(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
解析対象の形状データを粗い要素と細かな要素とにノンネスティッドメッシュ法により分割するための分割手段と、
前記分割手段によって分割された粗い要素の電磁界ベクトルと細かな要素の電磁界ベクトルとを関連付ける行列を作成するための作成手段と、
前記作成手段によって作成された行列を参照しながら、連立１次方程式の反復解法を適用して前記細かな要素の電磁界ベクトルの近似解を演算するための演算手段とを含む三次元電磁界解析装置であって、
前記作成手段は、前記細かな要素の辺における電磁界の辺に接する成分を、前記粗い要素における補間関数を用いて表すことによって前記行列を作成することを特徴とする三次元電磁界解析装置。
【請求項２】
ｉは細かな要素の辺の数であって、ｉ＝１，２，３，…，ｎの数値をとり、ｊは粗い要素の辺の数であって、ｊ＝１，２，３，…，ｍの数値をとり、前記細かな要素の辺ｌｉの長さを｜ｌｉ｜、前記細かな要素の辺ｌｉの任意の位置ｘにおける電磁界と前記粗い要素の辺ｌｊにおける電磁界との関係を示す補間関数をＮｊＣ（ｘ）、前記細かな要素の辺ｌｉの接線ベクトルをｔｉとすると、前記作成手段は次式によって前記行列Ｐｉｊを作成する、請求項１記載の三次元電磁界解析装置。
【数１】
0004215056.tif 000017
【請求項３】
前記演算手段は、連立１次方程式の定常的な反復解法を適用して前記細かな要素の電磁界ベクトルの近似解に含まれる高周波成分を除去し、前記作成手段によって作成された行列を用いて前記細かな要素における残差を前記粗い要素における残差に写像し、連立１次方程式の直接法または非定常的な反復解法を適用して前記粗い要素に対する修正ベクトルを作成し、前記作成手段によって作成された行列を用いて前記粗い要素に対する修正ベクトルを前記細かな要素における修正ベクトルに変更することによって、前記細かな要素の近似解の精度を上げる、請求項１〜２のいずれかに記載の三次元電磁界解析装置。
【請求項４】
解析対象の電磁界を解析する三次元電磁界解析方法をコンピュータに実行させるためのコンピュータ・プログラムであって、
前記コンピュータは、分割した要素を記憶する第１の記憶手段と、行列を記憶する第２の記憶手段とを含み、
前記三次元電磁界解析方法は、解析対象の形状データを粗い要素と細かな要素とにノンネスティッドメッシュ法により分割して前記第１の記憶手段に記憶するステップと、
前記第１の記憶手段に記憶された粗い要素の電磁界ベクトルと細かな要素の電磁界ベクトルとを関連付ける行列を作成して前記第２の記憶手段に記憶するステップと、
前記第２の記憶手段に記憶された行列を参照しながら、連立１次方程式の反復解法を適用して前記細かな要素の電磁界ベクトルの近似解を演算するステップとを含み、
前記第２の記憶手段に記憶するステップは、前記細かな要素の辺における電磁界の辺に接する成分を、前記粗い要素における補間関数を用いて表すことによって前記行列を作成して前記第２の記憶手段に記憶するステップであることを特徴とするコンピュータ・プログラム。
【請求項５】
解析対象の電磁界を解析する三次元電磁界解析方法をコンピュータに実行させるためのプログラムを記録したコンピュータで読取り可能な記録媒体であって、
前記コンピュータは、分割した要素を記憶する第１の記憶手段と、行列を記憶する第２の記憶手段とを含み、
前記三次元電磁界解析方法は、解析対象の形状データを粗い要素と細かな要素とにノンネスティッドメッシュ法により分割して前記第１の記憶手段に記憶するステップと、
前記第１の記憶手段に記憶された粗い要素の電磁界ベクトルと細かな要素の電磁界ベクトルとを関連付ける行列を作成して前記第２の記憶手段に記憶するステップと、
前記第２の記憶手段に記憶された行列を参照しながら、連立１次方程式の反復解法を適用して前記細かな要素の電磁界ベクトルの近似解を演算するステップとを含み、
