(57)【特許請求の範囲】
【請求項１】
圧力が規定されているｎ個（ｎ≧１）の開口と、流量の時間微分が規定されているｍ個（ｍ≧１）の開口とを有する多開口管路において、非圧縮流体の密度をρ、圧力が規定されている開口をΟj（面積Ｓj）（ｊ=１，２，…，ｎ）、流量の時間微分が規定されている開口をΟn+j（面積Ｓjd）（ｊ＝１，２，…，ｍ）としたとき、
0003962622.tif 000035
なるｎ＋ｍ個の調和関数を用いて、４つの行列Ｍ11、Ｍ12、Ｍ21およびＭ22を、
【数１】
0003962622.tif 000036
【数２】
0003962622.tif 000037
【数３】
0003962622.tif 000038
【数４】
0003962622.tif 000039
によって計算し、さらに、
Ａinv11＝Ｍ11−Ｍ12Ｍ22-1Ｍ21
Ａinv12＝Ｍ12Ｍ22-1
Ａinv21＝−Ｍ22-1Ｍ21
Ａinv22＝Ｍ22-1
によって、４つの行列Ａinv11，Ａinv12，Ａinv21およびＡinv22を計算することによって、イナータンスの逆数を成分とする（ｎ＋ｍ）×（ｎ＋ｍ）の行列を、
【数５】
0003962622.tif 000040
によって計算することを特徴とする流体の流れ解析方法。
【請求項２】
請求項１の流れ解析方法をコンピュータに実現させるためのプログラム。
【請求項３】
請求項２のプログラムを格納したことを特徴とする記憶媒体。
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術の分野】
本発明は、静止流体が急に動き出すときの動きにくさ、すなわち、液体の慣性を表すイナータンスを考慮した、液体管路を有する装置、例えば、水道管、油圧装置、インクジェットを用いた記録装置およびマイクロ液体ポンプ等の多開口、特に、少なくとも３つ以上の開口の形成された液体管路等における管路内の、流体の流れ解析方法および該方法を実現するためのプログラムに関する。
【０００２】
【従来の技術】
従来から、液体の搬送管路の解析において、流体を３次元の連続体として、３次元空間についての非線形偏微分方程式で扱うのではなく、流体の慣性の効果、あるいは粘性の効果を集中定数で置き換えて、線形常微分方程式で扱う方法が知られている。例えば、特開平５−２４６０２６号公報では、圧電素子を用いたインクジェットにおいて、慣性の効果をイナータンスＭ、粘性抵抗をＲ、体積変位（開口部からの流出体積）をｑ、圧力をｐとして、
【０００３】
【数６】
0003962622.tif 000002
【０００４】
の常微分方程式を用いて、流れを解析している。
【０００５】
この考え方は、流体系を線形の電気回路と等価に考えることに対応している。すなわち、圧力を電位、体積変位を電荷、流量を電流、慣性（イナータンス）をインダクタンス、粘性抵抗を電気抵抗、管路のコンプライアンスあるいは液体の圧縮性を電気容量に対応させることになる。以上の対応のもとでは、慣性（イナータンス）は、管路の開口の圧力を規定したときの、粘性、圧縮性なしの流体の挙動から決まり、粘性は、慣性、圧縮性なしの流体の挙動から決まる。言い換えると、慣性（イナータンス）は、静止していた流体の動きはじめ、すなわち速度が小さく粘性が無視できる加速度運動として扱えるときの主要な効果であり、逆に、粘性抵抗は、慣性が無視できる定常状態における流れの主要な効果である。この発明は、イナータンスの評価法に着目したものである。
【０００６】
イナータンスの計算のしかたとしては、上記公報では、
Ｍ＝ρ・Ｌ／Ｓ（ρは液体の密度、Ｌは管路長、Ｓは管路断面積）（２）としている。
【０００７】
また、特開平５−８４９０９号公報においては、管路にそって断面積が変化しているノズルのイナータンスも考えているが、これは、
【０００８】
【数７】
0003962622.tif 000003
【０００９】
として計算しており、基本的には、「イナータンス＝密度×管路長／管路断面積」という考え方に変わりはない。
【００１０】
【発明が解決しようとする課題】
