(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
待ち行列におけるカスタマーの待ち時間を予測する方法であって、
サービス中の各カスタマーおよびそのカスタマーに先行するカスタマーについて、
サービス中のカスタマーについて知られている属性であって過去の行動が知られている少なくとも一人のカスタマーの識別子を含む属性に従って、カスタマーを分類し、そのカスタマーの属性に基づいて、そのカスタマーがサービスを終了する時間についての推定を発生し、
待ち行列内のカスタマーに先行する各カスタマーについて、
待ち行列の中で先行するカスタマーについて知られている属性に従って、待ち行列の中で先行するカスタマーを分類し、
待ち行列の中で先行するカスタマーについての属性に基づいて、待ち行列の中で先行するカスタマーについて、そのカスタマーがサービスを終了する時間についての推定を発生し、
サービス中のカスタマーおよび待ち行列の中でカスタマーに先行するカスタマーについての推定に基づいて、待ち行列内のカスタマーのサービスまでの時間を示す推定待ち時間を予測する方法。
【請求項２】
請求項１に記載の方法において、
サービス中の少なくとも一人のカスタマーについての第１の発生ステップの推定は、そのカスタマーがその時間でサービスを終了する時間についての確率である方法。
【請求項３】
請求項１に記載の方法において、
少なくとも一人の待ち行列の中の先行するカスタマーについて第２の発生ステップの推定は、待ち行列内で先行するカスタマーがその時間でサービスを終了する時間ついての確率である方法。
【請求項４】
請求項１に記載の方法において、
少なくとも一人のカスタマーについて発生された推定は、確率分布関数である方法。
【請求項５】
請求項４に記載の方法において、
少なくとも一人のカスタマーの確率分布関数は、カスタマーのサービスの推定中心値の時間に基づいている方法。
【請求項６】
請求項１に記載の方法において、
待ち行列内で先行する少なくとも一人のカスタマーについて発生された推定は、確率分布関数である方法。
【請求項７】
請求項６に記載の方法において、
少なくとも一人の待ち行列内で先行するカスタマーの前記確率分布関数は、カスタマーのサービスの時間の推定の中心値に基づいている方法。
【請求項８】
請求項１に記載の方法において、
前記待ち行列内のカスタマーは、その待ち行列について新しいカスタマーである方法。
【請求項９】
請求項１に記載の方法において、
サービス中の少なくとも一人のカスタマーについての属性は、一人のカスタマーがサービスを最初に受け始めてからの経過時間を含む方法。
【請求項１０】
請求項７に記載の方法において、
一人のカスタマーについて発生された推定は、一人のカスタマーが、その一人のカスタマーについての与えられた経過時間のサービスが終了する時間についての確率を示す条件付きの確率分布関数である方法。
【請求項１１】
請求項１に記載の方法において、
サービス中の少なくとも一人のカスタマーのものとして知られている属性は、その一人のカスタマーにサービスを提供するエージェントの識別を含む方法。
【請求項１２】
請求項１に記載の方法において、
サービスを受けている少なくとも一人のカスタマーについて知られている属性は、一人のカスタマーについての上限サービス時間を含む方法。
【請求項１３】
請求項１に記載の方法において、
待ち行列内の少なくとも一人のカスタマーについて知られている属性は、一人のカスタマーについての上限サービス時間を含む方法。
【請求項１４】
請求項１に記載の方法において、
サービス中の少なくとも一人のカスタマーのものとして知られている属性は、その一人のカスタマーの識別名を含む方法。
【請求項１５】
請求項１に記載の方法において、
待ち行列中の少なくとも一人のカスタマーのものとして知られている属性は、その一人のカスタマーの識別名を含む方法。
【請求項１６】
請求項１に記載の方法において、
