(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
設計空間における応答曲面近似式の作成を支援する設計支援装置において、
前記設計空間の部分領域について、第１の応答曲面近似式をもとにサンプリング点のデータを算出する手段と、
少なくとも前記部分領域を包含する包含領域について、第２の応答曲面近似式の係数に関し線形１次の応答曲面モデルを算出する手段と、
前記第２の応答曲面近似式の各係数を状態量とし、前記サンプリング点のデータを用いる状態推定アルゴリズムに基づき前記状態量を推定することにより残差又は分散推定値を求め、該残差又は分散推定値に基づいて前記応答曲面モデルの適合度を算定する手段と、を具備することを特徴とする設計支援装置。
【請求項２】
前記応答曲面モデルを算出する手段は、
設計変数の多変数関数を新たな変数として再定義する手段と、
再定義された前記新たな変数を前記第２の応答曲面近似式に導入する手段と、を含むことを特徴とする請求項１に記載の設計支援装置。
【請求項３】
前記状態推定アルゴリズムに用いるサンプリング点のデータを、新たに得られた実験点とすることを特徴とする請求項１又は２のいずれかに記載の設計支援装置。
【請求項４】
前記応答曲面モデルの適合度を算定する手段は、
多重仮説検定により前記応答曲面モデルの適合確率を計算する手段と、
前記適合確率を所定の閾値と比較する手段と、を含むことを特徴とする請求項１乃至３のいずれか一項に記載の設計支援装置。
【請求項５】
前記多変数関数を、前記設計変数の特性値の単位系を考慮した線形化変換及び次元解析により選定する手段をさらに含むことを特徴とする請求項２に記載の設計支援装置。
【請求項６】
複数の前記第１の応答曲面近似式からのサンプリング点の数又は次元を、前記設計空間内の部分領域ごとにコントロールする手段をさらに具備することを特徴とする請求項１乃至５のいずれか一項に記載の設計支援装置。
【請求項７】
前記応答曲面モデルを評価するために、情報量基準を算出する手段をさらに具備することを特徴とする請求項１乃至６のいずれか一項に記載の設計支援装置。
【請求項８】
前記応答曲面モデルを、前記第１の応答曲面近似式に対し、再定義された前記新たな変数に係る項を追加又は削除することにより算定することを特徴とする請求項２に記載の設計支援装置。
【請求項９】
設計空間における応答曲面近似式の作成を支援する設計支援プログラムにおいて、
コンピュータに、
前記設計空間の部分領域について、第１の応答曲面近似式をもとにサンプリング点のデータを算出する工程と、
少なくとも前記部分領域を包含する包含領域について、第２の応答曲面近似式の係数に関し線形１次の応答曲面モデルを算出する工程と、
前記第２の応答曲面近似式の各係数を状態量とし、前記サンプリング点のデータを用いる状態推定アルゴリズムに基づき前記状態量を推定することにより残差又は分散推定値を求め、該残差又は分散推定値に基づいて前記応答曲面モデルの適合度を算定する工程、を実行させるための設計支援プログラム。
【請求項１０】
前記応答曲面モデルを算出する工程は、
設計変数の多変数関数を新たな変数として再定義する工程と、
再定義された前記新たな変数を前記第２の応答曲面近似式に導入する工程と、を含むことを特徴とする請求項９に記載の設計支援プログラム。
【請求項１１】
前記状態推定アルゴリズムに用いるサンプリング点のデータを、新たに得られた実験点とすることを特徴とする請求項９又は１０のいずれかに記載の設計支援プログラム。
【請求項１２】
前記応答曲面モデルの適合度を算定する工程は、
多重仮説検定により前記応答曲面モデルの適合確率を計算する工程と、
前記適合確率を所定の閾値と比較する工程と、を含むことを特徴とする請求項９乃至１１のいずれか一項に記載の設計支援プログラム。
【請求項１３】
前記多変数関数を、前記設計変数の特性値の単位系を考慮した線形化変換及び次元解析により選定する工程をさらに含むことを特徴とする請求項１０に記載の設計支援プログラム。
【請求項１４】
複数の前記第１の応答曲面近似式からのサンプリング点の数又は次元を、前記設計空間内の部分領域ごとにコントロールする工程をさらに具備することを特徴とする請求項９乃至１３のいずれか一項に記載の設計支援プログラム。
【請求項１５】
前記応答曲面モデルを評価するために、情報量基準を算出する工程をさらに具備することを特徴とする請求項９乃至１４のいずれか一項に記載の設計支援プログラム。
【請求項１６】
