(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
固体内の複数の測定点での温度変化を得るための測定手段と、
測定された複数の温度変化から、近似式の係数を決定するための手段と、
前記近似式をラプラス変換するための手段と、
熱伝導方程式のラプラス変換式の解を、ラプラス変換された近似式の係数を用いて求める手段と、
求めた解をｓ＝０の近傍で展開する手段と、
展開された解のラプラスの逆変換を求めて、前記固体が有限体の場合の表面温度の近似式
【数１】
0003926571.tif 000036
又は前記固体が半無限体の場合の表面温度の近似式
【数２】
0003926571.tif 000037
を得る手段と、
得た上述の近似式から推測される複数の表面温度が一致することから温度伝導率を求める手段とを備え、
前記固体の温度伝導率を計測することを特徴とする測定装置。
【請求項２】
液体あるいは気体内の複数の測定点での質量濃度変化を得るための測定手段と、
測定された複数の質量濃度変化から、近似式の係数を決定するための手段と、
前記近似式をラプラス変換するための手段と、
拡散方程式のラプラス変換式の解を、ラプラス変換された近似式の係数を用いて求める手段と、
求めた解をｓ＝０の近傍で展開する手段と、
展開された解のラプラスの逆変換を求めて、前記気体あるいは液体が有限体の場合の質量濃度の近似式
【数３】
0003926571.tif 000038
又は前記気体あるいは液体が半無限体の場合の質量濃度の近似式
【数４】
0003926571.tif 000039
を得る手段と、
得た上述の近似式から推測される複数の質量濃度が一致することから拡散係数を求める手段とを備え、
前記気体あるいは液体の拡散係数を計測することを特徴とする測定装置。
【請求項３】
測定された複数の温度変化から、近似式の係数を決定するステップと、
前記近似式をラプラス変換するステップと、
熱伝導方程式のラプラス変換式の解を、ラプラス変換された近似式の係数を用いて求めるステップと、
求めた解をｓ＝０の近傍で展開するステップと、
展開された解のラプラスの逆変換を求めて、前記固体が有限体の場合の表面温度の近似式
【数５】
0003926571.tif 000040
又は前記固体が半無限体の場合の表面温度の近似式
【数６】
0003926571.tif 000041
を得るステップと、
得た上述の近似式から推測される複数の表面温度が一致することから温度伝導率を求めるステップとを備え、
前記固体の温度伝導率を計測することを特徴とする測定方法。
【請求項４】
測定された複数の質量濃度変化から、近似式の係数を決定するステップと、
前記近似式をラプラス変換するステップと、
拡散方程式のラプラス変換式の解を、ラプラス変換された近似式の係数を用いて求めるステップと、
求めた解をｓ＝０の近傍で展開するステップと、
展開された解のラプラスの逆変換を求めて、前記気体あるいは液体が有限体の場合の質量濃度の近似式
【数７】
0003926571.tif 000042
又は前記気体あるいは液体が半無限体の場合の質量濃度の近似式
【数８】
0003926571.tif 000043
を得るステップと、
得た上述の近似式から推測される複数の質量濃度が一致することから拡散係数を求めるステップとを備え、
前記気体あるいは液体の拡散係数を計測することを特徴とする計測方法。
【請求項５】
請求項３又は４に記載の測定方法をコンピュータ・システムで実行させるプログラムを格納した記録媒体。
【請求項６】
請求項３又は４に記載の測定方法をコンピュータ・システムで実行させるプログラム。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、表面温度や表面熱流束等の表面における物理量を直接測定することが困難である場合に、測定可能な内部の物理量の変化からこれらの表面における物理量を予測する技術に関するものであり、例えば、加熱や冷却又は吸収が行われる分野で利用されるものである。
【０００２】
【従来の技術】
熱伝導の逆問題の研究は、厳しい環境条件たとえば宇宙船の再突入や核融合炉冷却水の噴出事故時のように、表面温度や表面熱流束を直接、非定常測定することが困難である場合に、固体内の温度変化からこれらの表面状態を予測するときなどに関連して行われている。
