(57)【要約】【課題】エラーを返すことなく零除算の演算処理を可能とする。【解決手段】与えられた変数aに対して，原始自己存在比a/aを演算する過程と，この原始自己存在比a/aの解に対して，変数a又はaの一般逆数又は準真数bを，0回以上の適宜回数乗じて積を算出する，存在算を実行する過程とを含み，上記存在算において，上記a＝0のとき，上記原始自己存在比a/aの解として0を返し，上記a≠0のとき，上記原始自己存在比a/aの解として1を返すことを特徴とする七則演算処理プログラム。【選択図】図１
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
与えられた変数aに対して，原始自己存在比a/aを演算する過程と，この原始自己存在比a/aの解に対して，上記変数a又はaの一般逆数又は準真数bを，0回以上の適宜回数乗じて積を算出する，存在算を実行する過程とを含み，
上記存在算において，上記a＝0のとき，上記原始自己存在比a/aの解として0を返し，上記a≠0のとき，上記原始自己存在比a/aの解として1を返すことを特徴とする演算処理プログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は，存在算，加算，減算，乗算，除算，冪乗算，冪除算から成る七種の基本演算に関する理論体系である七則演算論に基づいて，零除算や零の零乗算等を含めた各種の演算処理を実行することが可能な演算処理プログラムに関するものである。
【背景技術】
【０００２】
従来，被除数／除数＝商を処理する除算において、除数が０となる演算処理は禁止されており，コンピュータ等の演算処理装置上の処理としては，零除算が検出されれば，除外され，エラーを返すように構成されるか，又は所謂フリーズ状態となってしまう。このことは，コンピュータプログラム上において零除算が禁止されているというよりも，純粋に数学的に０で割るという除算は定義されていないということによっている。
【０００３】
また，これまでは，被除数を固定しておきながら除数を０，０．１，０．０１，・・・と小さくして行くと，商が急激に増大し，無限大に接近してしまうという事実から零除算は発散すると考える向きもあった。この考えに基づけば，正側から除数を０に近づけた場合の結果である＋∞と，負側から除数を０に近づけた場合の結果である−∞とから除数０の点であたかも−∞＝+∞となるかのような問題まで検討されてきた。
【０００４】
これらの問題から零除算は物理学や他の様々な数学応用分野において，特異点の問題を提起し，永らく未解決とされてきた。特に，大型コンピュータやスーパーコンピュータを用いた計算分野においても零除算に係る特異点の問題は未解決とされ，ビッグバンやブラックホールをはじめ多くの未解決問題を残している。
【０００５】
更に，これまでの数学では，０の０乗が定義されておらず，これによって計算不能な演算処理が出現する他，対数関数にあっては，真数０の対数が∞とされるなど，一つの関数によって，数である独立変数０に対して，従属変数として数ではない∞が対応付けられるなどの不合理な取り扱いがなされてきているため，演算処理不能であった．
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００６】
【特許文献１】特開２０１１−１１８５７８号公報
【特許文献２】特開２０１５−１８０９８３号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００７】
本発明は，上述の如くの問題を解決することを目的とするものであり，数の根拠を集合論に置き，数の間の初等演算を新たに定義し，これを根拠として各種の演算処理の解法と解を与え，従来数学の演算や関数値に係る諸問題を解決し，零除算を可能とする零除算演算処理プログラムや指数算における0の0乗算や零対数の演算等を包含した，より自然な拡張を図って成る演算処理体系に基づく七則演算処理プログラムを提供することにある。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
本発明の演算処理プログラムは，与えられた変数aに対して，原始自己存在比a/aを演算する過程と，この原始自己存在比a/aの解に対して，上記変数a又はaの一般逆数又は準真数bを，0回以上の適宜回数乗じて積を算出する，存在算を実行する過程とを含み，上記存在算において，上記a＝0のとき，上記原始自己存在比a/aの解として0を返し，上記a≠0のとき，上記原始自己存在比a/aの解として1を返すことを特徴としている。
【発明の効果】
【０００９】
本発明の七則演算処理プログラムによれば，厳密な定理に基づいた単純な処理にして，零除算の演算処理を含めた，存在算，加算，減算，乗算，除算，冪乗算，冪除算から成る七種の初等演算，即ち，七則演算を高速且つ確実に実行することが可能となる。
【図面の簡単な説明】
【００１０】
【図１】七則演算関係ダイアグラムであって，七則演算間関係性の直感的理解を促す模式図。
【発明を実施するための形態】
【００１１】
本発明を適用して成る七則演算処理及び七則演算処理プログラムについて，以下に，図１を参照しながら説明する。先ず，七則演算の原理について説明し，その後，七則演算処理及び七則演算処理プログラムについて説明するものとする。
【００１２】
七則演算論
【００１３】
§０．序論
数学における基本的な演算操作には，加算，減算，乗算，除算の所謂四則（演）算がある．言うまでもなく，加算は足し算，減算は引き算，乗算は掛け算，除算は割り算を意味している．これらの演算の間には，言うまでもなく一定の関係性が在る．しかしながら，或る意味で更に基本を成す，自然数を導出する公理系が設定されたPeano公理でさえ，単位元である1は無定義用語として登場し，1の実在性や導出には触れられていない．
そこで，先ず，本論では，集合を起点とし，存在算を定義して，零元と単位元を導出的に規定することを以て出発点として，その後，他の六つの演算を導出的に定義することでそれらの関係性を明らかにすると共に，数学における基本的な演算体系を再構築する．
【００１４】
§１．第一演算  〜存在算〜
任意の集合Aを考える．この集合Aの世界の中において，集合Aが如何程の大きさ（基数）なのかを考えるとき，或いは他の集合Bとの間に，それらの大きさを比較しようとするとき，如何にすれば，それは実現されるのか．その根本的なアプローチとしては，集合Aの大きさを数概念に置き換えて捉えるということが挙げられ，また，その方法が必要となると言えるが，それは如何にして可能となるのか．そこで，集合Aに対して，次の演算を定義して，それらへのアプローチの道を拓いてゆこう．
集合Aに対して，その基数を|A|と表記し，
【００１５】
【数１】
2017130156.tif 000003
【００１６】
を，原始自己存在比と名付け，この演算（一連の操作）を存在算と名付けるものとする．つまり，或る集合Aの（基数|A|の）自身の比を考えるのである．勿論，ここで，(1)式において，基数|A|の値は不明でも構わない．しかし，こうすることで，未だ大きさの不明な世界（集合）において，自身を尺度の基準として，世界（集合自身）を測るのである．
さて，存在算の結果，原始自己存在比はどのような値となるのか．これを次に見て行くこととする．そこで，先ず，最小集合を考える．言うまでもなく，最小の集合とは，何も無いという集合である．即ち，それは空集合{ }である．これは，
【００１７】
【数２】
2017130156.tif 000004
【００１８】
と表記される．ここで，集合A＝φとすると，これを(1)式に当て嵌めたなら，
【００１９】
【数３】
2017130156.tif 000005
【００２０】
である．ここで，(3)式で与えられる原始自己存在比もまた集合（の要素）であると考えると，
【００２１】
【数４】
2017130156.tif 000006
【００２２】
であるが，これは何も存在しないモノ自身を比べている比較，即ち比であるから，やはり何も存在しないと考えるのが自然である．そこで，これを，
【００２３】
【数５】
2017130156.tif 000007
【００２４】
と定義する．この定義の確からしさは，後に判明する．さて，ここで，(5)式の両辺の基数をとって，
【００２５】
【数６】
2017130156.tif 000008
【００２６】
とする．これより，直ちに，空集合φの基数|φ|は，
【００２７】
【数７】
2017130156.tif 000009
【００２８】
となる．すると，(7)式を(6)式に代入して(2)式の関係を用いると，
【００２９】
【数８】
2017130156.tif 000010
【００３０】
が導かれる．つまり，最小の集合Aminである空集合φに対して原始自己存在比を考え，存在算を施すことで，この集合Aminの零元が導かれたことになる．
次に，非空集合φ*（以下の(9)〜(14)式においては，φのオーバーラインとして記す．）を考える．即ち，φ*≠φである．特に，集合Aを有限集合として考えると，より考え易いであろう．（勿論，有限集合に限定する必要はないといってよい．）そこで，集合A＝φ*Aとして，(1)式に当て嵌めると，
【００３１】
【数９】
2017130156.tif 000011
【００３２】
である．これは，空でない集合自身の比であるから，この比は存在すると考えるのが自然であろう．そこで，(9)式で与えられる原始自己存在比もまた集合（の要素）であると考えられ，それは，
【００３３】
【数１０】
2017130156.tif 000012
【００３４】
であって， どんな集合も空を含むとして，
【００３５】
【数１１】
2017130156.tif 000013
【００３６】
と定義すると，(7)式を用いて，
【００３７】
【数１２】
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【００３８】
が成り立ち，自身1つ分に相当することを勘案して，
【００３９】
【数１３】
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【００４０】
又は，
【００４１】
【数１４】
2017130156.tif 000016
【００４２】
と定義する．勿論，(12)式より，
【００４３】
【数１５】
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【００４４】
