(57)【要約】      （修正有）【課題】不確かさの影響を受け難く、ロバスト性の高いスライディングモード制御方法及びスライディングモード制御装置を提供する。【解決手段】スライディングモード制御装置は、プラント１１とプラントノミナルモデル１２と、スライディングモードコントローラ（ＳＭＣ）２０とを備えている。ＳＭＣは、プラントで表される制御対象物をスライディングモード制御により制御するためのコントローラである。スライディングモード制御は、制御対象物の状態を示す状態量が超平面上の切換面で拘束された状態（スライディングモード）において、状態量を制御対象物の目標値に収束させる制御モードであって、外乱、パラメータ変動、モデル化誤差などの不確かさの影響を受けにくく、ロバスト性が高い非線形制御手法である。【選択図】図１
2016162311.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
制御対象物の状態を示す状態量を相平面上で表される切換面に拘束された状態で、前記制御対象物の目標値に対応する前記相平面上の平衡点に、前記状態量を収束させることで、前記制御対象物を制御するスライディングモード制御による制御方法において、
前記切換面を生成するステップと、
前記状態量及び前記目標値から前記スライディングモード制御の等価制御入力を演算するステップと、
前記状態量及び前記目標値から前記スライディングモード制御の切換制御入力を演算するステップと、
前記等価制御入力と前記切換制御入力とを加算した値を前記制御対象物への制御入力として演算するステップとを含み、
前記相平面は、前記状態量及び前記状態量の１階微分値をそれぞれ軸とした平面であり、
前記切換面は、前記状態量の初期状態を示す点Ｐ及び前記平衡点を示す原点を通り、前記点Ｐで接線をもつ４次曲線の軌跡で表される
ことを特徴とするスライディングモード制御方法。
ただし、前記点Ｐは前記状態量と前記状態量の１階微分値で表され、前記接線の傾きは前記状態量の２階微分値を前記状態量の１階微分値で除算した値であり、前記４次曲線は前記状態量及び前記状態量の１階微分値に関する関数で表される。
【請求項２】
請求項１記載のスライディングモード制御方法において、
前記４次曲線は、躍度最小化軌道を近似させた４次関数で表される
ことを特徴とするスライディングモード制御方法。
【請求項３】
請求項１又は２に記載のスライディングモード制御方法において、
前記４次曲線は、レムニスケート曲線である
ことを特徴とするスライディングモード制御方法。
【請求項４】
請求項１〜３のいずれか一項に記載のスライディングモード制御方法において、
前記状態量が前記平衡点を含む所定の領域内にあるか否かを判定し、その判定結果に基づいて、第１切換面と第２切換面のいずれか一方に切り換えるステップを含み、
前記切換面は前記第１切換面及び前記第２切換面を含み、
前記第１切換面は、前記４次曲線で表され、
前記第２切換面は、前記平衡点を通り前記第１切換面とは異なる関数の軌跡で表され、かつ、前記所定の領域内で前記状態量を前記平衡点に収束させる切換面である
ことを特徴とするスライディングモード制御方法。
【請求項５】
請求項４に記載のスライディングモード制御方法において、
前記第２切換面は前記平衡点を通る１次関数で表され、
前記１次関数の傾きは、前記状態量と前記平衡点との距離、又は、前記状態量が前記平衡点に収束する収束時間に応じて調整される
ことを特徴とするスライディングモード制御方法。
【請求項６】
請求項１〜５のいずれか一項に記載のスライディング制御方法において、
前記状態量の１階微分値及び前記状態量の２階微分値の少なくとも何れか一方の微分値が前記状態量から推定された高次微分項の推定値である
ことを特徴とするスライディングモード制御手法。
【請求項７】
請求項１〜５のいずれか一項に記載のスライディングモード制御方法において、
前記切換面に含まれる第３切換面、第４切換面及び第５切換面の中から、前記スライディングモード制御に用いる切換面を選択するステップを含み、
前記第３切換面は、前記４次曲線をレムニスケートとした軌跡で表され、
前記第４切換面は、前記点Ｐ及び前記平衡点を通る楕円の軌跡で表され、
前記第５切換面は、前記平衡点を通る１次関数の軌跡で表される
ことを特徴とするスライディングモード制御方法。
【請求項８】
請求項７記載のスライディングモード制御方法において、
前記切換面を選択するステップは、
前記スライディングモード制御により制御対象物を制御する際に消費されるエネルギーが最も小さくなるように、ノミナルプラントの動特性に応じて、前記第３切換面、前記第４切換面及び前記第５切換面の中から選択し、
前記ノミナルプラントは、前記制御対象物の物理モデルの代表モデルである
ことを特徴とするスライディングモード制御方法。
【請求項９】
請求項７記載のスライディングモード制御方法において、
前記切換面を選択するステップは、
前記スライディングモード制御における切換制御ゲインが最も小さくなるように、ノミナルプラントの動特性に応じて、前記第３切換面、前記第４切換面及び前記第５切換面の中から選択し、
前記ノミナルプラントは、前記制御対象物の物理モデルの代表モデルである
ことを特徴とするスライディングモード制御方法。
【請求項１０】
請求項７記載のスライディングモード制御方法において、
前記切換面を選択するステップは、
前記状態量が前記平衡点に収束するまでの時間が最も短くなるように、ノミナルプラントの動特性に応じて、前記第３切換面、前記第４切換面及び前記第５切換面の中から選択し、
前記ノミナルプラントは、前記制御対象物の物理モデルの代表モデルである
ことを特徴とするスライディングモード制御方法。
【請求項１１】
請求項７記載のスライディングモード制御方法において、
前記切換面を選択するステップは、
エネルギー消費量、前記スライディングモード制御における切換制御ゲイン、及び収束時間が最適化するように、ノミナルプラントの動特性に応じて、前記第３切換面、前記第４切換面及び前記第５切換面の中から選択し、
前記エネルギー消費量は、前記スライディングモード制御により制御対象物を制御する際に消費されるエネルギー量であり、
前記切換制御ゲインは
前記収束時間は前記状態量が前記平衡点に収束するまでの時間であり、
前記ノミナルプラントは、前記制御対象物の物理モデルの代表モデルである
ことを特徴とするスライディングモード制御方法。
【請求項１２】
制御対象物の状態を示す状態量を相平面上で表される切換面に拘束された状態で、前記制御対象物の目標値に対応する前記相平面上の平衡点に、前記状態量を収束させることで、前記制御対象物を制御するスライディングモード制御の制御装置において、
前記切換面を生成する生成器と、
前記状態量及び前記目標値から前記スライディングモード制御の等価制御入力を演算する演算器と、
前記状態量及び前記目標値から前記スライディングモード制御の切換制御入力を演算する演算器と、
前記等価制御入力と前記切換制御入力とを加算した値を前記制御対象物への制御入力として演算する演算器とを有し、
前記相平面は、前記状態量及び前記状態量の１階微分値をそれぞれ軸とした平面であり、
前記切換面は、前記状態量の初期状態を示す点Ｐ及び前記平衡点を示す原点を通り、前記点Ｐで接線をもつ４次曲線の軌跡で表される
ことを特徴とするスライディングモード制御装置。
ただし、前記点Ｐは前記状態量と前記状態量の１階微分値で表され、前記接線の傾きは前記状態量の２階微分値を前記状態量の１階微分値で除算した値であり、前記４次曲線は前記状態量及び前記状態量の１階微分値に関する関数である。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、スライディングモード制御方法及びスライディングモード制御装置に関するものである。
【背景技術】
【０００２】