一次元逆問題の解析的方法に、例えばラプラス変換法を用いた方法（庄司正弘「非定常熱伝導の逆問題に関する研究、機論，４４−３８１（１９７８），１６３３−１６４３参照」がある。この方法では、解を測定温度の微分形で与えているために計算が発散しやすい問題がある。また、ラプラス変換を用いた逆変換法は、単純な体系の二〜三次元問題への拡張が容易であることから、二次元問題へ拡張した方法（Imber et al "Prediction of Transient Temperature Distributions with Embedded thermocouples" AIAA J., 12-8 (1978) 1089-1093 参照）があるが、温度分布を時間の多項式で近似しているために、予測精度が低いという問題がある。
さらに、固体の温度伝導率や熱伝導率などの熱物性測定には、従来、パルス加熱法、ステップ加熱法、周期加熱法、あるいは連続加熱法などがあるが、測定の精度が境界条件に依存し、加熱方法の設定が難しく、測定装置が複雑になるなどの問題がある。また、任意加熱法では、正確な測定時間が分からないために測定精度が劣るという問題がある。
【発明が解決しようとする課題】
本発明の目的は、ラプラス変換法を用いて逆問題を解く際に、計算を発散させず、予測精度を高くして、内部の測定点における変化から表面温度や表面熱流束（単位面積、単位時間あたりに通過する熱量）等を求めることである。また、このようにして得られた表面温度等を利用して、温度伝導率などの熱物性等を測定することも本発明の目的である。
【０００３】
【課題を解決するための手段】
上記目的を達成するために、本発明は、固体内の測定点での温度変化を得るための測定手段と、測定された温度変化から、近似式の係数を決定するための手段と、前記近似式をラプラス変換するための手段と、熱伝導方程式のラプラス変換式の解を、ラプラス変換された近似式の係数を用いて求める手段と、求めた解をｓ＝０の近傍で展開する手段と、
展開された解のラプラスの逆変換を求めて、前記固体が有限体の場合の表面温度の近似式
【数９】
0003926571.tif 000002
又は前記固体が半無限体の場合の表面温度の近似式
【数１０】
0003926571.tif 000003
を得る手段と、得た上述の近似式から推測される複数の箇所の表面温度が一致することから温度伝導率を求める手段とを備え、
前記固体の温度伝導率を計測することを特徴とする測定装置である。
また、液体あるいは気体内の測定点での質量濃度変化を得るための測定手段と、測定された質量濃度変化から、近似式の係数を決定するための手段と、前記近似式をラプラス変換するための手段と、拡散方程式のラプラス変換式の解を、ラプラス変換された近似式の係数を用いて求める手段と、求めた解をｓ＝０の近傍で展開する手段と、展開された解のラプラスの逆変換を求めて、前記気体あるいは液体が有限体の場合の質量濃度の近似式
【数１１】
0003926571.tif 000004
又は前記気体あるいは液体が半無限体の場合の質量濃度の近似式
【数１２】
0003926571.tif 000005
を得る手段と、得た上述の近似式から推測される複数の箇所の質量濃度が一致することから拡散係数を求める手段とを備え、前記気体あるいは液体の拡散係数を計測することを特徴とする測定装置である。
その上、同様の測定方法や、この測定方法のプログラムおよびプログラムを格納した記録媒体も本発明である。
【０００４】
【発明の実施の形態】
本発明は、ラプラス変換法を用いて一次元逆問題を解く際に、測定された温度変化を熱伝導方程式の基本解の一部である時間の平方根の多項式で近似させ、温度変化の時間遅れを考慮することにより、計算を発散させず、予測精度を高くしようとするものである。
図１は、本発明の手法の概略を説明するフローチャートである。図１において、通常、微分方程式で表される熱伝導方程式をラプラス変換する（Ｓ１１０）。一方、物体内の適当な測定点での温度変化から近似式の各係数を決定する（Ｓ１８０）。この近似式としては、時間遅れを考慮した時間の平方根の多項式を持つ近似式を用いるとよい。近似式をラプラス変換して（Ｓ１９０）、ラプラス変換の係数を決定する。ラプラス変換をした熱伝導の解を近似式の係数を用いて与える（Ｓ１２０）。ラプラス変換形（積分形）で与えられた熱伝導解をｓ＝０近傍で展開する（Ｓ１４０）。展開した形式でラプラス逆変換を実行して、表面温度等を求める（Ｓ１６０）。
【０００５】
上述の表面温度等を求める手法を詳しく説明する。まず、以下の説明で使用する主な記号を以下に示す。
ｆ1（τ），ｆ2（τ）：測定点ξ1，ξ2での無次元温度
ｋ：温度上昇率（Ｔ／Ｔ0＝ｋτあるいは２−ｋτ）
Ｌ：代表長さ
ｍｉｎ（θ）：測定器の最小感度あるいは有効数字の最小値
Ｎ：近似式の次数
Ｎsf：有効数字のけた
ｐ＝√ｓ
