(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
プロセス変数を計測するための送信機であって、
プロセスに連結し、前記プロセス変数に関係するセンサ出力を提供するように構成されたセンサと、
前記センサ出力を受け、該センサ出力を補間するために使用される直交多項式の関数である補間プロセス変数を出力するように構成された多項式補間器であって、前記直交多項式として規格化されたチェビシェフ直交多項式を用い、整数計算で前記補間プロセス変数を算定する多項式補間器と、
前記補間プロセス変数を受け、該補間プロセス変数に関係する出力を提供するように構成された送信機出力手段と、を含む送信機。
【請求項２】
前記規格化されたチェビシェフ直交多項式の項Ｔｎ（ｘ）が漸化式に従う請求項１に記載の送信機。
【請求項３】
前記漸化式が
0004989831.tif 000020
であり、ここでｘが前記センサ出力に関係し、ｎが前記規格化されたチェビシェフ直交多項式の次数を表わし、Ｎが前記センサ出力の独立読みの数を表わす請求項２に記載の送信機。
【請求項４】
前記補間プロセス変数が前記センサ出力の少なくとも２つの読みの関数である請求項１に記載の送信機。
【請求項５】
前記送信機出力手段が４〜２０ｍＡプロセス制御ループからなる二線式プロセス制御ループ上に出力を送出するように構成された請求項１に記載の送信機。
【請求項６】
前記送信機が前記二線式プロセス制御ループから受け取った電力で完全に駆動される請求項５に記載の送信機。
【請求項７】
前記多項式補間器がマイクロプロセッサーを含む請求項１に記載の送信機。
【請求項８】
前記多項式補間器が３２データビットと２４データビット仮数の、少なくとも一方を使用している数字を表す請求項１に記載の送信機。
【請求項９】
前記センサ出力が圧力および温度を表す２つのセンサ出力である請求項１に記載の送信機。
【請求項１０】
前記補間プロセス変数が圧力を含む請求項１に記載の送信機。
【請求項１１】
前記補間プロセス変数の出力が３つのセンサ出力の直交多項式関数である請求項１に記載の送信機。
【請求項１２】
前記センサ出力が差圧、絶対圧力、および温度を表わす請求項１に記載の送信機。
【請求項１３】
前記補間プロセス変数が流量、密度、気体膨張率の少なくとも１つを含む請求項１に記載の送信機。
【請求項１４】
プロセス変数を計測するための送信機であって、
プロセスに連結し、前記プロセス変数に関係するセンサ出力を提供するように構成されたセンサと、
前記センサ出力を受け、該センサ出力を補間するために使用される多項式の関数である補間プロセス変数を出力するように構成された多項式補間器であって、前記多項式として規格化されたチェビシェフ直交多項式を用い、整数計算で前記補間プロセス変数を算定し、前記規格化されたチェビシェフ直交多項式は、前記センサ出力の累乗の指数が１を超えている指数関数の項を含む前記多項式補間器と、
前記補間プロセス変数を受け、該補間プロセス変数に関係する出力を提供するように構成された送信機出力手段とを含み、
前記送信機出力手段は、二線式プロセス制御ループ上に出力を送出するように構成され、前記送信機は、前記二線式プロセス制御ループから受け取った電力で完全に駆動される、送信機。
【請求項１５】
前記二線式プロセス制御ループが４〜２０ｍＡのプロセス制御ループからなる請求項１４に記載の送信機。
【請求項１６】
前記多項式補間器がマイクロプロセッサを含む請求項１４に記載の送信機。
【請求項１７】
プロセス送信機でプロセス変数を計測するための方法であって、
前記プロセス変数に関係するプロセスのパラメータを感知して、センサ出力を提供するステップと、
直交多項式を使用する補間を前記センサ出力に適用することによって前記プロセス変数を近似して補間プロセス変数を算定するステップであって、前記直交多項式として規格化されたチェビシェフ直交多項式を用い、整数計算で前記補間プロセス変数を算定するステップと、
前記補間プロセス変数を出力するステップと、を含む方法。
【請求項１８】
前記規格化されたチェビシェフ直交多項式の項Ｔｎ（ｘ）が漸化式に従う請求項１７に記載の方法。
【請求項１９】
前記補間プロセス変数を算定するステップが、少なくとも２つの異なるセンサからの２つのセンサ出力の関数である補間プロセス変数を算定する請求項１７に記載の方法。
【請求項２０】
前記補間プロセス変数を出力するステップが、二線式プロセス制御ループ上に前記補間プロセス変数を送出することを含む請求項１７に記載の方法。
【請求項２１】
前記二線式プロセス制御ループから受け取った電力を使用して前記プロセス送信機を完全に駆動することを含む請求項２０に記載の方法。
【請求項２２】
前記補間プロセス変数を算定するステップが３４データビットを使用している数字を表すことを含む請求項１７に記載の方法。
【請求項２３】
前記補間プロセス変数がプロセス流体の流量を示す請求項１７に記載の方法。
【請求項２４】
プロセス送信機でプロセス変数を計測するための方法であって、
前記プロセス変数に関係するプロセスのパラメータを感知して、センサ出力を提供するステップと、
