(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
目的信号の中心周波数ｆ０が、周波数ｆ＝±ｆＳ／４に写像されるようなサンプリング周波数ｆＳでサンプリングされたサンプリングデータを順次入力し、
入力された時系列に列ぶサンプリングデータを実数部および虚数部に交互に分岐する分岐処理、
前記時系列に列ぶ実数部および虚数部において、順次入力されたサンプリングデータの符号を１つおきに反転するシフト処理、
デジタルフィルタの係数を１つずつ交互に、シフト処理された実数部のサンプリングデータおよび虚数部のサンプリングデータに乗算し、実数部、虚数部毎に乗算結果を集計して実数部データ、虚数部データとする複素化処理、
を有する信号処理方法。
【請求項２】
前記順次入力されるサンプリングデータは、目的信号の中心周波数ｆ０であるキャリア周波数ｆＣに対して、ｋ＝０，１，２，…として、ｆＳ＝４ｆＣ／（４ｋ＋１）またはｆＳ＝４ｆＣ／（４ｋ＋３）となるようなサンプリング周波数ｆＳでサンプリングされたサンプリングデータである請求項１に記載の信号処理方法。
【請求項３】
前記デジタルフィルタは、フィルタ長が偶数である請求項１または請求項２に記載の信号処理方法。
【請求項４】
前記デジタルフィルタは、フィルタ長が奇数である請求項１または請求項２に記載の信号処理方法。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
この発明は、キャリア信号に重畳された目的信号を複素データとして取り出す信号処理方法に関する。
【０００２】
【従来の技術】
無線通信システム等では、データを複素数として取り扱うことが一般的である。受信信号から複素数データを求めるため、２個のアナログミキサを用い、キャリアと同じ周波数をもつ２種類の正弦波をリファレンス信号として乗算する直交検波方式が従来より用いられている。図２５に上記２個のアナログミキサを用いる受信装置のブロック図を示す。
【０００３】
上記２種類の信号は、位相が９０度シフトされた信号であり、通常、コサイン、サインの信号を使用する。乗算器であるミキサの出力には、周波数ゼロ近傍と、キャリアの２倍の周波数近傍にスペクトルを持つ信号が現れる。この２倍の周波数成分をローパスフィルタで除去することによって、周波数ゼロ近傍のベースバンド信号のみを取り出すことができる。
【０００４】
【発明が解決しようとする課題】
しかし、アナログ素子であるミキサを使用する限り、実数チャンネルＩ（ｉｎ−ｐｈａｓｅ：同相成分）、虚数チャンネルＱ（ｑｕａｄｒａｔｕｒｅ：直交成分）の両チャンネルの信号の位相、振幅のマッチングをとることが非常に困難になる。また、アナログ部品の特性のバラツキ、温度変化、経年変化による特性劣化の問題を抱えている。
【０００５】
そこで、アナログフロントエンドの段階でＡ／Ｄ変換し、ディジタル処理で目的信号の復調を行うことが考えられるが、キャリア周波数の２倍よりも高い周波数で直接サンプリングすることはデータ量が増加し、ハードウェアの規模が大きくなるなどのため、キャリア周波数の２倍よりも低い周波数でサンプリングするアンダーサンプリングが考えられる。
【０００６】
しかし、アンダーサンプリングされた離散時間信号には多くの折り返しスペクトルが含まれているため、これを除去するための急峻なフィルタリングが必要である。また、サンプリングされた実数値信号を複素数データに変換するためには極めて複雑な指数演算が必要である。これらの演算をリアルタイムで処理するためには極めて高速な処理装置が必要となるという問題点があった。
【０００７】
この発明は、アンダーサンプリングでサンプリングされた信号を極めて簡略な処理でフィルタリングするとともに複素データ化することのできる信号処理方法を提供することを目的とする。
【０００８】
さらに、この発明は、信号の持つ最高周波数の少なくとも２倍の周波数でサンプリングした信号を極めて簡略な処理でフィルタリングするとともに複素データ化することのできる信号処理方法を提供することを目的とする。
【０００９】
【課題を解決するための手段】
請求項１の発明は、目的信号の中心周波数ｆ０が、周波数ｆ＝±ｆＳ／４に写像されるようなサンプリング周波数ｆＳでサンプリングされたサンプリングデータを順次入力し、
入力された時系列に列ぶサンプリングデータを実数部および虚数部に交互に分岐する分岐処理、
時系列に列ぶ実数部および虚数部において、順次入力されたサンプリングデータの符号を１つおきに反転するシフト処理、
デジタルフィルタの係数を１つずつ交互に、シフト処理された実数部のサンプリングデータおよび虚数部のサンプリングデータに乗算し、実数部、虚数部毎に乗算結果を集計して実数部データ、虚数部データとする複素化処理、
を有することを特徴とする。
【００１０】
請求項２の発明は、請求項１の発明において、順次入力されるサンプリングデータは、目的信号の中心周波数ｆ０であるキャリア周波数ｆＣに対して、ｋ＝０，１，２，…として、ｆＳ＝４ｆＣ／（４ｋ＋１）またはｆＳ＝４ｆＣ／（４ｋ＋３）となるようなサンプリング周波数ｆＳでサンプリングされたサンプリングデータであることを特徴とする。
【００１１】
請求項３の発明は、請求項１、２の発明において、デジタルフィルタは、フィルタ長が偶数であることを特徴とする。
【００１２】
請求項４の発明は、請求項１、２の発明において、デジタルフィルタは、フィルタ長が奇数であることを特徴とする。
【００１３】
この発明は、図１（Ａ）に示すようなキャリアに重畳された目的信号を離散時間信号として復元するためのものである。この目的信号は周波数軸上では、同図（Ｂ）のようにキャリア周波数を中心とするスペクトルとして現れる。この信号を、たとえば、ｆS ＝４ｆ0 となるようなサンプリング周波数ｆS でサンプリングすると、図２（Ａ）に示すようなスペクトルが周波数軸上に写像される。このうちハッチングしたスペクトルを取り出して復元する。なお、この図では０〜πに写像されたスペクトルを復元するようにしているが、−π〜０に写像されたスペクトルを復元するようにしてもよい。また、信号を、たとえば、ｆS ＝４ｆ0 ／３となるようなサンプリング周波数ｆS でアンダーサンプリングすると０〜πに写像されるスペクトルが反転するが、これを演算で再度反転して復元してもよい。
