(57)【要約】      （修正有）【課題】小さな沈下量で大きな牽引力が得られるホイール及びホイールシステムを提供すること。【解決手段】ホイール１は、円形のホイール本体２と、複数のグローサ３とを有する。複数のグローサ３のそれぞれは、ホイール本体２の外周沿って設けられ、ホイール本体２の中心線よりホイール本体２の回転方向の反対側に傾いた第１の接線を持つ接触表面を有する。【選択図】図１
2017088170.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
円形のホイール本体と、
前記ホイール本体の外周に沿って設けられ、前記ホイール本体の中心線より前記ホイール本体の回転方向の反対側に傾いた第１の接線を持つ接触表面を有する複数のグローサと
を具備するホイール。
【請求項２】
前記複数のグローサのそれぞれは、前記ホイール本体の中心線より前記ホイール本体の回転方向の反対側に傾いて設けられ、矩形の前記接触表面を有する突起部材により構成される
請求項１に記載のホイール。
【請求項３】
前記ホイール本体の中心線と前記突起部材の前記接触表面とがなす角度は、ほぼ９０°である
請求項２に記載のホイール。
【請求項４】
前記複数のグローサのそれぞれは、ほぼ４分の１の円弧状の前記接触表面を有する１／４円筒状部材により構成される
請求項１に記載のホイール。
【請求項５】
前記ホイール本体の中心線と前記ホイール本体の外周の位置における前記１／４円筒状部材の第２の接線とは、ほぼ一致する
請求項４に記載のホイール。
【請求項６】
前記ホイール本体の中心線の方向に対する前記１／４円筒状部材の高さをｈ１とし、前記１／４円筒状部材の半径をｒ１としたとき、
０．５≦ｒ１／ｈ１≦３
である
請求項５に記載のホイール。
【請求項７】
前記ｒ１／ｈ１は、ほぼ１である
請求項６に記載のホイール。
【請求項８】
前記複数のグローサの数は、１〜４８である
請求項１に記載のホイール。
【請求項９】
前記複数のグローサの数は、２４である
請求項８に記載のホイール。
【請求項１０】
円形のホイール本体と、
前記ホイール本体の外周に沿って設けられ、第１の接触表面及び第２の接触表面を有する複数のグローサと
を具備し、
前記第１の接触表面は、前記ホイール本体の第１の中心線より前記ホイール本体の第１の回転方向の反対側に傾いた第１の接線を有し、
前記第２の接触表面は、前記ホイール本体の第２の中心線より前記第１の回転方向と反対方向の第２の回転方向の反対側に傾いた第２の接線を有する
ホイール。
【請求項１１】
前記複数のグローサのそれぞれは、前記第１の接触表面と前記第２の接触表面とが交差する稜線を有する
請求項１０に記載のホイール。
【請求項１２】
前記ホイール本体の前記第１及び第２の中心線と前記第１及び２の接触表面とがそれぞれなす角度は、ほぼ９０°である
請求項１１に記載のホイール。
【請求項１３】
前記複数のグローサの数は、６である
請求項１２に記載のホイール。
【請求項１４】
前記複数のグローサのそれぞれは、ほぼ４分の１の円弧状の前記第１の接触表面とほぼ４分の１の円弧状の前記第２の接触表面とが連続する１／２円柱状部材により構成される
請求項１０に記載のホイール。
【請求項１５】
前記ホイール本体の中心線と前記ホイール本体の外周の位置における前記１／２円柱状部材の第３の接線及び第４の接線とは、それぞれ、ほぼ一致する
請求項１４に記載のホイール。
【請求項１６】
前記ホイール本体の中心線の方向に対する前記１／２円柱状部材の高さをｈ１とし、円弧状の前記第１及び第２の接触表面の半径をｒ１としたとき、
０．５≦ｒ１／ｈ１≦３
である
請求項１５に記載のホイール。
【請求項１７】
前記ｒ１／ｈ１は、ほぼ１である
請求項１６に記載のホイール。
【請求項１８】
各軸のそれぞれが同軸となるように配置された複数のホイールを具備し、
前記複数のホイールのそれぞれは、
円形のホイール本体と、
前記ホイール本体の外周に沿って設けられ、第１の接触表面及び第２の接触表面を有する複数のグローサと
を有し、
前記第１の接触表面は、前記ホイール本体の第１の中心線より前記ホイール本体の第１の回転方向の反対側に傾いた第１の接線を有し、
前記第２の接触表面は、前記ホイール本体の第２の中心線より前記第１の回転方向と反対方向の第２の回転方向の反対側に傾いた第２の接線を有する
ホイールシステム。
【請求項１９】
前記複数のホイールのそれぞれの、前記複数のグローサのそれぞれは、前記第１の接触表面と前記第２の接触表面とが交差する稜線を有する
請求項１８に記載のホイールシステム。
【請求項２０】
前記複数のホイールのそれぞれの前記複数の稜線の数は、等しく、
前記複数のホイールのそれぞれの、前記複数の稜線のそれぞれの前記複数のホイールの軸の方向の位置が、隣接する前記ホイールの前記複数の稜線のそれぞれの前記複数のホイールの軸の方向の位置と一致しないように、前記複数のホイールは、配置されている
請求項１９に記載のホイールシステム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、典型的には砂、土、泥、畑といった柔軟な地盤上を走行する機械車両に用いられるホイール及びホイールシステムに関する。
【背景技術】
【０００２】
柔軟な土質の地形を移動する機械車両としては、惑星探査用車両やオフロード車、建設土木機械車両、農耕機械車両などがある。これらの車両に用いられるホイールは、地形への沈下量に比例して大きな牽引力を獲得する必要がある。
【０００３】
月惑星探査用ローバに搭載された金属車両は、例えば中心線の方向に突出する複数のグローサが外周に沿って設けられたホイールを有する（非特許文献1及び２参照）。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００４】
【非特許文献１】Squyres, S. W., Arvidson, R. E., and et.al (2003). Athena mars rover science investigation. J. Geophysical Researchs, 108(E12):8062.
【非特許文献２】Welch, R., Limonadi, D., and Manning, R. (2013). Systems engineering the curiosity rover: A retrospective. Proc.2013 8th International Conference on System of Systems Engineering, pages 70-75.
