(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
プログラムに基づいて各種処理を実行する処理手段を備えたコンピュータにおいて、少なくとも一部が軸対称である場の解析を行う境界要素解析法において、
前記処理手段が、軸対称回転面の一部からなる曲面を境界要素として、該境界要素上に回転方向とそれに直交する方向に局所座標を設ける工程と、
前記処理手段が、前記境界要素の端部におけるポテンシャルとその空間微分値に基づいて、前記局所座標におけるポテンシャルとその空間微分値を求める工程と、
前記処理手段が、前記境界要素に対して直角座標で定義されたポテンシャルとその空間微分値に関する３次元の境界要素方程式を作成する工程と、
前記処理手段が、局所座標値を円筒座標系において軸方向位置と半径位置と回転角度に関係づけたのち、直角座標値に変換することによって、前記局所座標におけるポテンシャルとその空間微分値を使用して、前記直角座標で定義された境界要素方程式の解を数値積分を用いて計算する工程とを備えることを特徴とする境界要素解析法。
【請求項２】
少なくとも一部が軸対称である場の解析を行う境界要素解析装置において、
軸対称回転面の一部からなる曲面を境界要素として、該境界要素上に回転方向とそれに直交する方向に局所座標を設ける手段と、
前記境界要素の端部におけるポテンシャルとその空間微分値に基づいて、前記局所座標におけるポテンシャルとその空間微分値を求める手段と、
前記境界要素に対して直角座標で定義されたポテンシャルとその空間微分値に関する３次元の境界要素方程式を作成する手段と、
局所座標値を円筒座標系において軸方向位置と半径位置と回転角度に関係づけたのち、直角座標値に変換することによって、前記局所座標におけるポテンシャルとその空間微分値を使用して、前記直角座標で定義された境界要素方程式の解を数値積分を用いて計算する手段とを備えることを特徴とする境界要素解析装置。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、場の解析に用いられる境界要素解析法及びその解析装置に関するものである。
【０００２】
【従来の技術】
各種機器等の設計にあたっては、その動作や影響をシミュレーションするために熱，構造，流体，電磁界等の場の計算が必要になる。場の計算の方法としては、有限要素法や境界要素法などが知られている。このうち境界要素法（榎園正人著；「境界要素解析」昭和６１年培風館発行を参照）は、解析領域の境界のみを要素分割するだけで場の計算ができるので、解析領域を表現するためのデータが少なくて済むという特長がある。また、場の分布の計算にあたっては、境界要素方は理論解の式を用いて計算するため、積分誤差が発生しやすい境界近傍を除いては精度のよい値を得ることができる利点がある。
【０００３】
さて、境界要素法で３次元場の解析をする場合には、境界面を三角形や四角形の要素に分割する。これらの要素は、これまでポテンシャルΨおよびその法線方向の位置微分値（ｄΨ／ｄｎ）の分布として多項式で近似されてきた。例えば、一次三角形要素内では、上記の値は一次分布となる。また、要素面内の曲面の形状も、要素節点における座標値によって要素内では多項式で近似する。したがって、一次三角形要素の場合に要素は平面として計算されるので、例えば、境界面が円筒状であっても多面体として計算されることになり、実際とは異なった形状で計算されてしまう。二次要素を用いるとより円筒に近い形状を表現できるが、円筒面を正しく表現することはできない。
【０００４】
次に、その応用例として、特に軸対称場の問題について言及する。
軸対称問題に於いては、解析対象の形状も、ポテンシャルΨおよびその位置微係数ｄΨ／ｄｎの値も、回転方向には同一である。したがって、この条件を利用すると、対称軸を含んだ断面における情報のみを用いて場の計算が可能である。つまり、この場合には解析領域の境界は円筒座標系における線によって表され、２次元計算と同様な扱いとなる。この場合の計算方法については、文献（佐藤他、日本シミュレーション学会、第１３回計算電気・電子光学シンポジウム、Ｉ−１１，１９９２年）に示される方法がある。
