(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
解析対象領域の全体である全体領域にグローバルメッシュを設定する手段と、
解析対象領域の部分領域にローカルメッシュを設定する手段と、
全体領域内と部分領域内とにそれぞれ独立の変位場を定義し、さらに、部分領域内における実際の変位を両領域の変位の和として定義する重合メッシュ法の条件の下で、非線形固体問題を有している解析対象について、剛性マトリクスと節点変位ベクトルと荷重力ベクトルとの関係を記述する離散化釣合方程式を生成する重合メッシュ法離散化手段と、
を備え、
解析対象が２つの面の接触問題をバネモデルで表現するバネ接合モデルであって、
重合メッシュ法離散化手段は、
バネ接合部分に沿った線積分の項であるバネ接合追加項を加えて仮想仕事の原理式を生成する手段と、
重合メッシュ法の条件の下で、バネ接合追加項について離散化を行い、剛性マトリクスについてバネ接合追加項に関する追加成分を生成して離散化釣合方程式を生成する手段と、
を有することを特徴とする有限要素解析装置。
【請求項２】
解析対象領域の全体である全体領域にグローバルメッシュを設定する手段と、
解析対象領域の部分領域にローカルメッシュを設定する手段と、
全体領域内と部分領域内とにそれぞれ独立の変位場を定義し、さらに、部分領域内における実際の変位を両領域の変位の和として定義する重合メッシュ法の条件の下で、非線形固体問題を有している解析対象について、剛性マトリクスと節点変位ベクトルと荷重力ベクトルとの関係を記述する離散化釣合方程式を生成する重合メッシュ法離散化手段と、
を備え、
解析対象が回転を伴う大変形を有する物体であって、
重合メッシュ法離散化手段は、
トータルラグランジュ法を用い、第２ピオラ・キルヒホフ応力とグリーン・ラグランジュひずみについての支配方程式を生成し、初期変位に関する項と初期応力に関する項を含む接線剛性の式を生成する手段と、
重合メッシュ法の条件の下で、接線剛性の式について、初期変位に関する項と初期応力に関する項とをそれぞれ離散化して、離散化された接線剛性マトリクスを生成し、生成された接線剛性マトリクスを用いて離散化された釣合方程式を生成する手段と、
を有することを特徴とする有限要素解析装置。
【請求項３】
請求項２に記載の有限要素解析装置において、
重合メッシュ法離散化手段は、
解析対象が非線形固体問題を有することで生じる解析誤差を収束させるために反復計算を行う手段を有することを特徴とする有限要素解析装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は有限要素解析装置に係り、特に重合メッシュ法を用いる有限要素解析装置に関する。
【背景技術】
【０００２】
連続な解析対象を小さな有限要素と呼ばれる有限の大きさの領域の集まりとして扱い、コンピュータを用いて解析対象の現象を解析することが行われる。このような解析方法は有限要素解析法、あるいは単に有限要素法と呼ばれ、構造解析と総称されている固体の変形や応力、振動問題の解析のみならず、熱や流れの解析、電磁気の解析、化学反応を伴った現象の解析等について、広く一般的な数値解析法として用いられる。
【０００３】
特に、構造解析に用いられる有限要素解析法は、線形問題の解析から発展して、非線形固体問題の解析も行われるようになってきている。ここで非線形固体問題とは、線形理論が用いられない問題のことで、大別して３つの領域があるといわれている。１つは、材料特性が線形でないことから生じる材料非線形問題で、代表的には弾塑性問題である。２つ目は、ひずみ−応力関係が線形関係から外れることから生じる幾何学的非線形問題で、代表的には、回転を伴う大変形問題である。第３は、変形やひずみが微小であっても境界条件によって生じる非線形問題で、代表的には接触問題である。これらの非線形固体問題についても、計算規模が大きくなることがあるが、有限要素解析法が適用されてきている。
【０００４】
例えば、特許文献１には、接触２部材の接触解析方法として、ゴム、スポンジ、布等が積層構造をなす材料で構成される印刷用ブランケットと、ブランケットロールとの間の接触回転時の力学的挙動の解析について述べられている。ここでは、強制変位型と呼ばれる有限要素法を用いる手法と、荷重型と呼ばれる有限要素法を用いる手法とを組み合わせて、解析を行うことが開示されている。
【０００５】
有限要素解析法は、解析対象を有限の大きさのメッシュと呼ばれる微小領域に分割し、コンピュータを用いてそれぞれのメッシュについて変形等の解析を進めるものであるので、メッシュ数が増加すると、計算時間等が増大する。したがって、精密な解析をめざしてメッシュを細かくすると、全体としてのメッシュ数が増加し、計算時間が長くなる。
【０００６】
ところで、多くの工学的応用の場面では、興味のある現象は解析対象全体の領域に比べ、ずっと狭い領域で生じることが多い。したがって、全体モデルを比較的粗いメッシュで解析しておおよその挙動を知りつつ、興味ある現象を詳細に調べたい領域は詳細に切ったメッシュで解析することが考えられる。このような方法は、粗いメッシュによるグローバル解析と、細かいメッシュによるローカル解析とを組み合わせたもので、グローバル・ローカル解析、あるいはマルチスケール解析と呼ばれる。この代表的な方法として知られるズーミング解析は、グローバル解析の結果をローカル解析に境界条件として与えるものである。
【０００７】
ズーミング解析においては、グローバル解析の結果をローカル解析に境界条件として与えるので、境界条件の与え方が重要となり、また、両モデルの境界・節点を相互に一致させる必要がある。
【０００８】
これに対し、近年、重合メッシュ法と呼ばれるマルチスケール解析方法が提案され、検討が進められている。重合メッシュ法とは、グローバルモデルとローカルモデルについてそれぞれ独立にメッシュを生成し、それらを重ね合わせて同時に解析する手法で、変位を両モデルのそれぞれの変位の和として定義していることが大きな特徴である。換言すれば、重合メッシュ法とは、グローバルモデルである全体領域内と、ローカルモデルである部分領域内とにそれぞれ独立の変位場を定義し、さらに、部分領域内における実際の変位を両領域の変位の和として定義するものである。
【０００９】
非特許文献１には、船体構造について、重合メッシュ法を用いて解析を行った結果が報告されている。
【００１０】
【特許文献１】特開平９−８１５９５号公報
【非特許文献１】鈴木克幸他，「重合メッシュ法による船体構造のマルチスケール解析」，日本計算工学講演会論文集，Ｖｏｌ．１，１９９９，ｐ１５５−１６０
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１１】
このように、マルチスケール解析の中で重合メッシュ法を用いて有限要素解析を行うことで、興味ある現象を詳細に解析しながら、メッシュ数の増加を抑制し、計算時間を短縮することが期待される。
【００１２】
ところで、重合メッシュ法は、発展途上にあり、非線形固体問題については十分な解析が行われていない。したがって、現在では、非線形固体問題については、従来の有限要素解析法に基づき、メッシュを細かくして多大の計算時間を要して解析しているのが実情である。
【００１３】
本発明の目的は、非線形固体問題を有する解析対象について重合メッシュ法を適用可能とする有限要素解析装置を提供することである。
【課題を解決するための手段】
【００１４】
本発明に係る有限要素解析装置は、解析対象領域の全体である全体領域にグローバルメッシュを設定する手段と、解析対象領域の部分領域にローカルメッシュを設定する手段と、全体領域内と部分領域内とにそれぞれ独立の変位場を定義し、さらに、部分領域内における実際の変位を両領域の変位の和として定義する重合メッシュ法の条件の下で、非線形固体問題を有している解析対象について、剛性マトリクスと節点変位ベクトルと荷重力ベクトルとの関係を記述する離散化釣合方程式を生成する重合メッシュ法離散化手段と、を備え、解析対象が２つの面の接触問題をバネモデルで表現するバネ接合モデルであって、重合メッシュ法離散化手段は、バネ接合部分に沿った線積分の項であるバネ接合追加項を加えて仮想仕事の原理式を生成する手段と、重合メッシュ法の条件の下で、バネ接合追加項について離散化を行い、剛性マトリクスについてバネ接合追加項に関する追加成分を生成して離散化釣合方程式を生成する手段と、を有することを特徴とする。
【００１５】
また、本発明に係る有限要素解析装置において、解析対象が回転を伴う大変形を有する物体であって、重合メッシュ法離散化手段は、トータルラグランジュ法を用い、第２ピオラ・キルヒホフ応力とグリーン・ラグランジュひずみについての支配方程式を生成し、初期変位に関する項と初期応力に関する項を含む接線剛性の式を生成する手段と、重合メッシュ法の条件の下で、接線剛性の式について、初期変位に関する項と初期応力に関する項とをそれぞれ離散化して、離散化された接線剛性マトリクスを生成し、生成された接線剛性マトリクスを用いて離散化された釣合方程式を生成する手段と、を有することが好ましい。
