(57)【要約】【課題】無線送信に用いる重み行列の演算量を低減すること。【解決手段】重み行列生成部１１１は、送信先の通信装置１２０と異なる通信装置１２と通信装置１１０との間のチャネル状態を示すチャネル行列に基づく第１方程式の解行列の固有値についての第２方程式に基づいて固有値を算出する。そして、重み行列生成部１１１は、算出した固有値に基づいて解行列の固有ベクトルを算出し、算出した固有値および固有ベクトルに基づいて重み行列を生成する。乗算部１１２は、重み行列生成部１１１によって生成された重み行列で重み付けした信号を複数のアンテナ１１３，１１４によって送信先の通信装置１２へ無線送信する。【選択図】図１
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
送信先の通信装置と異なる通信装置と自装置との間のチャネル状態を示すチャネル行列に基づく第１方程式の解行列の固有値についての第２方程式を用いて前記固有値を算出し、算出した前記固有値に基づいて前記解行列の固有ベクトルを算出し、算出した前記固有値および前記固有ベクトルに基づいて複数のアンテナに対応する重み行列を生成する生成部と、
前記生成部によって生成された前記重み行列で重み付けした信号を前記複数のアンテナにより前記送信先の通信装置へ無線送信する送信部と、
を備えることを特徴とする通信装置。
【請求項２】
前記生成部は、前記解行列を算出せずに、算出した前記固有値および前記固有ベクトルに基づいて前記重み行列を生成することを特徴とする請求項１に記載の通信装置。
【請求項３】
前記生成部は、算出した前記固有値および前記固有ベクトルに基づいて生成した行列の各要素のうち、前記要素に含まれる前記固有値の絶対値が１より小さい要素群と、前記要素に含まれる前記固有値の絶対値が１より大きい要素群と、をそれぞれ直交化し、直交化した各要素群を並べることにより前記重み係数を生成することを特徴とする請求項２に記載の通信装置。
【請求項４】
送信先の通信装置と異なる通信装置と自装置との間のチャネル状態を示すチャネル行列に基づく第１方程式の解行列の固有値についての第２方程式を用いて前記固有値を算出し、
算出した前記固有値に基づいて前記解行列の固有ベクトルを算出し、
算出した前記固有値および前記固有ベクトルに基づいて複数のアンテナに対応する重み行列を生成し、
生成した前記重み行列で重み付けした信号を前記複数のアンテナにより前記送信先の通信装置へ無線送信する、
ことを特徴とする通信方法。
【請求項５】
他の通信装置と自装置との間のチャネル状態を示すチャネル行列に基づく第１方程式の解行列の固有値についての第２方程式を用いて前記固有値を算出し、算出した前記固有値に基づいて前記解行列の固有ベクトルを算出し、算出した前記固有値および前記固有ベクトルに基づいて複数のアンテナに対応する重み行列を生成し、生成した前記重み行列で重み付けした信号を前記複数のアンテナにより無線送信する第１通信装置と、
前記他の通信装置と異なる通信装置であって、前記第１通信装置によって無線送信された信号を受信する第２通信装置と、
を含むことを特徴とする通信システム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、通信装置、通信方法および通信システムに関する。
【背景技術】
【０００２】
従来、第３世代移動通信システム（３Ｇ）、第３．９世代移動通信システムに対応するＬＴＥ、第４世代移動通信システムに対応するＬＴＥ−Ａｄｖａｎｃｅｄ、第５世代移動通信システム（５Ｇ）などの移動通信システムが知られている。ＬＴＥはＬｏｎｇ  Ｔｅｒｍ  Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎの略である。
【０００３】
また、単一重み行列を所定の規則に応じて選んだプリ符号化重み行列を利用して入力されるシンボル列をプリ符号化し、得られたシンボル列を送信する周波数空間符号化技術が知られている（たとえば、下記特許文献１参照。）。
【０００４】
また、ファンデルモンド行列によって信号を重み付けして無線送信するＶＦＤＭ（Ｖａｎｄｅｒｍｏｎｄｅ−ｓｕｂｓｐａｃｅ  Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ  Ｄｉｖｉｓｉｏｎ  Ｍｕｌｔｉｐｌｅｘｉｎｇ）が知られている。また、複数の受信アンテナを用いる通信システムに干渉しないように、ブロック単位でのファンデルモンド行列によって信号を重み付けして複数の送信アンテナにより無線送信する拡張ＶＦＤＭが知られている（たとえば、下記非特許文献１参照。）。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００５】
【特許文献１】特表２００８−５０３１５０号公報
【非特許文献】
【０００６】
【非特許文献１】Ｔ．Ｈａｓｅｇａｗａ、“Ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ  Ｍｕｌｔｉ−Ａｎｔｅｎｎａ  Ｅｘｐａｎｓｉｏｎ  Ｍｅｔｈｏｄ  ｆｏｒ  Ｖａｎｄｅｒｍｏｎｄｅ−Ｓｕｂｓｐａｃｅ  Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ  Ｄｉｖｉｓｉｏｎ  Ｍｕｌｔｉｐｌｅｘｉｎｇ  ｆｏｒ  ５Ｇ  Ｎｅｗ  Ｗａｖｅｆｏｒｍ”、ＰＩＭＲＣ、２０１５年８月３０日
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００７】
しかしながら、上述した従来技術では、多変数の連立非線形方程式を解いて拡張ＶＦＤＭの重み行列を生成するため、たとえば拡張ＶＦＤＭにおいて用いられる送信アンテナの数やマルチパスの数が多くなると、重み行列の演算量が多くなる場合がある。
【０００８】
１つの側面では、本発明は、無線送信に用いる重み行列の演算量を低減することができる通信装置、通信方法および通信システムを提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００９】
上述した課題を解決し、目的を達成するため、本発明の一側面によれば、送信先の通信装置と異なる通信装置と自装置との間のチャネル状態を示すチャネル行列に基づく第１方程式の解行列の固有値についての第２方程式を用いて前記固有値を算出し、算出した前記固有値に基づいて前記解行列の固有ベクトルを算出し、算出した前記固有値および前記固有ベクトルに基づいて複数のアンテナに対応する重み行列を生成し、生成した前記重み行列で重み付けした信号を前記複数のアンテナにより前記送信先の通信装置へ無線送信する通信装置、通信方法および通信システムが提案される。
【発明の効果】
【００１０】
本発明の一側面によれば、無線送信に用いる重み行列の演算量を低減することができるという効果を奏する。
【図面の簡単な説明】
【００１１】
【図１】図１は、実施の形態１にかかる通信システムの一例を示す図である。
【図２】図２は、実施の形態１にかかる行列Ｚの解行列の一成分の収束の一例を示す図である。
【図３】図３は、実施の形態１にかかる通信装置の重み行列生成部の一例を示す図である。
【図４】図４は、実施の形態１にかかる固有値算出部の一例を示す図である。
【図５】図５は、実施の形態１にかかる通信装置による重み行列演算処理の一例を示すフローチャートである。
【図６】図６は、実施の形態１にかかる通信装置の一例を示す図である。
【図７】図７は、実施の形態１にかかる通信装置のハードウェア構成の一例を示す図である。
【図８】図８は、実施の形態２にかかる通信装置の重み行列生成部の一例を示す図である。
【図９】図９は、実施の形態２にかかる通信装置による重み行列演算処理の一例を示すフローチャートである。
【図１０】図１０は、実施の形態３にかかる通信装置の重み行列生成部の一例を示す図である。
【図１１】図１１は、実施の形態３にかかる通信装置によりグループ分けした場合の送信重みの一例を示す図である。
【図１２】図１２は、実施の形態３にかかる通信装置による固有値の算出結果の一例を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００１２】
以下に図面を参照して、本発明にかかる通信装置、通信方法および通信システムの実施の形態を詳細に説明する。
【００１３】
（実施の形態１）
（実施の形態１にかかる通信システム）
図１は、実施の形態１にかかる通信システムの一例を示す図である。図１に示すように、実施の形態１にかかる通信システム１００は、１次システムである通信システム１０と共存する２次システムである。通信システム１０は、通信装置１１，１２を含む。通信システム１０においては、たとえば、通信装置１１から通信装置１２へ、少なくとも受信側において複数のアンテナを用いた受信ダイバーシチによる無線送信が行われる。通信装置１１から通信装置１２への無線送信には、たとえばＯＦＤＭ（Ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ  Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ  Ｄｉｖｉｓｉｏｎ  Ｍｕｌｔｉｐｌｅｘｉｎｇ：直交周波数分割多重）などを用いることができる。
