(57)【要約】方法及びシステムは、画像を解析し、再構築し、及び／又はノイズを除去することができる。方法及びシステムは、シュレーディンガー演算子のポテンシャルとして信号を解釈すること、該信号を二乗固有関数に分解すること、該シュレーディンガー演算子の設計パラメーターを減らすこと、該シュレーディンガー演算子の離散スペクトルを解析すること、及び該離散スペクトルの解析を組み合わせて、画像を構築することを含み得る。【選択図】  図２
2017517723.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
信号から画像を構築する方法であって、
該信号をシュレーディンガー演算子のポテンシャルとして解釈すること、ここで、該信号は、第１の関数群に関連する第１の成分と第２の関数群に関連する第２の成分を少なくとも含み；
該信号を、該第２の関数群に関連する第２の二乗固有関数から該第１の関数群に関連する第１の二乗固有関数に分解すること；
該シュレーディンガー演算子の設計パラメーターを減らすこと；
該第１の関数群の該シュレーディンガー演算子の第１の離散スペクトルと該第２の関数群の該シュレーディンガー演算子の第２の離散スペクトルを解析すること；及び
該第１の及び第２の離散スペクトルの解析を組み合わせて、該画像を構築すること
を含む、前記方法。
【請求項２】
前記信号が映像信号である、請求項１記載の方法。
【請求項３】
前記二次元画像が磁気共鳴画像である、請求項２記載の方法。
【請求項４】
前記二次元画像が断層画像である、請求項２記載の方法。
【請求項５】
画像を近似する方法であって、
該画像を含むデータをシュレーディンガー演算子の二乗固有関数に分解すること；
該二乗固有関数の離散スペクトルを解析すること；
該シュレーディンガー演算子の設計パラメーターを最適化すること；及び
該離散スペクトルの解析に基づいて該画像の近似を構築すること
を含む、前記方法。
【請求項６】
前記離散スペクトルを解析することが、前記データのノイズを排除する、請求項５記載の方法。
【請求項７】
前記二乗固有関数が適応性であり、前記解析することが形態素解析を含む、請求項５記載の方法。
【請求項８】
コンピュータープロセッサー及び非一時的なコンピューター可読媒体を含む、信号のノイズを除去するシステムであって、
該非一時的なコンピューター可読媒体が、
該信号をシュレーディンガー演算子のポテンシャルとして解釈すること、ここで、該信号は、第１の関数群に関連する第１の成分と第２の関数群に関連する第２の成分を少なくとも含み；
該信号を、該第２の関数群に関連する第２の二乗固有関数から該第１の関数群に関連する第１の二乗固有関数に分解すること；
該シュレーディンガー演算子の設計パラメーターを減らすこと；
該第１の関数群の該シュレーディンガー演算子の第１の離散スペクトルと該第２の関数群の該シュレーディンガー演算子の第２の離散スペクトルを解析すること；及び
該第１の及び第２の離散スペクトルの解析を組み合わせて、ノイズ除去信号を再構築すること
を含むステップを該システムに実行させる命令を含む、前記システム。
【請求項９】
前記信号が二次元画像の情報を含む、請求項８記載のシステム。
【請求項１０】
前記二次元画像が磁気共鳴画像である、請求項９記載のシステム。
【請求項１１】
前記二次元画像が断層画像である、請求項９記載のシステム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
（優先権の主張）
本出願は、２０１４年４月２５日に出願された米国仮特許出願第６１／９８４，７１９号明細書、及び２０１５年１月１４日に出願された米国仮特許出願第６２／１０３，３８５号明細書の優先権の利益を主張するものであり、それら各々の内容全体は引用により、組み込まれている。
【０００２】
（技術分野）
本発明は、例えば、シュレーディンガー演算子の半古典的解析に基づいて、画像を再構築するシステム及び方法に関する。
【背景技術】
【０００３】
（背景）
効率的な画像の再構築及び解釈の必要性は、多くの分野においていまだ難題である。提案されている方法やアルゴリズムにもかかわらず、その性能を改善する必要がある。既存の方法としては、標準的な２Ｄフーリエ変換、その異なる修正バージョンを有するウェーブレット、又は全変分に基づく手法がある。より最近には、偏微分方程式に基づく方法が提案されている。多くの他のアルゴリズムが提案されており、各々の方法は、利点及び限界を有する。
【０００４】
信号は、関数群を用いて分解することができる。関数群は、半古典的シュレーディンガー演算子の離散スペクトルに関連する二乗固有関数によって与えられ、ここで、信号は、そのような演算子のポテンシャルと見なすことができる。この分解は、動脈圧信号又は機械性能信号などの一次元信号に適用することができる。
【発明の概要】
【０００５】
（概要）
本発明は、広義には、画像を解析するか又は近似するか又は画像のノイズを除去する、及び／又は、信号のノイズを除去するためのシステム及び方法に関する。態様には、信号をシュレーディンガー演算子のポテンシャルとして解釈すること、信号を二乗固有関数に分解すること、シュレーディンガー演算子の設計パラメーターを減らすこと、シュレーディンガー演算子の離散スペクトルを解析すること、及び例えば、画像に対して、離散スペクトルの解析を組み合わせて、画像を構築することを含み得る。信号及び／又は画像は、第１の関数群に関連する第１の成分と第２の関数群に関連する第２の成分とを少なくとも含み得る。信号及び／又は画像を分解することは、信号及び／又は画像を第２の関数群に関連する第２の二乗固有関数から第１の関数群に関連する第１の二乗固有関数に分解することを含み得る。
【０００６】
いくつかの実施態様において、シュレーディンガー演算子の設計パラメーターを減らすことは、プランク定数を減らすことを含み得る。いくつかの実施態様において、設計パラメーターを減らすことは、λ及びγパラメーターを最適化することをさらに含み得る。
【０００７】
他の実施態様において、信号は、映像信号であり得る。他の実施態様において、二次元画像は、磁気共鳴画像及び／又は断層画像であり得る。
【０００８】
別の態様には、画像を近似すること、例えば、画像を含むデータをシュレーディンガー演算子の二乗固有関数に分解すること、二乗固有関数の離散スペクトルを解析すること、シュレーディンガー演算子の設計パラメーターを最適化すること、及び離散スペクトルの解析に基づいて画像の近似を構築することを含み得る。
【０００９】
いくつかの実施態様において、離散スペクトルを解析することは、データのノイズを除外することができる。他の実施態様において、二乗固有関数は、適応性であり得る。解析することは、形態素解析を含み得る。
【００１０】
さらに別の態様には、信号のノイズを除去するためのシステムを含み得る。システムは、コンピュータープロセッサーと非一時的なコンピューター可読媒体とを含み得る。非一時的なコンピューター可読媒体は、信号をシュレーディンガー演算子のポテンシャルとして解釈すること、信号を分解すること、シュレーディンガー演算子の設計パラメーターを減らすこと、シュレーディンガー演算子の離散スペクトルを解析すること、解析を組み合わせて、ノイズ除去信号を再構築することを含むステップをシステムに実行させる命令を含み得る。信号は、第１の関数群に関連する第１の成分と第２の関数群に関連する第２の成分とを少なくとも含み得る。信号を分解することは、信号を第２の関数群に関連する第２の二乗固有関数から第１の関数群に関連する第１の二乗固有関数に分離することを含み得る。いくつかの実施態様において、信号は、二次元画像の情報を含み得る。他の実施態様において、二次元画像は、磁気共鳴画像であり得る。二次元画像は、断層画像であり得る。
【図面の簡単な説明】
【００１１】
本発明は、以下の詳細な説明において、本発明の例示的な実施態様の非限定的な例として、記載されている複数の図面を参照してさらに説明され、いくつかの図面を通して、同様の数字は同様の要素を表す。
【００１２】
【図１】設計パラメーターがシュレーディンガー演算子のポテンシャルに有し得る種々の影響を示す。
【図２】（ａ）画像、（ｂ）再構築画像、及び（ｃ）元の画像と再構築画像の間の相対誤差を示す。
【図３】（ａ）周知のレナの画像、（ｂ）再構築画像、及び（ｃ）元の画像と再構築画像の間の相対誤差を示す。
【図４】（ａ）ｘ及びｙ方向における負の固有値の平均、及び（ｂ）レナの画像のｈに対する元の画像とその推定画像の間の平均二乗誤差を示す。
【図５】レナの画像の固有関数を示す。
【図６】例示的実施態様によるフローチャートを示す。
【図７】（ａ）レナの元の画像、（ｂ）σ＝７５（ＳＮＲ＝１１．２ｄＢ）のノイズの多い画像を示す。
【図８】（ａ）ｈ＝１．２（ＰＳＮＲ＝２５．４ｄＢ、ＭＳＳＩＭ＝０．５１３）を有するノイズ除去画像、（ｂ）ｈ＝１．６５（ＰＳＮＲ．＝２５．７ｄＢ、ＭＳＳＩＭ＝０．５５６）を有するノイズ除去画像、（ｃ）ｈ＝２（ＰＳＮＲ＝２５：６ｄＢ、ＭＳＳＩＭ＝０：５７５）を有するノイズ除去画像を示す。
【図９】（ａ）レナの元の画像、（ｂ）ノイズの多い画像（σ＝７５）、（ｃ）ノイズ除去画像のヒストグラムを示す。
【図１０】σ＝４０を有するノイズによって破損したレナの画像のノイズを除去することのズームを示す、（ａ）元の画像、（ｂ）提案された方法、（ｃ）ＳＶＤ法。
【図１１】平均＝２を有する磁気共鳴スペクトルＮ°１を示す。
【図１２】コリン及びＮＡＡピークのズームを示す。
【図１３】ＳＣＳＡ並列性能を示す。
【発明を実施するための形態】
【００１３】
（例示的実施態様の詳細な説明）
本発明の例示的実施態様によるシステム及び方法の詳細な説明を以下に述べる。本明細書に記載の、本明細書に示す、及び／又は本明細書に開示の例示的実施態様は、特許請求の範囲を限定する意図はなく、本発明の種々の態様について当業者に教示することを意図する。他の実施態様は、特許請求される本発明の範囲及び精神から逸脱することなく実施及び／又は実装することができる。
【００１４】
