(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
１組の離散したサンプル点から画像を生成するための方法であって、
各離散したサンプル点をスクリーン空間に投影するステップと、
前記スクリーン空間の前記各サンプル点のための連続リサンプリングフィルタを生成するステップであって、前記連続リサンプリングフィルタは、前記スクリーン空間内の前記サンプル点のための連続基底関数と連続ローパスフィルタ関数との組み合わせである、前記生成するステップと、
前記スクリーン空間内の各対応する離散したサンプルに前記連続リサンプリングフィルタを適用し、前記画像を生成するステップとを含み、
前記各連続リサンプリングフィルタをラスタ化し、前記画像の離散したピクセルを生成するステップをさらに含む
１組の離散したサンプル点から画像を生成するための方法。
【請求項２】
前記離散したピクセルをバッファに蓄積するステップと、
前記蓄積されたピクセルをシェーディングするステップとをさらに含む
請求項１記載の１組の離散したサンプル点から画像を生成するための方法。
【請求項３】
１組の離散したサンプル点から画像を生成するための方法であって、
各離散したサンプル点をスクリーン空間に投影するステップと、
前記スクリーン空間の前記各サンプル点のための連続リサンプリングフィルタを生成するステップであって、前記連続リサンプリングフィルタは、前記スクリーン空間内の前記サンプル点のための連続基底関数と連続ローパスフィルタ関数との組み合わせである、前記生成するステップと、
前記スクリーン空間内の各対応する離散したサンプルに前記連続リサンプリングフィルタを適用し、前記画像を生成するステップとを含み、
前記ラスタ化中に、ピクセルの断片を多数のシートバッファに格納するステップと、
後から前の順序で前記シートバッファを合成し、透明なサンプル点の最終的なピクセルの色を生成するステップとをさらに含む
１組の離散したサンプル点から画像を生成するための方法。
【請求項４】
１組の離散したサンプル点から画像を生成するための方法であって、
各離散したサンプル点をスクリーン空間に投影するステップと、
前記スクリーン空間の前記各サンプル点のための連続リサンプリングフィルタを生成するステップであって、前記連続リサンプリングフィルタは、前記スクリーン空間内の前記サンプル点のための連続基底関数と連続ローパスフィルタ関数との組み合わせである、前記生成するステップと、
前記スクリーン空間内の各対応する離散したサンプルに前記連続リサンプリングフィルタを適用し、前記画像を生成するステップとを含み、
前記各ピクセルの断片のα値と適用範囲係数とを乗算し、前記画像のエッジアンチエイリアシングを可能にするステップをさらに含む
１組の離散したサンプル点から画像を生成するための方法。
【請求項５】
１組の離散したサンプル点から画像を生成するためのシステムであって、
前記各離散したサンプル点をスクリーン空間に投影するための手段と、
前記スクリーン空間内の前記各サンプル点のための連続リサンプリングフィルタを生成するための手段であって、前記連続リサンプリングフィルタは、前記スクリーン空間内の前記サンプル点のための連続基底関数と連続ローパスフィルタ関数との組み合わせである、前記生成するための手段と、
前記スクリーン空間内の各対応する離散したサンプルに前記連続リサンプリングフィルタを適用し、前記画像を生成するための手段と
を備えた１組の離散したサンプル点から画像を生成するためのシステム。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、全般にコンピュータグラフィクスに関し、より詳細には、スプラッティング法を用いて３次元ボリュームおよび点サンプルデータをレンダリングすることに関する。
【０００２】
【従来の技術】
レーザレンジの走査、および画像ベースの走査を行うことにより、複雑で、見た目にも見事な３次元（３Ｄ）画像を生成することができる。しかしながら、走査は著しい数の点サンプルを生成する。これ以降、点サンプルは（ｘ，ｙ，ｚ）座標を有する空間内の０次元の点として定義される。典型的には、点サンプルは、接続性情報を持たない。すなわち、点サンプルは関連付けられることがないか、あるいは連結されることはない。これにより、点サンプルを画像としてレンダリングすることが困難になる。
【０００３】
点サンプルを接続するための１つの一般的な方法は、多角形（三角形）メッシュを用いて、そのメッシュをレンダリングすることである。しかしながら、メッシュの中にはインタラクティブにレンダリングされるにはあまりに大きすぎるものもあり、多くの応用形態は、多角形の減少から生じる幾何学的な精度およびテクスチャ忠実度に特有の損失を許容することができない。最近の成果は、無接続の点サンプルを直接にレンダリングすることに集中している。これらの技術は、階層データ構造および前方ワーピングを用いて、点サンプルを効率的にレンダリングする。
【０００４】
点レンダリングのための１つの重要な試みは、不規則に間隔をおいて配置された点サンプルから、連続した表面の画像を適当に復元することである。その画像は正確で、点サンプルがレンダリングされる順序とは無関係でなければならない。非常に多くの場合に、点サンプルは、走査される画像の高いテクスチャ忠実度を保持しながら、連続した不透明な、あるいは半透明の表面として現れなければならない。さらに点レンダリングは、隠れた表面の除去および透明性を正確に取り扱うべきである。
【０００５】
従来技術では、点サンプル間の表面領域を「埋める」（fill-in）ために、テクスチャマッピングが頻繁に用いられる。テクスチャマッピングは、モデル表面上に、色、法線あるいは他の材料の特性のための関数をマッピングすることにより、モデルの視覚上の複雑さを増大させる。これらのテクスチャ関数が不適当に帯域制限される場合には、ラスタ画像への投影中に、テクスチャエイリアシングが生じる場合がある。さらに、テクスチャマッピングは主に表面レンダリングのために用いられる。ボリュームレンダリングは、科学技術上の応用形態において、取得され、シミュレートされたデータセットを視覚化するために重要である。ボリュームレンダリングは、離散したサンプル点から３Ｄ関数を復元し、その３Ｄ関数をスクリーン空間に変換し、その後、「レイ」(rays)と呼ばれる視線に沿って不透明度の積分を数値計算する。
【０００６】
インタラクティブなボリュームレンダリングでは、スプラッティングがこれらの手順を近似する。Westoverによる「Interactive Volume Rendering」（Upson, editor, Proceedings of the Chapel Hill Workshop on Volume Visualization, pages 9-16, University of North Carolina at Chapel Hill, Chapel Hill, NC, May 1989）を参照されたい。Westoverによる論文は、エイリアシング問題を取り扱わず、それにより階段状のぎざぎざの輪郭エッジ、テクスチャ内の波紋（モアレ）模様などの顕著なアーティファクトが生じる。
【０００７】
スプラッティングを用いる場合、ボリュームデータは、各粒子、ボクセル、あるいは離散したサンプル点に対して１つの核を有する、３Ｄ復元核の領域として解釈される。各３Ｄ復元核は光を吸収、かつ放射する。積分は、各３Ｄ核にわたって個別に予め決定され、結果として「フットプリント」（footprint）関数を生成する。各フットプリント関数は、画像内の隣接するピクセルにわたって各点の分布を「拡散する」（spreads）。典型的には、プリントフットの広がりは約２〜５ピクセルである。３Ｄボリュームの各離散したサンプル点の「塗りつけられた」（smeared）寄与は、前から後、あるいは後から前の順に合成、すなわち蓄積され、出力画像のピクセルを生成する。
【０００８】
従来技術のスプラッティングは、後から前の順にスプラットを合成する際に、不正確な視認上の判定に陥る。これにより、色のブリージングのような目に見えるアーティファクトが生じる。この問題は、軸を揃えたシートバッファを用いることにより解決することができる。Westoverによる「Footprint Evaluation for Volume Rendering」（Computer Graphics, Proceedings of SIGGRAPH 90, pages 367- 376, 1990）を参照されたい。しかしながら、その解決法は、動画において妨げになる「ポッピング」（popping）アーティファクトを生成する。