前記第２の記憶手段に記憶するステップは、前記細かな要素の辺における電磁界の辺に接する成分を、前記粗い要素における補間関数を用いて表すことによって前記行列を作成して前記第２の記憶手段に記憶するステップであることを特徴とするコンピュータで読取り可能な記録媒体。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、多層商品、ギガフィルタ、ＥＭＩ（Electro-Magnetic Interference）除去フィルタなどの高周波商品の開発や設計に使用する電磁界シミュレーション技術に関し、特に、シミュレーション時間の短縮を可能にした三次元電磁界解析装置、三次元電磁界解析プログラムおよびそのプログラムを記録した記録媒体に関する。
【背景技術】
【０００２】
近年、高周波商品の開発や設計が盛んに行なわれており、高周波商品の電磁界解析を行なうのに電磁界シミュレーションソフトが広く使用されるようになってきている。一般に、電磁界解析には有限要素法が利用される場合が多い。この有限要素法を用いた電磁界シミュレーションにおいては、連立１次方程式を解くのに長い時間がかかるため、高速な解法が望まれている。特に、電磁界解析の分野では、ガウスの消去法と呼ばれる直接法しか使えないため、計算時間が長くなるという問題は一層深刻である。
【０００３】
ところが、１９９９年に発表されたHiptmairの論文（R.Hiptmair, “Multigrid method for Maxwell's equations,” SIAM Journal of Numerialc Analysis, vol.36, no.1, pp.204-225, 1999）により、Multigridという解法が電磁界解析でも使えることが証明され、直接法に比べて劇的にスピードアップする解法として注目されている。
【０００４】
Multigrid法は、解析対象を細かな要素と粗い要素との２種類に分割し、粗い要素の解を利用して細かな要素の解を求めるものである。
【０００５】
ガウスの消去法を使用して連立１次方程式を計算する場合、一般に計算時間は行列の次元の３乗に比例する。次元の大きさは要素の数に相当するので、たとえば要素の数が２倍になれば計算時間は８倍、要素の数が１０倍になれば計算時間が１０００倍となる。そこで、粗い要素に対してのみガウスの直接法を適用し、細かな要素に対しては粗い要素の解を利用して近似解を求め、ガウスの消去法を使用しないようにすれば細かな要素に対する計算時間を１／８、１／１０００に短縮できる。実際には、付加的な計算時間が加算されるため、これほどの短縮にはならないものの、大幅に計算時間を短縮できることには間違いない。
【０００６】
Multigrid法は、Nested Meshを使用する方法と、Non-Nested Meshを使用する方法とに分類される。しかしながら、後述するようにプロロンゲーション（Prolongation）行列が未完成のため、Nested Meshを使用せざるを得ない。
【０００７】
図１２Ａ〜１２Ｂは、Nested Meshによる要素の分割を説明するための図である。図１２Ａは、２次元解析の場合のNested Meshによる要素の分割を示しており、粗い三角形要素を均等に分割して４つの細かな三角形要素を作成する。また、図１２Ｂは、３次元解析の場合のNested Meshによる要素の分割を示しており、粗い四面体要素を均等に分割して８つの細かな四面体要素を作成する。図１２Ａ〜１２Ｂから分かるように、Nested Meshにおいては、粗い要素と細かな要素との間に幾何学的な制約がある。
【非特許文献１】R.Hiptmair, “Multigrid method for Maxwell's equations,” SIAM Journal of Numerical Analysis, vol.36, no.1, pp.204-225, 1999
【非特許文献２】D.Dibben and T.Yamada, “Non-nested multigrid and automatic mesh coarsening for high frequency electromagnetic problems,” 電気学会研究会資料,SA-02-34, pp.71-75, 2002
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００８】
図１３Ａ〜１３Ｃは、Nested Meshの第１の問題点を説明するための図である。図１３Ａは、円をNested Meshによって要素分割して、粗い要素を作成したところを示している。また、図１３Ｂは、粗い要素をNested Meshによって細かな要素に分割したところを示している。図１３Ａおよび図１３Ｂから分かるように、Nested Meshの幾何学的な制約によって曲面を正確に表現することができない。