が成り立つ．かくして，集合Aの世界の中に，零元と単位元を得た．ところで，(14)式右辺の演算子＋が定義無しに出現したが，現段階ではこの定義は特に必要ない．先ずは(13)式（若しくは(14)式）の導出がここでの目標地点であったからである．即ち，空でない集合の原始自己存在比を考え，これに対して存在算を施すことによって，一般の非空集合φにおける単位元を得るということこそがここでの目標だったのである．なお，原始自己存在比によって零元と単位元の何れも生じるということであるから，原始自己存在比は根元という名の元であると言ってもよいであろう．
【００４５】
さて，ここまでの展開によって我々の数学は，零元と単位元を得たのであるから二進数を得たといってもよく，また，Giuseppe PeanoによるPeano公理を適用すれば，如何なる自然数も生成可能となったのであり，その意味では，あとは四則演算を定義出来れば，あらゆる演算が可能となると共に、あらゆる数学的関係性を追求することが可能となったと言ってもよいであろう．
しかしながら本論では，演算の関係性を明らかにすることも目的としているのであり，自然なる順を追ってその追求するものとしよう．そこで，以下に，以上までの延長としての自然なカタチで生じる演算達をみてゆくこととしよう．
【００４６】
§２．第一演算（存在算）  〜集合A自身の大きさを測る〜
さて，与えられた集合Aは如何なる大きさを持つのであろうか．それは如何にして計測可能であろうか．§１．において，集合Aの原始自己存在比を用いて零元0と単位元1を導いた．しからば，これらの要素のみを用いて，集合A自身の大きさを測ることが可能なのであろうか．それを以下に見る．
集合A自身の大きさを測るに当たって，先ずは，集合Aの基数|A|0から原始自己存在比|A|/|A|を減じたとき，その差|A|1が，
【００４７】
【数１６】
2017130156.tif 000018
【００４８】
を満たすとき，可減の原始自己存在比集合{|A|/|A|}1を生成し，(16)式を満たさないとき，可減の原始自己存在比集合として空集合{ }を生成するものとする．
更に，|A|1から原始自己存在比|A|/|A|を減じたとき，その差|A|2が，
【００４９】
【数１７】
2017130156.tif 000019
【００５０】
を満たすとき，可減の原始自己存在比集合{|A|/|A|}2を生成し，(17)式を満たさないとき，可減の原始自己存在比集合として空集合{ }を生成するものとする．
更に，|A|2から原始自己存在比|A|/|A|を減じたとき，その差|A|3が，
【００５１】
【数１８】
2017130156.tif 000020
【００５２】
を満たすとき，可減の原始自己存在比集合{|A|/|A|}3を生成し，(18)式を満たさないとき，可減の原始自己存在比集合として空集合{ }を生成するものとする．
以下同様にして，|A|j-1から原始自己存在比|A|/|A|を減じたとき，その差|A|jが，
【００５３】
【数１９】
2017130156.tif 000021
【００５４】
を満たすとき，可減の原始自己存在比集合{|A|/|A|}jを生成し，(19)式を満たさないとき，可減の原始自己存在比集合として空集合{ }を生成するものとして，同様の操作を無数に繰り返すものとする（実際には，j＝|A|までは可減の原始自己存在比集合は，非空集合となり，それ以後は，全て空集合となる．）．
次に，これら可減の原始自己存在比集合を要素とする集合，即ち，集合の集合，可減原始自己存在比集合集合A*を考える．
このとき，その基数| A*|について，
【００５５】
【数２０】
2017130156.tif 000022
【００５６】
が成り立つ．
なぜならば，
【００５７】
【数２１】
2017130156.tif 000023
【００５８】
であるから，
【００５９】
【数２２】
2017130156.tif 000024
【００６０】
を得る．これは，
【００６１】
【数２３】
2017130156.tif 000025
【００６２】
と表記でき，また，
【００６３】
【数２４】
2017130156.tif 000026
【００６４】
という形式を定義すべきであることを示唆している．これについては，後述するものとするが，ここで重要なことは，(16)式から(24)式一連が存在算の系であるということである．そして，存在算は，集合Aに対してその基数|A|を考え，自身の比，即ち原始自己存在比|A|/|A|をとることから出発して，零元0と単位元1を生成し，更に，それらを用いて，自身の大きさを測るために，基数|A|に対する原始自己存在比|A|/|A|の繰り返し減算を施して可減原始自己存在比集合集合を生成して，その基数を求めるという順を追った．こうして，集合Aの大きさを測る手立てを得たのである．そしてその過程で，1の繰り返し加算が生じた．つまり，減算に対応して加算が生じたのであり，繰り返しであることから単位元（又は零元）に対する乗算が生じた．
【００６５】
ここで，集合Aの大きさ（基数）が，小数である場合，10進法を用いて(16)式から(19)式に示す一連の演算操作を実行する場合には，小数領域に入って以後は，残数（小数部分）を10倍して小数第１位に対して原始自己存在比|A|/|A|を減じる操作を，可減の原始自己存在比集合{|A|/|A|}kが空集合となるところまで繰り返して，それら小数第１位相当の可減の原始自己存在比集合{|A|/|A|}kの基数和の1/10倍を小数第１位の値とし，小数第２位の場合には，小数第１位における10倍と1/10倍を，それぞれ100倍と1/100倍とし，以下同様に小数第N位においては，10N倍と1/10N倍することで，小数点以下の値をいくらでも精緻化することができる．
【００６６】
§３．第一演算  〜数としての存在算〜
§２において，零元と単位元，そして数体系が定義づけられたので，ここでは存在算を数として定義づけるものとする．先に，集合の大きさ（基数）として，存在算が定義されているので，任意の数aに対しても原始自己存在比は，
【００６７】
【数２５】
2017130156.tif 000027
【００６８】
と定義される．この演算の体系として，存在算が規定される．勿論，この値は，
【００６９】
【数２６】
2017130156.tif 000028
【００７０】
である．これより，a≠0∧b≠0ならば，
【００７１】
【数２７】
2017130156.tif 000029
【００７２】
が成り立つ．
さて，先ず，どのような場合にもゼロが存在する．これは，何も無いという状態（これに対応した数概念を0とする．）が常に基本にあり，その上でしか，有るという状態が存在しないと言える．即ち，どんなときも
【００７３】
【数２８】
2017130156.tif 000030
【００７４】
が基礎に在ることになるのである．そしてそれは，原始自己存在比として，
【００７５】
【数２９】
2017130156.tif 000031
【００７６】
と表記される．すると，或る数a≠0が存在するというのは，一体どのような数学的構造を有することなのかを明らかにしておくと，後の演算の本質を検討する上で補助的な役割を果たしてくれるであろう．つまり，aが存在するとは，
【００７７】
【数３０】
2017130156.tif 000032
【００７８】
なのであり，これは，
【００７９】
【数３１】
2017130156.tif 000033
【００８０】
【数３２】
2017130156.tif 000034
【００８１】
であって，(32)式の両辺に，−(a/a)×aを加えると，(30)式が得られる．以上より，aが存在するとは，0に対してaを1回加え合わせることに相当し，
【００８２】
【数３３】
2017130156.tif 000035
【００８３】
と表されると言える．これは，現代数学では略記してよいこととして，
【００８４】
【数３４】
2017130156.tif 000036
【００８５】
と表されるが，本質的には(33)式が前提となっているということに対する注意が必要である．そこで，本論では，意図的に(33)式の形態を大抵の場合に採ることとし，これら(1)〜(33)式の一連の形式の演算を存在算と名付けるものとする．
【００８６】
§４．第二演算  〜加算〜
存在算に次ぐ演算は，減算であると言える．何故なら，先に，存在算に係る一連の演算操作を実行するに当たって，原始自己存在比こそが最も本質的であり，発生学的重要性を以て大きな役割を果たし，その結果，零元0と単位元1が生成されることを見た．更に，原始自己存在比によって，自身の大きさを測り知ることが可能となった訳であるが，そこで必要性が生じたのは減算であった．つまり，或る数の大きさを知る上で重要な演算は，従来的な四則演算の中でも減算であることが判った．このことから第二演算とは，減算のことであると言って過言でない．しかしながら，ここでは，論理展開の都合上，第二演算は加算であるものとして，論述して行くこととしよう．
【００８７】
さて，存在算を定義するに当たって，(30)〜(33)式において特別な加算を使用した．つまり，それは，或る数aが存在するとは，何も無い0状態に対して，aを1回加えた状態であるという基礎的且つ特殊な加算であって，これを（含めて一連の操作を）存在算と呼ぶこととした．そこで，次に，存在算を拡張して，足し算（加算）を定義する．
加算とは，何も無い状態に対して，２つの数どうしを加え合わせる（足し合わせる＝足し算）操作を意味する演算のことである．厳密には，加算とは，何も無い状態0に在る或る数aに対して或る数bを1回加え合わせる操作を行う演算をいう．つまり，
【００８８】
【数３５】
2017130156.tif 000037
【００８９】
と表記される（0＋(a/a)・a＋bとしてもよい．）．ここに，・は積（乗算）の演算子であり，以下同様とする．これは，現代数学では，a + bと略記される．ところで，略記には，記述労力の省略や見通しの向上というメリットがある反面，本質を見失うということ，特に，時代を経ると更に本質を見失う傾向が強くなるというデメリットが存在することに対する注意がもっと払われるべきであろう．
【００９０】
§５．第三演算  〜減算〜
第二演算における操作を加算操作ということにすると，この加算操作の逆の操作は，１つの或る数から１つの或る数を減じる（引く）操作ということになり，これを減算操作という．厳密には，減算とは，何も無い状態0に在る或る数aから或る数bを1回減じる操作を行う演算をいう．表記は，
【００９１】
【数３６】