【０００９】
ポッピングは、動画の流れにおいて次の画像との間に生じる不連続な強度の変化を表現するために用いられる用語である。またシートバッファは、画像平面に平行に揃えることもできる。Mueller他による「Eliminating Popping Artifacts in Sheet Buffer-Based Splatting」（IEEE Visualization '98, pages 239 -246, 1998）を参照されたい。またシートバッファは、各３Ｄ復元核のいくつかのスライスを個別にスプラッティングする。その技術は、スライスを用いるボリュームレンダリングと類似であり、ポッピングアーティファクトを生じることはない。
【００１０】
スプラッティングは、透視投影を用いてレンダリングを促進するために、レイキャスティング技術と組み合わせることができる。階層的スプラッティングによって、レンダリング中に段階的に精緻化できるようになる。さらに、スプラッティングは、ウェーブレットとして表されるボリュームデータセットにおいても適用することができる。
【００１１】
エイリアシングアーティファクトは、発散する視線（レイ）に沿ったサンプリングレートがボリューム格子サンプリングレート未満に落ち込むボリュームの領域において生じる場合がある。距離に依存する関数はフットプリントを「伸長し」（stretch）、フットプリントをローパスフィルタとして機能させることができる。Swan他による「Anti-Aliasing Technique for Splatting」（Proceedings of the 1997 IEEE Visualization Conference, pages 197- 204, 1997）を参照されたい。Ｓｗａｎによる方法は、サンプルと画像平面との間の距離に応じてフットプリントの大きさを調整する。Ｓｗａｎによる方法は、以下においてより詳細に区別される。
【００１２】
直交、曲線、あるいは不規則格子の場合のように、３Ｄ復元核が径方向に対称でないときには、さらに配慮されなければならない。さらに、３Ｄ空間内の任意の位置の場合に、全ての核からの寄与が１まで加算されなければならない。そうしないと、画像内に斑点のようなアーティファクトが生じる。直交格子の場合に、楕円形のフットプリントが円形のフットプリントに歪むようになる。Westoverによる「Interactive Volume Rendering」（Upson, editor, Proceedings of the Chapel Hill Workshop on Volume Visualization, pages 9-16, University of North Carolina at Chapel Hill, Chapel Hill, NC, May 1989）を参照されたい。曲線格子をレンダリングするために、確率的なポアソンリサンプリングによって、そのフットプリントが球あるいは楕円体である１組の新しい点を生成することができる。Maoによる「Splatting of Non Rectilinear Volumes Through Stochastic Resampling」（IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics, 2(2):156- 170, 1996）を参照されたい。
【００１３】
Heckbertによる「Fundamentals in Texture Mapping and Image Warping」（Master' s Thesis, University of California at Berkeley, Department of Electrical Engineering and Computer Science, 1989）は、楕円重み付け平均（ＥＷＡ）フィルタを用いて、表面テクスチャのエイリアシングを回避するレンダリング方法を記載する。しかしながら、その方法は、２Ｄの規則的にサンプリングされたテクスチャにおいてのみ動作する。言い換えると、その方法は、不規則な点サンプルあるいはボリュームデータセットで直接に用いることができない。
【００１４】
【発明が解決しようとする課題】
それゆえ、本発明の目的は、従来技術のスプラッティング技術で生じる、輪郭の不鮮明さ、エイリアシング、ポッピングおよび他の煩わしいアーティファクトを生じることなく、不規則に配置されたサンプル点を含むボリュームデータセットをレンダリングすることができるスプラッティング法を提供することである。
【００１５】
【課題を解決するための手段】
本発明は、楕円形の３Ｄガウス復元核関数の投影と、楕円形の２Ｄガウスローパスフィルタとを組み合わせて、スクリーン空間内に１つのスプラットプリミティブを生成する新規のレンダリング方法、すなわちＥＷＡ連続リサンプリングフィルタを提供することである。この２Ｄ  ＥＷＡリサンプリングフィルタは、スクリーン空間内の離散したサンプル点に直接に適用されることができる。本発明によるＥＷＡリサンプリングフィルタは、画像内のエイリアシングアーティファクトおよび過度の輪郭の不鮮明さを防ぐ。さらに、本発明は、任意の楕円３Ｄガウス復元核および任意のガウスローパスフィルタ関数を取り扱い、直交、曲線および不規則なボリューム、ならびに透視投影に効率的に対応する。
【００１６】
本発明による方法は、連続２Ｄ  ＥＷＡリサンプリングフィルタを決定するための新規の構成に基づく。その方法は、物体空間において定義されるボリュームデータセット、あるいは任意の他の離散したサンプル点のセットを、最初はカメラ空間に、その後レイ空間に、そして最後にスクリーン空間に変換することが有効である。この変換は、投影、たとえば透視投影あるいは正投影に等価である。各離散したサンプル点において局所アフィン近似を用いることにより、本発明は、連続３Ｄ復元核と２Ｄフィルタ関数とを組み合わせて、１つの解析的表現、すなわち連続２Ｄ  ＥＷＡリサンプリングフィルタを生成する。その際、連続した画像を復元するために、連続ＥＷＡリサンプリングフィルタを、スクリーン空間内の各離散したサンプル点に適用する。その後、連続した画像は、たとえば、全てのリサンプリングフィルタのための１つの１Ｄフットプリントテーブルと、任意の視認方向とによる前方差分を用いるレンダリングエンジンによって直接にラスタ化することができる。連続関数を出力画像のピクセルに変換するために他のレンダリング技術を用いることもできる。
【００１７】
本発明によるスプラットプリミティブは、従来のスプラッティング法と容易に組み合わせることができる。このスプラッティングプリミティブの自由度のため、直交、曲線あるいは不規則なボリュームデータセットをレンダリングするために用いることができる。連続リサンプリングフィルタをボリューム勾配に沿って「平坦化する」（flattening）ことにより、高品質の等値面レンダリングのために適した表面スプラットを容易に計算することができる。
【００１８】
より具体的には、本発明は、１組の離散したサンプル点から画像を生成するための方法を提供する。サンプル点は、３Ｄボリュームあるいは表面を画定することができる。各離散したサンプル点は、スクリーン空間に投影される。各サンプル点のための連続リサンプリングフィルタがスクリーン空間内に生成される。連続リサンプリングフィルタは、スクリーン空間内のサンプル点に対する、連続復元関数と連続フィルタ関数との組み合わせである。その際、連続リサンプリングフィルタは、スクリーン空間内の各対応する離散したサンプルに適用され、その画像のための連続したサンプルが生成される。連続したサンプルは、任意の既知のラスタ化プロセスあるいは方法を用いてピクセルにラスタ化することができる。
【００１９】
【発明の実施の形態】
最初に、連続した３Ｄ復元核を適用することができるように、１組の離散したサンプル点、たとえばボリュームデータセットにおいて実行される投影について記載される。その後、本発明による解析的なＥＷＡスプラッティングプリミティブが如何に導出されるかを記載する。
【００２０】
ボリュームレンダリングパイプライン
ボリュームレンダリングに対しては２つの基本的なアプローチがある。後方マッピングでは、視線（レイ）が、画像平面内のピクセルからボリュームデータセットに向けられる。前方マッピングは、ボリュームデータセットを画像平面上に直接にマッピングする。
【００２１】
図１に示されるように、本発明による方法は、前方マッピングレンダリングエンジン１００を用いる。本発明では、用語「空間」および「座標系」を同義に用いることに留意されたい。
