(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
多次元信号をサブバンド化する方法において、
多次元信号の複数の処理領域を定義するためのプロトタイプを利用するステップと、
前記多次元信号の前記複数の処理領域の少なくとも１つのサブセットにおいて、繰り返し現れる値を該多次元信号における対称性を利用することによって実質的に削減することにより情報の冗長度を低減させるステップと、
前記処理領域の少なくとも１つを異なる周波数領域へと変調し、それによって前記多次元信号のサブバンド化を実行するステップとを含む方法。
【請求項２】
前記サブバンド化が少なくとも１つの分離不可能な、多次元フィルタによって実行され、前記変調のステップが、非正弦波関数に基づいた変調回路によって実行されることを特徴とする、請求項１に記載の多次元信号をサブバンド化する方法。
【請求項３】
前記サブバンド化が少なくとも１つの分離不可能な、多次元フィルタによって実行され、前記縮小のステップがブロックの対角行列Ｋの回路実装によって実行されることを特徴とする、請求項１に記載の多次元信号をサブバンド化する方法。
【請求項４】
請求項１の方法によってサブバンド化された多次元信号を復元する方法において、
前記処理領域の各々を復調するステップと、
前記繰り返し現れる値を前記処理領域の各々に挿入し戻すステップと
プロトタイプを適用して、連続した順序で前記処理領域を戻し、それによって前記多次元信号を復元するステップとを含む方法。
【請求項５】
通信システムが、
多次元信号を処理するための分析システムを含み、前記分析システムは、少なくとも１つのフィルタを含み、前記フィルタは、さらに、前記多次元信号を処理するためのプロトタイプ化手段、該多次元信号における対称性を利用することによって前記多次元信号における類似部分を除去するための縮小手段、および変調手段を含み、
該通信システムが、さらに、
前記多次元信号をサンプリングするための第１のサンプラと、
前記多次元信号を符号化するための符号化手段と、
前記多次元信号を送信するための送信手段と、
前記多次元信号を復号するための復号化手段と、
前記多次元信号を再サンプリングするための第２のサンプラと、
前記多次元信号を合成するための合成システムとを含み、前記合成システムは、少なくとも１つのフィルタを含み、前記フィルタは、さらに、逆プロトタイプ化手段、除去された前記類似部分を再構築するための逆縮小手段、及び逆変調手段を含む通信システム。
【請求項６】
請求項５に記載の通信システムにおいて、前記分析システムが、関係Y=HT＊Xにより定義される回路によって実装され、HT＝W＊K＊Gであり、Wはウィンドウ行列、Kは縮小行列、Gは変調行列である通信システム。
【請求項７】
請求項５に記載の通信システムにおいて、前記合成システムが、関係X=H-T＊Yにより定義される回路によって実装され、H-T＝G-T＊K-T＊W-Tであり、Wはウィンドウ行列、Kは縮小行列、Gは変調行列である通信システム。
【請求項８】
ウィンドウ行列、縮小行列、及び変調行列によって特徴付けられるフィルタを使用して多次元信号をサブバンド化する方法において、該方法が、：
前記ウィンドウ行列に従って前記多次元信号の全体をパースし、それによって窓かけされた信号を生成するステップと、
前記縮小行列に従って前記窓かけされた信号の中の類似部分を除去し、それによって縮小された信号を生成するステップと、
前記変調行列にしたがって前記縮小された信号を変調し、それによって前記多次元信号をサブバンド化するステップとを含む方法。
【請求項９】
多次元信号を処理するための多次元フィルタにおいて、該多次元フィルタが、：
前記多次元信号をサンプリングするためのプロトタイプと、
前記多次元信号の全体にわたって前記プロトタイプを連続的に移動させるための変調手段と、
前記プロトタイプ及び前記変調手段と関連すると共に、前記多次元信号の中の類似部分を除去する縮小手段とを含む多次元フィルタ。
【請求項１０】
一次元の信号を処理する方法であって、
前記一次元の信号をプロトタイプによってサンプルするステップと、
前記一次元の信号の中の類似部分を縮小手段によって除去する手段と、
非正弦波関数に基づいた変調手段によって前記一次元信号の中を通して前記プロトタイプを移動させるステップとを含む方法。
【請求項１１】
多次元信号をサブバンド化するための多次元フィルタの設計方法において、該方法が、：
関係Ｗ＝ｄｉａｇ (Ｗij) により決定されるプロトタイプ (Ｗ) を定義するステップと、
関数のサンプル空間から選択される変調器 (Ｇ) を定義して、前記プロトタイプを変調するステップとを含み、前記変調器は、関係Ｇ-1＊Ｇ＝Ｉにより決定され、
該方法が、さらに、
前記多次元信号における対称性を利用することによって該多次元信号における類似部分を除去するための縮小素子 (Ｋ) を定義するステップを含み、前記縮小素子は、前記多次元信号のサブバンド化の際に、前記プロトタイプ及び前記変調器と共に動作する方法。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は情報の符号化に関する。さらに詳細には、本発明は画像およびビデオの中に含まれている情報の符号化および復号化に関する。
【０００２】
【従来の技術】
テレビジョン（「ＴＶ」）受像機上で表示される平均的な映画または連続番組は、１つのオーディオ・ビジュアル・プログラムである。これらのオーディオ・ビジュアル・プログラムは普通は遠隔地のテレビジョン局からビデオ信号の形で家庭のＴＶへ送信され、そこで視聴することまたは画像／ビデオカセット・レコーダ（「ＶＣＲ」）によってテープに録画しておき、再生することができる。ビデオ信号は画像の１つのシーケンスである。完全なショーがＴＶ上で演じられる時、その章は実際には１つずつ次々に連続的に表示される一組の画像である。一方、１つの画像はＶＣＲ上の「フレーム凍結」ボタンが押された時にＴＶ上に表示されるものである。
【０００３】
例えば、ＴＶ上に表示されるように設計された１つの画像は一組の画素（ピクセル）から構成される。ピクセルは画像全体を提供するために組み合わされる画像の個々の単位である。それらは写真を形成するように組み合わせられる小さなカラー・ドットとして考えることができる。各ピクセルはの色は赤（ｒ）、緑（ｇ）青、（ｂ）の組合せから構成される。画像は普通人間の目が見る色（すなわち、黄色、紫など）を作るために組み合わせられるｒ、ｇ、およびｂの強度レベルを数回抽出するように処理される（各ピクセルはその成分の色に分けられている）。例えば、Ｎ×Ｎ個のピクセルを持っている画像を３回処理して各ピクセルに関連付けられているｒ、ｇ、ｂのカラー値を抽出することができる。画像がそのように処理された後、そのｒ、ｇ、ｂのカラー値はそれぞれＮ×Ｎの行列として表示される。したがって、その画像はサイズＮ×Ｎの各ピクセルについて赤に対するもの、緑に対するもの、および青に対するものの３つの行列によって定義することができる。
【０００４】
