(57)【要約】  本発明は、取得後処理を受けておりかつ画素の期待値と分散量との間の線形関係σ２ｙｍ，ｎ＝ａμｙｍ，ｎ＋ｂを満たす圧縮画像の形態の写真から、写真カメラモデルを特定するためのシステムおよび方法に関する。このシステムは、離散コサイン変換（ＤＣＴ）係数モデルのパラメータ（α，β）とカメラのパラメータ（ａ，ｂ）との間の、形態（Ｉ）の分析的関係であって、パラメータ（ｃ，ｄ）が、写真カメラモデルを特徴付けるフィンガープリントを決定しかつ周波数（ｐ，ｑ）にもパラメータａおよびｂにも依存する、分析的関係を提供できる画像処理装置を備えることを特徴とする。上記システムはまた、ＤＣＴ係数の統計的仮説検定を実行するための装置と、写真が写真カメラモデルによって撮影されたのか別の写真カメラモデルによって撮影されたのか判断するための統計分析装置とを備える。これらの検定の統計的特性が確立されたことでエラー確率を事前に制御できる。特にこれらの結果を用いることにより、検定で起こり得る２つのエラー（誤検出または検出漏れ）のうちの一方の確率に対する制約に準拠することを保証する。本発明はさらに、上記方法の使用およびそのアプリケーションに関する。
2017517222.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
既知の写真カメラモデルによって取得された画像と、圧縮画像の形態の写真（３）とに基づいて、写真カメラモデル（２）を特定するためのシステムであって、前記写真（３）は、取得後処理を受けており、かつ、画素の期待値と分散量との間の線形関係：σ２ｙｍ，ｎ＝ａμｙｍ，ｎ＋ｂを満たし、式中、ａおよびｂは、前記写真カメラモデルを特徴付ける２つのパラメータであり、μｙｍ，ｎおよびσ２ｙｍ，ｎはそれぞれ、取得後処理を受けた位置（ｍ，ｎ）における画素ｙｍ，ｎの期待値および数学的分散量であり、
前記システムは、以下の形態
【数１】
2017517222.tif 000051
の、離散コサイン変換ＤＣＴ係数の統計的分布モデルのパラメータ（α，β）と写真カメラのパラメータ（ａ，ｂ）との間の分析的関係であって、パラメータ（ｃ，ｄ）が、写真カメラモデルを特徴付けるフィンガープリントを決定しかつ周波数（ｐ，ｑ）にも前記パラメータａおよびｂにも依存する、分析的関係を、提供することができる画像処理装置（１２）を備えることを特徴とするとともに、
前記システムは、前記ＤＣＴ係数の統計的仮説検定を実行するための装置と、前記写真が前記写真カメラモデルによって撮影されたのかまたは別の写真カメラモデルによって撮影されたのか判断するための統計分析装置（１４）とをさらに備えることを特徴とする、システム。
【請求項２】
前記統計分析装置（１４）は予め規定された精度で特定の正確さを証明することによって前記写真カメラモデルの特定についての指標を提供することを特徴とする、請求項１に記載のシステム。
【請求項３】
以下のステップを含むことを特徴とする、請求項１および２に記載のシステムにおいて実行される方法であって、前記ステップは、
既知の写真カメラモデルによって取得された画像の事前分析のステップと、
−画素の値を表わすマトリクスを求めるために圧縮画像Ｚを読込むステップと、
−プリントパラメータ（ｃｐ，ｑ，ｄｐ，ｑ）を推定するステップと、
−前記圧縮画像Ｚの内容を削除することによって残余画像を得るステップと、
−前記残余画像のＤＣＴ係数を推定するステップと、
−写真カメラを特定するために統計的仮説検定を実行するステップとを含む、方法。
【請求項４】
前記統計的仮説検定はエラーの確率に対する所定の制約の関数として実行されることを特徴とする、請求項３に記載の方法。
【請求項５】
前記写真はＪＰＥＧ圧縮規格に従う圧縮画像であることを特徴とする、請求項３に記載の方法。
【請求項６】
前記写真はビデオストリームに属しＭＰＥＧ圧縮規格に従って圧縮される参照画像またはフレーム間画像であることを特徴とする、請求項３に記載の方法。
【請求項７】
写真のある区域の偽造を教師なしの態様で検出するための、請求項３〜６のいずれか１項に記載の方法の使用。
【請求項８】
写真のある区域の偽造を教師ありの態様で検出するための、請求項３〜６のいずれか１項に記載の方法の使用。
【請求項９】
評判を傷つけるような写真に基づくプルーフの捜索のための、請求項３〜６のいずれか１項に記載の方法の使用。
【請求項１０】
デジタル媒体に基づくプルーフの捜索のための、専用のソフトウェアにおける請求項３〜６のいずれか１項に記載の方法のアプリケーション。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
１−発明の技術分野
本発明は、写真カメラモデルの特定に関し、より特定的には、本発明は、ＪＰＥＧ規格に従って一連の取得処理一式を受けたまたは実際に圧縮されたデジタル写真に基づいて写真カメラモデルの特定を行なうためのシステムに関する。また、本発明は、このようなシステムを実現するための方法に関する。これらのシステムは、写真の由来を判断するのに大いに応用される。
【０００２】
デジタルフォレンジック（digital forensic）またはデジタル媒体におけるプルーフ（proof）の捜索は、この１０年で大幅に発展した。この分野では、写真カメラモデルを特定したいのか、カメラ自体（特定のモデルの実体値（インスタンス））を特定したいのかによって、提案されている手順は２つのカテゴリに分類される。
【０００３】
一般に、特定手順は、受動的または能動的である。能動的な手順の場合、画像の内容を表わすデジタルデータは、識別子を挿入するために変更される（いわゆる透かし手順）。検査された画像がいかなる透かしも含まない場合、画像のデータに基づいて、取得したカメラを特定しなければならない。
【背景技術】
【０００４】
２−先行技術
フォレンジックに関して２つの重要な課題、すなわち画像の起源の特定および偽りの像の検出、が認識されている（［１］〜［３］およびこれらの文献に援用されている参考文献参照）。画像の起源の特定は、所与のデジタル画像が特定の写真カメラ（すなわちインスタンス）によって取得されたか否かを確認すること、および／または、そのモデルを判断することを目的としている。偽りの像の検出は、画像におけるスプライシング、除去または追加などの操作のいかなる行為も検出することを目的としている。これらの課題を解決するために、能動的および受動的な２つのアプローチが存在する。デジタル透かし技術は、能動的なアプローチであると考えられる。とはいえ、組込み機構が利用可能でなければならず、画像に組込まれる情報の信頼性には依然として議論の余地があるので、いくつかの制約がある。［３］参照。この１０年で、受動的なアプローチがますます研究されるようになってきた。そのオペレーションモードでは、透かし、または原画像の入手のしやすさを含む画像の事前情報は、不要である。
【０００５】
受動的なフォレンジックの手順は、画像に残された写真カメラのフィンガープリントに依拠して、その起源を特定し、その信憑性を検証する。これらのプリントは、一連の画像取得処理によって抽出され（参考文献［４］〜［６］参照）、デジタル写真カメラ内のさまざまなステップおよびさまざまな処理構造に対する洞察を提供する。