2017130156.tif 000038
【００９２】
であり，また，0＋(a/a)・a−(b/b)・bとしてもよいが，何れもこれらは，現代数学では，a −bと略記される．さて，この意味では，減算とは，必ずしも加算を出発点としなければ定義することが出来ないと言うものではなく，存在算を基にして，加算に対して独立に定義することが可能であるといえる．そして，加算操作と減算操作とは，1対1に対応した完全に逆演算関係が成立するということができ，それゆえに，加算と減算とは完全逆演算関係にあるといえる．しかしながら，この逆演算関係は必ずしも一般には成り立つものではないことに注意が必要である．
【００９３】
§６．完全逆演算関係
ここで，完全逆演算関係について，以下に，定義をしておこう．
定義：或る演算Ａにおいて有り得る全ての演算結果が、別の演算Ｂにおいて有り得る全ての演算結果との間に1対1の逆演算関係が成立するとき，これらの演算Ａ｜Ｂ間には，完全逆演算関係が成り立つという．
【００９４】
§７．第四演算  〜乗算〜
次に，加算を出発点として，乗算を，加算操作を用いて導出的に定義する．即ち，乗算とは，何も無い状態0に対して或る数aをb回加え合わせる（乗せ合わせる）操作を行う演算のことであると言える．言い換えれば，繰り返し加算操作を乗算と定義するのである．この意味で，乗算は加算に基礎を置くものであり，それ無しには正確には実現されないと言える．表記は，
【００９５】
【数３７】
2017130156.tif 000039
【００９６】
であって，左辺は乗算（繰り返し加算），右辺は掛け算を意味する表記であるとして，呼称を区別するものとする．ここで，両辺のa/aは，原始自己存在比であって，掛け算とは原始自己存在比a/aに対して或る数aを乗じた数をb倍する操作を行う演算のことであると言える．なお、原始自己存在比a/aとは，比，若しくは，除算の形式を採るものであるから，厳密には，除算無しに加算や乗算を独立に定義することはできないと言える．勿論，原始自己存在比や存在算自体も除算形式で定義されているのであるから存在算の形式と除算との間に矛盾があってはならないといえる．
【００９７】
§８．第五演算  〜除算（割り算）〜
そこで，掛け算（乗算ではなく）を出発点として，その逆演算操作を用いて，割り算（除算ではなく）を導出的に定義することを考える．つまり，2つの数a，bに対して掛け算操作を行った結果の値をcとするとき，これをa×b＝cと表記するものとし，この関係に対してc÷b＝aが成り立つとき，これを割り算ということにするのである．勿論，乗算関係a×b＝cにおいて，a≠0，b＝0とすると， c＝0であるが，これを割り算c÷b＝aに当て嵌めると，a1≠a2としてa1×0＝0 とa2×0＝0であるから0÷0＝a1，0÷0＝a2となり，従ってa1＝0÷0＝a2であるからa1＝a2が成り立つことになって仮定に反し，不合理となる．このことから掛け算の逆演算操作による割り算の定義によれば，ゼロで割ることが出来ないということがカタチ作られる．
【００９８】
このことは，形式論的な逆演算操作による新たな演算の導出的定義を行うと，逆演算の完全性が得られる保証が無くなることを示唆している．それどころか，演算自体に例外的演算が発生することになるのである．つまり，形式論的には，必ずしも逆の操作が成り立たないことが出てくると言うことである．これは、本来独立，個々に原理的に定義されるべき演算どうしにおいて，逆演算操作が部分的に成立する事実に着目して，逆演算操作が成立する部分だけを以てあたかも全体であるかの如くに規定することにより，狭義の定義になってしまうのであり，形式論的逆演算操作による演算定義の不完全性を誘発するものであるといえる．
【００９９】
ところが，乗算の逆の操作，即ち、或る数aから或る数bを何回減じることが出来るかということによって，原理的に除算を定義することが可能であり，この場合，ゼロ除算が可能となる．つまり，この定義では，各回bを減じた結果の値が減じる直前の値に対して変化を伴う減算操作を繰り返した結果が非負最小値（剰余d｜0≦d≦a）となるところまでの減算回数を商cとするのである．（なお，剰余項rは，適当な倍率を設定することで適宜の桁（小数点以下）まで繰り返し減算操作を実行して，商の小数点以下の桁を増加させて精緻化表記を採ることも可能である．）これは，
【０１００】
【数３８】
2017130156.tif 000040
【０１０１】
と表記される．これの定義によれば，例えば，a＝0且つb＝0のとき， 0÷0＝0…0が成り立つのである．なぜならば，
【０１０２】
【数３９】
2017130156.tif 000041
【０１０３】
であり，矢印の右側の左辺は何も無いという状態0から0を減じること，即ち何も引かないことを意味し，右辺はその際の差が変化しないので，変化した回数は0，即ち，商は0となることを意味している．勿論，剰余も0であるから(39)式が成り立つといえる．更に，驚くべきことに，a≠0∧b＝0⇒a/0＝0…aであり，どんな数でも0で割れば，商は0であると述べている．勿論，ゼロ除算に関する歴史は古く，有名どころでは，Leonhard Eulerがその著書『無限解析』において，無限大になることを明示している他に，Niels AbelやBernhard Riemannがやはり，1/0＝∞であると示していることからしても，ゼロ除算の強力な不連続性が，歴々の天才数学者達にとっても如何に想像を絶するものであったかを強く物語っていると言えよう．
【０１０４】
さて，話を戻すと，以上からも判るとおり，除算は（存在算と）減算に基礎を置くものであり，加算や乗算の系統とは独立に定義可能であると言える．
ところで，この(38)式の最左辺を，
【０１０５】
【数４０】
2017130156.tif 000042
【０１０６】
と変形すると，この中辺の括弧内は，何も無い状態0に対してbをc回加え合わせたモノであるから，存在算を加味すれば，乗算の定義より，
【０１０７】
【数４１】
2017130156.tif 000043
【０１０８】
この中辺と右辺の関係からは，
【０１０９】
【数４２】
2017130156.tif 000044
【０１１０】
を得るので，現代数学風に略記すると，
【０１１１】
【数４３】
2017130156.tif 000045
【０１１２】
更に，掛け算記号を略記すると，
【０１１３】
【数４４】
2017130156.tif 000046
【０１１４】
となることが判明する．これは，b（或いはc）の一次方程式であると観ることも可能であろう．つまり，これが，除算の逆演算として成立する正しい形式（加算の項を有する乗算，即ち，加乗算）である．ここで，(44)式において，a≠0且つb＝0としたとき，cはあたかもどのような値でも採り得るかのように，形式論的には見受けられる．しかしながら，原理はあくまでも上述の除算の定義にあるのであって，ここでのcはあくまでもc＝0に限られ，同時に，この場合の剰余dはd＝aとなるのである．上述の除算の定義は，除算の解（商）が一意的に定まることを原理として，(44)式の代数を確定せしめていると言えるのであり，「解無し」や「不定」，「定義されない（定義出来ない）」や「無限大」なる不明瞭さを排除していると言える．
【０１１５】
§９．第五演算  〜除算（割り算）と分数〜
ところで，割り算（除算）には，類似概念として分数が在る．これら割り算と分数とは一体どのような関係性が有るのかを一考しておくのは，複合演算問題を考える上で有効である．そこで，この関係について以下に検討する．
一般に，
【０１１６】
【数４５】
2017130156.tif 000047
【０１１７】
と同値関係を定義して使用されることが多い．しかしながらこれは本当に同値なのだろうか？結論から言って，一般には同値であると言えず，またそれぞれ意味が異なっており，表記法による制約をしっかりと定義しないと矛盾が生じることになる．がここでは，左辺が指し示すものの意味を述べよう．(45)式の左辺が指し示すものは，
「a÷bは，或る数aから或る数bを何回減じることが出来るか？を問うており，そしてこれを除算（割り算）と呼び，当式のように略記するものである．」
【０１１８】
これに対して，(45)式の右辺は，
「分数は、分線で区切られた上下に記される２つの数a，bの比であって，これらの２数によって，１つの数の大きさを表現しているのである．」
従って，分数の場合は，比の値が変わらない限り、約分可能であって、約分前後は同値として扱うことが可能とされる．その結果、例えば，出発分数を，
【０１１９】
【数４６】
2017130156.tif 000048
【０１２０】
とし，k≠0，1として，
【０１２１】
【数４７】
2017130156.tif 000049
【０１２２】
【数４８】
2017130156.tif 000050
【０１２３】
であるとき，
【０１２４】
【数４９】
2017130156.tif 000051
【０１２５】
が成り立ち，同値関係を成立させつつ，出発分数とは異なる分数に至ることが有り得る．ところが，除算（割り算）の場合には，a÷bの商をc，剰余をd ＞0とすると，先ず，
【０１２６】
【数５０】
2017130156.tif 000052
【０１２７】
これは，加乗算形式で，
【０１２８】
【数５１】
2017130156.tif 000053
【０１２９】
と表される．ここで，a＝kAと，b＝kBをそれぞれ代入して，両辺をkで除すると，
【０１３０】
【数５２】
2017130156.tif 000054
【０１３１】
これを元の除算（割り算）表記に直すと，
【０１３２】
【数５３】
2017130156.tif 000055
【０１３３】
となって，除算（割り算）においては，除数と被除数との間に共通因数が有るからと言って，必ずしも約分できる訳ではなく，商が一致するものの，剰余が不一致となり得ることが示され，除算においては必ずしも同値関係が成り立つ訳ではないと言える．
以上のとおり，割り算と分数とが必ずしも同値関係が成り立つ訳ではないのであるから等式扱いする場合には注意を要する．しかしながら，これらの検討は，剰余項を問題としない場合，即ち，剰余形式を採らない場合には，
【０１３４】
【数５４】
2017130156.tif 000056
【０１３５】
または，原始自己存在比を用いて厳密表記をすれば，(54)式は，
【０１３６】
【数５５】
2017130156.tif 000057
【０１３７】
となる．つまり，(54)式の関係が成り立つとしてよいことを意味している．このことから，