サービス中の少なくとも一人のカスタマーのものとして知られている属性は、その一人のカスタマーの行いを含む方法。
【請求項１７】
請求項１に記載の方法において、
推定された待ち時間は、サービス開始までの時間である方法。
【請求項１８】
請求項１に記載の方法において、
推定された待ち時間は、サービス終了までの時間である方法。
【請求項１９】
請求項１に記載の方法において、
上記発生するステップは、待ち行列内のカスタマーがサービスを受け始める時の予測を発生するステップを含む方法。
【請求項２０】
請求項１に記載の方法において、
待ち行列内の少なくとも一人のカスタマーについて発生される推定は、一人のカスタマーがサービスを受け始める予測時間に基づく方法。
【請求項２１】
請求項１に記載の方法において、
予測待ち時間は、推定された確率分布関数である方法。
【請求項２２】
請求項２１に記載の方法において、
更に、
推定された確率分布を新しいカスタマーに通信するステップを含む方法。
【請求項２３】
請求項２１に記載の方法において、
更に、
推定された確率分についての所定の近似を新しいカスタマーに通信するステップを含む方法。
【請求項２４】
請求項２１に記載の方法において、
更に、
推定された確率分布をシステム管理者に通信するステップを含む方法。
【請求項２５】
請求項２１に記載の方法において、
更に、
推定された確率分布関数に基づいて資源を配分するステップを含む方法。
【請求項２６】
請求項１に記載の方法において、
推定された待ち時間について待ち行列の中のカスタマーに通信するステップを含む方法。
【請求項２７】
待ち行列におけるカスタマーがシステムからサービスを受けるための待ち時間を予測する方法であって、
サービス中の各カスタマーおよびそのカスタマーに先行するカスタマーについて、
サービス中のカスタマーについて知られている属性に従って、カスタマーを分類するステップと、
サービスを受けている各カスタマーについて、そのサービスを受けているカスタマーの属性に基づいて、そのカスタマーがサービスを終了する時間の確率を示す確率分布関数を発生するステップと、
サービスを受けているカスタマーの確率分布関数に基づいて、システムのサービスの速度を予測するステップと、
このサービスの速度に基づいて待ち行列の中のカスタマーについての待ち時間を予測するステップと、
を含み、
前記属性は、過去の行動が知られている少なくとも一人のカスタマーの識別子を含む方法。
【請求項２８】
請求項２７に記載の方法において、
サービスを受けているカスタマーの数は、待ち行列の中のカスタマーの数を超えている方法。
【請求項２９】
請求項２７に記載の方法において、
上記待ち行列内のカスタマーは、待ち行列の中の先頭である方法。
【請求項３０】
請求項２７に記載の方法において、
サービスを受けている少なくとも一人のカスタマーの確率分布関数は、各カスタマーの残りサービス時間の中心値に基づいている方法。
【請求項３１】
待ち行列への新しいカスタマーの待ち時間を予測する方法であって、
待ち行列内のカスタマーについて知られている属性に従って、待ち行列内の複数のカスタマーを分類するステップと、
待ち行列内のカスタマーの属性に従って、カスタマーがサービスを終了する時間についての確率分布を近似する中央値を発生するステップと、
待ち行列内のカスタマーの中央値に基づいて、新しいカスタマーの待ち時間を推定するステップと、
を含み、
前記属性は、過去の行動が知られている少なくとも一人のカスタマーの識別子を含む方法。
【請求項３２】
請求項３１に記載の方法において、
待ち行列内の各カスタマーは、サービスを受けている複数のカスタマーの一人がサービスを終了するまでサービスを受けず、
待ち行列内のカスタマーは、サービスを受けているカスタマーの数より大きい方法。
【請求項３３】
待ち行列内の特定のカスタマーの待ち時間を予測する方法であって、
サービス中および待ち行列内の複数のカスタマーのそれぞれに対し、
