(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
強磁性フラクタル結合体のフラクタル次元を全域または局所的に制御することにより強磁性相転移温度を制御するようにした強磁性フラクタル結合体の相転移の制御方法。
【請求項２】
上記強磁性フラクタル結合体のフラクタル次元を２．５以上に設定するようにした請求項１記載の強磁性フラクタル結合体の相転移の制御方法。
【請求項３】
フラクタル結合体のフラクタル次元を全域または局所的に制御することにより金属−絶縁体転移を制御するようにしたフラクタル結合体の相転移の制御方法。
【請求項４】
自己相似性を有する形状に形成された磁性材料からなり、上記磁性材料の自己相似性を特徴付けるフラクタル次元の選定により強磁性相転移温度が設定される強磁性フラクタル結合体。
【請求項５】
上記磁性材料のフラクタル次元が２．５以上に設定される請求項４記載の強磁性フラクタル結合体。
【請求項６】
自己相似性を有する形状に形成され、ランダムな磁場が印加されているフラクタル結合体。
【請求項７】
自己相似性を有する形状に形成され、ハーフ・フィルドの電子密度を有し、電子系における電子間相互作用をバンド幅より大きくすることが可能であり、モット金属−絶縁体転移が存在し、かつ、このモット金属−絶縁体転移が系のフラクタル次元により制御されているフラクタル結合体。
【請求項８】
強磁性フラクタル結合体のフラクタル次元を全域または局所的に制御することにより強磁性相転移温度を制御して情報処理を行うようにした情報処理方法。
【請求項９】
強磁性フラクタル結合体のフラクタル次元を全域または局所的に制御することにより強磁性相転移温度を制御して情報記憶を行うようにした情報記憶方法。
【請求項１０】
自己相似性を有する形状に形成された磁性材料からなり、上記磁性材料の自己相似性を特徴付けるフラクタル次元の選定により強磁性相転移温度が設定される強磁性フラクタル結合体を用いた情報記憶媒体。
【請求項１１】
自己相似性を有する形状に形成され、ランダムな磁場が印加されているフラクタル結合体を用いた情報記憶媒体。
【請求項１２】
自己相似性を有する形状に形成され、ハーフ・フィルドの電子密度を有し、電子系における電子間相互作用をバンド幅より大きくすることが可能であり、モット金属−絶縁体転移が存在し、かつ、このモット金属−絶縁体転移が系のフラクタル次元により制御されているフラクタル結合体を用いた情報記憶媒体。
【請求項１３】
強磁性フラクタル結合体のフラクタル次元を全域または局所的に制御することにより強磁性相転移温度を制御して情報処理を行うようにした情報処理装置。
【請求項１４】
自己相似性を有する形状に形成された磁性材料からなり、上記磁性材料の自己相似性を特徴付けるフラクタル次元の選定により強磁性相転移温度が設定される強磁性フラクタル結合体を用い、
上記強磁性フラクタル結合体のフラクタル次元を全域または局所的に制御することにより強磁性相転移温度を制御して情報処理を行うようにした情報処理装置。
【請求項１５】
自己相似性を有する形状に形成され、ハーフ・フィルドの電子密度を有し、電子系における電子間相互作用をバンド幅より大きくすることが可能であり、モット金属−絶縁体転移が存在し、かつ、このモット金属−絶縁体転移が系のフラクタル次元により制御されているフラクタル結合体を用い、
上記フラクタル結合体のフラクタル次元を全域または局所的に制御することによりモット金属−絶縁体転移を制御して情報処理を行うようにした情報処理装置。
【請求項１６】
強磁性フラクタル結合体のフラクタル次元を全域または局所的に制御することにより強磁性相転移温度を制御して情報記憶を行うようにした情報記憶装置。
【請求項１７】
自己相似性を有する形状に形成された磁性材料からなり、上記磁性材料の自己相似性を特徴付けるフラクタル次元の選定により強磁性相転移温度が設定される強磁性フラクタル結合体を用い、
上記強磁性フラクタル結合体のフラクタル次元を全域または局所的に制御することにより強磁性相転移温度を制御して情報記憶を行うようにした情報記憶装置。
【請求項１８】
自己相似性を有する形状に形成され、ハーフ・フィルドの電子密度を有し、電子系における電子間相互作用をバンド幅より大きくすることが可能であり、モット金属−絶縁体転移が存在し、かつ、このモット金属−絶縁体転移が系のフラクタル次元により制御されているフラクタル結合体を用い、
上記フラクタル結合体のフラクタル次元を全域または局所的に制御することによりモット金属−絶縁体転移を制御して情報記憶を行うようにした情報記憶装置。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
この発明は、フラクタル結合体の相転移の制御方法、フラクタル結合体、強磁性フラクタル結合体、情報処理方法、情報記憶方法、情報記憶媒体、情報処理装置および情報記憶装置に関し、特に、新規な原理に基づいたものである。
【０００２】
【従来の技術】
強磁性を示す材料は広く記憶媒体に用いられ、現在の技術を支えている。バルクの磁性材料のみならず、層構造により様々に設計された磁性材料が応用され、例えば光磁気ディスク（ＭＯディスク）に用いられている。将来の磁性材料の研究開発も盛んに行われており、近年、粉末磁性体、つまり、磁性微粒子なども興味を持たれている（(1)J.M.L.Billas,A.Chatelain,W.A.de Heer,Science,265,1682(1994) (2)D.Gatteschi,A.Caneschi,L.Pardi,and R.Sessoli,Science,265,1054(1994))。
【０００３】
一方、情報処理を担う物理系として、内在する非線形性は必須のものである。素子として線形な応答をするものも用いられるが、これは能動素子にはなり得ない。従来から用いられてきた素子として、ある程度の非線形な応答が見られる材料を用いた電子素子がある。例えば、電流−電圧特性に非線形性があるものとして、微分負抵抗を示す二端子素子が挙げられる。もちろん、三端子素子として、ＭＯＳ−ＦＥＴは現代の技術を支えている。そして、これらの非線形性を持つ電子素子を線形な電子回路で結合し、非線形性を持つ情報処理装置を構築することにより、任意の計算を実行することができる。
【０００４】
しかしながら、そのような電子回路では、高度に集積化することよる困難が問題になってきている。例えば、発熱の問題である。内在する電気抵抗に起因するこの発熱は、電子素子の非線形性を生み出すために必須であり、情報処理を実行するのに不可欠であって、本質的である。