【０００６】
画像の起源の特定という課題に対して提案される受動的なフォレンジック手順は、以下の２つの基本カテゴリに分けることができる。第１のカテゴリの手順は、画像処理技術の点においてであろうと技術的コンポーネントの点においてであろうと、カメラのモデルの間には違いが存在するという仮説に基づいている。実際に、対物レンズの収差（［７］参照）、「カラーフィルタアレイ」（Color Filter Array：ＣＦＡ）、補間アルゴリズム、デマトリクス化（［８］〜［１１］参照）、およびＪＰＥＧ圧縮（［１２］、［１３］参照）は、ソースカメラの特定にホワイトバランシングアルゴリズム［１４］が用いられる場合に写真カメラのモデルを特定する際の重要な要因であると考えられる。これらの要因に基づいて、一組の機能が提供されて自動学習アルゴリズムにおいて使用される。主な課題は、画像処理技術が依然として同一または同様であり、いくつかの製造業者が製造したコンポーネントが写真カメラのモデルの間で共有されていることである。さらに、すべての自動学習アプリケーションの場合と同様に、一組の正確な機能を選択することは困難である。さらに、検出性能の展開の分析は未解決の問題のままである（［１５］参照）。
【０００７】
第２のカテゴリの手順は、取得したカメラのユニークな特徴またはフィンガープリントを特定することを目的としている。「センサパターンノイズ」（Sensor Pattern Noise：ＳＰＮ）またはセンサの特徴的ノイズは、写真用センサの製造プロセスに起因する欠陥に基づき、かつ、シリコンウェハの均質性の欠如による写真の電子変換中の不均一性（「感度不均一性（Photo-Response Non-Uniformity）」またはＰＲＮＵとも呼ばれる）に基づく。これは、ユニークなフィンガープリントである（参考文献［１７］〜［２１］参照）。さらに、参考文献［２２］では、不均一性ノイズ（ＰＲＮＵ）の存在に基づく手順は、写真カメラのモデルの特定にも用いられている。これらの手順は、ＴＩＦＦまたはＪＰＥＧフォーマットの画像に基づいて得られるフィンガープリントが固有の透かしの痕跡を含む、すなわちＳＰＮが写真カメラのモデルについての情報を含むという仮説に基づいている。
【０００８】
なお、センサパターンノイズＳＰＮの２つの主な構成要素は、「固定ノイズパターン」（Fixed Noise Pattern：ＦＰＮ）および「感度不均一性」（ＰＲＮＵ）である。カメラを特定するために参考文献［２３］で用いられているＦＰＮまたは「固定形状ノイズ構造」は、一般に、出力画像上の暗画像を差し引くことによって写真カメラにおいて補償される。その結果、固定ノイズパターン（ＦＰＮ）は、ロバストなフィンガープリントではなく、後続の作業で使用することはできない。ＰＲＮＵは、特定の作業において直接利用される（参考文献［１７］、［１８］、［２１］参照）。このノイズを画像から確実に抽出できる能力が、このカテゴリにおける主な課題である。別の課題は、「逆方向分析（counter-analysis）」作業に起因する画像の起源の偽造である（参考文献［２４］参照）。しかし、既存の手順の設計は、仮説検定の理論および統計的画像モデルの利用が非常に限られている。その結果、それらの性能は、まだ分析的に確立されていない。
【０００９】
大半の法医学用画像手順は、センサのノイズ（参考文献［２２］、［２５］参照）または写真カメラでのオペレーションに適合される特徴（参考文献［１０］参照）に基づいている。大半のデジタル写真カメラは、ＪＰＥＧフォーマットで画像をエクスポートする。画像特徴を抽出できる能力は疑問である。なぜなら、ＪＰＥＧ圧縮は、これらの特徴に深刻な損傷を与える可能性があるからである。［２５］として参照される特許出願において、我々は、写真カメラモデルを受動的に特定するためにパラメータ（ａ，ｂ）を利用することを提案した。この手順は、ＲＡＷ画像に存在するノイズの分散不均一性に基づいている。ＲＡＷ画像とは、一連処理において何の取得後処理も受けていない画像である。［２５］として参照される特許出願は、ＲＡＷ画像、非圧縮画像または無損失圧縮画像に基づく写真カメラモデルの特定について完璧な検出性能を示す。しかし、この手順をＴＩＦＦまたはＪＰＥＧフォーマット圧縮画像に拡張することが有用である。
【００１０】
本発明において対処される問題は、所与の圧縮画像に基づいて取得写真カメラモデルを受動的に特定するという問題である。受動的特定は、画像がソースを特定するいかなる情報も含んでいると仮定されない場合に判定を行なうことを意味すると理解される。解決することが想定される課題は、１）写真が評判を傷つけるようなものである場合に当該写真が所与のカメラによって撮影されなかったことを保証すること、または、２）逆に、検査された写真が別のカメラではなくある特定のカメラによって実際に撮影されたことを保証することである。与え得る例は多数あり、この写真カメラが（ウィキリークスで入手可能なものなどの）機密文書の写真に関与しているか、幼児ポルノ的性質の所与の写真が容疑者の写真カメラを用いて取得された可能性があるか、契約のコピーがクライアントのカメラでスキャンされたか、文書の写真によって当該文書をコピーして印付けすることができるようになること、などが挙げられる。
【発明の概要】
【課題を解決するための手段】
【００１１】
３−発明の開示
本発明の目的は、既知の写真カメラモデルによって取得された画像と、圧縮画像の形態の写真とに基づいて、写真カメラモデルを特定するためのシステムを提供することである。上記写真は、取得後処理を受けており、かつ、画素の期待値と分散量との間の線形関係：σ２ｙｍ，ｎ＝ａμｙｍ，ｎ＋ｂを満たし、式中、ａおよびｂは、上記写真カメラモデルを特徴付ける２つのパラメータであり、μｙｍ，ｎおよびσ２ｙｍ，ｎはそれぞれ、取得後処理を受けた位置（ｍ，ｎ）における画素ｙｍ，ｎの期待値および数学的分散量である。上記システムは、以下の形態
【００１２】
【数１】
2017517222.tif 000003
【００１３】
の、離散コサイン変換（Discrete Cosine Transformation）ＤＣＴ係数の統計的分布モデルのパラメータ（α，β）と写真カメラのパラメータ（ａ，ｂ）との間の分析的関係であって、パラメータ（ｃ，ｄ）が、写真カメラモデルを特徴付けるフィンガープリントを決定しかつ周波数（ｐ，ｑ）にも上記パラメータａおよびｂにも依存する、分析的関係を、提供することができる画像処理装置を備えることを特徴とするとともに、上記システムは、上記ＤＣＴ係数の統計的仮説検定を実行するための装置と、上記写真が上記写真カメラモデルによって撮影されたのかまたは別の写真カメラモデルによって撮影されたのか判断するための統計分析装置とをさらに備えることを特徴とする。基本的に、取得モデルがわかっている画像が、写真カメラモデルの特定のソースを構成する。
【００１４】
有利に、上記分析装置は、予め規定された精度で特定の正確さを証明することによって上記写真カメラモデルの特定についての指標（indication）を提供する。
【００１５】
本発明はさらに、以下のステップを含む、上記システムにおいて実行される方法に関し、上記ステップは、
既知の写真カメラモデルによって取得された画像の事前分析のステップと、
