(57)【要約】      （修正有）【課題】透明膜の複数の点の膜厚を一括して推定することが可能な膜厚測定装置を提供する。【解決手段】この膜厚測定装置１００は、カラーカメラ４０により撮像された干渉画像の観測点番号をｉ、単色光の波長の種類に対する番号をｊ、単色光の波長をλ（ｊ）、複数層の透明膜６０の層数をＮ、複数層の透明膜６０のうちのｋ番目の層の透明膜の膜屈折率をｎk、観測点において観測された輝度値をｇ（ｉ，ｊ）、白色光源１０から入射される光の入射光量をＩ0（ｊ）、複数の波長の単色光の平均輝度をａ（ｊ）、反射光の干渉変調度をｂij（ｊ）、複数層の透明膜６０のうちのｋ番目の層の透明膜の膜厚をｔk（ｉ）とした場合、式（１）に基づいて、未知変数であるＩ0（ｊ）およびｔk（ｉ）を推定する制御部５０を備える。2017044596.tif 000033【選択図】図１
2017044596.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
測定対象である複数層の透明膜に複数の波長の単色光を含む光を照射する光源と、
前記光源から照射され、前記複数層の透明膜の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像を撮像する撮像部と、
前記撮像部により撮像された前記干渉画像の観測点番号をｉ、前記単色光の波長の種類に対する番号をｊ、前記単色光の波長をλ（ｊ）、前記複数層の透明膜の層数をＮ、前記複数層の透明膜のうちのｋ番目の層の前記透明膜の膜屈折率をｎk、前記観測点において観測された輝度値をｇ（ｉ，ｊ）、前記光源から入射される光の入射光量をＩ0（ｊ）、複数の波長の前記単色光の平均輝度をａ（ｊ）、反射光の干渉変調度をｂij（ｊ）、前記複数層の透明膜のうちのｋ番目の層の前記透明膜の膜厚をｔk（ｉ）とした場合、以下の式（１）に基づいて、未知変数であるＩ0（ｊ）およびｔk（ｉ）を推定する制御部とを備える、膜厚測定装置。
【数１】
2017044596.tif 000029
【請求項２】
前記制御部は、上記の式（１）に基づいて求められたＩ0（ｊ）と、以下の式（２）とに基づいて、Ｉ0（ｊ）およびｔk（ｉ）を求める際に用いられた前記干渉画像の観測点以外の観測点の膜厚ｔkを未知変数として推定するように構成されている、請求項１に記載の膜厚測定装置。
【数２】
2017044596.tif 000030
【請求項３】
前記制御部は、前記未知変数に初期値を設定するとともに、前記未知変数を含む関数から算出される値に基づいて、目的関数を最小化する非線形計画法により、前記未知変数を推定するように構成されている、請求項１または２に記載の膜厚測定装置。
【請求項４】
前記複数の単色光の波長の数をｍ、前記干渉画像の観測点の数をＰとした場合、以下の式（３）に基づいて、前記未知変数であるＩ0（ｊ）およびｔk（ｉ）を求めるための前記干渉画像の観測点の数Ｐを設定するように構成されている、請求項１に記載の膜厚測定装置。
【数３】
2017044596.tif 000031
【請求項５】
前記複数の単色光は、青、緑および赤の３色の単色光を含む、請求項１〜４のいずれか１項に記載の膜厚測定装置。
【請求項６】
測定対象である複数層の透明膜に複数の波長の単色光を含む光を照射する工程と、
前記複数層の透明膜の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像を撮像する工程と、
前記撮像部により撮像された前記干渉画像の観測点番号をｉ、前記単色光の波長の種類に対する番号をｊ、前記単色光の波長をλ（ｊ）、前記複数層の透明膜の層数をＮ、前記複数層の透明膜のうちのｋ番目の層の前記透明膜の膜屈折率をｎk、前記観測点において観測された輝度値をｇ（ｉ，ｊ）、前記光源から入射される光の入射光量をＩ0（ｊ）、複数の波長の前記単色光の平均輝度をａ（ｊ）、反射光の干渉変調度をｂij（ｊ）、前記複数層の透明膜のうちのｋ番目の層の前記透明膜の膜厚をｔk（ｉ）とした場合、以下の式（４）に基づいて、未知変数であるＩ0（ｊ）およびｔk（ｉ）を推定する工程とを備える、膜厚測定方法。
【数４】
2017044596.tif 000032
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
この発明は、膜厚測定装置および膜厚測定方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
従来、膜厚測定装置および膜厚測定方法が知られている（たとえば、特許文献１参照）。
【０００３】
上記特許文献１では、１層の透明膜の複数の点の反射光の情報を用いて、複数の点の膜厚を一括して推定する膜厚測定装置および膜厚測定方法が開示されている。この膜厚測定装置および膜厚測定方法では、複数の波長の単色光を含む光が測定対象である１層の透明膜に照射される。そして、１層の透明膜の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像から複数の観測点が選択され、選択された観測点の干渉画像の輝度信号と、所定の干渉縞モデル（透明膜についての干渉縞モデル）とに基づいて、複数の点の膜厚が一括して推定されるように構成されている。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００４】
