(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
多結晶配線を要素分割して、数値解折手法により、電流密度および温度分布を求める手段と、
平均結晶粒界径の√３／６倍の長さを持つ３本の結晶粒界（Ｉ，ＩＩ，ＩＩＩ）で構成される三重点を内部に一つだけ有する４角形要素による結晶粒界構造のモデルの、結晶粒界Ｉとｘ軸とのなす角θあたりの原子流束の発散式ＡＦＤｇｂθを求め、多結晶配線における原子流束発散（ＡＦＤgen）の式を以下のように予め導出し、
【数１】
0004298842.tif 000016
導出した原子流束発散（ＡＦＤgen）の式を用い、前記電流密度および温度分布と配線材料の物性定数とにより、前記分割した各要素の原子流束発散を計算する手段と、
計算した原子流束発散から、各要素の体積減少を求める手段と、
各要素の厚さの変化を求める手段とを有し、
各手段の動作を繰り返すことにより、厚さを貫通する要素が配線幅を占める状態、或いは厚さを貫通する要素または温度が材料の融点を超える要素が配線幅を占める状態となるまで処理を行い、配線寿命および断線箇所を予測することを特徴とする金属配線の信頼性評価装置。
【請求項２】
多結晶配線を要素分割して、数値解折手法により、電流密度および温度分布を求めるステップと、
平均結晶粒界径の√３／６倍の長さを持つ３本の結晶粒界（Ｉ，ＩＩ，ＩＩＩ）で構成される三重点を内部に一つだけ有する４角形要素による結晶粒界構造のモデルの、結晶粒界Ｉとｘ軸とのなす角θあたりの原子流束の発散式ＡＦＤｇｂθを求め、多結晶配線における原子流束発散（ＡＦＤgen）の式を以下のように予め導出し、
【数２】
0004298842.tif 000017
導出した原子流束発散（ＡＦＤgen）の式を用い、前記電流密度および温度分布と配線材料の物性定数とにより、前記分割した各要素の原子流束発散を計算するステップと、
計算した原子流束発散から、各要素の体積減少を求めるステップと、
各要素の厚さの変化を求めるステップとを有し、
各ステップの動作を繰り返すことにより、厚さを貫通する要素が配線幅を占める状態、或いは厚さを貫通する要素または温度が材料の融点を超える要素が配線幅を占める状態となるまで処理を行い、配線寿命および断線箇所を予測することを特徴とする金属配線の信頼性評価方法。
【請求項３】
請求項２に記載の信頼性評価方法の各ステップをコンピュータに実行させるプログラムを格納した記録媒体。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、金属配線の故障原因であるエレクトロマイグレーション（ＥＭ）損傷を予測して、信頼性を評価する技術に関する。
【０００２】
【技術背景】
半導体デバイスの高集積化に伴い、微細素子を接続する金属配線に関し、その微細化に伴う信頼性低下が重要な問題である。金属配線の主な故障原因としてエレクトロマイグレーション（ＥＭ）が挙げられる。ＥＭとは、高密度電子流により配線を構成する金属原子が移動する現象のことである。ＥＭによる原子流束が不均一な場所では、局所的な原子の損失あるいは蓄積が生じ、これを原子流束の発散という。原子の損失あるいは蓄積によりそれぞれボイド（空隙部）やヒロック（金属原子塊）が生じる。通電に伴いボイドが成長し配線の断面積が減少すると、電流密度は増加しそれに伴い局所的に温度が上昇して溶断に至る。配線の信頼性確保のためには、ボイドあるいはヒロックの形成および断線といったＥＭ損傷の的確な予測が肝要である。
【０００３】
これまでに、二次元の電流密度および温度分布がボイド形成に与える影響についての検討がなされ、配線の電流密度、電流密度勾配、温度、温度勾配、配線を構成する材料の物性がボイド形成の影響因子であることが明らかにされている。原子流束の発散を如何に高精度にしかも容易に求めるかがＥＭ損傷予測の鍵である。これまでも一次元の温度分布を考慮した原子流束の発散の定式化が行われてきており、これに基づいて直線状の多結晶配線を対象に断線予測が行われている。しかし、配線の結晶粒組織すなわち、配線構造を考慮していないため、その適用は限られたものであった。また、単結晶の連続であるバンブー配線に関しては電流密度と温度の二次元分布を考慮した原子流束の発散については未だ検討がされていない。
