(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
物品における光の正反射方向から変位された角度を変角として、任意の変角における反射率を推定する反射率推定方法であって、
反射率を比視感度を含む明るさに対応させ、予め測定した明るさについて主成分分析し、
分析結果として得られる主成分ベクトルを固有ベクトルとし、少なくとも前記固有ベクトルである前記主成分分析による分析結果の主成分ベクトルに基づいて、主成分と変角との関係について主成分ベクトルの項数毎に主成分と変角との関係を表す特性を求め、求めた特性の各々において主成分が極大値及び極小値の少なくとも一方となる対応を特徴点とし該特徴点に対応する複数の所定の変角を求め、所望の波長の該所定の変角の反射率のみを測定し、
前記測定結果として得られた反射率のみに基づいて、反射率を固有ベクトルに係数を乗じた成分を含んで表現するための前記係数を求め、求めた係数及び固有ベクトルに基づいて、前記所望の波長の該所定の変角以外の変角における反射率を推定する、
ことを特徴とする反射率推定方法。
【請求項２】
任意の変角の分光反射率分布に対して比視感度特性を含む明るさを対応させ、前記主成分分析することにより得られた前記主成分ベクトルの項数毎の主成分と変角との関係を表す特性における前記特徴点に対応する変角を求めることを特徴とする請求項１に記載の反射率推定方法。
【請求項３】
前記変角は、複数個の角度であることを特徴とする請求項２に記載の反射率推定方法。
【請求項４】
前記複数個の変角は、１０度，１６度，２６度，３８度，９０度のうちの少なくとも２個の角度であることを特徴とする請求項３に記載の反射率推定方法。
【請求項５】
前記反射率の推定は、前記変角として、１０度以上について求めることを特徴とする請求項１乃至請求項４の何れか１項に記載の反射率推定方法。
【請求項６】
前記反射率を推定した後に、１０度未満の変角について、１０度以上の３個の変角を用いて重回帰分析することにより推定することを特徴とする請求項５に記載の反射率推定方法。
【請求項７】
前記反射率を推定した後に、９０度を越える変角について、１０度以上でかつ９０度未満の３個の変角を用いて重回帰分析することにより推定することを特徴とする請求項５または請求項６に記載の反射率推定方法。
【請求項８】
前記３個の変角は、１０度，２６度，３８度であることを特徴とする請求項６または請求項７に記載の反射率推定方法。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、反射率推定方法にかかり、特に、物品における光の正反射方向から変位された角度を変角として、任意の変角における反射率を推定する反射率推定方法に関する。
【０００２】
【従来の技術】
計算機上で色を伴う画像表示等の提示やその画像の印刷を可能とするコンピュータグラフィクス（所謂ＣＧ）の分野では、様々な色を伴った模様や図形等の画像を画面上に表示させたり、表示させた色画像を印刷させたりすることが行われている。物体を色を伴った画像として表示させようとする場合には光の反射原理をモデル化して光の輝度等により表現するが、輝度による物体表現のみでは物体の色表現が充分ではなく、物体の実質的な色を表現（色再現）することが困難であった。
【０００３】
任意の環境下で物品の見え方を正確に表現する色再現をするためには、反射率として一般的に用いる正反射方向の反射率だけではなく、物品における光の正反射方向から変位された角度を変角として、その変角における反射率（例えば、分光立体角反射率）を考慮する必要がある。
【０００４】
ところが、変角毎に反射率を求めることでは、膨大なデータが必要となり、実現性に乏しいものとなる。
【０００５】
このため、ランダムに選択した複数の変角に対応する反射率を実測し、その実測データを用いて他の変角に対応する反射率を予測する反射率の測定方法が提案されている（特開平１１−２３０８３１号公報参照）。この測定方法では、所定数の方向における測色値を用いて補間処理することで、選択した変角以外の変角における反射率を予測している。
【０００６】
しかしながら、物品における反射率は、線形性や規則的なものではないため、従来の測定方法により、高精度で予測するためには、多数のサンプル（変角）を選択しなければならない。従って、任意の色（反射率）を一定の精度で予測するためには、多数の変角に実測データを予め準備し、そのデータから反射率を求めるので、効率的に反射率を求めることができなかった。
【０００７】
また、変角における反射率を考慮するため、物品へ入射する光の角度は、通常４５度に設定される場合が多いが、反射率を計測するための受光角（変角）は定められているものではない。すなわち、測定装置毎に異なったり、その計測方法によって異なっている。このように任意の変角における反射率を推定するために用いる反射率を計測するための受光角（変角）の妥当性は考慮されていなかった。
【０００８】
例えば、ソリッドやメタリックの塗装面を対象とした反射率を推定する技術（ＵＳ  ＰＡＴ  ４４７９７１８）が知られており、この技術では１５度、４５度、１１０度を変角として扱っている。しかし、この技術ではソリッド及びメタリックを対象として定めた変角を経験的に扱っているので変角が変更されるとその結果は保証されない。さらに、任意の物品面における反射率を推定することが困難である。
【０００９】
【発明が解決しようとする課題】
本発明は、上記事実を考慮して、物品の色を忠実に表現するために利用可能な反射率の推定方法を得ることが目的である。
【００１０】
【課題を解決するための手段】
上記目的を達成するために請求項１に記載の発明は、物品における光の正反射方向から変位された角度を変角として、任意の変角における反射率を推定する反射率推定方法であって、反射率を比視感度を含む明るさに対応させ、予め測定した明るさについて主成分分析し、分析結果として得られる主成分ベクトルを固有ベクトルとし、少なくとも前記固有ベクトルである前記主成分分析による分析結果の主成分ベクトルに基づいて、主成分と変角との関係について主成分ベクトルの項数毎に主成分と変角との関係を表す特性を求め、求めた特性の各々において主成分が極大値及び極小値の少なくとも一方となる対応を特徴点とし該特徴点に対応する複数の所定の変角を求め、所望の波長の該所定の変角の反射率のみを測定し、前記測定結果として得られた反射率のみに基づいて、反射率を固有ベクトルに係数を乗じた成分を含んで表現するための前記係数を求め、求めた係数及び固有ベクトルに基づいて、前記所望の波長の該所定の変角以外の変角における反射率を推定する、ことを特徴とする。
【００１１】
本発明の反射率推定方法では、任意の変角における反射率を推定する。まず、複数の所定の変角における反射率について主成分分析する。主成分分析は、データの特徴を引き出す分析であり、本発明では、複数の変角に対する反射率の総体としてその反射率の特徴が現れる。すなわち、分析結果として得られる主成分ベクトルは、変角に対する反射率の特徴を表している。そこで、主成分分析の分析結果として得られる主成分ベクトルを固有ベクトルとし、少なくとも前記固有ベクトルに基づいて、前記所定の変角以外の変角における反射率を推定する。固有ベクトルは、変角に対する反射率の特徴を含んでいるため、固有ベクトルを求めたときの変角以外の変角に対しても有効に機能する。このため、固有ベクトルを用いれば、前記所定の変角以外の変角における反射率を推定することが可能となる。なお、反射率には、分光立体角反射率を用いることができる。
【００１２】
なお、主成分分析は、予め定めた物品の反射率を入力し、前記反射率について主成分分析することにより得られる主成分を固有値として求めかつ主成分ベクトルを固有ベクトルとして求め、前記固有値及び前記固有ベクトルに基づいて、前記所定の変角以外の変角における反射率を推定することができる。
【００１３】
予め定めた物品の既知の反射率を、分析するに充分な複数入力することで、前記主成分分析を実行することが可能となる。これらの反射率について主成分分析することにより得られる主成分を固有値として求めかつ主成分ベクトルを固有ベクトルとして求める。これにより、固有値及び固有ベクトルから、所定の変角以外の変角における反射率を推定することができる。
【００１４】