【特許文献１】特開２０１３−１４５２２９号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
しかしながら、上記特許文献１に記載の膜厚測定装置および膜厚測定方法では、１層の透明膜の複数の点の膜厚が一括して推定されるように構成されている一方、複数層の透明膜では、複数の点の膜厚を一括して推定することは困難である。このため、従来では、複数層の透明膜についても複数の点の膜厚を一括して推定することが望まれている。
【０００６】
この発明は、上記のような課題を解決するためになされたものであり、この発明の１つの目的は、複数層の透明膜の複数の点の膜厚を一括して推定することが可能な膜厚測定装置および膜厚測定方法を提供することである。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
上記目的を達成するために、この発明の第１の局面による膜厚測定装置は、測定対象である複数層の透明膜に複数の波長の単色光を含む光を照射する光源と、光源から照射され、複数層の透明膜の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像を撮像する撮像部と、撮像部により撮像された干渉画像の観測点番号をｉ、単色光の波長の種類に対する番号をｊ、単色光の波長をλ（ｊ）、複数層の透明膜の層数をＮ、複数層の透明膜のうちのｋ番目の層の透明膜の膜屈折率をｎk、観測点において観測された輝度値をｇ（ｉ，ｊ）、光源から入射される光の入射光量をＩ0（ｊ）、複数の波長の単色光の平均輝度をａ（ｊ）、反射光の干渉変調度をｂij（ｊ）、複数層の透明膜のうちのｋ番目の層の透明膜の膜厚をｔk（ｉ）とした場合、以下の式（１）に基づいて、未知変数であるＩ0（ｊ）およびｔk（ｉ）を推定する制御部とを備える。
【数５】
2017044596.tif 000003
【０００８】
この第１の局面による膜厚測定装置では、上記の式（１）に基づいて、未知変数であるＩ0（ｊ）およびｔk（ｉ）を推定する制御部を備えることによって、複数の観測点（ｉ）に対するＩ0（ｊ）と、複数層の透明膜の膜厚であるｔk（ｉ）が一括して推定される。すなわち、複数層の透明膜の複数の点の膜厚を一括して推定することができる。その結果、１点ごとに膜厚を推定する場合と比べて、高速に複数層の透明膜の複数の点の膜厚ｔ（ｉ）を推定することができる。
【０００９】
上記第１の局面による膜厚測定装置において、好ましくは、制御部は、上記の式（１）に基づいて求められたＩ0（ｊ）と、以下の式（２）とに基づいて、Ｉ0（ｊ）およびｔk（ｉ）を求める際に用いられた干渉画像の観測点以外の観測点の膜厚ｔkを未知変数として推定するように構成されている。
【数６】
2017044596.tif 000004
このように構成すれば、上記の式（２）においては、未知変数の数が膜厚ｔkのみであるので、上記の式（１）（未知変数がＩ0（ｊ）およびｔk（ｉ））を用いる場合に比べて、より高速に膜厚ｔkを推定することができる。
【００１０】
上記第１の局面による膜厚測定装置において、好ましくは、制御部は、未知変数に初期値を設定するとともに、未知変数を含む関数から算出される値に基づいて、目的関数を最小化する非線形計画法により、未知変数を推定するように構成されている。このように構成すれば、未知変数を含む関数が解析的に解けない場合（非線形関数の場合）でも、未知変数を推定することができる。
【００１１】
上記第１の局面による膜厚測定装置において、好ましくは、複数の単色光の波長の数をｍ、干渉画像の観測点の数をＰとした場合、以下の式（３）に基づいて、未知変数であるＩ0（ｊ）およびｔk（ｉ）を求めるための干渉画像の観測点の数Ｐを設定するように構成されている。
【数７】
2017044596.tif 000005
このように構成すれば、未知変数に対して最低限必要な干渉画像の観測点の数を、上記の式（３）に基づいて、容易に求めることができる。
【００１２】
上記第１の局面による膜厚測定装置において、好ましくは、複数の単色光は、青、緑および赤の３色の単色光を含む。このように構成すれば、３色の単色光の波長が各々異なるので、３色の単色光の干渉により生成される干渉色が膜厚によって変化する。これにより、観測点において観測された輝度値ｇ（ｉ，ｊ）（または輝度値ｇ（ｊ））に基づいて、膜厚を推定することができる。
【００１３】
この発明の第２の局面による膜厚測定方法は、測定対象である複数層の透明膜に複数の波長の単色光を含む光を照射する工程と、複数層の透明膜の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像を撮像する工程と、撮像部により撮像された干渉画像の観測点番号をｉ、単色光の波長の種類に対する番号をｊ、単色光の波長をλ（ｊ）、複数層の透明膜の層数をＮ、複数層の透明膜のうちのｋ番目の層の透明膜の膜屈折率をｎk、観測点において観測された輝度値をｇ（ｉ，ｊ）、光源から入射される光の入射光量をＩ0（ｊ）、複数の波長の単色光の平均輝度をａ（ｊ）、反射光の干渉変調度をｂij（ｊ）、複数層の透明膜のうちのｋ番目の層の透明膜の膜厚をｔk（ｉ）とした場合、以下の式（４）に基づいて、未知変数であるＩ0（ｊ）およびｔk（ｉ）を推定する工程とを備える。