【００１４】
通信システム１００は、通信装置１１０，１２０を含む。通信システム１００においては、たとえば、通信装置１１０から通信装置１２０（送信先）へ、拡張ＶＦＤＭによる無線送信が行われる。拡張ＶＦＤＭは、送信信号をファンデルモンド行列により重み付けして無線送信するＶＦＤＭを、通信システム１０において複数の受信アンテナを用いた受信ダイバーシチが行われる場合においても利用可能なように拡張した方式である。すなわち、拡張ＶＦＤＭは、ＶＦＤＭをＭＩＭＯ（Ｍｕｌｔｉｐｌｅ  Ｉｎｐｕｔ  Ｍｕｌｔｉｐｌｅ  Ｏｕｔｐｕｔ：多元入力多元出力）に拡張した方式である。拡張ＶＦＤＭには、たとえばＯＦＤＭなどを用いることができる。
【００１５】
拡張ＶＦＤＭにおいては、通信システム１０の受信アンテナの数以上の数の送信アンテナを用いる。図１に示す例では、通信システム１０の受信アンテナは２個であり、通信システム１００の送信アンテナも２個である。これにより、通信システム１０において複数の受信アンテナを用いた受信ダイバーシチが行われる場合においても、チャネル行列Ｈとほぼ直交する重み係数を得ることができる。チャネル行列Ｈは、通信装置１１０から通信装置１２へのチャネル状態を示す行列である。
【００１６】
通信装置１１０は、たとえば、重み行列生成部１１１と、乗算部１１２と、アンテナ１１３，１１４と、を備える。重み行列生成部１１１には、チャネル行列Ｈが入力される。たとえば、チャネル行列Ｈは、通信装置１２からの無線信号の通信装置１１０における受信結果に基づいて通信装置１１０において算出することができる。または、チャネル行列Ｈは、通信装置１１０からの無線信号の通信装置１２における受信結果に基づいて通信装置１２において算出し、算出したチャネル行列Ｈを通信装置１１０へ通知したものであってもよい。
【００１７】
重み行列生成部１１１は、入力されたチャネル行列Ｈとほぼ直交する拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを生成し、生成した拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを乗算部１１２へ出力する。たとえば、重み行列生成部１１１は、チャネル行列Ｈに基づく第１方程式の解行列の固有値についての第２方程式を解くことによって、第１方程式の解行列の固有値を算出する。第１方程式はたとえば下記（４）式である。第２方程式はたとえば下記（３７）式である。
【００１８】
そして、重み行列生成部１１１は、算出した固有値に基づいて、第１方程式の解行列の固有ベクトルを算出する。つぎに、重み行列生成部１１１は、算出した第１方程式の解行列の固有値および固有ベクトルに基づいて、第１方程式の解行列を算出する。そして、重み行列生成部１１１は、算出した解行列に基づいて拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを生成する。
【００１９】
乗算部１１２およびアンテナ１１３，１１４は、重み行列生成部１１１（生成部）によって生成された拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗで重み付けした送信信号ｘをアンテナ１１３，１１４によって通信装置１２０へ無線送信する送信部である。たとえば、乗算部１１２は、通信装置１２０へ送信すべき送信信号ｘに対して、重み行列生成部１１１から出力された拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを左側から乗算することにより送信信号ｘの重み付けを行う。そして、乗算部１１２は、重み付けを行った送信信号を、拡張ＶＦＤＭの信号として通信装置１２０へ無線送信する。
【００２０】
通信装置１２０は、通信装置１１０から受信した信号に基づいて、拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗと、通信装置１１０と通信装置１２０との間のチャネル状態を示すチャネル行列Ｈ0と、の積Ｈ0Ｗを推定する。そして、通信装置１２０は、推定した積Ｈ0Ｗに基づいて送信信号ｘを再生する。
【００２１】
通信装置１１０と通信装置１２との間のチャネル行列Ｈは、たとえば下記（１）式のように表すことができる。下記（１）式においてＡ，Ｂ，Ｃはそれぞれ２×２行列である。すなわち、チャネル行列Ｈは、２×２行列であるＡ，Ｂ，Ｃを要素とする行列によって表すことができる。
【００２２】
【数１】
2017157955.tif 000003
【００２３】
このため、下記（２）式のようなＸ（２×２行列）についての方程式の解Ｓ，Ｔ（それぞれ２×２行列）が得られると、下記（３）式のようにＳ，Ｔに基づくＳ0〜Ｓ4，Ｔ0〜Ｔ4を要素とするファンデルモンド行列がチャネル行列Ｈとほぼ直交する。ただし、Ｓ，Ｔはそれぞれ２×２行列であるため、このファンデルモンド行列はブロック単位でのファンデルモンド行列（拡張ファンデルモンド行列）である。すなわち、このファンデルモンド行列は、解行列（Ｓ，Ｔ）を公比とする等比数列の各重み行列（Ａ，Ｂ，Ｃ）を順に並べたブロック重み行列である。
【００２４】
【数２】
2017157955.tif 000004
【００２５】
【数３】
2017157955.tif 000005
【００２６】
したがって、通信装置１１０において、このブロック単位のファンデルモンド行列を送信信号ｘの左側に乗算することで重み付けして無線送信を行うことで、通信システム１０に干渉せずに通信装置１１０から通信装置１２０への無線送信を行うことができる。
【００２７】
上記（２）式は、行列係数の行列多項式の方程式（多変数の非線形連立方程式）であり、たとえば多変数関数のニュートン法による反復解法で解くことができる。
【００２８】
ここで、参考として、上記（２）式の行列係数の行列多項式を直接解いてＸの解Ｓ，Ｔを求める場合について説明する。上記（２）式の行列多項式の解は、拡張ＶＦＤＭの重み算出のためには不要な（あるいは冗長な）解を多数含むことから、全ての解を求めると演算量的に無駄が多い。
【００２９】
そこで、たとえば、必要十分な解を得るために解行列から固有値を求めて解行列とともに蓄積し、十分な数の固有値が得られた時点で蓄積した解行列から最終的な拡張ＶＦＤＭ用の重み行列を生成することが考えられる（上記非特許文献１）。この場合に、たとえば、下記（４）式のような行列係数の行列多項式をニュートン法で解く。
【００３０】
【数４】
2017157955.tif 000006
【００３１】
上記（４）式は、Ｍ×Ｍ行列のＺの多項式である。Ｍは、通信システム１０の受信アンテナ数（＝通信システム１００の送信アンテナ数）である。Ｌは（マルチパスの数−１）である。上記（４）式によりニュートン法の反復演算を一回行う際の乗算数は、２ＬＭ3＋Ｌ（Ｌ＋３）Ｍ5／２＋Ｍ6／３回となる。特にＭの次数が大きいことから、通信システム１０の受信アンテナ数（＝通信システム１００の送信アンテナ数）が大きくなるほど演算量が増大することがわかる。このように、従来の拡張ＶＦＤＭにおいては、ある程度の効率化はできるが、行列係数の行列多項式をニュートン法で解く時点で多くの演算を要する。
【００３２】
これに対して、実施の形態にかかる通信装置１１０は、拡張ＶＦＤＭにおけるチャネル行列Ｈとほぼ直交する重みを求めるための上記（４）式の連立方程式を、この連立方程式の解行列の固有値の多項式に変形し、先に固有値を求めることで演算量を低減する。この場合に、固有ベクトルは後から求めることになるため、その演算が追加されているが、固有値の算出に比べれば演算量は小さいため、重みを求めるための演算の全体としては演算量を低減することができる。
【００３３】
たとえば、通信装置１１０は、移動体通信システムにおける基地局に適用することができる。この場合は、通信装置１２０はたとえば端末に適用することができる。ただし、このような構成に限らず、たとえば、通信装置１１０を端末に適用し、通信装置１２０を基地局に適用してもよい。
【００３４】
ＶＦＤＭの一般的な表式について説明する。２次システムの送信アンテナがＮTX本、１次システムの送信アンテナをＮRX本とするとき、ＮTX≧ＮRXであれば同様の議論が成立する。このとき、通信装置１１０（２次システム）から通信装置１２（１次システム）でのチャネル状態を示すチャネル行列Ｈは、たとえば下記（５）式のように表記できる。
【００３５】
【数５】
2017157955.tif 000007
【００３６】
Ｎをアンテナあたりの受信シンボル数（たとえばＯＦＤＭシンボルの長さに相当）とすると、ＨはＮＮRX行（Ｎ＋Ｌ−１）ＮTX列の行列で、ＣiはＮRX行ＮTX列の行列となり、これが直交重みを求めるための式の係数行列になる。以下ではＮRX＝ＮTX＝Ｍとする。直交重みを求めるための連立方程式は、たとえば下記（６）式により表記できる。