しかしながら、上記従来の流れの解析におけるイナータンスの計算方法では、いずれも管路の中の液体の流れが１次元的に考えられ、かつ２開口のときのみ有効であって、例えば図１に示すような多開口管路３次元流れについてはイナータンスを考えることができない。
【００１１】
さらに、ある開口において圧力ではなく、体積変位の時間２階微分が規定されているような場合、すなわち、水道管で初期にどれだけの加速度で水を押し出したいかを規定するような場合には、従来の流れの解析のようなイナータンスの取り扱いはできない。
【００１２】
本発明は、この点に着目してなされたものであり、圧力を規定した開口、すなわち、外部の大気と連通しているような開口以外に、体積変位の時間２階微分（流量の時間微分）を規定した開口、すなわち、動力源等により、流れの加速度を指定した開口を有する多開口管路において、非圧縮流体の慣性の効果を表すイナータンスを明確に定義でき、そのイナータンスを用いて流れを解析することができる流体の流れ解析方法および該方法を実現するためのプログラムを提供することを目的とする。
【００１３】
【課題を解決するための手段】
上記目的を達成するため、本発明は、圧力が規定されているｎ個（ｎ≧１）の開口と、流量の時間微分が規定されているｍ個（ｍ≧１）の開口とを有する多開口管路において、非圧縮流体の密度をρ、圧力が規定されている開口をΟj（面積Ｓj）（ｊ=１，２，…，ｎ）、流量の時間微分が規定されている開口をΟn+j（面積Ｓjd）（ｊ＝１，２，…，ｍ）としたとき、
0003962622.tif 000004
なるｎ＋ｍ個の調和関数を用いて、４つの行列Ｍ11，Ｍ12，Ｍ21およびＭ22を、
【００１４】
【数８】
0003962622.tif 000005
【００１５】
【数９】
0003962622.tif 000006
【００１６】
【数１０】
0003962622.tif 000007
【００１７】
【数１１】
0003962622.tif 000008
【００１８】
によって計算し、さらに、
Ａinv11＝Ｍ11−Ｍ12Ｍ22-1Ｍ21
Ａinv12＝Ｍ12Ｍ22-1
Ａinv21＝−Ｍ22-1Ｍ21
Ａinv22＝Ｍ22-1
によって、４つの行列Ａinv11、Ａinv12、Ａinv21、Ａinv22を計算することによって、イナータンスの逆数を成分とする（ｎ＋ｍ）×（ｎ＋ｍ）の行列を、
【００１９】
【数１２】
0003962622.tif 000009
【００２０】
によって計算することを特徴とする。
【００２１】
【発明の実施の形態】
以下、本発明の実施の形態を図面に基づいて詳細に説明する。
【００２２】
図１は、本発明の一実施の形態に係る多開口管路内の流れの解析方法を説明するための、ｎ＋ｍ個の開口が形成された管路の概念図を示す。
【００２３】
管路１には、それぞれ面積がＳ1〜Ｓnのｎ個の開口３1〜３n、および面積がＳ1d〜Ｓmdのｍ個の開口３n+1〜３n+mが形成されている。また、内部には非圧縮性流体が存在しており、開口３1〜３nで非圧縮性流体にかかる圧力はｐ1〜ｐn、開口３n+1〜３n+mでの非圧縮性流体の流量の時間微分（体積変位の時間２階微分）は、ｄＦ1d／ｄｔ〜ｄＦmd／ｄｔとなっている。ここで、Ｆi（ｉ＝１，２，…，ｎ），Ｆid（ｉ＝１，２，…，ｍ）をそれぞれ開口３i、３n+i上での流量とする。
【００２４】
このような多開口管路においても適用可能なイナータンスの導出に関して、以下に説明する。
【００２５】
なお、イナータンス（慣性）とは、静止流体が急に動き出すときの動きにくさを意味し、各開口における圧力と、各開口における流量の時間微分との線形関係の比で、一般に行列で表現される。
【００２６】
非圧縮性流体の運動の基本式は、
【００２７】
【数１３】
0003962622.tif 000010
【００２８】
である。ここで、ｕ，ρ，ｐおよびηは、液体の速度、密度、圧力および粘度である。本発明では、静止していた流体の動きはじめにおけるイナータンスを考えるため、式（５）の左辺第２項（対流項）は、時間に関する微分を含まず、左辺第１項に比べて小さいと考えることができる。さらに、静止流体の初期速度は小さく、粘性項は無視できると考え、ナビエ・ストークスの式（５）を、