前記応答曲面モデルを、前記第１の応答曲面近似式に対し、再定義された前記新たな変数に係る項を追加又は削除することにより算定することを特徴とする請求項１０に記載の設計支援プログラム。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、応答曲面法を利用した設計支援方法およびプログラムに関する。
【０００２】
【従来の技術】
コンピュータの急速な進歩に伴い、応力／変形解析、熱解析、振動／騒音解析が、大規模な非線形問題に対しても比較的容易に実施できるようになってきている。こうした背景のもと、近年、設計最適化分野や品質工学分野の近似解法として、応答曲面法がその理論の平易さと近似手法としての利便さから広く利用されている。応答曲面法は、対象とする現象あるいはシステムに対する応答曲面近似式の構築と活用の為の方法論である。応答曲面近似式とは、ｎ個（ｎ＞１）の変数ｘｉから予測される応答ｙについての関係式を近似したものである。
【０００３】
ＣＡＥ（Computer Aided Engineering）を用いた設計最適化や信頼性予測は、近似解空間として多用されており、一回のＣＡＥ計算コストを無視し得る場合、各数値実験を応答曲面近似式上での計算で代替することで、高速に最適化あるいは信頼性予測を行なおうとするものである。ここでは、実験計画法を基礎にした手法により、数値実験点の数を減少させながら精度の高い応答曲面の近似式を作成する方法が用いられている。そして応力シミュレーションなどの技術を用い、応力値や変形量といった特性値を抽出し、応答曲面近似式を作成するようにしている。
【０００４】
【発明が解決しようとする課題】
しかしながら、非線形性などを伴う複雑かつ大規模な設計空間データの解析においては、比較的単純な近似式（例えば低次の主効果項のみの近似式）によって現象あるいはシステムを精度良く記述することが困難な場合が多い。また、応答曲面近似式の構築にあたって、あらかじめ相互作用に関する情報が確認されている場合以外には、各変数の相互作用項の導入についての有効な指針は少ない。このような場合、すべての相互作用項を考慮すれば、変数が多くなるに従い数値実験点が指数的に増大するだけではなく、冗長性が強い（汎化誤差が大きい）近似モデルとなるため注意を要する。
【０００５】
従来、設計空間を領域分割することにより、高精度な応答曲面を各領域について作成してきた。しかしながら、応答曲面空間の拡張、あるいは、より高精度な応答曲面近似式の作成に際し、再度、実験計画や解析を実行し直すには多大な労力が必要となる場合が多く、新たな設計空間データが得られるたびに容易に応答曲面近似式を更新可能な実用に則した手法が必要とされている。また、設計空間データが複数の領域において応答曲面近似式として蓄積されるに従い、設計空間情報の未知の部分を、積極的に新たな相互作用項を含んだ形の応答曲面モデル（応答曲面近似式: Response Surface Model）で表現し、能動的に情報抽出を行うための方法論を構築することが重要である。
【０００６】
本発明は、このような課題に着目してなされたものであり、その目的とするところは、応答曲面モデルの構築にあたって、設計変数間の相互作用項の導入についての有効な指針を得ることができ、応答曲面空間の拡張、あるいは、より高精度な応答曲面近似式の作成を容易化する設計支援方法及びプログラムを提供することにある。
【０００７】
【課題を解決するための手段】
上記の目的を達成するために、本発明に係る設計支援方法は、設計空間における応答曲面近似式の作成を支援する設計支援方法において、前記設計空間の部分領域について、第１の応答曲面近似式をもとにサンプリング点のデータを算出する工程と、少なくとも前記部分領域を包含する包含領域について、第２の応答曲面近似式の係数に関し線形１次の応答曲面モデルを算出する工程と、前記第２の応答曲面近似式の各係数を状態量とし、前記観測データを用いる状態推定アルゴリズムに基づき前記状態量を推定することにより残差又は分散推定値を求め、該残差又は分散推定値に基づいて前記応答曲面モデルの適合度を算定する工程と、を具備することを特徴とする設計支援方法である。
【０００８】
また、本発明に係るプログラムは、設計空間における応答曲面近似式の作成を支援する設計支援プログラムにおいて、コンピュータに、前記設計空間の部分領域について、第１の応答曲面近似式をもとにサンプリング点のデータを算出する工程と、少なくとも前記部分領域を包含する包含領域について、第２の応答曲面近似式の係数に関し線形１次の応答曲面モデルを算出する工程と、前記第２の応答曲面近似式の各係数を状態量とし、前記観測データを用いる状態推定アルゴリズムに基づき前記状態量を推定することにより残差又は分散推定値を求め、該残差又は分散推定値に基づいて前記応答曲面モデルの適合度を算定する工程、を実行させるための設計支援プログラムである。