【０００４】
配線の寿命予測はＥＭ加速条件下の断線試験結果を実用条件下に外挿することにより行われる。この外挿には現在経験式が用いられているが、加速試験条件の選択や配線形状により予測結果が異なるといった問題があり普遍的な寿命予測法の開発が待たれていた。
【０００５】
【発明が解決しようとする課題】
本発明の目的は、多結晶配線のＥＭ損傷支配パラメータである原子流束発散（ＡＦＤgen）により、ボイド或いはヒロック形成といったＥＭ損傷および同損傷による配線の断線故障に関する予測を行うことである。
【０００６】
【課題を解決するための手段】
上記目的を達成するために、本発明は、多結晶配線を要素分割して、数値解折手法により、電流密度および温度分布を求め、平均結晶粒界径の√３／６倍の長さを持つ３本の結晶粒界（Ｉ，ＩＩ，ＩＩＩ）で構成される三重点を内部に一つだけ有する４角形要素による結晶粒界構造のモデルの、結晶粒界Ｉとｘ軸とのなす角θあたりの原子流束の発散式ＡＦＤｇｂθを求め、多結晶配線における原子流束発散（ＡＦＤgen）の式を以下のように予め導出し、
【数３】
0004298842.tif 000002
導出した原子流束発散（ＡＦＤgen）の式を用い、前記電流密度および温度分布と配線材料の物性定数とにより、前記分割した各要素の原子流束発散を計算し、計算した原子流束発散から、各要素の体積減少を求め、各要素の厚さの変化を求めるとともに、各動作を繰り返すことにより、厚さを貫通する要素が配線幅を占める状態、或いは厚さを貫通する要素または温度が材料の融点を超える要素が配線幅を占める状態となるまで処理を行い、配線寿命および断線箇所を予測することを特徴とする。
【０００７】
上記の方法を実行する装置および上記の方法をコンピュータに実行させるプログラムを格納した記録媒体も本発明である。
【０００８】
【発明の実施の形態】
本発明の実施形態を、図面を参照して詳細に説明する。まず、ＥＭ損傷支配パラメータ（ＡＦＤgen）の導出の概要を説明する。
【０００９】
（基礎的な式）
金属薄膜配線におけるＥＭは、結晶粒界に沿って、さらに格子拡散として結晶粒内でも生じる。よって、配線における原子流束の発散の総和ＡＦＤgenを結晶粒界および結晶粒内における原子流束の発散（Atomic Flux Divergence）の和で表し、次式で定義する。
［数４］
ＡＦＤgen＝ＡＦＤgb＋ＡＦＤlat               （１）
ここに、ＡＦＤgbおよびＡＦＤlatはそれぞれ結晶粒界および結晶粒内における原子流束の発散である。式（１）は、多結晶配線およびバンブー配線の双方について成立する。ＡＦＤgbおよびＡＦＤlatを、多結晶配線およびバンブー配線の各々の配線構造を考慮して導出する。ここで結晶粒界および結晶粒内における原子の移動はともに次式で与えられる。
【数５】
0004298842.tif 000003
ここに、Ｊは原子流束ベクトル、Ｎは原子密度、ｋはボルツマン定数、Ｔは絶対温度、Ｚ*は有効電荷数、ｅは単位電荷、およびρは電気抵抗率であり、Ｄは次式で表される拡散係数である。
【００１０】
【数６】
0004298842.tif 000004
ここに、Ｄ0は振動数項であり、Ｑは活性化エネルギである。またｊ*はＪ方向の電流密度であり、結晶粒界においては原子が粒界にそって移動することから、ｊ*は電流密度ベクトルｊの結晶粒界方向成分である。一方、結晶粒内においては、Ｊとｊの方向が一致することから、ｊ*は｜ｊ｜と等しくなる。図１に示す様に、ｊと結晶粒界とのなす角をφとすれば、
【数７】
0004298842.tif 000005
Ｑは、結晶粒界または結晶粒内における値をとり、それぞれＱgb、Ｑlatと表す。
【００１１】
（結晶粒界における原子流束の発散）
最初に結晶粒界における原子流束の発散を考える。まず多結晶配線における結晶粒界を扱う。多結晶配線における結晶粒界を考慮するために、結晶粒界構造のモデルを導入する。図２に示す様に、平均結晶粒径ｂの√３／６倍の長さを持つ３本の結晶粒界で構成される三重点を内部に一つだけ含む単位厚さの四角形要素を仮定する。同要素の面積は√３ｂ2／４である。結晶粒界ＩＩおよびＩＩＩは結晶粒界Ｉに対して対称であり、その挟角は１２０°に近いが、わずかに偏差２Δφが存在するものとする。