【０００９】
また、図１３Ｃは、円をNon-Nested Meshによって要素分割して、細かな要素を作成したところを示している。図１３Ｃから分かるように、幾何学的な制約がないため、曲面を正確に表現することができる。
【００１０】
図１４Ａ〜１４Ｃは、Nested Meshの第２の問題点を説明するための図である。図１４Ａは、正方形をNested Meshによって要素分割して、粗い要素を作成したところを示している。また、図１４Ｂは、粗い要素をNested Meshによって細かな要素に分割したところを示している。図１４Ａおよび図１４Ｂから分かるように、Nested Meshの幾何学的な制約によって部分的に細かくすることができない。
【００１１】
また、図１４Ｃは、正方形をNon-Nested Meshによって要素分割して、細かな要素を作成したところを示している。図１４Ｃから分かるように、幾何学的な制約がないため、部分的に細かくすることができる。
【００１２】
工業製品のほとんどは円柱や球などの曲面があり、また部分的に細かなところも必ずある。したがって、Nested Meshを工業製品などに用いることは困難である。一方、Non-Nested Meshには幾何学的制約が一切ないため、細かな要素を自由に作成することができる。しかしながら、位置関係に規則性がないため、粗い要素と細かな要素との間の電磁界の関連付けが難しい。この粗い要素と細かな要素との関連付けを行なうのがProlongation行列であるが、正確なProlongation行列は発見されていない。このことは、Mulitigrid法が実用的に使用できないことを意味しており、電磁界解析においてはガウスの直接法という計算時間のかかる方法を用いざるを得ない。
【００１３】
本発明は、上記問題点を解決するためになされたものであり、その目的は、Non-nested Meshを使用したMultigrid法を用いて電磁界解析を行なうことが可能な三次元電磁界解析装置、三次元電磁界解析プログラムおよびそのプログラムを記録した記録媒体を提供することである。
【００１４】
他の目的は、電磁界解析に要する時間を大幅に短縮することが可能な三次元電磁界解析装置、三次元電磁界解析プログラムおよびそのプログラムを記録した記録媒体を提供することである。
【課題を解決するための手段】
【００１５】
本発明のある局面に従えば、三次元電磁界解析装置は、解析対象の形状データを粗い要素と細かな要素とにノンネスティッドメッシュ法により分割するための分割手段と、分割手段によって分割された粗い要素の電磁界ベクトルと細かな要素の電磁界ベクトルとを関連付ける行列を作成するための作成手段と、作成手段によって作成された行列を参照しながら、連立１次方程式の反復解法を適用して細かな要素の電磁界ベクトルの近似解を演算するための演算手段とを含み、作成手段は、細かな要素の辺における電磁界の辺に接する成分を、粗い要素における補間関数を用いて表すことによって行列を作成することを特徴とする。
【００１６】
好ましくは、ｉは細かな要素の辺の数であって、ｉ＝１，２，３，…，ｎの数値をとり、ｊは粗い要素の辺の数であって、ｊ＝１，２，３，…，ｍの数値をとり、細かな要素の辺ｌｉの長さを｜ｌｉ｜、細かな要素の辺ｌｉの任意の位置ｘにおける電磁界と粗い要素の辺ｌｊにおける電磁界との関係を示す補間関数をＮｊＣ（ｘ）、細かな要素の辺ｌｉの接線ベクトルをｔｉとすると、作成手段は後述する式（１４）によって行列Ｐｉｊを作成する。
【００１７】
さらに好ましくは、演算手段は、連立１次方程式の定常的な反復解法を適用して細かな要素の電磁界ベクトルの近似解に含まれる高周波成分を除去し、作成手段によって作成された行列を用いて細かな要素における残差を粗い要素における残差に写像し、連立１次方程式の直接法または非定常的な反復解法を適用して粗い要素に対する修正ベクトルを作成し、作成手段によって作成された行列を用いて粗い要素に対する修正ベクトルを細かな要素における修正ベクトルに変更することによって、細かな要素の近似解の精度を上げる。
【００１８】
