(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
クランク不等角配置の多気筒内燃機関（クランク数Ｎ）のk次の不平衡力係数をGkN =｜Σgki｜＝｜Σ{(exp(jkθi))｜（ここに、kは振動の次数、jは虚数単位、θiは基準クランク（角度位置θ0＝0）からクランク軸長手方向i番目のクランクの角度位置で、i ＝0，１，…，N−1、gki = exp(jkθi)でΣはｉ ＝０，１…，N−1についての総和）とし、gkiをpiの並べで重み付けした総和ＦkN ＝｜Σfki｜＝｜Σ{pi exp(jkθi)}｜（ここにfki = pi exp(jkθi)、Σはi ＝0，１，…，N−1についての総和）を目的関数として（kは所要の次数を選定する）１次及び２次の不平衡力係数G1N、G2Nを０とする拘束条件のもとにクランク配置を最適化した多気筒内燃機関において、
拘束条件G1N＝０、G2N＝０の下に複素数ｔに関する(t−z1)(t−z2)・・・(t−zn)＝０なるｎ(ｎ＝N−1)次の多項式の各項の係数をnに対応して求め、許容解空間の次元（自由度）の数からなる実数パラメータにより表現し、前記多項式を展開した場合の変形円周等分多項式（展開式の全ての係数及び定数項が１の場合は円周等分多項式と呼ばれるが、そうでない場合を変形円周等分多項式と呼ぶこととする）の全ての根が複素平面上の単位円上にあるように実数パラメータの領域を求め、領域内のパラメータ値に対する前記変形円周等分多項式の根を各クランクのクランク軸長手方向の位置に着火順序に応じて割振ることによって前記目的関数を最適化（局所最小化）する各クランクの配置を求め、各気筒毎の不等角のクランク配置を設定したことを特徴とする多気筒内燃機関。
【請求項２】
機関最前のクランク位置を前記基準クランク位置とし、前記重み付け係数の並べpiをクランク軸長手方向における前記基準クランク位置よりも前側に長手方向基準位置をとって該長手方向基準位置から各クランク中心までの距離の並べとすることにより前記目的関数を不平衡偶力、Ｘ型振動、及びクランク軸系捩り振動の起振力を評価する関数としてそれらの最適化（局所最小化）をはかって各気筒毎のクランクの配置角を決定したことを特徴とする請求項１記載の多気筒内燃機関。
【請求項３】
機関最前のクランク位置を前記基準クランク位置とし、前記重み付け係数の並べpiをクランク軸長手方向における中心に長手方向基準位置をとって該長手方向基準位置を原点とする各クランク中心の座標の並べとすることにより前記目的関数を不平衡偶力、機関本体のＸ型振動、及びクランク軸系捩り振動の起振力を評価する関数としてその最適化（局所最小化）をはかって各気筒毎のクランクの配置角を決定したことを特徴とする請求項１記載の多気筒内燃機関。
【請求項４】
機関最前のクランク位置を前記基準クランク位置とし、前記重み付け係数の並べpiに内部偶力分布を評価する係数行列のベクトルを適用することにより前記目的関数を機関本体内部偶力の起振力を評価する関数としてその最適化（局所最小化）をはかって各気筒毎のクランクの配置角を決定したことを特徴とする請求項１記載の多気筒内燃機関。
【請求項５】
機関最前のクランク位置を前記基準クランク位置とし、前記重み付け係数の並べpiをN個の１の並べとすることにより前記目的関数を機関本体のＨ型振動を評価する関数としてその最適化（局所最小化）をはかって各気筒毎のクランクの配置角を決定したことを特徴とする請求項１記載の多気筒内燃機関。
【請求項６】
クランク不等角配置の多気筒内燃機関（クランク数N）のk次の不平衡力係数をGkN =｜Σgki｜＝｜Σ{(exp(jkθi))｜（ここに、kは振動の次数、jは虚数単位、θiは基準クランク（角度位置θ0＝0）からクランク軸長手方向i番目のクランクの角度位置で、i ＝0，1，・・・，N−1、gki = exp(jkθi)でΣはi ＝0，1，・・・，N−1についての総和）とし、gkiをpiの並べで重み付けした総和FkN ＝｜Σfki｜＝｜Σ{pi exp(jkθi)}｜(ここにfki = pi exp(jkθi)、Σはi =0，1，・・・、N−１についての総和）を目的関数として（kは所要の次数を選定する）k1次及びk2次の不平衡力係数Gk1N、Gk2Nを０とする拘束条件のもとに最適化するクランク配置決定方法において、拘束条件Gk1N＝０、Gk2N＝０の下に複素数ｔに関する(t−z1)(t−z2)・・・(t−zn)＝０なるｎ(ｎ=N−1)次の多項式の各項の係数をnに対応して求め、許容解空間の次元（自由度）の数からなる実数パラメータにより表現し、前記多項式を展開した場合の変形円周等分多項式（展開式の全ての係数及び定数項が１の場合は円周等分多項式と呼ばれるが、そうでない場合を変形円周等分多項式と呼ぶこととする）の全ての根が複素平面上の単位円上にあるように実数パラメータの領域を求めて多気筒内燃機関のクランク配置角の許容定義領域を決定し、該領域内のパラメータ値に対する前記変形円周多項式の根を求め、これらの根を各クランクのクランク軸長手方向の位置に着火順序に応じて割振ることによって前記目的関数を最適化（局所最小化）する各クランクの配置角を求め、各気筒毎の不等角のクランク配置を設定することを特徴とする多気筒内燃機関のクランク軸のクランク配置決定方法。
【請求項７】
拘束条件Gk1N＝０及びGk2N＝０により規定される目的関数の許容定義領域空間の次元（自由度）が、不足（非正の整数）のときにおいて、Gk1NもしくはGk2Nの一方のみを０とする拘束条件のもとに最適化（局所停留化）するクランク配置決定方法において、拘束条件Gk1N＝０もしくはGk2N＝０のうち一方の拘束条件の下に、複素数ｔに関するｎ次の多項式（ｔ−ｚ１）（ｔ−ｚ2）・・・（ｔ−ｚn）＝０なる多項式の各係数をｎに対して求め（拘束の自由度数に応じた数の実数パラメータにより表現する）、当該変形円周等分多項式の全ての根が複素平面上の単位円上にあるように実数パラメータの領域を規定し、該領域内のパラメータ値に対する前記変形円周等分多項式の根を求めてこれらの根を各クランクのクランク軸長手方向の位置に着火順序に応じて割振ることによって前記目的関数を最適化（局所停留化）する各クランクの配置角を求めて各気筒毎の不等角のクランク配置を設定したことを特徴とする請求項６記載の多気筒内燃機関のクランク軸のクランク配置決定方法。
【請求項８】
前記目的関数の１つとして次数を指定して不平衡偶力、内部偶力、Ｈ型起振力又はＸ型起振力から評価する関数を１つとり、前記拘束条件G1N＝０、G2N＝０の一方もしくは両方満足する領域が存在しない場合に、前記目的関数の停留化条件と拘束条件の一方もしくは両方を与えた方程式系（局所線型化された方程式系）の一般逆行列を計算することにより、目的関数を最適化（局所最小化）する各クランクの配置角を求めて、各気筒毎のクランク配置を決定することを特徴とする請求項６または７に記載の多気筒内燃機関のクランク軸の配置決定方法。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、多気筒の往復同内燃機関とそのクランク軸のクランク配置決定方法に関し、往復動内燃機関において発生する各種起振力のうち特定の次数の特定の起振力（特定は複数可）を局所最小化するクランク配置決定方法に関する。