【数８】
2017044596.tif 000006
【００１４】
この第２の局面による膜厚測定方法では、上記のように、上記の式（４）に基づいて、未知変数であるＩ0（ｊ）およびｔk（ｉ）を推定する工程を備えることによって、複数の観測点（ｉ）に対するＩ0（ｊ）と、複数層の透明膜の膜厚であるｔk（ｉ）が一括して推定される。すなわち、複数層の透明膜の複数の点の膜厚を一括して推定することができる。その結果、１点ごとに膜厚を推定する場合と比べて、高速に複数層の透明膜の複数の点の膜厚ｔ（ｉ）を推定することが可能な膜厚測定方法を提供することができる。
【発明の効果】
【００１５】
本発明によれば、上記のように、複数層の透明膜の複数の点の膜厚を一括して推定することができる。
【図面の簡単な説明】
【００１６】
【図１】本発明の一実施形態による膜厚測定装置の概略の構成を示した図である。
【図２】Ｎ層膜の薄膜干渉を説明するための図である。
【図３】２層膜の薄膜干渉を説明するための図である。
【図４】２層膜（実験１に用いられた２層膜）の（ａ）膜厚分布、（ｂ）３波長の単色光の干渉画像、（ｃ）３波長の単色光の輝度値（光量）を示す図である。
【図５】本発明の一実施形態によるＧＭＦＴ法を説明するための図である。
【図６】本発明の一実施形態による膜厚測定方法のフロー図である。
【図７】本発明の一実施形態によるＧＭＦＴ法の妥当性を確認するための実験１の結果を示す図（１）である。
【図８】本発明の一実施形態によるＧＭＦＴ法の妥当性を確認するための実験１の結果を示す図（２）である。
【図９】本発明の一実施形態によるＧＭＦＴ法の妥当性を確認するための実験１の結果を示す図（３）である。
【図１０】本発明の一実施形態による輝度合致法の妥当性を確認するための実験１の結果を示す図である。
【図１１】２層膜（実験２に用いられた２層膜）の（ａ）膜厚分布、（ｂ）３波長の単色光の干渉画像、（ｃ）３波長の単色光の輝度値（光量）を示す図である。
【図１２】本発明の一実施形態によるＧＭＦＴ法の妥当性を確認するための実験２の結果を示す図（１）である。
【図１３】本発明の一実施形態によるＧＭＦＴ法の妥当性を確認するための実験２の結果を示す図（２）である。
【図１４】本発明の一実施形態によるＧＭＦＴ法の妥当性を確認するための実験２の結果を示す図（３）である。
【図１５】本発明の一実施形態による輝度合致法の妥当性を確認するための実験２の結果を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００１７】
以下、本発明を具体化した実施形態を図面に基づいて説明する。
【００１８】
［本実施形態］
（膜厚測定装置の構成）
図１を参照して、本実施形態による膜厚測定装置１００の構成について説明する。
【００１９】
図１に示すように、膜厚測定装置１００は、白色光源１０と、３波長帯域フィルタ２０と、顕微鏡３０と、カラーカメラ４０と、制御部５０とを備えている。なお、白色光源１０およびカラーカメラ４０は、それぞれ、特許請求の範囲の「光源」および「撮像部」の一例である。
【００２０】
白色光源１０は、測定対象である複数層の透明膜６０に複数の波長の単色光を含む光を照射するように構成されている。具体的には、図２に示すように、複数層の透明膜６０は、Ｎ層の透明膜６０1〜６０Nからなる。また、複数層の透明膜６０は、基板６１上に載置されている。ここで、本実施形態では、複数の単色光は、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の３色の単色光を含む。
【００２１】
３波長帯域フィルタ２０は、白色光源１０から照射された白色の光のうち、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の３色の単色光を透過させるように構成されている。
【００２２】
顕微鏡３０の内部には、ハーフミラー３１が設けられている。そして、ハーフミラー３１は、３波長帯域フィルタ２０を透過した青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の３色の単色光を測定対象である複数層の透明膜６０に照射するように構成されている。
【００２３】
カラーカメラ４０は、白色光源１０から照射され、複数層の透明膜６０の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像を撮像するように構成されている。また、カラーカメラ４０は、たとえば、ＣＣＤ（Ｃｈａｒｇｅ  Ｃｏｕｐｌｅｄ  Ｄｅｖｉｃｅ）イメージセンサや、ＣＭＯＳ（Ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ  Ｍｅｔａｌ  Ｏｘｉｄｅ  Ｓｅｍｉｃｏｎｄｕｃｔｏｒ）イメージセンサなどにより構成されている。
【００２４】
