(57)【要約】      （修正有）【課題】時変のα（ｋ）の決定について、高精度の解を得ることができ、かつ、演算量を低減できるＬＲＬＳフィルタを提供する。また、Ｏ（Ｎ２）のＬＲＬＳアルゴリズムにＯ（Ｎ）のα（ｋ）の計算法を追加することで、全体としてＯ（Ｎ２）で算出可能なアルゴリズムを有するＬＲＬＳ（ｌｅａｋｙ  ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ  ｌｅａｓｔ−ｓｑｕａｒｅｓ）フィルタを提供する。【解決手段】時変の正則化係数を算出する正則化係数算出部２１と、アルゴリズムの初期設定を行うアルゴリズム初期設定部２２と、理想応答と入力信号を受信する信号受信部２３と、理想応答と出力信号との差を事前推定誤差として設定する信号設定部２４と、時変の正則化係数の根に基づいて、理想応答と入力信号との相互相関関数ベクトルを更新する更新部２５とを備える。【選択図】図２
2016015586.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
ディジタル信号処理を行うｌｅａｋｙ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｌｅａｓｔ-ｓｑｕａｒｅｓ（ＬＲＬＳ）フィルタであって、
時変の正則化係数を算出する正則化係数算出部と、
アルゴリズムの初期設定を行うアルゴリズム初期設定部と、
理想応答と入力信号を受信する信号受信部と、
前記理想応答と出力信号との差を事前推定誤差として設定する信号設定部と、
前記時変の正則化係数の根に基づいて、前記理想応答と前記入力信号との相互相関関数ベクトルを更新する更新部と、
を備えることを特徴とするＬＲＬＳフィルタ。
【請求項２】
前記正則化係数算出部は、前記入力信号のノイズ大きさ（定数）をηｋ、前記ＬＲＬSフィルタの係数ベクトルをｗ（ｋ）、ベクトルをθ（ｋ）としたとき、前記時変の正則化係数α（ｋ）を次式（４１）及び（４２）にて算出し、
【数４１】
2016015586.tif 000067
【数４２】
2016015586.tif 000068
前記時変の正則化係数α（ｋ）の前記根は、前記時変の正則化係数α（ｋ）の近似値α（ｋ−１）の定義式から導出されるα（ｋ−１）についての２次方程式の正の根として与えられることを特徴とする請求項１に記載のＬＲＬＳフィルタ。
【請求項３】
前記時変の正則化係数α（ｋ）の前記根をα＾（ｋ）、忘却係数をλとしたとき、α＾（ｋ）−λα＾（ｋ−１）の値が０よりも大きいことを特徴とする請求項２に記載のＬＲＬＳフィルタ。
【請求項４】
請求項１から請求項３のいずれか１項に記載のＬＲＬＳフィルタを用いたことを特徴とする音響装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、時変の正則化係数の決定について、高精度の解を得ることができ、かつ、演
算量を低減できるＬＲＬＳフィルタに関する。
【背景技術】
【０００２】
ディジタル信号処理において適応フィルタは重要なツールとなっており、様々な適応フィルタが研究されてきた。その中で、ｌｅａｓｔ−ｍｅａｎ−Ｓｑｕａｒｅ（ＬＭＳ）アルゴリズムは演算量が少なく広く用いられているが、演算量の増加を許容できればより収束速度の速いＲＬＳアルゴリズムを用いることができる。しかしながら、標準的なＲＬＳアルゴリズムは数値的不安定性を有しているため、その改良アルゴリズムが提案されており、また、近年、指数重み係数を導入した正則化された最小２乗法の適応フィルタとして、本願発明者によりＯ（Ｎ２）のＬｅａｋｙ ＲＬＳ（ＬＲＬＳ）アルゴリズムが報告された（非特許文献１）。
【０００３】