【０００２】
【従来の技術】
往復動内燃機関で生じる振動の元となる起振力には、不平衡力、外部偶力（不平衡偶力）、内部偶力（内部曲げモーメント）、爆発力、トルク変動等があり、これら起振力により捩り振動や機関本体のH型、X型振動も発生する。
【０００３】
多気筒の往復動内燃機関における起振力は、内燃機関の運動部分の慣性力と気筒における爆発力によって生じ、運動部分の運動及び着火順序はクランク配置、すなわちクランク軸における各クランクの配置角によって規定されるので、往復動内燃機関の起振力はクランク軸のクランク配置角によって規定される（軸受間隔は一定として論じても一般性は失われない）。
【０００４】
従来、多気筒の往復動内燃機関のクランク軸のクランク角配置は等間隔、すなわちクランクを等角度間隔に配置して少なくとも１次の不平衡力を０とし、各クランクの配置角のクランク軸長手方向における配置は着火順序によって異なり、この着火順序によって不平衡偶力の発生状況は異なるが、その中から適当なものを選んでいた。この場合等間隔着火となり、着火順序を選択する余地しか残されていない。即ち、選択の余地は限られていた。したがって、不平力や偶力はクランク角配置（等間隔）と着火順序によって決まってしまい、自由に変えることはできなかった。
【０００５】
そこで、クランク配置角を不等間隔とした不等間隔着火により特定の起振力を低減しようとする提案もなされている（例えば、特許文献１、２参照）。
【０００６】
特許文献１では、低減すべき起振力の要素と、その低減目標を決め、その目標を考慮して各要素の絶対値に重み付けを行って加算された形で定義された評価関数を最小とする着火角度を求めるようにしている。この着火角度決定方法によると、設計する機関毎に起振力の要素とその低減目標を定め、それに基づいて設定された評価関数について非線形最小２乗問題として最適解を求めることが必要となる。
【０００７】
特許文献２では、一般に不平衡力が零とならない不等間隔クランク角配置において、不平衡力係数を機関の使用環境における許容値内に収める制約条件の下で、基準クランクから各クランクまでの距離で重み付けされた不平衡力係数の和である不平衡偶力係数を最小化するクランク配置を求めるものである。しかしながら、上記非線形最適化条件に叶った不等間隔クランク配置角を求めることはそう容易なことではない。
【０００８】
そこで、本出願人は特願２００２−０２０９８５（未公開）で、一般に不平衡力が０とならない不等間隔クランク角配置において、不平衡力係数を零とする、あるいは限りなく零に近づける、若しくは内燃機関が設置される周囲環境が許容する有限値以下とする拘束条件下において、不平衡偶力係数の絶対値の偶数乗或は重み付けした偶数乗の和を最小化する非線形最適化問題として定式化し、直行座標系で解いて最適クランク配置を求めるものである。
【０００９】
【特許文献１】
特開平７−９１２７４号公報
【特許文献２】
特開平２００１−６５４４３号公報
【００１０】
【発明が解決しようとする課題】
しかしながら、機関によって設計で問題とするポイントが異なることや、問題となり低減すべき不平衡偶力の次数が高次となる場合を考えるべき場合があり、そのような場合、各種の条件に対して非線形最適化問題を解くことは、必ずしも停留解が得られず上記の方法では対応が困難であった。即ち、高次元複素ベクトルの双一次形式（内積）関数の取扱いが甚だ困難であり、解の存在・不存在すら不明確の場合がある。本発明は、実二次形式への転換を計り、実空間の中での許容定義領域の次元（解の自由度）を明確化する変形円周等分多項式を考案し、許容定義領域を明確化するものである。つまり、変形円周等分多項式を用いて許容定義領域の絞込みを行い、非線形最適化問題を効率的に解く方法を確立することを課題とする。
【００１１】
即ち本発明は、不平衡力、外部偶力（不平衡偶力）、内部偶力（内部曲げモーメント）、爆発力、トルク変動等の起振力が組み合わさった往復動内燃機関の各種起振力について、機関の据付条件や使用条件に応じて特定の次数の特定の起振力を低減して、例えば機関本体のＸ型振動、Ｈ型振動、軸系捩り振動等においても効果的に低振動化が達成できる多気筒内燃機関のクランク軸のクランク配置決定方法と該決定方法により製造された多気筒内燃機関を提供することを目的とする。
【００１２】
【課題を解決するための手段】
上記課題を解決するために、本発明は、クランク不等角配置の多気筒内燃機関（クランク数Ｎ）のk次の不平衡力係数をGkN =｜Σgki｜＝｜Σ{(exp(jkθi))｜（ここに、kは振動の次数、jは虚数単位、θiは基準クランクスローの角度位置（θ0＝0）からクランク軸長手方向i番目のクランクの角度位置で、i ＝0，1，・・・，N−1、gki = exp(jkθi)でΣはi =0，1，・・・，N−1についての総和）とし、gkiをpiの並べで重み付けした総和FkN ＝｜Σfki｜＝｜Σ{pi exp(jkθi)}｜(ここにfki = pi exp(jkθi)、Σはi =0，1，・・・、N−1についての総和）を目的関数として（kは所要の次数を選定する）１次及び２次の不平衡力係数G1N、G2Nを０とする拘束条件のもとにクランク配置を最適化した多気筒内燃機関において、
拘束条件G1N＝０、G2N＝０の下に複素数ｔに関する(t−z1)(t−z2)・・・(t−zn)＝０なるｎ(ｎ＝N−1)次の多項式の各項の係数をnに対応して求め、許容解空間の次元（自由度）の数からなる実数パラメータにより表現し、前記多項式を展開した場合の変形円周等分多項式（展開式の全ての係数及び定数項が１の場合は円周等分多項式と呼ばれるが、そうでない場合を変形円周等分多項式と呼ぶこととする）の全ての根が複素平面上の単位円上にあるように実数パラメータの領域を求め、領域内のパラメータ値に対する前記変形円周等分多項式の根を各クランクのクランク軸長手方向の位置に着火順序に応じて割振ることによって前記目的関数を最適化（局所最小化）する各クランクの配置を求め、各気筒毎の不等角のクランク配置を設定したことを特徴とする多気筒内燃機関を提案する。
なお、拘束条件Gk1＝０、Gk2＝０の下に複素数ｔに関するn次の多項式(t−z1)(t−z2)・・・(t−zn)＝０なる多項式は、展開するとtn−σ1 tn−1＋σ2ｔn−2＋・・・＋(−)n−2σn−2t2＋(−)n−1σn−1t＋(−)nσn＝０であり、該多項式を変形円周等分多項式と呼ぶこととする。(−)kσkが全て１の場合は円周等分多項式であり、クランク等角配置の場合は該多項式は円周等分多項式となる。該多項式のn個の根が複素平面状におけるn個のクランクの角度位置を与えるので規準クランク角度位置を除いたn個の前記基準クランク角度位置からの各クランクの配置角が得られる。