【００１４】
このスペクトルは、上記したようにｆS ＝４ｆ0 でサンプリングされたものであるため、そのサンプリング点は、同図（Ｃ）の複素平面、同図（Ｂ）の時間軸に示すような４点（＋Ｉ，＋Ｑ，−Ｉ，−Ｑ）であると考えることができる。
【００１５】
したがって、図３（Ａ）に示すようにこれを交互に実数部および虚数部に分岐し、さらに実数部、虚数部において１つおきに符号を反転することによって、実数部データ、虚数部データを復元することができる。この処理を、周波数軸で考えると、図２（Ａ）に示す中心周波数がπ／２（ｆS ／４）シフトされたスペクトルをベースバンドにシフトする処理になっている。すなわち、この処理によりスペクトルの中心周波数ｆ0 が０にシフトされる。
【００１６】
しかし、図３（Ｂ）に示すようにこの実数部データと虚数部データは、交互でありそれぞれ１サンプリング時刻ずつずれたものになっている。また、図２（Ａ）に示すようにアンダーサンプリングした場合には、目的のスペクトル以外に折り返しスペクトルが発生している。この不要スペクトルを除去するためにローパスフィルタのフィルタ演算を行うが、このときサンプリング時刻のずれに合わせて間隔をあけてフィルタ演算を行うことにより、フィルタの補間効果によってサンプリング時刻のずれを解消することができる。すなわち、図４に示すようにサンプリング時刻がずれていてもその時刻に合わせたフィルタ係数を乗算することにより、その時刻に合わせた重み付けが行われ、フィルタからの出力はそのフィルタ長の中心時刻のものとして扱うことができるようになる。
【００１７】
【発明の実施の形態】
図５は、受信信号をミキサによってダウンコンバートすることなく、アンダーサンプリングによってＡ／Ｄ変換を行うダイレクトサンプリング方式を用いる受信回路のブロック図を示している。同図（Ａ）は無線システムの受信復調回路を示し、同図（Ｂ）は超音波システムの受信復調回路を示している。同図（Ａ）において、アンテナ１から入力された高周波信号はアンプ２、４でプリアンプされ、バンドパスフィルタ３で狭い周波数帯域に帯域制限されたのち、Ａ／Ｄ変換器５でＡ／Ｄ変換される。Ａ／Ｄ変換されたサンプリングデータはＤＳＰ６に入力され、ＤＳＰ６内で目的信号が復元される。また同図（Ｂ）は、アンテナ１に代えてトランスデューサ１’を備えているが、これ以外は同図（Ａ）の構成と同様である。このように、これらのブロック図を比較すると、センサ部の構成や使用されるキャリア周波数が異なることを除けばほぼ同様の構成であり、処理形態は同一である。このようなアンダーサンプリングによる目的信号の復調は、狭帯域信号を用いる無線機、レーダ、ソナー、魚群探知機、超音波診断装置、超音波流量計等に利用でき、一般に電波、超音波、音波等の波動を扱う測定装置に応用可能である。
【００１８】
≪アンダーサンプリングの説明≫
まず、アンダーサンプリングにおいてエイリアシングを生じない条件について説明する。アンダーサンプリングを利用する場合、エイリアシングを避けるため、可能な限り目的信号以外の不要波を抑えた狭帯域信号（バンドパス信号）を用いる。また、アンダーサンプリングでは多くの写像スペクトルが生じるが、ＤＳＰ等によってディジタル信号処理を行うためには、できるかぎり低い周波数領域、たとえば中心周波数がゼロ（ＤＣ）の写像スペクトルを用いたほうが後の計算が容易である。ただし、そうでない場合であっても、ＤＣからのシフト分はシステム設計時に確定できるためＤＳＰの演算でＤＣへ逆にシフトが可能である。この実施形態では、このシフトを符号の反転のみで行うようにしている。
【００１９】
図６は、Ａ／Ｄ変換器のサンプリングによって写像スペクトルがどのように形成されるかを示す図である。この図において入力信号は上記帯域制限されたバンドパス信号であり、入力信号帯域幅Ｂ、入力信号の最高周波数ｆMAX 、サンプリング周波数ｆS である。また、元のアナログ信号のスペクトルを影付きで示している。
【００２０】
図６（Ａ）はｆMAX の２倍の周波数でサンプリングしたときを示している。同図（Ｂ）はｆMAX の２倍よりも高い周波数でサンプリングしたときを示している。同図（Ｃ）はｆMAX ＝１．５Ｂの信号をｆS ＝３Ｂでサンプリングしたとき、すなわち、ｆMAX の２倍の周波数でサンプリングしたときを示している。同図（Ｄ）は中間周波数または狭帯域周波数で信号を処理する場合を示しており、ｆS ＞２ｆMAX となるｆS でサンプリングしたときを示している。同図（Ｅ）は中間周波数がさらに高くなった場合の処理例を示しており、ｆS ＜ｆMAX となるｆS でサンプリングしたときを示している。同図（Ｆ）は（Ｅ）と同じ入力信号をｆS ＝２．５Ｂでサンプリングした場合を示している。これらの方式では、写像スペクトルがＤＣからｆS ／２の間に発生しているがこの写像スペクトル（の高域と低域）が反転している。同図（Ｇ）は中間周波数がさらに高くなった場合を示しており、このときもＤＣからｆS ／２の間に発生した写像スペクトルが反転している。同図（Ｈ）は中間周波数がさらに高くなった場合を示しており、このときはＤＣからｆS ／２の間に発生した写像スペクトルは反転せずに元のスペクトルの完全な複製になっている。
【００２１】
この図から明らかなように、アンダーサンプリングによってＤＣ付近に発生する写像スペクトルが反転するかしないかは、ＤＣと元の信号領域の間に何個の写像スペクトルが発生するかによって決まる。元の信号領域をカウントに入れる場合、折り返し回数をＮとすれば、Ｎが偶数のとき反転、奇数のとき反転なしとなる。
【００２２】
ｆMAX ＝Ｎ・Ｂ  ，Ｎ＝１，２，３，…
が成立するとき、最小サンプリング周波数ｆS ＝２Ｂが可能である。たとえば同図（Ｇ）、（Ｈ）では、元の信号領域をカウントに入れない場合、写像スペクトルの個数は３と８であるため、それぞれ反転スペクトルと非反転スペクトルとなっている。なお、この反転、非反転はシステム設計の段階でキャリア周波数に対してサンプリング周波数をどう設定するかによって決定することができる。ただし、ＤＳＰ等を用いてＦＦＴで周波数処理を行う場合には、ディジタル信号処理の段階でスペクトルデータを反転することは容易であるため、スペクトルの反転・非反転はほとんど問題にならない。