ここで、本実施形態では、制御部５０は、カラーカメラ４０により撮像された干渉画像の観測点番号をｉ、単色光の波長の種類に対する番号をｊ、単色光の波長をλ（ｊ）、複数層の透明膜の層数をＮ、複数層の透明膜のうちのｋ番目の層の透明膜の膜屈折率をｎk、観測点において観測された輝度値をｇ（ｉ，ｊ）、光源から入射される光の入射光量をＩ0（ｊ）、複数の波長の単色光の平均輝度をａ（ｊ）、反射光の干渉変調度をｂij（ｊ）、複数層の透明膜のうちのｋ番目の層の透明膜の膜厚をｔk（ｉ）とした場合、後述する式（３１）に基づいて、未知変数であるＩ0（ｊ）およびｔk（ｉ）を推定する。具体的には、制御部５０は、未知変数に初期値を設定するとともに、未知変数を含む関数から算出される値に基づいて、目的関数を最小化する非線形計画法により、未知変数を推定するように構成されている。以下、詳細に説明する。
【００２５】
（推定原理）
〈複数層の透明膜における干渉色と膜厚との関係〉
複数層の透明膜６０における干渉色と膜厚との関係について説明する。
【００２６】
（層数Ｎの透明膜の干渉色と膜厚との関係）
まず、層数がＮである一般化された複数層の透明膜６０における干渉色と膜厚との関係について説明する。図２に示すように、複数層の透明膜６０の各界面を、ｓ1、ｓ2、ｓ3、・・・、ｓN+1（Ｎは透明膜の層数）とし、Ｎ層の透明膜６０1〜６０Nの各々の膜厚を、ｔ1、ｔ2、・・・、ｔNとし、Ｎ層の透明膜６０1〜６０N（および基板６１）の各々の膜屈折率を、ｎ1、ｎ2・・・ｎN、ｎN+1（ｎB）とし、白色光源１０から照射される光の波長をλとする。また、各界面ｓ1、ｓ2、ｓ3、・・・、ｓN+1からの反射光の強度を、Ｉ1、Ｉ2、・・・、ＩN、ＩN+1とする。そして、複数層の透明膜６０の表面からの反射光と、裏面からの反射光とによる干渉は、多重反射を無視すれば、反射光強度（反射光の和）は、下記の式（５）により表される。
【数９】
2017044596.tif 000007
【００２７】
上記の式（５）は、数列の和の記号「Σ」を用いると、下記の式（６）により表される。
【数１０】
2017044596.tif 000008
ここで、上記の式（６）のｃｏｓの中の（φi‐φj）は、界面ｓiおよび界面ｓjからの反射光の位相差を表しており、下記の式（７）により表される。
【数１１】
2017044596.tif 000009
【００２８】
上記の式（７）は、数列の和の記号「Σ」を用いると、下記の式（８）により表される。
【数１２】
2017044596.tif 000010
【００２９】
上記の式（６）および式（８）から、下記の式（９）が得られる。
【数１３】
2017044596.tif 000011
また、上記の式（９）を変形すると、下記の式（１０）が得られる。
【数１４】
2017044596.tif 000012
【００３０】
ここで、ａは、複数の波長の単色光の平均輝度であり、ｂijは、反射光の干渉変調度である。また、上層の透明膜の膜屈折率（ｎupper）が、下層の透明膜（または基板６１）の膜屈折率（ｎlower）よりも小さい場合（ｎupper＜ｎlower）には、上記の式（１０）において、右辺のｂijの符号が正（＋）になる。すなわち、＋ｂijになる。一方、上層の透明膜の膜屈折率（ｎupper）が、下層の透明膜（または基板６１）の膜屈折率（ｎlower）よりも大きい場合（ｎupper＞ｎlower）には、右辺のｂijの符号が負（−）になる。すなわち、−ｂijになる。
【００３１】
（２層の透明膜の干渉色と膜厚との関係）
次に、２層（Ｎ＝２）の場合の透明膜６０ａにおける干渉色と膜厚との関係について説明する。
【００３２】
図３に示すように、透明膜６０ａが２層（透明膜６０１ａ、６０２ａ）の場合には、上記の式（５）は、下記の式（１１）になる。
【数１５】
2017044596.tif 000013
【００３３】
また、上記の式（９）は、下記の式（１２）になる。
【数１６】
2017044596.tif 000014
【００３４】
また、上記の式（１０）は、下記の式（１３）になる。
【数１７】
2017044596.tif 000015
なお、上記の式（１１）〜（１３）において、ｎupper＜ｎlowerの場合には、ｃｏｓの符号が正（＋）になり、ｎupper＞ｎlowerの場合には、ｃｏｓの符号が負（−）になる。また、ａ、ｂ1、ｂ2、ｂ3は、下記の式（１４）〜式（１７）により表される。
【数１８】
2017044596.tif 000016
【００３５】
また、フレネルの式を利用して、各界面の反射率と透過率を、膜屈折率で表すと、下記の式（１８）〜式（２２）が得られる。
【数１９】
2017044596.tif 000017
【００３６】
また、入射光量を１とすると、下記の式（２３）〜式（２６）が得られる。なお、Ｉ1〜Ｉ3は界面ｓ1〜ｓ3の反射光量、ＩT1は界面ｓ1の透過光量を表す。
【数２０】
2017044596.tif 000018
【００３７】
そして、上記の式（１８）〜式（２６）を用いると、上記の式（１４）〜式（１７）は、下記の式（２７）〜式（３０）により表される。
【数２１】
2017044596.tif 000019
すなわち、各屈折率ｎ1、ｎ2およびｎBが既知であるとすると、上記の式（１３）の右辺の未知変数は、Ｉ0、ｔ1およびｔ2の３個になる。
【００３８】