【００１２】
電流密度ベクトルｊのｘ方向成分およびｙ方向成分をそれぞれｊx，ｊyとし、結晶粒界Ｉとｘ軸とのなす角をθとすると、結晶粒界Ｉ，ＩＩおよびＩＩＩの端部における電流密度ベクトル成分および温度は、図２に示すようにそれぞれ次のように表される。
【数８】
0004298842.tif 000006
上述の電流密度ベクトルの成分および温度を式（２）および（３）に代入することにより、それぞれの結晶粒界端における結晶粒界にそった原子流束が得られる。ここに要素から外に出る方向を正と定義する。結晶粒界Ｉ，ＩＩおよびＩＩＩの端部における原子流束に粒界の幅δおよび単位厚さを乗じることにより、それぞれの粒界端における単位時間あたりの原子の移動数を得、それらを各々加える。そして微小項を無視し、さらに電流保存則を用いることで式を簡単化し、要素の体積√３ｂ2／４で除す。このようにして、結晶粒界Ｉとｘ軸とのなす角がθなる場合の結晶粒界拡散における単位時間、単位体積あたりの減少原子数、すなわち原子流束の発散ＡＦＤgbθが次のように与えられる。
【数９】
0004298842.tif 000007
ここに、Ｃ＝ＮＤ0Ｚ*ｅ／ｋ、ρは温度に依存した局部的な抵抗率、およびＱgbは結晶粒界における活性化エネルギである。式（５）の右辺におけるかぎ括弧内の第一項は結晶粒界三重点での原子流束の発散に関係する項であり、第二項および第三項は結晶粒界自身での原子流束の発散に関係した項である。また、ＡＦＤgbθが正の値をとる場合はボイド（空隙部）の形成を、負の場合はヒロック（金属原子塊）の形成を意味する。
【００１３】
実際の配線を考えた場合はθは任意の値をとる。よってθのとり得るすべての範囲（０＜θ＜２π）を考慮した流束の発散を求める必要がある。ここでボイド形成のみに着目するものとして、θが０から２πまで変化する場合のＡＦＤgbθの正値のみの期待値を求める。ここに、ＡＦＤgbθの負の値はボイド形成に寄与しないために０とみなす。ＡＦＤgbθとＡＦＤgbθの絶対値との和をとり２で除すことよって、ＡＦＤgbθのボイド形成への寄与分のみを抽出できる。このようにして、多結晶配線の結晶粒界におけるボイド形成に関する原子流束の発散ＡＦＤgbを次式のように導出する。
【数１０】
0004298842.tif 000008
【００１４】
次にバンブー配線における結晶粒界を扱う。バンブー配線においては結晶粒界がほとんど存在せず、存在したとしても配線長さ方向に垂直であるため、バンブー配線における結晶粒界での原子流束の発散は無視することができる。よって次式を得る。
［数１１］
ＡＦＤgb＝０   （バンブー配線）                           （７）
【００１５】
（結晶粒内における原子流束の発散）
結晶粒内におけるＥＭによる格子拡散を考える。多結晶配線においてもバンブー配線においても格子拡散は同様に扱うことができる。結晶粒内においては原子流束ベクトルＪに関してベクトル解析が可能である。式（２），（３）および（４ｂ）に基づいて単位時間、単位体積あたりの原子の減少数ＡＦＤ’latは次式で得られる。
【数１２】
0004298842.tif 000009
ここにＱlatは格子拡張の支配的な粒内拡散の活性化エネルギである。さらに結晶粒界における原子流束の発散ＡＦＤgbの導出と同様に、ボイド形成のみに着目すると、多結晶配線およびバンブー配線の結晶粒内におけるボイド形成に関する原子流束の発散は次式にように導出される。
【数１３】
0004298842.tif 000010
【００１６】
（多結晶配線およびバンブー配線のＥＭ損傷支配パラメータ）
式（１）のＡＦＤgbとＡＦＤlatの和で表される配線の原子流束の発散の総和ＡＦＤgenに基づいて、多結晶配線およびバンブー配線における原子流束の発散を考える。さて、一般的な使用温度においては、結晶粒内での原子流束の発散は結晶粒界のそれと比較して無視できるほど小さい。よって、多結晶配線における原子流束の発散は、結晶粒界での原子流束の発散のみを考慮すれば十分である。したがって、多結晶配線におけるＥＭ損傷の支配パラメータは以下の式で表される。
【数１４】
0004298842.tif 000011