【０００５】
この困難を回避するため、要素素子の非線形性を高めることで素子数を減らす試みがなされてきた。この方向を発展させると必然的に、要素素子がカオスを示す程に強い非線形性を持つものが望まれてくる。カオスを示す古典的な系を量子化したとき、その量子系の振る舞いを特徴付けるのが量子カオスである。
【０００６】
一方で、要素素子が微細化されて行くと、その素子に閉じ込められた電子は量子力学的粒子として振る舞うことになる。したがって、この観点より、量子カオスを示す要素素子に期待が集まっている。
【０００７】
さらに、固体材料の電子・光素子への応用を考える時、その材料の持つ物性値が用途に制約を与えることがある。例えば、半導体材料を発光素子に利用する場合、その材料のバンドギャップに対応する発光波長のデバイスに応用することはできるが、発光波長を変えるためには工夫が必要である。半導体のバンドに係わる物性値に関しては、超格子によって制御が実現されている。具体的には、超格子の周期を変えることによって、サブバンドのバンド幅を制御することができ、発光波長を設計することができる。
【０００８】
さて、多電子状態の構造を材料設計により制御することを目指し、本発明者は量子ドット結合体による多体効果工学を提唱し、理論的解析を行ってきた（(3)US patent 5,430,309 (4)US patent 5,663,571 (5)US patent 5,719,407 (6)US patent 5,828,090 (7)US patent 5,831,294 (8)J.Appl.Phys.76,2833(1994) (9)Phys.Rev.B51,10714(1995) (10)Phys.Rev.B51,11136(1995) (11)J.Appl.Phys.77,5509(1995) (12)Phys.Rev.B53,6963(1996) (13)Phys.Rev.B53,10141(1996) (14)Appl.Phys.Lett.68,2657(1996) (15)J.Appl.Phys.80,3893(1996) (16)J.Phys.Soc.Jpn.65,3952(1996) (17)Jpn.J.Appl.Phys.36,638(1997) (18)J.Phys.Soc.Jpn.66,425(1997) (19)J.Appl.Phys.81,2693(1997) (20)Physica(Amsterdam)229B,146(1997) (21)Physica(Amsterdam)237A,220(1997) (22)Surf.Sci.375,403(1997) (23)Physica(Amsterdam)240B,116(1997) (24)Physica(Amsterdam)240B,128(1997) (25)Physica(Amsterdam)1E,226(1997) (26)Phys.Rev.Lett.80,572(1998) (27)Jpn.J.Appl.Phys.37,863(1998) (28)Physica(Amsterdam)245B,311(1998) (29)Physica(Amsterdam)235B,96(1998) (30)Phys.Rev.B59,4952(1999) (31)Surf.Sci.432,1(1999) (32)International Journal of Modern Physics B.Vol.13,NO.21,22,pp.2689-2703,1999）。例えば、量子ドット間のトンネル現象と量子ドット内の電子間相互作用とを調整することにより、様々な相関電子系が実現されるであろうと期待されている。いま、近接量子ドット間のトンネル・トランスファーをｔと書くことにする。そのとき、量子ドットが正方格子状に並んでいるとすれば、一電子状態のバンド幅はＴeff ＝４ｔである。もし量子ドットが一次元チェインとして形成されていれば、一電子状態のバンド幅はＴeff ＝２ｔである。三次元的な量子ドットアレーならばＴeff ＝６ｔである。つまり、量子ドットアレーの次元性がＤならば、一電子状態のバンド幅はＴeff ＝２Ｄｔであった。
【０００９】
【発明が解決しようとする課題】
磁性材料を記憶媒体に用いる場合、例えば記憶の消去を行うために、強磁性相転移温度より高い温度に熱することが必要となる場合があり、これが応用上の制約となる。従って、仮に加熱を行うことなく、なにがしかのパラメータを変化させることによって、強磁性相転移温度を制御することができるならば、様々な技術的応用の可能性が広がることが期待される。
【００１０】
一方、量子カオスを用いた素子については、フラクタル形状を持つ量子系において、その自己相似性に起因する状態密度の縮退が存在することが知られ、それ自身有用なものであるが、その系の示す量子カオすはＧＯＥ（Gaussian orthogonal ensemble）分布で規定され、量子カオスとしては比較的弱いものであった。このため、より強い量子カオスの実現が望まれている。
【００１１】
さらに、ハーフ・フィルド（half-filled)（量子ドット一個あたり一電子）のモット（Mott）転移（モット（Mott）−ハバード（Hubbard)転移またはモット金属−絶縁体転移とも呼ぶ）を考える。量子ドット内の実効的電子間相互作用をＵeff と書くことにすると、このモット絶縁体側でのハバード・ギャップはΔ＝Ｕeff −Ｔeff でほぼ記述されることから、Ｕeff やｔを変えることでモット転移を制御することができることになる。既に提案しているように、電界効果によって、Ｕeff 、ｔを調整してモット−ハバード転移を制御することができ、電界効果素子に応用可能であるが（上記文献(7)(8)(13)(16)）、電界以外のパラメータの制御によりモット−ハバード転移を制御することができれば、応用の可能性が増大し、望ましい。
【００１２】
従って、この発明の目的は、従来のように加熱を行うことなく、強磁性相転移などの相転移を制御することができるフラクタル結合体の相転移の制御方法を提供することにある。
【００１３】
この発明の他の目的は、上記の制御方法を適用することができるフラクタル結合体および強磁性フラクタル結合体を提供することにある。
【００１４】
この発明のさらに他の目的は、上記の制御方法またはフラクタル結合体を用いた情報処理方法、情報記憶方法、情報記憶媒体、情報処理装置および情報記憶装置を提供することにある。