【００２２】
物体空間１０２において定義される、１組の離散したサンプル点、たとえばボリュームデータセット１０１が、視野変換（ビューイング変換）１１０によってカメラ空間１０３に変換され、全ての任意的な視点からサンプルをレンダリングできるようにする。カメラ空間１０３は、その原点が投影の中心になるように定義される。その後、投影マッピング１２０がそのサンプルをレイ空間１０４に変換する。レイ空間は非デカルト座標系であり、レンダリング方程式を容易に定式化できるようにする。レイ空間では、ビューイングレイは座標軸に平行であり、レンダリング関数の解析的な積分を容易にする。ステップ１３０は、レイ空間内のサンプルにおいて、サンプル分類、シェーディングおよび積分を実行する。ステップ１３０の出力は、スクリーン空間１０５内にある。最後に、ビューポート変換１４０が、ビューポート空間１０６において出力画像１０９を生成する。
【００２３】
前方マッピングパイプラインにおけるサンプル分類およびシェーディングに関する詳細については、Mueller、T.MoellerおよびR.Crawfisによる「Splatting Without the Blur」（Proceedings of the 1999 IEEE Visualization Conference, pages 363- 370, October 1999）を参照されたい。
【００２４】
スプラッティング手順
図２ａは従来技術のレイキャスティングを示す。図２ｂは本発明により用いられるスプラッティングプロセスの構成を示す。その効率のため、スプラッティングプロセスは、最も一般的な前方マッピングボリュームレンダリング技術に属する。Mueller他およびL.Westoverによる「Footprint Evaluation for Volume Rendering」（Computer Graphics, Proceedings of SIGGRAPH 90, pages 367- 376, 1990）を参照されたい。
【００２５】
本明細書では、従来の表記法を変更し、レイ空間１０４に関する本発明による表現を記載する。３つの座標ｘ＝（ｘ０，ｘ１，ｘ２）Ｔのベクトル２０１によって、レイ空間１０４内の離散したサンプル点が示される。ただしＴは、このベクトルが転置されること、すなわち列ベクトルであって、行ベクトルでないことを示す。投影の中心２０２および投影平面２０３を与えると、これらの３つの座標は幾何学的に以下のように解釈される。
【００２６】
座標ｘ０およびｘ１は、投影平面上の点を指定する。投影の中心および投影平面上の点（ｘ０，ｘ１）を交差するレイ２０４は、ビューイングレイと呼ばれる。省略形（＾）ｘ＝（ｘ０，ｘ１）を用いるとき、（ｘ０，ｘ１）を通過するビューイングレイは（＾）ｘ２０９として示される。第３の座標ｘ２  ２０５は、投影の中心２０２からビューイングレイ上の点までのユークリッド距離を指定する。なお、（＾）ｘは、ｘのハットを表わす。
【００２７】
表記を簡単にするために、本明細書では、レイ空間内の３Ｄ点を表すために、同義表現ｘ、（（＾）ｘ，ｘ２）Ｔあるいはｘ＝（ｘ０，ｘ１，ｘ２）Ｔのうちの任意のものが用いられる。
【００２８】
ボリュームレンダリング方程式の低アルベド近似は、長さＬを有するレイ（＾）ｘに沿って投影の中心に達する、波長λの光強度Ｉλ（＾）ｘを以下のように記述する。
【００２９】
【数１】
0004209133.tif 000002
【００３０】
ただし、ｇ（ｘ）２１１は光オクルージョンの割合を定義する消衰関数であり、ｃλ（ｘ）２１２は放出係数である。指数項は、減衰定数と解釈することができる。最後に、積ｃλ（ｘ）ｇ（ｘ）は、光源項と呼ばれる。光源項は、点ｘ２においてレイ（＾）ｘ２０９の方向に散乱される光強度を記述する。Ｎ．Ｍａｘによる「Optical Models for Direct Volume Rendering」（IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics, 1(2):99- 108, 1995）を参照されたい。
【００３１】
消衰関数ｇ（ｘ）は、係数ｇｋと３Ｄ復元核ｒｋ（ｘ）２１３との重み付けされた和である。これは、ボリュームデータセットが光を吸収、放射する個々の離散したサンプル点によって表される物理モデルに対応する。それゆえ、消衰関数は以下の通りである。
【００３２】
【数２】
0004209133.tif 000003
【００３３】
このモデルでは、３Ｄ復元核ｒｋ（ｘ）は、個々のサンプル点の位置および形状を反映する。本発明を用いると、サンプル点を不規則に配置することができ、形状は異なってもよく、それゆえ、式（２）の表現は規則的なボリュームデータセットに限定されない。式（２）を式（１）に代入すると、以下の式が生成される。
【００３４】
【数３】
0004209133.tif 000004
【００３５】
この関数を数値計算するために、スプラッティングアルゴリズムは、図２ｂに示されるいくつかの簡略化する仮定を行う。通常、３Ｄ復元核ｒｋ（ｘ）は局所的に対応する。ここでは、これらの局所的な対応領域はレイに沿って重なり合うことはなく、復元核は前から後に順序付けされるものと仮定される。また、放出係数は、レイに沿った各復元核の対応領域において一定であるものと仮定される。さらに、その指数関数は、テイラー展開の最初の２項で近似される。最後に、自己オクルージョンは無視される。これらの仮定によれば、式（３）は以下のように書き換えられる。
【００３６】
【数４】
0004209133.tif 000005
【００３７】
ただし、ｑｋ（（＾）ｘ）は積分された復元核を示し、それゆえ以下の通りである。
【００３８】
【数５】
0004209133.tif 000006
【００３９】
式（４）は本発明のＥＷＡスプラッティング法の基になる。
【００４０】
L.Westoverによる「Footprint Evaluation for Volume Rendering」（Computer Graphics, Proceedings of SIGGRAPH 90, pages 367- 376, 1990）は、復元核ｑｋを積分するためのフットプリント関数を記載する。そのフットプリント関数は、画像のピクセルに対する各サンプル点の寄与を指定する。図２ｂに示されるようなボリュームレンダリングでは、ビューイングレイ２０５に沿って復元核を積分することは（２３１−２３１）、１つのボリューム復元核を画像平面上に投影し、フットプリント関数ｑｋの解を求めることに類似である。座標（＾）ｘ＝（ｘ０，ｘ１）Ｔはスクリーン座標とも呼ばれ、Ｉλ（（＾）ｘ）およびｑｋ（（＾）ｘ）はスクリーン空間１０５において定義される。
【００４１】
スプラッティングは、予め積分された復元核を用いることができるため、効率的である。ここで、各サンプル点の画像平面上への投影が、２Ｄのたたみ込みを用いて決定される。対照的に、レイキャスティング法は、各サンプル点に対して３Ｄのたたみ込みを必要とする。したがって、スプラッティング法は、レンダリング効率に関して特有の利点を有する。さらに、スプラッティングは、レイキャスティングによって典型的に用いられる３本線の核より大きな範囲を有する、より高品質の核を容易に利用できるようにする。
【００４２】
しかしながら、従来技術のスプラッティング法は、不正確な視認上の判定のため、アーティファクトによる劣化が生じる。この問題は、復元核が重なり合わず、後から前に順序付けされるものと仮定することにより不可避に導入される。従来技術のスプラッティング法は、画像を拡大して見る場合に、輪郭が不鮮明になる傾向もある。
【００４３】
本発明は、画像の輪郭が不鮮明になることのない高品質のアンチエイリアシングを提供する新規のスプラットプリミティブを提供する。それは、３Ｄ楕円復元核に効率的に対応する。さらに、そのスプラットプリミティブは、既知のレンダリングプロセスおよびパイプラインと適合性がある。
【００４４】
レンダリングにおけるエイリアシング
エイリアシングは、全てのレンダリングモデル方法の基本的な問題である。連続した画像が離散的なラスタ格子、すなわちピクセル格子に対してサンプリングされる際には必然的にエイリアシングが生じる。エイリアシングによって、ぎざぎざの輪郭エッジおよびテクスチャの波紋模様のような視覚的なアーティファクトが生じる。典型的には、これらの問題は、動画中に最も大きな妨げになる。信号処理の視点から、エイリアシングへの理解を進めることができる。連続関数は、離散したサンプリング格子のナイキスト周波数を考慮するために帯域制限されなければならない。これは、サンプリングされる画像内のエイリアシングによるアーティファクトが生じないことを保証する。