式（１０）および式（５）より、多結晶配線における原子流束の発散には、電流密度、電流密度勾配、温度および温度勾配が影響を及ぼしていることが分かる。
【００１７】
次に、バンブー配線における原子流束の発散を考える。バンブー配線における原子流束の発散は、式（７）と式（９）の和で表されるので、結晶粒内の発散のみを考慮すればよい。したがって、バンブー配線におけるＥＭ損傷の支配パラメータは以下の式で表される。
【００１８】
【数１５】
0004298842.tif 000012
式に与える電流密度および温度の分布は数値解析により求める。解析の基礎式は、次のように表される。電界のポテンシャルφeを支配する式は
【数１６】
0004298842.tif 000013
で表される。オームの法則は、
【数１７】
0004298842.tif 000014
と表される。定常熱伝導方程式は、
【数１８】
0004298842.tif 000015
ここで、電流問題における抵抗率は一定と仮定しており、Ｈは配線から基板への熱の流れに関する定数で、∇2＝∂2／∂ｘ2＋∂2／∂ｙ2である。
【００１９】
配線材料の物性定数は、直線状の配線を用いた加速試験（acceleration test）により決定される。定数ρ0およびαは、直線形状の金属配線の電気抵抗を計測することで得られる。定数Ｈは数値解折から得た温度分布を基に計算した金属配線の電気抵抗値が計測値と等しくなるように決める。多結晶配線に対する活性化エネルギＱgbは、１／Ｔに対するｌｎＶＴ／（ｊinρ）のプロットの傾斜から与えられる。ここでｊinは入力電流密度、Ｖは３つの加速条件の場合における一定時間通電後の配線の中心領域のボイドの体積である。ボイドの体積は走査電子顕微鏡（scanning electron microscope:ＳＥＭ）により計測したボイドの全面積に薄膜の厚さを乗じることで推定する。一方、バンブー配線における結晶粒内の活性化エネルギＱlatは、ｌｎＶＴ2／ρを１／Ｔに対してプロットした直線の傾きから求める。ここでＶは、直線形状のバンブー配線に３種類の異なる基板濃度において電流を一定時間入力し、通電後それぞれについて配線陰極端近傍を原子間力顕微鏡（Atomic Force Microscope ＡＦＭ）により計測して得られるボイド体積である。定数Δφは、配線の中心領域内のボイド体積と陰極側の端近傍のボイド体積の比の計算値が、計測値の比と等しくなるように決める。定数Ｃgbは実験で計測されたボイド体積と計算値との関係から得られる。このように、すべての未知定数は直線の配線を用いた実験結果のみから決定できる。
【００２０】
（ＡＦＤgenを用いた数値シミュレーション）
金属配線における寿命および断線箇所は、ボイドの初生、成長から断線故障までのプロセスの数値シミュレーションを多結晶配線やバンブー配線のＡＦＤgenを用いて行うことにより予測する。ここで、ボイド成長に伴う電流密度および温度の分布の変化をＡＦＤgenの計算において考慮する。
【００２１】
数値シミュレーションにおいて、金属配線は要素に分割される。より小さい要素サイズを用いるとより現実に近い結果を得ることができる。要素の厚さは、図３のフローチャートに示される手順で変化させる。まず、電流密度および温度の分布は２次元有限要素解析（ＦＥＭ解析）などの数値解析手法により得られる（Ｓ３０４）。各要素の原子流束の発散ＡＦＤgenは、これらの分布と予め加速試験により決定される配線材料の物性定数（Ｓ３０６）を用いることにより計算される（Ｓ３０８）。シミュレーションにおける１計算ステップあたりの体積減少（Ｓ３１２）は、各要素の体積、１計算ステップに対応する時間、原子体積を計算された原子流束の発散に乗じることにより与えられる（Ｓ３１０）。ここで１計算時間は現実の時間を割り当てる。体積の減少量を、各要素における厚さの減少量に換算する（Ｓ３１４）。厚さが減少した要素においては、ボイドが形成されたことを示しており、そのボイドの深さは要素の厚さの減少量に対応している。金属配線における電流密度と温度の分布の数値解析を各要素の厚さを考慮して再び行う（Ｓ３０４）。このように図３に示す計算を繰り返し行う。
【００２２】
（多結晶配線における数値シミュレーション）