その画像がディジタル画像である時、通常はカラー（ｒ、ｇ、ｂ）の各コンポーネントは８ビットで表される。結果として、画像の１つのピクセルを表現するために、２４ビット（「１」または「０」）を必要とする。ピクセルが画像を構成するので、１つの画像全体を「１」または「０」の長いシーケンスに分解することができる。ビデオは画像の１つのシーケンスに過ぎないので、ビデオも「１」および「０」のシリーズに分解することができる。
【０００５】
ビットとして表すことができる信号にはいくつかの種類がある。例えば、音声信号などの一次元信号がある。信号が二次元以上で表される時、それは多次元信号と呼ばれる。例えば、画像は二次元の信号である。それは水平成分（ｘ）と垂直成分（ｙ）によって定義される。二次元の画像を処理する解析システムは二次元解析システムと呼ばれる。したがって、二次元の解析システムはｘおよびｙの関数（ｆ（ｘ、ｙ））である。
【０００６】
ビデオは１つの多次元信号である。ビデオの中の各画像は水平成分（ｘ）および垂直成分（ｙ）によって定義される。さらに、画像は時刻（ｔ）によって分けられる。最初の画像は時刻ｔ＝１においてＴＶの画像上に表示され、第２の画像は時刻ｔ＝２において表示されるというようになる。これらの画像を次々に表示することによって、完全な映画のビデオ画像が見られる。したがって、ビデオは三次元信号であり、ビデオ画像を解析するために使われるシステムは三次元システムｆ（ｘ、ｙ、ｔ）である。
【０００７】
多次元信号（すなわち、画像／ビデオ信号）を送信するために使われる通信チャネルおよび画像を記憶するために使われるメモリは高価である。そこで、通信チャネル上で信号を送信する前および／または記憶媒体（例えば、ＶＣＲのテープ）上に記憶する前に信号を「圧縮」するために各種の技法が使われる。このように、すべての圧縮技法は画像／ビデオの品質を保ちながら、出来るだけ少ないビット数で画像／ビデオをどのように表現するかという問題に対処する。
【０００８】
画像を圧縮するための１つの技法は「サブバンド符号化」として知られている。図１はサブバンド符号化システムを示している。図１において、信号１０は解析システム２０の中に収容されている一組のバンドパス・フィルタを通過する。この結果、一組のサブバンドが得られる。そのサブバンドは次にサンプラ３０によって十分速いレートで（すなわち、最低、単位時間当たりサブバンドの２倍で）サンプルされ、そのサンプルされたバージョンの情報を復元できるようにする。サンプルされたサブバンド信号は４０で示されているように符号化、送信および復号化に対する準備ができている。サブバンド信号はサンプラ５０によって再びサンプルされ、そして「合成」プロセス６０において一組のフィルタを通って１つの信号に再び組み合わせられる。サブバンド符号化の原理は一般的にＮ．Ｓ．ジェイアントおよびＰ．ノルによる「波形のディジタル符号化：原理および音声および画像／ビデオに対する応用（Ｄｉｇｉｔａｌ  Ｃｏｄｉｎｇ  ｏｆ  Ｗａｖｅｆｏｒｍｓ：  Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ  ａｎｄ  Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ  ｔｏ  Ｓｐｅｅｃｈ  ａｎｄ  Ｉｍａｇｅ／ｖｉｄｅｏ）」の第１１章、Ｐｒｅｎｔｉｃｅ−Ｈａｌｌ、Ｅｎｇｌｅｗｏｏｄ  Ｃｌｉｆｆｓ，Ｎ．Ｊ．，１９８４刊の中で一般的に説明されている。画像／ビデオ信号に対するサブバンド符号化技法の応用は、例えば、「サブバンド画像符号化（Ｓｕｂｂａｎｄ  Ｉｍａｇｅ  Ｃｏｄｉｎｇ）」（Ｊ．Ｗ．Ｗｏｏｄｓ．ｅｄ．）、第２章、Ｋｌｕｗｅｒ  Ａｃａｄｅｍｉｃ  Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ，Ｂｏｓｔｏｎ，ＭＡ．，１９９１刊の中で説明されている。
【０００９】
図２は一次元のシステムに対する解析システムの概要を示している。信号１０は解析システム２０へ供給される。解析システム２０はバンドパス解析フィルタ２５から構成され、それらは信号をサブバンド信号２７に分ける。信号１０はビットに分けることができ、各ビットのグループはピクセルの中のｒ、ｇ、およびｂの強度レベルを表す値を持つ。ピクセルはｘ［ｎ］として表すことができる。ここで、Ｘはすべての入力ビットの合計であり、ｎは単位時間である。したがって、ｘ［ｎ］は値の１つのシーケンスの行または列の行列であり得る。最初の値は最初のピクセルのカラーを表し、第２の値は第２のピクセルのカラーを表す。これが画像全体が処理されるまで続く。バンドパス解析２５はｈ［ｎ］として表すことができる。ここでＨはすべてのバンドパス・フィルタの合計である。Ｈはいくつかの行または列の行列（各バンドパス解析フィルタに対して１つ）であり、それらを合わせて１つの行列が形成される。サブバンド信号はｙ［ｎ］として表すことができる。ここで、Ｙはすべてのサブバンド信号を表す。１０で示されている入力信号Ｘの行列乗算、および２５で示されているバンドパス解析フィルタ（Ｈ）は、２７で示されているサブバンド信号（Ｙ）を作り出す。信号１０をＸとして、バンドパス解析フィルタ２５をＨとして、そしてサブバンド信号２７をＹとして表すことによって、この解析システム２０はＹ＝ＨT ＊Ｘとして表すことができる。ここでＨT はＨの転置行列である。
【００１０】
例えば、４つのサブバンドを生成する二次元の解析システムを考える。４つのサブバンド信号を生成するために、４つのバンドパス・フィルタが必要となる。この４つのバンドパス解析フィルタはｈ1 、ｈ2 、ｈ3 、ｈ4 と呼ばれる。この例の中で４つのバンドパス解析フィルタを実装するために選ばれる回路は、数学的に４つの４×４行列として表すことができる。ここで各行列には１６個のエントリがある。しかし、異なる行列構成によって表される他の回路設計も実装することができる。したがって、ｈ1 にはｈ1(1,1)、ｈ1(1,2)、ｈ1(1,3)、ｈ1(1,4)、．．．、ｈ1(4,4)があり、ここで（１，１）、（１，２）、などは（ａ，ｂ）の形になっており、「ａ」は行列の行を表し、「ｂ」はその列を表している。同様に、フィルタｈN （Ｎ＝２，３，および４）にはｈN(1,1)、ｈN(1,2)、ｈN(1,3)、ｈN(1,4)、．．．、ｈN(4,4)のエントリがある。４つの各フィルタに対する１６個のエントリが１６×１の行列に配置されていて、そのような各行列が隣り合って置かれている場合、その結果は１６×４の行列Ｈになる。それはこの解析システムの中のすべてのバンドパス解析フィルタの代表である。例えば、画像の１６個のピクセル（例えば、ｐ1 、ｐ2 、．．．、ｐ16）について解析を実行するために、１６×１の各バンドパス・フィルタのＨは１６個のピクセルによって乗算される。各乗算の結果が加算される。このようにしてｈ1 に対して、次の計算を実行することによって結果Ｒが得られる。
Ｒ＝（ｈ1(1,1)×ｐ1＋ｈ1(1,2)×ｐ2＋．．．＋ｈ1(4,4)×ｐ16）
【００１１】
上記のようなＲを計算するために、１６回の乗算演算と１５回の加算演算が行なわれなければならない。一般に、１６個のピクセルをフィルタするために４×４のサブバンド・フィルタが４個使われる場合、結果の行列Ｒ１、Ｒ２、Ｒ３、Ｒ４を計算するために１６回の４つの乗算と１６回の加算が必要である。前述の技法は任意の数のフィルタについて使われ、例えば、８×４のサイズの８個のバンドパス・フィルタを作る場合、２５６回の乗算と２４８回の加算が必要となる。
