(57)【要約】【課題】従来の問題を取り除くポリアクチュエータを提供すること。【解決手段】実施例に係るポリアクチュエータは、カム部を有するギア出力ロッド５２０と、カム部に接続されるフォロワ５２２を有する複数のアクチュエータ５００とを有する。カム部は正弦波状の軌跡に沿ってフォロワの回転中心を案内する滑らかな周期的曲面で形成され、アクチュエータのそれぞれは正弦波状の軌跡の位相に関して等間隔に配置され、その数と間隔との乗算で得られる総距離が正弦波状の軌跡の波長の倍数に等しく、その間隔は波長の倍数の何れとも等しくなく、出力推力はｋ次項を含む非線形剛性項を有し、出力推力における正弦波状の軌跡の高調波成分の次数はｋが奇数の場合に２〜ｋ＋１の範囲内の偶数であり、ｋが偶数の場合に１〜ｋ＋１の範囲内の奇数であり、アクチュエータの数の倍数は出力推力における高調波成分の次数と合致しない。【選択図】図６
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【特許請求の範囲】
【請求項１】
ポリアクチュエータであって、
１又は複数のカム部を有する出力ユニットと、
複数の非線形往復動アクチュエータであり、前記１又は複数のカム部に接続されるフォロワ機構をそれぞれが有するところの複数の非線形往復動アクチュエータと、を有し、
前記出力ユニットの運動に関して正弦波状の軌跡に沿って前記フォロワ機構の回転中心を案内する滑らかな周期的曲面によって前記カム部が形成され、
前記複数の非線形往復動アクチュエータのそれぞれが出力推力−変位特性で非線形性を有し、
前記複数の非線形往復動アクチュエータは、前記正弦波状の軌跡の位相に関して等間隔に配置され、
前記複数の非線形往復動アクチュエータの数と前記複数の非線形往復動アクチュエータ間の等間隔との乗算によって得られる総距離が、前記正弦波状の軌跡の波長の倍数に等しく、
前記等間隔は、前記波長の倍数の何れとも等しくなく、
前記出力推力は、ｋ次項を含む非線形剛性項を有し、
ｋが奇数の場合、前記出力推力における前記正弦波状の軌跡の高調波成分の次数は、２〜ｋ＋１の範囲内の偶数であり、ｋが偶数の場合、前記出力推力における前記高調波成分の次数は、１〜ｋ＋１の範囲内の奇数であり、
前記複数の非線形往復動アクチュエータの数の倍数は、前記出力推力における前記高調波成分の次数と合致しない、
ポリアクチュエータ。
【請求項２】
前記非線形剛性項が３次項で構成され、且つ、前記複数の非線形往復動アクチュエータの数が２、３、又は４である場合、前記高調波成分の全てが抑制される、
請求項１に記載のポリアクチュエータ。
【請求項３】
前記出力推力は、ｑ次項を含む非線形入力誘導性推力項を有し、
前記複数の非線形往復動アクチュエータのそれぞれに対する入力信号は、少なくとも前記正弦波状の軌跡のＬ次高調波成分を含み、
前記入力信号における前記高調波成分は、前記複数の非線形往復動アクチュエータ間の位相シフトを有し、
前記位相シフトは、前記複数の非線形往復動アクチュエータ間の前記等間隔に等しく、
ｑが奇数で且つＬが偶数の場合、前記出力推力における前記高調波成分の次数は、Ｌ〜１＋Ｌ＋ｑ及び−Ｌ〜１−Ｌ＋ｑの絶対値の範囲内の偶数であり、
ｑが奇数で且つＬが奇数の場合、前記出力推力における前記高調波成分の次数は、Ｌ〜１＋Ｌ＋ｑ及び−Ｌ〜１−Ｌ＋ｑの絶対値の範囲内の奇数であり、
ｑが偶数で且つＬが偶数の場合、前記出力推力における前記高調波成分の次数は、１＋Ｌ〜１＋Ｌ＋ｑ及び１−Ｌ〜１−Ｌ＋ｑの絶対値の範囲内の偶数であり、
ｑが偶数で且つＬが奇数の場合、前記出力推力における前記高調波成分の次数は、１＋Ｌ〜１＋Ｌ＋ｑ及び１−Ｌ〜１−Ｌ＋ｑの絶対値の範囲内の奇数であり、
前記複数の非線形往復動アクチュエータの数の倍数は、前記出力推力における前記高調波成分の次数と合致しない、
請求項１に記載のポリアクチュエータ。
【請求項４】
前記入力誘導性推力項が３次項で構成され、前記入力信号が２次高調波成分で構成され、且つ、前記複数の非線形往復動アクチュエータの数が３又は５の場合、或いは、前記入力誘導性推力項が４次項で構成され、前記入力信号が３次高調波成分で構成され、且つ、前記複数の非線形往復動アクチュエータの数が５の場合、前記出力推力における０次高調波成分以外の全ての高調波成分が抑制される、
請求項３に記載のポリアクチュエータ。
【請求項５】
前記入力誘導性推力項が３次項で構成され、前記入力信号が３次高調波成分で構成され、且つ、前記複数の非線形往復動アクチュエータの数が２、４、又は６の場合、或いは、前記入力誘導性推力項が４次項で構成され、前記入力信号が２次高調波成分で構成され、且つ、前記複数の非線形往復動アクチュエータの数が２、４、又は６の場合、前記出力推力における前記高調波成分の全てが抑制される、
請求項３に記載のポリアクチュエータ。
【請求項６】
より高次の高調波成分の少なくとも１つが前記入力信号におけるＬ次高調波成分に対して重畳され、
前記より高次の高調波成分の少なくとも１つの振幅及び／又は位相シフトが制御され、且つ、
重畳された高調波成分の周波数は、抑制される周波数に等しい、
請求項３に記載のポリアクチュエータ。
【請求項７】
より高次の高調波成分の少なくとも１つが前記入力信号におけるＬ次高調波成分に対して重畳され、且つ、
前記より高次の高調波成分の少なくとも１つの次数は、Ｌの偶数倍数である、
請求項３に記載のポリアクチュエータ。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明はポリアクチュエータに関する。
【背景技術】
【０００２】
チタン酸ジルコン酸鉛（ＰＺＴ）のような圧電積層アクチュエータ（ＰＳＡ）は、１００ｋＨｚより高い帯域幅、１０８Ｗ／ｍ３以上の出力密度、及び９０％を上回る効率を含む望ましい特性を有する。特に、ロボット及びメカトロニクスでの応用では、ＰＳＡは、別の２つの主な利点を有する。第１の利点は、ＰＳＡが容量性アクチュエータであることであり、それ故に、一定位置で大きな力を維持するときに極めて効率的である。第２の利点は、ＰＳＡが逆駆動可能なことである。逆駆動性は環境と物理的に相互作用するロボットにとって不可欠となり得る。主な実際的制限は、典型的には約０．１％であるその限られたひずみであり、ＰＳＡがロボットシステム及びメカトロニクスシステムを直接的に駆動することができないようにしている。
【０００３】
ＰＳＡの限られたストロークを補うために、実際の変位を大幅に増大させる２タイプのレバレッジ方法が開発されている。１つは、ＰＺＴの変位が機械的に増幅される内部レバレッジである。最も現実的な圧電デバイス、すなわち、圧電定数ｄ３３を利用するデバイスは、複数のＰＳＡを互いに浅い角度で並べ、且つ、屈曲部で構成された回転ジョイントを介してＰＳＡを接続することに頼る。典型的には、ＰＳＡの変位増幅利得は１０以下である。より大きな増幅を実現するために、ＰＳＡの設計は、入れ子構造で配置されてもよく、或いは、他の機械的な増幅機構と組み合わされてもよい。
【０００４】
他方のタイプのレバレッジ方法は、ロングストロークの直線運動又は無限ストロークの回転運動に変換される周期運動を圧電アクチュエータが行う外部レバレッジである。最も普及しているのは、超音波モータ（ＵＳＭ）である。これらのモータは、直動、回転、若しくは複合の多自由度の連続的な運動をもたらすための周期的で高頻度の入力を利用する。しかしながら、それらは摩擦に依存するため、変動する負荷条件の下で大きな力を確実に伝えるのは困難であり、結果として約１０４Ｗ／ｍ３の低い出力密度をもたらす。ＰＳＡと負荷との間のインピーダンスを整合させるための効果的な手段の欠如は、低い出力密度の別の要因である。
【０００５】
ＵＳＭ以外にも、ＰＳＡを用いて周期運動を連続的な出力に変換する多くの方法が存在する。インチング運動は、コンプライアントな歩脚ロボットのために生成され、反復的な羽ばたき運動又はひれ運動は、飛行マイクロロボットや水中ロボットで用いられる。本願は、内部レバレッジ及び外部レバレッジの双方が利用されるハイブリッドタイプに関する。転がり接触型座屈増幅機構を用いることで、１段で１００のオーダーの高利得増幅が得られる。内部レバレッジのこの大きな利得は、ＰＳＡが直接的にギアの歯を押せるようにする。摩擦駆動に頼るよりもむしろ、ＰＳＡが進んだギアの歯の数によって長いストロークの変位が運動学的に決定されるようにするためである。そのようなハイブリッドのレバレッジ方法は、（ａ）大きな力が確実に伝達され得ること、及び、（ｂ）ギア歯の輪郭を成形することが、例えばインピーダンス整合のような、アクチュエータを負荷に効果的に調和させる手段をもたらすという点でＵＳＭよりも効率的となり得る。
【０００６】
上述の機構は、図１に示すような複数のＰＺＴユニットが出力ギア歯と係合するものに拡張され得る。配列された複数のＰＺＴユニットによってより大きな力が集合的に生成されるようにするためである。この構成は、ポリアクチュエータと呼ばれる。概して、ポリアクチュエータは、複数の単純なユニットを直列に、或いは、並列に、或いは直列及び並列に組み合わせる。ポリアクチュエータは、単一アクチュエータに対し、いくつかの際立った特徴をもたらす。第一に、ポリアクチュエータは、モジュール式の拡張可能な設計であり、必要な数のユニットを直列又は並列に配置するだけで、多様な最大推力及び最大速度を持つ様々なアクチュエータが構築され得る。第二に、ほとんどの場合、ＯＮ−ＯＦＦ制御のような簡略化された個別の制御で十分であり、作動させるべき別のグループのユニットを採用することで、出力推力又は出力速度が制御され得る。最後に、アクチュエータ内の冗長性が個別の不具合に対するロバスト性をもたらす。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００７】
【特許文献１】米国仮出願第６１／８０８２７９号
【特許文献２】特願２０１４−７４６０３号
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００８】
本発明にしたがった実施例の一般的な目的は、関連技術の制限及び不利点によって引き起こされる１又は複数の問題を実質的に取り除くポリアクチュエータを提供することである。
【０００９】
本発明の実施例の特徴及び利点は、以下の説明で提示され、その説明及び添付図面からある程度明らかになり、或いは、その説明における教示にしたがって本発明の実施例を実施することで理解されるであろう。本発明の実施例の他の目的並びに特徴及び利点は、当業者が本発明の実施例を実施できるように完全で、明確で、簡潔で、且つ正確な用語により明細書中で特別に指摘されたポリアクチュエータによって実現され且つ獲得される。