正則化された最小２乗問題の一つの解釈として、非特許文献２では入出力双方に雑音が重畳されるシステム同定問題が扱われた。非特許文献２では、入力側に重畳される雑音のパワーが小さく出力側に加算される雑音のパワーが大きい場合に、ＬＲＬＳアルゴリズムの方がＲＬＳアルゴリズムより精度が高い係数を推定可能であると述べられている。この現象は次のように解釈できる。すなわち、ＲＬＳアルゴリズムでは、理想応答ｄ（ｋ）と適応フィルタ出力との差が最小２乗の意味で最小になるように動作するため、ｄ（ｋ）に大きな雑音ｎ（ｋ）が重畳されていると、ｄ（ｋ）＋ｎ（ｋ）と適応フィルタ出力との差が最小になるように動作する。そのような場合、ｄ（ｋ）により未知システムの同定をするのではなく、ｎ（ｋ）に大きく影響を受けた信号ｄ（ｋ）＋ｎ（ｋ）の特性で未知システムの係数を推定することになり、係数推定法が不適切となってしまう。一方、ＬＲＬＳアルゴリズムでは、信号ｄ（ｋ）＋ｎ（ｋ）と適応フィルタ出力との差をＲＬＳアルゴリズムより小さくしないように動作するため、雑音ｎ（ｋ）の影響をＲＬＳアルゴリズムより緩和できる。そのため、ＬＲＬＳアルゴリズムにおいて、正則化定数αを時変のα（ｋ）とし、その値を加算される雑音パワーに応じて変動できれば、その特性をＲＬＳアルゴリズムに近づけることも、また、ＬＲＬＳアルゴリズムに近づけることも可能なため、ＬＲＬＳアルゴリズムより正確な未知システムの同定が期待できる。
なお、時変のα（ｋ）の計算法は、指数重み係数を導入していないものに対して非特許文献３で提案されている。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００４】
【非特許文献１】堀田英輔著，「時変信号処理のためのＯ（Ｎ２）のｌｅａｋｙ ＲＬＳアルゴリズム」，信学論（Ａ），Ｖｏｌ．Ｊ９６−Ａ，ｎｏ．２，ｐｐ．１０８−１１２，Ｆｅｂｒｕａｒｙ ２０１３．
【非特許文献２】E．Ｈｏｒｉｔａ， Ｋ．Ｓｕｍｉｙａ， Ｈ．Ｕｒａｋａｍｉ，ａｎｄ  Ｓ．Ｍｉｔｓｕｉｓｈｉ，「Ａ ｌｅａｋｙ ＲＬＳ  ａｌｇｏｒｉｔｈｍ：ｉｔｓ  ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ  ａｎｄ  ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ」，ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．  Ｓｉｇｎａｌ  Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，ｖｏｌ．52，ｎｏ．10，ｐｐ．２９２４−２９３２，Ｏｃｔｏｂｅｒ ２００４．
【非特許文献３】Ａ．Ｈ．Ｓａｙｅｄ，Ａ．Ｇａｒｕｌｌｉ  ａｎｄ Ｓ．Ｃｈａｎｄｒａｓｅｋａｒａｎ，「Ａ ｆａｓｔ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ ｗｏｒｓｔ−ｃａｓｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｂｏｕｎｄｅｄ ｍｏｄｅｌ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｉｅｓ」，ｉｎ Ｐｒｏｃ．Ａｍｅｒ．Ｃｏｎｔｒ．Ｃｏｎｆ．，Ａｌｂｕｑｕｅｒｑｕｅ，ＮＭ，Ｊｕｎｅ １９９７，ｐｐ．１４９９−１５０３ ．
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
非特許文献３で提案されている時変のα（ｋ）の計算法は、その演算量は基本的には逆行列計算を含むためＯ（Ｎ３）である。非特許文献３の手法に基づけば、指数重み係数を導入した設定に拡張できるが、演算量はＯ（Ｎ３）のままである。
【０００６】
