(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
解析モデルを作成する解析モデル作成ステップと、前記解析モデルについて有限要素法解析を実行する解析実行ステップと、前記解析モデルの解析結果を出力する出力ステップとをコンピュータが実行して、ひずみエネルギー関数により異方性を反映させる異方性部材の有限要素法解析方法であって、前記解析実行ステップは、荷重条件を変化させるインクリメントループ内に、剛性マトリックスを作成する剛性マトリックス作成ステップと、前記作成した剛性マトリックスと荷重条件とから応力を計算する応力計算ステップとを備え、前記剛性マトリックス作成ステップでは、ひずみエネルギー関数としてひずみの伸長側と圧縮側とで異なる係数を有する二つのひずみエネルギー関数を備え、伸長側か圧縮側かに応じて前記二つのひずみエネルギー関数のうち対応するひずみエネルギー関数を適用することを特徴とする異方性部材の有限要素法解析方法。
【請求項２】
ひずみエネルギー関数を、右コーシーグリーン変形テンソルＣの一次主不変量Ｉ１及び二次主不変量Ｉ２と、右コーシーグリーン変形テンソルＣと異方性部材の異方性の配向ベクトルａ０との積Ｃａ０と配向ベクトルａ０との積Ｉ４と、を変数とする整式とし、Ｉ４の次数を３次以上とすることを特徴とする請求項１記載の異方性部材の有限要素法解析方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、異方性部材の有限要素法解析方法に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
従来より、ゴムをはじめ様々な材質からなる部材の変形や応力の解析に有限要素法（ＦＥＭ）が用いられている（例えば特許文献１、特許文献２参照）。解析には、部材の形状や部材の材質の弾性係数等の物性値が与えられて数値計算が行われる。
【０００３】
ところで、ゴム等の材料で主体が構成される部材にあっては、内部に補強のための繊維を含有したものがよく用いられている。この繊維を含有したゴム部材にあっては、繊維の配向方向が全方向で均一とならない場合には、弾性係数が方向によって異なる値となる異方性を示すものであり、特に、繊維の配向方向の圧縮方向と伸長方向とで値が大きく異なる非線形性を示すため、この異方性（及び非線形性）を考慮した解析が必要となるものである。
【０００４】
特許文献１には、解析対象はゴムの内部に複数のコードを同方向に同一面上に（膜状に）配列した複合体であって、有限要素法で解析するにあたり、複合体のゴムの部分をソリッド要素に分割すると共に、コードを、該コードの長手方向とその直交方向とでヤング率の異なる膜要素としてモデル化し、コードの長手方向のヤング率として圧縮用のヤング率と引張用のヤング率とを与える複合体の有限要素モデル作成方法が開示されている。
【０００５】
また特許文献２には、Ｖリブドベルトのリブゴム層に含まれる短繊維の配向方向を考慮して、物性値（縦弾性係数、横弾性係数等）を配向方向とそれ以外の方向とで異なる値とするベルト進入角度計算方法が開示されている。
【０００６】
上記特許文献１に示されるものは、複合体を複数の要素タイプに分けて実際に近づけた計算モデルを構成するため、解析精度は向上するものの計算モデルの規模が大きくなって計算コストの増大を招くと共に、有限要素モデル（即ち計算モデル）が複雑になるためモデル作成のコストの増大を招いてしまうものであった。
【０００７】
また上記特許文献２に示されるものは、前述した特許文献１に示されるもののように計算モデルの規模が大きくなることはないが、線形材料として定義されるため、ゴムの応力−ひずみ関係の非線形性を考慮することができないものであり、特に、ゴム内部に含有する繊維の配向方向において伸長方向と圧縮方向とで弾性係数が大きく異なるという性質を反映することができないため、解析値が実際の値と大きく異なってしまうものであった。
【０００８】
そこで、解析対象を複数の要素タイプに分けて計算モデルを構築することなく、しかも部材の異方性及び非線形性を考慮することができる異方性部材の有限要素法解析方法として、ひずみエネルギー関数を用いた解析方法が用いられる。