この手順による多結晶配線に対する数値シミュレーションは、ある時間経過後のボイドの分布および故障箇所を十分に予測することができる。さらに寿命の予測を行うために、次のことをシミュレーションにおいて考慮する必要がある。結晶粒界に沿って選択的に成長し、スリット状に成長したボイドが互いに結合しながら配線幅の方向へ伸びるという、多結晶配線におけるボイドの成長形態（morphology）である。パラメータＡＦＤgenは、ボイド形成が結晶粒界において行われるとの仮定に基づいて導出されているが、最終的に金属配線の任意の点におけるボイド形成の期待値に拡張されている。ここで、もう一度ボイド形成の形態を、結晶粒界に沿ったスリット状のボイドの形成に変換する。配線の要素分割において、スリット状のボイドを構成するための専用の要素を、図４のように配置する。ここで、図４Ａは、後に図６で用いられる配線の有限要素モデルの例を示している。図４Ｂ、図４Ｃ、図４Ｄはそれぞれの箇所の拡大図である。
【００２３】
スリット状のボイドのための専用の要素の厚さは、その要素および隣接する要素におけるＡＦＤgenの計算に基づいて減少する。スリットのピッチは平均結晶粒径により定められる。スリットの幅は、配線材料の物性定数の１つであるが、図５に示す手順に従って得ることができる。
【００２４】
図５において、ＳＥＭ観察を行いながら、加速試験を断線故障が起こるまで実施する（Ｓ５０４）。故障が起きる寸前に得た金属配線のＳＥＭ画像から、スリット状のボイドが密集する領域、即ち断線故障がまもなく生じる場所を抽出する（Ｓ５０２）。配線の長手方向軸に沿った密集する領域の長さ（Ｓ５０６）をスリットのピッチで割って、密集領域に含まれるスリットの数を得る（Ｓ５１０）。他方、密集領域中のスリット状のボイドの全面積を測定する（Ｓ５０８）。ボイドの全面積をスリットの数および配線幅で割ると、シミュレーションにおけるスリットの実効幅が得られる（Ｓ５１２）。スリット幅の決定の実験は、定数ρo ，α，Ｈ，Δφ，およびＣgbを決定するために使用される試料を用いて行われる。
【００２５】
スリット状ボイド形成用の要素の厚さの変化を考慮して、寿命予測に対する数値シミュレーションの計算プロセスは、厚さを貫通する要素が配線幅を占める状態或いは厚さを貫通する要素または温度が材料の融点を超える要素が配線幅を占める状態と定義した金属配線の故障まで繰り返し実行される。このように、数値シミュレーションは、動作条件における金属配線の寿命とともに故障箇所を予測することができる。
【００２６】
（多結晶配線における予測方法の検証）
図６に示す２つのアルミニウム多結晶配線を寿命と故障箇所の予測に使用した。折れ曲がった金属配線は電流密度と温度が２次元分布となる。また予測に必要な定数は、直線配線を用いた簡単な加速試験により与えられる。２つの配線を試料１および試料２と呼ぶ。これらは図６Ａに示す様に、形状のみならず試験条件も異なっている。
【００２７】
一般的な動作条件と比較して、高い電流密度と温度を試験条件として選択した。この理由は、実験による検証に必要な時間を短縮するためである。ＡＦＤgenを計算するための物性定数は、図１４の表に示すように求められる。平均結晶粒経サイズは、集束イオンビーム（focused ion beam :ＦＩＢ）装置を用いて測定される。数値シミュレーションを実行することにより、エレクトロマイグレーションによる断線故障は、試料１および試料２のそれぞれに対して予測される。試料１の場合の、ＡＦＤgen分布およびボイド分布における時間に対する変化は、図７および図８にそれぞれ示されている。試料２の場合の、ＡＦＤgen分布およびボイド分布における時間に対する変化は、図９および図１０にそれぞれ示されている。時間に関するボイド分布の変化は、膜厚の等値線により示されている。ボイド成長による電流密度と温度の分布の変化により、ＡＦＤgen分布は時間とともに変化する。試料１の場合、金属配線故障は、７７００ｓの寿命で起こり、故障箇所は配線の陰極端部であると予測される。他方、試料２に対する故障は、寿命３４００ｓで起こるとともに、故障箇所としては角部の陰極側であると予測される。
【００２８】
