(57)【要約】  【課題】  回転変換行列を、非ゼロ要素の数が少ない疎行列に近似して変換することができる行列変換装置を提供する。  【解決手段】  行列変換装置１０は、回転行列を、１以上の２次元回転行列から構成される対回転行列を１以上含む行列積に変換する回転行列変換部１３を備えている。回転行列変換部１３は、回転行列の近似状態に関する所定の収束条件を充足するまで、回転行列を更新しながら、対回転行列を繰り返し算出することにより、行列積への変換を行う。【選択図】  図１
2016173671.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
回転行列を近似変換する行列変換装置であって、
回転行列の入力を受け付ける入力受付部と、
前記回転行列を、１以上の２次元回転行列から構成される対回転行列を１以上含む行列積に変換する回転行列変換部と
を備え、
前記回転行列変換部は、前記回転行列の近似状態に関する所定の収束条件を充足するまで、前記回転行列を更新しながら、前記回転行列の要素値に基づいて、前記対回転行列を繰り返し算出することにより、前記行列積への変換を行う行列変換装置。
【請求項２】
入力された前記回転変換行列の歪対称行列を算出する歪対称行列算出部をさらに備え、
前記回転行列変換部は、前記収束条件を充足するまで、前記回転行列の更新に応じて前記歪対称行列を更新しながら、前記歪対称行列の要素値に基づいて、前記対回転行列の歪対称行列を繰り返し算出することにより、対応する前記対回転行列を繰り返し算出する、請求項１に記載の行列変換装置。
【請求項３】
前記回転行列変換部は、前記歪対称行列の要素値を絶対値の大きい順に１つずつ選択して、該要素値に対応する２つの次元に基づいて、前記対回転行列を構成する２次元回転行列における次元の組み合わせを決定する請求項２に記載の行列変換装置。
【請求項４】
前記回転行列変換部は、ランダムサンプリングにより前記回転行列または前記歪対称行列の要素値を１つずつ選択して、該要素値に対応する２つの次元に基づいて、前記対回転行列を構成する２次元回転行列における次元の組み合わせを決定する請求項１または２に記載の行列変換装置。
【請求項５】
前記回転行列変換部は、更新後の前記回転行列と、単位行列の差分のノルムが小さくなるように、前記対回転行列を構成する２次元回転行列における次元の組み合わせを決定する請求項１または２に記載の行列変換装置。
【請求項６】
前記回転行列変換部は、選択された前記要素値を、前記２次元回転行列における回転角度とする請求項３から５のいずれか１項に記載の行列変換装置。
【請求項７】
前記回転行列変換部は、回転行列をＲ、１つの対回転行列の逆行列をＲTとして、
【数２２】
2016173671.tif 000024
の解析解を算出し、該解析解を前記２次元回転行列における回転角度とする請求項３から５のいずれか１項に記載の行列変換装置。
【請求項８】
回転行列を近似変換する行列変換方法であって、
回転行列の入力を受け付けるステップと、
前記回転行列を、１以上の２次元回転行列から構成される対回転行列を１以上含む行列積に変換するステップと
を備え、
前記回転行列を行列積に変換するステップにおいては、前記回転行列の近似状態に関する所定の収束条件を充足するまで、前記回転行列を更新しながら、前記回転行列の要素値に基づいて、前記対回転行列を繰り返し算出することにより、前記行列積への変換を行う行列変換方法。
【請求項９】
回転行列を近似変換するためのプログラムであって、コンピュータに、
回転行列の入力を受け付けるステップと、
前記回転行列を、１以上の２次元回転行列から構成される対回転行列を１以上含む行列積に変換するステップと
を実行させ、
前記回転行列を行列積に変換するステップにおいては、前記回転行列の近似状態に関する所定の収束条件を充足するまで、前記回転行列を更新しながら、前記回転行列の要素値に基づいて、前記対回転行列を繰り返し算出することにより、前記行列積への変換を行うプログラム。
【請求項１０】
特徴ベクトルを回転変換する特徴ベクトル変換装置であって、
回転行列の入力を受け付ける入力受付部と、
前記回転行列を、１以上の２次元回転行列から構成される対回転行列を１以上含む行列積に変換する回転行列変換部と、
前記回転行列変換部において変換された回転行列を用いて、前記特徴ベクトルの回転変換を行う特徴ベクトル変換部と、