【課題を解決するための手段】
【００１０】
本発明の実施例の目的にしたがってこれら及び他の利点を実現するため、本発明の実施例に係るポリアクチュエータは、１又は複数のカム部を有する出力ユニットと、複数の非線形往復動アクチュエータであり、前記１又は複数のカム部に接続されるフォロワ機構をそれぞれが有するところの複数の非線形往復動アクチュエータと、を有し、前記出力ユニットの運動に関して正弦波状の軌跡に沿って前記フォロワ機構の回転中心を案内する滑らかな周期的曲面によって前記カム部が形成され、前記複数の非線形往復動アクチュエータのそれぞれが出力推力−変位特性で非線形性を有し、前記複数の非線形往復動アクチュエータは、前記正弦波状の軌跡の位相に関して等間隔に配置され、前記複数の非線形往復動アクチュエータの数と前記複数の非線形往復動アクチュエータ間の等間隔との乗算によって得られる総距離が、前記正弦波状の軌跡の波長の倍数に等しく、前記等間隔は、前記波長の倍数の何れとも等しくなく、前記出力推力は、ｋ次項を含む非線形剛性項を有し、ｋが奇数の場合、前記出力推力における前記正弦波状の軌跡の高調波成分の次数は、２〜ｋ＋１の範囲内の偶数であり、ｋが偶数の場合、前記出力推力における前記高調波成分の次数は、１〜ｋ＋１の範囲内の奇数であり、前記複数の非線形往復動アクチュエータの数の倍数は、前記出力推力における前記高調波成分の次数と合致しない。
【００１１】
本発明の実施例の他の目的及び更なる特徴は、添付図面を参照しながら以下の詳細な説明を読むことで明らかとなるであろう。
【図面の簡単な説明】
【００１２】
【図１】内部レバレッジ及び外部レバレッジのハイブリッドレバレッジを用いたＰＺＴポリアクチュエータの概略図である。内部レバレッジを利用する複数のＰＺＴユニットは単一のポリアクチュエータ出力ロッドに並列に作用する。ユニット出力は、ローラが出力ロッドに力を伝えるときに正弦曲線の軌跡内を移動する。図１は、単一のローラ・トラックを示すが、各ユニットが上向きの力及び下向きの力の双方を伝えることができるように２以上のローラ・トラックが用いられてもよい。
【図２】座屈増幅機構の簡略図であり、双極性ストロークを明示している。ＰＳＡが活性化されると、中心にある運動学的特異点から出力ノードが逸脱して上方又は下方に座屈する。
【図３】一実施例における直動圧電モータの第１の例を示す図である。
【図４】一実施例における制御システムの一例を示すブロック図である。
【図５】一実施例における制御方法を採用する制御処理の一例を説明するフローチャートである。
【図６】一実施例における直動圧電モータの第２の例を示す図である。
【図７】一実施例における直動圧電モータの第３の例を示す図である。
【図８】伝達機構の傾きに沿ったｉ番目のユニットローラの推力伝達の概略図である。２つの推力の傾きと比率は式（４）で定められるように直接関係する。
【図９】一般的なポリアクチュエータ構造内の推力伝達の概略図である。
【数１】
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に位置するｉ番目のユニットは、推力ｆｉを出力する。推力ｆｉは、正弦曲線型伝達機構によって出力Ｆｉに変換される。合力Ｆは、ｎ個のユニットの全ての寄与分の合計である。ｆｉからＦｉへの伝達率は、Ａ及びλで表される正弦曲線の位置及び形状によって決まる。
【図１０】式（２０ａ）に定められた入力が与えられたときの出力推力・変位のプロファイルである。パラメータＣ及び
【数２】
2016214073.tif 000004
は、入力制御パラメータである。
【数３】
2016214073.tif 000005
における平衡点を囲む安定域は、どのような測定若しくは能動的な制御も必要としない受動的な特性である。さらに、ポリアクチュエータにＦｌｏａｄの負荷が掛けられた場合、シフトされた平衡点
【数４】
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における剛性
【数５】
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を調整するために入力が用いられ得る。
【図１１】同じ出力をもたらす２つの信号を示すプロット図である。第一に、実線で示すサンプル入力信号は、２０個のユニットを有するシステムの二次モードを利用している。第二に、破線で示す信号は、原信号に６次信号を組み合わせた信号の平方和を極小化している。
【図１２】非線形剛性項の多項式におけるｋ次項、入力誘導性推力項の多項式におけるｑ次項、入力ｕにおけるＬ次高調波、出力推力における高調波、及び、出力推力における残存高調波の一般的な関係を示す表である。
【図１３】非線形剛性項の多項式におけるｋ次項、入力誘導性推力項の多項式におけるｑ次項、入力ｕにおけるＬ次高調波、出力推力における高調波、及び、出力推力における残存高調波の具体的な関係を示す表である。
【図１４】ハーモニックＰＺＴポリアクチュエータのプロトタイプのＣＡＤモデルを示す。
【図１５】ハーモニックＰＺＴポリアクチュエータのパラメータの概要を示す表である。
【図１６】伝達機構の複数の波長にわたる複数の指令出力での測定出力推力を示す。リップル補正（ＲＣ）無しの出力を実線で示し、ＲＣ有りの出力を破線で示す。
【図１７】出力推力リップルの空間ＦＦＴを示す。周波数はギアのピッチに関係し、位置及び剛性を含むユニット間の差異による影響を受ける。
【図１８】伝達機構の複数の波長にわたるリップル補正有りの平均出力推力と指令推力
【数６】
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を示す。破線は理想的な傾きである。
【発明を実施するための形態】
【００１３】
以下では、添付図面を参照して本発明の実施例について説明する。
【００１４】
［Ｉ．序論］
今回の取り組みでは、単一の大きなアクチュエータにはない優れた特徴を獲得するためにポリアクチュエータの冗長性及びモジュール性を更に利用することを目的とする。ユニット配列は、個々のユニットの欠点が補われるように調整され或いは調和され得る。例えば、個々のユニットの推力・変位特性における顕著な非線形性が取り除かれ得る。以下の説明は、（ａ）特異点を含む望ましくない空間的非線形性の除去、（ｂ）所望の推力・変位特性を生成するための複数のユニットの調整、（ｃ）同じ出力推力を生成しながらも、保存される電気エネルギを極小化するといった付加的基準を最適化するための冗長性の利用、及び、（ｄ）個々のユニットのずれ及び不均一性に起因する推力リップルの補正、のための理論的解析、設計、及び制御合成を提示する。これらのアルゴリズム及び方法は、正弦曲線型ギア歯に沿って分散配置されたユニットの調和的性質を利用する。
【００１５】
ポリアクチュエータは容量特性や逆駆動性を擬制にすることなく大きなストロークを得ることができるため、人・ロボット相互作用に特化し且つ頻繁に重力荷重を担うロボットで使用され得る。このロボットは、製造環境における支援ロボットを含むが、作業ロボットにおける油圧製品及び空気圧製品に代わる全ての代替品に拡張され得る。
【００１６】
また、（ａ）非線形剛性関係、（ｂ）線形動的パラメータ、（ｃ）一般化された入力信号、及び、（ｄ）エラー、を含む複数のユニット特性の全般的且つ実質的な出力のモデリングを簡素化するための調和解析を用いる方法が提示される。更に、入力関係を用いることで、推力リップルを全体的に補正するためのエラー解析と共に、フィードフォワード推力コントローラが使用される。今回の取り組みは、このタイプのポリアクチュエータの調和的性質、新たな制御アルゴリズム、並びに、完全な実装及び実験評価における全般的且つ正確な解析を提示する。
【００１７】
［ＩＩ．理論的解析］
このセクションでは、ポリアクチュエータに含まれる一般的クラスのアクチュエータユニットの集合的挙動を解析する。個々のアクチュエータユニットは、駆動装置又は単にユニットと呼ばれる。しかしながら、具体的なコンセプトを提供するために、具体的なＰＺＴ増幅機構から始める。図２は、ポリアクチュエータで用いられる座屈型変位増幅機構の概略図を示す。ＰＳＡに電圧が印加されると、中心にある最初の運動学的特異ポジションから変位ｚだけＰＳＡは伸張し、且つ、出力ノードのところで鉛直変位ｙを創出する接地された回転ジョイントの回りを角度Ωだけ回転する。この機構は、双極性運動で上下に変位する能力と運動学的特異点の近くにおける巨大な瞬間的利得とにより１段で２桁の変位増幅を生成できる。
【００１８】
この座屈増幅機構を備えたＰＳＡは、図１に示すポリアクチュエータ内の駆動装置を例示する。鉛直矢印は、個々のユニットの変位方向を示す一方、水平矢印は、ポリアクチュエータの出力方向を示す。
【００１９】
本実施例の目的は、複数の駆動装置で構成されるポリアクチュエータの際立った特徴を利用することである。それらの特徴を利用するための２つの欠かせない条件は、（ｉ）ギア波形に応じた推力伝達特性が正弦曲線であること、及び、（ｉｉ）複数のユニットが波長に沿って等間隔に置かれること、である。これらの条件の下で２つの特徴が得られることが分かる。第一に、複数のユニットの全てが運動学的に特異な構成になる点が存在しないことを保証する。第二に、個々のユニットの変位依存の出力推力とそれらの顕著な非線形性にかかわらず、複数の駆動装置によって生成される合力を調整するために複数のユニットのそれぞれをバランスさせる。
【００２０】
ポリアクチュエータシステムでは２つのタイプの運動学的特異点が存在する。一方はギアの波形によるものであり、他方は各ユニット増幅機構の特異点である。ギアの１全波長内には、運動学的特異点である上下２つのピーク点が存在する。ギアの傾きがゼロであり、それ故に、構成要素であるユニットが出力に力を及ぼすことができないためである。また、ユニットは、例えば図２に示す座屈機構の中心位置を特異点としてもよい。それ故に、１波長内に３つ以上の特異点を持つことができる。
【００２１】
運動学的特異点に加え、ＰＳＡ及びスマート材料を用いる他のタイプのアクチュエータは、非線形の推力・変位特性を有する。座屈型ＰＺＴアクチュエータの場合、剛性を表す推力・変位カーブの傾きは、変位に応じて変化し、顕著な非線形性を示す。複数の駆動装置の適切な配置を通じ、各ユニットの非線形特性による悪影響が解消され、出力推力は、もっぱら入力指令とギア位置に依存することとなる。また、このことは、以下のセクションで証明される。
【００２２】
