(57)【要約】【課題】量子化処理に基づくオブザーバ算定位置の遅れを従来よりも軽減させる。【解決手段】オブザーバには、計測機器から量子化処理を経て得られた対象物の位置計測値と、オブザーバから求められた対象物の位置推定値との位置差分に基づいた状態変数修正量が含まれ、位置差分が計測機器の量子化単位以内である場合には、状態変数修正量を、予め定めた目標推定精度単位以内（例えば０）に設定する。【選択図】図６
2016139208.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
対象物に対して与えられる推力を入力変数とし、当該入力変数と前記対象物を含むシステムの状態変数との関係を表す状態方程式と、前記状態変数と出力変数である前記対象物の位置との関係を表す出力方程式と、を備える状態空間において、前記状態変数の少なくとも一部をオブザーバを用いて算出する、オブザーバを用いた位置の推定方法であって、
前記オブザーバには、計測機器から量子化処理を経て得られた前記対象物の位置計測値と、前記オブザーバから求められた前記対象物の位置推定値との位置差分に基づいた状態変数修正量が含まれ、
前記位置差分が前記計測機器の量子化単位以内である場合には、前記状態変数修正量を、予め定めた目標推定精度単位以内に設定することを特徴とする、オブザーバを用いた位置の推定方法。
【請求項２】
請求項１に記載の、オブザーバを用いた位置の推定方法であって、
前記位置差分が前記計測機器の量子化単位以内である場合には、前記状態変数修正量を０に設定することを特徴とする、オブザーバを用いた位置の推定方法。
【請求項３】
請求項２に記載の、オブザーバを用いた位置の推定方法であって、
前記位置差分が、前記計測機器の量子化単位を超過する場合には、前記位置計測値と位置推定値との差分から前記量子化単位を引いた値を位置差分として、前記状態変数修正量を算出することを特徴とする、オブザーバを用いた位置の推定方法。
【請求項４】
請求項２または３に記載の、オブザーバを用いた位置の推定方法であって、
前記対象物は推力によって往復移動させられ、
前記オブザーバにおける状態変数修正量は、前記位置差分とオブザーバゲインとの積により求められ、
前記オブザーバゲインの少なくとも一部の変数が、前記対象物の往路移動と復路移動とで切り替えられることを特徴とする、オブザーバを用いた位置の推定方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、オブザーバを用いた位置の推定方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
非特許文献１、２のように、従来から、システムのモデルを状態空間表現で表して当該システムの変化等を推定（算定）する手法が知られている。状態空間表現では入力変数とシステムの状態変数（内部パラメータ）との関係を表す状態方程式と、状態変数と出力との関係を表す出力方程式が用いられる。
【０００３】
このような状態空間表現を用いてフィードバック制御（状態フィードバック制御）を行うに当たり、すべての状態変数の値を把握する必要があることが従来から知られている。しかしながら、実際のシステムにおいては、すべての状態変数を計測することは不可能または不経済であることから、一部の状態変数については入力と出力との関係からこれを算定（推定）する、オブザーバと呼ばれる手法が用いられる。
【０００４】
図７に示すように、オブザーバでは実際のシステムをモデル化した物理モデルに基づいて方程式が立てられる。オブザーバでは、システムから実際に得られた（計測された）出力と、オブザーバによって算定された出力との差分（推定誤差）を求めるとともに、推定誤差に基づいて状態変数を修正する。
【０００５】
具体的には、オブザーバにオブザーバゲインと呼ばれるパラメータを導入して、推定誤差にオブザーバゲインを掛けたものを状態変数修正量とする。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【０００６】
