(57)【要約】【課題】流れ方向よりも流れ方向及び管の軸方向に垂直な方向の剛性が大きいことを考慮し、理論的基盤のある臨界流速の予測を可能にする。【解決手段】所定方向に延びる複数の管１１を含む管群１０に対して流体が直交して流れるシステムにおいて管群１０に不安定振動が発生する臨界流速を予測する方法であって、システムについて所定の大きさの複数のセル１２に分割し、各セル１２の境界での未知量をモード展開し、これらモード座標で各セル１２内での未知量を表すことによって自由度を低減する境界モード展開法を用い、管群１０は流体の流れ方向よりも流れ方向及び管１１の軸方向に垂直な方向の剛性が大きく、臨界流速は管群１０の剛性に基づいて予測する。【選択図】図１
2016151858.tif 000002
【特許請求の範囲】
【請求項１】
コンピュータを用いて、所定方向に延びる複数の管を含む管群に対して流体が直交して流れるシステムにおいて前記管群に不安定振動が発生する臨界流速を予測する方法であって、
前記システムについて所定の大きさの複数の領域に分割し、各領域の境界での未知量をモード展開し、これらモード座標で各領域内での未知量を表すことによって自由度を低減する境界モード展開法を用い、
前記管群は前記流体の流れ方向よりも前記流れ方向及び前記管の軸方向に垂直な方向の剛性が大きく、前記臨界流速は前記管群の剛性に基づいて予測すること
を特徴とする臨界流速予測方法。
【請求項２】
前記未知量は前記流体の流速及び圧力であり、これら流速及び圧力についてナビエ・ストークスの式及び連続条件に基づいて、前記流速及び圧力の一般化座標の時間に関する常微分方程式を導く請求項１に記載の臨界流速予測方法。
【請求項３】
前記流れ方向と、前記流れ方向及び前記管の軸方向に垂直な方向との剛性は、梁の方程式により導入する請求項２に記載の臨界流速予測方法。
【請求項４】
前記管の振動変位は、一般化座標と前記管の振動変位の非一様性を表す関数の積として与えられる請求項３に記載の臨界流速予測方法。
【請求項５】
前記管は円筒形状であり、前記管群は回転三角配列である請求項１から４のいずれか一項に記載の臨界流速予測方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
この発明は、管群に直交して流れる流体により発生する管群の臨界振動を引き起こす流体の臨界流速を予測する臨界流速予測方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
従来、様々な機器において、所定方向に延びる複数の管から管群について、管群をなす管の軸と直交する方向に流体が流れる構造が使用されている。このような構造においては、流体の速度がある値に達すると流体と管群が連成する不安定振動である臨界振動が発生することが知られている（下記特許文献１、特に段落００２３を参照）。
【０００３】
このため、不安定振動を引き起こす流速（臨界流速）の予測は、管群を備える機器の安全性確保のために非常に重要な問題となっている。この臨界流速の問題に関しては、流れ方向と流れ方向及び管の軸方向に垂直な方向について管の剛性（固有振動数）が等しいという前提で予測が行われることが多かった。
【先行技術文献】
【特許文献】
【０００４】
【特許文献１】特開２００１−１０８２０３号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【０００５】
しかしながら、管群においては、流れ方向よりも流れ方向及び管の軸方向に垂直な方向の剛性が大きいことがあり、実際上、このような管群について流れ方向と垂直方向の管の固有振動数の相違を考慮した流れ方向の不安定振動の理論的基盤が求められていた。
【０００６】
この発明は、上述の実情に鑑みて提供されるものであって、流れ方向よりも流れ方向及び管の軸方向に垂直な方向の剛性が大きい管群に直交して流れる流体により発生する管群の臨界振動を引き起こす流体の臨界流速について、流れ方向と垂直方向の管の固有振動数が相違する影響を考慮した理論的基盤のある臨界流速予測方法を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【０００７】
上述の課題を解決するために、この出願に係る臨界流速予測方法の発明は、コンピュータを用いて、所定方向に延びる複数の管を含む管群に対して流体が直交して流れるシステムにおいて前記管群に不安定振動が発生する臨界流速を予測する方法であって、前記システムについて所定の大きさの複数の領域に分割し、各領域の境界での未知量をモード展開し、これらモード座標で各領域内での未知量を表すことによって自由度を低減する境界モード展開法を用い、前記管群は前記流体の流れ方向よりも前記流れ方向及び前記管の軸方向に垂直な方向の剛性が大きく、前記臨界流速は前記管群の剛性に基づいて予測するものである。
【０００８】