【００１２】
これらのバンドパス・フィルタを実装するには、加算、減算、乗算、および遅延の操作を提供する回路が必要となる。その回路要素は解析システムのコストおよび複雑度の両方を増大させることになる。したがって、複雑度の小さい回路実装となるように効率性の良いＨを定義することが重要である。
【００１３】
これらの効率の良さを求めるための１つの方法は「分離可能な」フィルタを使う方法である。分離可能なフィルタにおいては各フィルタは、例えば、１つの行列の中に配置された一組の数によって表すことができる。Ｍ行およびＮ列のフィルタ（すなわち、Ｍ×Ｎのフィルタ）がＭ×１の行列と１×Ｎの行列の行列積によって形成される場合、「分離可能」と言われる。
【外１】
0003887437.tif 000002
解析システムを設計する時には分離可能なフィルタが望ましい。というのは、その回路が簡単に実装できるからである。しかし、分離可能なフィルタは設計のオプションの数が限られている。分離可能なフィルタは「自由度」が少ないと言われる。一例として、上記のＭ×Ｎの分離可能なフィルタは５つの「自由度」を持つと言われる。これはそのフィルタの設計者が５つの値を選択することが許されていることを意味する。この例において、３つの値がＭ×１の行列に対して選択され、２つの値が１×Ｎの行列に対して選択された。
【００１４】
一般に、Ｍ×Ｎの分離可能なフィルタの自由度はＭ＋Ｎである。フィルタにおける自由度が大きいほど、そのデコーダにおいて画像が正確に再生される。というのは、フィルタは所望の結果を得るために、より密接に設計できるからである。
【００１５】
代わりに、次の行列を考える。
【数１】
0003887437.tif 000003
これは分離不可能なフィルタと考えられる。というのは、上で定義されたように、２つの行列の乗算によって結果の行列を得る方法がないからである。上記の分離不可能なフィルタの自由度は９である。すなわち、このフィルタの中のすべての値に対して１つの自由度がある。これらのフィルタを使う時、回路設計が制約を受ける。というのは、多くの自由度があるが、この行列の中の値の組合せを実装するのに必要な回路が複雑になるからである。したがって、分離不可能なフィルタにおいては自由度の値は大きいが、フィルタの回路実装は複雑になる。
【００１６】
一次元の符号化システムの一例において、その解析システムはＨ＝ＷＧによって定義される。ここでＷはウィンドウ行列であり、Ｇは正弦波関数に基づいた変調行列である。図３は一次元バンドパス・フィルタの集合の周波数ベースの表現を表している。図３の中のグラフは次の式のフーリエ変換の振幅である。
ｈi［ｎ］＝ｗ［ｎ］＊ｃｏｓ（ｆi［ｎ］）
ここで、ｈi ［ｎ］はバンドパス解析フィルタを表し、ｗ［ｎ］はウィンドウを表し、そしてｃｏｓ（ｆi ［ｎ］）はそのフィルタに関連付けられたＧ行列の中の余弦値であり、ｆi ［ｎ］は時刻ｎにおける周波数応答である。現在の例の場合、Ｇの１つの表現は次のようになる。
【数２】
0003887437.tif 000004
【００１７】
図３の中のグラフはフィルタ（ｈ1 、ｈ2 、ｈ3 、ｈ4 ）の周波数応答の絶対値を示している。このフィルタは周波数（ｘ軸）の関数としてプロットされている。サブバンド解析フィルタｈ1 ［ｎ］、ｈ2 ［ｎ］、ｈ3 ［ｎ］、およびｈ4 ［ｎ］の大きさはそれぞれ１００、１１０、１２０および１３０によって表されている。図３において、各サブバンド・フィルタは信号ｘ［ｎ］を異なる周波数範囲に分離する。信号を異なる周波数範囲に移動するという概念は、変調として知られている。Ｇ行列を入力信号に適用することは、入力信号ｘ［ｎ］を変調することによってこのフィルタを周波数スペクトルに沿ってシフトするという物理的な効果を持つ。ウィンドウＷは信号ｘ［ｎ］の異なる部分を変調できるように入力信号ｘ［ｎ］全体をシステマティックにパースする。入力信号を１つのウィンドウにわたって解析してから、その入力信号を変調する技法は、フィルタを実装するのに効率の良い方法である。というのは、プロトタイプのフィルタを１つ作るだけで済み、そのサンプラ・フィルタを入力信号の異なる部分に適用することができるからである。
【００１８】
変調関数Ｇはウィンドウ（Ｗ）の中にある信号ｘ［ｎ］の部分を周波数スペクトルの異なる部分に対して変調し、それによってすべてのフィルタ、１００、１１０、１２０、および１３０を作り出す。一次元の場合の変調関数の値は１つの正弦波関数に基づいている。これらの値は完全に再構築される信号を作り出す。普通、Ｇは修正型ディスクリート・コサイン変換である。
【００１９】
【発明が解決しようとする課題】
この技法は音声信号に対する一次元のケースにおいて適用されてきたが、（その技法が次元に沿って別々に使われない限り）その技法を多次元の信号に利用することはできない。多次元システムの場合、いくつかのフィルタを設計しなければならなくなり、さらに、普通は多次元のシステムは設計の困難性を増加させる分離不可能なフィルタを使って設計される。
【００２０】
ディジタル・フィルタの設計とアナログ回路の設計との間には類似性がある。アナログ回路の設計において、回路設計者はその回路の所望の機能（すなわち、電圧、電流の生成など）を実行する回路の要素（すなわち、抵抗、コンデンサ、トランジスタ）を組み合わせなければならない。フィルタの設計もそれと同様である。フィルタの設計者はその信号について所望の演算を実行するコンポーネント（すなわち、加算器、減算器、および遅延要素）の組合せを配置しなければならない。フィルタの中に使われる回路は数学的な式および行列として表現できるので、フィルタの設計者は処理される信号について所望の機能を実行する数学的な式および行列を選ぶ必要がある。
【００２１】
フィルタのコンポーネントを選定することは、パズルを作るのに似ている。設計者は所望の出力信号を作り出すコンポーネントを選ばなければならない。フィルタはＹ＝ＨT Ｘによって数学的に定義されるので（ここで、Ｈはフィルタの行列である）、Ｈを構成する行列の値（すなわち、Ｗ＊Ｇ）を非常に慎重に選定しなければならない。パズルにおいては、各ピースをその写真を作り出すために、フィルタの場合と同じ方法で、当てはめなければならず、各行列は所望の出力信号を作り出すように当てはめられなければならない。
【００２２】
フィルタの設計においては、必要な信号を作り出すために適用される単純な回路（行列）を見つけるのは普通は困難である。さらに、適用される単純な回路を見つけることの難しさは増加する。というのは、変調行列（Ｇ）が正弦波関数（すなわち、サイン、コサイン）に基づいているからである。Ｇがサインまたはコサインに基づいていなければならないので、それはＧの行列が持つことができる値を制限し、そのフィルタはパズルのようなものであるので、Ｗの可能な値も制限される。
【００２３】
１つの行列が持ち得るすべての可能な値は、その行列のサーチ空間と呼ばれる。行列のサーチ空間が大きければ大きいほど、そのフィルタに対して使える設計のバラエティが大きくなる。サーチ空間が小さければ小さいほど、設計のバラエティは小さくなる。サーチ空間を増加させることが有利となる。したがって、フィルタを実装するために使える回路素子のバラエティが増加する。
