(57)【要約】【課題】管振動振幅と流れの非一様性の影響を考慮した、理論的基盤のある臨界流速の予測を可能にする。【解決手段】所定方向に延びる複数の管を含む管群に対して流体が直交して流れるシステムを所定の大きさの複数の領域に分割し、各領域の境界での未知量をモード展開し、これらのモード座標で各領域内での未知量を表すことによって自由度を低減する境界モード展開法を用い、前記管の伸びる方向に垂直な流れの非一様性を表す関数を導入し（Ｓ１２）、前記臨界流速は前記流れの非一様性を表す関数を用いて予測するものであって、前記管の伸びる方向に垂直な前記管の振動振幅の非一様性を表す関数をさらに導入し（Ｓ１１）、前記流れの非一様性を表す関数と共に前記管の振動振幅の非一様性を表す関数に基づいて前記臨界流速を予測してもよい。【選択図】図１
2016151859.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
コンピュータを用いて、所定方向に延びる複数の管を含む管群に対して流体が直交して流れるシステムにおいて前記管群に不安定振動が発生する臨界流速を予測する方法であって、
前記システムについて所定の大きさの複数の領域に分割し、各領域の境界での未知量をモード展開し、これらのモード座標で各領域内での未知量を表すことによって自由度を低減する境界モード展開法を用い、
前記管の伸びる方向に垂直な流れの非一様性を表す関数を導入し、前記臨界流速は前記流れの非一様性を表す関数を用いて予測すること
を特徴とする臨界流速予測方法。
【請求項２】
前記管の伸びる方向に垂直な前記管の振動振幅の非一様性を表す関数を導入し、前記臨界流速は、前記流れの非一様性を表す関数と共に前記管の振動振幅の非一様性を表す関数に基づいて予測することを特徴とする請求項１に記載の臨界流速予測方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
この発明は、管群に直交して流れる流体により発生する管群の臨界振動を引き起こす流体の臨界流速を予測する臨界流速予測方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
従来、様々な機器において、所定方向に延びる複数の管から管群について、管群をなす管の軸と直交する方向に流体が流れる構造が使用されている。このような構造においては、流体の速度がある値に達すると流体と管群が連成する不安定振動である臨界振動が発生することが知られている（下記引用文献１、特に段落００２７を参照）。
【０００３】
このため、不安定振動を引き起こす流速（臨界流速）の予測は、管群を備える機器の安全性確保のために非常に重要な問題となっている。この臨界流速の問題に関しては、実際上、管振動振幅と流れの非一様性（管軸方向に一定でなく管軸方向座標に依存すること）が生じることが多く、この非一様性を考慮した臨界流速を予測することが求められている。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００４】
【特許文献１】特開２００１−１０８２０３号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
しかしながら、管群の軸と直交する方向に流体が流れる前記構造においては、管振動振幅と流れの非一様性の影響を考慮して臨界流速を予測する信頼できる方法が提供されていなかった。
【０００６】
この発明は、上述の実情に鑑みて提供されるものであって、管群に直交して流れる流体により発生する管群の臨界振動を引き起こす流体の臨界流速について、管振動振幅と流れの非一様性の影響を考慮し、理論的基盤のある臨界流速予測方法を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
上述の課題を解決するために、この出願に係る臨界流速予測方法は、コンピュータを用いて、所定方向に延びる複数の管を含む管群に対して流体が直交して流れるシステムにおいて前記管群に不安定振動が発生する臨界流速を予測する方法であって、前記システムについて所定の大きさの複数の領域に分割し、各領域の境界での未知量をモード展開し、これらのモード座標で各領域内での未知量を表すことによって自由度を低減する境界モード展開法を用い、前記管の伸びる方向に垂直な流れの非一様性を表す関数を導入し、前記臨界流速は前記流れの非一様性を表す関数を用いて予測するものである。
【０００８】
前記管の伸びる方向に垂直な前記管の振動振幅の非一様性を表す関数を導入し、前記臨界流速は、前記流れの非一様性を表す関数と共に前記管の振動振幅の非一様性を表す関数に基づいて予測することが好ましい。
【発明の効果】
【０００９】
この発明によると、管振動振幅と流れの非一様性の影響を考慮して臨界流速を解析的に求めている。したがって、この臨界流速は理論基盤があるものであり、十分に信頼することができる。
【図面の簡単な説明】
【００１０】
