(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
アナログ信号を入力し該アナログ信号を標本化時間Δｔごとにサンプリングしてデジタルデータに変換するアナログ・デジタル変換部と、
前記アナログ・デジタル変換部で得られたデジタルデータ列から、連続するＮ個（但し偶数）の各サンプリング時刻（ｔ０+ｎΔｔ）（但し、ｎ＝０，１，２，…，Ｎ−１、ｔ０はｎ＝０のときのサンプリング時刻）のデジタルデータｆｐ（ｔ０+ｎΔｔ）からなるデジタルデータ列｛ｆｐ（ｔ０+ｎΔｔ）｝を切り出すデータ切出部と、
時刻ｔ１を指定する時刻指定部と、
内挿関数
【数１】
0004252736.tif 000164
に基づいて、各時刻（ｔ１-（ｔ０+ｎΔｔ））の内挿関数値Ψ（ｔ１−（ｔ０+ｎΔｔ））を算出することにより内挿関数値列｛Ψ（ｔ１−（ｔ０＋ｎΔｔ））｝を求める第１演算部、および、前記データ切出部で切り出されたデジタルデータ列｛ｆｐ（ｔ０＋ｎΔｔ）｝と、前記第１演算部で求められた内挿関数値列｛Ψ（ｔ１−（ｔ０＋ｎΔｔ）｝とに基づいて、時刻ｔ１の補間データｆｐ（ｔ１）を、
【数２】
0004252736.tif 000165
に従って算出する第２演算部からなるデータ演算部と、を備えたことを特徴とするデータ補間装置。
【請求項２】
アナログ信号を入力し該アナログ信号を標本化時間Δｔごとにサンプリングしてデジタルデータに変換するアナログ・デジタル変換部と、
前記アナログ・デジタル変換部で得られたデジタルデータ列から、連続するＮ個（但し奇数）の各サンプリング時刻（ｔ０+ｎΔｔ）（但し、ｎ＝０，１，２，…，Ｎ−１、ｔ０はｎ＝０のときのサンプリング時刻）のデジタルデータｆｐ（ｔ０+ｎΔｔ）からなるデジタルデータ列｛ｆｐ（ｔ０+ｎΔｔ）｝を切り出すデータ切出部と、
時刻ｔ１を指定する時刻指定部と、
内挿関数
【数３】
0004252736.tif 000166
に基づいて、各時刻（ｔ１-（ｔ０+ｎΔｔ））の内挿関数値Ψ（ｔ１−（ｔ０+ｎΔｔ））を算出することにより内挿関数値列｛Ψ（ｔ１−（ｔ０＋ｎΔｔ））｝を求める第１演算部、および、前記データ切出部で切り出されたデジタルデータ列｛ｆｐ（ｔ０＋ｎΔｔ）｝と、前記第１演算部で求められた内挿関数値列｛Ψ（ｔ１−（ｔ０＋ｎΔｔ）｝とに基づいて、時刻ｔ１の補間データｆｐ（ｔ１）を、
【数４】
0004252736.tif 000167
に従って算出する第２演算部からなるデータ演算部とを備えたことを特徴とするデータ補間装置。
【請求項３】
前記データ切出部は、前記データ取得部で取得されたデジタルデータ列から、時間的に隣接する窓を有する窓関数どうしが時間的に一部重なるとともに時間的に順次シフトした窓を有する複数の窓関数により、それぞれがＮ個のデジタルデータからなる複数のデジタルデータ列｛ｆｐ１（ｔ０＋ｎΔｔ）｝，｛ｆｐ２（ｔ０＋ｎΔｔ）｝，…を切り出すものであり、
前記データ演算部は、前記複数のデジタルデータ列｛ｆｐ１（ｔ０＋ｎΔｔ）｝，｛ｆｐ２（ｔ０＋ｎΔｔ）｝，…のそれぞれに基づいて時刻ｔ１の複数の補間データｆｐ１（ｔ１），ｆｐ２（ｔ１），…を算出するものであり、さらに、
前記複数の補間データｆｐ１（ｔ１），ｆｐ２（ｔ１），…を合成することにより、時刻ｔ１の補間データｆｐ（ｔ１）を求めるデータ合成部を備えたことを特徴とする請求項１又は２記載のデータ補間装置。
【請求項４】
前記アナログ・デジタル変換部のさらに前段に、エイリアジングノイズ防止用のアンチエイリアジングフィルタを備えたことを特徴とする請求項１から３のうちのいずれか１項記載のデータ補間装置。
【請求項５】
コンピュータ内で実行され、該コンピュータを、
アナログ信号を入力し該アナログ信号を標本化時間Δｔごとにサンプリングしてデジタルデータに変換するアナログ・デジタル変換部と、
前記アナログ・デジタル変換部で得られたデジタルデータ列から、連続するＮ個（但し偶数）の各サンプリング時刻（ｔ０+ｎΔｔ）（但し、ｎ＝０，１，２，…，Ｎ−１、ｔ０はｎ＝０のときのサンプリング時刻）のデジタルデータｆｐ（ｔ０+ｎΔｔ）からなるデジタルデータ列｛ｆｐ（ｔ０+ｎΔｔ）｝を切り出すデータ切出部と、
時刻ｔ１を指定する時刻指定部と、
内挿関数
【数５】
0004252736.tif 000168
に基づいて、各時刻（ｔ１-（ｔ０+ｎΔｔ））の内挿関数値Ψ（ｔ１−（ｔ０+ｎΔｔ））を算出することにより内挿関数値列｛Ψ（ｔ１−（ｔ０＋ｎΔｔ））｝を求める第１演算部、および、前記データ切出部で切り出されたデジタルデータ列｛ｆｐ（ｔ０＋ｎΔｔ）｝と、前記第１演算部で求められた内挿関数値列｛Ψ（ｔ１−（ｔ０＋ｎΔｔ）｝とに基づいて、時刻ｔ１の補間データｆｐ（ｔ１）を、
【数６】
0004252736.tif 000169
に従って算出する第２演算部からなるデータ演算部と、を備えたデータ補間装置として動作させることを特徴とするデータ補間プログラム。
【請求項６】
コンピュータ内で実行され、該コンピュータを、
アナログ信号を入力し該アナログ信号を標本化時間Δｔごとにサンプリングしてデジタルデータに変換するアナログ・デジタル変換部と、
前記アナログ・デジタル変換部で得られたデジタルデータ列から、連続するＮ個（但し奇数）の各サンプリング時刻（ｔ０+ｎΔｔ）（但し、ｎ＝０，１，２，…，Ｎ−１、ｔ０はｎ＝０のときのサンプリング時刻）のデジタルデータｆｐ（ｔ０+ｎΔｔ）からなるデジタルデータ列｛ｆｐ（ｔ０+ｎΔｔ）｝を切り出すデータ切出部と、
時刻ｔ１を指定する時刻指定部と、
内挿関数
【数７】
0004252736.tif 000170
に基づいて、各時刻（ｔ１-（ｔ０+ｎΔｔ））の内挿関数値Ψ（ｔ１−（ｔ０+ｎΔｔ））を算出することにより内挿関数値列｛Ψ（ｔ１−（ｔ０＋ｎΔｔ））｝を求める第１演算部、および、前記データ切出部で切り出されたデジタルデータ列｛ｆｐ（ｔ０＋ｎΔｔ）｝と、前記第１演算部で求められた内挿関数値列｛Ψ（ｔ１−（ｔ０＋ｎΔｔ）｝とに基づいて、時刻ｔ１の補間データｆｐ（ｔ１）を、
【数８】
0004252736.tif 000171
に従って算出する第２演算部からなるデータ演算部とを備えたデータ補間装置として動作させることを特徴とするデータ補間プログラム。
【請求項７】
前記データ切出部は、前記データ取得部で取得されたデジタルデータ列から、時間的に隣接する窓を有する窓関数どうしが時間的に一部重なるとともに時間的に順次シフトした窓を有する複数の窓関数により、それぞれがＮ個のデジタルデータからなる複数のデジタルデータ列｛ｆｐ１（ｔ０＋ｎΔｔ）｝，｛ｆｐ２（ｔ０＋ｎΔｔ）｝，…を切り出すものであり、
前記データ演算部は、前記複数のデジタルデータ列｛ｆｐ１（ｔ０＋ｎΔｔ）｝，｛ｆｐ２（ｔ０＋ｎΔｔ）｝，…のそれぞれに基づいて時刻ｔ１の複数の補間データｆｐ１（ｔ１），ｆｐ２（ｔ１），…を算出するものであり、さらに、前記コンピュータを、
前記複数の補間データｆｐ１（ｔ１），ｆｐ２（ｔ１），…を合成することにより、時刻ｔ１の補間データｆｐ（ｔ１）を求めるデータ合成部を備えたデータ補間装置として動作させることを特徴とする請求項５又は６記載のデータ補間プログラム。
【請求項８】
前記コンピュータを、さらに、前記アナログ・デジタル変換部のさらに前段に、エイリアジングノイズ防止用のアンチエイリアジングフィルタを備えたデータ補間装置として動作させることを特徴とする請求項５から７のうちのいずれか１項記載のデータ補間プログラム。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、ディジタルデータ列から、データ補間演算（内挿演算）により、例えばそのディジタルデータ列の隣接する標本点（サンプリング点）どうしの途中の時点のデータ等、任意の時刻のデータを求めるデータ補間方法、コンピュータ内で実行されてデータ補間演算を行なうデータ補間プログラム、およびデータ補間を行なうデータ補間装置に関する。
【０００２】
【従来の技術】
従来より、様々な分野で、ディジタルデータ列から標本点以外の時点のデータを求めることが求められている。
【０００３】
例えば、計測の分野において、回転体にロータリエンコーダを取り付けておいてその回転体が所定の回転角度回転するたびにパルスを出力させ、そのパルスのタイミングでその回転体の何らかの物理量（例えば振動）をサンプリングしてディジタルデータ列を得、そのディジタルデータ列を、データ解析のために、時間的に等間隔にサンプリングされたディジタルデータ列に変換する場合に、回転角に応じた標本点から時間に応じた標本点への変換が必要となり、その場合に上記のデータ補間が行なわれる。
【０００４】
また、例えば、ＤＡＴ（ディジタルオーディオテープ）にデータを収録し、それを例えばＣＤ−Ｒに収録し直す場合に、ＤＡＴに収録したときのクロックとＣＤ−Ｒに収録し直すときのクロックとでは周波数が一致していないため、ＤＡＴに収録したときのクロックに同期した標本化（サンプリング）により得られたディジタルデータ列からＣＤ−Ｒのクロックに同期した標本点を持つディジタルデータ列に変換する必要があり、その場合にも上記のデータ補間を行なう必要がある。
【０００５】
もう１つの例を挙げると、ディジタル収録されたカラオケの伴奏音を、例えば音の高さ（ピッチ）は変えずに再生の速度（テンポ）を変更して再生する場合に、回路動作の基になるクロックは一定であるので、ディジタル収録されている伴奏音のディジタルデータ列から、そのディジタル録音された伴奏音のサンプリング速度とは異なるサンプリング速度でサンプリングされたものと同等のディジタルデータ列を求めて、その求めたディジタルデータ列をそのクロックに同期した速度で出力することが行なわれており、サンプリング速度の異なるディジタルデータ列を求めるにあたり、上記のデータ補間が行なわれる。
【０００６】
図１は、アナログ信号の一例を示す図、図２は、図１に示すアナログ信号が標本化されたディジタルデータ列を示す模式図である。
【０００７】
図１に示すｆ（ｔ）で表わされるアナログ信号が与えられた場合に、例えばアナログ・ディジタル変換器により標本化時間間隔Δｔで標本化され、図２の丸印の高さ（棒グラフの長さ）に相当する数値で表わされたディジタルデータ列ｆ（ｎΔｔ）に変換される。
【０００８】
ここで、図２に示すようなディジタルデータ列ｆ（ｎΔｔ）から、任意の時刻ｔの、図２に破線で示すもともとのアナログ信号ｆ（ｔ）に相当するデータを求めることが、ここでいうデータ補間である。
【０００９】
【発明が解決しようとする課題】
従来採用されているデータ補間法の１つにゼロ点追加法がある。このゼロ点追加法は、図２に示すようなディジタルデータ列ｆ（ｎΔｔ）の隣接する標本点どうしの間に内挿したい数だけゼロ点（データ値ゼロを持つ標本点）を等間隔に追加し、このようにして標本点を何倍にも増やした上でディジタルの低域通過フィルタを通過させる、という手法である。このゼロ点追加法によれば、最初の標本化にあたってエイリアジングノイズを防止するためのフィルタリング処理をきちんと行なっている限りにおいて、ゼロ点として追加した標本点のデータを正確に再生することができる。
【００１０】
しかしながら、このゼロ点追加法では、もともとの標本点どうしの間にゼロ点を等間隔に追加する必要があり、追加点数で決まる固定時刻の点のデータは正確に再生できるものの、任意の時刻のデータを再生することは不可能である。
【００１１】
また、従来採用されているデータ補間法のうちの他の方法として、染谷＆シャノン（Ｓｈａｎｎｏｎ）の標本化定理を利用する方法がある。
【００１２】
図３は、その標本化定理の原理説明図である。
【００１３】
ここでは、各標本点を中心としたｓｉｎｃ関数が用いられ、式
【００１４】
【数１３】
