(57)【要約】      （修正有）【課題】下級財を扱いやすく表現できるような効用関数または生産関数をつくる。【解決手段】効用関数あるいは生産関数ｕ＝ｕ−ｃｘａ＋ｙとしていた関数形を拡張して，ｕ＝ｕ−ｃ１ｘ１ａ１＋ｕ−ｃ２ｘ２ａ２＋…＋ｕ−ｃｎｘｎａｎ＋ｕ−ｄｙ，（ただし，ｃ１，ｃ２，…，ｃｎ，ｄはいずれも非負の定数，ａ１，ａ２，…，ａｎはいずれも（０，１］の範囲の定数）とした。更に，下級財ではない方の財の消費量をあらわすｙについて，新たにｕ−ｄを係数として付加することで数学的な一般性を高めた。【選択図】なし【特許請求の範囲】
【請求項１】
（数１）で表される効用関数または生産関数。
【数１】
2017201496.tif 000002
変数ｕは効用水準または生産量，ｘｉ（ｉ＝１，…，ｎ）は第ｉ財の消費量または投入量である。Y財の消費量はｙである。（数１）中に示したｃｉ≧０，ｄ≧０，０＜ａｉ＜１（ｉ＝１，…，ｎ）という範囲の限定は，１次式を制約条件式とした最適化問題においては数学的な整合性のために必要である。
【請求項２】
ｐ１，…，ｐｎを定数とする単純な和（一次式）ｍ＝ｐ１ｘ１＋…＋ｐｎｘｎ＋ｙを目的関数とし，（数１）を制約条件としてｍを最小化する最適化問題を解いた結果として得られるｘｉの補償需要関数または生産要素需要関数（数２）。
【数２】
2017201496.tif 000003
（数２）において，−ｃｉ＋ｄ＜０となるものが下級財となる。よって，第ｉ財を下級財にしたい時には，利用者は−ｃｉ＋ｄ＜０となるようにｃｉとｄの値を特定するだけでよい。
【請求項３】
（数１）を目的関数とする。ｐ１，…，ｐｎ，ｍを定数とするｐ１ｘ１＋…＋ｐｎｘｎ＋ｙ＝ｍという１次式を制約条件式とする。制約条件式を満たしつつ（数１）で決定されるｕの値を最大化する最適化問題を解く。解いた結果として得られるｘｊの需要関数が（数３）（数４）（数５）である。ｊはｎ個の財の中で需要量を分析したい下級財のインデックスを表し，ｋはｎ個の財のうちｊ財以外の下級財のインデックスを表す。第ｋ財の価格ｐｋの影響は（数４）に集約してある。ｓはｎ個の財の中で下級財ではない財のインデックスを表す。第ｓ財の価格ｐｓの影響は（数５）に集約してある。そして，（数３）で全ての財の価格の効果がＦとＧで取り込まれて集約される。
【数３】
2017201496.tif 000004
【数４】
2017201496.tif 000005
【数５】
2017201496.tif 000006
（数３）（数４）（数５）において，財のインデックスであるｊとｋとｓは第１財から第ｎ財のうちの異なる財を指し示す。つまりｊ≠ｋ≠ｓである。そして，第ｊ財は−ｃｊ＋ｄ＜０が成立しており，第ｋ財も−ｃｊ＋ｄ＜０が成立しており，第ｓ財については−ｃｓ＋ｄ＝０が成立しているものとする。第ｊ財と第ｋ財は下級財である。第ｓ財は下級財でない。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
経済学，ＯＲ，数理計画法
【背景技術】
【０００２】
所得が増大すると需要量が減少する財は下級財という。例としては扇風機である。また，生産において生産量が増大すると需要量が減少する生産要素も下級財（または下級生産要素）という。例としては，労働である。生産量が増大すると機械化により労働への需要が減少することがあるからである。以上の２つの定義は意味的な定義であるが，経済学における数理的な下級財の定義は，以下の（０００４）と（０００５）の２つがある。
【０００３】
生活においてＸ財とＹ財の消費量をｘとｙで表し，効用をｕであらわす。ｘとｙの値に応じて生じる効用を表すのが効用関数という。生産活動においてＸ財とＹ財の投入量をｘとｙで表す。ｘとｙ値に応じて生じる生産量ｕを表すのが生産関数である。この効用関数または生産関数は，一般形としては，ｕ＝ｆ（ｘ，ｙ）として表す。
