(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
一方の次元が半径座標によって定義されており、もう一方の次元が角度座標によって定義されている二次元の数値配列であるシノグラムから電子画像を生成するための方法であって、
シノグラムに対して半径方向に窓掛けを行うことによって、半径方向の所定幅で打ち切られている投影を有している、該シノグラムのサブセットであるサブ・シノグラムを産み出す第一ステップであって、該窓掛けが、該シノグラムの半径座標において該半径方向の所定幅を超えている値のデータを投影から取り除くものである該第一ステップと、
前記第一ステップを繰り返して複数のサブ・シノグラムを産み出す第二ステップであって、少なくとも２回の前記第一ステップの繰り返しの期間において半径方向の異なる所定幅が使用されることで、該複数のサブ・シノグラムのうちの少なくとも２つが前記シノグラムの異なるサブセットに相当する該第二ステップと、
前記複数のサブ・シノグラムの１つずつを逆投影して複数の対応するサブ・イメージを産み出す第三ステップと、
前記サブ・イメージを統合して電子画像を作成する第四ステップと、
を含むことを特徴とする方法。
【請求項２】
前記第一及び前記第二ステップのうちの少なくとも一方では、
少なくとも前記シノグラムのうちの１つ及び前記複数のサブ・シノグラムのうちの１つの投影を前記シノグラムの半径座標に沿って半径方向に所定距離シフトして、該シフトされた投影が、画像空間の原点に近接して集められるサブ・イメージに相当するようにすると共に、該半径方向にシフトされた投影を再サンプリングして前記複数のサブ・シノグラムの１つずつの投影の数を減少させる
ことを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項３】
前記第一及び前記第二ステップのうちの少なくとも一方では、少なくとも前記シノグラムのうちの１つ及び前記複数のサブ・シノグラムのうちの１つの投影を前記シノグラムの半径座標に沿って半径方向に所定距離シフトして、該シフトされた投影が、画像空間の原点に近接して集められるサブ・イメージに相当するようにすることを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項４】
前記第二ステップは、複数のより小さなサブ・シノグラムを再帰的に産み出すステップであって、該複数のサブ・シノグラムの１つに対して半径方向に窓掛けを行うことによって、該より小さなサブ・シノグラムが半径方向の所定幅で打ち切られている投影を有するように、該複数のより小さなサブ・シノグラムの各々が産み出され、該窓掛けが、該サブ・シノグラムの半径座標において該半径方向の所定幅を超えている値のデータを投影から取り除くものである該ステップを含み、前記再帰的に産み出すステップは、少なくとも該複数のサブ・シノグラムのうちの１つ及び該複数のより小さなサブ・シノグラムのうちの１つの投影を前記サブ・シノグラムの半径座標に沿って半径方向に所定距離シフトして、該シフトされた投影が、画像空間の原点に近接して集められるサブ・イメージに相当するようになる正確再分割と、少なくとも該複数のサブ・シノグラムのうちの１つ及び該複数のより小さなサブ・シノグラムのうちの１つの投影を前記サブ・シノグラムの半径座標に沿って半径方向に所定距離シフトして、該シフトされた投影が、画像空間の原点に近接して集められるサブ・イメージに相当するようになると共に、該シフトされた投影を再サンプリングして前記複数のより小さなサブ・シノグラムの投影の数を減少させる近似再分割とを実行することを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項５】
前記第四ステップは再帰的に行なわれることを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項６】
前記電子画像は断層イメージであることを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項７】
前記第一ステップは、前記シノグラムを角度方向及び半径方向の少なくとも一方にオーバーサンプリングして電子画像の精度の向上を果たす、前記シノグラムの前処理を含み、前記第二ステップは、前記サブ・シノグラムを角度方向及び半径方向の少なくとも一方にオーバーサンプリングして電子画像の精度の向上を果たす、前記サブ・シノグラムの前処理を含むことを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項８】
前記第二ステップは、前記複数のサブ・シノグラムのうちの少なくとも１つから複数のより小さなサブ・シノグラムへと、該より小さなサブ・シノグラムの各々が所望のサイズのサブ・イメージを表現するようになるまで再帰的に産み出すステップを含むことを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項９】