0004252736.tif 000002
【００１５】
により、時刻ｔのデータｆint（ｔ）が求められる。
【００１６】
この標本化定理を採用すると、やはり最初の標本化にあたってエイリアジングノイズ防止のためのフィタリング処理がきちんと行なわれてさえいれば、数学的には、任意の時刻ｔのデータを再生することができる。
【００１７】
しかしながら、この標本化定理は、式（Ｄ）からわかるように無限個の標本点を必要とする。しかしながら現実的には、有限個の標本点のデータで演算を行なう必要を生じ、その分ある程度大きな誤差を含む結果しか求めることができないという問題がある。
【００１８】
本発明は、上記事情に鑑み、有限個の標本点のディジタルデータ列に基づいて、任意の時刻のデータを高精度に求めることができるデータ補間方法、コンピュータ内でそのデータ補間方法を実行するデータ補間プログラム、およびそのデータ補間方法を実施するデータ補間装置を提供することを目的とする。
【００１９】
【課題を解決するための手段】
上記目的を達成する本発明のデータ補間方法のうちの第１のデータ補間方法は、アナログ信号が所定の標本化時間間隔で標本化されることにより得られたディジタルデータ列を取得し、
取得したディジタルデータ列に基づいて、任意の時刻ｔのデータｆp（ｔ）を、式
【００２０】
【数１４】
0004252736.tif 000003
【００２１】
ここで、ｔ0は、任意の参照時刻
Δｔは、標本化時間
Ｎは、標本数（但し偶数）
｛ｆp（ｔ0＋ｎ・Δｔ）｝
（ｎ＝０，１，２，…，Ｎ−１）はＮ個の標本化データ
ψ（ｔ）は、内挿関数
を表わす。
に従うとともに、該式（Ａ）中の内挿関数ψ（ｔ）として、
【００２２】
【数１５】
0004252736.tif 000004
【００２３】
あるいは該内挿関数（Ｂ）と実質的に同等な内挿関数を採用して、求めることを特徴とする。
【００２４】
ここで、「該内挿関数（Ｂ）と実質的に同等な内挿関数」とは、例えば内挿関数（Ｂ）に、内挿関数（Ｂ）自体と実質的に変わらないような何らかの補正項や補正係数などを追加した内挿関数や、あるいは内挿関数（Ｂ）の曲線をそのままなぞるスプライン関数など、内挿関数（Ｂ）を実質的に真似た式や関数をいう。後述する本発明の第１のデータ補間プログラムおよび本発明の第１のデータ補間装置においても同様である。
【００２５】
上記の第１のデータ補間方法によれば、標本数Ｎが偶数であるという制限はあるものの、これは演算上の実質的な制限にはならず、精度的には極めて高精度に、任意の時刻ｔのデータを再生することができる。
【００２６】
ここで、上記第１のデータ補間方法において、取得したディジタルデータ列に基づいて、上記式（Ａ）に従ってデータｆp（ｔ）を求めるにあたり、
取得したディジタルデータ列から窓関数によりＮ個の標本化データからなるディジタルデータ列を切り出し、
切り出したディジタルデータ列に基づいて、上記内挿関数（Ｂ）あるいはその内挿関数（Ｂ）と実質的に同等な内挿関数を採用したときの式（Ａ）に従って、上記窓関数の窓内の任意の時刻ｔのデータｆp（ｔ）を求めてもよい。
【００２７】
ディジタルデータ列が極めて長いときは、データを求めようとする時刻を含む時間領域のディジタルデータ列を窓関数により切り出して、その切り出したディジタルデータ列に基づくデータ補間演算を行なうことで演算時間の短縮化が図られる。
【００２８】
また、上記第１のデータ補間方法において、取得したディジタルデータ列に基づいて、上記式（Ａ）に従ってデータｆp（ｔ）を求めるにあたり、
取得したディジタルデータ列から、時間的に隣接する窓を有する窓関数どうしが時間的に一部重なるとともに時間的に順次シフトした窓を有する複数の窓関数により、それぞれがＮ個の標本化データからなる複数のディジタルデータ列を切り出し、
切り出した複数のディジタルデータ列それぞれに基づいて、上記内挿関数（Ｂ）あるいはその内挿関数（Ｂ）と実質的に同等な内挿関数を採用したときの式（Ａ）に従って、各ディジタルデータ列の切り出しに用いた各窓関数の窓内の任意の時刻ｔのデータｆp1（ｔ）を求め、
複数の窓関数で切り出された複数のディジタルデータ列それぞれに基づいて求められた同一の時刻のデータｆp1（ｔ）どうしを合成することにより、該同一の時刻のデータｆp（ｔ）を求めることも好ましい形態である。
【００２９】
この方法を採用すると、例えばもともとの標本化時間Δｔとは異なる標本化時間で標本化したディジタルデータ列を、短かい演算時間で算出することができる。
【００３０】
また、上記目的を達成する本発明のデータ補間方法のうちの第２のデータ補間方法は、アナログ信号が所定の標本化時間間隔で標本化されることにより得られたディジタルデータ列を取得し、
取得したディジタルデータ列に基づいて、任意の時刻ｔのデータｆp（ｔ）を、式
【００３１】
【数１６】
0004252736.tif 000005
【００３２】
ここで、ｔ0は、任意の参照時刻
Δｔは、標本化時間
Ｎは、標本数（但し奇数）
｛ｆp（ｔ0＋ｎ・Δｔ）｝
（ｎ＝０，１，２，…，Ｎ−１）はＮ個の標本化データ
ψ（ｔ）は、内挿関数
を表わす。
に従うとともに、該式（Ａ）中の内挿関数ψ（ｔ）として、
【００３３】
【数１７】
0004252736.tif 000006
【００３４】
あるいは該内挿関数（Ｃ）と実質的に同等な内挿関数を採用して、求めることを特徴とする。
【００３５】
ここで、「該内挿関数（Ｃ）と実質的に同等な内挿関数」とは、内挿関数（Ｂ）の場合と同様、例えば内挿関数（Ｃ）に、内挿関数（Ｃ）自体と実質的に変わらないような何らかの補正項や補正係数などを追加した式や、あるいは内挿関数（Ｃ）の曲線をそのままなぞるスプライン関数など、内挿関数（Ｃ）を実質的に真似た式や関数をいう。後述する本発明の第２のデータ補間プログラムおよび本発明の第２のデータ補間装置においても同様である。
【００３６】
上記の第２のデータ補間方法によれば、Ｎ個の標本化データが奇数であるという制限はあるものの、これは演算上の実質的な制限にはならず、精度的には極めて高精度に、任意の時刻ｔのデータを再生することができる。
【００３７】
ここで、上記第２のデータ補間方法において、取得したディジタルデータ列に基づいて、上記式（Ａ）に従ってデータｆp（ｔ）を求めるにあたり、
取得したディジタルデータ列から窓関数によりＮ個の標本化データからなるディジタルデータ列を切り出し、
切り出したディジタルデータ列に基づいて、上記内挿関数（Ｃ）あるいはその内挿関数（Ｃ）と実質的に同等な内挿関数を採用したときの式（Ａ）に従って、上記窓関数の窓内の任意の時刻ｔのデータｆp（ｔ）を求めてもよい。
【００３８】
第１のデータ補間方法のときと同様、ディジタルデータ列が極めて長いときは、データを求めようとする時刻を含む時間領域のディジタルデータ列を窓関数により切出して、その切り出したディジタルデータ列に基づくデータ補間演算を行なうことで演算時間の短縮化が図られる。
【００３９】
また、上記第２のデータ補間方法において、取得したディジタルデータ列に基づいて、上記式（Ａ）に従ってデータｆp（ｔ）を求めるにあたり、
取得したディジタルデータ列から、時間的に隣接する窓を有する窓関数どうしが時間的に一部重なるとともに時間的に順次シフトした窓を有する複数の窓関数により、それぞれがＮ個の標本化データからなる複数のディジタルデータ列を切り出し、
切り出した複数のディジタルデータ列それぞれに基づいて、上記内挿関数（Ｃ）あるいはその内挿関数（Ｃ）と実質的に同等な内挿関数を採用したときの式（Ａ）に従って、各ディジタルデータ列の切り出しに用いた各窓関数の窓内の任意の時刻ｔのデータｆp1（ｔ）を求め、
複数の窓関数で切り出された複数のディジタルデータ列それぞれに基づいて求められた同一の時刻のデータｆp1（ｔ）どうしを合成することにより、該同一の時刻のデータｆp（ｔ）を求めることも好ましい形態である。
【００４０】
これも第１のデータ補間方法のときと同様、この方法を採用すると、例えばもともとの標本化時間Δｔとは異なる標本化時間で標本化したディジタルデータ列を、短かい演算時間で算出することができる。
【００４１】
また、上記本発明のデータ補間プログラムのうちの第１のデータ補間プログラムは、コンピュータ内で実行され、該コンピュータを、アナログ信号が所定の標本化時間間隔で標本化されることにより得られたディジタルデータ列を取得するデータ取得部と、
上記データ取得部で取得されたディジタルデータ列に基づいて、任意の時刻ｔのデータｆp（ｔ）を、式
【００４２】
【数１８】
0004252736.tif 000007
【００４３】
ここで、ｔ0は、任意の参照時刻
Δｔは、標本化時間
Ｎは、標本数（但し偶数）
｛ｆp（ｔ0＋ｎ・Δｔ）｝
（ｎ＝０，１，２，…，Ｎ−１）はＮ個の標本化データ
ψ（ｔ）は、内挿関数
を表わす。
に従うとともに、該式（Ａ）中の内挿関数ψ（ｔ）として、
【００４４】
【数１９】
0004252736.tif 000008
【００４５】
あるいは該内挿関数（Ｂ）と実質的に同等な内挿関数（Ｂ）を採用して、求めるデータ補間部とを有するデータ補間装置として動作させることを特徴とする。
【００４６】
ここで、上記第１のデータ補間プログラムにおいて、上記データ補間部は、
上記データ取得部で取得されたディジタルデータ列から窓関数によりＮ個の標本化データからなるディジタルデータ列を切り出すデータ切出し過程と、
データ切出し過程において切り出されたディジタルデータ列に基づいて、上記内挿関数（Ｂ）あるいはその内挿関数（Ｂ）と実質的に同等な内挿関数を採用したときの上記式（Ａ）に従って、上記窓関数の窓内の任意の時刻ｔのデータｆp（ｔ）を求めるデータ演算過程とを有するものであってもよい。
【００４７】
また、上記第１のデータ補間プログラムにおいて、上記データ補間部は、
データ取得部で取得されたディジタルデータ列から、時間的に隣接する窓を有する窓関数どうしが時間的に一部重なるとともに時間的に順次シフトした窓を有する複数の窓関数により、それぞれがＮ個の標本化データからなる複数のディジタルデータ列を切り出すデータ切出し過程と、
データ切出し過程により切り出された複数のディジタルデータ列それぞれに基づいて、上記内挿関数（Ｂ）あるいはその内挿関数（Ｂ）と実質的に同等な内挿関数を採用したときの上記式（Ａ）に従って、各ディジタルデータ列の切り出しに用いた各窓関数の窓内の任意の時刻ｔのデータｆp1（ｔ）を求めるデータ演算過程と、
データ演算過程により、複数の窓関数で切り出された複数のディジタルデータ列それぞれに基づいて求められた、同一の時刻のデータｆp1（ｔ）どうしを合成することにより、該同一の時刻のデータｆp（ｔ）を求めるデータ合成過程とを有するものであることも好ましい形態である。
【００４８】
また、上記本発明のデータ補間プログラムのうちの第２のデータ補間プログラムは、コンピュータ内で実行され、そのコンピュータを、アナログ信号が所定の標本化時間間隔で標本化されることにより得られたディジタルデータ列を取得するデータ取得部と、
データ取得部で取得されたディジタルデータ列に基づいて、任意の時刻ｔのデータｆp（ｔ）を、式
【００４９】
【数２０】
0004252736.tif 000009
【００５０】
ここで、ｔ0は、任意の参照時刻
Δｔは、標本化時間
Ｎは、標本数（但し奇数）
｛ｆp（ｔ0＋ｎ・Δｔ）｝
（ｎ＝０，１，２，…，Ｎ−１）はＮ個の標本化データ
ψ（ｔ）は、内挿関数
を表わす。
に従うとともに、該式（Ａ）中の内挿関数ψ（ｔ）として、
【００５１】
【数２１】
0004252736.tif 000010
【００５２】
あるいは該内挿関数（Ｃ）と実質的に同等な内挿関数を採用して、求めるデータ演算部とを有するデータ補間装置として動作させることを特徴とする。