【０１３８】
【数５６】
2017130156.tif 000058
【０１３９】
が成り立つと言ってよい．従って，a＝0の場合における原始自己存在比a/aは，0/0＝0となる．
【０１４０】
§１０．第六演算  〜冪乗算（指数算）〜
次に，乗算を出発点として，冪乗算を，乗算操作を用いて導出的に定義する．即ち，冪乗算とは，或る数aに対する原始自己存在比a/aに対して，aをb回乗じる操作を行う演算のことであると言える．言い換えれば，原始自己存在比に対する繰り返しの乗算操作を冪乗算と定義するのである．この意味で，冪乗算は乗算に基礎を置くものであり，更には加算に基礎を置くものであって，乗算，加算無しには正確には実現されないと言える．
表記は，
【０１４１】
【数５７】
2017130156.tif 000059
【０１４２】
であって，左辺は冪乗算（繰り返し乗算），右辺は指数算（指数形式）を意味する表記であるとして，呼称を区別するものとする．ここで，左辺のa/aは，勿論，存在算を意味する原始自己存在比であり，右辺の指数算とは，或る数aをb乗する操作を行う演算のことであると言える．なお，原始自己存在比a/aは，a≠0⇒a/a＝1，a＝0⇒a/a＝0となる．従って， a≠0且つb＝0の場合，原始自己存在比a/a=1に対してaを0回乗じるのであるから，原始自己存在比a/a=1に対して何も乗じていないということになって，解は1となる．
つまり，(57)式の左辺は，
【０１４３】
【数５８】
2017130156.tif 000060
【０１４４】
であって，即ち，(57)式は，
【０１４５】
【数５９】
2017130156.tif 000061
【０１４６】
となる．次に，a＝0且つb≧0の場合を考えると，
【０１４７】
【数６０】
2017130156.tif 000062
【０１４８】
において，a＝0であるから，これを(52)式に代入すると，
【０１４９】
【数６１】
2017130156.tif 000063
【０１５０】
であり，左辺は，b≠0ならば，(56)式より，0/0＝0であるから，
【０１５１】
【数６２】
2017130156.tif 000064
【０１５２】
であるから，
【０１５３】
【数６３】
2017130156.tif 000065
【０１５４】
が成り立つ．特に，b＝0ならば，原始自己存在比a/aに対して，aを乗じる回数は0になるので，(61)式の左辺は，
【０１５５】
【数６４】
2017130156.tif 000066
【０１５６】
となる．即ち，(61)式の右辺の形式を合わせて，
【０１５７】
【数６５】
2017130156.tif 000067
【０１５８】
が成り立つと言える．これに関し，Leonhard Eulerが彼の著書「無限解析」の中で，00＝1であるとして，数の体系構築に関する根本的なところで，間違いを犯していることからしても，(65)式の結果は，驚くべき結果，驚くべき事実であると言えるであろう．
【０１５９】
§１１．第七演算  〜冪逆乗算〜
或る非負実数aを底とし，底aの存在性を表す原始自己存在比a/aに対して非負実数たる準真数(b/b)・bを乗じて成る(a/a)×(b/b)・bを真数Bとするとき，真数B＝(a/a)×(b/b)・bに対して底aの逆数a−1を乗じた際に，その積{(a/a)×(b/b)・b}×a−1が，(a/a)×(b/b)・b≠{(a/a)×(b/b)・b}×a−1を満たす乗算を行う演算，そしてこの演算操作を何回繰り返し行うことが出来るかを問う演算を冪逆乗算という．つまり，表記は，
【０１６０】
【数６６】
2017130156.tif 000068
【０１６１】
となる．ここに，×aθは剰余乗である．これについては，後述する．また，(66)式は，
【０１６２】
【数６７】
2017130156.tif 000069
【０１６３】
となる．
【０１６４】
§１２．第七演算  〜一般逆数〜
さて， (67)式左辺に，(a/a)-1なる原始自己存在比a/aの逆数が生じたので，ここで逆数を定義しておくこととする．
【０１６５】
定義  逆数とは，分数表記した際の分母と分子の値を入れ換えた分数，並びに，その約分値を言う．或いは，元の分数の−1乗の分数，並びに，その約分値を言う．
【０１６６】
従って，或る数α，或る数βについて，
【０１６７】
【数６８】
2017130156.tif 000070
【０１６８】
のとき，逆数は，
【０１６９】
【数６９】
2017130156.tif 000071
【０１７０】
であり，α＝βの場合，(68)式は，
【０１７１】
【数７０】
2017130156.tif 000072
【０１７２】
であって，(69)式は，
【０１７３】
【数７１】
2017130156.tif 000073
であり，定義から
【０１７４】
【数７２】
2017130156.tif 000074
【０１７５】
を得る．ゆえに，
【０１７６】
【数７３】
2017130156.tif 000075
【０１７７】
が成り立つ．このγの値は，α＝βの値によって次の二値をとり得て，
【０１７８】
【数７４】
2017130156.tif 000076
【０１７９】
【数７５】
2017130156.tif 000077
【０１８０】
となる．この結果は，0の逆数，即ち0−1は，1/0ではなく，0に限ることを意味している．また，α/β＝(α/β)1並びにγ＝γ1を勘案して，(68)式と(69)式の辺々の積をとると，
【０１８１】
【数７６】
2017130156.tif 000078
【０１８２】
であるから(76)式左辺の指数算を行うと，
【０１８３】
【数７７】
2017130156.tif 000079
【０１８４】
であるから，
【０１８５】
【数７８】
2017130156.tif 000080
【０１８６】
または，
【０１８７】
【数７９】
2017130156.tif 000081
【０１８８】
を得る．この(78)，(79)式は，正に，逆数のより厳密な定義式であり，逆数の自然な拡張になっていると言ってよい．つまり，(78)式及び(79)式は一般逆数の定義式であると言える．
従って，或る数αと或る数βについて，α/βの逆数，即ち(α/β)−1は，(79)式を満たし，従って，α又はβの少なくとも何れか一方が0のとき，(56)式並びに(65)式から，
【０１８９】
【数８０】
2017130156.tif 000082
【０１９０】
【数８１】
2017130156.tif 000083
【０１９１】
【数８２】
2017130156.tif 000084
【０１９２】
を得，その逆数は0に限られることを示している．なお，(81)式の関係は，a≠0のとき，代数学的には，
【０１９３】
【数８３】
2017130156.tif 000085
【０１９４】
これより，
【０１９５】
【数８４】
2017130156.tif 000086
【０１９６】
を得，ゆえに，
【０１９７】
【数８５】
2017130156.tif 000087
【０１９８】
が成り立つ（ただし，分数と除算の相異点には注意が必要である．）．従って，α又はβの少なくとも何れか一方が0のときの逆数は，
【０１９９】
【数８６】
2017130156.tif 000088
【０２００】
【数８７】
2017130156.tif 000089
【０２０１】
【数８８】
2017130156.tif 000090
【０２０２】
となる．ただし，実数の逆数を考える場合には，存在算によって，0以外の実数が1の上に立っているのに対して，0は1ではなく，0自身の上に立っているとでも表現すべきものであり，0の逆数0-1が1/0ではなく，0になるという事実には注意を要する．つまり，厳密には，存在算は，対象としている数そのものの存在性を問うものであるが故に，他の演算に先んじて実行しなければならないのであり，(79)式は，
【０２０３】
【数８９】
2017130156.tif 000091
【０２０４】
のように存在算を含めて厳密化され，(89)式左辺は，α，βのうち少なくとも何れか一方が0ならば，存在算の演算が実行されて，括弧内が0を意味するものとなって，0-1となる一方で，右辺は，0であるから結果的に，0-1＝0が一意的に成り立つと言える．このことは，
(86)，(87)，(88)式の何れも両辺の逆数をとった際に，それぞれ，
【０２０５】
【数９０】
2017130156.tif 000092
【０２０６】
【数９１】
2017130156.tif 000093
【０２０７】
【数９２】
2017130156.tif 000094
【０２０８】
となる結果とも一致する．即ち，
【０２０９】
【数９３】
2017130156.tif 000095
【０２１０】
が一意的に成り立つと言える．
他方，α及びβが共に0ではないとき，(59)式より，
【０２１１】
【数９４】
2017130156.tif 000096
【０２１２】
が成り立つ．従って，α及びβが共に0ではないとき，α/βの逆数，即ち(α/β)−1は，
【０２１３】
【数９５】
2017130156.tif 000097
【０２１４】
を得る．これより，α又はβの少なくとも何れか一方が1のとき，
【０２１５】
【数９６】
2017130156.tif 000098
【０２１６】
【数９７】
2017130156.tif 000099
【０２１７】
【数９８】
2017130156.tif 000100
【０２１８】
となる．つまり，(74)，(97)式より，
【０２１９】
【数９９】
2017130156.tif 000101
【０２２０】
を得る．これより，演算として，
【０２２１】
【数１００】
2017130156.tif 000102
【０２２２】
が成り立ち，他方，
【０２２３】
【数１０１】
2017130156.tif 000103
【０２２４】
が成り立つ．従って，(100)式と(101)式から，演算置換関係
【０２２５】
【数１０２】
2017130156.tif 000104
【０２２６】
が成り立ち，逆乗算と除算の置き換えが可能であることを示している（剰余形式を採らず，商のみを考慮する場合に限られることに注意を要する．）．
【０２２７】
§１３．第七演算  〜冪除算と対数算〜
前セクションにおける(102)式において，演算置換関係を導いた．そこで，(102)式の関係を(67)式に適用すると，定義より，
【０２２８】
【数１０３】
2017130156.tif 000105
