(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
ｎを正の整数として、データ長がｎ＋１の時系列データ｛ξ0，ξ1，ξ2，・・・，ξn｝が、写像τによりξk＝τ（ξk-1）＝τk（ξ0），ｋ＝１，２，・・・，ｎとして生成されるという仮定の基に、ξkが含まれる区間Ｉ≡［ａ，ｂ］をｍ個の区間に等分割した分割区間Ｘi（ｉ＝１，２，・・・，ｍ）について、下記の式（９）が成り立ち、
前記分割区間のそれぞれを更にＭ等分した細分割区間Ｘ´jについて、細分割区間をＸ´i（ｉ＝１，２，・・・，ｍ×Ｍ）とすると、下記の式（１０）が成り立ち、
且つ、ξk∈Ｘiとなる確率分布ｐ（ｉ）を求める確率分布算出手段と、
前記分割区間Ｘiと前記細分割区間Ｘ´jについて、ξk∈Ｘi、ξk+1∈Ｘ´jとなる同時確率ｐ´（ｉ，ｊ）を求める同時確率算出手段と、
条件付確率ｐ´（ｊ｜ｉ）を下記の式（２３）から求める条件付確率算出手段と、
下記の式（１４）と下記の式（１５）に基づき拡張カオス尺度Ｈ*を算出する拡張カオス尺度算出手段と
を具備する時系列データ解析装置。
【数１】
0006977970.tif 000026
【数２】
0006977970.tif 000027
【数３】
0006977970.tif 000028
【数４】
0006977970.tif 000029
【請求項２】
前記拡張カオス尺度算出手段は、次式（１３）と次式（１５）に基づき拡張カオス尺度Ｈ*を算出することを特徴とする請求項１に記載の時系列データ解析装置。
【数５】
0006977970.tif 000030
【請求項３】
前記確率分布算出手段と前記同時確率算出手段は、
データ長がｎ＋１の時系列データ｛ξ0，ξ1，ξ2，・・・，ξn｝から、確率分布ｐ（ｉ）、同時確率分布ｐ´（ｉ，ｊ）を求めることを特徴とする請求項１または２に記載の時系列データ解析装置。
【請求項４】
データ長がｎ＋１の時系列データ｛ξ0，ξ1，ξ2，・・・，ξn｝を１度のサンプリングにより得て、前記拡張カオス尺度算出手段は、拡張カオス尺度算出を行うことを特徴とする請求項１乃至３のいずれか１項に記載の時系列データ解析装置。
【請求項５】
データ長がｎ＋１の時系列データ｛ξ0，ξ1，ξ2，・・・，ξn｝をサンプリング期間をずらして複数回サンプリングし、前記拡張カオス尺度算出手段は、サンプリングした複数回分の時系列データ毎に拡張カオス尺度算出を行うことを特徴とする請求項１乃至３のいずれか１項に記載の時系列データ解析装置。
【請求項６】
コンピュータを、
ｎを正の整数として、データ長がｎ＋１の時系列データ｛ξ0，ξ1，ξ2，・・・，ξn｝が、写像τによりξk＝τ（ξk-1）＝τk（ξ0），ｋ＝１，２，・・・，ｎとして生成されるという仮定の基に、ξkが含まれる区間Ｉ≡［ａ，ｂ］をｍ個の区間に等分割した分割区間Ｘi（ｉ＝１，２，・・・，ｍ）について、下記の式（９）が成り立ち、
前記分割区間のそれぞれを更にＭ等分した細分割区間Ｘ´jについて、細分割区間をＸ´i（ｉ＝１，２，・・・，ｍ×Ｍ）とすると、下記の式（１０）が成り立ち、
且つ、ξk∈Ｘiとなる確率分布ｐ（ｉ）を求める確率分布算出手段、
前記分割区間Ｘiと前記細分割区間Ｘ´jについて、ξk∈Ｘi、ξk+1∈Ｘ´jとなる同時確率ｐ´（ｉ，ｊ）を求める同時確率算出手段、
条件付確率ｐ´（ｊ｜ｉ）を下記の式（２３）から求める条件付確率算出手段、
下記の式（１４）と下記の式（１５）に基づき拡張カオス尺度Ｈ*を算出する拡張カオス尺度算出手段
として機能させることを特徴とする時系列データ解析用プログラム。
【数６】
0006977970.tif 000031
【数７】
0006977970.tif 000032
【数８】
0006977970.tif 000033
【数９】
0006977970.tif 000034
【請求項７】
前記コンピュータを前記拡張カオス尺度算出手段として、次式（１３）と次式（１５）に基づき拡張カオス尺度Ｈ*を算出するように機能させることを特徴とする請求項６に記載の時系列データ解析用プログラム。
【数１０】
0006977970.tif 000035
【請求項８】
前記コンピュータを、前記確率分布算出手段と前記同時確率算出手段として、
データ長がｎ＋１の時系列データ｛ξ0，ξ1，ξ2，・・・，ξn｝から、確率分布ｐ（ｉ）、同時確率分布ｐ´（ｉ，ｊ）を求めるように機能させることを特徴とする請求項６または７に記載の時系列データ解析用プログラム。
【請求項９】