【０００４】
Ｘ財とＹ財の価格をＰｘとＰｙで表し共に値は定数とする。支出額をＥとして，消費者または企業が目標とするｕの値を決めた上で，ｆ（ｘ，ｙ）＝ｕを制約条件とし，Ｅ＝Ｐｘｘ＋Ｐｙｙを目的関数とする。目標とするｕの値を実現しつつＥを最小化するｘとｙを求める最適化を費用最小化という。費用最小化の結果として導出される最適なｘやｙは，数学的な帰結として，ｘ＝ｘ（Ｐｘ，Ｐｙ，ｕ），や，ｙ＝ｙ（Ｐｘ，Ｐｙ，ｕ）といった独立変数にｕをもつ関数になる。このときｄｘ／ｄｕ＜０となるときにｘは下級財である。
【０００５】
Ｘ財とＹ財の価格をＰｘとＰｙで表し，所得をＭで表す。Ｐｘ，Ｐｙ，Ｍを定数として値を決めた上で，Ｍ＝Ｐｘｘ＋Ｐｙｙを制約条件とし，ｕ＝ｆ（ｘ，ｙ）を目的関数としてｕを最大化するようなｘとｙをもとめる最適化を効用最大化という。効用最大化の結果として導出される最適なｘとｙはｘ＝ｘ（Ｐｘ，Ｐｙ，Ｍ），および，ｙ＝ｙ（Ｐｘ，Ｐｙ，Ｍ）といった独立変数にＭをもつ関数であらわされる。このときｄｘ／ｄＭ＜０となるときに，ｘは下級財であるという。
【０００６】
実際の統計解析や数値シュミレーションにおいては，（０００４），（０００５）のようなｆ（ｘ，ｙ）のような定性的な定義だけでは，実際の値は計算できない。特定化された関数を用いて，実際に数値を計算できるようにする必要がある。しかしながら，例としては，ｕ＝ｘ０．５＋ｙ０．５，ｕ＝ｘ０．５ｙ０．５のような広く用いられている効用関数または生産関数は，費用最小化や効用最大化を行ったときに，ｘもｙも（０００４）や（０００５）として定式化された下級財の性質を示さない。
【０００７】
本発明の特徴は，私が（特許文献１）において示した効用関数または生産関数が有していたシンプルな構造を十分に生かして，同関数では１つであった下級財の数を２つ以上の任意数に増やすことができる効用関数または生産関数である。このために本発明における効用関数または生産関数はｘ１財からｘｎ財，およびｙ財というｎ＋１個の財の消費量または投入量を変数として，ｆ（ｘ１，ｘ２，…ｘｎ，ｙ，ｕ）＝０を一般形とする多変数関数となる。本発明は（特許文献１）から専門知識があれば想像しうる拡張であるが，利便性が向上するので発明として特許したい。なお，本出願においては関数と陰関数の区別は本質的でないので，すべて「関数」の語で統一する。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００８】
【特許文献１】特願２０１６−０１８６４３
【非特許文献】
【０００９】
【非特許文献１】Epstein, G. S. and Spiegel, U. (2000). ‘A production function with an inferior input’, The Manchester School, Vol. 68, pp. 503-515
【非特許文献２】J. Doi, K.Iwasa, and K. Shinomura (2006), 'A utility function can generate Giffen behavior', discussion paper cirulated in internet.（注：giffen財は下級財の１種である）
【発明の概要】
【００１０】
経済学的な解釈が容易で，数学的にも扱いやすい効用関数または生産関数でありながら，１つではなく任意の数の下級財を表現できる効用関数，または生産関数の発明。
【発明が解決しようとする課題】
【００１１】