【００３７】
【数６】
2017157955.tif 000008
【００３８】
ここで、ＺはＮRX行ＮTX列の行列である。たとえば上記（６）式において、Ｚの解としてＬ個の解（Ａ1〜ＡL）が見つかったとすると、たとえば下記（７）式に示す行列の各列が直交重みとなる。すなわち、Ｍ×Ｌ個の直交重みが得られる。下記（７）式に示すように、拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗは、Ｚの解行列（Ａ1〜ＡL）を公比とする等比数列の各行列を順に並べたブロック行列である。また、ＺはＮRX行ＮTX列の行列であるため、拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗは、通信装置１１０の各送信アンテナおよび通信装置１２の各受信アンテナに対応する行列を要素とする重み行列である。
【００３９】
【数７】
2017157955.tif 000009
【００４０】
つぎに、複数アンテナに拡張したＶＦＤＭに向けたニュートン法の実装方式について説明する。まず、多変数のニュートン法について説明する。ニュートン法では解きたい非線形連立方程式を、たとえば下記（８）式のように表記する。
【００４１】
【数８】
2017157955.tif 000010
ここで、ｗは、下記（９）式のような多変数の縦ベクトル（Ｔは転置記号）である。
【００４２】
【数９】
2017157955.tif 000011
また、ｆは、下記（１０）式のようにベクトルｗを引数に取る関数ベクトルである。
【００４３】
【数１０】
2017157955.tif 000012
【００４４】
多変数のニュートン法では、ベクトルｗの初期値としてｗ(0)を用いて、たとえば下記（１１）式を繰り返し演算することで、初期値の付近にある解に収束させる。
【００４５】
【数１１】
2017157955.tif 000013
【００４６】
ここで、Ｊはヤコビ行列であり、ヤコビ行列Ｊの要素Ｊijはたとえば下記（１２）式で得られる。
【００４７】
【数１２】
2017157955.tif 000014
【００４８】
すなわち、ニュートン法を用いるためにはｆの導関数を求めることを要する。
【００４９】
上記（４）式は、複数アンテナに拡張したＶＦＤＭで直交重みを求めるための、上記（６）式の連立方程式の左辺の式をＳ（Ｚ）としたものである。
【００５０】
上記（４）式において、Ｚは未知数を要素に持つ行列であり、行列Ｚの要素Ｚijが上記（９）式のベクトルの要素のどれかに対応する。また、Ｃiは各次数における係数行列である。関数Ｓ（Ｚ）は行列のべき乗を含んでいるため、スカラ変数のべき乗の微分と違って単純な規則で導関数を得ることができない。そのため、直接的に導関数を得るには、一旦、行列のべき乗を展開した後に解析的に微分の操作をすることになり、特にＶＦＤＭで要する次数の大きなべき乗がある場合に極めて複雑な演算となる。そのため、解析的な微分の操作が不要になるような実装方式が求められる。
【００５１】
これに対して、実施の形態１にかかる通信装置１１０においては、解析的な微分の操作が少なくなる方式を用いる。まず、行列Ａ，Ｂの要素がｘの関数であるとして、その積ＡＢの微分を考える。ＡＢのｉ行ｊ列の成分（ＡＢ）ijの微分は、行列Ａの要素Ａikなどを用いて、たとえば下記（１３）式のように表記できる。
【００５２】
【数１３】
2017157955.tif 000015
【００５３】
このため、行列の掛け算の微分はたとえば下記（１４）式のようになる。ただし行列の微分は、行列の各要素の微分とする。なお、ここで積の順番は変えられない。
【００５４】
【数１４】
2017157955.tif 000016
【００５５】
この規則をＺのべき乗の微分に順番に適用していくと、Ｚの変数ｘによる微分は、たとえば下記（１５）式のようになる。
【００５６】
【数１５】
2017157955.tif 000017
【００５７】
上記（１５）式では行列のべき乗の微分がなくなり、Ｚの微分とＺとの積になっていることがわかる。ニュートン法に要するのはＺの要素Ｚpqによる微分であるが、これは、たとえば下記（１６）式のように簡単に求めることができる。
【００５８】
【数１６】
2017157955.tif 000018
【００５９】
つまり、微分したい変数のみが１になり、それ以外は０になる。たとえば下記（１７）式のような行列をｓで微分すると下記（１８）式のようになる。
【００６０】
【数１７】
2017157955.tif 000019
【００６１】
【数１８】
2017157955.tif 000020
【００６２】
このため、Ｓの要素Ｚpqによる微分は、たとえば下記（１９）式のようになる。
【００６３】
【数１９】
2017157955.tif 000021
【００６４】
ここで、Ｚを微分した行列は、上記（１６）式に示すように定数のみの行列なので、Ｓの導関数が行列の積と和のみで得られたことになる。
【００６５】
また、ｗとＺ、ｆとＳについての対応を決めておくことを要する。すなわち、ニュートン法に出てくる行列と複数アンテナに拡張した拡張ＶＦＤＭとでは違う構成の行列やベクトルになっているので、その対応を明確にすることを要する。たとえば、添字番号として下記（２０）式および下記（２１）式のような対応を決めておく。
【００６６】
【数２０】
2017157955.tif 000022
【００６７】
【数２１】
2017157955.tif 000023
【００６８】
この対応関係のもとで、ｘとＸの要素、ｆとＹの要素、ＪとＹの導関数を、たとえば下記（２２）式、下記（２３）式および下記（２４）式のように対応させる。
【００６９】
【数２２】
2017157955.tif 000024
【００７０】
【数２３】
2017157955.tif 000025
【００７１】
【数２４】
2017157955.tif 000026
【００７２】
これにより、上記（１２）式により微分値を求める時と、ニュートン法の式である上記（１１）式を適用するときに、ｗ，ｆとＺ，Ｓなどを適切に変換できる。
【００７３】
つぎに、上記（４）式の行列Ｚの解と固有値の関係について説明する。
【００７４】
（実施の形態１にかかる行列Ｚの解行列の一成分の収束）
図２は、実施の形態１にかかる行列Ｚの解行列の一成分の収束の一例を示す図である。図２においては、解行列の一成分の収束の様子を複素平面に示している。また、図２においては、Ｍ＝２、Ｌ＝２として解を求める場合について説明する。収束列２０１は、解の収束列の例を点線で示したものである。収束列２０２は、１００種類の初期値からの解の収束列をそれぞれ重ねて実線でプロットしたものである。収束点２０３は、行列の一成分の６個の収束点である。
【００７５】
図２に示すように、Ｍ＝２、Ｌ＝２で解を求めてみると、たとえば６つの解が求まる。この場合は１つの解の行列に対して２つの拡張ＶＦＤＭ重みが求まるので、全部で１２個の重みが得られるが、その中で独立な重みは４つになる。これは、アンテナ数が１のときは最大次数Ｌに対してＬ個の独立な重みが得られていたので、アンテナ数が２倍になった自由度により２倍の重みが得られたと考えられる。
【００７６】
つぎに、解が６個になる理由について説明する。求めた解の固有値を調べると、６個の解に対して４種類しか無いことがわかった。ここからつぎのように考えられる。すなわち、それぞれの解は固有値λiと固有値ベクトルｖiを使って、たとえば下記（２５）式のように表記できる。
【００７７】
【数２５】
2017157955.tif 000027
【００７８】
つまり、上記（６）式の解は４個の固有値から２つを選んで構成できるので、4Ｃ2＝６通りとなる。一般に、ＮTX＝ＮRX＝Ｍ、最大次数Ｌとすると、独立な拡張ＶＦＤＭ重みの個数はＭＬ、行列多項式の解の個数はMLＣMとなる。
【００７９】
ここで、固有値の定義より、固有値の順番は関係ないことが、たとえば下記（２６）式および下記（２７）式のように示すことができる。
【００８０】
【数２６】
2017157955.tif 000028
【００８１】
【数２７】
2017157955.tif 000029
【００８２】
これらを横に並べると、下記（２８）式および下記（２９）式のようになり、上記（２５）式を導くことができる。
【００８３】
【数２８】
2017157955.tif 000030
【００８４】
【数２９】
2017157955.tif 000031
【００８５】
そして、たとえば下記（３０）式および下記（３１）式のように逆に並べると、ｉとｊをひっくり返した式が得られ、ｉとｊの順番には無関係であることがわかる。
【００８６】
【数３０】
2017157955.tif 000032
【００８７】
【数３１】
2017157955.tif 000033
【００８８】