前記未知量は前記流体の流速及び圧力であり、これら流速及び圧力についてナビエ・ストークスの式及び連続条件に基づいて、前記流速及び圧力の一般化座標の時間に関する常微分方程式を導くことが好ましい。前記流れ方向と、前記流れ方向及び前記管の軸方向に垂直な方向との剛性は、梁の方程式により導入することが好ましい。前記管の振動変位は、一般化座標と前記管の振動変位の非一様性（管軸方向に沿って一定でなく変化すること）を表す関数の積として与えられることが好ましい。前記管は円筒形状であり、前記管群は回転三角配列であることが好ましい。
【発明の効果】
【０００９】
この発明によると、流れ方向よりも流れ方向及び管の軸方向に垂直な方向の剛性が大きい管群について、流れ方向とその垂直方向の管の固有振動数が相違する影響を含む臨界流速を解析的に求めている。したがって、この臨界流速は理論基盤があるものであり、十分に信頼することができる。また、臨界速度を解析的に求めているため、実験やＣＦＤの設定のための労力が軽減され、臨界流速を予測するための負担を軽減することができる。
【図面の簡単な説明】
【００１０】
【図１】回転三角配列の管群を示す平面図である。
【図２】回転三角配列の座標設定を示す平面図である。
【図３】臨界換算流速の固有振動数比に対する変化を示すグラフである。
【図４】図３の臨界換算流速において発生する不安定モードを例示するグラフである。
【図５】臨界換算流速の固有振動数比に対する変化を示すグラフである。
【図６】臨界換算流速の固有振動数比に対する変化を示すグラフである。
【図７】臨界流速を予測する計算装置の構成を示すブロック図である。
【図８】計算装置における一連の動作を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【００１１】
以下、臨界流速予測方法の実施の形態について図面を参照して詳細に説明する。
【００１２】
〔１  本実施の形態の概要〕
本実施の形態では、管群に対する流体支配方程式系を解析的手法で解くことによって臨界流速を予測する方法を提供する。本実施の形態では、固有振動数の差が考慮できるように、一方の固有振動数を変動させることによって、流れ方向の不安定振動の予測と、臨界流速の変動挙動の評価を行う方法を与える。
【００１３】
安定性解析法は、流れ方向とその垂直方向の管の剛性（固有振動数）が異なっても適用可能なように定式化している。すなわち、後述する式（９）で
【数１】
2016151858.tif 000003
がそれぞれ、流れ方向とその垂直方向の固有振動数を表している。以下、２，３節でこの方法を説明し、４節で実施例について記す。
【００１４】
〔２  計算モデルと座標系〕
図１のような回転三角配列の場合を考える。Ｔは配列のピッチ、ｄ＝２ａは各管の直径である。回転三角配列は、正六角柱の領域（以下、セルと称する）の集まりである。
【００１５】
図１に示す回転三角配列の管群１０においては、各セル１２１〜１２１１において、それぞれ半径ｄ＝２ａの第１の管１１１から第１１の管１１１１までの１１本の管１１１〜１１１１が、軸間の間隔（ピッチ）をＴとして、また、各管１１１〜１１１１の軸が延びる方向をｚ方向として、回転三角配列に配置され、Ｘ方向に沿って３列に並んでいる。ここで、回転三角配列とは、三角配列の内、管群の軸方向に直交する平面内において隣接する間を結ぶ直線の一つの方向に流体が流れるものをいう。なお、以下では簡単のため、各管１１１〜１１１１を特定する添え字を省略する。
【００１６】
各セルについて図２のように下記の座標を設定する。図中のエッジ（稜線）ｉ１〜ｉ６は、正六角柱セルの、管軸に平行な稜線である。
【００１７】
図中の直交座標系
【数２】
2016151858.tif 000004
と、正多角形の各辺に沿ってとられた１次元座標ｓは、各辺での未知量（流速成分、圧力）の基底関数展開に用いる。
【００１８】
円筒座標系
【数３】
2016151858.tif 000005
は、
【数４】
2016151858.tif 000006
によって表される各セル内領域の流体運動解析に用いる。
【００１９】
ここで
【数５】
2016151858.tif 000007
である。
【００２０】
ｓと
【数６】
2016151858.tif 000008
との関係は次式によって与えられる。
【数７】
2016151858.tif 000009
【００２１】
ここで
【数８】
2016151858.tif 000010
である。
【００２２】
本実施の形態では、管が静止している場合の基本流れを、管軸方向に一様な２次元として求め、この流れに管軸方向の非一様性を表す関数Ｆ（ｚ）を掛ける近似により、非一様流れの影響を考慮する。以下、管の振動振幅の非一様性を考慮して、不安定振動の生じる臨界流速を予測する。
【００２３】
〔３  安定性解析〕
〔３．１  基礎方程式〕
半径方向、周方向の流速および圧力を、基本流れ成分と振動成分の和で表す。
【数９】