【０００５】
上記文献は、軸対称の静磁界解析を境界要素法で行うものであり、図１１の（ａ）に示す境界δΩに囲まれた領域Ωの断面（図１１の（ｂ））において、境界をδΩ´、領域をΩ´とし、境界上の磁界をΨ，境界δΩ´の線素をｄｌ、電流密度の絶対値をｊ、媒質の透磁率をμとする場合に、領域内の磁界をΨ（ｚi ，ｒi ）を、
【０００６】
【数１】
0003884791.tif 000002
【０００７】
と表わすことで、静磁界解析を行っている。
又、境界積分方程式は、
【０００８】
【数２】
0003884791.tif 000003
【０００９】
となる。
従って、解の計算のためには、楕円積分（Ｋ(k) やＥ(k))という特殊関数の計算が必要となり、計算時間の増大や関数の計算精度の問題が生じる。また、計算式には１／ｒ（ｒは対称軸からの距離）の項があるため、軸上（ｒ＝０）で特異（∞）となる。このため、軸近傍では解の精度が悪化するという欠点がある。
【００１０】
一方、軸対称問題を３次元問題として解析すると、回転方向の解の分布を考慮する必要があり、要素数と共に接点数が増加して未知数が増加してしまい、計算時間や計算に必要とするメモリが増大する。また、先に示したように、従来の面要素では回転面を正しく表現することができないため、精度のよい計算ができず、回転方向に不均一で不適当な解となった。また、境界要素法の場合には、領域内部の位置における場の計算のために全境界における積分計算を行う必要があるため、多数の位置における内部場の計算を行うには、これに要する計算時間が膨大となり実用上問題となっていた。
【００１１】
【発明が解決しようとする課題】
すなわち、従来の境界要素解析には、以下に示すような欠点があった。
（１）要素形状を多項式で近似したため、円筒面などの形状を正しく計算できず、計算精度が悪かった。
（２）軸対称解析において対称軸を含んだ断面を解析する場合には、特殊関数の計算を必要とし、計算時間が多くかかった。又、特殊関数の計算精度が悪いと解の精度が低下した。更に、１／ｒの計算が必要な場合には軸上が特異となって、軸近傍での精度が悪かった。
（３）軸対称問題を３次元問題として解析すると、未知数が多くなり計算時間や計算に使用するメモリが多く必要とした。又、回転面を正しく表現できないため精度が悪かった。
【００１２】
本発明は、上記欠点を除去するもので、回転対称面の一部を境界にもつ３次元場の解析問題にたいして、境界形状を正しく計算することのできる境界要素解析法を提供する。
又、回転対称面を境界にもつ軸対称場解析問題にたいして、計算速度が速く、計算に使用するメモリが少なく、かつ軸近傍での計算精度が良い境界要素解析法を提供する。
【００１３】
更に、これら境界要素解析法を実現する解析装置を提供する。
【００１４】
【課題を解決するための手段】
上記目的を達成するため、本発明の境界要素解析法は、プログラムに基づいて各種処理を実行する処理手段を備えたコンピュータにおいて、少なくとも一部が軸対称である場の解析を行う境界要素解析法において、前記処理手段が、軸対称回転面の一部からなる曲面を境界要素として、該境界要素上に回転方向とそれに直交する方向に局所座標を設ける工程と、前記処理手段が、前記境界要素の端部におけるポテンシャルとその空間微分値に基づいて、前記局所座標におけるポテンシャルとその空間微分値を求める工程と、前記処理手段が、前記境界要素に対して直角座標で定義されたポテンシャルとその空間微分値に関する３次元の境界要素方程式を作成する工程と、前記処理手段が、局所座標値を円筒座標系において軸方向位置と半径位置と回転角度に関係づけたのち、直角座標値に変換することによって、前記局所座標におけるポテンシャルとその空間微分値を使用して、前記直角座標で定義された境界要素方程式の解を数値積分を用いて計算する工程とを備えることを特徴とする。