【００５３】
ここで、上記第２のデータ補間プログラムにおいて、上記データ補間部は、
データ取得部で取得されたディジタルデータ列から窓関数によりＮ個の標本化データからなるディジタルデータ列を切り出すデータ切出し過程と、
データ切出し過程において切り出されたディジタルデータ列に基づいて、上記内挿関数（Ｃ）あるいはその内挿関数（Ｃ）と実質的に同等な内挿関数を採用したときの上記式（Ａ）に従って、上記窓関数の窓内の任意の時刻ｔのデータｆp（ｔ）を求めるデータ演算過程とを有するものであってもよい。
【００５４】
また、上記第２のデータ補間プログラムにおいて、上記データ補間部は、
データ取得部で取得されたディジタルデータ列から、時間的に隣接する窓を有する窓関数どうしが時間的に一部重なるとともに時間的に順次シフトした窓を有する複数の窓関数により、それぞれがＮ個の標本化データからなる複数のディジタルデータ列を切り出すデータ切出し過程と、
データ切出し過程により切り出された複数のディジタルデータ列それぞれに基づいて、上記内挿関数（Ｃ）あるいはその内挿関数（Ｃ）と実質的に同等な内挿関数を採用したときの上記式（Ａ）に従って、各ディジタルデータ列の切り出しに用いた各窓関数の窓内の任意の時刻ｔのデータｆp1（ｔ）を求めるデータ演算過程と、
データ演算過程により、複数の窓関数で切り出された複数のディジタルデータ列それぞれに基づいて求められた、同一の時刻のデータｆp1（ｔ）どうしを合成することにより、該同一の時刻のデータｆp（ｔ）を求めるデータ合成過程とを有するものであることも好ましい形態である。
【００５５】
また、上記本発明のデータ補間装置のうちの第１のデータ補間装置は、アナログ信号が所定の標本化時間間隔で標本化されることにより得られたディジタルデータ列を取得するデータ取得部と、
データ取得部で取得されたディジタルデータ列に基づいて、任意の時刻ｔのデータｆp（ｔ）を、式
【００５６】
【数２２】
0004252736.tif 000011
【００５７】
ここで、ｔ0は、任意の参照時刻
Δｔは、標本化時間
Ｎは、標本数（但し偶数）
｛ｆp（ｔ0＋ｎ・Δｔ）｝
（ｎ＝０，１，２，…，Ｎ−１）はＮ個の標本化データ
ψ（ｔ）は、内挿関数
を表わす。
に従うとともに、該式（Ａ）中の内挿関数ψ（ｔ）として、
【００５８】
【数２３】
0004252736.tif 000012
【００５９】
あるいは該内挿関数（Ｂ）と実質的に同等な内挿関数を採用して、求めるデータ演算部とを備えたことを特徴とする。
【００６０】
ここで、上記第１のデータ補間装置において、上記データ補間部は、
データ取得部で取得されたディジタルデータ列から窓関数によりＮ個の標本化データからなるディジタルデータ列を切り出すデータ切出部と、
上記データ切出部において切り出されたディジタルデータ列に基づいて、上記内挿関数（Ｂ）あるいはその内挿関数（Ｂ）と実質的に同等な内挿関数を採用したときの上記式（Ａ）に従って、上記窓関数の窓内の任意の時刻ｔのデータｆp（ｔ）を求めるデータ演算部とを有するものであってもよい。
【００６１】
また、上記第１のデータ補間装置において、上記データ補間部は、
データ取得部で取得されたディジタルデータ列から、時間的に隣接する窓を有する窓関数どうしが時間的に一部重なるとともに時間的に順次シフトした窓を有する複数の窓関数により、それぞれがＮ個の標本化データからなる複数のディジタルデータ列を切り出すデータ切出部と、
データ切出部により切り出された複数のディジタルデータ列それぞれに基づいて、上記内挿関数（Ｂ）あるいはその内挿関数（Ｂ）と実質的に同等な内挿関数を採用したときの上記式（Ａ）に従って、各ディジタルデータ列の切り出しに用いた各窓関数の窓内の任意の時刻ｔのデータｆp1（ｔ）を求めるデータ演算部と、
データ演算部により、複数の窓関数で切り出された複数のディジタルデータ列それぞれに基づいて求められた、同一の時刻のデータｆp1（ｔ）どうしを合成することにより、該同一の時刻のデータｆp（ｔ）を求めるデータ合成部とを有するものであることも好ましい形態である。
【００６２】
また、上記本発明のデータ補間装置のうちの第２のデータ補間装置は、アナログ信号が所定の標本化時間間隔で標本化されることにより得られたディジタルデータ列を取得するデータ取得部と、
データ取得部で取得されたディジタルデータ列に基づいて、任意の時刻ｔのデータｆp（ｔ）を、式
【００６３】
【数２４】
0004252736.tif 000013
【００６４】
ここで、ｔ0は、任意の参照時刻
Δｔは、標本化時間
Ｎは、標本数（但し奇数）
｛ｆp（ｔ0＋ｎ・Δｔ）｝
（ｎ＝０，１，２，…，Ｎ−１）はＮ個の標本化データ
ψ（ｔ）は、内挿関数
を表わす。
に従うとともに、該式（Ａ）中の内挿関数ψ（ｔ）として、
【００６５】
【数２５】
0004252736.tif 000014
【００６６】
あるいは該内挿関数（Ｃ）と実質的に同等な内挿関数を採用して、求めるデータ演算部と備えたことを特徴とする。
【００６７】
ここで、上記第２のデータ補間装置において、上記データ補間部は、
データ取得部で取得されたディジタルデータ列から窓関数によりＮ個の標本化データからなるディジタルデータ列を切り出すデータ切出部と、
データ切出部において切り出されたディジタルデータ列に基づいて、上記内挿関数（Ｃ）あるいはその内挿関数（Ｃ）と実質的に同等な内挿関数を採用したときの上記式（Ａ）に従って、上記窓関数の窓内の任意の時刻ｔのデータｆp（ｔ）を求めるデータ演算部とを有するものであってもよい。
【００６８】
また、上記第２のデータ補間装置において、上記データ補間部は、
データ取得部で取得されたディジタルデータ列から、時間的に隣接する窓を有する窓関数どうしが時間的に一部重なるとともに時間的に順次シフトした窓を有する複数の窓関数により、それぞれがＮ個の標本化データからなる複数のディジタルデータ列を切り出すデータ切出部と、
データ切出部により切り出された複数のディジタルデータ列それぞれに基づいて、上記内挿関数（Ｃ）あるいはその内挿関数（Ｃ）と実質的に同等な内挿関数を採用したときの上記式（Ａ）に従って、各ディジタルデータ列の切り出しに用いた各窓関数の窓内の任意の時刻ｔのデータｆp1（ｔ）を求めるデータ演算部と、
データ演算部により、複数の窓関数で切り出された複数のディジタルデータ列それぞれに基づいて求められた、同一の時刻のデータｆp1（ｔ）どうしを合成することにより、該同一の時刻のデータｆp（ｔ）を求めるデータ合成部とを有するものであることも好ましい形態である。
【００６９】
また、上記第１のデータ補間装置および上記第２のデータ補間装置のいずれにおいても、上記データ取得部の前段に、アナログ信号を受け取りそのアナログ信号を所定の標本化時間で標本化してディジタルデータ列を生成するアナログ・ディジタル変換部を備えてもよい。
【００７０】
本発明の第１のデータ補間装置および第２のデータ補間装置は、そのデータ補間装置の外部でアナログ信号からディジタルデータ列に変換されて、その変換後のディジタルデータ列を取得するものであってもよいが、本発明の第１のデータ補間装置あるいは第２のデータ補間装置が、アナログ・ディジタル変換部を備え、外部からアナログ信号を受け取り、自分の内部でディジタルデータ列に変換するものであってもよい。
【００７１】
さらに、上記第１のデータ補間装置および上記第２のデータ補間装置において、アナログ・ディジタル変換部を備えた場合に、そのアナログ・ディジタル変換部のさらに前段に、エイリアジングノイズ防止用のアンチエイリアジングフィルタを備えることが好ましい。
【００７２】
こうすることにより、自分自身でアンチエイリアジングノイズの混入の防止をコントロールすることができる。
【００７３】
【発明の実施の形態】
以下、本発明の実施形態について説明する。
【００７４】
図４は、本発明のデータ補間装置の一実施形態として動作するデータ補間演算用コンピュータの外観斜視図である。本発明の一実施形態としてのデータ補間装置は、このデータ補間演算用コンピュータ１００のハードウェアとその内部で実行されるソフトウェアとの組合せにより実現されている。
【００７５】
このデータ補間演算用コンピュータ１００は、ＣＰＵ、ＲＡＭメモリ、磁気ディスク、通信用ボード等を内蔵した本体１０１、本体からの指示によりその表示画面１０２ａ上に画面表示を行なうＣＲＴディスプレイ１０２、このデータ補間演算用コンピュータ内に、オペレータの指示や文字情報を入力するためのキーボード１０３、表示画面上の任意の位置を指定することによりその位置に表示されているアイコン等に応じた指示を入力するマウス１０４を備えている。
【００７６】
本体１０１には、ＣＤ−ＲＯＭ１０５（図５参照）が取り出し自在に装填され、装填されたＣＤ−ＲＯＭ１０５をドライブするＣＤ−ＲＯＭドライブも内蔵されている。
【００７７】
ここでは、ＣＤ−ＲＯＭ１０５に、本発明の一実施形態としてのデータ補間プログラムが記憶されており、そのＣＤ−ＲＯＭ１０５が本体１０１内に装填され、ＣＤ−ＲＯＭドライブによりそのＣＤ−ＲＯＭ１０５に記憶されたデータ補間プログラムがそのデータ補間演算用コンピュータ１００の磁気ディスク内にインストールされる。データ補間演算用コンピュータ１００の磁気ディスク内にインストールされたデータ補間プログラムが起動されると、このデータ補間演算用コンピュータ１００は、本発明のデータ補間装置の一実施形態として動作する。
【００７８】
図５は、図４に示すデータ補間演算用コンピュータ１００のハードウェア構成図である。
【００７９】
このハードウェア構成図には、中央演算処理装置（ＣＰＵ）１１１、ＲＡＭ１１２、磁気ディスクコントローラ１１３、ＣＤ−ＲＯＭドライブ１１５、マウスコントローラ１１６、キーボードコントローラ１１７、ディスプレイコントローラ１１８、およびＡ／Ｄ変換ボード１２０が示されており、それらはバス１１０で相互に接続されている。
【００８０】
Ａ／Ｄ変換ボード１２０上には、フィルタ１２１およびＡ／Ｄ変換器１２２が搭載されており、このＡ／Ｄ変換ボード１２０は、図４に示すデータ補間用コンピュータ１００の本体１０１内に装填されている。
【００８１】
このＡ／Ｄ変換ボード１２０上のＡ／Ｄ変換器１２２は、入力されたアナログ信号を所定の標本化時間間隔（サンプリング間隔）Δｔで標本化（サンプリング）してディジタルデータ列を生成するものであり、またこのＡ／Ｄ変換ボード１２０に搭載されたフィルタ１２１は、Ａ／Ｄ変換器１２２により得られるディジタルデータ列にエイリアジングノイズ（折り返し雑音）が混入するのを防止するための、低域通過型のアンチエイリアジングフィルタである。
【００８２】
ＣＤ−ＲＯＭドライブ１１５は、図４を参照して説明したように、ＣＤ−ＲＯＭ１０５が装填され、装填されたＣＤ−ＲＯＭ１０５をアクセスするものである。
【００８３】
また、図５には、磁気ディスクコントローラ１１３によりアクセスされる磁気ディスク１１４、マウスコントローラ１１６により制御されるマウス１０４、キーボードコントローラ１１７により制御されるキーボード１０３、およびディスプレイコントローラ１１８により制御されるＣＲＴディスプレイ１０２も示されている。
【００８４】
図６は、本発明の一実施形態としてのデータ補間プログラムの構成を示す図である。
【００８５】
ここでは、このデータ補間プログラム２００は、ＣＤ−ＲＯＭ１０５に記憶されており、このデータ補間プログラム２００は、データ取得部２１０およびデータ補間部２２０から構成されている。また、そのうちのデータ補間部２２０は、データ切出し過程２２１、データ演算過程、およびデータ合成過程２２３から構成されている。このデータ補間プログラム２００を構成する各部の作用については後述する。
