(57)【要約】      （修正有）【課題】マルチパス環境下でも有効な周波数オフセット測定法を提供する。【解決手段】定振幅ゼロ自己特性相関系列（ＣＡＺＡＣ系列）信号で、或る周波数オフセットによって別のＣＡＺＡＣ系列信号になる性質を持つＣＡＺＡＣ系列信号を周波数オフセット測定用信号として送信し、受信側で周波数オフセット測定用信号がどのように変化したかを検出することにより周波数オフセットを測定する。受信された周波数オフセット測定用信号と参照信号との相互相関を、周波数オフセット測定用圧縮パルスの位置と周波数オフセット量とが比例するように位置の並べ替えを行うことにより、圧縮パルスの位置が周波数オフセット量を示すようにすることにより、マルチパス環境下でも周波数オフセットを有効に測定する。【選択図】図１９
2016158229.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
送信パイロット信号が或る定振幅ゼロ自己相関特性系列（ＣＡＺＡＣ系列）Constant Amplitude Zero Auto-Correlation Sequence）信号から有限の長さを切り取った有限長系列信号である周波数オフセット測定方法であって、前記送信パイロット信号が或る周波数オフセットを受けた受信パイロット信号が、前記送信パイロット信号を作成するために用いたＣＡＺＡＣ系列とは別のＣＡＺＡＣ系列から切り取った有限長系列信号となることを特徴とする周波数オフセット測定方法。
【請求項２】
請求項１に記載の周波数オフセット測定方法であって、周波数オフセット測定用パイロット信号の内部に、擬周期Ｎの異なる擬周期化した信号を、それぞれの擬周期Ｎについて単数または複数含むことを特徴とする周波数オフセット測定方法。
【請求項３】
請求項１に記載の周波数オフセット測定方法であって、周波数オフセット測定用パイロット信号の内部に、擬周期Ｎの異なる擬周期化したＣｈｕ系列信号を、それぞれの擬周期Ｎについて単数または複数含むことを特徴とする周波数オフセット測定方法。
【請求項４】
請求項１に記載の周波数オフセット測定方法であって、前記送信パイロット信号が奇数周期のＣｈｕの系列から切り取った擬周期が奇数の擬周期信号であることを特徴とする周波数オフセット測定方法。
【請求項５】
請求項４に記載の周波数オフセット測定方法であって、前記奇数周期のＣｈｕの系列が、Ｎを周期、ｑをＮに対して素の自然数、ｉを系列内の成分番号として、
【数１】
2016158229.tif 000203
―――――数式1
で表されることを特徴とする周波数オフセット測定方法。
【請求項６】
請求項１に記載の周波数オフセット測定方法であって、前記送信パイロット信号が偶数周期のＣｈｕの系列から切り取った擬周期が偶数の擬周期信号であることを特徴とする周波数オフセット測定方法。
【請求項７】
請求項６に記載の周波数オフセット測定方法であって、前記偶数周期のＣｈｕの系が、
Ｎを周期、ｑをＮに対して素の自然数、ｉを系列内の成分番号として、
【数２】
2016158229.tif 000204
―――――数式２
で表されることを特徴とする周波数オフセット測定方法。
【請求項８】
請求項１、および、請求項２、３、４、５，６、７に記載の周波数オフセット測定方法であって、前記パイロット信号のチップ幅を可変にすることを特徴とする周波数オフセット測定方法。
【請求項９】
請求項１、および、請求項２、３、４、５、６、７に記載の周波数オフセット測定方法であって、前記パイロット信号の擬周期または周期を可変にすることを特徴とする周波数オフセット測定方法。
【請求項１０】
請求項１、および、請求項４、５、６、７に記載の周波数オフセット測定方法であっ
て、複数の異なる送信パイロット信号を送信し、それぞれの受信信号とそれぞれ対応する参照信号との周期相互相関を送信パイロット信号が異なっても前記周期相互相関における非０成分の位置と周波数オフセットの値の関係が同じになるように、それぞれのパイロット信号毎に受信側で得られた周期相互相関に適当な変換を施した後に加算することによりパイロット信号毎に異なるじょう乱の影響を削減することを特徴とする周波数オフセット測定方法。
【請求項１１】
請求項５、および、請求項7に記載の周波数オフセット測定方法であって、Ｎが平方数
Ｍ２の場合には、受信されたパイロット信号と参照信号との相関を算出する方法に、Ｍ次ＤＦＴまたはＭ次一般化ＤＦＴを算出するステップを含むことを特徴とする周波数オフセット測定方法。
【請求項１２】
請求項１、および、請求項２、３、４、５、６、７に記載の周波数オフセット測定方法であって、周波数オフセット検出パルスの位置と周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが比例するように、受信された周波数オフセット測定用信号と参照信号との相関出力に対して時間位置の入れ替えを行うことを特徴とする周波数オフセット測定方法。
【請求項１３】
請求項１、および、請求項２、３、４、５、６、７、１２に記載の周波数オフセット測定方法であって、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれを測定することを特徴とする周波数オフセット測定方法。
【請求項１４】
請求項１、および、請求項２、３、４、５、６、７、１２に記載の周波数オフセット測定方法であって、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれに比例する位置に圧縮パルスが立つことを特徴とする周波数オフセット測定方法。
【請求項１５】
請求項１、および、請求項２、３、４、５、６、７、１２に記載の周波数オフセット測定方法であって、周波数オフセット測定用信号をパケットの全体または一部に重畳することを特徴とする周波数オフセット測定方法。
【請求項１６】
請求項１、および、請求項２、３、４、５、６、７、１２に記載の周波数オフセット測定方法であって、長さＮ１の周波数オフセット測定用信号を用いて得られた周波数オフセットの暫定値を用いてサンプル間隔を修正してから、長さＮ２の周波数オフセット測定用信号を用いて、更に正確な周波数オフセット測定を行うことを特徴とする、周波数オフセット測定方法。
【請求項１７】
請求項１、および、請求項２、３、４、５、６、７、１２に記載の周波数オフセット測定方法であって、連続信号に対して複数の異なるサンプル間隔でサンプルし、１つの連続信号から複数の離散信号を得ることによって、周波数オフセットによる位相ずれによるサンプル点のチップ幅からのはみ出しを避けるようなサンプル間隔を選ぶことを特徴とする周波数オフセット測定方法。
【請求項１８】
請求項１、および請求項２、３、４、５、６、7、１２に記載の周波数オフセット測定方法あって、通信システムに割り当てられている帯域の全部または一部を使って、周波数オフセット測定用信号のチップ幅を通常のユーザ信号より狭くして、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれの測定し易くすることを特徴とする周波数オフセット測定方法。
【請求項１９】
請求項１、および請求項２、３、４、５、６、7、１２に記載の周波数オフセット測定方法であって、通信システムに割り当てられている帯域の全部または一部を使って、１ユーザの情報伝送信号に割り当てられる帯域より広い帯域を周波数オフセット測定用信号に割り当てることを特徴とする周波数オフセット測定方法。
【請求項２０】
請求項１２に記載の周波数オフセット測定方法であって、周波数オフセット測定用信号に対して、情報伝送信号よりも広い周波数帯域を割り当てることを特徴とする周波数オフセット測定方法。
【請求項２１】
請求項１、および請求項２、３、４、５、６、7、１２に記載の周波数オフセット測定方法を用いて得た周波数オフセット結果を用いて、受信側ロ―カル発信機の周波数を修正することを特徴とする、通信方法。
【請求項２２】
請求項１、および請求項２、３、４、５、６、7、１２に記載の周波数オフセット測定方法を用いて得た周波数オフセット結果を用いて、受信側のサンプル間隔を修正することを特徴とする、通信方法。
【請求項２３】
請求項１、および請求項２、３、４、５、６、7、１２に記載の周波数オフセット測定方法を用いて得た周波数オフセット結果を用いて、受信側ロ―カル発信機の周波数を修正することを特徴とする、ＯＦＤＭ通信方法。
【請求項２４】
請求項１、および、請求項２、３、４、５、６、７、１０、１１、１２に記載の周波数オフセット測定方法であって、前記送信信号は電磁波信号または超音波信号または音波信号であることを特徴とする周波数オフセット測定方法。
【請求項２５】
請求項１、および、請求項２、３、４、５、６、７、１０、１１、１２に記載の周波数
オフセット測定方法を用いる超音波画像診断方法であって、トップラ効果による周波数オフセットを測定し、画像の各ピクセルの奥行き方向の速度を色相および濃度で表示し、臓器などの動きの奥行き方向の動作を診断することを特徴とする超音波画像診断方法。
【請求項２６】
請求項１、および、請求項２、３、４、５、６、７、１０、１１、１２に記載の周波数オフセット測定方法を用いる画像構成方法であって、電磁波または超音波の発信機を単数または複数個用意し、複数の異なる送信信号を動く物体等に対して送信し、動く物体等から反射して来るそれぞれの受信機で得られる電磁波または超音波のドップラシフトを測定し、物体等の動きの複数の測定データを時間差で測定値を補正して加算することより画像信号を構成したことを特徴とする画像構成方法。
【請求項２７】
請求項１、および、請求項２、３、４、５、６、７、１０、１１、１２に記載の周波数オフセット測定方法を用いる移動体制御方法であって、電磁波または超音波の信号を用い、移動体などの衝突防止および自動運転としたことを特徴とする移動体制御方法。
【請求項２８】
請求項１、および、請求項２、３、４、５、６、７、１０、１１、１２に記載の周波数オフセット測定方法を用いる位置推定方法であって、ドップラシフトを測定することにより、複数の異なる時刻の測定された位置と測定されたドップラシフトから、或る特定の時刻における位置をそれぞれ推定して加算することにより、上記或る特定の時刻における位置の測定への擾乱の影響を軽減することを特徴とする位置推定方法。
【請求項２９】
請求項１、および、請求項２、３、４、５、６、７、１０、１１、１２に記載の周波数オフセット測定方法を用いる位置推定方法であって、ドップラシフトを測定することにより、測定対象の測定時刻より前の時刻における位置、および測定時刻より後の時刻における位置を推定することを特徴とする位置推定方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、送信機と受信機の間の周波数オフセットを測定する方法、および通信方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
これまでに、周波数オフセットを推定するアルゴリズムが幾つか提案されている。しかし、その推定精度は不十分であった。
例えば、「周波数偏差推定装置および方法」は、自己相関特性におけるサイドピークが周波数偏差に依存せず且つサイドピーク相関値が周波数偏差応じて変化する系列を用いて生成されるプリアンブル信号を送信する無線通信システムにおいて使用される周波数偏差推定装置であって、受信したプリアンブル信号と送信したプリアンブル信号のレプリカとの相関を算出して、周波数偏差を推定する技術であるが、雑音の多い条件では周波数偏差の推定ができず、また反射経路信号が加わっている場合も周波数偏差の推定ができない技術であった。（特許出願２０１０−５２５５０５）
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００３】
【特許文献１】特許出願２０１０−５２５５０５号公報
【非特許文献】
【０００４】
【非特許文献１】Paul H. Moose,「A Technique for Orthogonal Frequency Division Multiplexing Frequency Offset Correction」IEEE Trans. Communication,Vol42,No.10, pp.2908-2914,Oct.1994.
【非特許文献２】Meng - Han Hsieh, Che - Ho Wei,「A Low - complexity Frame Synchronization and Frequency Offset Compensation Scheme for OFDM System over Fading Channels」IEEE Trans. Vech, Vol48,No.5, pp.1596-1609, Set.1999.
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
通信システムにおいて、送信機と受信機の発信器の間の周波数誤差や、移動通信環境におけるドップラー効果による周波数誤差のような、一般に周波数オフセットと呼ばれるものが存在すると、通信品質の劣化の原因となる。例えば、ＯＦＤＭ方式においては、多数のサブキャリアを用いるため隣接サブキャリア間の間隔は非常に狭く、周波数オフセットがサブキャリア間の直交性を崩してキャリア間干渉の原因となり、キャリア間干渉が通信品質劣化の原因となる。
本発明は、以上のような欠点を鑑み、解決しようとする課題として、送信機と受信機の間の周波数オフセットを測定に関する新しい方法を提供することにある。
【課題を解決するための手段】
【０００６】
本発明は、周波数オフセット測定方法において、送信パイロット信号が或る定振幅ゼロ自己相関特性系列：ＣＡＺＡＣ系列(Constant Amplitude Zero Auto-Correlation 
Sequence）信号から有限の長さを切り取った有限長系列信号である周波数オフセット測定方法であって、前記送信パイロット信号が或る周波数オフセットを受けた受信パイロット信号が、前記送信パイロット信号を作成するために用いたＣＡＺＡＣ系列とは別のＣＡＺＡＣ系列から切り取った有限長系列信号となることを特徴とする。
【０００７】
また、本発明は、上述に記載の周波数オフセット測定方法であって、周波数オフセット測定用パイロット信号の内部に、擬周期Ｎの異なる擬周期化した信号を、それぞれの擬周期Ｎについて単数または複数含むこともできる。
【０００８】
また、本発明は、上述に記載の周波数オフセット測定方法であって、周波数オフセット測定用パイロット信号の内部に、擬周期Ｎの異なる擬周期化したＣｈｕ系列信号を、それぞれの擬周期Ｎについて単数または複数含むこともできる。
【０００９】
また、本発明は、上述に記載の周波数オフセット測定方法において、送信パイロット信号が受ける周波数オフセットの値が或る値の整数倍のときに、受信信号と参照信号の相関が或るシフト範囲でサイドロープの無い単パルスとなり、単パルスの位置が、送信パイロット信号が受ける周波数オフセットによって決まることを特徴とする。
【００１０】
また、本発明は、上述に記載の周波数オフセット測定方法において、前記送信パイロット信号が奇数周期のＣｈｕの系列から切り取った擬周期が奇数の擬周期信号であることを特徴とする。
【００１１】
また、本発明は、上述に記載の周波数オフセット測定方法において、前記奇数周期のＣｈｕの系列が、Ｎを周期、ｑをＮに対して素の自然数、ｉを系列内の成分番号として、
【数１】
2016158229.tif 000003
―――――数式1
で表されることを特徴とする。
【００１２】
また、本発明は、上述に記載の周波数オフセット測定方法において、前記送信パイロット信号が偶数周期のＣｈｕの系列から切り取った擬周期が偶数の擬周期信号であることを特徴とする。
【００１３】
本発明は、上述に記載の周波数オフセット測定方法において、前記偶数周期のＣｈｕの系列が、Ｎを周期、ｑをＮに対して素の自然数、ｉを系列内の成分番号として、
【数２】
2016158229.tif 000004
―――――数式２
で表されることを特徴とする。
