(57)【要約】【課題】有限要素モデルと比較し、少ない計算量で衝撃係数を求めることが可能な橋梁動的応答解析方法を提供する。【解決手段】列車が走行する際の橋梁の動的応答を解析する方法であって、橋梁、列車、数値解析の入力データを入力する工程と、入力データと式（１）／式（２７）から変位応答を算出する工程と、入力データと式（２）／式（２８）から速度応答を算出する工程と、速度応答と変位応答の関係から衝撃係数を算出する工程を備える。【選択図】図８
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
列車が走行する際の橋梁の動的応答を解析する方法であって、
橋梁の径間長、固有振動数、モード減衰比、単位長さあたりの質量、前記列車の車両の静止輪重、編成数、車両長、台車間隔、台車内車軸間隔、数値解析の解析時間、時間刻み、列車の最低速度及び最高速度、速度刻みの入力データを入力する初期条件入力工程と、
前記入力データと下記の式（１）から変位応答を算出する変位応答算出工程と、
前記入力データと下記の式（２）から速度応答を算出する速度応答算出工程と、
速度応答と変位応答の関係から衝撃係数を算出する衝撃係数算出工程とを備えることを特徴とする橋梁動的応答解析方法。
【数１】
2017020796.tif 000036
【数２】
2017020796.tif 000037
ここで、ｔは先頭車両の第一車軸が橋梁に進入する直前を０とした時間、ｘは橋梁上の位置、ｕ（ｘ，ｔ）は橋梁のｘ地点における時間ｔの鉛直変位、τｋ，ｉはｋ（ｋ＝１，・・・・・，ｎｗ）台目の車両の先頭からｉ（ｉ＝１，・・，４）番目の車軸が通過するまでの時間を示し、ｕ（ｚ）はｚ＜０で０、０≦ｚで１の値をとる単位ステップ関数である。
【請求項２】
請求項１記載の橋梁動的応答解析方法において、
前記入力データと下記の式（３）から加速度応答を算出する加速度応答算出工程を備えることを特徴とする橋梁動的応答解析方法。
【数３】
2017020796.tif 000038
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、走行列車が通過することによる鉄道橋の動的応答を簡易に解析する方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
高速鉄道用橋梁、高架橋などの鉄道橋では、図９に示すように、走行列車の規則的な車軸配置に起因した周期的な加振によって共振が発生し、大きな動的応答が生じる場合がある。
【０００３】
そして、このような列車走行時に生じる大きな動的応答は、従来、衝撃係数として設計に反映されてきた。
この一方で、列車走行速度が飛躍的に高まり、また、鉄道橋の大半にＰＲＣ構造（プレストレストコンクリート構造）が採用されて低剛性桁が普及していることなどから、設計に用いる式の適用外になる事例が多くなり、現地測定でも従来を上回る列車走行時の橋梁の共振の発生が確認されている。なお、桁の低剛性化によって２００ｋｍ／ｈ台の走行速度であっても共振により大きな応答が励起されるケースが確認されている。
【０００４】
また、高速鉄道橋は列車走行時のたわみ制限が設けられているため、列車走行時の共振によって動的応答成分が大きく励起される場合には、その動的応答を評価するための重要な指標として衝撃係数が用いられている。さらに、衝撃係数は、鉄道橋のひび割れ等の劣化現象にも関連が深いことから維持管理における重要な指標でもある。
【０００５】
従来、鉄道橋の衝撃係数／動的応答を評価する際には、リング式変位計やビデオ計測、Ｕドップラー（レーザドップラー速度計を内蔵した構造物用非接触振動測定システム）などを用い、列車通過時の橋梁鉛直変位を橋梁側（地上側）で測定（たわみ測定）し、設計図面や走行車両諸元に基づいて、測定したたわみの時系列応答を再現可能な数値解析モデルを構築する（例えば、特許文献１参照）。そして、速度をパラメータにした数値解析を行い、衝撃係数を求めるようにしている。
なお、測定データがない場合には、数値解析モデルの構築、速度をパラメータにした数値解析によって衝撃係数を推定するようにしている。
【０００６】
また、数値解析モデルに関しては、構造物を有限要素で、列車を移動荷重列もしくはマルチボディでそれぞれモデル化し、時間積分を伴う動的応答解析を行うことが一般的である。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００７】