したがって、過不足なく重みを求めるには、ニュートン法で求めた解に対して固有値と固有ベクトルを求め、重複なしにＭＬ個の解が得られた後に再度、上記（２５）式により解を再構成してそのべき乗により重みを求めればよい。
【００８９】
つぎに、解よりも先に固有値を求める方法について説明する。解行列を固有値で対角化すると、たとえば下記（３２）式のようになる。
【００９０】
【数３２】
2017157955.tif 000034
【００９１】
このＺを上記（６）式に代入すると、下記（３３）式が得られる。
【００９２】
【数３３】
2017157955.tif 000035
【００９３】
上記（６）式は未知数がＺの１つであるが、上記（３３）式は未知数がＶ，Λの２つとなっている。このため、上記（３３）式は単純に解くことはできない。そこで、まず、上記（３３）式を変形して下記（３４）式のようにする。
【００９４】
【数３４】
2017157955.tif 000036
【００９５】
そして、上記（３４）式から適当な列を抜き出すと、たとえば下記（３５）式および下記（３６）式のように表記できる。なお、簡単のため固有値と固有ベクトルの下付きの添字は省略している。
【００９６】
【数３５】
2017157955.tif 000037
【００９７】
【数３６】
2017157955.tif 000038
【００９８】
ここで、ｖは、固有値ベクトルであり、一般に０ではない。このため、上記（３５）式および上記（３６）式が成り立つ条件は、たとえば下記（３７）式のようになる。
【００９９】
【数３７】
2017157955.tif 000039
【０１００】
上記（３７）式は、λ（固有値）についてのＭＬ次方程式になる。また、次数は増えるが、スカラ変数の方程式になるため、様々な解法を用いて解くことが可能である。λを求めた後は、求めたλを上記（３６）式のカッコ内に代入して行列を求め、求めた行列内の行ベクトルとほぼ直交するベクトルを求めればよい。
【０１０１】
上記（３７）式を展開して各次数の係数を求めるのは簡単ではないため、展開せずにニュートン法により上記（３７）式を解くことも考えられる。このとき、上記（３７）式の微分を要する。ｄｅｔ（Ｘ）の微分は、たとえば下記（３８）式により求められる。
【０１０２】
【数３８】
2017157955.tif 000040
【０１０３】
ただし、Ｘ：は、行列Ｘの要素全てを縦に並べたベクトルである。つまり、Ｘ：TＹ：はＸとＹの対応する要素を全て乗算して加算したものになる。数値演算ツールとしてＭａｔｌａｂ  やＯｃｔａｖｅを用いる場合は、Ｘ：TＹ：はたとえばｓｕｍ（ｓｕｍ（Ｘ．＊Ｙ））と記述できる。
【０１０４】
ところで、上述のようにして固有値（λ1〜λL）と固有ベクトル（ｖ1〜ｖL）が得られると、上記（３５）式の関係から、下記（３９）式の拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗがチャネル行列Ｈとほぼ直交することがわかる。この形式では行列のべき乗は出てこないため、上記（７）式よりも容易に重みを求めることができる。下記（３９）式の拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗは、通信装置１１０の各送信アンテナおよび通信装置１２の各受信アンテナに対応するＮRX行ＮTX列の行列を要素とする重み行列である。
【０１０５】
【数３９】
2017157955.tif 000041
【０１０６】
このように、通信装置１１０は、たとえば上記（４）式に基づく行列係数の行列多項式の方程式を直接解くのではなく、上記（３７）式のように解行列の固有値の方程式に変形した演算を用いて固有値を求める。これにより、方程式を解くために要する演算数が大幅に減少し、効率的に拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを求められる。
【０１０７】
たとえば、上記（３７）式によりニュートン法の反復演算を一回行う際の乗算数は、２ＬＭ2＋Ｍ（Ｍ2＋１）＋（Ｌ−１）（１＋Ｍ2）＋４Ｍ3／３＋Ｍ2＋１回となる。したがって、Ｍの次数は３以下であり、Ｌの次数も１以下であるため、通信システム１０の受信アンテナ数（＝通信システム１００の送信アンテナ数）が大きくなっても演算量の増大が抑制される。
【０１０８】
一例として、たとえばアンテナ数＝２（Ｍ＝２）、マルチパス数＝１１（Ｌ＝１０）のときの乗算数を計算すると、上記（４）式を解く場合の乗算は約２２７５回、上記（３７）式を解く場合の乗算は約１１１回となり、およそ１／２０の乗算数となっている。ただし、実施の形態１にかかる通信装置１１０においては、拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを求めるために固有値から固有ベクトルを求めて、さらに解行列を求めることになるため、そのための演算量はＭ3程度を要する。しかし、この演算はニュートン法の反復演算の後の１回のみの演算なので、全体の演算量に対する影響は小さい。
【０１０９】
つぎに、実施の形態１における実際の計算例について説明する。たとえば、上記（５）式においてＬ＝１、Ｍ＝２とすると、チャネル行列Ｈはたとえば下記（４０）式のようになる。
【０１１０】
【数４０】
2017157955.tif 000042
【０１１１】
このとき、Ｃ1，Ｃ0を使って固有値を求める。一例として、Ｃ0，Ｃ1を下記（４１）式および下記（４２）式のように定める。
【０１１２】
【数４１】
2017157955.tif 000043
【０１１３】
【数４２】
2017157955.tif 000044
【０１１４】
このときのチャネル行列Ｈは下記（４３）式のようになる。
【０１１５】
【数４３】
2017157955.tif 000045
【０１１６】
この条件で固有値を求める。この場合に、ＬＭ＝２であるので、固有値が２つ得られるはずである。固有値を求めるために、上記（３７）式を用いる。すなわち、下記（４４）式〜下記（４８）式のように演算を行う。
【０１１７】
【数４４】
2017157955.tif 000046
【０１１８】
【数４５】
2017157955.tif 000047
【０１１９】
【数４６】
2017157955.tif 000048
【０１２０】
【数４７】
2017157955.tif 000049
【０１２１】
【数４８】
2017157955.tif 000050
【０１２２】
上記（４８）式の方程式を解くと、下記（４９）式に示す２つの固有値λ1，λ2が解として得られる。
【０１２３】
【数４９】
2017157955.tif 000051
【０１２４】
ここでは上記（３７）式は容易に解けたが、一般の場合にはニュートン法などを用いて数値的に解を得ることになり、結果も一般的には複素数になる。
【０１２５】
つぎに、固有ベクトルを求める。固有ベクトルは、上記（４６）式の中の行列、すなわち下記（５０）式とほぼ直交するベクトルである。
【０１２６】
【数５０】
2017157955.tif 000052
【０１２７】
上記（５０）式にλ1を代入すると、下記（５１）式のようになる。
【０１２８】
【数５１】
2017157955.tif 000053
【０１２９】
上記（５１）式に示す行列と直交するベクトルを求めることにより固有ベクトルを求めることができる。直交するベクトルを求める簡単な方法としては、行列の最下行のみを適当な値に変更してから、その行列のエルミート転置した行列をＱＲ分解し、Ｑ行列の一番右の列ベクトルを取得すればよい。ＱＲ分解は、ｍ×ｎ実行列Ａを、ｍ次直交行列Ｑとｍ×ｎ上三角行列Ｒとの積に分解する処理である。たとえば、上記（５１）式に示す行列の最下行を（１，０）に変更し、下記（５２）式のようにする。
【０１３０】
【数５２】
2017157955.tif 000054
【０１３１】
つぎに、上記（５２）式に示す行列をエルミート転置すると、下記（５３）式のようになる。この場合は実数行列なので単なる転置になる。
【０１３２】
【数５３】
2017157955.tif 000055
【０１３３】
上記（５３）式に示す行列をＱＲ分解すると、数値演算により下記（５４）式のＱ行列が得られる。
【０１３４】
【数５４】
2017157955.tif 000056
【０１３５】
上記（５４）式のＱ行列の一番右端の列ベクトルが、下記（５５）式に示すように固有ベクトルｖ1になる。
【０１３６】
【数５５】
2017157955.tif 000057
【０１３７】
上記（５５）式の固有ベクトルｖ1を、上記（５１）式の行列と乗算するとほぼ０になることが確認できる。同様に、もう一つの固有値λ2に対応した固有ベクトルｖ2も、下記（５６）式のように求まる。
【０１３８】
【数５６】
2017157955.tif 000058
【０１３９】
つぎに、上記（３２）式および固有値λ1，λ2および固有ベクトルｖ1，ｖ2を用いて解行列Ｚの解を求めると、下記（５７）式のようになる。
【０１４０】