【０００９】
【発明の実施の形態】
以下、図面を参照しながら本発明の実施形態を説明する。
【００１０】
図１は本発明の一実施形態に係る設計支援システムの概略構成を示すブロック図である。この設計支援システムは、汎用又は専用のコンピュータ（例えばＰＣやＥＷＳ等）および同コンピュータ上で動作するプログラムを利用して実現することができ、図１に示すように入力装置１１、ＣＰＵ（中央演算処理装置）１２、ＲＯＭ１３、ＲＡＭ１４からなるハードウェア構成を有するとともに、少なくとも設計データベース２０及び応答曲面データベース３０を備えている。
【００１１】
これらのデータベース、および本発明に係るデータ処理の過程で生じる一時的な計算結果等のデータ等は、図示しない補助記憶装置に記憶、保持される。かかる補助記憶装置は、例えばフロッピーディスク装置、磁気ディスク装置、ＣＤ−ＲＯＭ装置、ＤＶＤ装置等のいずれか又はその組み合わせから構成される。本発明に係るデータ処理を実現するための上記プログラムは、例えば同補助記憶装置を通じて供給され、ＲＡＭ１４に読み出されると共にＣＰＵ１２により実行される。入力装置１１は例えばキーボードやマウス等からなり、ユーザが上記プログラムの実行開始や終了等の各種指示を本システムに与えるためのものである。出力装置１３は本発明に係るデータ処理の結果等を出力するためのものであり、ＣＲＴやプリンタ等から構成される。
【００１２】
このような本実施形態の設計支援システムは、設計変数データベース２０及び応答曲面データベース３０を参照して次に説明するデータ処理を実行し、設計空間内に広範囲な応答曲面モデル（図２参照）を構築したり、既に得られている応答曲面モデルから、さらに高精度な応答曲面モデルを構築するといった作業を、設計空間内において新たなデータが得られた際に容易に行えるよう支援するものである。
【００１３】
図３は本発明の設計支援を実現するデータ処理の概略手順を示すフローチャートである。
【００１４】
この図３に示す概略手順は、複数の初期応答曲面近似式をベースに算出されるサンプリング点、あるいは、新たに得られた数値実験点をもとに、応答曲面近似式を高精度化するというものであって、初期応答曲面近似式の作成（ＳＴＥＰ０）、各種応答曲面モデルの想定（ＳＴＥＰ１）、カルマンフィルタアルゴリズムによる応答曲面近似式のアップデート（ＳＴＥＰ２）、ベイズの定理をベースにした応答曲面モデル多重仮説検定（ＳＴＥＰ４）の４つのステップから構成される。以下、これらＳＴＥＰ０乃至ＳＴＥＰ４の各ステップについて説明する。
【００１５】
（ＳＴＥＰ０：初期の応答曲面近似式の作成）
まず、設計空間が適切に領域分割され、部分空間において精度良く応答曲面近似式が作成されている状態を初期状態として想定する。この領域分割は、設計案ごとに領域を分割する場合や、変形モードなどの構造応答モードの違いにより領域を分割する場合、あるいは、設計空間を等間隔で領域分割する場合などが考えられる。
【００１６】
従来、応答曲面近似式としては、取扱いが容易で統計的手法の適用が可能な多項式が多く用いられている。しかし、変数変換を行なうことで線形化可能な非線形関数も多く用いられる。例えば、指数関数、べき乗関数、有理関数、対数関数、ロジスティック関数などである。柏村らは、構造解析に実験計画法と応答曲面法を導入し、非線形問題にも適用可能な直交多項式ベースの応答曲面法を構築しており、設計作業に必要な影響度解析、特性値の最適化、拡張１次近似２次モーメント法（ＡＦＯＳＭ）をベースにした構造信頼性の評価を効率的かつ汎用的に実施できることを示している。本実施形態では、例えばこのように柏村らにより提案された直交表および直交多項式を利用した応答曲面法（参考文献(1)(2)：付記に記載）を利用し、当該設計空間を規定する各種設計変数を格納した設計変数データベース２０を参照しながら、設計に内在する変数の関数として近似式を作成し、これを初期の応答曲面近似式とする。
【００１７】
本実施形態において、初期の応答曲面近似式には、チェビシェフ(Chebyshev)の直交多項式（参考文献(1)）を用いることとする。また、数値実験点は直交表を用いた実験計画法により決定する。かかる応答曲面近似式は、各数値実験点（すなわち直交表の列）の解析結果を用いて作成する回帰式に相当する。なお、直交多項式は、低次項が優先され各次数項が互いに独立であるという特徴を持っていることから、任意の次数で近似式を打ち切っても残った次数においては最良な回帰式を示す。