【０２２９】
であるから，これを勘案して，
【０２３０】
【数１０４】
2017130156.tif 000106
【０２３１】
が得られる．そこで，この左辺を整理して，
【０２３２】
【数１０５】
2017130156.tif 000107
【０２３３】
を得る．この(105)式は，
【０２３４】
【数１０６】
2017130156.tif 000108
【０２３５】
と同値である．ここに，(106)式の左辺は，存在算であるから初期に演算し，右辺の括弧内は，存在算であるものの，左辺の演算結果が収束すべき値，即ち，冪除算の収束値を与えているのであり，以下，(106)式の右辺の形式を冪除算の収束値と呼ぶものとする．なお，(106)式において，両辺に(a/a)(b/b)が在るので，一見すると両辺から払ってしまうことが出来るように思われるかも知れないが，それは出来ない．何故なら，a又はbの少なくとも何れか一方が0のとき，両辺を0で割った形式となってしまうが，その場合，0/0≠1であって，0で割ると，商が0となることから(106)式は，単に0＝0となって零恒等式となってしまうからである．勿論，零恒等式になる操作，即ち，両辺を0で除すという操作を行った結果が恒等式になるからと言って，0で除す直前の式が，真に等式として成立していたということを保証するものではない．両辺に0を乗じたり，両辺を0で除したりすれば，全て0になってしまうのだから，このことは当然と言えば，余りにも当然と言えよう．
例えば，1＝2という誤った式の両辺を，0で除すと，0＝0になる．しかしながら0で除した結果が等式として成立しているからと言って，その直前の1＝2が等式として正しいとは言えない．
さて，準真数(b/b)・bに対して底aの存在性を規定する原始自己存在比a/aを乗じて成る
【０２３６】
【数１０７】
2017130156.tif 000109
【０２３７】
Bを以て真数とすると表記上簡便である．なお，(107)式は，
【０２３８】
【数１０８】
2017130156.tif 000110
【０２３９】
としてもよい．なぜならば，(108)式の中辺と右辺の関係は，
【０２４０】
【数１０９】
2017130156.tif 000111
【０２４１】
【数１１０】
2017130156.tif 000112
【０２４２】
【数１１１】
2017130156.tif 000113
【０２４３】
【数１１２】
2017130156.tif 000114
【０２４４】
が成り立つからであり，表記上の簡便性と計算上の示唆性を併せ持つ形式であって合理的である．勿論，この形式を用いる場合には，原理的には(105)式が厳密であることに注意を要するが，以下ではケースバイケースで(108)式の右辺の省略形式を用いるものとする．ただし，先ずは，ここでは，特に，θ＝0として，冪除と対数の同値関係を
【０２４５】
【数１１３】
2017130156.tif 000115
【０２４６】
と定義し，非負実数aは底，非負実数Bは真数であり，cを整数に限定した対数の解（指数）というものとし，
【０２４７】
【数１１４】
2017130156.tif 000116
【０２４８】
と表記し，(114)式の⇔の左側を冪除（算），右側を対数（算）と呼ぶものとする．
つまり，除算を出発点として，冪逆乗算を，除算操作を用いて導出的に定義し，これを冪除算ということとするのである．即ち，冪除算とは，冪逆乗算のうち，真数(a/a)×(b/b)×bを底aで除した際に，除算の結果が，各除算の前後で商が収束に向かう変化を伴うもの（以下，収束除算という．）であって，この収束除算を繰り返し行うことが可能な回数を解（この解を指数という）とし，この解を求める繰り返し操作を行う演算のことを言う．言い換えれば，原始自己存在比a/aに準真数(b/b)・bを乗じて成る真数(a/a)×(b/b)・bに対する底aによる繰り返しの収束除算操作を冪除算と定義するのである．この意味で，冪除算は，存在算と除算に基礎を置くものであり，更には減算に基礎を置くものであって，加算や乗算の系統とは独立に定義可能であると言える．
しかしながら，以下では，便宜上，指数算を用いたり，(108)式の最右辺の省略表記を用いたりする．そこで，(114)式の⇔の右側の対数表記を，
【０２４９】
【数１１５】
2017130156.tif 000117
【０２５０】
とする．これより，a,b≠0∧θ＝0のとき，直ちに次ぎの関係式が成り立つ．
【０２５１】
【数１１６】
2017130156.tif 000118
【０２５２】
なお，便宜上，×a -1を広義の÷aとして収束除算と呼ぶものとすると，(116)式は，更に収束除算を適用できて，
【０２５３】
【数１１７】
2017130156.tif 000119
【０２５４】
以下同様に，
【０２５５】
【数１１８】
2017130156.tif 000120
【０２５６】
である．なぜならば，仮定より，a,b≠0∧θ＝0であるから，(114)式の定義より，
【０２５７】
【数１１９】
2017130156.tif 000121
【０２５８】
である．ここで，真数Bは，(a/a)bに等しいから，(119)式は，
【０２５９】
【数１２０】
2017130156.tif 000122
【０２６０】
と表される．そこで，(120)式の⇔の左側のみを考えると，
【０２６１】
【数１２１】
2017130156.tif 000123
【０２６２】
であるから，bについて解くと，
【０２６３】
【数１２２】
2017130156.tif 000124
【０２６４】
と表される．従って，(122)式を，(116)，(117)，(118)式に代入し，便宜的に存在算の実行を先送りすると，
【０２６５】
【数１２３】
2017130156.tif 000125
【０２６６】
であって，
【０２６７】
【数１２４】
2017130156.tif 000126
【０２６８】
であり，更に，
【０２６９】
【数１２５】
2017130156.tif 000127
【０２７０】
である．ところで，(113)式の定義より，a≠0の収束除算の収束値は1であるから，真数を底で除しても収束除算できないので，収束除算回数は0，即ち，対数の回（指数）は，0に等しい．よって，
【０２７１】
【数１２６】
2017130156.tif 000128
【０２７２】
が成り立つ（これについての別証は後述する．）．従って，(126)式を(125)式に代入すると，
【０２７３】
【数１２７】
2017130156.tif 000129
【０２７４】
を得る．
【０２７５】
§１４．第七演算  〜対数算〜
前セクションにおいて，冪除算による対数の定義を得た．そこで，本セクションでは，実際に，底や真数の値を様々に設定した際の演算がどのようなモノになるかをひとつずつ見て行くものとする．そこで，これに先立ち，底a，準真数b，対数の解cについての組を，(a,b,c)と表記するものとする．
【０２７６】
＃１．(0,0,c)
(115)式より，求める対数算は，
【０２７７】
【数１２８】
2017130156.tif 000130
【０２７８】
と展開される．この(128)式の最右辺の対数は，冪除算（対数算）の定義より，真数を底で除す際に，この除算の前後で真数と商が変化を伴わないから，収束除算回数cは0となる．従って，対数の解c＝0が成り立つ．また，底a＝0のとき，(114)式による定義における冪除算では，収束値が0となる．よって，収束除算0回に実行により，収束値0に達していることになり，やはり対数の解cは0となる．
つまり，
【０２７９】
【数１２９】
2017130156.tif 000131
【０２８０】
が成り立つ．よって，(0,0,c)⇒(0,0,0)である．
【０２８１】
＃２．(0,b≠0,c)
(115)式より，求める対数算は，
【０２８２】
【数１３０】
2017130156.tif 000132
【０２８３】
と展開される．この(130)式の最右辺の対数は，冪除算（対数算）の定義より，真数を底で除す際に，この除算の前後で真数と商に差が生じない，即ち変化を伴わない除算であるから，収束除算回数cは0となる．従って，対数の解c＝0が成り立つ．ここで，(130)式と(128)式を比較することには，幾分かの価値があると思われるので，その比較検討をしておこう．両式の最大の相違点は，準真数bの値であるが，(130)式では，準真数bが0ではないにも拘わらず，真数Bとしては，B＝0となっていることであり，その結果，対数の解cが何れのケースでも0となっているということである．つまり，(130)式のケースは，真数Bが準真数bの存在性のみならず，底aの存在性に因ってもその存在性が規定される性質のモノであるということを物語っているのである．
つまり，省略表記として，
【０２８４】
【数１３１】
2017130156.tif 000133
【０２８５】
が成り立つ．よって，ケース＃１，＃２より，(0,0,c)∧(0,b≠0,c)⇒(0,∀b,0)である．
【０２８６】
＃３．(a≠0,0,c)
(115)式より，求める対数算は，
【０２８７】
【数１３２】
2017130156.tif 000134
【０２８８】
と展開される．この(132)式の最右辺の対数は，冪除算（対数算）の定義より，真数を底で除す際に，この除算の前後で真数と商が変化を伴わない除算であり，b/b＝0であるから収束値は0であって，収束除算ではなく，従って，収束除算回数cは0となる．従って，対数の解c＝0が成り立つ．
つまり，省略表記として，
【０２８９】
【数１３３】
2017130156.tif 000135
【０２９０】
が成り立つ．よって，ケース＃１，＃３より，(0,0,c)∧(a≠0,0,c)⇒(∀a,0,0)である．つまり，ケース＃２，＃３の帰結から，底又は準真数の何れか少なくとも一方が0のとき，対数の解は0となる，即ち，(∀a,0,c)∧(0,∀b,c)⇒(0 or∀a,∀b or 0,0)が成り立つと言える．
【０２９１】
＃４．(1,1,c)
(117)式より，求める対数算は，
【０２９２】
【数１３４】
2017130156.tif 000136
【０２９３】
と展開される．この(134)式の最右辺の対数は，冪除算（対数算）の定義より，収束値は1であって，真数1を底1で除す際に，この除算の前後で真数と商との差が無く，変化を伴わない除算であるから収束除算回数cは0となる．従って，対数の解c＝0が成り立つ．また，底a＝1のとき，(109)式による定義における冪除算では，収束値が1となる．よって，収束除算を実行するまでもなく，収束値に達していることになり，やはり対数の解cは0となると言い換えても結論は同じである．