【数５７】
2017157955.tif 000059
【０１４１】
また、上記（７）式および解行列Ｚの解を用いて拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを求めると、下記（５８）式のようになる。この場合の解行列は一つである。
【０１４２】
【数５８】
2017157955.tif 000060
【０１４３】
上記（４３）式のチャネル行列Ｈと、上記（５８）式の拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗと、の乗算ＨＷを計算すると、０になることがわかる。したがって、通信装置１１０は、上記（５８）式の拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを送信信号ｘの左側に乗算して無線送信することで、通信システム１０に干渉せずに通信装置１２０への無線送信を行うことができる。
【０１４４】
（実施の形態１にかかる通信装置の重み行列生成部）
図３は、実施の形態１にかかる通信装置の重み行列生成部の一例を示す図である。図３に示すように、実施の形態１にかかる通信装置１１０の重み行列生成部１１１は、たとえば、多項式生成部３０１と、固有値算出部３０２と、固有ベクトル算出部３０３と、解行列算出部３０４と、重み行列算出部３０５と、を備える。
【０１４５】
多項式生成部３０１は、Ｍ（アンテナ数）およびＬ＋１（マルチパス数）に基づいて、上記（３７）式に基づく多項式を生成する。上記（３７）式に基づく多項式は、上記（４）式の行列Ｚの解行列の固有値λを解とする多項式である。多項式生成部３０１は、生成した多項式を固有値算出部３０２へ通知する。
【０１４６】
固有値算出部３０２は、多項式生成部３０１から通知された多項式をニュートン法の繰り返し演算によって解くことによって、上記（３７）式の解（固有値λ）を得る。ニュートン法の繰り返し演算における初期値（固有値λ）には、たとえばランダムな初期値λ(0)を用いることができる。また、固有値算出部３０２は、異なる解（固有値λ）がＭＬ個得られるまで多項式を解く演算を繰り返す。そして、固有値算出部３０２は、得られたＭＬ個の固有値λを固有ベクトル算出部３０３へ通知する。固有値算出部３０２における固有値λの算出については後述する（たとえば図４参照）。
【０１４７】
固有ベクトル算出部３０３は、固有値算出部３０２から通知されたＭＬ個の固有値λのそれぞれに対応する固有ベクトルｖを算出する。たとえば、固有ベクトル算出部３０３は、固有値λを上記（３６）式のカッコ内に代入して行列を求め、求めた行列内の行ベクトルと直交するベクトルを求めることによって固有値λに対応する固有ベクトルｖを算出することができる。固有ベクトル算出部３０３は、固有値算出部３０２から通知されたＭＬ個の固有値λと、ＭＬ個の固有値λのそれぞれについて算出した固有ベクトルｖと、を解行列算出部３０４へ通知する。
【０１４８】
解行列算出部３０４は、固有ベクトル算出部３０３から通知されたＭＬ個の固有値λおよびＭＬ個の固有ベクトルｖと、上記（３２）式と、に基づいてＺの解（Ａ1〜ＡL）を算出する。そして、解行列算出部３０４は、算出したＺの解（Ａ1〜ＡL）を重み行列算出部３０５へ通知する。
【０１４９】
重み行列算出部３０５は、解行列算出部３０４から通知されたＺの解（Ａ1〜ＡL）と、上記（７）式と、に基づいて、拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを算出する。そして、重み行列算出部３０５は、算出した拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを乗算部１１２（図１参照）へ出力する。これにより、チャネル行列Ｈとほぼ直交する拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを生成して乗算部１１２へ出力することができる。
【０１５０】
（実施の形態１にかかる固有値算出部）
図４は、実施の形態１にかかる固有値算出部の一例を示す図である。図３に示した多項式生成部３０１がニュートン法の繰り返し演算によって上記（３７）式のλの解を算出する場合は、たとえば固有値算出部３０２は図４に示す構成とすることができる。図４に示す固有値算出部３０２は、スイッチ４０１と、スカラ関数算出部４０２と、導関数算出部４０３と、除算部４０４と、減算部４０５と、を備える。
【０１５１】
スイッチ４０１は、入力部Ｔ０，Ｔ１のいずれかと、出力部Ｔ２と、を接続する。入力部Ｔ０には、初期値として用いるためのランダムな固有値λ(0)が入力される。入力部Ｔ１には、減算部４０５から出力された固有値λが入力される。固有値λ(0)および固有値λはともにスカラ値である。スイッチ４０１は、ニュートン法の初回の演算においては入力部Ｔ０を出力部Ｔ２に接続し、ニュートン法の２回目以降の演算においては入力部Ｔ１を出力部Ｔ２に接続する。スイッチ４０１から出力された固有値λは、スカラ関数算出部４０２、導関数算出部４０３および減算部４０５へ出力される。
【０１５２】
スカラ関数算出部４０２および導関数算出部４０３のそれぞれには、スイッチ４０１から出力された固有値と、Ｃ0〜ＣLと、が入力される。Ｃ0〜ＣLは、上記（５）式に示したように、重み行列生成部１１１（たとえば図１参照）へ入力されたチャネル行列Ｈの要素である。
【０１５３】
スカラ関数算出部４０２は、スイッチ４０１から出力された固有値λと、入力されたＣ0〜ＣLと、に基づいて、上記（３７）式の左辺を算出する。固有値λおよびＣ0〜ＣLはスカラ値であるため、スカラ関数算出部４０２による算出はスカラ関数の演算である。スカラ関数算出部４０２は、算出した値を除算部４０４へ出力する。
【０１５４】
導関数算出部４０３は、スイッチ４０１から出力された固有値λと、入力されたＣ0〜ＣLと、に基づいて、上記（３７）式の左辺をλで微分した導関数を算出する。たとえば、導関数算出部４０３は、上記（３８）式を用いて導関数を算出することができる。導関数算出部４０３は、算出した導関数を除算部４０４へ出力する。
【０１５５】
除算部４０４および減算部４０５により、上記（１１）式に対応する演算が行われる。すなわち、除算部４０４は、スカラ関数算出部４０２から出力された値、すなわち上記（３７）式の左辺を、導関数算出部４０３から出力された値、すなわち上記（３７）式の左辺の導関数により除算する。スカラ関数算出部４０２および導関数算出部４０３から出力される各値はスカラ値であるため、除算部４０４による演算はスカラ値の演算である。除算部４０４は、除算により得られた値を減算部４０５へ出力する。
【０１５６】
減算部４０５は、スイッチ４０１から出力された固有値λから、除算部４０４から出力された値を減算する。そして、減算部４０５は、減算により得られた値を新たな固有値λとして出力する。減算部４０５から出力された固有値λは、固有ベクトル算出部３０３（たとえば図３参照）へ出力されるとともに、スイッチ４０１の入力部Ｔ１へフィードバックされる。
【０１５７】
このように、行列Ｚの解行列を求める前に、上記（３７）式を用いて行列Ｚの解行列の固有値λをニュートン法の繰り返し演算によって算出する構成とする。これにより、たとえばスカラ関数算出部４０２、導関数算出部４０３および解行列算出部３０４における演算をスカラ値の演算とし、たとえば行列Ｚの解行列をニュートン法により解くよりも演算量を低減することができる。
【０１５８】
（実施の形態１にかかる通信装置による重み行列演算処理）
図５は、実施の形態１にかかる通信装置による重み行列演算処理の一例を示すフローチャートである。実施の形態１にかかる通信装置１１０は、拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗの演算処理として、たとえば図５に示す各ステップを実行する。まず、通信装置１１０は、Ｍ（アンテナ数）およびＬ＋１（マルチパス数）に基づいて、行列Ｚの解行列の固有値λの多項式を生成する（ステップＳ５０１）。行列Ｚの解行列の固有値λの多項式は、たとえば上記（３７）式に基づく多項式である。
【０１５９】
つぎに、通信装置１１０は、ステップＳ５０１によって生成した多項式の１つの解を、固有値λのランダム初期値λ(0)を用いたニュートン法により算出する（ステップＳ５０２）。ステップＳ５０２によって得られる解は固有値λである。また、ステップＳ５０２による演算は、たとえば図４に示した構成における反復演算である。
【０１６０】
つぎに、通信装置１１０は、ステップＳ５０２によって解（固有値λ）を算出した結果、ＭＬ個の異なる固有値λが得られたか否かを判断する（ステップＳ５０３）。ＭＬ個の異なる固有値λがまだ得られていない場合（ステップＳ５０３：Ｎｏ）は、通信装置１１０は、ステップＳ５０２へ戻る。
【０１６１】