【００１４】
また、本発明は、上述に記載の周波数オフセット測定方法において、前記パイロット信号のチップ幅を可変にすることもできる。
また、本発明は、上述に記載の周波数オフセット測定方法において、前記パイロット信号の擬周期または周期を可変にすることもできる。
【００１５】
また、本発明は、上述に記載の周波数オフセット測定方法であって、複数の異なる送信パイロット信号を送信し、それぞれの受信信号とそれぞれ対応する参照信号との周期相互相関を送信パイロット信号が異なっても前記周期相互相関における非０成分の位置と周波数オフセットの値の関係が同じになるように、それぞれのパイロット信号毎に受信側で得られた周期相互相関に適当な変換を施した後に加算することにより、パイロット信号毎に異なるじょう乱の影響を削減することもできる。
【００１６】
また、本発明は、Ｎが平方数Ｍ２の場合には、上述に記載の周波数オフセット測定方法において、受信されたパイロット信号と参照信号との相関を算出する方法に、Ｍ次ＤＦＴまたはＭ次一般化ＤＦＴを算出するステップを含むことを特徴とする。
【００１７】
また、本発明は、上述に記載の周波数オフセット測定方法であって、周波数オフセット検出パルスの位置と周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが比例するように、受信された周波数オフセット測定用信号と参照信号との相関出力に対して時間位置の入れ替えを行うことを特徴とする。
【００１８】
また、本発明は、上述に記載の周波数オフセット測定方法であって、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれを測定することを特徴とする。
【００１９】
また、本発明は、上述に記載の周波数オフセット測定方法であって、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれに比例する位置に圧縮パルスが立つことを特徴とする。
【００２０】
また、本発明は、上述に記載の周波数オフセット測定方法であって、周波数オフセット測定用信号をパケットの全体または一部に重畳することを特徴とする。
【００２１】
また、本発明は、上述に記載の周波数オフセット測定方法であって、長さＮ１の周波数オフセット測定用信号を用いて得られた周波数オフセットの暫定値を用いてサンプル間隔を修正してから、長さＮ２の周波数オフセット測定用信号を用いて、更に正確な周波数オフセット測定を行うことを特徴とする。
【００２２】
また、本発明は、上述に記載の周波数オフセット測定方法であって、連続信号に対して複数の異なるサンプル間隔でサンプルし、１つの連続信号から複数の離散信号を得ることによって、周波数オフセットによる位相ずれによるサンプル点のチップ幅からのはみ出しを避けるようなサンプル間隔を選ぶことを特徴とする。
【００２３】
また、本発明は、上述に記載の周波数オフセット測定方法であって、通信システムに割り当てられている帯域の全部または一部を使って、周波数オフセット測定用信号のチップ幅を通常のユーザ信号より狭くして、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれの測定をし易くすることを特徴とする。
【００２４】
また、本発明は、上述に記載の周波数オフセット測定方法であって、、通信システムに割り当てられている帯域の全部または一部を使って、１ユーザの情報伝送信号に割り当てられる帯域より広い帯域を周波数オフセット測定用信号に割り当てることを特徴とする。
【００２５】
また、本発明は、上述に記載の周波数オフセット測定方法であって、周波数オフセット測定用信号に対して、情報伝送信号よりも広い周波数帯域を割り当てることを特徴とする。
【００２６】
また、本発明は、通信方法において、上述に記載の周波数オフセット測定方法を用いて得た周波数オフセット結果を用いて、受信側ロ―カル発信機の周波数を修正することを特徴とする。
【００２７】
また、本発明は、通信方法において、上述に記載の周波数オフセット測定方法を用いて得た周波数オフセット結果を用いて、受信側のサンプル間隔を修正することを特徴とする。
【００２８】
また、本発明は、ＯＦＤＭ通信方法において、上述に記載の周波数オフセット測定方法を用いて得た周波数オフセット結果を用いて、受信側ロ―カル発信機の周波数を修正することを特徴とする。
【００２９】
また、本発明は、上述に記載の周波数オフセット測定方法において、前記送信信号は電磁波信号または超音波信号または音波信号であることを特徴とする。
【００３０】
また、本発明は、上述に記載の周波数オフセット測定方法において、超音波画像診断方法として、トップラ効果による周波数オフセットを測定し、画像の各ピクセルの奥行き方向の速度を色相および濃度で表示し、臓器などの動きの奥行き方向の動作を診断することを特徴とする。
【００３１】
また、本発明は、上述に記載の周波数オフセット測定方法において、画像構成方法として、電磁波または超音波の発信機を単数または複数個用意し、複数の異なる送信信号を動く物体等に対して送信し、動く物体等から反射して来るそれぞれの受信機で得られる電磁波または超音波のドップラシフトを測定し、物体等の動きの複数の測定データを時間差で測定値を補正して加算することより画像信号を構成したことを特徴とする。
【００３２】
また、本発明は、上述に記載の周波数オフセット測定方法において、移動体制御方法として、電磁波または超音波の信号を用い、移動体などの衝突防止および自動運転としたことを特徴とする。
【００３３】
また、本発明は、上述に記載の周波数オフセット測定方法において、位置推定方法として、ドップラシフトを測定することにより、複数の異なる時刻の測定された位置と測定されたドップラシフトから、或る特定の時刻における位置をそれぞれ推定して加算することにより、上記或る特定の時刻における位置の測定への擾乱の影響を軽減することもできる。
また、本発明は、上述に記載の周波数オフセット測定方法において、位置推定方法として、ドップラシフトを測定することにより、測定対象の測定時刻より前の時刻における位置、および測定時刻より後の時刻における位置を推定することもできる。
【発明の効果】
【００３４】
本発明では、上述の特徴による性質に基づいて、定振幅ゼロ自己特性相関系列（ＣＡＺＡＣ系列）信号で、或る周波数オフセットによって別のＣＡＺＡＣ系列信号になる性質を持つＣＡＺＡＣ系列信号を周波数オフセット測定用信号として送信し、受信側で周波数オフセット測定用信号がどのように変化したかを検出することにより周波数オフセットを測定する。特に、マルチパス環境下では、受信された周波数オフセット測定用信号と参照信号との相互相関を、周波数オフセット測定用圧縮パルスの位置と周波数オフセット量とが比例するように位置の並べ替えを行うことにより、圧縮パルスの位置が周波数オフセット量を示すようにすることにより、マルチパス環境下でも周波数オフセットを有効に測定する効果を与える。周波数オフセットを従来技術より遥かに高精度で測定することにより、ドップラシフトの有る状況でもＯＦＤＭ通信におけるサブキャリア間干渉を軽減することができるので、ドップラシフトの有る状況でもサブキャリア間隔を密に取ることができ、ドップラシフトの有る環境でのＯＦＤＭ通信の情報伝送速度を大幅に向上させることができる。
【図面の簡単な説明】
【００３５】
【図１】インパルス応答がＮ＝６４、ｑ＝３のＣｈｕの系列となる回路(その１)。
【図２】インパルス応答がＮ＝６４、ｑ＝３のＣｈｕの系列となる回路(その２)。
【図３】インパルス応答がＮ＝６４、ｑ＝３のＣｈｕの系列となる回路(その３)。
【図４】インパルス応答がＮ＝６４、ｑ＝３のＣｈｕの系列となる回路(その４)。
【図５】インパルス応答がＮ＝６４、ｑ＝３のＣｈｕの系列となる回路(その５)。
【図６】インパルス応答がＮ＝６４、ｑ＝３のＣｈｕの系列となる回路(その６)。
【図７】周期Ｎ(偶平方数),ｑ＝ｑ(Ｎに対して素)のＣｈｕの系列をインパルス応答とする回路(その１)。
【図８】周期Ｎ(偶平方数),ｑ＝ｑ(Ｎに対して素)のＣｈｕの系列をインパルス応答とする回路(その２)。
【図９】インパルス応答がＮ＝８１，ｑ＝２のChuの系列となる回路(その１)。
【図１０】インパルス応答がＮ＝８１，ｑ＝２のChuの系列となる回路(その２)。
【図１１】周期Ｎ(奇平方数),ｑ＝ｑ(Ｎに対して素)のＣｈｕの系列をインパルス応答とする回路 (その１)。
【図１２】周期Ｎ(奇平方数),ｑ＝ｑ(Ｎに対して素)のＣｈｕの系列をインパルス応答とする回路(その２)。
【図１３】インパルス応答がＮ＝６４，ｑ＝３，ｉ０＝６，ｊ０＝５のＣｈｕの系列とする回路(その１)。
【図１４】インパルス応答がＮ＝６４，ｑ＝３，ｉ０＝６，ｊ０＝５のＣｈｕの系列とする回路(その２)。
【図１５】Ｎ＝８１，ｑ＝２，ｉ０＝２，ｊ０＝３のＣｈｕの系列をインパルス応答とする回路(その１)。
【図１６】Ｎ＝８１，ｑ＝２，ｉ０＝２，ｊ０＝３のＣｈｕの系列をインパルス応答とする回路 (その２)。
【図１７】一般化ＤＦＴとＤＦＴの関係。
【図１８】一般化ＤＦＴとＩＤＦＴの関係。
【図１９】周波数オフセットを受けた周波数オフセット測定用信号と参照信号との相互相関を取り、相関出力信号の時間位置を、圧縮パルスの位置と周波数オフセット量とが比例するように入れ替える。
【図２０】Ｎ＝１０２４、ｑ＝６１、ｍ＝−１、シングルパスのグラフ。
【図２１】Ｎ＝１０２４、ｑ＝６１、ｍ＝−１、マルチパスのグラフ。
【図２２】Ｎ＝１０２４、ｑ＝６１、ｍ＝−１、マルチパスのグラフの中央部。
【図２３】Ｎ＝１０２４、ｑ＝６１、ｍ＝−０．５、シングルパスのグラフ。
【図２４】Ｎ＝１０２４、ｑ＝６１、ｍ＝−０．５、マルチパスのグラフ。
【図２５】Ｎ＝１０２４、ｑ＝６１、ｍ＝−０．５、マルチパスのグラフの中央部。
【図２６】Ｎ＝１０２４、ｑ＝６１、ｍ＝０、シングルパスのグラフ。
【図２７】Ｎ＝１０２４、ｑ＝６１、ｍ＝０、マルチパスのグラフ。
【図２８】Ｎ＝１０２４、ｑ＝６１、ｍ＝０、マルチパスのグラフの中央部。
【図２９】Ｎ＝１０２４、ｑ＝６１、ｍ＝０．５、シングルパスのグラフ。
【図３０】Ｎ＝１０２４、ｑ＝６１、ｍ＝０．５、マルチパスのグラフ。
【図３１】Ｎ＝１０２４、ｑ＝６１、ｍ＝０．５、マルチパスのグラフの中央部。
【図３２】Ｎ＝１０２４、ｑ＝６１、ｍ＝１、シングルパスのグラフ。
【図３３】Ｎ＝１０２４、ｑ＝６１、ｍ＝１、マルチパスのグラフ。
【図３４】Ｎ＝１０２４、ｑ＝６１、ｍ＝１、マルチパスのグラフの中央部。
【図３５】Ｎ＝１０２４、ｑ＝６１、ｍ＝１．５、シングルパスのグラフ。
【図３６】Ｎ＝１０２４、ｑ＝６１、ｍ＝１．５、マルチパスのグラフ。
【図３７】Ｎ＝１０２４、ｑ＝６１、ｍ＝１．５、マルチパスのグラフの中央部。
【図３８】Ｎ＝１０２４、ｑ＝６１、ｍ＝２、シングルパスのグラフ。
【図３９】Ｎ＝１０２４、ｑ＝６１、ｍ＝２、マルチパスのグラフ。
【図４０】Ｎ＝１０２４、ｑ＝６１、ｍ＝２、マルチパスのグラフの中央部。
【発明を実施するための形態】
【００３６】
［発明のあらまし］                                    
本発明は、送信信号と受信信号との間の周波数オフセットによる信号の１チップ当たりの位相ずれを測定することにより、送信信号と受信信号との間の周波数オフセットを測定する方法を与える。
本発明では、送信信号と受信信号との間の周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれによって位相ずれの値ごとに異なる位置に圧縮パルスが立つことを特徴とする送信パイロット信号と、圧縮パルスの位置が１チップ当たりの位相ずれに比例するように受信信号を処理する方法との組によって周波数オフセットを測定する方法を与える。
上記の送信パイロット信号は電磁波信号でも、超音波信号でも、音波信号でも良い。
【００３７】
本発明は、参照信号との相互相関が、周波数オフセットが異なれば異なる位置に圧縮パルスが生じる性質を持つ信号を周波数オフセット測定用信号とし、さらに受信側に生じる圧縮パルスの位置が周波数オフセット量に比例するように受信側相関出力信号の時間位置の入れ替えを行うことにより、圧縮パルスの位置が直接的に周波数オフセット量を示し、さらに相関出力信号に対する時間位置の入れ替えによって、マルチパス環境の影響が周波数オフセット測定に影響を与えないようにすることを特徴とする周波数オフセット測定方法を与える。
【００３８】
上述のような性質を持つ系列として、例えば「Ｃｈｕの系列」がある。
Ｃｈｕの系列は、周期Ｎが奇数の場合は、ｑをＮに対して素な自然数（０＜q＜Ｎ）として、系列のｉ番目の成分が、
【数１】
2016158229.tif 000005
―――――数式1で表される。
【００３９】
Ｃｈｕの系列は、周期Ｎが偶数の場合は、ｑをＮに対して素な自然数（０＜q＜Ｎ）として、系列のｉ番目の成分が
【数２】
2016158229.tif 000006
―――――数式２で表される。
【００４０】
Ｃｈｕの系列は、周期系列なので長さは無限大であるから、実際に使う送信パイロット信号は周期系列の一部を切り取って得られる有限長信号となる。
周期ＮのＣｈｕの系列から長さがＮより長い有限長系列を切り取ると、長さがＮより長く擬周期がＮの有限長系列が得られる。
例えば、１周期が(ａ(0),ａ(1),ａ(2),‥‥,ａ(N-1))の周期ＮのＣｈｕの系列から、長さ(Ｌ1＋Ｎ＋Ｌ2)の部分(ａ(N-L1), ‥‥,ａ(N-1),ａ(0),ａ(1),‥‥,ａ(N-1),ａ(0),ａ(1),‥‥,ａ(L2-1))という部分を切り取ると、長さ(L1＋N＋L2)、擬周期Ｎの有限長系列が得られる。
【００４１】
本発明では、Ｃｈｕの系列から長さを周期Ｎより長く切り取って得られる擬周期Ｎの有限長系列を送信パイロット信号とし、長さが周期Ｎの整数倍である有限長部分を切り取って参照信号とすることにより、受信パイロット信号と参照信号との相関に、或るシフト範囲で単パルスとなる相関特性が現れるようにする。
参照信号としては、送信パイロット信号に周波数オフセットが加わったものを想定してこの想定された信号から周期の整数倍を切り取って得られる信号を参照信号としても良い。また、送信パイロット信号の長さを周期の整数倍として、参照信号を長さが周期より長い擬周期信号としても良い。
【００４２】
一般には、周波数オフセット検出パルスの位置と、１チップ当たりの周波数オフセット量とは比例しないが、周波数オフセット検出パルスの位置と、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが比例するように、参照信号との相関出力に対して時間位置の入れ替えを行うと、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／Ｎ）の整数倍でないときでも周波数オフセット検出パルスの位置と、周波数オフセットによる１チップ当たりの周波数オフセット量と、が比例するようになる。
ただし、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／Ｎ）の整数倍でないときは、周波数オフセット検出パルスは幅（２π／Ｎ）の単パルスではなく、
サイドロープの有るパルスになる。
伝送路がマルチパス環境の場合、ｑがマルチパスの時間遅れや時間進みと比較して大きい値のときは、周波数オフセット検出パルスの位置と、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが比例するように参照信号との相関出力に対して時間位置の入れ替えを行うことにより、周波数オフセット検出パルスの近傍にマルチパスの影響は現れなくなり、マルチパスの影響は周波数オフセット検出パルスの近傍ではない時間位置に現れるようになる。
【００４３】
周波数オフセット測定用信号を、ヘッダにパイロット信号として付けてもよいが、パケット全体または一部に重畳してもよい。