つまり，
【０２９４】
【数１３５】
2017130156.tif 000137
【０２９５】
が成り立つ．よって，(1,1,c)⇒(1,1,0)である．
【０２９６】
＃５．(1,b≠0 or 1,c)
(115)式より，求める対数算は，
【０２９７】
【数１３６】
2017130156.tif 000138
【０２９８】
と展開される．この(136)式の最右辺の対数は，冪除算（対数算）の定義より，真数b≠0 or 1を底1で除す際に，この除算の前後で真数bと商bが変化を伴わない除算であるから収束除算ではなく，従って，収束除算回数cは0となる上，収束値は，1であるが，b≠1であるからこの冪除算における演算は収束しない．故に，解無しである．
つまり，省略表記として，
【０２９９】
【数１３７】
2017130156.tif 000139
【０３００】
が成り立つ．よって，ケース＃５より， (1,b≠0 or 1,c)⇒(1, b≠0 or 1,N/A)である．
【０３０１】
＃６．(a≠0 or 1,1, c)
(115)式より，求める対数算は，
【０３０２】
【数１３８】
2017130156.tif 000140
【０３０３】
と展開される．この(138)式の最右辺の対数は，冪除算（対数算）の定義より，真数1を底a≠0 or 1で除す際に，この除算の前後で真数1と商1/aが変化を伴うものであるが，底a≠0であるからこの繰り返し除算の収束値は1でなければならず，この場合の繰り返し除算の結果は，limn→∞1/an≠1であるから収束除算ではなく，従って，収束除算回数cは0となる．従って，(138)式の対数の解c＝0が成り立つ．また，底a≠0 or 1のとき，(114)式による定義における冪除算では，収束値が1となる一方で，真数は1であるから，収束除算を実行するまでもなく，収束値1に達していることになり，やはり(137)式の対数の解cは0となる．
つまり，省略表記として，
【０３０４】
【数１３９】
2017130156.tif 000141
【０３０５】
が成り立つ．よって，ケース＃２，＃４，＃６より，(0,∀b,c)∧(1,1,c)∧(a≠0 or 1,1,c)⇒(∀a,1,0)である． 
【０３０６】
＃７．(a≠0 or 1,a,c)
この条件は，a＝bであって，且つ，a≠0,1またb≠0,1であることを示している．従って，(115)式より，求める対数算は，
【０３０７】
【数１４０】
2017130156.tif 000142
【０３０８】
と展開される．この(140)式の最右辺の対数は，冪除算（対数算）の定義より，真数aを底aで除す際に，この除算の前後で真数aと商1が変化を伴う除算であるから収束除算であって収束値が1であるから収束除算を実行すると，その回数cは1となることが判る．より明示的には，(114)式の定義より， b÷a＝a÷a＝1となって，収束除算1回の実行で，商がa≠0の場合の収束値1に達するからである．従って，対数の解c＝1が成り立つ．
つまり，省略表記として，
【０３０９】
【数１４１】
2017130156.tif 000143
【０３１０】
が成り立つ．よって，ケース＃１，＃３より，(a≠0 or 1,a,c)⇒(a≠0 or 1,a,1)である．
【０３１１】
＃８．(a≠0 or 1,b≠0 or 1 or a,c)
この条件は，a≠bであって，且つ，a≠0,1またb≠0,1であることを示している．従って，(115)式より，求める対数算は，
【０３１２】
【数１４２】
2017130156.tif 000144
【０３１３】
と展開される．この(142)式の最右辺の対数は，冪除算（対数算）の定義より，真数bを底aで除す際に，この除算の前後で真数bと商b/aは変化を伴う除算であるものの，収束値1に向かう除算であるかは，一意的に定まる訳ではない．しかし，ここでは，この除算が収束値1に向かう除算であるものに限って話しを進めるものとしよう．
今，準真数bが，
【０３１４】
【数１４３】
2017130156.tif 000145
【０３１５】
で与えられたとする．そこで，(136)式を(135)式の最右辺に代入すると，省略表記として，
【０３１６】
【数１４４】
2017130156.tif 000146
【０３１７】
となる．すると，(127)式の定理から，
【０３１８】
【数１４５】
2017130156.tif 000147
【０３１９】
が得られる（ただし，a,b≠0,1∧a≠bであるが，以下これを略記するものとする．）．ところで，如何なる1より小さな小数も有理数で幾らでも精度よく近似できる．そこで，次の大小関係を満たす2つの自然数p＜qに対して，
【０３２０】
【数１４６】
2017130156.tif 000148
【０３２１】
が成り立つとする．このとき，a,b≠0とすると，原始自己存在比(a/a)・(b/b)＝1であるから，これを省略すると，
【０３２２】
【数１４７】
2017130156.tif 000149
【０３２３】
としてよい．そこで，(147)式の右辺を以下のように展開すると，(122)式より，
【０３２４】
【数１４８】
2017130156.tif 000150
【０３２５】
を得る．なお，(148)式における底の変換は，後述の底の変換定理を用いている．
ここで，θが無理数で0＜θ＜1を満たし，n＝1,2,3,…とし，
【０３２６】
【数１４９】
2017130156.tif 000151
【０３２７】
とするならば，数学的帰納法により，
【０３２８】
【数１５０】
2017130156.tif 000152
【０３２９】
であるから，
【０３３０】
【数１５１】
2017130156.tif 000153
【０３３１】
が成り立つ（ただし，(151)式左辺が動数であるから右辺も動数となる故に，θは動数であると言える．これについては，このあと直ぐに述べよう．）．故に，
【０３３２】
【数１５２】
2017130156.tif 000154
【０３３３】
を得る．よって，(152)式を(145)式に代入すれば，
【０３３４】
【数１５３】
2017130156.tif 000155
【０３３５】
を得る．
【０３３６】
＜補遺＞  静数と動数
(151)式において，極限が出てきたので，ここで，極限とはどのようなモノかを考察しておくこととしよう．
【０３３７】
定義
“有限概念で定義不能な数を動数といい，有限概念で定義可能な数を静数という．”
以上の定義によれば，例えば，有理整数は全て静数であると言い得，無理数は全て動数であると言える．これらを含めて，どのようなモノが静数或いは動数であるか，以下に，簡単な例を示す．
【０３３８】
＃１．動数  “∞”
代表的な動数としては，∞を挙げることが出来る．そこで，∞が何故，動数であると言えるかを証明しよう．
【０３３９】
証明）静的定数，即ち，静数であって且つ定数である最大の数Mが有るとする．すると，∞は如何なる大きな定数に対しても同等以上なのであるから，
【０３４０】
【数１５４】
2017130156.tif 000156
【０３４１】
が成り立つ．そこで，現最大数mに1を加えた数は，
【０３４２】
【数１５５】
2017130156.tif 000157
【０３４３】
である．いま，現最大数が最大数より1だけ小さかったとすると，明らかに，m＋1＝Mが成り立つので，
【０３４４】
【数１５６】
2017130156.tif 000158
【０３４５】
が成り立つ．(156)式の両辺に，1を加えると，
【０３４６】
【数１５７】
2017130156.tif 000159
【０３４７】
が成り立つことになるが，これは，最大数Mより大きな数が存在することになり，不合理である．このような不合理が生じたのは，最大数Mが定数であるとしていることによる．つまり，現最大数であって，それより大きな数が存在することを意味する．つまり，最大数Mは，存在せず，動的な意味で現最大数mなのであって，常に更新され続けるものであると言える．すると，∞とは常に更新され続ける現最大数と同等以上の存在であると言える．
【０３４８】
別証）∞が定数であると仮定する．このとき，最大の数がMであるとすると，
【０３４９】
【数１５８】
2017130156.tif 000160
【０３５０】
が成り立つ．いま，最大の数Mよりも1だけ小さい数をmとすると，
【０３５１】
【数１５９】
2017130156.tif 000161
【０３５２】
であるから，(159)式の両辺に1を加えると，
【０３５３】
【数１６０】
2017130156.tif 000162
【０３５４】
であって，
【０３５５】
【数１６１】
2017130156.tif 000163
【０３５６】
を得る．(161)式は，明らかに，最大の数Mよりも大きな定数が存在することを示しているので，仮定に反し不合理である．このような不合理が生じたのは，最大の数Mが存在すると仮定したからである．従って，最大の数は存在しない．これより，∞は極めて大きな数であるとしてもそれは定数ではないことが示されたと言える．このことから，無限は有限表示では定義不能な数であると考えられるであろう．そこで，次に，それを示そう．
無限「∞」をどんなに大きな正定数mよりも大きな正数Mに対してM≦∞が成り立つものとして定義する．すると，あたかも有限表示によって∞を厳密に定義出来たかのようであるが，実際には，数学的帰納法と極限が必要である．即ち，十分に大きな正定数m1，m2，m3，・・・に対して，
【０３５７】
【数１６２】
2017130156.tif 000164
【０３５８】
が成り立つとする．(162)式より，明らかに，
【０３５９】
【数１６３】
2017130156.tif 000165
【０３６０】
であって，また，n＝k＋1として，
【０３６１】
【数１６４】
2017130156.tif 000166
【０３６２】
が成り立つ．k＋1＝Nとすれば，明らかに，
【０３６３】
【数１６５】
2017130156.tif 000167
【０３６４】
であって，(165)式の最右辺より左側の不等式によって規定される数列は，急速に増大する，明らかに収束しない発散数列である．しかしながら，有限項の数列では最大値を有するので，Nとしては，自然数を極限まで大きくとる必要があるものの，どれだけ大きな自然数であってもそれより大きな自然数が存在することより，極限まで大きな自然数を採ることは可能である．ただし，Mを定数とするとどれだけ大きな定数であってもそれを越える定数は存在するので，Mは定数ではないと言える．故に，無限は定数ではない．また，仮定より，