【００２４】
上記のように、行列は分離可能および分離不可能としても定義される。分離可能なフィルタはその回路の実装が比較的容易であるが、分離不可能なフィルタは比較的大きな「自由度」（大きなサーチ空間）を持っている。フィルタを設計するためには、サーチ空間を増加させることが有利であり、さらに、分離不可能なフィルタを使うのが有利である。
【００２５】
【課題を解決するための手段】
本発明は符号化／復号化の技法に関与する。その技法は非正弦波関数に基づいているフィルタ（分離可能および分離不可能）以外に、分離不可能なフィルタを使えるようにすることによって、フィルタの設計に使えるサーチ空間を増加させる。より詳細には、ウィンドウ（Ｗ）が入力信号を連続的にサンプルし、それによって処理される入力信号の部分が定義される。次に、縮小プロセス（Ｋ）が信号の対称性を利用することによって、その信号を表すために必要なビットの量を減少させる。最後に、正弦波および非正弦波関数の両方に基づいた変調器がその信号のウィンドウによって限定された部分を変調して周波数スペクトルの中の異なる点に対応させ、サブバンドを作り出す。
【００２６】
【発明の実施の形態】
フィルタから構成される多次元符号化／復号化システムが開示される。多次元の信号が発生され、そしてウィンドウ・プロトタイプ（Ｗ）がその多次元信号に対して適用される。そのウィンドウは多次元信号全体を通して移動し、一度に１つのサンプルのグループを採取する。そのウィンドウ・プロトタイプ（Ｗ）の回路実装は低域フィルタである。ウィンドウ（Ｗ）の行列表現は、行列の対角線に沿って数値の大きさの変動が非常に少ない１つの行列である。数学的には、行列の対角要素の値の二乗の和はサンプリング・ファクタ（一次元の場合は、ｎ／２）によって変わる定数である。次に、縮小プロセス（Ｋ）がその多次元信号に対して適用される。縮小関数は信号の対称性を利用してその信号を処理するのに使われるフィルタの回路実装の複雑度を減少させる。プロトタイプ（Ｗ）、および縮小回路（Ｋ）は両方ともそのフィルタが使われている応用によって定義される。一例として、縮小回路（Ｋ）の場合、その応用が１つの画像であって、その中でその画像の左上の象限と、その画像の右下の象限が同じである場合、縮小回路を設計してこれらの領域のうちの１つを消去し、欠落した部分を回路の合成部分において再構築することができる。縮小回路が行列として表される時、その縮小は顕著である。というのは、現象行列（Ｋ）の次元がウィンドウ（Ｗ）の次元より小さいからである。最後に、基本関数（Ｇ）によって変調が行なわれる。その変調関数を実装する回路は、信号ｘ［ｎ］の複数の部分を処理するためにウィンドウ・プロトタイプ（Ｗ）を繰り返し使うことによって、ウィンドウ・プロトタイプを利用する。
【００２７】
変調回路（Ｇ）は、Ｇによって実行された変調を元に戻すことができ、それによって入力信号Ｘを再構築できるように回路を設計しなければならない。変調回路（Ｇ）が行列として実装された場合、これはＧ-1＊Ｇ＝Ｉを意味する。ここでＧ-1はＧの逆行列であり、Ｉは単位行列である。物理的には、変調関数の回路実装の中で、逆行列回路Ｇ-1は復号化システムの合成部分の中に置かれる回路となり、Ｇによって変調された信号を再構築する。Ｇのサーチ空間が正弦波関数（サイン、コサイン）に基づいている時、それは利用できる逆行列回路の量を制限する。非正弦波関数の使用はＧに対して開示され、それによって逆変換可能な回路のサーチ空間が増加される。というのは、非正弦波関数を使うことによって、Ｇがベースとすることができる波形の数がずっと多くなるからである。
【００２８】
すべてのサブバンド信号の和Ｙは、Ｙ＝ＨT ＊Ｘという関係によって定義される。ここで、Ｈ＝Ｗ＊Ｋ＊Ｇであり、Ｗはウィンドウ関数、Ｋは縮小関数、Ｇは変調関数、Ｘは多次元の入力信号、そしてＨT は行列Ｈの転置行列である。
【００２９】
Ｙ＝ＨT ＊Ｘの関係によって定義される解析システムは信号をいくつかのサブバンドに分離するように実装することができる。Ｙ＝ＨT ＊Ｘの関係によって定義される解析システムを実装するには、ＷＫＧによって実行される関数はバンドパス・フィルタによって実装される。上記の分離可能なフィルタの説明の中で詳細に示されたように、バンドパス・フィルタを行列によって表すことができる。しかし、これらのフィルタは行列によって表現されるが、その行列の中の各値は回路の値または動作に対応していることが評価されるべきである。解析／合成システムはバンドパス・フィルタから構成されているので、行列のシステムを使って解析／合成システムの回路実装を表現できることも評価されるべきである。説明の手段として、４つのサブバンド・システムが提示される。４つのサブバンド・システムにおいては、行列ＨT は次の形の行列によって表されることになる。
［ｈ1ij｜ｈ2ij｜ｈ3ij｜ｈ4ij］
ここでｈ1ij は一般に第１のフィルタのすべての行列要素を表し、ｈ2ij は第２のフィルタのすべての行列要素を表し、以下同様である。
【００３０】
本発明において開示されるサブバンド・システムにおいては、多次元の信号が処理される。しかし、理解を容易にすために、図４、図５、図６および図７に示されている信号の図式表現は一次元の信号になっている。三次元の場合を示すためには、三次元の輪郭プロットが必要となる。したがって、図４、図５、図６、および図７の中で使われている図式表現では、理解し易くするために一次元のグラフが使われているが、本発明による技法は多次元の信号に対しても適用できることは評価されるべきである。
【００３１】
図４は実際のｘ［ｎ］を示している。示されているグラフは単位時間に対する振幅のプロットである。図４、図５、および図６の中の曲線は連続であるように見えるが、それらは近接して配置された８００個の各サンプリング値であり、したがって、それらは連続の波形であるように見えている。
【００３２】
上で詳しく説明したように、フィルタの設計はパズルを作るのに似ている。パズルの１つのコンポーネントが定義されると、フィルタの他のコンポーネントはその最初のコンポーネントにマッチするように定義されなければならない。この例においては、４つのサブバンドが必要な場合、解析行列Ｈは４×４の行列として実装することができる。Ｗを実装するために使われる回路が１６×１の行列として実装される場合、Ｈ＝ＷＫＧという関係のために、真ん中の行列Ｋは行列乗算の規則に従うためには、１６×４の行列でなければならない。さらに、入力信号ｘ［ｎ］は行列乗算の規則に適合するために、一度に１６個の値がサンプルされなければならない。というのは、ｘ［ｎ］と乗算される最初の行列は１６×１のプロタイプ行列（Ｗ）であるからである。
【００３３】
４つのバンドパス解析フィルタを備えた解析システムにおいては、信号ｘ［ｎ］の１６個の値が一度に操作される。図４は本発明の概念を理解し易くするために表示されている任意の信号を示している。ウィンドウｗ［ｎ］の最初の１６個の値は１６×１列の行列で表すことができる。プロトタイプ・ウィンドウ（Ｗ）がその１６×１の列行列に対して適用される。サンプラは信号ｘ［ｎ］の１６個の値を含んでいる。４つのサブバンドを生成する解析システムの場合、ウィンドウ関数（Ｗ）は１６×１６の対角行列であり、対角要素以外の値は０である。プロトタイプ（Ｗ）は数学的に次のように表される。
