(57)【要約】天体を回る対象の初期軌道の決定方法は、エラーメトリックに従って、３（Ｎ）回以上の観測の全てに最も良く合うグリッド点及び対応する初期軌道を見つけるために、観測インターバルにわたって対象までの距離上のとり得る境界値のグリッドを探す。探索は、異なるグリッド点について境界値問題（例えば、ランベルトの問題）を解くことによって、行われる。状態ベクトルは、残りのＮ−２回の観測について、推定された観測方向を決定するよう伝搬される。全ての観測に最も良く合うグリッド点（及び初期軌道）が選択される。グリッドは、最適なグリッド点を見つけるために、グリッド上のありとあらゆる点をテストすることによって、あるいは、山登り法のような他の最適化技術を用いることによって、探索されてよい。
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
天体を回る対象の初期軌道を決定する方法であって、
ｎが３以上であるとして、既知の観測位置ｏ１、ｏ２、・・・、ｏｎから、時間ｔ１、ｔ２、・・・、ｔｎでの対象のｎ個の角度のみの観測方向ｄｏ１、ｄｏ２、・・・、ｄｏｎを測定するステップと、
ｒｉ及びｒｊが異なったｉ番目及びｊ番目の観測の対象までの距離であるとして、サンプリング分解能を有してｒｉ及びΔｒ＝ｒｊ−ｒｉにおいて探索グリッドを生成するステップと、
ｒｉ及びΔｒの異なる組み合わせについて、
時間ｔｉでの前記対象の３次元位置及び速度の状態ベクトルを決定するよう（ｏｉ，ｏｊ）、（ｄｏｉ，ｄｏｊ）、（ｒｉ，Δｒ）の関数として境界値問題を解き、
ｋがｉ又はｊに等しくないとしてｋ＝１乃至ｎについて時間ｔｋでの観測方向ｄｅ１、ｄｅ２、・・・、ｄｅｎを推定するよう前記対象の位置及び速度を伝え、
時間ｔｋでの測定された観測方向及び推定された観測方向の間のエラーメトリックを計算するステップと、
前記エラーメトリックが前記測定された観測方向への最良適合を表す前記探索グリッド上の（ｒｉ，Δｒ）の組を識別するステップと、
前記対象の初期軌道を示す前記識別された（ｒｉ，Δｒ）の組に対応する軌道要素セットを報告するステップと
を有する方法。
【請求項２】
測定される観測方向の数ｎは、３よりも多い、
請求項１に記載の方法。
【請求項３】
観測方向ｄｏｉ及びｄｏｎの間の角度の変化は、１８０度に満たない、
請求項１に記載の方法。
【請求項４】
観測方向ｄｏｉ及びｄｏｎの間の角度の変化は、５度に満たない、
請求項１に記載の方法。
【請求項５】
測定される観測方向の数ｎは、１００よりも多い、
請求項４に記載の方法。
【請求項６】
前記ｎ個の角度のみの観測方向を測定するステップは、最初に前記対象に対する方位角及び仰角を測定し、次いで該方位角及び仰角を、前記観測方向を形成する地球中心地球固定（ＥＣＥＦ）座標系における単位ベクトルへと変換することを含む、
請求項１に記載の方法。
【請求項７】
前記ｉ番目の観測は、１番目の観測であり、前記ｊ番目の観測は、ｎ番目の観測である、
請求項１に記載の方法。
【請求項８】
前記観測方向を推定するよう前記対象の位置及び速度を伝えるステップは、前記対象の初期軌道を示す前記軌道要素セットへと前記状態ベクトルを変換することを含む、
請求項１に記載の方法。
【請求項９】
前記観測方向を推定するよう前記対象の位置及び速度を伝えるステップは、
ｔｋでの対象位置を推定するよう前記軌道を伝えることと、
前記既知の観測位置からｔｋでの前記推定された対象位置への前記推定される観測方向を計算することと
を更に含む、請求項８に記載の方法。
【請求項１０】
前記軌道要素セットは、近地点範囲ｑの軌道要素パラメータを含み、
当該方法は、近地点範囲ｑの値を用いて、前記天体を通る軌道を拒絶することを更に含む、
請求項８に記載の方法。
【請求項１１】
前記軌道要素セットは、離心率ｅの軌道要素パラメータを含み、
当該方法は、離心率ｅの値を用いて、前記天体の周回軌道を外れる軌道を拒絶することを更に含む、
請求項８に記載の方法。
【請求項１２】
前記エラーメトリックは、カイ二乗統計試験に基づく、
請求項１に記載の方法。
【請求項１３】
前記（ｒｉ，Δｒ）の組を識別する前に、前記探索グリッドにわたって前記エラーメトリックに対して平滑化フィルタを適用するステップを更に有する
請求項１に記載の方法。
【請求項１４】
夫々のスケール係数を乗じられた前記軌道要素セットからのパラメータの１つ以上に等しい前記エラーメトリックにバイアス項を加えるステップを更に有する
請求項１に記載の方法。
【請求項１５】
前記探索グリッドは、ｒｉ及びΔｒの全ての組み合わせについて検索される、
請求項１に記載の方法。
【請求項１６】
前記探索グリッドは、より細かいサンプリング分解能を有して前記識別された（ｒｉ，Δｒ）の組について少なくとも１回再生され、
当該方法は、ｒｉ及びΔｒの異なる組み合わせについて繰り返される、
請求項１５に記載の方法。
【請求項１７】
前記探索グリッドは、より細かいサンプリング分解能を有して前記識別された（ｒｉ，Δｒ）の組について少なくとも１回再生され、
当該方法は、ｒｉ及びΔｒの異なる組み合わせについて繰り返される、
請求項１に記載の方法。
【請求項１８】
前記観測方向の測定は、１つ以上のプラットフォームから１つ以上の角度専用センサによって行われ、