【００１５】
【課題を解決するための手段】
本発明者は、上記課題を解決すべく鋭意検討を行った結果、フラクタル結合体を用いた系においては、フラクタル次元が相転移の生起と密接な関係を有しており、フラクタル次元を制御することにより、相転移を制御することができることを見い出した。この相転移は、具体的には、強磁性相転移、モット−ハバード転移、量子カオスの発生を通したアンダーソン転移など、多彩である。この相転移は、相転移前後の相状態を情報と関連付けることにより、情報記憶、より一般的には情報処理に応用することが可能である。
【００１６】
この発明は、本発明者による以上の検討に基づき、さらに種々の観点より検討を行った結果、案出されたものである。
【００１７】
すなわち、上記課題を解決するために、この発明の第１の発明は、
フラクタル結合体のフラクタル次元を全域または局所的に制御することにより相転移を制御するようにした
ことを特徴とするフラクタル結合体の相転移の制御方法である。
【００１８】
この発明の第１の発明においては、温度変化による相転移を利用する場合、フラクタル結合体のフラクタル次元を制御することにより相転移温度を制御する。特に、フラクタル結合体が強磁性フラクタル結合体である場合には、この強磁性フラクタル結合体のフラクタル次元を制御することにより強磁性相転移温度を制御する。この強磁性フラクタル結合体においては、フラクタル次元を２．５以上に設定することにより、著しい相転移温度の変化を得ることができる。
【００１９】
また、フラクタル結合体のフラクタル次元を制御することによりフラクタル結合体における量子カオスの発生を制御し、これを通してアンダーソン（局在）転移を制御するようにしてもよく、これは、例えば、磁性不純物が添加されたフラクタル結合体に適用することが可能である。
【００２０】
さらに、相転移は金属−絶縁体転移であってもよく、これは、ハーフ・フィルドの電子密度に制御されたフラクタル結合体において好適なものである。このようなフラクタル結合体としては、具体的には、量子ドット、例えば化合物半導体ヘテロ接合により形成された量子ドットのアレーにより構成されたものが用いられる。
【００２１】
この発明の第２の発明は、
自己相似性を有する形状に形成された磁性材料からなる
ことを特徴とする強磁性フラクタル結合体である。
【００２２】
この発明の第２の発明においては、典型的には、磁性材料の自己相似性を特徴付けるフラクタル次元の選定により強磁性相転移温度が設定される。特に、著しい相転移温度の変化を得るためには、磁性材料のフラクタル次元が２．５以上に設定される。磁性材料は、例えば、磁性微粒子ないしは磁性原子の形態をとる。そのほか、その性質に反しない限り、この発明の第１の発明に関連して説明した上記の事項も適用される。
【００２３】
この発明の第３の発明は、
自己相似性を有する形状に形成され、ランダムな磁場が印加されている
ことを特徴とするフラクタル結合体である。
【００２４】
この発明の第３の発明において、典型的には、ランダムな磁場は、構成材料に磁性不純物が添加されていることにより印加される。このランダムな磁場は、
より強い量子カオスを示す系を、磁場の効果によって実現することと、フラクタル形状の持つ自己相似性を両立させるために導入されるものである。このような磁性不純物が添加されたフラクタル結合体においては、自己相似的強結合量子カオスを実現することができる。
【００２５】
この発明の第４の発明は、
自己相似性を有する形状に形成され、ハーフ・フィルドの電子密度を有する
ことを特徴とするフラクタル結合体である。
【００２６】
この発明の第４の発明においては、典型的には、電子系における電子間相互作用をバンド幅より大きくすることが可能であり、モット金属−絶縁体転移が存在し、かつ、このモット金属−絶縁体転移が系のフラクタル次元により制御されている。このフラクタル結合体は、例えば、化合物半導体ヘテロ接合により形成された量子ドットのアレーにより構成することができる。このようなフラクタル結合体は、例えば、半導体装置または電子素子の構成に用いることができる。
【００２７】
この発明の第５の発明は、
フラクタル結合体のフラクタル次元を全域または局所的に制御することにより相転移を制御して情報処理を行うようにした
ことを特徴とする情報処理方法である。
【００２８】
この発明の第６の発明は、
フラクタル結合体のフラクタル次元を全域または局所的に制御することにより相転移を制御して情報記憶を行うようにした
ことを特徴とする情報記憶方法である。
【００２９】
この発明の第７の発明は、
自己相似性を有する形状に形成された磁性材料からなる強磁性フラクタル結合体を用いた
ことを特徴とする情報記憶媒体である。
【００３０】
この発明の第８の発明は、
自己相似性を有する形状に形成され、ランダムな磁場が印加されているフラクタル結合体を用いた
ことを特徴とする情報記憶媒体である。
【００３１】
この発明の第８の発明においては、例えば、フラクタル結合体において発現する、自己相似性に起因する状態密度の縮退と強い量子カオス状態との共存を利用して情報記憶を行うことができる。
【００３２】
この発明の第９の発明は、
自己相似性を有する形状に形成され、ハーフ・フィルドの電子密度を有するフラクタル結合体を用いた
ことを特徴とする情報記憶媒体である。
【００３３】
この発明の第１０の発明は、
フラクタル結合体のフラクタル次元を全域または局所的に制御することにより相転移を制御して情報処理を行うようにした
ことを特徴とする情報処理装置である。
【００３４】
この発明の第１１の発明は、
自己相似性を有する形状に形成された磁性材料からなる強磁性フラクタル結合体を用い、
フラクタル結合体のフラクタル次元を全域または局所的に制御することにより相転移を制御して情報処理を行うようにした
ことを特徴とする情報処理装置である。
【００３５】
この発明の第１２の発明は、
自己相似性を有する形状に形成され、ランダムな磁場が印加されているフラクタル結合体を用い、
フラクタル結合体のフラクタル次元を全域または局所的に制御することにより相転移を制御して情報処理を行うようにした
ことを特徴とする情報処理装置である。
【００３６】
この発明の第１３の発明は、
自己相似性を有する形状に形成され、ハーフ・フィルドの電子密度を有するフラクタル結合体を用い、