カスタマーの少なくとも一つの属性に基づいて、カスタマーがサービスを完了する時間についての確率を示す確率分布関数を発生するステップと、
サービス中および待ち行列内のカスタマーの確率分布関数に基づいて、特定のカスタマーの待ち時間を推定するステップと、
を含み、
前記属性は、過去の行動が知られている少なくとも一人のカスタマーの識別子を含む方法。
【請求項３４】
待ち行列内の最初のカスタマーの待ち時間を予測する方法であって、
サービスを受けている複数のカスタマーのそれぞれに対し、
少なくとも１つの属性に基づいてカスタマーを分類するステップと、
属性に基づいて、サービスを受けているカスタマーがサービスを完了する推定サービス時間を発生するステップと、
推定サービス時間に基づいて、最初のカスタマーについての待ち時間を推定するステップと、
を含み、
前記属性は、過去の行動が知られている少なくとも一人のカスタマーの識別子を含む方法。
【請求項３５】
待ち行列内のカスタマーの数がサービス中のカスタマーの数より大きいときに、待ち行列内のカスタマーの待ち時間を予測する方法であって、
そのカスタマーに待ち行列内で先行するカスタマーのそれぞれを少なくとも１つの属性に基づいて、分類するステップと、
待ち行列内の各カスタマーについて、分類の属性に基づいて各カスタマーがサービスを完了する間での予測時間を発生し、待ち行列内の先行するカスタマーについて発生された予測に基づいて待ち行列内のカスタマーについての待ち時間を予測するステップと、
を含み、
前記属性は、過去の行動が知られている少なくとも一人のカスタマーの識別子を含む方法。
【請求項３６】
複数のエージェントおよび待ち行列を含むサービスシステムにおけるエージェントの数を割り付ける方法であって、
それぞれがカスタマーにサービスするエージェントをモニタし、カスタマーについてのサービスを終了する時間を推定するステップと、
待ち行列内の複数のカスタマーのそれぞれに対し、
待ち行列内のカスタマーを少なくとも１つの属性に基づいて分類するステップと、
分類に基づいて、待ち行列内のカスタマーについて予測サービス時間を発生するステップと、
予測サービス時間に基づいて、待ち行列内の最後のカスタマーがサービスを受ける間での待ち時間を予測するステップと、
いつ予測待ち時間が所定の待ち時間を超えるかおよびエージェントの数を増やしていつ予測待ち時間が所定の待ち時間を超えるかを判定するステップと、を含み、
前記属性は、過去の行動が知られている少なくとも一人のカスタマーの識別子を含む方法。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、順番待ちのカスタマーの待ち時間を推定する方法及び装置に関する。
【０００２】
【従来の技術】
キャパシティの限られたサービスシステムでは、直ちにサービスを受けることのできないカスタマーを、システムリソースが利用できるまで列中で待機させる。このとき、カスタマーにはサービスを受けられるまでの予測時間が知らされないことが多い。ところが、かかる情報を与えられずに長時間待たされると、カスタマーはそのサービスプロバイダに不満を抱く可能性がある。
【０００３】
列中での待機時間に関する情報をカスタマーに与えるために、サービスプロバイダによっては、待ち行列中のカスタマーの位置を特定しているが、このような位置情報では、サービスを受けるまでの待ち時間をカスタマーが決定することはできない。サービスリクエストをさばいているエージェントの数、あるいは、エージェントがサービスリクエストを完了する速度をカスタマーが決定できないからである。また、エージェントがカスタマーからのサービスリクエストを完成する速度を推定するプロバイダもある。サービスリクエストを平均ｒ分で完成するエージェントをｓ持っているシステムでは、列中ｋ番目に位置するカスタマーは、ｋ＊ｒ／ｓ分でサービスを受けることが予想できる。ところが、このように長期にわたる平均から求めた予測値は、特定のケースでは不正確になりやすい。長期の平均が個々の特定ケースに合わないならば、予想時間よりかなり長くカスタマーを待たせることもある。このような場合にも、カスタマーはサービスプロバイダに対して不満を持つ。