なお、反射率について前記固有値、前記固有ベクトル及び前記固有ベクトルに乗算するための係数で表した基本式を定め、前記基本式から前記所定の変角以外の変角における反射率を推定することができる。
【００１５】
反射率は、主成分分析により少なくとも固有ベクトルによる特徴量を抽出できる。そこで、反射率を固有ベクトルを用いたベクトル表現による置換が可能である。このベクトル表現では、固有値と固有ベクトルを反射率に対応させるべく、固有ベクトルに乗算するための係数を定める必要がある。このため、反射率について固有値、固有ベクトル及び固有ベクトルに乗算するための係数で表した基本式を定める。この基本式により、反射率は、主成分分析による検出結果により構築することが可能になる。これによって、基本式から前記所定の変角以外の変角における反射率を推定することができる。
【００１６】
なお、反射率について主成分分析することにより得られる平均値ベクトルを含む基本式を定め、前記基本式から前記所定の変角以外の変角における反射率を推定することができる。
【００１７】
主成分分析では、平均値ベクトルを分析結果として導出することができる。この平均値ベクトルを用いることで、所定の変角以外の変角における反射率をさらに精度よく推定することができる。
【００１８】
なお、推定対象の物品の反射率を入力し、前記基本式に基づいて、前記推定対象の物品の反射率に関する前記係数を求め、求めた係数により前記基本式を構築し、構築した基本式に基づいて前記推定対象の物品の反射率を求めることができる。
【００１９】
前記のようにして、反射率について主成分分析することにより得られる固有ベクトルを含む基本式を定めれば、この基本式から任意の変角における反射率を推定することができる。そこで、推定対象の物品の反射率を入力し、基本式に基づいて、推定対象の物品の反射率に関する係数を求める。これによって、求めた係数により基本式を、推定対象の物品の反射率について構築することができる。この構築した基本式から、入力した反射率以外の推定対象の物品の反射率を求めることができる。
【００２０】
本発明は、前記主成分分析による分析結果の主成分ベクトルについて、主成分と変角との関係について主成分ベクトルの項数毎に主成分と変角との関係を表す特性を求め、求めた特性の各々において主成分が極大値及び極小値の少なくとも一方となる対応を特徴点とし該特徴点に対応する変角を求め、求めた変角に基づいて前記所定の変角以外の変角における反射率を推定することを特徴とする。
【００２１】
主成分分析による主成分ベクトルは、多項式で表現されるように、第１の主成分ベクトルから順次項数が増加する第ｎの主成分ベクトルで表現できる。これらの全ての主成分ベクトルを採用すると、利用するデータ量も増加する。また、主成分ベクトルの項数が増加するに伴って寄与率は低下する。従って、全ての主成分ベクトルを用いなくとも所定の主成分ベクトルまでで反射率を推定するのには充分である。そこで、主成分分析による分析結果の主成分ベクトルについて、主成分と変角との関係について主成分ベクトルの項数毎に特性を求める。この場合、寄与率を求めることで、予め定めた寄与率以内の主成分ベクトルの項数を定めることができる。次に、求めた特性の各々の特徴点に対応する変角を求める。主成分ベクトルの特性の特徴点は、その主成分ベクトルの特徴を最も表すものであり、その特徴点の変角がその主成分ベクトルの特徴を最も表す。このため、求めた変角に基づいて前記所定の変角以外の変角における反射率を推定すれば、少ないデータ量で、効率的に反射率を推定することができる。
【００２２】
請求項２に記載の発明は、請求項１に記載の反射率推定方法であって、任意の変角の分光反射率分布に対して比視感度特性を含む明るさを対応させ、前記主成分分析することにより得られた前記主成分ベクトルの項数毎の主成分と変角との関係を表す特性における前記特徴点に対応する変角を求めることを特徴とする。
【００２３】
反射率は、光の波長により変動する。従って、複数の波長に応じて反射率を求めなければならない。本発明者は、光の波長に対して変動する反射率は、そもそも目視される可視光であり、それを目視するときには、視感度による影響が大きいという観点から、複数の波長に応じて反射率という概念に視感度による明るさの概念に置き換えることが可能であるという知見を得た。そこで、任意の変角の反射率分布に対して比視感度特性を含む明るさを対応させ、主成分分析することにより得られた前記主成分ベクトルの項数毎の特性の特徴点を、用いる変角とすることによって、波長全体の特徴を含む固有ベクトルや固有値を求めることができ、１波長のみのデータを用いて、複数の波長の反射率を求めることができる。
【００２４】
請求項３に記載の発明は、請求項２に記載の反射率推定方法であって、前記変角は、複数個の角度であることを特徴とする。
【００２５】
本発明者は、主成分分析により得られた多数の固有ベクトルや固有値を検討することで、その主成分ベクトルの特徴を最も表すその特徴点の変角として少なくとも２個の複数の変角が有効であるという結果を得た。さらに最も好ましい変角の個数が５個であり、この５個の変角には有効性が高い序列として優先順位があるという結果を得た。変角は、予め定めた主成分ベクトルの項数までで求まる変角、例えば第４の主成分ベクトルまでの各々の主成分ベクトルで定まる変角である。第４以上の主成分の項数までで求まる変角を用いても良いが、好ましい主成分ベクトルが第４の主成分ベクトルであった。この場合に、第１の主成分ベクトルから有効性が最も高く、第２の主成分ベクトルから徐々に低下する。このため、第１の主成分ベクトルの特徴を最も表すその特徴点の変角から２個以上の変角を用いることで、所定の変角以外の変角における反射率を容易かつ有効に推定することができる。
【００２６】
請求項４に記載の発明は、請求項３に記載の反射率推定方法であって、前記複数個の変角は、１０度，１６度，２６度，３８度，９０度のうちの少なくとも２個の角度であることを特徴とする。
【００２７】
主成分ベクトルの特徴を最も表すその特徴点の変角として５個の変角が最適な変角の値は、略１０度，略１６度，略２６度，略３８度，略９０度の角度であった。この角度について少なくとも２個以上の組み合わせについて、有効なものを以下に示す。第１が略１０度と略９０度の角度，第２が略２６度の角度，第３が略１６度と略３８度の角度の順で優先度が定まる。すなわち、複数個の変角を２変角とすれば略１０度と略９０度の２個の角度を用いれば良く、３変角とすれば略１０度、略９０度、略２６度の３個の角度を用いれば良く、４変角とすれば略１０度、略９０度、略２６度、略１６度の４個の角度または略１０度、略９０度、略２６度、略３８度の４個の角度を用いれば良く、５変角とすれば略１０度、略９０度、略２６度、略１６度、略３８度の５個の角度を用いればよい。
【００２８】
請求項５に記載の発明は、請求項１乃至請求項４の何れか１項に記載の反射率推定方法であって、前記反射率の推定は、前記変角として、１０度以上について求めることを特徴とする。
【００２９】
任意の変角における反射率を導出可能であることが最も好ましいが、変角が０度すなわち正反射方向近傍の反射率は、実測により得られるデータそのものが不安定であったり値が大きすぎたりして信頼性に欠ける場合がある。このため、これらのデータを用いると、正反射方向近傍の反射率を推定すると、得られるデータの正確性に乏しい場合がある。そこで、前記のように主成分分析を利用して反射率を推定する変角として略１０度以上について求める。これによって、得られる推定した反射率は、高精度になる。
【００３０】
請求項６に記載の発明は、請求項５に記載の反射率推定方法であって、前記反射率を推定した後に、１０度未満の変角について、１０度以上の３個の変角を用いて重回帰分析することにより推定することを特徴とする。
【００３１】
略１０度以上について反射率を推定できても、画像を表示させる場合には画像の連続性から正反射方向近傍の反射率の推定も必要である。そこで、前記のように略１０度以上の変角について主成分分析を利用して反射率を求めたときに用いた変角のデータを利用して、正反射方向近傍である略１０度未満の変角について反射率を推定する。このようにすれば、略１０度未満の変角から略１０度以上の変角の各々の反射率について、急激な変動が現れることなく滑らかに変動する反射率を求めることができる。この場合の推定は、重回帰分析が好ましく、また補間処理でもよく、また時系列分析でもよい。
【００３２】