を備え、
前記回転行列変換部は、前記回転行列の近似状態に関する所定の収束条件を充足するまで、前記回転行列を更新しながら、前記回転行列の要素値に基づいて、前記対回転行列を繰り返し算出することにより、前記行列積への変換を行う行列変換装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、回転変換を行うための回転行列を近似変換する、行列変換装置等に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
ベクトルの線形変換は、主成分分析による主成分軸への変換をはじめとして、あらゆるデータ処理の基礎となる操作である。しかし、画像処理の場合など、データベクトルが高次元となる場合、線形変換のために行列とベクトルの積を算出する操作は、計算負荷が大きく、高速処理の妨げとなっていた。
【０００３】
ところが、線形変換を得るためのほとんどの従来技術においては、多くの行列要素が非ゼロとなるような密行列とベクトルの積を算出しなければならず、線形変換の計算コストを削減するのは困難であった。
【０００４】
なお、本発明に関連する先行技術として、以下の先行技術文献がある。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００５】
【特許文献１】特開２００９−０５３９３３号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００６】
有用な線形変換の多くは、回転変換である。したがって、線形変換のうち、回転変換について計算コストが削減できれば、多くのケースにおいて、計算コストを削減することが可能となる。
【０００７】
本発明は、上記の問題に鑑みてなされたものであり、回転変換行列を、非ゼロ要素の数が少ない疎行列に近似して変換するための、行列変換装置等を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００８】
本発明の行列変換装置は、回転行列を近似変換する行列変換装置であって、回転行列の入力を受け付ける入力受付部と、前記回転行列を、１以上の２次元回転行列から構成される対回転行列を１以上含む行列積に変換する回転行列変換部とを備え、前記回転行列変換部は、前記回転行列の近似状態に関する所定の収束条件を充足するまで、前記回転行列を更新しながら、前記回転行列の要素値に基づいて、前記対回転行列を繰り返し算出することにより、前記行列積への変換を行う構成を有している。
【０００９】
この構成によれば、回転行列を更新しながら、その要素値に基づいて、対回転行列を繰り返し算出することで、入力された回転行列を、対回転行列を１以上含む行列積に変換することができる。ここで、対回転行列とは、変換対象の行列を２次元ずつ独立して、同時に回転変換させる回転行列のことをいい、１以上の２次元回転行列から構成される。すなわち、もとの回転行列がｎ次であれば、最大でｎ／２個または（ｎ−１）／２個の２次元回転行列から構成されることになるから、１つの対回転行列は、高々２ｎ個の非ゼロ要素を持つ疎行列となる。したがって、この構成によれば、もとの回転行列を疎行列の行列積に近似変換することができ、回転変換の計算負荷を軽減することができる。なお、（−π，π］の範囲においては、ある回転行列には対応して１つの歪対称行列が存在し、歪対称行列の要素値は、回転行列の要素値に基づいて算出されることから、回転行列の要素値に基づいて、対回転行列を繰り返し算出することには、回転行列に対応する歪対称行列の要素値に基づいて、対回転行列を算出することも含まれる。
【００１０】
本発明の行列変換装置は、入力された前記回転変換行列の歪対称行列を算出する歪対称行列算出部をさらに備え、前記回転行列変換部は、前記収束条件を充足するまで、前記回転行列の更新に応じて前記歪対称行列を更新しながら、前記歪対称行列の要素値に基づいて、前記対回転行列の歪対称行列を繰り返し算出することにより、対応する前記対回転行列を繰り返し算出してよい。
【００１１】