制御対象物の制御すべき複数の状態量を変数とする線形関数によりスライディングモード制御用の超平面を設定し、状態量を超平面上に収束させ、さらに、状態量を超平面上に拘束しつつ超平面上の平衡点に状態量を収束せしめることにより目標状態量に制御するスライディングモード制御方法において、制御対象の状態量をｘ１、ｘ２とした場合に、これらの状態量を変数とする線形関数（σ＝ｓ１ｘ１＋ｓ２ｘ２）を、超平面上への収束状況を表す関数として用いて、σ＝０により表される超平面Ｈを予め設計する。そして、状態量ｘ１、ｘ２がσ≠０となっている場合に、所謂到達則に従って、状態量をハイゲイン制御によって超平面Ｈ（σ＝０）上に高速で収束させ（モード１）、さらに所謂等価制御入力によって、状態量ｘ１、ｘ２を超平面上に拘束しつつ超平面上の平衡点（収束点、ｘ１＝ｘ２＝０の点）に収束させる（モード２）ものが開示されている（特許文献１）。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００３】
【特許文献１】特開平９−２７４５０４号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００４】
しかしながら、状態量ｘ１、ｘ２がσ≠０となっている状態から超平面Ｈ（σ＝０）に収束するモード１は外乱やモデル化誤差等の影響を受けやすいため、モード１を含んだ上記のスライディングモード制御方法では、不確かさの影響によりロバスト性が低くなるという問題があった。
【０００５】
本発明が解決しようとする課題は、不確かさの影響を受け難く、ロバスト性の高いスライディングモード制御方法及びスライディングモード制御装置を提供することである。
【課題を解決するための手段】
【０００６】
本発明は、制御対象物の状態を示す状態量を相平面上で表される切換面に拘束された状態で、制御対象物の目標値に対応する相平面上の平衡点に、状態量を収束させることで、制御対象物を制御するスライディングモード制御において、状態量及び状態量の１階微分値をそれぞれ軸とする平面を相平面とした場合に、当該相平面上で４次曲線の軌跡で表される切換面を生成し、当該切換面に基づき制御対象物を制御することで上記課題を解決する。ここで、４次曲線は、状態量の初期状態を示す点Ｐ及び平衡点を示す原点を通り、点Ｐで接線をもち、かつ、状態量及び状態量の１階微分値に関する関数とする。
【発明の効果】
【０００７】
本発明は、状態量の初期状態から平衡点で示される平衡状態に至るまでの過程で、切換面の軌跡上で状態量を拘束しつつ平衡点まで収束できるスライディングモードを確立しているため、外乱やモデル化誤差等の影響を受けにくくなり、その結果として、不確かさの影響を受け難く、ロバスト性の高いスライディングモード制御方法及びスライディングモード制御装置を提供することができる。
【図面の簡単な説明】
【０００８】
【図１】本発明の実施形態に係るスライディングモード制御装置のブロック図である。
【図２】切換面のレムニスケート曲線を示した相平面の座標である。
【図３】トーラス体を示したグラフである。
【図４】第１切換面におけるスライディングモード制御と、第２切換面におけるスライディングモード制御を相平面上で示した概念図である。
【図５】図１のスライディングモード制御装置の制御フローを示すフローチャートである。
【図６】従来の制御手法において、状態量が平衡点に収束する際の状態を示した概念図である。
【図７】レムニスケート曲線、楕円、線形と、減衰係数毎の状態量の軌跡を示した相平面の座標である。
【図８】レムニスケート曲線、楕円、線形と、切換面毎の状態量の軌跡を示した相平面の座標である。
【図９】（ａ）レムニスケート、楕円、及び線形切換え面を用いたスライディングモード制御の誤差状態量特性を示すグラフである。（ｂ）レムニスケート、楕円、及び線形切換え面を用いたスライディングモード制御の誤差状態量の速度の特性を示すグラフである。
【図１０】レムニスケート、楕円、及び線形切換え面を用いたスライディングモード制御における、エネルギー消費量の特性を示すグラフである。
【図１１】本実施形態に係る舵角制御システムのブロック図である。
【図１２】本発明の他の実施形態に係るスライディングモード制御装置のブロック図である。
【図１３】レムニスケート、楕円、及び線形切換え面を用いたスライディングモード制御における、切替えゲインの特性を示すグラフである。
【図１４】レムニスケート、楕円、及び線形切換え面を用いたスライディングモード制御における、エネルギー消費量の特性を示すグラフである。
【図１５】減衰係数、特徴（切換えゲイン、エネルギー消費量、及び即応性）、及び切換面の対応関係を示すグラフである。
【図１６】本発明の他の実施形態に係るスライディングモード制御装置の制御フローを示すフローチャートである。
【発明を実施するための形態】
【０００９】
以下、本発明の実施形態を図面に基づいて説明する。
【００１０】
図１は、本発明の実施形態に係るスライディングモード制御装置のブロック図である。本例のスライディングモード制御装置及び制御方法は、例えば車両の自動駐車における舵角制御等を行う際に適用される。
【００１１】
図１に示すように、スライディングモード制御装置は、プラント１１とプラントノミナルモデル１２と、スライディングモードコントローラ（ＳＭＣ）２０とを備えている。
【００１２】
プラント１１は、実際の制御対象物である。プラント１１は、ＳＭＣ２０の制御入力（ｕ）に対して出力値（ｙ）を出力する。プラントノミナルモデル１２は、制御対象である物理モデルの理想型モデルである。プラントノミナルモデル１２は、入力される目標値（ｒ）に対して、制御対象物の理想出力値を出力する。
【００１３】
ＳＭＣ２０は、プラント１１で表されている制御対象物をスライディングモード制御により制御するためのコントローラである。スライディングモード制御は、制御対象物の状態を示す状態量が超平面上の切換面で拘束された状態（スライディングモード）において、状態量を制御対象物の目標値に収束させる制御モードであって、外乱、パラメータ変動、モデル化誤差などの不確かさの影響を受けにくく、ロバスト性が高い非線形制御手法である。スライディング制御モードは、等価制御入力と呼ばれる線形状態フィードバック項（ｕＬ）を演算し、切換制御入力と呼ばれる非線形フィードバック項（ｕＮＬ）を演算し、これらのフィードバック項（ｕＬ、ｕＮＬ）の加算値を制御対象物への制御入力として演算している。
【００１４】
ＳＭＣ２０は、ＣＰＵ、ＲＡＭ等を備えつつ、スライディングモード制御を実行するための機能ブロックとして、図１に示すように、減算器２１と、誤差観測推定部２２と、制御領域判定部２３と、切換面生成部２４と、等価制御入力演算部２５と、切換制御入力演算部２６と、加算器２７とを有している。
【００１５】
減算器２１は、プラントノミナルモデル１２の理想出力値（目標値に相当する）からプラント１１の状態量（実出力値）を減算することで、誤差（ｅ）を演算する。誤差（ｅ）は、目標値と実際の出力値との誤差であり、誤差状態量とも称される。減算器２１には、プラント１１の実際の出力値がフィードバックして入力される。
【００１６】
誤差観測推定部２２は、カルマンフィルタなどを用いた演算処理により、誤差（ｅ）から誤差の速度（１次微分値）及び誤差の加速度（２次微分値）を推定する。制御対象物の速度や加速度など、状態量の高次微分項が観測できない場合には、誤差観測推定部２２が演算処理により高次微分項を推定することで、ロバスト性の高い制御を実現できる。また、誤差観測推定部２２は、誤差（ｅ）の初期値から誤差（ｅ）の速度及び加速度を推定することで誤差（ｅ）の初期状態を推定し、同様に、スライディングモード制御中の誤差（ｅ）から制御中の制御対象物の状態を推定する。なお、誤差観測推定部２２は、制御対象物の速度や加速度を観測できるときには、観測値から誤差（ｅ）の状態（初期状態及び制御中の状態）を演算する。
【００１７】