−画素の値を表わすマトリクスを求めるために圧縮画像Ｚを読込むステップと、
−プリントパラメータ（ｃｐ，ｑ，ｄｐ，ｑ）を推定するステップと、
−上記圧縮画像Ｚの内容を削除することによって残余画像を得るステップと、
−上記残余画像のＤＣＴ係数を推定するステップと、
−写真カメラを特定するために比較統計的検定を実行するステップとを含む。
【００１６】
既知の写真カメラモデルによって取得された画像の事前分析は、未知の画像の分析の場合と同じ方法に従ってプリントパラメータ（ｃｐ，ｑ，ｄｐ，ｑ）を推定するために行なわれる。
【００１７】
有利に、上記統計的検定は、エラーの確率に対する所定の制約の関数として実行される。
【００１８】
本発明によれば、上記写真は、ＪＰＥＧ圧縮規格に従う圧縮画像である。
有利に、上記写真は、ビデオストリームに属し、ＭＰＥＧ圧縮規格に従って圧縮される参照画像またはフレーム間画像である。
【００１９】
本発明はさらに、写真のある区域の偽造を教師なし（unsupervised）の態様で検出するための、上記の方法の使用に関する。
【００２０】
また、本発明は、写真のある区域の偽造を教師あり（supervised）の態様で検出するための、上記の方法の使用に関する。この検出は、先験的に知られている区域が、検査された画像の残余と同一の写真カメラに由来するか否かを調べることによって実行される。
【００２１】
本発明はさらに、評判を傷つけるような画像に基づくプルーフの捜索における、上記の方法の使用に関する。
【００２２】
本発明は、デジタル媒体に基づくプルーフの捜索における、専用のソフトウェアにおける上記の方法のアプリケーションに関する。
【００２３】
４−図面の簡単な説明
本発明の他の特徴、詳細および利点は、添付の図面を参照して以下の説明を読むことにより明らかになるであろう。
【図面の簡単な説明】
【００２４】
【図１】本発明に係る写真カメラモデルを特定するためのシステムを示す。
【図２】一連の、デジタル写真カメラにおいて実行される自然な画像の取得と処理全体を示す。
【図３】正確なＤＣＴ係数モデルの式（７）と近似ＤＣＴ係数モデルの式（８）との比較を示す。
【図４】異なる２つの写真カメラモデルとしてのＣａｎｏｎ  Ｉｘｕｓ７０およびＮｉｋｏｎ  Ｄ２００によって捕捉されたドレスデン画像データベースの各画像に基づいて推定されたパラメータ（＾α６４，＾β６４）を示す。
【図５】異なる２つの写真カメラモデルとしてのＣａｎｏｎ  Ｉｘｕｓ７０およびＮｉｋｏｎ  Ｄ２００によって捕捉されたドレスデン画像データベースの各画像に基づいて推定されたパラメータ（ｃ６４，＾ｄ６４）を示す。
【図６】パラメータα＝３、ｃ０＝１１．５、ｄ０＝−４、ｃ１＝１３、ｄ１＝−５．５を用いてシミュレートされたデータに対する検定δ＊の検出性能を示す。
【図７】パラメータα＝３、ｃ０＝１１．５、ｄ０＝−４、ｃ１＝１３、ｄ１＝−５．５を用いてシミュレートされたデータに対する検定＾δ＊１および＾δ＊２の検出性能を示す。
【図８】２つの写真カメラＣａｎｏｎ  Ｉｘｕｓ７０およびＮｉｋｏｎ  Ｄ２００によって取得されたドレスデン画像データベースからの５００の画像に対する検定δの検出性能を示す。
【発明を実施するための形態】
【００２５】
より明確にするために、すべての図において、同一または同様の要素は、同一の参照符号によってタグ付けされている。
【００２６】
５−実施形態の詳細な説明
図１は、写真カメラの特定を行なうためのシステムを示す。参照符号１は、システムを示し、参照符号２は、写真３を撮影した写真カメラのモデルを示す。
【００２７】
この写真３に基づいて、システム１は、この写真を撮影した写真カメラモデルを判断することになる。このシステムは、この写真３を調査する写真分析装置で構成される。写真３は、後続の処理に適した圧縮ファイルの形態をとる。ＪＰＥＧタイプのフォーマット、または、ＪＰＥＧ規格に従って圧縮された、ＪＰＥＧフォーマットで先に圧縮された画像の、復元によって生じた画像が、この処理に適している。
【００２８】
システム１は、ＰＣタイプのコンピュータ上で実現し得る。このシステム１は、写真３のデータを入力することができる入力機構１０を備えている。これらのデータは、以下で説明される処理を実行する処理装置１２によって処理される。ＤＣＴ係数に対して統計的仮説検定を実行するための装置および統計分析装置１４は、上記写真に関与する写真カメラモデルの特定についての指標を提供する。
【００２９】
本発明に係る方法によれば、第１のステップにおいて、デジタル写真２は、１つ以上のマトリクスと見なされ、当該マトリクスの要素は、各画素の値を表わす。グレーレベル画像の場合、写真は、単一のマトリクス：
Ｚ＝ｚｉ（１≦ｉ≦Ｌ）
によって表わすことができる。カラー画像では、通常、赤色、緑色および青色の３つの別個の色が用いられる。この場合、画像は、３つの別個のマトリクスと見なされてもよく、１つの色チャネル当たり１つのマトリクス：
Ｚ＝ｚｉｋ（１≦ｋ≦３）である。
【００３０】
当該方法の第２のステップは、分析される画像がカラー画像である場合にさまざまな色チャネルを分離するステップである。各マトリクスが色チャネルを表わす状態で一連のオペレーションが同一の態様で実行される場合に、画像が単一のマトリクスによって表わされる（インデックスｋは省略される）と我々は考える。
【００３１】
デジタル写真に存在するノイズは、分散不均一であるという特性を示す。ノイズの（ランダムな）確率論的特性は、画像の画素全体にわたって一定ではない。
【００３２】
多数の光子がセンサに入射するために、ガウス確率変数による計数プロセスを高精度に近似することが可能である。
【００３３】
図２は、一連の自然な画像の取得と実行される処理の全体を示す。この一連の取得は、いくつかの処理ステップ（デマトリクス化、ホワイトバランシングおよびガンマ補正）を含み、当該処理ステップの後に、センサの各感光性セルによって測定された光度に基づいて多色画像が得られる。各ステップの手順に従って、最終画像の品質は、目に見えて変化し得る。各ステップは、最終出力画像に影響を及ぼす。なお、オペレーションのシーケンスは、製造業者によって異なる。
【００３４】
現在、ＪＰＥＧ画像フォーマットは、デジタル画像の規格としてますます頻繁に見られる。ほとんどのデジタル写真カメラおよびソフトウェアコード画像はこのフォーマットである。ＪＰＥＧ圧縮を使用する場合、保存サイズと画像の品質とのバランスが問題になる。高い圧縮率で圧縮された画像は、必要な保存スペースが少なくて済むが、視覚的な品質は損なわれる。
【００３５】
離散コサイン変換（ＤＣＴ）操作は、ＪＰＥＧ圧縮の重要なステップのうちの１つである。任意の画像をＺとすると、ＤＣＴ操作は、Ｚの８×８画素の各ブロックに対して次のように行なわれる。
【００３６】
【数２】
2017517222.tif 000004
【００３７】
Ｔｑ項は、Ｔｐ項との類推によって容易に得ることができる。直流（ＤＣ）係数と呼ばれる位置（０，０）におけるＤＣＴ係数は、８×８画素のブロック内の画素の平均値を表わす。残りの６３個の係数は、交流（ＡＣ）係数と呼ばれる。ＤＣＴ操作の主な２つの利点は、最適下限の非相関性と、エネルギー圧縮である。ＤＣＴ操作後、エネルギーは主として低周波数にあり、高周波数は主としてノイズ成分を含む。
