(57)【要約】      （修正有）【課題】内部共振による周波数精度の低下を低減し、周波数精度の向上を図ることのできる振動子、発振器、電子機器および移動体を提供する。【解決手段】基部２１および振動腕２２、２３を含んでいる振動片２と、振動片が取り付けられているベース９１と、を有し、ｎを２以上の自然数としたとき、振動片は、互いに異なる共振周波数を有するｎ個の固有振動モードを有した振動をする。ｎ個の固有振動モードのそれぞれに対応する共振周波数と任意の整数との関係において、規格化された周波数差Δｆは、2017200015.tif 000075を満たす。振動片の主振動を電気的に励振している励振電力に対する主振動の共振周波数の変化量の比は、２０［ｐｐｍ／μＷ］以上である。【選択図】なし【特許請求の範囲】
【請求項１】
基部と、前記基部から第１方向に延びている振動腕と、を含んでいる振動片と、
前記振動片が取り付けられているベースと、を有し、
ｎを２以上の自然数のうちの１つ、
ｊを１以上であって前記ｎ以下の自然数としたとき、
前記振動片は、互いに異なる共振周波数を有する前記ｎ個の固有振動モードを有した振動をし、
前記ｎ個の固有振動モードは、主振動の固有振動モードを含み、
前記ｎ個の固有振動モードのそれぞれに対応する共振周波数ｆｊと任意の整数ｋｊとの関係において、
前記主振動の共振周波数をｆ１とし、規格化された周波数差Δｆを
【数１】
2017200015.tif 000063
としたとき、
【数２】
2017200015.tif 000064
の関係を満たし、
前記任意の整数ｋｊは、
【数３】
2017200015.tif 000065
および、
【数４】
2017200015.tif 000066
の関係を満たし、
前記主振動を電気的に励振している励振電力の変動に対する、前記主振動の共振周波数の変化量を前記主振動の共振周波数ｆ１により規格化した値の比が２０［ｐｐｍ／μＷ］以上であることを特徴とする振動子。
【請求項２】
請求項１において、
【数５】
2017200015.tif 000067
の関係を満たすことを特徴とする振動子。
【請求項３】
請求項１または２において、
前記振動片は、
前記第１方向と交差する第２方向に並び、前記基部から前記第１方向に延びている一対の前記振動腕を有し、
前記一対の振動腕が前記第２方向に逆相で屈曲振動する第２方向逆相モード、
前記一対の振動腕が前記第２方向に同相で屈曲振動する第２方向同相モード、
前記一対の振動腕が前記基部の厚さ方向に沿う第３方向に逆相で屈曲振動する第３方向逆相モード、
前記一対の振動腕が前記第３方向に同相で屈曲振動する第３方向同相モード、
前記一対の振動腕がそれぞれの前記第１方向に延びる軸まわりに逆相で捩じれる捩り逆相モード、および
前記一対の振動腕がそれぞれの前記第１方向に延びる軸まわりに同相で捩じれる捩り同相モード、の少なくとも２つの前記固有振動モードの高次モードを含んでいることを特徴とする振動子。
【請求項４】
請求項３において、
前記主振動は、前記第２方向逆相モードであることを特徴とする振動子。
【請求項５】
請求項４において、
前記振動腕は、主面に開放する溝部を有し、
前記振動腕の前記第１方向の長さをＬ［ｍ］としたとき、
前記振動腕の基端と前記基端から先端側へＬ／３離間した位置との間に少なくとも前記溝部の一部が設けられており、
前記振動腕の前記主振動の振動方向の長さをＷ［ｍ］としたとき、
【数６】
2017200015.tif 000068
の関係を満足することを特徴とする振動子。
ただし、
【数７】
2017200015.tif 000069
ρ［ｋｇ／ｍ３］は、前記振動腕の質量密度
Ｃｐ［Ｊ／（ｋｇ・Ｋ）］は、前記振動腕の熱容量
ｋ［Ｗ／（ｍ・Ｋ）］は、前記振動腕の前記主振動の振動方向に沿った熱伝導率
【請求項６】
請求項４において、
前記振動腕の前記主振動の振動方向の長さをＷ［ｍ］としたとき、
【数８】
2017200015.tif 000070
の関係を満足することを特徴とする振動子。
ただし、
【数９】
2017200015.tif 000071
ρ［ｋｇ／ｍ３］は、前記振動腕の質量密度
Ｃｐ［Ｊ／（ｋｇ・Ｋ）］は、前記振動腕の熱容量
ｋ［Ｗ／（ｍ・Ｋ）］は、前記振動腕の前記主振動の振動方向に沿った熱伝導率
【請求項７】
請求項１ないし６のいずれか１項において、
前記振動片のＱ値をＱとしたとき、
【数１０】
2017200015.tif 000072
の関係を満足することを特徴とする振動子。
ただし、
【数１１】
2017200015.tif 000073
【数１２】
2017200015.tif 000074
Ａ＝７．３６９０×１０−２
Ｂ＝１．２５４４×１０−５
Ｃ＝１．１以上、１．３以下
ρ［ｋｇ／ｍ３］は、前記振動腕の質量密度
Ｃｐ［Ｊ／（ｋｇ・Ｋ）］は、前記振動腕の熱容量
ｃ［Ｎ／ｍ２］は、前記振動腕の延在方向に関する弾性定数
α［１／Ｋ］は、前記振動腕の延びる方向に関する熱膨張係数
Θ［Ｋ］は、環境温度
ｋ［Ｗ／（ｍ・Ｋ）］は、前記振動腕の前記主振動の振動方向に沿った熱伝導率
πは、円周率
【請求項８】
請求項３において、
前記主振動は、前記第３方向逆相モードであることを特徴とする振動子。
【請求項９】
請求項１ないし８のいずれか１項において、
前記固有振動モードは、前記主振動の振動方向と直交する方向に前記振動腕が屈曲振動するモードを含んでいることを特徴とする振動子。
【請求項１０】
請求項１ないし９のいずれか１項に記載の振動子と、
発振回路と、を有していることを特徴とする発振器。
【請求項１１】
請求項１ないし９のいずれか１項に記載の振動子を有していることを特徴とする電子機器。
【請求項１２】
請求項１ないし９のいずれか１項に記載の振動子を有していることを特徴とする移動体。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、振動子、発振器、電子機器および移動体に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
従来から、特許文献１に示すような振動片が知られている。特許文献１の振動片は、基部と、基部から延びる３つの振動腕と、を有する振動体を有しており、各振動腕がＺ軸方向に屈曲振動するようになっている。このような振動片は、例えば、図３５の実線で示すような２次の周波数温度特性を有しているため、従来から、振動片と接続されている発振回路において周波数温度特性を図３６の実線で示すように補正することが行われている。これにより、温度による周波数変化が低減され、高い周波数精度を有する振動片を得ることができる。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００３】
【特許文献１】国際公開２０１４／１８５２８１号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００４】
しかしながら、前述した主振動である屈曲振動と、これ以外の不要振動モードとが結合して内部共振が生じてしまうと、振動片の周波数特性が図３５の鎖線で示すように局所的に急峻に変動してしまう。この変動は、図３６の鎖線で示すように、発振回路によっても補正することが困難であり、周波数精度のさらなる向上が困難である。
【０００５】
本発明の目的は、内部共振による周波数精度の低下を低減し、周波数精度の向上を図ることのできる振動子、発振器、電子機器および移動体を提供することにある。
【課題を解決するための手段】
【０００６】
本発明は、上述の課題の少なくとも一部を解決するためになされたものであり、以下の適用例として実現することが可能である。
【０００７】
本発明の振動子は、基部と、前記基部から第１方向に延びている振動腕と、を含んでいる振動片と、
前記振動片が取り付けられているベースと、を有し、
ｎを２以上の自然数のうちの１つ、
ｊを１以上であって前記ｎ以下の自然数としたとき、
前記振動片は、互いに異なる共振周波数を有する前記ｎ個の固有振動モードを有した振動をし、
前記ｎ個の固有振動モードは、主振動の固有振動モードを含み、
前記ｎ個の固有振動モードのそれぞれに対応する共振周波数ｆｊと任意の整数ｋｊとの関係において、
前記主振動の共振周波数をｆ１とし、規格化された周波数差Δｆを
【数１】
2017200015.tif 000002
としたとき、
2017200015.tif 000003
の関係を満たし、
前記任意の整数ｋｊは、
【数２】
2017200015.tif 000004
および、
【数３】
2017200015.tif 000005
の関係を満たし、
前記主振動を電気的に励振している励振電力の変動に対する、前記主振動の共振周波数の変化量を前記主振動の共振周波数ｆ１により規格化した値の比が２０［ｐｐｍ／μＷ］以上であることを特徴とする。
これにより、内部共振による周波数精度の低下を低減し、周波数精度の向上を図ることのできる振動子が得られる。
【０００８】
本発明の振動子では、
【数４】
2017200015.tif 000006
の関係を満たすことが好ましい。
これにより、低次の非線形性が顕著に現れる振動片においても主振動と他の固有振動モードとの結合が生じ難くなり、内部共振に起因した主振動の振動漏れを低減することができる。
【０００９】
本発明の振動子では、前記振動片は、
前記第１方向と交差する第２方向に並び、前記基部から前記第１方向に延びている一対の前記振動腕を有し、
前記一対の振動腕が前記第２方向に逆相で屈曲振動する第２方向逆相モード、
前記一対の振動腕が前記第２方向に同相で屈曲振動する第２方向同相モード、
前記一対の振動腕が前記基部の厚さ方向に沿う第３方向に逆相で屈曲振動する第３方向逆相モード、
前記一対の振動腕が前記第３方向に同相で屈曲振動する第３方向同相モード、
前記一対の振動腕がそれぞれの前記第１方向に延びる軸まわりに逆相で捩じれる捩り逆相モード、および
前記一対の振動腕がそれぞれの前記第１方向に延びる軸まわりに同相で捩じれる捩り同相モード、の少なくとも２つの前記固有振動モードの高次モードを含んでいることが好ましい。
これにより、振動腕以外の部位の振動が低減されるため、振動漏れの小さい振動子となる。
【００１０】
本発明の振動子では、前記主振動は、前記第２方向逆相モードであることが好ましい。
これにより、高いＱ値を実現でき、ＣＩ値の小さな振動片となる。
【００１１】
本発明の振動子では、前記振動腕は、主面に開放する溝部を有し、
前記振動腕の前記第１方向の長さをＬ［ｍ］としたとき、
前記振動腕の基端と前記基端から先端側へＬ／３離間した位置との間に少なくとも前記溝部の一部が設けられており、
前記振動腕の前記主振動の振動方向の長さをＷ［ｍ］としたとき、
【数５】
2017200015.tif 000007
の関係を満足することが好ましい。
ただし、
【数６】
2017200015.tif 000008
ρ［ｋｇ／ｍ３］は、前記振動腕の質量密度
Ｃｐ［Ｊ／（ｋｇ・Ｋ）］は、前記振動腕の熱容量
ｋ［Ｗ／（ｍ・Ｋ）］は、前記振動腕の主振動の振動方向に沿った熱伝導率
これにより、Ｑ値の劣化を低減することができる。
【００１２】
本発明の振動子では、前記振動腕の前記主振動の振動方向の長さをＷ［ｍ］としたとき、
【数７】
2017200015.tif 000009
の関係を満足することが好ましい。
ただし、
【数８】
2017200015.tif 000010
ρ［ｋｇ／ｍ３］は、前記振動腕の質量密度
Ｃｐ［Ｊ／（ｋｇ・Ｋ）］は、前記振動腕の熱容量
ｋ［Ｗ／（ｍ・Ｋ）］は、前記振動腕の主振動の振動方向に沿った熱伝導率
これにより、Ｑ値の劣化を低減することができる。
【００１３】
本発明の振動子では、前記振動片のＱ値をＱとしたとき、
【数９】
2017200015.tif 000011
の関係を満足することが好ましい。
ただし、
【数１０】
2017200015.tif 000012
【数１１】
2017200015.tif 000013
Ａ＝７．３６９０×１０−２
Ｂ＝１．２５４４×１０−５
Ｃ＝１．１以上、１．３以下
ρ［ｋｇ／ｍ３］は、前記振動腕の質量密度
Ｃｐ［Ｊ／（ｋｇ・Ｋ）］は、前記振動腕の熱容量
ｃ［Ｎ／ｍ２］は、前記振動腕の延在方向に関する弾性定数
