(57)【要約】      （修正有）【課題】最適化を用いた数値解析において下級財を扱いやすく表現できるような効用関数または生産関数を作成する。【解決手段】上級財しか表現できない公知の加法的効用関数または加法的生産関数に対して，下級財としたい財の変数の係数として効用または生産量の減少関数を付加することで，値が都合よく調整される。この結果，下級財の性質を示す需要関数や生産要素需要関数が得られる。【選択図】なし【特許請求の範囲】
【請求項１】
請求項３の（数１）のｕに効用または生産量，（数１）のｘとｙに２つの財の消費量または投入量を観察データや代理のデータを代入したときに，数値的に整合性のある（数１）のａとｃの値を算出し，算出されたａとｃの値を請求項２の（数２）のaとｃに代入し，その（数２）のｕとｐに自身の希望する数を代入することで，財の量としてのｘの値を生成するプログラム又は，そのようなｘの数の生成方法。
【請求項２】
請求項３の（数１）のｕに効用または生産量，（数１）のｘとｙに２つの財の消費量または投入量を観察データや代理のデータを代入したときに，数値的に整合性のある（数１）のａとｃの値を算出し，算出されたａとｃの値を請求項５の（数３）のaとｃに代入し，算出されたａとｃの値を請求項５の（数３）のaとｃに代入し，その（数３）のｍとｐに自身の希望する数を代入することで，財の量としてｘの値を生成するプログラム又は，そのようなｘの数の生成方法。
【請求項３】
（数１）で表される効用関数または生産関数。
【数１】
2017138984.tif 000002
変数ｕは効用水準または生産量，ｘとｙはこの２財の消費量または投入量である。ｘが下級財としての性質を示し，ｙは正常財としての性質を示す。
【請求項４】
ｍ＝ｐｘ＋ｙを目的関数とし，（数１）を制約条件として，ｍを最小化するｘとｙの値を計算したときの，ｘのほうの値を導く数式である補償需要関数または生産要素需要関数として解釈できる（数２）。ｐとｕは正の定数をｕに目標となる効用水準または生産量を与える。
【数２】
2017138984.tif 000003
【請求項５】
（数１）を目的関数とし，ｍ＝ｐｘ＋ｙを制約条件として，ｕを最大化するｘとｙを求めることで得られるｘの値を導く数式である需要関数として解釈できる（数３）。ただし，ｐとｍは正の定数。
【数３】
2017138984.tif 000004
【請求項６】
（数１）中の１／ｕｃの項の分子「１」を「２」などの他の値に変えたうえで，（数２），（数３）など他の数式に必要な修正を施すといった改良式も本発明に含まれる。
【請求項７】
（数１）のｙについて，ｙを２ｙに置き換えた数式，あるいは，ｙを既知の１次同次関数あるいは未来に開発される１次同次関数，たとえば既知の１次同次関数であるコブ＝ダグラス型関数ｙ１ｚｙ２１−ｚ（０≦ｚ≦１）や，ＣＥＳ関数に置き換えた数式。なお，ｙを１次同次関数に置き換えたときには，請求項４および請求項５のｍ＝ｐｘ＋ｙの式をｐｘ＋ｆｙ１＋ｇｙ２，（ｆとｇは定数）と変更する必要が数学上生じるが，これらは些細で自明な改良であり本発明に含まれるものとする。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
経済学，ＯＲ，数理計画法
【背景技術】
【０００２】
家庭において所得が増大すると需要量が減少する財は下級財という。具体例としては扇風機である。また，生産において生産量が増大すると需要量が減少する生産要素も下級財（または下級生産要素）という。例としては，労働である。生産量が増大すると機械化により労働への需要が減少することがあるからである。
【０００３】