【数３】
0003887437.tif 000005
【００３４】
この例においては、ウィンドウ関数によって入力のｘ［ｎ］の１６個の値を一度に操作することができる。最初の１６個の値が演算された後、ウィンドウ関数は次の１６個へ進む。このプロセスはリアルタイムの通信を実行できるように動的に行なわれる。
【００３５】
この演算（Ｗ16×16＊Ｘ16×1 、ここで、Ｗ16×16は１６×１６の行列で実装されるウィンドウ回路の数学的実装を表し、Ｘ16×1 は入力信号の１６個の値を表し、それは１６×１列の行列として表される）を実行することになる回路実装は１６回の乗算の複雑度を有し、加算はない。
【００３６】
図４に示されているｘ［ｎ］に対してウィンドウＷが適用された後、図５に示されているようなウィンドウが適用された信号が表示される。ウィンドウが適用された図５の信号は点２００および２１０によって示されている点の間の、図４の中の入力信号の部分を示している。したがって、ウィンドウＷを図４の中に入力信号に対して適用することによって、図４の中の入力信号の一部分が縮小関数（Ｋ）および変調関数（Ｇ）によって処理するために使える。ウィンドウＷは次々に入力のすべての部分にわたって使われ、入力信号全体が処理される。結果として、ウィンドウＷはプロトタイプとみなされる。というのは、Ｗは図４に示されている入力信号を処理するために繰り返し使われる基本のビルディング・ブロックだからである。
【００３７】
次に縮小プロセスが信号に対して適用される。縮小プロセスの回路実装は縮小行列として表現することができる。この例においては、その縮小行列（Ｋ）は次の形になる。
【数４】
0003887437.tif 000006
この例においては、変調行列（Ｇ）およびプロトタイプ（Ｗ）の次元が定義されると、縮小行列（Ｋ）の次元も行列乗算の規則を満足するように定義される。この例においては、Ｈは４つの４×４行列から構成され、Ｇは４×４の行列であり、Ｗは１６×１６の行列である。したがってＫは１６×４の行列である。縮小行列Ｋはブロックの対角行列（Ｋ１、Ｋ２、Ｋ３、およびＫ４はそれぞれ対角軸に沿って存在する４つの数のグループであり、他の数はすべて０である）である。Ｋは１および−１に選ばれているので、Ｋ行列の複雑度は１２回の加算の複雑度である。Ｋ行列を実装する回路は入力信号の中の異なる値を比較し、複製であるｘ［ｎ］のサンプルされた値（すなわち、例の中の１６個のサンプルされた値）の部分に光を当てる。図６はＫ行列によって処理される縮小された信号を示している。図５と図６を比較すると、２００と２１０で示されている範囲の間で図６の値の数は、図５のウィンドウが適用された信号の値の数より少なくなっていることは明らかである。図６の値は２２０と２３０によって示されている範囲の間の値である。図６の中で示されている縮小された波形の中の値が少なくなっているのは、図５の中で示されているウィンドウが適用された信号の任意の部分（複製であったもの）が縮小行列（Ｋ）によって取り除かれたことによる。Ｋ行列の選定およびＫの要素を選定する方法において利用された基本になっている理論が付録Ｉに示されている。
【００３８】
最後に、信号はＧ行列によって変調される。この行列は変調関数を実行する回路要素に対する数学的表現である。本発明における変調関数（Ｇ）は正弦波および非正弦波の関数の両方に基づくことができる。他の変調関数はＧ行列の値を生成するためのベースとして正弦波関数を使うように制約されているが、Ｇ-1＊Ｇ＝Ｉである時、変調関数（Ｇ）は任意の波形（正弦波および非正弦波）に基づくことができる。ここで、Ｇ-1は変調関数の逆行列であり、Ｉは単位行列である。さらにＧ行列はシステムに対して多い自由度が適用できるように非分離型の行列とすることができる。４つのサブバンドを生成するこの例においては、Ｇ行列は４×４の行列となり、結果としてその行列の自由度は１６となる。Ｇ行列が入力信号ｘ［ｎ］に対して適用される時、演算（ＧT ＊ＫT ＊ＷT ＊Ｘ）を実行するのに必要な回路は１２回の加算と１６回の乗算を実行することになる。Ｇは非正弦波関数に基づくことができるので、Ｇのサンプル空間は大幅に増加している。というのは、この場合、Ｇは任意の波形の関数であってよいからである。Ｇを定義するための、そしてＧの要素を選定する方法に対する基本になっている理論が付録Ｉに示されている。
【００３９】
変調関数はプロトタイプ（ウィンドウＷ）を取り、そのウィンドウＷを周波数スペクトルに沿って変調する。したがって、一次元の場合と全く同様に、１つのプロトタイプが作られ、その後、周波数範囲に沿って複製される。図７はＷＫＧによって表される回路によって処理された後の、図４の中に示されている入力信号の最初の２０個の値を示している。理解し易くするために、図７は２０個の振幅値を時間（ｎ）の関数としてプロットして示している。
【００４０】
変調関数が信号に対して適用された後、入力信号ｘ［ｎ］は全体のフィルタ・プロセスを通り、ろ過された信号Ｙとして出てくる。上記のプロセスは上で定義されたＷ、Ｋ、Ｇに対して、Ｙ＝ＨT Ｘとして数学的に表現することができる。ここでＨT ＝（Ｗ＊Ｋ＊Ｇ）T である。Ｗ＊Ｋ＊Ｇの処理の最終出力は出力フィルタＨにおいて発生される波形である。図７はＨの中のフィルタの１つ（すなわち、ｈ1 ［ｎ］）の出力である。図７に示されているフィルタのフーリエ変換は図３の１００によって示されている｜Ｈ1 （ｗ）｜のように表現することができる。したがって、Ｗが図４の入力信号全体の中を移動する時、図７に示されているように異なるフィルタ・プロットが作られる。それは図３に示されている異なるフィルタの周波数応答の大きさに対応する。例えば、Ｗが図４の中の入力信号の次の部分へ移動する時、それは図３の１１０、１２０、または１３０などに対応している図７の中のフィルタ・プロットを発生することになる。
【００４１】
ろ過された信号の値を使ってフィルタの回路実装を設計することができる。図７が最初のフィルタ（ｈ1 ［ｎ］）のプロットを示している場合、そのフィルタに関連付けられた最初の５個の値は次のようになる。
ｈ1［０］＝１０
ｈ1［１］＝９
ｈ1［２］＝２
ｈ1［３］＝−０．５
ｈ1［４］＝１
【００４２】
図８は最初のフィルタｈ1 ［ｎ］の可能な実装を示している。入力信号ｘ［ｎ］は一連の遅延回路３００を通して遅延される。次に、入力信号ｘ［ｎ］がいくつかの乗算器で乗算される。ｔ＝０においては、３１０によって示されているようにｈ1 ［０］＝１０であり；ｔ＝１においては、３２０によって示されているようにｈ1 ［１］＝９であり；ｔ＝２においては、３３０によって示されているようにｈ1 ［２］＝２であり；ｔ＝３においては３４０によって示されているようにｈ1 ［３］＝−０．５であり；そしてｔ＝４においては、３５０によって示されているようにｈ1 ［４］＝１である。それぞれの乗算器の出力は加算器３５５によって処理され、３６０によって示されているろ過された信号ｙ［ｎ］を発生する。
【００４３】