ｑ：熱流束
ｓ：ラプラス演算子（＝ｐ2）
ｔ：時間
ｘ：ｘ座標
Ｔ：温度
Ｔ0：代表温度
ａ：温度伝導率
θ：無次元温度
λ：熱伝導率
φ：無次元熱流束
バーθ：無次元温度θのラプラス変換温度（像関数）
バーΦ：無次元熱流束φのラプラス変換熱流束（像関数）
ξ：無次元距離＝ｘ／Ｌ，ξl＜ξ2
σ：標準偏差
τ：無次元時間（フーリエ数＝ａｔ／Ｌ2）
τ1：最小予測可能時刻
τi*：無次元時間遅れ
Ｔｗ1，Ｔｗ2：測定点ｘ１，ｘ２からの推定表面温度
Ｔexact：厳密解温度
【数１３】
0003926571.tif 000006
【０００６】
＜一次元熱伝導逆問題の定式化＞
物性値一定の一次元非定常熱伝導方程式は無次元形で次のように表される。
【数１４】
0003926571.tif 000007
初期温度が一様（θ＝0としても一般性を失わないので、これ以降θ＝0とする）のとき、式（１）をラプラス変換する（Ｓ１１０）と
【数１５】
0003926571.tif 000008
式（2）の一般解は容易に得られ、次式となる。
【数１６】
0003926571.tif 000009
ここでＡ，Ｂは積分定数である。
【０００７】
（有限平板に対する解）
有限平板の逆問題を取扱う場合、少なくとも物体内の２点の温度が与えられないと式（3）は閉じた式とならない。いま、異なる２点（ξ＝ξl，ξ2，ξ2＞ξ1＞０）での温度が次式で与えられていたとする。
【数１７】
0003926571.tif 000010
未知定数Ａ，Ｂを式（4）から決定し、それを式（3）に代入するとバーθ（ξ，S）は
【数１８】
0003926571.tif 000011
また、熱流束Φ［＝ｑ／（λＴ0／Ｌ）＝−∂θ／∂ξ］は
【数１９】
0003926571.tif 000012
となる。
逆問題では、一般にξ1≦ξ≦ξ2の範囲に含まれない点の温度や熱流束を予測することが目的となる。特に、表面（ξ＝０）での温度や熱流束を決定することが主目的となることが多い。そこで、ξ＝０を式（５），（６）に代入すると表面温度と表面熱流束はそれぞれ次式となる。
【数２０】
0003926571.tif 000013
そして、式（７），（８）を逆ラプラス変換の定義（式（９）で与えられる）に従って実行すれば目的とする表面温度と表面熱流束が得られる。
【数２１】
0003926571.tif 000014
【０００８】
＜測定温度の近似式＞
式（９）の積分を実行するためには、バーθw（ｓ）やバーΦw（ｓ）に含まれる既知関数、バーｆn（ｓ）、ｎ＝１，２の具体的な関数形を前もって与えておく必要がある。ところで、バーｆn（ｓ）、ｎ＝１，２は、ξ＝ξ1，ξ2での温度変化を示す関数ｆn（τ）をラプラス変換した関数であるから、ξ＝ξl，ξ2での温度変化の測定から定まっている。そして、各点での温度変化をそれぞれ次の三つの関数形で近似されると仮定する（Ｓ１８０）。
【数２２】
0003926571.tif 000015
ここで、係数ａ(i)k,nは、各測定点の温度の時間変化から例えば最小二乗近似によって決定される係数である。Ｎは近似式の次数を示す。
三つの関数形は、それぞれ次の特徴をもっている。式（１０ａ）は、温度変化を無作為に近似したものである。式（１０ｂ）は、初期条件ｆn（０）＝０を満足する近似関数である。また式（１０ｃ）は、測定点までの温度伝搬の時間遅れτn*を考慮した近似式である。この時間遅れτn*は、ｅｒｆｃ（ξn／２√τn*）＝ｍｉｎ（θ）で与えられる。
ところで、式（１０ａ），（１０ｂ），（１０ｃ）の３式を比較すると、式（１０ｂ）ではａ(2)0,n≡０また式（１０ｃ）ではτn*≠０となっていることを考慮すると、基本となる関数形はほぼ同一となっている。したがって、これ以降式（１０ｃ）を用いてのみ表記（これ以降、関数および係数の上付き添字を省略）することにする。
また、式（１０）の係数にガンマ関数を乗じた係数ｂk.i＝ａk.iΓ（ｋ／２＋１）ｉ＝１，２を用いると、式の表記上の煩雑さが避けられる。そして、式（１０）のラプラス変換は、次式となる（Ｓ１９０）。
【数２３】
0003926571.tif 000016
ところで、近似関数として時間の半値多項式を選定した理由は、一次元非定常熱伝導の解が、一般にＴ＝ｆ（ｘ／√（ａｔ））という関数形で与えられるためである。
【０００９】
＜近似式の係数の求め方＞