ステップＳ５０３において、ＭＬ個の異なる固有値λが得られた場合（ステップＳ５０３：Ｙｅｓ）は、通信装置１１０は、ステップＳ５０２によって得られたＭＬ個の異なる固有値λのそれぞれについて固有ベクトルを算出する（ステップＳ５０４）。ステップＳ５０４における固有ベクトルの算出は、たとえば固有値λを上記（３６）式のカッコ内に代入して行列を求め、求めた行列内の行ベクトルと直交するベクトルを求めることによって行うことができる。
【０１６２】
つぎに、通信装置１１０は、ステップＳ５０２，Ｓ５０３によって算出したＭＬ個の固有値と、ステップＳ５０４によって算出したＭＬ個の固有ベクトルと、に基づいて解行列を算出する（ステップＳ５０５）。ステップＳ５０５における解行列の算出は、たとえば、上記（３２）式に基づいて行うことができる。
【０１６３】
つぎに、通信装置１１０は、ステップＳ５０５によって生成した解行列に基づいて、拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを算出し（ステップＳ５０６）、一連の重み行列演算処理を終了する。ステップＳ５０６による拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗの生成は、たとえば上記（７）式に基づいて行うことができる。
【０１６４】
図５に示した各ステップにより、通信装置１１０は、チャネル行列Ｈとほぼ直交する拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを生成することができる。たとえば、通信装置１１０は、チャネル行列Ｈを周期的に取得し、新たなチャネル行列Ｈを取得するごとに図５に示した各ステップを実行する。これにより、通信装置１１０と通信装置１２との間の伝搬環境が変化してチャネル行列Ｈが変化しても、通信システム１０に対して干渉しない拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを生成することができる。
【０１６５】
（実施の形態１にかかる通信装置）
図６は、実施の形態１にかかる通信装置の一例を示す図である。図１に示した通信装置１１０は、たとえば図６に示す通信装置６００により実現することができる。通信装置６００は、符号化部６１０と、変調部６２０と、プリコーダ６３０と、ＲＦ部６４１，６４２と、アンテナ６５１，６５２と、を備える。符号化部６１０は、通信装置１２０へ送信すべきデータ（たとえばユーザデータや制御情報）を符号化する。そして、符号化部６１０は、符号化したデータを変調部６２０へ出力する。
【０１６６】
変調部６２０は、符号化部６１０から出力されたデータに基づく変調を行う。変調部６２０による変調には、たとえばＱＰＳＫ（Ｑｕａｄｒａｔｕｒｅ  Ｐｈａｓｅ  Ｓｈｉｆｔ  Ｋｅｙｉｎｇ）や１６ＱＡＭ（Ｑｕａｄｒａｔｕｒｅ  Ａｍｐｌｉｔｕｄｅ  Ｍｏｄｕｌａｔｉｏｎ）など各種の変調方式を用いることができる。変調部６２０は、変調により得られた信号を、図１に示した送信信号ｘとしてプリコーダ６３０へ出力する。
【０１６７】
プリコーダ６３０は、変調部６２０から出力された送信信号ｘに対するプリコーディングを行う。図１に示した重み行列生成部１１１および乗算部１１２は、たとえばプリコーダ６３０により実現することができる。プリコーダ６３０は、変調部６２０から出力された送信信号ｘに対して、チャネル行列Ｈに基づく拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗによる重み付けを行い、重み付けした各送信信号をＲＦ部６４１，６４２へ出力する。
【０１６８】
ＲＦ部６４１，６４２のそれぞれは、プリコーダ６３０から出力された送信信号のＲＦ送信処理を行う。ＲＦ部６４１，６４２によるＲＦ送信処理には、たとえば、デジタル信号からアナログ信号への変換、ベースバンド帯からＲＦ（Ｒａｄｉｏ  Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ：高周波）帯への周波数変換、増幅などが含まれる。ＲＦ部６４１，６４２は、ＲＦ送信処理を行った信号をそれぞれアンテナ６５１，６５２へ出力する。アンテナ６５１，６５２は、それぞれＲＦ部６４１，６４２から出力された送信信号を通信装置１２０へ無線送信する。
【０１６９】
図１に示した重み行列生成部１１１および乗算部１１２は、たとえばプリコーダ６３０により実現することができる。図１に示したアンテナ１１３，１１４は、たとえばアンテナ６５１，６５２により実現することができる。図６に示す例では、通信装置６００が２本の送信アンテナ（アンテナ６５１，６５２）を備える構成について説明したが、通信装置６００は３本以上の送信アンテナを備えていてもよい。
【０１７０】
（実施の形態１にかかる通信装置のハードウェア構成）
図７は、実施の形態１にかかる通信装置のハードウェア構成の一例を示す図である。図７において、図６に示した部分と同様の部分については同一の符号を付して説明を省略する。図６に示した通信装置６００は、たとえば、図７に示すように、デジタル回路７１０と、アナログ回路７２０と、アンテナ６５１，６５２と、を備える。
【０１７１】
図６に示した符号化部６１０、変調部６２０およびプリコーダ６３０は、たとえばデジタル回路７１０により実現することができる。デジタル回路７１０には、たとえば、ＤＳＰ（Ｄｉｇｉｔａｌ  Ｓｉｇｎａｌ  Ｐｒｏｃｅｓｓｏｒ）やＦＰＧＡ（Ｆｉｅｌｄ  Ｐｒｏｇｒａｍｍａｂｌｅ  Ｇａｔｅ  Ａｒｒａｙ）などの各種のプロセッサを用いることができる。
【０１７２】
図６に示したＲＦ部６４１，６４２は、たとえばアナログ回路７２０により実現することができる。アナログ回路７２０は、たとえば、ＤＡＣ（Ｄｉｇｉｔａｌ／Ａｎａｌｏｇ  Ｃｏｎｖｅｒｔｅｒ：デジタル／アナログ変換器）、ミキサ、増幅器などを含む。
【０１７３】
このように、実施の形態１にかかる通信装置１１０によれば、チャネル行列Ｈに基づく第１方程式の解行列の固有値についての第２方程式に基づいて固有値を算出することができる。また、算出した固有値に基づいて解行列の固有ベクトルを算出し、算出した固有値および固有ベクトルに基づいて拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを生成することができる。これにより、複数の送信アンテナを用いる拡張ＶＦＤＭに用いる拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗの演算量を低減することができる。
【０１７４】
（実施の形態２）
実施の形態２について、実施の形態１と異なる部分について説明する。実施の形態２においては、上記（４）式の解行列の固有値および固有ベクトルを求めた後に、上記（４）式の行列解を求めずに拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを生成する構成について説明する。
【０１７５】
すなわち、実施の形態１においては、固有値λを求めた後で、求めた固有値λを使って上記（４）式の解行列を求めてから拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを生成していた。しかし、拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗは、上記（４）式の解行列を求めずとも、固有値λnと、固有値λnに対応する固有ベクトルｖnから上記（３９）式により求めることもできる。これにより、行列のべき乗の演算が不要になり、演算量をさらに低減できる。
【０１７６】
つぎに、実施の形態２における実際の計算例について説明する。たとえば、上記（３９）式を用いると、下記式（５９）式のように拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗが得られる。これは、上記（５８）式と違う形式に見えるが、下記式（５９）式の拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗに基づくＨＷを計算すると０になる。
【０１７７】
【数５９】
2017157955.tif 000061
【０１７８】
（実施の形態２にかかる通信装置の重み行列生成部）
図８は、実施の形態２にかかる通信装置の重み行列生成部の一例を示す図である。図８において、図３に示した部分と同様の部分については同一の符号を付して説明を省略する。図８に示すように、実施の形態２にかかる通信装置１１０の重み行列生成部１１１は、図３に示した構成において、解行列算出部３０４を省いた構成である。
【０１７９】
図８に示す例では、固有ベクトル算出部３０３は、固有値算出部３０２から通知されたＭＬ個の固有値λと、ＭＬ個の固有値λのそれぞれについて算出した固有ベクトルｖと、を重み行列算出部３０５へ通知する。重み行列算出部３０５は、固有ベクトル算出部３０３から通知された固有値λおよび固有ベクトルと、上記（３９）式と、に基づいて、拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを生成する。