【００３８】
ＤＣＴ係数の分布のモデル化は、文献において幅広く研究されてきた。参考文献［２７］のラプラシアン（Laplacian）モデル、一般化されたガウス（Gaussian）モデル（［２８］参照）、および一般化されたガンマ（ＧΓ）モデル（［２９］参照）がＤＣ係数に対して提案されている。しかしながら、画像処理では、ラプラシアン分布が、その簡潔さと比較的正確であることが理由で、選択されることが依然として多い。我々は、初期の研究において、ＡＣ係数をモデル化するために精密な数学的フレームワークを構築した。詳細は参考文献［６］を参照されたい。ＤＣ係数は８×８画素の各ブロック内の画素の平均値を表わすので、ＤＣ係数分布は、自然な画像内部の異質性からは直接得ることができない。明確にするために、ＩをＡＣ係数とし、このＡＣ係数のインデックスを省略する。このブロックの分散量にはばらつきがあるので、Ｉの確率密度関数（probability density function）（ｐｄｆ）を、以下のようにして双確率（bi-stochastic）モデル（［２７］参照）の関数として与える。
【００３９】
【数３】
2017517222.tif 000005
【００４０】
式中、ｆｘ（ｘ）は、Ｘで示される確率変数の確率密度関数（ｐｄｆ）を表わし、σ２は、対象とするブロックの分散量を表わす。１ブロック内の画素が独立して等しく分布していると想定する。［２７］参照。σ２がそのブロックの一定の分散量であるとすると、ＡＣ係数Ｉの分布は、相関確率変数のリンドバーグの中心極限定理（central limit theorem）（ＣＬＴ）によって、ゼロ平均のガウス分布により近似できる。［２７］、［３０］参照。
【００４１】
【数４】
2017517222.tif 000006
【００４２】
さらに、画像を構成する一組のブロック全体についての分散量σ２の分布を、以下の確率密度関数（ｐｄｆ）によって定義されるガンマ分布の法則Ｇ（α、β）（［６］参照）により、近似してモデル化してもよい。
【００４３】
【数５】
2017517222.tif 000007
【００４４】
式中、αは正の形状パラメータであり、βは正のスケールパラメータであり、Γ（・）はガンマ関数を表わす。（３）、（４）、および（５）に基づいて、ＡＣ係数Ｉの統計的分布モデルは、以下の式によって得られる。
【００４５】
【数６】
2017517222.tif 000008
【００４６】
［３１］に基づき、Ｋｖ（・）で示される変形ベッセル関数の積分表示を用いて、積分（６）は次のように書くことができる。
【００４７】
【数７】
2017517222.tif 000009
【００４８】
Ｋｖ（ｘ）は、変形ベッセル関数を表わす［３１、５．５章］。（７）で提案されているＡＣ係数のモデルは、ラプラシアン分布およびガウス分布の特定のケースを含む（［６］参照）。［６］に示されるように、このモデルは、ラプラスモデルおよびガウスモデルよりも優れているものの、式がより複雑であるという欠点がある。ラプラス近似を用いることによって［３２］（詳細は付録Ａ参照）、関数ｆＩ（ｘ）の近似は次のようにして得られる。
【００４９】
【数８】
2017517222.tif 000010
【００５０】
なお、変形ベッセル関数ｋν（ｘ）の他の多項展開式は、［３１］にも示されており、ｆＩ（ｘ）の多項近似式も得ることができる。しかしながら、これらの近似式は本特許出願では考慮しない。（８）に示される近似式の精度は、関数ｇ（ｔ）およびｈ（ｔ）の選択に応じて決まる（さらに関係式（５６）参照）。関係式（８）の主な利点は、指数関数の形態で近似式を提供することにある。この近似モデルを用いることにより、尤度関数の計算を簡単にするとともに、提案する検定で使用する尤度比のしきい値の計算を簡単にする。パラメータの推定は、関係式（７）によって定められるモデルそのものに基づいて実施される。
【００５１】
この近似モデルは、γ＝１（変数γは参考文献［２９、式（６）］に示されている）のときの一般化されたガンマ分布モデルの特定のケースであることが注目されるであろう。一例が、図３において、ＪＰＥＧ画像のＤＣＴ係数の分布の正確なモデルの精度およびＤＣＴ係数の分布の近似モデルの精度を説明するために、示されている。経験的データは、ＪＰＥＧ圧縮規格を用いて先に圧縮されたドレスデン（Dresden）画像データベース（［３３］参照）の実際の画像に基づいて抽出される。このパラメータは、ＤＣＴ係数の分布の正確なモデルに基づく経験的データに基づいて推定される。ＤＣＴ係数の正確なモデルおよび近似モデルは、最大尤度によって推定されるパラメータで表わされる。この近似モデルの主な欠点は、ｘが０になる傾向があるときα＞１のときは関数（８）が０になる傾向があり、α＜１のときはこれが無限になる傾向がある点にある。その結果、図３に示されるように０の近辺が不正確になる。それでもなお、ＬＲＴ検定を設計するとき、誤警報確率を保証する能力の点においても正しい検出の確率についても、検出性能は全く低下しない。関係式（７）によって定められるＡＣ係数モデルは対称なので、奇モーメントはなくなる。総期待値の法則に基づく計算は次の通りである。
【００５２】
【数９】
2017517222.tif 000011
【００５３】
式中、Ｅｘは、確率変数Ｘの数学的期待値を表わす。結果として、モーメントの方法（method of moment：ＭＭ）により、パラメータ（α，β）を次のようにして推定できる。
【００５４】
【数１０】
2017517222.tif 000012
【００５５】
式中、＾ｍ２および＾ｍ４はそれぞれ、Ｉの二次および四次経験モーメントである。パラメータ（α，β）の最大尤度（ＭＬ）の推定は、最大化問題の解として定義される。
【００５６】
【数１１】
2017517222.tif 000013
【００５７】
式中、Ｎは同一周波数における係数の数である。なお、尤度関数は微分可能であるが、導関数の計算は非常に難しいと思われる。最大尤度（１３）の正確な形態または分析形態がないので、ネルダー−ミード法（［３４］）の最適化手順の助けを借りて最大化問題を数値的に解くことが提案される。推定ＭＭ（＾αＭＭ，＾βＭＭ）は、最適化アルゴリズムの初期解と見なされる。
【００５８】
上述のように、（８）の近似式の主な利点の１つは、エネルギーの圧縮である。エネルギーは、主として低周波数にある傾向があり、一方、高周波数は主としてノイズの成分を含む。よって、ＤＣＴ係数間にスケールの相違がある。ＤＣＴ係数は同一のパラメータ（α，β）を共有しない。パラメータ（α，β）の推定は周波数ごとに別々に行なわれるので、ＤＣＴ係数Ｉｐ，ｑについてパラメータ（αｐ，ｑ，βｐ，ｑ）を指定しなければならない。
【００５９】
５．Ａ−写真カメラの固有のプリント
我々の初期の研究文献である［２５］および［３５］では、写真カメラモデルを受動的に特定するためにパラメータ（ａ，ｂ）が利用された。ａおよびｂは、写真カメラに特有のパラメータを表わす。この手順は、ＲＡＷ画像に存在するノイズの分散不均一性に基づく。ノイズの（ランダムな）確率論的特性は、画像の一組の画素全体にわたって一定ではない。より正確には、各画素の値は、入射する光子の数に線形的に依存する。ＲＡＷ画像を破損させるすべてのノイズを表わすこのモデルは、画素の数学的期待値の線形関数としてノイズの分散量を提供し、以下の関係に従う。