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
上記のホイールは、柔軟な土質の地形を走行する際に、地形への沈下量に比例して大きな牽引力を獲得することができるが、沈下量の増加は走行抵抗（走行効率の低下）の増加を招く。ときには、ホイールは、地中深くに埋まって動かなくなる状態、つまりスタックを招く。この場合に、ホイールの数を増やすことで、接地面積を大きくし、沈下量を低減できるが、大きさや重量などの点で問題がある。
【０００６】
以上のような事情に鑑み、本発明の目的は、小さな沈下量で大きな牽引力が得られるホイール及びホイールシステムを提供することにある。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
上記目的を達成するため、本発明の一形態に係るホイールは、円形のホイール本体と、複数のグローサとを有する。複数のグローサは、前記ホイール本体の外周に沿って設けられ、前記ホイール本体の中心線より前記ホイール本体の回転方向の反対側に傾いた第１の接線を有する接触表面を有する。或いは、複数のグローサは、中心線と交わる、前記ホイール本体の回転方向の反対側に延伸した第１の接線を有する接触表面を備える。
【０００８】
本発明者等は、Resistive Force Theory(Li, C., Zhang, T., and Goldman, D. I. (2013). A terradynamics of legged locomotion on granular media. Science, 339:1408-1412.参照)と呼ばれる実験的に求められた沈下−圧力関係式に基づいてホイール表面のグローサの形状の最適設計を行った。
【０００９】
変分法を基礎とした解析的最適化計算の結果、回転角度に応じてグローサの形状を変化させると最良であるという結果が導出されたが、回転角度に応じてグローサの形状を変化させることは実用的ではない。そこで、線形での最適化計算を行ったところ、グローサの形状は、ブカナン外車やモルガン水車などに用いられる形状と同じとなったが、本発明者等は、更になる最適化計算を行い、様々なグローサの形状を検証し、本発明を案出するに至った。
【００１０】
ここで、前記複数のグローサのそれぞれは、前記ホイール本体の中心線より前記ホイール本体の回転方向の反対側に傾いて設けられ、矩形の前記接触表面を有する突起部材により構成されることが好ましい。
【００１１】
前記ホイール本体の中心線と前記突起部材の前記接触表面とがなす角度は、ほぼ９０°であることが好ましい。
【００１２】
前記複数のグローサのそれぞれは、例えばほぼ４分の１の円弧状の前記接触表面を有する１／４円筒状部材により構成されることが好ましい。その部材は、一部が円弧状でもよく、例えばその一部の断面が１／２円弧状或いは1／４円弧状であってもよい。
【００１３】
前記ホイール本体の中心線と前記ホイール本体の外周の位置における前記１／４円筒状部材の第２の接線とは、ほぼ一致することが好ましい。
【００１４】
前記ホイール本体の中心線の方向に対する前記１／４円筒状部材の高さをｈ１とし、前記１／４円筒状部材の半径をｒ１としたとき、
０．５≦ｒ１／ｈ１≦３
であることが好ましい。
【００１５】
前記ｒ１／ｈ１は、ほぼ１であることがより好ましい。ｒ１／ｈ１をほぼ１とすることで、ホイールの製造や車両などへの実装が容易になる。
【００１６】
前記複数のグローサの数は、１〜４８であることが好ましい。
【００１７】
前記複数のグローサの数は、２４であることがより好ましい。
【００１８】
本発明の別形態に係るホイールは、円形のホイール本体と、前記ホイール本体の外周に沿って設けられ、第１の接触表面及び第２の接触表面を有する複数のグローサとを具備する。前記第１の接触表面は、前記ホイール本体の第１の中心線より前記ホイール本体の第１の回転方向の反対側に傾いた第１の接線を有する。前記第２の接触表面は、前記ホイール本体の第２の中心線より前記第１の回転方向と反対方向の第２の回転方向の反対側に傾いた第２の接線を有する。
【００１９】
ここで、前記複数のグローサのそれぞれは、前記第１の接触表面と前記第２の接触表面とが交差する稜線を有することが好ましい。
【００２０】
前記ホイール本体の第１及び第２の中心線と前記第１及び２の接触表面とがそれぞれなす角度は、ほぼ９０°であることが好ましい。
【００２１】
前記複数のグローサの数は、６であることが好ましい。グローサの数を増やした方がより小さな沈下量でより大きな牽引力が得られるが、グローサの数を６とすることでホイール本体の外周に複数のグローサを重なりなく設置することが可能となる。
【００２２】
前記複数のグローサのそれぞれは、ほぼ４分の１の円弧状の前記第１の接触表面とほぼ４分の１の円弧状の前記第２の接触表面とが連続する１／２円柱状部材により構成されることが好ましい。
【００２３】
前記ホイール本体の中心線と前記ホイール本体の外周の位置における前記１／２円柱状部材の第３の接線及び第４の接線とは、それぞれ、ほぼ一致することが好ましい。
【００２４】
前記ホイール本体の中心線の方向に対する前記１／２円柱状部材の高さをｈ１とし、円弧状の前記第１及び第２の接触表面の半径をｒ１としたとき、
０．５≦ｒ１／ｈ１≦３
であることが好ましい。
【００２５】
前記ｒ１／ｈ１は、ほぼ１であることがより好ましい。
【００２６】
本発明の一形態に係るホイールシステムは、各軸のそれぞれが同軸となるように配置された複数のホイールを具備する。前記複数のホイールのそれぞれは、円形のホイール本体と、前記ホイール本体の外周に沿って設けられ、第１の接触表面及び第２の接触表面を有する複数のグローサとを有する。前記第１の接触表面は、前記ホイール本体の第１の中心線より前記ホイール本体の第１の回転方向の反対側に傾いた第１の接線を有する。前記第２の接触表面は、前記ホイール本体の第２の中心線より前記第１の回転方向と反対方向の第２の回転方向の反対側に傾いた第２の接線を有する。
【００２７】
ここで、前記複数のホイールのそれぞれの、前記複数のグローサのそれぞれは、前記第１の接触表面と前記第２の接触表面とが交差する稜線を有することが好ましい。
【００２８】
前記複数のホイールのそれぞれの前記複数の稜線の数は、等しく、前記複数のホイールのそれぞれの、前記複数の稜線のそれぞれの前記複数のホイールの軸の方向の位置が、隣接する前記ホイールの前記複数の稜線のそれぞれの前記複数のホイールの軸の方向の位置と一致しないように、前記複数のホイールは、配置されていることが好ましい。
【発明の効果】
【００２９】
本発明により、小さな沈下量で大きな牽引力が得られ、更に沈下量自体を小さくできる。
【図面の簡単な説明】
【００３０】
【図１】本発明の第１の実施形態に係るホイールの斜視図である。
【図２】図１に示したホイールの側面図である。
【図３】図１及び図２に示したホイールの一部拡大図である。
【図４】矩形状グローサの傾斜角度とホイールの牽引力との関係の分析結果を示すグラフである。
【図５】矩形状グローサの傾斜角度とホイールの牽引力との関係の別の分析結果を示すグラフである。
【図６】矩形状グローサの沈下量とホイールの牽引力との関係を求めるために行った実験結果を示すグラフである。
【図７】矩形状グローサを有するホイールが走行時に地面から受ける抵抗力の分析結果を示すグラフである。
【図８】本発明の第２の実施形態に係るホイールの側面図である。
【図９】図８に示したホイールの一部拡大図である。
【図１０】円弧状グローサの傾斜角度とホイールの牽引力との関係の分析結果を示すグラフである。
【図１１】円弧状グローサの傾斜角度とホイールの牽引力との関係の別の分析結果を示すグラフである。
【図１２】円弧状グローサの沈下量とホイールの牽引力との関係を求めるために行った実験結果を示すグラフである。
【図１３】円弧状グローサを有するホイールが走行時に地面から受ける抵抗力の分析結果を示すグラフである。