【００１３】
又機関最前のクランクを前記基準クランク位置とし、前記重み付け係数の並べpiをクランク軸長手方向における前記基準クランク位置よりも前側に長手方向基準位置をとって該長手方向基準位置から各クランク中心までの距離の並べとすることにより前記目的関数を不平衡偶力、Ｘ型振動、及びクランク軸系捩り振動の起振力を評価する関数としてそれらの最適化（局所最小化）をはかって各気筒毎のクランク軸のクランク配置を決定することもよい。
【００１４】
更に機関最前のクランクを前記基準クランク位置とし、前記重み付け係数の並べpiをクランク軸長手方向における中心に長手方向基準位置をとって該長手方向基準位置を原点とする各クランク中心の座標の並べとすることにより前記目的関数を不平衡偶力、及びクランク軸系捩り振動の起振力を評価する関数としてその最適化（局所最小化）をはかって各気筒毎のクランク軸のクランク配置を決定してもよい。
【００１５】
更に機関最前のクランクを前記基準クランク位置とし、前記重み付け係数の並べpiに内部偶力分布を評価する係数行列のベクトルを適用することにより前記目的関数を機関本体内部偶力の起振力を評価する関数としてその最適化（局所最小化）をはかって各気筒毎のクランク軸のクランク配置を決定してもよく、更に機関最前のクランクを前記基準クランク位置とし、前記重み付け係数の並べpiをN個の１の並べとすることにより前記目的関数を機関本体のＨ型振動を評価する関数としてその最適化（局所最小化）をはかって各気筒毎のクランク軸のクランク配置を決定してもよい。
【００１６】
かかる本発明によれば、拘束条件G1N＝０、G2N＝０のもとに変形円周等分多項式を用いて実数パラメータの領域を求め、即ち許容定義領域の絞込みを行い、領域内にあるパラメータ値に対する前記変形円周等分方程式の根を求めることによってクランクの数に対応するクランク角位置が求まり、それらを各クランクのクランク軸長手方向の位置に着火順序に応じて割振ることによって、各クランクのクランク軸長手方向位置とそのクランク角位置で決められるクランク軸のクランク配置を求めることができる。
【００１７】
したがって、許容定義領域内のパラメータに対応するクランク配置角の組について計算を行えば済むので、特に７気筒以上の多気筒機関における最適化問題を確実に効率的に解くことが可能となる。
【００１８】
機関最前のクランク位置を前記基準クランク位置とし、前記重み付け係数の並べpiをクランク軸長手方向における前記基準クランク位置よりも前側に長手方向基準位置をとって該長手方向基準位置から各クランク中心までの距離の並べとすると（隣り合うクランク中心間の距離で除した無次元距離とするのがよい）、｜Σ{pi exp(jkθi)}｜は基準位置に関する不平衡偶力（外部偶力）、Ｘ型振動、及びクランク軸系捩り振動の起振力を評価できる係数を表すことになる。通常、不平衡偶力としては１次や２次を局所最小化することを狙うが、クランク軸系捩り振動の起振力は高次が問題となることがあり、前記目的関数の高次のものについて局所最小化をはかることが必要となる。
【００１９】
機関最前のクランク位置を前記基準クランク位置にとり、前記重み付け係数の並べpiをクランク軸長手方向における中心に長手方向基準位置をとって該長手方向基準位置を原点とする各クランク中心の座標の並べとすると（隣り合うクランク中心間の距離で除した無次元距離とするのがよい）、｜Σ{pi exp(jkθi)}｜は不平衡偶力、機関本体のＸ型振動及びクランク軸系ねじり振動の起振力を評価できる係数となる。不平衡偶力Ｘ型起振力あるいは捩り振動起振力係数は前記請求項２の方法でもこの請求項３の方法でも評価できる。但し、目的関数FkNの次数ｋが拘束関数Gk1N、Gk2NのK1もしくはK2と一致しないときは請求項２の方式に依る。通常、不平衡偶力としては１次や２次を局所最小化することを狙うが、Ｘ型振動の起振力は高次が問題となることが多く、前記目的関数の高次のものについて最小化をはかることが一般に必要となる。
【００２０】
機関最前のクランク位置を前記基準クランク位置にとり、前記重み付け係数の並べに内部偶力を評価する係数行列のベクトルを適用すると、｜Σ{pi exp(jkθi)}｜は機関本体の内部偶力を評価できる係数となる。該ベクトルについては図３に記載してある。内部偶力は機関の強度、剛性の面で重要であるが通常１次のものを考慮する。
【００２１】
機関最前のクランク位置を前記基準クランク位置にとり、前記重み付け係数の並べpiをN個の１の並べとすると、｜Σ{pi exp(jkθi)}｜は機関本体のＨ型振動の起振力を評価できる係数となる。該係数は不平衡力を評価する係数と同じ型であるが、Ｈ型振動の場合は高次が問題となることが多く、前記目的関数の高次のものについて局所最小化をはかることが必要となる。
【００２２】
請求項６の発明は、方法発明であって、クランク不等角配置の多気筒内燃機関（クランク数Ｎ）のk次の不平衡力係数をGkN =｜Σgki｜＝｜Σ{(exp(jkθi))｜（ここに、kは振動の次数、jは虚数単位、θiは基準クランクスローの角度位置（θ0＝0）からクランク軸長手方向i番目のクランクの角度位置で、i ＝0，1，・・・，N−1、gki =exp(jkθi)でΣはi =0，1，・・・，N−1についての総和）とし、gkiをpiの並べで重み付けした総和FkN ＝｜Σfki｜＝｜Σ{pi exp(jkθi)}｜(ここにfki =pi exp(jkθi)、Σはi =0，1，・・・、N−1についての総和）を目的関数として（kは所要の次数を選定する）k1次及びk2次の不平衡力係数Gk1N、Gk2Nを０とする拘束条件のもとに最適化（最小化）するクランク配置決定方法において、拘束条件Gk1N＝０、Gk2N＝０の下に複素数ｔに関する(t−z1)(t−z2)・・・(t−zn)＝０なるn（n=N−1）次の多項式（展開するとtn−σ1tn−1 ＋σ2ｔn−2＋・・・＋(−)n−2σn−2t2＋(−)n−1σn−1t＋(−)nσn＝０であり、該多項式を変形円周等分多項式と呼ぶこととする。(−)kσkが全て１の場合は円周等分多項式であり、クランク等角配置の場合は該多項式は円周等分多項式となる。該多項式のn個の根が複素平面状におけるn個の各クランクの前記基準クランク角位置からの角度位置を与えるので規準クランク角位置を除いたn個のクランク配置角が得られる。）の各項の係数をnに対応して求め、許容解空間の次元〔自由度〕の数からなる実数パラメータにより表現し、前記該変形円周等分多項式の全ての根が複素平面上の単位円上にあるように実数パラメータの領域を求めて多気筒内燃機関のクランク角配置の許容定義領域を決定し、該領域内のパラメータ値に対する前記変形円周多項式の根を求め、これらの根を各クランクのクランク軸長手方向の位置に着火順序に応じて割振ることによって前記目的関数を最適化（局所最小化）する各クランクの配置角を求め、各気筒毎の不等角のクランク配置を決定することを特徴とする。