サービス業においては消費と生産が同時に生じることから効用関数と生産関数の区別は曖昧であるが，主サービスと付帯サービスを合わせて全体のサービスが販売されるとき，全体のサービスの需要量が多い優良な顧客には提供を避けるべき付帯サービスは下級財（あるいは，下級サービス）であるといえる。
【０００４】
上に挙げた例は下級財の意味的な定義であるが，本発明における数理的な下級財の定義は，経済学に基づいた（０００５）と（０００６）の２つの定義とする。なお，記号の凡例として，Ｘ財とＹ財の消費量をｘとｙで表す。Ｘ財とＹ財の消費から感じる効用をｕとして，ｘとｙに応じたｕの値を与える関数を効用関数という。また，生産量をｕで表し，Ｘ財とＹ財の投入量として，ｘとｙに応じたｕを与える関数を生産関数という。効用関数または生産関数は，一般形としては，ｕ＝ｆ（ｘ，ｙ）として表される。
【０００５】
下級財の定義の１つ目を説明する。Ｙ財の価格を１としたときのＸ財の価格をｐと表すと，総費用をｍとすると，ｍ＝ｐｘ＋ｙとなる。このとき，目標とするｕの値を決めた上で，ｕ＝ｆ（ｘ，ｙ）を制約条件，ｍ＝ｐｘ＋ｙを目的関数として，ｍを最小化するｘとｙを求める最適化を費用最小化という。費用最小化の結果として導出される最適なｘとｙは，数学的な帰結として，ｘ＝ｘ（ｐ，ｕ），および，ｙ＝ｙ（ｐ，ｕ）といったｐとｕの関数になる。このときｄｘ（ｐ，ｕ）／ｄｕ＜０となるときに，ｘは下級財であるという。また，なお，このｘ（ｐ，ｕ）は，補償需要関数，あるいは，要素需要関数と呼ばれる。
【０００６】
下級財の定義の２つ目を説明する。Ｙ財の価格を１としたときのＸ財の価格をｐ，所得をｍとすると，ｍ＝ｐｘ＋ｙとなる。ｐとｍを定数として，ｍ＝ｐｘ＋ｙを制約条件，ｕ＝ｆ（ｘ，ｙ）を目的関数としてｕを最大化するようなｘとｙをもとめる最適化を効用最大化という。効用最大化の結果として導出される最適なｘとｙはｘ＝ｘ（ｐ，ｍ），および，ｙ＝ｙ（ｐ，ｍ）といったｐとｍの関数であらわされる。このときｄｘ（ｐ，ｍ）／ｄｍ＜０となるときに，ｘは下級財であるという。なお，このｘ（ｐ，ｍ）は需要関数と呼ばれる。
【０００７】
実際の統計解析や数値シミュレーションにおいてはｆ（ｘ，ｙ）のような関数の定義では，ｕの値は計算できない。特定化された関数を用いて，実際に数値を計算できるようにする必要がある。しかしながら，例としては，ｕ＝ｘ０．５＋ｙ０．５やｕ＝ｘ０．５ｙ０．５のような広く用いられている効用関数または生産関数からは，ｘもｙも下級財となる需要関数や要素需要関数は得ることができない。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００８】
わたしには分かりません。審査よろしくお願いします。
【非特許文献】
【０００９】
【非特許文献１】Epstein, G. S. and Spiegel, U. (2000). ‘A production function with an inferior input’, The Manchester School, Vol. 68, pp. 503-515
【非特許文献２】J. Doi, K.Iwasa, and K. Shinomura (2006), 'A utility function can generate Giffen behavior', discussion paper cirulated in internet.（注：giffen財は下級財の１種である）
【発明の概要】
【００１０】