これらの特性の双方は、ギアの正弦曲線波形に直接的に関係し、それ故に、“ハーモニック”ポリアクチュエータという名前をもたらす。
【００２３】
図３は、一実施例における直動圧電モータの第１の例を示す図である。直動圧電モータの更なる説明は、２０１３年４月４日出願の米国仮出願第６１／８０８２７９号、及び、２０１４年３月３１日出願の特願２０１４−７４６０３号に提示されており、それらの全内容は参照により本書に援用される。直動圧電モータは、図３に示すように、正弦波形状のギア（または、カム）を有する出力ユニットとしてのＰＡＳ線形ギア出力ロッド５２０に接続された複数の座屈型アクチュエータ５００1乃至５００Nを含み、座屈型アクチュエータ５００1乃至５００Nの位相調整型双極性アクチュエータにより駆動される。複数の座屈型アクチュエータ５００1乃至５００Nは、座屈型アクチュエータ５００1乃至５００Nの出力をモータ出力に変換するギア出力ロッド５２０のギア（または、カム）に対して一定の位相間隔で配置されている。
【００２４】
座屈型アクチュエータ５００iを形成する複数の圧電素子５１０の力に基づく出力ノード５１４iの往復運動は、出力ノード５１４iのフォロワ５２２iを介してギア出力ロッド５２０の波状溝に垂直な力Ｆyiを加える。ギア出力ロッド５２０のギア（または、カム）は、ギア出力ロッド５２０のギア（または、カム）と係合する座屈型アクチュエータ５００iの係合部の一例である出力ノード５１４iの移動軌跡が、ｘ軸に沿ったギア出力ロッド５２０の位置に対して正弦波形状となるような形状を有する。座屈型アクチュエータ５００1乃至５００Nとギア出力ロッド５２０の組み合わせにより、動作時に高いモータ出力効率を得ることができ、その容量的性質により静的保持時のエネルギ消費を低くすることもできる。座屈型アクチュエータ５００iからギア出力ロッド５２０に伝達される力Ｆxiに含まれる力のリップルまたは非線形性は、他の座屈型アクチュエータの位相制御により打ち消すことが可能である。つまり、ゼロの力を伝達するノードと、出力される力が変化する領域とを、強める干渉または弱める干渉を用いる方法により組み合わせることで、有効出力の力を円滑なものとすることができる。また、複数の座屈型アクチュエータ５００1乃至５００Nを並行して動作させることで、出力される力を増大させると共に、圧電素子５１０、座屈型アクチュエータ５００または力伝達部品の一部が故障した場合に、冗長性と故障許容力を提供できる。
【００２５】
図３中、φi（ｉ＝２についてのみ示す）は、ｉ番目の座屈型アクチュエータ５００iのレイアウト位置を示し、ｘは直動圧電モータのギア位置を示し、ｙは座屈型アクチュエータ５００iの出力変位量を示し、Ψは直動圧電モータの出力位置を示し、λはフォロワ５２２iの回転中心の移動軌跡の１サイクルの長さを示し、Ｆxは右方向へ連続したギア力を示す。
【００２６】
アクチュエータアーキテキチャの構成ブロックには、転がり接触、座屈及び変位増幅機構を用いることができる。この提案されている増幅機構は、圧電素子とモータの外部負荷との間で機械的仕事を高い割合で伝達できる。この提案されている増幅機構と上記の如き形状のギア出力ロッド５２０をと組み合わせることで、動作時の直動モータ出力の効率を高くすることができ、容量的性質は静的保持時のエネルギ消費を低くすることができる。
【００２７】
本実施例では、転がり接触の剛性は、座屈型アクチュエータによる力の出力及びフレーム剛性を向上するために改善される。以下に、いくつかの転がり接触の幾何学的配置について検討する。
【００２８】
フレーム構造に起因する２次的な構造コンプライアンスは、荷重方向に沿って材料の剛性が増加する非等方性材料を用いることで改善できる。本実施例は、高弾性率のカーボンファイバの主荷重構造を用いる。
【００２９】
直動圧電モータのモジュール式ポリアクチュエータアーキテキチャは、以下の機能を提供できる。第１に、複数の座屈型アクチュエータを並行に使用することで、直動モータ力の出力を高分解能で制御できる。座屈型アクチュエータからギア出力ロッドに伝達される力のリップルまたは非線形性は、他の座屈型アクチュエータの位相制御により打ち消すことが可能である。つまり、ゼロの力を伝達するノードと、出力される力が変化する領域とを、強める干渉または弱める干渉を用いる方法により組み合わせることで、有効出力の力を円滑なものとすることができる。第２に、複数の座屈型アクチュエータを並行して動作させることで、出力される力を増大させると共に、圧電素子、座屈機構、または力伝達部品が故障した場合であっても、冗長性と故障許容力を提供できる。
【００３０】
座屈増幅機構の双極性運動を有効利用するには、出力ノードにおける往復変位と座屈増幅機構の非線形な力がギア出力ロッドに継続的に伝達される必要がある。力のリップルを最小化し、且つ、外部負荷に対してギア出力ロッドから出力される円滑な力を生成するには、ギア出力ロッドのギア形状に関する駆動装置の位相配置が設計される必要がある。また、アクチュエータの力の出力と座屈機構の力の出力との間で座屈増幅機構において機械的な伝動が起こるが、ギア出力ロッドのギアのピッチの長さと振幅を調整することで、機械的な伝動の付加的ステップが実現可能となる。
【００３１】
ギア出力ロッドを駆動するには座屈増幅機構の双極的な動きが必要となるため、座屈型アクチュエータの出力方向は、適切なロッド位置で所定方向に作動するように制御する必要がある。各座屈機構の運動学的特異点、即ち、座屈特異点は、座屈型アクチュエータ自身によっては確定的なものとはならないため、上記所定方向または方向性は、外部から制御しなければならない。外部制御は、座屈機構の出力とギア出力ロッドの形状面（周期的曲面）との間の連続的な接触係合により実現できる。座屈特異点から離れた領域では、座屈機構の動きは確定的にギア出力ロッドを駆動する。座屈特異点では、ギア出力ロッドの動きが特異点を横切って略ゼロのインピーダンスで座屈機構を付勢する。座屈型アクチュエータの出力方向は、その後再び確定的となる。
【００３２】
次に、図３に示す直動圧電モータの座屈型アクチュエータの力特性について説明する。直動圧電モータの静的出力の力Ｆxは、一般的には次式（Ａ）で表すことができ、ここで、ｉはｉ番目の座屈型アクチュエータ５００i、Ｎは座屈型アクチュエータ５００1乃至５００Nの数の最大値、Ψはギア出力ロッド５２０の位相角度で表される直動圧電モータの出力位置、φiはギア出力ロッド５２０の位相角度におけるｉ番目の座屈型アクチュエータ５００iのレイアウト位置、Ｆxiはｉ番目の座屈型アクチュエータ５００iの直動圧電モータの出力する力への付勢力、Ｇはギア出力ロッド５２０のプロファイルに沿った座屈型アクチュエータ５００のフォロワ５２２iの回転中心の移動軌跡、ＲPASは直動圧電モータの実際の出力位置ｘに対する移動軌跡Ｇの傾き、Ｆyiはｉ番目の座屈型アクチュエータ５００iの出力する力、ｕiはｉ番目の座屈型アクチュエータ５００iに対する入力、λは実際の出力位置ｘがある移動軌跡Ｇの１サイクルの長さを示す。
【数７】
2016214073.tif 000009
【００３３】
座屈型アクチュエータ５００1乃至５００Nは、ギア出力ロッド５２０を介して並行に接続されているので、座屈型アクチュエータ５００1乃至５００Nが出力する全ての力はギア出力ロッド５２０による変換後に加算される。上記の式（Ａ）は、直動圧電モータの設計の際に以下の４つの自由度ａ）乃至ｄ）があることを表している。
ａ）座屈型アクチュエータ５００1乃至５００Nの特性、
ｂ）ギア出力ロッド５２０のギア形状により決定される移動軌跡Ｇ、
ｃ）ギア出力ロッド５２０に対する座屈型アクチュエータ５００1乃至５００Nのレイアウト、及び
ｄ）座屈型アクチュエータ５００1乃至５００Nへの入力。
【００３４】
上記の式（Ａ）は、全ての座屈型アクチュエータ５００1乃至５００Nがギア出力ロッド５２０を介した相互作用を有することも表している。例えば、Ｎの値が小さいと、ギア出力ロッド５２０を介した座屈型アクチュエータ５００1乃至５００Nの相互作用は、相当な影響を及ぼし得る。一方、Ｎの値が大きいと、座屈型アクチュエータ５００1乃至５００Nのグループのインピーダンスは座屈型アクチュエータ５００1乃至５００Nの個々のインピーダンスよりずっと大きいので、座屈型アクチュエータ５００1乃至５００Nのそれぞれとギア出力ロッド５２０との相互作用を考慮する。
【００３５】
次に、座屈型アクチュエータの幾何学的特性について説明する。図２に示す座屈型アクチュエータにおいて、理想的な強固なベース構造及び理想的なジョイントを有すると仮定すると、ジョイント角度θに対する瞬間的変位増幅率ＲBは、次式（Ｂ）に基づいて求めることができる。ＬはＰＳＡの長さを示す。
【数８】
2016214073.tif 000010
【００３６】
図４は、一実施例における制御システム５０の一例を示すブロック図である。図４に示す制御システム５０は、電源５１、駆動装置５２、複数の圧電素子５３、座屈機構５４、ギア５５、負荷５６及びコントローラ５７を含む。駆動装置５２は、電源５１からの電源電圧を供給され、圧電素子５３を駆動する。圧電素子５３は、上述の直動圧電モータの圧電素子５１０（５１０Ｌ、５１０Ｒ）に相当するものであってもよく、上述の座屈型アクチュエータ５００を形成してもよい。駆動装置５２は、コントローラ５７からのコマンドに基づいて、例えばオン・オフ状態或いは正弦波状の遷移などの、各圧電素子５３の電圧条件を制御する。
【００３７】
座屈機構５４は、例えば上述の座屈型アクチュエータ５００のような、コンプライアンス特性を有する複数の座屈型アクチュエータを含んでいてもよい。複数の座屈型アクチュエータは、ギア５５に対して一定の位相間隔で配置されており、位相間隔はコンプライアンス特性の少なくとも一部を打ち消す。コンプライアンス特性の非線形成分が多項式で近似される場合、位相間隔は非線形成分によってもたらされる高調波成分により生成されるモータ推力の高調波成分の少なくとも一部を打ち消し得る。従って、駆動装置５２は、座屈機構５４の座屈型アクチュエータを形成する圧電素子５３を駆動することで座屈機構５４を駆動する。ギア５５は、上述の線形ギア出力ロッド５２０に相当するものであってもよく、複数の座屈型アクチュエータの出力をモータ出力に変換する。ギア５５と係合する複数の座屈型アクチュエータの係合部の移動軌跡は、ギア５５の形状に応じてギア５５に関して正弦曲線となるように形成される。
【００３８】
駆動装置５２、圧電素子５３、座屈機構５４及びギア５５は、直動圧電モータを形成可能である。負荷５６は、直動圧電モータのギア５５により駆動される駆動対象であってもよい。負荷５６は、直動圧電モータの一部を含んでいてもよい。コントローラ５７は、ＣＰＵ等のプロセッサにより形成可能である。
