(57)【要約】      （修正有）【課題】整数加算分布と正規分布の長所を生かした合成分布の構成を行う。【解決手段】披測定値の両側にある整数加算分布の分布値を、鐘形分布のｅの指数の負の４次の係数を調整して、鐘形分布の値と合わせ、整数加算分布の一点と４次の項を含む分布曲線をほぼ完全に一致させる。【選択図】図１０
2016062578.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
シートの行番号列（行）の各セルに整数ｉを入れ、列番号行（列）の各セルには整数ｊを入れ、ｉ行、ｊ列のセルとその価ＵをＵ（ｉ），（ｊ）と書く事とし、Ｕ（ｉ），（１）＝Ｕ（ｉ＋１），（１）＝Ｕ（ｉ＋２），（１）＝Ｕ（ｉ＋３），（１）＝Ｕ（ｉ＋４），（１）＝１で、その他のセルは０である第１の数列、および第２列めからのｉの式列関数を本明細書の数表１と完全に等しくなるごとく、第２列のｉの式列関数
Ｕ（ｉ＋１），（２）を
Ｕ（ｉ＋１），（２）＝Ｕ（ｉ），（１）＋Ｕ（ｉ−１），（１）＋Ｕ（ｉ−２），（１）＋Ｕ（ｉ−３），（１）＋Ｕ（ｉ−４），（１）、第３列のｉの式列関数
Ｕ（ｉ＋１），（３）、を
Ｕ（ｉ＋１），（３）＝Ｕ（ｉ），（２）＋Ｕ（ｉ−１），（２）＋Ｕ（１−２），（２）＋Ｕ（ｉ−３），（２）＋Ｕ（ｉ−４），（２）、続いて一般化した第ｊ列ｉの式列関数、Ｕ（ｉ），（ｊ）＝Ｕ（ｉ−１），（ｊ−１）＋Ｕ（ｉ−１），（ｊ−１）＋Ｕ（ｉ−２），（ｊ−１）＋Ｕ（ｉ−３）（ｊ−１）＋Ｕ（ｉ−４），（ｊ−１）をつくり、該ｉの式列関数Ｕ（ｉ），（ｊ）からｉの関数としてｊ列の第一の頻度分布を得ると共に、該頻度分布を頻度列総、５＾ｊで割り確率とする事、さらに、頻度分布の最大値で割っものを規格化分布とする事、さらに他の整数で割って得られる有限小数化された分布など整数の加算を元にした第１の分布関数と、ｅの指数が独立変数の負の２次の項と、負の４次の項の項の和から構成され、且つ前記第１の分布関数と同じ平均値、分散、最大値をもつ鐘形の第二の分布から構成される二つの分布を重ね合わすことを特徴とする複合分布の作成方法
【請求項２】
［請求項１］における鐘形の第２の分布関数曲線のｅの指数が独立変数の負の２次の項と、負の４次の項のうち４次の項の展開係数を変化することにより不連続量である第１の整数加算分布の値と連続量である鐘形の分布曲線の形の全体あるいは一部を合致させることを特徴とする合成分布の作成方法
【請求項３】
［請求項２］における４次の項の展開係数の極微細調整をおこない、入力である披測定信号に最寄の整数加算分布信号の不連続な値の数値と鐘形の分布曲線の数値を完全に一致させ一致したときの鐘形分布曲線の数値を測定信号とすることを特徴とする整数加算分布信号の補間方法
【請求項４】
任意の単一整数加算分布信号、或るいは任意の二つ整数加算分布信号の差の値を用いて、分布の平均値その他、他の点の誤差等を決定することを特徴とする多点決定法
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】本発明は有効桁数の多いデジタル量を扱い得る整数加算確率分布と、正規分布の欠陥を取り除いた鐘形の確率分布の重ね合わせた分布の構成に関するものである。
【背景技術】
【０００２】正規分布は現在まで気づかなかった問題があり、取扱い量の高精度化が進むにつれて問題が顕在化して来た。
その最たるものは分布の変曲点での分布の価の差異である。後述するが、整数加算分布に誤差の要因はない。分布の価の差異は正規分布の欠陥によるものである。
次の問題は正規分布のロングテールの問題である。６面ダイスを１０個を同時に振ったとき、目の和が１０になる頻度は１、目の和が１００になる頻度も１で、目の和が１以下あるいは１００以上のときの頻度や確率は０で無ければならないが、正規分布はこの条件を満たさない。