α［１／Ｋ］は、前記振動腕の延びる方向に関する熱膨張係数
Θ［Ｋ］は、環境温度
ｋ［Ｗ／（ｍ・Ｋ）］は、前記振動腕の主振動の振動方向に沿った熱伝導率
πは、円周率
これにより、小型で、Ｑ値の高い振動片となる。
【００１４】
本発明の振動子では、前記主振動は、前記第３方向逆相モードであることが好ましい。
これにより、高いＱ値を実現でき、ＣＩ値の小さな振動片となる。
【００１５】
本発明の振動子では、前記固有振動モードは、前記主振動の振動方向と直交する方向に前記振動腕が屈曲振動するモードを含んでいることが好ましい。
このようなモードは、主振動と結合し易いため本発明の効果が大きくなる。
【００１６】
本発明の発振器は、本発明の振動子と、
発振回路と、を有していることを特徴とする。
これにより、信頼性の高い発振器が得られる。
【００１７】
本発明の電子機器は、本発明の振動子を有していることを特徴とする。
これにより、信頼性の高い電子機器が得られる。
【００１８】
本発明の移動体は、本発明の振動子を有していることを特徴とする。
これにより、信頼性の高い移動体が得られる。
【図面の簡単な説明】
【００１９】
【図１】本発明の第１実施形態に係る振動子を示す平面図である。
【図２】図１中のＡ−Ａ線断面図である。
【図３】図１中のＢ−Ｂ線断面図である。
【図４】振動片の固有振動モードを示す平面図である。
【図５】屈曲振動時の熱伝導について説明する振動腕の断面図である。
【図６】Ｑ値とｆ１／ｆ０の関係を示すグラフである。
【図７】ΔｆとＱ値の関係を示すグラフである。
【図８】Δｆと温度の関係を示すグラフである。
【図９】ＣＩ上昇率と温度の関係を示すグラフである。
【図１０】ＣＩと温度の関係を示すグラフである。
【図１１】振動腕の長さと振動腕の幅の関係を示すグラフである。
【図１２】非線形の振動系における振動腕の振幅と主振動の共振周波数との関係を示すグラフである。
【図１３】非線形の振動系における振動腕の振幅と主振動の共振周波数との関係を示すグラフである。
【図１４】振動片に内部共振が生じない場合の励振電力ＤＬと振動腕の振幅の関係を示すグラフである。
【図１５】振動片に内部共振が生じる場合の励振電力ＤＬと振動腕の振幅の関係を示すグラフである。
【図１６】振動片に内部共振が生じない場合の周波数温度特性を示すグラフである。
【図１７】振動片に内部共振が生じる場合の周波数温度特性を示すグラフである。
【図１８】励振電力ＤＬとΔｆｄの関係を示すグラフである。
【図１９】本発明の第２実施形態に係る振動子が有する振動片の平面図である。
【図２０】本発明の第３実施形態に係る振動子が有する振動片の平面図である。
【図２１】本発明の第４実施形態に係る振動子が有する振動片の平面図である。
【図２２】本発明の第５実施形態に係る振動子が有する振動片の平面図である。
【図２３】図２２に示す振動片の側面図である。
【図２４】本発明の第６実施形態に係る振動子が有する振動片の平面図である。
【図２５】図２４に示す振動片の作動を説明する図である。
【図２６】図２４に示す振動片の作動を説明する図である。
【図２７】本発明の第７実施形態に係る振動子が有する振動片の平面図である。
【図２８】図２７に示す振動片の作動を説明する図である。
【図２９】図２７に示す振動片の作動を説明する図である。
【図３０】本発明の第８実施形態に係る発振器を示す断面図である。
【図３１】本発明の電子機器を適用したモバイル型（またはノート型）のパーソナルコンピューターの構成を示す斜視図である。
【図３２】本発明の電子機器を適用した携帯電話機（スマートフォン、ＰＨＳ等も含む）の構成を示す斜視図である。
【図３３】本発明の電子機器を適用したデジタルスチールカメラの構成を示す斜視図である。
【図３４】本発明の移動体を適用した自動車を示す斜視図である。
【図３５】従来の問題を説明するための振動片の周波数温度特性の一例を示すグラフである。
【図３６】従来の問題を説明するための温度補償回路による補正後の周波数温度特性の一例を示すグラフである。
【発明を実施するための形態】
【００２０】
以下、本発明の振動子、発振器、電子機器および移動体を図面に示す好適な実施形態に基づいて詳細に説明する。
【００２１】
＜第１実施形態＞
まず、本発明の第１実施形態に係る振動子について説明する。
【００２２】
図１は、本発明の第１実施形態に係る振動子を示す平面図である。図２は、図１中のＡ−Ａ線断面図である。図３は、図１中のＢ−Ｂ線断面図である。図４は、振動片の固有振動モードを示す平面図である。図５は、屈曲振動時の熱伝導について説明する振動腕の断面図である。図６は、Ｑ値とｆ１／ｆ０の関係を示すグラフである。図７は、ΔｆとＱ値の関係を示すグラフである。図８は、Δｆと温度の関係を示すグラフである。図９は、ＣＩ上昇率と温度の関係を示すグラフである。図１０は、ＣＩと温度の関係を示すグラフである。図１１は、振動腕の長さと振動腕の幅の関係を示すグラフである。図１２および図１３は、それぞれ、非線形の振動系における振動腕の振幅と主振動の共振周波数との関係を示すグラフである。図１４は、振動片に内部共振が生じない場合の励振電力ＤＬと振動腕の振幅の関係を示すグラフである。図１５は、振動片に内部共振が生じる場合の励振電力ＤＬと振動腕の振幅の関係を示すグラフである。図１６は、振動片に内部共振が生じない場合の周波数温度特性を示すグラフである。図１７は、振動片に内部共振が生じる場合の周波数温度特性を示すグラフである。図１８は、励振電力ＤＬとΔｆｄの関係を示すグラフである。
【００２３】
なお、各図では、互いに直交する３つの軸として、Ｘ軸、Ｙ軸およびＺ軸を適宜図示しており、Ｘ軸、Ｙ軸およびＺ軸が水晶の結晶軸であるＸ軸（電気軸）、Ｙ軸（機械軸）およびＺ軸（光学軸）に対応している。また、以下の説明では、Ｘ軸に平行な方向（第２方向）を「Ｘ軸方向」、Ｙ軸に平行な方向（第１方向）を「Ｙ軸方向」、Ｚ軸に平行な方向（第３方向）を「Ｚ軸方向」といい、また、各図に図示されているＸ軸、Ｙ軸およびＺ軸の矢印の先端側を「＋（プラス）」、基端側を「−（マイナス）」ともいう。また、−Ｚ軸方向側を「上」、＋Ｚ軸方向側を「下」ともいう。また、以下の説明では、Ｚ軸方向から見たときの平面視を単に「平面視」ともいう。
【００２４】
図１に示すように、振動子１は、パッケージ９と、パッケージ９に収容されている振動片２と、を有している。以下、このような振動子１について詳細に説明する。
【００２５】
（パッケージ）
パッケージ９は、図１および図２に示すように、上面に開放する凹部９１１を有し、凹部９１１の底面に振動片２が取り付けられている箱状のベース９１と、凹部９１１の開口を塞いでベース９１に接合されている板状のリッド９２と、を有している。このようなパッケージ９は、凹部９１１がリッド９２で塞がれることにより形成された気密的な収容空間Ｓを有しており、この収容空間Ｓに振動片２が収容されている。なお、収容空間Ｓ内は、減圧（好ましくは真空）状態となっているのが好ましい。これにより、粘性抵抗が小さくなり、振動片２の振動特性が向上する。
【００２６】
また、凹部９１１の底面には複数の内部端子９５が配置されている。また、ベース９１の底面には複数の外部端子９６が形成されている。そして、対応する内部端子９５および外部端子９６は、それぞれ、ベース９１に配置されている図示しない内部配線を介して電気的に接続されている。また、内部端子９５上には導電性接着材９７（固定部材）が配置されており、この導電性接着材９７を介して振動片２がベース９１に固定されていると共に、内部端子９５と電気的に接続されている。
【００２７】
（振動片）
図１に示すように、振動片２は、振動体２０と、振動体２０上に配置されている電極と、を有している。なお、説明の便宜上、図１では、電極の図示を省略している。
【００２８】
振動体２０は、Ｚカット水晶板をフォトリソグラフィー技法およびエッチング技法（特に、ウエットエッチング技法）を用いてパターニングして形成されている。なお、Ｚカット水晶板とは水晶の結晶軸であるＺ軸（光学軸）を厚さ方向とする水晶基板である。Ｚ軸は、振動体２０の厚さ方向と一致しているのが好ましいが、常温近傍における周波数温度変化を小さくする観点から、厚さ方向に対して若干（例えば、−５°以上、＋１５°以下の範囲で）傾いていてもよい。
【００２９】
このような振動体２０は、図１に示すように、基部２１と、基部２１から−Ｙ軸方向に延びている一対の振動腕２２、２３と、基部２１に接続されている支持部２４と、を有している。
【００３０】
基部２１は、ＸＹ平面に沿って広がっており、Ｚ軸方向を厚さ方向とする板状をなしている。また、振動腕２２、２３は、Ｘ軸方向に並び、かつ、互いに平行となるように、それぞれ、基部２１から−Ｙ軸方向に延びている。また、振動腕２２、２３は、幅（Ｘ軸方向の長さ）が延在方向に沿ってほぼ一定である腕部２２１、２３１と、腕部２２１、２３１の先端側に配置され、腕部２２１、２３１よりも幅の広い広幅部２２９、２３９と、を有している。また、支持部２４は、基部２１の＋Ｙ軸側の端部に接続されている接続部２４１と、接続部２４１のＸ軸方向両側から−Ｙ軸方向に延びている一対の支持腕２４２、２４３と、を有している。そして、一対の支持腕２４２、２４３の間に振動腕２２、２３が挟まれるように位置している。
【００３１】
また、図２および図３に示すように、腕部２２１にはその上面（−Ｚ軸側の主面）に開口する有底の溝部２２２と、下面（＋Ｚ軸側の主面）に開口する有底の溝部２２３と、が配置されている。同様に、腕部２３１にはその上面に開口する有底の溝部２３２と、下面に開口する有底の溝部２３３と、が配置されている。このように、腕部２２１に溝部２２２、２２３を設け、腕部２３１に溝部２３２、２３３を設けることで、後述するように、屈曲振動によって発生する熱の移動経路が長くなり、断熱的領域において熱弾性損失を低減することができ、振動片２のＱ値を向上させることができる。
【００３２】
電極は、第１駆動電極２８１および第１駆動端子２８２と、第２駆動電極２９１および第２駆動端子２９２と、を有している。図３に示すように、第１駆動電極２８１は、振動腕２２の上下面（溝部２２２、２２３の内面）および振動腕２３の両側面に配置され、第２駆動電極２９１は、振動腕２２の両側面および振動腕２３の上下面（溝部２３２、２３３の内面）に配置されている。また、図２に示すように、第１駆動端子２８２は、支持腕２４２に配置され、図示しない配線を介して第１駆動電極２８１と電気的に接続されている。一方、第２駆動端子２９２は、支持腕２４３に配置され、図示しない配線を介して第２駆動電極２９１と電気的に接続されている。また、第１、第２駆動端子２８２、２９２は、導電性接着材９７と接触している。
【００３３】
このような振動片２では、第１駆動電極２８１および第２駆動電極２９１の間に駆動信号（例えば、主振動の共振周波数とほぼ等しい周波数の交番電圧）を印加すると、図４の左上図に示すように、振動腕２２、２３がＸ軸方向に逆相で（互いに接近、離間を繰り返すように）屈曲振動する。この振動モードは「Ｘ軸逆相モード（第２方向逆相モード）」とも言い、振動片２の主振動となる固有振動モードである。このように、Ｘ軸逆相モードを主振動とすることで、振動腕２２、２３の振動がキャンセルされて、基部２１への振動漏れが低減する。そのため、高いＱ値を実現することができ、ＣＩ値の小さな振動片２となる。なお、「主振動」とは、振動片２において、電気的に直接駆動される固有振動モードのことを言う。
【００３４】
また、振動片２は、図４に示すように、振動腕２２、２３の主振動であるＸ軸逆相モードに対して対称面となる１つの仮想振動対称面Ｆ１（ＹＺ平面）を有している。そのため、振動腕２２、２３の振動がキャンセルされて、振動エネルギーが基部２１に漏洩し難くなる。したがって、Ｑ値の低下を低減することができる。なお、実際には、振動片２は、主振動であるＸ軸逆相モードに、不要振動であるＺ軸逆相モードや捩じれ逆相モード等が結合した状態で振動する場合もあるが、前述した仮想振動対称面Ｆ１は、これら不要振動モードを排除して、主振動のみを考慮した場合の対象面である。なお、これら不要振動モードについては後述する。
【００３５】