【００１６】
また、本発明に係る有限要素解析装置において、重合メッシュ法離散化手段は、解析対象が非線形固体問題を有することで生じる解析誤差を収束させるために反復計算を行う手段を有することが好ましい。
【発明の効果】
【００１７】
上記構成により、有限要素解析装置は、重合メッシュ法の条件の下で、非線形固体問題を有している解析対象について、剛性マトリクスと節点変位ベクトルと荷重力ベクトルとの関係を記述する離散化釣合方程式を生成する。これによって、非線形固体問題を有している解析対象について有限要素解析法を適用できる離散化を行うことができ、この離散化釣合方程式を用いて有限要素解析を進めることで、計算時間を短縮しつつ、興味ある現象を詳細に解析できる。
【００１８】
そして、有限要素解析装置において、非線形固体問題として、オネジとメネジとの接触問題のように２つの面の接触問題をバネモデルで表現するバネ接合モデルを解析対象とする場合は、バネ接合部分に沿った線積分の項であるバネ接合追加項を加えて仮想仕事の原理式を生成し、重合メッシュ法の条件の下で、バネ接合追加項について離散化を行い、剛性マトリクスについてバネ接合追加項に関する追加成分を生成して離散化釣合方程式を生成する。したがって、剛性マトリクスの部分にバネ接合に関する項を追加することで、有限要素解析を実行することができる。
【００１９】
また、有限要素解析装置において、非線形固体問題として、回転を伴う大変形を有する物体が解析対象である場合は、トータルラグランジュ法を用い、第２ピオラ・キルヒホフ応力とグリーン・ラグランジュひずみについての支配方程式を生成し、初期変位に関する項と初期応力に関する項を含む接線剛性の式を生成して、重合メッシュ法の条件の下で、接線剛性の式について、初期変位に関する項と初期応力に関する項とをそれぞれ離散化して、離散化された接線剛性マトリクスを生成し、生成された接線剛性マトリクスを用いて離散化された釣合方程式を生成する。これによって、重合メッシュ法を用いて大変形問題の有限要素解析を実行できる。
【００２０】
また、有限要素解析装置において、解析対象が非線形固体問題を有することで生じる解析誤差を収束させるために反復計算を行う。したがって、解析誤差を抑制して、非線形固体問題に対する有限要素解析を行うことができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２１】
以下に図面を用いて本発明に係る実施の形態につき、詳細に説明する。以下に示す解析例におけるメッシュの設定の仕方は説明のための一例であり、重合メッシュ法の条件の下であれば、解析目的に応じて適宜設定を変更できる。また、以下で述べる単位系は、力としてＮ（ニュートン）、長さとしてｍｍをとり、適当な値を規格値として、その規格値に対する相対値を示してある。したがって、単位を示していないときは、その規格値に対する相対値を示すものである。
【００２２】
以下では、最初に、重合メッシュ法を用いる有限要素解析装置の構成とともに、重合メッシュ法による解析手法について述べる。その後に、非線形固体問題のいくつかの例について、重合メッシュ法を適用する場合の解析手法およびその適用結果を述べる。
【００２３】
［参考実施例１］
図１は、重合メッシュ法を用いる有限要素解析装置１０の構成を示す図である。この有限要素解析装置１０は、ＣＰＵ１２と、キーボード等の入力部１４、ディスプレイまたはプリンタ等の出力部１６、解析結果およびプログラム等を格納する記憶部１８を含んで構成される。これらの各要素は、相互に内部バスによって接続される。かかる有限要素解析装置１０は、数値解析に適した計算用コンピュータ等で構成することができる。
【００２４】
ＣＰＵ１２は、解析対象領域の全体である全体領域に比較的粗いメッシュであるグローバルメッシュを設定するグローバルメッシュ設定部２０と、解析対象領域の部分領域に十分な細かさを有するメッシュであるローカルメッシュを設定するローカルメッシュ設定部２２と、重合メッシュ法の条件の下で、非線形固体問題を有している解析対象について、剛性マトリクスと節点変位ベクトルと荷重力ベクトルとの関係を記述する離散化釣合方程式を生成する重合メッシュ法離散化部２４とを含んで構成される。これらの機能は、ソフトウェアで実現でき、対応する有限要素解析プログラムを実行することで実現できる。これらの機能の一部をハードウェアで実現するものとしてもよい。
【００２５】
ここで、重合メッシュ法の条件とは、次のようなものである。すなわちグローバルメッシュを設定した全体領域内と、ローカルメッシュを設定した部分領域内とにそれぞれ独立の変位場を定義し、さらに、グローバルメッシュとローカルメッシュとが重なり合って設定されている部分領域内における実際の変位を、両領域の変位の和として定義するものである。このように、部分領域内における実際の変位を、両領域の変位の和であると定義して解析を進めるところに、重合メッシュ法の特徴がある。
【００２６】
ＣＰＵ１２の重合メッシュ法離散化部２４は、解析対象の非線形固体問題の種類に応じて、それぞれの離散化手法を用いる。図１においては、非線形固体問題について、５つの離散化手法が適用できることが示されている。１つ目は、オネジとメネジとの接触問題をバネモデルで表現するバネ接合モデルについての離散化手法で、バネ接合モデル処理モジュール２６によって実行される。２つ目は、解析対象が初期ひずみを有している場合の離散化手法で、初期ひずみ処理モジュール２８によって実行される。３つ目は、物体に接触する弾性体における接触問題についての離散化手法で、接触問題処理モジュール３０によって実行される。４つ目は、弾性体に塑性領域が発生する弾塑性問題についての離散化手法で、弾塑性処理モジュール３２によって実行される。５つ目は、回転を伴う大変形問題についての離散化手法で、大変形処理モジュール３４によって実行される。これらの詳細については、それぞれの実施例または参考実施例のところで説明する。
【００２７】
次に、非線形問題を適用する場合の基礎となる線形重合メッシュ法の内容、特に、線形重合メッシュ法の基礎方程式の導入について説明する。ここでは、重合メッシュ法における各物理量に対する過程から、離散化された釣り合い方程式を導くまでの過程を示す。
【００２８】
図２は、グローバルメッシュにローカルメッシュを重ねる概念図である。ここに示されるように、全体領域にグローバルメッシュが設定され、全体領域の部分領域にローカルメッシュが設定される。このように、解析対象は、全体の傾向を速く把握できるグローバルメッシュが設定される全体領域についてのグローバルモデルと、興味のある現象を詳細に解析するためにローカルメッシュが設定される部分領域についてのローカルモデルとが重ね合わされたものとなっている。
【００２９】
図２に示されるように、解析対象について、３次元の全体領域Ωを考える。この全体領域Ω内に変位場としてｕGが定義されているものとする。また、全体領域Ωの部分領域としてΩLを定義する。すなわち、
【数１】
0004941205.tif 000002
である。
【００３０】
全体領域Ωの境界をΓとする。このΓは、幾何学的境界条件の課される境界Γuと、力学的境界条件の課される境界Γtとの和集合となっている。また、図２では、全体領域Ωと部分領域ΩLとの境界をΓGLとして示してある。
【数２】
0004941205.tif 000003
【００３１】
以下では、各変数の右上添字のＧ，Ｌはそれぞれ全体領域Ω、部分領域ΩLに関する量であることを意味するものとする。全体領域Ω、部分領域ΩLでは、それぞれ独立の変位場としてｕG，ｕLが定義されており、部分領域ΩL内では、実際の変位は両モデルの変位の和、すなわち、全体領域Ωの変位と部分領域ΩLの変位の和で定義されるものとする。すなわち、
【数３】
0004941205.tif 000004
である。また、境界ΓGL上で変位のＣ0連続性を保証するため、次のような条件を課す。
【数４】
0004941205.tif 000005
【００３２】
（１．６）式を偏微分すると、ひずみも両モデルのひずみの和で表される。すなわち、
【数５】
0004941205.tif 000006
である。全体領域Ω、部分領域ΩLをそれぞれ有限要素に分解すると、変位場・ひずみ場は適当な形状関数を用いて離散化され、
【数６】
0004941205.tif 000007
と表される。ここで、ＮG，ＮLはＣ0連続な形状関数であり、ｄG，ｄLは節点変位、ＢG，ＢLは変位・ひずみマトリクスである。なお、ここでの離散化については、それぞれが完全に独立に行われるものとする。すなわち、一般に両メッシュの節点、境界が一致する必要はない。