【００２９】
【数１４】
0003962622.tif 000011
【００３０】
と線形近似する。式（６）は、運動初期について成り立つものであり、一般に、速度が増大するにつれ、対流項、粘性項の影響は無視できなくなるが、過渡応答についても、流れの性質を評価する目安と考えてよい。すると、式（４）および（６）より、
Δｐ＝０                                            （７）
となり、圧力はラプラス方程式を満たす調和関数であることがわかる。
【００３１】
ここで、ｎ＋ｍ開口系（圧力規定面がｎ個、流量の時間微分規定面がｍ個）の管路を考える。図１のようなｎ＋ｍ開口系の管路において、開口３j（面積Ｓj）（ｊ＝１，２，…，ｎ）上の圧力がｐjで規定されており、開口３n+j（面積Ｓjd）（ｊ＝１，２，…，ｍ）上の圧力勾配がｄｐjで規定されている場合（これは後でみるように流量の時間微分を規定することに対応する）、
0003962622.tif 000012
なるｎ＋ｍ個の調和関数を用いて、圧力ｐを、
【００３２】
【数１５】
0003962622.tif 000013
【００３３】
と表すと、開口３n+j（ｊ=１，２，…，ｍ）上での流量Ｆjdが、開口３n+j上での面積分を行うことによって、
【００３４】
【数１６】
0003962622.tif 000014
【００３５】
となるので、
【００３６】
【数１７】
0003962622.tif 000015
【００３７】
と書くことができ、式（１０）は、
【００３８】
【数１８】
0003962622.tif 000016
【００３９】
となる。これは、ラプラス方程式（７）、および所望の境界条件を満たすことがわかる。
【００４０】
式（１３）を用いると、開口３k（ｋ＝１，２，…，ｎ）上での流量の時間微分ｄＦk／ｄｔは、
【００４１】
【数１９】
0003962622.tif 000017
【００４２】
となる。また、開口３n+k（ｋ＝１，２，…，ｍ）上の平均圧力ｐkdを、
【００４３】
【数２０】
0003962622.tif 000018
【００４４】
で定義すると、式（１３）を用いて、
【００４５】
【数２１】
0003962622.tif 000019
【００４６】
となる。すなわち、ｎ＋ｍ個の既知パラメータｐ1，ｐ2，…，ｐn，ｄＦ1d／ｄｔ，ｄＦ2d／ｄｔ…，ｄＦmd／ｄｔから、ｎ＋ｍ個の未知パラメータｄＦ1d／ｄｔ，ｄＦ2d／ｄｔ…，ｄＦnd／ｄｔ，ｐ1d，ｐ2d，…，ｐmdを計算する式は、式（１４）および（１６）より
【００４７】
【数２２】
0003962622.tif 000020
【００４８】
となる。ただし、Ｍ11，Ｍ12，Ｍ21およびＭ22は、それぞれ（ｎ×ｎ）行列、（ｎ×ｍ）行列、（ｍ×ｎ）行列、および（ｍ×ｍ）行列で、
【００４９】
【数２３】
0003962622.tif 000021
【００５０】
【数２４】
0003962622.tif 000022
【００５１】
【数２５】
0003962622.tif 000023
【００５２】
【数２６】
0003962622.tif 000024
【００５３】
である。すると、系のイナータンスは、各開口の圧力と、流量の時間微分の線形関係の比であるので、
【００５４】
【数２７】
0003962622.tif 000025
【００５５】
としてイナータンスの逆数を成分とする（ｎ＋ｍ）×（ｎ＋ｍ）行列を求めることができる。ここで、
Ａinv11＝Ｍ11−Ｍ12Ｍ22-1Ｍ21                   (23)
Ａinv12＝Ｍ12Ｍ22-1                              (24)
Ａinv21＝−Ｍ22-1Ｍ21                            (25)
Ａinv22＝Ｍ22-1                                  (26)
である。以上で、イナータンスを計算することができる。
【００５６】
ここで、具体的に圧力規定の開口が３1、３2（面積Ｓ1，Ｓ2）の２つ、流量の時間微分規定の開口が３3（面積Ｓ1d）のみである、３開口管路のイナータンスを求めておく。