ここで、主振動（Ｘ軸逆相モード）の共振周波数ｆ１としては特に限定されないが、例えば、１×１０３［Ｈｚ］以上、１×１０６［Ｈｚ］以下であることが好ましく、３１．７６８［ｋＨｚ］以上、３３．７６８［ｋＨｚ］以下、の２ｍ倍すなわち、（３２．７６８±１．０）×２ｍ［ｋＨｚ］の範囲内であることがより好ましい。ただし、ｍは、−１以上、４以下の整数である。共振周波数ｆ１をこのような周波数とすることで、利便性の高い振動片２が得られる。
【００３６】
以上、振動片２の構成について簡単に説明した。次に、前述した「熱弾性損失」について振動腕２２を例に挙げて簡単に説明する。上述したように、振動腕２２がＸ軸方向に屈曲振動する際、腕部２２１の一方の側面が収縮すると他方の側面が伸張し、反対に、一方の側面が伸張すると他方の側面が収縮する。振動腕２２がＧｏｕｇｈ−Ｊｏｕｌｅ効果を発生しない（エネルギー弾性がエントロピー弾性に対して支配的な）場合、図５に示すように、収縮する側面側の温度が上昇し、伸張する側面側の温度が下降するため、両側面の間、つまり腕部２２１の内部に温度差が発生する。このような温度差から生じる熱移動（図５中の矢印参照）によって振動エネルギーの損失が発生し、これにより振動片２のＱ値が低下する。このようなＱ値の低下を熱弾性効果とも言い、熱弾性効果によるエネルギーの損失を「熱弾性損失」と言う。
【００３７】
振動片２のように、屈曲振動モードで振動する振動片において、振動腕２２の主振動の共振周波数ｆ１（機械的屈曲振動周波数）が熱緩和周波数ｆ０と一致するときに最小のＱ値（Ｑ０）となる。なお、この熱緩和周波数ｆ０は、ｆ０＝１／（２πτ）で求めることができる（ただし、式中のπは円周率であり、ｅをネイピア数とすれば、τは温度差が熱伝導によりｅ−１倍になるのに要する緩和時間である）。
【００３８】
前述したように、振動腕２２では両側面の間に位置するように溝部２２２、２２３が配置されている。そのため、振動腕２２の屈曲振動時に生じる両側面の温度差を熱伝導により温度平衡させるための熱の移動経路が溝部２２２、２２３を迂回して形成され、熱の移動経路が両側面間の直線距離（最短距離）よりも長くなる。したがって、振動腕２２に溝部２２２、２２３を設けていない場合と比較して緩和時間τが長くなり、溝部２２２、２２３を有している振動腕２２の熱緩和周波数ｆ０が、溝部２２２、２２３を有していない振動腕２２の熱緩和周波数ｆ０よりも低くなる。
【００３９】
図６は、屈曲振動モードの振動片のＱ値のｆ１／ｆ０依存性を表すグラフである。そして、図中のｆ１／ｆ０＜１の領域を「等温的領域」とも言い、この等温的領域ではｆ１／ｆ０が小さくなるにつれてＱ値が高くなる。これは、主振動の共振周波数ｆ１（振動腕の機械的周波数）が低くなる（振動腕の振動が遅くなる）につれて前述のような振動腕内の温度差が生じ難くなるためである。したがって、ｆ１／ｆ０を０（零）に限りなく近づけた際の極限では、等温準静操作となって、熱弾性損失は限りなく０（零）に接近する。一方、ｆ１／ｆ０＞１の領域を「断熱的領域」とも言い、この断熱的領域ではｆ１／ｆ０が大きくなるにつれてＱ値が高くなる。これは、主振動の共振周波数ｆ１が高くなるにつれて、各側面の温度上昇・温度効果の切り替わりが高速となり、前述のような熱伝導（熱移動）が生じる時間がなくなるためである。したがって、ｆ１／ｆ０を限りなく大きくした際の極限では、断熱操作となって、熱弾性損失は限りなく０（零）に接近する。本実施形態の振動片２は、このような断熱的領域にある。
【００４０】
また、図６において、鎖線で示されている曲線Ｋ１は、振動片２のように振動腕に溝部が形成されている場合を示し、実線で示されている曲線Ｋ２は、振動腕に溝部が形成されていない場合を示している。曲線Ｋ１、Ｋ２の形状はほとんど変わらないが、前述のような熱緩和周波数ｆ０の低下に伴って、曲線Ｋ１が曲線Ｋ２に対して周波数低下方向へシフトしている。したがって、断熱的領域では、振動腕に溝部が形成されている振動片のＱ値が、振動腕に溝部が形成されていない振動片のＱ値に対して高くなる。よって、前述したように、本実施形態の振動片２は、高いＱ値を実現することができる。また、図６から明らかなように、等温的領域での曲線Ｋ１に対応する振動片のＱ値と曲線Ｋ２に対応する振動片のＱ値が等しくなる点、すなわち曲線Ｋ１と曲線Ｋ２とが交差する点よりｆ１／ｆ０が小さい領域では、振動腕に溝部が形成されている振動片のＱ値は、振動腕に溝部が形成されていない振動片のＱ値よりも低くなるため、振動腕には溝を形成しないことが好ましい。
【００４１】
ここで、図１に示すように、振動腕２２の長さ（Ｙ軸方向の長さ）をＬ［ｍ］としたとき、振動腕２２の基端（振動腕２２と基部２１との接続部）と、当該基端から振動腕２２の先端側へＬ／３離間した位置との間の領域Ｓｙに少なくとも溝部２２２、２２３の一部が設けられている。振動時には、振動腕２２の基端部の方が先端部よりも大きく変形するため、振動腕２２内の温度差が大きくなる。そこで、振動腕２２の基端側に溝部２２２、２２３を配置することで、溝部２２２、２２３を配置することの効果（すなわち、断熱的領域において、熱弾性損失を低減することができる効果）をより高めることができる。
【００４２】
また、図３に示すように、溝部２２２、２２３の深さの合計Ｔ’としては特に限定されないが、振動腕２２の厚さをＴとしたとき、０．８Ｔ≦Ｔ’＜Ｔの関係を満足することが好ましい。このような関係を満足することで、前述した熱の移動経路をより長くすることができ、溝部２２２、２２３を配置することの効果（すなわち、断熱的領域において、熱弾性損失を低減することができる効果）をより高めることができる。ここで、溝部２２２、２２３をウエットエッチングで形成すると、水晶の結晶面が現れて、溝部２２２、２２３の断面形状が図３のような矩形にはならないが、この場合は、溝部２２２、２２３の最も深い部分を前記「深さ」とする。以上のことは、振動腕２３の溝部２３２、２３３についても同様である。
【００４３】
また、図１に示すように、振動腕２２（振動腕２３についても同様である。）の腕部２２１の幅（Ｘ軸方向（主振動の振動方向）の長さ）をＷ［ｍ］としたとき、下記式（１Ａ）を満足することが好ましく、下記式（１Ｂ）を満足することがより好ましく、下記式（１Ｃ）を満足することがさらに好ましく、下記式（１Ｄ）を満足することがますます好ましい。
【００４４】
【数１２】
2017200015.tif 000014
【００４５】
【数１３】
2017200015.tif 000015
【００４６】
【数１４】
2017200015.tif 000016
【００４７】
【数１５】
2017200015.tif 000017
【００４８】
なお、Ｗ０は、振動腕２２の断面形状が矩形の場合の仮想的な幅（屈曲振動する方向の長さ）であり、振動腕２２の質量密度をρ［ｋｇ／ｍ３］とし、振動腕２２の熱容量をＣｐ［Ｊ／（ｋｇ・Ｋ）］とし、振動腕２２の主振動の振動方向（Ｘ軸方向）に沿った熱伝導率をｋ［Ｗ／（ｍ・Ｋ）］とし、円周率をπとし、主振動（Ｘ軸逆相モード）の共振周波数をｆ１［Ｈｚ］としたとき、下記式（２）で表される。
【００４９】
【数１６】
2017200015.tif 000018
【００５０】
上述のような式（１Ａ）を満足することで、主振動は断熱的領域における振動となり、振動腕２２、２３に溝部２２２を形成することで、振動腕２２、２３の屈曲振動によって発生する熱弾性損失に起因するＱ値の劣化が低減される。さらに、式（１Ｂ）〜（１Ｄ）を満足することで、この効果がより顕著となる。
【００５１】
以上、熱弾性損失について説明した。次に、振動片２が有する複数の固有振動モードの関係、より具体的には、振動片２の主振動であるＸ軸逆相モードと、それ以外の不要振動モードと、の関係について説明する。
【００５２】
まず、不要振動モードについて説明する。振動片２は、上述した主振動（Ｘ軸逆相モード）の他にも、温度に対して不安定であって振動漏れが小さくなるように設計されていない、あるいは、小さくすることが困難な固有振動モードである不要振動モードを有している。この不要振動モードの共振周波数が主振動の共振周波数ｆ１と後述する関係を有していると、不要振動モードが主振動と内部共振し、主振動のエネルギーが不要振動モードを介して外部に漏洩してしまう。そのため、主振動のＱ値が劣化、それに伴う主振動のＣＩ値の上昇、さらに主振動の共振周波数ｆ１が安定しない等、振動片２の振動特性が悪化する。
【００５３】
このような不要振動モードとしては、主振動以外の固有振動モードであれば、特に限定されないが、例えば、Ｘ軸同相モード（第２方向同相モード）、Ｚ軸逆相モード（第３方向逆相モード）、Ｚ軸同相モード（第３方向同相モード）、捩り逆相モード、および、捩り同相モードの少なくとも１つの固有振動モードの高次モードを含んでいる。これら不要振動モードは、数ある不要振動モードの中でも共振周波数が低く、さらに主振動に結合し易い傾向にある。そのため、不要振動としてこれらモードを有することで、以下に述べる本発明の効果がより顕著なものとなる。なお、主振動がＸ軸逆相モードでない場合には、このような不要振動モードにＸ軸逆相モードが含まれていてもよい。
【００５４】
また、前述した高次モードとして、Ｘ軸逆相モード、Ｘ軸同相モード、Ｚ軸逆相モードおよびＺ軸同相モードのそれぞれの２次モードのうちの少なくとも１つを含んでいることが好ましい。高次モードは、次数が小さい程、主振動に結合し易い傾向にあるため、不要振動モードとして上記の高次モードを有することで、以下に述べる本発明の効果がより顕著なものとなる。
【００５５】
なお、図４に示すように、Ｘ軸同相モードは、振動腕２２、２３がＸ軸方向に同相で（互いに同じ方向に）屈曲振動する固有振動モードである。また、Ｚ軸逆相モードは、振動腕２２、２３がＺ軸方向に逆相で屈曲振動する固有振動モードである。また、Ｚ軸同相モードは、振動腕２２、２３がＺ軸方向に同相で屈曲振動する固有振動モードである。また、捩り逆相モードは、振動腕２２、２３がその軸（振動腕２２、２３のＸ軸方向およびＺ軸方向に沿った断面の中心を通り、Ｙ軸方向に沿った仮想中心線）まわりに逆相で捩じれる固有振動モードである。また、捩り同相モードは、振動腕２２、２３がその軸まわりに同相で捩じれる固有振動モードである。なお、図４中の矢印や「〇」中に「・」および「〇」中に「×」は、振動腕の変位方向を示し（「〇」中に「・」は紙面手前方向、「〇」中に「×」は紙面奥方向）、実線と破線、あるいは括弧の有無により、交互に繰り返されることを示している。
【００５６】
次に、主振動（Ｘ軸逆相モード）の共振周波数と上記の不要振動モードの共振周波数との関係について説明する。
【００５７】
ｎを２以上の自然数のうちの１つとし、ｊを１以上であって前記ｎ以下の自然数としたとき、振動片２は、互いに異なる共振周波数を有するｎ個の固有振動モード、すなわち、主振動であるＸ軸逆相モードと少なくとも１つの不要振動モードとを有した振動をし、ｎ個の固有振動モードのそれぞれに対応する共振周波数をｆｊとし、任意の整数をｋｊ（ただし、ｋｊの２つ以上は０でなく（≠０）、かつ、ｋ１≠０）としたときの、ｆｊとｋｊの関係において、ｎ個の固有振動モードのうち振動片２の主振動の共振周波数をｆ１（すなわち、ｊ＝１）とし、規格された周波数差Δｆを下記式（３）としたとき、下記式（４）を満足する。
【００５８】
【数１７】
2017200015.tif 000019
【００５９】
【数１８】
2017200015.tif 000020
【００６０】
さらに、整数ｋｊと自然数ｎは、下記式（５）および式（６）を満足する。
【００６１】
【数１９】
2017200015.tif 000021
【００６２】
【数２０】
2017200015.tif 000022
【００６３】
上記式（４）を満足することで、不要振動モードが主振動と内部共振し、主振動のエネルギーが不要振動モードを介して漏洩してしまう可能性を低減することができる。したがって、振動漏れが少なく、優れた振動特性を発揮することのできる振動子１となる。以下、この理由について説明する。
【００６４】