【０１８０】
これにより、上記（４）式の行列解を求めずに、チャネル行列Ｈとほぼ直交する拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを生成して乗算部１１２へ出力することができる。このため、拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを生成するための演算量を低減することができる。
【０１８１】
（実施の形態２にかかる通信装置による重み行列演算処理）
図９は、実施の形態２にかかる通信装置による重み行列演算処理の一例を示すフローチャートである。実施の形態２にかかる通信装置１１０は、拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗの演算処理として、たとえば図９に示す各ステップを実行する。
【０１８２】
図９に示すステップＳ９０１〜Ｓ９０４は、図５に示したステップＳ５０１〜Ｓ５０４と同様である。ステップＳ９０４のつぎに、通信装置１１０は、ステップＳ９０２，Ｓ９０３によって算出したＭＬ個の固有値と、ステップＳ９０４によって算出したＭＬ個の固有ベクトルと、に基づいて拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを算出する（ステップＳ９０５）。そして、通信装置１１０は、一連の重み行列演算処理を終了する。ステップＳ９０５による拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗの生成は、たとえば上記（３９）式に基づき行うことができる。図９に示した各ステップにより、通信装置１１０は、上記（４）式の行列解を求めずに、チャネル行列Ｈとほぼ直交する拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを生成することができる。
【０１８３】
このように、実施の形態２にかかる通信装置１１０によれば、たとえば上記（３９）式に基づいて、Ｚについての第１方程式の解行列を算出せずに、算出した固有値λおよび固有ベクトルｖに基づいて拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを生成することができる。これにより、行列のべき乗の演算を行わなくても拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを生成可能になり、拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを生成するための演算量を低減することができる。
【０１８４】
（実施の形態３）
実施の形態３について、実施の形態２と異なる部分について説明する。実施の形態３においては、実施の形態１，２の方法で生成した拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗをそのまま重み付け行列として用いるのではなく、拡張ＶＦＤＭ重み行列ＷをＱＲ分解して直交化した行列を重み付け行列として用いる。
【０１８５】
（実施の形態３にかかる通信装置の重み行列生成部）
図１０は、実施の形態３にかかる通信装置の重み行列生成部の一例を示す図である。図１０において、図８に示した部分と同様の部分については同一の符号を付して説明を省略する。図１０に示すように、実施の形態３にかかる通信装置１１０の重み行列生成部１１１は、図８に示した構成に加えてＱＲ分解部１００１を備える。
【０１８６】
図１０に示す例では、重み行列算出部３０５は、算出した拡張ＶＦＤＭ重み行列ＷをＱＲ分解部１００１へ出力する。ＱＲ分解部１００１は、重み行列算出部３０５から出力された拡張ＶＦＤＭ重み行列ＷをＱＲ分解し、ＱＲ分解によって得られたＱ行列（直交行列）を直交化後の拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗとして取得することにより、拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを直交化する。そして、ＱＲ分解部１００１は、直交化した拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを乗算部１１２（図１参照）へ出力する。
【０１８７】
図１０に示す構成において、ＱＲ分解部１００１によるＱＲ分解の演算量は、ＱＲ分解の対象の行列における列数の２乗のオーダである。このため、重み行列算出部３０５から出力された拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを予めほぼ直交する重みのグループに分けることができれば、それぞれのグループで実行したＱＲ分解の演算量の和は、全体でＱＲ分解したときの演算量よりも小さくなる。たとえば、重み行列算出部３０５から出力された拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを半分ずつのグループに分けることができれば演算量は半分になる。
【０１８８】
実施の形態３にかかる重み行列算出部３０５は、実施の形態２において説明したように、上記（３９）式を用いて拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを生成する。この場合に、上記（３９）式に示すように、固有値と拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗの列とは一対一に対応している。たとえば、固有値λ1は拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗの第１列に対応し、固有値λ2は拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗの第２列に対応している。
【０１８９】
そこで、ＱＲ分解部１００１は、重み行列算出部３０５から出力された拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗの各列を、固有値の絶対値が１より大きいグループと１より小さいグループに分ける。そして、ＱＲ分解部１００１は、重み行列算出部３０５から出力された拡張ＶＦＤＭ重み行列ＷのＱＲ分解による直交化をグループごとに行う。
【０１９０】
（実施の形態３にかかる通信装置によりグループ分けした場合の送信重み）
図１１は、実施の形態３にかかる通信装置によりグループ分けした場合の送信重みの一例を示す図である。図１１において、横軸は時間（ｔ）を示し、縦方向は送信信号に対する重みの電力値を示す。ＯＦＤＭシンボル長１１１０は、通信装置１１０が送信するＯＦＤＭシンボルのＣＰ（Ｃｙｃｌｉｃ  Ｐｒｅｆｉｘ：巡回プレフィクス）を含めたシンボル長（ＣＰ込）である。
【０１９１】
図１１に示す時間方向は、上記（３９）式の行列の縦方向に対応する。たとえば、上記（３９）式の行列の第１列は、λ10ｖ1，λ11ｖ1，λ12ｖ1，…となっている。したがって、固有値λの絶対値が１より小さい場合は時間方向に対して送信重みが指数的に低下し、固有値λの絶対値が１より大きい場合は時間方向に対して送信重みが指数的に増加することになる。上記（３９）式の行列の第１列について説明したが、上記（３９）式の行列の第２列以降も同様である。
【０１９２】
送信重み１１２１は、上記（３９）式の行列の各列のうちの絶対値が１より小さい固有値λに対応するグループにおける送信重みの時間変化を示す。送信重み１１２２は、上記（３９）式の行列の各列のうちの絶対値が１より大きい固有値λに対応するグループにおける送信重みの時間変化を示す。
【０１９３】
したがって、多くの場合に、固有値の絶対値が１より大きい送信重みと、固有値の絶対値が１より小さい送信重みと、はほぼ直交する。そこで、上記（３９）式の行列の各列を、対応する固有値の絶対値が１より大きいか小さいかでグループ分けする。この場合は、グループ間ではほぼ直交しているため、グループごとにＱＲ分解を行って各グループ内で直交化すれば、全体を直交化することができる。そして、上述したように、ＱＲ分解の演算量は列数の２乗のオーダであるため、グループごとにＱＲ分解を行うことで、重み行列算出部３０５から出力された拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗの全体に対してＱＲ分解を行う場合に比べて演算量を低減することができる。
【０１９４】
つぎに、実施の形態３における実際の計算例について説明する。Ｌ＝２、Ｍ＝２とすると、４（＝ＬＭ）個の固有値が得られる。チャネル行列Ｈにおける小行列として下記（６０）式、下記（６１）式および下記（６２）式のような４×４の複素数行列を考える。
【０１９５】
【数６０】
2017157955.tif 000062
【０１９６】
【数６１】
2017157955.tif 000063