【００１７】
又、本発明の解析境界要素解析装置は、少なくとも一部が軸対称である場の解析を行う境界要素解析装置において、軸対称回転面の一部からなる曲面を境界要素として、該境界要素上に回転方向とそれに直交する方向に局所座標を設ける手段と、前記境界要素の端部におけるポテンシャルとその空間微分値に基づいて、前記局所座標におけるポテンシャルとその空間微分値を求める手段と、前記境界要素に対して直角座標で定義されたポテンシャルとその空間微分値に関する３次元の境界要素方程式を作成する手段と、局所座標値を円筒座標系において軸方向位置と半径位置と回転角度に関係づけたのち、直角座標値に変換することによって、前記局所座標におけるポテンシャルとその空間微分値を使用して、前記直角座標で定義された境界要素方程式の解を数値積分を用いて計算する手段とを備えることを特徴とする。
【００２０】
【発明の実施の形態】
＜本発明における境界要素の作成例（１次要素）＞
まず、本発明の境界要素の作成例を、１次要素の場合について説明する。尚、ここでは１次要素で説明するが、高次要素についても概念は全く同様である。
図１は回転面要素を説明する図である。図１の（ａ）は、ｘ軸を回転対称軸とし、ｒ軸を径方向軸とした円筒座標系である。
【００２１】
符号１０は、円筒座標系における境界の一部を示す線分である。符号１１，１２は線分１０の両端の点である。１図の（ｂ）は、（ａ）の線分をｘ軸回りにある角度Δθだけ回転することによって形成される回転面２０を示している。ただし、回転の方向θはｘ軸に対して右ネジの向きにとっている。回転面２０は、４つの角点２１，２２，２３，２４をもつ。この円筒座標系（ｘ，ｒ，θ）は、直角座標系（ｘ，ｙ，ｚ）に変換することができる。
【００２２】
図２は、円筒座標系（ｘ，ｒ，θ）と直角座標系（ｘ，ｙ，ｚ）の２つの座標系の関係を示している。ただし、θ＝０の時のｒ軸をｙ軸に一致させている。
境界要素法で解析する場合、図１の（ｂ）の回転面２０は、境界要素解析のための要素に対応する。本実施の形態では、図１の（ｂ）に示すように、要素の面に沿ってｐ軸とｑ軸とを設定する。ｐ軸とｑ軸の座標値は、要素内では各々−１から＋１までの範囲をとるように決める。
【００２３】
このように決めた局所座標系（ｐ，ｑ）を平面上に展開すると、図３のようになる。図３で、符号３１〜３４は図１の（ｂ）の符号２１〜２４に対応する点である。
本実施の形態においては、この要素上の各位置の座標値をまず円筒座標系（ｘ，ｒ，θ）で表し、その後で直角座標系（ｘ，ｙ，ｚ）に変換する。ここで、図１の（ｂ）の点２１〜２４の座標値は以下のようであるとする。
【００２４】
【数３】
0003884791.tif 000004
【００２５】
ここで、要素面上の任意位置（ｐ，ｑ）における、円筒座標値を以下のように決める。
【００２６】
【数４】
0003884791.tif 000005
【００２７】
次に、直角座標値を次式で計算する。
【００２８】
【数５】
0003884791.tif 000006
【００２９】
（２）式と（３）式によって、回転面２０上の全ての位置の直角座標値（ｘ，ｙ，ｚ）は、要素面上の局所座標値（ｐ，ｑ）と１対１に正確に関係づけられた。したがって、本実施の形態による要素は、従来の要素のように実際の面と要素の面が一致しないという欠点が解決された。
尚、要素上におけるポテンシャルΨとその空間微分値（ｄΨ／ｄｎ）の分布については、図３の局所座標値（ｐ，ｑ）と図１の（ｂ）における点２１〜２４における値を用いて、従来例と同じように近似することができる。尚、ここでは１次要素で説明したが、高次要素についても全く同様にして近似式を構成できる。
【００３０】
以上のように、要素面の形状とΨおよび（ｄΨ／ｄｎ）の分布を決定すると、後は境界要素法の手順にのっとって計算式を導けばよい。
＜本実施の形態の境界要素の解析モデルへの適用例＞