【非特許文献１】梅野、「外乱オブザーバに基づく車両状態推定」、豊田中央研究所Ｒ＆Ｄレビュー、豊田中央研究所、平成６年１２月、第２９巻、第４号、ｐ．２３−３２
【非特許文献２】村山、「並列外乱オブザーバを用いたパラメータ同定」、計測自動制御学会東北支部  第１９５回研究集会、計測自動制御学会、平成１３年６月２２日、資料番号１９５−５
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００７】
ところで、状態空間表現を、推力を入力とし位置を出力とするようなシステムの位置算定手段として用いる場合がある。システムにおける実際の値（位置の実測値）を得るために、通常はリニアエンコーダ等の計測機器を使用する。
【０００８】
ここで、計測機器が計測値を出力するに当たっていわゆるデジタル処理を行う場合、その計測値は当該デジタル処理に伴って生じる量子化誤差の影響を受ける。すなわち、図８のように、計測機器から出力される計測値は、実際の位置よりも、量子化単位内の遅れを伴うものとなる。
【０００９】
しかしながら、従来のオブザーバでは、計測機器による計測値を計測対象の実際の位置とみなし、状態変数がこの値に追従するように、状態変数修正量を求める。実際の対象物位置（出力値）とは異なる値に追従するようにして状態変数修正量を求める結果、オブザーバに基づく算定位置は、当然のことながら実際の対象物位置とは異なる（遅れた）ものとなる。そこで、本発明は、量子化処理に基づくオブザーバ算定位置の遅れを従来よりも軽減させることの可能な、オブザーバを用いた位置の推定方法を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００１０】
本発明は、オブザーバを用いた位置の推定方法に関するものである。当該方法では、対象物に対して与えられる推力を入力変数とし、当該入力変数と前記対象物を含むシステムの状態変数との関係を表す状態方程式と、前記状態変数と出力変数である前記対象物の位置との関係を表す出力方程式と、を備える状態空間において、前記状態変数の少なくとも一部をオブザーバを用いて算出する。前記オブザーバには、計測機器から量子化処理を経て得られた前記対象物の位置計測値と、前記オブザーバから求められた前記対象物の位置推定値との位置差分に基づいた状態変数修正量が含まれる。また、前記位置差分が前記計測機器の量子化単位以内である場合には、前記状態変数修正量を、予め定めた目標推定精度単位以内に設定する。
【００１１】
また、上記発明において、前記位置差分が前記計測機器の量子化単位以内である場合には、前記状態変数修正量を０に設定することが好適である。
【００１２】
また、上記発明において、前記位置差分が、前記計測機器の量子化単位を超過する場合には、前記位置計測値と位置推定値との差分から前記量子化単位を引いた値を位置差分として、前記状態変数修正量を算出することが好適である。
【００１３】
また、上記発明において、前記対象物は推力によって往復移動させられ、前記オブザーバにおける状態変数修正量は、前記位置差分とオブザーバゲインとの積により求められ、前記オブザーバゲインの少なくとも一部の変数が、前記対象物の往路移動と復路移動とで切り替えられることが好適である。
【発明の効果】
【００１４】
本発明によれば、量子化処理に基づくオブザーバ算定位置の遅れを従来よりも軽減させることが可能となる。
【図面の簡単な説明】
【００１５】
【図１】本実施形態に係る位置の推定方法の対象である、フリーピストン式発電システムの概要を例示する図である。
【図２】図１に示すフリーピストン式発電システムの一部拡大図である。
【図３】本実施形態に係る位置の推定方法を説明する図である。
【図４】従来のオブザーバによる位置推定の結果を例示する図である。
【図５】本実施形態に係るオブザーバによる位置推定の結果を例示する図である。