【特許文献１】特開２０１２−２３３７５８号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００８】
しかしながら、上記従来の鉄道橋の衝撃係数の算出方法では、有限要素モデルに基づく数値解析によって衝撃係数の算出するため、その解析に非常に手間がかかってしまう。
【０００９】
上記事情に鑑み、本発明は、有限要素モデルと比較し、少ない計算量で衝撃係数を求めることが可能な橋梁動的応答解析方法を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００１０】
上記の目的を達するために、この発明は以下の手段を提供している。
【００１１】
本発明の橋梁動的応答解析方法は、列車が走行する際の橋梁の動的応答を解析する方法であって、橋梁の径間長、固有振動数、モード減衰比、単位長さあたりの質量、前記列車の車両の静止輪重、編成数、車両長、台車間隔、台車内車軸間隔、数値解析の解析時間、時間刻み、列車の最低速度及び最高速度、速度刻みの入力データを入力する初期条件入力工程と、前記入力データと下記の式（１）から変位応答を算出する変位応答算出工程と、前記入力データと下記の式（２）から速度応答を算出する速度応答算出工程と、速度応答と変位応答の関係から衝撃係数を算出する衝撃係数算出工程とを備えることを特徴とする。
【００１２】
【数１】
2017020796.tif 000003
【００１３】
【数２】
2017020796.tif 000004
【００１４】
ここで、ｔは先頭車両の第一車軸が橋梁に進入する直前を０とした時間、ｘは橋梁上の位置、ｕ（ｘ，ｔ）は橋梁のｘ地点における時間ｔの鉛直変位、τｋ，ｉはｋ（ｋ＝１，・・・・・，ｎｗ）台目の車両の先頭からｉ（ｉ＝１，・・，４）番目の車軸が通過するまでの時間を示し、ｕ（ｚ）はｚ＜０で０、０≦ｚで１の値をとる単位ステップ関数である。
【００１５】
また、本発明の橋梁動的応答解析方法においては、前記入力データと下記の式（３）から加速度応答を算出する加速度応答算出工程を備えることが望ましい。
【００１６】
【数３】
2017020796.tif 000005
【発明の効果】
【００１７】
本発明の橋梁動的応答解析方法においては、単純梁構造の橋梁の場合、列車のような規則的な軸配置のもとで励起される橋梁応答を微分方程式で表して解析的に解けることを見出し、微分方程式の解を用いることにより、対象橋梁の図面がなくとも測定情報から得られた静的たわみ量や固有振動数等の限られた情報のみで簡易に衝撃係数を算出することが可能になる。
【００１８】
また、微分方程式の解を用いることで、有限要素モデルと比較して格段に少ない計算量で衝撃係数を算出することが可能になる。
【図面の簡単な説明】
【００１９】
【図１】移動荷重列が作用する梁モデルを示す図である。
【図２】本発明の一実施形態に係る橋梁動的応答解析方法による解析結果と、相互作用解析結果を比較した図であり、橋梁径間長が１０ｍの場合の時間と橋梁のたわみの関係を示す図である。
【図３】本発明の一実施形態に係る橋梁動的応答解析方法による解析結果と、相互作用解析結果を比較した図であり、橋梁径間長が３５ｍの場合の時間と橋梁のたわみの関係を示す図である。
【図４】本発明の一実施形態に係る橋梁動的応答解析方法による解析結果と、相互作用解析結果を比較した図であり、橋梁径間長が４５ｍの場合の時間と橋梁のたわみの関係を示す図である。
【図５】本発明の一実施形態に係る橋梁動的応答解析方法による解析結果と、相互作用解析結果を比較した図であり、橋梁径間長が１０ｍの場合の走行速度と橋梁のたわみ、衝撃係数の関係を示す図である。
【図６】本発明の一実施形態に係る橋梁動的応答解析方法による解析結果と、相互作用解析結果を比較した図であり、橋梁径間長が３５ｍの場合の走行速度と橋梁のたわみ、衝撃係数の関係を示す図である。
【図７】本発明の一実施形態に係る橋梁動的応答解析方法による解析結果と、相互作用解析結果を比較した図であり、橋梁径間長が４５ｍの場合の走行速度と橋梁のたわみ、衝撃係数の関係を示す図である。
【図８】本発明の一実施形態に係る橋梁動的応答解析方法における計算フローを示す図である。
【図９】列車走行時の鉄道橋の共振波形の一例を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００２０】