規格化された直交多項式の関数を前記センサ出力に適用することによって前記プロセス変数を近似して補間プロセス変数を整数計算で算定するステップであって、前記規格化された直交多項式は、前記センサ出力の累乗の指数が１を超えている指数関数の項を含むステップと、
前記補間プロセス変数を出力するステップと、を含む方法。
【請求項２５】
前記規格化された直交多項式の項が漸化式に従う請求項２４に記載の方法。
【請求項２６】
前記漸化式が
0004989831.tif 000021
であり、ここでｘが前記センサ出力に関係し、ｎが前記規格化された直交多項式の次数を表わし、Ｎが前記センサ出力の独立読みの数を表す請求項２５に記載の方法。
【請求項２７】
前記補間プロセス変数を算定するステップが、前記規格化された直交多項式の関数を２つ以上のセンサの２つ以上のセンサ出力に適用することを含む請求項２４に記載の方法。
【請求項２８】
プロセス変数を計測するための送信機であって、
プロセスに連結し、前記プロセス変数に関係するセンサ出力を提供するように構成されたセンサ手段と、
前記センサ出力からデータを補間するために使用される直交多項式の関数として補間プロセス変数を算定するための多項式補間手段であって、前記直交多項式として規格化されたチェビシェフ直交多項式を用い、整数計算で前記補間プロセス変数を算定する多項式補間手段と、
前記補間プロセス変数に関係する出力を提供するように構成された出力手段と、を含む送信機。
【請求項２９】
プロセス変数を計測するために使用される型の送信機内のマイクロプロセッサシステムによって実行可能な命令を格納したコンピュータ読取可能記録媒体であって、前記命令が、
前記プロセス変数に関係するプロセスのパラメータを感知して、センサ出力を提供することと、
前記センサ出力を補間するために使用される規格化されたチェビシェフ直交多項式を使用して前記プロセス変数を近似して補間プロセス変数を整数計算で算定することと、
前記補間プロセス変数を出力することと、を含むコンピュータ読取可能記録媒体。
【請求項３０】
プロセス変数を計測するために使用される型の送信機内のマイクロプロセッサシステムによって実行可能な命令を格納したコンピュータ読取可能記録媒体であって、前記命令が、
前記プロセス変数に関係するプロセスのパラメータを感知して、センサ出力を提供することと、
規格化された直交多項式の関数を前記センサ出力に適用して前記プロセス変数を近似して補間プロセス変数を整数計算で算定することであって、前記規格化された直交多項式は、前記センサ出力の累乗の指数が１を超えている指数関数の項を含むことと、
前記補間プロセス変数を出力することと、を含むコンピュータ読取可能記録媒体。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
発明の背景
本発明は、プロセス計測および制御工業の分野に関する。
プロセス計測および制御工業では、プロセス変数送信機を使用し、スラリー、液体、蒸気、ガス、化学薬品、パルプ、石油、医薬品、食品、その他の処理プラントの流体に関連したプロセス変数を遠隔的に監視している。プロセス変数の例は、圧力、温度、流量、液位、混濁度、濃度、化学組成、ｐＨ、およびその他の特性を含む。
【０００２】
あるプロセス変数を決定するには、複雑な数学的計算が要求される。例えば、オリフィス板前後の差圧を計測することによって流量を決定するために、計算は流体密度およびガス膨張係数などの流体の物理的性質の決定を必要とする。これらのパラメータの計算は、広範な計算を含み、それは送信機の更新時間を低下させ、より複雑な処理装置を必要とし、電力の増加を必要とする。
【０００３】
この計算の複雑さを減じる１つの技術は、いくつかのパラメータに対して単に固定近似値を使用することである。例えば、精確な式を用いて計算するよりむしろ、メモリに固定値を格納しておくことができる。より正確な技術は、直線多項式曲線当てはめを使用することである。この技術では、プロセス変数は、精確な計算を実行するよりは複雑でない多項式を使用することによって算定される。そのような技術は、１９９７年６月２０日に出願された「簡略化されたプロセスを用いて差圧発生器を流れる流量を示す信号を提供する送信機」（TRANSMITTER FOR PROVIDING A SIGNAL INDICATIVE OF FLOW THROUGH A DIFFERENTIAL PRODUCER USING A SIMPLIFIED PROCESS）と称するＷＩＰＯ公開公報第ＷＯ９７／０４２８８号、および１９９７年２月２５日に発行された「遠隔センサからプロセス変数を受信する入力を有する送信機」（TRANSMITTER HAVING INPUT FOR RECEIVING A PROCESS VARIABLE FROM A REMOTE SENSOR）と称する米国特許第５，６０６，５１３号に記載されている。例えば、流体の圧縮率（Ｚ）の逆数の平方根は、
【０００４】
【数１】
0004989831.tif 000002
の形の「直線」多項式を用いて近似することができる。ここでＰは流体の絶対圧、Ｔは絶対温度、係数Ａm,nは補間多項式の係数である。
【０００５】