制御領域判定部２３は、誤差観測推定部２２により推定された誤差（ｅ）の状態から、誤差（ｅ）が切換面を遷移させる領域内にあるか否かを判定する。後述するように、ＳＭＣ２０は、状態量（誤差ｅ）が超平面上の切換面で拘束された状態で、超平面上における状態量の位置に応じて、切換面を遷移させている。切換面は、少なくとも２種類の切換面を含んでおり、２次曲線の軌跡で表される切換面（以下、第１切換面とも称す）と、１次関数で表される切換面（以下、第２切換面とも称す）を含んでいる。
【００１８】
第１切換面から第２切換面に切り替えるための領域は、誤差ｅと誤差の１階微分値で表される。また領域は、制御対象物の制御の際に要求される要求精度に応じて設定されている。例えば、要求精度に対して３倍程度を許容する誤差として設定した場合には、許容誤差分の状態量と状態量の速度で規定される範囲が、切換面を切り替えるための領域である。そして、制御領域判定部２３は、現在の誤差ｅおよび速度が領域外である場合には第１切換面でスライディングモード制御を行うと判定し、現在の誤差ｅおよび速度が領域内である場合には第２切換面でスライディングモード制御を行うと判定する。制御領域判定部２３は判定結果と誤差観測推定部２２の推定値を切換面生成部２４に出力する。
【００１９】
切換面生成部２４は、誤差ｅに基づき切換面を生成するための演算器であり、第１切換面生成部２４ａと第２切換面生成部２４ｂを有している。第１切換面生成部２４ａは、相平面上で、誤差ｅの初期状態を示す点から遷移点まで、誤差を到達させる第１切換面を演算する。また、第２切換面生成部２４ｂは、相平面上で、遷移点から平衡点まで誤差を収束させる第２切換面を演算する。遷移点は、第１切換面から第２切換面に遷移させる点である。
【００２０】
切換面生成部２４は、制御領域判定部２３による判定結果に応じて、第１切換面生成部２４ａ又は第２切換面生成部２４ｂのいずれか一方を選択しつつ、切換面を演算し、等価制御入力演算部２５および切換制御入力演算部２６に出力する。
【００２１】
等価制御入力演算部２５は、入力される誤差ｅから、切換面生成部２４により生成された切換面に基づき等価制御項（ｕＬ）を演算し加算器２７に出力する。等価制御入力演算部２５は、入力される誤差ｅから、切換面生成部２４により生成された切換面に基づき切換制御項（ｕＮＬ）を演算し加算器２７に出力する。
【００２２】
加算器２７は、等価制御項（ｕＬ）および切換制御項（ｕＮＬ）を加算することで、プラント１１に入力される制御入力を演算する。
【００２３】
上記の機能ブロックの演算によって、プラント１１の出力がプラントノミナルモデル１２の出力に追従するように制御される。
【００２４】
次に、第１切換面を用いたスライディングモード制御について説明する。まず、状態量の３階微分（躍度）が最小になる軌道と、４次曲線の軌道であるレムニスケート曲線の軌道について、説明する。
【００２５】
あるプラントの状態を初期状態Ｏから目標状態Ｌまで，決められた時間ｔｆで制御することを考える。このとき、制御量が最小化された滑らかな目標軌道を躍度最小化軌道と呼ぶ（非特許文献：lash, T., Hogan, N.: The coordination of arm movements: An experimentally F confirmed mathematical model, Journal of Neuroscience, 5, 1688-1703, 1985を参照）。
【００２６】
プラントの状態量を目標値に追従させる制御（以下、目標追従制御とも称す）において、状態量をｘ（ｔ）とし、初期位置０、経過時間ｔ、到達時間tf、目標値Ｌとすると、躍度最小化軌道は、以下の式（１）で表される。
【数１】
2016162311.tif 000003
【００２７】
躍度最小化軌道は、制御量を最小化した滑らかな目標軌道である。しかしながら、ＳＭＣ２０が、躍度最小化軌道の曲線を切換面とした上で、スライディングモード制御を実行する場合には、式（１）に示すように、高次の演算処理を要してしまう。そのため、本願発明は、躍度最小化軌道を近似させた４次関数として、レムニスケートの曲線関数を用いて、レムニスケート曲線の軌跡で表される切換面により、スライディングモード制御を行っている。
【００２８】
以下、レムニスケート曲線の導出式を、図２を用いつつ説明する。図２は、レムニスケート曲線を示す相平面の座標系である。相平面は、横軸（ｘ軸）を状態量とし、縦軸（ｙ軸）を状態量の１階微分としており、状態量が右半平面に存在する場合を示している。以下の説明でも、状態量は相平面の右半平面に存在したとする。レムニスケート曲線の直線ｌは、点Ｐにおける接線である。なお、状態量が相平面の左半平面に存在する場合も以下と同様に説明できる。
【００２９】
レムニスケート曲線は、極座標形式の方程式である下記式（２）で表され、図３に示すドーナツ状のトーラス体を輪切りにすることで得られる曲線である。図３は、トーラス体を示した座標系である。なお、図３に示すトーラス体は、下記（２）において、ａ＝１とした場合のグラフである。
【数２】
2016162311.tif 000004
【００３０】
式（２）で示す曲線を、直交座標系で表すと下記式（３）で表される。
【数３】
2016162311.tif 000005
【００３１】
直交座標系で表されるレムニスケート曲線を、ｘ軸にａ倍し、ｙ軸にｂ倍することで拡大させると、下記式（４）が得られる。なお、式（３）と式（４）との関係は、円の方程式と、円の方程式を縦軸と横軸にそれぞれ倍することで得られる楕円の方程式の関係と同様である。
【数４】
2016162311.tif 000006
【００３２】
ここで式（４）の両辺をｘで微分すると、下記式（５）が得られる。
【数５】
2016162311.tif 000007
【００３３】
2016162311.tif 000008
【００３４】
図２に示す相平面は、位置（ｘ）を横軸とし、速度（ｘ＿ｉ）を縦軸とすると、質点系の運動を表す平面となる。以下、当該平面上において、レムニスケート曲線の軌跡（トラジェクトリー）を考える。
【００３５】
曲線上の任意の点における接線の傾きは式（６）で表される。
【数６】
2016162311.tif 000009
【００３６】
ｘ＞０、ｘ＿ｉ＞０、ｘ＿ｉｉ＜０の場合を仮定して第１象限について考える。なお、レムニスケート曲線は、ｘ軸及びｙ軸に対して線対称な図形であるため、第２象限、第３象限及び第４象限についても、同様に証明できる。
【００３７】
図２に示すように、第１象限内の点Ｐ（ｘ、ｘ＿ｉ）を通るレムニスケート曲線は下記式（７）で表される。
【数７】
2016162311.tif 000010
【００３８】
点Ｐにおける曲線の接線ｌの傾きは、式（５）及び式（６）より、式（８）で表される。なお、下記式以降、点Ｐは初期状態として（ｘ０、ｘ０＿ｉ）としている。
【数８】
2016162311.tif 000011
【００３９】
式（７）を変形することで式（９）が得られる。
【数９】
2016162311.tif 000012
【００４０】
式（９）を式（８）に代入することで、式（１０）が得られる。
【数１０】
2016162311.tif 000013
【００４１】
ここで、ｂ＝ａｓと置き、式（１０）を変形すると、式（１１）が得られる。
【数１１】
2016162311.tif 000014
【００４２】
また、ｓ２＝Ｔと置き、２次方程式の解の公式を適用することで、式（１２）が得られる。
【数１２】
2016162311.tif 000015
【００４３】
さらに、レムニスケート曲線は、原点における接線の傾きが±１となる。そのため、ｘ軸及びｙ軸にそれぞれａ倍及びｂ倍したレムニスケート曲線において、原点を通る接線の傾き（ｓ）は、ｓ＝ｂ／ａで表される。なお、原点近傍の傾きは、プラント１１の減衰係数（ζ）と角周波数（ω）を用いて、ｓ＝−（２ζ／ω）と表すこともできる。そして、式（１２）と接線の傾きの関係から下記式（１３）及び式（１４）が得られる。
【数１３】
2016162311.tif 000016
【数１４】
2016162311.tif 000017
【００４４】