【００１８】
応答をｙとし、設計に内在する変数をｘiとし、各変数の平均値をμiとするとき、かかる応答は式（１）で表される。ただし、ｘ1，ｘ2，…は設計変数を示し、μ1，μ2，…は平均値を示し、ａは係数を示し、kおよびhは水準数および水準間隔をそれぞれ示している。
【００１９】
【数１】
0003884294.tif 000002
【００２０】
応答曲面近似式を作成する過程においては、各変数が応答に与える影響度を多項式の成分に直交分解して評価する方法を用いることで分散分析を行なうことが可能である。ここで、影響度とは各変数の変動に伴う応答の変化の程度を表している。この方法により影響度は、応答曲面近似式を作成する過程で１次、２次などのように分解された特性に対して求めることができる。
【００２１】
このように当該ＳＴＥＰ０によって、対象とする現象あるいはシステムにおける設計空間内を領域分割し、それぞれの分割領域についての（部分的な）初期の応答曲面近似式が作成される。そしてこの初期の応答曲面近似式から、サンプリング点が観測データ（値）として算出され、後の処理（応答曲面モデルの更新：ＳＴＥＰ２）にて用いることができるようになる。なお、当該ＳＴＥＰ０により作成された初期の応答曲面近似式は、次に説明する新たな応答曲面モデルの想定にも利用され得る。
【００２２】
（ＳＴＥＰ１：各種の応答曲面モデルの想定）
非線形性を伴う複雑かつ大規模な現象やシステムであっても、変数変換により作成された多変数関数を新たな変数として再定義することにより、これらを線形１次式の応答曲面モデルとして近似的に表現できる場合が多いと考えられる。しかしながら、このような変数の再定義の仕方は多数存在するため、たとえある次数以下に限定した場合であっても、新たな変数となる多変数関数を有する応答曲面モデルは多数存在し得る。そのため、より高精度な応答曲面近似式あるいはより広い領域における応答曲面近似式を構築するにあたり、応答曲面モデルの想定を効率的に行い得る実用に則した方法が必要である。
【００２３】
設計変数データベース２０には、各設計変数が格納されるが、各設計変数は線形化可能な非線形関数、例えば指数関数、べき乗関数、有理関数、対数関数、ロジスティック関数などに対し事前に線形化を施しておいたものとしても良い。応答曲面モデルデータベース３０には、想定され得る各設計変数の多変数関数の集合が格納されている。
【００２４】
ＳＴＥＰ１では、この応答曲面モデルデータベース３０を参照し、複数の異なる応答曲面モデルを想定する。すなわち、応答曲面モデルデータベース３０から多変数関数を選択して新たな変数として再定義し、それらを、再定義した各変数の係数に関し線形１次式となるように組み合わせることにより想定する。
【００２５】
尚、応答曲面モデルの想定においては、特性値の単位系を考慮した次元解析により、多変数関数の選択を絞り込むようにしてもよい。または、応答曲面モデルを、初期の応答曲面近似式（設計変数の主効果のみを考慮）に、多変数関数を新たに再定義してなる１次の各種変数項を追加することによって想定してもよい。
【００２６】
本実施形態では、別領域において構築した応答曲面近似式から算出したサンプリング点あるいは新たに得られた数値実験点を観測データとして、ベイズ理論（参考文献(3)〜(7)）に基づくカルマンフィルタによりアップデート（ＳＴＥＰ２）しつつ、逐次、多重仮説検定による適合確率の指標をもとに各応答曲面モデルを算定する（ＳＴＥＰ３）。
【００２７】
変数変換により作成された多変数関数を新たな変数Ｘiとして再定義し、これを用いて想定した線形一次式の応答曲面モデルは、一般に、以下のように表現される。
【００２８】
【数２】
0003884294.tif 000003
【００２９】
ただし、式中のＮは変数の数、aは未知パラメータを意味している。
【００３０】
ＳＴＥＰ２における応答曲面近似式のアップデートにおいては、別領域（他の部分領域）の応答曲面近似式をベースに算出されたサンプリング点、あるいは、新たに得られた数値実験点を観測値として用いる。ステップｋにおいて、観測値Ｙ1，・・・，ＹNが得られた場合、次の観測方程式（３）を構成できる。
【００３１】
【数３】
0003884294.tif 000004
【００３２】
ただし、νkはガウス性の白色雑音を示している。
【００３３】