以下、図１から図８を参照し、本発明の一実施形態に係る橋梁動的応答解析方法について説明する。なお、本実施形態の橋梁動的応答解析方法は、列車走行時の動的応答の重要な指標となる衝撃係数を解析的に求める方法に関するものである。
【００２１】
はじめに、本実施形態の橋梁動的応答解析方法においては、単純支持された梁構造物を列車１（複数の車両１ａ）が一定速度で通過する場合を対象とし、図１に示すような移動荷重列が作用する単純支持された梁モデルを考える。
【００２２】
図１では、走行列車荷重を大きさ一定の移動荷重列と仮定し、車軸間隔ａ、台車間隔ｂ、車両長さＬｖの車両ｎｗ台で構成される列車１が、径間長Ｌｂの線路方向に断面変化のない橋梁を一定速度ｖで走行（図中左から右へ走行）していく状態を示している。
なお、時間ｔは先頭車両の第一車軸が橋梁に進入する直前を０とする。
【００２３】
ここで、梁はベルヌーイ−オイラーばりとし、表面は十分に滑らかであるとすると、橋梁上の任意地点ｘ（０≦ｘ≦Ｌｂ）における時間ｔ（０≦ｔ）の鉛直変位ｕ（ｘ，ｔ）における運動方程式は、変位が微小である場合に次の式（４）のように表すことができる。
【００２４】
【数４】
2017020796.tif 000006
ｍ（上に−）は単位長さ当たりの橋梁の質量、ｃは減衰係数、ＥＩは曲げ剛性をそれぞれ表している。
【００２５】
また、Ｊ（ｘ，ｔ）は荷重入力の時系列であり、図１から、次の式（５）のように表すことができる。なお、δはＤｉｒａｃのデルタ関数を表している。τｋ，ｉは次の式（６−ａ）〜式（６−ｄ）に示すｋ（ｋ＝１，・・・・・，ｎｗ）台目の車両の先頭からｉ（ｉ＝１，・・，４）番目の車軸通過時点を示している。
【００２６】
【数５】
2017020796.tif 000007
【００２７】
【数６】
2017020796.tif 000008
【００２８】
ここで、式（４）の各移動荷重に対する応答がそれぞれ独立であると考えれば、次の式（７）に分解でき、式（４）を式（８）のように各移動荷重に対する応答の重ね合わせとして表すことが可能になる。
【００２９】
【数７】
2017020796.tif 000009
【００３０】
【数８】
2017020796.tif 000010
【００３１】
そして、式（８）より、ｋ台目の車両の先頭からｉ番目の車軸通過時の橋梁上の任意地点（０≦ｘ≦Ｌｂ）における時間ｔ（τｋ，ｉ≦ｔ）の鉛直変位ｕｋ，ｉ（ｘ，ｔ）に関する運動方程式を、次の式（９）のように表すことができる。
【００３２】
【数９】
2017020796.tif 000011
【００３３】
このように定式化した式（９）の運動方程式の境界条件を式（１０−ａ）、（１０−ｂ）のように設定する。ここで、フーリエ正弦変換の式（１１）により、橋梁上の位置ｘをｎ（ｎ＝１，・・・）次の振動モード形Φｎ＝ｓｉｎ（ｎπｘ／Ｌｂ）へと変数変換する。そして、式（１１）を計算するとともに移動荷重の定義域に留意して整理すると、次の式（１２）、式（１３）を得ることができる。
【００３４】
【数１０】
2017020796.tif 000012
【００３５】
【数１１】
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【００３６】
【数１２】
2017020796.tif 000014
【００３７】
【数１３】
2017020796.tif 000015
【００３８】
なお、Ｔ＝Ｌｂ／ｖであるとともに、ωｎ、ξｎ、ωｎ（上に−）はそれぞれ、次の式（１４）、式（１５）、式（１６）で表されるｎ次固有周期、ｎ次モード減衰比、ｎ次車軸通過周期である。また、固有振動数ｆｎは固有周期とｆｎ＝ωｎ／２πの関係を有する。
【００３９】
【数１４】
2017020796.tif 000016
【００４０】
【数１５】
2017020796.tif 000017
【００４１】
【数１６】
2017020796.tif 000018
【００４２】
また、式（１２）の微分方程式における初期条件を下記の式（１７）、式（１３）の微分方程式における初期条件を下記の式（１８）のように設定する。
【００４３】
【数１７】
2017020796.tif 000019
【００４４】
【数１８】
2017020796.tif 000020
【００４５】
ここで、式（１８）中のUｎ，Ｔ，Ｕ（上に・）ｎ，Ｔは式（１２）の定義域の終了時点 τｋ，ｉ＋Ｔにおける状態を表しており、τｋ，ｉ＋Ｔにおいては式（１２）、式（１３）の値が等しくなる。この上で、ラプラス変換Ｖｋ，ｉ（ｎ，ｍ）＝Ｌ［Ｕｋ，ｉ（ｎ，ｔ）］を考えると、下記の式（１９）、式（２０）から、式（２１）、式（２２）のようにそれぞれ定式化することができる。なお、αｎ＝ξｎωｎである。