画像表現及びノイズ除去は、生物医学分野及び地震分野などの多くの応用において重要な演算である。新規の画像表現方法及びノイズ除去方法は、例えば、デジタル信号処理のためのシュレーディンガー演算子の二乗固有関数及び／又は離散スペクトルを利用する。そのような手法の一つの考えは、局在関数群を用いて画像を分解することであり得る。そのような関数は、二次元（２Ｄ）半古典的シュレーディンガー演算子の離散スペクトルに関連するＬ２正規化固有関数によって与えられ得、そのポテンシャルは、目的の画像により与えられる。２Ｄ演算子の固有値及び固有関数演算の複雑さを減らすため、提案されたアルゴリズムは、２Ｄ演算子を一次元（１Ｄ）演算子に分割する。その後、１Ｄ演算子の二乗Ｌ２正規化固有関数のテンソル積は、画像を分解するのに使用することができる。このアルゴリズムは、実装レベルで並列度を増すこともでき、さらなる並列性能をもたらすことができる。内部演算カーネルは、一般に、高密度の線形代数演算、すなわち、ドット積及び行列とベクトルの掛け算、並びに対称固有ソルバーであることが分かっている。このアルゴリズムは、より多くの同時並列性に曝すこともでき、並列性能のためのＯｐｅｎＭＰプログラミングモデルによって活用することができる。
【００１５】
本発明のシステム及び方法は、広義には、半古典的な信号解析を介して画像を近似及び／又は再構築することに関する。上述のように、信号は、関数群を用いて分解することができる。関数群は、半古典的シュレーディンガー演算子の離散スペクトルに関連する二乗固有関数によって与えられ、ここで、信号は、そのような演算子のポテンシャルと見なすことができる。負の固有値及びＬ２正規化固有関数の離散スペクトルを用いて、一部は、半古典的な信号解析（ＳＣＳＡ）により信号を再構築及び解析することができる。それらが含み得るＬ２正規化固有関数及び関連情報の局在化特性に加えて、ＳＣＳＡは、例えば、ＳＣＳＡ方法を動脈圧信号の解析及びターボ機械の性能の解析に適用することによって有益な結果をもたらし得る。さらに、ＳＣＳＡは、例えば、ノイズ除去のためのツールとして、ノイズの多い信号の取り扱いに役立ち得る。ＳＣＳＡのフィルタリング特性は、例えば、磁気共鳴分光法データを用いて、例えば、脂質含量を評価するインビボ実験で有用であり得る。
【００１６】
ＳＣＳＡは、例えば、画像の近似に拡張することができる。画像は、負の固有値に関連するシュレーディンガー演算子の二乗固有関数により与えられる空間的にシフトされた及び／又は局在化された関数を用いて表すことができる。この近似は、半古典的パラメーターであるｈがゼロに収束すると厳密になることができる。固有関数の数は、数値を介して、ｈが減少すると増加するが、比較的少ない数の固有関数（十分に大きいｈ）が画像を再構築するのに十分であり得ることが分かっており、この方法をコーディングなどの画像処理応用に有益なものとしている。
【００１７】
ＳＣＳＡの拡張は、多次元、例えば、二次元及び三次元における画像の表現及びノイズ除去に有用であり得る。一つの手法は、二次元の半古典的シュレーディンガー演算子の二乗固有関数を解析する際に、変数の分離を用いることを含み得る。画像は、この演算子のポテンシャルと見なすことができる。次いで、問題を、例えば、一次元シュレーディンガー演算子のスペクトル解析を介して解いた後、画像の再構築の結果を半古典的解析理論からの適当な数式と組み合わせることができる。この数式は、ｘ方向における二乗Ｌ２正規化固有関数とｙ方向における二乗Ｌ２正規化固有関数のテンソル積として表現することができる。二次元再構築のための一次元変換は、画像処理に使用することができ、一例は、二次元フーリエ変換である。一次元の場合と同様に、この数式は、半古典的パラメーターがゼロに収束する場合に収束する。
【００１８】
ＳＣＳＡは、二次元に一般化することができる。本明細書でさらに記載されるように、解析の収束は、半古典的パラメーターがゼロに収束する場合に示すことができる。二次元におけるアルゴリズム、及びＳＣＳＡにおける異なるパラメーターの効果の数値解析を本明細書でさらに記載するのみならず、その数値結果は、画像再構築のための例示的方法の効率を示している。
【００１９】
まず論じるのは、一次元の場合のＳＣＳＡである。以下のシュレーディンガー演算子を考える：
【数１】
2017517723.tif 000003
ここで、
【数２】
2017517723.tif 000004
は、半古典的パラメーターであり、Ｖ１は、Ｃ∞（Ω１）に属する正の実数値関数であり、ここで、
【数３】
2017517723.tif 000005
は、有界開集合である。次いで、ポテンシャルＶ１は、以下の命題を用いて近似することができる。
【００２０】
命題２．１
【数４】
2017517723.tif 000006
を正の実数値関数とする。次いで、λ１⊂Ω１がコンパクトになるような任意のλ１について、Ｖ１は、以下の数式、∀χ∈λ１を用いて近似することができる：
【数５】
2017517723.tif 000007
ここで、
【数６】
2017517723.tif 000008
は、以下により与えられる適切な普遍的な半古典的定数である：
【数７】
2017517723.tif 000009
、ここで、Γは、ガンマ関数である。
【００２１】
さらに、λｎ，ｈは、
【数８】
2017517723.tif 000010
によるＨ１，ｈ（Ｖ１）の負の固有値であり、
【数９】
2017517723.tif 000011
は、λよりも小さい負の固有値の数であり、Ψｎ，ｈは、Ｈ１，ｈ（Ｖ１）Ψｎ，ｈ，＝λｎ，ｈΨｎ，ｈとなるような関連するＬ２正規化固有関数である。
【００２２】
提案された信号推定方法の効率及びパラメーターλ、γ、及びｈの影響について研究されている。特に、半古典的パラメーターｈは、この手法に重要な役割を果たすことができる。ｈが減少すると、推定は、Ｖ１，ｈ，γ，λを改善することができる。ｈが０になる傾向がある場合のシュレーディンガー演算子は、半古典的解析と呼ばれるため、本明細書で与えられる半古典的な信号解析の名前において正当化される。
【００２３】
（２）で与えられる数式は、λ＝０の場合でも有効であり、λが定義の範囲外である場合であっても、目的の結果をもたらすことができる。
例えば、以下の数式：
【数１０】
2017517723.tif 000012
は、動脈圧信号の解析、並びにターボ機械の性能の解析に使用されている。
【００２４】
いくつかの幾何学的及び位相的な理由のため、画像処理において、変数分離手法を考慮して、一次元変換を二次元に拡張するのにより実用的であり得る。これは、例えば、ｘ方向及びｙ方向における複素指数関数の積を用いて表すことができる二次元フーリエ変換の場合である。変数分離手法により、簡易数式及び高速数値アルゴリズムを定義することができる。ＳＣＳ方法の同様の一般化は、二次元用に保つことができる。
【００２５】
いくつかの経験則は、二次元ＳＣＳＡ数式を数式化するのに役立ち得る。以下において、下記二次元シュレーディンガー演算子は、ポテンシャルＶ２に関連付けることができる：
Ｈ２，ｈ（Ｖ２）＝−ｈ２Δ−Ｖ２（４）
ここで、
【数１１】
2017517723.tif 000013
は、二次元ラプラシアン演算子であり、
【数１２】
2017517723.tif 000014
は、半古典的パラメーターであり、Ｖ２は、Ｃ∞（Ω２）に属する正の実数値関数であり、ここで、Ω２⊂］ａ，ｂ［×］ｃ，ｄ［は、
【数１３】
2017517723.tif 000015
の有界開集合である。
【００２６】
上述のように、一次元実装は、方程式（１）により与えられる演算子Ｈ１，ｈ（Ｖ１）の負の固有値及び関連固有関数を使用して、ポテンシャルＶ１を推定することができる。同様の手法を用いてポテンシャルＶ２を推定するために、以下のスペクトル問題に焦点を合わせることができる：
【数１４】
2017517723.tif 000016
ここで、
【数１５】
2017517723.tif 000017
は、負の固有値及び関連するＬ２正規化固有関数をそれぞれ指す。
【００２７】
変数分離を用いて、固有関数Ψｋ，ｈを計算することができる。
従って、
【数１６】
2017517723.tif 000018
に対して、（５）における：Ψｋ，ｈ（ｘ，ｙ）＝ψｎ，ｈ（ｘ）φｍ，ｈ（ｙ）（６）
を取ることによって、以下ものを得ることができる：
∀（ｘ，ｙ）∈λ２、
【数１７】
2017517723.tif 000019
これは、∀（ｘ，ｙ）∈λ２：
【数１８】
2017517723.tif 000020
を暗示する。
【００２８】
以下の一次元スペクトル問題を考える、∀（ｘ，ｙ）∈λ２を、
【数１９】
2017517723.tif 000021
ここで、
【数２０】
2017517723.tif 000022
は、演算子
【数２１】
2017517723.tif 000023
の負の固有値であり、
【数２２】
2017517723.tif 000024
であり、
【数２３】
2017517723.tif 000025
は、関連するＬ２正規化固有関数である。次いで、∀（ｘ，ｙ）、（８）において（９）及び（１０）を用いることで、
【数２４】
2017517723.tif 000026
を得る。
【００２９】
その結果、以下の関係を得る：
【数２５】
2017517723.tif 000027
【数２６】
2017517723.tif 000028
。
【００３０】
命題２．１で与えられる係数
【数２７】
2017517723.tif 000029
及び累乗
【数２８】
2017517723.tif 000030
は、Ｌｉｅｂ−Ｔｈｉｒｒｉｎｇの予想に結び付けられたいくつかのＲｉｅｓｚ平均及びスペクトル関数におけるＫａｒａｄｚｈｏｖの定理の適切な拡張に関する。Ｒｉｅｓｚ平均のｎ次元の定式化及びＫａｒａｄｚｈｏｖのスペクトル関数を参照すると、二次元における合計の係数及び累乗が分かる。特に、累乗及び係数は、それぞれ
【数２９】
2017517723.tif 000031
によって与えられることが分かり、ここで、適切な普遍的な半古典的定数
【数３０】
2017517723.tif 000032
は、
【数３１】
2017517723.tif 000033
により与えられ、ここで、Γは、ガンマ関数である。
【００３１】
その結果、上記から、以下の命題を提案することができる。
【００３２】
命題３．１