【図６】本実施形態に係る位置推定のブロック図である。
【図７】従来の位置推定のブロック図である。
【図８】従来のオブザーバによる位置推定を説明する図である。
【発明を実施するための形態】
【００１６】
＜全体構成＞
図１には、本実施形態に係る位置の推定方法の対象として、フリーピストン式発電システムの概要が例示されている。フリーピストン式発電システムは、フリーピストン式発電機１０とその制御装置１８を備える。フリーピストン式発電機１０は、シリンダ１２、ピストン１４、及び位置検出器１６を備える。
【００１７】
フリーピストン式発電機１０はいわゆる縦置き型のものであってよく、例えば、燃焼室２０が鉛直方向下側に、空気ばね室２２が鉛直方向上側に配置された構成となっている。
【００１８】
シリンダ１２内の長手方向一端には燃焼室２０が設けられ、他端には空気ばね室２２が設けられている。ピストン１４はシリンダ１２内に配置され、燃焼室２０で発生する燃焼圧力と空気ばね室２２の圧縮に伴う反発力とで、燃焼室２０と空気ばね室２２との間を往復移動する。
【００１９】
ピストン１４の外周面には永久磁石２４が設けられ、またシリンダ１２内周面にはコイル２６が周方向に沿って巻き回されている。ピストン１４の往復移動に伴い、永久磁石２４とコイル２６とが相対移動する。これにより誘導起電力が生じて発電が行われる。
【００２０】
また、フリーピストン式発電機１０の始動時、つまりピストン１４を停止状態から往復運動状態にするために、フリーピストン式発電機１０を電動機として使用する。具体的には、コイル２６に励磁電流を流してピストン１４を移動させる。
【００２１】
制御装置１８は、位置検出器１６からピストン位置検出値を取得するとともに、後述する状態空間表現を用いて、ピストン１４の位置を推定する。さらに、推定されたピストン１４の位置に基づいて、燃焼室２０の燃焼タイミング等をコントロールする。
【００２２】
＜各構成の詳細＞
ピストン１４は、本実施形態に係る位置の推定方法の対象物であって、シリンダ１２内に収容され、当該シリンダ１２内を往復移動する。ピストン１４とシリンダ１２との間にはわずかなクリアランスが設けられており、燃焼室２０と空気ばね室２２との気体の流通を抑制しつつ、シリンダ１２内のピストン１４の移動を可能としている。
【００２３】
また、ピストン１４の外周面には、永久磁石２４が設けられている。永久磁石２４はピストン１４の全ストロークにおいてコイル２６と対面するように配置されていることが好適である。
【００２４】
ピストン１４の外周面には、永久磁石２４の他にも、スリット列３５が切られている。図１に示す例では、ピストン１４の紙面左右（両側面）にスリット列３５が切られているが、さらに９０°ずらした両側面にもスリット列３５が切られていてよい。つまりピストン１４の外周面には、周廻りに９０°間隔でスリット列３５が切られていてよい。また、これらスリット列３５は、位相をずらすようにして形成されていてよい。例えば隣り合うスリット３７，３７（図２参照）同士の間隔（ピッチ）ｄ１の４分の１毎ずらすようにして、各面にスリット列３５を切るようにしてもよい。このようにすることで、ピストン１４の位置を高精度に検出することが可能となる。
【００２５】
スリット列３５の拡大図、すなわち図１の一点鎖線の円で囲った部分の拡大図を図２に示す。スリット列３５はピストン１４の軸方向に沿ってスリット３７を複数切ることで構成される。また、本実施形態では、隣り合うスリット３７，３７のピッチが、他のピッチとは異なるような特徴部３６を設けている。例えば図２では、スリット３７，３７間のピッチｄ１とは異なるピッチｄ２となるような特徴部３６を、スリット列３５の中央部に設けている。なお、図１では、特徴部３６を、紙面上下のスリット列３５に設けているが、周廻りに複数形成されたスリット列３５のいずれかひとつに、特徴部３６を設けるようにしてもよい。
【００２６】