2016151858.tif 000011
【００２４】
ここで
【数１０】
2016151858.tif 000012
【数１１】
2016151858.tif 000013
である。
【００２５】
式（２）で与えられる基本流れ成分と振動成分の和がナビエ・ストークス方程式を満たす条件を課し、基本流れの満たす式を考慮することによって、振動成分に関する線形方程式系を導出する。
【００２６】
これらの方程式系は、変分
【数１２】
2016151858.tif 000014
を乗じた重みつき変分原理表示（仮想仕事表示）で、各セルにつき次のように表される。
【００２７】
【数１３】
2016151858.tif 000015
【００２８】
【数１４】
2016151858.tif 000016
【００２９】
ここで
【数１５】
2016151858.tif 000017
である。
【００３０】
連続条件に関しても同様な手続きを行い、管のｘ，ｙ方向の速度
【数１６】
2016151858.tif 000018
が有する管表面の外向き法線方向成分を湧き出しと考えることによって、次式を得る。
【００３１】
【数１７】
2016151858.tif 000019
【００３２】
管の振動の非一様性と、ｘ，ｙ方向の固有振動数の差異を考慮するモデルとして、下記のような梁の方程式を各管について考える。
【００３３】
【数１８】
2016151858.tif 000020
【００３４】
ここで
【数１９】
2016151858.tif 000021
である。
【００３５】
各管の振動変位を次のように表す。
【数２０】
2016151858.tif 000022
【００３６】
ここで
【数２１】
2016151858.tif 000023
である。
【００３７】
式（７）を式（６）に代入し、減衰項を導入して、次式を導く。
【数２２】
2016151858.tif 000024
【００３８】
ここで
【数２３】
2016151858.tif 000025
である。
【００３９】
〔３．２  解の表示〕
セルの各稜線ｉ上での流速、圧力の振動成分を、次のように表す。
【数２４】
2016151858.tif 000026
【００４０】
ここで
【数２５】
2016151858.tif 000027
である。
【００４１】
正多角柱セルの稜線
【数２６】
2016151858.tif 000028
を含む外周面（outer circumference）での未知量を、線形補間と基底関数展開によって次のように表す。
【００４２】
【数２７】
2016151858.tif 000029
【００４３】
ここで
【数２８】
2016151858.tif 000030
である。
【００４４】
また
【数２９】
2016151858.tif 000031
である。
【００４５】
流体基礎方程式系の解析的な解法は、各セルに関する極座標を用いて行うのが便利である。そこで、式（１１）の
【数３０】
2016151858.tif 000032
を極座標成分
【数３１】
2016151858.tif 000033
に変換し、この極座標成分と、
【数３２】
2016151858.tif 000034
方向の基底展開を用いて、各セル内の任意位置
【数３３】
2016151858.tif 000035
での流速、圧力を次のように表す。
【００４６】
【数３４】
2016151858.tif 000036
【００４７】
ここで
【数３５】
2016151858.tif 000037
である。
【００４８】
式（１３）の右辺第１項は内周
【数３６】
2016151858.tif 000038
で０になり、外周
【数３７】
2016151858.tif 000039
で式（１１）に一致する。
【００４９】
従って、式（１３）の右辺第２項の基底展開項は、外周
【数３８】
2016151858.tif 000040
で消え、管表面で法線方向流速
【数３９】
2016151858.tif 000041
が０となるように設定する。
【００５０】
また、流体領域内での基礎方程式系を任意のｚに関して満足させるため、式（１３）の右辺第２項のｚ依存性は、第１項のそれと同じものに設定する。
【００５１】
解の表示のｚ依存性を表す関数
【数４０】
2016151858.tif 000042
について考える。
【００５２】
管の表面での運動学的条件（５）は、
【数４１】
2016151858.tif 000043
を要求する。
【００５３】
従って下記の関数を用いる。
【数４２】
2016151858.tif 000044
【００５４】
しかし、運動学的条件と異なり、力学的条件の解析においては、圧力ｐのｚ依存性は必ずしも流速のｚ依存性と同じに拘束されるとは限らない。このような例は、クエット流れ、ポアズイユ流れで見い出せ、圧力は流速と異なり断面内で一様である。しかし、最もノーマルな場合として、圧力のｚ依存性を表す関数Ｚ２（ｚ）も式（１５）のＺ１（ｚ）と同様、Ｕ（ｚ）とする。Ｚ２（ｚ）＝１としても臨界流速の計算結果に及ぼす影響は非常に小さいことを確かめている。