【００５７】
【数２８】
0003962622.tif 000026
【００５８】
【数２９】
0003962622.tif 000027
【００５９】
【数３０】
0003962622.tif 000028
【００６０】
【数３１】
0003962622.tif 000029
【００６１】
【数３２】
0003962622.tif 000030
【００６２】
【数３３】
0003962622.tif 000031
【００６３】
【数３４】
0003962622.tif 000032
【００６４】
【数３５】
0003962622.tif 000033
【００６５】
【数３６】
0003962622.tif 000034
【００６６】
である。
【００６７】
図２は、本実施の形態の流体の流れ解析方法を適用した解析装置の概略構成を示すブロック図である。
【００６８】
同図において、本解析装置は、主として、条件等を入力する入力部１０１と、計算を行う計算部１０２と、解析結果を出力する出力部１０３とによって構成されている。
【００６９】
入力部１０１は、キーボードやマウス等からなる。
【００７０】
計算部１０２は、ＣＰＵ１０４およびメモリ１０５からなり、記録媒体１０９に記録された記録内容を読み込むことができる。
【００７１】
出力部１０３は、解析結果を表示するＣＲＴ１０６および印刷による出力が可能な出力部１０７からなる。また、解析結果は、解析結果保存部１０８に保存しておくことも可能である。
【００７２】
記録媒体１０９には、本実施の形態の流れ解析方法を実現するための解析プログラムが記録されており、計算部１０２は、この解析プログラムを読み込み、このプログラムに従って計算を実行する。
【００７３】
なお、入力部１０１と、計算部１０２および出力部１０３は、ワークステーションあるいはパーソナルコンピュータの形態であってもよい。
【００７４】
図３は、本実施の形態の流れ解析方法を実現する流れ解析処理の手順を示すフローチャートである。なお、同図のフローチャート中に用いている記号は、前記図１に記載されているものと同様である。
【００７５】
本流れ解析処理は、イナータンスの計算を行うサブルーチン（ステップＳ１〜Ｓ７）と圧力規定開口における外向き流量の時間微分ｄＦi／ｄｔおよび流量の時間微分規定開口における平均圧力ｐjdの計算を行うサブルーチン（ステップＳ８〜Ｓ１１）とからなり、まず、イナータンスの計算を行うサブルーチンで、対象となるイナータンスの逆数を成分にもつ行列を計算した後、算出された行列を用いて、各開口における外向き流量の時間微分、あるいは平均圧力の計算を行う。
【００７６】
なお、管路の解析では、イナータンスの逆数を成分にもつ行列を求めるだけでよい場合もあるが、その場合は、第一段階のイナータンス計算の部分で処理を終了してもよい。
【００７７】
以下、本流れ解析処理を詳細に説明する。
【００７８】
まず、計算する管路１の形状および各開口３1，…，３n，３n+1，…，３n+mを指定する（ステップＳ１）。
【００７９】
次に、管路１内の液体の密度ρを入力する（ステップＳ２）。
【００８０】
次に、調和関数φおよびψの境界条件を設定し、前記ラプラス方程式（８）および（９）を解き、イナータンスの逆数を成分にもつ行列を計算するのに必要なすべての成分を前記式（１８）〜（２１）に従って計算する（行列Ｍ11，Ｍ12，Ｍ21およびＭ22の計算）（ステップＳ４）。
【００８１】
そして、全ての成分の計算が終了したかどうかを判別し（ステップＳ５）、終了していないなら繰り返し計算を行い（ステップＳ５→Ｓ６→Ｓ４）、終了したなら行列Ｍ11，Ｍ12，Ｍ21およびＭ22の計算用のサブルーチンから抜け出し、次のステップＳ７に進む、すなわち、各開口における外向き流量の時間微分、および平均圧力の計算を行うサブルーチンでの計算を開始する。
【００８２】
行列Ｍ11，Ｍ12，Ｍ21およびＭ22の計算終了後、前記式（２３）〜（２６）に従って、Ａ11inv，Ａ12inv，Ａ21invおよびＡ22inv、すなわちイナータンスを計算する（ステップＳ７）。
【００８３】