【図１４】本発明の第３の実施形態に係るホイールの斜視図である。
【図１５】図１４に示したホイールの一部拡大図である。
【図１６】本発明の第４の実施形態に係るホイールの斜視図である。
【図１７】図１６に示したホイールの一部拡大図である。
【図１８】本発明の第５の実施形態に係るホイールシステムの斜視図である。
【図１９】本発明に係るグローサの更に別の形態を示す概略図である。
【図２０】本発明に係るグローサのまた別の形態を示す概略図である。
【発明を実施するための形態】
【００３１】
以下、図面を参照しながら、本発明の実施形態を説明する。
【００３２】
<第１の実施形態>
図１は、本発明の第１の実施形態に係るホイールを示す斜視図である。図２は、図1に示したホイールの側面図である。図３は、図1及び図２に示したホイールの一部拡大図である。
【００３３】
これらの図に示すように、ホイール１は、円形のホイール本体２と、複数のグローサ３とを有する。グローサ３は、例えば三角形状、台形状、円形状、半円形状など、様々な断面形状を有してもよい。半円形状の断面は、半円筒状と呼ぶことができる。円の1／４の断面は、１／４円筒状と呼ぶことができる。これらの断面は、中空（円筒）でも充填(円柱）でもよいし、例えば、図８に示すグローサは、円筒の一部により構成され、実際の円筒断面は、円弧とすることができる。また、円柱の一部により構成し、例えば断面を１／４円柱に形成してもよい。
【００３４】
ホイール1は、典型的には、惑星探査用車両やオフロード車、建設土木機械車両、農耕機械車両などの柔軟な土質の地形を移動する機械車両に用いられる。
【００３５】
ホイール本体２は、典型的には、リム２１と、複数のスポーク２２とから構成される。ホイール本体２は勿論さまざまな形態が考えられる。ホイール本体２は、円形で所定の幅の外周２３を有する。勿論、円形とは実質的な意味においての形状である。
【００３６】
複数のグローサ３は、ホイール本体２の外周２３に沿って典型的には所定の間隔をもって設けられる。複数のグローサ３のそれぞれは、典型的には、すべて実質的に同一の形状かつ大きさである。ただし、これらのグローサ３が異なる形状であっても勿論構わない。
【００３７】
複数のグローサ３のそれぞれは、ホイール本体２の中心線ＣＬよりホイール本体２の回転方向ＲＤの反対側に傾いた接線ＴＤを有する接触表面３１を有する。図３において、Ｃは円形のホイール本体２の中心点を示す。接触表面３１は、典型的には、矩形状の平面である。
【００３８】
複数のグローサ３のそれぞれは、典型的には、ホイール本体２の中心線ＣＬよりホイール本体２の回転方向ＲＤの反対側に傾いて設けられ、接触表面３１を有する突起部材により構成される。
【００３９】
ホイール本体２の中心線ＣＬとグローサ３の接触表面３１とがなす角度θは、０°よりも大きく、９０°以下であればよい。ホイール本体２の中心線ＣＬとグローサ３の接触表面３１とがなす角度θは、１０°以上で、９０°以下であることが好ましい。ホイール本体２の中心線ＣＬとグローサ３の接触表面３１とがなす角度θは、ほぼ９０°であることがより好ましい。ここにいうほぼ９０°とは、典型的には、８９°〜９０°である。
【００４０】
複数のグローサ３の数は、１〜４８であることが好ましい。複数のグローサ３の数は、２４であることがより好ましい。グローサ３の数を増やした方がより小さな沈下量でより大きな牽引力が得られるが、グローサ３の数をこのようにすることでホイール本体２の外周２３に複数のグローサ３を重なりなく設置することが可能となる。グローサ３の数は、ホイール本体２の半径に応じて決めてもよい。
【００４１】
ホイール本体２及びグローサ３は、典型的には、実質的に剛体である。ホイール１は、ホイール本体２にグローサ３を取り付けて構成される。ホイール１は、ホイール本体２とグローサ３とを一体的に構成してもよい。グローサ３及び／又はホイール本体２の一部は、例えば自動車のタイヤのようにゴムなどの弾性体により構成してもよい。
【００４２】
このホイール１を搭載する車両が砂、土、泥、畑といった柔軟な地盤上を走行する場合、図３に示したようにホイール１は回転方向ＲＤに回転する。柔軟な地盤の表面に対し、ホイール１のグローサ３の腹である接触表面３１はホイールの回転により徐々に沈んでいく。その後、柔軟な地盤の表面に対し、接触表面３１はホイールの回転により徐々に浮上する。ホイール１の回転方向に位相の異なる各グローサ３が順次このような動作を繰り返す。これにより、ホイール１を搭載する車両は牽引力を得て図３中左から右に移動する。
【００４３】
このホイール１を搭載する車両は、砂、土、泥、畑といった柔軟な地盤上を走行する場合に、従来型のホイールを搭載した場合と比べ、ホイール１から小さな沈下量で大きな牽引力が得られ、更にホイール１の沈下量自体が小さくなる。
【００４４】
図４及び図５は、グローサ３の傾斜角度とホイール１の牽引力との関係を示すグラフである。図４はホイール本体２の直径が８４０ｍｍの場合であり、図５はホイール本体２の直径が２００ｍｍの場合である。これらの値は、ホイール１の１枚のグローサ３に着目して求めている。
【００４５】
これらの図におけるｘ軸のθ(rad)は、地面とホイール本体２の中心線ＣＬから所定のグローサ３の取り付け位置に結ぶ線とがなす角度を示している。所定のグローサ３の地面への入り側は、θがプラスとなり、所定のグローサ３の地面からの出側がマイナスとなっている。φはホイール本体２の中心線ＣＬとグローサ３とがなす角度を示している。グローサ３がホイール本体２の中心線ＣＬよりホイール本体２の回転方向ＲＤの反対側に傾いている場合、その角度φはマイナスの角度としている。
【００４６】
これらの図から分かるように、角度φが−１０°、−４５°、−８９°の場合、つまりグローサ３がホイール本体２の中心線ＣＬよりホイール本体２の回転方向ＲＤの反対側に１０°、４５°、８９°傾いている場合、牽引力のピーク及び牽引力の積算値が０°や２０°の場合に比べて大きくなる。角度φが−８９°の場合、つまりグローサ３がホイール本体２の中心線ＣＬよりホイール本体２の回転方向ＲＤの反対側にほぼ９０°傾いている場合、牽引力のピーク及び牽引力の積算値が最大となる。
【００４７】
図６は、グローサ３の沈下量とホイール１の牽引力との関係を求めるために行った実験結果を示すグラフである。
【００４８】
図６において、ｈｇはグローサ３の長さ、φはホイール本体２の中心線ＣＬとグローサ３とがなす角度を示している。グローサ３がホイール本体２の中心線ＣＬよりホイール本体２の回転方向ＲＤの反対側に傾いている場合、その角度φはマイナスの角度としている。
【００４９】
Inclined rectangular with height restriction (所定高さを持つ傾斜した矩形、hg=10mm,‐90deg)は、高さ１０ｍｍのグローサ３がホイール本体２の中心線ＣＬよりホイール本体２の回転方向ＲＤの反対側に９０°傾いているホイール１の沈下量と牽引力との関係、つまり本発明に係るホイールの沈下量と牽引力との関係を示している。
【００５０】
Flat and rectangular (傾斜せず矩形、hg=10mm,0deg)は、高さ１０ｍｍのグローサ３がホイール本体２の中心線ＣＬと同じ方向のホイール１の沈下量と牽引力との関係、つまり従来のホイールの沈下量と牽引力との関係を示している。
【００５１】
Plain wheel with no grouser (グローサのない平坦ホイール、R=110mm)は、グローサがなく、半径１１０ｍｍの従来のホイールの沈下量と牽引力との関係を示している。
【００５２】
各ポイントにおける横方向の線は、測定ばらつきの範囲を示している。
【００５３】
この測定結果から、本発明に係るホイール１は、従来のホイールと比べると、より小さい沈下量でより大きな牽引力が得られること、沈下量自体が小さくなることが分かる。更に、本発明に係るホイール１は、沈下量が０であっても牽引力が得られることが分かった。この点は従来のホイールでは全く考えられなったことである。
