(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
各々が一連のシンボルに対応する複数の基本キャリアを周波数多重化することに対応していて、デジタル受信機に送信されるように設計されており、各シンボルがシンボル時間τ0の間キャリアに割り付けられており、かつ２つの隣り合うキャリア間の間隔がν0に等しいマルチキャリア信号の送信方法であって、
時間−周波数５点形格子の形で前記マルチキャリア信号を構築するステップ（９２）を備えており、
前記時間−周波数５点形格子において、
前記シンボル時間τ0が、２つの隣り合うキャリア間の前記間隔ν0の逆数の１／４に等しく、
同一のキャリアで送信される２つの連続シンボルが、前記シンボル時間τ0の２倍だけ離れており、
隣接するキャリアで送信される前記シンボルが、前記シンボル時間τ0だけオフセットされている
ことを特徴とするマルチキャリア信号の送信方法。
【請求項２】
前記送信方法が、送信すべきデジタル信号のチャネル符号化（９２）を行い、所定のアルファベットから選択された実数のデジタル係数ａm,nを引き渡すステップを備えており、
前記構築するステップ（９４）が、以下の式
0004042161.tif 000238
を満たし、この式において、
ｓ（ｔ）は、構築された信号であり、
ｍは周波数の次元を示す整数であり、
ｎは時間の次元を示す整数であり、
ｔは時間を示しており、
ｘm,n（ｔ）は実数又は複素数をとる同一の偶数パリティのプロトタイプ関数ｘ（ｔ）の時間−周波数空間に変換された基本関数、即ち、
0004042161.tif 000239
であり、ここで、φは任意の位相パラメータであり、前記基本関数｛ｘm,n｝は相互に直交しており、２つの異なる基本関数のスカラ積の実数部分はゼロであり、
前記送信方法が、その複素包絡として前記信号ｓ（ｔ）を有する信号を少なくとも１つの受信機へ送信するステップ（９１１）をさらに備えたことを特徴とする請求項１に記載の送信方法。
【請求項３】
前記プロトタイプ関数ｘ（ｔ）が、参照プロトタイプ関数を時間−周波数平面内で４５°回転したものに対応していることを特徴とする請求項２に記載の送信方法。
【請求項４】
前記プロトタイプ関数ｘ（ｔ）が、参照プロトタイプ関数に対して、フーリエ変換の平方根に対応する演算子を適用することによって得られることを特徴とする請求項３に記載の送信方法。
【請求項５】
前記プロトタイプ関数ｘ（ｔ）が、そのフーリエ変換と同一の関数であることを特徴とする請求項３又は４に記載の送信方法。
【請求項６】
前記プロトタイプ関数ｘ（ｔ）が、プロトタイプ関数
0004042161.tif 000240
即ち、
0004042161.tif 000241
であり、ここで、ｍは０から２Ｍ−１までの値をとり、ｎは０から２Ｎ−１までの値をとり、ｐは０から２ＭＮ−１までの値をとることを特徴とする請求項５に記載の送信方法。
【請求項７】
送信すべき前記デジタル信号を形成するバイナリ要素に又はデジタル係数ａm,nについて周波数及び／又は時間インターリーブするステップ（９３）をさらに備えたことを特徴とする請求項１から６のいずれか１項に記載の送信方法。
【請求項８】
各々が一連のシンボルに対応する複数の基本キャリアを周波数多重化することに対応していて、デジタル受信機に送信されるように設計されており、各シンボルがシンボル時間τ0の間キャリアに割り付けられており、かつ２つの隣り合うキャリア間の間隔がν0に等しいマルチキャリア信号の受信方法であって、
用いられる時間−周波数格子が、
前記シンボル時間τ0が、２つの隣り合うキャリア間の前記間隔ν0の逆数の１／４に等しく、
同一のキャリアで送信される２つの連続シンボルが、前記シンボル時間τ0の２倍だけ離れており、
隣接するキャリアで送信される前記シンボルが、前記シンボル時５点形格子であるマルチキャリア信号の受信方法であって、
送信側における前記信号ｓ（ｔ）に対応する信号ｒ（ｔ）をその複素包絡として有する信号を受信するステップと、
位相応答θm,nの推定及び振幅応答ρm,nの推定を含む、伝送チャネルの応答を推定するステップ（１０６）と、
前記信号ｒ（ｔ）を復調するべく以下の段階：
前記信号ｒ（ｔ）にプロトタイプ関数ｘ（ｔ）を乗算する段階（１１５）；
モジュロ２τ0のフィルタした波形をエィリアシングする段階（１１３）；
フーリエ変換（ＦＦＴ）を適用する段階（１１４）；
ｍ＋ｎが偶数パリティ値であるサンプルを選択する段階；
伝送チャネルによって生じる位相θm,nを修正する段階（１１５）；
0004042161.tif 000242
に対応する位相を修正する段階（１１７）；及び
伝送チャネルの振幅応答ρm,nによって重み付けされ、送信された係数ａm,nに対応して得られた係数
0004042161.tif 000243
の実数部分を選択する段階（１１８）
を含むステップと
を備えたことを特徴とするマルチキャリア信号の受信方法。
【請求項９】
前記実数のデジタル係数
0004042161.tif 000244
の周波数及び／又は時間のデインターリーブであって、伝送時に行なわれたインターリーブと対称であるデインターリーブを行うステップ（１０８）と、
伝送時に行なわれたチャネル符号化に適合した重み付け決定復号を行うステップ（１０９）と
のうちの少なくとも１つをさらに備えたことを特徴とする請求項８に記載の受信方法。
【請求項１０】
前記周波数及び／又は時間のデインターリーブ（１０８）を行うステップが、前記実数のデジタル係数
0004042161.tif 000245
及びチャネルの振幅応答の対応する値ρm,nのデインターリーブ（１０８）を実行するものであることを特徴とする請求項９に記載の受信方法。
【発明の詳細な説明】
１．発明の分野
１．１  一般的な分野
本発明の分野は、特に移動受信機により受信できるように設計されたデジタルデータ、即ちアナログ標本化データの伝送又は放送の分野である。より詳細には、本発明は新しい形式の変調手段により形成された信号、及びそれに対応した変調及び復調の技術に関する。
長い間、移動体に向けて送信するチャネルのように、高度に非定常的なチャネルに適応した変調方式を構築することが求められていた。このようなチャネルでは、送出された信号はフェージング及びマルチパスの現象の影響を受ける。欧州プロジェクトのユーレカ（ＥＵＲＥＫＡ）１４７（ＤＡＢ：デジタルオーディオ放送）のフレームワーク内のＣＣＥＴＴにより行われた研究により、このタイプのチャネルに対するマルチキャリア変調及び特にＯＦＤＭ（直交周波数分割多重化）の価値が示されている。
ＯＦＤＭはＤＡＢ標準の基準として欧州プロジェクトのフレームワーク内で選択されている。この技術はさらにデジタルビデオ放送（ＤＶＢ）のための変調技術として選択可能である。しかし、例えばデジタルテレビジョンへの応用に必要な変調のようにスペクトル効率を高くして符号化した変調の問題を扱う場合に数種の制限（後述する）があることが知られている。
１．２  可能な応用分野
本発明は多くの分野、特に高いスペクトル効率が要求される時、及びチャネルが高度に非定常的である時に適用できる。
適用の第１のカデゴリは、画像、音声及び／又はデータのいずれであろうが地上デジタル無線放送に関している。特に、本発明は本質的に長期間のマルチパスを発生する同期放送に適用できる。本発明はさらに、好都合なことに移動体に対する放送にも適用できる。
適用の第２のカテゴリは、デジタル無線通信に関している。本発明は例えばＵＭＴＳのフレームワーク内で、高いビットレートでの移動体とのデジタル通信を行うシステムに特に適用できる。本発明はさらに（ハイパーラン（ＨＩＰＥＲＬＡＮ）タイプの）高いビットレートのローカル無線ネットワークに対しても考えることができる。
適用の第３のカテゴリは、水中伝送への応用である。水中音響内での伝送チャネルは、水中内での音響波の伝送速度が遅いので非常に乱される。これによりマルチパス及びドップラースペクトルの広がりが大きくなる。マルチキャリア変調の技術、及び特に本発明の対象である技術は、この分野に良く適合する。
２．従来の技術
２．１  信号の表示に関する理論的な説明
本発明による信号を示す前に、以下に公知の信号について説明する。この説明は、発明者が定義する、それ自体が新規なマルチキャリア信号に対する一般的なアプローチに基づく。この一般的なアプローチは従来の技術と等価ではなく、当業者にも明らかな方式ではない。それ故、このアプローチは、本発明の一部であると考えるべきであり、従来技術の一部を構成すると考えてはならない。
対象となる信号は実信号（例えば電気的な大きさの）であり、有限のエネルギを有し、時間の関数である。これら信号は、それ故、実関数Ｌ2（Ｒ）で表される。さらに、これらの信号は限定された帯域信号であり、それらのスペクトルは、ｆcが信号の“キャリア周波数”の時、
0004042161.tif 000002
内に含まれている。それ故、分析フィルターをＦAで示すと、等価な方法で次式
0004042161.tif 000003
の複素包絡信号ｓ（ｔ）により実信号ａ（ｔ）を表すことができる。
この信号ｓ（ｔ）は総和可能な自乗関数Ｌ2（Ｒ）を有した複素関数の実数値変数の空間のベクトル部分空間（±Ｗ／２の帯域制限により特徴づけられる）に属している。このベクトル空間は、複素数のフィールドで構成されているか又は実数のフィールドで構成されているかにより２つの異なる方法で定義される。これらの空間のそれぞれに対し、Ｃ又はＲの値が取るスカラ積を関連させ、ヒルベルト空間を構成することができる。Ｈは複素数のフィールドに作られたヒルベルト空間を示し、ＨRは実数のフィールドに作られたヒルベルト空間を示している。
対応するスカラ積は次のように表される：
Ｈの場合：
0004042161.tif 000004
であり、
ＨRの場合：
0004042161.tif 000005
である。
随伴基準は、両方の場合について明らかに同一である：
0004042161.tif 000006
２．２  ＯＦＤＭの一般的な原理
ＯＦＤＭの一般的な原理は、例えば、１９８６年７月２日に出願されたフランス特許第ＦＲ−８６０９６２２号に示されている。この技術の基本的な考えは、時間−周波数平面内にできる限り閉じ込められた基本波の係数として符号化した信号を送信することであり、そのため、伝送チャネルは局所的に定常であると考えられている。このチャネルは従ってライス又はレイリーの法則に従う係数のモジュラスの分散により特徴づけられる簡単なマルチプライアチャネルとなる。
従って、符号によりフェージング現象に対し保護が行われる。この符号は時間及び周波数インターレース（インターリーブ）に関連した重み付け決定モードで使用することができ、これは、符号の最小メッシュ内の一部となる信号がフェージング現象から独立することにより最大限可能な範囲まで影響を受けることを保証する。
この時間−周波数平面内でインターレース（インターリーブ）を用いた符号化技術はＣＯＦＤＭとして知られている。この技術は例えば文献［２２］（付録１を参照（読み易くするため従来技術の参考文献のほとんど付録１内にリストされて。この付録１さらに付録２及び３は、もちろんこの記載の必要不可欠な部分であると考えねばならない））に記載されている。
公知のＯＦＤＭ変調には基本的に２つのタイプがある。文献に用いられている用語はしばしばあいまいである。本明細書では、より正確である新しい名称を取り入れるが、これらは現存の文献におけるものとと関連がないかもしれない。このグループ内の変調のタイプを示すサフィックスのついた総称であるＯＦＤＭを使用する。
２．３  ＯＦＤＭ／ＱＡＭ
２．３．１  理論的な原理
変調の第１のカテゴリは、キャリアで変調されたＱＡＭ（直交振幅変調）キャリア又は２値データ要素という特別の場合におけるＱＰＳＫ（直交位相変調）キャリアの多重から構成される。以下、このシステムをＯＦＤＭ／ＱＡＭと呼ぶ。キャリアは全て同期しており、キャリア周波数はシンボル時間と反対にスペースがあけられている。これらのキャリアのスペクトルは重なり合っているが、システムを同期させることにより、異なるキャリアで送られたシンボルを直交させることができる。
参考文献［１］から［７］はこのテーマに対し利用できる有効なアイデアの文献である。
記載をより簡単にするため、さらに本発明の新規なアプローチに基づき、信号は前述の複素包絡で表される。これらの条件のもとで、ＯＦＤＭ／ＱＡＭの一般式は次のように表すことができる：
0004042161.tif 000007
係数ａm,nは、送られたデータを表す複素数の値を有している。関数ｘm,n（ｔ）は、１つのかつ同一のプロトタイプ関数ｘ（ｔ）の時間−周波数空間に変換される：
0004042161.tif 000008