【００３９】
図４に示す例では、負荷５６がセンサ部５６０を含む。しかし、センサ部５６０は、ギア５５に対して設けられて直動圧電モータの一部を形成するものであってもよい。例えば、センサ部５６０は、位置センサ、公知の手段でギア５５の速度を検出する速度センサ、及び、ギア５５のギア位相角度を公知の手段で検出する位相センサを含んでいてもよい。速度センサが用いる構成と方法は、特定の種類に限定されず、速度センサの出力からギア５５の速度、そして直動圧電モータの速度が検出可能であればよい。また、例えば位置センサなどの他の種類のセンサを用いる場合には、これらのセンサからの信号に基づいて、ギア５５の速度、そして直動圧電モータの速度が観測可能であればよい。位相センサが用いる構成は、特定の種類に限定されず、位相センサの出力からギア５５のギア位相角度、そして直動圧電モータの回転位相角度が検出可能であればよい。また、例えば位置センサなどの他の種類のセンサを用いる場合には、これらのセンサからの信号に基づいて、ギア５５のギア位相角度、そして直動圧電モータの回転位相角度が観測可能であればよい。
【００４０】
コントローラ５７は、駆動装置５２に対する制御信号を創出し、且つ、直動圧電モータの目標速度とセンサ部５６０から受信する直動圧電モータの速度に基づいて、直動圧電モータの目標推力を駆動装置５２によって生成することができる。コントローラ５７は、センサ部５６０から受信するギア５５のギア位相角度に基づいて、目標ギア位相角度のコマンドと圧電素子に入力する電圧の目標振幅のコマンドを生成することができる。従って、コントローラ５７は、目標推力に基づいて、座屈機構５４を形成する座屈型アクチュエータの圧電素子５３のそれぞれの電圧を調整する第１の位相と、目標ギア位相角度とギア５５のギア位相角度に基づいて圧電素子５３のそれぞれに対する第２の位相を求めることができる。さらに、コントローラ５７は、第１位相と第２の位相を比較し、第１及び第２の位相の比較結果を示す、座屈機構５４の座屈型アクチュエータの電圧条件を生成することができる。
【００４１】
従って、コントローラ５７は、駆動装置５２にコマンドを出力して、電圧条件に基づいて複数の圧電素子５３への電圧入力を制御することができる。この結果、駆動装置５２は、複数の圧電素子５３に電圧を入力する。電圧は、ギア５５の対応する位相角度に応じ、例えば正弦波成分を含む波形を有する。複数の圧電素子５３へのこの電圧入力は、正弦波成分の振幅、及び／または、ギア５５の形状と波形形状の違いに応じてモータ推力を調整するように決定することができる。このようにして、座屈機構５４の各座屈型アクチュエータは座屈力を出力するように駆動され、その後各座屈力は各ギア位相におけるギア５５の傾斜に応じて変換される。座屈機構５４の複数の座屈型アクチュエータの合力は、ギア５５を駆動し、さらに負荷５６を駆動することができる。
【００４２】
図５は、一実施例における制御方法を採用する制御処理の一例を説明するフローチャートである。図５に示す制御処理は、コンプライアンス特性を有し且つ複数の圧電素子を含む複数の座屈型アクチュエータと、複数の座屈型アクチュエータの出力をモータ出力に変換するギアを備えた直動圧電モータを制御する。制御処理は、例えば図４に示す制御システム５０により実行されても良い。
【００４３】
図５に示すステップＳ１０１において、コントローラ５７は、座屈機構５４の座屈型アクチュエータの電圧条件を、図４と共に説明した方法で生成する。ステップＳ１０２において、コントローラ５７は、電圧条件に基づいて複数の圧電素子５３への電圧入力を制御するコマンドを駆動装置５２へ出力する。具体的には、コントローラ５７は、駆動装置５２を制御して、複数の圧電素子５３に電圧を入力させる。電圧は、ギア５５の対応する位相角度に応じ、例えば正弦波成分を含む波形を有する。複数の圧電素子５３へのこの電圧入力は、波形の振幅、及び／または、ギア５５の形状と波形形状の違いに応じてモータ推力を調整するように決定することができる。このようにして、座屈機構５４の各座屈型アクチュエータは座屈力を出力するように駆動され、その後各座屈力は各ギア位相におけるギア５５の傾斜に応じて変換される。座屈機構５４の複数の座屈型アクチュエータの合力は、ギア５５を駆動し、さらに負荷５６を駆動することができる。
【００４４】
コントローラ５７は、駆動装置５２を制御して、複数の圧電素子５３に電圧を入力させる。電圧は、ギア５５の対応する位相角度に応じ、例えば矩形波成分を含む波形を有していてもよい。
【００４５】
上述の制御システム及び制御方法は、例えば図３に示す圧電モータ（または、アクチュエータ）以外の圧電モータを同様にして駆動及び制御することができる。圧電モータの例は、以下の図６及び図７と共に説明するものを含んでいてもよい。
【００４６】
図６は、一実施例における直動圧電モータの第２の例を示す図である。直動圧電モータは、図６に示すように、改良された正弦波形状のギアを有する線形ギア出力ロッド５２０に接続された複数の座屈型アクチュエータ５００を含み、複数の座屈型アクチュエータ５００の位相調整型双極性アクチュエータにより駆動される。
【００４７】
座屈型アクチュエータ５００を形成する複数の圧電素子の力に基づく出力ノードの方向Ｄ１に沿った往復運動は、フォロワを介してギア出力ロッド５２０の波状溝に垂直な力を加える。これにより、直動圧電モータまたはギア出力ロッド５２０が線形ガイド５２１に案内されて出力方向Ｄ３に移動し、モータの変位がセンサ５２３を用いた公知の手段により検出される。
【００４８】
最大定格速度ｖxmaxは、圧電素子の熱特性を考慮して設定できる。電圧及び周波数は、座屈型アクチュエータ５００における動力損失量と熱的励起に影響を及ぼす。圧電素子に用いられる材料は、材料のキュリー温度を超えると圧電特性を失う。これらの理由で、直動圧電モータの動作条件の実際的な制限は、温度を考慮して決定してもよい。
【００４９】
ＰＡＳの波長λは、ＰＡＳと座屈型アクチュエータ５００により駆動されるフォロワとの接触応力を考慮して決定できる。最大接触応力は、ＰＡＳの歯の山で発生するため、ジョイントの曲率半径はある半径より大きく、ジョイントは例えば硬化工具鋼で形成されることが好ましい。
【００５０】
図７は、一実施例における直動圧電モータの第３の例を示す図である。直動圧電モータは、座屈型アクチュエータ５００を含む。座屈型アクチュエータ５００は、フレーム５２４と、圧電素子５１０Ｌ、５１０Ｒを含む。圧電素子５１０Ｒは、第１及び第２の回転ジョイントを介して、フレーム５２４上のサイドブロック５１２Ｒと出力部５１４との間に接続される。第１の回転ジョイントは、サイドブロック５１２Ｒ上の支持部５１１により支持された回動可能な部材５１０Ｒｅを含み、第２の回転ジョイントは、出力部５１４により支持された回転可能な部材５１０Ｒｃを含む。同様に、圧電素子５１０Ｌは、第３及び第４の回転ジョイントを介して、フレーム５２４上のサイドブロック５１２Ｌと出力部５１４との間に接続される。第３の回転ジョイントは、サイドブロック５１２Ｌ上の支持部５１１により支持された回動可能な部材５１０Ｌｅを含み、第４の回転ジョイントは、出力部５１４により支持された回転可能な部材５１０Ｌｃを含む。図７中、ＣＰ１，ＣＰ２は圧電素子５１０Ｌの接触位置を示し、ＣＰ３，ＣＰ４は圧電素子５１０Ｒの接触位置を示す。
【００５１】
出力部５１４は、一対の円柱フォロワ５２２が設けられる開口部を有するフレーム５２６を含む。六角形状を有するＰＣＳ（Preload Compensation Spring）５１８は、フレーム５２６の両側に設けられている。各ＰＣＳは、支持部（図示ぜず）などに固定されてもよい。線形ギア出力ロッド（図示せず）は、出力部５１４のフレーム５２６に設けられた開口部を貫通し、フォロワ５２２と係合する。座屈型アクチュエータ５００を形成する圧電素子５１０Ｌ、５１０Ｒの力に基づく出力部５１４の方向Ｄ１に沿った往復運動は、フォロワ５２２を介してギア出力ロッドの波状溝に垂直な力を加える。これにより、直動圧電モータまたはギア出力ロッドが出力方向Ｄ３に移動する。
【００５２】
上記実施例は直動型アクチュエータに適用されているが、上記実施例は同様にして回転型アクチュエータに適用可能である。
【００５３】
［Ａ．ユニット特性と出力推力の形成］
個々のアクチュエータユニットの基本特性は、以下の推力−変位特性によって記述される。
【数９】
2016214073.tif 000011
ここで、ｆはユニット推力、ｙはユニット変位、ｕは入力を示す。ユニット推力は、変位依存の結合関数ｂ（ｙ）を有する入力誘導性推力項ｂ（ｙ）ｕと、非線形剛性関数ｇ（ｙ）とを有する。以下で説明するように、圧電アクチュエータ及び他の容量性アクチュエータは、この種の推力−変位特性を有する。関数ｇ（ｙ）及び関数ｂ（ｙ）は何れも滑らかな連続関数と仮定され、より具体的には、以下の有限多項式として一般的に記述される。
【数１０】
2016214073.tif 000012
【数１１】
2016214073.tif 000013
【００５４】
５０Ｈｚのオーダーであるユニットの帯域幅は、１０ｋＨｚより高いＰＳＡの帯域幅より顕著に低い。それ故に、入力電圧によって制御される推力源に並列接続されたスプリングとしてＰＳＡをモデル化する傾向がある。各ユニットは、図１に示したように、特定の位置でギア歯の列と係合する。本願では、個々のユニットの力を単一の出力に統合する機構は、パラレル伝達機構又は単に伝達機構と称される。ｉ番目のユニットの力ｆｉは、図８に示すように摩擦に頼ることなく、伝達機構の傾斜面を通じて出力Ｆｉに伝達される。
【００５５】
また、個々のアクチュエータユニットの基本特性は、一般的な出力推力特性によって以下のようにも記述される。
【数１２】
2016214073.tif 000014
【００５６】
ここで、ｙは、ユニット変位ｙとその微分
【数１３】
2016214073.tif 000015
等を含むベクトルであり、ｕは入力である。一般的に、推力関数ｇは非線形であり、必要に応じて複雑である。
【００５７】
それ故に、ｉ番目のユニットの出力推力Ｆｉに対する寄与は、ユニット推力ｆｉとユニット位置
【数１４】
2016214073.tif 000016
における伝達機構の瞬間的な傾きとの関数である。
【００５８】
各ユニットは、伝達機構に沿った個々の位置ｘｉ、鉛直位置ｙｉ、及び出力推力ｆｉを有する。しかし、式（６）における係数の全てがユニット間で一致している。出力に伝達されたｉ番目のユニットの力は、以下の式で表される。