【００５４】
図７は、走行時にホイール１が地面から受ける抵抗力の分析結果を示すグラフである。
【００５５】
図７におけるｘ軸のθ(rad)は、地面とホイール本体２の中心線ＣＬから所定のグローサ３の取り付け位置に結ぶ線とがなす角度を示している。所定のグローサ３の地面への入り側は、θがプラスとなり、所定のグローサ３の地面からの出側がマイナスとなっている。
【００５６】
図７におけるφ（deg）は、ホイール本体２の中心線ＣＬとグローサ３とがなす角度を示している。グローサ３がホイール本体２の中心線ＣＬよりホイール本体２の回転方向ＲＤの反対側に傾いている場合、その角度φはマイナスの角度としている。
【００５７】
図７におけるOptimal with considering soil property は土を考慮した場合の理想値、Optimal without considering soil property は土を考慮しない場合の理想値を示している。
【００５８】
φ（deg）が−４５deg、−３０deg、−１０deg、−５degの場合、つまり本発明に係るグローサ３の場合には、ホイール１が地面から受ける抵抗力が小さいことが分かる。
【００５９】
<第２の実施形態>
図８は、本発明の第２の実施形態に係るホイールを示す側面図である。図９は、図８の一-部拡大図である。
【００６０】
これらの図に示すように、ホイール１０１は、円形のホイール本体１０２と、複数のグローサ１０３とを有する。
【００６１】
ホイール本体１０２は、典型的には、リム１２１と、複数のスポーク１２２とから構成される。ホイール本体１０２は、円形で所定の幅の外周１２３を有する。
【００６２】
複数のグローサ１０３は、ホイール本体１０２の外周１２３に沿って典型的には所定の間隔をもって設けられる。複数のグローサ１０３のそれぞれは、典型的には、すべて実質的に同一の形状かつ大きさである。複数のグローサ１０３のそれぞれは、接触表面１３１を有する部材を有し、その部材は円筒の１／４の領域に延びているが、図９に示されるように、その部材（１／４円筒状部材）はその領域内にある。複数のグローサ１０３は、ホイール本体１０２の中心線ＣＬよりホイール本体１０２の回転方向ＲＤの反対側に傾いた接線ＴＤを有するほぼ４分の１の円弧状の接触表面１３１を有する１／４円筒状部材により構成される。
【００６３】
ホイール本体１０２の中心線ＣＬとホイール本体１０２の外周１２３の位置における１／４円筒状部材（グローサ１０３）の接線ＴＤ１２３とは、ほぼ一致する。
【００６４】
ホイール本体１０２の中心線ＣＬの方向に対する１／４円筒状部材の高さをｈ１とし、１／４円筒状部材の半径をｒ１としたとき、
０．５≦ｒ１／ｈ１≦３
であることが好ましい。より好ましくはｒ１／ｈ１は、ほぼ１である。
【００６５】
複数のグローサ１０３の数は、１〜４８であることが好ましい。複数のグローサ１０３の数は、２４であることがより好ましい。グローサ１０３の数を増やした方がより小さな沈下量でより大きな牽引力が得られるが、グローサ１０３の数をこのようにすることでホイール本体１０２の外周１２３に複数のグローサ１０３を重なりなく設置することが可能となる。
【００６６】
ホイール本体１０２及びグローサ１０３は、典型的には、実質的に剛体である。ホイール１０１は、ホイール本体１０２にグローサ１０３を取り付けて構成される。ホイール１０１は、ホイール本体１０２とグローサ１０３とを一体的に構成してもよい。グローサ１０３及び／又はホイール本体１０２の一部は、例えば自動車のタイヤのようにゴムなどの弾性体により構成してもよい。
【００６７】
第１の実施形態と同様に、このホイール１０１を搭載する車両が砂、土、泥、畑といった柔軟な地盤上を走行する場合、図９に示したようにホイール１０１は回転方向ＲＤに回転する。柔軟な地盤の表面に対し、ホイール１０１のグローサ１０３の腹である接触表面１３１はホイール１０１の回転により徐々に沈んでいく。その後、柔軟な地盤の表面に対し、接触表面１３１はホイール１０１の回転により徐々に浮上する。ホイール１０１の回転方向に位相の異なる各グローサ１０３が順次このような動作を繰り返す。これにより、ホイール１０１を搭載する車両は牽引力を得て図９中左から右に移動する。
【００６８】
このホイール１０１を搭載する車両も、砂、土、泥、畑といった柔軟な地盤上を走行する場合に、従来型のホイールを搭載した場合と比べ、ホイール１０１から小さな沈下量で大きな牽引力が得られ、更にホイール１０１の沈下量自体が小さくなる。
【００６９】
図１０及び図１１は、グローサ１０３の円弧の半径ｒ１とホイール１０１の牽引力との関係を示すグラフである。図１０はグローサ１０３の高さｈ１が５ｃｍの場合であり、図１１はグローサ１０３の高さｈ１が１０．０ｍｍの場合である。これらの値は、ホイール１０１の１枚のグローサ１０３に着目して求めている。
【００７０】
これらの図におけるｘ軸のθ(rad)は、地面とホイール本体１０２の中心線ＣＬから所定のグローサ１０３の取り付け位置に結ぶ線とがなす角度を示している。所定のグローサ１０３の地面への入り側は、θがプラスとなり、所定のグローサ１０３の地面からの出側がマイナスとなっている。ｒ１はグローサ１０３の円弧の半径の大きさを示している。グローサ１０３の接触表面１３１の接線ＴＤがホイール本体１０２の中心線ＣＬよりホイール本体１０２の回転方向ＲＤの反対側に傾いている場合、そのｒ１はマイナスの値としている。
【００７１】
これらの図から分かるように、グローサ１０３の円弧の半径ｒ１がマイナスの値の場合、つまりグローサ１０３の接触表面１３１の接線ＴＤがホイール本体１０２の中心線ＣＬよりホイール本体１０２の回転方向ＲＤの反対側に傾いている場合、牽引力のピーク及び牽引力の積算値がプラスのｒ１の場合に比べて大きくなる。図１０ではｒ１が１０ｃｍ、図１１ではｒ１が２５ｍｍの場合、つまりｒ１／ｈ１がほぼ２の場合、牽引力のピーク及び牽引力の積算値が最大となる。
【００７２】
図１２は、グローサ１０３の沈下量とホイール１０１の牽引力との関係を求めるために行った実験結果を示すグラフである。
【００７３】
図１２において、ｈｇはグローサ１０３の高さ、ｒ１はグローサ１０３の円弧の半径の大きさを示している。グローサ１０３の接触表面１３１の接線ＴＤは、ホイール本体１０２の中心線ＣＬよりホイール本体１０２の回転方向ＲＤの反対側に傾いている。
【００７４】
Flat and rectangular (傾斜せずに矩形、hg=10mm,φ=0deg)は、高さ１０ｍｍの矩形状のグローサを有するホイールの沈下量と牽引力との関係、つまり従来のホイールの沈下量と牽引力との関係を示している。
【００７５】
各ポイントにおける横方向の線は、測定ばらつきの範囲を示している。
【００７６】
この測定結果から、本発明に係るホイール１０１は、従来のホイールと比べると、より小さい沈下量でより大きな牽引力が得られること、沈下量自体が小さくなることが分かる。更に、本発明に係るホイール１０１は、第１の実施形態に係るホイール１と同様に、沈下量が０であっても牽引力が得られることが分かった。
【００７７】
図１３は、走行時にホイール１０１が地面から受ける抵抗力の分析結果を示すグラフである。
【００７８】
図１３におけるｘ軸のθ(rad)は、地面とホイール本体１０２の中心線ＣＬから所定のグローサ１０３の取り付け位置に結ぶ線とがなす角度を示している。所定のグローサ１０３の地面への入り側は、θがプラスとなり、所定のグローサ１０３の地面からの出側がマイナスとなっている。
【００７９】
図１３におけるｒ１は、グローサ１０３の円弧の半径の大きさを示している。グローサ１０３の接触表面１３１の接線ＴＤがホイール本体１０２の中心線ＣＬよりホイール本体１０２の回転方向ＲＤの反対側に傾いている場合、そのｒ１はマイナスの値としている。
【００８０】