学校の試験の得点分布についても同じで、０点以下１００点満点以上である確率も０にはならない。【０００３】そこで、整数加算分布の加算の仕組みを詳しく調べる。
ここでは、変則的かも知れないが、ｉ行ｊ列セルの数値ＵをＵ（ｉ），（ｊ）と書く。
ｉ行ｊ列のセルに数値Ｕが入っているという意味である。
１個のダイスを振ると各目の出る確率は１／６である。図にすると高さ１／６の棒グラフが６本並ぶ。この確率を６倍すると頻度で、整数である。ここでは、頻度つまり、整数で検討して、後で確率に書き換える。［書類名］数表３を参照しながら説明をする。【０００４】ダイスを１個の目は６コであるが、それを第１列に１を６コ並べて表現する。横書きにすると００００００１１１１１００００・・・・
Ｕ（ｉ），（１）＝Ｕ（ｉ＋１），（１）＝Ｕ（ｉ＋２），（１）＝Ｕ（ｉ＋３），（１）＝Ｕ（ｉ＋４），（１）＝Ｕ（ｉ＋５），（１）＝１
である。他のセルは０である。
ここで、ダイスを１個から２個する。なにが、どのように変化するかを数表３を見ながら考える。加算は列でなく行でおこなう。加算はｉ＝１から始まるが第２列にはｉ＝１はない。
ダイスは２個であるから、ｉ＝１は存在しないからである。ｉ＝２から始まる。そして２個めの目の数１から６が加えられる。ｉ＝６までの加算結果はセルが一つ多いｉ＝７に書かれる。答Ｕは第２列めの（６＋１），（２）セルに書き込まれる。つまり、Ｕ（６＋１），（２）がｉ＝６の加算の答えの数値とセル番号である。加算は０＋０＋０＋０＋０＋１まで続ける。列の後部のセル数は６個増える。【０００５】次は第２列から第３列への移行である。第２列は
・・０１２３４５４３２１０・・・
であるが、加算は２列めの価に足し込まれる
１＋０＋０＋０＋０＋０，２＋１＋０＋０＋０＋０，３＋２＋１＋０＋０＋０
第３列はｉ＝３から始まる。３個めの目の数１から６が加えられる。いまｉ＝８までの加算を想定する。加算はセルが一つ多いｉ＝９の行まで行われ、答Ｕは第２列めの（８＋１），（２）セルに書き込まれる。つまり、Ｕ（８＋１），（２）即ちＵ（９），（２）がｉ＝８までの加算の答えの数値とセル番号である。【０００６】次は第２列から第３列への移行である。第２列は
・・０１２３４５４３２１０・・・
であるが、加算は２列めの価に足し込まれる
１＋０＋０＋０＋０＋０，２＋１＋０＋０＋０＋０，３＋２＋１＋０＋０＋０
ｉ＝７までの加算はセルが一つ多いｉ＝８の行まで行われ、答Ｕは第２列めの（７＋１），（２）セルに書き込まれる。つまり、Ｕ（７＋１），（２）つまりＵ（８），（２）がｉ＝７までの加算の答えの数値とセル番号である。列の後部のセル数はさらに６個増える。【０００７】Ｕ（ｉ），（１）からＵ（ｉ），（２）への移り変わりは判りやすい。Ｕ（ｉ），（２）からＵ（ｉ），（３）も何とか理解できる。
しかしＵ（ｉ），（３）以上ではＵ（ｉ）の足し込み経路が複雑な組み合わせになり混乱してくる。一般的なＵ（ｉ），（ｊ）となると複雑で手が付けられない。この複雑さは一つの簡単な足し算の式から来ている。それは、
Ｕ（ｉ），（ｉ）＝Ｕ（ｉ−１），（ｊ−１）＋Ｕ（ｉ−２），（ｊ−１）＋Ｕ（ｉ−３），（ｊ−１）＋Ｕ（ｉ−４），（ｊ−１）＋Ｕ（ｉ−５），（ｊ−１）＋Ｕ（ｉ−６），（ｊ−１）、或いは１列ずらせて、
Ｕ（ｉ＋１），（ｊ＋１）＝Ｕ（ｉ），（ｊ）＋Ｕ（ｉ−１），（ｊ）＋Ｕ（ｉ−２）（ｊ）＋Ｕ（ｉ−３），（ｊ）＋Ｕ（ｉ−４），（ｊ）＋Ｕ（ｉ−５），（ｊ）
という簡単な足し算である。足されるものと数が増えるから複雑にみえる。【０００８】例えば、２列目のＵ（５），（２）セル（５），（２）の５の中味は４＋３＋２＋１＋０＋０であり（２）は目印に過ぎない。この値をＵ（５＋１），（２＋１）のセル、つまりＵ（６），（３）セルに書くということだけである。