まず、内部共振が発生する条件について説明する。内部共振が発生するには、振動片２が複数の固有振動モード、すなわち、主振動であるＸ軸逆相モードと少なくとも１つの不要振動モードとを有していることが必要である（条件Ａ１）。さらには、下記式（７）を満足する必要もある（条件Ａ２）。ここで、下記式（７）の「≒」の表現は、下記式（７）の左辺が厳密に零でなくても多少の内部共振が発生してしまう許容量が存在することを意味している。なお、それぞれの固有振動モードの共振周波数をｆｎとしたとき、少なくとも、ｆｉ＞０の関係を満足している。また、ｎは２以上の自然数である。ただし、式（７）中のｋ１、ｋ２、…、ｋｉ、…、ｋｎは、整数であり、これらのうちの少なくとも２つは、０でない（≠０）。また、ｉは、１以上、ｎ以下の自然数である。
【００６５】
【数２１】
2017200015.tif 000023
【００６６】
また、この場合、内部共振に関する条件として必要ではないが、実際に主振動を励振するために、主振動を励振する電気信号の周波数Ω（＞０）が、主振動の共振周波数ｆ１とほぼ等しいことが必要である。すなわち、Ω≒ｆ１の関係を満足することが必要である（条件Ａ３）。ここで「ほぼ等しい」としたのは、例えば発振回路により電気的に励振された共振周波数と主振動の機械的に励振された共振周波数とに若干の差があるためであるが、以下では「ほぼ等しい」ではなく「等しい」と表現して同一視する。
【００６７】
また、本発明においては主振動のみを直接的に電気的に励振することを想定しているので、厳密には主振動の共振周波数ｆ１は電気的に励振された直列共振周波数であって、これは電気的に短絡された状態で機械的に励振された共振周波数に近似されるから、これらを同一視し、また、容量比γが３００以上であれば、電気的に開放された状態で機械的に励振された共振周波数と、電気的に短絡された状態で機械的に励振された共振周波数との差は小さいから、この場合も両者を同一視する。すなわち、主振動の容量比γが３００以上であれば、主振動の共振周波数ｆ１は、電気的に励振された直列共振周波数、電気的に短絡された状態で機械的に励振された共振周波数、電気的に開放された状態で機械的に励振された共振周波数、のいずれかであり、主振動の容量比γが３００未満であれば、主振動の共振周波数ｆ１は、電気的に励振された直列共振周波数、電気的に短絡された状態で機械的に励振された共振周波数、のいずれかである。
【００６８】
また、本発明においては主振動のみを直接的に電気的に励振することを想定しているので、厳密には不要振動モードの共振周波数は電気的に開放された状態で機械的に励振された共振周波数に近似されるが、不要振動モードの容量比γが３００以上であれば、主振動の場合と同様に、電気的に励振された直列共振周波数、電気的に開放された状態で機械的に励振された共振周波数、と同一視する。
【００６９】
これは、上述した式（４）や後述する式（１４）と比較しても、差が十分に小さいためである。なお、主振動モードや不要振動モードの共振周波数は、パッケージ９からリッド９２が取り除かれた状態で、ヘテロダイン干渉法などによって測定することができる。この際、各振動モードの振動変位が過大とならないようにすれば、パッケージ９の内部を大気状態にしたまま測定を行っても、減圧した状態での測定とは誤差が十分に小さいことが発明者らによって確認されている。
【００７０】
以上述べた条件Ａ１、Ａ２、Ａ３の全てを満足することで内部共振が発生する。そのため、内部共振を低減するには、条件Ａ１、Ａ２、Ａ３のうちの少なくとも１つを満足しなければよい。そして、振動子１は、条件Ａ２を満足しないように構成されている。すなわち、振動子１は、上記式（７）の替りに、下記式（８）を満足している。
【００７１】
【数２２】
2017200015.tif 000024
【００７２】
次に、上記式（７）の「≒」の表現に含有しておいた許容量を規定する。主振動近傍の仮想的な共振周波数をｆ１’とすると、ｆ１’は、下記式（９）で定義することができる。
【００７３】
【数２３】
2017200015.tif 000025
【００７４】
仮想的な共振周波数ｆ１’は、主振動以外の固有振動モードの共振周波数から算出され、主振動の共振周波数ｆ１と等しい時に最も強い内部共振が発生する。そして、主振動近傍の仮想的な共振周波数ｆ１’と主振動の共振周波数ｆ１との差を主振動の共振周波数ｆ１で規格化した値をΔｆとすると、Δｆは、上述した許容量となり、下記式（１０）で表すことができる。
【００７５】
【数２４】
2017200015.tif 000026
【００７６】
そして、上記式（１０）に式（９）を代入すると、下記式（１１）となる。
【００７７】
【数２５】
2017200015.tif 000027
【００７８】
そして、上記式（１１）を整理すれば上記式（３）が得られる。したがって、上記式（３）を満足することで、振動片２の内部共振が低減された振動子１となることがわかる。ここで、前述したように、式（７）中のｋ１、ｋ２、…、ｋｉ、…、ｋｎは、整数であり、これらのうちの少なくとも２つは、０でない。そして、この０でないｋ（ｋｍとする）を係数とする共振周波数ｆｍは、主振動の振動方向であるＸ軸と直交するＺ軸方向に振動腕２２、２３が屈曲振動する振動モード、すなわち、Ｚ軸同相モードまたはＺ軸逆相モードの共振周波数とほぼ等しいことが好ましい。言い換えると、振動子１は、Ｚ軸同相モードまたはＺ軸逆相モードを不要振動モード（固有振動モード）として有していることが好ましい。また、これらの高次モードを含むことが好ましく、特に最低次モード、あるいは、２次モードを含むことが好ましい。このような不要振動モードは、他の不要振動モードの中でも、特に、主振動であるＸ軸逆相モードに結合し易い振動である。そのため、式（３）を満たすことによる効果がより大きくなる。
【００７９】
また、振動子１は、主振動の共振周波数ｆ１の５倍以下の共振周波数ｆｊを有する不要振動モードを有していることが好ましく、３倍以下の共振周波数ｆｊを有する不要振動モードを有していることがより好ましい。すなわち、０＜ｆｊ≦５ｆ１の関係を満足することが好ましく、０＜ｆｊ≦３ｆ１の関係を満足することがより好ましい。このような周波数の不要振動モードは、主振動と強く結合するおそれがある。そのため、式（３）を満たすことによる効果がより大きくなる。
【００８０】
また、振動子１は、主振動の共振周波数ｆ１の３倍以下の共振周波数を有する不要モードすべてに対して上記式（４）を満足していることが好ましく、１０倍以下の共振周波数を有する不要モードすべてに対して上記式（４）を満足していることがより好ましい。このような関係を満足することで、主振動と強く結合し易い不要振動モードとの内部共振が発生するおそれをより低減することができる。
【００８１】
また、主振動モードの共振周波数ｆ１よりも低周波の共振周波数を有する不要振動モードを有していることが好ましい。すなわち、主振動モードの共振周波数ｆ１に対してｆ２＜ｆ１の関係を満足する共振周波数ｆ２を有する不要振動モードを有していることが好ましい。また、ｆ１／１０≦ｆ２＜ｆ１の関係を満足する共振周波数ｆ２を有する不要振動モードを有していることがより好ましく、ｆ１／３≦ｆ２＜ｆ１の関係を満足する共振周波数ｆ２を有する不要振動モードを有していることがさらに好ましい。これは、不要振動モードの中でも特に、主振動モードよりも低周波の共振周波数を有する不要振動モードが主振動と内部共振し易いためである。
【００８２】
なお、前述したように、振動子１は、さらに上記式（５）を満足している。式（５）では内部共振次数の限定を行っている。この内部共振次数は、非線形次数と関係があり、非線形次数が小さい条件程、非線形性が小さくても内部共振の影響が大きくなる。そのため、式（５）と式（４）とを満足することで、特に、内部共振の影響が大きい条件において、内部共振が発生するおそれを効果的に小さくすることができる。
【００８３】
なお、振動子１は、式（５）を満足していれば、特に限定されないが、下記式（１２）を満足するのがより好ましく、下記式（１３）を満足するのがさらに好ましい。これにより、低次の非線形性が顕著に現れる振動子１においても主振動と不要振動モードとの結合が生じ難く、不要振動モードを介した主振動の振動漏れを小さくすることができる。
【００８４】
【数２６】
2017200015.tif 000028
【００８５】
【数２７】
2017200015.tif 000029
【００８６】
また、ｎは、３以下であるのが好ましく、２であるのがより好ましい。ｎの値が小さい程、内部共振し易い傾向があり、本発明による効果が大きいためである。
【００８７】
また、振動子１では、前述したように、式（４）を満足している。｜Δｆ｜が０に近過ぎると、主振動との内部共振によって不要振動モードが発生し易くなるため、式（４）を満足することで、不要振動モードの発生を低減することができる。以下、このことについて簡単に説明する。また、以下では、説明の便宜上、不要振動モードがＸ軸同相モードである場合について代表して説明するが、Ｘ軸同相モード以外の不要振動モードであっても同様の関係を満足することが確認されている。
【００８８】
図７は、｜Δｆ｜とＱ値の関係を示すグラフである。図７は、主振動モードであるＸ軸逆相モードの共振周波数ｆ１と不要振動モードであるＸ軸同相モードの共振周波数ｆ２とが１：１で近接する場合のΔｆ、すなわちΔｆ＝（ｆ２−ｆ１）／ｆ１の場合の実測値であるが、１：１以外の結合においても同様な効果を得ることを確認している。なお、図７では、Ｑ値をその最大値で規格化した指数を縦軸として示している（すなわち、指数の最大値は１となる）。また、図７は、振動腕２２、２３の長さＬが９３０μｍ、振動腕２２、２３の幅Ｗが６０μｍ、全長が１１６０μｍ、全幅が５２０μｍのサイズを有する振動片２を用いた実測値である。
【００８９】
図７から分かるように、式（４）を満足すれば、規格化した指数の最大値の６０％以上を発揮することができ、不要振動モードを十分に低減することができる。なお、振動子１は、式（４）を満足していれば、特に限定されないが、下記式（１４Ａ）を満足することが好ましく、下記式（１４Ｂ）を満足することがより好ましく、下記式（１４Ｃ）を満足することがさらに好ましい。これにより、不要振動モードが主振動との内部共振によって発生することをさらに効果的に低減することができ、振動漏れが増大するおそれをさらに低減することができる。
【００９０】
式（４）や下記式（１４Ａ）〜（１４Ｃ）は、常温において満足していれば常温における主振動のエネルギー漏洩を低減することができる。また、常温以外を含めた動作温度範囲、例えば一般的には−４０℃から８５℃の範囲、車載用においては−４０℃から１５０℃の範囲すべてにおいて式（４）や下記式（１４Ａ）〜（１４Ｃ）を満足していれば、その温度範囲内において、主振動のエネルギー漏洩を低減することができる。
【００９１】
【数２８】
2017200015.tif 000030
【００９２】
【数２９】
2017200015.tif 000031
【００９３】
【数３０】
2017200015.tif 000032
【００９４】
次に、固有振動モードの数（ｎ）が２、３、４である場合について、いくつかの具体例を挙げる。なお、以下では、下記式（１５）の関係を満足するものとする。また、主振動の共振周波数をｆ１とし、不要振動モードの周波数をｆ２とする。
【００９５】
【数３１】
2017200015.tif 000033
【００９６】
［具体例１：ｍ＝３、ｎ＝２］
この場合には、上記式（９）から下記式（１６）を導くことができる。
【００９７】
【数３２】
2017200015.tif 000034
【００９８】
そして、例えば、ｋ１＝１、ｋ２＝−２の場合には、ｆ１’＝２ｆ２となり、式（１０）から下記式（１７）を導くことができ、ｋ１＝２、ｋ２＝−１の場合には、ｆ１’＝ｆ２／２となり、式（１０）から下記式（１８）を導くことができる。
【００９９】
【数３３】
2017200015.tif 000035
【０１００】
【数３４】
2017200015.tif 000036
【０１０１】
また、本発明では式（５）（あるいは式（１３）、式（１５））を満足する必要があるため、ｎ＝２の場合には３≦｜ｋ１｜＋｜ｋ２｜でなければならない。即ち、ｋ１＝１、ｋ２＝−１の条件は本発明には含まれない。このような条件では、上記式（１６）からｆ１’＝ｆ２、さらに上記式（１０）からΔｆ＝（ｆ２−ｆ１）／ｆ１が導かれ、｜Δｆ｜≒０となる条件は、結局、ｆ２≒ｆ１となる。これは主振動モードの共振周波数ｆ１と不要振動モードの共振周波数ｆ２とが近接して結合する従来から知られていた結合を表現している。本発明ではこのような従来から知られていた主振動モードの共振周波数と不要振動モードの共振周波数が近接することで発生する結合からは全く知り得ない結合状態を開示したものである。
