(57)【要約】【課題】  コンピュータにかかる負荷を軽減させるとともに、ある値以下に存在する素数の個数検出プログラムを提供する。【解決手段】  自然数を時計盤に当て嵌めていくことにより導き出された素数に関する規則性を開示するとともに、該開示した素数に関する規則性を用い易くするよう構築した１３より小さい値が入力された際に素数の個数を検出する第１演算部と１３以上の値が入力された際に素数の個数を検出する第２演算部とを有する。【特許請求の範囲】
【請求項１】
ある値以下に存在する素数の個数を検出するプログラムであって、
１３より小さい値が入力された際に素数の個数を検出する第１演算部と、
１３以上の値が入力された際に素数の個数を検出する第２演算部と、
を有する素数の個数検出プログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、ある値以下に存在する素数の個数を検出するプログラムに関するものである。
【背景技術】
【０００２】
素数を最初に発見・認識した人の名前は記録に残っていない。時代的には紀元前５００年程前のギリシャにおいて発見されたと思われている。素数という概念は、ピタゴラス（Pythagoras紀元前５８２年〜紀元前４９６）が開いたピタゴラス学校において、最初に取り上げられたものと推測されている。ピタゴラス学校の場所は、現在のイタリア南部の都市クロトーネ（当時の名前はクロトン）にあったとある。素数が無限個あることの証明は、ピタゴラス学派によりなされたとされたものと思われるのもがある。ピタゴラス学派が行った証明は、「背理法」ではなく、実際に素数を作り出すやり方であったとされている。何個か素数があったら、全部掛け合わせて、１足したものを作り、それを割り切れる１でない一番小さい自然数を取り出せば、それは素数であり、しかも新しい素数となっているという作り方である。
例えば、素数２からはじめてみると、掛け合わせるものは２だけなので２となり、１を足すと３がでる。３を割り切れる１でない最小の数は３である。こうして、２の次に３ができる。２と３からは掛け合わせて６で１を足すと７となり、７を割り切れる１でない最小の数は７であるため、３個の素数２、３、７ができる。全部掛け合わせると４２で１を足すと４３となり、４個の素数２，３，７，４３ができる。全部掛け合わせると１８０６で１を足すと１８０７となり、１８０７を割り切れる１でない最小の自然数は、１８０７が１３と１３９の積になることから、１３となる。このようにして、５個の素数２，３，７，４３、１３ができる。これを続ければ、１個ずつ増えていき、素数が無限個出てくることがわかる。
【０００３】
素数が無限個あることの証明として、記録として残っているのは、ユークリッド（Euclid）によるものがある。紀元前３００年に、その当時エジプトのアレクサンドリア大学の教授によりなされている。
【０００４】
ユークリッドによる証明は、背理法により証明されており、以下のようなものである。
素数の有限集合｛p1,・・・pn｝であると仮定し、q = p1p2 ・・・ pn + 1 という数を考えると、
q は有限個の素数の積に 1 を加えた数なので自然数である。それゆえ、q は素数または合成数のどちらかということになる。
仮定からq は最大素数pnより大きいので、素数でないことになる。qが素数でないということは、合成数であるということになる。
合成数はいくつかの素数の積で表されるものでため、qをk番目の素数pkで割った余りは０になることになる。
しかし、qをk番目の素数pkで割った余りは１となり、矛盾することになる。
つまり、素数の有限集合という仮定が間違っていたことになる。
したがって、素数は無数に存在することになる。
上述した証明以外にも素数の個数が無限であることの証明がなされている。
【０００５】
また、ある自然数Ｎが素数であるか否かを判別する方法としては、ＮをＮより小さい整数で割り切れるか否かを２まで繰り返せばよいことがギリシャ人の学者エラトステネス（Eratosthenes紀元前２７５年〜紀元前１９４）により提唱されており、エラトステネスの名からエラトステネスの篩と呼ばれている。調べる開始の値はＮより小さい整数ではなくＮ／２からでよいことが直感的にわかる。数学的には√Ｎからでよいことがわかっている。また、エラトステネスの篩は、自然数Ｎ以下の素数を列挙する方法としても知られている。
【０００６】
ギリシャ時代から２０００年が過ぎた１８世紀になり、レオンハルト・オイラー（Leonhard Euler１７０７年〜１７８３年）は、素数研究の過程で、１以上の全ての整数の逆数和を１７３５年に最初に取り挙げ、その２年後に、それが素数Ｐ全体に関する積となっていることを発見した。１以上の全ての整数と素数全体との関係を表した式をオイラー積といい、オイラーはこのオイラー積表示から素数の逆数全体の和は無限大になることをみぬいた。
オイラー積を式で書くと、
【数１】
2016028307.tif 000002
となる。ただし、右辺の積記号は全ての素数の積
また、オイラーは発散無限和上手く計算して、ζ(s)の実零点s＝−２、−４、−６・・・を発見していた。また、オイラーは、１７６０年にx以下の素数の個数π(x)がxが増大していくにつれてx/logxに漸近するという「素数定理」の予想を提出している。
【０００７】
オイラーの研究は、約１００年後にベルンハルト・リーマン（Georg Friedrich Bernhard Riemann１８２６年〜１８６６年）がζ(s)の虚の零点を調べる発端となっている。この記号「ζ(s)」は、１以上の全ての整数の逆数和のことで、この記号の名前を「ゼータ」としたのもこの記号で表すようになったのもリーマンによるものである。リーマンは素数分布を研究し、与えられた数以下の素数の個数を表示する「素数公式」を与えた。それは素数全体と零点全体との対応関係を示す明示公式(explicit formula)
【数２】
2016028307.tif 000003
の特別の場合となっている（上記明示公式におけるρkはζ(s)の虚零点）。リーマンは素数公式の「誤差項」（「主要項」との差）が最良になるときとして、リーマン予想に至った。
【０００８】
リーマン予想とは
「ζ(s)の虚の零点の実部はすべて1/2であろう」
という予想である。リーマンの論文は簡略な書き方であったために、詳細な証明を与える道を後進の数学者が辿って行った。リーマン予想は、数学における最大の難問として認識されてきた。
【０００９】
現代において素数は、暗号として使われており、セキュリティーの基盤となっている。その理由は、素数と素数を掛け合わせた半素数が公開鍵となっており、大きい自然数の素因数分解が難しいことからきている。
【００１０】
ここで素数の定義について触れておくと、
素数は、１でない任意の自然数が、自明な約数、つまり、約数であることが明らかな１と任意の自然数以外の約数を持たない自然数のことである。
１を素数に含めるか否かに関しては、整数論の基本定理において、「１より大きな任意の自然数は、一意的に素数の積として表される」としているため、１を素数に含めると、一意性が成り立たなくなる。そのため、１は素数として扱われないのが一般的である。
【先行技術文献】
【特許文献】
【００１１】
ある値以下に存在する素数の個数を検出するプログラムに関しては見受けられない。
【非特許文献】
【００１２】
黒川信重、小山信也著：「臨時別冊・数理科学ＳＧＣライブラリ-86『リーマン予想の数理物理−ゼータ関数と分配関数−』」株式会社サイエンス社、pp7〜12
Richard Crandall & Carl Pomerance著、和田秀男監訳：「素数全書−計算からのアプローチ−」朝倉書店、p7
M.Aigner,G.M.Ziegler著、蟹江幸博訳：「天書の証明」シュプリンガー・フェアラーク東京株式会社、pp3〜7
河西朝雄著：「N88-BASICによるはじめてのアルゴリズム入門」株式会社技術評論社、p39,p42
山本芳彦著：「数論入門−現代数学への入門−」株式会社岩波書店、p2
Paulo Ribenboim著、吾郷孝視訳：「素数の世界−その探索と発見−」共立出版株式会社、p2
などがあげられる。
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【００１３】
上記に示したようにリーマンによって示された素数公式は、ゼータ関数の非自明なる零点がわからなければ、ある値以下に存在する素数の個数を確実に求めることができない。ゼータ関数の非自明なる零点は無数にあることが知られており、非自明なる零点の実部が２分の１のときにある値以下に存在する素数の個数を確実に求めることができるとされている。
【００１４】
しかし、ゼータ関数における非自明なる零点の実部は４分の１である可能性もなくなったわけではないとされている。
【００１５】
一方、現代においてはコンピュータが発達してきたことから、素数を検出するとともに素数の個数をカウントしていくことは容易になってきてはいる。しかし、記憶をさせ演算をするということを繰り返すということは、数が大きくなるにつれコンピュータにかかる負荷が大きくなり、演算スピードが著しく低下することとなる。
【００１６】
そこで、素数に関する規則性を開示するとともに、ある値以下に存在する素数の個数を検出するプログラムを提供することを目的とするものである。
【課題を解決するための手段】
【００１７】
本発明は上記問題点を解決するために創作されたものであって、第１には、ある値以下に存在する素数の個数を検出するプログラムであって、
１３より小さい値が入力された際に素数の個数を検出する第１演算部と、
１３以上の値が入力された際に素数の個数を検出する第２演算部と、
を有することを特徴とする。
【発明の効果】
【００１８】
本発明に基づく請求項１に記載の素数の個数検出プログラムによれば、１３より小さい値が入力された場合と、１３以上の値が入力された場合とに場合とで素数に関する規則性が異なるため、素数に関する規則性に沿った素数の個数の検出を行うことが可能となる。
【図面の簡単な説明】
【００１９】
【図１】自然数を時計の盤上に当て嵌めた際、２の倍数となる時を示す説明図である。
【図２】自然数を時計の盤上に当て嵌めた際、３の倍数となる時を示す説明図である。
【図３】素数に関して考えればよい時について示した説明図である。
【発明を実施するための形態】
【実施例】
【００２０】
まず、素数の規則性の解析の仕方について説明する。
素数の規則性の解析方法としては、数値を時計の盤上に当て嵌め、規則性の解析を行った。
１周目は、例外があるものの、２周目以降において考えやすくすることが可能になるという利点があるためである。
【００２１】