【００８６】
図７は、本発明の一実施形態としてのデータ補間方法の構成を示すフローチャートである。
【００８７】
このデータ補間方法は、データ取得ステップ（ステップａ）とデータ補間ステップ（ステップｂ）からなり、データ補間ステップ（ステップｂ）は、データ切出しステップ（ステップｂ１）、データ演算ステップ（ステップｂ２）、およびデータ合成ステップ（ステップｂ３）からなる。このデータ補間方法は、本実施形態では、図６に示すデータ補間演算プログラムが図４、図５に示すデータ補間演算用コンピュータ１００にインストールされて実行されることにより、そのデータ補間プログラムにより実施される。
【００８８】
このデータ補間方法の各ステップの作用については、以下に説明する図８のデータ補間装置の説明の際に、図６のデータ補間プログラムの各部の作用も合わせて一緒に説明する。
【００８９】
図８は、図４、図５に示すデータ補間演算用コンピュータに図６に示すデータ補間プログラムがインストールされて実行されることにより実現された、本発明のデータ補間装置の一実施形態の機能ブロック図である。
【００９０】
この図８に示すデータ補間装置３００には、データ取得部３１０とデータ補間部３２０が備えられており、そのうちのデータ補間部３２０は、データ切出部３２１、データ演算部３２２、およびデータ合成部３２３から構成されている。
【００９１】
ここで、図６に示すデータ補間プログラムおよび図７のデータ補間方法との関係では、図８のデータ補間装置３００のデータ取得部３１０は、図６のデータ補間プログラム２００のデータ取得部２１０、および図７のデータ補間方法のデータ取得ステップ（ステップａ）に対応し、図８のデータ補間装置３００のデータ補間部３２０は、図６のデータ補間プログラム２００のデータ補間部２２０、および図７のデータ補間方法のデータ補間ステップ（ステップｂ）に対応し、図８のデータ補間装置３００のデータ補間部３２０を構成するデータ切出部３２１、データ演算部３２２、およびデータ合成部３２３のそれぞれは、図６のデータ補間プログラム２００を構成するデータ補間部２２０をさらに構成する、データ切出し過程２２１、データ演算過程２２２、およびデータ合成過程２２３のそれぞれ、および図７のデータ補間方法のデータ補間ステップ（ステップｂ）を構成するデータ切出しステップ（ステップｂ１）、データ演算ステップ（ステップｂ２）、データ合成ステップ（ステップｂ３）のそれぞれに対応する。ただし、図８のデータ補間装置３００のデータ取得部３１０およびデータ補間部３２０（データ切出し部３２１、データ演算部３２２、およびデータ合成部３２３）は、それぞれがハードウェアとソフトウェアとの複合からなるものであるのに対し、図６のデータ補間プログラム２００の、それらに対応する要素は、アプリケーションソフトウェアの部分のみからなるものである。また、図７のデータ補間方法は、上述したとおり、本実施形態では、図６のデータ補間プログラムが図４、図５のデータ補間演算コンピュータ１００にインストールされてそのデータ補間演算用コンピュータ１００内で実行されることにより、そのデータ補間演算コンピュータ１００内でそのデータ補間プログラムにより実施される。
【００９２】
以下、この図８のデータ補間装置３００の各部の作用を説明することで、図６のデータ補間プログラムおよび図７のデータ補間方法の説明に代える。
【００９３】
図８のデータ補間装置のデータ取得部３１０は、図５に示すＡ／Ｄ変換ボード１２０を制御して、そのＡ／Ｄ変換ボード１２０におけるフィルタリングおよびＡ／Ｄ変換により得られたディジタルデータ列を、図６のデータ補間プログラム２００内に取り込む役割りを成すものであり、ハードウェア上は、図６のデータ補間プログラム２００を構成するデータ取得部２１０を実行するＣＰＵ１１１等がこれに相当する。
【００９４】
また、データ補間部３２０は、データ取得部３１０で取得されたディジタルデータ列に基づいて、任意の時刻ｔのデータｆp（ｔ）を、式
【００９５】
【数２６】
0004252736.tif 000015
【００９６】
ここで、ｔ0は、任意の参照時刻
Δｔは、標本化時間
Ｎは、標本数（但し偶数）
｛ｆp（ｔ0＋ｎ・Δｔ）｝
（ｎ＝０，１，２，…，Ｎ−１）はＮ個の標本化データ
ψ（ｔ）は、内挿関数
を表わす。
に従うとともに、該式（Ａ）中の内挿関数ψ（ｔ）として、
【００９７】
【数２７】
0004252736.tif 000016
【００９８】
あるいはその内挿関数（Ｂ）と実質的に同等な内挿関数を採用して、求めるものである。
【００９９】
あるいは、このデータ補間部３２０は、データ取得部３１０で取得されたディジタルデータ列に基づいて、任意の時刻ｔのデータｆp（ｔ）を、式
【０１００】
【数２８】
0004252736.tif 000017
【０１０１】
ここで、ｔ0は、任意の参照時刻
Δｔは、標本化時間
Ｎは、標本数（但し奇数）
｛ｆp（ｔ0＋ｎ・Δｔ）｝
（ｎ＝０，１，２，…，Ｎ−１）はＮ個の標本化データ
ψ（ｔ）は、内挿関数
を表わす。
に従うとともに、該式（Ａ）中の内挿関数ψ（ｔ）として、
【０１０２】
【数２９】
0004252736.tif 000018
【０１０３】
あるいはその内挿関数（Ｃ）と実質的に同等な内挿関数を採用して求めるものであってもよい。
【０１０４】
内挿関数（Ｂ）を採用するか内挿関数（Ｃ）を採用するかは、標本点の数（標本数）Ｎが偶数であるか奇数であるかによる。
【０１０５】
このデータ補間部３２０は、ハードウェア上は、図６に示すデータ補間プログラム２００を構成するデータ補間部２２０を実行するときのＣＰＵ１１１等がこれに相当する。
【０１０６】
ここで、図８のデータ補間装置３００のデータ補間部３２０を構成するデータ切出部３２１では、データ取得部３１０で取得されたディジタルデータ列から、窓関数により、Ｎ個の標本化データからなるディジタルデータ列が切り出される。ここでは窓関数としてハニング窓が採用されている。但し、本発明にいう窓関数はハニング窓に限定されるものではなく、その目的等に応じ、どのような窓関数を用いてもよい。
【０１０７】
ここで、データ補間部３２０では、データ取得部３１０で取得されたディジタルデータ列を構成する全てのデータを用いてデータ補間演算を行なうこともでき、このときは、データ切出部３２１は作用しない。あるいはこのデータ切出部３２１は、時間幅が最大に広げられるとともに窓内は全て１の重み付けの窓関数を採用すると考えることもできる。
【０１０８】
また、データ演算部３２２では、データ切出部３２１で切り出されたディジタルデータ列（データ切出部３２１を作用させずにこのデータ切出部３２１をそのまま通り抜けたディジタルデータ列を含む）に基づいて、上記式（Ａ）に従って、窓関数の窓内（データ切出部３２１を作用させなかったときはデータ取得部３１０で取得されたディジタルデータ列内）の任意の時刻ｔのデータｆp（ｔ）が求められる。
【０１０９】
ここで、データ切出部３２１は、データ取得部３１０で取得されたディジタルデータ列から、時間的に隣接する窓を有する窓関数どうしが時間的に一部重なるとともに時間的に順次シフトした窓を有する複数の窓関数により、それぞれがＮ個の標本化データからなる複数のディジタルデータ列を切り出す機能を有するものであって、このときは、データ演算部３２２では、データ切出部３２１により切り出された複数のディジタルデータ列それぞれに基づいて、上記式（Ａ）に従って、各ディジタルデータ列の切り出しに用いた各窓関数の窓内の任意の時刻ｔのデータｆp1（ｔ）が求められる。
【０１１０】
また、データ合成部３２３は、データ切出部３２１およびデータ演算部３２２でこのような処理が行なわれるときに作用するものであり、このデータ合成部３２３では、データ演算部３２２により、複数の窓関数で切り出された複数のディジタルデータ列それぞれに基づいて求められた、同一の時刻のデータｆp1（ｔ）どうしが合成され、これにより、その同一の時刻のデータｆp（ｔ）が求められる。
【０１１１】
図９は、データ切出部によるディジタルデータ列の切出しの様子を示す模式図である。
【０１１２】
この図９の横軸は時間、縦軸はハニング窓の値であり、例えば時刻０と時刻１００との間の１つの山形の曲線が１つのハニング窓を表わしている。ここには、そのようなハニング窓が時間方向に並んだハニング窓群（１）と、そのハニング窓群（１）に対し１８０°位相がずれたハニング窓群（２）が示されている。
【０１１３】
この図９の時間軸方向にデータ取得部３１０で取得したディジタルデータが並んでいるものとし、各ハニング窓群（１），（２）を構成する各ハニング窓それぞれで、そのディジタルデータ列を切り出す。
【０１１４】
ここで、ハニング窓でディジタルデータ列を切り出すとは、そのハニング窓の内部のディジタルデータ列を抽出し、その抽出したディジタルデータ列を構成する各ディジタルデータに、そのハニング窓の対応する各値を乗算する（そのハニング窓で重み付けをする）ことを意味する。これを数式で表現すると、ハニング窓の窓関数をＷ（ｎΔｔ）、データ取得部で得られた、切出し前のディジタルデータ列をＦ（ｔ0＋ｎΔｔ）、切出後のディジタルデータ列をＧ（ｔ0＋ｎΔｔ）としたとき、
Ｇ（ｔ0＋ｎΔｔ）＝Ｆ（ｔ0＋ｎΔｔ）・Ｗ（ｎΔｔ）  ……（Ｄ）
となる。ただしｔ0は任意の参照時刻、ｎ＝０，１，２，……，Ｎ−１である。
【０１１５】
この図９に示す、各ハニング窓のそれぞれでディジタルデータ列を切り出すことが、前述の、「データ取得部３１０で取得されたディジタルデータ列から、時間的に隣接する窓を有する窓関数どうしが時間的に一部重なるとともに時間的に順次シフトした窓を有する複数の窓関数により、それぞれがＮ個の標本化データからなる複数のディジタルデータ列を切り出す」ことの一例に相当する。
【０１１６】
データ切出部によりこのようなディジタルデータ列の切り出しが行なわれたときは、データ演算部では、各ハニング窓で切り出された各ディジタルデータ列に関し、前掲の式（Ａ）あるいは（Ｂ）、あるいはそれらと同等な式によるデータ補間演算が行なわれる。
【０１１７】
図１０は、データ合成部の作用説明図である。
【０１１８】
図１０には、ハニング窓（１）上のサンプル点（ディジタルデータ）とハニング窓（２）上のサンプル点（ディジタルデータ）が示されている。
【０１１９】
図９のように時間的に一部が重なった複数のハニング窓でディジタルデータ列を切り出して、切り出されたそれぞれのディジタルデータ列についてデータ補間演算を行なうと、図１０に示すように、同じ内挿位置（同じ時点）に、別々のハニング窓で切り出したディジタルデータ列についてそれぞれ１つずつ、合計で複数（ここでは２つ）の補間データが生成される。そこで、データ合成部では、それら同一時点の複数（ここでは２つ）の補間データを合成して１つの内挿位置（１つの時点）について１つの補間データを生成する。ここでは、図９に示すように位相が１８０°ずれた２つのハニング窓群（１），（２）を採用しており、それら２つのハニング窓群（１），（２）を相互に加算するとその加算値はどの時点でも１となる。そこで、ここに示す例では、１つの内挿位置（１つの時点）について複数（２つ）生成された補間データを相互に加算することによって１つの内挿位置（１つの時点）につき１つの補間データが生成される。
【０１２０】
図８に戻って説明を続ける。
【０１２１】
図８に示すデータ補間装置３００のデータ取得部３１０の前段には、アナログ信号を所定のサンプリング間隔Δｔでディジタルデータ列に変換するアナログ・ディジタル変換部３３０が備えられており、さらにその前段には、エイリアジングノイズ防止用のアンチエイリアジングフィルタ３４０が備えられている。
【０１２２】