どこでも、周波数オフセット測定用信号の１周期分切り取れば、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれがわかる。この場合、パケットの信号の邪魔にならないように、大きなＮ小さな振幅で、ノイズレベル程度に重畳する。
周波数オフセット測定用信号を複数個重ねて重畳しても良い。
周波数オフセットによる位相ずれによってサンプル点がチップからはずれることが有り得るという問題に対処するために、周波数オフセットによる位相ずれによってサンプル点からはずれない程度の長さＮ１の周波数オフセット測定用信号と、非常に長い長さＮ２の周波数オフセット測定用信号と、を重畳し、長さＮ１の周波数オフセット測定用信号を用いて得られた周波数オフセットの暫定値を用いてサンプル間隔を修正してから、長さＮ２の周波数オフセット測定用信号を用いてさらに正確な周波数オフセット測定値を得ることもできる。Ｎ１がどの位が適当か判らない場合は、何種類かのＮ１の周波数オフセット測定用信号を重畳してもよい。また、連続信号に対して、複数の異なるサンプル間隔でサンプルし、１つの連続信号から複数の離散信号を得ることによって、周波数オフセットによる位相ずれによるサンプル点のチップ幅からのはみ出しを避けるようなサンプル間隔を選ぶことができる。
【００４４】
或る通信システムに対して或る周波数帯域が割り当てられていて、各ユーザはその帯域の一部分の帯域を使う通信システムにおいて、各ユーザは周波数オフセット測定用信号については、通信システム全体に割り当てられている帯域を使うことにすると、周波数オフセット測定用信号のチップ幅を通常のユーザ信号の何分の１かに狭くできるので、チップ幅に含まれるＲＦ信号の波数も何分の１化にすることができる。こうすることにより周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれ測定し易くすることができる。
各ユーザは、通信システムに割り当てられている周波数帯域の全体を使って、常に周波数オフセット測定用信号を通信信号全体に定常的に重畳することもできる。
【００４５】
［第１章：同期がとれている場合］
周波数変換を途中に含む通信システムであっても、周波数変換を途中に含まない通信システムであっても、
【００４６】
送信信号、
【数３】
2016158229.tif 000007
――――― 数式３
送信機と受信機の間の周波数オフセットによって、受信機に受信されるときには
【数４】
2016158229.tif 000008
――――― 数式４となる。
ここでφが信号１チップ当たりの周波数オフセットによる位相ずれで、このφを測定できれば周波数オフセットを推定することが出来る。
【００４７】
自己相関関数が周期の倍数以外で０となる周期系列、すなわち、定振幅ゼロ自己相関特性系列はＣＡＺＡＣ系列(Constant Amplitude Zero Auto-Correlation Sequence）と呼ばれる。
周期Ｎの周期系列（・・・・・，ａＮ−１，ａ０，ａ１，・・・・・，ａＮ−１，ａ０，ａ１，・・・・・）は、Ｎ行Ｎ列の巡回行列で表すことができ、周期Ｎの周期系列（・・・・・，ａＮ−１，ａ０，ａ１，・・・・・，ａＮ−１，ａ０，ａ１，・・・・・）が成分の絶対値が１のＣＡＺＡＣ系列ならその巡回行列表現を正規化するとユニタリ行列となる。
【００４８】
ＣＡＺＡＣ系列はいろいろ提案されている。例えば「Ｃｈｕの系列」は次のようなもである。
Ｎが奇数のとき、
【数５】
2016158229.tif 000009
但し、ｑはＮに対して素      ―――――数式５は、周期ＮのＣＡＺＡＣ系列となる。
Ｎが偶数のとき、
【数６】
2016158229.tif 000010
但し、ｑはＮに対して素      ―――――数式６は、周期ＮのＣＡＺＡＣ系列となる。
【００４９】
［Ｎが偶数、ｑ  がＮに対して素の場合の一般論］
Ｎが偶数、ｑ  がＮに対して素の場合、
ＷＮ＝exp（２π√（−１）/Ｎ）          ――――――数式７として、
【数８】
2016158229.tif 000011
―――――数式８とすると、
（・・・・・ＳＮ，ｑＳＮ，ｑＳＮ，ｑ・・・・・）は周期ＮのＣＡＺＡＣ系列であり、
【００５０】
もし、送信側からＳＮ，ｑ  を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相
ずれが２π／Ｎなら、受信される信号は
【数９】
2016158229.tif 000012
―――――数式９となり、
【００５１】
１チップ当たりの位相ずれが（２π／Ｎ）×２なら、受信される信号は、
【数１０】
2016158229.tif 000013
―――――数式１０となり、
【００５２】
１チップ当たりの位相ずれが（２π／Ｎ）×ｍ  なら、受信される信号は、
【数１１】
2016158229.tif 000014
―――――数式１１となる。
【００５３】
参照信号の複素共役を巡回させて巡回行列にし、受信信号の１周期を縦ベクトルにして上記巡回行列に右から乗じることが「受信信号の１周期と参照信号の周期相互相関をとる」に相当することは周知である。
縦ベクトルを巡回行列に右から乗じる代わりに、縦ベクトルをＩＤＦＴ行列に右から乗じて得られた縦ベクトルに巡回行列の第１行のＤＦＴしたものの複素共役を対応する成分同士を乗じて更にＤＦＴしても同じ結果が得られることも周知である。
【００５４】
ＳＮ，ｑ  の複素共役を巡回して得られる行列を正規化して
【数１２】
2016158229.tif 000015
2016158229.tif 000016
但し、ｋ＝０，１，・・・・・，（Ｎ−１）      ―――――――数式１２となる。
【００５５】
ＳＮ，ｑ  を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／Ｎ）×ｍの場合の受信信号ＳＮ，ｑ（ｍ）を縦ベクトルにして、ＡＮ，ｑ  に右から乗じると、  ＳＮ，ｑ  を参照信号として、受信信号ＳＮ，ｑ（ｍ）と参照信号ＳＮ，ｑ  との周期相互相関が次のように得られる。
【数１３】
2016158229.tif 000017
但し、ｊ＝１，２，３，・・・・・・，Ｎ          ―――――数式１３
【００５６】
第ｋ成分｛ｋ＝０，１，・・・・・，（Ｎ−１）｝は、
【数１４】
2016158229.tif 000018
―――――数式１４となる。
これは、
【数１５】
2016158229.tif 000019
―――――数式１５となる。
【００５７】
すなわち、ＳＮ，ｑ  を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／Ｎ）×ｍ（ｍは整数）の場合の受信信号ＳＮ，ｑ（ｍ）を縦ベクトルにして、ＡＮ，ｑ  に右から乗じると、ｋ＝−２ｍ／２ｑ（ｍｏｄ２Ｎ）の成分のみが非０の値となり、他の成分はすべて０となるので、２（ｑｋ＋ｍ）＝０（ｍｏｄ２Ｎ）よりｍ  の値を知ることができる。
このように、受信信号と参照信号との相互相関が或る成分だけが非０、あるいはそれに近い性質のベクトルに相当する信号波形のとき、そのような相互相関信号波形は「圧縮パルス」と呼ばれる。
【００５８】
［Ｎが偶数、ｑ＝１の場合の一般論］
Ｎが偶数の場合
【数１６】
2016158229.tif 000020
―――――数式１６とすると、
（・・・・・ＳＮ，１ＳＮ，１ＳＮ，１・・・・・）は周期ＮのＣＡＺＡＣ系列であり、
【００５９】
もし、送信側からＳＮ，１を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが２π／Ｎなら、受信される信号は
【数１７】
2016158229.tif 000021
―――――数式１７となり、
【００６０】
１チップ当たりの位相ずれが（２π／Ｎ）×２なら、受信される信号は
【数１８】
2016158229.tif 000022
―――――数式１８となり、
【００６１】
１チップ当たりの位相ずれが（２π／Ｎ）×ｍ  なら、受信される信号は
【数１９】
2016158229.tif 000023
―――――数式１９となる。
【００６２】
ＳＮ，１の複素共役を巡回して得られる行列を正規化して、
【数２０】
2016158229.tif 000024
但し  ｋ＝０，１，・・・・・，（Ｎ−１）    ――――――数式２０、
【００６３】
ＳＮ，１を送信して、周波数オフセットがない場合の受信信号ＳＮ，１（０）を縦ベクトルにしてＡＮ，１に右から乗じると、受信信号ＳＮ（０）と参照信号ＳＮとの周期相互相関は
【数２１】
2016158229.tif 000025
―――――数式２１となる。
【００６４】
次に、ＳＮ，１を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが２π／
Ｎの場合の受信信号ＳＮ，１（１）を縦ベクトルにして、ＡＮ，１に右から乗じると、受信信号ＳＮ（１）と参照信号ＳＮとの周期相互相関は
【数２２】
2016158229.tif 000026
2016158229.tif 000027
―――――数式２２となる。
【００６５】
次に、ＳＮ，１を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／Ｎ）×２の場合の受信信号ＳＮ，１（２）を縦ベクトルにして、ＡＮ、１に右から乗じると、受信信号ＳＮ（２）と参照信号ＳＮとの周期相互相関は
【数２３】
2016158229.tif 000028
2016158229.tif 000029
―――――数式２３となる。
【００６６】
次に、ＳＮ，１を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／Ｎ）×ｍ  の場合の受信信号ＳＮ，１（ｍ）を縦ベクトルにして、ＡＮ，１に右から乗じると、受信信号ＳＮ（ｍ）と参照信号ＳＮとの周期相互相関
【数２４】
2016158229.tif 000030
但し、ｊ＝１，２，３，・・・・・・，Ｎ        ――――――数式２４
【００６７】
第ｋ成分は
【数２５】
2016158229.tif 000031
―――――数式２５となる。
（Ｗ２Ｎ２Ｎ＝１であることに注意）。
これは、
【数２６】
2016158229.tif 000032
―――――数式２６となる。
【００６８】
すなわち、ＳＮ，１を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／Ｎ）×ｍ（ｍは整数）の場合の受信信号ＳＮ，１（ｍ）を縦ベクトルにして、ＡＮ，１に右から乗じると、ｋ＝−ｍ  の成分のみが非０の値となり、他の成分はすべて０となるので、２（ｋ＋ｍ）＝０（＝２Ｎ）よりｍ  の値を知ることができる。
【００６９】
［Ｎ＝６、ｑ＝１の場合の例］                            
例えば、
Ｓ６，１＝（Ｗ１２０，Ｗ１２１，Ｗ１２４，Ｗ１２９，Ｗ１２１６，Ｗ１２２５）
＝（Ｗ１２０，Ｗ１２１，Ｗ１２４，Ｗ１２９，Ｗ１２４，Ｗ１２１）
―――――数式２７とすると、
（・・・・・Ｓ６，１Ｓ６，１Ｓ６，１・・・・・）は周期６のＣＡＺＡＣ系列である。
【００７０】
もし、送信側からＳ６，１を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが２π／６ならば、受信される信号は、
Ｓ６，１（１）
＝（Ｗ１２０＋０，Ｗ１２１＋２，Ｗ１２４＋４，Ｗ１２９＋６，Ｗ１２４＋８，Ｗ１２１＋１０）
＝（Ｗ１２０，Ｗ１２３，Ｗ１２８，Ｗ１２３，Ｗ１２０，Ｗ１２１１）
―――――数式２８となり、
１チップ当たりの位相ずれが（２π／６）×２ならば、受信される信号は、
Ｓ６，１（２）
＝（Ｗ１２０＋０，Ｗ１２１＋４，Ｗ１２４＋８，Ｗ１２９＋１２，Ｗ１２４＋１６，Ｗ１２１＋２０）
＝（Ｗ０１２，Ｗ１２５，Ｗ１２０，Ｗ１２９，Ｗ１２８，Ｗ１２９）
―――――数式２９となり、
１チップ当たりの位相ずれが（２π／６）×３ならば、受信される信号は、
Ｓ６，１（３）
＝（Ｗ１２０＋０，Ｗ１２１＋６，Ｗ１２４＋１２，Ｗ１２９＋１８，Ｗ１２４＋２４，Ｗ１２１＋３０）
＝（Ｗ１２０，Ｗ１２７，Ｗ１２４，Ｗ１２３，Ｗ１２４，Ｗ１２７）
―――――数式３０となり、
１チップ当たりの位相ずれが（２π／６）×（−１）ならば、受信される信号は、
Ｓ６，１（−１）
＝（Ｗ１２０―０，Ｗ１２１―２，Ｗ１２４―４，Ｗ１２９―６，Ｗ１２４―８，Ｗ１２１―１０）
＝（Ｗ１２０，Ｗ１２１１，Ｗ１２０，Ｗ１２３，Ｗ１２８，Ｗ１２３）
――――数式３１となり、
１チップ当たりの位相ずれが（２π／６）×（−２）ならば、受信される信号は、
Ｓ６，１（−２）
＝（Ｗ１２０―０，Ｗ１２１―４，Ｗ１２４―８，Ｗ１２９―１２，Ｗ１２４―１６，Ｗ１２１―２０）
＝（Ｗ１２０，Ｗ１２９２，Ｗ１２８，Ｗ１２９，Ｗ１２０，Ｗ１２５）
――――数式３２となり、
１チップ当たりの位相ずれが（２π／６）×（−３）ならば、受信される信号は、
Ｓ６，１（−３）
＝（Ｗ１２０―０，Ｗ１２１―６，Ｗ１２４―１２，Ｗ１２９―１８，Ｗ１２４―２４，Ｗ１２１―３０）
＝（Ｗ１２０，Ｗ１２７，Ｗ１２４，Ｗ１２３，Ｗ１２４，Ｗ１２７）
――――数式３３となる。
１チップ当たりの位相ずれが（２π／６）×３のときの受信信号と、１チップ当たりの位相ずれが（２π／６）×（−３）のときの受信信号は、同じ信号になる。
【００７１】
Ｓ６，１の複素共役を巡回して得られる巡回行列を正規化して、
【数３４】
2016158229.tif 000033
―――――数式３４とし、
【００７２】
Ｓ６，１を送信して周波数オフセットがない場合の受信信号Ｓ６，１（０）を縦ベクトルにして、Ａ６，１に右から乗じると、
【数３５】
2016158229.tif 000034
―――――数式３５となる。
【００７３】
次に、Ｓ６，１を送信して周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが２π／６の場合の受信信号Ｓ６，１（１）を縦ベクトルにして、Ａ６，１に右から乗じると、
【数３６】
2016158229.tif 000035
―――――数式３６となる。
【００７４】
Ｓ６，１を送信して周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／６）×２の場合の受信信号Ｓ６，１（２）を縦ベクトルにして、Ａ６，１に右から乗じると、
【数３７】
2016158229.tif 000036
―――――数式３７となる。
【００７５】
Ｓ６，１を送信して周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／６）×３の場合の受信信号Ｓ６，１（３）を縦ベクトルにして、Ａ６，１に右から乗じると、
【数３８】
2016158229.tif 000037
―――――数式３８となる。
【００７６】
Ｓ６，１を送信して周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／６）×（−１）の場合の受信信号Ｓ６，１（―１）を縦ベクトルにして、Ａ６，１に右から乗じると、
【数３９】
2016158229.tif 000038
―――――数式３９となる。
【００７７】
Ｓ６，１を送信して周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／６）×（−２）の場合の受信信号Ｓ６，１（―２）を縦ベクトルにして、Ａ６，１に右から乗じると、
【数４０】
2016158229.tif 000039
―――――数式４０となる。
【００７８】
信号Ｓ６，１を送信して、受信した信号を例えばＳ６，１Ｓ６，１Ｓ６，１に対する整合フィルタに入力すれば、その出力の中央付近の部分は、周波数オフセットが無い場合は、
【数４１】
2016158229.tif 000040
―――――数式４１で得られる。
ただし，縦ベクトルの一番上の成分が０シフト成分に対応する。
【００７９】
周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが２π／６の整数倍の場合は、
