(57)【要約】【課題】動特性定数のみならず磁気吸引力をも考慮して、ＢＭモデルを用いて、油膜軸受で支持されたロータの安定判別を簡易かつ正確に行う。【解決手段】縦軸を固有振動数、横軸を回転数としたBently−Muszynskaの安定判別簡略図に、自励振動周波数ω1を示す特性線と、下式で示す指数λcrを示す特性線を描き、両特性線の交点の回転数が安定限界回転数であると判定する。λcr＝[λoil＋（ｃr／ｃd）]／[１＋（ｃr／ｃd）]  但し、λoilは油膜軸受のみの指数、ｃdはダイレクト粘性減衰係数、ｃrは電磁石による磁気吸引力がロータに作用することにより発生する内部減衰。【選択図】図２
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
ロータの回転軸を油膜軸受により支持している回転電機において、前記ロータの安定判別をする方法であって、
（i）  電磁石による磁気吸引力が前記ロータに作用することにより発生する内部減衰ｃrを次式（イ）により求めるステップと、
ｃr＝Ｃ0Ｂ2Ｓｈ／ρ                                            ・・・（イ）
但し、Ｓは磁束面積、Ｂは空隙磁束密度、ｈは回転子導体バーの厚み、ρは回転子導体バーの比抵抗、Ｃ0は予め決めた定数である。
（ii）  指数λ＝クロスばね剛性／ダイレクト粘性減衰係数と定義し、非線形ばね、非線形減衰、付加質量を無視したBently-Muszynskaモデルに、予め知られている動特性定数を入れ、前記磁気吸引力による不安定化力は考慮することなくシミュレーション演算して、油膜軸受のみの指数λoilの値を求めるステップと、
（iii）  前記磁気吸引力による内部減衰を考慮していない場合での油膜軸受の減衰と、前記磁気吸引力による内部減衰とを結合した指数λcrを次式（ロ）により求めるステップと、
λcr＝[λoil＋（ｃr／ｃd）]／[１＋（ｃr／ｃd）]                  ・・・（ロ）
但し、ｃdはダイレクト粘性減衰係数である。
（iv）  自励振動の周波数ω1を次式（ハ）により求めるステップと、
ω1＝[（ｋs／／ｋd）／ｍ]1/2＝[１／[（１／ωd2）＋（１／ωz2）]]1/2・・（ハ）
但し、ｋsは軸曲げ剛性、ｋdはダイレクトばね定数、ωdは剛体モード固有振動数、ωzは１次曲げモード固有振動数、ｍはロータの質量である。
（v）  縦軸を固有振動数、横軸を回転数としたBently−Muszynskaの安定判別簡略図に、前記ω1を示す特性線と、前記λcrを示す特性線を描き、両特性線の交点の回転数が安定限界回転数であるとするステップと、
を有することを特徴とする油膜軸受で支持されたロータの安定判別方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、油膜軸受で支持されたロータの安定判別方法に関し、磁気吸引力がロータに作用することによりロータに生じる不安定化力をも考慮して、ロータの安定性を簡易に判別するものである。
【背景技術】
【０００２】
電動機では、回転軸を、軸受により回転自在に支持している。電動機の軸受としては、従来では転がり軸受が用いられていたが、近年では油潤滑のすべり軸受（これを「油膜軸受」と称する）が多く採用されている。油膜軸受は、力学的には減衰が大きく、適切なロータ設計において十分な減衰比が得られるという特長を持っている。このように減衰比が大きいことにより、ロータのふれまわり運動に起因する共振をより的確に押さえることができる。
このため、油膜軸受を用いた電動機により、高速回転が可能となる。
【０００３】
しかし、油膜軸受を用いた電動機においてロータを高速回転すると、回転軸の外周面と油膜軸受の内周面との隙間内における、潤滑油の高速流れに起因する不安定要因により、流体関連の自励振動（オイルホイップ、オイルホワール等）が発生する恐れがある。
【０００４】