これらアナログ・ディジタル変換部３３０およびアンチエイリアジングフィルタ３４０は、図３、図４に示すデータ補間演算用コンピュータ１００におけるＡ／Ｄ変換ボード１２０に搭載されたＡ／Ｄ変換器１２２およびフィルタ１２１に相当する。
【０１２３】
アンチエイリアジングフィルタ３４０には、外部からアナログ信号が入力され、このアンチエイリアジングフィルタ３４０では、Ａ／Ｄ変換後のディジタルデータ列にエイリアジングノイズ（折り返し雑音）が混入するのを避けるために、その入力されたアナログ信号の高周波成分がカットされる。
【０１２４】
このアンチエイリアジングフィルタ３４０により高周波成分がカットされたアナログ信号はアナログ・ディジタル変換部３３０に入力され、所定の標本化時間間隔（サンプリング時間間隔）Δｔごとに標本化（サンプリング）されてディジタルデータ列が生成される。このアナログ・ディジタル変換部３３０において生成されたディジタルデータ列はデータ取得部３１０に受け渡され、上述のデータ補間演算処理が実行される。
【０１２５】
前掲の内挿関数（Ｂ），（Ｃ）の導出はさらに後に回わし、以下では、本発明のデータ補間方法の、シミュレーション結果、および実際の測定データに適用した例について説明する。
【０１２６】
図１１〜図２０は正弦波を元データとしてデータ補間（内挿）を行なったときのシミュレーション結果を示す図である。以下、図１１を中心に説明し、図１２〜図２０に関しては図１１との相違点について説明する。
【０１２７】
ここでは、図１１（ａ）に示すような一周期分の正弦波が時間間隔Δｔ＝１．０ごとに１００点サンプリングされたものを元データとしている。
【０１２８】
図１１は、その元データ全て（１００点）を使って、前掲の式（Ａ）に従って内挿（データ補間）演算を行なった場合のシミュレーション結果を示す図である。
【０１２９】
図１１（ａ）は１００点からなる元データ、図１１（ｂ）は内挿（データ補間）演算により得られる、１０００点からなる内挿値、図１１（ｃ）は、（内挿値−厳密値）からなる誤差、図１１（ｄ）は、誤差＝（内挿値−厳密値）を厳密値で割り算した結果の絶対値からなる相対誤差を示している。
【０１３０】
相対誤差は、元データ（正弦波）のゼロ点近傍では、極めて小さい値（厳密値）で割り算をすることになるため値が少し大きくなっているが、全体として、このシミュレーションに用いたコンピュータの演算誤差の限界程度の誤差しかあらわれておらず、式（Ａ）に従えば、有限個のデータ（ここでは１００点のデータ）で極めて厳密な内挿値を求めることができることがわかる。奇数個のデータを用いた場合も同様に、極めて厳密な内挿値を求めることができる。
【０１３１】
図１２は、図９，図１０を参照して説明したようにして、データ数で５点分の窓の長さを持つハニング窓（すなわち、窓内のデータを、窓の両端に位置するデータ（ゼロ点）を含め左端（時間的に早いもの）から右端（時間的に遅いもの）に向かって順に第１点、第２点、第３点、第４点、第５点とした時、右端（第５点）を除き第１点から第４点までの、合計４点のデータを抽出する長さの窓をもつハニング窓）で順次切り出してデータ補間およびデータ合成をおこなったとき（これを「窓長さ５のとき」と略記する。他の窓長さのときも同様である）のものである。この場合、１つのハニング窓で切り出されるデータの数は４（偶数）であるため、前掲の式（Ｂ）に従ってデータ補間（内挿）が行なわれる。図１２（ａ），（ｂ），（ｃ），（ｄ）は、それぞれ図１１（ａ），（ｂ），（ｃ），（ｄ）に対応し、それぞれ、元データ、内挿値データ、誤差、相対誤差を表わしている。
【０１３２】
この図１２の例に示すように、窓長さが短かい場合、誤差は大きくなる。
【０１３３】
図１３〜図１８は、それぞれ、窓長さ７，９，１１，２１，４１，８１のときのもの、図１９，図２０は、元データ（正弦波）が１００点よりもさらに連続しているものとしたときの、窓長さ１０１（データ数は１００），２０１（データ数は２００）のときのものである。
【０１３４】
図２１は、上記のシミュレーションにおける、窓の長さに対する誤差の最大値を示す図である。
【０１３５】
この図２１から、１つのハニング窓内に正弦波１周期分あるいはそれ以上のディジタルデータ列が存在する場合、極めて厳密な内挿（データ補間）を行なうことができることがわかる。
【０１３６】
したがって、厳密に再現する必要のある最低周波数を考慮し、１つの窓内にその最低周波数の一周期分以上のディジタルデータ列が入るように窓の長さを決めることにより、厳密なデータの再現を行なうことができる。
【０１３７】
尚、上記のシミュレーションにおいて示した誤差の量は、採用した窓関数の形にも依存するものであり、ここに示したものはあくまでも窓関数としてハニング窓を使ったときの数値例である。以下に示す適用例についても同様である。
【０１３８】
次に、本発明のデータ補間演算を実際の計測データに適用した例について説明する。
【０１３９】
図２２は、自動車エンジンの筒内圧の変化を示す図である。
【０１４０】
ここでは、自動車用４サイクルエンジンの筒内圧を、そのエンジンの回転角度０．２５度おきに７２０度（２回転分）にわたってサンプリングして得た２８８０点のデータを、内挿（データ補間）演算により一旦２９１３点のデータに変換し、次いで、その２９１３点のデータを、もう一度内挿（データ補間）演算を行なって元と同じ２８８０点のデータに変換したときの、もともとの２８８０点のデータと内挿（データ補間）演算を２回行なった後の２８８０点のデータとを比較した。
【０１４１】
図２２（ａ）は、内挿（データ補間）演算前の２８８０点からなる元データ値を表わしており、図２２（ｂ）は、内挿（データ補間）演算を一回だけ行なった後の２９１３点のデータ（ここではこれを中間内挿値と称する）を表わしている。
【０１４２】
図２３は、図２２（ａ）の元データのフーリエスペクトルを示す図である。
【０１４３】
この図２３のフーリエスペクトルからわかるように、このデータは、最高値（約６０ｄＢ）に対し、高周波成分が１００ｄＢ程度（１０-5程度）までしか落ちておらず、わずかながらエイリアジングノイズが混入している。したがって、このデータを基に内挿演算を行なったとき、内挿演算自体は厳密であっても１０-5程度の相対誤差が残ることになる。ここではこれを実証する。
【０１４４】
図２４〜図３７は、図２２（ａ）の元データに内挿（データ補間）演算を２回行なったときの結果を示す図である。
【０１４５】
ここでは、図２２を参照して説明したように、図２４（ａ）にも示す２８８０点の元データ（元データ値）を、内挿（データ補間）演算により一旦２９１３点のデータ（中間内挿値）に変換し、それを再び、内挿（データ補間）演算により２８８０点のデータに変換したときの（ここでは、これら２回の内挿（データ補間）演算により得られたデータを再内挿値と称する）、元データ値を再内挿値とを比較した。
【０１４６】
以下、図２４を中心に説明し、図２５〜図３７については、図２４との相違点を説明する。
【０１４７】
図２４は、２８８０点の元データ全てを用い、前掲の式（Ａ）に基づいて内挿（データ補間）演算を行なって２９３１点の中間内挿値を得、次いで、今度は前掲の式（Ｂ）に基づいてもう一度内挿（データ補間）演算を行なって２８８０点の再内挿値を得たときの結果を示す図である。
【０１４８】
図２４（ａ）は、図２２（ａ）と同じ元データ値を示す図、図２４（ｂ）は、内挿（データ補間）演算を２回行なった後の再内挿値を示す図、図２４（ｃ）は、（再内挿値−元データ値）からなる誤差を示す図、図２４（ｄ）は、誤差＝（再内挿値−元データ値）からなる誤差を元データ値で割り算し、その結果の絶対値からなる相対誤差を示す図である。
【０１４９】
図２３のエイリアジングノイズのレベルから予想したように、相対誤差は１０-5程度である。このことは内挿（データ補間）演算自体は極めて厳密に行なわれていることを意味している。
【０１５０】
図２５は、窓長さ５（この窓により切り出されるデータの数は４）のときの、図２４と同様な図である。
【０１５１】
この例に示すように、窓長さが短かいと誤差は大きくなる。
【０１５２】
図２６〜図３７は、窓長さが、それぞれ、７，９，１１，１７，２１，３１，４１，８１，１０１，２０１，４０１，８０１のときの結果を示す図である。
【０１５３】
窓長さが長くなるにつれて誤差は低下している。
【０１５４】
図３８は、図２４〜図３７に結果を示す内挿（データ補間）演算における、窓の長さと相対誤差の最大値との関係を示す図である。
【０１５５】
窓の長さを長くするほど相対誤差が小さくなっていることがわかる。
【０１５６】
図３９は、図２４〜図３７に結果を示す内挿（データ補間）演算における、元データから中間内挿値を得るときの窓の長さと演算時間との関係を示す図、図４０は、図２４〜図３７に結果を示す内挿（データ補間）演算における、中間内挿値から再内挿値を得るときの、窓の長さと演算時間との関係を示す図である。
【０１５７】
これらの図３９，図４０に示すように、演算時間は窓の長さにほぼ比例しており，実際の内挿（データ補間）にあたっては、必要な精度と演算時間とを考慮して窓の長さを決定することになる。
【０１５８】
上記の各例に示すように、本発明は、有限個のディジタルデータであってもある程度の標本数が集まれば任意の時刻のデータを極めて厳密に再現することができる。この点、従来のゼロ点追加法にも染谷＆シャノン（Ｓｈａｎｎｏｎ）の標本化定理を利用する方法にも見られない本発明の大きな特徴である。標本数を窓関数によりある程度以下に制限したときは誤差を持つことになるが、誤差をかなり低いレベルに抑えつつ演算時間の短縮化が図られる。
次に、前掲の内挿関数（Ｂ）および内挿関数（Ｃ）を理論的に導出する。以下の理論的な導出から、内挿関数（Ｂ）または内挿関数（Ｃ）を採用することにより、有限個のデータで任意の時刻のデータを理論上厳密な意味で再現することができることがわかる。
１．はじめに
ここでは、離散的にサンプリングされた周期時系列信号を内挿する時に基礎となることについて、その出発点に位置する事柄について簡単に述べておく。ここでは、従来のサンプリング定理を利用する立場から、ポアソン（Ｐｏｉｓｓｏｎ）の求和式を援用し、周期信号に対するサンプリング定理を導出する。その副産物として、標本点を用いた周期信号の内挿公式を導出することにする。
２．従来のサンプリング定理の適用とその変形
今、次の様な周期性を有する周期関数ｆp（ｔ）を考える。
【０１５９】
【数３０】
0004252736.tif 000019
【０１６０】
ここで、Ｔは周期である。周期関数ｆp（ｔ）は、
【０１６１】
【数３１】
0004252736.tif 000020
【０１６２】
で定義されるフ−リエ変換を持つものとする。
（ｆp（ｔ）の周期性のために、フ−リエ変換Ｆp（ω）は、デルタ関数の線型結合の形で表される。従って、フ−リエ変換Ｆp（ω）は、超関数（一般化関数）として、解釈されるべきものである。）
周期関数ｆp（ｔ）は、また、帯域制限されている、すなわち、そのフ−リエ変換Ｆp（ω）は、次のような形を有するものと仮定する。
【０１６３】
【数３２】
0004252736.tif 000021
【０１６４】
ここで、限界間隔Δｔcが導入された。この間隔Δｔcは、ここでは、ナイキスト標本化間隔と呼ばれる。さて、ここで、新しい標本化間隔Δｔを導入する。この標本化間隔は限界間隔Δｔcよりも小さいか等しい大きさを持ち、その整数倍が周期間隔Ｔに一致するように設定される。すなわち、新しい標本化間隔Δｔは、次式を満たすように設定されるのである。
【０１６５】
【数３３】
0004252736.tif 000022
【０１６６】
【数３４】
0004252736.tif 000023
【０１６７】