１つ以上のコンピュータプロセッサが、前記探索グリッドを生成するステップ、前記境界値問題を解き、前記推定された観測方向への前記状態ベクトルを伝え、前記エラーメトリックを計算するステップ、及び前記探索グリッドにおいて前記（ｒｉ，Δｒ）の組を識別するステップを実行する、
請求項１に記載の方法。
【請求項１９】
追跡される対象のデータベースの部分として前記報告された軌道要素セットを記憶するステップを更に有する
請求項１９に記載の方法。
【請求項２０】
前記境界値問題は、ランベルトの軌道境界値問題である、
請求項１に記載の方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、角度のみの観測からの初期軌道決定（ＩＯＤ；initial  orbit  determination）に関係がある。当該方法の基本は、エラーメトリックに従って、３回以上の観測の全てに最も良く合うグリッド点（ランベルトの問題のような境界値問題の解による。）及び初期軌道（軌道要素セット）を見つけるために、観測インターバルにわたって対象までの距離上のとり得る境界値のグリッドを探すことである。
【背景技術】
【０００２】
３つのライン・オブ・サイト（ＬＯＳ；line-of-sight）から天体（例えば、地球、太陽、小惑星、小遊星、等）を回る対象の軌道を決定することは、ケプラーの方程式又はランベルトの問題のいずれかを解くよりも相当に難しい軌道力学の古典的問題の１つである。それは、その最低限の性質（２つの所与の時点での位置からのケプラー軌道の偏差）においてランベルトの問題と似ているが、我々が、２つの時点でのデータ（角度及び距離）の３つの項目の代わりに、３つの時点でのデータ（角度のみ）の２つの項目を有する点で異なっている。観測者の位置の詳細が角度のみの問題では利用可能でなければならず、一方、それらは、ランベルトの問題では、絶対位置が知られているので全く無意味であることから、更なる複雑性が起こる。この古典的問題及び既知の解決法の完全評価は、R.  H.  Gooding，“A  New  Procedure  for  Orbit  determination  Based  on  Three  Lines  of  Sight  (Angles  Only)”，Defense  Research  Agency，１９９３年（非特許文献１）によって与えられている。なお、この非特許文献は、参照により本願に援用される。
【０００３】
問題をその最もありのままの形で示すよう、我々は、観測される対象が、重力を有する所与の天体（力の中心）を回るケプラー運動を有すると考えられ得る点を除いて、３回の観測による以外に、仮説上の軌道に関して何も知られていないと仮定する。よって、全てのとり得る解が求められ、問題は、通常、‘初期’軌道決定又はＩＯＤの１つとして記述される。近似軌道が、利用可能な最低限のデータから確立され得る場合に、より正確な軌道は、望まれる限り多くの観測により、後に導出され得るが、それは、線形化（初期軌道に対する。）、最小二乗及び微分補正の技術が適用され得る全く別の問題である。それらの技術は、十分に正確なセット又は軌道パラメータが、微分補正が収束するために利用可能であるまで無関係である。
【０００４】
問題に対する古典的解法は、およそ２世紀前にラプラス及びガウスによって考案された。それらの解法は、あるタイプに制限され、常に太陽重心を原点とする。すなわち、軌道の比較的短い円弧が観測され（例えば、２、３度）、観測は事実上単一の場所からであり、計算方法（例えば、人間）はひどく制限される。人間コンピュータは、人間が必要に応じて即興ですることができる点で１つの利点を有していた。
【０００５】
より近い時代では、更なる普遍性及びロバスト性を提供する解法が、より多岐にわたる軌道、観測される円弧のより広い範囲（２、３度から複数の半周軌道へ）、複数の場所からの観測及びよりタイムリーな解を扱うために必要とされてきた。問題の現代のリステイトメントは、任意の‘一般的問題’の全ての解を見つけることが可能なプロシージャを見出すことである。すなわち、解は、できるだけ短時間に、且つ、データに固有の最大限可能な精度で、決定されるべきである。本質的制限は、何らかの形の不確定性と関連して、認識できるべきである。そして、軌道に関する如何なる合理的な想定とも相容れない解の回避によって効率を高める選択肢が存在すべきである。それらの解は、必要とされる普遍性、ロバストな性能及び適時性を提供するようコンピュータのソフトウェアに組み込まれるべきである。
【０００６】
それらの因子は、対象までの距離の推定される値の繰り返し、いわゆる“レンジ・イテレーション”技術に基づくアプローチに影響した。現在の業界基準は、１９９３年の防衛研究所報告において詳述されているグッディング（Gooding）初期軌道決定（ＩＯＤ）プロシージャである。グッディングＩＯＤプロシージャは、システムツールキット（ＳＴＫ；System  Tool  Kit）に加えられ得るソフトウェアパッケージである軌道決定ツールキット（ＯＤＴＫ；Orbit  Determination  Tool  Kit）の部分である。ＯＤＴＫは、初期軌道を決定するグッディングのＩＯＤツール、及び新しい角度のみの観測に基づき初期軌道決定を提供する最小二乗微分補正ツールの両方を組み合わせる。