【０３６５】
【数１６６】
2017130156.tif 000168
【０３６６】
が言える．しかし，これは循環代入，
【０３６７】
【数１６７】
2017130156.tif 000169
【０３６８】
となって際限が無い形式であり，有限形式の表示ではないと言える．従って，Mは動数である．また，これは，
【０３６９】
【数１６８】
2017130156.tif 000170
【０３７０】
であるから，明らかに，M＝∞が成り立つと言える．これより，∞は静数ではなく，動数であると言える．
【０３７１】
＃２．動数  “無理整数”
従来は，例えば，
【０３７２】
【数１６９】
2017130156.tif 000171
【０３７３】
のような形式を多用している．これらのような極限の思想を用いて表される，これまでの極限値は，一般的な数として扱われて来ている，しかし，これに基づけば，動数をμN，静数をζNと置いたなら，
【０３７４】
【数１７０】
2017130156.tif 000172
【０３７５】
が成り立つということを意味することになる．しかしながら，(170)式左辺は動的であって，1点に定まったモノではなく，右辺は静的であって，1点に定まったモノであり，これは明らかに等価でなく，不合理である．故に，
【０３７６】
【数１７１】
2017130156.tif 000173
【０３７７】
が成り立つ．
【０３７８】
ところで，Richard Dedekindの切断によれば，実数連続体を有理整数点で切断すれば，一方には，最小値（又は最大値）として有理整数が含まれ，他方には最大値（又は最小値）が存在しない端部を含む，２つ実数連続体片に分かれる．つまり，後者の実数連続体片には，最大値（又は最小値）が存在しないから，切断点である或る有理整数値にどこまでも接近する極限値としての端部が存在することになるが，勿論，この端部と，切り離された相手側の実数連続体片の最小値との間には，大小関係が成り立つ．このことから，明らかに，以下の如くの関係，
【０３７９】
【数１７２】
2017130156.tif 000174
【０３８０】
【数１７３】
2017130156.tif 000175
【０３８１】
【数１７４】
2017130156.tif 000176
【０３８２】
【数１７５】
2017130156.tif 000177
【０３８３】
【数１７６】
2017130156.tif 000178
【０３８４】
【数１７７】
2017130156.tif 000179
【０３８５】
が成り立つ．これら(172)〜(177)式のように，極限を用いて表される整数を無理整数ということとし，(172)〜(177)式の例のように表記するものとする．
以上を用いれば，
【０３８６】
【数１７８】
2017130156.tif 000180
【０３８７】
【数１７９】
2017130156.tif 000181
【０３８８】
【数１８０】
2017130156.tif 000182
【０３８９】
【数１８１】
2017130156.tif 000183
【０３９０】
などが示される．
【０３９１】
§１５．第七演算  〜対数の諸定理〜
＃１．特殊加法定理
(127)式の左辺を，
【０３９２】
【数１８２】
2017130156.tif 000184
【０３９３】
で置き換えると，
【０３９４】
【数１８３】
2017130156.tif 000185
【０３９５】
となって，加法展開が可能であることを示唆している．つまり，
【０３９６】
【数１８４】
2017130156.tif 000186
【０３９７】
を得る．
序でながら，(184)式を整理すると，
【０３９８】
【数１８５】
2017130156.tif 000187
【０３９９】
更に，整理を進めると，
【０４００】
【数１８６】
2017130156.tif 000188
【０４０１】
となるが，a≠0ならば，loga(a)＝1であるから，(186)式は，
【０４０２】
【数１８７】
2017130156.tif 000189
【０４０３】
これより，
【０４０４】
【数１８８】
2017130156.tif 000190
【０４０５】
を得る．勿論，a＝0のとき，(185)〜(187)式におけるcはc＝0なる上，loga(a)＝0であるから，(188)式は，a＝0の場合にも成り立つと言える．
【０４０６】
＃２．逆底変換の定理
真数a≠0に対して，底を非負実数aを用いてa-1で与えられるとき，
【０４０７】
【数１８９】
2017130156.tif 000191
【０４０８】
【数１９０】
2017130156.tif 000192
【０４０９】
が成り立つ．
【０４１０】
＃３．逆真数変換の定理
a≠0に対する真数a-1に対して，非負実数aを底としてa-1，
【０４１１】
【数１９１】
2017130156.tif 000193
【０４１２】
が成り立つ．
【０４１３】
＃４．準真数1の対数の解
【０４１４】
【数１９２】
2017130156.tif 000194
【０４１５】
＃５．底の変換定理
定理  非負実数a,b,cについて，(a/a)・bがaでn回除して収束値0又は1に達し，(a/a)・(c/c)aがcでm回除して収束値0又は1に達するならば，(a/a)・(c/c)・bはcでn×m回除して収束値0又は1に達する．
【０４１６】
証明  仮定より，
【０４１７】
【数１９３】
2017130156.tif 000195
【０４１８】
また，
【０４１９】
【数１９４】
2017130156.tif 000196
【０４２０】
であるから，(193)式と(194)式より，
【０４２１】
【数１９５】
2017130156.tif 000197
【０４２２】
これを整理すると，冪除算と対数の定義より，
【０４２３】
【数１９６】
2017130156.tif 000198
【０４２４】
が成り立つ．従って，(193)，(194)，(195)式より，
【０４２５】
【数１９７】
2017130156.tif 000199
【０４２６】
を得る．ただし，cはaの存在性に連動してその存在の有無が規定されることから，
【０４２７】
【数１９８】
2017130156.tif 000200
【０４２８】
が成り立つように，cを決定する必要がある．つまり，(198)式を満たすならば，(197)式の左辺と右辺より，
【０４２９】
【数１９９】
2017130156.tif 000201
【０４３０】
を得る．ここで，(199)式が(198)を満たすことから
【０４３１】
【数２００】
2017130156.tif 000202
【０４３２】
と略記できる．
【０４３３】
＃６．一般加法定理
或る数α，βが，非負実数で，非負実数aを底とするとき，
【０４３４】
【数２０１】
2017130156.tif 000203
【０４３５】
が成り立つ．
【０４３６】
証明）準真数bが，
【０４３７】
【数２０２】
2017130156.tif 000204
【０４３８】
で与えられ，或る数α，βが，
【０４３９】
【数２０３】
2017130156.tif 000205
【０４４０】
と表され，また便宜上，
【０４４１】
【数２０４】
2017130156.tif 000206
【０４４２】
が成り立つとする（勿論，これは便宜上の関係式であって，一般には，この成立は必要条件ではないことに注意を要する．）．このとき，
【０４４３】
【数２０５】
2017130156.tif 000207
【０４４４】
であるから，
【０４４５】
【数２０６】
2017130156.tif 000208
【０４４６】
が成り立つ．ただし，底の存在性に関し，
【０４４７】
【数２０７】
2017130156.tif 000209
【０４４８】
を用いているが，この細胞分裂のような関係を表す(207)式を用いて，(206)式のように展開することは必須不可欠であり，これ無くすれば，矛盾が生じる．つまり，これは，原理であると言ってよい．
【０４４９】
＃７．準真数b＝aθ（0≦θ＜1）の対数算
1より大きな或る有理数ωを用いて，
【０４５０】
【数２０８】
2017130156.tif 000210
【０４５１】
とする．すると，
【０４５２】
【数２０９】
2017130156.tif 000211
【０４５３】
を満たすNは，N＝ωであるから，
【０４５４】
【数２１０】
2017130156.tif 000212
【０４５５】
である．従って，
【０４５６】
【数２１１】
2017130156.tif 000213
【０４５７】
であるから，
【０４５８】
【数２１２】
2017130156.tif 000214
【０４５９】
と整理される．また，
【０４６０】
【数２１３】
2017130156.tif 000215
【０４６１】
であるから，(213)式の末尾の等式の両辺をωで除すると，
【０４６２】
【数２１４】
2017130156.tif 000216
【０４６３】
を得る．これより，
【０４６４】
【数２１５】
2017130156.tif 000217
【０４６５】
を得る．そこで，この辺々に，
【０４６６】
【数２１６】
2017130156.tif 000218
【０４６７】
を乗じると，
【０４６８】
【数２１７】
2017130156.tif 000219
【０４６９】
が成り立つことが判る．なお，この一連の対数算において，(213)式では，一般加法定理を用いて式の展開を行った．
さて，(215)式を(145)式に代入すれば，
【０４７０】
【数２１８】
2017130156.tif 000220
【０４７１】
を得る．従って，(217)式までの展開を用いれば，一般に，省略表記として，
【０４７２】
【数２１９】
2017130156.tif 000221
【０４７３】
が成り立つと言える．
よって，ケース＃７より，cを正整数，0≦θ＜1として，
(a≠0 or 1, b＝a c＋θ,x)⇒(a≠0 or 1, b＝a c＋θ, c＋θ)
である．
【０４７４】
＃８．一般真数指数の定理
底aに対して，準真数がbdで与えられる場合，
【０４７５】
【数２２０】
2017130156.tif 000222
【０４７６】
とおける．ここで，一般加法定理を用いると，
【０４７７】
【数２２１】
2017130156.tif 000223