２周目以降において考えやすくすることが可能になるということについては、２時、４時、８時、１０時は、何周しても２、４、８、１０といった偶数に１２といった偶数を加算した値となるため、偶数の値となる（図１）。
偶数は合成数（素数とならない値のこと）であるため、２時、４時、８時、１０時の値は考える必要がなくなる。
３時、６時、９時、１２時は、何周しても３、６、９、１２といった３の倍数に１２といった３の倍数を加算した値となるため、３の倍数の値となる（図２）。
３の倍数も合成数であるため、３時、６時、９時、１２時の値は考える必要がなくなる。
といった利点があげられる。
つまり、２周目以降は、１時、５時、７時、１１時のみについて考えればよいこととなる（図３）。
１時、５時、７時、１１時の値について調査した結果、１時、５時、７時、１１時の値は素数となる値と合成数となる値とが存在することがわかった。
そこで、１時、５時、７時、１１時の値について、さらに解析を行った。
解析した結果、以下の規則性があることがわかった。
【００２２】
次に、合成数の基本的な規則性について説明する。
なお、以下の説明において使用してある［］は、大括弧ではなくガウス記号であって、整数除算を意味する記号の代用品として記載を行った。
【００２３】
まず、１時の場合について説明する。
１時の値（１時の場合１３）、５時の値、７時の値、１１時の値において、
時の値を二乗した値は、１時の合成数となっている。
また、時の値を二乗した値のある周から、該時の値を周の間隔として合成数となる周となっている（表１〜表２）。
【００２４】
具体的には、５を二乗した値である２５は、３周目に合成数となっており、該３周目から５周おきに合成数となっている。
また、７を二乗した値である４９は、５周目に合成数となっており、該５周目から７周おきに合成数となっている。
また、１１を二乗した値である１２１は、１１周目に合成数となっており、該１１周目から１１周おきに合成数となっている。
また、１３を二乗した値である１６９は、１５周目に合成数となっており、該１５周目から１３周おきに合成数となっている。
【００２５】
なお、時の値（１時の場合は、１３）をａとして、時の値を二乗した値のある周を式で表すと、
【数３】
2016028307.tif 000004
で表すことができる。
【００２６】
次に、１時以外の場合につて説明する。
１時の値（１時の場合１３）、５時の値、７時の値、１１時の値において、
該時の値と１時の値を掛け合わせた値は、該時における合成数となっており、
該時以外で、かつ、１時以外となる２つの値を掛け合わせた値は、該時における合成数になっている。
また、該時と１時の組み合わせと、該時以外で、かつ、１時以外となる２つの時の組み合わせとにおいて、
組み合わせにおける時の値同士を掛け合わせた値のある周から、組み合わせにおける一方の時と、もう一方の時を周の間隔とする２種類の間隔で合成数となる周となっている（表１〜表２）。
【００２７】
具体的には、５時の場合、５と１３を掛けた値である６５は、６周目において合成数となっており、該６周目から５周おきと１３周おきに合成数となっている。
そして、７と１１を掛けた値である７７は、７周目において合成数になっており、該７周目から７周おきと１１周おきに合成数となっている。
【００２８】
７時の場合、７と１３を掛けた値である９１は、８周目において合成数となっており、該８周目から７周おきと１３周おきに合成数となっている。
そして、５と１１を掛けた値である５５は、５周目において合成数になっており、該５周目から５周おきと１１周おきに合成数となっている。
【００２９】
１１時の場合、１１と１３を掛けた値である１４３は、１２周目において合成数となっており、該１２周目から１１周おきと１３周おきに合成数となっている。
そして、５と７を掛けた値である３５は、３周目において合成数になっており、該３周目から５周おきと７周おきに合成数となっている。
【００３０】
なお、該時の値をａ、１時（１時の場合１３）の値をｂとして、該時の値と１時（１時の場合１３）の値を掛け合わせた値のある周を式で表すと、
【数４】
2016028307.tif 000005
で表すことができる。
【００３１】
また、該時以外で、かつ、１時以外となる２つの時の組み合わせにおいて、
一方の時の値をａ、もう一方の時の値をｂとして、該時以外で、かつ、１時以外となる２つの値を掛け合わせた値のある周を式で表すと、
【数５】
2016028307.tif 000006
で表すことができる。
【表１】
2016028307.tif 000007
【表２】
2016028307.tif 000008
【００３２】
次に、合成数の特殊な規則性について説明する。
上記の基本的な規則性でかなりの合成数となる値の規則性を説明できたと思われるが、まだ、５時の３７周目の４３７、６０周目の７１３、８３周目の９８９の様に、説明できない合成数が存在する。
説明できない合成数の値は、２７６おきに合成数となっているが、この数字をみただけではどのような規則性があるかわからない。
一方、説明できない合成数の周は、２３おきに合成数となっている。
２３という値は、時計盤に当て嵌めた際、１１時の２周目の値であった。
その１１時の値である１１と７時の値である７を掛け合わせた値は、５時における合成数となっている。
そこで、このことに注目し、上記の基本的な規則性で説明できない合成数の規則性について解析を行った。
【００３３】
以下に該合成数の規則性について説明する。
なお、以下からは、上記の基本的な規則性で説明した合成数となる周を「起点となる周」、上記の基本的な規則性では説明できない合成数となる周を「派生する周」として説明する。
【００３４】
まず、１時の場合について説明する。
１時の値（１時の場合１３）、５時の値、７時の値、１１時の値において、
時の値を二乗した値のある周から、該時の周間隔進む毎に、該時における２周目以降（１時の場合は３周目以降）の各周の値を周の間隔として合成数となる周が派生している。
【００３５】
具体的には、３周目から５周進んだ８周目から１７周（１７は５時の２周目の値）おきに合成数となっており、さらに、５周進んだ１３周目から２９周（２９は５時の３周目の値）おきに合成数となっており、さらに、５周進んだ１８周目から４１周（４１は５時の４周目の値）おきに合成数となっている。
５周目から７周進んだ１２周目から１９周（１９は７時の２周目の値）おき、１９周目から３１周（３１は７時の３周目の値）おき、２６周目から４３周（４３は７時の４周目の値）おきに合成数となっている。
１１周目から１１周進んだ２２周目から２３周（２３は１１時の２周目の値）おき、３３周目から３５周（３５は１１時の３周目の値）おき、４４周目から４７周（４７は１１時の４周目の値）おきに合成数となっている。
１５周目から１３周進んだ２８周目から２５周（２５は１時の３周目の値）おき、４１周目から３７周（３７は１時の４周目の値）おき、５４周目から４９周（４９は１時の５周目の値）おきに合成数となっている。
【００３６】
次に、１時以外の場合について説明する。
１時の値（１時の場合１３）、５時の値、７時の値、１１時の値において、
該時の値と１時の値の組み合わせと、該時の値以外で、かつ、１時以外の値となる２つの時の組み合わせにおいて、組み合わせとなる時の値同士を掛け合わせた値のある周から、一方の時の周間隔進む毎に、もう一方の時における２周目以降（１時の場合は３周目以降）の各周の値を周の間隔として合成数となる周が派生している。
【００３７】
具体的には、５時の場合を例にとると、７周目から７周おきと１１周おきに合成数となる場合、７周目から７周進んだ１４周目から２３周（２３は１１時の２周目の値）おきに合成数となっており、さらに、７周進んだ２１周目から３５周（３５は１１時の３周目の値）おきに合成数となっており、さらに、７周進んだ２８周目から４７周（４７は１１時の４周目の値）おきに合成数となっている。
もう一方の６周目から５周おきと１３周おきに合成数となる場合、６周目から５周進んだ１１周目から２５周（２５は１時の３周目の値）おきに合成数となっており、さらに、５周進んだ１６周目から３７周（３７は１時の４周目の値）おきに合成数となっており、さらに、５周進んだ２１周目から４９周（４９は１時の５周目の値）おきに合成数となっている。
【００３８】
次に、上記規則性を用い、素数であるか否かの判定を行うプログラムの構築を行うとともに、構築したプログラムが、正しく判定を行えるか否かのテストを、１〜１０００までの値において行ったところ、正しい判定を行えることが確認できた。
【００３９】
しかし、構築したプログラムが正しく判定を行うことができるのを確認できたのは、１〜１０００までであって、１０００より大きい整数において正しく判定が行えるかはわからない。  そこで、構築したプログラムが全ての正の整数において正しく判定できることを証明することとする。
【００４０】
構築したプログラムは、入力された正の整数を１周目と２周目以降とに分け判定を行っているが、１周目に関しては、全ての整数に関して正しい判定を行えることが確認できているため、２周目以降の１時、５時、７時、１１時に関してのみ行うこととする。また、２周目以降において、素数は、１時、５時、７時、１１時にのみ存在するため、１時、５時、７時、１１時において合成数の判定が正しく行えるのであれば、素数と合成数の判定が正しく行えることになる。そのため、合成数の判定が正しく行えることについて行うことにする。
【００４１】
構築したプログラムは、入力された正の整数のある周から起点となる周を引き、派生する周の間隔で割った際の余りが０となる場合に合成数としている。
入力された正の整数のある周が起点となる周のとき、合成数で、入力された正の整数のある周から起点となる周を引き、派生する周の間隔で割った際の余りは０となるため、構築したプログラムは成り立つことになる。（イ）
【００４２】
入力された正の整数のある周が、ある起点から派生したi番目の周のとき、構築したプログラムは成り立つとすると、i+1番目の周のとき派生する周の間隔分増えることから、派生する周の間隔で割った際の余りは０となる。これは、i+1番目の周のときにも構築したプログラムは、成立することを示している。（ロ）
【００４３】
一方、基点となる周の算出方法については、
n=1のとき、起点となる周の最初の周で、起点となる周の最初の周+0×基点となる周の間隔となるため、構築したプログラムは成り立つことになる。（ハ）
【００４４】
n=jのとき構築したプログラムが正しく動作すると仮定すると、基点となる周の間隔分増えることとなるから
起点となる周の最初の周+j×基点となる周の間隔+基点となる周の間隔
=起点となる周の最初の周+(j+1)基点となる周の間隔
これは、n=j+1のときにも構築したプログラムは成り立つことを示している。（ニ）
【００４５】
また、派生する周の間隔の算出方法については、