【０００７】
グッディングのＩＯＤプロシージャは、プロシージャの中心でランベルト問題解法アプローチ（例えば、ランベルト問題に対するグッディング自身の解）を用いて３つの未知の距離のうちの２つについての仮定値の高次ニュートン補正に基づく。グッディングは、第１及び第３の未知の距離について値を推定し、ランベルトの問題を解いて初期軌道についての状態ベクトルを決定する。状態ベクトルは、例えば（ａ，ｅ，ｉ，Ω，ω，ν）のような一般的な軌道要素セットに変換される。ここで、ａは楕円の長半径であり、ｂは短半径であり、ｅ＝ＳＱＲＴ（１−ｂ２／ａ２）は離心率であり、４つの角度ｉ（傾斜）、Ω（昇交点の経度）、ω（近点引数）、及びν（真近点角）は、軌道の方位を一意に定義する。パラメータα（μが地球の重力パラメータであるとしてα＝μ／ａ）及び近地点距離ｑ＝ａ×（１−ｅ）は、ａ及びｅの代わりに用いられてよい。軌道は、第２の観測のために目標位置を推定するために伝搬される。測定された観測方向と推定された観測方向との間の角度差が計算される。距離ステップサイズは決定され、第１及び第３の推定される距離を調整するために使用される。角度差の導関数は、推定された距離に対して計算される。ハレー法又はニュートン・ラフソン法のいずれかが、探索平面において極大値を見つけるために使用される。ステップサイズは低減され、導関数を計算し且つ反復するプロセスは、アルゴリズムが収束できないか又は収束が達成されるまで繰り返される。
【０００８】
グッディングのＩＯＤプロシージャは、衛星が１８０度以上の円弧をなぞる未確定数の半周軌道を完了した場合について特に構成された。そのような場合において、グッディングのＩＯＤプロシージャは、それらの場合のうちの約９９．９％において極大値に速やかに収束する。しかしながら、衛星がほんの２、３度の小さい円弧をたどる場合に適用されるときには、グッディングのＩＯＤプロシージャが収束し得るのは、それらの場合のうちの約６０％未満においてである。約４０％の割合で、グッディングのプロシージャは収束できないか又は実体を欠く軌道（例えば、地球軌道からはずれた軌道若しくは地球軌道と交差した軌道）に収束した。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００９】
【非特許文献１】R.  H.  Gooding，“A  New  Procedure  for  Orbit  determination  Based  on  Three  Lines  of  Sight  (Angles  Only)”，Defense  Research  Agency，１９９３年
【発明の概要】
【００１０】
以下は、本発明の幾つかの態様の基本的理解を提供するために、本発明の要約である。この要約は、本発明のキーとなる又は重大な要素を特定するよう、あるいは、本発明の適用範囲を線引きするよう意図されない。その唯一の目的は、以降で提示される詳細な説明及び特許請求の範囲への前触れとして、簡略化された形で本発明の幾つかの概念を提示することである。
【００１１】
本発明は、３（Ｎ）回以上の観測による天体を回る対象の初期軌道決定（ＩＯＤ）のための方法を記載する。当該方法の基本は、エラーメトリックに従って、全ての観測に最も良く合うグリッド点及び対応する初期軌道を見つけるために、観測インターバルにわたって対象までの距離上のとり得る境界値のグリッドを探すことである。探索は、異なるグリッド点について境界値問題（例えば、ランベルトの問題）を解くことによって、行われる。状態ベクトルは、残りのＮ−２回の観測について、推定された観測方向を決定するよう伝搬される。全ての観測に最も良く合うグリッド点（及び初期軌道）が選択される。最良適合は、残りのＮ−２回の観測について、測定された観測方向と推定された観測方向との間のエラーメトリックによって適切に決定される。対象の初期軌道を示す選択されたグリッド点に対応する軌道要素セットが報告される。グリッドは、最適なグリッド点を見つけるために、グリッド上のありとあらゆる点をテストすることによって、あるいは、山登り法のような他の最適化技術を用いることによって、探索されてよい。効率のために、探索は、広いが粗い初期グリッドから始まり、探索が解へと収束するにつれてグリッドの分解能を増大させてよい。
【００１２】
探索効率を更に改善するよう、方法は、無効である初期軌道を拒絶するために軌道要素パラメータの値を使用してよい。例えば、近地点距離ｑは、天体を通る軌道を拒絶するために使用されてよく、離心率ｅは、天体の周回軌道を外れる軌道を拒絶するために使用されてよい。方法は、ノイズの影響を減らすために、最良適合のグリッド点を選択する前に、探索グリッドにわたってエラーメトリックを平滑化してよい。
【００１３】
方法は、観測円弧が２、３度に制限される場合及び３よりも多い観測が利用可能である場合に初期軌道を決定するのに特に有用である。実施形態において、１００を超える観測は、５度以下の円弧にわたって行われてよく、初期軌道を決定するよう処理される。
【００１４】
本発明のそれら及び他の特徴及び利点は、添付の図面とともに理解される好適な実施形態の以下の詳細な説明から当業者に明らかであろう。