【０１０２】
また、本発明では、主振動を励振する電気信号は、主振動の共振周波数と等しい周波数Ωを有する正弦波信号のみ、あるいはそれに近い状態の電気信号が入力されることを前提としている。例えば、矩形波が電気信号として入力された場合には、周波数Ωの正弦波に加えて、Ωの奇数倍（３Ω、５Ω、…）の周波数成分を有する正弦波が入力されることになり、前記Ωの奇数倍の周波数のうちの一つ（特に数字が小さい３Ωは振幅が大きい為に影響も大きい）と不要振動モードの内の一つの共振周波数が近接した場合に、前記不要振動モードが励振されてしまうが、本発明ではこれを含まない。また、デューティー比が５０％以外の場合には前記Ωの偶数倍（２Ω、４Ω、…）の周波数成分を有する正弦波が入力されることになるが、これも本発明では含まない。
【０１０３】
［具体例２：ｍ＝３、ｎ＝３］
この場合には、上記式（９）から下記式（１９）を導くことができる。
【０１０４】
【数３５】
2017200015.tif 000037
【０１０５】
そして、例えば、ｋ１＝−１、ｋ２＝ｋ３＝１の場合には、ｆ１’＝ｆ２＋ｆ３となり、式（１０）から下記式（２０）を導くことができ、ｋ１＝ｋ３＝−１、ｋ２＝１の場合には、ｆ１’＝ｆ２−ｆ３となり、式（１０）から下記式（２１）を導くことができる。
【０１０６】
【数３６】
2017200015.tif 000038
【０１０７】
【数３７】
2017200015.tif 000039
【０１０８】
［具体例３：ｍ＝４、ｎ＝２］
例えば、ｋ１＝−１、ｋ２＝３の場合には、ｆ１’＝３ｆ２となり、式（１０）から下記式（２２）を導くことができ、ｋ１−３、ｋ２＝１の場合には、ｆ１’＝ｆ２／３となり、式（１０）から下記式（２３）を導くことができる。
【０１０９】
【数３８】
2017200015.tif 000040
【０１１０】
【数３９】
2017200015.tif 000041
【０１１１】
［具体例４：ｍ＝４、ｎ＝３］
例えば、ｋ１＝−２、ｋ２＝ｋ３＝１の場合には、ｆ１’＝（ｆ２＋ｆ３）／２となり、式（１０）から下記式（２４）を導くことができ、ｋ１＝−２、ｋ２＝１、ｋ３＝−１の場合には、ｆ１’＝（ｆ２−ｆ３）／２となり、式（１０）から下記式（２５）を導くことができ、ｋ１＝−１、ｋ２＝２、ｋ３＝１の場合には、ｆ１’＝２ｆ２＋ｆ３となり、式（１０）から下記式（２６）を導くことができ、ｋ１＝−１、ｋ２＝２、ｋ３＝−１の場合には、ｆ１’＝２ｆ２−ｆ３となり、式（１０）から下記式（２７）を導くことができる。
【０１１２】
【数４０】
2017200015.tif 000042
【０１１３】
【数４１】
2017200015.tif 000043
【０１１４】
【数４２】
2017200015.tif 000044
【０１１５】
【数４３】
2017200015.tif 000045
【０１１６】
［具体例４：ｍ＝４、ｎ＝４］
この場合には、上記式（９）から下記式（２８）を導くことができる。
【０１１７】
【数４４】
2017200015.tif 000046
【０１１８】
そして、例えば、ｋ１＝−１、ｋ２＝ｋ３＝ｋ４＝１の場合には、ｆ１’＝ｆ２＋ｆ３＋ｆ４となり、式（１０）から下記式（２９）を導くことができ、ｋ１＝ｋ３＝−１、ｋ２＝ｋ４＝１の場合には、ｆ１’＝ｆ２−ｆ３＋ｆ４となり、式（１０）から下記式（３０）を導くことができ、ｋ１＝ｋ４＝−１、ｋ２＝ｋ３＝１の場合には、ｆ１’＝ｆ２＋ｆ３−ｆ４となり、式（１０）から下記式（３１）を導くことができ、ｋ１＝ｋ３＝ｋ４＝−１、ｋ２＝１の場合には、ｆ１’＝ｆ２−ｆ３−ｆ４となり、式（１０）から下記式（３２）を導くことができる。
【０１１９】
【数４５】
2017200015.tif 000047
【０１２０】
【数４６】
2017200015.tif 000048
【０１２１】
【数４７】
2017200015.tif 000049
【０１２２】
【数４８】
2017200015.tif 000050
【０１２３】
次に、固有振動モードを特定した場合について、いくつかの具体例を挙げる。
［具体例１］
例えば、振動片２が主振動としてＸ軸逆相モード（共振周波数ｆ１＝３２．７６８ｋＨｚ）を有し、不要振動モードとしてＺ軸同相モード（共振周波数ｆ２＝２０．４９ｋＨｚ）を有している場合には、最も強く内部共振が起きる条件として、ｋ１ｆ１＋ｋ２ｆ２＝０を満たす必要がある。しかしながら、ｍ≦１０（式（５）参照）の範囲内で上記式を満足する｛ｋ１、ｋ２｝の組み合わせは存在しない。したがって、この場合は、上記式（８）を満足し、また、｜Δｆ｜が最も小さくなる条件であるｍ＝３を例にとれば、上記式（１７）から｜Δｆ｜＝２５．０６％となり、不要振動モードが主振動に結合し難いことが分かる。
【０１２４】
［具体例２］
例えば、振動片２が主振動としてＸ軸逆相モード（共振周波数ｆ１＝３２．７６８ｋＨｚ）を有し、不要振動モードとしてＺ軸逆相モード（共振周波数ｆ２＝８２．０５ｋＨｚ）を有している場合には、最も強く内部共振が起きる条件として、ｋ１ｆ１＋ｋ２ｆ２＝０を満たす必要がある。しかしながら、ｍ≦１０（式（５）参照）の範囲内で上記式を満足する｛ｋ１、ｋ２｝の組み合わせは存在しない。したがって、この場合は、上記式（８）を満足し、また、｜Δｆ｜が最も小さくなる条件であるｍ＝３を例にとれば、上記式（１８）から｜Δｆ｜＝２５．２０％となり、不要振動モードが主振動に結合し難いことが分かる。
【０１２５】
以上、具体例を挙げて説明した。なお、振動片２のサイズとしては、特に限定されないが、振動腕２２、２３の長さＬは、０．１ｍｍ≦Ｌ≦０．９ｍｍの関係を満足することが好ましく、０．２ｍｍ≦Ｌ≦０．７ｍｍの関係を満足することがより好ましく、０．３ｍｍ≦Ｌ≦０．５ｍｍの関係を満足することがさらに好ましい。また、振動腕２２、２３の厚さＴは、５０μｍ≦Ｔ≦１５０μｍの関係を満足することが好ましく、８０μｍ≦Ｔ≦１４０μｍの関係を満足することがより好ましく、１２０μｍ≦Ｔ≦１３０μｍの関係を満足することがさらに好ましい。また、振動腕２２、２３の腕部２２１、２３１の幅Ｗは、１２．８μｍ≦Ｗ≦５０μｍであることが好ましく、１５μｍ≦Ｗ≦４５μｍであることがより好ましく、２０μｍ≦Ｗ≦３０μｍであることがさらに好ましい。また、腕部２２１（２３１）の溝部２２２、２２３（２３２、２３３）の両脇に残る主面（土手）の幅Ｗ’は、１μｍ≦Ｗ’≦６μｍの関係を満足することが好ましく、１μｍ≦Ｗ’≦４．５μｍの関係を満足することがより好ましく、１μｍ≦Ｗ’≦３μｍの関係を満足することがさらに好ましい。また、広幅部２２９（２３９）の長さＬ’は、０．１≦Ｌ’／Ｌ≦０．５の関係を満足することが好ましく、０．１≦Ｌ’／Ｌ≦０．３５の関係を満足することがより好ましく、０．１≦Ｌ’／Ｌ≦０．２５の関係を満足することがさらに好ましい。また、広幅部２２９（２３９）の幅Ｗ”および長さＬ’は、Ｌ’＜Ｗ”の関係を満足することが好ましい。
【０１２６】
振動片２を上記のようなサイズとすることで、比較的小型な振動片２となる。そのため、水晶ウエハをウエットエッチングでパターニングすることにより振動体２０を得る場合には、特に、水晶基板のエッチング異方性に起因して、形状の対称性が損なわれて非線形性が増大して主振動と不要振動が内部共振を発生し易く、よって振動漏れが小さくなるように設計されていない（あるいは小さくすることが困難な）不要振動を介して主振動のエネルギーが外部に漏洩してしまう。特に、幅Ｗ’が比較的狭く設定されていること、広幅部２２９、２３９を有していること、さらに、Ｌ’＜Ｗ”の関係を満足することで、振動腕２２、２３の横断面形状の非対称性が発生し易く、上記の問題がさらに顕著となる。したがって、このような不要振動が発生し易いサイズの振動片２を備える振動子１において、上述した条件を満足することによって、上述した効果をより顕著に発揮することができる。
【０１２７】
さらに、本実施形態のような音叉型の振動片のように、同一方向に延びる一対の振動腕のみを振動腕として含む場合には、基部を基準に前述の延びる方向とは反対方向に対する形状の対称性はとれないので、本発明はより効果的に作用する。また、水晶では結晶面が複雑に形成されるので、水晶を基材としてウエットエッチングすることで振動片を形成した場合には、本発明はさらに効果的に作用する。
【０１２８】
次に、前述の式（４）を満たすことによる効果（前述では述べていない効果）について説明する。図８は、正常サンプルＳ１および２つの異常サンプルＳ２、Ｓ３に関するΔｆと環境温度の関係を示すグラフである。ここでのΔｆは、上記式（１８）に相当し、主振動モードであるＸ軸逆相モードの共振周波数をｆ１（＝３２．７６８ｋＨｚ）とし、主振動と内部共振していると考えられる不要振動モードであるＺ軸同相モードの共振周波数をｆ２とする。すなわち、ここでのΔｆは、ｆ２が６５．５３６ｋＨｚ（ｆ１の２倍の周波数）からどれだけずれているかを示す値とも言える。
【０１２９】
一方、図９は、正常サンプルＳ１および２つの異常サンプルＳ２、Ｓ３に関するＣＩ上昇率と環境温度の関係を示すグラフであり、図１０は、正常サンプルＳ１および２つの異常サンプルＳ２、Ｓ３に関するＣＩと環境温度の関係を示すグラフである。これら図９および図１０は、−５０°におけるＣＩ値を基準（０）として、この基準からどれだけＣＩ上昇率（ＣＩ値）が変化しているかを示すグラフである。
【０１３０】
図９および図１０に示すように、正常サンプルＳ１ではＣＩ上昇率（ＣＩ値）が穏やかに上昇しているのに対して、異常サンプルＳ２では３５℃付近でＣＩ上昇率が異常に上昇しており、異常サンプルＳ３では１１０℃付近でＣＩ上昇率が異常に上昇している。そして、異常サンプルＳ２、Ｓ３について、ＣＩ上昇率が異常に上昇している温度は、図８に示すΔｆが０％となる温度とほぼ一致している。そのため、上記式（４）の関係を満足することで（すなわち、Δｆ＝０％付近を除くことで）、このようなＣＩ上昇率（ＣＩ値）の異常な上昇を低減することができることがわかる。なお、振動子１は、動作温度範囲（−４０℃から８５℃、車載用においては−４０℃から１５０℃等）のいずれかの温度域において式（４）を満足していれば、その温度域を用いることで上述したＣＩ値の異常な上昇が発生するおそれを低減することができる。好ましくは、前記動作温度範囲のすべての温度において式（４）を満足していれば、動作温度範囲すべてにおいて上述したＣＩ値の異常な上昇が発生するおそれを低減することができる。
【０１３１】
また、振動子１では、振動片２のＱ値をＱとしたとき、下記式（３３）の関係を満足し、式（３３）中のｆ０ｍａｘは、下記式（３４）の関係を満足し、式（３４）中のＷｅｍｉｎは、下記式（３５）の関係を満足する。これら関係を満足することで、小型で十分に高いＱ値を有する振動片２となる。
【０１３２】
【数４９】
2017200015.tif 000051
【０１３３】
【数５０】
2017200015.tif 000052
【０１３４】
【数５１】
2017200015.tif 000053
【０１３５】
ただし、式（３３）、（３４）、（３５）中の、Ａ＝７．３６９０×１０−２、Ｂ＝１．２５４４×１０−５、Ｃ＝１．１以上、１．３以下、ｆ０ｍａｘ［Ｈｚ］は振動腕２２、２３（腕部２２１、２３１）の断面形状を熱弾性損失が等しくなるように矩形に置き換えた際の振動腕２２、２３の等価腕幅Ｗｅが、後述する最小値Ｗｅｍｉｎのときに熱弾性損失が最大となる共振周波数（熱緩和周波数）、Ｌ［ｍ］は振動腕２２、２３の延在方向に関する長さ、ρ［ｋｇ／ｍ３］は振動腕２２、２３の質量密度、Ｃｐ［Ｊ／（ｋｇ・Ｋ）］は振動腕２２、２３の熱容量、ｃ［Ｎ／ｍ２］は振動腕２２、２３の延在方向に関する弾性定数、α［１／Ｋ］は振動腕２２、２３の延在方向に関する熱膨張係数、Θ［Ｋ］は環境温度、ｋ［Ｗ／（ｍ・Ｋ）］は振動腕２２、２３の主振動の振動方向に沿った熱伝導率、πは円周率である。
【０１３６】