Ａ６，１・ｔＳ６，１（０），Ａ６，１・ｔＳ６，１（１），Ａ６，１・ｔＳ６，１（２），Ａ６，１・ｔＳ６，１（３），Ａ６，１・ｔＳ６，１（―１），Ａ６，１・ｔＳ６，１（―２）
が得られるように、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが−２，−１，０，１，２，３に対応して出力の別の位置にサイドロープの無い単パルスが出力されるので、１チップ当たりの位相ずれを知ることができる。
信号（・・・・・Ｓ６，１Ｓ６，１Ｓ６，１・・・・・）から有限長の部分を切り取って、送信
し、受信信号をＳ６，１に対する整合フィルタに入力しても、同様の結果が得られる。
【００８０】
［Ｎが奇数、ｑ  がＮに対して素の場合の一般論］
Ｎが奇数、ｑ  がＮに対して素の場合、
【数４２】
2016158229.tif 000041
―――――数式４２とすると、
（・・・・・ＵＮ，ｑＵＮ，ｑＵＮ，ｑ・・・・・）は周期ＮのＣＡＺＡＣ系列であり、
【００８１】
もし、送信側からＵＮ，ｑ  を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが２π／Ｎなら、受信される信号は、
【数４３】
2016158229.tif 000042
―――――数式４３となる。
【００８２】
ＵＮ，ｑ  を送信して、チップ当たりの位相ずれが（２π／Ｎ）×２なら、受信される信号は、
【数４４】
2016158229.tif 000043
―――――数式４４となる。
【００８３】
ＵＮ，ｑ  を送信して、１チップ当たりの位相ずれが（２π／Ｎ）×ｍなら、受信される信号は、
【数４５】
2016158229.tif 000044
―――――数式４５となる。
【００８４】
ＵＮ，ｑ  の複素共役を巡回して得られる行列を正規化して、
【数４６】
2016158229.tif 000045
但し、ｋ＝０，１，・・・・・，（Ｎ−１）、
ｉ＝１，２，３，・・・・・，Ｎ
―――――――  数式４６
【００８５】
ＵＮ，ｑ  を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／Ｎ）×ｍ  の場合の受信信号ＵＮ，ｑ（ｍ）を縦ベクトルにして、ＣＮ，ｑ  に右から乗じると、ＵＮ，ｑ  を参照信号として、受信信号ＵＮ，ｑ（ｍ）と参照信号ＵＮ，ｑ  との周期相互相関
【数４７】
2016158229.tif 000046
但し、ｉ＝１，２，３，・・・・・・，Ｎ              ―――――数式４７
【００８６】
第ｋ成分｛ｋ＝０，１，・・・・・，（Ｎ−１）｝は、
【数４８】
2016158229.tif 000047
―――――数式４８となり、
【００８７】
２ｑｋ＋ｍ＝０となるようなｋのとき非０の値となり、
２ｑｋ＋ｍ≠０となるようなｋのときのとき０となる。
Ｎ＝７、ｑ＝（Ｎ＋１）／２＝４の場合は、
２ｑｋ＋ｍ＝０  となるようなときは、８ｋ＋ｍ＝０（ｍｏｄ７）、すなわち、
ｋ＝−ｍ（ｍｏｄ７）のときであり、後の例に一致する。
Ｎ＝７、ｑ＝―（Ｎ＋１）／２＝―４＝３（ｍｏｄ７）の場合は、
２ｑｋ＋ｍ＝０  となるようなときは、６ｋ＋ｍ＝０（ｍｏｄ７）、すなわち、
ｋ＝ｍ（ｍｏｄ７）のときであり、後の例に一致する。
【００８８】
［Ｎが奇数、ｑ＝（Ｎ＋１）／２の場合の一般論］
Ｎが奇数、ｑ＝（Ｎ＋１）／２の場合、
【数４９】
2016158229.tif 000048
―――――数式４９とすると、
（・・・・・ＵＮ，（Ｎ＋１）／２ＵＮ，（Ｎ＋１）／２ＵＮ，（Ｎ＋１）／２・・・・・）は周期Ｎの
ＣＡＺＡＣ系列であり、
【００８９】
もし、送信側からＵＮ，（Ｎ＋１）／２を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが２π／Ｎなら、受信される信号は、
【数５０】
2016158229.tif 000049
2016158229.tif 000050
―――――数式５０となる。
【００９０】
送信側からＵＮ，（Ｎ＋１）／２を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／Ｎ）×２なら、受信される信号は、
【数５１】
2016158229.tif 000051
2016158229.tif 000052
―――――数式５１となる。
【００９１】
送信側からＵＮ，（Ｎ＋１）／２を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／Ｎ）×ｍ  なら、受信される信号は、
【数５２】
2016158229.tif 000053
―――――数式５２となる。
【００９２】
ＵＮ，（Ｎ＋１）／２の複素共役を巡回して得られる行列を正規化して、
【数５３】
2016158229.tif 000054
但しｋ＝０，１，・・・・・，（Ｎ−１）、
ｉ＝１，２，３，・・・・，Ｎ
―――――数式５３
【００９３】
ＵＮ，（Ｎ＋１）／２を送信して、周波数オフセットがない場合の受信信号ＵＮ，（Ｎ＋１）／２（０）を縦ベクトルにして、ＣＮ，（Ｎ＋１）／２に右から乗じると、受信信号ＵＮ（０）と参照信号ＵＮとの周期相互相関は
【数５４】
2016158229.tif 000055
―――――数式５４となる。
【００９４】
ＵＮ，（Ｎ＋１）／２を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／Ｎ）×ｍ  の場合の受信信号ＵＮ，（Ｎ＋１）／２（ｍ）を縦ベクトルにして、ＣＮ，（Ｎ＋１）／２に右から乗じると、受信信号ＵＮ（ｍ）と参照信号ＵＮとの周期相互相関は、
【数５５】
2016158229.tif 000056
ただしｉ＝１，２，３，・・・・，Ｎ              ―――――数式５５
【００９５】
第ｋ成分｛ｋ＝０，１，・・・・・，（Ｎ−１））は、
【数５６】
2016158229.tif 000057
―――――数式５６となる。
【００９６】
これは
【数５７】
2016158229.tif 000058
―――――数式５７となる。
【００９７】
すなわち、ＵＮ，（Ｎ＋１）／２を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／Ｎ）×ｍ（ｍは整数）の場合の受信信号ＵＮ，（Ｎ＋１）／２（ｍ）を縦ベクトルにして、ＣＮ，（Ｎ＋１）／２に右から乗じると、ｋ＝―ｍ  の成分のみが非０の値となり、他の成分はすべて０となるので、ｋ＋ｍ＝０（＝Ｎ）よりｍ  の値を知ることができる。
【００９８】
［Ｎ＝７、ｑ＝４の場合の例］
Ｕ７，４
＝（Ｗ７４×０，Ｗ７４×１，Ｗ７４×４，Ｗ７４×９，Ｗ７４×１６，Ｗ７４×２５，Ｗ７４×３６）
＝（Ｗ７０，Ｗ７４，Ｗ７２，Ｗ７１，Ｗ７１，Ｗ７２，Ｗ７４）
―――――数式５８とすると、
（・・・・・Ｕ７，４Ｕ７，４Ｕ７，４・・・・・）は周期７のＣＡＺＡＣ系列である。
【００９９】
もし、送信側からＵ７，４を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが２π／７ならば、受信される信号は、
Ｕ７，４（１）
＝（Ｗ７０＋０，Ｗ７４＋１，Ｗ７２＋２，Ｗ７１＋３，Ｗ７１＋４，Ｗ７２＋５，Ｗ７４＋６）
＝（Ｗ７０，Ｗ７５，Ｗ７４，Ｗ７４，Ｗ７５，Ｗ７０，Ｗ７３）
―――――数式５９となる。
Ｕ７，４を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが
（２π／７）×２ならば、受信される信号は、
Ｕ７，４（２）
＝（Ｗ７０＋０，Ｗ７４＋２，Ｗ７２＋４，Ｗ７１＋６，Ｗ７１＋８，Ｗ７２＋１０，Ｗ７４＋１２）
＝（Ｗ７０，Ｗ７６，Ｗ７６，Ｗ７０，Ｗ７２，Ｗ７５，Ｗ７２）
―――――数式６０となる。
Ｕ７，４を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが
（２π／７）×３ならば、受信される信号は、
Ｕ７，４（３）
＝（Ｗ７０＋０，Ｗ７４＋３，Ｗ７２＋６，Ｗ７１＋９，Ｗ７１＋１２，Ｗ７２＋１５，Ｗ７４＋１８）
＝（Ｗ７０，Ｗ７０，Ｗ７１，Ｗ７３，Ｗ７６，Ｗ７３，Ｗ７１）
―――――数式６１となる。
Ｕ７，４を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが
（２π／７）×（−１）ならば、受信される信号は、
Ｕ７，４（−１）
＝（Ｗ７０―０，Ｗ７４−１，Ｗ７２−２，Ｗ７１−３，Ｗ７１−４，Ｗ７２―５，Ｗ７４−６）
＝（Ｗ７０，Ｗ７３，Ｗ７０，Ｗ７５，Ｗ７４，Ｗ７４，Ｗ７５）
―――――数式６２となる。
Ｕ７，４を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが
（２π／７）×（−２）ならば、受信される信号は、
Ｕ７，４（−２）
＝（Ｗ７０―０，Ｗ７４−２，Ｗ７２−４，Ｗ７１−６，Ｗ７１−８，Ｗ７２―１０，Ｗ７４−１２）
＝（Ｗ７０，Ｗ７２，Ｗ７５，Ｗ７２，Ｗ７０，Ｗ７６，Ｗ７６）
―――――数式６３となる。
Ｕ７，４を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが
（２π／７）×（−３）ならば、受信される信号は、
Ｕ７，４（−３）
＝（Ｗ７０―０，Ｗ７４−３，Ｗ７２−６，Ｗ７１−９，Ｗ７１−１２，Ｗ７２―１５，Ｗ７４−１８）
＝（Ｗ７０，Ｗ７１，Ｗ７３，Ｗ７６，Ｗ７３，Ｗ７１，Ｗ７０）
―――――数式６４となる。
【０１００】
Ｕ７，４の複素共役を巡回して得られる巡回行列を正規化して
【数６５】
2016158229.tif 000059
―――――数式６５
【０１０１】
Ｕ７，４を送信して、周波数オフセットがない場合の受信信号Ｕ７，４（０）を縦ベクトルにして、Ｃ７，４に右から乗じると、
【数６６】
2016158229.tif 000060
―――――数式６６となる。
【０１０２】
Ｕ７，４を送信して周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが２π／７の場合の受信信号Ｕ７，４（１）を縦ベクトルにして、Ｃ７，４に右から乗じると、
【数６７】
2016158229.tif 000061
―――――数式６７となる。
【０１０３】
Ｕ７，４を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／７）×２の場合の受信信号Ｕ７，４（２）を縦ベクトルにして、Ｃ７，４に右から乗じると、
【数６８】
2016158229.tif 000062
―――――数式６８となる。
【０１０４】
Ｕ７，４を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／７）×３の場合の受信信号Ｕ７，４（３）を縦ベクトルにして、Ｃ７，４に右から乗じると、
【数６９】
2016158229.tif 000063
―――――数式６９となる。
【０１０５】
Ｕ７，４を送信して周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／７）×（−１）の場合の受信信号Ｕ７，４（―１）を縦ベクトルにして、Ｃ７，４に右から乗じると、
【数７０】
2016158229.tif 000064
―――――数式７０となる。
【０１０６】
Ｕ７，４を送信して周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／７）×（−２）の場合の受信信号Ｕ７，４（―２）を縦ベクトルにして、Ｃ７，４に右から乗じると、
【数７１】
2016158229.tif 000065
―――――数式７１となる。
【０１０７】
Ｕ７，４を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／７）×（−３）の場合の受信信号Ｕ７，４（―３）を縦ベクトルにして、Ｃ７，４に右から乗じると、
【数７２】
2016158229.tif 000066
―――――数式７２となる。
【０１０８】
［周期信号と整合フィルタと行列表現］
周知のように、参照信号の整合フィルタに(擬周期化されている)受信信号を入力すると、受信信号の１周期と参照信号の周期相互相関をとることになる。
Ｎ＝４、ｑ＝１の場合を例として、周期信号と整合フィルタと行列表現の関係について説明する。
Ｎ＝４、ｑ＝１の場合、
Ｓ４＝（Ｗ８０，Ｗ８1，Ｗ８４，Ｗ８９）
＝（Ｗ８０，Ｗ８1，Ｗ８４，Ｗ８１）
―――――数式７３とすると、
（・・・・・Ｓ４Ｓ４・・・・・・）は周期４のＣＡＺＡＣ系列であり、
もし送信側からＳ４を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが２π／４なら、受信される信号は
Ｓ４（１）＝（Ｗ８０＋０，Ｗ８1＋2，Ｗ８４＋４，Ｗ８１＋６）
＝（Ｗ８０，Ｗ８３，Ｗ８０，Ｗ８７）
―――――数式７４となる。
【０１０９】
Ｓ４の複素共役を巡回して得られる行列を正規化して、
【数７５】
2016158229.tif 000067
―――――数式７５
【０１１０】
Ｓ４を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが２π／４の場合の受信信号Ｓ４（１）を縦ベクトルにして、Ａ４に右から乗じると、
【数７６】
2016158229.tif 000068
―――――数式７６となる。
【０１１１】
Ｓ４＝（Ｗ８０，Ｗ８1，Ｗ８４，Ｗ８１）        ―――――数式７７
の整合フィルタのインパルス応答は、Ｓ４を時間軸逆転して、複素共役にした信号、
すなわち（Ｗ８７，Ｗ８４，Ｗ８７，Ｗ８０）であるから、
Ｓ４Ｓ４
＝（Ｗ８０，Ｗ８1，Ｗ８４，Ｗ８１，Ｗ８０，Ｗ８1，Ｗ８４，Ｗ８１）  
―――――数式７８
の整合フィルタのインパルス応答は、
（Ｗ８７，Ｗ８４，Ｗ８７，Ｗ８０，Ｗ８７，Ｗ８４，Ｗ８７，Ｗ８０）である。
【０１１２】
【数７９】
2016158229.tif 000069
―――――数式７９を
【０１１３】
Ｓ４Ｓ４の整合フィルタに入力すると、出力は
【数８０】
2016158229.tif 000070
―――――数式８０となり、
【０１１４】
中央の（  ０，  ０，  ０，４Ｗ８７）の部分が
【数８１】
2016158229.tif 000071
―――――数式８１
すなわちＳ４（１）とＳ４の周期相互相関を横ベクトルにして√４倍したものに一致する。
【０１１５】
Ｓ４Ｓ４
＝（Ｗ８０，Ｗ８1，Ｗ８４，Ｗ８１，Ｗ８０，Ｗ８1，Ｗ８４，Ｗ８１）
―――――数式８２
を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが２π／４のとき、受信される信号は
（Ｗ８０＋０，Ｗ８1＋２，Ｗ８４＋４，Ｗ８１＋６，Ｗ８０＋８，Ｗ８1＋１０，Ｗ８４＋１２，Ｗ８１＋１４）
＝（Ｗ８０，Ｗ８３，Ｗ８０，Ｗ８７，Ｗ８０，Ｗ８３，Ｗ８０，Ｗ８７）
＝Ｓ４（１）Ｓ４（１）
―――――数式８３となる。
【０１１６】
このＳ４（１）Ｓ４（１）をＳ４の整合フィルタに入力すると、Ｓ４のインパルス応答は、
（Ｗ８７，Ｗ８４，Ｗ８７，Ｗ８０）なので、出力は
【数８４】
2016158229.tif 000072
―――――数式８４となり、
【０１１７】
これはＳ４（１）をＳ４Ｓ４の整合フィルタに入力に入力したときの出力と同じであり、
中央の（  ０，  ０，  ０，４Ｗ８７）の部分が
【数８５】
2016158229.tif 000073
―――――数式８５
を横ベクトルにして、√４倍したものに一致する。
【０１１８】
周期が４でなく、一般に周期がＮの場合にも、同様である。なお、送信信号の長さがＮの倍数であることは必須ではない。
測定したい周波数オフセットの大きさの範囲に対応する部分で、信号を整合フィルタに入力したときの出力と行列計算の結果が一致するようにすれば、測定したい周波数オフセットの大きさを測定できるのである。
【０１１９】
［チップ幅を可変にする場合］