【００４５】
ここで、図２ｂのスプラッティングプロセスを帯域制限する方法が記載される。このスプラッティングの式（４）は、出力画像を、スクリーン空間内の連続関数Ｉλ（（＾）ｘ）として表す。エイリアシングによるアーティファクトを生じることなく、この連続関数を離散した出力画像に適当にサンプリングするために、その関数は、離散した画像のナイキスト周波数に一致するように帯域制限されなければならない。
【００４６】
この帯域制限は、Ｉλ（（＾）ｘ）を適当なローパスフィルタｈ（（＾）ｘ）でたたみ込むことにより達成され、アンチエイリアシングされたスプラッティングプリミティブが生成される。
【００４７】
【数６】
0004209133.tif 000007
【００４８】
Ｉλ（（＾）ｘ）は式（４）の連続関数として定式化されるが、実際には、この関数は離散した位置、すなわちピクセルの中央においてのみ解を有する。それゆえ、式（６）の積分をやり直すために、２つの簡略化する仮定が行われる。これにより、効率的に数値計算することができる近似が導かれる。第１に、放出係数が各フットプリントｑｋの対応領域において近似的に一定である場合には、その対応領域内の全ての（＾）ｘの場合にｃλｋ（（＾）ｘ）≒ｃλｋである。放出係数が、ビューイングレイに沿った各復元核の対応領域において一定である場合には、その放出係数は、各復元核の完全な３Ｄ対応において一定である。言い換えると、アンチエイリアシングのためにシェーディングの効果が無視される。同様に、これは表面テクスチャをアンチエイリアシングするための一般的なアプローチでもあることに留意されたい。
【００４９】
第２に、減衰定数が、各フットプリント関数の対応領域において近似的に一定の値ｏｋを有するものと仮定される。それゆえ、その対応領域内の全ての（（＾）ｘ）の場合に以下の式が成り立つ。
【００５０】
【数７】
0004209133.tif 000008
【００５１】
減衰定数の変動は、基底関数が部分的に、１組の離散したサンプル点内のより不透明な領域によって覆われることを指示する。それゆえ、この変動は、「ソフト」エッジとして解釈することができる。そのような状況を無視することは、エッジエイリアシングを防ぐことができないことを意味する。再びこれは表面をレンダリングすることに類似であり、その場合に、エッジおよびテクスチャエイリアシングは異なるプロセスによって同様に取り扱われる。
【００５２】
これらの簡略化を用いると、式（６）を以下のように書き換えることができる。
【００５３】
【数８】
0004209133.tif 000009
【００５４】
ここで、
【００５５】
【数９】
0004209133.tif 000010
【００５６】
を理想的なリサンプリングフィルタと呼ぶ。このリサンプリングフィルタは、フットプリント関数ｑｋとローパスフィルタｈとを組み合わせる。それゆえ、フットプリント関数ｑｋを理想的な連続リサンプリングフィルタρｋで置き換えることにより、アンチエイリアシングされたスプラッティングが実行される。これは、出力関数Ｉλ（（＾）ｘ）全体を帯域制限する代わりに、各フットプリント関数が個別に帯域制限されることを意味する。
【００５７】
上記の条件下で、本発明によるスプラッティングは、ラスタ画像のナイキスト周波数を考慮する帯域制限された出力関数を生成し、それゆえ、エイリアシングによるアーティファクトを回避する。復元核はレイ空間において積分され、結果として、ボリュームにわたって大きさおよび形状が著しく変化するフットプリント関数が生成されることを思い起こされたい。それゆえ、１つの利点として、本発明の復元核は大きな空間多様性を有する。
【００５８】
フットプリントの一様なスケーリングに基づく、スプラッティングのためのアンチエイリアシング技術は、Ｓｗａｎ他による文献によって記載される。その技術は、径方向に対称なフットプリントの場合にのみ良好な結果を生成する。しかしながら、さらに一般的な核の場合、たとえば楕円形の核の場合、Ｓｗａｎ他の文献による一様なスケーリングは、理想的なローパスフィルタ処理を良好に近似しない。Ｓｗａｎ他による文献の技術は、エイリアシングを回避するために、さらに輪郭を不鮮明にしてしまう。対照的に、本発明の方法は、以下に記載されるように、これらの場合において一様でないスケーリングを提供し、優れた画像品質に導く。
【００５９】
楕円重み付け平均ガウス復元核
ここで、有利な特徴を有するため、楕円３Ｄガウス復元核が選択される。ガウス復元核は、アフィンマッピングおよびたたみ込みによって閉塞され、１つの座標軸に沿って３Ｄガウス復元核を積分する結果として、２Ｄガウス復元核が生成される。これらの特性によって、以下に記載されるように、１つの２Ｄガウスによる式（８）の連続リサンプリング核を解析的に表現できるようになる。
【００６０】
このセクションでは、連続した復元核の特徴を如何に利用するかについて記載する。
【００６１】
点ｐを中心した楕円ガウスＧｖ（ｘ−ｐ）は分散行列Ｖを用いて以下のように定義される。
【００６２】
【数１０】
0004209133.tif 000011
【００６３】
ただし、｜Ｖ｜はＶの行列式である。この形では、ガウス核は単位積分に正規化される。ボリューム復元核の場合、Ｇｖは３Ｄ関数であり、それゆれ、Ｖは対称な３×３の行列であり、ｘおよびｐはそれぞれベクトル（ｘ０，ｘ１，ｘ２）Ｔおよび（ｐ０，ｐ１，ｐ２）Ｔである。
【００６４】
ここで、任意のアフィンマッピングｕ＝Φ（ｘ）がこのガウス核に適用される。そのアフィンマッピングはΦ（ｘ）＝Ｍｘ＋ｃである。ただしＭは３×３行列であり、ｃはベクトル（ｃ０，ｃ１，ｃ２）Ｔである。式（９）にｘ＝Φ−１（ｕ）を代入すると、以下の式が生成される。
【００６５】
【数１１】
0004209133.tif 000012
【００６６】
さらに、分散行列ＶおよびＹを有する２つのガウス関数をたたみ込むと、分散行列Ｖ＋Ｙを有する１つのガウス関数が生成される。
【００６７】
【数１２】
0004209133.tif 000013
【００６８】
最後に、１つの座標軸に沿って３Ｄガウス関数Ｇｖを積分すると、２Ｄガウス関数Ｇ（＾）ｖが生成される。それゆえ、
【００６９】
【数１３】
0004209133.tif 000014
【００７０】
である。ただし、（＾）ｘ＝（ｘ０，ｘ１）Ｔおよび（＾）ｐ＝（ｐ０，ｐ１）Ｔである。２×２の分散行列（＾）Ｖは第３の行および列を省略することにより、３×３行列Ｖから求められる。
【００７１】
【数１４】
0004209133.tif 000015
【００７２】
ビューイング変換
３Ｄ復元核が最初に、座標ｔ＝（ｔ０，ｔ１，ｔ２）Ｔを有する物体空間１０２において定義される。物体空間内の核は以下の式によって表される。
【００７３】
【数１５】
0004209133.tif 000016
【００７４】
ただしｔｋは物体空間内のサンプル点である。規則的なボリュームデータセットの場合、分散行列Ｖｋ”は通常、単位行列である。直交データセットの場合、分散行列は、行列成分が各座標軸に沿ったサンプル点間の距離の二乗を含む対角行列である。曲線ボリュームの場合、分散行列は、Ｍａｏ他による「Splatting of Curvilinear Volumes」（IEEE Visualization '95 Proc., pages 61- 68, 1995）に記載されるように決定することができる。
【００７５】
ここで、ベクトルｕ＝（ｕ０，ｕ１，ｕ２）Ｔはカメラ空間１０３の座標を表す。物体座標は、ビューイング変換１１０と呼ばれる、アフィンマッピングｕ＝ψ（ｔ）を用いて、カメラ空間に変換される。それは行列Ｗと、平行移動ベクトルｄとによってψ（ｔ）＝Ｗｔ＋ｄとして定義される。ここで、ｔ＝ψ−１（ｕ）を代入し、式（１０）を用いて、以下の式を生成することにより、復元核ＧＶｋ’’＝（ｔ−ｔｋ）がカメラ空間に変換される。
【００７６】
【数１６】
0004209133.tif 000017
【００７７】
ただし、ｕｋ＝ψ（ｔｋ）は、カメラ座標内のガウス復元核の中心であり、ｒｋ’（ｕ）はカメラ空間内の復元核を表す。式（１０）によれば、カメラ座標Ｖｋ’内の分散行列は、Ｖｋ’＝ＷＶｋ”ＷＴによって与えられる。
【００７８】
投影変換