ここで、白色光源１０から照射され、３波長帯域フィルタ２０を透過する単色光である青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の各々の波長を、それぞれ、λB＝４７０ｎｍ、λG＝５６０ｎｍ、および、λR＝６００ｎｍ、とする。また、Ｉ0＝５００とする。また、膜屈折率の波長依存性はなく、膜屈折率ｎ1＝１．５、ｎ2＝２、および、ｎB＝４とする。そして、図４（ａ）に示すような、膜厚を有する透明膜６０１ａおよび６０２ａを仮定する。すなわち、透明膜６０１ａは、ｘ座標が大きくなるにしたがって、直線的に膜厚ｔ１が大きくなる。また、透明膜６０２ａは、ｘ座標が大きくなるにしたがって、直線的に膜厚ｔ２が小さくなる。そして、反射光量と膜厚の関係を、上記の式（１３）により算出することにより、３波長の単色光の干渉画像（図４（ｂ）参照）、および、３波長の単色光の輝度値（光量）（図４（ｃ）参照）が得られる。
【００３９】
図４（ａ）では、横軸はｘ座標を表し、縦軸は膜厚を表している。図４（ｃ）では、横軸はｘ座標を表し、縦軸は３波長の単色光の輝度値を表している。図４（ｃ）に示すように、波長（周期）は、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の順で長くなる。
【００４０】
図４（ｂ）は、図４（ｃ）に示された３波長の単色光の輝度値を加算することにより得られた干渉画像が示されている。図４（ｂ）は、干渉色のカラーチャーチ―トを表している。なお、図４（ｂ）では、グレーの濃淡で示されているが、実際には、カラーの濃淡の干渉色である。
【００４１】
〈ＧＭＦＴ法〉
次に、未知変数Ｉ0およびｔkを推定するアルゴリズムについて説明する。このアルゴリズムを、ＧＭＦＴ（Ｇｌｏｂａｌ  Ｍｏｄｅｌ  Ｆｉｔｔｉｎｇ  ｆｏｒ  Ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ）法と呼ぶ。
【００４２】
カラーカメラ４０によって撮像された複数層（Ｎ層）の透明膜６０の画像（干渉色の画像）内の観測点ｉ（ｉ＝１，２，．．．,Ｎ）における、単色光の波長の種類に対する番号ｊ（ｊ＝１，２，．．．,ｍ）の干渉縞のモデル輝度値ｇ（ｉ，ｊ）は、上記の式（９）を変形して、下記の式（３１）により表される。
【数２２】
2017044596.tif 000020
ここで、入射光量Ｉ0（ｊ）が、観測点に依存せず、一定であると仮定している。なお、この仮定は、白色光源１０から照射される光が均一であれば、一般的に成立する。
【００４３】
また、２層（Ｎ＝２）の場合は、上記の式（３１）は、下記の式（３２）になる。
【数２３】
2017044596.tif 000021
【００４４】
ここで、本実施形態では、上記の干渉縞のモデル輝度値ｇ（ｉ，ｊ）と、複数点において観測された輝度値とに基づいて、未知変数であるＩ0（ｊ）およびｔk（ｉ）を推定するように構成されている。具体的には、下記の式（３３）の誤差二乗和を最小にする非線形計画法（最小二乗法）により、未知変数（パラメータ）Ｉ0（ｊ）およびｔk（ｉ）を推定する。
【数２４】
2017044596.tif 000022
ここで、ｇ（ｉ，ｊ）は、上記の式（３１）のモデル輝度値を表し、ｇijは、観測輝度値を表す。
【００４５】
次に、上記の未知変数Ｉ0（ｊ）およびｔk（ｉ）が求められる条件について説明する。単色光の波長の数をｍ個、観測点数をＰ個とすると、未知変数の数は、ｍ＋２Ｐ個になる。また、Ｐ個の観測点からｍＰ個の輝度信号が得られる。そして、本実施形態では、下記の式（３４）に基づいて、未知変数であるＩ0（ｊ）およびｔk（ｉ）を求めるための干渉画像の観測点の数Ｐを設定するように構成されている。
【数２５】
2017044596.tif 000023
たとえば、本実施形態では、単色光の波長の数は、青、緑および赤の３（ｍ＝３）であるので、Ｐは、３以上になる。すなわち、少なくとも３個の観測点のデータがあれば、未知変数を推定することが可能になる。
【００４６】
単色光の波長の数が３（ｍ＝３）であり、観測点の数がＰ個の場合、推定（計測）アルゴリズムは、図５に示すように、模式的に表される。すなわち、３Ｐ個の観測輝度値（ｇ（１，Ｂ）、ｇ（１，Ｇ）、ｇ（１，Ｒ），．．．，ｇ（Ｐ，Ｂ）、ｇ（Ｐ，Ｇ）、ｇ（Ｐ，Ｒ））から、膜厚ｔk（ｉ）（２層の場合には、２Ｐ個の膜厚）と、３個の入射光量Ｉ0（Ｂ）、Ｉ0（Ｇ）、Ｉ0（Ｒ）が推定される。
【００４７】
上記の式（３１）（式（３２））のモデル輝度値は、周期関数である余弦関数（ｃｏｓ関数）を含むため、本実施形態の推定アルゴリズムにおいて最小二乗法を用いた場合、局所的極小値（ローカルミニマム）が多数存在する。したがって、適切な初期値を設定する必要がある。
【００４８】
次に、観測輝度値から、入射光量Ｉ0（ｊ）の概略値を推定する方法について説明する。
【００４９】
観測輝度値（観測点における輝度値）から、輝度値の中央値ｇcを、下記の式（３５）により求める。
【数２６】
2017044596.tif 000024
ここで、ｍａｘは、輝度値の最大値、ｍｉｎは、輝度値の最小値である。上記の式（３１）（式（３２））から、ｇc（ｊ）＝Ｉ0（ｊ）ａ（ｊ）と近似できるので、Ｉ0（ｊ）の初期値は、下記の式（３６）により表される。