【０００４】
正確な予想値の推定は、他の種々の目的にも役立つ。例えば、サービスプロバイダは、最初のサービスが完了した後に、他の施設において追加的なサービスを供給できる。最初の施設での予想待ち時間がわかれば、サービスプロバイダはその後のサービスをより改善できる。また、サービスプロバイダは、予想待ち時間を知ることにより、例えば予想待ち時間が長ければエージェントを増やすなど、利用可能なサービスのキャパシティを調整することもできる。
【０００５】
【発明が解決しようとする課題】
上記の理由により、待ち行列中でのカスタマーの待ち時間を正確に推定できるシステムが求められている。
【０００６】
【課題を解決するための手段】
従来技術における問題点は、待ち行列中の各カスタマーとサービスを受けている各カスタマーとを、カスタマーの既知の属性およびサービスを供給しているエージェントに基づき分類する装置及び方法により解決される。
【０００７】
上記分類に基づき、本発明のシステムは、各カスタマーの残りのサービス時間の確率分布関数を推定する。推定されたサービス時間の確率分布関数から、システムは、特定時間内に予測される予想退去（departures）数を計算し、さらに、新しいカスタマーがサービスを開始できるまでの予想待ち時間の全確率分布関数を求める。さらに、システムは、すでに待機中の（待ち行列中の）他のカスタマーに対するサービス開始までの待ち時間の全確率分布を算出することもできる。
【０００８】
本発明は、４つの異なる方法のうち一つを用いて新しいカスタマーの予想待ち時間の分布を推定する。第１に、予想待ち時間分布は、サービスを受けているカスタマーと待ち行列中のカスタマーのサービス時間の確率分布関数に基づく。第２に、さらに改良された方法により、新たなカスタマーに先んじて待ち行列中のカスタマーのサービス開始時間を推定する。第３に、エージェントの数がカスタマーの数を上回る場合、待ち時間はエージェントによるサービスの速度に基づき推定される。第４に、エージェントの数が順番待ちのカスタマーの数より少ない場合、待ち時間は順番待ちのカスタマーのサービス時間分布に基づいて推定される。
【０００９】
【発明の実施の形態】
本発明は、キャパシティの限られたサービスシステムにおいて、新たなカスタマー（またはすでに順番待ちをしているカスタマー）がサービスを受けられるまでの待ち時間の確率分布関数を推定することによって、より向上したサービスを提供する。サービスプロバイダはこの確率分布を使用することによって、カスタマーに対して大体の待ち時間予想を提供することができる。サービスプロバイダはカスタマーに対して、推定される待ち時間の確率分布関数を全て伝えても良いし、若しくは、予想される数値または９０番目のパーセント点などの、確率分布関数の概略的説明のみを提供しても良い。サービスプロバイダは更に、予想される推定値の不確定性について、例えば分散量を提供するなどして、何らかの情報を伝えても良い。また更にプロバイダは、推定値を用いてシステムを再形成したり、エージェントを追加または削除して待ち時間予想値を変更することもできる。
【００１０】
サービスを受けているカスタマーと順番待ちをしているカスタマーを含む全てのカスタマーは、一つ以上のカスタマー属性によって分類されている。このカスタマー属性から、各カスタマーに関する残存サービス時間の確率分布関数（「ＰＤＦ］）が算出される。これらのサービス時間ＰＤＦによって、システム管理者は、新たに順番待ちに加わるカスタマーに対する待ち時間ＰＤＦを予測することができるし、更にすでに順番待ちをしているカスタマーに対する待ち時間ＰＤＦも予測することができる。
【００１１】