本発明の別の局面に従えば、解析対象の電磁界を解析する三次元電磁界解析方法をコンピュータに実行させるためのコンピュータ・プログラムであって、コンピュータは、分割した要素を記憶する第１の記憶手段と、行列を記憶する第２の記憶手段とを含み、三次元電磁界解析方法は、解析対象の形状データを粗い要素と細かな要素とにノンネスティッドメッシュ法により分割して第１の記憶手段に記憶するステップと、第１の記憶手段に記憶された粗い要素の電磁界ベクトルと細かな要素の電磁界ベクトルとを関連付ける行列を作成して第２の記憶手段に記憶するステップと、第２の記憶手段に記憶された行列を参照しながら、連立１次方程式の反復解法を適用して細かな要素の電磁界ベクトルの近似解を演算するステップとを含み、第２の記憶手段に記憶するステップは、細かな要素の辺における電磁界の辺に接する成分を、粗い要素における補間関数を用いて表すことによって行列を作成して第２の記憶手段に記憶するステップであることを特徴とする。
【００１９】
本発明のさらに別の局面に従えば、解析対象の電磁界を解析する三次元電磁界解析方法をコンピュータに実行させるためのプログラムを記録したコンピュータで読取り可能な記録媒体であって、コンピュータは、分割した要素を記憶する第１の記憶手段と、行列を記憶する第２の記憶手段とを含み、三次元電磁界解析方法は、解析対象の形状データを粗い要素と細かな要素とにノンネスティッドメッシュ法により分割して第１の記憶手段に記憶するステップと、第１の記憶手段に記憶された粗い要素の電磁界ベクトルと細かな要素の電磁界ベクトルとを関連付ける行列を作成して第２の記憶手段に記憶するステップと、第２の記憶手段に記憶された行列を参照しながら、連立１次方程式の反復解法を適用して細かな要素の電磁界ベクトルの近似解を演算するステップとを含み、第２の記憶手段に記憶するステップは、細かな要素の辺における電磁界の辺に接する成分を、粗い要素における補間関数を用いて表すことによって行列を作成して第２の記憶手段に記憶するステップであることを特徴とする。
【発明の効果】
【００２０】
本発明のある局面によれば、作成手段が、分割手段によって分割された粗い要素の電磁界ベクトルと細かな要素の電磁界ベクトルとを関連付ける行列を作成するので、Non-nested Meshを使用したMultigrid法を用いて電磁界解析を行なうことが可能となった。また、演算手段が、作成手段によって作成された行列を参照しながら細かな要素の電磁界ベクトルの近似解を演算するので、細かな要素の電磁界ベクトルを直接法を用いて計算する必要がなくなり、電磁界解析に要する時間を大幅に短縮することが可能となった。
【００２１】
また、作成手段が、細かな要素の辺における電磁界の辺に接する成分を、粗い要素における補間関数を用いて表すことによって行列を作成するので、行列を容易に作成することが可能となった。
【００２２】
また、作成手段は、後述する式（１４）によって行列Ｐｉｊを作成するので、行列をさらに容易に作成することが可能となった。
【００２３】
また、演算手段が、作成手段によって作成された行列を用いて細かな要素の電磁界ベクトルの近似解を修正するようにしたので、細かな要素の近似解の精度を上げる処理を高速に行なうことが可能となった。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２４】
図１は、本発明の実施の形態における電磁界解析装置の外観例を示す図である。この電磁界解析装置は、コンピュータ本体１、ディスプレイ装置２、ＦＤ（Flexible Disk）４が装着されるＦＤドライブ３、キーボード５、マウス６、ＣＤ−ＲＯＭ（Compact Disc-Read Only Memory）８が装着されるＣＤ−ＲＯＭ装置７、およびネットワーク通信装置９を含む。電磁界解析プログラムは、ＦＤ４またはＣＤ−ＲＯＭ８等の記録媒体によって供給される。電磁界解析プログラムがコンピュータ本体１によって実行されることによって、電磁界解析が行なわれる。また、電磁界解析プログラムは他のコンピュータよりネットワーク通信装置９を経由し、コンピュータ本体１に供給されてもよい。
【００２５】