請求項７に記載の発明は、請求項５または請求項６に記載の反射率推定方法であって、前記反射率を推定した後に、９０度を越える変角について、１０度以上でかつ９０度未満の３個の変角を用いて重回帰分析することにより推定することを特徴とする。
【００３３】
また、画像を表示させる場合には画像の連続性から光の出射側すなわち再帰反射方向近傍の反射率の推定も必要である。そこで、前記のように略１０度以上でかつ略９０度未満の変角について主成分分析を利用して反射率を求めたときに用いた変角のデータを利用して、光の出射側すなわち再帰反射方向近傍までを含むことが可能な略９０度を越える変角について反射率を推定する。このようにすれば、略９０度以上の変角の各々の反射率について、急激な変動が現れることなく滑らかに変動する反射率を求めることができる。この場合の推定は、重回帰分析が好ましく、また補間処理でもよい。また、主成分ベクトルの外挿処理を用いてもよく、また時系列分析でもよい。
【００３４】
請求項８に記載の発明は、請求項６または請求項７に記載の反射率推定方法であって、前記３個の変角は、１０度，２６度，３８度であることを特徴とする。
【００３５】
変角について反射率を推定するときに用いた主成分ベクトルの特徴を最も表すその特徴点の変角は、略１０度，略２６度，略３８度の３つの角度が好ましい角度であった。
【００３７】
【発明の実施の形態】
以下、図面を参照して本発明の実施の形態の一例を詳細に説明する。本実施の形態は自動車のイメージ出力として自動車の外装の塗装色（外板色）等の色を伴う物品をデザインするときの色表現に用いて好適な反射率の推定に本発明を適用したものである。
【００３８】
〔第１実施の形態〕
例えば、コンピュータ・グラフィクス（ＣＧ）では、現実感のある自動車のイメージ出力について、現実感を向上させるために、自動車などの物品を正確に表現するため、物品の反射率を測定し、その反射率により物品の色を再現する。
【００３９】
本発明の実施の形態では、物品の色を再現するための物理量として、反射率を対象とし、物品の表面の分光反射率を用いる。なお、この分光反射率は、複雑な形状の試料、例えば繊維やメタリック塗装等の面では計測器の受光方向によって異なる値で計測されることがあるため、本実施の形態では、分光反射率として、物品への入射角及び物体で反射された光を受光する受光素子への受光角等を変角することによる立体的な分光反射率である分光立体角反射率（以下、単に反射率という。）を用いる。なお、本発明は、分光立体角反射率に限定されるものはなく、単に反射率を採用することもできる。
【００４０】
図２に示すように、本実施の形態のＣＧ用反射率推定装置は、パーソナルコンピュータ１６を備えている。このパーソナルコンピュータ１６は、色データ等を入力するためのキーボード１０、予め記憶されたプログラムに従って所望の反射率を推定するための関連したデータを演算するコンピュータ本体１２、及びコンピュータ本体１２の演算結果である反射率等を表示するＣＲＴ１４から構成されている。コンピュータ本体１２は、ＣＰＵ，ＲＯＭ，ＲＡＭを含んで構成されており、また、後述する反射率等のデータを記憶するためのメモリを有している。
【００４１】
まず、本発明の概要を説明する。物品の反射率は、任意の変角において変動するが、本発明者は、複数の所定の変角における反射率を主成分分析することで、反射率についての特徴を求めることができ、その特徴量から、複数の変角に対する反射率を推定できるという知見を得た。すなわち、主成分分析により得られる主成分ベクトルは、変角に対する反射率の特徴を表しており、本実施の形態では、主成分分析の分析結果として得られる主成分ベクトルである固有ベクトルを用いて所定の変角以外の変角における反射率を推定するものである。以下、原理乃至反射率の推定について詳説する。
【００４２】
〔主成分分析の原理〕
ここでは、ベクトルＸが、主成分分析により得られるベクトルμと、固有ベクトルｂと、係数ｋによって再構成することができることを説明する。
【００４３】
先ず、分析対象となるデータをｐ次元の実ベクトルＸで表現する。この実ベクトルＸはランダムで、期待値Ｅはベクトルμを用いて次の（１）式で定義する。
【００４４】
Ｅ［Ｘ］＝μ    ・・・（１）
ここで、仮のベクトルＸ’をＸ’＝Ｘ−μと定義すると、上記の（１）式は次の（２）式で表すことができる。
【００４５】
Ｅ［Ｘ’］＝０    ・・・（２）
また、仮のベクトルＸ’を実ベクトルＸと仮定すると、次の（３）式で表すことができる。
【００４６】
Ｅ［Ｘ］＝０    ・・・（３）
以下の説明では、（３）式に示すように、仮のベクトルＸ’を実ベクトルＸと仮定して説明する。
【００４７】
図３に示すように、原点Ｏから単位ベクトルｂ方向の直線ｌについて、ベクトルＸから直線ｌに至る距離ｌ1は、次の（４）式で表すことができる。
【００４８】
ｌ1＝（Ｌ2−ａ2）1/2    ・・・（４）
原点ＯからベクトルＸまでの距離Ｌは定数であるので、距離ｌ1を最小にするためには、距離ａを最大にすればよい。
【００４９】
ここで、単位ベクトルｂは｜ｂ｜＝１であるため、距離ｌ1は、次の（５）式で表すことができる。
【００５０】
ｌ1＝ＸT・ｂ＝ｂT・Ｘ    ・・・（５）
ただし、ＸTは、ベクトルＸの転置ベクトルである。ここで、ベクトルＸと転置ベクトルｂTを次の（６）、（７）式で定義すると、距離ａは、（８）式で表すことができる。
【００５１】
Ｘ ＝（ｘ1，ｘ2，・・・，ｘp）    ・・・（６）
ｂT＝（ｂ1，ｂ2，・・・，ｂp）    ・・・（７）
ａ＝ＸTｂ＝ｂTＸ
＝ｂ1ｘ1＋ｂ2ｘ2＋・・・＋ｂpｘp    （８）
この距離ａの期待値Ｅ［ａ］と分散Ｅ［ａ2］は次の（９）、（１０）式で表すことができる。
【００５２】
期待値Ｅ［ａ］＝Ｅ［ＸTｂ］＝Ｅ［ＸT］ｂ    ・・・（９）
分散Ｅ［ａ2］＝Ｅ［ａａT］＝Ｅ［ｂTＸＸTｂ］
＝ｂＥ［ＸＸT］ｂ＝ｂTＲｂ    ・・・（１０）
ただし、ＲはベクトルＸの共分散行列であり、実対象行列である。
【００５３】
すなわち、固有値は全て正または「０」である。この分散は、単位ベクトルｂの関数であるから、次の（１１）式で表すことができる。
【００５４】
Ψ（ｂ）＝ｂTＲｂ＝σ2  ・・・（１１）
（１１）式に示す分散Ψ（ｂ）が極値を有する単位ベクトルｂは、共分散行列Ｒの固有ベクトルとなる。次に、この固有ベクトルについて説明する。
【００５５】
ここでは、ラグランジェの未定係数法を用いて、次の（１２）式により距離Ｌを定め、（１３）式に示すように（１２）式をｂで微分して「０」とおくと、（１４）式が得られる。
【００５６】
Ｌ＝ｂTＲｂ＋ｌ（１−ｂTｂ）    ・・・（１２）
（∂Ｌ／∂ｂ）＝２Ｒｂ−２ｌｂ＝０    ・・・（１３）
Ｒｂ＝ｌｂ    ・・・（１４）
この（１４）式を満たす定数ｌは固有値で、単位ベクトルｂは固有値に対応する固有ベクトルである。
【００５７】
固有値：｛ｌ1，ｌ2，・・・，ｌp｝
固有ベクトル｛ｂ1，ｂ2，・・・，ｂp｝    ・・・（１５）
ここで、共分散行列Ｒの固有値を｛ｌ1，ｌ2，・・・，ｌp｝とすると（ただし、ｌ1＞ｌ2＞，・・・，＞ｌp）、（１４）式は次の（１６）式で表すことができる。
【００５８】
Ｒｂj＝ｌjｂj，ｊ＝１，２，・・・，ｐ    ・・・（１６）
次に、単位ベクトルｂの集合[ｂ1，ｂ2，・・・，ｂp]を、次の（１７）で定義すると、（１８）式が成立する。
【００５９】
Ｕ＝[ｂ1，ｂ2，・・・，ｂp]    ・・・（１７）
ＲＵ＝ＵΛ    ・・・（１８）
ただし、
【００６０】
【数１】
0003941569.tif 000002
【００６１】
Ｕは正規直行行列であり、次の（２０）式が得られ、（２１）式が成立する。
【００６２】
ＵTＵ＝Ｉ    ・・・（２０）
Ｕ-1＝ＵT    ・・・（２１）
但し、Ｉは単位行列である。
【００６３】
すなわち、次の（２２）、（２３）式が成立する。
【００６４】
ＵTＲＵ＝Λ    ・・・（２２）
Ψ（ｂi）ｂiTＲｂi＝ｂTｌiｂi＝ｌi    ・・・（２３）
これにより、次の（２４）式の関係が成立する。
【００６５】
Ψ（ｂ1）＞Ψ（ｂ2）＞・・・＞Ψ（ｂp）    ・・・（２４）
ここで、ベクトルＸを規定ｂ1，ｂ2，・・・、ｂpで表わすと共に、ベクトルＸの基底ｂj上の射影をｋjとすると、次の（２５）式で表現できる。
【００６６】
ｋj＝ｂjTＸ＝ＸTｂj    ・・・（２５）