【００３３】
以上の仮定を仮想仕事の原理に代入して離散化された釣り合い方程式を導く。線形弾性体を仮定すると、仮想仕事の原理式は次式で表される。
【数７】
0004941205.tif 000008
ここで、ｂにハットバーが付けられたもの、ｔにハットバーがつけられたものは、それぞれ規定された体積力、表面力である。また、
【数８】
0004941205.tif 000009
は、次式を満たすような変位場、仮想変位場である。
【数９】
0004941205.tif 000010
【００３４】
ところで、仮想変位・仮想ひずみは規定された幾何学的境界条件を乱さないような任意の量であるが、これらもグローバルモデルとローカルモデルの重ね合わせで定義される。ここでは、グローバルモデルの変位ｕGに対応するところの仮想量であるδｕGおよびδεGと、ローカルモデルの変位ｕLに対応するところの仮想量であるδｕLおよびδεLとの２種類があり、これらが混在することに注意を要する。
【００３５】
（１．５）式、（１．７）式、および（１．８）式から（１．１１）式を、それぞれ（１．１２）式に代入して展開すると、
【数１０】
0004941205.tif 000011
となる。これに（１．８）式から（１．１１）式を代入し、仮想変位δｕG，δｕLの任意性からそれらの係数を整理すると、以下の離散化された釣り合い方程式が導かれる。
【数１１】
0004941205.tif 000012
【００３６】
ここで、
【数１２】
0004941205.tif 000013
である。ただし、Ｄは、物体の応力・ひずみ関係マトリクスである。
【００３７】
ここで、ＫG，ＫL、ｆG，ｆLは、それぞれグローバルメッシュ上、ローカルメッシュ上で定義される通常の剛性マトリクス、荷重ベクトルであることに注意する。すなわち、これらの計算に際しては、そのモデル（メッシュ）だけの情報で作成され、互いの情報は必要ない。この特徴により、モデリングの柔軟性が大きく向上することになる。
【００３８】
これに対しＫGLは、両メッシュの連成効果を表すマトリクスであり、これらの計算には、当然、両メッシュの有限要素情報が必要となる。（１．１８）式を変形すると、
【数１３】
0004941205.tif 000014
となる。これは、グローバルモデルとローカルモデルとの間に相互作用が働き、それが互いのモデルに対する荷重ベクトルとして機能していることを示している。そして、このマトリクスが、重合メッシュ法の特徴を表す部分である。このマトリクスは計算機を用いて、ローカルメッシュの要素単位について数値積分を実行することで計算することができる。この際に、ローカルメッシュの要素とグローバルメッシュの要素とが重なる領域があるので、積分点数を増やして、例えば、４×４の積分点数を用いて数値積分を実行することが好ましい。
【００３９】
［実施例１］
非線形固体問題について重合メッシュ法を用いて解析するには、その非線形固体問題に適合する離散化釣り合い方程式を生成する必要がある。ここでは、ボルト解析に必要なバネ接合モデルを重合メッシュ法に取り入れる方法について述べる。
【００４０】
この方法は、図１のＣＰＵ１２の重合メッシュ法離散化部２４において、バネ接合モデル処理モジュール２６の機能により実行される。詳細には、以下に述べるように、バネ接合部分に沿った線積分の項であるバネ接合追加項を加えて仮想仕事の原理式を生成する処理手順と、重合メッシュ法の条件の下で、バネ接合追加項について離散化を行い、剛性マトリクスについてバネ接合追加項に関する追加成分を生成して離散化釣合方程式を生成する処理手順とを実行することで、ボルト解析に必要なバネ接合モデルを重合メッシュ法に取り入れることができる。
【００４１】
ここで、ボルトとプレートとは、図３に示されるように、本来接触している。そこで、ネジ山を再現した上で、接触問題としてモデル全体を解析すると、モデルの自由度が大きくなるため、計算時間が非常に長くなる。そこで、ネジ部の形状は正確にモデリングするが、数値計算状の大きな障害となるネジ山部分の接触をバネ接合モデルに置き換える。ここで、バネ接合モデルとは、ネジ山の幾何形状を正確にモデル化し、オネジとメネジとの接触をバネモデルに置き換えたものである。
【００４２】
バネモデルが３次元モデルの場合、対応節点を３つのバネで結ぶ必要がある。ボルトの軸直角断面と圧力側フランクにおいて定義するバネ定数を図４に示す。ここで、ｋnは、ネジ山の圧力側フランク面に直角な方向のバネ定数で、対応ネジ面の離隔がないと仮定すると、ｋnを無限大と置くことができる。ｋrは、軸断面で圧力側フランク面に沿った半径方向のバネ定数で、半径方向すべり量δrを用いて評価する。図４には示していないが、ｋθは、軸直角断面でフランク面の円周方向バネ定数である。円周方向のバネ定数ｋθも円周方向すべり量δθを用いて同様に評価できる。
【００４３】
次に、バネ接合モデルを重合メッシュ法に適用した場合の定式化について述べる。まず、通常の有限要素解析法（ＦＥＭ）について述べる。いま、簡単に説明するため、図５のような２次元モデルのｘ軸方向に水平な面Ａ、面Ｂがバネ接合する場合を考える。このとき、仮想仕事の原理式の左辺には、次式で表されるバネ接合部分に沿った線積分の項が追加される。なお、ｋは軸方向のバネ定数である。
【数１４】
0004941205.tif 000015
【００４４】
（２．１）式について形状関数を用いて離散化すると次式が得られる。
【数１５】
0004941205.tif 000016
【００４５】
つまり、剛性マトリクスに以下の項を追加すればよい。
【数１６】
0004941205.tif 000017
なお、せん断方向のバネ定数についても、これと同様に定義することができる。
【００４６】
次に、重合メッシュ法について述べる。重合メッシュ法では、（２．１）式は、次式で表される。
【数１７】
0004941205.tif 000018
ここで、（２．２）式を求める場合と同様に、（２．４）式について形状関数を用いて離散化すると、次式で表されるマトリクスが得られる。
【数１８】
0004941205.tif 000019
つまり、剛性マトリクスに（２．５）式の項を追加することで、離散化された釣り合い方程式を得ることができる。
【００４７】
［参考実施例２］
次に、非線形固体問題として、ボルトがプレートに締め付けられていて、初期ひずみを有している場合において、重合メッシュ法を取り入れる方法について述べる。
【００４８】
この方法は、図１のＣＰＵ１２の重合メッシュ法離散化部２４において、初期ひずみ処理モジュール２８の機能により実行される。詳細には、以下に述べるように、初期ひずみ成分を含むひずみと応力の関係式を用いて仮想仕事の原理式を生成する処理手順と、重合メッシュ法の条件の下で、離散化を行い、荷重力ベクトルについて初期ひずみに対応する外力追加項に関する追加成分を生成する処理手順とを実行することで、初期ひずみを有する締結部材について重合メッシュ法を適用することができる。
【００４９】
図６に示されるように、ボルトはプレートに締め付けられているので、初期状態のひずみが発生している。これを初期ひずみと呼ぶことにする。そのため、初期ひずみをε0とすると、図６でε0として示された領域には初期ひずみε0が存在し、そこでは、ひずみεと応力σとの関係は、構成式Ｄを用いて、次式で表される。
【数１９】
0004941205.tif 000020
【００５０】
次に、初期ひずみを重合メッシュ法に適用した場合の定式化について述べる。まず通常のＦＥＭについて述べる。上記のように、線形弾性体の仮想仕事の原理式は次式で表される。
【数２０】
0004941205.tif 000021
【００５１】
（３．１）式を（３．２）式に代入すると、次式が得られる。
【数２１】
0004941205.tif 000022
【００５２】
（３．３）式について形状関数を用いて離散化すると次式が得られる。
【数２２】
0004941205.tif 000023
【００５３】
ここで、仮想変位δｄの任意性から、次式の離散化された釣り合い方程式が得られる。
【数２３】
0004941205.tif 000024
ここで、Ｋ，ｆは次式で表される。
【数２４】
0004941205.tif 000025
【００５４】
次に、重合メッシュ法の適用について述べる。上記のように、線形の重合メッシュ法では、ローカルメッシュが設定される部分領域における変位とひずみは、次式のように、グローバルモデルのものとローカルモデルのものとの和で表される。
【数２５】
0004941205.tif 000026
【００５５】
（３．８），（３．９）式を（３．３）式に代入すると、次式が得られる。
【数２６】
0004941205.tif 000027