図２は、本発明の実施の形態における電磁界解析装置の構成例を示すブロック図である。図１に示すコンピュータ本体１は、ＣＰＵ（Central Processing Unit）１０、ＲＯＭ（Read Only Memory）１１、ＲＡＭ（Random Access Memory）１２およびハードディスク１３を含む。ＣＰＵ１０は、ディスプレイ装置２、ＦＤドライブ３、キーボード５、マウス６、ＣＤ−ＲＯＭ装置７、ネットワーク通信装置９、ＲＯＭ１１、ＲＡＭ１２またはハードディスク１３との間でデータを入出力しながら処理を行う。ＦＤ４またはＣＤ−ＲＯＭ８に記録された電磁界解析プログラムは、ＣＰＵ１０によりＦＤドライブ３またはＣＤ−ＲＯＭ装置７を介してハードディスク１３に格納される。ＣＰＵ１０は、ハードディスク１３から適宜電磁界解析プログラムをＲＡＭ１２にロードして実行することによって、電磁界解析が行なわれる。
【００２６】
図３は、本発明の実施の形態における電磁界解析装置の機能的構成を示すブロック図である。電磁界解析装置は、解析対象の形状データを記憶する形状データ記憶部２１と、形状データを要素の大きさを変えて分割する要素分割部２２と、要素分割部２２によって分割された要素を記憶する要素記憶部２３と、連立１次方程式におけるベクトルおよび行列を作成するベクトル・行列作成部２４と、Prolongation行列を作成するProlongation行列作成部２５と、ベクトル・行列作成部２４によって作成されたベクトルおよび行列を記憶するベクトル・行列記憶部２６と、Prolongation行列作成部２５によって作成されたProlongation行列を記憶するProlongation行列記憶部２７と、電磁界ベクトルの近似値を演算する近似値演算部２８と、近似値演算部２８によって演算された近似解を修正する近似解修正部２９と、近似解修正部２９によって修正された後の近似解を電磁界ベクトルとして記憶する電磁界ベクトル記憶部３０とを含む。
【００２７】
なお、形状データ記憶部２１、要素記憶部２３、ベクトル・行列記憶部２６、Prolongation行列記憶部２７および電磁界ベクトル記憶部３０は、図２のＲＡＭ１２またはハードディスク１３内の所定領域に設けられる。また、要素分割部２２、ベクトル・行列作成部２４、Prolongation行列作成部２５、近似値演算部２８および近似解修正部２９のそれぞれの機能は、図２に示すＣＰＵ１０がＲＡＭ１２にロードされた電磁界解析プログラムを実行することによって実現される。
【００２８】
図４は、本発明の実施の形態における電磁界解析装置の処理手順を説明するためのフローチャートである。まず、要素分割部２２は、形状データ記憶部２１に記憶される解析対象の形状データを読取り、形状データを要素に分割し、分割した後の要素を要素記憶部２３に保存する（Ｓ１１）。要素分割部２２は、２次元解析の場合には形状データを三角形または四角形の要素に分割し、３次元解析の場合には形状データを四面体、三角柱または四角柱に分割する。
【００２９】
要素分割部２２は、形状データを要素の大きさを変えて分割する。ここでは説明を簡単にするために、２種類の大きさの要素を作成するものとし、大きい方の（粗い）要素の集合をΩＣとし、小さい方の（細かな）要素の集合をΩＦとする。なお、添え字ＣはCoarseを表し、ＦはFineを表している。
【００３０】
ΩＣとΩＦとを独立に作成してもよいが、まずΩＣを作成し、それを細分化してΩＦを作成した方が処理時間を短縮できる。細分化の方法には、体積の大きな要素を再分割する方法と、ΩＣを用いて解析を行ない、誤差の大きい要素を再分割する方法とがある。いずれを使用してもよいが、誤差を評価する方法の方が計算精度は良い。なお、誤差を評価する方法は、文献１（神谷紀生他、“コンピュートロール、特集／ソフトウェアの誤差評価とアダプティブ要素，”No.42，コロナ社，1993）を参照されたい。
【００３１】
図５Ａ〜５Ｂは、マイクロストリップラインにおける要素分割の一例を示す図である。図５Ａは、マイクロストリップラインを大きい要素に分割したところを示している。また、図５Ｂは、図５Ａに示す大きい要素で解析を行ない、誤差を評価して細分化したところを示している。電極の端に電磁界が集中するため、その部分が細かく再分割されている。
【００３２】
次に、ベクトル・行列作成部２４は、要素記憶部２３に記憶される要素ΩＣとΩＦとを読込み、Maxwell方程式に有限要素法を適用してそれらを要素で離散化し、連立１次方程式における行列および列ベクトルを作成する（Ｓ１２）。ここで、対象にしているMaxwell方程式は次式によって表される。