ここで、パラメータ（a1,a2・・・,a9）を状態量とおくと、式（４）の状態方程式が得られる。
【００３４】
【数４】
0003884294.tif 000005
【００３５】
係数ベクトルａの事前分布をｆ（ａ）とする。得られたサンプリング点（Ｙｋ，Ｃｋ）をもとに、式（６）で表されるｆ（ａ｜Ｙｋ）をベイズ理論を用いて推定することを考える。
【００３６】
【数５】
0003884294.tif 000006
【００３７】
このとき、ａkの期待値は、有効推定（最小分散推定値）としての性質をもつ。状態量の期待値と分散を効率良く求めるアルゴリズムとして、本実施形態ではカルマンフィルタのアルゴリズム（参考文献(8)(9)）を用いる。
【００３８】
（ＳＴＥＰ２：カルマンフィルタによる応答曲面近似式のアップデート）
カルマンフィルタは最小２乗推定法の１つである。システム内の不確定量と観測の不確定量を含む状態方程式（８）と観測方程式（９）により、対象とするシステムを表現できる場合を考える。このとき、ステップｋにおける状態量推定は式（１０）、カルマンゲインは式（１１）、誤差共分散行列は式（１３）により算出される。
【００３９】
【数６】
0003884294.tif 000007
【００４０】
ただし、ａ（ｋ）は状態ベクトル、ｙ（ｋ）は観測ベクトル、Ａ及びＣは行列、ｗ（ｋ）はシステム雑音、ｖ（ｋ）は観測雑音、ｋは離散時間系である。また、時間間隔をΔｔとすると、ｋΔｔが観測時刻であり、行列ＡおよびＣはモデル化により決定される。観測値ｙ（ｋ）が得られるごとにａ（ｋ）の推定値が求められる。初期の状態推定ベクトルの誤差共分散行列を仮定することにより、カルマンフィルタのアルゴリズム（参考文献（３））を用いてパラメータ（ａ1，ａ2・・・，ａ9）の推定値を求め、応答曲面近似式をアップデートすることが可能である。
【００４１】
複数の応答曲面近似式からサンプリング点を算出する過程においては、ステップｋにおいて、各近似式から算出するサンプリング点の内訳つまり観測値ベクトルの要素の内訳をコントロールするよう実施形態を構成してもよい。例えば、応答曲面近似式の精度を高めたい領域付近において、サンプリング点内訳比率を高めることが好ましい。あるいは、全ステップにおける各近似式から算出するサンプリング数の内訳比率をコントロールすることも好ましい。この場合において、交差確認法（Cross-Validation法）やＢｏｏｓｔｒａｐ法などの再サンプリング手法を利用することが好ましい。
【００４２】
（ＳＴＥＰ３：ベイズの定理を用いた多重仮設検定）
ベイズの定理を用いた多重仮設検定法は、プラントなどの異常兆候判定法として福田・清水らにより提案・適用され有効性が示されている（参考文献(3)(4)(6)(7)）。本実施形態では、ベイズの定理に基づく多重仮説検定法により、応答曲面モデルの適合判定を行う。具体的には、応答曲面近似式がアップデート（ＳＴＥＰ２）されるごとに多重仮説検定を行い、各応答曲面モデルの有意性を算定する。
【００４３】
ベイズの定理は式（１６）のように定式化されている。
【００４４】
【数７】
0003884294.tif 000008
【００４５】
ただし、Ｐ（Ｅi）は事象Ｅiの事前確率、Ｐ（Ｅi｜Ａ）は事象Ｅiの事後確率（事象Ａのもとで特定の事象Ｅiが生起する確率）、Ｐ（Ａ｜Ｅi）は事象Ｅiのもとで事象Ａの起こる確率である。この式から、事象Ａという条件下で特定のＥiが生起するたびに、事象Ｅiの事後確率Ｐ（Ｅi｜Ａ）を更新すると、逐次的に正しい確率に漸近していく。すなわち、はじめは過去の経験に基づく判断や僅かな観測データに基づいてシステムの状態を推定せざるを得なかった場合であっても、新たなデータを得るたびに事後確率を修正して、正しい確率へ近づけることができる。ベイズの定理を多重仮説検定に応用し、カルマンフィルタのアルゴリズムによりアップデートされた応答曲面近似式の残差（観測値と推定値の差）から、観測システムの状態を逐次的に推定できる。
【００４６】
カルマンフィルタから算出される残差は、状態方程式と観測方程式から記述されるモデルが、対象とする現象あるいはシステムと一致している場合、平均０の正規分布に従う。応答曲面モデルiに対するカルマンフィルタから出力される残差γ(k)は、平均０、共分散Ｖi（ｋ）の正規分布Ｎ（0,Ｖi（ｋ））に従う。残差γ(k)がγ+dγの間に出現する確率は式（１７）のように表現できる。
【００４７】
【数８】
0003884294.tif 000009
【００４８】
この確率は式（１６）のＰ（Ａ｜Ｅi）に相当する。
【００４９】