【０００９】
ひずみエネルギー関数としては、様々な式が提案されており、ここでは下記（式１）、（式２）の例を挙げる。
【００１０】
【数１】
0005006724.tif 000002
【００１１】
上記（式１）及び（式２）中のＩ１、Ｉ２、Ｉ４はひずみの不変量であり、下記（式３）〜（式５）で表される。
【００１２】
【数２】
0005006724.tif 000003
【００１３】
上記（式３）及び（式４）より、Ｉ１、Ｉ２は等方性である基質材ゴムのひずみ状態を表していることが分かり、（式５）では、Ｉ４は繊維の配向ベクトルを含んでいることから、繊維の配向方向のひずみ状態を表していることが分かる。
【００１４】
このひずみエネルギー関数を用いた解析方法においては、応力をひずみエネルギー関数のひずみについての微分として表すもので、ゴム等のエラストマーのように異方性及び非線形性を有する材質の物性を反映させることができるものである。
【００１５】
しかしながら、ひずみエネルギー関数を用いた解析方法においては、部材の異方性及び非線形性をある程度反映させることができるものの、上記（式１）や（式２）に示されるようにＣ１〜Ｃ４を定数として固定しているため、実際のゴム等の材料のようにひずみのゼロ点付近において伸長側と圧縮側とで弾性係数等の物性値が大きく異なる場合にこれらを反映させることはできず、解析精度に限界があるものであった。
【特許文献１】特開２００３−９４９１６号公報
【特許文献２】特開２００６−２９２０２０号公報
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１６】
本発明は上記の点に鑑みてなされたものであり、その目的とするところは、ひずみエネルギー関数を用いて、部材の異方性及び非線形性、特に伸長側と圧縮側との物性値の大きな相違を考慮することで解析精度を向上させることができる異方性部材の有限要素法解析方法を提供することを課題とするものである。
【課題を解決するための手段】
【００１７】
上記課題を解決するために請求項１に係る発明は、解析モデルを作成する解析モデル作成ステップと、前記解析モデルについて有限要素法解析を実行する解析実行ステップと、前記解析モデルの解析結果を出力する出力ステップとをコンピュータが実行して、ひずみエネルギー関数により異方性を反映させる異方性部材の有限要素法解析方法であって、前記解析実行ステップは、荷重条件を変化させるインクリメントループ内に、剛性マトリックスを作成する剛性マトリックス作成ステップと、前記作成した剛性マトリックスと荷重条件とから応力を計算する応力計算ステップとを備え、前記剛性マトリックス作成ステップでは、ひずみエネルギー関数としてひずみの伸長側と圧縮側とで異なる係数を有する二つのひずみエネルギー関数を備え、伸長側か圧縮側かに応じて前記二つのひずみエネルギー関数のうち対応するひずみエネルギー関数を適用することを特徴とするものである。
【００１８】
このような構成とすることで、解析対象を複数の要素タイプに分けて計算モデルを構築する必要がないようにひずみエネルギー関数を用いて部材の異方性及び非線形性を反映可能な解析方法において、伸長側と圧縮側とで物性値が大きな相違を有する場合でも精度良く解析を行うことが可能となるものである。
【００１９】
また、請求項２に係る発明は、請求項１に係る発明において、ひずみエネルギー関数を、右コーシーグリーン変形テンソルＣの一次主不変量Ｉ１及び二次主不変量Ｉ２と、右コーシーグリーン変形テンソルＣと異方性部材の異方性の配向ベクトルａ０との積Ｃａ０と配向ベクトルａ０との積Ｉ４と、を変数とする整式とし、Ｉ４の次数を３次以上とすることを特徴とするものである。
【００２０】
このような構成とすることで、より一層精度を向上させることができるものである。
【発明の効果】
【００２１】
本発明にあっては、異方性部材の異方性及び非線形性を示し、特に伸長方向と圧縮方向とで物性値が大きく異なるものにおいても、解析精度が向上する。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２２】