【図１】臨界流速予測方法の一連の工程を示すフローチャートである。
【図２】正方配列及び回転三角配列の管群を示す平面図である。
【図３】回転三角配列の座標設定を示す平面図である。
【図４】正方配列で表１のケース１〜４における臨界換算流速を示すグラフである。
【図５】正方配列で非一様流れの場合の臨界換算流速を示すグラフである。
【図６】回転三角配列で表１のケース１〜４における臨界換算流速を示すグラフである。
【図７】回転三角配列で非一様流れの場合の臨界換算流速を示すグラフである。
【図８】臨界流速を予測する計算装置の構成を示すブロック図である。
【図９】計算装置における一連の動作を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００１１】
以下、臨界流速予測方法の実施の形態について図面を参照して詳細に説明する。
【００１２】
〔１  本実施の形態の概要〕
本実施の形態では、管群に対する流体支配方程式系を解析的手法で解くことによって臨界流速を予測する方法を提供する。本実施の形態では、このような解析的予測法を、非一様性を考慮した場合にまで発展させて、標記影響の評価式を導く。実施例においては、管群が正方配列の場合と回転三角配列の場合について検討している。
【００１３】
図１は、本実施の形態の臨界流速予測方法の一連の流れを示すフローチャートである。最初のステップＳ１１では、流れを一様とし、流体振動の解の表示法について考えることにより、管の振動振幅の非一様性を考慮した場合への拡張を行う。これにより、流れが一様の場合、管の振動振幅の非一様性の臨界流速への影響は小さいことを確かめる。
【００１４】
次に、ステップＳ１２において、流れの非一様性を介入させ、流れが一様な前記の場合と異なり、管の振動振幅の非一様性の臨界流速への影響は大きく、管の振動振幅を一様とすると臨界流速の過大評価（非安全側の評価）になり得ることを例示する。
【００１５】
ステップＳ１３では、本実施の形態の解析的予測法による固有値問題の非一様性介入による変換を行い、変換前後の臨界流速の比を求めることによって、標記した非一様性の影響の評価式を導く。
【００１６】
この評価式から、上記の過大評価が生じる条件（管の振動振幅の非一様性を表す関数の２乗と、流れの非一様性を表す関数の、偏差間の相関が正であること）を導く。この条件は、物理的には流れの速い所で管の振動振幅が大きいことを示していて妥当であり、提案する評価式によって、管の振動振幅、流れ、双方の非一様性を表す２関数間の定量的な関係を、解析的手法に基づいて求めることが可能となる。
【００１７】
さらに、従来評価式との比較によって、下記の点を明らかにする。
（１）従来評価式の方が、臨界流速が小さいこと。
（２）ナビエ・ストークス方程式の非線形項が３次（実際には２次）であれば従来評価式の形になること。
（３）本評価式と従来評価式での臨界流速の差は、正相関（臨界流速の低い限界時）では比較的小さく、負相関（臨界流速の高い安全時）では大きくなる。
【００１８】
〔２  計算モデルと座標系〕
図２のような正方配列、回転三角配列の場合を考える。Ｔは配列のピッチ、ｄ＝２ａは各管の直径である。正方配列、回転三角配列はそれぞれ、正四角柱、正六角柱の領域（以下、セルと称する）の集まりである。
【００１９】
図２（ａ）に示す正方配列の管群１０においては、各セル１２１〜１２９において、それぞれ直径ｄ＝２ａの第１の管１１１から第９の管１１９までの９本の管１１１〜１１９が、軸間の間隔（ピッチ）をＴとして、Ｘ方向及びＹ方向にそれぞれ３列に、各管１１１〜１１９の軸が延びるｚ方向について４回回転対称になるように配置されている。
【００２０】
図２（ｂ）に示す回転三角配列のこの管群２０においては、各セル２２１〜２２１１において、それぞれ半径ｄ＝２ａの第１の管２１１から第１１の管２１１１までの１１本の管２１１〜２１１１が、軸間の間隔（ピッチ）をＴとして、各管２１１〜２１１１の軸が延びるｚ方向について回転三角配列に配置され、Ｘ方向に沿って３列に並んでいる。ここで、回転三角配列とは、三角配列の内、管群の軸方向に直交する平面内において隣接する間を結ぶ直線の一つの方向に流体が流れるものをいう。なお、以下では簡単のため、各管１１１〜１１９，２１１〜２１１１を特定する添え字を省略する。
【００２１】
例えば回転三角配列の場合、各セルについて図３のように下記の座標を設定する。図中のエッジ（稜線）ｉ１〜ｉ６は、正六角柱セルの、管軸に平行な稜線である。
【００２２】
図中の直交座標系
【数１】
2016151859.tif 000003
と、正多角形の各辺に沿ってとられた１次元座標ｓは、各辺での未知量（流速成分、圧力）の基底関数展開に用いる。
【００２３】
円筒座標系
【数２】
2016151859.tif 000004
は、
【数３】
2016151859.tif 000005
によって表される各セル内領域の流体運動解析に用いる。
【００２４】
ここで
【数４】
2016151859.tif 000006
である。