【図面の簡単な説明】
【００１５】
【図１】３以上の角度のみの測定から天体を回る対象の初期軌道を決定するための観測プラットフォームの実施形態の図である。
【図２】天体を回る対象の軌道及び軌道を一意に示す一般的な軌道要素セットの図である。
【図３】初期軌道を決定するようＮ回の角度のみの観測の全てを処理する方法のフロー図の実施形態である。
【図４】天体を周回する場合の対象のＮ回の角度のみの測定の図である。
【図５】ａ及びｂは、初期軌道を選択するようエラーメトリックを形成するためのＮ回の角度のみの測定及び推定の図である。
【図６】ａ乃至ｈは、初期軌道のための軌道要素セットに対応する探索グリッド上の（ｒｉ，Δｒ）の組に関するだんだんと細かくなる分解能でのエラーメトリックのプロットのシーケンスである。
【図７】実行不可能な軌道を除外するよう軌道要素セットの“ｑ”及び“ｅ”パラメータを使用するエラーメトリックのプロットである。
【発明を実施するための形態】
【００１６】
本発明は、３（Ｎ）回以上の角度のみの観測による初期軌道決定の方法を記載する。当該方法の基本は、エラーメトリックに従って、全ての観測に最も良く合うグリッド点及び対応する初期軌道を見つけるために、観測インターバルにわたって対象までの距離上のとり得る境界値のグリッドを探すことである。探索は、異なるグリッド点について境界値問題（例えば、ランベルトの問題）を解くことによって、行われる。状態ベクトルは、残りのＮ−２回の観測について、推定された観測方向を決定するよう伝搬される。全ての観測に最も良く合うグリッド点（及び初期軌道）が選択される。最良適合は、残りのＮ−２回の観測について、測定された観測方向と推定された観測方向との間のエラーメトリックによって適切に決定される。グリッドは、最適なグリッド点を見つけるために、グリッド上のありとあらゆる点をテストすることによって、あるいは、山登り法のような他の最適化技術を用いることによって、探索されてよい。効率のために、探索は、広いが粗い初期グリッドから始まり、探索が解へと収束するにつれてグリッドの分解能を増大させてよい。探索効率を更に改善するよう、方法は、無効である初期軌道を拒絶するために軌道要素パラメータの値を使用してよい。例えば、近地点距離ｑは、天体を通る軌道を拒絶するために使用されてよく、離心率ｅは、天体の周回軌道を外れる軌道を拒絶するために使用されてよい。他の場合では、それらは有効な軌道を表してよい。方法は、ノイズの影響を減らすために、最良適合のグリッド点を選択する前に、探索グリッドにわたってエラーメトリックを平滑化してよい。
【００１７】
当該方法及びグッディングＩＯＤプロシージャは、両者がレンジ・イテレーションアルゴリズムであり、且つ、両者が根本的には境界値問題（例えば、ランベルト問題）を解く点で、類似している。２つのアプローチは、処理され得る観測の数及びそれらの観測が解を見つけるために処理される方法において相違する。グッディングＩＯＤプロシージャは、厳密に３回の観測を処理することに制限されている解析的解法である。グッディングは、第１及び第３の未知の距離について値を推定し、ランベルトの問題を解いて初期軌道についての状態ベクトルを決定する。当該方法は、３回以上の観測（望ましくは、通常、３よりも多い。）を処理することができ、全ての観測に最も良く合う初期軌道を見つけるためにエラーメトリックを用いる。当該方法は、１８０度よりも大きい大きな円弧、１８０に満たない中程度の円弧、及び５度に満たない小さな円弧についてロバストである。当該方法は、先行技術のいずれ（すなわち、ガウス、ラプラス又はグッディング）によっても実証されていない“小さな円弧”についてロバスト性を提供する。
【００１８】
これより図面を参照すると、天体１４（例えば、地球）を回る対象１２の初期軌道決定（ＩＯＤ）のためのシステム１０の実施形態が、図１において表されている。対象１２は、天体１４の周りの軌道１６をたどる。ほとんどの場合において、対象１２は、天体１４を周回する。大陸間弾道ミサイル（ＩＣＢＭ；intercontinental  ballistic  missile）等のいくつの場合では、対象１２は天体１４を通過してよい。ボイジャー１号及び２号並びに他の惑星探査機のような他の場合では、対象１２は天体１４の周回軌道を外れてよい。夫々の場合についてＩＯＤメソッドロジは同じである。しかしながら、軌道の演繹的知識がある場合には、無効な軌道は除外されてよい。
【００１９】
当該方法は、ｎが３以上であるとして、既知の観測位置ｏ１、ｏ２、・・・、ｏｎから、時間ｔ１、ｔ２、・・・、ｔｎでの対象のｎ個の角度のみの観測方向ｄｏ１、ｄｏ２、・・・、ｄｏｎを測定し、ｎ個の角度のみの観測の全てを用いて、真の軌道１６を近似する初期軌道１８を決定する。観測は、天体１４における固定観測位置、又は天体１４の周回軌道にある１つ以上のプラットフォーム２０から行われてよい。恒星２１の観測は、対象１２の相対位置を測定するための座標系を提供してよい。
【００２０】