以下、式（３３）の導出方法について説明する。まず、下記の表１に、小型化を図るために有効と考えられる振動腕２２、２３の長さＬと、その長さのときに求められるＱ値の最小値Ｑｍｉｎとの関係を示す。このような関係を満足することは、小型で、かつ、より高いＱ値を有する振動片２を有する振動子１が得られるということである。したがって、例えば、振動子１を用いた発振回路（例えば、後述する発振回路１１１）の消費電力を低減することができ、また、小型化によって製造時に発生するＣＯ２の排出を低くすることができるから、環境負荷の小さい振動子１となる。
【０１３７】
【表１】
2017200015.tif 000054
【０１３８】
ｆ１＝３２．７６８ｋＨｚ、ＱｍｉｎをＱＴＥＤ（熱弾性損失のみを考慮したＱ値）として下記式（３６）、（３７）に代入し、ｆ１＞ｆ０の関係を満足する幅Ｗを算出することで、長さＬに対する最小値Ｗｅｍｉｎを算出する。この最小値Ｗｅｍｉｎの算出結果を下記の表３に示す。なお、式（３６）、（３７）中の各数値は、下記の表２に示す通りである。前述したように、ｆ０は、熱緩和周波数であり、ｆ１＞ｆ０（ｆ１／ｆ０＞１）は、振動片２が断熱的領域にあることを意味している。
【０１３９】
【表２】
2017200015.tif 000055
【０１４０】
【数５２】
2017200015.tif 000056
【０１４１】
【数５３】
2017200015.tif 000057
【０１４２】
【表３】
2017200015.tif 000058
【０１４３】
長さＬに対する最小値Ｗｅｍｉｎは、図１１に示すグラフのようになり、その近似式は、Ｗｅｍｉｎ＝７．３６９０×１０−２Ｌ＋１．２５４４×１０−５となる。さらに、この式の右辺に係数Ｃ（ただし、Ｃは１．１〜１．３）をかけることで上記の式（３５）が得られる。この式（３５）により、振動腕２２、２３の長さＬに対する振動腕２２、２３の幅Ｗの最小値Ｗｅｍｉｎを算出することができる。さらに、得られた最小値Ｗｅｍｉｎを式（３７）に代入することで、ｆ０を算出することができる。なお、ｆ０は、振動腕２２、２３の幅Ｗが最小値Ｗｅｍｉｎのときに熱弾性損失が最大となる共振周波数である（＝ｆ０ｍａｘ）。前述したように、本実施形態では、断熱的領域（ｆ１＞ｆ０）に限定しているため、ｆ０によりＱ値の下限値であるＱｍｉｎ（ＱＴＥＤ）を決定することができる。すなわち、式（３６）にｆ０を代入することで、Ｑｍｉｎを算出することができる。そして、Ｑ≧Ｑｍｉｎの関係を満足すれば、十分に高いＱ値が得られることから、式（３３）が導き出される。
【０１４４】
次に、振動腕の振幅によって主振動の共振周波数ｆ１が変化する現象について説明する。振動片２のように非線形性が現れる振動系（振幅により振動の周期が異なる系）では、振動腕の振幅と主振動の共振周波数ｆ１との関係が図１２、図１３のいずれかの関係となる。図１２および図１３は、主振動（Ｘ軸逆相モード）を電気的に励振するのに振動片に印加される励振電力ＤＬを変化させたときの共振周波数ｆ１と振動腕の振幅の関係を示すグラフである。図１２のグラフでは、励振電力ＤＬが大きくなるに連れて共振周波数ｆ１が高くなっており、図１３のグラフでは、励振電力ＤＬが大きくなるに連れて共振周波数ｆ１が低くなっている。近年の振動片の小型化による歪エネルギー密度の上昇に伴って、このような非線形性が顕著になってきており、ある励振電力ＤＬを印加したときの共振周波数ｆ１をｆ１”とし、｜ｆ１”−ｆ１’｜／ｆ１’＝Δｆｄ［ｐｐｍ］としたとき、Δｆｄが大きくなってしまう。Δｆｄが大きくなると、周波数精度が悪化してしまう。ただし、この場合のｆ１’は、十分に低い励振電力ＤＬを印加した際の共振周波数である。
【０１４５】
次に、主振動に関して、振動片に内部共振が生じない場合の励振電力ＤＬと振動腕の振幅の関係と、振動片に内部共振が生じる場合の励振電力ＤＬと振動腕の振幅の関係と、について一例を挙げて説明する。図１４に示すように、内部共振が生じない場合、励振電力ＤＬと振動腕の振幅は、比例（線形）の関係にある（説明を簡単にするため、ここでは図１２や図１３で説明した非線形性は無視している。）。一方、図１５に示すように、振動片に内部共振が生じる場合、内部共振が生じる励振電力ＤＬより高い励振電力ＤＬの範囲では、励振電力ＤＬの増加に対して振幅が大きくなっていかない。これは、不要振動モードの励振に励振電力ＤＬの一部が用いられているためである。すなわち、内部共振が発生している状態の主振動は、内部共振が発生していない状態の主振動に比べて、同一の励振電力ＤＬを印加しているにもかかわらず、あたかも励振電力が低下したかのような状態に陥る。この、あたかも低下したかのような状態に陥った主振動の励振電力を「実効励振電力」とする。その結果、図１３で説明したような主振動の共振周波数の変化が発生するに至る。この現象は、従来知られているような、主振動モードと不要振動モードの共振周波数が略一致するような場合の、線形性のみで発生する周波数変化とは全く異なる現象である。
【０１４６】
次に、主振動に関して、振動片に内部共振が生じない場合の周波数温度特性と、振動片に内部共振が生じる場合の周波数温度特性と、について一例を挙げて説明する。振動片に内部共振が生じない場合、例えば図１６に示すように、規則的なカーブ（２次曲線）を描き、共振周波数の局所的な変化は見られない。一方、振動片に内部共振が生じる場合、例えば図１７に示すように、｜Δｆ｜＝０（Δｆは式（３）によって表されるもの）となる温度およびその付近で局所的に共振周波数が変化し、周波数温度特性が悪化する。なお、図１７中の実線が図１２に示す特性を有する場合の変化を示し、一点鎖線が図１３に示す特性を有する場合の変化を示している。なお、図１７に示す局所的な共振周波数の変化量をΔｆＩＲとする。
【０１４７】
以上の説明から分かるように、振動片に内部共振が生じると、図１７に示すように、周波数温度特性が悪化し（局所的に周波数が変化する部分が生じてしまい）、周波数精度が低下してしまう。これに対して、本実施形態の振動子１（振動片２）では、内部共振の発生の可能性が低減されているため、図１６に示すように、このような問題の発生の可能性を低減することができ、周波数精度を向上させることができる。
【０１４８】
特に、振動子１では、励振電力ＤＬ［μＷ］に対するΔｆｄ［ｐｐｍ］（主振動の共振周波数ｆ１の変化量）の比が２０［ｐｐｍ／μＷ］以上である。すなわち、Δｆｄ／ＤＬ≧２０［ｐｐｍ／μＷ］の関係を満足している。このような関係を満足する振動片は、内部共振に起因して生じる周波数変化量ΔｆＩＲが大きく、内部共振が生じることで著しい周波数精度の低下を招くおそれが高い。そのため、Δｆｄ／ＤＬ≧２０［ｐｐｍ／μＷ］の関係を満足している振動片２において内部共振の発生の可能性を低減することで、本発明の効果（すなわち、周波数精度の向上）が大きくなる。なお、図１８では、励振電力ＤＬとΔｆｄは、ほぼ線形（比例）の関係となるが、これに限定されるものではなく、励振電力ＤＬとΔｆｄは線形の関係でなくてもよい。この場合は、実際に動作させる励振電力のうち少なくともΔｆｄ／ＤＬ≧２０［ｐｐｍ／μＷ］の関係を満足する励振電力が存在することで本発明の効果が得られ、さらに、動作させる励振電力の範囲全域でΔｆｄ／ＤＬ≧２０［ｐｐｍ／μＷ］の関係を満足することが好ましい。
【０１４９】
前述したように、振動子１は、Δｆｄ／ＤＬ≧２０［ｐｐｍ／μＷ］の関係を満足していれば特に限定されないが、Δｆｄ／ＤＬ≧４０［ｐｐｍ／μＷ］の関係を満足していることがより好ましく、Δｆｄ／ＤＬ≧１００［ｐｐｍ／μＷ］の関係を満足していることがさらに好ましい。これにより、本発明の効果がより大きくなる。
【０１５０】
ここで、Δｆｄ／ＤＬ≧２０［ｐｐｍ／μＷ］の関係を満足することによる効果を具体的な例を挙げて説明する。例えば、上記範囲外であるΔｆｄ／ＤＬ＝１０［ｐｐｍ／μＷ］であって、内部共振の発生により主振動の実効励振電力ＤＬが０．２μＷから０．１μＷに減少した場合では、Δｆｄ＝｜１０×（０．１−０．２）｜＝１．０［ｐｐｍ］である。このΔｆｄの値は、非常に小さく、よほど高い周波数精度が求められていない限り、ほとんど問題にならないレベルである。一方、上記範囲内であるΔｆｄ／ＤＬ＝４０［ｐｐｍ／μＷ］であって、内部共振の発生により主振動の実効励振電力ＤＬが０．２μＷから０．１μＷに減少した場合では、Δｆｄ＝｜４０×（０．１−０．２）｜＝４．０［ｐｐｍ］である。このΔｆｄの値は、非常に大きく、高い周波数精度が求められている場合では当然、通常の周波数精度が求められている場合においても大きな問題となる。したがって、Δｆｄ／ＤＬ≧２０［ｐｐｍ／μＷ］の関係を満足することで、上記の効果を発揮することができる。
【０１５１】
励振電力ＤＬとしては、特に限定されないが、例えば、０＜ＤＬ≦１．０［μＷ］の関係を満足することが好ましく、０＜ＤＬ≦０．１［μＷ］の関係を満足することがより好ましく、０＜ＤＬ≦０．０１［μＷ］の関係を満足することがさらに好ましい。これにより、振動子１の省電力化を図ることができる。
【０１５２】
また、式（３５）中のＣを１．２、好ましくは１．３とすることで、上述の効果がより顕著となる。具体的には、Ｃを１．２、好ましくは１．３とすることで、より高いＱ値が得られ、それに伴ってより低いＣＩ値の振動片２となる。そのため、振動子１の低消費電力化を図ることができる。ここで、励振電力ＤＬを固定して考えたとき、ＣＩ値が低い程、振動腕の振幅が大きくなるため、振動腕の振動の非線形が発現し易くなる。そのため、Δｆｄ／ＤＬが大きくなり易く、よって、上述の効果がより顕著となる。
【０１５３】
＜第２実施形態＞
次に、本発明の第２実施形態に係る振動子について説明する。
【０１５４】
図１９は、本発明の第２実施形態に係る振動子が有する振動片の平面図である。なお、図１９では、説明の便宜上、電極の図示を省略している。
【０１５５】
以下、第２実施形態の振動子について、前述した第１実施形態との相違点を中心に説明し、同様の事項については、その説明を省略する。
【０１５６】
本発明の第２実施形態にかかる振動子は、振動片の構成が異なる以外は、前述した第１実施形態と同様である。なお、前述した実施形態と同様の構成には、同一符号を付してある。
【０１５７】
図１９に示すように、本実施形態の振動片２では、振動腕２２、２３に溝部が形成されておらず、振動腕２２、２３の上面および下面がそれぞれ平坦面で構成されている。すなわち、本実施形態の振動片２は、前述した第１実施形態の振動片２から溝部２２２、２２３、２３２、２３３を省略した構成となっている。
【０１５８】
また、前述した第１実施形態の振動片２が断熱的領域にあって、式（１）を満足しているのに対して、本実施形態の振動片２は等温的領域となり、Ｑ値の劣化を低減した小型の振動片２とすることができる。この効果をより顕著なものとするために、下記式（３８Ｂ）を満足していることが好ましく、下記式（３８Ｃ）を満足することがより好ましく、下記式（３８Ｄ）を満足することがさらに好ましい。
【０１５９】
【数５４】
2017200015.tif 000059
【０１６０】
【数５５】
2017200015.tif 000060
【０１６１】
【数５６】
2017200015.tif 000061
【０１６２】
【数５７】
2017200015.tif 000062
【０１６３】
以上のような第２実施形態によっても、前述した第１実施形態と同様の効果を発揮することができる。
【０１６４】
＜第３実施形態＞
次に、本発明の第３実施形態に係る振動子について説明する。
【０１６５】
図２０は、本発明の第３実施形態に係る振動子が有する振動片の平面図である。なお、図２０では、説明の便宜上、電極の図示を省略している。
【０１６６】
以下、第３実施形態の振動子について、前述した第１実施形態との相違点を中心に説明し、同様の事項については、その説明を省略する。
【０１６７】
本発明の第３実施形態にかかる振動子は、振動片の構成が異なる以外は、前述した第１実施形態と同様である。なお、前述した実施形態と同様の構成には、同一符号を付してある。
【０１６８】