上述のように、（−π，π］の範囲においては、ある回転行列には、それに対応する１つの歪対称行列が存在することから、回転行列を近似変換する対回転行列は、歪対称行列空間において、当該対回転行列の歪対称行列を算出することで求めてもよい。回転行列のまま対回転行列を算出するよりも、歪対称行列に変換する方が、要素値に基づく計算処理が容易なことから、この構成のように、歪対称行列空間において、対回転行列に対応する歪対称行列を繰り返し算出することにより、容易に、回転行列の変換を行うことができる。
【００１２】
本発明の行列変換装置において、前記回転行列変換部は、前記歪対称行列の要素値の絶対値を大きい順に１つずつ選択して、該要素値に対応する２つの次元に基づいて、前記対回転行列を構成する２次元回転行列における次元の組み合わせを決定してよい。
【００１３】
アルゴリズムの設計においては、最適化問題を解くとき、各時点で最も利益の大きい部分解を選んでいき、それらを組み合わせたものを最終的な解とすることで、精度と処理の高速化を両立するｇｒｅｅｄｙ法が知られている。この構成によれば、ｇｒｅｅｄｙ法に基づいて、対回転行列を構成する２次元回転行列における次元の組み合わせを決定するので、行列変換を精度よく高速に行うことができる。
【００１４】
本発明の行列変換装置において、前記回転行列変換部は、ランダムサンプリングにより前記回転行列または前記歪対称行列の要素値を１つずつ選択して、該要素値に対応する２つの次元に基づいて、前記対回転行列を構成する２次元回転行列における次元の組み合わせを決定してよい。
【００１５】
この構成によれば、２次元回転行列における次元の組み合わせの決定を、確率的に最適化することができる。
【００１６】
本発明の行列変換装置において、前記回転行列変換部は、更新後の前記回転行列と、単位行列の差分のノルムが小さくなるように、前記対回転行列を構成する２次元回転行列における次元の組み合わせを決定してよい。
【００１７】
この構成によれば、変換後の行列積が、もとの回転行列に最も近くなるように、２次元回転行列における次元の組み合わせを決定することができる。
【００１８】
本発明の行列変換装置において、前記回転行列変換部は、選択された前記要素値を、前記２次元回転行列における回転角度としてよい。
【００１９】
この構成によれば、対回転行列を構成する各２次元回転行列における回転角度を、Ｇｒｅｅｄｙ法に基づいて決定するので、行列変換を精度よく高速に行うことができる。
【００２０】
本発明の行列変換装置において、前記回転行列変換部は、回転行列をＲ、１つの対回転行列の逆行列をＲTとして、
【数１】
2016173671.tif 000003
の解析解を算出し、該解析解を前記２次元回転行列における回転角度としてよい。
【００２１】
この構成によれば、算出される各対回転行列が、対回転行列算出前のもとの回転行列に最も近くなるように、対回転行列を構成する各２次元回転行列の回転角度が算出される。したがって、行列変換を精度よく行うことができる。なお、本発明の行列変換装置においては、回転行列を更新しながら対回転行列を算出するものである。上式においても、Ｒは入力された回転行列または更新された回転行列であり、ＲTは、最新の回転行列に対応する最新の対回転行列である。
【００２２】
本発明の行列変換方法は、回転行列を近似変換する行列変換方法であって、回転行列の入力を受け付けるステップと、前記回転行列を、１以上の２次元回転行列から構成される対回転行列を１以上含む行列積に変換するステップとを備え、前記回転行列を行列積に変換するステップにおいては、前記回転行列の近似状態に関する所定の収束条件を充足するまで、前記回転行列を更新しながら、前記回転行列の要素値に基づいて、前記対回転行列を繰り返し算出することにより、前記行列積への変換を行う。
【００２３】
本発明のプログラムは、回転行列を近似変換するためのプログラムであって、コンピュータに、回転行列の入力を受け付けるステップと、前記回転行列を、１以上の２次元回転行列から構成される対回転行列を１以上含む行列積に変換するステップとを実行させ、前記回転行列を行列積に変換するステップにおいては、前記回転行列の近似状態に関する所定の収束条件を充足するまで、前記回転行列を更新しながら、前記回転行列の要素値に基づいて、前記対回転行列を繰り返し算出することにより、前記行列積への変換を行う。
【００２４】