スリット列３５は、ピストン１４の全ストロークにおいて位置検出器１６と対向するように形成されていてよい。例えばピストン１４が上死点（最も燃焼室２０側の位置）にいる場合に、スリット列３５の紙面最も上側のスリット３７が位置検出器１６と対向するようにし、ピストン１４が下死点（最も空気ばね室２２側）にいる場合に、スリット列３５の紙面最も下側のスリット３７が位置検出器１６と対向するようにする。加えて、ピストン１４がストローク中央、つまり、シリンダ長の中央に位置するときに位置検出器１６と対向するように、特徴部３６をピストン１４に形成することが好適である。
【００２７】
図１に戻り、シリンダ１２は、中空の略筒形状部材である。ピストン１４の往復移動方向に沿って、言い換えると、シリンダ長手方向の一端には燃焼室２０が形成され、他端には空気ばね室２２が形成されている。燃焼室２０は、掃気孔３８、排気口４０、排気バルブ４２、インジェクタ４４、及び点火手段４６が設けられている。
【００２８】
掃気孔３８は、燃焼室２０内に新気を導入する。新気の導入に際して、図示しない掃気ポンプを駆動させることによって、外部から掃気孔３８に新気を導入するようにしてもよい。掃気孔３８は、例えば、シリンダ１２の内壁面に開口されていてよく、ピストン１４が上死点に位置しているときにはピストン１４によって塞がれるとともに、ピストン１４が下死点に位置しているときには開放されるような位置に形成されていてよい。
【００２９】
また、排気口４０は、燃焼室で新気と燃料との混合気を燃焼させた後の排気を、外部に排出する。また、排気口４０が無く、掃気孔３８のみで掃気・排気を行うループフロー式であってもよい。
【００３０】
インジェクタ４４は、燃料を噴射する噴射手段である。点火手段４６は、混合気に点火して燃焼圧力を生じさせる。また、点火手段４６の無い、圧縮自着火方式によって燃焼圧力を生じさせてもよい。
【００３１】
空気ばね室２２は、ピストン１４を燃焼室２０側に押し戻す機能を有している。ピストン１４が燃焼室２０側から空気ばね室２２側に移動する際に、空気ばね室２２が圧縮される。この圧縮により反発力が生じ、当該反発力により、ピストン１４が燃焼室２０側に押し戻される。
【００３２】
コイル２６は、シリンダ１２の内周面に設けられている。コイル２６は、ピストン１４の全ストロークに亘って、永久磁石２４と対向するような位置に設けられていることが好適である。また、コイル２６は、外部に設けられたインバータ等の電力変換器（図示せず）に接続される。コイル２６で発生した交流電力は電力変換器によって直流電力に変換されてバッテリ等の直流電源に供給される。また、フリーピストン式発電機１０を電動機として使用する際には、直流電源から供給された直流電力が電力変換器によって交流電力に変換されてコイル２６に供給される。
【００３３】
位置検出器１６は、対向するスリット列３５の通過を検出することでピストン１４の変位を検出する。また、位置検出器１６は、スリット列３５の特徴部３６を検出する。位置検出器１６は、コイル２６とともに、シリンダ１２の内周面に設けられる。上述したように、位置検出器１６はピストン１４の全ストロークに亘って、スリット列３５と対向するような位置に設けられていることが好適である。
【００３４】
位置検出器１６は、スリット３７の凹凸に応じて２つの値を取る。例えば、位置検出器１６がスリット３７の底面と相対しているときに、位置検出器１６は、検出信号Ｓ１Ｈを出力する。また、スリット３７，３７間の突出面と相対しているときに、位置検出器１６は、検出信号Ｓ１Ｌを出力する。
【００３５】
位置検出器１６内には、検出信号Ｓ１の値をカウントするカウンタが設けられてよい。例えば、位置検出器１６内のハードウェア回路によってカウンタが構成されてよい。位置検出信号Ｓ１の値（Ｈ／Ｌ）が増加する度にカウンタが増えるように構成されており、このカウンタ値によって、ピストン１４の位置が算出できる。また、カウンタ値は、スリット列３５の特徴部３６を検知したときにはリセットするように設定されていてもよい。このリセット動作により、ピストン１４の絶対位置を検出することが可能となる。カウンタ値は制御装置１８に送信される。