【００５６】
ここで、グローバルモデル、ローカルモデルのそれぞれを離散化する。すると、（３．１０）式の左辺は、線形の重合メッシュ法と同様に次式で表される。
【数２７】
0004941205.tif 000028
【００５７】
（３．１０）式の右辺の第１項、第２項についても線形の重合メッシュ法と同様に次式で表される。
【数２８】
0004941205.tif 000029
【００５８】
初期ひずみによって発生する（３．１０）式の右辺の第３項も、同様に離散化すると次式で示される。
【数２９】
0004941205.tif 000030
【００５９】
仮想変位δｕG，δｕLの任意性から係数を整理すると、以下の離散化された釣り合い方程式が導かれる。
【数３０】
0004941205.tif 000031
【００６０】
つまり、初期ひずみの項については、グローバルモデルの荷重ベクトル、ローカルモデルの荷重ベクトルに、それぞれ外力を追加項として加えることで、重合メッシュ法が適用できる。
【００６１】
次に、具体的な数値解析例について説明する。ボルトとプレートとについて、実際のＣＡＤ（Ｃｏｍｐｕｔｅｒ  Ａｉｄｅｄ  Ｄｅｓｉｇｎ）のデータをもとに、ボルトモデルの断面モデルを作成した。図７はその模式図、図８は実際のモデルから作成した解析用のモデルを示す図である。
【００６２】
ここで、解析用のモデルは次のように設定した。すなわち、図８において、Ａ−Ｂの部分は完全に固定とし、Ｃの部分には、既に説明したバネ接合モデルのバネ要素を用い、Ｄの部分には、等分布荷重０．７０５ＭＰａを作用させ、ボルトのＥの部分に初期ひずみを与えた。材料は、ボルトがスチール、プレート１，２はいずれもアルミニウムであり、材料定数は図８の中に示されている。
【００６３】
図９に、グローバルメッシュと、ローカルメッシュとを示す。ローカルメッシュは、初期ひずみを与えた部分領域に設定され、図９では、拡大されて示されている。グローバルメッシュは４４２節点、ローカルメッシュは７２０節点である。
【００６４】
初期ひずみを与え、外力を与えない場合の変位と、平面応力であるｖｏｎ−Ｍｉｓｅｓ応力についての解析結果を図１０、図１１に示す。図１０は、グローバルメッシュの解析結果で、図１１は、ローカルメッシュの解析結果である。ここで、ローカルメッシュの解析結果とは、ローカルメッシュの単独の解析を示すのではなく、グローバルメッシュとローカルメッシュとを重ね合わせた全体の変位等についての解析結果のことである。
【００６５】
ここで、初期ひずみは図９の紙面で水平方向に、ε0＝１．０×１０-3を与えた。対応するｖｏｎ−Ｍｉｓｅｓ応力は、規格化された値で換算して１９８である。バネ定数は軸方向と、せん断方向とについて、それぞれ、規格化された値で換算してｋ＝１．０×１０6である。
【００６６】
ｖｏｎ−Ｍｉｓｅｓ応力の大きさは、メッシュにおける斜線の密度で相対的に示した。斜線の密度が密になるほど、そのメッシュにおけるｖｏｎ−Ｍｉｓｅｓ応力は大きい。なお、斜線を付してない部分は、ｖｏｎ−Ｍｉｓｅｓ応力がゼロではなく、図示された斜線が示すｖｏｎ−Ｍｉｓｅｓ応力の大きさよりも小さい値であることを示している。換言すれば、図１０、図１１においては、ｖｏｎ−Ｍｉｓｅｓ応力の大きさを、斜線のないものを含め、４段階表示としたものである。なお、この表示法は以後の解析結果の場合も同様で、斜線のないものを含め、斜線の密度で、数段階の応力の変化を示すようにした。
【００６７】
図１２、図１３は、初期ひずみ、外力を共に与える場合の変位と、ｖｏｎ−Ｍｉｓｅｓ応力についての解析結果を示す図である。図１２は、グローバルメッシュの解析結果で、図１３は、ローカルメッシュの解析結果である。初期ひずみ、バネ定数の条件は、図１０、図１１の場合と同じである。
【００６８】
図１０、図１１の結果から、解析には、初期ひずみの効果が正しく反映されていることが分かる。また、図１３の結果より、ボルトのネジ山とプレートとが噛み合っている部分と噛み合っていない部分との境界に応力が集中していることが分かる。
【００６９】
［参考実施例３］
構造物の解析において変形する物体と剛体、あるいは変形する物体間の接触を考慮しなくてはならない問題は、上記のボルトとプレートの例以外にも、軸受、車輪と路面との関係等、実用上多くある。そこで、次に、非線形固体問題として、弾性体が物体に接触する接触問題において、重合メッシュ法を取り入れる方法について述べる。
【００７０】
この方法は、図１のＣＰＵ１２の重合メッシュ法離散化部２４において、接触問題処理モジュール３０の機能により実行される。詳細には、以下に述べるように、ペナルティ定数を用いた変位の拘束項を加えて接触問題の支配方程式を生成する処理手順と、重合メッシュ法の条件の下で、変位の拘束項について離散化を行い、剛性マトリクスと節点力とについてペナルティ定数に関する追加成分を生成して離散化釣合方程式を生成する処理手順とを実行することで、接触問題について重合メッシュ法を適用することができる。
【００７１】
以下に、接触問題の重合メッシュ法による有限要素定式化について述べる。この定式化では、展開の煩雑さを避けるために、力学的場は微小変形の線形弾性体問題に限定する。しかし、ここで接触解析に対して導かれた結果は、弾塑性問題や大変形問題に対して応用できる、また、以下の接触解析においては、摩擦を考慮していない。
【００７２】
接触問題では、接触部分の変位を拘束するための方法として、ラグランジュ未定乗数法、ペナルティ法等が知られている。以下では、実装が容易なペナルティ法について説明する。
【００７３】
ここでは、図１４に示されるように、弾性体が剛体に接触する場合を取り上げる。接触領域をΓC、壁と物体の距離をハットバーのついたｕで示す。まず、通常のＦＥＭの場合の接触問題について説明する。ペナルティ法を適用した場合、ラグランジュ未定係数は次式となる。
【数３１】
0004941205.tif 000032
【００７４】
このとき、弱形式は、次式となる。
【数３２】
0004941205.tif 000033
【００７５】
ここで、ペナルティ法による変位の拘束項である左辺の第２項について、形状関数Ｎ、節点変位ｄを用いて離散化する。
【数３３】
0004941205.tif 000034
【００７６】
（４．３）式を（４．２）式に代入し、他の項についても変位・ひずみマトリクスＢを用いて離散化すると次式が得られる。
【数３４】
0004941205.tif 000035
【００７７】
したがって、次式が得られる。
【数３５】
0004941205.tif 000036
【００７８】
（４．５），（４．６）式を（４．４）式に代入すると次式が得られる。
【数３６】
0004941205.tif 000037
【００７９】
次に、重合メッシュ法について説明する。ここでは、図１４のような接触領域がローカルモデルである部分領域に含まれる場合について述べる。上記のように、重合メッシュ法では、ローカルモデルの部分領域ΩL内での変位を、グローバルモデル、ローカルモデルのそれぞれの変位の和として定義する。すなわち、
【数３７】
0004941205.tif 000038
である。また、グローバルモデルの全体領域と、ローカルモデルの部分領域との境界ΓGLでの変位の連続性を保証するため、次の条件式を課す。
【数３８】
0004941205.tif 000039
また、（４．８）式の両辺を偏微分すると、次式のように、ひずみも両モデルのひずみの和で表される。
【数３９】
0004941205.tif 000040
【００８０】
（４．８），（４．１０）式を（４．２）式に代入すると、次式を得る。
【数４０】
0004941205.tif 000041
【００８１】
グローバルモデル、ローカルモデルのそれぞれについて、
【数４１】
0004941205.tif 000042
の関係を用いて離散化する。このとき、（４．１１）式の左辺の第１項は、通常の重合メッシュ法と同様、次式で表される。
【数４２】
0004941205.tif 000043
【００８２】
（４．１１）式の右辺についても通常の重合メッシュ法と同様に次式で表される。
【数４３】
0004941205.tif 000044
【００８３】
（４．１１）式の左辺の第２項は、次式のように離散化される。
【数４４】
0004941205.tif 000045
【００８４】
（４．１２），（４．１３），（４．１４）式を（４．１１）式に代入し、仮想変位δｕG，δｕLの任意性から係数を整理すると、以下の離散化された釣り合い方程式が導かれる。
【数４５】
0004941205.tif 000046
【００８５】