ただし、ｍはｙの次元、Ｖi（ｋ）＝Ｅ（γiT（ｋ）γi（ｋ））である。
【００５０】
故に、事後確率Ｐi（ｋ）（＝Ｐ（Ｅi｜Ａ））は式（１８）のように表現できる。
【００５１】
【数９】
0003884294.tif 000010
【００５２】
ここでいう多重仮説検定とは、検定対象となるシステムに対していくつかのモデルを仮定し、観測中のシステムがどれに該当するかを確率論的に判定する方法であって、この方法は以下の手順からなる。
【００５３】
（１）応答曲面モデル1,応答曲面モデル2,・・・,応答曲面モデルnを設定する。
【００５４】
（２）仮説Ｈiすなわち「観測中のシステムは応答曲面モデルi(i=1,2,・・・,n)に適合する」をたてる。この事象をＥｉとする。
【００５５】
（３）「仮説は正しいＴ(True：真) として、その仮説がＨ1,Ｈ2,・・・,Ｈnである確率Ｐ（Ｅ1｜Ｔ），Ｐ（Ｅ2｜Ｔ），・・・，Ｐ（Ｅn｜Ｔ）を計算する。
【００５６】
新たなデータが与えられるたびに上記（１）〜（３）の計算を繰り返し、最大値をとり、かつ予め設定しておいた閾（しきい）値を超える仮説を採択する。これにより、適合確率を指標にして各種応答曲面モデルを逐次算定することができる。
【００５７】
線形回帰モデルの適合性や冗長性の比較において、対象とする空間内の未知データに対しても有効に働くような汎化能力を評価するための簡便な手法として、ＲｉｓｓａｎｅｎのＭＤＬ(Minimum Description Length)や赤池のＡＩＣ(Akaike’s Information Criterion)などの情報量基準（参考文献（１０）（１１））が知られている。本実施形態では、上記ＭＤＬの値を計算することが可能なように構成される。ＭＤＬは、Ｒｉｓｓａｎｅｎにより符号化における記述長最小化(Minimal Description Length)原理として導出されたものであり、式（１９）のように定義される。
【００５８】
ＭＤＬ＝  −（最大対数尤度）＋（Ｎ／２）・ｌｏｇＰ＝  −（Ｐ／２）・ｌｏｇ（ＳＳＲ／Ｐ）＋（Ｎ／２）・ｌｏｇＰ  …（１９）
ここで、Ｎはモデルの自由度、ＳＳＲは残差平方和、Ｐはサンプル数を示している。第１項からモデルの近似誤差を評価でき、第２項から自由度の大小を評価できる。これらは、近似誤差が小さく且つ自由度の小さいモデルを算定するための指標として有効である。そこで、情報量基準値を指標に、上述したＳＴＥＰ２において想定する各種応答曲面モデルを絞り込むようにしたり、あるいは、情報量基準値の指標と多重仮説検定とを併用して応答曲面モデルの算定を行なうように実施形態を構成することが好ましい。
【００５９】
以上説明した本実施形態の設計支援システムは、新たな設計空間データが得られるたびに、応答曲面空間の拡張あるいはより高精度な応答曲面近似式を作成するなどといった応答曲面近似式の更新を、実験計画や解析を実行し直す多大な労力を必要とせずに容易に行うことができ、実用的である。
【００６０】
これにより、対象とする設計空間内における各変数の相互作用項に関する有益な情報を容易に抽出することができるようになる。具体的には、設計を繰り返すごとにＣＡＥ技術を用いた解析結果が設計空間に蓄えられるにつれ、積極的に設計空間情報（例えば変数の相互作用情報）を抽出することができるようになる。これは、設計を効率的に行うためのノウハウを蓄えるという意味において極めて有効である。
【００６１】
以下、より具体的な本発明の実施例を説明する。
【００６２】
［実施例］
電子機器の軽薄短小化が加速し、搭載部品に対する小型化の要求が一段と高まっている。こうした背景のもと、高密度実装が可能なフリップチップ接続技術の開発が活発に行われている。
【００６３】
図４に示すように、圧着工法によるフリップチップは、接続用樹脂４２を介してチップ４６のスタッドバンプ４４とＴＡＢ電極４３を熱圧着し接続を行う。接続信頼性を確保するためバンプ４４の周辺を樹脂４２で固着・封止する構造をとっており、樹脂選定はフリップチップ実装の高信頼性化にとって重要なアイテムである。また、圧着工法によるフリップチップの場合、ボンディング荷重（Ｂ’ｇ荷重）ｆ１および樹脂４２の硬化収縮・応力緩和・熱収縮により最終的なバンプ反発力ｆ２つまり接続マージンが決まる。樹脂選定やＢ’ｇ荷重の設定によっては、高温・吸湿試験において樹脂の膨潤により接続オープン（電気抵抗の上昇）が発生する場合がある。長期信頼性を確保するためには、樹脂４２の特性やＴＡＢ（又は基板）４０の材料特性の影響度の明確化、およびＢ’ｇ荷重ｆ１の適正化が重要課題になる。
【００６４】