【００２３】
該パラメータの領域を求めることにより、最適化解は該パラメータの領域内で探索すればよくなり、停留解を効率的に確実に得ることができるようになる。
【００２４】
【発明の実施の形態】
以下、本発明によるクランク配置決定方法の実施の形態について具体的に説明する。
【００２５】
先ず、等角クランク配置の多気筒往復動内燃機関の起振力について整理する。クランク数をN＝n＋1とし、基準のクランク位置をθ0＝０とする。残りのクランクスローは角度θ1、θ2、・・・、θｎの位置に等間隔に配置されている。１の（n＋1）乗根の１つをζ（２サイクルの場合：ζ＝exp(j2π/(n＋1))、４サイクルの場合：ζ＝exp(j4π/(n＋1))とおき、ζの巾乗から構成されるベクトルvζ1の転置ベクトルを
vζ1T＝〔1  ζ  ζ2・・・ζn〕                  （１）
とし、ζ1の各成分を２乗したベクトルζ2の転置ベクトルを
vζ2T＝〔1  ζ2  ζ4・・・ζ2n〕                （２）
とする。ここにＴは転置を表す。成分が全て１である(n＋1)次元のベクトルを
v１T＝〔1  1・・・1〕                          （３）
とする。１次の不平衡力を０にする条件は
｜〈v1，vζ1〉｜＝０                           （４）
であり、２次の不平衡力を０にする条件は
｜〈v1，vζ2〉｜＝０                           （５）
である。ここに、〈  〉はベクトルの内積を表わし、〈v１，vζk〉＝v１Tvζkである。なお、｜  ｜は絶対値を表しm次の複素ベクトルvx、vyの内積はΣcxiyi（Σはi =1，2，・・・，mの総和）で考える。なお、cxiはxiの複素共役を表す。
基準位置に関する不平衡偶力は各クランクに掛かる慣性力を基準位置から各クランクまでの距離で重み付けしたものの和であるので、隣り合うクランクは一間距離を単位長さとして無次元化したものは、１次、２次についてそれぞれ
｜〈vｐ，vζ1〉｜、｜〈vｐ，vζ2〉｜          （６ａ）、（６ｂ）
で表せる。ここに、
vpT＝〔1  p2・・・p(n＋１)〕、（p1＝1とした。）         （７）
であり、基準位置から基準クランク中心（第１番目クランク中心）までの距離を１とした。
ｐ2、・・・、ｐ(n＋１)は基準位置から各クランク中心までの距離を基準位置から基準クランク中心（第１番目クランク中心）までの距離の倍数で表したものであり、基準位置から前記基準クランク中心までの距離を隣り合うクランク中心間の距離に等しくとると
vpT＝〔1  2・・・（n＋１）〕                            （７ａ）
となる。vpTの成分の並べをこのようにした場合は、不平衡偶力を最小にするvζの成分の並べは通常、着火順序の並べではなくなる。vζの成分の並べを着火順序の並べとしてvpTの成分の並べを変える方法も可能である。
【００２６】
等角クランク配置では、式（４）、（５）の条件下で式（６ａ）或は式（６ａ）、（６ｂ）を共に、あるいは一方を最小化するクランク配置、つまり着火順序が選ばれるのが通常である。
したがって、等角クランク配置の従来手法では、振動次数ｋに対しては
vζkT＝〔1  ζk  ζ2k・・・ζnk〕
であり、ζは１の（n＋１）乗根であるので、｜〈v１，vζk〉｜、｜〈vｐ，vζk〉｜は決まってしまい、これらを次数に応じて制御しようとする意図を持ち込むことはできない。
【００２７】
本発明においては、等角配置を不等角配置に拡張して、ζ＝exp(j2π/(n＋1))、或はζ＝exp(j4π/(n＋1))の代わりに、不等角間隔の各クランクの基準クランク角度位置θ0＝０からの角度をθ1、θ2、・・・、θnとし、（１）、（２）式に代えて次のように定義する。
vθ1T＝〔1  exp(jθ1)  exp(jθ2)・・・exp(jθn)〕       （８）
vθ2T＝〔1  exp(j2θ1)  exp(j2θ2)・・・exp(j2θn)〕    （９）
式（４）、（５）に対応する拘束条件は
｜〈v１，vθ1〉｜＝０                                （１０）
｜〈v１，vθ2〉｜＝０                                （１１）
となり、式（６ａ）、（６ｂ）に対応する最小化目的関数は
｜〈vｐ，vθ1〉｜、｜〈vｐ，vθ1〉｜          （１２a）、（１２b）
となる。必要に応じさらに高次数の目的関数を設定してそれらの最適化を図る。
【００２８】
ここで、多気筒往復動内燃機関の各種起振力について概括しておく。
１．不平衡力
クランク軸が等速回転している場合、図１に示すように、上下方向の往復慣性力FRと回転慣性力FTが作用する。これらは垂直慣性力FVと水平慣性力FHに分けられる。
１次不平衡力係数を  ｜〈v１，vθ1N〉｜
２次不平衡力係数を  ｜〈v１，vθ2N〉｜
とする。ここに、v1＝〔1  1・・・1〕（要素数Ｎ個）
vθT1N＝〔１  exp(jθ1)・・・exp(jθn)〕
vθT2N＝〔１exp(j2θ1)・・・exp(j2θn)〕
とする。
θiはi番シリンダのクランク配置角で、θ0を基準角０°とする。Nはクランク数であり、基準クランク位置をθ0＝０°としたので、ｎ＝Ｎ−１である。右肩添字Tは転置を表す。
慣性力は３次以上は小さいので通常考慮しなくてよく、４次以上は無視してよい。
【００２９】
２．外部偶力（不平衡偶力）
図２に示すように、各クランクに掛かる慣性力とクランク軸長手方向の基準位置からの距離の積の和である。
１次不平衡偶力係数：  ｜〈vｐ，vθ1N〉｜
２次不平衡偶力係数：  ｜〈vｐ，vθ2N〉｜
クランクの長手方向間隔は等間隔とし、基準位置を0番クランクから隣り合うクランク間距離だけ外側にとると
vｐT＝〔1  2  3・・・n  (n+1)〕となる。
上記偶力係数は基準位置に関する偶力係数である。なお、偶力の中心を考慮する必要がある場合は、その中心から各クランク中心までの座標（中心から左右によって符号が異なる）の並べとすればよい。
【００３０】
３．内部偶力（内部曲げモーメント）
図３に示すように、各クランクに掛かる慣性力により機関本体に生じる曲げモーメントであり、機関の強度、剛性面で重要とみなされる。
曲げモーメント係数：  ｜〈vs，θkN〉｜
ベクトルｓについては図３に説明してある。内部偶力は各クランク軸受に掛る反力によりフレームに掛る曲げモーメントであり、場所により異なるがそれらのうちの最大値を内部偶力として評価する。内部偶力については通常１次のものを考慮する。
【００３１】
４．クランク軸系捩り振動