フラクタル結合体のフラクタル次元を全域または局所的に制御することにより相転移を制御して情報処理を行うようにした
ことを特徴とする情報処理装置である。
【００３７】
この発明の第１４の発明は、
フラクタル結合体のフラクタル次元を全域または局所的に制御することにより相転移を制御して情報記憶を行うようにした
ことを特徴とする情報記憶装置である。
【００３８】
この発明の第１５の発明は、
自己相似性を有する形状に形成された磁性材料からなる強磁性フラクタル結合体を用い、
フラクタル結合体のフラクタル次元を全域または局所的に制御することにより相転移を制御して情報記憶を行うようにした
ことを特徴とする情報記憶装置である。
【００３９】
この発明の第１６の発明は、
自己相似性を有する形状に形成され、ランダムな磁場が印加されているフラクタル結合体を用い、
フラクタル結合体のフラクタル次元を全域または局所的に制御することにより相転移を制御して情報記憶を行うようにした
ことを特徴とする情報記憶装置である。
【００４０】
この発明の第１７の発明は、
自己相似性を有する形状に形成され、ハーフ・フィルドの電子密度を有するフラクタル結合体を用い、
フラクタル結合体のフラクタル次元を全域または局所的に制御することにより相転移を制御して情報記憶を行うようにした
ことを特徴とする情報記憶装置である。
【００４１】
この発明の第５〜第１７の発明においては、その性質に反しない限り、この発明の第１〜第４の発明に関連して説明した上記の事項も適用される。
【００４２】
上述のように構成されたこの発明によれば、従来のように加熱を行わず、フラクタル次元の制御によりフラクタル結合体の相転移を制御することができ、これを利用して情報記憶を始めとする多彩な情報処理を行うことができる。
【００４３】
【発明の実施の形態】
以下、この発明の実施形態について説明する。
【００４４】
まず、この発明の第１の実施形態について説明する。この第１の実施形態においては、強磁性フラクタル結合体のフラクタル次元による転移温度の制御について説明する。
【００４５】
強磁性フラクタル結合体は、以下のようにして、フラクタルを形成し、その上にスピンを配置することにより形成する。
【００４６】
（１）フラクタルの形成
まず、Dielectric breakdown modelを復習する（(33)A.Erzan,L.Pietronero,A.Vespignani,Rev.Mod.Phys.67,545(1995) (34)L.Niemeyer,L.Pietronero,H.J.Wiesmann,Phys.Rev.Lett.52,1033(1984)）。
【００４７】
いま、三次元空間の正方格子Ｓを定義し、その格子点 (i1,i2,i3) ∈Ｓ上にスカラーポテンシャル場φ (i1,i2,i3) を定義し、これを電位と称する。この電位はラプラス方程式
【００４８】
【数１】
0004221845.tif 000002
【００４９】
に従うものとする。これから定義する図形Ｔn は三次元格子上の格子点の集合であり、Ｔ0 は（０，０，０）のみからなり、Ｔn+1 は順次、以下に与えるルールにより、Ｔn に一格子点を付け加えることにより生成される。
【００５０】
まず、Ｔn に含まれる各点の電位を１とし、無限遠点での電位を０とする。つまり、
【００５１】
【数２】
0004221845.tif 000003
【００５２】
である。この境界条件のもとで方程式 (1)を解き、各格子点の電位を決定する。Ｔn+1 を構成するためにＴn に付け加えられるべき格子点は、Ｔn に含まれず、Ｔn に最近接する格子点の集合Ｕn から選ばれる。Ｕn に含まれる格子点の数をＮn と書く。
【００５３】
さて、Ｕn に含まれる各点 (i1,m,i2,m,i3,m)(ただし、ｍ＝１，２，・・・，Ｎn ）に対し、その電界強度を
【００５４】
【数３】
0004221845.tif 000004
【００５５】
と定義する。Ｕn のある点 (i1,m,i2,m,i3,m) が選ばれる確率は、その電界強度Ｅm （α）に比例する。つまり、その確率は
【００５６】
【数４】
0004221845.tif 000005
【００５７】
である。
【００５８】
以上の操作を繰り返すことでＴn を構成して行く。理想的なフラクタルは、無限に繰り返した極限集合
【００５９】
【数５】
0004221845.tif 000006
【００６０】
であろう。また、α＝１の場合、上記とDiffusion limited aggregation による図形生成の結果は一致する（(35)T.A.Witten,Jr.and L.M.Sander,Phys.Rev.Lett.47,1400(1984)；Phys.Rev.B 27,5686(1983)) 。様々なαについて数値シミュレーションにより得られたフラクタル図形のフラクタル次元Ｄf を図１にまとめて示す。
【００６１】
（２）フラクタル上のスピン系
（１）で定義されたフラクタル上に、強磁性体を記述するスピン系を定義しよう。Ｔn の元である格子点
【００６２】
【数６】
0004221845.tif 000007
【００６３】
ただし、ｐ＝１，２，・・・, ｎ＋１
を考える。格子点ｒp ∈Ｔn にスピンを乗せ、以下のハミルトニアンで記述できるスピン系を考えよう。
【００６４】
【数７】
0004221845.tif 000008
【００６５】
Ｓp がｐサイトのスピンである。スピン間相互作用Ｊp,q として
【００６６】
【数８】
0004221845.tif 000009
【００６７】
が自然なモデルである。つまり、最近接サイト間でのみスピン間相互作用が存在する。有限温度Ｔにおける自発磁化Ｍを計算するために、平衡系の統計力学を導入する。分配関数Ｚは以下のように定義される。
【００６８】
【数９】
0004221845.tif 000010
【００６９】
ただし、和の記号内の｛Ｓp ｝は全てのスピン状態に関する和を意味する。自発磁化はスピンの統計平均として以下のように定義される。
【００７０】
【数１０】
0004221845.tif 000011
【００７１】
ただし、期待値〈Ｓp 〉は
【００７２】
【数１１】
0004221845.tif 000012
【００７３】
であり、ｎ＋１は総スピン数である。一般にＭはスピン空間におけるベクトル量であるが、その絶対値Ｍ＝｜Ｍ｜を計算する。
【００７４】
さて、第１の例としてポッツモデルを考える（(36)F.Y.Wu,Rev.Mod.Phys.54,235(1982)) 。このモデルではスピンとして、