そこで本発明は、時変のα（ｋ）の決定について、高精度の解を得ることができ、かつ、演算量を低減できるＬＲＬＳフィルタを提供することを目的とする。また、非特許文献１のＯ（Ｎ２）のＬＲＬＳアルゴリズムにＯ（Ｎ）のα（ｋ）の計算法を追加することで、全体としてＯ（Ｎ２）で算出可能なアルゴリズムを有するＬＲＬＳフィルタを提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
請求項１に記載のＬＲＬＳフィルタは、ディジタル信号処理を行うｌｅａｋｙ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｌｅａｓｔ-ｓｑｕａｒｅｓ（ＬＲＬＳ）フィルタであって、時変の正則化係数を算出する正則化係数算出部と、アルゴリズムの初期設定を行うアルゴリズム初期設定部と、理想応答と入力信号を受信する信号受信部と、前記理想応答と出力信号との差を事前推定誤差として設定する信号設定部と、前記時変の正則化係数の根に基づいて、前記理想応答と前記入力信号との相互相関関数ベクトルを更新する更新部と、を備えることを特徴とする。
請求項２に記載の本発明は、請求項１に記載のＬＲＬＳフィルタにおいて、前記正則化係数算出部は、前記入力信号のノイズ大きさ（定数）をηｋ、前記ＬＲＬＳフィルタの係数ベクトルをｗ（ｋ）、ベクトルをθ（ｋ）としたとき、前記時変の正則化係数α（ｋ）を次式（４１）及び（４２）にて算出し、
【数４１】
2016015586.tif 000003
【数４２】
2016015586.tif 000004
前記時変の正則化係数α（ｋ）の前記根は、前記時変の正則化係数α（ｋ）の近似値α（ｋ−１）の定義式から導出されるα（ｋ−１）についての２次方程式の正の根として与えられることを特徴とする。
請求項３に記載の本発明は、請求項２に記載のＬＲＬＳフィルタにおいて、前記時変の正則化係数α（ｋ）の前記根をα＾（ｋ）、忘却係数をλとしたとき、α＾（ｋ）−λα＾（ｋ−１）の値が０よりも大きいことを特徴とする。
請求項４に記載の音響装置は、請求項１から請求項３のいずれか１項に記載のＬＲＬＳフィルタを用いたことを特徴とする。
【発明の効果】
【０００８】
本発明によれば、時変の正則化係数α（ｋ）の決定について、高精度の解を得ることができ、かつ、演算量を低減できるＬＲＬＳフィルタを提供することができる。また、時変な正則化係数α（ｋ）の計算精度を落とすことなく、全体としてＯ（Ｎ２）で算出可能なアルゴリズムを有するＬＲＬＳフィルタを提供することができる。
【図面の簡単な説明】
【０００９】
【図１】本発明の一実施例によるＬＲＬＳフィルタを用いた問題設定の構成を示す図
【図２】同ＬＲＬＳフィルタに適用するＯ（Ｎ２）のＬＲＬＳアルゴリズムのフローチャート図
【図３】同ＬＲＬＳフィルタに適用するＯ（Ｎ３）のＬＲＬＳアルゴリズムのフローチャート図
【図４】ＲＬＳアルゴリズムと、非特許文献１のＬＲＬＳアルゴリズムにより推定された係数の精度比較を示す図（ケース１）
【図５】従来の更新法のアルゴリズムと、統計的な近似を用いて簡略化した手法と、本発明に用いるアルゴリズムにより推定された係数の精度比較を示す図（ケース１）
【図６】従来の更新法のアルゴリズムと、統計的な近似を用いて簡略化した手法と、本発明に用いるアルゴリズムの時変な正則化係数α（ｋ）の時間変化を示す図（ケース１）
【図７】ＲＬＳアルゴリズムと、非特許文献１のＬＲＬＳアルゴリズムにより推定された係数の精度比較を示す図（ケース２）
【図８】従来の更新法のアルゴリズムと、統計的な近似を用いて簡略化した手法と、本発明に用いるアルゴリズムにより推定された係数の精度比較を示す図（ケース２）
【図９】従来の更新法のアルゴリズムと、統計的な近似を用いて簡略化した手法と、本発明に用いるアルゴリズムの時変な正則化係数α（ｋ）の時間変化を示す図（ケース２）
【発明を実施するための形態】
【００１０】