【００２５】
ｓと
【数５】
2016151859.tif 000007
との関係は次式によって与えられる。
【数６】
2016151859.tif 000008
【００２６】
ここで
【数７】
2016151859.tif 000009
である。
【００２７】
本実施の形態では、管が静止している場合の基本流れを、管軸方向に一様な２次元として求め、この流れに管軸方向の非一様性を表す関数Ｆ（ｚ）を掛ける近似により、非一様流れの影響を調べる。以下、管の振動振幅の非一様性を考慮して、不安定振動の生じる臨界流速を予測し、比較対象として示す一様流れの場合と異なり、非一様流れでは、管の振動振幅の非一様性の考慮によって臨界流速に考慮すべき差異が生ずることを示す。
【００２８】
〔３  安定性解析〕
〔３．１  基礎方程式〕
各セルで、半径方向、周方向の流速および圧力を、基本流れ成分と振動成分の和で表す。
【数８】
2016151859.tif 000010
【００２９】
ここで
【数９】
2016151859.tif 000011
【数１０】
2016151859.tif 000012
である。
【００３０】
式（２）で与えられる基本流れ成分と振動成分の和がナビエ・ストークス方程式を満たす条件を課し、基本流れの満たす式を考慮することによって、振動成分に関する線形方程式系を導出する。
【００３１】
これらの方程式系は、変分
【数１１】
2016151859.tif 000013
を乗じた重みつき変分原理表示（仮想仕事表示）で、各セルにつき次のように表される。
【００３２】
【数１２】
2016151859.tif 000014
【００３３】
【数１３】
2016151859.tif 000015
【００３４】
ここで
【数１４】
2016151859.tif 000016
である。
【００３５】
連続条件に関しても同様な手続きを行い、管のｘ，ｙ方向の速度
【数１５】
2016151859.tif 000017
が有する管表面の外向き法線方向成分を湧き出しと考えることによって、次式を得る。
【００３６】
【数１６】
2016151859.tif 000018
【００３７】
管の振動の非一様性と、ｘ，ｙ方向の固有振動数の差異を考慮するモデルとして、下記のような梁の方程式を各管について考える。
【００３８】
【数１７】
2016151859.tif 000019
【００３９】
ここで
【数１８】
2016151859.tif 000020
である。
【００４０】
各管の振動変位を次のように表す。
【数１９】
2016151859.tif 000021
【００４１】
ここで
【数２０】
2016151859.tif 000022
である。
【００４２】
式（７）を式（６）に代入し、減衰項を導入して、次式を導く。
【数２１】
2016151859.tif 000023
【００４３】
ここで
【数２２】
2016151859.tif 000024
である。
【００４４】
〔３．２  解の表示〕
セルの各稜線ｉ上での流速、圧力の振動成分を、次のように表す。
【数２３】
2016151859.tif 000025
【００４５】
ここで
【数２４】
2016151859.tif 000026
である。
【００４６】
正多角柱セルの稜線
【数２５】
2016151859.tif 000027
を含む外周面（outer circumference）での未知量を、線形補間と基底関数展開によって次のように表す。
【００４７】
【数２６】
2016151859.tif 000028
【００４８】
ここで
【数２７】
2016151859.tif 000029
である。
【００４９】
また
【数２８】
2016151859.tif 000030
である。
【００５０】
流体基礎方程式系の解析的な解法は、各セルに関する極座標を用いて行うのが便利である。そこで、式（１１）の
【数２９】
2016151859.tif 000031
を極座標成分
【数３０】
2016151859.tif 000032
に変換し、この極座標成分と、
【数３１】
2016151859.tif 000033
方向の基底展開を用いて、各セル内の任意位置
【数３２】
2016151859.tif 000034
での流速、圧力を次のように表す。
【００５１】
【数３３】
2016151859.tif 000035
【００５２】
ここで
【数３４】
2016151859.tif 000036
である。
【００５３】
式（１３）の右辺第１項は内周
【数３５】
2016151859.tif 000037
で０になり、外周
【数３６】
2016151859.tif 000038
で式（１１）に一致する。
【００５４】
従って、式（１３）の右辺第２項の基底展開項は、外周
【数３７】
2016151859.tif 000039
で消え、管表面で法線方向流速
【数３８】
2016151859.tif 000040
が０となるように設定する。
【００５５】