通常の線形の重合メッシュ法と比較すると、各項にペナルティ法による変位の拘束項が付与されていることが分かる。これらの項は、剛体と接触している要素にのみ現れることに注意する。つまり、非線形に基づく解析誤差を収束するために、例えば、ニュートン・ラプソン（Ｎｅｗｔｏｎ−Ｒａｐｈｓｏｎ）法による反復計算が必要となる。また、ＫGLについては、ＮGとＮLが混在しているので、上記で述べたように、数値積分において積分定数を増やすことが望ましい。
【００８６】
次に、接触解析と線形の重合メッシュ法との相違の１つであるニュートン・ラプソン法による反復計算について説明する。反復計算においては、最初に剛性マトリクスを作成するために接触要素の判定を行う。これは、各要素が、剛体に接触しているか、いないかを判定することで行われる。ここでは、グローバルモデルとローカルモデルとについて足し合わせた変位を用いる。重合メッシュ法では、足し合わせた変位を真の変位と定義しているからである。そして、剛性マトリクスＫ、外力ｆを作成し、残差を次式により計算する。
【数４６】
0004941205.tif 000047
ここで、ｉは、ニュートン・ラプソン法による反復計算のステップ数を表している。また、Ｕiは、次式で定義される。
【数４７】
0004941205.tif 000048
【００８７】
続いて、次式により連立方程式の計算をする。
【数４８】
0004941205.tif 000049
【００８８】
次に、次式により変位を更新する。このときには、グローバルモデルの変位とローカルモデルの変位との足し合わせをしないことに注意する。
【数４９】
0004941205.tif 000050
【００８９】
そして、残差のノルムが十分に小さくなったかどうかで、次式により収束の判定を行う。
【数５０】
0004941205.tif 000051
【００９０】
図１５は、上記の手順をまとめたものである。
【００９１】
次に、数値解析例の結果を説明する。ここでは、ヘルツ問題と呼ばれる２次元円板を集中荷重により圧縮する例を取り上げ、変位と平面応力の解析を行った。モデルの概略図を図１６に示す。このモデルの対称性から、全体の１／４領域のみを解析する。重合メッシュ法による解析に用いたメッシュを図１７に示す。グローバルメッシュは半径方向に６要素、円周方向に６要素で、合計２７要素に分割した。一方、ローカルメッシュは、半径方向に８要素、円周方向に１２要素で、合計９６要素に分割した。なお、参照解として、通常のＦＥＭの分割メッシュを図１８に示す。ここでは半径方向に２４要素、円周方向に２４要素で、合計４３２要素に分割した。これは、ローカルメッシュと同じ細かさのメッシュで全領域を分割したものに相当する。
【００９２】
重合メッシュ法および参照メッシュのＦＥＭについて、変位とｖｏｎ−Ｍｉｓｅｓ応力の解析結果をそれぞれ図１９と図２０に示す。重合メッシュ法によるローカルメッシュと参照メッシュの対応する部分を比較すると、同様の結果が得られていることが分かる。なお、図１９、図２０においてｂと示したのは、２次元円板が集中荷重によってベースである剛体に接触した接触長さの半分である。
【００９３】
ヘルツ問題の接触長さについては、理論解が存在する。集中荷重をＦ、物体の半径をＲとすると、接触長さの１／２を示すｂは次式となる。
【数５１】
0004941205.tif 000052
【００９４】
荷重Ｆと接触長さ２ｂとの関係を理論解と比較した結果を図２１に示す。ここでは、理論解がＴｈｅｏｒｙとして示され、重合メッシュ法による結果がＭＳＭとして示されている。また、参照解としてローカルメッシュと同じ細かさのメッシュを用いた結果がＦＥＭ（ｃ）として示され、グローバルメッシュと同じ粗さのメッシュを用いた結果がＦＥＭ（ｆ）として示されている。この結果からは、２７＋９６要素のメッシュを用いたＭＳＭは、４３２要素のメッシュを用いたＦＥＭ（ｆ）の結果はほぼ一致し、理論解と比較しても
精度のよい結果となっていることが分かる。
【００９５】
［実施例２］
材料非線形問題は、材料の力学特性、すなわち、応力とひずみの関係に由来する非線形問題である。このような問題の解析には、ほとんど例外なく増分解析をとり、きわめて微小な増分を前提とする反復なしの陽的な解法と、適当な大きさの増分に対し、反復補正を加える陰的な解法とが知られている。重合メッシュ法による弾塑性解析では、前者の陽的な解法が試みられているが、後者の反復補正を加える陰的な解法を用いた解析は行われていない。そこで、以下では、適当な大きさの増分について重合メッシュ法を適用し、さらに、非線形による誤差を収束させるためにニュートン・ラプソン法を用いる方法について説明する。
【００９６】
この方法は、図１のＣＰＵ１２の重合メッシュ法離散化部２４において、弾塑性処理モジュール３２の機能により実行される。詳細には、以下に述べるように、弾塑性応力ひずみマトリクスを用い、離散化釣合方程式を生成する処理手順を実行することで、弾塑性問題について重合メッシュ法を適用することができる。また、この処理において、反復計算を行って、非線形問題に起因する解析誤差を収束させることができる。なお、以下では、応力とひずみとを結ぶ構成式として、完全弾塑性体に関するものを用いる。
【００９７】
ここでは、図２２に示すように、ローカルモデル内に塑性領域が発生する場合について述べる。弾塑性解析では、次式で表される弾塑性応力ひずみマトリクスを用いる。
【数５２】
0004941205.tif 000053
【００９８】
このとき、釣り合い方程式は次式で表される。
【数５３】
0004941205.tif 000054
【００９９】
この釣り合い方程式を用いて、重合メッシュ法を弾塑性問題に適用することが可能となる。
【０１００】
ここで、弾塑性解析において、１つの増分の中間点で降伏が始まる場合、剛性マトリクスの組み立てに用いた弾性関係から応力を求めるのでは精度が悪く、何らかの手段で応力を補正することが好ましい。このような場合、１つの増分に対して反復が必要となる。以下に、重合メッシュ法による弾塑性解析に、ニュートン・ラプソン法による反復計算を導入する計算手順を説明する。
【０１０１】
反復計算では、最初に構成式を計算するため、積分点ごとにｖｏｎ−Ｍｉｓｅｓ応力を計算する。ここでは、接触解析に関して述べたのと同様に、グローバルモデルの変位とローカルモデルの変位とを足し合わせた変位を計算に用いる。これは、上記のように、重合メッシュ法では、足し合わせた変位を真の変位と定義しているからである。そして、剛性マトリクスＫ、外力ｄＦを作成し、残差を次式により計算する。
【数５４】
0004941205.tif 000055
ここでｉはニュートン・ラプソン法による反復計算のステップ数を表している。またｄＵiは、接触解析に関して述べたと同様に、次式で定義される。
【数５５】
0004941205.tif 000056
【０１０２】
続いて、次式により連立方程式の計算をする。
【数５６】
0004941205.tif 000057
【０１０３】
ここで、ｄＵは１回の荷重ステップで計算される変位の増加量、ｄｄＵはその荷重ステップ中で反復計算されるニュートン・ラプソン法の１回の計算によって得られる変位の増加量を表している。つまり、ニュートン・ラプソン法による変位は、次式で更新される。なお、接触解析に関して述べたと同様に、このときは、グローバルモデルの変位とローカルモデルの変位との足し合わせを行わない。
【数５７】
0004941205.tif 000058
【０１０４】
次に、（５．８）式で得られた変位を用いて応力σiを求める。ここで求めた応力は、次ステップの構成式の計算で用いるため、グローバルモデルの変位とローカルモデルの変位とを足し合わせた変位を用いて計算する。
【０１０５】
そして、ニュートン・ラプソン法の収束の判定を次式により行う。
【数５８】
0004941205.tif 000059
【０１０６】
反復計算を行い、収束した後に、グローバルモデルの変位とローカルモデルの変位との足し合わせをする。以上の手順を図２３にまとめた。
【０１０７】
次に数値解析例の結果を説明する。ここでは、円孔問題と呼ばれる２次元板の中心に円形の穴があいた例題について、変位と平面応力の解析を行った。モデルの概略図を図２４に示す。ここでは、モデルの対称性から全体の１／４領域のみを解析する。材料はスチールのヤング率Ｅ＝２．１×１０5ＭＰａ、ポアソン比ν＝０．３を用いた。そして、ひずみ効果係数Ｈ＝１、つまり完全弾塑性を仮定した。降伏応力を３００Ｍｐａ、外力を１４０Ｍｐａとした。また、増分解析における荷重ステップ数は１０とした。
【０１０８】
重合メッシュ法による解析に用いたメッシュを図２５に示す。グローバルメッシュは縦横にそれぞれ８要素の合計８０要素に分割した。一方、ローカルメッシュは、半径方向に１０要素、円周方向に２０要素の合計２００要素に分割した。参照解の導出に用いるメッシュを図２６に示す。ここでは、縦横に２０要素の合計５００要素に分割した。これはローカルメッシュと同じ細かさで全体をメッシュ分割したものに相当する。