例えばＵ（４）（２）セルのＵ値はＵ（３），（１）列の１＋１＋１＋０＋０＋０であり、Ｕ（５）（３）セルのＵ値はＵ（４），（２）列の４＋３＋２＋１＋０＋０であるが、これらの簡単な加算という小枝が寄り集まって不可解な数字集団を作っているわけである。
数表３の作成はダイス１個、Ｕ（ｉ），（１）から始めて着実に整数加算分布２個、Ｕ（ｉ），（２）・・・ダイスｊ個Ｕ（ｉ），（ｊ）へと進める必要が有る。Ｕ（ｉ），（ｊ）のＵ（ｉ）を結べば（ｊ）列での頻度（換算して確率）の分布曲線となる。このように書くと面倒なようであるが、計算機では３０秒以下で出来る。
この加算は整数の加算で一切、不確かさはない。
ダイスの場合の不具合は図４の変曲点での差異や２階微分曲線の違いを見れば良く判る。【０００９】正規分布は
Ｐ（ｘ）＝（２πσ）−１／２ｅｘｐ（−（ｘ−μ）２／２σ２）
平均値はμ＝ｎｐ，分散はσ２＝ｎｐ（１−ｐ）
の形である。正規分布は二項分布ｎＣｘｐｘ（１−ｐ）ｎ−ｘのｎを無限に大きくしたものである。ｐは確率である。そのまま近似値を求めるため展開しようとするとＰ（ｘ）は急速に変化してうまく行かないのでｌｏｇＰ（ｘ）をとり、平均値μのまわりでテーラー展開して（ｘ−μ）の２次つまり（ｘ−μ）２の項で打ち切る近似を行って得られたのが正規分布Ｐ（ｘ）である。すなわち
2016062578.tif 000003
となる。【００１０】このような近似の産物である正規分布より、成り立ちが明確である整数加算分布が信頼できると共に両者に差異が存在すれば、差異の原因は正規分布の側にあると考える。
【発明の開示】
【発明が解決する課題】
【００１１】前記のように、正規分布と整数加算分布の間には二つの相違点がある。その一つは変曲点の分布値の差異、いい換えれば分布の２階微分の極大値の高さが異なるという問題と、正規分布のロングテールの問題である。
二つの問題は同じ最大値と平均値と分散をもつにもかかわらず、整数加算分布と、正規分布では形が異なるということであるが、その理由を知る事と、同じ形になる条件が存在するとすれば、その条件を捜し出すことが課題である。
【００１２】いま、整数加算分布で初期数を５にする。５項式のＭ乗（ｅｔ＋ｅ２ｔ＋ｅ３ｔ＋ｅ４ｔ＋ｅ５ｔ）＾Ｍの展開係数を求める問題である。
整数加算分布で変化できるパラメータは数表１でいえば最初の列に並んだ１の数とべき乗数Ｍの二つである。ここでは第１列に並んだ１の数を初期数と呼ぶ。べき乗数Ｍを変えても、同じ平均値、分散をもつ正規分布の形の相対関係は変わらない。従って独立に分布の形を変化させ得るのは初期数のみである。しかも、整数加算分布の分布数値は整数のまま使うか、頂点を１とした有限小数あるいは確率分布で使用されるが、いずれにせよ不連続で、分布の数値の補間が必要である。当然、「数表１」の計算は計算機で行われるが、そのプログラムは数多いと考えられるので、ここでは触れず、計算結果のみを数表２に示す。
不連続な数値の間隔と桁数を知るためである。
【００１３】整数加算分布の数値は不連続でとびとびであり、何らかの補間を必要とするということである。正規分布に頼れるとよいが、正規分布の最大値と平均値と分散は整数加算分布のそれらと同じにしなければならないので動きがとれない。窮地である。この窮地を如何にして脱するかが課題である。
【課題を解決するための手段】
【００１４】正規分布は式
Ｐ（ｘ）＝（２πσ）−１／２ｅｘｐ（−（ｘ−μ）２／２σ２）
に従う正規分布表をつくり使用している。つまり、マックスウェル・ボルツマン分布のような自然現象を利用して数式化したもではではないということである。正規分布表は紙に書かれたものでも、電子メモリーでもよい。使用段階ではこの式に”近似の結果”という痕跡はない。そうするとこの式は何者なのかということになる。