投影変換１２０は、図３ａに示されるようなカメラ座標を、図３ｂに示されるようなレイ座標に変換する。カメラ空間は、カメラ空間の原点が投影の中心３０１にあり、投影平面が平面３０２ｕ２＝１であるように定義される。カメラ空間およびレイ空間は、マッピングｘ＝ｍ（ｕ）によって関連付けられる。それゆえ、上記のレイ空間の定義を用いて、ｍ（ｕ）およびその逆行列ｍ−１（ｕ）は以下の式によって与えられる。
【００７９】
【数１７】
0004209133.tif 000018
【００８０】
および
【００８１】
【数１８】
0004209133.tif 000019
【００８２】
ただし、このマッピングはアフィン的ではなく、式（１０）を、カメラ空間からレイ空間に復元核を変換するために直接に適用することができないという問題がある。
【００８３】
この問題を解決するために、投影変換の局所的アフィン近似ｍｕｋが与えられる。この近似は、点ｘｋ３０３におけるｍのテイラー展開の最初の２項によって定義される。
【００８４】
【数１９】
0004209133.tif 000020
【００８５】
ただし、点ｘｋ３０４はｍ（ｕｋ）に等価であり、レイ空間内のガウス復元核の中心である。ヤコビアンＪｕｋは、点ｕｋ３０３におけるｍの偏導関数によって与えられる。
【００８６】
【数２０】
0004209133.tif 000021
【００８７】
以下では、下付き文字ｕｋは省略され、それゆえｍ（ｕ）は、式（１７）の局所的アフィン近似を表す。式（１４）にｕ＝ｍ−１（ｘ）を代入し、式（１０）を適用して、復元核をレイ空間１０４にマッピングし、ｒｋ（ｘ）のための所望の表現を生成する。
【００８８】
【数２１】
0004209133.tif 000022
【００８９】
ただし、Ｖｋはレイ座標の分散行列である。式（１０）によれば、Ｖｋは以下の式によって与えられる。
【００９０】
【数２２】
0004209133.tif 000023
【００９１】
一様あるいは直交サンプルセットの場合、Ｖｋ’はフレーム当たり一度だけ決定されなければならないことに留意されたい。なぜなら、Ｖｋ”は全てのサンプル点の場合に同じであり、Ｗはフレーム間でのみ変化するためである。
【００９２】
しかしながら、ヤコビアンが各サンプル点の場合に異なるため、Ｖｋは各サンプル点の場合に再度計算されなければならない。曲線あるいは不規則なボリュームの場合には、各３Ｄ復元核は個別の分散行列Ｖｋ”を有する。本発明による方法は、３×３行列の乗算を一回追加することしか必要とせずにこの状況を的確に取り扱う。
【００９３】
対照的に、従来技術の方法は、最初にスクリーン空間内のその投影される範囲を決定し、その後その投影を円形のフットプリントにマッピングすることにより、異方性の３Ｄ復元核に労力をかけて対処する。それらの方法は計算にコストがかかり、Ｍｕｅｌｌｅｒ他およびＳｗａｎ他によって指摘されるように、復元核の積分の良好な近似にはならない。
【００９４】
図４ａは本発明の復元核のカメラ空間１０３へのマッピングを示し、図４ｂはレイ空間１０４への局所的アフィンマッピングを示し、図４ｃは、レイ空間内の厳密なマッピングを示す。図４ｃは、厳密なマッピングにおいて非線形の効果を示すために誇張されている。局所的アフィンマッピングは、レイがそれぞれｕｋあるいはｘｋ４０２を通過する場合にのみ正確である。アフィンマッピングは基本的に不透明な正投影で透視投影を近似する。それゆえ、平行線は保存され、近似誤差はレイの発散が増大するとともに大きくなる。しかしながら、一般にその誤差によっては視覚的なアーティファクトは生じない。なぜなら、復元物と交差する扇形のレイが、核の局所的な対応領域に起因して小さな開き角しか持たないためである。
【００９５】
従来技術のスプラッティングは典型的には、フットプリント関数のカメラ空間内の多角形へのマッピングで開始する。次のステップでは、スプラッティングされた多角形がスクリーン空間に投影され、その後、フットプリント画像にラスタ化される。しかしながら、それは著しい計算作業を必要とする。
【００９６】
対照的に、本発明によるスプラッティングは、１組のサンプル点をスクリーン空間１０５に効率的に投影し、ヤコビアンの計算と、２つの３×３行列の乗算としか必要としない。その後、本発明による連続リサンプリング核は、スクリーン空間内のサンプル点に直接適用される。
【００９７】
積分および帯域制限
本発明によれば、式（５）にしたがって式（１８）のガウス復元核を積分し、ガウス（連続）基底関数ｑｋを生成する。
【００９８】
【数２３】
0004209133.tif 000024
【００９９】
ただし、基底関数の２×２の分散行列Ｖｋｑは、式（１３）に示されるように、最後の行および列を省略することによりＶｋから求められる。最後に、ガウス（連続）ローパスフィルタ関数ｈ＝ＧＶｈ（（＾）ｘ）が選択される。ただし、分散行列Ｖｈ∈Ｒ２×２は典型的には単位行列である。式（１１）を用いると、式（８）におけるたたみ込みを的確に決定することができ、本発明による連続ＥＷＡリサンプリングフィルタを生成することができる。
【０１００】
【数２４】
0004209133.tif 000025
【０１０１】
３Ｄから２Ｄへの連続復元核の低減
本発明のＥＷＡ連続復元核は任意のガウス核であるので、復元核の形状を適当に選択することにより、ボリュームデータセットを正確にレンダリングすることができる。たとえば、表面法線の方向に沿って本発明の連続復元核を平坦化することにより、等値面レンダリングの精度を改善することができる。
【０１０２】
また、極微の平坦な連続復元核は、ガウス表面テクスチャ復元核に等価である。言い換えると、本発明の３Ｄのボリューム復元核を２Ｄの表面復元核に平坦化することにより、ボリュームデータセットから表面表現を直接に抽出し、レンダリングすることができる。
【０１０３】
図５は、本発明による３Ｄおよび２Ｄ連続復元核を用いるレンダリングを示す。一方向に１／ｓだけ球状のガウス復元核５０２をスケーリングする（５２０）ことにより、物体空間１０２内に「平坦化された」ガウス復元核５０１が構成される。それゆえ、その分散行列は以下の通りである。
【０１０４】
【数２５】
0004209133.tif 000026
【０１０５】
スケールファクタｓ＝１は球状の３Ｄ核に対応する。極限では、ｓ＝∞の場合に、円形の２Ｄ核が得られる。復元核５０１〜５０２をレンダリングするために、ビューイング変換をともなう任意のモデリング変換を含む場合がある、３Ｄビューイング変換行列Ｗを最初に適用する。その後、式（１７）の局所的アフィン近似を用いて、その核をレイ空間にマッピングする。レイ空間内の復元核の分散行列Ｖは、式（１９）にしたがって決定される。行列Ｔ３Ｄは、連結された３Ｄマッピング行列Ｔ３Ｄ＝ＪＷを表し、Ｖは以下の式で表される。
【０１０６】
【数２６】
0004209133.tif 000027
【０１０７】
それゆえ、Ｖの成分ｖｉｊは以下に与えられる。
【０１０８】
【数２７】
0004209133.tif 000028
【０１０９】
ただし、ｔｉｊはＴ３Ｄの成分を表す。復元核を積分することにより、２Ｄガウス基底関数が決定される。式（１３）によれば、その２Ｄ分散行列は、Ｖの第３の行および列を省略することにより求められる。ｓが無限大に近づくにつれて、以下の２Ｄ分散行列が得られる。
【０１１０】
【数２８】
0004209133.tif 000029
【０１１１】
便宜的に、２Ｄ分散行列は２ＤマッピングＴ２Ｄに分解されることができ、Ｔ２Ｄは第３の行および列を省略することにより３Ｄマッピング行列から求められる。
【０１１２】
【数２９】
0004209133.tif 000030
【０１１３】
ここで、２Ｄマッピング行列Ｔ２Ｄが解析される。最初に、投影マッピングのヤコビアンＪのための陽関数表現を計算する。式（１５）を用いて、それは以下の式によって与えられる。
【０１１４】
【数３０】
0004209133.tif 000031
【０１１５】
ただし、ｌ’＝‖（ｕ０，ｕ１，ｕ２）Ｔ‖である。ｌ’＝‖（ｕ０，ｕ１，ｕ２）Ｔ‖を用いると、Ｊの最初の２つの行およびＷの最初の２つの列を用いて、Ｔ２Ｄが以下の式に分解される。
【０１１６】
【数３１】
0004209133.tif 000032
【０１１７】
ただし、ｗｉｊはＷの成分である。
【０１１８】
図６に示されるように、これは、２Ｄから３Ｄへのパラメータ化６０１と３Ｄから２Ｄへの投影６０２とを連結し、合成２Ｄ−２Ｄマッピング６０３を生成することと解釈することができる。
【０１１９】