少なくとも１つの前記サブ・イメージは１画素のサイズであることを特徴とする請求項８に記載の方法。
【請求項１０】
前記シノグラムはフィルタリングされた投影を含むことを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項１１】
対象物の電子画像を生成する装置であって、
対象物を走査して該対象物の画像を表現しているデータを生成する手段と、
前記データを処理してフィルタリングされた投影を複数含むシノグラムであって、一方の次元が半径座標によって定義されており、もう一方の次元が角度座標によって定義されている二次元の数値配列である該シノグラムを生成する手段と、
前記シノグラムに対して半径方向に窓掛けを行うことによって、半径方向の所定幅で打ち切られている投影を有している、該シノグラムのサブセットである複数のサブ・シノグラムを産み出し、該窓掛けが、該シノグラムの半径座標において該半径方向の所定幅を超えている値のデータを投影から取り除くものである手段と、
前記複数のサブ・シノグラムの１つずつを逆投影して複数の対応するサブ・イメージを産み出す手段と、
前記サブ・イメージを統合して該電子画像を生成する手段と、
該電子画像を表示する手段と、
を有することを特徴とする装置。
【請求項１２】
前記複数のサブ・シノグラムを産み出す手段は、少なくとも前記シノグラムのうちの１つ及び前記複数のサブ・シノグラムのうちの１つの投影を前記シノグラムの半径座標に沿って半径方向に所定距離シフトして、該シフトされた投影が、画像空間の原点に近接して集められるサブ・イメージに相当するようにすると共に、該シフトされた投影を再サンプリングして前記サブ・シノグラムの投影の数を減少させることを特徴とする請求項１１に記載の装置。
【請求項１３】
前記複数のサブ・シノグラムを産み出す手段は、少なくとも前記シノグラムのうちの１つ及び前記複数のサブ・シノグラムのうちの１つの投影を前記シノグラムの半径座標に沿って半径方向に所定距離シフトして、該シフトされた投影が、画像空間の原点に近接して集められるサブ・イメージに相当するようにすることを特徴とする請求項１１に記載の装置。
【請求項１４】
前記複数のサブ・シノグラムを産み出す手段は、複数のより小さなサブ・シノグラムを再帰的に産み出すものであって、該複数のサブ・シノグラムの１つに対して半径方向に窓掛けを行うことによって、該より小さなサブ・シノグラムが半径方向の所定幅で打ち切られている投影を有するように、該複数のより小さなサブ・シノグラムの各々が産み出され、該窓掛けが、該サブ・シノグラムの半径座標において該半径方向の所定幅を超えている値のデータを投影から取り除くものであり、前記複数のサブ・シノグラムを産み出す手段は、少なくとも該複数のサブ・シノグラムのうちの１つ及び該複数のより小さなサブ・シノグラムのうちの１つの投影を前記サブ・シノグラムの半径座標に沿って半径方向に所定距離シフトして、該シフトされた投影が、画像空間の原点に近接して集められるサブ・イメージに相当するようになる正確再分割と、少なくとも該複数のサブ・シノグラムのうちの１つ及び該複数のより小さなサブ・シノグラムのうちの１つの投影を前記サブ・シノグラムの半径座標に沿って半径方向に所定距離シフトして、該シフトされた投影が、画像空間の原点に近接して集められるサブ・イメージに相当するようになると共に、該シフトされた投影を再サンプリングして前記複数のより小さなサブ・シノグラムの投影の数を減少させる近似再分割とを実行することを特徴とする請求項１１に記載の装置。
【請求項１５】
前記統合を行なう手段は再帰的に作動することを特徴とする請求項１１に記載の装置。
【請求項１６】
前記電子画像は断層イメージであることを特徴とする請求項１１に記載の装置。
【請求項１７】
前記複数のサブ・シノグラムを産み出す手段は前記シノグラム及び前記サブ・シノグラムのうちの少なくとも１つに対して角度方向及び半径方向の少なくとも一方にオーバーサンプリングを行なって該電子画像の精度を向上させることを特徴とする請求項１１に記載の装置。
【請求項１８】
前記複数のサブ・シノグラムを産み出す手段は、サブ・シノグラムの各々が所望のサイズのサブ・イメージを表現するようになるまで再帰的に作動することを特徴とする請求項１１に記載の装置。
【請求項１９】
少なくとも１つの前記サブ・イメージは１画素のサイズであることを特徴とする請求項１８に記載の装置。
【発明の詳細な説明】
本願は、１９９９年６月２３に出願された出願番号第０９／３３８，６７７号の一部継続出願である。
【０００１】
（技術分野）
本発明は、画像処理技術に関し、特に、投影イメージから断層イメージを再構成するための方法に関する。
【０００２】
（背景技術）