この予測結果を検証するために、シミュレーションと同じ配線の寸法および条件で実験が行われた。試料１として１１個の試験片が使用され、試料２として１２個の試験片が使用された。アルミニウム薄膜を真空蒸着により、シリコン酸化膜に覆われているシリコン基板上に形成する。試験片は、アニーリングの後、エッチングによりパターン化する。試験片は図１１に示す装置を用いて、金属配線が開路（open）するまで試験される。その後、試験片はＳＥＭで観察される。
【００２９】
図１２および図１３に、断線故障の頻度分布と故障するまでの平均時間の実験結果を示す。図１２Ａに示すように、試料１の場合、１１個の試験片全てから得られた故障までの平均時間は６７３１ｓである。最も頻度が高い故障箇所は、配線の陰極端である。予測された故障箇所、即ち陰極端で開路した６個の試験片の平均断線時間は６８２０ｓであり、これは１１個の試験片から得られた故障までの平均時間に近い。他方、試料２では、１２個全ての試験片から得られた故障までの平均時間は３６５５ｓであり、角部の陰極側が最も故障の頻度の高い箇所の１つである（図１３Ａ参照）。
【００３０】
（バンブー配線における数値シミュレーション）
バンブー配線ＥＭ損傷の支配パラメータＡＦＤgenを用い、ＥＭによるボイドの形成、成長から断線に至る過程の数値シミュレーションを行う。これにより、ボイドの形成、成長に伴う電流密度の分布および温度分布の時間変化を考慮して配線寿命および断線箇所を予測することが可能となる。
【００３１】
シミュレーションでは、想定した配線を図１５に示すように要素分割し、各々の要素厚さを図３のフローチャートに示した方法で変化させる。二次元有限要素解析等の数値解析手法により配線内の電流密度および温度の分布を求め（Ｓ３０４）、その結果と予め実験で求めた配線の物性定数（Ｓ３０６）を用いて、各要素のＡＦＤgenを計算する（Ｓ３０８）。これに各要素の体積、シミュレーション上の１タイムステップの時間および原子体積を乗じる（Ｓ３１０）ことにより、各要素で1タイムステップの間に減少する体積を算出する（Ｓ３１２）。ここに1タイムステップの時間は実際の時間に対応している。各要素の体積を減少させ、これに応じて各要素の厚さを変化させる（Ｓ３１４）。厚さが減少した要素においてはその減少分に対応した厚さのボイドが形成されたとみなす。次いで、厚さ変化に対応した電気抵抗変化および熱伝導変化を各要素に考慮した上で、再度電流密度、温度の数値解析を行い、以降の計算を繰り返す。厚さが初期の厚さに比べ十分に零とみなせるようになった要素が配線幅方向に貫通した時点、或いは厚さが零の要素または温度が材料の融点を超える要素が配線幅を占めた時点をシミュレーション上の断線と定義し、計算を終了する。
【００３２】
（バンブー配線における予測方法の検証）
断線予測対象として図１６に示す三種類のＡｌバンブー配線を用いた。ここで折れ曲がる配線においては電流密度分布、温度分布は二次元分布を呈する。配線角部から陽極端までの長さをＡ、配線角部から陰極端までの長さをＢとする。Ａ＝14.0μｍ、Ｂ＝8.0μｍの配線をＡＳＹＭ（＋）、Ａ＝11.2μｍ、Ｂ＝10.9μｍの配線をＳＹＭ、Ａ＝8.0μｍ、Ｂ＝13.9μｍの配線をＡＳＹＭ（−）と呼ぶことにする。それぞれの形状において、入力電流密度、基板温度の試験条件は同一とした。配線幅は図１６に示すが如く一定ではなく、角部より陽極側の配線幅の方が陰極側よりわずかに細い。検証実験に要する時間の短縮のため、一般的な実用条件よりも高い約15ＭＡ/ｃｍ2なる高密度電流と393Ｋなる温度を試験条件として選んだ。流した電流量は72.0mＡである。ＡＦＤgen計算に必要な薄膜の物性値は、図１７に示す表のように求まった。なお本予測において定数Ｈとλは、直線形状の配線と折れ曲がる配線の各々について、二次元有限要素解析による温度分布のシミュレーションに基づいて計算した配線抵抗値とそれぞれの形状における実験で計測した配線抵抗値が一致するように決定した。一般に薄膜の熱伝導率はバルクのそれよりも低いといわれているが、得られたλは1.55×１０-4Ｗ／（μｍ・K）であり、バルク値よりも低い。
以上のような物性を用いて数値シミュレーションを行い、ＡＳＹＭ（＋）、ＳＹＭ、ＡＳＹＭ（−）の三種類の配線各々についてＥＭによる断線を予測した。
【００３３】