ここに、φは任意に０に設定できるあらゆる位相である。関数ｘ（ｔ）は中心に集中している（ｃｅｎｔｅｒｅｄ）、即ちその１次モーメントはゼロで：
0004042161.tif 000009
を与える。Ｘ（ｆ）はｘ（ｔ）のフーリエ変換を示している。
これらの条件のもとで、次式が成立する：
0004042161.tif 000010
従って、基本関数の重心は、図１に示すようにベクトル（τ0，０）と（０，ν0）により発生する時間−周波数の平面の格子を形成している。この格子は密度が１、即ちν0τ0＝１である。このテーマに関するより詳細な論述は、文献［９］を参照にされたい。
プロトタイプ関数ｘ（ｔ）は特別な特性を有しており、そこでは関数｛ｘm,n｝は相互に直交しており、より詳細には次式で与えられるＬ2（Ｒ）のヒルベルトの基底を構成している。
0004042161.tif 000011
この基底に信号を投影することは、この信号を期間がτ0のシーケンスに分解し、これらのシーケンスの各々を対応するフーリエ級数展開により表すことと単に等価である。このタイプの分解は、時間情報の全損失を伴う完全な周波数局所化を与える標準フーリエ解析に対立して、時間及び周波数の両方で局所化に対する第１の段階である。
残念なことに、時間的な局所化は優れているが、周波数局所化はＸ（ｆ）がゆっくり減少する関数であるためかなり効率が低い。さらに、バリアン−ロー−コイフマン−セメス（Ｂａｌｉａｎ−Ｌｏｗ−Ｃｏｉｆｍａｎ−Ｓｅｍｍｅｓ）の定理（［９］のｐ．９７６）は、Ｘがｘのフーリエ変換を示すならば、ｔｘ（ｔ）とｆＸ（ｔ）は同時に総和可能な自乗になることができないことを示している。
２．３．２  保護間隔を有したＯＦＤＭ／ＱＡＭ
一般的に、マルチパスとドップラーの広がりに対するＯＦＤＭ変調の許容誤差は、時間又は周波数偏移の関数としてシンボル間干渉（ＩＳＩ）のレベルの変動を包括的に測定するパラメータにより特徴付けられる。この概念の正当性は付録２により与えられている。この許容誤差パラメータはξと呼ばれ、次の関係式により定義される：
0004042161.tif 000012
ハイゼンベルグの不等式により、ξは１を越えることができない。
前述のバリアン−ロー−コイフマン−セメスの定理をこれに適用すると、パラメータξはＯＦＤＭ／ＱＡＭの場合、０に等しい。これは前述のようにＯＦＤＭ／ＱＡＭ変調の大きな欠点である。これは実際には時間エラーに対する従ってマルチパスに対する高い感度により特徴付けられる。
この欠点は、例えば［５］に記載した保護間隔を使用することにより回避することができる。これはプロトタイプ関数の長方形の窓を広げることからなる方策である。基底シンボルの格子の密度は従って１よりかなり小さくなる。
この技術が可能となるのは、初期シンボルを変換したものの無限大が保護間隔により広げられたシンボル内に見つかるからである。もちろん、これが行われるのはプロトタイプ関数が長方形の窓である時のみである。この意味で、保護間隔を有したＯＦＤＭ／ＱＡＭは独特な特異点である。
保護間隔を有したＯＦＤＭ／ＱＡＭ変調は、ＤＡＢシステムの基礎である。この保護間隔は、性能を下げることを犠牲にしてシンボル間干渉を制限することができるが、これは伝送される情報の一部が受信機により実際に使用されるのではなくマルチパスを吸収するためにのみ使用されるからである。
このように、ＤＡＢシステムの場合、保護間隔が有効シンボルの２５％を示すならば、その損失は１ｄＢである。さらに、所定の包括的なスペクトル効率を得ることによる損失が追加され、使用する符号の効率を大きくすることにより保護間隔による損失を補償する必要がある。
この損失は、ＤＡＢシステムの場合、スペクトル効率が小さいので僅かである。反対に、全体のスペクトル効率を４ビット／Ｈｚにしたいならば、シャノンの法則に基づき３ｄＢ台の損失を与える５ビット／Ｈｚの符号を使用する必要がある。従って、この場合、全損失は約４ｄＢである。
２．３．３  他のＯＦＤＭ／ＱＡＭシステム
ＯＦＤＭ／ＱＡＭタイプの他のシステムを考えることができる。残念なことに、フィルタ型のＱＡＭ変調、即ち従来のハーフナイキスト（即ちより詳細には“ナイキスト平方根”）タイプの波形成形を使用した変調は、直交の必要な制約を果たさない。直交の必要な基準を果たす公知のプロトタイプ関数は次の通りである：
長方形の窓；
基本的な正弦。
これらの２つの例は自明なものであり、フーリエ変換により互いに対をなして（デュアルに）現れる。長方形の窓の場合は、保護間隔の無いＯＦＤＭ／ＱＡＭに対応している。
基本的な正弦の場合は、実際には達成が難しい漸近的な場合であるロールオフが０％の標準周波数多重化（即ち、キャリアが共通のスペクトルを持たないもの）に対応している。
これらの場合のいずれも、プロトタイプ関数は完全に時間又は周波数のいずれかに制限されているが、デュアル領域では平凡な減少（１／ｔ又は１／ｆ）を有している。
さらに、バリアン−ロー−コイフマン−セメスの定理によれば、満足な解決が存在するかもしれない期待がほとんど無い。前述のように、この定理は、ｔｘ（ｔ）とｆＸ（ｆ）が同時に総和可能な自乗を有することができないことを示している。従って、ｘ（ｔ）及びＸ（ｔ）が同時に−３／２より小さい指数で減少する関数ｘ（ｔ）を見出すことが期待できない。
これは、技術者の観点から満足する関数が存在する可能性を妨げるものではない。このテーマを扱っている最近の論文［１０］は必要な特性を有する他のプロトタイプ関数の例を示している。この論文で提案されたプロトタイプ関数の形は時間集中に関して期待すべきものから非常に離れている。従って、満足するＯＦＤＭ／ＱＡＭタイプの解決策ではない可能性がある。
結論として、密度が１で複素係数がａm,nを有する格子を使用することに対応したＯＦＤＭ／ＱＡＭのアプローチは、長方形の時間窓の場合と保護間隔を使用した場合のみ実施することができる。他の変調を捜している当業者は、それ故、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭで示した以下に記載する技術に目を向ける必要があるであろう。
２．４  ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ
変調の第２のカテゴリは、ＯＱＡＭ（オフセット直交振幅変調）変調したキャリアの多重化を使用している。以下では、このシステムをＯＦＤＭ／ＯＱＡＭと呼ぶ。キャリアは全て同期しており、キャリア周波数はシンボル時間の逆数の半分だけ離れている。これらのキャリアのスペクトルは重なっているが、システムの同期とキャリアの位相の選択は、異なるキャリアにより出されるシンボル間の直交性を保証するため使用可能である。参考文献［１１−１８］は、このテーマに関し利用できる文献の明らかな状況を与えるものである。
記載をより簡単にするため、信号は分解した形で表わされる。これらの条件のもとで、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ信号の一般式は次のように書くことができる：
0004042161.tif 000013
係数ａm,nは送信されるデータ要素を表す実数と仮定している。関数ｘm,n（ｔ）は１つのかつ同一のプロトタイプ関数ｘ（ｔ）の時間−周波数の空間内に変換される：
0004042161.tif 000014
ここに、ν0τ0＝１／２である。
φは任意に０に設定できるあらゆる位相である。
従って、基本関数の重心は、図２に示すように、ベクトル（τ0，０）と（０、ν0）により形成される時間−周波数の平面の格子を形成している。
この格子は密度が２である。関数ｘm,n（ｔ）は、Ｒ内のスカラ積のように相互に直交している。公知のアプローチにおいては、プロトタイプ関数は、各キャリアのスペクトルが隣のキャリアのスペクトルのみと重なるように周波数において制限されている。実際には、対象とするプロトタイプ関数は、次の関係式を満たす偶数パリティ関数（実数又は可能ならば複素数）である：
0004042161.tif 000015
ｘ（ｔ）に対する可能な選択は、ロールオフが１００％のハーフナイキストフィルタのパルス応答である、即ち：
0004042161.tif 000016
ｘ（ｔ）及びそのフーリエ変換が観測された場合、Ｘ（ｆ）は限定されたサポートを有しかつｘ（ｔ）はｔ-2で減少する、即ちこれはバリアンロー−コイフマン−セメスの定理から得られた理論的な制限よりかなり良い結果である、ことが分かる。基本波形は、ＯＦＤＭ／ＱＡＭの場合より時間−周波数の平面においてより局所化しており、これにより、この変調はマルチパス及びドップラー現象が存在する際に、より良好な動作が与えられる。上述のように、遅延及びドップラー現象に対する変調の許容誤差を測定するパラメータξを規定することができる。このパラメータξは、０．８６５に等しい。
２．５  ＯＦＤＭ／ＭＳＫ
本願の出願人により１９９５年５月２日に出願された（未公開の）フランス特許出願第ＦＲ−９５０５４５５号に記載された他のアプローチは、異なるプロトタイプ関数を使用することからなる。このプロトタイプ関数ｘ（ｔ）は、偶数パリティ関数であり、間隔［−τ0，τ0］の外側ではゼロであり、以下の関係式を証明する：
0004042161.tif 000017
有利なことに、このプロトタイプ関数ｘ（ｔ）は以下のように定義される：
0004042161.tif 000018
この関数は、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭで用いられるプロトタイプ関数のフーリエ変換によりデュアルであると考えられるかもしれない。この特別な場合をＯＦＤＭ／ＭＳＫと呼ぶ。ドップラー現象及びマルチパスに対抗するための実施特性はＯＦＤＭ／ＯＱＡＭと等価であり、受信機の構築が簡易化される。
２．６  ＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ
上述したフランス特許出願第ＦＲ−９５０５４５５号にさらに記載された他のアプローチは、時間にも周波数にも制限されないが周波数領域におけるのと同様に時間領域においてもすばやく減少する特性を備えたプロトタイプ関数を使用することからなる。このプロトタイプ関数ｘ（ｔ）は、以下の式で特徴付けられる：
0004042161.tif 000019
関数ｙ（ｔ）はそのフーリエ変換Ｙ（ｆ）により以下のように定義される：
0004042161.tif 000020
ここで、Ｇ（ｆ）は以下のタイプの正規化されたガウス関数である：
0004042161.tif 000021
ＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ変調の場合、パラメータαは１にセットされる。この場合、
0004042161.tif 000022
で参照される対応するプロトタイプ関数はそのフーリエ変換と同一である。
ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭの場合よりやや複雑となるが、受信機の構築がより簡易化され、性能が実質的により優れている。
３．従来のシステムの欠点
これらの従来技術によるシステムは、特にチャネル非常に乱されている時、及び高い効率が要求される時に、多くの欠点と制限を有している。
３．１  ＯＦＤＭ／ＱＡＭ
ＯＦＤＭ／ＱＡＭシステムの主たる問題は、保護間隔を使用することが必ず要求されることである。上述のように、これは、高いスペクトル効率値を得ようとする時に、効率に本質的な損失を発生させる。
さらに、送られた信号は周波数領域での集中度が低く、これにより、高度な非定常的チャネルにおける動作特性をもさらに制限してしまう。特に、この周波数の広がりにより等価器の使用が難しくなる。
３．２  ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ
逆に、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭの周波数特性はむしろ安定であり、保護間隔に関する損失の問題は生じない。反対に、プロトタイプ関数のパルス応答は比較的ゆっくりである時間減少、即ち１／ｘ2の減少を有している。
これは２つのタイプの困難性を意味している。１つは、短い時間間隔内に波形を打ち切りすることが難しいことである。これは、受信機内での処理が複雑となることを意味している。さらに、これは、等化システムの可能性を意味している。
言い換えれば、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ技術の効率は、ＯＦＤＭ／ＱＡＭ技術の効率より良いが、これらの技術は、実現がより複雑であることが判っており、従って、特に受信機においてコストが高くなる。
３．３  ＯＦＤＭ／ＭＳＫ