【００３６】
このように、位置検出器１６は、スリット３７の凹凸に応じて２値（Ｓ１Ｈ及びＳ１Ｌ）を取るデジタル処理を介してピストン１４の位置計測を行う。したがって、位置検出器１６による位置計測値信号は、図８で示したように階段状となる。Ｓ１Ｈとその次のＳ１Ｈとのカウント間隔が量子化単位となり、その分、位置検出器１６の計測値には量子化誤差が発生する。
【００３７】
位置検出器１６は、例えば、渦電流センサ、光学センサ、静電容量センサ等の非接触センサのいずれかから構成されてよい。なお、シリンダ１２内は潤滑用のオイル等がシリンダ１２の内表面やピストン１４の外表面に付着しており、光学的に良好な検出環境を確保することは困難となる場合がある。このような観点から、検出器１６として、渦電流センサや静電容量センサを用いることが好適である。
【００３８】
制御装置１８は、フリーピストン式発電機１０が安定的な駆動を行うために、ピストン１４の挙動を制御する。この挙動を制御するに当たり、制御装置１８は、位置検出器１６からピストン１４の位置計測値（カウンタ値）を取得するとともに、後述する状態空間表現に基づいて、ピストン１４の位置を推定（算定）する。
【００３９】
制御装置１８は、コンピュータから構成されてよく、例えば、演算回路であるＣＰＵ、メモリ等の記憶部、及び機器・センサインターフェースが内部バスを介して互いに接続されている。記憶部には、後述する状態空間表現制御プログラムが記憶されており、ＣＰＵが当該プログラムを実行することで、当該状態空間表現に基づいた、ピストン１４の位置算定が行われる。
【００４０】
制御装置１８は、機器・センサインターフェースを介して、周辺機器との信号授受を行う。具体的には、位置検出器１６からカウンタ値を受信し、ピストン１４の位置計測値を取得する。また、排気バルブ４２、インジェクタ４４、及び、点火手段４６に対して作動信号を送信する。
【００４１】
また、制御装置１８は、インジェクタ４４による燃料の噴射量等に基づいて、ピストン１４に加えられる推力を算出する。この推力は状態空間表現の入力変数として用いられる。
【００４２】
＜状態空間表現を用いた位置算定＞
制御装置１８による、状態空間表現を用いたピストン１４の位置算定について説明する。状態空間表現は既知の技術であることから、ここでは簡単に説明する。状態空間表現では、入力変数（推力）と対象物（ピストン１４）を含むシステムの状態変数との関係を表す、数式（１）で示す状態方程式と、状態変数と出力変数（対象物の位置）との関係を表す、数式（２）で示す出力方程式が用いられる。
【００４３】
【数１】
2016139208.tif 000003
【００４４】
数式（１）において、ｘは状態変数ベクトル、Ａはシステムの係数行列、Ｂは入力行列、ｕは入力変数ベクトルを表している。また数式（２）において、ｙは出力ベクトル（位置）、Ｃは出力行列を示している。数式（１）及び数式（２）のベクトル及び行列の各パラメータを例示すると、例えば数式（１）は数式（３）のように、数式（２）は数式（４）のように示すことができる。
【００４５】
【数２】
2016139208.tif 000004
【００４６】
システムがｎ次で可観測であると仮定すると、数式（３）中、ｘａはｐ次のセンサ等で測定できる状態ベクトルであり、例えば位置検出器１６による位置計測値である。ｘｂはｎ−ｐ次の測定されない状態ベクトルを示す。ｗａ及びｗｂはともに測定されない外乱を示し、例えば本実施形態のようにピストン１４等の対象物の位置推定を行う場合には、外力や摩擦等がこれに当たる。
【００４７】
数式（３）（４）は、測定されない状態ベクトルｘｂ、ｗａ、ｗｂを有するシステムとみなせる。そこで、これらの状態ベクトルを推定（算出）するために、下記数式（５）に示す完全次元オブザーバを設ける。
【００４８】
【数３】
2016139208.tif 000005
【００４９】