また、流体領域内での基礎方程式系を任意のｚに関して満足させるため、式（１３）の右辺第２項のｚ依存性は、第１項のそれと同じものに設定する。
【００５６】
解の表示のｚ依存性を表す関数
【数３９】
2016151859.tif 000041
について考える。
【００５７】
管の表面での運動学的条件（５）は、
【数４０】
2016151859.tif 000042
を要求する。
【００５８】
従って下記の関数を用いる。
【数４１】
2016151859.tif 000043
【００５９】
しかし、運動学的条件と異なり、力学的条件の解析においては、圧力ｐのｚ依存性は必ずしも流速のｚ依存性と同じに拘束されるとは限らない。このような例は、クエット流れ、ポアズイユ流れで見い出せ、圧力は流速と異なり断面内で一様である。
【００６０】
流速と圧力のｚ依存性の違いが臨界流速に及ぼす影響について調べるため、
【数４２】
2016151859.tif 000044
の場合だけでなく、
【数４３】
2016151859.tif 000045
の場合も後の実施例（４章）で考える。
【００６１】
これらの場合は表１に、ケース１および２として定義し、まとめて記している。さらに表１のケース３および４を、比較と物理的洞察のため考える。ケース３は一様な振動流中で管の振動変位が終端で０となる拘束を受ける場合であり、ケース４は振動流、管の振動変位ともにｚ依存性がなく一様な場合である。
【００６２】
【表１】
2016151859.tif 000046
【００６３】
以上の手続きによって、任意位置での流速、圧力の振動成分が、正多角柱セルの稜線上での未知量に関する一般化座標
【数４４】
2016151859.tif 000047
と、基底関数展開に関する一般化座標
【数４５】
2016151859.tif 000048
によって表される。
【００６４】
〔３．３  ガレルキン法による離散化〕
これらの一般化座標に関する常微分方程式系を、式（７），（１３）を式（３），（４），（５），（９）に代入し、各セルに関して合成することによって導く。
【００６５】
この常微分方程式系を次のようなマトリックス方程式
【数４６】
2016151859.tif 000049
で表し、
【数４７】
2016151859.tif 000050
が実部正の固有値を持つ条件より、臨界流速を決定する。
【００６６】
無次元化のため、基本流れの代表速度として管の隙間の基本流速
【数４８】
2016151859.tif 000051
をとり、振動流れの代表速度として
【数４９】
2016151859.tif 000052
をとって、下記のように無次元量を導入する。
【００６７】
【数５０】
2016151859.tif 000053
【００６８】
これらの無次元量を用いて式（３），（４），（５），（９）は下記のように表される。
【数５１】
2016151859.tif 000054
【００６９】
【数５２】
2016151859.tif 000055
【００７０】
【数５３】
2016151859.tif 000056
【００７１】
【数５４】
2016151859.tif 000057
【００７２】
圧縮性と粘性力の影響は小さいため、下線部より、次のものが重要な無次元量として導かれる。
【数５５】
2016151859.tif 000058
【００７３】
従来、換算流速の臨界値の質量減衰パラメータに対する依存性を、他の無次元パラメータを固定して調べる形でケース・スタディがなされてきた。このようなケース・スタディの理論的根拠が、流体基礎方程式系に基づく本実施の形態の解析的予測法によって得られる。
【００７４】
式（１６）に関する固有値問題は、次の形に書ける。
【数５６】
2016151859.tif 000059
【００７５】
〔４  実施例〕
〔４．１  正方配列〕
最初に、図２（ａ）の正方配列の場合について数値計算を行った。
【００７６】
〔４．１．１  解の表示の影響〕
図４に、ケース１から４（表１）における臨界換算流速の質量減衰パラメータ依存性を、一様流の場合について示す。図中の実線ａはケース１，２，４に、破線ｂはケース３の場合を示す。
【００７７】
図４においては、次の条件で臨界換算質量の質量減衰パラメータ依存性を求めている。
【数５７】
2016151859.tif 000060
【００７８】
実験結果を比較のため●印ｃで示す。図４より下記の点が確かめられる。
（１）ケース１と２の結果は、よく一致する（２つの曲線として区別できないほど近い）。
（２）ケース３では臨界換算流速がケース４よりも、非常に小さい質量減衰パラメータの場合を除き高い。
（３）ケース１と４の結果の差異は非常に小さい。
【００７９】
さらに、本実施の形態の解析的予測法によって実験結果を説明し得る結果が得られ、本予測法の妥当性が確認される。
（１）の結果により、３．２節で予測したように、流速と圧力の振動成分のｚ依存性の差異が臨界流速に及ぼす影響は小さいことが確かめられる。