【０４７８】
を得る．
【０４７９】
＃９．対数の連分数展開
定理  非負正数n1，n2，・・・，nk-1，nkと，0＜ak+1＜ak＜・・・＜a2＜a1を満たす実数ajとに対して，
【０４８０】
【数２２２】
2017130156.tif 000224
【０４８１】
が成り立つならば，
【０４８２】
【数２２３】
2017130156.tif 000225
【０４８３】
が成り立つ．ただし，j → kとする．
【０４８４】
証明  仮定より，j＝1のとき，
【０４８５】
【数２２４】
2017130156.tif 000226
【０４８６】
となる．従って，これを与式の左辺に代入すれば，
【０４８７】
【数２２５】
2017130156.tif 000227
【０４８８】
であって，定義より，
【０４８９】
【数２２６】
2017130156.tif 000228
【０４９０】
を得る．ここで，定義より底の変換を施すと，
【０４９１】
【数２２７】
2017130156.tif 000229
【０４９２】
を得る．仮定より，j＝2のとき，
【０４９３】
【数２２８】
2017130156.tif 000230
【０４９４】
となる．(228)式を(227)式に代入すると，
【０４９５】
【数２２９】
2017130156.tif 000231
【０４９６】
であるから，定義より，
【０４９７】
【数２３０】
2017130156.tif 000232
【０４９８】
を得るので，定義より底の変換を施すと，
【０４９９】
【数２３１】
2017130156.tif 000233
【０５００】
を得る．以下，j回同様の操作をすることで，
【０５０１】
【数２３２】
2017130156.tif 000234
【０５０２】
を得る．ここで，j→kとすることが可能であるから定理は証明された．□
【０５０３】
§１６．対数算（冪除算）と指数算（冪乗算）の主値
【０５０４】
【表１】
2017130156.tif 000235
【０５０５】
【表２】
2017130156.tif 000236
【０５０６】
表１の左側のテーブルは，
【０５０７】
【数２３３】
2017130156.tif 000237
【０５０８】
と置いたとき，xとyの関係は，定数aがa＝0のとき，明らかに全射であるが，単射でない．従って，表１右側のテーブルとの間においては，a＝0のとき，逆関数の関係が成り立たないことが判る．他方，表２右側のテーブルは，
【０５０９】
【数２３４】
2017130156.tif 000238
【０５１０】
と置いてみたとき，xとyの関係は，定数aがa＝0,1のとき，明らかに全射であるが，単射でない．従って，左下のテーブルとの間においては，a＝0,1のとき，逆関数の関係が成り立たないことが判る．
【０５１１】
更に，表１左側と表１右側のテーブルを比較するとき，表１左側のb＝0の欄には，対応するcの値として，全ての定数aについて解が存在するが，表１右側のテーブルでは，a＝0において解が存在するものの，a≠0については解が存在せず，表１における左右のテーブル間で逆関係が成り立っていない．これは，緑色字記載の欄でも同様である．逆に，朱字記載欄は全て，全単射が成り立ち，従って，逆関数関係が成立することが判る．そこで，朱字記載の対応値を，冪乗算と冪除算の主値と呼ぶものとすると，冪乗算と冪除算は主値において逆演算関係が成り立つと言える．また，主値を通じて逆演算関係が成り立つことを，準完全逆演算関係にあるという．なお，テーブルの緑色字及び青色字記載の値は，独立値であるという．つまり，緑字記載の値をとる場合には，逆関数としての範疇ではその最左欄の朱字記載の主値を採る．また，なお，表１右側のテーブルのa≠0でb＝0のとき，N/A（解無し）となるのは，
【０５１２】
【数２３５】
2017130156.tif 000239
【０５１３】
としたとき，従来では，
【０５１４】
【数２３６】
2017130156.tif 000240
【０５１５】
と考えてきているが，(236)式の最右の等式関係は，左辺が動数であるのに対して，右辺が静数であるから，等式関係が成り立たず，実際には，(172)式から，
【０５１６】
【数２３７】
2017130156.tif 000241
【０５１７】
が成り立ち，従って，(235)を満たすxが存在しないことから，当該欄は，解無しとなる．
【０５１８】
§１７．演算同士の関係ダイアグラム
従来数学の基礎の発展のルートは，足し算に始まり，足し算の逆演算として引き算が定義付けられ，序で，足し算の発展系として掛け算が考え出され，そして掛け算の逆演算として，割り算が定義付けられるというものであったと言ってよいであろう．そして，掛け算の発展系として考え出されたのが指数（算）であり，更には，指数（算）の逆演算として，対数（算）が定義付けられたと言えるであろう．つまり，従来のルートにおいては，引き算や割り算，対数（算）は，独立的に存在するモノではなく，あくまでも加法ルートの各所における逆の存在として定義され，発生的ではなく，人為的感のあるルートである．
【０５１９】
しかしながらこれまでに本論において見てきた通り，減算や除算，冪除算等は，本来，加法ルートの逆演算として定義されるものではなく，減算は足し算や加法とは独立に定義されるモノであり，減算の上に，除算があって，更に，除算の上に冪除算が減法ルートとして存在しているのである．勿論，従来の加法ルートは，それはそれで独立に存在することになるのであって，各々に対応する演算どうしの関係は，逆演算として関係付け，延いては導出することが可能である．そして，これらの演算関係は，存在算という演算概念が根底を成していたのである．これらの関係を直感的に表示したのが，次に示す七則演算関係ダイアグラムである．このダイアグラムによれば，減法ルートの存在が実在することが直感的且つ容易に理解出来るであろう．
【０５２０】
論後
本七則演算論は，その体系構築に当たって参考とした文献数はゼロである．強いて言うならば，筆者が2014年3月18日付けで遺した可減集合論が挙げられようか．
【０５２１】
さて，本論によれば，零元は，原始自己存在比によって規定され，単位元も原始自己存在比によって規定される．原始自己存在比は，存在算によって演算され，その演算は、除算である．そして，除算は，減算によって規定される．減算は，1を生じ，また0を生じる．減算は，負数を生じ，負数は逆数を生じ，負数は虚数を生じる．また，減算は，差分を生じ，そして，微分を生じる．世界は，減じることでも拡がってゆくのである．そして，演算体系というものが，減算系を中心とした源流によって成立している事実に，気が付いたとき，演算体系というものが，加算系ルートと減算系ルートとがそれぞれ独立的に存在し得，またその間を繋ぐのが，双方から渡ることが出来る逆演算という連絡橋であることが見て取れるのである．しかし，これまで七則演算論前の数学が築いてきた連絡橋は些か不完全なものであった．その橋は，加算ルートからしか渡ることが出来ず，また全てのモノが渡れた訳ではなく，本質的には渡れるモノも渡ってはならないモノとして永らく誤解されて来た．その誤解とは，0で割るというモノであるが，この演算は乗算側から除算側に向かって一方的に架かっている橋の上を渡ることは出来なかったのである．
ところで，本論における成果はと何かを概観するため，それを以下に列挙しよう．
【０５２２】
１．原始自己存在比
２．存在算
３．0/0＝0
４．a/0＝0
５．00＝0
６．一般逆数
７．完全逆演算関係
８．除算の厳密な逆関数としての加乗算
９．冪除算の構築
１０．冪除算の収束値の発見
１１．静数と動数
１２．∞が動数に分類されること
１３．無理整数の発見
１４．指数表示との関係を用いない対数の底の変換
１５．対数の連分数展開
１６．対数の諸定理の冪除算のみを用いた導出による対数算の指数算からの独立性の立証
１７．log0＝0
１８．準完全逆演算関係
１９．対数と指数の主値
２０．七則演算間の関係とそのダイアグラムによる視覚化
【０５２３】
以上が代表的な成果であって，全く筆者が独自に見出したものである．が，しかしながら最大の成果は，零元の生成に始まり，単位元の生成を経つつ，数体系とそれらの間に成り立つ基本的な七つの演算関係の体系を全く矛盾の無い形で極めて初等的に構築したことであり，従前の数体系の曖昧さや矛盾を取り除き，誤りを正し，自然な拡張を与えたことであるといえようか．
【０５２４】
七則演算処理及び七則演算処理プログラム
以上に説明したとおり，七則演算論の本質は，或る変数aを考えるとき，先ず初めに，変数aの原始自己存在比a/aを演算処理し，これに付帯する数との積を算出することに在る．これは，例えば，変数a自体を求める場合には，原始自己存在比a/aと自身aとの一重積(a/a)×aによって算出される．また，別の例としては，aの2乗を算出する場合，原始自己存在比a/aと自身aとの二重積(a/a)×a×aによって算出される．同様にして，aのn乗を算出する場合，原始自己存在比a/aと自身aとのn重積(a/a)×a×a×…×aという，原始自己存在比a/aに対する変数a自身のn回の積によって算出される．勿論，このとき，n＝0ならば，原始自己存在比a/aに対して，変数a自身を乗じる回数は0回となるため，この解は，原始自己存在比a/aそのものとなる．なお，aの逆数に係る計算を実行する場合にもaの逆数，即ち，a-1は変数aの原始自己存在比a/aを乗じて成る積を算出することで演算処理を実行する．更に，別の例として，変数aと変数bとの積を計算しようとする場合には，変数aの原始自己存在比a/aと，変数bの原始自己存在比b/bとを演算処理することが好ましく，(a/a)×a×(b/b)×bを演算処理する．このとき，計算手順は，必ずしも左側から右側に向かって演算処理しなければならないというモノではなく，順序の交換を行ってもよい．ただし，例えば，変数aを底とし，且つ，変数bを準真数とする対数算（冪除算）の演算処理を実行する場合には， 先ず，変数aの原始自己存在比a/aと準真数たる変数bとの積を以て，真数(a/a)×bとすることが必要である．勿論，既に説明したように，これらの如くの存在算において，変数a＝0のとき，その原始自己存在比a/aの解としては，0を返し，変数a≠0のとき，その原始自己存在比a/aの解として1を返すようにプログラムを構成することは言うまでもない。このとき，原始自己存在比a/aについての演算処理は，可減集合論的除算処理を用いたプログラムとする．
【図１】
2017130156.tif 000242