１つ以上のセンサ２２は、観測インターバルにわたってｎ個の角度のみの観測方向を測定するよう１つ以上のプラットフォーム２０に実装されてよい。実施形態において、サイド・スターリングセンサは、対地静止軌道（ＧＥＯ；geostationary  earth  orbit）における対象（例えば、衛星）へのアクセスを増やす。他の実施形態では、プッシュブルームセンサは、低軌道（ＬＥＯ；Low  Earth  Orbit）からＧＥＯを超えて偏在的なカバレッジを提供する。ｎ個の角度のみの観測の処理は、プラットフォーム２０に搭載されたコンピュータ２４、及び／又は地上受信アンテナ２８と同じ場所にあるコンピュータ２６によって実行されてよい。
【００２１】
別の実施形態では、ＩＯＤメソッドロジは、５度未満の小さな円弧、５から１８０度の間の中程度の円弧、又は１８０度の半周軌道よりも大きい大きな円弧及び場合により複数の半周軌道に及ぶ観測インターバル内で３つ以上の観測方向を測定してよい。実施形態において、プラットフォームは、おおよそ５度の幅及び１度の長さの視野（ＦＯＶ；field-of-view）を備えたセンサを設けられる。センサは、時間遅延統合（ＴＤＩ；time  delay  integration）モードにおいて動作し、それにより、星は、画像において停止し、動いている対象は、画像を横切る筋を形成する。センサは、ＦＯＶに入り、横断し、去る対象の４つの観測を提供する。シミュレーションは、小さな円弧について第４の観測を単に加えることが、初期軌道の大域解への収束を大いに改善することを証明している。他の実施形態では、多数のプラットフォームが、小さな円弧内で１００を優に超える観測方向を提供するために数百個のセンサを設けられる。
【００２２】
これより図２を参照すると、対象３０は、重力を有する所与の天体３４（力の中心）の周りでケプラー運動に従って軌道３２をたどる。軌道３２は、（ａ，ｅ，ｉ，Ω，ω，ν）のような一般的な軌道要素セット３６によって一意に記述される。ここで、ａは楕円の長半径であり、ｂは短半径であり、ｅ＝ＳＱＲＴ（１−ｂ２／ａ２）は離心率であり、４つの角度ｉ（傾斜）、Ω（昇交点の経度）、ω（近点引数）、及びν（真近点角）は、軌道の方位を一意に定義する。パラメータα（μが地球の重力パラメータであるとしてα＝μ／ａ）及び近地点距離ｑ＝ａ×（１−ｅ）は、ａ及びｅの代わりに用いられてよい。パラメータａ及びｅ又はα及びｑは、軌道のサイズ及び形状を定義するパラメータであるが、混雑を減らすよう図面にはｑのみが示されている。離心率ｅは比であり、示すのが難しく、従って図示されない。一方、αは、二乗された速度の単位を有し、直接に図示され得ない。
【００２３】
これより図３乃至７を参照すると、天体の周りの対象の初期軌道を決定するためのＩＯＤメソッドロジの実施形態は、ｎが３以上であるとして、既知の観測位置ｏ１、ｏ２、・・・、ｏｎから、時間ｔ１、ｔ２、・・・、ｔｎでの対象のｎ個の角度のみの観測方向ｄｏ１、ｄｏ２、・・・、ｄｏｎを測定すること（ステップ４０）を有する。図４において示されるように、衛星などの対象４２は、地球４６の周りの軌道４４をたどる。角度のみの観測方向の測定は、地球を回る軌道５０にある他の衛星などのプラットフォーム４８から行われる。ｐｉは、対象の位置を表し、破線は、距離を持った観測方向であり、実線は、地球の中心からの対象の距離である。ｎ個の角度のみの観測方向の測定は、最初に対象に対する方位角及び仰角を測定し、次いで方位角及び仰角を、観測方向を形成する地球中心地球固定（ＥＣＥＦ；Earth  Centered  Earth  Fixed）座標系における単位ベクトルへと変換することを有してよい（ステップ５２）。
【００２４】
メソッドロジは、ｒｉ及びｒｊが異なったｉ番目及びｊ番目の観測の対象までの距離であるとして、サンプリング分解能を有してｒｉ及びΔｒ＝ｒｊ−ｒｉにおいて探索グリッドを生成する（ステップ５４）。ｉ番目の観測は、適切に１番目の観測であり、ｊ番目の観測は、適切にｎ番目の観測である。初期探索グリッドは、計算負荷を減らすために粗いグリッドサンプリングを有して天体（ここでは、地球）の周りの閉軌道の適用のために全ての妥当な軌道に及ぶよう適切に選択される。実施形態のために、０ｋｍのｒ１についての最小値は、５００ｋｍに設定されたΔｒとともに設定される。１５１×１５１個の要素のグリッドサイズは、７５，０００ｋｍに等しいｒ１の最大値とともに選択される。探索グリッドの初期化は、対象及びその軌道に関する演繹的情報によって決定される。
【００２５】
ｒｉ及びΔｒの異なる組み合わせ、例えば、グリッド上の全ての点について（ステップ５６）、メソッドロジは、時間ｔｉでの対象の３次元位置及び速度の状態ベクトルを決定するよう（ｏｉ，ｏｊ）、（ｄｏｉ，ｄｏｊ）、（ｒｉ，Δｒ）の関数として境界値問題を解く（ステップ５８）。実施形態において、メソッドロジは、ランベルトの軌道境界値問題を解く。ランベルトの問題は、天体力学についての境界値問題であり、２つの特定の時点での対象の３つの空間座標について定義される。
【００２６】
ランベルトの問題は、次のように定義されてよい：力の所与の逆二乗則中心Ｃの周りの（平静）軌道は、飛行時間Δｔ（＝ｔ２−ｔ１）が知られているとして、２つの所与の点Ｐ１及びＰ２を接続して見つけられるべきである。すなわち、以下の微分方程式は、バーｒ（ｔ１）＝バーｒ１及びバーｒ（ｔ２）＝バーｒ２として、バーｒ（ｔ）について解く：
【００２７】