Ｖ２をＣ∞（Ω２）に属する正の実数値関数とする。次いで、λ２⊂Ω２がコンパクトになるような任意のλ２について、Ｖ２は、λ２における以下の数式：
【数３２】
2017517723.tif 000034
で近似することができ、ここで、適切な普遍的な半古典的定数として知られる
【数３３】
2017517723.tif 000035
は、（１２）により与えられる。
【００３３】
さらに、
【数３４】
2017517723.tif 000036
は、
【数３５】
2017517723.tif 000037
による演算子
【数３６】
2017517723.tif 000038
の負の固有値であり、
【数３７】
2017517723.tif 000039
は、λよりも小さい負の固有値の数であり、
【数３８】
2017517723.tif 000040
は、関連するＬ２正規化固有関数である。
【００３４】
一次元の場合と同様に、半古典的パラメーターｈは、二次元ＳＣＳＡ方法に重要な役割を果たすことができる。半古典的パラメーターがゼロに収束する場合の数式（１３）の収束は、例えば、公知の証明の一般化によって示すことができる。
【００３５】
（定理４．１）
Ｖ２を、シュレーディンガー演算子（４）のポテンシャルと見なす有界開集合Ω２上の実数値Ｃ∞関数とする。次いで、λ２⊂Ω２がコンパクトであり、かつ、
【数３９】
2017517723.tif 000041
であり、かつ、（ｘ，ｙ）∈λ２に対して均一であるような任意のペアλ２、Λについて、
【数４０】
2017517723.tif 000042
を有し、ここで、
【数４１】
2017517723.tif 000043
は、（１２）により与えられる適切な普遍的な半古典的定数である。
【００３６】
さらに、
【数４２】
2017517723.tif 000044
は、
【数４３】
2017517723.tif 000045
による負の固有値を示し、
【数４４】
2017517723.tif 000046
は、λよりも小さい負の固有値の数であり、演算子
【数４５】
2017517723.tif 000047
の関連するＬ２正規化固有関数である。
【００３７】
以下の結果を用いて、定理４．１を証明することができる。次の定理は、Ｈｅｌｆｆｅｒ及びＬａｌｅｇによりなされた定理４．１の二次元における一般化であり、スペクトル関数上のＫａｒａｄｚｈｏｖの定理の適切な拡張である。
【００３８】
（定理４．２）
Ｖ２を、有界開集合］ａ，ｂ［ｘ］ｃ，ｄ［上のシュレーディンガー演算子（４）のポテンシャルと見なす実数値Ｃ∞関数とする。スペクトル関数として知られる
【数４６】
2017517723.tif 000048
を、ｈ→０の場合の
【数４７】
2017517723.tif 000049
により定義する。
【数４８】
2017517723.tif 000050
は、λ未満の負の固有値の減少、及び演算子
【数４９】
2017517723.tif 000051
の関連するＬ２正規化固有関数を指す。
【００３９】
次いで、（１４）を満たす任意のペア（Ω２、λ）について、
Ω２に均一である、
【数５０】
2017517723.tif 000052
を有し、ここで、
【数５１】
2017517723.tif 000053
は、正の部分を指す。
【００４０】
（定理４．３）
Ｖ２を、
【数５２】
2017517723.tif 000054
であり、
かつ、ｈが半古典的パラメーターであるＣ∞（Ｒ２）に属するシュレーディンガー演算子（４）のポテンシャルと見なす実数値関数とする。
【数５３】
2017517723.tif 000055
により、それぞれシュレーディンガー演算子
【数５４】
2017517723.tif 000056
のλ未満である減少する固有値λｎ，ｈ及びλｍ，ｈのＲｉｅｓｚ平均を示す。
次いで、γ＞０について、
【数５５】
2017517723.tif 000057
を有し、ここで、
【数５６】
2017517723.tif 000058
は、正の部分であり、適切な普遍的な半古典的定数として知られる
【数５７】
2017517723.tif 000059
は、（１２）により与えられる。
【００４１】
（定理４．１の証明）
証明は、Ｈｅｌｆｆｅｒ及びＲｏｂｅｒｔにより提案されたＬｉｅｂ−Ｔｈｉｒｒｉｎｇの予想に結び付けられたいくつかのＲｉｅｓｚ平均（定理（４．３））及びスペクトル関数におけるＫａｒａｄｚｈｏｖの定理の適切な拡張（定理４．２）を用いて得ることができる。
【００４２】
まず、数式（１６）及び（１７）を組み合わせることによって、∀（ｘ，ｙ）∈λ２
【数５８】
2017517723.tif 000060
が分かり、ここで、ｈ→０であり、
【数５９】
2017517723.tif 000061
は、正の部分であり、かつ、
【数６０】
2017517723.tif 000062
である。
【００４３】
ｃγの簡単な表現が分かる。方程式（２１）の右側部分をｘ及びｙで積分することで：
【数６１】
2017517723.tif 000063
一方：
【数６２】
2017517723.tif 000064
したがって、γ＞０について、かつ定理４．３を用いて：
【数６３】
2017517723.tif 000065
これは、
【数６４】
2017517723.tif 000066
を暗示する。
最後に、半古典的パラメーターｈが０に収束する場合、ポテンシャルＶ２の正の部分のみを取ることによって、∀（ｘ，ｙ）∈Ω２
【数６５】
2017517723.tif 000067
を有する。
【００４４】
（帰結１）
命題３．１と同じ条件下、
【数６６】
2017517723.tif 000068
を有する。
証明。命題３．１によれば：
【数６７】
2017517723.tif 000069
定理（４．３）によれば：
【数６８】
2017517723.tif 000070
、証明が完了する。
【００４５】
二次元ＳＣＳＡ数式（１３）は、３つのパラメーター：λ、γ及びｈに依存し得る。λは、再構築される信号の一部に関する情報を与える。簡潔にするために、λは、以下でゼロに等しくなることができ、λ＝０が許容値ではなくても、一次元と同様に、非常にうまく働く。
【００４６】
残りのパラメーターについては、演算子はその値に依存するので、半古典的パラメーターｈのみが、固有値及び固有関数に影響を及ぼす。また、負の固有値の数はｈに依存し得る。実際、ｈが減少すると、Ｎｈ（ｒｅｓｐ．Ｍｈ）は増加する。フーリエ法と同様に、取り扱う基本要素の数と所望の再構築との間にはトレードオフが存在する。実装の観点から、十分に少ない数の固有値で画像を良好に表現する方が良い。そのため、ｈは、少ない数の固有値で良好な再構築を有するのに十分な大きさになるように選択される。さらに、ＳＣＳＡ解析では、パラメーターγは、所与の少ない数の負の固有値の信号の近似を改善することができる。これは、所与のｈ（Ｎｈ、Ｍｈ）について、例えば、γ値を変えることで画像の表現を改善することができることを意味する。
【００４７】
二次元ＳＣＳＡによる画像の再構築のための数値スキームを記載するのに役立ち得る。
【００４８】
図６は、二次元ＳＣＳＡによる画像の再構築の例示的な方法を示す。フーリエ疑似スペクトル法を利用して、シュレーディンガー演算子（方程式（１））を離散化することができる。
【実施例】
【００４９】
（実施例１）
以下の関数を考える：
【数６９】
2017517723.tif 000071
Ｔｓ＝０．０２でｉ、ｊ＝−５０、…、１５０に対してｘｉ＝ｉＴｓ、及びｙｊ＝ｊＴｓの離散の場合で、Ｖ２が与えられると想定する。
設計パラメーターｈ及びγは、影響を有し得る。例えば、異なる値のｈ及びγを取り、Ｖ２と推定Ｖ２，ｈ，γ，０の間の平均二乗誤差の変分を推定することによって、
【数７０】
2017517723.tif 000072
ここで、ｎは、離散点の数である。図１（ａ）に示すように、ｈ＝６×１０−３及びγ＝４で最小である。Ｖ２は、例えば、これらの最適なパラメーター値（図１（ｂ）を参照）を有するＶ２，ｈ，γ，０を用いて推定することができる。特に、図１（ｃ）では、ｙｊ＝−１、−０．９８、…、３での元の信号Ｖ２（−０．６２、ｙｊ）と推定信号Ｖ２，０．００６，４，０（−０．６２、ｙｊ）を示す。さらに、図１（ｄ）では、関数とその推定値の間の相対誤差を示す。
【００５０】
別の例として、図２（ａ）は、４４０×４４０ピクセルの画像を考える。ｈ＝０．２１及びγ＝４の図２（ｂ）の画像の良好な再構築を留意することができる。相対誤差を図２（ｃ）に示す。
【００５１】
さらに別の例として、図３（ａ）は、周知の５１２×５１２ピクセルのレナ画像を考える。ｈ＝０．２及びγ＝４の図３（ｂ）の画像の良好な再構築を理解することができる。関連する相対誤差を図３（ｃ）に示す。
【００５２】
レナの画像が画像処理アルゴリズム用のテスト画像として最も使用されるため、図４（ａ）及び図４（ｂ）は、それぞれｘ及びｙ方向における負の固有値の挙動、及び元の画像とその推定画像の間の平均二乗誤差を、異なる値のｈに対して示す。ｈが増加すると負の固有値
【数７１】
2017517723.tif 000073
が減少することは明らかである。図５（ａ）は、画像の最大ピークに対応するｘ＝１及びｙ＝１の最初のＬ２正規化固有関数の局在化特性を示す。ｘ＝５１２及びｙ＝５１２の最後のＬ２正規化固有関数は、図５（ｂ）により与えられる。それは、いくつかのピークを含み；それらは画像の詳細を表す。
【００５３】
実施態様において、画像解析エンジンは、コンピューター可読媒体に記憶されたプログラムによって指示された関数を実行することができる。すなわち、実施態様は、ハードウェア実施態様（回路を含む）、ソフトウェア実施態様、又はソフトウェア及びハードウェアを組み合わせた実施態様の形態を取ってもよい。本発明は、１つ又は複数のコンピューター可読媒体上に具体化されたコンピューター使用可能命令を含む、コンピュータープログラム製品の形態を取ってもよい。
【００５４】
本明細書に記載の種々の画像再構築の技術、方法、及びシステムは、一部又は全部を、コンピューターベースのシステム及び方法を用いて実行され得る。さらに、コンピューターベースのシステム及び方法を用いて、本明細書に記載の機能性を増大又は強化し、機能が実施され得る速度を増大し、さらなる特徴及び態様を、本文書中の他の箇所に記載されたものの一部として、又はそれらのものに加えて、提供し得る。上記の技術に従った種々のコンピューターベースのシステム、方法、及び実装を以下に提示する。