【００６０】
【数１２】
2017517222.tif 000014
【００６１】
式中、ｙｍ，ｎは、位置（ｍ，ｎ）におけるＲＡＷ画素の測定値であり、μｙｍ，ｎは、その数学的期待値である。この手順がほぼ完璧な検出性能を示すとしても、２つの主な制約がある。第１に、それは、実際には入手可能でないかもしれないＲＡＷ画像に焦点を当てることである。実際、この手順を他の画像フォーマット、たとえばＴＩＦＦおよびＪＰＥＧに拡張する際の最も困難な部分は、取得後方法（デマトリクス化、ホワイトバランシングおよびガンマ補正）および圧縮方法の影響である。なぜなら、デマトリクス化は、画素間の空間相関を引き起こし、非線形オペレーションは、画素の期待値と分散量との間の線形関係を破壊するからである。第２に、パラメータ（ａ，ｂ）によって規定される提案されたフィンガープリントは、ＩＳＯ感度に依存することである。実際のところこれは重要ではない。なぜなら、ＩＳＯ感度はそれほど大きくなく、ＩＳＯ感度ごとに参照パラメータ（ａ，ｂ）を推定するためにはほんの少数の画像で足りるからである。しかしながら、画像の内容に関して不変であり、かつ、非線形変換オペレーション（たとえばガンマ補正係数）についてロバストであるプリントを頼りにすることが望ましい。
【００６２】
出力時にカラー画像を完全なものにして、その視覚品質を向上させるために、ＲＡＷ画像は、取得後プロセス、たとえばデマトリクス化、ホワイトバランシングおよびガンマ補正を必要とする。［２１］において参照される方法を圧縮画像に拡張するために、画素の期待値および分散量の分散不均一な関係に対する、デマトリクス化およびホワイトバランシングのためのアルゴリズムの影響が無視できるほどのものであると仮定する。そうすると、圧縮画像は、画素の期待値と分散量との関係：σ２ｙｍ，ｎ＝ａμｙｍ，ｎ＋ｂを満たす。式中、ａおよびｂは、写真カメラモデルを特徴付ける２つのパラメータであり、μｙｍ，ｎおよびσ２ｙｍ，ｎはそれぞれ、位置ｍ，ｎにおける画素ｙｍ，ｎの期待値および数学的分散量である。
【００６３】
ＤＣＴ（離散コサイン変換）係数のモデルのパラメータ（α，β）と、写真カメラのパラメータ（ａ，ｂ）の分析的関係を提供する。各８×８ブロック内の画素が独立して等しく分布していると想定する。加えて、画素の期待値および分散量の分散不均一な関係に対する、デマトリクス化およびホワイトバランシングアルゴリズムの影響が無視できると仮定する。ガンマ補正を、以下のように定められる、各画素に独立して適用される変換によって定義する。
【００６４】
【数１３】
2017517222.tif 000015
【００６５】
式中、｜・｜は、絶対値を示し、γは補正係数である（典型的には、γ＝２．２）。ここでｙｍ，ｎはバランス後のホワイト画素と呼ばれるものであり、ηｍ，ｎはゼロ平均信号であり位置（ｍ，ｎ）における画素ノイズを表わし、分散量はσ２ηｍ，ｎ＝Ｖａｒ［ηｍ，ｎ］＝αμｙｍ，ｎ＋ｂである。ｘ＝０のときの（１＋ｘ）１／γのテイラー級数展開の一次は次の通りである。
【００６６】
【数１４】
2017517222.tif 000016
【００６７】
式中、μｚｍ，ｎおよびσ２ｚｍ，ｎはそれぞれ、画素ｚｍ，ｎの期待値および分散量の値を表わす。関係式（１７）は、仮説ηｍ，ｎ＜＜μｙｍ，ｎのもとで正当化される。加えて、補正されたガンマ画素の分散量σ２ｚｍ，ｎが、ノイズの分散量σ２ηｍ，ｎに正比例し期待値の値μｚｍ，ｎに反比例することが注目されるであろう。等式（１）の両側に分散量をとると、Ｖａｒ［Ｉｐ，ｑ］＝Ｖａｒ［ｚｍ，ｎ］＝σ２ｚｍ，ｎとなる。これは、８×８ブロック内の画素が独立して等しく分散しているという仮説のもとで正当化される。等式（９）から以下のようになる。
【００６８】
【数１５】
2017517222.tif 000017
【００６９】
さらに、（９）および（１０）から以下が得られる。
【００７０】
【数１６】
2017517222.tif 000018
【００７１】
式中、パラメータ（ｃｐ，ｑ，ｄｐ，ｑ）は、写真カメラの周波数（ｐ，ｑ）およびパラメータ（ａ，ｂ）双方に依存する。その結果、パラメータ（ｃｐ，ｑ，ｄｐ，ｑ）を、写真カメラのモデルを特定するためのフィンガープリントとして用いることができる。
【００７２】
５．Ｂ−写真カメラのプリントの推定
ＪＰＥＧ圧縮が、基本的なステップ、すなわち、ＤＣＴ操作、ＤＣＴ係数を量子化マトリクスを用いて均一的に量子化すること、および、量子化された値のエントロピー符号化を含むことを思い出すことが重要である。よって、上記数学的分析によって得られた写真カメラのフィンガープリント（ｃｐ，ｑ，ｄｐ，ｑ）は、ＪＰＥＧファイルから抽出された、量子化された元のＤＣＴ係数に対して機能し得ると思われる。しかしながら、量子化の効果が原因で、視覚的に重要でない情報は無視される。高周波数はゼロが大部分を占める。よって、パラメータ（ｃｐ，ｑ，ｄｐ，ｑ）を推定するための統計が不十分である。さらに、低周波数で推定されたパラメータ（ｃｐ，ｑ，ｄｐ，ｑ）は、損なわれている可能性がある。なぜなら、これらのＤＣＴ係数は画像の内容の影響を強く受けるからである。
【００７３】
Ｚを、３つの成分を有するカラー画像Ｚ＝｛Ｚｃ｝とする。ｃ∈｛Ｒ，Ｇ，Ｂ｝は、赤、緑、および青チャネルインデックスを表わす。画像の内容の影響を和らげるために、空間ドメインにおいて与えられた画像Ｚから、画像の内容を、色チャネルごとにノイズ除去フィルタＤを用いて削除することにより、以下の残余画像Ｗｃを得ることを提案する。
【００７４】
【数１７】
2017517222.tif 000019
【００７５】
明確にするために、画像ＩＷを、ＪＰＥＧ圧縮規格で用いられる「ジグザグ」の順序に従ってＤＣＴ係数の６４のベクトルで構成する。ＩＷＫ＝（Ｉｋ，１Ｗ，…，ＩＷｋ，Ｎ）Ｔ、ｋ∈｛１，…，６４｝を、ｋ番目のＤＣＴ係数を表わす長さＮのベクトルとする。ＩＷｋ，ｉ、１≦ｉ≦Ｎは、ブロックｉのｋ番目のＤＣＴ係数の値を表わし、ＵＴは、マトリクスＵの転置を表わす。同様に、ＩＷｋの分布を特徴付けるパラメータは（αｋ，βｋ）で表わされ、写真カメラのフィンガープリントも（ｃｋ，ｄｋ）で表わされる。
【００７６】
実施される上記数学的分析は、小さな８×８ブロックの内部で画素が同じように分布しているという強力な仮説に基づいている。この仮説は実際的ではない場合がある。なぜなら、自然な画像にはエッジまたはディテールが存在するからである。よって、数学的フレームワークを適切なやり方で保証するために、均質な８×８ブロックに対してのみ作業を行ない、選択されたデータに対してパラメータの推定を実施する。ブロックの選択に先立って、飽和したブロックは除外しなければならない。飽和したブロックは上記数学的フレームワークを変造するからである。画素は、そのグレーレベル値が、ダイナミックレンジの下側または上側１０％に相当するゾーンに含まれている場合に、飽和していると見なされる（一般的に、ダイナミックレンジは８ビット画像の場合［０２５５］であるため、飽和ゾーンは［０，２５］および［２２０  ２５５］である）。ブロックは、そのブロック内の少なくとも１つの画素が飽和している場合に、飽和していると見なされる。ブロックの選択は、ブロックの標準偏差に基づく単純な非適応的方法によって実行される。その根拠は、エッジもディテールもない均質的なブロックの内部では、そのブロックの標準偏差が低いはずであるという点にある。ブロックの標準偏差はロバストな推定量、すなわち平均絶対偏差（mean absolute deviation：ＭＡＤ）の中央値（median）によって推定される。よって、ブロックｉは、以下の２つの条件が満たされた場合に選択される。