n=1のとき、起点となる周の最初の周で、時の値(1時の場合13)+0×12となるが、入力された正の整数のある周から起点となる周を引いた際の値が0となるため、構築したプログラムは成り立つことになる。（ホ）
【００４６】
n=kのとき構築したプログラムが正しく動作すると仮定すると、12増えることとなるから
時の値(1時の場合13)+k×12+12
=時の値(1時の場合13)+12(k+1)
これは、n=k+1のときにも構築したプログラムは成り立つことを示している。（ヘ）
【００４７】
（イ）（ロ）（ハ）（ニ）（ホ）（ヘ）より、構築したプログラムは、全ての正の整数において正しく判定できることになる。
【００４８】
構築したプログラムは、上記規則性に基づき構築したものであるため、構築したプログラムが正しく判定を行えるのであれば、上記規則性は正しいことになる。
【００４９】
素数であるか否かを判定するだけであれば、上記の規則性のみで十分であるが、「ある素数が何番目の素数であるか」、あるいは、「ｎ番目の素数はいくつであるか」というのを知ろうとした場合、上記規則性について、さらに詳しく調べる必要がある。つまり、起点となる周どうしが交差している可能性があり、派生した周どうしが交差している可能性もある。さらに、起点となる周と派生した周が交差している可能性があるからである。
【００５０】
次に、起点となる周が交差することについて説明する。
まず、１時の場合について説明する。
【００５１】
掛け合わせる一方の時に該時が無い場合
２つの時の値（１時の場合は１３）を掛け合わせた値に、掛け合わせなかった時で、かつ、１時以外の時の値を掛け合わせた値のある周から、該２つの時の値を掛け合わせた値を周の間隔として交差していっている。
【００５２】
具体的には、５周おきと７周おきの場合、５と７を掛け合わせた値３５に、１１を掛け合わせた値３８５がある３３周目から、５と７を掛け合わせた値３５を周の間隔として交差していっている。
【００５３】
５周おきと１１周おきの場合、５と１１を掛け合わせた値５５に、７を掛け合わせた値３８５がある３３周目から、５と１１を掛け合わせた値５５を周の間隔として交差していっている。
【００５４】
７周おきと１１周おきの場合、７と１１を掛け合わせた値７７に、５を掛け合わせた値３８５がある３３周目から、７と１１を掛け合わせた値７７を周の間隔として交差していっている。
【００５５】
掛け合わせる一方の時に該時が有る場合
該時の値（１時の場合は１３）ともう一方の時の値（１時の場合は１３）を掛け合わせた値に、さらに、もう一方の時の値を掛け合わせた値がある周から、該時ともう一方の時の値を掛け合わせた値を周の間隔として交差していっている。
【００５６】
具体的には、５周おきと１３周おきの場合、５と１３を掛け合わせた値６５に、５を掛け合わせた値３２５がある２８周目から、５と１３を掛け合わせた値６５を周の間隔として交差していっている。
【００５７】
７周おきと１３周おきの場合、７と１３を掛け合わせた値９１に、７を掛け合わせた値６３７がある５４周目から、７と１３を掛け合わせた値９１を周の間隔として交差していっている。
【００５８】
１１周おきと１３周おきの場合、１１と１３を掛け合わせた値１４３に、１１を掛け合わせた値１５７３がある１３２周目から、１１と１３を掛け合わせた値１４３を周の間隔として交差していっている。
【００５９】
次に、１時以外の場合で、該時以外と１時（１時の場合１３）の組み合わせの場合と、該時と１時以外となる２つの時の組み合わせの場合について説明する。
【００６０】
掛け合わせる一方の時に該時が無い場合
２つの時の値（１時の場合は１３）を掛け合わせた値に、掛け合わせなかった時で、かつ、該時以外の時の値を掛け合わせた値がある周から、該２つの時の値を掛け合わせた値を周の間隔として交差していっている。
【００６１】
具体的には、５時であって、７周おきと１３周おきの場合、７と１３を掛け合わせた値９１に、１１を掛け合わせた値１００１がある８４周目から、７と１３を掛け合わせた値９１を周の間隔として交差していっている。
５時であって、１１周おきと１３周おきの場合、１１と１３を掛け合わせた値１４３に、７を掛け合わせた値１００１がある８４周目から、１１と１３を掛け合わせた値１４３を周の間隔として交差していっている。
【００６２】
７時であって、５周おきと７周おきの場合、５と７を掛け合わせた値３５に、５を掛け合わせた値１７５がある１５周目から、５と７を掛け合わせた値３５を周の間隔として交差していっている。
７時であって、７周おきと１１周おきの場合、７と１１を掛け合わせた値７７に、１１を掛け合わせた値８４７がある７１周目から、７と１１を掛け合わせた値７７を周の間隔として交差していっている。
【００６３】
１１時であって、５周おきと１３周おきの場合、５と１３を掛け合わせた値６５に、７を掛け合わせた値４５５がある３８周目から、５と１３を掛け合わせた値６５を周の間隔として交差していっている。
１１時であって、７周おきと１３周おきの場合、７と１３を掛け合わせた値９１に、５を掛け合わせた値４５５がある３８周目から、７と１３を掛け合わせた値９１を周の間隔として交差していっている。
【００６４】
掛け合わせる一方の時に該時が有る場合
該時の値（１時の場合は１３）ともう一方の時の値（１時の場合は１３）を掛け合わせた値に、さらに、もう一方の時の値を掛け合わせた値がある周から、該時の値ともう一方の時の値を掛け合わせた値を周の間隔として交差していっている。
【００６５】
具体的には、５時であって、５周おきと７周おきの場合、５と７を掛け合わせた値３５に、７を掛け合わせた値２４５がある２１周目から、５と７を掛け合わせた値３５を周の間隔として交差していっている。
５時であって、５周おきと１１周おきの場合、５と１１を掛け合わせた値５５に、１１を掛け合わせた値６０５がある５１周目から、５と１１を掛け合わせた値５５を周の間隔として交差していっている。
【００６６】
７時であって、５周おきと１３周おきの場合、５と１３を掛け合わせた値６５に、１１を掛け合わせた値７１５がある６０周目から、５と１３を掛け合わせた値６５を周の間隔として交差していっている。
７時であって、１１周おきと１３周おきの場合、１１と１３を掛け合わせた値１４３に、５を掛け合わせた値７１５がある６０周目から、１１と１３を掛け合わせた値１４３を周の間隔として交差していっている。
【００６７】
１１時であって、５周おきと１１周おきの場合、５と１１を掛け合わせた値５５に、５を掛け合わせた値２７５がある２３周目から、５と１１を掛け合わせた値５５を周の間隔として交差していっている。
１１時であって、７周おきと１１周おきの場合、７と１１を掛け合わせた値７７に、７を掛け合わせた値５３９がある４５周目から、７と１１を掛け合わせた値７７を周の間隔として交差していっている。
【００６８】
次に、１時以外の場合で、該時と１時（１時の場合１３）の組み合わせの場合と、  該時以外で、かつ、１時以外となる２つの時の組み合わせの場合について説明する。
組み合わせにおける時の値同士を掛け合わせた値のある周から、該周の値を周の間隔として交差していっている。
【００６９】
具体的には、５時であって、５周おきと１３周おきの場合、５と１３を掛け合わせた値６５がある６周目から、５と１３を掛け合わせた値６５を周の間隔として交差していっている。
５時であって、７周おきと１１周おきの場合、７と１１を掛け合わせた値７７がある７周目から、７と１１を掛け合わせた値７７を周の間隔として交差していっている。
【００７０】
７時であって、５周おきと１１周おきの場合、５と１１を掛け合わせた値５５がある５周目から、５と１１を掛け合わせた値５５を周の間隔として交差していっている。
７時であって、７周おきと１３周おきの場合、７と１３を掛け合わせた値９１がある８周目から、７と１３を掛け合わせた値９１を周の間隔として交差していっている。
【００７１】
１１時であって、５周おきと７周おきの場合、５と７を掛け合わせた値３５がある３周目から、５と７を掛け合わせた値３５を周の間隔として交差していっている。
１１時であって、１１周おきと１３周おきの場合、１１と１３を掛け合わせた値１４３がある１２周目から、１１と１３を掛け合わせた値１４３を周の間隔として交差していっている。
【００７２】
次に、起点となる周３つが交差することについて説明する。
１時、５時、７時、１１時において、該時以外の３つの時の値（１時の場合１３）を掛け合わせた値のある周から、該周の値を周の間隔として交差していっている。
【００７３】
具体的には、１時の場合、５と７と１１を掛け合わせた値３８５がある３３周目から、５と７と１１を掛け合わせた値３８５を周の間隔として交差していっている。
【００７４】
５時の場合、７と１１と１３を掛け合わせた値１００１がある８４周目から、７と１１と  １３を掛け合わせた値１００１を周の間隔として交差していっている。
【００７５】
７時の場合、５と１１と１３を掛け合わせた値７１５がある６０周目から、５と１１と１３を掛け合わせた値７１５を周の間隔として交差していっている。
【００７６】
１１時の場合、５と７と１３を掛け合わせた値４５５がある３８周目から、５と７と１３を掛け合わせた値４５５を周の間隔として交差していっている。
【００７７】
次に、起点となる周４つが交差することについて説明する。
１時、５時、７時、１１時の全ての時の値（１時の場合１３）を掛け合わせた値に、該時（１時の場合は１）の値を掛け合わせた値のある周から、１時、５時、７時、１１時の全ての時の値（１時の場合１３）を掛け合わせた値を周の間隔として交差していっている。なお、この起点となる周４つが交差する周は、派生した周が起点４つと交差する周と一致している。
【００７８】
具体的には、１時の場合、５と７と１１と１３を掛け合わせた値５００５に、１を掛け合わせた値５００５がある４１８周目から、５と７と１１と１３を掛け合わせた値５００５を周の間隔として交差していっている。
【００７９】
５時の場合、５と７と１１と１３を掛け合わせた値５００５に、５を掛け合わせた値２５０２５がある２０８６周目から、５と７と１１と１３を掛け合わせた値５００５を周の間隔として交差していっている。
【００８０】
７時の場合、５と７と１１と１３を掛け合わせた値５００５に、７を掛け合わせた値３５０３５がある２９２０周目から、５と７と１１と１３を掛け合わせた値５００５を周の間隔として交差していっている。
【００８１】
１１時の場合、５と７と１１と１３を掛け合わせた値５００５に、１１を掛け合わせた値５５０５５がある４５８８周目から、５と７と１１と１３を掛け合わせた値５００５を周の間隔として交差していっている。
【００８２】
次に、派生する周が交差することについて説明する。
該時と１時（１時の場合１３）の組み合わせと、該時以外で、かつ、１時以外となる２つの時の組み合わせの場合