下級財を表現できる効用関数または生産関数は（０００９）に概観されるように既に何種類かが知られているが，数式の構造が複雑である上に，経済上の意味が不明瞭であった。また，これ以外の下級財の効用関数や生産関数は，ｘとｙの値が大きくなると最適化のための１階条件や２階条件を満たさない関数となり数学的に使用が不適切となる問題点があった。さらに，下級財の効用関数または生産関数で効用水準や生産量の計算をしたり，関数の形状をグラフに描くときには専用の数学ソフトを用いる必要があった。効用関数または生産関数の使用者が自身の作業をするたびにパソコン等をつかって面倒な入力を必要とするなど数式構造の複雑さや変数範囲の制限から生じる作業量の増大が生じていた。
【００１２】
（００１１）に挙げた課題を私の（特許文献１）は十分に解決するが，（特許文献１）においては関数に含まれる下級財は１つだけであった。すなわち（特許文献１）の効用関数あるいは生産関数は，必要最小限のエッセンスを凝縮した「原型」として明瞭であるが，下級財を２つ以上にしたときの効果が明細書に書いてないので不明瞭であった。
【課題を解決するための手段】
【００１３】
（特許文献１）において，ｕ＝ｕ−ｃｘａ＋ｙとしていた関数形を拡張して，本発明においては，ｕ＝ｕ−ｃ１ｘ１ａ１＋ｕ−ｃ２ｘ２ａ２＋…＋ｕ−ｃｎｘｎａｎ＋ｕ−ｄｙ，（ただし，ｃ１，ｃ２，…，ｃｎ，ｄはいずれも非負の定数，ａ１，ａ２，…，ａｎはいずれも（０，１］の範囲の定数）とした。更に，下級財ではない方の財の消費量をあらわすｙについて，新たにｕ−ｄを係数として付加することで数学的な一般性を高める工夫を凝らした。以上の工夫により，本発明は任意のｎ個の下級財を示す実用性の高い効用関数または生産関数の開発に成功し，（００１１），（００１２）の課題を解決した。
【発明の効果】
【００１４】
発明された関数は，従来は困難であった下級財を表現するだけでなく，その下級財を１つでなく任意にいくらでも増やすことができる。分析する財は２財に限られない。３財でも１０００財でも可能である。よって，用途が広い。
【００１５】
既存の多くの効用関数又は生産関数においては，財の数を２つ以上にすると，最適化の末に導出される需要関数や補償需要関数は，人間には理解困難な煩雑な数式となるものが多い。しかし，本発明では，補償需要関数は（数３）のように積のみのシンプルな構造をとることから，（数３）を対数変換して線形関数にすれば，最小二乗法などの統計分析の初心者でも実施できる程にシンプルで使いやすい下級財の関数となる。
【発明を実施するための形態】
【００１６】
人間の手で行う。数学用の専用アプリケーションソフトを使うことなく，広い範囲の数値について手計算ができる。ただし，回帰式として実施したり，複雑なシュミレーションをする場合には計算機が必須である。例えば，本発明の需要関数を共通のモデルとして，ｃｉやａｉを男女別のデータでそれぞれ推計することで，男女に違いがあるかといった仮説が検証できる。男女別以外にも，国別や時代別，産業別など比較の仕方はいくらでもある。
【実施例１】
【００１７】
以下では，ｘ１とｘ２を労働投入量と解釈して，この２つの下級財の生産要素需要関数の導出を示す。
【００１８】
ｘ１，ｘ２は２種類の異なる労働であり，ｘ１は１単位につき２の費用が生じ，ｘ２は１単位につき３の費用が生じるとする。ｙは資本設備であり，１単位に付き１の費用が生じるものとする。総費用をＣで表す。そして，目的関数をＣ＝２ｘ１＋３ｘ２＋ｙとする。また，生産量をｕで表し，下級財の効用関数または生産関数をｕ=ｕ−１ｘ１０．５＋ｕ−１ｘ２０．５＋ｕ０ｙとするが，この関数は一般の経済学では生産関数という。
【００１９】
（００１８）に示したｕ=ｕ−１ｘ１０．５＋ｕ−１ｘ２０．５＋ｙを制約条件式とする。目標とするｕの値を分析者が定めた上で，目標とする生産量を実現しつつ，Ｃ＝２ｘ１＋３ｘ２＋ｙを最小化するようなｘ１，ｘ２，ｙの値を求める。このようなｘ１，ｘ２，ｙを求める数学問題は最適化数学における制約条件付き費用最小化問題とよばれる。
【００２０】