【００３３】
【数１】
0004215056.tif 000002
【００３４】
これらの式から、次の微分方程式が得られる。
【００３５】
【数２】
0004215056.tif 000003
【００３６】
以上の前工程で作成した要素Ｖｋに対して有限要素法を適用すると次式が得られる。
【００３７】
【数３】
0004215056.tif 000004
【００３８】
ここで、∂ＶｋはＶｋの表面であり、ｎはその外向き単位法線ベクトルである。Ｎｋｉは補間関数（形状関数、内挿関数、基底関数などとも呼ばれる。）である。四面体要素で１次式を使用した場合、補間関数は次式によって与えられる。
【００３９】
【数４】
0004215056.tif 000005
【００４０】
ここで、Ｌ１〜Ｌ４は体積座標系、｜ｌ１｜〜｜ｌ６｜は辺ｌｉの長さである。なお、体積座標系の詳細については、文献２（T.Itoh, G.Pelosi and P.P.silvester, “Finite Element Software for Microwave Engineering,” John Wiley & Sons, pp101-125, 1996）を参照されたい。
【００４１】
図６は、四面体における電磁界ｕの辺に接する成分を示す図である。電磁界ｕの成分は６つの辺に配置され、それぞれｕ１〜ｕ６で表される。要素Ｖｋの内部の点ｘにおける電磁界は、式（５）と６つの電磁界成分とを使って次式で表すことができる。
【００４２】
【数５】
0004215056.tif 000006
【００４３】
式（６）を式（４）に代入し、ΩＦの全ての要素に適用すると次の連立１次方程式が得られる。
【００４４】
【数６】
0004215056.tif 000007
【００４５】
ここで、ｕＦは辺に配置した電磁界を並べたベクトルであり、その次元はおよそ辺の数に等しい。行列ＡＦの成分は、次式によって作成する。
【００４６】
【数７】
0004215056.tif 000008
【００４７】
また、ベクトルｂＦは、次式によって作成する。
【００４８】
【数８】
0004215056.tif 000009
【００４９】
ここで、ＮＦはΩＦにある要素の数である。
ベクトル・行列作成部２４は、同様の手順でΩＣに対する行列ＡＣも作成し、ＡＦ，ｂＦおよびＡＣをベクトル・行列記憶部２６に保存する。式（７）の連立１次方程式を計算してｕＦを求めれば、式（６）により電磁界分布を計算でき、式（１）、（２）のMaxwell方程式が解けたことになる。
【００５０】
次に、Prolongation行列作成部２５は、前工程で作成した要素ΩＦとΩＣとを要素記憶部２３から読込み、その幾何学情報を元に、ΩＦにおける電磁界ベクトルｕＦと、ΩＣにおける電磁界ベクトルｕＣとを関連付けるProlongation行列Ｐを作成する（Ｓ１３）。このProlongation行列によって、次式に示すように一方のベクトルから他方のベクトルを求めることができる。
【００５１】
【数９】
0004215056.tif 000010
【００５２】
ここで、ｔは転置行列を意味する。
図７は、ΩＦにおける電磁界ベクトルｕＦとΩＣにおける電磁界ベクトルｕＣとの関係を示す図である。列ベクトルｕＣのｊ成分ｕｊＣは、ΩＣの要素の辺に配置されており、ΩＦにおける位置ｘでの電磁界ｕ（ｘ）は、ΩＣにおける補間関数ＮＣを用いて次式で表すことができる。
【００５３】
【数１０】
0004215056.tif 000011
【００５４】
ｕＦのｉ成分ｕｉＦは、それが配置された辺ｌｉにおける電磁界の平均値とする。すなわち、ｕＦのｉ成分ｕｉＦは次式によって表される。
【００５５】
【数１１】
0004215056.tif 000012
【００５６】
ここで、ｔｉは辺ｌｉの単位接線ベクトルである。式（１２）を式（１３）に代入し、式（１０）と比較すると、Prolongation行列Ｐのｉｊ成分Ｐｉｊは次式で与えられる。
【００５７】
【数１２】
0004215056.tif 000013
【００５８】
Prolongation行列作成部２５は、式（１４）を用いてProlongation行列を作成してProlongation行列記憶部２７に保存する。
【００５９】