上記「起点となる周から派生する周について」の「１時以外の場合」において、７周目から７周おきに進んでいくとしたが、７周目から１１周おきに進んでいくとした場合においても、７周目から１１周進んだ１８周目から１９周（１９は７時の２周目の値）おきに合成数となっており、さらに、１１周進んだ２９周目から３１周（３１は７時の３周目の値）おきに合成数となっており、さらに、１１周進んだ４０周目から４３周（４３は７時の４周目の値）おきに合成数となっている。
【００８３】
また、６周目から５周おきに進んでいくとしたが、６周目から１３周おきに進んでいくとした場合においても、６周目から１３周進んだ１９周目から１７周（１７は５時の２周目の値）おきに合成数となっており、さらに、１３周進んだ３２周目から２９周（２９は５時の３周目の値）おきに合成数となっており、さらに、１３周進んだ４２周目から４１周（４１は５時の４周目の値）おきに合成数となっている。
これらの値をみてみると、７周目から７周おきに起点となる周から派生した周と、７周目から１１周おきに起点となる周から派生した周は、すべて一致しており、互いに交差していることがわかる。
【００８４】
また、６周目から５周おきに起点となる周から派生した周と、６周目から１３周おきに起点となる周から派生した周においても、すべて一致しており、互いに交差していることがわかる。
【００８５】
つまり、該時と１時（１時の場合１３）の組み合わせと、該時以外で、かつ、１時以外となる２つの時の組み合わせの場合、以下のようなことが言える。
【００８６】
まず、１時以外の場合について説明する。
起点となる周の間隔が５周おき、７周おき、１１周おき、１３周おきのそれぞれの起点となる周から派生した周における同じ番目の周を階層、起点となる周から派生した周を列とすると、１列目は、組み合わせとなっている時のもう一方の時の１番目の階層となっており、２列目は、組み合わせとなっている時のもう一方の時の２番目の階層となっており、３列目は、組み合わせとなっている時のもう一方の時の３番目の階層となっている。
【００８７】
上記１時以外の場合、組み合わせにおける時の値同士を掛け合わせた値のある周から、組み合わせにおける一方の時ともう一方の時の値を周の間隔とする２種類の間隔で合成数となる周となっており、該２種類の間隔で合成数となる周から派生しているが、１時の場合、二乗した値が１時の値となっているため、同一の起点から同一の周間隔で派生しているのもとして考えると、以下のようなことが言える。
【００８８】
起点となる周の間隔が５周おき、７周おき、１１周おき、１３周おきのそれぞれの起点となる周から派生した周における同じ番目の周を階層、起点となる周から派生した周を列とすると、１番目の階層の１番目以降の各列が、１番目の列における各階層番目となっており、２番目の階層の２番目以降の各列が、２番目の列における各階層番目となっており、３番目の階層の３番目以降の各列が、３番目の列における各階層番目となっている。
１時の場合、１時以外の場合とは異なり、全てが交差しているわけではなくｎ番目の階層のｎ番目の列は交差していない。
【００８９】
交差していない周を式で表すと
５周おきの場合
【数６】
2016028307.tif 000009
７周おきの場合
【数７】
2016028307.tif 000010
１１周おきの場合
【数８】
2016028307.tif 000011
１３周おきの場合
【数９】
2016028307.tif 000012
となる。
【００９０】
次に、該時以外と１時（１時の場合１３）の組み合わせの場合と、該時と１時以外となる２つの時の組み合わせの場合について説明する。
【００９１】
該時以外と１時（１時の場合１３）の組み合わせの場合と、該時と１時以外となる２つの時の組み合わせの場合について説明する前に、ここで、起点となる周と、派生した周が交差することについて説明しておく。
【００９２】
起点となる周と、起点となる周から派生した周は、派生した周の間隔が合成数の場合に交差することとなっている。
つまり、派生する周の間隔が合成数の場合、派生しないものとして考えて良いことになる。
【００９３】
以下に、該時以外と１時（１時の場合１３）の組み合わせの場合と、該時と１時以外となる２つの時の組み合わせの場合に派生する周が交差することについて説明する。
５時の１６周目から３７周おきに派生した周と、５時の８４周目から１４３周おきに派生した周についてみてみると、
３０８７周目において交差する。
【００９４】
しかし、３０８７周目は起点であるため、そもそも派生する周として考える必要のない周である。
このようなことが起きた理由は、上記「起点となる周と、派生した周が交差することについて」に記載したように、派生する周の間隔１４３が合成数であったためである。
【００９５】
つまり、該時以外と１時（１時の場合１３）の組み合わせの場合と、該時と１時以外となる２つの時の組み合わせの場合、派生する周の間隔が素数であるか否かを調べればよいこととなる。
【００９６】
次に、素数と素数番号との関係いついて説明する。
素数Ｎと素数番号ｎとの関係を式で表すことにする。
上記規則性の説明においても述べたように１周目と２周目以降では大きく規則性が異なるため、１周目と２周目以降とを分けて表すことにする。
【００９７】
まず、２周目以降について説明する。
上記規則から素数Ｎが何番目の素数であるかを求めるためには、時計の盤上に数値を当て嵌めた際の１時、５時、７時、１１時の値が全を素数であると仮定し、仮定した素数の総和を算出した後、その総和から１時、５時、７時、１１時において合成数となる数を引いてやればよいことになる。
時計の盤上に数値を当て嵌めた際の１時、５時、７時、１１時の値が全を素数であると仮定し、仮定した素数の総和を算出したものを仮の素数番号Ｔとし、本当の素数番号をＲ、１時、５時、７時、１１時において合成数となる数を引くことにより補正を行う数を補正数Ｃとすると、
【数１０】
2016028307.tif 000013
で表すことができる。
【００９８】
次に、仮の素数番号と素数の関係について説明する。
今、素数Ｎがわかるという条件なので、仮の素数番号を素数Ｎで表すことにする。
時計の盤上に当て嵌めた際１周目の素数の個数は、２周目以降の素数の個数と異なるため、分けて考えることにする。
また、素数Ｎのある周も素数Ｎが何時の値であるかによって素数の個数が変わってくるため、これも分けて考えることにする。
【００９９】
時計の盤上に当て嵌めた際１周目の素数の個数は、５
２周目以降から素数Ｎのある周の１周前までの素数の個数は、素数Ｎを１２で整数除算し、整数除算したものから１を引き、その１を引いたものを４倍してらればよいので、
【数１１】
2016028307.tif 000014
で表すことができる。
【０１００】
素数Ｎのある周の素数の個数を求めるためには、素数Ｎが何時の値であるかを調べる必要がある。
素数Ｎが何時の値であるを求めるには、素数Ｎを１２で整数除算したものに１２を掛けたものを素数Ｎから引いてやればよいので、
【数１２】
2016028307.tif 000015
で何時の値であるかを知ることができる。
【０１０１】
素数Ｎが何時の値であるかがわかれば、時の値が、１のとき１、５のとき２、７のとき３、１１のとき４となるようにすればよいことになるので、この時の値が、１のとき１、５のとき２、７のとき３、１１のとき４となる方法について考えてみることにする。
【０１０２】
１は０から２の間にあり、５は３から５の間にあり、７は６から８の間にあり、１１は９から１１の間にある。
つまり、３間隔おきにあることになるので、３で整数除算すれば、１のとき０、５のとき１、７のとき２、１１のとき３となり、本来したい値より１小さい値とすることができる。本来したい値より１小さい値となることから、１足してやることにすると、
【数１３】
2016028307.tif 000016
となる。
すなわち、仮の素数番号Ｔと、素数Ｎの関係は、
【数１４】
2016028307.tif 000017
となるため、
【数１５】
2016028307.tif 000018
となる。
【０１０３】
次に、最終周と素数の関係について説明する。
合成数となる周の数をカウントするには、素数Ｎのある周までの合成数を上記規則性により算出してやればよいことになる。
しかし、素数Ｎのある周は、素数Ｎが時以上の場合と、素数Ｎが時未満の場合とでは周の数が異なるため、時ごとに周の数を求めてやる必要がある。
そこで、素数Ｎのある周の１つ手前の周までの周の数を算出し、その算出した周の数に素数Ｎのある周における周の数を加えてやることにする。
【０１０４】
まず、素数Ｎのある周の１つ手前の周までの周の数は、素数Ｎを１２で整数除算してやればよいので、
【数１６】
2016028307.tif 000019
として表すことができる。
【０１０５】
次に、素数Ｎのある周に関してであるが、上述したように時によって周の数が異なるため、素数Ｎが何時の値であるかを調べる必要がある。
素数Ｎが何時の値であるを求めるには、素数Ｎを１２で整数除算したものに１２を掛けたものを素数Ｎから引いてやればよいので、
【数１７】
2016028307.tif 000020
として表すことができる。
【０１０６】
素数Ｎが何時の値であるかがわかれば、素数Ｎが時以上の場合、１、素数Ｎが時未満の場合、０となればよいことになる。
素数Ｎが時以上の場合１、素数Ｎが時未満の場合０となるように、まず、素数Ｎの時を時で整数除算してやることにする。
すると、素数Ｎが時以上の場合、正の整数、素数Ｎが時未満の場合、０となる。
この素数Ｎの時を時で整数除算した際、正の整数となるのを１となるようにしてやればよいので、正の整数を１にする方法について考えてみることにする。
１を素数Ｎの時を時で整数除算した値で整数除算し、１から引いてやると、素数Ｎの時を時で整数除算した値が１より大となる場合に１とすることができる。
しかし、この方法の場合、素数Ｎの時を時で整数除算した値が０の場合０での除算を行うことになってしまう。
そこで、素数Ｎの時を時で整数除算した値が０の場合に０での除算とならないように素数Ｎの時を時で整数除算した値に１を加えた値で１を整数除算し、１から引いてやることにする。
すると、素数Ｎの時を時で整数除算した値が正の整数のときに１、素数Ｎの時を時で整数除算した値が０のときに０とすることができる。
上述した１を加えた値で１を整数除算し、１から引いてやる方法を用いれば、素数Ｎが時以上の場合、１、素数Ｎが時未満の場合、０とすることができる。
そこで、上述した正の整数を１にする方法を用い、各時の値をＨとして素数Ｎのある周における周の数を式で表すと、
【数１８】
2016028307.tif 000021
となる。
【０１０７】