本発明の第１の実施の形態によるＬＲＬＳフィルタは、時変の正則化係数を算出する正則化係数算出部と、アルゴリズムの初期設定を行うアルゴリズム初期設定部と、理想応答と入力信号を受信する信号受信部と、理想応答と出力信号との差を事前推定誤差として設定する信号設定部と、時変の正則化係数の根に基づいて、理想応答と入力信号との相互相関関数ベクトルを更新する更新部とを備えるものである。
本発明の実施の形態によれば、時変の正則化係数の決定について、高精度の解を得ることができ、かつ、演算量を低減することができる。
【００１１】
本発明の第２の実施の形態は、第１の実施の形態におけるＬＲＬＳフィルタにおいて、正則化係数算出部は、入力信号のノイズ大きさ（定数）をηｋ、ＬＲＬSフィルタの係数ベクトルをｗ（ｋ）、ベクトルをθ（ｋ）としたとき、時変の正則化係数α（ｋ）を次式（４１）及び（４２）にて算出し、
【数４１】
2016015586.tif 000005
【数４２】
2016015586.tif 000006
時変の正則化係数α（ｋ）の根は、時変の正則化係数α（ｋ）の近似値α（ｋ−１）の定義式から導出されるα（ｋ−１）についての２次方程式の正の根として与えられるものである。
本発明の実施の形態によれば、時変の正則化係数の決定について、更に高精度の解を得ることができ、かつ、演算量を低減することができる。
【００１２】
本発明の第３の実施の形態は、第２の実施の形態におけるＬＲＬＳフィルタにおいて、時変の正則化係数α（ｋ）の根をα＾（ｋ）、忘却係数をλとしたとき、α＾（ｋ）−λα＾（ｋ−１）の値が０よりも大きいものである。
本発明の実施の形態によれば、Ｏ（Ｎ２）のＬＲＬＳアルゴリズムを用いる場合であっても、逆行列の補助定理の適用条件に抵触するのを避け、値が発散してしまうのを防止することができる。
【００１３】
本発明の第４の実施の形態による音響装置は、第１から第３のいずれか１つの実施の形態におけるＬＲＬＳフィルタを用いたものである。
本発明の実施の形態によれば、高精度の解を得ることができ、かつ、演算量を低減することができ、より正確な未知システムの同定を行うことができる。
【実施例】
【００１４】
以下、本発明の実施例について図面を用いて説明する。
図１は、本発明の一実施例によるＬＲＬＳフィルタを用いた問題設定の構成を示す図であり、未知システム１０と、適応フィルタ２０を備えている。また、図２は、同ＬＲＬＳフィルタに適用するＯ（Ｎ２）のＬＲＬＳアルゴリズムのフローチャート図であり、図３は、同ＬＲＬＳフィルタに適用するＯ（Ｎ３）のＬＲＬＳアルゴリズムのフローチャート図である。
【００１５】
適応フィルタ２０は、ディジタル信号処理を行うｌｅａｋｙ  ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ  ｌｅａｓｔ−ｓｑｕａｒｅｓ（ＬＲＬＳ）フィルタであって、時変の正則化係数を算出する正則化係数算出部２１と、アルゴリズムの初期設定を行うアルゴリズム初期設定部２２と、理想応答と入力信号を受信する信号受信部２３と、理想応答と出力信号との差を事前推定誤差として設定する信号設定部２４と、時変の正則化係数の根に基づいて、理想応答と入力信号との相互相関関数ベクトルを更新する更新部２５とを備えている。
【００１６】
正則化係数算出部２１は、入力信号のノイズ大きさ（定数）をηｋ、ＬＲＬＳフィルタ２０の係数ベクトルをｗ（ｋ）、ベクトルをθ（ｋ）としたとき、時変の正則化係数α（ｋ）を次式（４１）及び（４２）にて算出し、時変の正則化係数の根α＾（ｋ）を、時変の正則化係数α（ｋ）の近似値α（ｋ−１）の定義式から導出されるα（ｋ−1）についての２次方程式の正の根として与える。なお、詳細は後述する。
【００１７】
【数４１】
2016015586.tif 000007
【数４２】
2016015586.tif 000008
【００１８】