ここで導入された整数Ｎを、ここでは、単位周期の長さと呼ぶことにする。
【０１６８】
周期関数ｆp（ｔ）は、帯域制限されているので、通常のサンプリング定理（後述の参考文献１）参照）が適用出来て、関数ｆp（ｔ）は、
【０１６９】
【数３５】
0004252736.tif 000024
【０１７０】
のように表される。ここで、内挿関数φ（ｔ）は、
【０１７１】
【数３６】
0004252736.tif 000025
【０１７２】
として与えられる。
【０１７３】
後述の付記Ａより、（２−６）式は、また、
【０１７４】
【数３７】
0004252736.tif 000026
【０１７５】
とも表される。
【０１７６】
（２−８）式で
【０１７７】
【数３８】
0004252736.tif 000027
【０１７８】
と置くと、ｆp（ｔ）の周期性（２−１）を考慮に入れて、
【０１７９】
【数３９】
0004252736.tif 000028
【０１８０】
を得る。そこで、
【０１８１】
【数４０】
0004252736.tif 000029
【０１８２】
と置くと、（２−１０）は、
【０１８３】
【数４１】
0004252736.tif 000030
【０１８４】
となり、ｆp（ｔ）の内挿公式は、１周期内のｆp（ｔ）のサンプル値を用いて表されたことになる。従って、残った仕事は、ψ（ｔ）を具体的に評価することである。ポアソン（Ｐｏｉｓｓｏｎ）の求和式（後述の付記Ｄ、もしくは、後述の参考文献２）参照）を利用すると、（２−１１）のψ（ｔ）は
【０１８５】
【数４２】
0004252736.tif 000031
【０１８６】
のように、φ（ｔ）のスペクトルΦ（ω）で表されることになる。
【０１８７】
今の場合、φ（ｔ）は（２−７）で与えられており、等式、
【０１８８】
【数４３】
0004252736.tif 000032
【０１８９】
を利用すると、
【０１９０】
【数４４】
0004252736.tif 000033
【０１９１】
と見做し得ることが判る。（積分の端点±（π／Δｔ）は、含まれても、含まれなくても良いということを注意しておく。なぜなら、これらの点は、ルベ−グ測度の意味では、零集合に属するからである。従って、区間表示、[−π／Δｔ，＋π／Δｔ]や（−π／Δｔ，＋π／Δｔ）も（２−１５）式では許されるのであるが、ここでは、省略した。）この時、（２−１３）は、
【０１９２】
【数４５】
0004252736.tif 000034
【０１９３】
と書ける。なお、（２−１２）で特に、ｔ＝ｔ0＋ｍ・Δｔと置くと、
【０１９４】
【数４６】
0004252736.tif 000035
【０１９５】
従って、ｆp（ｔ）の周期性（２−１）と、（２−５）とを考慮に入れると、
【０１９６】
【数４７】
0004252736.tif 000036
【０１９７】
の性質が要求されることになる。
【０１９８】
さて、ここで、
【０１９９】
【数４８】
0004252736.tif 000037
【０２００】
に注意すると、（２−１６）のψ(ｔ)は次式で与えられることになる。
【０２０１】
【数４９】
0004252736.tif 000038
【０２０２】
ただし、
【０２０３】
【数５０】
0004252736.tif 000039
【０２０４】
とした。（２−２０）に（２−２１）を入れて、
【０２０５】
【数５１】
0004252736.tif 000040
【０２０６】
を得る。ところで、ψ（ｔ）は、（２−１８）のψ（ｎ・Δｔ）＝δn,lNを満たす必要があった。つまり、
【０２０７】
【数５２】
0004252736.tif 000041
【０２０８】
を満たす必要があった。ｎ≠ｌＮの時、（２−２３）がゼロになるには、次式が要求される。
【０２０９】
【数５３】
0004252736.tif 000042
【０２１０】
更に、ｎ＝ｌＮの時、（２−２３）が１になるには、
【０２１１】
【数５４】
0004252736.tif 000043
【０２１２】
が要求される。これ以上は、Ｎが偶数か、奇数かに分けて議論したほうが判り易いので、節を改めて、議論を行なうことにする。
３．周期信号に対するサンプリング定理（１）（Ｎが偶数の場合）
本節では、Ｎが偶数の場合を考える。（２−１３）、（２−１５）、（２−１６）、
【０２１３】
【数５５】
0004252736.tif 000044
【０２１４】
【数５６】
0004252736.tif 000045
【０２１５】
【数５７】
0004252736.tif 000046
【０２１６】
より、
【０２１７】
【数５８】
0004252736.tif 000047
【０２１８】
【数５９】
0004252736.tif 000048
【０２１９】
と置けば良いことが判る。この時、（３−４）と、（２−２４）、（２−２５）より、
【０２２０】
【数６０】
0004252736.tif 000049
【０２２１】
の時か、
【０２２２】
【数６１】
0004252736.tif 000050
【０２２３】
の場合のみが許されることが判る。この時、（２−２２）と（３−４）、（３−５）より、
【０２２４】
【数６２】
0004252736.tif 000051
【０２２５】
を得る。ここで、括弧でくくった符号
【０２２６】
【数６３】
0004252736.tif 000052
【０２２７】
は、（３−５ａ）、（３−５ｂ）のａmax、ａminの値の取り方に対応していることを示している。
【０２２８】
こうして、Ｎが偶数の時の、周期時系列の内挿公式は、（３−６）、（２−１２）で与えられることになる。むろん、これが可能なのは、信号が（２−３）の帯域制限条件を満たしている場合であり、（２−１２）は、こういった周期時系列に対するサンプリング定理と見做すことができよう。
【０２２９】
ところで、（３−６）で与えられる内挿関数は複素数値を取る関数であるが、はたして、その虚数部は必要なのか否かという疑問が出て来る。ここでは、この点について考察を加えておく。
（３−６）を、
【０２３０】
【数６４】
0004252736.tif 000053
【０２３１】
【数６５】
0004252736.tif 000054
【０２３２】
【数６６】
0004252736.tif 000055
【０２３３】
と置く。（３−７）、（３−８）を（２−１２）に入れることにより、
【０２３４】
【数６７】
0004252736.tif 000056
【０２３５】
【数６８】
0004252736.tif 000057
【０２３６】
【数６９】
0004252736.tif 000058
【０２３７】
を得る。ただし、
【０２３８】
【数７０】
0004252736.tif 000059
【０２３９】
は、それらがそれぞれ、
【０２４０】
【数７１】
0004252736.tif 000060
【０２４１】
に基づいて計算されたことを単に示しているだけであり、これら自身が常に実数値関数であるということを保証している訳ではない。ｆp（ｔ）自身が複素数値関数の時には、これらも複素数値関数になることを注記しておく。
【０２４２】
さて、先に、（３−１１）の値を調べることにする。（３−１１）に（３−８ｂ）を入れると、
【０２４３】
【数７２】
0004252736.tif 000061
【０２４４】
を得る。この
【０２４５】
【数７３】
0004252736.tif 000062
【０２４６】
の値は、後述の付記Ｅに述べるように、ゼロとなることが示される。つまり、
【０２４７】
【数７４】
0004252736.tif 000063
【０２４８】
という結論を得ることが出来る。こうして、Ｎが偶数の時の内挿関数は、それが（２−１２）の中で用いられる時にのみ意味を持つと考える立場を採るならば、（３−７）、（３−８）、（３−９）、（３−１１）、（３−１３）より、
【０２４９】
【数７５】
0004252736.tif 000064
【０２５０】
の実質的な形、
【０２５１】
【数７６】
0004252736.tif 000065
【０２５２】
を次のように導入し得る。
【０２５３】
【数７７】
0004252736.tif 000066
【０２５４】
以下では、
【０２５５】
【数７８】
0004252736.tif 000067
【０２５６】
の性質について述べておく。
【０２５７】
１）周期性
【０２５８】
【数７９】
0004252736.tif 000068
【０２５９】
ここで、Ｎが偶数であることを用いた。同様にして、
【０２６０】
【数８０】
0004252736.tif 000069
【０２６１】
を得る。（３−１５）、（３−１６）は（実質的な）内挿関数が、周期Ｎ・Δｔの周期性を持っていることを示している。
【０２６２】
２）ｔ＝ｌＮ・Δｔ、およびｔ＝ｎ・Δｔ    （ｎ＝０，１，２，…，（Ｎ−１））での値
（３−６）より、明らかに
【０２６３】
【数８１】
0004252736.tif 000070
【０２６４】
を得る。ここで、Ｎが偶数であることを用いた。同様にして、（３−１４）式から、
【０２６５】
【数８２】
0004252736.tif 000071
【０２６６】
を得る。
【０２６７】
次に、離散点、ｔ＝ｎ・Δｔ、（ｎ＝０，１，２，…，（Ｎ−１））での、
【０２６８】
【数８３】
0004252736.tif 000072
【０２６９】
または、
【０２７０】
【数８４】
0004252736.tif 000073
【０２７１】
の値について考えておく。まず、ｎ＝０に対しては、（３−６）式でｔ→０の極限を取ることにより、次式を得る。
【０２７２】
【数８５】
0004252736.tif 000074
【０２７３】
ｎ＝１，２，…，（Ｎ−１）に対しては、（３−６）式より、次式を得る。
【０２７４】
【数８６】
0004252736.tif 000075
【０２７５】
同様にして、（３−１４）式から、
【０２７６】
【数８７】
0004252736.tif 000076
【０２７７】
【数８８】
0004252736.tif 000077
【０２７８】
を得る。ただし、（３−２２）では、ｎ＝１，２，…，（Ｎ−１）の場合を考えている。
３）  中間点ｔ＝（Ｎ／２）・Δｔでの、
【０２７９】
【数８９】
0004252736.tif 000078
【０２８０】
の値と、中間点ｔ＝（Ｎ／２）・Δｔの周りでの
【０２８１】
【数９０】
0004252736.tif 000079
【０２８２】
の様子
（３−６）式より、
【０２８３】
【数９１】
0004252736.tif 000080
【０２８４】
を得る。ここで、Ｎが偶数であることを用いた。同様にして、（３−１４）から、次式を得る。
【０２８５】
【数９２】
0004252736.tif 000081
【０２８６】
（３−２３）、（３−２４）式より、Ｎが偶数の時の（有効）内挿関数は、周期の中間点でゼロになることが判る。
【０２８７】
次に、中間点ｔ＝（Ｎ／２）・Δｔの周りでの、
【０２８８】
【数９３】
0004252736.tif 000082
【０２８９】
の様子について調べておく。まず、
【０２９０】
【数９４】
0004252736.tif 000083
【０２９１】
の実数部については、（３−８ａ）式より、
【０２９２】
【数９５】
0004252736.tif 000084
【０２９３】
を得る。ここでも、Ｎが偶数であることを用いた。（３−２５）式は、次のような対称性を示している。
【０２９４】
【数９６】
0004252736.tif 000085
【０２９５】
つまり、
【０２９６】
【数９７】
0004252736.tif 000086
【０２９７】
を示している。他方、虚数部については、（３−８ｂ）より、
【０２９８】