【数２７】
2017044596.tif 000025
【００５０】
〈輝度合致法〉
次に、未知変数ｔkを推定するアルゴリズムについて説明する。このアルゴリズムを輝度合致法と呼ぶ。輝度合致法では、ＧＭＦＴ法により推定された未知変数Ｉ0（ｊ）を用いて、残りの未知変数ｔkが推定される。
【００５１】
複数層（Ｎ層）の透明膜６０の干渉縞のモデル輝度値ｇ（ｉ，ｊ）である上記の式（３１）を変形することにより、単色光の各波長（ｊ）に対する輝度値と膜厚との関係は、下記の式（３７）により表される。
【数２８】
2017044596.tif 000026
【００５２】
ここで、未知数は、ｔkのみである。また、２層（Ｎ＝２）の場合は、上記の式（３７）は、下記の式（３８）になる。
【数２９】
2017044596.tif 000027
ここで、未知数は、ｔ1およびｔ2のみである。
【００５３】
すなわち、本実施形態では、ＧＭＦＴ法（上記の式（３１）または式（３２））に基づいて求められたＩ0（ｊ）と、上記の式（３７）（または式（３８））とに基づいて、Ｉ0（ｊ）およびｔk（ｉ）を求める際に用いられた干渉画像の観測点以外の観測点の膜厚ｔkを未知変数として推定するように構成されている。具体的には、上記の干渉縞のモデル輝度値ｇ（ｊ）と、観測された輝度値とに基づいて、未知変数であるｔkを推定するように構成されている。つまり、下記の式（３９）の誤差二乗和を最小にする非線形計画法により、未知変数ｔkを推定する。
【数３０】
2017044596.tif 000028
ここで、ｇ（ｊ）は、上記の式（３７）（式（３８））のモデル輝度値を表し、ｇjは、観測輝度値を表す。
【００５４】
上記の式（３７）（式（３８））のモデル輝度値ｇ（ｊ）は、周期関数を含んでいるため、非線形計画法を用いた場合、局所的極小値（ローカルミニマム）が多数存在する。したがって、一般的な非線形計画法の解法では、初期値近傍の局所解に収束してしまい、正しい解が得られない場合がある。そこで、本実施形態では、マルチスタート法を用いる。すなわち、予想される膜厚の範囲内で、予め設定された刻み間隔を有する複数の初期値からスタートして、非線形計画法を用いることにより、複数の解を求める。そして、求められた複数の解から、誤差二乗和が最小になるものを、大域解として採用する。
【００５５】
このように、上記の式（３１）（式（３２））、または、式（３７）（式（３８））を用いて、複数層の透明膜６０の膜厚ｔkが推定されるので、分光器や偏光光学系などの比較的複雑な光学系を用いる必要がない分、膜厚測定装置１００の構成を簡略化することが可能になる。また、撮像した画像（干渉色）から膜厚への変換テーブル（校正データ）などを用いることなく、膜厚ｔkを推定することが可能になる。また、観測点毎（つまり、干渉画像の画素毎）に膜厚ｔkを推定することができるので、比較的水平分解能の高い膜厚測定装置１００を構成することが可能になる。
【００５６】
（膜厚測定方法）
次に、図６を参照して、本実施形態による膜厚測定方法について説明する。
【００５７】
図６に示すように、ステップＳ１において、白色光源１０から３波長帯域フィルタ２０およびハーフミラー３１を介して、測定対象である複数層の透明膜６０（または２層の透明膜６０ａ）に複数の波長（青、緑、赤）の単色光を含む光が照射される。そして、複数層の透明膜６０の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像がカラーカメラ４０により撮像されて、観測輝度値が取得される。
【００５８】
次に、ステップＳ２において、上記の式（３４）に基づいて定められる数の観測点が選択される。
【００５９】
次に、ステップＳ３において、未知変数であるＩ0（ｊ）およびｔk（ｉ）のそれぞれの初期値が設定される。
【００６０】
次に、ステップＳ４において、ＧＭＦＴ法（上記の式（３１）、式（３２））に基づいて、未知変数であるＩ0（ｊ）およびｔk（ｉ）が推定される。これにより、複数の観測点（ｉ）に対するＩ0（ｊ）およびｔk（ｉ）が一括して推定される。すなわち、複数層の透明膜６０の複数の点の膜厚ｔk（ｉ）が一括して推定される。
【００６１】
次に、ステップＳ５において、ＧＭＦＴ法により推定されたＩ0（ｊ）を用いて、輝度合致法（上記の式（３７）、式（３８））に基づいて、所望の観測点（ＧＭＦＴ法において使用された観測点以外の観測点）における未知変数であるｔkが推定される。なお、マルチスタート法（複数の初期値からスタートする）を用いることにより、複数の解が求められる。
【００６２】
最後に、ステップＳ６において、求められた複数の解から、誤差二乗和が最小になるもの（つまり大域解）が、膜厚として採用（推定）される。
【００６３】
（実験１）
次に、図３、図４、および、図７〜図１０を参照して、ＧＭＦＴ法および輝度合致法の妥当性を確認するための実験１（シミュレーション実験）について説明する。なお、この実験１では、透明膜は、２層（Ｎ＝２）の透明膜６０ａ（図３参照）について膜厚を推定した。また、図４（ａ）に示すように、透明膜６０１ａは、ｘ座標が大きくなるにしたがって、直線的に膜厚ｔ１が大きくなるとともに、透明膜６０２ａは、ｘ座標が大きくなるにしたがって、直線的に膜厚ｔ２が小さくなるとした。