【数１】
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問題は、少なくとも１つの解又は軌道を常に有するべきである。なお、その解は、実体を欠くことがあり、地球又は太陽などの中心対象を通るよう又は光速よりも速く移動するよう対象に求める。Δｔが大きい場合に、異なる方向において軌道を周回する対象を含み且つ１つ以上の半回転を完了する複数の解が存在してよい。ランベルトの問題は直接的な解析的解法を有さず、幾つかのアルゴリズムが存在し、１つ又は全てのとり得る解を見つけるよう繰り返し収束する（Gooding，A  Procedure  for  the  Solution  of  Lambert’s  Orbital  Boundary-Value  Problem，Celestial  Mechanics  and  Dynamical  Astronomy，Vol.48，pp.145-165，１９９０年）。
【００２８】
我々が解こうとしている初期軌道決定の問題は、ランベルトの問題からの出力を用いて評価される目的関数を使用する最適化問題である。時間ｔ１及びｔ２での距離の推定の所与の組は、ランベルトの問題を解くのに必要な全ての情報を提供する。すなわち、我々は、このとき、全ての時点での対象の予測される３次元位置であるバーｒ（ｔ）を有する（我々の他の測定の全てはｔ１からｔ２の間にあるから、我々は、実際には、この範囲の外にあるｔの値についての解を使用する必要がない。）。我々の初期軌道決定の問題に関して、我々は、上記の微分方程式の積分のための開始点として使用される２つの等価形態、すなわち、ａ）時間において前方に軌道を伝搬するためにケプラーの方程式とともに使用される６つの軌道要素の組、又はｂ）特定の時点又はエポックでｘ、ｙ、ｘ、ｖｘ、ｖｙ及びｖｚを与える初期軌道状態のいずれか一方における解を用いて働くことができる。
【００２９】
メソッドロジは、ｋがｉ又はｊに等しくないとしてｋ＝１乃至ｎについて時間ｔｋでの観測方向ｄｅ１、ｄｅ２、・・・、ｄｅｎを推定するよう、ランベルトの問題を解くことによって与えられる対象の位置及び速度を伝える。実施形態において、このステップは、（ａ，ｅ，ｉ，Ω，ω，ν）のような一般的な軌道要素セットへと状態ベクトルを変換すること（ステップ６０）と、ｔ２乃至ｔｎ−１での目標位置を決定するよう軌道要素セットによって一意に定義される軌道を伝えること（ステップ６２）と、ｔ２乃至ｔｎ−１での観測方向を推定すること（ステップ６４）とを有する。
【００３０】
メソッドロジは、ｋがｉ又はｊに等しくないとしてｋ＝１乃至ｎについて時間ｔｋでの測定された観測方向ｄｏ１、ｄｏ２、・・・、ｄｏｎ及び推定された観測方向ｄｅ１、ｄｅ２、・・・、ｄｅｎの間のエラーメトリックを計算する（ステップ６６）。エラーメトリックは、全ての観測にわたって推定された観測方向が観測された観測方向にどれくらい一致するのかを判定する必要がある。エラーメトリックは、全ての推定が観測と完全に一致する場合に最大スコアをもたらすべきであり、いずれかの推定がいずれかの軸に沿って外れている場合には対称的に低下するが、スコアを改善するよう動くべき方向を定義する局所勾配がないほど即座に又はゆっくりとは低下せず、利用可能でないパラメータ又は他の情報に依存しない。それはまた、メトリックの理論的理由がある場合に有用である。カイ二乗統計量は、それらの所望の特性の多くを満足するが、それは、利用可能でない測定不確実性の推定を前提とする。試運転のほとんどにおいて使用されるエラーメトリックは、推定と観測との間のＲＭＳ角度誤差の対数変換であって、２０の最大値にとどめられる。具体的に言うと、次の式である：
【００３１】
【数２】
2016537239.tif 000004
この又は関連するメトリックの他の形態は明らかに可能である。これは、有用なメトリックの単なる一例である。メソッドロジは、エラーメトリックが測定された観測方向への最良適合（例えば、カイ二乗統計量の最大値）を表す探索グリッド上の（ｒｉ，Δｒ）を識別する（ステップ６８）。
【００３２】
メソッドロジは、図５ａ及び５ｂに示されるように、対象の初期軌道７０を示す識別された（ｒｉ，Δｒ）に対応する軌道要素セットを報告する。ｐｉは、対象の位置を表し、破線は、距離を持った観測方向であり、実線は、地球の中心からの対象の距離であり、点線は、距離を持った推定された観測方向である。実施形態において、このステップは、カイ二乗統計量の最大値を有する（ｒｉ，Δｒ）の組の状態ベクトルを決定すること（ステップ７２）と、状態ベクトルを一般的な軌道要素セットへ変換すること（ステップ７４）と、軌道要素セットを報告すること（ステップ７６）とを有する。
【００３３】
理論的には、探索は、単一の極めて大きい高分解能グリッドに対して行われ得る。計算効率のために、他のアプローチは、粗いグリッド分解能を有して対象までの長い距離にわたる初期探索グリッドをステップ５４で生成することである。夫々の繰り返しで、メソッドロジは、前の繰り返しからの最大値を持った（ｒｉ，Δｒ）の組を中心とするより高い分解能の探索グリッドを生成する（ステップ７８）。探索グリッドの全体のサイズは固定されたままであってよい。例えば、グリッド分解能を倍にすることは、探索面積を半分に低減する。実施形態において、分解能、１０倍ズームに作用するよう３回の繰り返しごとに２、２及び２．５ずつ増大される。プロセスは、小さいグリッドステップが評価されるまで繰り返してよい（ステップ８０）。小さいグリッドステップが評価された時点で、メソッドロジは、データへの最良適合解を持った軌道要素セットを報告する（ステップ７６）。