【数１５】
2016214073.tif 000017
ここで、ｘはポリアクチュエータの出力変位であり、
【数１６】
2016214073.tif 000018
は位置ｘでの伝達機構の波形の傾きである。
【００５９】
合計出力推力は、以下の式で表される。
【数１７】
2016214073.tif 000019
【００６０】
有用な特徴を有する伝達機構の特定のクラスは以下に示すような正弦波形である。
【数１８】
2016214073.tif 000020
【００６１】
Ａ及びωはそれぞれ正弦曲線の振幅及び空間周波数を示す。図９に示す正弦曲線の波長をλとすると、空間周波数は
【数１９】
2016214073.tif 000021
で表される。この空間周波数を用い、正弦曲線の波長に沿った位置は位相角度θ＝ωｘによって表される。そして、ｉ番目のユニット推力は以下の式で表される。
【数２０】
2016214073.tif 000022
【数２１】
2016214073.tif 000023
【数２２】
2016214073.tif 000024
【００６２】
θｉ及びｕｉはそれぞれｉ番目のユニットの位相位置及び入力を表す。
【００６３】
また、正弦曲線の波長に沿った位置は、位相角度
【数２３】
2016214073.tif 000025
によっても表される。ユニットの速度及び加速度もまた、以下のように、出力の位置、速度、及び加速度に関連して表現され得る。
【数２４】
2016214073.tif 000026
【００６４】
出力の速度
【数２５】
2016214073.tif 000027
及び出力加速度
【数２６】
2016214073.tif 000028
はそれぞれ、個々のユニットとは無関係である。すなわち、
【数２７】
2016214073.tif 000029
である。この解析は、出力Ｆｉの方向におけるユニット推力の調和特性を利用することを目的とする。提示された方法は一般的に適用されるが、この実施例の目的のために、それは、（１）非線形剛性項ｇS、（２）動的項ｇd、及び（３）ユニット位置と関連付けられた入力項ｇu、の３つの区別可能な項を含む関数であると見なされる。以下に記載するように、圧電アクチュエータ及び他の容量性アクチュエータは、この種の出力推力特性を有する。
【数２８】
2016214073.tif 000030
【数２９】
2016214073.tif 000031
【数３０】
2016214073.tif 000032
【数３１】
2016214073.tif 000033
【００６５】
それ故に、ｉ番目のユニットの出力方向における力は以下のように表される。
【数３２】
2016214073.tif 000034
【数３３】
2016214073.tif 000035
【数３４】
2016214073.tif 000036
【数３５】
2016214073.tif 000037
θｉ及びｕｉはそれぞれ、ｉ番目のユニットの位相位置及び入力を表す。
【００６６】
［Ｂ．非線形剛性の影響の除去］
正弦波状の伝達機構を有するポリアクチュエータは、複数のユニットを連携させることによって高調波が利用された場合、有用な特性を持ち得る。具体的には、各ユニットの非線形剛性が出力推力から取り除かれ得る。ｎ個のユニットが特定の間隔で空間的に分散配置された場合、１つのユニットの非線形剛性によって生成される力は、別のユニットによってバランスされ得る。以下の定理はこの有用な特性を説明する。
【００６７】
定理１：式（１）から式（７）で説明されたポリアクチュエータでは、各ユニットの非線形剛性に関連する力は、式（８）又は式（８）’で示すようにバランスする。出力推力Ｆが個別のユニットの内的な非線形特性に依存しないようにするためである。
【数３６】
2016214073.tif 000038
【数３７】
2016214073.tif 000039
【００６８】
式（８）の関係は式（９）及び式（１０）に示す十分条件が満たされる場合に成り立ち、式（８）’の関係は式（９）’及び式（１０）’に示す十分条件が満たされる場合に成り立つ。
【数３８】
2016214073.tif 000040
【数３９】
2016214073.tif 000041
【数４０】
2016214073.tif 000042
【数４１】
2016214073.tif 000043
【数４２】
2016214073.tif 000044
は、図９に示すように、位相角度
【数４３】
2016214073.tif 000045
で測定された出力ロッドの位置に対するｉ番目のユニットの位相位置を表す。
【００６９】
証明：解析目的のために、単一のユニットの非線形剛性の変換後の成分を、複数の高調波の総和として、図７（ｂ）の出力推力Ｆi,gに書き換えることが有用であり、便利な解析方法が適用されるのを可能にする。以下の新たな式は、一般性における何らの損失もなく、或いは、何らの追加的な前提を必要とすることなく、等価である。
【数４４】
2016214073.tif 000046
【数４５】
2016214073.tif 000047
ａk及びｂk（ｋ＝１、・・・、ｍ＋１）は、Ｆi,gのフーリエ変換を取ることで決定される係数である。全ての出力位相位置θに関して式（１１）の各項のｉ＝１、・・・、ｎによる総和がゼロに等しいことを証明することによる
【数４６】
2016214073.tif 000048
を示すことが望ましい。任意の値ｋに関し、式（１１）において
【数４７】
2016214073.tif 000049
によってθｉを置き換えると、以下の式が得られる。
【数４８】
2016214073.tif 000050
【００７０】
それ故に、
【数４９】
2016214073.tif 000051
であれば（ｊは虚数）、式（１２）は全ての出力位相位置θに関してゼロとなる。このことが全てのｋに関して証明できれば、
【数５０】
2016214073.tif 000052
となる。相対位相位置
【数５１】
2016214073.tif 000053
がユニットの添え字ｉを伴う線形関数であれば、その式は、等比級数を用いて以下のように拡張される。
【数５２】
2016214073.tif 000054
【００７１】
条件（９）及び（１０）又は条件（９）’及び（１０）’は、式（１３）が常に真であること、そして、ポリアクチュエータの出力推力Ｆが非線形剛性項ｇ（ｙｉ）とは完全に独立であり、且つ、入力を含む項の総和
【数５３】
2016214073.tif 000055
にのみ依存することを確かなものとする。
【００７２】
留意点１：条件（９）及び（１０）又は条件（９）’及び（１０）’を満足する十分条件は、十分な数のユニットが伝達機構の１周期に沿って等間隔に分散される場合、以下のように表される。
【数５４】
2016214073.tif 000056
【数５５】
2016214073.tif 000057
【００７３】
本実施例における解析の目的のため、これらの条件は、追加的な導出の何れもの前提となる。しかしながら、具体的な適用では、これらの条件から逸脱することが有益な場合もある。例えば、非線形項を抑制或いは相殺するためのユニットの最小数は、そのシステムの特質が利用された場合に顕著に低減される。非線形剛性項ｇ（ｙ）が純粋に奇関数である場合を考えると、単一のユニットからの任意の位置における出力推力とπラジアンだけシフトされた単一のユニットからの出力推力との間には差がない。このことは以下の式で表される。
【数５６】
2016214073.tif 000058
【００７４】
アクチュエータの数ｎが偶数であり且つその配置が式（１４）に記載されたものである場合、ｉ番目のユニット（
【数５７】
2016214073.tif 000059
）のそれぞれは、常に全く同じ力を生成する別のユニットを有する。そして、これは、半サイクルにわたるユニットの数の半数に等しい。
【数５８】
2016214073.tif 000060
【数５９】
2016214073.tif 000061
【００７５】
それ故に、ｇ（ｙ）が奇数で、ｎが偶数で、且つ、式（１４）の条件が満たされる場合、式（１５）もまたバランスされた構成のはずである。
【００７６】
［Ｃ．線形動的パラメータの伝達］
剛性関数と同様に、ユニットの運動状態は、鉛直方向におけるユニットの反復運動による振動を除去するためにバランスされ、且つ、全体として線形パラメータとしてモデル化され得る。
【００７７】
定理１Ａ：減衰β及び質量μに関連付けられた動的特性が式（６ｃ）’で定めるように線形であり、且つ、式（１４ａ）に示すようにユニットの数ｎが２より大きいところのユニットの配置である場合、その出力も、実際の減衰βeff及び質量μeffに関連付けられた線形運動状態を有する。
【００７８】
証明：単一のユニットからの出力方向における動的推力は式（７ｃ）’に定められている。この推力は、減衰及び質量の寄与分Ｆi,BとＦi,Mとに分離され得る。
【数６０】
2016214073.tif 000062
【数６１】
2016214073.tif 000063
【数６２】
2016214073.tif 000064
【００７９】
単一のユニットからの減衰力Ｆi,Bを合計し、且つ、剛性関数と同様の処理を反復すると、個々の位相位置θiは、グローバルな位相位置と相対位相位置との合計である
【数６３】
2016214073.tif 000065
で置き換えられ得る。
【数６４】
2016214073.tif 000066
【００８０】
２より多いユニットが存在し（ｎ＞２）且つそれらが伝達機構の１周期に沿って等間隔に配置されると（式（１４ａ）参照。）、
【数６５】
2016214073.tif 000067
及び
【数６６】
2016214073.tif 000068
を含む項の総和がゼロとなる。それ故に、減衰力は以下の式で表される。
【数６７】
2016214073.tif 000069
【００８１】
同様に、慣性項Ｆi,Mは以下の式で表される。
【数６８】
2016214073.tif 000070
【００８２】
ここで再び、
【数６９】
2016214073.tif 000071
及び
【数７０】
2016214073.tif 000072
を含む項の総和がゼロとなることで十分条件が与えられ、それ故に、慣性力は以下の式で表される。
【数７１】
2016214073.tif 000073
【００８３】