上記のような関係式によって、状態量の初期状態を示す点Ｐ及び平衡点を示す原点を通り、点Ｐで傾き（ｘ＿ｉｉ／ｘ＿ｉ）の接線をもつ４次曲線の軌跡として、レムニスケート曲線の軌跡が導出できる。
【００４５】
次に、切換面をレムニスケート曲線で表した場合に、当該切換面を用いたスライディング制御について、式を用いて説明する。まず、スライディングモード制御における制御入力（図１において、プラント１１への制御入力）を導出する。ここで実プラントが式（１５）に示す２次系で表されるとする。
【数１５】
2016162311.tif 000018
ただし、α、βは、実モデルを表す係数である。ｕは制御入力である。
【００４６】
また，ノミナルモデルを式（１６）とする。
【数１６】
2016162311.tif 000019
ただし、αｒ、βｒは、ノミナルモデルを表す係数である。γは参照入力値である。
【００４７】
誤差eは式（１７）で表せる。
【数１７】
2016162311.tif 000020
【００４８】
レムニスケート曲線の軌跡で表される切換面σを式（１８）のように定義する。
【数１８】
2016162311.tif 000021
【００４９】
そして、切換面σの１階微分値（σ＿ｉ）は下記式（１９）で表される。
【数１９】
2016162311.tif 000022
【００５０】
また、Lyapunov関数Vを式（２０）のように定義する。
【数２０】
2016162311.tif 000023
【００５１】
そして、下記式（２１）を満たせば状態量が切換面（スライディング面）に拘束される事が保証される。
【数２１】
2016162311.tif 000024
【００５２】
式（２１）に、式（１８）及び式（１９）を代入すると、式（２２）が得られる。
【数２２】
2016162311.tif 000025
【００５３】
式（２２）の左辺左側の括弧内の式はレムニスケート曲線の方程式であり，誤差の状態量（ｅ、ｅ＿ｉ）がレムニスケートの閉曲線の内側に存在するときには、左辺左側の括弧内の式は負の値をとる。一方、誤差の状態量（ｅ、ｅ＿ｉ）がレムニスケートの閉曲線の外側に存在するときには、左辺左側の括弧内の式は正の値をとる。そのため、式（２２）が成立するためには、左辺右側の括弧内の式が左辺左側の括弧内の式の符号と逆の符号をとる必要がある。ゆえに、Lyapunov関数で示される条件を満たしつつ、式（２２）からｕを導出することで、制御入力が得られる。
【数２３】
2016162311.tif 000026
ただし、Ｋはゲインであり、ｓｇｎは符号関数である。
【００５４】
ここで、式（２３）の符号関数を含む項の波括弧内の項が切換制御項（ｕＮＬ）であり、その他の項が等価制御項（ｕＬ）である。そして、図１を参照し、等価制御入力演算部２５は、線型のフィードバック項として式（２３）で表される等価制御項（ｕＬ）を演算し、切換制御入力演算部１６は、所定のゲイン（Ｋ）をもった非線形フィードバック項として式（２３）で表される切換制御項（ｕＮＬ）を演算する。また、等価制御項（ｕＬ）及び切換制御項（ｕＮＬ）に対して、目標値（ｒ）が加算されることで、プラント１１への制御入力が演算される。これにより、スライディングモード制御における制御入力が導出される。
【００５５】
状態量（点Ｐ）が第１切換面で拘束された状態で、状態量が遷移点に到達するまでは、ＳＭＣ２０は、上記の制御手法により、スライディングモード制御を行っている。そして、状態量が遷移点に到達した後には、ＳＭＣ２０は切換面を第１切換面から第２切換面に遷移しつつ、第２切換面を用いてスライディングモード制御を行っている。
【００５６】
図４を用いて、切換面の遷移と、第２切換面に切り替わった後のスライディングモード制御について説明する。図４は、第１切換面におけるスライディングモード制御と、第２切換面におけるスライディングモード制御を、相平面上で示した概念図である。縦軸を状態量の誤差（ｅ）とし、縦軸を誤差の１階微分値（ｅ＿ｉ）とする。Ｅはレムニスケート曲線による切換え面を示し、点Ｐは状態量の誤差の初期状態を示し、点Ｑは遷移点を示し、Ｌは１次関数の線型切換え面を示す。領域Ｓは、第１切換面を用いてスライディングモード制御を行う領域を表している。なお平衡点は原点である。
【００５７】
領域Ｓは、平衡点を中心点とした楕円で表される。また領域Ｓは、下記式（２４）で表される。
【数２４】
2016162311.tif 000027
ｑは所定の係数である。遷移点Ｑは、レムニスケート曲線Ｅと領域Ｓを示す楕円との交点である。
【００５８】
誤差状態量の初期状態（点Ｐ）から遷移点Ｑに到達するまでは、誤差状態量はレムニスケート曲線の軌跡で表される切換面上で拘束されつつ、レムニスケート曲線Ｅ上を移動する。そして、誤差状態量が平衡点に到達し、誤差状態量が領域Ｓ内に入った場合には、ＳＭＣ２０は切換面を第１切換面から第２切換面に遷移する。
【００５９】
第２切換面は、誤差状態量を示す点と原点を通る１次関数（線形関数）で表される。また第２切換面を示す１次関数の傾きは、ｓ＝ｂ／ａで表される。すなわち、第２切換面の傾きは、レムニスケート曲線の原点を通る接線の傾きとなる。そして、領域Ｓ内で、直線Ｌで表される切換面上で拘束されつつ、直線Ｌ上を移動する。
【００６０】
上記のように、ＳＭＣ２０は、スライディングモード制御を行う際の切換面を複数もっており、状態量が遷移点Ｑに到達した場合に切換面を遷移させる。レムニスケート曲線は閉曲線である。そして、レムニスケート曲線の切換面のみでスライディングモード制御を行い、状態量が平衡点にとどまらなかった場合には、状態量は周回軌道を描く。また、レムニスケート曲線は閉曲線なので平衡点への収束時に、躍度が大きくなり、振動が誘発する可能性がある。本発明は、複数の異なる切換面を条件に応じてレムニスケート曲線をもつ切換面から他の軌道をもつ切換面に遷移させることができるため、状態量が平衡点にとどまり、システム安定化を実現できる。
【００６１】
次に、図５を用いて、ＳＭＣ２０によるスライディングモード制御の制御フローを説明する。
【００６２】
ステップＳ１にて、ＳＭＣ２０の誤差観測推定部２２は、誤差状態量の初期状態の観測又は推定を行う。ステップＳ２にて、切換面生成部２４は、第１切換面生成部２４ａにより第１切換面を生成し、スライディングモード制御における切換面を第１切換面に設定する。ステップＳ３にて、ＳＭＣ２０は、第１切換面に沿ったスライディングモード制御を行うために、等価制御入力演算部２５及び切換制御入力演算部２６により等価制御項（ｕＬ）及び切換制御項（ｕＮＬ）を演算し、加算することで、プラントへの制御入力を演算し、プラントに出力する。
【００６３】
ステップＳ４にて、誤差観測推定部２２は現在の誤差状態量を観測及び推定を行い、制御領域判定部２３は、現在の誤差状態量が領域Ｓ（切換面を遷移させるための領域）内にあるか否かを判定する。現在の誤差状態量が領域Ｓ外である場合には、ステップＳ３に戻る。
【００６４】
現在の誤差状態量が領域Ｓ内である場合には、ステップＳ５にて、切換面生成部２４は、第２切換面生成部２４ｂにより第２切換面を生成し、スライディングモード制御における切換面を第２切換面に設定する。
【００６５】
ステップＳ６にて、誤差観測推定部２２は現在の誤差状態量を観測及び推定を行い、制御領域判定部２３は、現在の誤差状態量が領域Ｓ内にあるか否かを判定する。現在の誤差状態量が領域Ｓ外である場合には、ステップＳ３に戻る。すなわち、大きな外乱等が加わり、誤差状態量が領域Ｓ外となった場合には、再度、第１切換面の生成を行い、レムニスケート曲線を切換面としたスライディングモード制御が実行される。
【００６６】
一方、現在の誤差状態量が領域Ｓ内にある場合には、ＳＭＣ２０は、第２切換面に沿ったスライディングモード制御を行う（ステップＳ７）。ステップＳ８にて、ＳＭＣ２０は、現在の誤差状態量が平衡点に収束したか否かを判定する。現在の誤差状態量が平衡点に収束していない場合にはステップＳ６に戻り、現在の誤差状態量が平衡点に収束した場合には、ＳＭＣ２０によるスライディングモード制御の制御フローが終了する。
