータ変更処理では、ポアソン比の場合と同様に、ゴム解析モデル３の歪又は応力の増大に伴って、前記体積弾性率を減少させることができる。
【図面の簡単な説明】
【００４０】
【図１】コンピュータ装置の一例を示す斜視図である。
【図２】本実施形態の処理手順の一例を示すフローチャートである。
【図３】（ａ）は解析対象のゴム材料の斜視図、（ｂ）はそれを対象としたゴム解析モデルの側面図である。
【図４】ポアソン比と最大主歪との関係を示すグラフである。
【図５】ゴム解析モデルのシミュレーション結果を視覚化して示す側面図である。
【図６】実物のゴム材料の引張試験結果を示す側面図である。
【図７】本発明外のゴム解析モデルのシミュレーション結果を視覚化して示す側面図である。
【符号の説明】
【００４１】
１  コンピュータ装置
２  ゴム材料
３  ゴム解析モデル
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
2009259043.tif 000009
【図７】
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【図６】
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