周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが２π／Ｎの整数倍の場合は、ここまでに示した方法で周波数オフセットを測定できることが明らかになったが、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが２π／Ｎの整数倍場合でない場合にも、チップ幅を可変にすることにより、周波数オフセットを測定できる。
【０１２０】
Ｎ＝６、ｑ＝１の場合、
Ｓ６＝（Ｗ１２０，Ｗ１２１，Ｗ１２４，Ｗ１２９，Ｗ１２４，Ｗ１２１）
―――――数式８６であり、
Ｓ６を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／６）×（０．５）なら、受信される信号は
Ｓ６（０．５）
＝（Ｗ１２０＋０，Ｗ１２１＋１，Ｗ１２４＋２，Ｗ１２９＋３，Ｗ１２４＋４，Ｗ１２１＋５）
＝（Ｗ１２０，Ｗ１２２，Ｗ１２６，Ｗ１２０，Ｗ１２８，Ｗ１２６）  
―――――数式８７となる。
【０１２１】
Ｓ６を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／６）×（０．５）  の場合の受信信号Ｓ６（０．５）を縦ベクトルにして、Ａ６に右から乗じる（例えば、Ｓ６Ｓ６の整合フィルタに入力して、出力の中央部分を検出する）と、
【数８８】
2016158229.tif 000074
―――――数式８８となり、
【０１２２】
第１成分の（√６＋√２）Ｗ１２２．５と第６成分の（√６＋√２）Ｗ１２８．５が絶対値の大きい値なので、周波数オフセットは１チップ当たりの位相ずれが（２π／６）×０  の場合と、１チップ当たりの位相ずれが（２π／６）×１の場合との中間の値の値であろうと見当がつくが、実際、送信信号のチップ幅を２倍にすれば、１チップ当たりの位相ずれが２π／６となって、周波数オフセットの値を正しく測定できる。
【０１２３】
Ｓ６を送信して、周波数オフセットによる位相ずれが（２π／６）×ａ（ａは整数でない）の場合の受信信号Ｓ６（ａ）を縦ベクトルにしてＡ６に右から乗じると、
Ａ６・ｔＳ６（ａ）は複数の成分が非０になるので、チップ幅を何回か変えて、
Ａ６・ｔＳ６（ａ）のベクトルの成分の値が１個の成分以外はほぼ０になるようにすることにより、周波数オフセットを測定できる。
【０１２４】
［信号の擬周期Ｎを可変にする場合］
Ｎ＝６、ｑ＝１として、Ｓ６を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／６）×（０．５）の場合、先に述べたように周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／６）×０〜（２π／６）×１の中間の値であろうと見当がつくが、
（２π／６）×（０．５）＝（２π／１２）×１        ―――――数式８９
なので、Ｎ＝１２、ｑ＝１の信号を用いれば、周波数オフセットを測定できる。
周波数オフセットによる１チップによる位相ずれが（２π／６）×ａ（ａは整数でない）の場合の受信信号Ｓ６（ａ）を縦ベクトルにして、Ａ６に右から乗じると、
Ａ６・ｔＳ６（ａ）は複数の成分が非０になるので、Ｎの値を何回か変えて、
ＡＮ・ｔＳＮ（ａ）のベクトルの成分の値が１個の成分以外はほぼ０になるようにすることにより、周波数オフセットを測定できる。
【０１２５】
[周波数オフセット測定用パイロット信号の内部に、擬周期Ｎの異なる複数の信号を含む場合]
周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが(２π／６)×ａ(ａは整数でない)の場合の受信信号Ｓ６（ａ）を縦ベクトルにして、Ａ６に右から乗じると、Ａ６・ｔＳ６（ａ）複数の成分が非０になるが、周波数オフセット測定用パイロット信号の内部に、擬周期Ｎの異なる擬周期化したＣｈｕ系列信号を複数個含むようにして、いずれかのＮにおいて      ＡＮ・ｔＳＮ（Ｎａ／６）のベクトルの成分の値が１個の成分以外はほぼ０になるようにすることにより、周波数オフセットを測定できる。
【０１２６】
［周波数オフセットによる位相ずれを受けた信号の整合フィルタで受信する場合］
Ｎ＝４、ｑ＝１の場合、
Ｓ４＝（Ｗ８０，Ｗ８１，Ｗ８４，Ｗ８１）          ―――――数式９０であり、
Ｓ４（１）＝（Ｗ８０，Ｗ８３，Ｗ８０，Ｗ８７）      ―――――数式９１である。
【０１２７】
Ｓ４（１）を複素共役にして巡回行列にして正規化した行列を
【数９２】
2016158229.tif 000075
―――――数式９２とし、
【０１２８】
Ｓ４（１）を縦ベクトルにしてＡ４（１）に右から乗じると、
【数９３】
2016158229.tif 000076
―――――数式９３となる。
【０１２９】
Ｓ４（０）を縦ベクトルにしてＡ４（１）に右から乗じると、
【数９４】
2016158229.tif 000077
―――――  数式９４となる。
すなわち、ＡＮの代わりにＡＮ（ｋ）（ｋ  は整数）を用いても、周波数オフセットを測定することができる。
【０１３０】
［第２章：時間遅れ信号や時間進み信号がある場合］
無線通信などでは反射経路があると、時間遅れ信号が加算されて受信される。
また、無線通信などにおいては最大振幅信号が同期の基準になるので、同期の基準になる最大振幅信号よりも時間進みのある時間進み信号が加算される場合もある。
従って、周波数オフセットによる影響と時間遅れ信号や時間進み信号による影響とを区別しなければ、時間遅れ信号や時間進み信号のある場合の周波数オフセットの測定に支障が生じる。
【０１３１】
［Ｎが奇数の場合］                                            
Ｎが奇数で、ｑ  がＮに対して素であるとする。
【数９５】
2016158229.tif 000078
―――――数式９５とすると、
（・・・・・ＵＮ，ｑＵＮ，ｑＵＮ，ｑ・・・・・）は周期ＮのＣＡＺＡＣ系列であり、
【０１３２】
もし、送信側から、ＵＮ，ｑ  を送信して、１チップ当たりの周波数オフセットによる位相ずれが（２π／Ｎ）×ｍ  なら、受信される信号は、
【数９６】
2016158229.tif 000079
―――――数式９６となる。
【０１３３】
ＵＮ，ｑ  の複素共役を巡回して得られる行列を正規化して、
【数９７】
2016158229.tif 000080
但し、ｋ＝０，１，・・・・・，（Ｎ−１）、
ｉ＝１，２，３，・・・・・，Ｎ                  ―――――数式９７とし、
【０１３４】
ＵＮ，ｑ  を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／Ｎ）×ｍ  のときの受信信号ＵＮ，ｑ（ｍ）を縦ベクトルにして、ＣＮ，ｑに右から乗じると、受信信号ＵＮ，ｑ（ｍ）と参照信号ＵＮ，ｑ  との周期相互相関、
【数９８】
2016158229.tif 000081
但し、ｉ＝１，２，３，・・・・・・，Ｎ              ―――――数式９８
【０１３５】
第ｋ成分｛ｋ＝０，１，・・・・・，（Ｎ−１）｝は、
【数９９】
2016158229.tif 000082
―――――数式９９となり、
【０１３６】
２ｑｋ＋ｍ＝０となるようなｋのとき非０の値となり、
２ｑｋ＋ｍ≠０となるようなｋのときのとき０となる。
すなわち、ＵＮ，ｑ  を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが    （２π／Ｎ）×ｍ（ｍは整数）のときの受信信号ＵＮ，ｑ（ｍ）と、参照信号ＵＮ，ｑ  との周期相互相関は、ｍよって決まる１ケ所だけが非０となり、残りの成分は０となる。
ｍが異なればｍによって決まる非０の位置も異なる。
ｑが異なれば、ｍの値と非０成分の位置の関係も変わるが、ｑが異なってもｍの値と非０成分の位置の関係が比例関係になるように、適当な変換を用意することができる。（後述の例の数式１５６、数式１６０、数式１６３、数式１６６）
【０１３７】
［Ｎが偶数の場合］                                          
Ｎが偶数で、ｑがＮに対して素であるとする。
【数１００】
2016158229.tif 000083
―――――数式１００とすると、
（・・・・・ＳＮ，ｑＳＮ，ｑＳＮ，ｑ・・・・・）は周期ＮのＣＡＺＡＣ系列であり、
【０１３８】
もし、送信側から、ＳＮ，ｑ  を送信して、１チップ当たりの周波数オフセットによるの位相ずれが（２π／Ｎ）×ｍなら、受信される信号は、
【数１０１】
2016158229.tif 000084
―――――数式１０１となる。
【０１３９】
ＳＮ，ｑ  の複素共役を巡回して得られる行列を正規化して、
【数１０２】
2016158229.tif 000085
2016158229.tif 000086
但し、ｋ＝０，１，・・・・・，（Ｎ−１）、    ―――――数式１０２とし、
【０１４０】
ＳＮ，ｑ  を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／Ｎ）×ｍのときの受信信号ＳＮ，ｑ（ｍ）を縦ベクトルにして、ＡＮ，ｑ  に右から乗じると、受信信号ＳＮ，ｑ（ｍ）と参照信号ＳＮ，ｑ  との周期相互相関、
【数１０３】
2016158229.tif 000087
但し、ｉ＝１，２，３，・・・・・・，Ｎ        ―――――数式１０３
【０１４１】
第ｋ成分｛ｋ＝０，１，・・・・・，（Ｎ−１）｝は、
【数１０４】
2016158229.tif 000088
―――――数式１０４となり、
【０１４２】
【数１０５】
2016158229.tif 000089
―――――数式１０５
【０１４３】
すなわち、ＳＮ，ｑ  を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／Ｎ）×ｍ（ｍは整数）のときの受信信号ＳＮ，ｑ（ｍ）と、参照信号ＳＮ，ｑ  との周期相互相関は、ｍによって決まる１ケ所だけが非０となり、残りの成分は０となる。
ｍが異なれば、ｍによって決まる非０の位置も異なる。
ｑが異なれば、ｍの値と非０成分の位置の関係も変わるが、ｑが異なってもｍの値と、非０成分の位置の関係が比例関係になるように、適当な変換を用意することができる。
【０１４４】
例えば、送信信号が、Ｎ＝５、ｑ＝１，２，３，４を使って、時間遅れ信号と時間進み信号の加算された場合の周波数オフセットの測定の例を用いて説明する。
送信信号が、Ｎ＝５、ｑ＝１の場合、
Ｕ５，１
＝（Ｗ５０，Ｗ５１，Ｗ５４，Ｗ５９，Ｗ５１６）
＝（Ｗ５０，Ｗ５１，Ｗ５４，Ｗ５４，Ｗ５１）
―――――数式１０６として、
Ｕ５，１Ｕ５，１Ｕ５，１を送信して、１チップ当たりの周波数オフセットによる位相ずれが
２π／５のときの受信信号は
Ｕ５，１（１）
＝（Ｗ５０＋０，Ｗ５１＋１，Ｗ５４＋２，Ｗ５９＋３，Ｗ５１＋４）
＝（Ｗ５０，Ｗ５２，Ｗ５１，Ｗ５２，Ｗ５０）
―――――数式１０７
を繰り返した信号Ｕ５，１（１）Ｕ５，１（１）Ｕ５，１になる。
【０１４５】
Ｕ５，１の複素共役を巡回して正規化した行列、
【数１０８】
2016158229.tif 000090
―――――数式１０８に、
【０１４６】
Ｕ５，１（１）を縦ベクトルにして右から乗じると、受信信号Ｕ５，１（１）と参照信号Ｕ５，１との周期相互相関は
【数１０９】
2016158229.tif 000091
―――――数式１０９となる。
【０１４７】
Ｕ５，１Ｕ５，１Ｕ５，１を送信して、１チップ当たりの周波数オフセットによる位相ずれが（２π／５）×２のときの受信信号は、
Ｕ５，１（２）
＝（Ｗ５０＋０，Ｗ５１＋２，Ｗ５４＋４，Ｗ５４＋６，Ｗ５１＋８
＝（Ｗ５０，Ｗ５３，Ｗ５３，Ｗ５０，Ｗ５４）
―――――数式１１０を繰り返したものになる。
【０１４８】
Ｃ５，１にＵ５，１（２）を縦ベクトルにして右から乗じると、
【数１１１】
2016158229.tif 000092
―――――数式１１１となる。
【０１４９】
Ｕ５，１Ｕ５，１Ｕ５，１を送信して、１チップ当たりの周波数オフセットによる位相ずれが（２π／５）×３、｛または（２π／５）×（−２）｝のときの受信信号は
Ｕ５，１（―２）
＝（Ｗ５０＋０，Ｗ５１＋３，Ｗ５４＋６，Ｗ５４＋９，Ｗ５１＋１２
＝（Ｗ５０，Ｗ５４，Ｗ５０，Ｗ５３，Ｗ５３）
―――――数式１１２を繰り返したものになる。
【０１５０】
Ｃ５，１にＵ５，１（―２）を縦ベクトルにして右から乗じると、
【数１１３】
2016158229.tif 000093
―――――数式１１３となる。
【０１５１】
Ｕ５，１Ｕ５，１Ｕ５，１を送信して、１チップ当たりの周波数オフセットによる位相ずれが（２π／５）×４、｛または（２π／５）×（−１）｝のときの受信信号は
Ｕ５，１（―１）
＝（Ｗ５０＋０，Ｗ５１＋４，Ｗ５４＋８，Ｗ５４＋１２，Ｗ５１＋１６  
＝（Ｗ５０，Ｗ５０，Ｗ５２，Ｗ５１，Ｗ５２）
―――――数式１１４を繰り返したものになる。
【０１５２】
Ｃ５，１にＵ５，１（―１）を縦ベクトルにして右から乗じると、
【数１１５】
2016158229.tif 000094
―――――数式１１５となる。
【０１５３】
Ｕ５，１Ｕ５，１Ｕ５，１を送信して、１チップ当たりの周波数オフセットによる位相ずれが０のときの受信信号は
Ｕ５，１（０）＝（Ｗ５０，Ｗ５１，Ｗ５４，Ｗ５４，Ｗ５１）
―――――数式１１６  を繰り返したものになる。
【０１５４】
Ｃ５，１にＵ５，１（０）を縦ベクトルにして右から乗じると、
【数１１７】
2016158229.tif 000095
―――――数式１１７となる。
【０１５５】
次に、送信信号が、Ｎ＝５、ｑ＝２の場合、
Ｕ５，２＝（Ｗ５０，Ｗ５２，Ｗ５８，Ｗ５１８，Ｗ５３２）
＝（Ｗ５０，Ｗ５２，Ｗ５３，Ｗ５３，Ｗ５２）  ―――――数式１１８として、
Ｕ５，２Ｕ５，２Ｕ５，２を送信して、１チップ当たりの周波数オフセットによる位相ずれが
０のときの受信信号は
Ｕ５，２（０）＝（Ｗ５０，Ｗ５２，Ｗ５３，Ｗ５３，Ｗ５２）
―――――数式１１９  を繰り返したものになる。
【０１５６】
Ｕ５，２の複素共役を巡回して正規化した行列
【数１２０】
2016158229.tif 000096
―――――数式１２０に、
【０１５７】
Ｕ５，２（０）を縦ベクトルにして右から乗じると、
【数１２１】
2016158229.tif 000097
―――――数式１２１となる。
【０１５８】
Ｕ５，２Ｕ５，２Ｕ５，２を送信して、１チップ当たりの周波数オフセットによる位相ずれが２π／５のときの受信信号は
Ｕ５，２（１）
＝（Ｗ５０＋０，Ｗ５２＋１，Ｗ５３＋２，Ｗ５３＋３，Ｗ５２＋４）
＝（Ｗ５０，Ｗ５３，Ｗ５０，Ｗ５１，Ｗ５１）
―――――数式１２２  を繰り返したものになる。
【０１５９】
Ｃ５，２にＵ５，２（１）を縦ベクトルにして右から乗じると、
【数１２３】
2016158229.tif 000098
―――――数式１２３となる。
【０１６０】
Ｕ５，２Ｕ５，２Ｕ５，２を送信して、１チップ当たりの周波数オフセットによる位相ずれが（２π／５）×２のときの受信信号は
Ｕ５，２（２）
＝（Ｗ５０＋０，Ｗ５２＋２，Ｗ５３＋４，Ｗ５３＋６，Ｗ５２＋８）
＝（Ｗ５０，Ｗ５４，Ｗ５２，Ｗ５２，Ｗ５０）
―――――数式１２４を繰り返したものになる。
【０１６１】
Ｃ５，２にＵ５，２（２）を縦ベクトルにして右から乗じると、
【数１２５】
2016158229.tif 000099
―――――数式１２５となる。
【０１６２】
Ｕ５，２Ｕ５，２Ｕ５，２を送信して、１チップ当たりの周波数オフセットによる位相ずれが（２π／５）×３、｛または（２π／５）×（−２）｝のときの受信信号は
Ｕ５，２（―２）
＝（Ｗ５０＋０，Ｗ５２＋３，Ｗ５３＋６，Ｗ５３＋９，Ｗ５２＋１２）
＝（Ｗ５０，Ｗ５０，Ｗ５４，Ｗ５２，Ｗ５４）    
―――――数式１２６  を繰り返したものになる。
【０１６３】
Ｃ５，２にＵ５，２（―２）を縦ベクトルにして右から乗じると、
【数１２７】
2016158229.tif 000100
―――――数式１２７となる
【０１６４】
Ｕ５，２Ｕ５，２Ｕ５，２を送信して、１チップ当たりの周波数オフセットによる位相ずれが（２π／５）×４、｛または（２π／５）×（−１）｝のときの受信信号は
Ｕ５，２（―１）
＝（Ｗ５０＋０，Ｗ５２＋４，Ｗ５３＋８，Ｗ５３＋１２，Ｗ５２＋１６）