但し、ｊ＝１，２，・・・，ｐ
（２５）式を展開すると、
ｋ1＝ｂ1TＸ
ｋ2＝ｂ2TＸ
：
ｋp＝ｂpTＸ
と表すことができ、行列表現すると、（２６）式で表すことができる。
【００６７】
【数２】
0003941569.tif 000003
【００６８】
従って、（２７）式に示すように、ベクトルｋは、転置行列ＵとベクトルＸとの乗算により得ることができる。
【００６９】
ｋ＝ＵTＸ    ・・・（２７）
この（２７）式をベクトルＸで表現し直し、多項式形式で表現すると、次の（２８）、（２９）式となる。
【００７０】
【数３】
0003941569.tif 000004
【００７１】
以上のようにして、ベクトルＸが固有ベクトル｛ｂ1，ｂ2，・・・，ｂp｝を用いて再構成できる。
【００７２】
ところで、ここでのベクトルＸは、仮のベクトルＸ’であるので、（１）、（２）式を用いて、これを戻すと、次の（３２）式が得られる。
【００７３】
Ｘ＝μ＋ｋ1ｂ1＋ｋ2ｂ2＋・・・＋ｋpｂp    ・・・（３２）
但し、ｋi＝ｂiTＸ＝ＸTｂi    ・・・（３３）
ｉ＝１，２，・・・，ｐ
従って、ベクトルＸはベクトルμと、固有ベクトル｛ｂ1，ｂ2，・・・，ｂp｝と、係数｛ｋ1，ｋ2，・・・，ｋp｝で再構成することが可能になる。
【００７４】
〔誤差〕
上記では、多次元の固有ベクトル｛ｂ1，ｂ2，・・・，ｂp｝で説明したが、データ量が増大する。このため、ここでは、情報量を低下することなく低次元化することを説明する。
【００７５】
すなわち、固有ベクトル｛ｂ1，ｂ2，・・・，ｂp｝のｐ個の直交軸の中で、分散の大きな軸を残して、小さな軸を削除することによって、情報量をあまり落とすことなく低次元化が実現できる。
【００７６】
まず、ベクトルＸを示す（３２）式は、次の（３４）式である。
【００７７】
【数４】
0003941569.tif 000005
【００７８】
ここで、固有値の大きな方からｍ個（ｍ＜ｐ）の軸を選択し、選択したｍ個の固有値による新しいベクトル＊Ｘを、次の（３５）式で表す。
【００７９】
【数５】
0003941569.tif 000006
【００８０】
このときの誤差ｅは、Ｘ−＊Ｘであり、この誤差ｅに関しては、次の（３６）式で表すことができる。
【００８１】
【数６】
0003941569.tif 000007
【００８２】
ここで、誤差ｅはベクトル＊Ｘと直交する。これを直交性の原理（principle of orthogonality）という。従って、固有ベクトルｂのｐ個の直交軸の中で、分散の大きな軸を残存させて小さな軸を削除すれば情報量をあまり低下することなく低次元化を実現することができる。
【００８３】
〔反射率の推定原理〕
次に、上述の主成分分析の原理に基づいた主成分分析による反射率の推定原理について説明する。
【００８４】
図４に示す条件で、物品（試料）の反射特性を計測する。図４に示すように、光源２２の入射角θでかつ、反射角が入射角θと同一角度である方向２４を正反射方向という。この正反射方向２４から法線の側に向かう方向の角度を変角αで表す。
【００８５】
図５は、変角αと反射率の関係を表す特性図である。反射率は、波長λによって変動するので、任意の波長λｉにおける変角｛α1，α2，・・・，αp｝におけるそれぞれの反射率を｛ρ1，ρ2，・・・，ρp｝と表す。
【００８６】
まず、任意の波長λｉにおいて、変角｛α1，α2，・・・，αp｝における反射率を、次の（３８）式に示すベクトルＸで表現する。
【００８７】
Ｘi＝｛ρi1，ρi2，・・・，ρip｝T    ・・・（３８）
また、Ｎ個の波長λｉについての変角｛α1，α2，・・・，αp｝の反射率データのうち、ｊ番目のベクトルＸのサンプル（反射率データ）が、ｊ＝１，２，・・・，Ｎであるとし、ｊ番目のサンプルを、次の（３９）式で定義する。
【００８８】
Ｘij＝｛ρi1j，ρi2j，・・・，ρipj｝T    ・・・（３９）
なお、ここでの説明では、波長λｉに固定して説明する。
【００８９】
上記の（１５）式に示すように、主成分分析の原理の欄で説明したようにして得られた固有値ｌと固有ベクトルｂを用い、その固有ベクトルｂを次の（４０）と定義すると、（３２）式より、（４１）式を導出できる。
【００９０】
ｂij＝｛ｂi1j，ｂi2j，・・・，ｂipj｝T    ・・・（４０）
Ｘij＝μi＋ｋi1jｂi1＋ｋi2jｂi2＋・・・＋ｋipjｂip  ・・・（４１）
次の表には、サンプルと変角に対応する反射率の関係を示した。
【００９１】
【表１】
0003941569.tif 000008
【００９２】
ここで、ベクトルμは、平均値ベクトルであり、次の（４２）式で表すことができる。
【００９３】
μi＝｛μi1，μi2，・・・，μip｝T    ・・・（４２）
ただし、
【００９４】
【数７】
0003941569.tif 000009
【００９５】
また、
固有値ｌ｛ｌ1，ｌ2，・・・，ｌp｝、及び固有ベクトルｂである、ｂij＝｛ｂi1j，ｂi2j，・・・，ｂipj｝Tは、次の（４５）式を満たす固有値と固有ベクトルである。
【００９６】
Ｒiｂij＝ｌijｂij    ・・・（４５）
（但し、ｊ＝１，２，・・・，ｐ）
を満たす固有値と固有ベクトルである。
但し、
【００９７】
【数８】
0003941569.tif 000010
【００９８】
ここで、ベクトル表記の（４１）式を要素表記で表すと、次の（４９）式となる。
【００９９】
【数９】
0003941569.tif 000011
【０１００】
この（４９）式について、第１主成分ベクトル〜第ｐ主成分ベクトルのうち第１主成分〜第ｍ主成分ベクトルで表現すると、次の（５０）式になる。
【０１０１】
【数１０】
0003941569.tif 000012
【０１０２】
この式から理解されるように、任意の変角αの反射率ρは、平均値ベクトルμ、固有ベクトルｂ、係数ｋにより表現することができる。従って、物品について計測した既知の反射率を用いて、係数ｋを求めれば、既知の変角の反射率以外の変角における反射率を、上記式から導出することができる。この式を係数ｋについて解くと、次式となる。
【０１０３】
【数１１】
0003941569.tif 000013
【０１０４】
但し、この場合、波長を設定しているので、求める反射率は、波長λｉについて全ての波長で実施する。
【０１０５】
〔反射率の推定〕
以上説明した概要及び原理に従って、本実施の形態の作用を説明する。
ＣＧ用反射率推定装置の電源が投入され、パーソナルコンピュータ１６が動作を開始すると、図６に示す処理ルーチンが実行され、ステップ１００へ進む。ステップ１００では、変角として１０度以上の角度について反射率（例えば分光立体角反射率）を推定する。次のステップ２００では、変角として１０度未満の角度について反射率を推定する。次のステップ３００では、ステップ１００及びステップ２００で求めた反射率を合成し、全ての変角についての反射率を導出し、本ルーチンを終了する。
【０１０６】
上記、変角として１０度を境界として反射率の推定を分離したのは、物品の正反射方向２４の反射率を主成分分析により推定する場合、測光データがばらつくなどによって不安定なデータとなる場合があるので、推定結果の精度向上を図るために分離している。
【０１０７】
本発明者は、正反射方向２４として正反射データを得る変角０度の近傍の角度として略１０度が最も好ましい変角であるという実験結果を得た。これは、上記原理の欄で説明した主成分分析をするときに、変角の境界値が略１０度より小さくなると、その分析結果が不安定になるというものである。
【０１０８】
そこで、本実施の形態では、変角の境界値を１０度として、１０度未満の変角についての反射率推定（正反射近傍推定）と、１０度以上の変角についての反射率推定（主要変角推定）とを異なる推定処理を実施する。すなわち、１０度以上の変角についての反射率推定は、上述の原理で説明した多変量解析の主成分分析により推定し、１０度未満の変角についての反射率推定は、それ以外の推定処理を実施する。１０度未満の変角についての反射率推定の一例には、実測データの挿入、多変量解析の重回帰分析や補間処理がある。
【０１０９】
次に、上記ステップ１００の詳細を説明する。ステップ１００の１０度以上の変角についての反射率推定（主要変角推定）処理では、図１に示す処理ルーチンが実行される。
【０１１０】