制約条件式であるｕ=ｕ−１ｘ１０．５＋ｕ−１ｘ２０．５＋ｙを変形して，ｙ＝ｕ−ｕ−１ｘ１０．５−ｕ−１ｘ２０．５をつくり，Ｃ＝２ｘ１＋３ｘ２＋ｙのｙに代入することで，制約条件式を内包した目的関数として，Ｃ＝２ｘ１＋３ｘ２＋ｕ−ｕ−１ｘ１０．５−ｕ−１ｘ２０．５をえるが，この関数は最適化に必要な数学的な前提を満たしている。そこで，Ｃ＝２ｘ１＋３ｘ２＋ｕ−ｕ−１ｘ１０．５−ｕ−１ｘ２０．５に多変数関数の最適化の技法にもとづきＣをｘ１，ｘ２で微分してゼロとおくことで，Ｃを最小化するようなｘ１，ｘ２，ｙが導出される。なお，最適化の手法には様々な方法が開発されているが，本特許とは関係が無く，広く知られている様々な最適化の手法，たとえばラグランジュ未定乗数法などでもよい。
【００２１】
（００２０）の計算を進める。公知の最適化の手法にもとづくと，∂Ｃ／∂ｘ１＝０かつ∂Ｃ／∂ｘ２＝０，がＣの最小化条件である。すなわち，∂Ｃ／∂ｘ１＝２−（０．５／ｕ）ｘ−０．５＝０かつ∂Ｃ／∂ｘ２＝３−（０．５／ｕ）ｘ−０．５＝０が費用最小化条件として得られる。費用最小化条件をｘ１とｘ２について解くと，生産要素需要関数として，ｘ１＝（１／ｕ），ｘ２＝（１．５／ｕ）をえる。
【００２２】
さきの（００２１）でえた生産要素需要関数ｘ１＝（１／ｕ），ｘ２＝（１．５／ｕ）をみると，目標生産量であるｕの値を高くすると，最適な労働投入量ｘ１およびｘ２は共に反比例的に減少するような数式を成していることが分かる。よって，ｘ１とｘ２は共に下級財の性質が現れている。こうして２つ以上の下級財を表現することが実現されている。
【実施例２】
【００２３】
本発明を効用関数として用いて，下級財の需要関数を導く例を示す。
ｘ１，ｘ２，ｙで各財の消費量，ｕで消費から得る効用水準を表す。ｐ１，ｐ２で，ｘ１，ｘ２の価格を表す。ｍは所得をあらわす。ｙの価格は１とする。（請求項３）に適合する効用関数として，ｕ＝ｕ−１ｘ１０．５＋ｕ−１ｘ２０．８＋ｙとおく。これに線形制約ｐ１ｘ１＋ｐ２ｘ２＋ｙ＝ｍ，（ｐ１，ｐ２，ｍは定数）を課して，ｕの値を最大にするようなｘ１，ｘ２，ｙを求める。
【００２４】
（００２３）の計算を進める。公知の最適化の手法をつかって私がｕの値を最大化する計算を行った結果が（請求項３）の（数３）から（数５）に示されている。（実施例２）においては，（数３），（数４），（数５）の中の記号をｊを１，ｋを２とし，ｓ財に該当するものは（実施例２）では使っていないので，（数５）の中のｓを付した変数ａｋ，ｐｋ，ｃｋの値はすべて０に設定する。（数３）から（数５）を計算してゆくと，ｘ１の需要関数として，ｐ１ｘ１＋（０．８／ｐ２）３（ｐ１／０．５）ｘ１０．５−０．５ｐ１ｘ−０．５＋ｍ＝０をえる。この式をみると，ｐ１とｐ２とｍを定めるとｘ１の値が定まるｘ１の需要関数が生成されていることが分かる。
【００２５】
（００２４）で得たｐ１ｘ１＋（０．８／ｐ２）３（ｐ１／０．５）ｘ１０．５−０．５ｐ１ｘ−０．５＋ｍ＝０という需要関数は，自身の価格であるｐ１が上昇すると自身の需要量ｘ１が減少し，競合する下級財の価格であるｐ２が上昇すると自身の需要ｘ１が増大するという「需要法則」の性質を有している。この「需要法則」は現実的な経済分析においては必須とされる性質であり，本発明はこの条件を満たす。そして，もちろん，所得であるｍが増大するとｘ１が減少するという下級財の性質も有する。また，消費者の最大の目的である効用ｕの最大化を達成するという経済学において好んで使われる経済的な目標も達成している。
【産業上の利用可能性】
【００２６】
下級財は，低所得者が好んで需要する財であることから，貧しい人の経済生活に関して，生活上の必要量や効用水準の数値化など，低所得者の生活を向上させる研究に役立つ。
【００２７】
労働への需要は，生産量の増大と共に減少する下級財である産業もある。これらの複数の産業における労働需要への影響を計算することで，雇用についての数値的，理論的調査ができるようになる。マクロ経済政策の作成に利用できる。