図３Ａおよび図３Ｂは、先行技術の多項式曲線当てはめ技術の誤差を示す。図３Ａは、１０個の異なる温度値について圧力の関数としてのエチレンの曲線当てはめ誤差を示す。この補間多項式における圧力Ｐおよび逆温度（１／Ｔ）の最高累乗は、それぞれ８および６である。エチレンの場合の温度および圧力は、飽和圧力温度からかけ離れていない。ｊ＝６およびｋ＝８として式１に記載された補間多項式の６３個の係数Ａm,nを決定するために、最小限の数（６３）の圧力および温度点が使用された。図３Ａは、特に圧力の極値で直線多項式曲線当てはめに関連した大きい誤差を示す。図３Ｂは、３２ビットの浮動小数点数（２４ビットの仮数）を使用したときのさらに大きい誤差を示す。図３Ｂに示すように、誤差が１０5パーセントを超え、結果は実質的に無意味となる。図３Ｂの例では、係数は６４ビットの数を用いて決定され、当てはめ多項式の計算は、３２ビットの浮動小数点数を用いて実行された。３２ビットは、マイクロプロセッサで実行される浮動小数点の数学計算で使用される典型的なビット数であることに注意されたい。最小二乗当てはめ技術を使用すると、有効ビット数の損失によって生じる粗さは低下する。しかし、そのような曲線当てはめにより生じる誤差は、一部の状況では依然として比較的大きい。
【０００６】
この近似技術は、多項式の最高累乗が３または４を超え、かつ多項式が複数の独立変数で形成される場合には、特に不正確である。この不正確さは、計測されるプロセス変数の不正確さの原因となり得る。一般的に、唯一の解決策は、強力なコンピュータおよび高電力を必要とする精確な式を使用することであった。
【０００７】
発明の概要
補間多項式を使用して、送信機でプロセス変数を決定する。この補間多項式は「直交」であり、電力消費を大きく増加することなく、プロセス変数の正確な算定をもたらす。送信機は、プロセスに連結するように構成され、かつプロセス変数に関連するセンサ出力を有するセンサを含む。送信機はまた、センサ出力に連結され、かつプロセス変数出力を有するマイクロプロセッサをも含む。プロセス変数出力は、センサ出力の直交多項式関数である。送信機の出力は、補間プロセス変数に関連する出力を提供するように構成される。
【０００８】
図面の簡単な説明
図１は、本発明のプロセス送信機、特に流量送信機の実施形態の周囲環境図である。
図２は、プロセス送信機の概略図である。
図３Ａおよび図３Ｂは、種々の温度について精確に実行されたプロセス変数の補間と３２ビットの浮動小数点数を用いて実行された補間の百分率誤差対圧力のグラフである。
図４Ａおよび図４Ｂは、６４ビットの浮動小数点数と３２ビットの浮動小数点数を用いて計算されたチェビシェフ多項式補間を使用した、種々の温度についての百分率誤差対圧力のグラフである。
図５Ａおよび図５Ｂは、６４ビットの浮動小数点数と３２ビットの浮動小数点数を使用する７×５の行列を使用したチェビシェフ多項式補間の、種々の温度についての百分率誤差対圧力のグラフである。
図６は、本発明の一実施態様のブロック図である。
図７Ａおよび図７Ｂは、１６ビットの整数と３２ビットの整数を使用するチェビシェフ多項式補間の、種々の温度についての百分率誤差対圧力のグラフである。
図８Ａおよび図８Ｂは、１６ビットと３２ビットの整数を使用し、数字を切り捨てたチェビシェフ多項式補間の、種々の温度についての百分率誤差対圧力のグラフである。
【０００９】
実施形態の詳細な説明
図１は、プロセス計測または制御システム２の流量送信機１０などのプロセス送信機の周囲環境を示す。送信機１０は、２線式プロセス制御ループ１４（実質的に電圧源６および抵抗８として図示する）を通して制御室２４に連結する。送信機１０は、管継手またはフランジ１４を介して管１２などのプロセス流体容器に連結される。管１２はガスまたは液体などの流体の流動を矢印１６によって示す方向に導く。以下の説明は、プロセス変数を計測するための送信機１０などの送信機について述べる。プロセス変数は、多項式補間として知られる数学的技法を用いて算定する。直交多項式として知られる特定の型の多項式を多項式補間に使用する。直交多項式は、過度の計算を必要とすることなく、プロセスの非常に正確な算定を提供する。以下の説明は、本発明の見地を例示し説明するために提供する。この説明は、本発明の範囲を限定するものではなく、個々の実施形態は、ここで述べる特別な例を変形して得ることができることを当業者は理解できるであろう。
【００１０】
送信機１０は、送信機電子モジュール１８を含み、差圧、静圧、および温度を計測することによって管１２内の流量を決定する。送信機１０は、温度センサ筐体２４内に担持された抵抗温度装置（ＲＴＤ）に、電線管２６を介して連結する。送信機１０は、差圧センサおよび絶対圧力センサを含む。送信機１０は、可撓管路２８を通して、好ましくはツイストペア導線を用いて形成された４〜２０ｍＡの二線式ループによって、管１２内を流動するプロセス流体の流量を示す出力信号を制御室４に提供する。発信は例えば、「Highway Addressable Remote Transducer：ＨＡＲＴ（登録商標）」標準または「Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ（商標）」フィールドバス標準に従うことができる。流量は、本明細書で後述するように、発明の一つの見地にしたがって直交多項式などの補間多項式を用いて決定される。
【００１１】