【００５５】
以上の手続きによって、任意位置での流速、圧力の振動成分が、正多角柱セルの稜線上での未知量に関する一般化座標
【数４３】
2016151858.tif 000045
と、基底関数展開に関する一般化座標
【数４４】
2016151858.tif 000046
によって表される。
【００５６】
〔３．３  ガレルキン法による離散化〕
これらの一般化座標に関する常微分方程式系を、式（７），（１３）を式（３），（４），（５），（９）に代入し、各セルに関して合成することによって導く。
【００５７】
この常微分方程式系を次のようなマトリックス方程式
【数４５】
2016151858.tif 000047
で表し、
【数４６】
2016151858.tif 000048
が実部正の固有値を持つ条件より、臨界流速を決定する。
【００５８】
無次元化のため、基本流れの代表速度として管の隙間の基本流速
【数４７】
2016151858.tif 000049
をとり、振動流れの代表速度として
【数４８】
2016151858.tif 000050
をとって、下記のように無次元量を導入する。
【００５９】
【数４９】
2016151858.tif 000051
【００６０】
これらの無次元量を用いて式（３），（４），（５），（９）は下記のように表される。
【数５０】
2016151858.tif 000052
【００６１】
【数５１】
2016151858.tif 000053
【００６２】
【数５２】
2016151858.tif 000054
【００６３】
【数５３】
2016151858.tif 000055
【００６４】
圧縮性と粘性力の影響は小さいため、下線部より、次のものが重要な無次元量として導かれる。
【数５４】
2016151858.tif 000056
【００６５】
従来、換算流速の臨界値の質量減衰パラメータに対する依存性を、他の無次元パラメータを固定して調べる形でケース・スタディがなされてきた。このようなケース・スタディの理論的根拠が、流体基礎方程式系に基づく本実施の形態の解析的予測法によって得られる。
【００６６】
式（１６）に関する固有値問題は、次の形に書ける。
【数５５】
2016151858.tif 000057
【００６７】
〔４  実施例〕
図１の回転三角配列の場合について、固有振動数
【数５６】
2016151858.tif 000058
の差異が臨界流速に及ぼす影響を調べる。
【００６８】
管のピッチの直径に対する比１．３７５、空気流とし、管軸方向（ｚ方向）の管の振動振幅と流れの変化が、それぞれ次式
【数５７】
2016151858.tif 000059
【数５８】
2016151858.tif 000060
によって与えられるような管軸方向の非一様性をもつ場合を考える。
【００６９】
固有振動数比
【数５９】
2016151858.tif 000061
が１のとき、管の不安定振動の支配的成分はｙ方向である。
【００７０】
従って、ωｙを増すことによって固有振動数比を１から増大させると、次のような変化が予測される。
（１）臨界流速が増加する。
（２）管の不安定振動の方向が、ｙ方向から、剛性のより低いｘ方向に遷移する。
【００７１】
これらの予測をもとに、ある質量減衰パラメータ
【数６０】
2016151858.tif 000062
ここで
【数６１】
2016151858.tif 000063
について、下記の臨界換算流速（無次元）の固有振動数比に対する依存性を調べた。
【００７２】
【数６２】
2016151858.tif 000064
ここで
【数６３】
2016151858.tif 000065
である。
【００７３】
その結果を図３に示す。ここで、次のような値を用いた。
【数６４】
2016151858.tif 000066
【００７４】
図３より、上記（１）の臨界流速の増加が確かめられる。さらに図３は、固有振動数比のある値以上では臨界流速が一定になることを示している。これは、上記（２）の、不安定振動方向のｘ方向への遷移により、ｙ方向の剛性増加による固有振動数比の増加が臨界流速を増す効果を失ったことを意味する。
【００７５】
この確認のため、管の不安定振動モードについて調べた結果、不安定振動の方向は、固有振動数比が
【数６５】
2016151858.tif 000067
の範囲では図４（ａ）のように主にｙ方向であり、臨界流速が一定となる１．３において図４（ｂ）のようにｘ方向に遷移することが分った。
【００７６】
例として、
【数６６】
2016151858.tif 000068
での管の不安定振動モードを示したものが図４（ａ）であり、この不安定モードが生じる臨界換算流速は、図３より
【数６７】
2016151858.tif 000069