式（１０）の係数ａk.n（あるいはｂk.n）は、例えば各測定点での温度変化を最小二乗近似することによって決定されているが、使用される温度変化の有効けた数（実験では、温度の測定精度）に依存している。そこで、温度の有効けた数をＮsf＝２から４けたまで変化した場合（厳密解の温度を、θ（ξi，τ）＝Ｉｎｔ｛θexact（ξi，τ）ｘ１０Nsf｝／１０Nsfである有効けた数の温度とする）と、３けために外乱（分散σ＝１）がある場合（温度は、θ（ξn，τ）＝θexact（ξn，τ）＋０．００５ε（σ＝１），ｎ＝１，２）について検討した。ところで、熱電対での温度測定の精度は、たかだか３けた程度であることから、３けために外乱（分散σ＝１）がある場合について検討すれば、精度的には十分であろう。図２は、有限平板で表面温度がθ（０，τ）＝θ（１，τ）＝１に突然なったとき、外乱があるときの温度変化と近似曲線を示す。近似式は、いずれも温度変化を最小二乗近似することによって決定されている。
図２から、式（１０ａ），（１０ｃ）のいずれの近似式（式（１０ｂ）の近似は、式（１０ａ）とほぼ同様であったので省略）もその次数を５〜７まで増加するとよりよい近似を与えているが、次数Ｎをそれ以上増加しても近似式の精度の改善は期待できなくなる。したがって、近似式の次数は、たかだかＮ＝７もとれば十分であろう。また、近似式の予測精度は、いずれの式を用いても、次数ＮがＮ＝５〜７ではほとんど差違がみられなかった。したがって、近似式自身については、Ｎ＝５〜７程度であればどの近似式を用いても問題ないことになる。
有効けた数以下を切り捨てた場合と正規外乱を重ね合わせた場合の予測式の精度を比較すると正規外乱が重畳された場合のほうが、同一条件下ではつねに近似式の予測精度が悪くなることがわかった。この結果、得られた近似式を用いて決定される逆問題解の推定も正規外乱が重畳された場合のほうが当然悪くなる（結果は省略）。ここでは、予測精度が最も悪くなる正規外乱が重畳された場合の近似式を用いた逆問題解についてのみ検討することにする。
【００１０】
＜逆ラプラス変換とその解の性質＞
式（１１）を式（７）あるいは式（８）に代入し（Ｓ１２０）、さらにそれを式（９）に代入すると
【数２４】
0003926571.tif 000017
式（１２），（１３）の逆変換（留数計算）を行うと表面温度と熱流束を厳密に求めることができる。
式（１２），（１３）の留数は、ｓの指数が整数の場合（式（１２）ではｋの値が偶数、一方、式（１３）ではｋの値が奇数）には容易に留数の和を計算できるが、ｓの指数が整数でない場合には、ｓ＝０に分枝をもつために初等関数で与えられず、級数展開式となる。ところで、積分を行うことによって求められた解は、ｓ＝０とそれ以外（ｓ≠０）から求められる解の集合に分割することができる。さらに、ｓ≠０の解集合は、時間とともに減衰する性質をもち、その基本形は、ｅｘｐ（−ｎ2τ）／ｎk（ｋ≧１）であるので、無次元時間（フーリエ数，τ）およびｎの値が大きくなると急速に零に収束する性質をもった関数の集合になっている。また、ｋの値が大きくなるほど、零への収束も早くなる。しかし、τが小さくなると収束性が劣化するのみならず、測定（あるいは推定）結果に含まれる誤差の影響を受けて発散する危険性さえ生ずる。
また、測定点ξ＝ξ1，ξ2は、任意に設定される点であるので、例えば、表面温度〔式（１２）］に注目すると、｛ξ2／（ξ2−ξ1）｝や｛ξ1／（ξ2−ξ1）｝の値が整数になるように選定すると式（１２）の留数はｓ＝０だけとなるが、一方、熱流束については、測定点での影響を最も受けることになる。したがって、推定しようとする量に応じて、測定点を選定することによって、ｓ＝０のみの解からθw（τ）やΦw（τ）を計算することが可能となる。
式（１２），（１３）の第１項の積分はｓ→ｉ∞で必ず発散するが、第２項は、２ξ1＞ξ2のとき収束する。したがって、表面温度と表面熱流束はある時刻（最小予測可能時刻）以上に対してのみ逆問題の解が存在することになる。この特徴は、逆問題固有のもので、数学的に証明されている。そこで、解の発散を避けるためのさまざまな工夫によって逆問題の解が得られることになる。本解析で提案された方法もその一つである。
【００１１】
＜表面温度と表面熱流束＞
式（１２），（１３）の解の性質から、無次元時間が大きくなるとｓ＝０のみの解でも十分近似できる可能性があることがわかった。そこで、式（１２），（１３）の被積分関数をまずｓ＝０の近傍で展開し（Ｓ１４０）、その後逆変換を行う（Ｓ１６０）と、表面温度と表面熱流束は陽に与えられ、次式となる。
【数２５】
0003926571.tif 000018
【００１２】
＜半無限固体に対する解＞
半無限固体に対する一般解は、式（３）においてＡ＝０と置くことによって容易に求まる。