次に、開口３1，…，３nにおける圧力ｐ1，…，ｐn、または開口３n+1，…，３n+mにおける外向き流量の時間微分ｄＦ1d／ｄｔ，…，ｄＦmd／ｄｔを指定する（ステップＳ８）。
【００８４】
次に、開口３1，…，３nにおける外向き流量の時間微分ｄＦ1／ｄｔ，…，ｄＦn／ｄｔ、または開口３n+1，…，３n+mにおける平均圧力ｐ1d，…，ｐmdを計算し（ステップＳ９）、計算結果を出力する（ステップＳ１０）。
【００８５】
次に、ステップＳ８で指定した以外の開口での計算を実行するかどうかを判別し（ステップＳ１１）、ステップＳ８で指定した以外の開口で計算するなら、ステップＳ８に戻り、再度圧力あるいは外向き流量の時間微分を指定し、再計算を行い、再指定を行わないなら、計算を終了する。
【００８６】
上述のように計算されたイナータンスの逆数を成分にもつ行列の各成分の大小により、管路内で静止流体が流れ始める際、各開口間でどこが流れやすく、どこが流れにくいかを評価することができる。また、初期規定の流量の時間微分、および計算された流量の時間微分を評価することによって、流体が各開口でどのように出入りするかを把握することができる。
【００８７】
【実施例】
次に、本発明の具体的な実施例を示すが、本発明はこれらによって何ら限定されるものではない。
【００８８】
（第１の実施例）
図４は、本実施例における解析に用いられた多開口管路の斜視図である。
【００８９】
多開口管路１０は、立方体の本体部１４と、本体部１４の各面からそれぞれ突き出して形成された第１の管路１１と、第２の管路１２と、第３の管路１３とを有する。
【００９０】
本体部１４は、縦、横および高さがすべて０．０１［ｍ］の立方体である。
【００９１】
第１の管路１１は、本体部１４を形成する面のうち、図中ｙ軸正方向に外向きの法線を有する面に設けられており、長さは０．０１［ｍ］で、開口５2の直径は０．００７［ｍ］である。
【００９２】
第２の管路１２は、本体部１４を形成する面のうち、図中ｚ軸正方向に外向きの法線を有する面に設けられており、長さは０．０２［ｍ］で、開口５1の直径は０．００５［ｍ］である。
【００９３】
第３の管路１３は、本体部１４を形成する面のうち、図中ｘ軸正方向に外向きの法線を有する面に設けられており、長さは０．０１［ｍ］で、開口５3の直径は０．００５［ｍ］である。
【００９４】
以上のような多開口管路１０は、多開口管路１０内で静止流体が流れ始める際、開口５1〜５3間で流体が最も流れやすく、開口５2〜５3間で流体が最も流れにくいモデルである。
【００９５】
開口５1、５2で圧力が指定され、開口５3で外向き流量の時間微分が規定された場合のイナータンスを計算した結果を以下に示す。なお、液体の密度は、１０3［ｋｇ／ｍ3］とした。
【００９６】
Ａ11＝−７．８５×１０5［ｋｇ／ｍ4］
Ａ12＝  ２．２６×１０6［ｋｇ／ｍ4］、
Ａ13＝  １．２０×１０6［ｋｇ／ｍ4］
Ａ21＝Ａ12
Ａ22＝−１．４７×１０6［ｋｇ／ｍ4］
Ａ23＝  ４．２２×１０6［ｋｇ／ｍ4］
Ａ31＝Ａ13
Ａ32＝Ａ23
Ａ33＝−９．３６×１０5［ｋｇ／ｍ4］
これを見ると、各開口間での成分ではＡ13が最も小さく、Ａ23が最も大きい。これは、開口５1〜５3間で流体が最も流れやすく、開口５2〜５3間で流体が最も流れにくいことを示している。
【００９７】
以上のように、本発明の解析方法により算出したイナータンスを用いることにより、解析モデルで想定した通りの解析結果が得られた。
【００９８】
（第２の実施例）
図５は、本実施例における解析に用いられた多開口管路の斜視図である。
【００９９】
多開口管路２０は、直方体の本体部２４と、本体部２４の上面２５からそれぞれ突き出して形成された第１の管路２１と、第２の管路２２と、第３の管路２３とを有する。
【０１００】
本体部２４は、縦、横および高さがそれぞれ０．０５［ｍ］，０．１［ｍ］および０．０２［ｍ］の直方体である。
【０１０１】
第１の管路２１は、上面２５の右端から内側に０．０２５［ｍ］の位置を管路の中心線が通るように配置されており、上面２５での直径が０．０３［ｍ］で、開口６1の直径は０．０１［ｍ］で、突出高さが０．０１［ｍ］の円錐台形状である。