上記境界要素の解析モデルへの適用例として、図４に示す軸対称の解析モデルについて電界計算する場合を例に説明する。図４は、電極４１と４２から構成されており軸α−βに対して軸対称となっている。電極４１と電極４２に、所定の同一または異なった電位を印加し、電界を発生させる。これは、例えば、ブラウン管等の電子ビーム機器において電子ビームの軌道をコントロールするために用いられる。電子ビームは概ね対称軸α−βの近傍を通過する。
【００３１】
図５は、軸対称断面における解析領域を示す。ｘ軸は、図４における対称軸α−βに対応する。ｒ軸は径方向軸である。図５で、線分５２は境界要素、丸印５１は境界要素の節点を示す。
節点５１ｂ−５１ｃ−５１ｄ，５１ｅ−５１ｆ−５１ｇの区間は、電極部であり所定の電位が与えられる境界である。節点５１ａ−５１ｂ，５１ｄ−５１ｅ，５１ｇ−５１ｈの区間は、電極のない境界である。この境界では正しい境界条件が不明であるが、主要部（節点５１ｃ−５１ｆの領域）への影響が小さいことを考慮すると、近似的に次式の境界条件を課することができる。
【００３２】
【数６】
0003884791.tif 000007
【００３３】
ここで、Ｖは電位であり、ｎは境界に対する法線方向の位置座標を示す。
節点５１ａ−５１ｈの区間は対称軸であって、境界要素は不要である。
図５に示した境界要素５２は、ｘ軸の回りに回転してできる面に対応しているので、実際には輪状の帯面（場所によっては、円形の面や同心円からできるドーナツ状の円板面）を形成している。
【００３４】
図６は、輪状の帯面からなる境界要素６０を示している。エッジ６１，６２は境界要素６０の端部を示すが、これは図５における節点５１の位置に対応している。つまり、図５での節点は図６では円形の線となる。図１の（ｂ）と同じように、境界要素６０の面上に局所座標系（ｐ，ｑ）を設定すると、境界要素６０が形成する面上の各位置の座標値（ｘ，ｙ，ｚ）は、前記境界要素の作成例で示した例と同様に表すことができる。ただし、ｐ座標系はθ方向に１回転する。
【００３５】
まず、要素面上の円筒座標値（ｘ，ｒ，θ）を次式で表現する。
【００３６】
【数７】
0003884791.tif 000008
【００３７】
ただし、ｘ61とｘ62は要素端部６１と６２のｘ座標値であり、ｒ61とｒ62は要素端部６１と６２のｒ座標値である。
上式の円筒座標値を（３）式によって、直角座標値（ｘ，ｙ，ｚ）に変換するのは、前記境界要素の作成例で示した例と同じである。
ところで、要素上におけるポテンシャルΨとその空間微分値（ｄΨ／ｄｎ＝Ψ’）の分布は、軸対称性によりθ方向には一様なので次式のようになる。ただし、０−１次混合要素を用いた場合を示す。すなわち、空間微分値Ψ’については０次（定数）、ポテンシャルΨについては１次とする。
【００３８】
【数８】
0003884791.tif 000009
【００３９】
ここで、Ψ61とΨ62は、要素端部６１と６２におけるポテンシャル値であり、Ψ’60は要素６０におけるポテンシャルの法線方向の位置微分値である。
（５）式、（６）式を見ると、図５のｘ−ｒ断面における境界データだけで回転面の境界情報を全て満たしていることがわかる。
境界要素法では、境界要素の所定の節点上で境界積分方程式を作り、これを連立させて未知のΨやΨ’について解くという方法をとる。軸対称問題の場合、θ方向の位置はどこにとっても同じ境界方程式となるので、θ＝０の位置にとることにすれば、結局、図５の境界要素の節点の位置に対応する。図６の要素端部６１，６２等において３次元の境界積分方程式をたてればよい。ただし、積分は面積分となる。積分は要素ごとに行ってその和をとれば全境界における積分値が得られる。つまり、次式のように表される。
【００４０】
【数９】
0003884791.tif 000010
【００４１】
上式で、ｆは被積分関数、Γは全境界領域、Γe は図６に示す１要素の境界領域、ｅは要素、ｄｓは面積分素を表す。
本解析モデルでは、境界内部のポテンシャルΨ（ｘi ，ｙi ，ｚi ）は、
【００４２】
【数１０】