【００６４】
この実験１では、図４（ｂ）に示されるカラーチャートを実験対象の画像とした。すなわち、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の各々の波長を、それぞれ、λB＝４７０ｎｍ、λG＝５６０ｎｍ、および、λR＝６００ｎｍ、とした。また、図４（ｂ）のカラーチャートは、水平方向に２００画素を有する。また、非線形計画法（具体的には、最小二乗法）として、マイクロソフト社製のＥｘｃｅｌ（登録商標）のＳｏｌｖｅｒ（登録商標）機能を使用した。
【００６５】
ＧＭＦＴ法についての実験では、カラーチャートの中の互いに等間隔の６点（ｘ座標＝２１、４１、・・・、１２１）を観測点として使用した。そして、６点の観測点の輝度値を用いて、ＧＭＦＴ法（上記の式（３２））に基づいて、未知変数であるＩ0（ｊ）、ｔ1（ｉ）およびｔ2（ｉ）を推定した。また、未知変数であるＩ0（ｊ）、ｔ1（ｉ）およびｔ2（ｉ）の初期値を、各々の真値の１１０％とした。
【００６６】
また、輝度合致法についての実験では、ＧＭＦＴ法により推定された未知変数であるＩ0（ｊ）を用いて、輝度合致法（上記の式（３８））に基づいて、カラーチャートの水平方向の２００個の観測点の膜厚ｔ1およびｔ2を推定した。また、輝度合致法では、２層の透明膜６０ａ（透明膜６０１ａ、６０２ａ）の初期値を、それぞれ、ｔ1＝２２５ｎｍ、ｔ2＝７５ｎｍとした。
【００６７】
〈ＧＭＦＴ法についての実験結果〉
図７に示すように、６個の観測点（点番号１〜６）の全てにおいて、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の単色光の全てについて、観測された輝度値と、上記の式（３２）により推定された輝度値とが、完全に一致した。
【００６８】
また、図８および図９に示すように、未知変数Ｉ0（ｊ）、ｔ1（ｉ）およびｔ2（ｉ）の全てにおいて、推定値は、真値と一致した。すなわち、誤差は、０％であった。これにより、ＧＭＦＴ法が、未知変数Ｉ0（ｊ）、ｔ1（ｉ）およびｔ2（ｉ）の推定に有効であることが確認された。
【００６９】
〈輝度合致法についての実験結果〉
図１０に示すように、水平方向に沿った２００個の観測点（ｘ座標１〜２００）の全ておいて、推定された膜厚と真値とが、完全に一致した。これにより、輝度合致法が、未知変数ｔ1およびｔ2の推定に有効であることが確認された。なお、推定された膜厚と真値とが完全に一致しているため、図１０では、推定された膜厚の線と真値の線とが重なって表示されている。
【００７０】
（実験２）
産業界のニーズにおいては、２層の透明膜のうちの一方の透明膜の膜厚が略一定とみなせる場合が多い。そこで、この実験２では、透明膜６０１ａの膜厚ｔ１は一定であるとともに、透明膜６０２ａは、ｘ座標が大きくなるにしたがって、直線的に膜厚ｔ２が大きくなるとした。これにより、未知変数は、Ｉ0（ｊ）、ｔ1およびｔ2（ｉ）となり、単色光の波長の数が３（ｍ＝３）の場合、未知変数の数は、Ｐ＋４個となる。すなわち、少なくとも２個の観測点のデータがあれば、未知変数を推定することが可能になる。
【００７１】
この実験では、図１１（ａ）に示されるように、透明膜６０１ａの膜厚ｔ1が一定で、透明膜６０２ａの膜厚ｔ2が、ｘ座標が大きくなるにしたがって大きくなる場合のカラーチャート（ｘ方向に２００画素）（図１１（ｂ）参照）を実験対象の画像とした。青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の各々の波長を、それぞれ、λB＝４７０ｎｍ、λG＝５６０ｎｍ、および、λR＝６００ｎｍとした。また、入射光量は、各波長ともにＩ0＝１０００とした。また、屈折率ｎ1＝１．５、ｎ2＝２、ｎB＝４とした。また、非線形計画法（具体的には、最小二乗法）として、マイクロソフト社製のＥｘｃｅｌ（登録商標）のＳｏｌｖｅｒ（登録商標）機能を使用した。
【００７２】
〈ＧＭＦＴ法についての実験結果〉
ＧＭＦＴ法についての実験では、カラーチャートの中の互いに等間隔の６点（ｘ座標＝２１、４１、・・・、１２１）を観測点として使用した。また、未知変数であるＩ0（ｊ）、ｔ1およびｔ2（ｉ）の初期値を、各々の真値の１１０％とした。実験２の結果として、図１２〜図１４に示すように、６個の観測点（点番号１〜６）の全てにおいて、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の単色光の全てについて、観測された輝度値と、上記の式（３２）により推定された輝度値とが、完全に一致した。
【００７３】
〈輝度合致法についての実験結果〉
【００７４】
輝度合致法についての実験では、透明膜６０２ａの膜厚ｔ2の範囲が約４００ｎｍであり、比較的大きい。そこで、透明膜６０２ａの膜厚ｔ2の初期値の範囲を０〜４００ｎｍとし、刻み間隔１００ｎｍのマルチスタート法を採用した。
【００７５】
図１５に示すように、水平方向に沿った２００個の観測点（ｘ座標１〜２００）の全ておいて、推定された膜厚ｔ1およびｔ2と真値とが、完全に一致した。なお、推定された膜厚と真値とが完全に一致しているため、図１５では、推定された膜厚の線と真値の線とが重なって表示されている。