【００５５】
画像再構築システムは、汎用コンピューター又はサーバーによって具現化することができ、オペレーティングシステム（例えば、ＤＯＳ、Ｗｉｎｄｏｗｓ ２０００（商標）、Ｗｉｎｄｏｗｓ ＸＰ（商標）、Ｗｉｎｄｏｗｓ ＮＴ（商標）、ＯＳ／２、ＵＮＩＸ、又はＬｉｎｕｘ）及び１つ又は複数のアプリケーションプログラムなどのデータ及びプログラムを記憶するための内部又は外部メモリーを有し得る。アプリケーションプログラムの例としては、歌詞及びマルチメディアカスタマイズについて本明細書に記載の技術を実施するコンピュータープログラム、文書又は他の電子コンテンツを生成することが可能なオーサリングアプリケーション（例えば、文書処理プログラム、データベースプログラム、表計算プログラム、又はグラフィックスプログラム）；他のコンピューターユーザーと通信し、種々のコンピューターリソースにアクセスし、電子コンテンツを閲覧し、作成し、あるいは操作することが可能なクライアントアプリケーション（例えば、インターネットサービスプロバイダー（ＩＳＰ）クライアント、電子メールクライアント、又はインスタントメッセージ（ＩＭ）クライアント）；標準のインターネットコンテンツ、及び、ハイパーテキスト転送プロトコル（ＨＴＴＰ）などの標準プロトコルに従ってフォーマットされた他のコンテンツをレンダリングすることが可能なブラウザアプリケーション（例えば、マイクロソフトのインターネットエクスプローラー）が挙げられる。１つ又は複数のアプリケーションプログラムを、汎用コンピューターの内部又は外部ストレージにインストールすることができる。あるいは、アプリケーションプログラムは、外部保存してもよいし、あるいは、汎用コンピューターの外部の１つ又は複数のデバイスにより実行してもよい。
【００５６】
汎用コンピューター又はサーバーは、コマンドに応答して命令を実行する中央処理装置（ＣＰＵ）と、データを送信し受信する通信デバイスとを含み得る。通信デバイスの一例は、モデムである。他の例としては、送受信機、通信カード、衛星放送受信アンテナ、アンテナ、ネットワークアダプター、又は、有線又は無線データ経路を介して通信リンクを通じてデータを送信、受信することが可能な他のいくつかのメカニズムが挙げられる。
【００５７】
汎用コンピューター又はサーバーは、種々の周辺機器に有線又は無線接続することが可能な入力／出力インターフェースも含み得る。一実装において、汎用コンピューターのプロセッサーベースのシステムは、メインメモリー、好ましくは、ランダムアクセスメモリー（ＲＡＭ）を含み得、二次記憶装置も含み得、これは、触知可能なコンピューター可読媒体であってもよい。触知可能なコンピューター可読媒体メモリーは、例えば、ハードディスクドライブ又はリムーバブル記憶ドライブ、フラッシュベースストレージシステム又はソリッドステートドライブ、フロッピーディスクドライブ、磁気テープドライブ、光ディスクドライブ（ブルーレイ、ＤＶＤ、ＣＤドライブ）、磁気テープ、紙テープ、パンチカード、スタンドアロン型ＲＡＭディスク、Ｉｏｍｅｇａ  Ｚｉｐドライブなどを含み得る。リムーバブル記憶ドライブは、リムーバブル記憶媒体から読み出し、これに書き込むことができる。リムーバブル記憶媒体は、フロッピーディスク、磁気テープ、光ディスク（ブルーレイディスク、ＤＶＤ、ＣＤ）、メモリーカード（コンパクトフラッシュカード、セキュアデジタルカード、メモリースティック）、紙データストレージ（パンチカード、パンチテープ）などを含み得、これは、読み込み動作及び書き込み動作を行うのに使用した記憶ドライブから取り出すことができる。理解されるであろうように、リムーバブル記憶媒体は、コンピューターソフトウェア又はデータを含み得る。
【００５８】
別の実施態様において、触知可能なコンピューター可読媒体メモリーは、コンピュータープログラム又は他の命令をコンピューターシステムにロードさせることを可能とするための他の同様の手段を含み得る。そのような手段は、例えば、リムーバブル記憶装置及びインターフェースを含み得る。そのような手段の例としては、プログラムカートリッジ及びカートリッジインターフェース（例えば、ビデオゲーム機で見られるもの）、リムーバブルメモリーチップ（例えば、ＥＰＲＯＭ又はフラッシュメモリー）及び関連ソケット、並びに、ソフトウェア及びデータをリムーバブル記憶装置からコンピューターシステムに転送することができる他のリムーバブル記憶装置及びインターフェースが挙げられる。
【００５９】
いくつかの実施態様において、ビデオストリーム及び抽出画像データは、上述したものなどのメモリー又はストレージデバイスに記憶することができる。抽出画像データのコピーは、処理に使用することができる。
【００６０】
映像画像データ処理の一例は、シンボル（又はオブジェクト）ベースであり得る。カラーエッジ検出などの画像処理技術を用いて、スクリーンのシンボル又は映像の画像を隔離することができる。シンボルは、オブジェクトテンプレートデータベースを用いて識別することができる。例えば、シンボルが４本の足及び１本の尾を含み、オブジェクトテンプレートデータベースと一致した場合、シンボルを、イヌとして識別することができる。オブジェクトテンプレートデータベースは、適応性であってもよいため、性能は使用と共に改善するであろう。
【００６１】
他の画像データ処理技術は、画像抽出、ハイレベルビジョン及びシンボル検出、図地分離、深度及びモーション認識を含み得る。
【００６２】
（実施例２）
（シュレーディンガー演算子の二乗固有関数を用いた画像ノイズ除去）
本明細書で開示されるのは、画像ノイズ除去のための新規の方法である。提案された方法は、一次元の半古典的シュレーディンガー演算子の負の固有値に関連する二乗Ｌ２正規化固有関数により与えられる、適応性のある空間的にシフトされかつ局在化された関数群のテンソル積を用いることに基づいている。半古典的パラメーターｈの良好な値を選ぶことによって、実験結果は、ＳＶＤとしての他の既存の方法と比較して、提案された方法が、異なるレベルのノイズでＰＳＮＲ、ＳＳＩＭ、及び視覚品質についてより高い性能を有することを示している。従って、この方法の主な利点は、固有関数の局在化特性及びそれらが含む関連情報によるノイズ除去処理における効率及び安定性である。
【００６３】
画像ノイズ除去は、画像の解釈及び視覚化のために非常に重要である。通常、これはノイズをフィルタリングするための画像処理における予備ステップである。画像ノイズ除去アルゴリズムが、画像の関連情報を保存することが重要である。画像ノイズ除去のための種々の方法が、文献に提示されている。提案された技術のいくつかは、空間フィルタリング、ウェーブレット理論、又はより最近では偏微分方程式（ＰＤＥ）に基づいている。Ｒ．Ｃ． Ｇｏｎｚａｌｅｚ ａｎｄ Ｒ．Ｅ． Ｗｏｏｄｓ， Ｄｉｇｉｔａｌ Ｉｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ． Ｐｒｅｎｔｉｃｅ−Ｈａｌｌ， （２００８）， Ｔ．Ｃ． Ｌｉｎ， Ａ ｎｅｗ ａｄａｐｔｉｖｅ ｃｅｎｔｅｒ ｗｅｉｇｈｔｅｄ ｍｅｄｉａｎ ｆｉｌｔｅｒ ｆｏｒ ｓｕｐｐｒｅｓｓｉｎｇ ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ ｎｏｉｓｅ ｉｎ ｉｍａｇｅｓ． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ−Ｅｌｓｅｖｉｅｒ． Ｖｏｌｕｍｅ １７７， （２００７）， １０７３−１０８７， Ｉ．Ｅ． Ｆｏｄｏｒ ａｎｄ Ｃ． Ｋａｍａｔｈ， Ｏｎ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ｉｍａｇｅｓ ｕｓｉｎｇ ｗａｖｅｌｅｔ−ｂａｓｅｄ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ． Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ ｒｅｐｏｒｔ ＵＣＲＬＪＣ−１４２３５７， Ｌａｗｒｅｎｃｅ Ｌｉｖｅｒｍｏｒｅ Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ， （２００１）， Ｚ． Ｈｏｕ， Ａｄａｐｔｉｖｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｎ ｗａｖｅｌｅｔ ｄｏｍａｉｎ ｆｏｒ ｉｍａｇｅ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ． Ｐａｔｔｅｒｎ Ｒｅｃｏｇ． Ｖｏｌｕｍｅ ３６， （２００３）， １７４７−１７６３， Ｓ．Ｍ． Ｃｈａｏ ａｎｄ Ｄ．Ｍ． Ｔｓａｉ， Ａｎ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ ｄｅｔａｉｌ ａｎｄ ｅｄｇｅ−ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｓｍｏｏｔｈｉｎｇ”． Ｐａｔｔｅｒｎ Ｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ Ｌｅｔｔｅｒｓ． Ｖｏｌｕｍｅ ３１， （２０１０）， ２０１２−２０２３， 及び Ｎ． Ｋｈａｎ， Ｋ．Ｖ． Ａｒｙａ ａｎｄ Ｍ． Ｐａｔｔａｎａｉｋ， Ａ ｒｏｂｕｓｔ ＰＤＥ ｂａｓｅｄ ｉｍａｇｅ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ． Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ＩＥＥＥ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ Ｓｉｇｎａｌ Ａｃｑｕｉｓｉｔｉｏｎ ａｎｄ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ （ＩＣＳＡＰ ２０１１）． Ｖｏｌｕｍｅ １， （Ｆｅｂｒｕａｒｙ ２６−２８、２０１１）， １３６−１３９を参照されたい。それら各々の内容全体は、引用により組み込まれている。ＰＤＥベースの手法は、エッジ上の照明の強度が幾何学的熱流量のように変化すると想定している。これらの技術により、良好にノイズを除去し、ノイズを均一に減少させることができるが、エッジを軟化させ得る。ピクソン領域における異方性拡散方程式の方法が、この困難を克服するためにＮａｄｅｒｎｅｊａｄらに提案されているが、画像におけるいくつかの想定と、一般に満たされない境界条件とがある。Ｅ． Ｎａｄｅｒｎｅｊａｄ， Ｓａｒａ Ｓｈａｒｉｆｚａｄｅｈ ａｎｄ Ｓ． Ｆｏｒｃｈｈａｍｍｅｒ， Ｕｓｉｎｇ ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｐｉｘｏｎ ｄｏｍａｉｎ ｆｏｒ ｉｍ���ｇｅ ｄｅｎｏｓｉｎｇ． Ｓｐｒｉｎｇｅｒ−Ｖｅｒｌａｇ Ｌｏｎｄｏｎ． ＤＯＩ １０．１００７／ｓ１１７６０−０１２−０３５６−７を参照されたい。その内容全体は、引用により組み込まれている。