ステップ１０２では、測光データを得るためのサンプル（ｊ＝１，２，・・・，Ｎ）を設定し、次のステップ１０４において反射率を測定する。なお、サンプルの反射率は、反射率計測器（例えば、分光立体角反射率計測器）で測定してもよく、また、測定値を記憶したデータを読み取ってもよく、またキーボードから入力してもよい。次のステップ１０６では、上記反射率の推定原理の欄で説明したように、波長λｉを固定するために、任意の波長λｉを設定する。これにより、任意の波長λｉについての変角に対する反射率すなわち測光データを得ることができる。
【０１１１】
次のステップ１０８では、ステップ１０６により設定された測光データを用いて、上述の主成分分析の原理で説明した主成分分析を開始し、次のステップ１１０において主成分分析により得られた固有値ｌと、固有ベクトルｂとを導出する。なお、このステップ１１０において、平均値ベクトルμも導出する。
【０１１２】
次のステップ１１２では、反射率を推定する物品の既知の反射率を読み取る。ここで読み取る反射率の個数は、上述の変数ｍに対応する個数である。この読み取った既知反射率を基にして、次のステップ１１４では、上記係数を導出する式を用いて、係数ｋを導出する。これにより上記（５０）式の反射率の基本式が求まる。次のステップ１１６では、ステップ１１４で求めた基本式によって、任意の変角における反射率を導出する。ここで導出される反射率は、ステップ１１２で読み取った変角以外の変角の反射率を含むものである。
【０１１３】
そして、次のステップ１１８では、上記ステップ１０６で設定した波長が全ての波長例えば可視光の波長範囲（例えば４００ｎｍ〜７００ｎｍ）について上記処理を終了したか否かを判断し、肯定された場合には、上記処理を繰り返し実行し、肯定されると、本ルーチンを終了する。なお、ステップ１０６で設定する波長は、反射率データとして用いるときの波長範囲内で色再現に充分な波長域例えば、１０ｎｍ毎に設定することが好ましい。
【０１１４】
次に、上記ステップ２００の詳細を説明する。本実施の形態では、ステップ２００の１０度未満の変角についての反射率推定（正反射近傍推定）処理は、例えば、実測データを挿入することによってなされる。例えば、変角α＝０，１，２，・・・，９度の各々の変角について反射率を実測する。この実測データを用いて反射率とする。
【０１１５】
実測データを用いた反射率は、誤差を伴うが、ある程度滑らかなカーブを得ることができる。なお、実測データを得るための変角すなわち測定角度は、１０＋５＝１５の角度を実測することが好ましい。
【０１１６】
なお、１０度未満の変角について、サンプルの反射率を実測し、１０度以上の反射率とが滑らかに連続するようにデータを補間するようにしてもよい。これによって、変角が０度から９０度まで、滑らかに連続する反射率を得ることができる。
【０１１７】
このように、本実施の形態では、主成分分析により得られる固有ベクトルを用いて導出される反射率の基本式によって、既知の測定データとして変角に対応する反射率以外の変角の反射率を容易に求めることができるので、測定データを削減して所望の反射率を得ることができる。
【０１１８】
なお、上記ステップ２００における１０度未満の変角についての反射率推定は、１０度未満の変角についての反射率を測定した測定結果にばらつきが多く誤差が大きくなるので、測定値を忠実に再現しても、その再現結果は信頼性が低くなる。ところが、ＣＧなどの画像表示をする場合、データを用意しないと画像表示そのものが表示できない。このため、１０度未満の変角についての反射率のデータが必要になる。
【０１１９】
このような画像表示をする場合には、用いる反射率の信頼性より画像表示の滑らか性を重要視するときがある。すなわち、変角を連続的に変動させたときの反射率が急激に変動すると、その急激な反射率変動の変角で画像表示がちらついたり色とびがあったりしてユーザの違和感が増大する。
【０１２０】
そこで、上述のように効率的に推定した１０度以上９０度以内の反射率特性の傾向を維持しつつ滑らかに連続する反射率特性を推定することが好ましい。このため、本実施の形態では、一例として実測データを挿入する処理を説明した。
【０１２１】
〔第２実施の形態〕
上記実施の形態では、反射率を波長λｉごとに取り扱った。本実施の形態では、反射率を波長λｉごとに扱うのではなく、例えば可視光の波長域について全体の特徴を把握しつつ扱うものである。本実施の形態では、波長域について全体の特徴を把握するため、明るさを用いている。なお、本実施の形態は、上記実施の形態と略同様の構成であり、同一部分には同一符号を付して詳細な説明を省略する。
【０１２２】
なお、本実施の形態では、入射角θとして通常利用される４５度に代えて６０度を用いている。これは、以下に説明するように第１乃至第５主成分ベクトルから求める代表変角として９０度を採用できるためである。
【０１２３】
本発明者は、波長域について全体の特徴を把握するために明るさを用いることによって、特徴的な変角が存在するという知見を得た。この特徴的な変角の決定と、その決定した変角による反射率の推定についての概要及び原理を説明する。
【０１２４】
〔代表変角の決定〕
物体の色は、その物体を目視したときの眼球への入射光の分光分布（分光放射輝度）から求めることができる。分光放射輝度Ｉ（λ）は、例えば太陽等の主要な光源などの光から求めることができる。この分光放射輝度Ｉ（λ）に対して標準比視感度ｙ（λ）と呼ばれる感度特性を考慮することで、明るさを表現することができる。
【０１２５】
そこで、本実施の形態では、上記（５０）式などで用いた反射率ρikjに代えて、次の（５１）、（５２）式に示す明るさＹを用いる。
【０１２６】
【数１２】
0003941569.tif 000014
【０１２７】
この（５１）、（５２）式に示す明るさＹを用いて、上述の主成分分析を行い、主成分ベクトル（固有ベクトル）と固有値を求める。この分析結果で、主成分ベクトル毎に特徴を見いだすと、その特徴が波長域について全体の特徴を、主成分ベクトル毎のものであると理解できる。
【０１２８】
図７には、主成分分析による分析結果による第１主成分ベクトルから第５主成分ベクトルを示した。また、この主成分分析による分析結果を第１主成分ベクトルから第５主成分ベクトルまでの主成分ベクトル毎に図示すると、図８に示すように、主成分ベクトル（固有ベクトル）毎の変角に対する特性は、主成分ベクトルの各々について異なる特徴点を有している。なお、ここでは、第１主成分ベクトルから第５主成分ベクトルまでの主成分ベクトルを想定しているが、第６主成分ベクトル以上に適用してもよい。この特徴点とは、主成分ベクトル（固有ベクトル）の各々について変角に対する特性の極大値や極小値となる変角をいう。
【０１２９】
具体的には、第１主成分ベクトルについては、図８（Ａ）に示すように、徐々に値が減少する単調減少特性であり、その両端である１０度と９０度とに特徴があると解せる。第２主成分ベクトルについては、図８（Ｂ）に示すように、徐々に値が増加する単調増加特性であり、第１主成分ベクトルと同様に、その両端である１０度と９０度とに特徴があると解せる。第３主成分ベクトルについては、図８（Ｃ）に示すように、極大値まで徐々に増加した後に徐々に値が減少する１極大値を有する特性であり、その極大値である２６度に特徴があると解せる。第４主成分ベクトルについては、図８（Ｄ）に示すように、極大値まで徐々に増加した後に極小値まで徐々に値が減少した後に徐々に値が増加する１極大値と１極小値を有する特性であり、その極大値である１６度と極小値である３８度に特徴があると解せる。第５主成分ベクトルについては、第４主成分ベクトルの特性と同様で、図８（Ｅ）に示すように、極大値まで徐々に増加した後に極小値まで徐々に値が減少した後に徐々に値が増加する１極大値と１極小値を有する特性であり、その極大値である２３度と極小値である４６度に特徴があると解せる。
【０１３０】
これらのことを纏めると、次の表２を得る。
【０１３１】
【表２】
0003941569.tif 000015
【０１３２】
ここで、特徴点とはグラフの最大または最小値、極大点または極小点となる点である。
【０１３３】
また、主成分ベクトルの各々の寄与率という概念を導入すると、次の表３を得ることができる。
【０１３４】
【表３】
0003941569.tif 000016
【０１３５】