経済学的な解釈が容易で，数学的にも扱いやすい効用関数または生産関数でありながら，下級財となる需要関数が得られるような効用関数，または生産関数の発明。なお，この特許願は，特願２０１６−０１８６４３（平成２８年２月３日出願）をもとにする。出願の後に，数式は権利化が難しい事が判明したため，請求項１，２，６，７を追加し，請求項と対応する実施例として実施例１を新たに加えて内容を改善した。請求項３，４，５については，元の出願と内容は同じであるが，文章に変更を加えた。大きな補正をすると無効になることがある模様なので，大事をとって優先権の主張による出願とした。
【発明が解決しようとする課題】
【００１１】
広く使われている効用関数または生産関数は上級財のみのものが多い。したがって，たとえば，目標とする生産量が高くなると，かならず，全ての生産要素について一様に投入量が増加する。決して，投入量を減少させるという数値は生じない生産関数となっている。このような上級財のみの生産関数では，適用できる対象が限られる。
【００１２】
下級財の効用関数または生産関数は
【非特許文献１】，
【非特許文献２】に示したとおり，既に知られているが，数式の構造が複雑である上に，経済上の意味が不明瞭であった。また，これ以外の下級財の効用関数や生産関数は，ｘとｙの値が大きくなると最適化のための１階条件や２階条件を満たさない関数となったり，負の数になるなどの異常値が生じるものがあり，数学的に使用に手間がかかるものであった。
【課題を解決するための手段】
【００１３】
公知の準加法的な効用関数ｕ＝ｘａ＋ｙ，（０＜ａ＜１）を元にして，ｕの減少関数１／ｕｃ，（ｃ＞０）を下級財にしたい財であるｘの係数として挿入し，ｕ＝ｕ−ｃｘａ＋ｙとする。
【発明の効果】
【００１４】
一般に，効用水準または生産量をあらわすｕについては，複素数や∞，あるいは負の値をとると，現実的なｕの解釈ができなくなる。このため，ｕ＝ｕ−ｃｘａ＋ｙは，ｘが下級財としての性質を示すかどうかの問題に加え，ｕが負値，複素数，∞などの異常値をとるかどうかを検出する必要がある。
【００１５】
さらに，（００１４）に示したｕ＝ｕ−ｃｘａ＋ｙという関数は左辺と左辺の両方にｕを含む式であり，しかも，代数的にｕについて必ずしも解けるとは限らず，解けたとしても遠大で複雑な式となる。確かに，ｃ＝１に限って言えば，ｕ＝ｕ−１ｘａ＋ｙとなり，両辺にｕをかけることでｕ２−ｕｙ＋ｘａ＝０とすれば，２次方程式となることから，2次方程式の解の公式でｕについて解くことができる。しかし，通常，ｃは０．０５のような１よりも小さな値をとる事が想定されるが，この場合には，ｕについて解くことは難しい。
【００１６】
しかし，ｕ＝ｕ−ｃｘａ＋ｙは，ｕについて代数的に解けない式であるが，左辺のｕの項と，右辺のｕ−ｃｘａ＋ｙの項に分離できる構造となっている。
【００１７】
そこで，ｕ＝ｕ−ｃｘａ＋ｙの左辺をＬ，右辺をＲで表して，Ｌ＝ｕとＲ＝ｕ−ｃｘａ＋ｙの２つの関数に分解して表す。ＬとＲの値を縦軸，ｕを横軸にとってグラフにすると（図１）となる。Ｌ＝ｕは（図１）の１のように右上がりの直線，Ｒ＝ｕ−ｃｘａ＋ｙは（図１）の２のようにｕに反比例的に単調に減少する双曲線として描かれる。（図１）より，Ｅ点のような交点が必ず存在する。Ｅ点ではｕ＝ｕ−ｃｘａ＋ｙが成立する。よって，ｘ，ｙ，ａ，ｃを数値で与えた式を使ってコンピュータでｕを０から次第に大きくして総当たりで計算すれば，ｕの値を算出できる。算出されるｕは，負値，複素数，∞などの異常値ではなく，正値となる。
【００１８】
また，（図１）において，ｘあるいはｙの値が増加すると，（図１）の２で示されるＲのグラフは上方にシフトする。よって，交点Ｅは右上方に移動する。よって，ｘあるいはｙの値が増加するとｕの値も必ず増加することが示されている。これは経済学における単調性の仮定とよばれおり，下級財か上級財かとは無関係に，財の消費量が増加すれば，効用は増加する，あるいは，下級財か上級財かとは無関係に，投入する生産要素の量が増加すれば，生産量は増加する，という単調性の仮定を，本関数が備えていることを示している。