ランダム数量の「確率分布関数」とは、数量が、全ての可能な値のうち、特定の値と同じかそれ以下である確率を説明するものである。Ｘがランダム時間であるとすると、その確率分布関数は、Ｇ（ｘ）＝Ｐ（Ｘ≦ｘ）、０≦ｘ＜∞、即ち各可能なｘに対して、Ｘがｘより小さいまたは等しい確率として表すことができる。
【００１２】
図１は、本発明によるシステム１００の実施形態を表す。システム１００は、容量ｓを有する複数のエージェントＡ1−Ａs、および容量ｑを有する待ち行列１１０を含む。エージェントＡ1−Ａsおよび待ち行列１１０は、ネットワーク２００を通じて、複数のカスタマー（図示せず）と接続される。好適な実施形態においてシステム１００は、各エージェントＡ1−Ａsおよび待ち行列と接続しているプロセッサ１２０を含む。プロセッサ１２０は、エージェントＡ1−Ａsの動作を監視し、それによって各エージェントからサービスの供給を受けるカスタマーのサービス要求を監視する。プロセッサは更に、待ち行列１１０も監視し、それによって待ち行列とその中のカスタマーとの間の動作を監視する。
【００１３】
全てのエージェントがカスタマーの対応をしている場合、新たなカスタマーは待ち行列１１０の中に入れられる。待ち行列１１０がいっぱいの場合は、新たなカスタマーは入れられない。システム１００がｓ人数のカスタマーの対応をしていて、ｋ人数のカスタマーが待ち行列にいる場合、新たなカスタマーは待ち行列１１０のｋ＋１の位置に配置される。新たなカスタマーの到着の際にシステム１００は、そのカスタマーが我慢しなければならない待ち時間の予想値を知らせる。システムはまたその他所望の時点で、待ち行列内のカスタマーに、彼らが我慢しなければならない残存待ち時間の予想値を提供することもできる。
【００１４】
本発明による推定方法を図２に示す。システム１００は、新たなカスタマーの到着時または所望の時点に、サービス中の各カスタマーの属性を審査する（ステップ１０００）。システムは、検出された属性に基づいた各カスタマーｉの残存サービス時間に関して、Ｇi（ｔ）と示される確率分布関数を算出する（ステップ１０１０）。システムは更に、待ち行列内で新たなカスタマーの前に位置するカスタマーを考慮に入れる。サービス中のカスタマーと同様に、順番待ち中のカスタマーの属性を審査する（ステップ１２００）。そのカスタマー属性に基づいてシステムは、各順番待ち中のカスタマーｉに対して、カスタマーサービス時間が特定の時間かそれより短くなる確率を表すサービス時間ＰＤＦ  Ｇi（ｔ）を算出する(ステップ１２１０）。最終的にシステムは、予測されるサービスからの退去数に基づいて、サービスが始められるまでの待ち時間のＰＤＦを推定する（ステップ１１００）。
【００１５】
カスタマーに対してサービス時間ＰＤＦを算出するために、システム１００は各カスタマーに関する数種の属性を審査する。具体例として、システム１００はインターネット接続サービスを提供するものだとする。サービス中のｓ人数の各カスタマーは、接続時に開始した活動によって分類されることも可能である。図３は、分類に適した数々の確率分布関数を表す。例えば、電子メールを受信するために接続したカスタマーは、接続後ただちに接続中止すると考えられ、このようなカスタマーには図３（ａ）に示すＰＤＦ１が適切だと言える。他のカスタマーは、更に長い接続時間を使用する行動を示し、その場合は図３（ｂ）に示すＰＤＦ２が適切だと考えられる。更に他のＰＤＦを、他のカスタマーに指定することもでき、または他の属性に基づいて指定することもできる。他の属性として、一つのエージェントＡ1の相対効率を考慮に入れて、ＰＤＦを算出しても良い。更に、サービスプロバイダの方針が分布に影響を与えることもある。例えば、ヘルプデスクはサービス要求時間を、例えば１０分間などの所定時間に限定することもある。その場合、もし限定時間内にカスタマーの問題が解決しない時は、他のサービスプロバイダへ問い合わせるようカスタマーに案内する。このような方針は、図３（ｃ）のＰＤＦ３によって示される。サービス中の各カスタマーには、そのカスタマーが時間ｔまたはそれ以前に接続中止する確率を表すサービス時間ＰＤＦ  Ｇi（ｔ）が指定される。