【００６４】
半古典的な信号解析（ＳＣＳＡ（Ｓｅｍｉ−Ｃｌａｓｓｉｃａｌ Ｓｉｇｎａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ））と呼ばれる半古典的ベースの手法が、信号解析に提案されている。Ｂ． Ｈｅｌｆｆｅｒ ａｎｄ Ｔ．Ｍ． Ｌａｌｅｇ−Ｋｉｒａｔｉ， Ｏｎ ｓｅｍｉ−ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏ ｓｉｇｎａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ． Ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ Ａｎａｌｙｓｉｓ Ｊｏｕｒｎａｌ． ｖｏｌｕｍｅ ７５， Ｎｕｍｂｅｒ ３−４， （２０１１）， １２５−１４４， 及び Ｔ．Ｍ． Ｌａｌｅｇ−Ｋｉｒａｔｉ， Ｅ． Ｃｒｅｐｅａｕ ａｎｄ Ｍ． Ｓｏｒｉｎｅ， Ｓｅｍｉ−ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｓｉｇｎａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ． Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｏｆ Ｃｏｎｔｒｏｌ， Ｓｉｇｎａｌｓ， ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ（ＭＣＳＳ）Ｊｏｕｒｎａｌ． Ｖｏｌｕｍｅ ２５， Ｉｓｓｕｅ １， （２０１３）， ３７−６１を参照されたい。それら各々の内容全体は、引用により組み込まれている。この方法は、画像表現用に二次元に拡張されている。Ｚ． Ｋａｉｓｓｅｒｌｉ， Ｔ．Ｍ． Ｌａｌｅｇ−Ｋｉｒａｔｉ ａｎｄ Ａ． Ｌａｈｍａｒ−Ｂｅｎｂｅｒｎｏｕ Ａ ｎｏｖｅｌ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｉｍａｇｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｕｓｉｎｇ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｏｆ ｔｈｅ Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ ｏｐｅｒａｔｏｒ． Ｓｕｂｍｉｔｔｅｄ， 及び Ｚ． Ｋａｉｓｓｅｒｌｉ ａｎｄ Ｔ．Ｍ． Ｌａｌｅｇ−Ｋｉｒａｔｉ Ｉｍａｇｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ａｎｄ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ｕｓｉｎｇ ｓｑｕａｒｅｄ ｅｉｇｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ ｏｐｅｒａｔｏｒを参照されたい。それら各々の内容全体は、引用により組み込まれている。この手法の主な考えは、画像の行と列ごとの一次元の半古典的シュレーディンガー演算子の離散スペクトルに関連する二乗Ｌ２正規化固有関数のテンソル積により与えられる空間的にシフトされかつ局在化された関数群を用いて画像を分解することにある。Ｄ．Ｅ． Ｄｕｄｇｅｏｎ ａｎｄ Ｇ． Ｌｏｒｅｎｔｚ， Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｖｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ． Ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ ｓｔｕｄｉｅｓ ｉｎ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ， Ｓｐｒｉｎｇｅｆ−Ｖａｒｌａｇ． Ｖｏｌｕｍｅ ３０３． １９９３， 及び Ａ．Ｋ． Ｊａｉｎ， Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｓ ｏｆ ｄｉｇｉｔａｌ ｉｍａｇｅ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ． Ｐｒｅｎｔｉｃｅ−Ｈａｌｌ， （１９８９）を参照されたい。それら各々の内容全体は、引用により組み込まれている。演算子のポテンシャルは、考慮した画像により与えられる。負の固有値と二乗Ｌ２正規化固有関数とからなる離散スペクトルを用いて、画像を分解、再構築、及び解析できることが示されている。また、画像の表現において２Ｄ演算子を２つの１Ｄ演算子に分割することによるテンソル積の使用により、複雑さ及び処理時間において演算を簡素化し、並列演算の使用が可能になる。Ｄ．Ｅ． Ｄｕｄｇｅｏｎ ａｎｄ Ｇ． Ｌｏｒｅｎｔｚ， Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｖｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ． Ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ ｓｔｕｄｉｅｓ ｉｎ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ， Ｓｐｒｉｎｇｅｆ−Ｖａｒｌａｇ． Ｖｏｌｕｍｅ ３０３． １９９３， 及び Ａ．Ｋ． Ｊａｉｎ， Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｓ ｏｆ ｄｉｇｉｔａｌ ｉｍａｇｅ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ． Ｐｒｅｎｔｉｃｅ−Ｈａｌｌ， （１９８９）を参照されたい。それら各々の内容全体は、引用により組み込まれている。
【００６５】
ＳＣＳＡ法は、画像ノイズ除去のために使用することができる。固有値分解にも基づいているＳＶＤ法と比較して、提案されたアルゴリズムは、高ノイズレベルであってもその固有関数の局在特性によりノイズ除去及び画像エッジの保存においてより高い性能を有する。ＳＶＤ法については、Ｍ． Ａｈａｒｏｎ， Ｍ． Ｅｌａｄ， ａｎｄ Ａ． Ｍ． Ｂｒｕｋｓｔｅｉｎ， Ｋ−ＳＶＤ：ａｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ｏｆ ｏｖｅｒｃｏｍｐｌｅｔｅ ｄｉｃｔｉｏｎａｒｉｅｓ ｆｏｒ ｓｐａｒｓｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎ ｏｎ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ． Ｖｏｌｕｍｅ ５４， Ｎｕｍｂｅｒ １１， （２００６）， ４３１１−４３２２， Ｍ． Ｅｌａｄ ａｎｄ Ｍ． Ａｈａｒｏｎ， Ｉｍａｇｅ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ｖｉａ ｓｐａｒｓｅ ａｎｄ ｒｅｄｕｎｄａｎｔ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓ ｏｖｅｒ ｌｅａｒｎｅｄ ｄｉｃｔｉｏｎａｒｉｅｓ． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎ ｏｎ Ｉｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ． Ｖｏｌｕｍｅ ３０３， Ｎｕｍｂｅｒ １２， （２００６）， ３７３６−３７４５， Ｙ． Ｈｅ， Ｔ． Ｇａｎ， Ｗ． Ｃｈｅｎ ａｎｄ Ｈ． Ｗａｎｇ， Ａｄａｐｔｉｖｅ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ｂｙ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ． ＩＥＥＥ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｌｅｔｔｅｒｓ． Ｖｏｌｕｍｅ １８， Ｎｕｍｂｅｒ ４， （２０１１）， ２１５−２１８， 及び Ｌ． Ｚｈａｎｇ， Ｗ． Ｄｏｎｇ， Ｄ． Ｚｈａｎｇ， ａｎｄ Ｇ． Ｓｈｉ， Ｔｗｏ−ｓｔａｇｅ ｉｍａｇｅ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ｂｙ ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ ｗｉｔｈ ｌｏｃａｌ ｐｉｘｅｌ ｇｒｏｕｐｉｎｇ． Ｐａｔｔｅｒｎ Ｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ Ｅｌｓｅｖｉｅｒ． Ｖｏｌｕｍｅ ４３， （２０１０）， １５３１−１５４９を参照されたい。それら各々の内容全体は、引用により組み込まれている。