【００１９】
すなわち，本発明は，下級財の効用関数または生産関数として，代数的にはｕについて解けない式を使うことで，両辺にｕを含みながらも文字列としては簡潔で分かり易い式となっている。そのうえで，ｕの値が代数的に計算できないという問題は，コンピュータで数値計算する限りは克服できるようになっている。異常値がなく，扱いやすい下級財の効用関数または生産関数となっている。
【００２０】
以下，本特許の数式としては，厳密には関数ではなく陰関数となるが，本出願においては関数と陰関数の区別はせずに，すべて関数あるいは数式と表現する。
【図面の簡単な説明】
【００２１】
【図１】ｕの値が数値計算できることを説明するための図
【発明を実施するための形態】
【００２２】
本発明の実施は，単純な数値例であれば手計算や家庭用電卓でも可能であるが，指数の計算など計算量が膨大であることや，作業が複雑であることから全く現実的でない。よって，コンピュータで実施する。もっぱらコンピュータ上に数式をプログラムし，人間，あるいは通信により得たデータをもとに，ｘやｙなどの値を関数に代入して，下級財の需要量を決定するために使用する。
【実施例１】
【００２３】
実施例としては，サービス業における効用関数または生産関数としての使用例を示す。サービス業では，消費と生産が同時におこるために，効用関数と生産関数の区別は曖昧になる。本関数は，サービス業での利用にも適している。
【００２４】
サービス業では，主サービスへの需要量が大きい顧客には提供しない方が良いような付帯サービスが多くある。たとえば，広告，重いもの，長文の説明などが下級サービスとなりやすい。
【００２５】
本発明により，下級サービスの供給量を数理的に制御して，企業の経費削減（００２９），顧客の時間の節約（００３０），下級サービスが顧客に生じさせる心理的コストの見える化（００３１）が実現できる。
【００２６】
効用関数は（数１）のとおり，ｕ＝ｕ−ｃｘａ＋ｙである。ｕで顧客が受けたいと望む効用水準である。効用水準は観察できないので支出金額やアンケートなどで代用することもできる。ｘとｙがサービス量である。ｘは下級サービスの量，ｙは上級サービスの量である。
【００２７】
観察されたデータとして，ｕが１６の顧客は，ｘを１６単位，ｘを１４単位を需要していると分かっているとする。このときｕ，ｘ，ｙの各値を（数１）に代入して，１６＝（１／１６ｃ）１６ａ＋１４とする。この等式を最もよく満たすａとｃは，ａ＝０．５，ｃ＝０．２５と計算できる。なお，右辺（１／１６ｃ）１６ａ＋１４の値はａ＝０．５，ｃ＝０．２５のとき，寸分の狂いなく１６となることから，右辺と左辺は「＝」で結ばれるが，実際は，観察されるｕ，ｘ，ｙのデータを使うときには，なるべく右辺と左辺が等しくなるようなａとｃの概ねの数値を算出すればよい。
【００２８】
いま，企業にはｘとｙの供給に応じて費用が発生するとする。たとえば，ｙの単位費用を１円，ｘの単位費用が０．１５円であるとき，総費用をｍとすると，ｍはｍ＝０．１５ｘ＋ｙと表せる。（ｘ財の単位費用をｐとすると，ｍは，ｍ＝ｐｘ＋ｙと表せる。）
【００２９】
（００２７）で求めたａ＝０．５，ｃ＝０．２５を（数２）に代入すると，（数２）は要素需要関数ｘ＝（０．５／（ｐｕ０．２５））２となる。ｕに目標水準，ｐにｘの価格として，ｕ＝１０，ｐ＝０．１５をｘ＝（０．５／（ｐｕ０．２５））２に代入する計算すると，ｘ＝約３．５１をえる。このｘ＝約３．５１という値は，ｕ＝１０を実現しつつ総費用ｍを最小化している。ここで，ｕの目標水準をｕ＝１０からｕ＝２０へと上げると，ｘ＝約２．４８となりｘの値は約１．０３単位だけ減少しており，下級財の性質が表れていることがわかる。