本実施形態の振動片２が有する振動体２０は、Ｚカット水晶板をフォトリソグラフィー技法およびエッチング技法（特に、ウエットエッチング技法）を用いてパターニングして形成されている。図２０に示すように、このような振動体２０は、基部２１と、基部２１から−Ｙ軸方向に延びている一対の振動腕２２、２３と、基部２１から−Ｙ軸方向に延びている支持腕２５と、を有している。振動腕２２、２３は、Ｘ軸方向に並び、互いに平行となるように基部２１から−Ｙ軸方向に延びている。また、支持腕２５は、一対の振動腕２２、２３の間に位置するように、基部２１から−Ｙ軸方向に延びている。図示しないが、このような振動片２では、第１、第２駆動端子２８２、２９２が支持腕２５に設けられており、支持腕２５において導電性接着材９７を介してベース９１に取り付けられている。
【０１６９】
以上のような第３実施形態によっても、前述した第１実施形態と同様の効果を発揮することができる。
【０１７０】
＜第４実施形態＞
次に、本発明の第４実施形態に係る振動子について説明する。
【０１７１】
図２１は、本発明の第４実施形態に係る振動子が有する振動片の平面図である。なお、図２１では、説明の便宜上、電極の図示を省略している。
【０１７２】
以下、第４実施形態の振動子について、前述した第１実施形態との相違点を中心に説明し、同様の事項については、その説明を省略する。
【０１７３】
本発明の第４実施形態にかかる振動子は、振動片の構成が異なる以外は、前述した第１実施形態と同様である。なお、前述した実施形態と同様の構成には、同一符号を付してある。
【０１７４】
本実施形態の振動片２が有する振動体２０は、Ｚカット水晶板をフォトリソグラフィー技法およびエッチング技法（特に、ウエットエッチング技法）を用いてパターニングして形成されている。図２１に示すように、このような振動体２０は、基部２１と、基部２１から−Ｙ軸方向に延びている一対の振動腕２２、２３と、基部２１の＋Ｙ軸側に配置されている支持部２６と、基部２１と支持部２６との間に位置し、基部２１と支持部２６とを連結している連結部２７と、を有している。図示しないが、このような振動片２では、第１、第２駆動端子２８２、２９２が支持部２６に設けられており、支持部２６において導電性接着材９７を介してベース９１に取り付けられている。
【０１７５】
また、連結部２７は、基部２１よりも幅（Ｘ軸方向の長さ）が小さい。言い換えれば、連結部２７は、基部２１に対して縮幅している。このような連結部２７は、基部２１の振動腕２２、２３側の端部から十分離れた位置において、両側縁に、基部２１の幅方向の寸法を部分的に縮幅して形成した切り込みを形成することによって形成されているとも言える。このような連結部２７を設けることで、振動腕２２、２３の振動が支持部２６に伝達され難くなる。そのため、振動漏れを低減することができる。
【０１７６】
以上のような第４実施形態によっても、前述した第１実施形態と同様の効果を発揮することができる。
【０１７７】
＜第５実施形態＞
次に、本発明の第５実施形態に係る振動子について説明する。
【０１７８】
図２２は、本発明の第５実施形態に係る振動子が有する振動片の平面図である。図２３は、図２２に示す振動片の側面図である。
【０１７９】
以下、第５実施形態の振動子について、前述した第１実施形態との相違点を中心に説明し、同様の事項については、その説明を省略する。
【０１８０】
本発明の第５実施形態にかかる振動子は、振動片の構成が異なる以外は、前述した第１実施形態と同様である。なお、前述した実施形態と同様の構成には、同一符号を付してある。
【０１８１】
本実施形態の振動片３が有する振動体３０は、Ｚカット水晶板をフォトリソグラフィー技法およびエッチング技法（特に、ウエットエッチング技法）を用いてパターニングして形成されている。図２２に示すように、このような振動体３０は、基部３１と、基部３１から−Ｙ軸方向に延びている３本の振動腕３２、３３、３４と、を有している。図示しないが、このような振動片３では、基部３１において接着材等を介してベース９１に取り付けられている。
【０１８２】
基部３１は、Ｚ軸方向を厚さ方向とする略板状をなしている。また、図２３に示すように、基部３１は、薄肉に形成された薄肉部３１１と、この薄肉部３１１よりも厚肉に形成された厚肉部３１２とを有し、これらがＹ軸方向に並んで設けられている。また、薄肉部３１１は、振動腕３２、３３、３４と等しい厚さに形成されている。
【０１８３】
振動腕３２、３３、３４は、Ｘ軸方向に並び、互いに平行となるように基部３１から−Ｙ軸方向に延びている。そして、振動腕３２の上面には圧電素子３５１が配置され、振動腕３３の上面には圧電素子３５２が配置され、振動腕３４の上面には圧電素子３５３が配置されている。これら圧電素子３５１、３５２、３５３は、それぞれ通電によってＹ軸方向に伸縮するようになっている。なお、図示しないが、圧電素子３５１、３５２、３５３の電極は、基部３１まで引き出されており、基部３１において、例えば、ボンディングワイヤーを介して内部端子９５と電気的に接続されている。
【０１８４】
このような振動片３では、圧電素子３５１、３５２、３５３に通電すると、両側の振動腕３２、３４と、中央の振動腕３３と、がＺ軸方向に逆相で屈曲振動する。この振動モードは「Ｚ軸逆相モード（第３方向逆相モード）」とも言い、振動片３の主振動となる固有振動モードである。このように、Ｚ軸逆相モードを主振動とすることで、振動腕３２、３３、３４の振動がキャンセルされて、基部３１への振動漏れが低減する。そのため、高いＱ値を実現することができ、ＣＩ値の小さな振動片３となる。
【０１８５】
このような振動片３の不要振動モードとしては、例えば、Ｘ軸逆相モード、Ｘ軸同相モード、Ｚ軸同相モード、捩り逆相モード、捩り同相モード、および、これら各モードの高次モード等が挙げられる。
【０１８６】
以上のような第５実施形態によっても、前述した第１実施形態と同様の効果を発揮することができる。なお、振動体３０を構成する水晶板としては、Ｚカット水晶板に限定されず、例えば、Ｘカット水晶板、ＡＴカット水晶板、ＢＴカット水晶板、ＳＴカット水晶板であってもよい。また、振動体３０の構成材料としては、水晶のような圧電体材料に限定されず、非圧電体材料を用いてもよい。この非圧電体材料としては、例えば、シリコン、石英等が挙げられる。また、駆動方法としては圧電素子を用いる構成に限定されず、静電気力を用いた静電駆動や、磁力を用いたローレンツ駆動を用いた構成としてもよい。また、第５実施形態のように、厚さ方向（Ｚ軸方向）へ屈曲振動する構成は、厚さを薄くすることで容易に小型化できると同時に、等温的領域にし易い特徴がある。
【０１８７】
＜第６実施形態＞
次に、本発明の第６実施形態に係る振動子について説明する。
【０１８８】
図２４は、本発明の第６実施形態に係る振動子が有する振動片の平面図である。図２５および図２６は、それぞれ、図２４に示す振動片の作動を説明する図である。なお、図２４では、説明の便宜上、電極の図示を省略している。
【０１８９】
以下、第６実施形態の振動子について、前述した第１実施形態との相違点を中心に説明し、同様の事項については、その説明を省略する。
【０１９０】
本発明の第６実施形態にかかる振動子は、振動片の構成が異なる以外は、前述した第１実施形態と同様である。なお、前述した実施形態と同様の構成には、同一符号を付してある。
【０１９１】
図２４に示す本実施形態の振動片４は、角速度を検出することのできる角速度検出素子である。振動片４は、振動体４０と、振動体４０に設けられている図示しない電極と、を有している。
【０１９２】
振動体４０は、Ｚカット水晶板をフォトリソグラフィー技法およびエッチング技法（特に、ウエットエッチング技法）を用いてパターニングして形成されている。このような振動体４０は、基部４１と、基部４１からＹ軸方向の両側に延びている振動腕としての検出腕４２１、４２２と、基部４１からＸ軸方向の両側に延びている連結腕４３１、４３２と、連結腕４３１からＹ軸方向の両側に延びている振動腕としての駆動腕４４１、４４２と、連結腕４３２からＹ軸方向の両側に延びている振動腕としての駆動腕４４３、４４４と、支持部４５１、４５２と、支持部４５１、４５２と基部４１とを連結している梁部４６１、４６２、４６３、４６４と、を有している。そして、図示しないが、振動片４は、支持部４５１、４５２において導電性接着材９７を介してベース９１に取り付けられている。
【０１９３】
また、駆動腕４４１〜４４４には図示しない駆動信号電極および駆動接地電極が配置されており、これら電極間に駆動信号を印加すると、駆動腕４４１〜４４４が図２５の矢印Ａで示す方向（Ｘ軸方向）に屈曲振動する。この振動を駆動振動モードと言い、このモードが振動片４の主振動となる。一方、検出腕４２１、４２２には検出信号電極および検出接地電極が配置されている。図２６に示すように、駆動腕４４１〜４４４を駆動振動モードで振動させている状態でＺ軸まわりの角速度ωｚが加わると、駆動腕４４１〜４４４にコリオリの力が作用して矢印Ｂに示す方向の振動が励振され、この振動に呼応するように、検出腕４２１、４２２が矢印Ｃに示す方向に屈曲振動する。このような振動によって検出腕４２１、４２２に発生した電荷は、検出信号電極および検出接地電極の間から検出信号として取り出され、この検出信号に基づいて角速度ωｚが求められる。
【０１９４】
このような振動片４は、駆動腕４４１〜４４４の主振動に対して対称面となる少なくとも２つの仮想振動対称面を有している。具体的には、図２４に示すように、振動片４は、第１仮想振動対称面Ｆ２（ＹＺ平面）と、第２仮想振動対称面Ｆ３（ＸＺ面）と、を有している。そのため、駆動腕４４１、４４２、４４３、４４４の振動がキャンセルされて、振動エネルギーが漏洩し難くなる。したがって、Ｑ値の低下を低減することができる。
【０１９５】
以上のような第６実施形態によっても、前述した第１実施形態と同様の効果を発揮することができる。
【０１９６】
＜第７実施形態＞
次に、本発明の第７実施形態に係る振動子について説明する。
【０１９７】
図２７は、本発明の第７実施形態に係る振動子が有する振動片の平面図である。図２８および図２９は、それぞれ、図２７に示す振動片の作動を説明する図である。なお、図２７では、説明の便宜上、電極の図示を省略している。
【０１９８】
以下、第７実施形態の振動子について、前述した第１実施形態との相違点を中心に説明し、同様の事項については、その説明を省略する。
【０１９９】
本発明の第７実施形態にかかる振動子は、振動片の構成が異なる以外は、前述した第１実施形態と同様である。なお、前述した実施形態と同様の構成には、同一符号を付してある。
【０２００】
図２７に示す本実施形態の振動片５は、角速度を検出することのできる角速度検出素子である。振動片５は、振動体５０と、振動体５０に設けられている図示しない電極と、を有している。
【０２０１】
振動体５０は、Ｚカット水晶板をフォトリソグラフィー技法およびエッチング技法（特に、ウエットエッチング技法）を用いてパターニングして形成されている。このような振動体５０は、基部５１と、基部５１から＋Ｙ軸方向に延びている一対の振動腕としての駆動腕５２、５３と、基部５１から−Ｙ軸方向に延びている一対の振動腕としての検出腕５４、５５と、基部５１からＸ軸方向の両側に延び、途中で屈曲して−Ｙ軸方向に延びている一対の支持腕５６、５７と、を有している。そして、図示しないが、振動片５は、支持腕５６、５７において導電性接着材９７を介してベース９１に取り付けられている。
【０２０２】
また、駆動腕５２、５３には図示しない駆動信号電極および駆動接地電極が配置されており、これら電極間に駆動信号を印加すると、駆動腕５２、５３が図２８の矢印Ｅで示すようにＸ軸逆相モードで屈曲振動する。この振動を駆動振動モードと言い、このモードが振動片４の主振動となる。一方、検出腕５４、５５には検出信号電極および検出接地電極が配置されている。図２９に示すように、駆動腕５２、５３を駆動振動モードで振動させている状態でＹ軸まわりの角速度ωｙが加わると、駆動腕５２、５３にコリオリの力が作用して矢印Ｆに示す方向の振動が励振され、この振動に呼応するように、検出腕５４、５５が矢印Ｇに示す方向に屈曲振動する。このような振動によって検出腕５４、５５に発生した電荷は、検出信号電極および検出接地電極の間から検出信号として取り出され、この検出信号に基づいて角速度ωｙが求められる。