この表から理解されるように、第３主成分ベクトル以上の各主成分ベクトルで累積寄与率が９９．９％となる。従って、主成分ベクトルは第１及び第２主成分ベクトルを考慮すれば、ほぼ９９％以上の寄与率で考慮でき、第１乃至第３主成分ベクトルを考慮すれば、９９．９％以上の寄与率で考慮でき、第４主成分ベクトルを含むことで、９９．９７％以上の寄与率で考慮でき、さらに第５主成分ベクトルを含むことで、９９．９９％以上の寄与率で考慮することができる。本発明者は、第５主成分ベクトルまでを考慮すれば、特徴部分を抽出するのに充分であるという見解を得た。すなわち、第２主成分ベクトルまでを考慮すれば、特徴部分を抽出でき、好ましくは、第３主成分ベクトルまでを考慮し、さらに好ましくは、第４主成分ベクトルまでを考慮し、最も好ましくは、第５主成分ベクトルまでを考慮すればよい。
【０１３６】
本発明者は、累積寄与率が９９．９％以上となる主成分ベクトルのうち、第４主成分ベクトルの９９．９８％と、第５主成分ベクトルの９９．９９％との寄与率に差異が少ないことを考慮して、より少ないデータで反射率推定を可能とするため、第４主成分ベクトルまでを考慮すればよい、という知見を得て、次の特徴点を見いだした。すなわち、代表となる変角は、第１主成分から順に第４主成分ベクトルまでの特徴点で、
１０°，９０°，２６°，３８°，１６°
の５つの変角にあるという見解に至った。
【０１３７】
すなわち、波長域全体の特徴を把握することが可能な変角は、１０°，１６°，２６°，３８°，９０°である。以下の説明では、この５つの変角を用いる。
【０１３８】
なお、本発明者は、これらの５つの変角｛１０°，１６°，２６°，３８°，９０°｝の角度は、最も効果的な角度であり、僅かなずれ例えば１度のズレが生じた場合、精度が悪化するという実験結果を得た。しかし、これらの変角の角度は、角度を規定する計測装置の誤差により変動することが予測される。このため、５つの変角｛１０°，１６°，２６°，３８°，９０°｝の角度は、測定誤差の許容範囲内であればこの数値に限定されるものではない。また、精度悪化が生じるものの５つの変角｛１０°，１６°，２６°，３８°，９０°｝の角度近傍であれば効果的であることから、５つの変角について近傍の変角についても有効に機能する場合がある。
【０１３９】
また、これら５つの変角は、その寄与率により優先度合いが変動するという結果も得た。すなわち、波長域全体の特徴を把握することが可能な変角は、１０°と９０°の変角が最も優先度が高く、２６°の変角が次に高く、１６°と３８°の変角が次に高い。従って、５つのうちの２つ以上の変角を用いれば好ましい変角の利用となる。例えば、２つの変角を用いる場合には、１０°と９０°の２つの変角を用いることが好ましく、３つの変角を用いる場合には、１０°と９０°と２６°の３つの変角を用いることが好ましい。また、４つの変角を用いる場合には、１０°と９０°と２６°と１６°の４つの変角または１０°と９０°と２６°と３８°の４つの変角を用いることが好ましい。
【０１４０】
〔反射率の推定原理：変角１０度以上〕
次に、上述の主成分分析の原理及び変角の決定の欄で説明した項目に基づいた主成分分析による反射率の推定原理について説明する。
【０１４１】
変角をα＝１０，１１，１２，・・・，９０（度）とすると、上述の変数ｐ＝８１となる。このときの代表変角としては、上記の変角α＝１０，１６，２６，３８，９０を用いる。上記（５０）式を、５つの変角αについて、書き直すと、次の（５４）式になる。この（５４）式を係数ｋで書き直すと、（５５）式になる。
【０１４２】
【数１３】
0003941569.tif 000017
【０１４３】
【数１４】
0003941569.tif 000018
【０１４４】
これらの式から理解されるように、任意の変角αの反射率ρを求めるための基本式（（５０）式）を規定する係数ｋは、５つの代表変角α（＝１０，１６，２６，３８，９０）に対する反射率が入力されれば求まる。従って、物品について計測した既知の反射率を用いて、係数ｋを求めれば、既知の変角の反射率以外の変角における反射率を、上記式から導出することができる。
【０１４５】
なお、（５０）、（５５）式は、波長λｉを考慮に入れればテンソルを含む式となる。
【０１４６】
〔反射率の推定〕
以上説明した概要及び原理に従って、本実施の形態の作用を説明する。まず、図６のステップ１００に関する推定手順の概要を説明する。
【０１４７】
まず、波長λｉを決定し（手順１）、ｊ＝１，２，…，Ｎのサンプルよって（４５）式から第１〜第５主成分ベクトル｛ｂ1、ｂ2、…、ｂ5｝を求め（手順２）、任意の物体の変角（１０，１６，２６，３８，９０）における反射率ρ10i，ρ16i，ρ26i，ρ38i，ρ90i，を入力して上記（５５）式を用いて係数｛ｋ1、ｋ2、…、ｋ5｝を求め（手順３）、上記（５０）式より波長λｉにおける変角（１０，１６，２６，３８，９０）を求め（手順４）、全ての波長｛λ1、λ2、…｝について繰り返し実行する（手順５）。
【０１４８】
詳細には、ステップ１００の１０度以上の変角についての反射率推定（主要変角推定）処理では、図９に示す処理ルーチンが実行される。
【０１４９】
ステップ１２０では、上記原理で説明した変角の設定処理として、図１０に示す処理ルーチンが実行される。図１０のステップ１４０では、測光データを得るためのサンプル（ｊ＝１，２，・・・，Ｎ）を設定し、次のステップ１４２においてそのサンプルの明るさを測定する。なお、サンプルの明るさは、計測器で測定してもよく、また、測定値を記憶したデータを読み取ってもよく、またキーボードから入力してもよい。次のステップ１４４では、上記反射率の推定原理の欄で説明したように、（５１）、（５２）式に示す明るさＹを用いて、主成分分析を開始し、次のステップ１４６において主成分分析により得られた固有値ｌと、固有ベクトルｂとを導出する。なお、このステップ１１０において、平均値ベクトルμも導出する。
【０１５０】
次のステップ１４８では、主成分分析の分析結果で、主成分ベクトル毎の特徴を表す特徴点を導出する。この特徴点は、主成分ベクトル毎の特性の極大や極小の値であり、所定の主成分ベクトル（本実施の形態では第４主成分ベクトル）について求める。また、このとき、累積寄与率も求める。
【０１５１】
次のステップ１５０では、利用する固有ベクトルの範囲を求める。すなわち、累積寄与率が所定値以上の主成分ベクトルを定める処理であり、本実施の形態では、累積寄与率が９９．９８％の第４主成分ベクトルまでを対象として導出する。次のステップ１５２では、第４主成分ベクトルまでの特徴点すなわち変角を利用する変角（本実施の形態では、１０°，９０°，２６°，３８°，１６°の５つの変角）として導出する。
【０１５２】
以上のようにして利用する変角の設定が終了すると、図９のステップ１２２へ進み、測光データを得るためのサンプル（ｊ＝１，２，・・・，Ｎ）を設定し、次のステップ１２４において反射率を測定する。なお、サンプルの反射率は、反射率計測器（例えば、分光立体角反射率計測器）で測定してもよく、また、測定値を記憶したデータを読み取ってもよく、またキーボードから入力してもよい。
【０１５３】
次のステップ１２６では、任意の波長λｉを設定し（手順１）、次のステップ１２８において、上記と同様にして主成分分析を開始し、次のステップ１３０において主成分分析により得られた固有値ｌと、固有ベクトルｂと、平均値ベクトルμとを導出する。このステップ１３０では、上述のように、係数ｋを算出するための第１主成分ベクトル乃至第５主成分ベクトルの固有値及び固有ベクトルを抽出する（手順２）。
【０１５４】
次のステップ１３２では、推定対象となる物品の反射率を読み取る。この反射率は、上記設定した５つの変角について測定した測定データである。この読み取った既知反射率を基にして、次のステップ１３４では、上記係数を導出する（５５）式を用いて、係数ｋを導出する（手順３）。これにより上記（５０）式の反射率の基本式が求まる。次のステップ１３６では、ステップ１３４で求めた係数ｋによる基本式によって、ｐ＝８１でかつｍ＝５として、任意の変角における反射率を導出する（手順４）。
【０１５５】
そして、次のステップ１３８では、上記ステップ１０６で設定した波長が全ての波長例えば可視光の波長範囲（例えば４００ｎｍ〜７００ｎｍ）について上記処理を終了したか否かを判断し、肯定された場合には（手順５）、上記処理を繰り返し実行し、肯定されると、本ルーチンを終了する。