図２は、送信機１００の筐体の内部または外部のいずれかとすることのできるセンサ１０２（幾つかの実施形態では要素１０２は複数のセンサを表わす）に連結する、プロセス送信機の簡易ブロック図である。センサ１０２からの出力は、アナログデジタル変換器１０４によってデジタル化され、マイクロプロセッサ１０６内に具現化される多項式補間器に提供される。マイクロプロセッサ１０６は、クロック１０８によって決定される速度で、メモリ１１０に格納された命令に従って作動する。メモリ１１０はまた、永久変数および一時変数の両方を格納することができる。マイクロプロセッサ１０６は、ループ１１４に連結するループ通信器１１２に連結する。
【００１２】
送信機１１０は、プロセス変数を計測するために使用する。センサ１０２は、図１に示した管１２内で運搬されるプロセス流体などのプロセスに連結するように構成され、センサ出力１２０をアナログデジタル変換器１０４に提供する。アナログデジタル変換器１０４は、マイクロプロセッサ１０６のような多項式補間器にデジタル化出力１２２を提供し、このマイクロプロセッサ１０６は、ループ通信器１１６のような送信機出力にプロセス変数出力１２４を提供する。プロセス変数出力１２４は、センサ出力１２０の直交多項式の関数である。メモリ１１０は直交多項式の係数を格納する。直交多項式関数は、補間として知られる数学的手法を使用して、センサ出力に基づいてプロセス変数を近似するために使用される。計測されたプロセス変数は、以下で述べる通り２つ以上のセンサ出力の関数とすることができる。直交多項式は、数学上で周知であり、ある範囲（ａ、ｂ）にわたる多項式ｐｎ（Ｘ）の部類に属し、次の関係に従う。
【００１３】
【数２】
0004989831.tif 000003
一つの見地では、直交多項式関数は、数学的補間を通してプロセス変数を近似するための、チェビシェフ多項式として知られる特定の型の直交多項式である。（チェビシェフ多項式については以下で説明する。）別の見地では、多項式の項がセンサ出力の１を越える指数累乗の関数である補間多項式を使用してプロセス変数を近似する。
【００１４】
図２は、例示の目的で提供するものであり、実際の送信機の構成は変形することができる。例えば、マイクロプロセッサ１０６によって実行される関数は、多数の異なるマイクロプロセッサまたは回路によって実行することができる。センサ１０２からの出力は、アナログデジタル変換器１０４によるアナログデジタル変換の前に処理することができる。追加の補償ステップをデジタル回路機構を用いて実行することができる。多くの関数は、ハードウェアまたはソフトウェアで、もしくはそれらの組合わせで実現することができる。図２に示した特定の構成は本発明の範囲を限定するものではなく、当業者は構成を変形できることを理解するであろう。例えば、センサ１０２は２つ以上のセンサを備えることができ、補間プロセス変数は、異なるセンサからの２つ以上のセンサ出力の関数とすることができる。一般的に、各追加のセンサ出力は、補間多項式内に追加の項を必要する。
【００１５】
二線式プロセス制御ループの一例は、４ｍＡの最小値および２０ｍＡの最高値を有する電流Ｉを通す。データはデジタルおよび／またはアナログ形式で伝送することができる。ループ通信器１１６はまた、ループ１１４からデータを受け取るためにマイクロプロセッサ１０６によって使用される。電力モジュール１１８は、ループ１１４から電力を受け取り、送信機１００の構成部品に電力を提供するために使用される。ある型の送信機では、送信機は、ループ１１４から受け取った電力により完全に駆動される。
【００１６】
本発明の実施形態は、直交多項式を利用して補間方程式を形成し、結果的に得られる連立方程式を係数について解く。多くの型の直交多項式が存在するが、１つの特定の直交多項式は、プロセス送信機のために改善された精度を提供するチェビシェフ多項式として知られる離散多項式である。プロセス送信機で、独立変数は有限範囲を持ち、入力および／または校正データは通常、独立変数の範囲全体で等間隔に配置される。さらに、計測は、一般的に５または６有効数字の精度で実行され、計算される独立変数の要求精度は、０．１ないし０．００１パーセントの範囲である。本発明の実施形態は、特定のチェビシェフ多項式以外の型の直交多項式を使用することができる。
【００１７】
図４Ａおよび図４Ｂは、本発明の実施形態によるチェビシェフ多項式を使用した曲線当てはめの誤差のグラフである。図４Ｂは、３２ビットの浮動小数点計算を使用した場合でも、比較的良好な曲線当てはめを示す。このレベルの精度は、従来の直線多項式曲線当てはめ技法では６４またはそれ以上のビットを使用した場合にのみ達成することができる。チェビシェフ多項式補間は、先行技術より幾つかの追加計算および加算を必要とするが、改善される精度は、計算の複雑さの少しの増加を相殺する。例えば、９×７の直線補間多項式（圧力は８累乗、温度は６累乗）を計算するには、６２回の乗算および６２回の加算が必要である。対照的に、９×７のチェビシェフ補間は８８回の乗算および７８回の加算を必要とする。しかし、この計算の複雑さの増加は特に重要ではなく、プロセス変数計測の精度の改善を考えると、少量の追加電力を必要とするだけである。さらに、チェビシェフ補間多項式は、より少ないビット数を計算に使用する場合でも、改善された精度をもたらす。曲線当てはめは、チェビシェフ多項式を使用して充分に向上し、容認できる精度を維持しながら、当てはめ多項式の項数を低減することができる。図５Ａは、７×５の精確なチェビシェフ補間の精度を示し、図５Ｂは３２ビットの浮動小数点数を使用したときの誤差を示す。結果は９×７の最小二乗曲線当てはめに比較して遜色がない。さらに、７×５のチェビシェフ多項式曲線当てはめでは、乗算の回数は５２に低減され、加算の回数は４６に低減され、それは９×７の直線多項式補間によって要求されるより少ない。