【００２３】
図７は、以上のことをもとにして求めたアンダーサンプリングを行った場合の入力信号帯域幅Ｂ、入力信号最高周波数ｆMAX 、サンプリング周波数ｆS の関係を示す図である。同図の実線がアンダーサンプリングに要求される最低サンプリング周波数の条件である。
【００２４】
ここで、サンプリング周波数ｆS でサンプリングされた入力信号を連続時間信号として扱うと、周波数スペクトル上ではこの信号を周期ｆS で繰り返す周期信号として考えることができる。すなわち、ｆS ／２ごとに非反転のスペクトルと反転したスペクトルが現れ、ｆS で繰り返す。
【００２５】
以下、バンドパス信号をサンプリングする場合に、適切なサンプリング周波数を選択するための条件について説明する。
【００２６】
図８は、連続波バンドパス信号の正の周波数成分（反転しない写像スペクトル）を０≦Ω≦πに写像する場合を示している。以下、入力信号の周波数帯域（すなわち目的信号のスペクトル）の下限周波数、上限周波数をそれぞれｆL 、ｆU とする。
【００２７】
なお、同図に示すスペクトルは、所望周波数スペクトルのみとしてもよく、所望周波数スペクトルにガードバンドが加わったスペクトルと考えてもよい。図８（Ａ）は元の連続波信号を示している。図８（Ｂ）は、サンプリング周波数がｆS であるサンプリング信号の周波数スペクトルδS （ｆ）を表している。この図の場合には、信号帯域の下限周波数であるｆL がサンプリング周波数ｆS の整数倍になるように調節してある（ｆL ＝ｋ・ｆS ）。またサンプリング周波数ｆS は信号の帯域幅Ｂ＝ｆU −ｆL の２倍に設定してある（ｆS ＝２Ｂ）。ただし、ｋは整数である。これから、サンプリング周波数ｆS は一意に決定される。
【００２８】
すると、周波数帯域の上端周波数ｆU 、周波数スペクトルの中心周波数ｆ0 は、
ｆU ＝（ｋ＋１／２）ｆS
ｆ0 ＝ｆL ＋Ｂ／２＝（ｋ＋１／４）ｆS
とそれぞれ表現できる。この関係から、サンプリング周波数ｆS は、
【数１】
0004321919.tif 000002
と決定される。
【００２９】
図８（Ｃ）は、サンプリング周波数ｆS でＡ／Ｄ変換されたディジタルデータの周波数スペクトルＸ（Ω）を示している。この図８（Ｃ）から、０〜２πの周波数帯域のうち、元信号の正の周波数領域ｆL 〜ｆU に対応する写像スペクトルが占有する帯域は０〜π領域であり、負の周波数スペクトル成分がπ〜２πまたは−π〜０の領域を占めている。なお、周波数スペクトルの中心周波数ｆ0 はΩ＝π／２に写像される。
【００３０】
また、図９は、バンドパス信号の正の周波数成分を−π≦Ω≦０に写像した場合の周波数スペクトルの関係を示す図である。この場合には、信号帯域の上限周波数ｆU をサンプリング周波数ｆS の整数倍とする（ｆU ＝ｋ・ｆS ）。すると、
ｆL ＝（ｋ−１／２）ｆS
ｆ0 ＝ｆL ＋Ｂ／２＝ｆU −Ｂ／２＝（ｋ−１／４）ｆS
と表現できる。この関係から、サンプリング周波数ｆS は、
【数２】
0004321919.tif 000003
と求まる。なお、（数２）式では、ｋ＝０のときサンプリング周波数ｆS が負になるのでｋ＝１からとなる。または、
【数３】
0004321919.tif 000004
とも表現してもよい。
【００３１】
図９においては、バンドパス信号の正の周波数成分が−π≦Ω≦０に写像され、０≦Ω≦＋πの領域にはＸ（ｆ）の負の周波数成分が写像される。すなわち、０≦Ω≦＋πの領域に写像された信号は、元のスペクトルに対して周波数成分の高域と低域が反転したスペクトルになっている。
【００３２】
図８、図９に示した例は、信号周波数帯域の下限周波数ｆL 、上限周波数ｆU がそれぞれサンプリング周波数の整数倍になる特別な場合であり、これら２例のアンダーサンプリングについては、上述したように、ＤＣと元の信号との間に折り返される写像スペクトルが何個発生するかによってスペクトルの反転、反転なしを割り出すことができる。図８の場合には、ＤＣと元の信号の間に偶数個の複製が発生するためスペクトル反転はおこらない。図９の場合には、ＤＣと元の信号との間に奇数個の複製が折り返されるため、スペクトル反転が発生する。
【００３３】
このように、図８、図９の例は下限周波数ｆL 、上限周波数ｆU およびサンプリング周波数ｆS の間の条件が整った特別な場合である。以下は、このような条件を満たさないより一般的な場合を考える。
図１０は、上記条件を満たさない一般的なサンプリング周波数ｆS でアンダーサンプリングした場合の周波数スペクトル形状の例を示す図である。上記条件を満たさない場合は、この図に示すように隣り合う写像スペクトルが接することなく間隔が開いている。しかし、この場合であっても図１１に示すように、サンプリング周波数ｆS の整数倍（ｋ・ｆS ）の周波数で区切られる領域（図中破線で示した領域）をガードバンドを付加した周波数帯域を考えれば、図８の場合と全く同様に考えることができる。また、折り返しの写像スペクトルの位置によっては図９と同様に考え処理することができる。このように、下限周波数ｆL または上限周波数ｆU がサンプリング周波数ｆS の整数倍になる場合と、図１０のような場合とを区別する必要はない。
【００３４】
なお、サンプリング周波数ｆS が低すぎると、図１２に示すように写像される正の周波数スペクトル成分と負のスペクトル成分が重なり合い、エイリアシングが発生する。すなわち、エイリアシングを避けるためには信号帯域幅Ｂの２倍以上のサンプリング周波数ｆS が必要である。
【００３５】
以上のように、信号周波数帯域の下限周波数ｆL 、上限周波数ｆU がサンプリング周波数ｆS の整数倍である図８、図９の場合、上記条件を満たさない図１０の場合ともにベースバンド（ＤＣ）付近でスペクトルを復元することができる。これに基づいて、元の信号を復元するために必要な一般的な条件を、信号周波数帯域の下限周波数ｆL 、上限周波数ｆU 、サンプリング周波数ｆS から明らかにする。ただし、周波数帯域幅Ｂ＝ｆU −ｆL とする。
【００３６】