剛性関数ｇsの消去と線形動的パラメータμ及びβの受動的伝達との間で、正弦波状の伝達機構に沿って配置された複数のユニットによる出力の調和特性は、ポリアクチュエータのための簡素なアーキテクチャをもたらす。また、力の伝達をモデル化するために用いられた調和解析は、出力における全体的効果を定めるために、ヒステリシスを含めた、より複雑な非線形性にも適用され得る。一旦、モデルが集約され且つ測定されると、望ましくない効果は、以下のセクションで示すように、入力を通じて対処され得る。
【００８４】
［Ｄ．単一周波数の正弦波状入力］
入力項Ｆi,b（式（７ｃ）参照。）を含む単一のユニットからの出力推力の式は、以下のように拡張され得る。
【数７２】
2016214073.tif 000074
【数７３】
2016214073.tif 000075
係数ｃq及びｄqは以下のように表される。
【数７４】
2016214073.tif 000076
【数７５】
2016214073.tif 000077
【００８５】
定理１の十分条件（式（１４）参照。）が満たされると、出力推力Ｆは、以下のように、入力Ｆｂ、すなわち、式（１６）の総和を含む項のみに依存する。
【数７６】
2016214073.tif 000078
【００８６】
θiを
【数７７】
2016214073.tif 000079
で置き換えると、以下の式が得られる。
【数７８】
2016214073.tif 000080
【００８７】
各ユニット入力ｕは、位置θ＝ωｘを含む項であるｃｏｓｑθ又はｓｉｎｑθの何れかが乗じられる。更に、一連の入力ｕ1、・・・、ｕnは、
【数７９】
2016214073.tif 000081
及び
【数８０】
2016214073.tif 000082
を含む項を通じ、一連の高調波
【数８１】
2016214073.tif 000083
で重畳される。それ故に、入力ｕiが１≦ｌ≦ｐ＋１のｌ次高調波ｌθのシヌソイド関数として構成され、且つ、十分なユニットの数ｎが存在する場合、出力推力Ｆｂは、ｌ次高調波以外の高調波を含まない。
【００８８】
定理２：ユニット入力は、以下に示すｌ次高調波の関数の位相サンプル点として与えられる。
【数８２】
2016214073.tif 000084
【数８３】
2016214073.tif 000085
【数８４】
2016214073.tif 000086
【数８５】
2016214073.tif 000087
Ｕl及びαlはｉ次モードの入力振幅及び入力位相シフトであり、
【数８６】
2016214073.tif 000088
はユニットの相対位置である。２つの十分条件
【数８７】
2016214073.tif 000089
及び
【数８８】
2016214073.tif 000090
が満たされると、出力推力Ｆは、以下のように、同じ位相角度ｌθのシヌソイド関数となり、他の全てのモードが消滅する。
【数８９】
2016214073.tif 000091
【００８９】
証明：この特性は、正弦波モードの直交度に依存する。一連のユニット入力は、以下のように表され得る。
【数９０】
2016214073.tif 000092
【００９０】
Ｕl及びｔａｎαlは以下のように表される。
【数９１】
2016214073.tif 000093
【数９２】
2016214073.tif 000094
【００９１】
式（２４）を式（１９）に代入すると、
【数９３】
2016214073.tif 000095
との積がもたらされる。これらの積のｉに関する総和は、条件（２２）の下でｑ＝ｌで無ければ、例えば以下の式（２５）に示すようにゼロとなる。
【数９４】
2016214073.tif 000096
【００９２】
式（１４ａ）及び式（２２）における条件の下で式（１３）が再び用いられた点に留意すべきである。これらを式（１９）に代入すると、以下の式が得られる。
【数９５】
2016214073.tif 000097
【００９３】
Ｃ及び
【数９６】
2016214073.tif 000098
は以下のように表される。
【数９７】
2016214073.tif 000099
【数９８】
2016214073.tif 000100
【００９４】
式（２０ａ）の入力パターンは、“位相調整正弦波入力”と呼ばれる。
【００９５】
補助定理Ｉ：式（２６）の出力推力の式は、以下の事実を認識することで更に簡素化され得る。
【数９９】
2016214073.tif 000101
【００９６】
それ故に、出力推力は、以下のように記述され得る。
【数１００】
2016214073.tif 000102
【００９７】
或いは、式（２０ａ）及び式（２３）におけるパラメータは以下のように表される。
【数１０１】
2016214073.tif 000103
【数１０２】
2016214073.tif 000104
【００９８】
［Ｅ．単一の出力をもたらす入力信号のセット］
ｌ次高調波の入力（式（２０ａ）参照。）がｌ次高調波の出力推力のみを誘発するという条件で、１≦ｌ≦ｐ＋１の外側の入力高調波の効果を分析する。興味深いことに、バイアス項Ｕ0と入力におけるｐ＋１より高い次数の高調波は出力推力に影響しない。
【００９９】
定理３：
【数１０３】
2016214073.tif 000105
で且つ入力信号が
【数１０４】
2016214073.tif 000106
の場合、出力は、以下に示すように、全ての条件でゼロに等しい。
【数１０５】
2016214073.tif 000107
【０１００】
証明：式（３１）のｑ番目の項と
【数１０６】
2016214073.tif 000108
に重畳されたｒ番目の項との積を考慮すると、以下のように表される。
【数１０７】
2016214073.tif 000109
【０１０１】
パラメータｃq及びｄqを振幅
【数１０８】
2016214073.tif 000110
及び位相
【数１０９】
2016214073.tif 000111
に変換し、更に、Ｕr及びγrを
【数１１０】
2016214073.tif 000112
【数１１１】
2016214073.tif 000113
におけるρc,r及びρs,rに変換することで、式（３２）は以下のように書き換えられる。
【数１１２】
2016214073.tif 000114
【０１０２】
ｑ及びｒの特性に留意することが重要である。第一に、
【数１１３】
2016214073.tif 000115
の総和の範囲の定義により、ｑは常にｒより小さい。第二に、ｑとｒの合計は、ｑ＋ｒ＜２Ｒ≦ｎで示すように、常にｎより小さい。ここで、式（３３）における第一の総和が取られ且つ三角関数の公式が用いられると、以下の式が得られる。
【数１１４】
2016214073.tif 000116
ここでは、ｒ−ｑ＞０で且つｒ＋ｑ＜ｎであるため、定義１で利用されたのと同じ特性が用いられる。同様に、式（３３）における他の総和は、全てのｒ及びｑに関して消滅する。それ故に、ＦRは、全てのθに関して消滅する。
【０１０３】
留意点２：この特性は、システム内の冗長性の数学的表現である。出力より多い数の入力が存在する場合、入力空間内には有意なゼロ空間が存在するはずである。更に、重畳と共に、すなわち２つの入力の総和と共にこの特性を利用することは、個々の出力の総和をもたらし、特定の出力推力を生成し更には他の基準を最適化する入力を選択する自由をもたらす。
【０１０４】
［Ｆ．パラメータ変動の産物：推力リップル］
全てのユニットが同一で且つ完璧に組み立てられ、ずれ又はオフセット有しないことが既に想定された。この想定が破られた場合、調和的性質を利用するポリアクチュエータの全ての特徴は、完全には利用され得ない。このセクションは、出力推力における全体的な変化である推力リップルを以下で補正する目的のために、推力リップルを特徴付ける効果的な方法を検討する。単純化のため、この解析は、非線形剛性項ｈkにおける変動のみを検討する。しかしながら、結果がより複雑なものとなる他の変動にも同じ技術が適用され得る。式（６ｂ）’を修正すると以下の式が得られる。
【数１１５】
2016214073.tif 000117
【０１０５】
ここで、
【数１１６】
2016214073.tif 000118
は、ユニット毎に異なる剛性パラメータ内の未知の誤差である。理想項
【数１１７】
2016214073.tif 000119
から誤差項
【数１１８】
2016214073.tif 000120
を分離すると、
【数１１９】
2016214073.tif 000121
によってもたらされる出力推力の偏差
【数１２０】
2016214073.tif 000122
は以下のように記述され得る。
【数１２１】
2016214073.tif 000123
【０１０６】
式（６）を式（３２）’に代入すると、以下の式が得られる。
【数１２２】
2016214073.tif 000124
【０１０７】
ここで、
【数１２３】
2016214073.tif 000125
及び
【数１２４】
2016214073.tif 000126
は、以下のように表される定数である。
【数１２５】
2016214073.tif 000127
【０１０８】
項
【数１２６】
2016214073.tif 000128
及び項
【数１２７】
2016214073.tif 000129
を再整理すると、総誤差推力は、以下のようにｋに関する単一の総和として表される。
【数１２８】
2016214073.tif 000130
【数１２９】
2016214073.tif 000131
【数１３０】
2016214073.tif 000132
【０１０９】
これは、非線形剛性項内の任意の変動が、位置によって異なる推力リップルであり且つ有限位数の正弦関数の和として近似的にモデル化され得る推力リップルをもたらすことを示す。入力項ｇu（ｙ,ｕ）に対する変動、鉛直位置ｙ及び水平位置ｘにおけるアライメント誤差、及び、動的パラメータμ及びβに関しても同様の解析が示され得る。しかしながら、その結果は、入力結合項に関してはそれほど厳しいものではない。定理２で記載されたモード選択特性のため、すなわち、入力と同じモードに影響を与える誤差のみが存在するためである。更に、動的パラメータが出力よりも小さく且つ剛性よりも小さい相対的変動を典型的に有する場合、それらに関連するリップルは小さい。
【０１１０】
［ＩＩＩ．制御合成］
必要な条件が満たされた場合、提案したアルゴリズム（式（２０ａ）参照。）の実装による主な利点は、個々のユニットのフィードバック又は補正を必要としない点にある。その代わりにグローバルパラメータが測定され、そして、所望の挙動のために必要な入力をもたらす。
【０１１１】
［Ａ．受動的な推力及び剛性の特性］