【００１８】
ｎ次のチェビシェフ多項式は、Ｔn（ｘ）と表わすことができる。Ｔn（ｘ）におけるｘの最高累乗は、ｎである。離散チェビシェフ多項式は、整数０≦ｋ≦Ｎ−１の離散集合で直交する。特に直交多項式は、次のように表わされる。
【００１９】
【数３】
0004989831.tif 000004
１つの特定のチェビシェフ多項式は、次の漸化式に従う。
【００２０】
【数４】
0004989831.tif 000005
ここで、Ｔ0（ｘ）＝１、Ｔ1（ｘ）＝２Ｘ−（Ｎ−１）、ｎは、チェビシェフ多項式の次数、Ｎは、チェビシェフ多項式の補間線形組合せの係数を決定するために使用される独立圧力および温度読みの数である。例えば、Ｎ＝７の場合、Ｔn（ｘ）は次のように展開される。
【００２１】
Ｔ0（ｘ）＝１                                                式（５）
Ｔ1（ｘ）＝２ｘ−６                                          式（６）
Ｔ2（ｘ）＝６ｘ2−３６ｘ＋３０                                式（７）
Ｔ3（ｘ）＝２０ｘ3−１８０ｘ2＋４００ｘ−１２０              式（８）
Ｔ4（ｘ）＝７０ｘ4−８４０ｘ3＋３１１０ｘ2−３５４０ｘ＋３６０
式（９）
Ｔ5（ｘ）＝２５２ｘ5−３７８０ｘ4＋１９７４０ｘ3−４１５８０ｘ2
＋２８９６８ｘ−７２０                            式（１０）
Ｔ6（ｘ）＝９２４ｘ6−１６６３２ｘ5＋１１２５６０ｘ4−３５２８００ｘ3
＋５０１３９６ｘ2−２５０４８８ｘ＋７２０        式（１１）
ｎ≦Ｎ−１であること、すなわちチェビシェフ多項式の最高次数は、独立圧力または温度点の数未満でなければならないことに注意されたい。式６〜１１に示す通り、一つの見地では、センサ出力ｘの１を越える累乗指数を含む多項式の項を使用する。
【００２２】
一例では、直交多項式近似を使用して、気体法則ρ＝Ｐ／ＺＲＴを用いて密度（ρ）を得る。Ｒは、使用する流体の気体定数であり、ρは、密度である。Ｚが圧縮性であるとして１／Ｚに曲線当てはめを実行するため（１／Ｚはマイクロプロセッサ内での除算を回避するために使用する）、式１２を使用する。
【００２３】
【数５】
0004989831.tif 000006
ここでＰは、圧力であり、Ｐは、最小圧力であり、Ｓは、１／Ｔであり、Ｔは、温度であり、Ｓminは、１／Ｔの最小値であり、ＮＰＥは、圧力に対する係数の数、ＮＴＥは、温度に対する係数の数、ｘｐ＝（Ｐ−Ｐmin）／ΔＰであり、ｘｓ＝（Ｓ−Ｓmin）／ΔＳであり、Ｓ＝１／Ｔであり、ＮＰＥ−１は、圧力の最高累乗あるいは圧力に対して使用されるチェビシェフ多項式の次数であり、ＮＴＥ−１は、温度の最高累乗あるいは温度に対して使用されるチェビシェフ多項式の次数であり、ΔＰ＝（Ｐmax−Ｐmin）／（ＮＰｔ−１）であり、ΔＳ＝（１／Ｔmin−１／Ｔmax）／（ＮＴｔ−１）であり、Ａm,nは、チェビシェフ補間式の係数であり、ＮＰｔおよびＮＴｔは、それぞれ曲線当てはめで使用される圧力点および温度点の数である。ｘｐの範囲は、０からＮＰｔ−１までであり、ｘｓは、０からＮＴｔ−１である。
【００２４】
係数Ａm,nは、圧力変数（Ｐ）および温度変数（Ｓ−１／Ｔ）に対応するチェビシェフ行列を形成することによって解ける。これらの行列は、下記で示される。
【００２５】
【数６】
0004989831.tif 000007
【００２６】
行列Ｑ１およびＱ２の列は、各列の全てのエントリの二乗の和の平方根で除算することによって規格化される。例えば、Ｑ１のｎ番目の列の規格化因子は、次の通りである。
【００２７】
【数７】
0004989831.tif 000008
Ｑ２のｎ番目の列の規格化因子は、次の通りである。
【００２８】
【数８】
0004989831.tif 000009
規格化因子は、次の場合について決定される。
【００２９】
ｘｐ1≡０；  ｘｐ2≡１；  ｘｐ3≡２；・・・・ｘｐm≡ＮＰｔ−１  式（１７）
ｘｓ1≡０；  ｘｓ2≡１；  ｘｓ3≡２；・・・・ｘｓm≡ＮＴｔ−１  式（１８）
ＰおよびＳが等間隔であり、かつｘｐmおよびｘｓnが上に示した通り整数である場合、この規格化は、行列Ｑ１およびＱ２を単位条件数の直交行列に変える。特に、これはＱ１T・Ｑ１＝ＩNTEおよびＱ２T・Ｑ２＝ＴNTEをもたらす。ここで、Ｉkは、ｋ×ｋの単位行列を表わす。
【００３０】
式１２は、行列の形で次のように書き替えることができる。
Ｚ＝Ｑ１  Ａ  Ｑ２T        式（１９）
上の式で、Ｑ２Tは、Ｑ２の転置行列を表わし、Ａは、（ｍ，ｎ）番目のエントリが係数Ａm,nであるＮＰＥ×ＮＴＥの行列であり、Ｚは、（ｍ，ｎ）番目のエントリが１／Ｚ（ｘｐm，ｘｓn）であるＮＰｔ×ＮＴｔの行列である。ｘｐmおよびｘｓnが整数である場合、式１９は、次のように簡単に解ける。