＝（Ｗ５０，Ｗ５１，Ｗ５１，Ｗ５０，Ｗ５３）
―――――数式１２８  を繰り返したものになる。
【０１６５】
Ｃ５，２にＵ５，２（―１）を縦ベクトルにして右から乗じると、
【数１２９】
2016158229.tif 000101
―――――数式１２９となる。
【０１６６】
次に、送信信号が、Ｎ＝５、ｑ＝３の場合、
Ｕ５，３
＝（Ｗ５０，Ｗ５３，Ｗ５１２，Ｗ５２７，Ｗ５４８）
＝（Ｗ５０，Ｗ５３，Ｗ５２，Ｗ５２，Ｗ５３）  
―――――数式１３０として、
Ｕ５，３Ｕ５，３Ｕ５，３を送信して、１チップ当たりの周波数オフセットによる位相ずれが０のときの受信信号は、
Ｕ５，３＝（Ｗ５０，Ｗ５３，Ｗ５２，Ｗ５２，Ｗ５３）
―――――数式１３１  を繰り返したものになる。
【０１６７】
Ｕ５，３の複素共役を巡回して正規化した行列、
【数１３２】
2016158229.tif 000102
―――――数式１３２に
【０１６８】
Ｕ５，３（０）を縦ベクトルにして右から乗じると、
【数１３３】
2016158229.tif 000103
―――――数式１３３  となる。
【０１６９】
Ｕ５，３Ｕ５，３Ｕ５，３を送信して、１チップ当たりの周波数オフセットによる位相ずれが２π／５のときの受信信号は
Ｕ５，３（１）
＝（Ｗ５０＋０，Ｗ５３＋１，Ｗ５２＋２，Ｗ５２＋３，Ｗ５３＋４）
＝（Ｗ５０，Ｗ５４，Ｗ５４，Ｗ５０，Ｗ５２）
―――――数式１３４を繰り返したものになる。
【０１７０】
Ｃ５，３にＵ５，３（１）を縦ベクトルにして右から乗じると、
【数１３５】
2016158229.tif 000104
―――――数式１３５となる。
【０１７１】
Ｕ５，３Ｕ５，３Ｕ５，３を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／５）×２  のときの受信信号は
Ｕ５，３（２）
＝（Ｗ５０＋０，Ｗ５３＋２，Ｗ５２＋４，Ｗ５２＋６，Ｗ５３＋８）
＝（Ｗ５０，Ｗ５０，Ｗ５１，Ｗ５３，Ｗ５１）
―――――数式１３６  を繰り返したものになる。
【０１７２】
Ｃ５，３にＵ５，３（２）を縦ベクトルにして右から乗じると、
【数１３７】
2016158229.tif 000105
―――――数式１３７となる。
【０１７３】
Ｕ５，３Ｕ５，３Ｕ５，３を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／５）×３、｛または（２π／５）×（−２）｝のときの受信信号は
Ｕ５，３（−２）
＝（Ｗ５０＋０，Ｗ５３＋３，Ｗ５２＋６，Ｗ５２＋９，Ｗ５３＋１２）
＝（Ｗ５０，Ｗ５１，Ｗ５３，Ｗ５１，Ｗ５０）
―――――数式１３８  を繰り返したものになる。
【０１７４】
Ｃ５，３にＵ５，３（―２）を縦ベクトルにして右から乗じると、
【数１３９】
2016158229.tif 000106
―――――数式１３９となる。
【０１７５】
Ｕ５，３Ｕ５，３Ｕ５，３を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／５）×４、｛または（２π／５）×（−１）｝のときの受信信号は
Ｕ５，３（−１）
＝（Ｗ５０＋０，Ｗ５３＋４，Ｗ５２＋８，Ｗ５２＋１２，Ｗ５３＋１６）
＝（Ｗ５０，Ｗ５２，Ｗ５０，Ｗ５４，Ｗ５４）  
―――――数式１４０  を繰り返したものになる。
【０１７６】
Ｃ５，３にＵ５，３（―１）を縦ベクトルにして右から乗じると、
【数１４１】
2016158229.tif 000107
―――――数式１４１となる。
【０１７７】
次に、送信信号が、Ｎ＝５、ｑ＝４の場合、
Ｕ５，４
＝（Ｗ５０，Ｗ５４，Ｗ５１６，Ｗ５３６，Ｗ５６４）
＝（Ｗ５０，Ｗ５４，Ｗ５１，Ｗ５１，Ｗ５４）
―――――数式１４２として、
Ｕ５，４Ｕ５，４Ｕ５，４を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが０のときの受信信号は、
Ｕ５，４（０）＝（Ｗ５０，Ｗ５４，Ｗ５１，Ｗ５１，Ｗ５４）
―――――数式１４３  を繰り返したものになる。
【０１７８】
Ｕ５，４の複素共役を巡回して正規化した行列、
【数１４４】
2016158229.tif 000108
―――――数式１４４に  
【０１７９】
Ｕ５，４（０）を縦ベクトルにして右から乗じると、
【数１４５】
2016158229.tif 000109
―――――数式１４５となる。
【０１８０】
Ｕ５，４Ｕ５，４Ｕ５，４を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが２π／５のときの受信信号は
Ｕ５，４（１）
＝（Ｗ５０＋０，Ｗ５４＋１，Ｗ５１＋２，Ｗ５１＋３，Ｗ５４＋４）
＝（Ｗ５０，Ｗ５０，Ｗ５３，Ｗ５４，Ｗ５３）
―――――――数式１４６  を繰り返したものになる。
【０１８１】
Ｃ５，４にＵ５，４（１）を縦ベクトルにして右から乗じると
【数１４７】
2016158229.tif 000110
―――――数式１４７となる。
【０１８２】
Ｕ５，４Ｕ５，４Ｕ５，４を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／５）×２のときの受信信号は
Ｕ５，４（２）
＝（Ｗ５０＋０，Ｗ５４＋２，Ｗ５１＋４，Ｗ５１＋６，Ｗ５４＋８）
＝（Ｗ５０，Ｗ５１，Ｗ５０，Ｗ５２，Ｗ５２）
―――――――数式１４８  を繰り返したものになる。
【０１８３】
Ｃ５，４にＵ５，４（２）を縦ベクトルにして右から乗じると、
【数１４９】
2016158229.tif 000111
―――――数式１４９となる。
【０１８４】
Ｕ５，４Ｕ５，４Ｕ５，４を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／５）×３、｛または（２π／５）×（−２）｝のときの受信信号は、
Ｕ５，４（―２）
＝（Ｗ５０＋０，Ｗ５４＋３，Ｗ５１＋６，Ｗ５１＋９，Ｗ５４＋１２）
＝（Ｗ５０，Ｗ５２，Ｗ５２，Ｗ５０，Ｗ５１）  
―――数式１５０  を繰り返したものになる。
【０１８５】
Ｃ５，４にＵ５，４（―２）を縦ベクトルにして右から乗じると、
【数１５１】
2016158229.tif 000112
―――――数式１５１となる。
【０１８６】
Ｕ５，４Ｕ５，４Ｕ５，４を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／５）×４、｛または（２π／５）×（−１）｝のときの受信信号は、
Ｕ５,４（―１）
＝（Ｗ５０＋０，Ｗ５４＋４，Ｗ５１＋８，Ｗ５１＋１２，Ｗ５４＋１６）
＝（Ｗ５０，Ｗ５３，Ｗ５４，Ｗ５３，Ｗ５０）
―――――数式１５２  を繰り返したものになる。
【０１８７】
Ｃ５，４にＵ５，４（―１）を縦ベクトルにして右から乗じると、
【数１５３】
2016158229.tif 000113
―――――数式１５３となる。
【０１８８】
上記の結果をまとめると、Ｕ５，ｑＵ５，ｑＵ５，ｑ  を送信して、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが（２π／５）×ｋのときの受信信号はＵ５，ｑ（ｋ）を繰り返したものになり、Ｃ５，ｑにＵ５，ｑ（ｋ）を縦ベクトルみして右から乗じたもの、すなわち受信信号Ｕ５，ｑ（ｋ）と参照信号Ｕ５，ｑ  との周期相互相関を表す縦ベクトルＣ５,ｑ・ｔＵ５,ｑ（ｋ）を、ｋ＝０，１，２，３，４の場合の縦ベクトルをｋの順に並べて行列にすると、
Ｃ５,ｑ・［ｔＵ５,１(０）ｔＵ５,１(１）ｔＵ５,１(２）ｔＵ５,１(３）ｔＵ５,１(４）］
―――――数式１５４となる。
【０１８９】
送信信号がＮ＝５、ｑ＝１のとき、
【数１５５】
2016158229.tif 000114
2016158229.tif 000115
2016158229.tif 000116
―――――数式１５５となるので、
（右辺の第k列は、受信信号Ｕ５,１(ｋ）と参照信号Ｕ５,１との周期相互相関である)、
【０１９０】
左から、
【数１５６】
2016158229.tif 000117
―――――数式１５６を乗ずると、
【０１９１】
【数１５７】
2016158229.tif 000118
―――――数式１５７となる。
【０１９２】
これは、ｋの値が不明のときに、
【数１５８】
2016158229.tif 000119
―――――数式１５８
【０１９３】
数式１５７の第k列となるので、ｋが直接に求まることを意味する。
数式１５７の右辺を単位行列にすることにより、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが(２π／５)の整数倍でないときでも、１チップ当たりの位相ずれが概ね見当が付く。
ただし、ｋ＝３はｋ＝−２をも意味し、ｋ＝４はｋ＝−１をも意味する。
数式１５６は、周波数オフセット測定用圧縮パルスの位置が周波数オフセット量に比例するように圧縮パルスの位置を入れ替える役割を果たしている。
【０１９４】
送信信号がＮ＝５、ｑ＝２のときは、
【数１５９】
2016158229.tif 000120
2016158229.tif 000121
2016158229.tif 000122
―――――数式１５９となるので、
【０１９５】
左から、
【数１６０】
2016158229.tif 000123
―――――数式１６０を乗ずると
【０１９６】
【数１６１】
2016158229.tif 000124
―――――数式１６１となる。
数式１６０は、周波数オフセット測定用圧縮パルスの位置が周波数オフセット量に比例するように圧縮パルスの位置を入れ替える役割を果たしている。
【０１９７】
送信信号がＮ＝５、ｑ＝３のときは、
【数１６２】
2016158229.tif 000125
2016158229.tif 000126
2016158229.tif 000127
―――――数式１６２となるので、
【０１９８】
左から、
【数１６３】
2016158229.tif 000128
―――――数式１６３を乗ずると、
【０１９９】
【数１６４】
2016158229.tif 000129
―――――数式１６４となる。
数式１６３は、周波数オフセット測定用圧縮パルスの位置が周波数オフセット量に比例するように圧縮パルスの位置を入れ替える役割を果たしている。
【０２００】
送信信号がＮ＝５、ｑ＝４のときは、  
【数１６５】
2016158229.tif 000130
2016158229.tif 000131
2016158229.tif 000132
―――――数式１６５となるので、
【０２０１】
左から
【数１６６】
2016158229.tif 000133
―――――数式１６６を乗ずると、
【０２０２】
【数１６７】
2016158229.tif 000134
―――――数式１６７となる。
数式１６６は、周波数オフセット測定用圧縮パルスの位置が周波数オフセット量に比例するように圧縮パルスの位置を入れ替える役割を果たしている。
【０２０３】
ここで、反射経路によって、時間ずれのある信号が加算される場合について考察する
Ｕ５,１ ＝（Ｗ５０，Ｗ５１，Ｗ５４，Ｗ５４，Ｗ５１）
Ｕ５,２ ＝（Ｗ５０，Ｗ５２，Ｗ５３，Ｗ５３，Ｗ５２）
Ｕ５,３ ＝（Ｗ５０，Ｗ５３，Ｗ５２，Ｗ５２，Ｗ５３）
Ｕ５,４ ＝（Ｗ５０，Ｗ５４，Ｗ５１，Ｗ５１，Ｗ５４）
―――――――数式１６８を、
例えば
Ｕ５,１Ｕ５,１Ｕ５,１Ｕ５,２Ｕ５,２Ｕ５,２Ｕ５,３Ｕ５,３Ｕ５,３Ｕ５,４Ｕ５,４Ｕ５,４とそれぞれ３周期ずつを接続して送信したときに、周波数オフセットによる１チップ当たり２π／５の位相ずれと反射経路による１チップ時間ずれ信号の加算を受けたとする。
Ｕ５，１が１チップ時間ずれ信号を加算された信号は、
（Ｗ５０＋Ｗ５１，Ｗ５１＋Ｗ５０，Ｗ５４＋Ｗ５１，Ｗ５４＋Ｗ５４，Ｗ５１＋Ｗ５４）を繰り返した信号であり（両端の周期性のくずれる部分は無視出来るように、Ｕ５,１を３回繰り返している）、この信号が周波数オフセットによって１チップ当たり２π／５の位相ずれを受けたものを縦ベクトルにすると、
【０２０４】
【数１６９】
2016158229.tif 000135
―――――――数式１６９となる。
【０２０５】
Ｃ５、１を左から乗じ、さらに左から数式１５６を乗じる、すなわちこの縦ベクトルに、
【数１７０】
2016158229.tif 000136
―――――――数式１７０を左から乗ずると、
【０２０６】
【数１７１】
2016158229.tif 000137
2016158229.tif 000138
2016158229.tif 000139
―――――――数式１７１となる。
【０２０７】
次に、Ｕ５,２に１チップ時間ずれ信号を加算された信号は
（Ｗ５０＋Ｗ５２，Ｗ５２＋Ｗ５０，Ｗ５３＋Ｗ５２，Ｗ５３＋Ｗ５３，Ｗ５２＋Ｗ５３）を繰り返した信号であり、この信号が周波数オフセットによって１チップ当たり２π／５の位相ずれを受けたものを縦ベクトルにすると、
【数１７２】
2016158229.tif 000140
―――――――数式１７２となる。
【０２０８】
Ｃ５，２を左から乗じ、さらに数式１６０を左から乗じる、すなわちこの縦ベクトルに、
【数１７３】
2016158229.tif 000141
―――――――  数式１７３
を左から乗ずると、
【０２０９】
【数１７４】
2016158229.tif 000142
2016158229.tif 000143
2016158229.tif 000144
―――――――数式１７４となる。
数式１７１と数式１７４を比較すると、同期の基準になっている信号の受ける周波数オフセットの影響は同じ位置に「１」として現れているのに対して、１チップ時間ずれ信号の受ける周波数オフセットの影響は別の位置に「Ｗ５１」および「Ｗ５２」として現れている。
【０２１０】
次に、Ｕ５,３に１チップ時間ずれ信号を加算された信号は
（Ｗ５０＋Ｗ５３，Ｗ５３＋Ｗ５０，Ｗ５２＋Ｗ５３，Ｗ５２＋Ｗ５２，Ｗ５３＋Ｗ５２）を繰り返した信号であり、この信号が周波数オフセットによって１チップ当たり２π／５の位相ずれを受けたものを縦ベクトルにすると 
【数１７５】
2016158229.tif 000145
―――――――数式１７５となる。
【０２１１】
Ｃ５，３を左から乗じ、さらに数式１６３を左から乗じる、すなわちこの縦ベクトルに、
【数１７６】
2016158229.tif 000146
―――――――数式１７６を左から乗ずると、
【０２１２】
【数１７７】
2016158229.tif 000147
2016158229.tif 000148
2016158229.tif 000149
―――――――数式１７７となる。
【０２１３】
数式１７１と数式１７４と数式１７７を比較すると、同期の基準になっている信号の受ける周波数オフセットの影響は同じ位置に「１」として現れているのに対して、１チップ時間ずれ信号の受ける周波数オフセットの影響は別の位置に「Ｗ５１」および「Ｗ５２」および「Ｗ５３」として現れている。
【０２１４】
次に、Ｕ５，４に１チップ時間ずれ信号を加算された信号は
（Ｗ５０＋Ｗ５４，Ｗ５４＋Ｗ５０，Ｗ５１＋Ｗ５４，Ｗ５１＋Ｗ５１，Ｗ５４＋Ｗ５１）を繰り返した信号であり、この信号が周波数オフセットによって１チップ当たり２π／５の位相ずれを受けたものを縦ベクトルにすると、
【数１７８】
2016158229.tif 000150
―――――――数式１７８となる。
【０２１５】
Ｃ５，４を左から乗じ、さらに数式１６６を左から乗じる、すなわちこの縦ベクトルに、
【数１７９】
2016158229.tif 000151
―――――――数式１７９を左から乗ずると、
【０２１６】
【数１８０】
2016158229.tif 000152
2016158229.tif 000153
2016158229.tif 000154
―――――――数式１８０となる。
【０２１７】
【数１８１】
2016158229.tif 000155
2016158229.tif 000156
―――――――  数式１８１
【０２１８】