【数９８】
0004252736.tif 000087
【０２９９】
を得る。（３−２８）式は、
【０３００】
【数９９】
0004252736.tif 000088
【０３０１】
を示している。
【０３０２】
（３−２６）、（３−２７）式より、Ｎが偶数の時の内挿関数の実数部（または、有効内挿関数）は、周期の中間点の周りに対称であることが判る。他方、（３−２９）式より、Ｎが偶数の時の内挿関数の虚数部は、周期の中間点の周りに反対称であることが判る。
４．周期信号に対するサンプリング定理（２）（Ｎが奇数の場合）
本節では、Ｎが奇数の場合を考える。（２−１３）、（２−１５）、（２−１６）、
【０３０３】
【数１００】
0004252736.tif 000089
【０３０４】
【数１０１】
0004252736.tif 000090
【０３０５】
【数１０２】
0004252736.tif 000091
【０３０６】
より、
【０３０７】
【数１０３】
0004252736.tif 000092
【０３０８】
【数１０４】
0004252736.tif 000093
【０３０９】
と置けば良いことが判る。そして、この時には、
【０３１０】
【数１０５】
0004252736.tif 000094
【０３１１】
【数１０６】
0004252736.tif 000095
【０３１２】
となるので、（２−２２）に（４−４）、（４−５）を入れると、
【０３１３】
【数１０７】
0004252736.tif 000096
【０３１４】
を得る。以下では、（４−６）のψ（ｔ）の性質について述べておく。
【０３１５】
１）周期性
（４−６）で、ｔ→ｔ＋ｌＮ・Δｔ＝ｔ＋ｌＴとすると、
【０３１６】
【数１０８】
0004252736.tif 000097
【０３１７】
となるが、本節では、Ｎは奇数であるとしているので、結局、
【０３１８】
【数１０９】
0004252736.tif 000098
【０３１９】
という、ψ（ｔ）の周期性を得ることになる。
【０３２０】
２）ｔ＝ｎ・Δｔ（ｎ＝０，１，２，…，（Ｎ−１））での値
（４−６）で、ｔ＝ｎ・Δｔ（ｎ＝０，１，２，…，（Ｎ−１））、とすると、
【０３２１】
【数１１０】
0004252736.tif 000099
【０３２２】
従って、
【０３２３】
【数１１１】
0004252736.tif 000100
【０３２４】
【数１１２】
0004252736.tif 000101
【０３２５】
を得る。これは、（４−７）と合わせて、（２−２３）、ひいては、（２−１８）を満足していることになる。
【０３２６】
３）中間点ｔ＝（Ｎ／２）・Δｔでの内挿関数の値と、中間点のまわりの対称性
（４−６）式より、
【０３２７】
【数１１３】
0004252736.tif 000102
【０３２８】
を得る。Ｎが偶数の時と異なり、中間点での内挿関数値は、ゼロにはならない。次に対称性であるが、（４−６）式より、次式を得る。
【０３２９】
【数１１４】
0004252736.tif 000103
【０３３０】
ここで、Ｎが奇数であることを用いた。こうして、Ｎが奇数の場合にも、ｔ＝（Ｎ／２）・Δｔのまわりの対称性が示された。
【０３３１】
こうして、Ｎが奇数の時の、周期時系列の内挿公式は、（４−６）を内挿関数として、（２−１２）、
すなわち、
【０３３２】
【数１１５】
0004252736.tif 000104
【０３３３】
で与えられることになる。むろん、これが可能なのは、信号が（４−１）の帯域制限条件を満たしている場合であり、（４−１２）は、こういった周期時系列に対するサンプリング定理と見做すことができよう。
（付記Ａ）  サンプリング定理での時間の原点の採り方の任意性について
サンプリング定理の原形は、
【０３３４】
【数１１６】
0004252736.tif 000105
【０３３５】
の形をしている。この右辺を変形するために、
【０３３６】
【数１１７】
0004252736.tif 000106
【０３３７】
と置く。（Ａ−２）より、
【０３３８】
【数１１８】
0004252736.tif 000107
【０３３９】
従って、
【０３４０】
【数１１９】
0004252736.tif 000108
【０３４１】
を得るが、これを（Ａ−１）に入れて、更に（Ａ−３）を用いると、
【０３４２】
【数１２０】
0004252736.tif 000109
【０３４３】
を得る。更に、
【０３４４】
【数１２１】
0004252736.tif 000110
【０３４５】
と置くと、
【０３４６】
【数１２２】
0004252736.tif 000111
【０３４７】
を得る。（Ａ−７）の下側の符号を採用することにより、また、ｇをｆで書き換えることにより、
【０３４８】
【数１２３】
0004252736.tif 000112
【０３４９】
を得る。つまり、サンプリング定理の右辺の時間の原点は、都合の良い所に採って良いことになる。
（付記Ｂ）  デルタ関数の一表現について
ここでは、デルタ関数に関する公式、
【０３５０】
【数１２４】
0004252736.tif 000113
【０３５１】
を導出しておく。今、性質の良い関数（試験関数）
【０３５２】
【数１２５】
0004252736.tif 000114
【０３５３】
（台が有限、且つ、無限回微分可能な関数）を考え、積分、
【０３５４】
【数１２６】
0004252736.tif 000115
【０３５５】
を考える。積分区間を、（−∞，−ε］、[−ε，＋ε]，[＋ε，＋∞）の三つに分けて考え、それぞれ、Ｉ1、Ｉ2、Ｉ3とする。Ｉ1、Ｉ3について、例えば、Ｉ3は、Ω→＋∞の場合、
【０３５６】
【数１２７】
0004252736.tif 000116
【０３５７】
となり、Ｉ3は、Ω→＋∞とともにゼロに近づく。Ｉ1についも同様である。この性質は、Ｒｉｅｍａｎｎ−Ｌｅｂｅｓｇｕｅの補助定理と呼ばれている。残りのＩ2についてであるが、τ＝Ωｔなる変数変換をすると、
【０３５８】
【数１２８】
0004252736.tif 000117
【０３５９】
となり、結局、（Ｂ−２）、（Ｂ−３）、（Ｂ−４）から、（Ｂ−１）が言えることになる。なお、（Ｂ−４）の導出時に、公式、
【０３６０】
【数１２９】
0004252736.tif 000118
【０３６１】
を用いた。（Ｂ−５）は、図４１に示す積分路Ｃに沿って積分を行なう複素積分、
【０３６２】
【数１３０】
0004252736.tif 000119
【０３６３】
を評価することにより、容易に示される。
（付記Ｃ）  コム（Ｃｏｍｂ）関数とそのスペクトルについて（後述の参考文献３）参照）
［定理Ｃ−１］
Ｃｏｍｂ関数を、
【０３６４】
【数１３１】
0004252736.tif 000120
【０３６５】
で定義し、フ−リエ変換、逆変換を、
【０３６６】
【数１３２】
0004252736.tif 000121
【０３６７】
【数１３３】
0004252736.tif 000122
【０３６８】
で定義すると、Ｃｏｍｂ関数のスペクトルは、
【０３６９】
【数１３４】
0004252736.tif 000123
【０３７０】
【数１３５】
0004252736.tif 000124
【０３７１】
となる。ただし、
【０３７２】
【数１３６】
0004252736.tif 000125
【０３７３】
と置いた。
［証明］
今、
【０３７４】
【数１３７】
0004252736.tif 000126
【０３７５】
なる関数ｋN（ｔ）を考える。関数ｋN（ｔ）は、周期Ｔの周期関数である。今、関数ｋN（ｔ）のＮ→∞の極限を考えるに、デルタ関数の一表現、
【０３７６】
【数１３８】
0004252736.tif 000127
【０３７７】
を利用すると、ｔ∈（−Ｔ／２，＋Ｔ／２）に対し、（Ｃ−７）のＮ→∞での極限は次のようになる。
【０３７８】
【数１３９】
0004252736.tif 000128
【０３７９】
関数ｋN（ｔ）が、周期Ｔの周期関数であることを考えると、関数ｋN（ｔ）のＮ→∞の極限は、（Ｃ−１）のｓT（ｔ）になることが判る。こうして、
【０３８０】
【数１４０】
0004252736.tif 000129
【０３８１】
が、まず、言えた。次に、（Ｃ−９）の両辺をフ−リエ変換する。
【０３８２】
【数１４１】
0004252736.tif 000130
【０３８３】
【数１４２】
0004252736.tif 000131
【０３８４】
［証明終わり］
（付記Ｄ）  ポアソン（Ｐｏｉｓｓｏｎ）の求和式とフ−リエ級数（（後述の参考文献２）参照）
今、一つの関数ｆ（ｔ）を考え、これを、周期Ｔで重ね合わせた関数、
【０３８５】
【数１４３】
0004252736.tif 000132
【０３８６】
を考える。ｆP（ｔ）は、前出（Ｃ−１）のＳT（ｔ）を用いると、
【０３８７】
【数１４４】
0004252736.tif 000133
【０３８８】
と表せる。畳み込み積分のフ−リエ変換に関する公式、
【０３８９】
【数１４５】
0004252736.tif 000134
【０３９０】
を用い、また、（Ｃ−５）を用いると、
【０３９１】
【数１４６】
0004252736.tif 000135
【０３９２】
を得る。（Ｄ−１）と（Ｄ−４）より、
【０３９３】
【数１４７】
0004252736.tif 000136
【０３９４】
を得る。（Ｄ−５）を、ポアソン（Ｐｏｉｓｓｏｎ）の求和式と呼ぶ。
（付記Ｅ）
【０３９５】
【数１４８】
0004252736.tif 000137
【０３９６】
の証明
今、周期Ｔの周期アナログ信号をｆp（ｔ）とする。すなわち、
【０３９７】
【数１４９】
0004252736.tif 000138
【０３９８】
とする。ｆp（ｔ）は周期信号だから、フ−リエ級数展開が可能であり、次のように表される。
【０３９９】
【数１５０】
0004252736.tif 000139
【０４００】
【数１５１】
0004252736.tif 000140
【０４０１】
ただし、（Ｅ−３）の積分記号は、１周期に渡る積分を表している。この積分を（近似的にでも）数値計算で計算しようとする時、まず、最初に思い付く公式は、
【０４０２】
【数１５２】
0004252736.tif 000141
【０４０３】
であろう。ただし、
【０４０４】
【数１５３】
0004252736.tif 000142
【０４０５】
とした。また、ｔ0は、ゼロでも良い、適当な参照時刻である。（Ｅ−４）を参考にして、
【０４０６】
【数１５４】
0004252736.tif 000143
【０４０７】
と置く。
【０４０８】
【数１５５】
0004252736.tif 000144
【０４０９】
は、
【０４１０】
【数１５６】
0004252736.tif 000145
【０４１１】
なる周期性を有する。（Ｅ−６）から、
【０４１２】
【数１５７】
0004252736.tif 000146
【０４１３】
で表すには、
【０４１４】
【数１５８】
0004252736.tif 000147
【０４１５】
なる公式を利用する。すなわち、（Ｅ−６）にｅｘｐ（ｊ２πｍｋ／Ｎ）を掛け、ｋについて０から（Ｎ−１）までの和を取り、（Ｅ−８）を利用すると、
【０４１６】
【数１５９】
0004252736.tif 000148
【０４１７】
を得る。
【０４１８】
他方、（Ｅ−２）において、
【０４１９】
【数１６０】
0004252736.tif 000149
【０４２０】
【数１６１】
0004252736.tif 000150
【０４２１】
と置くと、（Ｅ−５）で定義されたＴ＝Ｎ・Δｔを用いて、次式を得る。
【０４２２】
【数１６２】
0004252736.tif 000151