データ長がｎ＋１の時系列データ｛ξ0，ξ1，ξ2，・・・，ξn｝を１度のサンプリングにより得て、前記コンピュータを前記拡張カオス尺度算出手段として、拡張カオス尺度算出を行うように機能させることを特徴とする請求項６乃至８のいずれか１項に記載の時系列データ解析用プログラム。
【請求項１０】
データ長がｎ＋１の時系列データ｛ξ0，ξ1，ξ2，・・・，ξn｝をサンプリング期間をずらして複数回サンプリングし、前記拡張カオス尺度算出手段は、サンプリングした複数回分の時系列データ毎に拡張カオス尺度算出を行うことを特徴とする請求項６乃至８のいずれか１項に記載の時系列データ解析用プログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
この発明は、時系列データ解析装置及び時系列データ解析用プログラムに関するものである。
【背景技術】
【０００２】
時系列データがどのような特徴を有しているのかを把握するために、様々な手法が用いられる。例えば、時系列データについてカオス度合を把握するための定量化法として、リアプノフ指数と呼ばれる指標がよく用いられている。リアプノフ指数を求める場合は、データ生成源の情報（離散系の差分方程式や連続系の微分方程式等）が既知である必要がある。データ生成源の情報が未知である場合には、大量のデータから推定する手段が与えられているが、所謂「埋め込み次元の推定」に関する処理は、次元毎に系の様子を見ながら調整を繰り返す必要があり煩雑であるにもかかわらず、必ずしも一意に得られるものではないという問題がある（非特許文献５、６、７）。
【０００３】
近年になって情報理論に基づく「カオス尺度（Chaos Degree）」と称される指標が提案された（非特許文献１）。このカオス尺度とリアプノフ指数は極めて類似の挙動を示すことが知られている（非特許文献２、３、４）。図１には、ロジスティック写像（ａ：３．５〜４．０）のカオス尺度（分割数ｍ＝１００）とリアプノフ指数の値の変化を示している。この図１から、カオス尺度とリアプノフ指数は、類似の変化を行うことが明らかである。カオス尺度は、データのみから一意に計算可能であるという特徴を有している。
【０００４】
近年になって、本願発明者らは、カオス尺度とリアプノフ指数の数理学的関係性を明らかにした（非特許文献８、９、１０）。
【０００５】
＜カオス尺度の定義＞
データ長がｎ＋１の時系列データを
｛ξ0，ξ1，ξ2，・・・，ξn｝・・・（１）
と表す。
データは、差分方程式τ
【数１３】
0006977970.tif 000002
により、
【数１４】
0006977970.tif 000003
として生成されているものとする。
【０００６】
上記のξkが含まれている区間Ｉ≡［ａ，ｂ］をｍ個の区間に等分割する。この分割区間をＸi（ｉ＝１，２，・・・，ｍ）とすると、Ｉについて次の式（２）が成り立つ。
【数１５】
0006977970.tif 000004
【０００７】
ここで、ξk∈Ｘiとなる確率分布ｐ（ｉ）と、ξk∈Ｘi，ξk+1∈Ｘjとなる同時確率分布ｐ（ｉ，ｊ）を次の式（３）、（４）の通りに算出する。
【数１６】
0006977970.tif 000005
上記において＃｛（条件式）｝は、（条件式）を満たす数を意味する。
【０００８】
上記のように確率分布ｐ（ｉ）と同時確率分布ｐ（ｉ，ｊ）が求まると、カオス尺度Ｈは以下の式（５）または式（６）として定義される。
【数１７】
0006977970.tif 000006
ただし、０ｌｏｇ０＝０とする。
【０００９】
上記のカオス尺度Ｈの最小値は０であるが、最大値は分割数ｍに依存してｌｏｇｍである。
【数１８】
0006977970.tif 000007
カオス尺度Ｈの値は大きいほどカオス性が大きい（複雑性が高い）ことを意味する。即ち、カオス尺度Ｈに関する解釈は、次のようにまとめることができる。
【数１９】
0006977970.tif 000008
【００１０】
上記のカオス尺度Ｈを、（１）単調増加データ、（２）周期データ、（３）ノイズが加わった周期データ、（４）正規分布に従うランダムデータ、（５）一様ランダムデータ、のそれぞれについて計算した結果、図２に示すようになった。
【００１１】
上記カオス尺度Ｈの計算は次の通りに行った。即ち、各データのデータ長をｎ＋１＝１０１、カオス尺度の分割数をｍ＝５、データの値域［０，１］をｍ＝５で等分割した区間を分割区間として計算を行った。この場合のカオス尺度の最大値はｌｏｇｍ＝ｌｏｇ５＝１．６０９５であった。よって（５）の一様ランダムデータのカオス尺度が最大値に近く、カオス性（複雑度）が高いことを確認できる。
【００１２】