【００６７】
上記のように、本発明に係る制御装置は、相平面において、状態量の初期状態を示す点Ｐ及び平衡値を示す原点を通り、かつ、点Ｐで傾き（ｘ＿ｉｉ／ｘ＿ｉ）の接線をもった４次曲線の軌跡で、相平面上に表される切換面を生成し、当該切換面に沿ったスライディングモード制御を実行する。これにより、外乱やモデル化誤差等の不確かさの影響を受けにくくなり、ロバスト性の高い制御方法及び制御装置を実現できる。
【００６８】
ところで、特許文献１に示したような従来の制御手法では、以下に掲げる問題があった。以下、図６を用いて、従来の制御手法による問題を説明する。図６は、従来の制御手法において、状態量が平衡点に収束する際の状態を示した概念図であって、相平面の座標で表している。
【００６９】
従来の制御手法は、到達モードとスライディングモードとの二つのモードで制御を行っている。到達モードは、切換面から離れた位置にある初期値ｅ（０）を切換面に拘束させる制御モードである。初期値ｅ（０）は誤差状態量の初期状態を示す値である。スライディングモードは、誤差状態量が平衡点を通る一次関数（ｅ＿ｉ＝−ａｅ）の切換面で拘束された状態で、誤差状態量を平衡点に収束させる制御モードである。ただし、ａは傾きであって、ａ＞０とする。
【００７０】
まず到達モードは、外乱等の不確かさの影響を受けやすい制御モードであるため、ロバスト性が低くなる。また、相平面において、初期値は制御対象物の状態により様々な位置にあるため、初期値と切換面との間の距離は制御対象物の状態に応じて変化し、不確かさの影響も受けるため、初期状態が切換面に拘束されるまでの時間をコントローラ側で把握することができない。そのため、コントローラは制御対象物の制御タイミングを把握できない。
【００７１】
さらに到達モードは、システムのダイナミクスに関係なく状態量を強制的に線形関数の切換面上に拘束するように，過大な制御量を必要とする。そして、このような制御系における切換制御入力は、非常にハイゲインな非線形特性を持つフィードバック項になる。そして、スライディングモードは、非線型特性のハイゲインと、システムが持つ遅れ要素の影響を受けるため、チャタリングと呼ばれる高周波振動現象が生じてしまう。
【００７２】
本実施形態では、上記のように、状態量の初期状態から平衡点までの全過程で、スライディングモード制御を確立させているため、到達モードが発生しない。そのため、外乱やモデル化誤差の影響を受けにくい制御則が実現でき、ロバスト性が高まる。また、マッチング条件と呼ばれる、不確かさが制御入力チャネルで表せる条件を満たす場合には，不確かさの影響を無効化できる。
【００７３】
また本実施形態では、相平面において、状態量は、初期状態から平衡点に収束するまで、切換面上に沿って移動するため、ＳＭＣ２０は、平衡点に収束するまでの収束時間も演算できる。ゆえに、本実施形態では、幾何的解析により初期状態から平衡状態に至るまでの収束時間の解析解が得られるので、容易に制御性能を見積もることもできる。
【００７４】
さらに、本実施形態では、スライディングモード制御中に、到達モードのようなハイゲインの影響や、システムの遅れ要素の影響も抑制されるため、チャタリングも抑制できる。
【００７５】
次に、切換面の軌跡を、レムニスケート曲線、楕円、及び線形にした場合を比較した上で、エネルギー効率の違いについて説明する。
【００７６】
一般に１次遅れ系の伝達関数（Ｇ１（ｓ））は下記式（２５）で示される。２次遅れ系の伝達関数（Ｇ２（ｓ））は、２次標準形の伝達関数であり、下記式（２６）で示される。
【数２５】
2016162311.tif 000028
【数２６】
2016162311.tif 000029
【００７７】
Ｔは１次遅れ系の時定数であり、ζは２次遅れ系の減衰係数であり、ωは２次遅れ系の角周波数である。
【００７８】
式（２６）で表される２次の安定化モデルにおいて、減衰係数（ζ）を０．４、０．６、１．０、及び２．０とした場合に、初期状態から平衡点に収束するまでの軌跡は、図７のような軌跡となる。
【００７９】
図７は、レムニスケート曲線、楕円及び線形をそれぞれ示した相平面の座標系である。相平面は、横軸（ｘ軸）を誤差状態量とし、縦軸（ｙ軸）を誤差状態量の１階微分とする。点Ｐは初期状態の状態量を示す。グラフ「レムニスケート曲線」は、切換面をレムニスケート曲線とした場合に、初期状態から平衡点まで収束するまでの軌跡を表している。また、グラフ「楕円」は、切換面を楕円とした場合の軌跡を示し、「線形」は、切換面を直線とした場合の軌跡を示す。なお、制御対象のモデルが１次遅れ系である場合には、状態量は、「線形」の軌跡で表される切換面に拘束されつつ、平衡点に収束する。
【００８０】
図７に示すように、減衰係数が大きい場合（例えばζが１．０以上の場合）、すなわち、モデルがオーバーダンピング特性をもつ２次遅れ系である場合には、相平面上の原点近傍において、状態量は１次遅れ系の挙動に近づく。そして、図７において、減衰係数が大きい場合に、「線形」の軌跡を示すグラフに対する一致性をみると、「レムニスケート」の方が、「楕円」と比較して、より「線形」のグラフの形に近い。そのため、オーバーダンピング特性をもつ２次遅れ系に対して、楕円曲線の軌跡で表される切換面を用いてスライディング制御を行った場合と、レムニスケート曲線の軌跡で表される切換面を用いてスライディング制御を行った場合とを比較すると、レムニスケート曲線に基づくスライディング制御の方が、エネルギー消費率を抑制できる。
【００８１】
また、２次遅れ系のモデルの減衰係数が１．０である場合に、「レムニスケート」、「楕円」、及び「線形」の切換面に基づくスライディング制御について、説明する。図８は、レムニスケート曲線、楕円及び線形をそれぞれ示した相平面の座標系であって、図７と同様の図である。ただし、縦軸及び横軸のスケールが異なるため、グラフの形状が図７のグラフに対して変わっているだけであって、「レムニスケート」、「楕円」、及び「線形」の特性に変わりはない。
【００８２】
「レムニスケート」、「楕円」、及び「線形」の軌跡で表される各切換面を用いて、状態量を初期状態から平衡点に収束するように制御を行った場合に、状態量の軌跡を図８に示す。図８において、状態量の軌跡は、『レムニスケートを用いたスライディングモード制御』、『楕円を用いたスライディングモード制御』、及び『線形切換え面を用いたスライディングモード制御』で示したグラフである。
【００８３】
切換面を表す軌跡が「線形」である場合には、状態量を切換面に拘束させるために到達モードが必要なり、平衡点の付近でチャタリングが生じている。そのため、エネルギーの消費量が大きくなる。一方、切換面を表す軌跡が「レムニスケート」である場合には、初期状態から平衡点までスライディング制御を行うことができるため、状態量はレムニスケート曲線に沿って移動する。また、切換面を表す軌跡が「楕円」である場合にも、同様に、状態量は楕円曲線に沿って移動する。
【００８４】
次に、図８に示した、状態量を平衡点に収束させる制御において、状態量の時間特性、状態量の１階微分値の時間特性、及び、エネルギー消費量の時間特性を、切換面毎に評価した。評価結果を図９及び図１０に示す。図９（ａ）は誤差状態量の時間特性を示すグラフであり、図９（ｂ）は誤差状態量の１階微分値の時間特性を示すグラフである。図１０は、エネルギー消費量の時間特性を示すグラフである。
【００８５】
図９（ａ）に示すように、切換面を表す軌跡が「線形」である場合には、誤差収束点の時間（ｔｃ）が、「レムニスケート」の誤差収束点の時間（ｔａ）及び「楕円」の誤差収束点の時間（ｔｂ）よりも長くなっている。誤差収束点は、誤差状態量が０に限りなく近くなった時点を示す。
【００８６】
図９（ｂ）に示すように、切換面の軌跡が「線形」である場合には、誤差状態量が誤差収束点（ｔｃ）に収束するまでの長い時間で、チャタリングが発生している。
【００８７】