【０１５６】
なお、本実施の形態では、上記実施の形態と同様にして、ステップ２００の１０度未満の変角について、反射率を推定（正反射近傍推定）する。
【０１５７】
以上説明したように、本実施の形態では、反射率に代えて明るさの概念を導入することで例えば可視光の波長域について全体の特徴を把握しつつ扱って特徴点である変角を見いだし、その特徴点である変角について基本式を導出できる。これによって、反射率の特徴的な変角の測定データを用いるのみの少ないデータによって、任意の変角に対する反射いるを容易に求めることが可能となる。
【０１５８】
図１１、図１２、図１３、図１４には、異なるサンプルに対して、本実施の形態における主成分分析による反射率の推定を含む、変角が０度から９０度までの反射率の特性について、推定結果の特性と、そのサンプルの実測値の特性とを示した。これらの図から理解されるように、実測データに近似した推定結果が得られた。また、推定結果では、実測データの補間機能を有することも理解できる。すなわち、実測データは、その測定条件などで、ばらつきを有する場合すなわち特性曲線が微妙に変動する場合があるが、推定結果では、これを補間した連続的な変動の反射率特性が得られる。これは、主成分分析により、変角の変動に対してその特徴部分を反映した反射率を推定しているためであることが想定される。
【０１５９】
なお、１０度未満の変角についての反射率推定では、誤差が大きくなるので信頼性は低いが、ＣＧなどの画像表示をする場合には必要である。連続的な変角変動による画像表示をする場合には、画像表示の滑らか性を重要視することが有効である。
【０１６０】
上記実施の形態では、一例として実測データを挿入したり補間したりする処理を説明した。ところで、上述のように効率的に推定した１０度以上９０度以内の反射率特性の傾向を維持しつつ滑らかに連続する反射率特性を推定するためには、上記主成分分析により得られたデータを用いた外挿処理が好ましい。この外挿処理は、反射率そのものを外挿すること、例えば第１乃至第５の主成分ベクトルを外挿することが有効である。この外挿には、重回帰分析や時系列分析が知られている。
【０１６１】
外挿処理のうち、反射率そのものを外挿することでは、物品面（塗装面）毎に、波長毎に実施しなければならないため、工程が増大する。一方、例えば第１乃至第５の主成分ベクトルを外挿することでは、波長毎に実施するのは同様だが塗装面毎には５つの変角の反射率が求まれば容易に外挿が可能である。
【０１６２】
このため、変角１０度未満の反射率推定には、反射率そのものを外挿したり第１乃至第５の主成分ベクトルを外挿したりすることが好ましい。
【０１６３】
〔第３実施の形態〕
上記実施の形態では、主に、１０度以上の変角に対する反射率を推定した。本実施の形態では、測定データが不安定になりやすい１０度未満の正反射方向近傍の変角における反射率を推定するものである。なお、本実施の形態は、上記実施の形態と略同様の構成であり、同一部分には同一符号を付して詳細な説明を省略する。
【０１６４】
変角１０度未満の反射率は、誤差成分が多いため、主成分分析では除外している。ところが、上記のようにＣＧでは、画像の連続性を確保するため、変角１０度未満の反射率が必要である。この変角１０度未満の反射率の推定は、上述のように、実測データを用いたり補間処理したりして推定することが可能であるが、充分なデータが必要である。
【０１６５】
そこで、本発明者は、各種実験を行い、少ないデータで推定するのに、時系列推定が有効であるという知見を得た。本実施の形態では、時系列推定により変角１０度未満の反射率を推定するものである。すなわち、時系列推定による反射率推定は、変角の増加または減少による反射率の変動を時系列変化として捉えて推定するものである。この時系列推定に用いて効果的な方法には、ＡＲＩＭＡ（Auto Regressive Integrated Moving Average：自己回帰和分移動平均）モデルなどがある。
【０１６６】
〔反射率の推定：変角１０度未満の時系列推定〕
先ず、上記実施の形態で説明したようにして、変角が１０度以上の反射率の特性、すなわち各変角における反射率を求める。
【０１６７】
図１５に示すように、変角が１０度以上の反射率の特性において、所定変角を１単位角度（図１５では１度）を時刻ｔに対応させる。すなわち、時刻ｔ1＝９０度、時刻ｔ2＝８９度、・・・、時刻ｔ80＝１１度、時刻ｔ81＝１０度に対応させる。この各時刻ｔにおける反射率Ｒ（α）を用いて、変角１０度未満の反射率を推定する。
【０１６８】
まず、時刻ｔ1〜ｔ81である変角９０度〜１０度の反射率Ｒ（９０）〜Ｒ（１０）を用いて、時刻ｔ82である変角９度の反射率Ｒ（９）を推定する。次に、時刻ｔ1〜ｔ82である変角９０度〜９度の反射率Ｒ（９０）〜Ｒ（９）を用いて、時刻ｔ83である変角８度の反射率Ｒ（８）を推定する。同様にして、変角α＝７，６，・・・，０の反射率Ｒを推定する。
【０１６９】
このように、変角αについて主成分分析で推定した１０度から順次変角が小さくなる方向に推定しているので、推定が切り替わる、１０度近傍で、滑らかに反射率が変化する。従って、ＣＧなどのように、画像を表示する場合において、その画像の連続性を確保することができる。
【０１７０】
ところで、反射率の実測データなどから、時系列推定により推定した反射率は、５度近傍までは良好な推定結果が得られる場合が多いが、正反射方向の近傍の変角における反射率は、急激に立ち上がる特性となる場合が多い。
【０１７１】
そこで、図１６に示すように、反射率を推定する変角の範囲をさらに細分化してもよい。図１６の例では、変角αが０〜５度について曲線近似により反射率を推定し（特性３４で示した）、変角αが５〜１０度について時系列推定により反射率を推定し（特性３２で示した）、変角αが１０度以上について上記主成分分析により反射率を推定した（特性３０で示した）場合を示した。このようにすることで、より実測データに近い反射率を推定することが可能となる。なお、図１６では、変角α＝５度について推定方法を切り換える例を示したが、変角α＝５度に限定されるものではなく、急激な立ち上がりとなる変角付近を切換点とすることでもよい。
【０１７２】
〔第４実施の形態〕
本実施の形態は、変角が１０度未満の正反射方向近傍の変角における反射率を主成分分析のみにより推定する他の方法を実現するものである。なお、本実施の形態は、上記実施の形態と略同様の構成であり、同一部分には同一符号を付して詳細な説明を省略する。
【０１７３】
〔反射率の推定：変角１０度未満の主成分ベクトルの外挿〕
上記実施の形態では、変角１０度未満の反射率では誤差成分が多いために主成分分析において除外したが、本実施の形態では、変角αが１０度未満の反射率についても考慮し、変角αが０〜９度の間を含む完全な主成分ベクトルを求め、上記（５０）式から、変角αが０〜９０度の反射率を推定する。
【０１７４】
すなわち、変角αが０〜９度の間の測定データを用いて、固有値、固有ベクトル（主成分ベクトル）、平均値ベクトル、そして係数ｋを求めて、基本式を設定する。これによって、変角が０度以上で９０度未満の反射率、すなわち変角αが０〜９度の間の反射率が外挿でき、各変角における反射率を求めることが可能となる。
【０１７５】
〔第５実施の形態〕
本実施の形態は、変角が１０度未満の正反射方向近傍の変角における反射率を重回帰分析により推定する、その他の方法を実現するものである。なお、本実施の形態は、上記実施の形態と略同様の構成であり、同一部分には同一符号を付して詳細な説明を省略する。
【０１７６】
〔反射率の推定：変角１０度未満の重回帰分析による推定〕
本実施の形態では、上述のように変角が１０度以上で用いた主成分分析における反射率の測定データを利用し、重回帰分析することで、変角αが１０度未満の反射率を推定するものである。
【０１７７】
本実施の形態では、変角αが１０度未満の反射率ｙiを、次式で表す。
【０１７８】
ｙi＝ａi＋ｂiｙ（α1）＋ｃiｙ（α2）＋ｄiｙ（α3）＋・・・
ただし、添え字ｉは、０，１，・・・，９の１０度未満の変角を表す。また、変角α1、α2、α3、・・・は、上述の主成分分析における１０度以上の任意の変角を表す。さらに、ａi、ｂi、ｃi、ｄi、・・・は変角毎の係数を表す。
【０１７９】