数式１５６、数式１６０、数式１６３、数式１６６が、同期の基準になっている信号の受ける周波数オフセットの影響が同じ位置に「１」として現れるように変換する役割を果たしている。
数式１５７、数式１６１、数式１６４、数式１６７の右辺を単位行列にすることにより、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが(２π／５)の整数倍でないときでも、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが概ね見当が付く。
任意のＮの場合にも、数式１５７、数式１６１、数式１６４、数式１６７の右辺に相当する行列を単位行列にするように、数式１５６、数式１６０、数式１６３、数式１６６に相当する行列を定めることにより、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが(２π／Ｎ)の整数倍でないときにも、周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれが概ね見当が付く。
例えば、Ｎ＝１０２４のときは、１〜１０２３の全ての奇数が１０２４に対して素なので、ｑの値として１〜１０２３の奇数５１２通りをとることができるが、時間ずれ信号の影響に対して周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれの測定に時間ずれ信号の影響が及ばないようにｑの値を決めれば良い。
また、Ｎが１０２４のように大きい値のときは、想定される反射経路信号による時間ずれをカバーできる程度に信号の前と後ろを長くすれば良いのであって、長さ１０２４の信号を３回も繰り返して送信する必要はない。
【０２１９】
［第３章：同期がとれていない場合の整合フィルタの簡単化］
「同期がとれていない場合は、Ｃｈｕの系列を同期獲得にも用いることができる。
Ｃｈｕの系列」
ＣＡＺＡＣ系列の周期Ｎが平方数の場合は、以下に述べる方法によって装置と計算量を縮小することができる。
特に、Ｎが４のべき乗（Ｍが２のべき乗）の場合は装置と計算量の縮小が大幅である。
【０２２０】
［Ｎが偶数で、Ｎ＝Ｍ２の場合］
Ｎが偶数で、Ｎ＝Ｍ２の場合、
ｉ＝０，１，２，・・・・，Ｍ−１  
ｊ＝０，１，２，・・・・，Ｍ−１として、
ｋ＝ｉＭ＋ｊ  とすると、
ｋ＝０，１，２，・・・・，Ｎ−１となる。
――――――数式１８２
【０２２１】
ｑ  がＮに対して素であるとして、
【数１８３】
2016158229.tif 000157
――――――数式１８３であるから、
【０２２２】
ＣＡＺＡＣ系列、
【数１８４】
2016158229.tif 000158
ただし、  ｉ＝０，１，２，・・・・，Ｍ−１
ｊ＝０，１，２，・・・・，Ｍ−１
ｋ＝０，１，２，・・・・，Ｎ−１  
――――――数式１８４の
第ｋの成分は、
【０２２３】
【数１８５】
2016158229.tif 000159
――――――数式１８５となる。
【０２２４】
ここで、ＣＡＺＡＣ系列のｋ＝０の成分からｋ＝Ｎ−１までの成分を、
ｉ＝０，１，２，・・・・，Ｍ−１を行番号、ｊ＝０，１，２，・・・・，Ｍ−１を列番号となるように行列の形に並べると、
【数１８６】
2016158229.tif 000160
――――――数式１８６とすることができる。
【０２２５】
ここで、中央の、
【数１８７】
2016158229.tif 000161
――――――数式１８７
は「位相係数ｑ  の一般化ＤＦＴ行列」と呼ぶことができる。
通常、ｑ＝−１の場合を「ＤＦＴ行列」、ｑ＝１の場合を「ＩＤＦＴ行列」と呼ぶ。
【０２２６】
左側の、
【数１８８】
2016158229.tif 000162
――――――数式１８８は対角行列であり、
【０２２７】
その対角成分はｉが偶数のとき１となり、ｉが奇数のとき―１となる。右側の、
【数１８９】
2016158229.tif 000163
――――――数式１８９も対角行列である。
一般化ＤＦＴ行列は、ＤＦＴ行列を行または列を入れ替えたもの、または、ＩＤＦＴ行列を行または列を入れ替えたものと一致する。
なお、ｉを列番号、ｊを行番号にしても良い。
【０２２８】
例えば、Ｎ＝６４、ｑ＝３の場合、周期６４、ｑ＝３のChu系列の１周期を８×８の行列の形に並べると、
【数１９０】
2016158229.tif 000164
―――――  数式１９０となる。
数式１９０の右辺の３番目の行列は、８次ＩＤＦＴ行列である。
【０２２９】
図１の回路のインパルス応答は、Ｎ＝６４、ｑ＝３のＣｈｕ系列となる。
また、図１の回路はＮ＝６４、ｑ＝３のＣｈｕ系列を時間軸逆転して複素共役にした系列（この系列もＣｈｕ系列を巡回シフトした系列である）の整合フィルタとなる。但し、τはチップ幅である。
一般に、回路は、その回路のインパルス応答を時間軸逆転して複素共役にした信号の整合フィルタとなることは、周知である。
【０２３０】
また、Ｎ＝６４、ｑ＝３の場合の行列は、
【数１９１】
2016158229.tif 000165
――――――数式１９１
とも書けるので、図２のようにもなる。
図２の回路のインパルス応答も、Ｎ＝６４、ｑ＝３のＣｈｕ系列となる。
また、図２の回路はＮ＝６４、ｑ＝３のＣｈｕ系列を時間軸逆転して複素共役にした系列の整合フィルタとなる。
ここまでは、ｉを行番号、ｊを列番号としたが、ｉを列番号、ｊを行番号としても良い。
【０２３１】
ｉを列番号、ｊを行番号とすると、ＣＡＺＡＣ系列
【数１９２】
2016158229.tif 000166
但し、ｉ＝０，１，２，・・・・，Ｍ−１
ｊ＝０，１，２，・・・・，Ｍ−１
ｋ＝０，１，２，・・・・，Ｎ−１  ―――――数式１９２の
【０２３２】
第ｋ  の成分は、
【数１９３】
2016158229.tif 000167
――――――数式１９３となるから、
【０２３３】
ＣＡＺＡＣ系列のｋ＝0の成分からｋ＝Ｎ−１までの成分を、
ｉ＝０，１，２，・・・・，Ｍ−１を列番号、ｊ＝０，１，２，・・・・，Ｍ−１を行番号として、行列の形に並べると、
【数１９４】
2016158229.tif 000168
―――――数式１９４とすることができる。
【０２３４】
この場合、Ｎ＝６４、ｑ＝３のＣｈｕの系列を並べた行列は、
【数１９５】
2016158229.tif 000169
―――――  数式１９５となる。
図３の回路のインパルス応答は、Ｎ＝６４、ｑ＝３のＣｈｕ系列となる。
また、図３の回路はＮ＝６４、ｑ＝３のＣｈｕ系列を時間軸逆転して複素共役にした系列の整合フィルタとなる。
【０２３５】
また、Ｎ＝６４、ｑ＝３、ｉを列番号、ｊを行番号とした行列は
【数１９６】
2016158229.tif 000170
―――――数式１９６とも書ける。
従って、図４の回路のインパルス応答も、Ｎ＝６４、ｑ＝３のＣｈｕ系列となる。
また、図４の回路もＮ＝６４、ｑ＝３のＣｈｕ系列を時間軸逆転して複素共役にした系列の整合フィルタとなる。
【０２３６】
Ｎ＝６４、ｑ＝３のＣｈｕの系列を、ｉを行番号、ｊを列番号として並べた行列は、
【数１９７】
2016158229.tif 000171
―――――数式１９７とも書けるので、
図５の回路のインパルス応答も、Ｎ＝６４、ｑ＝３のＣｈｕ系列となる。
また、図５の回路もＮ＝６４、ｑ＝３のＣｈｕ系列を時間軸逆転して複素共役にした系列の整合フィルタとなる。
【０２３７】
Ｎ＝６４、ｑ＝３のＣｈｕの系列を、ｉを行番号、ｊを列番号として並べた行列は、
【数１９８】
2016158229.tif 000172
―――――数式１９８とも書けるので、
図６の回路のインパルス応答も、Ｎ＝６４、ｑ＝３のＣｈｕ系列となる。
また、図６の回路もＮ＝６４、ｑ＝３のＣｈｕ系列を時間軸逆転して複素共役にした系列の整合フィルタとなる。
【０２３８】
一般に、Ｎが偶数でＮ＝Ｍ２、ｑ  がＮに対して素な場合、周期Ｎ、ｑ＝ｑ  のＣｈｕの系列をインパルス応答とする回路（周期Ｎ、ｑ＝ｑ  のＣｈｕ系列を時間軸逆転して複素共役にした系列の整合フィルタでもある）は、図７のように書ける。
但し、  ｉ＝０，１，２，・・・・，Ｍ−１、
また、図８のようにも書ける。
【０２３９】
［Ｎが奇数で、Ｎ＝Ｍ２の場合］
Ｎが奇数で、Ｎ＝Ｍ２の場合、
ｉ＝０，１，２，・・・・，Ｍ−１
ｊ＝０，１，２，・・・・，Ｍ−１として、
ｋ＝ｉＭ＋ｊ  とすると、
ｋ＝０，１，２，・・・・，Ｎ−１
―――――  数式１９９となる。
【０２４０】
ｑ  がＮに対して素であるとして、
【数２００】
2016158229.tif 000173
―――――数式２００であるから、
【０２４１】
ＣＡＺＡＣ系列、
【数２０１】
2016158229.tif 000174
但し、ｉ＝０，１，２，・・・・，Ｍ−１
ｊ＝０，１，２，・・・・，Ｍ−１
ｋ＝０，１，２，・・・・，Ｎ−１
―――――数式２０１の
【０２４２】
第ｋ  成分は、
【数２０２】
2016158229.tif 000175
―――――数式２０２となる。
【０２４３】
ここで、ＣＡＺＡＣ系列のｋ＝０の成分からｋ＝Ｎ−１までの成分を、
ｉ＝０，１，２，・・・・，Ｍ−１を行番号、ｊ＝０，１，２，・・・・，Ｍ−１を列番号となるように行列の形に並べると、
【数２０３】
2016158229.tif 000176
2016158229.tif 000177
―――――数式２０３とすることができる。
【０２４４】
Ｎ＝Ｍ２で、Ｎが奇数であるからＭも奇数であり、ｑがＮに対して素であるので、ｑはＭに対しても素である。２ｑもＭに対して素である。ｒ＝２ｑとすると、
【数２０４】
2016158229.tif 000178
―――――数式２０４は一般化ＤＦＴ行列である。
【０２４５】
【数２０５】
2016158229.tif 000179
―――――数式２０５は対角行列である。
【０２４６】
例えば、Ｎ＝８１、ｑ＝２の場合
【数２０６】
2016158229.tif 000180
2016158229.tif 000181
―――――数式２０６となるので、
【０２４７】
図９の回路のインパルス応答はＮ＝８１、ｑ＝２のＣｈｕの系列となる。
また図９の回路はＮ＝８１、ｑ＝２のＣｈｕの系列を、時間軸を逆転して複素共役にした列の整合フィルタとなる。
また、図１０の回路のインパルス応答もＮ＝８１、ｑ＝２のＣｈｕの系列となる。また図１０の回路はＮ＝８１、ｑ＝２のＣｈｕの系列を、時間軸を逆転して複素共役にした系列の整合フィルタとなる。
また、一般に、Ｎが奇数でＮ＝Ｍ２、ｑがＮに対して素な場合、周期Ｎ、ｑ＝ｑのＣｈｕの系列をインパルス応答とする回路（周期Ｎ、ｑ＝ｑ  のＣｈｕの系列の時間軸逆転して複素共役にした系列の整合フィルタでもある）は図１１のように書ける。
但し、ｊ＝０，１，２，・・・・，Ｍ−１
また、図１２のように書ける。
【０２４８】
［周期系列から切り取る部分が一般的な場合］
【０２４９】
［Ｎが偶数の場合］
Ｎが偶数で、Ｎ＝Ｍ２、ｑがＮに対して素であるとする。
Ｃｈｕの系列、
【数２０７】
2016158229.tif 000182
, 
ｋ＝０，１，２，・・・・，Ｎ−１        ――――数式２０７
は周期系列なので、長さ無限大、周期ＮのＣｈｕの系列から長さＮの部分を切り取る切り取り方はＮ通り存在する。
【０２５０】
Ｃｈｕの系列から切り取った長さＮの部分をＭ行Ｍ列
（行番号ｉ＝０，１，２，・・・・，Ｍ−１、
列番号ｊ＝０，１，２，・・・・，Ｍ−１）の行列の形に並べて、或る成分の次の成分は、前の成分と同じ行の次の列とし、前の成分の列番号が（Ｍ−１）のときは次の成分は次の行の第０列とする。
ｋ＝０の成分が第ｉ０行、第ｊ０列になるように長さＮの系列を切り取った場合、
【０２５１】
第０行、第０列の成分は
【数２０８】
2016158229.tif 000183
―――――数式２０８
【０２５２】
第ｉ行、第ｊ列の成分は、
【数２０９】
2016158229.tif 000184
―――――数式２０９
【０２５３】
第ｉ１行、第ｊ列の成分は、
【数２１０】
2016158229.tif 000185
―――――数式２１０となる。 
【０２５４】
従って、
【数２１１】
2016158229.tif 000186
2016158229.tif 000187
―――――数式２１１となる。
【０２５５】
故に、第ｉ行、第ｊ列の成分は、
【数２１２】
2016158229.tif 000188
―――――数式２１２となる。
【０２５６】
例えば、Ｎ＝６４、Ｍ＝８、ｑ＝３、ｉ０＝６、ｊ０＝５、ｉ１＝6の場合、行列は、
【数２１３】
2016158229.tif 000189
2016158229.tif 000190
―――――数式２１３と書けるので、
【０２５７】
図１３の回路のインパルス応答は、Ｎ＝６４、Ｍ＝８、ｑ＝３、ｉ０＝６、
ｊ０＝５のＣｈｕの系列、
（Ｗ128107，Ｗ128048，Ｗ128123，Ｗ128076，Ｗ128035，Ｗ128000，Ｗ128099，Ｗ128076，        
Ｗ128059，Ｗ128048，Ｗ128043，Ｗ128044，Ｗ128051，Ｗ128064，Ｗ128083，Ｗ128108，                  
Ｗ128011，Ｗ128048，Ｗ128091，Ｗ128012，Ｗ128067，Ｗ128000，Ｗ128067，Ｗ128012，          
Ｗ128091，Ｗ128048，Ｗ128011，Ｗ128108，Ｗ128083，Ｗ128064，Ｗ128051，Ｗ128044，          
Ｗ128043，Ｗ128048，Ｗ128059，Ｗ128076，Ｗ128099，Ｗ128000，Ｗ128035，Ｗ128076，          
Ｗ128123，Ｗ128048，Ｗ128107，Ｗ128044，Ｗ128115，Ｗ128064，Ｗ128019，Ｗ128108，          
Ｗ128075，Ｗ128048，Ｗ128027，Ｗ128012，Ｗ128003，Ｗ128000，Ｗ128003，Ｗ128012，          
Ｗ128027，Ｗ128048，Ｗ128075，Ｗ128108，Ｗ128019，Ｗ128064，Ｗ128115，Ｗ128044） 
―――――数式２１４となる。
【０２５８】
また、この図１３の回路はＮ＝６４、Ｍ＝８、ｑ＝３、ｉ０＝６、ｊ０＝５のＣｈｕの系
列を時間軸逆転して、複素共役にした系列の整合フィルタである。
この図１３の回路を作成するに際してｉ１＝６としたが、ｉ１＝０、ｉ１＝１、ｉ１＝２、ｉ１＝３、ｉ１＝４、ｉ１＝５、ｉ１＝7としても回路を作成することができる。
【０２５９】
また、ｉを列番号、ｊを行番号とすると、図１４のインパルス応答も、
ｑ＝３、ｉ０＝６、ｊ０＝５のＣｈｕの系列となる。また、この図１４の回路も、
Ｎ＝６４、ｑ＝３、ｉ０＝６、ｊ０＝５のＣｈｕの系列を時間軸逆転して複素共役にした系列の整合フィルタである。
この図１４の回路を作成するに際してｉ１＝６としたが、ｉ１＝０、ｉ１＝１、ｉ１＝２、ｉ１＝３、ｉ１＝４、ｉ１＝５、ｉ１＝7としても回路を作成することができる。
【０２６０】
［Ｎが奇数の場合］
Ｎが奇数で、Ｎ＝Ｍ２、ｑがＮに対して素であるとする。
【０２６１】
Ｃｈｕの系列、
【数２１５】
2016158229.tif 000191
ｋ＝０，１，２，・・・・，Ｎ−１        ―――――数式２１５
は周期系列なので、長さ無限大、周期ＮのＣｈｕの系列から長さＮの部分を切り取る切りり方はＮ通り存在する。
【０２６２】
Ｃｈｕの系列から切り取った長さＮの部分をＭ行Ｍ列
（行番号ｉ＝０，１２，・・・・・，Ｍ−１、
列番号ｊ＝０，１，２，・・・・，Ｍ−１）の行列の形に並べて、或る成分の次の成分は、前の成分と同じ行の次の列とし、前の成分の列番号が（Ｍ−１）のときは次の成分は次の行の第０列とする。
ｋ＝０の成分が第ｉ０行、第ｊ０列になるように長さＮの系列を切り取った場合、
【０２６３】
第０行、第０列の成分は、
【数２１６】
2016158229.tif 000192
―――――数式２１６
【０２６４】
第ｉ行、第ｊ列の成分は、
【数２１７】
2016158229.tif 000193
―――――数式２１７
【０２６５】
第ｉ１行、第ｊ列の成分は、
【数２１８】