図１０に示すように、誤差状態量が誤差収束点に収束するまでのエネルギー消費量を、Ｅａ、Ｅｂとする。Ｅａは、切換面の軌跡を「レムニスケート」とした場合のエネルギー消費量であり、Ｅｂは、切換面の軌跡を「楕円」とした場合のエネルギー消費量である。なお、切換面の軌跡を「線形」とした場合に、誤差状態量が誤差収束点に収束するまでのエネルギー消費量は、「レムニスケート」及び「楕円」のエネルギー消費量と比較して、相当大きくなるため、図１０では図示されていない。
【００８８】
切換面の軌跡を「レムニスケート」とした場合のエネルギー消費量（Ｅａ）は、切換面の軌跡を「線形」とした場合のエネルギー消費量（Ｅｂ）よりも低く、エネルギー消費量（Ｅｂ）と比較して約２０％程度、低くなっている。
【００８９】
上記のとおり、本実施形態では、切換面の軌道を、滑らかな最適軌道である躍度最小化軌道に準じた、レムニスケート曲線の軌跡とする切換面を生成し、当該切換面に基づいてスライディング制御を行っている。これにより、オーバーダンピング特性のシステムに対してはスライディング制御を行う際に、エネルギー効率を高めることができる。
【００９０】
次に、本実施形態に係るスライディング制御装置を、自動運転の舵角制御に適用した場合を例にとって説明する。自動運転の舵角制御は、例えば、電気自動車の非接触充電において、所定の駐車スペースに車両を駐車させる際に行われる。非接触充電では、地上側給電コイルと車両側受電コイルとの間の位置ずれは、地上から車両へのエネルギー伝達効率に大きく影響する。そのため、非接触充電では、車両の正確な位置決めが求められる。
【００９１】
図１１に、舵角制御システムのブロック図を示す。舵角制御システムは、目標軌道算出部１０１と、ＳＭＣ（スライドモード制御）制御部１０２と、アクチュエータ駆動部１０３と、アクチュエータ１０４と、車両１０５と、状態観測部１０６と、車両位置推定部１０７とを備えている。なお、図１１では、車両１０５と、他のシステムブロックとを分けて図示しているが、目標軌道算出部１０１等は車両に設けられている。
【００９２】
目標軌道算出部１０１は、車両１０５の現位置から目標となる駐車位置までの目標軌道を算出する。ＳＭＣ制御部１０２は、目標軌道算出部１０１で算出された目標軌道と、車両位置推定部１０７で推定される車両１０５の位置（実際の車両位置）から、車両位置を目標軌道に追随するように、切換面を生成しつつ、当該切換面に基づいてスライディングモード制御を行い、制御信号を生成する。
【００９３】
アクチュエータ駆動部１０３は、ＳＭＣ制御部１０２で生成された制御信号を受けて、アクチュエータ１０４を駆動させる。アクチュエータ１０４はステアリング機構に対して動力を与える装置である。アクチュエータ１０４が駆動すると、車両１０５の舵角が制御される。
【００９４】
状態観測部１０６は、舵角センサ及び車輪速パルスを用いて、車両の状態を観測する。車両位置推定部１０７は、状態観測部１０６の観測値を用いて、車両の現在の位置を推定する。そして、車両位置推定部１０７で推定された車両位置はＳＭＣ制御部１０２にフィードバックされて、ＳＭＣ制御部１０２は、目標軌道に対応する目標値と現在の車両位置との差を誤差状態量として演算し、当該誤差状態量に基づいてスライディングモード制御を行う。
【００９５】
なお、本実施形態の変形例として、現在の状態量（誤差状態量）が領域Ｓ内にある場合に、切換面生成部２４は、第２切換面の傾きを調整してもよい。第２切換面の傾きは、第２切換面を表す直線（１次関数）の傾きである。
【００９６】
切換面生成部２４は、第１切換面生成部２４ａにより、第１切換面のレムスケート曲線を演算すると、予め設定されている領域Ｓとレムニスケート曲線の交点である遷移点Ｑを演算する。遷移点Ｑは、領域Ｓの境界線上で、レムニスケート曲線との交点となる。遷移点Ｑを点（ｅ１、ｅ１＿ｉ）とする。
【００９７】
第１切換面に沿って誤差状態量が平衡点に収束する場合、誤差状態量は、第2切換面を示す１次関数の傾きを時定数とする１次遅れの動特性（ｅ（ｔ））となり、以下の式（２５）で表される。
【数２７】
2016162311.tif 000030
【００９８】
切換面の傾きを時間に応じて変化させた場合に、誤差状態量の動特性（ｅ（ｔ））は式（２８）で表せる。
【数２８】
2016162311.tif 000031
βは第２切換面の傾きの変化速度である。
【００９９】
現在の状態量が領域内にある場合には、第２切換面生成部２４ｂは、式（２８）を用いた演算により第２切換面を生成する。これにより、第２切換面生成部２４ｂは、誤差状態量が平衡点に収束する収束時間の経過に伴い、切換面の傾きが小さくなるように、切換面を調整している。そして、領域Ｓ内において、誤差状態量が平衡点（原点）に近づくほど、第２切換面の傾きが徐々に小さくなるため、制御の安定性が高まる。
【０１００】
なお上記の変形例では、誤差状態量の収束時間に応じて、第２切換面の傾きを調整したが、収束時間の代わりに、状態量から平衡点までの距離を用いて、第２切換面の傾きを調整してもよい。また、第２切換面の傾きを調整する場合に、初期状態の傾きを、レムニスケート曲線の原点における接線の傾きとしてもよい。
【０１０１】
上記の切換面生成部２４、等価制御入力演算部２５、切換制御入力演算部２６、及び加算器２７が本発明の「演算器」に相当する。
【０１０２】
《第２実施形態》
本発明の他の実施形態に係るスライディングモード制御装置及び制御方法を説明する。本実施形態では、上述した第１実施形態に対して、レムニスケートの軌跡で表される切換面、楕円の軌跡で表される切換面、及び１次関数の軌跡で表される切換面が選択可能であって、選択された切換面に基づきスライディング制御を行う点が異なる。これ以外の構成は上述した第１実施形態と同じであり、その記載を援用する。
【０１０３】
図１２は、他の実施形態に係るスライディング制御装置のブロック図である。切換面生成部２４は、第３切換面生成部２４ｃ、第４切換面生成部２４ｄ、第５切換面生成部２４ｅを有している。なお、ＳＭＣ２０に含まれる他の構成は、第１実施形態と同様であり、プラント１１及びプラントノミナルモデル１２も、第１実施形態と同様である。
【０１０４】
第３切換面生成部２４ｃは、相平面上で、誤差ｅの初期状態を示す点から遷移点まで、誤差を到達させる第３切換面を演算する。第３切換面は、レムニスケート曲線の軌跡で表される切換面である。第３切換面生成部２４ｃにおける切換面の生成方法は、第１実施形態と同様である。
【０１０５】
第４切換面生成部２４ｄは、相平面上で、誤差ｅの初期状態を示す点から遷移点まで、誤差を到達させる第４切換面を演算する。第４切換面は、楕円の軌跡で表される切換面である。第４切換面の軌跡である楕円曲線は、躍度最小化軌道を近似させた２次関数であり、以下の導出式によって導出できる。
【０１０６】
第４切換面の軌跡を表す楕円は、相平面上で、長軸又は短軸も何れか一方の軸をｘ軸と共有し、原点０と任意の点Ｐ（ｘ、ｘ＿ｉ）を通り、さらに，点Ｐにおいて接線ｌをもった楕円とする。接線ｌの傾き（ｘ＿ｉｉ／ｘ＿ｉ）は、状態量の２階微分の値を、状態量の１階微分で除算した値である。楕円は下記式（２９）で表される。
【数２９】
2016162311.tif 000032
【０１０７】
楕円曲線上の任意の点における接線ベクトルは式（３０）で表せる。
【数３０】
2016162311.tif 000033
【０１０８】
また，点Ｐで楕円に接する接線ｌは式（３１）で与えられる．
【数３１】
2016162311.tif 000034
【０１０９】
式（３０）及び式（３１）から式（３２）が得られる。
【数３２】
2016162311.tif 000035
【０１１０】
ここで、楕円を表す式（２９）に初期状態の点Ｐの座標を代入して式を変形すると式（３２）の関係から（３３）が得られる。
【数３３】
2016162311.tif 000036
【０１１１】
式（３３）の左辺と右辺でｂ＝ａｓとおいて（ｓは媒介変数を示す）、ｂを消去すると式（３４）が得られる