有限固体の場合、二つの未知数であったが、半無限固体の場合、一つの未知数のみとなる点が大きく異なっている。したがって、半無限固体の場合、未知数を決定するために必要な測定点は、１点のみで十分となる。今、ξ＝ξ1の点での温度変化が式（４）のように与えられているとすると、未定係数Ｂの具体的な関数が定まる。それを用いて、表面温度変化および熱流束を有限固体の場合と同様に求めると最終的に次式のように与えられる。
【数２６】
0003926571.tif 000019
式（１６），（１７）の複素積分は、ｓの指数が整数でない場合〔式（１７）では、ｋの値が偶数、式（１６）では、ｋの値が奇数〕ｓ＝０に分枝をもつため複雑な計算が必要となるが、ある時刻以上に対して解を陽に得ることができる。なお、ｓの指数が整数の場合の解は、当然ｓ＝０の近傍で展開して得られる解と一致している。
しかし、ここでも有限固体の場合と同様に被積分関数ｅpξ1をｓ＝０の近傍で展開し、その後逆変換を行うと、表面温度と表面熱流束は次式となる。
【数２７】
0003926571.tif 000020
【００１３】
＜被積分関数の展開＞
式（１２），（１３）中の双曲関数をまずｓ＝０の近傍で展開すると、次式のような級数形で与えられる。
【数２８】
0003926571.tif 000021
ここで、ｎ＝１，２はそれぞれの点ξ＝ξ1，ξ2の値を示す。また、式（２０），（２１）の係数ｃi,n，ｄi,nの一般項は、次式となる。
【数２９】
0003926571.tif 000022
ここで、
【数３０】
0003926571.tif 000023
式（１６）についても同様な展開を行うと、
【数３１】
0003926571.tif 000024
となる。  式（２０），（２１）に示される級数を用いて、式（１２），（１３）の被積分関数をさらに変形すると次式となる。
【数３２】
0003926571.tif 000025
Ｃ-1,21，Ｃj,21については、添字の部分に関連した係数のみが入れ替えられる。
【数３３】
0003926571.tif 000026
Ｄ-1,21，Ｄj,21についても、Ｃ-1,21，Ｃj,21と同様である。
【数３４】
0003926571.tif 000027
【００１４】
＜温度伝導率等の物性値の測定＞
上記の温度測定を用いて、熱伝導率等の物性値を推定できる。以下にこれについて詳しく説明する。
（温度伝導率の推定）
さて、固体内の温度伝導率が一定の場合、ｘ＝ｘ1と異なる点（ｘ＝ｘ2）の温度変化を用いて、上述の半無限平板の場合から予測される表面温度Ｔw,2は、ｘ＝ｘ1から予測された表面温度Ｔw,1と一致するはずである。
したがって、温度伝導率が未知であるときには、ｘ＝ｘ1とｘ＝ｘ2の異なる２点の温度変化から、式（１８）を用いて、以下のように、推定された表面温度が一致するように、温度伝導率の値を決定すればよい。
【数３５】
0003926571.tif 000028
ここで、ｔ1は、予測可能最小時刻、ｔ2は、温度変化が固体の他の端面に到達するまでの時刻以下のある時刻である。
ところで、温度伝導率ａの値は、まだ未知数であるので、実際には適当な推定値を用いて、ｔ1，ｔ2を推定し、上述の式を満足するように繰り返し計算をすることになる。
具体的には、温度伝導率は、上述の式を用いて、以下の手順で推定される。
（１）温度伝導率ａを仮定し、ｔ1，ｔ2を推定する。
（２）各点の時間遅れｔ1*，ｔ2*を推定する。
（３）順問題の解から測定点ｘ1，ｘ2の温度変化を求める。
（４）各点の温度変化から上述の式の係数ｂｋ,１，ｂk,２を決定する。
（５）係数を計算する。
（６）ｄＦ（ａ）／ｄａ＝０となるａの値を決定する。
（７）得られたａの値が、仮定したａの値と一致するまで繰り返し計算する。
【００１５】
（熱伝導率の推定）
密度が既知である物質の熱伝導率と比熱は、温度伝導率が求まっていると、いずれか一方を求めればよい。しかし、これらの量は、いずれも熱量に関連する物理量であるので、温度の測定だけでは、決定することができない。このため、伝熱量（熱流束）、温度勾配あるいは、温度分布のいずれか１つの量を測定する必要がある。
ところで、上述した逆問題解析結果によれば、半無限固体に対する表面熱流束は、式（１９）に示されているように与えられることが分かっている。熱流束が測定されているとすると、式（１９）を熱伝導率が陽に与えられるように変形（有次元化）すると、次式のようになる。
【数３６】
0003926571.tif 000029
例えば、表面熱流束が、時間と独立に一定である場合には、次式から簡単に熱伝導率を求めることができる。
【数３７】
0003926571.tif 000030