素数Ｎのある周における各時の最終周をＬｆ(Ｈ)とすると、最終周Ｌｆ(Ｈ)と素数Ｎの関係は、
【数１９】
2016028307.tif 000022
で表すことができる。
【０１０８】
次に、起点となる周における補正について説明する。
補正を行う数は、大別すると、起点となる周における補正数、派生する周における補正数になる。
【０１０９】
まず、起点となる周における補正数について説明する。
起点となる周における補正数は、最終周Ｌｆ(Ｈ)から起点となる周の最初の周を引いてやり、合成数となる周の間隔で整数除算し、１を足してやれば算出することができる。ただし、最終周Ｌｆ(Ｈ)が起点となる周の最初の周より小さく、さらに、最終周Ｌｆ(Ｈ)から起点となる周の最初の周を引いた値の大きさが、合成数となる周の間隔より大きい値となる場合、この方法が通用しない。なぜならば、最終周Ｌｆ(Ｈ)が起点となる周の最初の周より小さい場合、起点となる周における補正数は、０とならなければならないが、負の値となってしまうからである。
【０１１０】
そこで、最終周Ｌｆ(Ｈ)が起点となる周の最初の周より小さい場合に０、最終周Ｌｆ(Ｈ)が起点となる周の最初の周以上となる場合に１を上記方法により算出した起点となる周における補正数に掛け合わせてやることにする。
最終周Ｌｆ(Ｈ)が起点となる周の最初の周より小さい場合に０、最終周Ｌｆ(Ｈ)が起点となる周の最初の周以上となる場合に１とするためには、最終周Ｌｆ(Ｈ)を起点となる周の最初の周で整数除算した値に１を加えた値で１を整数除算し、１から引いてやればよいことになる。
起点となる周の最初の周をＬｂとすると
【数２０】
2016028307.tif 000023
となる。
【０１１１】
つまり、起点となる周における補正数は、以下のようになる。
１時の５周おき、７周おき、１１周おき、１３周おきの補正数をＳo1、Ｓo2、Ｓo3、Ｓo4とすると、
【数２１】
2016028307.tif 000024
【数２２】
2016028307.tif 000025
【数２３】
2016028307.tif 000026
【数２４】
2016028307.tif 000027
となる。
【０１１２】
また、５時の５周おき、７周おき、１１周おき、１３周おきの補正数をＳf1、Ｓf2、Ｓf3、Ｓf4とすると、
【数２５】
2016028307.tif 000028
【数２６】
2016028307.tif 000029
【数２７】
2016028307.tif 000030
【数２８】
2016028307.tif 000031
となる。
【０１１３】
また、７時の５周おき、７周おき、１１周おき、１３周おきの補正数をＳs1、Ｓs2、Ｓs3、Ｓs4とすると、
【数２９】
2016028307.tif 000032
【数３０】
2016028307.tif 000033
【数３１】
2016028307.tif 000034
【数３２】
2016028307.tif 000035
となる。
【０１１４】
また、１１時の５周おき、７周おき、１１周おき、１３周おきの補正数をＳt1、Ｓt2、Ｓt3、Ｓt4とすると、
【数３３】
2016028307.tif 000036
【数３４】
2016028307.tif 000037
【数３５】
2016028307.tif 000038
【数３６】
2016028307.tif 000039
となる。
【０１１５】
次に、起点となる周が交差する周における補正について説明する。
上記規則性でも述べたように、起点となる周は交差するため、上述した補正のみでは、余分に補正することになってしまう。
そこで、次に、起点となる周が交差する周について再度補正を行うことにする。
１時の５周おきと７周おきが交差する周をＳo5とすると、
【数３７】
2016028307.tif 000040
１時の５周おきと１１周おきが交差する周をＳo6とすると、
【数３８】
2016028307.tif 000041
１時の５周おきと１３周おきが交差する周をＳo7とすると、
【数３９】
2016028307.tif 000042
１時の７周おきと１１周おきが交差する周をＳo8とすると、
【数４０】
2016028307.tif 000043
１時の７周おきと１３周おきが交差する周をＳo9とすると、
【数４１】
2016028307.tif 000044
１時の１１周おきと１３周おきが交差する周をＳo10とすると、
【数４２】
2016028307.tif 000045
５時の５周おきと７周おきが交差する周をＳf5とすると、
【数４３】
2016028307.tif 000046
５時の５周おきと１１周おきが交差する周をＳf6とすると、
【数４４】
2016028307.tif 000047
５時の５周おきと１３周おきが交差する周をＳf7とすると、
【数４５】
2016028307.tif 000048
５時の７周おきと１１周おきが交差する周をＳf8とすると、
【数４６】
2016028307.tif 000049
５時の７周おきと１３周おきが交差する周をＳf9とすると、
【数４７】
2016028307.tif 000050
５時の１１周おきと１３周おきが交差する周をＳf10とすると、
【数４８】
2016028307.tif 000051
７時の５周おきと７周おきが交差する周をＳs5とすると、
【数４９】
2016028307.tif 000052
７時の５周おきと１１周おきが交差する周をＳs6とすると、
【数５０】
2016028307.tif 000053
７時の５周おきと１３周おきが交差する周をＳs7とすると、
【数５１】
2016028307.tif 000054
７時の７周おきと１１周おきが交差する周をＳs8とすると、
【数５２】
2016028307.tif 000055
７時の７周おきと１３周おきが交差する周をＳs9とすると、
【数５３】
2016028307.tif 000056
７時の１１周おきと１３周おきが交差する周をＳs10とすると、
【数５４】
2016028307.tif 000057
１１時の５周おきと７周おきが交差する周をＳt5とすると、
【数５５】
2016028307.tif 000058
１１時の５周おきと１１周おきが交差する周をＳt6とすると、
【数５６】
2016028307.tif 000059
１１時の５周おきと１３周おきが交差する周をＳt7とすると、
【数５７】
2016028307.tif 000060
１１時の７周おきと１１周おきが交差する周をＳt8とすると、
【数５８】
2016028307.tif 000061
１１時の７周おきと１３周おきが交差する周をＳt9とすると、
【数５９】
2016028307.tif 000062
１１時の１１周おきと１３周おきが交差する周をＳt10とすると、
【数６０】
2016028307.tif 000063
となる。
【０１１６】
次に、起点となる周３つが交差する周における補正について説明する。
起点となる周は、起点となる周３つが交差する周があるため、さらに、起点となる周３つが交差する周において補正を行うことにする。
１時の５周おきと７周おきと１１周おきが交差する周をＳo11とすると、
【数６１】
2016028307.tif 000064
５時の７周おきと１１周おきと１３周おきが交差する周をＳf11とすると、
【数６２】
2016028307.tif 000065
７時の５周おきと１１周おきと１３周おきが交差する周をＳs11とすると、
【数６３】
2016028307.tif 000066
１１時の５周おきと７周おきと１３周おきが交差する周をＳt11とすると、
【数６４】
2016028307.tif 000067
となる。
【０１１７】
次に、起点となる周４つが交差する周における補正について説明する。
起点となる周は、起点となる周４つが交差する周もあるため、起点となる周４つが交差する周においても補正を行うことにする。
１時の５周おきと７周おきと１１周おきと１３周おきが交差する周をＳo12とすると、
【数６５】
2016028307.tif 000068
５時の５周おきと７周おきと１１周おきと１３周おきが交差する周をＳf12とすると、
【数６６】
2016028307.tif 000069
７時の５周おきと７周おきと１１周おきと１３周おきが交差する周をＳs12とすると、
【数６７】
2016028307.tif 000070
１１時の５周おきと７周おきと１１周おきと１３周おきが交差する周をＳt12とすると、
【数６８】
2016028307.tif 000071
となる。
【０１１８】
上述のことから、１時、５時、７時、１１時の起点となる周における補正数をそれぞれＳo、Ｓf、Ｓs、Ｓtとすると、
【数６９】
2016028307.tif 000072
【数７０】
2016028307.tif 000073
【数７１】
2016028307.tif 000074
【数７２】
2016028307.tif 000075
となる。
【０１１９】
すなわち、起点となる周における補正数をＳとすると、
【数７３】
2016028307.tif 000076
となる。
【０１２０】
次に、派生する周における補正数について説明する。
派生する周における補正数については、上記規則性で述べたように、派生する周が互いに交差する場合の規則性が、１時の場合と、５時、７時、１１時の場合とで大きく異なるため、１時の場合と、５時、７時、１１時の場合とに分けて説明することにする。
【０１２１】
まず、１時の場合の求め方について説明する。
派生する周は、起点となる周の間隔が５周おき、７周おき、１１周おき、１３周おきのそれぞれの間隔において、ｎ番目の階層のｎ番目以降の各列（具体的には、表３〜表６における横長の太線で囲んだ部分）が、ｎ番目の列における各階層番目（具体的には、表３〜表６における縦長の太線で囲んだ部分）となっており、互いに交差している。そのため、派生する周における補正数は、各階層の階層番目以降の列についてのみ考えればよいことになる（具体的には、表７〜表１０における階段状を呈した枠で囲んだ部分）。
【表３】
2016028307.tif 000077
【表４】
2016028307.tif 000078
【表５】
2016028307.tif 000079
【表６】
2016028307.tif 000080
【表７】
2016028307.tif 000081
【表８】
2016028307.tif 000082
【表９】
2016028307.tif 000083
【表１０】
2016028307.tif 000084
【０１２２】
また、一方、派生する周は、階層が上がるにつれ周の番号が大きくなるめ、最終周Ｌｆ(１)以下となる周は、階層が上がるにつれ減少していくこととなってる。すなわち、列の数は、階層が上がるにつれ減少していくこととなっている。