【数３４】
2016162311.tif 000037
【０１１２】
また式（３３）の中辺と右辺に式（３４）を代入すると式（３５）が得られる。
【数３５】
2016162311.tif 000038
【０１１３】
なお、相平面における楕円軌跡の因果性を満たすためには、時計回りに発展する必要がある。そして、楕円上に初期状態（点Ｐ）を持つとき、ｘ０＞ａの場合には、最大値の速度から最小値の速度に向かうため、加速度（ｘ０＿ｉｉ）は常に負となり、ｘ０＜ａの場合には、最小値の速度から最大値の速度に向かうため、加速度（ｘ０＿ｉｉ）は常に正となる。
【０１１４】
上記の式（２９）から式（３５）で示されるように、相平面の座標において、原点Ｏを通り、長軸又は短軸のいずれか一方をｘ軸と共有する楕円に対して、任意の初期状態（点Ｐ）が与えられれば、第４切換面を表す楕円が一意的に与えられることになる（言い換えると、式（２９）の変数（ａ、ｂ）が、点Ｐの座標（（ｅ０、ｅ０＿ｉ、ｅ０＿ｉｉ）又は（ｘ０、ｘ０＿ｉ、ｘ０＿ｉｉ））から導出できるため、楕円を表す式が一意的に規定される）。
【０１１５】
第５切換面生成部２４ｅは、線形の軌跡で表される第５切換面を生成する。第５切換面は、相平面上で、平衡点を通る１次関数で表される切換面である。
【０１１６】
切換面生成部２４は、ノミナルプラントの動特性に応じて、第３切換面、第４切換面及び第５切換面の中から、スライディングモード制御に用いる切換面を選択する。切換面の選択方法は、後述する。
【０１１７】
等価制御入力演算部２５及び切換制御入力演算部２６は、選択された切換面に応じて、等価制御入力（ｕＬ）及び切換制御入力（ｕＮＬ）を演算する。第３切換面が選択された場合の、等価制御入力演算部２５及び切換制御入力演算部２６の演算方法は、第１実施形態と同様である。
【０１１８】
第４切換面が選択された場合には、等価制御入力演算部２５及び切換制御入力演算部２６は、以下に説明する導出式に基づいて、等価制御入力（ｕＬ）及び切換制御入力（ｕＮＬ）を演算している。
【０１１９】
実プラント、ノミナルモデル及び誤差ｅが、第１実施形態で示した式（１５）〜式（１７）でそれぞれ表すことができ、楕円曲線の軌跡で表される第４切換面σを、下記式（３６）で定義する。
【数３６】
2016162311.tif 000039
【０１２０】
切換面σの１階微分値（σ＿ｉ）は下記式（３７）で表される。
【数３７】
2016162311.tif 000040
【０１２１】
そして、第１実施形態で示した式（２１）の条件を満たす場合に、状態量が切換面（スライディング面）に拘束される事が保証される。式（２１）に、式（３６）及び式（３７）を代入すると、式（３８）が得られる。  
【数３８】
2016162311.tif 000041
【０１２２】
式（３８）の左辺左側の括弧内の式は楕円の方程式であり，誤差の状態量（ｅ、ｅ＿ｉ）が楕円内側に存在するときには、左辺左側の括弧内の式は負の値をとる。一方、誤差の状態量（ｅ、ｅ＿ｉ）が楕円外側に存在するときには、左辺左側の括弧内の式は正の値をとる。そのため、式（３８）が成立するためには、左辺右側の括弧内の式が左辺左側の括弧内の式の符号と逆の符号をとる必要がある。ゆえに、式（３８）を満たしつつ、式（３８）のｕを導出することで、制御入力が得られる。
【数３９】
2016162311.tif 000042
ただし、Ｋはゲインであり、ｓｇｎは符号関数である。
【０１２３】
式（３９）の第１項の波括弧内の項が等価制御項（ｕＬ）であり、第２項の波括弧内の項が切換制御項（ｕＮＬ）である。そして、等価制御入力演算部２５は、線型のフィードバック項として式（３９）で表される等価制御項（ｕＬ）を演算し、切換制御入力演算部２６は、所定のゲイン（Ｋ）をもった非線形フィードバック項として式（３９）で表される切換制御項（ｕＮＬ）を演算する。
【０１２４】
次に、切換面生成部２４における切換面の選択方法について、説明する。切換面生成部２４は、切換面を選択する際に指標となるノミナルプラントの動特性として、制御対象モデルの減衰係数を用いている。また、切換ゲイン（Ｋ）、エネルギー消費量は、プラント１１の減衰係数に対する依存性をもっている。そのため、切換面生成部２４は、減衰係数に対する切換ゲイン、又は、減衰係数に対するエネルギー消費量を抑制できるように、減衰係数に応じて切換面を選択している。
【０１２５】
図１３及び図１４に、プラント１１の減衰係数に対する切換ゲイン（Ｋ）の特性、及び、エネルギー消費量の特性を示す。図１３は切換ゲイン（Ｋ）の特性を示すグラフであり、図１４はエネルギー消費量の特性を示すグラフである。図１３及び図１４において、「レムニスケート」は、切換面をレムニスケート曲線とし、当該切換面に基づき制御を行った場合の特性を示す。「楕円」は、切換面を楕円曲線とし、当該切換面に基づき制御を行った場合の特性を示す。「線形」は、切換面を一次関数とし、当該切換面に基づき制御を行った場合の特性を示す。
【０１２６】
図１３に示すように、減衰係数が２以下である場合には、「線形」のときのゲイン（Ｋ）が最も高く、「レムニスケート」及び「楕円」のゲインは低い。そのため、減衰係数が２以下である場合であって、ゲイン（Ｋ）を抑えたい場合には、切換面生成部２４は第３切換面又は第４切換面のいずれか一方を、スライディング制御の切換面として選択する。また、モデルの伝達系がアンダーダンピング特性（例えば減衰係数が１以下の場合）をもつ場合には、「線形」のときのゲイン（Ｋ）が、「レムニスケート」及び「楕円」比べて、顕著に高くなっている。そのため、プラント１１がアンダーダンピング特性をもつ場合には、切換面生成部２４は、第５切換面を選択しないようにする。
【０１２７】
減衰係数が２より大きく４未満である場合には、「レムニスケート」のゲインが最も高い。また、「線形」のゲインは、減衰係数の２から４までの範囲内のうち、大半の範囲（減衰係数が約２．５以上の範囲）で、「レムニスケート」及び「楕円」より低くなっている。そのため、減衰係数が２より大きく４未満である場合であって、ゲイン（Ｋ）を抑えることを最優先する場合には、切換面生成部２４は、第５切換面を選択する。なお、「レムニスケート」及び「楕円」のゲインも、極端には高くなっていないため、切換面生成部２４は、第３切換面又は第４切換面を選択してもよい。
【０１２８】
減衰係数が４以上である場合には、「レムニスケート」及び「楕円」のゲインが、「線形」のゲインよりも高い。そのため、減衰係数が２より大きく４未満である場合であって、ゲイン（Ｋ）を抑えることを最優先する場合には、切換面生成部２４は、第５切換面を選択する。
【０１２９】
図１４に示すように、減衰係数が２以下である場合には、「線形」のエネギー消費量が最も高く、「レムニスケート」及び「楕円」のエネルギー消費量は低い。そのため、減衰係数が２以下である場合であって、エネルギー消費量を抑えたい場合には、切換面生成部２４は第３切換面又は第４切換面のいずれか一方を、スライディング制御の切換面として選択する。また、モデルの動特性がアンダーダンピング特性をもつ場合には、「線形」のときのゲイン（Ｋ）が、「レムニスケート」及び「楕円」比べて、顕著に高くなっている。そのため、プラント１１がアンダーダンピング特性をもつ場合には、切換面生成部２４は、第５切換面を選択しないようにする。
【０１３０】
減衰係数が２より大きく４未満である場合には、「レムニスケート」のエネルギー消費量が、減衰係数の２から４までの範囲内のうち、大半の範囲（減衰係数が約３．３以上の範囲）で、「楕円」及び「線形」より低くなっている。そのため、減衰係数が２より大きく４未満である場合であって、エネルギー消費量を抑えることを最優先する場合には、切換面生成部２４は、第３切換面を選択する。
【０１３１】