図１３は、元の連続波入力バンドパス信号のスペクトルと同じ周波数領域に写像されるスペクトル（ｋ＝０のインパルスに対する正の周波数スペクトル成分）をスペクトル０+ とし、第ｍ番目のインパルス（ｋ＝ｍ）によって写像される負の周波数スペクトル成分が、周波数軸上でスペクトル０+ の右側（高い周波数側）に現れ、（ｍ−１）番目のインパルス（ｋ＝ｍ−１）によって写像される負の周波数スペクトル成分が、スペクトル０+ の左側（低い周波数側）に現れる場合を示した図である。図中のスペクトル部に記入しているｍ- はｋ＝ｍの位置にあるインパルスによる負の周波数スペクトルの写像スペクトルである。ｍ−１- は、ｋ＝ｍ−１による負の周波数スペクトルの写像スペクトルである。なお、ここでは全て連続時間信号として取り扱っている。
【００３７】
同図において、第ｍ番目のインパルスに対する周波数スペクトルシフトによって図１０（Ａ）に示しているオリジナルスペクトルのゼロ周波数は周波数ｍ・ｆS に移動する。これによって、元の負の周波数−ｆU は、ｍ・ｆS −ｆU に移動する。ただし、ｍ＝０の場合は、周波数ゼロにあるインパルスによる元のスペクトル自身の元と同じ周波数位置への写像に対応するためｍ＝０は除く。このことから、サンプリングによって元の周波数スペクトルの両側に折り返しの写像スペクトルが現れるためには、ｍは１以上の整数である必要があることがわかる。そしてｍには上限が存在するがこれについては後述する。
【００３８】
サンプリング周波数ｆS はスペクトルの周波数帯域幅Ｂの２倍以上の値が必要であるから、
ｆS ≧２Ｂ                  …（１）
の条件が成立する。そして、図１３（Ｃ）から、
（ｍ−１）ｆS −ｆL ≦ｆL   …（２）
および
ｆU ≦ｍ・ｆS −ｆU         …（３）
が同時に成立する。また、周波数帯域幅Ｂ＝ｆU −ｆL から
ｆU ／Ｂ＝１＋ｆL ／Ｂ≧１  …（４）
の条件が求まり、さらに（１）式から
ｆS ／Ｂ≧２
が得られる。
【００３９】
そして、（２）、（３）式から
【数４】
0004321919.tif 000005
が得られる。また、ｆU ＝ｆ0 ＋Ｂ／２の関係式を用いて、（数４）式をスペクトルの中心周波数ｆ0 とサンプリング周波数ｆS の関係に書き換えると
【数５】
0004321919.tif 000006
が得られる。ただし、ｍ＝１のときｆS 上限周波数は無限大である。
【００４０】
次に、バンドパス信号を保存するために必要な最小サンプリング周波数を調べる。最小サンプリング周波数は、図１３の関係からサンプリング周波数ｆS を徐々に下げていたとき、図１４のように信号周波数帯域の上限周波数ｆU と写像されるスペクトルの下端周波数ｍｆS −ｆU が一致する場合の値であることがわかる。すなわち、これ以下にサンプリング周波数を下げるとエイリアシングが発生することから、（４）式の等号が成立するサンプリング周波数が所望最小値であることが分かる。
【００４１】
すなわち、（４）式から最小サンプリング周波数ｆS は
ｆS ＝（２／ｍ）ｆU         …（５）
ただし、ｍ＝１，２，３，…
で与えられる。ところが、ｍは任意の自然数をとるわけではなく、スペクトル０+ よりも高い周波数側である右真横に負側スペクトルの写像が発生するように設定するため最大値が存在する。（５）式から、
ｍ＝２ｆU ／ｆS
が得られ、（１）式から
ｍ＝２ｆU ／ｆS ≦ｆU ／Ｂ    …（１３）
が得られる。これからｍの最大整数値は〔ｆU ／Ｂ〕となり、ｍ＝１，２，３，…，〔ｆU ／Ｂ〕の値をとりうることがわかる。ただし、〔Ｘ〕はＸを超えない最大整数を表すとする。結果的に最小サンプリング周波数ｆS は、ｍが最大値のとき得られ、
ｆS ＝（２／ｍ）ｆU ，  ｍ＝〔ｆU ／Ｂ〕
で与えられる。このときｆU ／Ｂが整数であれば最小サンプリング周波数は２Ｂである。また、このときにはｆL ／Ｂも整数である。
【００４２】
（数４）式の不等号を満足する値は、図１５の影付きの領域となる。また、上記最小サンプリング周波数を図中の太い実線で示している。同図において、（５）式からｍの各整数値に対して最小サンプリング周波数ｆS を規定する直線が決定されるが、例えばｍ＝１のときｆU ／Ｂが２〜３の範囲になると、ｍ＝２のｆS ／Ｂの値の方が小さくなる。ｍが大きくなってもこの関係は同様であり、ｆU ／Ｂ＝ｍ＋１以上でｍによって決定されるｆS ／Ｂの値よりも（ｍ＋１）によって決定されるｆS ／Ｂの値の方が小さくなるというジグザグ形状の関係となる。
【００４３】
以上から、所望のサンプリング周波数ｆS は、図１５の太い実線上か、影付きの領域内の値を選択すればよいことがわかる。ただし、効率上の観点からは可能なかぎり低いサンプリング周波数ｆS を選択することが望まれるため、太い実線上の値である必要最小サンプリング周波数を選択すればよい。
【００４４】
≪複素サンプリング手法の説明≫
以下は、上で説明した必要最小サンプリング周波数を用いてベースバンド領域に目的信号の非反転スペクトルが写像されるようにアンダーサンプリングを行う場合の処理について説明する。まず、複数エンベロープｚ(t) を持つアナログバンドパス信号ｘ(t) を考える。
【００４５】
【数６】
0004321919.tif 000007
ここで、ｚ(t) は中心周波数ゼロ、全周波数帯域幅Ｂ（−Ｂ／２≦ｆ≦＋Ｂ／２）の周波数スペクトルを持つ複素数信号とする。すなわち、ｘ(t) は目的信号ｚ(t) によって変調されたキャリア信号であり、中心周波数ω0 （＝２πｆ0 ）、全帯域幅Ｂを持つ変調されたアナログ信号である。
【００４６】
例えば無線通信の場合には、複素信号ｚ(t) で表される音声信号やディジタルデータでキャリア周波数ω0 を振幅変調した信号がｘ(t) に対応する。この変調信号ｘ(t) から、目的信号である音声信号やディジタルデータｚ(t) を再生する操作が復調である。またアクティブソナーの場合には、送信周波数ω0 で出力された超音波信号が目的物で反射し、ドップラ周波数成分が重畳された反射エコー信号がｘ(t) に対応する。そして、このドップラ周波数成分自身が複素エンベロープｚ(t) であり、これを抽出する操作が復調である。
【００４７】