【０１０９】
重合メッシュ法および参照メッシュのＦＥＭについて、変位とｖｏｎ−Ｍｉｓｅｓ応力の解析結果をそれぞれ図２７と図２８に示す。ローカルメッシュと参照メッシュの対応する部分を比較すると、同様の結果が得られていることが分かる。
【０１１０】
上記では、全体剛性マトリクスの作成に、グローバルモデルのデータとローカルモデルのデータとを用いた。これに対し、グローバルモデルの解析とローカルモデルの解析とを相互に行い、相互の影響である連成効果を外力として与える方法が考案されている。そこでニュートン・ラプソン法の反復計算を必要とする非線形解析においても、図２９のように、グローバルモデルの解析とローカルモデルの解析とを反復することが考えられる。そこで、この手法を用いて、図２４で説明した円孔問題について、解析を行い、通常の重合メッシュ法を用いた解析結果、および参照ＦＥＭの解析結果と比較した。
【０１１１】
比較解析において、寸法および材料の性質に関する諸条件は、図２４で説明したものと同じである。ここでは、グローバルモデルとローカルモデルの反復は、図２９に示されると同じ２回行った。比較は、外力を９０Ｍｐａから１２０Ｍｐａまで変化させたときの変位で行った。比較に用いた値は、図３０の（ａ）と（ｂ）におけるＡ点、Ｂ点の紙面において水平方向の変位である。ここで、図３０（ａ）は、重合メッシュによる場合、（ｂ）は参照メッシュによる場合で、これらにおけるＡ点、Ｂ点の位置は全く同じである。
【０１１２】
比較の結果を図３１、図３２に示す。図３１はＡ点の変位、図３２はＢ点の変位である。ここで、ＧＬ反復とあるのが、グローバルモデルとローカルモデルとを２回反復して解析した結果であり、通常ＭＳＭとあるのが、通常の重合メッシュ法による解析結果を示し、参照ＦＥＭとあるのが、通常の線形ＦＥＭによる解析結果である。
【０１１３】
この結果からは、ＧＬ反復法は、通常の重合メッシュ法に対し、値が９９％合っていることが分かる。つまり、正常に解析が行われれば、ＧＬ反復法は、通常の重合メッシュ法と遜色ない解が得られる。また、参照ＦＥＭと比較しても正常に解析されていると評価できる。なお、１００ＭＰａを超えると、ＧＬ反復法では、ニュートン・ラプソン法の反復計算における残差がある一定値で変化しなくなることがある。したがって、ＧＬ反復法は、塑性領域が非常に小さい場合に有効であるということができる。このように、ＧＬ反復法を用いることで、重合メッシュ法を汎用的なコード、例えばＡＢＡＱＵＳ等に実装することが容易になる。
【０１１４】
［実施例３］
通常の有限要素解析法においては、ひずみ・変位関係式は線形を仮定している。しかし、剛体回転を伴う大変形問題においては、ひずみ・変位関係式の非線形を考慮する必要が出てくる。このような問題は、一般的に幾何学的非線形問題と呼ばれる。線形の有限要素解析法では、上記のように、ひずみ・変形関係式に線形を仮定しているため、物体を剛体回転させるとひずみが発生することになるが、実際には剛体回転によってひずみは発生しない。この矛盾を解消するためには、ひずみの２次の項を考慮しなければならず、非線形解析が必要となる。このような幾何学的非線形を考慮した場合の重合メッシュ法については、これまで研究が行われていない。そこで、ここでは、重合メッシュ法による大変形解析を行う。
【０１１５】
この方法は、図１のＣＰＵ１２の重合メッシュ法離散化部２４において、大変形処理モジュール３４の機能により実行される。詳細には、以下に述べるように、トータルラグランジュ法を用い、第２ピオラ・キルヒホフ応力とグリーン・ラグランジュひずみについての支配方程式を生成し、初期変位に関する項と初期応力に関する項を含む接線剛性の式を生成する処理手順と、重合メッシュ法の条件の下で、接線剛性の式について、初期変位に関する項と初期応力に関する項とをそれぞれ離散化して、離散化された接線剛性マトリクスを生成し、生成された接線剛性マトリクスを用いて離散化された釣合方程式を生成する処理手順とを実行することで、大変形問題について重合メッシュ法を適用することができる。
【０１１６】
幾何学的非線形問題の定式化手法にはトータルラグランジュ法と、アップデイティッドラグランジュ法がある。図３３にその様子を示すが、未知状態の仮想仕事式をラグランジュ表記する際に、前者は初期配置（Ｘ座標）を参照し、後者は増分を開始する状態である現在位置（ｘ座標）を参照する。両者の差は参照配置のみであるので、いずれを用いても同じモデルについては同一の解が得られる。重合メッシュ法において後者を用いると、各ステップごとにグローバルモデルとローカルモデルの位置関係を判定することになる。そこで、以下では、トータルラグランジュ法による定式化を進める。
【０１１７】
トータルラグランジュ法を用いるときの弱形式は次式で表される。
【数５９】
0004941205.tif 000060
ここでＳは第２ピオラ・キルヒホフ応力、Ｅはグリーン・ラグランジュひずみを表す。また接線剛性ＫTは次式で表される。
【数６０】
0004941205.tif 000061
ここで、Ｓのハットドットは、第２ピオラ・キルヒホフ応力の時間微分で応力速度、Ｅのハットドットは、グリーン・ラグランジュひずみの時間微分でひずみ速度を表している。
【０１１８】
ここからは、簡単に説明するため、等方性材料で四角形要素の２次元面内変形に限定したマトリクス表示について述べる。変位ｕ、グリーン・ラグランジュひずみＥ、第２ピオラ・キルヒホフ応力Ｓ、構成式Ｄの各成分を次式で定義する。
【数６１】
0004941205.tif 000062
【０１１９】
構成式Ｄは、ひずみ速度と応力速度の関係として定義し、次式で表される。なお、異方性材料については関係が異なってくることが報告されている。
【数６２】
0004941205.tif 000063
【０１２０】
（６．７）式をマトリクス表示すると次式で表される。
【数６３】
0004941205.tif 000064
【０１２１】
このとき、（６．２）式の右辺第１項は次式で表される。
【数６４】
0004941205.tif 000065
【０１２２】
（６．９）式のひずみ速度の成分は次式で表される。
【数６５】
0004941205.tif 000066
【０１２３】
（６．１０）式は、次式のようにマトリクス表示することができる。
【数６６】
0004941205.tif 000067
【０１２４】
ここで、
【数６７】
0004941205.tif 000068
は、次式で定義される。
【数６８】
0004941205.tif 000069
【０１２５】
重合メッシュ法では、既に述べてきたように、全体領域Ω内、部分領域ΩL内ではそれぞれ独立の変位場としてｕGとｕLが定義されており、部分領域ΩL内では、実際の変位は両モデルの変位の和で定義される。つまり、ｕは次式で表される。
【数６９】
0004941205.tif 000070
同様に、変位の微分は次式で表される。
【数７０】
0004941205.tif 000071
【０１２６】
このとき、（６．１２）式に（６．１５）式を代入すると、［Ｚ1］は次式で表される。
【数７１】
0004941205.tif 000072
ただし、
【数７２】
0004941205.tif 000073
は、次式で定義する。
【数７３】
0004941205.tif 000074
【０１２７】
このとき、（６．１４）式に（６．１６）式を代入すると、
【数７４】
0004941205.tif 000075
は、次式で表される。
【数７５】
0004941205.tif 000076
ただし、
【数７６】
0004941205.tif 000077
は、次式で定義する。
【数７７】
0004941205.tif 000078
【数７８】
0004941205.tif 000079
【数７９】
0004941205.tif 000080
【０１２８】
（６．１２），（６．１７），（６．２１）式より、次式が求められる。
【数８０】
0004941205.tif 000081
【０１２９】
（６．２６）式は、重合メッシュ法で定義される（６．１５）式を用いて、
【数８１】
0004941205.tif 000082
を
【数８２】
0004941205.tif 000083
と
【数８３】
0004941205.tif 000084
を用いて表すことができることを示している。
【０１３０】
ここで、便宜的に以下の置き換えをする。この置き換えは独自のものである。また、便宜上、線形の場合と同じ記号を用いたが、その意味合いは全く異なるものである。
【数８４】
0004941205.tif 000085
【０１３１】
このとき（６．２６）式は次式で表される。
【数８５】
0004941205.tif 000086
【０１３２】
これまでの議論と同様に次式が導かれることも明らかである。