アルゴリズム初期設定部２２においては、フィルタ長Ｎの２乗の演算量のＬＲＬＳアルゴリズムの場合（図２）は、時変の正則化係数の根α＾（０）に初期値α０を設定し、相関行列の逆行列を対角行列α＾−１（０）Ｉとして初期設定し、係数ベクトルを零ベクトルとして初期設定し、理想応答の２乗和を０として初期設定し、理想応答とＬＲＬＳフィルタ２０への入力との相互相関ベクトルを零ベクトルとして初期設定し、さらに、フィルタ長Ｎ、忘却係数（指数重み係数）λ、及び雑音信号を設定する。
また、フィルタ長Ｎの３乗の演算量のＬＲＬＳアルゴリズムの場合（図３）は、時変の正則化係数の根α＾（０）に初期値α０を設定し、相関行列を対角行列α＾（０）Ｉとして初期設定し、係数ベクトルを零ベクトルとして初期設定し、理想応答の２乗和を０として初期設定し、理想応答とＬＲＬＳフィルタ２０への入力との相互相関ベクトルを零ベクトルとして初期設定し、さらに、フィルタ長Ｎ、忘却係数（指数重み係数）λ、及び雑音信号を設定する。
【００１９】
信号受信部２３は理想応答と入力信号を受信し、信号設定部２４は理想応答と出力信号との差を事前推定誤差として設定する。
更新部２５は、フィルタ長Ｎの２乗の演算量のＬＲＬＳアルゴリズムの場合（図２）は、時刻ｋがトレーニング区間でない場合は、α＾（ｋ）をα（ｋ−１）の定義式から導出されるα（ｋ−１）についての２次方程式の正の根として与え、時刻ｋがトレーニング区間の場合は、α＾（ｋ）をα０と設定する。そして、α＾（ｋ）−λα＾（ｋ−１）の大きさと計算機に依存する小さな正の定数であるεの大きさとを比較する。α＾（ｋ）−λα＾（ｋ−１）がεより大きい場合は、α＾（ｋ）−λα＾（ｋ−１）の値をその後の計算に使用し、α＾（ｋ）−λα＾（ｋ−１）がεより小さい場合は、εをその後の計算に使用し、正則化された相関行列の逆行列を更新し、係数ベクトルを更新し、理想応答の２乗和を更新し、理想応答とＬＲＬＳフィルタヘの入力との相互相関関数ベクトルを更新する。Ｏ（Ｎ２）の場合は、α＾（ｋ）−λα＾（ｋ−１）の値は０又はマイナスにもなり得るので、上記のように、α＾（ｋ）一λα＾（ｋ−１）の大きさと計算機に依存する小さな正の定数であるεの大きさとを比較し、大きいほうの値をその後の計算に用いることで、逆行列の補助定理の適用条件に抵触するのを避け、値が発散してしまうのを防止することができる。
また、更新部２５は、フィルタ長Ｎの３乗の演算量のＬＲＬＳアルゴリズムの場合（図３）は、時刻ｋがトレーニンク区間でない場合は、α＾（ｋ）をα（ｋ−１）の定義式から導出されるα（ｋ−１）についての２次方程式の正の根として与え、時刻ｋがトレーニング区間の場合は、α＾（ｋ）をα０と設定する。そして、計算を実行し、正則化された相関行列を更新し、正則化された相関行列の逆行列を計算して係数ベクトルを更新し、理想応答の２乗和を更新し、理想応答とＬＲＬＳフィルタヘの入力との相互相関関数ベクトルを更新する。なお、このＯ（Ｎ３）の場合は、値が発散することはないので、α＾（ｋ）−λα＾（ｋ−１）の大きさとεの大きさとを比較する必要はない。
【００２０】
次に、本発明のＬＲＬＳフィルタに導入するアルゴリズム、特に、フィルタ長Ｎの２乗の演算量のＬＲＬＳアルゴリズムについて詳細に説明する。
【００２１】
［１．ＬＲＬＳアルゴリズムの正則化係数の時変化］
ＬＲＬＳアルゴリズムの評価関数において、正則化係数を時変のα（ｋ）とした次式を考える。
【００２２】
【数１】
2016015586.tif 000009
ここで、忘却係数λは１よりわずかに小さな正の定数であり、ｄ（ｉ）は理想応答である。また、ｘ（ｉ）とｗ（ｋ）は、各々、フィルタの入力ベクトルと係数ベクトルであり、次式で定義される。
【００２３】
【数２】
2016015586.tif 000010
【数３】
2016015586.tif 000011
【００２４】
式（１）の評価関数より、以下のＯ（Ｎ２）のＬＲＬＳアルゴリズムが得られる。
アルゴリズムの初期化：
【数４】
2016015586.tif 000012