複素エンベロープｚ(t) の再生は、このバンドパス信号ｘ(t) に、
【数７】
0004321919.tif 000008
を乗算する復調処理により、以下のように行うことができる。
【００４８】
【数８】
0004321919.tif 000009
ただし、＊は複素共役数を表す。ベースバンドへの復調過程である（数８）式で生成される最終行第２項の２倍周波数成分は、この信号をローパスフィルタに通すことによって除去することができる。この結果、目的とする複素信号ｚ(t) を求めることができる。
【００４９】
まず最初に（数６）式に示すバンドパス信号ｘ(t) を、プリアンプ後、サンプリング周波数ｆS （＝１／ＴS ）で駆動されるＡ／Ｄ変換器でサンプリングすると、次のディジタル信号が得られる。
【００５０】
【数９】
0004321919.tif 000010
このサンプリング部では、（数９）式に示す実際の複素乗算を避けるために、サンプリング後にスペクトルの中心周波数ω0 （＝２πｆ0 ）が連続周波数に換算してｆS ／４に写像されるサンプリング周波数ｆS を設定する。すなわち、
【数１０】
0004321919.tif 000011
に設定する。すると、
【数１１】
0004321919.tif 000012
となるため、
【数１２】
0004321919.tif 000013
が成立する。これらの関係を（数９）式に代入すると、
【数１３】
0004321919.tif 000014
が得られる。これ以降、サンプリング周波数ｆS ＝１／Ｔｓでサンプリングされたアナログ信号ｘ(nTs) およびｚ(nTs) をディジタルデータとしてｘ[n] 、ｚ[n] と表記する。そうすると上記（数１３）式は、
【数１４】
0004321919.tif 000015
となる。ここで、（数１２）式を変形すると、
【数１５】
0004321919.tif 000016
であるから
【数１６】
0004321919.tif 000017
は、ｚ[n] の信号を離散角周波数π／２で変調していることと同じである。すなわち、離散周波数軸に沿ってｚ[n] の離散周波数スペクトルがプラス側にπ／２だけ並行移動（シフト）されていることに相当している。中心周波数ｆ0 ＝０のｚ(t) の周波数スペクトルが、アンダーサンプリングによるディジタル化によって中心角周波数π／２の離散周波数スペクトルに写像される。図１６に、このアンダーサンプリング処理によって、離散周波数軸上にどのように周波数スペクトルが写像されるかを示しておく。
【００５１】
仮に、元のアナログ複素エンベロープ信号ｚ(t) を
【数１７】
0004321919.tif 000018
とし、サンプリング周波数ｆS ＝１／ＴS によるサンプリング後のディジタル信号ｚ[n] を
【数１８】
0004321919.tif 000019
とすると、元のアナログ信号ｘ(t) は、
【数１９】
0004321919.tif 000020
であり、サンプリング周波数ｆS ＝１／ＴS によるサンプリングを行うと、
【数２０】
0004321919.tif 000021
が得られる。
【００５２】
ここでアナログの複素エンベロープ信号ｚ(t) を
【数２１】
0004321919.tif 000022
で示す実装部ｘC (t) と虚数部ｘS (t) に分解する。それぞれのサンプリング後の信号ｚ(n・ T S ) 、ｘC (n・ T S ) およびｘS (n・ T S ) をディジタル信号として、ｚ[n] 、実数部ｘC [n] 、虚数部ｘS [n] と表記する。
【００５３】
次に、アンダーサンプリングによって得られる中心角周波数π／２の離散周波数スペクトルを持つディジタル信号を、ベースバンド信号に復調する処理を行う。復調処理は離散周波数スペクトルをマイナス側にπ／２シフトすればよいので、
【数２２】
0004321919.tif 000023
で示される離散複素指数関数ｃ[n] を用いる。すなわち、（数１４）式に（数２２）式を乗算して周波数シフトするため、
【数２３】
0004321919.tif 000024
が得られる。この（数２３）式から、アンダーサンプリング後に得られるディジタルデータｘ[n] に離散複素指数関数ｃ[n] を乗算し復調することによって、複素エンベロープ信号ｚ[n] が得られることが分かる。
【００５４】
ここで、サンプリングされたデータの偶数番をｎ＝２ｍ、奇数番をｎ＝２ｍ＋１と表す。まず、ｎ＝２ｍ（ｍ＝０，±１，±２，±３,...）である偶数番目サンプルを考えると、
【数２４】
0004321919.tif 000025
であるから、（数２３）式は、
【数２５】
0004321919.tif 000026
になる。同様に、ｎ＝２ｍ＋１である奇数番目のサンプルを考えると、
【数２６】
0004321919.tif 000027
であるから、
【数２７】
0004321919.tif 000028
が成立する。
【００５５】
このように、中心周波数ω0 （＝２πｆ0 ）がｆS ／４に写像されるサンプリング周波数ｆS を設定することにより、離散複素エンベロープｚ[n] の実数部、虚数部をそれぞれ（数２５）式、（数２７）式で求めることができる。
【００５６】
これらの関係式によって、サンプリングされたディジタル実数データｘ[n] から中心周波数ゼロのベースバンド信号である離散複素エンベロープ信号ｚ[n] の実数部と虚数部をそれぞれ求めることができ、
【数２８】
0004321919.tif 000029
と表現することができる。しかしながら、（数２８）式は実数部と虚数部のサンプル時刻がそれぞれ２ｍ、２ｍ＋１と異なっている。すなわち、実数部の値はアナログ信号のサンプリング時刻が２ｍＴS のものであり、虚数部の値はアナログ信号のサンプリング時刻が（２ｍ＋１）ＴS のものであり、それぞれ異なっている。復調後のデータに処理を加えるためには、実数部、虚数部とも同時刻にサンプリングされたものであることが望まれる。このため、（数２８）式の実数部と虚数部の一方または両方を補間することによって互いに同時刻のデータを生成する。この処理を不要スペクトルを除去するフィルタ処理と同時に行う。
【００５７】