２Ｄ軸上でのコンピュータによる断層撮影法（ＣＴ）における再構成の問題に、異なる角度で線積分投影された一揃いの投影イメージから画像を回復させることがある。この再構成の問題を解決するために用いられるアルゴリズムは利用可能な線積分情報の数にもっぱら依存している。線積分が全ての方向で利用可能であって測定ノイズは無視し得るものであるときは、フィルタード・バックプロジェクション（ＦＢＰ）再構成法（コンボリューション・バックプロジェクション技術、あるいはＣＢＰとも称されている）が慣用的に用いられる方法である。ＦＢＰは、ラドン変換（Radon transform ）の反転公式の打ち切りに基づき、各投影イメージを予め指定されたフィルタによってフィルタリングすることで構成されており、逆投影操作を従えている。このフィルタリングの操作は、ＦＦＴにより実行するときにはＯ（Ｎ2ｌｏｇＮ）回の操作を必要とし、固定値のインパルス応答の畳み込みにより実行するときにはＯ（Ｎ2 ）回程度の操作を必要とする。これとは反対に、再構成画像における画素毎に該画素を通過する全ての線積分の合計を計算する逆投影の操作は、Ｎ2個の画素の再構成を行なうのであれば、Ｏ（Ｎ3 ）の操作とＯ（Ｎ）個の角度での投影を必要とする。従って、逆投影は、ＦＢＰ（あるいはＣＢＰ）の計算コストをはるかに上回ってしまっている。
【０００３】
伝統的に医学の分野では、逆投影は、単一部分のほぼリアルタイムでの再構成を達成する逆投影処理の並行性を利用した特別のハードウェアによって成し遂げられている。例えば、米国特許第４，０４２，８１１号や米国特許第４，４９１，９３２号を参照するとよい。しかしながら、再構成の時間に遅れが依然として存在していることでこれまでよりも速い速度でデータを得ることのできる技術の提供がますます重要となっている。データ速度の増加と共に、ＦＢＰは再構成と表示処理とがボトルネックとなっており、リアルタイム画像表示への障壁となっている。
【０００４】
再構成のための高速なアルゴリズムの存在は、フーリエの切断定理（Fourier Slice Theorem ）、あるいは米国特許第５，７７８，０３８号の全体に組み込まれているブランド（Brandt）の方法のような逆投影の多値化分解能での再サンプリングに基づいている。フーリエの切断定理に基づいたアルゴリズムは、極線からデカルト格子（Cartesian Grid）へとフーリエの投影データを変換するために補間を使用し、この再構成は逆ＦＦＴによって行なわれる。フーリエ再構成アルゴリズム（ＦＲＡ）として知られているこれらの高速アルゴリズムは一般にＯ（Ｎ2ｌｏｇＮ）の複雑さを有している。J.Schomberg 及びJ.Timmer、”The Gridding Method for Image Reconstruction by Fourier Transformation”、IEEE Trans. Med. Imag., vol.14, Sept. 1995 。残念なことに、補間のステップは、アーチファクト（artifact）が再構成へ及ぶことを避けるために一般的に多くの計算量を必要とする。妥当な画像サイズであるＮ≦１０3 では、直接ＦＢＰを上回るフーリエの切断定理に基づくアルゴリズムの明確な性能の利得は、潜在的にＮ／ｌｏｇＮ以内の高速化であることを経験的な証拠は示している。これも一般的に再構成の品質についての同様の損失を同様に生じさせている。
【０００５】
ブランドの方法は、逆投影を行なう別のステージで投影を効果的に表現する異なった不均一のサンプリング格子を使用する。この結果として得られるアルゴリズムはＯ（Ｎ2ｌｏｇＮ）の複雑さを有している。このアルゴリズムは不鮮明な再構成を生成するので、不鮮明さの影響を弱めるために点像分布関数（point spread function ）へのガウス近似（Gaussian approximation）を持つデコンボリューションを必要とする後処理のステップが必要となる。このデコンボリューションのステップの効果は十分ではなく、更なるアーチファクトを誘うことがある。このアルゴリズムは、潜在的には高速であるが、従来のＦＢＰほどの精度は達成しない。従って、断層イメージの再構成のための、より高速且つ高精度のアルゴリズムへのニーズは存在している。
【０００６】
従って、本発明の目的のひとつは、投影イメージから画像を生成するための新しく且つ向上している再構成方法を提供することである。
別の目的は、既存の方法よりも高速に断層イメージを再構成するための新しく且つ向上している方法を提供することである。
【０００７】
更なる別の目的は、これらの方法が使用されているあらゆる用途で使用するための断層逆投影のための新しく且つ向上している方法であって、既存の方法よりも高速なものを提供することである。
【０００８】
（発明の開示）
本発明の態様のひとつに沿っているシノグラムを画像へと逆投影する方法は、フィルタリングされたシノグラムを複数のより小さなシノグラムへと分割するステップを有している。その小さなシノグラムは、各部が１ピクセルの小ささのサブ・イメージを表すようになるまで継続して再分割される。それらのサブ・シノグラムはサブ・イメージを生成するために逆投影され、サブ・イメージは、表示のための画像を生成するために継続して統合される。
【０００９】