【数８６】
0004941205.tif 000087
ここで、
【数８７】
0004941205.tif 000088
は次式で定義される。
【数８８】
0004941205.tif 000089
【０１３３】
（６．２）式の右辺第１項に、（６．９），（６．２９），（６．３０）式を代入すると次式が得られる。
【数８９】
0004941205.tif 000090
【０１３４】
これで、（６．２）式の右辺第１項、つまり、初期変位に関る項について重合メッシュ法による離散化が完成した。
【０１３５】
ここからは、（６．２）式の右辺第２項、つまり初期応力に関わる項について述べる。そのために、まず変形勾配テンソルＦについて述べる。
【０１３６】
変形勾配テンソルＦは、次式のようにマトリクス表示できる。
【数９０】
0004941205.tif 000091
【０１３７】
（６．３４）式に（６．１５）式を代入すると、次式が得られる。
【数９１】
0004941205.tif 000092
したがって、
【数９２】
0004941205.tif 000093
は、次式で表される。
【数９３】
0004941205.tif 000094
【０１３８】
また、
【数９４】
0004941205.tif 000095
についても同様に次式で表される。
【数９５】
0004941205.tif 000096
【０１３９】
（６．２）式の右辺第２項は変形勾配テンソルＦを用いて次式のように表される。
【数９６】
0004941205.tif 000097
ただし、
【数９７】
0004941205.tif 000098
は、次式で定義される。
【数９８】
0004941205.tif 000099
【０１４０】
このとき、
【数９９】
0004941205.tif 000100
と、
【数１００】
0004941205.tif 000101
には、次式で表される関係がある。
【数１０１】
0004941205.tif 000102
【０１４１】
また、
【数１０２】
0004941205.tif 000103
と、
【数１０３】
0004941205.tif 000104
も同様に、次式で表される関係がある。
【数１０４】
0004941205.tif 000105
【０１４２】
（６．３８）式に（６．３６），（６．３７）式を代入すると、次式が得られる。
【数１０５】
0004941205.tif 000106
【０１４３】
これで、（６．２）式の右辺第２項、つまり初期応力に関わる項について重合メッシュ法による離散化が完成した。
【０１４４】
（６．２）式に（６．３３），（６．４４）式を代入すると、接線剛性マトリクスは次式で表される。
【数１０６】
0004941205.tif 000107
【０１４５】
このようにして、四角形要素の２次元面内変形問題についてトータルラグランジュ法による重合メッシュ法の定式化が行われる。３次元問題についても全く同様に接線剛性マトリクスを求めることができる。
【０１４６】
次に、重合メッシュ法による大変形解析におけるニュートン・ラプソン法による反復計算の手順について述べる。反復計算では、最初に接線剛性ＫTを作成する。ここでは、これまでと同様に、グローバルモデルの変位とローカルモデルの変位とを足し合わせた変位を用いて得られる応力を用いる。そして、残差を次式により計算する。
【数１０７】
0004941205.tif 000108
ｉはニュートン・ラプソン法による反復計算のステップ数を表している。またＵiは次式で定義される。
【数１０８】
0004941205.tif 000109
【０１４７】
また、Ｑは次式で示される。
【数１０９】
0004941205.tif 000110
【数１１０】
0004941205.tif 000111
【０１４８】
続いて、次式により連立方程式の計算をする。
【数１１１】
0004941205.tif 000112
【０１４９】
次に、次式により変位を更新する。このとき、グローバルモデルの変位とローカルモデルの変位の足し合わせをしないことに注意する。
【数１１２】
0004941205.tif 000113
【０１５０】
そして、変位から、第２ピオラ・キルヒホフ応力を求める。この求め方については後述する。最後に、収束の判定を次式により行う。
【数１１３】
0004941205.tif 000114
【０１５１】
収束した後、グローバルモデルの変位とローカルモデルの変位の足し合わせを行う。以上の手順を図３４にまとめた。
【０１５２】
ここで、重合メッシュ法による大変形解析に用いた変位と応力に関する構成式である超弾性体の概要について述べる。超弾性体は、次式に示すように、変形や歪の成分で微分することにより共役な応力成分が得られる弾性ポテンシャル関数Ｗが存在する物質として定義される。
【数１１４】
0004941205.tif 000115
【０１５３】
また、グリーン・ラグランジュひずみＥと、右コーシー・グリーン変形テンソルＣの関係は次式で表される。
【数１１５】
0004941205.tif 000116
【０１５４】
（６．５５）式を（６．５４）式に代入すると次式となる。
【数１１６】
0004941205.tif 000117
【０１５５】
ここで超弾性体の等方性を仮定すると、Ｗは客観性をもつスカラーになるため、Ｃの主値の関数として表される。
【数１１７】
0004941205.tif 000118
【０１５６】
以上の式より、各不変量の微分は次式で表される。
【数１１８】
0004941205.tif 000119
【０１５７】
（６．６３），（６．６４），（６．６５）式を（６．６２）式に代入すると、弾性ポテンシャル関数Ｗと応力Ｓの関係は次式で表される。
【数１１９】
0004941205.tif 000120
【０１５８】
（６．６６）式の微分より次式が得られる。
【数１２０】
0004941205.tif 000121
【０１５９】
ここでＤを次式で定義する。
【数１２１】
0004941205.tif 000122
【０１６０】
このとき、（６．６７）式は次式となる。
【数１２２】
0004941205.tif 000123
ただし、（６．５５）式より求められる次式の関係を用いた。
【数１２３】
0004941205.tif 000124
【０１６１】
ここでは、超弾性体の構成式であるｎｅｏ−Ｈｏｏｋｅａｎ体を用いた。ｎｅｏ−Ｈｏｏｋｅａｎ体の弾性ポテンシャル関数Ｗは、ラメ定数を用いて次式で表される。
【数１２４】
0004941205.tif 000125
【０１６２】
（６．７１）式を（６．６６）式に代入すると、次式が得られる。
【数１２５】
0004941205.tif 000126
【０１６３】
（６．７２）式より、変形勾配テンソルＦを用いて応力Ｓ、すなわち第２ピオラ・キルヒホフ応力Ｓを求めることができる。なお、右コーシー・グリーン変形テンソルＣと変形勾配テンソルＦの関係は次式で定義される。
【数１２６】
0004941205.tif 000127
【０１６４】
（６．６９）式および（６．７２）式より、構成式Ｄは次式で表される。
【数１２７】
0004941205.tif 000128
ここで、Ｊ＝１のときに、線形弾性体の構成式と一致する。
【０１６５】
なお、大変形問題の解析においては、複雑なモデルではニュートン・ラプソン法による反復計算が収束しないことがある。この理由としては、グローバルモデルの構成式と、ローカルモデルの構成式が異なることが考えられる。このような場合、グローバルモデルとローカルモデルとの間の連成項について、初期ひずみをゼロとして解析を進めるものとできる。収束条件が同じであれば、このような処理によって解が変化することはない。
【０１６６】
また、大変形問題の解析においては、接線剛性の算出が不正確になると、荷重が大きいときにニュートン・ラプソン法による反復計算が収束しない可能性がある。そこで、予めグローバルメッシュによるＦＥＭ解析を行い、それにより得られる変位と応力を初期値として重合メッシュ法に与える方法を取ることが好ましい。グローバルメッシュによるＦＥＭ解析の結果は真の解に近いため、これを重合メッシュ法の初期値として用いることで、ニュートン・ラプソン法の収束を改善することができるためである。
【０１６７】
次に数値解析例を説明する。ここでは、図３５に示すようなＬ字型板について、グローバルモデルとローカルモデルの連成項の初期ひずみをゼロとして、変位と平面応力の解析を行った。構成式としては、上記の圧縮性ｎｅｏ−Ｈｏｏｋｅａｎ体を用いた。（６．７１）式における材料定数は、μ＝３００、λ＝１００とした。
【０１６８】
重合メッシュ法による解析に用いたメッシュを図３６に示す。グローバルメッシュは４８要素、ローカルメッシュは１００要素に分割した。また、参照解の導出に用いるメッシュを図３７に示す。ここでは６７５要素に分割した。