図２には、上記（１）〜（５）のデータについてカオス尺度Ｈと共に分散ｓ2を計算して示してある。この図２からは、直感的に、（１）と（２）のデータが複雑とは言えず、（３）のデータがやや複雑さを帯びており、（４）と（５）のデータがランダムデータ故に複雑であると結論できる。この図２では、（１）〜（５）へ移行するに従ってデータの複雑さが増すように並べており、カオス尺度Ｈの値が徐々に大きくなっており直感的に複雑度が増していることが分かる。
【００１３】
一方、分散ｓ2は、以下の式で表わされる。
【数２０】
0006977970.tif 000009
【００１４】
上記分散ｓ2は、暫し、「データのばらつき度合を示す」と説明される。分散は、データの平均値からの距離の二乗平均であって、データの乱雑さとは異なるものであることが図２に示されている値からも理解できる。即ち、データのデタラメさ、ランダムさ、乱雑さ、複雑さ、カオス性などを定量化して議論する場合には、分散を用いるよりもカオス尺度を用いる方が適切であることが分かる。
【００１５】
＜カオス尺度とリアプノフ指数＞
リアプノフ指数λは、不変測度（確率密度関数）ρを用いて次のように表わされる。
【数２１】
0006977970.tif 000010
【００１６】
本願の発明者らは、カオス尺度の分割をΔｘ≡｜Ｘｉ｜（ｊ＝１，２，・・・，ｍ）と表したとき、カオス尺度はΔｘ→０の極限において、
【数２２】
0006977970.tif 000011
の関係にあることを示した（非特許文献９、１１）。ここで、Ｄ（ｘ）は非負の関数である。よって、ＨΔx→0≧λの関係にある。このＤ関数の詳細は非特許文献８、９に示す通りである。｜τ´（ｘ）｜におけるＤ関数の上限（Ｄsup）と下限（Ｄinf）を図３に示す。
【００１７】
このように、本願発明者らは、カオス尺度とリアプノフ指数の数理学的関係性を明らかにした（非特許文献８、９、１０）。
【００１８】
本発明は、上記のような事情に鑑み、カオス尺度とリアプノフ指数の差分を極めて小さくするように拡張を行った新たなカオスに関する指標（「拡張カオス尺度」と称する。）を用いて、与えられたデータのみからリアプノフ指数に極めて近似した値を一意に得るようにする。
【００１９】
また、データ生成源である写像が既知であり、かつ写像が保測写像である特殊な場合には、カオス尺度とＫＳエントロピーが同値を示すことが分かっている。そこで、本発明は、ＫＳエントロピーの推定にも適用可能となるものである。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【００２０】
【非特許文献１】大矢雅則，原利英，“数理物理と数理情報の基礎，”近代科学社，２０１６年
【非特許文献２】K.Inoue, M.0hya, K.Sato, "Application of chaos degree to some dynamical systems," Chaos, Solitons& Fractals, Volume 11, Issue9, July2000, Pages 1377-1385
【非特許文献３】K.Inoue, "Basic properties of entropic chaos degree in classical systems," Internationa1 journal on information 16(12(B)), December2013,8589-8596
【非特許文献４】井上哲，“カオス尺度における準周期軌道の取り扱い，”日本応用数理学会論文誌，ＶＯＬ．２５，Ｎｏ２，２００５年，ｐｐ．１０５−１１５
【非特許文献５】岡田大樹，梅野健，“新たな非線形時系列解析の手法―移動最大リアプノフ指数線によるカオス解析―，”レーザー学会，Ｖｏｌ．４３，Ｎｏ６（２０１５）１９９３，ｐｐ．１１７−１３４．
【非特許文献６】A. Wolf, J. B. Swift, H. L. Swinney and J. A. Vastano, "Determining Lyapunov Exponents from a Time Series," Physica D, Vol. 16, No3,1985, pp285-317.
【非特許文献７】M. T. Rosenstein, J. J. Collins and C. J. De Luca, "A Practical Method for Calculating Largest Lyapunov Exponents for Small Data Sets," Physica D, Vol.65,1993, pp.117-134.