図４にはＩ節モードの捩り振動の振幅比が実線で示されているが、破線のように線形近似が可能である。ＩＩ節についても同様に線形近似が可能である。各クランクに掛かる捩り振動起振力は振幅比に比例する。したがって、最も影響の大きいＩ、ＩＩ節モードの場合、クランクのクランク長手方向の座標を示すvｐベクトル〔各節の捩り振動の振幅モード（機関部）ベクトル〕に比例するとしてよい。
次数ｍの捩り振動起振力のベクトルサムを〈vｐN，θmN〉に比例すると見なして評価することが可能となりうる。なお、次数は、２サイクルの場合はｍ＝1、 2、 3、 4、・・・、４サイクルの場合はｍ＝0.5、 1、 1.5、 2、・・・である。
【００３２】
５．機関本体Ｈ、Ｘ型振動
サイドスラストＦsによって図５に示すようなＨ型、Ｘ型の振動が生じる。
ｍ次のＨ型振動起振力係数：  ｜〈v1，vθmN〉｜
ｍ次のＸ型振動起振力係数：  ｜〈vｐ，vθmN〉｜
２サイクル:ｍ＝1、 2、 3、 4、・・・
４サイクル:ｍ＝0.5、 1、 1.5、 2、・・・
ベクトルｐについては、図５に説明してある。
【００３３】
６．その他
その他、トルク変動、カム軸捩り振動に対しても上記と同様に起振力係数を求めることができ、本発明の方法により最適化を図ることができる。
表１に上記１〜５項に説明した起振力係数を一覧表にして示す。
【表１】
0004022176.tif 000002
【００３４】
つぎに、本発明の手法を説明する。
（複素空間Ｃnでの最適化問題）
式（８）におけるベクトルvθをZで、成分exp(jθi)をziで表すと
Z1T＝〔1  z1  z2・・・zn〕                      （１３）
Z2T＝〔1  z12  z22・・・zn2〕                    （１４）
となり、拘束条件式（１０）、（１１）は
｜〈v1，Z1〉｜＝０                          （１５）
｜〈v1，Z2〉｜＝０                          （１６）
となる。
そして、各複素数ziの絶対値は１であるので
Z1ＴIi(cZ1)＝１                                  （１７）
なる追加の拘束条件が現れる。ここにIiは（i，i）成分のみ１で残りは０の行列であり、cZはZの複素共役を表わす。式（１２a）、（１２b）に対応する目的関数は
｜〈vp，Z1〉｜、｜〈vp，Z2〉｜            （１８ａ）、（１８ｂ）
となる。式（１３）〜（１８）より、ラグランジュの未定乗数法に従って、ラグランジュ関数Ｌを与えることができるが、ZとcZの双一次形式の項が出現し、ZとcZを連立させた方程式を解く必要がある。そこで、まずR2nの実空間での解法を行う。
【００３５】
（実空間R2nでの最適化問題）
変数ziを
ｚi ＝ｘi＋jｙi  （ｉ＝１〜ｎ）                （１９）
とすると、式（１４）は
１＋Σｘi ＝０                               （２０ａ）
及び      Σｙi ＝０                                   （２０ｂ）
と書くことができ、式（１６）は
１＋Σｘi2−Σｙi2 ＝０                      （２１ａ）
及び      ２Σｘiｙi ＝０                              （２１ｂ）
と書くことができる。Σはｉ＝１〜ｎの総和を表す。
追加の拘束条件である式（１７）は
ｘi2＋ｙi2 ＝1  (ｉ＝１〜ｎ）                      （２２）
となり、目的関数である式（１８ａ）、（１８ｂ）はそれぞれ
F1N＝｜(1＋Σｐi+1ｘi)＋ｊ(Σｐi+1ｙi)｜           （２３）
及び    F2N＝｜(1＋Σｐi+1(ｘi2−ｙi2)＋ｊ(Σｐi+1(2ｘiｙi)｜  （２４）
となる。
【００３６】
式（２０）〜（２２）により、実次元で見た実行可能領域の次元(許容領域を表現可能とするパラメータ自由度)が判りやすいものとなる。
2n個の未知数ｘi、ｙi（ｉ＝１〜ｎ）に対して拘束条件の数は（n＋４）個となる。即ち、一般にｎ＝５（クランクスロー数で６個、直列機関の気筒数で６気筒）以上のときでなければ拘束条件を満足するクランク配置は存在しないことになる。この自由度について整理すると、表２のようである。
【表２】
0004022176.tif 000003
【００３７】
表２において、自由度が負となる３気筒、４気筒の場合でも特殊解（等角配置解）が存在し得る理由は後述する。また、５気筒であっても不等角配置解が存在しない理由も明らかである。なお、表１において、対称解とは、ｎが偶数の場合はｚi(ｉ＝１〜ｎ）のうち半分が互いに複素共役となっているものを示し、ｎが奇数の場合は（ｎ−１）個の半分が互いに複素共役となり１個は±１である場合を示す。
【００３８】
（R2nにおけるマトリックス変分原理）
以上記したものを行列表現で整理するとつぎのようになる。
実変数ｘi(ｉ＝1〜n)を並べたベクトルをX、ｙi(ｉ＝1〜n)を並べたベクトルをYとすると、
XＴ＝〔ｘ1  ｘ2・・・ｘn〕                      (２５)
YＴ＝〔ｙ1  ｙ2・・・ｙn〕                      (２６)
式（２０）〜（２２）の拘束条件はつぎのようになる。
１＋v1ＴX＝０                                  （２７）
v1ＴY＝０                                      （２８）
１＋XＴX−YＴY＝０                            （２９）
２XTY＝０                                     （３０）
XTIiX＋YTIiY＝１(i＝１〜ｎ)                   （３１）
ここに、v1T＝〔1  1・・・1〕、Iiは（i，i）成分のみ１で残りは０の行列である。
【００３９】
以上の拘束条件を満たす許容領域の点（X,Y∈Rnの組）の特性について若干検討する。
式（３１）のi＝１〜nに関して和をとれば、次式を得る。
XＴX＋YＴY＝ｎ                                （３２）
これと式（２８）より
XＴX＝(n−1)/2、  YＴY＝(n＋1)/2        （３３ａ）、（３３ｂ）
したがって、Rnの中の点X並びにYは、それぞれ半径が数１に示す球面（それぞれＳx、Ｓyとする）上にあることが判る。
【数１】
0004022176.tif 000004
ここで、｜ｘi｜≦１の制約があれば逆に式（２９）、（３２）が自動的に成立するようにできる。
一方、式（２７）より、点Xは点v1/nを通り、ベクトルv１に直交する超平面（Πxとする）上にあるから、ＳxとΠxの交円（Ｃxとする）上にあることになる。式（２８）より、同様に点Yは原点を通りv1と直交する長平面（Πyとする）上の点でもあり、ＳyとΠyの交円（Ｃyとする）上にあることになる。勿論、点Xの各成分ｘiの絶対値は１より小とする。