この方法は、シノグラムを再分割するために２つのアルゴリズムを使用する。そのアルゴリズムのうちのひとつによる再分割は正確であり、もうひとつのアルゴリズムによる再分割は近似を行なう。第一のアルゴリズムは精度が高いが比較的低速であり、第二のアルゴリズムは高速であるが精度が低い。幾つかの再分割では正確な分解アルゴリズムを実行して幾つかの再分割では近似分解アルゴリズムを実行するようにし、２つのアルゴリズムのうちのいずれか適切な一方の手法を切り替えて行なうことにより、精度の高い結果を迅速に得ることができるようになる。
【００１０】
添付の図面と共に本発明の実施例の記述を参照すれば、前述したもの及びその他の本発明の特徴、並びにそれらを達成するための方法はより明白になり、本発明自体が良好に理解されるであろう。
【００１１】
（発明を実施するための最良の形態）
本発明は、ＣＴスキャナを含む、様々なイメージング装置へ適用される。典型的なイメージング装置１（図１）は頭などといった対象物からデータを取得するスキャナ２を有しており、未加工のデータをレシーバ３へ送る。そのデータは後処理部４で処理されるが、その処理には画素の統合やフィルタリングなどといった処理が含まれている。後処理部４は階層的逆投影（ＨＢＰ）装置５で逆投影されるシノグラムを生成する。ＨＢＰ５は、ディスプレイ６あるいは他の適切な出力装置で表示される画像を産み出す。
【００１２】
シノグラムは、一方のインデックスが半径であって他方のインデックスが角度である数値からなる２次元配列である。例えば、シノグラムは、投影イメージを収集したもの、半径方向でフィルタリングされた投影イメージを収集したもの、及び合成開口レーダ（ＳＡＲ）のデータを半径方向に逆フーリエ変換して収集したものなどがある。
【００１３】
本発明を良く理解するためには、直接フィルタード・バックプロジェクション（ＦＢＰ）再構成についての一般的な理解が必要である。
図７に示すように、この場合においては断層イメージから産み出されたデータであるシノグラム１０は、公知のアルゴリズムを使用して画像１２を生成するために直接に逆投影されている。直接逆投影は満足できる精度を有しているが、計算量が多く時間がかかる。本発明は、階層的逆投影と呼ばれ、直接再構成及び他のアルゴリズムにおけるいくつかの短所を解決しようとするものである。
【００１４】
ＨＢＰ法はラドン変換の階層的分解に基づくものであり、再構成のためにはＯ（Ｎ2 ｌｏｇＮ）回を必要とする。ＨＢＰで使用されるアルゴリズムは、ＦＲＡが被るアーチファクトで損害を受けることはなく（周波数領域での補間がないので）、直接ＦＢＰの再構成と比較して全くもしくはごくわずかしか再構成品質を劣化させないまま、ＦＲＡ及びブランドの方法よりも性能面で著しく向上させる。１０3ピクセル平方のサイズの画像における潜在的なスピードアップは２桁に近いかあるいはそれ以上のものとなる。提供されるアルゴリズムも高度に並列化しており、既存のハードウェアでの高速化を再利用することができる。更に、ＨＢＰアルゴリズムは、ＦＢＰと視覚的に似かよった再構成結果を産み出す。
【００１５】
階層的分解としての基本原理を示すと、Ｎ×Ｎの画像の逆投影は、各々のサイズがＮ/２×Ｎ/２である４つの小さな画像のシフトされた逆投影の合計として書くことができるということである。これらのイメージは元の画像のサイズの（線形的に）半分なので、それらは角度サンプル数の半分のシノグラムから算出可能である。従って、元の画像の再構成のためにＮ回の投影が可能であり且つ必要とされているのであれば、Ｎ／２回の投影がその小さな画像の再構成のために必要となる。４つのサブ・イメージの逆投影の各々では(Ｎ／２)2 Ｎ／２＝Ｎ3 ／８回の操作を要することとなり、対象物を再構成するためにＮ3 ／２回の操作がこれら４つの逆投影で実行されるが、一般的な逆投影ではＮ3回の操作となる。この分解が再帰的に適用されると、Ｎ2 ｌｏｇＮ回のコストとなり、画像サイズと投影回数とがステージ毎に２のファクターで減少する。
【００１６】
本発明は、シノグラムを再分割するために２つのアルゴリズムが使用される。その第一のアルゴリズムは図２に関連して以降で説明する正確な分解アルゴリズムであり、その第二のアルゴリズムは図３に関連して以降で説明する近似分解アルゴリズムである。この正確分解アルゴリズムは精度が高いが比較的低速であり、この近似分解アルゴリズムは高速であるが精度は低い。いくつかの再分割で２つのアルゴリズムのうちのいずれか適切な一方の手法を切り替えて実行することにより、精度の高い再構成結果を迅速に得ることができるようになる。
【００１７】
その正確分解アルゴリズムが使用されるとき（図２）、プロセッサ（若しくはステップ）１３、１５、１７、及び１９の各々において、シノグラム１０は画像１２を産み出すために逆投影され、そのシノグラムから４つのサブ・シノグラム１４、１６、１８、及び２０へと分割される。サブ・シノグラム１４、１６、１８、及び２０の各々はさらに再分割されて合計で１６個のサブ・シノグラム（図示せず）となり、これらの再分割されたサブ・シノグラムは１ピクセルの小ささの画像をサブ・シノグラムが表現するようになるまで更に再分割される。最終のサブ・シノグラムは最小のサブ・イメージを産み出すために逆投影されるが、図２にはサブ・イメージ２２、２４、２６、及び２８として図示されている。これらのサブ・イメージは、画像１２を産み出すためにその後継続して統合される。