【００１５】そこで、先ず正規分布の２次までの近似を４次６次まで含んだ形に変える。この分布を鐘形分布と呼ぶ。整数加算分布と４次６次の項をもつ鐘形分布の形状の差異は線形目盛では図１の点線と細線が示すように認められないが対数目盛で見ると図２のように鐘形分布は正規分布よりも裾野が急峻になり、ロングテール問題の解決をしているわけではないが解決に近づいていることが判る。
【００１６】次いで整数加算分布の形は前記のように初期数でわずかに変化するので初期数を変える。
整数加算分布の形状（鎖線）と、整数加算分布の鐘形分布の形状の差の値の曲線を図３に示す。点線が形状の差の値の曲線で、初期数の値が５のとき、この尺度では、殆ど直線になっており差が存在しないことを示している。比較のため図４に初期数の値が６の場合を併示した。
また変曲点を見るため初期数の値が５の２階微分曲線を図５に、初期数の値が６の場合のそれを図６の示す。６の場合はっきり見分けがつくが、５の場合は見分けがつかない。
ここで、鐘形分布の説明に移る。
【００１７】前記の場合と同じようにＰ（ｘ）のｌｏｇをとり、μのまわりで展開を行うが今度は２次で打ち切らない。
2016062578.tif 000004
である。高階微分およびμのおける値を列記すると
2016062578.tif 000005
2016062578.tif 000006
ここでは近以度の高い分布の正確な形を知るのが目的でなく、４次以降の項が分布の形状に与える変化を補間等に利用するのが目的であるので、４次の項、（ｘ−μ）４の項の係数は
2016062578.tif 000007
とにする。
【００１８】
2016062578.tif 000008
は４次の係数との比が（４８／μ５）／（４／μ３）＝１２／μ２であるがこれは必要である。
鐘形分布は
Ｐ（ｘ）＝Ｐ（μ）ｅｘｐ（−（（ｘ−μ）２＋ｃ（ｘ−μ）４＋ｄ（ｘ−μ）６／２σ２）
となる。
この式の４次の係数ｃは小数点以下５桁であるが、この係数を変えて分布の形を変える。
形の変化は微細で僅かに残存する分布の差を拡大しでしか見ることが出来ない。６次の項の影響を調べた何も見えなかったので、４次で打ち切った。
４次の係数が０．００００３０の場合と０．００００４０の場合の分布の差を拡大したものを図７および図８に示す。０．００００３０の場合と０．００００４０の場合、分布の差を拡大した曲線には変化がはっきり認められる。また残存差曲線の形は図４の普通の差曲線の形とは異なる形であることも判る。整数加算分布の平均値、分散は１８１である。
この図から該係数を変えることにより、鐘形分布の形状の微細調整が可能である。
つまり、鐘形分布の４次の係数を用いて不連続である整数加算分布の補間を行うことが出来る。
【発明の効果】
【００１９】整数の足し算で構成される整数加算分布は、成り立ちが明確である。しかし、分布する数値は桁数は多いが不連続である。一方、正規分布のｅの指数部は展開式で２次以降は無視するという近似の産物で、精度やそれを示す桁数が多いディジタル情報の基準分布として不適当な面が見え始めている。
ここでは、ｅの指数部に負の２次、４次、６次をもつ鐘形の分布を提起した。この分布は正規分布のもつ不適当な面をおぎなうと共に、負の４次の係数を操作して分布の形状の微細調整を行ない得るという性質を持っている。従って、整数加算分布との合致、整数加算分布の不連続である数値の補間が可能になる。
このことは整数加算分布が主導するが、ｅの指数部に負の２次、４次、６次をもつ鐘形の分布が補助と実動を担うと複合標準分布系ができ、高精度のディジタル情報の処理に耐え得る基準分布が得られる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２０】整数加算分布の分布値の桁数は多い。従って、数個まて鐘形分布の値を合わせ込むのは大変であるが、そうしなければ意味がない。自動制御が必要となるが、該制御は本発明の範疇にはないとする。