さらに、式（３０）はベクトルX及びYが直交していることを意味する。即ち、Rn空間の中で、点Xは球Ｓx上の小円Ｃx上に、点Yは球Ｓy上の大円Ｃy上にあって、両円は互に平行な平面上にあると同時にベクトルX及びYは直交している。
このように、許容定義領域の幾何学的イメージをかなり明確に描くことができる。前述の自由度に呼応した数のパラメータとして、ｘi、ｙi(ｉ＝１〜ｎ)の中からその数だけ選べば、許容定義領域はそれらのパラメータの数の基底を以って張られる空間の部分領域となる。
【００４０】
さて、式（２３）の目的関数ｆ1N（以後目的関数をFkNに変えてfkNと表示する）のマトリックス表示はつぎのようになる。
f1N ＝(1＋Σｐi+1ｘi)2＋(Σｐi+1ｙi)2                (３４)
ここでは、vｐとして式（７）の成分１を取除いた2、3、・・・、n＋１の並べ替えた次に示すベクトルとする。
ｖpT＝〔p2・・・p(n＋１)〕                       （３５）
したがって、この際のラグランジュ関数Ｌ(X，Y，λ)を
Ｌ＝XTvpvpTX＋2XTvp＋1＋YTvpvpTY
−λ1(XTv1v1TX＋1)−λ2(YTv1v1TY＋0)
−λ3(XTX−YTY＋１)−２λ4(XTY−0)
−Σλ5i(XTIiX＋YTIiY−１)                  （３６）
のように与えることができる。∂L/∂X＝0及び∂L/∂Y＝0の条件からX及びYに関する次のような連立方程式を得る。
尚λはベクトルとし、λT＝〔λ1・・・λ4  λ51  λ52・・・λ5n〕である。
（ＰX−vｐ）＝λ1OnX＋λ3ＥX＋λ4ＥY＋Σλ5iIiX      （３７）
ＰY＝λ1OnY−λ3ＥY＋λ4ＥY＋Σλ5iIiX      （３８）
ここに、ＰはvpvpTよりなる行列、Onは全成分が１である行列、Ｅは単位行列、Iiは前述した通りであり、全て実対称行列である。上の２式より、一般固有値問題ＡX＝λＢXを更に拡張した行列方程式を取り扱えばよいことが判る。
【００４１】
（具体的解法）
つぎに、具体的解法につき説明する。
許容定義領域の次元は高々４レベルを考えればよく、１〜３の自由度でも重要な応用が期待される。したがって、許容定義領域、目的関数の視覚化が望まれる。そのための判りやすい手立てとして、円周等分多項式（cyclotomic polynomial）
を変形した多項式を利用する。ここでは、変形（modified）円周等分方程式（略してＭＣＰ）と呼ぶこととする。
式（１５）〜（１７）の拘束条件を成分で表せば次のようになる。
1＋Σzi ＝０                                     （３９）
1＋Σzi2 ＝０                                    （４０）
ziczi ＝１ (i＝1〜n)                              （４１）
上式を満足するziの組が存在する条件を明確にすることで許容定義領域の絞込みが可能である。ここにcziはzIの複素共役を表わす。
複素数ｔのn次方程式
(t−z1)(t−z2)・・・(t−zn)＝０                     （４２）
はσkをzi（i＝1〜n）の基本対称式として次のように展開される。
0004022176.tif 000005
式（４３）を変形円周等分多項式と呼ぶ。(−)kσkが全て１の場合は円周等分多項式である。等角配置の場合はzi（i＝1~n）は全体としてζ、ζ2、・・・、ζnに等しく、式（４３）は(n＋1)正多角形に対応する円周等分多項式となる。拘束条件式より
σ1 ＝−１、σ2 ＝1、σn ＝ejμ、σn−k ＝cσk/σn
が得られる。ここにcσkはσkの複素共役を表わす。変形円周多項式の全ての根が複素平面上の単位円上にあるようにする実パラメータの組が許容領域の姿を与える。図６に３気筒の場合の拘束関数g13(以後GiNに替えてg1Nと表示する)および目的関数f13の三次元コンター図を示すが、両関数の多峰性がよくわかる。
【００４２】
n＝３(4気筒の場合)
ＭＣＰは    t3＋t2＋t−ejμ＝０                           （４４）
μを実数パラメータとするとき、式（４４）の３根がガウス平面上の原点を中心とする単位円上にあるときのみ、課題の許容定義領域が存在することになる。式（４４）の３根を計算することは容易であり、実数μをパラメータにして３根のガウス平面上における軌跡を追うことができる。μの範囲としては、例えば〔−3π,3π〕をとれば一つの根は元に戻るのでこの範囲を考えればよい。実際には、μを2πピッチ毎移動させれば、一つの根の軌跡は多根の軌跡へと重なって行くので、〔−π,π〕の範囲で考えればよい。図７にn＝３の場合のＭＣＰの軌跡を示す。同図において、μ＝πのときのみ３根は単位円上に存在し、根はj，1，−jである。μ＝πの場合はＭＣＰは円周等分多項式となり、等角配置以外では１次及び２次の“力”はバランスできないことが判る。表１においてn＝３(4気筒)の場合、自由度は−1であるにも拘わらず上述の許容領域解が存在する理由は以下の通りである。即ち、n＝３の場合、式（３９）、（４０）、（４１）は次のようになる。
z1＋z2＋z3 ＝−1                                （４５）
z12＋z22＋z32 ＝−1                             （４６）
z1 z2 z3 ＝(cz1 cz2 cz3)−1                         （４７）
ここにcz1等はz1等の複素共役を表わす。
これら３式より
z1 z2 z3 ＝z1＋z2＋z3 ＝−1                       （４８）
を導くことができ、式（４５）〜（４７）の三つの式の相互独立性が減じられている（パラメータμが実はπ±2lπ(lは整数)）ことが判るのである。
n＝２(3気筒）の場合も同様で、等角配置解となる。
【００４３】
n＝４(５気筒の場合)
ＭＣＰは    t4＋t3＋t2＋ejμｔ＋ejμ ＝０                  （４９）
となり、４根の軌跡は図８のようになる。この場合もμ＝2lπ(lは整数)のときのみ、即ちＭＣＰが元来の円周等分多項式になる場合のみ、拘束条件式（３９）〜（４１）が満足される。したがって、５気筒機においても１次、２次の“力”のバランスを犠牲にすることなしに不等角配置を選定することはできない。
【００４４】
n＝５(６気筒の場合)
ＭＣＰは    t5＋t4＋t3−ejμ(t2＋t＋１)＝０               （５０ａ）
となる。これは次のように因数分解される。
(t3−ejμ)(t2＋t＋１)＝０                       （５０ｂ）