定理２で述べたように、式（２０ａ）で定められる一定の入力がｎ個の個別のユニットに適用された場合、図１０に示す位置θに応じて変動する合力Ｆは式（２３）で与えられる。
【０１１２】
外力が出力ロッドに作用しない場合、ポリアクチュエータは、出力推力がゼロとなる
【数１３１】
2016214073.tif 000133
で平衡状態となる。
【数１３２】
2016214073.tif 000134
での平衡状態は安定平衡状態であるが、
【数１３３】
2016214073.tif 000135
での平衡状態は不安定である。復元力は、その位置が安定平衡状態から逸脱したときに、その逸脱が引き付ける力の範囲内
【数１３４】
2016214073.tif 000136
である限りにおいて作用する。ポリアクチュエータは、この範囲内ではフィードバック又は何れの能動的制御無しで受動的に安定である。剛性は、その位置ずれに対する復元力の変化率として以下のように定義され得る。
【数１３５】
2016214073.tif 000137
【０１１３】
図１０を参照し、特定位置
【数１３６】
2016214073.tif 000138
を、所望の剛性
【数１３７】
2016214073.tif 000139
を有する安定平衡状態にすることが望ましいとすると、式（３５）から以下の式が得られる。
【数１３８】
2016214073.tif 000140
【数１３９】
2016214073.tif 000141
【０１１４】
これらを式（２９）に代入すると、位置
【数１４０】
2016214073.tif 000142
における剛性
【数１４１】
2016214073.tif 000143
を有する安定平衡状態を創出する入力振幅Ｕl及び位相αがもたらされる。
【０１１５】
一定負荷
【数１４２】
2016214073.tif 000144
が
【数１４３】
2016214073.tif 000145
のところで所望の剛性
【数１４４】
2016214073.tif 000146
で担われなければならない場合、パラメータＣ及び
【数１４５】
2016214073.tif 000147
は、式（３５）及び式（３７）を解くことで、以下のように見出され得る。
【数１４６】
2016214073.tif 000148
【数１４７】
2016214073.tif 000149
【数１４８】
2016214073.tif 000150
【０１１６】
式（２０ａ）に示すように、入力関数は、Ｃ及び
【数１４９】
2016214073.tif 000151
を決定する２つのパラメータＵl及びαを含むので、ポリアクチュエータは、特定の位置
【数１５０】
2016214073.tif 000152
において所望の力
【数１５１】
2016214073.tif 000153
と所望の剛性
【数１５２】
2016214073.tif 000154
とを生成できる。しかしながら、振幅ＣはＣ≦Ｃmaxで制限され、それ故に、
【数１５３】
2016214073.tif 000155
及び
【数１５４】
2016214073.tif 000156
も制限される。
【０１１７】
［Ｂ．ゼロ空間を利用する入力成形］
定理３で検討された冗長性は、全電気エネルギ等の他の基準を最適化しながら所与の出力推力を生成するために利用され得る。
【数１５５】
2016214073.tif 000157
をｎ個のユニットに保存された全電気エネルギの測定基準とすると、式（３０）によって与えられる高次項は、式（２０ａ）に示す入力指令に対する定数項と共に重畳され得る。
【０１１８】
図１１は、電気エネルギを最小化する最適な入力を見つけ出すために冗長性がどのように利用され得るかを示す。ここでは、ｐ＜４、ｄ２≠０、及び、ｎ＝２０の場合が検討される。実線は、ｌ＝２（２次高調波）の１つの正弦曲線で生成された入力を示す。別の空間周波数成分（例えばＲ＝６で示す６次高調波）を２次高調波に重畳すると、同じ出力推力をもたらす別の入力パターンが生成され得る。６次モードの振幅及び位相は、電気エネルギを最小化するために変更され得る自由パラメータである。図１１の破線は、この電気エネルギを最小化する最適な入力カーブである。ピーク値が顕著に低減されている点に留意すべきである。この構成は、保存された電気エネルギを１５％だけ低減させることができる。このように、座屈型ＰＺＴアクチュエータ等の非線形往復動アクチュエータに対する高調波入力は、ポリアクチュエータの出力に影響を与えることなく、その非線形往復動アクチュエータに対する入力の振幅を低減させることができる。
【０１１９】
［Ｃ．推力制御］
推力制御は、一般的に、システムの位置及び速度に関係なく基準推力を生成することを目標とする。ここでは、２つの問題を検討することによってこの目標を効果的に実現するための推力制御システムを合成することを目的とする。一つは、所望の力
【数１５６】
2016214073.tif 000158
を効率的に生成することである。図１０は、所与の入力に関する力の最大振幅が
【数１５７】
2016214073.tif 000159
又は
【数１５８】
2016214073.tif 000160
で生成されることを示す。
【０１２０】
これらの点において、入力指令の振幅は、以下の式で表される。
【数１５９】
2016214073.tif 000161
【０１２１】
第二のポイントは、式（２３）の出力推力がθに応じて変動するため、式（２０ａ）に示す入力指令がその変動を補正するために変更されなければならないことである。このことは、現在位置
【数１６０】
2016214073.tif 000162
の測定を必要とする。現在位置
【数１６１】
2016214073.tif 000163
は、以下に示すように入力を変化させる。
【数１６２】
2016214073.tif 000164
【０１２２】
式（４０）を式（２３）に代入することで
【数１６３】
2016214073.tif 000165
で特定された一定の出力推力がもたらされる。上述の推力制御の重要な特徴は、ピーク推力位置
【数１６４】
2016214073.tif 000166
において、以下に示すように、剛性がゼロであることであり、それは、位置ずれに対する出力推力の感度が最小化されることを意味する。
【数１６５】
2016214073.tif 000167
【０１２３】
言い換えると、
【数１６６】
2016214073.tif 000168
の測定が不正確であっても、或いは、位置の変化に起因する出力推力の補正が正確でなくとも、出力推力に対するそれらの影響は小さい。
【０１２４】
注目すべきはこの制御方法が推力を中心としたループを閉じないことである。その代わり、それは、モデル化された或いは測定されたポリアクチュエータの特性と位置
【数１６７】
2016214073.tif 000169
の測定とに基づくフィードフォワードコントローラである。自明ではあるが、必要な測定及び標準的な制御技術が与えられる場合には、そのループは位置又は推力を中心として閉じられてもよい。
【０１２５】
［Ｄ．推力リップル補正］
推力リップル
【数１６８】
2016214073.tif 000170
が有限位数Ｎの一連の調和関数で表される場合、初期キャリブレーションが測定され、且つ、リップルのモデルがオンライン使用のために保存され得る。それ故に、ユニット変動の多様な発生源によってもたらされる全ての推力リップルを組み合わせることで、総推力リップルは以下のように記述され得る。
【数１６９】
2016214073.tif 000171
【０１２６】
パラメータＥκ及びφκは実験を通じて決定されてもよい。測定された推力リップルの空間フーリエ解析は、全てのユニット変動の総計効果を表すＥκ及びφκ（κ＝１,・・・,Ｎ）をもたらす。
【０１２７】
推力リップルは位置のみの関数であるため、その影響は、以下に示すように、ポリアクチュエータの位置
【数１７０】
2016214073.tif 000172
を測定することによって補正され得る。
【数１７１】
2016214073.tif 000173
【０１２８】
名目入力指令
【数１７２】
2016214073.tif 000174
から
【数１７３】
2016214073.tif 000175
を減算することで、リップル力は除去される。この補正は、同期モータのためのコギングトルク補正と同様であるが、（ａ）ユニットの数ｎ又は伝達機構のストロークにかかわらず、式（３７）’に示すリップル力モデルが多くとも２Ｎ個のパラメータしか有さず、且つ、（ｂ）式（３８）’に示す補正法則がユニットの添え字ｉを含まず、それ故に、個々のユニットの補正が不要で、全体的な制御のみが必要とされる。
【０１２９】
［Ｅ．入出力関係］
図１２は、非線形剛性項の多項式におけるｋ次項、入力誘導性推力項の多項式におけるｑ次項、入力ｕにおけるＬ次高調波、出力推力における高調波、及び、出力推力における残存高調波の一般的な関係を示す表である。
【０１３０】
図１３は、非線形剛性項の多項式におけるｋ次項、入力誘導性推力項の多項式におけるｑ次項、入力ｕにおけるＬ次高調波、出力推力における高調波、及び、出力推力における残存高調波の具体的な関係を示す表である。
【０１３１】
図１２及び図１３において、第１行（ｆ：ｙ軸推力）は、個々のユニットのｙ軸推力ｆを近似する多項式の次数を示す。第２行（Ｆ：ｘ軸推力（変換後））は、ｙ軸推力から変換されたｘ軸推力を近似する多項式の次数を示す。第３行（Ｆに含まれる高調波）は、ｘ軸推力Ｆにおける高調波成分の次数を示す。第４行（入力ｕにおけるＬ次高調波）は、入力ｕにおける高調波成分の次数を示す。第５行（出力推力における高調波）は、ｘ軸推力の合計である出力推力における高調波成分の次数を示す。第６行（残存高調波）は、出力推力における顕在化した（相殺されていない）高調波成分の次数を示す。ＮＲＡは、上述の座屈型ＰＺＴアクチュエータのような非線形往復動アクチュエータを表す。
【０１３２】
例えば、図１２の第１列（ケース１）は、ｙ軸推力ｆを近似する多項式の次数が奇数ｋの場合、ｘ軸推力を近似する多項式の次数が偶数ｋ＋１になり、且つ、式（１１）を参照してｘ軸推力Ｆにおける高調波成分の次数が２〜ｋ＋１の範囲内の偶数で構成されることを示す。また、ケース１は、非線形剛性項の多項式におけるｋ次項が入力ｕにおける高調波成分の次数とは無関係であり、且つ、出力推力における高調波成分の次数が２〜ｋ＋１の範囲内の偶数で構成されることを示す。その上で、ケース１は、顕在化した（相殺されない）高調波成分の次数が式（１０）によって与えられることを示す。
【０１３３】