各時刻ｋ＝１，２，．．．について計算：
【００２５】
【数５】
2016015586.tif 000013
【数６】
2016015586.tif 000014
【数７】
2016015586.tif 000015
【数８】
2016015586.tif 000016
【数９】
2016015586.tif 000017
【数１０】
2016015586.tif 000018
ここで、ξｋ，ＮはＮ×１の単位ベクトルで（（ｋ−１）ｍｏｄ Ｎ）＋１番目の要素が１で他は０となっている。また、Ｐ（ｋ）＝Φ−１（ｋ）であり、Φ（ｋ）は次式で定義される。
【００２６】
【数１１】
2016015586.tif 000019
ただし、逆行列の補題の適用条件を満足させるため、α（ｋ）−λα（ｋ−１）＞０が成立すると仮定されるので、この条件を満たすようにα（ｋ）を適切に与えなければならない。
【００２７】
［２．α（ｋ）の計算法］
{２．１  α（ｋ）の定義と従来の更新法}
時変正則化係数α（ｋ）を以下で定義する。
【００２８】
【数１２】
2016015586.tif 000020
【数１３】
2016015586.tif 000021
【数１４】
2016015586.tif 000022
【数１５】
2016015586.tif 000023
【数１６】
2016015586.tif 000024
式（１６）のηｋは、行列Ａ（ｋ）に含まれる不確かさへの摂動行列の上界である。ここでは行列Ａ（ｋ）に含まれる不確かさは適応フィルタ入力に含まれる小さな雑音ととらえる。式（１６）の分子に関して
【００２９】
【数１７】
2016015586.tif 000025
であるため、分母を一定とみなせば、理想応答ｄ（ｋ）に加算される雑音ｎ（ｋ）が大きければα（ｋ）（＞０）は大きくなり、そうでなければα（ｋ）は小さくなる。
【００３０】
式（１６）に基づいてα（ｋ）を更新する方法については、Ａｌｉ Ｈ．Ｓａｙｅｄ等の手法（非特許文献３）が知られている。非特許文献３では、忘却係数λが導入されていないため、非特許文献３の手法を式（１）に適用する。
求めるべき係数ベクトルｗ（ｋ）は次式を満たしている。
【００３１】
【数１８】
2016015586.tif 000026
そのため、非特許文献３に基づき、一時的な係数ベクトルｈ（ｋ）を次式で与える。
【００３２】
【数１９】
2016015586.tif 000027
ｈ（ｋ）を導入すれば、次のアルゴリズムが得られる。
【００３３】
（非特許文献３に基づいた時変ＬＲＬＳアルゴリズム）
アルゴリズムの初期化：
【００３４】
【数２０】
2016015586.tif 000028
各時刻ｋ−１，２，．．．について計算：
【００３５】
【数２１】
2016015586.tif 000029
【数２２】
2016015586.tif 000030
【数２３】
2016015586.tif 000031
【数２４】
2016015586.tif 000032
【数２５】
2016015586.tif 000033
【数２６】
2016015586.tif 000034
【数２７】
2016015586.tif 000035
【数２８】
2016015586.tif 000036
ここで、α￣（ｋ）は式（１６）において、ｗ（ｋ）の代わりにｈ（ｋ）としたものであり、
【００３６】
【数２９】
2016015586.tif 000037
で与えられる。上式により、α￣（ｋ）は式（１６）のα（ｋ）の近似値となっている。
【００３７】
この手法を用いれば、雑音ｎ（ｋ）の状況が未知でも適応的にα（ｋ）を更新可能となるが、Ｐ−１（ｋ）を求める逆行列の計算が必要となる。また、式（２６）のα￣（ｋ）の計算に必要な部分の計算量がＯ（Ｎ２）であるため、この演算量も少なくない。