【００７７】
【数１８】
2017517222.tif 000020
【００７８】
式中、ｋ∈｛２，…，６４｝であり、Ｉｋ，ｉは、（２６）と同じ変換を用いたときのグレーレベル画像￣Ｚのブロックｉのｋ番目のＤＣＴ係数を表わす。ここで、空間ドメインにおける各ブロックの平均絶対偏差（ＭＡＤ）値の中央値を計算する代わりに、ＤＣＴドメインにおける平均絶対偏差（ＭＡＤ）値の中央値を計算することによって、ＤＣＴの非相関性とエネルギー圧縮という特性を利用し、そうすることによって標準偏差のより優れた推定値が得られる。ＤＣ係数はこの計算から除外される。しきい値Ｔ１およびＴ２は、Ｔ１＝１．５およびＴ２＝０．８に固定される。なお、第１の条件は強いエッジを有するブロックを除去することであり、第２の条件はノイズ除去フィルタが原因で外乱が存在する可能性がある場合にブロックを削除することである。
【００７９】
【数１９】
2017517222.tif 000021
【００８０】
たとえ画像の内容が削除されても、ＩＷｋの低周波ＤＣＴ係数はわずかな影響を受けるであろう。よって、ＩＷｋの高周波ＤＣＴ係数を用いる方がより適切である。一例が、αｋとβｋ−１の間の線形関係を示す図４に挙げられている。さらに、図５は、上記手順に従い各画像に基づいて推定されたパラメータ（＾ｃ，＾ｄ）の点のクラウドを示す。図４および図５に用いた画像は、写真カメラのさまざまなシーンおよびさまざまな設定をカバーする。パラメータ（ｃ，ｄ）は、不変であり、非線形アルゴリズムの処理についてロバストである。さらに、パラメータ（ｃ，ｄ）は、［２５］および［３５］において写真カメラのモデルの特定のために提案されたパラメータ（ａ，ｂ）に関連するので、写真カメラのさまざまなモデルに対しても差別的であり、写真カメラのモデルの特定にも利用できる。
【００８１】
６−統計的仮説検定の定式化
本発明は、ＤＣＴ統計値に基づいて写真カメラのモデルを特定することを目的とする。この部分は写真カメラの２つのモデル０および１を分析することを可能にする。各写真カメラモデルｊ、ｊ∈｛０，１｝は、パラメータ（ｃｋ，ｊ，ｄｋ，ｊ）によって特徴付けられ、ｋは周波数を表わし、ｋ∈｛２，…，６４｝である。バイナリ仮説検定では、検査される画像Ｚは、写真カメラモデル０によって取得されたか、または写真カメラモデル１によって取得されたかのいずれかである。当該検定の目的は、以下によって規定される２つの仮説のどちらかに決めることである。
【００８２】
【数２０】
2017517222.tif 000022
【００８３】
式中、Ｐαｋ，βｋ，ｊは、パラメータ（αｋ，βｋ，ｊ）の仮説ＨｊのもとでのＩＷｋ，ｉのＤＣＴ係数の統計的分布を表わす。先に説明したように、誤警報の確率の所定の保証に重点が置かれる。よって、以下を、誤警報の確率がα０によって定められる境界よりも低い検定のクラスになるように規定する。
【００８４】
【数２１】
2017517222.tif 000023
【００８５】
ここで、ＰＨｊ（Ｅ）は、仮定ＨｊのもとでのイベントＥの確率を表わし、ｊ∈｛０，１｝であり、θに関する上限はこのモデルのパラメータのいずれかの値であると理解されるはずである。目的は、正確な検出の確率によって規定される、べき関数を最大化する検定δを、クラスＫα０のすべての検定の中で見つけることである。
【００８６】
【数２２】
2017517222.tif 000024
【００８７】
（３０）で規定されている問題は、写真カメラのモデルの特定における３つの根本的な難点を明らかにしている。第１に、すべてのモデルパラメータ（αｋ，ｃｋ，ｊ，ｄｋ，ｊ）が既知であっても、最も有力な検定、すなわちＬＲＴは、今までこの問題について研究されたことがない。第２の難点は、実際上未知の厄介なパラメータαｋに関連する。未知の厄介なパラメータに対処するためのアプローチとして可能なアプローチは、不変原理を用いることによってこれらのパラメータを排除することにある。［３８］参照。このアプローチは参考文献［３９］および［４０］で議論されたものであり、特定のアプリケーションでは上手く機能している。［４１］参照。しかしながら、このアプローチをここで適用することはできない。なぜなら、検定される仮説には、統計において不変原理を適用するのに必要な「対称」特性がないからである。もう１つのアプローチは、未知のパラメータを、最大尤度ＭＬの推定値と置換えることによってＧＬＲＴ検定を設計することである。［４２］参照。最後に、写真カメラのパラメータ（ｃｋ，ｊ，ｄｋ，ｊ）が未知であるので、２つの仮説Ｈ０およびＨ１は複合的である。
【００８８】
明確にするために、我々は、写真カメラのパラメータ（ｃｋ，０，ｄｋ，０）が既知であると想定し、代替的な仮説Ｈ１が複合的である、言い換えれば、写真カメラのパラメータ（ｃｋ，１；ｄｋ，１）が既知でないという問題のみを解決する。なお、（ｃｋ，１；ｄｋ，１）がどのようなものであっても、検出パワーを最大化する検定が存在するであろう。主な目的は、ＬＲＴ検定を研究するとともにＧＬＲＴ検定を設計して、第２および第３の難点に対処することである。
【００８９】
さらに、強調せねばならないのは、写真カメラのパラメータが既知であるときに未知の厄介なパラメータαｋを用いて処理されるＧＬＲＴ検定は、所与の画像が写真カメラモデル０によって取得されるかまたは写真カメラモデル１によって取得されるかのいずれかであるというクローズ型の仮説検定であると、解釈し得ることである。一方、未知の写真カメラのパラメータ（ｃｋ，１；ｄｋ，１）を用いて処理されるＧＬＲＴ検定は、所与の画像が写真カメラモデル０によって取得されるか否かというオープン型の仮説検定になる。実際、所与の画像は、未知の写真カメラモデルによって取得されている場合がある。よって、２つの提案された検定は、状況の必要条件に応じて適用すればよい。
【００９０】
６．Ａ−２つの単純仮説についての尤度比の検定
モデルのすべてのパラメータが既知である場合、ネイマン・ピアソンの補助定理［３１、定理３．２．１］によって、問題（３０）を解決する最も有力な検定δは、以下の決定規則によって提案されるＬＲＴ検定である。
【００９１】
【数２３】
2017517222.tif 000025
【００９２】
各仮説Ｈｊのもとでの、Λ（Ｚ）で示される尤度比ＬＲの統計的分布は、以下によって得られる。
【００９３】
【数２４】
2017517222.tif 000026
【００９４】