【００３４】
最初の数回の繰り返しに関し、総当たりの探索を実行すること、すなわち、あらゆるグリッド点を評価することが極めて重要であり得る。これは、軌道が存在するが他の実行可能な軌道から孤立しているグリッドの部分が存在し得るような、選択的制約（後述される。）が課されている場合に特に重要である。可能性がある軌道の単一の隣接する領域が孤立しており、探索グリッドがその領域に集中するよう小さくなると、山登り法は有効に使用され得る。多くの観測を伴う場合について、誤差関数トポグラフィは複雑であると見込まれ、全体の最大に加えて複数の極大値が存在し、それらの最大値の相対値は、グリッドスケールが変化するにつれて変化し得る。故に、如何なる山登り探索アルゴリズムも、そのアプローチの最終の分解能での総当たりグリッド探索において識別され得る夫々の極大値の近くに複数の開始点を考えるべきである。
【００３５】
図６ａ乃至６ｈは、連続する繰り返しについて探索グリッド上のカイ二乗誤差統計量９０をプロットする。この例において、ズーム２、２、２．５、２、２、２．５及び２である。夫々の繰り返しで、グリッドは、前の繰り返しからの最大値を持った（ｒｉ，Δｒ）の組を中心とし直される。探索の終了時に、最大値９２を持った（ｒｉ，Δｒ）の組は、初期軌道を定義するよう軌道要素セットを見つけるために使用される。
【００３６】
任意の制約は、探索効率を高めるようメソッドロジに加えられてよい。メソッドロジは、無効である初期軌道を拒絶するために軌道要素パラメータの値を使用してよい。例えば、近地点距離ｑは、天体を通る軌道を拒絶するために使用されてよく（ステップ９４）、離心率ｅは、天体を回る軌道から外れる軌道を拒絶するために使用されてよい（ステップ９６）。多くの場合において、そのような軌道は現在の適用のために無効であることが先験的に知られている。他の場合において、それらは有効な軌道を表してよい。図７に示されるように、この図は図６ｂの写しであり、有効な軌道の解空間９８は、離脱する軌道１００の組及び天体と衝突する軌道１０２の組を重ね合わせることによって表される。離脱も衝突もしない軌道は、有効な軌道の解空間９８を定義する。
【００３７】
当該方法は、ノイズの影響を減らすよう、最良適合のグリッド点を選択する前に、探索グリッドにわたってエラーメトリックを平滑化してよい（ステップ１０４）。１つの簡単なアプローチは、計算されたエラーメトリックを小さい（３×３の）重み付けカーネルを用いて畳み込むことである。このとき、夫々の出力値は、その元の値とそれの８つの最も近い近傍の値との加重和である。
【００３８】
当該方法は、高い離心率ｅの影響を減らすようバイアス項をエラーメトリックに加えてよい（ステップ１０６）。高い離心率は普通でないから、バイアス項を加えることは、探索グリッドが依然として粗い場合に、不適切な領域における探索において、探索が狭くならないようにすることができる。
【００３９】
本発明の幾つかの実例となる実施形態が図示及び記載されてきたが、多数の変形例及び代替の実施形態が当業者に想到可能であろう。そのような変形例及び代替の実施形態は、添付の特許請求の範囲において定義される主旨及び適用範囲から逸脱することなしに考えられ、実施され得る。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５ａ】
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【図５ｂ】
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【図６ａ】
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【図６ｂ】
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【図６ｃ】
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【図６ｄ】
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【図６ｅ】
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【図６ｆ】
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【図６ｇ】
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【図６ｈ】
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【図７】
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【手続補正書】