図８は最初のフィルタｈ1 ［ｎ］の回路実装を示している。しかし、その解析システムＨはフィルタｈ1 ．．．ｈ4 から構成されていて、それらが組み合わされると、１つの回路として実装できることは評価されるべきである。したがって、数値の各行列（Ｗ、Ｋ、およびＧ）は加算器、乗算器、減算器、および遅延要素などの回路コンポーネントを含んでいる回路の行列表現である。結果として、これらの行列の中の数値は物理的な意味を持つ。したがって、これらの行列に対する値を見つけることは、そのフィルタを実装する回路要素を見つけることと同じである。
【００４４】
以下に示されている表１は、開示されている符号化技法の一例を実装するために使われる回路要素の複雑度を要約している。図８に示されている最初のフィルタｈ1 ［ｎ］の複雑度はその回路を実装するために必要な遅延要素、乗算器、および加算器の関数である。図８のブロック図は接合形電界効果トランジスタ（ＪＦＥＴ）または金属酸化物半導体電界効果トランジスタ（ＭＯＳＦＥＴ）などのトランジスタ・トランジスタ論理（ＴＴＬ）素子に対応するので、必要な要素の量が少ないほど、その回路は実装し易くなる。
【００４５】
【表１】
0003887437.tif 000007
【００４６】
表１の中で詳しく示されているように、本発明の技法は他のシステムより乗算および加算の要素が少ない。本発明のシステムでは乗算の要素は３２であり、これに対して他のシステムにおいては６４である。また、加算の要素は２４であり、これに対して他のシステムで必要な加算の要素は６０である。
【００４７】
開示されている方法で符号化が行なわれた後、その符号化された信号をデコーダによって復号化することができる。そのデコーダはＸ＝Ｈ-TＹの関係によって定義されているサブバンド・フィルタを備えている。ここでＨT ＝Ｇ-T＊Ｋ-T＊Ｗ-Tである。この符号化された信号は逆変調関数（Ｇ-T）によって処理され、その後、逆縮小関数（Ｋ-T）によって、そして最後に、逆のウィンドウ関数（Ｗ-T）によって処理されることになる。逆ウィンドウ関数の出力が再構築された信号となる。
【００４８】
＜他の実施例＞
上記と同様な方法を利用して８フィルタの二次元解析システムを実装する。それぞれのサイズが８×４のフィルタを８個使って解析システムを実装するために、その解析フィルタは式１によって定義される。
Ｈ32×8＝Ｗ32×32＊Ｋ32×8＊Ｇ8×8        （１）
【００４９】
フィルタｈ１の形式は次のようになる。
ｈ１11  ｈ１12  ｈ１13  ｈ１14
ｈ１21  ｈ１22  ｈ１23  ｈ１24
ｈ１31  ｈ１32  ｈ１33  ｈ１34
ｈ１41  ｈ１42  ｈ１43  ｈ１44
ｈ１51  ｈ１52  ｈ１53  ｈ１54
ｈ１61  ｈ１62  ｈ１63  ｈ１64
ｈ１74  ｈ１72  ｈ１73  ｈ１74
ｈ１81  ｈ１82  ｈ１83  ｈ１84
解析行列は次の形となる。
［ｈ1ij｜ｈ2ij｜ｈ3ij｜ｈ4ij｜ｈ5ij｜ｈ6ij｜ｈ7ij｜ｈ8ij］
ここで、ｈ1ij 、ｈ2ij ．．．、は８個の各フィルタを表す。
【００５０】
３２×１列のベクトルによって表される入力信号に対してＷ行列が適用される。ウィンドウ行列はＷ＝ｄｉａｇ（Ｗij）の形式の対角行列となる。ここでｉｊ＝１１、１２、１３、１４、２１、２２、２３、２４、４１、４２、４３、４４、５１、５２、５３、５４、６１、６２、６３、６４、７１、７２、７３、７４、８１、８２、８３、８４である。Ｗ行列の回路実装はＷ＊Ｘを実行するために３２回の乗算を実行することになる。
【００５１】
縮小行列Ｋは次の形式をとるブロックの対角行列となる。
【数５】
0003887437.tif 000008
Ｋ行列の中の演算を実行するために必要な回路は２４回の加算を実行しなければならない。
【００５２】
最後に、ベース（Ｇ）は式Ｇ-1＊Ｇ＝Ｉによって定義された分離不可能な任意の行列である。Ｇ行列の演算を実行するために必要な回路は６４回の乗算と５６回の加算を必要とすることになる。
【００５３】
８サブバンド・システムにおける実装の複雑度の比較が表IIに示されている。
【表２】
0003887437.tif 000009
【００５４】
上記で定義された多次元のフィルタの異なる実施例の他に、Ｇが非正弦波関数に基づくことを許すことによって、変調関数Ｇのサンプル空間を増加させる機能を、一次元の信号に適用することもできる。さらに、この技法は非正弦波関数に基づいた分離可能なフィルタを使う多次元の解析／合成システムに対して適用することができる。その場合、その信号が分離可能なので、多次元の信号の各次元に対して一次元の方式を適用する。例えば、非正弦波関数に基づいた一次元のフィルタを使って、画像が先ず最初に水平方向に沿って処理され、次に、垂直方向に沿って処理される。結果として、一次元のフィルタを二次元の信号について使うことができるが、そのフィルタは分離可能であって非正弦波関数に基づいている。
【００５５】
本発明のいくつかの実施例が開示され、説明されているが、本発明の精神または追加の請求項の範囲から離れることなしに各種の変更が可能であることを理解されたい。
【００５６】
【付録Ｉ】
第I部
定義
・ｙがベクトルである場合、そのａ番目の要素はｙ［ａ］として示される。それが行列であった場合、ｙ［ａ，ｂ］は行ａおよび列ｂの中の要素を示す。
・ｙがＡ＞Ｂ行の列ベクトルであった場合、ＬB （ｙ）は次のように定義されるＢ行の列ベクトルである。
ＬB（ｙ）［ａ］＝ｙ［ａ］  ａ＝１，…，Ｂ               （２）ｙが行列である場合、ＬB （ｙ）はｙの対応する列に対してＬB を適用することによって列が得られる行列である。
・バイナリ・ベクトル（すなわち、その成分が０または１であるベクトル）の間の演算はモジュロ２の演算とみなされる。特に、バイナリ行列間の積はモジュロ２の加算および乗算（それぞれ、論理演算ＸＯＲおよびＡＮＤ）を使って実行される。
・ｂビットの二進数ａ＝ａb-1 ．．．ａ0 が左側から行列によって乗算される時、次の式によって定義されるバイナリの列ベクトルとみなされる。
【数６】
0003887437.tif 000010
・関数［・］は次のように定義される。
【数７】
0003887437.tif 000011
・関数φは次のように定義される。
【外２】
0003887437.tif 000012
・ベクトルｅa は次のように定義される。
【外３】
0003887437.tif 000013
・Ｃi,j に対するパス・ベクトルＰi,j はその成分が次の式によって定義される列ベクトルである。
【外４】
0003887437.tif 000014
・ｙがＡ×Ｂのフルランクの行列であって、Ｂ＜Ａである場合、ＶＳ（ｙ）はｙの列によって生成されるベクトル空間として定義される。
【００５７】
第II部
行列を計算する方法
次のステップに従う
１．信号定義空間ＺM の次元がＭであるとする。
２．サンプリング格子Λ（Ｄ）⊂ＺM を選定する。
３．有限の個数の点を持っていて、次の式が成立するようなサポートＢを選定する。
【数８】
0003887437.tif 000015
４．第III部で示されているアルゴリズムにしたがってＢを分解する。
５．第IV部のアルゴリズムによって適切な対称性の集合を選定する。