【００７５】
【数１２】
0004221845.tif 000013
【００７６】
が用いられる。ただし、ｎp ＝０，１，２，・・・, Ｎ−１である。Ｎ＝２の場合はイジング・モデルと同一であり、Ｎ＝２、Ｎ＝６、Ｎ＝１２に関し、シミュレーションを実行した。第２の例として、スピン状態として、正８面体、正２０面体の頂点に状態をとるものを考える。正８面体の場合、頂点の数は６であり、正２０面体の場合は１２である。これらのスピン系に関し、モンテカルロ法を用いて自発磁化を計算する。以下の例では、１００００モンテカルロ・ステップを用いた。また、フラクタルは各αに対して１００００ステップの成長を行ったもの、つまりｎ＝１０００１のフラクタルを利用した。
【００７７】
フラクタル上の磁性に関する結果を示す前に、通常の二次元、三次元系に関して自発磁化の計算結果を示しておこう。まず、二次元の場合では１０００１サイトを円盤状（disk）に配置したものを用いた。図２に二次元円盤上ポッツモデルの結果を示す。Ｎ＝２のイジング・モデルの場合、転移温度Ｔc はＴc 〜２．３である。一方、Ｎ＝６、Ｎ＝１２ではＴc 〜１．１となっている。図３に、正多面体モデルの結果を示す。参考のため、イジング・モデルの結果を共に示した。正８面体モデルではＴc 〜１．０、正２０面体モデルではＴc 〜０．７となっている。
【００７８】
さて、三次元の場合へ進もう。このとき、１０００１サイトを球状（ball）に配置したものを用いた。図４に三次元球上ポッツモデルの結果を示す。Ｎ＝２のイジング・モデルの場合ではＴc 〜４．２である。一方、Ｎ＝６、Ｎ＝１２では、Ｔc 〜２．１となっている。図５に、正多面体モデルの結果を示す。参考のため、イジング・モデルの結果を共に示した。正８面体モデルではＴc 〜１．６、正２０面体モデルではＴc 〜１．５となっている。
【００７９】
本題の、フラクタル状構造上におけるスピン系の自発磁化を見てみよう。図６に、Ｎ＝２イジング・モデルの結果を示す。図７にはＮ＝６、図８にはＮ＝１２のポッツモデルに関して結果を示す。また、図９では正８面体モデルの結果を、図１０では正２０面体モデルの結果が示されている。フラクタルのパラメータαは０、０．４、０．８、１．２、１．６、２としてあり、α＝０の時フラクタル次元は３に近く、αの増加に伴い徐々に減少し、α＝２でフラクタル次元は２．１ほどになる。いずれの場合も、αの増加に伴い、Ｔc が減少して行くことが分かる。図６の場合、α＝０からα＝２の変化に対し、Ｔc 〜４．１からＴc 〜１．０の変化が見られている。図７の場合、α＝０からα＝２の変化に対し、Ｔc 〜２．１からＴc 〜０．４の変化が見られている。図８の場合、α＝０からα＝２の変化に対し、Ｔc 〜２からＴc 〜０．５の変化が見られている。図９の場合、α＝０からα＝２の変化に対し、Ｔc 〜１．６からＴc 〜０．５の変化が見られている。図１０の場合、α＝０からα＝２の変化に対し、Ｔc 〜１．３からＴc 〜０．３の変化が見られている。いずれの場合も、αの値を設定することによって、十分広い温度範囲で強磁性体としての相転移温度が制御されている。
【００８０】
また、フラクタル次元が２．５より大きな領域では、相転移温度は極めて敏感に変化していることが分かる。従って、この領域のフラクタル結合体を用いると効率の良い転移温度の変調が得られる。
【００８１】
この第１の実施形態による強磁性フラクタル結合体の具体例を挙げると、例えば図１１に示すようなものである。すなわち、図１１に示すように、強磁性材料の原子１を基板２上に配置し、例えば走査型トンネル顕微鏡（ＳＴＭ）で用いられる針３を用いてこれらの原子１の配置をフラクタル状に再配置させる。原子１の間の間隔が十分に小さければ、原子間の結合が電子の移動により生じ、磁性体として振る舞う。この原子１のフラクタル結合体が強磁性フラクタル結合体となる。
【００８２】
次に、この発明の第２の実施形態について説明する。この第２の実施形態においては、自己相似的強結合量子カオスを実現する磁性不純物添加のフラクタル結合体の制御について説明する。
【００８３】
フラクタル結合体は、以下のようにして、フラクタルを形成し、その上に電子系を定義することにより形成する。
【００８４】
（１）フラクタルの形成
フラクタルの形成は第１の実施形態の（１）と同様にして行う。α＝０、１、２とし、ｎ＝１００００のフラクタル成長を行って得られた樹状フラクタルを図１２、図１３および図１４に示す。図１２はα＝０、図１３はα＝１、図１４はα＝２の場合に相当する。様々なαについて、数値シミュレーションにより得られたフラクタル図形のフラクタル次元Ｄf を図１５にまとめて示す。
【００８５】
（２）フラクタル上の電子系
（１）で定義されたフラクタル上に一粒子の量子系を定義しよう。Ｔn の元である格子点
【００８６】
【数１３】
0004221845.tif 000014
【００８７】
ただし、ｐ＝１，２，・・・, ｎ＋１
を考える。格子点ｒp ∈Ｔn に量子を生成する演算子
【００８８】
【数１４】
0004221845.tif 000015
【００８９】
を定義する。もちろん、反交換関係
【００９０】
【数１５】
0004221845.tif 000016
【００９１】
が成り立つ。ここで、この量子系のハミルトニアン
【００９２】
【数１６】
0004221845.tif 000017
【００９３】
は
【００９４】
【数１７】
0004221845.tif 000018
【００９５】
と定義される。ここで、トランスファーｔp,q としては
【００９６】
【数１８】
0004221845.tif 000019
【００９７】
を採用する。ただし、θp,q ＝−θq,p は
【００９８】
【数１９】
0004221845.tif 000020
【００９９】
を満たすランダムな実数である。変動幅はｒで調整されている。このモデルでは最近接サイト間のみでホッピングが可能である。そして、そのホッピングに伴い、場所によりランダムな位相因子θp,q が付け加わる。格子点を一周するループでこの位相因子を積分すれば、そのループを貫く磁束になるので、０＜θp,q ＜２πｒのランダムな分布に対し、局所的には磁場が導入されていることになる。この磁場は、強度、方向ともに全くランダムであり、空間的に平均をとるとゼロ磁場となるので、系のフラクタル性を破壊することはない。本文で論じている樹状フラクタルの自己相似性は、本来ランダムな過程を経て形成されていることもあり、空間的平均の範囲で存在するものである。上記ランダム磁場は、空間的平均をとると消失してしまうので、樹状フラクタルの自己相似性を破壊しないのである。後ほど、自己相似性に起因する状態密度の縮退は、ランダム磁場によって壊されない。ｒ＝０の場合、ランダム磁場の存在しないモデルに帰着する。