電動機などの回転機械のロータに発生する自励振動の挙動を解析する力学モデルとして、Bently-Muszynska（ＢＭ：ベントリー−ムジンスカ）モデルが知られている（非特許文献１、２参照）。
ＢＭモデルにおいては、Ωを回転数（rps）、指数λ＝クロスばね剛性／ダイレクト粘性剛性として、振動モデルを用いてシミュレーション演算をすることにより、オイルホワールやオイルホイップの発生条件などを解析して安定判別をすることができる。
なお、λ＝１のときには、回転軸の周面の回転速度と潤滑油の回転速度とが一致している状況を示し、λ＝１／２のときには、回転軸の周面の回転速度に対して、潤滑油の回転速度が１／２の速度になっている状況を示し、λ＝０のときには、回転軸は回転しているが潤滑油は停止している（回転していない）状況を示している。
【０００５】
このＢＭモデルを用いた解析手法では、複雑な演算である複素固有値解析を行うことなく、簡便に自励振動（オイルホイップ、オイルホワール等）に関する安定判別を行うことができる。
【０００６】
従来では、このＢＭモデルを用いて、回転機械のロータの自動励振に関する安定判別を行っていた。
【０００７】
ちなみに複素固有値解析によれば、固有振動数、固有モードの他に、各固有モードにおけるモード減衰比についても求めることができる。そして、求めたモード減衰比によって振動の安定性を評価することができる。つまりモード減衰比が負の値になると、振動が徐々に大きくなる不安定な振動（振動が発散してしまう）で、その固有振動数と固有モードが複素固有値解析からわかる。
【０００８】
この複素固有値解析から求めた不安定な振動の対策を行うためには、原因を特定する必要があり、非回転時の固有振動数と固有モードについて検討するのが比較的簡単である。しかし、固有振動数は油膜軸受の動特性やジャイロ効果などにより回転数で変化するため、この変化する多数の固有振動数の中から目的の固有振動数を抽出していく作業には時間を要していた。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００９】
【非特許文献１】Agnes Muszynska,“WHIRL AND WHIP−ROTOR/BEARING STABILITY PROBLEMS” Journal of Sound and vib.,Vol.110, No3 (1986), pp.443-462
【非特許文献２】松下修己・他４名  著、「続  回転機械の振動」株式会社コロナ社、2012年、p.227−234
【非特許文献３】編集者  社団法人日本機械学会，「新技術融合シリーズ：第４巻  振動のダンピング技術」，株式会社養賢堂，1998年，p.162-163
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【００１０】
回転機械のロータには、自励振動を起こす原因となる様々な不安定化力が作用する。
しかし、上記のＢＭモデルにおいては、不安定化力として油膜軸受の動特性定数しか注目していない。
【００１１】
一方、電動機においては、電動機に備えられている電磁石の電磁力による不安定化力（磁気吸引力）が、電動機のロータに作用する。つまり電磁石による電磁力（磁気吸引力）が、回転軸心の周方向の各位置において均一であったとしても、ロータがふれまわり運動すると、回転するロータに対して電磁力（磁気吸引力）が不安定化力として作用し、ロータが自励振動することがある。
【００１２】
従来のＢＭモデルを用いた解析では、動特性定数による不安定化力は考慮していたが、電磁石の電磁力（磁気吸引力）による不安定化力は考慮していないため、電動機のロータに発生する自励振動を正確に捉えることができず、安定化判別を正確に行うことができないという課題があった。
【００１３】
本発明は、上記従来技術に鑑み、不安定化要因の一つである内部減衰として磁気吸引力を考え、磁気吸引力による不安定化力をＢＭモデルに最適に組み込むことにより、動特性定数のみならず磁気吸引力をも考慮して、ＢＭモデルを用いて、油膜軸受で支持されたロータの安定判別を簡易かつ正確に行うことができる安定判別方法を提供するものである。