第１の段階は３Ｄ平面のパラメータ化である。それは、各円形の２Ｄテクスチャ核６１０を、３Ｄカメラ空間１０３内の２つのベクトル（ｗ００，ｗ１０，ｗ２０）Ｔ６２１および（ｗ０１，ｗ１０，ｗ２１）Ｔ６０２によって定義される平面６１１上にマッピングし、結果的に楕円６０３を生成する。第２の段階は、付加的なスケールファクタ１／ｕ２を用いる斜平行投影であり、それは透視投影の局所的アフィン近似である。最後に、式（８）のように、楕円基底関数とローパスフィルタとを組み合わせることにより、本発明によるテクスチャフィルタが生成される。
【０１２０】
ボリュームスプラッティング法
ボリュームスプラッティング法は、最も基本的な形では、以下の擬似コードによって表現することができる。
【０１２１】
【数３２】
0004209133.tif 000033
【０１２２】
各サンプル点Ｐ［ｋ］｛
スクリーン空間にＰ［ｋ］を投影；
リサンプリング核ρ［ｋ］を決定；
Ｐ［ｋ］とρ［ｋ］とをスプラッティングし、ピクセルｐ［ｘ］を生成；
各ｐ［ｘ］｛
ｐ［ｘ］をシェーディング｝
【０１２３】
以下のセクションでは、テクスチャ取得と、点サンプリングされた物体および表面のためのマッピングとを実行し、透明な物体、モデルおよび表面を取り扱い、かつエッジアンチエイリアシングを実行するために、本発明のスプラッティング法が拡張される。
【０１２４】
テクスチャフィルタおよび点サンプリングされたモデル
従来の多角形レンダリングでは、通常、テクスチャ座標は各頂点に対して格納される。これにより、レンダリングエンジンは、２Ｄテクスチャ、３Ｄ物体および２Ｄスクリーン空間の間のマッピングを、テクスチャとスクリーン空間との間の合成２Ｄ−２Ｄ直接マッピングと組み合わせることができるようになる。このマッピングを用いるとき、ピクセルの色は、レンダリング時に、２Ｄテクスチャ空間内のテクスチャサンプルを探索し、フィルタリングすることにより決定される。
【０１２５】
しかしながら、合成マッピング関数は、レンダリング時にサンプル点を用いる物体の場合に利用することできない。結果的に、物体空間内に陽関数のテクスチャ表現が格納される。点を用いる物体は、連結されることのない、３次元物体空間内の１組の不規則に配置された点サンプル｛Ｐｋ｝として表される。点サンプルＰｋは、位置ｕｋおよび法線を有する。各サンプル点は、式（２）において先に記載されたように、関連する復元核を有する。
【０１２６】
前処理ステップ中にテクスチャを取得するために、この基底関数は、重み付け係数ｗｋを有するテクスチャ関数ｒｋに名称変更される。表面テクスチャ処理のための本発明によるテクスチャ取得プロセスが記載されるが、同じプロセスがボリュームテクスチャ処理の場合にも用いることができることは理解されたい。
【０１２７】
テクスチャ取得
レンダリング中に後処理ステップとしてテクスチャマッピングを実行する代わりに、本発明によるテクスチャが予め計算される。式（２）によって記載されるような基底関数がテクスチャ空間にマッピングされる。そこでは、それは常に楕円の形をとる。テクスチャ空間内の基底関数を数値計算し、後に物体空間内のサンプル点に割り当てられるテクスチャ値（色）が決定される。表（Table）Ａを参照されたい。
【０１２８】
基底関数の決定
上記のように、基底関数ｒｋは分散行列Ｖｑを有するガウス関数である。２Ｄでは、式（２２）の分散行列を以下のように簡略化することができる。
【０１２９】
【数３３】
0004209133.tif 000034
【０１３０】
それは、ガウス関数をｈだけスケーリングする。たとえば、側長（side-length）ｈは全体として、位置ｕｋをサンプリングする取得プロセスによって与えられる。別の可能性として、値ｈは、小さな近傍内のサンプル点間の最大距離として選択される。この値は予め計算され、階層データ構造に格納することができる。
【０１３１】
重み付け係数の決定
本発明では、式（２）においてｇｋとして表された、重み付け係数ｗｋを決定する際に、２つの異なる状態間を区別する。その状態は、サンプル点毎に色を有する物体と、サンプル点による物体を有するテクスチャマッピングである。
【０１３２】
サンプル点毎に色を有する物体
レーザレンジスキャナ、あるいは受信専用の映像システムのような多くのイメージングシステムは、レンジおよび色の情報を直接に取得する。そのような場合に、取得プロセスは、各サンプル点のための色サンプルｃｋを提供する。不規則な１組のサンプルｃｋから、未知の原図のテクスチャ関数の連続した表面近似ｆｃ（ｕ）が決定される。
【０１３３】
１つの計算上での妥当な近似は、テクスチャ関数ｒｋを正規化し、単位の分割を形成する、すなわち全ての場所において１まで加算することである。その際、そのサンプルを係数として用いて、それゆえｗｋ＝ｃｋとして用いて、そのサンプルｃｋの重み付けされた和を形成する。
【０１３４】
【数３４】
0004209133.tif 000035
【０１３５】
ただし、（＾）ｒｋは、正規化されたテクスチャ関数である。
【０１３６】
サンプル点による物体のテクスチャマッピング
画像あるいは手続記述テクスチャが点サンプリングされた構造に明示的に適用される際に、前処理ステップとして、物体空間からテクスチャ空間へのマッピング関数が提供される。これにより、連続テクスチャ関数を、座標ｕを有する物体空間から座標ｓを有するテクスチャ空間に歪ませることができる。その際、ｃｋがそのテクスチャを最適に近似するように、（ｕ）のための未知の係数ｗｋが決定される。
【０１３７】
サンプルｃＩと、テクスチャのサンプリング位置ｓｉから、テクスチャ復元核ｎ（ｓ）を用いて、連続テクスチャ関数ｃｃ（ｓ）が復元され、以下の式が生成される。
【０１３８】
【数３５】
0004209133.tif 000036
【０１３９】
また、本発明による方法では、テクスチャ復元核は、単位分散を有するガウス核であり、規則的なテクスチャの場合に共通に選択される。物体空間からテクスチャへのマッピングｕ＝ｔ（ｓ）を適用するとき、歪みを生じたテクスチャ関数（〜）ｆｃ（ｕ）は以下の式によって与えられる。なお、（〜）ｆは、ｆの上に〜があることを表わす。
【０１４０】
【数３６】
0004209133.tif 000037
【０１４１】
（〜）ｆｃ（ｕ）を用いて、表面関数ｆｃ（ｕ）によって与えられる近似の誤差が最小になるように、重み付け係数ｗｋが決定される。Ｌ２ノルムを用いると、その問題は以下の関数を最小にすることになる。
【０１４２】
【数３７】
0004209133.tif 000038
【０１４３】
ただし、ｗ＝（ｗｊ）は未知の係数のベクトルを表す。Ｆ（ｗ）がその係数の二次関数であるので、それは、∇Ｆ（ｗ）＝０において最小値を有し、１組の線形方程式を生成する。
【０１４４】
１つの線形システムをＲｗ＝ｃを定義することができる。行列Ｒおよびベクトルｃの成分は内積によって与えられる。
【０１４５】
【数３８】
0004209133.tif 000039
【０１４６】
および
【０１４７】
【数３９】
0004209133.tif 000040
【０１４８】
テクスチャ関数ｒｋが正規直交である場合には、内積は＜ｒｋ，ｒｊ＞＝δｋｊによって与えられる。ただし、ｋ＝ｊの場合にはδｋｊ＝１であり、それ以外の場合にはδｋｊ＝０である。結果として、Ｒは単位行列であり、その係数は、以下の式によってＥＷＡフィルタにおけるように決定される。
【０１４９】
【数４０】
0004209133.tif 000041
【０１５０】
テクスチャ関数ｒｋが正規直交である場合には、内積は＜ｒｋ，ｒｊ＞＝δｋｊによって与えられる。ただし、ｋ＝ｊの場合にはδｋｊ＝１であり、それ以外の場合にはδｋｊ＝０である。結果として、Ｒは単位行列であり、その係数は、以下の式によってＥＷＡフィルタにおけるように決定される。
【０１５１】
【数４１】
0004209133.tif 000042
【０１５２】
透明性
本発明による方法は、１回のレンダリングパスおよび固定サイズのフレームバッファを用いて、順序に無関係な透明性を提供する。その一般的な概念は、いくつかの層あるいはシートバッファを含み、各シートバッファが表Ａに掲載されるピクセルデータを格納するようなフレームバッファを用いることである。
【０１５３】
シートバッファは各ピクセルにおいて断片を格納する。その断片の目的は、そのピクセルに対する１つの表面の寄与を収集することである。全てのサンプル点がスプラッティングされた後、シートバッファは後から前に合成され、最終的なピクセルの色が生成される。ピクセル当たり、少ない決まった数ｌの断片が存在する場合には、断片の数が予め設定された限度ｌを超える際に必ず断片が併合される。
【０１５４】
透明性ｒに対して、そのスプラッティングは以下のように拡張される。
【０１５５】
リサンプリング核のスプラッティング