以下、本発明を実施するための最良の形態について添付図面に基づいて説明する。
【００２３】
解析対象となる異方性部材は、本実施形態では内部に補強のための繊維を含有したゴムを想定しており、繊維の配向方向により物性値（弾性係数）が異なる異方性を示すと共に非線形性を示し、繊維の配向方向の圧縮方向と伸長方向とで物性値が大きく異なるものである。なお、解析対象の材質としては、異方性及び非線形性を示す部材であれば特に限定されないものである。
【００２４】
有限要素法解析方法は、解析対象の異方性部材を複数の要素に分割して解析モデルを作成する解析モデル作成ステップと、前記解析モデルについて有限要素法解析を実行する解析実行ステップと、前記解析モデルの解析結果を出力する出力ステップと、で主体が構成される。本発明では、上述したように繊維を含有したゴム等の異方性部材を解析対象とするため、異方性及び非線形性を反映させることができるようにひずみエネルギー関数を用いている。
【００２５】
解析実行ステップは、荷重条件を変化させるインクリメントループ内に、剛性マトリックスを作成する剛性マトリックス作成ステップと、前記作成した剛性マトリックスと荷重条件とから応力を計算する応力計算ステップとを備えるものである。また本実施形態では、出力ステップは前記解析実行ステップのインクリメントループ内において実行されるもので、各インクリメントについて解析結果の出力が行われる。
【００２６】
ひずみエネルギー関数としては、上記（式１）、（式２）をはじめ様々な式が提案されているが、本実施形態で用いるひずみエネルギー関数Ｗを（式６）、（式７）に示す。
【００２７】
【数３】
0005006724.tif 000004
【００２８】
式中のＩ１、Ｉ２、Ｉ４はひずみの不変量であり、上記（式３）〜（式５）で表されるものである。なお、式中の(Ｉ４−１)の次数を上げる程、解析精度の向上が図られるものであるが、計算量が多くなるため、本実施形態では最高で３次までとしてある。
【００２９】
ここで、（式６）は伸長の場合のひずみエネルギー関数を示し、（式７）は圧縮の場合のひずみエネルギー関数を示している。
【００３０】
図１に示すフローチャートに基づいて解析の流れについて説明する。
【００３１】
まず、解析モデル作成ステップにおいて解析対象を複数の要素に分割して解析モデル（寸法・形状等の要素分割データ，拘束条件等）を作成すると共に、解析実行ステップにおいて使用するエネルギー関数、物性値（Ｃ１，Ｃ２，Ｃ４３Ｐ，Ｃ４２Ｐ，Ｃ４３Ｍ，Ｃ４２Ｍ）や荷重条件等のデータの作成及び記憶部への読み込みといった前処理が行われる（Ｓ１）。
【００３２】
次に、解析実行ステップが実行され、荷重条件を徐々に増加させるインクリメントループの処理が開始される（Ｓ２）。本発明におけるような非線形解析では、力と変位が比例関係でないため、所定の荷重を一度に与えて解析を行っても正確な解が得られない。そこで、所定の荷重を細かく分割し、荷重を徐々に増加させていくことで解析を行う。このように荷重を分割して、荷重を徐々に増加させる繰り返し単位をインクリメントと呼んでいる。（Ｓ２）では、初回のインクリメントでは所定の荷重を与え、２回目以降のインクリメントでは、前回のインクリメントでの荷重に、分割した荷重を加えたものを荷重として与える。
【００３３】
各インクリメントループでは、前記荷重及び解析モデルに従って荷重ベクトルが作成される（Ｓ３）。
【００３４】
次に、剛性マトリックス作成ステップ（Ｓ４）（Ｓ５）が実行される。剛性マトリックス作成ステップでは、図２に示す各要素の剛性マトリックスを作成する要素剛性マトリックス作成ステップ（Ｓ４）を繰り返して全体の剛性マトリックスの組立（Ｓ５）を行う。各要素剛性マトリックス作成ステップ（Ｓ４）では、解析モデルのデータから変位−ひずみの関係を表すＢマトリックスを作成するステップ（Ｓ４１）と、解析モデル、エネルギー関数、物性値のデータから応力−ひずみの関係を表すＤマトリックスを作成するステップ（Ｓ４２）と、Ｂマトリックス及びＤマトリックスから変位−応力の関係を表す要素剛性マトリックスを作成するステップ（Ｓ４３）とからなる。そして、要素剛性マトリックスを未作成の要素があれば、再び要素剛性マトリックス作成ステップ（Ｓ４）にて次の要素剛性マトリックスを作成し、これを繰り返して全要素について要素剛性マトリックスを作成する。なお、要素剛性マトリックスを作成するステップは反復ループではなく並列処理を行ってもよい。