上記実施形態にて説明したＳＴＥＰ０に従い、樹脂４２の特性及びＴＡＢ４０の材料特性ならびにＢ’ｇ荷重ｆ１を設計変数とするバンプ反発力ｆ２について初期の応答曲面近似式を作成した結果を以下に示す。
【００６５】
（初期の応答曲面近似式）
高温吸湿後の金バンプ／パッド界面圧縮荷重（ｇｆ）  = -96.4+0.679 X1+0.00132 X12+4.64 X2-0.500 X22+22.9 X3-3.89 X32+1.16 X4-0.00593 X42
本応答曲面近似式は、ＴＡＢ弾性率が２〜６Ｇｐａを対象に近似式を構築したものである。以下、（実施例１）基板弾性率が１２ＧＰａの場合の解析データが新たに得られた場合の応答曲面近似式の更新例、（実施例２）基板弾性率が８〜１２ＧＰａの範囲において新たに得られた応答曲面近似式をベースに算出したサンプリング点を観測データとした場合の２〜１２ＧＰａの全領域に対する応答曲面近似式の構築例をそれぞれ示す。
【００６６】
［実施例１］新たな数値実験点による更新例
図５に示すように、実施例１は、基板弾性率が１２ＧＰａの場合の解析データが新たに６個ほど（他の変数については一様乱数値にて設定）得られた場合について、初期の応答曲面近似式（基板弾性率２〜６ＧＰａ）を、本発明に従い、基板弾性率２〜１２ＧＰａを対象にした応答曲面近似式に更新することを試みる。ここで観測点は、新たに得られた数値実験点６個と、部分領域（基板弾性率２〜６ＧＰａ）において作成した初期の高精度な応答曲面近似式をもとに得た１８データを逐次、各ステップにおいて算出することにより与えた。なお、図５において、５０は応答曲面近似範囲の拡張前を示し、５１は応答曲面近似範囲の拡張領域を示し、５２は各領域を包含した応答曲面近似範囲を示している。
【００６７】
以下のように、考慮する相互作用項の異なる７つの応答曲面モデルを対象に検証した。ここで、応答曲面モデル２〜７の相互作用項の係数は初期値０に設定した。
応答曲面モデル１：相互作用項なし（初期モデル）
応答曲面モデル２：Ｘ1Ｘ2を考慮した場合
応答曲面モデル３：Ｘ1Ｘ3を考慮した場合
応答曲面モデル４：Ｘ1Ｘ4を考慮した場合
応答曲面モデル５：Ｘ2Ｘ3を考慮した場合
応答曲面モデル６：Ｘ2Ｘ4を考慮した場合
応答曲面モデル７：Ｘ3Ｘ4を考慮した場合
ベイズの定理を用いた多重仮設検定法を上記７つの応答曲面モデルの適合判定に適用する。応答曲面モデルがアップデートされるごとに多重仮説検定を行い、各応答曲面モデルの有意性を算定する（図６参照）。
【００６８】
更新後の応答曲面近似式を以下に示す。
【００６９】
0003884294.tif 000011
本実施例においては、実施形態にて説明した情報量基準（ＭＤＬ）の算出をサンプリング点に対する更新前後について行った。その結果を表１に示す。なお、表１における「ＲＳＭ」は「応答曲面モデル」の略記である。
【００７０】
【表１】
0003884294.tif 000012
【００７１】
いずれの応答曲面モデルも初期に比べてＭＤＬ値は小さくなっている。多重仮説検定に基づく適合確率の変化を図７に示す。この結果から、応答曲面モデル２が適合度が良いことがわかる。近似式作成に用いた数値実験点以外の解析データ（一様乱数により数値実験点１０データ取得）により分散推定値を評価した結果を表２に示す。多重仮説検定結果と同じく、応答曲面モデル２の分散推定値が小さいことがわかる。本対象の場合、相互作用項Ｘ1Ｘ2を考慮すると汎化誤差が小さくなることを、本発明により算定できることがわかる。
【００７２】
【表２】
0003884294.tif 000013
【００７３】
［実施例２］別領域の応答曲面近似式のサンプリング点による更新例
図８に示す要に、実施例２では、基板弾性率が８〜１２ＧＰａの範囲において新たに得られた応答曲面近似式をベースに算出したサンプリング点を観測データとして、基板弾性率２〜１２ＧＰａの全領域に対する応答曲面近似式を、初期の応答曲面近似式の更新によって構築することを試みる。
【００７４】
ここでは、基板弾性率が８〜１２ＧＰａの範囲（別領域）について、直交表と直交多項式により以下の応答曲面近似式が得られた場合について考える。
【００７５】
Y= -59.5+0.862 X1 -0.000144 X12 -2.38 X2 + 0.103X22
+39.1 X3-8.31 X32+0.500 X4-0.00207X42
なお、図６において６０は初期応答曲面近似範囲を示し、６１は上記別領域の応答曲面近似範囲を示し、６２は各領域を包含した応答曲面近似範囲を示している。