ｒ１がマイナスの場合、つまり本発明に係るグローサ１０３の場合には、ホイール１０１が地面から受ける抵抗力が小さいことが分かる。
【００８１】
<第３の実施形態>
図１４は、本発明の第３の実施形態に係るホイールの斜視図である。図１５は、そのホールの一部拡大図である。
【００８２】
これらの図に示すように、ホイール２０１は、円形のホイール本体２０２と、複数のグローサ２０３とを有する。
【００８３】
ホイール本体２０２は、典型的には、リム２２１と、複数のスポーク２２２とから構成される。
【００８４】
複数のグローサ２０３は、ホイール本体２０２の外周２２３に沿って典型的には所定の間隔をもって設けられる。複数のグローサ２０３の数は、例えば６である。しかし、複数のグローサ２０３の数は、これに限定されない。複数のグローサ２０３のそれぞれは、典型的には、すべて実質的に同一の形状かつ大きさである。
【００８５】
複数のグローサ２０３のそれぞれは、ホイール本体２０２の外周に沿って設けられ、第１の接触表面２３１及び第２の接触表面２３２を有する。
【００８６】
第１の接触表面２３１は、ホイール本体２０２の中心線ＣＬ１よりホイール本体２０２の第１の回転方向ＲＤ１の反対側に傾いた第１の接線ＴＤ１を有する。第２の接触表面２３２は、ホイール本体２０２の中心線ＣＬ２より第１の回転方向ＲＤ１と反対方向の第２の回転方向ＲＤ２の反対側に傾いた第２の接線ＴＤ２を有する。第１の接触表面２３１及び第２の接触表面２３２は、典型的には、矩形状の平面である。複数のグローサ２０３のそれぞれは、第１の接触表面２３１と第２の接触表面２３２とが交差する直線状の稜線２３３を有する。複数のグローサ２０３のそれぞれは、典型的には、稜線２３３を境にして第１の接触表面２３１及び第２の接触表面２３２を有する突起部材により構成される。
【００８７】
ホイール本体２０２の中心線ＣＬ１及びＣＬ２と第１の接触表面２３１及び第２の接触表面２３２とがそれぞれなす角度θ１、θ２は、典型的には、それぞれほぼ９０°である。しかし、角度θ１、θ２は、１０°以上で、９０°以下であればよい。角度θ１と角度θ２とは、同じ角度でもよく、異なる角度であってもよい。異なる角度とすることで、異なる走行方向に対してそれぞれ異なる性能を発揮させることができる。
【００８８】
ホイール本体２０２及びグローサ２０３は、典型的には、実質的に剛体である。しかし、これまでの実施形態に係るホイールと同様にゴムなどの弾性体により構成してもよい。
【００８９】
このホイール２０１を搭載する車両が砂、土、泥、畑といった柔軟な地盤上の一方向を走行する場合、図１５に示したようにホイール２０１は第１の回転方向ＲＤ１に回転する。柔軟な地盤の表面に対し、ホイール２０１のグローサ２０３の腹である第１の接触表面２３１はホイール２０１の回転により徐々に沈んでいく。その後、柔軟な地盤の表面対し、第１の接触表面２３１はホイール２０１の回転により徐々に浮上する。ホイール２０１の回転方向に位相の異なる各グローサ２０３が順次このような動作を繰り返す。これにより、ホイール２０１を搭載する車両は牽引力を得て図１５中左から右に移動する。
【００９０】
一方、このホイール２０１を搭載する車両が柔軟な地盤上の他方向を走行する場合、図１５に示したようにホイール２０１は第２の回転方向ＲＤ２に回転する。柔軟な地盤の表面に対し、ホイール２０１のグローサ２０３の他方の腹である第２の接触表面２３２はホイール２０１の回転により徐々に沈んでいく。その後、柔軟な地盤の表面に対し、第２の接触表面２３２はホイール２０１の回転により徐々に浮上する。ホイール２０１の回転方向に位相の異なる各グローサ２０３が順次このような動作を繰り返す。これにより、ホイール２０１を搭載する車両は牽引力を得て図１５中右から左に移動する。
【００９１】
このホイール２０１を搭載する車両は、砂、土、泥、畑といった柔軟な地盤上を前進走行する場合及び後退走行する場合に、従来型のホイールを搭載した場合と比べ、いずれの走行方向に対してもホイール２０１から小さな沈下量で大きな牽引力が得られ、更にホイール２０１の沈下量自体が小さくなる。
【００９２】
<第４の実施形態>
図１６は、本発明の第４の実施形態に係るホイールの斜視図である。図１７は、そのホイールの一部拡大図である。
【００９３】
これらの図に示すように、ホイール３０１は、円形のホイール本体３０２と、複数のグローサ３０３とを有する。
【００９４】
ホイール本体３０２は、典型的には、リム３２１と、複数のスポーク３２２とから構成される。
【００９５】
複数のグローサ３０３は、ホイール本体３０２の外周３２３に沿って典型的には所定の間隔をもって設けられる。複数のグローサ３０３の数は、例えば３０である。しかし、複数のグローサ３０３の数は、これに限定されない。複数のグローサ３０３のそれぞれは、典型的には、すべて実質的に同一の形状かつ大きさである。
【００９６】
複数のグローサ３０３のそれぞれは、ホイール本体３０２の外周３２３に沿って設けられ、ほぼ４分の１の円弧状の第１の接触表面３３１とほぼ４分の１の円弧状の第２の接触表面３３２とが連続する１／２円柱状部材により構成される。第１の接触表面３３１は、ホイール本体３０２の中心線ＣＬ１よりホイール本体３０２の第１の回転方向ＲＤ１の反対側に傾いた第１の接線ＴＤ１を有する。第２の接触表面３３２は、ホイール本体３０２の中心線ＣＬ２より第１の回転方向ＲＤ１と反対方向の第２の回転方向ＲＤ２の反対側に傾いた第２の接線ＴＤ２を有する。第１の接触表面３３１と第２の接触表面３３２とは、典型的には線対称とすればよい。しかし、第１の接触表面３３１と第２の接触表面３３２とを異なる形状とすることで、異なる走行方向に対してそれぞれ異なる性能を発揮させることができる。
【００９７】
ホイール本体３０２の中心線ＣＬ１及びＣＬ２とホイール本体３０２の外周３２３の位置における１／２円柱状部材であるグローサ３０３の第３の接線ＴＤ３２３‐３及び第４の接線ＴＤ３２３‐４とは、それぞれ、一致する。
【００９８】
ホイール本体３０２の中心線ＣＬ１及びＣＬ２の方向に対する１／２円柱状部材であるグローサ３０３の高さをｈ１とし、円弧状の第１の接触表面３３１及び第２の接触表面３３２の半径をｒ１としたとき、
０．５≦ｒ１／ｈ１≦３
である
であることが好ましい。より好ましくはｒ１／ｈ１は、ほぼ１である。
【００９９】
ホイール本体３０２及びグローサ３０３は、典型的には、実質的に剛体である。しかし、これまでの実施形態のホイールと同様にホイール３０１の一部又は全部をゴムなどの弾性体により構成してもよい。
【０１００】
このホイール３０１を搭載する車両が砂、土、泥、畑といった柔軟な地盤上の一方向を走行する場合、図１７に示したようにホイール３０１は第１の回転方向ＲＤ１に回転する。柔軟な地盤の表面に対し、ホイール３０１のグローサ３０３の腹である第１の接触表面３３１はホイール３０１の回転により徐々に沈んでいく。その後、柔軟な地盤の表面に対し、第１の接触表面３３１はホイール３０１の回転により徐々に浮上する。ホイール３０１の回転方向に位相の異なる各グローサ３０３が順次このような動作を繰り返す。これにより、ホイール３０１を搭載する車両は牽引力を得て図１７中左から右に移動する。
【０１０１】
一方、このホイール３０１を搭載する車両が柔軟な地盤上の他方向を走行する場合、図１７に示したようにホイール３０１は第２の回転方向ＲＤ２に回転する。柔軟な地盤の表面に対し、ホイール３０１のグローサ３０３の他方の腹である第２の接触表面３３２はホイール３０１の回転により徐々に沈んでいく。その後、柔軟な地盤の表面に対し、第２の接触表面３３２はホイール３０１の回転により徐々に浮上する。ホイール３０１の回転方向に位相の異なる各グローサ３０３が順次このような動作を繰り返す。これにより、ホイール３０１を搭載する車両は牽引力を得て図１７中右から左に移動する。
【０１０２】