数式（５）のうち、
2016139208.tif 000006
は状態変数ベクトルｘの推定値を表している。Ａ，Ｂ，及びＣはそれぞれ数式（１）（２）と同様に、システムの係数行列、入力行列、及び出力行列を表している。Ｋはオブザーバゲインを表している。
【００５０】
ここで、数式（５）の右辺第３項のうち、オブザーバゲインＫを除いた括弧内は、計測機器（位置検出器１６）による位置計測値（ｘａ）とオブザーバから求められた対象物（ピストン１４）の位置推定値
2016139208.tif 000007
との位置差分（推定誤差）を表している。つまり、数式（５）の右辺第３項は、オブザーバゲインＫと位置差分とを掛けた、状態変数修正量を表している。オブザーバゲインの内容については後述する。
【００５１】
オブザーバによる位置推定値を実際の位置に同定させるための手法として、例えば以下のような手法が知られている。位置差分（推定誤差）は、下記数式（６）のように表すこともできる。
【００５２】
【数４】
2016139208.tif 000008
【００５３】
数式（１）（２）（５）から、数式（６）を解くと下記数式（７）が導かれることが知られている。
【００５４】
【数５】
2016139208.tif 000009
【００５５】
数式（７）から、右辺の行列（Ａ−ＫＣ）のすべての固有値の実数部を負に配置するようにオブザーバゲインＫを操作することで、下記数式（８）のように、位置差分を０にすることが可能となる。
【００５６】
【数６】
2016139208.tif 000010
【００５７】
＜位置差分の修正＞
制御装置１８は、上述した位置差分の算出に当たり、位置検出器１６による量子化誤差の影響を反映させる。すなわち、制御装置１８は、図３のように、数式（５）に示す位置差分が位置検出器１６の量子化単位以内である場合には、状態変数修正量を、予め定めた目標推定精度単位以内に設定するように、オブザーバの内容を変更する。目標推定精度単位は、量子化単位以下の値であってよく、例えば０であってよい。
【００５８】
上述したように、位置検出器１６は位置計測値の算出に当たり量子化処理を行う。したがって位置検出器１６による位置測定値には量子化誤差が含まれており、当該誤差分、実際のピストン１４の位置からずれている場合がある。そこで本実施形態では、位置計測値とオブザーバによる位置推定値との差が位置検出器１６による量子化単位以内であれば、オブザーバによる推定精度が位置検出器１６の検出精度に到達したものと捉え、オブザーバの状態変数修正量を、量子化単位を逸脱しない程度の僅かな量（例えば０）に設定している。このようにすることで、量子化処理に伴うオブザーバの位置推定値の遅れを従来よりも軽減させることが可能となる。
【００５９】
なお、位置計測値と位置推定値の差（位置差分）が量子化単位を超過している場合は、オブザーバの推定精度を向上させる必要がある。そこで、制御装置１８は、位置差分から量子化単位を引いた値を新たな位置差分として設定し、これに基づいて状態変数修正量を算出することが好適である。
【００６０】
＜オブザーバゲインの切り替え＞
上述したように、制御装置１８は、位置計測値と位置推定値の差（位置差分）を解消するために、オブザーバの状態変数修正量を設定する。
【００６１】
図４には、従来技術に係る状態変数の修正の様子が示されている。図４上段は対象物の実際の位置とオブザーバによる位置推定値との差を示したものである。中段は摩擦推定値の変化を示しており、下段は外力推定値の変化を示している。また、いずれのグラフも横軸は時間を表している。
【００６２】
従来のオブザーバでは、位置の座標軸上における位置計測値と位置推定値との差異をもとに、状態変数修正量を求めている。基本的には、位置計測値よりも位置推定値が遅れている場合、対象物（ピストン１４）を付勢する外力項を大きくし、対象物の移動を妨げる摩擦項を小さくするような状態変数の修正を行う。
【００６３】