【提出日】平成28年4月21日(2016.4.21)
【手続補正１】
【補正対象書類名】特許請求の範囲
【補正対象項目名】全文
【補正方法】変更
【補正の内容】
【特許請求の範囲】
【請求項１】
天体を回る対象の初期軌道を決定する方法であって、
ｎが３以上であるとして、既知の観測位置ｏ１、ｏ２、・・・、ｏｎから、時間ｔ１、ｔ２、・・・、ｔｎでの対象のｎ個の角度のみの観測方向ｄｏ１、ｄｏ２、・・・、ｄｏｎを測定するステップと、
ｒｉ及びｒｊが異なったｉ番目及びｊ番目の観測の対象までの距離であるとして、サンプリング分解能を有してｒｉ及びΔｒ＝ｒｊ−ｒｉにおいて探索グリッドを生成するステップと、
ｒｉ及びΔｒの異なる組み合わせについて、
時間ｔｉでの前記対象の３次元位置及び速度の状態ベクトルを決定するよう（ｏｉ，ｏｊ）、（ｄｏｉ，ｄｏｊ）、（ｒｉ，Δｒ）の関数として境界値問題を解き、
ｋがｉ又はｊに等しくないとしてｋ＝１乃至ｎについて時間ｔｋでの観測方向ｄｅ１、ｄｅ２、・・・、ｄｅｎを推定するよう前記対象の位置及び速度を伝え、
時間ｔｋでの測定された観測方向及び推定された観測方向の間のエラーメトリックを計算するステップと、
前記エラーメトリックが前記測定された観測方向への最良適合を表す前記探索グリッド上の（ｒｉ，Δｒ）の組を識別するステップと、
前記対象の初期軌道を示す前記識別された（ｒｉ，Δｒ）の組に対応する軌道要素セットを報告するステップと
を有する方法。
【請求項２】
測定される観測方向の数ｎは、３よりも多い、
請求項１に記載の方法。
【請求項３】
観測方向ｄｏｉ及びｄｏｎの間の角度の変化は、１８０度に満たない、
請求項１に記載の方法。
【請求項４】
観測方向ｄｏｉ及びｄｏｎの間の角度の変化は、５度に満たない、
請求項１に記載の方法。
【請求項５】
測定される観測方向の数ｎは、１００よりも多い、
請求項４に記載の方法。
【請求項６】
前記ｎ個の角度のみの観測方向を測定するステップは、最初に前記対象に対する方位角及び仰角を測定し、次いで該方位角及び仰角を、前記観測方向を形成する地球中心地球固定（ＥＣＥＦ）座標系における単位ベクトルへと変換することを含む、
請求項１に記載の方法。
【請求項７】
前記ｉ番目の観測は、１番目の観測であり、前記ｊ番目の観測は、ｎ番目の観測である、
請求項１に記載の方法。
【請求項８】
前記観測方向を推定するよう前記対象の位置及び速度を伝えるステップは、前記対象の初期軌道を示す前記軌道要素セットへと前記状態ベクトルを変換することを含む、
請求項１に記載の方法。
【請求項９】
前記観測方向を推定するよう前記対象の位置及び速度を伝えるステップは、
ｔｋでの対象位置を推定するよう前記軌道を伝えることと、
前記既知の観測位置からｔｋでの前記推定された対象位置への前記推定される観測方向を計算することと
を更に含む、請求項８に記載の方法。
【請求項１０】
前記軌道要素セットは、近地点範囲ｑの軌道要素パラメータを含み、
当該方法は、近地点範囲ｑの値を用いて、前記天体を通る軌道を拒絶することを更に含む、
請求項８に記載の方法。
【請求項１１】
前記軌道要素セットは、離心率ｅの軌道要素パラメータを含み、
当該方法は、離心率ｅの値を用いて、前記天体の周回軌道を外れる軌道を拒絶することを更に含む、
請求項８に記載の方法。
【請求項１２】
前記エラーメトリックは、カイ二乗統計試験に基づく、
請求項１に記載の方法。
【請求項１３】
前記（ｒｉ，Δｒ）の組を識別する前に、前記探索グリッドにわたって前記エラーメトリックに対して平滑化フィルタを適用するステップを更に有する
請求項１に記載の方法。
【請求項１４】
夫々のスケール係数を乗じられた前記軌道要素セットからのパラメータの１つ以上に等しい前記エラーメトリックにバイアス項を加えるステップを更に有する
請求項１に記載の方法。
【請求項１５】
前記探索グリッドは、ｒｉ及びΔｒの全ての組み合わせについて検索される、
請求項１に記載の方法。
【請求項１６】
前記探索グリッドは、より細かいサンプリング分解能を有して前記識別された（ｒｉ，Δｒ）の組について少なくとも１回再生され、
当該方法は、ｒｉ及びΔｒの異なる組み合わせについて繰り返される、
請求項１又は１５に記載の方法。
【請求項１７】
前記観測方向の測定は、１つ以上のプラットフォームから１つ以上の角度専用センサによって行われ、
１つ以上のコンピュータプロセッサが、前記探索グリッドを生成するステップ、前記境界値問題を解き、前記推定された観測方向への前記状態ベクトルを伝え、前記エラーメトリックを計算するステップ、及び前記探索グリッドにおいて前記（ｒｉ，Δｒ）の組を識別するステップを実行する、
請求項１に記載の方法。
【請求項１８】
追跡される対象のデータベースの部分として前記報告された軌道要素セットを記憶するステップを更に有する
請求項１に記載の方法。
【請求項１９】
前記境界値問題は、ランベルトの軌道境界値問題である、
請求項１に記載の方法。
【国際調査報告】
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2016537239.tif 000021
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