このホイール３０１を搭載する車両は、砂、土、泥、畑といった柔軟な地盤上を前進走行する場合及び後退走行する場合に、従来型のホイールを搭載した場合と比べ、いずれの方向に対してもホイール３０１から小さな沈下量で大きな牽引力が得られ、更にホイール３０１の沈下量自体が小さくなる。
【０１０３】
<第５の実施形態>
図１８は、本発明の第５の実施形態に係るホイールシステムの斜視図である。
【０１０４】
図１８に示すように、このホイールシステム４０１は、同一形状の４つの図１４に示したホイール２０１を各ホイール２０１の軸のそれぞれが同軸となるように配置して構成される。ホイール２０１の数は４に限らず、複数であればよい。
【０１０５】
この実施形態に係るホイールは、円形のホイール本体と、ホイール本体の外周に沿って設けられ、第１の接触表面及び第２の接触表面を有する複数のグローサとを有し、第１の接触表面は、ホイール本体の第１の中心線よりホイール本体の第１の回転方向の反対側に傾いた第１の接線を有し、第２の接触表面は、ホイール本体の第２の中心線より第１の回転方向と反対方向の第２の回転方向の反対側に傾いた第２の接線を有するものであればよい。典型的には、ホイール２０１の代わりに図１６に示したホイール３０１を用いてもよい。本実施形態に係るホイールシステムは、異なる形態のホイールを組み合わせてもよい。例えば、これまでの実施形態で示したいずれかのホイール本体といずれかのグローサとを組み合わせてもよい。
【０１０６】
複数のホイール２０１のそれぞれの複数の稜線２３３の数は、等しく、例えば６である。
【０１０７】
複数のホイール２０１のそれぞれの、複数の稜線２３３のそれぞれの複数のホイール２０１の軸の方向ＡＸの位置が、隣接するホイール２０１の複数の稜線２３３のそれぞれの複数のホイール２０１の軸の方向ＡＸの位置と一致しないように、複数のホイール２０１は、配置されている
このホイールシステム４０１を搭載する車両は、砂、土、泥、畑といった柔軟な地盤上を前進走行する場合及び後退走行する場合に、従来型のホイールを搭載した場合と比べ、いずれの方向に対してもホイールシステム４０１からホイール２０１の数にほぼ比例して小さな沈下量で大きな牽引力が得られ、更に各ホイール２０１の沈下量自体が小さくなる。
【０１０８】
<まとめ>
この実施形態により、以下の本発明に係る効果が確認された。
【０１０９】
従来の平坦突起のホイールと比べて、任意の沈下量に対する牽引力が第１の実施形態に係るホイールでは、３０％〜２００％、第２の実施形態に係るホイールでは、１０％〜１００％の性能向上が実験的に確認された。これは、少ない沈下量で大きな牽引力を出すことを意味する。
【０１１０】
同じスリップ量でも沈下量が少ない。
【０１１１】
沈下量が少ないため走行効率が向上する。
【０１１２】
同じ許容包絡域に入る車輪形状の中で優れた特性を示すため、質量及び体積あたりの牽引力が大きい。
【０１１３】
土質の特性が違った場合でも同様に良好な特性を示すことができる。すなわち、特性は土質に依存しない。
【０１１４】
<グローサの他の形態>
本発明に係るグローサは、上記の実施形態で示した形態以外にも以下に示す様々形態が考えられる。
【０１１５】
例えば、図１９に示すホイール６０１は、ホイール本体６０２に正弦／余弦形状のグローサ６０３を配置して構成される。
【０１１６】
例えば、図２０に示すホイール７０１は、ホイール本体７０２に反転する２つの円弧形状の組み合わせからなるグローサ７０３を配置して構成される。
【０１１７】
要するに、本発明に係るグローサは、ホイール本体の中心線よりホイール本体の回転方向の反対側に傾いた第１の接線を持つ接触表面を有するものであればよい。
【０１１８】
本発明に係るホイールやホイールシステムは、典型的には、惑星探査用車両やロボットの走行機構の金属車輪表面の突起形状として使用される。
【０１１９】
本発明に係るホイールやホイールシステムは、この用途以外にも様々な用途に使用することができる。
【０１２０】
<本発明の利用分野>
本発明は、以下に例示するように様々な分野で適応可能である。
【０１２１】
本発明に係るホイールやホイールシステムは、例えば、建設土木機械車両の走行機構のゴムタイヤの形状として使用することができる。
【０１２２】
本発明に係るホイールやホイールシステムは、例えば、水や粒状媒質など、走行機構の作用により変形する媒体から大きな反力を得るための形状として使用することができる。
【０１２３】
本発明に係るホイールやホイールシステムは、例えば、船舶のパドルホイール等の水かき形状として使用することができる。
【０１２４】
本発明に係るホイールやホイールシステムは、例えば、粒状物質の攪拌装置の接触部の形状として使用することができる。
【０１２５】
<解析的最適化計算の結果>
既に説明したとおり、本発明者等は、Resistive Force Theory(Li, C., Zhang, T., and Goldman, D. I. (2013). A terradynamics of legged locomotion on granular media. Science, 339:1408-1412.参照)と呼ばれる実験的に求められた沈下−圧力関係式に基づいてホイール表面のグローサの形状の最適設計を行った。
【０１２６】
変分法を基礎とした解析的最適化計算の結果、回転角度に応じてグローサの形状を変化させると最良であるという結果が導出されたが、回転角度に応じてグローサの形状を変化させることは実用的ではない。
【０１２７】
そこで、線形での最適化計算を行ったところ、グローサの形状は、ブカナン外車やモルガン水車などに用いられる形状と同じとなったが、本発明者等は、更なる最適化計算を行い、様々なグローサの形状を検証し、本発明を案出するに至った。以下に示す計算は、特定の前提条件や限定が行われているが、本発明に係る車輪とグローサは、計算に使用されるものと異なる場合がある。以下に示す計算における仮定又制限は、本発明の実施形態に係る例として考えることができる。
【０１２８】
以下、解析的最適化計算の結果を示す。
【０１２９】
グローサ形状関数g(q)を最適化するための簡略化された式は以下のとおりである。
【０１３０】
【数１】
2017088170.tif 000003
【０１３１】
式中、w(q)は座標軸に沿ったホイール幅であり、qは一定のホイール幅としてbに等しい。ホイール半径Ｒはここでは定数とされ、クロスホイールパターンs(r)は平面とされる。
【０１３２】
ここで、ひとつのグローサの牽引力を最適化する点を検討する。加えて、大きなグローサを有するホイールの場合、相互作用は主にグローサと、ホイール本体というよりは地表との間で起こるので、ホイールのグローサ形状の前後における地表の表面レベルは同一であるとし、Zmax=0と仮定する。この仮定は、大きなグローサを有するホイールについては妥当である。なぜなら、これらは小さなグローサを有するかグローサを有していないホイールと同じブルドーザー効果を示さないからである。
【０１３３】
最大牽引力についてグローサ形状を最適化するため、以下のオイラーの公式をグローサに適用した変分法を利用する。
【０１３４】
【数２】
2017088170.tif 000004
【０１３５】
式中、ｇ'はｇの導関数であり、gθの下付き文字はθの導関数である。
【０１３６】
上記式の解は極小値、極大値、変曲点を示すので、それらは大域最適性を保証するものではない。
【０１３７】
ここで、平坦グローサの場合について検討する。
【０１３８】
平面矩形状のグローサの場合を検討すると、g"=0であるが、平坦グローサの角度は変更可能である。ここでは
（ａ）グローサ形状の空間導関数が土壌特性に依存しない場合に、g'のαの導関数、すなわち、
【０１３９】
【数３】
2017088170.tif 000005
【０１４０】
であるケース
【０１４１】
（ｂ）当該導関数が土壌特性に依存するケース、の二例を検討する。