【０２０３】
以上のような第７実施形態によっても、前述した第１実施形態と同様の効果を発揮することができる。
【０２０４】
＜第８実施形態＞
次に、本発明の第８実施形態に係る発振器について説明する。
【０２０５】
図３０は、本発明の第８実施形態に係る発振器を示す断面図である。
図３０に示す発振器１００は、振動子１と、振動子１が有するパッケージ９内に収容され、振動片２と電気的に接続されているＩＣ１１０と、を有している。ＩＣ１１０は、ベース９１の凹部９１１の底面に固定され、複数の内部端子９８に電気的に接続されている。複数の内部端子９８には、内部端子９５に電気的に接続されているものと、外部端子９６に電気的に接続されているものがある。また、ＩＣ１１０は、振動片２を駆動する発振回路１１１と、振動片２の温度変化に伴う周波数変動を補正する温度補償回路１１２と、を有している。温度補償回路１１２を有することで、発振回路１１１が発振する共振周波数を温度補償することができ、温度特性に優れた発振器１００となる。このような発振器１００では、作動温度範囲（例えば、−４０℃以上、８５℃以下の範囲、車載用においては−４０℃以上、１５０℃以下の範囲）内での発振周波数のずれが５［ｐｐｍ］以下であることが好ましく、１［ｐｐｍ］以下であることがさらに好ましく、０.５［ｐｐｍ］以下であることが最も好ましい。これにより、周波数精度がより向上する。なお、上記ｐｐｍ表示の基準は、常温（２５℃）での共振周波数とする。
【０２０６】
このような発振器１００によれば、高い周波数精度を有する振動子１を用いているため、極めて高い周波数精度が得られる。
【０２０７】
［電子機器］
次に、本発明の電子機器を説明する。
【０２０８】
図３１は、本発明の電子機器を適用したモバイル型（またはノート型）のパーソナルコンピューターの構成を示す斜視図である。この図において、パーソナルコンピューター１１００は、キーボード１１０２を備えた本体部１１０４と、表示部１１０８を備えた表示ユニット１１０６と、により構成され、表示ユニット１１０６は、本体部１１０４に対しヒンジ構造部を介して回動可能に支持されている。このようなパーソナルコンピューター１１００には振動子１が内蔵されている。
【０２０９】
図３２は、本発明の電子機器を適用した携帯電話機（スマートフォン、ＰＨＳ等も含む）の構成を示す斜視図である。この図において、携帯電話機１２００は、アンテナ（図示せず）、複数の操作ボタン１２０２、受話口１２０４および送話口１２０６を備え、操作ボタン１２０２と受話口１２０４との間には、表示部１２０８が配置されている。このような携帯電話機１２００には振動子１が内蔵されている。
【０２１０】
図３３は、本発明の電子機器を適用したデジタルスチールカメラの構成を示す斜視図である。この図において、デジタルスチールカメラ１３００におけるケース（ボディー）１３０２の背面には、表示部１３１０が設けられ、ＣＣＤによる撮像信号に基づいて表示を行う構成になっており、表示部１３１０は、被写体を電子画像として表示するファインダーとして機能する。また、ケース１３０２の正面側（図中裏面側）には、光学レンズ（撮像光学系）やＣＣＤなどを含む受光ユニット１３０４が設けられている。そして、撮影者が表示部１３１０に表示された被写体像を確認し、シャッターボタン１３０６を押下すると、その時点におけるＣＣＤの撮像信号が、メモリー１３０８に転送・格納される。このようなデジタルスチールカメラ１３００には振動子１が内蔵されている。
【０２１１】
このような電子機器は、高い周波数精度を有する振動子１を用いているため、極めて高い周波数精度が得られ、その結果、電子機器で発生する消費電力を低減することができる。これは、周波数精度が極めて高いことで、他の電子機器との通信のタイミングを精度よく合わせることができ、通信に必要な時間を短くすることができるためである。
【０２１２】
なお、本発明の電子機器は、図３１のパーソナルコンピューター、図３２の携帯電話機、図３３のデジタルスチールカメラの他にも、例えば、スマートフォン、タブレット端末、時計（スマートウォッチを含む）、インクジェット式吐出装置（例えばインクジェットプリンタ）、ラップトップ型パーソナルコンピューター、テレビ、ＨＭＤ（ヘッドマウントディスプレイ）等のウェアラブル端末、ビデオカメラ、ビデオテープレコーダー、カーナビゲーション装置、ページャ、電子手帳（通信機能付も含む）、電子辞書、電卓、電子ゲーム機器、ワードプロセッサー、ワークステーション、テレビ電話、防犯用テレビモニター、電子双眼鏡、ＰＯＳ端末、医療機器（例えば電子体温計、血圧計、血糖計、心電図計測装置、超音波診断装置、電子内視鏡）、魚群探知機、各種測定機器、計器類（例えば、車両、航空機、船舶の計器類）、フライトシミュレーター等に適用することができる。
【０２１３】
［移動体］
次に、本発明の移動体を説明する。
【０２１４】
図３４は、本発明の移動体を適用した自動車を示す斜視図である。この図において、自動車１５００には振動子１が搭載されている。このような振動子１は、キーレスエントリー、イモビライザー、カーナビゲーションシステム、カーエアコン、アンチロックブレーキシステム（ＡＢＳ）、エアバック、タイヤ・プレッシャー・モニタリング・システム(ＴＰＭＳ：Tire Pressure Monitoring System)、エンジンコントロール、ハイブリッド自動車や電気自動車の電池モニター、車体姿勢制御システム、等の電子制御ユニット（ＥＣＵ：electronic control unit）に広く適用できる。
【０２１５】
このような移動体は、高い周波数精度を有する振動子１を用いているため、極めて高い周波数精度が得られ、その結果、移動体で発生する消費電力を低減することができる。これは、周波数精度が極めて高いことで、他の電子機器や移動体との通信のタイミングを精度よく合わせることができ、通信に必要な時間を短くすることができるためである。
【０２１６】
以上、本発明の振動子、発振器、電子機器および移動体について、図示の実施形態に基づいて説明したが、本発明は、これに限定されるものではなく、各部の構成は、同様の機能を有する任意の構成のものに置換することができる。また、本発明に、他の任意の構成物が付加されていてもよい。また、前述した各実施形態を適宜組み合わせてもよい。
【０２１７】
また、前述した実施形態では、振動体を水晶で構成しているが、振動体の構成材料としては、水晶に限定されず、例えば、窒化アルミニウム（ＡｌＮ）や、ニオブ酸リチウム（ＬｉＮｂＯ3）、タンタル酸リチウム（ＬｉＴａＯ３）、チタン酸ジルコン酸鉛（ＰＺＴ）、四ホウ酸リチウム（Ｌｉ２Ｂ４Ｏ７）、ランガサイト（Ｌａ３Ｇａ５ＳｉＯ１４）、ニオブ酸カリウム（ＫＮｂＯ３）、リン酸ガリウム（ＧａＰＯ４）、ガリウム砒素（ＧａＡｓ）、窒化アルミニウム（ＡｌＮ）、酸化亜鉛（ＺｎＯ、Ｚｎ２Ｏ３）、チタン酸バリウム（ＢａＴｉＯ３）、チタン酸鉛（ＰｂＰＯ３）、ニオブ酸ナトリウムカリウム（（Ｋ，Ｎａ）ＮｂＯ3）、ビスマスフェライト（ＢｉＦｅＯ3）、ニオブ酸ナトリウム（ＮａＮｂＯ3）、チタン酸ビスマス（Ｂｉ４Ｔｉ３Ｏ１２）、チタン酸ビスマスナトリウム（Ｎａ０．５Ｂｉ０．５ＴｉＯ３）などの酸化物基板や、ガラス基板上に窒化アルミニウムや五酸化タンタル（Ｔａ２Ｏ５）などの圧電体材料を積層させて構成された積層圧電基板、あるいは圧電セラミックスなどを用いることができる。
【符号の説明】
【０２１８】
１…振動子、２…振動片、２０…振動体、２１…基部、２２…振動腕、２２１…腕部、２２２、２２３…溝部、２２９…広幅部、２３…振動腕、２３１…腕部、２３２、２３３…溝部、２３９…広幅部、２４…支持部、２４１…接続部、２４２、２４３…支持腕、２５…支持腕、２６…支持部、２７…連結部、２８１…第１駆動電極、２８２…第１駆動端子、２９１…第２駆動電極、２９２…第２駆動端子、３…振動片、３０…振動体、３１…基部、３１１…薄肉部、３１２…厚肉部、３２、３３、３４…振動腕、３５１、３５２、３５３…圧電素子、４…振動片、４０…振動体、４１…基部、４２１、４２２…検出腕、４３１、４３２…連結腕、４４１、４４２、４４３、４４４…駆動腕、４５１、４５２…支持部、４６１、４６２、４６３、４６４…梁部、５…振動片、５０…振動体、５１…基部、５２、５３…駆動腕、５４、５５…検出腕、５６、５７…支持腕、９…パッケージ、９１…ベース、９１１…凹部、９２…リッド、９５…内部端子、９６…外部端子、９７…導電性接着材、９８…内部端子、１００…発振器、１１０…ＩＣ、１１１…発振回路、１１２…温度補償回路、１１００…パーソナルコンピューター、１１０２…キーボード、１１０４…本体部、１１０６…表示ユニット、１１０８…表示部、１２００…携帯電話機、１２０２…操作ボタン、１２０４…受話口、１２０６…送話口、１２０８…表示部、１３００…デジタルスチールカメラ、１３０２…ケース、１３０４…受光ユニット、１３０６…シャッターボタン、１３０８…メモリー、１３１０…表示部、１５００…自動車、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｅ、Ｆ、Ｇ…矢印、ＤＬ…励振電力、Ｆ１…仮想振動対称面、Ｆ２…第１仮想振動対称面、Ｆ３…第２仮想振動対称面、Ｓ…収容空間、Ｓｙ…領域、Ｗ、Ｗ’、Ｗ”…幅、Ｌ、Ｌ’…長さ、ωｙ、ωｚ…角速度
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
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【図１７】
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【図１８】
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【図１９】
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【図２０】
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【図２１】
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【図２２】
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【図２３】
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【図２４】
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【図２５】
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【図２６】
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【図２７】
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【図２８】
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【図２９】
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【図３０】
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【図３１】
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【図３２】
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【図３３】
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【図３４】
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【図３５】
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【図３６】
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