【非特許文献８】奧富秀俊，真尾朋行，“カオス尺度とリアプノフ指数の数理的関係性について，”電子情報通信学会，２０１７年度第３回ＣＣＳ研究会（２）， November,2017
【非特許文献９】奥富秀俊，真尾朋行，“カオス尺度の極限値の算出について，”日本応用数理学会２０１８年度年会，応用カオス（１）−３， September2018
【非特許文献１０】真尾朋行，奧富秀俊，梅野健，“カオス尺度の計算方法について，”日本応用数理学会、２０１８年度年会，応用カオス（１）−４， September2018
【非特許文献１１】奧富秀俊，“カオス尺度とＫＳエントロピーの関係についての考察，”電子情報通信学会，２０１８年度第１回ＣＣＳ研究会（２）， June,2018
【非特許文献１２】真尾朋行，奧富秀俊，“心拍間隔データのカオス尺度と自律神経活動の関連について，”日本応用数理学会２０１６年度年会，応用カオス（２）−１， September2016
【非特許文献１３】真尾朋行，奥富秀俊，“心拍変動のカオス性と副交感神経活動との関係について，”電子情報通信学会，第３回ＣＣＳ研究会（１）， November,2017
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【００２１】
本発明は、解析対象のデータが離散系であろうと連続系のデータであろうと、適切に特にカオス性解析を行うことが可能な時系列データ解析装置を提供する。
【課題を解決するための手段】
【００２２】
本実施形態に係る時系列データ解析装置は、ｎを正の整数として、データ長がｎ＋１の時系列データ｛ξ0，ξ1，ξ2，・・・，ξn｝が、写像τによりξk＝τ（ξk-1）＝τk（ξ0），ｋ＝１，２，・・・，ｎとして生成されるという仮定の基に、ξkが含まれる区間Ｉ≡［ａ，ｂ］をｍ個の区間に等分割した分割区間Ｘi（ｉ＝１，２，・・・，ｍ）について、下記の式（９）が成り立ち、
前記分割区間のそれぞれを更にＭ等分した細分割区間Ｘ´jについて、
細分割区間をＸ´i（ｉ＝１，２，・・・，ｍ×Ｍ）とすると、下記の式（１０）が成り立ち、
且つ、ξk∈Ｘiとなる確率分布ｐ（ｉ）を求める確率分布算出手段と、
前記分割区間Ｘiと前記細分割区間Ｘ´jについて、ξk∈Ｘi、ξk+1∈Ｘ´jとなる同時確率ｐ´（ｉ，ｊ）を求める同時確率算出手段と、
条件付確率ｐ´（ｊ｜ｉ）を後述の式（２３）から求める条件付確率算出手段と、
後述の式（１４）と後述の式（１５）に基づき拡張カオス尺度Ｈ*を算出する拡張カオス尺度算出手段とを具備することを特徴とする。
【数１１】
0006977970.tif 000012
【数１２】
0006977970.tif 000013
【図面の簡単な説明】
【００２３】
【図１】ロジスティック写像のカオス尺度とリアプノフ指数の値の変化を示す図。
【図２】カオス尺度Ｈを、（１）単調増加データ、（２）周期データ、（３）ノイズが加わった周期データ、（４）正規分布に従うランダムデータ、（５）一様ランダムデータ、のそれぞれについて計算した結果を示す図。
【図３】写像をτとしたとき、｜τ´（ｘ）｜におけるＤ関数の上限（Ｄsup）と下限（Ｄinf）を示す図。
【図４】本発明の実施形態に係る時系列データ解析装置のブロック図。
【図５】本発明の実施形態に係る時系列データ解析装置の内部機能を示すブロック図。
【図６】本発明の実施形態に係る時系列データ解析装置による計算法１を用いて拡張カオス尺度を算出する動作（前半）のフローチャート。
【図７】本発明の実施形態に係る時系列データ解析装置による計算法１を用いて拡張カオス尺度を算出する動作（後半）のフローチャート。
【図８】本発明の実施形態に係る時系列データ解析装置による計算法１（ｍ＝２０、Ｍ＝２０，ｎ＝１００００）によりロジスティック写像から得られた拡張カオス尺度と、従来のカオス尺度、更にリアプノフ指数の波形を示す図。
【図９】本発明の実施形態に係る時系列データ解析装置による計算法１（ｍ＝１００、Ｍ＝２０，ｎ＝１００００００）によりロジスティック写像から得られた拡張カオス尺度と、従来のカオス尺度、更にリアプノフ指数の波形を示す図。
【図１０】計算法２により拡張カオス尺度を算出する過程の説明を行うためのタイミングチャート。
【発明を実施するための形態】
【００２４】