であった。
【００７７】
また、
【数６８】
2016151858.tif 000070
での不安定振動モードを例示したものが図４（ｂ）であり、この不安定モードが生じる臨界換算流速は、図３より
【数６９】
2016151858.tif 000071
であった。
【００７８】
以上のように、本実施の形態の評価法によって、物理的考察に基づいた上記（１）、（２）の予測を、定量的に検証することが可能となる。
【００７９】
質量減衰パラメータが減少した場合を図５に示す、図５においては、次のような値を用いている。
【数７０】
2016151858.tif 000072
【００８０】
注意すべき点は、質量減衰パラメータが減少すると、臨界流速の上昇は非常に小さくなることである。これは、固有振動数比の１からの僅かな増加で不安定振動のｙ方向からｘ方向（流れ方向）への遷移が起こるためである。本例では、遷移は固有振動数比１．０３で生じる。
【００８１】
ｙ方向の剛性増加ではなくｘ方向の剛性低下によって固有振動数比
【数７１】
2016151858.tif 000073
が上がる場合の結果を図６に示す。
【００８２】
この図では下記の換算流速
【数７２】
2016151858.tif 000074
を用いている。
【００８３】
図中の曲線ａには、大きい方の質量減衰パラメータの場合である
【数７３】
2016151858.tif 000075
を示し、流れ方向の剛性以下に伴い一旦ｙ方向からｘ方向への不安定振動方向の遷移が固有振動数比＝１．３で起こると、臨界換算流速は、固有振動数比１での値よりも小さくなる。
【００８４】
図中の曲線ｂには、小さい方の質量減衰パラメータの場合である
【数７４】
2016151858.tif 000076
を示し、流れ方向の剛性の僅かな低下で臨界流速の減少が始まる。
【００８５】
〔５  計算装置〕
前述したような臨界流速の予測は、図７に示すような計算装置２０によって実現することができる。この計算装置２０は、ＣＰＵ、ＤＳＰの如き演算部２１、ＲＡＭ、ＲＯＭ、ハードディスクの如き記憶部２２、ＬＣＤ、プリンタの如き出力部２３、キーボード、マウスの如き入力部２４を含み、例えばパーソナルコンピュータを利用することができる。
【００８６】
図８に示す計算装置２０の一連の動作は、記憶部２２に格納された臨界流速予測プログラム２２ａを演算部２１が読み出して実行することにより実現される。この臨界流速予測プログラム２２ａは、前述のような手順によって得られた流速及び圧力の一般化座標の時間に関する常微分方程式と振動外乱の一般化座標の時間に関する常微分方程式の表現を含んでいる。
【００８７】
最初のステップＳ１１においては、モデルを設定する。ここでは、前述したような回転三角配列の管群１０のモデルを設定するものとする。入力部２４は、このモデルについて、管１１の径ａ、管１１を配置した間隔Ｔ、管１１の単位長さ当たりの質量、管１１の固有振動数、流体の密度、流体の粘性係数の少なくとも１つの値を入力値として受け取る。演算部２１は、入力部２４が受け取った入力値を記憶部２２に格納する。
【００８８】
ステップＳ１２においては、演算部２１は、記憶部２２に格納された入力値を読み出し、その数値計算部２１ａにおいて、この入力値に基づいて前記常微分方程式の表現を用いてこの管群１０における臨界流速について数値計算する。演算部２１は、得られた臨界流速の値を記憶部２２に格納する。
【００８９】
ステップＳ１３においては、演算部２１は、記憶部２２に格納された臨界流速の値と、同じく記憶部２２に格納された所定の閾値２２ｂとを読み出す。演算部２１は、その判定部２１ｂにおいて、臨界流速値が閾値２２ｂを超えた場合にはＯＫと判定して一連のステップを終了する。一方、臨界流速が閾値を越えない場合にはＮＧとして判定して前のステップＳ１１のモデル設定に手順を戻す。なお、閾値２２ｂは、入力部２４を介して設定することができる。
【００９０】
このような一連の工程において、臨界流速の値が所定の閾値を超えるまでモデル設定、数値計算、判定のループを繰り返すことにより、臨界流速が閾値を超えるようなモデル設定を可能としている。また、前述のような常微分方程式の表現を利用することにより、精度の高いモデル設定を可能としている。なお、これに限られず、臨界流速が閾値内に収まるようにモデル設定することもできる。
【００９１】
なお、このような臨界流速の予測は、記憶部２２に格納した臨界流速予測プログラム２２ａのような、前述の常微分方程式の表現を含み、モデル設定、数値計算、判定のステップを有するプログラムによっても提供することができる。
【符号の説明】
【００９２】
１０  管群
１１  管
１２  セル
２０  計算装置
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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