ＯＦＤＭ／ＭＳＫ変調は、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭに関連してドップラー現象及びマルチパスに対抗するための実施特性を有している。これら特性は、ＯＦＤＭ／ＩＯＴＡの場合よりも低い。反対に、プロトタイプ関数の時間関数により受信機が簡易化される。
３．４  ＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ
ＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ変調は、ドップラー現象及びマルチパスに対抗するための最適な実施特性を有している。反対に、ＯＦＤＭ／ＭＳＫの場合よりも受信機の構築がより複雑となる。
４．本発明の提示
４．１  本発明の目的
本発明の目的は特に従来技術の種々の欠点と制限とを解消することにある。
このように、本発明の目的は、受信機に対し送信又は放送されるように設計されたデジタル信号であって、最良の公知方法、即ちＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ法、に等価である実施特性を得るべく使用可能であり、同時に、特に受信機での処理を簡略化するべく時間応答集中度を改善できるデジタル信号を提供することにある。
本発明の目的は、さらに、特に復調と等価に関して、複雑性及びコストが低減された受信機を作ることができるこの種の信号を提供することにある。
本発明の付加的な目的は、このような信号に対応する変調の、送信機、受信機、送信方法又は放送方法、受信方法、及び構築、即ち定義方法を提供することにある。
４．２  本発明の主な特徴
これらの目的及び以後明らかになるであろう他の目的は、本発明によれば、各々が一連のシンボルに対応するいくつかの基本キャリアを周波数多重化することに対応して、特に非定常的な伝送チャネル内で、デジタル受信機に送信されるように設計されたマルチキャリア信号であって、密度が２の非直交時間−周波数格子上に構築されるマルチキャリア信号によって達成される。
望ましくは、この時間−周波数格子が、２つの隣り合うキャリア間の間隔がν0に等しい５点形格子であり、
シンボル時間τ0が、２つの隣り合うキャリア間の間隔ν0の逆数の１／４に等しく、
１つのかつ同一のキャリアで送られる２つの連続シンボルが、シンボル時間τ0の２倍だけ離れており、
隣接するキャリアで送られるシンボルが、シンボル時間τ0だけオフセットされている。
好ましくは、キャリアの各々が、そのスペクトルの波形成形のためのフィルタリング処理を受ける。
このフィルタリングは、各シンボル要素が時間領域及び周波数領域の両方で高度に集中されるように選択される。
特にこの種の信号は以下の式に適合しており、
0004042161.tif 000023
ここで、ａm,nは所定のアルファベットの変調から選択された、ソース信号を表す実数係数であり；
ｍは周波数の次元を示す整数であり；
ｎは時間の次元を示す整数であり；
ｔは時間を示しており；
ｘm,n（ｔ）は実数又は複素数をとる１つのかつ同一の偶数パリティのプロトタイプ関数ｘ（ｔ）の時間−周波数空間に変換された基本関数、即ち：
0004042161.tif 000024
であり、φは任意の位相パラメータであり、
上述の基本関数｛ｘm,n｝は相互に直交しており、２つの異なる基本関数のスカラ積の実数部分はゼロである。
このように、本発明は、時間−周波数平面にできるだけ集中するプロトタイプ関数を使用する変調のシステムに基づいている。このアプローチの利点は、ＯＦＤＭ／ＩＯＴＡの場合と同等の実施特性を有すると共により高速減少のパルス応答による効果も期待できる変調が得られる点にある。
換言すれば、本発明の目的は、密度２の格子上にＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ変調のように構築された新規な変調システムに関している。既に公知のシステムに対する基本的な相違は、基本格子が密度１／２の５点形格子である点にある。
提案した変調のタイプの中には、時間にも周波数にも有界されておらず、反対に、時間及び周波数の両方において高速減少すると共に時間−周波数平面でほぼ最適に集中する特性を有するプロトタイプ関数を使用した変調がある。
この種の信号は、従来技術の存在の基に当業者に容易に想到できるものでは決してない。上述したように、ＯＦＤＭタイプの変調の構築には基本的に２つの方法がある。
第１の公知の構築モードは、密度１の直交格子を使用している。この第１のアプローチは、信号を分解するための基底を使用しており、全ての信号は間隔にサブ分割され、各間隔はフーリエ級数の形に分解される。これはＯＦＤＭ／ＱＡＭのアプローチである。同じ格子の上に構築する数少ない他のアプローチの文献があるが［１０］、これによって得られる結果は、実施面でほとんど役に立たない。
さらに、ＯＦＤＭ／ＱＡＭ技術は、保護間隔法から利点を得ることができる唯一の技術である。このＯＦＤＭ／ＱＡＭアプローチは、従って、拡張できない単一の特徴を持つものである。
第２の公知の構築モードは、密度２の直交格子を使用している。これは、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ、ＯＦＤＭ／ＭＳＫ及びＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ変調等の変調の集合を組み合わせている。これらの変調は、周波数有界（ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ）であるか又は時間有界（ＯＦＤＭ／ＭＳＫ）であるか、さらには、時間にも周波数にも有界されておらず、時間及び周波数の両次元において高速減少する特性を有する（ＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ）かというプロトタイプ関数の選択が互いに異なっている。
従って、このような直交格子上に構築されていない新しいタイプの変調を構築することは容易ではない。
以下に記載する本発明の全ての変形態様は、関数が容易に打ち切りできるように、高速減少のプロトタイプ関数を使用する利点を有している。
基本原理は、５点形タイプの格子上における直交性の所望の特性を有するプロトタイプ関数を構築することにある。付録２に詳しく記載されているこの構築法は、直交格子上における直交性の所望の特性を有するプロトタイプ関数に基づく時間−周波数平面内で４５°回転させることからなる。この回転を可能にする演算子は、旧来の演算子ではない。これは、フーリエ変換の平方根にたとえられかもしれず、Ｆ1/2で表される。この表示の数学的正当性は、付録３で与えられる。
一般原則として、この方法は、密度１／２の直交格子上におけるヒルベルト基底の構築を可能とするいかなるプロトタイプ関数にも適用できるであろう。この観点から、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ及びＯＦＤＭ／ＭＳＫのプロトタイプ関数が使用可能である。しかしながら、これらは、結果として複雑な関数となる。従って、得られる結果には実施上の価値がほとんどない。
実関数を導き出すこの構築法に必要な条件を考察する。密度２の直交格子上におけるヒルベルト基底の生成を可能とする偶数パリティのプロトタイプ関数ｘ（ｔ）を用い、関数ｙ（ｔ）が、
ｙ＝Ｆ1/2ｘ
で定義されるとする。ただし、Ｆ1/2は、前述したように、フーリエ変換の平方根演算子である。曖昧性関数のレベルにおいて（付録２で定義したように）、この演算子は、時間−周波数平面内で−π／４の角度の回転を実行する。関数ｙ（ｔ）が偶数パリティの実関数であるためには、その曖昧性関数は時間及び周波数軸に関して対称性を有する必要がある。従って、これは、関数ｘ（ｔ）が、時間及び周波数軸に関して対称性を有することに加えて、時間−周波数平面の対角線に関して対称性を有することを意味する。このような特性は、関数ｘ（ｔ）がそのフーリエ変換に等しい場合にのみ確かめられる。現在、われわれはただ１つの関数がこの特性を有していることを知っている。それは、ＯＦＤＭ／ＩＯＴＡのプロトタイプ関数、即ち
0004042161.tif 000025
である。
従って、関数ＩＯＴＡπ／４は以下の関係式で定義される：
0004042161.tif 000026
この関数は、構築により、実数の偶数パリティ関数である。従って、この関数の曖昧性関数は５点形格子上で解消される。
以下に定義される関数
0004042161.tif 000027
集合は、
0004042161.tif 000028
ヒルベルト基底を構成する。
指数を再定義する場合、この集合の定義は以下のように書き換えられる：
0004042161.tif 000029
本発明は、さらに、特に非定常的な伝送チャネル内で、デジタル信号を送信する方法であって、
送信すべきデジタル信号のチャネル符号化を行い、所定のアルファベットから選択された実数のデジタル係数ａm,nは引き渡すステップと、
前述した式に適合した信号ｓ（ｔ）を構築するステップと、
その複素包絡として信号ｓ（ｔ）を有する信号を少なくとも１つの受信機へ送信するステップと
を備えた方法に関している。
有利には、この方法は、送信すべきデジタル信号を形成するバイナリ要素に又はデジタル係数ａm,nについて周波数及び／又は時間インターレースするステップをさらに備えている。
これは、非定常チャネルにおいて最適な実施特性を提供可能とする。
本発明はさらにこの種の信号の送信機にも関する。
本発明は、さらに、上述した信号ｓ（ｔ）を受信する方法であって、
送信側における前記信号ｓ（ｔ）に対応する信号ｒ（ｔ）をその複素包絡として有する信号を受信するステップと；
位相応答θm,nの推定及び振幅応答ρm,nの推定を含む、伝送チャネルの応答を推定するステップと；
信号ｒ（ｔ）を復調するべく以下の段階：
信号ｒ（ｔ）にプロトタイプ関数ｘ（ｔ）を乗算する段階、
モジュロ２τ0のフィルタした波形をエィリアシングする段階、
フーリエ変換（ＦＦＴ）を適用する段階；
ｍ＋ｎが偶数パリティ値であるサンプルを選択する段階；
伝送チャネルによって生じる位相θm,nを修正する段階；
0004042161.tif 000030
に対応する位相を修正する段階；及び
伝送チャネルの振幅応答ρm,nによって重み付けされ、送信された係数ａm,nに対応して得られた係数
0004042161.tif 000031
の実数部分を選択する段階
を含むステップとを備えた方法に関している。
好ましくは、この受信方法が、実数のデジタル係数
0004042161.tif 000032
及び多分、チャネルの振幅応答の対応する値ρm,nの周波数及び／又は時間のデインターレースであり、伝送時に行なわれたインターレースに対称であるデインターレースを行うステップと、伝送時に行なわれたチャネル符号化に適合した重み付け決定復号を行うステップとの少なくとも１つをさらに備えている。
本発明はさらにまた、対応する受信機にも関している。
最後の、本発明は、以上述べた信号に対するプロトタイプ関数ｘ（ｔ）を構築する好ましい方法にも関する。この方法は、後述する付録に表されている。
５．本発明の特別な実施形態の記載
５．１  図のリスト
図１は、本発明を実施した場合に対応する、密度１／２の格子を示している；
図２Ａ〜図２Ｅは、本発明のＩＯＴＡ−π／４変調を示しており、図２Ａはプロトタイプ関数ｘ（ｔ）、図２Ｂはプロトタイプ関数のリニアフーリエ変換、図２Ｃはリニア曖昧性関数のモジュラス（付録２に定義されているもの）、図２Ｄはシンボル間関数（付録２に定義されているもの）、図２Ｅは対数スケールにおける信号の減少である；
図３はガウス関数の曖昧性関数を示している；
図４は本発明によって使用可能な送信機（及び対応する送信方法）のブロック図である；
図５は本発明によって使用可能な受信機（及び対応する受信方法）のブロック図である；
図６は図５の受信機で実施される変調方法のより詳細な図である。
５．２  本発明の一般的な原理
本発明は、密度２を有する非直交の時間−周波数格子上に構築されるＯＦＤＭ／ＯＱＡＭタイプのマルチキャリア信号に対する全く新規なアプローチに基づいている。特に本発明は、図１に示すような、ｍ＋ｎが偶数パリティ値であるような格子位置（サフィックスｍ（周波数領域）及びｎ（時間領域）によって定義される）のみを使用する５点形格子の使用を提供するものである。
換言すれば、時間−周波数空間におけるこの分散を用いる本発明による信号の複素包絡は，以下の式に対応している：
0004042161.tif 000033
ここで、ａm,nは変調の所定のアルファベット内で選択される信号ソースを表す実係数；
ｔは時間；
ｘm,n（ｔ）は実又は複素値を取る１つのかつ同一の偶数パリティプロトタイプ関数ｘ（ｔ）の時間−周波数空間に変換される基本関数、即ち：