また、上記のアルゴリズムに、更に統計的な近似を用いて簡略化した手法（仲川和紀，堀田英輔著，「時変ＬＲＬＳフィルタとその近似フィルタの収束特性解析」，信学技報，ＳＩＰ２００７−１７８，ｐｐ．１２１−１２６，Ｊａｎ．２００８．）が検討されているが、逆行列の計算は残ったままであり、かつα￣（ｋ）の推定精度はあまりよくない。
【００３８】
{２．２  低演算量なα（ｋ）の計算法}
式（１７）のεｍｉｎ（ｋ）を最小２乗法の理論に基づいて考える。式（１）の評価関数をｗ（ｋ）に関して最小化することで以下の方程式を得る。
【００３９】
【数３０】
2016015586.tif 000038
ここで、行列Φ（ｋ）は式（１１）で与えられており、ベクトルθ（ｋ）は次式で定義される。
【００４０】
【数３１】
2016015586.tif 000039
式（３０）を変形することで次の式を得る。
【００４１】
【数３２】
2016015586.tif 000040
ここで、ｅｍｉｎ（ｉ）＝ｄ（ｉ）−ｘＴ（ｉ）ｗ（ｋ）である。式（３２）の両辺
にｗＴ（ｋ）を左側から掛けることで次式を得る。
【００４２】
【数３３】
2016015586.tif 000041
また、ｅｍｉｎ（ｉ）の定義と式（３３）より以下の式を得る。
【００４３】
【数３４】
2016015586.tif 000042
ここで、εｄ（ｋ）、εｅｓｔ（ｋ）、εｍｉｎ（ｋ）は各々次式で定義される。
【００４４】
【数３５】
2016015586.tif 000043
【数３６】
2016015586.tif 000044
【数３７】
2016015586.tif 000045
式（３６）のεｅｓｔ（ｋ）は、また、以下のように別表現できる。
【００４５】
【数３８】
2016015586.tif 000046
上式を式（３４）に代入することで次の式を得る。
【００４６】
【数３９】
2016015586.tif 000047
式（３９）を式（１６）の両辺を平方した式に代入することでα（ｋ）についての次の２次方程式を得る。
【００４７】
【数４０】
2016015586.tif 000048
式（４０）をα（ｋ）（＞０）について解くと、α（ｋ）は次式で与えられる。
【００４８】
【数４１】
2016015586.tif 000049
【数４２】
2016015586.tif 000050
式（４２）ではα（ｋ）を求めるためにｗ（ｋ）が必要となるため、そのままでは用いることができない。そのため、α（ｋ）の近似値としてα（ｋ−１）を用いる。
以上より、式（４１）と式（４２）に基づけば、１．のアルゴリズムをα（ｋ）について閉じた形にできる。
【００４９】
（本発明において提案する時変ＬＲＬＳアルゴリズム）
アルゴリズムの初期化：
【００５０】
【数４３】
2016015586.tif 000051
【数４４】
2016015586.tif 000052
各時刻ｋ＝１，２，．．．について計算：
【００５１】
【数４５】
2016015586.tif 000053
【数４６】
2016015586.tif 000054
【数４７】
2016015586.tif 000055
【数４８】
2016015586.tif 000056
【数４９】
2016015586.tif 000057
【数５０】
2016015586.tif 000058
【数５１】
2016015586.tif 000059
【数５２】
2016015586.tif 000060
【数５３】
2016015586.tif 000061
【数５４】
2016015586.tif 000062
【数５５】
2016015586.tif 000063
【数５６】
2016015586.tif 000064
ここで、εは計算機に依存する小さな正の定数である。
提案アルゴリズムで、１．のアルゴリズムの演算量はＯ（Ｎ２）となる。
【００５２】