Λ（Ｚ）のＬＲの正規化により、検定δ＊を、どの自然なＲＡＷ画像にも適用できる。なぜなら、正規化されたＬＲΛ＊（Ｚ）は、仮説Ｈ０のもとにおける標準的なガウス分布に従うからである。決定しきい値Ｔ＊およびべき関数βδ＊は、以下の定理から得られる。
【００９５】
定理１
モデルのすべてのパラメータ（αｋ，ｃｋ，ｊ，ｄｋ，ｊ）が正確にわかっていると仮定すると、決定しきい値および検定δ＊のべき関数βδ＊は、以下によって得られる。
【００９６】
【数２５】
2017517222.tif 000027
【００９７】
式中、Φ（・）およびΦ−１（・）はそれぞれ、標準的なガウス分布の分布関数およびその逆関数を表わす。
【００９８】
この決定しきい値は、誤警報確率がα０に等しいことを保証する、すなわち、実際にはそうであるにもかかわらず写真が写真カメラ０に由来するものではないと決定する。
【００９９】
（８）で規定されているＤＣＴ係数モデルに対する近似関数を用いてＬＲＴ検定を設計することを提案しているので、理論上のＬＲＴ検定と近似ＬＲＴの間のパワーの損失を評価することが望ましい。理論上のＬＲＴ検定では、（７）で規定されている正確なＤＣＴ係数モデルを用い、ＬＲの平均および分散量を、積分を計算することによって数値的に計算する。２つのＬＲＴ検定のべき関数は、図６において、パラメータα＝３、ｃ０＝１１．５、ｄ０＝−４、ｃ１＝１３、ｄ１＝−５．５を用いてシミュレートされたデータについて、示されている。これらのパラメータはそれぞれ、ドレスデン画像データベースのＣａｎｏｎ  Ｉｘｕｓ７０およびＮｉｋｏｎ  Ｄ２００カメラの周波数６４におけるパラメータに対応する。［３３］参照。（図５参照。）これらを用いて係数２１０および２１２の２つのベクトルを生成する。このシミュレーションは５０００回繰り返して実行される。
【０１００】
図６は、理論上のＬＲＴ検定と近似ＬＲＴ検定の間のパワー損失がごくわずかであることを明確に示している。検出パワーβδ＊は、写真カメラを特定するという問題に対する統計的検定の上限の役割を果たす。検定δ＊によって、所定の誤警報率を正当化することが可能になり、また、検出の確率が最大になる。その統計性能が分析的に確立されているので、誤警報のどの確率α０についても予測可能な分析結果を提供できる。
【０１０１】
実際、ＬＲＴ検定は、写真カメラのパラメータ（ｃｋ，１，ｄｋ，１）によって特徴付けられる代替の仮説Ｈ１のもとでの所与の画像の最大尤度関数と、写真カメラのパラメータ（ｃｋ，０，ｄｋ，０）によって特徴付けられるゼロ仮説Ｈ０のもとでの最大尤度関数との比率を用いて判断を下すことを目的としている。この比率がしきい値を下回る場合は、ゼロ仮説Ｈ０が承認される。逆の場合は代替の仮説Ｈ１が承認される。よって、２つのポイント（ｃｋ，０，ｄｋ，０）および（ｃｋ，１，ｄｋ，１）間の距離が短いほど、写真カメラの特定は困難になる。
【０１０２】
６．Ｂ−一般化尤度比の検定
この部分では、未知のパラメータを扱うために２つのＧＬＲＴ検定が設計される。未知のパラメータを、（３３）で規定されている最大尤度ＭＬ推定値に置換えることが提案される。写真カメラのパラメータ（ｃｋ，０，ｄｋ，０）および（ｃｋ，１，ｄｋ，１）が既知であると仮定すると、第１のＧＬＲＴ検定は次のように設計される。
【０１０３】
【数２６】
2017517222.tif 000028
【０１０４】
ＬＲＴ検定の場合のように、ＧＬＲ＾Λ１（Ｚ）を正規化することが提案される。しかしながら、期待値ｍ０および分散量ｖ０は、実際のところパラメータαｋが未知なので規定されていない。αｋを（６６）および（６７）で規定されている＾αｋと置換えることにより、＾ｍ０（１）および＾ｖ０（１）をそれぞれ表わすｍ０の期待値およびｖ０の期待値を得る。その結果、正規化されたＧＬＲ＾Λ＊１（Ｚ）は次のように規定される。
【０１０５】
【数２７】
2017517222.tif 000029
【０１０６】
ここでもスルツキーの定理［３８、定理１１．２．１１］を用いて、決定しきい値および検定＾δ＊１のべき関数を得る。
【０１０７】
定理２
写真カメラのパラメータ（ｃｋ，０，ｄｋ，０）および（ｃｋ，１，ｄｋ，１）が既知であるとき、決定しきい値および検定＾δ＊１のべき関数は次の通りである。
【０１０８】
【数２８】
2017517222.tif 000030
【０１０９】
写真カメラのパラメータ（ｃｋ，１，ｄｋ，１）が既知でないときも、上記手順に従ってＧＬＲＴ検定を設計することができる。この未知のパラメータ（ｃｋ，１，ｄｋ，１）を、（３３）で規定されているＯＬＳ推定値（＾ｃｋ，１，＾ｄｋ，１）と置換える。
【０１１０】
【数２９】
2017517222.tif 000031
【０１１１】
式中、＾β−１ｋ，０＝＾ｃｋ，０＾αｋ＋ｄｋ，０、＾β−１ｋ，ｊ＝＾ｃｋ，１＾αｋ＋＾ｄｋ，１である。
【０１１２】
【数３０】
2017517222.tif 000032
【０１１３】
式中、＾ｍ０（２）および＾ｖ０（２）は、αｋを＾αｋと置換え（ｃｋ，１，ｄｋ，１）を（＾ｃｋ，１，＾ｄｋ，１）と置換えたときの期待値ｍ０および分散量ｖ０の推定値である。対応する検定＾δ＊２は次のように書換えられる。
【０１１４】
【数３１】
2017517222.tif 000033
【０１１５】
スルツキーの定理に従い、決定しきい値および検定＾δ＊２のべき関数は、下記の定理によって得られる。
【０１１６】
定理３
写真カメラのパラメータ（ｃｋ，０，ｄｋ，０）が既知でありパラメータ（ｃｋ，１，ｄｋ，１）が未知であるとき、決定しきい値および検定δ＊２のべき関数は次の通りである。
【０１１７】
【数３２】
2017517222.tif 000034
【０１１８】
提案した２つのＧＬＲＴ検定は実際の状況に適用できる。第１のＧＬＲＴ検定＾δ＊１は、写真カメラモデル０または写真カメラモデル１によって取得された所与の画像を検出することを目的とし、一方、ＧＬＲＴ検定＾δ＊２は、所与の画像が写真カメラモデル０によって取得されたものであるか否か検証することを目的とする。
【０１１９】
この決定しきい値は、誤警報確率がα０に等しいことを保証する、すなわち、実際にはそうであるにもかかわらず写真が写真カメラ０に由来するものではないと決定する。
【０１２０】
図７は、係数２１０および２１２について、ＬＲＴ検定δ＊との比較における２つのＧＬＲＴ検定＾δ＊１および＾δ＊２のべき関数を示す。モデルのパラメータの推定時にエラーがあるので、パワー損失が明らかになっている。加えて、係数の数が増加するとパワー損失が減少することが注目されるであろう。係数２１４を用いた場合、すべての検定が完璧であり、βδ＊＝β＾δ＊１＝β＾δ＊１＝１である、すなわち、写真カメラモデル０に基づいてシミュレートされた５０００の画像および写真カメラモデル１に基づいてシミュレートされた５０００の画像には検出エラーがない。
【０１２１】