【００６６】
（画像表現のためのアルゴリズム）
次に、ポテンシャルＶ２に関連する２Ｄ半古典的シュレーディンガー演算子：
【数７２】
2017517723.tif 000074
ここで、
【数７３】
2017517723.tif 000075
は、２Ｄラプラシアン演算子であり、
【数７４】
2017517723.tif 000076
は、半古典的パラメーターであり、Ｖ２は、Ｃ∽（Ω２）に属する正の実数値関数であり、ここで、Ω２＝］ａ，ｂ［×］ｃ，ｄ［は、
【数７５】
2017517723.tif 000077
の有界開集合である。
【００６７】
シュレーディンガー演算子の半古典的特性、及び１Ｄ ＳＣＳＡ数式から想起すると、２Ｄの場合におけるＳＣＳＡ数式の拡張は、以下の定理により与えられる。
【００６８】
Ｖ２を、シュレーディンガー演算子（２６）のポテンシャルと見なすΩ２上の正の実数値Ｃ∞関数とする。次いで、Λ２⊂Ω２がコンパクトであり、かつ、
【数７６】
2017517723.tif 000078
であり、かつ、（ｘ，ｙ）∈Λ２に対して均一であるような任意のペア（Λ２，λ）について、
【数７７】
2017517723.tif 000079
を有し、ここで、
【数７８】
2017517723.tif 000080
は、
【数７９】
2017517723.tif 000081
により与えられる適切な普遍的な半古典的定数であり：
Γは、標準的なガンマ関数を指す。
【００６９】
さらに、
【数８０】
2017517723.tif 000082
は、
【数８１】
2017517723.tif 000083
による負の固有値を示し、
【数８２】
2017517723.tif 000084
は、λよりも小さい負の固有値の有限数であり、
【数８３】
2017517723.tif 000085
となるような演算子Ｈｈ（Ｖ２）の関連するＬ２正規化固有関数である。
【００７０】
定理の証明は、Ｂ． Ｈｅｌｆｆｅｒ及びＴ．Ｍ． Ｌａｌｅｇ−Ｋｉｒａｔｉらの文献「信号解析に関する半古典的問題（Ｏｎ ｓｅｍｉ−ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏ ｓｉｇｎａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ）」において、Ｈｅｌｆｆｅｒ及びＬａｌｅｇにより提案された定理４．１の一般化を用いて得られる。Ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ Ａｎａｌｙｓｉｓ Ｊｏｕｒｎａｌ． Ｖｏｌｕｍｅ ７５， Ｎｕｍｂｅｒ ３−４， （２０１１）， １２５−１４４を参照されたい。その内容全体は、引用により組み込まれている。Ｈｅｌｆｆｅｒ及びＬａｌｅｇは、スペクトル関数上でＫａｒａｄｚｈｏｖの定理の拡張を使用する（Ｇ． Ｅ． Ｋａｒａｄｚｈｏｖ， Ｓｅｍｉ−ｃｌａｓｓｉｃａｌ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｏｆ ｓｐｅｃｔｒａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｓｏｍｅ Ｓｃｈｒ¨ｏｄｉｎｇｅｒ ｏｐｅｒａｔｏｒ． Ｍａｔｈ． Ｎａｃｈｒ． Ｖｏｌｕｍｅ １２８， （１９８６）， １０３−１１４を参照されたい。その内容全体は、引用により組み込まれている）。Ｒｉｅｓｚ平均とＬｅｉｂ−Ｔｈｉｒｒｉｎｇの予想との結び付きは、その内容全体が引用によって組み込まれている、「Ｌｉｅｂ−Ｔｈｉｒｒｉｎｇの予想Ｉと結びつけられた有界状態と半古典的極限のＲｉｅｓｚ平均（Ｒｉｅｓｚ ｍｅａｎｓ ｏｆ ｂｏｕｎｄ ｓｔａｔｅｓ ａｎｄ ｓｅｍｉｃｌａｓｓｉｃａｌ ｌｉｍｉｔ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｗｉｔｈ ａ Ｌｉｅｂ−Ｔｈｉｒｒｉｎｇ’ｓ ｃｏｎｊｅｃｔｕｒｅ Ｉ）」(Ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ Ａｎａｌｙｓｉｓ Ｊｏｕｒｎａｌ， Ｖｏｌｕｍｅ ３， （１９９０）， ９１−１０３）において、Ｈｅｌｆｆｅｒ及びＬａｌｅｇにより提案されている。
【００７１】
（定理５．１）
Ｉを正方行列
【数８４】
2017517723.tif 000086
の空間上の画像とする。固有値問題（３０）の離散化は、行列の以下の固有値問題により与えられる、
【数８５】
2017517723.tif 000087
ここで、
【数８６】
2017517723.tif 000088
による
【数８７】
2017517723.tif 000089
の
【数８８】
2017517723.tif 000090
は、
【数８９】
2017517723.tif 000091
による負の固有値と、２Ｄの離散化された半古典的シュレーディンガー演算子Ｈｈのそれぞれの関連ｌ２正規化固有ベクトルを指し、ｉ，ｊ＝１，・・・，Ｎは、それぞれ、行列のｉ番目の行及びｊ番目の列を指す。
【００７２】
２Ｄ固有値問題（３１）を解くため、アイデアは、１Ｄの固有値問題を解くこと、及び画像処理でしばしば行われるように、テンソル積を用いて結果を組み合わせることとから構成される。例えば、Ｍ．Ｎ． Ｄｏ ａｎｄ Ｍ． Ｖｅｔｔｅｒｌｉ， ｆｉｎｉｔｅ ｒｉｄｇｅｌｅｔ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｆｏｒ ｉｍａｇｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ． ＩＥＥＥ ｔｒａｎｓ． Ｉｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ， ｖｏｌ． １２， Ｎｏ． １， （Ｊａｎｕａｒｙ ２００３）， １６−２８， 及び Ｓ． Ｍａｌｌａｔ， Ａ ｗａｖｅｌｅｔ ｔｏｕｒ ｏｆ ｓｉｇｎａｌ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ：ｓｐａｒｓｅ ｗａｙ． Ｔｈｉｒｄ Ｅｄｉｔｉｏｎ， Ｅｌｓｅｖｉｅｒ， ２００９を参照されたい。それら各々の内容全体は、引用により組み込まれている。これは、この問題を行ごと及び列ごとに解くことができることを意味し、これにより、複雑さ及び演算時間の観点から演算を簡素化し、並列演算を使用することができる。
【００７３】
離散の場合において、１Ｄ演算子の分離された行及び列は、以下によってそれぞれ与えられ得る：
【数９０】
2017517723.tif 000092
ここで、Ｄ２は、フーリエ疑似スペクトル法を用いて得られた二階微分行列であり、
【数９１】
2017517723.tif 000093
は、それぞれ、１Ｄ信号、行及び列信号の対角行列である。
【００７４】
関連スペクトル問題は、以下によって与えられ得る：
【数９２】
2017517723.tif 000094
特に、ピクセル［ｉ、ｊ］について、固有値問題（３４）（ｒｅｓｐ．（３５））を解いた後、
【数９３】
2017517723.tif 000095
についての全ての負の固有値とｊ番目（ｒｅｓｐ．ｉ番目）の関連ｌ２正規化固有ベクトル
【数９４】
2017517723.tif 000096
とが取られる。従って、
【数９５】
2017517723.tif 000097
【００７５】
次いで、定理５．１に基づいて、画像の再構築は、画像処理の場合にはよくあることだが、ピクセルごとに以下のように行うことができる。
【００７６】
定義６．１
【数９６】
2017517723.tif 000098
を正の実数値正方行列とする。次いで、ＩのＳＣＳＡ法による近似は、以下の数式により定義される：∀（ｉ，ｊ）∈｛１，２，…，Ｎ｝２、
【数９７】
2017517723.tif 000099
ここで、（３２）により与えられる適切な普遍半古典的シュレーディンガー演算子として知られる
【数９８】
2017517723.tif 000100
は、普遍的な半古典的定数である。
【００７７】
さらに、
【数９９】
2017517723.tif 000101
は、
【数１００】
2017517723.tif 000102
による、（３２）（ｒｅｓｐ．（３３））により与えられた一次元半古典的シュレーディンガー演算子の負の固有値であり、
【数１０１】
2017517723.tif 000103
は、λよりも小さい負の固有値の数であり、
【数１０２】
2017517723.tif 000104
は、
【数１０３】
2017517723.tif 000105
となるような関連Ｌ２正規化固有ベクトルである。
【００７８】
Ｚ．Ｋａｉｓｓｅｒｌｉ， Ｔ．Ｍ．らで行われたいくつかの数値的検証に沿って、定理５．１は、画像の表現におけるパラメーターｈの重要性を示す。実際に、ｈが減少すると、負の固有値の数であるＮｈλ×Ｍｈλは増加する。しかしながら、実際には、より少ない数の固有値（すなわち；ｈが十分に大きい）で良好な結果が得られることが分かっており、これは、固有関数の局在化特性及びそれらの関数が含む関連情報によってもたらされる。事実、第１の固有関数は、画像における最大ピークと、最大ピークに続く２本のピークの２番目のピークとの良好な局在化をもたらした後、最後の固有関数にはいくつかの振動が存在することで、画像の詳細を表現することができる。この特性は、画像ノイズ除去のためにこの方法を使用する動機付けとなる。実際、アイデアは、ノイズの多い画像に属する最も重要な固有関数（これは、第１の固有関数により与えられ、ノイズを表す固有関数は破棄する）を保持することにある。画像における重要な詳細の無視につながる和（数式（２８））を単純に切り捨てる代わりに、振動の数を、半古典的パラメーターｈの値を増加させることで減らすことができる。これは、このタスクを達成するためにパラメーターｈを効率的に選択する必要があることを暗示する。ｈの適当な値を見つける１つの方法は、推定誤差のノルムとノイズ除去信号のノルムにより与えられる平滑項とからなる適当なコスト関数を最小にすることである。
【００７９】