原理を図９にしめす。縦の太い線は披測定値の両側にある整数加算分布の分布値であり、斜線は鐘形分布曲線の一部である。鐘形分布のｅの指数の負の４次の係数を調整して、この二つの分布値のどちらかと鐘形分布の値を合わせる。他の線も一致する筈である。そして、鐘形分布の数値を測定値とするという補間である。
【実施例】
【００２１】以上の原理を実行する場合の手順を実施例としてブロックダイアグラムで示す。
整数加算信号作成器１は要求に応じたオフセットを加えた位置が平均値になる条件の元で要求に応じた分散をもつ分布信号をつくる。分散はべき乗数Ｍの数で決まる。つくられた分布信号は整数加算値メモリー２で記録される。該平均値μと分散の値σ２は鐘形分布の平均値と分散の値として使用される。【００２２】分布曲線を利用したい信号は披測定入力器７で決められた取扱量の信号に変換され、鐘形分布作成および調整器３に送られ、比較器４を通じて整数加算信号の記録と比較される。
比較器４は最寄の整数加算信号を捜すと同時に不連続で飛び飛びである整数加算信号の数値と鐘形分布の数値の差を差信号として検出しブロック３に送り返す。ブロック３ではその内部にある鐘形分布作成部分の計算式
Ｐ（ｘ）＝Ｐ（μ）ｅｘｐ（−（（ｘ−μ）２＋ｃ（ｘ−μ）４）／２σ２）
の（ｘ−μ）４の項の係数ｃの数値を変化して上記の数値の差を０に近付ける。鐘形分布の信号は連続量であるので補間の役目に適している。補間を介して得られた数値は出力信号処理器５で取扱いに適した量に変換され、出力信号メモリー６に保管される。
【数表１】
初期数が５の整数加算の説明表
【数表２】
初期数が５の整数加算結果
【数表３】
参考のためのダイスの整数加算の説明表
【図面の簡単な説明】
【００２３】
【図１】整数加算分布と鐘形分布の線形比較図
【図２】整数加算分布と鐘形分布の対数比較図
【図３】初期数が５の場合の分布と分布の差
【図４】初期数が６の場合の分布と分布の差
【図５】初期数が５の場合の分布の２階微分
【図６】初期数が６の場合の分布の２階微分
【図７】４次の係数が０．００００４０のときの拡大した分布の差
【図８】４次の係数が０．００００３０のときの拡大した分布の差
【図９】整数加算分布と鐘形分布の調整の説明図
【図１０】整数加算分布と鐘形分布の調整説明のブロック図
【符号の説明】
【００２４】１整数加算信号作成器
２整数加算値メモリー
３鐘形分布作成および調整器
４比較器
５出力信号処理器
６出力信号メモリー
７披測定信号入力
８整数加算分布
2016062578.tif 000009
2016062578.tif 000010
2016062578.tif 000011
2016062578.tif 000012
2016062578.tif 000013
2016062578.tif 000014
2016062578.tif 000015
2016062578.tif 000016
【図１】
2016062578.tif 000017
【図２】
2016062578.tif 000018
【図３】
2016062578.tif 000019
【図４】
2016062578.tif 000020
【図５】
2016062578.tif 000021
【図６】
2016062578.tif 000022
【図７】
2016062578.tif 000023
【図８】
2016062578.tif 000024
【図９】
2016062578.tif 000025
【図１０】
2016062578.tif 000026