本発明の特徴ベクトル変換装置は、特徴ベクトルを回転変換する特徴ベクトル変換装置であって、回転行列の入力を受け付ける入力受付部と、前記回転行列を、１以上の２次元回転行列から構成される対回転行列を１以上含む行列積に変換する回転行列変換部と、前記回転行列変換部において変換された回転行列を用いて、前記特徴ベクトルの回転変換を行う特徴ベクトル変換部と、を備え、前記回転行列変換部は、前記回転行列の近似状態に関する所定の収束条件を充足するまで、前記回転行列を更新しながら、前記回転行列の要素値に基づいて、前記対回転行列を繰り返し算出することにより、前記行列積への変換を行う構成を有している。
【発明の効果】
【００２５】
本発明によれば、回転変換行列を、非ゼロ要素の数が少ない疎行列に近似して変換することができる。
【図面の簡単な説明】
【００２６】
【図１】本発明の実施の形態における行列変換装置及び特徴ベクトル変換装置の構成を示すブロック図
【図２】本発明の第１の実施の形態における、行列変換装置の動作フロー図
【図３】本発明の第１の実施の形態において、対回転行列Ｔに対応する歪対称行列が算出される一例を説明するための図
【図４】本発明の第２の実施の形態における、行列変換装置の動作フロー図
【発明を実施するための形態】
【００２７】
以下、本発明の実施の形態の行列変換装置及び特徴ベクトル変換装置について、図面を参照しながら説明する。
【００２８】
（第１の実施の形態）
図１は、本発明の実施の第１の形態の特徴ベクトル変換装置の構成を示す図である。図１に示すように、特徴ベクトル変換装置１は、行列変換装置１０と、特徴ベクトル入力受付部１５と、特徴ベクトル変換部１６とを備える。特徴ベクトル入力受付部１５は、回転変換の対象となる特徴ベクトルの入力を受け付ける。行列変換装置１０は、入力された回転行列を、疎行列の行列積に近似変換する。特徴ベクトル変換部１６は、入力された特徴ベクトルを、行列変換装置１０にて変換された行列積を乗じて特徴ベクトルの変換を行う。
【００２９】
行列変換装置１０は、回転行列入力受付部１１と、歪対称行列算出部１２と、回転行列変換部１３と、対回転行列記憶部１４とを備える。回転行列入力受付部１１は、特徴ベクトルの回転変換を行うための回転行列の入力を受け付ける。回転行列変換部１３は、入力された回転行列を、所定の収束条件を充足するまで、回転行列を更新しながら、対回転行列を１以上含む行列積に変換する。すなわち、回転行列変換部１３は、入力された回転行列Ｒを、Ｒ≒Ｔ1×Ｔ2×・・・Ｔm（Ｔ1〜Ｔnは対回転行列）に近似して変換する。
【００３０】
ここで、対回転行列とは、１以上の２次元回転行列から構成され、変換対象の行列を２次元ずつ独立して、同時に回転変換させる回転行列のことをいう。例えば、１次元と２次元、及び、３次元と４次元とを、同時に回転変換するための４次元の対回転行列は、
【数２】
2016173671.tif 000004
と表現される。このように、もとの回転行列がｎ次である場合、１つの対回転行列は、高々２ｎ個の非ゼロ要素を持つ疎行列である。したがって、行列変換部１３からは、変換結果として、要素数（ｎ2）に対して、スパースな行列の積が得られる。
【００３１】
歪対称行列算出部１２は、回転行列受付部１１にて入力を受け付けた回転行列の歪対称行列を算出し、回転行列変換部１３に出力する。歪対称行列とは、
【数３】
2016173671.tif 000005
すなわち、その転置が自身の−１倍となるものをいい、回転行列Ｒに対して、
【数４】
2016173671.tif 000006
により算出される。そして、回転行列変換部１３は、歪対称行列算出部１２にて算出された歪対称行列について、所定の収束条件を充足するまで、回転行列を更新し、回転行列の更新に応じて歪対称行列を更新しながら、歪対称行列の要素値に基づいて、対回転行列Ｔの歪対称行列Ωを算出する。回転行列変換部１３は、これを
【数５】
2016173671.tif 000007
に当てはめて、１つの対回転行列Ｔを得る。つまり、本実施の形態では、まず、回転行列Ｒに対応する歪対称行列ΩRを求め、歪対称行列空間において、もとの回転行列Ｒの対回転行列Ｔに対応する歪対称行列Ωを算出し、これを対回転行列Ｔに戻すという処理の繰り返しにより、変換結果を得るものである。
【００３２】
対回転行列記憶部１４は、回転行列変換部１３にて算出された対回転行列を一時的に記憶する。回転行列変換部１３は、対回転行列Ｔを１つずつ算出し、最終的に変換結果Ｒ≒Ｔ1×Ｔ2×・・・Ｔmを出力する。対回転行列記憶部１４は、回転行列変換部１３が変換結果を出力するまで、算出される対回転行列を記憶するものである。