【００１６】
サービス中のカスタマーに関する残存サービス時間のＰＤＦ算出に特に便利な属性は、経過したサービス時間である。カスタマーがすでにｘ時間、サービスを受信しているとすると、システムは全てのｔ値に対して、カスタマーが時間ｔまでにサービス受信を終わらせる確率を推定する。この推定値は、「条件付きＰＤＦ」と称される。図４（ａ）および４（ｂ）は、ＰＤＦと確率密度関数との関係を示す。ｇ（ｔ）が、確率分布関数Ｇ（ｔ）に関連する確率密度関数である場合、それらは以下のような関係にある。
【００１７】
【数１】
0004245693.tif 000002
即ち、Ｇ（ｔ）は０からｔにおけるｇの積分値であって、ｇ（ｔ）はｔにおけるＧ（ｔ）の微分値である。図４（ｂ）は、仮定の確率密度関数ｇi（ｔ）を示す。条件付き確率分布関数Ｇi（ｔ｜ｘ）は、面積ｇ１を総面積（ｇ１およびｇ２）で割った数値によって表される。
【００１８】
曲線ｇi（ｔ）下の全面積は、確率を表すことから１であるとされる。システム１００は、カスタマーサービスが時間ｘiの間存続したとして、カスタマーサービスが追加時間ｔの間に終了する確率を表す、条件付きＰＤＦ，Ｇi（ｔ｜ｘi）を算出する。
【００１９】
【数２】
0004245693.tif 000003
もしサービス中のカスタマーの経過時間情報が利用できない場合、そのカスタマーはサービス中である、という情報を利用することが可能である。その場合、元のサービス時間ＰＤＦの代わりに、以下のサービス時間定常−超過条件付きＰＤＦを使用することができる。
【００２０】
【数３】
0004245693.tif 000004
ここで、ｍiは、ＰＤＦ  Ｇiの平均値（予想値）である。
【００２１】
サービス中のカスタマーに加えて、システム１００は、待ち行列内のｋ人数のカスタマーを、彼らについて知られている属性によって分類するためのＰＤＦを算出する。上述のインターネット接続の例によれば、順番待ちのカスタマーはインターネットサービスを受信していないため、システムは彼らの行動に基づいて分類することはできない。しかしシステム１００は、カスタマーのＩＤ（識別子）または電話番号などの、制限付きながらも分類を可能にする他の情報を有すると考えられる。カスタマーＩＤがわかっている場合、システムはカスタマーの以前の行動に基づいてＰＤＦを指定することができる。前述のようにシステム１００は、カスタマーの属性とは無関係にＰＤＦを決定する確立した方針を有することがある。ＰＤＦ  Ｇj（ｔ）は待ち行列中の各カスタマー（１＜ｊ＜ｋ）に割り当てられ、カスタマーがサービスを終了する時間についての確率を表す。
【００２２】
サービス中または待ち行列中のあるカスタマー群については、推定サービス時間に関して一部の情報しか入手できない。入手可能な情報の例には平均サービス時間ｍiがある。一部の情報しか入手できな場合、システムはサービス時間ＰＤＦ  Ｇi(ｔ）を入手した一部の情報へ当てはめる。例えば、平均ｍiが与えられたとすると、システムは指数ＰＤＦ  Ｇi(ｔ）＝１−ｅ-t/miを適用できる。カスタマーによっては、平均ｍiは長期平均でなければならない場合がある。
【００２３】
サービス中および待ち行列中のカスタマーに対してサービス時間ＰＤＦが求められると、システム１００はサービス中のすべてのカスタマーをまとめて、時間間隔［０，ｔ］において最初にサービスを受けているカスタマー群からの予想退去数ＥＤs（ｔ）を次のように推定する。
【００２４】
【数４】
0004245693.tif 000005
実際的な近似法として待ち行列中のカスタマーがサービスを即座に開始できるとすると、待ち行列中の最初のｋ人のカスタマーについての時間に対する予想退去数ＥＤq（ｔ）はほぼ次のように表すことができる。