一方、熱流束が与えられていない場合には、基準となる有限固体内の温度変化から熱流束を推定し、それを上式に代入すればよい。
【００１６】
【実施例】
図２および図３に本発明の手法の評価の例を示す。
＜具体的な例＞
表１に示される五つの具体的な例について、本発明の境界値問題（初期条件は、いずれもθ＝０）を検討した。
【表１】
表１  境界条件
0003926571.tif 000031
【００１７】
＜逆問題の計算結果＞
図２は、具体例（Ｃａｓｅ１）に対して、二つの近似式（１０ａ）と（１０ｂ）からそれぞれ推定された表面温度（逆問題解）と真の表面温度（厳密解）との比較を示す。なお、図２中のＮの値は近似式の次数、また、ξ1、ξ2の値は、測定位置を示す。また、各位置での測定精度は、いずれも３けために正規外乱が重畳されたものとなっている。
図２から、いずれの推定値も次数Ｎが大きくなると予測精度が改善されて、厳密解に漸近していることがわかる。また、各近似式間の予測精度を比較すると、時間遅れを考慮した近似式（１０ｃ）から推定された値は、近似式（１０ａ）を用いた場合と比較して、いずれの次数においても非常によい近似を与えていることがわかる。なお、近似式（１０ｂ）を用いて計算した結果は、省略されているが、その結果は、式（１０ａ）の場合とほぼ同様な結果であることを記しておく。
【００１８】
＜推定結果の評価と最適近似法＞
（最小予測可能時刻）
逆問題の解は、τ＝０では、存在しない（発散する）ことが数学的に証明されている。したがって、予測可能な最小時刻τ1も、解析法を評価するための重要な因子となる。そこで、予測値が、厳密解の９９％（誤差１％以内）に初めてなった時刻を予測可能な最小時刻τ1とした。
表２は、最小時刻を各近似式およびその次数に対してまとめたものである。なお、表２中には、これから検討する境界条件についても示されている。
【表２】
表２  最小予測可能時間
0003926571.tif 000032
表２から、最小時刻τ1についても時間遅れを考慮した近似式（１０ｃ）を用いた場合が最も小さいことおよび最小時刻の値は、次数による影響を受けにくいことがわかる。
【００１９】
（計測精度）
逆問題の解を次式で与えられる標準偏差で評価することにする。
【数３８】
0003926571.tif 000033
ここで、τ2は、測定終了時刻である。なお、Ｃａｓｅ１，２では、近似式の終端効果で精度が劣化するので全測定時間の９０％までの時刻とした。
【００２０】
＜最適な近似法＞
測定点での温度変化の近似式として、三つの異なった方法があるが、表１のＣａｓｅ１（表面温度がステップ上昇）の場合、予想値の精度および最小予測可能時刻τ1の値から、近似式（１０ｃ）を用いた解析結果が最もよい推定値を与え得ることおよびその近似式の次数も、Ｎ＝５，６程度で十分であることも明らかになった。
（測定結果に及ぼす測定点の影響）
測定位置が、表面に近くなればなるほど予測精度が高くなる。特に、表面に近い測定点については、ξ1＝０．１以下であることが望まれる。一方、最小予測可能時刻については、ξ1＝０．２以下であれば、十分であることが確認されている。
【００２１】
＜表面熱流束の推定結果＞
図３は、ここで推奨された近似式（１０ｃ）を用いて、表面熱流束を推定した結果と厳密解との比較を示す。ここでも、表面温度の値は、３けために正規外乱が重畳されたものが使用されている。
図３から、次数Ｎ＝５，７での推定値は、厳密解と非常によく一致していることがわかる。この結果、ここで提案された方法［具体的には式（１５）］は、熱流束の予測にも十分対応できることがわかる。
【００２２】
＜他の具体的問題の計算結果と評価＞
時間の遅れを考慮した近似式（１０ｃ）を用いて、表１に示される残り四つの例に対して同様な検討を行った結果の予測精度をもとめたものを表３に示す。
【表３】
表3  予測精度
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表３に示される推定値の標準偏差から、Ｃａｓｅ５以外に対しては、本逆問題解析で得られた結果は、測定精度から判断して十分な精度で推定されていると考えることができるだろう。しかし、Ｃａｓｅ５については、予測精度が他の場合と比較して、かなり劣っている。これは、Ｃａｓｅ５では表面温度の変化がτ＝１で折れ（１階微分係数が不連続）ているために、測定点の温度変化がその点（τ＝１）近くで鈍ってしまうためである。その結果、τ＝１近くに推定値が、大きくずれるという結果となる。なお、測定値の近似式の精度については、いずれの場合に対してもほぼ同等な標準偏差内にあった。したがって、温度変化の１階微分係数が不連続となるような温度変化に対しては、逆問題解の予測精度が著しく劣化することになる。