しかしながら、対象物が推力によって位置の座標軸上で往復移動するような場合、上述のような状態変数の修正では、状態変数修正量が発散して目標推定精度単位以内に収束しないおそれがある。
【００６４】
例えば、対象物が位置の座標軸上プラス方向に移動する際（往路）に、位置推定値が位置計測値よりも遅れている場合(遅れ誤差)、位置推定値は位置計測値よりも座標軸上相対的に０側にプロットされる。このとき、位置推定値と位置計測値の位置差分を解消するために、外力項を大きくし、摩擦項を小さくするような状態変数の修正が行われる。
【００６５】
また、往路にて位置推定値が位置計測値よりも進んでいる場合（進み誤差）、位置推定値は位置計測値よりも座標軸上相対的にプラス側にプロットされる。このとき、位置推定値と位置計測値の位置差分を解消するために、外力項が小さく（０寄りに）され、摩擦項が大きくされるような状態変数の修正が行われる。
【００６６】
一方、対象物が位置の座標軸上マイナス方向に移動する際（復路）に、位置推定値が位置計測値よりも遅れている場合、座標軸上、位置推定値は位置計測値よりも相対的にプラス側にプロットされる。これは座標軸上、往路での進み誤差と同様となる。従来のオブザーバでは、このような復路での遅れ誤差を解消する際に、往路での進み誤差と同様の状態変数の修正、つまり、外力項が小さくされ、また摩擦項が大きくされるような修正が行われる。
【００６７】
外力項は座標軸上プラス方向に向いているため、外力項を小さくすることで、座標軸上マイナス方向に向かう対象物の位置推定値は位置計測値に近づく作用が得られる。しかしながら、摩擦項が大きくなるような修正が施されるため、対象物の位置推定値は位置計測値からますます遅れる様な作用が生じてしまう。
【００６８】
そこで、本実施形態に係るオブザーバでは、オブザーバゲインの少なくとも一部の変数を、対象物の移動方向に応じて切り替えている。具体的には、オブザーバゲインＫは下記数式（９）のように定められる。
【００６９】
【数７】
2016139208.tif 000011
【００７０】
数式（９）において、sgn(vel)は符号関数であり、下記数式（１０）を満たす。
【００７１】
【数８】
2016139208.tif 000012
【００７２】
また、オブザーバゲインＫ１、Ｋ２の各変数を例示すると、数式（９）は下記数式（１１）のように表すことができる。
【００７３】
【数９】
2016139208.tif 000013
【００７４】
ここで、変数ｋ１３と位置差分との積により修正される状態変数は例えば摩擦係数、慣性及びトルク定数の少なくとも一つであってよい。また、変数ｋ１１、ｋ１２及びｋ１４と位置差分との積により修正される状態変数の少なくとも一つは外力であってよい。
【００７５】
図５には、数式（９）（１１）のようなオブザーバゲインを含むオブザーバを用いた位置推定結果が示されている。同図上段に示されているように、オブザーバによる位置推定値が実際の対象物位置に同定されていることが理解される。
【００７６】
図６には、本実施形態に係るオブザーバのブロック図が例示されている。オブザーバの物理モデルとして、質量ダンパ系を用いている。破線Ａで囲まれた箇所が量子化単位分の位置差分をキャンセルするブロックに相当し、破線Ｂで囲まれた箇所が、対象物の往復移動に応じてオブザーバゲインを切り替えるブロックに相当する。
【符号の説明】
【００７７】
１０  フリーピストン式発電機、１２  シリンダ、１４  ピストン、１６  位置検出器、１８  制御装置、２０  燃焼室、２２  空気ばね室、２４  永久磁石、２６  コイル、３５  スリット列、３６  特徴部、３７  スリット、３８  掃気孔、４０  排気口、４２  排気バルブ、４４  インジェクタ、４６  点火手段。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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