（２）の結果は、ケース３において、一様な振動流中で管の振動変位が或る軸方向範囲に渡って低減されるという拘束により、系が安定化されることに基づく。
（３）の結果の理由は、次のように説明される。ケース４からケース１への拡張には式（３），（４），（５），（９）にガレルキン法を適用するためのｚ積分が必要である。
【００８０】
このとき式（３），（４），（５），（９）の各項には小さい粘性項
【数５８】
2016151859.tif 000061
を除き、
【数５９】
2016151859.tif 000062
が掛けられ、小さい粘性項には
【数６０】
2016151859.tif 000063
が掛けられる。
【００８１】
従って、支配的な項のｚ積分
【数６１】
2016151859.tif 000064
が約分され、ケース１に関する固有値問題はケース４に関する固有値問題と近似的に等しくなる。
【００８２】
このため、上記（３）の結果となる。このように、管の振動振幅の非一様性が臨界換算流速に及ぼす影響は、流れが一様な場合小さいことが、本実施の形態の解析的予測法に基づいて示される。以下の議論では、管の振動振幅が非一様な場合として、ケース１を採用する。
【００８３】
〔４．１．２  非一様流れの場合〕
非一様流れの場合の、管の振動振幅の非一様性が臨界換算流速に及ぼす影響を、下記の変更により流れの非一様性を与えることによって調べる。
【数６２】
2016151859.tif 000065
【００８４】
ここで、流れの非一様性を表す関数
【数６３】
2016151859.tif 000066
は、次式を満たすように規格化されている。
【数６４】
2016151859.tif 000067
【００８５】
なお、流れの非一様性を表す関数は、正弦関数に限られることはなく、例えば
【数６５】
2016151859.tif 000068
であってもよい。
【００８６】
図５に、非一様流れの影響を調べた結果を示す。図５（ａ）は管の振動振幅が一様な
【数６６】
2016151859.tif 000069
の場合であり、図５（ｂ）は管の振動振幅が非一様な
【数６７】
2016151859.tif 000070
の場合である。
【００８７】
図５中の実線ａは、非一様流れ
【数６８】
2016151859.tif 000071
を示す。
【００８８】
比較のため、一様流れ
【数６９】
2016151859.tif 000072
の結果を破線ｂで示す。
【００８９】
非一様流れの場合には、臨界流速は管の振動振幅が一様な場合（図５（ａ）、実線ａ）の方が、非一様な場合（図５（ｂ）、実線ａ）よりも大きいことが分る。
【００９０】
これは、管の振動振幅を一様と仮定すると、臨界流速の過大評価（非安全側の評価）となることを示す。理由は、４．２．２節の回転三角配列の場合も同様なので、４．２．２節で説明する。
【００９１】
〔４．２  回転三角配列〕
本節では、図２（ｂ）の回転三角配列の場合についての実施例を示す。
【００９２】
〔４．２．１  解の表示の影響〕
図６に、ケース１から４（表１）における臨界換算流速の質量減衰パラメータ依存性を、一様流の場合について示す。
【００９３】
図６においては、次の条件で臨界換算流速の質量減衰パラメータ依存性を求めている。
【数７０】
2016151859.tif 000073
【００９４】
図中の実線ａがケース１，２，４、破線ｂがケース３である。実験結果を比較のため●印ｃで示す。４．１．１節と同様の結果（１）〜（３）が確認される。また、本実施の形態の解析的予測法によって実験結果を説明し得る結果が得られ、本実施の形態の予測法の妥当性が確かめられる。
【００９５】
〔４．２．２  非一様流れの場合〕
図７に、非一様流れの場合の臨界換算流速を示す。図７（ａ）は管の振動振幅が一様な
【数７１】
2016151859.tif 000074
の場合であり、図７（ｂ）は管の振動振幅が非一様な
【数７２】
2016151859.tif 000075
の場合である。
図７中の実線ａは、非一様流れ
【数７３】
2016151859.tif 000076
を示す。
【００９６】
比較のため、一様流れ
【数７４】
2016151859.tif 000077
の結果を破線ｂで示す。
【００９７】
非一様流れの場合には、臨界流速は管の振動振幅が一様な場合（図７（ａ）、実線ａ）の方が、非一様な場合（図７（ｂ）、実線）よりも大きいことが分る。これは、図５と同様な傾向である。
【００９８】
この理由を説明する。まず、式（２２）を参照して、流れ、管の振動振幅ともに一様な場合の固有値問題を
【数７５】
2016151859.tif 000078
と書き、次の積分を定義する。
【数７６】
2016151859.tif 000079
【００９９】
Ｆ（ｚ），Ｕ（ｚ）は、それぞれ、流れ、管の振動振幅の非一様性を表す関数である。これらの非一様性によって、式（２３）の
【数７７】
2016151859.tif 000080
項にはＳ１が掛けられ、他の項にはＳ０が掛けられる。