次に、近似値演算部２８は、マルチグリッド法による連立１次方程式を用いて電磁界ベクトルｕＦを計算するために、ｕＦに対する適当な初期値νＦを設定する（Ｓ１４）。この初期値νＦは、０であってもよい。なお、マルチグリッド法による連立１次方程式の計算の詳細は、文献３（W.Briggs, V.Henson and S.McCormick, “A Multigrid Tutorial,” SIAM）を参照されたい。
【００６０】
次に、近似値演算部２８は、式（７）にJacobi法、Gauss-Seidel法またはＳＯＲ法などの連立１次方程式の定常的な反復解法を適用して、νＦに含まれる誤差の高周波成分を除去する（Ｓ１５）。なお、この反復解法の詳細については、文献４（長谷川里美、長谷川秀彦、藤野清次訳、“反復法Templates,”朝倉書店，1996）を参照されたい。
【００６１】
次に、近似値演算部２８は、低周波成分を除去するために、次式を用いてΩＦにおける残差ｒＦをΩＣの残差ｒＣに写像する（Ｓ１６）。
【００６２】
【数１３】
0004215056.tif 000014
【００６３】
次に、近似値演算部２８は、次式（１７）の連立１次方程式を解き、修正ベクトルｅＣを計算する（Ｓ１７）。
【００６４】
【数１４】
0004215056.tif 000015
【００６５】
この式（１７）は、Gaussの消去法による直接法、ＣＧ法、ＧＭＲＥＳ法など非定常的な反復解法が使用されるが、式（７）に比べて小さな行列なので短時間で計算することができる。なお、この反復解法の詳細については、上記文献４を参照されたい。
【００６６】
次に、近似解修正部２９は、次式（１８）、（１９）を用いてΩＣの修正ベクトルをΩＦの修正ベクトルに戻し、近似解の精度を上げる（Ｓ１８）。
【００６７】
【数１５】
0004215056.tif 000016
【００６８】
近似解修正部２９は、再度ステップＳ１５に示すスムージング（Smoothing）を数回適用して高周波成分を減衰させる（Ｓ１９）。
【００６９】
以上のステップＳ１５〜Ｓ１９の処理がマルチグリッド法の基本的なアルゴリズムであるが、収束が遅い場合があるので、必要に応じて連立１次方程式の別の反復解法を併用して収束を早める（Ｓ２０）。具体的には、以上の処理をＣＧ法、ＧＭＲＥＳ法、ＧＣＲ法などの非定常解法の前処理として使用するか、または残差切除法などにより加速する。なお、残差切除法の詳細については、文献５（菊池他、日本機械学会論文集、62-604, Ｂ編，pp4076-, 1996-12）を参照されたい。
【００７０】
次に、近似解修正部２９は、式（１５）の残差を評価する（Ｓ２１）。残差が大きな値であれば（Ｓ２１，Ｎｏ）、電磁界ベクトルが収束していないとして、ステップＳ１５に戻って以降の処理を繰返す。また、残差が十分小さな値であれば（Ｓ２１，Ｙｅｓ）、電磁界ベクトルが収束しているとして、近似解νＦを電磁界ベクトル記憶部３０に保存して（Ｓ２２）、処理を終了する。
【００７１】
図８は、本発明の実施の形態における電磁界解析装置の解析対象である方形導波管の一例を示す図である。この方形導波管の寸法は図８に示す通りであり、内部は空気によって満たされている。この方形導波管の電磁界解析は、四面体１次要素を使用して行なわれる。
【００７２】
図９は、図８に示す方形導波管を２．４５ＧＨｚのＴＥ１０モードで駆動したときの要素数に対する計算時間を、従来の直接法を用いた場合と本発明を用いた場合とで比較するための図である。図９から分かるように、要素数が多くなるにしたがって、本実施の形態における電磁界解析装置を用いた場合の効果が顕著となり、要素数が２０６，２６６の場合には従来の直接法に比べて約１７倍の速度となっている。
【００７３】
図１０は、本発明の実施の形態における電磁界解析装置の解析対象であるパッチアンテナの一例を示す図である。このパッチアンテナの寸法は図１０に示す通りであり、厚み０．７９４ｍｍで比誘電率２．２の誘電体基板上に形成されている。このパッチアンテナの電磁界解析は、四面体１次要素を使用して行なわれる。
【００７４】
図１１は、図１０に示すパッチアンテナを７．０ＧＨｚで駆動したときの要素数に対する計算時間を、従来の直接法を用いた場合と本発明を用いた場合とで比較するための図である。図１１から分かるように、要素数が多くなるにしたがって、本実施の形態における電磁界解析装置を用いた場合の効果が顕著となり、要素数が８８，４４５の場合には従来の直接法に比べて約１５倍の速度となっている。