【００３１】
Ａ＝Ｑ１TＺＱ２            式（２０）
Ｑ１およびＱ２は、両方とも単位条件数の直交行列であるので、式２０が成り立ち、数値的に振る舞いがいい。
【００３２】
上記解法の１つの特性は、行列Ａの要素の大きさを検査して、チェビシェフ補間式の各項の相対的な重要性を決定することができることである。小さい項は、計算から省くことができる。下記の表１は、前節で論じた９×７のチェビシェフ補間に対応するＡ行列のエントリの相対的大きさを示す。Ａのエントリの大きさを、最大係数の大きさの百分率で表わす。列は、温度に対応し、行は、圧力に対応する。見て分かるとおり、９×７の使用は、係数のサイズによってたぶん正当化されない。
【００３３】
【表１】
0004989831.tif 000010
【００３４】
行列Ｑ１およびＱ２の単位条件数を持ち、かつ直交性を維持するために、ｘｐおよびｘｓの値は、それらの範囲全体に等間隔に配置しなければならない。しかし、チェビシェフ多項式を利用するためにこの要件を厳格に実施する必要はない。ｘｐmおよびｘｓnが整数でない場合、式１９は、直接的に、または最小二乗の点から、次のように解くことができる。
【００３５】
【数９】
0004989831.tif 000011
ここで（Ｑ１TＱ１）-1は、（Ｑ１TＱ１）の逆数を表わし、Ｑ２-TはＱ２Tの逆数を表わす。式２１は、数値的に適度に振る舞いがいい。実験では、Ｑ１およびＱ２両方の条件数は、４５０未満に維持された。上記の行列式は、厄介であるが、大抵のコンピュータ数値計算パッケージは、これらの式を解くための専用ルーチンを有する。送信機１００内のマイクロプロセッサ１０５がこれらの式を解く必要はない。この式は、オフラインで計算し、以下で説明するように、（メモリ１１０に格納された）係数だけをマイクロプロセッサ１０６で使用する。これらの式はまた、ガウス消去技法によって展開して解くこともできる。
【００３６】
Ｑ１およびＱ２を規格化するために使用する規格化因子ｎｏｒｐ（ｍ）およびｎｏｒｔ（ｎ）は常に、等間隔に配置されたｘｐmおよびｘｓnから決定され、実際のｘｐmおよびｘｓnからではない。実際の不等間隔のデータから決定された規格化因子を用いた幾つかの試験は、精度に実質的な差を生じなかった。
【００３７】
不等間隔の圧力点および逆温度点に対するチェビシェフ補間法の感度を試験した。曲線当てはめには、エチレンについて７つの温度および９つの圧力が関わった。不等間隔データの曲線当てはめの誤差を、図４Ａおよび図４Ｂに示す。曲線当てはめに使用した各温度および圧力点は、その等間隔位置から、均等刻み幅の±１／２の範囲で均等に分布されたランダムな量だけ摂動した。理論的に、この摂動法は２つの同一圧力または温度点を導く可能性があった。しかし、これは試験中には発生しなかった。代わりに、Ｑ１の条件数は、２から４４０に変動し、Ｑ２の条件数は、１．２から６５に変動した。曲線当てはめの最大誤差は、０．０００３４％から０．００１４％に変化した。図４Ａおよび図４Ｂの最大当てはめ誤差は、０．０００７５％であった。これは、曲線当てはめ誤差の有意の変化を表わすものではない。
【００３８】
温度および圧力点の数を１だけ増やすことによって、方程式の優決定系（overdetermined system）で試験を実行した。この場合、Ｑ１およびＱ２の最大条件数は、それぞれ３４および１９に低減した。最大曲線当てはめ誤差は、等間隔の場合の０．０００６％の最大当てはめ誤差に比較して、０．００１２％に変化した。曲線当てはめでより多くの点を使用すると、上と同一試験条件下で、条件数は１に近づき、最大当てはめ誤差は０．０００１８％に近づく。この最大当てはめ誤差は、多数の等間隔の圧力および逆温度点を使用した場合の０．０００１５％の最大当てはめ誤差と比較して遜色がない。
【００３９】
チェビシェフ補間法の数値的複雑さは、チェビシェフ多項式を再規格化することによって低減することができる。Ｔpm（ｘｐ）およびＴsm（ｘｓ）は、それぞれ規格化された圧力および温度チェビシェフ項である。これらの規格化された多項式は、正規のチェビシェフ多項式（式４）を多項式の次数および補間で使用する点の数に依存する定数で除算したものに等しい。それらは、次式を満足する。
【００４０】
【数１０】
0004989831.tif 000012
上の式中、
【００４１】
【数１１】
0004989831.tif 000013
Ｓ＝１／Ｔであり、Ｓmin＝１／Ｔmaxであることに注意されたい。ここでＴは、絶対温度である。圧力および温度の値は、曲線当てはめで使用する圧力および温度点の最大値と最小値の間でなければならない。
【００４２】
規格化されたチェビシェフ多項式を使用するために、係数Ａm,nを近似的に規格化しなければならない。Ｂm,nは規格化された補間係数を表わす。係数Ｂm,nは次式により係数Ａm,nに関連している。
【００４３】
Ｂm,n＝Ａm,nｎｏｒｐｔ（ｍ）  ｎｏｒｔｔ（ｎ）        式（２６）
規格化因子Ｃｐ（ｍ）、Ｃｔ（ｎ）、ｎｏｒｐｔ（ｍ）およびｎｏｒｔ（ｎ）は次のように算定される。これらのパラメータを計算するために、Ａm,nの解法で行列Ｑ１およびＱ２を形成するために使用した規格化因子ｎｏｒｐ（ｍ）およびｎｏｒｔ（ｎ）が必要である。次の関係により規格化係数を初期化する。