【００１８】
図２に示されている方法で使用されているアルゴリズムは以下のようにすると導き出される。画素サイズが１に正規化されている、Ｎ×Ｎピクセルの対象物を考える。視点角度の配置は簡単に一般化できるが、ここでは［０、２π］で均一な間隔であるＰ個の視点角度を想定する。この部分をできるだけ簡単な表現で説明するために、定式化されたオペレータが用いられる。
【００１９】
定式化して与えられたヒルベルト空間（Hilbert space ）
【００２０】
【数１】
0004958354.tif 000002
【００２１】
は、
【００２２】
【数２】
0004958354.tif 000003
【００２３】
について設定された二重積分可能な関数の空間であり、
【００２４】
【数３】
0004958354.tif 000004
【００２５】
は、二重積分可能な関数についてのＰ個の要素からなる空間であり、
【００２６】
【数４】
0004958354.tif 000005
【００２７】
は、二乗加算可能な２Ｄ列の空間であり、
【００２８】
【数５】
0004958354.tif 000006
【００２９】
は、二乗加算可能であるＰ個の要素からなる空間である。全ての空間は基準を有しており、内積での重み付けはされていない。階層的分解を構成するために必要とされる変更を受け入れるために離散的逆投影が用いられる。離散的逆投影のオペレータは、
【００３０】
【数６】
0004958354.tif 000007
【００３１】
という、Ｐ個の離散投影（各々がｌ2 (ｚ)の要素）からＮ×Ｎ個のサポートを有する離散イメージ（ｌ2 (Ｚ2)）を生成するマッピングである。ＢP,N は、半径方向のベクトルである、更なるパラメータ
【００３２】
【数７】
0004958354.tif 000008
【００３３】
によって影響を受けるが、この目的について短く説明する。ＢP,N のτへの従属関係は表記上の便宜のために隠している。
離散逆投影のオペレータは４つの単純なオペレータの積へと分解される。すなわち、
【００３４】
【数８】
0004958354.tif 000009
【００３５】
ここで、
【００３６】
【数９】
0004958354.tif 000010
【００３７】
は、τによるシフトを含んでいる半径方向の補間オペレータ
【００３８】
【数１０】
0004958354.tif 000011
【００３９】
であり、Ｔは半径方向のサンプリング時間、φは畳み込み補間カーネルが使用される。このオペレータでは、ｐ番目の投影をτpによってシフトすることによって各々の投影を補間する。単純な直線補間の場合のためには、φ(ｘ)＝Λ(ｘ／Ｔ)であり、ここで、
【００４０】
【数１１】
0004958354.tif 000012
【００４１】
である。
オペレータ
【００４２】
【数１２】
0004958354.tif 000013
【００４３】
は、サンプリングされていないシノグラムのための逆投影オペレータであり、
【００４４】
【数１３】
0004958354.tif 000014
【００４５】
と定義される。
次のオペレータ
【００４６】
【数１４】
0004958354.tif 000015
【００４７】
は離散格子上の逆投影関数を表現している変更、若しくはサンプリングオペレータである。このオペレーションは不変化シフトであり、座標が目盛られたと仮定すると、Ｓは、
【００４８】
【数１５】
0004958354.tif 000016
【００４９】
のように記述される。関数ｂ(ｘ，ｙ)は画素の指示関数でも、あるいは平滑化関数でもよい。ｂ(ｘ，ｙ)に平滑化関数が選択されればわずかなサポートとなる。ｂ(ｘ，ｙ)として推奨されるのは、テンソルスプライン、打ち切りガウス関数（truncated Gaussian）、及び平滑化、回転対称関数である。
【００５０】
使用される最後の２つのオペレータは打ち切りオペレータである。第一の打ち切りオペレータ
【００５１】
【数１６】
0004958354.tif 000017
【００５２】
は２Ｄ列の引数に対して窓掛けを行なってＮ×Ｎのサイズの方形とし、（Ｎが奇数であるか偶数であるかにより）原点にほぼ集中させて、
【００５３】
【数１７】
0004958354.tif 000018
【００５４】
とする。第二の打ち切りオペレータ
【００５５】
【数１８】
0004958354.tif 000019
【００５６】
は、半径方向の引数に窓掛けを行なってＭ＋λ(φ)とするが、ここでλ(φ)は
【００５７】
【数１９】
0004958354.tif 000020
【００５８】
における補間カーネルのサポート長であり、
【００５９】
【数２０】
0004958354.tif 000021
【００６０】
である。もしもφがジンク（sinc）函数カーネルであれば、ＫNは入力系列に影響を与えないことは明らかである。