【００３３】
回転行列変換部１３は、対回転行列算出部１３１と、回転行列更新部１３２と、収束判定部１３３と、歪対称行列更新部１３４と、出力部１３５とを備える。対回転行列算出部１３１は、対回転行列Ｔを１つずつ、入力されまたは更新された回転行列の歪対称行列に基づいて算出する。
【００３４】
ここで、１次元と２次元を角度θ12で、３次元と４次元を角度θ34で、同時に回転変換するための４次元の対回転行列を例にとると、
【数６】
2016173671.tif 000008
に対応する歪対称行列は、
【数７】
2016173671.tif 000009
となる。このように、歪対称行列においては、対回転行列を構成する２次元回転行列の次元のペアに応じて、１行及び２行並びに１列及び２列に、回転角度であるθ12及びその歪対象成分である−θ12のみが現れ、３行及び４行並びに３列及び４列には、θ34及びその歪対称成分である−θ34のみが現れる。したがって、ｎ次の回転行列Ｒの歪対称行列ΩRが
【数８】
2016173671.tif 000010
で表されるとき、ΩRにおいて、ｎ／２個または（ｎ−１）／２個の要素値を、インデックス（要素値が属する行・列）が重複しないように選択すれば、その要素値のインデックスに基づいて、対回転行列Ｔを構成する２次元回転行列の組み合わせを決定することができ、また、その要素値の具体的数値を、各２次元回転行列における回転角度とすることができる。第１の実施の形態では、この点に着目し、ΩRの要素値の絶対値の大きい順にｎ／２個（回転行列Ｒの次数が奇数の場合は、（ｎ―１）／２個）の要素値を選択し、選択された要素値に基づいて、対回転行列Ｔを算出するものである。
【００３５】
回転行列更新部１３２は、対回転行列算出部１３１にて、１つの対回転行列Ｔiが算出されるたびに、次式によって、もとの回転行列Ｒiの影響を差し引いた残差行列を算出し、回転行列を更新する。
【数９】
2016173671.tif 000011
【００３６】
収束判定部１３３は、対回転行列が算出され、回転行列が更新されるたびに、入力された回転行列Ｒと、変換結果である行列積Ｔ1×Ｔ2×・・・Ｔmとの近似度に関する所定条件を充足しているか否かを判定する。この近似度は、回転行列更新部１３２による更新後の回転行列がどの程度単位行列Ｉに近いかで判定することができ、具体的には、例えば、行列Ｒ−Ｉのフロベニウスノルムに対して閾値を設定することで実現できる。
【００３７】
歪対称行列更新部１３４は、収束判定部１３３にて、収束条件を満たしていないと判定された場合、すなわち、さらに対回転行列を算出する必要があると判定された場合に、回転行列更新部１３２にて更新された回転行列の歪対称行列を算出し、歪対称行列の更新を行う。
【００３８】
出力部１３５は、収束判定部１３３にて、収束条件を満たしていると判定された場合に、対回転行列算出部１３１にて繰り返し算出され、対回転行列記憶部１４に記憶される対回転行列を取得して、行列積を変換結果として出力する。
【００３９】
なお、図１に示す特徴ベクトル変換装置１及び行列変換装置装置１０は、ＣＰＵ、ＲＡＭ、ＲＯＭ、ＨＤＤ等を備えたコンピュータにより実現される。ＣＰＵがＲＯＭに記憶されたプログラムを読み出して実行することにより、回転行列変換部１３等の機能が実現される。このような特徴ベクトル変換装置等を実現するためのプログラムも本発明の範囲に含まれる。
【００４０】
図２は、第１の実施の形態における、行列変換装置１０の動作フロー図である。行列変換装置１０は、まず、行列変換装置１０による変換対象となる回転行列Ｒの入力を受け付け（ステップＳ１）、回転行列の歪対称行列を算出する（ステップＳ２）。次に、行列変換装置１０は、選択可能な歪対称行列の要素のうち、絶対値の最も大きい要素ωijを選択する（ステップＳ３）。続いて、行列変換装置１０は、選択対象要素からｉ／ｊ行及びｉ／ｊ列の要素を選択対象要素から除外し（ステップＳ４）、除外後に選択対象要素がなくなるまで（ステップＳ５にてＮｏ）、ステップＳ３及びＳ４の処理を繰り返して、対回転行列Ｔに対応する歪対称行列を決定する。
【００４１】
図３は、ステップＳ３及びＳ４の処理によって、対回転行列Ｔに対応する歪対称行列が算出される一例を説明するための図である。