式（３３）を（３４）に代入してこれらのオイラーの公式を解くことで、先の仮定に対する、最適なグローサ形状のための式を得られる。後述する式５６〜式７６は、土壌特性に依存しないケースの解を、後述する式７７〜式９６は、土壌特性に依存するケースの解をそれぞれ示している。土壌特性に依存しないケース（ａ）のための最適なグローサ形状は以下の式により得られる。
【０１４２】
【数４】
2017088170.tif 000006
【０１４３】
導関数が土壌特性に依存する場合（ケース（ｂ））、すなわち、
【０１４４】
【数５】
2017088170.tif 000007
【０１４５】
の場合、最適な形状は以下の式により得られる。
【０１４６】
【数６】
2017088170.tif 000008
【０１４７】
式中、g'のαの導関数は
【０１４８】
【数７】
2017088170.tif 000009
【０１４９】
αdは
【０１５０】
【数８】
2017088170.tif 000010
【０１５１】
により得られる。
【０１５２】
式中、Cm,nとDm,nは、上記のResistive Force Theory(Li, C., Zhang, T., and Goldman, D. I. (2013). A terradynamics of legged locomotion on granular media. Science, 339:1408-1412.)に記載のフーリエ係数である。
【０１５３】
ｚ方向への力を算出するため、
【０１５４】
Cm,n→Am,n
【０１５５】
及び
【０１５６】
Dm,n→Bm,n
【０１５７】
と考えられる。
【０１５８】
g'のαの二次導関数αddは以下の式により得られる。
【０１５９】
【数９】
2017088170.tif 000011
【０１６０】
式中、
【０１６１】
【数１０】
2017088170.tif 000012
【０１６２】
が得られる。
【０１６３】
パラメータαd及びαddは、式（３５）（３６）で表される土壌特性に依存するケースと土壌特性に依存しないケースの両方に最適な形状の解において、土壌特性を定義するスケーリング係数ζを含むが、ζは相殺される。
【０１６４】
したがって、平坦グローサに最適な形状はスケーリング係数に依存しないということが分かる。
【０１６５】
座標軸からの傾斜角φを有する平面矩形状のグローサに最適な形状qを算出するため、以下の式を使用する。
【０１６６】
【数１１】
2017088170.tif 000013
【０１６７】
式中、グローサ長さはhgに制限され、地表下に沈んだグローサの出発点qsは以下の式により得られる。
【０１６８】
【数１２】
2017088170.tif 000014
【０１６９】
上記制約に関してそれぞれ式（３５）（３６）を解くことで、以下の結果を得られる。
【０１７０】
【数１３】
2017088170.tif 000015
【０１７１】
及び
【０１７２】
【数１４】
2017088170.tif 000016
【０１７３】
図３、図９、図１９及び図２０は、最大牽引力、その積算値、グローサの長さあたりの最大牽引力、及び土壌抵抗、という観点から検討し数値的に検証したグローサ形状である。ホイール-バウンド直径を採用する場合、グローサ長さは、図３、図９、図１９及び図２０に示すように、グローサの傾斜角度をより大きくするため更に長くされる。
ここで、グローサ全体は半径R+hgの境界円内にあり、既定の傾斜φに対するグローサ長さの最大値lmaxは、以下の式により得られる。
【０１７４】
【数１５】
2017088170.tif 000017
【０１７５】
図４及び図５はホイール-バウンド直径の場合の結果を示す。この場合、φ=-90度の平坦グローサは最大牽引力、続いて最大積算値を発生する。グローサ長さは式（３３）において特徴的であるα(β,γ)ではなく、グローサ長さに深く依存するので、これは予想されていた結果である。
【０１７６】
要するに、平坦グローサについて、分析モデルは、直径−バウンドのケースでは傾斜φ=-90度が数値的に最適な解であり、グローサ長さを制限するケースではφ=θ+0.16radが最適な解であることを示している。
【０１７７】
次に、円弧状グローサの場合について検討する。
もう一度、ここで土壌特性に依存しないケースと土壌特性に依存するケースの両方を検討する。前者では、
【０１７８】
【数１６】
2017088170.tif 000018
【０１７９】
であり、g"≠0である。
【０１８０】
その結果として、この場合の曲線状グローサに最適な条件は以下の式により得られる（導出については後述する式５６〜式７６を参照）。
【０１８１】
【数１７】
2017088170.tif 000019
【０１８２】
土壌特性に依存するケースでは、
【０１８３】
【数１８】
2017088170.tif 000020
【０１８４】
g"≠0である。
【０１８５】
最適条件は以下の式により得られる（導出については後述する式７７〜式９６参照）。
【０１８６】
【数１９】
2017088170.tif 000021
【０１８７】
前項の平坦グローサの場合における結果のように、式（４６）及び（４７）における最適条件はスケーリング係数sの差に影響を受けない。これらの条件により極小、極大、又は変曲点における解析解を得られるが、これらの解は帯域最適性を保証することができない。
【０１８８】
これらの式を代数的に解くことは難しいため、最適な形状関数gを数字的に算出したが、グローサの因数を得ることはできなかった。特に、土壌特性を考慮した場合、解の中に複素数が現れるため、グローサ形状はほとんど現れない。
【０１８９】
これらの結果から、最適な牽引力は、１／４の円弧又は楕円に近似できるが回転角θに依存する形状を示す傾向にある。形状可変型のグローサを設計することは実用的ではないので、代わりに、ほぼ最適な性能を持つ固定形状のグローサを検討する。
【０１９０】
グローサの主軸の半分及び短軸の半分をr1、r2として、パラメータ化された１／４円弧形状を調査する。
【０１９１】
図３、図９、図１９及び図２０に示すようなグローサを有するホイールについて、直径の増加をhgに制限する。以下の式はr1、r2、及びhgの関係性を表す。
【０１９２】
【数２０】
2017088170.tif 000022
【０１９３】
また、グローサの形状は以下の式により得られる。
【０１９４】
【数２１】
2017088170.tif 000023
【０１９５】
図１０は牽引力の結果がホイールパラメータに影響されないことを示す。１／４円弧状では、r1≧r2であり、地中では凸状部分が地表に向かって移動する。
【０１９６】
このようなグローサの単位長さあたりの牽引力は、ホイール本体に垂直に設けられた、長さの等しい平坦グローサよりも高い性能を示す。
【０１９７】
後者のグローサはまた、歩行移動となる可能性が高い。
【０１９８】
次に、グローサ幅の最適化について検討する。
【０１９９】
グローサの全長にわたって、その全幅w(q)=bが地表との接触を最大化し最大牽引力を生じさせることは直感的に理解される。
【０２００】
我々はこれを、前項で定義した土壌特性に依存しないケースを考慮に入れることで、分析的に検証する。そこでは、g"≠0であり、
【０２０１】
【数２２】
2017088170.tif 000024
【０２０２】
である。
【０２０３】
その場合のグローサ長さに沿ってグローサ幅の変化を考慮することで、次の式が得られる。
【０２０４】
【数２３】
2017088170.tif 000025
【０２０５】
式中、wはグローサの幅であり、w'はqに対するwの導関数である。
【０２０６】
g"≠0である場合、最適条件は以下の式となる。
【０２０７】
【数２４】
2017088170.tif 000026
【０２０８】
傾斜角φを有する矩形状の傾斜したグローサとして、グローサの傾斜は最適条件φ=θ及びg'=tanφを満たすことになる。
【０２０９】
結果として得られる、グローサ幅関数の最適条件は以下の式に簡約される.