【００４４】
【数１２】
0004989831.tif 000014
次に、圧力点についてｍ＝２ないしｍ＝ＮＰＥ−１で以下の漸化を実行する。
【００４５】
【数１３】
0004989831.tif 000015
かつ、温度点についてｎ＝２ないしｎ＝ＮＴＥ−１で以下の漸化を実行する。
【００４６】
【数１４】
0004989831.tif 000016
最後に、送信機で式２２、２３、２４、および２５と共に次の式を用いて、独立変数、この場合１／Ｚを計算する。
【００４７】
【数１５】
0004989831.tif 000017
零次のチェビシェフ多項式は、その値が１であるので計算しない。
【００４８】
要約すると、係数配列Ｂm,n、ベクトルＣｐ（ｍ）、Ｃｔ（ｎ）、ＰminおよびＳminが与えられると、送信機１００内のマイクロプロセッサ１０６の計算手続きは、図６に示す方法１５０を用いて実行される。この方法は、開始ブロック１５２から始まる。ブロック１５４で、マイクロプロセッサ１０６はチェビシェフ多項式の係数をメモリ１１０から検索する。１５６で圧力および温度のようなセンサ出力１２０がセンサから得られ、ブロック１５８で式２４および２５を用いて１次チェビシェフ多項式が計算される。１６０で式２２および２３を用いて、残りのチェビシェフ多項式が計算される。ブロック１６２でマイクロプロセッサ１０６によって、プロセス変数１／Ｚが式３４を使用して近似される。ブロック１６４で、近似されたプロセス変数が、例えばループ通信器１１６を用いて出力される。１６６で制御が開始ブロック１５２に返され、補間プロセスが繰り返される。
【００４９】
必要な乗算と加算を示すために、式（３４）を以下に展開する。
【００５０】
【数１６】
0004989831.tif 000018
Ｔ0（ｘ）項は、その値が１であるので、省かれていることに注意されたい。この式はＮＴＥ（ＮＰＥ−１）＋ＮＴＥ−１回の乗算および加算を必要とする。チェビシェフ漸化式（式２２、２３、２４、および２５）は、２（ＮＰＥ＋ＮＴＥ）−６回の乗算およびＮＰＥ＋ＮＴＥ回の加算を必要とする。したがって、チェビシェフ補間法の全計算量は、ＮＰＥ×ＮＴＥ＋２（ＮＰＥ＋ＮＴＥ）−７回の乗算およびＮＰＥ×ＮＴＥ＋ＮＰＥ＋ＮＴＥ−１回の加算である。これはＮＰＥ×ＮＴＥ−１回の乗算および加算を必要とする直接多項式補間と比較することができる。これは乗算および加算の増加であるが、利益は大きい。
【００５１】
追加の規格化プロセスを実行することを前提として、上記の式は、全てマイクロプロセッサ１０６で整数計算で算定することができる。全ての演算が±１の範囲内の数字を含む場合には、結果もまた同一範囲内になる。この場合、全ての数字を２n-1にスケールを変更することができる。ここでｎは、計算で使用される２の補数のビット数である。式２２および２３に示した漸化関係は、−１から＋１の範囲内に該当する値を生じる。温度および圧力をＴ1（ｘ）に変換するＣｐ（１）およびＣｔ（１）を除いては、ＣｐおよびＣｔ規格化係数もまた１未満である。したがって、圧力および温度を表わす入力の数字が、使用される整数形式に適合する場合、式２４および２５も整数形式で実現することができる。
【００５２】
整数計算を用いて式３４を算定するために、２つの規格化が実行される。第１規格化は１／Ｚを１の最大値を持つようにスケール変更する。第２規格化は、係数Ｂm,nの値をスケール変更して、式３４の総和が１より大きい値にならないようにする。
【００５３】
１／Ｚを規格化するために、行列Ｚの全てのエントリ１／Ｚ（ｘｐm，ｘｓn）を定数ＫＦで除算する。ここでＫＦは行列Ｚの全てのエントリ１／Ｚ（ｘｐm，ｘｓn）のうちの最大値である。
【００５４】
係数Ｂm,nを規格化するために、行列Ａを解き、エントリが係数Ｂm,nである行列Ｂを生成する。次いで、全体をｎｏｒで除算することによって行列Ｂを換算する。ここでｎｏｒは、行列Ｂの全ての要素の絶対値の和である。Ｃは、結果行列を表す。ＣのエントリＣm,nは、Ｃm,n＝Ｂm,n／ｎｏｒを通して係数Ｂm,nに関連している。この規格化は、総和が１を超えないことを保証する。これは最も控えめな規格化法であり、総和が１を超えないことを保証する。
【００５５】
別の規格化法は、ｘｐおよびｘｓの値をそれらの範囲全体にわたって掃引し、結果的に得られるＴn（ｘｓ）およびＴm（ｘｐ）の最大値を見つけることから成る。この最大値を適切なＢm,n係数と共に使用して、総和が達成できる最大値を決定する。次いでこの値は、規格化値ｎｏｒとして使用される。この規格化法は、利用可能な数字範囲をよりよく利用するという利点を持つ。
【００５６】
マイクロプロセッサ１０６が１／Ｚの規格化値を決定した後、Ｋｆおよびｎｏｒを乗算することによって、正しい値を得ることができる。特に、１／Ｚは次のように計算される。
【００５７】
【数１７】
0004989831.tif 000019
定数Ｋｆおよびｎｏｒは、気体定数Ｒのような他の何らかの定数と組み合わされる。入力圧力および温度の範囲は、丸め誤差のために変数が最大および最小曲線当てはめ圧力および温度を超えないように、曲線当てはめ範囲よりわずかに低く制限しなければならない。この条件を達成するために、範囲の１％未満の低減が必要である。