2016158229.tif 000194
―――――数式２１８となる。 
【０２６６】
従って、
【数２１９】
2016158229.tif 000195
2016158229.tif 000196
―――――数式２１９となる。
【０２６７】
故に、第ｉ行、第ｊ列の成分は、
【数２２０】
2016158229.tif 000197
―――――数式２２０となる。
従って、行列は
（位相係数２ｑのＭ次一般化ＤＦＴ行列の行と列をそれぞれ巡回シフトした行列）・
（対角行列）の形に変形できる。
【０２６８】
例えば、Ｎ＝８１、ｑ＝２として、Ｃｈｕの系列、
【数２２１】
2016158229.tif 000198
，ｋ＝０，１，２，・・・・，Ｎ−１        ―――――数式２２１から
【０２６９】
長さＮの部分を、ｋ＝０の成分が第（ｉ＝２）行、第（ｊ＝３）列となるように切り取って、行列の形に並べると、
【数２２２】
2016158229.tif 000199
―――――数式２２２となる。
【０２７０】
これを、例えばｉ１＝６として、｛位相係数２ｑ（＝４）の９次一般化ＤＦＴ行列の行と列をそれぞれ巡回シフトした行列）・（対角行列）｝の形に書き直すと、
【数２２３】
2016158229.tif 000200
―――――数式２２３となる。
左側の行列は、位相係数４（＝２ｑ）の９次一般化ＤＦＴ行列を、行を６（＝ｉ１）行巡回シフトし、列を３（＝ｊ０）列巡回シフトしたものである。
【０２７１】
右側の対角行列の対角成分は、
【数２２４】
2016158229.tif 000201
ただし、ｊ＝０，１，２，・・・・，８である。
―――――数式２２４である。
【０２７２】
位相係数４の９次一般化ＤＦＴ行列は、位相係数１の９次一般化ＤＦＴ行列（ＩＤＦＴ行列）を行または列を入れ換えることによっても得られるので、先の行列は、
【数２２５】
2016158229.tif 000202
―――――数式２２５とも書ける。
【０２７３】
従って、図１５の回路のインパルス応答は、Ｎ＝８１、ｑ＝２、ｉ０＝2、ｊ０＝３の
Ｃｈuの系列、
（Ｗ8172，Ｗ8171，Ｗ8174，Ｗ810，Ｗ8111，Ｗ8126，Ｗ8145，Ｗ8168，Ｗ8114，                    
Ｗ8145，Ｗ8180，Ｗ8138，Ｗ810，Ｗ8147，Ｗ8117，Ｗ8172，Ｗ8150，Ｗ8132，                    
Ｗ8118，Ｗ8108，Ｗ8102，Ｗ810，Ｗ8102，Ｗ8108，Ｗ8118，Ｗ8132，Ｗ8150，                    
Ｗ8172，Ｗ8117，Ｗ8147，Ｗ810，Ｗ8138，Ｗ8180，Ｗ8145，Ｗ8114，Ｗ8168，                    
Ｗ8145，Ｗ8126，Ｗ8111，Ｗ810，Ｗ8174，Ｗ8171，Ｗ8172，Ｗ8177，Ｗ8105，                    
Ｗ8118，Ｗ8135，Ｗ8156，Ｗ810，Ｗ8129，Ｗ8162，Ｗ8118，Ｗ8159，Ｗ8123，                    
Ｗ8172，Ｗ8144，Ｗ8120，Ｗ810，Ｗ8165，Ｗ8153，Ｗ8145，Ｗ8141，Ｗ8141，                    
Ｗ8145，Ｗ8153，Ｗ8165，Ｗ810，Ｗ8120，Ｗ8144，Ｗ8172，Ｗ8123，Ｗ8159，                    
Ｗ8118，Ｗ8162，Ｗ8129，Ｗ810，Ｗ8156，Ｗ8135，Ｗ8118，Ｗ8105, Ｗ8177）                    
――――――数式２２６となる。
【０２７４】
また、この回路はＮ＝８１、ｑ＝２、ｉ０＝２、ｊ０＝３のＣｈuの系列を時間軸逆転して複素共役にした系列の整合フィルタである。
この回路を作成するに際して、ｉ１＝６としたが、ｉ１＝０、ｉ１＝１、ｉ１＝２、ｉ１＝３、ｉ１＝４、ｉ１＝５、ｉ１＝７、ｉ１＝８として回路を作成することができる。
ｉを列番号、ｊを行番号とすると、同じインパルス応答の回路を図１６のようにも書ける。
【０２７５】
［一般化アダマール行列の基本変形］
正方行列の、全ての成分の絶対値が１で、全ての行ベクトルがすべて直交（内積が０）、全ての列ベクトルもすべて直交するとき、この正方行列を「一般化アダマール行列」と呼ぶことにする。
一般化アダマール行列に対して、「行の入れ替え」「列の入れ替え」「或る行または列に絶対値１の複素数を乗ずる」を施しても、また一般化アダマール行列になる。これらの操作を「一般化アダマール行列の基本変形」と呼ぶことにする。
【０２７６】
［一般化ＤＦＴ行列とＤＦＴ行列およびＩＤＦＴ行列］
一般化ＤＦＴ行列は、ＤＦＴ行列またはＩＤＦＴ行列に「一般化アダマール行列の基本変形」を施すことによって、一般化ＤＦＴは図１７として実現することができる。ただし、「基本変形」は「単位行列を乗ずる」（何もしない）を含む。また、図１８としても実現することができる。
【実施例１】
【０２７７】
実施例として、図１９においては、Ｎ＝１０２４、ｑ＝６１の周波数オフセット測定用信号を送信し、受信側で参照信号との相互相関をとると周波数オフセットが異なれば異なる位置に圧縮パルスが生じるので、受信側に生じる圧縮パルスの位置が周波数オフセット量に比例するように相関出力信号に対して時間位置の入れ替えを行う周波数オフセット測定方法の、受信側における参照信号との相互相関をとる部分と相互相関出力に対する時間位置の入れ替えを行う部分である。
時間位置の入れ替えを行う部分は、数式１５６、数式１６０、数式１６３、数式１６６と同様の役割を果たしている。
【０２７８】
図１９に、Ｎ＝１０２４として、ｑ＝６１の周波数オフセット測定用信号が１チップ当たりの周波数オフセットによる位相ずれｍ×（２π／１０２４）を受けたものと、
Ｎ＝１０２４、ｑ＝６１の参照信号との周期相互相関をとり、相関波形の圧縮パルスの位置が周波数オフセットに比例する位置になるように並べ治す方法を示す。なお、図１９は、同期がとれている状態で用いる方法である。
図１９の方法により、マルチパスの影響の無い信号と、マルチパスの影響の有る信号について、周波数オフセットの測定を行った結果のシミュレーションを図２０、〜、図４０に示す。図２０、図２３、図２６、図２９、図３２、図３５、図３８はマルチパスの影響の無い場合、図２１、図２４、図２７、図３０、図３３、図３６、図３９は同期の基準となる信号の前と後ろに、それぞれ１チップずれ〜１５チップずれまで、合計３０波の、振幅が同期の基準となる信号の１／２のマルチパス信号が加わっている場合である。マルチパスの影響が周波数オフセット測定パルスの前後６１シフト未満には現れず、重いマルチパス環境においても周波数オフセットの測定が精度良く行えることがわかる。図２２、図２５、図２８、図３１、図３４、図３７、図４０は前述の中央部分の拡大図である。
周波数オフセットの測定のための圧縮パルスの波形は、ｍが整数のときに最も鋭いピークのパルス波形で、ｍが半整数のときに最も鈍いピークのパルス波形になり、ｍが整数でも半整数でもないときのピークの鋭さは、ｍが整数のときと半整数のときの中間の鋭さである。
【実施例２】
【０２７９】
周波数オフセット測定用信号を、パケット全体に重畳すればＮを数万〜数十万程度の大きい値にできるので、１チップ当たりの位相ずれの精度を（２π／数万）〜（２π／数十万）にできる。周波数オフセット測定用信号を情報伝送の妨害にならない程度（ノイズレベル程度）にすれば情報伝送の品質にほとんど影響しないし、Ｎが大きければ情報伝送信号の存在にかかわらず、高い振幅の圧縮パルスによって周波数オフセットを精度良く測定できる。
【実施例３】
【０２８０】
周波数オフセットによる位相ずれによって、サンプル点がチップからはずれることが有り得るという問題に対処するために、周波数オフセットによる位相ずれによって、サンプル点がチップからはずれない程度の長さＮ１の周波数オフセット測定用信号と、非常に長い長さＮ２の周波数オフセット測定用信号と、を重畳し、長さＮ１の周波数オフセット測定用信号を用いて得られた周波数オフセットの暫定値を用いてサンプル間隔を修正してから、長さＮ２の周波数オフセット測定用信号を用いてさらに正確な周波数オフセット測定値を得ることができる。
Ｎ１がどの位が適当かわからない場合は、何種類かのＮ１の周波数オフセット測定用信号を重ねて重畳しても良い。
【実施例４】
【０２８１】
連続信号に対して、複数の異なるサンプル間隔でサンプルし、１つの連続信号から複数の離散信号を得るようにすることができる。このようにすることによって、周波数オフセットによる位相ずれによるサンプル点のチップ幅からのはみ出しを避けるようなサンプル間隔を選ぶことができる。
【実施例５】
【０２８２】
或る通信システムに対して或る周波数帯域を割り当てられていて、各ユーザはその帯域の一部分の帯域を使う通信システムにおいて、各ユーザは周波数オフセット測定用信号については、通信システム全体に割り当てられている帯域を使うことにする。
こうすることにより、周波数オフセット測定用信号のチップ幅を通常のユーザ信号の何分の１かに狭くできるので、チップ幅に含まれるＲＦ信号の波数も何分の１化にすることができる。こうすることにより周波数オフセットによる１チップ当たりの位相ずれ測定し易くすることができる。
【実施例６】
【０２８３】
各ユーザは、通信システムに割り当てられている周波数帯域の全体を使って、常に周波数オフセット測定用信号を通信信号全体に定常的に重畳することにより、周波数オフセットを常に測定することができる。
【実施例７】
【０２８４】
また、本発明は、通信方法において、本発明の周波数オフセット測定方法を用いて得た周波数オフセット結果を用いて、受信側ロ―カル発信機の周波数を修正することにより、周波数オフセットによる性能劣化を防ぐことができる。
【実施例８】
【０２８５】
また、本発明は、通信方法において、上述に記載の周波数オフセット測定方法を用いて得た周波数オフセット結果を用いて、受信側のサンプル間隔を修正することにより、周波数オフセットによる性能劣化を防ぐことができる。
【実施例９】
【０２８６】
また、本発明は、ＯＦＤＭ通信方法において、上述に記載の周波数オフセット測定方法を用いて得た周波数オフセット結果を用いて、受信側ロ―カル発信機の周波数を修正することにより、サブキャリア間干渉による情報ビットの検出誤りを減少することができる。
【実施例１０】
【０２８７】
超音波画像診断装置に本発明の周波数オフセットの測定方法を適用して、トップラ効果による周波数オフセットを測定し、画像の各ピクセルの奥行き方向の速度を色相または色の濃さで表示すれば、臓器などの動きの奥行き方向の速度をも診断に用いることができる。
【実施例１１】
【０２８８】
［ドップラシフトの測定による、動画像の補正加算］
電磁波画像装置、または超音波画像装置において、例えば、心臓のように、動いているものの画像は、複数の画像を少しの時間差で得て向上させようとしても、その少しの時間の間に心臓などの反射壁の位置が変わってしまえば鮮明度は向上しない。
本発明の方法によって、反射して来る電磁波または超音波のドップラシフトを測定することにより、上記のような場合に少しの時間の間の心臓などの動きを予測すれば、補正して加算することにより鮮明度を向上させることが期待できる。
心臓などの動きをより正確に予測するために、電磁波または超音波信号の発信機を複数個用意して、複数箇所から同時に電磁波または超音波信号を発信し、反射信号のドップラシフトによる補正をより正確にできる。
電磁波画像装置、または超音波画像装置において、距離の測定のための信号およびドップラシフトの測定のための信号は交互に（必ずしも１対１の交互でなくとも良い）送信し、距離とドップラシフトを交互に測定する。
本発明の周波数オフセット測定方法により、電磁波または超音波の発信機を単数または複数個用意し、複数の異なる送信信号を動く物体等に対して送信し、動く物体等から反射して来るそれぞれの受信機で得られる電磁波または超音波のドップラシフトを測定し、物体等の動きの複数の測定データを時間差で測定値を補正して加算することより画像信号を構成したことを特徴とする画像構成方法とすることができる。
なお、超音波信号を用いて本発明のドップラシフトの測定方法を用いるには、超音波信号のチップ同期をとって、
ｒ{exp(jθ０), exp(jθ１), exp(jθ２),・・・・}      ―――――数式２２７
という離散的位相変調信号にすることができる。
【０２８９】
自動車、または列車、船などの衝突防止および自動運転用装置に本発明の周波数オフセットの測定方法を電磁波または超音波の信号で用いれば、従来よりも精度の高い速度の測定ができる。
本発明の周波数オフセット測定する方法により、電磁波または超音波の信号を用い、移動体などの衝突防止および自動運転としたことを特徴とする移動体制御方法とすることができる。
本発明の方法によってドップラシフトを測定することにより、複数の異なる時刻の測定された位置と測定されたドップラシフトから、或る特定の時刻における位置をそれぞれ推定して加算することにより、上記或る特定の時刻における位置の測定への擾乱の影響を軽減することができる。
本発明の方法によってドップラシフトを測定することにより、測定対象の測定時刻より前の時刻における位置、および測定時刻より後の時刻における位置を推定することができる。
【産業上の利用可能性】
【０２９０】
本発明を適用する信号は、電波信号でも音波信号でも超音波信号でも良い。
本発明は通信、測距、ドップラシフトの測定に用いることができる。
【図１】
2016158229.tif 000205
【図２】
2016158229.tif 000206
【図３】
2016158229.tif 000207
【図４】
2016158229.tif 000208
【図５】
2016158229.tif 000209
【図６】
2016158229.tif 000210
【図７】
2016158229.tif 000211
【図８】
2016158229.tif 000212
【図９】
2016158229.tif 000213
【図１０】
2016158229.tif 000214
【図１１】
2016158229.tif 000215
【図１２】
2016158229.tif 000216
【図１３】
2016158229.tif 000217
【図１４】
2016158229.tif 000218
【図１５】
2016158229.tif 000219
【図１６】
2016158229.tif 000220
【図１７】
2016158229.tif 000221
【図１８】
2016158229.tif 000222
【図１９】
2016158229.tif 000223
【図２０】
2016158229.tif 000224
【図２１】
2016158229.tif 000225
【図２２】
2016158229.tif 000226
【図２３】
2016158229.tif 000227
【図２４】
2016158229.tif 000228
【図２５】
2016158229.tif 000229
【図２６】
2016158229.tif 000230
【図２７】
2016158229.tif 000231
【図２８】
2016158229.tif 000232
【図２９】
2016158229.tif 000233
【図３０】
2016158229.tif 000234
【図３１】
2016158229.tif 000235
【図３２】
2016158229.tif 000236
【図３３】
2016158229.tif 000237
【図３４】
2016158229.tif 000238
【図３５】
2016158229.tif 000239
【図３６】
2016158229.tif 000240
【図３７】
2016158229.tif 000241
【図３８】
2016158229.tif 000242
【図３９】
2016158229.tif 000243
【図４０】
2016158229.tif 000244