【０１２３】
つまり、１時の場合の派生する周における補正数は、表１１における末広がり型の山形状を呈した部分について考えればよいことになる。
【表１１】
2016028307.tif 000085
【０１２４】
三角形形状を呈した部分についての求め方としては、各階層ごとに合成数となる列の数をカウントしていき、カウントした値を階層ごとに総和する方法により求めるものとする。
次に、各階層ごとに合成数となる列の数をカウントすることについて説明する。
合成数となる列の数をカウントする方法としては、それぞれの階層ごとに、最終周Ｌｆ(１)から起点となる周を引いてやり、派生する周の間隔で整数除算することで算出することが考えられる。しかし、この方法の場合、別途行っている起点となる周における補正と重複してしまうという問題が発生する。その理由としては、上記規則性でも述べたように、派生する周の間隔が合成数となる場合、派生した列は、起点となる周と交差してしまうためである。
【０１２５】
そこで、派生する周の間隔が合成数となるか否かの判定を行い、派生する周の間隔が合成数となる場合、派生しないものとして扱うことで、別途行っている起点となる周における補正と重複してしまうという問題を回避することにする。
派生する周の間隔が合成数となるか否かの判定は、派生する周の間隔が、何時の値であって、何周目の値であるかに注目すればよいので、判定を行う基準を、値ではなく、何周目であるかについて行うこととする。
【０１２６】
判定を行う基準を、何周目であるかについて行うことにするため、上述した表１１における末広がり型の山形状を呈した部分における階層の数と列の数をカウントする際の開始位置を周で考えることとすると、起点となる周の間隔が、５周おき、７周おき、１１周おきの場合、派生する周の間隔は、それぞれ、５時、７時、１１時における２周目以降の各周の値となっており、１３周おきの場合、派生する周の間隔は、１時における３周目以降の各周の値となってるため、階層の数と列の数をカウントする際の開始位置は、５周おき、７周おき、１１周おきの場合、２、１３周おきの場合、３となる。
【０１２７】
カウントする際の開始位置は、派生する周の間隔が合成数となるか否かの判定を行うことから決まったため、次に、カウントする際の終了位置について考えることとする。
【０１２８】
まず、階層の数を求めることとする。
階層の数の求め方は、階層の数が最大となる列、つまり、起点となる周と派生する周の間隔が最も小さくなる１列目において、最終周Ｌｆ(１)から起点となる周を引いてやり、派生する周の間隔で整数除算すれば算出することができる。ただし、最終周Ｌｆ(１)が、起点となる周より小さい場合、負の値となってしまうため、最終周Ｌｆ(１)を起点となる周の２番目の周（起点となる周の最初の周から起点となる周の間隔進んだ周のこと）で整数除算した値に１を加えた値で１を整数除算し、１から引いたものを、整数除算した際に得られた整数に掛け合わせてやることにする。
【０１２９】
次に、階層の数について説明する。
起点となる周の間隔が５周おき、７周おき、１１周おき、１３周おきとなる場合の階層の数を、Ｃ1f、Ｃ1s、Ｃ1t、Ｃ1oとすると、
【数７４】
2016028307.tif 000086
【数７５】
2016028307.tif 000087
【数７６】
2016028307.tif 000088
【数７７】
2016028307.tif 000089
として表すことができる。
【０１３０】
次に、各階層における列の数の求め方について説明する。
列の数の求め方は、それぞれの階層ごとに、最終周Ｌｆ(１)から起点となる周を引いてやり、派生する周の間隔で整数除算すれば算出することができる。ただし、上記階層の数の求め方同様、最終周Ｌｆ(１)が、起点となる周より小さい場合、負の値となってしまうため、最終周Ｌｆ(１)を起点となる周の２番目の周で整数除算した値に１を加えた値で１を整数除算し、１から引いものを、整数除算した際に得られた整数に掛け合わせてやることにする。
起点となる周の間隔が５周おき、７周おき、１１周おき、１３周おきとなる場合の列の数を、Ｒ1f、Ｒ1s、Ｒ1t、Ｒ1oとし、階層の番号をx、階層の数をカウントする際の開始位置を、５周おき、７周おき、１１周おきの場合、２、１３周おきの場合、３からとすると、
【数７８】
2016028307.tif 000090
【数７９】
2016028307.tif 000091
【数８０】
2016028307.tif 000092
【数８１】
2016028307.tif 000093
として表すことができる。
【０１３１】
次に、階層の数と列の数の補正について説明する。
上述により、階層の数、各階層における列の数は求められたが、何周目であるかを基準に派生する周の間隔が合成数となるか否かの判定を行うことにしたため、階層の数と列の数を補正する必要がある。階層の数と列の数が同じになればよいので、５周おき、７周おき、１１周おきの場合、階層の数と列の数に２を追加したもの、１３周おきの場合、階層の数と列の数に３を追加したものを、階層の数と列の数をカウントする際の終了位置として行うこととする。
つまり、階層方向における派生する周の間隔が合成数となるか否かの判定結果を仮にＸ、列方向における派生する周の間隔が合成数となるか否かの判定結果を仮にＹとすると、
起点となる周の間隔が５周おきの場合、
【数８２】
2016028307.tif 000094
起点となる周の間隔が７周おきの場合、
【数８３】
2016028307.tif 000095
起点となる周の間隔が１１周おきの場合、
【数８４】
2016028307.tif 000096
起点となる周の間隔が１３周おきの場合、
【数８５】
2016028307.tif 000097
として表すことができる。
【０１３２】
次に、派生する周がない場合の対応について説明する。
上記の表１１における末広がり型の山形状を呈した部分について求める式は、Σを用いて表したため、派生する周がない場合、つまり、最終周Ｌｆ(１)が起点となる周の２番目の周より小さくなる場合にも、階層の数と列の数をカウントする際の開始位置において、派生する周をカウントしてしまう可能性がある。
【０１３３】
そのため、最終周Ｌｆ(１)が起点となる周の２番目の周より小さい場合に０、最終周Ｌｆ(１)が起点となる周の２番目の周以上となる場合に１を、上記の表１１における末広がり型の山形状を呈した部分について求める式に掛け合わせてやることにする。
最終周Ｌｆ(１)が起点となる周の２番目の周より小さい場合に０、最終周Ｌｆ(１)が起点となる周の２番目の周以上となる場合に１とするためには、最終周Ｌｆ(１)を起点となる周の２番目の周で整数除算した値に１を加えた値で１を整数除算し、１から引いものを、整数除算した際に得られた整数に掛け合わせてやればよいので、以下のようになる。
起点となる周の２番目の周をＬｓとすると
【数８６】
2016028307.tif 000098
となる。
【０１３４】
つまり、起点となる周の間隔が５周おき、７周おき、１１周おき、１３周おきとなる場合の掛け合わせる値をＭ1f、Ｍ1s、Ｍ1t、Ｍ1oとすると、
【数８７】
2016028307.tif 000099
【数８８】
2016028307.tif 000100
【数８９】
2016028307.tif 000101
【数９０】
2016028307.tif 000102
となる。
【０１３５】
次に、派生する周の間隔が合成数となるか否かの判定について説明する。
判定の基準である起点となる周は、階層方向、列方向ともに、５周おき、７周おき、１１周おき、１３周おきの４つの間隔で存在する。
この階層方向における４つの起点となる周のいずれか、あるいは、列方向における４つの起点となる周のいずれかにおいて、起点となる周であった場合、カウントしないようにしたい。そこで、判定結果を、起点となる周の場合に０、起点とならない周の場合に１となるようにし、それぞれの起点となる周における判定を、階層方向と列方向において行い、判定した結果を全て掛け合わせることで、いずれかの判定結果が起点となる周であった場合に、カウントしないようにし、全ての判定結果が起点となる周でなかった場合に、１をカウントすることにする。
【０１３６】
起点であるか否かの判定を行うためには、判定する周から起点となる最初の周を引いてやり、起点（合成数）となる周の間隔で割った際の余りを求め、余りが０であるか否かを判定すればよいので、まず、余りを求めてやることとする。
【０１３７】
余りを求めるためには、判定する周以下であって、かつ、判定する周の最も近傍にある起点を算出する必要がある。そこで、まず、判定する周から起点となる最初の周を引いてやり、起点（合成数）となる周の間隔で整数除算を行い、商を算出してやる。次に、この算出された商と起点（合成数）となる周の間隔を掛け合わせてやり、起点となる最初の周を足してやることで、判定する周以下であって、かつ、判定する周の最も近傍にある起点を算出してやることとする。
そして、判定する周から、算出された判定する周以下であって、かつ、判定する周の最も近傍にある起点を引いてやれば余りを求めることができる。
【０１３８】
上記算出された余りは、起点となる周であった場合に０、起点とならない周であった場合に整数の値となる。この算出された余りが、０の場合に０、整数の場合に１となるようにしたい。そこで、算出された余りの値に１を加えた値で１を整数除算し、１から引いものを、算出された余りの値に掛け合わせてやることとする。
【０１３９】
つまり、判定する周をＪ、起点（合成数）となる周の間隔をＩｃ、起点となる最初の周をＬｂとすると、派生する周の間隔が合成数であるか否かを判定する判定式は、
【数９１】
2016028307.tif 000103
で表すことができる。
【０１４０】
具体的には以下のようになる。
階層方向の派生する周の間隔が、１時の３周目以降の値となる場合において、起点（合成数）となる周の間隔が、５周おき、７周おき、１１周おき、１３周おきとなる場合の判定式を、それぞれ、Ｊc1f、Ｊc1s、Ｊc1t、Ｊc1oとすると、
【数９２】
2016028307.tif 000104
【数９３】
2016028307.tif 000105
【数９４】
2016028307.tif 000106
【数９５】
2016028307.tif 000107
【０１４１】
列方向の派生する周の間隔が、１時の３周目以降の値となる場合において、起点（合成数）となる周の間隔が、５周おき、７周おき、１１周おき、１３周おきとなる場合の判定式を、それぞれ、Ｊr1f、Ｊr1s、Ｊr1t、Ｊr1oとすると、
【数９６】
2016028307.tif 000108
【数９７】
2016028307.tif 000109
【数９８】
2016028307.tif 000110