以下添付図面を参照して、本発明の実施形態に係る時系列データ解析装置及び時系列データ解析用プログラムを説明する。各図において同一の構成要素には、同一の符号を付して重複する説明を省略する。図４に実施形態に係る時系列データ解析装置１００のブロック図を示す。時系列データ解析装置１００は、クラウドコンピュータ、サーバコンピュータ、パーソナルコンピュータ、その他のコンピュータにより構成することができる。
【００２５】
時系列データ解析装置１００は、ＣＰＵ１０１が主メモリ１０２のプログラムやデータに基づき演算を行うものである。ＣＰＵ１０１には、バス１０３を介して外部記憶装置１０４が接続されており、外部記憶装置１０４には、時系列データ解析用プログラムが記憶されている。ＣＰＵ１０１が外部記憶装置１０４から時系列データ解析用プログラムを主メモリ１０２へ読み出してこのプログラムを実行することにより時系列データ解析装置として機能する。
【００２６】
バス１０３には、外部記憶装置１０４以外に時系列データ取得部１０５が接続されている。時系列データ取得部１０５は、外部のセンサなどからリアルタイムで時系列データを取り込み保持するものとすることができ、或いは、外部の何らかの装置などが収集した時系列データを取り込み保持したものとすることができる。更に、収集した時系列データを記憶した媒体がセットされることにより、時系列データを保持し供給可能となっている装置であっても良い。更に、上記の構成を全て備えたものであっても良い。いずれにしても、ＣＰＵ１０１が時系列データ解析用プログラムを実行して時系列データの解析を行う場合には、時系列データはこの時系列データ取得部１０５から供給される。
【００２７】
バス１０３には、結果出力部１０６が接続されている。結果出力部１０６は、表示装置やプリンタなど、時系列データ解析装置１００において処理した結果を出力する装置とすることができる。また、結果出力部１０６は、時系列データ解析装置１００において処理した結果を記憶する媒体でもよく、更に、回線などを介して処理の依頼者（クライアント）へ処理結果を送信などする装置であっても良い。
【００２８】
外部記憶装置１０４に記憶されている時系列データ解析用プログラムが実行されることにより、図５に示される各手段が実現される。即ち、時系列データ解析装置１００は、図５に示されるように、確率分布算出手段２０１、同時確率算出手段２０２、条件付確率算出手段２０３、拡張カオス尺度算出手段２０４を具備している。
【００２９】
本実施形態の時系列データ解析装置１００では、以下に示す＜拡張カオス尺度＞を得るものであり、これにより、カオス尺度とリアプノフ指数の差を小さく抑え、リアプノフ指数の推定値として機能させるものである。これによって、ＫＳエントロピーの推定値としても機能させるようにする。
【００３０】
確率分布算出手段２０１は、ｎを正の整数として、データ長がｎ＋１の時系列データ｛ξ0，ξ1，ξ2，・・・，ξn｝が、写像τによりξk＝τ（ξk-1）＝τk（ξ0），ｋ＝１，２，・・・，ｎとして生成されるという仮定の基に、ξkが含まれる区間Ｉ≡［ａ，ｂ］をｍ個の区間に等分割した分割区間Ｘi（ｉ＝１，２，・・・，ｍ）について、
【数２５】
0006977970.tif 000014
【数２６】
0006977970.tif 000015
且つ、ξk∈Ｘiとなる確率分布ｐ（ｉ）を求めるものである。
【００３１】
別言すれば、確率分布算出手段２０１は、ｎを正の整数として、データ長がｎ＋１の時系列データ｛ξ0，ξ1，ξ2，・・・，ξn｝が、写像τによりξk＝τ（ξk-1）＝τk（ξ0），ｋ＝１，２，・・・，ｎとして生成されるという仮定の基に、ξkが含まれる区間Ｉ≡［ａ，ｂ］をｍ個の区間に等分割した分割区間Ｘi（ｉ＝１，２，・・・，ｍ）について、上記の式（９）が成り立ち、
前記分割区間のそれぞれを更にＭ等分した細分割区間Ｘ´jについて、細分割区間をＸ´i（ｉ＝１，２，・・・，ｍ×Ｍ）とすると、上記の式（１０）が成り立ち、
且つ、ξk∈Ｘiとなる確率分布ｐ（ｉ）を求めるものである。
【００３２】
＜拡張カオス尺度＞
データ長がｎ＋１の時系列データを式（８）により表す。
｛ξ0，ξ1，ξ2，・・・，ξn｝・・・（８）
＜カオス尺度の定義＞において述べたように、分割数ｍに対する分割区間ＸiをＸi（ｉ＝１，２，・・・，ｍ）とすると、Ｉについて次の式（９）が成り立つものであった。なお、式（９）と式（２）は、同一である。