ＡＳＹＭ(＋)の場合におけるＡＦＤgenの分布とボイドの分布の経時変化をそれぞれ図１８および１９に示す。また同様に、ＳＹＭの場合を図２０および２１に、ＡＳＹＭ（−）の場合を図２２および２３にそれぞれ示す。ここでボイド分布は配線厚さの等値線により表示している。ＡＦＤgenの分布はボイドの成長に伴う電流密度および温度分布の変化により通電開始後、時間の経過とともに変化をしている。ＡＳＹＭ（＋）については、配線角部の陽極側で通電開始後7100s後の断線を予測した。また、ＳＹＭについては、角部陽極側で7000s後の断線を予測した。一方ＡＳＹＭ（−）については、配線の陰極端近傍で5200s後の断線を予測した。
【００３４】
本断線予測法の有効性の検証のため、断線予測で想定した三種類の形状の配線を用い、同様の試験条件で断線試験を行った。この断線試験は、図１１に示す実験装置を用い断線まで通電を行った。断線後、電界放出型電子顕微鏡（FE-SEM）で観察を行った。実験にはそれぞれＡＳＹＭ（＋）で９本、ＳＹＭで10本、ＡＳＹＭ（−）で11本の試験片を用いた。以上の断線実験について、ＡＳＹＭ（＋）、ＳＹＭおよびＡＳＹＭ（−）の試験片の実験結果をそれぞれ図２４〜２６に示す。図中に配線の断線の度数分布と配線寿命の平均値を示す。ＡＳＹＭ（＋）の場合、９本の試験片における平均断線時間は9160sであり、配線が最も多く破断した箇所は配線角部陽極側であった。数値シミュレーションで予測した断線箇所である角部陽極側で断線した４本の試験片の平均断線時間は7965sであり、９本すべての試験片における平均断線時間と近かった。一方、ＳＹＭの場合、10本の試験片における平均断線時間は7836ｓであり、配線が最も多く破断した箇所は配線角部陽極側であった。断線した５本の平均断線時間は7344ｓであり、ＡＳＹＭ（＋）と同様に10本すべての試験片における平均断線時間と近かった。さらにＡＳＹＭ（−）の場合、11本の試験片における平均断線時間は6996ｓであり、最も多く破断した箇所は配線の陰極端近傍であった。数値シミュレーションで予測した断線箇所である配線陰極端で断線した６本の試験片の平均断線時間は6160ｓであり、11本すべての試験片における平均断線時間と近かった。
【００３５】
（結論）
予測と実験結果は配線寿命、断線箇所の両者において良好な一致を示した。実験の断線箇所には若干のばらつきが存在するが、本予測法では配線が最も多く破断した箇所を予測することができた。このことから、配線を構成する薄膜の物性値と実用条件が与えられれば、EM損傷の支配パラメーターであるＡＦＤgenを用いた数値シミュレーションを実行することにより、任意の形状の金属薄膜配線の任意の実用条件下における寿命と断線箇所の予測を行うことが可能であることが示され、本予測法の有効性が実証できた。
【００３６】
エレクトロマイグレーションにより誘発されるボイド形成は、電流密度、温度、これらの勾配のほか、電気抵抗率、平均結晶粒径、活性化エネルギー、結晶粒界間の相対角度、原子密度、拡散係数、実効電荷、結晶粒界の実効幅のような材料物性に依存する。これらの因子の関数として求められたパラメータＡＦＤgenは、ボイド形成を支配している。金属配線の断線故障は、ボイド形成とその成長の結果起こる。故障箇所は配線の形状や基板温度および入力電流密度等の動作条件により決まるこれら因子の組合せで変化する。すなわち、ある場合には折れ曲がる金属配線の角部で故障が生じ、ある場合には折れ曲がる配線の陰極端部で起こる。ＡＦＤgenを基礎とする本発明のシミュレーションにより、金属配線の寿命および断線故障箇所の予測が的確に行われる。
【００３７】
本発明は、スタンド・アローンのコンピュータ・システムばかりではなく、複数のシステムから構成される例えばクライアント・サーバ・システム等に適用してもよい。本発明に関する予測を行うためのプログラムを格納した記憶媒体から、プログラムをシステムで読み出して実行することにより、本発明の構成を実現することができる。この記録媒体には、フロッピー・ディスク、ＣＤ−ＲＯＭ、磁気テープ、ＲＯＭカセット等がある。
【００３８】
【発明の効果】