【００７５】
以上説明したように、本実施の形態における電磁界解析装置によれば、ΩＦにおける電磁界ベクトルｕＦと、ΩＣにおける電磁界ベクトルｕＣとを関連付けるProlongation行列Ｐを作成し、このProlongation行列を用いて電磁界ベクトルを計算するようにしたので、Non-nested Meshを使用したMultigrid法を用いて電磁界解析を行なうことが可能となった。
【００７６】
また、Non-Nested Meshを使用したMultigrid法を用いて電磁界解析ができるようになったことにより、直接法を用いた電磁界解析と比較して、解析に要する時間を大幅に短縮することが可能となった。
【００７７】
今回開示された実施の形態は、すべての点で例示であって制限的なものではないと考えられるべきである。本発明の範囲は上記した説明ではなくて請求の範囲によって示され、請求の範囲と均等の意味および範囲内でのすべての変更が含まれることが意図される。
【図面の簡単な説明】
【００７８】
【図１】本発明の実施の形態における電磁界解析装置の外観例を示す図である。
【図２】本発明の実施の形態における電磁界解析装置の構成例を示すブロック図である。
【図３】本発明の実施の形態における電磁界解析装置の機能的構成を示すブロック図である。
【図４】本発明の実施の形態における電磁界解析装置の処理手順を説明するためのフローチャートである。
【図５Ａ】マイクロストリップラインを大きい要素に分割したところを示す図である。
【図５Ｂ】図５Ａに示す大きい要素で解析を行ない、誤差を評価して細分化したところを示す図である。
【図６】四面体における電磁界ｕの辺に接する成分を示す図である。
【図７】ΩＦにおける電磁界ベクトルｕＦとΩＣにおける電磁界ベクトルｕＣとの関係を示す図である。
【図８】本発明の実施の形態における電磁界解析装置の解析対象である方形導波管の一例を示す図である。
【図９】図８に示す方形導波管を２．４５ＧＨｚのＴＥ１０モードで駆動したときの要素数に対する計算時間を、従来の直接法を用いた場合と本発明を用いた場合とで比較するための図である。
【図１０】本発明の実施の形態における電磁界解析装置の解析対象であるパッチアンテナの一例を示す図である。
【図１１】図１０に示すパッチアンテナを７．０ＧＨｚで駆動したときの要素数に対する計算時間を、従来の直接法を用いた場合と本発明を用いた場合とで比較するための図である。
【図１２Ａ】２次元解析の場合のNested Meshによる要素の分割を示す図である。
【図１２Ｂ】３次元解析の場合のNested Meshによる要素の分割を示す図である。
【図１３Ａ】円をNested Meshによって要素分割して、粗い要素を作成したところを示す図である。
【図１３Ｂ】粗い要素をNested Meshによって細かな要素に分割したところを示す図である。
【図１３Ｃ】円をNon-Nested Meshによって要素分割して、細かな要素を作成したところを示す図である。
【図１４Ａ】正方形をNested Meshによって要素分割して、粗い要素を作成したところを示す図である。
【図１４Ｂ】粗い要素をNested Meshによって細かな要素に分割したところを示す図である。
【図１４Ｃ】正方形をNon-Nested Meshによって要素分割して、細かな要素を作成したところを示す図である。
【符号の説明】
【００７９】
１  コンピュータ本体、２  ディスプレイ装置、３  ＦＤドライブ、４  ＦＤ、５  キーボード、６  マウス、７  ＣＤ−ＲＯＭ装置、８  ＣＤ−ＲＯＭ、９  ネットワーク通信装置、１０  ＣＰＵ、１１  ＲＯＭ、１２  ＲＡＭ、１３  ハードディスク、２１  形状データ記憶部、２２  要素分割部、２３  要素記憶部、２４  ベクトル・行列作成部、２５  Prolongation行列作成部、２６  ベクトル・行列記憶部、２７  Prolongation行列記憶部、２８  近似値演算部、２９  近似解修正部、３０  電磁界ベクトル記憶部。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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