【数２７】
0006977970.tif 000016
【００３３】
上記分割区間を各分割区間毎にＭ分割した細分割区間をＸ´iをＸ´i（ｉ＝１，２，・・・，ｍ×Ｍ）とすると、Ｉについて次の式（１０）が成り立つ。
【数２８】
0006977970.tif 000017
ここで、ξk∈Ｘiとなる確率分布ｐ（ｉ）と、ξk∈Ｘi，ξk+1∈Ｘ´jとなる同時確率分布ｐ´（ｉ，ｊ）は、次に示す式（１１）と式（１２）のようになる。
【数２９】
0006977970.tif 000018
【００３４】
上記式（１１）により確率分布算出手段２０１が確率分布ｐ（ｉ）を求める。また、上記式（１２）により同時確率算出手段２０２が同時確率ｐ´（ｉ，ｊ）を求める。
【００３５】
また、本実施形態では、拡張カオス尺度Ｈ*を拡張カオス尺度算出手段２０４が算出するが、拡張カオス尺度Ｈ*を求めるための中間値として次の式（１３）と式（１４）により示されるｈを拡張カオス尺度算出手段２０４が算出する。
【数３０】
0006977970.tif 000019
【００３６】
拡張カオス尺度Ｈ*を拡張カオス尺度算出手段２０４が算出するためには、次の式（１５）によるものとする。即ち、拡張カオス尺度算出手段２０４は、次の式（１５）と、上記式（１３）または上記式（１４）のいずれかを用いて、拡張カオス尺度Ｈ*を算出する。
【数３１】
0006977970.tif 000020
ただし、
０ｌｏｇ０＝０
である。
【００３７】
＜Ｈ*の計算法１＞
＜Ｈ*の計算法１＞は、写像τと不変測度（確率密度関数）ρが未知で、データから算出を行う場合に適用される。且つ、データが存在する区間のデータ密度が一定であることを家庭しない場合（一般的な場合）である。この計算法１による時系列データ解析装置或いは時系列データ解析用プログラムによって行われる処理を、図６と図７のフローチャートを参照して説明する。
【００３８】
初期設定として、分割数をｍ、細分割数をＭ、データの定義域をＩ＝［ａ，ｂ］とし、分割数ｍにより分割された１区分の長さΔｘがΔｘ＝（ｂ−ａ）／ｍとする（Ｓ１１）。更に、レジスタｉ，ｊの値を１に、ｈ，ｋの値を０に初期化し（Ｓ１２）、カウンタｃ1［］，ｃ2［］［］の初期化が行われる（Ｓ１３）。次に、データ長がｎ＋１の時系列データ｛ξ0，ξ1，ξ2，・・・，ξn｝の取り込みが行われる（Ｓ１４）。
【００３９】
ステップＳ１５からステップＳ１７までにおいてはｋをｎ−１まで１づつ歩進させて処理を行うステップである。ステップＳ１５においてｋを１歩進させ、ステップＳ１６では、ｐ（ｉ）、ｐ´（ｉ，ｊ）、ｐ´（ｊ｜ｉ）、を求めるために、カウンタｃ1［］，ｃ2［］［］の値を確定する。
【００４０】
具体的には、次の式（１６）、（１７）からν1、ν2を求める。なお、式（１８）、（１９）においては、矢印「←」の右辺の値を左辺にセットすることを示す。
【数３２】
0006977970.tif 000021
【００４１】
上記の通りの計算からν1、ν2が求められると、次の式（１８）、（１９）からカウンタｃ1［］，ｃ2［］［］の値が求められる。
【数３３】
0006977970.tif 000022
【００４２】
上記ステップＳ１６の処理が終了すると、ステップＳ１７においてｋがｎ−１となったかを検出し、ｎ−１となっていなければ、ステップＳ１５へ戻りｋを１歩進してステップＳ１６の処理を行い、ステップＳ１７へ進みｋがｎ−１となったかを検出する処理を繰り返す。このようにして、処理を繰り返すとステップＳ１７においてｋ＝ｎ−１の成立が検出されると、図７のフローチャートに示す処理が行われる。即ち、ステップＳ２１からステップＳ２６までにおいてはｉをｍまで１づつ歩進させて処理を行うステップである。
【００４３】
ステップＳ２１においてはｉをｍまで１づつ歩進させると、ｐ（ｉ）へｃ1［ｊ］／ｎをセットし（Ｓ２２）、ステップＳ２３へ進む。ステップＳ２３からステップＳ２５まではｊをｍ×Ｍまで１づつ歩進させて処理を行うステップである。ステップＳ２３においてｊを１歩進させ、ｐ´（ｉ，ｊ）を求め、ｐ´（ｊ｜ｉ）を求める（Ｓ２４）。ステップＳ１６における処理によってｃ１［ｉ］，ｃ2［ｉ］［ｊ］は、それぞれ次の式（２０）、（２１）によって表されるように求まっている。