６．第IX部で示されているアルゴリズムにしたがって、第４のステップで得られた情報を使うことにより、ＷおよびＫを計算する。
【００５８】
第III部
Ｂの分解
【外５】
0003887437.tif 000016
【００５９】
第IV部
対称性の選定
各Ｃb ∈ＰB およびｔ∈Λ（Ｄ）に対して次の式を示すことが可能である。
【数９】
0003887437.tif 000017
言い換えれば、ｔ＋Ｃb のＢとの交差が空でない場合、それはＰB に属していなければならない
両方ともＰB の中にあるＣb1およびＣb2は、Ｃb1＝ｔ＋Ｃb2であるようなｔ∈Λ（Ｄ）が存在する場合、リンクされ、Ｃb1←→Ｃb2と書ける。
関係←→は等価の関係である。したがって、それはＰB を等価のクラスＯ1 、Ｏ2 、．．．、ＯNcL に分解する。ここでＮCLは等価のクラスの個数に等しい。１．  １からＮCLまでの各Ｉに対して
１．１．  ｜Ｏi ｜個のリーフを持つバイナリ・ツリーを見つけ、そしてＣb ∈Ｏi の集合を各リーフに対して割り当てる。ｌはそのツリーのレベル数であるとする。各Ｃi,j には第I部の式（７）の中で定義されているパス・ベクトルＰi,j が関係付けられていることに注意。
１．２．  深さｌのリーフに対してＣi,0 を割り当てることによって、Ｃi,0 ．．．Ｃi ，|Ci|-1として集合Ｃb ∈Ｏi をリネームする。各Ｃi,j は常にＣi,j ＝ｔj ＋Ｃi,0 として表されることに注意。
１．３．第V部の中のアルゴリズムを使うことによって、Ｃi,0 に対する構造を見つける。
１．４．  １から｜Ｏi ｜−１までのｊに対して
１．４．１．  Ｃi,j に対するＣi,0 の構造を第VI の中のアルゴリズムを使ってＣi,jに変換する。
１．５．  ０から｜Ｏi ｜−１までのｊに対して
１．５．１．  第VIIの中のアルゴリズムによってＣi,j の符号を選定する。
【００６０】
第V部
Ｃi,0 の構造を見つける
第Ｖ部の中で見つかったツリーのレベルｌj にある集合Ｃi,j に対する構造を見つけることは、いくつかのｑ∈Ｚに対してＤi,j,k 、ｋ＝１，．．．，ｑのユニオンとしてＣi,j を区画化することを意味する。｜Ｄi,j,k ｜＝２nk、ｎk ∈Ｚであり、各Ｄi,j,k に関係付けることを意味する。
・ｌj ×ｎｋのバイナリ行列Ｓi,j,k （Γ／Ｓｔｕｂ（ｎ））
・ｌj ×（ｌj −ｎｋ）のバイナリ行列Ｍi,j,k （安定化）
・各ｘ∈Ｄi,j,k に対して０と２nk−１の間のユニークな整数を割り当てる順序付け。
・重みｗi,j,k ∈｛０，１｝
・０と１の間（０と１を含む）のｌj 個の実数のベクトルσi,j,k ＝［ｗ1 ，．．．，ｗlj］のベクトル。
先ず最初に各Ｃi,j に対する構造を得るために、Ｃi,0 に対する構造を見つけてから、第IV部の中のアルゴリズムにしたがって、この構造を変換することによって他の構造を得ることができる。Ｃi,0 に対する構造を見つけるには、次のアルゴリズムを使う。
１．集合Ｃi,0 を集合Ｄi,0,1 、Ｄi,0,2 、．．．、Ｄi,0,q に区画化する。ここで、各ｋ＝１，２，．．．，ｑ，｜Ｄi,0,k ｜＝２nkである。ここでｎｋ∈Ｚおよび０≦ｎk ≦ｌである。
２．  １とｑとの間の各ｋに対して、
２．１．ベクトル空間のベース（Ｚ／２Ｚ）l を選定する。そのようなベースのｎk 個のベクトルを行列Ｓi,0,k の列として使い、他を行列Ｍi,0,k の列として使う。ｎｋ＝ｌであった場合、Ｍi,0,k をヌルのｌ×１列ベクトルとして定義する。
２．２．ｘ∈Ｄi,0,x の点を０から２nk−１までの整数で番号付けし、対応する番号の二進表示のｎk ビットがエントリである列ベクトルでそれらを識別する。
２．３．Ｄi,0,k に対して、次の式で計算される重みｗi,0,k を割り当てる。
【外６】
0003887437.tif 000018
２．４．ベクトルσi,0,k △＝［ｗ1 ，．．．，ｗl ］を選定する。ここで、ｗd 、ｄ＝１，．．．，ｌ、は次のように定義される。
【外７】
0003887437.tif 000019
ここで、αi,k,d は０と１の間の（０と１を含む）任意の実数である。
【００６１】
第VI部
Ｃi,0 からＣi,j への構造の変換
【外８】
0003887437.tif 000020
そして、ｔj ＋ｘ∈Ｄi,j,a+b でｘｍｏｄ２ljの番号を関係付けることによって、それらの順序を定義する。集合Ｄi,j,a+b に対して次のものを割り当てる。
【外９】
0003887437.tif 000021
ここで、関数φは第I部の式（５）で定義されている。
４．２．  ａ＝ａ＋２nk-lj と置く。
【００６２】
第VII部
符号の選定
Ｃi,j をＯi の中の集合であるとする。Ｃi,j に対して関数ｓi,j を関係付ける。これはＣi,j を｛＋１，−１｝にマッピングし、次のアルゴリズムによって定義される。
１．  ｘがＣi,j の１つの点であるとし、Ｄi,j,k がｘ∈Ｄi,j,k であるようなＣi,j の（ユニークな）サブセットであるとする。各集合Ｃi,j ∈Ｏi に対して関数ｓi,j を次のように定義する。
【数１０】
0003887437.tif 000022
【００６３】
第VIII部
重みの選定
Ｃi,j の１つの点をｘとし、Ｄi,j,k をｘ∈Ｄi,j,k であるようなＣi,j の（ユニークな）サブセットとする。σi,j,k をＤi,j,k に関係付けられた重みベクトルとする。次の関数を定義する。
【外１０】
0003887437.tif 000023
【００６４】
第IX部
行列を見つける
これまでに行なわれた分解によって、Ｂの各点ｘは次の４つのインデックスによって識別することができる。
１．  クラスＯi のインデックスｉ
２．  Ｏi の中のＣi,j のインデックスｊ
３．  Ｃi,j の中のＤi,j,k のインデックスｋ
４．  Ｄi,j,k の中で選定された順序付けによって割り当てられたＤi,j,k の中のｘのインデックスｈ
したがって、以下において、Ｂの点を４個組｛ｉ，ｊ，ｋ，ｈ｝として考える。同様な方法で、集合Ｄi,j,k は３個組｛ｉ，ｊ，ｋ｝で識別できることに注意。
行列Ｋは各Ｄi,j,k に対して１つの列を持ち、各ｘ∈Ｂに対して１つの行を持っており、一方行列Ｗは｜Ｂ｜×｜Ｂ｜の正方形の行列である。行列ＫおよびＷを計算するには、次のようにする。
１．  点ｘ＝｛ｉ，ｊ，ｋ，ｈ｝∈Ｂおよび集合Ｄi,j,k ＝｛ｉ，ｊ，ｋ｝を辞書編集の順序にしたがって順序付ける。Ｋの列を４個組｛ｉ，ｊ，ｋ，ｈ｝によってインデックスし、行を３個組｛ｉ，ｊ，ｋ｝によって、そのような順序にしたがってインデックスする。
２．  行列Ｋの要素は次のように定義される。
【外１１】
0003887437.tif 000024
ここで、ｓi,j は第VIII部の式（１８）で定義されている関数である。
３．  行列Ｗは次のように定義される対角行列である。
【数１１】
0003887437.tif 000025
ここで、Ωは第IX部の式（１９）で定義されている。
表１：ＢおよびΛ（Ｄ）に対するラベル関数
【表３】
0003887437.tif 000026
【００６５】
第X部
例
１  ＢおよびΛ（Ｄ）の選定