図１７に、図５のＤＳＰにおいて上記復調方式を実行するためのブロック図を示す。このブロック図においては、分配部１１がサンプリングされた離散実数データｘ[n] を、そのデータが偶数番目であるか奇数番目であるかに応じて、交互に実数部・虚数部に分配する。実数部・虚数部の各処理部では、乗算器１２，１３がデータの番号ｍに応じて１つおきにデータの符号を反転（−１を乗算）し、実数データおよび虚数データを復元する。そして、ローパスフィルタ１４，１５にこのデータを入力することによって不要スペクトルを除去するとともに、実数データ、虚数データを同サンプリング時刻のデータに補間処理する。データが１つずつ実数部と虚数部に分配されるため、実数データｘ[n] の転送レートは、サンプリング周波数ｆS と等しいが、複素数データに変換後の転送レートはｆS ／２となる。また、その複素数データの周波数領域は−ｆS ／４〜ｆS ／４（−Ｂ／２〜Ｂ／２）である。
【００５８】
以上は、偶数番目サンプルをｎ＝２ｍ、奇数番目サンプルをｎ＝２ｍ＋１として処理を行った場合であるが、以下、偶数番目サンプルをｎ＝２ｍ、奇数番目のサンプルをｎ＝２ｍ−１として処理する場合について説明する。
【００５９】
まず、上記（数２３）式の偶数番目のサンプルについては、上記の場合と同様にｎ＝２ｍとおくため、同様に（数２５）式により離散複素エンベロープｚ[n] の実数部を割り出すことができる。また、奇数番目サンプルをｎ＝ｍ−１とおくので、
【数２９】
0004321919.tif 000030
から、
【数３０】
0004321919.tif 000031
になる。したがって、奇数番目のサンプルをｎ＝２ｍ−１とした場合には、離散複素エンベロープｚ[n] の実数部と虚数部をそれぞれ（数２５）式および（数３０）式で求めることができる。これによって、サンプリングされたディジタル実数データｘ[n] から中心周波数ゼロのベースバンド信号である離散複素エンベロープｚ[n] の実数部と虚数部がそれぞれ求まり、
【数３１】
0004321919.tif 000032
で表現される。
【００６０】
この（数３１）式も、「奇数番目２ｍ＋１」の場合と同様に実数部と虚数部のサンプリング時刻が異なっているため、上記と同様に、ローパスフィルタによる補間によってサンプリング時刻を揃える。
【００６１】
図１８に、図５のＤＳＰにおいて上記復調方式を実行するためのブロック図を示す。このブロック図における処理は、離散実数データｘ[n] の実数部・虚数部への振り分けの先後が異なる以外は、図１７に示したものと同様である。
【００６２】
≪≪ローパスフィルタの設計≫
図１７および図１８に示したローパスフィルタをどのように構成するかについて説明する。
まず、実数データ、虚数データの両方をサンプリング周期の半分ＴS ／２だけ前後にずらせるような補間によって両データのサンプリング時刻を揃えるローパスフィルタについて説明する。図１７の場合には実数データをＴS ／２だけ進めて虚数データをＴS ／２だけ遅らせる。図１８の場合には実数データをＴS ／２だけ遅らせて虚数データをＴS ／２だけ進める。
【００６３】
まず、最初にインタポレーション（補間）を考える。インタポレーションを行うために、まず実数部データ列および虚数部データ列のそれぞれに１つおきにゼロデータを挿入し、データレートがサンプリング周波数ｆS の実数データ、虚数データを作る。実際の実数データと虚数部の０データ、実際の虚数データと実数部の０データが対応するようにする。次に、この実数部データ列および虚数部データ列をローパスフィルタに入力する。このローパスフィルタ（インタポレータ）には偶数長のＦＩＲフィルタを用いる（ＴS ＝１／ｆS ）。以下にこの手順を詳細に説明する。
【００６４】
図１９に、ゼロデータを１個挿入する場合のインタポレーション手順を示す。一例として、フィルタ長が偶数Ｌ＝８の場合を示している。
【００６５】
図１９（Ａ）に、図１７に示している入力信号ｘ[n] の偶数番目（ｎ＝２ｍ）を実数データに、奇数番目（ｎ＝２ｍ＋１）を虚数データに分配する場合を、同図（Ｂ）には図１８に示している入力信号ｘ[n] の奇数番目（ｎ＝２ｍ−１）を虚数データに、偶数番目（ｎ＝２ｍ）を実数データに分配する場合を示す。この分配によって、複素数としてのデータレートは、サンプリング周波数ｆS の１／２に減少する。しかし、これらのデータに対してインタポレーション用のゼロデータを挿入するため、複素数データとしてのデータレートは２倍のｆS に戻る。ところが、図１９に示すように挿入するゼロデータとフィルタ係数間の乗算結果はゼロであり、フィルタ演算結果には影響を与えない。このため、ゼロデータおよびこれらに対応するフィルタ係数を除くことが可能である。このようにして挿入したゼロデータに対応するフィルタ係数を除去したフィルタ係数と実数、虚数との関係を図２０に示す。このように、０データを挿入しても結局、データレートはサンプリング周波数ｆS の１／２に減少することが分かる。
【００６６】
図２１は、最終的なローパスフィルタのフィルタ係数の構成を示す図である。インタポレータ用ローパスフィルタｈ[n] ，ｎ＝０，１，２，３，…，（Ｌ−２），（Ｌ−１）は、入力信号ｘ[n] の偶数番目（ｎ＝２ｍ，ｎ＝０，２，４，…，（Ｌ−２））を実数データに、奇数番目（ｎ＝２ｍ＋１，ｎ＝１，３，５，…，（Ｌ−１））を虚数データに分配するとき、元の偶数長フィルタの偶数番係数（ｎ＝０，２，４，…）が実数用に、奇数番係数（ｎ＝１，３，５，…）が虚数用に分割される。
【００６７】
また、入力信号ｘ[n] の偶数番目（ｎ＝２ｍ）を実数データに、奇数番目（ｎ＝２ｍ−１）を虚数データに分配する場合には、元の偶数長フィルタの奇数番係数（ｎ＝１，３，５，…）が実数用に、偶数番係数（ｎ＝０，２，４，…）が虚数用に分割される。
【００６８】
このように入力信号ｘ[n] の奇数番目（２ｍ＋１または２ｍ−１）の取り方による分配によって（Ａ），（Ｂ）は逆の係数パターンをもつことになる。元のフィルタ長をＬ（偶数）とすると、実数用，虚数用フィルタ長はともにＬ／２になる。
【００６９】
以上の説明では、実数部データ、虚数部データをともに半サンプリング周期ずらすことによってサンプリング時刻を揃えるようにしたが、サンプリング時刻をそろえるのはこれが唯一の方法ではなく、実数部と虚数部のデータのサンプリング時刻が揃うのであればどの様な設定でもよい。