0003884791.tif 000011
【００４３】
であり、境界積分方程式は、
【００４４】
【数１１】
0003884791.tif 000012
【００４５】
で表わせる。
ここで、（６）式の要素上におけるポテンシャルΨとその空間微分値Ψ’を使用すると、
【００４６】
【数１２】
0003884791.tif 000013
【００４７】
と表され、マトリクスＨijとＧijの各要素は既知関数の面積分となる。
これらの面積分は、ニュートン・コーツ積分法やガウス・ルジャンドル積分法等を使用して近似すれば、数値積分によって行うことができる。このようにすれば、（８）式及び（９）式は、特殊関数（例えば、完全楕円積分）などの複雑な関数を含まないため、計算は容易である。また、回転軸近傍は両端部を除いて境界要素から離れているため、場の計算精度がよい。また、軸上においても本質的に特異性はない。
【００４８】
従って、場の境界の少なくとも一部が軸の回りの線分の回転で表わせる場合には、上記境界要素が精度良く使用できる。尚、以下では説明の簡略化のために、軸対称の解析モデルを例に説明する。
＜本実施の形態の境界要素法での計算例＞
上記解析モデルへの適用例において、軸対称の解析モデルにおいて境界要素法による計算が行えたが、図６に示す境界要素６０は、一般に細長い輪上の帯面を形成する。そのため、数値積分としてよく使用されるガウス・ルジャンドル積分公式を使用すると、θ方向（以下、回転方向という）とｘ又はｒ方向（以下、幅方向という）とに同じ数の積分点数をとるために、回転方向と幅方向との積分点の間隔に大きな差がでる。このため、回転方向の積分精度を保つために積分点の数を増やすと、幅方向に必要以上の積分点を設けなくてはならず、計算時間を多く必要とする。本境界要素法の計算例は、上記軸対称の解析モデルにおけるこのような問題を解決するものである。
【００４９】
本例では、上記（７）式の積分を行うにあたって、図６の要素６０を回転方向にさらに分割し、分割によって作成した細分割面ごとにガウス・ルジャンドル積分公式等の数値積分公式を適用するものである。
図７は、細分割面７０を示す。この細分割面７０は、図６の境界要素６０を回転方向にΔθで等分割して得た。分割は解析対象に応じて適宜行われるが、実際には、幅方向の積分点数と回転方向の積分点数との比に対応して回転方向を等分割し、幅方向の積分点数と回転方向の積分点数とが等しい細分割面について数値積分をする。又、積分点数については、積分精度に基づいて自動的に設定されても良いし、解析対象に応じて外部から設定されても良い。
【００５０】
この場合に、（７）式は次式で表される。
【００５１】
【数１３】
0003884791.tif 000014
【００５２】
ここで、Γt は細分割面の領域を示す。ｔは細分割面の回転方向の各面を表す。
細分割面７０等のデータは予め作成しておく必要はなく、（１０）式の計算時に必要に応じて図５の線分要素データから計算すればよい。
図８を用いて、本例における計算の手順を説明する。
▲１▼処理を開始する（ステップＳ８０１）。
▲２▼円筒座標系（ｘ−ｒ）面上で、境界を線分境界要素に分割する。（Ｓ８０２）。
▲３▼境界要素に境界条件を設定する（ステップＳ８０３）。
▲４▼境界積分方程式の係数を計算する（ステップＳ８０４）。
【００５３】
（ａ）線分境界要素を所定角度回転してできる回転面について、係数の被積分関数を数値積分する（ステップＳ８０５）。
（ｂ）回転方向に一周分の積分が終了するまで、（ａ）を繰り返す（ステップＳ８０６，Ｐ８１１）。
▲５▼全要素について、▲４▼の処理を繰り返す（ステップＳ８０７，Ｐ８１２）。
▲６▼必要とする境界積分方程式のすべてについて、▲４▼，▲５▼の処理を繰り返す（ステップＳ８０８，Ｐ８１３）。
▲７▼上記の計算が終了すれば、境界要素方程式の係数マトリクスが作成される（ステップＳ８０９）。
【００５４】
＜本実施の形態の解析装置の構成例＞
図９は、本実施の形態の境界要素法を処理するための解析装置の構成例である。