0004042161.tif 000034
であり、ここで、
0004042161.tif 000035
である。ただし、φは任意の位相パラメータであり、基本関数｛ｘm,n｝は互いに直交しており、２つの異なる基本関数のスカラー積はゼロである。
本発明は、さらに、このような格子に良好に適合する変調、特にＩＯＴＡ−π／４変調にも関係している。
５．３  ＩＯＴＡ−π／４変調
ＩＯＴＡ−π／４変調は、付録３及び前述したフランス特許出願第ＦＲ−９５０５４５５号に記載されており、ＩＯＴＡ（等方性直交変換アルゴリズム）変換とわれわれが呼んでいる信号処理の分野に対する全体的にオリジナルなアプローチの結果として得られる。
ＩＯＴＡ−π／４変調は、付録３に記載されているように、このＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ変調を−π／４回転することによって得られるかもしれない。
５．３．１  信号の式
信号の式及びこれを得るための方法は、付録３及び４に記載されている。
５．３．２  図に関するコメント及び急速な減少に関する効果
前述のＩＯＴＡ−π／４変調について、目に見える形で本発明の効果を強調するために、図２Ａ〜図２Ｅが示されている。
図２Ａ：プロトタイプ関数ｘ（ｔ）；
図２Ｂ：プロトタイプ関数のリニアフーリエ変換；
図２Ｃ：リニア曖昧性関数のモジュラス（付録２に定義されているもの）；
図２Ｄ：シンボル間関数（付録２に定義されているもの）。
図２Ｃは、時間−周波数平面におけるプロトタイプ関数の制限について判断することを可能にしている。シンボル間関数を示す図２Ｄは、遅延及びドップラー現象に対する変調の感度の評価を可能にしている。位相エラーは、変調の全てがこの時間−周波数平面上で等しいため、考慮されない。
これらの図は、本発明における他の変調に関して、既に述べた先行のフランス特許出願中に記載されコメントされた図と比較されるかもしれない。
ＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ−π／４変調は、従って、時間及び周波数において高速の減少（用語の数学的観点から）を示し、その結果、起こり得る最大の効率で均等化することが可能となる。さらに、この変調は、これら２つの軸に関して完全な対称性を有している。そのシンボル間関数は、ほぼ理想的である。一般に、その動作は、ガウス関数の場合に近い。パラメータξは０．９７６９に等しい。
図３に示すように、関数
0004042161.tif 000036
の曖昧性関数（図２Ｃ）は、ガウス関数のそれと比較することができる。これら２つの関数の一般的な形状は、ピーク部で非常に似ているが、ベース部では異なっている。
図２ＥはＩＯＴＡ−π／４信号の時間における減少を対数スケールで図である。この信号の振幅が対数スケールでリニアに、即ちリニアスケールでは指数関数的に、減少することが判る（時間及び周波数において、もちろんこれら２つの様相は同一である）。この特性は、従って、実際の実施形態では、波形を打ち切りすることを可能にし、受信機の複雑性を制限することを可能とする。
この変調の減少が非常に速く（対数スケールでリニアである）、ＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ変調の場合より√２だけ大きな係数を有していることに注目すべきである。
５．４  送信機の原理
図４は本発明による信号の送信機の簡易化したブロック図を示している。送信方法はこの図から直接的に導き出される。
ビットレートの高い（典型的には数１０メガビット／ｓ）のバイナリソースについて考える。“バイナリソース”なる用語は、あらゆるタイプ（音、画像、データ）の１つ又はそれ以上の標本化された、デジタルの、又はアナログのソース信号９１に対応した一連のデータ要素を意味すると理解される。これらのバイナリデータ要素はフェージングチャネルに適応したバイナリ−バイナリチャネル符号化９２を受ける。例えば、多分、リード−ソロモン符号に結合された格子符号化（ｔｒｅｌｌｉｓ  ｃｏｄｅｄ）変調を使用することができる。より特定的には、４ビット／Ｈｚのスペクトル効率が必要ならば、８つの振幅レベルを有する８ＡＭ変調で効率が２／３の符号を使用することが可能である。
次に、フランス特許第ＦＲ−８８１５２１６号に説明されている原理に基づき、必要なダイバーシティを与えるべくかつ送信されるシンボルに影響を与えるレイリーフェージングを非相関（ｄｅｃｏｒｒｅｌａｔｅ）とすべく、これらの符号化されたデータ要素は時間−周波数空間に分散される（９３）。
より一般的には、第１のバイナリ−バイナリ符号化と、時間及び周波数インターレースと、マッピング操作とが行われる。インターレースは、必要性及び使用される符号に応じて、マッピングの前又は後に無差別に行われることは明らかである。
この符号化操作が終わると、送信されるべき実シンボルａm,nが存在することとなる。ＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ−π／４変調器９４を構築する原理は、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ送信機の場合と同様である。変調システムの詳細な記載は参考文献［１５］に記載されている。送信されるべき信号を構築するため、同じ次数ｎのシンボルが一緒にされ、次式が計算される：
0004042161.tif 000037
この操作は、有利には、同じ次数ｎの全てのシンボルに関して高速フーリエ変換（ＦＦＴ）によりデジタル的に行われる（本発明の格子上で行われる十進に基づいて、ＦＥＴの複数の点を平等に分けることが可能である）。その後、プロトタイプ関数ＩＯＴＡ−π／４による形成された波形との乗算が行われ、最後に、異なるランクのシンボルの付加（指数ｎに基づく加算）が行われる。
このようにして発生した複素信号は次にアナログの形態に変換９８され、２チャネル相互直交変調器９９（Ｉ／Ｑ変調器）により最終の周波数に置き換えられ、送信９９１される前に最終的に増幅９１０される。
５．５  受信機の原理
図５は本発明による信号の受信機（及び対応する受信方法）を該略的に示している。
ＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ−π／４受信機は、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ変調に適合した受信機と実質的に同様である。入力段の部分は従来通りである。信号は前置増幅１０１され、中間周波数に変換１０２され、チャネルフィルタリング１０３が行われる。中間周波数信号は次の１０５で相互に直交した２つのチャネルのベースバンドに変換される。さらに、自動利得修正（ＡＧＣ）機能１０４が行われる。このＡＧＣは、前置増幅１０１を制御している。
他の方法は、単一のチャネルに信号を標本化するようにその中間周波数信号を低いキャリア周波数に置き換えることにあり、これによって複素部分はデジタルフィルタリングにより得られる。または、ＲＦ信号がベースバンドに直接置き換えられ（直接変換）、チャネルフィルタリングは２つのチャネルＩ及びＱの各々について行われるかもしれない。いずれの場合も、受信信号に対応した複素包絡の信号を分離した形に戻すことができる。
ベースバンドでのデジタル処理の詳細を表わすため、次の送信信号の複素包絡の式により特徴づけられるマルチキャリアタイプの変調について考察する：
0004042161.tif 000038
その可変伝達関数Ｔ（ｆ，ｔ）により特徴づけられる伝送チャネルを取りあげる（付録２を参照）。受信信号ｒ（ｔ）の複素包絡は次のように表すことができる：
0004042161.tif 000039
復調器は、フランス特許第ＦＲ−９００１４９１号に基づいた明示キャリアの基準格子を例えば使用するかもしれない従来手段により、伝達関数Ｔ（ｆ，ｔ）を推定する（１０６）。信号を適切に復調（１０７）するため、このチャネルは、考慮されている時間及び周波数についてのＴ（ｆ，ｔ）の値に対応した振幅及び位相によって特徴づけられる乗数チャネルに局所的に見たてられる。ａm,n（ｔ）を推定するため、受信信号は次の信号と見なされる：
0004042161.tif 000040
次のことが仮定されている：
0004042161.tif 000041
従って。復調器は次の処理操作を行う：
0004042161.tif 000042
伝達関数ρｅiθを有する定常チャネルの場合、次のことが明らかに判る：
0004042161.tif 000043
実際には、復調処理１０７は、図６に示す方法に基づいてデジタルの形態で行われる。受信機は、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ受信機の場合と同様に動作する［１３−１６］。即ち、受信機は次の処理操作を行う：
受信信号ｒ（ｔ）にプロトタイプ関数ｘ（ｔ）１１２を乗算１１１する；
モジュロ２τ0のフィルタした波形を“エィリアシングする”１１３；
フーリエ変換（ＦＦＴ）を適用１１４する；
ｍ＋ｎが偶数パリティ値であるサンプルを選択する（この選択は、多分、ＦＥＴを適用している間に行われる）；
例えば振幅応答の推定ρm,n及び伝送チャネルの位相応答の推定θm,nを含む、チャネル１１６の推定の関数として、位相Θm,nを修正１１５する；
位相
0004042161.tif 000044
を修正１１７する；
振幅応答ρm,nによって重み付けされた、実数部分を選択１１８する。
従って、このアルゴリズムは、与えられた指数ｎの全ての係数の総合的な計算を可能としている。対応する複雑性の程度、ＯＦＤＭ／ＱＡＭに対し使用されたアルゴリズムの複雑性のほぼ２倍である。
このように得られた係数は、送信時に行われたインターレース（インターリーブ）と対称的にデインターレース（デインターリーブ）１０８され、次に、有利には、例えばビタビアルゴリズムタイプのアルゴリズムを実施するソフト決定復号化技術に基づき復号１０９される。チャネルの復号がチャネルρm,nの振幅応答の推定を考慮する場合は、対応する値もデインターレース（デインターリーブ）１１０される。さらに、デインターレース（デインターリーブ）はもちろんインターレース（インターリーブ）が送信で行われた時の時間上の点に応じたマッピングの前又は後で行われる。
付録４は、実施される処理をより詳しく説明している。
0004042161.tif 000045
0004042161.tif 000046
0004042161.tif 000047
付録２
１．チャネルのモデル化
１．１  一般的モデル
分散性チャネルは、時間的に変化するパルス応答を有する線形システムであると考えられる。このパルス応答を定義するには2つの方法がある。この方法は［21］で提案された規則に広く基づいている：
・入力でのパルス応答即ち入力遅延広がり関数ｇ（ｔ,τ）は次式により定義される：
0004042161.tif 000048
ここにｓ（ｔ）とｒ（ｔ）とは、それぞれ送信信号と受信信号とを表している、
・出力でのパルス応答、即ち出力遅延広がり関数ｈ（ｔ,τ）は次式により定義される：
0004042161.tif 000049
明らかにｈ（ｔ,τ）＝ｇ（ｔ＋τ,τ）を有し、ｈ（ｔ,τ）は時点ｔでチャネルのパルス応答を表す。これらの規則が成立し、次の特徴関数を定義することができる：
・遅延−ドップラー広がり関数Ｕ（τ,ν）の特徴は次式により定められる：
0004042161.tif 000050
・ドップラー−遅延広がり関数Ｖ（ν,τ）の特徴は次式により定められる：
0004042161.tif 000051
又は全く簡単に：
Ｖ（ν,τ）＝ｅi2πντＵ（τ,ν）
・時間変化伝達関数Ｔ（ｆ,ｔ）の特徴は次の通りである：
0004042161.tif 000052
それゆえ、定常チャネルの場合と同じ式が再び得られるが、伝達関数が時間で変わることが単に異なる。この伝達関数Ｔ（ｆ,ｔ）は、（τ,ν）の2Ｄフーリエ変換であり、即ち以下の通りである。
0004042161.tif 000053
いかなる場合も、Ｕ（τ,ν）は制限されたサポートを有していると仮定している。これは、伝達関数Ｔ（ｆ,ｔ）が、標本化定理による別々の値の格子により表されることを意味している。
１．２  静的な遅延−ドップラーモデル
遅延−ドップラーモデルは次式により定義される：
0004042161.tif 000054
この式は、振幅、位相、時間オフセット及び周波数オフセットにより特徴付けられる基本チャネルの和としてのチャネルを示している。それゆえ、静的な遅延−ドップラーモデルと称されるこのタイプのチャネルの種々の既存の変調の動作に関心を持つことは正しいことである。