【００７０】
以下、実数部のデータはそのまま用い、虚数部のデータを１サンプル周期ずらすことで実数部と虚数部のデータのサンプリング時刻を揃える方式について説明する。
（数２８）式、（数３１）式に示すようにサンプリング時刻２ｍＴS に虚数部のデータは存在しない。この２ｍＴS データを生成するため、ここでは図２２のように奇数長のローパスフィルタを用いる。同図は、０データを挿入してデータレートをｆS にした場合を示している。奇数長のローパスフィルタのフィルタ係数が実数部、虚数部に交互に振り分けられるため、処理が中央のサンプリング時刻のデータを中心にして左右対称になり、出力データは、中央のサンプリング時刻のフィルタリングデータとして出力される。
【００７１】
実数部側では奇数番係数に対応するデータは０であるため、偶数番係数のみの演算となり、中央のサンプリング時刻に対応するデータである２ｍのデータとして出力される。一方、虚数部側では偶数番係数に対応するデータは０であるため、奇数番係数のみの演算となり、２ｍ−１と２ｍ＋１の中間である２ｍのデータとして出力される。
【００７２】
図２３は、実際のローパスフィルタの係数を示す図である。実際には０データを挿入せずにこの係数を入力された実数データ、虚数データに対して乗算すればよい。
【００７３】
≪反転スペクトルの場合≫
アンダーサンプリングによって、ベースバンド付近（０〜π）に現れる離散データの周波数スペクトルが反転するかどうかは、入力信号帯域幅Ｂ、入力信号対向周波数ｆMAX （中心周波数ｆ0 ）、サンプリング周波数ｆS の関係によって決定される。いままでは、スペクトルが反転しない場合について説明をしてきたが、以下は、アンダーサンプリングでスペクトルを反転させた場合の処理およびフィルタ構成について説明する。
【００７４】
まず、アナログバンドパス信号ｘ(t) のサンプリングを実行する。この場合において、（数９）式までの処理はスペクトルを反転させない場合と同様である。ここで、サンプリング前のアナログ信号の周波数スペクトル中心周波数ω0 （＝２πｆ0 ）が、連続周波数に換算して３ｆS ／４に写像されるサンプリング周波数ｆS を設定する。すなわち、サンプリング周波数ｆS を、
【数３２】
0004321919.tif 000033
とする。すると、
【数３３】
0004321919.tif 000034
となるため、
【数３４】
0004321919.tif 000035
が成立する。これらの関係を前記（数９）式に代入すると、
【数３５】
0004321919.tif 000036
が得られる。この（数３５）式をデジタル信号として書き換えると、
【数３６】
0004321919.tif 000037
となる。
【００７５】
ここで、前記（数１２）式と同様に（数３４）式を変形すると、
【数３７】
0004321919.tif 000038
であるから、
【数３８】
0004321919.tif 000039
は、ｚ[n] の信号を離散角周波数３π／２（または−π／２）で変調していることと同じである。すなわち、離散周波数軸に沿ってｚ[n] の離散周波数スペクトルがプラス側に３π／２だけ並行移動（シフト）されていることに相当している。または、ｚ[n] の離散周波数スペクトルがマイナス側にπ／２シフトされていることに相当している。中心周波数ｆ0 ＝０のｚ(t) の周波数スペクトルが、アンダーサンプリングによるディジタル化によって中心角周波数３π／２の離散周波数スペクトルに写像される。または、中心角周波数−π／２に写像されると考えても同じである。図２４に、アンダーサンプリングによって、離散角周波数軸上にどのようにち周波数スペクトルが写像されるかを示しておく。
【００７６】
仮に、元のアナログ複素エンベロープ信号ｚ(t) を
【数３９】
0004321919.tif 000040
とし、サンプリング後のディジタル信号ｚ[n] を
【数４０】
0004321919.tif 000041
とすると、元のアナログ信号ｘ(t) は
【数４１】
0004321919.tif 000042
であり、サンプリング後には
【数４２】
0004321919.tif 000043
が得られる。
【００７７】
次にアンダーサンプリングによって得られる中心角周波数３π／２の離散周波数スペクトルをもつディジタル信号を、ベースバンド信号に復調する処理を行う。復調処理は離散周波数スペクトルをマイナス側に３π／２シフトすればよいので
【数４３】
0004321919.tif 000044
で示される離散複素指数関数ｃ[n] を用いる。（数３６）式に（数４３）式を乗算すると、
【数４４】
0004321919.tif 000045
が得られる。
【００７８】
まず、ｎ＝２ｍ（ｍ＝０，±１，±２，±３,...）、奇数番目サンプルをｎ＝２＋１として処理を行う。まず、ｎ＝２ｍである偶数番目サンプルを考えると、
【数４５】
0004321919.tif 000046
であるから、（数４４）式は、
【数４６】
0004321919.tif 000047
になる。
【００７９】
同様に、ｎ＝２ｍ＋１である奇数番目のサンプルを考えると、
【数４７】
0004321919.tif 000048
であるから、
【数４８】
0004321919.tif 000049
が成立する。
【００８０】
これから、離散複素エンベロープｚ[n] の実数部と虚数部がそれぞれ（数４６）式と（数４８）式の関係式で求まることが分かる。
【００８１】
これらの関係式によって、サンプリングされたディジタル実数データｘ[n] から中心周波数ゼロのベースバンド信号である離散複素エンベロープ信号ｚ[n] の実数部と虚数部をそれぞれ求めることができ、
【数４９】
0004321919.tif 000050
と表現できる。
【００８２】
この（数４９）式の実数部と虚数部も１サンプル周期分ずれているが、この場合もスペクトルが非反転の場合と同様に図１７に示した構成で補間することができる。
【００８３】