具体的には、図１３に示すように、ケース１は、ｙ軸推力ｆを近似する多項式の次数が３の場合、ｘ軸推力を近似する多項式の次数が４になり、且つ、ｘ軸推力Ｆにおける高調波成分の次数が２及び４で構成されることを示す。また、ケース１は、非線形剛性項の多項式における３次項が入力ｕにおける高調波成分の次数とは無関係であり、且つ、出力推力における高調波成分の次数が２及び４で構成されることを示す。その上で、ケース１は、非線形往復動アクチュエータの数が２の場合、顕在化した（相殺されない）高調波成分の次数が２であることを示し、非線形往復動アクチュエータの数が４の場合、顕在化した（相殺されない）高調波成分の次数が４であることを示し、或いは、非線形往復動アクチュエータの数が３、５、又は６の場合、全ての高調波成分が抑制或いは相殺されることを示す。ケース２についても同様である。
【０１３４】
図１２の第３列（ケース３）は、ｙ軸推力ｆを近似する多項式の次数が奇数ｑであり、且つ、入力ｕにおける高調波成分の次数が偶数Ｌの場合、出力推力における高調波成分の次数は、式（２５）に示すようにＬ〜１＋Ｌ＋ｑ及び−Ｌ〜１−Ｌ＋ｑの絶対値の範囲内の偶数で構成されることを示す。
【０１３５】
具体的には、図１３に示すように、ケース３は、ｙ軸推力ｆを近似する多項式の次数が３であり、且つ、入力ｕにおける高調波成分の次数が２の場合、出力推力における高調波成分の次数は、０、２、４、及び６で構成され得ることを示す。その上で、ケース３は、非線形往復動アクチュエータの数が２の場合、顕在化した（相殺されない）高調波成分の次数が０、２、４、及び６となり得ること、非線形往復動アクチュエータの数が４の場合、顕在化した（相殺されない）高調波成分の次数が０及び４となり得ること、非線形往復動アクチュエータの数が６の場合、顕在化した（相殺されない）高調波成分の次数が０及び６となり得ること、或いは、非線形往復動アクチュエータの数が３又は５の場合、顕在化した（相殺されない）高調波成分の次数が０となり得ることを示す。ケース４からケース６についても同様である。
【０１３６】
非線形往復動アクチュエータの上述の位相配置によって、非線形剛性項及び／又は非線形入力誘導性推力項によって引き起こされるポリアクチュエータの出力推力におけるリップルは抑制或いは相殺され得る。
【０１３７】
また、非線形往復動アクチュエータに対する上述の高調波入力によって、非線形剛性項及び非線形入力誘導性推力項によって引き起こされるポリアクチュエータの出力推力におけるリップルは抑制或いは相殺され得る。
【０１３８】
また、非線形往復動アクチュエータの上述の位相配置によって、ポリアクチュエータの出力は、非線形往復動アクチュエータのための単一周波数の正弦波状の入力によって制御され得る。
【０１３９】
［ＩＶ．実装及び実験］
上述の調和制御方法は、ＰＺＴ座屈型ユニットを用いるポリアクチュエータに実装された。各ユニットの推力−変位関係は、以下の非線形関数によって与えられる。
【０１４０】
［Ａ．駆動装置としての圧電座屈機構］
【数１７４】
2016214073.tif 000176
【０１４１】
図１４に示すように、６つのＰＺＴ座屈型ユニットがハーモニックポリアクチュエータに実装された。アクチュエータの数は、式（１４ｂ）の要件（ｎ＝６＞ｍ＋１＝４）を満たす。そのため、ポリアクチュエータの出力推力Ｆは、上述の非線形剛性項におけるｈ１及びｈ３とは無関係である。
【数１７５】
2016214073.tif 000177
【０１４２】
ｃq＝０（∀ｑ）であり且つｄq＝０（∀ｑ≠２）である点に留意すべきである。それ故に、非ゼロの出力推力をもたらすための入力高調波のただ１つの選択肢（すなわち、ｌ＝２）が存在する。式（２２）の必要条件（ｎ＝６＞ｌ＋ｐ＋１＝４）も満たされる。プロトタイプシステムのための式（３９）’及び式（４０）’におけるパラメータは、図１５にリストアップされている。
【０１４３】
［Ｂ．推力制御及びリップル補正の実装］
既に解析されたように、複数のユニットがずれていたり或いはそれぞれ異なる推力−変位特性を有していたりする場合、出力推力はアンバランスになる。図１６は、補正無しで−１５０Ｎから１５０Ｎまでの複数の推力をもたらすように指令されたプロトタイプのポリアクチュエータの実験を示す。概して出力推力は正確であるが、誤差のため、ピークとピークの間で±６０Ｎだけ変動する。実験は、伝達機構の全ストロークにわたって行われたが、出力推力の変動の同様のパターンが、正弦波状のギア歯の波長λに相当する１５ｍｍ毎に観測された。
【０１４４】
出力推力の空間ＦＦＴは、図１７に示すように、推力リップルが伝達機構の周波数に等しい周波数を持つ正弦波とその有限個の高調波の総和に等しいというセクションＩＩＩ−Ｄにおける主張を確認するために用いられた。最初の６つの高調波が信号内のノイズよりも顕著に大きい振幅を有し、一方で、より高次の高調波が寄与しない点に留意すべきである。
【０１４５】
ＦＦＴ及び測定データを用いると、最初の６つの高調波に基づくフーリエ級数が、推力リップルのモデルを創出するためのデータとして相応しかった。この補正方法は、モデル
【数１７６】
2016214073.tif 000178
を用いてテストされた。補正された推力の測定値は図１６における破線で示されている。推力リップルは、伝達機構の波長にわたる推力のＲＭＳ値によって表され得る。フーリエモデルベースの補正器は、ＲＭＳリップルを最大で２９０％だけ低減させた。推力リップルを補正する能力は、入力ｕiの飽和のために高い指令推力では制限された。
【０１４６】
更に、図１８は、指令推力
【数１７７】
2016214073.tif 000179
と比較した、伝達機構の１波長にわたって平均化された補正後の出力の測定推力を示す。摩擦と推力リップル内でモデル化された誤差を含む損失のために、アクチュエータは期待ピーク推力に達することができない点に留意すべきである。
【０１４７】
これらの特徴は、非線形剛性、線形動的パラメータ、及びユニット内の誤差を含む調和解析を用いてモデル化された。その解析は、調和的特徴を利用するために、いくつかの見識と、ユニットの最小数と伝達機構に沿ったユニットの相対位置とを含む、満たされなければならない条件とをもたらした。
【０１４８】
これらの結果は、６つのＰＺＴユニットで構成されたハーモニックポリアクチュエータに適用された。フィードフォワード推力制御は、最大で２９０％だけリップルを低減させた推力リップル補正と共にテストされ且つ使用された。
【０１４９】
［Ｖ．結論］
ハーモニックポリアクチュエータは、冗長な入力と正弦波状の伝達機構によるいくつかの固有の特徴を有する。ユニットの最小数と伝達機構に沿ったユニットの相対位置とを含むいくつかの条件が満たされた場合、３つの不可欠な特徴が理論的に証明され且つ本実施例で実験的にテストされた。
【０１５０】
●ユニットの位置のみに依存するユニットの出力推力における任意の項ｇ（ｙ）は、ポリアクチュエータの出力推力には影響しない。
【０１５１】
●個々のユニットに与えられる位相調整された正弦波状入力関数は、その入力関数と同じ空間周波数で出力推力−変位関係を創出し、他の周波数を含まない。入力及び出力の振幅及び位相に関する式が提示されている。
【０１５２】
●十分に高い空間周波数を備えた相対位置に基づく入力関数が出力に影響しないことが示された。より高い周波数を原入力に重畳することで、同じ出力を創出しながらも、保存された電気エネルギ又はピーク入力電圧といった追加的な入力条件が最適化され得る。
【０１５３】
これらの３つの特性は、６つのＰＺＴ座屈増幅ユニットで構成されたハーモニックポリアクチュエータに適用された。フィードフォワード推力制御は、１マイクロメータ内の位置決めを可能とする閉ループ位置コントローラを創出するために、必要な位置測定と共にテストされ且つ使用された。更に、誤差解析は、観測された推力リップル現象を理論的に説明した。つまり、ユニット間のずれは、定理１で説明した理想からのアンバランスを引き起こした。しかしながら、この推力リップルは、有限個の正弦曲線の総和として十分にモデル化され得る。
【０１５４】
更に、本発明はこれらの実施例に限定されない。本発明の範囲から逸脱することなく種々の変形及び改良が行われてもよい。
【０１５５】
［要約］
クランクシャフトと係合する複数のシリンダを有する内燃機関と同様、共通の出力ロッドと係合する複数の圧電積層アクチュエータ（ＰＳＡ）は、所望の特性を持つ円滑で長いストローク運動を生成できる。特に、出力ロッドの正弦波状ギア歯を押すように複数のユニットが等間隔に配置された場合、複数のユニットの“ハーモニック”効果のおかげでそのシステムは優れた集合的挙動を示す。例えば、個々のユニットの推力―変位特性は非線形であるが、特異点を含めた望ましくない非線形性が取り除かれ得る。本明細書は、正弦波状の伝達機構と係合する複数の駆動装置で構成されるハーモニックポリアクチュエータと呼ばれるアクチュエータの集合の調和解析、設計、及び制御を提示する。理論的解析を通じ、（１）出力推力から非線形性を取り除くためのユニット配置の条件、（２）所望の推力−変位特性を持つ指令推力を生成するために複数のユニットを調整するための制御アルゴリズム、及び（３）個々のユニットの起こり得るずれ及び不均一性に起因する出力推力リップルを補正するための方法、が得られる。制御アルゴリズムは、６ユニットのＰＳＡを備えたハーモニックポリアクチュエータのプロトタイプに実装される。実験は、そのシステム固有の冗長性及び調和特性を利用するポリアクチュエータの優れた特徴を例証する。
【符号の説明】
【０１５６】
５１・・・電源  ５２・・・駆動装置  ５３・・・圧電素子  ５４・・・座屈機構  ５５・・・ギア  ５６・・・負荷５６  ５７・・・コントローラ  ５００・・・座屈型アクチュエータ  ５１０、５１０Ｌ、５１０Ｒ・・・圧電素子  ５１０Ｌｃ、５１０Ｒｃ、５１０Ｌｅ、５１０Ｒｅ・・・回転可能な部材  ５１１・・・支持部  ５１２Ｌ、５１２Ｒ・・・サイドブロック  ５１４・・・出力ノード  ５１８・・・ＰＣＳ  ５２０・・・ギア出力ロッド  ５２１・・・線形ガイド  ５２２・・・フォロワ  ５２３・・・センサ  ５２６・・・フレーム  ５６０・・・センサ部
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
2016214073.tif 000195
【図１７】
2016214073.tif 000196
【図１８】
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