階層的分解を導き出すために、出力の２Ｄのシフト（変形）と出力の打ち切りという２つの操作を持つＢP,Nの相互作用を考察する。この相互作用を詳細に考察するために一連の単純な属性を提供するが、それらの各々は、上述したように定義された各オペレータの様々なシフト操作及び打ち切り操作の相互作用を明白に描写することになる。これらの属性が取り除かれると、それらは適切な定義に直接的に従うこととなる。まず４つのシフトオペレータが定義される。その第一は、離散シフタ
【００６１】
【数２１】
0004958354.tif 000022
【００６２】
である。その第二のオペレータは連続シフタ
【００６３】
【数２２】
0004958354.tif 000023
【００６４】
である。離散的であるものと連続的であるものとの２つのシノグラムの領域シフトオペレータを考察する。その第一は、
【００６５】
【数２３】
0004958354.tif 000024
【００６６】
である。その第二は、連続シフタ
【００６７】
【数２４】
0004958354.tif 000025
【００６８】
である。
【００６９】
【数２５】
0004958354.tif 000026
【００７０】
【数２６】
0004958354.tif 000027
【００７１】
【数２７】
0004958354.tif 000028
【００７２】
【数２８】
0004958354.tif 000029
【００７３】
逆投影オペレータの階層的分解は以下の定理に示されている。
【００７４】
【数２９】
0004958354.tif 000030
【００７５】
まとめると、定理１の分解は下記の形式
【００７６】
【数３０】
0004958354.tif 000031
【００７７】
で構成され、これは本質的には、投影の番号Ｐと同一の番号を使用している元の画像の４分円であるＮ/２×Ｎ/２の逆投影である。分解は下記のステップからなる。
【００７８】
１．投影がシフトされて原点に集中した画像のｉ番目の４分円に対応させる。
２．投影が半径方向で打ち切られてその幅が逆投影ＢP,N/2 によって使用される幅となる。
【００７９】
上述したステップ１及びステップ２が図２の処理ステップ１３、１５、１７、及び１９を述べている。
図３は、近似分解アルゴリズムが使用されるときの本発明の方法の図である。図２の如く、シノグラム１０は、最小のシノグラムに対応するサブ・イメージが１ピクセルのサイズとなるまでより小さなシノグラムへと継続して再分割される。従って、例えば、シノグラム１０が４ピクセルのサイズの画像に対応しているのならば、そのシノグラムは、３８、４０、４２、及び４４と示されているステップにおいてこれより述べる近似を用いて処理されて４つのサブ・シノグラム３０、３２、３４、及び３６に分割される。サブ・シノグラム３０、３２、３４、及び３６は、その後、サブ・イメージ４６、４８、５０、及び５２を形成するために逆投影される。サブ・イメージ４６、４８、５０、及び５２は、その後、画像１２を形成するために、処理ステップ５４、５６、５８、及び６０において統合される。
【００８０】
一般に、このアルゴリズムは以下のステップと対応している。
１．シノグラムが半径方向にシフトされて原点に集中した再構成像のｉ番目の４分円に対応させる。
【００８１】
２．シノグラムが角度方向に再サンプリングされて２のファクターで減少させる。
３．逆投影で使用される幅でシノグラムが半径方向において打ち切られる。
【００８２】
上述したステップ１からステップ３までが図３の処理ステップ３８、４０、４２、及び４４を述べており、図２の処理ステップ１３、１５、１７、及び１９ではない。
【００８３】
図３の処理ステップで使用されている近似分解アルゴリズムはについて更に詳細に説明する。
Ｐ回全ての投影を使用している小さなＮ/２×Ｎ/２のサブ・イメージを前述した定理１のように逆投射する代わりに、シノグラムは角度方向にＰ回からＰ／２回の投影へと再サンプリングされ、その結果その合計の各期間ではＰ／２回の投影を使用しているＮ/２×Ｎ/２のサイズの対象物への逆投影が生じることとなる。この基本的なコンセプトは、図３で使用されている近似分解アルゴリズムとなる。
【００８４】
次に、Ｐ2 ／Ｐ1の比率でｇc を角度方向に再サンプリングする角度再サンプリングオペレータ
【００８５】
【数３１】
0004958354.tif 000032
【００８６】
を定義する。このオペレータは、
【００８７】
【数３２】
0004958354.tif 000033
【００８８】
のようにも書くことができ、ここでΨは角度補間カーネル（均一間隔の角度であって角度方向にｇcで帯域制限されている場合にはディリクレ・カーネル（Dirichlet kernel））である。Ｎ×Ｎの画像のためのシノグラムからＮ/２×Ｎ/２のサブ・イメージのためのサブ・シノグラムへの再分割の後には、Ｐ／２回の投影だけがサブ・イメージを精密に再構成するために必要とされる。ゆえに、定理１における語（term）
【００８９】
【数３３】