【数９９】
2016028307.tif 000111
【０１４２】
階層方向の派生する周の間隔が、５時の２周目以降の値となる場合において、起点（合成数）となる周の間隔が、５周おき、７周おき、１１周おき、１３周おきとなる場合の判定式を、それぞれ、Ｊc5f、Ｊc5s、Ｊc5t、Ｊc5oとすると、
【数１００】
2016028307.tif 000112
【数１０１】
2016028307.tif 000113
【数１０２】
2016028307.tif 000114
【数１０３】
2016028307.tif 000115
【０１４３】
列方向の派生する周の間隔が、５時の２周目以降の値となる場合において、起点（合成数）となる周の間隔が、５周おき、７周おき、１１周おき、１３周おきとなる場合の判定式を、それぞれ、Ｊr5f、Ｊr5s、Ｊr5t、Ｊr5oとすると、
【数１０４】
2016028307.tif 000116
【数１０５】
2016028307.tif 000117
【数１０６】
2016028307.tif 000118
【数１０７】
2016028307.tif 000119
【０１４４】
階層方向の派生する周の間隔が、７時の２周目以降の値となる場合において、起点（合成数）となる周の間隔が、５周おき、７周おき、１１周おき、１３周おきとなる場合の判定式を、それぞれ、Ｊc7f、Ｊc7s、Ｊc7t、Ｊc7oとすると、
【数１０８】
2016028307.tif 000120
【数１０９】
2016028307.tif 000121
【数１１０】
2016028307.tif 000122
【数１１１】
2016028307.tif 000123
【０１４５】
列方向の派生する周の間隔が、７時の２周目以降の値となる場合において、起点（合成数）となる周の間隔が、５周おき、７周おき、１１周おき、１３周おきとなる場合の判定式を、それぞれ、Ｊr7f、Ｊr7s、Ｊr7t、Ｊr7oとすると、
【数１１２】
2016028307.tif 000124
【数１１３】
2016028307.tif 000125
【数１１４】
2016028307.tif 000126
【数１１５】
2016028307.tif 000127
【０１４６】
階層方向の派生する周の間隔が、１１時の２周目以降の値となる場合において、起点（合成数）となる周の間隔が、５周おき、７周おき、１１周おき、１３周おきとなる場合の判定式を、それぞれ、Ｊc11f、Ｊc11s、Ｊc11t、Ｊc11oとすると、
【数１１６】
2016028307.tif 000128
【数１１７】
2016028307.tif 000129
【数１１８】
2016028307.tif 000130
【数１１９】
2016028307.tif 000131
【０１４７】
列方向の派生する周の間隔が、１１時の２周目以降の値となる場合において、起点（合成数）となる周の間隔が、５周おき、７周おき、１１周おき、１３周おきとなる場合の判定式を、それぞれ、Ｊr11f、Ｊr11s、Ｊr11t、Ｊr11oとすると、
【数１２０】
2016028307.tif 000132
【数１２１】
2016028307.tif 000133
【数１２２】
2016028307.tif 000134
【数１２３】
2016028307.tif 000135
として表される。
【０１４８】
すなわち、判定結果は、以下のようになる。
派生する周の間隔が１時の３周目以降の値となる場合の階層方向の判定結果をＸ1とすると、
【数１２４】
2016028307.tif 000136
派生する周の間隔が１時の３周目以降の値となる場合の列方向の判定結果をＹ1とすると、
【数１２５】
2016028307.tif 000137
派生する周の間隔が５時の２周目以降の値となる場合の階層方向の判定結果をＸ5とすると、
【数１２６】
2016028307.tif 000138
派生する周の間隔が５時の２周目以降の値となる場合の列方向の判定結果をＹ5とすると、
【数１２７】
2016028307.tif 000139
派生する周の間隔が７時の２周目以降の値となる場合の階層方向の判定結果をＸ7とすると、
【数１２８】
2016028307.tif 000140
派生する周の間隔が７時の２周目以降の値となる場合の列方向の判定結果をＹ7とすると、
【数１２９】
2016028307.tif 000141
派生する周の間隔が１１時の２周目以降の値となる場合の階層方向の判定結果をＸ11とすると、
【数１３０】
2016028307.tif 000142
派生する周の間隔が１１時の２周目以降の値となる場合の列方向の判定結果をＹ11とすると、
【数１３１】
2016028307.tif 000143
として表される。
【０１４９】
したがって、派生する周における補正数は、以下のようになる。
派生する周の間隔が１時の３周目以降となる場合の派生する周における補正数をＤo1とすると、
【数１３２】
2016028307.tif 000144
派生する周の間隔が５時の２周目以降となる場合の派生する周における補正数をＤo2とすると、
【数１３３】
2016028307.tif 000145
派生する周の間隔が７時の２周目以降となる場合の派生する周における補正数をＤo3とすると、
【数１３４】
2016028307.tif 000146
派生する周の間隔が１１時の２周目以降となる場合の派生する周における補正数をＤo4とすると、
【数１３５】
2016028307.tif 000147
となる。
【０１５０】
次に、５時、７時、１１時の場合について説明する。
各時ごとに派生する周は、該時と１時の組み合わせと、該時以外で、かつ、１時以外となる２つの時の組み合わせとにおいて、組み合わせにおける一方の起点から派生した周におけるｎ番目の列の各階層は、組み合わせにおけるもう一方の起点から派生した周のｎ番目の階層の各列となっている（具体的には、表１２〜表１４における横長の太線で囲んだ部分が、表１５〜表１７における縦長の太線で囲んだ部分となっており、表１８〜表２０における横長の太線で囲んだ部分が、表２１〜表２３における縦長の太線で囲んだ部分となっている）。そのため、派生する周における補正数は、上記組み合わせにおいて、一方の起点から派生した周のみについて考えればよいことになる。
【表１２】
2016028307.tif 000148
【表１３】
2016028307.tif 000149
【表１４】
2016028307.tif 000150
【表１５】
2016028307.tif 000151
【表１６】
2016028307.tif 000152
【表１７】
2016028307.tif 000153
【表１８】
2016028307.tif 000154
【表１９】
2016028307.tif 000155
【表２０】
2016028307.tif 000156
【表２１】
2016028307.tif 000157
【表２２】
2016028307.tif 000158
【表２３】
2016028307.tif 000159
また、派生する周は、階層が上がるにつれ周の番号が大きくなるめ、最終周Ｌｆ(１)以下となる周は、階層が上がるにつれ減少していくこととなってる。
すなわち、列の数は、階層が上がるにつれ減少していくこととなるため、５時、７時、１１時の場合の派生する周における補正数は、表２４における略直角三角形形状を呈した部分について考えればよいことになる。
【表２４】
2016028307.tif 000160
略直角三角形形状を呈した部分についての求め方としては、各階層ごとに合成数となる列の数をカウントしていき、カウントした値を階層ごとに総和する方法により求めるものとする。
【０１５１】
次に、階層の数について説明する。なお、各階層ごとに合成数となる列の数をカウントすること、および、階層の数の求め方については、１時の場合と同様であるため、説明を省略する。
【０１５２】
階層の数は、以下のようになる。
５時において、起点となる周の間隔が、５周おき、７周おきとなる場合の階層の数を、Ｃ5f、Ｃ5sとすると、
【数１３６】
2016028307.tif 000161
【数１３７】
2016028307.tif 000162
【０１５３】
７時において、起点となる周の間隔が、５周おき、７周おきとなる場合の階層の数を、Ｃ7f、Ｃ7sとすると、
【数１３８】
2016028307.tif 000163
【数１３９】
2016028307.tif 000164
【０１５４】
１１時において、起点となる周の間隔が、５周おき、１１周おきとなる場合の階層の数を、Ｃ11f、Ｃ11tとすると、
【数１４０】
2016028307.tif 000165
【数１４１】
2016028307.tif 000166
として表すことができる。
【０１５５】
次に、各階層における列の数について説明する。なお、各階層における列の数の求め方については、１時の場合と同様であるため、説明を省略する。
階層の番号をx、階層の数をカウントする際の開始位置を、５周おき、７周おき、１１周おきの場合、２、１３周おきの場合、３からとすると、各階層における列の数は、以下のようになる。
【０１５６】
５時において、起点となる周の間隔が、５周おき、７周おきとなる場合の列の数を、Ｒ5f、Ｒ5sとすると、
【数１４２】
2016028307.tif 000167
【数１４３】
2016028307.tif 000168
【０１５７】
７時において、起点となる周の間隔が、５周おき、７周おきとなる場合の列の数を、Ｒ7f、Ｒ7sとすると、
として表すことができる。
【数１４４】
2016028307.tif 000169
【数１４５】
2016028307.tif 000170
【０１５８】
１１時において、起点となる周の間隔が、５周おき、１１周おきとなる場合の列の数を、Ｒ11f、Ｒ11tとすると、
【数１４６】
2016028307.tif 000171
【数１４７】
2016028307.tif 000172
として表すことができる。
【０１５９】
次に、階層の数と列の数の補正について説明する。
上述により、階層の数、各階層における列の数は求められたが、１時の場合同様、何周目であるかを基準に派生する周の間隔が合成数となるか否かの判定を行うことにしたため、階層の数と列の数を補正する必要がある。階層の数と列の数が同じになればよいので、５周おき、７周おき、１１周おきの場合、階層の数と列の数に２を追加したもの、１３周おきの場合、階層の数と列の数に３を追加したものを、階層の数と列の数をカウントする際の終了位置として行うこととする。
つまり、階層方向における派生する周の間隔が合成数となるか否かの判定結果を仮にＸ、列方向における派生する周の間隔が合成数となるか否かの判定結果を仮にＹとすると、