上記の説明のように、本発明のシミュレーションにより、金属配線の寿命および故障箇所の的確な予測を行うことができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】結晶粒界における原子流束と電流密度を示す図である。
【図２】３本の結晶粒界で構成される三重点を内部に一つだけ含む単位厚さの四角形要素の結晶粒界構造のモデルを示す図である。
【図３】数値シミュレーションの処理を示すフローチャートである。
【図４】多結晶配線の数値シミュレーションに用いる要素分割の例を示す図である。
【図５】配線材料の物性定数であるスリットの実効幅を求めるための手順を示すフローチャートである。
【図６】多結晶配線の数値シミュレーションを行う２つの試料について示した図である。
【図７】多結晶配線（試料１）におけるＡＦＤgen分布の数値シミュレーション結果を示す図である。
【図８】多結晶配線（試料１）におけるボイド分布の数値シミュレーション結果を示す図である。
【図９】多結晶配線（試料２)におけるＡＦＤgen分布の数値シミュレーション結果を示す図である。
【図１０】多結晶配線（試料２）におけるボイド分布の数値シミュレーション結果を示す図である。
【図１１】検証実験のための装置を示すブロック図である。
【図１２】多結晶配線（試料１）における実験結果を示す図である。
【図１３】多結晶配線（試料２）における実験結果を示す図である。
【図１４】多結晶配線の数値シミュレーションに用いる材料物性の定数である。
【図１５】バンブー配線の数値シミュレーションに用いる要素分割の例を示す図である。
【図１６】バンブー配線の数値シミュレーションを行う３つの試料について示した図である。
【図１７】バンブー配線（ＡＳＹＭ(＋)）の数値シミュレーションに用いる材料物性の定数である。
【図１８】バンブー配線（ＡＳＹＭ(＋)）におけるＡＦＤgen分布の数値シミュレーション結果を示す図である。
【図１９】バンブー配線（ＡＳＹＭ(＋)）におけるボイド分布の数値シミュレーション結果を示す図である。
【図２０】バンブー配線（ＳＹＭ）におけるＡＦＤgen分布の数値シミュレーション結果を示す図である。
【図２１】バンブー配線（ＳＹＭ）におけるボイド分布の数値シミュレーション結果を示す図である。
【図２２】バンブー配線（ＡＳＹＭ（−））におけるＡＦＤgen分布の数値シミュレーション結果を示す図である。
【図２３】バンブー配線（ＡＳＹＭ（−））におけるボイド分布の数値シミュレーション結果を示す図である。
【図２４】バンブー配線（ＡＳＹＭ(＋)）における実験結果を示す図である。
【図２５】バンブー配線（ＳＹＭ）における実験結果を示す図である。
【図２６】バンブー配線（ＡＳＹＭ（−））における実験結果を示す図である。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
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【図１７】
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【図１８】
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【図１９】
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【図２０】
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【図２１】
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【図２２】
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【図２３】
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【図２４】
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【図２５】
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【図２６】
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