0004958354.tif 000034
【００９０】
を
【００９１】
【数３４】
0004958354.tif 000035
【００９２】
の語へと置き換えるが、ここでｇc は帯域制限値Ｂによって半径方向に帯域制限されている。
定理１での分解は（ＩT が帯域制限で理想的に帯域制限された半径方向のインターポレータ（interpolator）であるならば）、
【００９３】
【数３５】
0004958354.tif 000036
【００９４】
によって近似されている。
第二のステップは
【００９５】
【数３６】
0004958354.tif 000037
【００９６】
の交換を伴っている。単純には、
【００９７】
【数３７】
0004958354.tif 000038
【００９８】
と、デシメータ（decimator ）
【００９９】
【数３８】
0004958354.tif 000039
【０１００】
とを、（ｘ↓２）p ＝ｘ2pとして定義する。ＩT が、半径方向の帯域幅をＢ≦１／（２Ｔ）へと帯域制限するφによって完全に幅制限されたインターポレータ（interpolator）であると仮定する。あらゆるシーケンスで
【０１０１】
【数３９】
0004958354.tif 000040
【０１０２】
であるために、
【０１０３】
【数４０】
0004958354.tif 000041
【０１０４】
は、帯域制限補間を使用してＴ＜１／２Ｂの割合での半径方向のサンプルから正確に補間できる。これは、ｉ＝１，…，４の各々で、
【０１０５】
【数４１】
0004958354.tif 000042
【０１０６】
に従うものであって、ここで、
【０１０７】
【数４２】
0004958354.tif 000043
【０１０８】
は一般化された再サンプリング・オペレータであって、
【０１０９】
【数４３】
0004958354.tif 000044
【０１１０】
と定義されているものである。この分解は、
【０１１１】
【数４４】
0004958354.tif 000045
【０１１２】
が理想的な帯域制限補間であるときには正確である。実際には、１／Ｔ>>Ｂであれば、高速な減衰補間のスキームを持つ良好な近似値を得ることができる。
操作
【０１１３】
【数４５】
0004958354.tif 000046
【０１１４】
但し、
【０１１５】
【数４６】
0004958354.tif 000047
【０１１６】
は、半径方向の補間と、角度方向の平滑化及び間引きと、半径方向のサンプリングとの全てを１つのステップに含む離散マッピングを行なうものである。この定義を使用すると、逆投影オペレータの近似分解のための最終的な形式は、
【０１１７】
【数４７】
0004958354.tif 000048
【０１１８】
となる。半径方向の打ち切りＫを再入すると、ＢP,N の最終的な分解は、
【０１１９】
【数４８】
0004958354.tif 000049
【０１２０】
となる。この式である分解は、図２との比較がされるように、図３に図解されている。
図２の処理で使用されているアルゴリズムは精度の高い結果を提供するが、処理における算出コストはそれ自身によっては削減していない。図３の処理で使用されているアルゴリズムは高速であるが、近似が使用されているため精度が低い。しかしながら、図２及び図３の処理を組み合わせることにより、処理のサンプリング速度を巧みに増加させることによって、精度に対して大きな譲歩をすることなく速度を大幅に高めることができる。
【０１２１】
２つのアルゴリズムは様々に組み合わせて使用でき、下記に示す擬似コード
【０１２２】
【数４９】
0004958354.tif 000050
【０１２３】
で使用されているように組み合わせることもできるが、ここで、ＢＰ(τ，θ)はｆ＝ＢP,N ｇを充足している。
正確分解アルゴリズムはＱの連続した時間に用いられ、近似分解アルゴリズムは残りの再帰のために使用される。パラメータＱは所望の精度及び速度を得るために選択される。
【０１２４】
角度方向のオーバーサンプリング及び半径方向のオーバーサンプリングは精度を高めるために分解の前に使用することが可能であり、これはＱを減少させることに寄与する。近似分解アルゴリズムは精度を失うことなく非常に多く用いられることになるので、これは分解の速度を高めることになる。
【０１２５】
図３のブロック３８、４０、４２、及び４４の処理がＯ（ＰＮ）の時間で完了し、且つブロック３０、３２、３４、及び３６でのサブ・シノグラムがＰ×Ｎのサイズである前提の下では、上述した擬似コードでの操作の回数は、
【０１２６】
【数５０】
0004958354.tif 000051
【０１２７】
となり、これはＱ＝ＯのときにはＰＮｌｏｇ2 Ｎの削減をもたらし、Ｑ＝ｌｏｇ2ＮのときにはＰＮ2 の削減をもたらす。
本発明の方法がシェップ−ローガンの頭部ファントム（Shepp-Logan head phantom）によって試験された。他のタイプのファントムによっても同様の結果が得られた。シェップ−ローガンのファントムの分析投影が計算され、再構成像が２５６×２５６ピクセル格子となるように実行された。歪みは頭内部分で観測され、それは関心領域であると想定された。再構成像の形成のためにＨＢＰはランプ・フィルタ投影（ramp-filtered projection）が使用された。