【００４６】
【数１９】
2017020796.tif 000021
【００４７】
【数２０】
2017020796.tif 000022
【００４８】
【数２１】
2017020796.tif 000023
【００４９】
【数２２】
2017020796.tif 000024
【００５０】
そして、式（２１）においては、単一の移動荷重が作用する梁の極が式（２２）に見られる梁の固有振動に起因した−αｎ±ｉωｎ√（１−ξ２）のみならず、移動速度に起因した ±ｉωｎ（上に−）にも配置されるという特徴がある。
【００５１】
また、式（２１）、式（２２）の逆ラプラス変換Ｌ−１［Ｖｋ，ｉ（ｎ，ｔ）］により、モード座標系における時刻歴応答Ｕｋ，ｉ（ｎ，ｔ）を算出して整理すると、式（２３）、式（２４）を得ることができる。なお、β＝ω（上に−）１／ω１、ｔａｎψ＝ωｎＵｎ，Ｔ／Ｕ（上に・）ｎ，Ｔであるとともに、式（２３）、式（２４）の算出に際して橋梁応答を低減衰系としてとし、ωｎ√（１−ξｎ２）≒ωｎの近似を採用している。
【００５２】
【数２３】
2017020796.tif 000025
【００５３】
【数２４】
2017020796.tif 000026
【００５４】
さらに、式（２３）、式（２４）に対して逆フーリエ正弦変換を施すとともにＮ次モードまでの応答により近似すると、下記の式（２５）、式（２６）を得ることができる。
ここで、式（２５）中のｕ０は、ｕ０＝ＰＬｂ３／４８ＥＩ≒２ＰＬｂ３／π４ω１２＝２Ｐ／ｍ（上に−）Ｌｂω１２の関係により、ｘ＝Ｌｂ／２地点に荷重Ｐが作用した際の同地点の静的なたわみを示している。
【００５５】
【数２５】
2017020796.tif 000027
【００５６】
【数２６】
2017020796.tif 000028
【００５７】
以上のようにして、単一の移動荷重Ｐが橋梁上を一定速度ｖで移動する場合の橋梁の動的応答が定式化される。また、このとき、図１に示す移動荷重列作用下における橋梁の動的応答は、式（７）の関係により、次の式（２７）のように定式化される。
ここで、ｕ（ｚ）はｚ＜０で０、０≦ｚで１の値をとる単位ステップ関数である。
【００５８】
【数２７】
2017020796.tif 000029
【００５９】
また、速度応答∂ｕ／∂ｔと加速度応答∂２ｕ／∂ｔ２はそれぞれ、式（２７）の時間微分の式（２８）、式（２９）と表される。
【００６０】
【数２８】
2017020796.tif 000030
【数２９】
2017020796.tif 000031
【００６１】
なお、
【数３０】
2017020796.tif 000032
【数３１】
2017020796.tif 000033
【数３２】
2017020796.tif 000034
【数３３】
2017020796.tif 000035
である。
【００６２】
次に、式（２７）、式（２８）、式（２９）に示す理論解を簡易解析法として、Ｍａｔｌａｂに実装し、その精度について検証した結果について説明する。
【００６３】
図２から図４は、径間長１０ｍ、３５ｍ、４５ｍとした場合の式（２７）、式（２８）、式（２９）による簡易解析と、従来の相互作用解析を比較した結果を示している。
なお、計算条件は図中の実測値に併せ、１０両編成の新幹線車両が表示の速度で走行した場合とした。また、簡易解析においては、相互作用解析と同じ固有振動数、コンクリートの単位質量、断面積、モード減衰比を用いている。
【００６４】
そして、これら図２から図４により、いずれも良好に一致することが確認され、理論解に基づく簡易解析によって列車走行時の時系列応答を良好に再現できることが確認された。
【００６５】
また、図５から図７は、式（２７）、式（２８）、式（２９）による簡易解析と 相互作用解析でそれぞれ計算した列車速度と最大たわみ及び衝撃係数の関係を示している。
これら図５から図７により、共振時において最大たわみに僅かな差異が認められるものの、いずれも良好に一致していると言え、理論解に基づく簡易解析によって列車走行時の単純桁の最大たわみ量及び衝撃係数を良好に再現できることが確認された。
【００６６】
なお、上記の簡易解析は三角関数の重ね合わせを行っているのみであり、編成数にもよるが必要な計算時間が本解析（１０００ケース）でわずか１０秒程度であり、非常に簡易に動的応答倍率を算出できる。