【００２５】
【数５】
0004245693.tif 000006
予想退去数の合計に関連する推定値は、式（４）および式（５）を次のように加算して得られる。
【００２６】
【数６】
0004245693.tif 000007
時間に対する予想退去数が求められると、システムはシステムがｋ＋１人のカスタマーにサービスするまでにかかる時間、つまり新規のカスタマーがサービスを受けられるようになるまでの時間を推定することができる。すでに待ち行列に入っているカスタマーが（ｋ＋１）番目のカスタマーならば、同じ公式を適用できる。実際のランダムな待ち時間Ｗは次式で表される。
【００２７】
【数７】
0004245693.tif 000008
次のステップは、待ち時間ＷのＰＤＦ、すなわちｗの関数としてのＰ（Ｗ≦ｗ）の近似式を求めることである。ランダム数Ｄ（ｔ）は互いに関係のないランダムな変数の和であるから、その分布はほぼ正規分布であると仮定される。ｗxが平均ＥＤ（ｔ）および標準偏差ＳＤ（Ｄ（ｔ））に基づく待ち時間を表すと定義すると、
【数８】
0004245693.tif 000009
となる。ここでｘは定数である。この後、システムはＷの分布についての近似式を次のように求める。
【００２８】
【数９】
0004245693.tif 000010
ここでＮ（０，１）は平均０および分散量１である標準正規ランダム変数であり、ΦはそのＰＤＦである。ｘが変化すると、式（８）および式（９）からはＷの補ＰＤＦ、すなわちｗの関数としての１−Ｐ（Ｗ≦ｗ）の式が与えられる。
【００２９】
多くの応用例では、Ｗの全分布を入手するのが有利である。このような場合、システムは上記の式（９）に従って分布を計算する。しかし他の応用例では、必要な待ち時間の値は１つだけである。このような環境下で、システムは以下のように動作する。
【００３０】
０＜α＜１については、関係ｘα＝Φ-1（α）（または同値のΦ（Ｘα）＝α）が定義される。すると、ｗxαはｗの分布の約α番目のパーセント点となる。
【００３１】
システムはまた、待ち時間ＷのＰＤＦについて１つの値からなる総合推定値を生成できる。αとｗとの関係により、システムオペレータは自分の推定値をどの程度、積極的または保守的にするかを選択できる。例えば、α＝０．９０に設定すると、システムオペレータは、推定値以下である確率が９０％［α*１００％］であるｗの推定値を得る。または、α＝０．５に設定すると、推定値以下である確率が５０％（すなわちメジアン）である推定値を得る。
【００３２】
本発明の第２の実施形態では、新規のカスタマーより先に待ち行列に入っていた各カスタマーがサービスを開始できる時間を推定することによって、待ち時間のより良好な推定値が得られる。システム１００は現在サービス中のカスタマーについて、彼らのＰＤＦに基づいて退去数を推定する。システム１００は各推定退去数を待ち行列のカスタマーのＰＤＦの開始点として用いる。システム１００は待ち行列中のｊ番目のカスタマーがサービスを開始する時間ｔjを次のように推定する。
【００３３】
【数１０】
0004245693.tif 000011
ここでＥＤs（ｔ）は式（４）で与えられる。ｔjから、システム１００は時間に対する予想退去数を次のように推定する。
【００３４】
【数１１】
0004245693.tif 000012
より正確な予想退去数を得たことによって、システムは第１の実施形態（式（７）〜式（９））中のＷに従って、ただし推定は式（１１）のＥＤ（ｔ）に基づいて、新規のカスタマーの待ち時間を推定できる。
【００３５】
第３の実施形態では、システムは待ち行列中の最初の数人のカスタマーの待ち時間を計算する。この実施形態は、待ち行列中のカスタマー数がエージェント数に対して少ない（つまりｋ＜＜ｓ）ときに特に有用である。システムはサービス中のカスタマーの瞬時退去率を推定し、これを待ち行列中の最初の数人のカスタマーに拡張する。待ち行列中の最初のカスタマーの待ち時間は次のように補ＰＤＦをもつ。