【０１９７】
【数６２】
2017157955.tif 000064
【０１９８】
（実施の形態３にかかる通信装置による固有値の算出結果）
図１２は、実施の形態３にかかる通信装置による固有値の算出結果の一例を示す図である。図１２に示す固有値算出結果１２００は、上記（６０）式、上記（６１）式および上記（６２）式の例によって通信装置１１０が算出した４つの固有値λ（λ1〜λ4）と、４つの固有値λの絶対値｜λ｜と、を示している。
【０１９９】
図１２に示す例では、λ1，λ2は絶対値が１より小さく、λ3，λ4は絶対値が１より大きい。このため、ＱＲ分解部１００１は、下記（６３）式に示すようにλ1，λ2と上記（３９）式とを用いて重み行列Ｗ1を生成し、下記（６４）式に示すようにλ3，λ4と上記（３９）式とを用いて重み行列Ｗ2を生成する。
【０２００】
【数６３】
2017157955.tif 000065
【０２０１】
【数６４】
2017157955.tif 000066
【０２０２】
ただし、重み行列Ｗ2は振幅調整のため各列をλ3-N-L+1、λ4-N-L+1でそれぞれ割っている。Ｎの大きさはＯＦＤＭで用いるＦＦＴ（Ｆａｓｔ  Ｆｏｕｒｉｅｒ  Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ：高速フーリエ変換）のサイズに対応し、たとえば１２８以上大きな値がよく用いられる。重みの振幅はλのべき乗に依存するが、たとえばλ2では絶対値が０．６９程度なので、０．６９50＝０．００００００００８７程度となり、それよりさらに大きなべき数になる重み行列Ｗ1の下半分の値はほぼゼロになる。
【０２０３】
同様に、Ｗ2の上半分の値はほぼ０となるので、この時点でＷ1とＷ2のそれぞれに含まれる重みはお互いにほぼ直交している状態になる。このため、Ｗ1とＷ2を個別に直交化することで、全体として直交な重みを生成することができる。そして、得られたＷ1，Ｗ2を横方向に並べた行列を拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗとして乗算部１１２へ出力する。これにより、拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを直交化するための演算量を低減することができる。
【０２０４】
このように、実施の形態３にかかる通信装置１１０は、上記（３９）式の右辺により生成した行列の各要素（列）のうち、要素に含まれる固有値の絶対値が１より小さい要素群と、要素に含まれる固有値の絶対値が１より大きい要素群と、のそれぞれを直交化する。そして、通信装置１１０は、直交化した各要素群を並べることにより拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを生成する。これにより、直交化した拡張ＶＦＤＭ重み行列Ｗを生成するための演算量を低減することができる。
【０２０５】
なお、固有値λの絶対値が１である要素群については、固有値λの絶対値が１より小さい要素群とともに直交化してもよいし、固有値λの絶対値が１より大きい要素群とともに直交化してもよいし、直交化しなくてもよい。
【０２０６】
以上説明したように、通信装置、通信方法および通信システムによれば、無線送信に用いる重み行列の演算量を低減することができる。
【０２０７】
上述した実施の形態に関し、さらに以下の付記を開示する。
【０２０８】
（付記１）送信先の通信装置と異なる通信装置と自装置との間のチャネル状態を示すチャネル行列に基づく第１方程式の解行列の固有値についての第２方程式を用いて前記固有値を算出し、算出した前記固有値に基づいて前記解行列の固有ベクトルを算出し、算出した前記固有値および前記固有ベクトルに基づいて複数のアンテナに対応する重み行列を生成する生成部と、
前記生成部によって生成された前記重み行列で重み付けした信号を前記複数のアンテナにより前記送信先の通信装置へ無線送信する送信部と、
を備えることを特徴とする通信装置。
【０２０９】
（付記２）前記重み行列は、前記解行列を公比とする等比数列の各行列を順に並べたブロック行列であることを特徴とする付記１に記載の通信装置。
【０２１０】
（付記３）前記チャネル行列の要素をＣｉ、前記異なる通信装置と自装置との間のマルチパスの数をＬ＋１、前記解行列をＺ、前記固有値をλとした場合に、
前記第１方程式は下記（６５）式に示すＺについての方程式であり、
前記第２方程式は下記（６６）式に示すλについての方程式である、
ことを特徴とする付記１または２に記載の通信装置。
【０２１１】
【数６５】
2017157955.tif 000067
【０２１２】
【数６６】
2017157955.tif 000068
【０２１３】
（付記４）前記生成部は、算出した前記固有値および前記固有ベクトルに基づいて前記解行列を算出し、算出した前記解行列に基づいて前記重み行列を生成することを特徴とする付記１〜３のいずれか一つに記載の通信装置。
【０２１４】
（付記５）前記生成部は、前記解行列を算出せずに、算出した前記固有値および前記固有ベクトルに基づいて前記重み行列を生成することを特徴とする付記１〜４のいずれか一つに記載の通信装置。
【０２１５】
（付記６）前記異なる通信装置と自装置との間のマルチパス数をＬ＋１、前記固有値をλ１〜λＬ、前記固有ベクトルをｖ１〜ｖＬとした場合に、前記生成部は、下記（６７）式によって前記重み行列を生成することを特徴とする付記５に記載の通信装置。
【０２１６】
【数６７】
2017157955.tif 000069
【０２１７】
（付記７）前記生成部は、算出した前記固有値および前記固有ベクトルに基づいて生成した行列の各要素のうち、前記要素に含まれる前記固有値の絶対値が１より小さい要素群と、前記要素に含まれる前記固有値の絶対値が１より大きい要素群と、をそれぞれ直交化し、直交化した各要素群を並べることにより前記重み係数を生成することを特徴とする付記５または６に記載の通信装置。
【０２１８】
（付記８）前記生成部は、前記要素に含まれる前記固有値の絶対値が１より小さい要素群と、前記要素に含まれる前記固有値の絶対値が１より大きい要素群と、をそれぞれＱＲ分解により直交化することを特徴とする付記７に記載の通信装置。
【０２１９】
（付記９）送信先の通信装置と異なる通信装置と自装置との間のチャネル状態を示すチャネル行列に基づく第１方程式の解行列の固有値についての第２方程式を用いて前記固有値を算出し、
算出した前記固有値に基づいて前記解行列の固有ベクトルを算出し、
算出した前記固有値および前記固有ベクトルに基づいて複数のアンテナに対応する重み行列を生成し、
生成した前記重み行列で重み付けした信号を前記複数のアンテナにより前記送信先の通信装置へ無線送信する、
ことを特徴とする通信方法。
【０２２０】
（付記１０）他の通信装置と自装置との間のチャネル状態を示すチャネル行列に基づく第１方程式の解行列の固有値についての第２方程式を用いて前記固有値を算出し、算出した前記固有値に基づいて前記解行列の固有ベクトルを算出し、算出した前記固有値および前記固有ベクトルに基づいて複数のアンテナに対応する重み行列を生成し、生成した前記重み行列で重み付けした信号を前記複数のアンテナにより無線送信する第１通信装置と、
前記他の通信装置と異なる通信装置であって、前記第１通信装置によって無線送信された信号を受信する第２通信装置と、
を含むことを特徴とする通信システム。
【符号の説明】
【０２２１】
１０，１００  通信システム
１１，１２，１１０，１２０，６００  通信装置
１１１  重み行列生成部
１１２  乗算部
１１３，１１４，６５１，６５２  アンテナ
２０１，２０２  収束列
２０３  収束点
３０１  多項式生成部
３０２  固有値算出部
３０３  固有ベクトル算出部
３０４  解行列算出部
３０５  重み行列算出部
４０１  スイッチ
４０２  スカラ関数算出部
４０３  導関数算出部
４０４  除算部
４０５  減算部
６１０  符号化部
６２０  変調部
６３０  プリコーダ
６４１，６４２  ＲＦ部
７１０  デジタル回路
７２０  アナログ回路
１００１  ＱＲ分解部
１１１０  ＯＦＤＭシンボル長
１１２１，１１２２  送信重み
１２００  固有値算出結果
【図１】
2017157955.tif 000070
【図２】
2017157955.tif 000071
【図３】
2017157955.tif 000072
【図４】
2017157955.tif 000073
【図５】
2017157955.tif 000074
【図６】
2017157955.tif 000075
【図７】
2017157955.tif 000076
【図８】
2017157955.tif 000077
【図９】
2017157955.tif 000078
【図１０】
2017157955.tif 000079
【図１１】
2017157955.tif 000080
【図１２】
2017157955.tif 000081