【０４２３】
（Ｅ−９）と（Ｅ−１２）とを比べて、
【０４２４】
【数１６３】
0004252736.tif 000152
【０４２５】
を得る。（Ｅ−１３）より、（Ｅ−７）の周期性が成り立っていることは明らかである。
【０４２６】
今、特に信号が、
【０４２７】
【数１６４】
0004252736.tif 000153
【０４２８】
のように、帯域制限された場合を考える。この時には、
【０４２９】
【数１６５】
0004252736.tif 000154
【０４３０】
となる。ここで、（Ｅ−１４）より、
【０４３１】
【数１６６】
0004252736.tif 000155
【０４３２】
としたので、（Ｅ−１５）は、ｋ＝±Ｎ／２に対しても、成り立つことを、注意しておく。
【０４３３】
さて、（Ｅ−６）で
【０４３４】
【数１６７】
0004252736.tif 000156
【０４３５】
とし、ｅｘｐ（±ｊπ・ｔ0／Δｔ）を掛けたものは、
【０４３６】
【数１６８】
0004252736.tif 000157
【０４３７】
となる。ところが、（Ｅ−１４）、（Ｅ−１５）と、その下で述べたことにより、今は、
【０４３８】
【数１６９】
0004252736.tif 000158
【０４３９】
が言え、従って、
【０４４０】
【数１７０】
0004252736.tif 000159
【０４４１】
あるいは、
【０４４２】
【数１７１】
0004252736.tif 000160
【０４４３】
が言える。従って、（３−１２）
【０４４４】
【数１７２】
0004252736.tif 000161
【０４４５】
で与えられる
【０４４６】
【数１７３】
0004252736.tif 000162
【０４４７】
はゼロ、つまり、
【０４４８】
【数１７４】
0004252736.tif 000163
【０４４９】
が得られる。
〔参考文献〕
１）Ａｔｈａｎａｓｉｏｓ  Ｐａｐｏｕｌｉｓ，  Ｔｈｅ  Ｆｏｕｒｉｅｒ  Ｉｎｔｅｇｒａｌ  ａｎｄ  Ｉｔｓ  Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，  ＭｃＧｒａｗ−Ｈｉｌｌ  Ｂｏｏｋ  Ｃｏｍｐａｎｙ，１９６２，  Ｓｅｃ．  ３−５  ｉｎ  Ｃｈａｐ．  ３．
２）ｉｂｉｄ．，  Ｓｅｃ．  ３−３  ｉｎ  Ｃｈａｐ．  ３
３）ｉｂｉｄ．，  Ｓｅｃ．  ３−２  ｉｎ  Ｃｈａｐ．  ３
【０４５０】
【発明の効果】
以上、説明したように、本発明によれば有限個の標本数のディジタルデータ列を用いた内挿（データ補間）により、任意の時刻のデータを高精度に求めることができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】アナログ信号の一例を示す図である。
【図２】図１に示すアナログ信号が標本化されたディジタルデータ列を示す模式図である。
【図３】標本化定理の原理説明図である。
【図４】本発明のデータ補間装置の一実施形態として動作するデータ補間演算用コンピュータの外観斜視図である。
【図５】図４に示すデータ補間演算用コンピュータのハードウェア構成図である。
【図６】本発明の一実施形態としてのデータ補間プログラムの構成を示す図である。
【図７】本発明の一実施形態としてのデータ補間方法の構成を示すフローチャートである。
【図８】本発明のデータ補間装置の一実施形態の機能ブロック図である。
【図９】データ切出部によるディジタルデータ列の切出しの様子を示す模式図である。
【図１０】データ合成部の作用説明図である。
【図１１】正弦波を元データとしその元データを一括して用いてデータ補間（内挿）を行なったときのシミュレーション結果を示す図である。
【図１２】正弦波を元データとし窓長さ５のハニング窓を用いてデータ補間（内挿）を行なったときのシミュレーション結果を示す図である。
【図１３】正弦波を元データとし窓長さ７のハニング窓を用いてデータ補間（内挿）を行なったときのシミュレーション結果を示す図である。
【図１４】正弦波を元データとし窓長さ９のハニング窓を用いてデータ補間（内挿）を行なったときのシミュレーション結果を示す図である。
【図１５】正弦波を元データとし窓長さ１１のハニング窓を用いてデータ補間（内挿）を行なったときのシミュレーション結果を示す図である。
【図１６】正弦波を元データとし窓長さ２１のハニング窓を用いてデータ補間（内挿）を行なったときのシミュレーション結果を示す図である。
【図１７】正弦波を元データとし窓長さ４１のハニング窓を用いてデータ補間（内挿）を行なったときのシミュレーション結果を示す図である。
【図１８】正弦波を元データとし窓長さ８１のハニング窓を用いてデータ補間（内挿）を行なったときのシミュレーション結果を示す図である。
【図１９】正弦波を元データとし窓長さ１０１のハニング窓を用いてデータ補間（内挿）を行なったときのシミュレーション結果を示す図である。
【図２０】正弦波を元データとし窓長さ２０１のハニング窓を用いてデータ補間（内挿）を行なったときのシミュレーション結果を示す図である。
【図２１】図１１〜図２０のシミュレーションにおける、窓の長さに対する誤差の最大値を示す図である。
【図２２】自動車エンジンの筒内圧の変化を示す図である。
【図２３】図２２（ａ）の元データのフーリエスペクトルを示す図である。
【図２４】図２２（ａ）の元データを一括して用いて内挿（データ補間）演算を２回行なったときの結果を示す図である。
【図２５】図２２（ａ）の元データに窓長さ５のハニング窓を作用させて内挿（データ補間）演算を２回行なったときの結果を示す図である。
【図２６】図２２（ａ）の元データに窓長さ７のハニング窓を作用させて内挿（データ補間）演算を２回行なったときの結果を示す図である。
【図２７】図２２（ａ）の元データに窓長さ９のハニング窓を作用させて内挿（データ補間）演算を２回行なったときの結果を示す図である。
【図２８】図２２（ａ）の元データに窓長さ１１のハニング窓を作用させて内挿（データ補間）演算を２回行なったときの結果を示す図である。
【図２９】図２２（ａ）の元データに窓長さ１７のハニング窓を作用させて内挿（データ補間）演算を２回行なったときの結果を示す図である。
【図３０】図２２（ａ）の元データに窓長さ２１のハニング窓を作用させて内挿（データ補間）演算を２回行なったときの結果を示す図である。
【図３１】図２２（ａ）の元データに窓長さ３１のハニング窓を作用させて内挿（データ補間）演算を２回行なったときの結果を示す図である。
【図３２】図２２（ａ）の元データに窓長さ４１のハニング窓を作用させて内挿（データ補間）演算を２回行なったときの結果を示す図である。
【図３３】図２２（ａ）の元データに窓長さ８１のハニング窓を作用させて内挿（データ補間）演算を２回行なったときの結果を示す図である。
【図３４】図２２（ａ）の元データに窓長さ１０１のハニング窓を作用させて内挿（データ補間）演算を２回行なったときの結果を示す図である。
【図３５】図２２（ａ）の元データに窓長さ２０１のハニング窓を作用させて内挿（データ補間）演算を２回行なったときの結果を示す図である。
【図３６】図２２（ａ）の元データに窓長さ４０１のハニング窓を作用させて内挿（データ補間）演算を２回行なったときの結果を示す図である。
【図３７】図２２（ａ）の元データに窓長さ８０１のハニング窓を作用させて内挿（データ補間）演算を２回行なったときの結果を示す図である。
【図３８】図２４〜図３７に結果を示す内挿（データ補間）演算における窓の長さと相対誤差の最大値との関係を示す図である。
【図３９】図２４〜図３７に結果を示す内挿（データ補間）演算における、元データから中間内挿値を得るときの窓の長さと演算時間との関係を示す図である。
【図４０】図２４〜図３７に結果を示す内挿（データ補間）演算における、中間内挿値から再内挿値を得るときの、窓の長さと演算時間との関係を示す図である。
【図４１】積分路を示した図である。
【符号の説明】
１００    データ補間演算用コンピュータ
１０１    本体
１０２    ＣＲＴディスプレイ
１０３    キーボード
１０４    マウス
１０５    ＣＤ−ＲＯＭ
１１０    バス
１１１    中央演算処理装置（ＣＰＵ）
１１２    ＲＡＭ
１１３    磁気ディスクコントローラ
１１４    磁気ディスク
１１５    ＣＤ−ＲＯＭドライブ
１１６    マウスコントローラ
１１７    キーボードコントローラ
１１８    ディスプレイコントローラ
１２０    Ａ／Ｄ変換ボード
１２１    フィルタ
１２２    Ａ／Ｄ変換器
２００    データ補間プログラム
２１０    データ取得部
２２０    データ補間部
２２１    データ切出し過程
２２２    データ演算過程
２２３    データ合成過程
３００    データ補間装置
３１０    データ取得部
３２０    データ演算部
３２１    データ切出し部
３２２    データ演算部
３２３    データ合成部
３３０    アナログ・ディジタル変換部
３４０    アンチエイリアジングフィルタ
【図１】
0004252736.tif 000172
【図２】
0004252736.tif 000173
【図３】
0004252736.tif 000174
【図４】
0004252736.tif 000175
【図５】
0004252736.tif 000176
【図６】
0004252736.tif 000177
【図７】
0004252736.tif 000178
【図８】
0004252736.tif 000179
【図９】
0004252736.tif 000180
【図１０】
0004252736.tif 000181
【図１１】
0004252736.tif 000182
【図１２】
0004252736.tif 000183
【図１３】
0004252736.tif 000184
【図１４】
0004252736.tif 000185
【図１５】
0004252736.tif 000186
【図１６】
0004252736.tif 000187
【図１７】
0004252736.tif 000188
【図１８】
0004252736.tif 000189
【図１９】
0004252736.tif 000190
【図２０】
0004252736.tif 000191
【図２１】
0004252736.tif 000192
【図２２】
0004252736.tif 000193
【図２３】
0004252736.tif 000194
【図２４】
0004252736.tif 000195
【図２５】
0004252736.tif 000196
【図２６】
0004252736.tif 000197
【図２７】
0004252736.tif 000198
【図２８】
0004252736.tif 000199
【図２９】
0004252736.tif 000200
【図３０】
0004252736.tif 000201
【図３１】
0004252736.tif 000202
【図３２】
0004252736.tif 000203
【図３３】
0004252736.tif 000204
【図３４】
0004252736.tif 000205
【図３５】
0004252736.tif 000206
【図３６】
0004252736.tif 000207
【図３７】
0004252736.tif 000208
【図３８】
0004252736.tif 000209
【図３９】
0004252736.tif 000210
【図４０】
0004252736.tif 000211
【図４１】
0004252736.tif 000212