ここで、本発明者は、上記の式により重回帰分析するときに用いる、主成分分析における１０度以上の任意の変角として、あらゆる変角を用いて反射率を推定したが、その変角として主成分ベクトルの特徴点である変角における実測の反射率を用いることが好ましいという結果を得た。すなわち、上述の累積寄与率が大きい主成分ベクトルの変角αが好ましく、第１主成分から第４主成分ベクトルまでの特徴点である｛１０°，９０°，２６°，３８°，１６°｝の５つの変角を考慮すればよい、という知見を得た。
【０１８０】
従って、｛１０°，９０°，２６°，３８°，１６°｝の５つの変角を用いて、その特徴点である変角における反射率ｙiを説明変数として、変角αが１０度未満の反射率ｙiを目的変数を解析結果として求める。これによって、変角αが１０度未満の反射率ｙiを容易に推定することができる。
【０１８１】
また本発明者は、多数の実験を行い、上記５つの変角のうち、代表となる変角が｛１０°，２６°，３８°｝の３つの変角にあるという見解に至った。
【０１８２】
そこで、上記の式を、変角α1＝１０°、α2＝２６°、α3＝３８°として次に示す式に置き換えて重回帰分析が可能であるという知見を得た。
【０１８３】
ｙi＝ａi＋ｂiｙ（１０）＋ｃiｙ（２６）＋ｄiｙ（３８）
この重回帰分析では、変角α1＝１０°、α2＝２６°、α3＝３８°における反射率ｙiを説明変数として、変角αが１０度未満の反射率ｙiを目的変数を解析結果として求める。
【０１８４】
これによって、さらに少ない測定データにより、変角αが０〜９度の間の反射率を求めることが可能となる。
【０１８５】
なお、本実施の形態では、重回帰分析によって変角が１０度未満の反射率を推定したが、重回帰分析による推定処理に代えてニューラルネットワークによる推定処理や補間色推定の順情報補間処理（例えば、特許公報、特許第３１０９３３６号、「色再現方法」参照）を行っても良い。ニューラルネットワークによる推定処理は、入力に説明変数を設定し、出力に目的変数を設定し、上記の特徴点である変角における反射率と変角が１０度未満の反射率とを教師データとして学習処理することで、構築する。
【０１８６】
なお、上記各実施の形態では、反射率を推定する変角の範囲について別個の推定方法により推定した場合を説明したが、本発明はこれに限定されるものではなく、上記各実施形態の推定方法を組み合わせたり組み替えたりしてもよい。
【０１８７】
また、上記各実施の形態の反射率の推定は、塗装の大きな種類であるソリッド，メタリック，パールマイカ，それ以外の任意の塗装面に対しても有効に機能する。特に、ソリッド，メタリック，パールマイカ，それ以外に分類して，その分類ごとに本発明にかかる反射率の推定方法を実行することが好ましい。このようにすることで、さらに精度が向上する。
【０１８８】
また、上記各実施の形態では、変角として略０度乃至略９０度の範囲について反射率を推定する場合を説明したが、本発明はこの角度範囲に限定されるものでない。例えば、略９０度を超える変角について反射率を推定してもよく、略０度未満の変角について反射率を推定してもよい。この場合、上述のように、効率的に推定した１０度以上９０度以内の反射率特性の傾向を維持しつつ滑らかに連続する反射率特性を推定するためには、上記主成分分析により得られたデータを用いた外挿処理が好ましい。上記と同様に、外挿処理は、反射率そのものを外挿すること、例えば第１乃至第５の主成分ベクトルを外挿することが有効であり、この外挿には、重回帰分析や時系列分析がある。また、略０度未満の変角については、略０度以上の変角と同様の挙動を示すと考えられるので、略０度以上の変角の反射率をそのまま用いても良い。
【０１８９】
【発明の効果】
以上説明したように本発明によれば、複数の所定の変角における反射率について主成分分析することによって得られる反射率の特徴が現れた主成分ベクトルである固有ベクトルに基づいて、所定の変角以外の変角における反射率を推定するので、変角に対する反射率の特徴が反映されて他の変角に対しても反射率の特徴が反映された任意の変角における反射率を推定することができる、という効果がある。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明の第１実施の形態にかかる主成分分析による反射率推定処理の流れを示すフローチャートである。
【図２】パーソナルコンピュータを含む反射率を推定するためのＣＧ用反射率推定装置の概略構成図である。
【図３】主成分分析を説明するための説明図である。
【図４】変角を説明するための説明図である。
【図５】変角αと反射率の関係を表す特性図である。
【図６】全ての変角の反射率を推定する処理の流れを示すフローチャートである。
【図７】主成分分析による分析結果による第１主成分ベクトルから第５主成分ベクトルを示す特性図である。
【図８】主成分分析による分析結果で第１主成分ベクトルから第５主成分ベクトルまでを主成分ベクトル毎に示す特性図であり、（Ａ）は第１主成分ベクトルを示し、（Ｂ）は第２主成分ベクトルを示し、（Ｃ）は第３主成分ベクトルを示し、（Ｄ）は第４主成分ベクトルを示し、（Ｅ）は第５主成分ベクトルを示している。
【図９】本発明の第２実施の形態にかかる明るさを考慮した主成分分析による反射率推定処理の流れを示すフローチャートである。
【図１０】本発明の第２実施の形態にかかる変角を決定する処理の流れを示すフローチャートである。
【図１１】異なるサンプルに対して主成分分析による反射率の推定を含む推定結果の特性と、実測値の特性について０度から９０度の変角に対する反射率の特性を示す特性図である。
【図１２】図１１と異なるサンプルに対して主成分分析による反射率の推定を含む推定結果の特性と、実測値の特性について０度から９０度の変角に対する反射率の特性を示す特性図である。
【図１３】図１１及び図１２と異なるサンプルに対して主成分分析による反射率の推定を含む推定結果の特性と、実測値の特性について０度から９０度の変角に対する反射率の特性を示す特性図である。
【図１４】図１１乃至図１３と異なるサンプルに対して主成分分析による反射率の推定を含む推定結果の特性と、実測値の特性について０度から９０度の変角に対する反射率の特性を示す特性図である。
【図１５】本発明の第３実施の形態にかかり、変角１０度未満の反射率の時系列推定を説明するための説明図である。
【図１６】本発明の第３実施の形態にかかり、反射率を推定する変角の範囲を細分化して推定することを説明するための説明図である。
【符号の説明】
Ｘ…ベクトル
ａ…距離
ｂ…単位ベクトル（固有ベクトル）
ｅ…誤差
ｌ…固有値
μ…ベクトル
１０…キーボード
１２…コンピュータ本体
１４…ＣＲＴ
１６…パーソナルコンピュータ
２４…正反射方向
３０、３２，３４…特性
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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【図６】
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【図７】
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【図８】
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【図９】
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【図１０】
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【図１１】
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【図１２】
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【図１３】
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【図１４】
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【図１５】
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【図１６】
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