【０１００】
従って、固有値問題（２１）は次式に変換される。
【数７８】
2016151859.tif 000081
【０１０１】
すなわち
【数７９】
2016151859.tif 000082
である。
【０１０２】
次の定義
【数８０】
2016151859.tif 000083
により、変換前後の臨界換算流速の関係が次式のように導かれ、この式を、本実施の形態の解析的予測法による、標記の非一様性の影響評価のための評価式とする。
【数８１】
2016151859.tif 000084
【０１０３】
変換前後の臨界換算流速の比
【数８２】
2016151859.tif 000085
を、非一様性を表すＵ（ｚ），Ｆ（ｚ）が変わる各ケースＡ〜Ｄについて、表２に示す。後の検討の便宜のため、積分Ｓ０，Ｓ１の値も示す。
【０１０４】
【表２】
2016151859.tif 000086
【０１０５】
表２より下記の３点（ａ），（ｂ），（ｃ）が確かめられる。
（ａ）
【数８３】
2016151859.tif 000087
の場合の、非一様流に対するＳ０／Ｓ１と一様流に対するＳ０／Ｓ１との比
【数８４】
2016151859.tif 000088
は、図5（ａ），７（ａ）における実線と破線の結果の比に一致する。
【０１０６】
（ｂ）
【数８５】
2016151859.tif 000089
の場合の、非一様流に対するＳ０／Ｓ１と一様流に対するＳ０／Ｓ１との比
【数８６】
2016151859.tif 000090
は、図５（ｂ），７（ｂ）における実線と破線の結果の比に一致する。
【０１０７】
（ｃ）非一様流に対するＳ０／Ｓ１と一様流に対するＳ０／Ｓ１との比
【数８７】
2016151859.tif 000091
は、
【数８８】
2016151859.tif 000092
の場合の方が
【数８９】
2016151859.tif 000093
の場合よりも大きい。
【０１０８】
（ａ），（ｂ）は、流れ、管の振動振幅の非一様性による臨界換算流速の変化が、本実施の形態の解析的予測法によって導かれた固有値問題の変換によって説明できることを示す。（ｃ）によって、図５，７の実線により示されるように、臨界換算流速は、管の振動が一様な
【数９０】
2016151859.tif 000094
の場合（図５（ａ）、図７（ａ））の方が、非一様な
【数９１】
2016151859.tif 000095
の場合（図５（ｂ）、図７（ｂ））よりもそれぞれ大きくなる。
【０１０９】
（ｃ）は式（２４）によって
【数９２】
2016151859.tif 000096
と表され、次式に帰着する。
【０１１０】
【数９３】
2016151859.tif 000097
【０１１１】
従って（ｃ）なる結果は、積分値
【数９４】
2016151859.tif 000098
のｎの増加に伴う減少
【数９５】
2016151859.tif 000099
が、ｎが増すにつれ小さくなることに基づく。
【０１１２】
式（２８）は、管の振動の一様性を仮定することに伴う臨界換算流速の過大評価を意味する。この過大評価を引き起こす条件を求める。式（２６）は、正の関数
【数９６】
2016151859.tif 000100
を定義することにより
【数９７】
2016151859.tif 000101
となる。
【０１１３】
不等号の向きよりシュワルツ不等式による定式化は適用不可能である。そこで
【数９８】
2016151859.tif 000102
を平均
【数９９】
2016151859.tif 000103
と偏差
【数１００】
2016151859.tif 000104
を用いて表す。
【数１０１】
2016151859.tif 000105
【０１１４】
ここで
【数１０２】
2016151859.tif 000106
【０１１５】
式（３１）を式（３０）に代入すると、次式が導ける。
【数１０３】
2016151859.tif 000107
【０１１６】
この条件（３３）は、偏差を表す関数
【数１０４】
2016151859.tif 000108
間の相関が正であることを意味する。
【０１１７】
すなわち、管の振動振幅の非一様性を表す関数の２乗と、流れの非一様性を表す関数の偏差間に正の相関があることが、管の振動の一様性の仮定に伴う臨界流速の過大評価の条件である。このような条件が、本実施の形態の解析的予測法に基づいて導かれる。
【０１１８】
〔４．２．３  従来評価式との比較〕
従来、厳密ではないが物理的な考察（流れが管になす仕事を流速の２乗によって評価し、その仕事が減衰によって散逸するエネルギ以下であることが安定条件である）によって、安定条件が提案されている。
【０１１９】
この安定条件は、液体密度と管の質量が一様なとき、次式によって表される。
【数１０５】
2016151859.tif 000109
【０１２０】
非一様流速分布
【数１０６】
2016151859.tif 000110
を
【数１０７】
2016151859.tif 000111