減衰係数が４以上である場合には、「線形」のエネルギー消費量が最も低く、「レムニスケート」及び「楕円」のエネルギー消費量は高い。そのため、減衰係数が４以上である場合であって、エネルギー消費量を抑えたい場合には、切換面生成部２４は第５切換面を、スライディング制御の切換面として選択する。また、「レムニスケート」及び「楕円」のエネルギー消費量は、減衰係数が４を超えると、さらに大きくなるため、切換面生成部２４は、第３切換面及び第４切換面を選択しないようにする。
【０１３２】
また、切換面生成部２４は、以下に説明するように、即応性を高めるように、減衰係数に応じて切換面を選択してもよい。即応性は、状態量が平衡点に収束するまでの時間に相当し、収束するまでの時間が短いほど、即応性が高いことになる。
【０１３３】
第１実施形態で示した図７を参照しつつ、状態量が平衡点に収束する際の、状態量の速度（ｅ＿ｉ又はｘ＿ｉ）について説明する。状態量の速度は、平衡点の収束する際の速度と対応している。「レムニスケート」、「楕円」、及び「線形」のうち、状態量の最大速度の絶対値が最も大きい切換面は、「楕円」である。そのため、切換面生成部２４は、即応性を最優先する場合には、第４切換面を選択する。なお、即応性については、切換面の軌跡が「レムニスケート」又は「線形」であっても、十分な即応性を期待できるため、切換面生成部２４は、第４切換面に限らず、第３切換面又は第５切換面を選択してもよい。
【０１３４】
上記のように、切換面生成部２４は、切換ゲインが低くなるように、エネルギー消費量が低くなるように、又は、即応性が高くなるように、第３切換面、第４切換面及び第５切換面の中から、スライディング制御の切換面を選択している。
【０１３５】
図１５に、減衰係数、特徴、及び切換面の関係を示す。特徴は、エネルギー消費量、切換ゲイン、及び、即応性である。図１５において、「◎」、「○」及び「△」は選択可能な切換面であり、「◎」が最も選択に適しており、「○」、「△」の順で選択に適していることを示す。「×」は選択不可である。なお、本実施形態の説明では、「×」を選択不可としているが、実際のモデルに応じて、「×」に対応する選択面が選択されてもよい。
【０１３６】
切換面生成部２４は、切換ゲインが最も小さくなるように切換面を選択する際には、次のように選択する。減衰係数が２以下である場合には、切換面生成部２４は、第３切換面又は第４切換面のいずれか一方を選択する。減衰係数が２より大きく４未満である場合には、切換面生成部２４は、第５切換面を選択する。減衰係数が４以上である場合には、切換面生成部２４は、第５切換面を選択する。
【０１３７】
切換面生成部２４は、エネルギー消費量が最も小さくなるように切換面を選択する際には、次のように選択する。減衰係数が２以下である場合には、切換面生成部２４は、第３切換面又は第４切換面のいずれか一方を選択する。減衰係数が２より大きく４未満である場合には、切換面生成部２４は、第３切換面を選択する。減衰係数が４以上である場合には、切換面生成部２４は、第５切換面を選択する。
【０１３８】
切換面生成部２４は、即応性が最も大きくなるように切換面を選択する際には、切換面生成部２４は、第４切換面を選択する。
【０１３９】
次に、図１６を用いて、ＳＭＣ２０によるスライディングモード制御の制御フローを説明する。
【０１４０】
ステップＳ２１にて、ＳＭＣ２０の誤差観測推定部２２は、誤差状態量の初期状態の観測又は推定を行う。ステップＳ２２にて、切換面生成部２４は、第３切換面生成部２４ｃ、第４切換面生成部２４ｄ、第５切換面生成部２４ｅにより第３切換面、第４切換面及び第５切換面を生成する。
【０１４１】
ステップＳ２３にて、切換面生成部２４は、プラント１１の減衰係数に応じて、第３切換面、第４切換面及び第５切換面の中から、スライディングモード制御に用いる切換面を選択する。例えば、切換面生成部２４は、エネルギー消費量が最も小さくなるように、切換面を選択する。
【０１４２】
ステップＳ２４にて、ＳＭＣ２０は、選択された切換面に沿ったスライディングモード制御を行う。ステップＳ２５にて、ＳＭＣ２０は、現在の誤差状態量が平衡点に収束したか否かを判定する。現在の誤差状態量が平衡点に収束していない場合にはステップＳ２４に戻り、現在の誤差状態量が平衡点に収束した場合には、ＳＭＣ２０によるスライディングモード制御の制御フローが終了する。
【０１４３】
上記のように、本実施形態では、第３切換面、第４切換面、及び第５切換面の中から、スライディング制御に用いる切換面を選択する。これにより、スライディング制御を行う際に、モデルの特性に応じた最適な切換面を選択することができる。
【０１４４】
また本実施形態では、スライディングモード制御により制御対象物を制御する際に消費されるエネルギーが最も小さくなるように、ノミナルプラントの動特性に応じて、第３切換面、第４切換面及び第５切換面の中から選択し、スライディング制御に用いる切換面を選択する。これにより、エネルギー消費量を低減できる。
【０１４５】
また本実施形態では、切換制御ゲインが最も小さくなるように、ノミナルプラントの動特性に応じて、第３切換面、第４切換面及び第５切換面の中から選択し、スライディング制御に用いる切換面を選択する。これにより、ゲインを抑制できる。
【０１４６】
また本実施形態では、状態量が平衡点に収束するまでの時間が最も短くなるように。ノミナルプラントの動特性に応じて、第３切換面、第４切換面及び第５切換面の中から選択し、スライディング制御に用いる切換面を選択する。これにより、即応性を高めることができる。
【０１４７】
なお、本実施形態の変形例として、切換面生成部２４は、エネルギー消費量、スライディングモード制御における切換制御ゲイン、及び即応性が最適化するように、ノミナルプラントの動特性に応じて、第３切換面、第４切換面及び第５切換面の中から選択し、スライディング制御に用いる切換面を選択してもよい。
【０１４８】
図１５に示すように、例えば、減衰係数が２より大きく４未満である場合に、「楕円」又は「線形」を選択すると、エネルギー消費量が高くなってしまう。一方、「レムニスケート曲線」を選択すると、切換ゲインは「線形」よりも高くなっているが、「線形」と比較した場合に、切換ゲインの増加幅は小さい。また「レムニスケート曲線」を選択すると、即応性は「楕円」より少し悪くなる程度である。そして、「レムニスケート曲線」を選択すると、エネルギー消費量が、「楕円」及び「線形」と比較して、大きく減少できる。そのため、変形例では、減衰係数が２より大きく４未満である場合には、「レムニスケート」を選択する。
【０１４９】
また、減衰係数が２以下である場合には、楕円を選択すると、切換ゲイン、エネルギー消費量、及び即応性で最適な結果を得ることができる。そのため、減衰係数が２以下である場合には、楕円を選択する。
【０１５０】
また、減衰係数が４以上である場合には、「レムニスケート」又は「楕円」を選択すると、エネルギー消費量が「線形」と比較して顕著に高くなり、また切換ゲインも高くなる。そのため、減衰係数が４以上である場合には、「線形」を選択する。これにより、エネルギー消費量を抑え、低い切換ゲインでスライディング制御を行うことができ、即応性も確保できる。
【符号の説明】
【０１５１】
１１…プラント
１２…プラントノミナルモデル
２０…スライディングモードコントローラ（ＳＭＣ）
２１…減算器
２２…誤差観測推定部
２３…制御領域判定部
２４…切換面生成部
２５…等価制御入力演算部
２６…切換制御入力演算部
２７…加算器
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
2016162311.tif 000052
【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
2016162311.tif 000055
【図１４】
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【図１５】
2016162311.tif 000057
【図１６】
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