これにより、軸受として油膜軸受を採用すると共に、油膜軸受で支持されたロータに磁気吸引力が作用する回転機械（電動機等）における、ロータの安定判別を正確かつ簡易に行うことができるようにするものである。
【課題を解決するための手段】
【００１４】
上記課題を解決する本発明は、
ロータの回転軸を油膜軸受により支持している回転電機において、前記ロータの安定判別をする方法であって、
（i）  電磁石による磁気吸引力が前記ロータに作用することにより発生する内部減衰ｃrを次式（イ）により求めるステップと、
ｃr＝Ｃ0Ｂ2Ｓｈ／ρ                                            ・・・（イ）
但し、Ｓは磁束面積、Ｂは空隙磁束密度、ｈは回転子導体バーの厚み、ρは回転子導体バーの比抵抗、Ｃ0は予め決めた定数である。
（ii）  指数λ＝クロスばね剛性／ダイレクト粘性減衰係数と定義し、非線形ばね、非線形減衰、付加質量を無視したBently-Muszynskaモデルに、予め知られている動特性定数を入れ、前記磁気吸引力による不安定化力は考慮することなくシミュレーション演算して、油膜軸受のみの指数λoilの値を求めるステップと、
（iii）  前記磁気吸引力による内部減衰を考慮していない場合での油膜軸受の減衰と、前記磁気吸引力による内部減衰とを結合した指数λcrを次式（ロ）により求めるステップと、
λcr＝[λoil＋（ｃr／ｃd）]／[１＋（ｃr／ｃd）]                  ・・・（ロ）
但し、ｃdはダイレクト粘性減衰係数である。
（iv）  自励振動の周波数ω1を次式（ハ）により求めるステップと、
ω1＝[（ｋs／／ｋd）／ｍ]1/2＝[１／[（１／ωd2）＋（１／ωz2）]]1/2・・（ハ）
但し、ｋsは軸曲げ剛性、ｋdはダイレクトばね定数、ωdは剛体モード固有振動数、ωzは１次曲げモード固有振動数、ｍはロータの質量である。
（v）  縦軸を固有振動数、横軸を回転数としたBently−Muszynskaの安定判別簡略図に、前記ω1を示す特性線と、前記λcrを示す特性線を描き、両特性線の交点の回転数が安定限界回転数であるとするステップと、
を有することを特徴とする。
【発明の効果】
【００１５】
本発明によれば、不安定化要因の一つである内部減衰として磁気吸引力を考え、動特性による不安定化力のみならず磁気吸引力による不安定化力をもＢＭモデルに最適に組み込むことにより、ロータの安定判別を行うため、ロータの安定判別をより正確に行うことができる。
高速電動機では、磁気吸引力による不安定化力が大きいため、本発明を利用することにより、高速電動機のロータの安定判別をより正確に行うことができる。
【図面の簡単な説明】
【００１６】
【図１】電動機のロータを５１節点のはり要素に分解したＦＥＭモデルのメッシュ図。
【図２】Bently−Muszynskaが提案する安定判別簡略図。
【発明を実施するための形態】
【００１７】
以下、本発明に係る油膜軸受で支持されたロータの安定判別方法を、実施例に基づき詳細に説明する。
なお以下の実施例では、油膜軸受を用いた電動機のロータに関して、安定判別をする方法について説明する。
【００１８】
〔実施例〕
実施例に係る「油膜軸受で支持されたロータの安定判別方法」をどのようにして得たかを順次説明する。
【００１９】
＜ロータのモード合成法モデルの導出＞
電動機のロータを５１節点のはり要素に分解したＦＥＭ（Finite Element Method:有限要素法）モデルのメッシュ図を図１に示す。この１Ｄ（１次元）−ＦＥＭモデルについて回転体振動解析プログラムにより固有値計算をすることができる。この場合、軸受は４円弧軸受、動特性定数（ばね定数、減衰定数など）は軸受メーカによって規定された値とした。
【００２０】