チャネルの式は次の簡略化した形で書かれる：
ｒ（ｔ）＝Ａｅiθｓ（ｔ−τ）ｅi2πν
２．非定常チャネル内でのＯＦＤＭの動作特徴
２．１  一般の場合
次の一般式により特徴付けられるあらゆるタイプのＯＦＤＭ多重搬送波変調（ＯＦＤＭ／ＱＡＭ,ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ又はＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ）を検討する：
0004042161.tif 000055
ａkは実変数であり、Ｅは時間−周波数空間での密度２の２Ｄ格子であり、関数xk（ｔ）は、Ｌ2（Ｒ）のヒルベルト基底を構成する、同一のプロトタイプ関数x（ｔ）の時間と周波数とで変換される。
0004042161.tif 000056
格子Ｅの構造の上にはいかなる仮定も無いことに注意する必要がある。ＯＦＤＭ／ＱＡＭの特別な場合、この格子は、位相が直交する２つの共にローカライズされた副格子に分けられる。
復調動作は次のように書くことができる：
0004042161.tif 000057
φは復調器により推定された位相であり、ｒ（ｔ）は受信された信号の複素エンベロープである。それゆえ、次のように書くことができる：
0004042161.tif 000058
これにより次式が導き出される：
0004042161.tif 000059
φの最適な値は、係数
0004042161.tif 000060
を最大にする値であり、次式で与えられる：
0004042161.tif 000061
これらは一般的であるが、前述の式は殆ど利用されない。しかし、これらは有効な信号及びシンボル間が遅延−ドップラー広がり関数により重み付けられた曖昧性関数の積分として表されることを示している。
２．２  静的チャネルの場合
位相θ、遅延τ及びオフセットν（振幅Ａは１で正規化されている）により特徴付けられる静的な遅延−ドップラータイプのチャネルの場合、復調は推定量に位相パラメータφを導入することにより同ように行われる。この操作の結果は次のように書ける：
0004042161.tif 000062
それゆえ、復調された信号は最終的に次のように書ける：
0004042161.tif 000063
２番目の項は、シンボル間干渉（ISI）を表している。データの要素ａkが分散量σを有する独立したランダム変数であるとすれば、ISIの分散量Ｉは次のように書ける：
0004042161.tif 000064
ここで、係数ｃkは関数xk（ｔ）のヒルベルト基底の上で1に等しい平均値で関数ｅi(φ-θ)ｅ-2iπν(t+τ)xn（ｔ＋τ）のブレイクダウンの係数である。それゆえ、次式のようになる：
0004042161.tif 000065
言い換えれば、受信信号の分散量は一定であり、分散量Ｉ＝（１−ｃn2）σ2を有して、“有効な”信号ｃnａnとISIとの間で分散される。係数ｃnの計算結果は次式による。
0004042161.tif 000066
ここで、Ａxn（τ,ν）は、xnの曖昧性関数（付録３も参照）を表す。
0004042161.tif 000067
従って、次のように書くことができる：
0004042161.tif 000068
復調の位相φは、φopt＋Δφの形で書くことを仮定しており、ここに、φoptはISIを最小にする、即ちｃnを最大にする復調の位相で次式のように与えられる：
φopt＝θ＋πντ＋２π（τnν−νnτ）
次に、ISIの分散量は簡単に次のように書くことができる：
0004042161.tif 000069
プロトタイプ関数が偶数次関数であるとき（これは、この文書の主な部分に記載されたヒルベルト基底を構成する方法の場合に対応している）、曖昧性関数は実数であり、それゆえ次式を得る：
Ｉ＝（1−Ａx2（τ,ν）cos2Δφ））σ2
この結果は非常に注目すべきことである。これは、あらゆる多重搬送波変調の遅延とドップラー現象に対する感度が、プロトタイプ関数の曖昧性関数にしか依存しないからである。以下では、用語“シンボル間関数”（厳密な意味で無く、シンボル間干渉の関数を示すため用いる）は、一般には関数
0004042161.tif 000070
を示すために用いられ、最適な位相が推定される場合、データの要素の平均の二次の値により正規化されたシンボル間の平均の二次の値を示している。
３．異なるタイプのＯＦＤＭの比較分析
３．１  理論的限界
以下の記載は、シンボル間関数の特徴を論じている。多重搬送波変調の感度が（０,０）の近くで、対応するプロトタイプ関数の曖昧性関数の動作に直接関係していることが知られている。生ずる問題は、レーダの分野で生ずる不確定性の問題と全く同じであり、この課題における豊富な文献が参考文献としてある（例えば［22］を参照）。一般性を少しも損なうことなく、その1次モーメントが零となるように、適切な時間及び周波数変換によって、即ち次式によって、関数x（ｔ）を選ぶことができる：
0004042161.tif 000071
このような条件のもとでは、１次の部分導関数が次のように互いに相殺されることが、容易に証明される：
0004042161.tif 000072
２次部分導関数をもとに（０,０）の周りの曖昧性関数の動作を次のように特徴付けることができる：
0004042161.tif 000073
次に（０,０）における曖昧性関数のテーラーヤングの展開を検討する：
0004042161.tif 000074
シンボル間の分散量をテーラーヤングの展開から次のように推測される：
0004042161.tif 000075
シンボル間関数Ｉsは最初に次式を有した接線円錐を受け入れることが推測できる：
0004042161.tif 000076
この円錐と平面z＝１との交差（最大シンボル間）は、楕円の外形の表面の限界を定める。その面積ξは、遅延及びドップラー現象に対する感度の測定値と考えられる。μxが零のとき、この楕円は対称な軸として時間と周波数軸を有しており、該時間軸に沿って±1／2πΔｆから広がり、該周波数軸に沿って±1／2πΔｔから広がっている。それゆえ、次式を得る：
ξ＝1／4πΔｔΔｆ
ハイゼンベルグの不等式を考慮すると、ξは１を越えることができない。μxが０と異なるならば、この結果は一般化される。関数x（ｔ）にウォブレーション（wobbulation）を乗じることにより得られる関数y（ｔ）を検討する：
0004042161.tif 000077
それゆえ、のように書くことができる：
0004042161.tif 000078
それゆえ、適切にβを選択することによりμyを削除することが常に可能である。ところで、ウォブレーションとの乗算の操作により、面積を保った関連する曖昧性関数の軸を簡単に変えられる。これにより、パラメータξが０と１との間に常にあることが推測される。
この結果が極めて重要であるのは、１つのパラメータを基に分散チャネル内でのＭＣＭのパフォーマンス特性を比較することができるからである。それゆえ、これらのパフォーマンス特性は関連するプロトタイプ関数の集中のみに依存することがわかる。実質的にはガウス関数により最適化が行なわれるが、ガウス関数によりヒルベルトの基底が作られないので、この最適化得ることは難しい。
３．２  ガード区間（guard interval）を有するＯＦＤＭの特別な場合
１の密度を有する格子から組み立てられたＯＦＤＭ変調は、パラメータξが零である、バリアン−ロー−コイフマン−セメス定理に起因する縮重（degenerate）場合を構成する。更に、この結果は、全体的に一般的であり、基底関数の重心（barycenters）の格子の構造には何にでも応用できる。実際に、時間ウォブレーションに基づいて、指定されていない直交構造に達するために、フーリエ変換及び相似拡大演算子（homothetic operator）が常に可能となり、それに対してバリアン−ロー−イフマン−セメス定理が応用できる。ここで、これら３つの演算子は、面積の保護を伴う曖昧性関数の軸の変化でしか達成されない。それゆえ、パラメータξがこのタイプの全ての変調に対して零となることが推測される。
ＯＦＤＭ／ＱＡＭ変調は、この規則から免除されない。この場合、パラメータΔｆは無限である。これは、時間シフトに対して非常に高感度にもたらされる（シンボル間関数は、時間軸に対して垂直となる接線を有する）。しかし、ＯＦＤＭ／ＱＡＭは、他のタイプのＯＦＤＭに利用できないという切り札を有する。それは、ガード区間によって拡張されたシンボル内で、初期シンボルの変換バージョン（translated versions）の無限大となる。このユニークな特徴は、ＯＦＤＭ／ＱＡＭが複素数ＭＣＭの集合内で実に単一点であることを意味する。
ガード区間は、プリズムに変換すべきシンボル間関数（時間感度において全体的に平坦なこの場合）に円錐接線を有効にする非シンボル間領域を生成する。該プリズムの平面z＝１の交点は、非縮重長方形であり、即ちその面積が零でない。ガード区間の効果を明確に理解するために、図３が参照できる。本来、ガード区間の使用は、前述の証明の文から離れることを意味し、１にこの面積を限定することもはや適用されないことを意味する。しかし、ガード区間を有するＯＦＤＭは、最適な虚数のＭＣＭ変調（ξ＝１を有する）と比較される。問題は、ガード区間が明らかに同じξを見つけることが可能となることについてである。そこで、プロトタイプ関数を構成するＯＦＤＭ変調を検討する。
0004042161.tif 000079
Δｔ2＝τ02／12が直ぐに確かめられる。その結果、平面z＝１を有するシンボル間関数に対して接線方向のプリズムの交点は、
0004042161.tif 000080
に対する周波数感度に限定される。−１０ｄＢにシンボル間レベルを限定するために捜されると仮定する。ξ＝１を有する最適な変調について、−１０ｄＢよりも小さいシンボル間領域の面積が、範囲０．1内にある。ガード区間を有するＱＦＤＭ変調の結果となる等式を得るために、
0004042161.tif 000081
のようになるべきガード区間Δτが必要とされる。この値は、完全に検討でき、遅延及びドップラー現象の不利な条件の下でＯＦＤＭシステムの動作を得るために支払われるべき価格を明確に説明する。
付緑３
１．はじめに
この付録は、時間及び周波数軸に対して対称となる時間−周波数変換の存在を証明する全ての証明を与える。この意味において、これら変換は、時間−周波数平面の全ての方向に完全な等方性によって特徴付けられたガバー（Gabor）変換に非常に類似している。これら新しい変換の等方性はわずかに近似しているけれども、ここではこれをアイソトープと称する。ガバー変換との主な違いは、これら変換が厳密に直交しており、デジタル送信の地域にこれらアプリケーションを予見することが可能となる。実際に、変換の直交性は、更なるガウスノイズを含むチャネルの本質的な特徴であるユークリッドメートル法の保護を保証する。
このアプローチに起因する変調システムが、等方性直交変換アルゴリズムを用いるために、それらをＩＯＴＡ変調システムと命名する。
２．曖昧性関数
前述した曖昧性関数は、レーダ技術の発展によって動機付けされて研究されてきた。この章では、この関数の主な特徴を再度示し、この関数で動作する種々の演算子を説明する。
２．１  曖昧性関数に関する再認識
２．１．１  定義
関数x（ｔ）とそのフーリエ変換Ｘ（ｆ）とを考える。この関数を用いて、次式で規定されるそれぞれのその時間及び周波数積とを関係付けることができる：
0004042161.tif 000082
従って、ウィグナー−ビレ（Wigner-Ville）変換及びxの曖昧性関数は、次のように与えられる：
0004042161.tif 000083
２．１．２  曖昧性関数の対称な特徴
関数x（ｔ）を考える。表記x-及び
0004042161.tif 000084
は、次のように規定される関数にそれぞれ用いられている：
0004042161.tif 000085
従って次の関係式が得られる：
0004042161.tif 000086
即ち、ｕ＝−ｔであるとすると次式のようになる。
0004042161.tif 000087
これにより、特に、関数xが偶数パリティ関数、即ちx＝x-であるならば、その曖昧性関数は実数であると結論付けられる。更に、次の関係式に注目すべきである：
0004042161.tif 000088
これら二つの関係式を結合することにより、次式を得る：
0004042161.tif 000089
２．１．３  曖昧性関数及びフーリエ変換
次のように曖昧性関数の定義を書き直すことができる：
0004042161.tif 000090
即ち、またＡx（τ,ν）＝Ａx（−τ,ν）
２．１．４  曖昧性関数及び時間−周波数変換
あらゆるプロトタイプ関数の変換関数x（ｔ）、即ち次式を検討する：