【００５８】
図７Ａおよび図７Ｂは、それぞれ、１６ビットおよび３２ビットの整数計算を使用した曲線当てはめの誤差を示す。１６ビットの計算は、数値誤差が存在することを示す。しかし、これらの誤差の大きさは、最下位の３または４有効ビット未満である。ほとんどの送信機の場合、この精度は充分である。これらの誤差曲線は、全ての乗算に丸めを使用し、数字を１６ビットの整数に変換して作成された。切り捨てを使用した場合、誤差はより大きくなり、系統誤差が発生する。切り捨てでは、誤差は１６ビットの整数で０．０８％に近づく。図８Ａおよび図８Ｂはそれぞれ、１６ビットおよび２４ビットの整数の切り捨ての結果を示す。切り捨てによる誤差は、２４ビットの整数を使用したときにようやく現われ始める。
【００５９】
本発明を特定の実施形態に関連して説明したが、本発明の精神および範囲から逸脱することなく、形式および詳細に変更を加えることができることを、当業者は理解するであろう。例えば、多項式補間は、マイクロプロセッサの回路機構内で実現することができる。ある見地では、ここで開示した特定のチェビシェフ多項式以外の直交多項式が使用される。多項式を使用して、任意の数のセンサ出力を用いてプロセス変数を算定することができる。例えば、温度の読みに基づいて圧力を補正することができ、差圧、静圧、および温度に基づいて流量を計算することができる。直交多項式は、大電力を要求する非常に複雑な計算を必要とすることなく、プロセス変数の精確な補間を実現する。
【図面の簡単な説明】
【図２】  プロセス送信機の概略図である。
【図３Ａ】  種々の温度について精確に実行されたプロセス変数の補間と３２ビットの浮動小数点数を用いて実行された補間の百分率誤差対圧力のグラフである。
【図３Ｂ】  種々の温度について精確に実行されたプロセス変数の補間と３２ビットの浮動小数点数を用いて実行された補間の百分率誤差対圧力のグラフである。
【図４Ａ】  ６４ビットの浮動小数点数と３２ビットの浮動小数点数を用いて計算されたチェビシェフ多項式補間を使用した、種々の温度についての百分率誤差対圧力のグラフである。
【図４Ｂ】  ６４ビットの浮動小数点数と３２ビットの浮動小数点数を用いて計算されたチェビシェフ多項式補間を使用した、種々の温度についての百分率誤差対圧力のグラフである。
【図５Ａ】  ６４ビットの浮動小数点数と３２ビットの浮動小数点数を使用する７×５の行列を使用したチェビシェフ多項式補間の、種々の温度についての百分率誤差対圧力のグラフである。
【図５Ｂ】  ６４ビットの浮動小数点数と３２ビットの浮動小数点数を使用する７×５の行列を使用したチェビシェフ多項式補間の、種々の温度についての百分率誤差対圧力のグラフである。
【図６】  本発明の一実施態様のブロック図である。
【図７Ａ】  １６ビットの整数と３２ビットの整数を使用するチェビシェフ多項式補間の、種々の温度についての百分率誤差対圧力のグラフである。
【図７Ｂ】  １６ビットの整数と３２ビットの整数を使用するチェビシェフ多項式補間の、種々の温度についての百分率誤差対圧力のグラフである。
【図８Ａ】  １６ビットと３２ビットの整数を使用し、数字を切り捨てたチェビシェフ多項式補間の、種々の温度についての百分率誤差対圧力のグラフである。
【図８Ｂ】  １６ビットと３２ビットの整数を使用し、数字を切り捨てたチェビシェフ多項式補間の、種々の温度についての百分率誤差対圧力のグラフである。
【符号の説明】
１００……送信機、１０２……センサ、１０４……アナログデジタル変換器、１０６……マイクロプロセッサ、１０８……クロック、１１０……メモリ、１１４……ループ、１１６……ループ通信器、１１８……電源モジュール、１２０……センサ出力、１２２……デジタル化出力、１２４……プロセス変数出力
【図１】
0004989831.tif 000022
【図２】
0004989831.tif 000023
【図３Ａ】
0004989831.tif 000024
【図３Ｂ】
0004989831.tif 000025
【図４Ａ】
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【図４Ｂ】
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【図５Ａ】
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【図５Ｂ】
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【図６】
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【図７Ａ】
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【図７Ｂ】
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【図８Ａ】
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【図８Ｂ】
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