【０１２８】
図４はスピードアップと精度との点で異なっているアルゴリズムの性能を描いている。ここでは、ポイントが右側にあるほど（異なるパラメータを選択してアルゴリズムを実行させて得られる）大きなスピードアップであることを示し、ポイントがＸ軸に近づくほど再構成像の精度がより高いことを示している。格子化（gridding）及びブランドの方法による再構成を本発明の再構成と比較する。ＦＲＡについてのカーブはＫを選択して再構成を実行させると得られる。ブランドの方法についてのカーブは、あらゆる格子のうちのゆっくりと変化する方向を取り込み得る最小のサンプル数を変化させることによって得られた。本発明についてのカーブはＱ及び半径方向のオーバーサンプリングの量を変化させることによって得られた。速度を増加させるＱの減少は、Ｘ軸に沿った右方向への移動となって示される。図４は、このファントムについてのこれらの実行により、提案したアルゴリズムがＦＲＡ及びブランドの方法よりもほぼ一様に著しく勝っていることを示している。ジェイ・ショーンベルグ（J.Schomberg）及びジェイ・ティマー（J. Timmer ）の、「フーリエ変換による画像再構成のための格子化方法（The Gridding Method for Image Reconstruction by Fourier Transformation）」、IEEE Trans. Med. Imag., vol. 14, Sept. 1995 によって推奨されたパラメータを変更することによってＦＲＡの能力を向上させる試みは不成功であった。米国特許第５，７７８，０３８号にあるガイドラインから外れることによりブランドの方法の性能を向上させる試みも不成功であった。
【０１２９】
図４には、図７の直接ＦＢＰ法を使用して得られた結果をも、正規化されて示されている。ＦＢＰ以上の向上が本発明によって実現されていることも図４を参照することにより明白である。
【０１３０】
最後の主観的な比較のために、図５は、ＨＢＰ（左）及びＦＢＰ（右）のアルゴリズムを使用する［０，π）における１０２４回の等間隔での投影からの、１０２４×１０２４全体の再構成像を図示している。ここで、頭蓋骨及び頭蓋骨外部の人工物の細部を示すために０．０５以上の全ての密度で打ち切りが行なわれた。全体の再構成像は視覚的には見分けがつかないが、左側の再構成は右側の再構成よりも９０回以上高速であった。アルゴリズムの明確な並列実行及びコードの最適化によって更に性能を向上できることは明らかである。図６の（ａ）及び（ｂ）に示すような、これら２つの再構成を行と列とにプロットしたものは視覚による評価を補強するものである。
【０１３１】
このファントムを基準とするピクセル格子のサイズが異なる（１０２４×１０２４までの）試験の繰り返しにより、ＦＢＰと同程度の画質の再構成には≒Ｎ／ｌｏｇ2Ｎの経験的な高速化がＨＢＰアルゴリズムによって示唆されている。この高速化の推定は、４０９６×４０９６ピクセルの画像である高精度医用画像の用途では、ＦＢＰに匹敵する画質の再構成で２桁以上の高速化を達成できることを示唆している。
【０１３２】
２Ｄ断層イメージデータからの高速逆投影のための高速アルゴリズム集が開発された。これらのアルゴリズムを使用する方法は歪みを全く若しくはごくわずかしか生じさせずに再構成に要する時間を数桁高速化する。このアルゴリズムは並列化可能であり、シンプルであり、そして、ブランドの方法と同様のフーリエ変換アルゴリズムよりも再構成歪み及びＣＰＵ時間の点で勝っている。
【０１３３】
特有の装置及び用途に関して本発明の原理を以上のように説明したが、以上の記述は一例に過ぎず、本発明の範囲を制限するものではない。
【図面の簡単な説明】
【図１】  本発明の原理に従って構成されているイメージング装置のブロック図である。
【図２】  本発明で使用されている分解アルゴリズムのステップが含まれている処理ステップの図である。
【図３】  本発明で使用されている追加分解アルゴリズムの図である。
【図４】  本発明により得られる結果を、既知の処理によるものと比較して示すグラフである。
【図５】  本発明と既知の方法とより得られる画像の比較である。
【図６】  （ａ）及び（ｂ）は、本発明で得られる結果を、先行技術の方法の結果と比較して示す部分的なプロットである。
【図７】  従来のフィルタード・バックプロジェクション法の図である。
【図１】
0004958354.tif 000052
【図４】
0004958354.tif 000053
【図２】
0004958354.tif 000054
【図３】
0004958354.tif 000055
【図５】
0004958354.tif 000056
【図６】
0004958354.tif 000057
【図７】
0004958354.tif 000058