したがって、μのいかなる実数値に対しても３根はガウス平面上の単位円上にある。図９に６気筒の場合のクランク角配置を示す。同図において、対称解１は、zi (i＝1〜5)のうちの２根づつ（計４個）が互いに複素共役で、残る２根がej0 ＝0、とejπ ＝−１である場合である。
同図の（ｃ）非対称解において、原点と、例えば１とz3の中点を通る仮想線を想定すれば、根の配置はこの仮想線に対して対称であるが、与えた定義から非対称解と呼ぶこととした。この非対称解の配置を実用化したものは未だないが、次のような場合には非常に有用となり得る。
（ア）２サイクル機関の１次の偶力よりは２次の偶力を減じたいとき、あるいは２次の偶力よりは１次の偶力を減じたいとき。一般に２次バランサーは高価となり、概して２次の偶力の起振力を抑えることが望まれる場合が多い。
２サイクルであれ４サイクルであれ、気筒数が多く機関が長大化するにつれ、２次の振動よりは高次の振動が問題となることがある。例えば、４サイクル７気筒機関で機関剛性や軸系全体の特性によってはＨ型3.5次、Ｘ型3次や4次等が問題となることがある。バランサーや振動ダンパーで高次振動の解消を図ることは、一般に高価かつ困難であり、予め各クランク各配置によって高次振動対策を図る必要がある。
【００４５】
n＝６(７気筒の場合)
ＭＣＰは    t6＋t5＋t4−｛CR/(F＋1)｝Ft3＋F(t2＋t＋１)＝０  （５１）
となる。ここに
F＝z1z2・・・z6＝ejμ                          （５２）
CR、μは実数で振るべきパラメータである。このＭＣＰの根であるzI（i＝1〜6）の絶対値を全て１とさせるためには、μ及びCRは任意の実数値をとれるわけではない。実際、μ、CRがとり得る２次元領域は図１０のようになる。
【００４６】
同図の許容領域内のμ、CRをとる限り、６根の絶対値は全て１であり、且つ、１次及び２次の“力”の完全バランスを満足する。また、同領域の中で６根が各々連続であるように追跡し、それらの根を各クランクのクランク軸長手方向の位置に着火順序に応じて割振れば、高次の起振偶力の係数〈ｐ，zk〉も計算できる。同図の右側図に示すように、不平衡慣性偶力などの係数コンター図を着火順序毎に描くこともできる。全ての着火順序を調べて局所最小値を探索する。
表３〜５に４サイクル７気筒機関について不等角配置の求解例と１次、２次の慣性力及び慣性偶力の起振力係数を示す。
【表３】
0004022176.tif 000006
【表４】
0004022176.tif 000007
【表５】
0004022176.tif 000008
【００４７】
これらの例は不等角配置では残存する１次の偶力の起振力係数を極小化（ほぼ０）とさせたものである。着火順序としては、等角配置でf1Nが比較的小さくなる着火順序のものを選んでいる。７気筒の等角配置では０とはなり得ない２次の偶力の起振力係数をほぼ０にすることが可能となっている。他の問題となる高次の起振力係数（Ｈ3.5次、Ｘ3次、内部モーメント等）についても表には記載していないが特に悪化ない。
このように７気筒機関では、従来の等角配置よりも不等角配置の方が一般に優れていることが判る。実際に振動上どれだけ優れているかは、経験或はシミュレーションで評価するのが妥当である。
上記の最適化例はf1Nを最小化させたものであるが、実際の機関或は支持構造の振動特性によってはf2Nやその他の高次の起振力を最小化させた方がより得策となることがある。そのような１例を後述する。
【００４８】
８、９気筒機関について
以上説明した７気筒機関までと同様にＭＣＰを決定することができる。自由度が増大する分、より多くの起振力の係数について抑制することが一般に可能ともなる。また、パラメータの数を増やさずに、逸早く所望の最適解に到達したいときには、対称解に絞って自由度を減らして対処する方法もある。特に９気筒機関の非対称の場合には自由度は４となり、実パラメータの数は４個となるので、ＭＣＰ法で対処することも辛くなる。このようなときには、対称解等（拘束を追加して自由度を絞ったケース）に照準を合わせた方が多くの有意な結論に到達できる。
【００４９】
（着火順序の選定）
本発明では、k次の起振(偶)力係数として｜〈vp，vθk〉｜を用いている（起振力の場合はvpの替わりにv１とする）。
２つの着火順序vp1、vp2があって、
｜〈vp1，vθk〉｜＝｜〈vp2，vθk〉｜              （５３）
のとき、２つの着火順序は同類である。（この場合の着火順序vp1、vp2は、正確には、表７、８に関して後述するようなvθkを着火順序に並べた場合のクランク配置角の指標数列を要素とするベクトルであり、該ベクトルから着火順序は一義的に決まるものである。）着火順序としては、等角配置の場合の起振(偶)力が最小になる順序を選定する。その場合、着火順序が同類となるのは
｜〈vp1，vζk〉｜＝｜〈vp2，vζk〉｜              （５４）
の場合である。例えばf1Nを考える際は
vζ1Tvp1vp1Tcvζ1 = vζ1Tvp2vp2Tcvζ1               （５５）
がp1、p2が同類値に属する条件となる。即ち、vζ1とcvζ1に関する二つの双一次形式が一致することが成立の条件となる。クランク数（気筒数）Nの配列順序即ち着火順序はN！だけあるが、そのうち同類のものの数は表６のようになる。
【表６】
0004022176.tif 000009
３気筒及び４気筒の場合の着火順序と１次及び２次の不平衡偶力係数f1N、f2Nをそれぞれ表７、８に示した。３気筒では６通りの全ての着火順序に対して、偶力係数は１次、２次共全て√３である。なお表７、８におけるクランク配置角の指数数列とは、vθベクトルのクランク配置角の並べを基準クランク配置からの大きさ順に並べた場合、即ち着火順序に並べた場合に、どのクランク配置角を着火順序に応じてクランク軸長手方向における基準クランクから何番目のクランクに割振るを指定するためのベクトル、即ちクランク軸長手方向におけるクランクの位置の並べを示すものである。
【表７】
0004022176.tif 000010
【表８】
0004022176.tif 000011
４気筒では４！＝２４の着火順序のf1Nは０、２、４の３種類である。
【００５０】
（振動シミュレーションによる検証結果例）
中、大型機関では、種々の不等角配置のクランク軸を製作して実機試験で効果を検証することは実際上不可能である。ここでは、４サイクル７気筒機関でＸ型４次の起振力係数を減じた場合の振動低減効果を振動シミュレーションにより検証した結果を図１１〜１３に示す。
図１１に示すように、クランク等角配置、着火順序1-3-5-7-6-4-2、では不平衡慣性偶力係数はf1N ＝0.267、f2N ＝1.01、Ｘ型４次係数＝9.85であるが、不等角配置で着火順序1-5-3-2-6-4-7とするとf1N ＝0.076、f2N ＝4.06、Ｘ型４次係数＝0.180となった。即ち、不等角配置により１次偶力は1/3.5に減少、２次偶力は４倍に増大はするが、これは値自体が小さく、全体の振動特性に悪影響は及ぼさない。Ｘ型４次係数は1/55に減少している。