【０２１０】
【数２５】
2017088170.tif 000027
【０２１１】
したがって、このケースにより、一定の幅を有するグローサは牽引力を最大化する最適解のひとつであることが示されている。
【０２１２】
g"≠0である場合、式（５０）の解は一意的には得られないであろう。
【０２１３】
次に、異なるグローサのモデル結果の比較をする。
【０２１４】
まず、その正確さを検証するために、モデルを他のグローサに適用し、その結果をResistive Force Theory(Li, C., Zhang, T., and Goldman, D. I. (2013). A terradynamics of legged locomotion on granular media. Science, 339:1408-1412.)により発表された結果と比較した。
【０２１５】
図３、図９、図１９及び図２０に示したホイール／土壌パラメータを利用して、Resistive Force Theory(Li, C., Zhang, T., and Goldman, D. I. (2013). A terradynamics of legged locomotion on granular media. Science, 339:1408-1412.)によって使用されたものと同じ形状である、グローサ高さhgと放物線パラメータaとにより定義された半円弧による牽引力を比較した。グローサ形状関数gは以下のように定義される。
【０２１６】
【数２６】
2017088170.tif 000028
【０２１７】
Qsのプロファイルは次のように表される。
【０２１８】
【数２７】
2017088170.tif 000029
【０２１９】
式中sign(・)は符号関数である。
【０２２０】
同様に、後述の図１９や図２０に示される半正弦波及び二重の１／４円弧を含む他のグローサ形状を定義する。
【０２２１】
表１及び２は、あらゆるグローサ形状の全ての回転角度について最大牽引力とその対応する積算値の結果をまとめたものである。
【０２２２】
【表１】
2017088170.tif 000030
【０２２３】
【表２】
2017088170.tif 000031
【０２２４】
これらの結果から、図１０及び図１１に示すように、ホイール本体の接線方向に長く平面的なグローサ（φ=-89度）を除いたその他のグローサと比較すると、１／４円弧を有するグローサは優れた性能を示している。
【０２２５】
これらの放物曲線形状から得られた結果は、Resistive Force Theory(Li, C., Zhang, T., and Goldman, D. I. (2013). A terradynamics of legged locomotion on granular media. Science, 339:1408-1412.)で得られたものと同様であり、凸状グローサが地表と接触するとき、牽引力は平面放射状グローサのそれよりも大きいことを示している。
【０２２６】
しかしながら、直径境界内で最大の長さを有する、接線方向に平面的なグローサは、グローサの単位長さあたりの牽引力に関してではなく、牽引力に関して最良の性能を発揮する。より長いグローサのホイール質量はより大きくなってしまっていたため、惑星探査のためのホイール設計においては、凸状円弧のような、ホイール質量を最小化しつつ牽引力を最大化する他の設計を検討してきたものである。
【０２２７】
このような形状により、非常に長いグローサを必要とせずにより大きな牽引力を生じさせることができる。
【０２２８】
ここで、上記の式４６の導出プロセスは、以下のとおりである。
【０２２９】
グローサ形状の最適化についてオイラーの公式（５６）を検討し、式（５７）によって算出される全牽引力を最大化する。
【０２３０】
【数２８】
2017088170.tif 000032
【０２３１】
【数２９】
2017088170.tif 000033
【０２３２】
【数３０】
2017088170.tif 000034
【０２３３】
である場合、式（５６）の各因数は次のように算出される。
【０２３４】
【数３１】
2017088170.tif 000035
【０２３５】
【数３２】
2017088170.tif 000036
【０２３６】
【数３３】
2017088170.tif 000037
【０２３７】
【数３４】
2017088170.tif 000038
【０２３８】
【数３５】
2017088170.tif 000039
【０２３９】
最適化の問題は、以下の式を満たすgを見つけることである。
【０２４０】
【数３６】
2017088170.tif 000040
【０２４１】
α(β,γ)≠0であるので、単位深度あたりの法線応力の分布αは最適化プロセスに関連していない。それゆえ、以下の式の展開によりw'=0という前提のもと、式（63）が抽出される。
【０２４２】
【数３７】
2017088170.tif 000041
【０２４３】
【数３８】
2017088170.tif 000042
【０２４４】
【数３９】
2017088170.tif 000043
【０２４５】
1+g'2≠0であるので、以下の式が得られ抽出される。
【０２４６】
【数４０】
2017088170.tif 000044
【０２４７】
【数４１】
2017088170.tif 000045
【０２４８】
最後に、
【０２４９】
【数４２】
2017088170.tif 000046
【０２５０】
の場合のグローサ形状の最適化条件が以下の式により表される。
【０２５１】
【数４３】
2017088170.tif 000047
【０２５２】
上記最適化条件を満たすgの解が得られた場合、解は極小値、極大値、又は変曲点の解であってもよい。
【０２５３】
次に、
【０２５４】
【数４４】
2017088170.tif 000048
【０２５５】
であるがw'≠0である場合、式（６３）は以下の式により抽出される。
【０２５６】
【数４５】
2017088170.tif 000049
【０２５７】
【数４６】
2017088170.tif 000050
【０２５８】
【数４７】
2017088170.tif 000051
【０２５９】
1+g'2≠0であるので、上記式は以下のように抽出される。
【０２６０】
【数４８】
2017088170.tif 000052
【０２６１】
【数４９】
2017088170.tif 000053
【０２６２】
【数５０】
2017088170.tif 000054
【０２６３】
最後に、ホイールとグローサの幅形状を考慮した最適化条件として、次の式が得られる。
【０２６４】
【数５１】
2017088170.tif 000055
【０２６５】
ここで、上記の式４７の導出プロセスは、以下のとおりである。
【０２６６】
以下の場合
【０２６７】
【数５２】
2017088170.tif 000056
【０２６８】
を検討し、引用文献（Li, C., Zhang, T., and Goldman, D. I. (2013). A terradynamics of legged locomotion on granular media. Science, 339:1408-1412.）に示された以下の式により、ｘおよびｚ方向におけるαを求める。
【０２６９】
【数５３】
2017088170.tif 000057
【０２７０】
【数５４】
2017088170.tif 000058
【０２７１】
式中、ホイール-グローサ形状のパラメータβおよびγは以下の式により求められる。
【０２７２】
【数５５】
2017088170.tif 000059
【０２７３】
【数５６】
2017088170.tif 000060
【０２７４】
さらに、スケーリングされたαと一般的なαとは次のような関係性がある。
【０２７５】
【数５７】
2017088170.tif 000061
【０２７６】
式中、?は土壌の差異を示すスケーリング係数である.
土壌特性を考慮した最適化について、式(５６)の内容は以下の式から導出される。
【０２７７】
【数５８】
2017088170.tif 000062
【０２７８】
最適化の問題は、以下の式を満たすgを見つけることである。
【０２７９】
【数５９】
2017088170.tif 000063
【０２８０】
w'=0という前提のもと、以下の式の展開により式（87）が抽出される。
【０２８１】
【数６０】
2017088170.tif 000064
【０２８２】
式中、α(β,γ)はαと略す。
【０２８３】
【数６１】
2017088170.tif 000065
【０２８４】
1+g'2≠0であるので、以下の式が得られる。
【０２８５】
【数６２】
2017088170.tif 000066
【０２８６】
この時点で、分子に着目して計算する。
【０２８７】
【数６３】
2017088170.tif 000067
【０２８８】
式中、以下の関係式が上記抽出に利用される。
【０２８９】
【数６４】
2017088170.tif 000068
【０２９０】
また、分母は以下の式に要約される。
【０２９１】
【数６５】
2017088170.tif 000069
【０２９２】
最後に、土壌特性を考慮した最適化条件が次のように表される。
【０２９３】
【数６６】
2017088170.tif 000070
【０２９４】
上記最適化条件を満たすgの解が得られた場合、解は最小値、最大値、または変曲点の解であってもよい。
【符号の説明】
【０２９５】
１、１０１、２０１、３０１、５０１、６０１、７０１…ホイール
２、１０２、２０２、３０２、５０２、６０２、７０２…ホイール本体
３、１０３、２０３、３０３、５０３、６０３、７０３…グローサ
２３…ホイール本体の外周
３１、１３１…接触表面
２３１、３３１…第１の接触表面
２３２、３３２…第２の接触表面
４０１…ホイールシステム
ＣＬ、ＣＬ１、ＣＬ２…ホイール本体の中心線
ＲＤ…ホイール本体の回転方向
ＴＤ…接線
【図１】
2017088170.tif 000071
【図２】
2017088170.tif 000072
【図３】
2017088170.tif 000073
【図４】
2017088170.tif 000074
【図５】
2017088170.tif 000075
【図６】
2017088170.tif 000076
【図７】
2017088170.tif 000077
【図８】
2017088170.tif 000078
【図９】
2017088170.tif 000079
【図１０】
2017088170.tif 000080
【図１１】
2017088170.tif 000081
【図１２】
2017088170.tif 000082
【図１３】
2017088170.tif 000083
【図１４】
2017088170.tif 000084
【図１５】
2017088170.tif 000085
【図１６】
2017088170.tif 000086
【図１７】
2017088170.tif 000087
【図１８】
2017088170.tif 000088
【図１９】
2017088170.tif 000089
【図２０】
2017088170.tif 000090