この方法に依存する設計パラメーターにおいて、パラメーターλは、再構築される信号の一部についての情報を与えることが分かっており、単純化のために、以下ではλをゼロに設定する。対照的に、パラメーターλは、所与の少ない数の負の固有値について画像の近似を改善することができ、ここでは、γ＝４とした。
【００８０】
（２Ｄ二乗Ｌ２正規化固有関数に基づく画像のノイズ除去）
提案された方法は、負の固有値と、半古典的シュレーディンガー演算子の関連二乗Ｌ２正規化固有関数のみを使用し、ここで、ノイズの多い画像は、この演算子のポテンシャルと見なす。ノイズの多い画像にのみ依存するこの量は、画像自体に必ずしも依存するとは限らないいくつかの量を使用する既存の方法とは異なり、性能改善の理由を説明する２つの主要な特徴を表す。
【００８１】
このセクションでは、数値例は、提案された方法の効率性及び安定性を示す。ピーク信号対ノイズ比（ＰＳＮＲ）、構造類似性指数（ＳＳＩＭ）、及び平均構造的類似性指数（ＭＳＳＩＭ）を客観的指標として採用し、ノイズ除去画像の画質を評価する。Ｚ． Ｗａｎｇ， Ａ．Ｃ． Ｂｏｖｉｋ， Ｈ．Ｒ． Ｓｈｅｉｋｈ， ａｎｄ Ｅ．Ｐ． Ｓｉｍｏｎｃｅｌｌｉ， Ｉｍａｇｅ ｑｕａｌｉｔｙ ａｓｓｅｓｓｍｅｎｔ：ｆｒｏｍ ｅｒｒｏｒ ｖｉｓｉｂｉｌｉｔｙ ｔｏ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎ ｏｎ Ｉｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ． Ｖｏｌｕｍｅ ４， Ｎｕｍｂｅｒ １３， （２００４）， １−１４を参照されたい。その内容全体は、引用により組み込まれている。画像には、ゼロ平均及び異なるレベルの標準偏差σ（異なる値のＳＮＲ）を有する付加ガウス型白色ノイズを施す。
【００８２】
提案されたアルゴリズムは、以下のように記載することができる：
アルゴリズム１：画像ノイズ除去のためのアルゴリズム
インプット：ノイズを除去する画像
アウトプット：ノイズ除去画像
ステップ１：ｈ、λ、及びγを初期化する。
ステップ２：１Ｄのラプラス演算子Ｄ２を離散化する。
ステップ３：（ｉ；ｊ＝、…、Ｎそれぞれの全ての行ｉ及び列ｊについて）１Ｄの固有値問題（３４）及び（３５）を解く。
ステップ４：数式（３８）を用いて画像を再構築する。
ステップ５：停止規準をチェックし、
−満たす場合には、終了
−そうでない場合には、ｈを更新し、ステップ３に行く。
【００８３】
図７は、レナの元の画像とノイズの多い画像をそれぞれ示す。標準偏差σは、７５と等しく、対応するＳＮＲは、１１．２ｄＢである。図８Ｂは、１．６５と等しい最良値のｈを用いたレナの画像のノイズ除去を示す。しかしながら、最良値よりも小さいｈの値を使用することは、ノイズを完全にフィルターしないが、ノイズの多い画像（図８Ａを参照）を再構築するのに役立ち、より大きな値のｈでは、重要な固有関数が図８Ｃに示すように正確ではないため、画像の関連情報が失われる。
【００８４】
レナの元の画像、ノイズの多い画像（σ＝７５）、及びノイズ除去した画像のヒストグラムを図９にそれぞれ示す。ノイズの多い画像のヒストグラムを表す図９Ｂは、ガウス関数の形状を有する。ノイズ除去プロセス（図９Ｃ）中にＳＣＳＡ法を用いることで、元の画像（図９Ａ）の形状が、高レベルのノイズでも得られる。
【００８５】
次に、ノイズの多い場合について提案された方法をＳＶＤ法と比較する（Ｍ． Ａｈａｒｏｎ， Ｍ． Ｅｌａｄ， ａｎｄ Ａ． Ｍ． Ｂｒｕｋｓｔｅｉｎ， Ｋ−ＳＶＤ：ａｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ｏｆ ｏｖｅｒｃｏｍｐｌｅｔｅ ｄｉｃｔｉｏｎａｒｉｅｓ ｆｏｒ ｓｐａｒｓｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎ ｏｎ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ． Ｖｏｌｕｍｅ ５４， Ｎｕｍｂｅｒ １１， （２００６）， ４３１１−４３２２， 及び Ｌ． Ｚｈａｎｇ， Ｗ． Ｄｏｎｇ， Ｄ． Ｚｈａｎｇ， ａｎｄ Ｇ． Ｓｈｉ， Ｔｗｏ−ｓｔａｇｅ ｉｍａｇｅ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ｂｙ ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ ｗｉｔｈ ｌｏｃａｌ ｐｉｘｅｌ ｇｒｏｕｐｉｎｇ． Ｐａｔｔｅｒｎ Ｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ Ｅｌｓｅｖｉｅｒ． Ｖｏｌｕｍｅ ４３， （２０１０）， １５３１−１５４９を参照されたい。それら各々の内容全体は、引用により組み込まれている）。ＳＶＤ法は最も使用される方法の１つであり、かつ、画像に依存する固有値分解にも基づいているため、選択肢はＳＶＤ法に集中した。ゼロ平均及び異なるレベルの標準偏差σ＝｛１０、２０、２５、３０、４０、５０、１００｝をそれぞれ有するガウス型白色ノイズを、レナの元の画像に加えた。空間の制限により、表１は、これら２つのアルゴリズムのＰＳＮＲ及びＭＳＳＩＭ結果を示す。提案された方法を用いたノイズ除去がＳＶＤ法よりも良いことは明らかである。特に、高ノイズレベルでは、提案された方法は、画像がいくつかのテクスチャを有し、より良い視覚品質を提供する場合であっても、最良の結果をもたらす。画像のエッジ及びテクスチャは、それらがぼやけたり又は失われるＳＶＤ法と異なり、提案された方法でより良く保存される（図１０を参照）。この第１の結果により、提案された方法が付加ガウス型ノイズに対して堅牢であることが確認される。
【００８６】
表１．Ｋ−ＳＶＤ及び提案された方法による異なるノイズレベルでのノイズ除去画像のＰＳＮＲ（ｄＢ）及びＳＳＩＭ結果
【表１】
2017517723.tif 000106
【００８７】
（実施例３）
（半古典的信号解析手法を用いた磁気共鳴分光法によるデータのノイズ除去：インビトロＭＲＳデータへの適用）
ＳＣＳＡ法は、代謝物ピーク情報を保存しながらノイズを著しく減らすことができる。これにより、感度の低いＭＲＳデータで、特に、インビボでの組織代謝の研究においてＳＣＳＡを使用することができる。これは、内部標準を用いたインビトロデータとインビボデータの完全な研究によって実証することができる。
【００８８】
局在化磁気共鳴分光法（ＭＲＳ）は、インビボの組織の代謝を研究し、かつ、いくつかの診断法及び治療臨床応用に有用な情報を提供するのに用いられる有力な技術である。Ｍａｒｔｉｎｅｚ−Ｂｉｓｂａｌ ＭＣらの文献、Ｑ Ｊ Ｎｕｃｌ Ｍｅｄ Ｍｏｌ Ｉｍａｇｉｎｇ． ２００９； ５３（６）：６１８−３０を参照されたい。その内容全体は、引用により組み込まれている。しかしながら、代謝物情報の精度は、取得したＭＲＳデータの低い信号対ノイズ比（ＳＮＲ）により疑わしい。ＳＮＲを保存するために信号加算平均が必要であり、これは、データの取得時刻を長くする。収集したデータを正確に解析しながら取得時刻を短くするため、半古典的信号解析（ＳＣＳＡ）方法を使用することができる。Ｌａｌｅｇ−Ｋｉｒａｔｉ ＴＭらの文献、Ｓｅｍｉ−ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｓｉｇｎａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ， Ｍａｔｈ． Ｃｏｎｔ． Ｓｉｇｎ． Ｓｙｓｔ． ２０１３； ２５（１）：３７−６１を参照されたい。その内容全体は、引用により組み込まれている。この方法は、シュレーディンガー演算子を用いて、ＭＲＳ信号の最も重要な固有関数及び固有値を抽出し、それらを使用して、ノイズ除去されたＭＲＳ信号を再構築する。得られた結果は、感度の低いインビトロＭＲＳデータから代謝物ピーク情報を正確に推定することにおけるこの技術の有用性を示している。
【００８９】
（材料及び方法）
インビトロ実験は、３Ｔ（Ｔｉｍ Ｔｒｉｏ Ｓｉｅｍｅｎｓ）で行う。局所水を抑制したスペクトルは、塩化コリン（Ｃｈ）及びＮ−アセチル−Ｌ−アスパラギン酸（ＮＡＡ）を各々１０ｍＭの既知の濃度で含有するファントムから、ＰＲＥＳＳシーケンス（ＴＥ／ＴＲ＝３０／２０００ｍｓ、ボクセルサイズ＝１０×１０×２０ｍｍ３）を用いて取得する。２〜３２の範囲の平均値をもつ７本のＭＲスペクトルをＳＣＳＡ法を用いて解析し、ここで、ｙで示される信号は、半古典的シュレーディンガー演算子のポテンシャルと見なす。負の固有値からなる離散スペクトルを演算して、以下のような信号を再構築するために使用する：
【数１０４】
2017517723.tif 000107
は、
【数１０５】
2017517723.tif 000108
となるように、それぞれ、シュレーディンガー演算子の負の固有値及び対応するＬ２−正規化固有関数である。
【００９０】
パラメーターｈは、ＳＣＳＡで重要な役割を果たす。ｈが減少すると、近似は改善する。しかしながら、ノイズ除去プロセスでは、信号に属する固有関数を保持し、ノイズを表す固有関数を破棄することが推奨される。これは、パラメーターｈの効率的な選択により達成され、これは、以下のコスト関数を最小化することでなされる：
【数１０６】
2017517723.tif 000109
、ここで、（ｍ１：ｍ２）及びＩは、それぞれ、ノイズ領域及び信号領域である。量である
【数１０７】
2017517723.tif 000110
を用いて、ＳＮＲを演算する。∝は、重み関数である。
【００９１】
（結果／考察）
図１１は、ノイズの多いインビトロスペクトル（青色）及び再構築されたＳＣＳＡスペクトル（赤色）を示す。コリン及びＮＡＡ領域のズームを図１２に示し、スペクトルの差は緑色で示す。
【００９２】
ＭＲＳデータの著しいＳＮＲ増加は、ＳＣＳＡ法を用いて得られる（図１１、１２）。７本のスペクトル（表２）からの代謝物ピークの定量化の結果により、ＳＣＳＡは、異なる感度レベル（表３）でデータを正確に解析することができることが示される。定量化は、インハウスＭＡＴＬＡＢプログラムを用いて行う。表３は、スペクトルごとのＳＮＲ増加の量、及び信号とノイズの固有関数間で分離するのに用いた対応するｈ値を報告する。