0004042161.tif 000091
関連した曖昧性関数は、次のように書ける：
0004042161.tif 000092
即ち、ｕ＝ｔ−τkと仮定すると、次のようになる。
0004042161.tif 000093
２．２  直交的で曖昧な関数
２．２．１  一般の場合
同一関数x（ｔ）の２つの変換関数を検討する、即ち：
0004042161.tif 000094
これら２つの関数のスカラ積は次のように書ける：
0004042161.tif 000095
即ち、ｕ＝ｔ−（τk＋τk）／2であると仮定すると、次のようになる：
0004042161.tif 000096
３．直交格子におけるヒルベルト基底
３．１  構成の一般的原理
次式により規定される関数の集合｛xm,n｝を検討する：
0004042161.tif 000097
この集合｛xm,n｝がＨRのヒルベルト基底を構成するように、x（ｔ）における条件を捜す。x（ｔ）が偶数パリティ関数であり、それゆえ、その曖昧性関数Ａxが実数であると規定する。
xm,nとxm',n'のＲ内のスカラ積は次のように書ける：
0004042161.tif 000098
合同式モジュロ２の関係を次のように書くことができる。
（ｍ−ｍ'）＋（ｎ−ｎ'）＋（ｍ−ｍ'）＋（ｎ＋ｎ'）≡
1−（ｍ−ｍ'＋1）（ｎ−ｎ'＋1）
従って、（ｍ,ｎ）≠（ｍ',ｎ'）のモジュロ2ならば、スカラ積は零となる。それゆえ、格子｛xm,n｝は次式により特徴付けられた４つの副格子に分解される：
｛ｍが偶数、ｎが偶数｝、｛ｍが偶数、ｎが奇数｝、
｛ｍが奇数、ｎが偶数｝、｛ｍが奇数、ｎが奇数｝
それゆえ、異なる副格子に属する関数の間の直交性は、自動的であり、一度このプロトタイプ関数が偶数値になれば、プロトタイプ関数の特徴に依存しない。
従って、行うべき残りのことは、同一の副格子の関数が相互に直交となることを保証することである。このために、曖昧性関数ＡXが次のようになることを確認することで十分である。
Ａx（2ｎτ0,2ｍν0）＝０  ∀（ｍ,ｎ）≠（０,０）
それゆえ、密度が2の直交格子におけるＨRのヒルベルト基底を構成する問題は、その曖昧性関数が1／2の密度の格子上で打ち消される偶数パリティのプロトタイプ関数を構成するということになることに注目すべきである。
３．２  直交性の方法
３．２．１  時間直交性
定義
フーリエ変換Ｘ（ｆ）の関数x（ｔ）を検討する。Ｏtは、関数y（ｔ）とx（ｔ）を関係付ける時間的直交性演算子を示している。この関数y（ｔ）はそのフーリエ変換Ｙ（ｆ）によって定義される：：
0004042161.tif 000099
解釈により次式を得る：
0004042161.tif 000100
即ち逆フーリエ変換により：
0004042161.tif 000101
即ち、また：
Ａy（２ｎτ0,０）＝０  ∀ｎ≠０  及び  Ａy（０,０）＝1
それゆえ、時間軸における直交性が達成される。
xはガウス関数であり、y＝Ｏtxである。次の式を検討する：
0004042161.tif 000102
Ｘがガウス関数なので、次のように書くことができる：
0004042161.tif 000103
ここでｃmは一定である。これから次のように推測できる：
Γy（ｆ,２ｍν0）＝ｃmΓy（ｆ,０）
逆フーリエ関数により次式を得る：
Ａy（τ,２ｍν0）＝ｃmＡy（τ,0）
従って：
∀ｍ,∀ｎ≠０    Ａy（２ｎτ0,２ｍν0）＝０
それゆえ、時間的な直交演算子Ｏtは、周波数軸の場合を除いて全格子を直交にする。
定理１
xがガウス関数であり、y＝Ｏtxであるとすると、次式を得る：
∀ｍ,∀ｎ≠０    Ａy（２ｎτ0,２ｍν0）＝０
３．２．２  周波数の直交性
定義
関数x（ｔ）を考える。Ｏtは関数y（ｔ）とx（ｔ）とを関係付ける周波数の直交演算子を示す。この関数y（ｔ）は次式により定義される：
0004042161.tif 000104
解釈により次式を得る：
0004042161.tif 000105
フーリエ変換により次式が与えられる：
0004042161.tif 000106
即ち、また：
Ａy（０,２ｍν0）  ∀ｍ≠０  及び  Ａy（０,０）＝１
それゆえ、周波数軸の直交性は正確に達成される。
xは、ガウス関数であり、z＝Ｏfy及びy＝Ｏtxとする。そこで、次式を検討する：
0004042161.tif 000107
それゆえ、次のように書くことができる：
γz（ｔ,２ｎτ0）＝γy（ｔ,２ｎτ0）Ｐ（t）
ここでＰ（ｔ）は、以下のタイプのフーリエ級数展開を可能にする周期τ0の周期関数である。
0004042161.tif 000108
フーリエ変換により、次式を得る：
0004042161.tif 000109
ここで、
∀ｍ,∀ｎ≠０,  Ａy（２ｎτ0,２ｍν0）＝０  ⇒
∀ｍ,∀ｎ≠０,  Ａz（２ｎτ0,２ｍν0）＝０
更に、解釈により、
∀ｍ≠０,  Ａz（０,２ｍν0）＝０
最後に次式を得る：
∀（ｍ,ｎ）≠（０,０）,  Ａz（２ｎτ0,２ｍν0）＝０
従って、zの曖昧性関数は、（０、０）以外で２τ0及び２ν0の倍数の全てに対して打ち消され、格子は密度が1／2になる。
定理２
xをガウス関数とし、z＝ＯfＯtxとすると次のようになる：
∀（ｍ,ｎ）≠（０,０）,  Ａz（２ｎτ0,２ｍν0）＝０
３．３  直交演算子Ｏ
前述の点から、式の記載を対称にする時間−周波数スケールがあることが明らかにわかる：このために、
0004042161.tif 000110
を選ぶために十分である。従って、スケールは、証明の一般的用途を損なうことなく再正規化できる。
３．３．１  定義
用語Ｏは、関数xと関数yとを関係付ける直交演算子を示す。この関数yは次のように規定される。
0004042161.tif 000111
更に、以下では、用語Ｆは、フーリエ変換の演算子を示す。
３．３．２  演算子Ｏのべき等
z＝Ｏy及びy＝Ｏxとする。これにより次のように書くことができる：
0004042161.tif 000112
それゆえ、演算子Ｏのべき等を示すＯＯx＝Ｏxを表す。
同様に、Ｆ-1ＯＦＦ-1ＯＦ＝Ｆ-1ＯＯＦ＝Ｆ-1ＯＦのために、二重演算子Ｆ-1ＯＦもべき等である：
３．３．３  補題１
Ｐを周期
0004042161.tif 000113
の周期関数とし、Ｄを次式の超関数とする：
0004042161.tif 000114
xを任意の関数とする：
0004042161.tif 000115
補題１
Ｐを周期
0004042161.tif 000116
の周期関数とし、Ｄを次式の超関数とする。
0004042161.tif 000117
xを任意の関数とする。それにより次式を得る：
Ｄ＊（Ｐx）＝Ｐ（Ｄ＊x）
３．３．４  補題２
yαがyα＝Ｄ＊xαで、
0004042161.tif 000118
と規定され、Ｄは次のような超関数となる。
0004042161.tif 000119
それゆえ、次のように書くことができる。
0004042161.tif 000120
zα＝Ｏyαとする。これにより、次式が得られる。
0004042161.tif 000121
ルート符号の下で和を取ると次のようになる：
0004042161.tif 000122
即ち、また、付録内で与えられた結果の適用によって次のようになる：
0004042161.tif 000123
更に、指数を組み替え、ｋをｋ＋ｋ'＋ｋ”と再規定すると次のようになる。：
0004042161.tif 000124
従って、次のように書くことができる：
0004042161.tif 000125
0004042161.tif 000126
とする。これにより以下の式を得る。
ｚα＝ｃ0Ｐαyα＝ｃ0Ｐα（Ｄ＊xα）
即ち補題１の適用によって
zα＝ｃ0Ｄ＊（Ｐαxα）
それゆえ、最終的に次のようになる：
Ｏ［Ｄ＊xα］＝ｃ0Ｄ＊Ｏxα
補題２
xをガウス曲線とし、Ｄを次式のような超関数とすると、
0004042161.tif 000127
そのとき、
Ｏ［Ｄ＊x］＝ｃ0Ｄ＊Ｏxとなり、ｃ0は正の定数となる。
３．３．５  演算子Ｏ及びＦ-1ＯＦの可換特徴
演算子Ｏ及びＦ-1ＯＦは、ガウス関数に適用できる際にこれらを可換されることを示す。
0004042161.tif 000128
とすると、
そのとき  Ｆxα＝x1/α
及びＯxα＝Ｐαxα
Ｐαが周期特性ならば、そのフーリエ変換Ｄαは以下のように書くことができる。
0004042161.tif 000129
Ｏによるyαの直交性の結果となる関数zαと、Ｆ-1ＯＦによるxαの直交性の結果となる関数yαとを検討する。これにより、次式を得る。
zα＝ＯＦ-1ＯＦxα
以下の点にも注意すべきである。
・いずれの実偶数パリティ関数xに対して、Ｆ-1x＝Ｆxとなる。
・ｃが正で一定ならば、Ｏ［ｃx］＝Ｏxとなる。
・いずれの実偶数パリティ関数x（ｕ）に対して、Ｏx、Ｆx及びＦ-1が偶数パリティ実関数となる。
これらの結果により、次のように書くことができる。
ＯＦ-1ＯＦxα＝ＯＦ-1ＯＦx1/α＝
ＯＦ-1［Ｐ1/αx1/α］＝Ｏ［Ｄ1/α＊xα］
補題２の適用によって次式を得る。
Ｏ［Ｄ1/α＊xα］＝ｃ1Ｄ1/α＊Ｏxα＝ｃ1Ｄ1/α＊（Ｐαxα）
ｃ1は正定数である。これらから次式が推測できる。
ＯＦ-1ＯＦxα＝ｃ1Ｄ1/α＊（Ｐαxα）
同様に、次式のように書くことができる。
Ｆ-1ＯＦxα＝ＯＦ-1ＯＦ［Ｐαxα］＝Ｆ-1Ｏ［Ｄα＊x1/α］
補題２の適用によって次式を得る。
Ｏ［Ｄα＊x1/α］＝ｃ2Ｄα＊Ｏx1/α＝ｃ2Ｄα＊（Ｐ1/αx1/α）
ｃ2は正定数である。これらから次式が推測できる。
Ｆ-1ＯＦＯxα＝ｃ2Ｆ-1［Ｄα＊（Ｐ1/αx1/α）］＝
ｃ2Ｐα（Ｄ1/α＊xα）
ここで、補題１の適用によって次式を得る。
Ｄ1/α＊（Ｐαxα）＝Ｐα（Ｄ1/α＊xα）
従って、次式を得る。
ｃ2ＯＦ-1ＯＦxα＝ｃ1Ｆ-1ＯＦＯxα
ここで、ＯＦ-1ＯＦxα及びＦ-1ＯＦＯxαの両方は、１に対応するノルムを有し、それゆえ等しくなる。
定理３
あらゆるガウス関数xに対して、演算子Ｏ及びＦ-1ＯＦが、次式のように組み替えられる：
ＯＦ-1ＯＦx＝Ｆ-1ＯＦＯx
系１
0004042161.tif 000130
であるならば、Ｆzα＝z1/αとなる。
証明：
Ｆzα＝ＦＦ-1ＯＦＯxα＝ＯＦ-1Ｏxα＝ＯＦ-1ＯＦx1/α＝z1/α
注目すべき特別な場合
Ｆz1＝z1
この特別な関数により、時間及び周波数軸に対し完全な対称が与えられ、それゆえＩＯＴＡ（等方性直交変換アルゴリズム）変換のプロトタイプ関数を構成する。この特別な関数は、
0004042161.tif 000131
で参照される。
系２
xをガウス関数とし、z＝ＯＦ-1ＯＦxとすると、Ｏz＝Ｚとなる。
証明：
Ｏz＝ＯＯＦ-1ＯＦx＝ＯＦ-1ＯＦx＝z
系３
xをガウス関数とし、z＝ＯＦ-1ＯＦxとすると、Ｆ-1ＯＦz＝zとなる。
証明：
Ｆ-1ＯＦz＝Ｆ-1ＯＦＦ-1ＯＦＯx＝Ｆ-1ＯＯＦＯx＝Ｆ-1ＯＦＯx＝z
３．３．６  関数zαの曖昧性関数
正規化
0004042161.tif 000132
を用いて定理２を検討する。つまり次のようになる：
Ｏf＝Ｏ及びＯf＝Ｆ-1ＯＦ
従って、定理２は次のように書き直すことができる：
定理４
xをガウス関数として、z＝Ｆ-1ＯＦＯxとすると、次のようになる。
∀（ｍ,ｎ）≠（０,０）
４．任意の格子に対する一般化
ここまでは、密度が２の直交格子上に構成されたヒルベルト基底を検討してきた。この章は、密度が２であれば何れの格子上に構成されたヒルベルト基底を見ることになる。
４．１  構成の一般的原理
直交格子に対して証明されたものと同じ方法で、この節は、プロトタイプ関数の基底上に密度が２である任意の格子上にヒルベルト基底を構成する方法を表しており、該プロトタイプ関数の曖昧性関数は密度が1／2である格子上で打ち消される。
｜ν2τ2−ν2τ1｜1／2を伴う基底ベクトル（τ1,ν1）及び（τ2,ν2）から生じる、密度が２である任意の格子を検討する。従来から基底ベクトルのオーダは、ν2τ1−ν1τ2＝1／2のように選択されることになる。従って、次のような関数x（ｔ）を検討する。
Ａx（２ｎτ1＋２ｍτ2，２ｎν1＋２ｍν2）＝０
それゆえ、その曖昧性関数は、密度が1／2である格子上で打ち消される。次式によって規定された関数｛xm,n｝の集合を検討する。
0004042161.tif 000133
スカラ積＜xm,n｜xm',n'＞を計算する。それゆえ、次式のようになる。
0004042161.tif 000134
ここで、ν2τ1−ν1τ2＝1／2とならば、次式を得る。
Ψm,n＝π（ｎ2ν1τ1＋ｍ2ν2τ2＋２ｍｎν1τ2）
それゆえ、次式を得る。
θ＝Ψm,n−Ψm',n'＋（ｍ−ｍ'）（ｎ＋ｎ'）π／2