１つの層から形成されるフレームバッファとは対照的に、ここでは、いくつかの層を有するフレームバッファが用いられる。各層はピクセル当たり１つの断片を格納する。１つのピクセルにスプラッティングされる各寄与は、３つのステップで処理される。
【０１５６】
累積あるいは個別判定
上記のようなｚ閾値を用いるとき、そのピクセルの全ての断片が、それらが新しい寄与と同じ表面のデータを含むか否かを確認するために検査される。同じ表面のデータを含む場合には、その寄与が断片に加えられ、終了する。そうでない場合には、新しい寄与が個別の表面として取り扱われ、一時的な断片がそのデータで初期化される。
【０１５７】
新しい断片の挿入
一時的な断片を含む断片の数が限度ｌより小さい場合には、その一時的な断片は、そのフレームバッファ内の空きスロットにコピーされ、終了する。
【０１５８】
断片の併合
上記の処理が誤っている場合には、２つの断片が併合される。併合する前に、その断片がシェーディングされる。
【０１５９】
断片が併合されるとき、情報の中には必然的に失われるものもあり、視覚的なアーティファクトが生じる場合もある。これらの影響は、適当な併合方式を用いることにより最小限に抑えられる。不都合なことに、そのシーンがレンダリングされている際に判定が行われなければならないという事実によって、次のレンダリング動作についての情報がなければ、その状況が複雑になるという問題がある。断片を併合するための主な判定基準は、それらのｚ値間の差である。これは、２つの併合される表面間に他の表面が存在し、後にレンダリングされる機会を低減する。この場合に、不正確な後から前への混合によって、視覚的なアーティファクトが導入される場合がある。
【０１６０】
断片が併合されることが可能になる前に、その最終的な色がシェーディングによって決定される。シェーディングされた断片は、表Ａに見られるように、その累積された重みを負の値に設定することにより指示される。これは、それらが一度で正確にシェーディングされることを保証する。併合されることになる前後の断片の色およびα値はそれぞれｃｆ；αｆおよびｃｂ；αｂである。併合される断片の色およびα値ｃ０；α０は、以下の式を用いて計算される。
【０１６１】
【数４２】
0004209133.tif 000043
【０１６２】
また必要なら、断片は第２のパスにおいてもシェーディングされることができる。シェーディングの後、各ピクセルの断片は、上記の式に示されるように後から前に混合され、最終的なピクセルの色が生成される。
【０１６３】
エッジアンチエイリアシング
エッジアンチエイリアシングを実行するために、断片内の表面の部分的な適用範囲についての情報が必要とされる。点による表現の場合、適用範囲を近似するための１つの方法は、ピクセル面積当たりの投影される点サンプルの密度を推定することである。その後、適用範囲は、その断片内のサンプル点の実際の密度を測定し、測定された値を推定された値で割ることにより決定される。
【０１６４】
この推定を明確に決定するのではなく、本発明は、ガウス基底関数が規則的な格子上に配置され、単位分散を有するという簡略化した仮定を行う。この場合に、基底関数は単位の分割を近似する。言い換えると、基底関数は任意の点において１まで加算するものと仮定する。この定数関数を歪ませ、帯域制限する結果として、再び定数関数が生成される。それゆえ、リサンプリング核の和ｑは、任意の点で、具体的には全ての断片ｘにおいて概ね１である。
【０１６５】
【数４３】
0004209133.tif 000044
【０１６６】
ある断片においてｑが１より小さい場合には、これは、そのテクスチャがそのピクセルを完全には覆わず、ｑを適用範囲係数として用いることができることを示す。不規則な格子の場合、単位の分割の近似の信頼性は低くなる。さらに、ガウス核は有限の対応領域に打ち切られる。
【０１６７】
打ち切り半径ｃ＝１を用いる場合、全適用範囲を指示するための閾値τ＝０：４は概ね良好な結果を生成する。１つのピクセルの適用範囲ｑ’はｑ’＝ｑ／τである。
【０１６８】
エッジアンチエイリアシングは、断片のα値をその適用範囲係数と乗算することにより実施される。その断片の最終的なα値、α’は以下の通りである。
【０１６９】
【数４４】
0004209133.tif 000045
【０１７０】
結果
図７は、本発明による連続した復元核の有用な特性と、従来技術のフットプリントフィルタより優れたその利点とを示す。列７０１、７０２、７０３はそれぞれ縮小スケーリング、拡大スケーリング、異方性スケーリングを示しており、異方性スケーリングの場合には、核はある方向において縮小され、同時に別の方向において拡大される。行７１１および７１２はそれぞれ、本発明の連続基底関数および連続ローパスフィルタ関数を示す。行７１３は、列７０１〜７０３における種々の条件下で、基底関数とローパスフィルタ関数とを組み合わせることから生じる連続した復元核を示す。行７１４は、同じ条件下の従来の楕円リサンプリングフィルタを示す。明らかに、従来技術のフィルタは、全ての条件を適切に取り扱うことができない。
【０１７１】
列７０１に示されるように、復元核の大きさおよび形状は、カメラ空間からレイ空間へのマッピングがそのボリュームを縮小する際に、ローパスフィルタ７１２によって支配される。
【０１７２】
列７０２に示されるように、復元核は、そのボリュームが拡大される際に、基底関数によって支配される。本発明の復元核７１３は基底関数７１１とローパスフィルタ関数とを組み合わせるので、拡大と縮小との間を円滑に移行させることができる。
【０１７３】
列７０３に示されるように、本発明の復元核は、そのサンプルがある方向に縮小され、別の方向に拡大される際には、異方性を有して良好にスケーリングされる。
【０１７４】
列７１４は、エイリアシングを回避するために一様にスケーリングされる従来技術のリサンプリングフィルタを示す。そこでは、復元核は、その短径がローパスフィルタの短径と少なくとも同じ長さになるように概ね拡大される。楕円フットプリント関数の場合、一様なスケーリングにより、楕円の長径（major axis）の方向において過度に輪郭が不鮮明な画像が生成される。
【０１７５】
図８ａは、本発明による復元核でレンダリングされる画像８０１を示す。図８ｂは、従来技術の一様にスケーリングされるリサンプリングフィルタでレンダリングされる画像８０２を示す。１０２４×５１２×３ピクセルのｘおよびｙ寸法を有する正方形の縞模様が行８１１に示され、行８１２には１０２４×２５６×３のものが示される。これにより、それぞれ２：１および４：１の長径および短径の長さ間の比を有する楕円核になる。
【０１７６】
明らかに、本発明による連続した復元核は、従来技術の画像において問題となるエイリアシングによるアーティファクトを生じることなく、より鮮明な画像を生成する。復元核の長径と短径との比が大きくなると、本発明の方法と従来技術の方法との間の差がより顕著になる。異方性の大きい核の場合、従来技術の一様なスケーリングは、図８ｂの画像に示されるように、過度に輪郭が不鮮明な画像を生成する。
【０１７７】
図９ａ、ｂには、３Ｄ「ボリューム」復元核と、２Ｄ「表面」復元核とによってレンダリングされる画像９０１が示される。そのテクスチャの大きさはｘおよびｙ方向において５１２×５１２である。典型的には、球形の核の透視投影はほとんど円形になる。それゆえ、ボリューム核のレンダリングは異方性のテクスチャフィルタリングを示すことはなく、３本線のミップ−マッピング（mip-mapping）のような等方性のテクスチャフィルタリングと同様に、拡大された差込み図９１０に示されるように、輪郭が不鮮明なテクスチャを生成する。一方、スプラッティング表面核は、ＥＷＡテクスチャフィルタリングと等価である。円形の表面核は楕円にマッピングされ、その結果として、差込み図９２０に示されるように、異方性のフィルタリングによる高画像品質が達成される。
【０１７８】
実装の細部
図１０に示されるように、以下に記載されるように、１組の離散したサンプル点１０１から連続した画像が生成される。最初に、各サンプル点Ｐｋがスクリーン空間内の位置ｍ（ｕｋ）に投影される（１００５）。各離散したサンプル点の場合に、最初に式（２４）のようなヤコビアン（Ｊ）を決定することにより（１０１０）、対応する連続した復元核が生成される（１００２）。その後、式（１９）にしたがって、レイ空間１０３内の各復元核のための分散行列（Ｖ）が決定される（１０２０）。次に、式（２０）にしたがって復元核を積分し、基底関数ｑｋ（（＾）ｘ）を生成する（１０３０）。式（２１）のように、その基底関数とローパスフィルタｈとがたたみこまれ（１０４０）、スクリーン空間１０５内の各離散したサンプル点のための連続した復元核ρｋ（（＾）ｘ）が生成される（１００２）。