【００３０】
また，（００２９）とは異なる実施方法として，ｐとして「サービス時間」を使うこともできる。サービス業では，提供したサービスを顧客が読んだり，体験したりする必要があるため，必ずサービスには時間がかかる。ｙのサービス時間を１，ｘのサービス時間が０．１５であるとき，総サービス時間はｍ＝０．１５ｘ＋ｙである。（００２９）と同様の計算により得られるｘ＝約３．５１は，ｕ＝１０を最小の時間ｍで実現するｘの値となる。例えば，スマホゲームなどにおいて，指揮官や伝道師などのゲーム中のキャラクターを通じて顧客にｘ＝約３．５１を「出撃回数」や「魔法の力」として付与すれば，顧客は，ゲーム時間を最小化しつつ，ｕ＝１０の効用を得る。よって，顧客はゲームにかかる時間を最小限にしつつも，楽しさは一定の水準に保つことができる。
【００３１】
また（００２９）や（００３０）とは異なる実施例として，ｐを下級サービスの価格指標として活用する実施例がある。いま，（０００３）で求めたａ＝０．５，ｃ＝０．２５を（数３）に代入するとｘ＝（０．５／（ｐｕ０．２５））２をえる。これはｘの要素需要関数である。ここで顧客のｕの値を観察データ等をもとに，ｕ＝１６，ｘ＝１６であることが分かったとする。ｕ＝１６とｘ＝１６をｘ＝（０．５／（ｐｕ０．２５））２に代入するとｐ＝０．０６５をえる。これは，ｘの消費にかかる費用は０．０６５であると解釈できる。サービス業においては，無料のサービスが多いが，金銭的に無料なサービスでも顧客にコストを発生させる。この顧客に発生するコストをｐ＝０．０６５のように指数化して表現できるのである。
【実施例２】
【００３２】
本発明を効用関数として用いる実施例を示す。ｘは価格が２，ｙの価格は１で販売されている消費財の消費量を表す。このときに所得を仮に１０として，予算の全額をｘまたはｙに支出すると仮定した場合には，所得の範囲内で購入可能なｘとｙは１０＝２ｘ＋ｙを必ず満たす。実施例として効用関数をｕ=（１／ｕ０．５）ｘ０．５＋ｙとする。消費量であるｘとｙの値に応じて，この消費者が感じる効用水準ｕの値が定まる。
【００３３】
効用ｕの値がｕ=（１／ｕ０．５）ｘ０．５+ｙで決定されるとき，１０＝２ｘ＋ｙを満たしながら効用ｕを最大化するような財の量ｘとｙを求める。 このような効用を最大化するｘとｙを求める問題はミクロ経済学では効用最大化問題と呼ばれる。
【００３４】
数学的最適化の手法をもちいて，この問題を解くと，効用ｕを最大化するｘの値として，
ｘ＝［｛（１０／２）２＋１／８｝０．５−（１０／２）］／２
が得られる。上の式において１０が所得を表す部分である。式中の１０の部分を１１，１２と高めていけば，ｘの値は減少していく性質があることがわかる。つまり，所得が上昇すると消費量が減少するような財である下級財としての性質を示したｘの数が得られている。
【産業上の利用可能性】
【００３５】
サービス業では，下級サービスが広く使われることから，下級サービスについての経費や時間コストの削減ができる。また，下級サービスの供給量をコンピュータで自動制御するときの数式として使える。
【００３６】
下級財は，低所得者が好んで需要する財であることから，貧しい人の経済生活に関して，生活上の必要量や効用水準の数値化など，低所得者の生活を向上させる研究に役立つ。労働への需要は，生産量の増大と共に減少する下級財である産業もある。これらの労働への影響を計算することで，雇用についての数値的，理論的調査ができるようになる。
【図１】
2017138984.tif 000005