次に、本発明における提案法の有効性を確認するため、数値解析ソフトウェアを用いて３２ビット倍精度でシミュレーションを行った。問題設定は図１の、入出力双方に白色雑音が加算されるシステム同定問題である。Ｎ＝２９の特性が異なる２種類の低域ＦＩＲフィルタを用意し、時刻ｋ＝１，・・・，５００とｋ＝５０１，・・・，１０００で、各々の低域ＦＩＲフィルタを未知システム１０とした。そして、この２種類の低域ＦＩＲフィルタを用いて次の表１と表２のＳＮ比で信号を独立試行１００回分生成した。
【００５３】
【表１】
2016015586.tif 000065
【表２】
2016015586.tif 000066
【００５４】
生成された二つのケースの信号に対して、ＲＬＳアルゴリズム、非特許文献１のＬＲＬＳアルゴリズム、２．１のアルゴリズム（従来の更新法）、統計的な近似を用いて簡略化した手法（簡略化手法）、提案法、を用いて未知システム１０の同定を行った。ただし、ηｋは入力側のＳＮ比が一定値であるため区間ｋ＝１，２，…，５００とｋ＝５０１，５０２，・・・，１０００でそれぞれ定数、λ＝０．９８、α０＝１とし、ＲＬＳとＬＲＬＳアルゴリズム以外の各アルゴリズムの初期学習期間ではα（ｋ）＝α0とした。
【００５５】
ケース１は、前半（ｋ＝１，２，・・・，５００）でＬＲＬＳアルゴリズムがＲＬＳアルゴリズムより係数推定精度がよくなり、後半（ｋ＝５０１，５０２，・・・，１０００）でその優劣が逆転する設定である。ＬＲＬＳアルゴリズムのαは前半の信号に対して非特許文献２の手法で求められた値を後半でもそのまま用いているため、ＲＬＳアルゴリズムの係数推定精度が後半に良くなっても、ＬＲＬＳアルゴリズムの係数推定精度は後半にそれほど良くならない（図４）。一方、α（ｋ）を更新している手法では、図５より、２．１の手法と提案法の結果はほぼ一致しており、後半では両者はＲＬＳアルゴリズムに近い特性を示している。しかしながら、統計的な近似を用いて簡略化した手法は、２．１の手法や提案法とは異なる特性を示しており、図６のα（ｋ）の値を見ても、その計算精度があまり良くないことがわかる。
【００５６】
ケース２は、前半と後半のＳＮ比がケース１と逆になっている。このケースでは、ＬＲＬＳアルゴリズムのαがケース１と同様に前半の信号に対して求められているため、αの値が小さく、ＲＬＳアルゴリズムとＬＲＬＳアルゴリズムはほぼ同じような特性となっている（図７）。図８より、提案法は２．１の手法とほぼ同じ特性を示しているが、図９のα（ｋ）の値が異なっている時刻ｋ＝１００付近では、その部分の図８の特性も異なっている。これは提案法では、計算量をＯ（Ｎ２）にするため逆行列の補助定理の適用条件より、式（４９）によってα（ｋ）−λα（ｋ−１）＞０を保持しており、α（ｋ）の急な値の減少を避けているためである。
【産業上の利用可能性】
【００５７】
本発明は、時変な正則化係数α（ｋ）の計算精度を落とすことなく、全体として演算量を低減可能なアルゴリズムを有し、ＬＲＬＳフィルタに適している。
【符号の説明】
【００５８】
１０  未知システム
２０  適応フィルタ（ＬＲＬＳフィルタ）
２１  正則化係数算出部
２２  アルゴリズム初期設定部
２３  信号受信部
２４  信号設定部
２５  更新部
【図１】
2016015586.tif 000069
【図２】
2016015586.tif 000070
【図３】
2016015586.tif 000071
【図４】
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【図５】
2016015586.tif 000073
【図６】
2016015586.tif 000074
【図７】
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【図８】
2016015586.tif 000076
【図９】
2016015586.tif 000077