ψm,n＝（ｍ＋ｎ）π／2−Ψm,nとする。このときスカラ積＜xm,n｜xm',n'＞Rは、最後に次のように書かれる。
0004042161.tif 000135
xの曖昧性関数は実数であり、その係数を見る。同じ位相用語は、直交格子の場合に再度見られる。従って、（ｍ,ｎ）≠（ｍ',ｎ'）のモジュロ２であるならば、スカラ積は零となる。
そうでなければ、xの曖昧性関数で作られた仮設に起因して零となる。
それゆえ、時間−周波数平面の任意の格子上のヒルベルト基底を構成するために利用できる一般的方法を有する。それゆえ、実行すべき残りのものは、プロトタイプ関数を構成することであり、該関数の曖昧性関数は、必要とされる特性を有する。
４．２  時間−周波数平面の座標の変化
今までに演算子を説明しており、その動作は、時間−周波数平面内で簡単に説明される。これは、密度が1／2である直交格子における曖昧性関数の打ち消しの点を作る直交演算子のようなものである。以下では、説明は、時間−周波数平面の座標の変化を作る新しい演算子に関係する。これら演算子は、プロトタイプ関数の変換を可能にし、その曖昧性関数は、密度が1／2である直交格子上で打ち消される。その曖昧性関数は、プロトタイプ関数に対して密度が1／2である任意の格子上で打ち消される。
関数xと次式のような関数y＝Ｔxとを関係付ける演算子Ｔを考える。
Ａy（（τ,ν）'ＭT）＝Ａx（τ,ν）
ＭTは行列であり、その行列式は１に等しい。
それゆえ、演算子Ｔは、行列ＭTによって特徴付けられた時間−周波数平面の座標の変化を達成する。
４．３  基底演算子
４．３．１  フーリエ変換演算子
Ｘがxの変換であるならば、即ちＸ＝Ｆxであるならば、前述したように以下の関係式を得る。
Ａx（ν2−τ）＝Ａx（τ,ν）
それゆえ、次に、対応する特有の行列が、以下のように書かれる。
0004042161.tif 000136
この行列は、時間−周波数平面の−π／2の回転に対応する。
４．３．２  位相シフト演算子
関数xと次式のような関数yとに関係付けられた位相シフト演算子Ｐθを検討する。
ｙ（ｔ）＝ｅiθｘ（ｔ）
明らかに次式を得る。
Ａy（τ,ν）＝Ａx（τ,ν）
それゆえ、
0004042161.tif 000137
となり、Ｉは同一行列である。
４．３．３  相似拡大変換演算子
相似拡大変換演算子Ｈγは、関数x（ｔ）を有する関数y（ｔ）に関係する演算子であり、関数y（ｔ）は次式によって定義される。
0004042161.tif 000138
γは、検討された相似拡大変換の要素である。
それゆえ、次式を得る。
0004042161.tif 000139
ｕ＝ｔ／γとする。γが正ならば、次式を得る。
0004042161.tif 000140
γが負ならば、次式を得る。
0004042161.tif 000141
両方の場合に、Ａγ（τ,ν）＝Ａx（τ／γ,γν）ならば、次式を得る。
Ａy（γτ,ν／γ）＝Ａx（τ,ν）
従って、次のようになる。
0004042161.tif 000142
４．３．４  ウォブレーション演算子
関数の曖昧性関数を修正するための簡単な方法は、ウォブレーション信号によってそれを乗算することからなる。Ｗβは、関数y（ｔ）と関数x（ｔ）とに関係する時間ウォブレーション演算子を示しており、関数y（ｔ）が次式によって定義される。
0004042161.tif 000143
次に、次式のように書くことが可能となる。
0004042161.tif 000144
フーリエ変換によるならば、
0004042161.tif 000145
即ち、また、
Ａy（τ,ν＋βτ）＝Ａx（τ,ν）
従って、次のようになる。
0004042161.tif 000146
４．４  時間−周波数演算子の群
前述された基底演算子の有限共役（finite conjugation）によって生じる全ての演算子を検討する。最初に、y＝Ｔx＝Ｔ1Ｔ2...Ｔnxならば、次式となることに注目すべきである。
0004042161.tif 000147
明らかに、演算子の共役として規定された積を提供するこの集合は、群構造を有する。
４．４．１  演算子の乗算のための基本規則
演算子の乗算は、以下の規則によって管理される。
Ｆ4＝Ｉ
Ｆ2＝Ｈ-1
ＰθＰθ'＝Ｐθ+θ'
ＨγＨγ'＝Ｈγγ'
ＷβＷβ'＝Ｗβ+β'
更に、Ｆ2及びＰθは、他の全ての演算子と可換される。最後に、以下の関係式に注目すべきである。
0004042161.tif 000148
ｕ'＝y／γとする。γが正ならば、
0004042161.tif 000149
γが負ならば、
0004042161.tif 000150
両方の場合に、それゆえＨγＦ＝ＦＨ1/γとなる。
同様に、次式を得る。
0004042161.tif 000151
それゆえ、
0004042161.tif 000152
となる。
４．４．２  チャープ（chirp）変換アルゴリズムの拡張
前述の規則は、フーリエ変換及びウォブレーション演算子を除いて、互いに全ての演算子の伝達を可能とする。これら演算子の伝達を可能にする規則は、より複雑であり、チャープ変換アルゴリズムから推定できる。
ここで、演算子Ｆ、Ｗ及びＨを結合する関係式を検討する。δt（ｕ）＝δ（ｕ−ｔ）とする。検討される演算子が線形であるために、これらの特性は、以下の関係式を用いて超関数δtにおける動作を検討することによって分析される。
0004042161.tif 000153
従って、次式を得る。
0004042161.tif 000154
それゆえ、最後に次式を得る。
ＦＷ1/βＦ＝Ｐπ/4Ｗ-βＦＷ-1/βＨβ
４．４．３  標準的な分解
ここで前述に定義された演算子の集合の要素をとる。この要素が演算子Ｆを有さないならば、４．４．１章に与えられた規則を用いることによって、次式のようにそれを簡単に整理することが可能となる。
Ｔ＝ＰθＨγＷα
この要素が１つの演算子Ｆしか有さないならば、同じ規則を適用することによって、次式のようにそれを簡単に整理することが可能となる。
Ｔ＝ＰθＨγＷαＦＷβ
この要素が少なくとも２つの演算子Ｆを含むならば、次式のようにそれを簡単に整理することが可能となる。
0004042161.tif 000155
４．４．２章の規則を適用することによって、演算子Ｆを反復的に取り除くことができ、最後に１つの演算子しか含まない表現式を得る。簡単に言えば、群の要素は、前述の表現式の２つの式の一方に従って全て書かれる。
第１のタイプの表現式に従って書かれた群の要素をＴとする。その特徴ある行列が次に書かれている。
0004042161.tif 000156
第２のタイプの表現式に従って書かれた群の要素をＴとする。その特徴ある行列が次に書かれている。
0004042161.tif 000157
逆に、１に等しい行列式を有する行列ＭTをとる。それと、その標準的表現に従って記載された演算子とを関係付けることができる。
0004042161.tif 000158
ｃ＝０ならば、第１のタイプの演算子と次のようなこの行列とを関係付けることができる。
0004042161.tif 000159
ｃ≠０ならば、第２のタイプの演算子と次のようなこの行列とを関係付けることができる。
0004042161.tif 000160
θとみなす全体的曖昧さを残すことが明らかであることに注目すべきである。
４．５  任意の格子におけるヒルベルト基底の構成
前述した方法は、任意の格子におけるヒルベルト基底の構成の一般的方法を与える。基底ベクトル（τ1,ν1）及び（τ2,ν2）並びにν2τ1−ν1τ2＝1／2から生じる密度が２である任意の格子を検討する。次式のような関数x（ｔ）を検討する。
0004042161.tif 000161
実際問題として、関数xは、ＯＱＡＭ、ＯＭＳＫ、又は第３章に示され且つ特にＩＯＴＡ関数のようなガウス関数の直交性によって得られた関数のいずれか１つの、プロトタイプ関数となる。
Ｔは、次式によって規定された特徴行列ＭTを有する演算子とｓる。
0004042161.tif 000162
そしてy＝Ｔxである。そのとき、次式を得る。
0004042161.tif 000163
次式によって定義された関数｛ym,n｝の集合を検討する。
0004042161.tif 000164
４．１章で証明されたものに従って、関数｛ym,n｝の集合は、ヒルベルト基底を構成する。それゆえ、時間−周波数平面の任意の格子におけるヒルベルト基底を構成するために利用できる一般的な方法を有する。
５．５点形ヒルベルト基底
前述の一般的方法が学術的関心事を明らかにしたけれども、その実際の適用は、難しいことを明らかにする。一方で、一般の場合、復調アルゴリズムは、基底関数の格子の斜交構造によってひどく複雑にされる。それゆえ、得られたプロトタイプ関数は一般的に複雑である。更に、これは複雑さを増加する。
それゆえ、この一般化が任意の実際の値を有するならば、問題が生じる。このプログラムの目的は、この問題に対する完全な解答を提供することである。
前述された方法に従って一般化されたヒルベルト基底の集合を検討する。そのプロトタイプ関数が実偶数パリティ関数であるヒルベルト基底に対して、この集合内で検索される。そのとき、曖昧性関数は、次式のように対称性を有する。
0004042161.tif 000165
それゆえ、Ａx（τ,ν）＝Ａx（-τ,ν）＝Ａx（-τ,-ν）＝Ａx（-τ,ν）となる。この関数の可約（cancellation）格子が同じ対称性を有しない限り、曖昧性関数のこれら対称性は得ることができない。ここでこれら条件は、2つのタイプの格子を除いて確認されない：その上の直交格子は、今まで検討された全ての変調と、５点形格子とに基底される。
直交格子は、基底ベクトル
0004042161.tif 000166
によって生じる。５点形格子は、ベクトル（τ1,ν1）＝（1／2,-1／2）及び（τ2,ν2）＝（1／2,1／2）によって生じる。角度-π／４の回転で一方の格子から他方の格子へ移動する。これは、なぜ特別な値が、時間−周波数平面の回転を達成する演算子より下に取り付けられるかということである。
５．１  時間−周波数回転演算子の副群
その特徴行列が次のような時間−周波数平面の回転となる演算子の全てを検討する。
0004042161.tif 000167
フーリエ変換Ｆの演算子が、角度ψ＝−π／2の回転に対応し、同時に演算子Ｆ3＝Ｆ-1が角度ψ＝π／2の回転に対応することは、既に分かっている。
次式の演算子を検討する。
ＰθＦＷαＨγＦＷβ
その特徴行列は、以下のように書かれる。
0004042161.tif 000168
γ＝−cosψ及びα＝β＝tanψならば、角度ψの回転の行列を得る。パラメータθは曖昧さを残す。この曖昧さを取り除くために、この演算子がガウス関数x（ｕ）＝ｅ-πu2の不変式を残すことを規定することになる。
0004042161.tif 000169
ここで次式を得る。
0004042161.tif 000170
用語ψmodxは、ψのモジュロπに合致すべき−π／２からπ／２の間の値を示す。それゆえ、次のように書くことができる。
0004042161.tif 000171
最後に、次のように書くことができる。
0004042161.tif 000172
定義
用語Ｒψは、次のように規定された角度ψで時間−周波数平面の回転の演算子を意味する。
0004042161.tif 000173
実数αをとる。演算子Ｆの分数のべき乗もまた、次の関係式によって規定される。
Ｆα＝Ｒ-απ/2
従って、規定された演算子の集合は、平面の回転の群を有する伝達群構造同形（commutative group structure isomorphous）を有する。演算子Ｆのべき指数表記は、べき指数の"通常"の特性の全てを確認する。
５．２  ＩＯＴＡ  π／４
直交格子におけるヒルベルト基底の発生を可能にする偶数パリティで実数のプロトタイプ関数x（ｔ）と、次のように規定された関数y（ｔ）とする。
y＝Ｆ1/2x
Ｆ1/2は、前述で規定されたようなフーリエ変換の平方根演算子である。曖昧性関数のレベルで、この演算子は、時間−周波数平面の角度π／４の回転を行う。関数y（x）が実偶数パリティ関数にできるために、その曖昧性関数は、時間及び周波数軸に対して対称となるべきである。それゆえ、これは、時間及び周波数軸に対する対称性に加えて、関数x（ｔ）が、時間−周波数軸の対角線に対して対称となることを意味する。関数x（ｔ）がそのフーリエ変換と同じであるならば、これが確認できるような特性は、そのフーリエ変換と同じとなる。ここでは、この特性を有する1つの関数のみが公知である。これが、ＩＯＴＡ関数である。
ＩＯＴＡ関数π／４は、次の関係式によって規定される。
0004042161.tif 000174