【００７６】
（本実施形態の効果）
次に、本実施形態の効果について説明する。
【００７７】
本実施形態では、上記のように、上記の式（３１）（式（３２））に基づいて、未知変数であるＩ0（ｊ）およびｔk（ｉ）を推定する制御部５０を備えることによって、複数の観測点（ｉ）に対するＩ0（ｊ）と、複数層の透明膜６０の膜厚であるｔk（ｉ）が一括して推定される。すなわち、複数層の透明膜６０の複数の点の膜厚ｔk（ｉ）を一括して推定することができる。その結果、１点ごとに膜厚を推定する場合と比べて、高速に複数層の透明膜６０の複数の点の膜厚ｔ（ｉ）を推定することができる。
【００７８】
また、本実施形態では、上記のように、制御部５０を、上記の式（３１）（式（３２））に基づいて求められたＩ0（ｊ）と、上記の式（３７）（式（３８））とに基づいて、Ｉ0（ｊ）およびｔk（ｉ）を求める際に用いられた干渉画像の観測点以外の観測点の膜厚ｔkを未知変数として推定するように構成する。これにより、上記の式（３７）（式（３８））においては、未知変数の数が膜厚ｔkのみであるので、上記の式（３１）（式（３２））（未知変数がＩ0（ｊ）およびｔk（ｉ））を用いる場合に比べて、より高速に膜厚ｔkを推定することができる。
【００７９】
また、本実施形態では、上記のように、制御部５０を、未知変数に初期値を設定するとともに、未知変数を含む関数から算出される値に基づいて、目的関数を最小化する非線形計画法により、未知変数を推定するように構成する。これにより、未知変数を含む関数が解析的に解けない場合（非線形関数の場合）でも、未知変数を推定することができる。
【００８０】
また、本実施形態では、上記のように、複数の単色光の波長の数をｍ、干渉画像の観測点の数をＰとした場合、上記の式（３４）に基づいて、未知変数であるＩ0（ｊ）およびｔk（ｉ）を求めるための干渉画像の観測点の数Ｐを設定する。これにより、未知変数に対して最低限必要な干渉画像の観測点の数を、上記の式（３４）に基づいて、容易に求めることができる。
【００８１】
また、本実施形態では、上記のように、複数の単色光は、青、緑および赤の３色の単色光を含む。これにより、３色の単色光の波長が各々異なるので、３色の単色光の干渉により生成される干渉色が膜厚によって変化する。その結果、観測点において観測された輝度値ｇ（ｉ，ｊ）（または輝度値ｇ（ｊ））に基づいて、膜厚を推定することができる。
【００８２】
［変形例］
なお、今回開示された実施形態および実施例は、すべての点で例示であって制限的なものではないと考えられるべきである。本発明の範囲は、上記した実施形態および実施例の説明ではなく特許請求の範囲によって示され、さらに特許請求の範囲と均等の意味および範囲内でのすべての変更（変形例）が含まれる。
【００８３】
たとえば、上記実施形態では、３波長帯域フィルタを介して、青、緑および赤の単色光が複数層の透明膜に照射される例を示したが、本発明はこれに限られない。たとえば、青、緑および赤の単色光を照射する光源から、複数層の透明膜に光を照射してもよい。
【００８４】
また、上記実施形態では、青、緑および赤の３つの単色光が複数層の透明膜に照射される例を示したが、本発明はこれに限られない。たとえば、２つの単色光が複数層の透明膜に照射されるようにしてもよい。
【００８５】
また、上記実施形態（実験１、実験２）では、ＧＭＦＴ法（上記の式（３２））において、６個の観測点の輝度値が用いられる例を示したが、本発明はこれに限られない。本発明では、上記の式（３４）を満たせば、６個以外の数の観測点の輝度値を用いてもよい。
【００８６】
また、上記実施形態（実験２）では、膜厚の推定にマルチスタート法（複数の初期値からスタートすること）を用いる例を示したが、本発明はこれに限られない。膜厚の概略値（精度の良い初期値）が分かっている場合には、１つの初期値から膜厚を推定してもよい。
【００８７】
また、上記実験１および実験２では、２層の透明膜について実験を行った例を示したが、本発明はこれに限られない。上記の式（３１）および式（３７）を用いて、３層以上の透明膜について実験を行うことも可能である。
【符号の説明】
【００８８】
１０  白色光源（光源）
４０  カラーカメラ（撮像部）
５０  制御部
６０、６０ａ  （複数層の）透明膜
１００  膜厚測定装置
【図１】
2017044596.tif 000034
【図２】
2017044596.tif 000035
【図３】
2017044596.tif 000036
【図４】
2017044596.tif 000037
【図５】
2017044596.tif 000038
【図６】
2017044596.tif 000039
【図７】
2017044596.tif 000040
【図８】
2017044596.tif 000041
【図９】
2017044596.tif 000042
【図１０】
2017044596.tif 000043
【図１１】
2017044596.tif 000044
【図１２】
2017044596.tif 000045
【図１３】
2017044596.tif 000046
【図１４】
2017044596.tif 000047
【図１５】
2017044596.tif 000048