【００３６】
【数１２】
0004245693.tif 000013
これは次式から計算できる。
【００３７】
【数１３】
0004245693.tif 000014
式（１２）および式（１３）のサービス時間ＰＤＦ  Ｇi（ｔ）は、以前と同じくカスタマーおよびエージェントの属性に基づいて推定される。さらに、以下の指数分布によってＷ1の近似値を求めることができる。
【００３８】
【数１４】
0004245693.tif 000015
その後、レートμ1でポアッソンプロセス（Poisson process）によって退去プロセスを近似させて、Ｗkが以下の平均および分散量をもつγ分布となるようにする。
【００３９】
【数１５】
0004245693.tif 000016
この式は、サービス中のカスタマーの平均サービス残り時間がわかっている（ｍi，１≦ｉ≦ｓ）場合だけに使用する。レートμ1はほぼ次のように表すことができる。
【００４０】
【数１６】
0004245693.tif 000017
第４の実施形態では、システム１００はサービス中のカスタマーの役割をあまり重視しない。このような推定方法は、待ち行列中のカスタマー数がエージェント数よりも多い（すなわちｋ＞＞ｓ）場合に適用される。この実施形態では、推定待ち時間は、上記の発明の背景のところで説明したｋ／ｓ*ｒ推定値に似ている。しかし本発明の利点は、非同一に分布したカスタマーＰＤＦ  Ｇi（ｔ）と、以下に示すＰＤＦの平均ｍiおよび分散量σi2を考慮することである。
【００４１】
【数１７】
0004245693.tif 000018
まずサービス中のｓ人のカスタマーにインデクッスがつけられ、次に待ち行列中の最初のカスタマーにインデックスがつけられる。
【００４２】
本発明は、待ち行列にはいっているか、または待ち行列に新しく入るカスタマーがサービスを受け始めるまでに待たなければならない待機時間を推定する方法である。本発明はまた、カスタマーがサービスを終了するまでの予想待機時間を推定する方法および装置として適用できる。本実施形態では、システムは、すでにサービス中のカスタマーや、そのカスタマーの前の待ち行列にいるカスタマーに加えて、カスタマー自身のサービス時間ＰＤＦを考慮する。カスタマーｉがサービスを完了するのにかかる総時間をＴiとすると、そのＰＤＦは２項目からなるＰＤＦから次のコンボリューション積分によって求めることができる。
【００４３】
【数１８】
0004245693.tif 000019
予想値は単純に
【数１９】
0004245693.tif 000020
によって関連づけられ、ここでｍiはサービス時間ＰＤＦ  Ｇiの予想値である。
【００４４】
以上のように説明した本発明は、各カスタマーごとにわかっている属性に基づいて、サービス中のカスタマー、およびおそらくは待ち行列中のカスタマーのサービス時間も推定することによって、待ち行列中のカスタマーが経験するキューイング遅延のより正確で信頼性のある推定値を求める。推定されたサービス時間から、任意のカスタマーの待ち時間を推定できる。またこの推定は、様々な需要に応じるためにエージェントを追加または削減する待ち行列管理者にも有利である。
【図面の簡単な説明】
【図１】  本発明に従って構成されたシステムを示す図である。
【図２】  本発明による方法を示す図である。
【図３】  本発明に適用可能な確率分布関数を示す図である。
【図４】  （ａ）は、図３（ｂ）の確率分布関数を示す図であり、（ｂ）は、図４（ａ）の確率分布関数に関連する条件付き確率密度関数を示す図である。
【符号の説明】
１００  システム、１１０  待ち行列、１２０  プロセッサ、２００  ネットワーク。
【図１】
0004245693.tif 000021
【図２】
0004245693.tif 000022
【図３】
0004245693.tif 000023
【図４】
0004245693.tif 000024