この関数は、構成によって実数及び偶数パリティ関数である。それゆえ、この関数の曖昧性関数は、ベクトル（τ1,ν1）＝（1/2,-1/2）及び（τ2,ν2）＝（1／2,1／2）によって生じる５点形格子において打ち消される。４．１章に従って、次式によって規定された関数
0004042161.tif 000175
の集合がヒルベルト基底を構成することから推測される。
0004042161.tif 000176
指数の再規定において、次のようなこの集合の定義を再び書くことができる。
0004042161.tif 000177
６．付録
以下の恒等関数は、次のように認められる。
0004042161.tif 000178
正規化されたガウス関数xが次のように規定されるとする。
0004042161.tif 000179
それゆえ、積x（ｕ−ａ）x（ｕ−ｂ）が、以下のように書くことができる。
0004042161.tif 000180
最後に、次のように書くことができる。
0004042161.tif 000181
付録  ４
１．連続から離散へ
前述した2つの章において、Ｌ2［Ｒ］の関数を検討してきた。実際に、信号のデジタル処理は、離散域に移動すると仮定する。
１．１  一般的ポイント
この仮定が周知である理論的に重要なことであるけれども、実際に用いられた信号は、時間域と周波数域との両方で限定されることを常に検討する。しかし、以下の方法を適用する離散値の有限集合によって、この問題及び表された信号を回避することを可能にする。
時間域の［０,Ｔ］及び周波数域の［-Ｗ／2,Ｗ／2］に限定された空間の、明らかにされていない複素数信号x（ｔ）を見ると仮定する。考察は、積ＷＴが整数となる場合に限定されるべきである。ベクトル
0004042161.tif 000182
が次式のような座標ｘpを有するこの信号に関係することが可能となる。
0004042161.tif 000183
指数ｑに従う和は、エイリアシングを達成し、それゆえ、サンプリングが周波数の信号を「周期的（periodize）」に行う間、時間の信号を「周期的」に行う。
y（ｔ）＝x（ｔ）ｅ2iπmt/Tとする。
次のように書くことができる。
0004042161.tif 000184
この完全に≪自然の≫結果が変調周波数の特別な選択によるコストで得られ、エイリアシングの全ての問題を取り除く。同様に、タイプy（ｔ）＝x（ｔ−ｎ／Ｗ）の変換を検討するならば、次のように書くことができる。
0004042161.tif 000185
一般的に、ｌ／Ｗ及びｌ／Ｔのそれぞれの乗算である時間及び周波数サンプリング構造の選択は、信号の調和エイリアシングを保証し、連続域のそれと直接等しい離散域への書き込みを可能にする。
最後に、２つのベクトル
0004042161.tif 000186
のスカラ積を検討する。それは、次のように書くことができる。
0004042161.tif 000187
ｐ＝ｎ÷ｑ'ＷＴ及びｑ＝ｑ’−ｑ”とする。
0004042161.tif 000188
１．２  ＩＯＴＡ変換
ここで、「理論的アプローチ」の章で、ＩＯＴＡ関数に基づいて得られた結果を引き出す第１の変換を見る。
１．２．１  連続域のＩＯＴＡ変換
ここで検討される変換は、正規化変換、即ち前述された
0004042161.tif 000189
の規定に基づいて構成されたものである。それは、常に、相似拡大演算子の事前動作によってこの状態に戻ることが可能となる。ヒルベルト基底
0004042161.tif 000190
が次のように規定されるとする。
0004042161.tif 000191
及びψm,n＝（ｍ＋ｎ）π／2
以下の公式を選択することが交互に可能となることが注目される。
0004042161.tif 000192
この修正は、基底関数の起こりうる逆符号に対応する。フーリエ変換Ｓ（ｆ）の信号ｓ（ｔ）のＩＯＴＡ変換は、次の関係式によって規定される。
0004042161.tif 000193
逆変換は、次式によって得られる。
0004042161.tif 000194
１．２．２  離散ＩＯＴＡ変換
Ｔは
0004042161.tif 000195
に等しく、Ｗは
0004042161.tif 000196
に等しいと選択されたとする。この選択は、エイリアシングの問題が無くなることを保証する。基底関数
0004042161.tif 000197
とする。それと、次のように座標
0004042161.tif 000198
を有するベクトル
0004042161.tif 000199
とを関係付けることが可能となる。
0004042161.tif 000200
スカラ積のタイプを
0004042161.tif 000201
とする。
関数ＩＯＴＡの時間−周波数変換関数の直交性の特性があるならば、（ｍ,ｎ）≠（ｍ',ｎ'）mod（２Ｍ,２Ｎ）ならば、このスカラ積は零となる。ベクトル
0004042161.tif 000202
のノルムに関して、次のように書くことができる。
0004042161.tif 000203
これらの結果、離散ＩＯＴＡ変換は以下のように規定できる。
ＩＯＴＡ変換の定義
Ｍ及びＮは任意の２つの積分とする。実スカラ積の感度の直交となる次元２ＭＮを有する４ＭＮベクトルとし、次のように規定される。
0004042161.tif 000204
ｍは０から２Ｍ−１の間で変化し、ｎは０から２Ｎ−１の間で変化し、ｐは０から２ＭＮ−１の間で変化する。
0004042161.tif 000205
は、次元２ＭＮを有する複素数ベクトルとする。次のようにブレイクダウンできる。
0004042161.tif 000206
ｐは０から２ＭＮ−１までの間で変化する。
0004042161.tif 000207
行列｛ａm,n｝は、ベクトル
0004042161.tif 000208
のＩＯＴＡ変換である。
１．３  ＩＯＴＡ変換π／４
１．３．１  連続域のＩＯＴＡ変換π／４
ここで検討された変換は、≪正規化≫変換であり、即ち前述された格子を正規化した５点形タイプの基底に構成されるものである。適する相似拡大演算子の事前動作によってこの状態に戻すことが常に可能となる。次のように規定されたヒルベルト基底
0004042161.tif 000209
とする。
0004042161.tif 000210
及びψm,n＝（ｎ−ｍｎ／2＋（ｎ2−ｍ2）／４）π／２
以下の公式を選択するために、交互に起こりうることに注目すべきである。
ψm,n＝０      ｍ+ｎ≡０モジュロ４、ｍ及びｎは偶数パリティ
ψm,n＝π／4    ｍ+ｎ≡２モジュロ４、ｍ及びｎは奇数パリティ
ψm,n＝π／2    ｍ+ｎ≡２モジュロ４、ｍ及びｎは偶数パリティ
ψm,n＝3π／4   ｍ+ｎ≡２モジュロ４、ｍ及びｎは偶数パリティ
この修正は、基底関数の起こりうる逆符号に対応する。このとき、フーリエ変換Ｓ（ｆ）の信号ｓ（ｔ）のＩＯＴＡ変換π／４は、次の関係式によって規定される。
0004042161.tif 000211
逆変換は、次式によって得られる。
0004042161.tif 000212
１．３．２  離散ＩＯＴＡ変換
Ｔは２Ｎに等しく、Ｗは２Ｍに等しくなるように選択する。この選択は、エイリアシングの問題が無くなることを保証する。基底関数を
0004042161.tif 000213
とする。それと、次式のような座標
0004042161.tif 000214
を有するベクトル
0004042161.tif 000215
とを関係付けることが可能となる。
0004042161.tif 000216
スカラ積のタイプを
0004042161.tif 000217
とする。
関数ＩＯＴＡの時間−周波数変換関数の直交性の特性ならば、（ｍ,ｎ）≠（ｍ',ｎ'）mod（２Ｍ,２Ｎ）ならば、このスカラ積は零となる。ベクトル
0004042161.tif 000218
のノルムに対して、次のように書くことができる。
0004042161.tif 000219
これらの結果、離散π／４のＩＯＴＡ変換は、次のように規定できる。
定義
Ｍ及びＮを２つの明確でない整数とする。実数スカラ積の感度の直交となる次元４ＭＮを有する８ＭＮベクトルとし、次のように規定される。
0004042161.tif 000220
ｍは０から４Ｍ−１の間で変化し、ｎは０から４Ｎ−１の間で偶数パリティ値としてｍ＋ｎで変化し、ｐは０から４ＭＮ−１の間で変化する。
0004042161.tif 000221
は、次元４ＭＮを有する複素数ベクトルとする。次のようにブレイクダウンできる。
0004042161.tif 000222
ｐは０から４ＭＮ−１の間で変化する。及び
0004042161.tif 000223
行列｛ａm,n｝は、ベクトル
0004042161.tif 000224
のＩＯＴＡ変換である。
２．高速復調アルゴリズム
２．１  高速ＩＯＴＡ変換による復調
送られた信号の等式によって特徴付けられたＩＯＴＡマルチキャリア型変調を検討する。
0004042161.tif 000225
送信チャネルは、その可変伝達関数Ｔ（ｆ,ｔ）よって特徴付けられるとする。受信された信号ｒ（ｔ）は、次のように書かれる。
0004042161.tif 000226
最適な復調器は、この段に記載されていないものを用いて伝達関数Ｔ（ｆ,ｔ）を推定する。真の信号を復調するために、チャネルは、瞬間のＴ（ｆ,ｔ）の値と、検討される周波数とに対応する振幅及び位相によって特徴付けられた多重チャネルに局所的に等しい。それゆえ、ａm,nを推定するために、受信された信号は、次の信号に等しくなる。
0004042161.tif 000227
次のように仮定する。
0004042161.tif 000228
それゆえ、復調器は、以下の処理動作を行う。
0004042161.tif 000229
伝達関数ρｅ-θを有する定常チャネルの場合、次のように明らかにされる。
0004042161.tif 000230
実際に、処理は、デジタル形式で実行される。次式を得る。
0004042161.tif 000231
次に、ｐ＝ｋ＋２Ｍｒで、ｋは０から２Ｍ-1の間で変化し、ｒは０からＮ-1の間で変化すると仮定する。
0004042161.tif 000232
この等式は、以下の処理動作を含む高速復調アルゴリズムを用いることができることを表している。
・プロトタイプ関数によって受信された信号の前フィルタリング
・フィルタされた波形モジュロ２Ｍのエイリアシング
・２Ｍの複素点の次元を有するＦＦＴ
・位相θm,n＋ψm,nの修正
・実部の選択
それゆえ、このアルゴリズムは、与えられた指数ｎの全ての係数の全体的計算を可能とする。対応する複素数の大きさは、ＯＦＤＭに用いられるアルゴリズムのもののおよそ２倍になる。
２．２  高速π／４ＩＯＴＡ変換による復調
送られた信号の等式によって特徴付けられるπ／４ＩＯＴＡマルチキャリア型変調を検討する。
0004042161.tif 000233
前述のように、復調器は、以下の処理動作を行う。
0004042161.tif 000234
実際に、処理はデジタル形式で行われる。次式を得る。
0004042161.tif 000235
次に、ｐ＝ｋ＋４Ｍｒで、ｋは０から４Ｍ−１の間で変化し、ｒは０からＮ−１の間で変化すると仮定する。
0004042161.tif 000236
この等式は、以下の処理動作を含む高速復調アルゴリズムを用いることができることを表している。
・プロトタイプ関数
0004042161.tif 000237
によって受信された信号の前フィルタリング
・フィルタされた波形モジュロ４Ｍのエイリアシング
・４Ｍの複素点の次元を有するＦＦＴ
実際にパリティのｎに従って、偶数パリティと奇数パリティとの点を計算することは十分である。この部分ＦＦＴは、バタフライ（butterfly）の第1のバンク（bank）の後で、比率２でサンプルを分割することによって実行される。これは、１つの完全な前フィルタリングと等しくなる（サンプルの和又は差）。このとき、動作は、２Ｍ点の次元を有するＦＦＴに減少される。
・位相θm,n＋ψm,nの修正
・実部の選択
それゆえ、このアルゴリズムは、与えられた指数ｎの全ての係数の全体の形成を可能とする。対応する複素数のスケールは、ＯＦＤＭに用いられるアルゴリズムのもののおよそ２倍になる。
【図１】
0004042161.tif 000246
【図２Ａ】
0004042161.tif 000247
【図２Ｂ】
0004042161.tif 000248
【図２Ｃ】
0004042161.tif 000249
【図２Ｄ】
0004042161.tif 000250
【図２Ｅ】
0004042161.tif 000251
【図３】
0004042161.tif 000252
【図４】
0004042161.tif 000253
【図５】
0004042161.tif 000254
【図６】
0004042161.tif 000255