本解析装置は、ＣΓＵ９１とＲＡＭ９２（あるいはＲＯＭ）とから構成されるコンピュータ本体９０と、表示装置であるＣＲＴ９４と、入力装置であるキーボード９５やマウス９６と、フォロッピーディスク等の外部記憶装置９７と、出力装置であるプリンタ９８とが、バス９９で接続されて構成されている。
【００５５】
ＲＡＭ９２には、解析対象の情報である図５の線分境界要素データによって表される境界の形状データ及び境界条件９２ａと、境界要素方程式の係数マトリクスのデータ９２ｂと、解析結果の情報である場のポテンシャル・データ９２ｃが格納される。
図８の各処理ステップと対応させて、解析装置の各部の役割を説明する。
【００５６】
キーボード９５およびマウス９６は、ステップＳ８０２の形状データや要素分割のための情報を入力するために使用される。また、ステップＳ８０３の解分布（境界条件）の設定もこれらの入力装置を用いて行う。
これらの要素データなどは一旦外部記憶装置９７に格納してもよいが、ステップＳ８０４の係数計算の処理中は、計算処理速度のためにＲＡＭ上のメモリ９２ａに常駐させる。ステップＳ８０４で計算した係数の値はＲＡＭ上のメモリ９２ｂに格納し、必要に応じて（１０）式の計算のために読み出し、変更後は再度格納する。係数マトリクスが完成すると境界方程式を解く処理に移る。
【００５７】
尚、境界の形状データ及び境界条件９２ａを外部記憶装置９７からロードしても良いし、係数マトリクスのデータ９２ｂは外部記憶装置９７に格納するようにしても良い。又、図８の処理ステップを実行するプログラムは、ＲＯＭに格納されてもよいし、外部記憶装置９７やホストコンピュータや回線からダウンロードされる場合は、ＲＡＭ９２のプログラムロード領域９２ｄにロードされて実行される。
【００５８】
ところで、（１０）式の積分は、数値積分公式の適用を考慮すると次式となる。
【００５９】
【数１４】
0003884791.tif 000015
【００６０】
ただし、ｇは数値積分点（ｘg ，ｙg ，ｚg ）についての和をとることを示す。ｗg は重みである。
上式は加算処理の繰り返しとなっている。したがって、同様な演算の繰返しを高速で行うベクトル演算や、同種の処理を複数個のＣＰＵに振り分けて同時に処理を行う並列処理に適している。
【００６１】
つまり、ＣＰＵ９１がベクトル演算機能を有している場合には、（１１）式の最内ループ（ｇに関する加算）は簡単にベクトル演算が可能である。さらに、回転方向の計算（ｔに関する加算）も同種演算の繰り返しなので、このループも同時にベクトル化するのは容易である。場合によっては最外ループ（ｅに関する加算）もベクトル化が可能であり、数１０倍程度の高速化が可能である。
【００６２】
一方、ＣＰＵ９１がマルチＣＰＵからなり並列処理機能を有している場合には、例えば、（９）式におけるｔに関する加算部を並列化するのが好適である。つまり、各細分割面領域ｔにおける
【００６３】
【数１５】
0003884791.tif 000016
【００６４】
の計算を複数のＣＰＵに振り分けて行い、この後各ＣＰＵで演算した値の和をとる。この方法によれば、計算時間は理想的には（１／回転方向の細分割面の数）に短縮される。例えば、回転方向に１０度間隔で３６の細分割面をとったとすれば、３６のＣＰＵを用いて並列計算することにより１／３６の計算時間で係数マトリクスを計算できる。
【００６５】
境界要素法では、境界要素方程式を解いて境界上のΨとΨ’とを全て決定した後、領域内部の位置における場の値を計算することができるが、この時も境界上における積分計算が必要になる。この内点場の計算においても、ベクトル化および並列化処理により計算を高速化することにより計算時間を大幅に短縮することができる。
【００６６】
なお、本発明は、複数の機器（例えばホストコンピュータ，インタフェイス機器，リーダ，プリンタなど）から構成されるシステムに適用しても、１つの機器からなる解析装置に適用してもよい。