今、歪対称行列が
【数１０】
2016173671.tif 000012
であり、最も大きい要素値がω13であるとする。ステップ３において、ω13が選択されるので、図３（ａ）に示すように、ステップＳ４では、１行、３行、１列、３列に属する要素が、選択対象要素から除外されることになる。図３の例では、選択対象要素として、ω24が残るので（ステップＳ５にてＹｅｓ）、ステップＳ３に戻り、図３（ｂ）に示すように、ω24が選択され、ステップＳ６に進む。
【００４２】
選択対象要素がなくなるまで、ステップＳ３及びＳ４により、歪対称行列の要素の選択を繰り返すことで、対回転行列に対応する歪対称行列が一意に決まる。図３の例では、ω13とω24が選択され、
【数１１】
2016173671.tif 000013
を得る。ステップＳ６では、このようにして得られた歪対称行列から、式（１）に基づいて対回転行列が算出される。なお、図３の例では、得られる対回転行列は、
【数１２】
2016173671.tif 000014
である。
【００４３】
次に、行列変換装置１０は、式（２）により回転行列Ｒを更新し（ステップＳ７）、収束条件を満たしているか否かを判定する（ステップＳ８）。収束条件を満たしていない場合には（ステップＳ８にてＮｏ）、ステップＳ２に戻り、更新後の回転行列の歪対称行列を算出し、対回転行列の算出を繰り返す。一方、収束条件を満たしている場合には（ステップＳ８にてＹｅｓ）、変換結果を出力する（ステップＳ９）。
【００４４】
以上、説明したように、第１の実施の形態の行列変換装置によれば、入力された回転行列の歪対称行列の要素値を絶対値の大きい順からｎ／２個または（ｎ−１）／２個選択し、各要素値の位置と大きさ（具体的数値）に基づいて、ｎ／２個または（ｎ−１）／２個の２次元回転行列を算出し、これらの２次元回転行列から構成される対回転行列を算出する。対回転行列の算出は、回転行列及び歪対称行列を更新しながら、収束条件を充足するまで繰り返し行い、回転行列の近似変換結果として、対回転行列の行列積を含む行列積Ｔ1×Ｔ2×・・・Ｔmを出力する。１つの対回転行列は、最大で２ｎ個または（ｎ−１）／２個の２次元回転行列から構成されることになるので、１つの対回転行列は、高々２ｎ個の非ゼロ要素を持つ疎行列となる。したがって、このようにして得られた変換結果は、疎行列の行列積となり、特徴ベクトル変換装置１において、回転変換の計算負荷を軽減することができる。
【００４５】
第１の実施の形態においては、入力された回転行列の歪対称行列を算出した上で、対回転行列を算出する場合について説明したが、本発明の範囲はこれに限られず、歪対称行列に変換せずに、回転行列を更新しながら、回転行列の要素値に基づいて、対回転行列を算出してもよい。
【００４６】
また、第１の実施の形態においては、ｇｒｅｅｄｙ法に基づいて、対回転行列を構成する２次元回転行列の次元の組み合わせを決定する場合について説明したが、本発明の範囲はこれに限られない。例えば、ランダムサンプリングにより次元の組み合わせを決定してもよいし、残差回転行列と単位行列の差分のノルムを最小化するように、次元の組み合わせを決定してもよい。
【００４７】
（第２の実施の形態）
次に、本発明の第２の実施の形態の行列変換装置及び特徴ベクトル変換装置について、図面を参照しながら説明する。第１の実施の形態の行列変換装置は、歪対称行列の要素値を大きい順に選択し、選択した要素値の位置に基づいて、１つの対回転行列を構成する2次元回転行列における次元のペアを決定した。この点は、第２の実施の形態も同様である。一方、各２次元対称行列における回転角度については、第１の実施の形態では、選択された要素値の具体的値をそのまま用いたのに対し、第２の実施の形態では、最適化問題の解析解を算出する。
【００４８】
第２の実施の形態の行列変換装置及び特徴ベクトル変換装置の構成は、図１に示す第１の実施の形態の行列変換装置１０及び特徴ベクトル変換装置１の構成と同じであり、各部の機能も、第１の実施の形態において説明したのと概略同じである。ただし、第２の実施の形態においては、対回転行列算出部１３１は、歪対称行列において、絶対値の大きい順にｎ／２個または（ｎ−１）／２個の要素値を選択した後、以下の式により、各次元ペアについて、回転角度の最適解を算出する。
【数１３】
2016173671.tif 000015