【００９３】
参照として水の線を用いた予備の絶対定量化結果（不図示）（Ｓｅｒｒａｉ Ｈ． ｅｔ ａｌ， Ｊ． Ｍａｇｎ． Ｒｅｓｏｎ． ２００１； １４９（１）：４５−５１を参照されたい。その内容全体は、引用により組み込まれている）は、ＳＣＳＡ前よりもＳＣＳＡ後に代謝物双方についてより良好である。
【００９４】
表２：ＳＣＳＡ前及びＳＣＳＡ後（太字）の定量化結果。算出したコリン及びＮＡＡピーク面積は、任意値（ａ．ｕ）である。
【表２】
2017517723.tif 000111
【００９５】
表３：ＳＣＳＡ前及びＳＣＳＡ後のＳＮＲ値（ａ．ｕ）及び対応するｈ値。スペクトル数及び平均値。
【表３】
2017517723.tif 000112
【００９６】
（高パフォーマンス実装）
上述のＳＣＳＡ画像ノイズ除去アルゴリズムは、２つのステージの演算、すなわち、画像表現及びピクセル再構築を特徴とする。第１ステージでは、画像の各列及び各行を、負の固有値及びそれらの対応する固有ベクトルを抽出することを介して解析する。第２ステージでは、各ピクセルを、その関連する行及び列の固有値及びそれらの対応する固有ベクトル成分を利用する一連のＢＬＡＳ［７］作業で再構築する。アルゴリズム１は、ＳＣＳＡ画像ノイズ除去疑似コードを示す。
【００９７】
アルゴリズム２  ＳＣＳＡ。Ｉは、画像を表すｎ×ｎ行列である。
１：δ行列Ｄ２を構築する
／／画像表現
｛ピクセルの各行ｒｉ／各列ｃｉについて：｝
２：ｆｏｒ  Ｉ＝０〜ｎ−１  ｄｏ
３：Ｓｒ＝−ｈ２＊Ｄ２−ｄｉａｇ（ｒｉ）
４：Ｓｒ／Ｓｃの固有解析を行い、負の固有値Ｋｘ／Ｋｙ及び対応するＬ２正規化固有ベクトルＰｘ／Ｐｙを抽出する
５：ｅｎｄ  ｆｏｒ
／／画像再構築
｛各ピクセルｐｉｊについて：｝
６：ｆｏｒ  ｉ＝０〜ｎ−１  ｄｏ
７：ｆｏｒ  ｊ＝０〜ｎ−１  ｄｏ
８：Ｋ＝ｒｅｐｍａｔ（Ｋｘ（ｉ），ｓｉｚｅ（Ｋｙ（ｊ）））＋ｒｅｐｍａｔ（Ｋｙ（ｊ），ｓｉｚｅ（Ｋｘ（ｉ）））
９：ｖ＝ＧＥＭＶ（Ｋ、Ｐｙ（ｊ、ｉ））
１０：ｐｉｊ＝ＤＯＴ（Ｐｘ（ｉ、ｊ），ｖ）
１１：ｅｎｄ  ｆｏｒ
１２：ｅｎｄ  ｆｏｒ
【００９８】
ＳＣＳＡ画像ノイズ除去アルゴリズムの３つの高性能な増分実装：１）、後続の実装の性能ベースラインとして使用されるＭＡＴＬＡＢ実装；２）行列演算、すなわち、固有分解、行列ベクトル、及びドット積を行うインテル・マルチスレッド化・マス・カーネル・ライブラリーを使用することができるＣ＋＋シーケンシャル実装；及び３）リソース占有率を最大にするため、例えば、ＯｐｅｎＭＰプログラミングモデルに基づく第２レベルの並列処理による事前実装が提供される。例示的アルゴリズムは、並列であってもよく、ここで、画像の各行及び各列の処理は独立しているため、ＯｐｅｎＭＰコンストラクトを用いて同時に行ってもよい。各スレッドは、ＭＫＬからのＬＡＰＡＣＫルーチンを用いて、一度に１つのピクセル行の固有分解を実行することができる。ピクセルの行は、周期的にスレッド間で分散してもよい。ＯｐｅｎＭＰバリアを用いて、画像再構築ステージを開始する前に行計算を確実に行うことができる。この後の手順は、ピクセル列にも適用することができる。データ管理は、例えば、画像表現中には慎重に取り扱う必要があり、ここで、生成された中間データは、立方体状に問題のサイズに成長させることができる。例示的アルゴリズムは、データ局所性を高めながら、メモリーフットプリントを最小にするように再設計することができ、これは、計算カーネルのメモリー束縛の性質を考えると群を抜いて優れている。所与のバッチのピクセル行及び列が画像表現中に処理されるとすぐに、新規のアルゴリズムは、対応するバッチの画像再構築を進行し、新たに計算された負の固有スペクトルを含むバッファーを再利用する。これらの中間バッファーは、後続のバッチ用に再初期化し、メモリースペースを節約することで、アルゴリズムスケーラビリティを保証することができる。
【００９９】
計算は、単精度浮動小数点演算で行ってもよい。実装は、例えば、デュアルソケットＩｎｔｅｌ（Ｒ）Ｘｅｏｎ（Ｒ）ＣＰＵ  Ｅ５−２６８０（１０個のコアを有し、各々は２．８０ＧＨｚで動作し、トータルで１２８ＧＢのメインメモリーを有する）上で行うことができる。図１３は、ＭＫＬ実装に対するＯｐｅｎＭＰ  ＳＣＳＡ画像ノイズ除去アルゴリズムの並列性能及びＭＡＴＬＡＢコード並びにそのプロファイルを示す。特に、図１３（ａ）は、ＭＫＬ及び最適化ＭＡＴＬＡＢコードに対する最適化ＯｐｅｎＭＰ並列コードの性能高速化を示す。性能におけるそのようなブーストは、アルゴリズムの並列性質と、利用可能なハードウェアリソースを十分に利用しながらデータ局所性の利点を取る能力とによるものであり得る。図１３（ｂ）は、演算ステージの時間の内訳を示す。加速実装は、寸法が最大５１２×５１２ピクセルの範囲の画像について性能がピークになり、その後、高速化は、積極的なメモリー利用とバスバンド幅飽和により衰え始めることがある。固有分解は、大きな画像サイズについてのボトルネックを示し得るが、２ステージの固有ソルバーを用いてさらに最適化することができる。時間の一部は、図１３（ｂ）の右側のバーに示すように、データの操作（行列複製及び行列を整数乗に累乗）に費やされる。これは、例えば、このプロセスを簡素化することができる専用ＧＰＵカーネルを追加することで緩和することができる。スケーリングを維持するため、アルゴリズムは、例えば、利用可能な処理部のうちで異なるカーネルをスケジュールするためにタスク−ベースプログラミングモデルを利用することで、例えば、適正なロード・バランシング、データ局所性、及び演算ステージにわたるパイプライニングを保証する動的ランタイムシステムを使用することで拡張することができる。
【０１００】
（参考文献）
以下の参考文献の各々の内容全体は、引用により本明細書に組み込まれている。
【化１】
2017517723.tif 000113
2017517723.tif 000114
2017517723.tif 000115
【０１０１】
本明細書で開示され、特許請求される方法の全ては、本開示に鑑みて、過度の実験なくして作製され得、かつ行われ得る。本発明の装置及び方法は、好ましい実施態様の観点から記載されてきたが、バリエーションが、上記方法に、及び本明細書に記載される方法のステップ又は連続するステップにおいて、本発明の概念、趣旨及び範囲から逸脱することなく適用され得ることは、当業者に明らかである。加えて、上述のことから、本発明は、前述の全ての目標及び目的を、他の利点とともに達成するのに上手く適合していることが分かるであろう。特定の特徴及びサブコンビネーションは有用であり、他の特徴及びサブコンビネーションを参照することなく使用できることが理解されるであろう。これは、特許請求の範囲によって想定され、かつその範囲にある。当業者に明らかな全てのこのような類似の置換物及び改変は、添付の特許請求の範囲によって規定される、本発明の精神及び範囲内にあるとみなされる。
【図１（ａ）】
2017517723.tif 000116
【図１（ｂ）】
2017517723.tif 000117
【図１（ｃ）】
2017517723.tif 000118
【図１（ｄ）】
2017517723.tif 000119
【図２（ａ）】
2017517723.tif 000120
【図２（ｂ）】
2017517723.tif 000121
【図２（ｃ）】
2017517723.tif 000122
【図３（ａ）】
2017517723.tif 000123
【図３（ｂ）】
2017517723.tif 000124
【図３（ｃ）】
2017517723.tif 000125
【図４】
2017517723.tif 000126
【図５（ａ）】
2017517723.tif 000127
【図５（ｂ）】
2017517723.tif 000128
【図５（ｃ）】
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【図５（ｄ）】
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【図５（ｅ）】
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【図５（ｆ）】
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【図６】
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【図７（ａ）】
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【図７（ｂ）】
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【図８（ａ）】
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【図８（ｂ）】
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【図８（ｃ）】
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【図９（ａ）】
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【図９（ｂ）】
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【図９（ｃ）】
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【図１０（ａ）】
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【図１０（ｂ）】
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【図１０（ｃ）】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【国際調査報告】
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