５時において、起点となる周の間隔が５周おきとなる場合、
【数１４８】
2016028307.tif 000173
５時において、起点となる周の間隔が７周おきとなる場合、
【数１４９】
2016028307.tif 000174
７時において、起点となる周の間隔が５周おきとなる場合、
【数１５０】
2016028307.tif 000175
７時において、起点となる周の間隔が７周おきとなる場合、
【数１５１】
2016028307.tif 000176
１１時において、起点となる周の間隔が５周おきとなる場合、
【数１５２】
2016028307.tif 000177
１１時において、起点となる周の間隔が１１周おきとなる場合、
【数１５３】
2016028307.tif 000178
として表すことができる。
【０１６０】
次に、派生する周がない場合の対応について説明する。
上記の表２４における略直角三角形形状を呈した部分について求める式は、Σを用いて表したため、派生する周がない場合、つまり、最終周Ｌｆ(１)が起点となる周の２番目の周より小さくなる場合にも、階層の数と列の数をカウントする際の開始位置において、派生する周をカウントしてしまう可能性がある。
そのため、１時の場合同様、最終周Ｌｆ(１)が起点となる周の２番目の周より小さい場合に０、最終周Ｌｆ(１)が起点となる周の２番目の周以上となる場合に１を、上記の表２４における略直角三角形形状を呈した部分について求める式に掛け合わせてやることにする。
つまり、掛け合わせる値は、以下のようになる。
５時において、起点となる周の間隔が５周おきとなる場合、掛け合わせる値をＭ5fとすると、
【数１５４】
2016028307.tif 000179
５時において、起点となる周の間隔が７周おきとなる場合、掛け合わせる値をＭ5sとすると、
【数１５５】
2016028307.tif 000180
７時において、起点となる周の間隔が５周おきとなる場合、掛け合わせる値をＭ7fとすると、
【数１５６】
2016028307.tif 000181
７時において、起点となる周の間隔が７周おきとなる場合、掛け合わせる値をＭ7sとすると、
【数１５７】
2016028307.tif 000182
１１時において、起点となる周の間隔が５周おきとなる場合、掛け合わせる値をＭ11fとすると、
【数１５８】
2016028307.tif 000183
１１時において、起点となる周の間隔が１１周おきとなる場合、掛け合わせる値をＭ11tとすると、
【数１５９】
2016028307.tif 000184
となる。
【０１６１】
次に、派生する周の間隔が合成数となるか否かの判定について説明する。
派生する周の間隔が合成数となるか否かの判定については、上記１時の場合において説明したため、説明を省略する。
【０１６２】
派生する周における補正数は、以下のようになる。
５時において、起点となる周の間隔が５周おきとなる場合における補正数をＤf1とすると、
【数１６０】
2016028307.tif 000185
５時において、起点となる周の間隔が７周おきとなる場合における補正数をＤf2とすると、
【数１６１】
2016028307.tif 000186
７時において、起点となる周の間隔が５周おきとなる場合における補正数をＤs1とすると、
【数１６２】
2016028307.tif 000187
７時において、起点となる周の間隔が７周おきとなる場合における補正数をＤs2とすると、
【数１６３】
2016028307.tif 000188
１１時において、起点となる周の間隔が５周おきとなる場合における補正数をＤt1とすると、
【数１６４】
2016028307.tif 000189
１１時において、起点となる周の間隔が１１周おきとなる場合における補正数をＤt2とすると、
【数１６５】
2016028307.tif 000190
となる。
【０１６３】
なお、上述した派生する周における補正数の算出方法において、起点となる最初の周が異なる場合における補正を行わなかったが、補正を行わなかった理由は、以下の理由によるものである。
【０１６４】
起点となる最初の周が異なる場合において、起点から派生した周が互いに交差するということは、派生する周の間隔が合成数となるということであって、派生する周の間隔が合成数となるということは、起点となる周と交差するということである。つまり、起点となる周における補正と重複してしまうという問題を回避するため、派生しないものとして扱うようにしたことから、補正する必要がなくなったためである。
【０１６５】
上述のことから、派生する周における補正数をＤとすると、
【数１６６】
2016028307.tif 000191
となる。
【０１６６】
上述の素数Ｎが何番目の素数であるかを求める式（Ｒ＝Ｔ−Ｃ）において、補正を行う数である補正数Ｃは、「仮の素数番号Ｔから合成数となる数を引く」としたため、マイナスが付いている。そのため、補正を行う数である補正数Ｃにマイナスを付加してやることにすると、
起点となる周における補正数Ｓと、派生する周における補正数Ｄから、補正を行う数である補正数Ｃは、
【数１６７】
2016028307.tif 000192
となる。
【０１６７】
次に、１周目について説明する。
今、素数Ｎと素数番号ｎとの関係を式で表そうとしているので、素数Ｎと素数番号ｎとの関係をみてみることにする。
素数２から素数番号１を引くと１
素数３から素数番号２を引くと１
素数５から素数番号３を引くと２
素数７から素数番号４を引くと３
素数１１から素数番号５を引くと６
となる。
【０１６８】
上記の関係から素数の値を半分にしてやると素数から素数番号を引いた値に近似した値となることがわかる。
つまり、
素数２を２割ると１
素数３を２割ると１.５
素数５を２割ると２.５
素数７を２割ると３.５
素数１１を２割ると５.５
となる。
【０１６９】
素数２から素数７までは素数の値を２で整数除算してやれば引いた値と一致させることができるが、素数１１に関しては一致させることができない。素数１１の場合、素数の値を２で整数除算した値に１を足してやれば引いた値と一致させることができる。
そこで、補正数を加算してやることを考えると、素数２から素数７までは補正する必要がないので補正数は０、素数１１の場合、補正する必要があるので補正数が１となるようにしたいので、素数の値を１１で整数除算したものを加算してやることにする。
すると、素数から素数番号を引いたものは
【数１６８】
2016028307.tif 000193
で表すことができる。
今、素数Ｎと素数番号ｎとの関係を表したいので、上記差に当たる素数から素数番号を引いたものを、素数Ｎから引いてやると
【数１６９】
2016028307.tif 000194
として表すことができる。
【０１７０】
次に、１周目の式と２周目以降の式をあわせた式について説明する。
上記により、１周目の式と、２周目以降の式を表すことができたため、次に、上記１周目の式と、２周目以降の式をあわせた式について説明することとする。
上記１周目の式と、２周目以降の式をあわせた式は、素数Ｎが１３より小さい値である場合に１周目の式のみにおいて算出を行い、素数Ｎが１３以上である場合に２周目以降の式のみにおいて算出を行うようにしたい。
そこで、素数Ｎが１３より小さい値である場合、１周目の式に１、２周目以降の式に０、素数Ｎが１３以上である場合、１周目の式に０、２周目以降の式に１となる式を掛け合わせてやることにする。
２周目以降の式に掛け合わせる式は、素数Ｎを１３で整数除算した値に１を加えた値で１を整数除算し、１から引いてやればよいので、
【数１７０】
2016028307.tif 000195
で表すことができる。
【０１７１】
一方、１周目の式に掛け合わせる式は、算出した結果が、上記２周目以降の式に掛け合わせる式によって得られる算出結果の０と１を反転させたものになればよいので、１から上記２周目以降の式に掛け合わせる式を引いてやると、
【数１７１】
2016028307.tif 000196
で表すことができる。
【０１７２】
したがって、素数Ｎと素数番号ｎとの関係は、
【数１７２】
2016028307.tif 000197
となる。
【０１７３】
上述した「素数と素数番号との関係」から「何番目の素数であるかを算出するプログラム」を作成したところ、何番目の素数であるかを算出することが可能となった。
さらに、上記「何番目の素数であるかを算出するプログラム」を流用し、「ｎ番目の素数を算出するプログラム」を作成したところ、ｎ番目の素数を算出することが可能となった。
【０１７４】
上記の説明においては、素数と素数番号の関係について説明を行っているが、上述の素数Ｎと素数番号ｎとの関係式おける「素数Ｎ」を「任意の自然数」、「素数番号」を「任意の自然数以下の素数の個数」に置き換えれば、任意の自然数以下の素数の個数を算出することができる。これはリーマンが素数公式において示したものであるが、素数公式とはアプローチの仕方が異なる方法において、任意の自然数以下の素数の個数を示すことができた。
【０１７５】
ここで、リーマン予想の証明を行っておくことにする。
まず、仮にゼータ関数の自明ではない全ての零点の実部が１／２でないと仮定する。
すると、任意の自然数以下の素数の個数を厳密に言い当てることができなくなる。
しかし、任意の自然数以下の素数の個数は、ゼータ関数の自明ではない全ての零点とは関係なく、上述の素数Ｎと素数番号ｎとの関係式を「任意の自然数」と「任意の自然数以下の素数の個数」に置き換えることで厳密に言い当てることができる。
つまり、等式で示された素数公式の右辺と左辺において、矛盾が生じることになる。そのため、上記において仮定したゼータ関数の自明ではない全ての零点の実部が１／２でないという仮定自体が間違っていたことになる。
したがって、背理法により、ゼータ関数の自明ではない全ての零点の実部が１／２の一直線上に並ぶことになる。
【０１７６】
なお、上述した素数に関する規則性から、１時、５時、７時、１１時において合成数となる周となる周である派生する周は、一定の間隔で起点となる周から派生し、派生する周の間隔が増大していくため、素数の個数の存在は自然数の値が増大するにつれ減衰していくことがいえる。また、起点となる周の最小となる周の間隔は５で、派生する周の間隔は、時における２周目以降の各周の値、すなわち、派生する周の最小となる周の間隔は１７で、派生する周の間隔は増大していくため、合成数となる周において全ての周を埋め尽くすことができないことになる。つまり、従来の方法とは素数へのアプローチの仕方が異なるものであるが、素数が無限に存在することも示すこともできる。
【図１】
2016028307.tif 000198
【図２】
2016028307.tif 000199
【図３】
2016028307.tif 000200