と表すと、式（３４）は次式となる。
【数１０８】
2016151859.tif 000112
【０１２１】
式（３５）が
【数１０９】
2016151859.tif 000113
のとき
【数１１０】
2016151859.tif 000114
に帰着するように、Ｆ（ｚ）を
【数１１１】
2016151859.tif 000115
となるように規格化しておく。
【０１２２】
式（２４）で定義した積分により式（３５）は、
【数１１２】
2016151859.tif 000116
と書け、一様流
【数１１３】
2016151859.tif 000117
では
【数１１４】
2016151859.tif 000118
に帰着する。
【０１２３】
これらの
【数１１５】
2016151859.tif 000119
に関する上限値の比から、式（２７）に対応する式が次のように得られ、この式を標記の非一様性の影響評価のための従来評価式とする。
【数１１６】
2016151859.tif 000120
【０１２４】
非一様性が介入する前後の臨界流速の比
【数１１７】
2016151859.tif 000121
を、非一様性を表すＵ（ｚ），Ｆ（ｚ）が変わる各ケースＡ〜Ｄについて、表３に示す。
【０１２５】
【表３】
2016151859.tif 000122
【０１２６】
表２と表３を比較して、この比(非一様性が介入する前後の臨界換算流速の比)の本予測法による値は、従来評価式による値よりも大きいことが分かる。すなわち、
【数１１８】
2016151859.tif 000123
である。
【０１２７】
しかし、差はさほど大きくない。式（３７）は次のように理論的に証明される。式（３７）の両辺の比は
【数１１９】
2016151859.tif 000124
である。
【０１２８】
式（２４）より、分子と分母の差は次のように表せ、シュワルツ不等式（２関数の内積は、各関数の２乗積分の平方根の積以下である）に基づき正である。
【数１２０】
2016151859.tif 000125
【０１２９】
〔４．２．４  従来評価式と本実施の形態の解析的予測式の違いの原因考察〕
この違いの原因について考察した結果、もし、ナビエ・ストークス方程式の非線形項が３次（実際は２次）であれば、従来の評価式の形になることが分り、この過程は次のように説明される。
【０１３０】
ナビエ・ストークス方程式の非線形項（２次）に式（２）を代入し流速の振動成分
【数１２１】
2016151859.tif 000126
について線形化すると、式（３），（４）あるいは式（１８），（１９）の［  ］内のように、基本流速について１次、流速の振動成分について１次となる。
【０１３１】
もし３次であれば、これらの［  ］内は、基本流速について２次、流速の振動成分について１次となる。このため、変換前の固有値問題は、式（２３）で
【数１２２】
2016151859.tif 000127
の指数が１増して、次のようになる。
【数１２３】
2016151859.tif 000128
【０１３２】
変換後の固有値問題（２３）は、
【数１２４】
2016151859.tif 000129
の指数、Ｓ１の下添え字（式（２４）のＦの指数）が１増して、次のようになる。
【数１２５】
2016151859.tif 000130
【０１３３】
すなわち
【数１２６】
2016151859.tif 000131
である。
【０１３４】
変換前後の固有値問題（４０），（４２）の比較より、式（２７）に対応する式は次のようになり、従来の評価式（３６）の形になる。
【数１２７】
2016151859.tif 000132
【０１３５】
従来評価式は、基本流れが管になす仕事が、管に衝突する基本流速の２乗に比例することに基づいている。しかし管が弾性変形する場合には過大評価と考えられる。アナロジ−的な例として、スロッシング衝撃圧は衝突速度の２乗に比例するが、衝突部分の弾性変形を許すと低下することが挙げられる。このようなことが起因して、従来評価式の方が臨界流速を小さく予測するものと考えられる。
【０１３６】
〔４．２．５  Ｆ（ｚ）とＵ２（ｚ）の偏差の相関が負の場合〕
４．２．２節と対照的に、標記の相関が負の場合の例として、流れの非一様性を表す関数が
【数１２８】
2016151859.tif 000133
である場合の実施例を示す。
【０１３７】
定数Ｃは次の規格化条件より定めている。
【数１２９】
2016151859.tif 000134
【０１３８】
表４に、相関が正である場合の表２に対応する結果を示す。
【０１３９】
【表４】
2016151859.tif 000135
【０１４０】
表２と表４の比較によって、下記の点（Ａ）、（Ｂ）が確認できる。
【０１４１】
（Ａ）表４では表２と異なり、
【数１３０】
2016151859.tif 000136
は、管の振動振幅が一様な
【数１３１】
2016151859.tif 000137
の場合に非一様な場合
【数１３２】