【０１００】
ハミルトニアン
【０１０１】
【数２０】
0004221845.tif 000021
【０１０２】
の固有エネルギーをεm 、固有ベクトルを｜ｍ〉と書くと、
【０１０３】
【数２１】
0004221845.tif 000022
【０１０４】
である。ただし、ｍ＝０，１，２，・・・，ｎである。
【０１０５】
まず、ｎ＋１個の量子準位εm を、その最近接準位間間隔が平均で１になるように規格化する。つまり、
【０１０６】
【数２２】
0004221845.tif 000023
【０１０７】
とする。ただし、ｊ＝１，２，・・・，ｎとしたとき、
【０１０８】
【数２３】
0004221845.tif 000024
【０１０９】
を用い、新しい準位
【０１１０】
【数２４】
0004221845.tif 000025
【０１１１】
へ変換する。ここで、
【０１１２】
【数２５】
0004221845.tif 000026
【０１１３】
である。系の状態密度（the density of states)は
【０１１４】
【数２６】
0004221845.tif 000027
【０１１５】
で定義され、その積分（the staircase function)
【０１１６】
【数２７】
0004221845.tif 000028
【０１１７】
を計算する。得られたstaircase functionは、unfolding という操作を用いることにより、平均して状態密度が一定になるように変換される。このようにして得られた量子準位を用い、量子準位統計量として最近接準位間間隔分布Ｐ（ｓ）と、ダイソンとメータのΔ3 統計量を計算する。参考文献（(37)L.E.Reichl,The transition to chaos:in conservative classical systems:quantum manifestations(Springer,New York,1992) (38)F.Haake,Quantum Signatures of chaos,(Springer-Verlag,1991)）にあるように、これらの統計量を用いることで、量子カオスが発生しているかどうかを検知できる。量子カオス系は、古典的カオス系と同様に外部からの摂動に対して敏感であることも知られており、非線形材料設計の指針として量子カオス解析は重要である。
【０１１８】
可積分系の場合、最近接準位間間隔分布Ｐ（ｓ）とΔ3 統計量はPoisson 分布のもの
【０１１９】
【数２８】
0004221845.tif 000029
【０１２０】
となり、最も弱い量子カオスであるＧＯＥ分布に従う系では、
【０１２１】
【数２９】
0004221845.tif 000030
【０１２２】
となる。ここで、γはオイラー定数である。図１６および図１７にｒ＝０での量子準位統計を示す。αが減少して行くに従い、Poisson 分布からＧＯＥ分布へと変化している。磁性不純物なしの樹状フラクタルにおいて、αが小さい場合に発現する量子カオスがＧＯＥ分布で特徴付けられる。Ｐ（ｓ）のｓ〜０の領域を注目していただきたい。可積分系の場合、Ｐ（ｓ）〜１であり、一方、ＧＯＥ分布の場合Ｐ（ｓ）∝ｓであって、ｓ〜０の領域では、準位間隔の存在確率がエネルギー差ｓの一次に比例している。
【０１２３】
一方で、この第２の実施形態の磁性不純物を伴う場合ｒ＝１を図１８および図１９に示す。αが減少して行くに従い、Poisson 分布からＧＵＥ（Gaussian unitary ensemble)分布へと変化している。このＧＵＥ分布では
【０１２４】
【数３０】
0004221845.tif 000031
【０１２５】
となり、ｓ〜０の領域では、Ｐ（ｓ）∝ｓ2 となって、より強くＰ（ｓ）の値が抑制されている。従って、磁性不純物を導入することによって、ＧＵＥ分布で特徴付けられるより強い量子カオスが生じることが分かった。
【０１２６】
このような強い量子カオスの発生を通して、磁性不純物添加のフラクタル結合体においてアンダーソン転移を制御することができる。
【０１２７】
磁性不純物添加のフラクタル結合体の具体例を挙げると、Ｃｕで形成されたフラクタル結合体に磁性不純物としてＭｎをドーピングしたもの、ＧａＡｓで形成されたフラクタル結合体に磁性不純物としてＭｎをドーピングしたもの、などである。ドーピングする磁性不純物は、一般には、その不純物準位がバルクの量子準位と重ならないようなものである。
【０１２８】
次に、この発明の第３の実施形態について説明する。この第３の実施形態においては、フラクタル結合体のフラクタル次元によるモット−ハバード転移の制御について説明する。
【０１２９】
フラクタル結合体は、以下のようにして、フラクタルを形成し、その上に電子系を定義することにより形成する。
【０１３０】
（１）フラクタルの形成
フラクタルの形成は第１の実施形態の（１）と同様にして行う。α＝０、１、２とし、ｎ＝１００００のフラクタル成長を行って得られた樹状フラクタルを図１２、図１３および図１４に示す。図１２はα＝０、図１３はα＝１、図１４はα＝２の場合に相当する。様々なαについて、数値シミュレーションにより得られたフラクタル図形のフラクタル次元Ｄf を図１５にまとめて示す。
【０１３１】
（２）フラクタル上の電子系
（１）で定義されたフラクタル上に電子系を定義する。Ｔn の元である格子点
【０１３２】
【数３１】
0004221845.tif 000032
【０１３３】
を考える。ただし、ｐ＝１，２，・・・、ｎ＋１である。格子点ｒp ∈Ｔn にスピンσの電子を生成する演算子
【０１３４】
【数３２】
0004221845.tif 000033
【０１３５】
を定義する。もちろん、反交換関係
【０１３６】
【数３３】
0004221845.tif 000034
【０１３７】
が成り立つ。ここで、この電子系の単一バンド・ハバード・ハミルトニアン
【０１３８】
【数３４】
0004221845.tif 000035
【０１３９】
は以下で定義される。
【０１４０】
【数３５】
0004221845.tif 000036