【００３５】
全要素について要素剛性マトリックスを作成すると、全体の剛性マトリックスの作成ステップ（Ｓ５）にて要素剛性マトリックスを全部足し合わせて全体の剛性マトリックスを作成し、該全体の剛性マトリックスに荷重ベクトルからなる荷重条件を与えて求解し（Ｓ６）、応力の計算を行うものである（Ｓ７）。そして、前記応力の結果の収束判定を行い（Ｓ８）、応力の結果が予め定めた収束条件を満たしていない場合には、荷重ベクトルを作成するステップ（Ｓ３）に戻って再度応力の計算が行われるものであり、応力の結果が予め定めた収束条件を満たす場合には、出力ステップにおいて前記応力やひずみ、変位等の解析結果を出力するものである（Ｓ９）。
【００３６】
そして、次のインクリメントがあるか否かを判定し（Ｓ１０）、ある場合にはインクリメントループの初め（Ｓ２）に戻って、上述した新たな荷重条件を設定して解析を行い、次のインクリメントがない場合には解析を終了するものである（Ｓ１１）。
【００３７】
本発明では、剛性マトリックス作成ステップにおいて、伸長の場合のひずみエネルギー関数と圧縮の場合のひずみエネルギー関数を選択可能な状態で剛性マトリックスを作成し、全体の剛性マトリックスに荷重条件を与えるステップ（Ｓ６）で求解する際、計算の都度伸長か圧縮かを判定した上で、伸長側と圧縮側のうちの対応する方を適用するものである。更に詳しくは、剛性マトリックス作成ステップにおいて、各要素中に複数個存在する積分点と呼ばれる位置において、（式６）の伸長の場合のひずみエネルギー関数と（式７）の圧縮の場合のひずみエネルギー関数を選択可能な状態として剛性マトリックスを作成し、求解する際に、計算の都度積分点で伸長か圧縮かを判定していずれかのひずみエネルギー関数を適用している。
＜実施例＞  
異方性部材の繊維配向方向とその直交方向とについて１軸伸長試験及び１軸圧縮試験を行うと共に、前記と同様にこの異方性部材の繊維配向方向とその直交方向とについて従来の方法と本発明の方法とで有限要素法解析を行った。今回の試験及び解析では、低変形領域において、即ちひずみのゼロ点を挟んだ伸長側と圧縮側とでの応力−ひずみ関係の急激な変化を解析可能か否かを評価する。
【００３８】
異方性部材としては、基材のクロロプレンゴムに、ナイロン短繊維２０ｐｈｒ、カーボン３０ｐｈｒ、加硫剤、加硫促進剤等を添加したものを使用した。
【００３９】
１軸伸長試験は、測定機器として５０ｋＮオートグラフを使用し、試験片としては、上記異方性部材の長手方向がそれぞれ繊維配向方向、繊維配向方向の直交方向となる二つの短冊状のＪＩＳ１号試験片（幅５ｍｍ、長さ１００ｍｍ、厚み２．０ｍｍ）を用意し、図３に示すように試験片１１の両端をチャック２にて挟持してチャック２間の伸長部分の元の長さを５０ｍｍとり、テストスピード５０±５ｍｍ／ｍｉｎの初回引っ張りの片道のみの試験を行った。
【００４０】
１軸圧縮試験は、測定機器として５０ｋＮオートグラフを使用し、試験片は、図４に示すようにφ２９．０±０．５ｍｍ、高さ１２．５±０．５ｍｍの二つの円柱状の試験片１２ａ、１２ｂを用意し、試験片１２ａは円柱の軸方向がそれぞれ繊維配向方向となり、試験片１２ｂは円柱の軸方向が繊維配向方向と直交方向（繊維配向方向は円周方向）となるもので、ＪＩＳ  Ｋ６２５４（加硫ゴムの低変形における応力・ひずみ試験方法）に準拠してテストスピード１０ｍｍ／ｍｉｎ試験を行った。
【００４１】
図５に上記１軸伸長試験及び１軸圧縮試験の結果を示す。
【００４２】
次に、有限要素法による解析について説明する。
【００４３】