提案された手順は、ビデオストリームから生じる画像に拡張可能である。ビデオストリームは、一定のテンポで列を成して通り過ぎる一連の画像で構成される。ビデオ圧縮は、ビデオの視覚品質に対する影響を最小化しながらデータの量を減少させるデータ圧縮手順である。ビデオ圧縮の利点は、ビデオファイルを格納および送信するコストを減少させることである。ビデオシーケンスは、時間的領域においても空間的領域においても非常に大きな統計的冗長性を含む。圧縮技術が基づく根本的な統計的特性は、画素間の相関関係である。この相関関係は、空間的であり、すなわち現在の画像の隣接する画素が類似しており、時間的でもある、すなわち過去および未来の画像の画素も現在の画素に非常に近い。ＭＰＥＧタイプのビデオ圧縮アルゴリズムは、８×８個の画素のブロックに対するＤＣＴ（離散コサイン変換）変換を用いて、同一の画像の隣接する画素間の空間相関を効率的に分析する。したがって、本発明に係る方法では、写真は、ビデオストリームから生じる画像であってもよく、ＭＰＥＧ規格に従って圧縮されてもよい。
【０１２２】
別の写真からコピーする／貼り付けることによって、または要素の削除によって画像のある区域が偽造されていないかを判断する目的で、写真カメラモデルを特定するためのシステムを使用する別の事例を想定することが可能である。
【０１２３】
最後に、（別の写真からコピーする／貼り付けることによって、または要素の削除によって）画像のある区域が偽造されていないかを教師ありの態様で判断する目的で、写真カメラモデルを特定するためのシステムを使用する別の事例を考えることが可能である。ここで、「教師あり」とは、予め規定された区域の完全性をユーザが確かめたいという事実を意味することを意図している。そのため、原理は、ユーザがターゲットとする区域および補完区域（画像の残り）からそれぞれ生じる２枚の「サブ画像」に特定手順を適用するというものである。検査された要素が別の写真に由来するものであり、コピー／貼り付けによって追加された場合には、ノイズ特性は、（同一の取得条件下で、妥当であるように思われる同一の写真カメラモデルで写真が撮影されなかったと仮定することによって）提案されたシステムが特定できるものとは異なったものになる。
【０１２４】
写真カメラモデルを特定するための提案された手順は、先行技術において簡単に提示されている手順の２つの弱点、すなわち１）それらの性能が確立されていないこと、および２）これらの手順が写真カメラの校正によってだめになる可能性があること、に対処する。圧縮写真の取得に固有のノイズ特性に依拠する提案された手順は、（特に視覚品質を向上させる目的で）どのような取得後処理がユーザによって適用されようと適用可能である。さらに、周波数領域における画素の値の統計的分布のパラメトリックモデリングは、提案された検定の性能を分析的に提供することを可能にする。この利点により、特にエラーの確率に対する所定の制約との適合を確保することができる。
【０１２５】
本発明の主な適用分野は、一方では「評判を傷つけるような」画像に基づくプルーフの捜索であり、他方では写真が所与のカメラによって取得されたことの保証である。
【０１２６】
提案された手順は、写真の完全性の確認に拡張可能である。そのため、目的は、写真がその取得以来修正／偽造されていないことを保証することである。これは、たとえば異なる写真カメラに由来する、すなわち取得後にインポートされた要素を備える写真を検出すること、またはスキャンもしくは写真撮影された文書（たとえば法律文書）の完全性を確保することを可能にする。
【０１２７】
本発明の方法は、デジタル媒体に基づくプルーフの捜索における、ソフトウェア製造業者からの専用のソフトウェアにおいて開発されることができる。本発明に係る方法は、決定支援ツールを提供する目的で裁判所において使用されてもよい。
【０１２８】
７−数値実験
７．Ａ−大型データベースでの結果
付録Ａ
ＤＣＴ係数モデルのラプラス近似
ラプラス近似について簡単に説明する［４３］。ラプラス手法は、関数ｇ（ｔ）がｔ＊で大域的最小値に達したときの∫ｅｘｐ（−ｇ（ｔ））ｄｔの形態の積分の近似値を提供することを目的とする。以下の積分について考える。
【０１２９】
【数３３】
2017517222.tif 000035
【０１３０】
ｔ＊における関数ｇ（ｔ）のテイラー展開により、次のようになる。
【０１３１】
【数３４】
2017517222.tif 000036
【０１３２】
式中、ｇ’（ｔ）およびｇ”（ｔ）はそれぞれ、関数ｇ（ｔ）の一次導関数および二次導関数である。関数ｇ（ｔ）がｔ＊で最小値に達すると想定すると、ｇ’（ｔ＊）＝０となる。したがって、積分Ｉは次のように近似できる。
【０１３３】
【数３５】
2017517222.tif 000037
【０１３４】
この積分はガウス積分の形態をとる。得られるものは次の通りである。
【０１３５】
【数３６】
2017517222.tif 000038
【０１３６】
［３２］では任意の関数ｈ（ｔ）に対し一般化が行なわれた。
【０１３７】
【数３７】
2017517222.tif 000039
【０１３８】
関係式（６）に基づいてＤＣＴ係数モデルｆＩ（ｘ）は次のように書換えられる。
【０１３９】
【数３８】
2017517222.tif 000040
【０１４０】
関数ｇ（ｔ）はｔ＊＝｜ｘ｜√β／２で最小値に達し、その二次導関数はｇ”（ｔ）＝ｘ２／ｙ３によって定義される。よって、関数ｆＩ（ｘ）は次のように近似できる。
【０１４１】
【数３９】
2017517222.tif 000041
【０１４２】
付録Ｂ
検定ＬＲΛ（Ｚ）の統計的分布
なお、関係式（３３）に基づくと、変数｜Ｉ｜の最初の２つのモーメントを定義する必要がある。既知の分散量をσ２とすると、ランダム変数Ｉは、分散量σ２のゼロ平均のガウス変数である。よって、ランダム変数｜Ｉ｜は、半正規分布に従う。［４４］参照。したがって、得られるものは次の通りである。
【０１４３】
【数４０】
2017517222.tif 000042
【０１４４】
総期待値の法則に基づくと、｜Ｉ｜の数学的期待値は次の通りである。
【０１４５】
【数４１】
2017517222.tif 000043
【０１４６】
さらに、｜Ｉ｜の分散量は次の通りである。
【０１４７】
【数４２】
2017517222.tif 000044
【０１４８】
したがって、（３３）より、各仮説ＨｊのもとでのＬＲΛ（ＩＷｋ，ｉ）の最初の２つのモーメントは次の通りである。
【０１４９】
【数４３】
2017517222.tif 000045
【０１５０】
ＥＨｊ［・］およびＶａｒＨｊ［・］はそれぞれ、仮定Ｈｊのもとでの期待値および数学的分散量を表わす。リンドバーグの中心極限定理（ＣＬＴ）（［３８、定理１１．２．５］）により、自然の画像では係数の数が多いので、ＬＲΛ（Ｚ）の統計的分布は次の通りである。
【０１５１】
【数４４】
2017517222.tif 000046
【０１５２】
参考文献
【０１５３】
【表１】
2017517222.tif 000047
【０１５４】
【表２】
2017517222.tif 000048
【０１５５】
【表３】
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【０１５６】
【表４】
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【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【国際調査報告】
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