【数３４】
0006977970.tif 000023
【００４４】
上記からｐ（ｉ）は既に述べた通り、ｃ1［ｊ］／ｎがセットされるステップＳ２２の処理により、ｐ´（ｉ，ｊ）、ｐ´（ｊ｜ｉ）は、それぞれ式（２２）、（２３）により表される式により計算される。
【数３５】
0006977970.tif 000024
【００４５】
上記のｐ（ｉ）は、確率分布算出手段２０１が算出を行い、ｐ´（ｉ，ｊ）は、同時確率算出手段２０２が算出を行い、ｐ´（ｊ｜ｉ）は、条件付確率算出手段２０３が算出を行う。上記のステップＳ２４が終了すると、ステップＳ２５において、ｊ＝ｍ×Ｍとなったかを検出し、ｊ＝ｍ×ＭとなっていなければステップＳ２３へ戻ってｊを１歩進させると、ステップＳ２４へと進む処理を繰り返す。上記のようにしてステップＳ２３からステップＳ２５の処理を繰り返すうちにステップＳ２５を通過すると、ステップＳ２６においてｉ＝ｍとなったかを検出し、ｉ＝ｍとなっていなければステップＳ２１へ戻ってｉを１歩進させると、ステップＳ２２からステップＳ２６へと進む処理を繰り返す。この処理を繰り返すうちに、ステップＳ２６を通過すると、ステップＳ２７の処理を実行する。
【００４６】
ステップＳ２７においては、拡張カオス尺度算出手段２０４が式（１４）により、中間値であるｈを算出する（Ｓ２７）。ステップＳ２７に続いては、次式（２４）により拡張カオス尺度Ｈ*を求める（Ｓ２８）。
【数３６】
0006977970.tif 000025
【００４７】
ステップＳ２９においては、上記ステップＳ２８において求まっているｈを拡張カオス尺度Ｈ*として結果出力部１０６から出力する（Ｓ２９）。
【００４８】
以上のようにして＜Ｈ*の計算法１＞によりロジスティック写像から得られた拡張カオス尺度と、従来のカオス尺度、更にリアプノフ指数の波形を図８、図９に示す。図８では、分割数ｍが２０、細分割数Ｍが２０、データ長を定義するｎが１００００である場合を示す。また、図９では、分割数ｍが１００、細分割数Ｍが２０、データ長を定義するｎが１００００００である場合を示す。いずれの場合も拡張カオス尺度がリアプノフ指数に近似しており、時系列データ解析に極めて優れたものであることを示している。
【００４９】
＜Ｈ*の計算法２＞
本実施形態に係るデータ解析手法は、処理が所謂軽量にできているため、リアルタイムで得られるデータに対してリアプノフ指数による解析に極めて近似した解析を行うことが可能である。時系列データがリアルタイムに得られている場合に、拡張カオス尺度Ｈ*を得る計算法を＜Ｈ*の計算法２＞と称し、以下に説明を行う。図１０のタイミングチャートに示されるように、時系列データは最上部の右横向き矢印により示されている通りリアルタイムで常時到来するものとする。
【００５０】
初めに時刻ｔ0から時刻ｔ1までの時間間隔Ｔ（＝ｔ1−ｔ0）における時系列データＤＡ１を抽出して第１番目の抽出データとする。この第１番目の抽出データは時刻ｔ1の直後に本実施形態に係る時系列データ解析用プログラムに渡され、処理が行われて第１番目の拡張カオス尺度Ｈ1*が得られ、その後に結果出力部１０６から出力される。
【００５１】
次に、時刻ｔ0＋Δｔから時刻ｔ1＋Δｔまでの時間間隔Ｔ（＝ｔ2−ｔ1）における時系列データＤＡ２を抽出して第２番目の抽出データとする。この第２番目の抽出データは時刻ｔ1＋Δｔの直後に本実施形態に係る時系列データ解析用プログラムに渡され、処理が行われて第２番目の拡張カオス尺度Ｈ2*が得られ、その後に結果出力部１０６から出力される。
【００５２】
次に、時刻ｔ0＋２Δｔから時刻ｔ1＋２Δｔまでの時間間隔Ｔ（＝ｔ3−ｔ2）における時系列データＤＡ３を抽出して第３番目の抽出データとする。この第３番目の抽出データは時刻ｔ1＋３Δｔの直後に本実施形態に係る時系列データ解析用プログラムに渡され、処理が行われて第３番目の拡張カオス尺度Ｈ3*が得られ、その後に結果出力部１０６から出力される。
【００５３】
更に、同様に第４番目の抽出データから第４番目の拡張カオス尺度Ｈ4*が得られ、以下同様に処理が続けられる。即ち、本実施形態では、データ長がｎ＋１の時系列データ｛ξ0，ξ1，ξ2，・・・，ξn｝をサンプリング期間をずらして複数回サンプリングし、上記拡張カオス尺度算出手段２０４は、サンプリングした複数回分の時系列データ毎に拡張カオス尺度算出を行う。斯くして、本実施形態では、次々に所要時間拡張カオス尺度Ｈ4*が得られ、それぞれの時間単位でデータ解析を行うことができる。