また、表２，３から、近似式の次数を大きくしても、その精度や最小予測可能時刻の改善があまり期待されなくなり、適当な次数（表１に示される境界条件では、Ｎ＝５，６程度）で十分予測可能となる。
【００２３】
＜初期温度分布の影響＞
固体内に初期定常温度分布が存在する場合、式（１）及びその解を与える式（３）は、温度分布に関連した補正項が追加されることになる。その補正項を追加して得られた結果は、初期温度θ＝０に対する結果と本質的に同じであり、同程度の予測精度が得られる。従って、本手法は、初期定常温度分布が固体内に存在する場合にも、補正項を追加することによってそのまま適用可能となる。
＜他の座標系＞
上述に示された計算は、直角座標系を用いて説明されているが、例えば、円筒座標系や球座標系に対しても、等しく適用可能である。また、他の座標系でも、精度等についても全く同程度となる。
＜２次元逆問題への拡張＞
ここで示された処理を、２次元逆問題に適用することも可能である。２次元問題では、空間座標（例えば、ｘ座標）に付いての温度分布をフーリエ展開するという計算が新たに必要となる。この結果、２次元逆問題の解は、温度分布の近似の程度に影響されるようになるため、その精度は、１次元における解の結果と比較して悪くなる。
【００２４】
＜実際の温度測定のための装置構成例＞
図４は、本発明の温度測定等に用いる機器の構成例を示す図である。
図４において、断熱材２７０に覆われた試験材料２６０内に、温度測定のために、少なくとも２つの熱電対２８０を配置している。熱電対２８０は、基準温度を与えるアイスボックス２４０および増幅器２３０を介して、Ａ／Ｄ変換器２２０でデジタル化されて、コンピュータ２１０に入力され、温度を測定する。試験材料２６０にはヒータ２５０から熱を加えている。コンピュータ・システム２１０はラプラス変換やラプラス逆変換等の本発明の処理も行っている。
【００２５】
＜温度伝導率の推定＞
温度伝導率は、加熱開始時刻（ｔ＝０）と、前に説明した手法で、測定点での温度変化を得ることで、求めることができる。数値実験の結果を図５に示す。図５は、実際の各物質の温度伝導率（ａtrue）と本手法で求めた温度伝導率（定熱流束で熱を与えた場合の温度変化を与える）（ａpre）との比較したものである。この図で示されているように、固体の温度伝導率を広い範囲にわたって、２〜３％以内の精度で十分に予測可能であることが分かる。
加熱開始時刻を定めることは、数値実験の場合とは異なり、実際の計測器の測定感度と関連して容易ではないが、以下の手順で決定することができる。
（１）ｘ1の測定点での時間遅れｔ*を
【数３９】
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から求める。
（２）測定された温度変化とｍｉｎ｛（Ｔ−Ｔｉ）／（ＴL−Ｔｉ）｝＝０．０１との交点がｔ＝ｔ*となる。
（３）最初に記録された測定温度と時刻（測定上の零点）の点と（２）で定まった点を直線で結び、Ｔ＝Ｔｉとなる点を加熱開始時間とする。
図４と同様の装置構成で、測定点の温度変化を計測することで、上述の手法および加熱開始時間を用いて、色々な物質について温度伝導率を推定することができる。
【００２６】
＜熱伝導率の推定＞
図６に示した装置構成は、熱伝導率を推定するためのものである。図４に示した温度伝導率等を推定するための装置構成と比較すると、既知の基準素材２６５を用いており、その温度変化を計測していることが異なっている。これは、物性が既知である基準素材２６５を用いることで、通過する熱量を求めることができ、この熱量を用いて、前に述べたように熱伝導率を求めることができる。
【００２７】
＜気体や液体の質量濃度と物質拡散流束への応用＞
上述の測定方法を、気体や液体の質量濃度と物質拡散流束に対して応用することが可能である。これを以下に説明する。
熱伝導と拡散に対する支配方程式は、全く同一であるから、上述の熱伝導で提案された推定方法や結果は、そのまま拡散問題に適用でき、拡散係数を推定することができる。
このため、上述の熱伝導の逆問題を解く方法は、温度を質量濃度に、熱流束を物質拡散流束に置き換えて、液体あるいは気体内の物質濃度変化からこれらの表面状態を予測する物質の拡散の問題を解く場合にも適用できる。例えば、アンモニアの蒸気がアンモニア水に吸収される過程における溶液表面でのアンモニア吸収量や質量濃度を直接測定することは困難であるが、これは熱伝導における表面温度直接測定の困難さと同じである。