【０１７９】
復元核はｍ（ｕｋ）を中心に存在し、各復元核を、スクリーン空間内に投影される、その対応する離散したサンプル点に適用する（スプラッティングする）ことにより（１０６０）、各サンプル点に対して数値計算され、連続した画像の連続したサンプルが生成される。
【０１８０】
スクリーン空間内のピクセル格子は規則的であるので、復元核はラスタ化によって効率的に数値計算される（１０７０）。スプラッティングは、リサンプリング核のラスタ化であることが効率的である。ラスタ化は、長方形の境界をなす矩形領域において前方差分を用いることができ、１Ｄの一般的な参照テーブルを用いることができる。一般に、あるシーンの奥行き複雑性は１より大きく、それゆえ、表面がシートバッファにスプラッティングされる際に、種々の表面の寄与を分離するために、あるプロセスが必要とされる。結果として、Ｐｋにおける接平面のｚ値は、核によって覆われる各ピクセルにおいて決定される。これは同様に前方差分によって行うことができる。
【０１８１】
核がラスタ化されるとき、シートバッファにラスタ化されたピクセルが蓄積される。シートバッファは、投影平面に概ね平行である１組のサンプル点の平面に対応する。新しい寄与が、あるピクセルのために既に格納されている同じ表面に属するか否かを判定するために、新しい値と、そのフレームバッファに格納されるｚ値との間の差が所定の閾値と比較される。その差が閾値よりも小さい場合には、その寄与はピクセルに加えられる。そうでない場合には、より視点に接近していることものと考えて、シートバッファのデータが新しい寄与によって置き換えられる。シートバッファは、後から前の順序でフレームバッファに合成される（１０８０）。
【０１８２】
あるシーンの全てのサンプル点がスプラッティングされた後にシェーディングを行うことにより、遅延されたシェーディングを用いることが好ましい。これにより、視認できないサンプル点をシェーディングすることが回避される。代わりに、各ピクセルは、勾配推定を用いて、フィルタリングされた表面法線を判定するためにシェーディングされる。シェーダのためのパラメータは、材料の特性を有するテーブルに索引を介してアクセスされる。表Ａを参照されたい。マッピングのような、高度なピクセルシェーディング法を同様に実施することができる。
【０１８３】
さらに、出力画像１００９を生成するために、よく知られているフォンの照明モデルを適用することができる。スプラッティング前に、シェーディングを行うこともできることに留意されたい。リアルタイムアプリケーションが、ハードウエアパイプライン、おそらくシングルチップとしてレンダリングプロセスを実施することが一般的である。米国特許第６，００８，８１３号「Real-Time PC Based Volume Rendering System」を参照されたい。それゆえ、図１０の機能ブロックを実装する手段として、リアルタイムアプリケーションのためのハードウエアが用いられることが好ましい。
【０１８４】
上記のように、オプションの前処理ステップ２０は、モデル１０、たとえば多角形モデルからテクスチャを取得することにより、テクスチャフィルタリングを実行し、モデル１０を離散した点サンプルモデル１０１に変換することができる。
【０１８５】
【発明の効果】
ボリュームおよび点サンプル表面レンダリングのための新しいスプラットプリミティブが記載されてきた。このプリミティブは、楕円重み付け平均ＥＷＡ連続リサンプリングフィルタと呼ばれる。本発明によるプリミティブは、スプラッティング法のための高品質のアンチエイリアシングを提供する。上記の方法は、楕円ガウス復元核とガウスローパスフィルタと組み合わせる。リサンプリング核を決定するために、新しいアプローチが用いられる。２Ｄおよび３Ｄガウス復元核の特徴を利用して、本発明による方法は、任意の楕円復元核および透視投影を効率的に取り扱う。それゆえ、本発明のスプラットプリミティブは、規則的、直交、曲線および不規則ボリュームおよび点サンプルデータセットをレンダリングするために非常に適している。
【０１８６】
インタラクティブなフレームレートを達成するために、グラフィクスハードウエアレンダリングエンジンを用いて、本発明のＥＷＡスプラットを、テクスチャマッピングされた多角形としてラスタ化することができる。また、画像平面に平行なシートバッファを用いて、「ポッピング」アーティファクトをなくすこともできる。非直交データセットをレンダリングするために、後から前へのソートプロセスをレンダリング前に適用することができる。さらに、本発明のスプラットプリミティブは、シェーディング後ボリュームレンダリングパイプラインにおいて用いることができる。本発明のＥＷＡ復元核の導関数を、帯域制限された勾配核として用いることもできる。結果として、雑音を含むボリュームデータのためのシェーディングによって引き起こされるエイリアシングは回避される。選択除去プロセスとともに、本発明の方法は、リアルタイム等値面レンダリングのためにも有用である。本発明によるボリュームスプラッティング法は、雲、火、および３Ｄ医療用走査のようなボリュームを用いるモデルにも適用することができる。
【０１８７】
本発明は、好ましい実施形態の例を用いて記載されてきたが、種々の他の適合形態および変更形態が、本発明の精神および範囲内で行われる場合があることは理解されよう。それゆえ、併記の特許請求の範囲の目的は、本発明の真の精神および範囲内に入るような全てのそのような変形形態および変更形態を網羅することである。
【図面の簡単な説明】
【図１】  本発明によるボリュームデータセットにおける変換のブロック図である。
【図２ａ】  ボリュームレンダリングのブロック図である。
【図２ｂ】  スプラッティング関数のブロック図である。
【図３ａ】  カメラ空間からレイ空間への変換のブロック図である。
【図３ｂ】  カメラ空間からレイ空間への変換のブロック図である。
【図４ａ】  カメラ空間からレイ空間への復元核の変換のブロック図である。
【図４ｂ】  カメラ空間からレイ空間への復元核の変換のブロック図である。
【図４ｃ】  カメラ空間からレイ空間への復元核の変換のブロック図である。
【図５】  本発明による３Ｄ復元核及び２Ｄ復元核の図である。
【図６】  等値面レンダリングのステップの図である。
【図７】  本発明による復元核の特性のブロック図である。
【図８ａ】  従来技術のスプラッティングの画像である。
【図８ｂ】  本発明によるスプラッティングの画像である。
【図９ａ】  ボリュームスプラッティングの画像である。
【図９ｂ】  表面スプラッティングの画像である。
【図１０】  本発明による、１組の離散したサンプル点から連続した画像を生成するための構成を示すブロック図である。
【図１】
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【図２ａ】
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【図２ｂ】
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【図３ａ】
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【図３ｂ】
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【図４ａ】
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【図４ｂ】
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【図４ｃ】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８ａ】
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【図８ｂ】
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【図９ａ】
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【図９ｂ】
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【図１０】
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