【００６７】
したがって、本実施形態の橋梁動的応答解析方法においては、移動荷重作用下の梁応答に関する微分方程式を解くことによって、移動荷重作用下の橋梁応答を、荷重の移動に伴う準静的応答と移動荷重の作用に伴う衝撃応答として表現できる。
【００６８】
また、移動荷重作用下の梁応答を位相をずらして重ね合わせることにより、列車走行時の橋梁応答を表現できる。
【００６９】
そして、理論解を用いることにより、対象橋梁の径間長、固有振動数、単位長さ当たりの質量、減衰比を入力とすることで列車走行時の変位、速度、加速度時系列応答を得る ことが可能になる。
【００７０】
また、理論解をプログラムとして実装し、動的相互作用を考慮した有限要素法に基づく 数値解析結果と比較した結果、列車走行時の橋梁径問中央のたわみ時系列及び衝撃係数が良く一致することが確認され、信頼性の高い列車走行時の橋梁の動的応答を簡易に計算できることが実証された。
【００７１】
そして、上記の結果に基づき、本実施形態の橋梁動的応答解析方法においては、列車走行時の橋梁応答簡易解析プログラムを用い、図８の衝撃係数の推定フローのようにして衝撃係数を解析的に算出する。
【００７２】
具体的に、本実施形態の橋梁動的応答解析方法における衝撃係数の推定フローでは、はじめに、橋梁については径間長、固有振動数、モード減衰比、単位長さ当たりの質量など、車両については静止輪重、編成数、車両長、台車間隔、台車内車軸間隔などを入力データとする。また、数値解析については解析時間、時間刻み、最低速度、最高速度、速度刻みなどを入力データとする。
【００７３】
ここで、橋梁の固有振動数とモード減衰比は測定データに基づいて設定する。また、橋梁の径間長及び単位長さ当たりの質量は路線図もしくは橋梁図面に基づいて設定する。
【００７４】
図面がない場合には、前述のｕ０＝ＰＬｂ３／４８ＥＩ≒２ＰＬｂ３／π４ω１２＝２Ｐ／ｍ（上に−）Ｌｂω１２の関係により、橋梁の単位長さ当たりの質量を測定たわみ量から輪重との比として算出する。さらに、車両の静止輪重は車両データベース、もしくは橋梁の単位長さ当たりの質量との比として算出する。また、車両のその他のデータは車両データベースから設定する。
【００７５】
そして、設定諸量を前述の式（２７）に代入することで繰り返し計算を行うことなく変位応答を算出する。また、速度をパラメータとした解析結果に基づいて衝撃係数を算定する。
【００７６】
これにより、本実施形態の橋梁動的応答解析方法においては、有限要素法に基づく数値解析と比較して単純桁形式の高速鉄道橋の動的応答を少ない入力データ（橋梁の径間長、固有振動数、単位長さ当たりの質量、モード減衰比など）で高速に計算することができる。このため、モデル作成の人的、時間的負荷及び数値解析の計算負荷を大幅に削減することが可能になる。
【００７７】
また、有限要素法と異なり空間的な離散化を行っていないため、要素分割に起因した誤差がなく、任意時間且つ任意場所での応答を算出できる。このため、橋梁上を移動する車両への入力データとして活用できる。
【００７８】
さらに、車両の軸重が不明な場合においても、橋梁のたわみデータが存在する場合にはたわみ量から動的応答及び衝撃係数を算出することが可能である。
【００７９】
また、設定諸量から一意に変位応答が得られるため。実測データに基づく固有振動数や輪重等の推定問題へ容易に応用することも可能である。
【００８０】
以上、本発明に係る本実施形態の本実施形態の橋梁動的応答解析方法の一実施形態について説明したが、本発明は上記の一実施形態に限定されるものではなく、その趣旨を逸脱しない範囲で適宜変更可能である。
【符号の説明】
【００８１】
１    列車
１ａ  車両
【図１】
2017020796.tif 000039
【図２】
2017020796.tif 000040
【図３】
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【図４】
2017020796.tif 000042
【図５】
2017020796.tif 000043
【図６】
2017020796.tif 000044
【図７】
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【図８】
2017020796.tif 000046
【図９】
2017020796.tif 000047