2016151859.tif 000138
よりも小さくなっている。
【０１４２】
（Ｂ）
【数１３３】
2016151859.tif 000139
は前の表２の場合の方が、表４の場合より小さくなっている。
【０１４３】
（Ａ）に記した結果は、４．２．２節の最後の段落で行った、管の振動を一様とする仮定が臨界流速の過大評価となる条件の究明が、妥当であることを示す。（Ｂ）は、この臨界流速過大評価が臨界流速の低下した場合に注意すべきであることを示し、表２，４に示すようにＳ１が正の相関によって増加することに起因する。
【０１４４】
表２，３の比較から分かるように、本実施の形態の解析的予測法による臨界流速比
【数１３４】
2016151859.tif 000140
と従来評価式による臨界流速比
【数１３５】
2016151859.tif 000141
の差は、正相関の場合には、さほど大きくない（表２のＣａｓｅＡ，ＣでのＳ０／Ｓ１が、表３のＣａｓｅＡ，Ｃでの（Ｓ０／Ｓ２）１／２よりも、それぞれ１１％、２％大きい）。
【０１４５】
この差は、負相関の場合、表４，５の比較から分かるように増加する（表４のＣａｓｅＡ，ＣでのＳ０／Ｓ１が、表５のＣａｓｅＡ，Ｃでの（Ｓ０／Ｓ２）１／２よりも、それぞれ３１％、５１％大きい）。
【０１４６】
【表５】
2016151859.tif 000142
【０１４７】
これは式（３８）の分母の
【数１３６】
2016151859.tif 000143
が小さくなるためである。
【０１４８】
〔５  計算装置〕
前述したような臨界流速の予測は、図８に示すような計算装置３０によって実現することができる。この計算装置３０は、ＣＰＵ、ＤＳＰの如き演算部３１、ＲＡＭ、ＲＯＭ、ハードディスクの如き記憶部３２、ＬＣＤ、プリンタの如き出力部３３、キーボード、マウスの如き入力部３４を含み、例えばパーソナルコンピュータを利用することができる。
【０１４９】
図９に示す計算装置３０の一連の動作は、記憶部３２に格納された臨界流速予測プログラム３２ａを演算部３１が読み出して実行することにより実現される。この臨界流速予測プログラム３２ａは、前述のような手順によって得られた流速及び管の圧力の一般化座標の時間に関する常微分方程式と振動外乱の一般化座標の時間に関する常微分方程式の表現を含んでいる。
【０１５０】
最初のステップＳ２１においては、モデルを設定する。ここでは、前述したような正方配列の管群１０又は回転三角配列の管群２０のモデルを設定するものとする。入力部３４は、このモデルについて、管１１，２１の径ａ、管１１，２１を配置した間隔Ｔ、管１１，２１の単位長さ当たりの質量、管１１，２１の固有振動数、流体の密度、流体の粘性係数の少なくとも１つの値を入力値として受け取る。演算部３１は、入力部３４が受け取った入力値を記憶部３２に格納する。
【０１５１】
ステップＳ２２においては、演算部３１は、記憶部３２に格納された入力値を読み出し、その数値計算部３１ａにおいて、この入力値に基づいて前記常微分方程式の表現を用いてこの管群１０，２０における臨界流速について数値計算する。演算部３１は、得られた臨界流速の値を記憶部３２に格納する。
【０１５２】
ステップＳ２３においては、演算部３１は、記憶部３２に格納された臨界流速の値と、同じく記憶部３２に格納された所定の閾値３２ｂとを読み出す。演算部３１は、その判定部３１ｂにおいて、臨界流速値が閾値３２ｂを超えた場合にはＯＫと判定して一連のステップを終了する。一方、臨界流速が閾値を越えない場合にはＮＧとして判定して前のステップＳ２１のモデル設定に手順を戻す。なお、閾値３２ｂは、入力部３４を介して設定することができる。
【０１５３】
このような一連の工程において、臨界流速の値が所定の閾値を超えるまでモデル設定、数値計算、判定のループを繰り返すことにより、臨界流速が閾値を超えるようなモデル設定を可能としている。また、前述のような常微分方程式の表現を利用することにより、精度の高いモデル設定を可能としている。なお、これに限られず、臨界流速が閾値内に収まるようにモデル設定することもできる。
【０１５４】
なお、このような臨界流速の予測は、記憶部３２に格納した臨界流速予測プログラム３２ａのような、前述の常微分方程式の表現を含み、モデル設定、数値計算、判定のステップを有するプログラムによっても提供することができる。
【符号の説明】
【０１５５】
１０，２０  管群
１１，２１  管
１２，２２  セル
３０  計算装置
【図１】
2016151859.tif 000144
【図２】
2016151859.tif 000145
【図３】
2016151859.tif 000146
【図４】
2016151859.tif 000147
【図５】
2016151859.tif 000148
【図６】
2016151859.tif 000149
【図７】
2016151859.tif 000150
【図８】
2016151859.tif 000151
【図９】
2016151859.tif 000152