【０１６９】
外力Ｆ＝３の場合の重合メッシュ法および参照メッシュのＦＥＭのそれぞれについて、変位と、ｖｏｎ−Ｍｉｓｅｓ応力の解析結果を図３８、図３９に示す。これらの結果において、荷重点の水平方向の変位は、重合メッシュ法では０．２０３、参照ＦＥＭでは０．２２３となった。両者の間には約９％の差があるが、ローカルメッシュの領域がそれほど大きくないことを考慮すれば、妥当な範囲である。
【産業上の利用可能性】
【０１７０】
車両において、路面とタイヤとの間の接触問題、ネジとボルトとの間の接触問題、ベアリングにおける接触問題等の有限要素解析に利用できる。
【図面の簡単な説明】
【０１７１】
【図１】本発明に係る実施の形態において、重合メッシュ法を用いる有限要素解析装置の構成を示す図である。
【図２】重合メッシュ法において、グローバルメッシュにローカルメッシュを重ねる概念図である。
【図３】ボルトとプレートとの接触状態を説明する図である。
【図４】本発明に係る実施の形態において、ボルトとプレートに関するバネモデルにおけるバネ定数を説明する図である。
【図５】本発明に係る実施の形態において、ボルトとプレートに関するバネ接合のモデルを説明する図である。
【図６】本発明に参考となる実施の形態において、初期状態のひずみが発生しているボルトモデルを説明する図である。
【図７】本発明に参考となる実施の形態において、ボルトモデルの模式図である。
【図８】本発明に参考となる実施の形態において、解析用のボルトモデルを示す図である。
【図９】本発明に参考となる実施の形態において、ボルトモデルに対するグローバルメッシュとローカルメッシュとを示す図である。
【図１０】本発明に参考となる実施の形態において、初期ひずみを与えて外力を与えない場合についてのボルトモデルに対するグローバルメッシュの解析結果を示す図である。
【図１１】本発明に参考となる実施の形態において、初期ひずみを与えて外力を与えない場合についてのボルトモデルに対するローカルメッシュの解析結果を示す図である。
【図１２】本発明に参考となる実施の形態において、初期ひずみと外力を共に与える場合についてのボルトモデルに対するグローバルメッシュの解析結果を示す図である。
【図１３】本発明に参考となる実施の形態において、初期ひずみと外力を共に与える場合についてのボルトモデルに対するローカルメッシュの解析結果を示す図である。
【図１４】本発明に参考となる実施の形態において、接触問題のモデルを説明する図である。
【図１５】本発明に参考となる実施の形態において、接触問題の反復計算の手順をまとめた図である。
【図１６】本発明に参考となる実施の形態において、ヘルツ問題の解析についてのモデルを説明する図である。
【図１７】本発明に参考となる実施の形態において、ヘルツ問題について重合メッシュ法による解析に用いたメッシュを示す図である。
【図１８】本発明に参考となる実施の形態において、ヘルツ問題について参照解として用いたメッシュを示す図である。
【図１９】本発明に参考となる実施の形態において、ヘルツ問題について重合メッシュ法による解析結果を示す図である。
【図２０】本発明に参考となる実施の形態において、ヘルツ問題について参照解による解析結果を示す図である。
【図２１】本発明に参考となる実施の形態において、ヘルツ問題について荷重と接触長さとの関係を理論解と比較した結果を示す図である。
【図２２】本発明に係る実施の形態において、弾塑性問題のモデルを説明する図である。
【図２３】本発明に係る実施の形態において、弾塑性問題の反復計算の手順をまとめた図である。
【図２４】本発明に係る実施の形態において、円孔問題の解析についてのモデルを説明する図である。
【図２５】本発明に係る実施の形態において、円孔問題について重合メッシュ法による解析に用いたメッシュを示す図である。
【図２６】本発明に係る実施の形態において、円孔問題について参照解として用いたメッシュを示す図である。
【図２７】本発明に係る実施の形態において、円孔問題について重合メッシュ法による解析結果を示す図である。
【図２８】本発明に係る実施の形態において、円孔問題について参照解による解析結果を示す図である。
【図２９】本発明に係る実施の形態において、グローバルモデルの解析とローカルモデルの解析とを反復する方法を説明する図である。
【図３０】本発明に係る実施の形態において、円孔問題について、グローバルモデルの解析とローカルモデルの解析とを反復する方法による解析と、通常の重合メッシュ法を用いた解析と比較するときの測定点を説明する図である。
【図３１】本発明に係る実施の形態において、円孔問題について、グローバルモデルの解析とローカルモデルの解析とを反復する方法による解析と、通常の重合メッシュ法を用いた解析と比較した結果の１つを示す図である。
【図３２】本発明に係る実施の形態において、円孔問題について、グローバルモデルの解析とローカルモデルの解析とを反復する方法による解析と、通常の重合メッシュ法を用いた解析と比較した結果の他の１つを示す図である。
【図３３】大変形問題について、トータルラグランジュ法と、アップデイティッドラグランジュ法とを説明する図である。
【図３４】本発明に係る実施の形態において、大変形問題の反復計算の手順をまとめた図である。
【図３５】本発明に係る実施の形態において、大変形問題のＬ字型板モデルを説明する図である。
【図３６】本発明に係る実施の形態において、Ｌ字型板モデルについて重合メッシュ法による解析に用いたメッシュを示す図である。
【図３７】本発明に係る実施の形態において、Ｌ字型板モデルについて参照解として用いたメッシュを示す図である。
【図３８】本発明に係る実施の形態において、Ｌ字型板モデルについて重合メッシュ法による解析結果を示す図である。
【図３９】本発明に係る実施の形態において、Ｌ字型板モデルについて参照解による解析結果を示す図である。
【符号の説明】
【０１７２】
１０  有限要素解析装置、１２  ＣＰＵ、１４  入力部、１６  出力部、１８  記憶部、２０  グローバルメッシュ設定部、２２  ローカルメッシュ設定部、２４  重合メッシュ法離散化部、２６  バネ接合モデル処理モジュール、２８  初期ひずみ処理モジュール、３０  接触問題処理モジュール、３２  弾塑性処理モジュール、３４  大変形処理モジュール。
【図１】
0004941205.tif 000129
【図２】
0004941205.tif 000130
【図３】
0004941205.tif 000131
【図４】
0004941205.tif 000132
【図５】
0004941205.tif 000133
【図６】
0004941205.tif 000134
【図７】
0004941205.tif 000135
【図８】
0004941205.tif 000136
【図９】
0004941205.tif 000137
【図１０】
0004941205.tif 000138
【図１１】
0004941205.tif 000139
【図１２】
0004941205.tif 000140
【図１３】
0004941205.tif 000141
【図１４】
0004941205.tif 000142
【図１５】
0004941205.tif 000143
【図１６】
0004941205.tif 000144
【図１７】
0004941205.tif 000145
【図１８】
0004941205.tif 000146
【図１９】
0004941205.tif 000147
【図２０】
0004941205.tif 000148
【図２１】
0004941205.tif 000149
【図２２】
0004941205.tif 000150
【図２３】
0004941205.tif 000151
【図２４】
0004941205.tif 000152
【図２５】
0004941205.tif 000153
【図２６】
0004941205.tif 000154
【図２７】
0004941205.tif 000155
【図２８】
0004941205.tif 000156
【図２９】
0004941205.tif 000157
【図３０】
0004941205.tif 000158
【図３１】
0004941205.tif 000159
【図３２】
0004941205.tif 000160
【図３３】
0004941205.tif 000161
【図３４】
0004941205.tif 000162
【図３５】
0004941205.tif 000163
【図３６】
0004941205.tif 000164
【図３７】
0004941205.tif 000165
【図３８】
0004941205.tif 000166
【図３９】
0004941205.tif 000167