【００５４】
なお、上記実施の形態では、ｋ番目の抽出データとｋ＋１番目の抽出データとがオーバーラップする部分があるが、ｋ番目とｋ＋１番目の間の抽出時間間隔Δｔにおいて大量のデータが到来するような場合には、オーバーラップ部分を設けることなく計算を行っても良いことは勿論である。
【００５５】
サンプリング期間をずらして複数回サンプリングして、サンプリングした複数回分の時系列データ毎に拡張カオス尺度算出を行う（第１の処理態様という）のではなく、拡張カオス尺度算出手段２０４は、データ長がｎ＋１の時系列データ｛ξ0，ξ1，ξ2，・・・，ξn｝を１度のサンプリングにより得て拡張カオス尺度算出を行うよう（第２の処理態様という）にしても良い。また、第１の処理態様と第２の処理態様と双方を有し、データの長さや計算を行う時間帯に応じて、更には、オペレータの指示により、上記の２態様の一方を採用するようにしても良い。
【００５６】
本願の発明者らは、非特許文献１２において、心拍間隔データのカオス尺度と自律神経活動の関連について記述し、非特許文献１３において、心拍変動のカオス性と副交感神経活動との関係について記述した。このように心拍変動のカオス性と眠気や怠慢等の生理状態とは相関が見られることから、本実施形態の解析装置や解析用プログラムは、生体の生理状態について解析する場合に極めて有用な拡張カオス尺度を時系列データから得ることができるものである。
【００５７】
電子機器等においては、電源電圧の不規則な揺らぎ（カオス的な変化）は、電圧供給先である内部の電子部品乃至素子等の抵抗値等に係る電気的特性が不規則に変動している可能性を示唆するものである。従って、電子機器等の電源電圧を時系列データとして本実施形態に係る解析装置や解析用プログラムを用いて解析を行うことによって電子部品乃至素子等の異常や故障の検出並びに予測へつながることが期待される。
【００５８】
更に、機械学習やディープラーニングは、入力データの特徴Ａに対し人間や自然界或いは機械・装置において生じる事象Ｂとの対応関係を過去のデータを用いて学習しておき、新たな入力データｎｅｗＡに対して最も生じる可能性が高い事象ＢＢを自動的に割り出すものと言える。そこで、本実施形態に係る解析装置や解析用プログラムを用いて入力データの特徴Ａを解析しておき、これに対する事象Ｂを対応付けて、機械学習やディープラーニングへ与えて学習させ、その後に到来する入力データについての、本実施形態に係る解析装置や解析用プログラムを用いて得た特徴から最も生じる可能性が高い事象の推定などに適用でき得るものと考えられる。
【００５９】
まとめるならば、機械学習を含む一般的なデータ解析に用いられる数学的手法は、データの規則性を見出すことを主目的として発展してきた背景がある。これに対し、本実施形態に係る解析装置や解析用プログラムのように規則性とは逆の事象である不規則性（カオス性）を把握して事象に対する特徴とする手法は一般的に行われているものではない。従って、本実施形態に係る解析装置や解析用プログラムを用いて得た不規則性の特徴を用いるものは、発生事象の予測や発生している事象の検出など幅広い応用が期待できる。
【符号の説明】
【００６０】
１００  時系列データ解析装置
１０２  主メモリ
１０３  バス
１０４  外部記憶装置
１０５  時系列データ取得部
１０６  結果出力部
２０１  確率分布算出手段
２０２  同時確率算出手段
２０３  条件付確率算出手段
２０４  拡張カオス尺度算出手段
【図１】
0006977970.tif 000036
【図２】
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【図３】
0006977970.tif 000038
【図４】
0006977970.tif 000039
【図５】
0006977970.tif 000040
【図６】
0006977970.tif 000041
【図７】
0006977970.tif 000042
【図８】
0006977970.tif 000043
【図９】
0006977970.tif 000044
【図１０】
0006977970.tif 000045