【００５１】
図１２にクランク等角配置の場合の機関の要目及びシミュレーション結果のＸ型モード振動状況を示す。計算はFEM固有値計算結果を用いて、モーダル解析により行ったものである。その際、荷重付加位置はガス力がシリンダ頂部、慣性力が軸受部に掛かるとした。この機関は実記において428rpmで過給機架台の振動が大きく発生したものである。解析結果はＸ型モードが26.7Hzとなった。これは４次の振動数（426/60×4＝28.5Hz）に近く、Ｘ型起振力の４次係数を低減することによって振動の低減をはかった。
【００５２】
図１３には振動加速度計算位置と振動数に対する振動加速度計算結果がクランク等角配置と不等角配置について比較図示されている。図中のグラフに示されるように、等角配置では２９Hz付近で振動のピークがあり、これは４次のＸ型振動による影響が大きいのであるが、不等角配置ではこの振動が顕著に低減されていることがわかる。
【００５３】
以上、クランク数はシリンダ数に対応するとして説明したが、V型シリンダ配置やW型シリンダ配置等についても適用できることは自明である。また、以上の説明においては、起振力に対応して各クランクのクランク軸長手方向位置の並べを定めておき、求めた根（クランク配置角）を着火順序に応じるように並べて最適解となるクランク配置を求めているが、求めた根（クランク角）を基準クランク角位置からの角度の順に並べて、即ち着火順序に並べて、これらがクランク軸長手方向位置に着火順序に応じて割振られるような各クランクのクランク軸軸長手方向位置の並びを求めて最適解となるクランク配置を求めてもよいことは勿論である。
【００５４】
先に５気筒以下の場合は等角配置以外には拘束条件を満足する解は存在しないことを述べた。MCP理論展開の中で、少数気筒機関の場合、一般に全変化の次元に対し許容領域（拘束空間）の次元が大きく、最適化自由度（局所最小化のためにパラメータとなり得る変数の数）が非正となることがその根拠であった。
しかしながら、そのような場合であっても、最適化問題として解くことは一般的に可能であり、本発明の方法は有効である。
【００５５】
例えば、簡単な例として、数２に示す方程式を考える。
【数２】
0004022176.tif 000012
は未知数２個に対して拘束条件は３個である。この例では拘束条件３個を同時に満足する解は存在しないが、行列Aに対して最小２乗型逆行列
(ATA)−1AT
が存在し、
X＝(ATA)−1ATB
は｜AX−B｜を最小化する解として意味を有する。
【００５６】
非線形最適化問題の一般的解法では、局所解の近傍空間点から収束解に近づける際に線形かされた方程式系を用いる。一般的に未知数と方程式（拘束条件を含む）の数が合致しなくても、一般的に上記のように求めることができ、最適化の意味が与えられることがある。前記式（３７）、（３８）の方程式系で解の自由度が不足する際は、この方法を採用することが可能となる。即ち、拘束条件を完全に満足しなくとも、最適化された解を求めることが可能である。本発明はこの点も含めることを主張している。
【００５７】
本発明では、上記例における行列Aやベクトルbが課題として与えられており、一般行列あるいは斜交、直交射影のコンセプトと連動させることが可能となる。
そして、５気筒以下では拘束条件を完全に満足する不等角配置はないが、許容部分空間へある意味で最も接近する停留解を探索することができる。
車両用や小型の往復動内燃機関では気筒数が少なく、ラバーマウント等の弾性懸架とするのが通常であり、１次、２次の力の拘束自体が必ずしも必要でない場合が多い。このようなケースに対して、上記意味での空間的（幾何学的）最適化が重要となるが、その場合本発明の方法が効果的に応用できる。
【００５８】
本発明における非線形最適化問題とは、例えば１次について述べると、
不等角配置  θ1n＝〔exp(jθ1)・・・exp(jθn)〕
について、        ｜〈vn，vθ1n〉｜
の停留解を求めることであり、複素空間Ｃnの中の半径√nの球面上における拘束条件が形成する部分空間（許容定義領域）上でnベクトルとθ1nの公差角を極大とする点を探索することであり、本発明の方法により許容定義領域を絞ることによって、停留解を確実に、そして効率的に停留解を求めることができるようになる。
【００５９】
【発明の効果】
以上説明したように、本発明は、本発明は、不平衡力、外部偶力（不平衡偶力）、内部偶力（内部曲げモーメント）、爆発力、トルク変動等による機関振動を、例えば捩り振動や機関本体のH型、X型振動においても効果的に低減出来る多気筒内燃機関のクランク軸のクランク配置決定方法を独自の技術として確立したものであり、以下に記述されるような効果を奏する。即ち、
多気筒往復動内燃機関のクランク軸のクランク配置角を不等角配置として、目標とする振動の起振力を低減して機関自身の振動源としての振動起振力の低減を図るために、非線形最適化法によってクランク軸のクランクの最適配置を求めるに際して、計算領域を絞り込むことを可能化することによって効率的な計算が可能となり、実際上停留解を得ることが困難な問題に対しても確実に解を得ることができる。また、拘束条件を完全に満足する不等角配置が存在しない少数気筒の往復動内燃機関については、本発明の方法を応用して、目標とする次数の振動を局所最小化する不等角配置を探索することができる。
また、許容解領域を絞り込む考えから、拘束条件数過多の際に対しても最適解を与えるクランク角配置を決定することも可能である。
【図面の簡単な説明】
【図１】  往復動内燃機関の不平衡力を説明する図である。
【図２】  往復動内燃機関の不平衡偶力を説明する図である。
【図３】  往復動内燃機関の内部偶力を説明する図である。
【図４】  往復動内燃機関のクランク軸捩り振動を説明する図である。
【図５】  往復動内燃機関本体のＸ型、Ｙ型振動を説明する図である。
【図６】  拘束関数、目的関数の多峰性を示す図である。
【図７】  ４気筒の場合のＭＣＰの軌跡を示す図である。
【図８】  ５気筒の場合のＭＣＰの軌跡を示す図である。
【図９】  ６気筒の場合のクランク配置角について対称解、非対称解を説明する図である。
【図１０】  ７気筒の場合の許容定義領域を示す図である。
【図１１】  ７気筒４サイクル機関において不等角配置によりＸ４次起振力係数を低減した例を等角配置と比較して示す図である。
【図１２】  ７気筒４サイクル機関で等角配置クランク軸の場合の振動シミュレーションによる機関本体の振動状況を示す図である。
【図１３】  ７気筒４サイクル機関で等角配置と不等角配置クランク軸の場合の振動シミュレーション結果を比較して示す図である。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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