また、本発明の目的は、前述したように実施形態の機能を実現するソフトウェアのプログラムコードを記録した記憶媒体を、システムあるいは装置に供給し、そのシステムあるいは装置のコンピュータ（またはＣＰＵやＭＰＵ）が記憶媒体に格納されたプログラムコードを読出し実行することによっても、達成されることは言うまでもない。
【００６７】
この場合、記憶媒体から読出されたプログラムコード自体が前述した実施形態の機能を実現することになり、そのプログラムコードを記憶した記憶媒体は本発明を構成することになる。
プログラムコードを供給するための記憶媒体としては、例えば、フロッピディスク，ハードディスク，光ディスク，光磁気ディスク，ＣＤ−ＲＯＭ，ＣＤ−Ｒ，磁気テープ，不揮発性のメモリカード，ＲＯＭなどを用いることができる。
【００６８】
また、コンピュータが読出したプログラムコードを実行することにより、前述した実施形態の機能が実現されるだけでなく、そのプログラムコードの指示に基づき、コンピュータ上で稼働しているＯＳ（オペレーティングシステム）などが実際の処理の一部または全部を行い、その処理によって前述した実施形態の機能が実現される場合も含まれることは言うまでもない。
【００６９】
さらに、記憶媒体から読出されたプログラムコードが、コンピュータに挿入された機能拡張ボードやコンピュータに接続された機能拡張ユニットに備わるメモリに書込まれた後、そのプログラムコードの指示に基づき、その機能拡張ボードや機能拡張ユニットに備わるＣＰＵなどが実際の処理の一部または全部を行い、その処理によって前述した実施形態の機能が実現される場合も含まれることは言うまでもない。
【００７０】
本発明を上記記憶媒体に適用する場合、その記憶媒体には、先に説明したフローチャート等に対応するプログラムコードを格納することになるが、簡単に説明すると、図１０のメモリマップ例に示す各モジュールを記憶媒体に格納することになる。すなわち、少なくとも境界要素作成モジュール，境界積分方程式作成及び係数マトリクス算出モジュール，ポテンシャル計算モジュール，および数値積分モジュールの各モジュールのプログラムコードを記憶媒体に格納すればよい。
【００７１】
【発明の効果】
以上説明したように、本発明によれば、
（１）回転面の形状が正しく取り扱われているので計算精度がよく、回転方向での計算結果のムラがでない。
（２）計算に特殊関数を必要としないので、計算が速い。
【００７２】
（３）回転軸近傍での特異性がなく、軸近傍での精度がよい。
（４）ベクトル演算や並列処理に適しており、高速計算できる。
等の効果が達成される。
【図面の簡単な説明】
【図１】本実施例に係る境界要素の回転面を説明する図である。
【図２】本実施の形態に係る円筒座標系と直角座標系の関係を説明する図である。
【図３】本実施の形態に係る境界要素の局所座標系を説明する図である。
【図４】本実施の形態に係る解析対象を説明する図である。
【図５】本実施の形態に係る軸対称面上の線分境界要素を説明する図である。
【図６】本実施の形態に係る輪状帯面からなる軸対称境界要素を説明する図である。
【図７】本実施の形態に係る境界要素の細分割面を説明する図である。
【図８】本実施の形態に係る計算処理手順を説明する図である。
【図９】本実施の形態に係る解析装置を説明する図である。
【図１０】図８の外部記憶装置の記憶媒体内の構成例を示す図である。
【図１１】従来例に係る境界要素の回転面を説明する図である。
【符号の説明】
９０ コンピュータ本体
９１ ＣＰＵ
９２ ＲＡＭ
９２ａ  形状データ及び境界条件記憶領域
９２ｂ  係数マトリクス記憶領域
９２ｃ  場のポテンシャル記憶領域
９２ｄ  プログラムロード領域
９４ ＣＲＴ
９５ キーボード
９６ マウス
９７ 外部記憶装置
９８ プリンタ
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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