気体や液体の質量濃度と物質拡散流束に対して適用する場合、上述の説明において、以下に示すように、置き換えることにより、質量濃度と物質拡散流束の場合に対して適用することができる。
温度          −＞    質量濃度
熱流束        −＞    物質拡散流束
温度伝導率    −＞    拡散係数（率）
固体          −＞    液体あるいは気体
熱伝導        −＞    拡散
そして、上述の式の記号の意味を以下のように読み替える。
ｆ1（τ），ｆ2（τ）：測定点ξ1，ξ2での無次元質量濃度
ｋ：質量濃度上昇率（Ｔ／Ｔ0＝ｋτあるいは２−ｋτ）
Ｌ：代表長さ
ｍｉｎ（θ）：測定器の最小感度あるいは有効数字の最小値
Ｎ：近似式の次数
Ｎsf：有効数字のけた
ｐ＝√ｓ
ｑ：物質拡散流束
ｓ：ラプラス演算子（＝ｐ2）
ｔ：時間
ｘ：ｘ座標
Ｔ：質量濃度
Ｔ0：代表質量濃度
ａ：拡散係数
θ：無次元質量濃度
φ：無次元物質拡散流束
バーθ：無次元質量濃度θのラプラス変換質量濃度（像関数）
バーΦ：無次元物質拡散流束φのラプラス変換物質拡散流束（像関数）
ξ：無次元距離＝ｘ／Ｌ，ξl＜ξ2
σ：標準偏差
τ：無次元時間（フーリエ数＝ａｔ／Ｌ2）
τ1：最小予測可能時刻
τi*：無次元時間遅れ
Ｔｗ1，Ｔｗ2：測定点ｘ１，ｘ２からの推定表面質量濃度
Ｔexact：厳密解質量濃度
このように、上述の式を読み替えることにより、熱伝導と拡散に対する支配方程式は全く同一であるから、上述の熱伝導で提案された推定方法や結果は、そのまま拡散問題に適用でき、拡散係数を推定することができる。
【００２８】
さて、上述の予測法を適用する場合、液体や気体内部の濃度変化を測定する必要がある。液体の場合の濃度変化を測定する機器構成例を、図７を用いて以下に説明する。なお、気体の場合も同様な機器構成で測定することが可能である。
図７（ａ）は、容器３１０中に格納している液体３２０内部の複数測定点における濃度測定をガスクロマトグラフィー等の濃度測定器３４０に接続したセンサ３４２によって測定していることを示している。図７（ｂ）は、ガラス窓３１４を有する容器３１２中に格納している液体３２０にレーザ光を照射して、液体３２０の濃度測定を光干渉計３５０によって測定していることを示している。濃度測定の結果はコンピュータ・システム２１０に送られ、ラプラス変換やラプラス逆変換を行って、必要とする結果を得ることができる。
【００２９】
本発明の手法は、スタンド・アローンのコンピュータ・システムばかりではなく、複数のシステムから構成される例えばクライアント・サーバ・システム等で実行してもよい。
本発明に関するプログラムを格納した記憶媒体から、プログラムをシステムで読み出して実行することにより、本発明の手法を実装することができる。この記録媒体には、フロッピー・ディスク、ＣＤ−ＲＯＭ、磁気テープ、ＲＯＭカセット等がある。このプログラムを電子通信（例えばインターネット）等を利用して伝送することにより、プログラムを伝送されたコンピュータ・システムで実行して、本発明を実施することができる。
【００３０】
【発明の効果】
本発明では、一次元非定常熱伝導の逆問題解をラプラス変換法によって解析し、表面温度と表面熱流束を陽に与えており、逆問題の解は、表面温度を高い予測精度で推定可能であり、測定精度に対して高い安定性を有している。
この発明は、従来の方法にくらべて、装置が簡単で、精度が良く、非定常状態の測定が可能であるなど、多くの特長をもっている。適用分野も、璧温モニタ、熱設計（ＣＡＥ）ツール、温度シミュレータ、熱物性測定器などが考えられ、加熱や冷却が行われる分野で広く利用できる可能性がある。
また、このラプラス変換法を質量濃度の測定に応用することもでき、同様の高い測定精度を得ることができる。これは、濃度モニタ、流体設計（ＣＡＥ）ツール、濃度シミュレータ、物性測定器等が考えられ、液体設計や解析の分野で広く利用できる。
【図面の簡単な説明】
【図１】  本発明の手法を説明するためのフローチャートである。
【図２】  本発明で求めた表面温度の評価結果を示す図である。
【図３】  表面熱流束の評価結果を示す図である。
【図４】  温度変化を測定する機器構成例を示す図である。
【図５】  本発明で求めた温度伝導率の評価を示す図である。
【図６】  熱伝導率を測定する機器構成例を示す図である。
【図７】  液体の拡散係数を測定する機器構成例を示す図である。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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