Ｂを二次元の集合｛０，１，２，３｝×｛０，１，２，３｝とする。サンプリングの格子としてそのベースが次の式で表される格子を選定する。
【数１２】
0003887437.tif 000027
２  Ｂの区画化
ＢおよびΛ（Ｄ）のこの選定に対するラベル関数ｌ（ｘ）が表１に与えられている。
３  対称性の選定
表１から容易に分かるように、４つの集合Ｃｉがあり、それは容易に検証される。
表２：パス・ベクトルの表
【表４】
0003887437.tif 000028
これからＣi←→Ｃj 、∀ｉ，ｊ∈｛０，１，２，３｝が導かれる。というのは、等価の関係⇔の変換的な性質があるからである。したがって、１つだけのＯ1 △＝｛Ｏ0 ，Ｏ1 ，Ｏ2 ，Ｏ3 ｝がある。
前の部分との調和をとるためにＣi をＣ1,i とリネームする。Ｃ1,i に対するパス・ベクトルは表２の中に示されている。
４  Ｃ1,0 の構造
この場合、ｌ＝２、そして｜Ｃ1,0 ｜＝４＝２2である。Ｃ1,0 に対する可能 な分解は集合Ｄ1,0,1 ＝Ｃ1,0 によってのみ形成される。この場合ｎ0 ＝２である。
・（Ｚ／２Ｚ）l＝（Ｚ／２Ｚ）2 に対する可能なベースは次の通りである。
【数１３】
0003887437.tif 000029
したがって、ｌ＝ｎ0 ＝２であるので、次の式が成立する。
【数１４】
0003887437.tif 000030
・Ｄ1,0,1 に属している点は（０，０）、（０，１）、（１，０）および（１，１）である。それらは次のように番号付けられる。
【数１５】
0003887437.tif 000031
・次の式がＤ1,0,1 に対して代入されるので、重みｗ1,0,1 ＝１である。
【数１６】
0003887437.tif 000032
・Ｍ1,0,1 ＝［０，０］T によって発生されるベクトル空間はヌル・ベクトルだけを含んでいるので、σ1,0,1 の成分は両方とも自由である。例えば、次のように選定する。
【数１７】
0003887437.tif 000033
５  構造の変換
この場合、ｊ＝０，．．．，３の各々に対してｌj ＝２である。例えば、ｊ＝１の場合を考える。
【数１８】
0003887437.tif 000034
・ａ＝１とする。ｑ＝１なので、１サイクル（ｋ＝１に対する）だけが実行される。
・ｘ∈Ｃ1,0 に関係付けられている値は０、１、２および３なので、［ｘ／２lj］＝［ｘ／２2 ］＝［ｘ／４］＝０が、ｘ∈Ｃ1,0 の各ｘに対して成立する。したがって、ｂ＝０の場合だけＤ1,1,a+b＝Ｄ1,1,1+bが存在する。そして次の式が成立する。
Ｄ1,1,0+1＝Ｄ1,1,1＝Ｄ1,0,1＋（２，０）           （３０）
Ｄ1,1,1 における結果の順序付けは次のようになる。
【数１９】
0003887437.tif 000035
【表５】
0003887437.tif 000036
・ｌj ＝ｌ＝２なので、Ｄ1,1,1 に関係付けられる行列は次のようになる。
【数２０】
0003887437.tif 000037
・Ｄ1,1,1 に対して次の式が代入されるので、重みｗ1,1,1 ＝１である。
【数２１】
0003887437.tif 000038
・ベクトルσ1,1,1 は次のように定義される。
【数２２】
0003887437.tif 000039
他のＣi,j に対して同様な方法を使うことができる。すべてのＣ1,j に対する構造が表３にリストされている。
【表６】
0003887437.tif 000040
６  符号の選定
ｊ＝１とする。例えば、ｘ＝（３，０）に対する符号を計算するために、先ず次の式を計算しなければならない。
【数２３】
0003887437.tif 000041
したがって、ｗ1,1,1 ＝１なので、ｘ＝（３，０）に対する関数ｓ1,1 の評価値は次のように仮定される。
【数２４】
0003887437.tif 000042
同様な方法で、Ｃ1,1 の各点についてｓ1,1 を評価することができ、次の式が得られる。
【数２５】
0003887437.tif 000043
同様な方法を他のＣ1,j に対して使うことができる。結果が表４にリストされている。
７  重みの選定
ｊ＝１であると考える。ｘ∈Ｃ1,1 の各ｘはＤ1,1,1 にも属している。例えば、ｘ＝（２，１）∈Ｃ1,1 に対してΩを計算するには、先ず最初に次の式を計算しなければならない。
【数２６】
0003887437.tif 000044
【表７】
0003887437.tif 000045
次に、Ωは次のように計算される。
【数２７】
0003887437.tif 000046
ｘ∈Ｃ1,1 の各ｘに対してこの手順を繰り返すことによって、次の値が得られる。
【数２８】
0003887437.tif 000047
他のＣ1,j の場合も同様である。最終結果が表５にリストされている。
８  行列を見つける
Ｂの点の４個組としての表現が表６に示されている。表６はまた、それらを辞書編集の順序で番号付けている。
行列Ｋには４つの列（各Ｄ1,j,1 に対して１つ）および１６の行（各ｘ∈Ｂに対して１つ）がある。辞書編集順序での最初のＤ1,j,1 はＤ1,0,1 なので、Ｋの第１列は集合Ｄ1,0,1 に対応する。Ｄ1,0,1 に属している点は（０，０）、（１，０）、（０，１）および（１，１）であり、これは表６の辞書編集順序での最初の４つの点である。したがって、Ｋの最初の４列だけは０に等しくなく、そして表４から、そのような行は１に等しくなることが分かる。同様に、すべてのＫを構築することができる。
行列Ｋの形式は次のようになる。
【表８】
0003887437.tif 000048
行列Ｗは１６行および１６列の対角行列であり、ｘ∈Ｂの各ｘに対して１つある。例えば、Ｗの３番目の対角要素の値は表６の辞書編集順序での第３の点、すなわち、点（１，１）についてΩが仮定する値である。Ω（１，１）の対応する値を表５の中で見つけることができ、それは０．５７６である。この方法で、すべての行列Ｗを構築することができる。行列Ｗの形は次のようになる。
【表９】
0003887437.tif 000049
最後に、行列Ｇはすべて４×４の対角行列とすることができる。例えば次のように選定することができる。
【数２９】
0003887437.tif 000050
これは４つの点についてディスクリート・コサイン変換の正規化によって得られる。
【図面の簡単な説明】
【図１】サブバンド解析／合成システムを示す図である。
【図２】図１の解析システムの詳細を示す図である。
【図３】一次元システムにおける４つのバンドパス解析フィルタの周波数応答の大きさを示す図である。
【図４】オシロスコープから取られたディジタル化された入力信号を示す図である。
【図５】ウィンドウが適用された信号を示す図である。
【図６】縮小された信号を示す図である。
【図７】変調された（ろ過された）信号の一部分を示す図である。
【図８】図７の中で示されているろ過された信号の回路実装のブロック図を示す図である。
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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