【０１０２】
第２の管路２２は、第１の管路２１の中線線から、さらに内側に０．０２５［ｍ］の位置を管路の中心線が通り、第１の管路２１と第３の管路２３とに挟まれた位置に配置されている。この第２の管路２２の上面２５での直径は０．０１［ｍ］で、開口６2の直径は０．０２［ｍ］で、突出高さが０．０２［ｍ］の上方が開いた円錐台形状である。
【０１０３】
第３の管路２３は、第２の管路２２の中心線から、外側に０．０２５［ｍ］の位置、すなわち、上面２５の左端から０．０２５［ｍ］の位置を管路の中心線が通る位置に配置されている。この第３の管路２３の上面２５での直径は０．０２［ｍ］で、開口６3の直径は０．００４［ｍ］で、突出高さが０．０３［ｍ］の円錐台形状である。
【０１０４】
以上のような多開口管路２０は、多開口管路２０内で静止流体が流れ始める際、開口６1〜６2間で流体が最も流れやすく、開口６1〜６3間で流体が最も流れにくいモデルである。
【０１０５】
開口６1および６2で圧力が規定され、開口６3で外向き流量の時間微分が規定された場合のイナータンスを計算した結果を以下に示す。なお、液体の密度は、１０3［ｋｇ／ｍ3］とした。
【０１０６】
Ａ11＝−２．１０×１０5［ｋｇ／ｍ4］
Ａ12＝  ２．７７×１０5［ｋｇ／ｍ4］
Ａ13＝  ８．６６×１０5［ｋｇ／ｍ4］
Ａ21＝Ａ12
Ａ22＝−２．３８×１０5［ｋｇ／ｍ4］
Ａ23＝  １．６９×１０6［ｋｇ／ｍ4］
Ａ31＝Ａ13
Ａ32＝Ａ23
Ａ33＝−５．７３×１０5［ｋｇ／ｍ4］
これを見ると、各開口間での成分では、Ａ12が最も小さく、Ａ13が最も大きい。これは、開口６1〜６2間で流体が最も流れやすく、開口６1〜６3間で流体が最も流れにくいことを示している。
【０１０７】
以上のように、本発明の解析方法により算出したイナータンスを用いることにより、解析モデルで想定した通りの解析結果が得られた。
【０１０８】
【発明の効果】
以上説明したように、本発明のイナータンスの計算方法を用いれば、１次元流として近似できない管路の場合、あるいは多くの開口を持つ管路の場合においても、イナータンスを精度よく見積もることができ、慣性の効果が重要な流れを扱う、例えば油圧装置の初期応答解析、オンデマンド型インクジェットヘッドの設計、解析等を、簡便に、かつ精度よく行えるようになる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明の一実施の形態に係る多開口管路内の流れの解析方法を説明するための、ｎ＋ｍ個の開口が形成された管路の概念図である。
【図２】本実施の形態の流体の流れ解析方法を適用した解析装置の概略構成を示すブロック図である。
【図３】本実施の形態の流れ解析方法を実現する流れ解析処理の手順を示すフローチャートである。
【図４】第１の実施例における解析に用いられた多開口管路の斜視図である。
【図５】第２の実施例における解析に用いられた多開口管路の斜視図である。
【符号の説明】
１  管路
３1〜３n，３n+1〜３n+m，５1，５2，５3，６1，６2，６3  開口
１０，２０  多開口管路
１１，２１  第１の管路
１２，２２  第２の管路
１３，２３  第３の管路
１４，２４  本体部
２５  上面
１０１  入力部
１０２  計算部
１０３  出力部
１０４  ＣＲＴ
１０５  印刷部
１０６  解析結果保存部
１０７  ＣＰＵ
１０８  メモリ
１０９  記録媒体
【図１】
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【図２】
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【図３】
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【図４】
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【図５】
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