本解析では、解析モデルに強制変位を与えた時の応力を計算により求めた。解析モデルは、８個の頂点を節点とする立方体状のソリッド要素とした。前記立方体は図６に示すように一辺の長さを１ｍｍとし、一頂点を原点として、該原点から各辺に沿ってＸ軸、Ｙ軸、Ｚ軸を設定し、（１，０，０）の節点にＸ軸方向に強制変位を与えると共に、図６の面Ａに属する他の三節点（１，１，０）、（１，０，１）、（１，１，１）にＸ軸方向の変位を連結するタイイングを設定して計算を行った。これにより、強制変位を与えた節点の変位と反力がそれぞれ工学ひずみ・公称応力と一致することとなる。また、強制変位を与える方向を図６（ａ）に示すようにＸ軸方向（即ち繊維配向方向）とするもの、図６（ｂ）に示すようにＹ軸方向（繊維配向方向と直交方向）となる二通りについて解析を行った。
【００４４】
また解析は、従来の方法として、ひずみエネルギー関数Ｗに下記（式８）
【００４５】
【数４】
0005006724.tif 000005
【００４６】
を固定的に用いる方法と、上述した（式６）（式７）を選択的に適用する本発明の方法とについてそれぞれ行った。
【００４７】
（式６）（式７）中の定数は、今解析ではＣ１＝４．８４，Ｃ２＝−２．７０，Ｃ４３Ｐ＝−７．４２，Ｃ４２Ｐ＝１０．４４，Ｃ４３Ｍ＝−０．５３，Ｃ４２Ｍ＝１．０８（単位は全てＭＰａ）に設定した。
【００４８】
（式８）中の定数は、今解析ではＣ１１＝２．８３，Ｃ１２＝−０．２５，Ｃ４３＝５．７３，Ｃ４２＝２．７７（単位は全てＭＰａ）に設定した。
【００４９】
本発明の方法での解析結果を図７に、従来の方法での解析結果を図８に示す。なお、図７、図８中には図５の試験結果も併せて示している。
【００５０】
まず図８の従来の方法の結果について検討する。強制変位の方向が繊維配向方向と直交する方向の場合（図中の破線）では、まずまずの一致を見せているが、強制変位の方向が繊維配向方向の場合（図中の実線）では、試験結果とかなりの差が生じている。この従来の方法では、ある程度非線形性を反映させることができるものの、ひずみのゼロ点を挟んだ伸長側と圧縮側とでの応力−ひずみ関係の急激な変化を解析結果に反映させようとすると(Ｉ４−１)の項が更に高次となって計算が煩雑となると共に精度に限界があり、実用的ではないものである。
【００５１】
次に、図７の本発明の方法の結果について検討する。強制変位の方向が繊維配向方向と直交する方向の場合（図中の破線）、強制変位の方向が繊維配向方向の場合（図中の実線）ともに、試験結果とよく一致しており、この結果より、ひずみのゼロ点を挟んだ伸長側と圧縮側とでの応力−ひずみ関係の急激な変化も解析結果に反映されていることが分かる。
【００５２】
以上の結果より、本発明の解析方法にあっては、解析対象の異方性及び非線形性、特に、ひずみのゼロ点を挟んだ伸長側と圧縮側とでの応力−ひずみ関係の急激な変化を精度良く反映させることができるものであり、これにあたって、ひずみエネルギー関数を次数が非常に高次でない整式で表してもゼロ点を挟んだ伸長側と圧縮側とでの急激な変化を精度良く表すことができて、解析の計算の容易化が図られるものである。
【図面の簡単な説明】
【００５３】
【図１】有限要素法の全体フローチャートである。
【図２】同上の要素剛性マトリックス作成ステップのフローチャートである。
【図３】１軸伸長試験の説明図である。
【図４】１軸圧縮試験の試験片の斜視図である。
【図５】１軸伸長試験及び１軸圧縮試験の試験結果（ひずみ−応力関係図）である。
【図６】解析モデルを示し、（ａ）は強制変位を与える方向を繊維配向方向とする場合の説明図であり、（ｂ）は強制変位を与える方向を繊維配向の直交方向とする場合の説明図である。
【図７】本発明の解析方法による解析結果（ひずみ−応力関係図）である。
【図８】従来の解析方法による解析結果（ひずみ−応力関係図）である。
【符号の説明】
【００５４】
１１    １軸伸長試験の試験片
１２ａ  １軸圧縮試験の試験片（繊維配向方向が軸方向）
１２ｂ  １軸圧縮試験の試験片（繊維配向方向が軸の直交方向）
２      チャック
【図１】
0005006724.tif 000006
【図２】
0005006724.tif 000007
【図３】
0005006724.tif 000008
【図４】
0005006724.tif 000009
【図５】
0005006724.tif 000010
【図６】
0005006724.tif 000011
【図７】
0005006724.tif 000012
【図８】
0005006724.tif 000013