【０１４１】
電子は近接しているサイト間のみで移動することができるものとし、λp,q として
【０１４２】
【数３６】
0004221845.tif 000037
【０１４３】
を採用する。また、ｊ番目のサイトのスピンσ電子密度演算子
【０１４４】
【数３７】
0004221845.tif 000038
【０１４５】
とその和
【０１４６】
【数３８】
0004221845.tif 000039
【０１４７】
を定義する。
【０１４８】
さて、温度グリーン関数を定義するために、大正準ハミルトニアン
【０１４９】
【数３９】
0004221845.tif 000040
【０１５０】
を導入する。ただし、
【０１５１】
【数４０】
0004221845.tif 000041
【０１５２】
である。ここで問題とするハーフフィルドにおいては、化学ポテンシャルはμ＝Ｕ／２となる。ハーフフィルドの大正準ハミルトニアンは以下のように書くことができる。
【０１５３】
【数４１】
0004221845.tif 000042
【０１５４】
演算子
【０１５５】
【数４２】
0004221845.tif 000043
【０１５６】
を
【０１５７】
【数４３】
0004221845.tif 000044
【０１５８】
によって定義しておく。与えられた演算子
【０１５９】
【数４４】
0004221845.tif 000045
【０１６０】
に対し、τを虚時間として温度グリーン関数を定義すると
【０１６１】
【数４５】
0004221845.tif 000046
【０１６２】
である。オンサイトグリーン関数
【０１６３】
【数４６】
0004221845.tif 000047
【０１６４】
は特に重要である。それは、小さいδに対してｉωn →ω＋ｉδと解析接続すると、
【０１６５】
【数４７】
0004221845.tif 000048
【０１６６】
がサイトｊの局所状態密度、
【０１６７】
【数４８】
0004221845.tif 000049
【０１６８】
が系の状態密度となるからである。後に状態密度を数値計算する場合、δ＝０．０００１を用いることにする。
【０１６９】
系の虚時間発展は、ハイゼンベルグ方程式
【０１７０】
【数４９】
0004221845.tif 000050
【０１７１】
により得られる。オンサイトグリーン関数の運動方程式として
【０１７２】
【数５０】
0004221845.tif 000051
【０１７３】
が得られる。さて、Grosに従い以下の近似を導入する（(  )C.Gros,Phys.Rev.B50,7295(1994)) 。もし、ｐサイトがｊサイトの最近接サイトであった場合、
【０１７４】
【数５１】
0004221845.tif 000052
【０１７５】
の分解を近似として導入する。これは、無限次元ベーテ格子のときに厳密になるとのことであるが、我々の場合はあくまで近似である。この近似のもと、以下の関係式が得られる。
【０１７６】
【数５２】
0004221845.tif 000053
【０１７７】
ただし、
【０１７８】
【数５３】
0004221845.tif 000054
【０１７９】
を導入した。得られた式を解くには、
【０１８０】
【数５４】
0004221845.tif 000055
【０１８１】
を調べる必要がある。この運動方程式はハーフフィルドの場合、
【０１８２】
【数５５】
0004221845.tif 000056
【０１８３】
となる。ここでまた、Grosの理論を参考に近似を導入する。それは、
【０１８４】
【数５６】
0004221845.tif 000057
【０１８５】
という置き換えである。この置き換えを行うことにより、以下の閉じた方程式が得られた。
【０１８６】
【数５７】
0004221845.tif 000058
【０１８７】
ここではスピンの依存性はないものとする。つまり、
【０１８８】
【数５８】
0004221845.tif 000059
【０１８９】
を仮定して以下の計算を行う。
【０１９０】
数値計算により得られた状態密度を図２０に示す。樹状フラクタルとしてｎ＝１０００１サイトを用いた。この計算では、ｔ＝１、Ｕ＝１２を用い、α＝０，１，２とした。バンドが左右に分離しており、左側が下側ハバードバンド（Lower Hubbard band）、右が上側ハバードバンド（Upper Hubbard band）である。下側ハバードバンドのみが電子で満たされ、左右間の状態密度ゼロの領域がモットハバードギャップである。モットハバードギャップ近傍の領域を拡大したものが図２１である。αの増加に伴い（フラクタル次元の減少に伴い）、モットハバードギャップが増加して、絶縁性が増すことが分かる。Ｕの変化に伴うモット転移に関し、状態密度を示しておこう。ｔ＝１、α＝１として、Ｕ＝４、８、１２、１６と変化させたものが図２２である。サブバンド中央に存在する状態密度のピークは、フラクタル性により生じた状態の縮退からなるものである。
【０１９１】
ｔ＝１、ｎ＝１０００１と固定し、数値計算により得られた状態密度の例として、α＝１と固定し、Ｕ＝２，４，８，１６としたものを図２３に示す。また、Ｕ＝８とし、α＝０，１，２としたものと１０００１サイトの三次元球（３Ｄ-ball)での結果を図２４に示す。図２５は、α＝０，０．２，０．４，０．６，１，２に関し、Ｕを連続的に変化させてハバードギャップをプロットしたものである。図２６は、同様にα＝０，０．２，０．４，０．６，１，２に関し、Ｕを連続的に変化させて、フェルミ・エネルギー上の状態密度をプロットした。モット転移の起こる臨界電子間相互作用Ｕc において、ハバードギャップが出現し、フェルミ・エネルギー状の状態密度が消失することがよく分かる。そして、その臨界値Ｕc がαにより制御されている。
【０１９２】
ハーフ・フィルドの電子密度に調整されたフラクタル結合体の具体例を挙げると、１価金属で形成されたフラクタル結合体や、Ｖ2 Ｏ5 で形成されたフラクタル結合体などである。
【０１９３】
ハーフ・フィルドの電子密度に調整されたフラクタル結合体は、化合物半導体ヘテロ接合による量子ドットアレーにより構成してもよい。その一例を図２８に示す。ここで、図２８Ａは断面図、図２８Ｂは量子ドットアレーの配置を示す平面図である。
【０１９４】
図２８に示すように、このフラクタル結合体は、ｉ型ＧａＡｓからなるＧａＡｓ量子ドット１１をフラクタル状に配置し、それをｉ型ＡｌＧａＡｓ１２により閉じ込めた構造を有する。ここで、ＧａＡｓ量子ドット１１による量子ドットアレーは、最近接量子ドット間で電子のトンネルが許容されるように形成されている。