図１のＦＥＭモデルについては、式（１）の１０２ＤＯＦ（Degree-of-Freedom）運動方程式が得られる。
【数１】
2017044479.tif 000003
但し、Ｍは質量行列、Ｋは軸剛性と油膜軸受剛性の平均直交剛性を示す剛性行列、Ｇはジャイロ行列、[ｚ，θ]は各節点の[撓み，傾き角]であり、いずれも複素変位である。またＺt＝［ｚ1θ1  ・・・  ｚ51θ51］：51×2＝102次元の変位ベクトル、Ｄは油膜軸受の減衰、Ωは回転数（rps）である。
また、節点番号ｚ9，ｚ35の位置が軸受位置である。節点番号ｚ1のロータ端（図１では左端）が反直結側、節点番号ｚ51のロータ端（図１では右端）が直結側である。
【００２１】
軸受の節点番号の変位座標（ｚ9，ｚ35）を境界座標（ｘ11，ｘ12）とし、それらを除いたその他の節点の座標を内部座標とすることにより、軸受の節点を強制変位させたときのGuyan静的変形モード[δ1，δ2]と、境界座標を拘束[ｚ9＝０，Ｚ35＝０]したときの内部系モード（固有振動モード）Φの１〜４次（φ1〜φ4）モードと固有振動数を求めることができる。
ここで、静的変形モードと内部系モード（固有振動モード）を用いて、モード合成法の座標変換行列Ψを次式（２）で定義する。
【数２】
2017044479.tif 000004
但し、Ｗ1t＝［ｚ9θ9  ｚ35θ35］、Ｗ2t＝［ｚ1θ1  ・・・  ｚ8θ8  ｚ10θ10  ・・・  ｚ34θ34  ｚ36θ36  ・・・  ｚ51θ51］、Ｅ2＝２行２列の単位行列、０2×4＝２行４列の零行列、Φ＝[φ1 φ2 φ3 φ4]、η＝[η1 η2 η3 η4]である。ηはモード座標であり、境界座標[ｚ9，ｚ35]に対する相対変位を表す。式（２）から得られるモード合成法モデルは、静的変形モード[δ1，δ2]の振れと内部系モード[φ1 φ2 φ3 φ4]の振れの重畳で表されることを意味している。
【００２２】
式（１）の１０２ＤＯＦ（Degree-of-Freedom）運動方程式を、式（２）を用いて合同変換することで、次式（３）の６ＤＯＦモード合成法モデルを得ることができる。
【数３】
2017044479.tif 000005
【００２３】
ここでは油膜軸受の動特性は直交平均成分の平均値、すなわち等方性としてＢｒｇ（境界座標（油膜軸受）の位置）＝ｋd＋ｃdｓで表している。なおｋdはダイレクトばね定数、ｃdはダイレクト粘性減衰係数、ｓは微分演算子である。
また、ロータのふれまわり運動はｘ方向変位とｙ方向変位で表されるので、ｘｙ平面を複素平面と考えて次式（４）の複素変位ｚの形式で定義している。
【数４】
2017044479.tif 000006
【００２４】
＜磁気吸引力の考慮＞
導体バーに流れる渦電流により発生する粘性減衰係数ｃrを次式（５）で定義する（非特許文献３参照）。
ｃr＝Ｃ0Ｂ2Ｓｈ／ρ                      ・・・（５）
但し、Ｓは磁束面積、Ｂは空隙磁束密度、ｈは回転子導体バーの厚み、ρは回転子導体バーの比抵抗、Ｃ0は0.26〜0.5である。
例えば、Ｂ＝２Ｔ、Ｓｈ＝１．８×１０-4 ｍ3、ρ＝１．６９×１０-8 Ωｍ、Ｃ0＝０．５を式（５）に代入することにより、電動機のロータに作用する磁気吸引力により発生する内部減衰ｃrを演算することができる。この内部減衰（磁気吸引力による内部減衰）が、電動機のロータの中央に作用しているとする。
【００２５】
式（５）で発生する力は回転座標系の減衰力であり、これを静止座標系に戻し、６ＤＯＦモード合成法モデルの特性方程式である式（３）に追加代入し、前向きのみの軸受力を考慮して、次式（６）の６ＤＯＦモード合成法モデルの特性方程式を得ることができる。
【数５】
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また、ｋfは前向きふれまわりばね定数であり、Cfは前向きふれまわり粘性減衰定数である。
【００２６】