また、偶数番目サンプルをｎ＝２ｍ、奇数番目のサンプルをｎ＝２ｍ−１として処理する場合、奇数番目のサンプルは、上記非反転の場合と同様に、
【数５０】
0004321919.tif 000051
となる。すなわち、離散複素エンベロープｚ[n] の実数部と虚数部がそれぞれ（数２５）式と（数５０）式の関係式で求めることができる。
【００８４】
これによって、サンプリングされたディジタル実数データｘ[n] から中心周波数ゼロのベースバンド信号である離散複素エンベロープｚ[n] の実数部と虚数部がそれぞれ求まり、
【数５１】
0004321919.tif 000052
で表現される。この条件でも、実数部のサンプリング時刻と虚数部のサンプリング時刻が１つずつずれているが、この場合もスペクトルが非反転の場合と同様に図１８に示す構成で補間し、サンプリング時刻を揃えることができる。
【００８５】
このように、スペクトルが反転するも非反転の場合と同様のローパスフィルタを用い、このローパスフィルタで補間することによって実数部・虚数部ともに同時刻の複素数データを得ることができる。
【００８６】
【発明の効果】
以上のようにこの発明によれば、サンプリング周波数ｆS によるサンプリングによってスペクトルの中心周波数ｆ0 が、ｆ0 ＝±ｆS ／４となったサンプリングデータを分岐し、符号を反転し、実際の半分の量のフィルタ演算を行うという極めて簡略な演算によって、スペクトルをベースバンドにシフトするとともにデータを複素化することができるため、簡略な構成でダイレクトアンダーサンプリング等が可能になるとともに、無線通信などのリアルタイム処理が容易になるという利点がある。
【図面の簡単な説明】
【図１】この発明が適用される目的信号が重畳されたキャリア信号を示す図である。
【図２】上記目的信号が重畳されたキャリア信号をサンプリング周波数ｆS （＝４ｆ0 ）でサンプリングしたときのスペクトル等を示す図である。
【図３】上記サンプリングデータを複素データ化する処理を示す図である。
【図４】上記複素データの実数データと虚数データのサンプリング時刻を補間によって一致させる処理を示す図である。
【図５】この発明が適用される通信装置およびソナー装置のブロック図である。
【図６】アンダーサンプリングを行った場合の写像スペクトルの発生パターンを示す図である。
【図７】アンダーサンプリングを行う場合の最低サンプリング周波数の条件を示す図である。
【図８】バンドパス信号の周波数スペクトルとこれを反転しないようにサンプリングした場合の写像スペクトルを示す図である。
【図９】バンドパス信号の周波数スペクトルとこれを反転するようにサンプリングした場合の写像スペクトルを示す図である。
【図１０】バンドパス信号を異なる条件でサンプリングした場合の写像スペクトルを示す図である。
【図１１】ガードバンドをバンド幅に加える処理を示す図である。
【図１２】サンプリング周波数がバンド幅よりも狭い場合のエイリアシングの発生を示す図である。
【図１３】サンプリング前の周波数スペクトルとアンダーサンプリング後の写像スペクトル群との関係を示す図である。
【図１４】サンプリング周波数を最低サンプリング周波数に設定した場合のスペクトル分布を示す図である。
【図１５】バンド幅および信号の最高周波数に応じて要求されるサンプリング周波数の条件を示す図である。
【図１６】アンダーサンプリングによって生じる写像スペクトルの分布を示す図である。
【図１７】サンプリングデータの複素化、ローパスフィルタリングおよび補間を行う信号処理部（ＤＳＰ）のブロック図である。
【図１８】サンプリングデータの複素化、ローパスフィルタリングおよび補間を行う信号処理部（ＤＳＰ）のブロック図である。
【図１９】実数部・虚数部の両方を補間する場合に、０データを挿入した場合のローパスフィルタの例を示す図である。
【図２０】０データを省いた場合のローパスフィルタの例を示す図である。
【図２１】実数側および虚数側のフィルタ係数を示す図である。
【図２２】虚数部のみを補間する場合に、０データを挿入した場合のローパスフィルタの例を示す図である。
【図２３】０データを省いた場合のローパスフィルタの例を示す図である。
【図２４】スペクトルを反転させるアンダーサンプリングによって生じる写像スペクトルの分布を示す図である。
【図２５】従来のアナログミキサを用いて受信信号を複素化するソナー装置の構成を示す図である。
【符号の説明】
１…アンテナ、
１′…トランスデューサ、
２…高周波プリアンプ、
３…バンドパスフィルタ、
４…高周波アンプ、
５…（アンダーサンプリング用の）Ａ／Ｄコンバータ、
６…ＤＳＰ、
１１…分配部、
１２，１３…乗算器、
１４，１５…ローパスフィルタ
【図１】
0004321919.tif 000053
【図２】
0004321919.tif 000054
【図３】
0004321919.tif 000055
【図４】
0004321919.tif 000056
【図５】
0004321919.tif 000057
【図６】
0004321919.tif 000058
【図７】
0004321919.tif 000059
【図８】
0004321919.tif 000060
【図９】
0004321919.tif 000061
【図１０】
0004321919.tif 000062
【図１１】
0004321919.tif 000063
【図１２】
0004321919.tif 000064
【図１３】
0004321919.tif 000065
【図１４】
0004321919.tif 000066
【図１５】
0004321919.tif 000067
【図１６】
0004321919.tif 000068
【図１７】
0004321919.tif 000069
【図１８】
0004321919.tif 000070
【図１９】
0004321919.tif 000071
【図２０】
0004321919.tif 000072
【図２１】
0004321919.tif 000073
【図２２】
0004321919.tif 000074
【図２３】
0004321919.tif 000075
【図２４】
0004321919.tif 000076
【図２５】
0004321919.tif 000077