【００７６】
サンプリング点については、上記別領域にて得られた応答曲面近似式が対象とする設計空間において一様乱数を発生させることにより得た１０データと、部分領域（基板弾性率２〜６ＧＰａ）において作成した初期の高精度な応答曲面近似式をもとに得た１０データを合わせた合計２０データを逐次、各ステップにおいて算出することにより得た。また、対象とする応答曲面モデルは、実施例１と同じく、考慮する相互作用項の異なる７モデルとした。該サンプリング点を観測データとして、カルマンフィルタによりアップデートを行った結果を以下に示す。
【００７７】
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実施例２においても、情報量基準（ＭＤＬ）の算出をサンプリング点に対する更新前後について行った。その結果を表３に示す。
【００７８】
【表３】
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【００７９】
いずれの応答曲面モデルも初期に比べてＭＤＬ値は小さくなっているが、各モデルの適合度の差が有意かどうかの判断が困難である。多重仮説検定に基づく適合確率の変化を図９に示す。この結果から、実施例１と同じく応答曲面モデル２の適合度が良いことがわかる。近似式作成に用いた数値実験点以外の解析データ（一様乱数により数値実験点１０データ取得）により分散推定値を評価した結果を表４に示す。多重仮説検定結果と同じく、応答曲面モデル２の分散推定値が小さいことがわかる。実施例１と同様に、相互作用項Ｘ1Ｘ2を考慮すると汎化誤差が小さくなることを、本発明により算定できることがわかる。
【００８０】
【表４】
0003884294.tif 000016
【００８１】
なお、本発明は上述した実施形態に限定されず種々変形して実施可能である。
【００８２】
［付記］
下記は参考文献の一覧である。
【００８３】
記
（１）  柏村孝義,白鳥正樹,于強，機論，63-607，A(1997)，624．
（２）  柏村孝義,白鳥正樹,于強，実験計画法による非線形問題の最適化，朝倉書店，(1998)．
（３）  福田隆文・清水久二，安全工学，28-4，(1989)，211-216．
（４）  清水久二，設備安全工学−新しい検査・監視技術−，裳華房，(1989)．
（５）  K. Watanabe, R.Patton, et al. (ed)，Pretice Hall，(1989)，411．
（６）  福田隆文・ほか2名，機論，59-560，C，(1993)，982-988．
（７）  福田隆文，設備の異常検出手法に関する研究，横浜国立大学 学位論文，(1995)．
（８）  星谷勝・斉藤悦郎，データ解析と応用，鹿島出版会，(1991)．
（９）  片山徹，応用カルマンフィルタ，朝倉書店，(1983)．
（１０）  坂元慶行・石黒真木夫・北川源四郎，情報量統計学，共立出版，(1982)．
（１１）  韓太舜・小林欣吾，情報と符号化の数理，岩波書店，(1994)．
【００８４】
【発明の効果】
以上説明したように、本発明によれば、設計空間データが複数の領域において応答曲面近似式として蓄積されるにつれ、設計空間情報の未知の部分を、積極的に新たな相互作用項を含んだ形の応答曲面モデルで表現し、能動的に相互作用項等に関する情報抽出を行うことができる設計支援方法及びプログラムを提供できる。
【図面の簡単な説明】
【図１】  本発明の一実施形態に係る設計支援システムの概略構成を示すブロック図
【図２】  設計空間における応答曲面近似を示すグラフ
【図３】  実施形態に係る設計支援システムの処理手順を示すフローチャート
【図４】  本発明の実施例に係る圧着工法によるフリップチップを示す図
【図５】  実施例１に係る応答曲面近似式の更新を説明するための図
【図６】  多重仮説検定による応答曲面近似モデルの算定の流れを示す図
【図７】  実施例１に係る多重仮説検定に基づく適合確率の変化を示すグラフ
【図８】  実施例２に係る応答曲面近似式の更新を説明するための図
【図９】  実施例２に係る多重仮説検定に基づく適合確率の変化を示すグラフ
【符号の説明】
１１…入力装置
１２…ＣＰＵ
１３…ＲＯＭ
１４…ＲＡＭ
１５…出力装置
２０…設計変数データベース
３０…応答曲面モデルデータベース
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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