【０１９５】
以上、この発明の実施形態につき具体的に説明したが、この発明は、上述の実施形態に限定されるものではなく、この発明の技術的思想に基づく各種の変形が可能である。
【０１９６】
【発明の効果】
以上説明したように、この発明によれば、フラクタル結合体のフラクタル次元を全域または局所的に制御することにより、加熱を行わないでも、相転移を制御することができる。そして、この相転移を利用して情報記憶、より一般的には情報処理を行うことができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】この発明の第１の実施形態においてパラメータαに対して得られたフラクタル次元Ｄf を示す略線図である。
【図２】この発明の第１の実施形態における二次元円盤上ポッツモデルについての温度と磁化との関係を示す略線図である。
【図３】この発明の第１の実施形態における円盤上正多面体モデルについての温度と磁化との関係を示す略線図である。
【図４】この発明の第１の実施形態における三次元球上ポッツモデルについての温度と磁化との関係を示す略線図である。
【図５】この発明の第１の実施形態における三次元球上正多面体モデルについての温度と磁化との関係を示す略線図である。
【図６】この発明の第１の実施形態におけるＮ＝２イジングモデルについての温度と磁化との関係を示す略線図である。
【図７】この発明の第１の実施形態におけるＮ＝６イジングモデルについての温度と磁化との関係を示す略線図である。
【図８】この発明の第１の実施形態におけるＮ＝１２イジングモデルについての温度と磁化との関係を示す略線図である。
【図９】この発明の第１の実施形態における正八面体モデルについての温度と磁化との関係を示す略線図である。
【図１０】この発明の第１の実施形態における正二十面体モデルについての温度と磁化との関係を示す略線図である。
【図１１】この発明の第１の実施形態の具体例を示す略線図である。
【図１２】この発明の第２の実施形態においてα＝０としてｎ＝１００００のフラクタル成長を行って得られた樹状フラクタルを示す略線図である。
【図１３】この発明の第２の実施形態においてα＝１としてｎ＝１００００のフラクタル成長を行って得られた樹状フラクタルを示す略線図である。
【図１４】この発明の第２の実施形態においてα＝２としてｎ＝１００００のフラクタル成長を行って得られた樹状フラクタルを示す略線図である。
【図１５】この発明の第２の実施形態においてパラメータαに対して得られたフラクタル次元Ｄf を示す略線図である。
【図１６】この発明の第２の実施形態においてｒ＝０での量子準位統計を示す略線図である。
【図１７】この発明の第２の実施形態においてｒ＝０での量子準位統計を示す略線図である。
【図１８】この発明の第２の実施形態においてｒ＝１での量子準位統計を示す略線図である。
【図１９】この発明の第２の実施形態においてｒ＝１での量子準位統計を示す略線図である。
【図２０】この発明の第３の実施形態において数値計算により得られた状態密度を示す略線図である。
【図２１】図２０におけるモットハバードギャップ近傍の領域を拡大して示す略線図である。
【図２２】この発明の第３の実施形態においてｔ＝１、ｎ＝１０００１、α＝１に固定してＵを４、８、１２、１６と変化させたときの状態密度の変化を示す略線図である。
【図２３】この発明の第３の実施形態においてｔ＝１、ｎ＝１０００１、α＝１に固定してＵを２、４、８、１６と変化させたときの状態密度の変化を示す略線図である。
【図２４】この発明の第３の実施形態において三次元球についてｔ＝１、ｎ＝１０００１、Ｕ＝８に固定してαを０、１、２と変化させたときの状態密度の変化を示す略線図である。
【図２５】この発明の第３の実施形態においてｔ＝１、ｎ＝１０００１、Ｕ＝４に固定してαを０、１、２と変化させたときの状態密度の変化を示す略線図である。
【図２６】この発明の第３の実施形態においてｔ＝１、ｎ＝１０００１に固定してα＝０、０．２、０．４、０．６、１、２についてＵを連続的に変化させたときのハバードギャップの変化を示す略線図である。
【図２７】この発明の第３の実施形態においてｔ＝１、ｎ＝１０００１に固定してα＝０、０．２、０．４、０．６、１、２についてＵを連続的に変化させたときのフェルミ・エネルギー上の状態密度の変化を示す略線図である。
【図２８】この発明の第３の実施形態の具体例を示す略線図である。
【符号の説明】
１・・・強磁性材料の原子、２・・・基板、３・・・針、１１・・・ＧａＡｓ量子ドット、１２・・・ｉ型ＡｌＧａＡｓ
【図１】
0004221845.tif 000060
【図２】
0004221845.tif 000061
【図３】
0004221845.tif 000062
【図４】
0004221845.tif 000063
【図５】
0004221845.tif 000064
【図６】
0004221845.tif 000065
【図７】
0004221845.tif 000066
【図８】
0004221845.tif 000067
【図９】
0004221845.tif 000068
【図１０】
0004221845.tif 000069
【図１１】
0004221845.tif 000070
【図１２】
0004221845.tif 000071
【図１３】
0004221845.tif 000072
【図１４】
0004221845.tif 000073
【図１５】
0004221845.tif 000074
【図１６】
0004221845.tif 000075
【図１７】
0004221845.tif 000076
【図１８】
0004221845.tif 000077
【図１９】
0004221845.tif 000078
【図２０】
0004221845.tif 000079
【図２１】
0004221845.tif 000080
【図２２】
0004221845.tif 000081
【図２３】
0004221845.tif 000082
【図２４】
0004221845.tif 000083
【図２５】
0004221845.tif 000084
【図２６】
0004221845.tif 000085
【図２７】
0004221845.tif 000086
【図２８】
0004221845.tif 000087