Bently-Muszynskaモデルの指数λは、λ＝クロスばね剛性／ダイレクト粘性減衰係数で定義されている。軸受メーカから得た動特性定数より、回転数３３３ｒｐｓでは、油膜軸受の指数λoil＝０．４８となる。
【００２７】
次に、磁気吸引力による内部減衰は、指数λを用いて表すとλ＝１に相当する。λ＝１に相当する、磁気吸引力による内部減衰ｃr（式（５）参照）を考慮したとき、回転数Ω＝３３３ｒｐｓにおける、「磁気吸引力による内部減衰を考慮していない場合での油膜軸受の減衰」と「磁気吸引力による内部減衰」とを結合した指数λcrは次式（７）となる。
なお式（７）では、λoil＝０．４８、ｃr／ｃd＝０．６３とした。
【数６】
2017044479.tif 000008
【００２８】
このように、磁気吸引力による内部減衰を、指数λを用いて表すとλ＝１に相当する、としたことが、本発明の１つの特長である。
また、式（５）を用いて、磁気吸引力をλ＝１に相当する内部減衰ｃrとしたことが、本発明のもう一つの特長である。
更に、回転数Ω＝３３３ｒｐｓにおける、「磁気吸引力による内部減衰を考慮していない場合での油膜軸受の減衰」と「磁気吸引力による内部減衰」とを結合した指数λcrを、式（７）により求めることが、本発明の更なる一つの特長である。
【００２９】
次に自励振動の周波数を求める。この自励振動の周波数は最低次固有振動数ω1である。
自励振動周波数（最低次周波数）ω1は、１次曲げモード（内部系φ1モード）の固有振動数ωz1と剛体モード固有振動数ωd（ロータ全質量とダイレクトばね定数による固有振動数）を連成したものである。このため自励振動周波数（最低次周波数）ω1は、１次曲げモード固有振動数ωz1＝３００Ｈｚ、剛体モード固有振動数ωd＝（ｍ／ｋd）1/2／（２π）＝２００Ｈｚの場合、次式（８）のダンカレーの公式により求めることができる。
【数７】
2017044479.tif 000009
【００３０】
よって、オイルホワールに対する安定条件は次式（９）となる
λΩ＜ω1                  ・・・（９）
なお「λΩ」は、油膜の「固有振動数」と言われることがあり、特にロータのふれまわり振動が大きくなる油膜流の条件を示すものである。
【００３１】
上記の油膜軸受のみのλ（λoil）、磁気吸引力による内部減衰を考慮したλ（λcr）、最低次固有周波数ω1を、図２のBently−Muszynskaが提案する安定判別簡略図に示す。なお図２において、縦軸は固有振動数、横軸はロータの回転数である。
すなわち、簡単のために直線に近似した右上がりのλ線と最低固有振動数ω1の交点から右が不安定である。具体的に見ると、油膜軸受の場合にはΩ＞ω1／λoil＝３８０ｒｐｓにおいて不安定になり、油膜軸受に磁気吸引力による内部減衰を考慮した場合にはΩ＞ω1／λcr＝３４０ｒｐｓにおいて不安定になる。
【００３２】
結局、図２に示す縦軸を固有振動数、横軸を回転数としたBently−Muszynskaの安定判別簡略図に、自励振動周波数ω1を示す特性線と、式（７）で示す指数λcrを示す特性線を描き、両特性線の交点の回転数が安定限界回転数であると判定する。
【００３３】
この安定限界回転数（油膜軸受の場合には３８０ｒｐｓ、油膜軸受に内部減衰を考慮した場合には３４０ｒｐｓ）は、厳密に計算した場合の回転数にそれぞれ対応しており、図２の簡易評価図はよく合っていると言える。
【産業上の利用可能性】
【００３４】
本発明は、電動機のみならず、油膜軸受を採用すると共にロータに磁気吸引力が作用する回転機械において、ロータの安定判別を容易かつ簡易に行う場合に利用することができる。
【符号の説明】
【００３５】
cd  ダイレクト粘性減衰係数
kd  ダイレクトばね定数
ｍ  ロータ質量
【図１】
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【図２】
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