ここで、Ｒは、入力された回転行列または更新後の最新の回転行列、ＲTは最新の回転行列Ｒに対応して算出される対回転行列の逆行列であり、
【数１４】
2016173671.tif 000016
である。回転行列については、
【数１５】
2016173671.tif 000017
が成り立つから、式（３）は、Ｒから算出されたＲTがＲに最も近くなるように、ＲTのパラメータを算出することを意味する。
なお、Ｒの次元がｎであれば、ｋは、
【数１６】
2016173671.tif 000018
であり、ＲTを構成する次元のペアの個数を示す。
【００４９】
式（３）の目的関数を展開すると、
【数１７】
2016173671.tif 000019
となり、第１項、２項は定数であるから、最適化問題は以下のように書き換えることができる。
【数１８】
2016173671.tif 000020
ＲTは、ｋ個のペア集合｛（ｉ1、ｊ1），・・・，（ｉk，ｊk）｝から成り、各ペアについての部分行列が
【数１９】
2016173671.tif 000021
となっているから、式（４）の目的関数は、以下のように表すことができる。
【数２０】
2016173671.tif 000022
よって、各θpについての微分は独立に計算でき、最適解は
【数２１】
2016173671.tif 000023
となる。なお、この式は、θｐ∈（−π，π］の範囲で２つの解を持つため、式（４）の目的関数を最大化する方を確認したうえで最適解とする。
【００５０】
図４は、第2の実施の形態における行列変換装置１０の動作フロー図である。なお、以下に説明するステップのうち、ステップＳ２０１〜Ｓ２０５までの処理、及びステップＳ２０７〜Ｓ２１０までの処理は、第１の実施の形態と同様である。まず、変換対象となる回転行列の入力を受け付け（ステップＳ２０１）、その歪対称行列を算出する（ステップＳ２０２）。
【００５１】
続いて、歪対称行列の要素値の選択対象要素のうち、絶対値の最も大きい要素ωijを選択し（ステップＳ２０３）、選択対象要素から、ｉ行、ｊ行、ｉ列、ｊ列の要素を除外して（ステップＳ２０４）、未選択対象要素がなくなるまで（ステップＳ２０５にてＮｏ）、ステップＳ２０３及びＳ２０４の処理を繰り返し、次元のペアを生成する。未選択対象要素がなくなった場合（ステップＳ２０５にてＮｏ）には、各次元ペアの回転角度を算出し（ステップＳ２０６）、１つの対回転行列を得る（ステップＳ２０７）。そして、回転行列を更新し（ステップＳ２０８）、収束条件を充足するまで（ステップＳ２０９にてＹｅｓ）、ステップＳ２０２からの対回転行列の生成を繰り返し、得られた近似結果を出力する（ステップＳ２１０）。
【００５２】
以上、説明したように、第２の実施の形態の行列変換装置によれば、変換後の対回転行列が、入力されたもとの回転行列に最も近くなるように、対回転行列を構成する各２次元回転行列の回転角度が算出されるので、より精度よく回転行列を変換することができる。
【００５３】
なお、第２の実施の形態においては、入力された回転行列の歪対称行列を算出した上で、対回転行列を算出する場合について説明したが、本発明の範囲はこれに限られず、歪対称行列に変換せずに、回転行列を更新しながら、回転行列の要素値に基づいて、対回転行列を算出してもよい。
【００５４】
また、第２の実施の形態においても、次元のペアの組み合わせは、ランダムサンプリングの手法や、残差回転行列と単位行列の差分のノルムを最小化するように決定されてもよい。
【産業上の利用可能性】
【００５５】
本発明は、回転変換行列を、非ゼロ要素の数が少ない疎行列に近似して変換することができるという効果を有し、行列変換装置等として有用である。
【符号の説明】
【００５６】
１  特徴ベクトル変換装置
１０  行列変換装置
１１  入力受付部
１２  歪対称行列算出部
１３  回転行列変換部
１３１  対回転行列算出部
１３２  回転行列更新部
１３３  収束判定部
１３４  歪対称行列更新部
１３５  出力部
１４  対回転行列記憶部
１５  特徴ベクトル入力受付部
１６  特徴ベクトル変換部
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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